Теорема про три

перпендикуляри

α

a

Ab c

d

Означення прямої перпендикулярної до площини:

Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до любої прямої,яка лежить в цій площині.

α

a

A

bc

Якщо пряма перпендикулярна двом прямим,які перетинаються і лежать в площині, то вона перпендикулярна і до самої площини.

Ознака перпендикулярності прямої і площини:

α

A

Перпендикуляр, похила, проекція похилої на площину:

ВМ

М

α

А

В

Завдання:

а

Пряма a – похила до площини α. Вона перетинає площину

в точці М. Побудувати проекцію цієї похилої на площину α.

α

A

Теорема про три перпендикуляри:

ВМ

а

Пряма, проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до її проекції на цю площину, перпендикулярна і до самої похилої.

Дано: α , АС – похила,

ВС – проекція, ВС ┴ с , АВ ┴ α.

Довести: АС ┴ с.

Доведення.1.Проведемо СА1 ┴ с . 2.СА1||АВ по теоремі.(Теорема:

Якщо дві прямі перпендикулярні до площини, то вони паралельні).

3.Проведемо через АВ і СА1 площину β.

4.с ┴ СА, с ┴ ВС (по Теоремі: «Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які перетинаються і лежать в площині, то вона перпендикулярна до цієї площини».),

с ┴ β, значить,с ┴АС.

А А1

ВС

сα

I спосіб (від супротипного)

Теорема: Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до самої похилої.

Доведення: Нехай t ОА. ┴ Припустимо, що SA

не перпендикулярна до прямої t. Проведемо SB ┴ t, тоді SA> SB. Із прямокутних трикутників SOA і SOB

,одержимо: ОА>OB. Разом з тим ОА < OB, так як ОА ┴ t за умовою. До даного протиріччя нас привело припущення, що SA не перпендикулярна до прямої t. Значить, SA ┴ t.

S

О

В

С

А

t

SBOBSOSAОА22222

,/,

222222

SOSBOBSOSAOA

II спосіб (властивості рівнобедреного трикутника)

Доведення: Від точки А відкладемо рівні

відрізки: АМ= АN. Точки М і N сполучимо з

точками O і S. ОА є одночасно висотою і медіаною, цей трикутник рівнобедрений: ОМ = ОN. Прямокутні трикутники OSM і OSN рівні (за двома катетами). З їх рівності слідує, що SM= SN і SA- медіана рівнобедреного трикутника MSN. Значить, SA одночасно і висота цього трикутника, тобто SA┴MN.

S

MO

N

At

MON

III спосіб (теорема Піфагора)Доведення:

На прямій t візьмемо довільну точку В і сполучимо її з точками О і S. З прямокутних трикутників SOB, SOA і AOB: SB 2 = SO2+ OB2, SA2 = =SO2+ OA2, OB2- OA2= AB2. Віднявши від першої рівності другу, одержимо:SB2 – SA2 = =OB2 – OA2. Прийнявши до уваги третю рівність, маємо: SB2 – SA2 = AB2, SB2 = SA2 +AB2.Відповідно теоремі,

оберненій теоремі Піфагора, SA┴AB, тобто . t┴SA

S

O

A

B

t

IV спосіб (векторний)

Доведення:Задамо вектори

Помножимо обидві частини на

Скалярний добуток двох перпендикулярних векторів рівний нолю:

Але і не нульові вектори, значить, , пряма перпендикулярна до похилої, що і потрібно було довести .

S

OA

N

Mα

.,,, SASOOAMNOASOSA

MN

MNOAMNSOMNSA

0MNSA

SA MNSAMN

α

A

Теорема обернена до теореми про три перпендикуляри:

ВМ

а

Прямая, проведена в площині через основу похилої перпендикулярно до неї, перпендикулярна і до проекції похилої на площину.

Задачі на доведення

O

C1D1

B1A1

D CBA

90)2

)1

,

1

1

ABC

ODÀÑ

ùîÄîâåñòè

90:,

)(

ÊÑÂÊÀÂùîÄîâåñòè

ABCKD

êïðÿìîêóòíèABCD

A

D C

B

K

BA

C

αa

b

Серед точок прямої b точка В являється найближчою до точки АДоведіть, що вона найближча до точки С

M

FE

B

A C

EF – середня лінія прямокутного трикутника АВС, МЕ – перпендикуляр до площини цого трикутника MAMC

ACMF

ùîÄîâåä³òü

)2

)1

,

PM

KO

D

C

B

A

BDOP

BDÎÌ

ùîÄîâåñòè

ÌÑÐÀÂÑÌÊ

ðîìáABCDÄàíî

)2

)1

:,

),(

,:

B

AC

D

KP

O

DPùîBCÄîâåä³òü

ÀÊÐÀÂÑÎÊ

ABCâèñîòàAD

ÀÑÀÂ

íèéð³âíîáåäðåABC

,

),(

,

)(

• Через точку М проведені похила МВ і перпендикуляр ММ1 до площини кута АВС. Гострі кути МАВ і МВС рівні.

• Доведіть, що

BCMBAM 11

B

A

C

M

M1

K

T

Задачі на побудову• Відрізок МС перпендикулярний площині

рівностороннього трикутника АВС.• Проведіть через точку М перпендикуляр

до прямої АВ

BА С

М

Відрізок MD перпендикулярний площині прямокутника ABCD. Проведіть через

точку М перпендикуляри до прямих ВС і АВ

BA

CD

M

Відрізок МА перпендикулярний до площини ромба. Проведіть через точку М

перпендикуляр до прямої AC

BA

CD

M

O

Відрізок MN перпендикулярний площині прямокутного трикутника АВС.

Проведіть через точку М перпендикуляри до прямих АС і ВС

C

B

A

M

N

Відрізок MN перпендикулярний до площини рівнобедреного трикутника АВС (АВ=АС). Проведіть через точку М

перпендикуляр до прямої ВС.

A

В

С

М

N

Відрізок MD перпендикулярний до площини рівнобічної трапеції

ABCD(AB=CD).Проведіть через точку М перпендикуляр до прямої ВС

AB

CD

M

Відрізок MC перпендикулярний до площини прямокутної трапеції ABCD(кут В

–прямий ).Проведіть через точку М перпендикуляри до прямих АВ і AD

AB

CD

M

Задачі на обчислення

),();,();,();,(:

16,15),(

BCMDCMÀDÌÀÂÌÇíàéòè

ñìÀÂñìÌÎÀÂÑÌÎ

êâàäðàòABCD

A B

CD

O

M

KL

15

8

17

))(,();,(:

5,30,13

),(,90,

ABCPACPÇíàéòè

ñìACBñìPA

ABCPBCABC

A

B C

P

5

13

300

1210

√69

2,4

),(,

ABBM

ABCBMквадратABCD

Знайти: відстань від точки М до сторін і діагоналей квадрата

4

2

√20

√2

3√2

A

M

D

CB

Катети прямокутного трикутника АВС рівні 9см і 16см. Через середину гіпотенузи - точку О

проведено перпендикуляр до площини трикутника довжиною 6см. Знайдіть відстань

від кінців перпендикуляра до катетів і вершини прямого кута.

2

481

3379

16A

B

C

M

O

6

8

10

4,5

7,5

2

337

),();,(:

),(

,

,90,

ÀÂÌÀÂÑÇíàéòè

àÌÑÀÂÑÌÑ

ÂàÀÑ

ÑéïðÿìîêóòíèABC

cosa

A

BC

M

)cos1( 2 a

ABCD – ромб, OK – перпендикуляр до площини ромба. ОК=5см. Знайти відстань від точки К до сторін

ромба, якщо його діагоналі рівні 40см і 30см.

20

15

5

2512

13

M

AD

C

B O

K

ABCD – квадрат. АВ=2а. DD1=a. Побудуйте проекцію DC на площину α. Знайдіть відстань між прямою АВ і проекцією DC на площину α.

α

B

C

A

D

D1C1

2aa

a√3