Εισαγωγή στη Βελτιστοποίηση

Βελτιστοποίηση: Η διαδικασία ελαχιστοποίησης ή μεγιστοποίησης της επιθυμητής συνάρτησης κόστους, ενώ ταυτόχρονα ικανοποιούνται υφιστάμενοι περιορισμοί (Belegundu).

Βέλτιστος σχεδιασμός: Ο σχεδιασμός μίας κατασκευής, ο οποίος ικανοποιεί τις κατασκευαστικές προδιαγραφές και τις λειτουργικές απαιτήσεις, ενώ ταυτόχρονα ελαχιστοποιεί συγκεκριμένα κριτήρια, όπως είναι συνηθέστερα το κόστος και το βάρος της κατασκευής.

Ορισμοί

Η βελτιστοποίηση βοηθά τους μηχανικούς να• σχεδιάσουν αποδοτικότερα συστήματα• σχεδιάσουν λιγότερο ακριβά συστήματα και • αναπτύξουν καινοτόμες μεθόδους για τη βελτίωση της

επίδοσης υπαρχόντων συστημάτων

Τυπικές εφαρμογές βελτιστοποίησης1. σχεδιασμός αεροσκαφών ελάχιστου βάρους2. βελτιστοποίηση δονήσεων και θορύβων σε

οχήματα3. βέλτιστος σχεδιασμός ηλεκτρικών

κυκλωμάτων4. βελτιστοποίηση σχεδιασμού παραγωγής

Περιοχή σχεδίασης: n-διάστατος καρτεσιανός χώρος συντεταγμένων όπου κάθε άξονας αντιπροσωπεύει μια μεταβλητή σχεδίασης xi (i=1,…..n).

Σημείο σχεδίασης: Ένα σημείο στο χώρο σχεδίασης που αντιπροσωπεύει μια δυνατή ή αδύνατη επίλυση

Μεταβλητές σχεδίασης: Δεν μπορούν να επιλεχθούν τυχαία, πρέπει να πληρούν συγκεκριμένα λειτουργικά χαρακτηριστικά και να παράγουν αποδεκτή σχεδίαση

Περιορισμοί σχεδίασης: οι περιορισμοί που πρέπει να πληροί μια σχεδίαση ώστε να είναι αποδεκτή. Υπάρχουν δύο κατηγορίες περιορισμών

Βοηθητικοί Ορισμοί Ι

• Λειτουργικοί: αντιπροσωπεύουν περιορισμούς συμπεριφοράς και επίδοσης του συστήματος

• Γεωμετρικοί: φυσικοί περιορισμοί των μεταβλητών σχεδίασης

Αντικειμενική συνάρτηση ή συνάρτηση κόστους: Ένα κριτήριο σύγκρισης των αποδεκτών λύσεων με βάση το οποίο γίνεται η επιλογή της βέλτιστης σχεδίασης. Όταν υπάρχουν περισσότερες από μία ντικειμενικές συναρτήσεις το πρόβλημα λέγεται multi-objective.

Επιφάνεια περιορισμών: Επιφάνεια, στην περιοχή σχεδίασης, που ορίζουν οι τιμές των μεταβλητών σχεδίασης є x και ικανοποιούν τη συνθήκη gi(x) = 0 Το σύνολο των επιφανειών περιορισμών gi(x) = 0, i=1,….m που διαχωρίζει την αποδεκτή περιοχή είναι γνωστό ως σύνθετη επιφάνεια περιορισμού.Επιφάνεια συνάρτησης κόστους: Αντίστοιχη της επιφάνειας περιορισμών.

Όταν σχεδιαστούν αυτές οι επιφάνειες στην περιοχή σχεδίασης μπορεί να εντοπιστεί γραφικά το βέλτιστο σημείο

Βοηθητικοί Ορισμοί ΙΙ

Σημεία σχεδίασης που βρίσκονται στην επιφάνεια περιορισμών gi(x) = 0 ικανοποιούν οριακά τους περιορισμούςΗ επιφάνεια αυτή χωρίζει την περιοχή σχεδίασης σε δύο χώρους

gi(x) < 0 εφικτά και αποδεκτάgi(x) > 0 μη-αποδεκτά

Τελικά, ανάλογα με τη θέση τους στην περιοχή σχεδίασης τα σημεία σχεδίασης μπορεί να είναι •Ελεύθερα και αποδεκτά

•Ελεύθερα και μη-αποδεκτά•Συνοριακά και αποδεκτά•Συνοριακά και μη αποδεκτά

σημεία σχεδίασης

Ένα σημείο σχεδίασης που βρίσκεται σε μία ή περισσότερες τέτοιες επιφάνειες καλείται ενεργός περιορισμό

Ένα σημείο σχεδίασης που δεν βρίσκεται σε επιφάνειες περιορισμών καλείται ελεύθερο σημείο

Περιορισμοί και σημεία σχεδίασης

Αυτά, στη γενική μορφή μη-γραμμικού προγραμματισμού, εκφράζονται ωςΕλαχιστοποίηση της f(x)που υπόκειται στους περιορισμούς gi(x) ≤ 0 i = 1,.......,m και hj(x) = 0 j = 1,......., l

όπου •x=(x1, x2,......., xn)τ διάνυσμα στήλη n-πραγματικών μεταβλητών σχεδίασης•f αντικειμενική συνάρτηση ή συνάρτηση κόστους•g περιορισμοί ανισότητας και •h περιορισμοί ισότητας

Διατύπωση προβλήματος βελτιστοποίησηςΗ πλειοψηφία των μηχανολογικών προβλημάτων αφορούν

στην ελαχιστοποίηση μεγεθών με περιορισμούς

Ελαχιστοποίηση της f(x), x є Ω, όπου Ω = {x: g ≤ 0 , h = 0} και Ω η εφικτή περιοχή

Ή

• Οι ανισοτικοί περιορισμοί συμπεριλαμβάνουν έμμεσα τα ανώτατα και κατώτατα όρια των μεταβλητών σχεδίασης

• Εάν το πρόβλημα δεν έχει περιορισμούς η εφικτή περιοχή είναι όλος ο χώρος x є Rn.

• Η αντικειμενική συνάρτηση και οι περιορισμοί στο γραμμικό προγραμματισμό είναι γραμμικές συναρτήσεις του x

• Η αντικειμενική συνάρτηση στα προβλήματα τετραγωνικού προγραμματισμού είναι τετραγωνική συνάρτηση του x, ενώ οι περιορισμοί είναι γραμμικές συναρτήσεις του x

• Μερικές φορές οι περιορισμοί εκφράζονται σε κανονικοποιημένη μορφή ώστε να εξασφαλιστεί ότι η τιμή τους βρίσκεται στο διάστημα [0,1]. π.χ. εάν η τάση που αναπτύσσεται σε μια δομή πρέπει να είναι μικρότερη από 10000 psi τότε

Παρατηρήσεις

σg 1 010000

βελτιστοποίηση μεγέθους(Size optimization)

Κατηγορίες βελτιστοποίησης

βελτιστοποίηση σχήματος

(Shape optimization)

βελτιστοποίηση τοπολογίας

(Topology optimization)

Ο Lucien Schmit το 1960 ήταν ο πρώτος που αναγνώρισε τη δυνατότητα συνδυασμού τεχνικών βελτιστοποίησης με τη δομική σχεδίαση

•Η συνάρτηση κόστους f, συνήθως, είναι το βάρος της κατασκευής•Οι περιορισμοί gi αφορούν στα όρια τάσης και μετατόπισης•Οι μεταβλητές σχεδίασης μπορούν να είναι

Βελτιστοποίηση μεγέθους

Δικτύωμα: εμβαδόν διατομής ράβδωνΕπίπεδη εντατική κατάσταση ή δομή κελύφους: πάχος κάθε Π.Σ.Διατομή δοκού: Ροπή αδράνειας

Τα προβλήματα αυτά ασχολούνται με τον καθορισμό των συνόρων ενός σώματος, το σχήμα του, το μέγεθος οπών κ.ά.

• Οι συντεταγμένες των κόμβων των Π.Σ μεταβάλλονται επαναληπτικά• Η βασική ιδέα είναι η παραμετροποίηση του πλέγματος (συσχετισμός των

συντεταγμένων των κόμβων του πλέγματος με τις παραμέτρους των Π.Σ.)

Βελτιστοποίηση σχήματος

Βελτιστοποίηση τοπολογίας

Τα προβλήματα αυτά ασχολούνται με την κατανομή του υλικού, τη δημιουργία οπών και το σχηματισμό ή την εξάλειψη στοιχείων της δομής

Οι βασικότερες μέθοδοι βελτιστοποίησης χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες1. Μαθηματικές τεχνικές (ντετερμινιστικές μέθοδοι): Χρησιμοποιούνται

για τον εντοπισμό του ελάχιστου συναρτήσεων αρκετών μεταβλητών με περιορισμούς. Οι μαθηματικές μέθοδοι προέρχονται από τις επιστημονικές περιοχές των οικονομικών μαθηματικών και της επιχειρησιακής έρευνας και ήταν οι πρώτες που εφαρμόστηκαν σε προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού κατασκευών. π.χ. μη-γραμμικός προγραμματισμός, τετραγωνικός προγραμματισμός, SQP, κ.ά.

2. Στοχαστικές μέθοδοι: Χρησιμοποιούνται για την ανάλυση προβλημάτων τυχαίων μεταβλητών με γνωστή κατανομή. Κατηγορία αυτών αποτελούν οι Εξελικτικές ή Δαρβίνειες μεθόδους που είναι τεχνικές βασισμενες σε τυχαίες διαδικασίες δειγματοληψίας που προσομοιώνουν γενετικές διεργασίες και πρότυπα για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης π.χ γενετικοί αλγόριθμοι, μέθοδος simplex, προσμοιούμενη ανόπτηση

3. Στατιστικές μέθοδοι: Χρησιμοποιούνται για την δημιουργία εμπειρικών μοντέλων από πειραματικά στοιχεία ώστε να επιτευχθεί ακριβέστερη αναπαράσταση του φυσικού προβλήματος. Π.χ. Regression analysis

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Βέλτιστη σχεδίαση

Η βέλτιστη σχεδίαση επιτυγχάνεται με μεθόδους που παρέχονται από τα σύγχρονα λογισμικά πακέτα και τα οποία βασίζονται στη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων.

Διαδικασία προσέγγισης βέλτιστου προϊόντος

Τελικά επιτυγχάνονται•Ακριβέστεροι υπολογισμοί•Άμεση αξιολόγηση•Βελτίωση των προϊόντων

Διατυπώνονται αρχικές ιδέες για την πιθανή διάταξη της κατασκευήςΚαθορίζονται•η λειτουργία

•το κόστος της διαδικασίας παραγωγής•το κόστος της προώθησης του προϊόντος

Εξετάζεται και εκτιμάται μεγάλο πλήθος μοντέλωνΣυγκρίνονται

•διάφορα υλικά•μέθοδοι παραγωγής

•γεωμετρικές διατάξεις

Καταγράφονται παραδοχές που μπορεί να αφορούν τις εξωτερικές συνθήκες, την ενδεχόμενη επιπρόσθετη φόρτιση κ.ά.

Πρώτο Στάδιο Βελτιστοποίησης

Τελικά γίνεταιμελέτη και καταγραφή μεγεθών που ενδιαφέρουν το χρήστη για κάθε πιθανή περίπτωση της κατασκευής. (π.χ. βάρος, μέγιστη τιμή της τάσης von Mises)

Local Sensitivity StudyΈλεγχος που καταλήγει στο κατά πόσο η αλλαγή της τιμής μίας παραμέτρου (π.χ. το υλικό του μοντέλου, οι διαστάσεις του κ.τ.λ.) είναι σημαντική για την κατασκευή

• Λαμβάνεται η τιμή μίας παραμέτρου (π.χ. το μήκος του μοντέλου)• Εκτελείται έρευνα για τη συμπεριφορά κάποιων χαρακτηριστικών

μεγεθών για τιμές ±0.5% της ληφθείσας τιμής (π.χ. το βέλος κάμψης, η μέγιστη αναπτυσσόμενη τάση von Mises κ.ά.)

• Κατασκευάζεται ένα διάγραμμα ανάμεσα στην παράμετρο και κάποιο χαρακτηριστικό μέγεθος όπου μία ευθεία γραμμή ενώνει τα 2 σημεία που έχουν προκύψει. Αν η κλίση της ευθείας είναι μεγαλύτερη από 1, τότε η παράμετρος αυτή επηρεάζει σημαντικά τη συμπεριφορά του μοντέλου (δηλ. ότι μία μικρή αλλαγή σε μία παράμετρο ( ±0.5% ) αυξάνει αισθητά κάποιο μέγεθος).

Διαδικασία

Αυτό το στάδιο παρέχει ολοκληρωμένη και ευκρινή εικόνα της κατασκευής αλλάζοντας μία παράμετρο, εφόσον η έρευνα γίνεται για όλο το εύρος των τιμών που μπορεί να πάρει η παράμετρος. Αποτέλεσμα: γράφημα όπου εμφανίζεται ξεκάθαρα η εκάστοτε τιμή για κάποιο μέγεθος, καθώς αλλάζει η τιμή της παραμέτρου.

Global Sensitivity Study

Optimization Study (βελτιστοποίηση): Ορίζονται•η αρχική γεωμετρία του μοντέλου

•ο στόχος•οι περιορισμοί

•οι παράμετροι σχεδίασης

Δεύτερο Στάδιο Βελτιστοποίησης

•Τα αποτελέσματα της Local Sensitivity Study μπορεί να είναι παραπλανητικά, αφού η αλλαγή μίας παραμέτρου δεν είναι πάντα γραμμική σε σχέση με κάποιο μέγεθος.

•Το Global Sensitivity study αποτελεί τον καλύτερο και ασφαλέστερο τρόπο να διασφάλισης ότι οι περιορισμοί είναι λογικό. Συνεπώς, θα εξασφαλιστεί ότι μέσα στα όρια των περιορισμών υπάρχει τουλάχιστον μία λύση.

•Οι παράμετροι σχεδίασης, που καθορίζονται, είναι αυτοί που έχουν εντοπιστεί στο 1ο Στάδιο και επιδρούν σημαντικά στη συμπεριφορά της κατασκευής.

•Ο περιορισμός του αριθμού των παραμέτρων σχεδίασης έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση του χρόνου που απαιτείται προκειμένου να ολοκληρωθεί η έρευνα της βελτιστοποίησης.

Παρατηρήσεις

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

• Ντετερμινιστική: Sequential Quadratic Programming - SQP

• Έρευνας σε πρότυπο: Simplex Method • Έρευνας σε πρότυπο: Hooke & Jeeves • Στοχαστική: Genetic Algorithms• Στοχαστική: Simulated Annealing

Πλεονεκτήματα στοχαστικών αλγορίθμων βελτιστοποίησης έναντι ντετερμινιστικών

• Ανεπηρέαστοι από αρχικές συνθήκες άρα μεγαλύτερες πιθανότητες εύρεσης του απόλυτου βέλτιστου - δεν «παγιδεύονται» σε τοπικά βέλτιστα

• Δεν θέτουν περιορισμούς για τον χώρο λύσεων• Είναι ευσταθείςΜειονεκτήματα στοχαστικών αλγορίθμων βελτιστοποίησης:• Έχουν μικρή ταχύτητα σύγκλισης

Στοχαστικές Μέθοδοι

• Χρησιμοποιούν τυχαίους αριθμούς για να καλύψουν τον χώρο αναζήτησης.

• Δεν είναι αποτελεσματικές μέθοδοι και δεν βασίζονται σε κάποιο μαθηματικό μοντέλο.

Απλούστερη ιδέα στοχαστικής μεθόδου

Έστω ξ=(ξ1,ξ2,…,ξΝ) και ξi τυχαίοι στο διάστημα [-1,1]

Εάν f(x+aξ )< f(x), το σημείο x+aξ γίνεται αποδεκτό.

Επιλέγεται νέο ξ και επαναλαμβάνεται η διαδικασία.

Εάν μετά από αρκετές επαναλήψεις δεν υπάρχει πρόοδος, η τιμή του a μειώνεται και η διαδικασία ξαναρχίζει.

Sequential Quadratic Programming – SQP

Μέθοδος 2ης τάξης για προβλήματα με περιορισμούς3 κύρια βήματα

1. Ανανέωση του Εσσιανού μητρώου των συναρτήσεων Lagrange 2. Επίλυση του προβλήματος τετραγωνικού προγραμματισμού3. Έρευνα γραμμής και υπολογισμός των συναρτήσεων κέρδους

Με δεδομένο το γενικό πρόβλημα, η κεντρική ιδέα είναι η διαμόρφωση ενός τετραγωνικού υποπροβλήματος βασισμένο στην τετραγωνική προσέγγιση των Λαγκρανζιανών συναρτήσεων

λ, Λαγκρανζιανοί συντελεστέςg, περιορισμοί του προβλήματος

1

m

i ii

L(x, λ) f(x) λ.g(x)

Hook & Jeeves

1. Αρχή αναζήτησης από σημείο B (σημείο βάσης)2. Εξερεύνηση γύρω από το σημείο B με βήμα s (0.8).

Εάν η εξερεύνηση δεν είναι επιτυχής s =s*0.5Εάν η εξερεύνηση είναι επιτυχής ορίζεται διεύθυνση έρευνας BP

(xp-xB)3. P είναι το νέο σημείο βάσης B. Το αρχικό σημείο B τίθεται B’.4. Η BB' επεκτείνεται στη διεύθυνση αναζήτησης στο σημείο E ως

(xE=2xB-xB').Εξερεύνηση γύρω από το σημείο E.Εάν η εξερεύνηση δεν είναι επιτυχής, s=s*0.5Εάν η εξερεύνηση είναι επιτυχής ορίζεται διεύθυνση έρευνας BE

(xE-xB)5. Εάν το βήμα s < 1E-08 τερματισμός του αλγορίθμου, αλλιώς

επιστροφή στο βήμα 2.

Μέθοδος μηδενικής τάξεις – Χωρίς παραγώγους

Η μέθοδος SIMPLEX (Πολυτόπου)• Το Πολύτοπο ή SIMPLEX στο χώρο RN, είναι ένα κατασκεύασμα Ν+1

σημείων. • Οι κορυφές του πολύτοπου αντιστοιχούν σε διανύσματα του RN και

συμβολίζονται ώς W0,W1,…,WN. • Στο χώρο των 2 διαστάσεων είναι τρίγωνο, στο χώρο των 3

διαστάσεων είναι τετράεδρο, κοκ.Διαδικασίες και πράξεις SIMPLEX• Δεικτιοδότηση: Αρίθμηση των κορυφών Wi έτσι ώστε fi < f(Wi) < f(Wj) <

fj για i<j• Αντιστροφή: Το σημείο r είναι το αντίστροφο του w ως προς c r = c+(c -

w).• Διάταση: Το σημείο e προκύπτει από την διάταση του r ως προς c e = c

+2(r - c)..• Συρρίκνωση: Το σημείο k προκύπτει από την συρρίκνωση του r ως προς c k = c +(r-c)/2.• Συστολή: Το πολύτοπο συστέλεται πέριξ του W0 Wi =(W0 + Wi )/2 για

i=1,2,…,N

1. Κατασκευή ενός simplex2. Δεικτιοδότηση των κορυφών Wi, i=0,1,…,N3. Γένεση νέου σημείου (μέσω διάτασης, συρρίκνωσης, αντιστροφής ) 3. Η νέα τιμή της συνάρτηση συγκρίνεται με τις τιμές

συνάρτησης των κορυφών του simplex4. Αντικατάσταση της κορυφής του simplex με την υψηλότερη

τιμή α΄πό τη νέα (νέο simplex) 5. Τα βήματα 2-5 επαναλαμβάνονται μέχρι τη σύγκλιση (μέγεθος simplex < ανοχή)

0 0 0 0 0, , X X l X X l X X

Περιγραφή αλγορίθμου SIMPLEX

Προσομοιούμενη Ανόπτηση - Simulated Annealing (SA)

1. Ορισμός μεταβλητών: αρχικής T (1E-01) , ελάχιστης Tmin, Κ αριθμού υπολογισμών συνάρτηση κόστους για σταθερή T (70), μέγιστου αριθμού επιτυχημένων δοκιμών ανά T (30) και μέγιστου αριθμού αποτυχημένων δοκιμών (1000).

2. Υπολογισμός της συνάρτησης κόστους fmin σε αρχικό σημείο3. Ορισμός του μετρητή K=K+1 (counter)

Ανόπτηση: Διαδικασία κατά την οποία ένα μεταλλικό αντικείμενο θερμαίνεται σε μία θερμοκρασία και στη συνέχεια ψύχεται σταδιακά Προσομοιούμενη ανόπτηση: προβλήματα βελτιστοποίησης επιλύονται ακολουθώντας την ίδια διαδικασία της μετάβασης από μία κατάσταση ισορροπίας σε μία άλλη, φτάνοντας έτσι στην ελάχιστη ενέργεια του συστήματος.

Περιγραφή αλγορίθμου SΑ Ι

4. Γένεση νέου, τυχαίου σημείου και υπολογισμός της συνάρτησης κόστους fs.

Εάν fs < fmin fmin = fs

Διαφορετικά εφαρμόζονται Metropolis criteria , ΔΕ= fs – fminΕάν η νέα επιλογή απορριφθεί ένα νέο σημείο επιλέγεται. 5. Έλεγχος σύγκλισης και είτε στο 3 βήμα είτε στο βήμα 76. Εάν K < Kmax επιστροφή στο βήμα 3, αλλιώς στο βήμα 8.7. T=0.8*T8. Έλεγχος σύγκλισης και είτε στο 3 είτε τέλος

ΔΕΤ(ΔΕ)

p e

Περιγραφή αλγορίθμου SΑ ΙΙ

Αρχή λειτουργίας γενετικών αλγορίθμων

• Κωδικοποίηση του χώρου λύσεων σε γονίδια.

• Κατασκευή χρωμοσωμάτων από τα γονίδια.

• Κατασκευή ενός αρχικού πληθυσμού τυχαίων χρωμοσωμάτων.

• Υπολογισμός αντικειμενικής συνάρτησης για όλα τα μέλη του πληθυσμού.

• Επιλογή, επιχιασμός και μετάλλαξη έως ότου δημιουργηθούν αρκετά νέα χρωμοσώματα ώστε να αποτελούν μια νέα γενιά.

• Αντικατάσταση παλιού πληθυσμού από την νέα γενιά και επανάληψη αλγορίθμου.

Διάγραμμα ροής τυπικού γενετικού αλγόριθμου