Παραμετρική αναπαράσταση συνθέτων

καμπυλών

Παραβολικός συνδυασμός Καμπύλες Bezier B-Splines καμπύλες

20 Απρ 2023 1

Παραβολικός συνδυασμός

C t t p r tq s( ) ( ) ( ) ( ) 1 p r r r B( ) 2 1

q s s s D( ) 2 1

20 Απρ 2023 2

A

12

1 3 3 1

2 5 4 1

1 0 1 0

0 2 0 0

3 2( ) 1C t t t t A G T A G

G P P P PT 1 2 3 4

Παραβολικός συνδυασμός

20 Απρ 2023 3

Παράδειγμα παραβολικού συνδυασμού

Ρ1[0 0], Ρ2[1 1], Ρ3[2 -1] και Ρ4[3 0]

C13

12

127

19

13

1

1 3 3 1

2 5 4 1

1 0 1 0

0 2 0 0

0 0

1 1

2 1

3 0

43

49

20 Απρ 2023 4

Καμπύλες Bezier

, ( ) 1n ii

n i

nJ t t t

i

!

! !

n n

i i n i

,0

( ) ( ), 0 1n

i n ii

P t PJ t t

20 Απρ 2023 5

B-Splines Καμπύλες

P t PN t t t t k nii

n

i k( ) ( ), ,, min max

1

1

2 1

1,1

1 ( )

0 i i

i

x t xN t

an

diaj oretika

N t

t x N t

x x

x t N t

x xi ki i k

i k i

i k i k

i k i,

, ,( )( ) ( )

1

1

1 1

1

0 1

+1 1

2 +2 1i

i k

x i k k i n

n k n i n k

an

an

an

20 Απρ 2023 6

Παραδείγματα κομβικών διανυσμάτων

Για μια καμπύλη τρίτης τάξεως (k=3) ορισμένης απο πέντε κορυφές (n=4) η τιμή tmax = n - k + 2 = 4 - 3 + 2 = 3.

Το πλήρες κομβικό διάνυσμα χρησιμοποιώντας πολλαπλότητα 3 σε κάθε άκρο δίνεται απο [0 0 0 1 2 3 3 3].

Μια καμπύλη δεύτερης τάξης (k=2) για το ίδιο πολύγωνο ορισμού έχει ένα κομβικό διάνυσμα [0 0 1 2 3 4 4],

και μια καμπύλη τέταρτης τάξης (k=4) [0 0 0 0 1 2 2 2 2].

Εαν χρησιμοποιηθεί πολύγωνο με 7 κορυφές η καμπύλη τρίτης τάξης έχει κομβικό διάνυσμα [ 0 0 0 1 2 3 4 5 5 5].

20 Απρ 2023 7

Παραδείγματα Β-Spline καμπυλών

20 Απρ 2023 8