Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

62
Αναδρομικοί Αλγόριθμοι Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm) Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος .

description

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι. Αναδρομικός αλγόριθμος ( recursive algorithm). Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπα του ίδιου προβλήματος. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: A A A A A A A. Αναδρομικοί Αλγόριθμοι. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Page 1: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm)

Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπατου ίδιου προβλήματος.

Page 2: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικός αλγόριθμος (recursive algorithm)

Επιλύει ένα πρόβλημα λύνοντας ένα ή περισσότερα στιγμιότυπατου ίδιου προβλήματος.

Παράδειγμα: Υπολογισμός παραγοντικού

int factorial (int N){ if (N==0) return 1; return N*factorial(N-1);}

Page 3: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός παραγοντικού

int factorial (int N){ if (N==0) return 1; return N*factorial(N-1);}

for (t=1, i=1; i<=N; i++){t *= i;

}

αναδρομικό πρόγραμμα μη αναδρομικό πρόγραμμα

Page 4: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός παραγοντικού

int factorial (int N){ if (N==0) return 1; return N*factorial(N-1);}

for (t=1, i=1; i<=N; i++){t *= i;

}

αναδρομικό πρόγραμμα μη αναδρομικό πρόγραμμα

• Κάθε αναδρομικό πρόγραμμα μπορεί να μετατραπεί σε ισοδύναμομη αναδρομικό πρόγραμμα.

• Πολλές φορές όμως η χρήση αναδρομής δίνει πιο σύντομα ή/και πιο

αποδοτικά προγράμματα.

Page 5: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

Page 6: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Page 7: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Αν ο είναι κοινός διαιρέτης των τότε

και , άρα

Page 8: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Αν ο είναι κοινός διαιρέτης των τότε

και , άρα

Αν ο είναι κοινός διαιρέτης των τότε

και , άρα

Page 9: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Επομένως

Page 10: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

int gcd (int x, int y){ if (y==0) return x; return gcd(y, x%y);}

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Page 11: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

gcd(128,40)=

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

int gcd (int x, int y){ if (y==0) return x; return gcd(y, x%y);}

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Παράδειγμα

Page 12: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

gcd(128,40)= gcd(40,8)=

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

int gcd (int x, int y){ if (y==0) return x; return gcd(y, x%y);}

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Παράδειγμα

Page 13: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

gcd(128,40)= gcd(40,8)= gcd(8,0)= 8

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

int gcd (int x, int y){ if (y==0) return x; return gcd(y, x%y);}

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Παράδειγμα

Page 14: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Ιδιότητα: Αν τότε

Page 15: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Ιδιότητα: Αν τότε

Απόδειξη:

Page 16: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Παράδειγμα: Υπολογισμός μέγιστου κοινού διαιρέτη

ακέραιοι όπου

: ο μεγαλύτερος ακέραιος που τους διαιρεί ακριβώς

Αλγόριθμος του Ευκλείδη

Βασίζεται στον κανόνα

όπου είναι θετικοί ακέραιοι

Ιδιότητα: Αν τότε

ο αλγόριθμος του Ευκλείδη είναι αποδοτικός :

απαιτεί επαναλήψεις

Page 17: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

typedef struct node *link;struct node {Item item; link next;};

int count(link x){

if (x == NULL) return 0;return 1 + count(x->next);

}

node :

item

next

μηδενικόςσύνδεσμος (NULL)

Αναδρομική συνάρτηση καταμέτρησης του πλήθους των κόμβων σε μίασυνδεδεμένη λίστα

head

Page 18: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι: Διαίρει και βασίλευε

πρόβλημα μεγέθους Ν

διάσπαση

πρόβλημα μεγέθους Ν-k

πρόβλημα μεγέθους k

Page 19: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι: Διαίρει και βασίλευε

πρόβλημα μεγέθους Ν

διάσπαση

πρόβλημα μεγέθους Ν-k

πρόβλημα μεγέθους k

επιλύουμε αναδρομικά τα

υποπροβλήματα

Page 20: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι: Διαίρει και βασίλευε

πρόβλημα μεγέθους Ν

διάσπαση

πρόβλημα μεγέθους Ν-k

πρόβλημα μεγέθους k

επιλύουμε αναδρομικά τα

υποπροβλήματα

Page 21: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι: Διαίρει και βασίλευε

πρόβλημα μεγέθους Ν

διάσπαση

πρόβλημα μεγέθους Ν-k

πρόβλημα μεγέθους k

επιλύουμε αναδρομικά τα

υποπροβλήματα

Page 22: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι: Διαίρει και βασίλευε

πρόβλημα μεγέθους Ν

πρόβλημα μεγέθους Ν-k

πρόβλημα μεγέθους k

επιλύουμε αναδρομικά τα

υποπροβλήματα

σύνθεση

Page 23: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι: Διαίρει και βασίλευε

πρόβλημα μεγέθους Ν

πρόβλημα μεγέθους Ν-k

πρόβλημα μεγέθους k

επιλύουμε αναδρομικά τα

υποπροβλήματα

σύνθεση

Page 24: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι: Διαίρει και βασίλευε

πρόβλημα μεγέθους Ν

πρόβλημα μεγέθους Ν-k

πρόβλημα μεγέθους k

επιλύουμε αναδρομικά τα

υποπροβλήματα

διάσπαση προβλήματος /σύνθεση λύσεων

Χρόνος εκτέλεσης :

χρόνοςδιάσπασης

χρόνοςσύνθεσης

Page 25: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Απλό πρόβλημα : Εύρεση ελάχιστου στοιχείου ακολουθίας

t = a[0];for (i = 1; i < N; i++) if (a[i] < t) t = a[i];

int min(int a[], int l, int r){

int u, v, m = (l+r)/2;if (l == r) return a[l];u = min(a, l, m);v = min(a, m+1, r);if (u<v) return u;else return v;

}

μη αναδρομικό πρόγραμμααναδρομικό πρόγραμμα«διαίρει και βασίλευε»

Page 26: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

1

Ν

Θέλουμε να μετακινήσουμε τους δίσκους κατά ένα πάσσαλο δεξιά,υπακούοντας στους παρακάτω κανόνες

1) Μετακινούμε ένα δίσκο τη φορά

2) Ένας δίσκος δεν μπορεί να τοποθετηθεί πάνω από μικρότερο δίσκο

Page 27: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

1

Ν

Θέλουμε να μετακινήσουμε τους δίσκους κατά ένα πάσσαλο δεξιά,υπακούοντας στους παρακάτω κανόνες

1) Μετακινούμε ένα δίσκο τη φορά

2) Ένας δίσκος δεν μπορεί να τοποθετηθεί πάνω από μικρότερο δίσκο

Η χρήση αναδρομής μας βοηθά να βρούμε μια κομψή λύση στο πρόβλημα.

Page 28: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

1

Ν

+1 : Μετακίνηση κατά 1 πάσσαλο δεξιά. Επιστρέφουμε στον αριστερότερο πάσσαλο αν ξεκινήσουμε από τον δεξιότερο.

-1 : Μετακίνηση κατά 1 πάσσαλο αριστερά. Επιστρέφουμε στον δεξιότερο πάσσαλο αν ξεκινήσουμε από τον αριστερότερο.

Συμβολισμός

Page 29: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

1

Ν

Ιδέα για αναδρομικό αλγόριθμο

Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε πώς να μετακινήσουμε του πρώτους Ν-1 δίσκουςκατά 1 πάσσαλο δεξιά ή αριστερά.

Page 30: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

1

Ν

Ιδέα για αναδρομικό αλγόριθμο

Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε πώς να μετακινήσουμε του πρώτους Ν-1 δίσκουςκατά 1 πάσσαλο δεξιά ή αριστερά.

1. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.

Page 31: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι Ν

Ιδέα για αναδρομικό αλγόριθμο

Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε πώς να μετακινήσουμε του πρώτους Ν-1 δίσκουςκατά 1 πάσσαλο δεξιά ή αριστερά.

1. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.

1

Ν-1

Page 32: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

Ιδέα για αναδρομικό αλγόριθμο

Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε πώς να μετακινήσουμε του πρώτους Ν-1 δίσκουςκατά 1 πάσσαλο δεξιά ή αριστερά.

1. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.2. Μετακινούμε το δίσκο Ν κατά ένα πάσσαλο δεξιά.

Ν

1

Ν-1

Page 33: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

Ιδέα για αναδρομικό αλγόριθμο

Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε πώς να μετακινήσουμε του πρώτους Ν-1 δίσκουςκατά 1 πάσσαλο δεξιά ή αριστερά.

1. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.2. Μετακινούμε το δίσκο Ν κατά ένα πάσσαλο δεξιά.

1

Ν Ν-1

Page 34: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

Ιδέα για αναδρομικό αλγόριθμο

Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε πώς να μετακινήσουμε του πρώτους Ν-1 δίσκουςκατά 1 πάσσαλο δεξιά ή αριστερά.

1. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.2. Μετακινούμε το δίσκο Ν κατά ένα πάσσαλο δεξιά.3. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.

1

Ν Ν-1

Page 35: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

Ιδέα για αναδρομικό αλγόριθμο

Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε πώς να μετακινήσουμε του πρώτους Ν-1 δίσκουςκατά 1 πάσσαλο δεξιά ή αριστερά.

1. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.2. Μετακινούμε το δίσκο Ν κατά ένα πάσσαλο δεξιά.3. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.

1

Ν

Page 36: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

Ιδέα για αναδρομικό αλγόριθμο

Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε πώς να μετακινήσουμε του πρώτους Ν-1 δίσκουςκατά 1 πάσσαλο δεξιά ή αριστερά.

1. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.2. Μετακινούμε το δίσκο Ν κατά ένα πάσσαλο δεξιά.3. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.

1

Ν

Η μετακίνηση των Ν-1 γίνεται με μαγικό τρόπο!

Page 37: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

Ιδέα για αναδρομικό αλγόριθμο

Ας υποθέσουμε ότι ξέρουμε πώς να μετακινήσουμε του πρώτους Ν-1 δίσκουςκατά 1 πάσσαλο δεξιά ή αριστερά.

1. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.2. Μετακινούμε το δίσκο Ν κατά ένα πάσσαλο δεξιά.3. Μετακινούμε του πρώτους Ν-1 δίσκους κατά 1 πάσσαλο αριστερά.

1

Ν

Η μετακίνηση των Ν-1 γίνεται με μαγικό τρόπο!

αναδρομικά!

Page 38: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1)

Page 39: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1)

Page 40: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1)

Page 41: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1)

Page 42: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1)

Page 43: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1)

Page 44: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1)

Page 45: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1)

Page 46: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1)

Page 47: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1)

Page 48: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1)

Page 49: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1)

Page 50: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1) hanoi(2,-1)

Page 51: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1)

Page 52: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1)

Page 53: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1)

Page 54: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1)

Page 55: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1)

Page 56: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1)

Page 57: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1)

Page 58: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1)

Page 59: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

hanoi(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(3,+1) hanoi(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1) shift(2,-1) hanoi(1,+1) hanoi(0,-1) shift(1,+1) hanoi(0,-1)

Page 60: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

1

Ν

Θέλουμε να μετακινήσουμε τους δίσκους κατά ένα πάσσαλο δεξιά,υπακούοντας στους παρακάτω κανόνες

1) Μετακινούμε ένα δίσκο τη φορά

2) Ένας δίσκος δεν μπορεί να τοποθετηθεί πάνω από μικρότερο δίσκο

Αριθμός κινήσεων :

Page 61: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

1

Ν

Θέλουμε να μετακινήσουμε τους δίσκους κατά ένα πάσσαλο δεξιά,υπακούοντας στους παρακάτω κανόνες

1) Μετακινούμε ένα δίσκο τη φορά

2) Ένας δίσκος δεν μπορεί να τοποθετηθεί πάνω από μικρότερο δίσκο

Αριθμός κινήσεων :

Page 62: Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Αναδρομικοί Αλγόριθμοι

Οι Πύργοι του Ανόι

void hanoi(int N, int d){ if (N==0) return; hanoi(N-1,-d); shift(N,d); hanoi(N-1,-d);}

3 πάσσαλοι και Ν δίσκοι

1

Ν

Θέλουμε να μετακινήσουμε τους δίσκους κατά ένα πάσσαλο δεξιά,υπακούοντας στους παρακάτω κανόνες

1) Μετακινούμε ένα δίσκο τη φορά

2) Ένας δίσκος δεν μπορεί να τοποθετηθεί πάνω από μικρότερο δίσκο

Αριθμός κινήσεων :