Μέρος Β

6.1Copyright © 2005 Brooks/Cole, a division of Thomson Learning, Inc.

Μέρος Β

Πιθανότητες

Κεφάλαια 3, 4 & 5


Τυχαίο Πείραμα…

…ένα τυχαίο πείραμα είναι μία πράξη ή διαδικασία που οδηγεί σε ένα από τα πιθανά ενδεχόμενα. Για Παράδειγμα:

Πείραμα Ενδεχόμενα

Ρίχνουμε ένα νόμισμα Κορώνα, Γράμματα

Αποτελέσματα εξετάσεων

Βαθμοί: 0, 1, 2, ..., 10

Χρόνος συναρμολόγησης t > 0 δευτερόλεπτα

Βαθμοί μαθημάτων (USA)

F, D, C, B, A, A+


Πιθανότητες…

Καταγράφουμε τα ενδεχόμενα του τυχαίου πειράματος …

Αυτή η λίστα θα πρέπει να είναι καθολική (exhaustive), π.χ. ΌΛΑ τα πιθανά ενδεχόμενα περιλαμβάνονται.

Ρίξιμο ζαριού {1,2,3,4,5} Ρίξιμο ζαριού {1,2,3,4,5,6}

Αυτά τα ενδεχόμενα θα πρέπει να είναι αμοιβαία αποκλειόμενα, δηλαδή δεν μπορούν δύο ενδεχόμενα να συμβούν ταυτοχρόνως:

Ρίξιμο ζαριού {μονός ή ζυγός αριθμός}

Ρίξιμο ζαριού{ νούμερο < 4 ή ζυγός αριθμός}


Δειγματικός Χώρος…

Μία λίστα με καθολικά και αμοιβαία αποκλειόμενα καλείται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με S.

Τα ενδεχόμενα συμβολίζονται με O1, O2, …, Ok

Χρησιμοποιώντας σύμβολα από την θεωρία συνόλων, μπορούμε να παριστάνουμε τον δειγματικό χώρο και τα ενδεχόμενα του ως:

S = {O1, O2, …, Ok}


Ιδιότητες Πιθανοτήτων…

Δοθέντος ενός δειγματικού χώρου S = {O1, O2, …, Ok}, οι πιθανότητες οι οποίες αναθέτονται στα ενδεχόμενα πρέπει να ικανοποιούν τις ακόλουθες ιδιότητες:

(1) Η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου είναι μεταξύ 0 και 1

δηλαδή 0 ≤ P(Oi) ≤ 1 για κάθε i, και

(2) Το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων από όλα τα ενδεχόμενα είναι ίσο με 1

δηλαδή P(O1) + P(O2) + … + P(Ok) = 1

P(Oi) παριστάνει την πιθανότητα του ενδεχομένου i


Προσεγγίσεις στην Ανάθεση των Πιθανοτήτων …Υπάρχουν τρεις τρόποι για να αναθέσουμε μία πιθανότητα, P(Oi), σε ένα ενδεχόμενο, Oi, ονομαστικά:

Κλασική προσέγγιση: κάνουμε βασικές υποθέσεις (όπως ισοπίθανα, ανεξάρτητα) σχετικά με μία κατάσταση.

Σχετική συχνότητα: αναθέτοντας πιθανότητες βασισμένοι σε πειράματα ή ιστορικά δεδομένα.

Υποκειμενική προσέγγιση: αναθέτοντας πιθανότητες βασισμένοι στην κρίση κάποιων ειδικών.


Κλασική Προσέγγιση …

Εάν ένα πείραμα έχει n ισοπίθανα ενδεχόμενα, αυτή η μέθοδο θα αναθέσει μία πιθανότητα 1/n στο κάθε ενδεχόμενο.

Πείραμα: Ρίξιμο ζαριού

Δειγματικος Χώρος: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Πιθανότητες: Κάθε σημείο του δείγματος έχει 1/6

πιθανότητα να συμβεί.


Κλασική Προσέγγιση …

Πείραμα : Ρίξιμο ζαριών

Δειγματικος Χώρος: S = {2, 3, …, 12}

Πιθανότητες:

P(2) = 1/36

P(6) = 5/36

P(10) = 3/36

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Ποιες είναι οι βασικές, μη αναφερόμενες,

υποθέσεις;


Προσέγγιση Σχετικής Συχνότητας…Μία εταιρία που πουλάει υπολογιστές καταγράφει των αριθμό των (desktop) υπολογιστών που πωλούνται σε ένα μήνα (30 μέρες):Για παράδειγμα,Σε 10 ημέρες από τις 302 υπολογιστές πουλήθηκαν.

Από αυτό μπορούμε να κατασκευάσουμε τις πιθανότητες ενός ενδεχομένου(δηλαδή των # των υπολογιστών που πουλήθηκαν σε μία συγκεκριμένη μέρα)…

# πουλημένων υπολογιστών σε μία μέρα

Σε πόσες ημέρες

0 1

1 2

2 10

3 12

4 5


Προσέγγιση Σχετικής Συχνότητας…

«Υπάρχει 40% πιθανότητα η εταιρία να πουλήσει 3 υπολογιστές σε μία συγκεκριμένη ημέρα»

# πουλημένων υπολογιστών

σε μία μέραΣε πόσες ημέρες Σχετική συχνότητα

0 1 1/30 = .03

1 2 2/30 = .07

2 10 10/30 = .33

3 12 12/30 = .40

4 5 5/30 = .17

∑ = 1.00


Υποκειμενική προσέγγιση…«Στην υποκειμενική προσέγγιση ορίζουμε ως πιθανότητα τον βαθμό τον οποίο πιστεύουμε ότι ένα ενδεχόμενο θα συμβεί»

Π.χ. Η πρόβλεψη του καιρού όταν βασίζεται σε παλαιά δεδομένα σε συνδυασμό με επίκαιρες καιρικές συνθήκες.

60% – βασισμένοι σε επίκαιρες καιρικές συνθήκες, υπάρχει 60% πιθανότητα να βρέξει.


Ενδεχόμενα και Πιθανότητες…

Ένα ατομικό ενδεχόμενο ενός δειγματικού χώρου καλείται ένα απλό ενδεχόμενο (simple event), ενώ

Ένα ενδεχόμενο (event) είναι η συλλογή ή ένα σύνολο από ένα ή περισσότερα απλά ενδεχόμενα από ένα δειγματικό χώρο.

Ρίχνοντας ένα ζάρι: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Απλό ενδεχόμενο: ο αριθμός «3» θα έρθει

Ενδεχόμενο: ένας ζυγός αριθμός (ένα από τα 2, 4, ή 6) θα έρθει


Ενδεχόμενα και Πιθανότητες…

Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι ένα άθροισμα πιθανοτήτων απλών ενδεχομένων που αποτελούν το ενδεχόμενο.

π.χ. (υποθέτοντας ένα ζάρι) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} και

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6

Τότε:

P(ΖΥΓΟΣ) = P(2) + P(4) + P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2


Ερμηνεύοντας Πιθανότητες …Ένας τρόπος για να ερμηνεύσουμε μία πιθανότητα είναι ο εξής:

Εάν ένα πείραμα επαναλαμβάνεται άπειρες φορές, η σχετική συχνότητα για κάποιο συγκεκριμένο ενδεχόμενο είναι η πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου.

Για παράδειγμα, η πιθανότητα για μία κορώνα όταν ρίχνουμε ένα ισορροπημένο ζάρι είναι 0.5, όπως απορρέει από την κλασική προσέγγιση. Η πιθανότητα ερμηνεύεται ως η μακροχρόνια σχετική συχνότητα των κορωνών εάν ένα νόμισμα ριχθεί άπειρες φορές.


Κοινή, Περιθώρια, Δεσμευμένη, Πιθανότητα…Μελετούμε μεθόδους για να καθορίσουμε πιθανότητες ενδεχομένων που απορρέουν από συνδυασμό άλλων ενδεχομένων με ποικίλους τρόπους.

Υπάρχουν αρκετά είδη συνδυασμών και σχέσεων ανάμεσα σε ενδεχόμενα: •Το συμπληρωματικό ενός ενδεχομένου•Η τομή δύο ενδεχομένων •Η ένωση δύο ενδεχομένων


Παράδειγμα 3.1…Γιατί κάποιοι διαχειριστές αμοιβαίων κεφαλαίων είναι ποιο πετυχημένοι από άλλους; Ένας πιθανός παράγοντας είναι από ποιο πρόγραμμα MBA αποφοίτησε. Ο ακόλουθος πίνακας συγκρίνει την απόδοση των αμοιβαίων κεφαλαίων σε σχέση ως προς την ταξινόμηση του προγράμματος MBA από το οποίο αποφοίτησε ο διαχειριστής των κεφαλαίων:

Το αμοιβαίο κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά

Το αμοιβαίο κεφάλαιο δεν υπέρ-αποδίδει στην

αγορά

Τα καλύτερα 20 MBA .11 .29

Όχι μέσα στα 20 καλύτερα MBA προγράμματα

.06 .54

Π.χ. Αυτή είναι η πιθανότητα ότι το αμοιβαίο κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει ΚΑΙ ο διαχειριστής αποφοίτησε σε ένα από τα καλύτερα (top-20) MBA προγράμματα. Αυτή είναι κοινή πιθανότητα.


Παράδειγμα 3.1…

Εναλλακτικά, μπορούμε να παριστάνουμε συμβολισμό για συντομογραφία για να παριστάνουμε τα ενδεχόμενα: A1 = Ο διαχειριστής κεφαλαίου αποφοίτησε σε ένα από τα 20 καλύτερα MBA προγράμματα

A2 = Ο διαχειριστής κεφαλαίου δεν αποφοίτησε σε ένα από τα 20 καλύτερα MBA προγράμ. B1 = Το αμοιβαίο κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά

B2 = Το αμοιβαίο κεφάλαιο δεν υπέρ-αποδίδει στην αγορά

B1 B2

A1.11 .29

A2.06 .54

Π.χ. P(A2 και B1) = .06= η πιθανότητα ένα κεφάλαιο να υπέρ-αποδίδει στην αγοράκαι ο διαχειριστής δεν είναι από τα 20 κορυφαία προγράμματα.


Περιθώριες Πιθανότητες …Οι περιθώριες πιθανότητες (marginal probabilities) υπολογίζονται προσθέτοντας τις γραμμές οριζόντιος και τις στήλες καθέτως. Δηλαδή υπολογίζονται στα περιθώρια του πίνακα:

B1 B2 P(Ai)

A1.11 .29 .40

A2.06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

P(B1) = .11 + .06

P(A2) = .06 + .54

«ποια είναι η πιθανότητα ένα κεφάλαιο Να υπέρ-αποδίδει στην αγορά;»

«Ποια είναι η πιθανότητα ένας διαχειριστής κεφαλαίων Να μην είναι από κορυφαίο πρόγραμμα;»

Και τα ΔΥΟ περιθώρια πρέπει να αθροίζουν στην μονάδα (χρήσιμο για επαλήθευση)


Δεσμευμένη Πιθανότητα …

Δεσμευμένη πιθανότητα (conditional probability) χρησιμοποιείται για να καθορίσουμε πως δύο ενδεχόμενα συσχετίζονται, Δηλαδή, μπορούμε να καθορίσουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου δοθέντος το συμβάν ενός συσχετιζόμενου ενδεχομένου.

Οι δεσμευμένες πιθανότητες γράφονται ως P(A | B) και διαβάζονται ως «η πιθανότητα του A δοθέντος B» και υπολογίζεται ως:

και



Ξανά, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου δοθέντος ότι ένα άλλο ενδεχόμενο έχει συμβεί καλείται δεσμευμένη πιθανότητα …

Σημειώστε πως «A δοθέντος B» και «Β δοθέντος Α» είναι συσχετιζόμενα …



Παράδειγμα 3.2 • Στο παράδειγμα 3.1, ποια είναι η πιθανότητα ότι ένα κεφάλαιο θα υπέρ-αποδώσει στην αγορά δοθέντος ότι ο διαχειριστής αποφοίτησε από κορυφαίο πρόγραμμα;

Θυμηθείτε:

A1 = Ο διαχειριστής κεφαλαίου αποφοίτησε σε ένα από τα 20 καλύτερα MBA προγράμματα

A2 = Ο διαχειριστής κεφαλαίου δεν αποφοίτησε σε ένα από τα 20 καλύτερα MBA προγράμ. B1 = Το αμοιβαίο κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά

B2 = Το αμοιβαίο κεφάλαιο δεν υπέρ-αποδίδει στην αγορά

Έτσι, θέλουμε να βρούμε «ποια είναι η P(B1 | A1) ;»



Θέλουμε να υπολογίσουμε P(B1 | A1)

Έτσι, υπάρχει 27.5% πιθανότητα ότι το κεφάλαιο να υπέρ-αποδώσει στην αγορά δοθέντος ότι ο διαχειριστής αποφοίτησε από κορυφαίο πρόγραμμα.

B1 B2 P(Ai)

A1.11 .29 .40

A2.06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00


Ανεξαρτησία …Ένας από τους στόχους υπολογισμού της δεσμευμένης πιθανότητας είναι να καθορίσουμε εάν δύο ενδεχόμενα συσχετίζονται.

Ποιο συγκεκριμένα, θα θέλαμε να γνωρίζουμε εάν είναι ανεξάρτητα. Δηλαδή, εάν η πιθανότητα ενός ενδεχομένου δεν επηρεάζεται από το συμβάν ενός άλλου ενδεχομένου.

Δύο ενδεχόμενα A και B καλούνται ανεξάρτητα (independent) εάν

P(A|B) = P(A)

ή

P(B|A) = P(B)


Ανεξαρτησία … Για παράδειγμα, είδαμε ότι

P(B1 | A1) = .275

Η περιθώρια πιθανότητα για B1 είναι: P(B1) = 0.17

Αφού P(B1|A1) ≠ P(B1), B1 και A1 δεν είναι ανεξάρτητα ενδεχόμενα.

Με αλλά λόγια, είναι εξαρτημένα. Δηλαδή, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου (B1) επηρεάζεται από το συμβάν ενός άλλου ενδεχομένου (A1).


Ένωση …

Η ένωση δύο ενδεχομένων είναι το ενδεχόμενο που συμβαίνει όταν ένα από τα δύο ενδεχόμενα ή και τα δυο συμβούν. Παριστάνεται ως:

A ή B

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την έννοια για να απαντήσουμε ερωτήσεις όπως:

Καθορίστε την πιθανότητα ότι ένα κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά ή ένας διαχειριστής που αποφοίτησε από κορυφαίο σχολείο.


Ένωση … Καθορίστε την πιθανότητα ότι ένα κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά (B1) ή ένας διαχειριστής που αποφοίτησε από κορυφαίο σχολείο (A1).

B1 B2 P(Ai)

A1.11 .29 .40

A2.06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

A1 ή B1 συμβαίνει όταν:

A1 και B1 συμβαίνει, A1 και B2 συμβαίνει, ή A2 και B1 συμβαίνει …

P(A1 ή B1) = .11 + .06 + .29 = .46


Ένωση …Καθορίστε την πιθανότητα ότι ένα κεφάλαιο υπέρ-αποδίδει στην αγορά (B1) ή ένας διαχειριστής που αποφοίτησε από κορυφαίο σχολείο (A1).

B1 B2 P(Ai)

A1.11 .29 .40

A2.06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

P(A1 ή B1) = .11 + .06 + .29 = .46

B1

A1


B1 B2 P(Ai)

A1.11 .29 .40

A2.06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

B1

A1

Εναλλακτικά …

Παίρνουμε100% και αφαιρούμε «όταν δεν συμβαίνει A1 ή B1»;

Π.χ. τα A2 και B2

P(A1 ή B1) = 1 – P(A2 και B2) = 1 – .54 = .46


Κανόνες και Δέντρα Πιθανοτήτων …Εισάγουμε τρεις κανόνες που μας καθιστούν ικανούς να υπολογίσουμε πιθανότητες πιο πολύπλοκων ενδεχομένων από τις πιθανότητες πιο απλών ενδεχομένων …

Ο Συμπληρωματικός Κανόνας (Complement Rule)

Ο Πολλαπλασιαστικός Κανόνας (Multiplication Rule)

Ο Αθροιστικός Κανόνας (Additional Rule)


Ο Συμπληρωματικός Κανόνας …

Το συμπληρωματικό ενός ενδεχομένου A είναι το ενδεχόμενο που συμβαίνει όταν το A δεν συμβαίνει.

Ό συμπληρωματικός κανόνας μας δίνει την πιθανότητα ενός ενδεχομένου όταν ΔΕΝ συμβαίνει. Δηλαδή:

P(AC) = 1 – P(A)

Για παράδειγμα, όταν ρίχνουμε ένα ζάρι, η πιθανότητα να πάρουμε «1» είναι 1/6. Η πιθανότητα ότι κάποιος αριθμός εκτός του «1» θα συμβεί είναι 1 – 1/6 = 5/6.


Ο Πολλαπλασιαστικός Κανόνας …Ο πολλαπλασιαστικός κανόνας χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό κοινών πιθανοτήτων (joint probabilities) δύο ενδεχομένων. Βασιζόμαστε στον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας που ορίστηκε προηγμένως:

Εάν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης με P(B) έχουμε:

P(A και B) = P(A | B)•P(B)

Όμοια παίρνουμε, P(A και B) = P(B | A) • P(A)

Εάν A και B είναι ανεξάρτητα, τότε P(A και B) = P(A)•P(B)


Παράδειγμα 3.2 …Ένα μεταπτυχιακό μάθημα στατιστικής έχει επτά φοιτητές και τρεις φοιτήτριες. Η καθηγήτρια θέλει να επιλέξει δύο άτομα τυχαία για να την βοηθήσουν στην εκτέλεση ενός ερευνητικού προγράμματος. Ποια είναι η πιθανότητα ότι και τα δυο άτομα είναι κοπέλες;

Υποθέτουμε ότι με A παριστάνουμε το ενδεχόμενο ότι το πρώτο άτομο είναι κοπέλα

P(A) = 3/10 = .30

Τι γίνεται με το δεύτερο άτομο;


Παράδειγμα 3.2 …

Υποθέτουμε ότι με Β παριστάνουμε το ενδεχόμενο ότι το δεύτερο άτομο είναι κοπέλα

P(B | A) = 2/9 = .22

Δηλαδή, η πιθανότητα να επιλέξουμε μία κοπέλα δοθέντος ότι το πρώτο άτομο που επιλέχθηκε είναι κοπέλα είναι

2 (κοπέλες) / 9 (απομένοντα άτομα ) = 2/9


Παράδειγμα 3.2 … Ένα μεταπτυχιακό μάθημα στατιστικής έχει επτά φοιτητές και τρεις φοιτήτριες. Η καθηγήτρια θέλει να επιλέξει δύο άτομα τυχαία για να την βοηθήσουν στην εκτέλεση ενός ερευνητικού προγράμματος. Ποια είναι η πιθανότητα ότι και τα δυο άτομα είναι κοπέλες;

Έτσι θέλουμε να απαντήσουμε την ερώτηση: Βρείτε την P(A και B) ;

P(A και B) = P(A)•P(B|A) = (3/10)(2/9) = 6/90 = .067

«Υπάρχει 6.7% πιθανότητα η καθηγήτρια να επιλέξει δύο κοπέλες από την μεταπτυχιακή τάξη των 10.»


Παράδειγμα 3.3 … Η καθηγήτρια στο Παράδειγμα 3.2 δεν είναι διαθέσιμη. Ένας αντικαταστάτης θα διδάξει δύο μαθήματα. Το στυλ του είναι να επιλέγει τυχαία έναν φοιτητή τυχαία στην τάξη σε κάθε μάθημα. Ποια είναι η πιθανότητα ότι και στα δύο μαθήματα θα επιλεχθούν κοπέλες;

Υποθέτουμε ότι με A παριστάνουμε το ενδεχόμενο ότι το πρώτο άτομο είναι κοπέλα

P(A) = 3/10 = .30

Τι γίνεται με το δεύτερο άτομο;



Υποθέτουμε ότι με Β παριστάνουμε το ενδεχόμενο ότι το δεύτερο άτομο είναι κοπέλα. Αφού το ίδιο άτομο από το πρώτο μάθημα μπορεί να επιλεχθεί και για το δεύτερο μάθημα

P(B | A) = P(B) = 3/10 = .30



Ποια είναι η πιθανότητα ότι και τα δυο άτομα είναι κοπέλες;

Έτσι θέλουμε να απαντήσουμε την ερώτηση: Βρείτε την P(A και B) ;

P(A και B) = P(A)•P(B) = (3/10)(3/10) = 9/100 = .09

«Υπάρχει 9% πιθανότητα ο αντικαταστάτης της καθηγήτριας να επιλέξει δύο κοπέλες στα δυο του μαθήματα.»


Προσθετικός Κανόνας…

Θυμηθείτε: ο προσθετικός κανόνας που εισήχθη νωρίτερα μας δίνει ένα τρόπο να υπολογίζουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου A ή B ή και τα δύο A και B συμβαίνουν; π.χ. η ένωση του Α και B.

P(A ή B) = P(A) + P(B) – P(A και B)

Γιατί αφαιρούμε την κοινή πιθανότητα P(A και B) από το άθροισμα της πιθανότητας A και B;

P(A ή B) = P(A) + P(B) – P(A and B)


Προσθετικός Κανόνας…P(A1) = .11 + .29 = .40

P(B1) = .11 + .06 = .17

Προσθέτοντας P(A) και P(B), προσθέτουμε την P(A και B) δύο φορές. Για να επανορθώσουμε αφαιρούμε την P(A και B) από P(A) + P(B)

B1 B2 P(Ai)

A1.11 .29 .40

A2.06 .54 .60

P(Bj) .17 .83 1.00

P(A1 ή B1) = P(A) + P(B) –P(A και B) .40 + .17 - .11 = .46

B1

A1


Προσθετικός Κανόνας για Αμοιβαία Αποκλειόμενα Ενδεχόμενα

Εάν A και B είναι αμοιβαία αποκλειόμενα (mutually exclusive), το συμβάν του ενός ενδεχομένου κάνει την ταυτόχρονη ύπαρξη του άλλου αδύνατη. Αυτό σημαίνει ότι

P(A και B) = 0

Ο προσθετικός κανόνας για αμοιβαία αποκλειόμενα ενδεχόμενα είναι

P(A ή B) = P(A) + P(B)

Συχνά χρησιμοποιούμε αυτή την μορφή όταν προσθέτουμε κάποιες κοινές πιθανότητες υπολογισμένες από ένα δέντρο πιθανοτήτων


Παράδειγμα 3.4 … Σε μία μεγάλη πόλη, δύο εφημερίδες δημοσιεύονται, η Sun και η Post. Το τμήμα για την κυκλοφορία των εφημερίδων αναφέρει ότι 22% των νοικοκυριών έχει συνδρομή με την Sun και 35% με την Post. Μία έρευνα δείχνει ότι 6% των νοικοκυριών έχει συνδρομή και με τις δύο εφημερίδες. Τι αναλογία των νοικοκυριών της πόλης έχει συνδρομή στην Sun ή στην Post;

Δηλαδή, ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξουμε ένα νοικοκυριό τυχαία που έχει συνδρομή στην Sun ή στην Post η και στις δύο;

π.χ. βρείτε την P(Sun ή Post) ?


Παράδειγμα 3.4 … Σε μία μεγάλη πόλη, δύο εφημερίδες δημοσιεύονται, η Sun και η Post. Το τμήμα για την κυκλοφορία των εφημερίδων αναφέρει ότι 22% των νοικοκυριών έχει συνδρομή με την Sun και 35% με την Post. Μία έρευνα δείχνει ότι 6% των νοικοκυριών έχει συνδρομή και με τις δύο εφημερίδες. Τι αναλογία των νοικοκυριών της πόλης έχει συνδρομή στην Sun ή στην Post;

P(Sun ή Post) = P(Sun) + P(Post) – P(Sun και Post)

= .22 + .35 – .06 = .51

«Υπάρχει 51% πιθανότητα ότι ένα τυχαίο νοικοκυριό έχει συνδρομή στην Sun ή στην Post ή και στις δύο»


Δέντρα Πιθανοτήτων…Ένα δέντρο πιθανότητας είναι μία απλή και αποτελεσματική μέθοδο που εφαρμόζει κανόνες πιθανοτήτων παριστάνοντας ενδεχόμενα σε ένα πείραμα με γραμμές. Το τελικό σχήμα μοιάζει με ένα δέντρο.: Θυμηθείτε το παράδειγμα 3.2

Πρώτη Επιλογή Δεύτερη Επιλογή

P(K) = 3/10

P( A) = 7/10P(K|A) = 3/9

P(K|K) = 2/9

P( A|A) = 6/9

P( A|K) = 7/9

Αυτό είναι P(K), η πιθανότητα να επιλέξουμε μία κοπέλα από την τάξη πρώτα

Αυτό είναι P(K|K), η πιθανότητα να επιλέξουμε μία κοπέλα και την δεύτερη φορά, δοθέντος ότι μία κοπέλα έχει ήδη επιλεχθεί


Δέντρα Πιθανοτήτων…

Στo τέλος των «κλαδιών», υπολογίζουμε κοινές πιθανότητες ως το προϊόν ατομικών πιθανοτήτων από τα προηγούμενα κλαδιά.

Πρώτη επιλογή Δεύτερη επιλογή

P(K) = 3/10

P( A) = 7/10P(K|A) = 3/9

P(K|K) = 2/9

P( A|A) = 6/9

P( A|K) = 7/9

P(KK)=(3/10)(2/9)

P(KA)=(3/10)(7/9)

P(AK)=(7/10)(3/9)

P(AA)=(7/10)(6/9)

Κοινές πιθανότητες



Στο παράδειγμα 3.3 το δέντρο και οι κοινές πιθανότητες έχουν ως εξής:

KK

AK

AA

KAP(K) = 3/10

P( A) = 7/10 P(K|A) = 3/10

P(K|K) = 3/10

P( A|A) =7/10

P( A|K) = 7/10

P(KK)=(3/10)(3/10)

P(KA)=(3/10)(7/10)

P(AK)=(7/10)(3/10)

P(AA)=(7/10)(7/10)


3/9 + 6/9= 9/9 = 1

2/9 + 7/9= 9/9 = 1

3/10 + 7/10= 10/10 = 1


Οι πιθανότητες που συνδέονται με κάθε σύνολο κλαδιών από τον ένα «κόμβο» πρέπει να αθροίζουν στην 1.00…

Πρώτη επιλογή Δεύτερη επιλογή

P(K) = 3/10

P( A) = 7/10P(K|A) = 3/9

P(K|K) = 2/9

P( A|A) = 6/9

P( A|K) = 7/9

Χρήσιμος τρόπος για επαλήθευση.



Σημειώστε: δεν υπάρχει περιορισμός ότι τα κλαδιά είναι μόνο δύο σε ένα κόμβο, ούτε ότι το δέντρο έχει μόνο δύο επίπεδα, ούτε ότι ο ίδιος αριθμός κλαδιών υπάρχει σε κάθε υπό-κόμβο…


Παράδειγμα 3.5 …Οι απόφοιτοι της νομικής πρέπει να περάσουν ένα τεστ. Υποθέστε ότι το ποσοστό των επιτυχόντων που παίρνουνε το τεστ την πρώτη φορά είναι 72%. Μπορούνε να ξαναπάρουνε το τεστ αν αποτύχουν και 88% περνάνε με την δεύτερη προσπάθεια. Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένας τυχαίος απόφοιτος θα περάσει το τεστ;

P(Επιτυχία) = .72

P(Αποτυχία και Επιτυχία)=(.28)(.88)=.2464

P(Αποτυχία και Αποτυχία) = (.28)(.12) = .0336

Πρώτο τεστ


P( Αποτυχία) = .28

Δεύτερο τεστ

P(Επιτυχία|Αποτυχία) = .88

P( Αποτυχία|Αποτυχία) = .12


Παράδειγμα 3.5 …Ποια είναι η πιθανότητα ότι ένας τυχαίος απόφοιτος θα περάσει το τεστ;

«Υπάρχει 97% πιθανότητα ότι θα περάσει το τεστ»

P(Επιτυχία) = P(Επιτυχία 1η) + P(Αποτυχία 1η και Επιτυχία 2η) =

= 0.7200 + 0.2464 = .9664P(Επιτυχία) = .72

P(Αποτυχία και Επιτυχία)=(.28)(.88)=.2464

P(Αποτυχία και Αποτυχία) = (.28)(.12) = .0336

10 Τεστ


P( Αποτυχία) = .28

20 Τεστ

P(Επιτυχία|Αποτυχία) = .88

P( Αποτυχία|Αποτυχία) = .12


Ο κανόνας του Bayes …

Ο κανόνας του Bayes ονομάστηκε από τον Thomas Bayes, ενός μαθηματικού του 18ου αιώνα.

Στην πιο βασική του μορφή, εάν γνωρίζουμε την P(B | A),

Μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του Bayes για να καθορίσουμε την P(A | B)

P(B|A) P(A|B)

Για παράδειγμά …


Παράδειγμα 3.6 – Να Πληρώσει $500; Μία έρευνα με MBA φοιτητές αποκαλύπτει ότι ανάμεσα σε αυτούς τους φοιτητές που πήραν το GMAT τεστ και πέτυχαν πάνω από 650, το 52% πήραν ένα προπαρασκευαστικό μάθημα, ενώ ανάμεσα σε αυτούς τους φοιτητές που πέτυχαν κάτω από 650 μόνο 23% πήραν ένα προπαρασκευαστικό μάθημα.

Ένας υποψήφιος για ένα MBA πρόγραμμα χρειάζεται να πετύχει πάνω από 650 για να περάσει στο MBA πρόγραμμα, αλλά αισθάνεται ότι η πιθανότητα να πετύχει αυτό το σκορ είναι αρκετά μικρή: 10%. Σκέπτεται να παρακολουθήσει ένα προπαρασκευαστικό μάθημα που κοστίζει $500. Επιθυμεί να ξοδέψει αυτό το ποσό μόνο αν η πιθανότητα να πετύχει 650 και πάνω διπλασιαστεί. Τι θα πρέπει να κάνει;


Παράδειγμα 3.6–(Εκφράζοντας με Σύμβολα)

Συμβολίζουμε με: A = GMAT σκορ πάνω από 650,

έτσι AC = GMAT σκορ κάτω από 650

Ο φοιτητής έχει 10% πιθανότητα να πετύχει από 650 και πάνω (χωρίς προπαρασκευαστικό μάθημα), δηλαδή:

P(A) = .10

(και ακολουθεί ότι P(AC) = 1 – .10 = .90)


Παράδειγμα 3.6–(Εκφράζοντας με Σύμβολα) Με B παριστάνουμε το ενδεχόμενο «παίρνει το προπαρασκευαστικό μάθημα» και έτσι, BC είναι «δεν παίρνει το προπαρασκευαστικό μάθημα»

Από πληροφορίες της έρευνας, μας ενημέρωσαν ότι από αυτούς τους φοιτητές που πέτυχαν πάνω από 650 στο GMAT, το 52% παρακολούθησε το προπαρασκευαστικό μάθημα, δηλαδή:

P(B | A) = .52(Η πιθανότητα να βρούμε τυχαία έναν φοιτητή που πήρε το προπαρασκευαστικό μάθημα δοθέντος ότι πέτυχε πάνω από 650…)

Αλλά ο φοιτητής θέλει να γνωρίζει την P(A | B), δηλαδή, ποια είναι η πιθανότητα να πάρει πάνω από 650 δοθέντος ότι παίρνει το προπαρασκευαστικό μάθημα; Εάν η πιθανότητα είναι > 20%, θα ξοδέψει $500 για να πάρει το προπαρασκευαστικό μάθημα


Παράδειγμα 3.6 – Συνέχεια …

Προσπαθούμε να καθορίσουμε την P(A | B), ίσως ο ορισμός της δεσμευμένης πιθανότητας που συναντήσαμε νωρίτερα να μας βοηθήσει …

Θέλουμε να βρούμε την P(A και B) και δεν ξέρουμε την P(B).

Ίσως εάν κατασκευάσουμε ένα δέντρο πιθανοτήτων …



Για να πάμε από την

P(B | A) = 0.52 στην P(A | B) = ??

Χρειάζεται να εφαρμόσουμε τον κανόνα του Bayes. Γραφικά:

Σκορ ≥ 650 Προπαρασ. Τεστ

A .10

AC .90

B|A .52

BC|A .48

B|AC .23

BC|AC .77

A και B 0.052

A και BC 0.048

AC και B 0.207

AC και BC 0.693

Περιθώρια ΠιθανότηταP(B) = P(A και B) +P(AC και B) = .259



Έτσι,

Η πιθανότητα να πάρει από 650 και πάνω αυξάνει σε 20.1% (διπλασιάζεται) όταν το προπαρασκευαστικό μάθημα παίρνεται.


Ο Τύπος του Κανόνα του Bayes

( | ) ( )( | )

( | ) ( ) ( | ) ( )c c

P B A P AP A B

P B A P A P B A P A

ή όπως στο βιβλίο D & C στην σελίδα 126

( | ) ( )( | )

( | ) ( ) ( | ) ( )c c

P A B P BP B A

P A B P B P A B P B


Bayesian Ορολογία …

Οι πιθανότητες P(A) και P(AC) καλούνται εκ των προτέρων (prior) πιθανότητες αφού καθορίζονται πριν από τη απόφαση σχετικά με το αν θα πάρουν το προπαρασκευαστικό μάθημα.

Η δεσμευμένη πιθανότητα P(A | B) καλείται εκ των υστέρων (posterior) πιθανότητα, αφού η εκ των προτέρων πιθανότητα επανεξετάζεται μετά την απόφαση σχετικά με το αν το προπαρασκευαστικό μάθημα θα παρθεί.

Μέρος Β

Documents

Transcript of Μέρος Β