Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Συστήματα...

TTομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας – ΤΑΤΜ - ΑΠΘ

A. A. ΔερμάνηςΔερμάνης Συστήματα αναφοράς και χρόνουΣυστήματα αναφοράς και χρόνου

ΣΣ υυ σσ ττ ήή μμ αα ττ αα αα νν αα φφ οο ρρ άά ςςκκ αα ιι χχ ρρ όό νν οο υυ

Συστήματα αναφοράς Συστήματα αναφοράς για την περιστρεφόμενη γηγια την περιστρεφόμενη γη

77



Μετάπτωση-κλόνιση, ημερήσια περιστροφή και κίνηση του πόλου

Περιστροφή της γης - πρώτη εντύπωση:

ημερήσια περιστροφή, γύρω από έναν φαινομενικά σταθερό άξονα περιστροφής με φαινομενικά σταθερή γωνιακή ταχύτητα.






Περιστροφή της γης - πραγματικότητα:

(1) Μετάπτωση - κλόνιση (precession-nutation): κίνηση του άξονα περιστροφής ως προς το αστρικό στερέωμα.






Θέση του βόρειου ουράνιου πόλου :

Ίππαρχος (190-125 π.Χ.): 12 24 από τον πολικό αστέρα Ιανουάριος 2003: 43 (πλησιάζει προς τον πολικό)

2102: 27 (μετά θα αρχίσει να απομακρύνεται)

Περιστροφή της γης - πραγματικότητα:





Περιστροφή της γης πραγματικότητα: κίνηση του άξονα περιστροφής ως προς το αστρικό στερέωμα.

μετάπτωση (precession)

o άξονας περιστροφής διαγράφει πολύ αργά έναν κώνο, με άξονα κάθετο στην εκλειπτική (επίπεδο της τροχιάς της γης), γωνιακό άνοιγμα περίπου 23 27 και περίοδο περιστροφής περίπου 25800 χρόνια.




κλόνιση (nutation)

πρόσθετες περιοδικές μικρές αποκλίσειςκυριότερος όρος: διαγραφή πεπλατυσμένου κώνου με άξονα τη θέση λόγω μετάπτωσηςημιάξονες της ελλειπτικής κάθετης τομής: 9.21 και 6.86περίοδος: 18.6 έτη (κατά την οποία η κίνηση λόγω μετάπτωσης είναι 15.6 )

μετάπτωση (precession)

o άξονας περιστροφής διαγράφει πολύ αργά έναν κώνο, με άξονα κάθετο στην εκλειπτική (επίπεδο της τροχιάς της γης), γωνιακό άνοιγμα περίπου 23 27 και περίοδο περιστροφής περίπου 25800 χρόνια.

Περιστροφή της γης πραγματικότητα: κίνηση του άξονα περιστροφής ως προς το αστρικό στερέωμα.



εκλειπτική 2000 εκλειπτική εποχή t


Η εκλειπτική δεν παραμένει σταθερή:

μεταβάλει τη θέση της λόγω της επίδρασης της μεταβαλλόμενης έλξης των πλανητών πάνω στη γη.Η θέση σε κάθε εποχή μεταβάλλεται σε σχέση με την θέση αναφοράς (θέση το 2000)

Η τομή της νέας θέσης με τη θέση αναφοράς μεταβάλλεται περίπου κατά -870 ανά αιώνα

Η γωνία κλίσης της νέας θέσης ως προς τη θέση αναφοράς μεταβάλλεται περίπου κατά 47 ανά αιώνα.

870 / αιώνα47 / αιώνα




Αίτιο μετάπτωσης - κλόνισης: ροπές που ασκούνται στο ισημερινό εξόγκωμα της γης λόγω της έλξης της σελήνης (κυρίως) και του ήλιου.





Η δύναμη είναι μεγαλύτερη στοπλησιέστερο προς τη σελήνη τμήματου ισημερινού εξογκώματος f1 > f2

1f

2f






o μέσος όρος fm = ½ ( f1 + f2 ) συμμετέχει μόνο στην μεταθετική κίνηση του κέντρου μάζας

mf

1f

2f






o μέσος όρος fm = ½ ( f1 + f2 ) συμμετέχει μόνο στην μεταθετική κίνηση του κέντρου μάζας

Οι διαφορές f1fm και f2fm από τον μέσο όρο fm

προκαλούν ροπή γύρω από άξονα πάνω στον ισημερινό και κάθετο στην κατεύθυνση γης-σελήνης

mf

1 mf f

2 mf f

1f

2f




Μέγεθος μετάπτωσης - κλόνισηςσχετικά μεγέθη (γωνίες = αποστάσεις πάνω στην επιφάνεια της γης, όπου 1 ~ 30 m)

Για σύγκριση:

μεταβολή αδρανειακής θέσης σημείoυ στον ισημερινό λόγω της ημερήσιας περιστροφής: 465 m/sec,

ή 46.5 cm σε 1 msec [1 msec = χρόνος μετάβασης σήματος από χαμηλό δορυφόρο (ύψος 300 km) στη γη].

Mετατόπιση του άξονα λόγω κλόνισης: ημερήσια 0.0014 (~ 4 cm στην επιφάνεια της γης)1/100 της μετάπτωσης

Mετατόπιση του άξονα λόγω μετάπτωσης:ετήσια 20 ημερήσια 0.14 (~ 4 m στην επιφάνεια της γης).




Περιστροφή της γης πρώτη εντύπωση: ημερήσια περιστροφή, γύρω από έναν φαινομενικά σταθερό άξονα περιστροφής με φαινομενικά σταθερή γωνιακή ταχύτητα.

Περιστροφή της γης πραγματικότητα:


(2) Κίνηση του πόλου (polar motion): κίνηση του άξονα περιστροφής ως προς τη γη.







Mεταβολή του άξονα περιστροφής σε σχέση με τη γη κατά τρόπο απρόβλεπτο

(διαγράφει σε γενικές γραμμές ένα κύκλο με μεταβλητή ακτίνα της τάξης των 6 m και περίοδο περίπου 14 μηνών (περίοδος Chandler = 430 ημέρες).

Kίνηση άξονα ως προς τη γη = φαινομενική.

Στην πραγματικότητα μετακινείται η (περιστρεφόμενη) γη σε σχέση με τη θέση που έχει ο άξονας λόγω μετάπτωσης και κλόνισης

(2) Κίνηση του πόλου (polar motion): κίνηση του άξονα περιστροφής ως προς τη γη.



Η κίνηση του πόλου (1997 – 2003)




Η κίνηση του πόλου (1997 – 2003)


3 m

6 m







(2) Κίνηση του πόλου (polar motion): κίνηση του άξονα περιστροφής ως προς τη γη..

(3) Mεταβολή της διάρκειας της ημέρας (length of the day variation): μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της γης.




Η γωνιακή της ταχύτητα περιστροφής (μέγεθος του διανύσματος περιστροφής) συνδέεται με τη διάρκεια της ημέρας:

Όταν η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη, μία περιστροφή πραγματοποιείται σε λιγότερο χρόνο και επομένως η διάρκεια της ημέρας είναι μικρότερη.

Και αντίστροφα η διάρκεια της ημέρας γίνεται μεγαλύτερη όταν ελαττώνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.




(2) Κίνηση του πόλου (polar motion): κίνηση του άξονα περιστροφής ως προς τη γη..

(3) Mεταβολή της διάρκειας της ημέρας (length of the day variation): μεταβολή της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της γης.




διάνυσμα περιστροφής:

γωνιακή ταχύτητα περιστροφής:

διεύθυνση άξονα περιστροφής (μοναδιαίο διάνυσμα):

||

1n

00n e n en

0e

e

= αδρανειακό σύστημα αναφοράς

= επίγειο σύστημα αναφοράς




Περιστροφή της γης:

(1) Μετάπτωση - κλόνιση: μεταβολή του n0 (αδρανειακές συνιστώσες)




||

1n

00n e n en



0e

e









||

1n

00n e n en



(2) Κίνηση του πόλου : μεταβολή του n (επίγειες συνιστώσες)

0e

e









||

1n

00n e n en



(2) Κίνηση του πόλου : μεταβολή του n (επίγειες συνιστώσες)

(3) Mεταβολή της διάρκειας της ημέρας : μεταβολή του ω

0e

e



Συστήματα αναφοράς με τον 3ο άξονα στην κατεύθυνση του διανύσματος περιστροφής

Για την ανάλυση των παρατηρήσεων

που εκτελούνται από σημεία πάνω στη γη προς αντικείμενα των οποίων η θέση συνδέεται με τον αδρανειακό χώρο (δορυφόροι, σελήνη, quasar ή άστρα κατά το παρελθόν)

χρειαζόμαστε δύο συστήματα αναφοράς:

ένα ουράνιο (αδρανειακό) και

ένα επίγειο σύστημα, δηλαδή προσαρμοσμένο στην παραμορφώσιμη γη (άξονες Tisserand)




Για αδρανειακό ουράνιο σύστημα: αρχή στο βαρύκεντρο (κέντρο μάζας του ηλιακού συστήματος)

Για τη γη (επίγειο σύστημα ): ιδανική αρχή του είναι το γεώκεντρο (κέντρο μάζας της γης)






Για τo διαχωρισμό μεταβατικής κίνησης (τροχιά της γης γύρω από τον ήλιο) και περιστροφικής κίνησης (γύρω από το γεώκεντρο):

σχεδόν αδρανειακό (quasi-inertial) ουράνιο σύστημα με αρχή το γεώκεντρο.








Συμβατικά συστήματα (επιλογή της διεύθυνσης των αξόνων σε κάποιο βαθμό αυθαίρετη):

ουράνιο σύστημα αναφοράς (CRS = Celestial Reference System) επίγειο σύστημα αναφοράς (TRS = Terrestrial Reference System).








Διεθνές ουράνιο σύστημα αναφοράς (ΙCRS = International Celestial Reference System)

Διεθνές επίγειο σύστημα αναφοράς (ΙTRS = InternationalTerrestrial Reference System)

Συμβατικά συστήματα (επιλογή της διεύθυνσης των αξόνων σε κάποιο βαθμό αυθαίρετη):








Διεθνές ουράνιο πλαίσιο αναφοράς (ΙCRS = International Celestial Reference Frame)

Διεθνές επίγειο πλαίσιο αναφοράς (ΙTRS = InternationalTerrestrial Reference Frame)

Συμβατικά συστήματα (επιλογή της διεύθυνσης των αξόνων σε κάποιο βαθμό αυθαίρετη): YΛΟΠΟΙΗΣΗ !




H υλοποίηση του θεωρητικά ορισμένου συστήματος αναφοράς (ITRS)γίνεται μέσω ενός πλαισίου αναφοράς (ITRF) που αποτελείται από τις

αρχικές συντεταγμένες x0i = xi(t0) στην εποχή αναφοράς t0

και τις σταθερές ταχύτητες vi

ενός επιλεγμένου δίκτου σημείων (i = 1, …, N) πάνω στη γη, όπου γίνονται παρατηρήσεις διστημικών τεχνικών VLBI, SLR, GPS.







H υλοποίηση του θεωρητικά ορισμένου συστήματος αναφοράς (ITRS)γίνεται μέσω ενός πλαισίου αναφοράς (ITRF) που αποτελείται από τις

αρχικές συντεταγμένες x0i = xi(t0) στην εποχή αναφοράς t0

και τις σταθερές ταχύτητες vi

ενός επιλεγμένου δίκτου σημείων (i = 1, …, N) πάνω στη γη, όπου γίνονται παρατηρήσεις διστημικών τεχνικών VLBI, SLR, GPS.

H υλοποίηση του ουράνιου συστήματος αναφοράς (ICRS)γίνεται μέσω ενός πλαισίου αναφοράς (ICRF) που αποτελείται

από τις ουράνιες συντεταγμένες (διευθύνσεις) αi, δi

ενός επιλεγμένου δίκτου εξωγαλαξιακών ραδιοπηγών (quasars), οι οποίες παρατηρούνται με την τεχνική του VLBI.







Κυρίαρχη συνιστώσα της περιστροφής της γης: ημερήσια περιστροφή.

Μεγέθη μετάπτωσης-κλόνισης και κίνηση του πόλου: πολύ μικρά αλλά όχι αμελητέα

(σημερινή ακρίβεια παρατηρήσεων ~ 1 cm).







Xρειάζονται 2 ενδιάμεσα συστήματα με τον τρίτο άξονα στην κατεύθυνση του άξονα περιστροφής:

ένα (ενδιάμεσο ουράνιο) το οποίο να μην ακολουθεί την ημερήσια περιστροφή και

ένα (ενδιάμεσο επίγειο) το οποίο να ακολουθεί την ημερήσια περιστροφή







Xρειάζονται 2 ενδιάμεσα συστήματα με τον τρίτο άξονα στην κατεύθυνση του άξονα περιστροφής:

ένα (ενδιάμεσο ουράνιο) το οποίο να μην ακολουθεί την ημερήσια περιστροφή και

ένα (ενδιάμεσο επίγειο) το οποίο να ακολουθεί την ημερήσια περιστροφή

ενδιάμεσο ουράνιο Intermediate Celestial IC

ενδιάμεσο επίγειο Intermediate Terrestrual IT




ουράνιο (Celestial) - C

ενδιάμεσο ουράνιο (Intermediate Celestial) - IC

ενδιάμεσο επίγειο (Intermediate Terrestrial) - IT

επίγειο (Terrestrial) - T

][ 321CCCC eee

e

][ 321ICICICIC eee

e

][ 321ITITITIT eee

e

][ 321TTTT eee

e

//3

ICe

4 συστήματα αναφοράς:

//3

ITe 133

nee ITIC




ουράνιο (Celestial)

ενδιάμεσο ουράνιο (Intermediate Celestial)

ενδιάμεσο επίγειο (Intermediate Terrestrial)

επίγειο (Terrestrial)

][ 321CCCC eee

e

][ 321ICICICIC eee

e

][ 321ITITITIT eee

e

][ 321TTTT eee

e

//3

ICe


//3

ITe 133

nee ITIC

ενδιάμεσασυστήματα:

κοινός3ος άξονας

στην κατεύθυνσητου άξονα

περιστροφής








][ 321CCCC eee

e

][ 321ICICICIC eee

e

][ 321ITITITIT eee

e

][ 321TTTT eee

e

//3

ICe


//3

ITe 133

nee ITIC

ανοικτόερώτημα:ποιές είναι

οι κατευθύνσειςτων 1ων αξόνων;








][ 321CCCC eee

e

][ 321ICICICIC eee

e

][ 321ITITITIT eee

e

][ 321TTTT eee

e

//3

ICe


//3

ITe

TCIC Qee

μετάπτωση-κλόνιση

133

nee ITIC








][ 321CCCC eee

e

][ 321ICICICIC eee

e

][ 321ITITITIT eee

e

][ 321TTTT eee

e

//3

ICe


//3

ITe

TCIC Qee

3( )

IT IC T

IC T

e e D

e R


ημερήσια περιστροφή

133

nee ITIC








][ 321CCCC eee

e

][ 321ICICICIC eee

e

][ 321ITITITIT eee

e

][ 321TTTT eee

e

//3

ICe


//3

ITe

TCIC Qee

TITT Wee


κίνηση πόλου

ημερήσια περιστροφή

133

nee ITIC

3( )

IT IC T

IC T

e e D

e R



Ανάλυση του μετασχηματισμού ουράνιο επίγειο σε τρία μέρη : TCT Ree

DQWR




)()()()( 3233 EdEs RRRRQ (ουράνιο ενδιάμεσο ουράνιο)


DQWR


Μετάπτωση - κλόνιση:



(ουράνιο ενδιάμεσο ουράνιο)


DQWR


μετάβαση 3ου άξονα από τη θέση στη θέση

Ce3

//3

ICe

)()()()( 3233 EdEs RRRRQ Μετάπτωση - κλόνιση:





DQWR



//3ICe

μετάβαση 1ου άξονα στη θέσηICe1


Ce3





DQWR



//3ICe

ICe1

μετάβαση 1ου άξονα από τη θέση στη θέσηICe1

ITe1


)(3 RD

Ημερήσια περιστροφή: (ενδιάμεσο ουράνιο ενδιάμεσο επίγειο)

Ce3

μετάβαση 1ου άξονα στη θέση





DQWR



//3ICe

ICe1




Κίνηση του πόλου:

)()()()( 3323 sFgF RRRRW (ενδιάμεσο επίγειο επίγειο)

Ce3


ICe1 ITe1

)(3 RD



)()()()( 3233 FgFsT RRRRW



DQWR



//3ICe

ICe1






(επίγειο ενδιάμεσο επίγειο)

Ce3


ICe1 ITe1

)(3 RD



μετάβαση 3ου άξονα πό τη θέση

στη θέση




DQWR



//3ICe

ICe1

Te3

//3

ITe







Ce3


ICe1 ITe1

)(3 RD



μετάβαση 3ου άξονα πό τη θέση

στη θέση




DQWR



//3ICe

ICe1

μετάβασης 1ου άξονα

στη θέσηITe1

Te3

//3

ITe







Ce3


ICe1 ITe1

)(3 RD



E

d

dE + s

e C1

2Ce

3Ce

e IC1

2ICe

3ICe

ω

equator

ουράνιο ενδιάμεσο ουράνιο Ce ICe

Q = R3(Es) R2(d) R3(E)

CeICe QT=

xIC = Q xC



E

e C1

2Ce

3Ce

ω

equator


Q = R3(Es) R2(d) R3(E)

CeICe QT=

xIC = Q xC

Περιστροφή γύρω από τον 3ο άξονακατά γωνία Εμέχρις ότου ο άξονας περιστροφήςβρεθεί στο επίπεδο των αξόνων 1 και 3



3Ce

ω

equator


Q = R3(Es) R2(d) R3(E)

CeICe QT=

xIC = Q xC

1

2

Περιστροφή γύρω από τον 3ο άξονακατά γωνία Εμέχρις ότου ο άξονας περιστροφήςβρεθεί στο επίπεδο των αξόνων 1 και 3



3Ce

ω

equator


Q = R3(Es) R2(d) R3(E)

CeICe QT=

xIC = Q xC

1

2

d

d3ICe

Περιστροφή γύρω από τον 2ο άξονακατά γωνία dμέχρις ότου ο 3oς άξοναςβρεθεί στη θέση του άξονα περιστροφής



ω

equator


Q = R3(Es) R2(d) R3(E)

CeICe QT=

xIC = Q xC

1

2

d

d3ICe

Περιστροφή γύρω από τον 2ο άξονακατά γωνία dμέχρις ότου ο 3oς άξοναςβρεθεί στη θέση του άξονα περιστροφής



ω

equator


Q = R3(Es) R2(d) R3(E)

CeICe QT=

xIC = Q xC

1

2

3ICe



ω

equator


Q = R3(Es) R2(d) R3(E)

CeICe QT=

xIC = Q xC

1

2

3ICe

e IC1

E + s

Περιστροφή γύρω από τον 3ο άξονακατά γωνία Εsμέχρις ότου ο 1ος άξονας βρεθεί στην τελική του θέση (1ος άξονας ενδιάμεσου ουράνιου)

2ICe



ω

equator


Q = R3(Es) R2(d) R3(E)

CeICe QT=

xIC = Q xC3ICe

e IC1

2ICe Περιστροφή γύρω από τον 3ο άξονα

κατά γωνία Εsμέχρις ότου ο 1ος άξονας βρεθεί στην τελική του θέση (1ος άξονας ενδιάμεσου ουράνιου)



E

d

dE + s

e C1

2Ce

3Ce

e IC1

2ICe

3ICe

ω

equator


Q = R3(Es) R2(d) R3(E)

CeICe QT=

xIC = Q xC

Συνολική μετάβαση από τοουράνιο στο ενδιάμεσο σύστημα

Η γωνία s επιλέγεται έτσι ώστε ο 1ος άξονας να πάρει την«κατάλληλη» θέση

Ερώτημα: Ποια είναι η κατάλληλη θέση του άξονα ; e IC1



=

θ

e ΙΤ1

2ΙΤe

3ΙΤe

e IC1

2ICe

3ICe

ω

equator

ενδιάμεσο ουράνιο ενδιάμεσο επίγειο

Περιστροφή γύρω από τον 3ο άξονακατά γωνία θμέχρις ότου ο 1ος άξονας(1ος άξονας ενδιάμεσου ουράνιου)βρεθεί στη νέα του θέση(1ος άξονας ενδιάμεσου επίγειου)

ICe ITe

D = R3(θ)

ICeIΤe DT=

xIT = D xIC



F

g

gF + s

e IT1

2ITe

ω

equator

ενδιάμεσο επίγειο επίγειο ΤeITe

WT = R3(Fs ) R2(g) R3(F)

TeITe W=

xIT = WT xT3Τe

e T1

2Τe

3ITe



F

e T1

2Τe

3Τe

ω

equator


WT = R3(Fs ) R2(g) R3(F)

TeITe W=

xIT = WT xT

Περιστροφή γύρω από τον 3ο άξονακατά γωνία Fμέχρις ότου ο άξονας περιστροφήςβρεθεί στο επίπεδο των αξόνων 1 και 3



ω

equator

1

2


WT = R3(Fs ) R2(g) R3(F)

TeITe W=

xIT = WT xT3Τe

Περιστροφή γύρω από τον 3ο άξονακατά γωνία Fμέχρις ότου ο άξονας περιστροφήςβρεθεί στο επίπεδο των αξόνων 1 και 3



ω

equator

1

2

g

g3ITe

Περιστροφή γύρω από τον 2ο άξονακατά γωνία gμέχρις ότου ο 3oς άξοναςβρεθεί στη θέση του άξονα περιστροφής


WT = R3(Fs ) R2(g) R3(F)

TeITe W=

xIT = WT xT3Τe



ω

equator

1

2

g

g


WT = R3(Fs ) R2(g) R3(F)

TeITe W=

xIT = WT xT3ITe

Περιστροφή γύρω από τον 2ο άξονακατά γωνία gμέχρις ότου ο 3oς άξοναςβρεθεί στη θέση του άξονα περιστροφής



ω

equator

1

2


WT = R3(Fs ) R2(g) R3(F)

TeITe W=

xIT = WT xT3ITe



ω

equator

1

2


WT = R3(Fs ) R2(g) R3(F)

TeITe W=

xIT = WT xT3ITe

e IT1

Περιστροφή γύρω από τον 3ο άξονακατά γωνία Fsμέχρις ότου ο 1ος άξονας βρεθεί στην τελική του θέση (1ος άξονας ενδιάμεσου επίγειου)

F + s

2ITe



ω

equator


WT = R3(Fs ) R2(g) R3(F)

TeITe W=

xIT = WT xT3ITe

e IT1

2ITe

Περιστροφή γύρω από τον 3ο άξονακατά γωνία Fsμέχρις ότου ο 1ος άξονας βρεθεί στην τελική του θέση (1ος άξονας ενδιάμεσου επίγειου)



F

g

gF + s

e IT1

2ITe

ω

equator Συνολική μετάβαση από τοεπίγειο στο ενδιάμεσο επίγειο σύστημα

Η γωνία s επιλέγεται έτσι ώστε ο 1ος άξονας να πάρει την«κατάλληλη» θέση

Ερώτημα: Ποια είναι η κατάλληλη θέση του άξονα ; e IΤ1


WT = R3(Fs ) R2(g) R3(F)

TeITe W=

xIT = WT xT3Τe

e T1

2Τe

3ITe




DQWR )()()()( 3233 EdEs RRRRQ

)(3 RD

)()()()( 3323 sFgF RRRRW





)(3 RD

)()()()( 3323 sFgF RRRRW

Οι γωνίες Ε, d προκύπτουν από τη θέση του άξονα περιστροφής στο ουράνιο (αδρανειακό) σύστημα





)(3 RD

)()()()( 3323 sFgF RRRRW


Οι γωνίες F, g προκύπτουν από τη θέση του άξονα περιστροφής στο επίγειο σύστημα





)(3 RD

)()()()( 3323 sFgF RRRRW


Οι γωνίες F, g προκύπτουν από τη θέση του άξονα περιστροφής στο επίγειο σύστημα

Οι γωνίες s, s επιλέγονται έτσι ώστε οι 1οι άξονες των ενδιαμέσων συστημάτων να πάρουν τις κατάλληλες θέσεις ώστε:

Το ενδιάμεσο ουράνιο να μην περιέχει συνιστώσα ημερήσιας περιστροφής ως προς το ουράνιο

Το ενδιάμεσο επίγειο να μην περιέχει συνιστώσα ημερήσιας περιστροφής ως προς το επίγειο




ω = διάνυσμα περιστροφής επίγειου ως προς το ουράνιοTd

dt

Rω R




ωQ = σχετικό διάνυσμα περιστροφής ενδιάμεσου ουράνιου ως προς το ουράνιο

αντίστοιχη συνιστώσα ημερήσιας περιστροφής =dt

d T

QQ

Qω 3Q


dt

Rω R

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ




ωQ = σχετικό διάνυσμα περιστροφής ενδιάμεσου ουράνιου ως προς το ουράνιο

ωW = σχετικό διάνυσμα περιστροφής ενδιάμεσου επίγειου ως προς το επίγειο

αντίστοιχη συνιστώσα ημερήσιας περιστροφής =

αντίστοιχη συνιστώσα ημερήσιας περιστροφής =

dt

d T

QQ

Qω

dt

d T

WW

Wω

3Q

3W


dt

Rω R

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΑ




κριτήριο της μη περιστρεφόμενης αρχής (Non Rotating Origin, NRO) :

03 Q

03 W

t

t

dttdtdt

dEss

0

]1)()[cos(0

t

t

dttgtdt

dFss

0

]1)()[cos(0

),( dEss

( , )s s F g





03 Q

03 W

t

t

dttdtdt

dEss

0

]1)()[cos(0

t

t

dttgtdt

dFss

0

]1)()[cos(0

= ουράνια αρχή των εφημερίδων (CEO, Celestial Ephemeris Origin).

= επίγεια αρχή των εφημερίδων (ΤEO, Terrestrial Ephemeris Origin)

ICe1

Mε την επιλογή αυτή

ITe1

),( dEss

( , )s s F g





03 Q

03 W

t

t

dttdtdt

dEss

0

]1)()[cos(0

t

t

dttgtdt

dFss

0

]1)()[cos(0

= ουράνια ενδιάμεση αρχή (CΙO, Celestial Intermediate Origin).

= επίγεια ενδιάμεση αρχή (ΤIO, Terrestrial Intermediate Origin)

ICe1

Mε την επιλογή αυτή

ITe1

),( dEss

( , )s s F g

ΝΕΑ ΟΡΟΡΟΛΟΓΙΑ !(μετά τη συγγραφή του βιβλίου)



Οι εξισώσεις της περιστροφικής κίνησης

Για στοιχειώδη μάζα dm :

Στροφορμή: ( )h dm x p dm x v

Oρμή: vdmp






admfd

Δύναμη πάνω στη στοιχειώδη μάζα dm: (νόμος κίνησης του Νεύτωνα)

Oρμή: vdmp






Ροπή (ως προς το κέντρο μάζας Ο): ( ) ( )l dm x df x dma dm x a

admfd


Oρμή: vdmp





Στροφορμή: ( ) x ph dm dm x v


admfd


( )( )) (

dx dvdm v

dh dm ddm x v

dt dtx dm v v x a dm x a l dm

dt dt

(εξίσωση περιστροφικής κινησης)

Oρμή: vdmp







admfd



dhl

dt

Για το σύνολο του σώματος :

όπου ( )dx

h h dm dm x v dm x dmdt

Oρμή: vdmp

( )l l dm dm

( )( ) ( )

dh dm d dx dvdm x v dm v x dm v v x a dm x a l dm

dt dt dt dt



( )( ) ( )

dh dm d dx dvdm x v dm v x dm v v x a dm x a l dm

dt dt dt dt





admfd



dhl

dt

Για το σύνολο του σώματος :

όπου ( )dx

h h dm dm x v dm x dmdt

Oρμή: vdmp

( )l l dm dm

ολοκλήρωση για όλες τις μάζες



Εξίσωση περιστροφικής κίνησης σε διανυσματική μορφή: ldt

hd




Εξίσωση περιστροφικής κίνησης σε διανυσματική μορφή:

Εξίσωση περιστροφικής κινησης στο αδρανειακό σύστημα:

,Ildt

d Ih dmdt

ddm I

IIIIx

xvxh ][][

ldt

hd






,Ildt

d Ih dmdt

ddm I

IIIIx

xvxh ][][

Εξίσωση περιστροφικής κινησης στο επίγειο σύστημα:

xωx

v ][ dt

d

ldt

hd






,Ildt

d Ih dmdt

ddm I

IIIIx

xvxh ][][


xωx

v ][ dt

d

[ ] [ [ ][[ ]]] Rdmd

dmdt

ddm

dt

xh x ω

xx hx x ωx Cω

ldt

hd






,Ildt

d Ih dmdt

ddm I

IIIIx

xvxh ][][


xωx

v ][ dt

d

[ ] [ [ ][[ ]]] Rdmd

dmdt

ddm

dt

xh x ω

xx hx x ωx Cω

ldt

hd


[ ]R

ddm

dt

xh x [ ][ ]dm C x x





,Ildt

d Ih dmdt

ddm I

IIIIx

xvxh ][][


xωx

v ][ dt

d

[ ] [ [ ][[ ]]] Rdmd

dmdt

ddm

dt

xh x ω

xx hx x ωx Cω

ldt

hd


[ ]R

ddm

dt

xh x [ ][ ]dm C x x

σχετική στροφορμή πίνακας αδράνειας





,Ildt

d Ih dmdt

ddm I

IIIIx

xvxh ][][


xωx

v ][ dt

d

[ ] [ [ ][[ ]]] Rdmd

dmdt

ddm

dt

xh x ω

xx hx x ωx Cω

ldt

hd


[ ]R

ddm

dt

xh x [ ][ ]dm C x x





,Ildt

d Ih dmdt

ddm I

IIIIx

xvxh ][][


xωx

v ][ dt

d

[ ] [ [ ][[ ]]] Rdmd

dmdt

ddm

dt

xh x ω

xx hx x ωx Cω

lehωh

e

l

dt

d

dt

hd][

ldt

hd


[ ]R

ddm

dt

xh x [ ][ ]dm C x x





,Ildt

d Ih dmdt

ddm I

IIIIx

xvxh ][][


xωx

v ][ dt

d

[ ] [ [ ][[ ]]] Rdmd

dmdt

ddm

dt

xh x ω

xx hx x ωx Cω

lehωh

e

l

dt

d

dt

hd][

ldt

hd


[ ]d

dt

hω h l

[ ]R

ddm

dt

xh x [ ][ ]dm C x x





[ ]d

dt

hω h l R h h Cω



[ ] ( ) [ ]( )R R

d d

dt dt

hh C ωω h Cω hωl



[ ]d

dt

hω h l R h h Cω



[ ] ( ) [ ]( )R R

d d

dt dt

hh C ωω h Cω hωl

εξισώσεις Liouville

[ ]( )RR

d d d

dt dt dt

ω C hC ω ω Cω h l



[ ]d

dt

hω h l R h h Cω

(εξισώσεις περιστροφής της γης στο επίγειο σύστημα)

[ ]R

ddm

dt

xh x [ ][ ]dm C x xόπου



Περιστροφή παραμορφώσιμης γης == περιστροφή επιλεγμένου «αντιπροσωπευτικού» συστήματος αναφοράς

Καρτεσιανά (ορθοκανονικά) γεωκεντρικά συτήματα, επιλογή μόνο προσανατολισμού αξόνων

2 επιλογές:



Άξονες σχήματος: Tέτοιοι ώστε να παίρνει διαγώνια μορφή ο πίνακας αδρανείας



2 2

2 2

3 2 2

0 0[ ][ ] 0 0

0 0

xxx x

Ay z y xzdm y x z yz dm B

z y x y C

C x x

Πρόβλημα: Παρουσιάζουν ημερήσιες μεταβολές της τάξης των 60 m λόγωτης παλιρροιακής και περιστροφικής παραμόρφωσης της γης

2 επιλογές:



Άξονες σχήματος: Tέτοιοι ώστε να παίρνει διαγώνια μορφή ο πίνακας αδρανείας



2 2

2 2

3 2 2

0 0[ ][ ] 0 0

0 0

xxx x

Ay z y xzdm y x z yz dm B

z y x y C

C x x

Άξονες Tisserand: Τέτοιοι ώστε να μηδενίζεται η σχετική στροφορμή

0x

xh dmdt

dR ][

Πρόβλημα: Παρουσιάζουν ημερήσιες μεταβολές της τάξης των 60 m λόγωτης παλιρροιακής και περιστροφικής παραμόρφωσης της γης

Δεν ορίζονται μονοσήμαντα. Πρέπει να επιλεγεί αυθαίρετα η θέση τους σε μία αρχική εποχή

2 επιλογές:



l CωωωCω

C ][dt

d

dt

dΕξισώσεις Liouville για άξονες Τisserand:

[ ]( )RR

d d d

dt dt dt

ω C hC ω ω Cω h l

R h 0



l CωωωCω

C ][dt

d

dt


),,,,,(),(][ 321321 dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d T ωθθωω

RRω

Κινηματκές εξισώσεις Euler:



l CωωωCω

C ][dt

d

dt


),,,,,(),(][ 321321 dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d T ωθθωω

RRω


6 διαφορικές εξισώσεις 1oυ βαθμού με 6 άγνωστες συναρτήσεις:

)(),(),(),(),(),( 321321 tttttt



l CωωωCω

C ][dt

d

dt


),,,,,(),(][ 321321 dt

d

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d T ωθθωω

RRω


6 διαφορικές εξισώσεις 1oυ βαθμού με 6 άγνωστες συναρτήσεις:

)(),(),(),(),(),( 321321 tttttt

Για τη λύση των διαφορικών εξισώσεων περιστροφής της γης χρειάζονται:

- oι ροπές l(t) που εξασκούν η σελήνη και ο ήλιος στη γη

- τα στοιχεία του πίνακα αδρανείας C(t)

(μεταβολές κατανομής μαζών γης, θάλασσας, ατμόσφαιρας)

Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Συστήματα...

Documents

Transcript of Σ υ σ τ ή μ α τ α α ν α φ ο ρ ά ς κ α ι χ ρ ό ν ο υ Συστήματα...