ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
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Transcript of ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ
-
................................................................. . 4
1
.................................................................................. . 11
2
........................................................... . 39
3
.......................................................................................... . 86
4
.......................................................................................... . 126
5
.............................................................................................. . 154
6
.................................... . 179
7
............................................ . 195
-
! 4
1.1 : P - . 1. . .
2. " 30 10 " . .
1.2 : P Q P Q, P Q P Q .
O P Q " P Q ".
O P , Q -. : Q , P , , . .
: " " Q: 2 2" "
: 1. " " 2 2" " .
2. 2 2" " " "
( Q P .)
: 2 2" " " " !!!
. 2 2" 4 4 " " 4 4" .
1.3 P Q , , P Q P Q.
P Q :
" Q". .
-
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: " " Q: "2 2"
: P Q " " "2 2" .
1.4 " "
A P Q , " P Q " .
" P Q " P Q -
, Q, .
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. 0 0 0.
1.5 ""
A P Q , " P Q " - . " P Q " P Q. . , . . 0 0 0
.
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, , .. - , , ,
-
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.
x x A , x A
: .. = {1, 2,3},
: .. x / x 1 2
, - :
x / x :
" x , x "
0, 1, 2, 3, , 0, 1, 2, 3, . -
.. = {1, 3, 5,}.
.
. :
. B . : .
: i) , ii) B ( )
iii) B , iv) , .
:
Venn. - - .
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i. ,
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x / x A x ii. ,
, . :
x / x x iii.
. :
x / x A
Venn :
-
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.
i. :
.
A x / x 5 . 2B x,y / x , y , / x 1 0 y 2 3
A x / x 5 x / 5 x 5 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4,5
2B x, y / x , y , x 1 0 y 2 3
x, y / x , y , x 1 x 1 0 y 2 3 y 2 3
x, y / x , y , x 1 y 1 y 5
1,1 , 1, 5
ii. :
2A x / x 2 x 1 0 3B x / x 1 0 x 8
2 2A x / x 2 x 1 0 x / x 2 0 x 1 0 2, 1,1 . 3B x / x 1 0 x 8 x / x 1 x 2 1, 1, 2 .
.
iii. A x / x 0 B x / x 1 .
A x / x 0 0 B x / x 1 .
x 1 .
-
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iv. A 1, 1,2
4 3B x / x 3x x 3 0 :
1 B 031131 34 1 B 4 31 3 1 1 3 0
2 B 0932232 34 .
v. x / x 12 , A x / x 4 B x / x x 3 . , A B A B .
x / x 12 1, 2, 3, 4, 6, 12
A x / x 4 x / 4 x 4 1, 2, 3, 4 B x / x x 3 x / x 3 x 3
B 1,3 . A x / x 6, 12 .
A B x / x A x B 1, 2, 3, 4 A B x / x A x B A . B A .
1. x / x 5 , A x / x 5 2B x / x 6x 5 0 2 x / x 25 0
, , . :
A B, B , A , , , , , , A , , . 2.
x / x 12 B x / x 6 . 12
-
! 10
6.
3. 1,2,3, ,10 1,2,4,7,8 , 3,4,8,10 2,4,5,10
) , , Venn.
) - Venn :
i) A B ii) B iii) B iv) A B v) A B
4. Venn , .
) , ;
) :
i) A B ii) B iii) B iv) A B v) A
1 2
54
12
2
19 4
5
1
7
8
1036
4
21
0
3
-
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, - .
.. .
.
1 2 , , , , 1 2 , , , .
. .
- , 2 .
..
1,2,3,4,5,6 1 , 1,3,5 -.
i
i{ } . -
. .
.. 2,4,6 3 - 2, 4 6.
-
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.. 2,4,6 3 .
, . , , - , .
, - , - .
, . , - , . , , :
" " " " , .
.. 1,2,3 , 2,3, 4 1,2,3,4
" " " " .
.. 1,2,3 , 2,3, 4 2,3
" " "- " - . " ". ..
1,2,3,4,5,6 . 1,3,5 2,4,6
-
! 13
" " , , , . : . ..
1,2,3,4,5,6 . 1,2,3,4 3,4,5,6 1,2 .
1)
2)
De Morgan
3)
( )
4) ( ) ( )
( ) ( )
( )
5) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
6)
:
,
,
7)
A B A A B B
A A B
-
! 14
,
A B .
- .
- Venn
-:
" ".
" ".
: " ".
"
".
.
:
-
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KKK, KK, KK, K, KK, K, K,
A B A B B A A B A B B A
: , A B . :
A B A B A B A A B B A B A B B A A B
, - , .
.. : 1,2,3,4,5,6 : ,
- - . . 3 .
- :
1 2 3
-
! 16
- .
.. 1, 2 3, 2 4, 5 6.
- . .
- .
: 1,4 , 2,4 , 3,4 , 1,5 , 2,5 , 3,5 , 1,6 , 2,6 , 3,6
: -
, . -
, ,
.
. . , -, .
: , . . .
1
2
3
4 5 6
1, 4 1,5 1,6
2, 4 2,5 2,6
3,5 3,6 3, 4
-
! 17
: Bernoulli, de Moivre, Laplace, Gauss, Poisson, Chebychev, Markov Lyapounov.
R. A. Fisher R. Von Mises.
Von Misses. A. Kolmogorov .
,
Af .
:
Af .
1 2 3 , , ,..., -
1 2 , ,..., 1 2 , ,..., ,
1 2 1 1
, ,...,
f f f
:
1. i0 1, 1,2,..., f i ii i
0 0 1 0 1
f
2. 1 2 1 2
... 1
f f f
i
i 1
1
f .
- - ()
-
! 18
. ( ) - .
-
. () :
P A lim
- . () -
P A
(): . (): .
:
1. :
i.
N P 1
N
ii.
N 0P 0
N N
iii. 0 P A 1
N A N
0 N A N 0 0 P A 1N N
2. .
3. 1 2 , ,...,
-
! 19
i1
P
, i 1, 2,...,
1 2 , ,..., - . i , iP , : i0 P 1
i
i 1
P 1
iP i . () 1 2 A , ,...,
1 2 P P ... P , P 0 .
, . . .
1. :
P A B P A P B
N A N B , A B , . , :
N A B N A N B .
A B
B A
-
! 20
:
N A BP A B
N
N A N B
N
N A N B
N N P A P B .
(simply additive law) . , ,
P A B P A P B P .
2. A :
P A 1 P A
A A , A , , :
P A A P A P A
P P A P A
1 P A P A .
: P A 1 P A .
3. :
P A B P A P B P A B
N A B N A N B N A B , (1)
N A N B A B .
B
B A
-
! 21
(1) N :
N A B N A N B N A B
N N N N
P A B P A P B P A B . (additive law).
4. A B , P A P B
A B :
N A N B
N A N B
N N
P A P B .
5.
P A B P A P A B .
A B A B A B A B A , : P A P A B P A B .
P A B P A P A B .
A B
B A
-
! 22
1.
,
,
2. 1 1
3. , .
4.
1. A B P A P B !!!!
2. - . , , :
P A B P A P B P P A B P A
P B P A B
P A B P A B P A B P P A B P A P B P A B P P A B
P A P B P P A B P A P B P A B
3. : BPAPBAP ( Boole)
P A B P A P B P A P B P A B P A P B
-
! 23
P A B 0 P A B 0
. : PBPAPBAP 4. ABBA
: A B B A :
P A B B A P A B P B A
P A P A B P B P A B
P A P B 2P A B 5. :
)
)
) P A B P A B 1 P A B
) P A B P A B 1 P A B
6. : BPAPBA :
A B A P A B P A
P A B P BA B B
A A B P A P A B
P B P A BB A B
(4) .
-
! 24
1 , . .
,
N AP A
N
(), () .
3 .
i. ii.
, -: : " ".
: " ".
: " "
: " ".
i.
.
KKK,KK,KK,K,KK,K,K,
A ,, ,
N A 3P A
N 8
1 2 3
-
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B KKK, ,
2 1
8 4
,,,,,, 8
7
,,,
4 1
8 2
2
, -
- , "" .
2P A ,7
1P B3
4P A B21
:
i. ii. iii. iv. v. vi.
i. 2 5P 1 P A 17 7
ii. 2 1 4 3P A B P A P B P A B7 3 21 7
iii. 3 4P A B 1 P A B 17 7
iv. 2 4 2P A B P A P A B7 21 21
-
! 26
v. 1 4 3 1P B A P B P A B3 21 21 7
vi. 2 1 5P A B B A P A B P B A21 7 21
.
120 , 24 - , 20 12 -. . :
i. ; ii. ; iii. ;
( 2000)
: : . .
: . . .
: 24 20 12P A , P B , P A B120 120 120
i. 24 20 12 32 4P A B P A P B P A B120 120 120 120 15
ii. P A B B A P A B P B A
P A P A B P B P A B
24 20 12 20 12
120 120 120 120 6
iii. 4 11P A B 1 P A B 115 15
3
,
-
! 27
. .
1,2,...,2004 :
2 , 1 3
P 2, 4
0, 4
: i. ii. :
A / 2 5 B / 2 2002
i. :
P 1 P 2 ... P 2004 1
2 2 2 2 2 1 3 2 1 0
01 1 1
3 3
ii. :
P A P 2 P 3 P 4 P 5 2 2 2 2 6 82 2
9 3 9 9 9
3, 5, , 2001 2 1P B P 3 P 5 P 2001
9
4
, :
!!!
-
! 28
A ,
0 P A 1 0 P A B 1 0 P A B 1 :
P A B
:
BAP
A B A P A B P A
A B B P A B P B
P A B
P A B P A P B P A B , (1).
P A B 1 , (2) (1) (2) :
P A P B P A B 1 P A P B 1 P A B
:
P A B
P A B :
A A B P A P A B
B A B P B P A B
P A B , (1), :
P A B P A P B P A B , (3)
-
! 29
P A B 0 , (4) (3) (4) :
P A P B P A B 0 P A B P A P B
1.
,
P A 0,7 P B 0,6
i. , ii. P A B 0,7 P A B 0,6 iii. 0,3 P B 0,6
i. , . : P A B P A P B 0,7 0,6 1,3
P A B 1 . , .
ii. A B A P A B P A P A B 0,7 : B A B P B P A B 0,6 P A B
iii. : A B B P A B P B P A B 0,6 :
P A B 0,3 P A P B P A B 0,3
0,7 0,6 P A B 0,3
1,3 P A B 0,3 P A B 1, .
0,3 P A B 0,6
2.
0 P A 1 1 1
4P A P A
-
! 30
:
1 1
4P A P A
P A' P A 4 P A P A
1 4P A 1 P A 2
1 4P A 4 P A
2
4 P A 4P A 1 0 2
2P A 1 0,
3.
P B P A P A B :
P B P A P A B P B 1 P A P A B
P B P A 1 P A P B P A B
1 P A B P A B 1, . .
, . :
1. P A 2P A 2P A
3
..................................
2. A B P A B P A P B ................. 3. .................................................... 4. 1 ............................................................................... 5. 0 .............................................................................. 6.
. ................................................. 7. . ...................
-
! 31
8. P A P A B P A B 0 ................................ 9. . .......... 10.
1P(A)
3 5P 3P
3A
................................
11. P A P A B P A B ................................................ 12. P A B P A .................................................................... 13. , P A P B ......................... 14. P A B P A ................................................................... 15. 0,5 , 1
3 2P A B
3
, . .................................................. 16. , P B P A ........................ 17. P A B P A P B .................................................... 18. P A B P A B ............................................................ 19. ................................... 20.
P A P BP A B
2
.............................................
21. 1 , . .............................................. 22. , . .......................................... 23. 1 , ,
. ......................................................................... 24. P A B P B A , ...................... 25. P A B P A P B , ,
. ...................................................................... 26. P A P B A B .................................................. 27. A B P A P B .................................................. 28. A B P A P B .................................................. 29. 1 B A ..................................... 30. ...................................................................
-
! 32
1. : i. ; ii.
; iii. ; iv. ; v. ,
Venn
A , A B, A B, A B, B A, A B , A B A B B A .
.
2. 10 12 .
i. , N A B ii. , 12 N A B 22
3. . - Venn : i. , . ii. . iii. . iv. . v. , .
4. , (), , (), . :
i. ii. :
: " ".
: " ".
-
! 33
: " ".
: " ".
: " ".
iii. A B , B B .
5. , . Venn. i. , . ii. . iii. iv. . v. , vi. , vii. , .
6. . (), () (). 1 () 2 () 3 . .
7. () () . . ;
8. , A B,
i) A B A ii) A B B iii) A B iv) B A
9. 12 , x y .
. 1
2
-
! 34
1
3. -
.
10. ,
P(A B) 70% , P A B 60%
P A 3
P B 5 . -
, .
11. , :
1P A B5
, 6P A P B7
. -
) A B ) A B 12. :
2 2
P A P A 1 , -
.
13. 1 2 , . 1 2
1 2 . 2 2
1 2
1P P
16 ,
1 , 2 .
14. , .
P A B A B P A B P A B
15. P A 0,28 P B 0,71 . i. P A B 1,01 P A B
ii. A B
16. , , .
, :
-
! 35
i. . ii. 1 P A B 1 iii. 1 P A B 1
17. P A 0,3 P B 0,5 P A B 0,2 18. :
3 , 2 1 P A B 0,5 - : A B, A B A B .
19. 1 2 3 4 , , , 11
8
,
2 3 48 4 12 6 3 44 8 0 . 2 , 3 4 .
20. A,B , 1
P(A) P(B)2
:
i. ,
ii. : P A P B 1 P A B P B
21. 0 1 , 4 9
25P A P A
.
22.
. : ) P A P B 1
) 1P A P B4
23. ,
:
2
9 P A 8P A 4P A
-
! 36
24. , :
4 4 1P A P A8
25. 1 2 3 , , -
1 2 , 2 3 , . 2
P A5
3P B ,4
1 , 2 3
26. , ,
P A P A B 1P 5
.
i. .
ii. 5P A P B8
.
iii. 1 2P A 3P A 1 2, , .
30. :
2 2 21 2P A 3P B 1 1 4P A B 0 . ,
31. 1,2, ..,50
2
2,
25P ,
3,
25
.
: i)
ii)
) /
-
! 37
) / / 5 )
34. /1 10 - . . 2x 4x 0 , - .
35. i.
25x 9x 2 0 3P A B 2P A P B2
,
P A , P B P A B ii. ,
4 1P B , P A B5 6
2
16 P A 15 P A 9 P A
:
) B ) A ) A B
38. 1 2 3 4 , , , . , :
1P 2, 23
P 2,2
2 23P 2, 41
P 2 22
.
39. 1 6 . 2 : : " 2 ".
3 11
.
40. 120 , 24
, 20 12 2 -. . :
-
! 38
: " 2 "
: " 2 "
: " 2 ".
41. 16 24 -
10 15 . - 5 , : : " ". : " ".
-
!
39
A.
. :
: 0, 1, 2, 3, . .
: .
.
: ( ) -
, 0 .
.
Q.
: , 2 , 3 , , ., -
, , , 0 (,
). : . -
R. . - - :
2
2
0 1 2 3 4 55 4 3 2 1 x
-
!
40
:
= 0 0 1 1
0
1 1
1
1. 2. 3. ( ) 4. 0 ( ) 5. 0 0 0
6. 0 0 0 :
.
, . 0.
: x x.
1. 1: . 2:
.
-
!
41
3: .
3: ( ) .
4: - ( ) .
5: 0 0. ( 2 ).
6: 0 0.
1
:
, , , 0 :
1.
2.
3.
4.
0
-
!
42
A. 1. A x 3y 4z , B y x 2z
y z .
0 . :
x 3y 4z y x 2z 0 2y 2z 0 2y 2z y z
2. 3 1 , :
A 1 4 2 8 3 1 3 1 . :
2 2 2
A 3 1 3 1 1 4 2 3 1 3 1 8
3 1 3 4 3 3 3 9
9 3 12 12 3 9 0
3. :
i. 2 1 3 0 ii. 2 1 3 0
i. : 0 0 0
: 2 2 1 3 0 1 0 3 0 :
2 2 1 0 1 1 3 0 3
ii. : 0 0 0 :
2 2 1 0 1 1 3 0 3
: . - 1 , 1 3 -, . 4.
i. :
-
!
43
) x 0 x 0 y 0y )
x0 x 0 y 0
y
ii. x : 2x 4
03x 6
i. 0. ii. i) :
2
2x 4 0 x 4 0 3x 6 0 x 2 x 23x 6
x 2 .
5. x 3 , y 0y 4 :
5x 3yA
2x y
x y , . y. ( - ).
:
x y 3 15 35 3 5 3 3 3y y 4 4 4Ax y 3 6 10 102 2 1 1y y 4 4 4
.
1. , , , , :
i. ii. 6 4
: , , , . ...
: , 1, 2, ...
-
!
44
2 2 1 .
. i. , , , , 1, 2, 3 :
3 2 3
1 2 2 3
+ = +
: 2 3 2 2 1 2 1 1 .
ii. : 6 1 2 3 6 4 6 4.
1. x : 3 1
1 1x 1 xA B
4 42 1
x 1 x
2
. 0. : x 1 0 x 1
4 42 0 2 4 2 x 1x 1 x 1
4 2x 2 2x 2 x 1 x 1 :
4 4x 0 1 0 1 x 4
x x
3 x 13 13 x 1 4 x 4 xx 1 1 x 1A
2 4 2 x 1 4 2x 2 4 2x 2 2 x 11 x 1 x 1
-
!
45
1 1 x 1
2 x 1 2 x 11 x x2B 2 21 4 x 4 x 4 4 x1 x x
:
2 x 14 xA 2B 1
2 x 1 4 x
2 . 1: 0.
2: 0.
3: , .
2. x 4 x y 1y 3 x y.
:
x 4 x y 4 3 1 1y 3
y 3 y 3 y 3
x y 1 x 4
1.
i. 1 21 x 1 x3 3
ii. 4 3 2 5 4 3x 1 5 2 1 2x 3
iii. 2x 3 y x y x 3 2 x 1
iv. x x x y x x y
2. x
-
!
46
i. 2
1 x ii.
x
x 3 x 2 iii. 2
x 2
x 3
iv.
xx 1
1x 1
v.
11
2x2
4x 1
vi. 1
x1
x 1
vii. x
11
x
viii.
1
x1 x
3.
4. : i. . ii. .
5. p q :
p q , p q , p q , q
p p
q , p 0 .
6. x 7 y 9 .
i. x y x 7 y 9
ii. x 7 , y 9 , x y , x y ;
7. , 25 2
3 1
8.
3 5 40 .
9. x, y, z 2, 3, 4 x y z 36 x, y, z .
10. 1 . :
. .
-
!
47
. 4 2 2 2 3 2 2
. 1 2 2 3 2
2 3 1 2 .
1 . :
..... , 1
, 1
0 1 .
1.
1 . .
.
,
,
-
!
48
-
. :
1. 2 2 2 2
2. 2 2 2 2
3. 3 3 2 2 3 3 3
4. 3 3 2 2 3 3 3
5. 2 2 6. 3 3 2 2 7. 3 3 2 2 : 5 6
:
1 2 2 1 .......
Euler
2 2 23 3 3 1 3 2
Euler 0,
: 3 3 3 3
- . ( ).
. 2 2 2 1 . - . - :
-
!
49
: - .
.. 2 2 2 2 . , .
.. 5 3 5 5 3 . : -
4, 6 .
.. 3 2 2 2 1 1 1 1 1 . :
.
.. 225 4 5 2 5 2 .
. -
: 1 :
. 2 :
. 3 :
.
4 : (). ,
. .
1.
i. 2 2
2 2
ii. 2 2
-
!
50
i. . :
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
ii. 3 :
2 2 2 2 2 2 2 2 . : - . -.
2. :
2 2 2 2 2 21 2
:
2 2 21
( ) ( ) ( )2
2 2 2 2 2 21 2 2 2 2
2 2 21 2 2 2 2 2 22
2 2 2
3. 1 , (1) : 22 2 3 3 . . - , - :
22 2 3 3 2 2 2
-
!
51
(1)
2 2 2
2 2 2 2 2 2
4. 3 :
3 3 . : 3 3
. .
. Euler
1. x y :
3 3 3 x y - , 0:
x y x y 0 . Euler :
3 3 3 x y 3 x y
2. :
3 3 33x 5 x 2 7 4x 0 - . :
3x 5 x 2 7 4x 3x x 4x 2 5 7 0 Euler :
3 3 33x 5 x 2 7 4x 3 3x 5 x 2 7 4x
-
!
52
:
3 3x 5 x 2 7 4x 0 :
53x 5 0 x
3 x 2 0 x 2
7 7 4x 0 x
4
.
1. :
i. 2 2 2 2
ii. 3 2 2 2 2 iii. 4 2 2 425 10
i. 22 2 2 2 2 2 2 2 2
ii. 3 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 iii. 4 2 2 425 10
2 22 2 2 25 2 5 22 25
2.
i. 4 3 4 3
3 2 3 2
2 2
3 3
ii. 2 2
2 2 2 2
1
1
-
!
53
i. 4 3 4 3 4 4 3 3
3 2 3 2 3 3 2 2
2 2 2 2
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2
2
3
2 2 2 2
2 2
2
( )( 3)
22 2
2
ii. 2 2
2 2 2 2
1
1
2 2 2 2
1 1
1
2 2 2 1 1
1 1
2 2 1 1
1 1
2 2
1 1 1 1
(1 )( 1)
1 1 1 1
11 1 1 1
1. xy = 1, :
2 3 43 4 2 4 2 1 x y x y : x : y
2 3 43 4 2 4 2 1 x y x y : x : y
6 8 6 12 8 4x y x y : x : y
6 8 6 12 8 4x y x y : x : y
-
!
54
4 88 8 8 8
8 8
4
y yx y (xy) 1 1
x xy
2. 2 0 , :
2 2 2 2 2 2 2 :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
24 2 2 2 0
2 2 0 2 2 2 0
2 0 0 .
3. 1
x 2x
(1) :
22
1x
x 3 3
1x
x
(1) :
2
2 22
1 1 1x 2 x 2x 4
x x x
2 22 2
1 1x 2 4 x 2
x x
:
3
3 3 22 3
1 1 1 1x 2 x 3x 3x 8
x x x x
3 33 1
x 3x 8x x
3
3
1 1x 3 x 8
x x
-
!
55
3 31
x 3 2 8x
3 31
x 2x
1. ( xy 0 )
i. 232x ii. 7
3
6 x
3x iii.
2
2
9x y
3xy
iv. 4 3 4 51 1x y x y
2 3
v.
2
11
44
2
3
yx
yx vi.
2 33 3
2 4
x 2y
y x
vii.
3 42 2 21 4
2 3
1 x 2xx y
8 y y
2. x 4y
2
2 2
4xy 3yA
x 2y
3. 2x 3y 1x 2y 2
x
y
3 3 2
3 2
x y xyK
x 2xy
4. 5 5
A1 2x
1 12x 1
.
5. x 0 1x 1x
3 31
x 2x
.
6. :
i. 2 2 4
ii. 3 4 4 2 2 2
-
!
56
iii. 2 222 2 2 2 2 iv. 3 2 2 3 1 1 1 1 v. 2 2 2
2 2 2 7. 0 :
2 2 2 9 0
8. :
i. 3 3 3 x 1 2x 4 5 3x 0
ii. 3 3 3x 4 8 x 1 27 2 x 0
9. :
2 2 2
2 2
x 2
x 2 x ( )
,
5 2 3 4 4
4 2 2 3 3
10. 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0
11. x y z 3 , :
3 3 3x y z 3 x y z
12. : i. 2 2 2 9 6 ii. 4 2 2 4x 2x y 63y
iii. 3 33x 2x 1 x 1
iv. 8 4x 14x 25 v. 4 216x 17x 1 vi. 4 2 2 24x 37x 9
13. :
-
!
57
2 2 2
x 2y y y 2 2x
x y 2y
,
3 2
3 3 3
2 8
2 1 1 2
14. x y 1 3 3x y 1 y x 1 x y
15. 0, 3 3 3
, 0
, .
, . :
0
, . :
0
. , :
" " " " .
:
0 0 0
0 0 0
- 2- 3- 4- 5 0 1 2 3 4 5 6- 1- 6
-
!
58
, 0 0
, 0 0
2 0
8 , :
1. ( ) 2. 3. : 4. 0 : 5. 6. , , : 7. :
8. 1 10
:
2:
.
3:
,
4:
,
5: .
6:
-
!
59
.
7: ( )
.
8:
: 2 , 3 , 4 , 7 8
.
2 :
0 - .
- .
1. : i. 2 2 2
ii. 2 2 2 0 iii. 22 22
i. 1 :
22 2 2 0 0 .
ii. 2 = 1 + 1 :
22 2 1 1 0 1 1 0 .
iii. 1 : 2 2 2 22 2 2 0 2 2 2 22 2 2 0
-
!
60
22 2 2 0 0 .
2. :
i. 1 1 4
,
ii. 2 3 2 2 3 6 0 . :
1 1 4 1 1 4
2 2 2
2
2
, 0 .
:
2 1 1
0 4 0
1 1 4
i. 1 :
3 2 2 2 3 6 2 3 2 2 2 3 0
2 3 0 2 . . .
-
: 0 0
3. :
-
!
61
i. 6 3 2 1 6 ii. 3 3 2 2
i. :
6 3 6 3 2 1 6 2 4 2
6 3 3 22( 2 1) 2( 1) 0
:
6 2 B 2 1 6
ii. :
3 3 2 2 3 3 2 2
3 2 3 2 2 2 2 2
2 2
2
0
2 0 . : 3 3 2 2 B
. .
.
1. 4 5 5 6 : i. ii.
iii.
iv. 2 2
i. :
( )4 59 11
5 6
ii. - 1 :
-
!
62
4 5 4 5 4 5
5 6 5 6 6 5
( )
2 0
iii. -
:
( )4 5 4 5
4 11 1 1 1 1 1
6 5 6 6 5
iv. - 2 :
2 ( )2 2
2
16 2541 61
25 36
1. 0 .
i. 1 , ,
ii. 1 1
i. 0 0 , - . :
1
1
:
1
ii. :
1 1 1 1 2
2 2 2 2 22 ( 2) ( )
0
-
!
63
0 . :
1 1
2.
i. 2 1
1 2
ii. ;
i. :
222 4 4 2 2 1 2 1 0 2 1 0 1
1 2
. : - , - . -
: 2 1 0 ii. :
22 2 2 1 0 1 0 1 1
3. 2 2 2 (1) : 2
2 2 2
, 2 0 :
2 2 2 2 2 0 2 0 2
2 2 2 :
2 2 (2)
(1) (2) :
( )
2 22 2 2
2 2
2 24 2 4 2
2
.
-
!
64
B.
. .
, 0:
.
0, . :
, -
0 0. -
. (.. ), . :
, 0
, 0
: .
. .
. :
,
03 245 2 1 1 3 4 5
-
!
65
.
.
:
i. 0 ii.
iii. iv. 2 2
, .
: x . :
< 0 . = 0 x = 0. > 0 x x .
x
:
0 :
x x x
x x x
: x . :
0 . 0 : x . x :
0 . 0 .
-
!
66
0 : x x . :
0 : x x
x x x
:
, . .
- .
0 . ,
3 2, - :
5 . :
3 2 5 5
03 2
-
!
67
:
d , :
. , .
.
:
.
, . . :
, 0
, 0
. :
x
x
0
-
!
68
- x. ( , ) .
. . . x . "+" x x . .
:
, x : x x x
, x : x x x .
: , . ( ). .
4. :
.
:
1. 0
2. 0
3. 0
-
!
69
4. 0
5. 0
. :
1 1 2
5. :
i. 5x 2x 1 3
ii. B x x x 1 2x
2x 1:
x 1/ 2
2x 1 0
2x 1 : 2x 1 0 , 1/ 2 . :
1
x ,2
2x 1 0 2x 1 2x 1 :
A 5x 2x 1 3 3x 2 .
1
x ,2
2x 1 0 2x 1 2x 1 :
A 5x 2x 1 3 7x 4 .
:
13x 2 x
21
7x 4 x2
:
-
!
70
x 0 1
x
x 1 x x 1
0 1 . :
,0x x 0 x x x 1 0 x 1 x 1 : 2 2 x( x) x 1 2x x x 1 2x x x 1 .
0,1x x 0 x x x 1 0 x 1 x 1 : 2 2 x( x) x 1 2x x x 1 2x x x 1 .
x 1, x 0 x x x 1 0 x 1 x 1 : 2 2 x( x) x 1 2x x x 1 2x x 3x 1 .
: 2
2
2
x x 1 x 0
x x 1 0 x 1
x 3x 1 x 1
1. :
x 4 1 d x,4 1 3 x 5 x 3 2
d x,1 3 1 x 3
- .
x 3 2, d x,3 2 . - . :
-
!
71
x 4 1 d x, 4 1 3 x 5 3 x 5 x 3 2 d x,3 2 1 x 5 x 1 3 d x,1 3 2 x 4
:
x 3 2 2 x 3 2 1 x 5
x 1 3 3 x 1 3 2 x 4
- . 1 :
1 x 3 2 x 1 2
: x 1 2 .
:
x 4 1 d x,4 1 3 x 5 x 3 2 d x,3 2 1 x 5
x 1 3 d x,1 3 2 x 4
x 1 2 d x,1 2 1 x 3
2. : i. 3 2 x 2 2 x 2 2 ii. 1 x 3 2
i. :
3 2 x 2 2 x 2 2 3 x 2 2 2 x 2 4 x 2 2 2 x 2 2 0 x 4
ii. . :
x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 3 1x 3 2 2 x 3 2x 3 2
-
!
72
x 2 x 4
1 x 5
:
: x 1,2 4,5
3. x A 7x 1 7 x
x. . :
1
7x 1 0 x7
, 7x 1 7x 1 .
1
x7
, 7x 1 0 , 7x 1 7x 1 .
x 0 x x x 0 x x .
i. x ,0 , : A 7x 1 7x 14x 1 .
ii. 1
x 0,7
, :
A 7x 1 7x 1 , ( x ).
0 21 3 4 5
x
7x 1
x
0 1 7
7x 1 7x 17x 1
x x x0
0
)[ )[
-
!
73
iii. 1
x ,7
, :
A 7x 1 7x 14x 1 . x, x
1
x 0,7
.
1: , - "" . - .
1. : ( ).
2. x 0 : 1 1x xx x
3. 0 : 2 3 4
4. : A x x B x x 1 x 3 x 4
5. x : A x 4 x 2 2 x
x.
6. : 2 2x x x 3x 2 0
7. :
-
!
74
x 1 3 d x,1 3 2 x 4 x 2,4 x 2 1
d x, 4 2 2 x 0
x 7,1
8. N : i. x 3 ii. B x 2 x iii. 2x x 1
iv. x 1 x 3 v. x x 2 x 4
9. 2 4 i. 4 2 ii. 3 6 2 8 iii. 5 4 8 4
10. 3 :
3 3 4 2 , 5 1
11. x 2 3 x 2 x .
x x.
12. A 3 3 6 .
13. 4 5 2 0 4 5 2 0 .
14. 0 .
15. 2 2 24 | | 2 .
16. : 2 2 2 .
17. 2 2 , 0 -
-
!
75
.
18. x 2 y 3 :
i. x y 5 , ii. x y 5 , iii. 3x y 9 , iv. x 2y 3 11 .
19. A 1 :
d 1, d 1, d ,
20. d , d ,3 d 3, .
. '
.
2x
.. 2x 7 .
7 . :
0 : 2x
:
i. x 0
ii. 2 2x x, x x iii.
iv.
i. .
-
!
76
ii. , x.
.
, .... .
: 3 4x , x , ...., ..
:
0 : x
: 1 1 2 2 = .
0
:
1. 0 : 2. , 0 :
i.
ii.
3. , 0 :
i. ii.
4. 0 :
i.
ii.
5.
1, 2, 3i 5 . . :
3ii) 44 54 552 3 2 3 3 4 3 4
-
!
77
4i) 3 62 2
4ii) 8 2 4 212 3 4 3 32 2 2 4
x :
0 x
0 x
0 x
0 .
.
. - .
1.
i. 2x 1
ii. 2 2x x 2x 1
, 0 x 1x x 1
,
: 2x x . :
i. 2x 1 x 1
ii. 22 2 x 1x x x 1x x 2x 1
x x 1 x x 1 x x 1
0 x 1 :
x x 1 x 1x1 1 2
x x 1 x x 1
2.
-
!
78
i. 8 18 50 72 32 ii. 3 33 4 2 2 2 2
-
: .
: .
i. - . . 18 2 9 3 6, :
18 2 9 2 9 3 2
18 3 6 3 6
. :
ii. 8 18 50 72 32 2 4 2 9 2 25 2 36 2 16 2 2 3 2 5 2 6 2 4 2 2 7 2 2 7 14 iii. 3 33 4 2 2 2 2
3 34 2 2 2 2
223 3 3 334 2 2 4 2 8 2
: . : 2 10, 3 5 , 4, 5 6 3, 8 9 2 . .:
-
!
79
6 62 64 , 64 2
3.
i. 5 3 2 52 2 2
ii. 22 6 9
iii. 34 33 3 :
, ,
i. :
.
: .
:
25 53 532 5 5 2 5 462 2 2 2 2 2 2 2 2
5 5 4 6 15 1156 30 2 152 2 2 2 2 2
ii. :
22 6 9 22 6 3 22 9 22 3 25 5 .
iii. - . :
. ... , ( 12)
... ( - ). :
3 3 3 1 4 9 4 13 124 4 3 3 4 12 12 12 123 123 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
-
!
80
.
. . -. :
-
. :
62 4 2 4 66 6 6
- :
1. -
:
i. 5
2
2
ii. 2
3 1
iii. 2 5
2 5
-
!
81
i. 5 54 4
5 4
5 5 45
2 2 2 2 22
22 2 2
ii.
2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 ( 3 1)23 1
3 1 23 1 3 1 3 1
iii.
22 5 2 5 2 52 5 4 4 5 5 9 4 32 5 3 32 5 2 5 2 5
.
, .
1. , 0
2
, 0 :
2 2 22 2
2 4
22 2 2 24 2 2 0 0 . 2.
i. 5 2 , 3
ii. 3 2 , 6 1
. , , .
-
!
82
i. 5 2 3 .
... ( 6). :
6 6 6 6 2 335 2 3 2 3 2 3 4 9
.
: 5 2 3
ii. : 3 2 6 1 :
2 23 2 6 1 3 2 6 2 6 2 6 1 5 7
. : 3 2 6 1
1. 1
A1 2 3
-
:
1 2 .
:
2 21 1 2 3 1 2 3
A1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 21 2 3 2 2 6 2 2 6
2 2 41 2 2 2 3 2 2 2
2. : 2 2A x 6x 9 x 2x 1 2
:
2 2A x 6x 9 x 2x 1 2
-
!
83
2 2x 3 x 1 2 x 3 x 1 2 . . - .
x 3 0 x 3 x 3 x 3 x 3 0 x 3
x 3 x 3 . :
x 1 0 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 .
. :
x ,1 : A x 3 x 1 2 x x 3 1 2 2x 2 .
x 1,3 : A x 3 x 1 2 0 .
3,x : x 3 x 1 2 2x 6 .
:
2x 2 x 1
0 1 x 3
2x 6 x 3
3. : i. 4x 256 ii. 42x 4 81 iii. 10 5x 32x 0 iv. 3x 1 27 v. 5 3x 64x 0 vi. 10 5x 32x 0
x
x 3
x 1
1 3
x 3 x 3x 3
x 1 x 1 x 10
0
)[ )[
-
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84
1 . : 1 ( -, ..). 2 . . :
i. . .
ii. 4 41
x2x 4 3 22x 4 81 2x 4 812x 4 3 7
x2
iii. :
5
10 5 5 5
5
x 0x 32x 0 x x 32 0
x 32 0
5 5
x 0x 0
x 32 x 32 2
iv. 3 3x 1 27 x 1 27 x 1 3 x 4
v. 3
5 3 3 2
2
x 0 x 0x 64x 0 x x 64 0
x 64 0
: , 0.
1. :
i. 2
2 3 2 3
ii. 200
1 1 ... 1
-
!
85
2. :
i. 1
2 3 ii.
8
5 3 2
iii. 1
2 2 iv.
23
x
x
3. :
i. 5 3 2 2 ii. 3
4 x 1 x
x x 1
iii. 8 2 7
iv. 5 3 2 2 v. 5 3
4. :
i. 1 3, 3 2
ii. 5 2 6, 3 2 2
5. :
1 1 1 3
22 2 1 6 3 2 12 4 3
6. :
i. 33x 9 1 ii. 4x 2 16 iii. 3
2x 1 8
-
!
86
x 0
- . -
. . -
: -
, - . .
- .
x 0 -
x . - :
-:
x 0 x
: .
. 0, :
0 :
x
0 : 0 0
0. 0
.
-
!
87
.
x 0 :
x
. .
. 1.
2 x 1 3 x 2 :
2 2 2 x 1 3 x 2 x 3 x 2
2 2 2 2 x x 3 2 1 x 3 2
-
x, 2 1 : 2 2 1 0 1 1 :
22
1 3 2x
1
2
1
2
x 1 1
: . - 1 1.
2 2 1 0 1 1 , .
i. 1 : 2 21 1 x 1 3 1 2 0x 0
, x .
ii. 1 :
2 21 1 x 1 3 1 2 0x 6
.
-
!
88
2. :
1 x 2 2x 2 9 .
. :
1 x 2 2x 2 9 2 1 x 2 4x 2 9 2 2 1 x 4x 9 1 4 x 9 2 3 x 9 -
x 0
0 .
:
3 0 2 9 0 3 3
3 3. :
2 x 2 x 2 14 . :
2 x 2 x 2 14 2 2x 2x 4 14
2 2 x 2 18 :
2 0 22 18 0 2 3
-. .
-
!
89
. .
. :
.
-, . - , . :
0 0 0 .
1. : i. 2x 1 3 2x 4x 9
ii. 2x x 4 2x 4 x x 4 0 iii. 23 x x x 5 8 x i. 1 : 2x 1 3 2x 4x 9 2x 1 3 2x 4x 9 0 2x 1 2x 3 4x 9 0 x 1 2x 3 2x 3 2x 3 0 2x 3 x 1 2x 3 0
2x 3 3x 4 0 2x 3 0 3x 4 0
3 4
x x2 3
: , .
ii. 2x x 4 2x 4 x x 4 0 2x x 4 2x x 4 x 4 0
2x 4 x 2x 1 0
-
!
90
2x 4 x 1 0
x 4 0 2x 1 0 x 4 x 1 iii. : , , . :
23 x x x 5 8 x
2 29 6x x x 5x 8 x
6x 5x x 8 9 0x 1, .
.
: -
... . . . . 0
.
2. :
i. 2
3 2 x 4
x 2 x x 2x
ii. 22
2x 1 1 x
x x x x 1
i. :
2
3 2 x 4 3 2 x 4
x 2 x x 2x x 2 x x x 2
... , . :
... x x 2
-
!
91
:
x x 2 0 x 0 x 2 :
3 2 x 4 3x 2 x 2 x 4
x 2 x x x 2
3x 2x 4 x 4 0x 0 . ii. :
2 22
2x 1 1 x 2x 1 1 x
x x x x x 1 xx 1 x 1
2... x x 1 :
2x x 1 0 x 0 x 1 :
2 222x 1 1 x
2x 1 x 1 x 1 xx x 1 x x 1
2 2 22x 2x x 1 x 2x 1 x
x 2 0 x 2 .
1. :
2 x 1 (1) . :
x 2 2x 5 7x (2) (1) :
2 0 2 2
1 0 2 1 0 3
(2) :
3 x 2 2 2x 5 7x 3x 6 4x 5 7x 0x 1 .
-
!
92
2. : i. 2 2 2 2x 2 x 1 1 3x 2 3x
ii. 3 2x 1 1 x 0
i. 2 2 2 2x 2 x 1 1 3x 2 3x
x 2 x 1 x 2 x 1
1 3x 2 3x 1 3x 2 3x
2x 3 1 3 6x 1
6 3
2x 3 3 6x 8x 6 x8 4
.
ii. 3 32 2x 1 1 x 0 x 1 x 1 0 3x 1 x 1 x 1 0 2x 1 x 1 x 1 0
2x 1 x 2x 1 x 1 0 2x 1 x 3x 0
x x 1 x 3 0
x 0 x 1 0 x 3 0
x 0 x 1 x 3
3. :
3 x 2 3 4 x 2 0. :
3 x 2 3 4 x 2 2x 3x 2 3 4x 4 2
2x 3x 4x 2 2 4 3
2 1 x 4 3 : 1 0 1 0, :
22 4 3 0 4 3 0 1
1
1 3 . 3 .
-
!
93
4. x 3 2 3x 5 - 2 x 10x .
x 3 2 3x 5 x 3 2 3x 5
3 x 3 2 5 :
3 0 3 3
3 2 5 0 3 3 2 5 0 7
:
2 x 10x
23 7 x 7 10x 3
10x 7 10x 9 0x 2
.
1. :
i. 1 x 1 1 2 x 1 3
22 3 4 3 3 2
ii. 7x 4 3x 5x
5 2
iii. 5x 7 2x 7 3x 142 3
iv.
8 x 5 x 6 xx
6 3 2 3
2. :
i. 2
2
4 x 1 x 30
x 1 x 1 x 1
ii.
1 1 1 1
x 1 x 1 2 x x 1
iii. 2 2
3x 2 1 6
x x 2x x 3x 2
iv. 2 3 14 9
x 1 x 1 x 1 x 2
v. 2
2 3 2 3 2 4 2
1 3 3 x 6
x 1 x x x x x x
-
!
94
3. : i. 1 x 1 1 ii. 22 1 x 4 1 iii. 2 2 9 x 3 iv. 2 2 2 x 5 6
v. 2x x 1 4 5
5 15 3
vi. 9x x 4x 23
vii. 2 4 6 2 1 3 4 2
4. :
24 2x x 5
0x x 2 3 x 2 2 x 1
5. :
2 2
1 1
1 x 1 x 1 x
6. :
1
41
xx 1
1x 3
7. 2 x 1 , - x 2 x 7 5x .
8. i. 22 2x x 8
ii. 2 2 2x 3 x 24 .
9. :
-
!
95
1 x 2 2x 2 9 .
10. :
22 x 5 2x 10 3x .
11. : 2
x 4x 1
,
.
12. :
x 3 2 3x 5
2 x x .
.
. - .
1 : ,
.
1. : i.
x 2 3
ii. x 2 3
iii. 2x 1 3 0
i. :
x 2 3 x 2 3 x 2 3
x 1 x 5
ii. -
-
!
96
iii. x -
:
2x 1 3 0 2x 1 3
2x 1 3 2x 1 3
2x 4 2x 2 x 2 x 1 2. :
i. 5 x 7 x 9 x 13 23 4 2
ii. 1 x 1 2x 2x 1 13 3
i. . ... 12 , :
5 x 7 x 9 x 13
23 4 2
4 5 x 7 3 x 9 6 x 13 24 20 x 28 3 x 27 6 x 78 24
x . :
20 x 28 3 x 27 6 x 78 24
20 x 3 x 6 x 78 24 28 27
11 x 55 x 5 x 5 x 5
ii. - - :
1 x 1 2x 2
x 1 13 3
x 1 1 2(x 1)
x 1 13 3
x 1 1 2 x 1
x 1 13 3
-
!
97
x 1 1 2 x 1
x 1 13 3
( ... 3 )
x 1 :
3 x 1 x 1 1 2 x 1 3
3 x 1 x 1 2 x 1 1 3
4 x 1 4 x 1 1
x 1 1 x 1 1
x 2 x 0
2 : .
3. : i. x 4 2x 3
ii. x 4 2 x 1
i. : x 4 2x 3
x 4 2x 3 x 4 2x 3
x 7 1x3
ii. x
2 :
x 4 2 x 1 x 4 2 x 1
x 4 2 x 1 x 4 2x 2
x 4 2x 2 x 4 2x 2 x 2 x 2
3 : .
4. : x 3 2x 1
-
!
98
.
x 3 0 x 3 x 3 x 3
x 3 0 x 3 x 3 x 3
:
:
x ,3 x 3 x 3 :
2
x 3 2x 1 3x 2 x3
, 2 ,33 .
x 3, x 3 x 3 : x 3 2x 1 x 4 , 4 3, . :
.
4 :
.
5. : 5 x 3 x 7
. :
5 x 0 x 5 5 x 5 x
5 x 0 x 5 5 x 5 x
5 x 0 x 5 5 x 5 x
x 0 x x
x 0 x x
x
x 3
3
x 3 x 30
)[
-
!
99
.
x ,0 : 1
5 x 3x 7 4x 2 x2
1 ,02
.
x 0,5 : 5 x 3x 7 2x 2 x 1
1 0,5 x 5, :
x 5 3x 7 4x 12 x 3
3 5, .
1. :
i. 2 x 4
ii. 22 x x 4 0
i. :
2 x 4 2 x 4 2 x 4
:
2 x 4 x 2 x 2
2 x 4 x 6 x 6
:
x 6 x 6 x 6
x
5 x
x
0 5
5 x 5 x
x x x0
0
)[ ](
5 x
-
!
100
ii. 0. , - 0. :
22 x 0 x 4 0
x 2 x 2
x 2 . 1: ii) . :
0 :
0 o . 2 : . ( ) 0, . :
2 x x 4 0
x 2 x 4 . x .
: 1.
i. 2 2x 1 4x x 4 5 0 ii. 2 2| v 9 6v 3 v | 12
2.
i. 7x 4 3x 5 ii. x 1 4 3 x 1 1 x 1 4
23 15 5
iii. x 5 19 iv. x 2 1 3
-
!
101
v. 1 x 2 3 vi.
7 x 2x 5
vii. y 2 y 3 viii. 3 x 1 2 x ix. 3 t t 4 t 0 x. d 1, y d y, 2 2y 1 3.
i. 4x 3 x 8 ii.
2x 9 6 2x 0
iii. 5x 2 3 iv.
x x x 1 3
v. z 3 2z 7 vi.
2 b 4 2 b
vii. y y 13 13 viii. d x, 2 3 ix. d 2x, 5 d x, 1 x. d c, 3 5 c
xi. 2t 10t 25 3 xii. 2y 6y 9 5 3y
2x x = 0 , 0
2 () . :
2 4 :
2x x 0 , 0
0 : 1,2
x2
0 : 1,2
x2
0 ()
. :
0 -
-
!
102
0 . 2 2 .
0 1 .
22x 2 0 0 . ( ).
:
4 .
2 4 . 0 .
2x x 2 0 - .
A. -.
2x x 0 . , :
0 0 0
: 1. :
i. 2x 10x 0 ii. 2x x iii. 24x 1 0 iv. 22x 1 0
v. 2x x 6 0 vi. 2x 6x 9 0 vii. 2x x 1 0 . :
i. 2x 10x 0 x x 10 0 x 0 x 10 0
x 0 x 10
, 1 , 10 0 .
-
!
103
: 2 2 4 10 4 1 0 100 0 100 10
:
1,2 1 2
10 10x x 0 x 10
2 2 1
ii. , - x, . 1 :
2 2x x x x 0 x x 1 0 x 0 x 1
iii. :
24x 1 0 2x 1 2x 1 0 2x 1 0 2x 1 0
1 1
x x2 2
iv. . 1 :
2 22x 1 0 2x 1
. :
v. 22x x 6 0 , 1 4 1 6 1 24 25 :
1,2 1 2
1 5x x 3 x 2
2 1
vi. 22x 6x 9 0 6 4 1 9 36 36 0 :
6x x 3
2 1
vii. 22x x 1 0, 1 4 1 1 1 4 3 0 . 2. :
-
!
104
i. 2x 2 3 3 x 12 3 0 ii. 2 x x 02 4
. :
2
2 3 3 4 1 12 3 4 9 6 3 3 48 3
36 24 3 12 48 3 36 24 3 12 4 9 6 3 3 2 224 3 2 3 3 3 4 3 3 2 3 3 . :
1,2
2 3 3 2 3 3 6 2 3 6 2 3x
2 2
1 24 312
x 6 x 2 32 2
:
2
4 1
2 4
2 2 2 4
4 4
2 2
4
2
4
2
:
1,2 1 2
2 2 2 2 2x x x
2 2 2 2 2
. 2
. - ( ), 2 , -
-
!
105
.
1. : 2x 2x 2 1 0 :
2 2 4 1 2 1 4 8 8 12 8 :
i. 12 3 0 12 8 0 8 2
2
.
ii. 12 3 0 12 8 0 8 2
1 -
iii. 12 3 0 12 8 0 8 2
-
. : . .
: 1,22 12 8
x2
2. 2 2x 2 1 0 2 .
: 2 22 2 2 1 4 1 4 1 4 0 - .
1. :
2 x x 0 , 0, 0 :
2 2 2 4 4 4 22 0
-
!
106
2 :
1,2
2 x
2
1 2
2 2 2 x 1 x
2 2
: :
2 2 0 2 .
2. :
2 2x 1 x 3 0, 1 x 4x 0, 2 3
(1) (2) , : i. 1 ii.
(1) (2) :
2 2 1 3 0 4 0
:
2 2 1 3 4 3 4
3 3
3 3 1, 3
1 x 1 :
21 1 3 0 3
-
!
107
1. :
i. 2 22x 5 x 2 33 ii. 2x 2 x 3 0
iii. 2 215x 2x iv. 2 2 2x 2x
v. 2 2 2 2 2x x 0 vi.
2x x 6 6
2. . i. 2x 2 x 0 ii.
2x 1 x 0
iii.
2x 2 x 0 , 0 iv. 2x 3 x 5 0
v. 2x x 0, 0
3. : i. 2 3 x 4x 5 6 0 . ii. 2x 4x 0 . iii. 2 2x 2x 1 0 .
4. 2x 3 x 5 0, 0 . .
5. : i. 2 3 2 3 0 ii. 2 2 2 1 4 0
1. 2x x 0
2
2 x 1 x 0 4
.
7. 2x 2x 1 0
2 2 9x 2 1 x 0 4
, .
8. 2 2x 4 12 x 12 0 , 2. . . . 2 .
-
!
108
9. :
2 2x 2x 2 0 :
. .
. .
.
. .
10. :
2y y 12 0 , (1) 2 2y 2 9 y 6 0 , (2). (1) (2). (2).
11. :
22 4 2 2 1 0 . . .
.
3,5 .
12. : 2x 2 1 x 6 3 0 .
. 1 .
. ()
2 2x x 0 . .
-
!
109
. Vieta
. 1x 2x -
2x x 0 :
1 2 2
S x x2 2 2
2 21 2 2 2 2
4 4 P x x
2 2 4 4 4
Vieta :
1 2 1 2
S x x P x x
2x x 0 :
2 x x 0
Vieta : 2x Sx P 0
Vieta -:
2
. 1x 2 2x 3
2x 5x 6 0 S 2 3 5 P 2 3 6
- . 5 6
2x 5x 6 0
S P - :
0 2 , P ( , ). :
-
!
110
P 0 : S 0 , S 0 .
P 0 P 0 0 :
S 0 S 0
0 Sx2 2
-
S. :
S > 0, , S < 0, .
:
2x x 0
S 0, 1
S 0, 1
P 0, 2
S 0, 2
S 0, 2
0, 1
0, 2
P 0, 2
0, 0
-
!
111
. , .
S P - .
1. 1 2x x 2x 5x 3 0
:
i. 2 21 2A x x , ii. 3 31 2 x x
iii. 1 2
1 1
x x , iv. 2 21 2 x 2 x 2
S P
:
1 2 1 2
5 3S x x 5, P x x 3
1 1
i. 1
:
2 2 2 21 2 1 1 2 2x x 5 x 2x x x 25
2 21 2x 2P x 25 2 21 2x x 25 2 ( 3)
A 31
ii. :
3 3 3 2 2 31 2 1 1 2 1 2 2x x 5 x 3x x 3x x x 125
3 3 3 31 1 2 1 2 2 1 2x 3x x x x x 125 x 3P S x 125 3 31 2x x 125 3( 5)( 3) B 125 45 170
iii. :
1 2
1 2 1 2
x x1 1 S 5
x x x x P 3
iv. :
2 2 2 21 2 1 1 2 2 x 2 x 2 x 4x 4 x 4x 4
2 21 2x x 4S 8 31 4 ( 5) 8 31 20 8 19
-
!
112
.
S P : 2x Sx P 0
1. : 3 1 o S P .
1 2S x x 3 1 2 1 2P x x 3 1 3 :
2 2 2x Sx P 0 x 2 x 3 0 x 2x 3 0
2. 1x 2x 2x px q 0 -
1 1 2x 2 2 2x .
1S 1P
2S 2P .
:
1 1 2 p
S x x p 1
1 1 2 q
P x x q 1
:
2 1 2 1 2 1 2 1S 2x 2x 2 x x 2S 2p
2 1 2 1 2 1P 2x 2x 4P 4q
: 2x 2px 4q 0
. .
- -.
1. 23x 1 x 2 0
-
!
113
. . . :
1 2x x 0 S 0
:
1S 0 0 0 1 0 1
3
0 0.
2. 2x 3x 2 0 : i. 2 ii. 2 iii. 2 0 iv. 2
:
i. 2 : 0 , P 0 S 0 .
2 0 3 4 1 2 0 9 4 8 0
17
4 17 4
2P 0 0 0 2 0 2
1
:
3S 0 0 0 3 0 1
, .
2 . :
172
4
ii. 2 : 0 P 0 .
-
!
114
17 0 4
P 0 2
: < 2
iii. 0 : P 0 2
:
S 0 3 0
. 2 .
: 0 , S > 0 - .
iv. : P 1 2 1 3
1. 1 2x x 2x x 4 0
: 2 2 2 21 1 2 2 1 2
2 21 1 2 2
3x 5x x 3x 5x x
4x 6x x 4x
1 2x x -
. :
2 2 2 21 1 2 2 1 2
2 21 1 2 2
3x 5x x 3x 5x x
4x 6x x 4x
2 21 2 1 2 1 2
2 21 2 1 2
3 x x 5x x x x
4 x x 6x x
2 21 2
2 21 2
3 x x 5 PS
4 x x 6 P
-
!
115
Vieta :
1 2
S x x 1
1 2 4
P x x 4 1
:
2 2 2 21 2 1 1 2 2x x 1 x 2x x x 1
2 21 2x x 1 2P 1 2 4 9 :
2 21 2
2 21 2
3 x x 5P S 3 9 5 1 4 27 20 47
4 9 6 4 36 24 604 x x 6P
2. 1 2x x 2x x 0 , (1) -
:
2 21 1 2 1 2 x x x x 2 1 2 4x x
1 1S P (1)
2 2S P . :
1 1 2
S x x 1
1 1 2
P x x 1
:
2 22 1 2 1 2 1 2 1 2S x x x x 4x x
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 4x x x x x x 4 1 1P S 4 2S 4 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2P x x x x 4x x 1 2 1 2 1 2 1 1 1x x x x 4x x P S 4P
22P 4
:
2 2x 4 x 4 0
-
!
116
3. 2x ( 2)x 4 0, 1 - 2 3 2x 5x 2 0, 2 0 -.
1 2x x 1 1 2 2 . -:
1 2
2x x 0 S 0 0 0
1
2 0 2 0
(2) :
3 2 2
21 2
2 ( 2 1)P 2 1
2P 1
2 1 2P 1 1 2 .
4. 2x 2 1 x 2 0 1 i. . ii. .
i. :
2 2 2 2 1 4 1 2 4 4 1 8 4 4 1
2 2 1 0 , (1) .
ii. S P (1) :
(2 1) 2S 2 1 P 2
1 1
:
2 1 0 2 1 0 2
, :
-
!
117
2 1 1
x 02 2 2
,
1
2 .
1
2
0 , -
:
2P 0 0 2 0 01
, S 2 1 0
. 1
2
. P 0 0 , . P 0 0
0 0 , S 1 0 .
1. 1 1 1
x x 2x3 3 9
2. 22x 2x 3 0 . : i. . ii. iii. .
3. 2 S P . 4.
2x x 6 0
5. 22x 3 3 2 x , 2 .
6. + + = 0 2x x 0 1.
7. 22 x 4x 4 0 ,
-
!
118
22 x 4x 4 0 , .
8. 2x x 0 . : i. 0 . ii. .
9. 23x 2x 3 7 0 , :
i. ii. iii. .
10. 2x 5 6 x 1 0 2 2x 13x 0 :
i. ii. .
11. p q
2x px q 0 2 3.
12. 2x x 0 . i. . ii. 2 .
13. 1 2x x 2x 5x 2 0 -
3 2 3 21 1 2 2 1 2A 4x 6x x 4x 6x x .
14. 2x x 0
2 x 2 x 0 .
15. 2 2x 2 1 x 0 :
-
!
119
i. 2 ii. 2 iii. 2 iv. 2 v. 2 .
16. 2x 16x 0 -
1 2x x
22 6 .
17. 2x 2 x 1 0 .
2 2 1 1 1x x x x 3 3 x .
18. 2x 5 6 x 1 0 , (1) 2 2x 13x 0 , (2) 0 .
(1) (2).
20. 2y 4 1 y 8 1 0 (1). i. (1) . ii. 1y 2y (1)
1 2 y 2 y 2 , .
iii. : 2 2 21 1 1 2 2y y y y y y 64 .
21. 2 2x 2x 2 6 0 . i. . ii. 14.
iii. 1 2x , x
o ii. :
2 21 2A x x
1 2
1 1B
x x .
-
!
120
2
.. , ... - 2 . - .
2 - 3 -. , . 3 .
.
-. .
1. : i. 2x 1 4 x 1 5 0
ii. 2x 4 x 5 0
iii. 2
1 1x 5 x 6 0
x x
,
2 0
i. x 1
. : 2 2x 1 x 1
: 2x 1 4 x 1 5 0 -
: x 1 :
-
!
121
2 4 5 0 1 2 1 5 x. :
x 1 1 x 1 5
:
x 1 1 x 1 1 x 1 1
x 2 x 0
ii. - :
2x 4 x 5 0 x 4 x 5 0 x : 2 4 5 0
1 2 5 1 . :
x 5 x 1
- :
x 5 x 25
iii.
x 0 . : 1x x
: 2 5 6 0
: 1 2 2 3 . :
22 21x 2 x 1 2x x 2x 1 0 x 1 0 x 1
x
2 21x 3 x 1 3x x 3x 1 0x
: 1,2
3 5x
2
2. :
i. 4 22x 7x 3 0
-
!
122
ii.
2 2x 3x 2 x 1 0
i. x .
6 3 8 4x 3x 2 0 x 5x 6 0 . - x.
: 2x : 22 7 3 0
: 1 21
3 2
: 2 21
x 3 x2
.
. ii. :
2 2x 3x 2 x 1 0
2 2x 3x 2 0 x 1 0
x 1 x 2 x 1 x 1 x 1
1. :
22
1 112 x 4 x 19
x x
.
1x , 1x
(1) :
22 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1x x 2x x 2, 2
x x x x
(1) (2) :
212 2 16 19
-
!
123
212 24 16 19 0
212 16 5 0
: 1 25 1
6 2
. (1) :
2 21 5
x 6x 6 5x 6x 5x 6 0x 6
1 23 2
x x2 3
2 21 1
x 2x 2 x 2x x 2 0x 2
3,41 17
x4
2. :
22 2x 7x 3 10 x 7x 3 21 0
: 2x 7x 3 : 2 10 21 0
: 1 2 7 3 :
2 2 1 2x 7x 3 7 x 7x 10 0 x 2 x 5
2 2 1 2x 7x 3 3 x 7x 6 0 x 1 x 6
1. :
i. 22 x 2 x 20 0 ii. 4 24x 8x 3 0
iii. 6 3x x 6 0 iv. 2
x x6 7
x 1 x 1
v. 2 2x 3x 2 x 3x 15 vi. 2 2x x x x 2 24
vii. 23 1 x 5 x 1 2 0 viii. 22x 2 2
3 x 2 0x x
-
!
124
2. :
i. 8x 1x 1
ii. 2
2
3x 4
x 1 x 1
iii.
2
1 5 3
2x 3 x 2x 3x
iv. 5 2 2x 1 x 4
v. 3 4 2x 3 x 2
3. -
10 cm -
10 cm .
4. : i. 2 2x x x 11x 10 0 ii. 2 4 2 y y 6 y 13y 36 0
iii. 2 4 2 4 3 10 9 0
5. :
i. 22 2x 5x 3 4 x 5x 15 0 ii. 24 2 4 2y 5y 2 6 y 5y 1 26 0
6. :
i. 4 2 2 2x 2 x 2 0 ii. 24 2 2 2y 4y 0
iii. 2 4 2 2 2 2 1 0 iv. 4 4 2 2 2 2 2 2 2 y y 0
7. : i. y 4 y 2 y 1 y 1 8 0 ii. 1 2 2 3 12
8. :
2 2 2 2x 1 3 x 2x 1 2 3 0 2 . .
9. : 4 3 3 2x 8 x 10x 5 2 0 i. .
-
!
125
ii. .
10.
2 21 x 9 x 6 9 04
. i. ,
ii. x x 28 0 .
-
! 126
x + < 0 x + > 0
. - . . - - . , .
-
4 5, 4 5
4 4 4 5 . 4 , 5 4 , 5 - . :
, .
, , ( ).
. .
:
, x , x , , x
x .
, , x
-
! 127
x . , -
, - . - :
x + < 0
x 0 , :
:
x 0 x
. 0, :
0 - . :
x
0 :
x
0 :
x , x ,
x , x ,
x ,
x , x ,
x ,
-
! 128
0x
: 0 0
0 0 -
. .
.
, : ,
. ,
1. :
i. x 2 1 2x x 22 5 10 5
ii. 1 3x 11 x 16 x 320 5 5 2
iii. 3x 1 x 12x2 2
i. :
1. ... 2. 3. 4. x x
... 10 . :
x 2 1 2x x 2 5 x 2 2 1 2x x 42 5 10 5
5x 10 2 4x x 4 5x 4x x 10 2 4 0x 4 x
ii. ... 20 . :
-
! 129
1 3x 11 x 16 x 3 1 3x 4 11 x 16 4 10 x 320 5 5 2
1 3x 44 4x 64 10x 30 3x 4x 10x 64 44 1 30
11x 77 x 7
iii. ... 2 :
3x 1 x 12x 3x 1 4x x 12 2
3x 1 4x x 1 3x 4x x 1 1 0x 0
.
2. :
4x 1 x 1 3 5 x 103
-
. :
4x 1 x 1 4x 1 3 x 13
4x 1 3x 3 4x 3x 1 3 x 4 :
3 5 x 10 15 3x 10 3x 10 15
53x 5 x
3
: 5
x 4 x3
-
:
5
34
-
! 130
5
x ,43
.
3. : 19 2x 1 3
. :
2x 1 19 2x 1 19 2x 20 x 10
2x 1 3 2x 1 3 2x 4 x 2
: 10 x 2 x 10, 2 :
. , < > > < .
. .
- . 1. :
x 1 2 x x 12
3 2 2
x ,
. ... = 6. :
x 1 2 x x 1
2 2 x 1 2 3x 12 3 x 13 2 2
2 x 1 4 3x 12 3 x 3 2 x 2 4 3x 12 3 x 3 2 x 3 x 3x 2 4 3 12 3 x 2 5
:
-
! 131
3 0 3 2 5x3
3 0 3 2 5x3
3 0 3 : 0x 11
1. : 2x 1 2x 2 x 1
13 3 4
... = 12. :
2x 1 2x 2 x 11 4 2x 1 4 2x 2 12 3 x 13 3 4
8x 4 8x 8 12 3x 3 3x 12 4 8 3 3x 27 x 9
2. : 2 x 1 3 2x 3 1 x 3 x 2 2 3x 1 2x
: 2(x 1) 3(2x 3) 1 x 2x 2 6x 9 1 x
2x 6x x 2 9 1 29x 6 x3
:
3 x 2 2 3x 1 2x 3x 6 6x 2 2x
3x 6x 2x 2 6 45x 4 x5
, .
23
45
-
! 132
1. :
i. 5x 16 x 8 x 16 12 3
ii. 2 3x x 3 x 9x 1 x
2 3 2
iii. 2 2x 3 2x 1 35
4 16 16
iv. 2 2x 1 3 x 3 x 1
2. :
3 2 x 16 x 1x2 5 5
x 4 x 5 37 x 1
3 6 18 9
3. :
2x x 1 2x 1 3x 1 12 8 4 8
2x 1 x 1 x 4 25
4. 0 :
x 1 1x
5. , 0 1 1 1 4 .
6. , 0 1 1 1
4
7. x : 2
x 1 1
x 1 2
8. : 2
1 x 1
2 x 3
9. 3 2 5 6
:
-
! 133
10. : x 3 1 2x
11. N .
. 2 6 2x 9 . 4 2 1 3 4 11 . 5 4 y 2 2 y 3 5 2 y 4y
12. , . . x 4 2 2 4 x 1 . 2 2 1 y y 1
13. 3 x 2 2x 3 2 3x , .
14. y 2 3 y . , x.
15. 3 3 2 3 2 1 . -
1, 3 .
16. 2x 3x 2 2x 1 . .
. 4
. .
- .
-
! 134
1 : , .
1. :
i. x 2 3
ii. x 1 2 4
iii. x 3 2
iv. 2x 1 0
i. :
x 2 3 3 x 2 3 1 x 5
ii. x x
:
x 1 2 4 x 1 6 6 x 1 6 7 x 5
iii. - . iv. . :
12x 1 0 2x 1 0 2x 1 x
2
2. : x 2 3 2 x 1
2 3 2
. ... = 6, :
x 2 3 2 x x 2 3 x 21 1
2 3 2 2 3 2
3 x 2 3 2 x 2 3 3 x 2 9 2 x 2 3
3 x 2 2 x 2 3 9 x 2 12
12 x 2 12 10 x 14
-
! 135
2 : x .
3. :
x 2 2x 1
.
. x 2 :
:
x , 2 : x 2 2x 1 3x 3 x 1
.
x 2, : x 2 2x 1 x 1 x 1
2, . :
. 3 :
. 4. :
x 3 2 1 x 3
:
x 3 0 x 3 x 3 x 3
x 3 0 x 3 x 3 x 3
x
x 2
2
x 2 x 20
)[
-
! 136
, 1 x 0 x 1 1 x 1 x
1 x 0 x 1 1 x 1 x
:
x , 3 :
x 3 2 1 x 3 x 3 2 2x 3 x 8 x , 3 x 3, 1 :
2x 3 2 1 x 3 x 3 2 2x 3 3x 2 x3
2
x , 13
x 1, : x 3 2 x 1 3 x 3 2x 2 3 x 2 x 2 x 1, 2
: 2
x ,13
x 1, 2
:
2x ,2
3
: x < 0 < 0 x > 0 .
x
x 3
1 x
3 1
x 3 x 3
1 x 1 x 1 x 0
0
)[ ](x 3
-
! 137
1. :
i. 3 2 x 2 2 x 2 2 ii. 1 x 3 2
i. : 3 2 x 2 2 x 2 2 3 x 2 2 2 x 2 4