ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

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ΘΕΩΡΙΑ, ΑΣΚΗΣΕΙΣ.

Transcript of ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

  • ................................................................. . 4

    1

    .................................................................................. . 11

    2

    ........................................................... . 39

    3

    .......................................................................................... . 86

    4

    .......................................................................................... . 126

    5

    .............................................................................................. . 154

    6

    .................................... . 179

    7

    ............................................ . 195

  • ! 4

    1.1 : P - . 1. . .

    2. " 30 10 " . .

    1.2 : P Q P Q, P Q P Q .

    O P Q " P Q ".

    O P , Q -. : Q , P , , . .

    : " " Q: 2 2" "

    : 1. " " 2 2" " .

    2. 2 2" " " "

    ( Q P .)

    : 2 2" " " " !!!

    . 2 2" 4 4 " " 4 4" .

    1.3 P Q , , P Q P Q.

    P Q :

    " Q". .

  • ! 5

    : " " Q: "2 2"

    : P Q " " "2 2" .

    1.4 " "

    A P Q , " P Q " .

    " P Q " P Q -

    , Q, .

    . : , .

    . 0 0 0.

    1.5 ""

    A P Q , " P Q " - . " P Q " P Q. . , . . 0 0 0

    .

    , , .

    , , .. - , , ,

  • ! 6

    .

    x x A , x A

    : .. = {1, 2,3},

    : .. x / x 1 2

    , - :

    x / x :

    " x , x "

    0, 1, 2, 3, , 0, 1, 2, 3, . -

    .. = {1, 3, 5,}.

    .

    . :

    . B . : .

    : i) , ii) B ( )

    iii) B , iv) , .

    :

    Venn. - - .

  • ! 7

    i. ,

    - . :

    x / x A x ii. ,

    , . :

    x / x x iii.

    . :

    x / x A

    Venn :

  • ! 8

    .

    i. :

    .

    A x / x 5 . 2B x,y / x , y , / x 1 0 y 2 3

    A x / x 5 x / 5 x 5 5, 4, 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4,5

    2B x, y / x , y , x 1 0 y 2 3

    x, y / x , y , x 1 x 1 0 y 2 3 y 2 3

    x, y / x , y , x 1 y 1 y 5

    1,1 , 1, 5

    ii. :

    2A x / x 2 x 1 0 3B x / x 1 0 x 8

    2 2A x / x 2 x 1 0 x / x 2 0 x 1 0 2, 1,1 . 3B x / x 1 0 x 8 x / x 1 x 2 1, 1, 2 .

    .

    iii. A x / x 0 B x / x 1 .

    A x / x 0 0 B x / x 1 .

    x 1 .

  • ! 9

    iv. A 1, 1,2

    4 3B x / x 3x x 3 0 :

    1 B 031131 34 1 B 4 31 3 1 1 3 0

    2 B 0932232 34 .

    v. x / x 12 , A x / x 4 B x / x x 3 . , A B A B .

    x / x 12 1, 2, 3, 4, 6, 12

    A x / x 4 x / 4 x 4 1, 2, 3, 4 B x / x x 3 x / x 3 x 3

    B 1,3 . A x / x 6, 12 .

    A B x / x A x B 1, 2, 3, 4 A B x / x A x B A . B A .

    1. x / x 5 , A x / x 5 2B x / x 6x 5 0 2 x / x 25 0

    , , . :

    A B, B , A , , , , , , A , , . 2.

    x / x 12 B x / x 6 . 12

  • ! 10

    6.

    3. 1,2,3, ,10 1,2,4,7,8 , 3,4,8,10 2,4,5,10

    ) , , Venn.

    ) - Venn :

    i) A B ii) B iii) B iv) A B v) A B

    4. Venn , .

    ) , ;

    ) :

    i) A B ii) B iii) B iv) A B v) A

    1 2

    54

    12

    2

    19 4

    5

    1

    7

    8

    1036

    4

    21

    0

    3

  • ! 11

    , - .

    .. .

    .

    1 2 , , , , 1 2 , , , .

    . .

    - , 2 .

    ..

    1,2,3,4,5,6 1 , 1,3,5 -.

    i

    i{ } . -

    . .

    .. 2,4,6 3 - 2, 4 6.

  • ! 12

    .. 2,4,6 3 .

    , . , , - , .

    , - , - .

    , . , - , . , , :

    " " " " , .

    .. 1,2,3 , 2,3, 4 1,2,3,4

    " " " " .

    .. 1,2,3 , 2,3, 4 2,3

    " " "- " - . " ". ..

    1,2,3,4,5,6 . 1,3,5 2,4,6

  • ! 13

    " " , , , . : . ..

    1,2,3,4,5,6 . 1,2,3,4 3,4,5,6 1,2 .

    1)

    2)

    De Morgan

    3)

    ( )

    4) ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    5) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    6)

    :

    ,

    ,

    7)

    A B A A B B

    A A B

  • ! 14

    ,

    A B .

    - .

    - Venn

    -:

    " ".

    " ".

    : " ".

    "

    ".

    .

    :

  • ! 15

    KKK, KK, KK, K, KK, K, K,

    A B A B B A A B A B B A

    : , A B . :

    A B A B A B A A B B A B A B B A A B

    , - , .

    .. : 1,2,3,4,5,6 : ,

    - - . . 3 .

    - :

    1 2 3

  • ! 16

    - .

    .. 1, 2 3, 2 4, 5 6.

    - . .

    - .

    : 1,4 , 2,4 , 3,4 , 1,5 , 2,5 , 3,5 , 1,6 , 2,6 , 3,6

    : -

    , . -

    , ,

    .

    . . , -, .

    : , . . .

    1

    2

    3

    4 5 6

    1, 4 1,5 1,6

    2, 4 2,5 2,6

    3,5 3,6 3, 4

  • ! 17

    : Bernoulli, de Moivre, Laplace, Gauss, Poisson, Chebychev, Markov Lyapounov.

    R. A. Fisher R. Von Mises.

    Von Misses. A. Kolmogorov .

    ,

    Af .

    :

    Af .

    1 2 3 , , ,..., -

    1 2 , ,..., 1 2 , ,..., ,

    1 2 1 1

    , ,...,

    f f f

    :

    1. i0 1, 1,2,..., f i ii i

    0 0 1 0 1

    f

    2. 1 2 1 2

    ... 1

    f f f

    i

    i 1

    1

    f .

    - - ()

  • ! 18

    . ( ) - .

    -

    . () :

    P A lim

    - . () -

    P A

    (): . (): .

    :

    1. :

    i.

    N P 1

    N

    ii.

    N 0P 0

    N N

    iii. 0 P A 1

    N A N

    0 N A N 0 0 P A 1N N

    2. .

    3. 1 2 , ,...,

  • ! 19

    i1

    P

    , i 1, 2,...,

    1 2 , ,..., - . i , iP , : i0 P 1

    i

    i 1

    P 1

    iP i . () 1 2 A , ,...,

    1 2 P P ... P , P 0 .

    , . . .

    1. :

    P A B P A P B

    N A N B , A B , . , :

    N A B N A N B .

    A B

    B A

  • ! 20

    :

    N A BP A B

    N

    N A N B

    N

    N A N B

    N N P A P B .

    (simply additive law) . , ,

    P A B P A P B P .

    2. A :

    P A 1 P A

    A A , A , , :

    P A A P A P A

    P P A P A

    1 P A P A .

    : P A 1 P A .

    3. :

    P A B P A P B P A B

    N A B N A N B N A B , (1)

    N A N B A B .

    B

    B A

  • ! 21

    (1) N :

    N A B N A N B N A B

    N N N N

    P A B P A P B P A B . (additive law).

    4. A B , P A P B

    A B :

    N A N B

    N A N B

    N N

    P A P B .

    5.

    P A B P A P A B .

    A B A B A B A B A , : P A P A B P A B .

    P A B P A P A B .

    A B

    B A

  • ! 22

    1.

    ,

    ,

    2. 1 1

    3. , .

    4.

    1. A B P A P B !!!!

    2. - . , , :

    P A B P A P B P P A B P A

    P B P A B

    P A B P A B P A B P P A B P A P B P A B P P A B

    P A P B P P A B P A P B P A B

    3. : BPAPBAP ( Boole)

    P A B P A P B P A P B P A B P A P B

  • ! 23

    P A B 0 P A B 0

    . : PBPAPBAP 4. ABBA

    : A B B A :

    P A B B A P A B P B A

    P A P A B P B P A B

    P A P B 2P A B 5. :

    )

    )

    ) P A B P A B 1 P A B

    ) P A B P A B 1 P A B

    6. : BPAPBA :

    A B A P A B P A

    P A B P BA B B

    A A B P A P A B

    P B P A BB A B

    (4) .

  • ! 24

    1 , . .

    ,

    N AP A

    N

    (), () .

    3 .

    i. ii.

    , -: : " ".

    : " ".

    : " "

    : " ".

    i.

    .

    KKK,KK,KK,K,KK,K,K,

    A ,, ,

    N A 3P A

    N 8

    1 2 3

  • ! 25

    B KKK, ,

    2 1

    8 4

    ,,,,,, 8

    7

    ,,,

    4 1

    8 2

    2

    , -

    - , "" .

    2P A ,7

    1P B3

    4P A B21

    :

    i. ii. iii. iv. v. vi.

    i. 2 5P 1 P A 17 7

    ii. 2 1 4 3P A B P A P B P A B7 3 21 7

    iii. 3 4P A B 1 P A B 17 7

    iv. 2 4 2P A B P A P A B7 21 21

  • ! 26

    v. 1 4 3 1P B A P B P A B3 21 21 7

    vi. 2 1 5P A B B A P A B P B A21 7 21

    .

    120 , 24 - , 20 12 -. . :

    i. ; ii. ; iii. ;

    ( 2000)

    : : . .

    : . . .

    : 24 20 12P A , P B , P A B120 120 120

    i. 24 20 12 32 4P A B P A P B P A B120 120 120 120 15

    ii. P A B B A P A B P B A

    P A P A B P B P A B

    24 20 12 20 12

    120 120 120 120 6

    iii. 4 11P A B 1 P A B 115 15

    3

    ,

  • ! 27

    . .

    1,2,...,2004 :

    2 , 1 3

    P 2, 4

    0, 4

    : i. ii. :

    A / 2 5 B / 2 2002

    i. :

    P 1 P 2 ... P 2004 1

    2 2 2 2 2 1 3 2 1 0

    01 1 1

    3 3

    ii. :

    P A P 2 P 3 P 4 P 5 2 2 2 2 6 82 2

    9 3 9 9 9

    3, 5, , 2001 2 1P B P 3 P 5 P 2001

    9

    4

    , :

    !!!

  • ! 28

    A ,

    0 P A 1 0 P A B 1 0 P A B 1 :

    P A B

    :

    BAP

    A B A P A B P A

    A B B P A B P B

    P A B

    P A B P A P B P A B , (1).

    P A B 1 , (2) (1) (2) :

    P A P B P A B 1 P A P B 1 P A B

    :

    P A B

    P A B :

    A A B P A P A B

    B A B P B P A B

    P A B , (1), :

    P A B P A P B P A B , (3)

  • ! 29

    P A B 0 , (4) (3) (4) :

    P A P B P A B 0 P A B P A P B

    1.

    ,

    P A 0,7 P B 0,6

    i. , ii. P A B 0,7 P A B 0,6 iii. 0,3 P B 0,6

    i. , . : P A B P A P B 0,7 0,6 1,3

    P A B 1 . , .

    ii. A B A P A B P A P A B 0,7 : B A B P B P A B 0,6 P A B

    iii. : A B B P A B P B P A B 0,6 :

    P A B 0,3 P A P B P A B 0,3

    0,7 0,6 P A B 0,3

    1,3 P A B 0,3 P A B 1, .

    0,3 P A B 0,6

    2.

    0 P A 1 1 1

    4P A P A

  • ! 30

    :

    1 1

    4P A P A

    P A' P A 4 P A P A

    1 4P A 1 P A 2

    1 4P A 4 P A

    2

    4 P A 4P A 1 0 2

    2P A 1 0,

    3.

    P B P A P A B :

    P B P A P A B P B 1 P A P A B

    P B P A 1 P A P B P A B

    1 P A B P A B 1, . .

    , . :

    1. P A 2P A 2P A

    3

    ..................................

    2. A B P A B P A P B ................. 3. .................................................... 4. 1 ............................................................................... 5. 0 .............................................................................. 6.

    . ................................................. 7. . ...................

  • ! 31

    8. P A P A B P A B 0 ................................ 9. . .......... 10.

    1P(A)

    3 5P 3P

    3A

    ................................

    11. P A P A B P A B ................................................ 12. P A B P A .................................................................... 13. , P A P B ......................... 14. P A B P A ................................................................... 15. 0,5 , 1

    3 2P A B

    3

    , . .................................................. 16. , P B P A ........................ 17. P A B P A P B .................................................... 18. P A B P A B ............................................................ 19. ................................... 20.

    P A P BP A B

    2

    .............................................

    21. 1 , . .............................................. 22. , . .......................................... 23. 1 , ,

    . ......................................................................... 24. P A B P B A , ...................... 25. P A B P A P B , ,

    . ...................................................................... 26. P A P B A B .................................................. 27. A B P A P B .................................................. 28. A B P A P B .................................................. 29. 1 B A ..................................... 30. ...................................................................

  • ! 32

    1. : i. ; ii.

    ; iii. ; iv. ; v. ,

    Venn

    A , A B, A B, A B, B A, A B , A B A B B A .

    .

    2. 10 12 .

    i. , N A B ii. , 12 N A B 22

    3. . - Venn : i. , . ii. . iii. . iv. . v. , .

    4. , (), , (), . :

    i. ii. :

    : " ".

    : " ".

  • ! 33

    : " ".

    : " ".

    : " ".

    iii. A B , B B .

    5. , . Venn. i. , . ii. . iii. iv. . v. , vi. , vii. , .

    6. . (), () (). 1 () 2 () 3 . .

    7. () () . . ;

    8. , A B,

    i) A B A ii) A B B iii) A B iv) B A

    9. 12 , x y .

    . 1

    2

  • ! 34

    1

    3. -

    .

    10. ,

    P(A B) 70% , P A B 60%

    P A 3

    P B 5 . -

    , .

    11. , :

    1P A B5

    , 6P A P B7

    . -

    ) A B ) A B 12. :

    2 2

    P A P A 1 , -

    .

    13. 1 2 , . 1 2

    1 2 . 2 2

    1 2

    1P P

    16 ,

    1 , 2 .

    14. , .

    P A B A B P A B P A B

    15. P A 0,28 P B 0,71 . i. P A B 1,01 P A B

    ii. A B

    16. , , .

    , :

  • ! 35

    i. . ii. 1 P A B 1 iii. 1 P A B 1

    17. P A 0,3 P B 0,5 P A B 0,2 18. :

    3 , 2 1 P A B 0,5 - : A B, A B A B .

    19. 1 2 3 4 , , , 11

    8

    ,

    2 3 48 4 12 6 3 44 8 0 . 2 , 3 4 .

    20. A,B , 1

    P(A) P(B)2

    :

    i. ,

    ii. : P A P B 1 P A B P B

    21. 0 1 , 4 9

    25P A P A

    .

    22.

    . : ) P A P B 1

    ) 1P A P B4

    23. ,

    :

    2

    9 P A 8P A 4P A

  • ! 36

    24. , :

    4 4 1P A P A8

    25. 1 2 3 , , -

    1 2 , 2 3 , . 2

    P A5

    3P B ,4

    1 , 2 3

    26. , ,

    P A P A B 1P 5

    .

    i. .

    ii. 5P A P B8

    .

    iii. 1 2P A 3P A 1 2, , .

    30. :

    2 2 21 2P A 3P B 1 1 4P A B 0 . ,

    31. 1,2, ..,50

    2

    2,

    25P ,

    3,

    25

    .

    : i)

    ii)

    ) /

  • ! 37

    ) / / 5 )

    34. /1 10 - . . 2x 4x 0 , - .

    35. i.

    25x 9x 2 0 3P A B 2P A P B2

    ,

    P A , P B P A B ii. ,

    4 1P B , P A B5 6

    2

    16 P A 15 P A 9 P A

    :

    ) B ) A ) A B

    38. 1 2 3 4 , , , . , :

    1P 2, 23

    P 2,2

    2 23P 2, 41

    P 2 22

    .

    39. 1 6 . 2 : : " 2 ".

    3 11

    .

    40. 120 , 24

    , 20 12 2 -. . :

  • ! 38

    : " 2 "

    : " 2 "

    : " 2 ".

    41. 16 24 -

    10 15 . - 5 , : : " ". : " ".

  • !

    39

    A.

    . :

    : 0, 1, 2, 3, . .

    : .

    .

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    , 0 .

    .

    Q.

    : , 2 , 3 , , ., -

    , , , 0 (,

    ). : . -

    R. . - - :

    2

    2

    0 1 2 3 4 55 4 3 2 1 x

  • !

    40

    :

    = 0 0 1 1

    0

    1 1

    1

    1. 2. 3. ( ) 4. 0 ( ) 5. 0 0 0

    6. 0 0 0 :

    .

    , . 0.

    : x x.

    1. 1: . 2:

    .

  • !

    41

    3: .

    3: ( ) .

    4: - ( ) .

    5: 0 0. ( 2 ).

    6: 0 0.

    1

    :

    , , , 0 :

    1.

    2.

    3.

    4.

    0

  • !

    42

    A. 1. A x 3y 4z , B y x 2z

    y z .

    0 . :

    x 3y 4z y x 2z 0 2y 2z 0 2y 2z y z

    2. 3 1 , :

    A 1 4 2 8 3 1 3 1 . :

    2 2 2

    A 3 1 3 1 1 4 2 3 1 3 1 8

    3 1 3 4 3 3 3 9

    9 3 12 12 3 9 0

    3. :

    i. 2 1 3 0 ii. 2 1 3 0

    i. : 0 0 0

    : 2 2 1 3 0 1 0 3 0 :

    2 2 1 0 1 1 3 0 3

    ii. : 0 0 0 :

    2 2 1 0 1 1 3 0 3

    : . - 1 , 1 3 -, . 4.

    i. :

  • !

    43

    ) x 0 x 0 y 0y )

    x0 x 0 y 0

    y

    ii. x : 2x 4

    03x 6

    i. 0. ii. i) :

    2

    2x 4 0 x 4 0 3x 6 0 x 2 x 23x 6

    x 2 .

    5. x 3 , y 0y 4 :

    5x 3yA

    2x y

    x y , . y. ( - ).

    :

    x y 3 15 35 3 5 3 3 3y y 4 4 4Ax y 3 6 10 102 2 1 1y y 4 4 4

    .

    1. , , , , :

    i. ii. 6 4

    : , , , . ...

    : , 1, 2, ...

  • !

    44

    2 2 1 .

    . i. , , , , 1, 2, 3 :

    3 2 3

    1 2 2 3

    + = +

    : 2 3 2 2 1 2 1 1 .

    ii. : 6 1 2 3 6 4 6 4.

    1. x : 3 1

    1 1x 1 xA B

    4 42 1

    x 1 x

    2

    . 0. : x 1 0 x 1

    4 42 0 2 4 2 x 1x 1 x 1

    4 2x 2 2x 2 x 1 x 1 :

    4 4x 0 1 0 1 x 4

    x x

    3 x 13 13 x 1 4 x 4 xx 1 1 x 1A

    2 4 2 x 1 4 2x 2 4 2x 2 2 x 11 x 1 x 1

  • !

    45

    1 1 x 1

    2 x 1 2 x 11 x x2B 2 21 4 x 4 x 4 4 x1 x x

    :

    2 x 14 xA 2B 1

    2 x 1 4 x

    2 . 1: 0.

    2: 0.

    3: , .

    2. x 4 x y 1y 3 x y.

    :

    x 4 x y 4 3 1 1y 3

    y 3 y 3 y 3

    x y 1 x 4

    1.

    i. 1 21 x 1 x3 3

    ii. 4 3 2 5 4 3x 1 5 2 1 2x 3

    iii. 2x 3 y x y x 3 2 x 1

    iv. x x x y x x y

    2. x

  • !

    46

    i. 2

    1 x ii.

    x

    x 3 x 2 iii. 2

    x 2

    x 3

    iv.

    xx 1

    1x 1

    v.

    11

    2x2

    4x 1

    vi. 1

    x1

    x 1

    vii. x

    11

    x

    viii.

    1

    x1 x

    3.

    4. : i. . ii. .

    5. p q :

    p q , p q , p q , q

    p p

    q , p 0 .

    6. x 7 y 9 .

    i. x y x 7 y 9

    ii. x 7 , y 9 , x y , x y ;

    7. , 25 2

    3 1

    8.

    3 5 40 .

    9. x, y, z 2, 3, 4 x y z 36 x, y, z .

    10. 1 . :

    . .

  • !

    47

    . 4 2 2 2 3 2 2

    . 1 2 2 3 2

    2 3 1 2 .

    1 . :

    ..... , 1

    , 1

    0 1 .

    1.

    1 . .

    .

    ,

    ,

  • !

    48

    -

    . :

    1. 2 2 2 2

    2. 2 2 2 2

    3. 3 3 2 2 3 3 3

    4. 3 3 2 2 3 3 3

    5. 2 2 6. 3 3 2 2 7. 3 3 2 2 : 5 6

    :

    1 2 2 1 .......

    Euler

    2 2 23 3 3 1 3 2

    Euler 0,

    : 3 3 3 3

    - . ( ).

    . 2 2 2 1 . - . - :

  • !

    49

    : - .

    .. 2 2 2 2 . , .

    .. 5 3 5 5 3 . : -

    4, 6 .

    .. 3 2 2 2 1 1 1 1 1 . :

    .

    .. 225 4 5 2 5 2 .

    . -

    : 1 :

    . 2 :

    . 3 :

    .

    4 : (). ,

    . .

    1.

    i. 2 2

    2 2

    ii. 2 2

  • !

    50

    i. . :

    2 2

    2 2 2 2 2 2

    2 2

    2 2 2 2

    ii. 3 :

    2 2 2 2 2 2 2 2 . : - . -.

    2. :

    2 2 2 2 2 21 2

    :

    2 2 21

    ( ) ( ) ( )2

    2 2 2 2 2 21 2 2 2 2

    2 2 21 2 2 2 2 2 22

    2 2 2

    3. 1 , (1) : 22 2 3 3 . . - , - :

    22 2 3 3 2 2 2

  • !

    51

    (1)

    2 2 2

    2 2 2 2 2 2

    4. 3 :

    3 3 . : 3 3

    . .

    . Euler

    1. x y :

    3 3 3 x y - , 0:

    x y x y 0 . Euler :

    3 3 3 x y 3 x y

    2. :

    3 3 33x 5 x 2 7 4x 0 - . :

    3x 5 x 2 7 4x 3x x 4x 2 5 7 0 Euler :

    3 3 33x 5 x 2 7 4x 3 3x 5 x 2 7 4x

  • !

    52

    :

    3 3x 5 x 2 7 4x 0 :

    53x 5 0 x

    3 x 2 0 x 2

    7 7 4x 0 x

    4

    .

    1. :

    i. 2 2 2 2

    ii. 3 2 2 2 2 iii. 4 2 2 425 10

    i. 22 2 2 2 2 2 2 2 2

    ii. 3 2 2 2 2

    2 2 2 2 2 2 2 iii. 4 2 2 425 10

    2 22 2 2 25 2 5 22 25

    2.

    i. 4 3 4 3

    3 2 3 2

    2 2

    3 3

    ii. 2 2

    2 2 2 2

    1

    1

  • !

    53

    i. 4 3 4 3 4 4 3 3

    3 2 3 2 3 3 2 2

    2 2 2 2

    3 3 3 3

    2 2 2 2 2 2

    2 2

    2

    3

    2 2 2 2

    2 2

    2

    ( )( 3)

    22 2

    2

    ii. 2 2

    2 2 2 2

    1

    1

    2 2 2 2

    1 1

    1

    2 2 2 1 1

    1 1

    2 2 1 1

    1 1

    2 2

    1 1 1 1

    (1 )( 1)

    1 1 1 1

    11 1 1 1

    1. xy = 1, :

    2 3 43 4 2 4 2 1 x y x y : x : y

    2 3 43 4 2 4 2 1 x y x y : x : y

    6 8 6 12 8 4x y x y : x : y

    6 8 6 12 8 4x y x y : x : y

  • !

    54

    4 88 8 8 8

    8 8

    4

    y yx y (xy) 1 1

    x xy

    2. 2 0 , :

    2 2 2 2 2 2 2 :

    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

    24 2 2 2 0

    2 2 0 2 2 2 0

    2 0 0 .

    3. 1

    x 2x

    (1) :

    22

    1x

    x 3 3

    1x

    x

    (1) :

    2

    2 22

    1 1 1x 2 x 2x 4

    x x x

    2 22 2

    1 1x 2 4 x 2

    x x

    :

    3

    3 3 22 3

    1 1 1 1x 2 x 3x 3x 8

    x x x x

    3 33 1

    x 3x 8x x

    3

    3

    1 1x 3 x 8

    x x

  • !

    55

    3 31

    x 3 2 8x

    3 31

    x 2x

    1. ( xy 0 )

    i. 232x ii. 7

    3

    6 x

    3x iii.

    2

    2

    9x y

    3xy

    iv. 4 3 4 51 1x y x y

    2 3

    v.

    2

    11

    44

    2

    3

    yx

    yx vi.

    2 33 3

    2 4

    x 2y

    y x

    vii.

    3 42 2 21 4

    2 3

    1 x 2xx y

    8 y y

    2. x 4y

    2

    2 2

    4xy 3yA

    x 2y

    3. 2x 3y 1x 2y 2

    x

    y

    3 3 2

    3 2

    x y xyK

    x 2xy

    4. 5 5

    A1 2x

    1 12x 1

    .

    5. x 0 1x 1x

    3 31

    x 2x

    .

    6. :

    i. 2 2 4

    ii. 3 4 4 2 2 2

  • !

    56

    iii. 2 222 2 2 2 2 iv. 3 2 2 3 1 1 1 1 v. 2 2 2

    2 2 2 7. 0 :

    2 2 2 9 0

    8. :

    i. 3 3 3 x 1 2x 4 5 3x 0

    ii. 3 3 3x 4 8 x 1 27 2 x 0

    9. :

    2 2 2

    2 2

    x 2

    x 2 x ( )

    ,

    5 2 3 4 4

    4 2 2 3 3

    10. 0 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2

    0

    11. x y z 3 , :

    3 3 3x y z 3 x y z

    12. : i. 2 2 2 9 6 ii. 4 2 2 4x 2x y 63y

    iii. 3 33x 2x 1 x 1

    iv. 8 4x 14x 25 v. 4 216x 17x 1 vi. 4 2 2 24x 37x 9

    13. :

  • !

    57

    2 2 2

    x 2y y y 2 2x

    x y 2y

    ,

    3 2

    3 3 3

    2 8

    2 1 1 2

    14. x y 1 3 3x y 1 y x 1 x y

    15. 0, 3 3 3

    , 0

    , .

    , . :

    0

    , . :

    0

    . , :

    " " " " .

    :

    0 0 0

    0 0 0

    - 2- 3- 4- 5 0 1 2 3 4 5 6- 1- 6

  • !

    58

    , 0 0

    , 0 0

    2 0

    8 , :

    1. ( ) 2. 3. : 4. 0 : 5. 6. , , : 7. :

    8. 1 10

    :

    2:

    .

    3:

    ,

    4:

    ,

    5: .

    6:

  • !

    59

    .

    7: ( )

    .

    8:

    : 2 , 3 , 4 , 7 8

    .

    2 :

    0 - .

    - .

    1. : i. 2 2 2

    ii. 2 2 2 0 iii. 22 22

    i. 1 :

    22 2 2 0 0 .

    ii. 2 = 1 + 1 :

    22 2 1 1 0 1 1 0 .

    iii. 1 : 2 2 2 22 2 2 0 2 2 2 22 2 2 0

  • !

    60

    22 2 2 0 0 .

    2. :

    i. 1 1 4

    ,

    ii. 2 3 2 2 3 6 0 . :

    1 1 4 1 1 4

    2 2 2

    2

    2

    , 0 .

    :

    2 1 1

    0 4 0

    1 1 4

    i. 1 :

    3 2 2 2 3 6 2 3 2 2 2 3 0

    2 3 0 2 . . .

    -

    : 0 0

    3. :

  • !

    61

    i. 6 3 2 1 6 ii. 3 3 2 2

    i. :

    6 3 6 3 2 1 6 2 4 2

    6 3 3 22( 2 1) 2( 1) 0

    :

    6 2 B 2 1 6

    ii. :

    3 3 2 2 3 3 2 2

    3 2 3 2 2 2 2 2

    2 2

    2

    0

    2 0 . : 3 3 2 2 B

    . .

    .

    1. 4 5 5 6 : i. ii.

    iii.

    iv. 2 2

    i. :

    ( )4 59 11

    5 6

    ii. - 1 :

  • !

    62

    4 5 4 5 4 5

    5 6 5 6 6 5

    ( )

    2 0

    iii. -

    :

    ( )4 5 4 5

    4 11 1 1 1 1 1

    6 5 6 6 5

    iv. - 2 :

    2 ( )2 2

    2

    16 2541 61

    25 36

    1. 0 .

    i. 1 , ,

    ii. 1 1

    i. 0 0 , - . :

    1

    1

    :

    1

    ii. :

    1 1 1 1 2

    2 2 2 2 22 ( 2) ( )

    0

  • !

    63

    0 . :

    1 1

    2.

    i. 2 1

    1 2

    ii. ;

    i. :

    222 4 4 2 2 1 2 1 0 2 1 0 1

    1 2

    . : - , - . -

    : 2 1 0 ii. :

    22 2 2 1 0 1 0 1 1

    3. 2 2 2 (1) : 2

    2 2 2

    , 2 0 :

    2 2 2 2 2 0 2 0 2

    2 2 2 :

    2 2 (2)

    (1) (2) :

    ( )

    2 22 2 2

    2 2

    2 24 2 4 2

    2

    .

  • !

    64

    B.

    . .

    , 0:

    .

    0, . :

    , -

    0 0. -

    . (.. ), . :

    , 0

    , 0

    : .

    . .

    . :

    ,

    03 245 2 1 1 3 4 5

  • !

    65

    .

    .

    :

    i. 0 ii.

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    ii. . :

    x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 3 1x 3 2 2 x 3 2x 3 2

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    ii. 1

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    x x.

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    .

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    ii. 8 18 50 72 32 2 4 2 9 2 25 2 36 2 16 2 2 3 2 5 2 6 2 4 2 2 7 2 2 7 14 iii. 3 33 4 2 2 2 2

    3 34 2 2 2 2

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  • !

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    ii. :

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    iii. - . :

    . ... , ( 12)

    ... ( - ). :

    3 3 3 1 4 9 4 13 124 4 3 3 4 12 12 12 123 123 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

  • !

    80

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    iii.

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    82

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    x

    x 3

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    2 2 iv.

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    x

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    i. 5 3 2 2 ii. 3

    4 x 1 x

    x x 1

    iii. 8 2 7

    iv. 5 3 2 2 v. 5 3

    4. :

    i. 1 3, 3 2

    ii. 5 2 6, 3 2 2

    5. :

    1 1 1 3

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    6. :

    i. 33x 9 1 ii. 4x 2 16 iii. 3

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  • !

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    , x .

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    .

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    ii. 2x x 4 2x 4 x x 4 0 iii. 23 x x x 5 8 x i. 1 : 2x 1 3 2x 4x 9 2x 1 3 2x 4x 9 0 2x 1 2x 3 4x 9 0 x 1 2x 3 2x 3 2x 3 0 2x 3 x 1 2x 3 0

    2x 3 3x 4 0 2x 3 0 3x 4 0

    3 4

    x x2 3

    : , .

    ii. 2x x 4 2x 4 x x 4 0 2x x 4 2x x 4 x 4 0

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    90

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    .

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    ... . . . . 0

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    ... , . :

    ... x x 2

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    91

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    2 x 1 (1) . :

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  • !

    92

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    ii. 3 2x 1 1 x 0

    i. 2 2 2 2x 2 x 1 1 3x 2 3x

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    .

    ii. 3 32 2x 1 1 x 0 x 1 x 1 0 3x 1 x 1 x 1 0 2x 1 x 1 x 1 0

    2x 1 x 2x 1 x 1 0 2x 1 x 3x 0

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    x 0 x 1 x 3

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  • !

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    23 7 x 7 10x 3

    10x 7 10x 9 0x 2

    .

    1. :

    i. 1 x 1 1 2 x 1 3

    22 3 4 3 3 2

    ii. 7x 4 3x 5x

    5 2

    iii. 5x 7 2x 7 3x 142 3

    iv.

    8 x 5 x 6 xx

    6 3 2 3

    2. :

    i. 2

    2

    4 x 1 x 30

    x 1 x 1 x 1

    ii.

    1 1 1 1

    x 1 x 1 2 x x 1

    iii. 2 2

    3x 2 1 6

    x x 2x x 3x 2

    iv. 2 3 14 9

    x 1 x 1 x 1 x 2

    v. 2

    2 3 2 3 2 4 2

    1 3 3 x 6

    x 1 x x x x x x

  • !

    94

    3. : i. 1 x 1 1 ii. 22 1 x 4 1 iii. 2 2 9 x 3 iv. 2 2 2 x 5 6

    v. 2x x 1 4 5

    5 15 3

    vi. 9x x 4x 23

    vii. 2 4 6 2 1 3 4 2

    4. :

    24 2x x 5

    0x x 2 3 x 2 2 x 1

    5. :

    2 2

    1 1

    1 x 1 x 1 x

    6. :

    1

    41

    xx 1

    1x 3

    7. 2 x 1 , - x 2 x 7 5x .

    8. i. 22 2x x 8

    ii. 2 2 2x 3 x 24 .

    9. :

  • !

    95

    1 x 2 2x 2 9 .

    10. :

    22 x 5 2x 10 3x .

    11. : 2

    x 4x 1

    ,

    .

    12. :

    x 3 2 3x 5

    2 x x .

    .

    . - .

    1 : ,

    .

    1. : i.

    x 2 3

    ii. x 2 3

    iii. 2x 1 3 0

    i. :

    x 2 3 x 2 3 x 2 3

    x 1 x 5

    ii. -

  • !

    96

    iii. x -

    :

    2x 1 3 0 2x 1 3

    2x 1 3 2x 1 3

    2x 4 2x 2 x 2 x 1 2. :

    i. 5 x 7 x 9 x 13 23 4 2

    ii. 1 x 1 2x 2x 1 13 3

    i. . ... 12 , :

    5 x 7 x 9 x 13

    23 4 2

    4 5 x 7 3 x 9 6 x 13 24 20 x 28 3 x 27 6 x 78 24

    x . :

    20 x 28 3 x 27 6 x 78 24

    20 x 3 x 6 x 78 24 28 27

    11 x 55 x 5 x 5 x 5

    ii. - - :

    1 x 1 2x 2

    x 1 13 3

    x 1 1 2(x 1)

    x 1 13 3

    x 1 1 2 x 1

    x 1 13 3

  • !

    97

    x 1 1 2 x 1

    x 1 13 3

    ( ... 3 )

    x 1 :

    3 x 1 x 1 1 2 x 1 3

    3 x 1 x 1 2 x 1 1 3

    4 x 1 4 x 1 1

    x 1 1 x 1 1

    x 2 x 0

    2 : .

    3. : i. x 4 2x 3

    ii. x 4 2 x 1

    i. : x 4 2x 3

    x 4 2x 3 x 4 2x 3

    x 7 1x3

    ii. x

    2 :

    x 4 2 x 1 x 4 2 x 1

    x 4 2 x 1 x 4 2x 2

    x 4 2x 2 x 4 2x 2 x 2 x 2

    3 : .

    4. : x 3 2x 1

  • !

    98

    .

    x 3 0 x 3 x 3 x 3

    x 3 0 x 3 x 3 x 3

    :

    :

    x ,3 x 3 x 3 :

    2

    x 3 2x 1 3x 2 x3

    , 2 ,33 .

    x 3, x 3 x 3 : x 3 2x 1 x 4 , 4 3, . :

    .

    4 :

    .

    5. : 5 x 3 x 7

    . :

    5 x 0 x 5 5 x 5 x

    5 x 0 x 5 5 x 5 x

    5 x 0 x 5 5 x 5 x

    x 0 x x

    x 0 x x

    x

    x 3

    3

    x 3 x 30

    )[

  • !

    99

    .

    x ,0 : 1

    5 x 3x 7 4x 2 x2

    1 ,02

    .

    x 0,5 : 5 x 3x 7 2x 2 x 1

    1 0,5 x 5, :

    x 5 3x 7 4x 12 x 3

    3 5, .

    1. :

    i. 2 x 4

    ii. 22 x x 4 0

    i. :

    2 x 4 2 x 4 2 x 4

    :

    2 x 4 x 2 x 2

    2 x 4 x 6 x 6

    :

    x 6 x 6 x 6

    x

    5 x

    x

    0 5

    5 x 5 x

    x x x0

    0

    )[ ](

    5 x

  • !

    100

    ii. 0. , - 0. :

    22 x 0 x 4 0

    x 2 x 2

    x 2 . 1: ii) . :

    0 :

    0 o . 2 : . ( ) 0, . :

    2 x x 4 0

    x 2 x 4 . x .

    : 1.

    i. 2 2x 1 4x x 4 5 0 ii. 2 2| v 9 6v 3 v | 12

    2.

    i. 7x 4 3x 5 ii. x 1 4 3 x 1 1 x 1 4

    23 15 5

    iii. x 5 19 iv. x 2 1 3

  • !

    101

    v. 1 x 2 3 vi.

    7 x 2x 5

    vii. y 2 y 3 viii. 3 x 1 2 x ix. 3 t t 4 t 0 x. d 1, y d y, 2 2y 1 3.

    i. 4x 3 x 8 ii.

    2x 9 6 2x 0

    iii. 5x 2 3 iv.

    x x x 1 3

    v. z 3 2z 7 vi.

    2 b 4 2 b

    vii. y y 13 13 viii. d x, 2 3 ix. d 2x, 5 d x, 1 x. d c, 3 5 c

    xi. 2t 10t 25 3 xii. 2y 6y 9 5 3y

    2x x = 0 , 0

    2 () . :

    2 4 :

    2x x 0 , 0

    0 : 1,2

    x2

    0 : 1,2

    x2

    0 ()

    . :

    0 -

  • !

    102

    0 . 2 2 .

    0 1 .

    22x 2 0 0 . ( ).

    :

    4 .

    2 4 . 0 .

    2x x 2 0 - .

    A. -.

    2x x 0 . , :

    0 0 0

    : 1. :

    i. 2x 10x 0 ii. 2x x iii. 24x 1 0 iv. 22x 1 0

    v. 2x x 6 0 vi. 2x 6x 9 0 vii. 2x x 1 0 . :

    i. 2x 10x 0 x x 10 0 x 0 x 10 0

    x 0 x 10

    , 1 , 10 0 .

  • !

    103

    : 2 2 4 10 4 1 0 100 0 100 10

    :

    1,2 1 2

    10 10x x 0 x 10

    2 2 1

    ii. , - x, . 1 :

    2 2x x x x 0 x x 1 0 x 0 x 1

    iii. :

    24x 1 0 2x 1 2x 1 0 2x 1 0 2x 1 0

    1 1

    x x2 2

    iv. . 1 :

    2 22x 1 0 2x 1

    . :

    v. 22x x 6 0 , 1 4 1 6 1 24 25 :

    1,2 1 2

    1 5x x 3 x 2

    2 1

    vi. 22x 6x 9 0 6 4 1 9 36 36 0 :

    6x x 3

    2 1

    vii. 22x x 1 0, 1 4 1 1 1 4 3 0 . 2. :

  • !

    104

    i. 2x 2 3 3 x 12 3 0 ii. 2 x x 02 4

    . :

    2

    2 3 3 4 1 12 3 4 9 6 3 3 48 3

    36 24 3 12 48 3 36 24 3 12 4 9 6 3 3 2 224 3 2 3 3 3 4 3 3 2 3 3 . :

    1,2

    2 3 3 2 3 3 6 2 3 6 2 3x

    2 2

    1 24 312

    x 6 x 2 32 2

    :

    2

    4 1

    2 4

    2 2 2 4

    4 4

    2 2

    4

    2

    4

    2

    :

    1,2 1 2

    2 2 2 2 2x x x

    2 2 2 2 2

    . 2

    . - ( ), 2 , -

  • !

    105

    .

    1. : 2x 2x 2 1 0 :

    2 2 4 1 2 1 4 8 8 12 8 :

    i. 12 3 0 12 8 0 8 2

    2

    .

    ii. 12 3 0 12 8 0 8 2

    1 -

    iii. 12 3 0 12 8 0 8 2

    -

    . : . .

    : 1,22 12 8

    x2

    2. 2 2x 2 1 0 2 .

    : 2 22 2 2 1 4 1 4 1 4 0 - .

    1. :

    2 x x 0 , 0, 0 :

    2 2 2 4 4 4 22 0

  • !

    106

    2 :

    1,2

    2 x

    2

    1 2

    2 2 2 x 1 x

    2 2

    : :

    2 2 0 2 .

    2. :

    2 2x 1 x 3 0, 1 x 4x 0, 2 3

    (1) (2) , : i. 1 ii.

    (1) (2) :

    2 2 1 3 0 4 0

    :

    2 2 1 3 4 3 4

    3 3

    3 3 1, 3

    1 x 1 :

    21 1 3 0 3

  • !

    107

    1. :

    i. 2 22x 5 x 2 33 ii. 2x 2 x 3 0

    iii. 2 215x 2x iv. 2 2 2x 2x

    v. 2 2 2 2 2x x 0 vi.

    2x x 6 6

    2. . i. 2x 2 x 0 ii.

    2x 1 x 0

    iii.

    2x 2 x 0 , 0 iv. 2x 3 x 5 0

    v. 2x x 0, 0

    3. : i. 2 3 x 4x 5 6 0 . ii. 2x 4x 0 . iii. 2 2x 2x 1 0 .

    4. 2x 3 x 5 0, 0 . .

    5. : i. 2 3 2 3 0 ii. 2 2 2 1 4 0

    1. 2x x 0

    2

    2 x 1 x 0 4

    .

    7. 2x 2x 1 0

    2 2 9x 2 1 x 0 4

    , .

    8. 2 2x 4 12 x 12 0 , 2. . . . 2 .

  • !

    108

    9. :

    2 2x 2x 2 0 :

    . .

    . .

    .

    . .

    10. :

    2y y 12 0 , (1) 2 2y 2 9 y 6 0 , (2). (1) (2). (2).

    11. :

    22 4 2 2 1 0 . . .

    .

    3,5 .

    12. : 2x 2 1 x 6 3 0 .

    . 1 .

    . ()

    2 2x x 0 . .

  • !

    109

    . Vieta

    . 1x 2x -

    2x x 0 :

    1 2 2

    S x x2 2 2

    2 21 2 2 2 2

    4 4 P x x

    2 2 4 4 4

    Vieta :

    1 2 1 2

    S x x P x x

    2x x 0 :

    2 x x 0

    Vieta : 2x Sx P 0

    Vieta -:

    2

    . 1x 2 2x 3

    2x 5x 6 0 S 2 3 5 P 2 3 6

    - . 5 6

    2x 5x 6 0

    S P - :

    0 2 , P ( , ). :

  • !

    110

    P 0 : S 0 , S 0 .

    P 0 P 0 0 :

    S 0 S 0

    0 Sx2 2

    -

    S. :

    S > 0, , S < 0, .

    :

    2x x 0

    S 0, 1

    S 0, 1

    P 0, 2

    S 0, 2

    S 0, 2

    0, 1

    0, 2

    P 0, 2

    0, 0

  • !

    111

    . , .

    S P - .

    1. 1 2x x 2x 5x 3 0

    :

    i. 2 21 2A x x , ii. 3 31 2 x x

    iii. 1 2

    1 1

    x x , iv. 2 21 2 x 2 x 2

    S P

    :

    1 2 1 2

    5 3S x x 5, P x x 3

    1 1

    i. 1

    :

    2 2 2 21 2 1 1 2 2x x 5 x 2x x x 25

    2 21 2x 2P x 25 2 21 2x x 25 2 ( 3)

    A 31

    ii. :

    3 3 3 2 2 31 2 1 1 2 1 2 2x x 5 x 3x x 3x x x 125

    3 3 3 31 1 2 1 2 2 1 2x 3x x x x x 125 x 3P S x 125 3 31 2x x 125 3( 5)( 3) B 125 45 170

    iii. :

    1 2

    1 2 1 2

    x x1 1 S 5

    x x x x P 3

    iv. :

    2 2 2 21 2 1 1 2 2 x 2 x 2 x 4x 4 x 4x 4

    2 21 2x x 4S 8 31 4 ( 5) 8 31 20 8 19

  • !

    112

    .

    S P : 2x Sx P 0

    1. : 3 1 o S P .

    1 2S x x 3 1 2 1 2P x x 3 1 3 :

    2 2 2x Sx P 0 x 2 x 3 0 x 2x 3 0

    2. 1x 2x 2x px q 0 -

    1 1 2x 2 2 2x .

    1S 1P

    2S 2P .

    :

    1 1 2 p

    S x x p 1

    1 1 2 q

    P x x q 1

    :

    2 1 2 1 2 1 2 1S 2x 2x 2 x x 2S 2p

    2 1 2 1 2 1P 2x 2x 4P 4q

    : 2x 2px 4q 0

    . .

    - -.

    1. 23x 1 x 2 0

  • !

    113

    . . . :

    1 2x x 0 S 0

    :

    1S 0 0 0 1 0 1

    3

    0 0.

    2. 2x 3x 2 0 : i. 2 ii. 2 iii. 2 0 iv. 2

    :

    i. 2 : 0 , P 0 S 0 .

    2 0 3 4 1 2 0 9 4 8 0

    17

    4 17 4

    2P 0 0 0 2 0 2

    1

    :

    3S 0 0 0 3 0 1

    , .

    2 . :

    172

    4

    ii. 2 : 0 P 0 .

  • !

    114

    17 0 4

    P 0 2

    : < 2

    iii. 0 : P 0 2

    :

    S 0 3 0

    . 2 .

    : 0 , S > 0 - .

    iv. : P 1 2 1 3

    1. 1 2x x 2x x 4 0

    : 2 2 2 21 1 2 2 1 2

    2 21 1 2 2

    3x 5x x 3x 5x x

    4x 6x x 4x

    1 2x x -

    . :

    2 2 2 21 1 2 2 1 2

    2 21 1 2 2

    3x 5x x 3x 5x x

    4x 6x x 4x

    2 21 2 1 2 1 2

    2 21 2 1 2

    3 x x 5x x x x

    4 x x 6x x

    2 21 2

    2 21 2

    3 x x 5 PS

    4 x x 6 P

  • !

    115

    Vieta :

    1 2

    S x x 1

    1 2 4

    P x x 4 1

    :

    2 2 2 21 2 1 1 2 2x x 1 x 2x x x 1

    2 21 2x x 1 2P 1 2 4 9 :

    2 21 2

    2 21 2

    3 x x 5P S 3 9 5 1 4 27 20 47

    4 9 6 4 36 24 604 x x 6P

    2. 1 2x x 2x x 0 , (1) -

    :

    2 21 1 2 1 2 x x x x 2 1 2 4x x

    1 1S P (1)

    2 2S P . :

    1 1 2

    S x x 1

    1 1 2

    P x x 1

    :

    2 22 1 2 1 2 1 2 1 2S x x x x 4x x

    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x 4x x x x x x 4 1 1P S 4 2S 4 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2P x x x x 4x x 1 2 1 2 1 2 1 1 1x x x x 4x x P S 4P

    22P 4

    :

    2 2x 4 x 4 0

  • !

    116

    3. 2x ( 2)x 4 0, 1 - 2 3 2x 5x 2 0, 2 0 -.

    1 2x x 1 1 2 2 . -:

    1 2

    2x x 0 S 0 0 0

    1

    2 0 2 0

    (2) :

    3 2 2

    21 2

    2 ( 2 1)P 2 1

    2P 1

    2 1 2P 1 1 2 .

    4. 2x 2 1 x 2 0 1 i. . ii. .

    i. :

    2 2 2 2 1 4 1 2 4 4 1 8 4 4 1

    2 2 1 0 , (1) .

    ii. S P (1) :

    (2 1) 2S 2 1 P 2

    1 1

    :

    2 1 0 2 1 0 2

    , :

  • !

    117

    2 1 1

    x 02 2 2

    ,

    1

    2 .

    1

    2

    0 , -

    :

    2P 0 0 2 0 01

    , S 2 1 0

    . 1

    2

    . P 0 0 , . P 0 0

    0 0 , S 1 0 .

    1. 1 1 1

    x x 2x3 3 9

    2. 22x 2x 3 0 . : i. . ii. iii. .

    3. 2 S P . 4.

    2x x 6 0

    5. 22x 3 3 2 x , 2 .

    6. + + = 0 2x x 0 1.

    7. 22 x 4x 4 0 ,

  • !

    118

    22 x 4x 4 0 , .

    8. 2x x 0 . : i. 0 . ii. .

    9. 23x 2x 3 7 0 , :

    i. ii. iii. .

    10. 2x 5 6 x 1 0 2 2x 13x 0 :

    i. ii. .

    11. p q

    2x px q 0 2 3.

    12. 2x x 0 . i. . ii. 2 .

    13. 1 2x x 2x 5x 2 0 -

    3 2 3 21 1 2 2 1 2A 4x 6x x 4x 6x x .

    14. 2x x 0

    2 x 2 x 0 .

    15. 2 2x 2 1 x 0 :

  • !

    119

    i. 2 ii. 2 iii. 2 iv. 2 v. 2 .

    16. 2x 16x 0 -

    1 2x x

    22 6 .

    17. 2x 2 x 1 0 .

    2 2 1 1 1x x x x 3 3 x .

    18. 2x 5 6 x 1 0 , (1) 2 2x 13x 0 , (2) 0 .

    (1) (2).

    20. 2y 4 1 y 8 1 0 (1). i. (1) . ii. 1y 2y (1)

    1 2 y 2 y 2 , .

    iii. : 2 2 21 1 1 2 2y y y y y y 64 .

    21. 2 2x 2x 2 6 0 . i. . ii. 14.

    iii. 1 2x , x

    o ii. :

    2 21 2A x x

    1 2

    1 1B

    x x .

  • !

    120

    2

    .. , ... - 2 . - .

    2 - 3 -. , . 3 .

    .

    -. .

    1. : i. 2x 1 4 x 1 5 0

    ii. 2x 4 x 5 0

    iii. 2

    1 1x 5 x 6 0

    x x

    ,

    2 0

    i. x 1

    . : 2 2x 1 x 1

    : 2x 1 4 x 1 5 0 -

    : x 1 :

  • !

    121

    2 4 5 0 1 2 1 5 x. :

    x 1 1 x 1 5

    :

    x 1 1 x 1 1 x 1 1

    x 2 x 0

    ii. - :

    2x 4 x 5 0 x 4 x 5 0 x : 2 4 5 0

    1 2 5 1 . :

    x 5 x 1

    - :

    x 5 x 25

    iii.

    x 0 . : 1x x

    : 2 5 6 0

    : 1 2 2 3 . :

    22 21x 2 x 1 2x x 2x 1 0 x 1 0 x 1

    x

    2 21x 3 x 1 3x x 3x 1 0x

    : 1,2

    3 5x

    2

    2. :

    i. 4 22x 7x 3 0

  • !

    122

    ii.

    2 2x 3x 2 x 1 0

    i. x .

    6 3 8 4x 3x 2 0 x 5x 6 0 . - x.

    : 2x : 22 7 3 0

    : 1 21

    3 2

    : 2 21

    x 3 x2

    .

    . ii. :

    2 2x 3x 2 x 1 0

    2 2x 3x 2 0 x 1 0

    x 1 x 2 x 1 x 1 x 1

    1. :

    22

    1 112 x 4 x 19

    x x

    .

    1x , 1x

    (1) :

    22 2 2 2 2

    2 2

    1 1 1 1x x 2x x 2, 2

    x x x x

    (1) (2) :

    212 2 16 19

  • !

    123

    212 24 16 19 0

    212 16 5 0

    : 1 25 1

    6 2

    . (1) :

    2 21 5

    x 6x 6 5x 6x 5x 6 0x 6

    1 23 2

    x x2 3

    2 21 1

    x 2x 2 x 2x x 2 0x 2

    3,41 17

    x4

    2. :

    22 2x 7x 3 10 x 7x 3 21 0

    : 2x 7x 3 : 2 10 21 0

    : 1 2 7 3 :

    2 2 1 2x 7x 3 7 x 7x 10 0 x 2 x 5

    2 2 1 2x 7x 3 3 x 7x 6 0 x 1 x 6

    1. :

    i. 22 x 2 x 20 0 ii. 4 24x 8x 3 0

    iii. 6 3x x 6 0 iv. 2

    x x6 7

    x 1 x 1

    v. 2 2x 3x 2 x 3x 15 vi. 2 2x x x x 2 24

    vii. 23 1 x 5 x 1 2 0 viii. 22x 2 2

    3 x 2 0x x

  • !

    124

    2. :

    i. 8x 1x 1

    ii. 2

    2

    3x 4

    x 1 x 1

    iii.

    2

    1 5 3

    2x 3 x 2x 3x

    iv. 5 2 2x 1 x 4

    v. 3 4 2x 3 x 2

    3. -

    10 cm -

    10 cm .

    4. : i. 2 2x x x 11x 10 0 ii. 2 4 2 y y 6 y 13y 36 0

    iii. 2 4 2 4 3 10 9 0

    5. :

    i. 22 2x 5x 3 4 x 5x 15 0 ii. 24 2 4 2y 5y 2 6 y 5y 1 26 0

    6. :

    i. 4 2 2 2x 2 x 2 0 ii. 24 2 2 2y 4y 0

    iii. 2 4 2 2 2 2 1 0 iv. 4 4 2 2 2 2 2 2 2 y y 0

    7. : i. y 4 y 2 y 1 y 1 8 0 ii. 1 2 2 3 12

    8. :

    2 2 2 2x 1 3 x 2x 1 2 3 0 2 . .

    9. : 4 3 3 2x 8 x 10x 5 2 0 i. .

  • !

    125

    ii. .

    10.

    2 21 x 9 x 6 9 04

    . i. ,

    ii. x x 28 0 .

  • ! 126

    x + < 0 x + > 0

    . - . . - - . , .

    -

    4 5, 4 5

    4 4 4 5 . 4 , 5 4 , 5 - . :

    , .

    , , ( ).

    . .

    :

    , x , x , , x

    x .

    , , x

  • ! 127

    x . , -

    , - . - :

    x + < 0

    x 0 , :

    :

    x 0 x

    . 0, :

    0 - . :

    x

    0 :

    x

    0 :

    x , x ,

    x , x ,

    x ,

    x , x ,

    x ,

  • ! 128

    0x

    : 0 0

    0 0 -

    . .

    .

    , : ,

    . ,

    1. :

    i. x 2 1 2x x 22 5 10 5

    ii. 1 3x 11 x 16 x 320 5 5 2

    iii. 3x 1 x 12x2 2

    i. :

    1. ... 2. 3. 4. x x

    ... 10 . :

    x 2 1 2x x 2 5 x 2 2 1 2x x 42 5 10 5

    5x 10 2 4x x 4 5x 4x x 10 2 4 0x 4 x

    ii. ... 20 . :

  • ! 129

    1 3x 11 x 16 x 3 1 3x 4 11 x 16 4 10 x 320 5 5 2

    1 3x 44 4x 64 10x 30 3x 4x 10x 64 44 1 30

    11x 77 x 7

    iii. ... 2 :

    3x 1 x 12x 3x 1 4x x 12 2

    3x 1 4x x 1 3x 4x x 1 1 0x 0

    .

    2. :

    4x 1 x 1 3 5 x 103

    -

    . :

    4x 1 x 1 4x 1 3 x 13

    4x 1 3x 3 4x 3x 1 3 x 4 :

    3 5 x 10 15 3x 10 3x 10 15

    53x 5 x

    3

    : 5

    x 4 x3

    -

    :

    5

    34

  • ! 130

    5

    x ,43

    .

    3. : 19 2x 1 3

    . :

    2x 1 19 2x 1 19 2x 20 x 10

    2x 1 3 2x 1 3 2x 4 x 2

    : 10 x 2 x 10, 2 :

    . , < > > < .

    . .

    - . 1. :

    x 1 2 x x 12

    3 2 2

    x ,

    . ... = 6. :

    x 1 2 x x 1

    2 2 x 1 2 3x 12 3 x 13 2 2

    2 x 1 4 3x 12 3 x 3 2 x 2 4 3x 12 3 x 3 2 x 3 x 3x 2 4 3 12 3 x 2 5

    :

  • ! 131

    3 0 3 2 5x3

    3 0 3 2 5x3

    3 0 3 : 0x 11

    1. : 2x 1 2x 2 x 1

    13 3 4

    ... = 12. :

    2x 1 2x 2 x 11 4 2x 1 4 2x 2 12 3 x 13 3 4

    8x 4 8x 8 12 3x 3 3x 12 4 8 3 3x 27 x 9

    2. : 2 x 1 3 2x 3 1 x 3 x 2 2 3x 1 2x

    : 2(x 1) 3(2x 3) 1 x 2x 2 6x 9 1 x

    2x 6x x 2 9 1 29x 6 x3

    :

    3 x 2 2 3x 1 2x 3x 6 6x 2 2x

    3x 6x 2x 2 6 45x 4 x5

    , .

    23

    45

  • ! 132

    1. :

    i. 5x 16 x 8 x 16 12 3

    ii. 2 3x x 3 x 9x 1 x

    2 3 2

    iii. 2 2x 3 2x 1 35

    4 16 16

    iv. 2 2x 1 3 x 3 x 1

    2. :

    3 2 x 16 x 1x2 5 5

    x 4 x 5 37 x 1

    3 6 18 9

    3. :

    2x x 1 2x 1 3x 1 12 8 4 8

    2x 1 x 1 x 4 25

    4. 0 :

    x 1 1x

    5. , 0 1 1 1 4 .

    6. , 0 1 1 1

    4

    7. x : 2

    x 1 1

    x 1 2

    8. : 2

    1 x 1

    2 x 3

    9. 3 2 5 6

    :

  • ! 133

    10. : x 3 1 2x

    11. N .

    . 2 6 2x 9 . 4 2 1 3 4 11 . 5 4 y 2 2 y 3 5 2 y 4y

    12. , . . x 4 2 2 4 x 1 . 2 2 1 y y 1

    13. 3 x 2 2x 3 2 3x , .

    14. y 2 3 y . , x.

    15. 3 3 2 3 2 1 . -

    1, 3 .

    16. 2x 3x 2 2x 1 . .

    . 4

    . .

    - .

  • ! 134

    1 : , .

    1. :

    i. x 2 3

    ii. x 1 2 4

    iii. x 3 2

    iv. 2x 1 0

    i. :

    x 2 3 3 x 2 3 1 x 5

    ii. x x

    :

    x 1 2 4 x 1 6 6 x 1 6 7 x 5

    iii. - . iv. . :

    12x 1 0 2x 1 0 2x 1 x

    2

    2. : x 2 3 2 x 1

    2 3 2

    . ... = 6, :

    x 2 3 2 x x 2 3 x 21 1

    2 3 2 2 3 2

    3 x 2 3 2 x 2 3 3 x 2 9 2 x 2 3

    3 x 2 2 x 2 3 9 x 2 12

    12 x 2 12 10 x 14

  • ! 135

    2 : x .

    3. :

    x 2 2x 1

    .

    . x 2 :

    :

    x , 2 : x 2 2x 1 3x 3 x 1

    .

    x 2, : x 2 2x 1 x 1 x 1

    2, . :

    . 3 :

    . 4. :

    x 3 2 1 x 3

    :

    x 3 0 x 3 x 3 x 3

    x 3 0 x 3 x 3 x 3

    x

    x 2

    2

    x 2 x 20

    )[

  • ! 136

    , 1 x 0 x 1 1 x 1 x

    1 x 0 x 1 1 x 1 x

    :

    x , 3 :

    x 3 2 1 x 3 x 3 2 2x 3 x 8 x , 3 x 3, 1 :

    2x 3 2 1 x 3 x 3 2 2x 3 3x 2 x3

    2

    x , 13

    x 1, : x 3 2 x 1 3 x 3 2x 2 3 x 2 x 2 x 1, 2

    : 2

    x ,13

    x 1, 2

    :

    2x ,2

    3

    : x < 0 < 0 x > 0 .

    x

    x 3

    1 x

    3 1

    x 3 x 3

    1 x 1 x 1 x 0

    0

    )[ ](x 3

  • ! 137

    1. :

    i. 3 2 x 2 2 x 2 2 ii. 1 x 3 2

    i. : 3 2 x 2 2 x 2 2 3 x 2 2 2 x 2 4