1

F4

F5

(1)

Β

Γ (2)

Β

(3)

Β

Γ

(4)

Β

Επανάληψη: Περιστροφή στερεού σώματος (Φ25) 1. Να αποδείξετε ότι, για τροχό ακτίνας R που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, ισχύει αcm=Rαγων.

2. Τροχός ακτίνας R έχει αcm=0 και αγων=0. Τι είδους κίνηση μπορεί να κάνει;

3. α. Ο τροχός του λούνα παρκ κάνει:

α. στροφική κίνηση. β. μεταφορική κίνηση. γ. σύνθετη κίνηση.

β. Ο θαλαμίσκος σε ένα τροχό του λούνα παρκ κάνει:

α. στροφική κίνηση. β. μεταφορική κίνηση. γ. σύνθετη κίνηση.

4. Να αντιστοιχίσετε τα γινόμενα της στήλης Α τα φυσικά μεγέθη της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1. Ροπή αδράνειας επί γωνιακή ταχύτητα α. Ισχύς δύναμης

2. Ροπή αδράνειας επί γωνιακή επιτάχυνση β. Στροφορμή στερεού σώματος

3. Γωνιακή επιτάχυνση επί ακτίνα γ. Έργο δύναμης

4. Ροπή δύναμης επί γωνία στροφής δ. Γραμμική επιτάχυνση ΚΜ

5. Ροπή δύναμης επί γωνιακή ταχύτητα ε. Αλγεβρικό άθροισμα ροπών

Να αποδείξετε όλες τις σχέσεις που προκύπτουν.

5. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία της στήλης Α με αυτά της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Β

1. 0

F και 0

. α. περιστροφή σώματος με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.

2. 0

F και 0

. β. Σύνθετη κίνηση όπου αλλάζουν και η γωνιακή ταχύτητα

περιστροφής και η ταχύτητα του κέντρου μάζας.

3. 0

F και 0

. γ. Ισορροπία σώματος.

4. 0

F και 0

. δ. Η ταχύτητα του ΚΜ είναι σταθερή.

6. Σχεδιάστε δύο δυνάμεις που δρουν σε ένα στερεό και αποτελούν ονομάζουμε ζεύγος δυνάμεων.

Να υπολογίσετε τη ροπή ζεύγους ως προς κάποιο σημείο και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι το

αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από το σημείο ως προς το οποίο περιστρέφεται το στερεό.

7. Η ράβδος του σχήματος ισορροπεί σε οριζόντια θέση με τη

βοήθεια άρθρωσης και του νήματος. Ποιο από τα διανύσματα

(1) έως (4) που έχουν σχεδιαστεί εκφράζει τη δύναμη από την

άρθρωση στη ράβδο; Αιτιολογείστε την απάντησή σας.

α. το διάνυσμα (1). β. το διάνυσμα (2).

γ. το διάνυσμα (3). δ. το διάνυσμα (4).

8. Στο διπλανό σχήμα, πάνω στην αβαρή ράβδο είναι

στερεωμένα τρία σώματα 1, 2 και 3 με ίσες μάζες m. Η

ράβδος είναι ελεύθερη να περιστρέφεται σε κατακόρυφο

επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από

το σημείο P. Θεωρώντας τη μάζα m και την απόσταση d

γνωστές, να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του

συστήματος ως προς τον οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το σημείο P. (7/3md2)

9. Πώς μπορεί να προκύψει από τον ορισμό της στροφορμής ενός στερεού σώματος η γενικότερη

διατύπωση του θεμελιώδους νόμου της στροφικής κίνησης;

2

Γ A

w1

10. Ο τροχός του διπλανού σχήματος (μάζας Μ και ακτίνας R, Ι=ΜR2) μπορεί

να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα ο οποίος διέρχεται από το

κέντρο μάζας του. Γύρω από τον τροχό είναι τυλιγμένο αβαρές νήμα και

στο ελεύθερο άκρο του νήματος είναι δεμένο σώμα μάζας m=Μ/2. Το νήμα

ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογίσετε: (δίνεται το g)

α. τη γωνιακή επιτάχυνση του τροχού και την επιτάχυνση της μάζας m.

β. τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού και την ταχύτητα της μάζας m μετά

από χρόνο t.

γ. τη γωνία που θα έχει διαγράψει μια ακτίνα του τροχού μετά από χρόνο t.

δ. το διάστημα που θα έχει διανύσει η μάζα m μετά από χρόνο t.

(g/3R, gt/3R, gt/3, gt2/6R, gt2/6)

11. Σε πόση απόσταση από το άκρο Γ της αβαρούς ράβδου ΑΓ

μήκους L θα κρεμάσετε σώμα βάρους w2=1,5w1, ώστε η

ράβδος να ισορροπεί; Το σημείο στήριξης της ράβδου είναι

ακριβώς στο μέσο της.(x=L/6)

12. Το στερεό του σχήματος αποτελείται από δύο όμοιους δίσκους ακτίνας 2R o καθένας και ανάμεσα

τους βρίσκεται ένας κύλινδρος, που έχει ακτίνα R. Τα τρία αυτά σώματα είναι κολλημένα μεταξύ

τους έτσι ώστε να περιστρέφονται γύρω

από τον κοινό οριζόντιο άξονα σαν ένα

σώμα (καρούλι). Στην περιφέρεια του

κυλίνδρου ακτίνας R έχουμε τυλίξει αβαρές

μη εκτατό νήμα. Με το χέρι μας τραβάμε το

νήμα οριζόντια με επιτάχυνση α=3 m/s2

ώστε το νήμα να ξετυλίγεται και το στερεό

να κυλίεται στο έδαφος χωρίς να

ολισθαίνει. Ζητείται:

α. Η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του

στερεού.

β. Όταν έχει ξετυλιχθεί μήκος νήματος L=5

m, πόσο έχει μετακινηθεί το κέντρο μάζας του στερεού.

γ. Πόση είναι η γωνιακή ταχύτητα του στερεού εκείνη τη στιγμή (αν δίνεται ότι η ακτίνα του

μικρού κυλίνδρου είναι R=0,1 m).

δ. Να βρεθεί η ταχύτητα του υψηλότερου σημείου του στερεού εκείνη τη στιγμή. (2 m/s2, 10 m, 1010 rad/s, 410 m/s)

13. Ο δίσκος του σχήματος εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση

με σταθερή ταχύτητα υcm. Δύο σημεία Μ και Ν απέχουν

ίδια απόσταση από το κέντρο Κ και έχουν ταχύτητες που

ικανοποιούν τη σχέση υM=5υN.

Η ταχύτητα του κέντρου μάζας είναι:

α. υcm=υΜ/2.

β. υcm=3υΝ.

γ. υcm= υΜ+υΝ/5.

14. Τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο

με ταχύτητα υcm. Το Β βρίσκεται στην περιφέρεια του

τροχού και η επιβατική του ακτίνα σχηματίζει με την

κατακόρυφη διάμετρο γωνία 60ο (όπως στο σχήμα).

Το μέτρο της ταχύτητας του Β είναι:

α. υcm.

β. 2 υcm.

γ. υcm/2.

δ. 3υcm/2.

3

F

R

15. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα στερεό που

αποτελείται από δυο ομοαξονικούς δίσκους με

ακτίνες R και 2R. τραβάμε με το χέρι μας το νήμα

ώστε το στερεό να κυλίεται με σταθερή γωνιακή

ταχύτητα χωρίς να ολισθαίνει. Η απόσταση x που

έχει διανύσει το κέντρο μάζας του στερεού όταν

έχει ξετυλιχθεί σχοινί μήκους L είναι:

α. x=L.

β. x=2L.

γ. x=3/2L.

δ. x=2/3L.

16. Στον αρχικά ακίνητο τροχό του σχήματος ασκείται τη χρονική

στιγμή t=0 σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F. Ο τροχός (μάζας m,

ακτίνας R) έχει ροπή αδράνειας Ι ως προς άξονα που περνά από το

κέντρο μάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο του τροχού. Ο τροχός

κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις

είναι σωστές και γιατί;

α. H επιτάχυνση του ΚΜ του τροχού είναι αcm=F/m.

β. H φορά της στατικής τριβής Τ είναι προς τα δεξιά.

γ. Κάθε στιγμή η ταχύτητα του εκάστοτε ανώτερου σημείου του

τροχού είναι υ=2ωR.

δ. Η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού ως προς το ΚΜ είναι αγων=ΤR/I.

ε. Η στροφορμή του τροχού ως προς άξονα που περνά από το ΚΜ έχει τη φορά της ταχύτητας του

ΚΜ σε κάθε χρονική στιγμή.

ζ. Η στροφορμή του τροχού ως προς άξονα που περνά από το ΚΜ σε μια τυχαία χρονική στιγμή

είναι L=F.R

.t.

η. Η γωνιακή ταχύτητα του τροχού ως προς το ΚΜ μετά από χρόνο t κατά τον οποίο μια τυχαία

διάμετρος του τροχού έχει διαγράψει γωνία θ δίνεται από τη σχέση

R2 .

θ. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ως προς άξονα που περνά από το ΚΜ είναι FRdt

dL .

ι. Ο ρυθμός προσφοράς έργου από τη στατική τριβή είναι ίσος με RT .

κ. Η ολική κινητική ενέργεια του τροχού σε μια τυχαία χρονική στιγμή, και με δεδομένο ότι

Ιcm=mR2, είναι 22 tm cm .

17. Δύο ομογενείς κύλινδροι (1) και (2), ίδιας μάζας M και ίδιας

ακτίνας R, αφήνονται από την κορυφή ενός κεκλιμένου

επιπέδου και κατεβαίνουν κυλιόμενοι χωρίς ολίσθηση,

δεχόμενοι την ίδια επιταχύνουσα ροπή. Ο ένας εκ των δύο

κυλίνδρων είναι συμπαγής και ο άλλος κούφιος.

Η γραφική παράσταση του μέτρου της γωνιακής τους

ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνεται στο διπλανό

σχήμα. Ο κούφιος κύλινδρος είναι ο:

α. (1). β. (2).

18. Ένας άνθρωπος βρίσκεται στο κέντρο μιας οριζόντιας πλατφόρμας η οποία και περιστρέφεται γύρω

από κατακόρυφο άξονα που περνά από το κέντρο της, χωρίς τριβές, και κρατά δύο βαράκια με τα

χέρια του κατακόρυφα. Αν απλώσει τα χέρια του οριζόντια, τι θα συμβεί στα παρακάτω μεγέθη:

α. Ροπή αδράνειας του συστήματος άνθρωπος-βαράκια-πλατφόρμα.

β. Στροφορμή συστήματος.

γ. Γωνιακή ταχύτητα συστήματος.

δ. Κινητική ενέργεια συστήματος.

4

19. Ένας κατακόρυφος ομογενής κύλινδρος, στρέφεται αριστερόστροφα

με γωνιακή ταχύτητα μέτρου ωο γύρω από σταθερό άξονα, που

διέρχεται από τον άξονά του. Στον κύλινδρο ασκείται κατάλληλη ροπή

δύναμης μέτρου τF, οπότε η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του

μεταβάλλεται με το χρόνο όπως φαίνεται στο διάγραμμα του

σχήματος.

Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ροπής τF σε συνάρτηση με

το χρόνο t.

20. Η Γη στρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον

Ήλιο. Το κοντινότερο σημείο στον Ήλιο ονομάζεται

Περιήλιο (π) και το πιο απομακρυσμένο Αφήλιο (α).

Αν θεωρήσουμε τη Γη σαν υλικό σημείο, και αν για τις

αντίστοιχες αποστάσεις ισχύει η σχέση rα=2rπ, τότε:

α. Για τις ταχύτητες διέλευσης της Γης από το αφήλιο

και το περιήλιο ισχύει uα=2uπ.

β. Για τις κινητικές ενέργειες διέλευσης της Γης από το

αφήλιο και το περιήλιο ισχύει Κπ=4Κα.

Να χαρακτηρίσετε κάθε πρόταση ως Σωστή (Σ) ή Λάθος

(Λ) και να αιτιολογήσετε τους χαρακτηρισμούς.

21. Πάνω σε μια καρέκλα που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα

κάθεται ένα παιδί και κρατά στα χέρια του έναν τροχό ο οποίος περιστρέφεται. Το παιδί ασκώντας

ζεύγος δυνάμεων περιστρέφει τον τροχό κατά 180ο. Πότε θα περιστραφεί η καρέκλα: αν ο άξονας

του τροχού είναι αρχικά κατακόρυφος ή οριζόντιος; Βρείτε και τη φορά περιστροφής της καρέκλας.

22. Μια οριζόντια γέφυρα έχει μήκος

L=8 m και βάρος W=40.000 Ν. Η

γέφυρα στηρίζεται σε δυο

υποστηρίγματα στα άκρα της Α και

Β. Ένα όχημα βάρους W1=10.000Ν

κινείται πάνω στη γέφυρα με

σταθερή ταχύτητα μέτρου υ=1 m/sec.

Θεωρούμε ως αρχική χρονική στιγμή t=0 τη στιγμή που το όχημα φθάνει στο άκρο Α της γέφυρας.

α. Να βρεθεί η δύναμη που δέχεται η γέφυρα από το υποστήριγμα Α τη χρονική στιγμή t=0.

β. Ποιά η θέση του αυτοκινήτου ώστε η ράβδος να δέχεται ίσες δυνάμεις από τα υποστηρίγματα;

γ. Να γίνει το διάγραμμα της δύναμης που δέχεται η ράβδος από το υποστήριγμα Α σε συνάρτηση με τον χρόνο. (30.000 N, x=4 m, N1=30.000-1250t (SI) )

23. Ένα αυτοκίνητο ξεκινά από την ηρεμία τη χρονική στιγμή tο=0 και κινείται ευθύγραμμα με σταθερή

επιτάχυνση μέτρου α=2 m/s2. Οι τροχοί του αυτοκινήτου, οι οποίοι κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν,

έχουν ακτίνα R=0,4 m. Να υπολογίσετε:

α. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης των τροχών του αυτοκινήτου.

β. τη χρονική στιγμή t που το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας των τροχών του γίνεται ω=50 rad/s.

γ. τον αριθμό των περιστροφών κάθε τροχού στο χρονικό διάστημα Δt=t-tο.

δ. το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας με την οποία κινείται το ανώτερο σημείο του

κάθε τροχού του αυτοκινήτου. (5 rad/s2, 10 s, 125/π, 4 m/s2)

24. Ένα στερεό σώμα είναι κατασκευασμένο σε σχήμα Η

από τρεις ίδιες ράβδους μήκους ℓ=0,9 m. Το σώμα

αφήνεται ελεύθερο να περιστραφεί από την οριζόντια

θέση γύρω από τον οριζόντιο άξονα του σχήματος. Να

βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα του σώματος όταν έρθει σε

κατακόρυφη θέση. (5 rad/s)

Δίνεται g=10 m/s2 και Icm=1/12mL

2.

5

25. Στο σχήμα φαίνεται ένας ομογενής συμπαγής κυκλικός δίσκος (Ι) και ένας ομογενής κυκλικός

δακτύλιος (ΙΙ), που έχουν την ίδια ακτίνα R, την ίδια μάζα m και περιστρέφονται γύρω από άξονα

που περνάει από το κέντρο τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω.

Κάποια χρονική στιγμή ασκούνται στα σώματα αυτά δυνάμεις ίδιου μέτρου F, εφαπτόμενες στην

περιφέρεια και μετά από λίγο τα δύο σώματα σταματούν. Ο αριθμός των στροφών που θα

εκτελέσουν, θα είναι (αιτιολογήσετε αναλυτικά)

α. NI=NII. β. NI>NII. γ. NI<NII.

26. Ο αρχικά ακίνητος δίσκος του σχήματος ξεκινά να στρέφεται τη χρονική στιγμή t=0 με την

επίδραση μιας δύναμης F, ως προς άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας τουκαι είναι κάθετος

στην επιφάνειά του. Τη χρονική στιγμή t1 ο δίσκος έχει στροφορμή L1, ως προς τον άξονα

περιστροφής του, και τη χρονική στιγμή t2 ο δίσκος έχει στροφορμή L2=2L1. Η δύναμη από την

αρχή μέχρι τη χρονική στιγμή t1 παράγει έργο W1=10 J. Από την αρχή μέχρι τη χρονική στιγμή t2 η

δύναμη παράγει έργο (αιτιολογήσετε αναλυτικά)

α. 20 J. β. 30 J. γ. 40 J.

27. Οριζόντιος ομογενής και συμπαγής δίσκος, μάζας Μ=6 kg και

ακτίνας R=1m, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από

κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του (Ο). Τη χρονική

στιγμή t=0 ασκούμε στο δίσκο δύναμη σταθερού μέτρου F=6 Ν η

οποία εφάπτεται συνεχώς στην περιφέρειά του, οπότε ο δίσκος

αρχίζει να περιστρέφεται. Κάποια χρονική στιγμή t1 ο δίσκος έχει

στροφορμή μέτρου L=60 kg.m

2/s. Για αυτή τη χρονική στιγμή t1 να

υπολογίσετε:

α. το έργο της δύναμης F.

β. τον αριθμό των στροφών που έχει διαγράψει.

γ. το ρυθμό με τον οποίο η δύναμη F μεταφέρει ενέργεια στo δίσκο.

δ. το ρυθμό μεταβολής της κινητικής του ενέργειας. Τι εκφράζει ο ρυθμός αυτός;

Δίνονται: 50/π16 και η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι=MR2/2. (600 J, 16, 120 J/s, 120 J/s)

28. Μια ομογενής και συμπαγής σφαίρα μάζας Μ=4 kg και

ακτίνας R=0,5 m αφήνεται (θέση Α) να κυλήσει κατά

μήκος ενός πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης φ, με

ημφ=0,35. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Τη

στιγμή που το κέντρο μάζας της σφαίρας έχει

κατακόρυφη μετατόπιση h=7 m (θέση Γ), να

υπολογίσετε:

α. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας.

β. τον αριθμό των περιστροφών που έχει εκτελέσει

μέχρι τότε.

γ. τον λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια της σφαίρας σε κάποια

χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της κίνησής της.

δ. Για τη μετατόπιση της σφαίρας από τη θέση Α έως τη θέση Γ να υπολογίσετε με τη βοήθεια του

θεωρήματος έργου-ενέργειας το έργο της στατικής τριβής

δ1. κατά τη μεταφορική κίνηση.

δ2. κατά τη περιστροφική κίνηση. Τι παρατηρείτε;

Δίνονται: Icm=2/5MR2 και g=10 m/s

2. (20 rad/s, 20/π, 5/2, -80J, +80 J)

6

29. Η ράβδος ΑΒ είναι ομογενής και ισοπαχής με μήκος

L=2 m και μάζα Μ=3 Kg. Το άκρο Α της ράβδου

συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το άλλο

άκρο της Β συνδέεται με τον τοίχο με αβαρές νήμα που

σχηματίζει γωνία φ=30° με τη ράβδο, η οποία ισορροπεί

οριζόντια, όπως φαίνεται στο σχήμα.

α. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκείται

στη ράβδο από το νήμα.

Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Β και η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τριβές

γύρω από την άρθρωση σε κατακόρυφο επίπεδο. Να υπολογίσετε:

β. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου μόλις κοπεί το νήμα.

γ. Την κινητική ενέργεια της ράβδου, τη στιγμή που διέρχεται από την κατακόρυφη θέση.

δ. Σε ποια θέση της ράβδου, ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειάς της είναι μηδέν.

Δίνονται: Icm=1/12ML2, g=10 m/s

2. και ημ30

ο=1/2. (30 Ν, 7,5 rad/s2, 30 J)

30. Έχουμε δύο σφαίρες Α και Β που έχουν την ίδια μάζα και την ίδια ακτίνα. Η σφαίρα Α είναι

συμπαγής και έχει Icm=2/5mR2, ενώ η σφαίρα Β είναι κοίλη και έχει Icm=2/3mR

2. Οι σφαίρες

αφήνονται ταυτόχρονα από το ίδιο ύψος h δύο όμοιων κεκλιμένων επιπέδων. Να εξετάσετε αν οι

σφαίρες θα φτάσουν στη βάση των κεκλιμένων επιπέδων ταυτόχρονα ή όχι, αν:

α. ολισθαίνουν χωρίς να κυλίονται. β. κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Να γενικεύσετε το συμπέρασμά σας στην περίπτωση (β).

31. Ο δίσκος του σχήματος είναι οριζόντιος, έχει μάζα Μ=50 kg και

ακτίνα R=4 m. Στη θέση Β του δίσκου βρίσκεται ένα παιδί με μάζα

m=40 Kg και το σύστημα παιδί – δίσκος περιστρέφεται χωρίς τριβές,

με γωνιακή ταχύτητα ω1=5,6 rad/s, γύρω από κατακόρυφο άξονα

που διέρχεται από το κέντρο του δίσκου Ο. Αν το παιδί μετακινηθεί

από τη θέση Β στη θέση Α του δίσκου (βλέπε σχήμα), τότε η

γωνιακή ταχύτητα του δίσκου γίνεται ω2. (Να θεωρήσετε το παιδί ως

σημειακή μάζα).

α. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα ω2.

β. Να υπολογίσετε την μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος.

γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής του παιδιού.

δ. Που οφείλονται οι παραπάνω μεταβολές (στα ερωτήματα β και γ);

Δίνονται: οι αποστάσεις ΑΟ=2m, ΒΟ=3m και Ιcm=1/2MR2. (7,6 rad/s, 4256 J, -800 kg.m2/s)

32. Αυτοκίνητο, κάθε τροχός του οποίου έχει μάζα m=8 kg και ακτίνα R=0,25 m, κινείται ευθύγραμμα

με ταχύτητα μέτρου υο=72 km/h. Κάποια στιγμή το αυτοκίνητο αποκτά σταθερή επιβράδυνση και

ακινητοποιείται αφού διανύσει διάστημα xολ=80 m. Στη διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης οι

τροχοί του κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Η ροπή αδράνειας κάθε τροχού είναι Ιcm=0,75 kg.m

2.

Να υπολογίσετε:

α. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας κάθε τροχού.

β. τη συνολική γωνία που διαγράφει κάθε τροχός κατά τη διάρκεια της επιβραδυνόμενης κίνησης.

γ. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής κάθε τροχού ως προς το κέντρο μάζας του.

δ. το συνολικό έργο των δυνάμεων που ασκούνται σε κάθε τροχό κατά τη διάρκεια της

επιβραδυνόμενης κίνησης. (10 rad/s2, 320 rad, 7,5 kg.m2/s2, -4000 J)

33. Α. Η ομογενής σφαίρα του σχήματος μάζας M=5 kg και ακτίνας R=20

cm συγκρατείται πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ=30o με τη

βοήθεια ενός σχοινιού που είναι τυλιγμένο γύρω της. Αν ο

συντελεστής οριακής τριβής μs ανάμεσα στην σφαίρα και το

κεκλιμένο επίπεδο είναι μs=0,5, να αποδείξετε ότι η σφαίρα δεν

γλιστρά στο κεκλιμένο επίπεδο.

Β. Κόβουμε το νήμα και η σφαίρα αφήνεται να κυλήσει χωρίς

ολίσθηση κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου από ένα σημείο του

που βρίσκεται σε κατακόρυφη απόσταση h=175 m από την βάση του

7

κεκλιμένου επιπέδου. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το

κέντρο μάζας της είναι I=2/5MR2. Να υπολογιστούν: (δίνεται g=10m/s

2)

α. Η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας.

β. Η γραμμική επιτάχυνση του κέντρου μάζας της σφαίρας.

γ. Η ταχύτητα που έχει η σφαίρα στην βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

δ. Η στροφορμή που έχει η σφαίρα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. (σύγκρινε Τ και Τs, 250/14 rad/s2, 25/7 m/s2, 50 m/s, 20 kg.m2/s)

34. Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους h και γωνίας κλίσης φ=30ο αφήνονται ταυτόχρονα

ένας κύλινδρος και μία σφαίρα ίδιας μάζας και ίδιας ακτίνας. Αν τα δύο σώματα κυλίονται χωρίς να

ολισθαίνουν, να υπολογίσετε:

α. το λόγο των επιταχύνσεων των κέντρων μάζας των δύο σωμάτων.

β. το λόγο των τελικών ταχυτήτων των κέντρων μάζας των δύο σωμάτων, όταν φτάνουν στη βάση

του κεκλιμένου επιπέδου.

γ. το λόγο των χρόνων που κάνουν τα δύο σώματα μέχρι να φτάσουν στη βάση του κεκλιμένου

επιπέδου.

Δίνονται Ικυλ,cm=1/2MR2, Ισφ,cm=2/5MR

2 και g=10 m/s

2. (14/15,

1514 ,

1415 )

35. Η τροχαλία του διπλανού σχήματος έχει μάζα M=4 kg και ακτίνα R=0,2m, τα

σώματα έχουν μάζες m1=1 kg και m2=2 kg και το σχοινί είναι αβαρές. Αρχικά

το σύστημα είναι ακίνητο και τα σώματα βρίσκονται στο ίδιο ύψος. Αν

αφήσουμε τα σώματα ελεύθερα,

α. να υπολογίσετε την επιτάχυνση των σωμάτων.

β. να υπολογίσετε τις τάσεις του σχοινιού.

γ. να υπολογίσετε μετά από πόσο χρόνο τα σώματα θα απέχουν μεταξύ τους

d=8 m.

δ. Πώς μεταβάλλεται η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας με το χρόνο;

ε. Πώς μπορούμε να βρούμε την γωνία στροφής της τροχαλίας;

Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής είναι I=1/2 MR2 και g=10m/s

2.

(2 m/s2, 12 N, 16 N, 2 s, ω=10t)

36. Στο σχήμα φαίνεται σε τομή μια τροχαλία που αποτελείται από δύο

ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες R1=0,2 m και R2=0,1 m, που μπορεί να

περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος διέρχεται

από το κέντρο της τροχαλίας. Τα σώματα Σ1 και Σ2 έχουν ίσες μάζες

m1=m2=2 kg και είναι στερεωμένα μέσω νημάτων που είναι τυλιγμένα στους

κυλίνδρους. H τροχαλία και τα σώματα Σ1, Σ2 είναι αρχικά ακίνητα και τα

κέντρα μάζας των Σ1, Σ2 βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική

στιγμή t=0 το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί και τη χρονική στιγμή

t1 το σώμα Σ1 έχει κατέβει κατά h1=0,4 m.

Α. Να δείξετε:

α. ότι η ταχύτητα του σώματος Σ1 είναι συνέχεια διπλάσια της ταχύτητας

του σώματος Σ2.

β. ότι το διάστημα που διανύει το σώμα Σ1 είναι συνέχεια διπλάσιο του διαστήματος που διανύει το

σώμα Σ2.

Β. Τη χρονική στιγμή t1 να υπολογίσετε:

γ. τη γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας.

δ. το ρυθμό με τον οποίο το βάρος του σώματος Σ1 μεταφέρει ενέργεια στο σύστημα.

Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην παρατηρείται

ολίσθηση. Το νήμα είναι αβαρές. Δίνονται: Icm=0,1 kg.m

2 και g=10 m/s

2. (40 rad/s, 810 J/s)

8

37. Οι δίσκοι Α και Β του σχήματος στρέφονται γύρω από τον ίδιο άξονα αλλά με

αντίθετες φορές. Ο δίσκος Α έχει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα

περιστροφής IΑ=80 kg.m

2

και γωνιακή ταχύτητα μέτρου ωΑ=2 rad/s, ενώ ο

δίσκος Β έχει ροπή αδράνειας IΒ=120 kg.m

2 και γωνιακή ταχύτητα μέτρου

ωB=3rad/s.

α. Να βρείτε τη στροφορμή του συστήματος των δύο δίσκων.

β. Ο δίσκος Α αφήνεται να πέσει πάνω στον δίσκο Β. Ποια θα είναι πλέον η

γωνιακή ταχύτητα του συστήματος; (200 kg.m2/s προς τα κάτω, 1 rad/s με φορά ίδια με του Β)

38. Ομογενής ράβδος μήκους L=16/15 m και μάζας M=9 kg βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση. Στο μέσον

της ράβδου και στο ελεύθερο άκρο της είναι στερεωμένες δύο σφαίρες με μάζες m=M/3 η κάθε μια.

Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσον της είναι Icm=1/12ML2

και η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται με άρθρωση στο κάτω άκρο της. Η ράβδος αφήνεται

ελεύθερη να περιστραφεί. Να υπολογίσετε:

α. τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα που διέρχεται από την άρθρωση.

β. τη γωνιακή επιτάχυνση τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος

γ. τις γραμμικές ταχύτητας των μαζών m τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος.

Δίνεται g=10m/s2. (7,68 kg.m2, 12,5 rad/s2, 8/3 m/s, 16/3 m/s)

39. Ισοπαχής ομογενής δακτύλιος μάζας Μ=2 kg και ακτίνας R=0,2 m αφήνεται να κυλήσει χωρίς να

ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30ο. Να υπολογίσετε:

α. το μέτρο της επιτάχυνσης του ΚΜ του δακτυλίου.

β. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ορμής του δακτυλίου κατά την κίνησή του.

γ. το μέτρο της στροφορμής του δακτυλίου τη χρονική στιγμή που η κατακόρυφη μετατόπισή

του είναι 1,6 m.[με 3 τρόπους μπορείτε να βρείτε το ω: ΑΔΜΕ, ΘΜΚΕ, κινηματική]

δ. την ελάχιστη τιμή του συντελεστή οριακής τριβής μεταξύ δακτυλίου και δαπέδου, ώστε ο

δακτύλιος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

Δίνεται g=10m/s2. (2,5 m/s2, 5 kg.m/s2, 1,6 kg.m2/s, √3/6)

40. Ο Γαλιλαίος για να μετρήσει την επιτάχυνση της βαρύτητας g πραγματοποίησε το εξής πείραμα.

Άφησε μια σφαίρα να κυλήσει χωρίς να ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=20ο και

μέτρησε το χρόνο που χρειαζόταν η σφαίρα για να μετακινηθεί κατά διάστημα S=3 m. Αν ο χρόνος

καθόδου που μέτρησε ο Γαλιλαίος ήταν Δt=1,6 s, ποια νομίζετε ότι ήταν η τιμή του g που βρήκε;

Δίνεται Icm=2/5mR2 και ημ20

ο=0,34. (9,6 m/s2)

41. Σφαίρα μάζας m=2 kg αφήνεται να κυλήσει χωρίς να ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας

κλίσης φ=30ο και αφού διανύσει d=84 m συναντά οριζόντιο επίπεδο. Μόλις φτάνει στο οριζόντιο

επίπεδο έχει στροφορμή L=4,8 kg.m

2/s, ενώ ισχύει Κμεταφ/Κστροφ=5/2. Να υπολογίσετε:

Α. α. την ταχύτητα του ΚΜ στο οριζόντιο επίπεδο.

β. τη ροπή αδράνειας της σφαίρας.

γ. την ακτίνα της r.

Β. α. Αμέσως μετά η σφαίρα μπαίνει σε κατακόρυφη κυκλική τροχιά όπου μόλις κάνει

ανακύκλωση. Πόση είναι η ακτίνα R της κυκλικής τροχιάς; (να μη θεωρήσετε r<<R!)

β. Πόση είναι η αντίδραση του εδάφους στο κατώτερο σημείο της κυκλικής τροχιάς;

Δίνεται g=10 m/s2. (10√6 m/s 48.10-3 kg.m2, √6/10 m, 15,6 m, 970 N)

42. Δύο σφαίρες μάζας m=2 kg η καθεμία είναι στερεωμένες στα

άκρα ομογενούς ράβδου μάζας M=18 kg. Το σύστημα μπορεί

να περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο

άξονα που διέρχεται από το σημείο Κ όπως φαίνεται στο

διπλανό σχήμα, με d=1 m. Στο σημείο Γ (όπου βρίσκεται η

μάζα m) ασκείται δύναμη σταθερού μέτρου F=14/π N που

είναι συνεχώς κάθετη στη ράβδο, οπότε το σύστημα αρχίζει

να περιστρέφεται γύρω από το σημείο Κ. Nα υπολογιστούν:

α. η ροπή αδράνειας του συστήματος.

β. η ροπή της δύναμης.

9

F4

F5

A

φ

Γ Δ

F4

F5

A h

Γ Ο

γ. το έργο της δύναμης και η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος μετά από τέσσερις πλήρεις

περιστροφές.

δ. ο χρόνος που χρειάστηκε για να ολοκληρωθούν οι τέσσερις περιστροφές και η μέση ισχύς σ’

αυτή τη χρονική διάρκεια.

Δίνεται Icm=1/12ML2. (28 kg.m2, 28/π Ν.m, 224 J, 4 rad/s, 4π s, 56/π W)

43. Ομογενής δίσκος έχει μάζα m=0.5 kg και ακτίνα R=0,4 m και μπορεί να περιστρέφεται σε οριζόντιο

επίπεδο, γύρω από κατακόρυφο άξονα που είναι κάθετος στο δίσκο και διέρχεται από το κέντρο

του. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι ½MR2. Σε ένα σημείο

της περιφέρειας του δίσκου ασκείται δύναμη σταθερού μέτρου F=40π Ν, που είναι συνεχώς

εφαπτόμενη στο ίδιο σημείο της περιφέρειας. Ο δίσκος αρχικά είναι ακίνητος και αρχίζει να

περιστρέφεται με την επίδραση της δύναμης. Να υπολογιστούν:

α. Η ροπή της δύναμης.

β. Το έργο της δύναμης και η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου μετά από 4 πλήρεις περιστροφές.

γ. Ο ρυθμός προσφοράς ενέργειας από τη δύναμη την στιγμή που ολοκληρώνεται η 4η περιστροφή.

δ. Ο μέσος ρυθμός προσφοράς ενέργειας από τη δύναμη από την αρχή της κίνησης και μέχρι να

ολοκληρωθεί η 4η περιστροφή. (16 π Ν.m, 128π2 J, 80π rad/s, 1280π2 W, 640π2 J/s)

44. Σε αρχικά ακίνητο ομογενή δίσκο, ο οποίος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα,

ασκείται τη χρονική στιγμή t=0 σταθερή ροπή μέτρου τ=3 Ν.m και μέχρι τη χρονική στιγμή t1=5 s.

Ο δίσκος αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω1=20 rad/s.

A. 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τριβή μεταξύ δίσκου και άξονα και να υπολογίσετε το μέτρο της,

αν θεωρηθεί σταθερή.

2. Να βρείτε το έργο της κάθε ροπής.

Β. Αν τη χρονική στιγμή t1 σταματά η δράση της ροπή τ, να βρείτε:

1. Για πόσο χρόνο θα κινείται ο δίσκος μέχρι να ακινητοποιηθεί;

2. Τη χρονική διάρκεια που η στροφορμή του είναι μεγαλύτερη από L=2,5 kg.m

2/s.

[Υπόδειξη: Βρείτε τη σχέση L=f(t)] Δίνεται Ιcm=0,5 kg

.m

2. (1 Ν.m, 150 J, -50 J, 10 s μετά τη χρονική στιγμή t1, 11,25 s)

45. Ομογενής ράβδος ΑΓ (ℓ=1,5 m, M=2 kg) ισορροπεί, όπως στο

διπλανό σχήμα. Αν το νήμα ΓΔ είναι αβαρές και φ=60ο,

A. Να υπολογιστεί η δύναμη που ασκεί το νήμα στη ράβδο ΑΓ.

Β. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Γ και η ράβδος

αρχίζει να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από την

άρθρωση, χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε:

1. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου τη στιγμή που

κόβεται το νήμα.

2. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής

της, τη στιγμή που διέρχεται από την οριζόντια θέση.

3. την κινητική ενέργεια της ράβδου τη στιγμή που διέρχεται από την κατακόρυφη θέση.

4. το ρυθμό παραγωγής έργου από το βάρος της ράβδου, τη στιγμή που διέρχεται από την

οριζόντια θέση.

Δίνεται Ιcm=(1/12)ML2, g=10 m/s

2, εφ60

ο=√3 και ημ60

ο=√3/2.(10√3 Ν, 5√3 rad/s2, 15 kg.m2/s2, 22,5 J)

46. Ομογενής ράβδος ΟΑ (ℓ=2 m, M=6 kg) ισορροπεί οριζόντια.

Το άκρο της Ο συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Το

άκρο της Α συνδέεται με κατακόρυφο αβαρές νήμα ΑΓ σε

ακλόνητο σημείο Γ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος

βρίσκεται σε ύψος h=1,2 m πάνω από το οριζόντιο πάτωμα.

A. Να βρείτε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στη ράβδο

από το νήμα και την άρθρωση.

Β. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα στο άκρο Α και η

ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από την άρθρωση, χωρίς τριβές.

Να υπολογίσετε:

1. το μέτρο της επιτάχυνσης του ΚΜ της ράβδου τη στιγμή που κόβεται το νήμα.

10

F

R

2. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου, τη στιγμή που το άκρο της Α κτυπάει στο

οριζόντιο πάτωμα.

3. το ρυθμό παραγωγής έργου από το βάρος της ράβδου, τη στιγμή που το άκρο της Α κτυπάει

στο οριζόντιο πάτωμα.

Δίνεται Ιcm=1/12ML2 και g=10 m/s

2. (Τ=30 Ν, F=30 N, 7,5 m/s2, 3 rad/s, 144 J/s)

47. Στην επιφάνεια ενός ομογενούς κυλίνδρου μάζας m=2

kg και ακτίνας R=0,3 m, έχουμε τυλίξει λεπτό σχοινί

αμελητέας μάζας, το ελεύθερο άκρο του οποίου έλκεται

με σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=6 Ν, όπως

φαίνεται στο σχήμα. Το σχοινί ξετυλίγεται χωρίς

ολίσθηση, περιστρέφοντας ταυτόχρονα τον κύλινδρο. Ο

κύλινδρος μπορεί να κυλίεται χωρίς ολίσθηση και αρχικά ηρεμούσε στη θέση Α. Όταν βρεθεί στη

θέση Γ έχει ξετυλιχθεί σχοινί τόσο, ώστε το σημείο εφαρμογής της δύναμης F να έχει μετατοπιστεί

κατά L=4 m. Να υπολογισθεί:

α. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.

β. η στατική τριβή.

γ. η ισχύς της δύναμης F στη θέση Γ.

δ. το ποσοστό της κινητικής του ενέργειας που είναι στροφική στη θέση Γ.

Δίνονται: g=10m/s2 και η Icm=1/2mR

2. (4 m/s

2, 2 Ν, 48 W, 33,3%)

48. Συμπαγής και ομογενής σφαίρα μάζας Μ=4 kg και ακτίνας R=0,2 m είναι

αρχικά ακίνητη πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Με την επίδραση σταθερής

οριζόντιας δύναμης μέτρου F=28 N, η οποία ασκείται στο κέντρο της, η

σφαίρα αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογίσετε:

α. το μέτρο της επιτάχυνσης του ΚΜ της σφαίρας.

β. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της σφαίρας κατά τη

διάρκεια της κίνησής της.

γ. το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας όταν αυτή έχει διαγράψει Ν=40/π

περιστροφές.

δ. την κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης, τη στιγμή που η κινητική ενέργεια της σφαίρας

λόγω μεταφορικής κίνησης είναι ίση με Κμετ=50 J.

Δίνεται Icm=2/5MR2. (5 m/s2, 1,6 kg.m2/s2, 8 m/s, 20 J)

49. Κατακόρυφος, ομογενής και συμπαγής δίσκος μάζας Μ=2

kg και ακτίνας R=0,2 m είναι αρχικά ακίνητος πάνω σε

οριζόντιο δάπεδο. Στην περιφέρεια του δίσκου είναι

τυλιγμένο αβαρές νήμα. Ασκώντας στο ελεύθερο άκρο του

νήματος σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=15 N, ο

δίσκος αρχίζει τη χρονική στιγμή to=0 να κυλίεται

ευθύγραμμα χωρίς να ολισθαίνει. Να υπολογίσετε:

α. το μέτρο της επιτάχυνσης του ΚΜ του δίσκου.

β. το μέτρο της στατικής τριβής που ασκείται από το δάπεδο στο δίσκο.

γ. το μήκος του νήματος που θα ξετυλιχθεί καθώς και τη μετατόπιση του ΚΜ από τη χρονική

στιγμή to=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t=0,5 s.

δ. την κινητική ενέργεια του δίσκου λόγω στροφικής κίνησης, τη χρονική στιγμή t=0,5 s.

Δίνεται Icm=1/2MR2. (10 m/s2, 5 Ν, 2,5 m, 1,25 m, 12,5 J)

50. Στην προηγούμενη άσκηση, αν Μ=2 kg, R=0,4 m, μστατ,max=0,4 και F=12 N,

α. να αποδείξετε ότι ο δίσκος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.

β. να υπολογίσετε τον αριθμό των περιστροφών που έχει διαγράψει ο κύλινδρος, όταν το σημείο εφαρμογής της δύναμης F έχει μετατοπιστεί κατά Δx=8 m.

Δίνεται 2

21 MRcm και g=10 m/s

2. (5/π στροφές)

11

51. Ισοπαχής ομογενής δακτύλιος μάζας m (Icm=mR2) αφήνεται

ελεύθερος από ύψος h και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο

εσωτερικό της τροχιάς του σχήματος. Ο δακτύλιος φτάνει

στο χείλος Β που απέχει h/3 από τη βάση της τροχιάς, οπότε

ξεφεύγει από την τροχιά και κινείται ευθύγραμμα με

διεύθυνση κατακόρυφη προς τα πάνω, όπως φαίνεται στο

σχήμα. Ποιο είναι το μέγιστο ύψος στο οποίο θα ανέλθει το

κέντρο μάζας του; (hmax=2h/3)

52. Στην επιφάνεια ενός ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ=40 kg και

ακτίνας R=0,2 m, έχουμε τυλίξει λεπτό σχοινί αμελητέας μάζας,

το ελεύθερο άκρο του οποίου έλκεται με σταθερή δύναμη F

παράλληλη προς την επιφάνεια κεκλιμένου επιπέδου γωνίας

κλίσεως 30ο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Το σχοινί ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση, περιστρέφοντας

ταυτόχρονα τον κύλινδρο. Ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στην

επιφάνεια του κεκλιμένου επιπέδου χωρίς ολίσθηση.

α. Να υπολογισθεί το μέτρο της δύναμης F, ώστε ο κύλινδρος

να ανεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα.

Αν αρχικά ο κύλινδρος είναι ακίνητος με το κέντρο μάζας του στη θέση Α και στο ελεύθερο άκρο

του σχοινιού ασκηθεί σταθερή δύναμη F=130N, όπως στο σχήμα:

β. Να υπολογισθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.

γ. Να υπολογισθεί το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του

όταν το κέντρο μάζας του περνάει από τη θέση Γ του σχήματος, η οποία βρίσκεται h=1 m

ψηλότερα από τη θέση Α.

δ. Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης F κατά τη μετακίνηση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου

από τη θέση Α στη θέση Γ και να δείξετε ότι αυτό ισούται με τη μεταβολή της μηχανικής

ενέργειας του κυλίνδρου κατά τη μετακίνηση αυτή.

Δίνονται: επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s2, ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα

περιστροφής του 2

2

1MRcm , ημ30

ο=1/2. (Επαναληπτικές 2009)

(F=100 N, αcm=1 m/s2, L=8 kg.m2/s, WF=520 J)

53. Ομογενής σφαιρικός φλοιός μάζας Μ=4,5 kg και ακτίνας

R=8,5 cm μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω

από κατακόρυφο άξονα, όπως στο σχήμα. Έχουμε

τυλίξει λεπτό σχοινί αμελητέας μάζας γύρω από τον

ισημερινό του σφαιρικού φλοιού, το ελεύθερο άκρο του

οποίου περνάει από τροχαλία ροπής αδράνειας I=3.10

-3

kg.m

2 και ακτίνας r=5 cm και στη συνέχεια δένεται σε

σώμα μάζας m=0,6 kg. Τριβές στον άξονα της τροχαλίας

δεν υπάρχουν, ενώ το σκοινί δεν ολισθαίνει στην

τροχαλία. Το σώμα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί.

Χρησιμοποιώντας ενεργειακά επιχειρήματα, να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος όταν έχει

πέσει κατά 82 cm.

Δίνεται g=10 m/s2 και η ροπή αδράνειας του σφαιρικού φλοιού ως προς τον άξονα περιστροφής του

2

3

2MRcm . (υcm=1,42 m/s)

B

12

d

FF

54. Το γιο-γιο του σχήματος αποτελείται από ομογενή συμπαγή κύλινδρο

που έχει μάζα m=0,12 kg και ακτίνα R=1,5·10-2

m. Γύρω από τον

κύλινδρο έχει τυλιχτεί νήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε τον

κύλινδρο να πέσει. Το νήμα ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται

γύρω από νοητό οριζόντιο άξονα x΄x, ο οποίος ταυτίζεται με τον άξονα

συμμετρίας του. Το νήμα σε όλη τη διάρκεια της κίνησης του κυλίνδρου

παραμένει κατακόρυφο και τεντωμένο και δεν ολισθαίνει στην

περιφέρεια του κυλίνδρου. Τη στιγμή που έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους

ℓ=20R, η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι υcm=2 m/s.

α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του. (Ο τύπος

που μας δίνει τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο

μάζας του, δεν θεωρείται γνωστός).

β. Να βρείτε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου καθώς κατέρχεται.

γ. Τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι υcm=2m/s, το νήμα

κόβεται. Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα

περιστροφής του x΄x μετά την πάροδο χρόνου 0,8 s από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα.

δ. Να κάνετε σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα του μέτρου της στροφορμής σε συνάρτηση

με το χρόνο από τη χρονική στιγμή t=0, μέχρι τη χρονική στιγμή που αντιστοιχεί σε χρόνο 0,8s

από τη στιγμή που κόπηκε το νήμα. (Επαναληπτικές 2005)

Δίνεται g=10m/s2. (I=135.10-7 kg.m2, dL/dt=6.10-3 kg.m2/s2, L=18.10-4 kg.m2/s)

55. Λεπτός δίσκος μάζας Μ=1 kg και ακτίνας R=1

m βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο και

ορθογώνιο τραπέζι μήκους ΖΕ=d=4 m, με το

κέντρο μάζας του να είναι στην αριστερή πλευρά

ΓΖ του τραπεζιού.

Με τη βοήθεια ενός τυλιγμένου νήματος στην

περιφέρεια του δίσκου, ασκούμε στο δίσκο τη

χρονική στιγμή t=0 εφαπτομενική δύναμη

μέτρου F=2 N. Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως

προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο

μάζας του είναι I=1/2 MR2.

α. Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t1 στην

οποία θα φτάσει το κέντρο μάζας του δίσκου

στην πλευρά ΔΕ του τραπεζιού. Πόσες περιστροφές θα έχει εκτελέσει ο δίσκος και ποιο είναι το

μήκος του νήματος που έχει ξετυλιχθεί μέχρι τότε;

β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας και τη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου τη

χρονική στιγμή t1.

γ. Τη χρονική στιγμή t1 ένα υλικό σημείο Α που βρίσκεται στην περιφέρεια του δίσκου (όπως

φαίνεται στο σχήμα) αποκολλάται από αυτόν. Ποια είναι η κατεύθυνση κίνησης του Α μετά την

αποκόλληση και πόση είναι τότε η ταχύτητά του;

56. Ομογενής κύλινδρος μάζας m=2 kg και ακτίνας R=0,1 m, τη χρονική στιγμή t=0, αρχίζει να

ανεβαίνει κυλιόμενος χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο πολύ μεγάλου μήκους και με γωνία

κλίσης φ (ημφ=0,6), ξεκινώντας από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Ο κύλινδρος δέχεται

σταθερή δύναμη στο κέντρο μάζας του παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο και μέτρου F=18 Ν.

Όταν ο κύλινδρος διανύσει απόσταση s=16 m, η δύναμη F καταργείται. (g=10m/s2 και Icm=1/2mR

2).

α. Να βρείτε το έργο της δύναμης F και την ταχύτητα με την οποία επιστρέφει ο κύλινδρος στη

βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

β. Να βρείτε την επιτάχυνση του κυλίνδρου πριν την κατάργηση της δύναμης F.

γ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του κυλίνδρου αμέσως μετά την κατάργηση της

δύναμης F.

δ. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση γωνιακής ταχύτητας –

χρόνου από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή που ο κύλινδρος σταματά στιγμιαία

στο κεκλιμένο επίπεδο.

13

57. Στερεό Π μάζας Μ=10 kg αποτελείται από δυο κολλημένους ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες

R και 2R, όπου R=0.2 m όπως στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας του στέρεου Π ως προς τον άξονα

περιστροφής του είναι Ι=ΜR2. Το στερεό Π περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό

οριζόντιο άξονα ΟΌ, που συμπίπτει με τον άξονα του. Το σώμα Σ μάζας m=20 kg κρέμεται από το

ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο ακτίνας R. Γύρω από το τμήμα

του στερεού Π με ακτίνα 2R είναι τυλιγμένο πολλές φορές νήμα. στο ελεύθερο άκρο Α του οποίου

μπορεί να ασκείται οριζόντια δύναμη F.

α. Να βρείτε το μέτρο της αρχικής δύναμης Fo που ασκείται στο ελεύθερο άκρο Α του νήματος,

ώστε το σύστημα που εικονίζεται στο σχήμα να παραμένει ακίνητο.

Τη χρονική στιγμή to=0 που το σύστημα του σχήματος είναι ακίνητο, αυξάνουμε τη δύναμη

ακαριαία έτσι ώστε να γίνει F=115 Ν.

β. Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος Σ.

Για τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέλθει κατά h=2 m, να βρείτε:

γ. Το μέτρο της στροφορμής του στερεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής του.

δ. Τη μετατόπιση του σημείου Α από την αρχική του θέση.

ε. Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του στερεού Π

κατά τη μετατόπιση του σώματος Σ κατά h.

Δίνεται g=10 m/s2. Το συνολικό μήκος κάθε νήματος παραμένει σταθερό.

58. Η κατακόρυφη τροχαλία του σχήματος, μάζας m=3 kg και

ακτίνας r=0,1 m, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές

γύρω από οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο της

Ο και είναι κάθετος σε αυτήν. Στο αυλάκι της τροχαλίας

περνά νήμα που από το ένα άκρο του κρέμεται σώμα Σ2

μάζας m2=2 kg και στο άλλο άκρο του είναι δεμένος ένας

κατακόρυφος τροχός (Σ1) που έχει μάζα M=4 kg και

ακτίνα R=0,2 m.

α. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F ώστε το

σύστημα που εικονίζεται στο σχήμα να παραμείνει ακίνητο.

Τη χρονική στιγμή tο=0 που το σύστημα του σχήματος είναι ακίνητο, αυξάνουμε τη δύναμη

ακαριαία έτσι ώστε να γίνει F=80 N.

β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος Σ2.

Για τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέλθει κατά h=2 m, να υπολογίσετε:

γ. Το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της.

δ. Τη μετατόπιση του τροχού από την αρχική του θέση.

ε. Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέργεια του τροχού Σ1 κατά

τη μετατόπιση του σώματος Σ2 κατά h.

Δίνονται g=10 m/s2, η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της

Icm=1/2mr2 και του σώματος Σ1 ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι1=1/2ΜR

2. Η τριβή ανάμεσα

στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση. Το νήμα

είναι αβαρές. Ο τροχός Σ1 κυλίεται χωρίς ολίσθηση. (40 Ν, 4 m/s2, 0,6 kg.m2/s, 1 m, 15%)

14

59. Αβαρής ράβδος μήκους 3d (d=1m) μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα, που είναι

κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το Ο. Στο άκρο Α που βρίσκεται σε απόσταση 2d από το Ο

υπάρχει σημειακή μάζα mA=1 kg και στο σημείο Γ, που βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο έχουμε

επίσης σημειακή μάζα mΓ=6 kg. Στο άλλο άκρο της ράβδου, στο σημείο Β, είναι αναρτημένη

τροχαλία μάζας Μ=4 kg από την οποία κρέμονται οι μάζες m1=2 kg, m2=m3=1 kg. Η τροχαλία

μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα Ο΄.

Δ1. Αποδείξτε ότι το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο στην οριζόντια θέση.

Κόβουμε το Ο΄Β, που συνδέει την τροχαλία με τη ράβδο στο σημείο Β.

Δ2. Βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει γωνία 30ο

με την

κατακόρυφο.

Όταν η σημειακή μάζα mΑ φτάνει στο κατώτατο σημείο, συγκρούεται πλαστικά με ακίνητη

σημειακή μάζα m4=5 kg.

Δ3. Βρείτε τη γραμμική ταχύτητα του σημείου Α αμέσως μετά τη κρούση.

Στην αρχική διάταξη, όταν η τροχαλία με τα σώματα είναι δεμένη στο Β, κόβουμε το νήμα που

συνδέει μεταξύ τους τα σώματα m2 και m3 και αντικαθιστούμε την mΑ με μάζα m.

Δ4. Πόση πρέπει να είναι η μάζα m, ώστε η ράβδος να διατηρήσει την ισορροπία της κατά τη

διάρκεια περιστροφής της τροχαλίας;

Τα νήματα είναι αβαρή, τριβές στους άξονες δεν υπάρχουν και το νήμα δεν ολισθαίνει στη

τροχαλία. Δίνεται: g=10 m/s2, ημ30°=1/2, ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που

διέρχεται από το κέντρο της Ι=MR2/2.