Συστήματα γραμμικα
-
Upload
giwrgos-pap -
Category
Documents
-
view
21 -
download
0
description
Transcript of Συστήματα γραμμικα
Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Συστήματα
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1• Γραµµικά συστήµατα 2x2.
Ασκήσεις1 - 20
1. Να λύσετε το σύστημα
2(x +1)−3y = 3
x −2(y−2) = 3x + 6
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪.
Όταν δοθεί ένα σύστηµα και δεν έχει εξ αρχής την µορφή
α1x + β
1y = γ
1
α2x + β
2y = γ
2
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
, α1,β
1, γ
1,α
2,β
2, γ
2∈ ! , τότε
προφανώς πρέπει να κάνουµε τις απαραίτητες πράξεις, ώστε να το φέρουµε σ' αυτήν. Η επίλυση του συστήµατος γί-νεται από 'κει και πέρα.
Έχω
2x + 2−3y = 3x −2y + 4 = 3x = 6
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
2x −3y = 1−2x −2y = 2
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
−5y = 3⇒ y =−35
.
Από την εξίσωση 2x −3y = 1 έχω τότε
2x −3 ⋅−35
= 1⇒ 2x +95
= 1⇒ 10x + 9 = 5⇒ 10x =−4⇒ x =−410⇒ x =−
25
.
Υπενθύµιση. Η προτεινόµενη µέθοδος επίλυσης είναι η µέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή µέθοδος της απα-λοιφής).
2. Να λύσετε το σύστημα
x = 1−3(y−x)
y = 2x + 3(y−x)
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
.
Έχω
x = 1−3(y−x)
y = 2x + 3(y−x)
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
x = 1−3y + 3xy = 2x + 3y−3x
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
2x −3y =−1x −2y = 0
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
⇒2x −3y =−1−2x + 4y = 0
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
y =−1 .
Από την εξίσωση x −2y = 0 έχω τότε x −2 ⋅(−1) = 0⇒ x =−2 .
3. Να λύσετε το σύστημα
x −2y = 13x = 5(y +1)
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
.
Έχω
x −2y = 13x = 5y + 5
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
x −2y = 13x −5y = 5
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
−3x + 6y =−33x −5y = 5
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
y = 2 .
Από την εξίσωση x −2y = 1 έχω τότε x −2 ⋅2 = 1⇒ x = 5 .
Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)
4. Να λύσετε το σύστημα
3x +y = 52x −3y =−4
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪.
Έχω
9x + 3y = 152x −3y =−4
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
11x = 11⇒ x = 1 .
Από την εξίσωση 3x +y = 5 έχω τότε 3 ⋅1+y = 5⇒ y = 2 .
5. Να λύσετε το σύστημα
x3−
y2
= 3
x − 4y = 12
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
.
Κάνοντας απαλοιφή των παρονομαστών στην πρώτη εξίσωση, έχω
2x −3y = 18x − 4y = 12
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
2x −3y = 18−2x + 8y =−24
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
5y =−6⇒ y =−65
.
Από την εξίσωση x − 4y = 12 έχω τότε x − 4 ⋅−65
= 12⇒ x +245
= 12⇒
⇒ 5x + 24 = 60⇒ 5x = 36⇒ x =365
.
6. Να λύσετε το σύστημα
x2−
y +18
=32
x −13−
y2
=92
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
.
Με απαλοιφή των παρονομαστών στις δύο εξισώσεις, έχω
4x −(y +1) = 12
2(x −1)−3y = 27
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
4x −y−1 = 122x −2−3y = 27
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
4x −y = 132x −3y = 29
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
⇒4x −y = 13
−4x + 6y =−58
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
5y =−45⇒ y =−9 .
Από την εξίσωση 4x −y = 13 έχω τότε 4x −(−9) = 13⇒ 4x = 4⇒ x = 1 .
Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)
7. Να λύσετε το σύστημα
x −3y + 2
=−23
y +1x + 5
=13
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
.
Πρέπει να είναι
y + 2≠ 0x + 5≠ 0
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪⇒ y ≠−2
x ≠−5
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪.
Δεν πρέπει να ξεχνάµε: όταν υπάρχουν παρονοµαστές µε µεταβλητές σ' αυτούς, να βάζουµε περιορισµούς!!
Με απαλοιφή των παρονομαστών στις δύο εξισώσεις, έχω
3(x −3) =−2(y + 2)
3(y +1) = x + 5
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
3x −9 =−2y− 43y + 3 = x + 5
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
3x + 2y = 5−x + 3y = 2
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
3x + 2y = 5−3x + 9y = 6
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
⇒11y = 11⇒ y = 1 .
Από την εξίσωση −x + 3y = 2 έχω τότε −x + 3 ⋅1 = 2⇒ x = 1 .
8. Να λύσετε το σύστημα
x +y2
= 2−x −y
3x −y
4+
x +y3
= 1
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
.
Με απαλοιφή των παρονομαστών στις δύο εξισώσεις, έχω
3(x +y) = 6−2(x −y)
3(x −y)+ 4(x +y) = 12
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
3x + 3y = 6−2x + 2y3x −3y + 4x + 4y = 12
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
5x +y = 67x +y = 12
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
⇒−5x −y =−67x +y = 12
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
2x = 6⇒ x = 3 .
Από την εξίσωση 5x +y = 6 έχω τότε 5 ⋅3 +y = 6⇒ y =−9 .
Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)
9. Να λύσετε το σύστημα
(x + 3)2 + (y−8)2
x 2 +y 2 + 39= 1
2x + 3y + 85x + 4y−1
=34
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
.
Αφού υπάρχουν παρονοµαστές µε µεταβλητές, πρέπει να θέσω περιορισµούς!
Είναι x2 +y 2 + 39 > 0 , για κάθε x ,y ∈ ! , οπότε πρέπει να είναι 5x + 4y−1≠ 0 .
Υπενθύµιση από την Άλγεβρα της Α΄Λυκείου. Ένα άθροισµα τετραγώνων (γενικά, άρτιων δυνάµεων) είναι πάντα µεγαλύτερο ή ίσο του µηδενός. Αν προστεθεί κι ένας θετικός αριθµός, τότε το αποτέλεσµα είναι πάντα θετικό.
Από την πρώτη εξίσωση έχω (x + 3)2 + (y−8)2 = x 2 +y 2 + 39⇒
⇒ x 2 + 9 + 6x +y 2 + 64−16y = x 2 +y 2 + 39⇒ 6x −16y =−34⇒ 3x −8y =−17 (1)
Από την δεύτερη εξίσωση έχω 4(2x + 3y + 8) = 3(5x + 4y−1)⇒
⇒ 8x +12y + 32 = 15x +12y−3⇒ 7x = 35⇒ x = 5 .
Από την (1) έχω τότε 3 ⋅5−8y =−17⇒ 8y = 32⇒ y = 4 .
Να προσεχθεί πολύ τί γίνεται στην συνέχεια! Δεν έχω τελειώσει, έχοντας βρει τα x, y, διότι...
Πρέπει να ελέγξω αν οι τιμές αυτές επαληθεύουν τον περιορισμό.
Είναι 5x + 4y−1 = 5 ⋅5 + 4 ⋅4−1 = 25 +16−1 = 40≠ 0 .
Άρα οι τιμές των x, y που βρέθηκαν είναι δεκτές.
10. Να λύσετε το σύστημα
x −2(x +y) = 2y−13
y3−3(x +y) = 2x −13
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
.
Με απαλοιφή του παρονομαστή στην δεύτερη εξίσωση, έχω
x −2x −2y = 2y−13y−9(x +y) = 6x −39
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
−x − 4y =−13y−9x −9y = 6x −39
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
x + 4y = 1315x + 8y = 39
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
⇒−2x −8y =−2615x + 8y = 39
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
13x = 13⇒ x = 1 .
Από την εξίσωση x + 4y = 13 έχω τότε 1+ 4y = 13⇒ 4y = 12⇒ y = 3 .
Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)
11. Να λύσετε το σύστημα
4x −y3
= 1−x2
x +y = 3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
.
Με απαλοιφή των παρονομαστών, από την πρώτη εξίσωση έχω
2(4x −y) = 6−3x ⇒ 8x −2y = 6−3x ⇒ 11x −2y = 6 .
Άρα έχω
11x −2y = 6x +y = 3
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
11x −2y = 62x + 2y = 6
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
13x = 12⇒ x =1213
.
Από την εξίσωση x +y = 3 έχω τότε
1213
+y = 3⇒ y = 3−1213
=39−12
13⇒ y =
2713
.
12. Να λύσετε το σύστημα
x −y3−
x +y2
=−12
x2
+y = 3
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
.
Με απαλοιφή των παρονομαστών στην πρώτη εξίσωση, έχω
2(x −y)−3(x +y) =−3
x + 2y = 6
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
2x −2y−3x −3y =−3x + 2y = 6
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
−x −5y =−3x + 2y = 6
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
⇒−3y = 3⇒ y =−1 .
Από την εξίσωση x + 2y = 6 έχω τότε x + 2 ⋅(−1) = 6⇒ x = 8 .
13. Να λύσετε το σύστημα
3x −y = 22x + 33y−2
= 1
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
.
Πρέπει να είναι 3y−2≠ 0⇒ 3y ≠ 2⇒ y ≠23
.
Από την δεύτερη εξίσωση έχω 2x + 3 = 3y−2⇒ 2x −3y =−5 .
Έτσι έχω
3x −y = 22x −3y =−5
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
−9x + 3y =−62x −3y =−5
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
−7x =−11⇒ x =117
.
Από την εξίσωση 3x −y = 2 έχω τότε y = 3x −2 = 3 ⋅117−2 =
337−2 =
33−147
⇒
⇒ y =197
.
Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)
14. Να λύσετε το σύστημα
x −12−
y +13
=12
2y−(3− 4x) = 2(3x −y)
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
.
Έχω
3(x −1)−2(y +1) = 3
2y−3 + 4x = 6x −2y
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
3x −3−2y−2 = 32x − 4y =−3
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
3x −2y = 82x − 4y =−3
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
⇒−6x + 4y =−16
2x − 4y =−3
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
− 4x =−19⇒ x =194
.
Από την εξίσωση 2x − 4y =−3 έχω τότε 2 ⋅194− 4y =−3⇒
192− 4y =−3⇒
⇒ 19−8y =−6⇒ 8y = 25⇒ y =258
.
15. Να λύσετε το σύστημα
x3−
y2
= 1
2x −5y =−2
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
.
Έχω
2x −3y = 62x −5y =−2
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
2x −3y = 6−2x + 5y = 2
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
2y = 8⇒ y = 4 .
Από την εξίσωση 2x −3y = 6 έχω τότε 2x −3 ⋅4 = 6⇒ 2x = 18⇒ x = 9 .
16. Να λύσετε το σύστημα
3x −y + 22
=x + 2y
5x −2y−3
3=
2x −y2
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
.
Έχω
5(3x −y + 2) = 2(x + 2y)
2(x −2y−3) = 3(2x −y)
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
15x −5y +10 = 2x + 4y2x − 4y−6 = 6x −3y
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
⇒13x −9y =−10
4x +y =−6
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
13x −9y =−1036x + 9y =−54
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
49x =−64⇒ x =−6449
.
Από την εξίσωση 4x +y =−6 έχω τότε 4 ⋅−6449
+y =−6⇒ y =25649−6 =
256−29449
⇒
⇒ y =−3849
.
Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)
17. Να λύσετε το σύστημα
2x + 33y−2
= 1
x(2y−5)−2y(x + 3) = 2x +1
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
.
Πρέπει να είναι 3y−2≠ 0⇒ 3y ≠ 2⇒ y ≠23
.
Από την πρώτη εξίσωση έχω 2x + 3 = 3y−2⇒ 2x −3y =−5 (1)
Από την δεύτερη εξίσωση έχω 2xy−5x −2xy−6y = 2x +1⇒ 7x + 6y =−1 (2)
Οι (1) και (2) δημιουργούν το σύστημα
2x −3y =−57x + 6y =−1
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪, απ' όπου έχω
4x −6y =−107x + 6y =−1
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
11x =−11⇒ x =−1 .
Από την (2) έχω τότε 7 ⋅(−1)+ 6y =−1⇒ 6y = 6⇒ y = 1 .
18. Να λύσετε το σύστημα
x −1x +15
=y−6y + 2
x −3x
=y− 4y−1
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
.
Πρέπει να είναι
x +15≠ 0y + 2≠ 0
x ≠ 0y−1≠ 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⇒
x ≠−15y ≠−2x ≠ 0y ≠ 1
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
.
Έχω τότε
(x −1)(y + 2) = (x +15)(y−6)
(x −3)(y−1) = x(y− 4)
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
xy + 2x −y−2 = xy−6x +15y−90xy−x −3y + 3 = xy− 4x
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
⇒8x −16y =−883x −3y =−3
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
x −2y =−11x −y =−1
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
x −2y =−11−x +y = 1
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
−y =−10⇒ y = 10 .
Από την εξίσωση x −y =−1 έχω τότε x −10 =−1⇒ x = 9 .
Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)
19. Να λύσετε το σύστημα
24x +y−5
=1
x + 2y +103
4x +y−5+
5x + 2y +10
=−138
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
.
Να προσεχθεί πολύ αυτή η άσκηση!
Πρέπει να είναι 4x +y−5≠ 0 και x + 2y +10≠ 0 .
Θέτω 4x +y−5 = α ≠ 0 , x + 2y +10 = β ≠ 0 και έχω
2α
=1β
3α
+5β
=−138
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⇒α = 2β (1)
32β
+5β
=−138
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
⇒ 12 + 40 =−13β⇒−13β = 52⇒ β =−4 .
Από την (1) έχω τότε α = 2 ⋅(−4)⇒ α =−8 .
Επομένως ισχύουν
4x +y−5 =−8x + 2y +10 =−4
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
4x +y =−3x + 2y =−14
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒
−8x −2y = 6x + 2y =−14
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
⇒−7x =−8⇒ x =87
.
Από την εξίσωση 4x +y =−3 έχω τότε y =−4x −3 =−4 ⋅87−3 =−
327−3⇒
⇒ y =−32−21
7⇒ y =−
537
.
(Οι αρχικοί περιορισμοί δεν χρειάζεται να ελεγχθούν, αφού τα α, β είναι δεκτά).
2ος τρόπος
Πρέπει να είναι 4x +y−5≠ 0 και x + 2y +10≠ 0 .
Έχω
2 ⋅1
4x +y−5=
1x + 2y +10
3 ⋅1
4x +y−5+ 5 ⋅
1x + 2y +10
=−138
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
.
Θέτω
14x +y−5
= α ,1
x + 2y +10= β και έχω
2α = β
3α+ 5β =−138
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
⇒ 3α+ 5 ⋅2α =−138⇒ 13α =−
138⇒ α =−
18⇒
14x +y−5
=−18⇒
⇒ 4x +y−5 =−8⇒ 4x +y =−3 (1)
Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)
Από την εξίσωση β = 2α έχω επίσης β = 2 ⋅−18⇒ β =−
14⇒
1x + 2y +10
=−14⇒
⇒ x + 2y +10 =−4⇒ x + 2y =−14 (2)
Οι (1) και (2) δημιουργούν το σύστημα
4x +y =−3x + 2y =−14
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪, απ' όπου έχω
−8x −2y = 6x + 2y =−14
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
−7x =−8⇒ x =87
.
Από την (1) έχω τότε 4 ⋅ 87
+y =−3⇒ y =−3−327
=−21−32
7⇒ y =−
537
.
Οι τιμές των x, y θα είναι δεκτές, αν ικανοποιούν τους αρχικούς περιορισμούς.
Είναι 4x +y−5 = 4 ⋅87−
537−5 =
32−53−357
=−567≠ 0 .
Επίσης, x + 2y +10 =87
+ 2 ⋅−537
+10 =87−
1067
+10 =8−106 + 70
7=−
287
=−4 ≠ 0 .
Άρα οι τιμές των x, y είναι δεκτές.
20. Να λύσετε το σύστημα
x +y = 72(10x +y) = 10y + x + 25
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪.
Από την δεύτερη εξίσωση έχω 20x + 2y = 10y + x + 25⇒ 19x −8y = 25 .
Έτσι προκύπτει το σύστημα
x +y = 719x −8y = 25
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪, απ' όπου έχω
8x + 8y = 5619x −8y = 25
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⇒(+)
27x = 81⇒ x = 3 .
Από την εξίσωση x +y = 7 έχω τότε 3 +y = 7⇒ y = 4 .
Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)