Συστήματα γραμμικα

10
Άλγεβρα Β΄ Λυκείου Συστήματα ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1 Γραμμικά συστήματα 2x2. Ασκήσεις 1 - 20

description

συστηματα

Transcript of Συστήματα γραμμικα

Page 1: Συστήματα γραμμικα

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Συστήματα

ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ 1• Γραµµικά συστήµατα 2x2.

Ασκήσεις1  -  20

Page 2: Συστήματα γραμμικα

1. Να λύσετε το σύστημα

2(x +1)−3y = 3

x −2(y−2) = 3x + 6

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪.

Όταν δοθεί ένα σύστηµα και δεν έχει εξ αρχής την µορφή

α1x + β

1y = γ

1

α2x + β

2y = γ

2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

, α1,β

1, γ

1,α

2,β

2, γ

2∈ ! , τότε

προφανώς πρέπει να κάνουµε τις απαραίτητες πράξεις, ώστε να το φέρουµε σ' αυτήν. Η επίλυση του συστήµατος γί-νεται από 'κει και πέρα.

Έχω

2x + 2−3y = 3x −2y + 4 = 3x = 6

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

2x −3y = 1−2x −2y = 2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

−5y = 3⇒ y =−35

.

Από την εξίσωση 2x −3y = 1 έχω τότε

2x −3 ⋅−35

= 1⇒ 2x +95

= 1⇒ 10x + 9 = 5⇒ 10x =−4⇒ x =−410⇒ x =−

25

.

Υπενθύµιση. Η προτεινόµενη µέθοδος επίλυσης είναι η µέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή µέθοδος της απα-λοιφής).

2. Να λύσετε το σύστημα

x = 1−3(y−x)

y = 2x + 3(y−x)

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

.

Έχω

x = 1−3(y−x)

y = 2x + 3(y−x)

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

x = 1−3y + 3xy = 2x + 3y−3x

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

2x −3y =−1x −2y = 0

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

⇒2x −3y =−1−2x + 4y = 0

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

y =−1 .

Από την εξίσωση x −2y = 0 έχω τότε x −2 ⋅(−1) = 0⇒ x =−2 .

3. Να λύσετε το σύστημα

x −2y = 13x = 5(y +1)

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪

.

Έχω

x −2y = 13x = 5y + 5

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

x −2y = 13x −5y = 5

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

−3x + 6y =−33x −5y = 5

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

y = 2 .

Από την εξίσωση x −2y = 1 έχω τότε x −2 ⋅2 = 1⇒ x = 5 .

Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)

Page 3: Συστήματα γραμμικα

4. Να λύσετε το σύστημα

3x +y = 52x −3y =−4

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪.

Έχω

9x + 3y = 152x −3y =−4

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

11x = 11⇒ x = 1 .

Από την εξίσωση 3x +y = 5 έχω τότε 3 ⋅1+y = 5⇒ y = 2 .

5. Να λύσετε το σύστημα

x3−

y2

= 3

x − 4y = 12

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

.

Κάνοντας απαλοιφή των παρονομαστών στην πρώτη εξίσωση, έχω

2x −3y = 18x − 4y = 12

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

2x −3y = 18−2x + 8y =−24

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

5y =−6⇒ y =−65

.

Από την εξίσωση x − 4y = 12 έχω τότε x − 4 ⋅−65

= 12⇒ x +245

= 12⇒

⇒ 5x + 24 = 60⇒ 5x = 36⇒ x =365

.

6. Να λύσετε το σύστημα

x2−

y +18

=32

x −13−

y2

=92

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

.

Με απαλοιφή των παρονομαστών στις δύο εξισώσεις, έχω

4x −(y +1) = 12

2(x −1)−3y = 27

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

4x −y−1 = 122x −2−3y = 27

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

4x −y = 132x −3y = 29

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

⇒4x −y = 13

−4x + 6y =−58

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

5y =−45⇒ y =−9 .

Από την εξίσωση 4x −y = 13 έχω τότε 4x −(−9) = 13⇒ 4x = 4⇒ x = 1 .

Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)

Page 4: Συστήματα γραμμικα

7. Να λύσετε το σύστημα

x −3y + 2

=−23

y +1x + 5

=13

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

.

Πρέπει να είναι

y + 2≠ 0x + 5≠ 0

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪⇒ y ≠−2

x ≠−5

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫⎬⎪⎪

⎭⎪⎪.

Δεν πρέπει να ξεχνάµε: όταν υπάρχουν παρονοµαστές µε µεταβλητές σ' αυτούς, να βάζουµε περιορισµούς!!

Με απαλοιφή των παρονομαστών στις δύο εξισώσεις, έχω

3(x −3) =−2(y + 2)

3(y +1) = x + 5

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

3x −9 =−2y− 43y + 3 = x + 5

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

3x + 2y = 5−x + 3y = 2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

3x + 2y = 5−3x + 9y = 6

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

⇒11y = 11⇒ y = 1 .

Από την εξίσωση −x + 3y = 2 έχω τότε −x + 3 ⋅1 = 2⇒ x = 1 .

8. Να λύσετε το σύστημα

x +y2

= 2−x −y

3x −y

4+

x +y3

= 1

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

.

Με απαλοιφή των παρονομαστών στις δύο εξισώσεις, έχω

3(x +y) = 6−2(x −y)

3(x −y)+ 4(x +y) = 12

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

3x + 3y = 6−2x + 2y3x −3y + 4x + 4y = 12

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

5x +y = 67x +y = 12

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

⇒−5x −y =−67x +y = 12

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

2x = 6⇒ x = 3 .

Από την εξίσωση 5x +y = 6 έχω τότε 5 ⋅3 +y = 6⇒ y =−9 .

Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)

Page 5: Συστήματα γραμμικα

9. Να λύσετε το σύστημα

(x + 3)2 + (y−8)2

x 2 +y 2 + 39= 1

2x + 3y + 85x + 4y−1

=34

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

.

Αφού υπάρχουν παρονοµαστές µε µεταβλητές, πρέπει να θέσω περιορισµούς!

Είναι x2 +y 2 + 39 > 0 , για κάθε x ,y ∈ ! , οπότε πρέπει να είναι 5x + 4y−1≠ 0 .

Υπενθύµιση από την Άλγεβρα της Α΄Λυκείου. Ένα άθροισµα τετραγώνων (γενικά, άρτιων δυνάµεων) είναι πάντα µεγαλύτερο ή ίσο του µηδενός. Αν προστεθεί κι ένας θετικός αριθµός, τότε το αποτέλεσµα είναι πάντα θετικό.

Από την πρώτη εξίσωση έχω (x + 3)2 + (y−8)2 = x 2 +y 2 + 39⇒

⇒ x 2 + 9 + 6x +y 2 + 64−16y = x 2 +y 2 + 39⇒ 6x −16y =−34⇒ 3x −8y =−17 (1)

Από την δεύτερη εξίσωση έχω 4(2x + 3y + 8) = 3(5x + 4y−1)⇒

⇒ 8x +12y + 32 = 15x +12y−3⇒ 7x = 35⇒ x = 5 .

Από την (1) έχω τότε 3 ⋅5−8y =−17⇒ 8y = 32⇒ y = 4 .

Να προσεχθεί πολύ τί γίνεται στην συνέχεια! Δεν έχω τελειώσει, έχοντας βρει τα x, y, διότι...

Πρέπει να ελέγξω αν οι τιμές αυτές επαληθεύουν τον περιορισμό.

Είναι 5x + 4y−1 = 5 ⋅5 + 4 ⋅4−1 = 25 +16−1 = 40≠ 0 .

Άρα οι τιμές των x, y που βρέθηκαν είναι δεκτές.

10. Να λύσετε το σύστημα

x −2(x +y) = 2y−13

y3−3(x +y) = 2x −13

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

.

Με απαλοιφή του παρονομαστή στην δεύτερη εξίσωση, έχω

x −2x −2y = 2y−13y−9(x +y) = 6x −39

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

−x − 4y =−13y−9x −9y = 6x −39

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

x + 4y = 1315x + 8y = 39

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

⇒−2x −8y =−2615x + 8y = 39

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

13x = 13⇒ x = 1 .

Από την εξίσωση x + 4y = 13 έχω τότε 1+ 4y = 13⇒ 4y = 12⇒ y = 3 .

Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)

Page 6: Συστήματα γραμμικα

11. Να λύσετε το σύστημα

4x −y3

= 1−x2

x +y = 3

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

.

Με απαλοιφή των παρονομαστών, από την πρώτη εξίσωση έχω

2(4x −y) = 6−3x ⇒ 8x −2y = 6−3x ⇒ 11x −2y = 6 .

Άρα έχω

11x −2y = 6x +y = 3

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

11x −2y = 62x + 2y = 6

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

13x = 12⇒ x =1213

.

Από την εξίσωση x +y = 3 έχω τότε

1213

+y = 3⇒ y = 3−1213

=39−12

13⇒ y =

2713

.

12. Να λύσετε το σύστημα

x −y3−

x +y2

=−12

x2

+y = 3

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

.

Με απαλοιφή των παρονομαστών στην πρώτη εξίσωση, έχω

2(x −y)−3(x +y) =−3

x + 2y = 6

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

2x −2y−3x −3y =−3x + 2y = 6

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

−x −5y =−3x + 2y = 6

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

⇒−3y = 3⇒ y =−1 .

Από την εξίσωση x + 2y = 6 έχω τότε x + 2 ⋅(−1) = 6⇒ x = 8 .

13. Να λύσετε το σύστημα

3x −y = 22x + 33y−2

= 1

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

.

Πρέπει να είναι 3y−2≠ 0⇒ 3y ≠ 2⇒ y ≠23

.

Από την δεύτερη εξίσωση έχω 2x + 3 = 3y−2⇒ 2x −3y =−5 .

Έτσι έχω

3x −y = 22x −3y =−5

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

−9x + 3y =−62x −3y =−5

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

−7x =−11⇒ x =117

.

Από την εξίσωση 3x −y = 2 έχω τότε y = 3x −2 = 3 ⋅117−2 =

337−2 =

33−147

⇒ y =197

.

Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)

Page 7: Συστήματα γραμμικα

14. Να λύσετε το σύστημα

x −12−

y +13

=12

2y−(3− 4x) = 2(3x −y)

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

.

Έχω

3(x −1)−2(y +1) = 3

2y−3 + 4x = 6x −2y

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

3x −3−2y−2 = 32x − 4y =−3

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

3x −2y = 82x − 4y =−3

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

⇒−6x + 4y =−16

2x − 4y =−3

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

− 4x =−19⇒ x =194

.

Από την εξίσωση 2x − 4y =−3 έχω τότε 2 ⋅194− 4y =−3⇒

192− 4y =−3⇒

⇒ 19−8y =−6⇒ 8y = 25⇒ y =258

.

15. Να λύσετε το σύστημα

x3−

y2

= 1

2x −5y =−2

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

.

Έχω

2x −3y = 62x −5y =−2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

2x −3y = 6−2x + 5y = 2

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

2y = 8⇒ y = 4 .

Από την εξίσωση 2x −3y = 6 έχω τότε 2x −3 ⋅4 = 6⇒ 2x = 18⇒ x = 9 .

16. Να λύσετε το σύστημα

3x −y + 22

=x + 2y

5x −2y−3

3=

2x −y2

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

.

Έχω

5(3x −y + 2) = 2(x + 2y)

2(x −2y−3) = 3(2x −y)

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

15x −5y +10 = 2x + 4y2x − 4y−6 = 6x −3y

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

⇒13x −9y =−10

4x +y =−6

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

13x −9y =−1036x + 9y =−54

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

49x =−64⇒ x =−6449

.

Από την εξίσωση 4x +y =−6 έχω τότε 4 ⋅−6449

+y =−6⇒ y =25649−6 =

256−29449

⇒ y =−3849

.

Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)

Page 8: Συστήματα γραμμικα

17. Να λύσετε το σύστημα

2x + 33y−2

= 1

x(2y−5)−2y(x + 3) = 2x +1

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

.

Πρέπει να είναι 3y−2≠ 0⇒ 3y ≠ 2⇒ y ≠23

.

Από την πρώτη εξίσωση έχω 2x + 3 = 3y−2⇒ 2x −3y =−5 (1)

Από την δεύτερη εξίσωση έχω 2xy−5x −2xy−6y = 2x +1⇒ 7x + 6y =−1 (2)

Οι (1) και (2) δημιουργούν το σύστημα

2x −3y =−57x + 6y =−1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪, απ' όπου έχω

4x −6y =−107x + 6y =−1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

11x =−11⇒ x =−1 .

Από την (2) έχω τότε 7 ⋅(−1)+ 6y =−1⇒ 6y = 6⇒ y = 1 .

18. Να λύσετε το σύστημα

x −1x +15

=y−6y + 2

x −3x

=y− 4y−1

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

.

Πρέπει να είναι

x +15≠ 0y + 2≠ 0

x ≠ 0y−1≠ 0

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

x ≠−15y ≠−2x ≠ 0y ≠ 1

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

.

Έχω τότε

(x −1)(y + 2) = (x +15)(y−6)

(x −3)(y−1) = x(y− 4)

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

xy + 2x −y−2 = xy−6x +15y−90xy−x −3y + 3 = xy− 4x

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

⇒8x −16y =−883x −3y =−3

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

x −2y =−11x −y =−1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

x −2y =−11−x +y = 1

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

−y =−10⇒ y = 10 .

Από την εξίσωση x −y =−1 έχω τότε x −10 =−1⇒ x = 9 .

Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)

Page 9: Συστήματα γραμμικα

19. Να λύσετε το σύστημα

24x +y−5

=1

x + 2y +103

4x +y−5+

5x + 2y +10

=−138

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

.

Να προσεχθεί πολύ αυτή η άσκηση!

Πρέπει να είναι 4x +y−5≠ 0 και x + 2y +10≠ 0 .

Θέτω 4x +y−5 = α ≠ 0 , x + 2y +10 = β ≠ 0 και έχω

=1β

+5β

=−138

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⇒α = 2β (1)

32β

+5β

=−138

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⇒ 12 + 40 =−13β⇒−13β = 52⇒ β =−4 .

Από την (1) έχω τότε α = 2 ⋅(−4)⇒ α =−8 .

Επομένως ισχύουν

4x +y−5 =−8x + 2y +10 =−4

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

4x +y =−3x + 2y =−14

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒

−8x −2y = 6x + 2y =−14

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

⇒−7x =−8⇒ x =87

.

Από την εξίσωση 4x +y =−3 έχω τότε y =−4x −3 =−4 ⋅87−3 =−

327−3⇒

⇒ y =−32−21

7⇒ y =−

537

.

(Οι αρχικοί περιορισμοί δεν χρειάζεται να ελεγχθούν, αφού τα α, β είναι δεκτά).

2ος τρόπος

Πρέπει να είναι 4x +y−5≠ 0 και x + 2y +10≠ 0 .

Έχω

2 ⋅1

4x +y−5=

1x + 2y +10

3 ⋅1

4x +y−5+ 5 ⋅

1x + 2y +10

=−138

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

.

Θέτω

14x +y−5

= α ,1

x + 2y +10= β και έχω

2α = β

3α+ 5β =−138

⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

⇒ 3α+ 5 ⋅2α =−138⇒ 13α =−

138⇒ α =−

18⇒

14x +y−5

=−18⇒

⇒ 4x +y−5 =−8⇒ 4x +y =−3 (1)

Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)

Page 10: Συστήματα γραμμικα

Από την εξίσωση β = 2α έχω επίσης β = 2 ⋅−18⇒ β =−

14⇒

1x + 2y +10

=−14⇒

⇒ x + 2y +10 =−4⇒ x + 2y =−14 (2)

Οι (1) και (2) δημιουργούν το σύστημα

4x +y =−3x + 2y =−14

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪, απ' όπου έχω

−8x −2y = 6x + 2y =−14

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

−7x =−8⇒ x =87

.

Από την (1) έχω τότε 4 ⋅ 87

+y =−3⇒ y =−3−327

=−21−32

7⇒ y =−

537

.

Οι τιμές των x, y θα είναι δεκτές, αν ικανοποιούν τους αρχικούς περιορισμούς.

Είναι 4x +y−5 = 4 ⋅87−

537−5 =

32−53−357

=−567≠ 0 .

Επίσης, x + 2y +10 =87

+ 2 ⋅−537

+10 =87−

1067

+10 =8−106 + 70

7=−

287

=−4 ≠ 0 .

Άρα οι τιμές των x, y είναι δεκτές.

20. Να λύσετε το σύστημα

x +y = 72(10x +y) = 10y + x + 25

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪.

Από την δεύτερη εξίσωση έχω 20x + 2y = 10y + x + 25⇒ 19x −8y = 25 .

Έτσι προκύπτει το σύστημα

x +y = 719x −8y = 25

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪, απ' όπου έχω

8x + 8y = 5619x −8y = 25

⎧⎨⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪

⎫⎬⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⇒(+)

27x = 81⇒ x = 3 .

Από την εξίσωση x +y = 7 έχω τότε 3 +y = 7⇒ y = 4 .

Ασκήσεις συστηµάτων - Κατηγορία 1 (ασκήσεις 1-20)