>>

>>

«

Ö

Hh

Éóçìåñéíüò

S ·Z

>>

Dd

Ìåóçìâñéíüò

Ïñßæïíôáò

Ùñé

áßïò

W

S

N

Êáôáêüñõöïò

>>Du

>>

360°-A

Ñùìýëïò Á. ÊïñáêßôçòÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò Å.Ì.Ð.

ÓçìåéþóåéòÃåùäáéôéêÞò Áóôñïíïìßáò

Ä´ ÝêäïóçÌÜñôéïò 2006

ÅÈÍÉÊÏ ÌÅÔÓÏÂÉÏ ÐÏËÕÔÅ×ÍÅÉÏÓ×ÏËÇ ÁÃÑÏÍÏÌÙÍ ÔÏÐÏÃÑÁÖÙÍ ÌÇ×ÁÍÉÊÙÍÊÅÍÔÑÏ ÄÏÑÕÖÏÑÙÍ ÄÉÏÍÕÓÏÕ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το τεύχος αυτό περιέχει τα βασικά στοιχεία της Γεωδαιτικής Αστρονομίας

(Geodetic Astronomy) που είναι αναγκαία στους φοιτητές της Σχολής Αγρονόμων και

Τοπογράφων Μηχανικών του Ε.Μ.Πολυτεχνείου που επιλέγουν το ομώνυμο μάθημα. Ο

σκοπός του είναι να χρησιμεύσει ως διδακτικό βοήθημα, χωρίς φυσικά να εξαντλεί το

αντικείμενο. Είναι επίσης φανερό πως δεν μπορεί να αντικαταστήσει την συμμετοχή

των φοιτητών στο σύνολο της εκπαιδευτικής διαδικασίας, που περιλαμβάνει επιπλέον

θεωρητικά και υπολογιστικά θέματα, υπολογιστικές ασκήσεις γραφείου και πρακτικές

ασκήσεις πεδίου (παρατηρήσεις).

Το περιεχόμενο του τεύχους αποκρυσταλλώνει τα βασικά στοιχεία του μαθήματος,

όπως αυτά έχουν διαμορφωθεί στις σημερινές συνθήκες της Γεωδαιτικής Επιστήμης

και των σπουδών στο Ε.Μ.Π., φυσικά μέσα από το προσωπικό πρίσμα του συγγραφέα.

Η παρούσα μορφή του προέρχεται από αναθεωρήσεις παλαιοτέρων εκδόσεων, στις

οποίες συνέβαλαν οι συνάδελφοι και συνεργάτες, Τοπογράφοι – Μηχανικοί Ε.Μ.Π:

• κ. Ευαγγελία Λάμπρου (Λέκτορας της Σχολής ΑΤΜ)

• κ. Γεώργιος Πανταζής (Λέκτορας της Σχολής ΑΤΜ)

• κ. Βασίλειος Μασσίνας (Υ. Δ. της Σχολής ΑΤΜ)

• κ. Φωτεινή Καλλιανού

Εκφράζω προς όλους τις θερμές ευχαριστίες μου για την συνεργασία και την βοήθειά

τους στην προετοιμασία του τεύχους αυτού.

Αθήνα, Μάρτιος 2006

Ρ. Κορακίτης Αστροφυσικός Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Εισαγωγή 1

1. Συστήματα αναφοράς στην ουράνια σφαίρα 3

2. Φαινόμενη περιστροφή της ουράνιας σφαίρας 15

3. Το τρίγωνο θέσης 21

4. Συστήματα Χρόνου 25

5. Διαταραχές των κινήσεων της Γης 37

6. Αναγωγές των συντεταγμένων 45

7. Προσδιορισμός αζιμουθίου 63

8. Προσδιορισμός πλάτους 69

9. Προσδιορισμός μήκους 73

10. Γεωδαιτικές εφαρμογές 77

Παράρτημα: Σφαιρική Τριγωνομετρία 81

Βιβλιογραφία 87

1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η Γεωδαιτική Αστρονομία (Geodetic Astronomy) είναι ο κλάδος της Αστρονομίας Θέσης (Positional Astronomy) που ασχολείται με τον προσδιορισμό διευθύνσεων στον χώρο, από σημεία πάνω ή κοντά στην Φυσική Γήινη Επιφάνεια, χρησιμοποιώντας ουράνια σώματα (συνήθως άστρα) ως στόχους. Επομένως, το βασικό θεωρητικό υπόβαθρο προέρχεται από την Αστρονομία, ενώ η μεθοδολογία και πρακτική των παρατηρήσεων είναι γεωδαιτικής προέλευσης.

Ο σκοπός της Γεωδαιτικής Αστρονομίας είναι ο προσδιορισμός των αστρονομικών συντεταγμένων ενός τόπου (με στόχο τον προσδιορισμό της απόκλισης της κατακορύφου) και ο αστρονομικός προσανατολισμός μιας διεύθυνσης (π.χ. πλευράς γεωδαιτικού δικτύου).

Τα συστήματα αναφοράς της Γεωδαισίας είναι όλα εντοπισμένα στον χώρο και συνδέονται με την θέση και τις διαστάσεις της Γης. Η συνηθισμένη επιφάνεια αναφοράς είναι ένα ελλειψοειδές, με κέντρο που βρίσκεται, συνήθως, στο κέντρο μάζας της Γης και με καθορισμένα μεγέθη αξόνων, που προσδιορίζονται από τις πραγματικές διαστάσεις της Γης. Η θέση ενός σημείου προσδιορίζεται με τρεις συντεταγμένες, είτε ορθογώνιες (καρτεσιανές) (x, y, z), είτε ελλειπτικές (γεωδαιτικές) συντεταγμένες (λ, φ, h). Με άλλα λόγια, η θέση κάθε σημείου ορίζεται από ένα δέσμιο διάνυσμα, με συγκεκριμένο κέντρο και μήκος, ή από την θέση ενός σημείου μιας ελλειψοειδούς επιφάνειας αναφοράς, που έχει συγκεκριμένο κέντρο και διαστάσεις.

Σε αντιδιαστολή με τα παραπάνω, η Γεωδαιτική Αστρονομία ασχολείται αποκλειστικά με διευθύνσεις, δηλαδή ελεύθερα, μοναδιαία διανύσματα. Για την περιγραφή τέτοιων διανυσμάτων μπορούν να χρησιμοποιηθούν ορθογώνιες (καρτεσιανές) συντεταγμένες (X, Y, Z), που έχουν μόνο δύο βαθμούς ελευθερίας. Συνήθως χρησιμοποιούνται σφαιρικές συντεταγμένες (Λ, Φ) σε ένα σύστημα που προσανατολίζεται στον χώρο βάσει του γεωειδούς, βασίζεται επομένως στο Γήινο πεδίο βαρύτητας. Αυτή η δυνατότητα επιλογής τύπου συντεταγμένων βασίζεται στην ισοδυναμία δύο απειροσυνόλων: του συνόλου όλων των μοναδιαίων διανυσμάτων (που εκφράζουν όλες τις δυνατές διευθύνσεις ευθειών στον χώρο) με το σύνολο των σημείων μιας σφαιρικής επιφάνειας.

Συνεπώς, η επιφάνεια αναφοράς της Γεωδαιτικής Αστρονομίας είναι μία μοναδιαία σφαίρα που μπορεί να βρίσκεται οπουδήποτε και να έχει οποιαδήποτε ακτίνα, την οποία δεχόμαστε ίση με την μονάδα. Αυτή η σφαίρα ονομάζεται παραδοσιακά ουράνια σφαίρα. Τα συστήματα αναφοράς, που ορίζονται στην ουράνια σφαίρα, προσανατολίζονται με βάση συγκεκριμένα χαρακτηριστικά της Γης και, ειδικότερα, των διαφόρων κινήσεών της. Με την βοήθεια των συστημάτων αυτών περιγράφεται η θέση σημείων (παρατηρητών) στην Γη, η θέση των ουρανίων σωμάτων και η διεύθυνση παρατήρησης προς αυτά.

Σε περίπτωση που χρησιμοποιούνται σφαιρικές συντεταγμένες (όπως γίνεται συνήθως στο τεύχος αυτό), για την περιγραφή των σχέσεων μεταξύ των διαφόρων γεωμετρικών στοιχείων ή συντεταγμένων των συστημάτων αναφοράς χρησιμοποιείται

2

η Σφαιρική Τριγωνομετρία. Αντίθετα, όταν χρησιμοποιούνται ορθογώνιες συντεταγμένες, καταλληλότερο μαθηματικό εργαλείο είναι η Γραμμική Άλγεβρα (διανύσματα, πίνακες κλπ).

Επειδή η διεύθυνση παρατήρησης (από την Γη) προς ένα ουράνιο σώμα μεταβάλλεται με τον χρόνο, η εξέταση και χρήση διαφόρων κλιμάκων μέτρησης χρόνου είναι σημαντικό στοιχείο της Γεωδαιτικής Αστρονομίας.

Επίσης, στο τεύχος αυτό γίνεται αναφορά στις διάφορες μεταβολές των τιμών των συντεταγμένων που οφείλονται σε πραγματικές κινήσεις του παρατηρητή ή του παρατηρούμενου σώματος ή σε μεταβολή του προσανατολισμού του συστήματος αναφοράς.

Με βάση τις δυνατότητες του υπάρχοντος εξοπλισμού μετρήσεων και την επιδιωκόμενη ακρίβεια των αποτελεσμάτων, υπάρχουν διάφορες μέθοδοι προσδιορισμού συντεταγμένων και προσανατολισμού, που θα εκτεθούν με συντομία στο τεύχος αυτό.

Τέλος, γίνεται μια αναφορά στις βασικές γεωδαιτικές εφαρμογές που απαιτούν την γνώση των ‘προϊόντων’ της Γεωδαιτικής Αστρονομίας, δηλαδή του αστρονομικού προσανατολισμού μιας διεύθυνσης και της απόκλισης της κατακορύφου.

3

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΤΗΝ ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ

1.1 Βασικές έννοιες Για τις εφαρμογές της Γεωδαιτικής Αστρονομίας είναι απαραίτητος ο ορισμός συστημάτων συντεταγμένων, στα οποία περιγράφονται οι θέσεις και οι μεταβολές θέσεων (κινήσεις) των σωμάτων. Κυρίως χρησιμοποιούνται το ουράνιο και το γήινο σύστημα που, όπως προδίδει και ο τίτλος τους, αφορούν το μεν πρώτο τα ουράνια αντικείμενα, το δε δεύτερο τα αντικείμενα που βρίσκονται στην επιφάνεια της Γης ή κοντά σε αυτήν.

Για τον ορισμό των συστημάτων αυτών χρησιμοποιούνται οι διευθύνσεις που σχετίζονται με τις βασικές κινήσεις της Γης, όπως ο άξονας περιστροφής της Γης. Τα συστήματα αυτά δεν παραμένουν σταθερά στο χρόνο διότι οι διευθύνσεις στις οποίες βασίζονται μεταβάλλονται, λόγω πολλών και διαφορετικών αιτίων. Έτσι ένα θεμελιώδες πρόβλημα, πέρα από την απόδοση συντεταγμένων στα διάφορα αντικείμενα, είναι και η γνώση της μεταβολής στο χρόνο των συστημάτων στα οποία εκφράζονται οι συντεταγμένες. Η γνώση αυτή είναι χρήσιμη για την έκφραση των συντεταγμένων σε διαφορετικές χρονικές στιγμές αλλά και για την μετατροπή συντεταγμένων από ένα σύστημα σε άλλο.

Για την πληρέστερη κατανόηση των συστημάτων είναι χρήσιμοι οι ακόλουθοι ορισμοί:

Πλαίσιο συντεταγμένων (Coordinate frame) είναι ένα σύνολο (ορθογωνίων) αξόνων συντεταγμένων (ή άλλης γεωμετρικής κατασκευής) ως προς τους οποίους προσδιορίζεται η θέση ενός σημείου.

Σύστημα συντεταγμένων (Coordinate system) είναι μια μέθοδος έκφρασης της θέσης ενός σημείου ως προς ένα καθορισμένο πλαίσιο συντεταγμένων. Η θέση μπορεί να καθοριστεί με ορθογώνιες ή πολικές συντεταγμένες.

Σύστημα αναφοράς (Reference system) είναι η πλήρης προδιαγραφή για το πώς πρόκεται να διαμορφωθεί ένα σύστημα συντεταγμένων. Καθορίζει την προέλευση και τα θεμελιώδη επίπεδα (ή τους άξονες) του συστήματος συντεταγμένων και περιλαμβάνει, επίσης, το σύνολο των διαδικασιών, αλγορίθμων και σταθερών που απαιτούνται για τον μετασχηματισμό μεταξύ των παρατηρήσεων και των μοντέλων που αφορούν το εν λόγω σύστημα.

Πλαίσιο αναφοράς (Reference frame) είναι ένα σύνολο ευπροσδιόριστων σημείων αναφοράς (fiducial points) και των συντεταγμένων τους, που χρησιμεύει στην πρακτική υλοποίηση ενός συγκεκριμένου συστήματος αναφοράς. Οι συντεταγμένες άλλων σημείων μπορούν να προσδιοριστούν κάνοντας διαφορικές μετρήσεις των θέσεων τους ως προς τα σημεία αναφοράς. Ο όρος «πλαίσιο αναφοράς» συχνά χρησιμοποιείται ως συνώνυμος του πλαισίου συντεταγμένων που καθορίζει.

Εποχή αναφοράς (Epoch of reference) είναι μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή στην οποία αναφέρονται οι συντεταγμένες. Η χρήση της εποχής αναφοράς επιβάλλεται από την μεταβολή των συντεταγμένων με την πάροδο του χρόνου, λόγω

4

διάφορων κινήσεων της Γης. Στην αστρονομία οι εποχές αναφοράς εκφράζονται με βάση την Ιουλιανή Ημερομηνία (Julian Date).

Τα συστήματα αναφοράς πρέπει να πληρούν ορισμένες προϋποθέσεις, η σημαντικότερη των οποίων είναι η αδρανειακότητα. Ένα σύστημα αναφοράς χαρακτηρίζεται ως αδρανειακό αν σε αυτό ισχύει ο νόμος της αδράνειας (πρώτος νόμος του Νεύτωνα). Με όρους της κλασσικής (Νευτώνειας) Φυσικής αυτό σημαίνει ότι ένα σύστημα είναι αδρανειακό όταν σε αυτό ένα ένα σώμα (στο οποίο δεν επιδρά καμία δύναμη) είτε ηρεμεί είτε κινείται ομοιόμορφα (με σταθερή ταχύτητα) κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Σύμφωνα με την αρχή της σχετικότητας του Γαλιλαίου, όλα τα συστήματα αναφοράς που κινούνται ευθύγραμμα και ομαλά ως προς ένα αδρανειακό σύστημα είναι και αυτά αδρανειακά.

Ο βασικός λόγος χρήσης ενός αδρανειακού συστήματος είναι ότι σε αυτό οι νόμοι της φυσικής είναι αμετάβλητοι με το χρόνο και είναι απλοί σε διατύπωση.

Για την υλοποίηση ενός συστήματος αναφοράς απαιτείται να ακολουθηθεί μια συγκεκριμένη διαδικασία. Αρχικά πρέπει να επιλεγεί η βασική ιδέα στην οποία στηρίζεται το σύστημα. Η ιδέα αυτή μπορεί π.χ. να είναι ότι οι άξονες του συστήματος παραμένουν ακίνητοι ως προς κάποια μακρινά ουράνια σώματα. Στη συνέχεια πρέπει να καθοριστεί η φυσική δομή του συστήματος, η οποία περιλαμβάνει τα σώματα που συμμετέχουν στον ορισμό. Η επιλογή γίνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η δομή που δημιουργείται από τα σώματα αυτά να επαληθεύει τη βασική ιδέα.

Αφού επιλεγεί η φυσική δομή του συστήματος, πρέπει να αποδοθούν τιμές στις παραμέτρους που το περιγράφουν. Η απόδοση τιμών είναι μια αυθαίρετη διαδικασία και για το λόγο αυτό το μοντέλο που αναπαριστά το σύστημα αναφοράς καλείται συμβατικό σύστημα αναφοράς.

Μετά τη δημιουργία του συμβατικού συστήματος πρέπει να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες ενός αριθμού σημείων από παρατηρήσεις. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός αυτών των σημείων, τόσο καλύτερα υλοποιείται το σύστημα αναφοράς. Τα σημεία αυτά πρέπει να είναι διαθέσιμα προς παρατήρηση, ώστε να είναι δυνατός ο προσδιορισμός συντεταγμένων νέων σημείων με βάση αυτά. Ο κατάλογος των συντεταγμένων αυτών των σημείων, στα οποία στηρίζεται το σύστημα αναφοράς, καλείται συμβατικό πλαίσιο αναφοράς.

1.2 Αρχές δόμησης ενός συστήματος αναφοράς στην ουράνια σφαίρα Για τον ορισμό ενός συστήματος αναφοράς στην ουράνια σφαίρα είναι απαραίτητη η γνώση του επιθυμητού προσανατολισμού του στον χώρο. Για τον προσανατολισμό του συστήματος απαιτείται μια συγκεκριμένη διεύθυνση ευθείας στον χώρο ή, ισοδύναμα, η διεύθυνση ενός επιπέδου. Το βασικό στοιχείο του συστήματος είναι ο μέγιστος κύκλος που ορίζεται από το επίπεδο αυτό ή που έχει ως πόλους το σημείο που αντιπροσωπεύει την συγκεκριμένη διεύθυνση ευθείας και το αντιδιαμετρικό του. Από τους πόλους αυτούς περνούν άπειροι μέγιστοι κύκλοι, όλοι κάθετοι στον βασικό. Ένας από αυτούς επιλέγεται (αυθαίρετα) ως αφετηρία για την μέτρηση της

5

πρώτης σφαιρικής συντεταγμένης. Ο ορισμός του συστήματος ολοκληρώνεται με τον καθορισμό της μονάδας και της φοράς μέτρησης των συντεταγμένων.

Σχήμα 1.1

Στο σχήμα 1.1 η βασική διεύθυνση ΟP ορίζει το επίπεδο του βασικού μέγιστου κύκλου ΟΑΒ. Ο κάθετος μέγιστος κύκλος ΟPΑ επιλέγεται αυθαίρετα ως αφετηρία των μετρήσεων για την πρώτη γωνία (συντεταγμένη). Οι συντεταγμένες της διεύθυνσης ΟS ορίζονται με τη βοήθεια του δεύτερου κάθετου μέγιστου κύκλου ΟPΒ, που περιέχει την διεύθυνση αυτή. Στο σχήμα φαίνεται επίσης η συνήθης φορά μέτρησης κάθε συντεταγμένης.

1.3 Το ουρανογραφικό σύστημα αναφοράς Το Ουρανογραφικό Σύστημα Αναφοράς (Celestial Reference System) χρησιμοποιείται για την περιγραφή της θέσης των ουράνιων σωμάτων. Η βασική διεύθυνση που το ορίζει είναι η διεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της Γης. Η διεύθυνση αυτή καθορίζει μια διάμετρο της ουράνιας σφαίρας που λέγεται και άξονας του κόσμου. Παράλληλη με αυτήν είναι η διεύθυνση του πραγματικού άξονα της ημερήσιας περιστροφής της Γης. Το σημείο της ουράνιας σφαίρας που αντιστοιχεί στο διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας (θετικό σε δεξιόστροφο σύστημα αναφοράς) λέγεται Βόρειος Πόλος (North Pole) του ουρανού, ενώ το αντιδιαμετρικό του λέγεται Νότιος Πόλος (South Pole). Αν φανταστούμε την μοναδιαία ακτίνα της ουράνιας σφαίρας ίση με την ακτίνα της Γης, ο Βόρειος Πόλος του ουρανού θα αντιστοιχεί στον γεωγραφικό Βόρειο Πόλο.

6

Ο μέγιστος κύκλος της ουράνιας σφαίρας που έχει τους Πόλους του ουρανού ως γεωμετρικούς πόλους λέγεται ουράνιος Ισημερινός (celestial Equator) και είναι ο βασικός μέγιστος κύκλος του ουρανογραφικού συστήματος. Όλοι οι μέγιστοι κύκλοι που περνούν από τους ουράνιους Πόλους (είναι επομένως κάθετοι στον ουράνιο Ισημερινό) λέγονται ωριαίοι κύκλοι (hour circles) και ένας από αυτούς επιλέγεται ως αφετηρία των μετρήσεων. Η επιλογή αυτή βασίζεται στην δεύτερη σημαντική κίνηση της Γης, που είναι η ετήσια περιφορά της γύρω από τον Ήλιο.

Σύμφωνα με την Μηχανική, η κίνηση γύρω από ένα ελκτικό κέντρο ακολουθεί μια κωνική τομή που, στην περίπτωση των πλανητών όπως η Γη, είναι έλλειψη. Το επίπεδο της ελλειπτικής τροχιάς της Γης ορίζει στην ουράνια σφαίρα ένα μέγιστο κύκλο που λέγεται Εκλειπτική (ecliptic). Ο κύκλος αυτός έχει μια κλίση περίπου 23.5° ως προς τον ουράνιο Ισημερινό (λόξωση της Εκλειπτικής – obliquity of the ecliptic) και, συνεπώς, τέμνει τον Ισημερινό σε δύο αντιδιαμετρικά σημεία, το Εαρινό ( ) και το Φθινοπωρινό ( ΄) Ισημερινό σημείο (vernal & autumnal equinox). Από τα σημεία αυτά περνά ο Ήλιος κατά την εαρινή και φθινοπωρινή ισημερία, αντίστοιχα, ακολουθώντας την φαινόμενη ετήσια πορεία του πάνω στην Εκλειπτική.

Σχήμα 1.2

Αφετηρία των μετρήσεων στο ουρανογραφικό σύστημα ορίζεται ο ωριαίος κύκλος που περνά από το Εαρινό Ισημερινό σημείο (ή πρώτο σημείο του Κριού - vernal equinox ή first point of Aries). Η πρώτη συντεταγμένη του συστήματος ονομάζεται ορθή αναφορά α (right ascension) και ορίζεται ως η δίεδρη γωνία μεταξύ της αφετηρίας (ωριαίος του ) και του ωριαίου του άστρου (γενικότερα, της διεύθυνσης που μας ενδιαφέρει). Η γωνία αυτή μετράται κατά την ορθή φορά (δηλαδή αντίθετα με τους δείκτες του ρολογιού, όπως παρατηρεί κανείς την ουράνια σφαίρα πάνω από τον Βόρειο Πόλο του ουρανού) και σε συμβατικές μονάδες γωνίας που λέγονται ώρες,

7

από 0h ως 24h. Προφανώς, η ορθή αναφορά μπορεί να μετρηθεί και ως τόξο του Ισημερινού μεταξύ των δύο ωριαίων (αντίστοιχη επίπεδη γωνία της διέδρου).

Η δεύτερη συντεταγμένη ονομάζεται απόκλιση δ (declination) και μετράται πάνω στον ωριαίο του άστρου, από τον Ισημερινό μέχρι το άστρο (είναι δηλαδή το μήκος ενός τόξου του ωριαίου). Η απόκλιση μετράται σε μοίρες, από 0° ως +90° προς τον Βόρειο Πόλο (Βόρειο ημισφαίριο του ουρανού) και από 0° ως –90° προς τον Νότιο Πόλο (Νότιο ημισφαίριο).

Εξειδικεύοντας τις συνθήκες και την χρονική στιγμή ορισμού των βασικών στοιχείων (άξονας περιστροφής, εκλειπτική, ισημερινό σημείο, κέντρο συστήματος) προκύπτει το ουρανογραφικό σύστημα που χρησιμοποιείται σήμερα και είναι γνωστό ως Διεθνές Ουράνιο Σύστημα Αναφοράς (International Celestial Reference System). Το σύστημα αυτό υλοποιείται με το Διεθνές Ουράνιο Πλαίσιο Αναφοράς (ICR Frame), το οποίο βασίζεται στην θέση της εκλειπτικής και του μέσου Ισημερινού την εποχή J2000 (βλέπε κεφάλαια περί χρόνου και μεταβολών των συντεταγμένων) και ορίζεται από τις ακριβείς συντεταγμένες (α,δ) εξωγαλαξιακών ραδιοπηγών (quasars) που, λόγω της τεράστιας απόστασής τους, θεωρούνται ακίνητες και είναι η καλύτερη προσέγγιση προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς.

1.4 Το Εκλειπτικό σύστημα Παραλλαγή του ουρανογραφικού συστήματος αποτελεί το εκλειπτικό σύστημα αναφοράς. Σε αυτό, βασικός κύκλος είναι ο οριζόμενος από την εκλειπτική και αφετηρία των μετρήσεων πάλι το εαρινό ισημερινό σημείο . Η πρώτη συντεταγμένη ονομάζεται εκλειπτικό μήκος λ και μετράται κατά την ορθή φορά σε μοίρες, από 0° ως 360°. Η δεύτερη ονομάζεται εκλειπτικό πλάτος β και μετράται σε μοίρες, από 0° ως 90° πάνω από το επίπεδο της εκλειπτικής (στο ημισφαίριο που περιέχει και τον Βόρειο Πόλο του ουρανού) και από 0° ως –90° κάτω από το επίπεδο της εκλειπτικής.

Το εκλειπτικό σύστημα είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για την περιγραφή των κινήσεων των σωμάτων του ηλιακού μας συστήματος, καθώς και για την περιγραφή των φαινομένων της μετάπτωσης και της κλόνησης (βλέπε κεφάλαιο περί μεταβολών των συντεταγμένων).

1.5 Το Αστρονομικό σύστημα Το σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείται για την περιγραφή της θέσης των παρατηρητών (ή γενικότερα σημείων της Γης) είναι το αστρονομικό (astronomical reference system). Η βασική διεύθυνση που το ορίζει είναι και πάλι η διεύθυνση του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της Γης, δηλαδή ο άξονας του κόσμου. Επομένως, ο βασικός μέγιστος κύκλος και αυτού του συστήματος είναι ο ουράνιος Ισημερινός. Οι μέγιστοι κύκλοι που περνούν από τους ουράνιους Πόλους λέγονται τώρα μεσημβρινοί (meridians) και ως αφετηρία των μετρήσεων επιλέγεται εκείνος που περιέχει το ζενίθ του Γκρήνουιτς (Greenwich) και ονομάζεται πρωτεύων μεσημβρινός (prime meridian).

8

Για να κατανοηθεί καλύτερα ο ορισμός, αλλά και η χρήση, του αστρονομικού συστήματος, υπενθυμίζεται ότι, στην Αστρονομία, ο όρος ‘θέση’ ενός σημείου δεν υπονοεί την πραγματική του θέση στην επιφάνεια της Γης (όπως συμβαίνει με τη γεωδαιτική χρήση του όρου) αλλά την διεύθυνση ενός διανύσματος, αντιπροσω-πευτικού του σημείου αυτού. Σαν τέτοιο χαρακτηριστικό διάνυσμα χρησιμοποιείται η διεύθυνση της κατακορύφου (direction of the vertical), που ορίζεται ως το μοναδιαίο διάνυσμα που είναι αντίθετο με το διάνυσμα της έντασης (επιτάχυνσης) του Γήινου πεδίου βαρύτητας στο σημείο αυτό. Το σημείο της ουράνιας σφαίρας που αντιστοιχεί στο διάνυσμα της κατακορύφου ενός τόπου λέγεται ζενίθ (zenith) του τόπου και το αντιδιαμετρικό του σημείο λέγεται ναδίρ (nadir). Από τον ορισμό αυτό προκύπτει πως, σε κάθε τόπο, το ζενίθ βρίσκεται ‘πάνω από το κεφάλι’ του παρατηρητή.

Υπενθυμίζεται εδώ ότι η διεύθυνση της κατακορύφου σ’ ένα τόπο διαφέρει από την διεύθυνση της καθέτου στο ελλειψοειδές αναφοράς στον τόπο αυτό. Η (μικρή) γωνία που σχηματίζουν οι δύο διευθύνσεις λέγεται απόκλιση της κατακορύφου (deflection of the vertical) και ο προσδιορισμός της αποτελεί σκοπό της Γεωδαιτικής Αστρονομίας.

Οι συντεταγμένες στο αστρονομικό σύστημα ορίζονται όπως και στο ουρανογραφικό. Η πρώτη συντεταγμένη του συστήματος ονομάζεται αστρονομικό μήκος Λ (astronomical longitude) και ορίζεται ως η δίεδρη γωνία μεταξύ της αφετηρίας (πρωτεύων μεσημβρινός) και του μεσημβρινού του τόπου. Η γωνία αυτή μετράται κατά την ορθή φορά σε μοίρες, από 0° ως 360°. Προφανώς, το μήκος μπορεί να μετρηθεί και ως τόξο του Ισημερινού μεταξύ των δύο μεσημβρινών (αντίστοιχη επίπεδη γωνία της διέδρου).

Η δεύτερη συντεταγμένη ονομάζεται αστρονομικό πλάτος Φ (astronomical latitude) και μετράται πάνω στον μεσημβρινό του τόπου, από τον Ισημερινό μέχρι το ζενίθ (είναι δηλαδή το μήκος ενός τόξου του μεσημβρινού). Το πλάτος μετράται επίσης σε μοίρες, από 0° ως +90° προς τον Βόρειο Πόλο και από 0° ως –90° προς τον Νότιο Πόλο.

Σχήμα 1.3

9

Είναι προφανές ότι το αστρονομικό σύστημα ‘μοιράζεται’ τα ίδια ακριβώς γεωμετρικά χαρακτηριστικά με το ουρανογραφικό. Και τα δύο στηρίζονται στην ίδια βασική διεύθυνση (διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας της Γης) και διαφέρουν μόνο κατά τον ορισμό της αφετηρίας των μετρήσεων. Επειδή ο μεσημβρινός του Γκρήνουιτς είναι σταθερός ‘ως προς την Γη’ και ο ωριαίος του σταθερός ‘ως προς τα άστρα’ (βλέπε και κεφάλαιο μεταβολών των συντεταγμένων), τα δυο συστήματα συνδέονται με μία μεταβαλλόμενη γωνία στροφής (γύρω από τον άξονα του κόσμου) λόγω της ημερήσιας περιστροφής της Γης. Το γεγονός αυτό ακριβώς κάνει αναγκαία την μέτρηση του χρόνου σ’ όλες τις διαδικασίες προσδιορισμών στην Γεωδαιτική Αστρονομία.

1.6 Γήινα συστήματα αναφοράς

Ένα ιδεατό γήινο σύστημα (ideal terrestrial system) αναφοράς ορίζεται σαν ένα σύστημα αναφοράς προσκολλημένο στη Γη, που συμπεριστρέφεται μαζί της. Ένα τέτοιο σύστημα πρέπει να αναπαριστά κάποιο ιδεατό γήινο σώμα στο οποίο οι συντεταγμένες των στάσεων είτε είναι σταθερές είτε αλλάζουν με ένα γνωστό τρόπο. Ορίζεται με βάση τις μηχανικές ιδιότητες της Γης έτσι ώστε ένα σημείο να έχει σταθερές συντεταγμένες στο σύστημα αυτό. Επειδή ένα τέτοιο σύστημα περιστρέφεται μαζί με τη Γη, είναι μη-αδρανειακό σύστημα.

Το γήινο σύστημα αναφοράς που χρησιμοποιείται σήμερα είναι το Διεθνές Γήινο Σύστημα Αναφοράς (International Terrestrial Reference System), που ορίζεται ως εξής:

1. ως κέντρο του συστήματος λαμβάνεται το κέντρο μάζας της Γης.

2. άξονας Ζ λαμβάνεται η διεύθυνση προς τον μέσο πόλο της περιόδου 1900-1905 (CIO – Conventional International Origin).

3. ο άξονας Χ περνάει από τον μεσημβρινό του Greenwich και ο άξονας Υ συμ-πληρώνει το δεξιόστροφο σύστημα.

Ένα συμβατικό γήινο πλαίσιο αναφοράς είναι η υλοποίηση του ιδεατού συστήματος, που ορίζεται από ένα σύνολο σημείων (σταθμών) με καθορισμένες συντεταγμένες. Ως τέτοιο πλαίσιο σήμερα χρησιμοποιείται το Διεθνές Γήινο Πλαίσιο Αναφοράς (International Terrestrial Reference Frame). Το ITRF βασίζεται σε μετρήσεις συγκεκριμένης εποχής και ορίζεται από τις ορθογώνιες συντεταγμένες (x,y,z) και τις ταχύτητες ενός δικτύου επίγειων σταθμών, οι οποίες έχουν προσδιοριστεί με μεγάλη ακρίβεια και παρακολουθούνται συνεχώς με μεθόδους δορυφορικής (π.χ. GPS, SLR, LLR, DORIS) και διαστημικής (π.χ. VLBI) γεωδαισίας.

Σε κάθε χρονική στιγμή, το ITRS συνδέεται με το ICRS μέσω των Παραμέτρων Προσανατολισμού της Γης (Earth Orientation Parameters) που θα αναλυθούν σε επόμενα κεφάλαια.

10

1.7 Το Οριζόντιο σύστημα Το τελευταίο βασικό σύστημα αναφοράς είναι το τοπικό ή οριζόντιο σύστημα (horizon system) που χρησιμοποιείται για την περιγραφή της διεύθυνσης παρατήρησης προς ένα ουράνιο σώμα, όπως αυτό φαίνεται από ένα τόπο κάποια χρονική στιγμή. Με άλλα λόγια, είναι το σύστημα που περιγράφει τις μετρήσεις σε συγκεκριμένο τόπο και χρόνο.

Η βασική διεύθυνση που ορίζει το σύστημα είναι η διεύθυνση της κατακορύφου του τόπου, η οποία περιγράφηκε προηγουμένως. Ο βασικός μέγιστος κύκλος του συστήματος, που έχει ως γεωμετρικούς του πόλους το ζενίθ και το ναδίρ του τόπου, λέγεται αστρονομικός ορίζοντας (astronomical horizon) του τόπου. Οι μέγιστοι κύκλοι που περνούν από το ζενίθ και το ναδίρ (είναι συνεπώς κάθετοι στον ορίζοντα) ονομάζονται κατακόρυφοι κύκλοι (vertical circles). Ένας από αυτούς πρέπει να αποτελέσει την αφετηρία των μετρήσεων. Για τον σκοπό αυτό επιλέγεται ο κατακόρυφος κύκλος που περιέχει το Βόρειο Πόλο του ουρανού, ο οποίος ονομάζεται αστρονομικός μεσημβρινός (astronomical meridian) του τόπου.

Η πρώτη συντεταγμένη του οριζόντιου συστήματος ονομάζεται αστρονομικό αζιμούθιο Α (astronomical azimuth) και ορίζεται ως η δίεδρη γωνία μεταξύ της αφετηρίας (αστρονομικός μεσημβρινός) και του κατακορύφου κύκλου της διεύθυνσης παρα-τήρησης. Η γωνία αυτή μετράται κατά την ανάδρομη φορά σε μοίρες, από 0° ως 360° (όπως γίνεται δηλαδή η μέτρηση των οριζοντίων γωνιών στην Τοπογραφία). Προφανώς, το αζιμούθιο μπορεί να μετρηθεί και ως τόξο του ορίζοντα μεταξύ των δύο κατακόρυφων κύκλων (αντίστοιχη επίπεδη γωνία της διέδρου).

Σχήμα 1.4

11

Η δεύτερη συντεταγμένη ονομάζεται ύψος υ (altitude) και μετράται πάνω στον κατακόρυφο κύκλο, από τον ορίζοντα μέχρι τη διεύθυνση παρατήρησης (είναι δηλαδή το μήκος ενός τόξου του κατακορύφου κύκλου). Το ύψος μετράται σε μοίρες, από 0° ως +90° προς το ζενίθ (πάνω από τον ορίζοντα) και από 0° ως –90° προς το ναδίρ (κάτω από τον ορίζοντα). Πολλές φορές ως δεύτερη συντεταγμένη χρησι-μοποιείται, αντί του ύψους, η ζενίθια απόσταση ή ζενίθια γωνία z (zenith distance or zenith angle), που είναι το τόξο του κατακορύφου κύκλου από το ζενίθ μέχρι την διεύθυνση παρατήρησης. Η ζενίθια απόσταση μετράται επίσης σε μοίρες, από 0° στο ζενίθ μέχρι 180° στο ναδίρ. Προφανώς, η ζενίθια απόσταση είναι συμπληρωματική γωνία του ύψους, ισχύει δηλαδή πάντα : z = 90° - υ.

Από τον ορισμό του οριζόντιου συστήματος προκύπτει ότι οι οριζόντιες συντεταγμένες μιας διεύθυνσης παρατήρησης μπορούν να μετρηθούν όταν υλοποιηθεί το αντίστοιχο πλαίσιο αναφοράς με τη βοήθεια ενός θεοδόλιχου. Η υλοποίηση γίνεται με δύο συνθήκες:

1) Το θεοδόλιχο είναι οριζοντιωμένο, δηλαδή ο πρωτεύων άξονας περιστροφής του οργάνου είναι παράλληλος με την διεύθυνση της κατακορύφου (με άλλα λόγια, ο οριζόντιος δίσκος του βρίσκεται στο επίπεδο του αστρονομικού ορίζοντα).

2) Το θεοδόλιχο είναι προσανατολισμένο, δηλαδή η αφετηρία των οριζοντίων αναγνώσεων βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο του αστρονομικού μεσημβρινού του τόπου.

Η οριζοντίωση είναι απαραίτητη προϋπόθεση και εκτελείται πάντα πριν από την διεξαγωγή των μετρήσεων αλλά ο προσανατολισμός μπορεί να επιτευχθεί μόνο μετά από ειδική διαδικασία μετρήσεων και υπολογισμών, όπως θα δούμε αργότερα.

Μετά τον ορισμό των βασικών στοιχείων του οριζόντιου συστήματος, μερικά ακόμη στοιχεία είναι πολύ χρήσιμα:

• Ο κατακόρυφος κύκλος που είναι κάθετος στον αστρονομικό μεσημβρινό λέγεται πρωτεύων κατακόρυφος κύκλος (prime vertical).

• Τα σημεία τομής του ορίζοντα με τον αστρον. μεσημβρινό και τον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο ονομάζονται: Βορράς (North) με Α = 0° και Νότος (South) με Α = 180° , Ανατολή (East) με Α = 90° και Δύση (West) με Α = 270° , αντίστοιχα.

1.8 Το Ισημερινό σύστημα Όπως είδαμε, το οριζόντιο σύστημα διαφέρει από τα άλλα δύο και ως προς την κλίση του και γιατί οι οριζόντιες συντεταγμένες ενός στόχου μεταβάλλονται με τον χρόνο. Για να διευκολυνθεί η σύνδεση των συστημάτων, δηλαδή η εύρεση των μαθηματικών σχέσεων που συνδέουν τις διάφορες συντεταγμένες, είναι πολύ πρακτικό να χρησιμοποιηθεί ένα ακόμα σύστημα συντεταγμένων, που δανείζεται στοιχεία από το ουρανογραφικό και το οριζόντιο σύστημα. Αυτό είναι το λεγόμενο Ισημερινό σύστημα η σύστημα ωριαίας γωνίας (hour angle system). Η βασική διεύθυνση του συστήματος είναι πάλι ο άξονας του κόσμου, επομένως το σύστημα έχει την ίδια γεωμετρία με το ουρανογραφικό. Η αφετηρία των μετρήσεων, όμως,

12

είναι ο ωριαίος κύκλος που περνά από το ζενίθ, δηλαδή ο αστρονομικός μεσημβρινός του τόπου. Συνεπώς, το σύστημα αυτό είναι τοπικό.

Η πρώτη συντεταγμένη του ισημερινού συστήματος ονομάζεται ωριαία γωνία h (hour angle) και ορίζεται ως η δίεδρη γωνία μεταξύ της αφετηρίας (αστρονομικός μεσημβρινός) και του ωριαίου κύκλου της διεύθυνσης παρατήρησης. Η γωνία αυτή μετράται κατά την ανάδρομη φορά σε ώρες, από 0h ως 24h. Προφανώς, η ωριαία γωνία μπορεί να μετρηθεί και ως τόξο του ισημερινού μεταξύ των δύο ωριαίων κύκλων (αντίστοιχη επίπεδη γωνία της διέδρου).

Η δεύτερη συντεταγμένη είναι η απόκλιση δ, όπως ακριβώς και στο ουρανογραφικό σύστημα. Όπως είδαμε, αυτή είναι ανεξάρτητη τόπου και χρόνου, ενώ η ωριαία γωνία εξαρτάται από τον τόπο και μεταβάλλεται με τον χρόνο. Μάλιστα, αυτή ακριβώς η μεταβολή της μας δίνει την δυνατότητα να ορίσουμε κλίμακες μέτρησης του χρόνου, όπως θα δούμε αργότερα.

Σχήμα 1.5

Ασκήσεις κατανόησης

1) Μονάδες μέτρησης γωνιών: ένας πλήρης κύκλος ισοδυναμεί με 2π ακτίνια ή, σε συμβατικές μονάδες, 360° ή 400g ή 24h. Εξοικειωθείτε με τις μετατροπές μεταξύ των διαφόρων μονάδων και των υποδιαιρέσεών τους (δεκαδικές για ακτίνια και βαθμούς, εξηκονταδικές για μοίρες και ώρες)

2) Σε κάποιο τόπο του Βόρειου ημισφαιρίου, που έχει αστρονομικό πλάτος Φ, προσδιορίστε τις οριζόντιες και τις ισημερινές συντεταγμένες: του ζενίθ, του ναδίρ, του Βόρειου Πόλου του ουρανού και των σημείων του ορίζοντα.

13

3) Εξετάστε την γεωμετρική σχέση των εξής μέγιστων κύκλων: ορίζοντας, ισημερινός, πρώτος κατακόρυφος κύκλος. Εξετάστε ακόμα πως εξαρτάται η σχέση αυτή από το αστρονομικό πλάτος του τόπου.

Ανακεφαλαίωση Η Γεωδαιτική Αστρονομία χρησιμοποιεί διευθύνσεις (ελεύθερα, μοναδιαία διανύσματα).

Όλες οι διευθύνσεις αντιστοιχούν στα σημεία της επιφάνειας μιας μοναδιαίας σφαίρας, που ονομάζεται ουράνια σφαίρα.

Για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στην ουράνια σφαίρα χρειάζονται δύο μόνο γωνίες (σφαιρικές συντεταγμένες) σε κάποιο σύστημα αναφοράς. Για να οριστεί ένα τέτοιο σύστημα χρειάζεται μια βασική διεύθυνση ευθείας (ή επιπέδου) και μία αυθαίρετη αρχή των μετρήσεων. Το πεδίο βαρύτητας και οι διάφορες κινήσεις της Γης ορίζουν όλα τα συστήματα αναφοράς που χρησιμοποιεί η Γεωδαιτική Αστρονομία.

Το ουρανογραφικό σύστημα περιγράφει την θέση των στόχων παρατήρησης (άστρων) και είναι σταθερό ως προς αυτά, δηλαδή οι ουρανογραφικές συντεταγμένες (α, δ) ενός άστρου είναι (σχεδόν) ανεξάρτητες από τον τόπο και τον χρόνο1.

Το αστρονομικό σύστημα περιγράφει την ‘θέση’ των διαφόρων τόπων της Γης, σε σχέση με το πεδίο βαρύτητας, και είναι σταθερό ως προς αυτή. Οι αστρονομικές συντεταγμένες (Λ, Φ) ενός τόπου παραμένουν (σχεδόν) σταθερές2.

Τα δύο συστήματα (ουρανογραφικό – αστρονομικό) στηρίζονται στην ίδια βασική διεύθυνση (διάνυσμα γωνιακής ταχύτητας της Γης) και διαφέρουν μόνο κατά μία μεταβαλλόμενη γωνία στροφής (γύρω από τον άξονα του κόσμου) λόγω της ημερήσιας περιστροφής της Γης.

Το οριζόντιο σύστημα περιγράφει τις μετρήσεις. Οι οριζόντιες συντεταγμένες (Α, υ) ενός άστρου μεταβάλλονται με τον τόπο και τον χρόνο. Για κάθε τόπο, το οριζόντιο σύστημα έχει σταθερή σχέση (κλίση) ως προς το αστρονομικό σύστημα, η οποία εξαρτάται από το αστρονομικό πλάτος Φ του τόπου.

Το ισημερινό σύστημα, με συντεταγμένες (h, δ), είναι ένα ‘μίγμα’ του οριζόντιου και του ουρανογραφικού συστήματος, χρήσιμο για την σύνδεση των άλλων συστημάτων. Η ωριαία γωνία μεταβάλλεται με τον χρόνο και αποτελεί την βάση για τον ορισμό των αστρονομικών κλιμάκων μέτρησης του χρόνου.

1 Στην πραγματικότητα, η τρίτη σημαντική κίνηση της Γης, η μετάπτωση (precession),

προκαλεί αργές μεταβολές στις ουρανογραφικές συντεταγμένες. 2 Σε σχέση με την πραγματική θέση του τόπου στην φυσική γήινη επιφάνεια, υπάρχουν

μικρές μεταβολές που οφείλονται στην κίνηση του Πόλου (polar motion).

Συγκριτικός πίνακας συστημάτων αναφοράς

Στοιχείο Ουρανογραφικό Αστρονομικό Οριζόντιο Ισημερινό Χαρακτηρισμός Παγκόσμιο Παγκόσμιο Τοπικό Τοπικό Βασική διεύθυνση Άξονας περιστροφής

Γης Άξονας περιστροφής

Γης Κατακόρυφος του

τόπου Άξονας περιστροφής

Γης Βασικός μέγιστος κύκλος

Ουράνιος Ισημερινός Ουράνιος Ισημερινός Αστρονομικός Ορίζοντας

Ουράνιος Ισημερινός

Παραμετρικοί μέγιστοι κύκλοι

Ωριαίοι κύκλοι Μεσημβρινοί Κατακόρυφοι κύκλοι Ωριαίοι κύκλοι

Αφετηρία Ωριαίος του (εαρινό ισημερινό

σημείο)

Μεσημβρινός του Greenwich

Κατακόρυφος του Βόρειου Πόλου του

ουρανού = Αστρονομικός

Μεσημβρινός του τόπου

Ωριαίος κύκλος του Zενίθ =

Αστρονομικός Μεσημβρινός του

τόπου

1η συντεταγμένη Ορθή αναφορά α (1) Αστρον. Μήκος Λ (1) Αζιμούθιο Α (2) Ωριαία γωνία h (2) 2η συντεταγμένη Απόκλιση δ Αστρον. Πλάτος Φ Ύψος υ (3) Απόκλιση δ Συσχέτιση Ουρανογραφικό ⇔ Αστρονομικό

Γωνία στροφής ∝ χρόνου | Αστρονομικό ⇔ Οριζόντιο

Σταθερή κλίση = 90° – Φ Υβρίδιο

Ουρανογραφικού - Οριζόντιου

Σημειώσεις: (1) Μέτρηση κατά την ορθή φορά (αριστερόστροφα) (2) Μέτρηση κατά την ανάδρομη φορά (δεξιόστροφα) (3) Χρησιμοποιείται και η ζενίθια απόσταση z = 90° – υ

14

15

2. ΦΑΙΝΟΜΕΝΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΑΣ ΣΦΑΙΡΑΣ

Παρατηρώντας τον ουρανό μια καθαρή νύχτα, βλέπει κανείς ένα πλήθος άστρων που έχουν διαφορετικές λαμπρότητες και σχηματίζουν διακριτές ομάδες, με διάφορα σχήματα (αστερισμοί – constellations) που παραμένουν αναλλοίωτα για αιώνες. Προσεκτική παρατήρηση για λίγη ώρα δείχνει ότι τα άστρα δεν είναι ακίνητα αλλά φαίνεται να κινούνται στον ουρανό όλα μαζί πηγαίνοντας από τον ανατολικό ορίζοντα προς τον δυτικό. Στην διάρκεια της νύχτας η όψη του ουρανού αλλάζει σημαντικά και, αν περιμένει κανείς αρκετά, ο ανατολικός ορίζοντας αρχίζει να φωτίζεται, τα άστρα εξαφανίζονται και σε λίγο ο Ήλιος προβάλλει, κινούμενος και αυτός από την ανατολή προς την δύση (ανάδρομη φορά).

Εκτείνοντας τις παρατηρήσεις για πολλές μέρες, άλλα φαινόμενα γίνονται αντιληπτά. Εμφανίζεται η Σελήνη, η οποία φαίνεται να μετακινείται ανατολικά ανάμεσα στα άστρα (ορθή φορά) και καθημερινά ανατέλλει και δύει περίπου 50 λεπτά αργότερα. Ο Ήλιος επίσης φαίνεται να μετακινείται βορειότερα ή νοτιότερα στον ουρανό, ανάλογα με την εποχή, και να μετακινείται καθημερινά ανάμεσα στα άστρα, περίπου μια μοίρα κάθε μέρα.

Οι κινήσεις αυτές των ουρανίων σωμάτων οφείλονται πρωταρχικά στις κινήσεις της Γης. Η καθημερινή πορεία όλων των σωμάτων από ανατολή σε δύση, που ονομάζεται φαινόμενη περιστροφή του ουρανού, οφείλεται στην ημερήσια περιστροφή της Γης. Η πορεία της Σελήνης ανάμεσα στα άστρα οφείλεται στην περιφορά της γύρω από την Γη, ενώ η αντίστοιχη πορεία του Ήλιου αντανακλά την ετήσια περιφορά της Γης γύρω από τον Ήλιο.

Μεταφέροντας την εμπειρία αυτή στην περιγραφή των αλλαγών των διαφόρων διευ-θύνσεων παρατήρησης, όπως αυτές αντιστοιχούν σε σημεία της ουράνιας σφαίρας, αναφερόμαστε στην φαινόμενη περιστροφή της ουράνιας σφαίρας και σε διάφορα επιμέρους φαινόμενα, που σχετίζονται με τις αλλαγές αυτές.

Επειδή η φαινόμενη περιστροφή γίνεται γύρω από τον άξονα του κόσμου, κάθε σώμα που έχει σταθερές ουρανογραφικές συντεταγμένες (π.χ. άστρο) φαίνεται να διαγράφει καθημερινά μια τροχιά στην ουράνια σφαίρα, που γίνεται κατά την ανάδρομη φορά και κατά μήκος ενός μικρού κύκλου παράλληλου στον ουράνιο Ισημερινό (κύκλος απόκλισης). Επομένως, η τροχιά αυτή παρουσιάζει, γενικά, μια κλίση ως προς τον ορίζοντα του τόπου παρατήρησης, η οποία αντιστοιχεί στην κλίση του ουρανο-γραφικού ως προς το οριζόντιο σύστημα του τόπου αυτού. Συνέπεια του γεγονότος αυτού είναι, όπως είδαμε ήδη, η συνεχής μεταβολή των οριζόντιων συντεταγμένων ενός άστρου με τον χρόνο. Αντίθετα, οι ισημερινές συντεταγμένες παρουσιάζουν μια κανονικότητα: η απόκλιση παραμένει σταθερή και η ωριαία γωνία μεταβάλλεται ομαλά, σαν γραμμική συνάρτηση του χρόνου.

Η κίνηση κάθε άστρου κατά μήκος της τροχιάς του οριοθετείται από χαρακτη-ριστικές θέσεις και φαινόμενα, που είναι ιδιαίτερα χρήσιμα και για τον υπολογισμό των ποσοτικών (αριθμητικών) σχέσεων μεταξύ των συντεταγμένων.

Το πρώτο κύριο χαρακτηριστικό μιας τροχιάς είναι η σχέση της με τον ορίζοντα. Ανάλογα με την κλίση του άξονα περιστροφής ως προς τον ορίζοντα (που εξαρτάται

16

από το πλάτος Φ του τόπου) και την απόσταση της τροχιάς από τον Ισημερινό (που εξαρτάται από την απόκλιση δ του άστρου), η τροχιά αυτή μπορεί να βρίσκεται ολόκληρη πάνω ή κάτω από τον ορίζοντα ή να τέμνεται από αυτόν σε δύο σημεία.

Στην γενική περίπτωση, που ο ορίζοντας τέμνει την τροχιά, ένα τμήμα της βρίσκεται πάνω από αυτόν και ονομάζεται ημερήσιο τόξο, ενώ το υπόλοιπο τμήμα της (κάτω από τον ορίζοντα) ονομάζεται νυκτερινό τόξο. Το άστρο περνά από το ένα σημείο τομής με τον ορίζοντα κινούμενο ανοδικά, ορίζοντας έτσι το φαινόμενο και το σημείο της ανατολής (rising) του άστρου και από το άλλο σημείο κινούμενο καθοδικά, ορίζοντας το φαινόμενο και το σημείο της δύσης (setting) του άστρου στον συγκεκριμένο τόπο. Συνεπώς, το ημερήσιο τόξο του άστρου είναι το τμήμα της τροχιάς πάνω από τον ορίζοντα, που αρχίζει από το σημείο της ανατολής και τελειώνει στο σημείο της δύσης του άστρου, ενώ το νυκτερινό τόξο (κάτω από τον ορίζοντα) αρχίζει από το σημείο της δύσης και τελειώνει στο σημείο της ανατολής. Όταν η τροχιά ενός άστρου έχει αυτά τα χαρακτηριστικά, το άστρο ονομάζεται αμφιφανές (από τον συγκεκριμένο τόπο). Στην περίπτωση που ολόκληρη η τροχιά τού άστρου βρίσκεται πάνω από τον ορίζοντα του τόπου, το άστρο ονομάζεται αειφανές και, προφανώς, δεν υπάρχουν σημεία ανατολής και δύσης του, δηλαδή το σύνολο της τροχιάς του είναι ημερήσιο τόξο. Στην αντίθετη περίπτωση, που ολόκληρη η τροχιά τού άστρου βρίσκεται κάτω από τον ορίζοντα του τόπου, το άστρο ονομάζεται αφανές και πάλι δεν υπάρχουν σημεία ανατολής και δύσης του επειδή το σύνολο της τροχιάς του είναι νυκτερινό τόξο.

Σχήμα 2.1

Άλλα χαρακτηριστικά σημεία της τροχιάς ορίζονται με την βοήθεια του αστρονομικού μεσημβρινού του τόπου. Επειδή αυτός περιέχει τον άξονα περιστροφής της ουράνιας σφαίρας, τέμνει τις τροχιές όλων των άστρων κατά διάμετρο. Το σημείο τομής που είναι πλησιέστερα στο ζενίθ του τόπου λέγεται σημείο άνω μεσουράνησης (ή άνω μεσημβρινής διάβασης – upper transit) του άστρου και

17

αντιστοιχεί στο σημείο της τροχιάς με το μέγιστο ύψος. Το αντιδιαμετρικό σημείο τομής λέγεται σημείο κάτω μεσουράνησης (ή κάτω μεσημβρινής διάβασης – lower transit) του άστρου και αντιστοιχεί στο σημείο της τροχιάς με το ελάχιστο ύψος. Προφανώς, όταν το άστρο είναι αμφιφανές, η άνω μεσουράνηση συμβαίνει πάνω και η κάτω μεσουράνηση συμβαίνει κάτω από τον ορίζοντα. Στα αειφανή άστρα και οι δύο μεσημβρινές διαβάσεις είναι ορατές, συμβαίνουν δηλαδή πάνω από τον ορίζοντα, ενώ στα αφανή καμία δεν είναι ορατή.

Στο σχήμα 2.1, το άστρο 1 είναι αειφανές, τα άστρα 2 και 3 είναι αμφιφανή και το άστρο 4 είναι αφανές από τον συγκεκριμένο τόπο. Το άστρο 2 ανατέλλει στο σημείο R, μεσουρανεί άνω στο σημείο Τ και δύει στο σημείο S.

Συνέπεια του ορισμού του αστρονομικού μεσημβρινού είναι το γεγονός ότι αυτός αποτελεί επίπεδο συμμετρίας για τις τροχιές όλων των άστρων σε ένα τόπο. Επομένως, η άνω μεσουράνηση διχοτομεί, γεωμετρικά και χρονικά, το ημερήσιο τόξο ενός αμφιφανούς άστρου και, αντίστοιχα, η κάτω μεσουράνηση το νυκτερινό τόξο.

Μια άλλη κατηγορία χαρακτηριστικών σημείων της τροχιάς ενός άστρου σχετίζεται με το ζενίθ και τον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο. Ανάλογα με το μέγεθος και την κλίση της τροχιάς, το ζενίθ Ζ του τόπου μπορεί να είναι σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό ή στο εξωτερικό της τροχιάς. Αν είναι εσωτερικό σημείο (τροχιά 1 στο σχήμα 2.2), ο πρωτεύων κατακόρυφος κύκλος τέμνει την τροχιά σε δύο σημεία, συμμετρικά ως προς τον μεσημβρινό του τόπου, που λέγονται ανατολική και δυτική διάβαση από τον πρωτεύοντα κατακόρυφο, αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή το ζενίθ του τόπου βρίσκεται πλησιέστερα στον ορατό πόλο P απ’ ότι το σημείο της άνω μεσουράνησης T1, δηλαδή η άνω μεσουράνηση συμβαίνει νότια του ζενίθ (για τόπους του Βορείου ημισφαιρίου).

Σχήμα 2.2

18

Αν το ζενίθ βρίσκεται στο εξωτερικό της τροχιάς (τροχιά 2 στο σχήμα 2.2), προφανώς ο πρωτεύων κατακόρυφος κύκλος δεν την τέμνει και το σημείο της άνω μεσουράνησης T2 είναι πλησιέστερα στον ορατό πόλο P απ’ ότι το ζενίθ Z. Για τόπους του Βορείου ημισφαιρίου δηλαδή, η άνω μεσουράνηση συμβαίνει βόρεια του ζενίθ. Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν δύο κατακόρυφοι κύκλοι, εκατέρωθεν του αστρονομικού μεσημβρινού, που εφάπτονται στον μικρό κύκλο της τροχιάς του άστρου (σχήμα 2.3). Τα σημεία επαφής ορίζουν τα σημεία της τροχιάς με την μεγαλύτερη απόσταση από τον μεσημβρινό, ονομάζονται σημεία μέγιστης αποχής του άστρου (ανατολικό και δυτικό) και είναι, προφανώς, συμμετρικά ως προς τον μεσημβρινό.

Σχήμα 2.3

Ασκήσεις κατανόησης 1) Υπολογίστε την συνθήκη μεταξύ των Φ και δ ώστε ένα άστρο να είναι αφανές,

αμφιφανές ή αειφανές από ένα τόπο

2) Υπολογίστε την συνθήκη μεταξύ των Φ και δ ώστε ένα άστρο να μεσουρανεί: α) βόρεια και β) νότια του ζενίθ (σε τόπο του Βορείου ημισφαιρίου)

3) Υπολογίστε τις οριζόντιες συντεταγμένες και την ωριαία γωνία ενός άστρου στις διάφορες χαρακτηριστικές θέσεις της τροχιάς του, όταν αυτό μεσουρανεί: α) βόρεια και β) νότια του ζενίθ (σε τόπο του Βορείου ημισφαιρίου)

19

Ανακεφαλαίωση Η ημερήσια περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της (κατά την ορθή φορά) προκαλεί την φαινόμενη περιστροφή της ουράνιας σφαίρας κατά την ανάδρομη φορά.

Οι τροχιές όλων των άστρων είναι μικροί κύκλοι, παράλληλοι με τον Ισημερινό.

Ανάλογα με τις τιμές των Φ και δ, ένα άστρο μπορεί να είναι αειφανές, αμφιφανές ή αφανές από ένα τόπο.

Ο αστρονομικός μεσημβρινός είναι επίπεδο συμμετρίας της τροχιάς κάθε άστρου.

Το τμήμα της τροχιάς πάνω από τον ορίζοντα (από την ανατολή μέχρι την δύση του άστρου) αποτελεί το ημερήσιο τόξο, ενώ το υπόλοιπο το νυκτερινό τόξο. Καθένα από αυτά διχοτομείται από τα σημεία της μεσουράνησης, άνω και κάτω, αντίστοιχα.

Σε τόπους του Βορείου ημισφαιρίου, αν ένα άστρο μεσουρανεί νότια του ζενίθ, τότε έχει δύο σημεία διάβασης από τον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο, συμ-μετρικά ως προς τον μεσημβρινό (ανατολικά και δυτικά). Αν το άστρο μεσουρανεί βόρεια του ζενίθ, τότε έχει δύο σημεία μέγιστης αποχής, πάλι συμμετρικά ως προς τον μεσημβρινό (ανατολικά και δυτικά).

20

21

3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΘΕΣΗΣ

Ως τώρα είδαμε πως ορίζονται διάφορα συστήματα αναφοράς και πως οι συντεταγμένες, σε κάθε σύστημα, αλλάζουν ανάλογα με την διεύθυνση παρατή-ρησης, τον τόπο και τον χρόνο. Για να γίνουν όμως οποιοιδήποτε υπολογισμοί, πρέπει να βρεθούν οι κατάλληλες μαθηματικές σχέσεις μεταξύ των συντεταγμένων. Επειδή όλες οι συντεταγμένες μπορούν να εκφραστούν ως τόξα μέγιστων κύκλων στην ουράνια σφαίρα, ένας τρόπος περιγραφής των σχέσεων μεταξύ των συν-τεταγμένων είναι η χρήση της Σφαιρικής Τριγωνομετρίας. Οι βασικές έννοιες και τύποι δίνονται στο Παράρτημα του τεύχους αυτού.

Ο κεντρικός συλλογισμός για την συσχέτιση των συντεταγμένων είναι ως εξής: Τα μετρήσιμα μεγέθη είναι οι οριζόντιες συντεταγμένες (Α, υ) διαφόρων ουρανίων σωμάτων, καθώς και ο χρόνος παρατήρησης. Επιπλέον, είναι γνωστή η θέση (συντεταγμένες α, δ) των ουρανίων σωμάτων στο ουρανογραφικό σύστημα. Η γνώση του χρόνου παρατήρησης καθορίζει τον στιγμιαίο προσανατολισμό της Γης, δηλαδή του αστρονομικού συστήματος ως προς το ουρανογραφικό. Όπως θα δούμε στη συνέχεια, οι ισημερινές συντεταγμένες υπολογίζονται από το αστρονομικό μήκος Λ και το χρόνο παρατήρησης. Επομένως, αναζητούμε τις μαθηματικές σχέσεις μεταξύ των ισημερινών και των οριζόντιων συντεταγμένων μιας διεύθυνσης, σε συγκεκριμένο τόπο.

Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε ένα σφαιρικό τρίγωνο στην ουράνια σφαίρα, που έχει βασικά στοιχεία (πλευρές και γωνίες) σχετιζόμενα με τις συντεταγμένες. Το τρίγωνο αυτό, που ονομάζεται τρίγωνο θέσης (position triangle or astronomical triangle) ορίζεται από τις κορυφές του ως εξής (σχήμα 3.1):

1. Πρώτη κορυφή (σταθερή) είναι ο ορατός Πόλος (P) της ουράνιας σφαίρας (εμείς θα χρησιμοποιούμε τον Βόρειο Πόλο).

2. Δεύτερη κορυφή (σταθερή) είναι το ζενίθ (Ζ) του τόπου παρατήρησης.

3. Τρίτη κορυφή (κινούμενη) είναι το σημείο (S) της ουράνιας σφαίρας στο οποίο αντιστοιχεί η διεύθυνση παρατήρησης (π.χ. ένα άστρο).

Από τον ορισμό των κορυφών προκύπτει ότι οι πλευρές του τριγώνου είναι:

1. Το (σταθερό) τόξο ΖP του αστρονομικού μεσημβρινού του τόπου.

2. Το (μεταβλητό) τόξο ΖS του κατακόρυφου κύκλου του άστρου.

3. Το (μεταβλητό) τόξο PS του ωριαίου κύκλου του άστρου.

Ανάλογα με τη θέση του άστρου ως προς τον μεσημβρινό του τόπου, το τρίγωνο θέσης μπορεί να χαρακτηρίζεται ως ανατολικό ή δυτικό.

Από τον ορισμό των συστημάτων αναφοράς, εύκολα συμπεραίνει κανείς ότι, για τα κύρια στοιχεία του τριγώνου θέσης προκύπτουν οι εξής σχέσεις:

Πλευρά ΖP = 90° - Φ

Πλευρά ΖS = 90° - υ = z

Πλευρά PS = 90° - δ

22

Η γωνία (S) ονομάζεται παραλλακτική γωνία p (parallactic angle)

Η γωνία (P) είναι ίση με την ωριαία γωνία h του άστρου (δυτικό τρίγωνο θέσης) ή ίση με 24h - h (ανατολικό τρίγωνο θέσης)

Η γωνία (Ζ) είναι ίση με το αζιμούθιο Α του άστρου (ανατολικό τρίγωνο θέσης) ή ίση με 360° - Α (δυτικό τρίγωνο θέσης)

Σχήμα 3.1

Αφού τα στοιχεία του τριγώνου έχουν τώρα εκφραστεί συναρτήσει των συντεταγμένων, οι σχέσεις μετατροπής συντεταγμένων μεταξύ του οριζόντιου και του ισημερινού συστήματος προκύπτουν εύκολα με εφαρμογή των τύπων της σφαιρικής τριγωνομετρίας (βλέπε στο Παράρτημα). Από την μεγάλη ποικιλία τύπων που μπορεί να γράψει κανείς, αξιοσημείωτοι είναι εκείνοι που προκύπτουν από τον νόμο των ημιτόνων, το νόμο των συνημιτόνων και τον τύπο των 5 στοιχείων:

sin sin cos sinhcos sin sin cos cos coshsin cos sin cos cos sin coshsin cos sin sin cos coscos cosh cos cos sin sin cos

z Azz A

z z Az z A

δδ δ

δ δδδ

⋅ = − ⋅= ⋅ Φ + ⋅ Φ ⋅⋅ = ⋅ Φ − ⋅ Φ ⋅= ⋅ Φ + ⋅ Φ ⋅⋅ = ⋅ Φ − ⋅ Φ ⋅

Ας σημειωθεί ότι οι παραπάνω τύποι ισχύουν σε κάθε περίπτωση, δηλαδή και για ανατολικό και για δυτικό τρίγωνο θέσης.

23

Απλούστερες σχέσεις μεταξύ των διαφόρων συντεταγμένων προκύπτουν στις ειδικές θέσεις των άστρων (ανατολή, δύση, μεσουρανήσεις, διάβαση από τον πρωτεύοντα κατακόρυφο, μέγιστη αποχή κλπ).

Ασκήσεις κατανόησης 1) Προσδιορίστε τις σχέσεις που δίνουν το αζιμούθιο και την ωριαία γωνία της

ανατολής ενός άστρου συναρτήσει των Φ και δ.

2) Προσδιορίστε τις σχέσεις που δίνουν το αζιμούθιο, το ύψος και την ωριαία γωνία ενός άστρου, συναρτήσει των Φ και δ, στην θέση της μέγιστης αποχής του.

3) Προσδιορίστε τις σχέσεις που δίνουν το ύψος και την ωριαία γωνία ενός άστρου, συναρτήσει των Φ και δ, στην θέση της διάβασής του από τον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο.

Ανακεφαλαίωση Το τρίγωνο θέσης ενός άστρου σχηματίζεται με κορυφές το άστρο, τον ορατό πόλο και το ζενίθ του τόπου.

Τα κύρια στοιχεία του τριγώνου θέσης (πλευρές και γωνίες) σχετίζονται με τις συντεταγμένες διαφόρων συστημάτων.

Οι σχέσεις μεταξύ των διαφόρων συντεταγμένων μπορούν να προσδιοριστούν με εφαρμογή των τύπων της σφαιρικής τριγωνομετρίας στο τρίγωνο θέσης.

24

25

4. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΥ

4.1 Γενικές έννοιες

Η υλοποίηση ενός συµβατικού πλαισίου αναφοράς για την διάσταση του χρόνου, τοοποίο θα ονοµάζεται κλίµακα χρόνου (time scale), απαιτεί την ίδια διαδικασία όπως ηυλοποίηση ενός συστήµατος αναφοράς για τον χώρο: επιλογή ιδεατού συστήµατος,ορισµό, και υλοποίηση.

Ιδεατή κλίµακα χρόνου είναι µια κλίµακα χρόνου που χρησιµοποιεί µια σαφώςορισµένη και σταθερή µονάδα µέτρησης. Επιπλέον, ακόµη και αν αυτή η συνθήκηπληρούται, θα πρέπει η εν λόγω κλίµακα χρόνου να µπορεί να εφαρµοστεί σε διάφορασηµεία του χώρου, κάτι το οποίο είναι ασύµβατο µε την Θεωρία της Σχετικότητας.Ετσι, η διαδικασία ορισµού και υλοποίησης των κλιµάκων χρόνου περιπλέκεται καιαπαιτεί µια σειρά από παραδοχές.

Ο απλούστερος τρόπος για να οριστεί µια κλίµακα χρόνου είναι να µελετηθεί έναεπαναλαβανόµενο φαινόµενο και να ληφθεί η διάρκειά του ως µονάδα µέτρησης.Πρώτος ο Poincare σχολίασε σε σχέση µε την µέτρηση του χρόνου: “Οτανχρησιµοποιούµε το εκκρεµές για την µέτρηση του χρόνου υποθέτουµε: η διάρκεια δύοίδιων φαινοµένων είναι η ίδια ή ότι τα ίδια αίτια απαιτούν τον ίδιο χρόνο για ναπροκαλέσουν τα ίδια αποτελέσµατα”. Η εµπειρία µας δείχνει ότι “περίπου όµοιες αιτίεςαπαιτούν σχεδόν τον ίδιο χρόνο για να προκαλέσουν περίπου τα ίδια αποτελέσµατα”.

Υπάρχουν δύο ορισµοί για την µέτρηση του χρόνου, ο χρόνος που προκύπτει από τηνεπαναληψιµότητα τοπικών φαινοµένων και ο χρόνος που προκύπτει από τη δυναµικήτου Νεύτωνα. Είναι όµως αυτές οι δύο προσεγγίσεις ισοδύναµες; Μέχρι την αρχή του20ου αιώνα ήταν αποδεκτή η άποψη ότι οι δύο προσεγγίσεις οδηγούν σεαναπαραστάσεις του ίδιου απόλυτου χρόνου. Οµως, σύµφωνα µε τη Γενική Θεωρίατης Σχετικότητας, µόνο ο τοπικός χρόνος µπορεί να µετρηθεί άµεσα µε έναχρονόµετρο. Με άλλα λόγια το µέγεθος που µετριέται είναι ο ιδιοχρόνος (proper time)του χρονοµέτρου ή του παρατηρητή. Από την άλλη πλευρά, το µέγεθος που κάνει τιςεξισώσεις της κίνησης πιο απλές σε µια περιοχή του χώρου είναι µια συντεταγµένηχρόνου που επιλέγεται ακριβώς για την ιδιότητα της να απλοποιεί τις εξισώσεις καιδεν έχει κανένα ιδιαίτερο φυσικό νόηµα. Αυτό το µέγεθος λέγεται συντεταγµένοςχρόνος (coordinate time).

Εποµένως, η µέτρηση του χρόνου έχει ως σκοπό τη δηµιουργία αναπαραστάσεων :

• για την µονάδα ιδιοχρόνου που χρησιµοποιείται από οποιονδήποτε παρατηρητήγια τα τοπικά πειράµατα και παρατηρήσεις

• για τους διάφορους συντεταγµένους χρόνους που είναι χρήσιµοι στην µελέτησυµβάντων του χώρου.

Αφού υιοθετηθεί ένα δυναµικό µοντέλο που να είναι ικανοποιητικό, η µέτρηση τουχρόνου µπορεί να βασιστεί είτε σε τοπικές µετρήσεις ιδιοχρόνου είτε σε πειραµατικόπροσδιορισµό ενός συντεταγµένου χρόνου.

26

Το επαναλαµβανόµενο φαινόµενο που λαµβάνεται ως πρότυπο πρέπει να ορίζεται µετέτοιο τρόπο που η διάρκειά του να θεωρείται ιδεατά σταθερή. Αυτό σηµαίνει ότι θαπρέπει να είµαστε σε θέση να καθορίσουµε τις ίδιες αιτίες ή αλλιώς ότι θα µπορούµενα ελαχιστοποιήσουµε οποιαδήποτε αιτία θα µπορούσε να προκαλέσει διαταραχή.

Το πρότυπο φαινόµενο, στην επαναληψιµότητα του οποίου βασίστηκαν οι πρώτεςκλίµακες χρόνου, ήταν η περιστροφή της Γης. Στην συνέχεια, αφού διαπιστώθηκε ότιη περιστροφή της Γης δεν γίνεται µε απολύτως σταθερή ταχύτητα, οι κλίµακες χρόνουβασίστηκαν στην συµπεριφορά ατόµων.

4.2 Αστρικός Χρόνος

Ο Αστρικός Χρόνος είναι µια άµεση µέτρηση της ηµερήσιας περιστροφής της Γης.Ισες γωνίες στροφής ισοδυναµούν µε ίσα διαστήµατα Αστρικού Χρόνου, έτσι ώστε οΑστρικός Χρόνος να αντανακλά την πραγµατική περιστροφή της Γης και να µπορεί ναπροσδιοριστεί από παρατηρήσεις ουράνιων σωµάτων.

Ο προσδιορισµός του χρόνου από την παρατήρηση της καθηµερινής περιστροφής τηςουράνιας σφαίρας έχει αντιστοιχία µε την ανάγνωση ενός κοινού ρολογιού. Η ουράνιασφαίρα αντιπροσωπεύει την πλάκα του ρολογιού, ενώ τα διάφορα άστρα αντιστοιχούνστις χαραγµένες υποδιαιρέσεις του κύκλου. Ο δείκτης του ρολογιού είναι οαστρονοµικός µεσηµβρινός του τόπου, που αλλάζει συνεχώς θέση πάνω στην ουράνιασφαίρα καθώς παρασύρεται από την περιστροφή της Γης. Μπορεί κανείς να διαβάσειαυτό το ουράνιο ρολόι παρατηρώντας κάθε στιγµή ποια άστρα περνούν από τονµεσηµβρινό. Το σύστηµα του χρόνου που προσδιορίζεται µε τον τρόπο αυτό είναι οΑστρικός Χρόνος.

Ο τοπικός αστρικός χρόνος θο (Local Sidereal Time LST) ορίζεται από το εαρινόισηµερινό σηµείο και τον αστρονοµικό µεσηµβρινό του τόπου. Κάθε στιγµή, ηαριθµητική του τιµή είναι ίση µε την ωριαία γωνία του σηµείου . Όταν η ωριαίαγωνία του αναφέρεται στον µεσηµβρινό του Greenwich, ο χρόνος που προκύπτειλέγεται αστρικός χρόνος Greenwich θ (Greenwich Sidereal Time GST).

Η βασική µονάδα µέτρησης του αστρικού χρόνου είναι η µέση αστρική ηµέρα (MeanSidereal Day), που είναι το χρονικό διάστηµα που χρειάζεται για να αυξηθεί η τιµήτου µέσου αστρικού χρόνου Greenwich κατά 24h. Η αστρική ηµέρα χωρίζεται σε 24αστρικές ώρες, κάθε ώρα σε 60 λεπτά και κάθε λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα. Η µέσηαστρική ηµέρα είναι περίπου 8msec µικρότερη από την διάρκεια µιας πλήρουςπεριστροφής της Γης ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς εξ αιτίας τηςκίνησης του στον Ισηµερινό (λόγω της µετάπτωσης – βλέπε επόµενο κεφάλαιο).

Από τον ορισµό της ορθής αναφοράς ενός άστρου προκύπτει πως όταν ένα άστροπερνά από τον µεσηµβρινό (άνω µεσουράνηση), εκείνη τη στιγµή η ωριαία γωνία του

είναι όση η ορθή αναφορά α του άστρου. Εποµένως, µπορούµε εύκολα ναπροσδιορίσουµε τον τοπικό αστρικό χρόνο παρατηρώντας τις µεσηµβρινές διαβάσειςάστρων µε γνωστή ορθή αναφορά.

Είναι όµως χρήσιµο να αναζητήσουµε την γενικότερη συσχέτιση του αστρικού χρόνουµε την ωριαία γωνία ενός άστρου σε τυχαία θέση της τροχιάς του. Για τον σκοπό αυτό,

27

θα χρησιµοποιήσουµε την ορθή προβολή της ουράνιας σφαίρας στο επίπεδο τουουράνιου Ισηµερινού, όπως στο σχήµα 4.1.

Σχήµα 4.1

Από το σχήµα 4.1 βλέπουµε πως όταν ένα άστρο Σ (που έχει ορθή αναφορά α)µεσουρανεί στον µεσηµβρινό του Greenwich, στον τόπο παρατήρησης Τ έχει ωριαίαγωνία ίση µε το µήκος Λ του τόπου. Γενικότερα, εποµένως, όταν στο Greenwich ηωριαία γωνία του άστρου είναι hG, την ίδια στιγµή στον τόπο Τ η ωριαία γωνία τουάστρου είναι h = hG + Λ. Αν, αντί ενός άστρου, αναφερθούµε στο σηµείο , προκύπτειπως ο τοπικός αστρικός χρόνος θ0 είναι ίσος µε θ + Λ , όπου θ ο αστρικός χρόνοςGreenwich. Από το ίδιο σχήµα είναι προφανές ότι, σε οποιοδήποτε τόπο, ένα άστροέχει ωριαία γωνία h = θ0 – α. Συνδυάζοντας όλα τα παραπάνω, προκύπτει η γενικήσχέση:

h = θ + Λ - α

Αρχικά ο Αστρικός Χρόνος προσδιοριζόταν από παρατηρήσεις µεσουράνησηςουράνιων σωµάτων. Παρατηρήσεις της ηµερήσιας κίνησης των άστρων παρέχουν µιαάµεση µέτρηση του Αστρικού Χρόνου, αφού οι ορθές αναφορές µετρώνται από τοσηµείο . Η αναγωγή αυτών των παρατηρήσεων βασιζόταν στην ωριαία γωνία τουσηµείου µηδεν της ορθής αναφοράς του καταλόγου των άστρων. Σήµερα ο Αστρικός

28

Χρόνος προσδιορίζεται µε µεγαλύτερη ακρίβεια από παρατηρήσεις VLBI. Μπορείεπίσης να προσδιοριστεί µε µετρήσεις LLR και SLR.

4.3 Παγκόσµιος ΧρόνοςΠαρόλο που ο αστρικός χρόνος µπορεί να προσδιοριστεί γρήγορα και µε αρκετήακρίβεια, υπάρχει η πρακτική αναγκαιότητα για ένα σύστηµα χρόνου που νασυµβαδίζει µε την εναλλαγή ηµέρας και νύχτας, να συµφωνεί δηλαδή µε τηνκαθηµερινή κίνηση του Ήλιου. Έτσι καθιερώθηκε ο Παγκόσµιος Χρόνος (UniversalTime) που ιστορικά βασίστηκε στη µέση κίνηση του Ήλιου αλλά σήµερα ορίζεται απότον αστρικό χρόνο, που προσδιορίζεται από παρατηρήσεις.

Ο Παγκόσµιος Χρόνος συνδέεται απευθείας µε τον (µέσο) Αστρικό Χρόνο Greenwichθ µέσω µιας συµβατικής µαθηµατικής σχέσης. Η σχέση αυτή (από την 1η Ιανουαρίου1984) είναι η ακόλουθη :

11 2 19 318 41 50 .54841 86636 .5553679051 6 .9789147 10 1 .272 10h m s s s sd d dθ − −= + + ⋅ − ⋅

όπου d είναι το διάστηµα σε µέρες από τις 12h UT1 της 1ης Ιανουαρίου 2000.

Αν υπολογίσουµε πόσο µεταβάλλεται ο µέσος αστρικός χρόνος Greenwich θ για δύοτιµές του d που να διαφέρουν ακριβώς µια ακέραια µονάδα, το χρονικό διάστηµα πουχρειάζεται για να αυξηθεί ο θ κατά το ποσό αυτό λέγεται µέση ηλιακή ηµέρα (meansolar day) και χωρίζεται σε 24 ηλιακές ώρες, κάθε ώρα σε 60 ηλιακά λεπτά και κάθελεπτό σε 60 ηλιακά δευτερόλεπτα. Με άλλα λόγια, η µέση ηλιακή ηµέρα (που έχει86400 ηλιακά δευτερόλεπτα) είναι το χρονικό διάστηµα ανάµεσα σε δύο διαδοχικέςστιγµές 0h UT1, όπως υπολογίζονται από τον παραπάνω τύπο.

Στην κλίµακα του Παγκόσµιου χρόνου αναφέρονται και οι συµβατικές ηµεροµηνίες.Κάθε ηµερολογιακή ηµέρα αρχίζει τα µεσάνυχτα (0h UT1) και τελειώνει τα επόµεναµεσάνυχτα (24h UT1). Επειδή ο προσδιορισµός χρονικών διαστηµάτων µε τοσυµβατικό ηµερολόγιο δεν είναι καθόλου πρακτικός στους υπολογισµούς, έχεικαθιερωθεί ένα σύστηµα συνεχούς αρίθµησης των ηµερών, από µεσηµέρι σεµεσηµέρι, αρχίζοντας από µια µακρινή ηµεροµηνία στο παρελθόν. Ο “αύξων αριθµός”κάθε ηµέρας στο σύστηµα αυτό λέγεται Αριθµός Ιουλιανής Ηµέρας ή ΙουλιανήΗµεροµηνία (Julian Day Number ή Julian Date) και είχε την τιµή 1 το µεσηµέρι(12h UT) της 1ης Ιανουαρίου του 4713 π.Χ. Ο προσδιορισµός του αριθµού Ιουλιανήςηµέρας γίνεται µε ειδικούς αλγορίθµους (βλέπε «Αστρονοµικούς Πίνακες»). Η Ιουλιανήηµεροµηνία µετριέται από το µεσηµέρι κάθε µέρας, εποµένως έχει δεκαδικό µέροςίσο µε 0.5 + UT/24h. Για παράδειγµα, η Ιουλιανή ηµεροµηνία στις 18h UT της 21ηςΜαρτίου 2006 είναι: JD 2453816.25000

Για να αποφύγουµε τη χρήση πολύ µεγάλων αριθµών χρησιµοποιούµε ακόµα και τηνΤροποποιηµένη Ιουλιανή ηµεροµηνία (Modified Julian Date) που είναι:

MJD = JD - 2400000.5

Σε οποιαδήποτε στιγµή, ο Παγκόσµιος Χρόνος µπορεί να προσδιοριστεί απόπαρατηρήσεις της ηµερήσιας κίνησης των άστρων. Αυτή η αρχική και ανεπεξέργαστηκλίµακα µέτρησης χρόνου, η οποία εξαρτάται από την θέση παρατήρησης, ονοµάζεταιUT0. Εάν αυτή η αρχική κλίµακα διορθωθεί για την κίνηση του πόλου προκύπτει ο

29

χρόνος UT1, ο οποίος είναι ανεξάρτητος από την περιοχή παρατήρησης αλλάεπηρεάζεται από την µεταβαλλόµενη περιστροφή της Γης.

Η παραπάνω σχέση, που συνδέει τον Αστρικό µε τον Παγκόσµιο Χρόνο, ιστορικάθεωρείτο ως ορισµός του Παγκόσµιου Χρόνου διότι, όταν δηµιουργήθηκε, οκαλύτερος τρόπος για τον υπολογισµό του UT1 ήταν οι παρατηρήσεις άστρων.

Σύµφωνα µε το σύγχρονο ορισµό, ο χρόνος UT1 πρέπει να πληροί τις ακόλουθεςπροϋποθέσεις :1. να είναι ανάλογος της γωνίας περιστροφής της Γης γύρω από την αληθή θέση του

άξονα περιστροφής,2. ο ρυθµός του UT1 επιλέγεται έτσι ώστε η διάρκεια µιας ηµέρας UT1 να προσεγγίζει

όσο το δυνατό περισσότερο τη διάρκεια της µέσης ηλιακής µέρας,3. η φάση του UT1 επιλέγεται έτσι ώστε η στιγµή 12h UT1 να αντιστοιχεί περίπου στη

στιγµή που ο Ήλιος µεσουρανεί στο µεσηµβρινό του Greenwich.

Στα µέσα του 20ου αιώνα επιβεβαιώθηκε η µη οµαλή περιστροφή της Γης και γι’ αυτόεγκαταλείφθηκε ο ορισµός του δευτερολέπτου ως το 1/86400 της µέσης ηλιακήςµέρας. Τόσο ο Αστρικός όσο και ο Παγκόσµιος Χρόνος UT1 επηρεάζονται από τηνασταθή περιστροφή της Γης, γι’ αυτό και τα µήκη των αστρικών και των δευτερο-λέπτων UT1 δεν είναι σταθερά όταν εκφράζονται σε µια οµοιόµορφη κλίµακα χρόνου.

Από τον τύπο ορισµού του Παγκόσµιου Χρόνου προκύπτει ότι η µέση ηλιακή ηµέραπεριέχει 86636.5553679051 αστρικά δευτερόλεπτα (παραβλέποντας όρους ανώτερηςτάξης), εποµένως ο λόγος της µέσης ηλιακής προς τη µέση αστρική ηµέρα είναι ίσοςµε

Μπορούµε λοιπόν να εκφράσουµε διαστήµατα Παγκόσµιου Χρόνου στα αντίστοιχα τουΑστρικού Χρόνου πολλαπλασιάζοντας µε το λόγο αυτό και αντίστροφα.

Επειδή η αστρική ηµέρα έχει 86400 αστρικά δευτερόλεπτα, τα επιπλέον 236.555...δευτερόλεπτα που χρειάζονται για να συµπληρωθεί µια ηλιακή ηµέρα οφείλονται στονσυνδυασµό περιστροφής και περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο (σχήµα 4.2).

Σχήµα 4.2

86636.5553679051 1.0027379093507586400

f = ≈

30

Στην διάρκεια µιας πλήρους περιστροφής (αστρική ηµέρα) η Γη έχει µετακινηθείστην τροχιά της κατά µια περίπου µοίρα. Για να συµπληρώσει λοιπόν µια πλήρηπεριστροφή ως προς τον Ήλιο (ηλιακή ηµέρα) πρέπει να περιστραφεί σχεδόν µιαµοίρα ακόµη, για την οποία χρειάζεται περίπου 4 λεπτά.

Η µετατροπή των ενδείξεων των δύο κλιµάκων χρόνου γίνεται εύκολα, µε την βοήθειατου λόγου ƒ των µονάδων µέτρησης και της αντιστοιχίας σε κάποια γνωστή χρονικήστιγµή, όπως είναι η στιγµή 0h UT κάθε µέρας.

Όπως φαίνεται και στο παραπάνω διάγραµµα, η χρονική στιγµή UT ΠαγκόσµιουΧρόνου και η αντίστοιχη στιγµή θ µέσου αστρικού χρόνου Greenwich συνδέονται µετην σχέση:

θ = θ0h UT + UT · ƒ

Με την σχέση αυτή µπορεί να γίνει µετατροπή Παγκόσµιου χρόνου σε αστρικό καιαντίστροφα.

4.4 Κλίµακες οµοιόµορφου χρόνου

Όταν επιβεβαιώθηκε η µη οµαλή περιστροφή της Γης, προέκυψε η ανάγκη ορισµούκλιµάκων χρόνου που να είναι ανεξάρτητες από την περιστροφή της Γης και να έχουνσταθερό µέτρο.

Ως µονάδα των κλιµάκων χρόνου σταθερού µέτρου χρησιµοποιείται το δευτερόλεπτοτου συστήµατος SI, το οποίο σήµερα ορίζεται ως ακολούθως:

Το δευτερόλεπτο ορίζεται ως η διάρκεια 9192631770 περιόδων της ακτινοβολίαςπου αντιστοιχεί στην µετάπτωση µεταξύ των δύο επιπέδων υπέρλεπτης υφής τηςβασικής στάθµης του ατόµου του καισίου 133.

Από τη στιγµή που ο ορισµός αναφέρεται σε ένα παρατηρήσιµο φαινόµενο, µπορεί ναεφαρµοστεί σε κάθε σύστηµα αναφοράς. Έτσι κλίµακες χρόνου που βασίζονται στοδευτερόλεπτο του SI µπορούν να υλοποιηθούν στην επιφάνεια της Γης ή σε άλλαουράνια σώµατα, σε διαστηµόπλοια ή σε θεωρητικού ενδιαφέροντος µέρη, όπως τοβαρύκεντρο του ηλιακού συστήµατος.

31

4.5 Ατοµικός Xρόνος

Ο ∆ιεθνής Ατοµικός Χρόνος (Τemps Αtomique Ιnternational) είναι µια πρακτικήκλίµακα χρόνου που βασίζεται όσο το δυνατόν καλύτερα στον ορισµό τουδευτερολέπτου SI. Εκπληρώνει τις απαιτήσεις σε ακρίβεια, µακροπρόθεσµη σταθερό-τητα και αξιοπιστία. Το δευτερόλεπτο SI και ο ΤΑΙ χρησιµοποιούνται ως βάση γιαπαρεµβολή και πρόβλεψη σε άλλες κλίµακες χρόνου.

Ο ΤΑΙ είναι µία συντονισµένη κλίµακα χρόνου που έχει ως µονάδα της τοδευτερόλεπτο SI στο γεωειδές. Ο όρος «συντονισµένη κλίµακα» σηµαίνει µια κλίµακαχρόνου κατασκευασµένη από ένα κατάλληλο συνδυασµό πολλών κλιµάκων χρόνου,που υλοποιούνται από διάφορες συσκευές. Ο ΤΑΙ προκύπτει από την ανάγνωσηπολλών ατοµικών χρονοµέτρων, κατανεµηµένων σε όλη τη Γη, µέσω µιαςσυγκεκριµένης στατιστικής διαδικασίας, αφού αφαιρεθουν οι συστηµατικές διαφορέςαναµεσά τους. Ακριβέστερα, ο υπολογισµός του ΤΑΙ γίνεται συνδυάζοντας δεδοµένααπό όλα τα χρονόµετρα ακριβείας (πρότυπα χρονόµετρα καισίου ή MASERΥδρογόνου) που συµµετέχουν στην υλοποίησή του. Η διαθεσιµότητα, η αξιοπιστία καιη βραχυπρόθεσµη σταθερότητα του ΤΑΙ εξασφαλίζονται από έναν µεγάλο αριθµόεµπορικών χρονοµέτρων, ενώ η ακρίβεια και η µακροπρόθεσµη σταθερότηταπαρέχονται από εργαστηριακά χρονόµετρα καισίου και MASER Υδρογόνου.

Ο χρόνος ΤΑΙ µπορεί να επεκταθεί σε οποιοδήποτε σταθερό ή κινούµενο σηµείοκοντά στο γεωειδές εφαρµόζοντας τις διορθώσεις της Γενικής Θεωρίας τηςΣχετικότητας (διορθώσεις για τις διαφορές στο βαρυτικό δυναµικό, για την ταχύτητακαι για την περιστροφή της Γης).

4.6 Συντονισµένος Παγκόσµιος Χρόνος

Από την 1η Ιανουαρίου 1972 τέθηκε σε ισχύ ο Συντονισµένος Παγκόσµιος Χρόνος(Universal Time Coordinated), ο οποίος διαφέρει από τον ΤΑΙ κατά ένα ακέραιοαριθµό δευτερολέπτων. Πιο συγκεκριµένα, ο χρόνος UTC πρέπει να πληροί τιςακόλουθες προυποθέσεις :

secTAI UTC n− = , όπου n ακέραιος αριθµός και 1 0.9secUT UTC− ≤

Ο χρόνος UTC υπολογίζεται από τον Ατοµικό Χρόνο ΤΑΙ µέσω της σχέσης :

(10UTC TAI= − + εµβόλιµα δευτερόλεπτα)

Εξαιτίας της αιώνιας επιβράδυνσης της περιστροφής της Γης, η κλίµακα UTCσυντηρείται µε την εισαγωγή ενός ακέραιου εµβόλιµου δευτερολέπτου (leap second)όποτε απαιτείται. Επιφορτισµένη µε την απόφαση για την εισαγωγή εµβόλιµωνδευτερολέπτων και την ανακοίνωσή τους είναι η ∆ιεθνής Υπηρεσία για τηνΠεριστροφή της Γης (International Earth Rotation Service).

Στο σχήµα 4.3 φαίνεται η πορεία της διαφοράς TAI – UT1, καθώς και η πορεία τουUTC, για το χρονικό διάστηµα 1972 – 2000.

32

Σχήµα 4.3

Η ακριβής τιµή της διαφοράς UT1 - UTC βρίσκεται µε ανάλυση διαφόρων παρατηρή-σεων και δηµοσιεύεται στο ειδικό δελτίο (Bulletin A) του IERS. Μια προσεγγιστικήτιµή της διαφοράς, που συµβολίζεται µε DUT και έχει ακρίβεια δύο εκατοστών τουδευτερολέπτου, εκπέµπεται κωδικοποιηµένη στα σήµατα των ειδικών ραδιοσταθµώνπου διανέµουν το χρόνο UTC. Τα σήµατα αυτά εξυπηρετούν τον συγχρονισµό τωνχρονοµέτρων για τις διάφορες παρατηρήσεις. Όπου απαιτείται ακρίβεια χρόνουκαλύτερη από δέκατο του δευτερολέπτου, χρησιµοποιούνται τα σήµατα χρόνου τωνδορυφόρων του Global Positioning System (GPS), οι οποίοι διαθέτουν ατοµικάρολόγια και υλοποιούν την κλίµακα του GPS time, που έχει σταθερή διαφορά απότον ατοµικό χρόνο ΤΑΙ ακριβώς 19sec. Με την βοήθεια του GPS µπορεί να επιτευχθείσήµερα ακρίβεια συγχρονισµού καλύτερη από 1 µsec (10-6 sec).

Ο Συντονισµένος Παγκόσµιος Χρόνος UTC συµβαδίζει µε τον παραδοσιακό ηλιακόχρόνο στον µεσηµβρινό του Greenwich. Για να διατηρηθεί αυτή η συµφωνία και σεάλλα µέρη, η Γη έχει χωριστεί σε 24 ζώνες, µε πλάτος 15° γεωγραφικού µήκους ηκάθε µια, και σε κάθε ζώνη ισχύει ο Πολιτικός Χρόνος ή Χρόνος ζώνης (ZoneTime) που διαφέρει από τον UTC ένα ακέραιο αριθµό ωρών. Για παράδειγµα, ηΕλλάδα έχει Χρόνο Ζώνης UTC+ 2h, ενώ η θερινή ώρα Ελλάδας είναι UTC+ 3h.

33

4.7 Σχετικιστικές κλίµακες χρόνου

Η µέτρηση του χρόνου είναι η πιο ακριβής µέτρηση που µπορούµε να κάνουµεσήµερα. Στους ορισµούς κλιµάκων χρόνου πρέπει να εισαχθούν έννοιες της ΓενικήςΘεωρίας της Σχετικότητας γιατί το σφάλµα του καλύτερου χρονοµέτρου σήµερα είναιµικρότερο από το µέγεθος των κύριων διορθωτικών όρων της Γενικής Θεωρίας τηςΣχετικότητας.

Στη νευτώνεια µηχανική ο χρόνος είναι απόλυτος. Θεωρείται µοναδικός καιοµοιόµορφος παντού, ενώ το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο γεγονότων θεωρείταισταθερό σε οποιοδήποτε σύστηµα αναφοράς και αν χρησιµοποιείται για τη µέτρηση.

Στη Γενική Σχετικότητα ο χώρος και ο χρόνος αποτελούν µια γεωµετρική οντότητα καιδεν µπορούν να διαχωριστούν µεταξύ τους. Ακόµη η παρουσία µαζών επηρεάζει τοχωροχρόνο και οδηγεί σε προβλήµατα στον ορισµό συστηµάτων χρόνου. Το βαρυτικόπεδίο ή η σχετική κίνηση µεταξύ ενός ζεύγους χρονοµέτρων που βρίσκονται σεδιαφορετικές τοποθεσίες προκαλεί µια διαφορά στις αναγνώσεις τους.

Ο ιδιοχρόνος του παρατηρητή είναι ο τοπικός χρόνος ο οποίος µπορεί να µετρηθείάµεσα µε ένα χρονόµετρο. Από την άλλη πλευρά, ο συντεταγµένος χρόνος είναι έναµέγεθος που κάνει τις εξισώσεις της κίνησης πιο απλές σε µια περιοχή του χώρου καιδεν έχει κανένα φυσικό νόηµα.

Η έννοια του ιδιοχρόνου είναι τοπική, εποµένως µπορούν να οριστούν τόσοιιδιοχρόνοι όσοι και χρονόµετρα και κανένας από αυτούς δεν παρουσιάζει ιδιαίτεροπλεονέκτηµα. Όµως δεν µπορούµε να συγκρίνουµε άµεσα δύο διαφορετικούςιδιοχρόνους διότι δεν υπάρχει κοινή περιοχή στην οποία να ισχύουν και οι δύο.

Η ιδέα του συντεταγµένου χρόνου προέρχεται από τη θεώρηση του χρόνου ωςσχετιζόµενου µε µια από τις τέσσερις συντεταγµένες που περιγράφουν τον χωροχρόνο.Έτσι υπάρχουν τόσοι συντεταγµένοι χρόνοι όσοι και συστήµατα συντεταγµένων.

Όπως ένα σύστηµα συντεταγµένων είναι ένα εργαλείο φτιαγµένο από τον άνθρωπο µεσκοπό την περιγραφή του χώρου γύρω του, έτσι και ο συντεταγµένος χρόνος, ωςµέρος του συστήµατος συντεταγµένων, είναι επίσης ένα εργαλείο και δεν έχει φυσικήυπόσταση.

Συνήθως ο συντεταγµένος χρόνος ορίζεται ως ο ιδιοχρόνος ενός πρότυπου χρονο-µέτρου που ηρεµεί στην αφετηρία του συστήµατος συντεταγµένων. Για παράδειγµα, οσυντεταγµένος χρόνος ενός γεωκεντρικού συστήµατος συντεταγµένων ορίζεται ως οιδιοχρόνος ενός χρονοµέτρου που ηρεµεί στο γεώκεντρο, όταν αγνοείται η βαρυτικήεπίδραση της Γης.

Η παγκόσµια χρήση ενός υλοποιήσιµου γεωκεντρικού συντεταγµένου χρόνου πουβασίζεται στον ορισµό του δευτερολέπτου του ιδιοχρόνου και επίσης η υιοθέτηση ενόςκοινώς αποδεκτού τανυστή είναι χρήσιµη γιατί:

• Παρέχει µια βάση για συγχρονισµό των χρονοµέτρων που βρίσκονται στη Γη καιστο κοντινό της περιβάλλον,

• Παρέχει τον συντεταγµένο χρόνο που, όταν σχετίζεται µε τις κατάλληλες χωρικέςσυντεταγµένες, επιτρέπει την περιγραφή των τροχιακών κινήσεων.

34

• Μέσω ενός τετραδιάστατου µετασχηµατισµού παρέχει µια πρακτική υλοποίησηάλλων συντεταγµένων χρόνων, όπως του βαρυκεντρικού συντεταγµένου χρόνουπου χρησιµοποιείται για τον υπολογισµό των τροχιών των πλανητών,

• Μέσω των κατάλληλων µετασχηµατισµών παρέχει τον τοπικό ιδιοχρόνο και τοδευτερόλεπτο SI (ιδιο-δευτερόλεπτο) που πρέπει να χρησιµοποιούνται για τοπικεςµετρήσεις.

4.8 ∆υναµικός χρόνος

Ο ∆υναµικός Χρόνος (Dynamical Time) αντιπροσωπεύει την ανεξάρτητη µεταβλητήστις εξισώσεις κίνησης των σωµάτων του ηλιακού συστήµατος. Σύµφωνα µε τηνΘεωρία της Σχετικότητας, αυτή η ανεξάρτητη µεταβλητή εξαρτάται από το σύστηµασυντεταγµένων που χρησιµοποιείται. Στη σύγχρονη πρακτική, οι εξισώσεις κίνησηςσυχνά αναφέρονται στο βαρύκεντρο του ηλιακού συστήµατος.

Η ανεξάρτητη µεταβλητή µιας γεωκεντρικής εφηµερίδας είναι ο γήινος δυναµικόςχρόνος. Για µια δοσµένη σχετικιστική θεωρία υπάρχει ένας µετασχηµατισµός µεταξύτης βαρυκεντρικής και της γήινης δυναµικής κλίµακας χρόνου. Οι αυθαίρετεςσταθερές του µετασχηµατισµού µπορούν να επιλεχθούν έτσι ώστε οι κλίµακες χρόνουνα έχουν µόνο περιοδικές µεταβολές η µία ως προς την άλλη.

Από τη στιγµή που ο µετασχηµατισµός µεταξύ των βαρυκεντρικών και τωνγεωκεντρικών κλιµάκων χρόνου εξαρτώνται από τη θεωρία, οι δύο τύποι κλιµάκων δενείναι δυνατόν να είναι µοναδικοί. Έτσι, επιλέχθηκε µια µοναδική δυναµική κλίµακαχρόνου για τις γεωκεντρικές εφηµερίδες, ενώ οι δυναµικές κλίµακες χρόνου για τιςβαρυκεντρικές εφηµερίδες εξαρτώνται από τη θεωρία.

Ο Χρόνος Εφηµερίδων (Ephemeris Time) αποτέλεσε την πρώτη υλοποίηση δυναµι-κού χρόνου βασισµένου στην τροχιακή κίνηση της Γης. Ο χρόνος ΕΤ ορίζεται από τηνυιοθέτηση µιας εφηµερίδας του Ήλιου στο συµβατικό σύστηµα αναφοράς που ορίζεταιαπό την εκλειπτική και το µέσο Εαρινό Ισηµερινό σηµείο.

Ο ∆υναµικός Χρόνος ορίστηκε το 1976 σύµφωνα µε τις ακόλουθες αρχές :

1. Τη χρονική στιγµή 00 00 00h m sTAI της 1ης Ιανουαρίου 1977, η τιµή της νέαςκλίµακας χρόνου για τη γεωκεντρική εφηµερίδα (Γεωκεντρικός ∆υναµικόςΧρόνος – Terrestrial Dynamical Time) θα είναι 01 00 00 32 .184d h m s ακριβώς.

2. Η µονάδα αυτής της κλίµακας χρόνου θα είναι η ηµέρα των 86400δευτερολέπτων SI, όπως αυτά µετρώνται στην µέση στάθµη της θάλασσας.

3. Οι κλίµακες χρόνου που χρησιµοποιούνται στις εξισώσεις κίνησης πουαναφέρονται στο βαρύκεντρο του ηλιακού συστήµατος και η κλίµακα χρόνουτης γεωκεντρικής εφηµερίδας πρέπει να έχουν µόνο περιοδικές µεταβολέςµεταξύ τους.

Ο Βαρυκεντρικός ∆υναµικός Χρόνος (Barycentric Dynamical Time TDB) είναι ηανεξάρτητη µεταβλητή των εξισώσεων κίνησης που αναφέρονται στο βαρύκεντρο τουηλιακού συστήµατος. Στην πράξη ο TDB προσδιορίζεται από τον TDT µέσω µιας

35

µαθηµατικής σχέσης. Αυτή η σχέση εξαρτάται από τις σταθερές, τις θέσεις και τιςκινήσεις των σωµάτων του ηλιακού συστήµατος και την βαρυτική θεωρία. Ηπροσεγγιστική σχέση που συνήθως χρησιµοποιείται για τον µετασχηµατισµό από τονTDT στον TDB είναι:

0 .001658sin 0 .000014sin 2s sTDB TDT g g= + +όπου 357 .53 0.9856003( 2451545.0)g JD= + −

Το 1991, όταν ορίστηκαν το βαρυκεντρικό και το γεωκεντρικό σύστηµα αναφοράς,ορίστηκαν επίσης ο Βαρυκεντρικός Συντεταγµένος Χρόνος (Barycentric CoordinateTime) και ο Γεωκεντρικός Συντεταγµένος Χρόνος (Geocentric Coordinate Time) για ναχρησιµοποιούνται µε τα αντίστοιχα συστήµατα, µε σκοπό να αντικαταστήσουν τιςκλίµακες TDT και TDB.

Οι χωροχρονικές συντεταγµένες ορίζονται µε τέτοιο τρόπο ώστε :

1. το βαρυκεντρικό και το γεωκεντρικό σύστηµα να µην περιστρέφονται ως προςµακρινά εξωγαλαξιακά αντικείµενα.

2. Ο συντεταγµένος χρόνος να προκύπτει από κλίµακα χρόνου που υλοποιείται µέσωατοµικών χρονοµέτρων που λειτουργούν στη Γη.

3. Οι βασικές µονάδες µέτρησης του χωροχρόνου σε όλα τα συστήµατα είναι τοδευτερόλεπτο του συστήµατος SI για τον ιδιοχρόνο και το µέτρο του SI για το ίδιοµήκος.

4. Οι συντεταγµένοι χρόνοι BCG και TCG έχουν τιµή 00 00 32 .184h m s ακριβώς, στις00 00 00h m sTAI την 1η Ιανουαρίου 1977, στο γεώκεντρο.

4.9 Γήινος Χρόνος

Η κλίµακα χρόνου που χρησιµοποιείται στις εξισώσεις κίνησης ως προς τοβαρύκεντρο του ηλιακού συστήµατος πρέπει να είναι τέτοια, ώστε µεταξύ αυτής τηςκλίµακας και της κλίµακας των γεωκεντρικών εφηµερίδων να υπάρχουν µόνοπεριοδικές µεταβολές. Όπως είδαµε, το 1979 στις προαναφερόµενες κλίµακες χρόνουδόθηκαν τα ονόµατα Γήινος ∆υναµικός Χρόνος TDT και Βαρυκεντρικός ∆υναµικόςΧρόνος TDB. Με βάση τους ορισµούς τους, η µονάδα του TDT είναι η ηµέρα των86400 SI δευτερολέπτων και συνεπώς ο TDT είναι µια ιδεατή µορφή του ΑτοµικούΧρόνου που καµία σχέση δεν έχει µε τις δυναµικές θεωρίες. Ετσι, το επίθετο«δυναµικός» στην ονοµασία του TDT είναι παραπλανητικό, διότι υπονοεί ότι ο χρόνοςδίνεται από τη δυναµική θεωρία. Σε µια προσπάθεια να αποφευχθούν οι ασάφειες,προτάθηκε να δοθεί στον χρόνο TDT το όνοµα Γήινος Χρόνος (Terrestrial Time) καιστον χρόνο TDB το όνοµα ΤΒ.

Ο Γήινος Χρόνος ΤΤ ορίζεται τώρα ως εξής:

1. ο χρόνος ΤΤ είναι ο χρόνος που χρησιµοποιείται στις γεωκεντρικές εφηµερίδες.

2. Ο χρόνος ΤΤ διαφέρει από τον χρόνο TCG κατά ένα σταθερό ρυθµό, ενώ ηµονάδα µέτρησής του είναι το δευτερόλεπτο του SI, όπως αυτό µετράται στογεωειδές.

36

3. Ο χρόνος ΤΤ είχε την τιµή 00 00 32 .184h m s στις 00 00 00h m sTAI της 1ης

Ιανουαρίου 1977.

Σύµφωνα µε τον αρχικό ορισµό του ΤΤ υπάρχει µια διαφορά µεταξύ του ΤΤ και τουΤΑΙ ίση µε 32.184 δευτερόλεπτα:

32.184TT TAI s= +

Στο σχήµα που ακολουθεί παρουσιάζεται η αλληλουχία και η διαφορά των κλιµάκωνοµοιόµορφου χρόνου, όπως ίσχυε την 1η Ιανουαρίου 2006.

14 sec 19 sec 32.184 sec

UTC µεταβλητό GPSTime σταθερό TAI σταθερό TT

Ανακεφαλαίωση Η ηµερήσια περιστροφή της Γης ορίζει την κλίµακα του αστρικού χρόνου. Η

µονάδα της κλίµακας αυτής είναι η µέση αστρική ηµέρα και περιέχει 86400αστρικά δευτερόλεπτα.

Ισοδύναµη κλίµακα χρόνου είναι ο Παγκόσµιος Χρόνος. Η µονάδα του UT είναι ηµέση ηλιακή µέρα, που έχει 86400 ηλιακά δευτερόλεπτα αλλά ισοδυναµεί µε86636.555.... αστρικά δευτερόλεπτα. Η µεγαλύτερη διάρκεια (κατά 4 περίπουλεπτά) οφείλεται στον συνδυασµό περιστροφής και περιφοράς της Γης γύρω απότον Ήλιο.

Οι κλίµακες αυτές ορίζονται µε την βοήθεια του εαρινού ισηµερινού σηµείου .Η µετακίνηση του εξ αιτίας της µετάπτωσης και της κλόνησης της Γηςεπηρεάζει τον αστρικό χρόνο.

Από την ιδιοσυχνότητα συντονισµού του ατόµου του καισίου ορίζεται τοδευτερόλεπτο SI, που δηµιουργεί την κλίµακα του Ατοµικού Χρόνου. Σε σχέση µεαυτήν, η κλίµακα του αστρικού χρόνου, συνεπώς και του Παγκόσµιου Χρόνου,παρουσιάζει πολλές µικροµεταβολές, που οφείλονται στις ανωµαλίες τηςπεριστροφής της Γης.

Ο Συντονισµένος Χρόνος UTC και ο Πολιτικός Χρόνος κάθε χώρας, που βασίζεταισ’ αυτόν, έχουν το σταθερό µέτρο του ατοµικού χρόνου (δευτερόλεπτο SI) αλλάπαρακολουθούν από κοντά την πορεία του Παγκόσµιου Χρόνου µε την εισαγωγήεµβόλιµων δευτερολέπτων, όταν χρειάζεται. Το ίδιο σταθερό µέτρο έχει και οΓήινος Χρόνος ΤΤ.

37

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ

5.1 Εισαγωγή

Οι κύριες κινήσεις της Γης είναι: μια τροχιακή κίνηση του κέντρου μάζας γύρω από τον Ήλιο και μια περιστροφική κίνηση γύρω από τον άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της Γης. Αυτές οι δύο κινήσεις, που καθορίζουν τα θεμελιώδη πλαίσια αναφοράς, διαταράσσονται από βαρυτικές επιδράσεις των άλλων μελών του ηλιακού συστήματος, ενώ η καθεμία επίσης διαταράσσει την άλλη.

Η κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο γίνεται κατά μήκος μιας ελλειπτικής τροχιάς (εκλειπτική), στην οποία βασίζεται ο ορισμός της αφετηρίας του ουρανογραφικού συστήματος. Το επίπεδο της εκλειπτικής μετακινείται ελαφρά λόγω των επιδράσεων των άλλων πλανητών (πλανητική μετάπτωση).

Η περιστροφική κίνηση της Γης μπορεί να αναλυθεί σε πέντε συνιστώσες:

1) μια ομαλή περιστροφή γύρω από τον άξονα

2) μια εξαναγκασμένη αιώνια κίνηση του άξονα (μετάπτωση)

3) περιοδικές κινήσεις του άξονα (κλόνηση)

4) την κίνηση του πόλου (κίνηση Euler ή κίνηση Chandler)

5) ακαθόριστες – ανώμαλες κινήσεις του άξονα

Εάν τα υπόλοιπα σώματα που προκαλούν τις διαταραχές δεν υπήρχαν και αν η Γη ήταν ένα συμμετρικό συμπαγές σώμα, η κίνηση της Γης (ως προς το κέντρο μάζας της) θα ήταν μια περιστροφή γύρω από έναν σταθερό άξονα στο χώρο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Στην πραγματικότητα, οι βαρυτικές αλληλεπιδράσεις και η δομή της Γης μεταβάλλουν αυτή την ιδεατή κίνηση και προκαλούν διαταραχές, τόσο στον προσανατολισμό του άξονα περιστροφής όσο και στη γωνιακή ταχύτητα. Οι μηχα-νισμοί που είναι υπεύθυνοι για αυτές τις διαταραχές είναι οι μεταβολές στην συνολική στροφορμή (λόγω των εξωτερικών ροπών) και οι μεταβολές στον τανυστή αδρανείας της Γης (λόγω παραμορφώσεων ή των ατμοσφαιρικών μετακινήσεων μεγάλης κλίμακας ή των κινήσεων εντός του πυρήνα).

Ο παράγοντας που επηρεάζει κυρίως την περιστροφή της Γης είναι η συνδυασμένη βαρυτική δύναμη από τον Ήλιο και τη Σελήνη (σεληνοηλιακή παλιρροιακή δύναμη). Λόγω της επιπλάτυνσης της Γης, αυτή η δύναμη ασκεί μια ροπή στη Γη, η οποία μεταβάλλεται ανάλογα με τη θέση της Σελήνης και του Ήλιου ως προς τη Γη. Επίσης προκαλεί παλίρροιες στους ωκεανούς και την ξηρά, λόγω της μή στερεής κατάστασης της Γης και έτσι παράγονται περιοδικές επίγειες παραμορφώσεις.

Οι διαταραχές στην περιστροφή της Γης γύρω από το κέντρο μάζας της μπορούν να περιγραφούν από μια αιώνια επιβράδυνση, από περιοδικές μεταβολές της γωνιακής ταχύτητας του άξονα περιστροφής, από την μετάπτωση και την κλόνηση του άξονα περιστροφής και από την κίνηση του άξονα περιστροφής ως προς το στερεό φλοιό της Γης, που ονομάζεται ημερήσια κίνηση του πόλου και αποτελεί μέρος του συνολικού φαινομένου της κίνησης του πόλου.

38

Η αιώνια επιβράδυνση, που είναι της τάξης των 2 msec/αιώνα για το μήκος της μέρας, οφείλεται στην απώλεια κινητικής ενέργειας της Γης, λόγω των τριβών των παλιρροιών στον στερεό φλοιό.

Οι περιοδικές μεταβολές στο ρυθμό περιστροφής, με μέγεθος της τάξης του 0.1msec, οφείλονται σε παλίρροιες που προκαλούν μια παραμόρφωση της Γης που αλλάζει την πολική ροπή αδράνειας της. Τα πλάτη τους εξαρτώνται από την ελαστικότητα της Γης και από την ύπαρξη των ωκεανών και του ρευστού πυρήνα στο εσωτερικό της Γης.

Μόνο η μετάπτωση δεν εξαρτάται από την εσωτερική δομή της Γης, ενώ η κλόνηση εξαρτάται από αυτή τη δομή.

5.2 Παράμετροι προσανατολισμού της Γης

Οι διαταραχές στην περιστροφή της Γης εκφράζονται με μια ομάδα παραμέτρων που λέγονται Παράμετροι προσανατολισμού της Γης (Earth Orientation Parameters) , , , , 1 p px y UTδψ δε −UTC p, όπου ,px y είναι οι επίγειες συντεταγμένες του

ουράνιου πόλου, ,δψ δε είναι οι χωρικές μεταθέσεις στο μήκος και τη λόξωση του ουράνιου πόλου ως προς την προβλεπόμενη θέση του από το μοντέλο κλόνησης και

είναι η διαφορά Παγκόσμιου Χρόνου και Συντονισμένου Παγκόσμιου Χρόνου. Στις επόμενες ενότητες θα περιγραφούν τα φαινόμενα με τα οποία σχετίζονται οι παράμετροι προσανατολισμού της Γης καθώς και οι επιπτώσεις των μεταβολών τους.

1UT UTC−

Ιστορικά, οι οπτικές αστρομετρικές μέθοδοι χρησιμοποιήθηκαν για να προσδιοριστεί το σχήμα και η στροφορμή της Γης στον 18ο αιώνα και τα κύρια στοιχεία των περιστροφικών μεταβολών, συμπεριλαμβανομένων της κίνησης του πόλου και της μεταβολής του ρυθμού περιστροφής στον 19ο αιώνα. Σήμερα χρησιμοποιούνται τεχνικές δορυφορικής γεωδαισίας όπως VLBI, SLR, LLR, GPS, από τις οποίες τα πιο ακριβή δεδομένα προέρχονται από το VLBI και SLR.

Ο προσδιορισμός της περιστροφής της Γης είναι μια περίπλοκη διαδικασία. Δεν παρατηρείται άμεσα αλλά εκτιμώνται οι παράμετροι του μοντέλου των έμμεσων παρατηρήσεων. Όλα τα συστήματα και οι τεχνικές παρατήρησης εξαρτώνται από την ύπαρξη παρατηρούμενων στόχων, η θέση των οποίων είναι γνωστή σε κάποιο πλαίσιο αναφοράς. Αυτοί οι στόχοι μπορεί να είναι είτε άστρα, είτε ραδιοπηγές, είτε τεχνητοί δορυφόροι είτε η Σελήνη. Οι παρατηρήσεις προς τα αντικείμενα αυτά χρησιμο-ποιούνται για τον υπολογισμό της κίνησης της Γης. Στη συνέχεια, από την κίνηση αυτή αφαιρούνται όλες οι προβλέψιμες κινήσεις (μετάπτωση, κλόνηση, τεκτονικές κινήσεις των μεγάλων «ηπειρωτικών» πλακών, παλίρροιες κλπ.). Η κίνηση που απομένει οφείλεται σε μεταβολές του χρόνου UT1-UTC και στην κίνηση του πόλου.

5.3 Μεταβολές της γωνιακής ταχύτητας της Γης Η γωνιακή ταχύτητα της Γης δεν παραμένει σταθερή. Έχουν διαπιστωθεί εποχιακές περιοδικές μεταβολές από διάφορα αίτια, μια αιώνια επιβράδυνση εξ αιτίας των παλιρροιών, καθώς και άλλες μικρότερες και ακανόνιστες μεταβολές.

39

Οι μεταβολές αυτές περιγράφονται από το Μήκος της Ημέρας (Length of the Day) που ορίζεται ως η διάρκεια της ηλιακής μέρας στην κλίμακα του ατομικού χρόνου.

Η μεταβολή του LOD από το 1650 έως σήμερα φαίνεται στο σχήμα 5.1, ενώ στο σχήμα 5.2 φαίνεται η μεταβολή του LOD από το 1975 ως το 2005.

Σχήμα 5.1

Σχήμα 5.2

40

Οι μεταβολές στο μήκος της ημέρας προέρχονται από μεγάλες ανακατανομές μάζας, την κίνηση στο εσωτερικό της Γης, τους ανέμους και τα ωκεάνια ρεύματα. Γενικά, σε κλίμακα χρόνου μερικών ετών και μεγαλύτερη, οι αλλαγές στην περιστροφή της Γης οφείλονται σε επιδράσεις από τον μανδύα και τον πυρήνα, ενώ σε μικρότερες κλίμακες χρόνου οι αλλαγές οφείλονται σε κλιματικές μεταβολές.

Οι μεταβολές στην περιστροφή της Γης μπορεί επίσης να οφείλονται είτε σε μεταβολές της στροφορμής λόγω της επίδρασης εξωτερικών ροπών (ηλιακές και σεληνιακές βαρυτικές ροπές στο Ισημερινό εξόγκωμα, παλίρροιες ξηράς και θάλασσας, άνεμοι), είτε σε μεταβολές του τανυστή αδράνειας (σεισμοί, μεταβολές της μέσης στάθμης της θάλασσας, ανακατανομές των αέριων μαζών) είτε σε εσωτερική ανακατανομή της στροφορμής (άνεμοι, αλληλεπιδράσεις του μανδύα και του πυρήνα). Οι βασικοί όροι που προκύπτουν από αρμονική ανάλυση των δεδομένων, καταδεικνύουν την ύπαρξη δύο όρων, με μια ετήσια και ημιετήσια περίοδο. Αυτοί οι όροι οφείλονται στη μεταβολή της στροφορμής της Γης που σχετίζεται με την κυκλοφορία των ανέμων.

5.4 Διαταραχές της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής της Γης

Οι διαταραχές της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής της Γης στον χώρο είναι η μετάπτωση (precession) και η κλόνηση (nutation). Η γνώση των φαινομένων αυτών είναι θεμελιώδους σημασίας γιατί ο άξονας περιστροφής της Γης αποτελεί την βασική διεύθυνση του ουρανογραφικού και του αστρονομικού συστήματος.

Η μετάπτωση και η κλόνηση του άξονα περιστροφής της Γης αποτελούν περίπτωση του γενικού φαινομένου της μετάπτωσης και κλόνησης, το οποίο εμφανίζεται ως το αποτέλεσμα ροπής που ενεργεί κάθετα προς την αρχική στροφορμή ενός σώματος.

Παράδειγμα του φαινομένου της μετάπτωσης έχουμε σε μια σβούρα που περιστρέ-φεται γύρω από τον άξονα συμμετρίας της, όταν αυτός σχηματίζει γωνία φ με την κατακόρυφη διεύθυνση (άξονας z στο σχήμα 5.3). Τότε, η ροπή Μ του ζεύγους δυνάμεων «βάρος σβούρας (mg) – αντίδραση επιπέδου (Ν)», κάθετα στην αρχική στροφορμή L, προκαλεί περιστροφή γύρω από τον άξονα z με γωνιακή ταχύτητα Ω.

Σχήμα 5.3

41

Η γωνία φ δεν μένει σταθερή κατά τη διάρκεια της μετάπτωσης αλλά μεταβάλλεται ανάμεσα σε δυο ακραίες τιμές. Η άκρη του διανύσματος L ταλαντώνεται ανάμεσα σε δύο κύκλους κάθετους στον άξονα z. Αυτή η ταλάντωση του άξονα ονομάζεται κλόνηση και η μορφή της φαίνεται στο σχήμα 5.4:

Σχήμα 5.4

Τα φαινόμενα αυτά εμφανίζονται και στην περιστροφή της Γης. Η μετάπτωση και η κλόνηση οφείλονται σε συνδυασμό ελκτικών δυνάμεων από τον Ήλιο και τη Σελήνη, οι οποίες προκαλούν ροπές κάθετες στην στροφορμή της Γης. Στην περίπτωση της γήινης κλόνησης όμως η γωνία φ (λόξωση της εκλειπτικής ε) δεν μεταβάλλεται ανάμεσα σε δυο σταθερές τιμές αλλά περισσότερο περίπλοκα, λόγω του συνδυασμού δυνάμεων που ασκούνται, λόγω του σχήματος της Γης που δεν είναι απόλυτα συμμετρικό, λόγω της εσωτερικής δομής της Γης και λόγω της ύπαρξης του ρευστού πυρήνα.

Το πεπλατυσμένο σχήμα της Γης και η κλίση του άξονα περιστροφής της ως προς το επίπεδο της εκλειπτικής δημιουργούν τις συνθήκες ώστε οι ελκτικές δυνάμεις του Ήλιου και της Σελήνης να προκαλούν την εμφάνιση μιας ροπής στη Γη που τείνει να στρέψει τον άξονά της ώστε να γίνει κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς. Επειδή όμως η Γη περιστρέφεται, το αποτέλεσμα αυτής της ροπής είναι η μετάπτωση, η μετατόπιση δηλαδή του άξονα περιστροφής της Γης στο χώρο έτσι ώστε να διαγράφει μια κωνική επιφάνεια γύρω από τον άξονα της εκλειπτικής (σχήμα 5.5), όπως θα έκανε ο άξονας μιας σβούρας. Η κίνηση αυτή είναι πολύ αργή, με μια περίοδο περίπου 25800 ετών. Η κίνηση αυτή μπορεί να αναλυθεί σε δυο διαφορετικά φαινόμενα. Το πρώτο είναι μια ομαλή κυκλική κίνηση του άξονα περιστροφής γύρω από τον άξονα της εκλειπτικής (μετάπτωση) και σε μια ταλάντωση του αληθούς άξονα γύρω από το μέσο άξονα (κλόνηση). Η ταλάντωση αυτή είναι σύνθεση πολλών αρμονικών όρων, από τους οποίους ο κυριότερος έχει πλάτος 9.2 δευτερόλεπτα τόξου και περίοδο 18.6 χρόνια.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η επίδραση της μετάπτωσης προσδιορίζεται από το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαφορετικών εποχών παρατήρησης, ενώ η επίδραση της κλόνησης υπολογίζεται από την τιμή των σχετικών όρων την στιγμή της παρατήρησης.

Η μαθηματική περιγραφή των φαινομένων αυτών και η διαδικασία υπολογισμού των επιδράσεών τους στις συντεταγμένες θα εξεταστεί στο επόμενο κεφάλαιο.

42

Σχήμα 5.5

Επειδή το ουρανογραφικό σύστημα βασίζεται στην διεύθυνση του άξονα περιστροφής της Γης, είναι φανερό ότι επηρεάζεται από την μετάπτωση και την κλόνηση. Ειδικότερα, η κίνηση του Ισημερινού προκαλεί μια σύνθετη στροφή του συστήματος και μια μετακίνηση του σημείου . Το σταθερό μέρος της κίνησης, που οφείλεται στην μετάπτωση, προσδιορίζει το μέσο ισημερινό σημείο , που είναι η τομή του μέσου ισημερινού και της εκλειπτικής και μετακινείται περίπου 50.3 δευτερόλεπτα τόξου τον χρόνο κατά την ανάδρομη φορά. Όταν προστεθεί και το περιοδικό μέρος της κίνησης, που οφείλεται στην κλόνηση, προσδιορίζεται το αληθινό ισημερινό σημείο

Τ, που είναι η τομή του αληθούς ισημερινού και της εκλειπτικής (σχήμα 5.6). Η διαφορά ανάμεσα στα σημεία και Τ, εκφρασμένη σε μονάδες χρόνου, λέγεται εξίσωση των ισημεριών (Equation of the equinox Eq.E). Κατά συνέπεια, διακρίνουμε μέσο (mean) και αληθή (true) αστρικό χρόνο, ανάλογα με το σημείο που αναφερόμαστε.

Σχήμα 5.6

43

Αντίστοιχα, οι ουρανογραφικές συντεταγμένες διακρίνονται σε μέσες συντεταγμένες, αν αναφέρονται σ’ ένα σύστημα που επηρεάζεται μόνο από την μετάπτωση, και σε αληθείς συντεταγμένες, αν αναφέρονται σε σύστημα που επηρεάζεται και από την κλόνηση.

5.5 Κίνηση του Πόλου

Η κίνηση του πόλου (polar motion) είναι η κίνηση του αληθούς ουράνιου πόλου (στιγμιαίου άξονα περιστροφής της Γης) ως προς ένα σημείο αναφοράς σταθερό στο φλοιό της Γης. Το σημείο αναφοράς συνήθως επιλέγεται να είναι κοντά στη μέση θέση του αληθούς πόλου. Οι απόλυτες γεωδαιτικές και οι αστρονομικές συντεταγμένες αναφέρονται στο σημείο αυτό, το οποίο καλείται Συμβατικός Πόλος. Η κίνηση του πόλου οφείλεται στις επιδράσεις των δυνάμεων που ασκούνται από τη Σελήνη και τον Ήλιο και σε γεωφυσικές διαδικασίες που λαμβάνουν χώρα στην ατμόσφαιρα, στους ωκεανούς και στο εσωτερικό της Γης.

Ο Chandler πρώτος έδειξε ότι η κίνηση αυτή αποτελείται από δύο βασικές συνιστώσες. Η μία είναι η περιστροφή του αληθούς πόλου γύρω από τον άξονα μέγιστης ροπής αδράνειας, κατά την ανάδρομη φορά όπως φαίνεται από τον Βορρά, με μια περίοδο περίπου 1.2 ετών και η άλλη είναι μια περιστροφή προς την ίδια διεύθυνση με μια ετήσια περίοδο. Σύμφωνα με το μοντέλο των Euler-Chandler, ο άξονας περιστροφής της Γης κινείται αφ’ ενός σχεδόν κυκλικά (ελεύθερη ταλάντωση του Chandler με περίοδο 1.2 χρόνια) ως προς το κέντρο μάζας της Γης και αφ’ ετέρου ελλειπτικά (εξαναγκασμένη ετήσια κίνηση). Ο Newcomb αναγνώρισε ότι η πρώτη κίνηση μπορούσε να εξηγηθεί από τις επιδράσεις της ελαστικής παραμόρφωσης της Γης και από την συνεπακόλουθη μετάθεση του άξονα μέγιστης ροπής αδράνειας. Η ακτίνα της κίνησης Chandler είναι περίπου 6 μέτρα.

Τα δεδομένα της Διεθνούς Υπηρεσίας Πλάτους (International Lattitude Service – σήμερα IERS) αποκαλύπτουν μια μετάθεση του πόλου από τη μέση θέση του, με περίοδο που μπορεί να θεωρηθεί ότι προσεγγίζει τα 70 χρόνια (σχήμα 5.7). Αυτή η αιώνια κίνηση υποστηρίζεται ότι προκαλείται από τον συνδυασμό της μεταβολής του τανυστή αδρανείας και των τεκτονικών διαδικασιών.

Η κίνηση του πόλου προκαλεί μεταβολή στα γήινα πλάτη και μήκη που προσδιορίζονται άμεσα από αστρονομικές και δορυφορικές παρατηρήσεις. Αυτές οι μεταβολές πλατών έγιναν η αφορμή για την ανίχνευση της κίνησης του πόλου και από αυτές προσδιορίζεται, σε αρκετές περιπτώσεις, η κίνηση του πόλου.

Για την περιγραφή της κίνησης του πόλου ορίζεται το ακόλουθο δεξιόστροφο σύστημα αναφοράς, με κέντρο την Διεθνή Συμβατική Αφετηρία (Conventional International Origin), που ορίζεται ως η μέση θέση του πόλου περιστροφής κατά την περίοδο 1900-1905: ο άξονας x έχει τη διεύθυνση του μεσημβρινού του Greenwich και ο άξονας y σχηματίζει γωνία 90º προς τα ανατολικά του άξονα x (σχήμα 5.7). Η Η θέση του γήινου πλαισίου ως προς τον αληθή Ισημερινό και το αληθές Εαρινό Ισημερινό σημείο της εποχής καθορίζεται μέσω διαδοχικών στροφών xp, yp και του Αστρικού Χρόνου Greenwich. Οι συντεταγμένες xp, yp ανήκουν στις παραμέτρους προσανατολισμού της Γης.

44

Σχήμα 5.7

Ανακεφαλαίωση Οι διαταραχές στις βασικές κινήσεις της Γης επηρεάζουν τα συστήματα αναφοράς θέσεων και χρόνου.

Ο ρυθμός περιστροφής της Γης δεν είναι σταθερός αλλά παρουσιάζει εποχιακές περιοδικές μεταβολές, μια αιώνια επιβράδυνση εξ αιτίας των παλιρροιών, καθώς και άλλες μικρότερες και ακανόνιστες μεταβολές

Ο άξονας περιστροφής της Γης μεταβάλλει τον προσανατολισμό του στον χώρο, με συνέπεια μια συνεχή στροφή του ουρανογραφικού συστήματος. Το ομαλό μέρος της μεταβολής αυτής είναι η μετάπτωση (συνάρτηση χρονικού διαστήματος) ενώ το περιοδικό μέρος της μεταβολής είναι η κλόνηση (συνάρτηση χρονικής στιγμής).

Η κίνηση του Πόλου είναι η ψευδο-περιοδική μετατόπιση της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ως προς τον στερεό φλοιό της Γης, με συνέπεια αντίστοιχη μεταβολή των αστρονομικών συντεταγμένων ενός τόπου.

45

6. ΑΝΑΓΩΓΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ

6.1 Εισαγωγή Ως τώρα έχουμε δεχθεί ότι οι ουρανογραφικές συντεταγμένες (α,δ) κάθε άστρου ή οι αστρονομικές συντεταγμένες (Λ,Φ) ενός συγκεκριμένου τόπου παραμένουν σταθερές, αναλλοίωτες με τον χρόνο. Στην πραγματικότητα, όμως, μια σειρά από κινήσεις και φαινόμενα, που είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη, προκαλούν μεταβολές στις τιμές των συντεταγμένων.

Οι μεταβολές αυτές μπορούν να οφείλονται σε τρεις διαφορετικές αιτίες:

1) Πραγματική αλλαγή θέσης (δηλαδή κίνηση) του αντικειμένου που παρατηρείται.

2) Μετατόπιση του συστήματος αναφοράς.

3) Φαινόμενα που οφείλονται στην σχετική κίνηση του παρατηρητή ως προς το αντικείμενο που παρατηρείται.

6.2 Ίδια κίνηση των άστρων Τα άστρα φαίνονται να κινούνται πολύ αργά σε συγκεκριμένες κατευθύνσεις στον ουρανό. Η μετατόπιση αυτή είναι συνέπεια της πραγματικής κίνησης κάθε άστρου στον χώρο (συμπεριλαμβανομένου και του Ήλιου). Η ταχύτητα της κίνησης ενός άστρου σχετικά με τον Ήλιο μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες (σχήμα 6.1): μία κατά μήκος της ευθείας άστρου – Ηλίου (πρακτικά κατά μήκος της οπτικής ακτίνας του άστρου προς ένα γήινο παρατηρητή) και μια σε ένα επίπεδο κάθετο στην προηγούμενη διεύθυνση, δηλαδή σ’ ένα επίπεδο εφαπτόμενο στην ουράνια σφαίρα.

Σχήμα 6.1

Η πρώτη συνιστώσα λέγεται ακτινική ταχύτητα (radial velocity vr), μετράται συνήθως σε km/sec και μπορεί να προσδιοριστεί με την βοήθεια του φαινομένου Doppler.

Υπενθυμίζεται ότι το φαινόμενο Doppler συνίσταται στην μεταβολή του μήκους κύματος λ που παρατηρείται όταν υπάρχει σχετική κίνηση της πηγής και του

46

παρατηρητή. Στην περίπτωση των άστρων η μεταβολή αυτή ανιχνεύεται από την μετατόπιση των γραμμών στο φάσμα του άστρου, σε σχέση με την θέση των ίδιων γραμμών από μια ακίνητη πηγή. Η μετατόπιση γίνεται προς το ερυθρό (μεγαλύτερα μήκη κύματος) όταν το άστρο απομακρύνεται ενώ γίνεται προς το ιώδες (μικρότερα μήκη κύματος) όταν το άστρο πλησιάζει. Η μετατόπιση είναι ανάλογη της ταχύτητας και για μικρές ταχύτητες (vr<<c) , δίνεται από την σχέση:

0 0

0 0 0

rr c

cλ λ λυλ υ λ

λ λ λ− −Δ

= = ⇒ =

Η εφαπτομενική (προς την ουράνια σφαίρα) ταχύτητα λέγεται ίδια κίνηση (proper motion μ) και μπορεί να προσδιοριστεί από την φαινόμενη μετατόπιση του άστρου σε κάποιο (μεγάλο) χρονικό διάστημα. Η ίδια κίνηση αναλύεται σε δύο συνιστώσες: μια κατά μήκος του ωριαίου κύκλου (ίδια κίνηση κατά απόκλιση μδ) και μια κατά μήκος του μικρού κύκλου απόκλισης (ίδια κίνηση κατά ορθή αναφορά μα). Επομένως, η συνολική ίδια κίνηση δίνεται από τον τύπο:

( )2 2cosα δμ μ δ μ= +

Στο σχήμα 6.2 εμφανίζεται μια απεικόνιση της ιδίας κίνησης ενός σμήνους άστρων.

Σχήμα 6.2

Η ίδια κίνηση είναι, ουσιαστικά, γωνιακή ταχύτητα και μετράται σε δευτερόλεπτα τόξου ανά έτος. Για να μεταφραστεί σε γραμμική ταχύτητα VT πρέπει να είναι γνωστή η απόσταση r του άστρου. Συνήθως η απόσταση εκφράζεται σε parsec, που προκύπτουν από την παράλλαξη π (βλέπε παρακάτω). Στην περίπτωση αυτή η εφαπτομενική ταχύτητα του άστρου (σε km/sec) δίνεται από την σχέση:

( )( )

sec/4.74

secT

arc yearV r

arcμ

μπ

= =

47

6.3 Μετατόπιση των συστημάτων αναφοράς Οι ουρανογραφικές συντεταγμένες (α,δ) των άστρων αλλάζουν εξαιτίας της κίνησης (στροφής) του συστήματος αναφοράς από τα φαινόμενα μετάπτωσης και κλόνησης.

6.3.1 – Μετάπτωση

Η μετάπτωση προκαλεί μεταβολή της θέσης του Ισημερινού. Για να μελετηθεί αυτή η κίνηση απαιτείται ο ορισμός ενός σταθερού επιπέδου, ως προς το οποίο θα περι-γραφεί η κίνηση του Ισημερινού. Το ρόλο του επιπέδου αυτού παίζει ένας αρχικός Ισημερινός που θα ονομάζεται σταθερός. Ομοίως, για την περιγραφή της κλόνησης χρειάζεται και το επίπεδο μιας αρχικής, σταθερής εκλειπτικής.

Η κίνηση του Ισημερινού μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικά συστήματα: α) οι κινήσεις γίνονται κατά μήκος της εκλειπτικής και τα αντίστοιχα μεγέθη χαρακτηρίζονται ως μετάπτωση στο εκλειπτικό μήκος και την λόξωση ή β) οι κινήσεις γίνονται κατά μήκος του Ισημερινού και τα μεγέθη χαρακτηρίζονται ως μετάπτωση στην ορθή αναφορά.

Η σεληνοηλιακή μετάπτωση του ουράνιου Ισημερινού δεν έχει καμία επίδραση στη θέση της εκλειπτικής, αλλά μεταθέτει τα ισημερινά σημεία κατά μήκος τόσο της εκλειπτικής όσο και του Ισημερινού. Ομοίως, η κίνηση της εκλειπτικής (πλανητική μετάπτωση) δεν έχει άμεση επίδραση στη θέση του Ισημερινού αλλά προκαλεί μια περαιτέρω μετάθεση των ισημερινών σημείων κατά μήκος των δυο κύκλων.

Η λόξωση μεταβάλλεται εξαιτίας των κινήσεων και του Ισημερινού και της εκλειπτικής. Η αιώνια μεταβολή της λόξωσης οφείλεται στην κίνηση της εκλειπτικής. Οι περιοδικοί όροι της μεταβολής της λόξωσης και της θέσης των ισημερινών σημείων στην εκλειπτική και στον Ισημερινό προκαλούνται από την κίνηση του Ισημερινού.

Η πραγματική θέση του Ισημερινού, της εκλειπτικής και του ισημερινού σημείου κάποια τυχαία χρονική στιγμή περιγράφεται με τον όρο «... της ημερομηνίας», π.χ. Ισημερινός της ημερομηνίας (Equator of date). Στο σχήμα 6.3 φαίνονται τα βασικά μεγέθη της μετάπτωσης, σύμφωνα με την ορολογία αυτή.

Σχήμα 6.3

48

Η θέση του Εαρινού Ισημερινού σημείου της ημερομηνίας στον Ισημερινό της ημερομηνίας προσδιορίζεται από την απόστασή του (τόξο α1) του Ισημερινού από το σημείο 1 (τομή του Ισημερινού της ημερομηνίας με την σταθερή εκλειπτική). Αντίστοιχα, η θέση του της ημερομηνίας στην εκλειπτική της ημερομηνίας εκφράζεται από το τόξο Λ της εκλειπτικής, μεταξύ του και της τομής Ν1 της εκλειπτικής της ημερομηνίας με την σταθερή εκλειπτική.

Η μετάθεση του Εαρινού Ισημερινού σημείου στην εκλειπτική της ημερομηνίας, η οποία αποτελεί ένα μέρος του τόξου Λ , λέγεται γενική μετάπτωση στο μήκος (general precession in longitude). Είναι το αποτέλεσμα της σεληνοηλιακής μετάπτωσης (lunisolar precession) προς τα δυτικά (κατά μήκος της σταθερής εκλειπτικής της εποχής) και της ανατολικής μετάθεσης πάνω στον κινούμενο Ισημερινό που προκαλείται από την κίνηση της εκλειπτικής (πλανητική μετάπτωση). Η συνολική κίνηση του Εαρινού Ισημερινού σημείου κατά μήκος του Ισημερινού είναι η γενική μετάπτωση στην ορθή αναφορά (general precession in right ascension).

Η επίδραση της μετάπτωσης προσδιορίζεται από το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαφορετικών εποχών, ενώ η επίδραση της κλόνησης υπολογίζεται από την τιμή των σχετικών όρων τη συγκεκριμένη εποχή.

Η μετάπτωση υπολογίζεται ανάμεσα σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές και προσδιορίζει την μετατροπή των συντεταγμένων από μια μέση θέση στην αρχική εποχή στην μέση θέση στην τελική εποχή.

Για τη μετατροπή των μέσων θέσεων από την εποχή Τ0 (πόλος P0, Εαρινό Ισημερινό σημείο 0) στην εποχή Τ (πόλος Ρ, Εαρινό Ισημερινό σημείο ), είναι απαραίτητο να οριστούν 3 γωνίες. Οι πλέον κατάλληλες γωνίες είναι οι γωνίες ζ, z και θ, οι οποίες φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα 6.4:

Σχήμα 6.4

49

Αρχικά, εφαρμόζεται μια στροφή ζ− γύρω από τον άξονα z, η οποία κάνει το τόξο Ρ0 0 να περάσει από το σημείο Ρ. Στη συνέχεια εφαρμόζεται μια στροφή θ , ίση με την γωνιακή απόκλιση των δύο Ισημερινών, γύρω από τον άξονα y και με τον τρόπο αυτό ο μέσος Ισημερινός της εποχής συναντά τον μέσο Ισημερινό της ημερομηνίας (δηλαδή το Ρ0 συμπίπτει με το Ρ). Τέλος, εφαρμόζεται μια στροφή γύρω από τον άξονα z και έτσι προκύπτει το μέσο σημείο .

z−

Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο πίνακας της μετάπτωσης, ο οποίος συμβολίζεται με Ρ, δίνεται από τον συνδυασμό 3 στροφών :

3 2 3( ) ( ) ( )P R z R Rθ ζ= − −

ή αναλυτικά:

sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos cos sinsin cos cos sin cos cos cos sin sin cos sin sin

cos sin sin sin cos

z z z z zP z z z z z

ζ ζ θ ζ ζ θ θζ ζ θ ζ ζ θ θ

ζ θ ζ θ θ

− + − − −⎡ ⎤⎢ ⎥= + − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

Οι γωνίες ζ, z και θ δίνονται από το μοντέλο μετάπτωσης που χρησιμοποιείται κάθε φορά, μέσω εκφράσεων που περιλαμβάνουν την αρχική εποχή (π.χ. 2000) και την τελική εποχή.

Αξίζει να σημειωθεί ότι, αφού οι γωνίες μετάπτωσης αναφέρονται στην εκλειπτική της εποχής, ο πίνακας στροφής για την μετάπτωση εξαρτάται τόσο από την μετάπτωση του Ισημερινού όσο και από την μετάπτωση της εκλειπτικής. Δηλαδή τα μοντέλα μετάπτωσης περιλαμβάνουν την πλανητική μετάπτωση και έτσι δεν χρειάζεται να γίνει ξεχωριστή αναγωγή.

Το μοντέλο μετάπτωσης που χρησιμοποιείται μέχρι τώρα (μοντέλο IAU 1976) δίνεται από τις εκφράσεις:

2 20 0 1 0 1(2306 ''.2181 1''.39656 0 ''.000139 ) (0 ''.30188 0 ''.000344 ) 0 ''.017988t t t t tζ = + − + − + 3

1t3

1t3

1t

2 20 0 1 0 1(2004 ''.3109 0 ''.85330 0 ''.000217 ) ( 0 ''.42665 0 ''.000217 ) 0 ''.041833t t t t tθ = − − + − − −

2 20 0 1 0 1(2306 ''.2181 1''.39656 0 ''.000139 ) (1''.09468 0 ''.000066 ) 0 ''.018203z t t t t t= + − + − +

όπου , 0 ( 1 2451545.0) / 36525t JD= − 1 ( 2 1) / 36525t JD JD= − και οι στιγμές 1JD , 2JD

μετρώνται στην κλίμακα του Γήινου Δυναμικού Χρόνου (TDT) ή, πρακτικά, στην κλίμακα του Γήινου Χρόνου (TT).

Από την 1η Ιανουαρίου 2006 ισχύει ήδη το νέο μοντέλο μετάπτωσης (IAU 2000Α), που δίνει βελτιωμένες τιμές στις γωνίες μετάπτωσης και πρέπει να χρησιμοποιείται όταν απαιτείται ακρίβεια καλύτερη από 0”.1. Οι αντίστοιχες εκφράσεις είναι:

2 3 4

2 3 4 5

2 ''.5976176 2306 ''.0809506 0 ''.3019015 0 ''.0179663 0 ''.0000327 0 ''.00000022004 ''.1917476 0 ''.4269353 0 ''.0418251 0 ''.0000601 0 ''.00000012 ''.5976176 2306 ''.0803226 1''.0947790

t t t tt t t t t

z t

ζ

θ

= + + + − −

= − − − −

= − + + 2 3 40 ''.0182273 0 ''.0000470 0 ''.0000003t t t

5t

5t+ + − όπου η χρονική στιγμή μετράται στην κλίμακα του Γήινου Χρόνου ΤΤ.

( 2451545.0) / 36525t JD= −

50

Οι εκφράσεις αυτές ισχύουν για τον υπολογισμό της μετάπτωσης από την αρχική εποχή J2000 (= JD 2451545.0) προς την τελική εποχή JD.

6.3.2 Κλόνηση

Η επίδραση της κλόνησης υπολογίζεται την ζητούμενη χρονική στιγμή (ημερομηνία) και επιτρέπει την αναγωγή των συντεταγμένων από τη μέση θέση της ημερομηνίας στην αληθή θέση, επίσης της ημερομηνίας.

Για τη μετατροπή των μέσων θέσεων την εποχή Τ, στις αληθείς θέσεις της ίδιας εποχής είναι απαραίτητο, όπως και στην περίπτωση της μετάπτωσης, να οριστούν τρεις γωνίες. Οι πλέον κατάλληλες γωνίες είναι οι γωνίες ε0, ε και Δψ, οι οποίες φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα 6.5:

Σχήμα 6.5

Αρχικά εφαρμόζεται μια στροφή ε0 γύρω από τον άξονα x (σημείο ), η οποία μετατοπίζει το επίπεδο xy από τον μέσο Ισημερινό της ημερομηνίας στην εκλειπτική της ημερομηνίας. Στη συνέχεια εφαρμόζεται μια στροφή -Δψ (κλόνηση στο μήκος) γύρω από τον άξονα z, και με τον τρόπο αυτό μετατοπίζεται το Εαρινό Ισημερινό σημείο στη θέση Τ. Τέλος, εφαρμόζεται μια στροφή -ε γύρω από τον άξονα x (σημείο Τ) που περιστρέφει το επίπεδο xy ώστε να συμπέσει με εκείνο του αληθούς Ισημερινού της ημερομηνίας.

Η αληθής λόξωση της ημερομηνίας υπολογίζεται από τη σχέση: 0ε ε ε= + Δ όπου 0ε η

μέση λόξωση της ημερομηνίας και Δε η κλόνηση στη λόξωση.

Σύμφωνα με τα παραπάνω, ο πίνακας της κλόνησης, ο οποίος συμβολίζεται με Ν, δίνεται από τον συνδυασμό 3 στροφών :

1 0 3 1 0( ) ( ) (N R R R )ε ε ψ= − −Δ −Δ ε

Επειδή οι γωνίες Δψ και Δε είναι πολύ μικρές, ισχύει ότι: sin( )ψ ψΔ ≈ Δ (σε ακτίνια), cos( ) 1ψΔ ≈ και ομοίως για το Δε. Αναλυτικά, επομένως, ο πίνακας στροφής του μετασχηματισμού για την κλόνηση είναι :

51

1 cos scos 1sin 1

Ninψ ε ψ ε

ψ ε εψ ε ε

−Δ −Δ⎡ ⎤⎢ ⎥= Δ −Δ⎢ ⎥⎢ ⎥Δ Δ⎣ ⎦

Οι γωνίες Δε και Δψ δίνονται από το μοντέλο κλόνησης που χρησιμοποιείται μέσω αθροισμάτων πολλών όρων, οι οποίοι αποτελούνται από γινόμενα συντελεστών με ημίτονα και συνημίτονα γωνιών. Οι γωνίες αυτές είναι γραμμικοί συνδυασμοί των πέντε βασικών ορισμάτων της κλόνησης (μεταβλητές Delaunay). Οι μεταβλητές αυτές είναι:

1. l = το μέσο μήκος της Σελήνης – το μέσο μήκος του περιγείου της Σελήνης

2. l’ = το μέσο μήκος του Ήλιου – το μέσο μήκος του περιγείου του Ήλιου

3. F = το μέσο μήκος της Σελήνης – το μέσο μήκος του δεσμού της Σελήνης

4. D = το μέσο μήκος της Σελήνης – το μέσο μήκος του Ήλιου

5. Ω = το μήκος του μέσου ανιόντος δεσμού της σεληνιακής τροχιάς στην εκλειπτική, μετρημένο από το μέσο Εαρινό σημείο της ημερομηνίας.

Οι συντελεστές των εκφράσεων που υπολογίζουν τα βασικά αυτά ορίσματα έχουν διαφορετικές τιμές, ανάλογα με το μοντέλο κλόνησης που χρησιμοποιείται. Στο μοντέλο κλόνησης του 1980, το οποίο περιλαμβάνει 106 όρους για το Δψ και το Δε, οι εκφράσεις αυτές είναι:

2 3

2 3

2 3

134 57 '46 ''.733 (1325 198 52 '02 ''.633) 31''.310 0 ''.064' 357 31'39 ''.804 (99 359 03'01''.224) 0 ''.577 0 ''.012

93 16 '18''.877 (1342 82 01'03''.137) 13''.257 0 ''.011297 51'01''.3

r

r

r

l Tl TF TD

= + + + +

= + + − −

= + + − +

= 2 3

2 3

07 (1236 307 06 '41''.328) 6 ''.891 0 ''.019125 02 '40 ''.280 (5 134 08'10 ''.539) 7 ''.455 0 ''.008

r

r

T TT T T

+ + − +

Ω = − + + +

T TT TT T

T

T

Η μέση λόξωση της εκλειπτικής ε0 δίνεται από τη σχέση : ' '' '' '' 2 '' 3

0 23 26 21.448 46 .815 0 .00059 0 .001813T Tε = − − +

όπου η χρονική στιγμή μετράται στην κλίμακα του Γήινου Δυναμικού Χρόνου ΤDΤ ( πρακτικά στην κλίμακα του Γήινου Χρόνου TT).

( 2451545.0) / 36525T JD= −

Όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο περί χρόνου, η κλόνηση επηρεάζει και τον αστρικό χρόνο. Η εξίσωση των Ισημεριών δίνεται από την παράσταση:

Eq. E = Δψ cos( 0ε ε+Δ ) , εκφρασμένη σε μονάδες χρόνου.

Από την 1η Ιανουαρίου 2006 ισχύει ήδη το νέο μοντέλο κλόνησης (ΜΗΒ2000), που βελτιώνει το μοντέλο 1980 λαμβάνοντας υπ’όψιν την επίδραση της ανελαστικότητας του μανδύα, των ωκεάνιων παλιρροιών και τους μη γραμμικούς όρους που είχαν αγνοηθεί στο προηγούμενο μοντέλο. Το νέο μοντέλο κλόνησης περιλαμβάνει 678 σεληνοηλιακούς όρους και 687 πλανητικούς όρους, που εκφράζονται ως συντελεστές «σε φάση» (in phase) και «εκτός φάσης» (out of phase).

Αριθμητικές εκφράσεις για τον υπολογισμό των σημαντικότερων όρων του μοντέλου κλόνησης δίνονται στους «Αστρονομικούς Πίνακες».

52

6.4 Κίνηση του Πόλου

Η θέση του άξονα z του αληθούς ουρανογραφικού (επομένως και του αστρονομικού) συστήματος της ημερομηνίας ως προς τον αντίστοιχο άξονα του γήινου συστήματος ITRS δίνεται από τις παραμέτρους της κίνησης του πόλου (xp, yp), ενώ η γωνία μεταξύ του εαρινού ισημερινού σημείου της ημερομηνίας και του μεσημβρινού του Greenwich δίνεται από τον Αληθή Αστρικό Χρόνο Greenwich θ (GAST).

Επομένως, για τον μετασχηματισμό από το αληθές ουρανογραφικό σύστημα της ημερομηνίας στο γήινο σύστημα απαιτείται η χρήση του πίνακα στροφής:

2 1 3( ) ( ) (p pS R x R y R )θ= − −

Επειδή οι γωνίες xp και yp είναι πολύ μικρές, όταν εκφραστούν σε ακτίνια ο πίνακας στροφής S δίνεται αναλυτικά, με μεγάλη προσέγγιση:

cos sin cos sinsin cos sin cos

1

p p

p p

p p

x yS x

x yy

θ θ θ θθ θ θ

⎡ ⎤− −⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

θ

Οι αστρονομικές συντεταγμένες Λ και Φ, όπως προσδιορίζονται από τις αστρονομικές παρατηρήσεις αναφέρονται στον αληθή (στιγμιαίο) πόλο της ημερομηνίας. Για να χρησιμοποηθούν σε γεωδαιτικές εφαρμογές (π.χ. για τον υπολογισμό της απόκλισης της κατακορύφου), πρέπει να αναχθούν στον Συμβατικό Πόλο (CIO) του γήινου συστήματος. Η αναγωγή αυτή γίνεται από τις σχέσεις :

( sin cos ) tan( cos sin )

CIO P P

CIO P P

x yx y

Λ = Λ − Λ + Λ ΦΦ = Φ − Λ − Λ

6.5 Φαινόμενα που οφείλονται στην κίνηση του παρατηρητή Μια σειρά από άλλα φαινόμενα οφείλονται στην αλλαγή της θέσης ή την ταχύτητα του παρατηρητή σε σχέση με το παρατηρούμενο σώμα και επιβάλουν αντίστοιχες διορθώσεις.

6.5.1 Παράλλαξη

Κατά την παρατήρηση του ιδίου αντικειμένου από δύο διαφορετικές θέσεις, οι διευθύνσεις παρατήρησης είναι, φυσικά, διαφορετικές και η διαφορά αυτή εξαρτάται από την απόσταση του αντικειμένου. Το φαινόμενο ονομάζεται γενικά παράλλαξη (parallax), όπως και η γωνία μεταξύ των διευθύνσεων παρατήρησης, όπως αυτή ορίζεται με τις ευθείες από το αντικείμενο προς τις δύο θέσεις παρατήρησης.

Ειδικότερα, τώρα, ετήσια παράλλαξη (annual parallax) ενός άστρου είναι η γωνία π υπό την οποία φαίνεται, από το άστρο, η ακτίνα (ο μεγάλος ημιάξονας a) της τροχιάς της Γης γύρω από τον Ήλιο (σχήμα 6.6).

Από το σχήμα 6.6 προκύπτει ότι: tan(π) = a / r και, επειδή π<<1, ισχύει: π = a / r

53

Σχήμα 6.6

Λόγω της παράλλαξης, τα άστρα φαίνονται να διαγράφουν μικροσκοπικούς κύκλους στον ουρανό στην διάρκεια ενός έτους, με διαστάσεις που είναι αντιστρόφως ανάλογες της απόστασής τους r. Μάλιστα, η μέτρηση της ετήσιας παράλλαξης ενός άστρου είναι ο μόνος άμεσος τρόπος προσδιορισμού της απόστασης του άστρου. Για τον ίδιο λόγο η μονάδα μέτρησης των αποστάσεων στο Σύμπαν είναι το parsec, δηλαδή η απόσταση που πρέπει να βρίσκεται ένα σώμα ώστε να ‘βλέπει’ τον μεγάλο ημιάξονα της τροχιάς της Γης με γωνία 1 δευτερολέπτου τόξου. Ένα parsec είναι περίπου ίσο με 3x1013 km. Το πλησιέστερο προς την Γη άστρο (εκτός από τον Ήλιο, φυσικά), το α2 Cen, έχει την μεγαλύτερη ετήσια παράλλαξη, ίση με 0΄΄.76, επομένως βρίσκεται σε απόσταση

r = 1/ 0΄΄.76 = 1.3 parsec.

Η μετατόπιση που προκαλείται από την παράλλαξη γίνεται κατά μήκος του μέγιστου κύκλου που περιέχει τον Ήλιο και το άστρο, προς την διεύθυνση του Ήλιου, και ισούται με π sin(θ), όπου θ είναι το τόξο του μέγιστου κύκλου [Ήλιου – άστρου]. Χρησιμοποιώντας τις ορθογώνιες γεωκεντρικές συντεταγμένες Χ, Υ, Ζ του Ήλιου (που είναι οι αντίθετες των βαρυκεντρικών ορθογωνίων συντεταγμένων της Γης στα μοντέλα του ηλιακού συστήματος), η μεταβολή, λόγω παράλλαξης, των ουρανογραφικών συντεταγμένων δίνεται από τις σχέσεις:

α – αΓ = π [ Χ sin(α) – Υ cos(α)] sec(δ)

δ – δΓ = π [ Χ cos(α) sin(δ) + Υ sin(α) sin(δ) – Ζ cos(δ)]

όπου αΓ και δΓ οι γεωκεντρικές ουρανογραφικές συντεταγμένες

Αντίστοιχα, η γεωκεντρική παράλλαξη (geocentric parallax) ενός άστρου είναι η γωνία υπό την οποία φαίνεται η ακτίνα της Γης από το άστρο. Η γεωκεντρική παράλλαξη εμφανίζεται επειδή οι παρατηρήσεις προς κάποιο ουράνιο σώμα γίνονται στην επιφάνεια της Γης ενώ οι ουρανογραφικές συντεταγμένες του σώματος αναφέρονται στο κέντρο της. Είναι προφανές ότι η γεωκεντρική παράλλαξη μπορεί να έχει σημασία για παρατηρήσεις πολύ κοντινών σωμάτων (π.χ. πλανητών) αλλά είναι εντελώς αμελητέα για παρατηρήσεις άστρων.

54

6.5.2 Αποπλάνηση του φωτός

Εξαιτίας της πεπερασμένης ταχύτητας του φωτός, η διεύθυνση παρατήρησης προς ένα σώμα τροποποιείται από την ταχύτητα κίνησης του παρατηρητή. Αυτή η μετατόπιση ονομάζεται, γενικά, αποπλάνηση (aberration) του φωτός και εξαρτάται από τον λόγο της ταχύτητας του παρατηρητή προς την ταχύτητα του φωτός. Η μετατόπιση είναι προς τη διεύθυνση κίνησης του παρατηρητή τη στιγμή της παρατήρησης.

Αν ονομάσουμε Δθ = θ – θ΄ την γωνιακή μετατόπιση λόγω αποπλάνησης και V την ταχύτητα του παρατηρητή (V<<c), τότε ισχύει:

( )sin sin sinc c

V Vθ θ θ′Δ = = −Δ

θ

Αναπτύσσοντας σε σειρά προκύπτει:

...2sin21sin +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=Δ θθθ

cV

cV 2

Οι συνιστώσες της μετατόπισης Δθ υπολογίζονται από τις συνιστώσες της ταχύτητας V του παρατηρητή. Αν θεωρηθεί, ως ταχύτητα του παρατηρητή, η μέση ταχύτητα κίνησης της Γης στην τροχιά της γύρω από τον Ήλιο, ο λόγος k = V / c = 20΄΄.49552 είναι η σταθερά της αποπλάνησης (constant of aberration), ενώ η αντίστοιχη μετατόπιση λέγεται ετήσια αποπλάνηση (annual aberration). Οι απαιτούμενες διορθώσεις στις ουρανογραφικές συντεταγμένες εξαρτώνται από την θέση του άστρου (α,δ) αλλά και από τον χρόνο, επειδή αλλάζει συνεχώς διεύθυνση η τροχιακή ταχύτητα V της Γης. Διατηρώντας μόνο τον όρο πρώτου βαθμού του Δθ από το παραπάνω ανάπτυγμα προκύπτουν οι σχέσεις:

α΄– α = – (1 / c) [–Χ΄sin(α) + Υ΄cos(α)] sec(δ)

δ΄– δ = – (1 / c) [–Χ΄cos(α) sin(δ) – Υ΄sin(α) sin(δ) + Ζ΄cos(δ)]

όπου Χ΄, Υ΄ και Ζ΄ είναι οι χρονικές παράγωγοι (ταχύτητες) των ορθογωνίων συντεταγμένων του Ηλίου (δηλαδή οι αντίθετες συνιστώσες της ταχύτητας της Γης στην τροχιά της).

Αντίστοιχα, ημερήσια αποπλάνηση (diurnal aberration) ενός άστρου ονομάζεται η μετατόπιση που οφείλεται στην ημερήσια περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονα της και του παρατηρητή μαζί με αυτή. Έχει ως συνέπεια να φαίνονται οι αστέρες μετατοπισμένοι κατά μήκος της φαινόμενης ημερήσιας τροχιάς τους προς μεγαλύτερες τιμές ορθής αναφοράς. Αυτό σημαίνει ότι κατά την παρατήρηση μεσημβρινών διαβάσεων οι αστέρες φαίνεται ότι μεσουρανούν αργότερα από την ώρα που πραγματικά αυτό συμβαίνει.

Η διόρθωση της επίδρασης της ημερήσιας αποπλάνησης γίνεται είτε στην τιμή του χρόνου παρατήρησης που αντιστοιχεί στην μεσουράνηση, είτε στο αστρονομικό μήκος Λ, γιατί στη διεύθυνση αυτή γίνεται η κίνηση της γης και του παρατηρητή. Η μέγιστη

55

τιμή της διόρθωσης αυτής είναι 0.021 sec, περίπου 0΄΄.32. Στο αστρονομικό πλάτος Φ, η διόρθωση της ημερήσιας αποπλάνησης είναι μηδέν.

6.6 Αστρονομική διάθλαση Είναι γνωστό ότι, όταν το φως περνά την διαχωριστική επιφάνεια δύο υλικών στα οποία κινείται με διαφορετική ταχύτητα, εκτρέπεται από την ευθύγραμμη πορεία του, δηλαδή διαθλάται. Η εκτροπή αυτή περιγράφεται ποσοτικά από τον νόμο του Snell:

n a n a1 1 2sin sin 2=

όπου n1, n2 είναι οι δείκτες διάθλασης των υλικών και α1, α2 οι αντίστοιχες γωνίες (πρόσπτωσης και διάθλασης) στην διαχωριστική επιφάνεια.

Ανάμεσα σ’ ένα άστρο και έναν παρατηρητή στην επιφάνεια της Γης παρεμβάλλεται η ατμόσφαιρα, στην οποία το φως κινείται με ελαφρά διαφορετική ταχύτητα απ’ ότι στο κενό. Γι’ αυτό, η πορεία μιας φωτεινής ακτίνας από το άστρο προς τον παρατηρητή δεν παραμένει ευθύγραμμη. Η ατμόσφαιρα της Γης, όμως, δεν είναι ομογενές μέσο σ’ όλη την έκτασή της: τοπικά, η πυκνότητά της μεταβάλλεται, ανάλογα με τις συνθήκες πίεσης και θερμοκρασίας. Συνεπώς, ο (τοπικός) δείκτης διάθλασης και το μέγεθος της εκτροπής της φωτεινής ακτίνας δεν μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια.

Παρ’ όλα αυτά, ένας προσεγγιστικός υπολογισμός της εκτροπής είναι δυνατόν να γίνει, με βάση τα γενικά χαρακτηριστικά της ατμόσφαιρας (ατμοσφαιρικά μοντέλα) και τις τοπικές συνθήκες, στην θέση του παρατηρητή. Τα κύρια χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται είναι: η σφαιρική συμμετρία και η συνεχής ελάττωση της πυκνότητας (επομένως και του δείκτη διάθλασης) με το υψόμετρο. Αποτέλεσμα αυτών είναι η βαθμιαία καμπύλωση της φωτεινής ακτίνας, με τα κοίλα προς τα κάτω, όσο αυτή πλησιάζει τον παρατηρητή στην επιφάνεια της Γης (σχήμα 6.7).

Σχήμα 6.7

Επειδή το συνολικό ύψος της ατμόσφαιρας είναι αμελητέο σε σχέση με την απόσταση των άστρων, θεωρούμε ότι η φωτεινή ακτίνα, στο ευθύγραμμο τμήμα της εκτός ατμόσφαιρας, είναι παράλληλη με την ευθεία που συνδέει γεωμετρικά τον παρατηρητή με το άστρο. Επομένως, η ζενίθια απόσταση z1, στην οποία θα έβλεπε ο παρατηρητής το άστρο αν δεν υπήρχε η ατμόσφαιρα (γεωμετρική θέση του άστρου) είναι μεγαλύτερη

56

από αυτήν που παρατηρεί στην πραγματικότητα (γωνία z), η οποία προσδιορίζεται από την εφαπτομένη στην πορεία της φωτεινής ακτίνας στο σημείο που βρίσκεται ο παρατηρητής. Η διαφορά:

R = z1 - z

των δύο γωνιών ονομάζεται αστρονομική διάθλαση (astronomical refraction) και είναι η γωνία που πρέπει να προστεθεί στην παρατηρούμενη τιμή της ζενίθιας απόστασης για να προκύψει η πραγματική (γεωμετρική) τιμή της.

Μια προσεγγιστική τιμή της διάθλασης R μπορεί να υπολογιστεί με την βοήθεια του νόμου του Snell σ’ ένα ατμοσφαιρικό μοντέλο. Επειδή είναι αδύνατο να μετρηθούν οι συνθήκες κατά μήκος όλης της διαδρομής της φωτεινής ακτίνας στην ατμόσφαιρα, θεωρείται πως αυτές είναι συνάρτηση των συνθηκών στο σημείο παρατήρησης. Αυτή η υπόθεση, που ισχύει για διαδρομές κοντά στην κατακόρυφο, επιτρέπει τον υπολογισμό μιας προσεγγιστικής τιμής της αστρονομικής διάθλασης από την ακόλουθη σχέση, που δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα για ζενίθιες αποστάσεις μέχρι 70° περίπου:

R = ( ) zz 3tan2

tan1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−α

βαβα

όπου: z = η παρατηρούμενη ζενίθια απόσταση

α = n – 1 , n = δείκτης διάθλασης στο σημείο παρατήρησης

RL

=β , R = ακτίνα της Γης

L = το ύψος μιας ομογενούς ατμόσφαιρας, με πυκνότητα όση αυτή στο σημείο παρατήρησης, που θα εξασκούσε πίεση ίση με την πραγματικά μετρούμενη εκεί.

Η ποσότητα α είναι συνάρτηση του μήκους κύματος λ της ακτινοβολίας και της πυκνότητας της ατμόσφαιρας (επομένως, συνάρτηση της πίεσης p και της θερμοκρασίας θ) και η β είναι επίσης συνάρτηση της θερμοκρασίας.

Για κανονικές ατμοσφαιρικές συνθήκες (p = 1013.25mbar και θ = 0° C), για μονοχρωματικό κίτρινο φως (λ = 0.58 μm, στην περιοχή της μέγιστης ευαισθησίας του ανθρώπινου ματιού) και, φυσικά, για ζενίθιες αποστάσεις μέχρι 70°, η παραπάνω σχέση γράφεται:

R0 = 60΄΄.34 tan z - 0΄΄.0669 tan3 z

Η σχέση αυτή δίνει την κανονική αστρονομική διάθλαση. Η πραγματική διάθλαση μπορεί να υπολογιστεί, με την βοήθεια του νόμου των τελείων αερίων, από την σχέση:

R = R0 273273

25.1013 θ+⋅

p

όπου R0 είναι η κανονική διάθλαση, p η ατμοσφαιρική πίεση στο σημείο παρατήρησης (εκφρασμένη σε mbar) και θ η θερμοκρασία στο ίδιο σημείο (εκφρασμένη σε βαθμούς Κελσίου).

Ο ακόλουθος πίνακας δίνει μερικές ενδεικτικές τιμές της αστρονομικής διάθλασης R, για πίεση p = 990 mbar και θερμοκρασία θ = 20° C στο σημείο παρατήρησης.

57

Ζενίθια απόσταση

z1

Αστρονομική διάθλαση

R

0° 0΄΄

10° 10΄΄

20° 20΄΄

30° 32΄΄

40° 46΄΄

50° 65΄΄ ≈ 1.1΄

60° 95΄΄ ≈ 1.6΄

70° 150΄΄ ≈ 2.5΄

90° ≈ 32΄

Όπως φαίνεται στον πίνακα, το σφάλμα στις παρατηρήσεις είναι σημαντικό αν δεν γίνει διόρθωση για την επίδραση της διάθλασης. Επιπλέον, η τιμή της διάθλασης από τις παραπάνω σχέσεις είναι προσεγγιστική και το σφάλμα μεγαλώνει με την ζενίθια απόσταση.

6.7 Οι θέσεις των αστέρων Λόγω των διαφορετικών διευθύνσεων παρατήρησης προς ένα ουράνιο σώμα, που μπορεί να οφείλονται σε αλλαγή του κέντρου του συστήματος αναφοράς, σε αλλαγή της θέσης ή της κίνησης του παρατηρητή και στα φαινόμενα που αναφέρθηκαν, διακρίνονται διάφορες τιμές των ουρανογραφικών συντεταγμένων των αστέρων που, συμβατικά, ονομάζονται θέσεις (σχήμα 6.8). Αυτές είναι :

Παρατηρούμενη θέση (observed place) ενός ουρανίου σώματος: είναι η πραγματική θέση, όπως αυτή προσδιορίζεται από απευθείας αναγνώσεις (διορθωμένες από συστηματικά σφάλματα) κάποιου οργάνου.

Φαινόμενη θέση (apparent place) ενός ουρανίου σώματος: είναι η γεωκεντρική του θέση, που αναφέρεται στον αληθή ισημερινό και στο αληθές ισημερινό σημείο

για τη στιγμή που παρατηρήθηκε το ουράνιο σώμα. Διαφέρει από την παρατηρούμενη γιατί διορθώνεται για τις επιδράσεις της αστρονομικής διάθλασης, της ημερήσιας αποπλάνησης και της γεωκεντρικής παράλλαξης. Είναι η θεωρητική θέση που θα έβλεπε το ουράνιο σώμα ένας παρατηρητής που θα βρισκόταν στο κέντρο μάζας της Γης, χωρίς ατμόσφαιρα, σ’ ένα σύστημα συντεταγμένων επηρεαζόμενο από την μετάπτωση, την κλόνηση και την κίνηση της Γης γύρω από τον Ήλιο.

Αληθής θέση (true place) ενός ουρανίου σώματος: είναι η ηλιοκεντρική του θέση, που αναφέρεται στον αληθή ισημερινό και στο αληθές ισημερινό σημείο της στιγμής της παρατήρησης. Διαφέρει από την φαινόμενη θέση γιατί διορθώνεται για τις επιδράσεις της ετήσιας αποπλάνησης και της ετήσιας παράλλαξης. Είναι η

58

θέση που θα έβλεπε το ουράνιο σώμα ένας φανταστικός παρατηρητής, που θα βρισκόταν στο κέντρο μάζας του ηλιακού συστήματος, σ’ ένα σύστημα συντε-ταγμένων επηρεαζόμενο από την μετάπτωση και κλόνηση.

Μέση θέση (mean place) ενός ουρανίου σώματος: είναι η ηλιοκεντρική θέση του, που αναφέρεται σε κάποιον ορισμένο μέσο ισημερινό και μέσο ισημερινό σημείο

, για κάποια εποχή. Διαφέρει από την αληθή θέση γιατί διορθώνεται για την επίδραση της κλόνησης. Eίναι η θέση που θα έβλεπε το ουράνιο σώμα ένας φανταστικός παρατηρητής, που θα βρισκόταν στο κέντρο μάζας του ηλιακού συστήματος, σ’ ένα σύστημα συντεταγμένων επηρεαζόμενο μόνο από τη μετάπτωση.

Στους καταλόγους, όπου αναφέρονται οι θέσεις των αστέρων, δίνεται η μέση θέση σε κάποια δεδομένη εποχή και σύστημα αναφοράς (π.χ. J2000 και ICRS).

6.8 Υπολογισμός των φαινόμενων συντεταγμένων

Κατά την επεξεργασία των αστρονομικών παρατηρήσεων είναι απαραίτητη η γνώση των φαινόμενων ουρανογραφικών συντεταγμένων (αapp, δapp) των άστρων την στιγμή της παρατήρησης. Ο υπολογισμός αυτός μπορεί να γίνει με βάση την θέση και τα άλλα στοιχεία του καταλόγου, που χρησιμοποιείται κάθε φορά, σύμφωνα με την διαδικασία που θα αναλυθεί στη συνέχεια.

Ο ακριβέστερος αστρομετρικός κατάλογος που υπάρχει σήμερα είναι ο κατάλογος Tycho2, που βασίζεται στα δεδομένα της διαστημικής αποστολής HIPPARCOS (1989-1993) για τις θέσεις των αστρων και σε δεδομένα από 144 καταλόγους διαφόρων εποχών για τον προσδιορισμό των ίδιων κινήσεων. Για την παράλλαξη (απόσταση) των λαμπρότερων άστρων (117955 από ένα σύνολο 2539913), μπορούν να χρησιμο-ποιηθούν τα δεδομένα του κύριου καταλόγου HIPPARCOS. Ο κατάλογος Tycho2 αναφέρεται στο σύστημα ICRS την εποχή J2000.

Βήμα 1. Η στιγμή της παρατήρησης εκφράζεται στην κλίμακα του Βαρυκεντρικού Δυναμικού Χρόνου ΤDΒ (πρακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο Γήινος Χρόνος ΤΤ).

Βήμα 2. Από αστρονομικούς πίνακες λαμβάνεται η βαρυκεντρική θέση της Γης BE

(σε αστρονομικές μονάδες) και η ταχύτητα της.

BE (σε αστρονομικές μονάδες ανά ημέρα) την χρονική στιγμή της παρατήρησης, ως προς το ICRS.

Η βαρυκεντρική θέση (q) του άστρου την εποχή J2000 ως προς το ICRS δίνεται από το μοναδιαίο διάνυσμα :

0 0 0 0(cos cos ,sin cos ,sin )q a a 0δ δ δ=

όπου ,0a 0δ είναι οι ουρανογραφικές συντεταγμένες του άστρου την εποχή J2000 ως

προς το ICRS, δηλαδή οι συντεταγμένες του καταλόγου.

Το διάνυσμα κίνησης του άστρου ( , ,x ym m mz ), εκφρασμένο σε ακτίνια ανά αιώνα,

δίνεται από τις σχέσεις:

59

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0

cos sin sin cos cos coscos cos sin sin cos sin

sin sin

x

y

z

m a am a a

m

α δ

α δ

δ

aa

μ δ μ δ υπ δμ δ μ δ υπ δ

μ δ υπ δ

= − − += − +

= +

όπου αυτές οι εκφράσεις λαμβάνουν υπόψην την ακτινική ταχύτητα (υ ) σε αστρονομικές μονάδες (au) ανά αιώνα, την ίδια κίνηση ( αμ , δμ ) στην ορθή αναφορά

και απόκλιση σε ακτίνια ανά αιώνα και την παράλλαξη (π ) σε ακτίνια.

Υπολογίζεται το γεωκεντρικό διάνυσμα θέσης του άστρου τη ζητούμενη εποχή από τη σχέση:

BP q Tm Eπ= + −

όπου το διάστημα, σε Ιουλιανούς αιώνες, από την εποχή J2000 μέχρι την στιγμή της παρατήρησης. Η σχέση αυτή υλοποιεί την αναγωγή για την κίνηση του άστρου και την ετήσια παράλλαξη.

( 2451545.0) / 36525T JD= −

Υπολογίζεται το μοναδιαίο γεωκεντρικό διάνυσμα θέσης ( p ) του άστρου από την σχέση: /p P P=

Βήμα 3. Υπολογίζεται η διεύθυνση ( 2p ) στο γεωκεντρικό πλαίσιο, που κινείται με την στιγμιαία ταχύτητα (V ) της Γης ως προς το αντίστοιχο γεωκεντρικό ακίνητο (αδρανειακό) πλαίσιο, από τη σχέση :

11

2

11

1

p Vp Vp

p V

ββ

−−

⎛ ⎞∗+ +⎜ ⎟+⎝=+ ∗

⎠

όπου και . Η σχέση αυτή υλοποιεί την αναγωγή για την ετήσια αποπλάνηση.

. ./ 0.0057755B BV E c E= = 2 1/ 2(1 )Vβ −= −

Το διάνυσμα 2p εκφράζει την γεωκεντρική θέση του άστρου την στιγμή της παρα-τήρησης στο σύστημα ICRS της εποχής J2000. Για να εκφραστεί η θέση αυτή στο αληθές σύστημα της ημερομηνίας απαιτείται αναγωγή για την μετάπτωση και την κλόνηση. Το μοντέλο μετάπτωσης και κλόνησης ορίζεται στο Δυναμικό σύστημα αναφοράς J2000, που αναφέρεται στο μέσο Εαρινό Ισημερινό σημείο και στον μέσο Ισημερινό της εποχής J2000. Το σύστημα αυτό δεν ταυτίζεται με το ICRS αλλά έχει μια διαφορά στον προσανατολισμό της τάξεως των 0΄΄.02. Επομένως, πριν εφαρμοστούν οι πίνακες στροφής για την μετάπτωση και την κλόνηση, είναι απαραίτητο να μετατραπούν οι θέσεις που είναι εκφρασμένες στο ICRS στις αντίστοιχες θέσεις στο δυναμικό σύστημα J2000. Ο πίνακας στροφής αυτού του μετασχηματισμού ονομάζεται μετάθεση του πλαισίου αναφοράς (frame bias), συμβολίζεται με Β και είναι:

0.9999999999999942 0.0000000707827974 0.00000008056217150.0000000707827948 0.9999999999999969 0.00000003306041450.0000000805621738 0.0000000330604088 0.9999999999999962

B−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Έτσι, ένα διάνυσμα θέσης r εκφρασμένο στο ICRS μπορεί να μετασχηματιστεί στο αντίστοιχο διάνυσμα r0 στο δυναμικό σύστημα J2000 μέσω της σχέσης :

60

0r Br=

Βήμα 4. Από τους αστρονομικούς πίνακες ή με υπολογισμό προσδιορίζονται οι πίνακες της μετάπτωσης και της κλόνησης. Το ζητούμενο διάνυσμα των φαινόμενων συντεταγμένων του άστρου υπολογίζεται από τη σχέση :

P N

3 2p NPBp=

Το διάνυσμα ( 3p ) δίνει τις (ορθογώνιες) φαινόμενες συντεταγμένες του άστρου στο

αληθές ουρανογραφικό σύστημα της δεδομένης χρονικής στιγμής. Ο υπολογισμός των αντίστοιχων σφαιρικών συντεταγμένων γίνεται από τις σχέσεις:

33

3 3

arcsin , arctan yzapp app

x

ppp p

δ α= =

Ανακεφαλαίωση Μια σειρά από κινήσεις και φαινόμενα μεταβάλουν τις τιμές των ουρανογραφικών συντεταγμένων των άστρων αλλά και τις αστρονομικές συντεταγμένες ενός παρατηρητή.

Η μετάπτωση και η κλόνηση προκαλούν αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής της Γης στον χώρο, με συνέπεια μια στροφή του ουρανογραφικού συστήματος. Το ομαλό μέρος της στροφής αυτής είναι η μετάπτωση (συνάρτηση χρονικού διαστήματος) ενώ το περιοδικό μέρος της μεταβολής είναι η κλόνηση (συνάρτηση χρονικής στιγμής).

Η κίνηση του Πόλου είναι η ψευδο-περιοδική μετατόπιση της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ως προς τον στερεό φλοιό της Γης, με συνέπεια αντίστοιχη μεταβολή των αστρονομικών συντεταγμένων ενός τόπου.

Τα άστρα έχουν μια πραγματική κίνηση στο χώρο και η συνιστώσα της στην επιφάνεια της ουράνιας σφαίρας (ίδια κίνηση μ) προκαλεί αλλαγή και στις δύο ουρανογραφικές συντεταγμένες.

Λόγω της ετήσιας περιφοράς της Γης γύρω από τον Ήλιο, ο γήινος παρατηρητής παρατηρεί τα κοντινότερα άστρα να διαγράφουν μικρές ελλείψεις στον ουρανό. Το φαινόμενο είναι η παράλλαξη, που είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης κάθε άστρου.

Η ταχύτητα του παρατηρητή (πάνω στην κινούμενη Γη) προκαλεί μια φαινομενική μετατόπιση κάθε άστρου προς την διεύθυνση της κίνησης. Το φαινόμενο αυτό λέγεται αποπλάνηση του φωτός και η μετατόπιση είναι ανάλογη του πηλίκου της ταχύτητας του παρατηρητή προς την ταχύτητα του φωτός.

Η παρουσία της ατμόσφαιρας και, ειδικά, ο μεταβαλλόμενος δείκτης διάθλασης προκαλεί μια καμπύλωση των οπτικών ακτινών, με συνέπεια τα άστρα να παρατη-ρούνται σε μικρότερη ζενίθια γωνία από την πραγματική. Το φαινόμενο ονομάζεται αστρονομική διάθλαση, εξαρτάται έντονα από την ζενίθια γωνία, μπορεί να διορθωθεί μόνο προσεγγιστικά και είναι σημαντικός παράγοντας για την επιλογή των μεθόδων παρατήρησης.

61

Σχήμα 6.8

62

63

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο ΑD μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του αστρονομικού μεσημβρινού του τόπου και του κατακορύφου επιπέδου που περιέχει το D. Η γωνία αυτή μετριέται κατά την ανάδρομη φορά (από το Βορρά προς την Ανατολή).

x

Σχήμα 7.1

Αν ήταν υλοποιημένη η διεύθυνση του μεσημβρινού, το αζιμούθιο ΑD θα μπορούσε να μετρηθεί απευθείας. Επειδή αυτό δεν συμβαίνει συνήθως, πρέπει είτε

- να προσδιοριστεί η διεύθυνση του μεσημβρινού, είτε

- να μετρηθεί η γωνία x που σχηματίζεται μεταξύ του κατακορύφου κύκλου του D και του κατακορύφου κύκλου ενός ουρανίου σώματος (π.χ. άστρου) S κάποια χρονική στιγμή και, ταυτόχρονα, να προσδιοριστεί το αζιμούθιο ΑS του ουρανίου σώματος για την ίδια χρονική στιγμή, οπότε:

ΑD = ΑS + x (προφανώς με αυτόν τον τρόπο προσδιορίζεται έμμεσα ο μεσημβρινός).

Στην πράξη, χρησιμοποιείται η δεύτερη μέθοδος, εκτός της περίπτωσης προσεγγιστικού μόνο προσανατολισμού, όπότε και η πρώτη είναι ικανοποιητική.

64

7.1 Προσδιορισμος της διευθυνσης του μεσημβρινου

7.1.1 Από τον Πολικό αστέρα

Επειδή ο Πολικός αστέρας (α UMi) βρίσκεται πολύ κοντά στον Βόρειο ουράνιο πόλο, το αζιμούθιό του είναι πάντα μικρό, με ακρότατες τιμές περίπου ± 1°secΦ. Επομένως, η οριζόντια ανάγνωση του Πολικού αντιστοιχεί στην οριζόντια ανάγνωση του μεσημβρινού με την παραπάνω ακρίβεια. Αυτή η ακρίβεια δεν αρκεί για τις απαιτήσεις της γεωδαισίας, παρά μόνο αν χρησιμοποιείται για να δώσει μια αρχική τιμή και πρόκειται ν’ ακολουθήσει ακριβέστερος προσδιορισμός με άλλη μέθοδο.

Σχήμα 7.2

Στο σχήμα 7.2 παρουσιάζεται μια αναπαράσταση του βορινού τμήματος του ουρανού, όπως φαίνεται από την Ελλάδα ένα καλοκαιρινό βράδυ. Για τον εντοπισμό του Πολικού αστέρα (a UMi) μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι αστερισμοί της Μεγάλης Άρκτου (UMa) ή της Κασσιόπης (Cas), που είναι αειφανείς.

Η Μεγάλη Άρκτος αναγνωρίζεται αμέσως από το χαρακτηριστικό της σχήμα “κατσαρόλας”. Στην προέκταση του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τα λαμπρά πλευρικά άστρα και σε 5πλάσια περίπου απόσταση βρίσκεται ο Πολικός αστέρας (Polaris), που είναι το πιο ευδιάκριτο άστρο της περιοχής και ορίζει το άκρο της “ουράς” της Μικρής Άρκτου.

Εύκολα αναγνωρίζεται και ο αστερισμός της Κασσιόπης, με το χαρακτηριστικό σχήμα ανοιχτού W. Η ευθεία που ξεκινά από το κεντρικό άστρο του W, περίπου κάθετα στο μικρότερο σκέλος του, οδηγεί στον Πολικό.

65

7.1.2. Από τα ίσα ύψη ενός άστρου

Κάθε άστρο βρίσκεται στο ίδιο ύψος δυο φορές κάθε 24ωρο και μάλιστα οι δυο αντίστοιχες θέσεις είναι συμμετρικές ως προς τον μεσημβρινό. Αν λοιπόν για δυο θέσεις ίσου ύψους διαβάσουμε τις αναγνώσεις του οριζοντίου δίσκου του θεοδόλιχου, η μέση τιμή τους δίνει την οριζόντια ανάγνωση της διεύθυνσης του μεσημβρινού.

Πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι δεν χρειάζεται γνώση των συντεταγμένων (Φ,Λ) του τόπου ούτε των συντεταγμένων (α,δ) του άστρου. Επειδή όμως το ύψος ενός άστρου μεταβάλλεται αισθητά μόνο σε διευθύνσεις μακριά από τον μεσημβρινό, το μειονέκτημα της μεθόδου είναι ότι πρέπει να μεσολαβήσει μεγάλο χρονικό διάστημα (μερικές ώρες) ανάμεσα στις παρατηρήσεις, με συνέπεια να μη μπορεί να ελεγχθεί η μεταβολή της διάθλασης και να μειώνεται η ακρίβεια του προσδιορισμού.

7.2 Προσδιορισμος απο το αζιμουθιο ενος ουρανιου σωματος Για να προσδιοριστεί το αστρονομικό αζιμούθιο ενός σημείου μέσω του αζιμουθίου ενός ουρανίου σώματος, πρέπει το τελευταίο να υπολογιστεί από το τρίγωνο θέσης. Για το σκοπό αυτό απαιτείται να είναι γνωστό το αστρονομικό πλάτος Φ του σημείου στάσης, η απόκλιση δ του παρατηρούμενου ουρανίου σώματος και να προσδιοριστεί ένα ακόμη στοιχείο, που μπορεί να είναι είτε η ωριαία γωνία του h, είτε η ζενίθια απόστασή του z κάποια χρονική στιγμή. Στην πρώτη περίπτωση απαιτείται, κατ’ αρχήν, γνώση του αστρονομικού μήκους Λ του τόπου και της ορθής αναφοράς α του σώματος, καθώς επίσης και ακριβής προσδιορισμός της χρονικής στιγμής της παρατήρησης. Στην δεύτερη περίπτωση χρειάζεται μέτρηση των μετεωρολογικών συνθηκών, για την διόρθωση της αστρονομικής διάθλασης.

7.2.1 Προσδιορισμός του αζιμουθίου από την ωριαία γωνία

Η ωριαία γωνία δεν μετριέται κατευθείαν. Το μετρούμενο μέγεθος είναι ο χρόνος τη στιγμή της διάβασης του άστρου από το κατακόρυφο νήμα, δηλαδή όταν το άστρο περνάει από γνωστή οριζόντια ανάγνωση. Τότε η ωριαία γωνία είναι, ως γνωστόν:

h = θ + Λ -α Από την επίλυση του τριγώνου θέσης προκύπτει ότι το αστρονομικό αζιμούθιο ΑS του άστρου δίνεται από τη σχέση:

sin htancos tan sin cos hS δ

−Α =

Φ ⋅ − Φ ⋅

Κατά τον υπολογισμό του αζιμουθίου από την σχέση αυτή μπορεί να υπάρχουν συστηματικά σφάλματα από διάφορες πηγές. Συνήθως, οι ουρανογραφικές συντε-ταγμένες (α,δ) του άστρου είναι γνωστές με αρκετή ακρίβεια. Πιθανόν όμως να υπάρχει μικρότερη ακρίβεια (δηλαδή άγνωστο συστηματικό σφάλμα) στις αστρονο-μικές συντεταγμένες (Φ,Λ) ή/και σφάλμα χρονομέτρου. Η τυχόν ύπαρξη τέτοιων σφαλμάτων προκαλεί σφάλμα δΑ στην τιμή του αζιμουθίου.

66

Επειδή τα μεγέθη Φ και h είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα, το δΑ προκύπτει, από τον νόμο μετάδοσης των σφαλμάτων, από την σχέση:

( )2 2hA A Aδ δ δΦ= ± +

όπου τα δΑΦ και δΑh αντιστοιχούν στο σφάλμα του αζιμουθίου μόνο εξ αιτίας του πλάτους Φ και της ωριαίας γωνίας h, αντίστοιχα. Τα επιμέρους αυτά σφάλματα υπολογίζονται με την υπόθεση ότι οι μικρές αυτές ποσότητες σχετίζονται μεταξύ τους με την ίδια συνάρτηση που συνδέει τα αντίστοιχα διαφορικά (απειροστές ποσότητες). Επομένως, η διαφόριση των καταλλήλων σχέσεων του τριγώνου θέσης οδηγεί στους ακόλουθους τύπους για τα σφάλματα (μετά και από μετατροπή ορισμένων μεγεθών):

sin cotA A zδ δΦ = ⋅ ⋅ Φ

( )cos tan cos cothA A z hδ δ= Φ ⋅ Φ − ⋅ ⋅

Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα:

• Η επίδραση του σφάλματος δΦ στον υπολογισμό του αζιμουθίου εξαρτάται από το αζιμούθιο και το ύψος στα οποία παρατηρείται το άστρο. Το σφάλμα δΑΦ μεγαλώνει όσο μικραίνει η ζενίθια απόσταση του άστρου, ενώ μηδενίζεται για Α=0ο ή 180ο, δηλαδή όταν το άστρο περνάει από τον μεσημβρινό.

• Το μέγεθος της επίδρασης του σφάλματος δh στην ακρίβεια του αζιμουθίου εξαρτάται και από τη θέση στην οποία παρατηρείται το άστρο και από το πλάτος του τόπου. Το σφάλμα δΑh μηδενίζεται όταν tan cos cotA zΦ = ⋅ , που ισχύει όταν η παραλλακτική γωνία του άστρου είναι 90ο, δηλαδή όταν παρατηρείται κατά τη μέγιστη αποχή του.

Οι δύο παραπάνω συνθήκες είναι αντιφατικές και δεν μπορεί να πληρούνται ταυτόχρονα. Όμως με παρατήρηση δύο αστέρων ίδιας, κατά το δυνατόν, απόκλισης δ στην θέση μέγιστης αποχής (ενός στην ανατολική και ενός στη δυτική θέση) τα σφάλματα δΑΦ είναι αντίθετα και τα σφάλματα δΑh μηδενίζονται. Επομένως, ο μέσος όρος του αζιμουθίου που προσδιορίζεται από το ζεύγος των άστρων δεν έχει συστηματικό σφάλμα.

Μια άλλη ειδική περίπτωση είναι ο προσδιορισμός του αζιμουθίου με παρατήρηση του Πολικού. Ο Πολικός αστέρας έχει το πλεονέκτημα ν’ αναγνωρίζεται πολύ εύκολα. Επειδή διαγράφει ένα μικρό κύκλο γύρω από το Βόρειο ουράνιο πόλο, για τόπους του βορείου ημισφαιρίου με μικρά και μεσαία πλάτη, το αζιμούθιό του είναι πάντα κοντά στο 0. Επομένως, όταν και η ζενίθια απόστασή του είναι μεγάλη (πράγμα που συμβαίνει επίσης σε μικρά και μεσαία πλάτη) η επίδραση του δΦ στο σφάλμα του αζιμουθίου είναι αμελητέα. Επιπλέον, για μικρά πλάτη (οπότε και ο πόλος βρίσκεται σε μικρό ύψος), η επίδραση του δh στο σφάλμα του αζιμουθίου είναι επίσης μικρή. Τέλος, επειδή ο Πολικός διαγράφει μικρό κύκλο, κινείται πολύ αργά και, κατά συνέπεια, διευκολύνεται η σκόπευση. Συνεπώς, ο Πολικός είναι ιδιαίτερα κατάλ-ληλος στόχος για τον προσδιορισμό του αζιμουθίου από τόπους όπως η Ελλάδα.

Εκτός από τα συστηματικά σφάλματα των δεδομένων, σε κάθε διαδικασία παρατήρησης υπεισέρχονται και άλλα σφάλματα, όπως τα ακόλουθα:

1. Τα σφάλματα του οργάνου (συνθήκες θεοδόλιχου, οριζοντίωση, βαθμονόμηση δίσκου)

67

2. Το σφάλμα λήψης του χρόνου από το χρονόμετρο

3. Το σφάλμα σκόπευσης δs, που προκαλεί σφάλμα στον υπολογισμό του αζιμουθίου ίσο με

sinsz

δδΑ =

Τα σφάλματα αυτά μπορούν να απαλειφθούν ή να ελαττωθούν με τις γνωστές, από τις τοπογραφικές μετρήσεις, μεθόδους και με την αύξηση του πλήθους των παρατηρήσεων.

7.2.2. Προσδιορισμός του αζιμουθίου από τη ζενίθια απόσταση

Όταν δεν μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια ο χρόνος παρατήρησης ή δεν είναι γνωστό το αστρονομικό μήκος Λ, αντί να χρησιμοποιηθεί η ωριαία γωνία μπορεί να μετρηθεί η ζενίθια απόσταση z του ουρανίου σώματος S. Σ’ αυτή την περίπτωση, το αζιμούθιο του S δίνεται από τη σχέση:

sin sin coscoscos sinS

zz

δ − Φ ⋅Α =

Φ ⋅

Στην περίπτωση αυτή, οι κύριες πηγές συστηματικών σφαλμάτων είναι το σφάλμα δΦ στο πλάτος και το σφάλμα δR στην εκτίμηση της διάθλασης, που δημιουργεί ένα συστηματικό σφάλμα δz στη διορθωμένη για διάθλαση ζενίθια απόσταση. Το συνολικό σφάλμα υπολογίζεται από την σχέση:

( )2 2zA A Aδ δ δΦ= ± +

Αντίστοιχα με όσα αναφέρθηκαν στην προηγούμενη ενότητα, με διαφόριση της σχέσης υπολογισμού του αζιμουθίου, προκύπτουν οι εξής τύποι για τα σφάλματα:

( )1 cot cos tansin

A z AA

δ δΦ = ⋅ − ⋅ Φ ⋅ Φ

( )1 tan cos cotsinzA A z

Azδ δ−

= ⋅ Φ − ⋅ ⋅

Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα:

• όταν , που ισχύει όταν η ωριαία γωνία του άστρου είναι 6cot cos tanz = Α ⋅ Φ h (90ο) ή 18h (270ο), μηδενίζεται η επίδραση του σφάλματος δΦ στον υπολογισμό της τιμής του αζιμουθίου

• όταν , που ισχύει όταν το άστρο παρατηρείται στη μέγιστη αποχή του, ένα σφάλμα δz στη ζενίθια απόσταση (που μπορεί να προέρχεται από σφάλμα δείκτη του οργάνου αλλά, κυρίως, από σφάλμα στη διόρθωση για την αστρονομική διάθλαση) δεν επιδρά στην υπολογιζόμενη τιμή του αζιμουθίου.

tan cos cot zΦ = Α ⋅

• Σε κάθε περίπτωση, το σφάλμα δΑ είναι ελάχιστο όταν το sinA είναι απόλυτα μέγιστο, δηλαδή όταν Α=90ο ή 270ο (παρατήρηση στον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο).

68

Οι δύο πρώτες συνθήκες πληρούνται ταυτόχρονα μόνο στην ειδική περίπτωση που παρατηρείται ένα άστρο στον ορίζοντα τόπου που βρίσκεται στον Ισημερινό. Σε άλλους τόπους, για να εξαλειφθεί η επίδραση και των δύο σφαλμάτων (δΑz και δΑΦ), εκλέγονται και παρατηρούνται δύο άστρα σε ειδικές σχετικές θέσεις (z1 = z2 και Α1 = 360ο - Α2). Λόγω της ύπαρξης του όρου sinA στα σφάλματα, σχηματίζοντας το μέσο όρο των τιμών των δύο αζιμουθίων από τις συμμετρικές ως προς τον μεσημβρινό θέσεις, εξαλείφεται η επίδραση των σφαλμάτων.

Ανακεφαλαίωση • Ο προσδιορισμός του αζιμουθίου μιας διεύθυνσης γίνεται έμμεσα, με την βοήθεια

του αζιμουθίου ενός ουρανίου σώματος, όπως αυτό παρατηρείται κάποια χρονική στιγμή.

• Για τον υπολογισμό του αζιμουθίου ενός άστρου πρέπει να είναι γνωστά, τουλάχιστον, το πλάτος του τόπου και η απόκλιση του άστρου. Επιπλέον, πρέπει να υπολογιστεί η ωριαία γωνία του άστρου ή να μετρηθεί η ζενίθια απόστασή του σε κάποια χρονική στιγμή.

• Αν χρησιμοποιηθεί η ωριαία γωνία (που είναι η συνηθέστερη περίπτωση), πρέπει να είναι επιπλέον γνωστά το μήκος του τόπου και η ορθή αναφορά του άστρου και να μετρηθεί ο χρόνος παρατήρησης. Τυχόν συστηματικά σφάλματα στην ωριαία γωνία ή το πλάτος αντιμετωπίζονται με συμμετρικές, ως προς τον μεσημβρινό, παρατηρήσεις άστρων στη μέγιστη αποχή τους.

• Ειδική περίπτωση της μεθόδου αυτής είναι η παρατήρηση του Πολικού αστέρα.

• Αν μετρηθεί η ζενίθια απόσταση, χρειάζεται διόρθωση για την επίδραση της διάθλασης. Τυχόν συστηματικά σφάλματα στο πλάτος ή την ζενίθια απόσταση αντιμετωπίζονται με συμμετρικές, ως προς τον μεσημβρινό, παρατηρήσεις άστρων κοντά στον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο.

69

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ

8.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζεται ότι το αστρονομικό πλάτος ενός τόπου είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της κατακορύφου του τόπου και του επιπέδου του ουράνιου Ισημερινού. Ο προσδιορισμός του πλάτους με παρατήρηση κάποιου άστρου μπορεί να γίνει εφ’ όσον είναι γνωστά τρία τουλάχιστον στοιχεία του τριγώνου θέσης. Τα στοιχεία αυτά, συνήθως, είναι: η απόκλιση δ του άστρου, η μετρούμενη ζενίθια απόσταση z και η υπολογιζόμενη (από τον χρόνο παρατήρησης) ωριαία γωνία h. Η βασική σχέση που συνδέει τα στοιχεία αυτά με το πλάτος Φ είναι :

cos sin sin cos cos coshz δ δ= ⋅ Φ + ⋅ Φ ⋅

Για τον προσδιορισμό των ευνοϊκότερων συνθηκών παρατήρησης πρέπει να εξεταστούν οι επιδράσεις των συστηματικών σφαλμάτων, που στην περίπτωση αυτή είναι τα σφάλματα δz και δh. Για τον υπολογισμό τους, σχηματίζουμε τα μερικά διαφορικά της παραπάνω σχέσης και μετά από κάποιες αντικαταστάσεις προκύπτουν οι τύποι:

1cosz z

Aδ δ−Φ = ⋅

cos tanh A hδ δΦ = − Φ ⋅ ⋅

Φυσικά, το συνολικό σφάλμα του πλάτους δίνεται από την σχέση:

( )2 2z hδ δ δΦ = ± Φ + Φ

Από τις σχέσεις αυτές βγαίνουν τα εξής σημαντικά συμπεράσματα:

Το σφάλμα δΦz γίνεται ελάχιστο (ίσο με το δz) όταν Α = 0° ή Α = 180°, δηλαδή κατά την μεσημβρινή διάβαση.

•

• Επίσης, το σφάλμα δΦh μηδενίζεται όταν Α = 0° ή Α = 180°.

Επομένως, ο προσδιορισμός του πλάτους με μέτρηση της ζενίθιας απόστασης πρέπει να γίνεται την στιγμή της μεσημβρινής διάβασης του άστρου ή πολύ κοντά σ’ αυτήν. Επί πλέον, την στιγμή της μεσημβρινής διάβασης, το τρίγωνο θέσης εκφυλίζεται σε μια τριάδα τόξων του μεσημβρινού που σχετίζονται μεταξύ τους με απλές αλγεβρικές σχέσεις, στις οποίες δεν υπεισέρχεται η ωριαία γωνία.

8.2 Προσδιορισμός του πλάτους από μεσημβρινές ζενίθιες αποστάσεις Όπως φαίνεται στα σχήματα 8.1 και 8.2 (προβολές στο επίπεδο του μεσημβρινού), το πλάτος υπολογίζεται από τα δ και z με τις σχέσεις:

1. Φ = δ – z , για την περίπτωση άνω μεσουράνησης βόρεια του ζενίθ.

2. Φ = δ + z , για την περίπτωση άνω μεσουράνησης νότια του ζενίθ.

Προφανώς, και οι σχέσεις αυτές συνεπάγονται ότι δΦ = ± δz (όπως προκύπτει και από τους γενικούς τύπους). Επειδή το μεγαλύτερο μέρος ενός πιθανού σφάλματος δz

70

οφείλεται στην διόρθωση για την αστρονομική διάθλαση, η επίδρασή του μπορεί να εξαλειφθεί αν παρατηρηθεί ένα ζευγάρι άστρων, που να μεσουρανούν εκατέρωθεν του ζενίθ στην ίδια απόσταση και με μικρή διαφορά χρόνου (ώστε να είναι ίδια η διόρθωση της διάθλασης).

Σχήμα 8.1 Σχήμα 8.2

Άμεση εφαρμογή των αρχών αυτών γίνεται κατά τον προσδιορισμό πλάτους με την μέθοδο Sterneck. Στην μέθοδο αυτή παρατηρούνται πολλά ζεύγη άστρων (48 ως 72 κάθε νύκτα), χωρισμένα σε ομάδες (συνήθως έξι), έτσι ώστε να υπάρχει έλεγχος και διόρθωση των συστηματικών σφαλμάτων του οργάνου (όπως το σφάλμα διαίρεσης και το σφάλμα δείκτου του κατακορύφου κύκλου). Κάθε ζευγάρι άστρων (βόρειο Ν και νότιο S) δίνει μια τιμή για το πλάτος, από την σχέση:

2 2N S S Nz zδ δ+ −

Φ = +

Η μέση τιμή του πλάτους από όλα τα ζευγάρια είναι απαλλαγμένη από συστηματικά σφάλματα, ενώ το τυχαίο σφάλμα της είναι συνήθως μικρότερο από 0΄΄.5.

Οι σύγχρονοι γεωδαιτικοί σταθμοί (total stations), που έχουν δυνατότητα για αυτόματη ψηφιακή ανάγνωση και καταγραφή των γωνιών, επιτρέπουν τη λήψη μεγάλου πλήθους παρατηρήσεων κάθε άστρου γύρω από την μεσημβρινή του διάβαση. Η ζενίθια γωνία την στιγμή της διάβασης μπορεί να υπολογιστεί με προσαρμογή κατάλληλου πολυωνύμου στα μετρημένα ζεύγη τιμών (ΟΓ, z), όπως φαίνεται στο σχήμα 8.3. Με τον τρόπο αυτό μειώνονται δραστικά τα τυχαία σφάλματα της παρατήρησης κάθε μεσουράνησης και η μέθοδος μπορεί να δώσει την τιμή του πλάτους με ακρίβεια πρώτης τάξης (σφάλμα μικρότερο από 0΄΄.1).

Στην μέθοδο Sterneck χρησιμοποιούνται οι ζενίθιες (κατακόρυφες) αναγνώσεις του θεοδολίχου σε κάθε άστρο. Όταν απαιτείται ακόμα μεγαλύτερη ακρίβεια με χρήση κλασσικού θεοδολίχου, χρησιμοποιείται μια παραλλαγή της μεθόδου αυτής, που λέγεται μέθοδος Horrebow - Talcott. Σ’ αυτήν, τα άστρα κάθε ζεύγους πρέπει να μεσουρανούν σε τόσο παρόμοιες ζενίθιες αποστάσεις ώστε να μπορούν να

71

παρατηρηθούν (διαδοχικά) με απλή περιστροφή του οργάνου κατά 180°, χωρίς να μεταβληθεί η κατακόρυφη γωνία του τηλεσκοπίου. Με τον τρόπο αυτό δεν χρειάζεται η κατακόρυφη ανάγνωση του θεοδολίχου αλλά μόνον η διαφορά των υψών μεσουράνησης των δύο άστρων στο οπτικό πεδίο, που προσδιορίζεται, με μεγάλη ακρίβεια, με τη βοήθεια ενός μικρομέτρου στο προσοφθάλμιο. Επιπλέον, γίνεται αυστηρότερος έλεγχος της διατήρησης της οριζοντίωσης του οργάνου με την βοήθεια ειδικής επιβατικής αεροστάθμης (αεροστάθμη Horrebow).

Σχήμα 8.3

Σε όλες τις μεθόδους προσδιορισμού πλάτους από μεσημβρινές ζενίθιες αποστάσεις φαίνεται ότι απαιτείται να είναι γνωστή μόνον η απόκλιση δ κάθε άστρου. Επειδή όμως οι παρατηρήσεις πρέπει να γίνονται στον μεσημβρινό, στην πραγματικότητα πρέπει να έχει προηγηθεί προσανατολισμός του οργάνου που, όπως είδαμε, χρειάζεται και άλλα στοιχεία.

8.3 Προσδιορισμός πλάτους από ζενίθια γωνία άστρου σε τυχαία θέση Σε κάποιες περιπτώσεις δεν είναι δυνατόν να γίνουν παρατηρήσεις στον μεσημβρινό αλλά σε τυχαία θέση (συνήθως όμως κοντά σ’ αυτόν). Στην περίπτωση αυτή το πλάτος πρέπει να προσδιοριστεί από την επίλυση του τριγώνου θέσης. Η κανονική διαδικασία επίλυσης είναι ιδιαίτερα επίπονη γιατί απαιτεί τη χρήση των αναλογιών του Neper. Προτείνεται λοιπόν μια ευκολότερη διαδικασία, που στηρίζεται σε ένα βοηθητικό τόξο ω πάνω στον μεσημβρινό (σχήμα 8.4).

Το ω είναι το τόξο από τον Ισημερινό μέχρι το σημείο προβολής W του άστρου πάνω στον μεσημβρινό (που γίνεται με ένα μέγιστο κύκλο, κάθετο στον μεσημβρινό, που περνά από το άστρο S). Από τα ορθογώνια σφαιρικά τρίγωνα που δημιουργούνται, προκύπτουν οι σχέσεις:

72

tantancosh

δω = και ( ) cos sincossinz ωωδ⋅

Φ − =

Το άθροισμα των τόξων ω και (Φ-ω) δίνει το αστρονομικό πλάτος Φ. Προσοχή χρειάζεται στην σωστή επιλογή τιμών για τα τόξα αυτά [π.χ. θετική ή αρνητική λύση της συνάρτησης arccos(Φ-ω)].

Σχήμα 8.4

Ως προς την επίδραση των σφαλμάτων, ισχύουν όσα αναφέρθηκαν στην εισαγωγή του κεφαλαίου αυτού. Ειδική μνεία πρέπει να γίνει για την περίπτωση του Πολικού αστέρα. Λόγω της ειδικής του θέσης, πολύ κοντά στον Βόρειο Ουράνιο Πόλο, η χρήση του οδηγεί σε μικρά σφάλματα προσδιορισμού του πλάτους, καθώς και σε ευκολία παρατήρησης, όπως αναφέρθηκε διεξοδικά και στο κεφάλαιο προσδιο-ρισμού του αζιμουθίου. Σε συνδυασμό μάλιστα και με παρατήρηση ενός άστρου που να μεσουρανεί νότια του ζενίθ σε αντίστοιχη ζενίθια απόσταση, μπορεί να προκύψει ένας καλός προσδιορισμός πλάτους (δευτέρας τάξεως).

Ανακεφαλαίωση • Ο προσδιορισμός του αστρονομικού πλάτους ενός τόπου γίνεται με την βοήθεια

της ωριαίας γωνίας και της ζενίθιας απόστασης ενός άστρου.

• Οι ευνοϊκότερες συνθήκες προσδιορισμού υπάρχουν κατά την μεσουράνηση του άστρου. Γι’ αυτό οι κυριότερες μέθοδοι προσδιορισμού πλάτους στηρίζονται στη μέτρηση μεσημβρινών ζενιθίων γωνιών (μέθοδος Sterneck, μέθοδος Horrebow – Talcott). Στην περίπτωση αυτή το σημαντικότερο σφάλμα, που προέρχεται από την διόρθωση της διάθλασης, αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του ζενίθ και μπορεί να απαλειφθεί με παρατηρήσεις ζευγών αστέρων που να μεσουρανούν συμμετρικά ως προς το ζενίθ.

73

9. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΗΚΟΥΣ

9.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζεται ότι το αστρονομικό μήκος ενός τόπου είναι η δίεδρη γωνία μεταξύ του αστρονομικού μεσημβρινού του τόπου και του μεσημβρινού του Greenwich. Η γωνία αυτή μπορεί να μετρηθεί στο επιπέδου του ουράνιου Ισημερινού.

Ο προσδιορισμός του μήκους ισοδυναμεί με τον προσδιορισμό του τοπικού αστρικού χρόνου θ0 και την συσχέτισή του με τον αστρικό χρόνο Greenwich θ την ίδια στιγμή:

Λ = θ0 - θ

Ο αστρικός χρόνος Greenwich θ υπολογίζεται, συνήθως, από τον Συντονισμένο Παγκόσμιο Χρόνο την στιγμή της παρατήρησης, ο οποίος μπορεί να προκύψει με ακρίβεια από τις ενδείξεις ενός συγχρονισμένου χρονομέτρου. Απομένει λοιπόν ο προσδιορισμός του τοπικού αστρικού χρόνου θ0, που γίνεται από την ωριαία γωνία h ενός άστρου με γνωστή ορθή αναφορά α, με την βοήθεια της σχέσης: θ0 = α + h

Η ωριαία γωνία υπολογίζεται από το τρίγωνο θέσης του άστρου, στο οποίο είναι γνωστά τα στοιχεία: πλάτος Φ, απόκλιση δ και είτε η ζενίθια απόσταση z είτε το αζιμούθιο Α. Συνήθως μετράται η ζενίθια απόσταση και η ωριαία γωνία δίνεται από την σχέση:

cos sin sincoshcos cosz δ

δ− ⋅ Φ

=⋅ Φ

Για τον προσδιορισμό των ευνοϊκότερων συνθηκών παρατήρησης πρέπει να εξεταστούν οι επιδράσεις των συστηματικών σφαλμάτων, που στην περίπτωση αυτή προέρχονται από τα σφάλματα δz και δΦ. Για τον υπολογισμό τους, σχηματίζουμε τα μερικά διαφορικά της παραπάνω σχέσης και, μετά από κάποιες αντικαταστάσεις, προκύπτουν οι τύποι:

1tan cos

hA

δ δΦ = − ⋅ Φ⋅ Φ

και 1

sin coszh zA

δ δ= − ⋅⋅ Φ

Από τις σχέσεις αυτές βγαίνει το συμπέρασμα ότι η επίδραση των σφαλμάτων γίνεται ελάχιστη όταν Α = 90° ή Α = 270° , δηλαδή όταν οι παρατηρήσεις γίνονται στον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο. Επιπλέον, το πρόσημο των και των δύο σφαλμάτων αλλάζει εκατέρωθεν του μεσημβρινού. Επομένως, ο προσδιορισμός του μήκους (μέσω ωριαίας γωνίας) με μέτρηση της ζενίθιας απόστασης πρέπει να γίνεται σε ζεύγη άστρων, ανατολικά και δυτικά του μεσημβρινού, την στιγμή της διάβασής τους από τον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο.

Η διαδικασία αυτή μπορεί να οδηγήσει σε ικανοποιητικό προσδιορισμό μήκους (δευτέρας τάξεως). Όταν χρειάζεται μεγαλύτερη ακρίβεια (προσδιορισμός πρώτης τάξεως), τότε ο προσδιορισμός του τοπικού αστρικού χρόνου γίνεται με χρονο-μέτρηση των μεσημβρινών διαβάσεων των άστρων, οπότε ισχύει h = 0h ή h = 12h (εξ ορισμού) και, φυσικά, δh = 0.

Στην περίπτωση αυτή, το κύριο συστηματικό σφάλμα είναι το σφάλμα προσανα-τολισμού δΑ του θεοδολίχου στον μεσημβρινό. Αυτό έχει σαν συνέπεια την

74

λανθασμένη εκτίμηση του τοπικού αστρικού χρόνου και μάλιστα με μη γραμμικό τρόπο. Το σφάλμα δθ που οφείλεται στο σφάλμα δΑ υπολογίζεται κατά τα γνωστά με διαφόριση και, τελικά, δίνεται από την σχέση:

sincos

z Aδθ δδ

= ± ⋅ , SouthNorth

+⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

Το σφάλμα αυτό, μαζί με άλλα σφάλματα των μετρήσεων (όπως είναι η κλίση του άξονα του θεοδόλιχου, η κακή ευθυγράμμιση του τηλεσκοπίου κλπ), υπολογίζεται μαζί με το αστρονομικό μήκος κατά την συνόρθωση των παρατηρήσεων. Η διαδικασία αυτή αναφέρεται ως μέθοδος Mayer και χρησιμοποιείται συνήθως για προσδιορισμό ακριβείας.

Σχήμα 9.1

Ειδικότερα, γίνονται παρατηρήσεις (χρονομετρήσεις) της άνω μεσημβρινής διάβασης άστρων, και βόρεια και νότια του ζενίθ, βασισμένες σε έναν προσεγγιστικό προσανα-τολισμό του θεοδόλιχου στον μεσημβρινό. Θεωρώντας το λάθος προσανατολισμού δΑ θετικό αν το μηδέν των αναγνώσεων του θεοδόλιχου βρίσκεται ανατολικά του αστρο-νομικού Βορρά (όπως στο σχήμα 9.1), τότε η χρονομέτρηση των διαβάσεων γίνεται νωρίτερα (για βόρεια μεσουράνηση) ή αργότερα (για νότια μεσουράνηση) από την πραγματική χρονική στιγμή (εκείνη δηλαδή που αντιστοιχεί στην αληθινή θέση του μεσημβρινού του τόπου).

Υπολογίζοντας, επομένως, μια τιμή Λi = αi – θi για το μήκος από κάθε μεσουράνηση, θα υπάρχει συστηματική αλλά μεταβλητή επίδραση του σφάλματος δθi, όπως περιγράφηκε παραπάνω. Η καλύτερη εκτίμηση για το μήκος Λ, όπως και για το σφάλμα προσανατολισμού δΑ, δίνεται από συνόρθωση των εξισώσεων παρατήρησης:

Λi = αi – θi = Λ + Αi δΑ

Οι εξισώσεις αυτές έχουν τη μορφή εξίσωσης ευθείας. Σ’ ένα διάγραμμα (Αi,Λi) τα σημεία που εκφράζουν τις μετρήσεις βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία, η κλίση της οποίας δίνει το σφάλμα προσανατολισμού δΑ. Η τομή της ευθείας αυτής με τον άξονα των Λi (δηλαδή όταν Αi=0) δίνει την καλύτερη εκτίμηση του μήκους Λ.

Ο συντελεστής Αi (συντελεστής Mayer) δίνεται από την σχέση

sincos

ii

i

zAδ

= ±

όπου το πρόσημο + αναφέρεται σε μεσουράνηση νότια του ζενίθ, ενώ το – σε μεσουράνηση βόρεια του ζενίθ.

75

Ας σημειωθεί, τέλος, πως η ύπαρξη συστηματικού σφάλματος στην εκτίμηση του αστρικού χρόνου Greenwich θ της μεσουράνησης κάθε άστρου, που μπορεί να προέλθει από σφάλμα του χρονομέτρου, προκαλεί ένα ισόποσο σφάλμα στην τιμή του μήκους που δεν είναι δυνατόν να απαλειφθεί.

Όπως αναφέρθηκε και στο κεφάλαιο προσδιορισμού του πλάτους, οι σύγχρονοι ψηφιακοί γεωδαιτικοί σταθμοί επιτρέπουν τη λήψη μεγάλου πλήθους παρατηρήσεων κάθε άστρου γύρω από την μεσημβρινή του διάβαση. Αν ο γεωδαιτικός σταθμός μπορεί να καταγράψει με ακρίβεια και τον χρόνο κάθε παρατήρησης (π.χ. στην κλίμακα του Συντονισμένου Παγκόσμιου Χρόνου), τότε η χρονική στιγμή της μεσουράνησης μπορεί να υπολογιστεί με προσαρμογή κατάλληλου πολυωνύμου στα ζεύγη τιμών (ΟΓ, χρόνος), όπως φαίνεται στο σχήμα 9.2. Με τον τρόπο αυτό μειώνονται δραστικά τα τυχαία σφάλματα της χρονομέτρησης κάθε μεσουράνησης και η μέθοδος μπορεί να δώσει την τιμή του μήκους με ακρίβεια πρώτης τάξης (σφάλμα μικρότερο από 0΄΄.1).

Σχήμα 9.2

Ανακεφαλαίωση

• Ο προσδιορισμός του αστρονομικού μήκους ενός τόπου βασίζεται στον προσδιορισμό του τοπικού αστρικού χρόνου και την συσχέτισή του με τον αστρικό χρόνο Greenwich την ίδια στιγμή.

• Κατ’ αρχήν, ο προσδιορισμός του τοπικού αστρικού χρόνου μπορεί να γίνει με την βοήθεια της ωριαίας γωνίας και της ζενίθιας απόστασης ενός άστρου. Οι ευνοϊκότερες συνθήκες προσδιορισμού υπάρχουν κατά την διάβαση του άστρου από τον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο (ανατολικά και δυτικά).

76

• Η ακριβέστερη μέθοδος προσδιορισμού μήκους βασίζεται στην χρονομέτρηση των μεσημβρινών διαβάσεων (μέθοδος Mayer). Το σημαντικότερο σφάλμα στην περίπτωση αυτή είναι το σφάλμα προσανατολισμού του θεοδόλιχου στον μεσημβρινό. Η επίδρασή του εξαλείφεται με την συνόρθωση των εξισώσεων παρατήρησης των διαβάσεων πολλών άστρων.

• Τυχόν συστηματικό σφάλμα χρονομέτρου δεν μπορεί να απαλειφθεί και επηρεάζει αυτούσιο την τιμή του υπολογιζομένου μήκους.

77

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Ολοκληρώνοντας την συνοπτική παρουσίαση των εννοιών και μεθόδων της Γεωδαιτικής Αστρονομίας θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην αξιοποίηση των μεγεθών που προσδιορίστηκαν, δηλαδή το αστρονομικό αζιμούθιο Α μιας διεύθυνσης και τις αστρονομικές συντεταγμένες Φ και Λ ενός σημείου.

Είναι γνωστό ότι το ελλειψοειδές αναφοράς δεν συμπίπτει απόλυτα με το γεωειδές αλλά το προσεγγίζει σε μεγάλο βαθμό. Aυτό σημαίνει ότι η κάθετος στο ελλειψοειδές και η κατακόρυφος στο γεωειδές από το ίδιο σημείο δεν συμπίπτουν. Όσο βέβαια καλύτερα προσαρμόζεται το ελλειψοειδές στο γεωειδές, τόσο περισσότερο οι διευθύνσεις των κατακόρυφων σε διάφορα σημεία πλησιάζουν τις αντίστοιχες καθέτους, έτσι ώστε οι απαραίτητες αναγωγές των μετρήσεων να έχουν μικρότερες τιμές και να υπολογίζονται εύκολα.

Η κάθετος στο ελλειψοειδές συνδέεται με τις γεωδαιτικές συντεταγμένες φ, λ, ενώ η κατακόρυφος συνδέεται με τις αστρονομικές Φ, Λ. Η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ της διεύθυνσης της κατακορύφου και της καθέτου στο ελλειψοειδές αναφοράς, σε κάποιο σημείο της επιφάνειας της γης, ονομάζεται απόκλιση της κατακορύφου (deflection of the vertical) θ. Αν είναι γνωστές οι αστρονομικές συντεταγμένες Φ, Λ ενός σημείου και οι αντίστοιχες γεωδαιτικές φ, λ σε ένα σύστημα αναφοράς, μπορεί να προσδιοριστεί η απόκλιση της κατακορύφου στο σημείο αυτό. Αναλυτικότερα, αν θεωρηθεί μια μοναδιαία σφαίρα, στην οποία Γ και Α είναι τα σημεία τομής της με την κάθετο και την κατακόρυφο, αντίστοιχα, και B το σημείο τομής της με την διεύθυνση του άξονα περιστροφής της Γης, τότε η απόκλιση της κατακορύφου δίνεται από το διάνυσμα ΑΓ .

Αναλύοντας τη γωνία θ σε δύο συνιστώσες ξ και η, τη πρώτη κατά τη διεύθυνση του μεσημβρινού (δηλαδή Βορρά-Νότου) και τη δεύτερη κατά τη διεύθυνση του πρωτεύοντος κατακόρυφου κύκλου (δηλαδή Ανατολής-Δύσης), από το σφαιρικό τρίγωνο ΑΒΔ (σχήμα 10.1) προκύπτει:

sin cos sin( )η ϕ= ⋅ Λ −λ και sin cos sin( )ξ η ϕ= ⋅ Φ −

Κάθετος

θ

ΑνατολήΒορράς

B

η

Α

Κατακόρυφος

μεσημβρινόςGreenwich

Βασικός

γεωδαιτικόςμεσημβρινός

αστρονομικός μεσημβρινός

Γεωδαιτικός ορίζοντας

ξ

90-Φ λΛ

90-φΔΓ

Σχήμα 10.1

78

Επειδή sinη η≈ , cos 1η ≈ , s in ( )λ λΛ − ≈ Λ − , προκύπτει ότι

ξ ϕ= Φ − και ( ) cosη λ ϕ= Λ− ⋅

Κατά τη μέτρηση ενός γεωδαιτικού δικτύου με επίγειες μεθόδους, για να υπολογιστούν οι συντεταγμένες των κορυφών του, οι οριζόντιες και κατακό-ρυφες γωνίες μετρώνται με τον πρωτεύοντα άξονα του θεοδολίχου να υλοποιεί την κατακόρυφο στο σημείο μέτρησης. Επομένως, οι διευθύνσεις του δικτύου που προσδιορίζονται πρέπει να αναχθούν στην κάθετο στο ελλειψοειδές αναφοράς λόγω της απόκλισης της κατακορύφου.

Οι διορθώσεις που πρέπει να γίνονται στα μετρούμενα μεγέθη είναι:

• Στο αζιμούθιο

tan ( sin cos ) tanG η ξ ηΑΔΑ = Α −Α = ⋅ Φ + ⋅ Α− ⋅ Α ⋅ υ

1

• Στην οριζόντια γωνία

2 2 2 1 1( sin cos ) tan ( sin cos ) tanβ ξ η υ ξ ηΔ = ⋅ Α − ⋅ Α ⋅ − ⋅ Α − ⋅ Α ⋅ υ

• Στην κατακόρυφη γωνία

cos sinGz z z ξ ηΑΔ = − = ⋅ Α + ⋅ Α

Στη διόρθωση του αζιμουθίου, ο όρος Φ⋅ tanη ορίζει τη γωνία των δύο μεσημ-βρινών, αστρονομικού και γεωδαιτικού, που περνούν από το σημείο. Ισχύει, λοιπόν, ότι:

( ) sinG λΑΔΑ = Α −Α = Λ − ⋅ Φ

Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως εξίσωση Laplace και επιτρέπει τον προσδιορισμό της διαφοράς ΔΑ, αν είναι γνωστά το αστρονομικό μήκος Λ και το αντίστοιχο γεωδαιτικό λ, και μέσω αυτής την διόρθωση των γεωδαιτικών δικτύων ως προς τον προσανατολισμό τους. Έτσι εξασφαλίζεται ο έλεγχος στροφής των δικτύων 1ης τάξης. Τα σημεία των δικτύων που εφαρμόζεται η εξίσωση αυτή ονομάζονται σημεία Laplace και τα γεωδαιτικά αζιμούθια, που προσδιορίζονται από το αστρονομικό μήκος και το αστρονομικό αζιμούθιο μέσω αυτής της εξίσωσης, ονομάζονται αζιμούθια Laplace.

Σήμερα, με τη χρήση του συστήματος GPS, μπορούν να προσδιοριστούν ταχύτερα και με ακρίβεια οι συντεταγμένες φ, λ, h των σημείων ενός γεωδαιτικού δικτύου στο σύστημα αναφοράς που έχει οριστεί σε κάθε περιοχή της Γης. Τα υψόμετρα όμως είναι γεωμετρικά (h), γεγονός που δεν εξυπηρετεί τις γεωδαιτικές εργασίες σε μεγάλα τμήματα της Φυσικής Γήινης Επιφάνειας (Φ.Γ.Ε.), στις οποίες απαιτείται η γνώση των ορθομετρικών υψομέτρων (Η).

Αυτό είναι και το σημαντικότερο πρόβλημα που αντιμετωπίζει το σύστημα GPS στην ίδρυση ή στην επέκταση τρισδιάστατων δικτύων 1ης και 2ης τάξης, τα οποία αποτελούν την απαραίτητη γεωδαιτική υποδομή για την εκτέλεση γεωδαιτικών εργασιών.

79

Σχήμα 10.2

Για την αναγωγή των γεωμετρικών υψομέτρων σε ορθομετρικά πρέπει να είναι γνωστό το υψόμετρο Ν του γεωειδούς, ώστε μέσα από τη σχέση: h = H + N να προσδιορίζεται το ορθομετρικό υψόμετρο Η σε οποιοδήποτε σημείο στο οποίο έχουν γίνει μετρήσεις με το σύστημα GPS (σχήμα 10.2) Έτσι ελαχιστοποιούνται τα προβλήματα υψομετρικών συνδέσεων μεταξύ δικτύων.

Η τιμή του Ν πρέπει να είναι γνωστή με ακρίβεια αντίστοιχη των γεωδαιτικών εργασιών, κυρίως για περιοχές με μεγάλες μεταβολές στη μορφή του γεωειδούς. Τα γεωδυναμικά μοντέλα, που χρησιμοποιούνται σήμερα, δεν μπορούν, σε πολλές περιπτώσεις, να δώσουν ακριβείς και αξιόπιστες προσεγγίσεις των τιμών Ν, ξ, η σε τμήματα της Γης που παρουσιάζουν έντονο και ανομοιόμορφο τοπογραφικό ανάγλυφο, όπως συμβαίνει στην Ελλάδα. Στις περιπτώσεις αυτές μπορούν να χρησιμοποιηθούν εκτιμήσεις για την μεταβολή ΔΝ του υψομέτρου του γεωειδούς, που προκύπτουν από αξιοποίηση μετρήσεων της απόκλισης της κατακορύφου σε δύο σημεία.

Ο προσδιορισμός της μεταβολής ΔΝ του υψομέτρου του γεωειδούς απαιτεί τον υπολογισμό ενός ολοκληρώματος κατά μήκος της διαδρομής που συνδέει τα δύο σημεία. Η τιμή του ολοκληρώματος είναι ανεξάρτητη της διαδρομής. Για αποστάσεις μικρότερες από 40 km, περίπου, και με την προϋπόθεση ότι μεταξύ των δύο σημείων i και j η μεταβολή της απόκλισης της κατακορύφου είναι ομαλή, η μεταβολή ΔΝ μπορεί να προσδιοριστεί με μια γραμμική παρεμβολή:

38.969 10 cos2 2

i j i jj

ξ ξ η ηϕ λ ϕ−

⎡ ⎤+ +ΔΝ = − ⋅ ⋅ ⋅Δ + ⋅Δ ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

όπου: ΔΝ υπολογίζεται σε μέτρα,

j iϕ ϕ ϕΔ = − , η διαφορά των τιμών του γεωδαιτικού πλάτους σε πρώτα λεπτά μοίρας

j iλ λ λΔ = − , η διαφορά των τιμών του γεωδαιτικού μήκους σε πρώτα λεπτά μοίρας

ξ και η σε δευτερόλεπτα μοίρας.

80

ή

34.848 10 cos sin2 2

i j i jijS

ξ ξ η η−⎡ ⎤+ +

ΔΝ = − ⋅ ⋅ ⋅ Α + ⋅ Α ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

όπου: ΔΝ υπολογίζεται σε μέτρα

Α = το αστρονομικό αζιμούθιο της διεύθυνσης i – j

Sij = η απόσταση μεταξύ των σημείων i – j σε km

ξ και η σε δευτερόλεπτα μοίρας

Μετά τον προσδιορισμό του ΔΝ είναι δυνατή η αναγωγή στην γεωδαιτική επιφάνεια αναφοράς των αποστάσεων S μεταξύ των σημείων ενός δικτύου, αφού πρώτα υπολογιστούν τα υψόμετρα Νi και Νj. Η απαραίτητη διόρθωση είναι:

2i j

ij ij

N NS S

R+

Δ = ⋅⋅

όπου R η ακτίνα καμπυλότητας της επιφάνειας αναφοράς και όλα τα μεγέθη είναι εκφρασμένα στις ίδιες μονάδες μήκους.

Η αναγωγή αυτή επιβάλλεται να γίνεται, ακόμη και για τιμές του υψομέτρου του γεωειδούς της τάξης των 10m, γιατί σε διαφορετική περίπτωση οι παραμορφώσεις στην κλίμακα ξεπερνούν τις αναμενόμενες αβεβαιότητες.

Έτσι είναι σαφές ότι αν, από αστρονομικές παρατηρήσεις, υπολογιστούν οι αστρονομικές συντεταγμένες Φ, Λ ενός σημείου της Φ.Γ.Ε, οι οποίες ορίζονται με μοναδικό τρόπο στο αστρονομικό σύστημα συντεταγμένων, και είναι γνωστές οι αντίστοιχες γεωδαιτικές συντεταγμένες φ, λ σε ένα ελλειψοειδές αναφοράς, μπορούν να υπολογιστούν οι τιμές των συνιστωσών ξ, η της απόκλισης της κατακορύφου και οι μεταβολές ΔΝ του υψομέτρου του γεωειδούς, από σημείο σε σημείο, ως προς το συγκεκριμένο ελλειψοειδές.

Με τον τρόπο αυτό μπορούν να γίνουν όλες οι απαραίτητες διορθώσεις γωνιών, διευθύνσεων και αποστάσεων στα επίγεια γεωδαιτικά δίκτυα.

81

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας

Εισαγωγή Σε πολλά προβλήματα της Χαρτογραφίας, της Ανώτερης Γεωδαισίας, της Γεωδαιτικής Αστρονομίας και της Δορυφορικής Γεωδαισίας εμφανίζονται γεωμετρικά μεγέθη που αναφέρονται σε μια σφαιρική επιφάνεια. Σε αντιστοιχία με την (επίπεδη) Τριγωνομετρία, η Σφαιρική Τριγωνομετρία εξετάζει τις σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του βασικού σχήματος μιας σφαιρικής επιφάνειας, δηλαδή του σφαιρικού τριγώνου.

Υπενθυμίζεται πως όταν ένα επίπεδο τέμνει μια σφαίρα, η τομή είναι πάντα ένας κύκλος. Αν το επίπεδο περνά από το κέντρο της σφαίρας, ο κύκλος λέγεται μέγιστος κύκλος, ενώ στην αντίθετη περίπτωση λέγεται μικρός κύκλος (σχήμα 1). Από δύο τυχαία, μη αντιδιαμετρικά σημεία, μιας σφαίρας περνούν άπειροι μικροί κύκλοι αλλά μόνο ένας μέγιστος, που ορίζει και την συντομότερη διαδρομή μεταξύ των σημείων αυτών. Επομένως, οι γεωδαισιακές γραμμές σε μια σφαίρα είναι μέγιστοι κύκλοι. Αν τα σημεία είναι αντιδιαμετρικά, τότε όλοι οι κύκλοι που περνούν από αυτά είναι μέγιστοι.

Ένα σφαιρικό τρίγωνο ορίζεται από τρία τυχαία σημεία μιας σφαιρικής επιφάνειας που δεν βρίσκονται στον ίδιο μέγιστο κύκλο (κορυφές του τριγώνου) και από τα τρία τόξα μέγιστων κύκλων μεταξύ των σημείων αυτών, ανά ζεύγη (πλευρές του τριγώνου). Ας σημειωθεί πως κάθε πλευρά του σφαιρικού τριγώνου είναι το μικρότερο από τα δύο τόξα στα οποία χωρίζεται κάθε μέγιστος κύκλος (σχήμα 2).

Πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ του μέτρου a κάθε πλευράς, που είναι το ‘γωνιακό’ μέτρο του τόξου του αντίστοιχου μέγιστου κύκλου (δηλαδή το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας) και του μήκους s της πλευράς, δηλαδή του πραγματικού μήκους του τόξου σε

82

μονάδες μήκους (π.χ. σε μέτρα). Τα δύο αυτά μεγέθη συνδέονται μέσω της ακτίνας R της σφαίρας (στις ίδιες μονάδες μήκους):

s = R ⋅ a

Στο εξής, όταν αναφερόμαστε στην πλευρά ενός σφαιρικού τριγώνου θα εννοούμε το μέτρο της.

Τα άλλα τρία βασικά στοιχεία ενός σφαιρικού τριγώνου είναι οι τρεις γωνίες του, που είναι οι δίεδρες γωνίες μεταξύ των επιπέδων των μεγίστων κύκλων που ορίζουν το τρίγωνο. Ισοδύναμα, οι γωνίες αυτές είναι οι αντίστοιχες (επίπεδες) γωνίες που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες των μέγιστων κύκλων σε κάθε κορυφή του τριγώνου.

Παραδοσιακά, οι γωνίες του σφαιρικού τριγώνου συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα, π.χ. A, B, C (όπως οι αντίστοιχες κορυφές), ενώ οι πλευρές του με τα αντίστοιχα πεζά γράμματα, π.χ. a, b, c έτσι ώστε στοιχεία με το ίδιο γράμμα να βρίσκονται απέναντι.

Όπως ήδη αναφέρθηκε, οι πλευρές και οι γωνίες ενός σφαιρικού τριγώνου είναι αδιάστατα μεγέθη (καθαροί αριθμοί) και μετρώνται σε ακτίνια (rad) ή σε συμβατικές μονάδες μέτρησης γωνιών (μοίρες, βαθμοί κλπ.). Από τον ορισμό του σφαιρικού τριγώνου προκύπτει ότι κάθε πλευρά του τριγώνου είναι μικρότερη από π (180°). Από την βασική ιδιότητα των πολικών τριγώνων, που αναφέρεται παρακάτω, συνάγεται ότι και κάθε γωνία του είναι μικρότερη από π.

Σφαιρική υπεροχή

Βασική ιδιότητα ενός σφαιρικού τριγώνου είναι ότι το άθροισμα των γωνιών του είναι πάντα μεγαλύτερο από π. Η διαφορά :

Ε = (A + B + C) - π

λέγεται σφαιρική υπεροχή και είναι ίση με την στερεά γωνία που ορίζει το τρίγωνο, όπως φαίνεται από το κέντρο της σφαίρας. Επομένως, η σφαιρική υπεροχή Ε μπορεί να υπολογιστεί από το εμβαδόν Α του σφαιρικού τριγώνου και την ακτίνα R της σφαίρας :

2

AER

=

Η σφαιρική υπεροχή είναι και αυτή αδιάστατο μέγεθος (καθαρός αριθμός), όπως και η στερεά γωνία, συνήθως όμως εκφράζεται σε μοίρες ή βαθμούς (ή υποδιαιρέσεις τους).

Πολικό τρίγωνο

Σε κάθε μέγιστο κύκλο αντιστοιχεί μία μόνο διάμετρος της σφαίρας που είναι κάθετη στο επίπεδό του. Τα δύο σημεία της σφαιρικής επιφάνειας που ορίζει η διάμετρος αυτή λέγονται πόλοι του μέγιστου κύκλου.

Σε κάθε πλευρά ενός σφαιρικού τριγώνου αντιστοιχούν δύο πόλοι. Για παράδειγμα, στην πλευρά a (BC) αντιστοιχούν οι πόλοι PΑ και PΑ’ , όπου ο πόλος PΑ είναι ο πλησιέστερος προς την κορυφή Α. Με όμοιο τρόπο ορίζονται και τα σημεία (πόλοι) PB και PC. Το σφαιρικό

83

τρίγωνο με κορυφές τα σημεία PΑ , PΒ και PC λέγεται πολικό τρίγωνο του τριγώνου ABC (σχήμα 3).

Μεταξύ των στοιχείων των δύο τριγώνων ισχύει η σπουδαία ιδιότητα ότι: οι πλευρές ενός σφαιρικού τριγώνου είναι παραπληρωματικές των αντίστοιχων γωνιών του πολικού τριγώνου και αντίστροφα :

a = π - Α΄ και Α = π - a΄ κλπ.

Σχέσεις μεταξύ των στοιχείων σφαιρικού τριγώνου

Σε όλες τις σχέσεις μεταξύ των στοιχείων ενός σφαιρικού τριγώνου, που ακολουθούν, μπορεί να εφαρμοσθεί κυκλική μετάθεση των συμβόλων (δηλαδή a → b → c → a κλπ).

1. Ανισώσεις

a. A < B ⇔ a < b

b. A+B > π ⇔ a+b > π

c. | b-c | < a < b+c

d. a+ π > b+c

2. Εξισώσεις

a. sin sin sinsin sin sin

a b cA B C= = [νόμος ημιτόνου]

84

c os cos cos sin sin cosa b c b c= ⋅ + ⋅ ⋅ A

b. και [νόμος συνημιτόνου ή Gauss]

cos cos cos sin sin cosA B C B C= − ⋅ + ⋅ ⋅ a

A

sin cos cos sin sin cos cosa B b c b c⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅

c. και [τύπος των 5 στοιχείων]

sin cos cos sin sin cos cosA b B C B C⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ a

C

d. cos cos sin cot sin cota B a c B⋅ = ⋅ − ⋅

sin cos2 2tan tan tan

2 2 2sin cos2 2

B C Ba b c b c

C

B C B C

+ +− +

= ⋅ = ⋅− −

e. και [αναλογίες του Neper]

sin cos

2 2tan cot cot2 2 2sin cos

2 2

b c b cA B C B C

b c b c

− −− +

= ⋅ = ⋅+ +

cos cos

2 2sin cos sin2 2 2cos sin

2 2

B C BA a a

b c b c

C+ −

= ⋅ = ⋅+ +

f. και [αναλογίες του Delambre]

sin sin

2 2cos cos sin2 2 2cos sin

2 2

B C BA a a

b c b c

C+ −

= ⋅ = ⋅− −

3. Άλλες σχέσεις

Έστω p η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλ. : p = ½ (a + b + c) . Τότε :

a. 2tan tan tan tan tan4 2 2 2 2E p p a p b p c− − −= ⋅ ⋅ ⋅

85

b. 2sin sin

2 2tan2 sin sin

2 2

E EAa

E EB C

⎛ ⎞⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞ ⎛− ⋅ −⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

, όπου Ε είναι η σφαιρική υπεροχή.

c. ( ) ( )( ) ( )

2 sin sincos

2 sin sinp p aA

b c⋅ −

=⋅

d. ( ) ( )( ) ( )

2 sin sintan

2 sin sinp b pA c

p p a− ⋅ −

=⋅ −

[τύποι του Borda]

Ορθογώνια - ορθόπλευρα τρίγωνα

Αν κάποια (-ες) γωνία ή πλευρά του τριγώνου είναι ορθή (90°) έχουμε ένα ορθογώνιο (ή δισ- ή τρισορθογώνιο) ή ένα ορθόπλευρο (ή δισ- ή τρισορθόπλευρο) σφαιρικό τρίγωνο. Στην περίπτωση αυτή οι τύποι που συνδέουν τα στοιχεία του τριγώνου απλοποιούνται σημαντικά, π.χ.

Σε ορθογώνιο σφαιρικό τρίγωνο ( Α = 90°) :

cos cos cos cot cotsin sin sin tan cotsin sin sin tan cotcos cos sin tan cotcos cos sin tan cot

a b c Bb a B c Cc a C b

C

BB b C cC c B b

= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅

aa

Με τη βοήθεια της βασικής ιδιότητας των πολικών τριγώνων μπορούν να γραφούν αντίστοιχες σχέσεις για ένα ορθόπλευρο τρίγωνο ( a = 90° ).

Επιλύσεις σφαιρικών τριγώνων

Αν είναι γνωστά τρία από τα βασικά στοιχεία ενός σφαιρικού τριγώνου, μπορούμε να υπολογίσουμε τα υπόλοιπα. Η εργασία αυτή λέγεται επίλυση του σφαιρικού τριγώνου και γίνεται με χρήση των κατάλληλων από τους τύπους που αναφέρθηκαν παραπάνω. Λόγω του πλήθους των ισοδυνάμων τύπων, η διαδικασία επίλυσης μπορεί να γίνει με πολλούς τρόπους. Για διευκόλυνση, αναφέρουμε μερικούς.

Α. Γενικά: 1) Όπου είναι δυνατόν, ο υπολογισμός των αγνώστων να γίνεται από το συνημίτονο ή την εφαπτομένη, που δίνουν μονοσήμαντη λύση στην περιοχή -90° ως +90°.

86

2) Επίσης, όπου είναι δυνατόν, ο υπολογισμός να γίνεται από την εφαπτομένη σε μορφή λόγου δύο μεγεθών, οπότε υπολογίζεται μονοσήμαντα το σωστό τεταρτημόριο της λύσης (από τα πρόσημα αριθμητή και παρανομαστή).

3) Στις περιπτώσεις διπλών λύσεων, χρήση των σχέσεων ανισότητας μεταξύ των στοιχείων επιτρέπει την απόρριψη κάποιας λύσης που δεν είναι δεκτή.

Β. Προτάσεις για ειδικές περιπτώσεις :

1) Δίνονται τα a , b , c και ζητούνται τα A , B , C : Χρησιμοποιούμε το νόμο συνημιτόνου (2.b.1)

2) Δίνονται τα A , B , C και ζητούνται τα a , b , c : Χρησιμοποιούμε το νόμο συνημιτόνου (2.b.2)

3) Δίνονται τα A , b , c και ζητούνται τα a , B , C : Χρησιμοποιούμε το νόμο συνημιτόνου (2.b.1) για την πλευρά a και τον τύπο των 5 στοιχείων (2.c.1) για τα B και C.

4) Δίνονται τα a , B , C και ζητούνται τα A , b , c : Χρησιμοποιούμε το νόμο συνημιτόνου (2.b.2) για την γωνία A και τον τύπο των 5 στοιχείων (2.c.2) για τα b και c.

5) Δίνονται τα a , b , A και ζητούνται τα c , B , C : Χρησιμοποιούμε το νόμο ημιτόνου (2.a.) για την γωνία Β (προσοχή στις δύο πιθανές λύσεις !) και τις αναλογίες Neper, (2.e.1) για το c και (2.e.2) για το C.

6) Δίνονται τα a , A , B και ζητούνται τα b , c , C : Χρησιμοποιούμε το νόμο ημιτόνου (2.a.) για την πλευρά b (προσοχή στις δύο πιθανές λύσεις !) και τις αναλογίες Neper, (2.e.1) για το c και (2.e.2) για το C.

87

Επιλογή Βιβλιογραφίας

1. Γενική Αστρονομία

• L. W. Fredrick & R. H. Baker : An Introduction to Astronomy (8th ed.), D. Van Nostrand, 1974

• A. E. Roy & D. Clarke : Astronomy: Principles and Practice (3rd ed.), Institute of Physics Publishing, 1988

• J. Audouze & G. Israel (eds) : The Cambridge Atlas of Astronomy (2nd ed.), Cambridge University Press, 1988

• D. Scott-Birney : Observational Astronomy , Cambridge University Press, 1991

• S. P. Maran (ed) : The Astronomy & Astrophysics Encyclopedia , Cambridge Univ. Press, 1992

• Karttunen, Kroger et al (eds) : Fundamental Astronomy (2nd ed.), Springer Verlag, 1994

• G. D. Roth (ed) : Compendium of Practical Astronomy - vol. I , Springer Verlag, 1994

• G. North : Astronomy explained , Springer Verlag, 1997

• C. Audoin & B. Guinot : The measurement of time , Cambridge University Press, 2001

2. Γεωδαιτική Αστρονομία

• R. E. Davis, F. S. Foote & J. W. Kelly : Surveying: Theory and Practice , McGraw Hill, 1966

• E. W. Woolard & G. M. Clemence : Spherical Astronomy , Academic Press , 1966

• I. Mueller : Spherical and Practical Astronomy as applied to Geodesy , Frederick Ungar Publ. Co., 1969

• Ramsayer : Geodätische Astronomie - Band IIa des ‘ Handbuch der Vermessungskunde (Jordan, Eggert & Kneissl , eds), Metzlersche Verlagsbuchhandlung, 1970

• W. M. Smart : Textbook on Spherical Astronomy , Cambridge Univ. Press, 1977

• R. Sigl : Geodätische Astronomie , Herbert Wichmann Verlag, 1978

• R. M. Green : Spherical Astronomy , Cambridge Univ. Press, 1985

• Ε. Λάμπρου : Ανάπτυξη μεθοδολογίας αστρογεωδαιτικών προσδιορισμών με ψηφιακά γεωδαιτικά όργανα , Διδακτορική Διατριβή, ΣΑΤΜ / ΕΜΠ , 2003

• Φ. Καλλιανού : Συστήματα και πλαίσια αναφοράς στη Γεωδαιτική Αστρονομία – Οι διεθνείς συμβάσεις , Διπλωματική εργασία, ΣΑΤΜ / ΕΜΠ , 2006