1

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Ε.2 ΣΥΝΟΛΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Ι 1. Στους παρακάτω πίνακες να συμπληρώσετε με το σύμβολο " " εκείνα τα

τετραγωνάκια των οποίων ο αντίστοιχος αριθμός ανήκει στο αντίστοιχο σύνολο.

2. Πώς ονομάζονται οι αριθμοί για τους οποίους έχουν συμπληρωθεί τα

τετραγωνάκια μόνο της τελευταίας γραμμής;

3. Να χρησιμοποιήσετε τα διαγράμματα του Venn για να παραστήσετε τις

διαδοχικές σχέσεις εγκλεισμού των συνόλων Ν, Ζ, Q και ℝ και να τοποθετήσετε

μέσα σε αυτά τους αριθμούς αυτούς.

5,3 0 10

5

13

1,2 5

20 100 5

Ν

Ζ

Q

R

Απάντηση

1. Mε ℕ συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, με ℤ το σύνολο των

ακεραίων αριθμών, με ℚ το σύνολο των ρητών αριθμών και με ℝ το σύνολο των

πραγματικών αριθμών. Τα τέσσερα αυτά σύνολα αριθμών ορίζονται ως εξής:

ℕ ={0,1,2,3,4,5,...}

ℤ ={...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...}

ℚ={ 0νκαιΖνμ, όπου,

}

Το σύνολο ℝ είναι η ένωση του συνόλου των ρητών αριθμών και του

συνόλου των άρρητων αριθμών. Άρρητος ονομάζεται ένας αριθμός που δεν

μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με ακέραιους όρους.

Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς των συνόλων ο πίνακας συμπληρώνεται ως

εξής:

2

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

5,3 0 10

5

13

1,2 5

20 100 5

Ν

Ζ

Q

R

2. Οι αριθμοί για τους οποίους έχουν συμπληρωθεί τα τετραγωνάκια μόνο της

τελευταίας γραμμής ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών ℝ και όχι στο

σύνολο των ρητών αριθμών ℚ. Εφόσον το σύνολο ℝ είναι η ένωση του συνόλου των

ρητών αριθμών και του συνόλου των άρρητων αριθμών, οι αριθμοί για τους οποίους

έχουν συμπληρωθεί τα τετραγωνάκια μόνο της τελευταίας γραμμής ονομάζονται

άρρητοι.

3. Οι διαδοχικές σχέσεις εγκλεισμού των συνόλων Ν, Ζ, Q και ℝ φαίνονται στο

παρακάτω σχήμα:

ΙΙ Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συμπληρώσετε τις ισότητες.

1. Αν Α= {x ℕ | x διαιρέτης του 16} και Β= {x ℕ |x διαιρέτης του 24} , τότε:

α) ΑUΒ =…………………… β) Α ∩ Β =………………………

2. Ας θεωρήσουμε ως βασικό σύνολο το σύνολο Ω των γραμμάτων του ελληνικού

αλφαβήτου και τα υποσύνολά του

Α= {x Ω| x φωνήεν} και Β= {xΩ| x σύμφωνο}.

Τότε:

α) ΑUΒ = ....... β) Α ∩ Β = ...... γ) Α΄ = ...... δ) B΄ = ......

3

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

Απάντηση

1.

α) Είναι γνωστό ότι κάθε φυσικός αριθμός που διαιρεί ακριβώς έναν άλλο φυσικό

αριθμό λέγεται διαιρέτης του. Το σύνολο Α περιέχει ως στοιχεία τους διαιρέτες του

αριθμού 16. Οι αριθμοί οι οποίοι είναι διαιρέτες του αριθμού 16 είναι οι 1,2,4,8

και16. Το σύνολο Β περιέχει ως στοιχεία τους διαιρέτες του αριθμού 24. Οι αριθμοί

οι οποίοι είναι διαιρέτες του αριθμού 24 είναι οι 1,2,3,4,6,8,12 και 24. Η ένωση του

συνόλου Α με το Β θα είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν

τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β, άρα θα περιέχει όλα τα στοιχεία του Α

και του Β. Επομένως θα ισχύει: ΑUΒ ={1,2,3,4,6,8,12,16,24}.

β) Η τομή του συνόλου Α με το Β θα είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που

ανήκουν και στα δύο σύνολα Α και Β. Άρα θα περιέχει μόνο τους αριθμούς που είναι

κοινοί και στα δύο σύνολα. Επομένως θα ισχύει: Α ∩ Β = {1,2,4,8}.

2.

α) Από τους ορισμούς των συνόλων όπως δίνονται στην εκφώνηση, το σύνολο Α

αποτελείται από όλα τα φωνήεντα ενώ το σύνολο Β από όλα τα σύμφωνα. Η ένωση

του συνόλου Α με το Β θα είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν

τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α (φωνήεντα) και Β (σύμφωνα). Επομένως θα

είναι όλα τα φωνήεντα και όλα τα σύμφωνα, δηλαδή όλα τα γράμματα του ελληνικού

αλφαβήτου. Άρα ΑUΒ = {x Ω| x γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου}. β) Η τομή του συνόλου Α με το Β θα είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που

ανήκουν και στα δύο σύνολα Α (φωνήεντα) και Β (σύμφωνα). Η τομή αυτή όμως θα

είναι το κενό σύνολο καθώς ένα γράμμα δε μπορεί να είναι ταυτόχρονα και φωνήεν

και σύμφωνο. Δηλαδή θα ισχύει: Α∩Β = ∅. γ) Το συμπλήρωμα του συνόλου Α θα είναι το σύνολο που έχει ως στοιχεία τα

στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α. Δηλαδή θα περιέχει τα σύμφωνα, θα είναι

δηλαδή ίσο με το σύνολο Β. Άρα θα έχουμε: Α΄ ={xΩ| x σύμφωνο}=Β.

δ) Το συμπλήρωμα του συνόλου Β θα είναι το σύνολο που έχει ως στοιχεία τα

στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Β. Δηλαδή θα περιέχει τα φωνήεντα, θα είναι

δηλαδή ίσο με το σύνολο Α. Άρα θα έχουμε: Β΄ ={xΩ| x φωνήεν}=Α.

III Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να βάλετε σε κύκλο τις σωστές

απαντήσεις.

1. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Τότε: α) BAA β) BAB γ) ABA

δ) BBA

2. Έστω δύο σύνολα Α και Β . Τότε: α) BAA β) BBA γ) ABA

δ) BBA

Απάντηση

1.

α) BAA Η συγκεκριμένη έκφραση διαβάζεται ως εξής: Το σύνολο Α είναι

υποσύνολο της τομής των συνόλων Α και Β. Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία τομή

των υποσυνόλων Α, Β λέγεται το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν και στα δύο

σύνολα Α, Β. Το σύνολο Α θα είναι υποσύνολο της τομής των συνόλων Α και Β,

όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο της τομής των συνόλων Α και Β. Όμως

4

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

κάτι τέτοιο δεν ισχύει γιατί στην τομή των συνόλων Α και Β δεν περιλαμβάνονται

όλα τα στοιχεία του συνόλου Α. Άρα η παραπάνω έκφραση είναι Λάθος .

β) BAB Η συγκεκριμένη έκφραση διαβάζεται ως εξής: Το σύνολο Β είναι

υποσύνολο της τομής των συνόλων Α και Β. Ομοίως όπως και στο προηγούμενο

υποερώτημα α ισχύει ότι στην τομή των συνόλων Α και Β δεν περιλαμβάνονται όλα

τα στοιχεία του συνόλου Β. Άρα το σύνολο Β δεν είναι υποσύνολο της τομής των

συνόλων Α και Β άρα η παραπάνω έκφραση είναι Λάθος.

γ) ABA Η συγκεκριμένη έκφραση διαβάζεται ως εξής: Η τομή των συνόλων Α

και Β είναι υποσύνολο του συνόλου Α. Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία, τομή των

υποσυνόλων Α, Β λέγεται το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν και στα δύο σύνολα

Α, Β. Η τομή των συνόλων Α και Β θα είναι υποσύνολο της τομής των συνόλων Α

και Β, αν κάθε στοιχείο του BA είναι και στοιχείο του συνόλου Α, γεγονός που

ισχύει (στην τομή των συνόλων Α και Β περιέχονται όλα τα στοιχεία του συνόλου Α).

Άρα η παραπάνω έκφραση είναι Σωστή.

δ) BBA Η συγκεκριμένη έκφραση διαβάζεται ως εξής: Η τομή των συνόλων Α

και Β είναι υποσύνολο του συνόλου Β. Ομοίως όπως και στο προηγούμενο

υποερώτημα γ ισχύει ότι στην τομή των συνόλων Α και Β περιέχονται όλα τα

στοιχεία του συνόλου Α. Άρα η παραπάνω έκφραση είναι Σωστή.

2.

α) BAA Η συγκεκριμένη έκφραση διαβάζεται ως εξής: Το σύνολο Α είναι

υποσύνολο της ένωσης των συνόλων Α και Β. Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία,

ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β λέγεται το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν

τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β. Το σύνολο Α θα είναι υποσύνολο της

ένωσης των συνόλων Α και Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο της

ένωσης των συνόλων Α και Β, γεγονός που ισχύει καθώς στην ένωση των συνόλων Α

και Β περιλαμβάνονται όλα τα στοιχεία του συνόλου Α. Άρα η παραπάνω έκφραση

είναι Σωστή.

β) BBA Η συγκεκριμένη έκφραση διαβάζεται ως εξής: Η ένωση των συνόλων

Α και Β είναι υποσύνολο του συνόλου Β. Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία, ένωση

δύο υποσυνόλων Α, Β λέγεται το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν τουλάχιστον σε

ένα από τα σύνολα Α και Β. Άρα η ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β δεν θα είναι

υποσύνολο του Β καθώς στο σύνολο Β δεν περιλαμβάνονται τα στοιχεία του συνόλου

Α. Άρα η παραπάνω έκφραση είναι Λάθος.

γ) ABA Η συγκεκριμένη έκφραση διαβάζεται ως εξής: Η ένωση των συνόλων

Α και Β είναι υποσύνολο του συνόλου Α. Ομοίως όπως και στο παραπάνω

υποερώτημα β, η ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β δεν θα είναι υποσύνολο του Α καθώς

στο σύνολο Α δεν περιλαμβάνονται τα στοιχεία του συνόλου Β. Άρα η παραπάνω

έκφραση είναι Λάθος.

δ) BBA Η συγκεκριμένη έκφραση διαβάζεται ως εξής: Η ένωση των συνόλων

Α και Β είναι υποσύνολο του συνόλου Β. Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία, ένωση

δύο υποσυνόλων Α, Β λέγεται το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν τουλάχιστον σε

ένα από τα σύνολα Α και Β. Άρα η ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β δεν θα είναι

υποσύνολο του Β καθώς στο σύνολο Β δεν περιλαμβάνονται τα στοιχεία του συνόλου

Α. Άρα η παραπάνω έκφραση είναι Λάθος.

5

Το σχολείο στον υπολογιστή σου – sciencephysics4all.weebly.com

IV Σε καθεμιά από τις παρακάτω ερωτήσεις να συμπληρώσετε τις ισότητες.

1. Έστω Ω ένα βασικό σύνολο, ∅ το κενό σύνολο και A .Τότε:

α) ∅΄ = ...... β) Ω΄ = ...... γ) (Α΄)΄ =.....

2. Έστω BA .Τότε α) Α ∩ Β = ...... β) BA = .......

Απάντηση

1. Για να απαντήσουμε τα ερωτήματα α,β,γ πρέπει να γνωρίζουμε ότι συμπλήρωμα

ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω

που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α΄. Άρα:

α) Το συμπλήρωμα το κενού συνόλου θα είναι το σύνολο Ω. Δηλαδή ∅΄ =Ω.

β) Το συμπλήρωμα του συνόλου Ω θα είναι το κενό σύνολο. Δηλαδή Ω΄ =∅. γ) Το συμπλήρωμα του συμπληρώματος του συνόλου Α θα είναι το ίδιο το σύνολο Α.

Δηλαδή (Α΄)΄ =Α.

2. Γνωρίζουμε από τη εκφώνηση ότι το Α είναι υποσύνολο του Β, γεγονός που

σημαίνει ότι κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του συνόλου Β. Άρα:

α) Η τομή των συνόλων Α και Β θα είναι το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν και

στα δύο σύνολα Α, Β. Άρα αφού το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β, η τομή των

συνόλων Α και Β θα είναι το σύνολο Α. Άρα Α ∩ Β =Α.

β) Η ένωση των συνόλων Α, Β θα είναι το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν

τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β. Άρα αφού το σύνολο Α είναι υποσύνολο

του Β, η ένωση των συνόλων Α και Β θα είναι το σύνολο Β, αφού περιλαμβάνει όλα

τα στοιχεία του Α. Άρα BA =Β.