Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

144
Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο νόµοι αερίων - κινητική θεωρία πρέπει να γνωρίζει: [ Ποιο είναι το θερµοδυναµικό σύστηµα που µελετάµε και ποιο είναι το περιβάλλον. [ Ποιο µέγεθος ονοµάζουµε πίεση και ποια είναι η µονάδα µέτρησής της. [ Ποια κατάσταση είναι η µικροσκοπική και ποια η µακροσκοπική. [ Τι δεδοµένα κρύβουν οι λέξεις “ακλόνητα ή ανένδοτα τοιχώµατα”, “αγώγιµα”, “αδιαβατικά ή µονωτικά”. [ Τι είναι το γραµµοµόριο (mol), η γραµµοµοριακή µάζα (Μ), ο αριθµός Avogadro ( ) Α Ν . [ Tη σχέση κλίµακας Kelvin και κλίµακας Kελσίου. [ Τους νόµους των αερίων και τις χρήσιµες σχέσεις που προκύπτουν απ’ αυτούς. [ Να σχεδιάζει τις µεταβολές των αερίων σε διαγράµµατα P -V, P-T, V-T. [ Πώς πραγµατοποιείται κάθε µεταβολή (ισόχωρη, ισοβαρής, ισόθερ- µη). [ Να γράφει την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων και να δια- κρίνει πότε χρησιµοποιούµε την σταθερά L atm R 0,082 mol K = και πότε J R 8,314 mol K = . [ Ποιο αέριο θεωρούµε ιδανικό και τι ιδιότητες έχουν τα ιδανικά αέρια. taexeiola.blogspot.com

description

Φυσική Κατεύθυνσης

Transcript of Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

Page 1: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο νόµοι αερίων - κινητική

θεωρία πρέπει να γνωρίζει:

Ποιο είναι το θερµοδυναµικό σύστηµα που µελετάµε και ποιο είναι τοπεριβάλλον.

Ποιο µέγεθος ονοµάζουµε πίεση και ποια είναι η µονάδα µέτρησήςτης.

Ποια κατάσταση είναι η µικροσκοπική και ποια η µακροσκοπική.

Τι δεδοµένα κρύβουν οι λέξεις “ακλόνητα ή ανένδοτα τοιχώµατα”,“αγώγιµα”, “αδιαβατικά ή µονωτικά”.

Τι είναι το γραµµοµόριο (mol), η γραµµοµοριακή µάζα (Μ), ο αριθµός

Avogadro ( )ΑΝ .

Tη σχέση κλίµακας Kelvin και κλίµακας Kελσίου.

Τους νόµους των αερίων και τις χρήσιµες σχέσεις που προκύπτουναπ’ αυτούς.

Να σχεδιάζει τις µεταβολές των αερίων σε διαγράµµατα P -V, P-T, V-T.

Πώς πραγµατοποιείται κάθε µεταβολή (ισόχωρη, ισοβαρής, ισόθερ-µη).

Να γράφει την καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων και να δια-

κρίνει πότε χρησιµοποιούµε την σταθερά L atm

R 0,082mol K

⋅=⋅

και πότε

JR 8,314

mol K=

⋅.

Ποιο αέριο θεωρούµε ιδανικό και τι ιδιότητες έχουν τα ιδανικά αέρια.

taexeiola.blogspot.com

Page 2: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

10. Nόµοι αερίων - κινητική θεωρία Τύποι - Βασικές έννοιες

Ότι η µέση κινητική ενέργεια των µορίων ενός αερίου, εξαρτάται µόνοαπό τη θερµοκρασία και όχι από το είδος του αερίου.

Να διακρίνει τη µεταβολή του αερίου και να εφαρµόζει τον αντίστοιχονόµο.

Ότι οι γραµµοµοριακές µάζες µετρούνται σε kg

mol.

Συνθήκες s.t.p. είναι: 52

NP 1atm 1,013 10

m= = ⋅ και T 273K= .

Όταν οι θερµοκρασίες πλησιάζουν το απόλυτο µηδέν δεν ισχύουν οινόµοι των αερίων.

Ισχύει η σχέση 2 2 2ΕΝ rmsυ υ υ= = .

Όγκος κυλίνδρου µε εµβαδόν βάσης Α και ύψος : KV A = ⋅ .

Τη µορφή που παίρνει η καταστατική εξίσωση σε συνδυασµό µε την

πυκνότητα p M ρ R T⋅ = ⋅ ⋅ .

Νόµοι αερίων - Κινητική θεωρία: Τύποι - Βασικές έννοιες

Σε ασκήσεις µε έµβολα που ισορροπούν να εφαρµόζει την εξίσωση

ΣF 0= . Αν η µάζα του αερίου αλλάξει, να εφαρµόζει πάντα καταστα-τική εξίσωση.

• Φυσικά µεγέθη, µονάδες µετρήσεως και µετατροπές

P: Η πίεση ενός αερίου σε 2N / m (5 21atm 1,013 10 N / m= ⋅ )

V: Ο όγκος του σε 3m (

3 6 3 3 31cm 10 m ,1L 10 m− −= = )

T: Η θερµοκρασία του σε βαθµούς Κέλβιν ( T θ 273= + )

ρ: Η πυκνότητα του αερίου σε 3kg/m (3 3 31g/cm =10 kg/m )

R: Παγκόσµια σταθερά των ιδανικών αερίων J

R 8,314mol grad

=⋅

στο S.I.

L atm0,082

mol grad

⋅= ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 3: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

11. Τύποι - Βασικές έννοιες Nόµοι αερίων - κινητική θεωρία

• Η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων

Καταστατική εξίσωση: PV nRT= , m

PV RTM

= , PΜ ρRT= (n ο αριθµός

των mol και Μ η γραµµοµοριακή µάζα του αερίου)

• Ισόχωρη µεταβολή

ΑΒ: Ισόχωρη θέρµανση και ΒΑ: Ισόχωρη ψύξη

Στις ισόχωρες µεταβολές ισχύει A A B BP / T P / T= ( nR / V= , νόµος Charles)

• Ισοβαρής µεταβολή

AB: Ισοβαρής θέρµανση (ή ισοβαρής εκτόνωση) και

ΒΑ: Ισοβαρής ψύξη (ή ισοβαρής συµπίεση).

Στις ισοβαρείς µεταβολές ισχύει A A B BV /T =V /T ( nR / P,= νόµος του Gay-

Lussac)

taexeiola.blogspot.com

Page 4: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

12. Nόµοι αερίων - κινητική θεωρία Τύποι - Βασικές έννοιες

• Ισόθερµη µεταβολή

ΑΒ: Ισόθερµη εκτόνωση και ΒΑ: Ισόθερµη συµπίεση.

Στις ισόθερµες µεταβολές ισχύει A A B BP V =P V ( nRT,= νόµος Boyle)

• Κινητική θεωρία των αερίων

Θα χρειαστούµε τα εξής µεγέθη:

Σύµβολο Επεξήγηση Μονάδες

P Η πίεση του αερίου 2N / m

V Ο όγκος του αερίου 3m

Ο µέσος όρος των τετραγώνων

µm Η µάζα ενός µορίου ΟΛ µ(m Nm )= kg

AN, N ,n

Αριθµός µορίων, αριθµός Avogadro,

αριθµός mol A(N nN )=

ρ Η πυκνότητα του αερίου 3kg/m

T Η θερµοκρασία του αερίου K

των ταχυτήτων των µορίων 2 2m / s

ΕΝυ ή rmsυ Η ενεργός ταχύτητα (Ορισµός: 2

rmsυ υ= ) m / s

Κ

Η κατά µέσον όρο κινητική ενέργεια κάθε

µορίου

k Σταθερά του Boltzmann A(k R / N )=

Ένα αέριο πυκνότητας ρ βρίσκεται µέσα σε ένα δοχείο έχοντας πίεση Ρ.

Αποδεικνύεται ότι ισχύουν:

21P ρυ

3=

1 3K= m υ = kT

2 2 ΕΝ

µ

3RT 3kTυ

M m= =

Joule

taexeiola.blogspot.com

Page 5: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

13.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ΘΕΩΡΙΑ 1 α. Μορφές καταστατικής εξίσωσης.

β. Σχέση απόλυτης θερµοκρασίας µε µέση κινητική

ενέργεια µορίων και πίεσης µε 2ENυ .

γ. Σχέση ενεργού ταχύτητας και γραµµοµοριακής

µάζας (Μ).

Απόδειξη

α. ΟΛ

mn

ΟΛΜm

P V n R T P V R ΤΜ

=⋅ = ⋅ ⋅ → ⋅ = ⋅

ΟΛm

ρV P M ρ R T

=→ ⋅ = ⋅ ⋅ . Επίσης είναι

A

Nn

N= εποµένως προκύπτει

A

RP V N Τ P V N k T

N⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ .

β. Είναι ( )2

µN m υ1P 1

3 V

⋅ ⋅= ⋅ ( µm : µάζα µορίου)

όµως µ ΟΛN m m⋅ = άρα

ΕΝ

2 21 1P ρυ ρ υ

3 3= ⋅ = ⋅ ⋅ .

Επίσης ( ) n R T 1 N 2K 3 n R1 K T

V 3 V 2 N

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

A

3 R 3K T K kT

2 N 2⇒ = ⋅ ⇒ =

γ. Είναι ΕΝ

2µ ΕΝ

µ

1 3 3kΤK m υ kΤ υ

2 2 m= ⋅ ⋅ = ⇒ = ⇒ ΕΝ

A µ

3RΤ 3RΤυ

N m M= =

taexeiola.blogspot.com

Page 6: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

14. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ. 26: Ερωτήσεις 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.10, 1.11, 1.13

σ. 31: Προβλήµατα 1.30, 1.31, 1.32, 1.33, 1.34, 1.35

σ. 32: Πρόβληµα 1.36

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ.σ. 14 - 20: Τα παραδείγµατα 1.2, 1.3, 1.4,

1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10

σ.σ. 29 - 31: Τα παραδείγµατα 1.11, 1.12,

1.13, 1.15, 1.17

σ. 25: Ξεχωριστό θέµα 1

σ. 37: Ξεχωριστό θέµα 1

σ.σ. 23, 24: Ασκήσεις 1.3, 1.4, 1.9

σ.σ. 35 - 37: Ασκήσεις 1.11, 1.14, 1.17

taexeiola.blogspot.com

Page 7: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

15.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

1. ∆ίνεται η κυκλική µεταβολή ΑΒΓ∆Α.

α. Να βρείτε το είδος κάθε µεταβολής.

β. Να γράψετε τις εξισώσεις κάθε µεταβολής.

γ. Να κάνετε τα διαγράµµατα −P V και −P T .

Λύση:

α. ΑΒ: ισόχωρη θέρµανση

ΒΓ: ισοβαρής εκτόνωση (θέρµανση)

Γ∆: ισόθερµη εκτόνωση

∆Α: ισοβαρής συµπίεση (ψύξη)

β. ΑΒ: A B

A B

P P

T T=

ΒΓ: B Γ

B Γ

V V

T Τ=

Γ∆: Γ Γ ∆ ∆Ρ V Ρ V⋅ = ⋅

∆Α: ∆ Α

∆ Α

V V

T Τ=

γ.

taexeiola.blogspot.com

Page 8: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

16. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

2. Ιδανικό αέριο βρίσκεται σε κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο. Το δοχείο

κλείνεται στο πάνω µέρος του µε έµβολο που έχει βάρος 5Ν και εµβα-

δόν διατοµής 21cm που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή. Το αέριο

έχει αρχική θερµοκρασία = ο

1θ 27 C και το έµβολο ισορροπεί σε από-

σταση =1l 30cm από την βάση του κυλίνδρου. Η ατµοσφαιρική πίεση

είναι =ατµ

P 1atm .

α. Υπολογίστε την πίεση του αερίου.

β. Θερµαίνουµε αργά το αέριο µέχρι η θερµοκρασία του να γίνει

= ο

2θ 127 C . Πόση είναι η απόσταση 2l της νέας θέσης ισορροπίας

του εµβόλου από την βάση του δοχείου;

γ. Υπολογίστε την αρχική πίεση του αερίου.

i. Αν ο κύλινδρος είναι οριζόντιος.

ii. Αν ο κύλινδρος είναι κατακόρυφος µε το έµβολο από κάτω.

∆ίνεται: 52

N1atm 10

m= .

Λύση:

α. Στο έµβολο ασκούνται το βάρος, η

ατµF λόγω της ατµοσφαιρικής πίεσης

και αερF λόγω της πίεσης του αερίου.

Είναι: ατµ αερΣF 0 W F F= ⇒ + = ⇒

5ατµ 2

W NΡ Ρ 1,5 10

A m= + = ⋅

β. Η µεταβολή είναι ισοβαρής:

1 2 1 2 22 1

1 2 1 2 1

V V A A T40cm

T Τ T T T

⋅ ⋅= ⇒ = ⇒ = =

γ.i. Αν είναι οριζόντιος: 5atm 2

NP P 10

m= =

ii. Είναι ΣF 0= ⇒ 5ατµ 2

W NΡ P 0,5 10

A m= − = ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 9: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

17.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

3. Ποσότητα 2g He βρίσκεται σε κατακόρυφο δοχείο που κλείνεται στο

πάνω µέρος του µε οριζόντιο έµβολο το οποίο µπορεί να κινείται χω-

ρίς τριβές. Η πίεση του αερίου είναι =1P 0,82atm και ο όγκος 1V 20L= .

α. Να υπολογίσετε την απόλυτη θερµοκρασία 1T του αερίου.

β. Εισάγουµε στο δοχείο ορισµένη ποσότητα Ηe και παρατηρούµε ότι

ο όγκος του αερίου διπλασιάστηκε, η πίεση παρέµεινε σταθερή, ενώ

η απόλυτη θερµοκρασία έγινε =2 1

5T T

4. Υπολογίστε την µάζα του

He που εισάγαµε στο δοχείο.

γ. Στη συνέχεια το He που είναι µέσα στο δοχείο υποβάλλεται σε ισό-

χωρη µεταβολή µέχρι να αποκτήσει την αρχική του θερµοκρασία.

Να υπολογίσετε την τελική πίεση του αερίου.

∆ίνονται: RL atm

R 0,082mol K

⋅=⋅

, He

gM 4

mol= και 5 21atm 10 N / m= .

Λύση:

mn 0,5mol

M= =

α. 1 11 1 1 1

P V 0,82atm 20LP V nRT T 400K

L atmnR 0,082 0,5molmol K

⋅ ⋅⋅ = ⇒ = = =⋅ ⋅⋅

β. 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 12 1

P V n RT P V n RT5P V n RT P 2V n R T4

⋅ = ⋅⇒ = ⇒⋅ = ⋅ ⋅

12 1

2

4n1 8n n 0,8mol

2 5n 5⇒ = ⇒ = =

Άρα εισάγαµε 0,3mol He δηλ. 1,2g He

γ. Ισόχωρη: 3 323 3

2 1 11

P PP 0,82atm 4P 0,82atm P 0,656atm

5T T T 5T4

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 10: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

18. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

4. ∆ύο οριζόντια κυλινδρικά δοχεία, περιέχουν το ίδιο ιδανικό αέριο και

επικοινωνούν µεταξύ τους µε ένα πολύ λεπτό σωλήνα, που κλείνει µε

στρόφιγγα. Στο δοχείο Α που έχει όγκο −= ⋅ 3 3

AV 3 10 m υπάρχουν 2

molR

αερίου υπό πίεση = ⋅ 5A 2

NP 2 10

m. Στο δοχείο Β που έχει όγκο

−= ⋅ 3 3BV 4 10 m υπάρχουν

3mol

R αερίου υπό πίεση = ⋅ 5

B 2

NP 3 10

m.

α. Υπολογίστε τις αρχικές θερµοκρασίες σε κάθε δοχείο.

β. Ανοίγουµε την στρόφιγγα και µετά την αποκατάσταση της θερµικής

ισορροπίας η τελική πίεση του αερίου είναι = ⋅ 52

NP 2,25 10

m. Υπο-

λογίστε την τελική θερµοκρασία του αερίου.

∆ίνεται: R 8,314= στο S.I.

Λύση:

α. Στο δοχείο Α: A AA A A A A

A

P VP V n RT T 300K

n R

⋅⋅ = ⇒ = =

Στο δοχείο Β: B BB B B B B

B

P VP V n RT T 400K

n R

⋅⋅ = ⇒ = =

β. Όταν ανοίξουµε την στρόφιγγα έχουµε µετακίνηση µορίων από το ένα δο-

χείο στο άλλο, αλλά ο συνολικός τους αριθµός παραµένει σταθερός, δηλ.

' ' A BA B A B A B

P V P Vn n n n n n

R T R T

⋅ ⋅+ = + ⇒ + = + ⇒⋅ ⋅

( )( )

A B

A B

P V VT 315K

R n n

+= =

+

5. Στο δοχείο του σχήµατος περιέχεται ποσότητα 4mol αερίου υπό πίεση

0P και θερµοκρασία 0T . Το στόµιο του δοχείου φέρει βαλβίδα η οποία

ανοίγει όταν η πίεση του αερίου γίνει ίση µε 02P . Θερµαίνουµε το αέ-

ριο σε θερµοκρασία 04T οπότε η βαλβίδα ανοίγει, διαφεύγει ποσότητα

αερίου και στη συνέχεια η βαλβίδα κλείνει διατηρώντας το υπόλοιπο

αέριο που έµεινε στη φιάλη στην θερµοκρασία 04T .

taexeiola.blogspot.com

Page 11: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

19.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

α. Nα υπολογίσετε τον αριθµό των mol που παρα-

µένουν στο δοχείο µετά τη θέρµανση στη θερµο-

κρασία 04T .

β. Αν η ποσότητα του αερίου που διέφυγε από τη

φιάλη κατά τη θέρµανση συλλεχθεί κατάλληλα

πόσα δοχεία όγκου = 01

VV

10 µπορεί να γεµίσει σε

συνθήκες = 0P P και = 0T T ;

Λύση:

α. Πριν ανοίξει η βαλβίδα εφαρµόζουµε καταστατική εξίσωση ( )0 0 0P V 4RT 1=µετά το άνοιγµα της βαλβίδας και την διαφυγή x mol αερίου παραµένουν

στη φιάλη ( )x΄ 4 x mol= − σε συνθήκες 02P , 0V , 04T και ισχύει:

( ) ( )0 0 02P V 4 x R4T 2= −∆ιαιρούµε κατά µέλη τις (1), (2)

( )0 0 0

0 0 0

P V 4RT

2P V 4 x R4T=

1 4 1 42 x 2

2 4 x 4 4 x = ⇒ = ⇒ = − −

Εποµένως παραµένουν x΄ 4 2 2mol αερίου= − =

β. Αφού κάθε δοχείο όγκου 0V

10 θα περιέχει τον ίδιο αριθµό mol 1n θα ισχύει:

1y n 2mol⋅ = 1

2n

y⇒ = όπου (y) ο αριθµός των δοχείων όγκου 0V

10. Γράφου-

µε την καταστατική εξίσωση για κάθε δοχείο: ( )00 1 0

VP n RT 4

10= ⋅

∆ιαιρώ κατά µέλη τις (1) και (5)

0

00

1

0 0 0

VP n RT10P V 4RT

=0

0

2RT

1 2 4yy 5δοχεία

10 4RT y 10⇒ = ⇒ = ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 12: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

20. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

6. ∆ιαθέτουµε ποσότητα αερίου Ν µορίων σε δοχείο όγκου −= 5 3V 10 m . Η

συνολική κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου στο δοχείο είναι

ΟΛK 10J= και η πυκνότητά του

3ρ 0,5kg /m= .

α. Να υπολογίσετε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου.

β. Το αέριο εκτονώνεται ισοβαρώς µέχρι την κατάσταση εκείνη στην

οποία η ενεργός ταχύτητά του γίνεται 34 10 m/ s⋅ και στην συνέχεια

ψύχεται ισόχωρα µέχρι να υποδιπλασιασθεί η πίεσή του. Να βρεθεί

η τελική τιµή της θερµοκρασίας του αερίου καθώς και η τελική

τιµή του όγκου του αερίου.

∆ίνονται: R 8,3J / mol Κ= ⋅ και η γραµµοµοριακή µάζα του αερίου

4g /mol .

Λύση:

α. 2 22ΟΛ

ΟΛ

ΟΛ

1 1K ΝΚ Ν mυ Ν mυK υ V2 2N mm N m ρ 2

ρVV V

= = = = ⋅⋅ = =

2ΟΛ2Kυ

ρV= 2ΟΛ

εν

2Kυ υ

ρV⇒ = =

εν 5

2 10υ m / s

0,5 10−

⋅=⋅

6εν

υ 4 10 m/s⇒ = ⋅ ⇒ ( )3ενυ 2 10 m / s 1= ⋅

β. Κατά την ισοβαρή εκτόνωση διπλασιάζεται η ενεργός ταχύτητα: εν εν

υ΄ 2υ=

r r

3RT΄ 3RT2

Μ M= ⇒ ( )T΄ 4T 2= όπου Τ η αρχική θερµοκρασία του αερίου.

Ακόµη βάσει νόµου Gay - Lussac ( )V΄ 4V 2α= . Κατά την ισόχωρη ψύξη

υποδιπλασιάζεται η πίεση άρα σύµφωνα µε τον Νόµο του Charles υποδιπλα-

σιάζεται και η απόλυτη θερµοκρασία. Ισχύει λοιπόν:

Τ΄ 4ΤΤ΄ 2Τ

2 2= = = και V΄΄ V΄ 4V= =

Εποµένως ο τελικός όγκος του αερίου είναι τετραπλάσιος του αρχικού ενώ η

τελική απόλυτη θερµοκρασία είναι διπλάσια της αρχικής.

taexeiola.blogspot.com

Page 13: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

21.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Υπολογίζουµε την αρχική θερµοκρασία του αερίου:

3εν

r

3RTυ 2 10 m/s

M= ⋅ = ⇒ ( )6

r

3RT4 10 S.I.

M= ⋅

6r4 10 M

T3 8,3

⋅ ⋅= ⇒⋅

6 34 10 4 10T K

24,9

−⋅ ⋅ ⋅=

316 10T K

24,9

⋅= ⇒ T 642,5K= οπότε T΄΄ 2Τ 1285Κ= =

7. Σε δοχείο όγκου =V 1L περιέχεται ορισµένη ποσότητα Ηe υπό πίεση

= 62

NP 10

m. Αν η ενεργός ταχύτητα των µορίων του αερίου είναι

= ⋅ 3εν

mυ 2 10

s να βρείτε:

α. την πυκνότητα του αερίου

β. τον αριθµό των mol του αερίου µέσα στο δοχείο

γ. την συνολική κινητική ενέργεια λόγω µεταφορικής κίνησης του

αερίου

δ. θερµαίνουµε το αέριο και παρατηρούµε ότι η ενεργός ταχύτητα των

µορίων διπλασιάζεται. Να βρείτε τον λόγο της τελικής προς την

αρχική θερµοκρασία του αερίου.

∆ίνεται ότι 3

He

kgM 4 10

mol−= ⋅ και το He συµπεριφέρεται ως ιδανικό

αέριο.

Λύση:

α.

( )6

2 2 3εν 22 3

εν

1 1 3P 3 10P ρ υ P ρ υ ρ ρ kg /m

3 3 υ 2 10

⋅= ⋅ ⇔ = ⋅ ⇔ = ⇒ =⋅

63

6 3

3 10 kgρ kg / m ρ 0,75

4 10 m

⋅⇒ = ⇒ =⋅

β. 3 5ΟΛΟΛ ΟΛ ΟΛ

mρ m ρ V m 0,75 1 10 kg m 75 10 kg

V− −= ⇔ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 14: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

22. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

52ΟΛ

3r

m 75 10n n n 18,75 10 mol

M 4 10

−−

⋅= ⇒ = ⇒ = ⋅⋅

γ. ολ

A A

3 3 R 3 N 3 3K Ν Κ Ν k Τ Ν T R T nRT P V

2 2 N 2 N 2 2= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = ⋅ =

6 3 33 310 1 10 J 10 J 1500J

2 2−= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =

δ.

( )

'εν '

r rεν εν r

εν εν r

ενrr

3RΤ΄ 3RΤ΄υ

Μ Μυ 2υ 3RΤ ' Μ 2 Τ΄ Τ΄ 4:

υ υ 3RΤ Μ 1 Τ Τ 13RΤ3RΤυ

ΜΜ

=

⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅=

8. Ποσότητα = 3n mol

R ιδανικού αερίου

(όπου R η παγκόσµια σταθερά των

ιδανικών αερίων) υποβάλλεται στη

µεταβολή που φαίνεται στο διπλανό

διάγραµµα.

α. Να χαρακτηρίσετε το είδος της µε-

ταβολής στην οποία υπόκειται το

αέριο και να δικαιολογήσετε την

απάντησή σας.

β. Να υπολογίσετε την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου στην

κατάσταση Β

γ. Να υπολογίσετε τον όγκο του αερίου στην κατάσταση Α.

δ. Να υπολογίσετε τον λόγο της µέσης κινητικής ενέργειας των µο-

ρίων του αερίου στην κατάσταση Β προς την µέση κινητική ενέρ-

γεια των µορίων του αερίου στην κατάσταση Α.

∆ίνονται: = ⋅⋅

25 JR

3 mol K και η γραµµοµοριακή µάζα του αερίου

= gM 2

mol.

taexeiola.blogspot.com

Page 15: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

23.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Λύση:

α. Στο διάγραµµα έχουµε την µεταβολή της πίεσης ιδανικού αερίου σε συνάρ-

τηση µε την µέση τιµή των τετραγώνων των ταχυτήτων των µορίων του.

Γνωρίζουµε ότι 2 2ΟΛm1 1P ρ υ P υ

3 3 V= ⋅ ⇔ = ⋅ ⋅ . Επειδή η γραφική παράσταση

είναι ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων συµπεραίνουµε ότι η

συνάρτηση που την παριστάνει είναι της µορφής y α x= ⋅ µε α σταθ.= Στην

περίπτωσή µας ΟΛm1α

3 V= ⋅ άρα ΟΛm1

σταθ.3 V

⋅ = και επειδή ΟΛ

m σταθ.= συ-

µπεραίνουµε ότι και V σταθ.= Εποµένως η µεταβολή είναι ισόχωρη. Επειδή

παρατηρούµε ότι η 2

υ αυξάνεται, συµπεραίνουµε ότι η θερµοκρασία του

αερίου αυξάνεται άρα τελικά πρόκειται για ισόχωρη θέρµανση.

β. Επειδή η κλίση είναι σταθερή θα ισχύει:

5 52 6 2 2 2 6A ΒΒ Β62 2 2

Α Β Β

P Ρ 10 4 10υ 4 10 m /s υ 4 10 m /s

10υ υ υ

⋅= ⇒ = ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

( )3

εν Β

mυ 2 10

s= ⋅

γ. 5

2 3AA A Α Α Α Α6 32

Α

3P1 3 10 kgP ρ υ ρ ρ kg /m ρ 0,3

3 10 mυ

⋅= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

3 3ΟΛ

ΟΛ ΟΛ ΟΛ

m 3 3n m n M m 2 10 kg m 2 10 kg

25M R3

− −= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

3 3OΛ OΛ

18m 10 kg m 0,72 10 kg

25− −⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅

33 3 3ΟΛ ΟΛ

A A A AA A

m m 0,72 10ρ V V m V 2,4 10 m

V ρ 0,3

−−⋅= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅

ή AV 2,4L=

Προφανώς επειδή η µεταβολή ΑΒ είναι ισόχωρη ισχύει B AV V 2,4L= =

taexeiola.blogspot.com

Page 16: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

24. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

δ.

( )2 2

B 2 6B BB B622A2

ΑA ΑΑ

1 1K m υ m υυK 4 102 2: 4

11 10K υm υK m υ22

= ⋅ ⋅ ⋅ = = = = ⋅= ⋅

9. Ορισµένη ποσότητα αερίου βρίσκεται σε µία κατάσταση θερµοδυνα-

µικής ισορροπίας Α µε =AP 8atm , =AV 3L και =AT 300K . Το αέριο

υφίσταται τις παρακάτω διαδοχικές αντιστρεπτές µεταβολές:

α. µεταβολή ΑΒ κατά την διάρκεια της οποίας η δύναµη που ασκεί το

αέριο στα τοιχώµατα του δοχείου που το περιέχει ανά µονάδα επι-

φανείας παραµένει σταθερή και στο τέλος αυτής η µέση κινητική

ενέργεια των µορίων του αερίου έχει διπλασιασθεί

β. µεταβολή ΒΓ κατά την διάρκεια της οποίας η µέση κινητική ενέρ-

γεια των µορίων του αερίου παραµένει σταθερή και η πυκνότητα

του αερίου στο τέλος αυτής υποδιπλασιάζεται

γ. µεταβολή Γ∆ κατά την διάρκεια της οποίας η πυκνότητα του αερί-

ου παραµένει σταθερή και στο τέλος αυτής η ενεργός ταχύτητα των

µορίων του αερίου υποδιπλασιάζεται.

i. Να χαρακτηρίσετε το είδος των µεταβολών και να βρείτε τα P, V,

T στις καταστάσεις Β, Γ και ∆.

ii. Να σχεδιάσετε τις µεταβολές αυτές σε άξονες −P V , −P T και

−V T βαθµολογηµένους.

Λύση:

i. ΑΒ: Επειδή η δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας είναι η πίεση, η πίεση παρα-

µένει σταθερή και επειδή 3

K kT2

= για να αυξηθεί η K πρέπει ν’ αυξηθεί η

Τ, η µεταβολή ΑΒ είναι ισοβαρής θέρµανση (εκτόνωση)

ΒΓ: Επειδή 3

K kT2

= για να παραµένει η K σταθερή πρέπει T σταθ= και

επειδή OΛmρ

V= και

ΟΛm σταθ= για να υποδιπλασιαστεί η Ρ πρέπει να δι-

πλασιασθεί ο όγκος, η µεταβολή ΒΓ είναι ισόθερµη εκτόνωση.

Γ∆: Επειδή ΟΛmρ

V= και

ΟΛm σταθ= για να παραµένει η ρ σταθερή πρέπει

taexeiola.blogspot.com

Page 17: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

25.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

V σταθ= και επειδή εν

r

3RTυ

M= για να υποδιπλασιασθεί η

ενυ πρέπει η Τ

να ελαττωθεί, η µεταβολή Γ∆ είναι ισόχωρη ψύξη

Α: AP 8atm= , AV 3L= , AT 300K=

ΑΒ: ισοβαρής εκτόνωση: B AP P 8atm= =

( )B B BB A B

BA A

A AA

3 3K k T k T TK 2K2 2: T 2 300K 600K33 300K Kk TK k T22

= ⋅ ⋅ = = = ⇒ = ⋅ = ⋅= ⋅

A B BB

A B

V V V3LV 6L

T T 300 600= ⇒ = ⇒ =

Β: BP 8atm= , BV 6L= , BT 600K=

ΒΓ: ισόθερµη εκτόνωση: Γ B

T T 600K= =

Β

Β

ΟΛ ΟΛ ΟΛ

Γ Γ B

Γ Β Γ B Γ

B Γ

V

m m m 1 2ρ 2 V 2V 2 6L 12L

V V V V V

ρ 2ρ

=

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⋅ ==

Νόµος Boyle

B B Γ Γ Γ Γ Γ

48P V P V 8 6atm P 12 P atm P 4atm

12⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

Γ: Γ

P 4atm= , Γ

V 12L= , Γ

T 600K=

Γ∆: ισόχωρη ψύξη: ∆ Γ

V V 12L= =

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Γ Γ

εν Γ

r εν Γ εν Γr Γ r

εν Γ ∆ r ∆εν ∆ ∆∆

εν ∆

rr

3RΤ 3RΤυ

υ υΜ Μ 3RΤ Μ 600: 2

υυ 3RΤ Μ Τ3RΤ3RΤυ

Μ 2Μ

=

⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ ⋅=

taexeiola.blogspot.com

Page 18: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

26. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

∆ ∆

600 6004 Τ K Τ 150Κ

Τ 4= ⇒ = ⇒ =

Γ ∆ ∆∆ ∆

Γ ∆

Ρ Ρ Ρ4atm 600Ρ atm Ρ 1atm

Τ Τ 600 150 600= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

∆: ∆

P 1atm= , ∆

V 12L= , ∆

T 150K=

ii.

taexeiola.blogspot.com

Page 19: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

27.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

1. 4

n molR

= ιδανικού αερίου βρίσκονται σε δοχείο όγκου 2L υπό πίεση

5 218 10 N /m⋅ . Το αέριο υφίσταται τις εξής διαδοχικές µεταβολές: εκ-

τονώνεται ισόθερµα µέχρι να εξαπλασιαστεί ο όγκος του, ψύχε-

ται ισοβαρώς µέχρι να υποτριπλασιαστεί η θερµοκρασία του, συµπιέ-

ζεται ισόθερµα και επιστρέφει µε ισόχωρη θέρµανση στο αρχικό σηµείο.

α. Να παρασταθεί η παραπάνω κυκλική µεταβολή σε διαγράµµατα

P V− , P T− και V T− .

β. Να δειχτεί ότι:

i. ∆ Α

Γ Β

P PΤ Τ

= ii. Γ Α Β ∆

V Τ V Τ⋅ = ⋅

∆ίνεται: R 8,314= στο S.I.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

2. Ένα δοχείο όγκου 1200mL περιέχει Ήλιο (He) σε θερµοκρασία ο123 C .

Η πίεση του αερίoυ είναι 10atm. Πόσα mol περιέχονται στο δοχείο;

Υπολογίστε την πυκνότητα του αερίου.

∆ίνονται: 5 21atm 1,013 10 N /m= ⋅ , R 8,314= (στο S.I.) και η γραµµο-

µοριακή µάζα του He 4g / mol= .

taexeiola.blogspot.com

Page 20: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

28. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

3. Κοίλο σφαιρικό δοχείο Β όγκου

22V V 10 m−= = συνδέεται µέσω

σωλήνα αµελητέου όγκου µε κυλιν-

δρικό κατακόρυφο δοχείο αρχικού

όγκου 2

1V 10 m−= . Το πάνω µέρος

του κυλίνδρου κλείνεται µε αερο-

στεγές έµβολο το οποίο έχει αµελη-

τέο βάρος και ισορροπεί. Η ενερ-

γός ταχύτητα των µορίων στο δοχείο (Α) και η ενεργός ταχύτητα των

µορίων στο δοχείο (Β) ικανοποιούν τη σχέση Β,εν Α,εν

υ 2υ= . Η ατµο-

σφαιρική πίεση είναι 5 2

ατµΡ 10 Ν /m= και το ύψος h 1m= . Κάθε δοχείο

περιέχει το ίδιο αριθµό mol 1 2

2n n

R= = όπου R η παγκόσµια σταθερά

των αερίων σε µονάδες S.I. Να υπολογισθούν:

α. η θερµοκρασία του αερίου στο δοχείο Α

β. η πίεση του αερίου στο δοχείο Β.

γ. Ανοίγουµε την στρόφιγγα και διαπιστώνουµε ότι µετά από κάποιο

χρονικό διάστηµα το έµβολο ισορροπεί σε µια νέα θέση ψηλότερα

από την αρχική και το αέριο έχει µια ενιαία θερµοκρασία T΄ 700Κ= .

i. πόσο µετακινήθηκε το έµβολο;

ii. πόσα mol αερίου µετακινήθηκαν από το ένα δοχείο στο άλλο;

(Η απάντηση στο (ii) ερώτηµα να δοθεί σε συνάρτηση µε την σταθερά R).

............................................................................................................................

............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 21: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

29.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

4. Ιδανικό αέριο υφίσταται την κυκλική µεταβολή του σχήµατος.

α. Να χαρακτηρίσετε κάθε µεταβολή.

β. Να βρείτε τα BV , Γ

V , ∆

Ρ .

γ. Να γίνουν τα διαγράµµατα Ρ Τ− ,

V Τ− .

δ. Αν η πυκνότητα του αερίου στη κα-

τάσταση Α είναι 3

kg0,3

m, να υπολο-

γιστεί η ενεργός του ταχύτητα στην

κατάσταση αυτή.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

5. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου 4

n mol3

= βρίσκεται µέσα σε δοχείο

όγκου AV 6L= και πίεση 5A 2

NΡ 2 10

m= ⋅ . Θερµαίνουµε το αέριο ισο-

βαρώς µέχρι την θερµοκρασία BT 400K= , µετά ψύχουµε ισόχωρα µέ-

taexeiola.blogspot.com

Page 22: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

30. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

χρι την κατάσταση Γ και τέλος το επαναφέρουµε στην αρχική κατά-

σταση ισόθερµα.

α. Να βρείτε την AT , BV και Γ

Ρ .

β. Να γίνουν τα διαγράµµατα Ρ V− , Ρ Τ− , V Τ− .

γ. Να βρείτε το λόγο των ενεργών ταχυτήτων για τις καταστάσεις Β

και Γ. ∆ίνεται: J

R 8,31mol K

=⋅

.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. ∆οχείο όγκου V 2L= περιέχει ιδανικό αέριο He υπό πίεση 52

NP 2 10

m= ⋅

και πυκνότητα 3

kgρ 0,2

m= . Να βρείτε:

α. την θερµοκρασία του αερίου

β. την ενεργό ταχύτητα των µορίων του

γ. τη µέση κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου

δ. τη συνολική κινητική ενέργεια του αερίου.

∆ίνονται: J

R 8,31mol K

=⋅

, He

grM 4

mol= και

23A

µοριαN 6 10

mol= ⋅ .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 23: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

31.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

7. Ένας κύλινδρος µε ανένδοτα τοιχώµατα χω-

ρίζεται σε δύο τµήµατα Α και Β µε θερµοµο-

νωτικό έµβολο που µπορεί να κινείται χωρίς

τριβές. Στο τµήµα Α υπάρχουν 26g H ενώ στο

τµήµα Β υπάρχουν 21,5molO . Το έµβολο

ισορροπεί όταν τα αέρια βρίσκονται σε θερµοκρασία T 350K= .

α. Υπολογίστε το λόγο 1

2

.

β. Θερµαίνουµε το 2O µέχρι να αποκτήσει θερµοκρασία 2T 800K= και

το 2H µέχρι να αποκτήσει θερµοκρασία 1T οπότε το έµβολο ισορρο-

πεί στο µέσο του κυλίνδρου. Βρείτε την 1T .

γ. Υπολογίστε το λόγο των ενεργών ταχυτήτων των µορίων του 2H

και του 2O στην αρχική και στην νέα κατάσταση.

∆ίνονται: 2H

grM 2

mol= και

2O

grM 32

mol= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 24: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

32. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

Θέµα 1ο

Α.1. Ίσες ποσότητες οξυγόνου και υδρογόνου βρίσκονται στην ίδια θερµοκρα-

σία. Τότε έχουν τις ίδιες:

α. ενεργές ταχύτητες

β. πιέσεις

γ. µέσες κινητικές ενέργειες

δ. ίδιες επιταχύνσεις

2. Ποσότητα ιδανικού αερίου ψύχεται αλλά η πυκνότητα του παραµένει στα-

θερή. Η πίεση του αερίου:

α. αυξάνεται

β. µειώνεται

γ. µένει σταθερή

δ. δεν µπορούµε να γνωρίζουµε

3. Εάν τετραπλασιάσουµε την θερµοκρασία µιας ποσότητας ιδανικού αερίου

τότε η ενεργός ταχύτητα των µορίων του:

α. διπλασιάζεται

β. υποδιπλασιάζεται

γ. τετραπλασιάζεται

δ. δεν αλλάζει

4. Ποιο από τα παρακάτω διαγράµµατα αναφέρεται σε τυχαία µεταβολή:

taexeiola.blogspot.com

Page 25: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

33.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τη γνώση µας

Β. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες:

α. Αν σε µια µεταβολή ΑΒ αερίου ισχύει A A B BP V P V⋅ = ⋅ τότε η µεταβολή

αυτή είναι οπωσδήποτε ισόθερµη.

β. Όταν έχουµε εκτόνωση αερίου τότε ο όγκος του αυξάνεται ενώ στην συ-

µπίεση ο όγκος του αερίου µειώνεται.

γ. Γραµµοµοριακή µάζα (Μ) είναι η µάζα του mol.

δ. Η καταστατική εξίσωση PV n R T= ⋅ ⋅ ισχύει για κάθε κατάσταση ισορ-

ροπίας του ιδανικού αερίου.

(Μονάδες 25)

Θέµα 20

1. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται σε δοχείο όγκου V ασκώντας

πίεση Ρ. Τοποθετούµε το αέριο σε δοχείο όγκου V

2 και τότε ασκεί πίεση 2Ρ.

Να βρείτε:

α. πόσο µεταβλήθηκε η θερµοκρασία του αερίου

β. πόσο µεταβλήθηκε η ενεργός ταχύτητα των µορίων του

2. Ιδανικό αέριο εκτονώνεται ισοβαρώς έτσι ώστε να διπλασιαστεί η ενεργός

ταχύτητα των µορίων του. Να βρείτε την µεταβολή του όγκου του αερίου.

3. Να παρασταθεί γραφικά σε διάγραµµα P V T⋅ − η καταστατική εξίσωση για

ποσότητα ιδανικού αερίου. Τι εκφράζει η κλίση της ευθείας;

(Μονάδες 25)

Θέµα 30

Ιδανικό αέριο βρίσκεται σε κατάσταση (Α) όπου η πίεση και η θερµοκρασία

του έχουν τις τιµές 5 2

AP 10 N / m= και AT 400K= . Αν η πυκνότητα του αερίου

είναι 3

kgρ 0,3

m= , να βρείτε:

α. την ενεργό ταχύτητα των µορίων του αερίου

β. τη µέση µεταφορική κινητική ενέργεια των µορίων του αερίου

γ. τη θερµοκρασία στην οποία πρέπει να θερµανθεί το αέριο, ώστε να διπλα-

σιαστεί η µέση κινητική ενέργεια των µορίων του.

∆ίνεται η µάζα ενός µορίου του αερίου: 265m 10 kg

3−= ⋅ .

(Μονάδες 25)

taexeiola.blogspot.com

Page 26: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

34. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

Θέµα 40

Στο παρακάτω διάγραµµα φαίνεται η κυκλική µεταβολή µιας ποσότητας ιδανι-

κού αερίου.

Αν η θερµοκρασία στην κατάσταση Α είναι AT 200K= και η ενεργός ταχύτητα

των µορίων του αερίου στην κατάσταση Γ είναι διπλάσια απ’ ότι στην κατά-

σταση Α,

α. να παραστήσετε ποιοτικά την παραπάνω κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα

P V− και V T−β. να βρείτε την θερµοκρασία στις καταστάσεις Β και Γ

γ. να βρείτε τον λόγο των µεταφορικών κινητικών ενεργειών στις καταστάσεις

Α και Β

δ. δείξτε ότι η πίεση στην κατάσταση Γ είναι τετραπλάσια της πίεσης στην

κατάσταση Α.

(Μονάδες 25)

taexeiola.blogspot.com

Page 27: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο νόµοι θερµοδυναµικής -

θερµικές µηχανές πρέπει να γνωρίζει:

Ποιες µεταβολές λέγονται αντιστρεπτές και ποιες όχι και πως παρι-στάνονται.

Τι ονοµάζουµε κατάσταση ισορροπίας αερίου.

Ποιο µέγεθος ονοµάζουµε θερµότητα και που εµφανίζεται.

Τι είναι η εσωτερική ενέργεια και από τι εξαρτάται.

Η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας δεν εξαρτάται από το είδος τηςµεταβολής αλλά µόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση.

Tι είναι οι γραµµοµοριακές ειδικές θερµότητες και ότι το κάθε αέριοέχει τις δικές του.

Πως υπολογίζονται το έργο (W) η θερµότητα (Q) και η µεταβολή τηςεσωτερικής ενέργειας (∆U) για κάθε µεταβολή.

Το έργο για κάθε µεταβολή ισούται µε την αριθµητική τιµή του εµβαδούσε διάγραµµα P-V µεταξύ της µεταβολής και του άξονα του όγκου.

Το έργο κατά την εκτόνωση είναι θετικό ενώ κατά την συµπίεση αρ-νητικό.

Να διατυπώνει και να εφαρµόζει τον 1ο θερµοδυναµικό νόµο για κάθεµεταβολή.

Η θερµότητα και το έργο σε αντίθεση µε την µεταβολή της εσωτερικήςενέργειας εξαρτώνται από το είδος της µεταβολής.

Τι είναι η θερµική µηχανή.

Σε κυκλική µεταβολή το ∆U 0= .

Τι ονοµάζουµε απόδοση θερµικής µηχανής.

taexeiola.blogspot.com

Page 28: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

36. Νόµοι θερµοδυναµικής - θερµικές µηχανές Τύποι - Βασικές έννοιες

Πως διατυπώνεται ο 2ος θερµοδυναµικός νόµος.

Από ποιες µεταβολές αποτελείται ο κύκλος Carnot.

Η µεγαλύτερη σε απόδοση θερµική µηχανή ανάµεσα σε όλες όσεςδουλεύουν µεταξύ των ίδιων θερµοκρασιών, είναι η µηχανή Carnot.

Ποια µεταβολή ονοµάζουµε αδιαβατική.

Πότε η θερµότητα (Q) και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας (∆U)παίρνουν θετικές και πότε αρνητικές τιµές.

Τι εκφράζει ο 1ος θερµοδυναµικός νόµος.

Γιατί οι αδιαβατικές µεταβολές είναι πιο απότοµες από τις ισόθερµες.

Γιατί δεν µπορούν να τέµνονται δύο ισόθερµες ή δύο αδιαβατικές.

Nόµοι θερµοδυναµικής: Τύποι - Βασικές έννοιες

• Έργο, θερµότητα, µεταβολή εσωτερικής ενέργειας

Ισόχωρη vnC ∆Τ 0 vnC ∆Τ

Ισόθερµη W

B A

A B

B A

nRTln V / V

nRTln P / P

PVln V / V0

Ισοβαρής pnC ∆Τ P ∆V n R ∆T⋅ = ⋅ ⋅ vnC ∆Τ

Αδιαβατική 0 2 2 1 1P V P V

1 γ

⋅ − ⋅−

vnC ∆Τ

Κυκλικές ΣQ ΣW 0

Q W ∆U

taexeiola.blogspot.com

Page 29: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

37. Τύποι - Βασικές έννοιες Νόµοι θερµοδυναµικής - θερµικές µηχανές

• 1oς Νόµος Θ/∆: Q W ∆U= +Το ποσό θερµότητας που ανταλλάσει ένα αέριο µε το περιβάλλον του είναι

ίσο µε το άθροισµα του έργου που παράγει ή καταναλώνει και τη µεταβο-

λή της εσωτερικής του ενέργειας.

• 2oς Νόµος Θ/∆: ∆ιατύπωση Kelvin - Planck

Είναι αδύνατη η κατασκευή µιας θερµικής µηχανής στην οποία ένα αέριο

εκτελώντας κυκλική µεταβολή να µετατρέπει ένα δεδοµένο ποσό θερµότη-

τας εξ’ολοκλήρου σε ωφέλιµο έργο.

∆ιατύπωση Clausius

Είναι αδύνατη η µεταφορά θερµότητας από ένα ψυχρό σε ένα θερµό σώµα

χωρίς την κατανάλωση έργου.

• Πρόσηµα

Στις εκτονώσεις ( )∆V 0> είναι W 0> ενώ στις συµπιέσεις ( )∆V 0< είναι

W 0< .

Στις θερµάνσεις ( )∆T 0> είναι ∆U 0> ενώ στις ψύξεις ( )∆T 0< είναι

∆U 0< .

Όταν ένα αέριο προσλαµβάνει θερµότητα από το περιβάλλον τότε Q 0> ,

ενώ όταν αποβάλλει θερµότητα προς το περιβάλλον τότε Q 0< .

• Θερµικές µηχανές

Απόδοση προσφ αποβ αποβΟΛ

προσφ προσφ προσφ

Q Q QWe 1

Q Q Q

−= = = −

Ειδικά στον κύκλο Carnot αποδεικνύεται ότι αποβc

h προσφ

QT

T Q= εποµένως

c

h

Te 1

T= − .

taexeiola.blogspot.com

Page 30: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

38. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ 1 α. Υπολογισµός εσωτερικής ενέργειας.

β. Σχέση PC και VC .

γ. Υπολογισµός γραµµοµοριακών ειδικών θερµοτήτων

και αδιαβατικού συντελεστή (γ) στα ιδανικά αέρια.

Απόδειξη

α. A

3 R 3 3U N K N T nRT PV

2 N 2 2= ⋅ = ⋅ = =

β. Εφαρµόζουµε 1ο νόµο Θερµοδυναµικής σε ισοβαρή εκτόνωση ιδανικού

αερίου:

P VQ W ∆U n C ∆T P ∆V n C ∆T= + ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅

P Vn C ∆T n R ∆T n C ∆T⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

P VC R C⇒ = +

γ. 3 3

U nRT ∆U nR ∆Τ2 2

= ⇒ = ⋅

όµως: V∆U nC ∆Τ= εποµένως V

3C R

2=

τέλος, P V P

5C C R C R

2= + ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 31: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

39.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ενώ P

V

5Rc 52γ γ

3c 3R2

= = → =

ΘΕΩΡΙΑ 2 Να αποδείξετε ότι το έργο που παράγει ένα αέριο όταν ο

όγκος του αυξάνεται κατά µικρή ποσότητα ∆V είναι

∆W P∆V= όπου Ρ η πίεση του.

Απόδειξη

Έστω ένα αέριο σε κύλινδρο που κλείνεται από εφαρµοστό έµβολο. Καθώς τα

µόρια του αερίου µέσα στον κύλινδρο συγκρούονται µε τα τοιχώµατά του α-

σκούν δυνάµεις σε αυτά. Για µια µικρή µετατόπιση του εµβόλου κατά ∆x το

έργο που παράγει η δύναµη που ασκεί το αέριο σε αυτό είναι: ∆W F ∆x= ⋅ όµως

F P A= ⋅ όπου F η ολική δύναµη που ασκεί το αέριο στο έµβολο. Εποµένως

∆W P A ∆x P ∆V= ⋅ ⋅ = ⋅ όπου ∆V µια µικρή µεταβολή του όγκου του αερίου.

*ΘΕΩΡΙΑ 3 Να αποδείξετε την σχέση c 2

h 1

Q Τ

Q Τ=

Απόδειξη

Ισόθερµη εκτόνωση ΑΒ (Ν. Boyle): 1 1 2 2P V P V⋅ = ⋅

Αδιαβατική εκτόνωση ΒΓ (Ν. Poisson): γ γ

2 2 3 3P V P V⋅ = ⋅

Ισόθερµη συµπίεση Γ∆ (Ν. Boyle): 3 3 4 4P V P V⋅ = ⋅

Αδιαβατική συµπίεση ΒΓ (Ν. Poisson): γ γ

4 4 1 1P V P V⋅ = ⋅

Με πολλαπλασιασµό κατά µέλη των παραπάνω σχέσεων, παίρνουµε:

( )

γ γ γ γ

1 1 2 2 3 3 4 4 2 2 3 3 4 4 1 1

γγ γ γ

γ 1 γ 1 γ 1 γ 13 32 4 1 22 4 3 1

2 4 3 1 1 4

P V P V P V P V P V P V P V P V

V VV V V VV V V V 1

V V V V V V− − − −

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 32: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

40. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

Στην ισόθερµη εκτόνωση ΑΒ:2

h 11

VQ nRT ln

V=

Στην ισόθερµη συµπίεση Γ∆:4

c 23

VQ nRT ln

V= ⇒

3c 2 4 3 c 2 3 4 c 2

4

3c 2

4

VQ nRT ln V ln V Q nRT ln V ln V Q nRT ln

V

VQ nRT ln

V

= − ⇒ = − ⇒ = ⇒

=

Άρα: ( )

32 1

c c4 2

2h h 11

1

VnRT ln

Q QV Τ

VQ Q ΤnRT lnV

= ⇒ =

Τρείς σπουδαίες “λεπτοµέρειες” στην αδιαβατική µεταβολή.

α. Υπολογισµός έργου: 2 2 1 1P V P VW

1 γ

−=−

1ος Θ.Ν. στην αδιαβατική µεταβολή ( Q = 0 )

( ) 2 2 1 1v 2 1 v

P V P VW ∆U nC T T W nC

nR nR = − = − − ⇒ = − − ⇒

( ) ( )v2 2 1 1

CW P V P V 1

R= ⋅ − ⋅

Όµως ( )v v

pp v

v

C C 1 12

CR C C γ 11

C

= = =− −

Από τις (1) και (2) έχουµε: ( ) 2 2 1 12 2 1 1

P V P V1W P V P V W

γ 1 1 γ

−= − − ⇒ =− −

.

β. Ο N.Poisson στην αδιαβατική µπορεί να συνδέσει ανά δύο τα P, V, T.

i. ο “κλασικός”: γ γ1 1 2 2P V P V⋅ = ⋅

ii. Σχέση V, T:

taexeiola.blogspot.com

Page 33: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

41.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

γ γ γ γ γ 1 γ 11 21 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2

nRT nRTP V P V V V Τ V Τ V

V V− −⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅

iii. Σχέση P, T:

γ γ

γ γ 1 γ γ 1 γ γ1 21 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2

nRT nRTP V P V P P P Τ P Τ

P P− −

⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ =

.

γ. Γιατί οι αδιαβατικές καµπύλες είναι πιο απότοµες από τις ισόθερµες;

Μια εξήγηση: (υπάρχουν κι άλλες)

Κατά την αδιαβατική συµπίεση Α Β→

( )Q 0= 10ς Θ.Ν W ∆U= −

Κατά την συµπίεση είναι W 0< , οπότε

∆U 0> δηλαδή το αέριο θερµαίνεται.

Άρα η αδιαβατική καµπύλη ΑΒ θα τέ-

µνει συνεχώς ισόθερµες υψηλότερης θερ-

µοκρασίας, µε συνέπεια να είναι πιο α-

πότοµη (µεγαλύτερη κλίση) από τις ισόθερµες.

taexeiola.blogspot.com

Page 34: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

42. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ.σ. 68 - 71: Ερωτήσεις 2.10, 2.11, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 2.17,

2.18, 2.19, 2.27, 2.28

σ.σ 76 - 79: Προβλήµατα 2.57, 2.60, 2.63, 2.64, 2.65, 2.66, 2.70,

2.71α, β, 2.72α

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ.σ. 51 - 56: Τα παραδείγµατα 2.3, 2.4, 2.5,

2.6, 2.7, 2.8

σ.σ. 68 -75: Τα παραδείγµατα 2.9, 2.10, 2.11,

2.12, 2.13, 2.14

σ. 61: Ξεχωριστό θέµα 1

σ. 69: Ξεχωριστό θέµα 1

σ.σ. 59 - 61: Ασκήσεις 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8,

2.9, 2.10

σ.σ. 77, 78: Ασκήσεις 2.12, 2.14

taexeiola.blogspot.com

Page 35: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

43.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

1. ∆ίνεται η κυκλική µεταβολή του σχήµατος.

Να συµπληρωθεί ο πίνακας θέτοντας το κα-

τάλληλο πρόσηµο σε κάθε τετράγωνο. Η ΓΑ

είναι αδιαβατική θέρµανση.

Λύση:

Γνωρίζουµε ότι:

• Η ∆U είναι θετική όταν αυξάνεται η θερµοκρασία (µεταβολές ΑΒ και ΓΑ) και

αρνητική στην αντίθετη περίπτωση (µεταβολή ΒΓ).

• Το W είναι θετικό όταν αυξάνεται ο όγκος (µεταβολή ΑΒ) και αρνητικό όταν

µειώνεται ο όγκος (µεταβολές ΒΓ και ΓΑ).

• Το Q είναι θετικό όταν αυξάνεται η θερµοκρασία στην ισοβαρή µεταβολή

(ΑΒ), ενώ στην αδιαβατική θέρµανση είναι µηδέν (ΓΑ).

Το πρόσηµο του Q επίσης µπορεί να εξαχθεί και από το 1ο θερµοδυναµικό

µόνο (µεταβολή ΒΓ).

Έτσι συµπληρώνουµε τον ακόλουθο πίνακα:

∆U W Q

A → B

B → Γ

Γ → Α

+ + +

- - -

+ - 0

taexeiola.blogspot.com

Page 36: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

44. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

2. Κυλινδρικό δοχείο µε αδιαβατικά τοιχώµα-

τα έχει κατακόρυφο άξονα και κλείνεται στο

πάνω µέρος του µε έµβολο επιφάνειας Α και

βάρους 1W . Το αέριο στο δοχείο περιέχει

ήλιο σε θερµοκρασία 1T και καταλαµβάνει

όγκο 1V . Προσθέτουµε σιγά-σιγά διάφορα

σταθµά συνολικού βάρους 2W πάνω στο

έµβολο. Το ήλιο συµπιέζεται και καταλαµβάνει όγκο 2V . Να υπολογί-

σετε:

α. τη νέα θερµοκρασία του αερίου

β. τη µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας

γ. το έργο που καταναλώνεται από το αέριο.

∆ίνεται ατµ

P , V

3C R

2= .

Λύση:

Από την ισορροπία του εµβόλου πριν την τοποθέτηση των σταθµών:

( )11 ατµ

WP P 1

A= +

Από την ισορροπία του εµβόλου µετά την τοποθέτηση των σταθµών:

( )1 22 ατµ

W WP P 2

A

+= +

Από το συνδυαστικό νόµο έχουµε: 1 1 2 2 2 2 12

1 2 1 1

P V P V P V TT

T T P V

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ =⋅

Σε κάθε αντιστρεπτή µεταβολή ιδανικού αερίου ισχύει: V

3∆U nC ∆Τ nR∆Τ

2= ⋅ =

( ) ( )1 1 1 1 2 2 12 1 1 2 2 1 1

1 1 1 1

P V P V P V T3 3 3∆U T T T P V P V

2 T 2 T P V 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= − = − = ⋅ − ⋅ ⋅

Επειδή η µεταβολή είναι αδιαβατική ( )Q 0= ισχύει W ∆U= − εποµένως

( )2 2 1 1

3W P V P V

2= − ⋅ − ⋅ µε 1P και 2P γνωστά από τις (1) και (2).

taexeiola.blogspot.com

Page 37: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

45.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

3. Ιδανικό αέριο συµπιέζεται αντιστρεπτά ισόθερµα από την κατάσταση

Α ( )0 0 0P ,V ,T έως ότου ο όγκος του υποτριπλασιαστεί στην κατάστα-

ση Β. Κατόπιν εκτονώνεται αντιστρεπτά ισοβαρώς µέχρι την κατά-

σταση Γ, από την οποία µε ισόχωρη ψύξη θα επανέλθει στην αρχική

του κατάσταση Α.

α. Να παρασταθούν γραφικά οι µεταβολές σε άξονες πίεσης (P) - όγκου

(V).

β. Να βρεθεί το έργο που παράγεται κατά τη διάρκεια της κυκλικής

µεταβολής ΑΒΓΑ.

γ. Να βρεθεί η απόδοση του κύκλου.

∆ίνεται: n3 1,1

Λύση:

α.

β.

0

AB 0 0 0 0 0 0 00

V13W n R T ln P V ln P V ln3 1,1 P V

V 3= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

0 0BΓ 0 0 0 0 0

V 2VW 3P V 3P 2P V

3 3 = − = = ⋅

και ΓΑ

W 0=

άρα oλ AB ΒΓ ΓΑ 0 0W W W W 0,9P V= + + =

γ. το αέριο απορροφά θερµότητα στην µεταβολή ΒΓ:

ΒΓ p 0 0 0 0 0 0

5 5 5 1Q n C ∆Τ n R ∆T 3P ∆V 3P V V 5P V

2 2 2 3 = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = − = ⋅

η απόδοση του παραπάνω κύκλου είναι:

ολ 0 0

προσφ 0 0

W 0,9P Ve 0,18 18%

Q 5P V

⋅= = = =

P

3P0

P0

0 V /30 V

0V

A

ÃÂ

taexeiola.blogspot.com

Page 38: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

46. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

4. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου µε

V

RC 3

2= , εκτελεί την κυκλική µεταβολή που

φαίνεται στο σχήµα. Αν Γ A

V 2V= ,

5AU 4,5 10 J= ⋅ και 5

ΓU 9 10 J= ⋅ , να γίνουν τα

διαγράµµατα Τ-V, P-V, και να υπολογιστεί η

ενέργεια που απορροφά το αέριο, µε τη µορφή µηχανικού έργου, στην

παραπάνω κυκλική µεταβολή.

∆ίνεται: R 8,314= στο S.I.

Λύση:

Με δεδοµένο το γεγονός ότι η εσωτερική ενέργεια είναι ανάλογη της απόλυτης

θερµοκρασίας, το διάγραµµα Τ-V θα είναι το ακόλουθο:

Επίσης: Γ Γ ΓΓ Α Β

Α Α Α

U Τ Τ2 Τ 2Τ Τ

U Τ Τ= ⇒ = ⇒ = =

Για την ισόχωρη µεταβολή ΑΒ:

Α Β Α Β Α ΑΒ Β Α

Α Β Α Α

Ρ Ρ Ρ Τ Ρ 2ΤΡ Ρ 2Ρ

Τ Τ Τ Τ= ⇒ = = ⇒ =

Άρα το διάγραµµα Ρ-V είναι το ακόλουθο:

taexeiola.blogspot.com

Page 39: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

47.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Τα µεγέθη της κάθε κατάστασης παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα:

Α Β Γ

ΑΡ B AP 2P=

Γ ΑP Ρ=

AV B AV V= Γ A

V 2V=

ATΒ Α

Τ 2Τ= Γ Β Α

Τ Τ 2Τ= =

ΑΒ(ισόχωρη): ABW 0=

ΒΓ(ισόθερµη): ΓBΓ B A

A

VW n R T ln 2n R T ln 2

V= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

ΓΑ(ισοβαρής): ( ) ( )ΓΑ Α A Γ Α A A A A AW Ρ V V Ρ V 2V P V n R T= − = − = − = − ⋅ ⋅

Άρα, το συνολικό έργο είναι: ( ) ( )oλ AB BΓ ΓΑ AW W W W n R T 2ln 2 1 I= + + = ⋅ ⋅ −

Όµως, ( )ΓΑ V A Γ∆U nC T T= − ⇒

( ) ( )5 5A Γ A A A

3R 3U U n T 2T 4,5 10 9 10 J n R T

2 2⇒ − = − ⇒ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒

5An R T 3 10 J⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ .

Οπότε, η (Ι) γίνεται: ( )5oλW 3 10 2ln 2 1 J= ⋅ −

5. Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης µιας µηχανής που λειτουργεί

µε τον θερµοδυναµικό κύκλο του σχήµατος.

∆ίνεται: VC 3R / 2=

taexeiola.blogspot.com

Page 40: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

48. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

Λύση:

Ο συντελεστής απόδοσης δίνεται, όπως είναι γνωστό από τη σχέση C

h

Qα 1

Q= − ,

όπου C ΒΓ Γ∆

Q Q Q= + το ποσό θερµότητας που αποβάλλει το σύστηµα προς το

περιβάλλον, και h AB ∆ΑQ Q Q= + το προσφερόµενο στο αέριο ποσό θερµότητας.

Τα επιµέρους ποσά θερµότητας υπολογίζονται ως εξής:

AB 22V

Q nRT n 2nRT n2V

= ⋅ = ⋅

( )BΓ V VQ nC T 2T nC T= − = −

Γ∆

VQ nRT n nRT n 2

2V= ⋅ = − ⋅

( )∆Α V VQ nC 2T T nC T= − =

Άρα, ( )c V c VQ nC T nRT n 2 Q nT C R n 2= − − ⋅ ⇒ = + ⋅

( )h V h VQ 2nRT n 2 nC T Q nT 2R n 2 C= ⋅ + ⇒ = ⋅ +

V

V V

C R n 2 R n 2 R n 2 n 2α 1

3RC 2R n 2 C 2R n 2 1,5 2 n 22R n 22

+ ⋅ ⋅ ⋅= − = = =+ ⋅ + ⋅ + ⋅+ ⋅

6. Ένα αέριο, µε 5

γ3

= , εκτελεί την κυκλική

µεταβολή Α Β Γ→ → του σχήµατος. Αν στη

µεταβολή ΓΑ το αέριο προσφέρει στο περι-

βάλλον του θερµότητα 6000J, να υπολογι-

στούν:

α. το έργο της κυκλική µεταβολής

Α Β Γ Α→ → →β. οι µεταβολές της εσωτερικής ενέργειας

στις µεταβολές ΑΒ και ΒΓ

γ. η ισχύς µιας µηχανής που λειτουργεί µε τον παραπάνω κύκλο, αν

εκτελεί 100 κύκλους / s.

Λύση:

α. Το έργο υπολογίζεται από το εµβαδόν που περικλείεται από την κυκλική

µεταβολή:

taexeiola.blogspot.com

Page 41: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

49.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

( ) ( )0 0 0 00 0

5P P 2V VW 2P V

2

− ⋅ −= =

Όµως ( ) ( ) ( )ΓΑ p A Γ A Γ 0 0 0 0 0 0

5 5 5Q nC T T nR T T P V 2P V P V

2 2 2= − = − = − = −

( )ΓΑ

0 0 0 0

2 6000 J2QP V P V 2400J

5 5

−⇒ = − = − ⇒ =

Άρα, W 4800J=

β. Οι µεταβολές εσωτερικής ενέργειας στις µεταβολές ΑΒ και ΒΓ είναι:

( ) ( ) ( )AB V B A B A 0 0 0 0

3 3∆U n C T T n R T T 5P V P V

2 2= ⋅ − = ⋅ − = − =

0 06P V 6 2400J 14400J= = ⋅ =

( ) ( ) ( )BΓ V Γ Β Γ Β 0 0 0 0

3 3∆U n C T T n R T T 2P V 5P V

2 2= ⋅ − = ⋅ − = − =

0 04,5P V 4,5 2400J 10800J= − = − ⋅ = −

γ. Η ισχύς σύµφωνα µε τον ορισµό είναι το πηλίκο του ωφέλιµου έργου προς το

αντίστοιχο χρονικό διάστηµα.

5OΛW NΡ W 100 4800Watt 4,8 10 Watt

t t= = = ⋅ = ⋅

7. Μία µηχανή Carnot λειτουργεί µεταξύ των θερµοκρασιών 300 Κ και

1200Κ και σε κάθε κύκλο αποδίδει ωφέλιµο έργο 4500 J. Να υπολογι-

στεί ο συντελεστής απόδοσης της µηχανής και το ποσό θερµότητας

που προσφέρεται σε κάθε κύκλο στη µηχανή.

Λύση:

Ο συντελεστής απόδοσης υπολογίζεται από τη σχέση:

2

1

Τα 1 1 0,25 0,75

Τ= − = − =

Το ποσό θερµότητας ( )προσφ. hQ Q= που προσφέρεται σε κάθε κύκλο στη µηχανή

υπολογίζεται από τον ορισµό της απόδοσης µηχανής:

h hh

W W 4500Jα Q Q 6000J

Q α 0,75= ⇒ = = ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 42: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

50. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

8. Ιδανικό αέριο εκτελεί την αντιστρεπτή κυ-

κλική µεταβολή ΑΒΓΑ, όπως φαίνεται στο

σχήµα. Αν το αέριο απορροφά θερµότητα

ABQ 60J= στην αντιστρεπτή µεταβολή ΑΒ:

α. Πόσο έργο παράγει το αέριο κατά την

παραπάνω κυκλική µεταβολή ΑΒΓΑ;

β. Πόση θερµότητα αποδίδει στην αντι-

στρεπτή µεταβολή ΓΑ;

γ. Να συγκρίνετε την απόδοση του κύκλου

µε την απόδοση µιας µηχανής Carnot που θα “λειτουργούσε” µε-

ταξύ της ανώτερης και κατώτερης θερµοκρασίας του παραπάνω

κύκλου.

∆ίνεται: VC 3R / 2= , ln2 0,7= .

Λύση:

α. Κατ’ αρχήν P V P P

3 5C C R C R R C R

2 2= + ⇒ = + ⇒ = , επίσης

P ∆V n R ∆Τ⋅ = ⋅ ⋅ και ∆P V n R ∆Τ⋅ = ⋅ ⋅ .

Για την ισοβαρή εκτόνωση ΑΒ το ποσό της θερµότητας ABQ που απορροφά

το αέριο από το περιβάλλον είναι:

( )AB P 0 0 0 0 0 0

5 5 5Q n C ∆Τ n R ∆Τ 2P ∆V 2P 2V V 5P V

2 2 2= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = − = ⋅ ⇒

AB0 0

Q 60P V J 12J

5 5⋅ = = =

άρα, ( ) ( )0 0 0 0 0 02P P 2V V P V 12J

W εµβαδόν 6J2 2 2

− ⋅ − ⋅= = = = =

β. Είναι Α A Γ Γ 0 0Ρ V P V 2Ρ V⋅ = ⋅ = ⋅ εποµένως A Γ

T T= άρα ΓΑ

∆U 0= .

Από 1ο νόµο Θ.∆.:

0ΓΑ ΓΑ ΓΑ ΓΑ 0

3ΡQ W ∆U W εµβαδόν τραπεζίου V 18J

2= + = = = − ⋅ = −

γ. η απόδοση του παραπάνω κύκλου είναι: ολ

προσφ

W 6Je 0,1 10%

Q 60J= = = = και η

απόδοση του κύκλου Carnot είναι:

taexeiola.blogspot.com

Page 43: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

51.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

µε θερµοκρασία ψυχρής δεξαµενής 0 0C A Γ

2P VT T T

n R

⋅= = =

⋅ και

µε θερµοκρασία θερµής δεξαµενής 0 0h B

4P VT T

n R

⋅= =

0 0

CC

0 0h

2P VT 1 1n Re 1 1 1 50%

4P VT 2 2n R

⋅⋅= − = − = − = =⋅⋅

.

9. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου φέρεται από την κατάσταση θερµοδυ-

ναµικής ισορροπίας Α ( 0 0P ,V ) στην κατάσταση θερµοδυναµικής ισορ-

ροπίας Β ( 0 0P / 2, 4V ) µε δύο τρόπους.

Ι. Με αντιστρεπτή ισοβαρή εκτόνωση στην ενδιάµεση κατάσταση θερ-

µοδυναµικής ισορροπίας Γ ( 0 0P , 2V ) και κατόπιν µε µια αντιστρεπτή

ισόθερµη εκτόνωση στην κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας

Β ( 0 0P / 2, 4V ).

ΙΙ. Με αντιστρεπτή ισόχωρη ψύξη στην ενδιάµεση κατάσταση θερµο-

δυναµικής ισορροπίας ∆ ( 0 0P / 2,V ) και κατόπιν µε µια αντιστρεπτή

ισοβαρή εκτόνωση στην κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Β

( 0 0P / 2, 4V ).

α. Να παρασταθούν γραφικά οι µεταβολές σε άξονες πίεσης - όγκου.

β. Να συγκριθεί το ποσό θερµότητας που ανταλλάσσει το αέριο µε

το περιβάλλον στους δύο τρόπους.

∆ίνεται: VC 3R / 2, ln2 0,7= = .

Λύση:

α.

taexeiola.blogspot.com

Page 44: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

52. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

β. Κατ’ αρχήν p V p p

3 5C C R C R R C R

2 2= + ⇒ = + ⇒ = ,

επίσης P ∆V n R ∆Τ⋅ = ⋅ ⋅ και ∆P V n R ∆T⋅ = ⋅ ⋅ .

Για την ισοβαρή εκτόνωση ΑΓ το ποσό της θερµότητας ΑΓ

Q που απορροφά

το αέριο από το περιβάλλον είναι:

( )ΑΓ p 0 0 0 0

5 5 5Q n C ∆T n R ∆Τ P ∆V P 2V V

2 2 2= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = − =

0 0 0 0

5P V 2,5 P V

2= ⋅ = ⋅ ⋅

Για την ισόθερµη εκτόνωση ΓΒ το ποσό της θερµότητας ΑΓ

Q που απορροφά

το αέριο από το περιβάλλον είναι:

0BΓΒ ΓΒ Γ 0 0

Γ 0

4VVQ W n R T ln P 2V ln

V 2V= = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 0 0 0 02 ln 2 P V 1,4 P V= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

(Ισχύει Γ Γ Γ 0 0 Γ

P V n R T P 2V n R T⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ )

Τελικά ΑΓΒ ΑΓ ΓΒ ΑΓΒ 0 0 0 0 0 0

Q Q Q Q 2,5 P V 1,4 P V 3,9 P V= + ⇒ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Για την ισόχωρη ψύξη Α∆ το ποσό θερµότητας Α∆

Q που αποδίδει το αέριο

στο περιβάλλον είναι:

0Α∆ Α∆ V 0 0 0

P3 3 3Q ∆U n C ∆Τ n R ∆T ∆P V P V

2 2 2 2 = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = − =

00 0 0

P3 3V P V

2 2 4 = − ⋅ = − ⋅

Για την ισοβαρή εκτόνωση ∆Β το ποσό της θερµότητας ∆Β

Q που απορροφά

το αέριο από το περιβάλλον είναι:

( )0 0∆Β p 0 0

P P5 5 5Q n C ∆Τ n R ∆Τ ∆V 4V V

2 2 2 2 2= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − =

00 0 0

P5 153V P V

2 2 4= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Τελικά Α∆Β Α∆ ∆Β Α∆Β 0 0 0 0 0 0

3 15Q Q Q Q P V P V 3 P V

4 4= + ⇒ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Άρα ΑΓΒ Α∆Β

Q Q> .

taexeiola.blogspot.com

Page 45: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

53.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

10. 2

n molR

= ιδανικού αερίου βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας

( )3A A AA P ,V 2m ,T 200K= = και υφίστανται τις διαδοχικές αντι-

στρεπτές µεταβολές που φαίνονται στην γραφική παράσταση πίεσης

- εσωτερικής ενέργειας. Αν B AV 2V= και V

3RC

2= ( R 8,314= στο S.I.)

α. Να βρείτε το είδος της κάθε µεταβολής.

β. Να κάνετε διάγραµµα P-V.

γ. Να υπολογίσετε το λόγο AB

∆U

∆U.

δ. Bρείτε τη µέση κινητική ενέργεια των µο-

ρίων στην κατάσταση Β αν η αντίστοιχη

τιµή για την κατάσταση Α είναι

214,157 10 J−⋅ .

ε. Να υπολογίσετε το συντελεστή απόδοσης της θερµικής µηχανής

που δουλεύει µε αυτόν τον κύκλο.

∆ίνεται: n2 0,7= .

Λύση:

α. Η µεταβολή ΑΒ επειδή είναι κάθετη στον άξονα της πίεσης είναι ισοβαρής,

ενώ επειδή αυξάνεται η εσωτερική ενέργεια θα αυξάνεται η θερµοκρασία

και ο όγκος, δηλαδή είναι ισοβαρής εκτόνωση. Η µεταβολή ΒΓ είναι ισόχω-

ρη ψύξη γιατί η πίεση είναι ανάλογη της εσωτερικής ενέργειας U άρα και

της θερµοκρασίας. Η µεταβολή ΓΑ είναι ισόθερµη συµπίεση γιατί είναι κά-

θετη στον άξονα της εσωτερικής ενέργειας, άρα θερµοκρασία = σταθ.

β.

taexeiola.blogspot.com

Page 46: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

54. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

γ. ( )( )

V B AAB

BΓ V A B

nC T T∆U1

∆U nC T T

−= = −

δ. Καταστατική εξίσωση στο Α: 5 2A A A A

2R 200P V n R T P 2 10 N / m

R 2

⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = = ⋅⋅

Ν. Gay-Lussac στην ισοβαρή ΑΒ: A B

BA B

V VT 400K

T T= ⇒ =

Ν. Charles στην ισόχωρη ΒΓ: 5 2Β Γ

Γ

Β Γ

Ρ ΡΡ 10 N /m

Τ Τ= ⇒ = .

B B

3K kT

2= , A A

3K kT

2= άρα

B 21BB

A A

TKK 8,314 10 J

TK−= ⇒ = ⋅

ε. c BΓ ΓΑ

h ΑB

Q Q Qe 1 1

Q Q

+= − = −

( )AB p B A

2 5Q nC T T R 200 1000J

R 2= − = ⋅ ⋅ =

( ) ( )BΓ V Γ Β

2 3Q nC T T R 200 400 600J

R 2= − = ⋅ ⋅ − = −

AΓΑ A

Γ

VQ nRT n 400 n2J 280J

V= = − = − . Άρα

880Je 1 0,12 ή 12%

1000J= − =

11. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου εκ-

τελεί κυκλική αντιστρεπτή µεταβολή ΑΒ-

Γ∆Α. Η µεταβολή της πίεσης Ρ του αερίου

σε συνάρτηση µε την πυκνότητά του ρ φαί-

νεται στο παρακάτω διάγραµµα.

Για το αέριο δίνεται ο λόγος 5

γ3

= και ότι

2 1ρ 4ρ= .

α. Να παρασταθεί η κυκλική µεταβολή σε

διάγραµµα µε άξονες P-V (ποιοτικά)

β. Να αποδείξετε ότι: B ∆P 16P=

taexeiola.blogspot.com

Page 47: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

55.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

γ. Να αποδείξετε: ( ) ( )εν Β εν ∆υ 2υ=

δ. Να υπολογίσετε την απόδοση θερµικής µηχανής που λειτουργεί

µε τον παραπάνω κύκλο.

∆ίνεται: n2 0,7= .

Λύση:

α. Από το διάγραµµα που δίνεται φαίνεται ότι κατά τη µεταβολή ΑΒ η πυκνό-

τητα του αερίου παραµένει σταθερή. Είναι m

ρV

= και m σταθ.= οπότε προ-

κύπτει ότι και V σταθ.= δηλαδή η µεταβολή ΑΒ είναι ισόχωρη. Όµοια και η

µεταβολή Γ∆ είναι ισόχωρη. Στις µεταβολές ΒΓ και ∆Α παρατηρούµε ότι η

πίεση είναι ανάλογη της πυκνότητας. Από την καταστατική εξίσωση έχουµε

ότι:

ρ R TP V n R T P

M

⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = από όπου φαίνεται ότι η πίεση είναι ανάλογη

της πυκνότητας όταν η απόλυτη θερµοκρασία παραµένει σταθερή δηλαδή οι

µεταβολές ΒΓ και ∆Α είναι ισόθερµες. Έτσι το ζητούµενο διάγραµµα έχει τη

µορφή:

β. Από τον νόµο του Boyle για τις ισόθερµες µεταβολές ΒΓ και ∆Α έχω αντί-

στοιχα: ( )B 2 0 1P V P V 1⋅ = ⋅ και ( )∆ 1 0 2P V P V 2⋅ = ⋅ . Με διαίρεση κατά µέλη

των (1) και (2) προκύπτει: ( )2

Β 1

∆ 2

Ρ V3

Ρ V

=

.

Για την κατάσταση Β έχω 22

V= ενώ για την ∆ είναι 1

1

V= . Είναι

2 1 1 22 1

m mρ 4ρ 4 V 4V

V V= ⇒ = ⇒ = οπότε η (3) γίνεται: Β

B ∆

Ρ16 P 16P

Ρ= ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 48: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

56. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

γ. Για την κατάσταση Α έχουµε ( ) ( )20 2 εν Α

1Ρ ρ υ 4

3= ⋅ και για την κατάσταση Γ

( ) ( )20 1 εν Γ

1Ρ ρ υ 5

3= ⋅ . Από τις σχέσεις (4) και (5) προκύπτει:

( ) ( )2 2

2 1εν A εν Γ

1 1ρ υ ρ υ

3 3⋅ = ⋅ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )

2 2εν Γ εν A εν Γ εν Α

υ 4 υ υ 2 υ= ⋅ ⇒ = ⋅ .

Επειδή Γ Β 2

Τ Τ Τ= = και Α ∆ 1

Τ Τ Τ= = είναι ( ) ( )εν Γ εν Βυ υ= και ( ) ( )εν Α εν ∆

υ υ= .

Έτσι τελικά έχουµε: ( ) ( )εν Β εν ∆υ 2υ= .

δ. Ισχύει ( ) ( )εν Β εν ∆υ 2υ= από όπου έχουµε ( )2 1

2 1

3kT 3kT1 T 4T 6

m m= ⇒ = .

Είναι: ( )AB V 2 1 AB V 1Q n C T T Q 3n C T= ⋅ − ⇒ = ⋅ ⋅

1 2BΓ 2 1 1

2 2

V 4VQ n R T n 4nRT n 8nRT n2

V V = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅

Οπότε h AB BΓ V 1 1Q Q Q 3nC T 8nRT n2= + = ⋅ + ⋅

Επίσης: ( )Γ∆ V 1 2 Γ∆ V 1Q nC T T Q 3nC T= − ⇒ = − ⋅

2 2∆Α 1 1 1

1 2

V VQ n R T n nRT n 2nRT n2

V 4V = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = − ⋅

Οπότε: C Γ∆ ∆Α V 1 1Q Q Q 3nC T 2nRT n2= + = − ⋅ − ⋅

Έτσι η απόδοση της µηχανής που λειτουργεί σε αυτό το κύκλο είναι:

C V 1 1 V

h V 1 1 V

Q 3nC T 2nR T n2 3C 2R n2e 1 1 1

Q 3nC T 8nR T n2 3C 8R n2

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅= − = − = −

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

Με 5

γ3

= προκύπτει ότι V

3C R

2= οπότε τελικά έχουµε:

33 R 2R n2 9 4 n2 12 n22e 1 1 0,42

3 9 16 n2 9 16 n23 R 8R n22

+ ⋅ + ⋅ ⋅= − = − = ≈+ ⋅ + ⋅+ ⋅

p V

V V

C C Rγ

C C

+= = =

V

R1

C+ ⇒

V

Rγ 1

C= − ⇒

VC 1

R γ 1= ⇒

V

R R 3C R

5γ 1 213

= = =− −

taexeiola.blogspot.com

Page 49: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

57.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

1. Ιδανικό αέριο, όταν εκτελεί τη µεταβολή

1 4 3→ → του σχήµατος, απορροφά από το πε-

ριβάλλον 143Q 100J= και παράγει έργο

143W 83,6J= . Πόσο έργο παράγει κατά τη µε-

ταβολή 1 2 3→ → , αν στην ίδια µεταβολή

123Q 110J= ;

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

2. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού αερίου υφί-

σταται την αντιστρεπτή µεταβολή ΑΒ που

φαίνεται στο σχήµα. Να υπολογίσετε τη µε-

ταβολή της εσωτερικής του ενέργειας, το

έργο και τη θερµότητα που ανταλλάσσει το

αέριο µε το περιβάλλον του, σε συνάρτηση

των P και V.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 50: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

58. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

3. Κατά τη θέρµανση ιδανικού αερίου υπό σταθερή πίεση το ποσό θερµό-

τητας Q είναι ίσο µε τα 7/2 του παραγόµενου έργου W. Να υπολογιστεί

η αδιαβατική σταθερά γ του αερίου.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

4. Μια ποσότητα ιδανικού αερίου βρίσκεται στην κατάσταση

( )A A AA P , V , T και εκτελεί τις παρακάτω διαδοχικές µεταβολές:

ΑΒ: ισόθερµη εκτόνωση ώσπου B AV 4V= .

ΒΓ: αδιαβατική συµπίεση ώσπου Γ Α

T 4Τ= .

α. Να παραστήσετε γραφικά τις µεταβολές σε διάγραµµα: P V−β. Για κάθε µεταβολή να υπολογίσετε τα Q, ∆U και W.

∆ίνονται AP , AV και 5

γ3

= .

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 51: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

59.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

5. 2R

mol He που βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας Α, καταλαµβά-

νουν όγκο AV , υπό πίεση AP 2atm= και θερµοκρασία AT 300K= . Το

αέριο συµπιέζεται αντιστρεπτά υπό σταθερή θερµοκρασία, ώσπου να

τετραπλασιαστεί η πίεσή του. Αν R 8,314= (S.I.) ζητείται:

α. Να παρασταθεί η µεταβολή σε διάγραµµα P V− .

β. Να υπολογίσετε το έργο που παράγεται πάνω στο αέριο, καθώς και τη

µεταβολή της εσωτερικής του ενέργειας, στην παραπάνω µεταβολή.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. 2

n75R

= mol ιδανικού αερίου, που βρίσκονται σε κατάσταση ισορρο-

πίας Α, καταλαµβάνουν όγκο AV 16L= , υπό πίεση AP 0,5atm= και θερ-

µοκρασία AT . Με αδιαβατική συµπίεση ΑΒ, το αέριο αποκτά όγκο

BV 2L= .

α. Να υπολογίσετε την αρχική θερµοκρασία του αερίου.

β. Να υπολογίσετε την τελική πίεση και θερµοκρασία του αερίου.

γ. Να παρασταθεί η µεταβολή σε διάγραµµα P V− .

taexeiola.blogspot.com

Page 52: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

60. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

δ. Να υπολογίσετε τη µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του αερίου

στη διαδικασία ΑΒ.

∆ίνεται: 5

γ3

= και R 8,314= (στο S.I.)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

7. Ιδανικό αέριο που καταλαµβάνει όγκο 1V 10L= , εκτονώνεται ισόθερ-

µα µέχρι να υποδιπλασιαστεί η πίεσή του. Στη συνέχεια συµπιέζεται

ισοβαρώς, απορροφώντας το µισό από το έργο που απέδωσε στην ισό-

θερµη εκτόνωση. Να υπολογιστεί ο τελικός όγκος του αερίου.

∆ίνεται: n2 0,7 .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

8. Ιδανικό αέριο βρίσκεται στους δύο χώρους του

θερµικά µονωµένου δοχείου του σχήµατος, που

χωρίζονται µε λεπτό µονωτικό διάφραγµα. Στον

taexeiola.blogspot.com

Page 53: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

61.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

πρώτο χώρο περιέχονται 4Ν µόρια του αερίου σε πίεση Ρ, όγκο 2V και

θερµοκρασία 1T , ενώ στο δεύτερο χώρο Ν µόρια του αερίου σε πίεση

4Ρ και όγκο V. Nα βρεθεί η θερµοκρασία και η πίεση στο δοχείο όταν

ανασύρουµε το διάφραγµα.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

9. 3R

mol ιδανικού αερίου εκτελούν τη µε-

ταβολή που παριστάνεται στο ακόλου-

θο διάγραµµα.

α. Να γίνει P T− διάγραµµα της παρα-

πάνω κυκλικής µεταβολής.

β. Να υπολογιστούν οι τιµές των P, V

και Τ για κάθε κατάσταση ισορρο-

πίας, αν AP 1atm= και 3AV 0,2m=

γ. Να υπολογιστούν το συνολικό έργο που παράγεται σε ένα κύκλο,

καθώς και η µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας στη µεταβολή

Β Γ ∆→ → . ∆ίνονται: R 8,314= (στο S.I.) και τα P, V.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 54: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

62. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

10. Ιδανικό µονατοµικό αέριο βρίσκεται σε κατάσταση θερµοδυναµικής

ισορροπίας Α µε όγκο Α

V και πίεση 6Α 2

ΝΡ 10

m= . Από την κατάσταση

Α, υποβάλλεται διαδοχικά στις παρακάτω αντιστρεπτές µεταβολές:

α. Ισοβαρή εκτόνωση µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορ-

ροπίας Β µε όγκο B AV 4V= , κατά την οποία το αέριο παράγει έργο

3A BW 3 10 J→ = ⋅ .

β. Αδιαβατική εκτόνωση µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής ι-

σορροπίας Γ µε όγκο Γ

V και πίεση Γ

Ρ .

γ. Ισόθερµη συµπίεση µέχρι την αρχική κατάσταση Α.

Ζητείται:

Α. Να παραστήσετε (ποιοτικά) τις παραπάνω µεταβολές σε διάγραµ-

µα πίεσης - όγκου ( P V− ).

Β. Να υπολογίσετε την τιµή του όγκου Α

V .

Γ. Να υπολογίσετε την τιµή του λόγου ενΒ ενΓυ / υ όπου ενΒ

υ και ενΓυ οι

ενεργές ταχύτητες των ατόµων του αερίου στις καταστάσεις Β και Γ

αντίστοιχα.

∆. Να υπολογίσετε το ποσό θερµότητας που αποδίδεται από το αέριο

στο περιβάλλον κατά την ισόθερµη συµπίεση Γ Α→ , όταν ο συ-

ντελεστής απόδοσης θερµικής µηχανής που λειτουργεί διαγράφο-

ντας τον παραπάνω κύκλο είναι e 0,538= .

∆ίνονται: p

5C R

2= και V

3C R

2= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

11. Oι θερµικές µηχανές του σχήµατος έχουν συντελεστές απόδοσης 1e

και 2e αντίστοιχα. Ποιος είναι ο συντελεστής απόδοσης του συστή-

µατος των δύο µηχανών;

taexeiola.blogspot.com

Page 55: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

63.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

12. Μια ιδανική θερµική µηχανή λειτουρ-

γεί σύµφωνα µε τον κύκλο του σχήµα-

τος, χρησιµοποιώντας ως µέσο ένα ι-

δανικό αέριο. Ο κύκλος αποτελείται από

µια ισόθερµη εκτόνωση ΑΒ σε θερµο-

κρασία 1T 600K= µέχρι διπλασιασµού

του όγκου του αερίου, µια ισοβαρή συ-

µπίεση ΒΓ µέχρι τον αρχικό όγκο του

αερίου και µια ισόχωρη θέρµανση ΓΑ µέχρι την αρχική κατάσταση

του αερίου. Να υπολογίσετε την απόδοση του κύκλου.

∆ίνεται: n2 0,7= και 5

γ3

= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

13. Ιδανικό αέριο υποβάλλεται στις εξής αντιστρεπτές µεταβολές.

ΑΒ: ισοβαρή ψύξη µέχρι AB

TT

4=

taexeiola.blogspot.com

Page 56: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

64. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

ΒΓ: αδιαβατική συµπίεση µέχρι Γ Α

T Τ=ΓΑ: ισόθερµη εκτόνωση

α. Να παρασταθεί η κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα P V− .

β. Να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης αν V

3C R

2= , n2 0,7= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

14. Ορισµένη ποσότητα ιδανικού µονοατοµικού αερίου βρίσκεται σε

κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας Α σε θερµοκρασία

AT 400K= , πίεση 5 2AP 4 10 N / m= ⋅ και όγκο 3 3

AV 10 m−= . Από την

κατάσταση αυτή το αέριο υποβάλλεται στις παρακάτω διαδοχικές

µεταβολές:

α. ισοβαρή θέρµανση ΑΒ, µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής

ισορροπίας Β µε όγκο 3 3BV 2 10 m−= ⋅

β. αδιαβατική ψύξη ΒΓ, µέχρι την κατάσταση θερµοδυναµικής

ισορροπίας Γ µε όγκο 3 3Γ

V 3,2 10 m−= ⋅ και πίεση 5 2Γ

P 10 N / m= .

Α. Να παρασταθούν γραφικά (ποιοτικά) οι παραπάνω µεταβολές σε

διάγραµµα P V− .

Β. Να υπολογιστεί η θερµοκρασία του αερίου στην κατάσταση Β.

Γ. Να υπολογιστεί το παραγόµενο έργο κατά την ισοβαρή µεταβολή

ΑΒ.

∆. Να υπολογιστεί η συνολική µεταβολή της εσωτερικής ενέργειας

του αερίου.

∆ίνονται: 5

γ3

= και V3

C R2

= .

...........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 57: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

65.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

.........................................................................................................................

15. Ιδανικό µονοατοµικό αέριο εκτελεί κυκλική θερµοδυναµική µεταβο-

λή που αποτελείται από τις εξής αντιστρεπτές µεταβολές:

α. από την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας 1, µε5 2

1P 3 10 N / m= ⋅ και 3 31V 4 10 m−= ⋅ εκτονώνεται ισοβαρώς στην

κατάσταση 2, µε 2 1V 3V= ,

β. από την κατάσταση 2 ψύχεται ισόχωρα στην κατάσταση 3 και,

γ. από την κατάσταση 3 συµπιέζεται ισόθερµα στην θερµοκρασία 1T ,

στην αρχική κατάσταση 1.

Αν η ποσότητα του αερίου είναι 3

n molR

= , όπου R είναι η παγκό-

σµια σταθερά των ιδανικών αερίων σε ( )J / mol K⋅ , ζητείται:

Α. Να παρασταθούν γραφικά οι παραπάνω µεταβολές σε διάγραµµα

πίεσης - όγκου ( )P V− .

Β. Να βρεθεί ο λόγος 1 2

2 3

∆U

∆U

της µεταβολής της εσωτερικής ενέρ-

γειας του αερίου κατά την ισοβαρή εκτόνωση προς τη µεταβολή

της εσωτερικής του ενέργειας κατά την ισόχωρη ψύξη.

Γ. Να βρεθεί ο συντελεστής απόδοσης ιδανικής µηχανής Carnot που

θα λειτουργούσε µεταξύ των ίδιων ακραίων θερµοκρασιών της

παραπάνω κυκλικής µεταβολής.

∆. Να βρεθεί το ολικό ποσό θερµότητας που ανταλλάσσει το αέριο µε

το περιβάλλον κατά τη διάρκεια µιας τέτοιας κυκλικής µεταβο-

λής, αν το ποσό του έργου κατά την ισόθερµη συµπίεση του αερ-

ίου 3 1W 1318Joule→ = − .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 58: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

66. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

Θέµα 1ο

Α.1. Κατά την ισοβαρή εκτόνωση αερίου για το οποίο 5

γ3

= απορροφάται από

το περιβάλλον θερµότητα Q 10J= . Το έργο (W) και η µεταβολή της εσω-

τερικής ενέργειας (∆U) είναι:

α. W 6J= , ∆U 4J= ,

β. W 4J= , ∆U 6J= ,

γ. W 8J= , ∆U 2J= ,

δ. W 5J= , ∆U 5J= .

2. Σε ποια µεταβολή στην οποία το αέριο εκτονώνεται έχουµε ψύξη:

α. ισόθερµη

β. αδιαβατική

γ. ισοβαρής

δ. ισόχωρη.

3. Μια άλλη µορφή της καταστατικής εξίσωσης ιδανικού αερίου είναι:

α. 2P V 3U⋅ =β. 3P V 2U⋅ =γ. P V U⋅ =δ. P V 3U⋅ =

4. Αν µία θερµική µηχανή έχει απόδοση ίση µε το 50% της απόδοσης µιας

µηχανής Carnot που λειτουργεί µεταξύ των ίδιων θερµοκρασιών, και µε

1e

4= ( της µηχανής) ποιός ο λόγος των θερµοκρασιών µεταξύ των οποί-

ων λειτουργούν οι µηχανές:

α. c

h

T1

T= β. c

h

T 1

T 4= γ. c

h

T 1

T 2= δ. c

h

T 1

T 3=

taexeiola.blogspot.com

Page 59: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

67.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τη γνώση µας

5. Να αντιστοιχίσετε τις αντιστρεπτές µεταβολές ενός ιδανικού αερίου της

στήλης Α µε τις σχέσεις της στήλης Β.

(Μονάδες 25)

Θέµα 20

α. Να αποδειχτεί η σχέση P VC C R= + , όπως επίσης P

5C R

2= , V

3C R

2= και

3= για ιδανικό µονοατοµικό αέριο.

β. Αποδείξτε ότι στον κύκλο Carnot ίσα ποσά θερµότη-

τας µπορεί να παράγουν το ίδιο ή διαφορετικό µη-

χανικό έργο.

γ. Να παρασταθεί ο κύκλος σε διάγραµµα P V− , V T− .

(Μονάδες 25)

Θέµα 30

∆ίνεται η παρακάτω κυκλική µεταβολή που εκτελεί ιδανικό αέριο.

ΑΒ: ισόχωρη θέρµανση

ΒΓ: εκτόνωση

ΓΑ: ισοβαρής ψύξη

Αν ΑΒΓΑ

W 300J= και ΓΑ

W 200J= − . Να βρείτε:

Α Β

α. Ισόχωρη 1. ∆U W= −

β. Ισοβαρής 2. Q ∆U W= +

γ. Αδιαβατική 3. Q ∆U=

δ. Κυκλική 4. Q W=ε. Τυχαία

taexeiola.blogspot.com

Page 60: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

68. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

α. τη θερµότητα ABQ β. το έργο

ΒΓW γ. το λόγο AB

ΓA

∆U

∆U.

(Μονάδες 25)

Θέµα 40

Μια ποσότητα ιδανικού αερίου ( )5 3 32A A

NP 4 10 ,V 5 10 mm

−= ⋅ = ⋅ πραγµατοποιεί

µια κυκλική µεταβολή που αποτελείται από τις παρακάτω επιµέρους αντιστρεπτές

µεταβολές:

ΑΒ: ισόχωρη θέρµανση ( )B AP 2P=ΒΓ: ισόθερµη εκτόνωση

ΓΑ: ισοβαρής ψύξη.

∆ίνονται: n2 0,7= και 5

γ3

=

α. Να αποδοθεί η κυκλική µεταβολή σε διάγραµµα P-V.

β. Να βρεθούν η πίεση, ο όγκος και η εσωτερική ενέργεια του αερίου σε καθε-

µία από τις καταστάσεις ισορροπίας Α, Β, Γ.

γ. Να υπολογιστεί η ενέργεια που ανταλλάσει το αέριο µε το περιβάλλον του

σε κάθε µεταβολή.

δ. Να υπολογιστεί η απόδοση του κύκλου.

(Μονάδες 25)

taexeiola.blogspot.com

Page 61: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο κίνηση φορτίου σε ηλεκ-

τρικό πεδίο πρέπει να γνωρίζει:

Πως ορίζεται η ένταση ηλεκτροστατικού πεδίου και µε τι ισούται ηένταση πεδίου Coulomb.

Τη σχέση έντασης και διαφοράς δυναµικού στο οµογενές ηλεκτρο-στατικό πεδίο.

Η ένταση προστίθεται διανυσµατικά σε αντίθεση µε το δυναµικό πουπροστίθεται αλγεβρικά.

Η δυναµική ενέργεια φορτίων αναφέρεται σε σύστηµα φορτίων καιόχι σε ένα µεµονωµένο φορτίο.

Η δυναµική ενέργεια µπορεί να είναι θετική, αρνητική ή µηδέν.

( Q q 0 τότε U 0, Q q 0 τότε U 0⋅ > > ⋅ < < για σύστηµα δύο σηµειακών

ηλεκτρικών φορτίων).

Ποια είναι η φυσική σηµασία του προσήµου της δυναµικής ενέργειας.

Όταν έχουµε σύστηµα πολλών ηλεκτρικών σηµειακών φορτίων τότεη δυναµική ενέργεια είναι το άθροισµα των δυναµικών ενεργειών όλων

των δυνατών ζευγαριών των φορτίων.

Πως να εφαρµόζει αρχή διατήρησης ενέργειας για σύστηµα φορτίων.

Όταν έχουµε κίνηση φορτισµένου σωµατιδίου µπορούµε να εφαρµό-ζουµε και Θ.Μ.Κ.Ε. (Συνιστάται σε οµογενές Η.Π).

Όταν έχουµε δύο αποµονωµένα φορτία που µπορούν να κινηθούνµόνο µε την επίδραση της µεταξύ τους ασκούµενης δύναµης τότε

µπορούµε να εφαρµόσουµε αρχή διατήρησης ορµής.

Αν το φορτίο είναι θετικό και αφεθεί σε οµογενές πεδίο τότε η δύναµηέχει την ίδια φορά µε την ένταση ενώ αν είναι αρνητικό αντίθετη.

taexeiola.blogspot.com

Page 62: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

70. Κίνηση φορτίου σε ηλεκτρικό πεδίο Τύποι - Βασικές έννοιες

Αν δεν δίνεται το g ή ζητείται τότε θα θεωρούµε τις δυνάµεις βαρύτη-τας αµελητέες.

Σε κάθε κίνηση ποιες εξισώσεις ισχύουν και πως εφαρµόζονται.

Κίνηση φορτίου σε ηλεκτρικό πεδίο: Τύποι - Βασικές έννοιες

• ∆υναµική ενέργεια συστήµατος δύο σηµειακών φορτίων 1 2c

Q QU K

r=

• Χωρητικότητα πυκνωτή :

Ορισµός Q

CV

= επίπεδος πυκνωτής 0

SC εε=

όπου S, εµβαδόν και από-

σταση οπλισµών.

• Ένταση και διαφορά δυναµικού στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο V

E =

• ∆υναµική ενέργεια αποθηκευµένη στο Ηλεκτρικό πεδίο ενός πυκνωτή

21U CV

2=

• Εξισώσεις κίνησης φορτίου που µπαίνει σε οµογενές ηλεκτροστατικό πεδίο

κάθετα στις δυναµικές γραµµές.

xx΄ yy΄

xF 0= yF E q= ⋅

xα 0= yE q

αm

⋅=

x 0υ υ= y yυ α t= ⋅

0x υ t= ⋅ 2y

1y α t

2= ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 63: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

71.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ΘΕΩΡΙΑ 1 Σχέση έργου-µεταβολής δυναµικής ενέργειας.

Απόδειξη

Το έργο που παράγει ένα ηλεκτρικό πεδίο κατά τη µετακίνηση ενός σηµειακού

φορτίου q από ένα σηµείο Α µε δυναµικό AV , σε ένα άλλο σηµείο Γ µε δυναµι-

κό Γ

V , δίνεται από τη σχέση ( )A Γ AΓ A ΓW q V q V V→ = ⋅ = ⋅ −

A ΓΑν W 0→→ > τότε το πεδίο παράγει έργο και η δυναµική ενέργεια του

συστήµατος ελαττώνεται.

A ΓΑν W 0→→ < τότε το πεδίο καταναλώνει έργο και η δυναµική ενέργεια

του συστήµατος αυξάνεται.

ΘΕΩΡΙΑ 2 Να αποδείξετε τη σχέση µέτρου έντασης και διαφοράς

δυναµικού σε οµογενές ηλεκτροστατικό πεδίο.

Απόδειξη

Έστω ένα δοκιµαστικό φορτίο +q αφήνεται πολύ κο-

ντά στον θετικά φορτισµένο οπλισµό επίπεδου πυκνω-

τή. Λόγω του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου, το φορτίο

δέχεται δύναµη ( )F E q 1= ⋅ και µετακινείται µέχρι

τον αρνητικά φορτισµένο οπλισµό.

Κατά τη µετακίνηση αυτή η δύναµη του πεδίου παρά-

γει έργο ( )W F L 2= ⋅ .

Από (1) και (2) έχουµε ( )W E q L 3= ⋅ ⋅ .

Το έργο όµως γνωρίζουµε ότι µπορεί να υπολογιστεί

από τον τύπο ( )W q V 4= ⋅

Εποµένως από (3), (4) έχουµε E q L q V⋅ ⋅ = ⋅ , άρα V

EL

=

taexeiola.blogspot.com

Page 64: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

72. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ 3 ∆υναµική ενέργεια συστήµατος φορτίων

Απόδειξη

Σχηµατισµός - ∆ιάλυση συστήµατος φορτίων

Όταν δυο ή περισσότερα φορτία είναι τοποθετηµένα σε τέτοιες θέσεις ώστε να

αλληλεπιδρούν µεταξύ τους, αποτελούν ένα σύστηµα.

Για να υπολογίσουµε την ενέργεια που απαιτείται για το σχηµατισµό (κατα-

σκευή) του συστήµατος ή για τη διάλυση (καταστροφή) του συστήµατος θα

χρησιµοποιούµε την αρχή διατήρησης της ενέργειας, δηλ:

αρχ ,συστ προσφ τελ,συστE Ε Ε+ =

Υπολογισµός δυναµικής ενέργειας συστήµατος φορτίων

Η δυναµική ενέργεια ενός συστήµατος φορτίων είναι ίση µε το έργο που απα-

ιτείται για τη µεταφορά των φορτίων από πολύ µεγάλη απόσταση µέχρι να

τοποθετηθούν στη θέση τους. Αυτή υπολογίζεται µε δύο τρόπους:

1ος τρόπος: υπολογίζουµε τη δυναµική ενέργεια αλληλεπίδρασης όλων των

φορτίων ανά δύο. Προσθέτοντας τις επιµέρους δυναµικές ενέρ-

γειες βρίσκουµε την ολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος.

2ος τρόπος: µεταφέρουµε ένα-ένα τα φορτία στις θέσεις τους και υπολογίζου-

µε το έργο που απαιτείται κάθε φορά που φέρνουµε ένα φορτίο.

Προσθέτουµε τα επιµέρους έργα και το συνολικό έργο είναι ίσο µε

τη δυναµική ενέργεια του συστήµατος.

Παράδειγµα

Τρία όµοια φορτία Q βρίσκονται στις τρεις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου

πλευράς α. Να υπολογιστεί:

α. η δυναµική ενέργεια του συστήµατος,

β. η ενέργεια που απαιτείται για τη δηµιουργία του συστήµατος των τριών

φορτίων.

Απάντηση

α. 1ος τρόπος

Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι:

Συστ A,B B,Γ Γ,ΑU U U U= + +

Συστ.U = A B B Γ Γ AQ Q Q Q Q Q

k k kα α α

+ + ⇒

Συστ.U =

2Q3k

α.

taexeiola.blogspot.com

Page 65: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

73.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

2ος τρόπος

Το πρώτο φορτίο Q µπορεί να µεταφερθεί στο Α χωρίς δαπάνη έργου. Στη

συνέχεια µεταφέρουµε το δεύτερο φορτίο Q στο σηµείο Β προσφέροντας ενέρ-

γεια: 2

1 B B

Q QW W W Q.k k

α α∞→ →∞= − = = =

Μεταφέρουµε το τρίτο φορτίο Q στο Γ.

2 Γ Γ ΓW W W Q V∞→ →∞= − = = ⋅ .

Όµως Γ Α B

Q Q QV V V k k 2k

α α α= + = + = . Άρα:

2

2 Γ

QW W 2k

α∞→= − = .

Το συνολικό έργο είναι: 2 2 2

1 2

Q Q QW W W k 2k 3k

α α α= + = + =

Συνεπώς η δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι: 2

Συστ.

QU 3k

α= .

Σηµείωση: Η δυναµική ενέργεια που υπολογίσαµε ανήκει στο σύστηµα των

φορτίων.

β. αρχ ,συστ προσφ τελ,συστ συστ, προσφ συστE Ε Ε U Ε U∞+ = ⇒ + = ⇒

2 2

προσφ προσφ

Q Q0 Ε 3k Ε 3k

α α⇒ + = ⇒ =

ΘΕΩΡΙΑ 4 Κίνηση σηµειακού ηλεκτρικού φορτίου σε οµογενές η-

λεκτρικό πεδίο.

i. Παράλληλα στις δυναµικές γραµµές

Eξισώσεις κίνησης: Ε q

αm⋅= , 0υ υ α t= ± ⋅ ,

2

01

y υ t α t2

= ⋅ ± ⋅

ii. Κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς ηλεκτρι-

κού πεδίου

Απόδειξη

ii. Σωµατίδιο µε µάζα m και φορτίο +q επιταχύνεται από ηλεκτρικό πεδίο τάσης

V0 και αποκτά ταχύτητα υ

0. Στην συνέχεια εισέρχεται σε οµογενές ηλεκτρι-

κό πεδίο κάθετα στις δυναµικές του γραµµές. Το πεδίο αυτό δηµιουργείται

από δύο οριζόντιες µεταλλικές πλάκες µήκους L. Η απόσταση ανάµεσα στις

taexeiola.blogspot.com

Page 66: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

74. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

πλάκες είναι d και µεταξύ τους υπάρχει διαφορά δυναµικού V.

α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ0 που αποκτά αρχικά το σωµατίδιο.

β. Να περιγράψετε την κίνηση του σωµατιδίου µέσα στο οµογενές ηλεκτρι-

κό πεδίο. Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης και να υπολογίσετε την επι-

τάχυνσή του.

γ. Να υπολογίσετε τον ολικό χρόνο κίνησης του σωµατιδίου στο πεδίο.

δ. Να βρείτε την εξίσωση της τροχιάς της κίνησης του.

ε. Να βρείτε την κατακόρυφη απόκλιση ανάµεσα στα σηµεία εισόδου - εξό-

δου.

στ. Να υπολογιστεί η διαφορά δυναµικού ανάµεσα στα σηµεία εισόδου -

εξόδου.

ζ. Να υπολογιστεί η απόσταση S ανάµεσα στα σηµεία εισόδου εξόδου.

η. Να βρεθεί η διεύθυνση της ταχύτητας κατά την έξοδό της από το πεδίο.

θ. Να υπολογιστεί το µέτρο της ταχύτητας εξόδου από το πεδίο από το πεδίο

εάν:

i. είναι γνωστός ο ολικός χρόνος κίνησης,

ii. είναι γνωστή η κάθετη απόκλιση yολ

και

iii. είναι γνωστή η διαφορά δυναµικού Vy,ολ

για αυτή την απόκλιση.

ι. Να υπολογιστεί το µέτρο της µεταβολής της ορµής του σωµατιδίου από τη

στιγµή της εισόδου του στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο µέχρι τη στιγµή της

εξόδου του από αυτό.

Θεωρούµε αµελητέο το βάρος του σωµατιδίου.

Απάντηση:

α. Εφαρµόζω ΘΜΚΕ για την κίνηση του σωµατιδίου στο αρχικό πεδίο.

∆Κ = ΣW ⇒ Kτελ

- Καρχ

= qV0 ⇒ 2

0

1m

2υ - 0 = qV

0⇒ 0

02qV

υm

=

β. Στο σωµατίδιο ασκείται µια ηλεκτρική δύναµη παράλληλη στις δυναµικές

γραµµές µε φορά προς τα πάνω. Σύµφωνα µε την αρχή ανεξαρτησίας των

κινήσεων αναλύω την κίνηση σε δύο ανεξάρτητες µεταξύ τους κινήσεις. Μια

ευθύγραµµη οµαλή στον άξονα x΄x µε ταχύτητα υ0 και µια ευθύγραµµη οµα-

λά επιταχυνόµενη στον y΄y χωρίς αρχική ταχύτητα

taexeiola.blogspot.com

Page 67: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

75.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

γ. Μόλις βγει από το πεδίο στον x΄x έχει διανύσει απόσταση x L= .

Συνεπώς από ( ) ( )0 ολ ολ

0

L2 L υ t t 4

υ⇒ = ⋅ ⇒ =

δ. Εξίσωση τροχιάς είναι µια εξίσωση που συνδέει τις αποµακρύνσεις x και y.

Προκύπτει από τις σχέσεις (2) και (1) µε απαλοιφή χρόνου.

( )0

x2 t

υ⇒ = και τότε από ( )

22

2 20 0

1 x α1 y α y x

2 υ 2υ⇒ = ⇒ =

2

20

1 qV xy

2 md υ⇒ = ⋅ ⋅

ε. Από τις σχέσεις (1) και (4) για ολ

0

Lt t

υ= = έχουµε:

( )2

2ολ ολ ολ 2

0

1 1 qV Ly α t y 5

2 2 md υ= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ή από την (5) για

2

ολ 20

1 qV Lx L y

2 md υ= ⇒ = ⋅ ⋅

στ. ολy

y,oλ ολ

ολ

VE V Ε y

y= ⇒ = ⋅ και µε τη βοήθεια της σχέσης (5) ⇒

( )2 2 2

y,ολ y,ολ2 2 20 0

V 1 qV L qV LV V 6

d 2 md υ 2md υ= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

ζ. Απόσταση S είναι η ευθεία που ενώνει το σηµείο εισόδου Ο µε το σηµείο

εξόδου Α. Επειδή το τρίγωνο που σχηµατίζεται είναι ορθογώνιο ισχύει:

2 2 2 2 2ολ ολS L y S L y= + ⇒ + και λόγω (5)

2 2 42

2 2 40

q V LS L

4m d υ= + .

xx΄ yy΄

xF 0= yF E q= ⋅

xα 0= y

E q qVα

m md

⋅= =

x 0υ υ= ( )y yυ α t 3= ⋅

( )0x υ t 2= ⋅ ( )2y

1y α t 1

2= ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 68: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

76. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

η. Στο σηµείο εξόδου x 0υ υ= και y oλ y

0

qV Lυ α t υ

md υ= ⋅ ⇒ = ⋅ .

Άρα για τη διεύθυνση της ταχύτητας εξόδου θα έχουµε:

y 02

x 0 0

qVLυ mdυ qVL

εφθ εφθ εφθυ υ mdυ

= ⇒ = ⇒ = .

θ. i..2 2 2

2 2 2 2 2 2x y 0 ολ 0 2 2 2

0

q V Lυ υ υ υ α t υ υ

m d υ= + ⇒ + ⇒ = + ⋅ .

ii. Εφαρµόζω ΘΜΚΕ για την κίνηση του φορτίου ανάµεσα στα σηµεία εισόδου -

εξόδου.

2 2τελ αρχ oλ 0 oλ

1 1∆Κ ΣW K Κ F y mυ mυ qEy

2 2= ⇒ − = ⋅ ⇒ − = ⇒

2 2 2 20 oλ 0 ολ

V qVmυ mυ 2q y υ υ 2 y

d md− = ⇒ − = ⇒ 2

0 ολ

2qVυ υ y

md= +

iii. Εφαρµόζω ΘΜΚΕ για την κίνηση του φορτίου ανάµεσα στα σηµεία εισόδου -

εξόδου.

oλτελ αρχ y∆Κ ΣW K Κ q V= ⇒ − = ⋅

2 2 2 20 y,ολ y,ολ

1 1mυ mυ qV mυ mυ 2qV

2 2− = ⇒ − = ⇒0

y,ολ y,ολ2 2 20 0

2qV 2qVυ υ υ υ

m m⇒ − = ⇒ = +

ι. Ισχύει 0 0

∆P L V LF ∆P F∆t ∆P qE ∆P q

∆t υ d υ= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

taexeiola.blogspot.com

Page 69: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

77.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ.σ. 126 - 127: Ερωτήσεις 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 3.22

σ. 138: Ασκήσεις 3.90, 3.91, 3.92, 3.93

σ. 139: Ασκήσεις 3.94, 3.95, 3.97

σ. 140: Ασκήσεις 3.98, 3.99, 3.100

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ.σ. 89 - 102: Τα παραδείγµατα 3.1, 3.2, 3.3,

3.4, 3.6, 3.7, 3.9, 3.10, 3.12

σ. 109: Ξεχωριστό θέµα 1 (διόρθωση στην

απάντηση του β ερωτήµατος:

2

c20

K qx

6mυ

⋅= )

σ.σ. 105 - 108: Ασκήσεις 3.2, 3.4, 3.5, 3.6,

3.10, 3.12

taexeiola.blogspot.com

Page 70: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

78. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

1. Στις κορυφές ΑΒΓ∆ τετραγώνου πλευράς

α 0,36cm= βρίσκονται αντίστοιχα τοποθετηµέ-

να τα φορτία Q, 2Q, Q και 2Q µε Q 2µC= .

α. Υπολογίστε τη συνολική δυναµική ενέργεια του

συστήµατος των τεσσάρων φορτίων.

β. Αφήνουµε το φορτίο Q της κορυφής Γ ελεύθε-

ρο να κινηθεί. Αν η µάζα του είναι m 2g= ,

υπολογίστε τη µέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει.

∆ίνεται: 9cK 9 10= ⋅ (στο SI). Βαρυτικά πεδία αµελητέα.

Λύση:

α. Είναι 3AB BΓ Γ∆ ∆Α 3,6 10 m−= = = = ⋅ ενώ 3AΓ B∆ α 2 3,6 2 10 m−= = = ⋅ ⋅ .

Η συνολική δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι:

2 2

c c cQ 2Q Q 4Q

U 4 K Κ Κα α 2 α 2

⋅= ⋅ + +

2 2 2 9 12c c c

3

8K Q 5K Q K Q 5 9 10 4 10 5U 8 8 J

α αα 2 2 3,6 10 2

−⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + = ⋅ + = ⋅ + ⋅

510 8 J

2

= ⋅ + β. Το φορτίο θα αποκτήσει µέγιστη ταχύτητα στο άπειρο, όπου όλη η αρχική

δυναµική του ενέργεια θα έχει µετατραπεί σε κινητική.

Α.∆.Ε: ( ) ( )2 2 2

Γ 2αρχ c c cτελ

2Q 2Q 2Q 1U Κ K Κ Κ mυ

α α 2α 2

∞= ⇒ + + = ⇒

22 c2K Q 2

υ 4mα 2

= ⋅ +

υ 100 4 2 / 2m/s 217m/s⇒ = +

taexeiola.blogspot.com

Page 71: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

79.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

2. Ένα σύστηµα αποτελείται από ένα ακλόνητο φορτίο Q 20µC= και ένα

φορτίο q 1µC= µάζας m 4g= το οποίο µπορεί να κινηθεί. Η δυναµική

ενέργεια του συστήµατος είναι U 3,6J= .

α. Υπολογίστε την απόσταση των δύο φορτίων.

β. Αφήνουµε το q ελεύθερο να κινηθεί. Περιγράψτε το είδος της κίνη-

σής του και βρείτε την ταχύτητα του όταν η απόσταση των φορ-

τίων διπλασιαστεί.

γ. Να υπολογιστεί η µέγιστη ταχύτητα του φορτίου q.

∆ίνεται: 9cK 9 10= ⋅ (στο SI)

Λύση:

α. Είναι 9 6 6

2cc

K QqQq 9 10 20 10 10U K r m 5 10 m

r U 3,6

− −−⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⇒ = = = ⋅

β. Το φορτίο q αποµακρυνόµενο θα απωθείται µε διαρκώς µικρότερη δύναµη

Coulomb. Η κίνησή του θα είναι επιταχυνόµενη µε επιτάχυνση που συνεχώς

µειώνεται. Η ταχύτητά του θα αυξάνεται µε όλο και πιο αργό ρυθµό, και

τελικά θα αποκτήσει (σε άπειρη απόσταση) σταθερή τιµή.

Α∆Ε από r έως 2r: 2ΑΡΧ ΤΕΛ ΑΡΧ ΤΕΛ

1E Ε U U mυ

2= ⇒ = +

2 cc c

K QqQq Qq 1K K mυ υ 30m/s

r 2r 2 mr⇒ = + ⇒ = =

γ. Η ταχύτητα γίνεται µέγιστη σε άπειρη απόσταση. Α∆Ε από r µέχρι το άπειρο:

2c cΑΡΧ ΤΕΛ

K Qq 2K Qq1Ε Ε mυ υ 30 2m/s

r 2 mr= ⇒ = ⇒ = = .

3. ∆ύο φορτία −= 91q 10 C και −= ⋅ 9

2q 4 10 C συγκρατούνται ακίνητα σε

τέτοιες θέσεις ώστε η µεταξύ τους απόσταση να είναι =r 20cm . Αν το

1q παραµείνει ακίνητο και το 2q αφεθεί ελεύθερο να κινηθεί, θα φτά-

σει στο άπειρο µε ταχύτητα 22υ 2 10 m / s−= ⋅ . Αν αφηνόταν το 1q ελεύ-

θερο συγκρατώντας το 2q , αυτό θα έφτανε στο άπειρο µε

21υ 6 10 m / s−= ⋅ . Τέλος κάνοντας το ίδιο πείραµα αφήνουµε και τα δύο

ελεύθερα να κινηθούν ώστε να φτάσουν στο άπειρο.

α. Ποια η αρχική δυναµική ενέργεια του συστήµατος;

taexeiola.blogspot.com

Page 72: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

80. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

β. Ποιες οι µάζες 1m , 2m ;

γ. Ποιες ταχύτητες αποκτούν όταν αφήνονται και τα δύο φορτία

ελεύθερα;

Λύση:

α. Η αρχική δυναµική ενέργεια είναι:

9 991 2

c 1

q q 10 4 10U K 9 10 J

r 2 10

− −

−⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

⋅8U 18 10 J−= ⋅

β.1.

Με διατήρηση ενέργειας ανάµεσα στις θέσεις Ι και ΙΙ παίρνω

I IIE E= ⇒ 2 c 1 21 2c 2 2 2 2

2

2K q qq q 1K m υ m

r 2 υ r

⋅⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒⋅

84

2 4

36 10m kg 9 10 kg

4 10

−−

−⋅= = ⋅⋅

.

β.2.

Οµοίως µε διατήρηση ενέργειας ανάµεσα στις θέσεις ΙΙΙ και ΙV έχω

21 2III IV c 1 1

q q 1E E K m υ

r 2

⋅= ⇒ = ⋅ ⇒

( )8 8

4c 1 21 12 2 421

2K q q 2 18 10 36 10m kg kg m 10 kg

υ r 36 106 10

− −−

−−

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⇒ =⋅ ⋅⋅

γ. Τώρα που κινούνται και τα δύο εφαρµόζω αρχές διατήρησης ενέργειας και

διατήρησης ορµής. (∆εν υπάρχουν εξωτερικές δυνάµεις στο σύστηµα).

Α.∆.Ο: αρχ τελ 1 1 2 2

P P 0 m υ m υ

= ⇒ = ⋅ − ⋅ ⇒

taexeiola.blogspot.com

Page 73: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

81.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

( )21 2 1 2

1

mυ υ υ 9 υ 1

m= ⋅ ⇒ = ⋅

Α.∆.Ε: ( )1

2 21 2αρχ τελ c 1 1 2 2

q q 1 1E E K m υ m υ

r 2 2

⋅= ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒

2 21 2c 1 2 2 2

q q 1 1K m 81υ m υ

r 2 2

⋅ = ⋅ + ⋅

και επειδή 21

mm

9= ⇒ 2 21 2

c 2 2 2 2q q 1 1

K m 9υ m υr 2 2

⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

2 c 1 21 2c 2 2 2

2

K q qq q 1K 5m υ υ

r 5m r

⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

9 182

2 4 1

9 10 4 10υ m / s 0,4 10 m / s

5 9 10 2 10

−−

− −⋅ ⋅ ⋅= = ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

και από την (1): 21υ 9 0,4 10 m / s−= ⋅

4. Σε ύψος = 8m βρίσκεται ακλόνητα τοποθετηµένο ένα φορτίο =Q 2µC

µάζας M 200g= . Στην ίδια κατεύθυνση µε το Q εκτοξεύουµε από το

έδαφος κατακόρυφα ένα δεύτερο φορτίο q 1mC= µάζας =m 20g µε αρ-

χική ταχύτητα 0υ 5m/ s= .

α. Βρείτε το µέγιστο ύψος h στο οποίο θα

φτάσει το φορτίο q.

β. Τη στιγµή που το q βρίσκεται στο µέγιστο

ύψος της τροχιάς του το ακινητοποιούµε

και ταυτόχρονα αφήνουµε ελεύθερο το Q

να κινηθεί. Να υπολογίσετε την µέγιστη

ταχύτητα του.

∆ίνονται: 2g 10m / s= και

29

c 2

N mK 9 10

C

⋅= ⋅

Λύση:

α. Τη στιγµή που το q βρίσκεται στο µέγιστο ύψος της τροχιάς του, θα είναι

στιγµιαία ακίνητο (φάση Β). Α∆Ε για το q από (Α) σε (Β) :

taexeiola.blogspot.com

Page 74: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

82. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

2ΗΛ,Α Α ΗΛ,Β ΒΑΡ,Β c 0 c

Qq 1 QqU Κ U U K mυ Κ mgh

2 h+ = + ⇒ + = +

− µε h <

9 6 339 10 2 10 10 1 18

20 10 25 0,2h8 2 8 h

− −−⋅ ⋅ ⋅ ⋅⇒ + ⋅ ⋅ ⋅ = +

− (h σε m)

2 20m απορρ. γιατί 20m 8m2h 41h 20 0 h

0,5m δεκτή

> =⇒ − + = ⇒ =

β. Στη φάση (Β) το Q δέχεται από το q απωστική δύναµη

( )ΗΛ c 2 2

Q q 18F Κ N

7,5h

⋅= =−

ενώ το βάρος του είναι B Mg 2N= = . Προφανώς

ΗΛB F> εποµένως αφήνοντας το Q ελεύθερο, αυτό θα κινηθεί προς τα κάτω.

Η ταχύτητά του θα γίνει µέγιστη τη στιγµή που θα απέχει από το q απόστα-

ση x τέτοια ώστε ΗΛ

F B= (φάση Γ) άρα: cc 2

K QqQqK Mg x 3m

Mgx= ⇒ = =

Α∆Ε για το Q από το (Β) σε (Γ): ΗΛ,Β ΒΑΡ,Β ΗΛ,Γ ΒΑΡ,Γ ΓU U U U Κ+ = + + ⇒

( ) 2c c max

Qq Qq 1K Mg K Mg h x Mυ

h x 2⇒ + = + + +

21816 6 2 3,5 0,1υ

7,5⇒ + = + ⋅ + 25,4 0,1υ υ 54 m / s 3 6 m / s⇒ = ⇒ = =

5. Στη βάση κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης o30 βρίσκεται ακλόνητα

τοποθετηµένο ένα φορτίο −= ⋅ 4Q 2 10 C . Από ένα σηµείο του επιπέδου

το οποίο βρίσκεται σε ύψος =h 6m εκτοξεύουµε προς το Q ένα φορτίο

−= 4q 10 C µάζας =m 50g µε αρχική ταχύτητα 0υ 40m/ s= . Να υπολογι-

στεί η µέγιστη και η ελάχιστη απόσταση των δύο φορτίων. ∆ίνονται

2g 10m / s= και 9

cK 9 10= ⋅ (SI).

Λύση:

Είτε τα φορτία βρίσκονται σε ελάχιστη είτε σε µέγιστη απόσταση, το q θα είναι

στιγµιαία ακίνητο. Θα εφαρµόσουµε Α∆Ε για το q από το αρχικό σηµείο του σχή-

µατος µέχρι να µηδενιστεί στιγµιαία η ταχύτητά του, σε απόσταση r από το Q.

taexeiola.blogspot.com

Page 75: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

83.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Παρατηρείστε ότι η αρχική απόσταση των φορτίων είναι 2h γιατί οφ 30= .

ΑΡΧ ΑΡΧ ΤΕΛ ΤΕΛΑΡΧ ΒΑΡ ΗΛ ΒΑΡ ΗΛK U U U U+ + = + ⇒

2 c c0

K Qq K Qq1 rmυ mgh mg

2 2h 2 r⇒ + + = +

r 18040 15 3

4 r⇒ + + = + (r σε m)

2 228,85mr 232r 720 0 r

3,15m

⇒ − + = ⇒ =

Εποµένως minr 3,15 m= και maxr 228,85m= .

6. Aνάµεσα σε δύο αντίθετα φορτισµένες πλάκες που απέχουν απόσταση

=d 10cm και η διαφορά δυναµικού τους είναι =V 100Volt , τοποθετώ

χωρίς αρχική ταχύτητα φορτίο =q 5µC σε σηµείο Α πολύ κοντά στη

θετική πλάκα.

Α. Πόση επιτάχυνση θα αποκτήσει;

Β. Σε πόσο χρόνο θα συναντήσει την αρνητική πλάκα;

Γ. Το ίδιο φορτίο εισέρχεται από µικρή οπή της αρνητικής πλάκας µε

ταχύτητα 0υ παράλληλη στις δυναµικές γραµµές.

α. Ποια η 0υ ώστε µόλις να φτάσει στη θετική;

β. µε τι ταχύτητα επιστρέφει στο σηµείο εισόδου;

∆ίνεται: 11m 10 kg−= .

Λύση:

Α. Η ένταση του Ο.Η.Π. που δηµιουργείται ανάµεσα στις πλάκες ισούται µε:

2

1

V 10 VE

d m10−= = ή 3E 10 V / m=

Η επιτάχυνση που αποκτά το φορτίο σ’αυτό το πεδίο ισούται µε

63 2

11

F q E 5 10α 10 m/s

m m 10

−⋅ ⋅= = = ⋅ ⇒ 8 2α 5 10 m / s= ⋅

Παρατηρούµε πως α g γι’αυτό και το βαρυτικό πεδίο αγνοείται.

taexeiola.blogspot.com

Page 76: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

84. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

Β. Η κίνησή του είναι οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα.

12

8

1 2d 2 10d αt t s

2 α 5 10

−⋅= ⇒ = = =⋅

104 10 s−⋅ ⇒ 5t 2 10 s−= ⋅

Γ. Η κίνηση τώρα είναι οµαλά επιβραδυνόµενη γιατί ταχύτητα και δύναµη

έχουν αντίθετες φορές.

α. 0υ υ αt= − ⇒ 00 υ αt= − ⇒ 0υ αt= ⇒ 0υtα

=

2 22 0 0

0υ υ1

d υ t αt d2 α 2α

= ⋅ − ⇒ = − ⇒

20

d υ 2 α d2α

= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ 8 –1 40υ 2·5·10 ·10 m / s 10 m / s= =

ενώ ο χρόνος είναι 4

–508

υ 10t s 2·10 s

α 5·10= = = .

β. Για να επιστρέψει πρέπει η συνολική του µετατόπιση να είναι µηδέν:

20

1y 0 υ ·t – αt 0

2= ⇒ = ⇒ 02υ

=

0υ υ – αt= ⇒ 0υ –υ= δηλαδή κατά µέτρο ίση µε την αρχική αλλά αντί-

θετης φοράς (αποδεικνύεται και µε τη διατήρηση ενέργειας).

7. Ηλεκτρόνιο µε 19q 1,6 10 C−= ⋅ και 31m 9 10 kg−= ⋅ εισέρχεται σε οµογε-

νές ηλεκτροστατικό πεδίο παράλληλα προς τους οπλισµούς πυκνωτή

µήκους =L 10cm και έντασης = 4 NE 10

C. Σε απόσταση =S 10cm υ-

πάρχει φθορίζουσα οθόνη. Το ηλεκτρόνιο εισέρχεται µε ταχύτητα 0υ

και εξέρχεται µε ταχύτητα 0υ 2 . Μετά την κίνησή του στον πυκνω-

τή συνεχίζει και πέφτει στο σηµείο ∆ της οθόνης. Να υπολογίσετε:

α. την διαφορά δυναµικού ΓΑ

β. την µεταβολή της κινητικής ενέργειας ανάµεσα στα σηµεία Α, Γ

γ. το µέτρο της µεταβολής της ορµής ∆Ρ ανάµεσα στα σηµεία Α, Γ και

τον ρυθµό µεταβολής της ορµής

δ. την εκτροπή Η∆ του ηλεκτρονίου.

taexeiola.blogspot.com

Page 77: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

85.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Λύση:

Μέσα στο οµογενές Η.Π. το ηλεκτρόνιο διαγράφει σύνθετη κίνηση.

Εξισώσεις κίνησης:

α. Επειδή 0υ υ 2= το 0 0

0

υ υ 2συνφ

υ 2υ 2= = = . Άρα οφ 45= . Όταν εξέλθει

από το Η.Π. τότε:

0 0

x L Lt

x υ t υ

= ==

Όµως yο 7

2 020 0 0 0ο

Ε qtυ E q L E q L Ε q Lm 4εφ45 1 υ 10 m / s

υ υ mυ m 3mυ

εφ45 1

= = = = ⇒ = = ⋅=

xx΄ yy΄

xF 0= yF E q= ⋅

xα 0= y

E qα

m

⋅=

x 0υ υ= y yυ α t= ⋅

0x υ t= ⋅ 2y

1y α t

2= ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 78: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

86. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

Άρα 8

0

L 3t 10 s

υ 4

−= = ⋅ και 2 2y

E q1 1ΓΕ α t t 0,05m

2 2 m= = ⋅ ⋅ = .

Επειδή το πεδίο είναι οµογενές Η.Π. και συντηρητικό ΓΑ ΓΕ

V V= (αφού

AEV 0= ) ΓΕ ΓAΓΑ

V VΕ V E ΓΕ 500V

ΓΕ ΓΕ= = ⇒ = ⋅ =

β. Εφαρµόζω Θ.Μ.Κ.Ε A Γ :→ τελ αρχ ολΚ Κ W− = ⇒

( ) ( )19AΓ∆Κ q V ∆Κ 1,6 10 C 500V

−= ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ − ⇒ 17∆Κ 8 10 J

−= ⋅

γ. Από τον 2ο νόµο Νεύτωνα 15

∆ΡF ∆Ρ

∆t E q 1,6 10 N∆t

F E q

−= = ⋅ = ⋅= ⋅

ενώ 15 8 233

∆Ρ E q ∆t 1,6 10 N 10 s 1,2 10 N s4

− − −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

δ. Επειδή το τρίγωνο Γ∆Ζ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές ∆Ζ ΓΖ S 10cm= = = .

Το ZH ΓΕ 5cm= = άρα H∆ ΖΗ ∆Ζ 15cm= + = .

8. Σώµα µάζας m 20kg= και φορτίου 10µC βρί-

σκεται δεµένο στην ελεύθερη άκρη νήµατος

µε όριο θραύσης 2ορ

T 10 Ν= , η άλλη άκρη

του οποίου είναι δεµένη σε κατακόρυφο τοί-

χο όπως δείχνει το σχήµα. Στο χώρο υπάρ-

χει οριζόντιο Η.Π. παράλληλο προς το νήµα µε τιµή

( )7

7

10 t S.I. 0 t 2sΕ

2 10 N / C t 2s

≤ ≤= ⋅ >

α. Πότε κόβεται το νήµα;

β. Να παραστήσετε γραφικά την επιτάχυνση σε συνάρτηση µε τον χρό-

νο στο διάστηµα 0 t 4s≤ ≤γ. Πόση ταχύτητα αποκτά την χρονική στιγµή 2s;

δ. Κατά πόσο θα µετατοπιστεί από τη χρονική στιγµή 2s έως τη χρονική

στιγµή 4s. Τριβές αµελητέες.

taexeiola.blogspot.com

Page 79: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

87.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Λύση:

α. Για να κοπεί το νήµα πρέπει η ηλεκτρική δύναµη να ξεπεράσει οριακά το

όριο θραύσης του νήµατος.

ρ ρe θ θ

F T q E T≥ ⇒ ⋅ ≥ ⇒ 5 7 210 10 t 10 t 1s− ⋅ ≥ ⇒ ≥ .

β. Αµέσως µετά αρχίζει επιταχυνόµενη κίνηση µε

επιτάχυνση:

5 7F qE 10 10 tα

m m 2 10

− ⋅ ⋅= = = ⇒⋅

α 5t= µε 1 t 2s≤ ≤ .

Έτσι από t 1s= έως t 2s= η επιτάχυνση µετα-

βάλλεται γραµµικά από 25m / s έως 210m / s . Στη

συνέχεια η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή και

ίση µε 210m / s .

γ. Ως γνωστόν το γραµµοσκιασµένο εµβαδό εκφράζει τη µεταβολή της ταχύτη-

τας από t 1= έως t 2= (ξεκινά χωρίς αρχική ταχύτητα η κίνησή του). Άρα

5 10∆υ 1m/s 7,5m /s

2

+= ⋅ = ⇒

0υ υ 7,5m / s υ 7,5m / s− = ⇒ = .

δ. Από την χρονική στιγµή 2 sec και µετά η κίνηση είναι οµαλά επιταχυνόµε-

νη και σε χρονική διάρκεια ∆t 2s= (από 2 έως 4 sec) η µετατόπισή του είναι

20

1∆x υ ∆t α ∆t

2= + ⋅ ⇒ 21

∆x 7,5 2 10 2 m ∆x 35m2

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = .

taexeiola.blogspot.com

Page 80: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

88. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

1. Στα άκρα Α, Γ της διαγωνίου ΑΓ τετραγώνου

ΑΒΓ∆ πλευράς α 0,1m= , βρίσκονται ακλόνητα τα

φορτία 9Aq 1 10 C−= ⋅ και

q 2 10 C−= − ⋅ . Να υπο-

λογιστούν:

α. το δυναµικό του ηλεκτρικού πεδίου στην κο-

ρυφή Β

β. η δυναµική ενέργεια του συστήµατος των δύο

φορτίων

γ. η ελάχιστη ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί για τη µετακίνηση

του ενός από τα δύο φορτία σε άπειρη απόσταση.

∆ίνεται: 9 2 2cK 9 10 N m / C= ⋅ ⋅ .

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

2. Πάνω σε λεία και µονωτική οριζόντια επιφάνεια κινείται µε ταχύτητα

µια µικρή σφαίρα µε µάζα m και φορτίο +q. Κατά µήκος της ευθείας

κίνησης της σφαίρας βρίσκεται σε ηρεµία µια άλλη µικρή σφαίρα µάζας

taexeiola.blogspot.com

Page 81: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

89.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

Μ και ηλεκτρικού φορτίου +Q. Αν δεχτούµε ότι αρχικά οι δυο σφαίρες

βρίσκονται σε πολύ µεγάλη απόσταση µεταξύ τους, να υπολογιστούν:

α. τα µέτρα των ταχυτήτων τους όταν η απόστασή τους είναι ελάχιστη

β. η ελάχιστη απόσταση στην οποία θα πλησιάσουν.

∆ίνεται η σταθερά cK

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

3. Έστω κατακόρυφο οµογενές Η.Σ.Π. του οποίου οι δυναµικές γραµ-

µές έχουν φορά προς τα πάνω. Από κάποιο σηµείο του πεδίου εκτο-

ξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα µέτρου

0υ 50m/ s= µικρή σφαίρα µάζας m 6g= και φορτίου q 1,5µC= − . Η

σφαίρα επιστρέφει στο σηµείο βολής µετά από χρόνο t 4s= . Να βρεθεί

το µέτρο της έντασης του Η.Σ.Π. ∆ίνεται: 2g 10m / s= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

4. ∆ύο οριζόντιες µεταλλικές πλάκες απέχουν απόσταση 4cm= . Στο χώρο

µεταξύ των πλακών αιωρείται µικρή σταγόνα µάζας 4m 2 10 kg−= ⋅ και

taexeiola.blogspot.com

Page 82: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

90. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

φορτίου 7q 2 10 C−= ⋅ .

α. Θεωρώντας ως δεδοµένο ότι η στα-

γόνα ισορροπεί να προσδιορίσετε

την πολικότητα των δύο πλακών.

β. Ποια είναι η διαφορά δυναµικού

µεταξύ των δύο πλακών;

γ. Πόση είναι η επιτάχυνση που αποκ-

τά η σταγόνα αν διπλασιάσουµε

την τάση; ∆ίνεται: 2g 10m / s= .

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

5. Σωµατίδιο µάζας 24 10 g−⋅ και

φορτίου q 20µC= εισέρχεται

µε 0υ 100m/ s= κάθετα σε οµο-

γενές ηλεκτρικό πεδίο που δη-

µιουργείται µεταξύ των οριζό-

ντιων οπλισµών επίπεδου πυ-

κνωτή οι οποίοι απέχουν

d 5cm= και έχουν διαφορά δυ-

ναµικού 12,5kV . Κατά την εί-

σοδό του το σωµατίδιο απέχει

h 4,5cm= από τον αρνητικό ο-

πλισµό και κινείται κάθετα στις δυναµικές γραµµές του ηλεκτρικού

πεδίου. Οι οπλισµοί έχουν µήκος L 8cm= ενώ σε απόσταση b 10cm=από το πέρας του πυκνωτή υπάρχει κατακόρυφο πέτασµα πάνω στο

οποίο πέφτει το σωµατίδιο µετά την έξοδό του από το ηλεκτρικό πε-

δίο. Θεωρήστε τη βαρύτητα αµελητέα και υπολογίστε:

α. θέση και ταχύτητα σωµατιδίου τη στιγµή t 0,2ms=β. την ταχύτητα του σωµατιδίου κατά την έξοδό του από το ηλεκτρικό

taexeiola.blogspot.com

Page 83: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

91.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

πεδίο καθώς και τη συνολική µεταβολή της κινητικής του ενέργειας

γ. την κατακόρυφη απόκλιση ΚΖ την οποία θα υποστεί το σωµατίδιο

λόγω του ηλεκτρικού πεδίου και τη διαφορά δυναµικού µεταξύ των

σηµείων εισόδου και εξόδου Α και Ζ

δ. την τελική µεταβολή της ορµής του σωµατιδίου

ε. το µέτρο της εκτροπής ΟΓ πάνω στο πέτασµα.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

6. Σωµατίδιο φορτίου q 1µC= τοποθετείται σε

λείο οριζόντιο επίπεδο σε απόσταση r 1m=από ακλόνητο φορτίο Q 100µC= . Στο χώρο

υπάρχει οριζόντιο οµογενές ΗΣΠ έντασης5E 4 10 N / C= ⋅ µε φορά όπως στο σχήµα.

Αφήνουµε το q ελεύθερο.

α. Βρείτε προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί.

β. Σε πόση απόσταση από το Q θα αποκτήσει το q µέγιστη κινητική

ενέργεια; Πόση θα είναι αυτή;

γ. Υπολογίστε τη µέγιστη απόσταση των δύο φορτίων.

∆ίνεται: 9cK 9 10= ⋅ (στο S.I.)

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 84: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

92. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

Θέµα 1ο

Α.1. Ηλεκτρόνιο εκτοξεύεται οµόρροπα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς η-

λεκτρικού πεδίου. Η κίνηση του είναι:

α. ευθύγραµµη οµαλή.

β. ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη.

γ. µεταβαλλόµενη.

δ. ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη.

2. ∆ύο σηµειακά ηλεκτρικά φορτία 1Q+ και 2Q+ απέχουν µεταξύ τους από-

σταση r. Αν διατηρήσουµε ακλόνητο το 1Q και αφήσουµε ελεύθερο το 2Qθα κάνει κίνηση:

α. ευθύγραµµη οµαλή.

β. ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη.

γ. ευθύγραµµη επιταχυνόµενη.

δ. ευθύγραµµη επιβραδυνόµενη.

3. Ένα ηλεκτρόνιο µπαίνει κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς ηλεκ-

τρικού πεδίου µε ταχύτητα 0υ . Τότε:

α. Ο χρόνος παραµονής του ηλεκτρόνιου στο πεδίο δεν εξαρτάται από τη 0υ .

β. Η απόκλιση από την αρχική διεύθυνση δεν εξαρτάται από τη 0υ .

γ. Η ταχύτητα του ηλεκτρονίου κατά την έξοδό του από το πεδίο δεν εξαρ-

τάται από τη 0υ .

4. Στις κορυφές ισόπλευρου τριγώνου βρίσκονται τρία ίσα φορτία έχοντας

δυναµική ενέργεια U 20J= − . Αν διπλασιάσουµε όλες τις πλευρές του τρι-

γώνου τότε:

α. Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος γίνεται U 40J= − .

β. Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος γίνεται U 10J= − .

taexeiola.blogspot.com

Page 85: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

93.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τη γνώση µας

γ. Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος γίνεται U 10J= ,

δ. Η δυναµική ενέργεια του συστήµατος γίνεται U 40J= .

Β. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιές λανθασµένες.

α. Αν από το ίδιο σηµείο οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου αλλά σε διαφορετι-

κές χρονικές στιγµές, εκτοξευθούν ένα πρωτόνιο και ένα ηλεκτρόνιο κά-

θετα στις δυναµικές γραµµές του πεδίου τότε θα παραµείνουν τον ίδιο

χρόνο στο πεδίο, αν έχουν την ίδια αρχική ταχύτητα. ( )

β. Η δύναµη που δέχεται φορτισµένο σωµατίδιο που θα βρεθεί µέσα σε

οµογενές ηλεκτρικό πεδίο είναι σταθερή άρα και η επιτάχυνση που θα

αποκτήσει θα είναι σταθερή. ( )

γ. Αν αφήσουµε σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο φορτισµένο σωµατίδιο

αµελητέου βάρους, τότε δεν δέχεται δύναµη, άρα θα παραµείνει ακί-

νητο. ( )

δ. Η επιτάχυνση και η απόκλιση ενός φορτισµένου σωµατιδίου που έχει

µπει κάθετα σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο όπου δηµιουργείται ανάµεσα

στις πλάκες πυκνωτή δεν εξαρτάται από την διαφορά δυναµικού των πλα-

κών. ( )

(Μονάδες 25)

Θέµα 20

1. Από τα σηµεία οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου εκτοξεύονται ταυτόχρονα ένα

ηλεκτρόνιο και ένα πρωτόνιο όπως στο σχήµα, µε την ίδια ταχύτητα.

∆ίνεται: p eq q= , p em m>Βαρυτικές αλληλεπιδράσεις αµελητέες. Αµελητέα να θεωρηθεί και η ηλεκ-

τροστατική αλληλεπίδραση p και e.

α. Θα γυρίσουν ταυτόχρονα στο σηµείο εκτόξευσης τους;

β. Βρείτε το χρόνο µέχρι να ξαναεπιστρέψουν στο σηµείο εκτόξευσης.

∆ικαιολογήστε τις απαντήσεις σας.

taexeiola.blogspot.com

Page 86: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

94. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

2.Α. Το σωµατίδιο µάζας m και φορτίου q ισορροπεί µέσα στο οµογενές ηλεκ-

τρικό πεδίο όπως φαίνεται στο σχήµα.

Αν µειώσουµε την απόσταση µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή προς τα

που θα κινηθεί το φορτίο;

α. προς τα πάνω,

β. προς τα κάτω,

γ. θα µείνει ακίνητο

Β. ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας.

3. Το φορτισµένο σωµατίδιο του σχήµατος ισορροπεί

µέσα στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο µε την βοήθεια

του νήµατος σχηµατίζοντας γωνία 45ο µε την κα-

τακόρυφο.

Να δείξετε ότι το µέτρο του βάρους είναι ίσο µε το

µέτρο της ηλεκτρικής δύναµης F.

(Μονάδες 25)

Θέµα 30

Φορτισµένο σωµατίδιο εκτοξεύεται παράλληλα και οµόρροπα στις δυναµικές

γραµµές οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου µε ταχύτητα 0υ 200m / s= . Το σωµατί-

διο επιστρέφει στο σηµείο της εκτόξευσης µετά από χρόνο 14t 10 s−= . Αν η

ένταση του πεδίου είναι E=100 N C . Να βρείτε :

α. Τι κίνηση θα εκτελέσει το φορτίο και τι πρόσηµο έχει το φορτίο.

β. Το λόγο q

m του φορτίου προς την µάζα του σωµατιδίου.

γ. Την διαφορά δυναµικού από το σηµείο της εκτόξευσης µέχρι το σηµείο που

µηδενίζεται για πρώτη φορά η ταχύτητα του.

(Μονάδες 25)

taexeiola.blogspot.com

Page 87: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

95.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τη γνώση µας

Θέµα 40

Φορτισµένο σωµατίδιο µάζας 6m 10 kg−= και φορτίου 6q 10 C−= αφήνεται από

την άκρη οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου που στα άκρα του έχει διαφορά δυναµι-

κού 0V =200V . Το φορτίο βγαίνοντας από το ηλεκτρικό πεδίο µπαίνει κάθετα

στις δυναµικές γραµµές ενός άλλου οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουρ-

γείται από πυκνωτή. Το σηµείο εισόδου του φορτίου απέχει από το θετικό οπλι-

σµό 1 8cm= . Αν η διαφορά δυναµικού µεταξύ των πλακών του πυκνωτή είναι

V=100V η απόσταση µεταξύ των πλακών είναι 20cm= και το µήκος των

πλακών d 40cm= , να βρείτε: (Οι βαρυτικές δυνάµεις να θεωρηθούν αµελητέες)

α. Την ταχύτητα µε την οποία µπαίνει το φορτίο στο πεδίο του πυκνωτή.

β. Αποδείξτε ότι το φορτίο θα βγεί από το πεδίο του πυκνωτή.

γ. Τον χρόνο κίνησης του σωµατιδίου και στα δύο πεδία, αν ο χρόνος του στο

πρώτο πεδίο είναι διπλάσιος του χρόνου στο πεδίο του πυκνωτή.

δ. Ποιά η διαφορά δυναµικού µεταξύ σηµείου εισόδου και εξόδου στον πυκνω-

τή.

(Μονάδες 25)

taexeiola.blogspot.com

Page 88: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

taexeiola.blogspot.com

Page 89: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο της κίνησης φορτίου σε

οµογενές µαγνητικό πεδίο πρέπει να γνωρίζει:

Τι είναι η δύναµη Lorentz. Πότε εµφανίζεται και ποιος είναι ο µαθηµα-τικός τύπος της.

Τι κίνηση εκτελεί ένα φορτισµένο σωµατίδιο ανάλογα µε την γωνία µετην οποία εισέρχεται στο οµογενές µαγνητικό πεδίο.

Η δύναµη Lorentz είναι µηδέν όταν υ 0= ή όταν ο

φ 0= ή ο

φ 180= ή

όταν το σωµατίδιο είναι αφόρτιστο.

Αν από το ίδιο σηµείο του µαγνητικού πεδίου µπουν ταυτόχρονα όµοιασωµατίδια µε το ίδιο φορτίο και µάζα αλλά µε διαφορετικές ταχύτητες

κάθετα στις δυναµικές γραµµές του µαγνητικού πεδίου, παρόλο που

θα εκτελέσουν κύκλους διαφορετικών ακτίνων, θα φτάσουν ταυτόχρο-

να στο σηµείο της εκτόξευσης δηλαδή θα έχουν την ίδια περίοδο T.

Να βρίσκει τις εξισώσεις ακτίνας και περίοδου για σωµατίδιο πουµπαίνει κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πε-

δίου.

Αν το σωµατίδιο µπει µε γωνία οφ 90= ως προς τις δυναµικές γραµ-

µές οµογενούς µαγνητικού πεδίου και ζητείται το συνολικό µήκος τό-

ξου που διαγράφει και οι περιστροφές του σωµατιδίου σε χρόνο t να

γνωρίζει τις σχέσεις s N 2πR= ⋅ , t

NT

= όπου Ν ο αριθµός των περι-

στροφών (όχι απαραίτητα φυσικός αριθµός).

Για να προσδιοριστεί το κέντρο της κυκλικής τροχιάς που διαγράφειένα σωµατίδιο όταν εισέρχεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο κάθετα

στις δυναµικές γραµµές: κατασκευάζουµε το ευθύγραµµο τµήµα που

συνδέει το σηµείο εισόδου και το σηµείο εξόδου, φέρουµε την µεσο-

taexeiola.blogspot.com

Page 90: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

98. Κίνηση φορτίου σε οµογενές µαγνητικό πεδίο Τύποι - Βασικές έννοιες

Κίνηση φορτίου σε µαγνητικό πεδίο: Τύποι - Βασικές έννοιες

Όταν το σωµατίδιο µπει κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούςµαγνητικού πεδίου τότε σε ίσους χρόνους διαγράφει ίσα τόξα.

Αν το σωµατίδιο µπει κάθετα στις δυναµικές γραµµές του οµογενούς

µαγνητικού πεδίου, η LF µεταβάλλει µόνο την διεύθυνση της ταχύτητας

του φορτίου και όχι το µέτρο της γιατί παίζει το ρόλο της κεντροµόλου

δύναµης. Έτσι το σωµατίδιο αποκτά κεντροµόλο επιτάχυνση 2

κ

υα

R= .

Επειδή η δύναµη LF είναι συνεχώς κάθετη στη διεύθυνση της ταχύτη-

τας του σωµατιδίου δεν παράγει έργο.

∆ύναµη Lorentz, που ασκεί το µαγνητικό πεδίο σε κινούµενο φορτίο:

LF Bυ q ηµφ=

Aκτίνα κυκλικής τροχιάς, όταν υ Β ⊥ :

mυR

Β q=

Περίοδος περιστροφής σωµατιδίου:2πm

TB q

=

Ακτίνα ελικοειδούς κίνησης, ( )υ,Β φ = :

mυ ηµφR

q Β

⋅=

Βήµα έλικας: β υσυνφ Τ= ⋅

κάθετη του παραπάνω ευθύγραµµου τµήµατος και σχεδιάζουµε την

δύναµη Lorentz στο σηµείο εισόδου ή στο σηµείο εξόδου. Το σηµείο

τοµής της µεσοκαθέτου και της διεύθυνσης της δύναµης Lorentz θα

αποτελεί το κέντρο της κυκλικής τροχιάς.

taexeiola.blogspot.com

Page 91: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

99.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

ΘΕΩΡΙΑ 1 α. Kίνηση φορτίου που µπαίνει µε υ Β⊥

σε οµογενές

µαγνητικό πεδίο.

β. Κίνηση φορτίου που µπαίνει υπό τυχαία γωνία σε ο-

µογενές ΜΠ

Απόδειξη

α. Το θετικό φορτίο q δέχεται δύναµη Lorentz η οποία

παραµένει µονίµως κάθετη στην ταχύτητά του παί-

ζοντας ρόλο κεντροµόλου. Έτσι το φορτίο εκτελεί

οµαλή κυκλική κίνηση, της οποίας υπολογίζουµε ακ-

τίνα και περίοδο:

2

L KENT

mυ mυF F Bυq R

R qB= ⇒ = ⇒ =

ενώ

mυ2π

2πR 2πmqBT

υ υ qB= = = .

Παρατηρούµε ότι η περίοδος είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας του σωµατι-

δίου.

β. Το φορτισµένο σωµατίδιο µε φορτίο +q κινείται

µε ταχύτητα υ

η οποία σχηµατίζει γωνία θ µε το

διάνυσµα της έντασης του µαγνητικού πεδίου Β

.

Η µελέτη της κίνησης του σωµατιδίου θα γίνει

χρησιµοποιώντας την αρχή ανεξαρτησίας των

κινήσεων. Αναλύουµε την ταχύτητα υ

σε δύο

άξονες: ο ένας στη διεύθυνση των δυναµικών

γραµµών, έστω x και ο άλλος κάθετος προς τις δυναµικές γραµµές. Οι δύο

συνιστώσες τις ταχύτητας είναι:

taexeiola.blogspot.com

Page 92: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

100. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

( )xυ υ συνθ 1= ⋅

( )κυ υ ηµθ 2= ⋅Επειδή η συνιστώσα υx είναι παράλληλη µε τις δυναµικές γραµµές δεν

αναπτύσσεται δύναµη Lorentz κατά µήκος του άξονα x και ως εκ τούτου το

σωµατίδιο θα κινηθεί ευθύγραµµα και οµαλά.

Λόγω της συνιστώσας υκ που είναι κάθετη στις δυναµικές γραµµές θα

αναπτυχθεί δύναµη Lorentz µέτρου: L κF qυ Β qυΒηµθ= = η οποία το αναγκάζει

να εκτελέσει κυκλική κίνηση σε επίπεδο κάθετο στις δυναµικές γραµµές (αφού

η FL αναπτύσσεται κάθετα στα διανύσµατα Β

και υ

) µε γραµµική ταχύτητα

µέτρου υκ και ακτίνα R η οποία υπολογίζεται όπως προηγούµενα:

( )κm υ m υ ηµθR 3

q B q B

⋅ ⋅ ⋅= =⋅ ⋅

Από τη σύνθεση των δύο προηγούµενων κινήσεων, µιας οµαλής κυκλικής σε

επίπεδο κάθετο προς τις δυναµικές γραµµές και µιας ευθύγραµµης οµαλής

κατά τη διεύθυνση των δυναµικών γραµµών, προκύπτει µια ελικοειδής κίνηση,

ειδικότερα η τροχιά είναι κυλινδρική έλικα σταθερού βήµατος. Χαρακτηριστικά

στοιχεία της ελικοειδούς τροχιάς είναι η ακτίνα R κάθε σπείρας και το βήµα β

της έλικας.

Το βήµα της έλικας είναι η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών σπειρών και

ισούται µε το µήκος που διανύει το σωµατίδιο, λόγω της υx συνιστώσας, σε

χρόνο που χρειάζεται το σωµατίδιο να διαγράψει µια σπείρα, δηλαδή σε χρόνο

µιας περιόδου Τ της κυκλικής κίνησης.

( )( )

1

xβ υ T β υ συνθ Τ 4= ⇒ = ⋅ ⋅

Λαµβάνοντας υπόψη τη σχέση για την περίοδο: 2πm

Tq B

= και αντικαθιστώντας

στη σχέση (4) προκύπτει: 2πmυ συνθ

βq Β

⋅=

taexeiola.blogspot.com

Page 93: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

101.Βήµα 2ο Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά”

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ.σ. 171 - 173: Ερωτήσεις 4.14, 4.15, 4.17, 4.18, 4.22, 4.23, 4.24,

4.25, 4.26, 4.27

σ. 176: Ασκήσεις 4.46, 4.47, 4.48

σ. 179: Προβλήµατα 4.59, 4.60, 4.64

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ.σ. 116 - 124: Τα παραδείγµατα 4.2, 4.3, 4.6,

4.7, 4.9,

σ. 128: Ασκήσεις 4.2, 4.5

taexeiola.blogspot.com

Page 94: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

102. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

1. Ένα ηλεκτρόνιο µε φορτίο −− ⋅ 191,6 10 C και µάζα

319 10 kg−⋅ εισέρχεται

σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης −= ⋅ 3B 2 10 T µε ορµή

26p 28,8 10 kg m/ s−= ⋅ ⋅ κάθετα στις δυναµικές γραµµές του πεδίου. Να

υπολογιστούν:

α. η ταχύτητά του και η ακτίνα της κυκλικής του τροχιάς

β. ο χρόνος που απαιτείται για να διαγράψει το ηλεκτρόνιο ένα τεταρ-

τοκύκλιο

γ. η µεταβολή της κινητικής του ενέργειας στη διάρκεια µίας περι-

στροφής

δ. το µέτρο της µεταβολής της ορµής του ηλεκτρονίου όταν θα έχει

διαγράψει ένα τεταρτοκύκλιο.

Λύση:

α. Υπολογίζουµε την ταχύτητα µε την οποία εισέρχεται στο Ο.Μ.Π. από τη σχέ-

ση 26

531

p 28,8 10p m υ υ m / s υ 3,2 10 m / s

m 9 10

⋅= ⋅ ⇒ = = ⇒ = ⋅⋅

, µέσα στο οποίο θα

εκτελέσει το ένα τέταρτο της κυκλικής του τροχιάς.

α. Η ακτίνα της κυκλικής του τροχιάς είναι:

31 54

19 3

mυ 9 10 3,2 10R m R 9 10 m

q Β 1,6 10 2 10

−−

− −

⋅ ⋅ ⋅= = ⇒ = ⋅⋅ ⋅ ⋅ .

β. Η περίοδος της κυκλικής του κίνησης είναι:

319

19 3

2πm 2π 9 10T s 5,625π 10 s

q B 1,6 10 2 10

−−

− −

⋅ ⋅= = = ⋅⋅ ⋅ ⋅

άρα ο χρόνος που απαιτείται για

ένα τεταρτοκύκλιο είναι 9T

t 1,4 10 π s4

−= = ⋅ ⋅ .

γ. Επειδή το µέτρο της ταχύτητας του ηλεκτρονίου δεν αλλάζει µέσα στο Ο.Μ.Π.,

η µεταβολή στην κινητική του ενέργεια είναι:

taexeiola.blogspot.com

Page 95: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

103.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

2 21 1∆Κ mυ mυ 0

2 2= − =

δ. Η µεταβολή της ορµής θα είναι:

( )τελ αρχ τελ αρχ∆p p p p p= − = + −

Εποµένως το µέτρο της µεταβολής της ορµής θα υπολογιστεί:

( ) ( ) ( )2 2 22 2αρχ τελ∆p p p mυ mυ 2 mυ= + = + = ⋅ =

6mυ 2 28,8 10 2 Kg m / s−= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

2. Ένα ηλεκτρόνιο µε φορτίο −− ⋅ 191,6 10 C και

µάζα 319 10 kg−⋅ εισέρχεται σε οµογενές µαγνη-

τικό πεδίο έντασης −= 5B 10 T , το οποίο έχει

τοµή ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς

=α 0,18m . Το ηλεκτρόνιο εισέρχεται στο πε-

δίο κάθετα από το µέσο της µιας πλευράς του

τριγώνου και εξέρχεται κάθετα από το µέσο

της άλλης πλευράς. Να υπολογίσετε:

α. την ταχύτητα µε την οποία εισέρχεται το ηλεκτρόνιο στο µαγνητι-

κό πεδίο

β. τον χρόνο παραµονής του ηλεκτρονίου µέσα στο οµογενές µαγνητι-

κό πεδίο

γ. το έργο της δύναµης που του ασκείται από το οµογενές µαγνητικό

πεδίο.

Λύση:

Όταν το ηλεκτρόνιο εισέρχεται κάθετα από το µέσο της ΒΓ και εξέρχεται κάθετα

από το µέσο της ΑΓ, το κέντρο της κυκλικής τροχιάς του θα είναι η κορυφή Γ του

ισοπλεύρου τριγώνου και η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς θα είναι ίση µε α

2.

taexeiola.blogspot.com

Page 96: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

104. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

α. Εποµένως,

19 55

31

α q Βα mυ 0,18 1,6 10 10R υ m /s υ 1,6 10 m/s

2 q Β 2m 2 9 10

− −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⇒ = = ⇒ = ⋅⋅ ⋅

β. Η περίοδος της κυκλικής κίνησης θα είναι: 2πm

Tq Β

= ⇒

316

19 5

2π 9 10Τ s Τ 1,125π 10 s

1,6 10 10

−−

− −

⋅ ⋅= ⇒ = ⋅⋅ ⋅

( )

6

o

7

Σε χρόνο Τ 1,125π 10 s διαγράφει γωνία 2π rad

πt; rad 60

3

Tάρα t 1,875 π 10 s

6

= ⋅

=

= = ⋅ ⋅

γ. Επειδή η δύναµη Lorentz που ασκεί το Ο.Μ.Π. στο ηλεκτρόνιο είναι συνε-

χώς κάθετη στην ταχύτητα εποµένως και στη µετατόπιση, δεν παράγει έργο,

δηλαδή L

FW 0= .

3. Η κάθετη τοµή ενός οµογενούς µαγνητικού

πεδίου είναι τετράγωνο ΑΕΓ∆ πλευράς

=α 10cm . Ένα φορτισµένο σωµατίδιο µε

φορτίο −= 12q 10 C και µάζα 18m 10 kg−= κινεί-

ται µε ταχύτητα = 50υ 10 m / s και εισέρχεται

στο µαγνητικό πεδίο κάθετα στο µέσο της

πλευράς Α∆. Να υπολογίσετε:

α. την ένταση του οµογενούς µαγνητικού πε-

δίου, τη δύναµη Lorentz και τον χρόνο πα-

ραµονής του σωµατιδίου µέσα στο πεδίο,

προκειµένου το σωµατίδιο να εξέρχεται

από την κορυφή ∆ του τετραγώνου

β. την ένταση του οµογενούς µαγνητικού πεδίου και τη δύναµη Lorentz

που ασκείται στο φορτισµένο σωµατίδιο από το µαγνητικό πεδίο,

προκειµένου αυτό να εξέλθει από την κορυφή Γ του τετραγώνου.

taexeiola.blogspot.com

Page 97: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

105.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Λύση:

α. Όταν εξέρχεται από την κορυφή ∆ του τετραγώνου, έχει διαγράψει ηµικύ-

κλιο µέσα στο Ο.Μ.Π. οπότε: 2α α2R R 2,5 10 m

2 4−= ⇒ = = ⋅ . ( )M∆ 2R= .

Άρα: 18 5

12 2

mυ mυ 10 10 TR Β B 4T

qΒ qR 10 2,5 10

− −

⋅= ⇒ = = ⇒ =⋅ ⋅

Η δύναµη Lorentz θα είναι: 5 12 7L LF Bυq 4 10 10 N F 4 10 Ν

− −= = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

Η περίοδος θα είναι: 18

612

2πm 2π 10 πΤ s Τ 10 s

qB 10 4 2

−−

⋅= = ⇒ = ⋅⋅

άρα ο χρόνος πα-

ραµονής του σωµατιδίου στο Ο.Μ.Π. είναι 6T πt 10 s

2 4−= = ⋅ .

β. Όταν εξέρχεται από την κορυφή Γ του τετραγώνου, το κέντρο της κυκλικής

του τροχιάς βρίσκεται στο σηµείο Ο, που είναι το σηµείο τοµής των καθέτων

που φέρνουµε στη διεύθυνση της ταχύτητας εισόδου και ταχύτητας εξόδου

από το Ο.Μ.Π.

Στο τρίγωνο Ο∆Γ έχουµε: ( )22 2 2 2OΓ ∆Γ Ο∆ ∆Γ ΟΜ Μ∆= + = + − ⇒

22 2 1α 5α 5

R α R R 10 m2 4 4

− ⇒ = + − ⇒ = = ⋅ .

Εποµένως: mυ mυ

R Β B 0,8TqΒ qR

= ⇒ = ⇒ =

Η δύναµη Lorentz θα είναι: 8L LF Bυq F 8 10 Ν

−= ⇔ = ⋅

4. Φορτισµένο σωµατίδιο µε µάζα 15m 10 kg−= και

φορτίο −= 6q 10 C εισέρχεται µε ταχύτητα

= ⋅ 50υ 4 10 m / s κάθετη στις δυναµικές γραµµές

οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης

−= ⋅ 21B 5 10 T και αφού διαγράψει ηµικύκλιο

εισέρχεται σε δεύτερο οµογενές µαγνητικό πε-

δίο έντασης −= 12B 10 T και αντίθετης φοράς µε το πρώτο πεδίο. Να

υπολογιστούν:

taexeiola.blogspot.com

Page 98: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

106. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

α. οι ακτίνες των ηµικυκλίων που διαγράφει το σωµατίδιο σε κάθε

ένα από τα πεδία

β. η δύναµη Lorentz που ασκείται στο σωµατίδιο από το δεύτερο πε-

δίο

γ. ο χρόνος από την αρχική εκτόξευση µέχρι να εξέλθει το σωµατίδιο

και από το δεύτερο µαγνητικό πεδίο

δ. το διάστηµα που διατρέχει το σωµατίδιο στον αντίστοιχο χρόνο

του γ ερωτήµατος.

Λύση:

α. Στο Ο.Μ.Π. έντασης 1B διαγράφει ηµικύκλιο ακτίνας 30

11

mυR 8 10 m

qΒ−= = ⋅

και στο Ο.Μ.Π. έντασης 2B ακτίνας 30

22

mυR 4 10 m

qΒ−= = ⋅ .

β. Η δύναµη Lorentz από το Ο.Μ.Π. έντασης 2B είναι: 2

L 2 0F B υ q 4 10 N−= ⋅ ⋅ = ⋅

γ. Ο χρόνος που διαγράφει το ηµικύκλιο στο Ο.Μ.Π. έντασης 1B είναι:

811 1

1

T πmt t 2π 10 s

2 qB−= ⇒ = = ⋅ , ενώ ο χρόνος που διαγράφει το ηµικύκλιο στο

Ο.Μ.Π. έντασης 2B είναι: 822

2

T πmt π 10 s

2 qB−= = = ⋅ . Άρα ο συνολικός χρόνος

θα είναι: 8

1 2t t t 3π 10 s−= + = ⋅ .

δ. Το διάστηµα που διατρέχει το σωµατίδιο στο Ο.Μ.Π. έντασης 1B είναι:

311 1

2πRx πR 8π 10 m

2−= = = ⋅ ενώ στο Ο.Μ.Π. έντασης 2B είναι:

322 2

2πRx πR 4π 10 m

2−= = = ⋅ .

Άρα το συνολικό διάστηµα θα είναι: 31 2x x x 12π 10 m

−= + = ⋅

5. Ηλεκτρόνιο µάζας 31m 9 10 kg−= ⋅ και φορτίου −= − ⋅ 19q 1,6 10 C κινείται

µε ταχύτητα = ⋅ 40υ 6 10 m / s και µπαίνει στο εσωτερικό πηνίου σχηµα-

τίζοντας γωνία = ο

φ 60 µε τον άξονά του. Το πηνίο έχει µήκος = 36cm ,

αποτελείται από =N 270 σπείρες και διαρρέεται από ρεύµα έντασης

taexeiola.blogspot.com

Page 99: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

107.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

=I 1,25A . Αν θεωρήσουµε ότι σε όλο το µήκος του πηνίου το µαγνη-

τικό πεδίο είναι οµογενές µε ένταση µαγνητικού πεδίου όση είναι στο

κέντρο του, να βρεθούν:

α. η ένταση του µαγνητικού πεδίου που δηµιουργεί το πηνίο στο εσω-

τερικό του

β. το είδος της κίνησης του ηλεκτρονίου

γ. η περίοδος της κυκλικής κίνησης και το βήµα της έλικας

δ. ο χρόνος που χρειάζεται για να βγει το ηλεκτρόνιο από το πηνίο

ε. ο αριθµός των περιστροφών που θα διαγράψει το ηλεκτρόνιο µέχρι

να βγει από το πηνίο.

∆ίνεται: 7µ 2

Νk 10

Α

−= .

Λύση:

α. Η ένταση του µαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πηνίου είναι:

ΝΒ k 4π Ι 3,75 π 10 Τ

−= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

β. Αναλύουµε τη 0υ

σε δύο συνιστώσεις, oxυ

και oyυ

. Με την oxυ θα κινηθεί

ευθύγραµµα και οµαλά, ενώ µε την oyυ θα εκτελέσει οµαλή κυκλική κίνηση.

Από τη σύνθεση των δύο κινήσεων προκύπτει µια ελικοειδής κίνηση.

γ. Η περίοδος της κυκλικής κίνησης είναι: 82πmΤ 3 10 s

q B−= = ⋅ και το βήµα της

έλικας είναι: 4

ox 0β υ T β υ συνφ Τ β 9 10 m−= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ .

δ. Ο χρόνος για να βγεί το ηλεκτρόνιο από το πηνίο υπολογίζεται ως εξής:

6ox

ox 0

υ t t t 12 10 sυ υ συνφ

−= ⋅ ⇒ = ⇒ = = ⋅ .

ε. Ο αριθµός των περιστροφών που θα διαγράψει το ηλεκτρόνιο µέχρι να βγεί

από το πηνίο θα είναι: t

N 400 στροφέςT

= = .

taexeiola.blogspot.com

Page 100: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

108. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

6. Οι οριζόντιοι οπλισµοί ενός πυκνωτή µε απόσταση µεταξύ των οπλι-

σµών = 4cm και µήκος οπλισµών =d 10cm , φέρουν φορτίο

=Q 128nC . Από το µέσο της απόστασης µεταξύ των οπλισµών του

πυκνωτή εκτοξεύουµε ένα πρωτόνιο µε αρχική ταχύτητα

= ⋅ 30υ 2 10 m / s , κάθετα στις δυναµικές γραµµές του οµογενούς ηλεκ-

τρικού πεδίου που δηµιουργείται µεταξύ των οπλισµών του πυκνω-

τή. Το πρωτόνιο εξέρχεται από τον πυκνωτή εφαπτοµενικά στον αρ-

νητικό οπλισµό και εισέρχεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης

=B 0,2T , του οποίου οι δυναµικές του γραµµές είναι παράλληλες µε

την κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας 0υ . Να βρείτε:

α. την ένταση του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου που δηµιουργείται

µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή

β. τη διαφορά δυναµικού µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή

γ. τη χωρητικότητα του πυκνωτή

δ. την ακτίνα της έλικας που θα εκτελέσει το πρωτόνιο

ε. το βήµα της έλικας

στ. αν το οµογενές µαγνητικό πεδίο έχει µήκος =x 20cm , σε πόσο χρό-

νο το πρωτόνιο θα βγει από το µαγνητικό πεδίο;

∆ίνεται: 27

pm 1,6 10 kg−= ⋅ , −= ⋅ 19

pq 1,6 10 C .

Λύση:

Αναλύουµε την κίνηση του πρωτονίου σε δύο ανεξάρτητες κινήσεις. Μια ευθύ-

γραµµη οµαλή στον άξονα x΄x µε εξισώσεις κίνησης: ( )x 0υ υ 1= και

( )0x υ t 2= ⋅ και µια ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτη-

taexeiola.blogspot.com

Page 101: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

109.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

τα στον άξονα y΄y: ( )yυ α t 3= ⋅ και ( )21y αt 4

2= µε επιτάχυνση:

( )F q Eα 5

m m

⋅= = .

α. Ο χρόνος που θα κινηθεί το πρωτόνιο στο Ο.Η.Π. είναι 5

0

dt 5 10 s

υ

−= = ⋅ και

αφού η απόκλιση του θα είναι 2

, τότε από την (4) έχω:

2 11 q Et E 1,6 10 N /C

2 2 m−⋅= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

.

β. Η διαφορά δυναµικού µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή θα είναι:

3VE V E 6,4 10 V−= ⇔ = ⋅ = ⋅

.

γ. Η χωρητικότητα του πυκνωτή θα είναι: 5QC C 2 10 F

V−= ⇒ = ⋅ .

δ. Το πρωτόνιο εισέρχεται στο Ο.Μ.Π. µε την x 0υ υ= να είναι παράλληλη στις

δυναµικές γραµµές και την yυ να είναι κάθετη σε αυτές. Άρα θα εκτελέσει

ελικοειδή κίνηση. Η ακτίνα της έλικας θα είναι: y 5mυ

R R 4 10 mqΒ

−= ⇒ = ⋅ ,

αφού y y

q Eυ α t υ t

m

⋅= ⋅ ⇒ = ⋅ .

ε. Το βήµα της έλικας θα είναι: 4x 0β υ T υ T β 2π 10 m

−= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ .

στ. Ο χρόνος που χρειάζεται το πρωτόνιο για να βγεί από το µαγνητικό πεδίο

είναι: 40

0

xx υ t t t 10 s

υ

−= ⋅ ⇒ = ⇒ = .

7. Σε ένα πυρηνικό πείραµα, ένας πυρήνας 42Ηe κινείται µέσα σε οµογενές

µαγνητικό πεδίο έντασης 2B 10 T−= , κάθετα στις δυναµικές γραµµές

του πεδίου και διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας 1R 4cm= . Κάποια

στιγµή ο πυρήνας διαπερνά ένα λεπτό φύλλο µολύβδου, οπότε χάνει

ενέργεια. Αµέσως µετά ο πυρήνας συνεχίζει να κινείται µέσα στο ίδιο

taexeiola.blogspot.com

Page 102: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

110. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

οµογενές µαγνητικό πεδίο αλλά σε κυκλική τροχιά ακτίνας 2R 1cm= .

Να υπολογιστούν:

α. η ταχύτητα του πυρήνα πριν διαπεράσει το φύλλο µολύβδου

β. η κινητική ενέργεια του πυρήνα αφού διαπεράσει το φύλλο µολύ-

βδου

γ. η περίοδος της κίνησης του πυρήνα πριν περάσει το φύλλο του µο-

λύβδου και αφού το διαπεράσει. Τι παρατηρείτε;

δ. η απώλεια ενέργειας του πυρήνα κατά το πέρασµά του µέσα από το

φύλλο του µολύβδου.

∆ίνονται: 27µάζα πρωτονίου µάζα νετρονίου 1,6 10 kg

−= = ⋅ και φορτίο

πρωτονίου191,6 10 C−= ⋅ .

Λύση:

α. Είναι: p 1 1 p1

1 1p p

4m υ 2R q BmυR υ

qB 2q B 4m

⋅ ⋅ ⋅= = ⇒ = =

2 19 24

27

2 4 10 1,6 10 10m/s 2 10 m/s

4 1,6 10

− − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = ⋅⋅ ⋅

β. Επειδή 12

RR

4= θα είναι και 1

2

υυ

4=

Εποµένως: 2 202 2

1Κ mυ 8 10 J

2−= = ⋅

γ. p 5

1p

2π4m2πmT 4π 10 s

qB 2q B−= = = ⋅

⋅ ενώ 2 1

2πmT T

qB= = εποµένως παρατηρούµε ότι

η περίοδος της κίνησης δεν µεταβάλλεται.

δ. 2 2 182 1 2 1

1 1∆Κ Κ Κ mυ mυ 1,2 10 J

2 2−= − = − = − ⋅ .

Εποµένως απώλειες 18∆Κ 1,2 10 J−= = ⋅

taexeiola.blogspot.com

Page 103: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

111.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

1. ∆ύο θετικά ιόντα Α και Β µε µάζες =A Bm 6m και φορτία =A Bq 3q ,

εκτοξεύονται µε την ίδια ταχύτητα 0υ κάθετα προς τις δυναµικές γραµ-

µές ενός οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης Β. Να υπολογιστούν:

α. ο λόγος των κινητικών τους ενεργειών

β. ο λόγος των ακτίνων των κυκλικών τροχιών που διαγράφουν τα

ιόντα µέσα στο οµογενές µαγνητικό πεδίο

γ. ο λόγος των περιόδων των δύο ιόντων.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

2. ∆ύο σωµατίδια µε µάζες 101m 2 10 kg−= ⋅ και 10

2m 10 kg−= και φορτία

−= + ⋅ 61q 4 10 C και −= + 6

2q 10 C εκτοξεύονται ταυτόχρονα από το ίδιο

σηµείο µε ταχύτητες =1υ 20m / s και =2υ 40m / s κάθετα προς τις δυ-

ναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης −= 3B 10 T .

α. Να υπολογίσετε τις ακτίνες των τροχιών των δύο σωµατιδίων.

β. Να βρεθεί ο λόγος των περιόδων της κίνησης των δύο σωµατιδίων.

γ. Αν το πρώτο σωµατίδιο έχει διαγράψει 100 περιστροφές, πόσες θα

έχει διαγράψει το δεύτερο σωµατίδιο στον ίδιο χρόνο;

............................................................................................................................

............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 104: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

112. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

3. Ένα φορτισµένο σωµατίδιο µάζας m και φορτίου −= + ⋅ 19q 3,2 10 C ει-

σέρχεται µε ταχύτητα = ⋅ 60υ 24 10 m / s κάθετα στις δυναµικές γραµµές

οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης =B 1,2T . Το φορτισµένο σω-

µατίδιο µέσα στο µαγνητικό πεδίο διαγράφει ηµικύκλιο ακτίνας

=R 20cm . Να υπολογιστούν:

α. η µάζα του σωµατιδίου

β. ο χρόνος που απαιτείται για το σωµατίδιο για να διαγράψει το ηµι-

κύκλιο

γ. το µέτρο της δύναµης Lorentz

δ. το µέτρο της µεταβολής της ορµής του.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

4. Ένα ηλεκτρόνιο µάζας 31m 9 10 kg−= ⋅ έχει ορµή

231,8 10 kg m / s−⋅ ⋅ όταν

µπαίνει σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης =B 0,25T , ενώ το διά-

νυσµα της ταχύτητάς του σχηµατίζει γωνία θ µε τις δυναµικές γραµ-

µές του πεδίου. Αν το φορτίο του ηλεκτρονίου είναι κατά απόλυτη

τιµή ίσο µε −⋅ 191,6 10 C και δίνεται ότι =ηµθ 0,8 , τότε:

taexeiola.blogspot.com

Page 105: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

113.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

α. Να περιγράψετε το είδος της κίνησης του ηλεκτρονίου.

β. Να υπολογίσετε την ακτίνα.

γ. Να υπολογίσετε το βήµα της ελικοειδούς τροχιάς που διαγράφει αυτό.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

5. Έχουµε δύο όµοια φορτισµένα σωµατίδια Α και Β µε µάζα 10m 10 kg−=

και φορτίο = +q 2µC , τα οποία εκτοξεύονται µε ταχύτητα ίδιου µέ-

τρου = ⋅ 4υ 2 10 m/ s από το ίδιο σηµείο µέσα σε ένα οµογενές µαγνητι-

κό πεδίο έντασης =B 0,2T . Το σωµατίδιο Α εκτοξεύεται κάθετα στις

δυναµικές γραµµές του µαγνητικού πεδίου και το σωµατίδιο Β πα-

ράλληλα µε αυτές.

α. Να υπολογιστεί η δύναµη Lorentz που θα ασκηθεί σε κάθε ένα από

τα δύο σωµατίδια.

β. Να προσδιοριστεί το είδος της κίνησης που θα εκτελέσει το κάθε

ένα σωµατίδιο.

γ. Για το σωµατίδιο που θα εκτελέσει κυκλική κίνηση, να υπολογιστεί

η ακτίνα και η περίοδος της κυκλικής τροχιάς.

δ. Σε χρόνο −= ⋅ 2t 4π 10 s , να υπολογιστεί το πλήθος των περιστροφών

που θα εκτελέσει το ένα σωµατίδιο και την απόσταση που θα έχει

διανύσει το άλλο σωµατίδιο.

ε. Να δείξετε ότι και τα δύο σωµατίδια θα έχουν διανύσει το ίδιο µή-

κος τροχιάς.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 106: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

114. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

6. Πρωτόνιο µάζας 271,6 10 kg−⋅ και φορτίου −⋅ 191,6 10 C αφήνεται χωρίς

αρχική ταχύτητα µέσα σε οµογενές ηλεκτρικό πεδίο. Το πρωτόνιο επι-

ταχύνεται και µετά από χρόνο t 1s= βγαίνει από το ηλεκτρικό πεδίο

και µπαίνει σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης −= 2B 10 T . Το πρω-

τόνιο εισέρχεται κάθετα στις δυναµικές γραµµές του οµογενούς µα-

γνητικού πεδίου, οπότε διαγράφει ηµικυκλική τροχιά ακτίνας R 1mm=και εξέρχεται από αυτό.

α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα του πρωτονίου µε την οποία εισέρχεται

στο οµογενές µαγνητικό πεδίο.

β. Να υπολογιστεί η ένταση του οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου που

επιταχύνει το πρωτόνιο.

γ. Να υπολογιστεί το διάστηµα που διέτρεξε το πρωτόνιο µέσα στο

οµογενές ηλεκτρικό πεδίο.

δ. Να υπολογιστεί η µεταβολή στην κινητική ενέργεια του πρωτονίου

από την στιγµή της εξόδου του από το οµογενές ηλεκτρικό πεδίο

µέχρι την έξοδό του από το οµογενές µαγνητικό πεδίο.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

7. Ένα φορτισµένο σωµατίδιο µε µάζα 12m 10 kg−= και φορτίο = +q 2µC

κινείται ευθύγραµµα και οµαλά σε χώρο όπου συνυπάρχει ένα οµογε-

νές ηλεκτρικό πεδίο έντασης = 4E 10 N /C και ένα οµογενές µαγνητικό

πεδίο έντασης =1B 0,1T . Στη συνέχεια οδηγείται σε χώρο που υπάρ-

χει ένα δεύτερο οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης =2B 0,5T , µέσα

στο οποίο αφού διαγράψει ηµικυκλική τροχιά εξέρχεται από αυτό.

α. Να γίνει ένα σχήµα στο οποίο να φαίνεται η πορεία του σωµατιδίου

µέσα από τα πεδία.

β. Να περιγραφούν τα είδη των κινήσεων που θα εκτελέσει το σωµατίδιο.

γ. Να υπολογιστεί η ακτίνα της ηµικυκλικής τροχιάς.

δ. Να υπολογιστεί η χρονική διάρκεια της κίνησης του σωµατιδίου

µέσα στο οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης 2B .

taexeiola.blogspot.com

Page 107: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

115.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

ε. Να υπολογιστεί η απόσταση µεταξύ των δύο σηµείων εισόδου και

εξόδου από το µαγνητικό πεδίο έντασης 2B .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

8. Θετικό ιόν µε λόγο 5q /m 10 C/kg= ξεκινά από την ηρεµία και επιτα-

χύνεται από τάση =V 2000V . Στη συνέχεια µπαίνει κάθετα στις δυνα-

µικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης =B 0,1T , όπου

η δύναµη που ασκείται πάνω του από το πεδίο το εκτρέπει κατά τρόπο

τέτοιο ώστε αφού διανύσει το ένα τέταρτο της περιφέρειας ενός κύ-

κλου να βγει από το οµογενές µαγνητικό πεδίο και να µπει κάθετα στις

δυναµικές γραµµές ενός οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης

= 4E 10 N /C . Το θετικό ιόν βγαίνοντας από το οµογενές ηλεκτρικό πε-

δίο, που έχει µήκος =L 20cm , πέφτει πάνω σε οθόνη που βρίσκεται σε

απόσταση =S 10cm από την έξοδο του πεδίου. Να βρεθούν:

α. η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου που διέγραψε το ιόν

β. ο χρόνος παραµονής του ιόντος στο οµογενές µαγνητικό πεδίο

γ. ο χρόνος κίνησης του ιόντος στο οµογενές ηλεκτρικό πεδίο

δ. η ταχύτητα εξόδου του ιόντος από το οµογενές ηλεκτρικό πεδίο

ε. η διαφορά δυναµικού µεταξύ των σηµείων εισόδου και εξόδου στο

οµογενές ηλεκτρικό πεδίο

στ. η συνολική απόκλιση του ιόντος πάνω στην οθόνη.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 108: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

116. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

Θέµα 1ο

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

1. Ένα φορτισµένο σωµατίδιο αφήνεται µέσα σε µαγνητικό πεδίο χωρίς ταχύ-

τητα οπότε:

α. θα κινηθεί κυκλικά

β. θα κινηθεί ευθύγραµµα και οµαλά

γ. θα παραµείνει ακίνητο

δ. θα εκτελέσει ελικοειδή κίνηση

2. Η µεταβολή του µέτρου της ταχύτητας και της ορµής για ένα φορτίο που

κινείται σε κυκλική τροχιά µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο είναι:

α. σταθερή

β. µηδέν

γ. διπλάσια

δ. µηδέν για την ταχύτητα και διπλάσια για την ορµή.

3. ∆ύο σωµατίδια 1 2m m= και 1 2q q= ρίχνονται κάθετα στις δυναµικές γραµ-

µές οµογενούς µαγνητικού πεδίου µε 1 2υ υ> . Τότε:

α. και τα δύο σωµατίδια θα εκτελέσουν κυκλικές τροχιές ίδιων ακτίνων

β. τα δύο σωµατίδια θα διαγράψουν κύκλους διαφορετικών ακτίνων µε

1 2R R<γ. τα σωµατίδια θα διαγράψουν κυκλικές τροχιές µε την ίδια περίοδο

δ. οι περίοδοι των σωµατιδίων θα είναι διαφορετικές

4. Η δύναµη που ασκεί το µαγνητικό πεδίο σε κινούµενο φορτίο εξαρτάται από:

α. τη µάζα του β. το λόγο m

q

γ. το φορτίο του σωµατιδίου δ. κανένα από τα παραπάνω

taexeiola.blogspot.com

Page 109: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

117.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τη γνώση µας

5. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

α. όταν ένα φορτίο κάνει ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µέσα σε µαγνητικό πε-

δίο τότε η διεύθυνση της ταχύτητας του σχηµατίζει γωνία o90 µε τις δυ-

ναµικές γραµµές του πεδίου

β. δύο φορτία που διαγράφουν µέσα σε µαγνητικό πεδίο κυκλική τροχιά ίσων

ακτίνων έχουν οπωσδήποτε ίσες ταχύτητες

γ. όταν φορτίο µπει κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού

πεδίου τότε θα κάνει οµαλή κυκλική κίνηση µε τον ρόλο της κεντροµόλου

να τον έχει η δύναµη Lorentz

δ. όταν ένα φορτίο είναι ακίνητο τότε στο χώρο δεν υπάρχει ούτε µαγνητικό

ούτε ηλεκτρικό πεδίο.

(Μονάδες 5)

Θέµα 20

1. Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς ενός

φορτισµένου σωµατιδίου ( )m,q που εισέρχεται µε ταχύτητα υ µέσα σε οµο-

γενές µαγνητικό πεδίο έντασης Β κάθετα στις δυναµικές του γραµµές όπως

επίσης και τη σχέση που δίνει την περίοδο του.

2. Για το παρακάτω φορτισµένο σωµατίδιο που µπαίνει µέσα στο οµογενές

µαγνητικό πεδίο κάθετα στις δυναµικές γραµµές βρείτε το πρόσηµο του φορ-

τίου και την ταχύτητα του φορτίου; (∆ίνεται m

1q

= ).

3. Πρωτόνιο ( )1m ,q και σωµατίδιο α ( )2 1 2m 4m , q 2q= = διαγράφουν κυκλικές

τροχιές µε ακτίνες 1R και 2R µέσα σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης

B

.

taexeiola.blogspot.com

Page 110: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

118. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

α. δείξτε ότι ο λόγος των ακτίνων είναι 1

2

R 1

R 2= αν τα δύο σωµατίδια έχουν

ταχύτητα ίδιου µέτρου

β. ο λόγος των κινητικών ενεργειών είναι

2

1 1

2 2

K R

K R

=

.

(Μονάδες 25)

Θέµα 30

Σωµατίδιο µε ειδικό φορτίο 5q

4 10 C/ kgm

= ⋅ µπαίνει µε

ταχύτητα 0υ σε οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης

Β 1Τ= κάθετα στις δυναµικές γραµµές του όπως στο

σχήµα. Το µαγνητικό πεδίο εκτείνεται σε απόσταση2d 3 10 m−= ⋅ . Ο χρόνος παραµονής του σωµατιδίου

µέσα στο πεδίο είναι 51t 10 s

12π−= ⋅ και βγαίνει κάθετα

στο διαχωριστικό όριο. Να βρείτε:

α. την περίοδο περιστροφής του σωµατιδίου

β. την ακτίνα της κυκλικής τροχιάς

γ. τη ταχύτητα 0υ του σωµατιδίου

δ. την απόκλιση (y) του σωµατιδίου.

(Μονάδες 25)

Θέµα 40

Φορτισµένο σωµατίδιο µπαίνει κάθετα σε χώρο όπου υ-

πάρχουν δύο οµογενή µαγνητικά πεδία µεγάλης έκτα-

σης όπως στο σχήµα.

α. Να σχεδιαστεί η τροχιά του σωµατιδίου.

β. Να αποδείξετε ότι η κίνηση είναι περιοδική.

γ. Να βρείτε την περίοδο και το µήκος της τροχιάς του

σωµατιδίου σε χρόνο 2 περιόδων.

∆ίνονται: B 1,5π Τ= , 8m kg2 10

q C−= ⋅ , 6

0υ 10 m/s= .

(Μονάδες 25)

taexeiola.blogspot.com

Page 111: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

Ο µαθητής που έχει µελετήσει το κεφάλαιο της επαγωγής - εναλλασ-

σόµενο πρέπει να γνωρίζει:

Πώς ορίζεται η µαγνητική ροή και τι εκφράζει.

Ποιος είναι ο νόµος της επαγωγής.

Το φαινόµενο της ηλεκτροµαγνητικής επαγωγής οφείλεται στη µετα-βολή της µαγνητικής ροής.

Η σχέση επ

E Βυ= ισχύει όταν η κίνηση είναι µεταφορική και η ταχύ-

τητα του αγωγού η ένταση του πεδίου και ο αγωγός σχηµατίζουν τρι-

σορθογώνιο σύστηµα .

Με τον κανόνα του δεξιού χεριού µπορούµε να βρούµε πολικότητα,δύναµη Lorentz και δύναµη Laplace.

Γενικά η ΗΕ∆ υπολογίζεται:

α. µέση τιµή επ

∆ΦE Ν

∆t= −

β. στιγµιαία τιµή επ

E Βυ= (µεταφορική)

γ. 2επ

1E Βω

2= (περιστροφική)

Για να υπάρχει δύναµη Laplace θα πρέπει ο αγωγός να βρίσκεταιµέσα σε µαγνητικό πεδίο και να διαρρέεται από ρεύµα.

Όταν ψάχνουµε οριακή ή µέγιστη ταχύτητα αγωγού να εφαρµόζουµε

την συνθήκη ΣF 0= .

Το πρόσηµο της επ

E έχει σχέση µε τη φορά του ρεύµατος και µόνο.

taexeiola.blogspot.com

Page 112: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

120. Επαγωγή - Εναλλασσόµενο Τύποι - Βασικές έννοιες

Αν υπάρχει αρχικά πηγή στο κύκλωµα έχουµε και δύναµη Laplaceστον αγωγό µας, εξ’ αρχής.

Ότι µπορεί να έχουµε τάση από επαγωγή αλλά να µην έχουµε ρεύµα,αν το κύκλωµα είναι ανοιχτό.

Πώς εφαρµόζουµε τον κανόνα του Lenz.

Tι ονοµάζουµε εναλλασσόµενη τάση.

Πώς ορίζονται οι ενεργές τιµές τάσης και έντασης.

Πώς υπολογίζεται η µέση ισχύς.

Τα όργανα αµπερόµετρο και βαλτόµετρο µετρούν ενεργές τιµές στοεναλλασσόµενο ρεύµα.

Νόµοι του Joule στο εναλλασσόµενο ρεύµα.

Ο νόµος του Ohm στο εναλλασσόµενο ισχύει για πλάτη τάσης - έντα-

σης V

ΙR

= για ενεργές τιµές ΕΝ

εν

R =

και για στιγµιαίες αν έχουµε

µόνο αντίσταση υ

iR

= .

Πώς ορίζεται η αµοιβαία επαγωγή και η αυτεπαγωγή και πότε εµφα-νίζεται η κάθε µία.

Τι εκφράζει η αυτεπαγωγή

Πώς υπολογίζεται η ενέργεια µαγνητικού πεδίου του πηνίου.

Επαγωγή - Εναλλασσόµενο: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΗΕ∆ σε κύκλωµα µε Ν σπείρες:επ

∆ΦΕ Ν

∆t= ή

επ

∆ΦE N

∆t= −

Ηλεκτρικό φορτίο που διέρχεται στο κύκλωµα κατά τη διάρκεια του φαινοµένου,

Νόµος Neumann:∆Φ

∆Q NR

=

taexeiola.blogspot.com

Page 113: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

121. Τύποι - Βασικές έννοιες Επαγωγή - Εναλλασσόµενο

HE∆ από επαγωγή σε ευθύγραµµο αγωγό, υ Β⊥ ⊥ :

επE Βυ=

ΗΕ∆ από επαγωγή λόγω στροφικής κίνησης αγωγού: 2

επ

1Ε Βω

2=

ΗΕ∆ από επαγωγή σε στρεφόµενο πλαίσιο: επ

Ε ΝωΒΑηµωt=

Εναλλασσόµενη τάση: υ Vηµωt=

Εναλλασσόµενη ένταση ρεύµατος: i Iηµωt=

Νόµος του Ohm:V

IR

=

Ενεργός τάση: εν

VV

2=

Ενεργός ένταση του ρεύµατος: εν

ΙI

2=

Νόµος του Joule: 2ενQ I Rt=

Μέση ισχύς (P ή P ): 2εν εν εν

WP V Ι Ι R

T= = =

HE∆ από αµοιβαία επαγωγή:επ

∆iE Μ

∆t= −

Συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής:0 1 2µµ N N Α

M =(το δευτερεύον πηνίο βρίσκεται µέσα

στο πρωτεύον. Άξονας κοινός)

ΗΕ∆ από αυτεπαγωγή:αυτ

∆iE L

∆t= −

Συντελεστής αυτεπαγωγής:2

L µµ Α=

Αποθηκευµένη ενέργεια πηνίου:2

β

1U LI

2=

taexeiola.blogspot.com

Page 114: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

122. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ 1 Επαγωγική τάση στα άκρα ευθύγραµµου αγωγού που κι-

νείται µεταφορικά σε οµογενές µαγνητικό πεδίο.

Απόδειξη

Ευθύγραµµος αγωγός µήκους L κινείται µε σταθερή ταχύ-

τητα υ

κάθετα στις δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητι-

κού πεδίου, µαγνητικής έντασης Β

. Τα ελεύθερα ηλεκτρό-

νιά του, συµµετέχοντας στην κίνηση του αγωγού, δέχονται

δύναµη Lorentz LORF q υΒ= , που σύµφωνα µε τον κανόνα

των τριών δακτύλων, έχει φορά όπως στο σχήµα. Η δύναµη

αυτή προκαλεί την µετακίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων

προς το άκρο Ν, ενώ δηµιουργεί έλλειµµα αρνητικού φορ-

τίου (θετικό φορτίο) στο άκρο Μ. Τα φορτία αυτά σχηµατίζουν στο χώρο του

αγωγού οµογενές ηλεκτρικό πεδίο έντασης Ε

, µε φορά από το Μ στο Ν. Τα

ελεύθερα ηλεκτρόνια δέχονται µια ακόµη δύναµη από το ηλεκτρικό πεδίο µέ-

τρου MNE

VF q E q

L= = και αντίθετης φοράς της δύναµης Lorentz.

Kαθώς τα φορτία συσσωρεύονται στις άκρες του αγωγού ΜΝ, αυξάνεται η έ-

νταση του ηλεκτρικού πεδίου, άρα και οι δυνάµεις που προκαλεί. Κάποια στιγ-

µή οι δύο δυνάµεις γίνονται αντίθετες, σταµατά η επιπλέον συσσώρευση φορ-

τίων στα άκρα του αγωγού και σταθεροποιείται η διαφορά δυναµικού στα άκρα

του. Aυτή η διαφορά δυναµικού ονοµάζεται ΗΕ∆ από επαγωγή και υπολογί-

ζεται ως εξής:

ΕΠ

LOR EE

F F q υB qL

= ⇒ = ⇒ ( )EΠE ΒυL Σ=

→ Στη περίπτωση που η ένταση του ΜΠ δεν είναι κάθετη στο επίπεδο κίνη-

taexeiola.blogspot.com

Page 115: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

123.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

σης του αγωγού, την αναλύουµε και ασχολούµαστε µόνο µε την κάθετη

συνιστώσα (έστω yΒ ).

→ Στη περίπτωση που η ταχύτητα δεν είναι κάθετη στον αγωγό την αναλύου-

µε και ασχολούµαστε µόνο µε την κάθετη συνιστώσα (έστω yυ ).

Έτσι η σχέση (Σ) γίνεται ΕΠ y yΕ Β υ L= ⋅ ⋅

ΘΕΩΡΙΑ 2 Επαγωγική τάση στα άκρα ευθύγραµµου αγωγού που

περιστρέφεται σε οµογενές µαγνητικό πεδίο.

Απόδειξη

Αγωγός ΚΛ µήκους L στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω

γύρω από

άξονα που περνά από το άκρο του Κ, µε το επίπεδο περιστροφής του κάθετο σε

οµογενές µαγνητικό πεδίο Β

. Αν ο αγωγός σε χρόνο ∆t σαρώνει επιφάνεια

δίσκου εµβαδού ∆Α, δηµιουργεί στα άκρα του ΗΕ∆ από επαγωγή:

( )ΕΠ

∆ ΒΑ∆Φ ∆ΑE B

∆t ∆t ∆t= = = ή

2 2

EΠπL πL

E Β B2πTω

= = ή 2

EΠ1

Ε ΒωL2

=

→ Στη περίπτωση που η ένταση του ΜΠ δεν είναι κάθετη στο επίπεδο κίνη-σης του αγωγού την αναλύουµε και ασχολούµαστε µόνο µε την κάθετη συ-

νιστώσα (έστω yΒ ).

→ Αν ο αγωγός περιστρέφεται µε κέντρο όχι το άκρο του Κ αλλά κάποιο εν-

διάµεσο σηµείο Γ που τον χωρίζει σε τµήµατα µήκους 1L KΓ= και 2L ΛΓ=

(έστω 1 2L L> ) τότε: ( )ΚΛ ΚΓ ΓΛ 2 2 2 2

Επ Επ Επ 1 2 1 2

1 1 1Ε Ε Ε ΒωL ΒωL Βω L L

2 2 2= − = − = −

taexeiola.blogspot.com

Page 116: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

124. Μαθαίνουµε τις αποδείξεις Βήµα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ 3 Ο Κανόνας του Lenz ως εφαρµογή της αρχής διατήρη-

σης και της ενέργειας στο φαινόµενο της επαγωγής.

Τα επαγωγικά ρεύµατα έχουν τέτοια φορά ώστε να αντιτίθενται στην αιτία που

τα προκαλεί.

Απόδειξη

Αγωγός ΚΛ κινείται ισοταχώς µέσα σε οµογενές µα-

γνητικό πεδίο µένοντας σε επαφή µε τους ακίνητους

αγωγούς Αx και Γy. Έστω ότι οι τριβές είναι αµελητέ-

ες. Στα άκρα του αγωγού εµφανίζεται EΠE Βυ= και

το κύκλωµα διαρρέεται από EΠ

ΒυI

R=

.

Σε χρόνο ∆t θα παράγεται λόγω φαινοµένου Joule θερµότητα

( )2 2 2

2EΠ

Β υQ I R ∆t ∆t 1

R= ⋅ ⋅ = ⋅

. Για να παραµένει σταθερή η ταχύτητα του α-

γωγού πρέπει να ασκούµε εξωτερική δύναµη F αντίθετη της δύναµης Laplace:

2 2

Β υF BI

R= =

.

Στο χρόνο ∆t παράγουµε έργο: ( )2 2 2Β υ

W F ∆x F υ ∆t ∆t 2R

= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅.

Από (1), (2) παρατηρούµε ότι το προσφερόµενο έργο είναι ίσο µε τη παραγόµε-

νη θερµότητα.

ΘΕΩΡΙΑ 4 Υπολογισµός του συντελεστή αυτεπαγωγής L, πηνίου µε-

γάλου µήκους , µε Ν σπείρες και σιδηροπυρήνα µαγνη-

τικής διαπερατότητας µ.

Απόδειξη

Η ένταση του µαγνητικού πεδίου στο εσωτερικό του πηνίου είναι: 0B µ µ n i= ⋅ ⋅ ⋅ ,

όπου n N /= . Άρα η µαγνητική ροή που περνάει µέσα από κάθε µια σπείρα,

εµβαδού Α, είναι: Φ Β Α= ⋅ ή 0Φ µ µ n A i= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Αντικαθιστούµε στον νόµο της επαγωγής:

taexeiola.blogspot.com

Page 117: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

125.Βήµα 1ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις

2επ επ 0

0

επ

∆Φ Ν ∆iE N E Ν µ µ Α

Ν∆t ∆t L µ µ Α∆i

Ε L∆t

= − ⋅ ⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅= − ⋅

ΘΕΩΡΙΑ 5 Υπολογισµός του συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής Μ.

Απόδειξη

Το µαγνητικό πεδίο στην κεντρική περιοχή του πρωτεύοντος πηνίου δίνεται από

την σχέση: ( ) 0 11B µ µ n i= ⋅ ⋅

Αν το δευτερεύον πηνίο είναι έτσι ώστε να έχει κοινό άξονα µε το πρωτεύον, να

το περικλείει ώστε να περνούν όλες οι δυναµικές γραµµές από µέσα του και

ταυτόχρονα να βρίσκεται στην κεντρική περιοχή του πρωτεύοντος ώστε να ισ-

χύει η προηγούµενη σχέση, η µαγνητική ροή που θα περνάει από κάθε σπείρα

του είναι: ( ) 1 0 12Φ Β Α µ n i A= ⋅ = ⋅ ⋅

Η ΗΕ∆ από επαγωγή που αναπτύσσεται στο δευτερεύον πηνίο είναι:

( ) ( )2 1

επ 2 επ 2 0 1

0 2 1

επ

∆Φ ∆iE Ν E Ν µ µ n A

∆t ∆t M µ µ Ν Α n∆i

E Μ∆t

= − ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= −

taexeiola.blogspot.com

Page 118: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

126. Επαναλαµβάνουµε τις ασκήσεις “κλειδιά” Βήµα 2ο

Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

σ.212: Ερωτήσεις 5.6, 5.12, 5.16, 5.21, 5.24

σ.σ. 219 - 220: Ασκήσεις 5.41, 5.42, 5.43

σ.σ. 223 - 227: Προβλήµατα 5.60, 5.61, 5.62, 5.63, 5.64, 5.65, 5.66,

5.68, 5.69

Β. Από τα Βιλιοµαθήµατα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

σ.σ. 143 - 180: Τα παραδείγµατα 5.1, 5.2, 5.5,

5.8, 5.18, 5.21

σ.σ. 195 - 199: Τα παραδείγµατα 5.22, 5.23,

5.24, 5.25, 5.27

σ.σ. 214 - 218: Τα παραδείγµατα 5.29, 5.30,

5.31, 5.33, 5.34

σ. 189: Ξεχωριστό θέµα 1

σ. 225: Ξεχωριστό θέµα 1

σ.σ. 185 - 189: Ασκήσεις 5.1, 5.2, 5.3, 5.5, 5.6,

5.13

σ.σ. 202 - 205: Ασκήσεις 5.14, 5.21

σ.σ. 221 - 225: Ασκήσεις 5.24, 5.26

taexeiola.blogspot.com

Page 119: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

127.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

1. Ευθύγραµµος αγωγός µήκους L 1m= µάζας m 100g= , αντίστασης

1R 4Ω= , γλυστρά χωρίς τριβή σε δύο κατακόρυφους µεταλλικούς στύ-

λους, αµελητέας ωµικής αντίστασης που ενώνονται στα πάνω άκρα τους

µε αντίσταση 2R 6Ω= . Η όλη διάταξη βρίσκεται µέσα σε οµογενές ορι-

ζόντιο µαγνητικό πεδίο έντασης µέτρου Β 1Τ= που είναι κάθετο στον

αγωγό και στην ταχύτητά του. Αφήνουµε τον αγωγό ελεύθερο.

α. Να περιγράψετε την κίνησή του.

β. Να υπολογίσετε την οριακή ταχύτητά του.

γ. Να υπολογίσετε τον ρυθµό µεταβολής της ηλεκτρικής ενέργειας σε

θερµότητα στις δύο αντιστάσεις όταν ορ

υ υ= .

δ. Αν διένυσε ύψος h 9m= µέχρι να αποκτήσει την οριακή του ταχύ-

τητα, να υπολογίσετε την θερµότητα που αναπτύχθηκε σε κάθε α-

ντίσταση µέχρι τότε.

ε. Να υπολογίσετε το φορτίο που κινήθηκε στο κύκλωµα µέχρι ορ

υ υ= .

∆ίνεται: 2g 10m/ s=

Λύση:

α. Αρχικά επιταχύνεται υπό την επίδραση του βάρους του. Ακολούθως δηµιουρ-

γείται ΕΠ

E ΒυL= που προκαλεί ηλεκτρικό ρεύµα ΕΠ

1 2 1 2

E BυLI

R R R R= =

+ +. Η

δύναµη Laplace που δηµιουργείται, λόγω του κανόνα του Lenz αντιτίθεται

στο βάρος. Η κίνηση είναι επιταχυνόµενη (όχι οµαλά) µε µειούµενο ρυθµό

αύξησης της ταχύτητας γιατί η δύναµη Laplace αυξάνει συνεχώς.

β. ορυ υ ΣF 0= ⇒ = τότε LF mg= ή BIL mg= ή

ορ

1 2

Bυ LB L mg

R R=

+ ή

taexeiola.blogspot.com

Page 120: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

128. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

( )1 2ορ 2 2

mg R Rυ 10m /s

B L

+= =

γ. Όταν ορυ υ= η ένταση του ρεύµατος έχει τιµή: ορ

1 2

Bυ LI 1A

R R= =

+

Tότε: 211 1

∆QP I R 4W

∆t= = = και 22

2 2∆Q

P I R 6W∆t

= = =

δ. Η δυναµική βαρυτική ενέργεια mgh µετατράπηκε σε κινητική και σε θερµό-

τητα στις δύο αντιστάσεις.

Α.∆.Ε: 2ορ 1 2

1mgh mυ Q Q

2= + + ⇒ 1 2Q Q 4J+ = (1)

Eπειδή οι αντιστάσεις R1 και R2 διαρρέονται από το ίδιο ρεύµα

21 1 1

22 22

Q ΣΙ R ∆t R 2

Q R 3ΣΙ R ∆t= = = (2). Από (1), (2) έχω 2Q 2,4J= και 1Q 1,6J=

ε. Το φορτίο που κινήθηκε στο κύκλωµα είναι:

1 2 1 2 1 2 1 2

E B BhLq I t t 0,9C

R R R R R R R RΕΠ ∆Φ ⋅ ∆Α= ∆ = ∆ = = = =+ + + +

όπου ∆Α hL= το εµβαδό που σάρωσε ο αγωγός κατά την κίνησή του.

taexeiola.blogspot.com

Page 121: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

129.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

2. ∆ύο παράλληλες µεταλλικές ράβδοι αµελητέας αντίστασης σχηµατίζουν

µε τον ορίζοντα γωνία ο

θ 30= , συνδέονται στο κάτω άκρο τους µε α-

ντίσταση 1R 1Ω= και απέχουν 1m. Από το πάνω άκρο των ράβδων

αφήνουµε να ολισθήσει χωρίς τριβή κατά µήκος τους ένας πρισµατι-

κός αγωγός ΚΛ µάζας m 0,3kg= , µήκους L 1m= και αντίστασης

2R 1Ω= . Ο αγωγός µετά από λίγο αποκτά σταθερή ταχύτητα oρυ

. Αν η

διάταξη βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µαγνητικό πεδίο έ-

ντασης µέτρου Β 1Τ= να υπολογίσετε:

α. την οριακή ταχύτητα (µέγιστη)

β. την τάση στα άκρα του αγωγού όταν ορ

υ υ=γ. τον ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας και τον ρυθµό µεταβολής της

κινητικής ενέργειας όταν ορ

υυ

2= . ∆ίνεται: 2g 10m / s= .

Λύση:

α. Όταν ορυ υ ΣF 0= ⇒ = ή

LF συνθ mgηµθ= ή

BILσυνθ mgηµθ= ή

ΕΠ

1 2

ΕB Lσυνθ mgηµθ

R R=

+ ή

ορ

1 2

Βσυνθ υ LΒ Lσυνθ mgηµθ

R R

⋅=

+ ή

( )1 2ορ 2 2 2

mgηµθ R Rυ

B L συν θ

+= ή ορυ 4m / s= .

β. Όταν ορυ 4m / s= τότε:

ορΕΠ

1 2 1 2

Bσυνθ υ LEI 3 A

R R R R

⋅= = =

+ +Η τάση στα άκρα του αγωγού ΚΛ είναι η πολική

τάση της πηγής ΛΚ ΠΟΛ ΕΠ 2

V V Ε ΙR= = − ⇒

ΛΚ ορ 2V Bσυνθ υ L IR= ⋅ − ⇒ ΛΚV 3 Volt=

taexeiola.blogspot.com

Page 122: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

130. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

γ. Όταν ορυ

υ 2m / s2

= = τότε:

1 2 1 2

Ε Bσυνθ υ L 3I A

R R R R 2

⋅ ⋅= = =+ +

.

Εποµένως η δύναµη Laplace είναι: L3

F BIL N2

= = .

Από τον θεµ. Ν. Μηχ.: xΣF mα= ⇒ Lmgηµθ F συνθ m α− = ⋅ ⇒

2Lmgηµθ F συνθ dυα 2,5m /s

m dt

−= = = (ρυθµός µεταβολής ταχύτητας).

Ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι:

( )ολ ολ

ολ L

W F ∆x∆Κ ∆ΚF υ mgηµθ F συνθ υ 1,5W

∆t ∆t ∆t ∆t= = = = − ⇒ =

3. Οι αγωγοί Αx και Γy του σχήµατος είναι κατα-

κόρυφοι και βρίσκονται µέσα σε οριζόντιο οµο-

γενές µαγνητικό πεδίο έντασης Β

µε φορά όπως

φαίνεται στο σχήµα. Η πηγή έχει ΗΕ∆ E 10V=και εσωτερική αντίσταση r 1Ω= . Ο αγωγός ΚΛ

έχει µάζα m 1kg= , µήκος L 1m= και αντίστα-

ση R 1Ω= και µπορεί να κινείται παραµένοντας

οριζόντιος και σε επαφή µε τους αγωγούς Αx

και Γy. ∆ίνεται: 2g 10m / s= .

Αρχικά κρατάµε ακίνητο τον αγωγό και όταν τον αφήνουµε ελεύθερο

να κινηθεί παρατηρούµε ότι ισορροπεί.

α. Να υπολογίσετε το µέτρο της έντασης του µαγνητικού πεδίου.

β. Αν διπλασιάσουµε το µέτρο της έντασης του πεδίου διατηρώντας

την κατεύθυνσή του να εξηγήσετε, γιατί η ράβδος ΚΛ θα αποκτήσει

σταθερή (οριακή) ταχύτητα και να την υπολογίσετε.

γ. Αν η πηγή µε ΗΕ∆ Ε έχει αντίθετη πολικότητα να υπολογίσετε το

µέτρο της ταχύτητας της ράβδου ΚΛ τη στιγµή που το ρεύµα αλλά-

ζει φορά στο κύκλωµα.

δ. Να υπολογίσετε την οριακή ταχύτητα που θα αποκτήσει η ράβδος

ΚΛ όταν η πολικότητα της πηγής είναι αντίθετη.

taexeiola.blogspot.com

Page 123: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

131.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ε. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της έντασης του ρεύµατος σε

συνάρτηση µε την ταχύτητα της ράβδου ΚΛ, στην περίπτωση που η

ΗΕ∆ Ε της πηγής έχει αλλαγµένη πολικότητα.

Λύση:

α. Τη χρονική στιγµή 0t 0= η ράβδος έχει µηδενι-

κή ταχύτητα και ένα ρεύµα έντασης 0E

IR r

=+

διαρρέει το κύκλωµα άρα και την ράβδο ΚΛ. Το ρεύ-

µα αυτό γίνεται αιτία να δεχθεί η ΚΛ δύναµη

Laplace η κατεύθυνση της οποίας φαίνεται στο σχή-

µα. Είναι 0L 0F BI L= επειδή η ράβδος ΚΛ ισορρο-

πεί ΣF 0= ή 0LF mg= ή

EB L mg

R r=

+ ή ( )B 2T 1=

β. Όταν 1B 2B= . 0

'L 1

EF B L 20N

R r = = +

. Αλλά το

βάρος είναι mg 10N= άρα 0

'LF mg> και η ράβδος

θα κινηθεί προς τα πάνω. Αυτό θα έχει σαν αποτέλε-

σµα να αναπτυχθεί στην ΚΛ επαγωγική ΗΕ∆ της

οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα.

Μετά την εµφάνιση της ΕΕΠ το ρεύµα στο κύκλωµα

έχει ένταση EΠ1

E E E BυLI

R r R r

− −= =+ +

ή 110 4 υ 1

I1 1

− ⋅ ⋅=+

ή 110 4υ

Ι2

−= ή

1Ι 5 2υ= − (S.I) (2).

Όταν το κύκλωµα διαρρέεται από το ρεύµα έντασης Ι1 η δύναµη Laplace έχει

µέτρο:

( ) ( )LF BIL 4 5 2υ S.I= = − ή ( )1LF 20 8υ S.I= −

Έτσι για την συνισταµένη των δυνάµεων ισχύει 1LΣF F mg= +

ή

1LΣF F mg= − ή ( ) ( )ΣF 20 8υ 10 S.I= − − ή ( )ΣF 10 8υ S.I= − (3). Καθώς η

υ

αυξάνεται, η ΣF

µειώνεται και όταν η ΣF

µηδενιστεί, η ταχύτητα θα

αποκτήσει οριακή τιµή υορ και θα ισχύει:

ορ0 10 8υ= − ή ορυ 1,25m / s= (4)

taexeiola.blogspot.com

Page 124: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

132. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

γ. Αν αλλάξει η πολικότητα της E.

Tην ot 0= η ράβδος ΚΛ διαρρέεται από ρεύµα µε

φορά αυτή του σχήµατος.

Η ράβδος ΚΛ δέχεται δύναµη Laplace της οποίας

η κατεύθυνση φαίνεται στο σχήµα.

Έτσι η ράβδος επιταχύνεται συνεχώς και λόγω της

κίνησής της αναπτύσσεται σ’ αυτήν επαγωγική

ΗΕ∆ της οποίας η πολικότητα φαίνεται στο σχήµα.

Το ρεύµα που διαρρέει το κύκλωµα έχει ένταση: ΕΠ

1E E

IR r

−=+

ή 1E BυL

IR r

−=+

ή ( )1I 5 2υ S.I= − (5) όταν 1I 0= τότε υ 2,5m / s= ενώ EΠ 1E Β υ 10V= =

καθώς EΠE E= εκείνη τη στιγµή µηδενίζεται η LF

αλλά λόγω του βάρους η

ράβδος συνεχίζει να επιταχύνεται προς τα κάτω οπότε η ταχύτητα γίνεται

µεγαλύτερη από υ 2,5m / s= και η EΠE Ε> . Έτσι το ρεύµα αλλάζει φορά µε

αποτέλεσµα να αλλάξει φορά και η LF

.

δ. Η συνισταµένη δύναµη γράφεται: LΣF mg F= +

1 2ΣF mg B I L⇒ = − µε

ΕΠ

2E Ε BυL E

IR r R r

− −= =+ +

. Άρα 1BυL E

ΣF mg B LR r

−= −+

. Καθώς η υ

αυξάνεται

η ΣF µειώνεται και όταν ΣF 0= η ράβδος αποκτά σταθερή οριακή ταχύτητα

και ισχύει 1 ορ

1

B υ L EB L mg

R r

−=

+ ή

( )ορ 2 2

1

mg R r Eυ

B LBI L

+= + ή ορυ 3,75m / s= .

taexeiola.blogspot.com

Page 125: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

133.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

ε. Για να κάνουµε τη γραφική παράσταση της

έντασης του ρεύµατος θα στηριχθούµε στην έκ-

φραση της έντασης όταν η ΕΠ

E Ε> .

Όταν η ΕΠ

E Ε> το ρεύµα θα προκύπτει αρνητι-

κό. Από τη σχέση (5):

Ι 5 2υ= − ορ0 υ υ≤ ≤ .

4. ∆ύο οριζόντιοι παράλληλοι αγωγοί Αx και Γy αµελητέας ωµικής αντί-

στασης, απέχουν µεταξύ τους σταθερή απόσταση L 1m= . Μεταξύ των

άκρων Α και Γ συνδέεται, µέσω ενός διακόπτη δ, πηγή µε ΗΕ∆ E 8V=

και εσωτερική αντίσταση r 1Ω= . Αγωγός µήκους L 1m= , µάζας

m 0,4kg= και ωµικής αντίστασης R 3Ω= έχει τα άκρα του Κ, Λ πάνω

σε αυτούς. Η όλη διάταξη βρίσκεται σε κατακόρυφο οµογενές µαγνη-

τικό πεδίο έντασης µέτρου Β 1Τ= . Αρχικά ο αγωγός ΚΛ είναι ακίνη-

τος και βρίσκεται σε µικρή απόσταση από την πηγή. Τη χρονική στιγ-

µή t 0= κλείνει ο διακόπτης και ο αγωγός ΚΛ αρχίζει να κινείται χω-

ρίς τριβές αποµακρυνόµενος από την πηγή. Μετά από λίγο αποκτά

σταθερή οριακή ταχύτητα. Ο αγωγός έχει επιτάχυνση µέτρου 2α 3m / s=κάποια χρονική στιγµή t πριν αποκτήσει σταθερή ταχύτητα. Ζητούνται:

α. Να υπολογιστεί η σταθερή ταχύτητα που αποκτά ο αγωγός.

β. Να υπολογιστεί το έργο της δύναµης Laplace από την χρονική στιγ-

µή t µέχρι τη χρονική στιγµή κατά την οποία ο αγωγός αποκτά

οριακή ταχύτητα.

Λύση:

α. Την χρονική στιγµή t 0= : o

EI 2A

R r= =

+. Ο αγωγός αρχίζει να επιταχύνεται

προς τα δεξιά υπό την επίδραση της 0L 0F BI L 2N= = . ∆ηµιουργείται τότε

στα άκρα του αγωγού ΚΛ ΗΕ∆ από επαγωγή ΕΠ

E ΒυL= . Οι δύο πηγές είναι

σε αντίθεση και το ρεύµα: EΠE E E BυLI

R r R r

− −= =+ +

: µειώνεται γιατί η ταχύτη-

τα υ

αυξάνεται. Όταν E ΒυL= τότε Ι 0= και ο αγωγός αποκτά οριακή τα-

χύτητα ορ

Ευ 8m/s

ΒL= = .

taexeiola.blogspot.com

Page 126: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

134. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

β. Την χρονική στιγµή t, όπου ο αγωγός έχει στιγµιαία επιτάχυνση µέτρου

2α 3m / s= , από τον θεµελιώδη Νόµο της Μηχανικής έχουµε:

ΣF mα= ή LF mα= ή BIL mα= ή ( )1E Bυ L

BL mαR r

−=

+ ή

( )1 2 2

mα R rΕυ

ΒL B L

+= − ή 1υ 3,2m / s= .

Εφαρµόζοντας ΘΜΚΕ από την χρονική στιγµή t µέχρι να αποκτήσει ο αγω-

γός σταθερή ταχύτητα: L

2 2ορ 1 F

1 1mυ mυ W

2 2− = ή

LFW 10,752J= .

5. Τα άκρα Α, Γ δύο παραλλήλων οριζοντίων αγωγών ΑΝ και ΓΜ, χωρίς

ώµική αντίσταση συνδέονται µε αντίσταση 1R 5Ω= . Πάνω στο επί-

πεδο των ΑΝ και ΓΜ ολισθαίνει χωρίς τριβές, αγωγός ΚΛ µήκους

1m= µάζας 5kgr και αντίστασης 2R 5Ω= . Το σύστηµα των αγωγών

βρίσκεται σε Ο.Μ.Π µε B 2T= κάθετη στο επίπεδο τους και φορά προς

τη σελίδα τη χρονική στιγµή t 0= ο αγωγός ΚΛ έχει ταχύτητα

0υ 10m/ s= παράλληλη στους αγωγούς ΓΜ, ΑΝ και ασκείται σ’ αυτόν

εξωτερική δύναµη 0F υ↑↑

. Έτσι ο (ΚΛ) αποκτά σταθερή επιτάχυνση

2α 2m / s= , 0α υ↑↑

.

α. Να βρεθεί η ένταση του ρεύµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο και να

γίνει η γραφική παράσταση αυτής.

β. Να βρεθεί το φορτίο που περνά απ’την ΚΛ σε χρόνο 5s.

γ. Να βρεθεί η LF και η εξ

F την t 5s= .

taexeiola.blogspot.com

Page 127: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

135.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

Λύση:

α. Εφαρµόζουµε τον Ν. Ohm για κλειστό κύκλωµα:

( )0επ

1 2 1 2 1 2

B υ αtE BυI

R R R R R R

⋅ += = = ⇒

+ + +

( )2 10 2tI

10

+= ⇒ ( )I 2 0,4t S.I= +

β. Το φορτίο βρίσκεται απ’ το εµβαδόν του γραµ-

µοσκιασµένου χωρίου στο I t−2 4

q 5C 15C2

+= ⋅ =

γ. Την t 5s= , I 4A= άρα LF BI 2 4 1N 8N= = ⋅ ⋅ =

εξ L εξ LΣF m α F F m α F F m α= ⋅ ⇒ − = ⋅ ⇒ = + ⋅

( )εξF 8 5 2 N 18Ν= + ⋅ =

6. Μεταλλικός αγωγός σε σχήµα ορθής γωνίας µε

πλευρές 1OA 2m= = και 2OΓ 1m= = , περι-

στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα που

διέρχεται απ’ την ορθή κορυφή Ο µε σταθερή

γωνιακή ταχύτητα ω 5rad / s= . Το επίπεδο του

αγωγού είναι οριζόντιο ενώ η περιστροφή γίνε-

ται µέσα σε Ο.Μ.Π. έντασης B 1T= µε κατεύ-

θυνση κατακόρυφη όπως φαίνεται στο σχήµα της άσκησης.

Να βρεθούν:

α. οι πολικότητες των σηµείων Α και Γ

β. οι Η.Ε.∆. από επαγωγή που αναπτύσσονται στα άκρα κάθε πλευράς

taexeiola.blogspot.com

Page 128: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

136. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

γ. οι διαφορές δυναµικού στα άκρα κάθε πλευράς

δ. η τάση που αναπτύσσεται ανάµεσα στα Α, Γ.

Λύση:

α. Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια της ΟΑ δέχονται δύναµη

Lorentz απ’ το πεδίο και κινούνται προς το Ο. Οµ-

οίως και τα φορτία της ΟΓ. Άρα τα Α και Γ φορτί-

ζονται θετικά.

β. 2 2AΟ 1 AΟ

1 1Ε Βω 1 5 2 V Ε 10V

2 2= = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

2 2ΓΟ 2 ΓΟ

1 1Ε Βω 1 5 1 V Ε 2,5V

2 2= = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ =

γ. Οι τάσεις AOV ,

ΓOV είναι επίσης

ΑOV 10V= ,

ΓOV 2,5V= γιατί οι πλευρές

ΟΑ και ΟΓ δεν αποτελούν τµήµα κλειστού κυκλώµατος, άρα δεν διαρρέονται από

ρεύµα και οι Η.Ε.∆. είναι ίσες µε τις τάσεις.

δ. ΑΓ ΑΟ ΓΟ

V Ε Ε 7,5V= − =

7. Α. Ένα ορθογώνιο πλαίσιο αποτελείται από 500 σπείρες εµβαδού 26dmη καθεµία και περιστρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα

ω 400rad / s= γύρω από οριζόντιο άξονα µέσα σε κατακόρυφο

Ο.Μ.Π. έντασης 2B 2,5 10 T−= ⋅ . Αν τη χρονική στιγµή t 0= το επί-

πεδο του πλαισίου ήταν κάθετο στο µαγνητικό πεδίο να βρείτε:

α. την εξίσωση της εναλλασσόµενης τάσης που δηµιουργείται στα

άκρα του πλαισίου.

β. την τιµή της τάσης τη χρονική στιγµή π

s800

.

γ. την χρονική στιγµή που η τάση γίνεται για πρώτη φορά ίση µε

την ενεργό τιµή της

δ. την στιγµιαία ένταση που διαρρέει αντιστάτη R 3KΩ= στα άκρα

του οποίου εφαρµόζεται η πιο πάνω εναλλασσόµενη τάση.

Β. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις στιγµιαίας τάσης και έντασης ως

προς το χρόνο.

Λύση:

Α.α. Το πλάτος της εν/νης τάσης που δηµιουργείται στα άκρα του πλαισίου

είναι:

taexeiola.blogspot.com

Page 129: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

137.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

2 2 2 2V N ωΒ Α 5 10 4 10 2,5 10 6 10 V− −= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ V 300V⇒ = .

Άρα η στιγµιαία τάση είναι: ( )υ V ηµωt υ 300 ηµ400t S.I.= ⋅ ⇒ = ⋅

β. π π

υ 300 ηµ400 V υ 300 ηµ V800 2

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ υ 300 1V υ 300V= ⋅ ⇒ =

γ. εν 1 εν

1εν

υ V V·ηµωt VV

V·ηµωtVεπειδή V 2

2

= ⇒ = ⇒ = ⇒=

1 1 11 π π π

ηµωt ωt t s4 4·ω 16002

⇒ = ⇒ = ⇒ = =

δ. επειδή για την περίπτωση αντίστασης ισχύει ο νόµος του Ohm όπως και

στο συνεχές, υ

i i 0,1·ηµ400tR

= ⇒ = (Α).

Β. Για τη χάραξη των γραφικών παραστάσεων θα χρειαστεί η τιµή της περιόδου:

2π 2π πT s Τ s

ω 400 200= = ⇒ = ή

5πT s

1000= δηλαδή T 5πms= .

8. Το πηνίο του κυκλώµατος έχει N 500= σπείρες ενώ το µήκος του είναι

10cm= και το εµβαδόν κάθε µιας απ’αυτές είναι 210cm

π. Η Η.Ε.∆. της

πηγής είναι E 20V= η εσωτερική αντίστασή της r 2Ω= ενώ η αντί-

σταση R του αντιστάτη ίση µε 3Ω.

α. Ποια η τιµή του συντελεστή αυτεπαγωγής;

β. Ποια η µέγιστη ένταση ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα;

γ. Ποιός ο ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος όταν η τιµή

της είναι το 80% της µέγιστης;

taexeiola.blogspot.com

Page 130: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

138. Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις Βήµα 3ο

δ. Πόση ενέργεια αποταµιεύεται τελικά στο ιδανικό πηνίο;

∆ίνεται: 7

ο

Τ·mµ 4π·10

A−=

Λύση:

α. Ο συντελεστής αυτεπαγωγής δίνεται από τον τύπο: 2

ο

ΝL µ A= ⋅ ⋅

όπου Ν

το πλήθος των σπειρών, το µήκος του πηνίου και Α το εµβαδόν κάθε σπεί-

ρας ( )22

7 41

5·10 10L 4π 10 10 H

π10− −

−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ 3L 10 H−= ή L 1mH=

β. Η µέγιστη ένταση ρεύµατος είναι ίση µε:

maxΟΛ

E E 20I A 4A

R R r 3 2= = = = ⇒

+ + maxΙ 4A=

γ. Όταν maxΙ 0,8Ι= ⇒ I 3,2A= έχουµε για το κλειστό κύκλωµα από διατήρη-

ση ενέργειας

( )2ηλ L R r αυτΡ Ρ P P E I Ε Ι Ι R r= + + ⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⇒

( ) ( )∆Ι ∆ΙE L· Ι R r L E I R r

∆t ∆t= + ⋅ + ⇒ ⋅ = − + ⇒

( )3

E I R r∆Ι ∆Ι 20 3,2 5A /s

∆t L ∆t 10−

− ⋅ + − ⋅= ⇒ = ⇒ 3∆Ι4 10 A / s

∆t= ⋅

δ. Η ενέργεια που αποταµιεύεται στο Μ.Π. του πηνίου είναι:

2 3 2max max max

1 1U L I U 10 4 J

2 2−= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒

maxU 8mJ=

9. Πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής

1L 10 H−= συνδέεται σε σειρά µε ωµική

αντίσταση R 20Ω= και πηγή µε ΗΕ∆

E 60V= και r 0= . Τη χρονική στιγµή

0t 0= κλείνουµε τον διακόπτη.

α. Βρείτε την ένταση του ρεύµατος µετά από µεγάλο χρονικό διάστηµα

από το κλείσιµο του διακόπτη.

β. Την τάση στα άκρα της αντίστασης R όταν το ρεύµα έχει τιµή i 1A= .

taexeiola.blogspot.com

Page 131: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

139.Βήµα 3ο Λύνουµε περισσότερες ασκήσεις

γ. Την τάση (Εαυτ

) στα άκρα του πηνίου και τον ρυθµό µεταβολής της

έντασης του ρεύµατος όταν i 1A= .

Λύση:

α. Λόγω της ύπαρξης του πηνίου το ρεύµα θα καθυστερήσει µέχρι να πάρει

την µέγιστη τιµή του. Μετά την σταθεροποίηση της έντασης του ρεύµατος

δεν θα έχουµε εξάρτηση της τιµής από την ύπαρξη του πηνίου: E

i 3AR

= = .

β. Από τον νόµο Οhm έχουµε: RV i R 1 20V 20V= ⋅ = ⋅ = .

γ. Εκείνη την χρονική στιγµή ισχύει: αυτ R

E Ε V 60V 20V 40V= − = − = και

αυτ 1

∆i ∆i 40E L A /s 400A / s

∆t ∆t 10−= ⇒ = = .

10. Στο διπλανό κύκλωµα το πηνίο (1) διαρρέ-

εται από ρεύµα 1I 10A= το οποίο όταν αν-

οίξουµε τον διακόπτη (∆) µηδενίζεται σε

χρόνο ∆t 0,1s= . Εάν 1N 100= σπείρες,

2N 50= σπείρες και 2 1Φ 0,8Φ= , να βρείτε:

α. την µέση τιµή της τάσης από αµοιβαία

επαγωγή στο πηνίο (2)

β. τον συντελεστή αµοιβαίας επαγωγής

γ. το ηλεκτρικό φορτίο που θα περάσει συνολικά από µια διατοµή του

πηνίου Π2.

∆ίνεται: R 10Ω= , 1 25cm= , 21

10A cm

π= .

Λύση:

α. Είναι: 11 0 1

1

ΝB µ Ι= ⋅

Από τον νόµο επαγωγής του Faraday έχουµε:

2 42 1 1 1 22 2 2

∆Φ N 0,8Φ 0,8B A NE N E 6,4 10 V

∆t ∆t ∆t

−⋅ ⋅ ⋅= = = ⇒ = ⋅

β. Από 2

∆ΙE M M 6,4µH

∆t= ⇒ =

γ. Το φορτίο υπολογίζεται 22 2 2

Eq I ∆t ∆t q 6,4µC

R= ⋅ = ⋅ ⇒ = .

taexeiola.blogspot.com

Page 132: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

140. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

1. Ευθύγραµµος αγωγός ΚΛ µήκους 1m= , µπο-

ρεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές κατά µήκος ο-

ριζόντιων και παράλληλων µεταξύ τους αγω-

γών xA , yΓ που απέχουν 1m, ώστε να είναι

πάντα κάθετος σ’ αυτούς. Τα άκρα Α και Γ των

xA , yΓ συνδέονται µέσω αντίστασης R 4Ω=και έτσι δηµιουργείται ένα πλαίσιο ΑΚΛΓ ορθογωνίου σχήµατος. Το

επίπεδο των αγωγών είναι οριζόντιο, βρίσκεται δε µέσα σε Ο.Μ.Π.

έντασης B 2T= κατακόρυφης µε φορά προς τη σελίδα. Εκτοξεύω τον

ΚΛ µε οριζόντια ταχύτητα 0υ παράλληλη προς τους xA , yΓ και µέ-

τρου 10m/s. Αν οι xA , yΓ δεν παρουσιάζουν αντίσταση ενώ ο ΚΛ έχει

R' 10Ω= και µάζα m 500g= .

Α. ∆είξτε ότι εκτελεί επιβραδυνόµενη κίνηση.

Β. Βρείτε:

α. την Η.Ε.∆. που δηµιουργείται αρχικά σ’ αυτόν

β. τη διαφορά δυναµικού KΛV εκείνη τη στιγµή

γ. την Η.Ε.∆. όταν η ένταση του ρεύµατος είναι η µισή της αρχικής

δ. το ρυθµό µετατροπής της κινητικής ενέργειας σε θερµότητα

εκείνη τη στιγµή.

Γ. Τη θερµότητα που αναπτύσσεται σε κάθε αντίσταση µέχρι να στα-

µατήσει ο ΚΛ.

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 133: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

141.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

............................................................................................................................

............................................................................................................................

2. Η ράβδος ΚΛ µήκους 1m= και µάζας m 2kg=µπορεί να κινείται χωρίς τριβές, έχοντας συνε-

χώς τα άκρα της Κ και Λ σε επαφή µε τους α-

γωγούς Αx, Γy που δεν έχουν αντίσταση. Τα

άκρα Α και Γ συνδέονται µε αντιστάτη αντί-

στασης 1R 3Ω= και όλο το κύκλωµα έχει το

επίπεδό του κάθετο σε Ο.Μ.Π. έντασης B 2T= .

Ασκούµε στην ΚΛ δύναµη F παράλληλη προς τους Αx, Γy και τέτοιας

τιµής ώστε αυτή να κινείται µε σταθερή επιτάχυνση 2α 4m / s= .

α. Ποιά η εξίσωση της έντασης του ρεύµατος συναρτήσει του χρόνου

αν η ΚΛ έχει αντίσταση R 1Ω= ;

β. Πόσο είναι το φορτίο που θα έχει κυκλοφορήσει στο κύκλωµα µέ-

χρι τη στιγµή t 3s= ;

γ. Ποιά η εξίσωση της δύναµης σε συνάρτηση µε τον χρόνο;

δ. Ποιά η τάση στα άκρα της ΚΛ τη χρονική στιγµή t 4s= ;

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

3. Αγώγιµη ράβδος µήκους 0,5m= αντίστα-

σης 1R 15Ω= και µάζας m 0,2kg= µπορεί

να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε παράλ-

ληλους οριζόντιους αγωγούς αµελητέας α-

ντίστασης, τα άκρα των οποίων συνδέονται

µε αντίσταση 2R 25Ω= . Η διάταξη βρί-

σκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές µα-

taexeiola.blogspot.com

Page 134: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

142. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

γνητικό πεδίο έντασης µέτρου B 0,2T= . Στο µέσον της ράβδου είναι

στερεωµένο το ένα άκρο νήµατος στο άλλο άκρο του οποίου έχουµε

στερεώσει σώµα µάζας M 0,8kg= . Το νήµα διέρχεται από τροχαλία

αµελητέας µάζας. Αφήνουµε το σώµα µάζας Μ να κινηθεί.

Α. Να βρείτε την ΗΕ∆ από επαγωγή στη ράβδο µετά από ∆t 2s= .

Β. Εκείνη τη χρονική στιγµή κλείνει ο διακόπτης δ και ταυτόχρονα

κόβεται το νήµα. Να βρείτε:

α. το ρεύµα στο κύκλωµα όταν η ταχύτητα έχει γίνει η µισή της

αρχικής

β. το ποσό θερµότητας που εκλύθηκε στην αντίσταση 2R από τη

στιγµή που έκλεισε ο διακόπτης µέχρι να σταµατήσει η ράβδος.

∆ίνεται: 2g 10m / s= .

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

4. Στην διάταξη του σχήµατος ο αγωγός ΚΛ έχει µάζα

m 0,2kg= αντίσταση R 2Ω= και µπορεί να κινείται

χωρίς τριβές στους κατακόρυφους µεταλλικούς αγω-

γούς 1A x και 2A y . Η όλη διάταξη βρίσκεται σε ορι-

ζόντιο οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης µέτρου

B 1T= . Η πηγή έχει ΗΕ∆ E 12V= και εσωτερική

αντίσταση r 1Ω= . Αρχικά ο αγωγός ΚΛ είναι ακίνητος. Τη χρονική

στιγµή t 0= κλείνουµε το διακόπτη και αφήνουµε τον αγωγό ΚΛ ελ-

εύθερο. Μετά από λίγο αποκτά οριακή (σταθερή) ταχύτητα. Να βρείτε:

α. προς τα πού θα κινηθεί ο αγωγός ΚΛ

β. την οριακή ταχύτητα που θα αποκτήσει ο αγωγός ΚΛ

taexeiola.blogspot.com

Page 135: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

143.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

γ. τον ρυθµό ενέργειας που µεταφέρει η πηγή σε όλο το κύκλωµα όταν

ο αγωγός ΚΛ κινείται µε την οριακή του ταχύτητα.

∆ίνεται: 2g 10m / s= , KΛ 1m= .

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

............................................................................................................................

5. Στην παρακάτω διάταξη η ράβδος ΚΛ που είναι

αγώγιµη µπορεί να κινείται χωρίς τριβές προς τα

δεξιά πάνω στους δύο παράλληλους αγωγούς οι οποίοι

στο ένα άκρο τους συνδέονται µε αντίσταση R 1Ω= .

Η ράβδος έχει µήκος 0,5m= και αντίσταση

1R 2Ω= και όλη η διάταξη βρίσκεται σε οµογενές

µαγνητικό πεδίο έντασης µέτρου B 2T= , όπως στο σχήµα. Να βρείτε:

α. πόση εξωτερική δύναµη F πρέπει να ασκείται στο αγωγό ΚΛ ώστε

να κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου υ 6m / s=β. την ισχύ στον αντιστάτη R

γ. τον ρυθµό που καταναλώνεται ενέργεια στον αντιστάτη ΚΛ

δ. την ισχύ της εξωτερικής δύναµης F.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 136: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

144. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

6. Στο παρακάτω κύκλωµα δίνονται 1R 3Ω= και

B 5T= . Ο αγωγός ΚΛ έχει µήκος 1m= µάζα

m 0,1kg= , αντίσταση 2R 1Ω= και µπορεί να κι-

νείται χωρίς τριβές στους παράλληλους αγωγούς

Αx, Γy. Tα άκρα του αγωγού ΚΛ εφάπτονται συ-

νεχώς στους αγωγούς Αx, Γy.

α. Αν ο αγωγός αφήνεται να ολισθήσει να βρείτε την οριακή του

ταχύτητα.

β. Την ισχύ στην αντίσταση 1R όταν σταθεροποιηθεί η ταχύτητά του.

γ. Την στιγµή που ο αγωγός έχει ταχύτητα ορ

υυ

2= πόση είναι η δύναµη

Laplace πάνω του και πόση η τάση στα άκρα του;

∆ίνονται: 2g 10m / s= , ηµφ 0,6= και συνφ 0,8= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

7. Ένα κυκλικό πλαίσιο 21000 / π σπειρών, ακτίνας 10cm και αντίστασης

R 10Ω= , περιστρέφεται µε συχνότητα 50Hz µέσα σε οµογενές µαγνη-

τικό πεδίο έντασης 0,1Τ. Ο άξονας περιστροφής διέρχεται από την διά-

µετρο του πλαισίου και είναι κάθετος στις δυναµικές γραµµές του πε-

δίου. Το πλαίσιο, µε τη βοήθεια ενός διακόπτη, µπορεί να συνδεθεί µε

αντιστάτη, αντίστασης 1R 90Ω= .

Α. Γράψτε την εξίσωση της εναλλασσόµενης τάσης που παράγεται από

το πλαίσιο.

Β. Κλείνουµε τον διακόπτη και συνδέουµε τον αντιστάτη.

α. Ποιο είναι το ποσό της θερµότητας που παράγεται στην

εξωτερική αντίσταση 1R σε χρόνο ∆t 50s= ;

taexeiola.blogspot.com

Page 137: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

145.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

β. Πόση είναι η µέση ισχύς που καταναλώνεται στον αντιστάτη;

γ. Πόση είναι η συνολική µέση ισχύς που καταναλώνεται (πλαίσιο

– αντιστάτης);

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

8. Ο οµογενής ευθύγραµµος αγωγός ΚΛ

του σχήµατος έχει µήκος L 1m= αντί-

σταση R΄ 8Ω= και περιστρέφεται µε

σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω 2rad / s=γύρω από άξονα που περνάει από το άκρο

Κ. Ο αγωγός παραµένει συνεχώς οριζό-

ντιος και σε επαφή µε κυκλικό στεφάνι

ακτίνας r 500cm= όπως στο σχήµα. Στο

χώρο υπάρχει κατακόρυφο οµογενές ΜΠ έντασης 2B 4 10 T−= ⋅ . Το τµή-

µα του αγωγού που βρίσκεται µεταξύ του άκρου Κ και του στεφανιού,

κλείνει κύκλωµα µέσω αντίστασης R 6Ω= . Αν το στεφάνι έχει αµελη-

τέα αντίσταση, υπολογίστε:

α. την επαγωγική τάση στα άκρα του αγωγού ΚΛ

β. την ένταση του ρεύµατος που διαρρέει την R

γ. την ενέργεια που πρέπει να προσφέρεται στον αγωγό σε χρόνο Τ

∆t4

=

(Τ η περίοδος) ώστε να παραµένει σταθερή η γωνιακή του ταχύτητα.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 138: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

146. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

9. Ορθογώνιο συρµάτινο πλαίσιο διατοµής

22mm (διατοµή σύρµατος) εισέρχεται µε

σταθερή ταχύτητα υ 6m / s= κάθετα στις

δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού

πεδίου έντασης B 0,25T= . Να υπολογιστεί:

α. η ΗΕ∆ από επαγωγή που αναπτύσσεται στο πλαίσιο κατά τη διάρ-

κεια της εισόδου του στο πεδίο

β. η ισχύς του ηλεκτρικού ρεύµατος που διαρρέει το πλαίσιο στο πα-

ραπάνω χρονικό διάστηµα.

∆ίνονται: α 6,5cm= , β 6cm= , 6

συρ / τοςρ 1,62 10 Ω m−= ⋅ ⋅

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

10. Η ένταση του ρεύµατος που διαρρέει έναν

αντιστάτη αντίστασης R 100Ω= και µετα-

βάλλεται περιοδικά σε συνάρτηση µε τον χρό-

νο, φαίνεται στο διπλανό διάγραµµα. Με την

βοήθειά του, να υπολογίσετε:

α. πόσο φορτίο θα µετατοπιστεί στο κύκλωµα

σε χρόνο t 8s=β. πόσο φορτίο περνάει από µια διατοµή του αγωγού στο χρονικό

διάστηµα από 1t 2s= έως 2t 6s=γ. πόση θερµότητα αναπτύσσεται στο χρονικό διάστηµα µιας

περιόδου

δ. ποια είναι η ενεργός τιµή του εναλλασσόµενου ρεύµατος;

taexeiola.blogspot.com

Page 139: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

147.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

11. Σε ηλεκτρική λάµπα ωµικής αντίστασης R, εφαρµόζεται τάση

υ 200 2 ηµ100πt= και η µέση ισχύς που καταναλώνει η λάµπα είναι

P 800W= .

α. Ποια είναι η τιµή της αντίστασης R;

β. Πόση είναι η ενεργός ένταση του ρεύµατος;

γ. Να γράψετε την εξίσωση του εναλλασσόµενου ρεύµατος που

διαρρέει τη λάµπα και να την παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση

µε τον χρόνο.

δ. Ποιος είναι ο ρυθµός µετατροπής της ηλεκτρικής ενέργειας σε

θερµότητα πάνω στον λαµπτήρα, την χρονική στιγµή 2t 2 10 s−= ⋅ ;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

12. Ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αντεπαγωγής L 2mH= τροφοδοτείται

µέσω αντίστασης R 8Ω= από πηγή µε άγνωστη Η.Ε.∆. Ε και εσωτε-

ρική αντίσταση r. Η µέγιστη ενέργεια που αποθηκεύεται στο πηνίο

είναι 4mJ. Την ίδια στιγµή ο ρυθµός µε τον οποίο η ηλεκτρική ενέρ-

γεια µετατρέπεται σε θερµότητα στην πηγή είναι 8J/s.

α. Ποια η σταθερή ένταση που διαρρέει το κύκλωµα;

taexeiola.blogspot.com

Page 140: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

148. Λύνουµε µόνοι µας Βήµα 4ο

β. Ποια τα στοιχεία της άγνωστης Η.Ε.∆. (Ε,r);

γ. Ποιός ο ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος τη χρονική

στιγµή που η ενέργεια του πηνίου είναι 1mJ;

δ. Mε τι ρυθµό αποταµιεύεται τότε ενέργεια στο Μ.Π. του πηνίου;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

13. Το ιδανικό πηνίο του σχήµατος έχει συντελεστή

αυτεπαγωγής L 50mH= . Τη χρονική στιγµή

0t 0= ο διακόπτης δ φέρεται στη θέση Α. Η

πηγή έχει στοιχεία E 20V= , r 2Ω= ενώ η αντί-

σταση R 8Ω= .

α. Ποια η φορά και η τιµή του σταθερού ρεύµα-

τος που τελικά διαρρέει το κύκλωµα;

β. Φέρουµε το διακόπτη δ στο Β. Ποιά η ένταση και η φορά του

ρεύµατος αµέσως µετά;

γ. Ποιά η Η.Ε.∆. αυτεπαγωγής τότε στα άκρα του πηνίου;

δ. Πόση θερµότητα αναπτύσσεται στην αντίσταση απ’τη στιγµή που

ο διακόπτης φέρεται στο Γ µέχρι η ένταση του ρεύµατος να γίνει

το 50% της τιµής που είχε όταν ήρθε στο Γ;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 141: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

149.Βήµα 4ο Λύνουµε µόνοι µας

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

14. Κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο µε θερµοµονωτικά τοιχώµατα, που

περιέχει ιδανικό αέριο, κλείνεται στο πάνω µέρος του µε αβαρές θερ-

µοµονωτικό και αεροστεγές έµβολο εµβαδού 2S 4cm= . Στο κάτω µέ-

ρος του δοχείου είναι προσαρµοσµένος οριζόντια, αντιστάτης µε α-

ντίσταση R 10Ω= . Στα άκρα 1Α και 2Α του αντιστάτη, συνδέονται

δύο κατακόρυφοι µεταλλικοί αγωγοί 1Α x και 2Α y που τρυπούν τον

ηλεκτρικά µονωµένο πυθµένα του δοχείου και βγαίνουν έξω από το

δοχείο. Οριζόντιος αγωγός ΚΛ, αµελητέας αντίστασης, µήκους 1m=και µάζας m 100g= µπορεί να κινείται χωρίς τριβές µε τα άκρα του

πάνω στους αγωγούς 1Α x και 2Α y . Η όλη διάταξη βρίσκεται µέσα σε

οµογενές µαγνητικό πεδίο έντασης B 1T= που είναι κάθετο στο επί-

πεδο των δύο αγωγών. Την t 0s= αφήνουµε τον αγωγό ΚΛ να κινη-

θεί ελεύθερα προς τα κάτω. Ο αγωγός µετά από h 9m= αποκτά ορια-

κή ταχύτητα µε την οποία συνεχίζει την πτώση του. Να βρείτε:

α. την οριακή ταχύτητα που αποκτά ο αγωγός ΚΛ

β. την µετατόπιση προς τα πάνω του εµβόλου µέχρι ο αγωγός να

αποκτήσει οριακή ταχύτητα

γ. τον χρόνο που πρέπει ο αγωγός ΚΛ να κινείται µε οριακή ταχύτη-

τα ώστε το έµβολο να µετατοπιστεί άλλο τόσο προς τα πάνω.

∆ίνεται η ατµοσφαιρική πίεση 50P 10 atm= , ο αδιαβατικός συντελε-

στής του αερίου 5

γ3

= και η επιτάχυνση της βαρύτητας 2g 10m/ s= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

taexeiola.blogspot.com

Page 142: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

150. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

Θέµα 1ο

1. Η ηλεκτρεγερτική δύναµη από επαγωγή που αναπτύσσεται σε ευθύγραµµο

αγωγό, όταν η ταχύτητά του είναι κάθετη στις δυναµικές γραµµές του µα-

γνητικού πεδίου και τον αγωγό, εξαρτάται:

α. από τη µάζα του αγωγού,

β. από τη µάζα και την ταχύτητα του αγωγού,

γ. από την ταχύτητα, το µήκος του και την ένταση του µαγνητικού πεδίου.

δ. τίποτα από τα παραπάνω.

2. Όταν φορτισµένο σωµατίδιο κινείται κάθετα στις γραµµές οµογενούς µα-

γνητικού πεδίου, τι από τα παρακάτω ισχύει:

α. Η κινητική του ενέργεια και η ορµή του είναι σταθερές,

β. Μεταβάλλεται µόνο η κινητική του ενέργεια,

γ. Μεταβάλλεται η κινητική του ενέργεια αλλά όχι η ορµή του,

δ. Μεταβάλλεται η ορµή του αλλά η κινητική του ενέργεια παραµένει στα-

θερή.

3. Ευθύγραµµος αγωγός µήκους L, στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω

γύρω από άξονα που περνάει από το ένα άκρο του αγωγού. Το επίπεδο περι-

στροφής του είναι κάθετο στις δυναµικές γραµµές οµογενούς µαγνητικού

πεδίου Β. Ποιό από τα παρακάτω διαγράµµατα παριστάνει την ηλεκτρεγερ-

τική δύναµη που αναπτύσσεται στον αγωγό.

taexeiola.blogspot.com

Page 143: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

151.Βήµα 5ο Ελέγχουµε τη γνώση µας

4. Να συµπληρώσετε τα κενά.

Αυτεπαγωγή ονοµάζεται το φαινόµενο κατά το οποίο δηµιουργείται ...............

.................. σε ένα κύκλωµα, όταν µεταβάλλεται ................ .................

που το διαρρέει. Η ηλεκτρεγερτική δύναµη που δηµιουργείται ονοµάζεται

ηλεκτρεγερτική δύναµη από ........................... .

5. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές.

α. Σε ένα αγωγό που κινείται παράλληλα στις δυναµικές γραµµές µαγνητι-

κού πεδίου δεν αναπτύσσεται ηλεκτρεγερτική δύναµη. ( )

β. Ο κανόνας του Lenz αποτελεί συνέπεια της αρχής διατήρησης του φορ-

τίου. ( )

γ. Ο συντελεστής αµοιβαίας επαγωγής δύο πηνίων δεν εξαρτάται από τα

γεωµετρικά τους χαρακτηριστικά. ( )

δ. Το συνολικό φορτίο που διέρχεται από µια τοµή του σύρµατος, κατά τη

διάρκεια του φαινοµένου της επαγωγής, είναι ανεξάρτητο από τη χρονική

διάρκεια του φαινοµένου. ( )

(Μονάδες 25)

Θέµα 20

Α. Έστω αγωγός ΑΓ που κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ κάθετα στις δυναµι-

κές γραµµές οµογενούς µαγνητικού πεδίου έντασης B

. Αν θεωρήσουµε ότι

η κίνηση γίνεται χωρίς τριβές, να δείξετε ότι ισχύει η αρχή της διατήρησης

της ενέργειας στο φαινόµενο της επαγωγής.

Β.α. Ένας µικρός µεταλλικός δακτύλιος ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε οριζό-

ντια επιφάνεια κάθετα στις δυναµικές γραµµές µαγνητικού πεδίου έντα-

σης Β. Η ταχύτητα του δακτυλίου είναι 1υ . Ποιό από τα παρακάτω δια-

γράµµατα παριστάνει τη µεταβολή της ταχύτητας µε το χρόνο;

β. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 25)

taexeiola.blogspot.com

Page 144: Φυσική Θετικής Κατεύθυνσης

152. Ελέγχουµε τη γνώση µας Βήµα 5ο

Θέµα 30

Ευθύγραµµος αγωγός ΚΛ µήκους 100cm= και µάζας

m 100g= µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβές σε δύο κατα-

κόρυφους µεταλλικούς στύλους αµελητέας αντίστασης, που

ενώνονται στο πάνω µέρος µε σύρµα αντίστασης R 1Ω= .

Η όλη διάταξη βρίσκεται σε οριζόντιο οµογενές µαγνητι-

κό πεδίο (βλέπε σχήµα) έντασης B 1T= , κάθετο στο επί-

πεδο κίνησης του αγωγού. Αφήνουµε τον αγωγό να κινη-

θεί και παρατηρούµε ότι η ταχύτητα του σταθεροποιείται

µετά από πτώση κατά h 2m= . Η αντίσταση του αγωγού είναι ΚΛ

R 1Ω= .

α. Να σχεδιαστούν οι δυνάµεις που ασκούνται στον αγωγό.

β. Να υπολογιστεί η σταθερή ταχύτητα που αποκτάει ο αγωγός.

γ. Κατά την πτώση του αγωγού ποιες µετατροπές ενέργειας συµβαίνουν;

δ. Ποιες µετατροπές ενέργειας εκφράζουν τα έργα των δυνάµεων που ασκού-

νται στον αγωγό;

ε. Πόση είναι η θερµότητα που εκλύεται από τη στιγµή που αφήνεται ο αγωγός

µέχρι να αποκτήσει τη σταθερή του ταχύτητα; ∆ίνεται: 2g 10m / s=

(Μονάδες 25)

Θέµα 40

Ένας λαµπτήρας Λ, ένας αντιστάτης R και δύο πηγές, µια

συνεχούς και µια αρµονικά εναλλασσόµενης τάσης,

συνδέονται µέσω µεταγωγού µ, όπως στο σχήµα. Πάνω

στον λαµπτήρα αναγράφονται οι τιµές 220V/110W. Η πηγή

της συνεχούς τάσης έχει Η.Ε.∆ Ε=250V και εσωτερική

αντίσταση r 10Ω= . Η πηγή της εναλλασσόµενης τάσης

έχει συχνότητα 60Hz.

α. Αρχικά ο µεταγωγός είναι στην θέση (1), οπότε ο λαµπτήρας διαρρέεται από

συνεχές ρεύµα και αποδίδει ισχύ 110W. Να υπολογίσετε την τιµή της

αντίστασης R.

β. Μετακινούµε τον µεταγωγό στην θέση (2) αποσυνδέοντας την πηγή συνεχούς

και συνδέοντας αυτήν της εναλλασσόµενης τάσης. Ποιο πρέπει να είναι το

πλάτος της για να συνεχίσει ο λαµπτήρας να λειτουργεί κανονικά;

γ. Ποια είναι η στιγµιαία ισχύς στον λαµπτήρα, τις χρονικές στιγµές 1

Tt

4= και

2

Tt

3= ; (Τ είναι η περίοδος της εναλλασσόµενης τάσης).

δ. Ποια χρονική στιγµή η στιγµιαία ισχύς γίνεται για πρώτη φορά ίση µε το µισό

της µέσης;

(Μονάδες 25)

taexeiola.blogspot.com