Οπτικές Επικοινωνίες

174
Ιούλιος 2012 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ και ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΠΤΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εμμανουήλ Ε. Κριεζής Αναπληρωτής Καθηγητής ΑΠΘ

description

Εισαγωγή στην τεχνολογία των Οπτικών Επικοινωνιών και Συστημάτων μετάδοσης οπτικής πληροφορίας.

Transcript of Οπτικές Επικοινωνίες

Page 1: Οπτικές Επικοινωνίες

Ιούλιος 2012

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ και

ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΟΠΤΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

Εμμανουήλ Ε. Κριεζής Αναπληρωτής Καθηγητής ΑΠΘ

Page 2: Οπτικές Επικοινωνίες

Ιούλιος 2012

Page 3: Οπτικές Επικοινωνίες

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Σύντομη ιστορική αναδρομή, 1.1 1.2 Γενική δομή συστήματος οπτικών επικοινωνιών, 1.2 1.3 Εξέλιξη των συστημάτων οπτικών επικοινωνιών, 1.4 1.4 Πλεονεκτήματα των επικοινωνιών οπτικών ινών, 1.6 2. ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.1 Ακτινική θεωρία, 2.2 2.1.1 Ολική εσωτερική ανάκλαση, 2.2 2.1.2 Μέγιστη γωνία αποδοχής και αριθμητικό άνοιγμα, 2.3 2.1.3 Πλάγιες ακτίνες, 2.5 2.2 Ηλεκτρομαγνητική θεωρία, 2.6 2.3 Ο κυματοδηγός διηλεκτρικής πλάκας, 2.7 2.3.1 Ανάλυση και χαρακτηριστική εξίσωση ΤΕ ρυθμών, 2.7 2.3.2 Το προφίλ των ρυθμών, 2.9 2.3.3 Ρυθμοί και αποκοπή, 2.11 2.3.4 Φασική ταχύτητα, ενεργός δείκτης διάθλασης και ταχύτητα ομάδα, 2.13 2.3.5 Κατηγοριοποίηση των ρυθμών, 2.14 2.3.6 ΤΜ ρυθμοί, 2.14 2.4 Η κυκλική οπτική ίνα, 2.15 2.4.1 Εξίσωση κύματος σε κυλινδρικές συντεταγμένες, 2.15 2.4.2 Χαρακτηριστική εξίσωση, 2.20 2.4.3 Ρυθμοί, ονοματολογία και αποκοπή, 2.21 2.5 Σύζευξη ρυθμών, 2.27 2.6 Ίνες βαθμιδωτού δείκτη διάθλασης, 2.28 2.7 Μονόρρυθμες ίνες, 2.29 2.7.1 Τυπικά χαρακτηριστικά και παράμετροι, 2.29 2.7.2 Διάμετρος πεδίου ρυθμού, 2.30 3. ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

3.1 Απόσβεση σε οπτικές ίνες, 3.1 3.2 Απώλειες λόγω απορρόφησης από το υλικό, 3.2 3.2.1 Εσωτερική απορρόφηση, 3.2 3.2.2 Εξωτερική απορρόφηση, 3.2 3.3 Απώλειες γραμμικής σκέδασης, 3.4 3.3.1 Σκέδαση Rayleigh, 3.4 3.3.2 Σκέδαση Mie, 3.4 3.4 Απώλειες λόγω κάμψης, 3.4 3.5 Διασπορά, 3.5

Page 4: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ ii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3.5.1 Εισαγωγικές έννοιες, 3.5 3.5.2 Διαρρυθμική διασπορά, 3.8 3.5.3 Ενδορρυθμική διασπορά, 3.11 3.5.4 Συνολική διασπορά ίνας, 3.14 3.6 Διασπορά σε μονόρρυθμες ίνες, 3.14 3.7 Μονόρρυθμες ίνες με τροποποιημένες ιδιότητες διασποράς, 3.16 3.8 Εξίσωση μετάδοσης σε μονόρρυθμες οπτικές ίνες, 3.18 3.9 Μετάδοση παλμών αυθαίρετου σχήματος, 3.22 3.10 Πηγές με πεπερασμένο φασματικό εύρος, 3.26 3.11 Περιορισμοί στο μέγιστο ρυθμό μετάδοσης λόγω διασποράς, 3.29 3.11.1 Πηγές μεγάλου φασματικού εύρους, 3.30 3.11.2 Πηγές μικρού φασματικού εύρους, 3.31 3.12 Αντιστάθμιση διασποράς, 3.33 4. ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.1 Γενικά, 4.1 4.2 Βασικές αρχές, 4.2 4.2.1 Απορρόφηση και εκπομπή ακτινοβολίας, 4.2 4.2.2 Σχέσεις του Einstein, 4.2 4.2.3 Πληθυσμιακή αντιστροφή, 4.5 4.2.4 Οπτική ανάδραση, 4.6 4.2.5 Συνθήκη ταλάντωσης laser, 4.8 4.3 Εκπομπή από ημιαγωγούς, 4.9 4.3.1 Βασικές έννοιες, 4.9 4.3.2 Η επαφή p-n, 4.10 4.3.3 Αυθόρμητη εκπομπή, 4.10 4.3.4 Εξαναγκασμένη εκπομπή και lasing, 4.11 4.3.5 Ετεροεπαφές, 4.15 4.3.6 Ημιαγωγά υλικά, 4.16 4.4 Laser δίοδος, 4.18 4.4.1 Γεωμετρία ταινίας, 4.19 4.4.2 Laser δίοδοι οδηγούμενοι από το δείκτη διάθλασης, 4.20 4.5 Χαρακτηριστικά λειτουργίας laser διόδων έγχυσης, 4.22 4.5.1 Ρεύμα κατωφλίου, 4.22 4.5.2 Δυναμική απόκριση, 4.22 4.5.3 Chirping συχνότητας, 4.23 4.5.4 Θόρυβος, 4.23 4.5.5 Μεταπήδηση ρυθμών, 4.23 4.5.6 Αξιοπιστία, 4.24 4.6 Σύζευξη laser διόδων με οπτική ίνα, 4.24 5. ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ II: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ 5.1 Εισαγωγή, 5.1 5.2 Ισχύς και αποδοτικότητα, 5.2 5.3 Σύζευξη LED και οπτικής ίνας, 5.3 5.4 Δομές LED, 5.5

Page 5: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii

5.4.1 Επίπεδο LED, 5.6 5.4.2 LED θόλου, 5.6 5.4.3 LED επιφανειακού εκπομπού, 5.7 5.4.4 LED εκπομπού-ακμής, 5.7 5.5 Χαρακτηριστικά λειτουργίας LED, 5.8 5.5.1 Χαρακτηριστική ρεύματος – οπτικής ισχύος, 5.8 5.5.2 Φασματικά χαρακτηριστικά, 5.9 5.5.3 Εύρος ζώνης διαμόρφωσης, 5.10 5.5.4 Αξιοπιστία, 5.11 6. ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ 6.1 Γενικά, 6.1 6.2 Αρχές οπτικές ανίχνευσης, 6.2 6.3 Συντελεστής απορρόφησης φωτός, 6.2 6.4 Κβαντική αποδοτικότητα, 6.4 6.5 Συντελεστής απόκρισης, 6.5 6.6 Φωτοδίοδοι χωρίς εσωτερικό κέρδος, 6.6 6.6.1 Δίοδοι p-n και p-i-n, 6.6 6.6.2 Ταχύτητα απόκρισης, 6.8 6.6.3 Θόρυβος, 6.10 6.7 Φωτοδίοδοι με εσωτερικό κέρδος, 6.12 6.7.1 Γενική αρχή, 6.12 6.7.2 Φωτοδίοδοι χιονοστιβάδας πυριτίου, 6.13 6.7.3 Φωτοδίοδοι χιονοστιβάδας γερμανίου, 6.14 6.7.4 Φωτοδίοδοι χιονοστιβάδας κραμάτων III-V, 6.14 6.7.5 Συγκριτικά πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα των φωτοδιόδων χιονοστιβάδας, 6.15 6.7.6 Συντελεστής πολλαπλασιασμού και θόρυβος, 6.16 7. ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.1 Θόρυβος στο δέκτη, 7.1 7.1.1 Θερμικός θόρυβος, 7.1 7.1.2 Θόρυβος σκοτεινού ρεύματος, 7.2 7.1.3 Κβαντικός θόρυβος, 7.2 7.1.4 Κβαντικό όριο, 7.3 7.2 Λόγος Σήματος προς Θόρυβο (SNR), 7.4 7.2.1 Δέκτης φωτοδιόδου p-n και p-i-n, 7.5 7.2.2 Δέκτης φωτοδιόδου χιονοστιβάδας, 7.7 7.3 Τυπικές δομές δέκτη, 7.9 7.3.1 Χαμηλής αντίστασης εισόδου, 7.9 7.3.2 Υψηλής αντίστασης εισόδου, 7.10 7.3.3 Transimpedance, 7.10 7.3.4 Ολοκληρωμένοι οπτικοί δέκτες, 7.12 7.4 Ευαισθησία δέκτη, 7.13 7.4.1 Ρυθμός σφαλμάτων ψηφίων (BER), 7.13 7.4.2 Ελάχιστη απαιτούμενη ισχύς στη λήψη, 7.17 7.5 Παράγοντες που περιορίζουν την ευαισθησία, 7.20

Page 6: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

8. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 8.1 Βασικές αρχιτεκτονικές συστημάτων οπτικών επικοινωνιών, 8.1 8.1.1 Ζεύξεις σημείο-προς-σημείο, 8.1 8.1.2 Δίκτυα διανομής, 8.2 8.1.3 Τοπικά δίκτυα, 8.3 8.2 Περιορισμοί σχεδίασης, 8.5 8.2.1 Συστήματα που περιορίζονται από τις απώλειες, 8.5 8.2.2 Συστήματα που περιορίζονται από τη διασπορά, 8.5 8.2.3 Ισοζύγιο ισχύος, 8.7 8.2.4 Ισοζύγιο χρονικής απόκρισης, 8.7 8.3 Τεχνικές πολυπλεξίας, 8.9 8.3.1 Οπτική πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου, 8.9 8.3.2 Πολυπλεξία με διαίρεση στο μήκος κύματος, 8.10

Page 7: Οπτικές Επικοινωνίες

1

ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Σύντομη ιστορική αναδρομή Η επικοινωνία μπορεί να ορισθεί γενικά ως η μεταφορά της πληροφορίας ανάμεσα σε δύο σημεία. Ένα σύστημα επικοινωνιών (ή τηλεπικοινωνιών) αναλαμβάνει να επιτελέσει την παραπάνω αποστολή. Ο αναγνώστης είναι γενικά οικείος με τη χρήση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στην περιοχή των ραδιοσυχνοτήτων ή των μικροκυμάτων τα οποία χρησιμοποιούνται ως ηλεκτρομαγνητικά ή ηλεκτρικά φέροντα (electric carriers) της πληροφορίας. Το σήμα της πληροφορίας διαμορφώνει το ηλεκτρομαγνητικό φέρον, το οποίο στη συνέχεια διαδίδεται με ενσύρματο ή ασύρματο τρόπο. Στο σημείο της λήψης ο δέκτης λαμβάνει το διαμορφωμένο ηλεκτρομαγνητικό φέρον και το σήμα της πληροφορίας ανακτάται με την αποδιαμόρφωση. Ο παραπάνω τρόπος μεταφοράς πληροφορίας μπορεί να εφαρμοσθεί και στην περίπτωση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων που βρίσκονται στην οπτική περιοχή του φάσματος. Το σχήμα 1.1 παρουσιάζει συνοπτικά το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα και προσδιορίζει την περιοχή που καταλαμβάνουν οι οπτικές επικοινωνίες. Πολύ απλά συστήματα τα οποία χρησιμοποιούσαν σήματα φωτιάς και ανακλαστικά κάτοπτρα μπορούν να εκληφθούν ως ο πρόγονος των οπτικών επικοινωνιών. Αυτά ήταν γνωστά από την εποχή της αρχαίας Ελλάδας με το όνομα φρυκτωρίες. Εικάζεται ιστορικά ότι χρησιμοποιήθηκαν προκειμένου να μεταδοθεί γρήγορα στις Μυκήνες η είδηση της πτώσης της Τροίας κάνοντας χρήση αρκετών ενδιάμεσων σταθμών συμπεριλαμβανομένης της Λήμνου και του όρους Άθως. Είναι αυτονόητο ότι οι επιδόσεις τους μπορούσαν να είναι μόνο πολύ περιορισμένες λόγω της ακαταλληλότητας των πηγών φωτός που ήταν διαθέσιμες (πυρσοί ή μεγάλες φωτιές), της απαίτησης για γραμμή οπτικής επαφής (line of sight) καθώς και από τη σημαντική όπως και ανεξέλεγκτη απόσβεση του φωτός κατά τη διάδοση μέσα στην ατμόσφαιρα λόγω των καιρικών φαινομένων (βροχή, ομίχλη, χιόνι κτλ). Παρά τους παραπάνω περιορισμούς έχουν αναφερθεί αποστάσεις μετάδοσης στην περιοχή των 100 km. Είναι φανερό ότι η χρήση ραδιοκυμάτων στην περιοχή των VHF και UHF προσφέρει πολύ ευνοϊκότερες συνθήκες διάδοσης στην ατμόσφαιρα και με σαφώς μικρότερη εξάρτηση από τις επικρατούσες καιρικές συνθήκες αλλά επίσης και τη δυνατότητα παράθλασης γύρω από εμπόδια που επιβάλει το ανάγλυφο του εδάφους. Η ποσότητα πληροφορίας που μπορεί να διαδοθεί από μία συγκεκριμένη φέρουσα συχνότητα είναι συνήθως ένα κλάσμα αυτής και αυτό είχε ως αποτέλεσμα την προοδευτική χρήση υψηλότερων συχνοτήτων με την εισαγωγή μικροκυματικών και μιλιμετρικών κυμάτων. Με βάση την παρατήρηση αυτή μπορεί κανείς να αντιληφθεί ότι μία επιτυχής χρήση των οπτικών συχνοτήτων θα επέτρεπε μία αύξηση του διαθέσιμου εύρους ζώνης κατά τέσσερις με πέντε τάξεις μεγέθους (104 - 105) σε σχέση με αυτό που μπορούν να προσφέρουν οι μικροκυματικές συχνότητες. Το ενδιαφέρον για τις οπτικές συχνότητες ανανεώθηκε κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1960. Η ανακάλυψη του LASER (Light Amplification by Stimulated Emissions of Radiation) προσέφερε κατάλληλες πηγές φωτός με επαρκή οπτική ισχύ καθώς και τη δυνατότητα διαμόρφωσης σε υψηλές ταχύτητες. Η ιδέα να χρησιμοποιηθεί η ατμόσφαιρα ως το μέσο διάδοσης εξετάσθηκε συστηματικά αλλά

Page 8: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 1.2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

οι παραπάνω δυσκολίες σε ότι αφορά στις καιρικές συνθήκες συνέχισαν να αποτελούν μεγάλο εμπόδιο. Η χρήση οπτικών επικοινωνιών ελευθέρου χώρου (free space) βρίσκει ειδικές εφαρμογές στη διαστημική τεχνολογία, όπως στην επικοινωνία μεταξύ δορυφόρων που αίρονται οι περιορισμοί της διάδοσης στην ατμόσφαιρα. Παρά τις δυσκολίες που σχετίζονται με τη διάδοση στην ατμόσφαιρα, τα τελευταία έτη παρατηρείται ένα αυξανόμενο ενδιαφέρον στις επίγειες οπτικές ζεύξεις ελευθέρου χρόνο, κυρίως μεταξύ κτιρίων που διαχωρίζονται από μικρές αποστάσεις της τάξης των εκατοντάδων μέτρων ή λίγων χιλιομέτρων. Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι οι οπτικές επικοινωνίες απαιτούσαν ένα κατάλληλο μέσο διάδοσης το οποίο θα προσέφερε αξιόπιστη μεταφορά της πληροφορίας. Το 1966 έγινε φανερό ότι το μέσο αυτό θα ήταν οι διηλεκτρικοί κυματοδηγοί και συγκεκριμένα οι οπτικές ίνες. Μία σοβαρή δυσκολία την περίοδο αυτή αποτελούσε το γεγονός ότι οι πρώτες οπτικές ίνες προκαλούσαν απόσβεση της τάξης των 1000 dB/km και συνεπώς ήταν πολύ κατώτερες από τα ομοαξονικά καλώδια τα οποία θα αντικαθιστούσαν (5– 10 dB/km). Η βελτίωση στο θέμα των απωλειών ήταν εντυπωσιακή και σήμερα μία τυπική τιμή απόσβεσης σε μονόρρυθμες οπτικές ίνες είναι τα 0.2 dB/km στην περιοχή των 1550 nm. Άλλες δυσκολίες των πρώτων ετών που σχετίζονταν με την αξιόπιστη συγκόλληση των οπτικών ινών με χαμηλές απώλειες επίσης ξεπεράσθηκαν και σήμερα η συγκόλληση των ινών είναι μία τυπική διαδικασία που γίνεται με φορητό εξοπλισμό (splicer) και απόσβεση της τάξης του 0.1 dB ανά ένωση.

Σχήμα 1.1 Το ηλεκτρομαγνητικό φάσμα και η περιοχή των οπτικών επικοινωνιών. 1.2 Γενική δομή συστήματος οπτικών επικοινωνιών Στο σχήμα 1.2(α) φαίνεται η γενική δομή ενός συστήματος επικοινωνιών. Η πηγή της πληροφορίας παρέχει το σήμα το οποίο και διαμορφώνει στον πομπό κάποιο ηλεκτρομαγνητικό φέρον. Το μέσο διάδοσης μπορεί να είναι ενσύρματο ή η ίδια η ατμόσφαιρα και αποτελεί τη διαδρομή από τον πομπό στο δέκτη. Στο δέκτη το ηλεκτρομαγνητικό σήμα λαμβάνεται και στη συνέχεια αποδιαμορφώνεται με αποτέλεσμα να ανακτηθεί στην ιδανική περίπτωση το αρχικό σήμα πληροφορίας. Το σήμα πληροφορίας που λαμβάνεται συνήθως έχει υποστεί απόσβεση, παραμόρφωση ή άλλες αλλοιώσεις και φυσικά υπάρχει πάντα μία μέγιστη απόσταση ανάμεσα στον πομπό και στο δέκτη πέραν της οποίας η επικοινωνία γίνεται αναξιόπιστη. Ένα σύστημα οπτικών επικοινωνιών είναι ανάλογο σε γενική δομή με κάθε άλλο σύστημα επικοινωνιών και συνεπώς συμμορφώνεται με το σχήμα 1.2(α).

Page 9: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.3

Το σχήμα 1.2(β) εξειδικεύει λίγο καλύτερα ένα σύστημα επικοινωνιών οπτικών ινών διαχωρίζοντας τα ηλεκτρικά από τα οπτικά στοιχεία που το συνθέτουν. Η πηγή της πληροφορίας παρέχει ένα ηλεκτρικό σήμα στον πομπό. Το ηλεκτρικό αυτό σήμα οδηγεί την οπτική πηγή μέσω μίας ηλεκτρικής βαθμίδας και τελικά στην έξοδο της πηγής εμφανίζεται το διαμορφωμένο οπτικό φέρον. Η οπτική πηγή παρέχει την ηλεκτρο-οπτική μετατροπή και συνήθως είναι μία laser δίοδος (Laser Diode, LD) ημιαγωγού ή μία δίοδος εκπομπής φωτός (Light Emitting Diode, LED). Το οπτικό σήμα διαδίδεται μέσα στην οπτική ίνα (μέσο διάδοσης) και τελικά καταλήγει σε έναν οπτικό ανιχνευτή, ο οποίος συνηθέστατα είναι μία φωτοδίοδος (photodiode) ημιαγωγού και παρέχει την οπτο-ηλεκτρική μετατροπή. Το ηλεκτρικό σήμα της εξόδου του οπτικού ανιχνευτή θα περάσει από την ηλεκτρική βαθμίδα του δέκτη και τελικά θα αποδιαμορφωθεί για να γίνει διαθέσιμο στον τελικό αποδέκτη. Περαιτέρω επεξεργασία της πληροφορίας γίνεται ηλεκτρικά. Τα συστήματα οπτικών επικοινωνιών μπορεί να είναι αναλογικά ή ψηφιακά. Για λόγους που θα γίνουν κατανοητοί σε επόμενα κεφάλαια η χρήση των ψηφιακών συστημάτων προτιμάται σε πάρα πολλές περιστάσεις καθώς προσφέρουν καλύτερες επιδόσεις, χωρίς όμως αυτό να αποκλείει σε κάποιες εφαρμογές τα αναλογικά συστήματα.

ΠηγήΠληροφορίας

Πομπός -Διαμορφωτής

Μέσο ΔιάδοσηςΔέκτης -

ΑποδιαμορφωτήςΑποδέκτης

ΠηγήΠληροφορίας

ΗλεκτρικήΒαθμίδαΠομπού

Αποδέκτης

ΗλεκτρικήΒαθμίδαΔέκτη

ΟπτικήΠηγή

ΟπτικόςΑνιχνευτής

Οπτική Ίνα

(α)

(β) Σχήμα 1.2 (α) Γενική δομή συστήματος επικοινωνιών. (β) Σύστημα επικοινωνιών οπτικών ινών.

ΚωδικοποιητήςΒαθμίδαοδήγησηςδιόδουlaser

Αποκωδικοποιητής

Ενισχυτής

Οπτική Ίνα

Laser δίοδος Φωτοδίοδος

ΨηφιακήΕίδοδος

ΨηφιακήΈξοδος

RF

Σχήμα 1.3 Απλουστευμένο ψηφιακό σύστημα επικοινωνιών οπτικών ινών.

Ένα απλουστευμένο μπλοκ διάγραμμα ψηφιακού συστήματος επικοινωνιών οπτικών ινών φαίνεται στο σχήμα 1.3. Το ψηφιακό σήμα εισόδου, όπως προέρχεται από κάποια πηγή πληροφορίας κωδικοποιείται κατάλληλα για οπτική μετάδοση. Η βαθμίδα οδήγησης της laser διόδου διαμορφώνει απευθείας την

Page 10: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 1.4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ένταση του ρεύματος που διαρρέει τη laser δίοδο και αυτό έχει ως συνέπεια τη διαμόρφωση της έντασης του φωτός που η δίοδος εκπέμπει. Το οπτικό σήμα εισάγεται στην ίνα και διαδίδεται μέχρι το δέκτη. Η ανίχνευση πραγματοποιείται από μία φωτοδίοδο, η οποία ακολουθείται από ένα RF προενισχυτή χαμηλού θορύβου μαζί με το κατάλληλο ηλεκτρικό φίλτρο. Τέλος το σήμα περνά από τον αποκωδικοποιητή και ανακτάται στην αρχική ψηφιακή του μορφή. 1.3 Εξέλιξη των συστημάτων οπτικών επικοινωνιών Μια συνοπτική εικόνα της εξέλιξης των συστημάτων οπτικών επικοινωνιών παρέχει το σχήμα 1.4, χρησιμοποιώντας ως κριτήριο αξιολόγησης το γινόμενο της απόστασης μεταξύ των ηλεκτρονικών αναμεταδοτών (L ) και του ρυθμού μετάδοσης δεδομένων/εύρους ζώνης ( 0B ). Μπορούν να αναγνωρισθούν επτά γενιές συστημάτων, σύμφωνα με τα παρακάτω βασικά χαρακτηριστικά. Συστήματα 1ης Γενιάς: Η τεχνολογία αυτή αναπτύχθηκε κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1970 καθώς τότε εξελίχθηκε ένας μεγάλος αριθμός οπτικών εξαρτημάτων και διατάξεων. Χρησιμοποιήθηκε κυρίως το μήκος κύματος των 870 nm και οι ίνες ήταν πολύρρυθμες (Multi-Mode Fiber, MMF). Οι οπτικές πηγές ήταν στερεάς κατάστασης (ημιαγωγού) και συγκεκριμένα laser δίοδοι ή LED κατασκευασμένες από κράματα Αργιλίου, Αρσενικού και Γαλλίου (AlGaAs). Ο τυπικός χρόνος ζωής των διατάξεων AlGaAs αυξήθηκε από λίγες ώρες στις αρχές της δεκαετίας του 1970 σε μερικές χιλιάδες ώρες προς το τέλος αυτής. Οι ανιχνευτές ήταν φωτοδίοδοι τύπου PIN ή χιονοστιβάδας. Οι οπτικές ίνες της εποχής επέβαλαν μεγάλους περιορισμούς στο μήκος της ζεύξης λόγω υψηλής απόσβεσης και διασποράς, το οποίο ήταν τυπικά στην περιοχή των 10 km. Λαμβάνοντας υπόψη ότι τυπικοί ρυθμοί μετάδοσης ήταν 45-140 Mbps, τα συστήματα της 1ης γενιάς είχαν γινόμενο μήκους-εύρους ζώνης 0LB της τάξης του 1km Gbps .

Συστήματα 2ης Γενιάς: Εμφανίσθηκαν στο δεύτερο μισό της δεκαετίας του 1970 μέχρι και τα μέσα της δεκαετίας του 1980 και χρησιμοποιούν μονόρρυθμες ίνες (Single-Mode Fiber, SMF) στο μήκος κύματος των 1310 nm. Το τελευταίο προσφέρει ελάχιστη διασπορά με αποτέλεσμα οι απώλειες να αποτελούν τον βασικό περιοριστικό παράγοντα. Οι οπτικές πηγές είναι laser δίοδοι Ινδίου, Γαλλίου, Αρσενικού και Φωσφόρου (InGaAsP) ενώ οι ανιχνευτές είναι φωτοδίοδοι τύπου PIN ή χιονοστιβάδας που κατασκευάζονται από InGaAs ή Ge. Η τυπική απόσταση αναμεταδοτών αυξάνεται στα περίπου 40 km για ρυθμό μετάδοσης 622 Mbps, με αποτέλεσμα το γινόμενο 0LB να είναι της τάξης των 25km Gbps .

Συστήματα 3ης Γενιάς: Τα συστήματα της 3η γενιάς αναπτύσσονται τη δεκαετία του 1980 και χρησιμοποιούν μονόρρυθμες ίνες στο μήκος κύματος των 1550 nm, καθώς σε αυτό οι απώλειες μετάδοσης είναι ελάχιστες. Περιοριστικός παράγοντας γίνεται η διασπορά, η επίδραση της οποίας μειώνεται με την εξέλιξη των laser διόδων κατανεμημένης ανάδρασης (Distributed Feedback, DFB) σε InGaAsP. Παράλληλα εξελίσσονται οπτικές ίνες στις οποίες ελάχιστες απώλειες και ελάχιστη διασπορά εμφανίζονται στο ίδιο μήκος κύματος (1550 nm) και είναι γνωστές ως ίνες μετατοπισμένης διασποράς (dispersion shifted fibers, DSF). Ο συνήθης ρυθμός μετάδοσης είναι τα 2.5 Gbps και η απόσταση των αναμεταδοτών 100 km, δίνοντας 0LB της τάξης των 250km Gbps . Προς το τέλος της δεκαετίας του 1980 ο ρυθμός μετάδοσης ανέβηκε στα 10 Gbps και το γινόμενο απόστασης-εύρους ζώνης άγγιξε το 1km Tbps

Συστήματα 4ης Γενιάς: Όλα τα προηγούμενα συστήματα χρησιμοποιούν «απευθείας ανίχνευση» στο δέκτη, δηλαδή το διαμορφωμένο κατά ένταση οπτικό σήμα ανιχνεύεται άμεσα με τη βοήθεια μίας φωτοδιόδου. Υπάρχει εναλλακτικά η δυνατότητα να χρησιμοποιηθεί κάποιος τοπικός οπτικός ταλαντωτής (πηγή) και η μείξη αυτού με το διαμορφωμένο σήμα να ανιχνευθεί τελικά από τη φωτοδίοδο. Συστήματα που

Page 11: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.5

ακολουθούν αυτή την αρχιτεκτονική ονομάζονται σύμφωνα (coherent) και εν δυνάμει προσφέρουν μεγαλύτερη ευαισθησία αλλά με σημαντικά μεγαλύτερη πολυπλοκότητα. Στη δεκαετία του 1980 υπήρξε μεγάλο ενδιαφέρον για τέτοια συστήματα αλλά η εμπορική του διείσδυση και επιτυχία υπήρξε πολύ μικρότερη σε σχέση με τα αντίστοιχα απευθείας ανίχνευσης. Ο κυριότερος λόγος που μειώθηκε το ενδιαφέρον προς τα σύμφωνα συστήματα ήταν η εξέλιξη των οπτικών ενισχυτών.

Συστήματα 5ης Γενιάς: Τα συστήματα της δεκαετία του 1990 επωφελούνται από τη ραγδαία εξάπλωση των οπτικών ενισχυτών, οι οποίοι μπορεί να είναι τεχνολογίας ημιαγωγού (Semiconductor Optical Amplifier, SOA) ή ντοπαρισμένης ίνας (Doped Fiber Amplifier, DFA). Οι οπτικοί ενισχυτές αποκαθιστούν το επίπεδο της οπτικής ισχύος κατά τη μετάδοση και συνεπώς αυξάνουν την απαραίτητη απόσταση μεταξύ των ηλεκτρονικών αναμεταδοτών/αναγεννητών. Διατηρώντας ως βασικό ρυθμό μετάδοσης τα 10 Gbps υπερωκεάνιες ζεύξεις 20,000 km είναι εφικτές, ανεβάζοντας το 0LB σε τιμές της τάξης των 200km Tbps .

Συστήματα 6ης Γενιάς: Τα σολιτόνια (solitons) είναι οπτικοί παλμοί βραχείας διάρκειας που μπορούν να διαδοθούν σε μεγάλες αποστάσεις διατηρώντας το σχήμα τους στο χρόνο. Το παραπάνω φαινόμενο είναι αποτέλεσμα της λεπτής ισορροπίας ανάμεσα στη διασπορά των παλμών (γραμμικό φαινόμενο) και στη μη-γραμμική αυτοδιαμόρφωση φάσης (φαινόμενο Kerr), με το δεύτερο να αναιρεί πλήρως τη δράση του πρώτου. Οι επιδόσεις ενός συστήματος οπτικών επικοινωνιών σολιτονίων μπορεί να είναι συγκρίσιμες με αυτές των συστημάτων 5ης γενιάς.

Συστήματα 7ης Γενιάς: Η αξιοποίηση της πολυπλεξίας στο μήκος κύματος (Wavelength Division Multiplexing, WDM) από τα μέσα της δεκαετίας του 1990 αποτέλεσε μία πολύ ουσιαστική συμβολή στην αύξηση της συνολικής ικανότητας μεταφοράς πληροφορίας από τις ίνες. Πολλά διαφορετικά διαμορφωμένα μήκη κύματος τοποθετημένα το ένα πλησίον του άλλου διαδίδονται στην ίδια ίνα και επίσης ενισχύονται ταυτόχρονα κατά τη διέλευση τους από οπτικούς ενισχυτές, αξιοποιώντας το τεράστιο εύρος ζώνης που οι τελευταίοι μπορούν να προσφέρουν. Οι ρυθμοί μετάδοσης είναι τυπικά 10-40 Gbps και το γινόμενο 0LB για μία και μόνο ίνα μπορεί να αγγίξει τιμές 1 100km (Peta)bps !

Σχήμα 1.4 Εξέλιξη των συστημάτων οπτικών επικοινωνιών τις τελευταίες τέσσερεις δεκαετίες. Ως βασικό κριτήριο αξιολόγησης των επιδόσεων τους έχει επιλεγεί το γινόμενο μήκους-εύρους ζώνης ( 0LB ) μετρημένο σε km Gbps .

Page 12: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 1.6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στο σχήμα 1.5(α) φαίνεται ένας οπτικός δέκτης για ρυθμό μετάδοσης 10 Gbps (OC-192) που περιλαμβάνει μία φωτοδίοδο και ένα ευρυζωνικό ενισχυτή χαμηλού θορύβου. Η συσκευασία είναι επιφανειακής στήριξης 17 ακροδεκτών με συνολικές διαστάσεις 10.75mm x 8mm x 2.95mm. Απαιτείται μία τάση τροφοδοσίας -5 V και η ευαισθησία του δέκτη είναι -19 dBm. Στο σχήμα 1.5(β) φαίνεται ένας πολυπλέκτης κατασκευασμένος από κυματοδηγούς πυριτίου (Si) και τεχνολογίας AWG (Arrayed Waveguide Grating) για εφαρμογές WDM.

(α) (β) Σχήμα 1.5 (α) Οπτικός δέκτης 10 Gbps κατάλληλος για ένα εύρος εφαρμογών ψηφιακών επικοινωνιών όπως SONET, SDH ή 10-Gbit Ethernet. Περιλαμβάνει μία φωτοδίοδο PIN υψηλής ταχύτητας και ευαισθησίας και έναν ευρυζωνικό ενισχυτή χαμηλού θορύβου. Η τάση λειτουργίας είναι -5V. (β) Πολυπλέκτης τεχνολογίας AWG (Array Waveguide Grating) κατασκευασμένος από πυρίτιο (Si) για συστήματα με πολυπλεξία στο μήκος κύματος WDM. Προϊόν της Bookham Technology. 1.4 Πλεονεκτήματα των επικοινωνιών οπτικών ινών Οι επικοινωνίες οπτικών ινών παρουσιάζουν ένα μεγάλο αριθμό πλεονεκτημάτων σε σύγκριση με τα συμβατικά ηλεκτρικά/ηλεκτρονικά συστήματα επικοινωνιών. Μία πρώτη σύγκριση οδηγεί στα παρακάτω σημεία: (α) Τεράστιο εύρος ζώνης. Η συχνότητα του οπτικού φέροντος είναι της τάξης των 1014 Hz (193 THz για μήκος κύματος 1.55 μm) και συνεπώς το εύρος ζώνης (ως κλάσμα της φέρουσας συχνότητας) αναμένεται να είναι τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο από αυτό των χάλκινων ομοαξονικών καλωδίων που γενικά δεν ξεπερνά τα 500 MHz ή των μιλιμετρικών ραδιοκυμάτων. Είναι φανερό ότι ακόμα και με τη μερική χρήση του διαθέσιμου εύρους ζώνης σε συστήματα οπτικών ινών αρκετά GHz (Gbps) διαμόρφωσης μπορούν να μεταδοθούν σε αποστάσεις εκατοντάδων χιλιομέτρων χωρίς την παρεμβολή ενδιάμεσων ηλεκτρονικών αναμεταδοτών. Από την άλλη πλευρά, σε ομοαξονικά καλώδια δεν πρέπει κανείς να αναμένει ζεύξεις μεγαλύτερες των μερικών χιλιομέτρων και για ένα εύρος ζώνης που δεν θα ξεπερνά τα 100 MHz. Φυσικά το εύρος ζώνης σε ένα σύστημα οπτικών ινών μπορεί να αυξηθεί ακόμα περισσότερο με την πολυπλεξία στο μήκος κύματος (WDM). Στην περίπτωση αυτή μία και μόνη ίνα μπορεί να μεταφέρει αρκετές δεκάδες ή εκατοντάδες διαφορετικά μήκη κύματος (κανάλια), καθένα από τα οποία είναι διαμορφωμένο με εύρος δεκάδων GHz (Gbps). Από τα παραπάνω βγαίνει αβίαστα το συμπέρασμα ότι σε κάθε περίπτωση ένα σύστημα οπτικών ινών προσφέρει τουλάχιστον μερικές τάξεις μεγέθους (4-5) βελτίωση στο διαθέσιμο εύρος ζώνης σε σχέση με οποιονδήποτε τύπο χάλκινου καλωδίου ή ραδιοζεύξης. (β) Μικρό μέγεθος και βάρος. Η διάμετρος των οπτικών ινών είναι τυπικά 125 μm για τον πυρήνα και το περίβλημα. Λαμβάνοντας υπόψη και τα διάφορα προστατευτικά στρώματα πέραν της παραπάνω διαμέτρου, σε κάθε περίπτωση το βάρος και μέγεθος ενός οπτικού καλωδίου είναι πολύ μικρότερα από τα αντίστοιχα ενός χάλκινου καλωδίου.

Page 13: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.7

(γ) Ηλεκτρική απομόνωση. Το οπτικό κύμα οδηγείται από μία ίνα με υλικό κατασκευής το γυαλί, που είναι ένα τέλειο διηλεκτρικό. Συνεπώς δεν υφίστανται βρόχοι γης, τόξα, βραχυκυκλώματα ή άλλα ανάλογα φαινόμενα. Αυτό σημαίνει η οπτική ίνα μπορεί να περάσει άφοβα μέσα από κάποιο «ηλεκτρικά επικίνδυνο» περιβάλλον . (δ) Ατρωσία σε ηλεκτρομαγνητικές παρεμβολές. Η μετάδοση του οπτικού κύματος μέσα στο διηλεκτρικό κυματοδηγό (ίνα) είναι απαλλαγμένη από ηλεκτρομαγνητικές παρεμβολές (Electro-Magnetic Interference, EMI) καθώς και μεταβατικά φαινόμενα ηλεκτρομαγνητικών παλμών. Αυτό σημαίνει ότι η οπτική ίνα μπορεί να βρίσκεται σε ένα περιβάλλον υψηλού ηλεκτρομαγνητικού θορύβου χωρίς να χρειάζεται να ληφθούν μέτρα για την ηλεκτρομαγνητική της θωράκιση. Επιπρόσθετα, δεν αναμένονται οπτικές παρεμβολές μεταξύ οπτικών που γειτνιάζουν. (ε) Ασφάλεια. Το οπτικό σήμα μέσα στην ίνα περιορίζεται κυρίως στον πυρήνα της και δεν ακτινοβολεί. Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να υποκλαπεί, παρά μόνο στην περίπτωση που κάποιος έχει πρόσβαση στο φως που οδηγείται από τον πυρήνα. Το παραπάνω είναι απίθανο να συμβεί χωρίς να διακοπεί η συνέχεια της ίνας, πράγμα το οποίο γίνεται εύκολα αντιληπτό. Με βάση την παραπάνω παρατήρηση γίνεται φανερό ότι τα συστήματα επικοινωνιών οπτικών ινών προσφέρουν ιδιαίτερα αυξημένη ασφάλεια. (στ) Πολύ χαμηλές απώλειες μετάδοσης. Η εξέλιξη των οπτικών ινών έχει οδηγήσει σε ίνες με ιδιαίτερα χαμηλές απώλειες. Τυπική τιμή απoτελούν τα 0.2 dB/km για μήκη κύματος στο παράθυρο των 1550 nm. Η παραπάνω τιμή είναι εξαιρετικά χαμηλότερη αυτής που αναμένεται ακόμα και για τα καλύτερα χάλκινα ομοαξονικά καλώδια. Οι ιδιαίτερα χαμηλές τιμές απωλειών στις ίνες οδηγούν σε συστήματα επικοινωνιών με τους ηλεκτρονικούς αναμεταδότες να τοποθετούνται σε μακρινές αποστάσεις, συμβάλλοντας έτσι στη μείωση του κόστους καθώς και στην πολυπλοκότητα του συστήματος. (ζ) Ευελιξία και αντοχή. Παρά το γεγονός ότι οι οπτικές ίνες είναι κατασκευασμένες από γυαλί, εντούτοις χαρακτηρίζονται από μεγάλη αντοχή σε εφελκυσμό καθώς και σχετική ευκαμψία. Σε συνδυασμό με το μικρό βάρος και όγκο εμφανίζονται γενικά πλεονεκτικότερες σε ότι αφορά στην αποθήκευση, μεταφορά και εγκατάσταση σε σχέση με τα χάλκινα καλώδια. Τέλος, η αντοχή καθώς και η διάρκεια ζωής τους είναι τουλάχιστον συγκρίσιμες με τα προηγούμενα. (η) Αξιοπιστία και ευκολία συντήρησης. Λόγω των πολύ μικρών απωλειών, ο αριθμός ηλεκτρονικών αναμεταδοτών που απαιτούνται σε ένα οπτικό δίκτυο είναι αρκετά περιορισμένος και αυτό μεταφράζεται σε αυξημένη αξιοπιστία του συστήματος. Παράλληλα η ίδια η αξιοπιστία των οπτικών εξαρτημάτων και διατάξεων, παθητικών και ενεργών, έχει αυξηθεί σημαντικά με αποτέλεσμα η προσδοκώμενη διάρκεια ζωής να είναι 20-30 χρόνια. (θ) Χαμηλό κόστος. Το κόστος των οπτικών ινών και καλωδίων αλλά και των υπολοίπων οπτικών εξαρτημάτων, όπως οι πηγές και δέκτες, έχουν μειωθεί σημαντικά με την πάροδο του χρόνου. Εάν μάλιστα συνεκτιμήσει κανείς και το τεράστιο εύρος ζώνης που γίνεται διαθέσιμο, τότε αντιλαμβάνεται ότι οι επικοινωνίες οπτικών ινών προσφέρουν τον πιο αποτελεσματικό και οικονομικό τρόπο για τη μεταφορά τεράστιου όγκου δεδομένων σε σημαντικές αποστάσεις.

Page 14: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 1.8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Page 15: Οπτικές Επικοινωνίες

2

ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ Η ιδέα της οδήγησης του φωτός από μία διηλεκτρική ράβδο χωρίς κάποιο άλλο περίβλημα, όταν δηλαδή αυτή περιβάλλεται από αέρα, ανήκει στους Hondros και Debye1, οι οποίοι και μελέτησαν θεωρητικά το σχετικό πρόβλημα το 1910. Παρά το γεγονός ότι απέδειξαν τη δυνατότητα οδήγησης του φωτός από μία τέτοια γεωμετρία, η πρακτική εφαρμογή της παραπάνω ιδέας θα χρειαζόταν να περιμένει μισό αιώνα ακόμα. Κύρια δυσκολία αποτελούσε η κατασκευή μίας ράβδου με διάμετρο στην περιοχή των μερικών μικρομέτρων καθώς και το γεγονός ότι δεν θα διέθετε κανένα είδος μηχανικής αντοχής λόγω της πολύ μικρής διαμέτρου. Οι πρώτες σοβαρές προτάσεις για πρακτικές οπτικές ίνες θα γίνουν το 1966, αφού γίνει αντιληπτό ότι η ίνα θα έπρεπε εκτός από τον πυρήνα (core) να διαθέτει και κάποιο περίβλημα (cladding), σύμφωνα με το σχήμα 2.1. Αυτό θα προσέφερε και την απαραίτητη μηχανική αντοχή αφού η διάμετρος του περιβλήματος θα ήταν στην περιοχή των εκατοντάδων μικρομέτρων. Το πλέον σύνηθες υλικό κατασκευής των ινών αποτελεί το γυαλί διοξειδίου του πυριτίου (silica glass, 2SiO ). Τα γυαλιά κατατάσσονται στα άμορφα στερεά υλικά καθώς δεν έχουν κρυσταλλικές ιδιότητες. Κατασκευάζονται γενικά με κάποια διαδικασία τήξης και συνεπακόλουθη ψύξη στη στερεή κατάσταση, χωρίς όμως την ανάπτυξη κρυσταλλικών ιδιοτήτων. Εκτός από το γυαλί 2SiO είναι επίσης διαδεδομένοι και άλλοι τύποι, όπως τα chalcogenides, fluorides, germanates, tellurites ( 2TeO ), antimonates ( 2 3Sb O ) ή titanates ( 2TiO ). Οι απώλειες των πρώτων οπτικών ινών ήταν στην περιοχή των 1000 dB/km και τα μήκη κύματος που χρησιμοποιήθηκαν τότε ήταν στο παράθυρο 800-900 nm. Με την εξέλιξη της τεχνολογίας οι απώλειες περιορίσθηκαν δραματικά και επίσης έγινε αντιληπτό ότι τα μήκη κύματος στην περιοχή 1300-1500 nm θα προσέφεραν χαμηλότερες απώλειες καθώς επίσης και μικρότερη διασπορά. Οι τυπικές απώλειες σήμερα για τις εμπορικά διαθέσιμες ίνες 2SiO είναι 0.2 dB/km στα 1550 nm. Χαμηλότερες απώλειες μπορούν να επιτευχθούν σε άλλα μήκη κύματος και σε ίνες κατασκευασμένες από non-silica γυαλιά, όπως για παράδειγμα στην περιοχή των 2.5 μm για τα fluoride γυαλιά που οι απώλειες προσεγγίζουν το θεωρητικά προβλεπόμενο όριο των 0.01 dB/km.

1n

2n

Πυρήνας

Περίβλημα

2SiO

2 2SiO GeO

1 2n n

Σχήμα 2.1 Η κυκλική οπτική ίνα με περίβλημα. Ο πυρήνας έχει δείκτη διάθλασης 1n που είναι λίγο υψηλότερος από το δείκτη διάθλασης του περιβλήματος 2n . Αυτό επιτυγχάνεται με την μεταβολή της χημικής σύνθεσης του πυρήνα, για παράδειγμα εισάγοντας προσμείξεις 2GeO στο γυαλί του 2SiO .

1 Hondros, D. and Debye, P. (1910), Elektromagnetische Wellen an dielektrischen Drähten. Annalen der Physik, 337: 465–476

Page 16: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.2 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

Η περιγραφή της διάδοσης του φωτός στους οπτικούς κυματοδηγούς και ίνες μπορεί να γίνει γενικά με δύο τρόπους. Ο πρώτος είναι στα πλαίσια της ακτινικής θεωρίας που είναι πολύ απλή και προσφέρει μία χονδροειδή κατανόηση του φαινομένου της διάδοσης του φωτός. Η ακτινική θεωρία είναι κατάλληλη για την ανάλυση κυματοδηγών με μεγάλες διαστάσεις συγκρινόμενες ως προς το μήκος κύματος. Συνεπώς δεν μπορεί να εφαρμοσθεί σε κάθε περίπτωση οπτικού κυματοδηγού και ιδίως σε αυτούς που χαρακτηρίζονται από πολύπλοκες γεωμετρίες και ταυτόχρονα μικρές διστάσεις. Η ηλεκτρομαγνητική θεωρία στα πλαίσια των εξισώσεων Maxwell ή της κατάλληλης κυματικής εξίσωσης (Helmholtz) είναι συνθετότερη αλλά και ταυτόχρονα ακριβής, με αποτέλεσμα να περιγράφει ικανοποιητικά κάθε περίπτωση διάδοσης φωτός εντός των οπτικών κυματοδηγών. Στην έκταση του κεφαλαίου αυτού θα χρησιμοποιήσουμε εναλλακτικά και τις δύο θεωρίες. 2.1 Ακτινική θεωρία 2.1.1 Ολική εσωτερική ανάκλαση Το σχήμα 2.2 δείχνει την πρόσπτωση ενός επίπεδου οπτικού κύματος (ακτίνα φωτός) στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών μέσων. Η πρόσπτωση γίνεται από την πλευρά του «οπτικά πυκνότερου» υλικού (μέσο 1), δηλαδή αυτού με το μεγαλύτερο δείκτη διαθλάσεως 1n . Στη γενικότερη περίπτωση που αναπαριστά η ακτίνα (Α), το κύμα θα ανακλαστεί και επίσης και θα διαθλαστεί στο μέσο 2 σύμφωνα με το νόμο του Snell

1 2

2 1

sin( )

sin( )

n

n

. (2.1)

Δεδομένου ότι 1 2n n , η γωνία διάθλασης είναι μεγαλύτερη από τη γωνία πρόσπτωσης και σύμφωνα με την εξ. (2.1) είναι ίση με:

1 12 1

2sin sin( )

n

n

. (2.2)

1

2z

1n

2n

1 1

21 2n n

c

Ακτίνα (Α)

Ακτίνα (Β)

Ακτίνα (Γ)

Σχήμα 2.2 Πρόσπτωση επίπεδου κύματος (ακτίνας) στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών: (Α) ακτίνα με γωνία πρόσπτωσης μικρότερη της κρίσιμης , (Β) ακτίνα με γωνία πρόσπτωσης ίση με την κρίσιμη γωνία, (Γ) ακτίνα με γωνία πρόσπτωσης πέραν της κρίσιμης γωνίας.

Page 17: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.3

Όσο αυξάνει η γωνία πρόσπτωσης αυξάνει και η γωνία διάθλασης με αποτέλεσμα για κάποια συγκεκριμένη τιμή της γωνίας πρόσπτωσης η γωνία διάθλασης να γίνει /2 . Η περίπτωση αυτή απεικονίζεται από την ακτίνα (Β) στο σχήμα 2.2 και η αντίστοιχη γωνία πρόσπτωσης χαρακτηρίζεται ως κρίσιμη γωνία (critical angle) c και φυσικά είναι ίση με

1 2

1sinc

n

n

. (2.3)

Για γωνίες πρόσπτωσης μεγαλύτερες της κρίσιμης γωνίας δεν υπάρχει διαθλώμενη ακτίνα και έχουμε το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης (total internal reflection) που αντιστοιχίζεται στην ακτίνα (Γ) που σημειώνεται στο σχήμα 2.2. Με όρους ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας αντιλαμβάνεται κανείς ότι η περίπτωση της πρόσπτωσης με γωνία πέραν της κρίσιμης δεν σημαίνει ότι το φως (κύμα) δεν διεισδύει καθόλου στο μέσο 2 αλλά ότι υφίσταται σημαντική εκθετική απόσβεση καθώς απομακρυνόμαστε από τη διαχωριστική επιφάνεια. Τα παραπάνω μπορούν να δώσουν μία πρώτη απλουστευμένη εξήγηση για το φαινόμενο της διάδοσης του φωτός σε μία οπτική ίνα. Σε μία «ιδανική» οπτική ίνα το φως ταξιδεύει με τη βοήθεια ολικών εσωτερικών ανακλάσεων που λαμβάνουν χώρα στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα και περιβλήματος. Αυτό προϋποθέτει ότι οι ακτίνες φωτός προσπίπτουν στην επιφάνεια αυτή με γωνίες μεγαλύτερες της κρίσιμης γωνίας c , σύμφωνα με το σχήμα 2.3. Οι παραπάνω ακτίνες διέρχονται από τον άξονα της ίνας, χαρακτηρίζονται ως μεσημβρινές (meridional) ακτίνες, και συνιστούν τον απλούστερο μηχανισμό διάδοσης του φωτός στην ίνα. Η παραπάνω εξήγηση της διάδοσης είναι σαφώς απλουστευτική καθώς δεν λαμβάνει υπόψη ότι η γεωμετρία της ίνας είναι στην πραγματικότητα κυλινδρική, και επίσης αγνοεί τη διείσδυση του φωτός στο περίβλημα και τις απώλειες. Η ίδια η χρήση της ακτινικής θεωρίας (γεωμετρική οπτική) προϋποθέτει ότι οι διαστάσεις του πυρήνα είναι σημαντικά μεγαλύτερες από το μήκος κύματος προκειμένου τα συμπεράσματα να είναι ορθά.

1n

2n

1 2n n

Πυρήνας

Περίβλημα

Σχήμα 2.3 Διάδοση σε μία «ιδανική» οπτική ίνα με το μηχανισμό των μεσημβρινών ακτινών. 2.1.2 Μέγιστη γωνία αποδοχής και αριθμητικό άνοιγμα Είναι σημαντικό να εξετάσουμε τη διαδρομή μίας οπτικής ακτίνας που ταξιδεύει στον αέρα και προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο μίας οπτικής ίνας, το οποίο έχει κοπεί κάθετα προς τον άξονα της. Η περίπτωση αυτή απεικονίζεται στο σχήμα 2.4. Θεωρούμε ότι η ακτίνα «Α» προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια αέρα/πυρήνα με την κατάλληλη γωνία a , έτσι ώστε η διαθλώμενη στον πυρήνα ακτίνα να χτυπήσει στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα/περιβλήματος με την κρίσιμη γωνία c της εξ. (2.3) και συνεπώς να συνεχίσει τη διάδοση στον πυρήνα σύμφωνα με το μηχανισμό του σχήματος 2.3. Είναι φανερό ότι κάθε άλλη ακτίνα που προέρχεται από τον αέρα και προσπίπτει με γωνία μικρότερη της a θα μπορεί να διαδοθεί στην ίνα αφού τελικά θα προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα/περιβλήματος με γωνία μεγαλύτερη της κρίσιμης. Αντίθετα, γωνίες πρόσπτωσης μεγαλύτερες της a , όπως η ακτίνα «Β», θα

Page 18: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.4 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

φθάνουν στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα/περιβλήματος με γωνία μικρότερη της κρίσιμης και άρα θα ανακλαστούν μερικώς καθώς επίσης και θα διαθλασθούν στο περίβλημα. Αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα την απώλεια μέρους του φωτός με τη μορφή ακτινοβολίας μακριά από την περιοχή του πυρήνα. Είναι σημαντικό να υπολογίσει κανείς τη γωνία a προκειμένου να προσδιορισθεί ο κώνος που περιλαμβάνει τις ακτίνες που μπορούν να συζευχθούν και να οδηγηθούν χωρίς ακτινοβολία από την ίνα. Αυτή η γωνία θα αποτελεί ένα μέγεθος της ικανότητας συλλογής φωτός από την οπτική ίνα.

Πυρήνας

Περίβλημα

Ακτινοβολία

Ακτίνα Α

Ακτίνα Β

z

1n

2n

1a

c

1 2n n

a

Λ

Κ0n

Σχήμα 2.4 Πρόσπτωση μεσημβρινών ακτινών σε ίνα με τη μέγιστη γωνία αποδοχής (ακτίνα «Α») και με γωνία πέραν αυτής (ακτίνα «Β»). Εφαρμόζουμε καταρχήν το νόμο του Snell στο σημείο εισόδου Κ:

1

1 0

sin( )

sin( )a n

n

. (2.4)

Η γωνία πρόσπτωσης στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα/περιβλήματος, σημείο Λ, είναι ίση με

12c , (2.5)

και δίνεται από την εξ. (2.3). Συνδυάζοντας τις εξ. (2.3) και (2.5) προκύπτει άμεσα ότι

22 2

11

1 sinn

n

. (2.6)

Αντικαθιστώντας στην εξ. (2.6) την εξ. (2.4) λαμβάνεται τελικά η έκφραση της γωνίας a :

2 20 1 2sin( )an n n (2.7)

Στην εξ. (2.7) συνήθως τίθεται 0 1n θεωρώντας ότι η ίνα περιβάλλεται από αέρα. Η εξ. (2.7) επιτρέπει τον υπολογισμό της μέγιστης γωνίας αποδοχής μεσημβρινών ακτινών μίας οπτικής ίνας. Το δεξί μέρος της εξ. (2.7) αντιστοιχίζεται σε μία πολύ σημαντική παράμετρο της ίνας, η οποία ονομάζεται αριθμητικό άνοιγμα (numerical aperture, NA) και ακριβώς χαρακτηρίζει την ικανότητα συλλογής φωτός της ίνας.

Page 19: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.5

2 21 2sin( )a NA n n (2.8)

Το αριθμητικό άνοιγμα συνηθίζεται να γράφεται ως συνάρτηση της σχετικής διαφοράς των δεικτών διάθλασης, η οποία και είναι μία μικρή ποσότητα στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές. Ορίζοντας ως σχετική διαφορά την ποσότητα

2 21 2 1 2

211

, 12

n n n n

nn

, (2.9)

η εξ. (2.8) καταλήγει στην παρακάτω πολύ διαδεδομένη σχέση μεταξύ αριθμητικού ανοίγματος και σχετικής διαφοράς των δεικτών διάθλασης πυρήνα και περιβλήματος:

1sin( ) 2a NA n . (2.10)

Υπενθυμίζεται ότι οι παραπάνω εξισώσεις προϋποθέτουν την εφαρμοσιμότητα της ακτινικής θεωρίας και γενικά μπορούν να θεωρηθούν ακριβείς για ίνες με διάμετρο μεγαλύτερη των 8 μm. ________________________________________________________________________________________________________________________

Παράδειγμα 2.1 Μία τυπική ίνα για επικοινωνίες μακρινών αποστάσεων έχει σχετική διαφορά στο δείκτη διαθλάσεως

1% , ο δε πυρήνας έχει δείκτη διαθλάσεως 1 1.46n . Προσδιορίστε το αριθμητικό άνοιγμα, τη μέγιστη γωνία αποδοχής καθώς και την κρίσιμη γωνία πυρήνα/περιβλήματος.

1 2 1.46 0.02 0.206NA n 1 osin ( ) 11.88a NA

1 22 1

10.01 0.99

n nn n

n

1 o2

1sin 81.89c

n

n

________________________________________________________________________________________________________________________

2.1.3 Πλάγιες ακτίνες Μέχρι το σημείο αυτό αναφερθήκαμε στις μεσημβρινές ακτίνες οι οποίες περιέχονται στο ίδιο επίπεδο και το επίπεδο αυτό διέρχεται από τον άξονα της ίνας. Εκτός από τις μεσημβρινές υπάρχουν και οι πλάγιες (skew) ακτίνες. Οι τελευταίες ακολουθούν ένα είδος ελικοειδούς διαδρομής κατά τον άξονα της ίνας και δεν παραμένουν περιορισμένες σε ένα επίπεδο. Μία σχηματική αναπαράσταση τους φαίνεται στο σχήμα 2.5. Το σχήμα 2.5 (α) αποτελεί μία γενική άποψη τους και το σχήμα 2.5 (β) δίνει την προβολή τους σε ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα της ίνας. Οι πλάγιες ακτίνες μπορούν να γίνουν αποδεκτές από μεγαλύτερο κώνο γωνιών, ο δε μηχανισμός διάδοσης τους μπορεί να θεωρηθεί συμπληρωματικός των μεσημβρινών ακτινών. Αυτό σημαίνει ότι η παρουσία των πλάγιων ακτινών έχει ως τελικό αποτέλεσμα την αύξηση της ικανότητας συλλογής φωτός από την ίνα.

Page 20: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.6 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

Σχήμα 2.5 Πλάγιες ακτίνες: (α) γενική άποψη κατά τη διάδοση τους, (β) προβολή στο κάθετο επίπεδο. 2.2 Ηλεκτρομαγνητική θεωρία Η ακτινική θεωρία δεν μπορεί σε κάθε περίπτωση να προσφέρει ικανοποιητική περιγραφή της διάδοσης φωτός μέσα στους οπτικούς κυματοδηγούς. Αντίθετα, η ηλεκτρομαγνητική θεωρία προσφέρει ένα ακριβές πλαίσιο με πολύ μεγαλύτερη όμως πολυπλοκότητα. Όπως ο όρος προϊδεάζει η τελευταία στηρίζεται στην επίλυση των εξισώσεων Maxwell. Οι εξισώσεις Maxwell σε ένα χώρο χωρίς πηγές και θεωρώντας αρμονική μεταβολή με το χρόνο σύμφωνα με τη σύμβαση exp( )j t δίδονται από τις σχέσεις:

j E B , (2.11) j H D , (2.12)

0 D , (2.13) 0 B . (2.14)

Οι παραπάνω εξισώσεις συμπληρώνονται από τις καταστατικές εξισώσεις, οι οποίες και συνδέουν τη διηλεκτρική μετατόπιση με την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και την μαγνητική επαγωγή με την ένταση του μαγνητικού πεδίο

D E , (2.15)

B H . (2.16)

Στην εξ. (2.15) η διηλεκτρική σταθερά του μέσου είναι 0r και η σχετική διηλεκτρική σταθερά r είναι ίση με το τετράγωνο του δείκτη διάθλασης, 2

r n . Στην εξ. (2.16) η μαγνητική διαπερατότητα του μέσου μπορεί να εκληφθεί σχεδόν στο σύνολο των περιπτώσεων ίση με τη μαγνητική διαπερατότητα του κενού 0 , καθώς τα περισσότερα υλικά που χρησιμοποιούνται στις οπτικές συχνότητες δεν έχουν μαγνητικές ιδιότητες. Κατά τα γνωστά μπορεί κανείς από τις εξ. (2.11)-(2.16) να διαμορφώσει τις αντίστοιχες διανυσματικές εξισώσεις κύματος (εξισώσεις Helmholtz) για το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο.

2 2 0 E E , (2.17) 2 2 0 H H . (2.18)

Page 21: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.7

Στις παραπάνω εξισώσεις 2 είναι ο Λαπλασιανός (Laplacian) τελεστής. Σε καρτεσιανές και κυλινδρικές συντεταγμένες η κάθε μία από τις παραπάνω διανυσματικές εξισώσεις κύματος είναι ισοδύναμη με τρεις βαθμωτές εξισώσεις κύματος, μία για κάθε συνιστώσα του διανυσματικού πεδίου. Η έκφραση του βαθμωτού τελεστή 2 σε καρτεσιανές και κυλινδρικές συντεταγμένες είναι

2 2 22

2 2 2u u u

ux y z

, (2.19)

2 2 2

22 2 2 2

1 1u u u uu

r rr r z

. (2.20)

Είναι φανερό ότι σε γεωμετρίες επίπεδων κυματοδηγών χρησιμοποιείται η εξ. (2.19) ενώ στην περίπτωση των κυκλικών οπτικών ινών προσφέρεται η εξ. (2.20). 2.3 Ο κυματοδηγός διηλεκτρικής πλάκας Θα ξεκινήσουμε την ανάλυση από την απλούστερη επίπεδη γεωμετρία διηλεκτρικού κυματοδηγού που είναι ο κυματοδηγός διηλεκτρικής πλάκας (dielectric slab waveguide), σχήμα 2.6. Η μαθηματική ανάλυση και διαχείριση της συγκεκριμένης γεωμετρίας δύο-διαστάσεων (2-Δ) είναι πολύ απλούστερη σε σχέση με αυτήν της κυλινδρικής οπτικής ίνας, ενώ ταυτόχρονα επιτρέπει να εισάγουμε προοδευτικά όλα τα απαραίτητα μεγέθη που απαιτούνται για την περιγραφή ενός οπτικού κυματοδηγού. Η γνώση που θα αναπτύξουμε στην περίπτωση αυτή θα φανεί πολύ χρήσιμη στη μελέτη των οπτικών ινών στη συνέχεια. Παράλληλα, ο κυματοδηγός διηλεκτρικής πλάκας αποτελεί το αρχέτυπο κάθε επίπεδου οπτικού κυματοδηγού, με τους τελευταίους να αποτελούν απαραίτητο στοιχείο για τη σύνθεση κάθε ολοκληρωμένου οπτικού (ή φωτονικού) κυκλώματος. Στο σχήμα 2.6 διακρίνουμε τρεις περιοχές διαφορετικού δείκτη διάθλασης: η περιοχή με τον υψηλότερο δείκτη ( 1n ) είναι το στρώμα της οδήγησης (guiding layer), η περιοχή με δείκτη 2n είναι το υπόστρωμα (substrate) και τέλος η περιοχή με δείκτη 3n καλείται κάλυμμα ή επίστρωμα (cover layer/superstrate). Η όλη διάταξη του σχήματος 2.6 ονομάζεται ως ασύμμετρος κυματοδηγός πλάκας και θα θεωρήσουμε ότι ισχύει η συνθήκη 1 2 3n n n .

1n

1 2 3n n n

Στρώμα Οδήγησης

Υπόστρωμα

3n

x

yz

, ,TE( )y x zE H H

, ,TM( )y x zH E E

Επίστρωμα

2n0x

x h

Σχήμα 2.6 Ο ασύμμετρος κυματοδηγός πλάκας. 2.3.1 Ανάλυση και χαρακτηριστική εξίσωση ΤΕ ρυθμών Θα επικεντρώσουμε το ενδιαφέρον μας στην περίπτωση των ρυθμών εγκάρσιου ηλεκτρικού (Transverse Electric, TE) πεδίου. Η μοναδική μη-μηδενική συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου είναι αυτή κατά τον άξονα y του σχήματος 2.6. Κατά τη διεύθυνση αυτή η διάταξη δεν παρουσιάζει μεταβολή ( / 0y )

Page 22: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.8 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

ενώ η διεύθυνση διάδοσης συμπίπτει με τον άξονα z . Επίσης, μη-μηδενικές είναι οι συνιστώσες xH και

zH . Σύμφωνα με την εξ. (2.17) η συνιστώσα yE του ηλεκτρικού πεδίου πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω βαθμωτές εξισώσεις:

2 2 2, 0 ,( , ) ( , ) 0, 1,2,3y i i y iE x z n k E x z i , (2.21)

0 0 0k . Όπως σε κάθε πρόβλημα οδήγησης ηλεκτρομαγνητικού κύματος, θα υποθέσουμε ότι η λύση μπορεί να γραφεί ως το γινόμενο ενός εκθετικού όρου της σταθερά διάδοσης που περιγράφει τη μεταβολή της φάσης κατά τη διεύθυνση της διάδοσης και μίας συνάρτησης των εγκάρσιων συντεταγμένων (στην προκειμένη περίπτωση της συντεταγμένης x ) που χαρακτηρίζει το προφίλ του πεδίου. Η σταθερά διάδοσης είναι καταρχήν απροσδιόριστη.

, ( , ) ( )exp( )y i iE x z E x j z (2.22)

Αντικαθιστώντας την εξ. (2.22) στην εξ. (2.21) προκύπτει μία συνήθης διαφορική εξίσωση για τη συνάρτηση

( )iE x

2

2 2 202

( )( ) 0, 1,2, 3i

i id E x

n k E x idx

. (2.23)

Θα γράψουμε τη λύση της εξ. (2.23) θεωρώντας ότι το πεδίο «περιορίζεται» στον κυματοδηγό και συγκεντρώνεται στο στρώμα της οδήγησης, ενώ αποσβένεται εκθετικά καθώς απομακρυνόμαστε μέσα στις περιοχές 2 και 3. Η παραπάνω συμπεριφορά θα αναμένεται από έναν οδηγούμενο ρυθμό και θα συνιστά την επιθυμητή λειτουργία του κυματοδηγού. Συνεπώς οι λύσεις της εξ. (2.23) σύμφωνα με τα παραπάνω θα μπορούν να γραφούν ως:

Στρώμα 1 2 2 21 1 1 0( ) cos( )E x A x n k (2.24)

Στρώμα 2 2 2 22 2 2 0( ) exp( )E x A x n k (2.25)

Στρώμα 3 2 2 23 3 3 0( ) exp[ ( )]E x A x h n k (2.26)

Για να προσδιορίσουμε τη σχέση των αυθαίρετων σταθερών στις εξ. (2.24)-(2.26) 1 2 3, , ,A A A καθώς επίσης και των , , θα πρέπει να εφαρμόσουμε τις απαραίτητες οριακές συνθήκες. Κατά τα γνωστά αυτές είναι η συνέχεια της εφαπτομενικής συνιστώσας του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στις δύο διαχωριστικές επιφάνειες 0x και x h . Είναι πολύ εύκολο να δείξει κανείς από την εξ. (2.11) ότι

x yH E και /z yH E x . Αυτό σημαίνει ότι οι οριακές συνθήκες απαιτούν τελικά τη συνέχεια των

iE και /idE dx στις δύο διαχωριστικές επιφάνειες. Από τη συνέχεια στην επιφάνεια 0x προκύπτει

2 1 cos( )A A , (2.27)

2 1 sin( )A A . (2.28)

Page 23: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.9

Διαιρώντας κατά μέλη τις εξ. (2.27) και (2.28) καταλήγει κανείς:

tan( )

. (2.29)

Από τη συνέχεια στην επιφάνεια x h προκύπτει

3 1 cos( )A A h , (2.30)

3 1 sin( )A A h . (2.31)

Αντίστοιχα διαιρώντας κατά μέλη τις εξ. (2.30) και (2.31) καταλήγει κανείς στην

tan( )h

. (2.32)

Χρησιμοποιούμε την εφαπτομένη της διαφοράς δύο τόξων για να αναπτύξουμε το αριστερό μέλος της εξ. (2.32) και κάνοντας χρήσης της εξ. (2.29) προκύπτει τελικά η σχέση

2( )

tan( )h

. (2.33)

Δεδομένου ότι τα , , είναι όλα συναρτήσεις της σταθεράς διάδοσης είναι φανερό ότι η εξ. (2.33) είναι τελικά μία εξίσωση που εμπλέκει τη σταθερά διάδοσης, και βέβαια την κυκλική συχνότητα καθώς επίσης και τα χαρακτηριστικά (δείκτες διάθλασης και πάχος) του κυματοδηγού. Η εξίσωση αυτή ονομάζεται χαρακτηριστική εξίσωση ή εξίσωση ιδιοτιμών. Για κάθε ένα συνδυασμό των παραπάνω παραμέτρων η εξίσωση επιδέχεται ένα διακριτό αριθμό λύσεων (σταθερών διάδοσης), κάθε μία από τις οποίες μπορεί να αντιστοιχηθεί σε ένα οδηγούμενο ρυθμό. Το προφίλ του ρυθμού θα δίνεται από τις εξ. (2.24)-(2.26) με αντικατάσταση της σταθεράς διάδοσης. Η εξ. (2.33) δεν επιδέχεται αναλυτική λύση και άρα κανείς πρέπει να καταφύγει σε κάποια αριθμητική μέθοδο. Επιλύνοντας αριθμητικά για την κυκλική συχνότητα δίνοντας τιμές στη σταθερά διάδοσης προσδιορίζεται τη συνάρτηση ( ) ή αντίστροφα δίνοντας τιμές στην κυκλική συχνότητα προσδιορίζεται η συνάρτηση )( και τελικά κατασκευάζεται το διάγραμμα διασποράς (dispersion diagram), τα οποίο θα μελετήσουμε καλύτερα παρακάτω. 2.3.2 Το προφίλ των ρυθμών Για να απλοποιήσουμε περισσότερο τη μελέτη του κυματοδηγού πλάκας θα εξετάσουμε την περίπτωση των συμμετρικών κυματοδηγών, δηλαδή θα θεωρήσουμε ότι ο δείκτης διάθλασης του υποστρώματος είναι ίσος με αυτόν του επιστρώματος ( 2 3n n ) και άρα . Η χαρακτηριστική εξίσωση (2.33) απλοποιείται στην παρακάτω σχέση:

22 /

tan( )1 ( / )

h

(2.34)

ή εναλλακτικά

22 /

tan( )1 ( / )

h

. (2.35)

Page 24: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.10 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

Κάνοντας χρήση των τριγωνομετρικών σχέσεων εφαπτομένης μισού τόξου, προκύπτουν από τις εξ. (2.34) και (2.35) απλούστερες εκφράσεις για τη χαρακτηριστική εξίσωση

tan( /2) /h , (2.36) tan( /2) /h . (2.37)

1n

ΣτρώμαΟδήγησης

Υπόστρωμα

3 2n n

( )yE x

x

Επίστρωμα

2n

0x x h

Εκθετική απόσβεση

Συνημιτονοειδής μεταβολή

Σχήμα 2.7 Προφίλ του συμμετρικού ΤΕ ρυθμού χαμηλότερης τάξης ενός κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας.

1n

ΣτρώμαΟδήγησης

Υπόστρωμα

3 2n n

( )yE x

x

Επίστρωμα

2n

0x x h

Συμμετρικός ρυθμός

Αντισυμμετρικόςρυθμός

Σχήμα 2.8 Προφίλ του συμμετρικού και αντισυμμετρικού ΤΕ ρυθμού ενός συμμετρικοί κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας που υποστηρίζει δύο ρυθμών.

Η επίλυση της εξ. (2.36) αντιστοιχεί στους συμμετρικούς ρυθμούς, των οποίων το προφίλ είναι μία συμμετρική συνάρτηση ως προς τον άξονα συμμετρίας του κυματοδηγού /2x h . Ο απλούστερος συμμετρικός ρυθμός φαίνεται στο σχήμα 2.7. Το πεδίο μέσα στο στρώμα οδήγησης μεταβάλλεται συνημιτονοειδώς ενώ αποσβένεται εκθετικά μακριά από αυτό μέσα στο υπόστρωμα και στο επίστρωμα. Ο βαθμός της συγκέντρωσης του πεδίου στο στρώμα οδήγησης (ή ισοδύναμα πόσο η εκθετικά μειούμενη «ουρά» του πεδίου διεισδύει στο υπόστρωμα/υπέρστρωμα) σχετίζεται άμεσα με την οπτική συχνότητα λειτουργίας καθώς και με τη σχέση των δεικτών διάθλασης. Σε χαμηλές οπτικές συχνότητες η συγκέντρωση είναι μικρή ενώ βελτιώνεται με την αύξηση της συχνότητας. Καθώς η συχνότητα αυξάνει, μετά από κάποιο σημείο και η εξ. (2.37) επιδέχεται λύση, η οποία αντιστοιχεί στον πρώτο από τους αντισυμμετρικούς

Page 25: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.11

ρυθμούς. Οι τελευταίοι έχουν προφίλ που είναι αντισυμμετρική συνάρτηση ως προς τον άξονα /2x h . Το σχήμα 2.8 δείχνει ταυτόχρονα το προφίλ του συμμετρικού και αντισυμμετρικού ρυθμού ενός τυπικού επίπεδου κυματοδηγού που υποστηρίζει δύο ρυθμούς. Περαιτέρω αύξηση της οπτικής συχνότητας θα οδηγήσει στην εμφάνιση και άλλων ρυθμών ανώτερης τάξης. 2.3.3 Ρυθμοί και αποκοπή Θα αναλύσουμε στην παράγραφο αυτή καλύτερα τη σχέση χαρακτηριστικής εξίσωσης και οδηγούμενων ρυθμών, όπως επίσης θα προσδιορίσουμε τον αριθμό των οδηγούμενων ρυθμών καθώς και τη συνθήκη για μονόρρυθμη λειτουργία. Από τις εξ. (2.25) και (2.26) αντιλαμβάνεται κανένας ότι όσο μικρότερες είναι οι τιμές των , τόσο περισσότερο το πεδίο εκτείνεται πέραν του στρώματος οδήγησης. Στο όριο 0 ή ισοδύναμα 0 2k n το πεδίο παρουσιάζει την ελάχιστη συγκέντρωση στον κυματοδηγό. Η συνθήκη

0 ( 0 2k n ) ονομάζεται συνθήκη αποκοπής (cut-off condition) και αποτελεί το όριο στο οποίο εμφανίζεται ένας οδηγούμενος ρυθμός. Για την περίπτωση των συμμετρικών ρυθμών, η εξίσωση ιδιοτιμών της εξ. (2.36) αποκτά στην αποκοπή τη μορφή:

cut off cut offtan( /2) 0 ( /2) 0, ,2 ,...h h (2.38)

Για τους αντισυμμετρικούς ρυθμούς η εξ. (2.37) σε συνθήκες αποκοπής οδηγεί στην

cut off cut offtan( /2) ( /2) /2,3 /2,...h h (2.39)

Οι εξ. (2.38) και (2.39) ενοποιούνται σε μία και μόνη εξίσωση

cut off( /2) /2 0,1,2,...h , (2.40)

στην οποία ο ακέραιος αριθμός χαρακτηρίζει το ρυθμό και έτσι ονομάζεται αριθμός του ρυθμού TE . Δεδομένου ότι στην αποκοπή 0 2k n και επιστρέφοντας στον ορισμό του της εξ. (2.24) προκύπτει η έκφραση του cut off

2 2cut off 0 1 2k n n . (2.41)

Συνδυάζοντας τις εξ. (2.40) και (2.41) λαμβάνεται τελικά η σχέση

2 20 1 2

1/2

2V k h n n . (2.42)

Το αριστερό μέλος της εξ. (2.42) είναι αδιάστατο και καλείται αριθμός V του κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας. Το μέγεθος του αποτελεί ένδειξη του πόσο «πολύρρυθμος» είναι ο κυματοδηγός. Η σχέση (2.42) είναι αποκαλυπτική και συμπυκνώνει τη συνθήκη αποκοπής τόσο των συμμετρικών όσο και των αντισυμμετρικών ρυθμών. Ο χαμηλότερος ρυθμός θα αντιστοιχεί στην τιμή 0 και θα είναι ο συμμετρικός 0TE ρυθμός με συνθήκη αποκοπής

2 20 1 2

10

2k h n n . (2.43)

Page 26: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.12 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

Για να ικανοποιηθεί η εξ. (2.43) λαμβάνοντας υπόψη ότι οι δείκτες διάθλασης έχουν μη ταυτόσημες τιμές και φυσικά το πάχος του στρώματος οδήγησης είναι μη-μηδενικό θα πρέπει ο κυματικός αριθμός 0k υποχρεωτικά να τείνει στο μηδέν ή ισοδύναμα η συχνότητα αποκοπής να τείνει στο μηδέν. Προκύπτει δηλαδή το ιδιαίτερα σημαντικό συμπέρασμα ότι ο ρυθμός χαμηλότερης τάξης σε έναν συμμετρικό κυματοδηγό διηλεκτρικής πλάκας δεν έχει συχνότητα αποκοπής και συνεπώς υφίσταται σε κάθε συχνότητα! Ο αμέσως επόμενος ρυθμός, αντισυμμετρικός 1TE , θα έχει συνθήκη αποκοπής

2 20 1 2

1

2 2k h n n

. (2.44)

Με βάση την εξ. (2.44) μπορεί κανείς να προσδιορίσει τη σχέση (άνω όριο) που πρέπει να ικανοποιεί το πάχος του στρώματος οδήγησης προκειμένου να έχουμε μονόρρυθμη λειτουργία. Λύνοντας ως προς το πάχος την εξ. (2.44) προκύπτει η συνθήκη της μονόρρυθμης λειτουργίας

2 20 1 2/ 2h n n , (2.45)

όπου 0 είναι το μήκος κύματος στον ελεύθερο χώρο.

Κλίση

Κλίση

0 1k n 1/c n

2/c n

0 2k n

0TE

1TE

2TE

01

cut-off2

cut-off1

Σχήμα 2.9. Ενδεικτικό διάγραμμα διασποράς ενός συμμετρικού κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας. Απεικονίζονται οι τρεις πρώτοι (χαμηλότερης τάξης) ρυθμοί. Ο ρυθμός χαμηλότερης τάξης ( 0TE ) έχει πάντα την υψηλότερη σταθερά διάδοσης. Στο σχήμα 2.9 φαίνεται η σχέση συχνότητας-σταθεράς διάδοσης για τους χαμηλότερους ρυθμούς ενός συμμετρικού κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας που αποτελεί το διάγραμμα διασποράς. Όπως γίνεται αντιληπτό κάθε κλάδος που αντιστοιχεί σε ένα οδηγούμενο ρυθμό περιορίζεται από δύο ευθείες με κλίση

1/c n και 2/c n . Το πρώτο όριο αντιστοιχεί σε μία σταθερά διάδοσης που τείνει στην τιμή 0 1k n και προσφέρει τη μέγιστη δυνατή συγκέντρωση του πεδίου στο στρώμα της οδήγησης. Το δεύτερο όριο αντιστοιχεί σε μία σταθερά διάδοσης που τείνει στην τιμή 0 2k n (συνθήκη αποκοπής) και βέβαια η συγκέντρωση του πεδίου είναι πια ελάχιστη. Στην τελευταία αυτή περίπτωση το κύμα ταξιδεύει κυρίως στο επίστρωμα και υπόστρωμα αντί του στρώματος της οδήγησης.

Page 27: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.13

________________________________________________________________________________________________________________________

Παράδειγμα 2.2 Ένας επίπεδος κυματοδηγός πρόκειται να λειτουργήσει μονόρυθμα στην περιοχή του κόκκινου φωτός. Ο δείκτης διαθλάσεως του στρώματος οδήγησης είναι 1.5. Προσδιορίστε το μέγιστο πάχος του στρώματος οδήγησης όταν η σχετική διαφορά των δεικτών διάθλασης είναι (α) 1% και (β) 0.1%. Το κόκκινο φως αντιστοιχεί σε ένα μήκος κύματος στον ελεύθερο χώρο 0 633nm .

(α) 1 22 1

10.01 0.99

n nn n

n

2max 633/ 2 1 0.99 1.5 1495nm 1.495 mh .

(β) 1 22 1

10.001 0.999

n nn n

n

2max 633/ 2 1 0.999 1.5 4719nm 4.719 mh .

________________________________________________________________________________________________________________________

2.3.4 Φασική ταχύτητα, ενεργός δείκτης διάθλασης και ταχύτητα ομάδας Οι ήδη γνωστοί ορισμοί της φασικής ταχύτητας και της ταχύτητας ομάδας από την ανάλυση των μεταλλικών κυματοδηγών χρησιμοποιούνται ως έχουν και στην περίπτωση των οπτικών κυματοδηγών. Η φασική ταχύτητα (phase velocity) phv για τον οδηγούμενο ρυθμό ορίζεται ως ο λόγος της κυκλικής συχνότητας προς τη σταθερά διάδοσης του συγκεκριμένου ρυθμού.

ph,v

. (2.46)

Η φασική ταχύτητα της εξ. (2.46) δεν είναι σταθερή, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση ενός επίπεδου κύματος σε ένα άπειρο διηλεκτρικό μέσο, αλλά αποτελεί συνάρτηση της συχνότητας και της τάξης του ρυθμού. Αυτό σημαίνει ότι ο κυματοδηγός θα εισάγει διασπορά. Η ταχύτητα ομάδας (group velocity) groupv για το ρυθμό ορίζεται ως

group,d

vd

. (2.47)

Η ταχύτητα ομάδας είναι επίσης συνάρτηση της συχνότητας και της τάξης του ρυθμού. Ο ενεργός δείκτης διάθλασης (effective refractive index) effn ορίζεται ως ο λόγος της ταχύτητας διάδοσης του φωτός στον κενό χώρο προς τη φασική ταχύτητα του ρυθμού

eff,ph,

cn

v

. (2.48)

Συνδυάζοντας την εξ. (2.48) με την εξ. (2.46) προκύπτει η σχέση της σταθεράς διάδοσης και του ενεργού δείκτη διάθλασης για το συγκεκριμένο ρυθμό

Page 28: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.14 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

eff, eff, 0 eff,0

2n n k nc

. (2.49)

2.3.5 Κατηγοριοποίηση των ρυθμών Το προφίλ των ρυθμών προκύπτει από τη λύση των διαφορικών εξισώσεων της (2.23), οι οποίες μπορούν να γραφούν συνεπτυγμένα όπως παρακάτω

22 2 2 2 2

02( )

( ) 0, 1,2,3,ii i i i

d E xC E x i C n k

dx . (2.50)

Ο τύπος της λύσης, ημιτονοειδής ή εκθετική, ορίζεται από το πρόσημο της ποσότητας 2

iC . Θεωρώντας ότι 1 2 3n n n μπορούμε να διαχωρίσουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: (α) 0 1k n : Οι λύσεις έχουν εκθετική μορφή και στις τρεις περιοχές, οδηγώντας σε απειρισμό του πεδίου καθώς απομακρυνόμαστε από τον άξονα του κυματοδηγού. Αποτελεί μη ρεαλιστική περίπτωση και δεν θα μας απασχολήσει παραπάνω. (β) 0 2 0 1k n k n : Αντιστοιχεί στην περίπτωση των οδηγούμενων (guided) ή αλλιώς φραγμένων ρυθμών (bound modes) με τους οποίους ασχοληθήκαμε στις προηγούμενες παραγράφους. Το πεδίο μεταβάλλεται συνημιτονοειδώς στο στρώμα διάδοσης και αποσβένεται εκθετικά μακριά από αυτό. Οι ρυθμοί αυτοί είναι διακριτοί και συνιστούν ένα διακριτό φάσμα. (γ) 0 3 0 2k n k n : Εκθετική μεταβολή στην περιοχή 3 (υπέρστρωμα) και συνημιτονοειδής μεταβολή στο στρώμα οδήγησης και στο υπόστρωμα. Οι ρυθμοί αυτοί καλούνται ρυθμοί υποστρώματος (substrate modes), λόγω της πλήρους διείσδυσης τους σε αυτό. Το φάσμα των ρυθμών αυτών είναι συνεχές επιτρέπoντας οποιαδήποτε τιμή της σταθεράς διάδοσης. (δ) 0 3k n : Συνημιτονοειδής μεταβολή και στις τρεις περιοχές. Οι ρυθμοί αυτοί είναι γνωστοί ως ρυθμοί ακτινοβολίας (radiation modes) και επίσης έχουν συνεχές φάσμα. Οι παραπάνω τέσσερις περιπτώσεις συγκεντρώνονται εποπτικά στο σχήμα 2.10. Με βάση την κατηγοριοποίηση των ρυθμών μπορεί κανείς να συμπληρώσει το ενδεικτικό διάγραμμα διασποράς του σχήματος 2.9 έτσι ώστε να περιλάβει τους ρυθμούς ακτινοβολίας καθώς και την περίπτωση αρνητικών τιμών της σταθεράς διάδοσης , προκειμένου να περιγράψει κανείς την περίπτωση ρυθμών που διαδίδονται κατά τα αρνητικά z. Το συμπληρωμένο διάγραμμα διασποράς φαίνεται στο σχήμα 2.11. 2.3.6 TM ρυθμοί Ακολουθώντας μία αντίστοιχη ανάλυση μπορεί να διαμορφωθεί η χαρακτηριστική εξίσωση των ρυθμών TM, οι οποίοι έχουν μοναδική μη-μηδενική συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου την εγκάρσια συνιστώσα

yH και επίσης μη-μηδενικές είναι οι xE και zE . Μετά από τα ίδια βήματα καταλήγει κανείς στην

2 2 2 21 2 1 32

( )tan( ) / & /h n n n n

. (2.51)

Μία πρώτη εξέταση της παραπάνω εξίσωσης δείχνει ότι η ρυθμοί ΤΕ και ΤΜ έχουν σχεδόν ταυτόσημη συμπεριφορά στο όριο της ασθενούς κυματοδήγησης, όταν δηλαδή οι δείκτες διάθλασης είναι σχεδόν ίσοι μεταξύ τους ( 1 2 3n n n ).

Page 29: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.15

0 1k n

ΣτρώμαΟδήγησης

Υπόστρωμα

0 3k n

Επίστρωμα

0 2k n0

Οδηγούμενος

Ρυθμός

Ρυθμός

Ακτινοβολίας

Εκθετική

Μεταβολή

Ρυθμός

Υποστρώματος Σχήμα 2.10 Κατηγοριοποίηση ρυθμών με βάση τη σχέση σταθεράς διάδοσης και των δεικτών διάθλασης και ενδεικτικά προφίλ των ρυθμών.

1/c n

2/c n

0TE

1TE

2TE

Ρυθμοίακτινοβολίας

Ρυθμοίακτινοβολίας

0 2k n

0 2 0 1k n k n 0 2 0 1k n k n

0 2k n

0 1k n 0 1k n

Διάδοση κατά +zΔιάδοση κατά -z Σχήμα 2.11 Ολοκληρωμένο διάγραμμα διασποράς ενός συμμετρικού κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας. 2.4 Η κυκλική οπτική ίνα 2.4.1 Εξίσωση κύματος σε κυλινδρικές συντεταγμένες Η απλούστερη γεωμετρία οπτικής ίνας που μπορεί να εξετασθεί είναι αυτή της κυκλικής ίνας με βηματική μεταβολή του δείκτη διάθλασης (step index circular fibre) και άπειρο περίβλημα, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.12. Η προσέγγιση του άπειρου περιβλήματος είναι ικανοποιητική δεδομένων των τυπικών διαστάσεων του περιβλήματος (συνήθης διάμετρος 125 m ) και συνεπώς δεν εισάγει κάποιο σημαντικό περιορισμό ως προς την εφαρμοσιμότητα των αποτελεσμάτων. Όπως είναι φυσικό, για τη μαθηματική διαχείριση θα

Page 30: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.16 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές συντεταγμένες. Η ανάλυση θα στηριχθεί στις διαμήκεις (longitudinal) συνιστώσες του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου, που όπως αναμένεται θα πρέπει να ικανοποιούν την εξ. (2.20). Κατ’ αντιστοιχία με την εξ. (2.22), θα υποθέσουμε ότι οι δύο διαμήκεις (ή αξονικές) συνιστώσες γράφονται ως το γινόμενο κάποιας συνάρτησης των εγκαρσίων συντεταγμένων ( , ) και του γνωστού εκθετικού όρου της (προς το παρόν απροσδιόριστης) σταθεράς διάδοσης .

0

0

( , , ) ( , )exp

( , , ) ( , )

z z

z z

E z Ej z

H z H

(2.52)

xΠυρήνας

Περίβλημα

2n

y

1n

a

Σχήμα 2.12 Κυκλική οπτική ίνα βηματικού δείκτη με άπειρο περίβλημα. Αντικαθιστώντας την εξ. (2.52) στην εξ. (2.20) προκύπτει μία διαφορική εξίσωση της μορφής

2 2

2 2 2 002 2 2

1 10zn k F

. (2.53)

Στην εξ. (2.53) η συνάρτηση 0

zF αντιστοιχεί στις συναρτήσεις 0zE ή 0

zH και φυσικά θα πρέπει να ικανοποιείται τόσο στην περιοχή του πυρήνα ( 1n n ) όσο και στο περίβλημα ( 2n n ) της ίνας. Οι εγκάρσιες (transverse) συνιστώσες του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου επίσης περιγράφονται από σχέσεις ανάλογες της εξ. (2.52). Αντικαθιστώντας κανείς τις εκφράσεις αυτές στις εξισώσεις Maxwell (2.11) και (2.12) μπορεί να περιγράψει τις τέσσερις εγκάρσιες συνιστώσες ως συνάρτηση των δύο αξονικών, σύμφωνα με τις παρακάτω σχέσεις2:

0 00 0

2 20( )

z zj E HE

nk

, (2.54α)

0 00

02 20( )

z zj E HE

nk

, (2.54β)

0 2 00 0

2 20( )

z zj H n EH

nk

, (2.54γ)

2 Οι εξισώσεις (2.54) είναι γενικές και εφαρμόσιμες σε κάθε τύπο κυματοδηγού. Ο αναγνώστης τις έχει ήδη συναντήσει στο παρελθόν, για παράδειγμα στη μελέτη του κοίλου μεταλλικού κυματοδηγού.

Page 31: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.17

0 00 2

02 20( )

z zj H EH n

nk

. (2.54δ)

Μπορεί κανείς να διαπιστώσει με μία πρώτη ματιά από τις παραπάνω εξισώσεις ότι δεν θα υπάρχει προφανής διάκριση σε ΤΕ και TM ρυθμούς, όπως στην περίπτωση του κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας της ενότητας 2.3. Γενικά αναμένεται ότι και οι έξι συνιστώσες θα είναι μη-μηδενικές και οι ρυθμοί της κυκλικής ίνας θα χαρακτηρισθούν ως υβριδικοί 3. Όπως θα φανεί σε λίγο, η περίπτωση των ΤΕ και TM ρυθμών δεν αποκλείεται, αλλά θα εμφανισθεί ως ειδική περίπτωση. Η επίλυση της εξ. (2.53) θα γίνει με τη μέθοδο του χωρισμού των μεταβλητών, η οποία υποθέτει ότι η άγνωστη συνάρτηση γράφεται με τη μορφή του γινομένου 0( , ) ( ) ( )zF . Η προηγούμενη έκφραση για τη συνάρτηση 0

zF αντικαθίσταται στην εξ. (2.53) και αφού πολλαπλασιάσουμε με τον 2 / προκύπτει

2 2 2 20( ) 0nk

. (2.55)

Οι τρεις πρώτοι όροι στην εξ. (2.55) είναι συνάρτηση μόνο της ακτινικής απόστασης ενώ ο τέταρτος είναι συνάρτηση μόνο της αζιμουθιακής γωνίας . Είναι φανερό ότι για να ικανοποιηθεί η εξ. (2.55), ο τέταρτος όρος θα πρέπει να είναι ίσος με μία σταθερά και θα υποθέσουμε ότι αυτή είναι ίση με 2m . Άρα τελικά η εξ. (2.55) θα ισοδυναμεί με τις δύο παρακάτω συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

2 22 2

02 21

( ) ( ) 0m

nk

, (2.56)

2 0m . (2.57)

Η εξ. (2.57) έχει ως λύση μία τριγωνομετρική συνάρτηση (ημίτονο ή συνημίτονο), το οποίο προσφέρει την αναμενόμενη φυσική συμπεριφορά, δηλαδή περιοδικότητα 2 στη γωνία όταν το m λαμβάνει ακέραιες τιμές. Ας εξετάσουμε λίγο πιο προσεκτικά την εξ. (2.56), την οποία και ξαναγράφουμε

2 2

22 2

1( ) 0f x

x xx x

(2.58)

χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση 2 2 2

0( )nk και m . Η εξ. (2.58) αναγνωρίζεται ως η διαφορική εξίσωση Bessel και έχει λύσεις τις κυλινδρικές συναρτήσεις, στις οποίες θα κάνουμε μία μικρή αναδρομή. Αυτές είναι οι συναρτήσεις ( )J x και ( )Y x , οι οποίες καλούνται συναρτήσεις Bessel πρώτου και δευτέρου είδους, αντίστοιχα. Φυσικά και κάθε γραμμικός συνδυασμός των παραπάνω αποτελεί λύση της εξ. (2.58) και έτσι δύο άλλες κυλινδρικές συναρτήσεις είναι οι (1)( ) ( ) ( )H x J x jY x και

(2)( ) ( ) ( )H x J x jY x , οι οποίες ονομάζονται συναρτήσεις Hankel πρώτου και δευτέρου είδους, αντίστοιχα. Οι συναρτήσεις ( )J x έχουν πεπερασμένη τιμή στο όριο 0x , σε αντίθεση με τις συναρτήσεις ( )Y x που αποκλίνουν στο όταν 0x . Η μεταβολή των συναρτήσεων Bessel χαμηλότερης τάξης φαίνεται στο σχήμα 2.13. Καταλαβαίνει κανείς ότι οι συναρτήσεις πρώτου είδους είναι κατάλληλες για την περιγραφή του πεδίου κοντά στο κέντρο του συστήματος των συντεταγμένων ( 0 )

3 Υβριδικοί ρυθμοί εμφανίζονται σε κάθε διηλεκτρικό κυματοδηγό που περιορίζεται και στις δύο εγκάρσιες διευθύνσεις, όπως για παράδειγμα στους ολοκληρωμένους διηλεκτρικούς κυματοδηγούς ορθογωνικής διατομής γνωστούς και ως photonic wires.

Page 32: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.18 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

καθώς οι άλλες απειρίζονται όταν το όρισμα τείνει στο μηδέν. Ένα άλλο σύνολο κυλινδρικών συναρτήσεων αποτελούν οι τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel και Hankel που προκύπτουν από τις αρχικές σύμφωνα με τις σχέσεις ( )J j x , ( )Y j x , (1)( )H j x και (2)( )H j x . Οι τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel και Hankel είναι ιδιαίτερα σημαντικές λόγω της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς τους για μεγάλα ορίσματα, σύμφωνα με τη σχέση

(1)/(2) 2( ) exp( )H j x x

j x

. (2.59)

Η εξ. (2.59) υποδεικνύει ότι οι τροποποιημένες συναρτήσεις Hankel πρώτου είδους είναι κατάλληλες για να περιγράψουν πεδία που αποσβένονται εκθετικά καθώς αυξάνεται η ακτινική απόσταση.

Σχήμα 2.13 Συναρτήσεις Bessel πρώτου και δευτέρου είδους χαμηλότερης τάξης. Με βάση όλα τα παραπάνω, μπορούμε να καταλήξουμε στις εκφράσεις των αξονικών συνιστωσών για την περιοχή του πυρήνα και του περιβλήματος. Πυρήνας: 10 ,a n n

0 ( / )cos( )z mE AJ u a m (2.60α) 0 ( / )sin( )z mH BJ u a m (2.60β)

Περίβλημα: 2,a n n

0 (1)( / )cos( )z mE CH v a m (2.61α) 0 (1)( / )sin( )z mH DH v a m (2.61β)

Στις παραπάνω εξισώσεις για λόγους απλούστευσης υποθέσαμε ότι στο ηλεκτρικό πεδίο αντιστοιχεί η συνάρτηση cos( )m και στο μαγνητικό πεδίο το sin( )m , χωρίς να περιορίζεται η γενικότητα της

Page 33: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.19

ανάλυσης. Οι υπόλοιπες ποσότητες που εμφανίζονται στις εξ. (2.60) και (2.61) ορίζονται σύμφωνα με τις παρακάτω σχέσεις:

1/22 20 1( )u a k n , (2.62α)

1/2 1/22 2 2 20 2 0 2( ) ( )v a k n jw ja k n . (2.62β)

Κατά αναλογία με τον κυματοδηγό διηλεκτρικής πλάκας, οι οδηγούμενοι ρυθμοί θα έχουν φασικές σταθερές στο διάστημα 0 2 0 1k n k n . Η ποσότητα u είναι πραγματικός αριθμός και αποτελεί την εγκάρσια φασική σταθερά. Αντίθετα, η ποσότητα v είναι φανταστικός αριθμός και βάσει της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς της εξ. (2.59) σχετίζεται άμεσα με την απόσβεση του ρυθμού καθώς απομακρυνόμαστε από τον άξονα της ίνας. Για το λόγο αυτό η ποσότητα w είναι γνωστή ως εγκάρσια σταθερά απόσβεσης. Εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι

1/22 2 2 20 1 2u w ak n n V . (2.63)

Η εξ. (2.63) ορίζει τον αριθμό V ή παράμετρο της ίνας ή κανονικοποιημένη συχνότητα V, κατά πλήρη αναλογία με την εξ. (2.42) στην περίπτωση του κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας. Η μόνη διαφορά εντοπίζεται στην αντικατάσταση της ποσότητας /2h από την ακτίνα a της ίνας. Οι εξ. (2.60) και (2.61) εμπλέκουν τέσσερις σταθερές ολοκλήρωσης και η μεταξύ τους σχέση, όπως επίσης και η τιμή της σταθερά διάδοσης , θα προκύψει από την εφαρμογή των οριακών συνθηκών. Οι οριακές συνθήκες απαιτούν τη συνέχεια των εφαπτομενικών συνιστωσών του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου πάνω στην κυλινδρική επιφάνεια a που διαχωρίζει τον πυρήνα από το περίβλημα. Προέχει να γράψει κανείς τις εκφράσεις των εγκαρσίων συνιστωσών στον πυρήνα και στο περίβλημα αντικαθιστώντας τις εξ. (2.60) και (2.61) στις εξισώσεις (2.54). Πυρήνας: 10 ,a n n

2

002 ( / ) ( / ) cos( )m m

a u mE j A J u a B J u a m

au

, (2.64α)

20

02 ( / ) ( / ) sin( )m ma m u

E j A J u a B J u a mau

, (2.64β)

20 2

0 12 ( / ) ( / ) sin( )m ma m u

H j A n J u a B J u a mau

, (2.64γ)

2

0 20 12 ( / ) ( / ) cos( )m m

a u mH j A n J u a B J u a m

au

. (2.64δ)

Περίβλημα: 2,a n n

2

0 (1) (1)02 ( / ) ( / ) cos( )m m

a v mE j C H v a D H v a m

av

, (2.65α)

Page 34: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.20 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

20 (1) (1)

02 ( / ) ( / ) sin( )m ma m v

E j C H v a D H v a mav

, (2.65β)

20 2 (1) (1)

0 22 ( / ) ( / ) sin( )m ma m v

H j C n H v a D H v a mav

, (2.65γ)

2

0 2 (1) (1)0 22 ( / ) ( / ) cos( )m m

a v mH j C n H v a D H v a m

av

. (2.65δ)

Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις ο τόνος συμβολίζει παραγώγιση ως προς το όρισμα της συνάρτησης. 2.4.2 Χαρακτηριστική εξίσωση Η συνέχεια των εφαπτομενικών συνιστωσών ( ˆ ˆ, ) του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίο εφαρμόζεται στην επιφάνεια a και οδηγεί σε ένα ομογενές σύστημα τεσσάρων γραμμικών εξισώσεων για τις σταθερές

, , ,A B C D , με την παρακάτω μορφή:

(1)

(1)

(1) (1)0 02 2

2 2 (1) (1)0 1 0 22 2

( ) 0 ( ) 00

0 ( ) 0 ( )0

1 10( ) ( ) ( ) ( )

01 1( ) ( ) ( ) ( )

m m

m m

m m m m

m m m m

J u H vA

J u H vB

m mCJ u J u H v H v

u vu vDm m

n J u J u n H v H vu vu v

. (2.66)

Για να επιδέχεται το ομογενές γραμμικό σύστημα της εξ. (2.66) μη-μηδενική λύση θα πρέπει κατά τα γνωστά η ορίζουσα να είναι ίση με μηδέν. Θέτοντας την ορίζουσα ίση με το μηδέν διαμορφώνεται μία εξίσωση η οποία εμπλέκει τη φασική σταθερά μέσω των u και v . Η εξίσωση αυτή αποτελεί τη χαρακτηριστική εξίσωση της οπτικής ίνας και η αριθμητική της λύση θα δώσει τις σταθερές διάδοσης των ρυθμών. Αναπτύσσοντας την ορίζουσα του πίνακα της εξ. (2.66), η χαρακτηριστική εξίσωση γράφεται τελικά

2(1) (1) 22 2 21 2 2 2 2(1) (1)

0

( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

( ) ( )( ) ( )m m m m

m mm m

J u H v J u H vn n m

uJ u uJ u k u vvH v vH v

. (2.67)

Με την προϋπόθεση ότι ικανοποιείται η εξ. (2.67), το γραμμικό ομογενές σύστημα της εξ. (2.66) θα επιδέχεται μία απειρία λύσεων. Συνεπώς μπορεί να εκφράσει κανείς τις τρεις σταθερές (για παράδειγμα τις

, ,B C D ) σαν συνάρτηση της τέταρτης (A ). Η άγνωστη σταθερά A θα καθοριστεί από κάποια επιπρόσθετη συνθήκη που θα σχετίζεται με τη διέγερση της οπτικής ίνας από την πηγή ή τη συνολική οδηγούμενη ισχύς ή απλά από κάποια κατάλληλη συνθήκη κανονικοποίησης. Μετά από πράξεις καταλήγει κανείς στις σχέσεις ανάμεσα στις τέσσερις σταθερές

1(1)

2 2 (1)0

1 1 ( ) ( )

( ) ( )m m

m m

m J u H vB A

uJ uu v vH v

, (2.68α)

Page 35: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.21

(1)( )

( )m

m

J uC A

H v , (2.68β)

1(1)

2 2(1) (1)0

( ) 1 1 ( ) ( )

( )( ) ( )m m m

mm m

m J u J u H vD A

uJ uu vH v vH v

. (2.68γ)

Από τις εξ. (2.68) συνάγεται ότι γενικά και οι τέσσερις σταθερές , , ,A B C D προκύπτουν μη-μηδενικές, κάτι που σημαίνει ότι οι ρυθμοί είναι υβριδικοί, δηλαδή έχουν ταυτόχρονα μη-μηδενική αξονική συνιστώσα του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου. Υπάρχει όμως και η ειδική περίπτωση 0m που αντιστοιχεί σε ρυθμούς ΤΕ ή ΤΜ. 2.4.3 Ρυθμοί, ονοματολογία και αποκοπή Αντικαθιστώντας την τιμή 0m στις εξ. (2.60), (2.61), (2.64), (2.65) και(2.68) προκύπτουν οι ρυθμοί ΤΜ σύμφωνα με τις παρακάτω εκφράσεις. ΤΜ ρυθμοί - Πυρήνας: 10 , , 0a n n m

0

0( / )zE AJ u a (2.69α) 0

0( / )a

E jA J u au (2.69β)

0 20 1 0( / )

aH jA n J u a

u (2.69γ)

ΤΜ ρυθμοί - Περίβλημα: 2, , 0a n n m

(1)0 00(1)

0

( )( / )

( )z

J uE A H v a

H v (2.70α)

(1)0 00(1)

0

( )( / )

( )

a J uE jA H v a

v H v (2.70β)

(1)0 2 00 2 0(1)

0

( )( / )

( )

a J uH jA n H v a

v H v (2.70γ)

Παρατηρώντας τη χαρακτηριστική εξίσωση (2.67) διαπιστώνεται ότι το δεξί μέλος γίνεται ίσο με μηδέν όταν 0m . Αυτό σημαίνει ότι ο πρώτος ή ο δεύτερος όρος του αριστερού μέλους της εξ. (2.67) θα πρέπει να είναι μηδέν. Για την περίπτωση των ρυθμών ΤΜ από τη συνέχεια της εφαπτομενικής συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου (H ) στη διαχωριστική επιφάνεια a και κάνοντας χρήση των εξ. (2.69γ) και (2.70γ) προκύπτει ότι ο δεύτερος όρος (παρένθεση) θα πρέπει να είναι μηδέν. Συνεπώς η χαρακτηριστική εξίσωση των ρυθμών ΤΜ απλοποιείται στην

(1)2 20 01 2 (1)

0 0

( )( )

( ) ( )

H vJ un nuJ u vH v

. (2.71)

Page 36: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.22 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

Σε αναλογία, η χαρακτηριστική εξίσωση των ρυθμών ΤΕ αντιστοιχίζεται στο μηδενισμό του πρώτου όρου

(1)0 0

(1)0 0

( )( )

( ) ( )

H vJ u

uJ u vH v

. (2.72)

Η χαρακτηριστική εξίσωση (2.67) μπορεί να θεωρηθεί δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς τον όρο

( )/ ( )m mJ u uJ u και συνεπώς να λυθεί ως προς αυτόν. Αυτό θα δώσει δύο εξισώσεις και μπορεί να ερμηνευτεί ότι οι υβριδικοί ρυθμοί συνιστούν δύο σύνολα σε αντιστοιχία προς αυτές. Τα σύνολα αυτά ονομάζονται ρυθμοί HE και EH με το δεύτερο γράμμα να υποδηλώνει την αξονική συνιστώσα του πεδίου που θεωρείται κυρίαρχη. Σε ότι αφορά στην ονοματολογία των ρυθμών αυτή θα πρέπει να συμπληρωθεί από δύο δείκτες m, n σύμφωνα με το συμβολισμό ,HEm n και ,EHm n . Ο πρώτος δείκτης εκφράζει την αζιμουθιακή μεταβολή ενώ ο δεύτερος αντιστοιχεί στη ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης για τη δεδομένη τιμή του πρώτου δείκτη. Με βάση τη σημειολογία αυτή μπορούμε να αναγνωρίσουμε τους ρυθμούς 0,HE n και 0,EH n ως τους ρυθμούς 0,TM n και 0,TE n (ή απλά TMn και TEn ), αντίστοιχα. Για τη διερεύνηση των συχνοτήτων αποκοπής ιδιαίτερη σημασία έχει η ασυμπτωτική συμπεριφορά της χαρακτηριστικής εξίσωσης κοντά στην αποκοπή ( 0 2k n ή ισοδύναμα 0w ), όπως και στην περίπτωση της ανάλυσης του κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας. Στο όριο αυτό η χαρακτηριστική εξίσωση απλοποιείται σημαντικά και παίρνει τη μορφή των παρακάτω εξισώσεων: ΤΕ & ΤΜ ( 0)m 0( ) 0J u (2.73α)ΗΕ ( 1)m 1( ) 0J u (2.73β)

ΗΕ ( 2)m 2 2

2 2 12 2

1 2 1

( )

( )m

m

J u n n

J u n n

(2.73γ)

ΕΗ ( )m ( ) 0mJ u (όταν m=1 τότε θα πρέπει 0u ) (2.73δ) Καθώς στην αποκοπή 0 2k n , σύμφωνα με την εξ. (2.62α) θα ισχύει

2 2cut-off 0 1 2u ak n n V . (2.74)

Η εξ. (2.74) μπορεί να λυθεί ως προς τη συχνότητα (ή το μήκος κύματος) και άρα να εκφράσει τη συχνότητα (ή το μήκος κύματος) αποκοπής ως συνάρτηση της εγκάρσιας φασικής σταθεράς στην αποκοπή

cut-offu . Η προσεκτική παρατήρηση των εξ. (2.73) οδηγεί σε πολύ χρήσιμα συμπεράσματα. Παρατηρεί κανένας ότι η εξ. (2.73β) ικανοποιείται όταν 0u (πρώτη ρίζα της συνάρτησης 1J ) και κατά συνέπεια η συχνότητα αποκοπής του αντίστοιχου ρυθμού ( 1,1HE ) είναι μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι ο ρυθμός 1,1HE είναι ο βασικός και υφίσταται για οποιαδήποτε συχνότητα λειτουργίας. Αυτό βρίσκεται σε συμφωνία με τα ευρήματα της παραγράφου 2.3.3. Ανατρέχοντας στο σχήμα 2.13 που συγκεντρώνει τη μεταβολή των συναρτήσεων Bessel χαμηλότερης τάξης, διαπιστώνεται ότι ο πρώτος μηδενισμό της συνάρτησης 0J συμβαίνει για 2.4u . Σύμφωνα με την εξ. (2.73α) στο σημείο αυτό αναμένεται η εμφάνιση των ρυθμών

01TM και 01TE . Αυτό διαμορφώνει τη συνθήκη μονόρρυθμης λειτουργίας της οπτικής ίνας που συμπυκνώνεται στη σχέση

cut-off 2.405u . (2.75)

Page 37: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.23

Κάνοντας χρήση της εξ. (2.74) στη συνθήκη της εξ. (2.75) μπορεί να προσδιορισθεί το άνω φράγμα της ακτίνας που επιτρέπει μονόρρυθμη λειτουργία της οπτικής ίνας

02 21 2

2.405

2a

n n

. (2.76)

Η εξ. (2.76) δίνει τη μέγιστη ακτίνα για μονόρρυθμη λειτουργία μίας κυκλικής ίνας βηματικού δείκτη, κατά πλήρη αναλογία με την εξ. (2.45) που δίνει το μέγιστο πάχος του στρώματος οδήγησης για μονόρρυθμη λειτουργία ενός κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας. Είναι σημαντικό να παρατηρήσει κανείς ότι για λειτουργία στα συνήθη μήκη κύματος των οπτικών επικοινωνιών, η ακτίνα a μπορεί να πάρει τιμές που να οδηγήσουν σε πρακτικές ίνες (δηλαδή το a να είναι στην περιοχή των μερικών μικρομέτρων) αρκεί η διαφορά των δεικτών διάθλασης πυρήνα και περιβλήματος να είναι ικανοποιητικά μικρή. Σε όλη την ανάλυση μέχρι το σημείο αυτό δεν έγινε κάποια ιδιαίτερη υπόθεση για τη σχέση των δεικτών διάθλασης πυρήνα και περιβλήματος, εκτός φυσικά από το προφανές 1 2n n . Μένει να εξετάσει κανείς την περίπτωση της ασθενούς κυματοδήγησης, η οποία και χαρακτηρίζει το σύνολο σχεδόν των πρακτικών εφαρμογών,

1 2

11

n n

n

. (2.77)

Από τις εξ. (2.71) και (2.72) σε συνδυασμό με την εξ. (2.77), η οποία και υπονοεί ότι 1 2n n , διαπιστώνεται ότι η χαρακτηριστική εξίσωση των ρυθμών ΤΕ και ΤΜ συμπίπτει στο όριο της ασθενούς κυματοδήγησης. Αυτό σημαίνει ότι οι ρυθμοί TEn και TMn έχουν κοινή σταθερά διάδοσης και για το λόγο αυτό χαρακτηρίζονται ως εκφυλισμένοι (degenerate). Μία αντίστοιχη συνθήκη μπορεί να αποδειχθεί ότι ισχύει και για τους υβριδικούς ρυθμούς. Στην περίπτωση τους η χαρακτηριστική εξίσωση των ρυθμών ,EHm n και 2,HEm n συμπίπτει και άρα οι παραπάνω ρυθμοί είναι επίσης εκφυλισμένοι. Η κοινή σταθερά διάδοσης επιτρέπει την άμεση υπέρθεση δύο εκφυλισμένων ρυθμών με το τελικό αποτέλεσμα να εκφράζει επίσης ένα ρυθμό. Υπερθέτοντας τους ρυθμούς 1,EHq r και 1,HEq r με ίσο πλάτος αλλά αντίθετη φάση καταλήγει στις ακόλουθες εκφράσεις ρυθμών σε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων. Πυρήνας: 10 ,a n n

0 2 ( / )cos( )x q

aE jA J u a q

u (2.78α)

0 0yE (2.78β) 0 0z xE E (2.78γ) 0 0xH (2.78δ)

0

12 ( / )cos( )y qA a

H j J u a qZ u

(2.78ε)

0 0z xH H (2.78στ)

Περίβλημα: 2,a n n

Page 38: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.24 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

10 (1)(1)

1

( )2 ( / )cos( )

( )

qx q

q

J uaE jA H v a q

v H v

(2.79α)

0 0yE (2.79β) 0 0z xE E (2.79γ) 0 0xH (2.79δ)

10 (1)(1)

2 1

( )2 ( / )cos( )

( )

qy q

q

J uA aH j H v a q

Z v H v

(2.79ε)

0 0z xH H (2.79στ)

Στις παραπάνω εξισώσεις 1 2,Z Z είναι οι χαρακτηριστικές αντιστάσεις του πυρήνα και περιβλήματος, αντίστοιχα, και δίνονται από τις σχέσεις 1,2 0 1,2/Z Z n όπου 0 120 ( )Z η εσωτερική αντίσταση του κενού. Είναι φανερό ότι οι παραπάνω εκφράσεις περιγράφουν «σχεδόν επίπεδα» κύματα με γραμμική πόλωση, τα οποία διαδίδονται σε κάθε μία από τις δύο περιοχές (πυρήνας ή περίβλημα) σαν να απουσιάζει η άλλη. Όπως αναμένεται για ένα επίπεδο κύμα, ο λόγος του εγκάρσιου ηλεκτρικού προς το εγκάρσιο μαγνητικό πεδίο είναι σταθερός και ίσος με τη χαρακτηριστική αντίσταση του μέσου. Ακριβώς επειδή οι εκφράσεις των εξ. (2.78) και (2.79) θυμίζουν επίπεδα κύματα, οι ρυθμοί που περιγράφουν (και αποτελούν υπέρθεση των ρυθμών 1,EHq r και 1,HEq r σύμφωνα την ονοματολογία που εισάγαμε παραπάνω) είναι γνωστοί ως γραμμικά πολωμένοι ρυθμοί (Linearly Polarised modes) και συμβολίζονται με το ακρωνύμιο

,LPq r . Αυτό συνιστά έναν εναλλακτικό τρόπο ονοματολογίας/χαρακτηρισμού των ρυθμών της κυκλικής ίνας. Οι LP ρυθμοί είναι πολύ χρήσιμοι στην περιγραφή της αρχικής διέγερσης μίας ίνας από κάποια πηγή φωτός, όπως ένα laser με γραμμική πόλωση. Το σχήμα 2.14 δίνει τη σειρά εμφάνισης των ρυθμών με βάση τις δύο ονοματολογίες που έχουμε εισάγει και σύμφωνα πάντα με τη μορφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης στο όριο της αποκοπής, όπως συγκεντρώνονται στις εξ. (2.73). Το σχήμα 2.15 εξηγεί γραφικά πως η υπέρθεση των ρυθμών 1 0,1TE (EH ) και 2,1HE , όπως επίσης και η υπέρθεση των ρυθμών 1TM και

2,1HE , έχει ως αποτέλεσμα τον γραμμικά πολωμένο κατά τη διεύθυνση x ρυθμό 1,1LP . Τέλος, στο σχήμα 2.16 δίνεται σχηματικά η διανομή του ηλεκτρικού πεδίου στην εγκάρσια διατομή της ίνας (στήλη γ) για τους ρυθμούς HE/EH (στήλη β) καθώς και η αντιστοιχία με την ονοματολογία LP (στήλη α). Η στήλη δ δίνει την διανομή της έντασης για τη συνιστώσα xE των ρυθμών HE/EH , η οποία και είναι ενδεικτική της διανομής της έντασης για τον αντίστοιχο LP ρυθμό.

Σχήμα 2.14 Σειρά εμφάνισης ρυθμών και σχέση τους με τις ρίζες των συναρτήσεων Bessel.

Page 39: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.25

Σχήμα 2.15 Γραφική αναπαράσταση της σύνθεσης του γραμμικά πολωμένου ρυθμού 1,1LP .

(α) (β) (γ) (δ)

Σχήμα 2.16 Διανομή του ηλεκτρικού πεδίου στην εγκάρσια διατομή της ίνας (στήλη γ) και της έντασης της συνιστώσας x (στήλη δ), η οποία και είναι ενδεικτική της διανομής της έντασης του αντίστοιχου γραμμικά πολωμένου ρυθμού.

Σε έναν οπτικό κυματοδηγό ορίζεται την κανονικοποιημένη σταθερά διάδοσης b σύμφωνα με τη σχέση

2 2 2 20 2 eff 2

2 2 2 21 2 1 2

( / )k n n nb

n n n n

. (2.80)

Είναι φανερό ότι στην περίπτωση των οδηγούμενων ρυθμών η κανονικοποιημένη σταθερά διάδοσης λαμβάνει τιμές στο διάστημα 0 μέχρι 1. Η εξ. (2.80) δίνει επίσης τη σχέση ανάμεσα στο b και στον ενεργό δείκτη διάθλασης effn που ορίσθηκε στην εξ. (2.49). Η μεταβολή της κανονικοποιημένης σταθεράς

Page 40: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.26 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

διάδοσης της εξ. (2.80) σαν συνάρτηση της κανονικοποιημένης συχνότητας ή παραμέτρου της ίνας V δίνεται στο σχήμα 2.17 για ένα πλήθος ρυθμών. Το ιδιαίτερα σημαντικό αυτό διάγραμμα έχει προκύψει από την επίπονη αριθμητική λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης και για κάθε συνδυασμό ακτίνας, μήκους κύματος και δεικτών διάθλασης (όπως συμπυκνώνονται στην παράμετρο V ) δίνει τον αριθμό των οδηγούμενων ρυθμών που υποστηρίζονται καθώς και την κανονικοποιημένη σταθερά διάδοσης τους. Είναι φανερό ότι το σχήμα 2.17 αποτελεί μία κανονικοποιημένη μορφή του διαγράμματος διασποράς που εισάγαμε στο σχήμα 2.9.

Σχήμα 2.17 Μεταβολή της κανονικοποιημένης σταθεράς διάδοσης ως προς την κανονικοποιημένη συχνότητα ή αριθμό V μίας κυκλικής οπτικής ίνας βηματικού δείκτη.

Σχήμα 2.18 (α) Πολύρρυθμη ίνα, (β) Μονόρρυθμη ίνα.

Για να συνδέσουμε ποιοτικά την ηλεκτρομαγνητική θεωρία με την ακτινική είναι χρήσιμο να αναφέρουμε ότι οι εγκάρσιοι ηλεκτρικοί ή μαγνητικοί ρυθμοί (ΤΕ/ΤΜ) αντιστοιχίζονται προς τις μεσημβρινές ακτίνες

Page 41: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.27

ενώ οι υβριδικοί ρυθμοί (ΗΕ/ΕΗ) προς τις πλάγιες. Στο σχήμα 2.18(α) φαίνεται μία πολύρρυθμη ίνα και η παρουσία των πολλαπλών ρυθμών μπορεί να ερμηνευθεί ως η δυνατότητα οδήγησης με πολλές διαφορετικές διαδρομές ακτινών. Αντίθετα, η μονόρρυθμη ίνα του σχήματος 2.18 (β) επιτρέπει τη διάδοση ενός και μόνο ρυθμού που αντιστοιχίζεται στην αξονική ακτίνα. 2.5 Σύζευξη ρυθμών Μέχρι το σημείο αυτό συγκεντρώσαμε την προσοχή μας σε τέλειους οπτικούς κυματοδηγούς, δηλαδή χωρίς κάποια ατέλεια ή μεταβολή των χαρακτηριστικών τους κατά μήκος του άξονα της διάδοσης. Στην πραγματικότητα όμως, ακόμα και στην περίπτωση κυματοδηγών εξαιρετικής ποιότητας, είναι δυνατόν να εμφανισθούν μικρές μεταβολές (perturbations) των χαρακτηριστικών τους, όπως για παράδειγμα της ακτίνας, ατέλειες στην διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα/περιβλήματος, καθώς βέβαια και αποκλίσεις λόγω κάμψεων, κλπ. Το αποτέλεσμα αυτών των μεταβολών, ακόμα και μικρών, είναι η σύζευξη οπτικής ισχύος από ένα ρυθμό σε κάποιον άλλο. Θα εξηγήσουμε το φαινόμενο αυτό πολύ απλά με τη βοήθεια της ακτινικής θεωρίας. Στα πλαίσια της ακτινικής θεωρίας διαφορετικοί ρυθμοί αντιστοιχούν σε διαφορετικές διαδρομές ακτινών. Με αναφορά στο σχήμα 2.19(α) μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι εάν μία ακτίνα προσπέσει στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα/περιβλήματος και στο σημείο αυτό υπάρχει κάποια ατέλεια ή ανωμαλία, τότε είναι πολύ πιθανό να υποστεί ολική ανάκλαση κατά τη γωνία 2 και όχι κατά τη γωνία πρόσπτωσης 1 . Αυτό ισοδυναμεί με τη μεταφορά οπτικής ισχύος από ένα ρυθμό σε κάποιον άλλο. Ένα αντίστοιχο φαινόμενο συμβαίνει και στην περίπτωση ίνας που έχει υποστεί κάμψη, σύμφωνα με το σχήμα 2.19(β). Με βάση τα παραπάνω αντιλαμβάνεται κανείς ότι κατά τη διάδοσης σε μία ίνα το φαινόμενο της μεταφοράς ισχύος από ρυθμό σε ρυθμό είναι σύνηθες και χαρακτηρίζεται ως σύζευξη ρυθμών (mode coupling) ή μετατροπή ρυθμών (mode conversion). Μία ακριβής περιγραφή του φαινομένου μπορεί να γίνει μόνο στα πλαίσια της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας αλλά κάτι τέτοιο είναι εκτός του περιεχομένου ενός εισαγωγικού μαθήματος.

Σχήμα 2.19 Δύο τυπικές περιπτώσεις σύζευξης ρυθμών: (α) ατέλεια στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα/περιβλήματος, (β) ίνα σε κάμψη.

Page 42: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.28 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

2.6 Ίνες βαθμιδωτού δείκτη διάθλασης Στις προηγούμενες παραγράφους μελετήσαμε ίνες με βηματική μεταβολή του δείκτη διάθλασης. Εκτός από τον τύπο αυτό ιδιαίτερα διαδεδομένες είναι ίνες με συνεχή ή πιο σωστά βαθμιδωτή μεταβολή του δείκτη διάθλασης (graded index fibres). Η μεταβολή του δείκτη διάθλασης στις ίνες αυτές περιγράφεται από τη γενική σχέση:

1/21

1/21

1 2 ( / )( )

1 2

n r a r an r

n r a

. (2.81)

Η εξ. (2.81) περιγράφει τις βηματικές ίνες όταν η παράμετρος , η περίπτωση 1 αντιστοιχεί σε ένα τριγωνικό προφίλ και η περίπτωση 2 σε ένα παραβολικό. Ο τελευταίος τύπος είναι αυτός που απαντάται συνηθέστερα και τελικά ο όρος «ίνα βαθμιδωτού δείκτη» είναι πια συνώνυμος της περίπτωσης

2 . Οι ίνες αυτές κατά κανόνα είναι πολύρρυθμες. Για μία ακόμα φορά θα χρησιμοποιήσουμε την απλότητα της ακτινικής θεωρίας για να εξηγήσουμε τη διάδοση σε μία τέτοια ίνα. Στο σχήμα 2.20 φαίνεται η διάδοση μεσημβρινών ακτινών σε μία ίνα με παραβολικό προφίλ και διαπιστώνεται ότι οι ακτίνες ακολουθούν καμπύλες τροχιές στην περιοχή του πυρήνα. Η εξήγηση του φαινομένου αυτού είναι αρκετά απλή και φαίνεται στο σχήμα 2.21, το οποίο και προσφέρει μία μεγεθυμένη εικόνα μίας ακτίνας που ταξιδεύει προς τη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα/περιβλήματος. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το συνεχές παραβολικό προφίλ προσεγγίζεται από ένα αριθμό λεπτών στρωμάτων με διαρκώς ελλατούμενο δείκτη διάθλασης. Η ακτίνα διαθλάται διαδοχικά κατά τη διέλευση της μέσα από τα στρώματα αυτά και καθώς ο δείκτης διάθλασης διαρκώς μειώνεται θα απομακρύνεται όλο και περισσότερο από την κάθετο στην διαχωριστική επιφάνεια (ή ισοδύναμα θα μειώνεται η γωνία με τον άξονα της ίνας). Κάποια στιγμή οι συνθήκες για ολική ανάκλαση θα ικανοποιηθούν και τότε η ακτίνα θα αρχίσει να ταξιδεύει και πάλι προς τον άξονα της ίνας. Από το διακριτό αυτό μοντέλο αντιλαμβανόμαστε ότι στο όριο της συνεχούς μεταβολής η τροχιά της ακτίνας θα γίνει μία καμπύλη, όπως αυτές του σχήματος 2.20.

Σχήμα 2.20 Μεσημβρινές ακτίνες σε μία ίνα με παραβολικό προφίλ του δείκτη διάθλασης. Οι πολύρρυθμες ίνες βαθμιδωτού δείκτη διάθλασης παρουσιάζουν πολύ χαμηλότερη διασπορά σε σχέση με τις πολύρρυθμες ίνες βηματικού δείκτη. Θα αναφερθούμε εκτενέστατα στη διασπορά στο επόμενο κεφάλαιο και στο σημείο αυτό θα κάνουμε μόνο μία μικρή αναφορά. Σε μία πολύρρυθμη ίνα υφίστανται ταυτόχρονα αρκετοί διαφορετικοί ρυθμοί, οι οποίοι έχουν διαφορετικές ταχύτητες ομάδας. Αυτό έχει ως

Page 43: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.29

αποτέλεσμα ένας παλμός φωτός κατά τη διάδοση του να διευρύνεται. Σε μία ίνα βαθμιδωτού δείκτη αναμένεται ότι το παραπάνω φαινόμενο θα περιορισθεί σημαντικά από την ίδια τη μεταβολή του δείκτη διάθλασης. Αυτό συμβαίνει δεδομένου ότι οι ακτίνες που είναι πλησιέστερα προς τον άξονα της ίνας ταξιδεύουν μικρότερες αποστάσεις αλλά με χαμηλότερη ταχύτητα (λόγω του υψηλότερου δείκτη διάθλασης), σε αντίθεση με τις απομεμακρυσμένες από τον άξονα της ίνας ακτίνες που ταξιδεύουν μεγαλύτερες αποστάσεις αλλά με υψηλότερη ταχύτητα (λόγω του ελάττωσης του δείκτη διάθλασης στην περιοχή αυτή). Ο μηχανισμός αυτός αποζημιώνει τις ακτίνες που ταξιδεύουν μεγαλύτερες αποστάσεις και τελικά ελαττώνει τη διασπορά. Για το λόγο αυτό, μία ίνα βαθμιδωτού δείκτη διάθλασης προσφέρει πολύ μεγαλύτερο εύρος ζώνης (τάξεις μεγέθους) σε σχέση με μία βηματικού δείκτη. Ενώ βέβαια το εύρος ζώνης δεν προσεγγίζει ποτέ αυτό των μονόρρυθμων ινών, διατηρούν το πλεονέκτημα της αρκετά μεγαλύτερης διαμέτρου πυρήνα σε σχέση τις μονόρρυθμες ίνες. Η αυξημένη διάμετρος χαλαρώνει αρκετά τις απαιτήσεις για πολύ ακριβή ευθυγράμμιση κατά τη συγκόλληση δύο ινών, όπως και την ποιότητα και μηχανική ακρίβεια διαφόρων εξαρτημάτων όπως συνδετήρες, κλπ.

Σχήμα 2.21 Μεγεθυμένη αναπαράσταση της τροχιάς ακτίνας σε μία ίνα με βαθμιδωτό δείκτη διάθλασης.

Ίνες βαθμιδωτού δείκτη διάθλασης μπορούν να σχεδιασθούν για μονόρυθμη λειτουργία. Έχει αποδειχθεί ότι η συνθήκη για μονόρυθμη λειτουργία -αντίστοιχη της εξ. (2.75)- δίνεται από τη σχέση

cut-off 2.405 1 2/u . (2.82) Είναι φανερό από την εξ. (2.82) ότι για μονόρρυθμη λειτουργία μία ίνα με παραβολικό προφίλ μπορεί να έχει διάμετρο 2 φορές μεγαλύτερη από αυτήν μίας ίνας βηματικού δείκτη. 2.7 Μονόρρυθμες ίνες 2.7.1 Τυπικά χαρακτηριστικά και παράμετροι Στο σημείο αυτό θα συνοψίσουμε τα πιο σημαντικά χαρακτηριστικά των μονόρρυθμων ινών που αποτελούν και τον κυρίαρχο τύπο οπτικού κυματοδηγού για επικοινωνίες μακρινών αποστάσεων.

Προσφέρουν το μεγαλύτερο εύρος ζώνης και τις χαμηλότερες απώλειες από όλους τους τύπους ινών.

Αποτελούν το μέσο με την υψηλότερη ποιότητα μετάδοσης, λόγω της απουσίας άλλων ρυθμών. Το εύρος ζώνης είναι τεράστιο και δεν το εκμεταλλευόμαστε πλήρως με τη χρήση ενός και μόνο

οπτικού καναλιού. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τεράστια περιθώρια επέκτασης/αναβάθμισης της χωρητικότητας των οπτικών δικτύων καθώς υψηλότεροι ρυθμοί μετάδοσης γίνονται διαθέσιμοι ή

Page 44: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.30 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

άλλες τεχνικές αύξησης του συνολικού ρυθμού μετάδοσης (όπως η πολυπλεξία στο μήκος κύματος WDM) γίνονται ευρύτατα διαδεδομένες.

Είναι συμβατές με τις ολοκληρωμένες οπτικές/φωτονικές διατάξεις που γνωρίζουν μία τεράστια εξέλιξη & επιτυχία.

Σύμφωνα με τα παραπάνω προβλέπεται να έχουν ικανοποιητική απόδοση για ένα χρονικό ορίζοντα της τάξης των 20 περίπου ετών, προτού απαιτηθεί η αντικατάσταση τους.

Θα επανέλθουμε στα παραπάνω σε επόμενα κεφάλαια και θα συζητήσουμε διεξοδικότερα διάφορα σχετικά θέματα. Σε ότι αφορά τα τυπικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά τους, αυτά φαίνονται στο σχήμα 2.22 που συγκεντρώνονται και τα αντίστοιχα χαρακτηριστικά πολύρρυθμων ινών, βηματικού και βαθμιδωτού δείκτη διάθλασης. Οι τυπικές τιμές της σχετικής διαφοράς στο δείκτη διάθλασης είναι στην περιοχή του 0.3%.

Σχήμα 2.22 Τυπικές διαστάσεις και προφίλ του δείκτη διάθλασης οπτικών ινών. 2.7.2 Διάμετρος πεδίου ρυθμού Στην περίπτωση των μονόρρυθμων ινών η εγκάρσια έκταση ενός ρυθμού αποτελεί ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό του ρυθμού. Η έκταση αυτή δεν συμπίπτει αναγκαστικά με τη γεωμετρική διάμετρο της ίνας, δεδομένου ότι ένα μέρος της οπτικής ισχύος οδηγείται μέσα από περίβλημα, ιδίως για χαμηλές τιμές της παραμέτρου V . Μπορεί να ορισθεί μία βασική παράμετρο της μονόρρυθμης ίνας η οποία καλείται διάμετρος πεδίου ρυθμού (mode field diameter, MFD) και χαρακτηρίζει την εγκάρσια έκταση του βασικού ρυθμού 1,1 0,1HE (LP ) . Η μεταβολή του πλάτους του πεδίου στην εγκάρσια διατομή μπορεί να προσεγγιστεί από μία κατάλληλη συνάρτηση με απλή μορφή και η παράμετρος MFD να ορισθεί στην

Page 45: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ 2.31

περίπτωση αυτή. Η συνάρτηση που χρησιμοποιείται ευρύτατα για το σκοπό αυτό είναι η Γκαουσιανή (Gaussian), σχήμα 2.23, που δίνεται από τη παρακάτω σχέση

2 20 0( ) exp( / )E r E r w . (2.83)

Η παράμετρος MFD ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ των σημείων που το πλάτος του πεδίου έχει μειωθεί κατά τον παράγοντα 1/e (και ισοδύναμα η οπτική ισχύς κατά 21/e ). Με βάση τον παραπάνω ορισμό και την εξ. (2.83) προκύπτει ότι

0MFD 2w . (2.84)

Η παράμετρος 0w είναι γνωστή ως μέγεθος σημείου (spot size). Μένει βέβαια να ορίσει κανείς τη σχέση με βάση την οποία προσδιορίζεται το μέγεθος σημείου από την ακριβή διανομή του βασικού ρυθμού

1,1 0,1HE (LP ) , η οποία σε κάθε περίπτωση εμπλέκει τις κυλινδρικές συναρτήσεις (Bessel & Hankel). Υπάρχουν αρκετοί ορισμοί και ένας από τους πιο συνήθεις είναι ο ακόλουθος

1/23 2exact0

0 2exact0

2 ( )2 2

( )

r E r drw

rE r dr

. (2.85)

Στην εξ. (2.85) exact( )E r είναι η ακριβής έκφραση του ρυθμού 0,1LP , όπως δόθηκε στις εξ. (2.78) και (2.79).

Σχήμα 2.23 Γκαουσιανή προσέγγιση, μέγεθος σημείου και παράμετρος MFD.

Ένα άλλο κριτήριο που μπορεί να ακολουθηθεί στην επιλογή του 0w είναι αυτό της μεγιστοποίησης της διέγερσης του βασικού ρυθμού 1,1 0,1HE (LP ) από ένα προσπίπτον κύμα Γκαουσιανής μορφής, μέσω της μεγιστοποίησης του ολοκληρώματος επικάλυψης

2 20

2 20

/exact0

1/2 1/22 / 2

exact0 0

( )

( )

r w

r w

e E r rdr

e rdr E r rdr

. (2.86)

Page 46: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 2.32 ΡΥΘΜΟΙ ΟΠΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΩΝ

Το ολοκλήρωμα της εξ. (2.86) αποτελεί ένα μέτρο της προβολής του προσπίπτοντος Γκαουσιανού κύματος πάνω στον ακριβή ρυθμό της ίνας. Έχει αποδειχθεί ότι μία εμπειρική έκφραση που προσφέρει ακρίβεια καλύτερη του 1% στον υπολογισμό της παραμέτρου MFD (ως προς την τιμή που προσδιορίζεται από τη μεγιστοποίηση του ) εμπλέκει μόνο την κανονικοποιημένη συχνότητα V και είναι η

3/2 60 0.65 1.619 2.879w a V V . (2.87)

Σε μία πολύρρυθμη ίνα μπορεί να θεωρηθεί με ασφάλεια ότι η παράμετρος MFD συμπίπτει με τη διάμετρο του πυρήνα. Τέλος, ένα πολύ χρήσιμο μέγεθος για την εκτίμηση της εγκάρσια έκτασης ενός ρυθμού είναι η ενεργή επιφάνεια ρυθμού (effective mode area) του ρυθμού, η οποία ορίζεται ως

22

eff4

| ( , ) |

| ( , ) |

E x y dxdy

AE x y dxdy

. (2.88)

Η χρήση της εξ. (2.88) δεν περιορίζεται σε κυκλικές μόνο ίνες και σε ρυθμούς που χαρακτηρίζονται από αζιμουθιακή συμμετρία, αλλά μπορεί να εφαρμοσθεί σε κάθε τύπο οπτικού κυματοδηγού, συμπεριλαμβάνοντας και τους ολοκληρωμένους οπτικούς κυματοδηγούς με ορθογωνική διατομή. Μία τυπική μονόρρυθμη ίνα έχει ενεργή επιφάνεια 2~ 80 100 m όταν το μήκος κύματος είναι στην περιοχή των 1550 nm ενώ ειδικοί τύποι ινών ή ολοκληρωμένοι οπτικοί κυματοδηγοί μπορούν να έχουν

2eff ~ 1 mA ή και μικρότερο.

________________________________________________________________________________ Παράδειγμα 2.3 Μία οπτική ίνα έχει πυρήνα με διάμετρο 9 m και δείκτη διαθλάσεως 1.46. Η σχετική διαφορά των δεικτών πυρήνα-περιβλήματος είναι 0.3% και πρόκειται να χρησιμοποιηθεί στο μήκος κύματος των 1550nm . Εκτιμείστε τη διάμετρο πεδίου ρυθμού (MFD). Χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (2.9) και (2.63) προκύπτει

12 9 2

2 1.46 2 0.003 2.062 1.55

V a n

.

Άρα πράγματι η ίνα είναι μονόρρυθμη. Αντικαθιστώντας την παραπάνω τιμή στην εξ. (2.87) προκύπτει

0 1.235 5.55 mw a .

Συνεπώς η παράμετρος MFD θα είναι 02 11.11 mw , δηλαδή λίγο μεγαλύτερη από τη διάμετρο του πυρήνα. ________________________________________________________________________________________________________________________

Page 47: Οπτικές Επικοινωνίες

3

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ Στο προηγούμενο κεφάλαιο μελετήθηκαν οι ρυθμοί που μπορεί να υποστηρίξει ένας επίπεδος κυματοδηγός πλάκας ή μία οπτική ίνα. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τα χαρακτηριστικά μετάδοσης των οπτικών ινών, τα οποία είναι ουσιαστικής σημασίας για τις οπτικές επικοινωνίες. Η έμφαση θα δοθεί στην απόσβεση (απώλειες) και στη διασπορά (εύρος ζώνης). Ιστορικά το πρόβλημα της απόσβεσης αντιμετωπίσθηκε πρώτο με την ανάπτυξη γυαλιού υψηλής ποιότητας και άρα χαμηλών απωλειών. Αυτό είχε ως συνέπεια τη μείωση της απόσβεσης στις μονόρρυθμες οπτικές ίνες από 1000 dB/km στα τέλη της δεκαετίας του 1960 σε 0.2 dB/km. Η τελευταία τιμή είναι πολύ κοντά στο θεωρητικά χαμηλότερο όριο που αναμένεται για το γυαλί τηγμένου 2SiO στην περιοχή των 1500 nm. Το πρόβλημα του εύρους ζώνης, και κατ’ επέκταση του μέγιστου ρυθμού με τον οποίο δεδομένα μπορούν να μεταδοθούν σε μία ίνα, αντιμετωπίσθηκε αργότερα. Η πρόοδος ήταν ιδιαίτερα σημαντική με αποτέλεσμα σήμερα να έχουμε ίνες που μπορούν να υποστηρίζουν εύρος πολλών δεκάδων GHz και για αποστάσεις πολλών χιλιομέτρων. 3.1 Απόσβεση στις οπτικές ίνες Οι απώλειες στις οπτικές ίνες περιγράφονται γενικά από έναν όρο εκθετικής απόσβεσης στο πλάτος του κύματος και κατά συνέπεια στην οδηγούμενη οπτική ισχύ. Με βάση την παραπάνω παρατήρηση η οπτική ισχύς στην έξοδο μίας ίνας μήκους L μπορεί να γραφεί συναρτήσει της ισχύος εισόδου inP ως

out in( ) azP z P e , (3.1)

και ο παράγοντας a ονομάζεται συντελεστής απόσβεσης. Δεδομένου ότι οι απώλειες συνηθίζεται να μετρώνται σε dB ,

in10

outLoss = 10log

P

P

, (3.2)

είναι επίσης χρήσιμο να εκφραστεί και ο συντελεστής απόσβεσης a σε dB ανά μονάδα μήκους (τυπικά dB/km ) πράγμα που γίνεται μέσω της σχέσης

-1(dB/km) 4.343 (km )a a . (3.3)

Σε μία ίνα δρουν ταυτόχρονα διαφορετικοί μηχανισμοί απόσβεσης που σχετίζονται με τη σύνθεση του υλικού, τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά αλλά και τη μέθοδο κατασκευής της ίνας. Μπορούν να κατηγοριοποιηθούν με βάση κάποιες γενικές αρχές, όπως απορρόφηση από το υλικό της ίνας, σκέδαση από το υλικό, απώλειες από κάμψη και απώλειες λόγω σύζευξης ισχύος σε ρυθμούς ακτινοβολίας ή ρυθμούς διαρροής.

Page 48: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.2 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

3.2 Απώλειες λόγω απορρόφησης από το υλικό Η απορρόφηση από το υλικό της ίνας σχετίζεται με τη σύσταση καθώς και τη μέθοδο κατασκευής και τελικά οδηγεί στην κατανάλωση ενός μέρους της μεταδιδόμενης οπτικής ισχύος με τη μορφή θερμότητας. Η απορρόφηση του φωτός μπορεί να είναι εσωτερική (intrinsic), λόγω της αλληλεπίδρασης με τα βασικά στοιχεία του γυαλιού ή εξωτερική (extrinsic), λόγω των προσμείξεων ή ακαθαρσιών (impurities). 3.2.1 Εσωτερική απορρόφηση Το καθαρό γυαλί διοξειδίου του πυριτίου ( 2SiO ) έχει πάρα πολύ χαμηλές εσωτερικές απώλειες στην περιοχή της κοντινής υπέρυθρης ακτινοβολίας. Υπάρχουν δύο βασικοί μηχανισμοί εσωτερικής απορρόφησης, η υπέρυθρη και η υπεριώδης απορρόφηση, που τελικά αφήνουν ένα παράθυρο χαμηλών απωλειών για μήκη κύματος μεταξύ 0.8 και 1.7 μm (ή ισοδύναμα για φωτόνια ενέργειας 1.55 μέχρι 0.73 eV . Το σχήμα 3.1 δείχνει μία ενδεικτική μεταβολή της απόσβεσης λόγω των εσωτερικών απωλειών για καθαρό γυαλί 2 2SiO GeO .

Σχήμα 3.1 Φάσμα απόσβεσης λόγω των μηχανισμών εσωτερικής απορρόφησης σε καθαρό γυαλί 2 2SiO GeO . 3.2.2 Εξωτερική απορρόφηση Κατά τη διαδικασία κατασκευής μίας οπτικής ίνας είναι πιθανόν να συμπεριληφθούν ακαθαρσίες μεταλλικών στοιχείων, οι οποίες αποτελούν τη βασική πηγή απόσβεσης για το μηχανισμό της εξωτερικής απορρόφησης. Οι πιο συνηθισμένες μεταλλικές ακαθαρσίες που μπορούν να βρεθούν στο γυαλί συγκεντρώνονται στον πίνακα 3.1, μαζί με την απώλεια που εισάγει ανά km κάθε ένα ιόν ανά 109 μόρια. Οι απώλειες αυτού του τύπου περιορίζονται σημαντικά με εξελιγμένες τεχνικές κατεργασίας του γυαλιού, έτσι ώστε η συγκέντρωση των ιόντων να μειωθεί στα επίπεδα ενός μέρους ανά 1010. Μία άλλη πολύ σημαντική πηγή εξωτερικής απορρόφησης οφείλεται στο νερό, το οποίο με τη μορφή των ιόντων υδροξυλίου (OH) βρίσκεται διαλυμένο στο γυαλί. Το ιόντα ΟΗ είναι υπεύθυνα για την ισχυρή απορρόφηση του φωτός στα μήκη κύματος 720, 950 και 1380 nm, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.2(α). Το σχήμα 3.2(β) δείχνει το πειραματικό φάσμα απόσβεσης μία μονόρρυθμης ίνας πολύ χαμηλών απωλειών, μαζί με κάποιους από τους μηχανισμούς που συνθέτουν τις συνολικές απώλειες. Φαίνεται καθαρά ότι τελικά υπάρχουν δύο παράθυρα χαμηλών απωλειών με κέντρα στην περιοχή των 1.3 και 1.5 μm, αντίστοιχα, με τη χαμηλότερη απώλεια να εμφανίζεται περί τα 1.55 μm (0.2 dB/km).

Page 49: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.3

Μήκος κύματος μέγιστης απορρόφησης (nm)

Απορρόφηση (dB/km) για 0.001 PPM

3+Cr 625 1.6 2+C 685 0.1

2+Cu 850 1.1 2+Fe 1100 0.68 3+Fe 400 0.15 2+Ni 650 0.1 2+Mn 460 0.2

4+V 725 2.7 Πίνακας 3.1. Απώλειες απορρόφησης που προκαλούνται από συνηθισμένες ακαθαρσίες μεταλλικών ιόντων στο γυαλί και μήκος κύματος μέγιστης απορρόφησης. (PPM: Parts Per Million).

(α)

(β) Σχήμα 3.2. (α) Φάσμα απορρόφησης για το ιόν υδροξυλίου (OH ) σε ίνες SiO2 . (β) Πειραματικό φάσμα απόσβεσης μίας μονόρρυθμης ίνας πολύ χαμηλών απωλειών (συνεχής γραμμή) καθώς και θεωρητικά υπολογισμένες απώλειες των βασικών μηχανισμών που συνθέτουν τη συνολική απορρόφηση (διακεκομμένες γραμμές).

Page 50: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.4 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

3.3 Απώλειες γραμμικής σκέδασης Οι μηχανισμοί γραμμικής σκέδασης έχουν ως αποτέλεσμα τη μεταφορά μέρους της οπτικής ισχύος ενός οδηγούμενου ρυθμού σε κάποιον διαφορετικό. Αυτό έχει γενικά ως συνέπεια την απόσβεση του φωτός, καθώς είναι δυνατόν μέρος της οπτικής ισχύος να μεταφερθεί σε ρυθμούς ακτινοβολίας και τελικά να χαθεί. Ο χαρακτηρισμός «γραμμικές» υποδηλώνει ότι δεν υπάρχει εξάρτηση του φαινομένου από το επίπεδο της ισχύος και σε κάθε περίπτωση δεν αναμένεται αλλαγή της συχνότητας. Θα πρέπει να αναφερθεί και η ύπαρξη μη-γραμμικών μηχανισμών σκέδασης που οδηγούν στην αλλαγή ή δημιουργία κυμάτων σε άλλες συχνότητες, όπως η σκέδαση Brillouin ή Raman, αλλά δεν θα μας απασχολήσουν περισσότερο. Οι δύο βασικοί μηχανισμοί γραμμικής σκέδασης που συναντώνται στις οπτικές ίνες είναι η σκέδαση Rayleigh και η σκέδαση Mie. Οι παραπάνω αποτελούν απόρροια των μη ιδανικών φυσικών ιδιοτήτων της ίνας και γενικά είναι αδύνατον να εξαλειφθούν πλήρως. 3.3.1 Σκέδαση Rayleigh Η σκέδαση Rayleigh αποτελεί τον κυρίαρχο μηχανισμό εσωτερικών απωλειών στο παράθυρο χαμηλής απορρόφησης, δηλαδή ανάμεσα στις «ουρές» της υπέρυθρης και της υπεριώδους απορρόφησης. Προέρχεται από ανομοιογένειες τυχαίας φύσης σε μία κλίμακα η οποία είναι πολύ μικρή συγκρινόμενη με το μήκος κύματος του φωτός. Οι ανομοιογένειες αυτές αποτελούν διακυμάνσεις του δείκτη διάθλασης και προέρχονται από μεταβολές της πυκνότητας και της σύνθεσης που «παγώνουν» στο πλέγμα του γυαλιού, όταν το γυαλί ψύχεται κατά την κατασκευή της ίνας. Γενικά οι μεταβολές της σύνθεσης μπορούν να ελαχιστοποιηθούν με την εξέλιξη των τεχνικών κατασκευής αλλά οι διακυμάνσεις του δείκτη διάθλασης λόγω των ανομοιογενειών στην πυκνότητα έχουν πρωτογενή προέλευση και δεν μπορούν να εξαλειφθούν πλήρως. Η σκέδαση Rayleigh λαμβάνει χώρα προς όλες τις κατευθύνσεις και τελικά εισάγει μία απόσβεση ανάλογη του 41/ . 3.3.2 Σκέδαση Mie Φαινόμενα σκέδασης σχετίζονται και με ανομοιογένειες οι οποίες είναι συγκρίσιμες σε μέγεθος με το οπτικό μήκος κύματος. Είναι αποτέλεσμα της μη ιδανικής κυλινδρικής γεωμετρίας του κυματοδηγού και μπορεί να προκληθούν από ατέλειες της ίνας στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα-περιβλήματος, τοπικές μεταβολές του δείκτη διάθλασης κατά μήκος της ίνας, διακυμάνσεις της διαμέτρου του πυρήνα, φυσαλίδες κτλ. Τα παραπάνω φαινόμενα μπορεί να έχουν πολύ έντονη εξάρτηση από τη διεύθυνση σκέδασης. Η σκέδαση που οφείλεται στις παραπάνω ανομοιογένειες έχει συνήθως διεύθυνση προς τα εμπρός και καλείται σκέδαση Mie. Κατά περίπτωση μπορεί να είναι υπεύθυνη για σημαντικές απώλειες. Οι απώλειες αυτού του τύπου περιορίζονται σημαντικά εφόσον:

Απομακρυνθούν οι ατέλειες που υπεισέρχονται κατά τη διαδικασία κατεργασίας του γυαλιού. Υπάρχει προσεκτικός έλεγχος στην κατασκευή της ίνας. Γίνει ισχυρότερη η οδήγηση στην ίνας με την αύξηση της σχετικής διαφοράς των δεικτών

διάθλασης. 3.4 Απώλειες λόγω κάμψης Οι οπτικές ίνες υφίστανται απώλειες ακτινοβολίας όταν κάμπτονται. Σύμφωνα με το σχήμα 3.3(α) το μέρος του ρυθμού που βρίσκεται εξωτερικά της κάμψης θα πρέπει να ταξιδέψει γρηγορότερα από αυτό στο εσωτερικό, προκειμένου το κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης μέτωπο κύματος να διατηρηθεί. Κάτι τέτοιο δεν είναι βέβαια δυνατό και τελικά ένα μέρος της ενέργειας του ρυθμού χάνεται ως ακτινοβολία. Οι

Page 51: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.5

απώλειες αυτού του τύπου μπορούν να αντιστοιχηθούν σε ένα συντελεστή απόσβεσης ακτινοβολίας σύμφωνα με τη σχέση

1 2exp( )ra c c R . (3.4)

Στην παραπάνω σχέση R είναι η ακτίνα καμπυλότητας και 1 2,c c είναι σταθερές ανεξάρτητες του R . Έχει βρεθεί ότι οι απώλειες κάμψης γίνονται σημαντικές σε πολύρρυθμες ίνες όταν η ακτίνα καμπυλότητας φτάσει στην κρίσιμη ακτίνα cR η οποία μπορεί να εκτιμηθεί από τη σχέση

21

3/22 21 2

3

4c

nR

n n

. (3.5)

Η εξ. (3.5) φανερώνει ότι οι απώλειες λόγω μικροκάμψεων, δηλαδή κάμψεων που υπεισέρχονται όταν η ίνα γίνεται καλώδιο με την προσθήκη των διαφόρων προστατευτικών στρωμάτων πλην του περιβλήματος, σχήμα 3.3(β), μπορούν να περιορισθούν εάν χρησιμοποιηθούν δείκτες διάθλασης με μεγαλύτερη σχετική διαφορά ή η ίνα λειτουργήσει στο μικρότερο δυνατό μήκος κύματος. Η κρίσιμη ακτίνα στην περίπτωση των μονόρρυθμων ινών μπορεί να εκτιμηθεί από τη σχέση

3

, 3/21 2

202.748 0.996c s

cR

n n

, (3.6)

όπου c το μήκος κύματος αποκοπής.

(α) (β) Σχήμα 3.3 (α) Απώλειες ακτινοβολίας στο σημείο που μία ίνα κάμπτεται.(β) Μικροκάμψεις ίνας και σχετικά φαινόμενα. 3.5 Διασπορά 3.5.1 Εισαγωγικές έννοιες Η διασπορά προκαλεί παραμόρφωση στα οπτικά σήματα τόσο στην περίπτωση αναλογικής όσο και ψηφιακής μετάδοσης. Στην περίπτωση των ψηφιακών συστημάτων που είναι η πιο ευρέως διαδεδομένη παρατηρείται το φαινόμενο της χρονικής διεύρυνσης των παλμών καθώς αυτοί διαδίδονται μέσα στην ίνα. Το σχήμα 3.4 δείχνει ενδεικτικά τη διεύρυνση των παλμών όπως και την αλληλοεπικάλυψη με τους

Page 52: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.6 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

γειτονικούς που τελικά μπορεί οδηγήσει σε αδιευκρίνιστο αποτέλεσμα στο δέκτη. Το φαινόμενο του σχήματος 3.4 είναι γνωστό ως ενδοσυμβολική παρεμβολή (intersymbol interference, ISI). Η παρουσία της ενδοσυμβολικής παρεμβολής οδηγεί σε αυξανόμενο αριθμό εσφαλμένων αποφάσεων στον ψηφιακό οπτικό δέκτη. Τελικά η διασπορά περιορίζει το μέγιστο εύρος ζώνης που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα δεδομένο μήκος οπτικής ζεύξης, μέχρι το σημείο που τα διαφορετικά σύμβολα δεν μπορούν πλέον να διακριθούν στο δέκτη.

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time

Am

plit

ud

e

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time

Am

plit

ud

e

0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time

Am

plit

ud

e1 1 10

( )α

( )β

( )γ

Σχήμα 3.4 Διεύρυνση των παλμών φωτός για την ψηφιακή ακολουθία 1011 καθώς αυτή μεταδίδεται σε μία ίνα: (α) είσοδος ίνας, (β) έξοδος σε μία απόσταση L1, (γ) έξοδος σε απόσταση L2>L1. Με γκρι χρώμα σημειώνονται περιοχές ενδοσυμβολικής παρεμβολής ενώ με διακεκομμένη γραμμή σημειώνεται η συνισταμένη λαμβανόμενη οπτική ισχύς. Προκειμένου να μην υπάρχει αλληλοεπικάλυψη των παλμών στο τέλος της οπτικής ζεύξης, ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης ,maxTB θα πρέπει να είναι μικρότερος από το αντίστροφο της χρονικής διάρκειας (έκτασης) του διευρυμένου λόγω διασποράς παλμού

,max1

TB . (3.7)

Η εξ. (3.7) δίνει γενικά μία συντηρητική εκτίμηση του μέγιστου ρυθμού μετάδοσης στην οπτική ζεύξη. Μία πιο ρεαλιστική εκτίμηση μπορεί να υπάρξει εάν θεωρηθεί ότι οι παλμοί φωτός στην έξοδο έχουν Γκαουσιανή μορφή με rms χρονική έκταση ,

2 20

1( ) exp( /2 )

2P t t

. (3.8)

Επιτρέποντας κάποια μικρή αλληλοεπικάλυψη μεταξύ γειτονικών παλμών, ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης μπορεί να επιλεγεί σύμφωνα με τη σχέση

,max0.25

( / sec)TB bits . (3.9)

Page 53: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.7

Θα επανέλθουμε εκτενώς στο παραπάνω σημείο στην ενότητα 3.11 και θα γίνουν σαφείς οι συνθήκες κάτω από τις οποίες έχει εξαχθεί η εξ. (3.9). Είναι σημαντικό να συσχετισθεί ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων (bits/sec) με το εύρος ζώνης (Hz) που καταλαμβάνει το σήμα. Η μεταξύ τους σχέση εξαρτάται από τον τύπο της ψηφιακής κωδικοποίησης. Εάν χρησιμοποιηθεί ένας ψηφιακός κώδικας χωρίς επιστροφή στο μηδέν (Non-Return to Zero, NRZ) τότε το ψηφιακό επίπεδο 1 κρατείται σε όλη τη διάρκεια της περιόδου του ψηφίου (bit). Ο τύπος αυτός του ψηφιακού κώδικα αναπαριστάται στο σχήμα 3.5(α) και με πολύ απλούς συλλογισμούς με βάση την ακολουθία 010101… φαίνεται ότι το μέγιστο εύρος ζώνης B συνδέεται με το μέγιστο ρυθμό μετάδοσης δεδομένων ,maxTB μέσω της σχέσης

,max1

2 TB B . (3.10)

Εάν χρησιμοποιηθεί ένας κώδικας με επιστροφή στο μηδέν (Return to Zero, RZ) τότε το ψηφιακό επίπεδο 1 κρατείται μόνο για ένα μέρος (για παράδειγμα το μισό) της περιόδου του ψηφίου, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.5(β). Στην περίπτωση αυτή εξετάζοντας την ακολουθία 1111… που αντιστοιχίζεται στην ταχύτερη μεταβολή προκύπτει

,maxTB B . (3.11)

Σχήμα 3.5 Ψηφιακοί κώδικες: (α) χωρίς επιστροφή στο μηδέν (NRZ), (β) με επιστροφή στο μηδέν (RZ). Στο σχήμα 3.6 συγκεντρώνονται οι τρεις συνηθισμένοι τύποι οπτικών ινών, πολύρρυθμη βηματικού δείκτη, πολύρρυθμη βαθμιδωτού δείκτη και μονόρρυθμη βηματικού δείκτη, καθώς επίσης και η σχετική διεύρυνση που υφίσταται ένας παλμός όταν εισάγεται σε κάθε μία από αυτές. Η πολύρρυθμη ίνα βηματικού δείκτη χαρακτηρίζεται από τη μεγαλύτερη διασπορά ενώ η πολύρρυθμη βαθμιδωτού δείκτη προσφέρει σημαντικά καλύτερες επιδόσεις. Η μονόρρυθμη ίνα δίνει τη μικρότερη διεύρυνση παλμού και άρα χαρακτηρίζεται από το μεγαλύτερο εύρος ζώνης μετάδοσης. Η διεύρυνση του παλμού εξαρτάται από την απόσταση που ο παλμός ταξιδεύει στην ίνα και συνεπώς υπάρχει ένα άνω όριο πέραν του οποίου θα απαιτηθεί αναμεταδότης για την αναγέννηση του παλμού. Η μέτρηση των ιδιοτήτων διασποράς μίας ίνας συνήθως εκφράζεται με τη διεύρυνση του παλμού στο χρόνο ανά μονάδα μήκους της ίνας (ns/km). Η διεύρυνση του παλμού αυξάνει σε πολλές περιπτώσεις (αλλά όχι πάντα) γραμμικά με το μήκος της ίνας και αυτό σημαίνει ότι το διαθέσιμο εύρος ζώνης θα μειώνεται αντιστρόφως ανάλογα. Αυτό οδηγεί στην υιοθέτηση μίας χρήσιμης παραμέτρου για να περιγράψει την ικανότητα μεταφοράς πληροφορίας από την ίνα, η οποία είναι γνωστή ως γινόμενο εύρους ζώνης – μήκους (bandwidth-length product), B L . Οι τυπικές τιμές της παραπάνω παραμέτρου

Page 54: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.8 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

για τις ίνες του σχήματος 3.6 είναι της τάξης των 20MHz km , 1GHz km και 100GHz km -1 Hz kmT , ανάλογα και με τον τύπο των οπτικών πηγών που θα χρησιμοποιηθούν.

Σχήμα 3.6 Ποιοτικά χαρακτηριστικά και ενδεικτική διεύρυνση παλμού σε πολύρρυθμη ίνα βηματικού δείκτη, πολύρρυθμη βαθμιδωτού δείκτη και μονόρρυθμη βηματικού δείκτη. Στις παραγράφους που ακολουθούν θα μελετήσουμε αναλυτικότερα τους διάφορους μηχανισμούς διασποράς και θα επιχειρήσουμε μία συστηματική κατηγοριοποίηση τους. 3.5.2 Διαρρυθμική διασπορά Η διεύρυνση των παλμών λόγω της διαρρυθμικής διασποράς (intermodal dispersion) ή διασποράς ρυθμών (modal or mode dispersion) είναι αποτέλεσμα των διαφορετικών χρονικών καθυστερήσεων μετάδοσης μεταξύ των διακριτών ρυθμών που διεγείρονται στην είσοδο της πολύρρυθμης ίνας. Οι διακριτοί ρυθμοί που συνθέτουν ένα παλμό σε μία πολύρρυθμη ίνα ταξιδεύουν με διαφορετικές ταχύτητες ομάδας και τελικά η χρονική έκταση (διάρκεια) του παλμού στην έξοδο θα καθορίζεται από τους χρόνους μετάδοσης του γρηγορότερου και του αργότερου ρυθμού. Οι πολύρρυθμες ίνες βηματικού δείκτη χαρακτηρίζονται από σημαντική διασπορά ρυθμών που τελικά οδηγεί και στη μεγαλύτερη διεύρυνση παλμών συγκριτικά με κάθε άλλο τύπο ινών. Η διασπορά ρυθμών σε πολύρρυθμες ίνες μπορεί να περιορισθεί σημαντικά με την υιοθέτηση του κατάλληλου προφίλ στο δείκτη διάθλασης (το οποίο προκύπτει ότι πρέπει να είναι σχεδόν παραβολικού τύπου στις περισσότερες ίνες βαθμιδωτού δείκτη) και τελικά να μειωθεί κατά ένα συντελεστή της τάξης του 100 σε σχέση με τις πολύρρυθμες ίνες βηματικού δείκτη. Στις μονόρρυθμες ίνες δεν υφίσταται ο μηχανισμός της διαρρυθμικής διασποράς καθώς υποστηρίζεται ένας και μόνο ρυθμός ( 11HE ή 01LP ). Πολύρρυθμη ίνα βηματικού δείκτη διάθλασης Θα χρησιμοποιήσουμε την ακτινική θεωρία και το μηχανισμό των μεσημβρινών ακτινών για να εκτιμήσουμε τη διαρρυθμική διασπορά που εισάγει μία πολύρρυθμη ίνα βηματικού δείκτη διάθλασης. Η διασπορά θα καθορίζεται από τη διαφορά καθυστέρησης ανάμεσα σε δύο ακραίες περιπτώσεις: την περίπτωση των αξονικών ακτινών και την περίπτωση των ακρότατων μεσημβρινών ακτινών, δηλαδή αυτών

Page 55: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.9

που προσπίπτουν στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα-περιβλήματος με την κρίσιμη γωνία, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7. Η διαφορά καθυστέρησης θα αποτελεί μία εκτίμηση της διεύρυνσης του παλμού λόγω της διαρρυθμικής διασποράς. Ο χρόνος που απαιτείται από μία αξονική ακτίνα για να ταξιδέψει σε ένα μήκος ίνας L αντιστοιχεί στην ελάχιστη δυνατή καθυστέρηση, η οποία θα είναι ίση με:

1min

1/

L LnT

c n c , (3.12)

όπου 1n ο δείκτης διάθλασης του πυρήνα και c η ταχύτητα του φωτός στο κενό. Η μέγιστη καθυστέρηση θα είναι ίση με

1max

1

/ cos

/ cos

L LnT

c n c

. (3.13)

Η γωνία είναι η συμπληρωματική της κρίσιμης γωνίας και άρα ισχύει

2

1sin cosc

n

n . (3.14)

Η διαφορά καθυστέρησης ανάμεσα στην ακρότατη μεσημβρινή ακτίνα και στην αξονική προκύπτει συνδυάζοντας τις εξ. (3.12) μέχρι (3.14) και είναι ίση με:

2 2 21 1 1 1 2 1

max min2 2 1 2

sLn Ln Ln n n Ln

T T Tcn c cn n cn

. (3.15)

Axial ray

Extreme meridionalray

Core

Cladding

1n

2n

0 1n

a

c

Σχήμα 3.7 Αξονική και ακρότατη μεσημβρινή ακτίνα σε μία πολύρρυθμη ίνα βηματικού δείκτη διάθλασης.

Μία εκτίμηση για το μέγιστο επιτρεπόμενο ρυθμό μετάδοσης δεδομένων προκύπτει με εφαρμογή της εξ. (3.7):

2,max 2

1

1T

s

cnB

T Ln

. (3.16)

Εναλλακτικά, μπορούμε να υπολογίσουμε ακριβέστερα τον μέγιστο ρυθμό μετάδοσης μέσω μιας άλλης οδού. Συγκεκριμένα, η διεύρυνση της rms χρονικής έκτασης του παλμού λόγω της διαρρυθμικής διασποράς μπορεί προσεγγιστικά να υπολογισθεί από τη σχέση

Page 56: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.10 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

1

2 3sLn

c

, (3.17)

και στην περίπτωση αυτή ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης μπορεί να εκτιμηθεί από την εξ. (3.9). Γενικά στην πράξη το όριο της εξ. (3.16) είναι μάλλον συντηρητικό αφού διάφοροι φυσικοί μηχανισμοί σε μία πολύρρυθμη ίνα τείνουν να περιορίσουν τον τύπο αυτό της διασποράς. Ένας από αυτούς είναι οι διαφορετικές απώλειες που υφίστανται οι ρυθμοί. Οι ρυθμοί ανώτερης τάξης διεισδύουν περισσότερο στο περίβλημα και άρα υφίστανται υψηλότερες απώλειες σε κάθε μορφής ατέλεια στο όριο πυρήνα-περιβλήματος. Η συμβολή τους δηλαδή στη διεύρυνση ενός παλμού θα είναι μικρότερη από την αναμενόμενη αφού αποσβένονται ταχύτερα από τους ρυθμούς χαμηλότερης τάξης που χαρακτηρίζονται από καλύτερη συγκέντρωση. Επίσης, θετική συμβολή στον περιορισμό αυτού του τύπου διασποράς στις πολύρρυθμες έχει και ο μηχανισμός σύζευξης ρυθμών (μείξη ρυθμών) με αποτέλεσμα τη μεταφορά οπτικής ισχύος από τους πιο αργά στους πιο γρήγορα οδηγούμενους ρυθμούς και αντίστροφα. Η ισχυρή σύζευξη έχει ως συνέπεια τη μετάδοση της οπτικής ισχύος με μία μέση ταχύτητα περιορίζοντας τη διασπορά και για το λόγο αυτό είναι χρήσιμο να ενθαρρύνεται στις πολύρρυθμες ίνες. Η πιο επιτυχημένη τεχνική για τη μείωση της διαρρυθμικής διασποράς είναι η χρήση πολύρρυθμων ινών βαθμιδωτού δείκτη διάθλασης με σχεδόν παραβολικό προφίλ. Πολύρρυθμη ίνα βαθμιδωτού δείκτη διάθλασης Οι ίνες βαθμιδωτού δείκτη διάθλασης έχουν ήδη περιγραφεί στην παράγραφο 2.5 και το σχήμα 2.20 δείχνει τις χαρακτηριστικές διαδρομές που ακολουθούν οι μεσημβρινές ακτίνες μέσα στον πυρήνα. Διαπιστώνει κανείς ότι όσο απομακρύνεται από τον άξονα της ίνας ο τοπικός δείκτης διάθλασης ελαττώνεται σύμφωνα με την εξ. (2.81) και άρα αυξάνει η ταχύτητα διάδοσης. Η αξονική ακτίνα χαρακτηρίζεται από τη χαμηλότερη δυνατή ταχύτητα διάδοσης (αυτή που αντιστοιχεί στον δείκτη 1n ) αλλά ταυτόχρονα απαιτείται να καλύψει και τη μικρότερη δυνατή διαδρομή. Καταλαβαίνει κανείς ποιοτικά ότι υπάρχει ένα είδος εξισορρόπησης ανάμεσα στους χρόνους διάδοσης αφού οι ακτίνες που απομακρύνονται περισσότερο από τον άξονα της ίνας ταξιδεύουν μεγαλύτερες διαδρομές με μεγαλύτερη όμως ταχύτητα. Οι διάφορες τροχιές ακτινών μπορούν να αντιστοιχηθούν σε διαφορετικούς ρυθμούς, πράγμα που τελικά σημαίνει ότι το παραβολικό προφίλ του δείκτη μειώνει σημαντικά τη διαρρυθμική διασπορά. Έχει αποδειχθεί στη βιβλιογραφία ότι η διαφορά καθυστέρησης σχέση αντίστοιχη της εξ. (3.15) για ένα σχεδόν παραβολικό προφίλ, 2(1 ) 2 δίνεται από την:

21

8gLn

Tc

, (3.18)

και συνεπώς ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης εκτιμάται ίσος με

,max 21

1 8T

g

cB

T Ln

. (3.19)

Παρατηρείται άμεσα η σημαντική βελτίωση στο μέγιστο ρυθμό μετάδοσης που προσφέρουν οι ίνες βαθμιδωτού δείκτη καθώς η εξ. (3.19) κλιμακώνεται κατά τη δεύτερη δύναμη του , 2

,max 1/TB , έναντι της κλιμάκωσης ,max 1/TB που προβλέπει η εξ. (3.16).

Page 57: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.11

Οι βέλτιστες επιδόσεις διασποράς επιτυγχάνονται από ίνες βαθμιδωτού δείκτη με σχεδόν παραβολικό προφίλ και συγκεκριμένα όταν η παράμετρος της εξ. (2.81) λαμβάνει την τιμή 2(1 ) . Το σχήμα 3.8 δείχνει τη μεταβολή στη διεύρυνση του παλμού ( gT ) ανά μονάδα μήκους για ίνες με σχετική διαφορά δεικτών 1% ως συνάρτηση της παραμέτρου του προφίλ. Στο ίδιο διάγραμμα (δεξιός κατακόρυφος άξονας) σημειώνεται το αντίστοιχο γινόμενο ρυθμού μετάδοσης επί απόσταση (B L ). Το ελάχιστο είναι πολύ οξύ και παρατηρείται για τιμή ελαφρά μικρότερη του 2 ( 1.98 ). Στην παραπάνω τιμή το B L βρίσκεται ίσο με ~ 10Gbps km , και άρα τέτοιες ίνες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για μεταφορά δεδομένων με ρυθμό 100Mbps σε αποστάσεις της τάξης των 100km .

Profile parameter

Dis

pe

rsio

n(n

s/k

m)

BW

-Le

ng

thp

rod

uct

BL

(Gb

ps.k

m)

10-2

10-1

100

102

101

2 3 4 51100

10

1

0.1

0.01

2(1 )

1%

1 1.5n

Σχήμα 3.8 Διεύρυνση παλμού ανά μονάδα μήκους λόγω διαρρυθμικής διασποράς και γινόμενο B L , ως συνάρτηση της παραμέτρου της εξ. (2.81), σε βαθμιδωτές ίνες με 1% . Εναλλακτικά, η διεύρυνση της rms χρονικής έκτασης του παλμού λόγω της διαρρυθμικής διασποράς μπορεί να υπολογισθεί από τη σχέση της σχετικής βιβλιογραφίας

21

20 3gLn

c

, (3.20)

κατ’ αντιστοιχία με την εξ. (3.17). 3.5.3 Ενδορρυθμική διασπορά Η ενδορρυθμική (intramodal) ή χρωματική (chromatic) διασπορά εμφανίζεται σε όλους τους τύπους των ινών. Ακόμα και στην περίπτωση των μονόρρυθμων ινών που απουσιάζουν οι ρυθμοί ανώτερης τάξης και η διάδοση γίνεται μόνο μέσω του βασικού ρυθμού, η ταχύτητα ομάδας του βασικού ρυθμού διατηρεί εξάρτηση από τη συχνότητα (ισοδύναμα από το μήκος κύματος). Συνεπώς, οι διαφορετικές φασματικές συνιστώσες που συνθέτουν ένα παλμό θα διαδίδονται με ελαφρώς διαφορετικές ταχύτητες, οδηγώντας τελικά στη διεύρυνση του παλμού. Οι διαφορετικές φασματικές συνιστώσες που συνθέτουν έναν παλμό σχετίζονται άμεσα με τα φασματικά χαρακτηριστικά (φασματικό περιεχόμενο) της οπτικής πηγής που χρησιμοποιείται αλλά και την ίδια τη χρονική έκταση του παλμού. Ανάλογα με τον τύπο των πηγών που χρησιμοποιούνται το φαινόμενο μπορεί να κυριαρχείται από το φασματικό περιεχόμενο της πηγής (πηγές με ευρεία φασματική εκπομπή όπως laser δίοδοι Fabry Perot ή δίοδοι εκπομπής φωτός LED) ή η πηγή να μπορεί να θεωρηθεί επαρκώς μονοχρωματική (πηγές με στενή φασματική εκπομπή όπως laser δίοδοι τύπου DFB). Περισσότερα στοιχεία για τις οπτικές πηγές θα παρουσιασθούν στα επόμενα κεφάλαια. Σε κάθε περίπτωση, η διαφορά στην καθυστέρηση κάθε φασματικής συνιστώσας του παλμού μπορεί να

Page 58: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.12 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

οφείλεται στην εξάρτηση του δείκτη διάθλασης του υλικού της ίνας από τη συχνότητα, το οποίο καλείται διασπορά υλικού (material dispersion) καθώς επίσης και στη μεταβολή των χαρακτηριστικών του οδηγούμενου ρυθμού με τη συχνότητα, το οποίο καλείται διασπορά κυματοδηγού (waveguide dispersion). Διασπορά υλικού Η καθυστέρηση ομάδας g σε ένα κυματοδηγό ορίζεται ως ο χρόνος διάβασης ενός παλμού φωτός στη μονάδα μήκους και ισούται με το αντίστροφο της ταχύτητας ομάδας gv . Θα υποθέσουμε στο σημείο αυτό ότι η σταθερά διάδοσης προσεγγίζεται ικανοποιητικά με αυτή του πυρήνα της ίνας,

0 1 1( / ) ( )k n c n . Αυτό θα βοηθήσει στην εύκολη εξαγωγή κάποιων αρχικών συμπερασμάτων και σε επόμενη παράγραφο θα αρθεί κατάλληλα. Η παραπάνω επιλογή για τη σταθερά διάδοσης διατηρεί την εγγενή εξάρτηση του δείκτη διάθλασης 1n από τη συχνότητα, που αποτελεί τη διασπορά υλικού.

11

1 11 1

gg

d d dnn n

v d d c c d

(3.21)

Η καθυστέρηση σε ένα μήκος L της ίνας λόγω της διασποράς υλικού θα είναι σύμφωνα με την εξ. (3.21)

11m

L dnn

c d

. (3.22)

Εάν ο παλμός καταλαμβάνει φασματικό εύρος τότε σε μία προσέγγιση πρώτης τάξης η διεύρυνση του παλμού μπορεί να εκτιμηθεί από τη σχέση

2

22md d

T L Ld d

, (3.23)

με την ποσότητα 2 να ορίζεται από τη σχέση 2 2

2 /d d . Η εξ. (3.23) μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως προς το μήκος κύματος και αυτό συνηθίζεται όταν το φασματικό εύρος του παλμού αποδίδεται κυρίως στο φασματικό εύρος της πηγής εκπομπής:

1m

g

d dT L DL

d d v

. (3.24)

Η παράμετρος D που ορίζεται σύμφωνα με τη σχέση

1

g

dD

d v

, (3.25)

καλείται παράμετρος διασποράς και εκφράζεται συνηθέστατα σε ps/(nm km) . Αντικαθιστώντας στην εξ. (3.25) την εξ. (3.21), που αναφέρεται στην περίπτωση της ύπαρξης διασποράς υλικού και μόνο, προκύπτει η έκφραση της παραμέτρου διασποράς υλικού MD , με το δείκτη " "M να υποδηλώνει σαφώς διασπορά υλικού

Page 59: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.13

212M

d nD

c d

. (3.26)

Έχει ήδη αναφερθεί ότι η μελέτη παλμών που έχουν Γκαουσιανή μεταβολή στο χρόνο της μορφής

2 2exp( /2 )t παρουσιάζει σημαντικό ενδιαφέρον στην πράξη και η μαθηματική διαχείριση διευκολύνεται σημαντικά. Μπορεί να δειχθεί ότι η χρονική έκταση του παλμού ( )L μετά τη διάδοση σε μήκος L προσεγγίζεται υπό προϋποθέσεις από τη σχέση

( ) ML D L , (3.27)

με την ποσότητα να χαρακτηρίζει το φασματικό εύρος της πηγής. Θα επανέλθουμε αναλυτικά στο σημείο αυτό στην ενότητα 3.11 με το απαραίτητο μαθηματικό πλαίσιο καθώς και τις σχετικές παραδοχές. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, το πλέον σύνηθες υλικό για την κατασκευή οπτικών ινών είναι το γυαλί τηγμένου διοξειδίου του πυριτίου (fused silica glass, 2SiO ). Η διασπορά υλικού που το χαρακτηρίζει έχει μελετηθεί εκτενώς και για την περίπτωση του καθαρού γυαλιού 2SiO προσεγγίζεται πολύ ικανοποιητικά από τη σχέση

3 22

21

1 i

ii

an

b

, (3.28α)

1 2 3 0.6961663 0.4079426 0.8974994a a a , (3.28β)

1 2 3 0.004629148 0.01351206 97.934062b b b , (3.28γ)

η οποία είναι ευρύτατα γνωστή ως εξίσωση του Sellmeier. Σε πάρα πολλές περιπτώσεις μπορεί να θεωρηθεί ότι η σχετική διαφορά των δεικτών πυρήνα και περιβλήματος δεν εξαρτάται από το μήκος κύματος.

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.61.44

1.445

1.45

1.455

1.46

1.465

1.47

1.475

1.48

1.485

1.49

Wavelength in um

Refr

active Indic

es

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-200

-150

-100

-50

0

Wavelength in um

Dis

pers

ion P

ara

mete

r D

in p

s/(

nm

.km

)

n

gn

Normal dispersion

Anomalousdispersion

1.27 um

(α) (β)

Σχήμα 3.9 Μεταβολή (α) του δείκτη διάθλασης (n ) και του δείκτη ομάδας ( gn ) και (β) της παραμέτρου διασπάς υλικού ( MD ) σε καθαρό γυαλί τηγμένου διοξειδίου του πυριτίου ( 2SiO ) στις περιοχές που ενδιαφέρουν τις οπτικές επικοινωνίες.

Στο σχήμα 3.9(α) απεικονίζεται η μεταβολή του δείκτη διάθλασης n και του δείκτη ομάδας ( / )gn n dn d για το καθαρό τηγμένο 2SiO από την ορατή μέχρι και την κοντινή υπέρυθρη

Page 60: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.14 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

περιοχή με χρήση της εξίσωσης Sellmeier (3.28). Στον σχήμα 3.9(β) απεικονίζεται η μεταβολή της παραμέτρου MD όπως υπολογίζεται από την εξ. (3.26). Παρατηρείται ότι η τελευταία έχει πρόσημο θετικό ή αρνητικό και αυτό προσδιορίζει ποιες φασματικές συνιστώσες ταξιδεύουν γρήγορα και ποιες αργά. Για παράδειγμα, εάν το MD είναι αρνητικό αυτό σημαίνει ότι οι χαμηλές συχνότητες του παλμού (ερυθρό μέρος του φάσματος, R) ταξιδεύουν γρηγορότερα από τις υψηλές συχνότητες (ιώδες μέρος, B). Η περίπτωση αυτή καλείται ομαλή ή κανονική διασπορά (normal dispersion) και χαρακτηρίζει το γυαλί 2SiO στην ορατή περιοχή του φάσματος. Ο μηδενισμός της MD εντοπίζεται στα 1.27 μm και πάνω από το σημείο αυτό το MD γίνεται θετικό με αποτέλεσμα οι υψηλότερες φασματικές συνιστώσες του παλμού (δηλαδή τα μικρότερα μήκη κύματος) να είναι αυτές που ταξιδεύουν γρηγορότερα. Η περιοχή αυτή καλείται ανώμαλη διασπορά (anomalous dispersion). Ανεξάρτητα από το πρόσημο του MD το τελικό αποτέλεσμα είναι πάντα η διεύρυνση του παλμού1, οπότε κατά την εφαρμογή των εξ. (3.24) ή (3.27) η παράμετρος D νοείται σε απόλυτη τιμή, δηλαδή ( ) | |ML D L .

Διασπορά κυματοδηγού Η κυματοδήγηση της ίνας εισάγει επίσης ενδορρυθμική διασπορά. Αυτό είναι συνέπεια της μεταβολής στην ταχύτητα ομάδας ως προς το μήκος κύματος για ένα συγκεκριμένο ρυθμό, ανεξάρτητα εάν το υλικό της ίνας παρουσιάζει διασπορά ή όχι. Ο τύπος αυτός διασποράς σε μία πολύρρυθμη ίνα που λειτουργεί με την πλειονότητα των ρυθμών μακριά από την αποκοπή είναι γενικά ασήμαντος, συγκρινόμενος με τη διασπορά υλικού. Στην περίπτωση των μονόρρυθμων ινών η διασπορά κυματοδηγού μπορεί να είναι σημαντική, όπως θα αναλυθεί εκτενέστερα στην ενότητα 3.6. 3.5.4 Συνολική διασπορά ίνας Η συνολική διασπορά σε μία πολύρρυθμη ίνα οφείλεται στην ταυτόχρονη δράση της ενδορρυθμικής και διαρρυθμικής διασποράς. Η συνολική rms χρονική έκταση T ενός παλμού θα είναι ίση με

2 2

T c n , (3.29)

όπου η c αναφέρεται στην ενδορρυθμική (χρωματική) διασπορά και η n αναφέρεται στην διαρρυθμική διασπορά λόγω των διαφορετικών καθυστερήσεων ανάμεσα στους ρυθμούς. Ο χρωματικός όρος θα περιλαμβάνει τη διεύρυνση του παλμού λόγω της διασποράς υλικού και λόγω της διασποράς κυματοδηγού. Σε αρκετές περιπτώσεις πολύρρυθμων ινών η διασπορά κυματοδηγού είναι ασήμαντη συγκριτικά με τη διασπορά υλικού και έτσι μπορεί να θεωρηθεί ότι c m . 3.6 Διασπορά σε μονόρρυθμες ίνες Η διεύρυνση παλμών σε μονόρρυθμες ίνες αποδίδεται αποκλειστικά στην ενδορρυθμική (χρωματική) διασπορά καθώς είναι διαθέσιμος ένας και μόνο ρυθμός. Ο χρόνος διάβασης ενός παλμού φωτός στη μονάδα μήκους μίας μονόρρυθμης ίνας θα δίνεται σύμφωνα με την εξ. (3.21) από τον αντίστροφο της ταχύτητας ομάδας gv που για ευκολία επαναλαμβάνεται και εδώ

1g

g

d

v d

, (3.30)

1 Εφόσον δεν υπάρχει chirp ή άλλη συσσωρευμένη διασπορά.

Page 61: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.15

και η συνολική παράμετρος διασποράς πρώτης τάξης TD θα δίνεται από την παράγωγο της καθυστέρησης ομάδας ως προς το μήκος κύματος στον κενό χώρο

gTd d d

Dd d d

(3.31)

και εκφράζεται συνήθως σε ps/(nm km) . Αλλάζοντας τη μεταβλητή σε η εξ. (3.31) ξαναγράφεται ως

2

2Td

Dd

, (3.32)

που υποδηλώνει άμεσα την ύπαρξη διασποράς όταν η φασική σταθερά μεταβάλλεται μη-γραμμικά με το συχνότητα. Κάνοντας χρήση της εξ. (2.9) και λύνοντας την εξ. (2.80) ως προς τη φασική σταθερά , η τελευταία μπορεί να γραφεί συναρτήσει της κανονικοποιημένης σταθεράς b

1 1 2 1n bc

. (3.33)

Εάν η εξ. (3.33) αντικατασταθεί στην εξ. (3.32) τότε είναι δυνατόν με καλή προσέγγιση να διαχωρίσει κανείς τρεις βασικές συνιστώσες που συνθέτουν τη συνολική παράμετρο της διασποράς και αυτοί είναι οι ακόλουθοι:

Παράμετρος διασποράς υλικού MD η οποία είναι ίση με

2

2Md n

Dc d

(3.34)

και το n συνήθως λαμβάνεται από την εξ. (3.28) που περιγράφει τη διασπορά του γυαλιού 2SiO .

Παράμετρος διασποράς κυματοδηγού WD η οποία προκύπτει ίση με

21 2

2( )

Wn n d Vb

D Vc dV

. (3.35)

Παράμετρος διασποράς προφίλ PD η οποία είναι ανάλογη της μεταβολής της σχετικής διαφοράς των δεικτών ως προς το μήκος κύματος, /d d .

Με βάση τον παραπάνω διαχωρισμό η συνολική παράμετρος διασποράς TD προκύπτει από το άθροισμα των παραπάνω τριών διακριτών όρων

T M W PD D D D . (3.36)

Η παράμετρος διασποράς προφίλ είναι ο μικρότερος από τους τρεις όρους, συνήθως μικρότερη από 0.5ps/(nm km) , και σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να αμεληθεί χωρίς σοβαρό σφάλμα. Στις συνήθεις μονόρρυθμες ίνες 2SiO η συνολική διασπορά κυριαρχείται από τη διασπορά υλικού με αποτέλεσμα ο όρος MD να είναι ο σημαντικότερος. Ο όρος MD γίνεται ίσος με το μηδέν λίγο κάτω από τα 1.3 μm (για την ακρίβεια στο σημείο 1.27 μm), το οποίο χαρακτηρίζεται ως το σημείο μηδενικής διασποράς υλικού

Page 62: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.16 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

(Zero Material Dispersion, ZMD). Το σημείο ZMD δεν είναι το σημείο μηδενικής διασποράς λόγω της ύπαρξης των άλλων δύο (έστω και σημαντικά μικρότερων) όρων της εξ. (3.36), όπως φαίνεται στο σχήμα 3.10. Η συνολική παράμετρος διασποράς της ίνας μπορεί να μηδενισθεί (και άρα η διασπορά να ελαχιστοποιηθεί) εάν κανείς μετατοπισθεί λίγο δεξιότερα από το σημείο ZMD, έτσι ώστε η διασπορά υλικού να αναιρέσει τη διασπορά κυματοδηγού. Αυτό σύμφωνα με το σχήμα 3.10 συμβαίνει σε ένα μήκος κύματος 0 1.32 m , το οποίο είναι και το σημείο μηδενικής διασποράς πρώτης τάξης ( 0TD ). Με προσεκτική επιλογή των παραμέτρων όπως η διάμετρος του πυρήνα, το προφίλ και οι προσμίξεις, μπορεί κανείς να τοποθετήσει το μήκος κύματος 0 στην περιοχή από 1.3 μm μέχρι 2 μm. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η μετατόπιση του 0 στην περιοχή των 1.55 μm που αποτελεί το παράθυρο χαμηλών απωλειών για τις ίνες 2SiO και εκεί λειτουργούν τα συστήματα επικοινωνιών μακρινών αποστάσεων. Σύμφωνα με τις συστάσεις της CCITT οι τυπικές μονόρρυθμες ίνες (όπως για παράδειγμα η SMF-28 της Corning) που προορίζονται για χρήση στα 1.3 μm θα πρέπει να έχουν διασπορά μικρότερη από 3.5ps/(nm km) στο παράθυρο από 1.285 μέχρι 1.330 μm, ενώ οι ίδιες ίνες θα πρέπει να έχουν διασπορά μικρότερη από 20ps/(nm km) στα 1.55 μm.

Σχήμα 3.10 Μεταβολή της παραμέτρου διασποράς υλικού ( MD ), κυματοδηγού ( WD ) και συνολικής διασποράς ( TD ) συναρτήσει του μήκους κύματος σε μία συμβατική μονόρρυθμη ίνα. 3.7 Μονόρρυθμες ίνες με τροποποιημένες ιδιότητες διασποράς Έγινε φανερό από την προηγούμενο ενότητα ότι η διασπορά υλικού και η διασπορά κυματοδηγού μπορούν να αλληλοαναιρεθούν σε κάποιο μήκος κύματος το οποίο είναι γενικά μεγαλύτερο από το σημείο μηδενικής διασποράς υλικού (ZMD) με τον κατάλληλο σχεδιασμό της ίνας. Το ενδιαφέρον για τη μετατόπιση του μήκους κύματος μηδενικής διασποράς πρώτης τάξης στο παράθυρο των 1.55 μm είναι για να εκμεταλλευθούμε ταυτόχρονα τη χαμηλή διασπορά και τις χαμηλές απώλειες. Οι μονόρρυθμες ίνες με την παραπάνω ιδιότητα καλούνται ίνες μετατοπισμένης διασποράς (dispersion shifted fibers). Για να επιτευχθεί το παραπάνω θα πρέπει ο όρος WD να γίνει πιο αρνητικός προκειμένου να αναιρέσει τον όρο

MD που λαμβάνει αυξανόμενες θετικές τιμές με την αύξηση του μήκους κύματος (βλ σχήμα 3.10). Σύμφωνα με την εξ. (3.35) ο όρος WD γίνεται πιο αρνητικός με την αύξηση της διαφοράς των δεικτών διάθλασης 1 2( )n n , η οποία όμως θα πρέπει να συνοδευτεί και από τη μείωση της ακτίνας a του πυρήνα προκειμένου η ίνα να παραμείνει μονόρρυθη (και ισοδύναμα η παράμετρος V να λάβει τιμές κάτω από 2.4).

Page 63: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.17

Μία άλλη οικογένεια ινών με τροποποιημένες ιδιότητες διασποράς είναι αυτή των ινών επίπεδης διασποράς (dispersion flattened fibers). Οι τελευταίες χαρακτηρίζονται από κάποιο κατάλληλο προφίλ πολλαπλών στρωμάτων του δείκτη διάθλασης που οδηγεί σε μία χαμηλή, σχεδόν επίπεδη συνολική διασπορά -τυπικά μικρότερη των 2ps/(nm km) - σε ολόκληρο την περιοχή του φάσματος από 1.3 μέχρι 1.6 μm. Οι ίνες αυτές παρουσιάζουν δύο μήκη κύματος στα οποία η συνολική διασπορά είναι μηδέν. Το σχήμα 3.11 δείχνει τα γενικά χαρακτηριστικά διασποράς τυπικών ινών μετατοπισμένης και επίπεδης διασποράς.

Σχήμα 3.11 Χαρακτηριστικά διασποράς μονόρρυθμων ινών: συνήθης ίνα βελτιστοποιημένη για λειτουργία στα 1.3 μm, ίνα μετατοπισμένης διασποράς και ίνα επίπεδης διασποράς.

Η κεντρική ιδέα πίσω από τις ίνες τροποποιημένης διασποράς είναι η ελεγχόμενη αλλαγή των χαρακτηριστικών διασποράς κυματοδηγού με τον κατάλληλο σχεδιασμό της ίνας, δεδομένου ότι η διασπορά υλικού είναι μάλλον αρκετά δύσκολο να αλλάξει. Αυξάνοντας τη διασπορά κυματοδηγού και διατηρώντας σταθερή τη διασπορά υλικού μετατοπίζουμε προς τα δεξιά το σημείο μηδενικής διασποράς πρώτης τάξης. Όπως έχει ήδη αναφερθεί παραπάνω, ίνες μετατοπισμένης διασποράς κατασκευάζονται μειώνοντας τη διάμετρο του πυρήνα και αυξάνοντας τη σχετική διαφορά των δεικτών διάθλασης. Εναλλακτικά, μπορούν να χρησιμοποιηθούν κατάλληλα προφίλ του δείκτη διάθλασης, αυτά που συγκεντρώνονται στο σχήμα 3.12. Η πρώτη σειρά αντιστοιχεί σε προφίλ βελτιστοποιημένα για χρήση στα 1.3 μm ενώ η δεύτερη σειρά παρουσιάζει προφίλ ινών μετατοπισμένης διασποράς.

= 4.5 ma

2a

2a

2a

0.35% 1 0.25%

1.2% 1 1.0%

2 0.12%

2 0.2%

= 2.2 ma

12a

22a

32a

1

2

3

= 3.1 m

= 4.0 m

= 5.5 m

a

a

a

( )α ( )β

( )γ ( )δ

Σχήμα 3.12 Προφίλ δεικτών διάθλασης διαφορετικών ινών: (α) ίνα βηματικού δείκτη βελτιστοποιημένη για χρήση στα 1.3 μm, (β) ίνα με περίβλημα που έχει κατασταλεί επίσης βελτιστοποιημένη για χρήση στα 1.3 μm, (γ) ίνα μετατοπισμένης διασποράς βηματικού δείκτη και (δ) ίνα μετατοπισμένης διασποράς τριγωνικού προφίλ με επιπλέον κυκλικό δακτύλιο.

Page 64: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.18 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

Το σχήμα 3.13 δείχνει προφίλ ινών επίπεδης διασποράς τα οποία χρησιμοποιούν πολλαπλά περιβλήματα και καλούνται ίνες τύπου W.

1 0.76%

2 0.45%

12a

22a

1

2

= 3.0 m

= 4.7 m

a

a

( )α

12a

1 0.52%

2 0.55%

32a

( )β

1 = 3.4 ma

34

22a

42a Σχήμα 3.13 Προφίλ δεικτών διάθλασης για ίνες επίπεδης διασποράς: (α) διπλό περίβλημα (W), (β) τετραπλό περίβλημα. 3.8 Εξίσωση μετάδοσης σε μονόρρυθμες οπτικές ίνες Θα εξετάσουμε το πρόβλημα της διάδοσης οπτικών παλμών μέσα σε μονόρρυθμες οπτικές ίνες με τη βοήθεια του κατάλληλου μαθηματικού πλαισίου. Το πεδίο στο χώρο και χρόνο μπορεί γενικά να γραφεί ως

ˆ( , ) Re ( , ) ( , )t F x y B z tE r x , (3.37) έχοντας θεωρήσει ότι η συνάρτηση ( , )F x y περιγράφει το προφίλ του βασικού οδηγούμενου ρυθμού

11HE στη διατομή της ίνας και προσδιορίζεται από την επίλυση του βαθμωτού προβλήματος κυματοδήγησης (πρόβλημα ιδιοτιμών). Χωρίς βλάβη της γενικότητας το κύμα θεωρήθηκε πολωμένο κατά x . Η συνάρτηση πλάτους ( , )B z t μπορεί να γραφεί με τη βοήθεια του μιγαδικού φακέλου ( , )A z t

0 0( , ) ( , ) j z j tB z t A z t e e , (3.38)

όπου 0 0( ) η σταθερά διάδοσης υπολογισμένη στην κεντρική κυκλική συχνότητα 0 . Ο φάκελος

( , )A z t μπορεί να αντιστοιχεί σε ένα και μόνο οπτικό παλμό ή να αναπαριστά μία οπτική ακολουθία ψηφίων (bit stream). Η συνάρτηση ( , )F x y έχει πολύ ασθενή εξάρτηση από τη συχνότητα , οπότε για το σύνολο των τυπικών εφαρμογών που ενδιαφέρουν μπορεί να ληφθεί ανεξάρτητη αυτής. Το ζεύγος μετασχηματισμού Fourier της συχνότητας ( , )B z t ορίζεται με τις ακόλουθες σχέσεις2:

( , ) ( , ) j tB z B z t e dt

, (3.39α)

1( , ) ( , )

2j tB z t B z e d

. (3.39β)

Κάθε φασματική συνιστώσα του πλάτους ( , )B z t διαδίδεται ανεξάρτητα με σταθερά διάδοσης ( ) , 2 Επισημαίνεται ότι η σύμβαση του ζεύγους μετασχηματισμού Fourier των εξ. (3.39), και κατ’ επέκταση των λοιπών σχετικών εξισώσεων της ενότητας 3.8, είναι αντίθετη από τη σύμβαση της αρμονικής μεταβολής στο χρόνο που χρησιμοποιήθηκε σε όλη της έκταση του 2ου κεφαλαίου.

Page 65: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.19

( )( , ) (0, ) j zB z B e . (3.40)

Η σταθερά διάδοσης μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor στην περιοχή της συχνότητας 0 ,

2 30 1 2 3

1 1( ) ...

2 6 , (3.41α)

0

m

m md

d

. (3.41β)

Θα διατηρήσουμε όρους μέχρι και τρίτης τάξης στο ανάπτυγμα: ο όρος 1 έχει την πληροφορία της ταχύτητας ομάδας, ο όρος 2 περιγράφει τη διασπορά της ταχύτητας ομάδας (group velocity dispersion, GVD) ενώ ο όρος 3 αναφέρεται στη διασπορά τρίτης τάξης (third order dispersion, TOD). Εάν η εξ. (3.38) μετασχηματισθεί κατά Fourier θα προκύψει 0

0( , ) ( , )j zB z e A z και στη συνέχεια κάνοντας χρήση της εξ. (3.40) αλλά και της σχέσης 0(0, ) (0, )B A προκύπτει εύκολα

2 31 2 3

1 1

2 6( , ) (0, )j z

A z A e

, (3.42α)

0 . (3.42β)

Είναι φανερό ότι το σχήμα του παλμού εξόδου μπορεί να ανακτηθεί με την εφαρμογή αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier στο φάσμα εξόδου της εξ. (3.42α),

2 3

1 2 31 1

2 61( , ) (0, ) ( )

2

j zj tA z t A e e d

. (3.43)

Θα διαμορφώσουμε τη διαφορική εξίσωση που διέπει τη διάδοση του φακέλου ( , )A z t κατά μήκος της ίνας. Εάν διαφορίσουμε την εξ. (3.42α) ως προς z προκύπτει

2 31 2 3

( , ) 1 1( , )

2 6

A zj A z

z

, (3.44)

στην οποία και ακολούθως εφαρμόζεται αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier και γίνεται χρήση της ιδιότητας

1 ( , )( , )

( )

mm

m mA z t

A zj t

. (3.45)

Χωρίς δυσκολία προκύπτει η διαφορική εξίσωση που ικανοποιείται από το φάκελο:

2 3

1 2 32 31 1

02 6

A A A Aj

z t t t

. (3.46)

Page 66: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.20 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

Είναι συνηθισμένο αλλά και προσφέρει μία επιπλέον απλοποίηση ο μετασχηματισμός της εξ. (3.46) σε ένα κινούμενο πλαίσιο, το οποίο μεταφέρεται με την ταχύτητα ομάδας /gv d d , προκειμένου να παρακολουθεί τη διάδοση του παλμού. Εισάγεται δηλαδή ο χρόνος 1/ gt t z v t z , οπότε με την παραπάνω αλλαγή μεταβλητής η εξ. (3.46) απλοποιείται στην

2 3

2 32 31 1

02 6

A A Aj

z t t

. (3.47)

Για λόγους ευκολίας και χωρίς αυτό να δημιουργεί κάποια σύγχυση, μπορεί να αλλάξει ο συμβολισμός και στη θέση του τονούμενου χρόνου t να χρησιμοποιηθεί το t , έχοντας όμως υπόψη ότι αναφέρεται στο κινούμενο πλαίσιο. Με βάση το παραπάνω μαθηματικό πλαίσιο θα εξετάσουμε την περίπτωση της διάδοσης ενός Γκαουσιανού (Gaussian) παλμού σε μία ίνα λαμβάνοντας υπόψη τη διασπορά δεύτερης τάξης, δηλαδή στο ανάπτυγμα της εξ. (3.41α) θα διατηρήσουμε μέχρι και τον τετραγωνικό όρο. Οι Γκαουσιανοί παλμοί αποτελούν μία ικανοποιητική προσέγγιση για την περιγραφή της εκπομπής αρκετών οπτικών πηγών και επιπλέον προσφέρονται για την εξαγωγή κλειστών αναλυτικών σχέσεων. Ο φάκελος του παλμού στο επίπεδο της εισόδου 0z γράφεται ως

2

0

1

20(0, )

jC t

TA t A e

, (3.48)

με την σταθερά 0T να εκφράζει το μισό εύρος μεταξύ των σημείων που η ένταση του παλμού 2(0, )A t έχει μειωθεί κατά τον παράγοντα 1/e . Το πλήρες εύρος μεταξύ των σημείων μισής ισχύος (full width at half maximum, FWHM) συνδέεται άμεσα με τη σταθερά 0T μέσω της σχέσης 0FWHM 2 ln2T . Η παράμετρος C περιγράφει μεταβολή της στιγμιαίας συχνότητας του παλμού και καλείται παράμετρος chirping, μπορεί δε να λάβει θετικές ή αρνητικές τιμές. Επιστρέφουμε στην εξ. (3.47) θέτοντας 3 0 και αντικαθιστούμε το φάκελο ( , )A z t με χρήση του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier, οπότε προκύπτει μία συνήθης διαφορική εξίσωση που ικανοποιείται από το μετασχηματισμό του φακέλου ( , )A z :

22

2 22( , ) 1 ( , ) ( , ) 1

0 ( ) ( , ) 02 2

A z t A z t A zj j j A z

z zt

. (3.49)

Από την εξ. (3.49) προκύπτει άμεσα η λύση

22

1

2( , ) (0, )j z

A z A e

, (3.50)

και με την εφαρμογή αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier υπολογίζεται ο φάκελος στην έξοδο:

22

1

21( , ) (0, )

2

j z j tA z t A e e d

. (3.51)

Page 67: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.21

Για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων θα χρησιμοποιήσουμε την ολοκληρωτική σχέση

2

24

bax bx ae dx e

a

. (3.52)

Ο μετασχηματισμός Fourier του παλμού εισόδου της εξ. (3.48) προκύπτει άμεσα με εφαρμογή της εξ. (3.52) θέτοντας 2

0(1 )/(2 )a jC T και b j ,

2 202

2(1 )00

2(0, )

1

T

jCTA A e

jC

. (3.53)

Θα ορίσουμε ως 0 το φασματικό ημίσειο-εύρος στο οποίο η φασματική ισχύς 2| (0, ) |A μειώνεται κατά τον παράγοντα 1/e . Από την εξ. (3.53) προκύπτει εύκολα ότι

20 01 /C T , (3.54)

σχέση που υποδηλώνει ότι το μικρότερο φασματικό εύρος επιτυγχάνεται στην απουσία chirping. Όταν

0C τότε

0 0 1T , (3.55) και ο παλμός χαρακτηρίζεται ως περιορισμένος από το μετασχηματισμό (transform limited). Αντικαθιστώντας την εξ. (3.53) στην εξ. (3.51) και εφαρμόζοντας εκ νέου την ολοκληρωτική σχέση της εξ. (3.52) για 2

0 2/2(1 ) /2a T jC j z και b jt λαμβάνει κανείς το φάκελο στην έξοδο της ίνας:

2

20 2

(1 )

2 (1 )0 020 2

( , )(1 )

t jC

T j jC zA TA z t e

T j jC z

. (3.56)

Η στιγμιαία ισχύς του σήματος στην έξοδο θα είναι ίση με

2 20

2 2 20 2 2

22 2 ( ) ( )0

0 2 2 20 2 2

| ( , ) |( ) ( )

t T

T C z zTA z t A e

T C z z

(3.57)

και άρα η ισχύς μειώνεται κατά τον παράγοντα 1/e για 1t T , όταν

1/22 21 2 2

2 20 0 0

1T C z z

T T T

. (3.58)

Page 68: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.22 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

Η εξ. (3.58) περιγράφει τη χρονική διεύρυνση ενός Γκαουσιανού παλμού με chirp σε μία μονόρρυθμη ίνα λαμβάνοντας υπόψη φαινόμενα διασποράς δεύτερης τάξης. Είναι αυτονόητο ότι ο παλμός κατά τη διάδοση του παραμένει Γκαουσιανός. Παρατηρώντας την εξ. (3.58) διαπιστώνεται η πολύ ενδιαφέρουσα περίπτωση ετερόσημων C και 2 , δηλαδή 2 0C , η οποία σύμφωνα με την εξ. (3.58) μπορεί να οδηγήσει σε μείωση (συμπίεση) της χρονικής έκτασης του παλμού κατά την αρχή της διάδοσης. Στο σχήμα 3.14 φαίνεται μεταβολή του παράγοντα διεύρυνσης 1 0( )/T z T στην περίπτωση της ανώμαλης διασποράς ( 2 0 ) και για διαφορετικές παραμέτρους chirping. Ο οριζόντιος άξονας αναπαριστά το κανονικοποιημένο μήκος / Dz L , όπου 2

0 2/ | |DL T .

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Normalised Distance z/LD

Bro

ad

en

ing

Fa

cto

r

0C

2C

2C

Σχήμα 3.14 Παράγοντας χρονικής διεύρυνσης Γκαουσιανού παλμού κατά τη διάδοση του σε ίνα με ανώμαλη διασπορά ( 2 0 ) ως προς το κανονικοποιημένο μήκος / Dz L , όταν η παράμετρος chirping λαμβάνει τις τιμές 2, 0, 2C .

3.9 Μετάδοση παλμών αυθαίρετου σχήματος Η περιγραφή της χρονικής διεύρυνσης κατά τη διάδοση παλμών αυθαίρετου σχήματος διευκολύνεται με την εισαγωγή της ενδεικνυόμενης ή RMS (root mean square) έκτασης των παλμών στο χρόνο μέσω της σχέσης

2 2p t t , (3.59)

στην οποία υπεισέρχονται οι ροπές πρώτης και δεύτερης τάξης t και 2t , οι οποίες ορίζονται γενικότερα σύμφωνα με την εξίσωση

2

2

| ( , ) |

| ( , ) |

m

m

t A z t dt

t

A z t dt

. (3.60)

Η ροπή 2t περιγράφει το χρονικό εύρος της κατανομής της στιγμιαίας ισχύος του παλμού ενώ η ροπή t έχει την πληροφορία της θέσης του παλμού στο χρόνο. Οι ροπές ορίζονται ως ολοκληρώματα

Page 69: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.23

στο χρόνο αλλά μπορούν ισοδύναμα να υπολογιστούν στο πεδίο της συχνότητας. Μπορεί χωρίς δυσκολία να δειχθεί ότι:

* ( , )( , )

j A zt A z d

N

, (3.61α)

22 1 ( , )A zt d

N

, (3.61β)

2| ( , ) |N A z d

. (3.61γ)

Με χρήση της σχέσης του Parseval

2 21| ( , ) | | ( , ) |

2 2

NA z t dt A z d

, (3.62)

της έκφραση του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier αλλά της ιδιότητας FT ( , ) =tA z t

( , )/j A z , η ροπή πρώτης τάξης μετασχηματίζεται όπως παρακάτω

* *

*

2 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( , )( , )

j t j tt tA z t A z e d dt A z tA z t e dt dN N

j A zA z d

N

(3.63)

επιβεβαιώνοντας τελικά την εξ. (3.61α). Με ανάλογο τρόπο και με χρήση της ιδιότητας 2FT ( , ) =t A z t

2 2 2( ) ( , )/j A z η δεύτερη ροπή μετασχηματίζεται

2 2 * * 2

2 2*

2

2 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

( ) ( , )( , )

j t j tt t A z t A z e d dt A z d t A z t e dtN N

j A zA z d

N

(3.64)

και ακολούθως ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες προκύπτει άμεσα η εξ. (3.61β). Στο σημείο αυτό θα εισάγουμε τους ακόλουθους ορισμούς:

( )(0, ) ( ) jA S e , (3.65α)

( ) / , (3.65β)

( ) L

g

L dL

v d

, (3.65γ)

Page 70: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.24 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

Η συνάρτηση ( )S και ( ) αποτελούν το μέτρο και τη φάση, αντίστοιχα, του μετασχηματισμού Fourier του παλμού στο επίπεδο της εισόδου 0z . Η συνάρτηση εκφράζει την κλίση της φάσης ενώ η συνάρτηση ( ) είναι η καθυστέρηση ομάδας στο μήκος L της ίνας. Επίσης, θα ορίσουμε τον τελεστή

. στο πεδίο της συχνότητας σύμφωνα με το ολοκλήρωμα

21( ) ( ) ( )f f S d

N

. (3.66)

Η σχέση εξ. (3.42α) μπορεί να γραφεί με χρήση των ορισμών της εξ. (3.65) ως

0( ) ( )( , ) ( ) Lj z zA z S e , (3.67)

με το δείκτη “L” στη σταθερά διάδοσης να υποδηλώνει σαφώς ότι αναφερόμαστε σε γραμμική διάδοση (δηλαδή απουσία μη-γραμμικών φαινομένων). Με αντικατάσταση της εξ. (3.67) στην εξ. (3.61β) προκύπτει

2 22 21 1

( ) ( )z L

S St jS d d

N N

. (3.68)

Η αντίστοιχη ροπή στο επίπεδο της εισόδου θα είναι 22 1 20

/ ( )z

t N S d

.

Ομοίως, αντικαθιστώντας την εξ. (3.67) στην εξ. (3.61α) υπολογίζεται η πρώτη ροπή στο επίπεδο της εξόδου

( )22

( )

1( )

2

S

z LS

j S j St S d S d

N N N

, (3.69)

και αντιστοίχως 0zt . Θα ορίσουμε ως 0 την RMS χρονική έκταση του παλμού στην είσοδο 0z ,

22 2 1 2 220 00

/ ( )zzt t N S d

, (3.70)

και με χρήση των εξ. (3.68), (3.69) και (3.70) η εξ. (3.59) οδηγεί στο παρακάτω γενικό αποτέλεσμα:

2 2 2 20( ) 2p L . (3.71)

Ως εφαρμογή των παραπάνω, θα υπολογισθεί η χρονική διεύρυνση των Γκαουσιανών παλμών με chirp της εξ. (3.48) κατά τη διάδοσης τους σε μία οπτική ίνα λαμβάνοντας υπόψη φαινόμενα διασποράς μέχρι και τρίτης τάξης, δηλαδή διατηρώντας μέχρι και τον κυβικό όρο στο ανάπτυγμα Taylor της εξ. (3.41). Από την εξ. (3.48) προκύπτει άμεσα ότι η RMS έκταση των παλμών στην είσοδο 0 συνδέεται με την σταθερά 0T

Page 71: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.25

μέσω της σχέσης 2 20 0 /2T . Θα επιστρέψουμε στο μετασχηματισμό Fourier του παλμού εισόδου της

εξ. (3.53) που αναλύεται όπως παρακάτω

2 2 2 20 012 2tan( ) 2(1 ) 2(1 )0 2

0 2 1/42

(0, ) ( )(1 )

T T Cj jCj C CTA S e A e e e

C

, (3.72)

και συνεπώς οι ποσότητες 2( )S , ( ) και ( ) που ενδιαφέρουν θα είναι ίσες με

2 20

22

22 2 (1 )0

0 2 1/24

( )(1 )

CS A eC

, (3.73α)

2 2

102

1( ) tan

2(1 )

CC

C

, (3.73β)

20

22

( )(1 )

C

C

. (3.73γ)

Η εξ. (3.71) απαιτεί τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής

21( ) , 0,1,2,3...m

mI S d mN

(3.74)

Τα ολοκληρώματα των περιττών δυνάμεων ( 1,3,5,...m ) είναι προφανώς μηδέν ως γινόμενα άρτιας και περιττής συνάρτησης, ενώ οι άρτιες δυνάμεις υπολογίζονται με τη βοήθεια του ολοκληρώματος

2 221 2 1

0

1 3 5 (2 1)

2a r x

a aa

x e dxr

(3.75)

και τα ολοκληρώματα βρίσκονται ίσα με:

0 1I , (3.76α) 2

2 20

1

4

CI

, (3.76β)

2 2

4 40

3 (1 )

16

CI

. (3.76γ)

Με τη βοήθεια των ολοκληρωμάτων της εξ. (3.76) και εφαρμογή της εξ. (3.71) προκύπτει χωρίς δυσκολία η RMS έκταση του παλμού εξόδου, η οποία βρίσκεται ίση με:

22 22 22 2 3

2 2 2 30 0 0 0

( ) (1 )1

2 2 4 2

p L C L L C L

. (3.77)

Page 72: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.26 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

Είναι φανερό ότι η εξ. (3.77) καταλήγει στην εξ. (3.58) στην περίπτωση που 3 0 . 3.10 Πηγές με πεπερασμένο φασματικό εύρος* Στις ενότητες 3.8 και 3.9 μελετήθηκε η διάδοση παλμών που διαμορφώνουν οπτικές πηγές με απειροστά μικρό φασματικό περιεχόμενο, δηλαδή με άλλα λόγια η οπτική πηγή (laser δίοδος) θεωρήθηκε τέλεια μονοχρωματική. Η παραπάνω θεώρηση ικανοποιείται σε μεγάλο βαθμό σε ορισμένες τύπους πηγών οπτικών επικοινωνιών όπως οι DFB (Distributed Feedback) laser δίοδοι, ενώ σαφώς παραβιάζονται σε πηγές τύπου LED (Light Emitting Diodes) καθώς οι τελευταίες εκπέμπουν ένα διευρυμένο φασματικό περιεχόμενο. Θα επιχειρήσουμε να εξάγουμε στην ενότητα αυτή μία σχέση που γενικεύει την εξ. (3.77) λαμβάνοντας υπόψη το πεπερασμένο φασματικό εύρος της πηγής. Για το σκοπό αυτό το πλάτος εισόδου θα πρέπει να γραφεί ως το γινόμενο δύο συναρτήσεων,

0(0, ) ( ) ( )pA t A t a t , (3.78) με τη συνάρτηση ( )pa t να αναπαριστά το σχήμα του παλμού ενώ η 0( )A t έχει την πληροφορία του πεπερασμένου φασματικού εύρους της πηγής. Η 0( )A t είναι στοχαστική διαδικασία και η μόνη επιπλέον παραδοχή που θα γίνει είναι ότι θα θεωρηθεί στάσιμη. Ο μετασχηματισμός Fourier της ( )pa t θα συμβολίζεται ως ( )pS ενώ ως ( )F θα συμβολίζουμε τον μετασχηματισμό Fourier της 0( )A t , παρά το γεγονός ότι αυστηρά δεν μπορεί να ορισθεί για μία στοχαστική διαδικασία. Είναι φανερό από την εξ. (3.78) ότι ο μετασχηματισμός Fourier (0, )A του πλάτους εισόδου θα δίνεται από τη συνέλιξη ( ) * ( )pF S . Η RMS έκταση των παλμών θα υπολογισθεί από μία εξίσωση ανάλογη της εξ. (3.59),

2 2 2p t t , στην οποία θα υπεισέρχεται και η εκτέλεση μίας μέσης τιμής (ensemble average)

ως προς τα στοχαστικά χαρακτηριστικά της συνάρτησης 0( )A t που περιγράφει το πεπερασμένο φασματικό εύρος της πηγής:

2 2 2p s st t . (3.79)

Αυτό υποδηλώνεται ρητά στην εξ. (3.79) από την παρουσία του τελεστή . .s E που αναφέρεται στη μέση τιμή. Σημειώνεται ότι η πορεία υπολογισμού θα βασιστεί εκ νέου στις εξ (3.61) σύμφωνα με τις παρακάτω σχέσεις

* ( , )( , )s

j A zt E A z d

N

, (3.80α)

22 1 ( , )

sA z

t E dN

, (3.80β)

καθώς η χρήση της εξ. (3.71) είναι προβληματική δεδομένου ότι απαιτείται η άμεση γνώση της φάσης ( ) της (0, )A , η οποία δεν είναι ντετερμινιστική. Θα μας απασχολήσει και πάλι η χαρακτηριστική περίπτωση Γκαουσιανών παλμών με chirping. Η σταθερά κανονικοποίησης N των εξ. (3.80) ορίζεται ως

Page 73: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.27

2 2( , ) (0, )N E A z d E A d

. (3.81α)

και προτρέχοντας σημειώνουμε ότι για την περίπτωση των Γκαουσιανών παλμών της εξ. (3.72) θα προκύψει ίση με

20 04

2N A

. (3.81β)

Θα υπολογίσουμε τον όρο st εξετάζοντας καταρχήν την υπό ολοκλήρωση ποσότητα στην εξ. (3.80α)

* ( , )( , )

A zA z

* * * *( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( )p p p pF S F S j F S F S

, (3.82)

η οποία θα οδηγήσει στους ακόλουθους όρους:

* *1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )s p p

jt E d F S d F S d

N

* *1 1 1 2 2 2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )p pE d F S d F S d

N

. (3.83)

Ο μετασχηματισμός του παλμού ( )pa t είναι γνωστός από την εξ. (3.53) και συνεπώς οι παράγωγοι ως προς που εμφανίζονται στην εξ. (3.83) προκύπτουν εύκολα ίσες με:

2 20

100 1/2

2( )

(1 )jC

pS A ejC

, (3.84α)

22 0

2 22( )

( ) ( )1p pS SjC

. (3.84β)

Επιστρέφοντας στην εξ. (3.83) και εναλλάσσοντας τη σειρά της ολοκλήρωσης και μέσης τιμής λαμβάνεται

2

* *2 01 2 1 2 1 2

2( )( ) ( ) ( ) ( )

1s p pj

t S S E F F d d dN jC

* *1 2 1 2 1 2

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )p pS S E F F d d d

N

. (3.85)

Αποδεικνύεται (βλ Παράρτημα Ι) ότι φασματική συνάρτηση συσχέτισης μίας στάσιμης στοχαστικής διαδικασίας ικανοποιεί τη σχέση

Page 74: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.28 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

*1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) ( )E F F G , (3.86)

όπου ( ) η συνάρτηση Dirac και ( )G ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης

1 2 1 2( , ) (| |)R t t R t t της στοχαστικής διαδικασίας, δηλαδή το φάσμα ισχύος. Το φάσμα ισχύος θα θεωρήσουμε ότι έχει Γκαουσιανή μορφή και θα περιγράφεται από τη σχέση

2122

11

( )2

G e

, (3.87)

με την παράμετρο να εκφράζει το φασματικό εύρος (περιεχόμενο) της πηγής. Εάν η εξ. (3.86) αντικατασταθεί στην εξ. (3.85) και εκτελεστεί η ολοκλήρωση ως προς 2 προκύπτει άμεσα

220

1 1 1 12 1

( ) | ( ) | ( )1s pj

t S G d djC N

21 1 1

1( ) | ( ) | ( )pS G d d

N

. (3.88)

Στην εξ. (3.88) εμφανίζονται ολοκληρώματα δυνάμεων των και 1 που πολλαπλασιάζουν τη συνάρτηση

21 1| ( ) | ( )pS G , τα οποία θα ορίσουμε γενικά ως

21 1 1 1

1| ( ) | ( )m n

mn pI S G d dN

, (3.89)

και σημειώνουμε ότι υπολογίζονται συστηματικά καθώς εμπλέκουν Γκαουσιανές συναρτήσεις. Χωρίς δυσκολία αποδεικνύεται ότι:

00 1I , (3.90α)

10 01 0I I , (3.90β) 2

11I , (3.90γ) 2

220 2

0

1

4

CI

. (3.90δ)

21 0I . (3.90ε) Με τη βοήθεια των εξ. (3.90) η εξ. (3.88) υπολογίζεται τελικά στην τιμή

22

1 3 20

1

28s

Ct L L

. (3.91)

Με όμοια πορεία η εξ. (3.80β) αναλύεται στους ακόλουθους όρους:

Page 75: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.29

42 2 20

1 1 1 12

220

1 1 1 12

2 21 1 1

4 1( ) | ( ) | ( )

1

4 1( ) ( ) | ( ) | ( )

1

1( ) | ( ) | ( )

s p

p

p

t S G d dNC

CS G d d

NC

S G d dN

(3.92)

Ανατρέχοντας στα ολοκληρώματα των εξ. (3.90) υπολογίζονται τα ολοκληρώματα της εξ. (3.92)

22 2 2 2 2 2 2

0 2 1 2 1 3 20

1( )

4s

Ct CL L L

2 2 22 2 2 43 4 2

0 0

3 (1 ) 3 (1 ) 3

64 8 4

C CL

. (3.93)

Οι εξ. (3.91) και (3.93) αντικαθίστανται στην εξ. (3.79) και με απλή αναδιάταξη των όρων προκύπτει η τελική σχέση που περιγράφει την RMS χρονική έκταση Γκαουσιανών παλμών κατά τη διάδοση σε μία ίνα με διασποράς τρίτης τάξης και για οπτική πηγή πεπερασμένου φασματικού εύρους

2 2 222 2 2 22 2 3

2 2 2 30 0 0 0

( )1 (1 ) (1 )

2 2 4 2

p L CL L LV C V

, (3.94)

με την αδιάσταση ποσότητα V να ορίζεται ως 02V . 3.11 Περιορισμοί στο μέγιστο ρυθμό μετάδοσης λόγω διασποράς Η γνώση της χρονικής έκτασης των παλμών επιτρέπει μία άμεση εκτίμηση του μέγιστου επιτρεπόμενου ρυθμού μετάδοσης δεδομένων TB . Ο αντίστροφος του ρυθμού μετάδοσης TB ισούται με τη χρονική διάρκεια του ψηφίου b . Με την υπόθεση Γκαουσιανών παλμών μπορεί εύκολα να υπολογισθεί το κλάσμα p της ενέργειας του παλμού που περιέχεται στη διάρκεια του ψηφίου [ / 2, / 2]b b ,

/2 2

2/2

2

2

exp2

erf2 2

exp2

b

b b

tdt

ptdt

. (3.95)

Εάν η διάρκεια του ψηφίου επιλεγεί ίση με 4b τότε το κλάσμα της εξ. (3.95) προκύπτει ίσο με

erf(2/ 2) 0.954p , δηλαδή πάνω από το 95% της ενέργειας του παλμού παραμένει εντός της «σχισμής» του ψηφίου. Αυτό ισοδύναμα σημαίνει ότι εάν οι παλμοί έχουν χρονική έκταση , ως αποτέλεσμα της διεύρυνσης που έχουν υποστεί λόγω διασποράς, τότε ο ρυθμός μετάδοσης TB θα πρέπει να ικανοποιεί την ανισότητα

Page 76: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.30 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

0.25TB

, (3.96)

προκειμένου να διασφαλισθεί ότι τουλάχιστον το 95% της ενέργειας του παλμού θα περιορίζεται εντός της διάρκειας του ψηφίου. Ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης που προβλέπει η εξ. (3.96), ,max 0.25/TB , αποτελεί ένα πολύ διαδεδομένο κριτήριο σχεδίασης, το οποίο άνευ απόδειξης είχε δοθεί στην εξ. (3.9). 3.11.1 Πηγές μεγάλου φασματικού εύρους Θα εξετάσουμε αρχικά την περίπτωση της διάδοσης παλμών φωτός από πηγή με μεγάλο φασματικό εύρος ( 1V ) μακριά από το σημείο μηδενικής διασποράς GVD. Στην παραπάνω περίπτωση η παράμετρος διασποράς 3 μπορεί να αγνοηθεί όπως επίσης και η παράμετρος chirping. Θέτοντας 3 0 , 0C και λαμβάνοντας 1V στην εξ. (3.94) προκύπτει

22 20 2L . (3.97)

Η ποσότητα 2 2

2 /d d συνδέεται με την παράμετρο διασποράς 1/ /g gD d d dv d -η οποία συνηθέστατα εκφράζεται σε ps/(nm km) - μέσω της σχέσης 2

2(2 / )D c . Το φασματικό εύρος στην κυκλική συχνότητα συνδέεται με το φασματικό εύρος στο μήκος κύματος με τη σχέση

2( /2 )c . Με χρήση των παραπάνω η εξ. (3.97) μπορεί να ξαναγραφεί ως:

220 DL . (3.98)

Εάν επιπλέον θεωρήσουμε ότι 0D L τότε D L , οπότε ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης εκτιμάται από την εξ. (3.96) ίσος με

,max0.25

TB D L . (3.99)

Η παραπάνω ανάλυση επιβεβαιώνει την ισχύ των προσεγγιστικών εξισώσεων της παραγράφου 3.5.3 και συγκεκριμένα τις εξ. (3.23), (3.24) και (3.27), καθιστώντας σαφείς τις προϋποθέσεις εφαρμογής τους. Ενδιαφέρον επίσης συγκεντρώνει η περίπτωση διάδοσης παλμών πηγής με μεγάλο φασματικό εύρος στο σημείο μηδενικής διασποράς GVD, δηλαδή στο σημείο 2 0 . Αυτό καθιστά απαραίτητη τη διατήρηση του όρου 3 και τώρα η εξ. (3.94) προσεγγίζεται ως

22 2 20 3

1

2L . (3.100)

Εάν ορίσουμε την κλίση διασποράς (dispersion slope) 2 2

3(2 / )S c εκφράζεται συνήθως σε μονάδες 2ps/(nm km) η εξ. (3.100) μπορεί να γραφεί

22 2 20

1

2SL . (3.101)

Page 77: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.31

Σημειώνεται ότι η κλίση διασποράς S δεν συμπίπτει γενικά με την κλίση της παραμέτρου διασποράς D , δηλαδή /S dD d . Η κλίση διασποράς S συμπίπτει με την κλίση /dD d μόνο στο σημείο μηδενικής διασποράς ( 2 0 ), καθώς μπορεί εύκολα να δεχθεί η ισχύς της ακόλουθης σχέσης

/ (2 / )dD d D S .

Με την επιπλέον συνθήκη 20S L τότε 2 / 2S L , οπότε ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης

εκτιμάται από την εξ. (3.96) ίσος με

,max 22

4TB

S L . (3.102)

3.11.2 Πηγές μικρού φασματικού εύρους

Στην ενότητα αυτή θα εξετάσουμε τη διάδοση παλμών φωτός που εκπέμπονται από πηγή με μικρό φασματικό εύρος ( 1V ). Μακριά από το σημείο μηδενικής διασποράς GVD μπορεί να ληφθεί

3 0 και επιπλέον θεωρούμε την παράμετρο chirping 0C . Η εξ. (3.94) προβλέπει

22 2 2

002

L

. (3.103)

Είναι φανερό ότι η χρονική έκταση (εύρος) των παλμών στην έξοδο εξαρτάται από την έκταση 0 και συνεπώς το μπορεί να ελαχιστοποιηθεί για την κατάλληλη βέλτιστη επιλογή του αρχικού χρονικού εύρους 0 . Θέτοντας την παράγωγο της εξ. (3.103) ίση με μηδέν, 0/ 0d d προκύπτει η βέλτιστη επιλογή

0 2 /2L , (3.104α)

και η αντίστοιχη ελάχιστη τιμή

2min L . (3.104β)

Σύμφωνα με την εξ. (3.96) ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης για την περίπτωση αυτή θα δίνεται από την

,max2

0.25TB

L . (3.105)

Μπορεί κανείς άμεσα να παρατηρήσει τη σημαντική διαφορά της εξ. (3.105) ως προς την εξ. (3.99), καθώς η πρώτη μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα προς την τετραγωνική ρίζα του μήκους ( L ) ενώ η δεύτερη αντιστρόφως ανάλογα προς το μήκος (L ). Για την περίπτωση διάδοσης παλμών με μικρό φασματικό εύρος στο σημείο μηδενικής διασποράς GVD

2 0 , εξ. (3.94) προσεγγίζεται ως

Page 78: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.32 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

22 2 3

0 204 2

L

. (3.106)

Η βέλτιστη επιλογή του εύρους των παλμών εισόδου 0 προκύπτει και εδώ από την 0/ 0d d η οποία οδηγεί στη σχέση

1/30 3 /4L , (3.107α)

και αντίστοιχη ελάχιστη τιμή

1/33

3min /4

2L . (3.107β)

Ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης προκύπτει από την εξ. (3.107β) και (3.96) ίσος με

,max 1/31/3

33

0.25 0.324

3/4

2

TBLL

. (3.107)

Διαπιστώνεται από την εξ. (3.107) η πολύ ήπια εξάρτηση του μέγιστου ρυθμού μετάδοσης με το μήκος μέσω της τρίτης ρίζας ( 1/3L ), για την περίπτωση διάδοσης παλμών προερχόμενων από πηγές μικρού φασματικού εύρος κοντά στο σημείο μηδενικής διασποράς.

101

102

103

104

10-1

100

101

102

103

Distance in km

Max

Bit

Rate

inG

b/s

16ps/(nm km)D

0

1nm

5nm

330, 0.1ps /kmD

Σχήμα 3.15 Μέγιστος ρυθμός μετάδοσης ως συνάρτηση της απόστασης διάδοσης σε μία μονόρρυθμη ίνα με

16ps /(nm.km)D και φασματικά εύρη πηγής 0,1, 5 nm , σύμφωνα με τις εξ. (3.105) και (3.99). Επιπλέον, με διακεκομμένη γραμμή παρουσιάζεται η περίπτωση διάδοσης στο σημείο μηδενικής διασποράς ( 0D ) και για

33 0.1ps /km , σύμφωνα με την εξ. (3.107).

Page 79: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ 3.33

Στο σχήμα 3.15 συγκεντρώνονται μερικές χαρακτηριστικές περιπτώσεις για μία τυπική μονόρρυθμη ίνα στο μήκος κύματος των 1550nm με 16ps/(nm km)D , και συγκεκριμένα η περίπτωση πηγής μικρού φασματικού εύρους ( 0 ) και οι περιπτώσεις πεπερασμένου φασματικού εύρους 1nm και 5nm . Επίσης, συμπεριλαμβάνεται η περίπτωση 0D όταν 3

3 0.1ps /km για βέλτιστο

0 . 3.12 Αντιστάθμιση διασποράς Από την ενότητα 3.11 έχει γίνει φανερό ότι σε κάθε περίπτωση ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης περιορίζεται σημαντικά από την παράμετρο διασποράς GVD 2 ή ισοδύναμα από την παραμέτρο D . Για το λόγο αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικός ο έλεγχος της διασποράς στα σύγχρονα δίκτυα οπτικών επικοινωνιών με τη χρήση τεχνικών αντιστάθμισης. Η αντιστάθμιση διασποράς αποτελεί μία πλήρως οπτική τεχνική και η γενική ιδέα συνίσταται στην αναγκαστική διέλευση των οπτικών σημάτων μετά την έξοδο τους από ένα μήκος μονόρρυθμης οπτικής ίνας από ένα άλλο μήκος ίνας με διασπορά αντιθέτου προσήμου, σχήμα 3.16. Οι συνήθεις μονόρρυθμες ίνες στο παράθυρο των 1550nm χαρακτηρίζονται από ανώμαλη διασπορά με

2 0 και συνεπώς η παράμετρος 0D με τυπικές τιμές 17ps/(nm km)D . Αυτό σημαίνει ότι οι ίνες αντιστάθμισης διασποράς (dispersion compensating fibers, DCF) θα χαρακτηρίζονται από 2 0 ( 0D ) και θα ήταν επιθυμητό οι σχετικές απόλυτες τιμές να είναι κατά το δυνατόν μεγάλες. Ανατρέχοντας στην εξ. (3.51) και με εφαρμογή αυτής στο συνδυασμό των δύο ινών του σχήματος 3.16 προκύπτει το πλάτος εξόδου:

22,1 1 2,2 2

1( )

21 2

1( , ) (0, )

2

j L L j tA L L t A e e d

(3.108)

όπου 2,m ( 1,2m ) η GVD παράμετρος της ίνα με αντίστοιχο μήκος mL . Εάν τα μήκη των δύο ινών επιλεγούν κατάλληλα έτσι ώστε ο συντελεστής του όρου 2 να μηδενισθεί,

2,1 1 2,2 2 0L L , (3.109)

τότε το πλάτος εξόδου καταλήγει να συμπίπτει με αυτό της εισόδου, 1 2( , ) (0, )A L L t A t . Αυτό σημαίνει ότι παλμοί στην έξοδο ανακτούν πλήρως τη μορφή που έχουν στην είσοδο, ανεξάρτητα από την παραμόρφωση-διασπορά που τυχόν έχουν υποστεί κατά τη διάδοση στο πρώτο μήκος 1L . Η συνθήκη της εξ. (3.109) μπορεί να γραφεί και ως

1 1 2 2 0D L D L , (3.110)

από την οποία και υπολογίζεται το απαιτούμενο μήκος 2L ίσο με

12 1

2

DL L

D . (3.111)

Από την εξ. (3.111) γίνεται φανερό ότι προκειμένου να αντισταθμιστεί η διασπορά των μονόρρυθμων ινών με σχετικά μικρά μήκη ινών DCF, απαιτείται στην πράξη οι τελευταίες να έχουν μεγάλες αρνητικές τιμές της παραμέτρου 2D . Το μικρό μήκος της DCF ίνας εξασφαλίζει την περιορισμένη εισαγωγή επιπλέον απωλειών στο σύστημα.

Page 80: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 3.34 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΠΤΙΚΕΣ ΙΝΕΣ: ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ

Σημειώνεται ότι επειδή η διασπορά είναι ένα γραμμικό φαινόμενο, η αντιστάθμιση μπορεί θεωρητικά να γίνει σε οποιοδήποτε σημείο της ζεύξης (αρχή, μέση ή τέλος της ίνας). Επίσης, δεν είναι αναγκαίο να γίνεται πλήρης αντιστάθμιση της συσσωρευμένης διασποράς, καθώς και η μερική αντιστάθμιση μπορεί να προσφέρει αξιόλογη βελτίωση στις επιδόσεις του συστήματος.

SMF

DCF

Input bit stream After SMF After DCF

1 1, 0L D

2 2, 0L D

Σχήμα 3.16 Αντιστάθμιση της διασποράς που συσσωρεύτηκε στην έξοδο μίας μονόρρυθμης ίνας (SMF) μήκους 1L και θετικής παραμέτρου διασποράς 1D από ένα μήκος ίνα αντιστάθμισης διασποράς (DCF) μήκους 2L και αρνητικής παραμέτρου διασποράς 2D . Στο σχήμα 3.17 φαίνονται οι μετρήσεις στην είσοδο, έξοδο και μετά την ίνα DCF ενός συστήματος επικοινωνιών οπτικών ινών. Στην πρώτη γραμμή παρουσιάζεται η μορφή των παλμών στο χρόνο στην είσοδο, στη δεύτερη στην έξοδο της μονόρρυθμης οπτικής ίνας μήκους 50 km και διασποράς 15.6ps/(nm km) με τα φαινόμενα της διασποράς να είναι ιδιαίτερα έντονα, ενώ η τελευταία γραμμή δίνει τη μορφή των παλμών μετά από μία διπλή διέλευση από ένα μήκος DCF ίνας 720 m και διασποράς

600ps/(nm km) . Η αποτελεσματικότητα του συστήματος αντιστάθμισης είναι πέρα από εμφανής με την σχεδόν πλήρη αποκατάσταση των παλμών.

Σχήμα 3.17. Μορφή παλμών στο χρόνο στην είσοδο, έξοδο ίνας 50 km και μετά τη διέλευση από το κατάλληλο μήκος ίνας αντιστάθμισης διασποράς.

Page 81: Οπτικές Επικοινωνίες

4

ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.1 Γενικά Η οπτική πηγή αποτελεί το ενεργό εξάρτημα του οπτικού συστήματος επικοινωνιών που μετατρέπει την ηλεκτρική ενέργεια (στη συνηθέστερη περίπτωση ηλεκτρικό ρεύμα) σε οπτική ενέργεια, και η τελευταία έχει την κατάλληλη μορφή έτσι ώστε να μπορεί να συζευχθεί με ένα οπτικό κυματοδηγό, όπως μία οπτική ίνα. Οι οπτικές πηγές διαχωρίζονται σε τρεις πολύ γενικές κατηγορίες, όπως παρακάτω:

Ευρείας ζώνης με συνεχές φάσμα εκπομπής, όπως για παράδειγμα ένας λαμπτήρας πυρακτώσεως. Μονοχρωματικές με χαμηλό βαθμό συμφωνίας ή ασύμφωνες πηγές, όπως η δίοδος εκπομπής φωτός

(light emitting diode, LED). Μονοχρωματικές σύμφωνες πηγές, όπως τα lasers και οι laser δίοδοι (laser diodes).

Οι γενικές απαιτήσεις που θέτουμε για τις πηγές φωτός προκειμένου να είναι κατάλληλες για οπτικές επικοινωνίες μπορούν να συνοψισθούν στα παρακάτω σημεία:

Η εκπομπή του φωτός θα πρέπει να γίνεται με τρόπο που να διευκολύνει τη σύζευξη με τις οπτικές ίνες και ιδανικά θα πρέπει να είναι πολύ κατευθυντική.

Θα πρέπει να υπάρχει μία ακριβής αντιστοίχιση του ηλεκτρικού σήματος με το εκπεμπόμενο φως. Ιδανικά η σχέση αυτή θα είναι γραμμική.

Η εκπομπή θα πρέπει να είναι σε μήκη κύματος που οδηγούν σε χαμηλές τιμές απωλειών και διασποράς στην ίνα. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αποκτά η εκπομπή στα παράθυρα των 1300 και 1550 nm.

Ενδιαφέρει η δυνατότητα απλής (απευθείας) διαμόρφωση της πηγής και σε μεγάλο εύρος ζώνης που θα καλύπτει τη συχνοτική περιοχή από KHz μέχρι αρκετά GHz.

Η εκπεμπόμενη οπτική ισχύς θα πρέπει να είναι ικανή ώστε να υπερκαλύπτονται οι απώλειες μετάδοσης και να καταλήγει τελικά επαρκής ισχύς στο δέκτη. Ισχύος στην περιοχή των μερικών ή δεκάδων mW καλύπτει ένα σημαντικό εύρος εφαρμογών.

Το φασματικό περιεχόμενο της πηγής θα πρέπει να είναι κατά το δυνατόν στενό ( ) για τον περιορισμό της διασποράς σύμφωνα με όσα προηγήθηκαν στο κεφάλαιο 3.

Η οπτική ισχύς εξόδου θα πρέπει να διατηρείται κατά το δυνατόν σταθερή σε μεταβολή των εξωτερικών συνθηκών (όπως η θερμοκρασία) καθώς επίσης και με τη γήρανση του εξαρτήματος.

Η τεχνολογία τους θα πρέπει να είναι φθηνή και αξιόπιστη. Η πρώτη γενιά πηγών οπτικών επικοινωνιών εξέπεμπε στα μήκη κύματος 0.8-0.9 μm και χρησιμοποιήθηκε σε συνδυασμό με πολύρρυθμες ίνες βηματικού δείκτη, οι οποίες όμως χαρακτηρίζονταν από πολύ φτωχές επιδόσεις. Αναπτύχθηκαν πηγές στερεάς κατάστασης, όπως οι LD και τα LED, αλλά τα τελευταία είχαν πολύ περιορισμένες δυνατότητες. Το LED θα βρει περισσότερες εφαρμογές με την εισαγωγή και εξέλιξη των ινών βαθμιδωτού δείκτη για τον περιορισμό της διασποράς. Επόμενες γενιές

Page 82: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.2 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

πηγών κάλυψαν τα μήκη κύματος 1.1–1.6 μm και εκμεταλλεύτηκαν τις μειωμένες απώλειες και τη χαμηλή διασπορά που προσφέρουν τα παραπάνω μήκη κύματος. Τα LED μπορούν να χρησιμοποιηθούν με επιτυχία σε μικρές αποστάσεις με τη βοήθεια ινών βαθμιδωτού δείκτη ή σε άλλες εφαρμογές όπως οπτικές ζεύξεις ελεύθερου χώρου (στο εσωτερικό κτιρίων) και χαρακτηρίζονται από φθηνή κατασκευή και μεγάλη αξιοπιστία. Οι μονόρρυθμες ίνες διαθέτουν τεράστιο εύρος ζώνης και αποτελούν ιδανική επιλογή για επικοινωνίες μακρινών αποστάσεων σε συνδυασμό με πηγές laser διόδων. Οι τελευταίες έχουν πολύ ανώτερα χαρακτηριστικά σε σχέση με αυτά των LED. 4.2 Βασικές αρχές Το Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) είναι ένας οπτικός ταλαντωτής. Περιλαμβάνει ένα στοιχείο με κέρδος σε συνδυασμό με ένα στοιχείο με επιλεκτική συμπεριφορά στη συχνότητα όπως έναν οπτικό συντονιστή (οπτική κοιλότητα). Το φως που εκπέμπεται είναι «καθαρή» μονοχρωματική ακτινοβολία και στην περίπτωση αυτή η πηγή χαρακτηρίζεται ως σύμφωνη (coherent). Σε αντίθεση το LED προσφέρει οπτική εκπομπή χωρίς εσωτερικό μηχανισμό κέρδους με αρκετά μεγαλύτερο φασματικό εύρος και έτσι χαρακτηρίζεται ως ασύμφωνη (incoherent) πηγή. 4.2.1 Απορρόφηση και εκπομπή ακτινοβολίας Η αλληλεπίδραση φωτός και ύλης γίνεται σε διακριτά πακέτα ενέργειας τα οποία καλούμε φωτόνια1(photons). Στην κβαντική θεωρία τα άτομα υφίστανται σε διακριτές ενεργειακές καταστάσεις και η απορρόφηση ή η εκπομπή φωτός προκαλεί τη μετάβαση των ατόμων ανάμεσα σε αυτές τις ενεργειακές στάθμες. Η συχνότητα της απορροφούμενης ή εκπεμπόμενης ακτινοβολίας f σχετίζεται με τη διαφορά ενέργειας των δύο καταστάσεων σύμφωνα με τη σχέση

2 1E E E hf (4.1)

όπου 346.626 10h Js η σταθερά του Planck. Διαφορετικές ενεργειακές στάθμες για τα άτομα αντιστοιχούν σε διαφορετικές καταστάσεις των ηλεκτρονίων τους. Μετάβαση ενός ηλεκτρονίου ανάμεσα σε δύο ενεργειακά επίπεδα μέσα σε ένα άτομο προκαλεί αλλαγή στην ενέργεια και μπορεί να οδηγήσει στην απορρόφηση ή στην εκπομπή ενός φωτονίου. Διακρίνονται τρεις βασικοί μηχανισμοί αλληλεπίδρασης φωτός και ύλη: η απορρόφηση (absorption), η αυθόρμητη εκπομπή (spontaneous emission) και η εξαναγκασμένη εκπομπή (stimulated emission). Στην απορρόφηση ένα φωτόνιο απορροφάται προσφέροντας ενέργεια σε ένα άτομο το οποίο και μεταβαίνει από τη χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση 1E στην υψηλότερη 2E . Στην αυθόρμητη εκπομπή το άτομο μεταβαίνει από την υψηλότερη κατάσταση 2E στη χαμηλότερη 1E απελευθερώνοντας ένα φωτόνιο και η όλη διαδικασία χαρακτηρίζεται από τυχαιότητα. Τέλος, στην εξαναγκασμένη εκπομπή ένα φωτόνιο ενέργειας 2 1E E αλληλεπιδρά με ένα άτομο το οποίο βρίσκεται στην υψηλότερη ενεργειακή κατάσταση

2E και αυτό μεταβαίνει στη χαμηλότερη 1E με την εκπομπή δεύτερου φωτονίου ομοίων χαρακτηριστικών με αυτό που προκάλεσε τη μετάβαση. 4.2.2 Σχέσεις του Einstein Ο Einstein το 1917 μελέτησε τη συμπεριφορά ενός ατομικού συστήματος που βρίσκεται σε θερμική ισορροπία. Στην περίπτωση αυτή ο αριθμός των μεταβάσεων από την υψηλότερη προς τη χαμηλότερη

1 Στο φωτόνιο μπορούν να αποδοθούν ιδιότητες σωματιδίου και κύματος, όπως και στο ηλεκτρόνιο.

Page 83: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.3

ενεργειακή στάθμη είναι ίσος με τον αριθμό των μεταβάσεων από τη χαμηλότερη προς την υψηλότερη. Το σύστημα έχει δύο ενεργειακές στάθμες 1 2,E E ενώ οι αντίστοιχες πυκνότητες των ατόμων (άτομα στη μονάδα του όγκου) θα χαρακτηρίζονται ως 1 2,N N . Τα 1 2,N N συχνά αναφέρονται και ως «πληθυσμοί». Η κατανομή ή στατιστική του Boltzmann καθορίζει το λόγο των παραπάνω πυκνοτήτων σύμφωνα με τη σχέση

12 1

2

/( )/ /1 1 1 1

/2 2 22

E KTE E KT hf KT

E KTN g e g g

e eN g gg e

, (4.2)

όπου 1 2,g g είναι σταθεροί συντελεστές που χαρακτηρίζονται ως εκφυλισμοί (degeneracies) των επιπέδων ενέργειας 1 2,E E . Ο συντελεστής 231.381 10 /K oJ K είναι η σταθερά του Boltzmann και T είναι η απόλυτη θερμοκρασία.

Σχήμα 4.1 Αλληλεπίδραση φωτός και ύλης: (α) απορρόφηση, (β) αυθόρμητη εκπομπή και (γ) εξαναγκασμένη εκπομπή. Η κουκίδα φανερώνει την ενεργειακή κατάσταση του ατόμου πριν και μετά τη μετάβαση.

Ο ρυθμός των μεταβάσεων (μεταβάσεις στη μονάδα του όγκου και στη μονάδα του χρόνου) από τη στάθμη 1 προς τη στάθμη 2 θα είναι ίσος με

12 1 12fR N B , (4.3)

δηλαδή ανάλογος της πυκνότητας ατόμων στην κατάσταση 1, της φασματικής πυκνότητας της ενέργειας ακτινοβολίας f − διαστάσεις 3J/(m Hz) − για τη συχνότητα μετάβασης f και τέλος του συντελεστή

12B ο οποίος καλείται συντελεστής απορρόφησης του Einstein. Ο 12B έχεις διαστάσεις 3 2m /(J s ) . Ο ρυθμός των μεταβάσεων από τη στάθμη 2 προς τη στάθμη 1 θα δίνεται αντίστοιχα από τη σχέση:

Page 84: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.4 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

21 2 21 2 21fR N A N B , (4.4)

όπου το 21A (μονάδες 1/s ) είναι ο συντελεστής Einstein αυθόρμητης εκπομπής και το 21B ο συντελεστής Einstein εξαναγκασμένης εκπομπής. Στην κατάσταση θερμικής ισορροπίας αναμένει κανείς ότι οι ρυθμοί των εξ. (4.3) και (4.4) ταυτίζονται, δηλαδή 12 21R R . Λύνοντας τη σχέση ως προς τη φασματική πυκνότητα της ενέργειας ακτινοβολίας f προκύπτει

21 211 12 2 21 2 21

12 1 21 2

/

/ 1f f fA B

N B N A N BB N B N

. (4.5)

Αντικαθιστώντας στην εξ. (4.5) την εξ. (4.2) διαμορφώνεται τελικά το παρακάτω αποτέλεσμα

21 21/1 12

2 21

/

1f

hf KT

A Bg B

eg B

. (4.6)

Υποπτεύεται κανείς ότι η παραπάνω φασματική πυκνότητα ακτινοβολίας θα πρέπει να συμπίπτει με αυτή του «μέλανος σώματος», όπως δίδεται από την εξίσωση του Planck

3

3 /8 1

1f hf KT

hf

c e

. (4.7)

Με την απλή παραδοχή ότι 1 2g g και με απευθείας σύγκριση των εξ. (4.6) και (4.7) προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών Einstein:

12 21B B , (4.8α) 3

21 2138 hf

A Bc

. (4.8β)

Η εξ (4.8α) φανερώνει ότι η πιθανότητα απορρόφησης είναι ίση με την πιθανότητα εξαναγκασμένης εκπομπής. Εάν σχηματισθεί ο λόγος του ρυθμού εξαναγκασμένης εκπομπής προς το ρυθμό αυθόρμητης εκπομπής αυτός θα είναι ίσος με

21/

21

1

1

fhf KT

B

A e

Stimulated Emission Rate

Spontaneous Emission Rate. (4.9)

Αντικαθιστώντας τυπικές τιμές στην εξ. (4.9), όπως για παράδειγμα μήκος κύματος 500 nm και

1000KT διαπιστώνεται ότι ο λόγος εξαναγκασμένης προς αυθόρμητη εκπομπή είναι της τάξης του 1310 ! Ο παραπάνω αριθμός είναι αποκαλυπτικός και φανερώνει ότι σε συστήματα που βρίσκονται σε

θερμοδυναμική ισορροπία η αυθόρμητη εκπομπή είναι ο κυρίαρχος μηχανισμός και βέβαια λόγω της τυχαιότητας που τον χαρακτηρίζει η εκπεμπόμενη ακτινοβολία θα είναι ασύμφωνη. Άρα, για να καταστεί εφικτή η κατασκευή σύμφωνων πηγών και η ενίσχυση της οπτικής δέσμης θα πρέπει με κάποιο τρόπο η εξαναγκασμένη εκπομπή να κυριαρχήσει στους μηχανισμούς της απορρόφησης και της αυθόρμητης εκπομπής.

Page 85: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.5

4.2.3 Πληθυσμιακή αντιστροφή Για να υπάρχει οπτική ενίσχυση θα πρέπει η υψηλότερη ενεργειακή στάθμη ( 2E ) να έχει μεγαλύτερο αριθμό ατόμων σε σχέση με τη χαμηλότερη στάθμη ( 1E ), κάτι το οποίο δεν συμφωνεί με την πρόβλεψη της κατανομής Boltzmann σε συνθήκες θερμικής ισορροπίας, σύμφωνα με το σχήμα 4.2(α). Η κατάσταση

2 1N N χαρακτηρίζεται πληθυσμιακή αντιστροφή (population inversion) και παρουσιάζεται στο σχήμα 4.2(β). Είναι φανερό σύμφωνα με την ενότητα που προηγήθηκε ότι ένα σύστημα με δύο στάθμες δεν προσφέρεται για πληθυσμιακή αντιστροφή. Συνήθως χρησιμοποιούνται συστήματα τριών ή τεσσάρων ενεργειακών σταθμών και μία εξωτερική πηγή ενέργειας.

Σχήμα 4.2 Σύστημα δύο ενεργειακών σταθμών: (α) κατανομή Boltzmann σε συνθήκες θερμικής ισορροπίας, (β) πληθυσμιακή αντιστροφή σε συνθήκες μη-ισορροπίας. Στα συστήματα τριών ή τεσσάρων ενεργειακών σταθμών, όπως το κρυσταλλικό laser ρουμπινιού (ruby laser) με 3 στάθμες ή το laser αερίου He-Ne με 4 στάθμες, η αρχική ατομική κατανομή ακολουθεί το νόμο του Boltzmann. Θα εξετάσουμε καταρχήν την περίπτωση του σχήματος 4.3(α). Με κατάλληλη άντληση, που επιτυγχάνεται με εφαρμογή μία έντονης ακτινοβολίας που προέρχεται από μία λάμπα ή κάποιο RF πεδίο υψηλής συχνότητας, άτομα διεγείρονται στην υψηλότερη στάθμη 2E . Τα άτομα πολύ γρήγορα μεταβαίνουν χωρίς ακτινοβολία στη στάθμη 1E , η οποία επιλέγεται να έχει μεγάλο χρόνο ζωής επιτρέποντας τη συσσώρευση μεγάλου αριθμού ατόμων σε αυτήν. Η στάθμη αυτή χαρακτηρίζεται ως μετασταθής (metastable). Κάποια στιγμή ο αριθμός των ατόμων 1N ξεπερνά τον αριθμό 0N της στάθμης αναφοράς και δημιουργούνται συνθήκες πληθυσμιακής αντιστροφής. Αυτό αποτελεί και την προϋπόθεση για την εμφάνιση εξαναγκασμένης εκπομπής και δράσης laser. Ένα σύστημα 3 επιπέδων χαρακτηρίζεται συχνά από μεγάλες απαιτήσεις σε ισχύ άντλησης, πράγμα το οποίο οδηγεί σε διατάξεις που μπορεί να μην είναι πρακτικές. Ένα σύστημα 4 επιπέδων, σχήμα 4(β), έχει πολύ μικρότερες απαιτήσεις για την ισχύ άντλησης με χαρακτηριστικό παράδειγμα το laser αερίου Helium-Neon (He-Ne), το οποίο είναι μία ευρύτατα χρησιμοποιούμενη εργαστηριακή πηγή2. Στο laser αυτό τα άτομα του He διεγείρονται στην υψηλή ενεργειακή στάθμη (20.61eV ) με την άντληση που λαμβάνει τη μορφή ηλεκτρικής εκκένωσης. Ακολούθως η ενέργεια μεταφέρεται μέσω συγκρούσεων στα άτομα του Ne, τα οποία συσσωρεύονται στη μετασταθή ζώνη προκειμένου να λάβει χώρα το lasing ανάμεσα στα επίπεδα 20.66 και 18.7 eV . Μετά την ολοκλήρωση της εκπομπής, τα άτομα του Ne από το επίπεδο των 18.7 eV μεταπίπτουν σε

2 Στο εργαστήριο συνήθως χρησιμοποιείται το laser He-Ne με τη μετάβαση που δίνει κόκκινο φως στα 633 nm.

Page 86: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.6 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

χαμηλότερες στάθμες μέσω αυθόρμητης εκπομπής και τελικά επιστρέφουν στη στάθμη αναφοράς (δηλαδή σε αυτήν της μικρότερης ενέργειας).

Σχήμα 4.3 Διαγράμματα ενεργειακών επιπέδων σε κοινά συστήματα laser: (α) σύστημα 3 επιπέδων στο κρυσταλλικό laser ρουμπινιού, (β) σύστημα 4 επιπέδων στο laser αερίου He-Ne. 4.2.4 Οπτική ανάδραση Κατά την εξαναγκασμένη εκπομπή ένα φωτόνιο προκαλεί την εκπομπή ενός δεύτερου φωτονίου και τα δύο αυτά με τη σειρά τους θα απελευθερώσουν άλλα δύο και η διαδικασία αυτή θα συνεχισθεί λαμβάνοντας τη μορφή «χιονοστιβάδας». Καθώς τα εκπεμπόμενα φωτόνια είναι σε φάση, αντίστοιχα θα είναι σε φάση τα σχετιζόμενα ηλεκτρομαγνητικά κύματα και τελικά θα προκύψει σύμφωνη ακτινοβολία που διαρκώς θα ενισχύεται. Τα φωτόνια θα πρέπει να περιορίζονται χωρικά και αυτό εξασφαλίζεται από μία οπτική κοιλότητα συντονισμού, η οποία θα περιέχει το μέσο που προσφέρει την ενίσχυση και θα παρέχει θετική ανάδραση. Η οπτική κοιλότητα μπορεί να σχηματισθεί από δύο επίπεδα ή σφαιρικά κάτοπτρα στα άκρα του μέσου ενίσχυσης (ενεργό μέσο), σύμφωνα με το σχήμα 4.4. Το οπτικό σήμα θα ταξιδέψει πολλές φορές μέσα στην κοιλότητα με τη βοήθεια ανακλάσεων και σε κάθε διαδρομή θα ενισχυθεί. Το ένα από τα δύο κάτοπτρα του συντονιστή θα πρέπει να είναι μερικώς διαπερατό, έτσι ώστε να επιτραπεί στην ακτινοβολία που θα παραχθεί να αφήσει την κοιλότητα. Ο παραπάνω τύπος συντονιστή είναι ο πλέον διαδεδομένος και είναι γνωστός ως συντονιστής Fabry-Perot.

Σχήμα 4.4 Βασική δομή ενός laser με επίπεδα κάτοπτρα που σχηματίζουν ένα συντονιστή Fabry-Perot. Προκειμένου η διάταξη laser να έχει σταθερή ισχύ στην έξοδο (λειτουργία CW) θα πρέπει το οπτικό κέρδος να αντισταθμίζει τις απώλειες. Απώλειες μπορούν να αποδοθούν σε πολλούς μηχανισμούς, όπως απορρόφηση στο μέσο, σκέδαση, παράθλαση στα κάτοπτρα, απώλειες στα κάτοπτρα κτλ. Ταλαντώσεις αναμένονται μόνο στη μικρή εκείνη ζώνη συχνοτήτων που το κέρδος ξεπερνά τις συνολικές απώλειες. Συνεπώς, η εκπεμπόμενη ακτινοβολία δεν θα είναι τέλεια μονοχρωματική αλλά θα χαρακτηρίζεται γενικά

Page 87: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.7

από κάποιο μικρό πεπερασμένο φασματικό εύρος. Το σχήμα 4.5 δείχνει την ενδεικτική μορφή της καμπύλης κέρδους ενός laser.

Σχήμα 4.5 Ενδεικτική καμπύλη κέρδους laser. Οι ακριβείς συχνότητες εκπομπής καθορίζονται από τον οπτικό συντονιστή. Για να αναπτυχθεί η εκπεμπόμενη ακτινοβολία θα πρέπει η διαφορά φάσης σε μία πλήρη διαδρομή μέσα στην κοιλότητα να είναι ίση με ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2 , προκειμένου να υπάρχει θετική συμβολή. Με αναφορά στο σχήμα 4.4 και θεωρώντας ότι ο δείκτης διάθλασης του μέσου είναι ίσος με n θα πρέπει να ισχύει:

22 2 2 2 ; 1,2,...

/ 2

f qcL q L q f q

c n nL

(4.10)

Η εξ. (4.10) ορίζει διακριτές συχνότητες συντονισμού σύμφωνα με τη σχέση /2qf qc nL . Οι παραπάνω συχνότητες συνιστούν ένα διακριτό φάσμα με σταθερή απόσταση διαχωρισμού f ίση με

1 2q qc

f f fnL

. (4.11)

Είναι χρήσιμο να προσδιορίσει κανείς το διάστημα που αντιστοιχεί στο παραπάνω f . Αυτό γίνεται εύκολα διαφορίζοντας τη σχέση c f και λύνοντας ως προς

2

0 ,f f

f f f ff c

. (4.12)

Αντικαθιστώντας την εξ. (4.11) στην εξ. (4.12) προσδιορίζεται η απόσταση διαχωρισμού των ρυθμών συντονισμού της κοιλότητας και βρίσκεται κατ’ απόλυτη τιμή ίση με

2

2nL

. (4.13)

Οι παραπάνω εξισώσεις για τον οπτικό συντονιστή προβλέπουν έναν άπειρο αριθμό ρυθμών συντονισμού. Είναι προφανές ότι μόνο οι ρυθμοί που βρίσκονται «κάτω» από την καμπύλη κέρδους μπορούν να εμφανισθούν στην έξοδο του laser, όπως αποτυπώνεται στο σχήμα 4.6. Οι ρυθμοί αυτοί που μόλις περιγράψαμε χαρακτηρίζονται ως διαμήκεις (longitudinal) ρυθμοί laser και συναρτώνται με την απόσταση L των κατόπτρων.

Page 88: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.8 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

Σχήμα 4.6 (α) Ρυθμοί της κοιλότητας συντονισμού. (β) Διαμήκεις ρυθμοί στην έξοδο του laser. Εκτός από τους διαμήκεις ρυθμούς μπορεί να υπάρχουν και εγκάρσιοι ρυθμοί, οι οποίο συχνά είναι εγκάρσιοι ηλεκτρικοί και μαγνητικοί και χαρακτηρίζονται με τη βοήθεια δύο ακέραιων δεικτών ως

lmTEM . Οι ρυθμοί αυτοί περιγράφουν τη μορφή του πεδίου στην εγκάρσια διατομή του laser (δηλαδή κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του φωτός) και ενδεικτικές διανομές των ρυθμών αυτών δίνονται στο σχήμα 4.7. Το μεγαλύτερο βαθμό συμφωνίας και φασματικής καθαρότητας θα τον προσφέρουν εκείνα τα laser που λειτουργούν χρησιμοποιώντας ως μοναδικό ρυθμό τον εγκάρσιο ρυθμό χαμηλότερης τάξης

00TEM .

Σχήμα 4.7 Χαμηλότεροι εγκάρσιοι ρυθμοί lmTEM ενός laser: οι δείκτες l και m υποδηλώνουν τον αριθμό των μηδενισμών κατά τους άξονες x και y , αντίστοιχα. 4.2.5 Συνθήκη ταλάντωσης laser Έχουμε ήδη αναφέρει ότι το κέρδος θα πρέπει να αντισταθμίζει τις συνολικές απώλειες για CW (Continuous Wave) λειτουργία. Η πληθυσμιακή αντιστροφή είναι συνθήκη αναγκαία για τη λειτουργία του laser όχι όμως και ικανή. Εάν g είναι ο συντελεστής κέρδους ανά μονάδα μήκους, ένας συντελεστής που συγκεντρώνει όλους τους μηχανισμούς απωλειών ανά μονάδα μήκους και 1 2,r r είναι οι συντελεστές ανάκλασης ισχύος των κατόπτρων τότε σε μία πλήρη διαδρομή μέσα στο συντονιστή αναμένει κανείς

Απώλειες: 21 2

Lr r e (4.14α)

Κέρδος: 2gLe (4.14β)

Page 89: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.9

Για να αντισταθμίζει το κέρδος τις απώλειες θα πρέπει το γινόμενο των εξ. (4.14) να είναι ίσο με τη μονάδα

22 2( )1 2 1 21 1

gLL g Lr r e e r r e . (4.15)

Η εξ. (4.15) μπορεί να λυθεί ως προς το κέρδος και το αποτέλεσμα θα εκφράζει την τιμή κέρδους κατωφλίου

th1 2

1 1ln

2g

L r r . (4.16)

4.3 Εκπομπή από ημιαγωγούς 4.3.1 Βασικές έννοιες Θα παραθέσουμε αρχικά μερικά βασικά στοιχεία για τους ημιαγωγούς. Ένας ημιαγωγός χωρίς ακαθαρσίες ή ατέλειες στο πλέγμα του χαρακτηρίζεται ως intrinsic και οι ενεργειακές του ζώνες φαίνονται στο σχήμα 4.8. Διακρίνει κανείς τη ζώνη σθένους (valence band) και τη ζώνη αγωγιμότητας (conduction band), οι οποίες διαχωρίζονται από το απαγορευμένο ενεργειακό διάκενο gE . Σε θερμοκρασίες μεγαλύτερες του απόλυτου μηδέν, κάποια ηλεκτρόνια λόγω θερμικής διέγερσης είναι δυνατόν να μετακινηθούν από τη ζώνη σθένους στη ζώνη αγωγιμότητας αφήνοντας κενές κβαντικές καταστάσεις. Οι κενές καταστάσεις στη ζώνη σθένους είναι γνωστές ως οπές (holes). Τα ηλεκτρόνια στη ζώνη αγωγιμότητας και οι οπές στη ζώνη σθένους είναι υπεύθυνα για την αγωγιμότητα του υλικού και συνολικά καλούνται φορείς. Σε έναν ημιαγωγό σε θερμική ισορροπία η κατάληψη των ενεργειακών επιπέδων περιγράφεται από την κατανομή Fermi-Dirac. Η πιθανότητα να καταλάβει ένα ηλεκτρόνιο το επίπεδο ενέργειας E στη θερμοκρασία T είναι ίση με

1

( )1 exp ( )/F

p EE E KT

. (4.17)

Στην εξ. (4.17) K είναι η σταθερά του Boltzmann ενώ η ποσότητα FE είναι η ενέργεια Fermi ή στάθμη Fermi, η οποία αντιστοιχεί σε πιθανότητα ( ) 1/2p E . Η ενέργεια Fermi είναι μία μαθηματική παράμετρος που δίνει μία ιδέα της κατανομής των φορέων στο υλικό. Η στάθμη Fermi σε ένα intrinsic ημιαγωγό τοποθετείται στο μέσο του διακένου, σχήμα 4.8, και προϊδεάζει για τη μικρή πιθανότητα να βρεθούν ηλεκτρόνια σε ενεργειακές στάθμες στο κάτω μέρος της ζώνης αγωγιμότητας και αντίστοιχα οπές σε ενεργειακές στάθμες στο πάνω μέρος της ζώνης σθένους. Αύξηση της θερμοκρασίας έχει ως αποτέλεσμα τη μεγαλύτερη διείσδυση της «ουράς» της κατανομής Fermi-Dirac στη ζώνη αγωγιμότητας και άρα την αύξηση της πιθανότητας κατάληψης υψηλότερων ενεργειακών καταστάσεων. Ένας ημιαγωγός χαρακτηρίζεται ως extrinsic όταν ντοπάρεται με προσμίξεις. Οι προσμίξεις χαρακτηρίζονται ως δότες (donors) όταν προσφέρουν ηλεκτρόνια αυξάνοντας τον αριθμό των ελεύθερων ηλεκτρονίων και ως αποδέκτες (acceptors) όταν προσφέρουν οπές. Η προσθήκη δοτών ανυψώνει τη στάθμη Fermi από το μέσο του διακένου προς τη ζώνη αγωγιμότητας ενώ η προσθήκη αποδεκτών υποβιβάζει τη στάθμη Fermi από το μέσο του διακένου προς τη ζώνη σθένους, όπως ενδεικτικά φαίνεται στο σχήμα 4.9. Ένας ημιαγωγός με δότες χαρακτηρίζεται τύπου-n και οι φορείς πλειονότητας είναι ηλεκτρόνια ενώ ένας ημιαγωγός με αποδέκτες χαρακτηρίζεται τύπου-p και οι φορείς πλειονότητας είναι οπές. Για παράδειγμα, το Si ανήκει στην ομάδα IV του περιοδικού συστήματος και έχει τέσσερα εξωτερικά ηλεκτρόνια. Άτομα από την ομάδα V (As, P) έχουν αντίστοιχο μέγεθος με το Si αλλά 5 ηλεκτρόνια. Εάν ένα τέτοιο άτομο αντικαταστήσει στο πλέγμα ένα άτομο Si τότε θα χρησιμοποιήσει τα 4 από τα 5 ηλεκτρόνια για τη σύναψη

Page 90: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.10 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

δεσμών ενώ το πέμπτο ηλεκτρόνιο αποκολλάται εύκολα από το άτομο (αφήνοντας ένα θετικά φορτισμένο ιόν) και είναι διαθέσιμο για αγωγιμότητα. Άρα, τα στοιχεία της ομάδας V είναι στην περίπτωση αυτή δότες. Στοιχεία της ομάδας III (Al, Ga, In) έχουν τρία ηλεκτρόνια και είναι αποδέκτες οδηγώντας στη δημιουργία οπών.

Σχήμα 4.8 Intrinsic ημιαγωγός: (α) Ενεργειακές ζώνες, (β) κατανομή πιθανοτήτων Fermi-Dirac.

Σχήμα 4.9 (α) Ημιαγωγός τύπου-n, (β) Ημιαγωγός τύπου-p. 4.3.2 Η επαφή p-n Μία επαφή p-n σχηματίζεται από μία περιοχή τύπου p και μία περιοχή τύπου n στον ίδιο κρύσταλλο, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.10(α). Στην επαφή εμφανίζεται ένα λεπτό στρώμα το οποίο ουσιαστικά δεν έχει ελεύθερους φορείς (οπές ή ηλεκτρόνια), λόγω της μεταξύ τους επανασύνδεσης (recombination) και χαρακτηρίζεται ως στρώμα ή περιοχή αραίωσης (depletion layer). Στην περιοχή αραίωσης εμφανίζονται φορτία χώρου και αυτό οδηγεί σε ένα φράγμα δυναμικού (potential barrier), το οποίο δεν επιτρέπει τη διάχυση των φορέων πλειονότητας, σχήμα 4.10(β). Στην απουσία εξωτερικής τάσης δεν υπάρχει καθαρή ροή φορέων από τη μία περιοχή στην άλλη και η στάθμη Fermi είναι η ίδια και στις δύο περιοχές (p & n). 4.3.3 Αυθόρμητη εκπομπή Εάν η δίοδος πολωθεί ορθά τότε διευκολύνεται η ροή ηλεκτρονίων από την περιοχή n και των οπών από την περιοχή p και αναπτύσσεται ροή ρεύματος διαμέσου της επαφής. Η περιοχή αραίωσης περιορίζεται και το ίδιο συμβαίνει και με το φράγμα δυναμικού. Λόγω της έγχυσης φορέων υπάρχουν ηλεκτρόνια στην

Page 91: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.11

κανονικά άδεια ζώνη αγωγιμότητας της περιοχής p όπως επίσης και οπές στην κανονικά άδεια ζώνη σθένους της περιοχής n. Οι οπές και τα ηλεκτρόνια επανασυνδέονται στην περιοχή της επαφής απελευθερώνοντας ενέργεια ίση με gE . Τα παραπάνω συγκεντρώνονται στο σχήμα 4.11. Το φαινόμενο της επανασύνδεσης μπορεί να συνοδεύεται από εκπομπή ακτινοβολία ή όχι. Εάν η επανασύνδεση είναι μη-ακτινοβολούσα τότε η ενέργεια που απελευθερώνεται χάνεται σαν θερμότητα (τυπική περίπτωση αποτελεί το Si). Εάν η επανασύνδεση είναι ακτινοβολούσα τότε απελευθερώνεται ένα φωτόνιο με ενέργεια

/gE hf hc . Το μήκος κύματος της ακτινοβολίας εκφρασμένο σε m υπολογίζεται μέσω της σχέσης

1.24

gE (4.18)

όταν το gE εκφράζεται σε eV. Η εκπομπή φωτός γίνεται κυρίως κοντά στην επαφή, σχήμα 4.12, αν και επανασυνδέσεις μπορούν να λάβουν χώρα σε ολόκληρη τη δίοδο καθώς οι φορείς διαχέονται μακριά από την επαφή. Ένας ημιαγωγός χαρακτηρίζεται ως ευθέως διακένου (direct band gap) όταν τα ηλεκτρόνια και οι οπές επανασυνδέονται απευθείας. Αυτή είναι και η πιο χρήσιμη κατηγορία ημιαγωγών και τυπικά παραδείγματα αποτελούν το GaAs ( 1.43gE eV ) και το InAs ( 0.35gE eV ).

Σχήμα 4.10 (α) Επαφή p-n, (β) Ενεργειακό διάγραμμα της επαφής στην απουσία εξωτερικής τάσης. 4.3.4 Εξαναγκασμένη εκπομπή και lasing Πληθυσμιακή αντιστροφή μπορεί να επιτευχθεί με ισχυρό ντοπάρισμα των περιοχών p και n. Η στάθμη Fermi για την περιοχή n εισχωρεί στη ζώνη αγωγιμότητας ενώ για την περιοχή p στη ζώνη σθένους. Μία τέτοια περίπτωση χαρακτηρίζεται ως εκφυλιστικό (degenerative) ντόπινγκ και φαίνεται στο σχήμα 4.13(α) για την περίπτωση που δεν εφαρμόζεται τάση πόλωσης. Δεδομένου ότι η επαφή βρίσκεται σε θερμική ισορροπία η στάθμη Fermi έχει την ίδια τιμή στις περιοχές p και n. Με την εφαρμογή ορθής πόλωσης δημιουργείται στην περιοχή της επαφής μία ενεργή περιοχή η οποία είναι κατάλληλη για lasing, σχήμα 4.13(β). Για την περιοχή αυτή ικανοποιούνται οι συνθήκες εξαναγκασμένης εκπομπής για ακτινοβολία με συχνότητα στη φασματική περιοχή

Page 92: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.12 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

g Fc FvE E Ef

h h

. (4.19)

Τα ενεργειακά επίπεδα FcE και FvE αποτελούν τις μερικές στάθμες Fermi (quasi Fermi levels) και περιγράφουν συνθήκες μερικής ισορροπίας καθώς η στάθμη Fermi διαφοροποιείται ανάμεσα στη ζώνη σθένους και στη ζώνη αγωγιμότητας. Το εκφυλισμένο ντόπινγκ διαχωρίζει μία p-n επαφή που προορίζεται για εξαναγκασμένη εκπομπή από μία επαφή που δίνει αυθόρμητη εκπομπή. Στην πρώτη περίπτωση απαραίτητη είναι και η ύπαρξη μηχανισμού ανάδρασης που συνήθως επιτυγχάνεται με μία κοιλότητα Fabry-Perot δύο κατόπτρων.

Σχήμα 4.11 Ορθή πόλωση επαφής p-n και αυθόρμητη εκπομπή.

Σχήμα 4.12 Επανασύνδεση φορέων και αυθόρμητη εκπομπή φωτός σε μία επαφή p-n. Θα ακολουθήσει μία μαθηματική ανάλυση του laser ημιαγωγού η οποία θα είναι εφαρμόσιμη σε κλίμακες χρόνου (τυπικά 10t ps ) αρκετά μεγαλύτερες από το χρόνο που απαιτείται από το οπτικό κύμα για να διαβεί την κοιλότητα. Θα ορίσουμε ως ( )n t την πυκνότητα των ηλεκτρονίων και ως ( )t την πυκνότητα των φωτονίων. Ο ρυθμός μεταβολής του ( )n t και ( )t θα είναι ίσος με:

Page 93: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.13

Σχήμα 4.13 Εκφυλισμένη p-n επαφή: (α) χωρίς τάση πόλωσης, (β) με ισχυρή ορθή πόλωση.

sp

dn J nCn

dt ed

, (4.20)

sp ph

d nCn

dt

. (4.21)

Στις παραπάνω εξισώσεις sp 21 211/A είναι ο χρόνος ζωής αυθόρμητης εκπομπής, C είναι ένας συντελεστής αντίστοιχος των συντελεστών B του Einstein, d είναι το πάχος της περιοχής επανασύνδεσης,

ph είναι ο χρόνος ζωής των φωτονίων και τέλος είναι μία μικρή κλασματική τιμή. Η εξ. (4.20) φανερώνει ότι ο ρυθμός μεταβολής της πυκνότητας ηλεκτρονίων διαμορφώνεται από τη συμβολή τριών όρων: ο πρώτος αντιστοιχεί στην αύξηση της πυκνότητας ηλεκτρονίων λόγω της ροής εφαρμοζόμενου ρεύματος, ο δεύτερος στις απώλειες ηλεκτρονίων λόγω της αυθόρμητης εκπομπής και ο τρίτος στις απώλειες λόγω εξαναγκασμένης εκπομπής. Η εξ. (4.21) φανερώνει ότι ο ρυθμός μεταβολής της πυκνότητας των φωτονίων είναι επίσης η συνισταμένη τριών όρων: ο πρώτος εκφράζει την αύξηση της πυκνότητας φωτονίων λόγω της εξαναγκασμένης εκπομπής, ο δεύτερος τη συμμετοχή της αυθόρμητης εκπομπής στην ενέργεια του ρυθμού laser ( 1 ) και ο τρίτος τις απώλειες φωτονίων λόγω των διαφόρων μηχανισμών απωλειών στην κοιλότητα. Στην κατάσταση ισορροπίας θα πρέπει οι ρυθμοί μεταβολής μηδενίζονται:

0dn d

dt dt

. (4.22)

Δεν θα επιχειρήσουμε την επίλυση των εξ. (4.20) και (4.21) αλλά θα κάνουμε μία διερεύνηση προκειμένου να εξαχθούν χρήσιμα συμπεράσματα. Αντιλαμβάνεται κανείς ότι για να υπάρξει αύξηση του οπτικού

Page 94: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.14 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

κύματος (ισοδύναμα αύξηση της πυκνότητας ) θα πρέπει / 0d dt όταν το λαμβάνει μικρές τιμές. Με την παραδοχή ότι 0 από την εξ. (4.21) προκύπτει

ph

1Cn

. (4.23)

Συνεπώς θα υπάρχει για την πυκνότητα ηλεκτρονίων μία τιμή κατωφλίου thn ίση με

3th

ph

1( )n

C m . (4.24)

Το αντίστοιχο κατώφλι ρεύματος thJ μπορεί να εκτιμηθεί θέτοντας στην εξ. (4.20) 0 οπότε

th th th th

sp sp0J n J n

ed ed . (4.25)

Το κατώφλι της εξ. (4.25) προσδιορίζει το ρεύμα που απαιτείται για να διατηρηθεί μία περίσσεια πυκνότητας ηλεκτρονίων όταν η αυθόρμητη εκπομπή είναι ο μοναδικός μηχανισμός απώλειας ηλεκτρονίων. Στην κατάσταση ισορροπίας η πυκνότητα φωτονίων θα είναι ίση με s και αντικαθιστώντας την εξ. (4.25) στην εξ.(4.20) διαμορφώνεται τελικά η σχέση

phth thth th

th

10 s sJ J J J

Cn J Jed ed Cn ed ed

. (4.26)

Από την εξ. (4.26) καταλαβαίνει κανείς ότι για να είναι επιτευχθεί πυκνότητα 0s θα πρέπει το ρεύμα να ξεπεράσει την τιμή κατωφλίου thJ . Το σχήμα 4.14 δίνει την ιδανική χαρακτηριστική ρεύματος – οπτικής ισχύος για ένα laser έγχυσης. Κάτω από το κατώφλι η διάταξη δίνει χαμηλά επίπεδα οπτικής ισχύος η οποία προέρχεται από αυθόρμητη εκπομπή ενώ πέρα από το κατώφλι η εκπομπή αυξάνει σημαντικά (αλλαγή κλίσης της καμπύλης) κυριαρχώντας τώρα η εξαναγκασμένη εκπομπή. Η σχέση οπτικής ισχύος – ρεύματος είναι γραμμική. Για να έχουμε ταλαντώσεις laser θα πρέπει το οπτικό κέρδος να καλύπτει τις συνολικές απώλειες στην κοιλότητα, σύμφωνα με τις σχέσεις της παραγράφου 4.2.5. Όταν ένα ισχυρό ρεύμα περάσει από μία επαφή p-n τότε η αυθόρμητη εκπομπή η οποία και χαρακτηρίζεται από σημαντικό εύρος ζώνης θα δώσει τη θέση της μετά το κατώφλι σε lasing και το εύρος (linewidth) της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας θα μειωθεί σημαντικά. Είναι λογικό να θεωρηθεί ότι τουλάχιστον προσεγγιστικά το κέρδος κατωφλίου θα πρέπει να είναι ανάλογο του ρεύματος κατωφλίου, δηλαδή

th thg J , (4.27)

και η ποσότητα θα είναι κάποιος συντελεστής κέρδους χαρακτηριστικός για συγκεκριμένη διάταξη. Με χρήση της εξ. (4.16) το ρεύμα κατωφλίου θα είναι ίσο με

th1 2

1 1 1ln

2J

L r r

. (4.28)

Page 95: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.15

Σχήμα 4.14 Ιδανική χαρακτηριστική ρεύματος – ισχύος σε ένα laser έγχυσης.

________________________________________________________________________________________________________________________

Παράδειγμα 4.1 Ένα laser έγχυσης GaAs έχει οπτική κοιλότητα μήκους 250 μm και πλάτος 100 μm. Ο συντελεστής απωλειών είναι 10 cm-1 και σε κανονική θερμοκρασία λειτουργίας ο συντελεστής κέρδους είναι

321 10 / cm A . Τα κάτοπτρα της κοιλότητας δεν έχουν κάποια επικάλυψη (coating) και ο δείκτης διάθλασης για το GaAs είναι 3.6. Προσδιορίστε το κατώφλι ρεύματος. Ο συντελεστής ανάκλασης ισχύος ή ανακλαστικότητα των κατόπτρων μπορεί να εκτιμηθεί από τους συντελεστές Fresnel για την περίπτωση κάθετης πρόσπτωσης επίπεδου κύματος από την πλευρά ενός μέσου με δείκτη διάθλασης 3.6 προς τον αέρα. Αναφερόμενοι στην οπτική ισχύ προκύπτει

2 21 2

1 21 2

3.6 1.00.32

3.6 1.0

n nr r r

n n

.

Με εφαρμογή της εξ. (4.28)

2

1 33

1 1 1 1 1ln ln

2

1 110 ln(0.32) 2.646 10 A/cm

0.025cm21 10 cm/A

thJ rL Lr

2cm

3 2th th th 2

AArea 2.646 10 0.025 0.01 cm 661.5mA

cmI J I

________________________________________________________________________________________________________________________

4.3.5 Ετεροεπαφές Μέχρι το σημείο αυτό εξετάσαμε επαφές p-n του ιδίου κρυστάλλου (δηλαδή ενός και μόνο ημιαγωγού), οι οποίες χαρακτηρίζονται ως ομοεπαφές (homojunctions). Η ετεροεπαφή (heterojunction) σχηματίζεται από δύο διαφορετικά υλικά ημιαγωγών και μπορεί να προσφέρει σημαντική βελτίωση των ιδιοτήτων της επαφής. Οι αντίστοιχες διατάξεις ονομάζονται ετεροδομές (heterostructures). Οι ετεροεπαφές μπορεί να είναι επίσης ισοτύπου (isotype), δηλαδή n-n ή p-p ή ανισοτύπου (anisotype), δηλαδή p-n. Οι επαφές ισοτύπου είναι πολύ χρήσιμες γιατί παρέχουν ένα φράγμα δυναμικού στη διάταξη και τελικά επιτρέπουν την αυξημένη συγκέντρωση των φορέων στην ενεργή περιοχή. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τον περιορισμό του χώρου στον οποίο γίνεται η επανασύνδεση των φορέων και λαμβάνει χώρα η εκπομπή της

Page 96: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.16 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

ακτινοβολίας. Με τις κατάλληλες επιλογές, οι ετεροεπαφές προσφέρουν επίσης συγκέντρωση της ακτινοβολίας στην ενεργή περιοχή σχηματίζοντας έναν οπτικό κυματοδηγό καθώς τα διαφορετικά υλικά της ετεροεπαφής έχουν γενικά διαφορετικούς δείκτες διάθλασης. Βασική εφαρμογή των ετεροεπαφών αποτελεί η laser δίοδος διπλής ετεροεπαφής (Double Heterojunction laser diode, DH-LD) που απλοποιημένα αναπαριστάται στο σχήμα 4.15(α). Η διπλή ετεροεπαφή προσφέρει συγκέντρωση φορέων καθώς επίσης και «οπτική» συγκέντρωση (συγκέντρωση δηλαδή του οπτικού κύματος). Οι διπλές ετεροεπαφές χαρακτηρίζονται από σημαντικά χαμηλότερο ρεύμα κατωφλίου (ακόμα και με ένα συντελεστή της τάξης του 100) και τυπικές τιμές thI αποτελούν τα 50 μέχρι 200 mA. Όπως φαίνεται στο σχήμα 4.15(β), η ενέργεια διακένου είναι μικρότερη στην ενεργή περιοχή και οι φορείς περιορίζονται σε αυτήν από τα φράγματα δυναμικού των γειτονικών περιοχών. Εάν ο δείκτης διάθλασης στη ενεργή περιοχή είναι υψηλότερος συγκριτικά με τα γειτονικά στρώματα τότε αυτή μπορεί να αποτελέσει το στρώμα οδήγησης ενός επίπεδου κυματοδηγού διηλεκτρικής πλάκας και άρα το οπτικό κύμα θα περιορίζεται (συγκεντρώνεται) στην εγκάρσια διεύθυνση της διάταξης. Προϋπόθεση για την κατασκευή μίας ετεροεπαφής καλής ποιότητας είναι τα χαρακτηριστικά του κρυσταλλικού πλέγματος των διαφορετικών ημιαγωγών να μπορούν να προσαρμοσθούν. 4.3.6 Ημιαγωγά υλικά Οι γενικές απαιτήσεις που έχει κανείς από τα υλικά ημιαγωγών τα οποία προορίζονται για την κατασκευή οπτικών πηγών είναι κατ’ ελάχιστο:

Η δυνατότητα σχηματισμού κατάλληλων p-n επαφών. Η υψηλή πιθανότητα εκπομπής ακτινοβολίας (υψηλός εσωτερικός κβαντικός συντελεστής

αποδοτικότητας). Ιδιαίτερα προτιμητέα είναι τα υλικά ευθέως διακένου. Η εκπομπή σε χρήσιμα μήκη κύματος.

Το GaAs (ομάδες III-V του περιοδικού πίνακα στοιχείων) αποτελεί παράδειγμα υλικού ευθέως διακένου με ενέργεια διακένου 1.42gE eV , η οποία σύμφωνα με την εξ. (4.18) οδηγεί σε εκπομπή στα 0.87 m . Ιδιαίτερα διαδεδομένο είναι το κράμα τριών στοιχείων 1Ga Al Asx x , το οποίο έχει γραμμική μεταβολή της ενέργειας διακένου σύμφωνα με τη σχέση 1.42 1.24 ( )gE x eV όταν το 0.35x . Το πιο κοινό σύστημα για την κατασκευή διπλών ετεροεπαφών είναι το 1Ga Al Asx x /GaAs. Ένα άλλο σημαντικό οπτοηλεκτρονικό κράμα είναι το κράμα τεσσάρων στοιχείων 1 1-In Ga As Px x y y . Η ενέργεια διακένου μεταβάλλεται σύμφωνα με το γράφημα του σχήματος 4.16. Το παραπάνω κράμα χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με το InP στο ρόλο υποστρώματος πάνω στο οποίο αναπτύσσονται τα στρώματα

1 1-In Ga As Px x y y για την κατασκευή διατάξεων διπλών ετεροεπαφών. Προϋπόθεση για να έχει κανείς διατάξεις υψηλής ποιότητας είναι η προσαρμογή των κρυσταλλικών πλεγμάτων (lattice-matched) των

1 1-In Ga As Px x y y και InP . Στο διάγραμμα του σχήματος 4.16 σημειώνονται εκείνα τα κράματα που επιτρέπουν την προσαρμογή των πλεγμάτων και αυτά βρίσκεται να συνιστούν τη γραμμή που συνδέει το InP με το 0.53 0.47In Ga As . Η ενέργεια διακένου ανάμεσα στα ακρότατα σημεία είναι 1.35gE eV ( InP ) και 0.74gE eV ( 0.53 0.47In Ga As ) πράγμα το οποίο επιτρέπει την εκπομπή ανάμεσα στα 0.92 m μέχρι 1.67 m . Άρα το σύστημα InGaAsP / InP είναι ιδιαίτερα σημαντικό για τις πηγές στα 1.3 m και 1.55 m όπου και εμφανίζονται οι χαμηλότερες τιμές διασποράς και απωλειών.

Page 97: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.17

Σχήμα 4.15 Laser έγχυσης διπλής ετεροεπαφής: (α) απλοποιημένη γεωμετρία σε ορθή πόλωση, (β) διάγραμμα ενεργειακών ζωνών το οποίο περιλαμβάνει στα αριστερά μία p-p ετεροεπαφή και στα δεξιά μία p-n ετεροεπαφή, (γ) διάγραμμα δείκτη διάθλασης και διανομής ηλεκτρικού πεδίου.

Σχήμα 4.16 Μεταβολή της ενέργειας διακένου με το σύνθεση του κράματος για το σύστημα 1 1-x x y yIn Ga As P .

Page 98: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.18 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

4.4 Laser δίοδος Όπως έχει ήδη περιγραφεί, η laser δίοδος έγχυσης (injection laser diode) ή ημιαγωγό laser έγχυσης στηρίζει τη λειτουργία της στην εξαναγκασμένη εκπομπή από την επανασύνδεση των φορέων με την εφαρμογή οπτικής ανάδρασης. Συγκεντρώνει ένα πλήθος πλεονεκτημάτων, τα σημαντικότερα από τα οποία είναι τα ακόλουθα:

Υψηλή ακτινοβολία της τάξης των mW. Στενό εύρος εκπεμπόμενης ακτινοβολίας ( 1 nm ) με αποτέλεσμα τον περιορισμό της

ενδορρυθμικής διασποράς. Εύκολη απευθείας διαμόρφωση με εύρος ζώνης αρκετά GHz Δυνατότητα σύζευξης με οπτικές ίνες, συνήθως με τη βοήθεια ενός φακού, ακόμα και στην

περίπτωση που αυτές έχουν χαμηλό αριθμητικό άνοιγμα (NA). Μία laser δίοδος περιγράφεται με τη βοήθεια της αποδοτικότητας (efficiency). Υπάρχουν πολλοί τρόποι με τους οποίους η αποδοτικότητα μπορεί να ορισθεί και θα αναφερθούμε σύντομα σε αυτούς. Η διαφορική εξωτερική κβαντική αποδοτικότητα (differential external quantum efficiency) Dn ορίζεται ως ο λόγος αύξησης του ρυθμού των φωτονίων στην έξοδο προς την αύξηση του αριθμού των ηλεκτρονίων που εισάγονται:

/

/ ( )e e

Dg

dP hf dPn

dI e dI E . (4.29)

Στην εξ. (4.29) gE είναι η ενέργεια του διακένου εκφρασμένη σε eV και τυπικές τιμές του Dn για CW laser διόδους είναι στην περιοχή 40–60 %. Η εσωτερική κβαντική αποδοτικότητα (internal quantum efficiency) in ορίζεται ως ο αριθμός φωτονίων που παράγονται στην κοιλότητα προς τον αριθμό των ηλεκτρονίων που εισάγονται:

in Number of generated photons in cavity

Number of injected electrons. (4.30)

Τυπικές τιμές του in είναι στην περιοχή 50–100 %. Ολική ή εξωτερική κβαντική αποδοτικότητα (total or external quantum efficiency) Tn , η οποία ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός φωτονίων εξόδου προς το συνολικό αριθμό ηλεκτρονίων που εγχέονται:

/

/e e

Tg

P hf Pn

I e IE

Total number of output photons

Total number of injected electrons. (4.31)

Η συνολική αποδοτικότητα συνδέεται με τη διαφορική αποδοτικότητα μέσω της σχέσης:

th1T DI

n nI

. (4.32)

Page 99: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.19

Τέλος, μπορεί να ορισθεί η εξωτερική αποδοτικότητα ισχύος epn ως ο λόγος της οπτικής ισχύος εξόδου προς την dc ηλεκτρική ισχύ εισόδου

ep 100 100 100ge eTEP P

n nP IV V

(4.33)

όπου V είναι η τάση ορθής πόλωσης στα άκρα της διόδου που τυπικά είναι ~ 1.8 2V . Θα περιγράψουμε στις παραγράφους που ακολουθούν μερικές χαρακτηριστικές γεωμετρίες laser διόδων. 4.4.1 Γεωμετρία ταινίας Σύμφωνα με όσα προηγήθηκαν στην ενότητα 4.3.5, η διπλή ετεροεπαφή προσφέρει συγκέντρωση του φωτός κατά την κατακόρυφη (vertical) διεύθυνση μέσω των διαφορετικών στρωμάτων της ετεροεπαφής. Η εκπομπή θα προέρχεται από μία διευρυμένη περιοχή, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.17, πράγμα το οποίο σημαίνει ότι η σύζευξη με την κυλινδρική γεωμετρία των οπτικών ινών θα είναι γενικά πολύ δύσκολη. Αντιλαμβάνεται κανείς ότι η ενεργή περιοχή δεν θα πρέπει να εκτείνεται μέχρι τα άκρα της διάταξης αλλά θα πρέπει με κάποιο τρόπο να περιορίζεται το παραγόμενο φως και στο οριζόντιο επίπεδο. Η λύση που αναζητείται θα πρέπει επίσης να διατηρεί σε χαμηλές τιμές το ρεύμα κατωφλίου. Μία συνηθισμένη λύση είναι να περιορισθεί το ρεύμα σε μία στενή ταινία με την εισαγωγή επιπρόσθετων στρωμάτων πολύ υψηλής αντίστασης, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.18. Με την πρακτική αυτή περιορίζεται η εκπομπή του φωτός από μία ευρεία περιοχή σε μία ταινία, αφού το ρεύμα εξαναγκάζεται να συγκεντρωθεί στο πλάτος της ταινίας αυτής. Το φως γενικά εκπέμπεται με μία απόκλιση της τάξης των 45ο στο κατακόρυφο ως προς την επαφή επίπεδο και 9ο στο παράλληλο επίπεδο. Αυτό συνιστά μία ουσιαστική βελτίωση ως προς το laser ευρείας περιοχής του σχήματος 4.17. Το laser με γεωμετρία ταινίας είναι δυνατόν να λειτουργήσει με ένα μόνο εγκάρσιο ρυθμό, σε αντίθεση με αυτό της ευρείας περιοχής που εμφανίζει πολύρρυθμη συμπεριφορά. Το εύρος της ταινίας ποικίλει και μπορεί να είναι από μερικά μέχρι μερικές δεκάδες μικρά. Το laser ταινίας είναι από τους πλέον συνηθισμένους τύπους πηγών διπλής ετεροεπαφής και επίσης χαρακτηρίζεται «οδηγούμενη από κέρδος» (gain guided).

Σχήμα 4.17 Laser δίοδος ευρείας περιοχής.

Page 100: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.20 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

Για να επιτευχθεί απόλυτα μονόρρυθμη λειτουργία θα πρέπει να έχει κανείς ένα εγκάρσιο και ένα διαμήκη ρυθμό. Η μονόρρυθμη συνθήκη για τους εγκάρσιους ρυθμούς ( 00TEM ) διασφαλίζεται με την επιλογή των διαστάσεων που κυματοδηγού στο εγκάρσιο επίπεδο που βέβαια συναρτώνται με το πάχος του στρώματος οδήγησης και το πλάτος της ταινίας. Η μονόρρυθμη συνθήκη για τους διαμήκεις ρυθμούς εξαρτάται από το μήκος της κοιλότητας (L) και ένας απλός τρόπος για να διασφαλισθεί είναι με τη μείωση του L έτσι ώστε η φασματική απόσταση διαχωρισμού των ρυθμών /2f c nL να είναι τελικά μεγαλύτερη από το φασματικό εύρος της καμπύλης κέρδους.

Σχήμα 4.18 Laser δίοδος με γεωμετρία ταινίας. 4.4.2 Laser δίοδοι οδηγούμενοι από το δείκτη διάθλασης Στη γεωμετρία ταινίας η οδήγηση του φωτός στο εγκάρσιο επίπεδο και κατά την οριζόντια διεύθυνση εξασφαλίζεται από τη συγκέντρωση του ρεύματος. Θα μπορούσε να αναμένει κανείς σημαντική βελτίωση εάν υπήρχε κάποιος καλύτερος μηχανισμός οδήγησης και άρα συγκέντρωσης του φωτός στην οριζόντια διεύθυνση, βασιζόμενος στη μεταβολή του δείκτη διάθλασης της ίδιας της διάταξης. Πηγές laser που υλοποιούν το παραπάνω χαρακτηρίζονται ως οδηγούμενες από το δείκτη διάθλασης (index guided). Μία τυπική λύση φαίνεται στο σχήμα 4.19(α) και που αποτελεί το laser έγχυσης κυματοδηγού ridge. Η ράβδωση (ridge) εξασφαλίζει τις προϋποθέσεις για την οδήγηση του φωτός και επίσης δρα ως μία στενή ταινία συγκέντρωσης του ρεύματος. Το αποτέλεσμα είναι πηγές με ένα και μόνο εγκάρσιο ρυθμό και πολύ χαμηλές τιμές ρεύματος κατωφλίου, τυπικά στην περιοχή των 20–40 mA και ισχύ εξόδου στην περιοχή των μερικών δεκάδων mW. Στο σχήμα 4.19(β) φαίνεται συγκριτικά η χαρακτηριστική ρεύματος-οπτικής ισχύος για ένα laser ταινίας (οδηγούμενο από κέρδος) και του laser κυματοδηγού ridge του σχήματος 4.19(α). Μία παραλλαγή της παραπάνω γεωμετρίας δίνεται στο σχήμα 4.19(γ) και χαρακτηρίζεται ως γεωμετρία αντεστραμμένου κυματοδηγού rib. Ισχυρότερη οπτική συγκέντρωση και βελτιωμένος έλεγχος στον εγκάρσιο ρυθμό μπορεί να επιτευχθεί στις διατάξεις διπλής ετεροεπαφής «θάβοντας» τελείως την ενεργή περιοχή (ενεργός όγκος) μέσα σε ένα υλικό με μεγαλύτερο ενεργειακό διάκενο και χαμηλότερο δείκτη διάθλασης. Μία τέτοια λύση φαίνεται στο σχήμα 4.20 στην οποία το οπτικό κύμα περιορίζεται ισχυρά και στις δύο εγκάρσιες διευθύνσεις, οριζόντια και κατακόρυφη, και βέβαια παρέχεται και ισχυρή συγκέντρωση των φορέων. Στα δύο συστήματα ημιαγωγών υλικών που έχουμε εξετάσει το ρόλο του υλικού με το μεγαλύτερο ενεργειακό διάκενο και το

Page 101: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.21

χαμηλότερο δείκτη διάθλασης παίζει το GaAlAs για το σύστημα GaAlAs/GaAs και το InP για το σύστημα InGaAsP/InP .

Σχήμα 4.19 Laser οδηγούμενα από το δείκτη διάθλασης: (α) laser έγχυσης κυματοδηγού ridge, (β) χαρακτηριστική ρεύματος – οπτικής ισχύος εξόδου, (γ) γεωμετρία αντεστραμμένου κυματοδηγού rib .

Σχήμα 4.20 Δομή «θαμμένου» laser διπλής ετεροεπαφής.

Page 102: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.22 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

4.5 Χαρακτηριστικά λειτουργίας laser διόδων έγχυσης 4.5.1 Ρεύμα κατωφλίου Το ρεύμα κατωφλίου αυξάνεται με τη θερμοκρασία, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.21 για ένα laser InGaAsP οδηγούμενο από κέρδος. Η εξάρτηση του ρεύματος κατωφλίου από τη θερμοκρασία για τις πιο συνηθισμένες δομές ακολουθεί την προσεγγιστική εκθετική σχέση

th 0exp /J T T , (4.34)

όπου T είναι η απόλυτη θερμοκρασία της διάταξης και 0T είναι ο συντελεστής θερμοκρασίας κατωφλίου και εξαρτάται από την ποιότητα του υλικού και τη δομή της διάταξης. Για διατάξεις GaAlAs το 0T είναι στην περιοχή των 120 μέχρι 190 K ενώ για διατάξεις InGaAsP είναι στην περιοχή 40 μέχρι 75 Κ. Αυτό υποδηλώνει και τη μεγαλύτερη ευαισθησία των τελευταίων ως προς τη μεταβολή της θερμοκρασίας.

Σχήμα 4.21 Μεταβολή του ρεύματος κατωφλίου με τη μεταβολή της θερμοκρασίας για ένα laser InGaAsP οδηγούμενο από κέρδος. 4.5.2 Δυναμική απόκριση Η δυναμική συμπεριφορά του laser έγχυσης γίνεται κρίσιμης σημασίας όταν η πηγή πρόκειται να χρησιμοποιηθεί με υψηλό ρυθμό μετάδοσης δεδομένων (υψηλό εύρος ζώνης) σε συστήματα οπτικών επικοινωνιών. Η εφαρμογή ενός παλμού ρεύματος στη διάταξη έχει σαν αποτέλεσμα μία καθυστέρηση έναρξης (switch-on delay), η οποία συχνά ακολουθείται από αποσβενύμενες ταλαντώσεις υψηλής συχνότητας (στην περιοχή των 10 GHz) που χαρακτηρίζονται ως ταλαντώσεις χαλάρωσης (relaxation oscillations). Το σχήμα 4.22 δείχνει μία πιθανή δυναμική απόκριση ενός laser έγχυσης και φαίνεται καθαρά η καθυστέρηση dt καθώς και οι ταλαντώσεις χαλάρωσης. Η καθυστέρηση dt μπορεί να είναι στη περιοχή του 0.5 ns και οι ταλαντώσεις χαλάρωσης να διαρκούν τουλάχιστον δύο φορές την dt δημιουργώντας σοβαρά προβλήματα σε ρυθμούς μετάδοσης δεδομένων πάνω από 100 Mb/s. Η καθυστέρηση έναρξης μπορεί να περιορισθεί με την πόλωση του laser κοντά στο κατώφλι (προ-πόλωση).

Page 103: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.23

Σχήμα 4.22 Πιθανή δυναμική απόκριση laser έγχυσης. 4.5.3 Chirping συχνότητας Η απευθείας διαμόρφωση ρεύματος ενός μονόρρυθμου ημιαγωγού laser μπορεί να προκαλέσει μία δυναμική μετατόπιση στο μήκος κύματος κορυφής που εκπέμπεται από την πηγή. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται chirping συχνότητας και αποτελεί επακόλουθο της μεταβολής του δείκτη διάθλασης, λόγω της ισχυρής σύζευξης που υπάρχει ανάμεσα στην πυκνότητα των ελεύθερων φορέων και στο δείκτη διάθλασης σε κάθε ημιαγωγό. Αυτό σημαίνει ότι οι μικρές μεταβολές της πυκνότητας των φορέων μεταβάλουν τελικά τη φάση του οπτικού κύματος, με αποτέλεσμα την αλλαγή της συχνότητας συντονισμού σε μία κοιλότητα Fabry-Perot. Θεωρητικές προβλέψεις εκτιμούν ότι η μετατόπιση στο μήκος κύματος για laser InGaAsP για συνθήκες διαμόρφωσης μερικών Gb/s είναι στην περιοχή των 0.05 nm. 4.5.4 Θόρυβος Υπάρχουν διάφορες πηγές θορύβου οι οποίες είναι ιδιαίτερα σημαντικές στα αναλογικά συστήματα:

Θόρυβος φάσης. Αποτελεί εσωτερικό μηχανισμό κάθε τύπου laser και είναι συνέπεια της τυχαιότητας που χαρακτηρίζει τις αυθόρμητες και εξαναγκασμένες μεταβάσεις. Εμφανίζεται με τη μορφή διακυμάνσεων της φάσης του κύματος που εκπέμπεται. Το φάσμα του θορύβου φάσης είναι επίπεδο, δηλαδή ο θόρυβος θεωρείται λευκός.

Αστάθειες στη λειτουργία, όπως απότομες μεταβολές της οπτικής ισχύος εξόδου συναρτήσει του ρεύματος. Πολύ συχνά αποδίδονται στην αλλαγή ταλάντωσης από το χαμηλότερο εγκάρσιο ρυθμό σε κάποιον υψηλότερης τάξης.

Ανεπιθύμητες ανακλάσεις φωτός οι οποίες επηρεάζουν την σταθερότητα έντασης ή συχνότητας της πηγής. Μπορούν γενικά να περιορισθούν με τη χρήση οπτικών απομονωτών.

Partition mode θόρυβος. Χαρακτηρίζει τις πολύρρυθμες πηγές στην περίπτωση που οι διάφοροι ρυθμοί δεν είναι σταθεροποιημένοι. Μπορεί γενικά η συνολική ισχύς εξόδου της πηγής να διατηρείται σχεδόν σταθερή αλλά η σχετική ένταση των διαφόρων διαμηκών ρυθμών να μεταβάλλεται σημαντικά από παλμό σε παλμό.

4.5.5 Μεταπήδηση ρυθμών Η μεταπήδηση ρυθμών εμφανίζεται σε μονόρρυθμες πηγές και έχει ως αποτέλεσμα την εκπομπή σε ένα μεγαλύτερο μήκος κύματος καθώς αυξάνεται το ρεύμα της διάταξης. Η μεταπήδηση δεν είναι συνεχής αλλά εμφανίζεται ξαφνικά για μία μικρή μεταβολή του ρεύματος της τάξης των 1 μέχρι 2 mA. Οφείλεται

Page 104: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.24 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

στη μεταβολή της θερμοκρασίας της επαφής και μπορεί να αντιμετωπισθεί με επαρκή απαγωγή θερμότητας ή θερμοηλεκτρική ψύξη. 4.5.6 Αξιοπιστία Η υποβάθμιση των επιδόσεων μίας πηγής laser μπορεί να κατηγοριοποιηθεί γενικά σε δύο τύπους διαδικασιών: τις «καταστροφικές» και τις «σταδιακές». Οι καταστροφικές εμφανίζονται συνήθως όταν προκληθεί κάποια ζημιά στα κάτοπτρα της κοιλότητας (για παράδειγμα από τη χρήση μεγάλης οπτικής ισχύος) και στην περίπτωση αυτή η πηγή μπορεί να καταστεί ολοκληρωτικά άχρηστη. Η σταδιακή υποβάθμιση των επιδόσεων μπορεί να αποδοθεί στο σχηματισμό ατελειών στην ενεργή περιοχή και στη μείωση της ικανότητας της διάταξης να συγκεντρώνει το ρεύμα. Συνέπεια των παραπάνω είναι γενικά η αύξηση του ρεύματος κατωφλίου καθώς και η μείωση της εξωτερικής κβαντικής αποδοτικότητας. Η εξέλιξη στην ανάπτυξη των κρυσταλλικών πλεγμάτων, των μεθόδων κατασκευής και της επιλογής των υλικών έχει οδηγήσει σε laser έγχυσης CW για το σύστημα GaAlAs/GaAs με προσδοκώμενη ζωή της τάξης των 106 ωρών (100 χρόνια!). Για το σύστημα InGaAsP/InP η προσδοκώμενη ζωή είναι λίγο χαμηλότερη αλλά πάντως στη περιοχή των 105 ωρών ή καλύτερα. 4.6 Σύζευξη laser διόδου με οπτική ίνα Η αποτελεσματική σύζευξη των πηγών στερεάς κατάστασης με τις οπτικές ίνες έχει συχνά σημαντικές δυσκολίες και ιδιαίτερα στην περίπτωση των μονόρρυθμων ινών που χαρακτηρίζονται από μικρές διαμέτρους πυρήνα και χαμηλό αριθμητικό άνοιγμα. Αν και η εκπομπή φωτός από τα laser έγχυσης είναι σχετικά κατευθυντική, τα κύματα στην έξοδο τους αποκλίνουν και γενικά δεν συμμορφώνονται με την περιορισμένη γωνία αποδοχής των μονόρρυθμων ινών. Υπάρχουν διάφορες τεχνικές για τη σύζευξη μεταξύ ίνας και πηγής και κάποιες από αυτές φαίνονται στο σχήμα 4.23. Η πρώτη περίπτωση της άμεσης σύζευξης (butt coupling), σχήμα 4.23(α), φέρνει την οπτική ίνα σχεδόν σε επαφή με την επιφάνεια του κατόπτρου εξόδου της πηγής. Ακόμα και για πολύ καλά ευθυγραμμισμένες ίνες οι οποίες έχουν κοπεί εξαιρετικά στο άκρο τους που έρχεται σχεδόν σε επαφή με το laser, η αποδοτικότητα της σύζευξης (coupling efficiency) είναι αρκετά χαμηλή και στην περιοχή του 10%. Ένα επιπρόσθετο μειονέκτημα της παραπάνω τεχνικής είναι οι ανεπιθύμητες ανακλάσεις από την όψη της ίνας που οδηγούν σε θόρυβο και υποβάθμιση της απόδοσης της πηγής. Η αποδοτικότητα σύζευξης μπορεί να βελτιωθεί σημαντικά χρησιμοποιώντας ένα φακό ανάμεσα στη πηγή και την ίνα. Μία επιτυχημένη τεχνική, σχήμα 4.23(β), βασίζεται στο σχηματισμό ενός ημισφαιρικού φακού στην άκρη μίας ίνας της οποίας η διατομή έχει σταδιακά μειωθεί 3. Με ακριβή ευθυγράμμιση μπορεί κανείς να περιμένει αποδοτικότητες σύζευξης της τάξης του 60 %. Τέλος, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα συνεστιακό (confocal) σύστημα φακών, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.23(γ). Συνήθως χρησιμοποιείται ένας συνδυασμός σφαιρικού φακού και μίας ράβδου βαθμιδωτού δείκτη διάθλασης (graded index lens, GRIN) και αποδοτικότητες σύζευξης της τάξης του 40 % μπορούν να επιτευχθούν.

(α)

3 Ο ημισφαιρικός φακός μπορεί να είναι ένας μικροφακός από γυαλί που προσκολλάται στην άκρη της ίνας της οποίας η διατομή έχει σταδιακά μειωθεί (tapered fibre) ή σχηματίζεται απευθείας από το υλικό της ίνας με τοπική τήξη. Οι ίνες αυτές χαρακτηρίζονται ως ίνες μικροφακού (microlensed fibres).

Page 105: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ 4.25

(β)

(γ) Σχήμα 4.23 Τεχνικές σύζευξης ανάμεσα σε ένα laser έγχυσης και μία μονόρρυθμη οπτική ίνα: (α) σύζευξη με επαφή, (β) ίνα με σταδιακή μείωση στη διατομή της και μικροφακό στο άκρο της, (γ) συνεστιακό σύστημα φακών .

Στο σχήμα 4.24 φαίνεται μία γενική άποψη ενός οπτικού πομπού laser διόδου. Διακρίνεται η σύζευξη της διόδου με την οπτική ίνα, ένας φωτοανιχνευτής που εκτιμά το ύψος της εκπομπής μέσω του φωτός που διαρρέει από το πίσω κάτοπτρο της διόδου και ένα θερμοηλεκτρικό ζεύγος ψύξης. Η οπτική ισχύς εξόδου σταθεροποιείται διατηρώντας τη δίοδο σε σταθερή θερμοκρασία μέσω ενός βρόχου ανάδρασης που χρησιμοποιεί το σήμα του φωτοανιχνευτή.

Σχήμα 4.24 Κατασκευή ενός οπτικού πομπού laser διόδου.

Page 106: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 4.26 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ Ι: LASER ΚΑΙ LASER ΔΙΟΔΟΙ

Page 107: Οπτικές Επικοινωνίες

5

ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ 5.1 Εισαγωγή Στο ενότητα 4.3.3 περιγράψαμε την αυθόρμητη εκπομπή ακτινοβολίας από μία ορθά πολωμένη επαφή p-n. Ο μηχανισμός αυτός χρησιμοποιείται από τις διόδους εκπομπής φωτός (light emitting diodes, LED), στις οποίες δεν ενθαρρύνεται ο μηχανισμός της εξαναγκασμένης εκπομπής που χαρακτηρίζει τις laser διόδους. Τα LED λειτουργούν με χαμηλότερες πυκνότητες ρεύματος και εκπέμπουν σε ένα σημαντικά μεγαλύτερο φασματικό εύρος σε σχέση με το laser έγχυσης. Τα χαρακτηριστικά ενός LED υπολείπονται σημαντικά σε σύγκριση με αυτά ενός laser έγχυσης καθώς:

Συνήθως μπορούν να συζεύξουν πολύ χαμηλότερη οπτική ισχύ σε μία ίνα. Έχουν μικρότερο εύρος διαμόρφωσης. Έχουν αρμονική παραμόρφωση.

Παρά το γεγονός ότι σε πρώτη ματιά τα LED δείχνουν λιγότερο ελκυστικά από τις laser διόδους, θα πρέπει κανείς να σημειώσει και έναν αριθμό από θετικά στοιχεία, τα οποία και τελικά δίνουν στα LED μία σημαντική ως οπτική πηγή για εφαρμογές χαμηλότερων απαιτήσεων:

Απλούστερη κατασκευή χωρίς κάτοπτρα για οπτική ανάδραση. Σημαντικά χαμηλότερο κόστος κατασκευής. Αυξημένη αξιοπιστία χωρίς τον κίνδυνο καταστροφικής υποβάθμισης καθώς επίσης και πολύ

μικρότερη ευαισθησία σε φαινόμενα σταδιακής υποβάθμισης. Μικρή εξάρτηση της χαρακτηριστικής ρεύματος-οπτικής ισχύος από τη διακύμανση της

θερμοκρασίας. Σημαντικό είναι και το γεγονός ότι το LED δεν έχει ρεύμα κατωφλίου, το οποίο θα διατηρούσε ισχυρή εξάρτηση από τη θερμοκρασία.

Χαμηλότερες απαιτήσεις για τα ηλεκτρονικά οδήγησης, τα οποία δεν απαιτούν κυκλώματα αντιστάθμισης της θερμοκρασίας.

Γραμμική απόκριση της ισχύος εξόδου ως προς το ρεύμα, πράγμα το οποίο διευκολύνει την αναλογική διαμόρφωση.

Διατάξεις LED που χρησιμοποιούν το σύστημα GaAlAs/GaAs για εκπομπή στα μικρότερα μήκη κύματος είναι ιδιαίτερα διαδεδομένες. Παράλληλα υπάρχει και πλήθος διατάξεων που υλοποιούνται με το σύστημα InGaAsP/InP για εκπομπή στην περιοχή των 1.3 μm & 1.5 μm. Σε αυτά τα μήκη κύματος η χαμηλή διασπορά των ινών από γυαλιά διοξειδίου του πυριτίου αντισταθμίζει τα φτωχά φασματικά χαρακτηριστικά των LED. Γενικά τα LED χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με τις ίνες βαθμιδωτού δείκτη και με ταχύτητες διαμόρφωσης στην περιοχή των εκατοντάδων Mb/s για επικοινωνίες κοντινών αποστάσεων.

Page 108: Οπτικές Επικοινωνίες

____________________________________________________________________________________________________________________________

5.2 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ

5.2 Ισχύς και αποδοτικότητα Η απουσία οπτικής ενίσχυσης μέσω εξαναγκασμένης εκπομπής στο LED τείνει να περιορίζει τον εσωτερικό συντελεστή αποδοτικότητας της διάταξης. Η αυθόρμητη εκπομπή επιτρέπει την επανασύνδεση φορέων χωρίς την εκπομπή ακτινοβολίας (απώλεια ενέργειας με τη μορφή ταλαντώσεων του πλέγματος και άρα θερμότητα), κυρίως λόγω ατελειών του κρυσταλλικού πλέγματος ή των προσμίξεων, οδηγώντας σε μία εσωτερική κβαντική αποδοτικότητα στην καλύτερη περίπτωση ίση με 50% για απλές διατάξεις ομοεπαφής και στην περιοχή του 60-80% για διατάξεις διπλής ετεροεπαφής. Η ισχύς που δημιουργείται εσωτερικά σε ένα LED μπορεί να προσδιορισθεί εξετάζοντας την περίσσεια ηλεκτρονίων και οπών στις περιοχές p και n, αντίστοιχα, δηλαδή τους φορείς μειονότητας που εισάγονται κατά την ορθή πόλωση. Η πυκνότητα περίσσειας ηλεκτρονίων n και οπών p είναι ίση προκειμένου να διατηρηθεί η ουδετερότητα του φορτίου. Γενικά η πυκνότητα της περίσσειας των φορέων μειονότητας φθίνει εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση

(0)exp( / )n n t , (5.1)

όπου (0)n η αρχική περίσσεια πυκνότητας ηλεκτρονίων που εισάγεται και ο συνολικός χρόνος ζωής των φορέων (που συχνά συμβολίζεται και ως i ). Κατά τη ροή ενός σταθερού ρεύματος στην επαφή αποκαθίσταται μία κατάσταση ισορροπίας. Ο συνολικός ρυθμός με τον οποίο δημιουργούνται φορείς είναι ίσος με το άθροισμα των τροφοδοτούμενων εξωτερικά και αυτών που δημιουργούνται με θερμικό τρόπο. Η εξίσωση για το ρυθμό μεταβολής των φορέων που επανασυνδέονται σε ένα LED γράφεται:

( )( )

d n J n

dt ed

-3 -1m s . (5.2)

Στην κατάσταση ισορροπίας το αριστερό μέρος της εξ. (5.2) είναι μηδέν και συνεπώς

J

ned

. (5.3)

Ο αριθμός των επανασυνδέσεων στη μονάδα του χρόνου και στη μονάδα του όγκου ή αλλιώς ρυθμός επανασυνδέσεων είναι ίσος με

t r nrJ

r r red

, (5.4)

όπου rr ο ρυθμός των επανασυνδέσεων ακτινοβολίας στη μονάδα όγκου και nrr ο ρυθμός των επανασυνδέσεων χωρίς ακτινοβολία στη μονάδα όγκου. Εάν το ρεύμα ορθής πόλωσης είναι i τότε ο συνολικός αριθμός επανασυνδέσεων στη μονάδα του χρόνου tR θα είναι

ti

Re

. (5.5)

Σε ένα LED η εσωτερική κβαντική αποδοτικότητα n int ορίζεται ως ο λόγος του ρυθμού επανασυνδέσεων ακτινοβολίας προς το συνολικό ρυθμό επανασυνδέσεων, δηλαδή

Page 109: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ 5.3

intr r r

t r nr t

r r Rn

r r r R

. (5.6)

Η ποσότητα rR εκφράζει τον συνολικό αριθμό των φωτονίων που δημιουργούνται στη μονάδα του χρόνου και άρα πολλαπλασιαζόμενη επί την ποσότητα hf δίνει την εσωτερικά παραγόμενη οπτική ισχύ intP . Χρησιμοποιώντας τις εξ. (5.6) και (5.5) η παραπάνω ισχύς αυτή δίνεται από τη σχέση

int int inti hci

P n hf ne e

. (5.7)

Μία αντίστοιχη σχέση περιγράφει την οπτική ισχύ που εκπέμπεται εξωτερικά από το LED με αντικατάσταση της αποδοτικότητας intn από την εξωτερική κβαντική αποδοτικότητα extn . Ο χρόνος ζωής των φορέων μειονότητας ακτινοβολίας είναι /r rn r και ο χρόνος ζωής των φορέων μειονότητας που δεν ακτινοβολούν είναι /nr nrn r . Ο συνολικός χρόνος ζωής επανασύνδεσης είναι

/ tn r και άρα με χρήση της εξ. (5.4) προκύπτει

1 1 1

r nr . (5.8)

Από την εξ. (5.6) η αποδοτικότητα intn μπορεί να εκφραστεί επίσης συναρτήσει των χρόνων ζωής σύμφωνα με τη σχέση

intr

n

. (5.9)

5.3 Σύζευξη LED και οπτικής ίνας Παρά το γεγονός ότι ο εσωτερικός συντελεστής αποδοτικότητας ενός LED μπορεί να είναι σχετικά υψηλός, ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η εκπομπή είναι περιοριστικός για την εξωτερικά διαθέσιμη οπτική ισχύ καθώς και για την ισχύ που μπορεί τελικά να συζευχθεί με μία οπτική ίνα. Κάθε οπτική πηγή μπορεί να χαρακτηρισθεί από μία ικανότητα ακτινοβολίας (radiance) Β ή αλλιώς φωτεινότητα (brightness), η οποία ορίζεται ως η οπτική ισχύς που ακτινοβολείται ανά μονάδα στερεής γωνίας και ανά μονάδα εκπέμπουσας επιφάνειας της πηγής. Το Β συνηθίζεται να μετράται σε 2W/(cm Sr) και γενικά μπορεί να μεταβάλλεται σε ένα σύστημα σφαιρικών συντεταγμένων και με τις δύο γωνίες ( , ) , όπως επίσης και από σημείο σε σημείο πάνω στην εκπέμπουσα επιφάνεια. Τα LED επιφανειακής εκπομπής χαρακτηρίζονται από Lambertian διανομή έντασης, πράγμα που σημαίνει ότι η πηγή είναι το ίδιο φωτεινή όταν παρατηρείται από οποιαδήποτε διεύθυνση. Σε αυτή την περίπτωση η ισχύς που αποδίδεται στη γωνία , που μετράται από την κάθετο στην εκπέμπουσα επιφάνεια, μεταβάλλεται ακολουθώντας το cos μια και η εκπέμπουσα επιφάνεια προβάλλεται με το cos στη διεύθυνση παρατήρησης. Άρα η Lambertian πηγή περιγράφεται από τη σχέση

0( , ) cosB B (5.10)

Page 110: Οπτικές Επικοινωνίες

____________________________________________________________________________________________________________________________

5.4 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ

και η διανομή της έντασης απεικονίζεται στο σχήμα 5.1. Όπως περιμένει κανείς η ένταση του φωτός είναι μέγιστη κατά την κάθετο στην επίπεδη επιφάνεια εκπομπής του LED.

Σχήμα 5.1 Διανομή έντασης Lambertian πηγής, η οποία είναι τυπική για ένα LED επιφανειακής εκπομπής: Ι(θ)=cosθ.

Άλλοι τύποι LED, όπως για παράδειγμα τα LED εκπομπής-ακμής, καθώς και οι laser δίοδοι έχουν πιο σύνθετες εκφράσεις για το ( , )B με τη γενική μορφή

2 2

0 0

1 sin cos

( , ) cos cosT LB B B

. (5.11)

Επιστρέφοντας στην εξ. (5.10) μπορεί κανείς να υποπτευθεί ότι η διαθέσιμη ισχύς εξωτερικά θα είναι ένα μικρό ποσοστό της ισχύος που δημιουργείται εσωτερικά γιατί το μεγαλύτερο ποσοστό θα παγιδευτεί μέσα στη διάταξη από ολική εσωτερική ανάκλαση στη διαχωριστική επιφάνεια κρυστάλλου-αέρα. Εάν intP είναι η ισχύς που δημιουργείται εσωτερικά, F είναι ένας συντελεστής μετάδοσης στη διαχωριστική επιφάνεια ημιαγωγού-εξωτερικού μέσου, xn ο δείκτης διάθλασης του ημιαγωγού και n ο εξωτερικός (χαμηλότερος) δείκτης διάθλασης, τότε η εξωτερικά εκπεμπόμενη ισχύς από ένα LED επίπεδης γεωμετρίας δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση

2

int24e

x

FnP P

n . (5.12)

Η ακριβής μελέτη του προβλήματος της σύζευξης μίας πηγής LED και μίας οπτικής ίνας είναι πολύ σύνθετη. Είναι όμως δυνατόν να εκτιμήσουμε το ποσοστό του φωτός που θα συζευχθεί στην ίνα κάτω από κάποιες απλουστευτικές παραδοχές, σχήμα 5.2. Θα θεωρήσουμε ότι ο άξονας της ίνας ευθυγραμμίζεται με το κέντρο της επιφάνειας εκπομπής του LED και το άκρο της ίνας βρίσκεται όσο το δυνατόν πιο κοντά στην εκπέμπουσα επιφάνεια, ιδανικά σε επαφή. Επίσης, θεωρούμε ότι η ακτίνα της κυκλικής επιφάνειας εκπομπής του LED sr είναι μικρότερη από την ακτίνα a της ίνας βηματικού δείκτη διάθλασης. Για να εκτιμήσουμε την ικανότητα σύζευξης θα υποθέσουμε ότι το προσπίπτον στην εκτεθειμένη όψη της ίνας φως που βρίσκεται μέσα στον κώνο αποδοχής της ίνας θα συζευχθεί, ενώ όλο το υπόλοιπο θα απορριφθεί. Η μέγιστη γωνία αποδοχής για την ίνα βηματικού δείκτη στο αέρα δίνεται από την εξ. (2.8) και είναι ίση με:

Page 111: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ 5.5

1 2 2 11 2sin sin (NA)a n n . (5.13)

Ορίζοντας το συντελεστή σύζευξης ως το κλάσμα της ισχύος που θα συζευχθεί προς τη συνολική ισχύ που ακτινοβολείται στο ημισφαίριο 2 (Sr ) προκύπτει

2020 0

/2 /22

000

cos sinsin

sinsincos sin

a

a

cc a

e

B dP

nP

B d

. (5.14)

Δηλαδή πολύ απλά ο συντελεστής σύζευξης είναι το τετράγωνο του αριθμητικού ανοίγματος της ίνας

2(NA)cn , (5.15)

με την προϋπόθεση sr a . Στην περίπτωση που η ακτίνα της επιφάνειας εκπομπής είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα a της ίνας ( sr a ) τότε η εξ. (5.15) πρέπει να διορθωθεί όπως παρακάτω:

22(NA)c

s

an

r

. (5.16)

Σχήμα 5.2 Σύζευξη LED επιφανειακής εκπομπής και ίνας βηματικού δείκτη διάθλασης. 5.4 Δομές LED Η βασική δομή ενός LED διπλής ετεροεπαφής GaAlAs/GaAs όπως και το ενεργειακό διάγραμμα του κάτω από συνθήκες ορθής πόλωσης φαίνονται στο σχήμα 5.3. Η διάταξη αποτελείται από ένα p-στρώμα GaAsαπό το οποίο γίνεται η εκπομπή φωτός ανάμεσα σε ένα p-στρώμα GaAlAs και σε ένα n-στρώμα GaAlAs . Σε συνθήκες ορθής πόλωσης ηλεκτρόνια από το n-στρώμα διασχίζουν την επαφή p-n και περνούν ως φορείς μειονότητας πια στο p-στρώμα του GaAs . Εκεί επανασυνδέονται με τους φορείς πλειονότητας (οπές) και ακολουθεί η εκπομπή φωτονίων με ενέργεια αυτή του διακένου για το p-στρώμα GaAs . Τα ηλεκτρόνια περιορίζονται στη περιοχή της επανασύνδεσης λόγω της παρουσίας του φράγματος δυναμικού

Page 112: Οπτικές Επικοινωνίες

____________________________________________________________________________________________________________________________

5.6 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ

ανάμεσα στην ετεροεπαφή p-p, σχήμα 5.3(β). Η εκπομπή φωτός γίνεται κυρίως στο στρώμα GaAs με καλή εσωτερική κβαντική αποδοτικότητα, ανεξάρτητα εάν τελικά η οπτική ισχύς που μπορεί να συζευχθεί σε μία ίνα είναι αρκετά περιορισμένη. Η δομή διπλής ετεροεπαφής χρησιμοποιείται με επιτυχία για την υλοποίηση αποτελεσματικών ασύμφωνων πηγών οπτικών επικοινωνιών.

Σχήμα 5.3 LED διπλής ετεροεπαφής: (α) δομή LED με ορθή πόλωση, (β) αντίστοιχο ενεργειακό διάγραμμα. 5.4.1 Επίπεδο LED Αποτελεί την απλούστερη δομή LED, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.4, και κάτω από συνθήκες ορθής πόλωσης δίνει μία Lambertian κατανομή φωτός. Το φως που «δραπετεύει» από τη διάταξη είναι πολύ περιορισμένο λόγω του μηχανισμού της ολικής εσωτερικής ανάκλασης που περιγράψαμε στην παράγραφο 5.3. Βρίσκει εφαρμογές κυρίως ως ενδεικτική λυχνία. 5.4.2 LED θόλου

Η δομή ενός LED θόλου (dome LED) παρουσιάζεται στο σχήμα 5.5. Η περιοχή-n από GaAs έχει ημισφαιρικό σχήμα και περιβάλει την περιοχή τύπου-p. Η γεωμετρία του θόλου επιλέγεται έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η εξωτερική εκπομπή, η οποία είναι μεγαλύτερη συγκριτικά με αυτή ενός επίπεδου LED. Και αυτός ο τύπος LED βρίσκει εφαρμογές κυρίως ως ενδεικτική λυχνία.

Page 113: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ 5.7

Σχήμα 5.4 Δομή επίπεδου LED.

Σχήμα 5.5 Δομή LED θόλου. 5.4.3 LED επιφανειακού εκπομπού Το LED επιφανειακού εκπομπού συχνά χαρακτηρίζεται και ως τύπου-Burrus από την ουσιαστική συμβολή του τελευταίου στην ανάπτυξη του. Μια υλοποίηση διπλής ετεροεπαφής GaAlAs/GaAs για εκπομπή στα 0.8–0.9 μm φαίνεται στο σχήμα 5.6. Το επίπεδο της ενεργής περιοχής τοποθετείται κάθετα στον άξονα της ίνας και ένα «πηγάδι» (well) ανοίγεται στο υπόστρωμα, στο οποίο τοποθετείται και ακολούθως κολλιέται η ίνα με τη βοήθεια εποξικής ρητίνης. Η περιοχή από την οποία προέρχεται κυρίως η εκπομπή είναι φυσικά περιορισμένη με διαστάσεις τυπικής διαμέτρου 50 μm και πάχους μέχρι 2.5 μm. Η εσωτερική εκπομπή από την ενεργή περιοχή είναι σχεδόν ισοτροπική και η εξωτερική εκπομπή μπορεί να θεωρηθεί Lambertian με εύρος δέσμης 120ο. Η πίσω όψη της στοίβας των ημιαγωγών στρωμάτων κατασκευάζεται έτσι ώστε να παρουσιάζει πολύ υψηλό συντελεστή ανάκλασης ενισχύοντας την προς τα εμπρός εκπομπή. Η εσωτερική απορρόφηση της διάταξης είναι πολύ χαμηλή λόγω των μεγαλύτερων ενεργειακών διακένων των γειτονικών στην ενεργή περιοχή στρωμάτων. 5.4.4 LED εκπομπού-ακμής Το LED εκπομπού-ακμής αποτελεί όπως και το LED επιφανειακού εκπομπού της προηγούμενης παραγράφου μία σημαντική ασύμφωνη πηγή για οπτικές επικοινωνίες. Χρησιμοποιεί μία γεωμετρία ταινίας ανάλογη με αυτή του laser έγχυσης με γεωμετρία ταινίας (παράγραφος 4.4.1), όπως φαίνεται στο σχήμα 5.7. Τυπικές τιμές για τη γωνιακή απόκλιση της δέσμης είναι 30ο στο κάθετο στην επαφή επίπεδο και 120ο (Lambertian) στο παράλληλο με την επαφή επίπεδο. Το φως εκπέμπεται κυρίως από το ένα άκρο της πηγής με την τοποθέτηση

Page 114: Οπτικές Επικοινωνίες

____________________________________________________________________________________________________________________________

5.8 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ

ενός ανακλαστήρα στο άλλο άκρο και με την τοποθέτηση ενός αντιανακλαστικού επιστρώματος (antireflection coating) στο άκρο της εκπομπής. Γενικά το LED εκπομπού-ακμής αναμένεται να έχει αυξημένη ικανότητα σύζευξης με οπτικές ίνες με σχέση με το LED επιφανειακού εκπομπού, λόγω των κατευθυντικότερων χαρακτηριστικών εκπομπής ακτινοβολίας που το διακρίνουν.

Σχήμα 5.6 Δομή LED επιφανειακού εκπομπού τύπου-Burrus για εκπομπή στα 0.8–0.9 μm.

Σχήμα 5.7 LED εκπομπού-ακμής διπλής ετεροεπαφής με γεωμετρία ταινίας. 5.5 Χαρακτηριστικά λειτουργίας LED 5.5.1 Χαρακτηριστική ρεύματος – οπτικής ισχύος

Page 115: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ 5.9

Η ιδανική χαρακτηριστική ρεύματος – οπτικής ισχύος για ένα LED είναι γραμμική, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.8(α). Αντιστοιχεί στο γραμμικό κομμάτι της χαρακτηριστικής ρεύματος – ισχύος του laser έγχυσης πριν ξεπερασθεί το κατώφλι. Στο σχήμα 5.8(β) και (γ) παρουσιάζεται η χαρακτηριστική ρεύματος – εξωτερικής οπτικής ισχύος για καλές πηγές LED επιφανειακού εκπομπού και εκπομπού ακμής. Η γραμμική συμπεριφορά του LED το καθιστά πιο κατάλληλη πηγή για εφαρμογές αναλογικών οπτικών επικοινωνιών. Σε αντιστοιχία με το laser έγχυσης, η οπτική ισχύς που εκπέμπεται από ένα LED μειώνεται με την αύξηση της θερμοκρασίας της επαφής p-n.

(α)

(β) (γ) Σχήμα 5.8 (α) Ιδανική χαρακτηριστική ρεύματος – οπτικής ισχύος για ένα LED. (β) LED επιφανειακού εκπομπού GaAlAs/GaAs με επαφή διαμέτρου 50 μm. (γ) LED GaAlAs/GaAs εκπομπού-ακμής με ταινία πλάτους 65 μm και μήκος 100 μm. 5.5.2 Φασματικά χαρακτηριστικά Στη θερμοκρασία δωματίου το φασματικό εύρος εκπομπής ενός LED στην περιοχή των 0.8–0.9 μm είναι συνήθως 25-40 nm, μετρημένο ως πλήρες εύρος στα σημεία μισής μέγιστης έντασης (Full Width at Half Maximum, FWHM). Για τις διατάξεις που εκπέμπουν στην περιοχή των 1.1–1.7 μm αυτό τείνει να αυξηθεί με τυπικές τιμές στην περιοχή των 50-160 nm. Το φασματικό εύρος εκπομπής ενός LED επιφανειακού εκπομπού είναι κατώτερο από αυτό ενός LED εκπομπού-ακμής κατά ένα παράγοντα της τάξης του 1.6. Το σχήμα 5.9 δείχνει τυπικά φάσματα εκπομπής στα 1.3 μm για τις δύο παραπάνω περιπτώσεις.

Page 116: Οπτικές Επικοινωνίες

____________________________________________________________________________________________________________________________

5.10 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ

Σχήμα 5.9 Τυπικά φάσματα εκπομπής στα 1.3 μm για LED InGaAsP / InP επιφανειακού εκπομπού και εκπομπού-ακμής. 5.5.3 Εύρος ζώνης διαμόρφωσης Το εύρος ζώνης διαμόρφωσης στις οπτικές επικοινωνίες μπορεί να ορισθεί με αναφορά στα ηλεκτρικά ή οπτικά μεγέθη. Οι δύο ορισμοί οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματα με συνέπεια να απαιτείται προσοχή για την αποφυγή συγχύσεων. Θα συγκρίνουμε το ηλεκτρικό και το οπτικό εύρος ζώνης σε ένα σύστημα οπτικών επικοινωνιών και θα προσδιορίζουμε τη μεταξύ τους σχέση. Η σύγκριση θα γίνει εξετάζοντας το ηλεκτρικό ρεύμα στο σύστημα (και όχι την τάση ως συνήθως) λόγω της γραμμικής σχέσης που υπάρχει τόσο στην πηγή όσο και στον οπτικό ανιχνευτή (που θα μελετήσουμε στο επόμενο κεφάλαιο) ανάμεσα στην οπτική ισχύ και το ρεύμα. Το ηλεκτρικό εύρος ζώνης ορίζεται από το λόγο της ηλεκτρικής ισχύος εξόδου προς την ηλεκτρική ισχύ εισόδου

2out

10 10in

10 log 10 logI

REI

dB

electrical power out (at the detector)

electrical power in (at source). (5.17)

Το σημείο των 3 dB αντιστοιχεί σε λόγο ηλεκτρικής ισχύος ίσο με 1/2:

2out out

in in

1 1

2 2

I I

I I

. (5.18)

Το οπτικό εύρος ζώνης ορίζεται από το λόγο της οπτικής ισχύος εξόδου προς την οπτική ισχύ εισόδου,

out10 10

in10 log 10 log

IRO

I dB

optical power out (received at detector)

optical power in (transmitted source), (5.19)

πράγμα που σημαίνει ότι στο σημείο των 3 dB

out

in

1

2

I

I . (5.20)

Page 117: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ 5.11

Είναι φανερό ότι το οπτικό εύρος ζώνης (3 dB) είναι μεγαλύτερο από το ηλεκτρικό εύρος ζώνης (3 dB) και συγκεκριμένα αντιστοιχεί με το σημείο των 6 dB του τελευταίου, όπως φαίνεται στο σχήμα 5.10.

Σχήμα 5.10 Απόκριση συχνότητας ενός οπτικού επικοινωνιακού συστήματος και ορισμός του ηλεκτρικού και οπτικού εύρους ζώνης.

Το εύρος διαμόρφωσης ενός LED εξαρτάται γενικά από τρεις μηχανισμούς:

Το ύψος «ντοπαρίσματος» του ενεργού στρώματος. Τη μείωση του χρόνου ζωής ακτινοβολίας λόγω της έγχυσης των φορέων. Τις παρασιτικές χωρητικότητες της διάταξης.

Αγνοώντας το θέμα των παρασιτικών χωρητικοτήτων μπορεί να δειχθεί ότι η ταχύτητα με την οποία ένα LED μπορεί να διαμορφωθεί περιορίζεται από το χρόνο ζωής επανασύνδεσης των φορέων ενώ η μεταβολή της ισχύος εξόδου με τη συχνότητα διαμόρφωσης συνδέονται με τη σχέση

1/22dc

( ) 1

1 ( )

e

i

P

P

. (5.21)

Στην εξ. (5.21) i είναι ο χρόνος ζωής των φορέων μειονότητας που εισάγονται στη περιοχή επανασύνδεσης και dcP είναι η dc οπτική ισχύς εξόδου για το ίδιο ρεύμα οδήγησης. 5.5.4 Αξιοπιστία Τα LED γενικά δεν εμφανίζουν τους καταστροφικούς μηχανισμούς υποβάθμισης που συναντά κανείς στις laser διόδους. Τυχόν κατασκευαστικά σφάλματα ή ατέλειες γίνονται αντιληπτά πολύ νωρίς σε μία δοκιμαστική περίοδο λειτουργίας τους στο εργοστάσιο κατασκευής και τα ελαττωματικά τεμάχια αποσύρονται στη φάση αυτή. Υποβάθμιση της λειτουργίας τους έρχεται με τη γήρανση με διάφορες μορφές, όπως τα σφάλματα σκοτεινών γραμμών (dark line defects) και τα σφάλματα σκοτεινών κηλίδων (dark spot defects). Είναι δυνατόν να κατασκευασθούν LED τα οποία είναι σχεδόν ελεύθερα από τα παραπάνω σφάλματα και η σταδιακή υποβάθμιση των επιδόσεων τους έχει να κάνει με τη μείωση της οπτικής ισχύος που μπορούν τα δώσουν. Η προσδοκώμενη διάρκεια ζωής συνεχούς λειτουργίας σε θερμοκρασίες δωματίου είναι στην περιοχή των 106 μέχρι 107 ώρες (100 μέχρι 1000 χρόνια!).

Page 118: Οπτικές Επικοινωνίες

____________________________________________________________________________________________________________________________

5.12 ΟΠΤΙΚΕΣ ΠΗΓΕΣ ΙΙ: ΔΙΟΔΟΙ ΕΚΠΟΜΠΗΣ ΦΩΤΟΣ

Page 119: Οπτικές Επικοινωνίες

6

ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ 6.1 Γενικά Ο οπτικός ανιχνευτής (optical detector) μετατρέπει το λαμβανόμενο οπτικό σήμα σε ηλεκτρικό σήμα, το οποίο ακολούθως ενισχύεται ηλεκτρικά και οδηγείται προς επεξεργασία. Οι επιδόσεις ενός συστήματος οπτικών επικοινωνιών αξιολογούνται στο δέκτη και άρα ο οπτικός ανιχνευτής ή φωτοανιχνευτής αποτελεί ένα από τα πιο κρίσιμα στοιχεία του συστήματος. Οι γενικές απαιτήσεις που θα πρέπει να έχει κανείς από τους οπτικούς ανιχνευτές συγκεντρώνονται παρακάτω:

Υψηλή ευαισθησία στα μήκη κύματος που εκπέμπουν οι οπτικές πηγές (ορατή και κοντινή υπέρυθρη).

Υψηλή πιστότητα, δηλαδή ικανότητα πιστής αναπαραγωγής του οπτικού σήματος που λαμβάνεται. Αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό στην αναλογική οπτική μετάδοση, όπου η απόκριση του ανιχνευτή θα πρέπει να είναι γραμμική σε σχέση με το οπτικό σήμα μέσα σε κάποιο ικανοποιητικό εύρος οπτικής ισχύος.

Ο ανιχνευτής θα πρέπει να δίδει το μέγιστο δυνατό ηλεκτρικό σήμα για ένα δεδομένο επίπεδο προσπίπτουσας οπτικής ισχύος, να έχει δηλαδή τη μέγιστη δυνατή αποδοτικότητα.

Γρήγορη απόκριση προκειμένου να μπορεί να χρησιμοποιηθεί με συστήματα που προορίζονται για υψηλούς ρυθμούς μετάδοσης δεδομένων.

Χαμηλή εισαγωγή θορύβου, όπως για παράδειγμα χαμηλά σκοτεινά ρεύματα (dark currents) ή ρεύματα διαρροής.

Μικρή ευαισθησία στις μεταβολές των συνθηκών του περιβάλλοντος, όπως της θερμοκρασίας. Μικρό μέγεθος, αποτελεσματική σύζευξη με τις οπτικές ίνες και εύκολη συσκευασία με τα

ηλεκτρονικά που ακολουθούν. Υψηλή αξιοπιστία για αδιάλειπτη λειτουργία πολλών ετών σε συνθήκες δωματίου. Χαμηλό κόστος.

Σε ότι αφορά στις οπτικές επικοινωνίες και σύμφωνα με τις απαιτήσεις που έχουν τεθεί παραπάνω, ο προτιμώμενος τύπος ανιχνευτή είναι αναμφισβήτητα η φωτοδίοδος (photodiode). Οι φωτοδίοδοι κατασκευάζονται από ημιαγωγούς όπως το πυρίτιο και το γερμάνιο καθώς επίσης και από κράματα των ομάδων III και V του περιοδικού συστήματος των στοιχείων. Η γρήγορη απόκριση και η αποτελεσματική απορρόφηση των φωτονίων επιβάλλει κατά κανόνα τη χρήση intrinsic ημιαγωγών υλικών και ο ανιχνευτής μπορεί να είναι με ή χωρίς εσωτερικό μηχανισμό κέρδους. Οι φωτοδίοδοι πυριτίου (Si) έχουν μεγάλη ευαισθησία στο παράθυρο των 0.8–0.9 μm και έτσι χρησιμοποιήθηκαν ευρύτατα στα συστήματα επικοινωνιών της πρώτης γενιάς. Η απόκριση τους σταματά στα 1.09 μm και για το λόγο αυτό σε επόμενες γενιές συστημάτων συναντά κανείς φωτοδιόδους γερμανίου ή κραμάτων III-V που έχουν καλή συμπεριφορά σε μεγαλύτερα μήκη κύματος.

Page 120: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 6.2 ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ

6.2 Αρχές οπτικές ανίχνευσης Θα εξετάσουμε τη βασική διαδικασία ανίχνευσης φωτός σε μία επαφή p-n, όπως φαίνεται στο σχήμα 6.1. Η επαφή είναι ανάστροφα πολωμένη με αποτέλεσμα το ηλεκτρικό πεδίο να «σαρώνει» τους φορείς κινητικότητας (οπές και ηλεκτρόνια) στην αντίστοιχη πλευρά πλειονότητας (p και n). Στην περιοχή της επαφής σχηματίζεται το στρώμα της αραίωσης, το οποίο και σταματά τους φορείς πλειονότητας από το να διασχίσουν την επαφή. Αντίθετα, φορείς μειονότητας επιταχύνονται και διασχίζουν την επαφή συνιστώντας το ρεύμα διαρροής ανάστροφης πόλωσης. Εάν ένα φωτόνιο προσπέσει στην περιοχή της αραίωσης ή κοντά σε αυτήν και έχει ενέργεια μεγαλύτερη από αυτή του διακένου του υλικού ( ghf E ) τότε θα διεγείρει ένα ηλεκτρόνιο από τη στοιβάδα σθένους στη στοιβάδα της αγωγιμότητας. Η διαδικασία αυτή ταυτόχρονα αφήνει μία οπή στη στοιβάδα σθένους και είναι γνωστή ως φωτογένεση (photogeneration) ενός ζεύγους ηλεκτρονίου-οπής και αποτυπώνεται στο σχήμα 6.1(α). Το ζεύγος που δημιουργείται κοντά στην επαφή διαχωρίζεται και οι φορείς σαρώνονται (ολισθαίνουν) κάτω από την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου με αποτέλεσμα να εμφανίζεται στο εξωτερικό ηλεκτρικό κύκλωμα ένα ρεύμα καθ’ υπέρβαση του ανάστροφου ρεύματος διαρροής, σχήμα 6.1(β). Το ηλεκτρικό αυτό ρεύμα ονομάζεται φωτόρρευμα. Η φωτογένεση και ο διαχωρισμός του ζεύγους των φορέων καθώς και το διάγραμμα των ενεργειακών ζωνών στις συνθήκες της ανάστροφης πόλωσης φαίνονται στο σχήμα 6.1(γ).

Σχήμα 6.1 (α) Φωτογένεση ενός ζεύγους ηλεκτρονίου-οπής σε έναν intrinsic ημιαγωγό. (β) Δομή της ανάστροφα πολωμένης επαφής και ολίσθηση των φορέων στην περιοχή της αραίωσης. (γ) Διάγραμμα ενεργειακών ζωνών της ανάστροφα πολωμένης επαφής δείχνοντας τη φωτογένεση και το διαχωρισμό του ζεύγους οπής-ηλεκτρονίου.

Η περιοχή αραίωσης θα πρέπει να έχει σχετικά μεγάλο πάχος έτσι ώστε να απορροφά μεγάλο ποσοστό του προσπίπτοντος φωτός επιτυγχάνοντας τη μέγιστη δυνατή γένεση ζευγών φορέων. Δυστυχώς, αύξηση του πάχους της περιοχής αραίωσης έχει ως αποτέλεσμα να απαιτείται μεγαλύτερος χρόνος ολίσθησης για τους φορείς, με συνέπεια τον περιορισμό της ταχύτητας λειτουργίας της φωτοδιόδου. Αντιλαμβάνεται δηλαδή κανείς ότι η ευαισθησία (αριθμός φωτονίων που απορροφώνται) και η ταχύτητα απόκρισης είναι δύο απαιτήσεις που δεν μπορούν να ικανοποιηθούν ταυτόχρονα. 6.3 Συντελεστής απορρόφησης φωτός Η απορρόφηση φωτονίων από έναν intrinsic ημιαγωγό με συνέπεια τη φωτογένεση και την εμφάνιση του φωτορρεύματος περιγράφεται από ένα συντελεστή απορρόφησης 0 , ο οποίος χαρακτηρίζει τον ημιαγωγό

Page 121: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ 6.3

της διάταξης. Για συγκεκριμένο μήκος κύματος και υποθέτοντας απευθείας μεταβάσεις στο διάκενο έχει δειχθεί ότι το φωτόρρευμα δίνεται από τη σχέση

00

(1 )1 exp( )p

P e rI d

hf

. (6.1)

Στην εξ. (6.1) r είναι ο συντελεστής ανάκλασης ισχύος Fresnel στη διαχωριστική επιφάνεια αέρα/ημιαγωγού, 0P η προσπίπτουσα οπτική ισχύς και d είναι το πάχος της περιοχής απορρόφησης. Ο συντελεστής απορρόφησης έχει ισχυρή εξάρτηση από το μήκος κύματος, όπως επίσης και από το συγκεκριμένο τύπο και σύσταση του ημιαγωγού, σύμφωνα με το σχήμα 6.2 και σε συνδυασμό με τις ενέργειες διακένου που συγκεντρώνονται στον πίνακα 6.1.

Σχήμα 6.2 Συντελεστές απορρόφησης συνηθισμένων υλικών κατασκευής φωτοδιόδων.

Το πυρίτιο και το γερμάνιο μπορούν να απορροφήσουν φως με απευθείας (άμεση) ή έμμεση μετάβαση. Η έμμεση μετάβαση γίνεται για φωτόνια χαμηλότερης ενέργειας, αλλά είναι λιγότερη πιθανή από την άμεση μετάβαση καθώς απαιτείται επιπρόσθετη κινητική ενέργεια που λαμβάνεται από το κρυσταλλικό πλέγμα με τη μορφή φωνονίων (phonons). Με βάση τις τιμές του πίνακα 6.1 αντιλαμβάνεται κανείς ότι το πυρίτιο στην περιοχή των οπτικών επικοινωνιών πρώτης γενιάς (0.8–0.9 μm) χρησιμοποιεί υποχρεωτικά τον έμμεσο μηχανισμό και βέβαια ο συντελεστής απορρόφησης είναι συγκριτικά ασθενέστερος. Η χρήση άμεσης απορρόφησης με ενέργεια διακένου 4.1gE eV μπορεί να ανιχνεύσει φως με μήκος κύματος κάτω από τα 0.3 μm, δηλαδή στην υπεριώδη περιοχή του φάσματος που βέβαια είναι έξω από το ενδιαφέρον των οπτικών επικοινωνιών. Αντίθετα, το γερμάνιο κάτω από τα 1.53 μm χρησιμοποιεί το μηχανισμό της άμεσης απορρόφησης και εμφανίζει ισχυρότατη απορρόφηση, συνεχίζει δε να αποκρίνεται μέχρι και τα 1.85 μm με χρήση της έμμεσης απορρόφησης. Αυτό σημαίνει ότι το γερμάνιο μπορεί να αποτελέσει υλικό για την κατασκευή φωτοανιχνευτών κατάλληλων προς χρήση σε όλο το εύρος μηκών κύματος οπτικών επικοινωνιών.

Page 122: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 6.4 ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ

Ιδανικά το υλικό μίας φωτοδιόδου θα πρέπει να έχει ενέργεια διακένου λίγο μικρότερη από την ενέργεια των φωτονίων που αντιστοιχούν στο μεγαλύτερο μήκος κύματος του συστήματος. Η συνθήκη αυτή εξασφαλίζει επαρκώς υψηλό συντελεστή απορρόφησης για να έχει η διάταξη καλή απόκριση και ταυτόχρονα περιορίζει τον αριθμό των θερμικά σχηματιζόμενων φορέων επιτυγχάνοντας χαμηλό σκοτεινό ρεύμα (dark current). Το σκοτεινό ρεύμα είναι το παρασιτικό ηλεκτρικό ρεύμα που μετράται στην έξοδο εντός οπτικού ανιχνευτή στην απουσία προσπίπτοντος φωτός. Το γερμάνιο έχει σχετικά υψηλό σκοτεινό ρεύμα λόγω της χαμηλής ενέργειας διακένου ( 0.67gE eV ) σε σχέση με τα υπόλοιπα υλικά του πίνακα 6.1 και βέβαια αυτό αποτελεί μειονέκτημα. Ακριβώς για το λόγο αυτό έγινε προσπάθεια να χρησιμοποιηθούν κράματα III-V ευθέως διακένου, όπου η μοριακή σύνθεση μπορεί να επιλεγεί έτσι ώστε να αποκρίνεται η διάταξη στα επιθυμητά μήκη κύματος και ταυτόχρονα να περιορίζεται το χαμηλό σκοτεινό ρεύμα. Τα παραπάνω κράματα επιτρέπουν την κατασκευή ετεροεπαφών, οι οποίες και οδηγούν σε υψηλότερες ταχύτητες λειτουργίας. Ιδιαίτερα επιτυχημένο είναι το κράμα 0.53 0.47In Ga As (σχήμα 6.2), το οποίο προσαρμόζεται σε πλέγμα InP και προσφέρει απόκριση μέχρι περίπου τα 1.7 μm με αποτέλεσμα τη συνηθέστατη χρήση του στα 1.3 και 1.55 μm.

Ενέργεια διακένου (eV) στους 300 Κ Έμμεση μετάβαση Άμεση μετάβαση

Si 1.14 4.10 Ge 0.67 0.81

GaAs - 1.43 InAs - 0.35 InP - 1.35

0.53 0.47In Ga As - 0.75

0.14 0.86In Ga As - 1.15

Πίνακας 6.1 Ενέργεια διακένου για μερικά συνηθισμένα υλικά φωτοδιόδων. 6.4 Κβαντική αποδοτικότητα Ορίζεται ως το κλάσμα των ηλεκτρονίων που συλλέγονται στους ακροδέκτες της φωτοδιόδου προς τον αριθμό των φωτονίων που προσπίπτουν:

e

p

r

r

number of electrons collected

number of incident photons. (6.2)

Στην εξ. (6.2) ,p er r είναι ο ρυθμός των φωτονίων που προσπίπτουν και ο ρυθμός των ζευγών οπών-ηλεκτρονίων που σχηματίζονται, αντίστοιχα. Η κβαντική αποδοτικότητα εξαρτάται προφανώς από το συντελεστή απορρόφησης και βέβαια αποτελεί συνάρτηση του μήκους κύματος των φωτονίων που προσπίπτουν. Μπορούμε να συνδέσουμε την κβαντική αποδοτικότητα με το συντελεστή απορρόφησης μέσω του ακόλουθου απλού υπολογισμού. Ας υποθέσουμε ότι στη διαχωριστική αέρα/ημιαγωγού έχουμε κάποιο αντιανακλαστικό επίστρωμα ( 0r ) οπότε η μεταδιδόμενη ισχύς μετά το πέρασμα από την περιοχή απορρόφησης θα είναι tr 0 0exp( )P P d . Συνεπώς η ισχύς που απορροφάται θα είναι η διαφορά της προσπίπτουσας μείον της μεταδιδόμενης, abs 0 0 0exp( )P P P d . Κάθε φωτόνιο που απορροφάται σχηματίζει ένα ζεύγος οπής-ηλεκτρονίου και άρα με άμεση εφαρμογή της εξ. (6.2) προκύπτει η κβαντική αποδοτικότητα ίση με

01 exp( )d . (6.3)

Page 123: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ 6.5

6.5 Συντελεστής απόκρισης Για το χαρακτηρισμό της φωτοδιόδου στη μελέτη ενός οπτικού συστήματος συνήθως χρησιμοποιείται ο συντελεστής απόκρισης (responsitivy) R, ο οποίος ορίζεται ως ο λόγος του dc φωτορρεύματος pI προς την cw προσπίπτουσα οπτική ισχύ 0P :

0

pIRP

. (6.4)

Είναι φανερό ότι ο συντελεστής απόκρισης εξαρτάται από την κβαντική αποδοτικότητα. Ο ρυθμός των φωτονίων που προσπίπτουν (φωτόνια ανά μονάδα χρόνου) είναι ίσος με

0pP

rhf

, (6.5)

ενώ από την εξ. (6.2) προκύπτει ο ρυθμός των ηλεκτρονίων (ηλεκτρόνια στη μονάδα του χρόνου) ίσος με

e pr r . Αντικαθιστώντας την εξ. (6.5) προκύπτει

0e

Pr

hf , (6.6)

με αποτέλεσμα το φωτόρρευμα εξόδου να μπορεί να γραφεί τελικά σύμφωνα με τη σχέση

0p

P eI

hf . (6.7)

Με βάση τον ορισμό του συντελεστή απόκρισης της εξ. (6.4) διαμορφώνεται η έκφραση

e eRhf hc

. (6.8)

Η εξ. (6.8) φανερώνει ότι ο συντελεστής R είναι ευθέως ανάλογος της κβαντικής αποδοτικότητας σε κάποιο συγκεκριμένο μήκος κύματος. Η μεταβολή του συντελεστή απόκρισης ως προς το μήκος κύματος για μία ιδανική φωτοδίοδο πυριτίου ( 1 ) φαίνεται στο σχήμα 6.3, μαζί με την τυπική απόκριση που συνήθως συναντά κανείς σε πρακτικές φωτοδιόδους πυριτίου. Θα πρέπει να θυμάται κανείς ότι κατά τη διαδικασία της απορρόφησης η ενέργεια των φωτονίων που προσπίπτουν θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση από την ενέργεια διακένου του υλικού της φωτοδιόδου. Συνεπώς θα πρέπει να ικανοποιείται η ανισότητα

gg

hc hcE

E

. (6.9)

Η εξ. (6.9) ορίζει το «μακρινό» μήκος κύματος αποκοπής c , που αποτελεί και το κατώφλι της ανίχνευσης, σύμφωνα με τη σχέση

Page 124: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 6.6 ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ

cg

hc

E . (6.10)

Η εξ. (6.10) είναι εφαρμόσιμη μόνο σε intrinsic ημιαγωγούς, που είναι όμως και η περίπτωση που απαντάται στη πράξη για τις φωτοδιόδους οπτικών επικοινωνιών.

Σχήμα 6.3 Χαρακτηριστική συντελεστή απόκρισης σαν συνάρτηση του μήκους κύματος για ιδανική και τυπική φωτοδίοδο πυριτίου. 6.6 Φωτοδίοδοι χωρίς εσωτερικό κέρδος 6.6.1 Δίοδοι p-n και p-i-n Ένας φωτοανιχνευτής χωρίς εσωτερικό κέρδος παράγει ένα και μόνο ζεύγος ηλεκτρονίου-οπής για κάθε φωτόνιο που απορροφάται. Έχουμε ήδη περιγράψει στο κεφάλαιο 4 το σχηματισμό της περιοχής αραίωσης σε μία επαφή p-n ενώ στην παράγραφο 6.2 είδαμε το βασικό μηχανισμό οπτικής ανίχνευσης. Αυτός περιλαμβάνει τη φωτογένεση, το διαχωρισμό του ζεύγους οπής-ηλεκτρονίου και τη ολίσθηση των δύο φορέων προς τις πλευρές πλειονότητας κάτω από την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου. Το εύρος της περιοχής αραίωσης εξαρτάται από το επίπεδο των προσμίξεων για ένα συγκεκριμένο ύψος ανάστροφης πόλωσης, με χαμηλότερα επίπεδα προσμίξεων να αντιστοιχούν σε ευρύτερες περιοχές αραίωσης. Το σχήμα 6.4 δείχνει την περιοχή αραίωσης και την περιοχή διάχυσης που μαζί σχηματίζουν την περιοχή απορρόφησης. Η απορρόφηση του φωτονίου μπορεί να γίνει στην περιοχή αραίωσης ή στην περιοχή διάχυσης. Εάν το ζεύγος οπής-ηλεκτρονίου σχηματισθεί στην περιοχή διάχυσης τότε η οπή θα πρέπει να διαχυθεί προς την περιοχή της αραίωσης πριν να συλλεγεί. Ο μηχανισμός της διάχυσης είναι πολύ αργός σε σχέση με το μηχανισμό της ολίσθησης με αποτέλεσμα να περιορίζει την ταχύτητα απόκρισης της φωτοδιόδου. Είναι δηλαδή σημαντικό τα φωτόνια να απορροφούνται στην περιοχή αραίωσης και άρα η τελευταία θα πρέπει να έχει κατά το δυνατόν μεγάλο εύρος, πράγμα τα οποίο επιτυγχάνεται μειώνοντας το ντόπινγκ του υλικού-n. Η δίοδος p-i-n (PIN photodiode) έχει περιοχή-n με τόσο ελαφρύ ντόπινγκ που μπορεί να θεωρηθεί σχεδόν ως intrinsic περιοχή (τύπου-i). Προκειμένου βέβαια να έχει κανείς μία επαφή χαμηλής αντίστασης προστίθεται ένα στρώμα με ισχυρό ντόπινγκ τύπου-n (n+), όπως φαίνεται στο σχήμα 6.5. Στη διάταξη του σχήματος 6.5 όλη η απορρόφηση λαμβάνει χώρα στην περιοχή αραίωσης.

Page 125: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ 6.7

Σχήμα 6.4 Δίοδος p-n σε ανάστροφη πόλωση και περιοχές αραίωσης και διάχυσης.

Σχήμα 6.5 Φωτοδίοδος p-i-n (PIN) όπου διακρίνεται η συνδυασμένη περιοχή αραίωσης και απορρόφησης.

Στο σχήμα 6.6 φαίνονται δύο τυπικές γεωμετρίες PIN φωτοδιόδων πυριτίου, οι οποίες προορίζονται για μέτρηση οπτικής ισχύος με μήκος κύματος κάτω από τα 1.09 μm. Συγκεκριμένα, το σχήμα 6.6(α) παρουσιάζει τη φωτοδίοδο εμπρόσθιου φωτισμού (front illumination), η οποία για λειτουργία στην περιοχή των 0.8–0.9 μm απαιτεί περιοχή αραίωσης 20 μέχρι 50 μm προκειμένου να έχει υψηλή κβαντική αποδοτικότητα (τυπικά 85%) μαζί με γρήγορη απόκριση (κάτω από ένα 1 ns) καθώς και χαμηλό σκοτεινό ρεύμα (κάτω από 1 nA). Το σχήμα 6.6(β) δίνει μία άλλη συνήθη εναλλακτική σχεδίαση, η οποία χαρακτηρίζεται ως φωτοδίοδος πλευρικού φωτισμού (side illumination). Το φως προσπίπτει παράλληλα με το επίπεδο της επαφής με αποτέλεσμα να περνά από μία εκτεταμένη περιοχή απορρόφησης της τάξης των 500 μm. Αυτό σημαίνει ότι η διάταξη θα παρουσιάζει αυξημένη ευαισθησία στα μήκη κύματος που είναι πολύ κοντά στο όριο του διακένου καθώς εκεί ο συντελεστής απορρόφησης είναι σχετικά χαμηλός. PIN φωτοδίοδοι γερμανίου είναι διαθέσιμοι σε όλο το εύρος μηκών κύματος που ενδιαφέρουν, αλλά χαρακτηρίζονται από πολύ υψηλότερο σκοτεινό ρεύμα σε σχέση με τις φωτοδιόδους πυριτίου. Τυπική τιμή για το σκοτεινό ρεύμα είναι τα 100 nA στους 20 οC το οποίο αυξάνεται στο 1 μA στους 40 οC.

Page 126: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 6.8 ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ

(α) (β) Σχήμα 6.6 PIN φωτοδίοδοι πυριτίου: (α) εμπρόσθιου φωτισμού, (β) πλευρικού φωτισμού.

(α) (β) Σχήμα 6.7 Επίπεδες PIN φωτοδίοδοι InGaAs : (α) με είσοδο κορυφής, (β) με είσοδο υποστρώματος.

Η χρήση των διπλών ετεροεπαφών μπορεί να βελτιώσει σημαντικά τις επιδόσεις των φωτοδιόδων PIN. Η βασική ιδέα είναι να επιλεγεί ένα στρώμα-i με χαμηλότερη ενέργεια διακένου ως προς τις περιοχές n ή p που το περιβάλουν, προκειμένου η απορρόφηση να λάβει χώρα αποκλειστικά στο στρώμα-i. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, κράματα III-V μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ανίχνευση φωτός στην περιοχή της υπέρυθρης ακτινοβολίας. Επιτυχημένες θεωρούνται οι διατάξεις InGaAsP με υπόστρωμα InP με απόκριση μέχρι τα 1.67 μm. Στο σχήμα 6.7 παρουσιάζει δύο τυπικές επίπεδες γεωμετρίες PIN φωτοδιόδων: με είσοδο φωτός από την κορυφή όπως στο σχήμα 6.7(α) και με είσοδο φωτός από το υπόστρωμα όπως στο σχήμα 6.7(β). Οι διατάξεις αυτές έχουν ως περιοχή αραίωσης ένα στρώμα InGaAs με πάχος περίπου 3 μm και απαιτούν χαμηλή τάση λειτουργίας (~5 V). Η κβαντική αποδοτικότητα μπορεί να προσεγγίσει το 100% για στρώματα InGaAs πάχους 4-5 μm. Το εύρος ζώνης είναι ικανοποιητικά υψηλό και συνηθισμένα εμπορικά προϊόντα είναι διαθέσιμα για 1-10 GHz. Μία άλλη προσέγγιση για την κατασκευή φωτοδιόδων υψηλής ταχύτητας και υψηλής αποδοτικότητας εκμεταλλεύεται τη σύζευξη του προσπίπτοντος φωτός σε έναν ολοκληρωμένο οπτικό κυματοδηγό, εντός του οποίου λαμβάνει χώρα η απορρόφηση. Αυξάνοντας το μήκος του κυματοδηγού μπορούμε να αυξήσουμε την κβαντική αποδοτικότητα και τιμές ~100% είναι δυνατές για μήκη ~10 μm, ακόμα και στην περίπτωση στρωμάτων απορρόφησης πάρα πολύ μικρού πάχους. Με κατάλληλο σχεδιασμό είναι εφικτή η κατασκευή φωτοδιόδων με εύρος ζώνης 50-110 GHz. 6.6.2 Ταχύτητα απόκρισης Η ταχύτητα απόκρισης μίας φωτοδιόδου περιορίζεται από τρεις παράγοντες, οι οποίοι περιγράφονται στην παράγραφο αυτή.

Page 127: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ 6.9

(α) Χρόνος ολίσθησης των φορέων στην περιοχή αραίωσης: η ταχύτητα απόκρισης περιορίζεται πρωτογενώς από το χρόνο που απαιτείται από τους φορείς που έχουν σχηματισθεί με φωτογένεση προκειμένου να ολισθήσουν στην περιοχή της αραίωσης. Όταν το ηλεκτρικό πεδίο ξεπεράσει μία τιμή κορεσμού τότε μπορεί κανείς να υποθέσει ότι οι φορείς ταξιδεύουν με σταθερή μέγιστη ταχύτητα ολίσθησης dv . Στο πυρίτιο το πεδίο κορεσμού έχει την τιμή 42 10 V/cm , η δε μέγιστη ταχύτητα των φορέων είναι περίπου 710 cm/s . Η μέγιστη ταχύτητα των ηλεκτρονίων δεν συμπίπτει με αυτή των οπών και οι τελευταίες είναι σημαντικά πιο αργές. Εάν η περιοχή αραίωσης έχει πάχος w, τότε ο μέγιστος χρόνος ολίσθησης (που αντιστοιχεί στους φορείς που διασχίζουν το πλήρες πάχος) θα είναι ίσος με

driftd

wt

v . (6.11)

Για φωτοδιόδους πυριτίου και τυπικό πάχος 10 μm της περιοχής αραίωσης ο χρόνος ολίσθησης (χρόνος διάβασης) είναι στην περιοχή των 0.1 ns. (β) Χρόνος διάχυσης των φορέων που δημιουργούνται έξω από την περιοχή αραίωσης: η διάχυση των φορέων αποτελεί μία αργή διαδικασία και ο τυπικός χρόνος διάχυσης εκτιμάται από τη σχέση

2

diff 2 c

dt

D , (6.12)

όπου cD είναι μία σταθερά διάχυσης. Ο χρόνος διάχυσης οπών σε 10 μm πυριτίου είναι 40 ns ενώ για τη διάχυση ηλεκτρονίων στην ίδια απόσταση είναι 8 ns. (γ) Σταθερά χρόνου λόγω της χωρητικότητας της φωτοδιόδου: η ανάστροφα πολωμένη φωτοδίοδος εμφανίζει μία χωρητικότητα η οποία έχει εξάρτηση από την τάση που εφαρμόζεται. Η χωρητικότητα είναι αντιστρόφως ανάλογη του πάχους της περιοχής αραίωσης με αποτέλεσμα μικρά πάχη να οδηγούν σε αυξημένη χωρητικότητα ( ~ /C S d ) και άρα σε μεγάλες RC σταθερές χρόνου που περιορίζουν την ταχύτητα απόκρισης. Από τους τρεις παραπάνω παράγοντες ο πρώτος είναι αυτός που επηρεάζει τις απόλυτες επιδόσεις στην απόκριση μίας φωτοδιόδου και άρα τελικά το εύρος ζώνης της διάταξης. Με την παραδοχή ότι δεν δημιουργούνται φορείς εκτός της περιοχής αραίωσης και ότι τα χωρητικά φαινόμενα της επαφής είναι ασήμαντα, το μέγιστο εύρος ζώνης της φωτοδιόδου (3 dB) μπορεί να εκτιμηθεί από τη σχέση

maxdrift

1

2 2dvB

t w . (6.13)

Η απόκριση μιας φωτοδιόδου σε ένα τετραγωνικό παλμό φωτός αναπαρίσταται ποιοτικά στο σχήμα 6.8. Αναμένεται ότι η κβαντική αποδοτικότητα θα είναι υψηλή όταν το πάχος της περιοχής αραίωσης είναι σημαντικά μεγαλύτερο από το αντίστροφο του συντελεστή απορρόφησης ( 01/w ) με αποτέλεσμα βέβαια σχεδόν όλο το φως να απορροφάται. Εάν η φωτοδίοδος έχει αμελητέα χωρητικότητα και αμελητέα φαινόμενα διάχυσης εκτός της περιοχής αραίωσης τότε η απόκριση θα είναι αυτή του σχήματος 6.8(α). Δηλαδή η έξοδος της φωτοδιόδου (ηλεκτρικό ρεύμα) θα αποτελεί πιστό αντίγραφο του προσπίπτοντος παλμού φωτός. Εάν η χωρητικότητα αυξηθεί τότε η ταχύτητα απόκρισης περιορίζεται μέσω της RC σταθεράς χρόνου, όπου R η αντίσταση φορτίου που παρουσιάζει το κύκλωμα του δέκτη. Η περίπτωση

Page 128: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 6.10 ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ

αυτή φαίνεται στο σχήμα 6.8(β). Όταν υπάρχει σημαντική διάχυση φορέων εκτός της περιοχής αραίωσης, για παράδειγμα σε διατάξεις με πολύ μικρό πάχος περιοχής αραίωσης ( 01/w ), τότε ο παλμός εξόδου θα έχει μία μακριά «ουρά» οφειλόμενη ακριβώς στη διάχυση η οποία είναι αργή διαδικασία. Η παραπάνω περίπτωση απεικονίζεται στο σχήμα 6.8(γ). Αντιλαμβάνεται κανείς ότι διατάξεις με πολύ λεπτή περιοχή αραίωσης έχουν την τάση να εμφανίζουν χαρακτηριστικές συνιστώσες πολύ γρήγορης και πολύ αργής απόκρισης, όπως δείχνει το σχήμα 6.9. Η γρήγορη απόκριση οφείλεται στην απορρόφηση εντός της περιοχής αραίωσης ενώ η αργή απόκριση στην απορρόφηση εκτός αυτής.

Σχήμα 6.8 Ποιοτική περιγραφή της απόκρισης φωτοδιόδου στην πρόσπτωση τετραγωνικού παλμού φωτός για διάφορες παραμέτρους της φωτοδιόδου.

Σχήμα 6.9 Συνιστώσες γρήγορης και αργής απόκρισης σε φωτοδίοδο πυριτίου. 6.6.3 Θόρυβος Η ευαισθησία μιας φωτοδιόδου εξαρτάται από τις τυχαίες διακυμάνσεις του ρεύματος στους ακροδέκτες εξόδου στην παρουσία αλλά και στην απουσία προσπίπτοντος φωτός. Το σκοτεινό ρεύμα της φωτοδιόδου

dI αντιπροσωπεύει το ύψος του ρεύματος εξόδου στην απουσία οπτικού σήματος εισόδου και γενικά μπορεί να ελαχιστοποιηθεί με τη χρήση ημιαγωγών υλικών υψηλής ποιότητας. Το ρεύμα της φωτοδιόδου γράφεται γενικά ως

( ) ( )sI t I i t , (6.14)

όπου ο χρονικά μεταβαλλόμενος όρος ( )si t περιγράφει τις τυχαίες διακυμάνσεις γύρω από τη μέση τιμή

0pI I RP , ως αποτέλεσμα της στατιστικής φύσης της κβαντικής διαδικασίας ανίχνευσης. Η διακύμανση αυτή χαρακτηρίζεται ως θόρυβος βολής (shot noise), είναι μία στάσιμη στοχαστική διαδικασία

Page 129: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ 6.11

με στατιστική Poisson (θα επανέλθουμε στο σημείο αυτό στο κεφάλαιο 7) και το μέσο τετραγωνικό ρεύμα είναι ανάλογο του I και του ηλεκτρικού εύρους ζώνης B της φωτοδιόδου σύμφωνα με τη σχέση

2 2( ) 2s si i t eBI

. (6.15)

Δεδομένου ότι το σκοτεινό ρεύμα συμβάλει στην παραγωγή θορύβου βολής, η εξ. (6.15) μπορεί να γραφεί πληρέστερα αντικαθιστώντας το μέσο ρεύμα I με το άθροισμα p dI I ,

2 2( ) 2 ( )s s p di i t eB I I

. (6.16)

Η μέση τετραγωνική τιμή της εξ. (6.16) συχνά αναπαριστάται από το σύμβολο 2 2( )s si t και άρα η ποσότητα s αναγνωρίζεται άμεσα ως η rms (root mean square) τιμή του ρεύματος θορύβου βολής. Υπάρχουν διάφορα μεγέθη τα οποία χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τις επιδόσεις μιας φωτοδιόδου σε ότι αφορά στο θόρυβο. Τα πιο διαδεδομένα είναι η ισοδύναμη ισχύς θορύβου (noise equivalent power, NEP), η ικανότητα ανίχνευσης D (detectivity) και η ειδική ικανότητα ανίχνευσης *D . Η παράμετρος NEP ορίζεται ως η προσπίπτουσα οπτική ισχύς σε ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος που απαιτείται για να εμφανισθεί στο φωτοανιχνευτή ρεύμα ίσο με την rms τιμή του ρεύματος θορύβου σε μοναδιαίο εύρος ζώνης ( 1B Hz ). Από την εξ. (6.7) προκύπτει η ισχύς συναρτήσει του ρεύματος:

0p pI hf I hc

Pe e

. (6.17)

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό του NEP το φωτόρρευμα θα πρέπει να είναι ίσο με την rms τιμή του ρεύματος θορύβου

1/21/22 2p s p p dI I eIB e I I B

. (6.18)

Όταν p dI I τότε από την εξ. (6.18) προκύπτει ότι

2pI eB (6.19)

και αντικαθιστώντας στην εξ. (6.17) λαμβάνοντας υπόψη ότι 1B Hz υπολογίζεται η παράμετρος NEP

02

NEPhc

P

. (6.20)

Στην αντίθετη περίπτωση που p dI I τότε

1/22p dI eI B , (6.21)

Page 130: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 6.12 ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ

οπότε η παράμετρος NEP βρίσκεται ίση με

1/2

0

2NEP

dhc eIP

e . (6.22)

Η NEP μετράται συνήθως σε pW / Hz με τυπικές τιμές στο διάστημα 1-10. Η ικανότητα ανίχνευσης ορίζεται ως το αντίστροφο της παραμέτρου NEP,

1

NEPD , (6.23)

και τέλος η ειδική ικανότητα ανίχνευσης *D εμπεριέχει και την πληροφορία της επιφάνειας A του φωτοανιχνευτή και δίνεται από τη σχέση

*D D A . (6.24)

6.7 Φωτοδίοδοι με εσωτερικό κέρδος

6.7.1 Γενική αρχή Ο δεύτερος τύπος οπτικού ανιχνευτή για οπτικές επικοινωνίες είναι η φωτοδίοδος χιονοστιβάδας (avalanche photodiode, APD). Μία φωτοδίοδος χιονοστιβάδας πολλαπλασιάζει εσωτερικά το πρωτογενές φωτόρρευμα, πριν αυτό εισέλθει στο κύκλωμα του ενισχυτή που ακολουθεί. Αυτό αυξάνει γενικά την ευαισθησία του δέκτη αφού το φωτόρρευμα ενισχύεται (ή αλλιώς πολλαπλασιάζεται) πριν υποστεί τις συνέπειες του θερμικού θορύβου που εισάγει το κύκλωμα του δέκτη. Η λειτουργία αυτού του τύπου ανιχνευτή απαιτεί μία περιοχή πολύ ισχυρού ηλεκτρικού πεδίου της τάξης των 53 10 V/cm , σχήμα 6.10(α). Τα ζεύγη φορέων που δημιουργούνται κατά τη φωτογένεση επιταχύνονται σημαντικά κάτω από την επίδραση του ισχυρού πεδίου με αποτέλεσμα να αποκτήσουν αρκετή ενέργεια ώστε να διεγείρουν νέα ζεύγη οπών-ηλεκτρονίων. Ο μηχανισμός αυτός δημιουργίας νέων φορέων είναι γνωστός ως ιονισμός συγκρούσεων (impact ionization) και βέβαια οι νέοι φορείς επίσης επιταχύνονται από το ηλεκτρικό πεδίο οδηγώντας στη δημιουργία επιπρόσθετων φορέων σε ένα φαινόμενο χιονοστιβάδας, σχήμα 6.10(β). Το φαινόμενο αυτό είναι το ίδιο που οδηγεί στην καταστροφή ή κατάρρευση χιονοστιβάδας (avalanche breakdown) σε μία συνήθη δίοδο που πολώνεται ανάστροφα. Συχνά οι οπτικοί ανιχνευτές της κατηγορίας αυτής απαιτούν ανάστροφες τάσεις πόλωσης στην περιοχή των 50 μέχρι 400 V, πράγμα το οποίο δεν είναι ιδιαίτερα πρακτικό. Βέβαια τα τελευταία χρόνια έχουν εμφανισθεί κατάλληλα σχεδιασμένες διατάξεις που απαιτούν πολύ χαμηλότερες τάσεις, για παράδειγμα στην περιοχή των 15 μέχρι 25 V. Σε πρακτικές υλοποιήσεις είναι σημαντικό η διαδικασία χιονοστιβάδας να κυριαρχείται μόνον από ένα τύπο φορέων. Συντελεστές πολλαπλασιασμού φορέων της τάξης του 104 μπορούν να επιτευχθούν σε υλικά υψηλής ποιότητας. Για λειτουργία σε υψηλές ταχύτητες απαιτείται πλήρης αραίωση της περιοχής απορρόφησης, δεδομένου ότι οι φορείς που σχηματίζονται εκτός της περιοχής αραίωσης συλλέγονται αργά από το μηχανισμό της διάχυσης. Πλήρης αραίωση σε φωτοδιόδους χιονοστιβάδας επιβάλει ηλεκτρικά πεδία της τάξης του 610 V/cm και τότε όλοι οι φορείς κινούνται με τις ταχύτητες κορεσμού τους. Κάτω από τις συνθήκες αυτές η ταχύτητα απόκρισης θα περιορίζεται από τους ακόλουθους παράγοντες:

Page 131: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ 6.13

Χρόνος που απαιτείται από τους φορείς για να διασχίσουν την περιοχή απορρόφησης (που πρακτικά συμπίπτει με την περιοχή αραίωσης).

Χρόνος που απαιτείται από τους φορείς για να εκτελέσουν τη διαδικασία πολλαπλασιασμού. Την RC σταθερά χρόνου λόγω της χωρητικότητας της επαφής και του φορτίου (κύκλωμα δέκτη).

Εάν το κέρδος είναι χαμηλό τότε ο χρόνος διάβασης και η RC σταθερά χρόνου κυριαρχούν στην ταχύτητα απόκρισης και άρα στο εύρος ζώνης της διάταξης. Εάν η διάταξη χρησιμοποιηθεί με υψηλό κέρδος τότε ο χρόνος που απαιτείται για τον πολλαπλασιασμό χιονοστιβάδας των φορέων κυριαρχεί με αποτέλεσμα το εύρος ζώνης να ελαττώνεται με την αύξηση του κέρδους. Γενικά σε μία φωτοδίοδο χιονοστιβάδας το γινόμενο κέρδους επί εύρος ζώνης είναι σταθερό. Φωτοδίοδοι του τύπου αυτού μπορούν να κατασκευασθούν από πυρίτιο και γερμάνιο ή στοιχεία των ομάδων III-V.

(α) (β)

Σχήμα 6.10 (α) Φωτοδίοδος χιονοστιβάδας και περιοχή υψηλού ηλεκτρικού πεδίου. (β) Πολλαπλασιασμός ζευγών φορέων με

ιονισμό συγκρούσεων. 6.7.2 Φωτοδίοδοι χιονοστιβάδας πυριτίου Ο πιο συνηθισμένος τύπος φωτοδιόδου χιονοστιβάδας χαρακτηρίζεται ως RAPD (Reach-through Avalanche Photodiode). Μία RAPD φωτοδίοδος κατασκευάζεται από ένα υπόστρωμα p+ πάνω στο οποίο εναποτίθεται ένα στρώμα σχεδόν intrinsic υλικού υψηλής-αντίστασης (στρώμα-π). Ακολουθεί ένα στρώμα-p και τέλος ένα στρώμα-n με ισχυρό ντόπινγκ (n+). Η όλη δομή χαρακτηρίζεται ως + +p pn και φαίνεται στο σχήμα 6.11(α). Όταν η RAPD δίοδος πολωθεί ανάστροφα με μία χαμηλή τάση το περισσότερο δυναμικό πέφτει πάνω στην επαφή +pn με αποτέλεσμα η περιοχή του υψηλού ηλεκτρικού πεδίου να είναι σχετικά στενή και να έχει ως κέντρο την επαφή +pn . Αύξηση της ανάστροφης πόλωσης έχει σαν αποτέλεσμα τη διεύρυνση της περιοχής αραίωσης κατά μήκος της περιοχής-p μέχρι που φτάνει (reach-through) στη σχεδόν intrinsic περιοχή-π. Το ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή-π που έχει σημαντικά μεγαλύτερο πάχος από την περιοχή-p είναι αρκετά χαμηλότερο απ’ ότι στην περιοχή της επαφής +pn , και ενδεικτικά φαίνεται στο σχήμα 6.11(β). Κατά τη λειτουργία της διόδου το φως εισέρχεται από την περιοχή n+ και απορροφάται στην περιοχή-π. Το ζεύγος των φορέων διαχωρίζεται από το ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή-π το οποίο είναι αρκετά υψηλό ( 42 10 V/cm ) έτσι ώστε να σαρώσει τους φορείς στην έκταση της περιοχής-π με τη μέγιστη ταχύτητα τους (περίπου 107 cm/s). Τα ηλεκτρόνια ολισθαίνουν μέχρι την περιοχή της επαφής +pn η οποία χαρακτηρίζεται ως περιοχή κέρδους, και εκεί συναντώντας το ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο λαμβάνει τελικά χώρα η διαδικασία του πολλαπλασιασμού των φορέων. Η απόκριση της παραπάνω διόδου είναι αρκετά γρήγορη και τυπικά στην περιοχή των 0.5 ns.

Page 132: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 6.14 ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ

6.7.3 Φωτοδίοδοι χιονοστιβάδας γερμανίου Το γερμάνιο μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην κατασκευή φωτοδιόδων χιονοστιβάδας που καλύπτουν όλο το εύρος των μηκών κύματος που ενδιαφέρουν (0.8–1.6 μm). Σύμφωνα και με όσα έχουν αναφερθεί για τις φωτοδιόδους γερμανίου χωρίς εσωτερικό κέρδος, αναμένει κανείς υψηλά σκοτεινά ρεύματα και βέβαια μέρος του σκοτεινού ρεύματος πολλαπλασιάζεται από το μηχανισμό του κέρδους οδηγώντας σε αυξημένο θόρυβο. Από την άλλη πλευρά οι φωτοδίοδοι χιονοστιβάδας γερμανίου απαιτούν αρκετά χαμηλές τάσεις, τυπικά στην περιοχή των 25 V. Το σχήμα 6.12 δείχνει μία δυνατή υλοποίηση αυτού του τύπου φωτοδιόδου: μπορεί κανείς να παρατηρήσει την παρουσία ενός δακτυλίου προστασίας που σκοπό έχει να περιορίσει τα ρεύματα διαρροής στα άκρα της επαφής.

(α) (β) Σχήμα 6.11 (α) Δομή φωτοδίοδου πυριτίου τύπου RAPD. (β) Ενδεικτική διανομή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου και διαχωρισμός των περιοχών απορρόφησης και κέρδους.

Σχήμα 6.12 Φωτοδίοδος χιονοστιβάδας γερμανίου με δομή p+n. 6.7.4 Φωτοδίοδοι χιονοστιβάδας κραμάτων III-V Λόγω των περιορισμένων επιδόσεων που εμφανίζουν οι διατάξεις γερμανίου έμφαση έχει δοθεί στην κατασκευή φωτοδιόδων χιονοστιβάδας από κράματα των ομάδων III-V. Και εδώ η επιλογή ετεροεπαφών/ ετεροδομών μπορεί να οδηγήσει σε καλύτερες επιδόσεις και επιτυχημένα κρίνονται τα κράματα InGaAs/InP και InGaAsP/InP . Το InP χαρακτηρίζεται από μεγάλη τάση διάσπασης και χρησιμοποιείται στην περιοχή πολλαπλασιασμού όπου απαιτούνται υψηλές τιμές ηλεκτρικού πεδίου ( 55 10 V / cm ). Το InGaAs(P) χρησιμοποιείται στην περιοχή απορρόφησης λόγω της χαμηλότερο ενεργειακού διακένου έναντι του InP . Κατ’ αναλογία με τις φωτοδιόδους RAPD και εδώ οι περιοχές απορρόφησης και πολλαπλασιασμού είναι ξεχωριστές, σύμφωνα με το σχήμα 6.13, και οι

Page 133: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ 6.15

διατάξεις είναι γνωστές ως SAM (separate absorption and multiplication). Δεδομένης της σημαντικής διαφοράς στην ενέργεια διακένου μεταξύ του InP ( 1.35 eVgE ) και InGaAs ( 0.75 eVgE ) δημιουργούνται προβλήματα παγίδευσης οπών στην διαχωριστική της ετεροεπαφής με συνέπεια την αργή απόκριση. Αυτό μπορεί να επιλυθεί με την παρεμβολή ενός ακόμα στρώματος μεταξύ των περιοχών απορρόφησης και πολλαπλασιασμού με ενδιάμεση ενέργεια διακένου (grading) και η φυσική επιλογή είναι κάποιο κράμα InGaAsP . Φωτοδίοδοι με την παραπάνω δομή χαρακτηρίζονται ως SAGM (separate absorption, grading, multiplication).

Σχήμα 6.13 Δομή και προφίλ ηλεκτρικού πεδίου μίας SAM φωτοδιόδου χιονοστιβάδας InGaAs/InP .

6.7.5 Συγκριτικά πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα των φωτοδιόδων χιονοστιβάδας Οι φωτοδίοδοι χιονοστιβάδας έχουν το ξεκάθαρο πλεονέκτημα έναντι των φωτοδιόδων χωρίς εσωτερικό κέρδος ότι μπορούν να ανιχνεύσουν πολύ χαμηλά επίπεδα φωτός, τα οποία και συχνά απαντώνται σε επικοινωνίες οπτικών ινών. Γενικά προσφέρουν βελτίωση στην ευαισθησία μεταξύ 5 και 15 dB σε σύγκριση με τις φωτοδιόδους PIN και συχνά έχουν επίσης μεγαλύτερη δυναμική περιοχή. Η βελτιωμένη ευαισθησία ενός δέκτη φωτοδιόδου χιονοστιβάδας σε σχέση με ένα δέκτη φωτοδιόδου PIN επιδεικνύεται στο σχήμα 6.14 όπου παρουσιάζεται η ελάχιστη οπτική ισχύς που απαιτείται σε ένα σύστημα που χρησιμοποιεί απευθείας ανίχνευση προκειμένου να διατηρεί ένας ρυθμός σφαλμάτων 910BER ως συνάρτηση του ρυθμού μετάδοσης δεδομένων. Το σχήμα 6.14(α) συγκρίνει φωτοδιόδους πυριτίου που λειτουργούν στην περιοχή των 0.82 μm και όπως φαίνεται η φωτοδίοδος χιονοστιβάδας μπορεί να πλησιάσει το κβαντικό όριο (που θα αναλυθεί στο κεφάλαιο 7) μέσα σε ένα εύρος 10-13 dB. Το σχήμα 6.14(β) συγκρίνει φωτοδιόδους InGaAs για ανίχνευση στα 1.55 μm και όπως φαίνεται η φωτοδίοδος χιονοστιβάδας απαιτεί 20 dB περισσότερη ισχύ από το κβαντικό όριο, τη στιγμή που ο PIN δέκτης έχει 10-12 dB χαμηλότερη ευαισθησία σε σχέση με αυτόν της φωτοδιόδου χιονοστιβάδας. Θα πρέπει όμως να σημειωθούν και τα μειονεκτήματα των φωτοδιόδων χιονοστιβάδας:

Κατασκευαστικές δυσκολίες λόγω της μεγαλύτερης πολυπλοκότητας που παρουσιάζει η δομή τους όπως και αυξημένο κόστος.

Η τυχαία φύση του μηχανισμού κέρδους έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση επιπρόσθετου θορύβου. Η τάση ανάστροφης πόλωσης είναι συχνά αρκετά υψηλή (στην περιοχή των 25 μέχρι 250 V). Η σημαντική μεταβολή του κέρδους (συντελεστή πολλαπλασιασμού) με τη θερμοκρασία απαιτεί

έλεγχο θερμοκρασίας για τη σταθεροποίηση της λειτουργίας της διάταξης.

Page 134: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 6.16 ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ

6.7.6 Συντελεστής πολλαπλασιασμού και θόρυβος Ο συντελεστής πολλαπλασιασμού αποτελεί ένα μέτρο του εσωτερικού κέρδους μιας φωτοδιόδου χιονοστιβάδας και ορίζεται σύμφωνα με τη σχέση

p

IM

I . (6.25)

Στην εξ. (6.22) I είναι το συνολικό ρεύμα εξόδου στην τάση λειτουργίας όπου εμφανίζεται ο πολλαπλασιασμός και pI είναι το αρχικό ή πρωτογενές φωτόρρευμα, πριν δηλαδή επενεργήσει ο μηχανισμός πολλαπλασιασμού. Ο συντελεστής πολλαπλασιασμού μπορεί να λάβει τιμές στην περιοχή των δεκάδων ή εκατοντάδων.

Σχήμα 6.14 Ευαισθησία δέκτη φωτοδιόδου PIN και φωτοδιόδου χιονοστιβάδας για 910BER : (α) ανιχνευτές πυριτίου για λειτουργία στα 0.82 μm, (β) ανιχνευτές InGaAs για λειτουργία στα 1.55 μm.

Page 135: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ 6.17

Η μέση τετραγωνική τιμή του θορύβου βολής ή κβαντικού θορύβου σε μία φωτοδίοδο χιονοστιβάδας σχέση ανάλογη της εξ. (6.16) περιγράφεται από την έκφραση

2 22 ( )( )s p di eBM F M I I

. (6.26)

Στην εξ. (6.26) ( )F M είναι η εικόνα θορύβου (excess noise factor) της APD που σχετίζεται με την τυχαία φύση του μηχανισμού χιονοστιβάδας. Από πειραματικές μελέτες έχει βρεθεί ότι προσεγγίζεται ικανοποιητικά από τη συνάρτηση

( ) , 0 1.0xF M M x . (6.27)

Για τις φωτοδιόδους πυριτίου το x παίρνει τιμές στο διάστημα 0.3-0.5 ενώ για φωτοδιόδους γερμανίου ή κραμάτων III-V στο διάστημα 0.7-1. Η εξ. (6.26) γενικεύει την εξ. (6.16) αφού η PIN φωτοδίοδος αντιστοιχεί στην ειδική περίπτωση 1M και ( ) 1F M . Η εικόνα θορύβου μπορεί να υπολογισθεί ακριβέστερα από τη σχέση

( ) (1 )(2 1 / )A AF M k M k M , (6.28)

με τον αδιάστατο συντελεστή /A h ek a a όταν h ea a (ή αντίστροφα /A e hk a a όταν h ea a ) και τις ποσότητες ,e ha a να εκφράζουν τη συμμετοχή των ηλεκτρονίων και οπών στη διαδικασία χιονοστιβάδας, αντίστοιχα. Είναι φανερό ότι όταν η διαδικασία χιονοστιβάδας κυριαρχείται από έναν τύπο φορέων τότε ο συντελεστής Ak λαμβάνει πολύ μικρές τιμές ( 1Ak ) και η εικόνα θορύβου είναι κατά μέγιστο ίση με 2 στο όριο 0Ak . Αντίθετα, ισότιμη συμμετοχή οπών και ηλεκτρονίων ( 1Ak ) έχει ως αποτέλεσμα την γραμμική αύξηση της εικόνας θορύβου με το συντελεστή πολλαπλασιασμού M . Προφανώς, ο συντελεστής Ak πρέπει να είναι όσο το δυνατόν μικρότερος (ισοδύναμα e ha a ) για καλές επιδόσεις.

Page 136: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 6.18 ΟΠΤΙΚΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΤΕΣ

Page 137: Οπτικές Επικοινωνίες

7

ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ Ο δέκτης σε ένα σύστημα επικοινωνιών οπτικών ινών με διαμόρφωση έντασης και απευθείας ανίχνευση (Intensity Modulation/Direct Detection, IM/DD) αποτελείται κατ' ελάχιστο από μία φωτοδίοδο και έναν προενισχυτή, και ενδεχομένως από επιπλέον βαθμίδες ενίσχυσης, ηλεκτρικά φίλτρα, κυκλώματα απόφασης και κυκλώματα ανάκτησης ρολογιού. 7.1 Θόρυβος στο δέκτη Ο όρος θόρυβος χρησιμοποιείται για να περιγράψει ανεπιθύμητες διαταραχές κάθε είδους που υποβαθμίζουν το λαμβανόμενο σήμα. Σε ένα σύστημα οπτικών επικοινωνιών ο θόρυβος συνίσταται σε αυθόρμητες διακυμάνσεις και μπορεί να κατηγοριοποιηθεί γενικά σε θερμικό θόρυβο, θόρυβο σκοτεινού ρεύματος και κβαντικό θόρυβο (θόρυβο βολής). Αυτό διαφοροποιεί σημαντικά τα οπτικά συστήματα από τα συστήματα ηλεκτρονικών επικοινωνιών που χρησιμοποιούν μεταλλικούς αγωγούς και άρα είναι ευάλωτα σε εξωτερικές διαταραχές, όπως οι ηλεκτρομαγνητικές παρεμβολές. 7.1.1 Θερμικός θόρυβος Εμφανίζεται σε αγώγιμα σώματα και ιδιαίτερα σε αντιστάσεις λόγω της τυχαίας θερμικής κίνησης των ηλεκτρονίων και είναι σημαντικός ακόμα και σε θερμοκρασία δωματίου. Η παραπάνω τυχαία κίνηση δημιουργεί διακύμανση ρεύματος ακόμα και κατά την απουσία τάσης. Το ρεύμα θερμικού θορύβου ( )ti t περιγράφεται από μία στάσιμη Γκαουσιανή τυχαία διαδικασία της οποία η φασματική πυκνότητα είναι πρακτικά σταθερή μέχρι το όριο του 1THz . H μέση τετραγωνική τιμή του ρεύματος θερμικού θορύβου σε μία αντίσταση R είναι ίση με

2 2 2 4( )t t t

KTBi i t

R . (7.1)

Στην εξ. (7.1) 231.381 10 /K J K είναι η σταθερά του Boltzmann, T η απόλυτη θερμοκρασία και B το ηλεκτρικό εύρος ζώνης του συστήματος μετά την ανίχνευση. Το ρεύμα θερμικού θορύβου ( )ti t υπερτίθεται στο φωτόρρευμα που παράγει η φωτοδίοδος, οπότε η εξ. (6.14) μπορεί να συμπληρωθεί με τον επιπλέον αυτό όρο (διατηρώντας δηλαδή και τον όρο του θορύβου βολής, βλ. παράγραφο 6.6.3 ):

( ) ( ) ( )p s tI t I i t i t . (7.2)

Ο θερμικός θόρυβος είναι γνωστός και ως θόρυβος Johnson ή Nyquist και δεν εξαρτάται από το επίπεδο του οπτικού σήματος που ανιχνεύεται. Ως αντίσταση R λαμβάνεται τυπικά η αντίσταση φορτίου της φωτοδιόδου και πολύ συχνά επιλέγεται ο συμβολισμός LR ως καταλληλότερος, καθώς επιπλέον δεν συγχέεται με το συντελεστή απόκρισης R της φωτοδιόδου που εισαγάγαμε στην ενότητα 6.5.

Page 138: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.2 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

7.1.2 Θόρυβος σκοτεινού ρεύματος Έχει ήδη αναφερθεί στο έκτο κεφάλαιο ότι στην απουσία προσπίπτοντος φωτός σε μία φωτοδίοδο ένα μικρό ανάστροφο ρεύμα διαρροής ρέει στους ακροδέκτες της διάταξης. Το ρεύμα αυτό χαρακτηρίζεται ως σκοτεινό ρεύμα ( dI ) και συμβάλλει στο συνολικό κβαντικό θόρυβο (θόρυβο βολής) του συστήματος μέσω του δεύτερου όρους της εξ. (6.16)

2 2d di eBI

. (7.3)

7.1.3 Κβαντικός θόρυβος Έχουμε ήδη δει ότι η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία στις οπτικές συχνότητες έχει κβαντική φύση. Η ανίχνευση φωτός από μία φωτοδίοδο είναι μία διακριτή διαδικασία αφού η δημιουργία ενός ζεύγους ηλεκτρονίου-οπής αποτελεί συνέπεια της απορρόφησης ενός φωτονίου. Το σήμα στην έξοδο του φωτοανιχνευτή θα εξαρτάται από τη στατιστική κατανομή που ακολουθούν τα φωτόνια που προσπίπτουν στην είσοδο. Με την προϋπόθεση της σύμφωνης μονοχρωματικής ακτινοβολίας και για την περίπτωση που ενδιαφέρει η πρόσπτωση/ανίχνευση ενός μικρού αριθμού φωτονίων1, ο κβαντικός θόρυβος περιγράφεται με ακρίβεια στα πλαίσια της διακριτής κατανομής Poisson. Συγκεκριμένα, έχει βρεθεί ότι η πιθανότητα ανίχνευσης z φωτονίων στη χρονική περίοδο (διάστημα) , όταν αναμένεται κατά μέσο όρο να ανιχνευθούν mz φωτόνια, ακολουθεί τη στατιστική κατανομή Poisson

exp( )( )

!

zm mz z

P zz

. (7.4)

Σε μία κατανομή Poisson η μεταβλητότητα (variance) συμπίπτει με τη μέση τιμή και άρα είναι ίση με mz ,

δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις:

( )i i mi

z P z z , (7.5α)

22 ( )i m i mi

z z P z z . (7.5β)

Σύμφωνα με την εξ. (6.6) ο ρυθμός δημιουργίας ηλεκτρονίων είναι inc /er P hf . Ο αριθμός των ηλεκτρονίων που δημιουργούνται σε ένα χρονικό διάστημα είναι ίσος με er και βέβαια συμπίπτει με το μέσο αριθμό των φωτονίων που ανιχνεύονται στο ίδιο χρονικό διάστημα mz . Αυτό τελικά οδηγεί στην ακόλουθη έκφραση για την ποσότητα mz

incm

Pz

hf

. (7.6)

Στο σχήμα 7.1 φαίνονται δύο ενδεικτικές κατανομές Poisson για 10mz και 1000mz , αντίστοιχα.

1 Όταν μελετάται μεγάλος αριθμός φωτονίων τότε η διακριτή κατανομή μπορεί να προσεγγιστεί ικανοποιητικά από μία συνεχή (Γκαουσιανή) κατανομή.

Page 139: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.3

0 5 10 15 200

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

z

P(z

)

0 50 100 1500

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

z

P(z

)

10m

z 100m

z

Σχήμα 7.1 Στατιστική διαδικασίας ανίχνευσης σύμφωνου μονοχρωματικού φωτός: κατανομή Poisson για 10

mz και

100mz . Παρατηρεί κανείς ότι για σχετικές μεγάλες τιμές του

mz η κατανομή προσεγγίζεται ικανοποιητικά από μία

Γκαουσιανή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. 7.1.4 Κβαντικό όριο Σε ένα ψηφιακό οπτικό σύστημα είναι δυνατόν να υπολογισθεί ένα θεμελιώδες κάτω όριο στην ενέργεια που πρέπει να περιέχει ένας παλμός φωτός προκειμένου να ανιχνευθεί με μία ορισμένη πιθανότητα σφάλματος. Θα υποθέσουμε την πλέον ιδανική περίπτωση ενός δέκτη του οποίου ο ενισχυτής εισάγει τόσο χαμηλό θόρυβο ώστε να μπορεί να ανιχνευθεί το ρεύμα που αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ζεύγος ηλεκτρονίου-οπής (δηλαδή μπορεί να ανιχνευθεί ακόμα και ένα φωτόνιο). Στην απουσία φωτός θα υποθέσουμε ότι το σκοτεινό ρεύμα είναι μηδέν και άρα δεν θα υπάρχει καμία ροή ρεύματος. Ο μόνος τρόπος για να συμβεί λάθος στο δέκτη είναι να προσπίπτει φως στην είσοδο του δέκτη αλλά να μην σχηματίζονται καθόλου ζεύγη ηλεκτρονίων-οπών. Η πιθανότητα να μην γεννηθούν ζεύγη οπών-ηλεκτρονίων στην παρουσία προσπίπτοντος φωτός (και συνεπώς να μην ανιχνευθεί το φως) (0 / 1)P υπολογίζεται από την εξ. (7.4) με την αντικατάσταση 0z . Η πιθανότητα αυτή είναι ίση με

(0 / 1) exp( )mP z . (7.7)

Η πιθανότητα (1 / 0)P , δηλαδή η πιθανότητα να εκληφθεί εσφαλμένα ως 1 η περίπτωση αποστολής 0, είναι μηδέν στον τέλειο δέκτη που περιγράψαμε καθώς δεν είναι δυνατή η δημιουργία ζευγών ηλεκτρονίων-οπών όταν δεν προσπίπτει φως. Με τη λογική θεώρηση της ίσης πιθανότητας αποστολής 0 ή 1, η πιθανότητα σφάλματος στο σύστημα ( )P e ή ρυθμός σφαλμάτων ψηφίων (Bit Error Rate, BER) υπολογίζεται άμεσα ως

1BER exp( )

2 mz . (7.8)

Με βάση την εξ. (7.7) μπορεί να υπολογισθεί η απόλυτη ευαισθησία του δέκτη και να προσδιορισθεί το θεμελιώδες όριο στις ψηφιακές οπτικές επικοινωνίες. Αυτό θα αντιστοιχεί στην ελάχιστη ενέργεια minE του οπτικού παλμού που απαιτείται για να διατηρηθεί ένα συγκεκριμένο BER, και βέβαια το όριο αυτό το οποίο καλείται κβαντικό όριο (quantum limit) θα αποτελεί και την απόλυτη επίδοση κάθε φυσικά υλοποιήσιμου δέκτη. Πρακτικές υλοποιήσεις δεκτών συνήθως είναι 10-20 dB χειρότερες (λιγότερο ευαίσθητες) από το κβαντικό όριο.

Page 140: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.4 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

________________________________________________________________________________________________________________________

Παράδειγμα 7.1 Ένα ψηφιακό σύστημα οπτικών ινών λειτουργεί στο 1.55 m και απαιτεί ένα BER ίσο με 10-9 ή καλύτερο. Εάν το σύστημα χρησιμοποιεί ιδανικό δυαδικό κώδικα και επιπλέον ο ανιχνευτής είναι ιδανικός, προσδιορίστε την ελάχιστη μέση λαμβανόμενη οπτική ισχύ που απαιτείται για να επιτευχθεί η παραπάνω συνθήκη, όταν ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων είναι ίσος με 10 Gbs. Ο ρυθμός σφαλμάτων (BER) δίνεται από την εξ. (7.8), από την οποία προκύπτει ο μέσος αριθμός φωτονίων mz που πρέπει να περιέχει ένας παλμός του ψηφίου 1:

9(1 / 2)exp( ) 10 20m mz z BER

Από την εξ. (7.6) μπορεί να υπολογισθεί η οπτική ισχύς 1P που αντιστοιχίζεται προς το ψηφίο 1

11 / ( )m m

Pz P z hf

hf

,

η οποία λαμβάνοντας υπόψη ότι ο ανιχνευτής είναι ιδανικός ( 1 ) και επίσης ότι η διάρκεια του ψηφίου είναι το αντίστροφο του ρυθμού μετάδοσης ( 1 / TB ) γράφεται

1 m TP z hfB .

Επειδή ο ψηφιακός κώδικας είναι ιδανικός ο αριθμός των 1 θα είναι ίσος με τον αριθμό των 0 και άρα η μέση λαμβανόμενη ισχύς μπορεί να υπολογισθεί στην περίοδο δύο ψηφίων. Δηλαδή η μέση ισχύς θα είναι απλά ο μέσος όρος της οπτικής ισχύς που αντιστοιχίζεται στο 1 ( 1P ) και 0 ( 0P ). Η 0P είναι μηδέν καθώς θεωρούμε ότι δεν αποστέλλεται ισχύς κατά το λογικό 0.

av 1 0 11 1 1( )

2 2 2 m TP P P P z hfB

34 8 9

6

20 6.626 10 2.998 10 10 1012.8

2 1.55 10

nW -48.9 dBm

________________________________________________________________________________________________________________________

7.2 Λόγος Σήματος προς Θόρυβο (SNR) Στο σημείο αυτό είμαστε έτοιμοι να εξετάσουμε τη συνολική συμμετοχή του θορύβου στο δέκτη και να διαμορφώσουμε γενικές σχέσεις για το λόγο σήματος προς θόρυβο (signal to noise ratio, SNR), όπως επίσης και να συγκρίνουμε την επίδραση των διαφόρων συνιστωσών θορύβου. Το σχήμα 7.2 παρουσιάζει το μπλοκ διάγραμμα ενός οπτικού δέκτη πάνω στο οποίο σημειώνονται οι διάφοροι τύποι θορύβου.

Σχήμα 7.2 Ενδεικτικό μπλοκ διάγραμμα οπτικού δέκτη και συνιστώσες θορύβου.

Page 141: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.5

7.2.1 Δέκτης φωτοδιόδου p-n και p-i-n Ο λόγος σήματος προς θόρυβο ορίζεται με αναφορά στα ηλεκτρικά μεγέθη ως ο λόγος της μέση ισχύος του σήματος προς την ισχύ του θορύβου

2

2

Average Signal PowerSNR

Noise PowerpI

, (7.9)

έχοντας λάβει υπόψη την τετραγωνική εξάρτηση της ηλεκτρικής ισχύος από το ρεύμα. Ο κβαντικός θόρυβος και ο θόρυβος σκοτεινού ρεύματος αποτελούν εγγενείς πηγές θορύβου στις φωτοδιόδους χωρίς εσωτερικό μηχανισμό κέρδους (p-n ή p-i-n) και το άθροισμα τους συνιστά το θόρυβο βολής του φωτορρεύματος. Σύμφωνα με όσα έχουν προηγηθεί στην παράγραφο 6.6.3, ο συνολικός θόρυβος βολής χαρακτηρίζεται από μέση τετραγωνική τιμή

2 2 2( ) 2 ( )s s s p di i t eB I I

, (7.10)

η οποία μπορεί να συμπληρωθεί σε ορισμένες περιπτώσεις και με την προσθήκη ενός ακόμα όρου που αναφέρεται στην ακτινοβολία του περιβάλλοντος (background), η οποία θεωρείται ότι εισάγει ένα επιπλέον φωτόρρευμα bI

2 2 ( )s p d beB I I I . (7.11)

Τo bI είναι κατά κανόνα αρκετά χαμηλό σε επικοινωνίες οπτικών ινών ενώ μπορεί να είναι σημαντικό σε ειδικές εφαρμογές όπως στις οπτικές επικοινωνίες ελευθέρου χώρου (Free-space optical communications, FSO). Ο θερμικός θόρυβος λόγω της αντίστασης φορτίου του ανιχνευτή δίνεται από την εξ. (7.1), η οποία επαναλαμβάνεται ξανά εδώ

2 2 2 4( )t t t

L

KTBi i t

R

(7.12)

και αποτελεί συχνά τον κυρίαρχο μηχανισμό θορύβου στις φωτοδιόδους χωρίς εσωτερικό κέρδος. Ο συνολικός θόρυβος που εισάγει ο ενισχυτής λόγω των παθητικών και ενεργών εξαρτημάτων του μπορεί να περιγραφεί από μία πηγή σειράς τάσης θορύβου 2

av και από μία πηγή παράλληλου ρεύματος θορύβου 2

ai

22 2 2amp

0

B

a ai i Y v df (7.13)

Με τη βοήθεια των εξ. (7.11), (7.12) και (7.13) γράφεται ο λόγος σήματος προς θόρυβο γράφεται

Page 142: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.6 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

2

2amp

SNR4

2 ( )

p

p dL

I

KTBeB I I i

R

. (7.14)

Πολλές φορές είναι πιο πρακτικό να συνδέσει κανείς το θόρυβο του ενισχυτή με το θερμικό θόρυβο της αντίσταση φορτίου μέσω της εικόνας θορύβου του ενισχυτή (amplifier noise figure) nF

2 2amp

4t n

L

KTBi i F

R

. (7.15)

Από φυσικής σκοπιάς η εικόνα θορύβου nF εκφράζει το συντελεστή αύξησης του θερμικού θορύβου λόγω των διαφόρων αντιστάσεων του ενισχυτή αλλά και ενεργών στοιχείων.

Με χρήση της εξ. (7.15) και λαμβάνοντας υπόψη ότι το ρεύμα pI προκύπτει άμεσα από το γινόμενο του συντελεστή απόκρισης R της εξ. (6.8) επί την προσπίπτουσα οπτική ισχύ iP , η (7.15) λαμβάνει τη μορφή

2 2

42 ( )

i

i d nL

R P

KTBeB RP I F

R

SNR . (7.17)

Ακολούθως εξετάζονται οι δύο οριακές περιπτώσεις, δηλαδή η κυριαρχία θερμικού ή κβαντικού θορύβου.

Όριο θερμικού θορύβου Σε πάρα πολλές πρακτικές υλοποιήσεις οπτικών δεκτών ο θερμικός θόρυβος αποτελεί την κυρίαρχη συνιστώσα θορύβου. Στην περίπτωση αυτή 2 2

t s και η εξ. (7.17) απλοποιείται στην παρακάτω

2 2

4L i

n

R R P

KTBFSNR . (7.18)

Παρατηρεί κανείς από την εξ. (7.18) ότι το SNR βελτιώνεται με το τετράγωνο της οπτικής ισχύος 2

iP και με την αντίσταση φορτίου LR Μπορεί να ορισθεί και εδώ η ισοδύναμη ισχύς θορύβου (Noise Equivalent Power, NEP) ως ένα μέτρο του θερμικού θορύβου. Η ποσότητα NEP αντιστοιχίζεται οπτική ισχύ ανά μονάδα εύρους ζώνης η οποία οδηγεί σε SNR 1 και σύμφωνα με την εξ. (7.18) προκύπτει ίση με

1/24

NEP i n

L

P KTFhf

e RB

. (7.19)

Όπως έχει ήδη αναφερθεί στο προηγούμενο κεφάλαιο, το NEP μετράται συνήθως σε pW / Hz .

Όριο κβαντικού θορύβου Θα υποθέσουμε εδώ ότι κυριαρχεί ο κβαντικός θόρυβος ( 2 2

s t ) και δεδομένης της εξάρτησης του κβαντικού θορύβου από το επίπεδο του σήματος, αυτό θα αναμένεται να συμβεί όταν η προσπίπτουσα

Page 143: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.7

οπτική ισχύς θα είναι πολύ υψηλή. Εάν επιπλέον αγνοήσουμε και το σκοτεινό ρεύμα, τότε η εξ. (7.17) απλοποιείται όπως παρακάτω

2 2i iRP P

eB hf B

SNR . (7.20)

Από την εξ. (7.20) διαπιστώνεται ότι το SNR βελτιώνεται γραμμικά με τον οπτική ισχύ όπως επίσης και με την κβαντική αποδοτικότητα της φωτοδιόδου. ________________________________________________________________________________________________________________________

Παράδειγμα 7.2 Συγκρίνετε τον αριθμό των φωτονίων που πρέπει να περιέχει το ψηφίο 1 προκειμένου να εξασφαλισθεί SNR ίσο με 20 dB στις δύο οριακές περιπτώσεις, δηλαδή στην κυριαρχία κβαντικού ή θερμικού θορύβου. Το μήκος κύματος είναι 1.55 m και ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων είναι ίσος με 10 Gbs. Η αντίσταση φορτίου να ληφθεί ίση με 50 και η εικόνα θορύβου του ενισχυτή μονάδα ( 1nF ). Στην περίπτωση κυριαρχίας του κβαντικού θορύβου, η οπτική ισχύς προκύπτει από την εξ. (7.20) ίση με

2i T

hf hfP B B

SNR SNR ,

επιλέγοντας επιπλέον εύρος ζώνης ίσο με το μισό του ρυθμού μετάδοσης, / 2TB B (τυπική επιλογή). Ο αριθμός των φωτονίων που περιέχονται στη διάρκεια 1 / TB του ψηφίου 1 υπολογίζονται ως

ip

PN

hf

SNR

ή ισοδύναμα pNSNR .

Συνεπώς για την επίτευξη SNR = 20 dB απαιτούνται κατ' ελάχιστο 100 φωτόνια εάν η κβαντική αποδοτικότητα της φωτοδιόδου είναι 100% ( 1 ). Όταν κυριαρχεί ο θερμικός θόρυβος η οπτική ισχύς προκύπτει από την εξ. (7.18)

4 2

( / )n T

iL L

KTBF KTBP

R R e hf R

SNR SNR.

Ο αριθμός των φωτονίων για το παραπάνω επίπεδο ισχύος εκτιμάται σε

2 1 2i Tp

L T L T

P KTB KTN

hf e R B e R B

SNR SNR

,

έχοντας επιπλέον θεωρήσει ότι η κβαντική αποδοτικότητα της φωτοδιόδου είναι 100%. Με αριθμητική αντικατάσταση και για θερμοκρασία 300 K υπολογίζεται τελικά ότι

8043pN . ________________________________________________________________________________________________________________________

7.2.2 Δέκτης φωτοδιόδου χιονοστιβάδας

Στην παράγραφο 6.7.6 εισάγαμε τα βασικά στοιχεία που περιγράφουν τη λειτουργία της φωτοδιόδου χιονοστιβάδας και συγκεκριμένα το συντελεστή πολλαπλασιασμού M και την εικόνα θορύβου ( )F M . Είναι φανερό ότι ο μηχανισμός χιονοστιβάδας αυξάνει το ρεύμα σήματος αλλά την ίδια στιγμή αυξάνεται και ο κβαντικός θόρυβος, ο οποίος μπορεί να αποτελέσει περιοριστικό παράγοντα. Κάνοντας χρήση των

Page 144: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.8 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

εξ. (6.26) και (7.15) μπορεί να προσδιορισθεί ο λόγος σήματος προς θόρυβο της εξ. (7.9) για ένα δέκτη με φωτοδίοδο χιονοστιβάδας

2 2

2SNR

42 ( )( )

p

p d nL

M I

KTBeBM F M I I F

R

. (7.21)

Διαιρώντας την εξ. (7.21) με το 2M επιτρέπει να διεισδύσουμε περισσότερο στο τι συμβαίνει,

2

2SNR

42 ( )( )

p

np d

L

I

KTBFeBF M I I M

R

. (7.22)

Όπως φαίνεται ο πρώτος όρος στον παρονομαστή της εξ. (7.22) αυξάνει με την αύξηση του M , σύμφωνα με τις εξ. (6.27) και (6.28), ενώ ο δεύτερος μειώνεται. Για χαμηλές τιμές του M ο συνδυασμένος θερμικός θόρυβος και ο θόρυβος του ενισχυτή κυριαρχούν, η συνολική ισχύς του θορύβου είναι σχεδόν ανεξάρτητη του ύψους του σήματος, με αποτέλεσμα αύξηση του σήματος να οδηγεί σε βελτίωση του λόγου SNR κατά τον παράγοντα 2M . Στο άλλο άκρο, μεγάλες τιμές του M καθιστούν το συνδυασμένο θερμικό θόρυβο και θόρυβο ενισχυτή ασήμαντο, με αποτέλεσμα ο λόγος SNR να υποβαθμίζεται κατά την εικόνα θορύβου

( )F M . Αναμένει κανείς την ύπαρξη μίας βέλτιστης τιμής του συντελεστή πολλαπλασιασμού ( opM ) η οποία θα μεγιστοποιεί το λόγο SNR . Εάν θεωρήσουμε ότι η εικόνα θορύβου της APD δίνεται από την εξ. (6.27) ( ) xF M M τότε η βέλτιστη τιμή του συντελεστή πολλαπλασιασμού προσδιορίζεται από τη σχέση

2op

4x n

L p d

KTFM

xeR I I

. (7.23)

Η βελτίωση που προσφέρει στο SNR μία φωτοδίοδος χιονοστιβάδας ως προς μία φωτοδίοδο χωρίς εσωτερικό μηχανισμό κέρδους ως συνάρτηση του συντελεστή πολλαπλασιασμού M φαίνεται στο σχήμα 7.3. Το σχήμα έχει διαμορφωθεί για την περίπτωση που 1nF και το σκοτεινό ρεύμα είναι αμελητέο. Μπορεί να διαπιστώσει κανείς ότι μία καλή φωτοδίοδος χιονοστιβάδας πυριτίου με 0.3x προσφέρει μία βελτίωση ~20 dB ενώ η βέλτιστη τιμή του συντελεστή πολλαπλασιασμού είναι op 30M . Για φωτοδιόδους γερμανίου ή III-V με 1x η βελτίωση είναι μικρότερη (~14 dB), το δε μέγιστο είναι οξύτερο και τοποθετείται στη περιοχή του op 10M . Το διάγραμμα του σχήματος 7.3 αναφέρεται σε μία συγκεκριμένη περίπτωση, είναι όμως ενδεικτικό της γενικής τάσης που αναμένεται. Εάν θεωρήσουμε ότι η εικόνα θορύβου της APD δίνεται από την εξ. (6.28) τότε η βέλτιστη τιμή του συντελεστή πολλαπλασιασμού δεν μπορεί να γραφεί σε κλειστή μορφή αλλά θα πρέπει να προκύψει από την επίλυση της πολυωνύμου τρίτης τάξης

3op op

4(1 ) n

A AL p d

KTFk M k M

eR I I

. (7.24)

Page 145: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

20

25

Multiplication factor M

Impr

ovem

ent i

n S

NR

x=0.3x=0.5x=1.0

Σχήμα 7.3 Βελτίωση του SNR σαν συνάρτηση του συντελεστή πολλαπλασιασμού M και για διαφορετικές τιμές της παραμέτρου x. Χρησιμοποιήθηκαν οι ακόλουθες παράμετροι: 0.8A / WR , 1nAdI , 50LR ,

4 WiP , 10GHzB .

7.3 Τυπικές δομές δέκτη Κατά αντιστοιχία με τους ηλεκτρικούς δέκτες, η πρώτη βαθμίδα ενίσχυσης του οπτικού δέκτη (προενισχυτής) που ακολουθεί τον φωτοανιχνευτή είναι αυτή που απαιτεί τη μεγαλύτερη προσοχή στο σχεδιασμό. Η βαθμίδα αυτή καθορίζει και τη συνολική ευαισθησία του δέκτη και ο επιπρόσθετος θόρυβος που εισάγει θα πρέπει να κρατηθεί σε όσο το δυνατόν χαμηλότερα επίπεδα, προκειμένου να μην υποβαθμισθεί σημαντικά το ασθενές λαμβανόμενο σήμα. Εάν απαιτείται, άλλες βαθμίδες ενίσχυσης μπορεί να ακολουθούν τον προενισχυτή για να δώσουν στο σήμα εξόδου την απαραίτητη στάθμη για την επεξεργασία του από άλλα κυκλώματα που μπορεί να ακολουθούν. 7.3.1 Χαμηλής αντίστασης εισόδου Η πιο απλή δομή δέκτη περιλαμβάνει έναν ενισχυτή τάσης με αντίσταση εισόδου aR , όπως φαίνεται στο σχήμα 7.4(α). Ο φωτοανιχνευτής συνήθως φορτίζεται από μία αντίσταση πόλωσης bR , με αποτέλεσμα η συνολική αντίσταση φορτίου να είναι ίση με

a bTL

a b

R RR

R R

. (7.25)

Εάν υποθέσουμε ότι η δίοδος έχει χωρητικότητα dC και ο ενισχυτής έχει χωρητικότητα εισόδου aC , τότε το μέγιστο δυνατό εύρος ζώνης μετά την ανίχνευση θα περιορίζεται από το αντίστροφο της RC σταθεράς χρόνου σύμφωνα με την έκφραση

max1

2 TL T

BR C

, (7.26)

όπου T d aC C C η συνολική χωρητικότητα φωτοδιόδου και ενισχυτή. Η παραπάνω σχέση αντιστοιχεί στη συχνότητα των -3dB του χαμηλοπερατού (LP) φίλτρου που σχηματίζεται από τη δίοδο και τον ενισχυτή. Για να βελτιστοποιηθεί το εύρος ζώνης είναι φανερό ότι οι αντιστάσεις ,a bR R θα πρέπει να ελαχιστοποιηθούν. Αυτό οδηγεί σε ένα προενισχυτή με χαμηλή αντίσταση εισόδου. Δυστυχώς, μία τέτοια επιλογή έχει ως αποτέλεσμα την κυριαρχία του θερμικού θορύβου στο δέκτη, όπως προβλέπει η εξ. (7.12), με συνέπεια το δραστικό περιορισμό της ευαισθησίας. Μία τυπική υλοποίηση προενισχυτή χαμηλής αντίστασης εισόδου παρέχεται από έναν ενισχυτή διπολικού τρανζίστορ σε συνδεσμολογία κοινού εκπομπού, όπως στο σχήμα 7.4(β). Η απαίτηση για «ανταλλαγή» εύρους ζώνης με ευαισθησία είναι φανερή.

Page 146: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.10 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

(α) (β)

Σχήμα 7.4 (α) Οπτικός δέκτης χαμηλής αντίστασης εισόδου, (β) ενδεικτική υλοποίηση προενισχυτή φωτοδιόδου PIN με διπολικό τρανζίστορ σε συνδεσμολογία κοινού εκπομπού. 7.3.2 Υψηλής αντίστασης εισόδου Μία άλλη δομή δέκτη στηρίζεται σε ένα ενισχυτή με υψηλή αντίσταση εισόδου σε συνδυασμό με ένα ανιχνευτή με υψηλή αντίσταση πόλωσης. Ο παραπάνω συνδυασμός οδηγεί σε περιορισμό του θερμικού θορύβου αλλά και υποβαθμισμένη απόκριση συχνότητας σύμφωνα με την εξ. (7.26). Η έξοδος του φωτοανιχνευτή στην περίπτωση αυτή ουσιαστικά ολοκληρώνεται λόγω της μεγάλης σταθεράς χρόνου του κυκλώματος. Η ευαισθησία του δέκτη αυτού είναι σημαντικά βελτιωμένη σε σχέση με την ευαισθησία του δέκτη χαμηλής αντίστασης αλλά συνήθως υπάρχει ισχυρή ανάγκη για εξισορρόπηση των φασματικών συνιστωσών (equalisation) και επίσης χαρακτηρίζεται από περιορισμένο δυναμικό εύρος. Στο σχήμα 7.5 φαίνεται ένας προενισχυτής με τρανζίστορ δράσης πεδίου (Field Effect Transistor, FET) σε συνδεσμολογία κοινής πηγής, ο οποίος χαρακτηρίζεται από υψηλή αντίσταση εισόδου μειώνοντας έτσι τις συνέπειες του θερμικού θορύβου.

Σχήμα 7.5 Υλοποίηση προενισχυτή υψηλής αντίστασης εισόδου με FET σε συνδεσμολογία κοινής πηγής για φωτοδίοδο PIN.

7.3.3 Transimpedance (Δι-αντίστασης) Το ισοδύναμο κύκλωμα ενός transimpedance ενισχυτή μαζί με τις διάφορες πηγές θορύβου φαίνεται στο σχήμα 7.6. Η διάταξη λειτουργεί με αρνητική ανάδραση και στο ισοδύναμο κύκλωμα εμφανίζεται η συνολική παράλληλη αντίσταση ( TLR ) και η συνολική παράλληλη χωρητικότητα ( TC ). Η συνάρτηση μεταφοράς ρεύματος σε τάση για την περίπτωση του ανοιχτού βρόχου ( )OLH υπολογίζεται από τη σχέση

Page 147: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.11

out in

in

1

( )1 1

TLT TL

OLT TL

TLT

RV GV j C GR

H Gi i j C R

Rj C

det

, (7.27)

όπου G το κέρδος τάσης ανοιχτού βρόχου. Η παραπάνω σχέση περιγράφει επίσης τις δομές των δεκτών των παραγράφων 7.3.1 και 7.3.2. Η εφαρμογή ανάδρασης οδηγεί στη συνάρτηση μεταφοράς ρεύματος σε τάση ( )CLH που υπολογίζεται χωρίς δυσκολία ίση με

( )1 /

fCL

T f

RH

j C R G

. (7.28)

Η εξ. (7.24) είναι προσεγγιστική και ισχύει στην περίπτωση που 1 /f TLG R R , συνθήκη που συχνά ικανοποιείται στην πράξη. Από την εξ. (7.28) το εύρος ζώνης προκύπτει ίσο με

2 f T

GB

R C , (7.29)

και βέβαια φαίνεται ότι αυτό βελτιώνεται σημαντικά ιδίως για υψηλές τιμές του κέρδους τάσης ανοιχτού βρόχου που εμφανίζεται στον αριθμητή της εξ. (7.29). Κατά κανόνα, f TLR R με αποτέλεσμα η κυρίαρχη συνιστώσα του θερμικού θορύβου να είναι αυτή της αντίστασης fR . Ο θόρυβος του transimpedance ενισχυτή είναι πάντα μεγαλύτερος από αυτόν ενός δέκτη με υψηλή αντίσταση εισόδου.

Σχήμα 7.6 Ισοδύναμο κύκλωμα δέκτη οπτικών επικοινωνιών με transimpedance προενισχυτή.

Μία ενδεικτική υλοποίηση transimpedance προενισχυτή με διπολικά τρανζίστορ φαίνεται στο σχήμα 7.7. Διακρίνει κανείς μία βαθμίδα κοινού εκπομπού ενώ έπεται μία βαθμίδα ακόλουθου εκπομπού, με συνολική ανάδραση μέσω της αντίστασης fR . Εάν το ύψος του σήματος εξόδου πρέπει να αυξηθεί περαιτέρω αυτό μπορεί να γίνει με την προσθήκη μίας δεύτερης βαθμίδας κοινού εκπομπού μετά τον ακόλουθο εκπομπού και συνήθως η δεύτερη αυτή βαθμίδα αφήνεται έξω από το βρόχο της ανάδρασης. Η διαφορά στις επιδόσεις ανάμεσα σε έναν ενισχυτή υψηλής αντίστασης και σε ένα ενισχυτή transimpedance μπορεί να παρατηρηθεί στο σχήμα 7.8, στο οποίο φαίνεται το δυναμικό εύρος και η ευαισθησία ως συνάρτηση της αντίστασης ανάδρασης fR . Ο ενισχυτής υψηλής αντίστασης αντιστοιχεί στην περίπτωση fR (αριστερό άκρο του διαγράμματος) ενώ η περίπτωση του transimpedance ενισχυτή τοποθετείται στο δεξιό

Page 148: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.12 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

μέρος του διαγράμματος με τη σταδιακή μείωση της αντίστασης ανάδρασης. Ενώ η ευαισθησία μειώνεται με τη μείωση της fR , όπως και αναμένεται, το επίπεδο κορεσμού αυξάνει με ταχύτερο ρυθμό οδηγώντας τελικά σε βελτίωση της δυναμικής περιοχής για τον transimpedance ενισχυτή.

Σχήμα 7.7 Transimpedance προενισχυτής διπολικών τρανζίστορ.

Σχήμα 7.8 Μεταβολή του ύψους της λαμβανόμενης ισχύος σαν συνάρτηση της αντίστασης ανάδρασης για τον transimpedance ενισχυτή. Ο ενισχυτής υψηλής αντίστασης εισόδου αντιστοιχεί στο αριστερό άκρο του διαγράμματος (

fR ).

7.3.4 Ολοκληρωμένοι οπτικοί δέκτες Μια ευρύτατα διαδεδομένη ενισχυτική διάταξη με χαμηλό επίπεδο θορύβου είναι το τρανζίστορ δράσης πεδίου (Field Effect Transistor, FET). Σε ένα FET η ροή ρεύματος ανάμεσα στον εκροή και στην πηγή ελέγχεται από την τάση που εφαρμόζεται στην πύλη. Η πύλη ουσιαστικά δεν απορροφά καθόλου ρεύμα και η διάταξη χαρακτηρίζεται από πάρα πολύ υψηλή αντίσταση εισόδου (στην περιοχή των 1410 ). Η πολύ υψηλή αντίσταση εισόδου οδηγεί σε χαμηλό θόρυβο και σε συνδυασμό με μία χαμηλή χωρητικότητα (στην περιοχή των pF) καθιστά το FET μία ικανοποιητική λύση προενισχυτή σε ένα δέκτη οπτικών επικοινωνιών. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αποκτά η μονολιθική ολοκλήρωση του συνόλου των εξαρτημάτων που συνθέτουν έναν οπτικό δέκτη (φωτοδίοδο και ηλεκτρονικά προενισχυτή) σε ένα οπτοηλεκτρονικό ολοκληρωμένο κύκλωμα (Optoelectronic Integrated Circuit, OEIC). Μία τυπική επιλογή είναι ο συνδυασμός φωτοδιόδου τύπου MSM (Metal Semiconductor Metal) με FET σε τεχνολογία GaAs. Η μονολιθική ολοκλήρωση των παραπάνω διευκολύνεται σημαντικά από την επίπεδη δομή της φωτοδιόδου MSM και του FET.

Page 149: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.13

Λαμβάνοντας υπόψη ότι σήμερα η συντριπτική πλειοψηφία των συστημάτων οπτικών επικοινωνιών λειτουργούν στα παράθυρα των 1.3 και 1.55 μm, γίνεται φανερή η ανάγκη για OEIC τεχνολογίας InGaAsP/InP. Καθώς η τεχνολογία ολοκληρωμένων GaAs θεωρείται γενικά πιο ώριμη έναντι αυτής του InP, συχνά επιλέγεται η υβριδική ολοκλήρωση μέσω της τεχνικής flip-chip bonding. Στην παραπάνω τεχνολογία τα ηλεκτρονικά εξαρτήματα ολοκληρώνονται σε ένα chip GaAs ενώ η φωτοδίοδος κατασκευάζεται σε άλλο chip με υπόστρωμα InP και περιοχή αραίωσης InGaAs. Τα δύο chips συνδέονται μόνιμα ηλεκτρικά μέσω αγώγιμων επαφών «αναποδογυρίζοντας» (flip) το δεύτερο πάνω στο πρώτο. Η τεχνολογία των InGaAs OEIC αναπτύχθηκε ιδιαίτερα τη δεκαετία του 1990. Οι ολοκληρωμένοι αυτοί δέκτες περιλαμβάνουν συνήθως μία PIN φωτοδίοδο σε συνδυασμό με κάποιο εξελιγμένο μικροκυματικό transistor, όπως το transistor υψηλής κινητικότητας ηλεκτρονίων (High-Electron Mobility Transistor, HEMT). Δέκτες αυτού του τύπου μπορούν να λειτουργήσουν σε ρυθμούς μετάδοσης πέραν των 40 Gbps. Άλλη επιλογή αποτελούν τα διπολικά transistor ετεροεπαφής (Heterojunction Bipolar Transistor, HBT) με ενσωματωμένη τη φωτοδίοδο PIN που επίσης επιτρέπουν λειτουργία σε αντίστοιχους ρυθμούς μετάδοσης. Επίσης, είναι δυνατός ο συνδυασμός φωτοδιόδων κυματοδηγού με ενισχυτή HEMT που μπορεί να προσφέρει εύρος ζώνης στην περιοχή των 50 GHz και συνεπώς να επιτρέψει τη μετάδοση σε ρυθμούς 50 Gbps. Η συσκευασία (packaging) ενός ολοκληρωμένου οπτικού δέκτη απαιτεί την προσεκτική επίλυση ενός αριθμού θεμάτων. Δεδομένου ότι η οπτική ισχύς που προσπίπτει στο δέκτη είναι συνήθως σε πολύ χαμηλά επίπεδα, θα πρέπει να διασφαλισθεί η αποτελεσματική και σταθερή σύζευξη της οπτικής ίνας με τη φωτοδίοδο. Επιπλέον, οι ανακλάσεις προς την ίνα μετάδοσης θα πρέπει να διατηρηθεί σε χαμηλά επίπεδα. Τα παραπάνω εξασφαλίζονται συνήθως με την κοπή του άκρου της ίνας σε γωνία και με την παρεμβολή μεταξύ ίνας και φωτοδιόδου ενός μικροφακού που μπορεί να ολοκληρωθεί στην τελευταία. 7.4 Ευαισθησία δέκτη Το ενδιαφέρον μας θα συγκεντρωθεί στους ψηφιακούς δέκτες των οπτικών συστημάτων επικοινωνίας με διαμόρφωση έντασης (Intensity Modulation) της οπτικής πηγής σε συνδυασμό με την απευθείας ανίχνευση (Direct Detection) του διαμορφωμένου οπτικού σήματος στο δέκτη. Τα συστήματα αυτά χαρακτηρίζονται με τη σύντμηση IM/DD και αποτελούν την απλούστερη και πλέον συνήθη επιλογή. Η επίδοση ενός ψηφιακού δέκτη αξιολογείται με τον ρυθμό σφάλματος ψηφίου (Bit-Error Rate, BER) που εκφράζει την πιθανότητα εσφαλμένης εκτίμησης ενός bit στη λήψη. Η ευαισθησία του δέκτη ορίζεται ως η ελάχιστη μέση ισχύς που πρέπει να προσπίπτει στο δέκτη προκειμένου να διατηρηθεί το BER στην επιλεγμένη τιμή. Μία συνηθισμένη απαίτηση για το BER ψηφιακών οπτικών δεκτών είναι το 10-9.

7.4.1 Ρυθμός σφαλμάτων ψηφίων (BER) Έχουμε ήδη εξετάσει στην παράγραφο 7.1.4 το κβαντικό όριο, το οποίο αποτελεί ένα θεμελιώδες όριο στη λειτουργία του δέκτη που βέβαια δεν είναι δυνατόν να επιτευχθεί ποτέ στην πράξη. Το κβαντικό όριο προσδιορίζεται από τη στατιστική της κατανομής Poisson που χαρακτηρίζει τον κβαντικό θόρυβο. Άλλες πηγές θορύβου, όπως ο θερμικός θόρυβος, χαρακτηρίζονται από μια Γκαουσιανή (Gaussian) κατανομή πιθανοτήτων. Είναι ιδιαίτερα χρήσιμο να συσχετίσει κανείς το λόγο σήματος προς θόρυβο με το ρυθμό σφαλμάτων ψηφίων BER ακολουθώντας μία πορεία ανάλογη με αυτή των υπολογισμών στα ηλεκτρικά ψηφιακά συστήματα κάτω από την παραδοχή του λευκού Γκαουσιανού θορύβου. Η Γκαουσιανή

Page 150: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.14 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

προσέγγιση διευκολύνει τους υπολογισμούς σε σχέση με τη χρήση ακριβέστερων κατανομών πιθανότητας στο δέκτη και γενικά οδηγεί σε πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα. Το μεταδιδόμενο σήμα αποτελείται από δύο καλά ορισμένα επίπεδα οπτικής ισχύος που αντιστοιχούν στα ψηφία 0 και 1 της μεταδιδόμενης ακολουθίας, τα οποία στην παρουσία του θορύβου αλλοιώνονται όπως φαίνεται στο σχήμα 7.9(α). Το σήμα μαζί με τον προσθετικό θόρυβο μπορούν να χαρακτηρισθούν από μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, όπως φαίνεται στο σχήμα 7.9(β). Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας περιγράφει την πιθανότητα το ρεύμα (ή η τάση) να πάρει την τιμή i (ή v ). Θα υποθέσουμε ότι ο προσθετικός θόρυβος έχει Γκαουσιανή κατανομή, οι δε συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τις δύο μεταδιδόμενες καταστάσεις θα συμβολίζονται ως 0( )p x και 1( )p x , και είναι επίσης Γκαουσιανές. Η Γκαουσιανή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι συνεχής και περιγράφεται μαθηματικά από τη γνωστή σχέση

2 21( ) exp ( ) / 2 Gsn( ; , )

2p x x m x m

, (7.30)

όπου το m είναι η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής x και το είναι η τυπική απόκλιση,

2 2 2 E E x x . Εάν η κατανομή ( )p x περιγράφει ένα ρεύμα (ή τάση) θορύβου τότε το αντιστοιχεί στη μέση τετραγωνική τιμή (rms) του ρεύματος (ή τάσης) θορύβου.

Σχήμα 7.9 (α) Μετάδοση ψηφιακού (δυαδικού) σήματος παρουσία προσθετικού θορύβου. (β) Συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας για τα δυαδικά σήματα και κατώφλι απόφασης. (0 / 1)P είναι η πιθανότητα να αναγνωρισθεί το ψηφίο 1 σαν 0 και

(1 / 0)P είναι η πιθανότητα να αναγνωρισθεί το ψηφίο 0 σαν 1.

Ανάμεσα στις δύο τιμές του μεταδιδόμενου σήματος ορίζεται ένα κατώφλι απόφασης D, τέτοιο ώστε τιμές σήματος μεγαλύτερες από το D να καταχωρούνται ως λογικό 1 ενώ τιμές μικρότερες να καταχωρούνται ως λογικό 0. Εάν ο θόρυβος είναι επαρκώς υψηλός είναι δυνατόν το επίπεδο 1 να μειωθεί τόσο ώστε να ανιχνευθεί εσφαλμένα ως 0 ή το επίπεδο 0 να αυξηθεί τόσο ώστε να ανιχνευθεί εσφαλμένα ως 1. Η πιθανότητα να έχει σταλεί 1 και να ανιχνευθεί ως 0 συμβολίζεται με (0 / 1)P ενώ η πιθανότητα να έχει σταλεί 0 και να ανιχνευθεί ως 1 συμβολίζεται με (1/0)P . Οι δύο παραπάνω πιθανότητες αντιστοιχούν στις γραμμοσκιασμένες περιοχές του σχήματος 7.9(β). Εάν (0)P και (1)P είναι οι πιθανότητες αποστολής των 0 και 1, αντίστοιχα, τότε η συνολική πιθανότητα σφάλματος θα είναι ίση με

BER ( ) (1) (0 / 1) (0) (1 / 0)P e P P P P . (7.31)

Page 151: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.15

Σύμφωνα με την εξ. (7.2) οι δύο βασικές συνιστώσες του θορύβου είναι ο θερμικός και ο κβαντικός θόρυβος. Ο θερμικός θόρυβος περιγράφεται πολύ ικανοποιητικά από την Γκαουσιανή στατιστική με μέση τιμή μηδέν και μεταβλητότητα 2

t . Ο κβαντικός θόρυβος (θόρυβος βολής) μπορεί να προσεγγισθεί επίσης από μία Γκαουσιανή τυχαία μεταβλητή με μεταβλητότητα 2

s . Το άθροισμα δύο Γκαουσιανών τυχαίων μεταβλητών είναι επίσης Γκαουσιανή τυχαία μεταβλητή, της οποίας η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει μεταβλητότητα ίση με 2 2 2

t s . Θα υποθέσουμε ότι το μέγεθος που ενδιαφέρει είναι το ρεύμα που παράγεται από τη φωτοδίοδο (ανάλογο της οπτικής ισχύος) και λαμβάνονται δείγματα του τις κατάλληλες χρονικές στιγμές προκειμένου να συγκριθούν με το ρεύμα κατωφλίου Di και να ληφθεί η απόφαση. Συνεπώς, οι δύο τυχαίες μεταβλητές για τα ψηφία 0,1 του σχήματος 7.9(β) έχουν μέσες τιμές 0 1,I I και μεταβλητότητες 2 2 2

0 ,0t s και 2 2 21 ,1t s , αντίστοιχα.

Σφάλμα ανίχνευσης θα προκύψει όταν 1 t s DI i i i και άρα η πιθανότητα (0 / 1)P υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα

1 1(0 / 1) Gsn( ; , )Di

P i I di

. (7.32)

Αντίστοιχα η πιθανότητα (1 / 0)P υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα

0 0(1 / 0) Gsn( ; , )

Di

P i I di

. (7.33)

Τα ολοκληρώματα των εξ. (7.32) και (7.33) δεν υπολογίζονται αναλυτικά, αλλά κάνοντας χρήση της συνάρτησης σφάλματος erf( )u που ορίζεται από τη σχέση

2

0

2erf( ) exp( )

u

u x dx

, (7.34)

ενώ η συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος erfc( )u ορίζεται ως

22erfc( ) 1 erf( ) exp( )

u

u u x dx

. (7.35)

Κάνοντας χρήση των ορισμών των εξ. (7.34) και (7.35) η εξ. (7.32) βρίσκεται ίση με

1 1

1 1

1 1(0 / 1) 1 erf erfc

2 22 2

D DI i I iP

, (7.36)

ενώ η εξ. (7.33) βρίσκεται ίση με

Page 152: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.16 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

0

0

1(1 / 0) c

2 2

Di IP

erf . (7.37)

Με την επιπλέον υπόθεση ότι ο δυαδικός κώδικας που χρησιμοποιείται είναι τέτοιος ώστε οι πιθανότητες μετάδοσης του 0 και 1 είναι ίσες, δηλαδή (0) (1) 1 / 2P P , η εξ. (7.31) με χρήση των εξ. (7.36) και (7.37) καταλήγει στην

1 0

1 0

1BER = erfc c

4 2 2

D DI i i I

erf . (7.38)

Η εξ. (7.38) φανερώνει ότι το BER συναρτάται άμεσα με την επιλογή του ρεύματος κατωφλίου Di και συνεπώς μπορεί να βελτιστοποιηθεί με την κατάλληλη επιλογή του. Λαμβάνοντας την παράγωγο της εξ. (7.38) ως προς Di και θέτοντας το αποτέλεσμα ίσο με μηδέν προκύπτει χωρίς δυσκολία η εξίσωση που πρέπει να ικανοποιεί το βέλτιστο ρεύμα κατωφλίου:

2 2

0 11 02 2

0 1

( ) ( )ln( / )

2 2

D Di I I i

. (7.39)

Στις περισσότερες περιπτώσεις, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση κυριαρχίας του θερμικού θορύβου έναντι του κβαντικού θορύβου, ο δεύτερος όρος στο δεξιό μέλος της εξ. (7.39) τείνει στο μηδέν και άρα η παραπάνω εξίσωση απλοποιείται

0 1

0 1

D Di I I iQ

, (7.40)

και το βέλτιστο κατώφλι ρεύματος προκύπτει ίσο με

1 0 0 1

0 1D

I Ii

. (7.41)

Εάν ο θόρυβος ληφθεί ακριβώς ο ίδιος και στα δύο ψηφία ( 0 1 ) τότε η εξ. (7.41) προβλέπει ως βέλτιστη την τοποθέτηση του κατωφλίου στο μέσο των δύο επιπέδων ρεύματος,

0 1

2D

I Ii

. (7.42)

Η παραπάνω συνθήκη περιγράφει τα ηλεκτρικά συστήματα επικοινωνίας και αντιστοιχεί σε ίση ελάχιστη πιθανότητα σφάλματος και για τις δύο καταστάσεις (0 ή 1). Στην περίπτωση των οπτικών συστημάτων με φωτοδίοδο PIN αυτό δεν είναι γενικά αληθές καθώς ο θόρυβος είναι διαφορετικός στις δύο καταστάσεις δεδομένου ότι ο θόρυβος βολής είναι υψηλότερος στο ψηφίο 1 έναντι του ψηφίου 0 ( 2

,0/1 0/12s eBI ). Ακόμα μεγαλύτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στην περίπτωση φωτοδιόδων APD για τον προσδιορισμό του βέλτιστου κατωφλίου.

Page 153: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.17

Με χρήση της εξ. (7.40) το BER της εξ. (7.38) απλοποιείται στην έκφραση

1BER = erfc

2 2

Q

, (7.43)

και η παράμετρος Q υπολογίζεται άμεσα από τη σχέση ορισμού της εξ. (7.40) ως

1 0

1 0

I IQ

. (7.44)

Η συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος μπορεί να προσεγγισθεί από την ασυμπτωτική έκφραση για σχετικά μεγάλα ορίσματα

2

erfc( )xe

xx

. (7.45)

Στο σχήμα 7.10 απεικονίζεται η μεταβολή του BER ως προς την παράμετρο Q μέσω της εξ. (7.43) και με εφαρμογής της ασυμπτωτικής έκφρασης της εξ. (7.45). Διαπιστώνεται η πάρα πολύ καλή μεταξύ τους συμφωνία για τιμές 3Q . Το BER υποχωρεί ελαφρά κάτω από 910 όταν το 6Q ενώ τιμές BER

12~ 10 απαιτούν ~ 7Q .

1 2 3 4 5 6 710

−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Q parameter

Bit

Err

or R

ate

ExactAsymptotic

Σχήμα 7.10 Μεταβολή του ρυθμού σφαλμάτων ως συνάρτηση της παραμέτρου Q όταν το κατώφλι απόφασης έχει τεθεί στη βέλτιστη θέση. Απεικονίζεται η ακριβής έκφραση της εξ. (7.43) και η ασυμπτωτική προσέγγιση της εξ. (7.45).

7.4.2 Ελάχιστη απαιτούμενη ισχύς στη λήψη Στην παράγραφο αυτή θα προσδιορίσουμε το επίπεδο ισχύος που απαιτείται κατ' ελάχιστο στην είσοδο του δέκτη προκειμένου αυτός να λειτουργήσει με το επιθυμητό BER. Θα υποθέσουμε καταρχήν ότι στο ψηφίο 0 δεν εκπέμπεται οπτική ισχύς και συνεπώς το μέσο ρεύμα είναι 0 0I όπως και η αντίστοιχη ισχύς 0 0P . Η μέση ισχύς στο δέκτη για ισοπίθανη αποστολή των δύο ψηφίων είναι

Page 154: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.18 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

0 1 1av 2 2

P P PP

. (7.46)

Το μέσο ρεύμα στο ψηφίο 1 στη γενικότερη περίπτωση μίας APD φωτοδιόδου θα δίνεται από τη σχέση

1 1 av2I MRP MRP , (7.47)

ενώ ο συνολικός θόρυβος (θερμικός και κβαντικός αγνοώντας όμως το θόρυβο σκοτεινού ρεύματος) στις δύο καταστάσεις θα είναι

2 2 2 21 ,1 av

42 ( ) (2 )t s

L

KTBeBM F M R P

R , (7.48α)

2 2 20 ,0

4t s

L

KTB

R . (7.48β)

Σύμφωνα με την εξ. (7.44) η παράμετρος Q γράφεται με χρήση των εξ. (7.47) και (7.48)

1 av

2 21 0,1

2

t s t

I MRPQ

, (7.49)

και θα πρέπει να λάβει την τιμή που θα εξασφαλίσει το επιθυμητό BER μέσω της εξ. (7.43). Η εξ. (7.49) μπορεί να επιλυθεί χωρίς δυσκολία ως προς τη μέση ισχύ avP και μετά από απλές πράξεις προκύπτει

av ( ) tQP eBF M Q

R M

. (7.50)

Η περίπτωση μίας φωτοδιόδου PIN στην οποία τυπικά κυριαρχεί ο θερμικός θόρυβος απλοποιεί την εξ. (7.50) στην παρακάτω

PINav

4t

L

KTBQ QP

R R R , (7.51)

η οποία προβλέπει ότι η μέση απαιτούμενη ισχύς στο δέκτη κλιμακώνεται με το εύρος ζώνης (ή ισοδύναμα το με ρυθμό μετάδοσης δεδομένων) ως B (ή TB ). Στην περίπτωση φωτοδιόδων APD ο δεύτερος όρος της εξ. (7.50) μειώνεται με την αύξηση του συντελεστή πολλαπλασιασμού M αντίθετα με τον πρώτο όρο που αυξάνεται μέσω της αύξησης της εικόνας θορύβου

( )F M ακολουθώντας την εξ. (6.28). Αυτό υποδηλώνει ότι θα υπάρχει μία βέλτιστη τιμή του συντελεστή πολλαπλασιασμού optM που οδηγεί στην ελάχιστη απαιτούμενη ισχύ λήψης. Κάνοντας χρήση της εξ. (6.28) προκύπτει η παρακάτω βέλτιστη τιμή και η αντίστοιχη ελάχιστη ισχύς:

Page 155: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.19

opt1

1tA

A

M kk eBQ

, (7.52α)

APD 2av opt

21A A

eBP Q k M k

R . (7.52β)

Η εξ. (7.52β) προβλέπει τη γραμμική κλιμάκωση της απαιτούμενης ισχύος στο δέκτη με το εύρος ζώνης B . Τέλος, στην περίπτωση μίας ιδανικής φωτοδιόδου PIN ( 1M , 1F ) που περιορίζεται αποκλειστικά από τον κβαντικό θόρυβο (δηλαδή ο θερμικός είναι αμελητέος, 0t ), η εξ. (7.50) απλοποιείται στην

ideal 2av

eBP QR

. (7.53)

Και στην περίπτωση αυτή η κλιμάκωση της μέσης απαιτούμενης ισχύος με το εύρος ζώνης είναι γραμμική. Η παράμετρος Q μπορεί να συσχετισθεί άμεσα με τον ηλεκτρικό λόγο σήματος προς θόρυβο SNR . Στην συνηθισμένη περίπτωση κυριαρχίας του θερμικού θορύβου 0 1 και αν επιπλέον 0 0I από την εξ. (7.49) προκύπτει 1 1/ (2 )Q I , και λαμβάνοντας υπόψη ότι 2 2

1 1SNR /I προκύπτει η απλή σχέση

2SNR 4Q . (7.54)

Στην απουσία θερμικού θορύβου ο κβαντικός θόρυβος είναι ασήμαντος στο ψηφίο 0 ( 0 0 ) και άρα το

1 1/Q I , οπότε η σχέση SNR και Q γίνεται

2SNR Q . (7.55)

Από απλή σύγκριση μεταξύ των εξ. (7.54) και (7.55) διαπιστώνεται ότι για την επίτευξη του ίδιου BER ένας οπτικός δέκτης που υπόκειται μόνο σε κβαντικό θόρυβο απαιτεί ένα SNR το οποίο είναι 6 dB χαμηλότερο έναντι αυτού ενός δέκτη στον οποίο κυριαρχεί ο θερμικός θόρυβος. ________________________________________________________________________________________________________________________

Παράδειγμα 7.3 Συγκρίνεται την ευαισθησία των παρακάτω δύο οπτικών δεκτών που λειτουργούν στα 1550 nm με

9BER = 10 και ρυθμό μετάδοσης NRZ 10 GbpsB . (α) Φωτοδίοδος PIN με συντελεστή απόκρισης 0.8 A / WR και αντίσταση φορτίου 5 KLR . (β) Φωτοδίοδος APD με συντελεστή απόκρισης 0.8 A / WR , αντίσταση φορτίου 5 KLR και συντελεστή 0.1Ak που λειτουργεί με το βέλτιστο συντελεστή πολλαπλασιασμού. Το απαιτούμενο εύρος ζώνης για NRZ είναι / 2 5 GHzB B . Η rms τιμή του θερμικού ρεύματος θορύβου είναι

4 / 127.2 nAt LKTB R .

Δέκτης PIN: Η μέση απαιτούμενη ισχύς υπολογίζεται από τη γενική σχέση της εξ. (7.50) θέτοντας

1M και 1F . PINav 0.989 W (-30.04 dBm)t

QP eBQ

R

Page 156: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.20 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

Δέκτης APD: Ο βέλτιστος συντελεστής πολλαπλασιασμού υπολογίζεται με εφαρμογή της εξ.

(7.52α)

opt1

1 16tA

A

M kk eBQ

,

ενώ το επίπεδο ελάχιστη ισχύος προκύπτει από την εξ. (7.52β)

APD 2av opt(2 / ) 1 0.144 W (-38.42 dBm)A AP eB R Q k M k .

Συγκρίνοντας τις παραπάνω δύο ευαισθησίες προκύπτει ότι οι επιδόσεις του δέκτης APD είναι βελτιωμένες κατά 8.38 dB . ________________________________________________________________________________________________________________________

7.5 Παράγοντες που περιορίζουν την ευαισθησία Στην ενότητα αυτή θα εξετασθεί ένας αριθμός από παράγοντες που περιορίζουν την ευαισθησία του δέκτη και τελικά θα διαφανεί πως για την διατήρηση του επιθυμητού BER απαιτείται στην είσοδο του δέκτη οπτική ισχύς υψηλότερη από αυτή που εκτιμήθηκε στην παράγραφο 7.4.2. Ένας βασικός περιοριστικός παράγοντας συναρτάται με την οπτική ισχύ (ενέργεια) που περιέχεται σχεδόν σε κάθε περίπτωση στη χρονική διάρκεια του ψηφίου 0. Η οπτική ισχύς που εντοπίζεται στο ψηφίο 0 μπορεί να οφείλεται σε διάφορους λόγους που συγκεντρώνονται παρακάτω. (α) Στην περίπτωση LD με απευθείας διαμόρφωση ρεύματος η ισχύς 0P του ψηφίου 0 σχετίζεται άμεσα με το σημείο πόλωσης (ρεύμα bI ). Εάν το ρεύμα bI είναι κάτω από το ρεύμα κατωφλίου thI τότε η ισχύς

0P αποδίδεται αποκλειστικά στην αυθόρμητη εκπομπή της LD και γενικά αναμένεται σε πολύ χαμηλά επίπεδα. Εάν το bI είναι πλησίον αλλά πάνω από κατώφλι τότε η 0P λαμβάνει πιο αξιόλογες τιμές. (β) Στην περίπτωση εξωτερικής διαμόρφωσης με χρήση συμβολομέτρου (συνήθως Mach-Zehnder) ή διαμορφωτή ηλεκτρο-απορρόφησης (Electro-Absorption Modulator, EAM) η LD λειτουργεί CW και τα δύο επίπεδα ισχύος 0P και 1P καθορίζονται από τις επιδόσεις του εξωτερικού διαμορφωτή. Η ισχύς 1P είναι μειωμένη σε σχέση με την CW εκπεμπόμενη κατά τις απώλειες εισαγωγής του διαμορφωτή ενώ η ισχύς 0P λαμβάνει γενικά πολύ μικρότερες αλλά όχι μηδενικές τιμές καθώς κανένας διαμορφωτής στην πράξη δεν μπορεί να προσφέρει πλήρη (άπειρη) εξάλειψη στην κατάσταση 0. (γ) Το επίπεδο ισχύος 0P επιβαρύνεται επίσης από το θόρυβο των οπτικών ενισχυτών γραμμής που παρεμβάλλονται στη ζεύξη. Ο παραπάνω θόρυβος είναι προσθετικός και διαρκώς συσσωρεύεται κατά μήκος της ζεύξης. Για να περιγράψουμε ποσοτικά τη μη-μηδενική ισχύ στο ψηφίο 0 θα ορίσουμε ως λόγο εξάλειψης (Extinction Ratio, ER) το μέγεθος

0

1ER

P

P , (7.56)

έχοντας υπόψη ότι σε πρακτικές υλοποιήσεις συστημάτων μπορεί να λάβει τυπικές τιμές στο διάστημα 8 20 dB . Η μέση οπτική ισχύς δίνεται από την εξ. (7.46) ενώ τα ρεύματα 0 1,I I προκύπτουν από το γινόμενο του συντελεστή απόκρισης R της φωτοδιόδου επί 0 1,P P . Επιστρέφοντας στην εξ. (7.44) και με χρήση των ανωτέρω προκύπτει η παράμετρος Q

Page 157: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.21

av

0 1

1 ER 2

1 ER

RPQ

. (7.57)

Με την παρατήρηση ότι ο συντελεστής απόκρισης R θα πρέπει να εκληφθεί ως MR στην περίπτωση μίας APD φωτοδιόδου, η Εξ. (7.57) γενικεύει την εξ. (7.49) στην περίπτωση του μη-μηδενικού λόγου ER . Εστιάζοντας και πάλι στην πολύ συνήθη περίπτωση οπτικού δέκτη φωτοδιόδου PIN που κυριαρχείται από θερμικό θόρυβο, 0 1 t , η εξ. (7.57) μπορεί να επιλυθεί άμεσα ως προς το απαραίτητο επίπεδο μέσης ισχύος

av1 ER

1 ERtP QR

. (7.58)

Η εξ. (7.58) επιτρέπει τον υπολογισμό της ποινής ισχύος (power penalty) ER που επιβάλλεται λόγω της μη-μηδενικής τιμής του ER και ορίζεται ως ο λόγος της απαιτούμενης μέσης ισχύος για δεδομένο ER προς την απαιτούμενη ισχύ για ER = 0 και προκύπτει άμεσα σε dB ίση με

ER 101 ER

10 log1 ER

. (7.59)

Στο σχήμα 7.11 απεικονίζεται η μεταβολή του ER ως προς το λόγο εξάλειψης ER . Παρατηρώντας την καμπύλη του σχήματος διαπιστώνεται ότι για λόγο εξάλειψης 0.1 ( 10dB) που μπορεί να εξασφαλισθεί σε μεγάλο εύρος πηγών/διαμορφωτών, η ποινή ισχύος παραμένει κάτω από 1dB (συγκεκριμένα 0.87 dB ). Η παραπάνω ανάλυση αναφέρεται σε δέκτες PIN αλλά μπορεί αν γενικευτεί και στην περίπτωση APD δεκτών λαμβάνοντας υπόψη την αλλαγή στα χαρακτηριστικά θορύβου. Θα πρέπει να ακολουθηθεί εκ νέου μία πορεία προσδιορισμού του βέλτιστου συντελεστή πολλαπλασιασμού και να εξαχθούν οι σχέσεις που θα γενικεύσουν τις εξ. (7.52) στην περίπτωση του μη-μηδενικού ER . Ακολούθως θα προκύψει η ποινή ισχύος για το δεδομένο ER .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Extinction Ratio (ER)

Pow

er P

enal

ty (

dB)

Σχήμα 7.11 Μεταβολή της ποινής ισχύος ως συνάρτηση της λόγου εξάλειψης παραμέτρου ER.

Page 158: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.22 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

Ένας άλλος περιοριστικός παράγοντας συναρτάται με τυχαία διακύμανση της εκπεμπόμενης ισχύος (έντασης) που αναμένεται στις laser διόδους. Η εκπεμπόμενη ισχύς ( ) ( )P t P P t εμφανίζει διακυμάνσεις γύρω από μία μέση τιμή P P . Οι παραπάνω διακυμάνσεις έντασης οφείλονται κατά κύριο λόγο στην αυθόρμητη εκπομπή που αποτελεί τη βασική πηγή θορύβου στις LD. Το παραπάνω έχει ως συνέπεια την εμφάνιση διακυμάνσεων στο ρεύμα που παράγει ο οπτικός ανιχνευτής (φωτοδίοδος), πέραν αυτών που αναμένονται από το θερμικό και κβαντικό θόρυβο. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η ποινή ισχύος λόγω των διακυμάνσεων έντασης της οπτικής πηγής δίνεται από τη σχέση

2 21010 log 1I Ir Q . (7.60)

Η παράμετρος Ir συνδέεται με το ολοκλήρωμα στη συχνότητα του σχετικού θορύβου έντασης (Relative Intensity Noise, RIN),

2 1RIN( )d

2Ir

, (7.61)

ενώ ο RIN είναι ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης-ισχύος ( )ppC , δηλαδή

FT 2RIN( ) ( ) ( ) ( ) /ppC P t P t P . (7.62)

Η παράμετρος Ir συμπίπτει με τον αντίστροφο του λόγου σήματος-προς-θόρυβο (SΝR) του φωτός που εκπέμπει η πηγή, ο οποίος τυπικά είναι καλύτερος των 20 dB . Για τις συνήθεις απαιτήσεις 9BER 10 (ισοδύναμα 6Q ), η εξ. (7.61) προβλέπει ασήμαντη ποινή ισχύος για 0.01Ir (S R 20 dB ), η οποία προκύπτει κάτω από 0.02 dB . Καθώς ένας μεγάλος αριθμός οπτικών πηγών εμπίπτει στην παραπάνω κατηγορία, ο σχετικός περιορισμός καθίσταται γενικά ασήμαντος. Ο τελευταίος περιοριστικός παράγοντας στην ευαισθησία του δέκτη που θα σχολιάσουμε σχετίζεται με τη δειγματοληψία του σήματος σε χρονικές στιγμές που δεν συμπίπτουν με τις βέλτιστες, δηλαδή στο μέσο του ψηφίου. Το βέλτιστο σημείο δειγματοληψίας εμφανίζει διακύμανση από ψηφίο σε ψηφίο, ως συνέπεια του θορύβου στην είσοδο του κυκλώματος ανάκτησης ρολογιού (clock-recovery circuit). Η παραπάνω διακύμανση είναι γνωστή ως timing jitter και μπορεί να περιγραφεί από μία τυχαία μεταβλητή t που εκφράζει τη χρονική απόκλιση από το βέλτιστο σημείο δειγματοληψίας. Η απόκλιση αυτή μειώνει το ύψος του σήματος οδηγώντας σε αυξημένη πιθανότητα σφάλματος και άρα τελικά υποβαθμίζει την επίδοση του δέκτη. Για να αποκατασταθεί αυτό απαιτείται η αύξηση της λαμβανόμενης οπτικής ισχύος και αυτό αποτελεί την ποινή ισχύος λόγω timing jitter. Η τυχαία μεταβλητή t θεωρείται ότι είναι Γκαουσιανή και έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

2

2

1( ) exp Gsn( ;0, )

2 2j

j j

tp t t

. (7.63)

Επιπλέον, θεωρούμε ότι η t είναι πολύ μικρότερη από τη χρονική διάρκεια του ψηφίου 1 /b TB ( TB είναι ο ρυθμός μετάδοσης των δεδομένων), δηλαδή bt ή ισοδύναμα 1TB t . Για την

Page 159: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ 7.23

πλέον συνήθη περίπτωση οπτικού δέκτη PIN που κυριαρχείται από θερμικό θόρυβο με ER = 0 και παλμούς ανυψωμένου συνημιτόνου μπορεί να αποδειχθεί ότι η ποινή ισχύος υπολογίζεται μέσω της σχέσης

10 2 2 2

1 / 210 log

(1 / 2) / 2j

b

b b Q

, (7.64α)

2 2 24 / 3 8 T jb B . (7.64β)

Η παραπάνω ποινή ισχύος εκφράζει την αύξηση που απαιτείται στη μέση λαμβανόμενη ισχύ avP λόγω του timing jitter προκειμένου να διατηρηθεί το επιθυμητό BER. Η εξ. (7.64α) προβλέπει αμελητέα ποινή ισχύος (μικρό κλάσμα του dB) όταν το γινόμενο T jB διατηρείται κάτω από το 0.1. Αντίθετα, όταν το παραπάνω όριο ξεπερασθεί η ποινή αυξάνει γρήγορα και γίνεται ίση με 2 dB όταν 0.16T jB . Η ποινή ισχύος απειρίζεται όταν το T jB γίνει λίγο πάνω από 0.2. Ο απειρισμός της ποινής ισχύος υποδηλώνει ότι ο δέκτης υπό τις συγκεκριμένες συνθήκες δεν μπορεί να λειτουργήσει με το ζητούμενο BER, ακόμα και αν η μέση ισχύς αυξηθεί απεριόριστα. Στη παραπάνω περίπτωση το διάγραμμα

avBER P θα εμφανίζει σταθεροποίηση του BER σε κάποια τιμή χωρίς περαιτέρω δυνατότητα βελτίωσης με αύξηση της ισχύος. Η κατάσταση αυτή είναι γνωστή ως BER floor. Σημειώνεται ότι η συμπεριφορά αυτή δεν αναμένεται στην περίπτωση του περιορισμού λόγω ER που εξετάσθηκε στην αρχή της ενότητας αλλά είναι δυνατή στη περίπτωση του σχετικού θορύβου έντασης (RIN).

Page 160: Οπτικές Επικοινωνίες

________________________________________________________________________________________________ 7.24 ΟΠΤΙΚΟΣ ΔΕΚΤΗΣ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ

Page 161: Οπτικές Επικοινωνίες

8

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Το κεφάλαιο αυτό καλύπτει έναν αριθμό θεμάτων σχετικών με την αρχιτεκτονική των συστημάτων οπτικών επικοινωνιών, το σχεδιασμό τους καθώς και τις πιο διαδεδομένες τεχνικές πολυπλεξίας που χρησιμοποιούνται για την αύξηση της χωρητικότητας των συστημάτων αυτών. 8.1 Βασικές αρχιτεκτονικές συστημάτων οπτικών επικοινωνιών 8.1.1 Ζεύξεις σημείο-προς-σημείο Οι οπτικές ζεύξεις σημείο-προς-σημείο (point-to-point links) αποτελούν τον απλούστερο τύπο συστήματος οπτικών επικοινωνιών και χρησιμοποιούνται κυρίως για τη μεταφορά ψηφιακών δεδομένων με υψηλές ταχύτητες. Μπορούν να προσφέρουν διασύνδεση σε κοντινές αποστάσεις, όπως για παράδειγμα μεταξύ δύο κτιρίων, μέχρι επικοινωνίες πολύ μακρινών αποστάσεων (long haul), όπως οι υποθαλάσσιες ζεύξεις μεταξύ διαφορετικών ηπείρων που μπορεί να εκτείνονται ακόμα και σε αρκετές χιλιάδες χιλιόμετρα. Στην πρώτη περίπτωση ούτε οι απώλειες αλλά ούτε και η διασπορά αποτελούν περιοριστικούς παράγοντες. Αντίθετα, στη δεύτερη οι απώλειες και η διασπορά θα πρέπει να αντιμετωπισθούν με κατάλληλες τεχνικές. Στη συντριπτική πλειοψηφία ζεύξεων σημείο-προς-σημείο, το κανάλι αποτελείται από τυπικές μονόρρυθμες οπτικές ίνες με απώλειες 0.2 dB/km, πράγμα που σημαίνει ότι εισάγει απώλειες 20 dB σε ένα μήκος ζεύξης 100 km. Αυτό σημαίνει ότι για τα συνήθη επίπεδα οπτικής ισχύος που είναι διαθέσιμα στην εκπομπή από τις LD, απαιτείται η ενίσχυση του οπτικού σήματος κάθε 100-150 km με την παρεμβολή στη ζεύξη ενός αναμεταδότη (repeater). Σε ένα συμβατικό αναμεταδότη το οπτικό σήμα μετατρέπεται σε ηλεκτρικό, ενισχύεται, προσδίδεται στους παλμούς το κατάλληλο σχήμα (reshaping), διορθώνεται ο χρονισμός των παλμών (retiming) και στη συνέχεια η ακολουθία των παλμών χρησιμοποιείται για να αναγεννηθεί η οπτική ισχύς (regeneration) διαμορφώνοντας μία οπτική πηγή προκειμένου να σταλεί στον επόμενο αναμεταδότη. Η παραπάνω διαδικασία είναι γνωστή ως 3R (Retiming, Reshaping & Regeneration) και είναι αποτελεσματική με ταυτόχρονα λογικό κόστος όταν εφαρμόζεται σε οπτικά κανάλια χαμηλών ή μεσαίων ρυθμών μετάδοσης με τη χρήση ενός και μόνο μήκους κύματος. Η λύση που μόλις περιγράψαμε για την αποκατάσταση του οπτικού σήματος ήταν και η μόνη διαθέσιμη μέχρι περίπου το 1990. Είναι φανερό ότι ως λύση γίνεται ιδιαίτερα περίπλοκη και ακριβή όταν θα πρέπει να εφαρμοσθεί σε συστήματα με πολλά πολυπλεγμένα μήκη κύματος (Wavelength Division Multiplexing, WDM) και υψηλούς ρυθμούς μετάδοσης. Για την τελευταία περίπτωση ιδιαίτερο ενδιαφέρον αποκτούν οι αμιγώς οπτικοί ενισχυτές, οι οποίοι θα λειτουργούσαν αποκλειστικά στην οπτική συχνότητα χωρίς να απαιτείται Ο/Ε και Ε/Ο μετατροπή και μπορούν να ενισχύσουν ταυτόχρονα πολλαπλά οπτικά κανάλια στην περιοχή των μηκών κύματος που χρησιμοποιούνται στις οπτικές επικοινωνίες (1.3 και 1.55 μm). Ο ενισχυτής ντοπαρισμένης ίνας Ερβίου (Erbium Doped Fiber Amplifier, EDFA) αποτελεί τον πλέον διαδεδομένο τύπο οπτικού ενισχυτή των τελευταίων είκοσι ετών. Οι οπτικοί ενισχυτές αποκαθιστούν το επίπεδο του σήματος αλλά αναπόφευκτα εισάγουν θόρυβο, ο οποίος συσσωρεύεται

Page 162: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

προσθετικά κατά την όδευση του σήματος διαμέσου διαδοχικών αναμεταδοτών/ενισχυτών. Αυτό σημαίνει ότι υποχρεωτικά μετά από έναν αριθμό οπτικών ενισχυτών θα πρέπει να ακολουθήσει ένας 3R (οπτο-ηλεκτρονικός) αναμεταδότης. Αυτό καταδεικνύει και το ενδιαφέρον σήμερα για την ανάπτυξη αμιγώς οπτικών 3R αναμεταδοτών. Τα συστήματα επικοινωνίας σημείο-προς-σημείο αξιολογούνται με το γινόμενο εύρους ζώνης (B ) επί απόσταση μεταξύ αναμεταδοτών (L ). Το εύρος ζώνης εκφράζει την ικανότητα μεταφοράς πληροφορίας (ισοδύναμα το ρυθμό μετάδοσης δεδομένων). Το γινόμενο B L στην περίπτωση πολλών πολυπλεγμένων μηκών κύματος που μεταδίδονται μέσα σε μία και μόνο οπτική ίνα στο παράθυρων των 1550 nm , που το καθένα από τα οποία μεταφέρει κίνηση/δεδομένα με ρυθμό 40 Gbps , μπορεί να ξεπεράσει σήμερα τα 1000 Tbps km . 8.1.2 Δίκτυα διανομής Σε ένα εύρος εφαρμογών ενδιαφέρει η διανομή της πληροφορίας σε ένα πλήθος συνδρομητών. Τυπικό παράδειγμα αποτελεί η μετάδοση πολλαπλών καναλιών video μέσω συνδρομητικής (καλωδιακής) τηλεόρασης. Η χρήση οπτικής ίνας στην περίπτωση αυτή αποτελεί εξαιρετική επιλογή λαμβάνοντας υπόψη τον μεγάλο αριθμό καναλιών που μπορεί να υπερβαίνει το 100 καθώς και το μεγάλο εύρος ζώνης ανά κανάλι (100 Mbps για HDTV). Οι δύο συνηθέστερες τοπολογίες είναι αυτή του κόμβου (hub) και αυτή του διαύλου (bus). Στην τοπολογία κόμβου η διανομή γίνεται σε κεντρικές θέσεις και τα δίκτυα κατηγοριοποιούνται ως μητροπολιτικά (metropolitan area networks, MAN). Η χρήση της οπτικής ίνας γίνεται με ανάλογο τρόπο όπως και στην περίπτωση των ζεύξεων σημείο-προς-σημείο. Η τοπολογία διαύλου του σχήματος 8.1(α) χρησιμοποιεί μία ίνα η οποία μεταφέρει τα πολλαπλά κανάλια σε κάθε σημείο εξυπηρέτησης/διανομής. Στα σημεία αυτά απαιτείται ένας παθητικός ζεύκτης οπτικής ίνας τριών θυρών προκειμένου να επιτελέσει το συνδυασμό και τη διαίρεση ισχύος για τις διαδρομές εκπομπής και λήψης. Επίσης απαιτούνται παθητικοί ζεύκτες πρόσβασης (taps) κατά μήκος της ζεύξης του bus. Οι ζεύκτες για τη διαίρεση-συνδυασμό ισχύος έχουν λόγο διαίρεσης περίπου 50% ενώ οι ζεύκτες πρόσβασης επιτρέπουν την εξαγωγή ενός μικρού κλάσματος της οπτικής ισχύος tapL (συνήθως 5-10%) έξω από το δίαυλο. Με την επιλογή αυτή εγγυάται κανείς ότι ένα σημαντικό μέρος ισχύος θα συνεχίσει να οδεύει κατά μήκος του συστήματος διανομής και άρα επαρκής ισχύς θα φθάσει στα σημεία εξυπηρέτησης που είναι απομακρυσμένα από το σημείο εκπομπής. Παρατηρώντας το σχήμα 8.1(α) κανείς διαπιστώνει ότι η μέγιστη απώλεια ισχύος εμφανίζεται ανάμεσα στους συνδρομητές 1 και 1N (και όχι ανάμεσα στους κόμβους 1 και N ) και αυτό γιατί ο τελευταίος ζεύκτης πρόσβασης κατευθύνει το μικρό ποσοστό ισχύος (για παράδειγμα 10%) στον ζεύκτη διαίρεσης του συνδρομητή 1N . Σε αντίθεση, η ισχύς που καταλήγει στον κόμβο N θα είναι εννέα φορές μεγαλύτερη. Θα προσδιορίσουμε τη συνολική απώλεια ισχύος (1, 1)LC N ανάμεσα στα παραπάνω δύο σημεία αθροίζοντας όλες τις επιμέρους απώλειες. Υποθέτοντας ότι κατά το συνδυασμό της ισχύος για την εισαγωγή της στο δίαυλο δεν έχουμε απώλειες, τότε η απώλεια της εκπεμπόμενης ισχύος στην έξοδο του πρώτου ζεύκτη διαίρεσης-συνδυασμού θα είναι ίση με cr2a , όπου cra οι απώλειες του οπτικού συνδετήρα (connector). Η απώλεια ανά

Page 163: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

μονάδα μήκους της ίνας είναι fca και άρα η συνολική απώλεια λόγω της ίνας ανάμεσα στα υπό εξέταση σημεία 1 και 1N θα ισούται με fc bu( 2)a L N . Οι απώλειες που εισάγονται από τους ζεύκτες πρόσβασης, εξαιρώντας τον τελευταίο στον οποίο λαμβάνεται το μικρό κλάσμα tapL , γράφονται ac cr( 2 )( 3)L a N , όπου acL οι απώλειες εισαγωγής (insertion loss) του ζεύκτη πρόσβασης. Στον τελευταίο ζεύκτη πρόσβασης το σήμα υφίσταται απώλειες tap cr( 2 )L a , που ακολουθούνται από τις απώλειες διαίρεσης spL καθώς και έναν ακόμα συνδετήρα ( cra ). Σύμφωνα με τα παραπάνω η συνολική απώλεια καναλιού (1, 1)LC N σε dB προκύπτει ίση με:

cr fc bu cr ac cr tap sp cr(1, 1) 2 ( 2) (2 )( 3) (2 )LC N a a L N a L N a L L a . (8.1)

Η παραπάνω εξίσωση προβλέπει τη δυνατότητα εξυπηρέτησης ενός περιορισμένου αριθμού σημείων, το οποίο για τυπικές τιμές των παραμέτρων βρίσκεται στην περιοχή των μερικών δεκάδων. Αυτό είναι συνέπεια της γραμμικής εξάρτησης των απωλειών με το πλήθος N . 8.1.3 Τοπικά δίκτυα Στην περίπτωση των τοπικών δικτύων (local area networks, LAN) ένας μεγάλος αριθμός χρηστών διασυνδέονται με τρόπο που επιτρέπει σε κάθε χρήστη την τυχαία πρόσβαση στο δίκτυο προκειμένου να αποστείλει δεδομένα σε άλλους χρήστες. Η διαφορά δηλαδή σε σχέση με τα δίκτυα MAN εντοπίζεται στην απαίτηση για τυχαία πρόσβαση από ένα μεγάλο πλήθος χρηστών. Οι πλέον διαδεδομένες τοπολογίες είναι αυτές του διαύλου, του δακτυλίου (ring) και του αστέρα (star). Η τυπολογία διαύλου είναι αυτή που παρουσιάσθηκε στην ενότητα 8.1.2 με πλέον γνωστό παράδειγμα το Ethernet. Το υψηλό επίπεδο απωλειών που προβλέπει η εξ. (8.1) αποτελεί βασικό μειονέκτημα της τοπολογίας αυτής. Στην τοπολογία δακτυλίου οι κόμβοι συνδέονται με ζεύξη σημείο-προς-σημείο σχηματίζοντας ένα κλειστό δακτύλιο. Εκπομπή και λήψη είναι δυνατές μεταξύ ενός ζεύγους κόμβων. Ένα token κυκλοφορεί στο δακτύλιο και κάθε κόμβος παρακολουθεί τη ροή των δεδομένων προκειμένου να αναγνωρίσει εάν είναι παραλήπτης και να λάβει τα αντίστοιχα δεδομένα. Σε περίπτωση εκπομπής φορτώνει τα δεδομένα σε ένα άδειο token. Πολύ γνωστό παράδειγμα οπτικού δικτύου με τοπολογία δακτυλίου είναι το FDDI (Fiber Data Distributed Interface). Στην τοπολογία αστέρα όλοι οι τερματικοί σταθμοί συνδέονται με τη χρήση ενός παθητικού ζεύκτη αστέρα N N , όπως στο σχήμα 8.1(β). Υποθέτοντας ότι τα μήκη ίνας προς κάθε κόμβο είναι ίσα μεταξύ τους, τότε και οι απώλειες ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο κόμβους θα είναι ακριβώς οι ίδιες. Οι συνολικές απώλειες σε dB υπολογίζονται σύμφωνα με τη σχέση

starcr fc st 10 ex4 10 logLC a a L N L , (8.2)

όπου stL το συνολικό μήκος ίνας και στους δύο βραχίονες που συνδέουν τους δύο κόμβους. Ο όρος

1010 log N περιγράφει τις απώλειες διαίρεσης του ζεύκτη αστέρα στην ιδανική περίπτωση και στην πράξη θα πρέπει να προσαυξηθεί από τον επιπρόσθετο όρο απωλειών exL (star excess loss). Οι απώλειες της εξ. (8.2) κλιμακώνονται λογαριθμικά με το πλήθος N και αυτό καθιστά την τοπολογία αστέρα ελκυστικότερη για τη διασύνδεση μεγάλου αριθμού σημείων, έναντι της τοπολογίας διαύλου.

Page 164: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Σχήμα 8.1 (α) Τοπολογία διαύλου. (β) Τοπολογία αστέρα.

Page 165: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.5 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

8.2 Περιορισμοί σχεδίασης Βασικοί περιοριστικοί παράγοντες των συστημάτων οπτικών επικοινωνιών είναι οι απώλειες, η διασπορά καθώς και ένας αριθμός μη-γραμμικών φαινομένων που μπορούν να εκδηλωθούν εντός των οπτικών ινών. Στις περισσότερες περιπτώσεις οι παραπάνω παράγοντες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους καθορίζοντας τις τελικές επιδόσεις του συστήματος. Η εξάρτηση όλων των παραπάνω με το μήκος κύματος είναι δεδομένη και συχνά πολύ ισχυρή. 8.2.1 Συστήματα που περιορίζονται από τις απώλειες Οι απώλειες του καλωδίου οπτικής ίνας ανά μονάδα μήκους fc εκφράζονται συνηθέστατα σε dB/km. Γενικά οι απώλειες που μετρώνται στο εργαστήριο πριν η ίνα αποκτήσει τα διάφορα προστατευτικά στρώματα (πέραν δηλαδή του cladding) είναι μικρότερες από αυτές που παρουσιάζει όταν προστεθούν τα στρώματα αυτά και γίνει καλώδιο (fiber cable) λόγω του μηχανισμού των μικροκάμψεων. Οι απώλειες λόγω των ενώσεων (joints) και συγκολλήσεων (splices) χαρακτηρίζονται από μία ισοδύναμη κατανεμημένη απώλεια ανά μονάδα μήκους, η οποία ενσωματώνεται στην fc . Η προσέγγιση αυτή είναι αρκετά ρεαλιστική καθώς οι απώλειες που εισάγει μία συγκόλληση λόγω της αναπόφευκτης διαταραχής που προκαλεί στο οδηγούμενο κύμα δεν εντοπίζονται αναγκαστικά μόνο στην περιοχή της συγκόλλησης. Τυπικές τιμές του fc για τα 850,1310,1550 nm είναι τα 2.5,0.4,0.25 dB/km , αντίστοιχα. Εάν η οπτική πηγή εισάγει στην είσοδο της ίνας μέση ισχύ Tx

avP ενώ η ελάχιστη απαιτούμενη ισχύς του δέκτη (ευαισθησία) για συγκεκριμένο ρυθμό μετάδοσης και BER είναι Rx

avP , τότε το μέγιστο μήκος ζεύξης περιορίζεται από τη σχέση

Txav

max 10 Rxfc av

110 log

PL

a P

. (8.3)

Σε αρκετές περιπτώσεις η ευαισθησία του δέκτη κλιμακώνεται γραμμικά με το εύρος ζώνης B (ή το ρυθμό μετάδοσης TB και συνεπώς σύμφωνα με την εξ. (8.3) το μέγιστο μήκος της ζεύξης θα μειώνεται λογαριθμικά με το B για το επιλεγμένο μήκος κύματος. Το μήκος κύματος των 850 nm μπορεί να ικανοποιήσει τις απαιτήσεις ζεύξεων μικρών αποστάσεων που δεν ξεπερνούν τα 20 km και που ο ρυθμός μετάδοσης είναι μικρότερος από 200 Mbps . Επιπλέον, αναμεταδότες είναι απαραίτητοι ενδεχομένως ακόμα και ανά 10 km . Συνεπώς, οι περισσότερες εφαρμογές είναι σε συστήματα LAN και αυτό διευκολύνεται επίσης από το χαμηλό κόστος των εξαρτημάτων στο μήκος κύματος αυτό. Αντίθετα, ζεύξεις μακρινών αποστάσεων και με ρυθμούς άνω των 2 Gbps απαιτούν σχεδόν αποκλειστικά τη χρήση μηκών κύματος στο παράθυρο των 1550 nm όπου έχουμε τις χαμηλότερες απώλειες. 8.2.2 Συστήματα που περιορίζονται από τη διασπορά Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι βασικοί μηχανισμοί διασποράς που εμφανίζονται στις οπτικές ίνες και προσδιορίσθηκε το μέγιστο μήκος της ζεύξης που αντιστοιχεί στον επιλεγμένο ρυθμό μετάδοσης. Εάν το μέγιστο μήκος της ζεύξης λόγω των περιορισμών διασποράς είναι μικρότερο του μήκους που προβλέπει η εξ.

Page 166: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

(8.3) λόγω των απωλειών της ίνας, τότε το σύστημα χαρακτηρίζεται ως περιορισμένο από τη διασπορά (dispersion limited). Στην περίπτωση πολύρρυθμων ινών και χρήσης μήκους κύματος στο παράθυρο των 850 nm ο βασικός περιορισμός προέρχεται από τη διαρρυθμική διασπορά που αναλύθηκε στην ενότητα 3.5.2. Ειδικότερα, στις βηματικές πολύρρυθμες ίνες (step index MMF) το μέγιστο μήκος μπορεί να εκτιμηθεί από την εξ. (3.16) ως

2max 2

1T

cnL

B n

, (8.4)

και για τυπικές παραμέτρους προκύπτει ότι ακόμα και σε πάρα πολύ χαμηλούς ρυθμούς μετάδοσης της τάξης του 1 Mbps τα συστήματα είναι περιορισμένα από τη διασπορά και το μέγιστο μήκος δεν μπορεί να ξεπεράσει τα 10 km . Στην περίπτωση των πολύρρυθμων ινών βαθμιδωτού δείκτη (graded index MMF) το μέγιστο μήκος εκτιμάται από την εξ. (3.19)

max 21

8

T

cL

B n

, (8.5)

και η σημαντική βελτίωση λόγω της παρουσίας του 2 στον παρανομαστή οδηγεί στο να μην περιορίζονται από τη διασπορά (αλλά να περιορίζονται από τις απώλειες) μέχρι το ρυθμό των 100 Mbps . Οι μονόρρυθμες ίνες (SMF) παλαιότερων συστημάτων που λειτουργούν στα 1310 nm εκμεταλλεύονται τη σχεδόν μηδενική ή πολύ χαμηλή διασπορά στα παραπάνω μήκη κύματος αλλά δυστυχώς είχαν να αντιμετωπίσουν το μεγάλο φασματικό εύρος των πηγών εκπομπής της εποχής εκείνης. Η μέγιστη απόσταση για τις συνθήκες αυτές προκύπτει από την εξ. (3.99)

max0.25

T

LB D

, (8.6)

και λαμβάνοντας υπόψη τυπικές τιμές για την ίνα 1 ps / (nm km)D και την πηγή 2 nm προκύπτει ότι τα συστήματα είναι περιορισμένα από τις απώλειες μέχρι το 1 Gbps ενώ πάνω από αυτό το όριο περιορίζονται από τη διασπορά. Τα σύγχρονα συστήματα μονόρρυθμων που λειτουργούν στο παράθυρο των 1550 nm χρησιμοποιούν πηγές με εξαιρετικά φασματικά χαρακτηριστικά, οπότε το μέγιστο μήκος θα προκύψει από την εξ. (3.105)

max 22

1

16 T

LB

. (8.7)

Στο παραπάνω παράθυρο η παράμετρος διασποράς είναι 17 ps / (nm km)D και η εξ. (8.7) οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τα συστήματα περιορίζονται από τη διασπορά όταν ο ρυθμός μετάδοσης ξεπεράσει τα

Page 167: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.7 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

5 Gbps . Ενδεχομένως η παραπάνω πρόβλεψη να υπερεκτιμά το ρυθμό μετάδοσης καθώς δεν λαμβάνει υπόψη περιορισμούς λόγω frequency chirp στην περίπτωση απευθείας διαμόρφωσης της LD. Για το λόγο αυτό σε ρυθμούς άνω των μερικών Gbps συνήθως προτιμάται η χρήση εξωτερικών διαμορφωτών (για παράδειγμα με χρήση του ηλεκτρο-οπτικού φαινομένου ή της ηλεκτρο-απορρόφησης). Η χρήση ινών μετατοπισμένης διασποράς (dispersion shifter fibers) που παρουσιάσθηκαν στην ενότητα 3.7 προσφέρει περαιτέρω βελτίωση στις επιδόσεις των συστημάτων καθώς το σημείο ελάχιστων απωλειών συμπίπτει πλέον και με το σημείο ελάχιστης διασποράς. Αυτό επιτρέπει ρυθμούς μετάδοσης 20 Gbps και απόσταση μεταξύ αναμεταδοτών της τάξης των 80 km . Τέλος, είναι ιδιαίτερα διαδεδομένες οι τεχνικές αντιστάθμισης διασποράς (δες ενότητα 3.12) και εφαρμόζονται σχεδόν στο σύνολο των επικοινωνιών μακρινών αποστάσεων στα 1550 nm πάνω από τις συνήθεις μονόρρυθμες ίνες με 17 ps / (nm km)D , επιτυγχάνοντας ουσιαστική βελτίωση στις επιδόσεις των συστημάτων. 8.2.3 Ισοζύγιο ισχύος Οι συνολικές απώλειες στο κανάλι μετάδοσης (ίνα μήκους L ) είναι ίσες με

fc crLC L , (8.8)

όπου fc οι απώλειες ανά μονάδα μήκους της ίνας λαμβάνοντας υπόψη και τις απώλειες των συγκολλήσεων, ενώ έχουν συμπεριληφθεί και οι απώλειες που εισάγουν οι συνδετήρες (connectors) cr στον οπτικό πομπό και δέκτη. Εάν η οπτική πηγή παρέχει στην είσοδο της ίνας μέση ισχύ Tx

avP ενώ η ελάχιστη απαιτούμενη ισχύς του δέκτη (ευαισθησία) είναι Rx

avP τότε το ισοζύγιο ισχύος (power budget) σε dB (dBm) γράφεται ως

Tx Rxav av L sP P C M . (8.9)

Ο τελευταίος όρος στην εξ. (8.9) είναι γνωστός σαν περιθώριο συστήματος (system margin) και εξασφαλίζει ένα περιθώριο ασφάλειας στην εκπεμπόμενη ισχύ προκειμένου να αντισταθμίσει ποικίλες πηγές ποινής ισχύος, απρόβλεπτα συμβάντα ή γήρανση του εξοπλισμού. Μία τυπική τιμή για το sM μπορεί να είναι 4 6 dB . 8.2.4 Ισοζύγιο χρονικής απόκρισης Το ισοζύγιο ισχύος της εξ. (8.9) δεν διασφαλίζει αναγκαστικά την ικανοποιητική λειτουργία του συστήματος οπτικών επικοινωνιών καθώς θα πρέπει επιπλέον και η χρονική απόκριση του συστήματος να είναι αρκετά γρήγορη. Ακόμα και αν όλες οι διατάξεις που συνθέτουν το σύστημα έχουν ικανοποιητικά γρήγορη απόκριση, αυτό δεν είναι αναγκαστικά αληθές και για το σύστημα ως σύνολο. Ο έλεγχος της χρονικής απόκρισης του συστήματος γίνεται με τη βοήθεια του ισοζυγίου χρόνου-ανόδου (rise-time budget). Ο χρόνος ανόδου rT σε ένα γραμμικό σύστημα ορίζεται ως ο χρόνος που απαιτείται προκειμένου η απόκριση στην έξοδο να ανέλθει από το 10 στο 90% της τελικής τιμής1. Ο χρόνος ανόδου είναι αντιστρόφως ανάλογος προς το χρησιμοποιούμενο από κάθε κανάλι εύρος ζώνης B . 1 Σε κάποιες περιπτώσεις κατασκευαστές εξαρτημάτων ή διατάξεων επιλέγουν να δίνουν το χρόνο ανόδου μεταξύ 20 και 80%.

Page 168: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Θα χρησιμοποιήσουμε ως παράδειγμα ένα απλό RC κύκλωμα σε διάταξη χαμηλοπερατού φίλτρου για να συνδέσουμε το εύρος ζώνης με το χρόνο ανόδου. Στο RC κύκλωμα σειράς και με εφαρμογή μίας βηματικής τάσης πλάτους 0V στην είσοδο, η τάση στα άκρα του πυκνωτή μεταβάλλεται χρονικά σύμφωνα με τη σχέση

/out 0( ) 1 t RCv t V e

. (8.10)

Από την εξ. (8.10) προκύπτει εύκολα ότι ο χρόνος ανόδου είναι ίσος με

ln(9) 2.2rT RC RC . (8.11)

Το εύρος ζώνης 3 dB του παραπάνω κυκλώματος υπολογίζεται από τη συνάρτηση μεταφοράς και βρίσκεται χωρίς δυσκολία ίσο με

1

2B

RC . (8.12)

Συνδυάζοντας τις εξ. (8.11) και (8.12) προκύπτει η σχέση χρόνου ανόδου και εύρους ζώνης

2.2 0.35

2rT B B , (8.13)

επιβεβαιώνοντας ότι γενικά 1/rT B ή ισοδύναμα το γινόμενο rT B παραμένει σταθερό. Η σταθερά 0.35 προέκυψε στην ειδική περίπτωση του απλού RC κυκλώματος που εξετάσαμε και μπορεί να διαφέρει κατά περίπτωση. Πάντως θα μπορούσε να ληφθεί ως μια συντηρητική επιλογή στο σχεδιασμό συστημάτων οπτικών επικοινωνιών. Ο συνολικός χρόνος ανόδου του συστήματος (total system rise time) μπορεί να προσδιορισθεί από τους χρόνους ανόδου των επιμέρους εξαρτημάτων που το συνθέτουν, δηλαδή το χρόνο ανόδου του πομπού, της ίνας και του δέκτη. Ο συνολικός χρόνος ανόδου εκτιμάται από τη σχέση

2 2 2r,sys Tx fiber RxT T T T (8.14)

όπου Tx fiber Rx, ,T T T είναι οι χρόνοι ανόδου του οπτικού πομπού, της ίνας και του δέκτη, αντίστοιχα. Ο χρόνος ανόδου του πομπού εξαρτάται από το είδος της οπτικής πηγής (LD ή LED) όπως επίσης και το είδος της διαμόρφωσης (απευθείας διαμόρφωση του ρεύματος πηγής ή χρήση εξωτερικού διαμορφωτή). Ο χρόνος ανόδου του δέκτη εξαρτάται από τον τύπο της φωτοδιόδου αλλά και τα χαρακτηριστικά του ηλεκτρικού προενισχυτή που ακολουθεί. Ο χρόνος ανόδου της ίνας συναρτάται άμεσα με τα χαρακτηριστικά της διασποράς και περιλαμβάνει γενικά τη συνεισφορά της ενδορρυθμικής (GVD) και διαρρυθμικής (modal) διασποράς σύμφωνα με τη σχέση

2 2 2fiber modal GVDT T T . (8.15)

Page 169: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.9 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Στην περίπτωση των μονόρρυθμων οπτικών ινών modal 0T με αποτέλεσμα fiber GVDT T . Ο χρόνος ανόδου GVDT εκτιμάται από την εξ. (3.24)

GVDT D L . (8.16)

Από το συνολικό χρόνο ανόδου του συστήματος r,sysT λαμβάνεται το εύρος ζώνης B του συστήματος με χρήση της εξ. (8.13)

r,sys

0.35BT

. (8.17)

Το εύρος ζώνης B συνδέεται με το μέγιστο ρυθμό μετάδοσης δεδομένων TB σύμφωνα με όσα έχουν προηγηθεί στην ενότητα 3.5. Με χρήση της εξ. (3.10) για την περίπτωση ψηφιακού κώδικα NRZ ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης ,maxTB θα είναι ίσο με

,maxr,sys

0.7TB T

, (8.18)

ενώ για ψηφιακό κώδικα RZ και με χρήση της εξ. (3.11) ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης θα είναι αντίστοιχα

,maxr,sys

0.35TB T

. (8.19)

8.3 Τεχνικές πολυπλεξίας 8.3.1 Οπτική πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου Τα ηλεκτρονικά κυκλώματα εμφανίζουν σημαντικούς πρακτικούς περιορισμούς όταν η ταχύτητα λειτουργίας τους καλείται να ξεπεράσει σήμερα το όριο των 100 GHz (100 Gbps) περίπου. Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν υλοποιήσεις με ρυθμό μετάδοσης 100 Gbps σε ένα οπτικό κανάλι και σε αξιόλογες αποστάσεις, η ηλεκτρονική πολυπλεξία στις ταχύτητες αυτές έχει σημαντικές δυσκολίες και αποτελεί πρόκληση. Αντίθετα, η λειτουργία των οπτοηλεκτρονικών διατάξεων σε ρυθμός μετάδοσης 10-40 Gbps είναι τεχνολογικά πολύ ώριμη και υπάρχει πλήθος εμπορικά διαθέσιμων προϊόντων. Μία τεχνική για να αυξηθεί ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων ενός ψηφιακού οπτικού συστήματος επικοινωνιών αποτελεί η οπτική πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου (optical time division multiplexing, OTDM). Αρχή λειτουργίας της τεχνικής αυτής είναι η επέκταση της πολυπλεξίας με διαίρεση στο χρόνο από τα ηλεκτρικά στα οπτικά σήματα, δηλαδή ο συνδυασμός οπτικών καναλιών που προέρχονται από LD διαμορφωμένες από ηλεκτρικά ψηφιακά σήματα χαμηλότερης ταχύτητας. Το σχήμα 8.2 παρουσιάζει την παραπάνω ιδέα σε ένα τυπικό σύστημα που πολυπλέκει τέσσερα κανάλια των 4 Gbps και χαρακτηρίζεται ως OTDM σύστημα τεσσάρων καναλιών. Οι τέσσερις οπτικές πηγές οδηγούνται από ένα κοινό ρολόι στα 4 GHz με τη χρήση γραμμών καθυστέρησης ενός τετάρτου της περιόδου του ψηφίου (quarter bit period time delays). Οι οπτικές πηγές είναι laser ημιαγωγού «κλειδωμένα σε ρυθμό»

Page 170: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.10 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

(mode locked), τα οποία παράγουν στενούς οπτικούς παλμούς διάρκειας περίπου 15 ps κατάλληλων για πολυπλεξία στο χρόνο. Και τα τέσσερα laser εκπέμπουν στο ίδιο μήκος κύματος με απόκλιση 0.1 nm . Τα δεδομένα κωδικοποιούνται στις παλμοσειρές με τη χρήση ολοκληρωμένων οπτικών διαμορφωτών έντασης, οι οποίοι δίνουν στην έξοδο τους RZ 4 Gbps σήματα. Τα τέσσερα οπτικά κανάλια των 4 Gbps συνδυάζονται σε έναν παθητικό οπτικό εξάρτημα συνδυασμού ισχύος, στην έξοδο του οποίου εμφανίζεται το σήμα των 16 Gbps από την πολυπλεξία των επιμέρους ψηφίων, και το σήμα αυτό εισάγεται στην οπτική ίνα. Στο δέκτη χρησιμοποιούνται και πάλι ολοκληρωμένες οπτικές διατάξεις για την από-πολυπλεξία του σήματος. Η λειτουργία αυτή γίνεται σε δύο επίπεδα: στο πρώτο ένας ολοκληρωμένος οπτικός διακόπτης που οδηγείται από ένα ημίτονο στα 8 GHz αποπολυπλέκει το εισερχόμενο σήμα των 16 Gbps σε δύο σήματα των 8 Gbps . Στο δεύτερο επίπεδο δύο αντίστοιχοι διακόπτες που λειτουργούν στα 4 GHz αποπολυπλέκουν καθένα από τα σήματα των 8 Gbps σε δύο σήματα 4 Gbps . Τα παραπάνω στοιχεία αφορούν σε ένα από τα πρώιμα συστήματα της κατηγορίας αυτής και προφανώς σήμερα υπάρχουν υλοποιήσεις με πολύ υψηλότερους ρυθμούς μετάδοσης, για παράδειγμα συστήματα OTDM 4 40 160 Gbps .

Σχήμα 8.2 Σύστημα OTDM τεσσάρων καναλιών για μετάδοση δεδομένων στα 16 Gbps. 8.3.2 Πολυπλεξία με διαίρεση στο μήκος κύματος Η πολυπλεξία με διαίρεση στο μήκος κύματος (Wavelength Division Multiplexing, WDM) είναι το ανάλογο της ηλεκτρικής πολυπλεξίας με διαίρεση στη συχνότητα (FDM). Τα συστήματα WDM χρησιμοποιούν έναν αριθμό από διαφορετικά μήκη κύματος, καθένα από τα οποία αποτελεί ένα διαφορετικό οπτικό κανάλι και τα οποία οδεύουν παράλληλα μέσα σε μία οπτική ίνα. Κάθε ένα από τα WDM κανάλια έχει πρόσβαση στο πλήρες εύρος ζώνης που προσφέρεται από την οπτική ίνα. Το σχήμα 8.3(α) δείχνει μία συμβατική οπτική ζεύξη ενός δρόμου (simplex) με τη χρήση ενός μήκους κύματος. Στο σχήμα 8.3(β) φαίνεται ένα σύστημα που χρησιμοποιεί δύο μήκη κύματος, τα οποία οδεύουν σε αντίθετες διευθύνσεις για αμφίδρομη μετάδοση (duplex). Τέλος, το σχήμα 8.3(γ) απεικονίζει ένα σύστημα με πολλαπλά μήκη κύματος, προερχόμενα από διαφορετικές οπτικές πηγές, τα οποία πολυπλέκονται και μεταδίδονται προς την ίδια διεύθυνση. Στο σημείο

Page 171: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.11 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

λήψης αποπολυπλέκονται και οδηγούνται σε διαφορετικούς οπτικούς δέκτες. Ανάλογα με την απόσταση διαχωρισμού των οπτικών καναλιών στο μήκος κύματος τα WDM συστήματα κατηγοριοποιούνται σε CWDM (Coarse WDM) και DWDM (Dense WDM). Στα CWDM ο αριθμός των καναλιών είναι πολύ περιορισμένος καθώς η απόσταση διαχωρισμού είναι 20 nm (συνολικά 18 κανάλια από τα 1271 μέχρι τα 1611 nm) ενώ στα DWDM η απόσταση διαχωρισμού είναι 1.6 nm (200 GHz), 0.8 nm (100 GHz) και 0.4 nm (50 GHz). Από τα παραπάνω γίνεται φανερό ότι τα DWDM συστήματα μπορούν να προσφέρουν μετάδοση εκατοντάδων μηκών κύματος πάνω από την ίδια ίνα.

(α)

(β)

(γ) Σχήμα 8.3 (α) Επικοινωνία ενός δρόμου με ένα μήκος κύματος (simplex), (β) Αμφίδρομη επικοινωνία με δύο μήκη κύματος (duplex), (γ) Σύστημα πολλαπλών μηκών κύματος για επικοινωνία ενός δρόμου. Ένα κλασσικό παράδειγμα συστήματος WDM μονόρρυθμης ίνας με τοπολογία αστέρα αποτελεί το LAMBANET που είναι ένα broadcast-and-select δίκτυο, σχήμα 8.4. Το συγκεκριμένο δίκτυο βασίζεται σε ένα παθητικό ζεύκτη αστέρα δεκαέξι επί δεκαέξι θυρών. Κάθε κόμβος διαθέτει ένα laser, το οποίο επιλέγεται να έχει κεντρικό μήκος κύματος εκπομπής μετατοπισμένο κατά 2 nm ως προς τον προηγούμενο κόμβο καλύπτοντας τη φασματική περιοχή 1527 μέχρι 1561 nm. Αυτό σημαίνει ότι κάθε κόμβος έχει το δικό του μοναδικό μήκος κύματος επιτρέποντας τη μετάδοση δεδομένων προς όλους τους υπόλοιπους χωρίς συγκρούσεις. Σε ότι αφορά στο κομμάτι του δέκτη κάθε κόμβος μπορεί να λάβει την εκπομπή όλων των υπολοίπων χρησιμοποιώντας έναν αποπολυπλέκτη μηκών κύματος και δεκαέξι οπτικούς δέκτες. Το LAMBANET υλοποιήθηκε αρχικά χρησιμοποιώντας ρυθμό μετάδοσης δεδομένων 2 Gbps σε αποστάσεις 40 km . Σήμερα διατίθενται εμπορικά ζεύξεις σημείο-προς-σημείο μεγάλης χωρητικότητας που κάνουν χρήση της τεχνολογίας DWDM. Η χρήση ρυθμού μετάδοσης 10 Gbps σε κανάλια με φασματική απόσταση διαχωρισμού 100 GHz επιτρέπει φασματική αξιοποίηση/αποτελεσματικότητα μόλις 10%. Το παραπάνω βελτιώνεται σημαντικά στο 80% σε νεώτερα συστήματα που χρησιμοποιούν ρυθμούς 40 Gbps με φασματικό

Page 172: Οπτικές Επικοινωνίες

___________________________________________________________________________________________________ 8.12 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

διαχωρισμό 50 GHz . Εδώ και μερικά χρόνια υπάρχοντα συστήματα προσφέρουν συνολική χωρητικότητα από 1.6 Tbps (160 10 Gbsp ) μέχρι και 6.4 Tbps (160 40 Gbsp ).

Σχήμα 8.4 Το δίκτυο LAMBANET.

Page 173: Οπτικές Επικοινωνίες

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] G. P. Agrawal, Fiber-Optic Communication Systems, Wiley-Interscience, New York, 2002. [2] G. P. Agrawal, Lightwave Technology Communication Systems, Wiley-Interscience, New Jersey, 2005. [3] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic Press, San Diego, 2007. [4] K. Izuka, Elements of Photonics: Volumes 1 and 2, Wiley-Interscience, New York, 2002. [5] A. K. Ghatak and K. Thyagarajan, Optical Electronics, Cambridge University Press, Cambridge, 1989. [6] A. K. Ghatak and K. Thyagarajan, Introduction to Fiber Optics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. [7] S. V. Kartalopoulos, Introduction to DWDM Technology, IEEE Press, New Jersey, 2000. [8] G. E. Keiser, “A Review of WDM Technology and Applications,” Optical Fiber Technology, Vol. 5, pp. 3-39, 1999. [9] G. E. Keiser, Optical Fiber Communications, McGraw Hill, New York, 2000. [10] E. E. Kriezis, D. P. Chrissoulidis and A. G. Papagiannakis, Electromagnetics and Optics, World Scientific, Singapore, 1992. [11] Y. Mochida, N. Yamaguchi and G. Ishikawa “Technology-Oriented Review and Vision of 40-Gb/s-Based Optical Transport Networks,” Journal of Lightwave Technology, Vol. 20, pp. 2272-2281, 2002. [12] A. B. Saleh and M. C. Teich, Elements of Photonics, Wiley-Inter-science, New Jersey, 2007. [13] J. Senior, Optical Fiber Communications: Principles and Practice, Prentice Hall, New York, 2008. [14] R. Syms and J. Cozens, Optical Guided Waves and Devices, McGraw Hill, London, 1992. [15] A. Yariv, Optical Electronics, Saunders College Publishing, Philadelphia, 1991. [16] A. Yariv, Optical Electronics in Modern Communications, Oxford University Press, 1997.

Page 174: Οπτικές Επικοινωνίες