Αργυράκης - Κουτσανδρέας - Γ Λυκείου - Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΜΜ ΙΙΙ ΓΓΓ ΑΑΑ ΔΔΔ ΙΙΙ ΚΚΚ ΟΟΟ ΙΙΙ ΑΑΑ ΡΡΡ ΙΙΙ ΘΘΘ ΜΜΜ ΟΟΟ ΙΙΙ Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Θ. Κουτσανδρέας

Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά θετικής – τεχνολογικής κατεύθυνσης Πειραματικό Γενικό Λύκειο Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ Μιγαδικοί αριθμοί Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Θ. Κουτσανδρέας

2

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ 1ο Ερωτήσεις του τύπου σωστό λάθος Σ – Λ 1. Αν z = α + βi, α, β ∈ R και z = 0, τότε α = 0 και β = 0.

2. Αν z = α + βi και α,β ≠ 0, τότε 1 1 1

= + iz α β

.

3. Αν z = κ + λi κ, λ ∈ R, τότε Re (z) = κ.

4. Αν z = x + (y − 1) i και Ιm (z) = 0, τότε y = 1.

5. Αν z1, z2 ∈ C με Re (z1 + z2) = 0, τότε Re (z1) + Re (z2) = 0.

6. Οι εικόνες των φανταστικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο

βρίσκονται πάνω στον άξονα y΄y.

7. Αν i2 = −1 τότε i2003 = i.

8. Οι εικόνες των αντίθετων μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό

επίπεδο είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα x΄x.

9. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ≠ 0 ορίζεται z0 = 1.

10. Αν Μ1, Μ2 είναι οι εικόνες των μιγαδικών z1 και z2 αντιστοίχως

στο μιγαδικό επίπεδο και ο άξονας x΄x είναι η μεσοκάθετος του

ευθυγράμμου τμήματος Μ1Μ2, τότε είναι z1 = 2z

11. Αν z1 = α + βi , z2 ∈ C, και z1 + z2 = 2α, τότε z2 = 1z .

12. Αν Re (z) = 2 τότε οι εικόνες των μιγαδικών z στο μιγαδικό

επίπεδο βρίσκονται πάνω στην ευθεία x = 2.

13. Αν Ιm (z + i) = 8 τότε οι εικόνες των μιγαδικών z στο

μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία y = 8.

14. Η εξίσωση x2 − 2x + λ = 0, λ ∈ R, μπορεί να έχει ρίζες

τους μιγαδικούς 1 + i και 1 − i.

15. Αν η εξίσωση αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0, α, β, γ ∈ R έχει

ρίζα τον 2 + i θα έχει και τον 5

2 + i .

16. Η εξίσωση x2 + βx + γ = 0, α, β, γ, ∈ R* έχει πάντοτε λύση στο C.

17. Αν Re (z1⋅z2) = 0 τότε ισχύει πάντα Re (z1) ⋅Re (z2) = 0.

18. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει z = z− .

19. Για κάθε z1, z2 ∈ C ισχύει 1 2 1 2z + z = z + z .



3

20. Η εξίσωση 1 2z z = z z− − , z ∈ C, παριστάνει στο μιγαδικό

επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος που έχει

άκρα τα σημεία Α (z1) και B (z2).

21. Η εξίσωση 1 2z z = z z− − με άγνωστο το z ∈ C

και z1, z2 ∈ C έχει μόνο μια λύση.

22. Η εξίσωση 0z z− = ρ, ρ > 0 παριστάνει στο μιγαδικό

επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ (z0) και ακτίνα ρ.

23. Στο μιγαδικό επίπεδο η εικόνα του μιγαδικού αριθμού

2 + 3i είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου z = 4.

24. Όλα τα σημεία της ευθείας y = x στο μιγαδικό επίπεδο είναι

εικόνες των μιγαδικών αριθμών z = α + αi με α ∈ R.

25. Στο μιγαδικό επίπεδο

του διπλανού σχήματος

η εξίσωση του κύκλου

είναι z 2− = 4.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και y ώστε να ισχύουν οι ισότητες:

α. x − 2 + 2yi = −2i + 2 - yi β. y + 2i = 3 − (2 + i) x

γ. 4y −3yi − 2x = 2 - 5xi + 9i δ. (x2 + 1) i + 2x = x2 − 2xi −3

2. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z = x2 − x − 9i και w = 2 − y2i , x, y ∈ R.

α. Να βρείτε τους x, y ώστε z = w.

β. Αν x = −1 , να βρείτε τον 2z .

3. Δίνεται ο μιγαδικός z = 6i − (3 − 4i) x − 3yi − (3i −2) x + (4 − 2yi), x, y ∈ R.

α. Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi.

β. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) Re (z) = 0 ii) z =

0

4. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = (2 + i) x + (y − 1) i −5, x, y ∈ R.

α. Να τον γράψετε στη μορφή α + βi.

β. Να γράψετε τον z συναρτήσει του x, αν Im (z) = 0.

γ. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (z) = Im (z).

5. Δίνονται οι μιγαδικοί



4

z1 = 1 + i , z2 = 1 1

+2 3

i , z3 = 1 1

+4 9

i ,

z4 = 1 1

+8 27

i , z5 = 1 1

+16 54

i , …

Να βρείτε το άθροισμα των 100 όρων z1 + z2 + z3 + z4 + z5 + …z100 .

6. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους μιγαδικούς αριθμούς:

α. z1 = 2i3 + i104 – 3i-47 + i7 +3i1, β. z2 = ( ) ( )2 21 i 1 + i

+ 1+ i 1 i

−

−.


α. 3i (–5i) β. (2 + i)⋅(– i + 3) γ. 34i

δ. 1

1 i− ε.

1 ii + 1−

− ζ.

( )( )2 + 3i i + 1

1 2i

−

−


α. (2 – 3i) (4 – 5i) + 7i –1 β. 1 – 2ii + 3

⋅2i + 13i + 1

γ. 2

1 2+ i

2 2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

δ. 3+i

3 – 2i ε. (1 – i)–3

9. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε οι μιγαδικοί

z1 = α + βi και z2 = 12 + 8i 52 + 13i

+2 – 3i 13i

να είναι ίσοι.

10. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε να ισχύει: (α + βi)2 =12 + 5i

i.

11. Να υπολογιστεί το x ∈ R ώστε να ισχύει: 1 + 2 2 i = 3 1+ xi

1 – xi.

12. Να βρεθούν τα x, y ∈ R ώστε οι μιγαδικοί:

z1 = x + 2y – i και z2 = 11 – (4x – y) i να είναι συζυγείς.

13. Αν z φανταστικός αριθμός με z≠ -i να αποδείξετε ότι ο αριθμός

ω = 3z – i

z + i είναι αρνητικός πραγματικός αριθμός .



5

14. α. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς που επαληθεύουν την ισότητα

z z + (z – z ) = 3 + 2i .

β. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός που ικανοποιεί την ισότητα z = z2.

15. α. Για τις διάφορες τιμές του ν ∈ Ν να βρεθεί η τιμή της παράστασης

f (ν) = ν+11 – i

1 – i.

β. Να βρεθεί η τιμή της παράστασης Α = iν + i2ν+1 – i , για τις διάφορες

τιμές του θετικού ακέραιου ν .

16. Να αποδείξετε ότι για κάθε ν ∈ Ν ισχύει (1 + i)20ν = (1 – i)20ν.

17. α. Να δείξετε ότι κάθε πραγματικός αριθμός είναι ίσος με το συζυγή του και

αντιστρόφως.

β. Να δείξετε ότι αν ω = z

z + i και ω∈ R τότε ο z είναι φανταστικός αριθμός.

γ. Αποδείξτε ότι ο αριθμός u =( )( )

( )( )

3 3

ν ν

1 – i 1 + i+

3 + i 3 – i , είναι πραγματικός .

18. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = x + yi, x , y ∈ R.

α. Να γράψετε στη μορφή α + βi τον μιγαδικό w =z + 8iz + 6

.

β. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Im (w) = 0.

γ. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα x και y, αν Re (w) = 0.

δ. Να δείξετε ότι η προηγούμενη σχέση (γ) είναι εξίσωση κύκλου και να βρείτε

το κέντρο του και την ακτίνα του.

β. Να δείξετε ότι ο προηγούμενος κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

19. α. Η εξίσωση z2 + αz + β =0, α, β ∈ R έχει ρίζα τον μιγαδικό αριθμό 2 – i.

i. Να βρείτε την άλλη ρίζα. ii. Να βρείτε τα α και β.

β. Αν z1 , z2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης z2 + z + 5 = 0 , να αποδείξετε ότι

1 2

1 2

z z + 5i5i

z + z + i=− .

20. Να βρείτε τους μιγαδικούς z = x + yi , x, y ∈ R, για τους οποίους ισχύει:

z2 + 2 z + 1 = 0.

21. α. Αν η εικόνα του μιγαδικού z = λ + (λ – 1) i στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται

στην ευθεία y = 4x + 1, να βρεθεί ο λ ∈ R.



6

β. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = 4 + μi και z2 = (μ + 3) – i , μ∈R και

z1⋅z2∈R . Αν η εικόνα του z1 στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στο πρώτο

τεταρτημόριο , αποδείξτε ότι z1+z2 ∈R .

γ. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z = (λ + 1) + (2λ – 3)i , λ∈R .

Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκουν οι εικόνες των

μιγαδικών αριθμών z, για τις διάφορες τιμές του λ∈R.

22. Να συμπληρώσετε το διπλανό σχήμα

με το σημείο Μ1 (2z). Μετά να βρείτε

τα σημεία Μ2 (2 z ) , Μ3 (–2z) και

Μ4 (–2 z ). Να βρείτε το εμβαδόν

του τετραπλεύρου Μ1Μ2Μ3Μ4.

23. Ο μιγαδικός z = 2 + i να αναλυθεί σε άθροισμα δύο μιγαδικών z1, z2 που οι εικό-

νες τους βρίσκονται αντίστοιχα στις ευθείες y = x –2 και y = 2x – 1.

24. Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών:

α. z =2 + i1 – 3i

β. z = ( )21 – i

1+ i+ 2 – 4i

25. Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών αριθμών:

α. z =22 + i

1 – 3i

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ β. z =

ν

2 + i 53

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠, ν ∈ Ν.

26. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός z που ικανοποιεί την ισότητα z + z = 2 + i.

27. Αν z ∈ C και z + 9 = 3 z + 1 , αποδείξτε ότι z = 3.

28. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός ω.

α. Να δειχθεί ότι αν ω φανταστικός αριθμός, τότε ω = –ω και αντιστρόφως.

β. Με βάση το προηγούμενο ή με άλλο τρόπο δείξτε ότι αν ο αριθμός

z – 1

ω = z + 1

, z ≠ – 1, είναι φανταστικός , τότε z = 1.

29. Να γράψετε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς z αν ξέρουμε ότι η απόλυτη τιμή

του πραγματικού μέρους του z είναι 3 και η απόλυτη τιμή του φανταστικού μέ-

ρους του z είναι 4. Πού βρίσκονται οι εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο των παρα-

πάνω μιγαδικών αριθμών;

y

x1 2 3 4–2 –1

2

1

–1

–2

0

M(z)



7

30. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει: 1

z = = z 1z

− .

31. Να λυθεί στο C η εξίσωση: z + z+1 + i = 0.

32. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει: 1 – z > z , δείξτε ότι Re (z) <12

.

33. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών z στο μιγαδικό επίπεδο που ικανο-

ποιούν τη σχέση 2 z – 1 = z – 4 βρίσκονται σε κύκλο κέντρου Ο(0, 0) και ακτί-

νας 2.

34. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο αν ο

αριθμός w = z + 2iz + 1

, z≠ –1 είναι πραγματικός.

35. Ο μιγαδικός αριθμός z ικανοποιεί ( συγχρόνως ) τις σχέσεις:

– 2 ≤ Re (z) ≤ 2 (1)

Im(z) ≤ 2 (2)

z ≥ 2 (3)

Να γραμμοσκιάσετε στο μιγαδικό επίπεδο το χωρίο που αντιπροσωπεύει το σύ-

νολο των εικόνων του z και να βρείτε το εμβαδόν του.

36. Να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδι-

κού z για κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:

α. z +1 i− = 3 β. z – 1 – i < 4 γ. 1 < z – 1+ i < 2

37. Ο κύκλος του διπλανού σχήματος εφάπτεται

του άξονα των τετμημένων και είναι ο γεωμε-

τρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθ-

μού z = x + yi, x, y ∈ R στο μιγαδικό επίπεδο.

α. Από τις παρακάτω εξισώσεις, να επιλέξετε

δύο που τον αντιπροσωπεύουν:

i. (x - 3)2 + (y - 2)2 = 9

ii. 3x2 + 2y2 = 4

iii. 3 2 4z i− + =

iv. x2 + y2 - 6x - 4y + 9 = 0

v. 3 2z i− − = 2

β. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

y

x1 2 3 4

2

1

0

K



8

38. Στο διπλανό σχήμα η μεσοκάθετος (ε) του ευ-

θυγράμμου τμήματος ΑΒ είναι ο γεωμετρικός

τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού

z = x + yi, x, y ∈ R στο μιγαδικό επίπεδο.

α. Από τις παρακάτω εξισώσεις, να επιλέξε-

τε τρεις που τον αντιπροσωπεύουν:

i. x2 - i = y2 + 4

ii. z i = z 4− −

iii. 1 4 0z z− − − =

iv. y = 4x –152

v. Re (z) = 2Im (z)

vi. 8Re (z) = 15 + 2Im (z)

β. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.

39. Στο διπλανό σχήμα το ΟΑΒΓ είναι τετράγω

νο. Αν Α, Β και Γ είναι οι εικόνες των μιγα-

δικών z1 = 3 + 4i, z2 = x + yi και z3 = κ + λi

αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο:

α. Να δειχθεί ότι 3κ + 4λ = 0.

β. Να βρεθούν οι z2 και z3.

40. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = 3+i , z2 = 1 – 3 i .

α. Αποδείξτε ότι 1

2

z = i

z.

β. Αν α πραγματικός αριθμός και w = 1 2

1 2

az – zz + az

, αποδείξτε ότι w2006 = –1.

γ. Αποδείξτε ότι z154 + z2

54 = 0 .

41. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = x + yi και οι αριθμοί z1 = z–2 + i και z2 = 1 + 2i.

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο αν ι-

σχύει Im(z1z2) = 0.

42. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z στο μιγα-

δικό επίπεδο αν ισχύει 8

Re z – = – Im(zi)z

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠.

AM

B

(ε)

1 2 3 4

1

2

0

y

y΄

x΄ x

1 2 3 4

1

2

0

y

y΄

x΄ x

3

4A

B

G



9

43. Οι μιγαδικοί αριθμοί z και w συνδέονται με τη σχέση z = 4w + Re(w). Aν η ει-

κόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στην έλλειψη 2 2x y

+ = 125 16

να δείξετε

ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w κινείται σε κύκλο με εξίσωση x2 + y2 = 1. 44. Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στην ευ-

θεία με εξίσωση y = 2x – 1 , να αποδείξετε ότι η εικόνα του μιγαδικού

( )w = 1+ i z + 2z + 3 κινείται σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση .

45. α. Nα λύσετε ως προς z την εξίσωση 2z – (4συνθ)z + 4 = 0 , 0 < θ < π , z C∈

β. Να δείξετε ότι καθώς το θ μεταβάλλεται στο διάστημα (0, π), οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης κινούνται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση .

46. Αν 1

z + = zz

, τότε αποδείξτε ότι 2 1Re(z ) = –

2 .

47. Αν 1 2z ,z C∗∈ και ισχύει 1 2 1 2z + z = z – z , να αποδείξετε ότι ο αριθμός 1

2

zz

είναι φανταστικός .

48. Αν 1 2 3z , z , z είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:

1 2 3z = z = z = 7 και 1 2 3z + z + z = 7 , αποδείξτε ότι 1 2 3

1 1 1 1+ + =

z z z 7 .

49. Έστω z μιγαδικός αριθμός διάφορος του –1 και του 1. Θεωρούμε τη συνάρτη-

ση ( )( )( )( )

ν

ν

1 – z 1 + zf(z)=

1 + z 1 – z.


f(z) = f ,z

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ z 0≠ .

β. Αν επιπλέον ισχύει z =1 , τότε αποδείξτε ότι ( )f z = f(z) .

50. Δίνεται η συνάρτηση z + 2i

f(z) = z – 2i

με z C∈ και z 2i≠− .

α. Αποδείξτε ότι f(z) = 1 .

β. Αν ( ) ( )f(z) = f z , αποδείξτε ότι ο αριθμός z είναι φανταστικός .

51. α. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει z – 2i + 3 = 2 να βρεθεί η εξίσωση

της καμπύλης στην οποία κινούνται οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού w , για τον οποίο ισχύει w = – 3z + i – 5 .



10

β. Αν για το μιγαδικό αριθμό z = (2x–3) + (2y –1)i, x, y∈R , ισχύει η σχέση

2z – 1+3i = 2 , να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων (x, y) στο

μιγαδικό επίπεδο.

52. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 , με 1 2 3z = z = z = ρ, ρ > 0 και Α , Β ,

Γ οι εικόνες τους , αντιστοίχως , στο μιγαδικό επίπεδο. Θεωρούμε τους μιγαδι-κούς αριθμούς w1=z1z2 , w2=z2z3 , w3=z3z1 με εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία Δ , Ε , Ζ αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισό-πλευρο τότε και το τρίγωνο ΔΕΖ είναι ισόπλευρο .

53. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z , w και Ρ , Σ οι εικόνες τους αντιστοίχως ,στο μι-γαδικό επίπεδο. Αν ισχύει zw – iw = z – (2+3i) , να αποδείξετε ότι αν το ση-μείο Ρ κινείται στην μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία Α(0, 1) και Β(2, 3), τότε το Σ κινείτε στον κύκλο με εξίσωση x2 + y2 = 1.

54. A. α. Nα αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού z , που ικανοποιεί τη

σχέση (4 + 3i)z + (4 – 3i) z + 50 = 0 , κινούνται στο μιγαδικό επίπεδο στην ευθεία με εξίσωση 4x – 3y + 25 = 0 .

β. Ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το ελάχιστο μέτρο ; Β. α. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z ο

οποίος ικανοποιεί τη συνθήκη (z + 3 – 3i) ( z +3 + 3i) = 4 .

β. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του z .

55. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και έστω 2 + z i

f(z)=1 – z

⋅ , z≠1 .

α. Αποδείξτε ότι f(2) = 2 2 .

β. Αποδείξτε ότι f(z) 2

= zf(z) + i

− .

γ. Αν z =1 και Μ η εικόνα του f(z) στο μιγαδικό επίπεδο , αποδείξτε ότι το

Μ κινείται στην ευθεία με εξίσωση y = – 2x + 32

.

56. Δίνεται η εξίσωση z – 1 = z – 3i , z ∈ C.

α. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι η μεσοκάθετη (ε) του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα Α (1, 0) και Β (0, 3).

β. Να δειχθεί ότι η εξίσωση της (ε) είναι x – 3y + 4 = 0. γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της (ε).

δ. Να βρεθεί η εικόνα του z για τον οποίο το z είναι ελάχιστο.



11

57. Αν z μιγαδικός και f (ν) = iνz, ν ∈ Ν* τότε: Να δειχθεί ότι f (4λ) + f (4λ + 1) + f (4λ + 2) + f (4λ + 3) = 0, λ ∈ Ν*.

58. Αν z μιγαδικός αριθμός με Re 1 1

=z 4

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠, τότε:

α. Να δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με κέντρο Κ (2, 0) και ακτίνα ρ = 2, εκτός του σημείου Ο(0,0).

β. Να δειχθεί ότι αν για το z ισχύει Im(z) =1, τότε Re(z) = 2+ 3

Re(z) = 2– 3 .

59. Για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν αντιστοίχως z z + i (z – z ) = 1 και το σύ-νολο των σημείων των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία (ε) με εξίσωση y = x + 1. Να δειχθεί ότι:

α. O γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο είναι

κύκλος C με κέντρο Κ (0, 1) και ακτίνα ρ = 2 . β. Η ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο C του ερωτήματος (α) σε δύο σημεία αντι διαμετρικά. γ. Αν t1, t2 είναι οι μιγαδικοί που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο είναι

οι τομές των (ε) και C, τότε ισχύει: 3ν 2ν 3ν+11 2 1 2t + t + t t = 2− .

6 0 . α. Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ(z) = z3 – 3z2 + 4z – 12 . β. Να λύσετε την εξίσωση z3 – 3z2 + 4z – 12 = 0 , z C∈ . γ. Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία που αντιστοιχούν στις εικόνες των ριζών. δ. Τι είδους τρίγωνο σχηματίζουν οι εικόνες των ριζών ; Ναυπολογίσετε το εμβαδόν του .

61. Θεωρούμε την εξίσωση 2 2t 4t 2tz 4e z + 4e + e = 0− , z C, t R∈ ∈ .

α. Να λύσετε την εξίσωση στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. β. Έστω Α , Β οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο. Αποδείξτε ότι τα σημεία Α , Β κινούνται σε παραβολή. γ. Να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό t αν το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο στο Ο. ( Ο η αρχή των αξόνων ).

62. Δίνεται η εξίσωση 2 2z 8z + λ + 9 = 0− , λ∈R με ρίζες z1, z2 C∈ .

α. Αν 1z = 5 να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό λ.

β. Αν λ = ±4 , αποδείξτε ότι 1 2z = 4+3i , z = 4 3i− .

γ. Να δείξετε ότι 1 2z z + z z 6− − ≥ , όπου z τυχαίος μιγαδικός αριθμός.



12

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟ Ι ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος’’

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. α) x = 4 , y= –2/3 , β) x = –2 , y = 7 , γ) x = 3 , y = 2 , δ) x = –1

2. β) 2 77 36z i= − − .

3. ii) x = 4 , y = 2

4. γ) x–y = 4

5. (1 +21 +

41 +

81 + ...+

991

2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠) + i (1 +

31 +

91 +

271 +

541 + ...+

991

3

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠) = …άθροισμα γ.π.

6. z1 = 4 – 6i , z2 = –2

7. ζ) 3/5 +11/5 i

8. α) –8 –15i , β) –1/2 i , γ) 1 2

+ i4 2

– , δ) 1 3 3

+ i7 7

, ε) 1 1

+ i4 4

–

9. α = 1, β = 0

1. Σ 15. Σ

2. Λ 16. Σ

3. Σ 17. Λ

4. Σ 18. Σ

5. Σ 19. Λ

6. Σ 20. Σ

7. Λ 21. Λ

8. Λ 22. Σ

9. Σ 23 Σ

10. Σ 24 Σ

11. Σ 25 Σ

12. Σ

13. Λ

14. Σ



13

10. (α = 3, β = – 2) ή (α = – 3, β = 2)

11. x = 22

12. x = 1, y = 5

13. Έστω z = λi, βρίσκουμε ω = – (λ2 – λ + 1) < 0

14. α) z = 2 + i ή z = - 2 + i

β) z = 0 ή z = 1 ή z = - 21 ± i

23

15. α) Αν ν = 4κ, Α = 1 β) 1, -i , -1 , -3i

ν = 4κ + 1, Α = 1 + i

ν = 4κ +2, Α = i

ν = 4κ +3, Α = 0

16. Η δοθείσα γράφεται ( )( )( )( ) ( )

20ν20ν 20ν 5ν41+i 1+i1+i 2i= =...= = i =11-i 1-i 1+i 2

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠.

17. -

18. β) 4x + 3y + 24 = 0

γ) x2 + y2 + 6x + 8y = 0

δ) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25

19. α) 2 + i β) α = –4, β = 5

20. – 1, 1 + 2i, 1 – 2i

21. α) λ = – 32 , γ) ψ = 2χ –5

22. Ε = 32 τ.μ.

23. z1 = - 2i, z2 = 2 + 3i

24. α) 22 β) 26

25. α) 21 β) 1

26. z = 43 + i

27. |z + 9|2 = 9 |z + 1|2 ⇔ (z + 9) ( )z + 9 = 9 (z + 1)( )z + 1 ⇔

(z + 9) ( z + 9) = 9 (z + 1) ( z + 1) κ.λπ.

28. β) ω = –ω ⇔ 11

zz−+

= – 1

1

z

z

−

+ ⇔ (z – 1) ( z + 1) = – (z + 1) ( z – 1) ⇔ … ⇔

z z = 1 ⇔ |z|2 = 1 ⇔ |z| = 1



14

29. 3 + 4i, – 3 + 4i, 3 – 4i, – 3 – 4i κύκλος Κ (0, 0), R = 5

30. Έστω z = x + yi. Βρίσκουμε x = 21 , y = ±

23 . 31. 1z i=− − .

32. |1 - z| > |z| ⇔ |1 - z|2 > |z|2 ⇔ (1 - z) (1 - z ) > z z ⇔ 1 - z - z + z z > z z ⇔ z

+ z < 1 ⇔ 2Re(z) < 1 ⇔ Re(z) < 21

33. Υψώνουμε στο τετράγωνο κ.λπ. Βρίσκουμε |z| = 2

34. 2x + y + 2 = 0

36. α) Κ (– 1, 1), R = 3 β) Κ (1, 1), R < 4 γ) Κ (1, –1), 1 < R < 2

37. iv, v

38. ii, iv, vi 39. β) z2 = 7 + i , z3 = 4 – 3i .

41. 2x + y – 3 = 0.

42. Ο άξονας y΄y εκτός από το σημείο Ο(0,0) , ή ο κύκλος x2 + y2 = 4 .

44. y = – x + 5 .

45. x2 + y2 = 4

51. i) (x – 4)2 + (y + 5)2 = 36 ii) ( x – 7/4 )2 + (y + 1/4 )2 = 1/4 .

54. A) ii) z = – 4+3i Β) i) (x+3)2 + (y – 3)2 = 4 ii) 2 3 2min

2 3 2max

z

z

=− +

= +

56. δ) Η εικόνα του z είναι το σημείο τομής της (ε) και της κάθετης προς αυτήν που διέρ-

χεται από το Ο (0, 0). Βρίσκουμε z = – 52 +

56 i.

58. β) Στην εξίσωση x2 + y2 – 4x = 0 θέτουμε y = 1 και βρίσκουμε x = 2 + 3 ή

x = 2 – 3 .

59. α) x2 + (y – 1)2 = 2

γ) Σημεία τομής Α (1, 2), Β (–1, 0). (ΑΒ) = 2ρ δ) t1 = 1 + 2i, t2 = – 1

60. α) Ρ(z) = (z – 2i)(z + 2i)(z – 3) δ) ισοσκελές , Ε = 6 τμ.

61. α) 1 22t t 2t tz = 2e + ie , z = 2e ie –

β) 2t t 2t tΑ(2e , e ), Β(2e , e )– , η παραβολή έχει εξίσωση 2 1y = x

2.

γ) t = - ln2.

62. α) λ= - 4 ή λ=4 .

γ) 1 2 1 2z z z z z z− ≤ − + − , άρα 6 = 1 2 1 2z z z z z z− ≤ − + − .

(Το συμπέρασμα προκύπτει από την τριγωνική ανισότητα).



15

ΜΜΜΙΙΙΓΓΓΑΑΑΔΔΔΙΙΙΚΚΚΟΟΟΙΙΙ ΑΑΑΡΡΡΙΙΙΘΘΘΜΜΜΟΟΟΙΙΙ ΜΜΜΕΕΕΡΡΡΟΟΟΣΣΣ ΔΔΔΕΕΕΥΥΥΤΤΤΕΕΕΡΡΡΟΟΟ

Παρατηρήσεις :

♦ Οι δυνάμεις ενός μιγαδικού αριθμού z με εκθέτη ακέραιο , ορίζονται ακριβώς

όπως και στους πραγματικούς αριθμούς.

♦ Επίσης για 0z ≠ ορίζουμε 0 1z = και 1zz

νν

− = , για κάθε θετικό αριθμό ν.

♦ Δεν έχει νόημα η διάταξη στους μιγαδικούς αριθμούς.

Διότι σύμφωνα με το νόμο της τριχοτομίας θα έπρεπε:

i > 0 ή i = 0 ή i < 0

2i > 0 ή 2i = 0 ή 2i > 0

–1 > 0 ή –1= 0 ή –1 >0 αδύνατο

♦ Δεν έχει νόημα το σύμβολο της στους μιγαδικούς αριθμούς , διότι δεν ορί-

ζετε μονοσήμαντα . Δηλαδή δεν γράφουμε z .

♦ Για τους συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z = α + βi και z = a – βi ισχύουν :

i) z + z = 2α . Δηλαδή το άθροισμα δυο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι πραγ-

ματικός αριθμός.

Το αντίστροφο δεν ισχύει: μπορεί δυο μιγαδικοί αριθμοί να έχουν άθροισμα

πραγματικό αριθμό χωρίς να είναι συζυγείς π. χ. 1z = 2 + 3i , 2z = 5 – 3i .

ii) z – z = 2βi . Δηλαδή η διαφορά δυο συζυγών μιγαδικών αριθμών είναι φαντα-

στικός αριθμός.

Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί που έχουν διαφορά φα-

νταστικό αριθμό χωρίς να είναι συζυγείς π. χ. 1 2z = 5 + 3i, z = 5 – i .

iii) Αποδεικνύονται εύκολα οι προτάσεις

2 2z z = α + β⋅

z R z = z∈ ⇔

z I z z∈ ⇔ =−



16

Παρατήρηση:

(οι προτάσεις αυτές όταν χρησιμοποιούνται πρέπει να αποδεικνύονται).

♦ Δυο ίσοι μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα . Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν άπειροι

μιγαδικοί αριθμοί με το ίδιο μέτρο.

Π.χ. 1 2 3z = 2 + i, z =1 + 2i , z = 2 – i κ.τ.λ.

♦ Για το μέτρο των μιγαδικών αριθμών ισχύουν:

2

1 2 1 2

νν

1 2 1 2 1 2

i) z = z = –z

ii) z =z z

iii) z z = z z

iv) z = z

v) z =0 z=0

vi) z – z z + z z + z

⋅

⋅ ⋅

⇔

≤ ≤

♦ Το μέτρο της διαφοράς δυο μιγαδικών αριθμών είναι ίσο με την απόσταση των

εικόνων τους στο μιγαδικό επίπεδο.

♦ Βασικοί γεωμετρικοί τόποι:

i) 0z – z = ρ, ρ > 0 , κύκλος με κέντρο το σημείο ( )0Α z και ακτίνα ρ.

ii) 1 2z – z = z – z , η μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία

( ) ( )1 2A z , B z .

iii) 1 2

z – z = ρ z – z , ρ 1, ρ 0⋅ ≠ > , απολλώνιος κύκλος.

iv) 1 2z – z + z – z = 2α, α > 0, και 1 2z – z < 2α , έλλειψη.

v) 1 2z – z – z – z = 2α, α > 0, και 1 2z – z > 2α , υπερβολή.

♦ Χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στο λογισμό των μιγαδικών αριθμών γιατί προφα-

νείς σχέσεις που ισχύουν στους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να μην ισχύουν

στους μιγαδικούς αριθμούς. π.χ.

i) Αν z , w μιγαδικοί αριθμοί και z2 + w2 = 0 , δεν συνεπάγεται κατ’ ανάγκη

ότι z=0 ή w=0 ( θεωρείστε π.χ τους μιγαδικούς z = 1+ i , w =1– i ) .

ii) Ισχύει 2(z + z) 0≥ , ενώ 2(z – z) 0≤ , διότι z + z = 2α R∈ , ενώ

z – z = 2βi I∈ . κ.λ.π..



17

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Εύρεση του συνόλου των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που επαληθεύουν δοθείσα σχέση ή προσδιορισμός της γραμμής πάνω στην οποία κινούνται οι εικό-νες των μιγαδικών αριθμών z . 1ος τρόπος : Υποθέτουμε ότι ,Ryx,,iyxz ∈+= με εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο

το σημείο )y,(xΜ . Αντικαθιστούμε το z στη δοθείσα σχέση και αφού εκτελέσου-

με όλες τις πράξεις που απαιτούνται καταλήγουμε σε μια εξίσωση με αγνώστους y,x ή μόνο με άγνωστο x ή μόνο με άγνωστο y, η οποία είναι η εξίσωση της

γραμμής πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z . 2ος τρόπος : Υπενθυμίζουμε ότι :

♦ z ΟΜ (ΟΜ) ,= = όπου )(zΜΜ = η εικόνα του z και ).0,0(Ο

♦ 1 2 1 2 1 2z z Μ M (M Μ ) ,− = = όπου )(zΜM 111 = η εικόνα του 1z και

)(zMM 222 = η εικόνα του 2z . ( Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών

εκφράζει την απόσταση των εικόνων τους).

Μετατρέπουμε τη σχέση των μιγαδικών σε ισοδύναμη γεωμετρική και προσδιορίζου-με το ζητούμενο γεωμετρικό τόπο. Για την καλύτερη κατανόηση του 2ου τρόπου αναφέρουμε τις περιπτώσεις:

ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ

oz - z = ρ , όπου ρ>0

και Ο Οoz = x + y i

σταθερός

μιγαδικός αριθμός.

ΜΚ = ρ ή ( )ΜΚ = ρ

όπου Μ=Μ(z) και

ΟΚ=Κ z( )

Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z απέχει από το σταθερό

σημείο )y,x(Κ ΟΟ , σταθε-

ρή απόσταση ρ. Άρα ο γε-ωμετρικός τόπος των εικό-νων του z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ.

22

o2

o ρ)y(y)x(x =−+−



18

ΜΙΓΑΔΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ

oz z ρ− ≤ , όπου

ρ>0


σταθερός μιγαδικός αριθμός.

ΜΚ ρ≤ ή

( )ΜΚ ρ≤

όπου Μ=Μ(z) και

ΟΚ=Κ z( )

Παρατηρούμε ότι η εικό-να Μ του μιγαδικού αριθ-μού z απέχει από το σταθε-

ρό σημείο Ο ΟΚ(x , y ) , α-

πόσταση μικρότερη ή ίση του ρ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κυκλικός δίσκος με κέ-ντρο Κ και ακτίνα ρ.

22

o2

o ρ)y(y)x(x ≤−+−


oz z ρ− > , όπου ρ>0


σταθερός

μιγαδικός αριθμός.

ΜΚ ρ> ή ( )ΜΚ ρ>

όπου Μ = Μ(z) και

ΟΚ= Κ z( )

Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z απέχει από το σταθερό σημείο )y,x(Κ ΟΟ , από-

σταση μεγαλύτερη του ρ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι το σύνολο των εξωτερικών σημείων του κύκλου με κέντρο Κ και ακτίνα ρ.

22

o2

o ρ)y(y)x(x >−+−



19

\


1z z− = 2z z−

όπου z1 = x1 + y1i

και z2 = x2 + y2i

σταθεροί

μιγαδικοί αριθμοί.

ΜΑ ΜΒ≤ ή

(ΜΑ) = (ΜΒ) όπου

Μ = Μ(z) A = A(z1)

και B = B(z2)

Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z ι-σαπέχει από τα σταθερά ση-μεία 1 1Α(x , y ) και 2 2Β(x , y ) .

Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμ-μου τμήματος ΑΒ .




1z z− = 2z z−

όπου z1 = x1 + y1i

και z2 = x2 + y2i σταθεροί

μιγαδικοί αριθμοί.

ΜΑ ΜΒ≤ ή

(ΜΑ) ≤ (ΜΒ) όπου

Μ = Μ(z) A = A(z1) και B = B(z2)

Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z απέχει από το σταθερό ση-μείο )y,x(Α 11 απόσταση μι-κρότερη ή ίση από την από-σταση που απέχει από το ση-μείο )y,x(Β 22 . Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι το ημιεπίπεδο (ε, Α), όπου ε είναι η μεσοκάθετος του ευ-θυγράμμου τμήματος ΑΒ .



20

.


1z z− + 2z z− = 2α

όπου

z1 = – γ +0i και

z2 = γ +0i

σταθεροί αντίθετοι πραγματικοί αριθμοί

με 2α > ⎢z1 – z2 ⎢ = 2γ >0

⎢ ΄ΜΕ ⎢+ ⎢ΜΕ ⎢ =2α ή (ΜΕ΄) + (ΜΕ) = 2α

όπου Μ = Μ(z), Ε΄= Ε΄(z1)

και Ε = Ε(z2)

Παρατηρούμε ότι το ά-θροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδι-κού αριθμού z από τα στα-θερά σημεία E΄(–γ,0) και E(γ, 0) είναι σταθερό και μεγαλύτερο του Ε΄Ε . Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η έλλειψη με εστίες τα ση-μεία Ε΄, Ε και μήκος με-γάλου άξονα 2α .

+ =2 2

2 2

x y 1α β




1z z− + 2z z− = 2α

Όπου z1 = 0 + (– γ)i

και z2 = 0 + γ i

σταθεροί αντίθετοι φανταστικοί αριθμοί

με

2α > ⎢z1 – z2 ⎢ = 2γ >0

⎢ ΄ΜΕ ⎢+ ⎢ΜΕ ⎢ =2α ή (ΜΕ΄) + (ΜΕ) = 2α

όπου

Μ = Μ(z), Ε΄= Ε΄(z1) και

Ε = Ε(z2) Παρατηρούμε ότι το ά-θροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγα-δικού αριθμού z από τα σταθερά σημεία E΄(0,–γ) και E(0, γ) είναι σταθερό και μεγαλύτερο του Ε΄Ε . Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η έλλειψη με εστίες τα ση-μεία Ε΄, Ε και μήκος μεγά-λου άξονα 2α .

+ =2 2

2 2

x y 1β α



21


1z z− – 2z z− = 2α

όπου z1 = – γ +0i

και z2 = γ +0i


με

2γ = ⎢z1 – z2 ⎢ > 2α >0

⎢ ΄ΜΕ ⎢– ⎢ΜΕ ⎢ =2α

ή (ΜΕ΄) – (ΜΕ) = 2α όπου

Μ = Μ(z), Ε΄= Ε΄(z1) και

Ε = Ε(z2) Παρατηρούμε ότι η από-λυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικό-νας Μ του μιγαδικού α-ριθμού z από τα σταθερά σημεία )0,γ(Ε −΄ και

)0,γ(Ε είναι σταθερή και μικρότερη του Ε΄Ε. Άρα ο γεωμετρικός τό-πος των εικόνων του z είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε΄, Ε .

1βy

αx

2

2

2

2

=−


1z z− – 2z z− = 2α

όπου z1 = – γ +0i

και z2 = γ +0i


με

2γ = ⎢z1 – z2 ⎢ > 2α >0

⎢ ΄ΜΕ ⎢– ⎢ΜΕ ⎢ =2α


Μ = Μ(z), Ε΄= Ε΄(z1) και

Ε = Ε(z2) Παρατηρούμε ότι η διαφο-ρά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά σημεία )0,γ(Ε΄ − και

)0,γ(Ε είναι σταθερή, μικρότερη του Ε΄Ε και ( ) ( ).ΜΕΜΕ΄ > Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο δεξιός κλάδος της υπερ-βολής με εστίες τα σημεία Ε΄, Ε .

0x,1βy

αx

2

2

2

2

>=−



22


1z z− – 2z z− = 2α

όπου z1 = 0 + (– γ)i

και z2 = 0 + γ i

σταθεροί αντίθετοι φανταστικοί αριθμοί

με 2γ = ⎢z1 – z2 ⎢ > 2α > 0

⎢ ΄ΜΕ ⎢– ⎢ΜΕ ⎢ =2α


Μ = Μ(z), Ε΄= Ε΄(z1) και Ε = Ε(z2)

Παρατηρούμε ότι η απόλυ-τη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά σημεία

)γ,0(Ε΄ − και )γ,0(Ε είναι σταθερή και μικρότε-ρη του Ε΄Ε. Άρα ο γεωμετρικός τό-πος των εικόνων του z είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε΄, Ε

1βx

αy

2

2

2

2

=−


1z z− – 2z z− = 2α όπου

z1 = 0 + (– γ)i και

z2 = 0 + γ i

σταθεροί αντίθετοι φα-νταστικοί αριθμοί

με 2γ = ⎢z1 – z2 ⎢ > 2α >0

⎢ ΄ΜΕ ⎢– ⎢ΜΕ ⎢ =2α


Μ = Μ(z), Ε΄= Ε΄(z1) και Ε = Ε(z2)

Παρατηρούμε ότι η διαφο-ρά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά σημεία )γ,0(Ε΄ − και

)γ,0(Ε είναι σταθερή , μικρότερη του Ε΄Ε και ( ) ( ).ΜΕΜΕ΄ > Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο άνω κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε΄ , Ε

0y,1βx

αy

2

2

2

2

>=−



23

Λυμένα Παραδείγματα στους γεωμετρικούς τόπους.

Α΄ ΟΜΑΔΑ :

Παράδειγμα 1ο

Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στις περι-

πτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός 4z

6i4zw+−−

= είναι :

α) φανταστικός και β) πραγματικός

Λύση

Έστω iyxz += , Ry,x ∈ με εικόνα στο επίπεδο το σημείο .y),(xM

Ο μιγαδικός αριθμός w ορίζεται αν και μόνο αν .0),4(y),(x4z −≠⇔−≠

Έχουμε

z 4 6i x yi 4 6i (x 4) (y 6)iwz 4 x yi 4 (x 4) yi− − + − − − + −

= = = =+ + + + +

[ ] [ ][ ] [ ]

(x 4) (y 6)i (x 4) yi(x 4) yi (x 4) yi− + − ⋅ + −

=+ + ⋅ + −

2

2 2

x 16 (x 4)yi (x 4)(y 6)i (y 6)y(x 4) y

− − − + + − + −=

+ +

2 2

2 2

x y 6y 16 ( xy 4y xy 6x 4y 24)i(x 4) y

+ − − + − + + − + −+ +

iy4)(x248y6x

y4)(x166yyx

2222

22

++−+−

+++−−+

= , με .0),4(y),(x −≠

α. Ο αριθμός w είναι φανταστικός αν και μόνο αν

⇔⎩⎨⎧

−≠=−−+

⇔=++−−+

0),4(y),(x0166yyx

0y4)(x

166yyx 22

22

22

⎩⎨⎧

−≠=−+

⇔⎩⎨⎧

−≠=+−+

⇔0),4(y),(x253)(yx

0),4(y),(x296yyx 2222 5

(Συμπλήρωση τετραγώνου)

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των

μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο

τοσημείο )3,0(Κ και ακτίνα 5,ρ = που έχει

εξίσωση 25,3)(yx 22 =−+ με εξαίρεση το ση-

μείο του .0),4(Α −



24

β. Ο αριθμός w είναι πραγματικός αν και μόνο αν

⇔⎩⎨⎧

−≠=−+−

⇔=++−+−

0),4(y),(x0248y6x

0y4)(x248y6x

22

⎩⎨⎧

−≠=+−

⇔0),4(y),(x014yx 23

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η ευθεία ( ε ) με εξίσωση ,014yx =+− 23 με εξαίρεση το σημείο της .0),4(Α −

Παράδειγμα 2ο Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z στις περι-

πτώσεις κατά τις οποίες ο αριθμός i1zi1zw

+++−

= είναι :

α) φανταστικός και β) πραγματικός Λύση

Έστω iyxz += , Ry,x ∈ με εικόνα στο επίπεδο το σημείο .y),(xM

Ο μιγαδικός αριθμός w ορίζεται αν και μόνο αν .1),1(y),(xi1z −−≠⇔−−≠

Έχουμε

z 1 i x yi 1 i (x 1) (y 1)iwz 1 i x yi 1 i (x 1) (y 1)i− + − − + − − −

= = = =+ + + + + + + +

[ ] [ ][ ] [ ](x 1) (y 1)i (x 1) (y 1)i(x 1) (y 1)i (x 1) (y 1)i− − − ⋅ + − +

=+ + + ⋅ + − +

2 2

2 2

x 1 (x 1)(y 1)i (x 1)(y 1)i (y 1)(x 1) (y 1)

− − − + − + − − −= =

+ + +

2 2

2 2

x 1 y 1 (xy x y 1 xy x y 1)i(x 1) (y 1)

− − + − + − − + − + −=

+ + +

i1)(y1)(x

xy)1)(y1)(x

yx2222

22

+++−

++++

−=

1(2 , με .1),1(y),(x −−≠

α. Ο αριθμός w είναι φανταστικός αν και μόνο αν

⇔⎩⎨⎧

−−≠=−

⇔=+++

−1),1(y),(x

0yx0

1)(y1)(xyx 22

22

22

⎩⎨⎧

−−≠±=

⇔⎩⎨⎧

−−≠=+−

⇔1),1(y),(x

xy1),1(y),(x0y)y)(x(x

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι οι διχοτόμοι

των γωνιών των αξόνων, δηλαδή οι ευθείες xy:δ1 = και ,xy:δ2 −= με εξαίρεση το

σημείο 1).,1(Α −−



25

β. Ο αριθμός w είναι πραγματικός αν και μόνο αν

⇔⎩⎨⎧

−−≠=−

⇔=+++

−1),1(y),(x

0xy0

1)(y1)(xxy)

22

11(2

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−≠

=⇔

⎩⎨⎧

−−≠=

⇔1),1(y),(x

x1y

1),1(y),(x1yx


μιγαδικών αριθμών z είναι η υπερβολή με εξίσωση ,x1y = με εξαίρεση το σημείο

της .)1,1(Α −−


Έστω Μ , Λ , Ν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 32z,z + και 4iz + αντί-

στοιχα . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z ,

όταν :

α) Τα σημεία Μ , Λ , Ν είναι συνευθειακά β) = οΜΛΝ 90

Λύση

Έστω iyxz += , Ry,x ∈ με εικόνα στο επίπεδο το σημείο .y),(xΜ

Ο μιγαδικός αριθμός 2yi3)(2x3yi)2(x32z ++=++=+ έχει εικόνα το σημείο

,2y),3(2xΛ +

ενώ ο μιγαδικός αριθμός 4)i(yx4iyix4iz ++=++=+ έχει εικόνα το σημείο

.)4y,x( +Ν Είναι :

y),3(xy)2y,x3(2xΜΛ +=−−+= και

.y)4,3x(2y)4y,32x(xΛΝ −−−=−+−−=

α. Τα σημεία Μ , Λ , Ν είναι συνευθειακά αν και

μόνο αν ( )Μ / / Λ det Μ ,Λ 0Λ Ν⇔ Λ Ν = ⇔ x 3= −

⇔=−−−−+⇔=−−−

+0y3)x(y)3)(4(x0

y43xy3x

4x xy 12 3y xy 3y 0 4x 12 0⇔ − + − + + = ⇔ + = ⇔


μιγαδικών αριθμών z είναι η κατακόρυφη ευθεία

.3x:ε −=



26

β. Η γωνία ΜΛΝ είναι ορθή αν και μόνο αν ⇔=⋅⇔⊥ 0ΛΝΜΛΛΝΜΛ 2 2( x 3)( x 3) y(4 y) 0 x 6x 9 4y y 0+ − − + − = ⇔ − − − + − = ⇔

2 2x y 6x 4y 9 0+ + − + = (1)

Η εξίσωση (1) είναι της μορφής 0ΓΒyΑxyx 22 =++++ με Α = 6, Β = – 4 και Γ = 9.

Είναι ,0164ΓΒΑ 22 >=−+=−+ 361636 άρα η

εξίσωση ( 1 ) παριστάνει κύκλο με κέντρο το

σημείο ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Β

−Α

−Κ2

,2

, δηλαδή το ( )2,3Κ − και

ακτίνα 2Γ4ΒΑ21ρ 22 =−+=


μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο

το σημείο ( )2,3Κ − και ακτίνα ,2ρ = που έχει

εξίσωση .42)(y3)(x 22 =−++

Β΄ ΟΜΑΔΑ :


Να προσδιορίσετε τη γραμμή πάνω στην οποία κινούνται οι εικόνες των μιγαδι-

κών αριθμών z , όταν .Rλ,i1)(2λ1)(λz ∈−++=

Λύση

Έστω iyxz += , Ry,x ∈ με εικόνα στο επίπεδο το

σημείο .)y,x(M

Είναι ⎩⎨⎧

−=−−=−

⇔−⋅

⎩⎨⎧

−=+=

1λ2y22λ2x2)(

12λy1λx

Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις και έχουμε

.32xy3y2x −=⇔−=+−

Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z κινούνται

πάνω στην ευθεία .3x2y:ε −=



κών αριθμών z , όταν .Rλ,iλz ∈+= 4

Λύση




27

σημείο ,)y,x(M οπότε είναι ⎩⎨⎧

==λy

x 4

Παρατηρούμε ότι τα σημεία )y,x(M έχουν σταθερή

τετμημένη 4x = και μεταβλητή τεταγμένη λy = με

.Rλ∈ Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z

κινούνται πάνω στην ευθεία .x:ε 4=



κών αριθμών z , όταν .Rλ,i3λz 2 ∈−=

Λύση



−==

3yλx 2


τεταγμένη 3y −= και μεταβλητή τετμημένη ,λx 2=

η οποία παίρνει μη αρνητικές τιμές . Άρα οι εικόνες

των μιγαδικών αριθμών z κινούνται πάνω στην

ημιευθεία ⎩⎨⎧

≥−=0x3y

:Αζ



κών αριθμών z , όταν .Rφ,φημi2z ∈+=

Λύση



==

φημy2x


τετμημένη 2x = και μεταβλητή τεταγμένη ,φημy =

η οποία παίρνει τιμές από το διάστημα [ ].1,1−


πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ,ΑΒ όπου )1,2(Α και .)1,2( −Β



28



κών αριθμών z , όταν .Rφ,φσυνiφημz ∈+=

Λύση



==

φσυνyφημx

Για κάθε Rφ∈ ισχύει

1yx1φνυσφμη 2222 =+⇔=+


πάνω στον κύκλο με κέντρο το σημείο ( )0,0Ο και

ακτίνα 1ρ = , που έχει εξίσωση .1yx 22 =+

Σημείωση

Στο προηγούμενο παράδειγμα, αν το

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈

2π,

2πφ ( 1ο ή 4ο τεταρτημόριο ),

τότε το ,0φνυσ > οπότε τα σημεία

)y,x(M έχουν ,0φνυσy >= δηλαδή

θετική τεταγμένη .

Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z κινούνται στο άνω ημικύκλιο Α΄ΒΑ του

κύκλου 1yx 22 =+ με εξαίρεση τα άκρα του )0,1(Α΄ − και .)0,1(Α



κών αριθμών z , όταν .Rφ,i)2φημ()φσυν1(z ∈−++=

Λύση


σημείο ,)y,x(M οπότε είναι ⇔⎩⎨⎧

−=+=

2φμηyφσυν1x

⎩⎨⎧

=+=−

⇔φμη2yφσυν1x




29

12)y1)x1φνυσφμη 2222 =++−⇔=+ ((

Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z κινούνται πάνω στον κύκλο με κέντρο το

σημείο ( )2−,1Κ καιακτίνα ,1ρ = που έχει εξίσωση .12)y1)x 22 =++− ((



κών αριθμών z , όταν .Rφ,φμηi5φσυν3z ∈+=

Λύση


σημείο ,)y,x(M οπότε είναι ⇔⎩⎨⎧

==

φμηyφσυνx

53

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=⇔

φμη5y

φνυσ3x


125y

9x1φνυσφμη

2222 =+⇔=+

Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z κινούνται πάνω στην έλλειψη .125y

9x 22

=+



κών αριθμών z , όταν .Zκ,2πκπφ,φεφi

φσυν1z ∈+≠+=

Λύση


σημείο ,)y,x(M οπότε είναι ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

φφεy

xσυνφ

1

Για κάθε Zκ,2πκπφ ∈+≠ ισχύει

1yxxy1φνυσ

1φεφ1 22222

2 =−⇔=+⇔=+


πάνω στην ισοσκελή υπερβολή .1yx 22 =−



30

Σημείωση 1η

Στο προηγούμενο παράδειγμα , αν το

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∈

2π,

2πφ ( 1ο ή 4ο τεταρτημόριο ), τότε το

,0φνυσ > οπότε τα σημεία )y,x(M έχουν

,0φνυσ

1x >= δηλαδή θετική τετμημένη .

Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z κι-

νούνται πάνω στο δεξιό κλάδο της ισοσκελούς

υπερβολής .1yx 22 =−

Σημείωση 2η

Στο 8ο παράδειγμα,

αν το ⎟⎠⎞

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡∈

23π,π

2π,0φ ∪

( 1ο ή 3ο τεταρτημόριο ), τότε η ,0φφε ≥ οπότε

τα σημεία )y,x(M έχουν ,0φφεy ≥= δη-

λαδή μη αρνητική τεταγμένη .

Άρα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z

κινούνται στους δύο άνω ημικλάδους της

ισοσκελούς υπερβολής .1yx 22 =−

Γ΄ ΟΜΑΔΑ :


Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z που ικα-

νοποιούν τη σχέση .5i32z =+−

Λύση



Είναι ( ) ,5)ΚΜ(5i32z5i32z =⇔=−−⇔=+−

όπου )(zΜΜ = η εικόνα του z και ).3,2(Κ −

Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού

z απέχει από το σταθερό σημείο ,)3,2(Κ − σταθερή

απόσταση 5. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των



31

εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο )3,2(Κ − και

ακτίνα ,5ρ = που έχει εξίσωση .3)(y2)(x 22 25=++−



νοποιούν τη σχέση .5i32z ≤+−

Λύση



Είναι ( ) ,5)ΚΜ(5i32z5i32z ≤⇔≤−−⇔≤+−

όπου )(zΜΜ = η εικόνα του z και ).3,2(Κ −

Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού

z απέχει από το σταθερό σημείο ,)3,2(Κ − απόσταση

μικρότερη ή ίση του 5. Επομένως ο γεωμετρικός τόπος

των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο το σημείο

)3,2(Κ − και ακτίνα ,5ρ = που έχει εξίσωση .3)(y2)(x 22 25≤++−



νοποιούν τη σχέση .5i32z >+−

Λύση

Έστω iyxz += , Ry,x ∈ με εικόνα στο επίπεδο το σημείο .)y,x(M

Είναι ( ) ,5)ΚΜ(5i32z5i32z >⇔>−−⇔>+− όπου )(zΜΜ= η εικόνα του z και

).3,2(Κ − Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού z απέχει από το στα-

θερό σημείοΚ(2 , 3)− απόσταση μεγαλύτερη του 5 .

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι το σύ-

νολο των εξωτερικών σημείων του κύκλου 25=++− 22 3)(y2)(x που έχει κέντρο

το σημείο )3,2(Κ − και ακτίνα .5ρ =



νοποιούν τη σχέση .i51zi82z −−=++

Λύση



32

Έστω iyxz += , Ry,x ∈ με εικόνα στο

επίπεδο το σημείο .)y,x(M Είναι:

z 2 8i z 1 5i+ + = − − ⇔

( ) ( )z 2 8i z 1 5i− − − = − + ⇔

(Μ ) (ΜΒ),Α = όπου )(zΜΜ = η εικόνα

του z , )8,2(Α −− και ).,1(Β 5

Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού

αριθμού z ισαπέχει από τα σταθερά σημεία

)8,2(Α −− και ).,1(Β 5

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η με-

σοκάθετος ( ε ) τουευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Η εξίσωση της μεσοκαθέτου ( ε ) είναι :

⇔−−+=+++⇔−−=++ i51yixi82yixi51zi82z

(x 2) (y 8)i (x 1) (y 5)i+ + + = − + − ⇔ 2 2 2 2(x 2) (y 8) (x 1) (y 5)+ + + = − + − ⇔

2 2 2 2x 4x 4 y 16y 64 x 2x 1 y 10y 25+ + + + + = − + + − + ⇔ 6x 26y 42 0+ + = ⇔

+ + =3x 13y 21 0 Παράδειγμα 5ο


νοποιούν τη σχέση .i51zi82z −−≤++

Λύση Έστω iyxz += , Ry,x ∈ με εικόνα στο

επίπεδο το σημείο .)y,x(M Είναι:

z 2 8i z 1 5i+ + ≤ − − ⇔

( ) ( )z 2 8i z 1 5i− − − ≤ − + ⇔

(Μ ) (ΜΒ),Α ≤ όπου )(zΜΜ = η εικόνα

του z , )8,2(Α −− και ).,1(Β 5

Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού

αριθμού z απέχει από το σταθερό σημείο )8,2(Α −−

απόσταση μικρότερη ή ίση από την απόσταση που απέχει από το σταθερό σημείο

Β(1, 5). Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι



33

το ημιεπίπεδο ( )ε , Α , όπου (ε) είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.

Η εξίσωση του ημιεπιπέδου είναι .02113y3x ≤++



νοποιούν τη σχέση .104z4z =−++

Λύση


επίπεδο το Σημείο .)y,x(M Είναι:

z 4 z 4 10+ + − = ⇔

( ) ( )z 4 0i z 4 0i 10− − + + − + = ⇔

(Μ ΄) (ΜΕ) 10,Ε + = όπου )(zΜΜ= η εικόνα

του z, ),4(Ε 0−΄ και ).,4(Ε 0

Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθ-

μού z από τα σταθερά σημεία Ε΄, Ε είναι 2α=10 σταθερό και μεγαλύτερο του Ε΄Ε = 8.

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η έλλει-

ψη με εστίες τα σημεία ),4(Ε 0−΄ και ,),4(Ε 0 άρα 4γ = και μήκος μεγάλου άξονα

,0 5α12α == ⇔ οπότε 2 2 2β α γ= − ⇔ 2 2β 25 16 β 9 β 3,⇔ ⇔= − = = η οποία έχει

εξίσωση 19y

25x1

βy

αx 22

2

2

2

2

=+⇔=+



νοποιούν τησχέση .208iz8iz =−++

Λύση

Έστω iyxz += , Ry,x ∈ με εικόνα στο επίπεδο

το σημείο .)y,x(M Είναι

⇔=−++ 208iz8iz

( ) ( )z 0 8i z 0 8i 20− − + − + = ⇔

(Μ ΄) (ΜΕ) 20,Ε + = όπου Μ Μ(z= ) η εικόνα

του z, )8,(Ε −0΄ και ).,0(Ε 8

Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αποστάσεων



34

της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά σημεία Ε΄ , Ε είναι

02α2 = σταθερό και μεγαλύτεροτου Ε΄Ε = 16 .

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η έλλει-

ψη με εστίες τα σημεία ),(Ε 80 −΄ και ,),0(Ε 8 άρα 8γ = και μήκος μεγάλου άξονα

,1α22α 00 == ⇔ οπότε ,6β3β61βγαβ 22222 ==−=−= ⇔⇔⇔ 6400 η οποία έχει

εξίσωση 1100y

36x1

αy

βx 22

2

2

2

2

=+⇔=+



νοποιούν τη σχέση .85z5z =−−+

Λύση


σημείο .)y,x(M Είναι:

⇔=−−+ 85z5z

( ) ( )z 5 0i z 5 0i 8− − + − − + = ⇔

(Μ ΄) (ΜΕ) 8,Ε − = όπου )(zΜΜ= η εικόνα του z,

),5(Ε 0−΄ και ).,5(Ε 0

Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των

αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z

από τα σταθερά σημεία Ε΄ , Ε είναι 8α2 = σταθερή

και μικρότερη του Ε΄Ε = 10 .

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η υπερ-

βολήμε εστίες τα σημεία ),5(Ε 0−΄ και ,),5(Ε 0 άρα ,5γ = με ,4αα2 == ⇔8

οπότε ,3β9β1625βαγβ 22222 ==−=−= ⇔⇔⇔ η οποία έχει εξίσωση:

19y

16x1

βy

αx 22

2

2

2

2

=−⇔=−



νοποιούν τη σχέση .85z5z =−−+

Λύση



35


το σημείο .)y,x(M Είναι:

⇔=−−+ 85z5z

( ) ( )z 5 0i z 5 0i 8− − + − − + = ⇔

(Μ ΄) (ΜΕ) 8,Ε − = όπου )(zΜΜ= η εικόνα

του z, ),5(Ε 0−΄ και ).,5(Ε 0

Παρατηρούμε ότι η διαφορά των αποστάσεων

της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα

σταθερά σημεία Ε΄ , Ε είναι 8α2 = σταθερή ,

μικρότερη του Ε΄Ε = 10 και .Ε)(Μ)Ε΄Μ( >

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο δεξιός

κλάδος

της υπερβολής με εστίες τα σημεία ),5(Ε 0−΄ και ,),5(Ε 0 άρα 5γ = με

,4α2α == ⇔8

οπότε ,3β9β1625βαγβ 22222 ==−=−= ⇔⇔⇔ η οποία έχει εξίσωση

19y

16x1

βy

αx 22

2

2

2

2

=−⇔=−



νοποιούν τη σχέση .12i10zi10z =−−+

Λύση


Το σημείο .)y,x(M Είναι:

⇔=−−+ 12i10zi10z

( ) ( )z 0 10i z 0 10i 12− − − − + = ⇔

(Μ ΄) (ΜΕ) 12,Ε − = όπου )(zΜΜ= η εικόνα

του z, )1,(Ε 00 −΄ και ).,(Ε 100

Παρατηρούμε ότι η απόλυτη τιμή της διαφοράς των

αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z

από τα σταθερά σημεία Ε΄ , Ε είναι 21α2 = σταθερή και μικρότερη του Ε΄Ε = 20 .



36

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι η υπερ-

βολή

εστίες τα σημεία )1,(Ε 00 −΄ και ,),(Ε 100 άρα ,1γ 0= με ,6α2α == ⇔12 οπότε

,8β6β361βαγβ 22222 ==−=−= ⇔⇔⇔ 400 η οποία έχει εξίσωση

164x

36y1

βx

αy 22

2

2

2

2

=−⇔=−



νοποιούν τη σχέση .1210iz10iz =−−+

Λύση


επίπεδο Το σημείο .)y,x(M Είναι τότε:

⇔=−−+ 1210iz10iz

( ) ( )z 0 10i z 0 10i 12− − − − + = ⇔

(Μ ΄) (ΜΕ) 12,Ε − = όπου )(zΜΜ= η

εικόνα του z, )1,(Ε 00 −΄ και ).,(Ε 100

Παρατηρούμε ότι η διαφορά των αποστάσεων της

εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά

σημεία Ε΄ , Ε είναι 21α2 = σταθερή , μικρότερη του

Ε΄Ε = 20 και .Ε)(Μ)Ε΄Μ( >

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z είναι ο άνω

κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία ),(Ε 100 −΄ και ,),0(Ε 10 άρα 01γ= με

,6α2α == ⇔12 οπότε ,8β6β361βαγβ 22222 ==−=−= ⇔⇔⇔ 400 η οποία έχει

εξίσωση 164x

36y1

βx

αy 22

2

2

2

2

=−⇔=−

.



37

Λυμένα Θέματα

Θέμα 1ο

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς 1

1 3z = + i

2 2− και 2 1z = 1+ z

α. Αποδείξτε ότι:

i. 21 11 + z + z =0

ii. 31z = 1

iii. ( )2ν+1 ν+2 2ν ν *2 1 2 1z = z , z = z ν N− ∈

β. Να γράψετε στη μορφή α + βi τους 362z και 19

2z .

Λύση

α. Είναι: 2

21

1 3 1 1 3 3 1 3z = – + i = – 2 i – = – – i.

2 2 4 2 2 4 2 2⋅ ⋅

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Άρα:

i. 21 1

1 3 1 31+ z + z = 1 + i i = 0

2 2 2 2− − −

ii. ( )( )2 2 3 31 1 1 1 1 1 11+ z + z = 0 z 1 1+ z + z = 0 z 1= 0 z =1⇔ − ⇔ − ⇔ .

iii. Είναι

21 11+ z = z− δηλαδή 2

2 1z = z− .

Επομένως :

22 1z = z− ( )2ν+12ν+1 2 4ν+2 ν+2 3ν

2 1 1 1 1z = z = z = z z =− − − ⋅

( )2ν2ν 2 4ν ν 3ν ν ν2 1 1 1 1 1 1z = z = z = z z = z 1 = z− ⋅ ⋅ .

β. Λόγω της (iii) έχουμε:

( )636 18 3 6

2 1 1z = z = z = 1 = 1 + 0i

19 2 9 1 9+2 2 9 2 22 2 1 1 1 1 1

1 3z = z –z –z z = – z 1= – z = + i

2 2⋅ + = = ⋅ ⋅ .



38

Θέμα 2ο

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = x + yi , x,y R∈ . Αν είναι ( ) 2z-izf z =

z-1 , z ≠ 1.

α. Αποδείξτε ότι ( ) .f 1- i = 3+3i

β. Αποδείξτε ότι ο αριθμός ( )( )2004f 1− i είναι πραγματικός αριθμός.

γ. Έστω Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών ( )f 1-i και ( )f 1+i στο μιγαδικό

επίπεδο. Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Ο . (Ο η αρχή των αξόνων)

Λύση :

α. ( ) ( ) ( )2 1 i i 1+i 3 3if 1 i = = = 3 + 3i

1 i 1 i

− − −−

− − −

β. ( )( ) ( ) ( )( )2004 20042004f 1 i = 3 + 3i = 3 1 + i =−

( ) ( )10022 10022004 2004 1002 20043 1+ i = 3 2i =2 3 R⋅ ∈⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

γ. ( )( ) ( ) 22 1+ i i 1 i 2 + 2i i + i 1+i

f 1+ i = = = = 1 i1+ i 1 i i

− − −−

−

άρα Α ( 3 , 3 ) , Β (1 ,- 1 ) είναι ( )( )OA OB = 3, 3 1, 1 = 3 3 = 0⋅ − − άρα το τρίγω-

νο ΟΑΒ έχει O = 90°.

Θέμα 3ο

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και έστω η συνάρτηση ( ) νf ν =i z⋅ , ν є Ν*.

α. Αποδείξτε ότι: ( ) ( ) ( ) ( )f 1 +f 6 +f 7 +f 16 =0

β. Αποδείξτε ότι: ( ) ( )f(ν) + f(ν + 2) + f ν + 4 +f ν + 6 = 0

γ. Αν |z| = 2 αποδείξτε ότι ( ) ( )f 2001 + f 2004 = 2 2.

Λύση:

α. ( ) ( ) ( ) ( ) 6 7 16f 1 + f 6 + f 7 + f 16 = i z + i z + i z + i z⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

2 3iz + i z + i z + z = iz z iz + z = 0− −

β. ( ) ( ) ( ) ( )f ν +f ν+2 +f ν+4 +f ν+6 = ν ν+2 ν+4 ν+6i z + i z + i z + i z =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

ν ν ν νi z i z + i z i z = 0− −

γ. ( ) ( ) ( )2001 2004f 2001 +f 2004 = i z+i z = iz+z = z 1+i = z 2=2 2



39

Θέμα 4ο

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = x + yi , x,y R∈

α. Αποδείξτε ότι αν ( )( )22 Imz - z +1 +1= 0 , τότε οι εικόνες του z στο μιγαδικό

επίπεδο βρίσκονται στην παραβολή 212

=y x .

β. Από τους μιγαδικούς αριθμούς z του (α) ερωτήματος να βρεθούν αυτοί που έ-

χουν μέτρο 8 .

γ. Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό ρ υπάρχουν πάντα δυο μιγαδι-

κοί αριθμοί z , που ικανοποιούν το (α) ερώτημα τέτοιοι ώστε να ισχύει |z| = ρ.

Λύση

α. ( )( ) ( ) ( )2

2 22 2 2z Im z + 1 + 1=0 x +y y + 1 + 1 = 0− ⇔ − ⇔

2 2 2 2 21x + y y 2y 1 + 1 = 0 x 2y = 0 y = x (I)

2− − − ⇔ − ⇔

β. Η δοθείσα σχέση γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 28 y+1 +1 = 0 8 y + 1 +1 = 0 y + 1 = 9 y + 1 = ±3− ⇔ − ⇔ ⇔ ⇔

y = 2 ή 4y =− (απορρίπτεται) βρίσκουμε 1 2z = 2 + 2i, z = 2 + 2i −

γ. ( )22 2 2 2 2ρ y + 1 +1= 0 ρ y 2y 1+1= 0 y +2y ρ = 0− ⇔ − − − ⇔ −

2Δ = 4 + 4ρ > 0 και 21 2y y = ρ < 0⋅ −

άρα το τριώνυμο έχει δυο ρίζες ετερόσημες από τις οποίες δεχόμαστε λόγω της

(Ι) μόνο τη θετική, η οποία μας δίνει δυο τιμές για το χ.

Θέμα 5ο

α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z

που ικανοποιούν τις σχέσεις: |z| = 2 και ( )Re z 0≥ .

β. Αν οι εικόνες του z ανήκουν στο σύνολο (Σ) να βρεθεί ο γεωμετρικό τόπος των

εικόνων του μιγαδικού w = z – 4 + 3i .

γ. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός w με το ελάχιστο μέτρο.

Λύση

α. Οι σχέσεις z = 2 και Re(z) 0≥ ορίζουν το ημικύκλιο με διάμετρο το τμήμα του



40

άξονα y΄y με άκρα τα σημεία Β(0, 2) και Β΄(0, –2) που διέρχεται από το σημείο

Α (2 , 0) του άξονα x΄x.

β. Έστω w = α + βi και z = x + yi τότε:

( ) ( )w = z 4 + 3i z = w + 4 3i x + yi = α + 4 + β 3 i− ⇔ − ⇔ −

ισχύει όμως:

0 x 2≤ ≤ και 2 y 2− ≤ ≤ άρα :

0 α 4 2 4 α 2≤ + ≤ ⇔− ≤ ≤− και 2 β 3 2 1 β 5 (I)− ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤

Η σχέση z = w 4 3i+ − γίνεται z = w + 4 3i w + 4 3i 2− ⇔ − = .

Δηλαδή οι εικόνες του w κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ (–4, 3) και ακτίνα ρ = 2.

Επειδή όμως 4 α 2− ≤ ≤− και 1 β 5≤ ≤ ο γεωμ. τόπος των εικόνων του w είναι

το δεξί ημικύκλιο του παραπάνω κύκλου με διάμετρο στην ευθεία χ = – 4.

γ. Η ΚΟ έχει εξίσωση y = λx και επειδή διέρχεται από το Κ (–4 , 3 ) επαληθεύεται

από αυτό, δηλαδή ( ) 33 λ 4 λ

4= − ⇔ =− .

Λύνοντας το σύστημα

( ) ( )

3y x

42 2

x 4 y 3 4 , 4 x 2

=−

+ + − = − ≤ ≤−

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

προκύπτει το ζητούμενο.

Θέμα 6ο

Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί z και w με εικόνες τα σημεία Α και Β αντιστοίχως

στο μιγαδικό επίπεδο.

α. Αποδείξτε ότι ( )Re z w OA OB⋅ = ⋅ . ( Ο η αρχή των αξόνων) .

β. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x΄x η ευθεία που ορίζεται από

τις εικόνες των μιγαδικών αριθμών z – 1, z – i.

γ. Αποδείξτε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z, z–1, z–i στο μιγαδικό

επίπεδο, σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. .

Λύση:

α. Έστω z = x + yi και w = α + βi τότε ( )A x,y και ( )B α, β οπότε:

( ) ( ) ( )OA OB x, y α, β αx + βy I⋅ = ⋅ =

( )( ) ( ) ( ) ( )z w = x + yi α βi = αx βxi + αyi + βy = αx + βy + αy βx i II ⋅ − − −



41

Από (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ( )Re z w OA OB⋅ = ⋅ .

β. ( )z 1 x 1 yi− = − + άρα η εικόνα του είναι το σημείο ( )Γ x 1, y− .

( )z i = x y 1 i− + − άρα η εικόνα του είναι το σημείο ( )Δ x, y-1 .

ΓΔ

y 1 yλ = 1

x x 1− −

=−− +

επομένως η ΓΔ σχηματίζει με τον άξονα x΄x γωνία 135°.

γ. ( )A x, y , ( )x 1, yΓ − , ( )Δ x, y 1− παρατηρούμε ότι ΑΓ // x΄x και ΑΔ // y΄y

άρα ΑΓ ⊥ΑΔ επομένως το τρίγωνο ΑΓΔ είναι ορθογώνιο στο Α.

Θέμα 7ο

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ( )66z z + 1 =1= .

α. Αποδείξτε ότι: i) 1z = z

και ii) 2z + z +1= 0 . (I)

β. Ένα τρίγωνο έχει κορυφές τις εικόνες των ριζών της εξίσωσης (Ι) και την εικόνα

του μιγαδικού αριθμού z3 = 1.

Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του.

Λύση

α. i. 6 26 1z 1 z 1 z 1 z z 1 z .

z= ⇒ = ⇔ = ⇔ ⋅ = ⇔ =

ii. ( ) ( )( )6 6 2z 1 1 z 1 1 z 1 1 z 1 z 1 1+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + + = ⇒

1

z z z z 1 1 1 z z 0 1 z 0z

⋅ + + + = ⇒ + + = ⇒ + + = ⇒

2

2z z 10 z z 1 0.

z+ +

= ⇒ + + =

β. Οι ρίζες της εξίσωσης 2z z 1 0+ + = είναι:

1 2

1 3 1 3z i , z i ,

2 2 2 2=− + =− −

οπότε οι κορυφές του τριγώνου θα είναι τα σημεία

( )1 3 1 3

A 1, 0 , B , , Γ , 2 2 2 2

− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

,

βρίσκουμε ότι:

(ΑΒ) = (ΑΓ) = (ΒΓ) = 3 άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.



42

Θέμα 8ο

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z1 , z2 για τους οποίους ισχύει:

| z2 | = 1 και | z1 – z2 | = | z1 | .

α. Aποδείξτε ότι 1 2

1Re(z z )

2⋅ =

β. Να προσδιοριστεί ο θετικός πραγματικός αριθμός λ, για τον οποίο ισχύει:

( )2 1z z 1 2λi= − .

γ. Για 1

λ = 2

αποδείξτε ότι 1

2z =

2.

δ. Αν Α η εικόνα του z1 και Β η εικόνα του z2 στο μιγαδικό επίπεδο , αποδείξτε

ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο στο Α και ισοσκελές.

(Ο η αρχή των αξόνων).

Λύση

α. ( )( )2 2

1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1z z z z z z z z z z z z− = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔

1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2z z z z z z + z z z z z z + z z =1− − = ⇔ ⇔

( ) ( )1 2 1 2

12Re z z 1 Re z z

2= ⇔ =

β. ( )2 1 2 1 1 1 2 1z = z 1 2λi z = z 2z λi z z 2z λi− ⇔ − ⋅ ⇔ − = ⋅

άρα

1 2 1 1 1

1z z = 2z λi z = 2 z λi λ

2− ⇔ ⇔ = άρα ( )1

λ , λ 02

= > .

γ. ( )2 1z = z 1 2λi− για 1λ=2

έχουμε ( )2 1z = z 1 i− άρα

2 1 1

2z z 1 i z

2= ⋅ − ⇔ = .

δ. 1 2 1

2z z = z =

2− και επειδή το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών

είναι η απόσταση των εικόνων τους θα είναι ( ) 2AB =

2. Είναι ( ) 2

OA =2

και

( )OB = 1. Με το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποδεικνύουμε ότι το τρίγωνο είναι ορ-

θογώνιο στο Α και επειδή ( ) ( )OA = AB είναι και ισοσκελές.



43

Θέματα για λύση

Θέμα 1ο

α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών

z που ικανοποιούν τις σχέσεις: |z| = 3 και ( )Im z 0≥ .

β. Να αποδείξτε ότι αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού z ανήκει στο σύνολο (Σ) τότε

η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ω = ( ) ν f ν = i z κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα το

οποίο βρίσκεται στον άξονα χχ΄.

Θέμα 2ο

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί ( ) ( ) ( ) ( )f 1 + f 6 + f 7 + f 16 = 0 όπου α , β ∈R και

ω = 2z iz 3+ − όπου z ο συζυγής του z.

α. Αποδείξτε ότι Re(ω) = 2α + β 3− και Im(ω) = α + 2β .

β. Να αποδείξετε ότι αν οι εικόνες του ω στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία

με εξίσωση y = 3x + 2, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία με εξίσωση

y = – 5x + 7.

γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς z οι εικόνες των οποίων κινούνται

στην ευθεία y = –5x + 7 έχει ελάχιστο μέτρο.

Θέμα 3ο

α. Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z

που ικανοποιούν τη σχέση |z – 3 – i | ≤ 2.

β. Αποδείξτε ότι : ( ) ( )z – 3 + i – 3 – i = z – 6 .

γ. Αποδείξτε ότι : z – 6 2 + 10≤

δ. Αν 1 2,z z είναι δυο μιγαδικοί που ικανοποιούν τη συνθήκη του ερωτήματος (α)

να αποδείξετε ότι z z 41 2− ≤ .

Θέμα 4ο

Για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν: zz + z + z = 3, ( )w = λ – λ+1 i , λ∈R.

α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται σε κύκλο (C) με

κέντρο Κ(-1 , 0) και ακτίνα ρ = 2.

β. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία (ε)



44

με εξίσωση : χ + y + 1 = 0.

γ. Αποδείξτε ότι η ευθεία (ε) τέμνει τον κύκλο (C) σε δυο αντιδιαμετρικά σημεία.

δ. Να βρεθεί ο μιγαδικός z που έχει το μέγιστο μέτρο.

ε. Να βρεθεί η εικόνα Μ του μιγαδικού w που έχει το ελάχιστο μέτρο.

Θέμα 5ο

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z ≠ 0 και η συνάρτηση ( ) ( )νf v = i – 1 z⋅ , ν∈Ν*.

α. Να δείξετε ότι για κάθε ν∈Ν* ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( )f ν f ν + 1 f ν + 2 f ν + 3 = 0⋅ ⋅ ⋅ .

β. Αν ισχύει ( )f 5 = 3 + i– , δείξτε ότι z = 2 + i.

γ. Αν z = 2 + i. Αποδείξτε ότι ( ) ( )f ν + 3 f ν + 1 = 2 5– , για κάθε ν∈Ν*.

Θέμα 6ο

Έστω ο μιγαδικός αριθμός z και 2

zw =

z + 1 .

α. Να αποδείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός αριθμός , τότε ο z είναι πραγματικός

αριθμός ή |z| = 1 .

β. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών , την εξίσωση :2

z 3 =

z + 1 3 .

γ. Αν z1 , z2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήματος (β) να υπολογίσετε την

τιμή της παράστασης : K = ( )2005

1 22004

1 2

z z – i

z z4+

3

⋅

+⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

.

Θέμα 7ο

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 με | z1| = | z2 | = | z3 | = 3 .


1

9z =

z.

β. Αποδείξτε ότι ο αριθμός 1 2

2 1

z z +

z z είναι πραγματικός.

γ. Αποδείξτε ότι 1 2 3 1 2 2 3 3 1

1z + z + z = z z + z z + z z

3.

δ. Αν 1 2 1 2 z = z = z – z αποδείξτε ότι ( )1 2

9Re z =

2z .



45

Θέμα 8ο

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z ≠ 0 , για τους οποίους ισχύει:

1z = 1 z =

z− (Ι)

α. Αποδείξτε ότι z + z = 1 .

β. Αποδείξτε ότι οι μιγαδικοί αριθμοί που ικανοποιούν τις ισότητες (Ι) είναι οι

1 2

1 3 1 3z = + i , z = – i

2 2 2 2 .

γ. Αν Α , Β οι εικόνες των 1 2z , z αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, να υπολογίσετε

τη κυρτή γωνία AOB , ( Ο η αρχή των αξόνων).

δ. Αποδείξτε ότι ο αριθμός ( )ν1 2

ν ν1 2

z + zω =

z + z είναι πραγματικός αριθμός.

Θέμα 9ο

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z και έστω z + iw = z + 1

α. Αποδείξτε ότι αν ο z είναι φανταστικός αριθμός τότε z = – z και αντιστρόφως.

β. Αποδείξτε ότι αν |w| = 1 τότε ισχύει: ( ) ( )Re z = Im z .

γ. Αποδείξτε ότι αν ο w είναι φανταστικός αριθμός, οι εικόνες του z βρίσκονται

στην ευθεία y = x ή στην y = –x–1.

δ. Αποδείξτε ότι αν |w| = 2 οι εικόνες του z βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να

βρείτε το κέντρο και την ακτίνα .

Θέμα 10ο

Έστω z = x + yi και 1 – z

w = z

, z ≠ 0 δυο μιγαδικοί αριθμοί. Θεωρούμε ότι ισχύει:

w w=2⋅ .

α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στο κύκλο

( )2 2x + 1 + y = 2 .

β. Να βρείτε τους μιγαδικούς z με το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο.

γ. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του μέτρου του μιγαδικού αριθμού

u = w + 1 .



46

Θέμα 11ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )iz + 2 – i

f z = , z i.z – i

≠ και τους μιγαδικούς αριθμούς

ω1= z – i και ω2 = ( )f z – i .

α. Αποδείξτε ότι ω1ω2 = 1 – i.

β. Αν οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν στο κύκλο 2 2 4x y+ =

i. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του ω1 κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ (0 , –1 ) και

ακτίνα ρ = 2.

ii. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του 2ω .

Θέμα 12ο

Έστω 3 5

w = 2 + i z – z i2 2

⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

, όπου z = x + yi , x, y∈R.

α. Αποδείξτε ότι ( ) ( )Re w = 2 x – 2y και ( ) ( )Im w = – x – 2y .

β. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία

1y = – x2

.

γ. Να βρεθεί ο μιγαδικός w που η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο απέχει την

ελάχιστη απόσταση από την εικόνα του μιγαδικού u = 5 – i .

δ. Αποδείξτε ότι w = x – 2y 5 .

ε. Να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z = x + yi για τους οποί-

ους ισχύει 1 w = 52⋅ .

Θέμα 13ο

Δίδονται οι μιγαδικοί z, w και u=z w⋅ και έστω ότι ισχύει: z w = z + w− .

α. Αποδείξτε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z = – z .

β. Αποδείξτε ότι αν ο u είναι φανταστικός αριθμός , ο 1ω z w= ⋅ είναι φανταστικός .

γ. Αν w = 2 – i, αποδείξτε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται

στον άξονα y΄y .

δ. Ισχύει το συμπέρασμα του (γ) ερωτήματος για οποιαδήποτε τιμή του w;

(Δικαιολογήστε την απάντησή σας).



47

Θέμα 14ο

Δίδονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1= 1 – 2i και z2 = 3 +4i .

α. Αν 2

1

z = x + yiz

, x , y ∈R να αποδείξετε ότι x = –1 και y = 2 .

β. Αν μια ρίζα της εξίσωσης x2 + βx+2γ = 0 , όπου β , γ ∈R είναι η 2

1

zz

, να βρείτε

τις τιμές των β και γ. γ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει 1 2– z 2z = z .

Θέμα 15ο

Δίνεται η συνάρτηση f με ( ) z + if z =

z , όπου z μιγαδικός αριθμός με z 0≠ .

α. Αν ( ) ( )f z = f z , να αποδείξετε ότι ο z είναι πραγματικός αριθμός.

β. Αν ( )f z = 1 , να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο.

γ. Αν ( )( )Re f z = 2 , να αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού z, βρίσκονται σε

κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του. Θέμα 16ο

Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό z για τον οποίο ισχύει: 2

1 1 4+ =

z – i z + i z +1.

α. Να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z στο μιγαδικό επίπεδο. β. Αν Μ1, Μ2 οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z1 , z2 του παραπάνω γ. τ. οι οποίες είναι συμμετρικές ως προς την αρχή των αξόνων, να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη

τιμή του 2 1 z z− .

Θέμα 17ο

Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό z για τον οποίο ισχύει: z – i + 3 = 5 .

α. Να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων του μιγαδικού αριθμού ω = z -1+2i. β. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του |ω| . γ. Να προσδιοριστεί ο μιγαδικός αριθμός ω με το ελάχιστο μέτρο. Θέμα 18ο

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = x + yi , x, y ∈R για τον οποίο ισχύει:

( )2

2 14 z – 4 Im z + + 5 = 0

2⋅

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠.

α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στη



48

καμπύλη y = x2 + 1. β. Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω μιγαδικούς έχει το μικρότερο μέτρο.

γ. Αν Α , Β οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z1 = 1 + 2i και z2 =–1 + 2i αντίστοιχα

στο μιγαδικό επίπεδο. Αποδείξτε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

την καμπύλη y = x2 + 1 και τα τμήματα ΟΑ και ΟΒ είναι ίσο με 2/3 τ.μ.

Θέμα 19ο

Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = α + βi, α, β ∈R για τον οποίο ισχύει: | z | = 1.

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )2

f x = x z +z⋅ , x∈R.

α. Αποδείξτε ότι ( ) ( )2 2f x = x +2Re z x +1⋅ .

β. Για ποιες τιμές του z η γραφική παράσταση της f έχει με τον άξονα x΄x ένα μόνο κοινό σημείο;

γ. Αν 1w = + 2iz

, να βρεθεί ο γ.τ. των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο.

δ. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z , w που έχουν την ίδια εικόνα στο μιγαδικό επίπεδο.

Θέμα 20ο

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z, z ≠ 0 για τους οποίους ισχύει z – i = 2z

.

α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται σε κύκλο

με κέντρο Κ( 0 , –1) και ακτίνα R = 2 . β. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς z με το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο. γ. Θεωρούμε τους μιγαδικούς w για τους οποίους ισχύει: w = z – 2i . Να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο.

Θέμα 21ο

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z , w , z ≠ 0 ,w ≠ 0 και έστω 1OM και 2OM

αντιστοίχως οι διανυσματικές ακτίνες τους , στο μιγαδικό επίπεδο.

α. Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα OM του αθροίσματος των μιγαδικών z ,

w είναι ίση με το άθροισμα 21OM OM+ .

β. Έστω ότι ισχύει: | z + w | = | z – w |. Αποδείξτε ότι:

i. 21OM OM⊥

ii. | z – w |2 = | z |2 + | w |2

iii. ( )Re z w = 0⋅ .



49

Θέμα 22ο

Έστω ο μιγαδικός αριθμός z για τον οποίο ισχύει: | z - 2 + i | = 1 .

α. Αποδείξτε ότι οι εικόνες του z στο μιγαδικό επίπεδο ανήκουν σε κύκλο με

κέντρο Κ ( 2 , –1 ) και ακτίνα R = 1 .

β. Αν z1 , z2 είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί που οι εικόνες τους ανήκουν στο

προηγούμενο κύκλο , αποδείξτε ότι: | z1 – z2 | ≤ 2 .

γ. Αν w = z + 2 i να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του w .

δ. Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του | z | .

Θέμα 23ο

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί 1 2 3z , z , z για τους οποίους ισχύουν:

1 2 3z = z = z =1 και 1 2 3z + z + z = 0 .

Αποδείξτε ότι:

α. 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2z + z + z z = 2 z + 2 z−

β. 1 2 1 3 2 3z – z = z – z = z – z

γ. 2

1 2z – z = 3 και ( )1 2

1Re z z

2=− .

δ. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 1 2 3z , z , z στο μιγαδικό επίπεδο σχηματίζουν

ισόπλευρο τρίγωνο και βρίσκονται σε κύκλο του οποίου να βρείτε την εξίσωση.

Θέμα 24ο

Έστω ο μιγαδικός αριθμός z = x + yi . Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό 3 – iz

f(z) = , z 11+ z

≠− .

α. Αποδείξτε ότι ο αριθμός ( )10f(3) είναι φανταστικός αριθμός .

β. Αποδείξτε ότι:

i. f(z) 3

= zf(z) + i

–.

ii. Αν z =1, η εικόνα του μιγαδικού f(z) στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στην ευθεία

με εξίσωση 3x + y – 4 = 0 .

γ. Από τους μιγαδικούς αριθμούς f(z) του ερωτήματος (βii) , να βρείτε αυτόν που

έχει το ελάχιστο μέτρο .



50

Θέμα 1ο

α. Από τη σχέση 3z = προκύπτει ότι οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού z , στο μιγαδικό

επίπεδο βρίσκονται σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=3. Επειδή όμως είναι

Im(z) 0≥ δηλαδή y≥0 ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού z = x + yi είναι

το ημικύκλιο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα x´x.

β. Έστω z = x + yi τότε 1 9

ω = x + yi +2 x + yi

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ και μετά τις πράξεις προκύπτει ω = x και

επειδή από το (α) ισχύει -3≤x≤3 οι εικόνες του ω βρίσκονται σε ευθύγραμμο τμήμα.

Θέμα 2ο

γ. 35 7

z = + i26 26

.

Θέμα 3ο

α. Τα σημεία του κύκλου και τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο Κ(3, 1) και ακτίνα

ρ = 2.

γ. Τριγωνική ανισότητα.

δ. Το 1 2z z− είναι ίσο με την απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 2, 1z z η

οποία γίνεται μέγιστη όταν οι εικόνες αυτές είναι αντιδιαμετρικά σημεία.

Θέμα 4ο

γ. Αποδεικνύουμε ότι η ευθεία (ε) διέρχεται από το Κ(–1, 0).

δ. z 3=−

ε. Λύνουμε το σύστημα y = xx + y + 1= 0

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ και βρίσκουμε Μ

1 1,

2 2− −⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Θέμα 5ο

α. Μετά τις πράξεις η δοθείσα γίνεται ( ) ( )ν ν+12 2i 1 z i 1 z− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

. Διακρίνουμε περιπτώσεις

αν ο ν είναι άρτιος ή αν ο ν είναι περιττός και προκύπτει το ζητούμενο.

β. f(ν + 3) f(ν + 1)− = ( ) ( ) ν + 1ν + 3 ν + 1 ν + 1 i 1 z i 1 z =2 i z= 2 i 2 + i = 2 5− − −

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ – ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ



51

Θέμα 6ο

β. 1 2

3+ i 3 iz = , z =

2 2

−

γ. Από τους τύπους του Vieta είναι 1 2 1 2 z z = 1 και z + z = 3⋅ , βρίσκουμε 1 i

K = 5

−

Θέμα 7ο

γ. 1 2 3 1 2 3 1 2 3z + z + z = z + z + z = z + z + z1 2 3

= 9 9 9

+ + z z z

και μετά τις πράξεις (αφού

είναι 1 2 3 1 2 3 z z z = z z z = 27⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ) προκύπτει το ζητούμενο.

δ. Αν 1z = x + yi και 2z = α + βi τότε 1 2Re(z z ) = αx + βy . Η δοθείσα γράφεται

2

1 2 1 2z z 3 z z 9− = ⇔ − = κ.λ.π.

Θέμα 8ο

α. 2 2

z 1 z z 1 z zz (1 z)(1 z)= − ⇔ = − ⇔ = − − ⇔ z z 1+ = .

β. Από την 1

z =z

προκύπτει ότι 1

z = z

άρα η (α) γίνεται 2 1

z + = 1 z z 1 0.z

⇔ − + =

κ. λ .π

γ. 1 3 1 3

ΟΑ= , , ΟΒ= , 2 2 2 2

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

βρίσκουμε ( ) ΟΑ ΟΒ 1συν ΑΟΒ =

2ΟΑ ΟΒ⋅

⋅= − , άρα:

ΑΟΒ= 120°.

δ. Αρκεί να αποδείξουμε ότι ω = ω .

Θέμα 9ο

β. z + i

w 1 1 z + i z + 1z+1

= ⇔ = ⇔ = ⇔ ( )( ) ( )( ) z + i z i = z + 1 z + 1− ⇔

( )i z z = z + z− x = y⇔

γ. w w w∈ Ι ⇔ =− κ.λ.π

δ. w 2 ww 4= ⇔ = κ.λ.π βρίσκουμε κύκλο με κέντρο 4 1

, 3 3

−Κ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

και ακτίνα2 2

R3

= .



52

Θέμα 10ο

β. Ελάχιστο μέτρο ο 1z 2 1= − .Μέγιστο μέτρο ο 2 12z =− − .

γ. Βρίσκουμε 1

u = z

. Άρα ελάχιστη τιμή του u είναι το 2

1

z και μέγιστη τιμή του u

είναι το 1

1

z.

Θέμα 11ο

α. Βρίσκουμε 2

1 iω =

z i

−

−.

β. i. Eίναι 1z = ω + i και επειδή z = 2 ισχύει 1ω + i =2

ii. 21

1 iω =

ω

− άρα 2

1

1 iω =

ω

− δηλαδή 2

1

2ω =

ω. Επομένως μέγιστη τιμή του 2ω

έχουμε όταν το 1ω γίνεται ελάχιστο και αντιστρόφως ελάχιστη τιμή 2ω έχουμε όταν

το 1ω γίνεται μέγιστο. Από το (β) ερώτημα προκύπτει 2ω max = 2 , 2ω min = 2

3.

Θέμα 12ο

γ. 22 11

w5 5

i= −

ε. Οι ευθείες με εξισώσεις x 2y 2− =− ή x 2y 2− = .

Θέμα 13ο

β. 1 1 1u u u zw zw zw zw ω ω ω∈ Ι ⇔ =− ⇔ =− ⇔ =− ⇔ =− ⇔ ∈ Ι .

γ. Λόγω της υπόθεσης οι εικόνες του z βρίσκονται στη μεσοκάθετη του ευθυγράμμου τμή-ματος με άκρα τα σημεία Α(2, 1) και Β(–2, 1) που λόγω συμμετρίας είναι ο άξονας y΄y.

δ. Ναι , γιατί η ισότητα z w z + w− = , λόγω συμμετρίας των εικόνων των –w και w

θα δίνουν πάντα τον άξονα y΄y.

Θέμα 14ο

β. Οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι 1 2 , 1 21 2x i x i=− + =− − άρα με τους τύπους του

Vieta βρίσκουμε β = 2 και γ = 52

.

γ. ( )1 2z 2z = z z 2 1 2i = 3 + 4i z 2 + 4i = 5− ⇔ − − ⇔ − , άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων

του μιγαδικού z στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο Κ(2, –4) και ακτίνα R = 5.



53

Θέμα 15ο

α. z + i z + i

f(z) = f(z) =z z

⇔ υψώνουμε στο τετράγωνο και μετά τις πράξεις προκύπτει

2i z = 2i z z = z z R.⇔ ⇔ ∈

β. Η ευθεία 1

y2

−= .

γ. Ο κύκλος 2 2x + y y 0− = , ο οποίος έχει κέντρο το σημείο Κ(0, 12

) και ακτίνα R = 12

.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν το (γ) ερώτημα ζητούσε το γ. τόπο των εικόνων του z θα έπρεπε από τον παραπάνω κύ-κλο να εξαιρεθεί το σημείο Ο(0, 0).

Θέμα 16ο

α. 2

1 1 4

z i z i z 1+ =

− + +⇔

2 2

1 1 4

z z z ii i+ =

− + − ⇔ z + i + i 4z − = .

Άρα το άθροισμα των αποστάσεων των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z από τα σταθερά σημεία Α(0, –1) και Β(0, 1) είναι σταθερό. Επομένως ο γ. τόπος των εικόνων του z είναι έλλειψη με εστίες τα σημεία Α, Β και α = 2.

β. 2 1min z z 2β = 2 3− = και 2 1max z z = 2α = 4− .

Θέμα 17ο

α. ω = z 1 2i = z i + 3 + i 3 1 2i = z i 3 4 3i− + − − − + − + − + .

Άρα: ω 4 3i z i 3+ − = − + .

Επομένως:

ω + 4 3i z i + 3=− −

Δηλαδή:

ω 4 3i 5+ − = .

Άρα ο γ. τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού ω είναι κύκλος με κέντρο Κ(–4, 3) και ακτίνα R=5.

β. Ο παραπάνω κύκλος περνά από την αρχή των αξόνων. max 10ω = .

γ. ω = 0 .

Θέμα 18ο

β. z = i

γ. Εργαζόμαστε με ολοκλήρωμα: ( )1 20

2E = 2 x 1 2x dx ... τ.μ

3.+ − = =∫



54

Θέμα 19ο

α. ( ) ( ) ( )2 2 2f(x) = xz+z xz+z =...= x + x z +z +1⋅ = … =

( ) ( )2 2 2 2 2x +2 α β x + 1 = x + 2Re z x + 1⋅ ⋅= −

β. Πρέπει η εξίσωση ( ) 0f x = να έχει μοναδική λύση. Δηλαδή πρέπει Δ=0

άρα ( )2

2 2 24 Re z 4 0 α β 1− = ⇔ − =−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ή 2 2α β 1− = και επειδή

2 2z 1 α + β =1= ⇔ βρίσκουμε α = 1 ή α = – 1 και β = 1 ή β = –1 . Άρα:

z = 1 ή z = –1 ή z = i ή z = –i.

γ. 1 1

w = + 2i w 2iz z

⇔ − = άρα 1

w 2i = w 2i 1z

− ⇔ − = .

Επομένως οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται σε κύκλο με κέντρο Κ(0, 2) και ακτίνα R=1. δ. Το σημείο επαφής των παραπάνω κύκλων.

Θέμα 20ο

α. Η δοθείσα γράφεται:

( ) ( )22z i 2 z ... zz i z 1 0 ... x y 1 2z− = ⇔ ⇔ + − − = ⇔ ⇔ + + = .

β. Ελάχιστο μέτρο ο μιγαδικός αριθμός ( )z = 2 1 i− .

Μέγιστο μέτρο ο μιγαδικός αριθμός ( )z = 2 1 i− + .

γ. w = z 2i w 2i z− ⇔ + = (1)

και z + i 2= ( από το (α) ερώτημα ) άρα η (1) γίνεται: w 3i z i+ = +

επομένως w + 3i z + i= δηλαδή w + 3i = 2 . Επομένως ο γ. τόπος των εικόνων του

μιγαδικού αριθμού w στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο το σημείο Λ(0,-3)

και ακτίνα ρ= 2 .

Θέμα 21ο

α. Κανόνας παραλληλογράμμου στα διανύσματα.

β. i. Από τη σχέση z + w = z w− προκύπτει

1 2 1 2 1 2ΟΜ = Μ Μ ⇔ ΟΜ +ΟΜ = ΟΜ −ΟΜ , υψώνουμε στο τετράγωνο

και μετά τις πράξεις προκύπτει 1 2 0ΟΜ ⋅ΟΜ = άρα 1 2ΟΜ ⊥ΟΜ .

ii. Από τη δοθείσα προκύπτει ( αν υψώσουμε στο τετράγωνο ) z w z w 0+ =



55

άρα ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2z w z w z w ...= z + w zw+zw = z + w⋅− = − − = − .

iii. Προκύπτει από τη σχέση z w + z w 0= , αφού είναι άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών

αριθμών .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το θέμα μπορεί να λυθεί και γεωμετρικά .

Θέμα 22ο

β. Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών ισούται με την απόσταση των εικόνων

τους. Άρα 1 2z z 2− ≤ (το 2 ισούται με τη διάμετρο του κύκλου του (α) ερωτήματος).

γ. w = z + 2i w 2i z w 2i 2 i=z 2 i⇔ − = ⇔ − − + − + , άρα

w 2 i z 2 i− − = − + ( )w 2 i 1⇔ − + = . Άρα κύκλος με κέντρο το σημείο Λ(2, 1)

και ακτίνα ρ = 1.

ε. min z 5 1= − max 5 1.z = +

Θέμα 23ο

α. Βλέπε ασκ. 9 σελ. 101 του σχολ. Βιβλίου.

β. Από το (α) ερώτημα προκύπτει (λόγω και της υπόθεσης)

2 2 2 2

3 1 2 1 2z z z 2 z 2 z− + − = + άρα 2 2

1 2 1 21 z z 2 2 3z z+ − = + ⇔ − = .

Ομοίως 1 3 2 3z z z z 3− = − = .

γ. ( )( )2

1 2 1 2 1 2z z 3 z z z z 3− = ⇔ − − = ...⇔ ⇔ ( )2 αx + βy 1= ⇔

( )1 2

1Re z z

2= . ( Θέσαμε 1 2z = x + yi , z = α + βi ).

δ. Από το (β) προκύπτει το ισόπλευρο τρίγωνο αφού ως γνωστόν το μέτρο της διαφοράς

δύο μιγαδικών αριθμών ισούται με την απόσταση των εικόνων τους.

Οι εικόνες των μιγαδικών αυτών αριθμών βρίσκονται στο κύκλο 2 2x + y = 1 .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:

α. Το (β) ερώτημα μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε και ως εξής (ανεξάρτητα από το (α)).

1 2 1 3 2 3 2 2 3 3z z z z z z z z z z− = − ⇔ − − − = − − − ⇔ 3 2 2 3z 2z z 2z+ = +

υψώνουμε στο τετράγωνο κ.λ.π.

β. Το θέμα μπορούμε να το αντιμετωπίσουμε και γεωμετρικά.

Θέμα 24ο

α. ( )10 15 10(3) 2 3f i−=− g. 6 2

z i5 5

= + .



56

Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α Βασικές γνώσεις προηγουμένων τάξεων.

Αριθμητική πρόοδος

ν 1α = α + (ν 1)ω− 1 ννν

Σ = (α + α )2

Γεωμετρική πρόοδος

ν 1ν 1α = α λ −

ν1

ν

α (λ 1)Σ = , λ 1

λ 1−

≡−

Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων :

α β = α β συνφ⋅ ⋅ , όπου φ η γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους τα δύο διανύσματα.

Αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινομένου.

1 2 1 2α β = x x + y y⋅ , όπου 1 1 2 2α = (x , y ) και β = (x , y ) .

Απόσταση δύο σημείων :

Αν 1 1A(x , y ) και 2 2B(x , y ) τότε 2 22 1 2 1d(Α, Β) = (x x ) (y y )− + −

Απόσταση σημείου από ευθεία :

Αν 0 0A(x , y ) και (ε): Αx + Βy + Γ=0 τότε 0 0

2 2

Αx +Βy +Γd(Α, ε)

Α +Β=

Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας :

Αν (ε): Αx + Βy + Γ = 0 , τότε εΑ

λ =Β−

.

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν 1 2λ = λ και είναι κάθετες αν 1 2λ λ = 1⋅ −

Εξισώσεις κωνικών τομών.

1. Κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ.

2 2 2x + y = ρ

2. Κύκλος με κέντρο το σημείο 0 0( , )x yΚ και ακτίνα ρ .

2 2 20 0(x x ) + (y y ) = ρ− −

Η εξίσωση 2 2x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο A B

K( , )2 2− −



57

και ακτίνα 2 2A + B 4Γ

R=2

− αν είναι 2 2A + B 4Γ > 0− συνθήκη την οποία

πάντα πρέπει να ελέγχουμε.

3. Παραβολή:

2y = 2px , με εστία p

E( , 0)2

και διευθετούσα p

x = 2

−

2x = 2py , με εστία p

E(0, )2

και διευθετούσα p

y =2

−

4. Έλλειψη:

2 2

2 2

x y + = 1

α β, με εστίες τα σημεία Ε(γ, 0) και Ε ( γ, 0)− , όπου 2 2 2γ = α β− .

2 2

2 2

x y + = 1

β α, με εστίες τα σημεία Ε(0, γ) και Ε (0, γ)− , όπου 2 2 2γ = α β− .

5. Υπερβολή:

2 2

2 2

x y = 1

α β− , με εστίες τα σημεία Ε(γ, 0) και Ε ( γ, 0)− , όπου 2 2 2β = γ α− .

2 2

2 2

y x = 1

α β− , με εστίες τα σημεία Ε(0, γ) και Ε (0, γ)− , όπου 2 2 2β = γ α−

Βασικές μεθοδολογίες που εφαρμόζουμε στη λύση των ασκήσεων

1. Για να αποδείξουμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός ή μία παράσταση μιγαδικού α-

ριθμού είναι πραγματικός αριθμός , εφαρμόζουμε μία από τις παρακάτω μεθοδο-

λογίες.

♦ Αποδεικνύουμε ότι το φανταστικό μέρος είναι μηδέν (αφού προηγουμένως φέ-

ρουμε τη παράσταση στη μορφή α + βi ).

♦ Αποδεικνύουμε ότι η παράσταση είναι άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών αριθ-

μών (εφαρμόζουμε την ισότητα z + z = 2α . Βλέπε σχ. βιβλίο σελ. 91).

♦ Εργαζόμαστε με την ισοδυναμία z R z = z∈ ⇔ (Βλέπε σχ. βιβλίο άσκηση 8 σε-

λίδα 97 ). (Παρατήρηση: για να χρησιμοποιήσουμε την ισοδυναμία αυτή πρέπει

πρώτα να την αποδεικνύουμε).

♦ Αποδεικνύουμε ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού είναι σημείο του άξονα x΄x.

2. Για να αποδείξουμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός ή μία παράσταση μιγαδικού



58

αριθμού είναι φανταστικός αριθμός, εφαρμόζουμε μία από τις παρακάτω μεθο-

δολογίες.

♦ Αποδεικνύουμε ότι το πραγματικό μέρος είναι μηδέν (αφού προηγουμένως φέ-

ρουμε τη παράσταση στη μορφή α + βi ).

♦ Αποδεικνύουμε ότι η παράσταση είναι διαφορά δύο συζυγών μιγαδικών αριθ-

μών (εφαρμόζουμε την ισότητα z z = 2βi− . Βλέπε σχ. βιβλίο σελ. 91).

♦ Εργαζόμαστε με την ισοδυναμία z I z z∈ ⇔ = − (Βλέπε σχ. Βιβ. ασκ.8 σελ 97).

(Παρατήρηση: για να χρησιμοποιήσουμε την ισοδυναμία αυτή πρέπει πρώτα

να την αποδείξουμε).

♦ Αποδεικνύουμε ότι η εικόνα του μιγαδικού αριθμού είναι σημείο του άξονα y΄y.

3. Τις δυνάμεις του i με μεγάλο εκθέτη τις υπολογίζουμε αφού πρώτα γράψουμε

τον εκθέτη σαν δύναμη του 4 (είναι γνωστό ότι 4i 1= ).

4. Σε μία ισότητα με μέτρα, για να απαλλαγούμε από τα μέτρα , υψώνουμε και τα

δύο μέλη στο τετράγωνο και εφαρμόζουμε την ιδιότητα 2z zz= .

5. Εύρεση Μεγίστου – Ελαχίστου.

Α. Όταν ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό

επίπεδο είναι ευθεία (ε).

(Υπάρχει μόνον ελάχιστο μέτρο και μιγαδικός αριθμός με ελάχιστο μέτρο).

i. Για να βρούμε το ελάχιστο μέτρο υπολογίζουμε την απόσταση του σημείου

Ο(0, 0) από την ευθεία (ε), χρησιμοποιώντας τον τύπο

0 0

2 2 2 2

Αx + Βy + Γ Γd(O, ε) = =

Α + Β Α + Β. (Αφού είναι γνωστό ότι μέτρο ενός

μιγαδικού αριθμού είναι η απόσταση της εικόνα του από την αρχή των αξόνων).

ii. Για να βρούμε τον μιγαδικό με το ελάχιστο μέτρο, βρίσκουμε την ευθεία ΟΜ

που είναι κάθετη στην (ε) και λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων των (ε) και

ΟΜ. (Η ΟΜ είναι της μορφής y = λx , όπου ελ λ = 1⋅ − κ.λπ.).

Β. Όταν ο γ. τόπος των εικόνων ενός μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο είναι

κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα R. (Υπάρχει ελάχιστο και μέγιστο μέτρο καθώς

και μιγαδικός αριθμός με ελάχιστο και μέγιστο μέτρο).

i. Για το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z του οποίου η

εικόνα κινείται π.χ. στο κύκλο του παρακάτω σχήματος ισχύουν:



59

min

z = (OK) R = 13 2− − και max

z = (OK) + R = 13 + 2 .

(Για τον υπολογισμό του (ΟΚ) χρησιμοποιούμε τον τύπο

2 22 1 2 1(OK) = (x x ) + (y y )− − .

ii. Για την εύρεση του μιγαδικού αριθμού με το ελάχιστο ή το μέγιστο μέτρο

λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων της ευθείας ΟΚ και του κύκλου.

(Η ευθεία ΟΚ είναι της μορφής y = λx και επαληθεύεται από το Κ , κ.λ.π.) .

Στη περίπτωση του παραπάνω σχήματος λύνουμε το σύστημα:

(Σ) :2 2

2y = x

3(x + 3) + (y 2) = 4

−

−

⎧⎪⎨⎪⎩

6. Σημαντική είναι η πρόταση ( Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών

ισούται με την απόσταση των εικόνων τους) την οποία χρησιμοποιούμε όταν θέ-

λουμε να αποδείξουμε ότι το τρίγωνο που έχει κορυφές τις εικόνες των μιγαδι-

κών αριθμών 1 2 3z , z , z είναι ισοσκελές ή ισόπλευρο, ή να βρούμε μέγιστη ή

ελάχιστη τιμή του μέτρου 1 2zz − κ.λ.π.

K(-3, 2)

-3

2

O x

y

x

y

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1ο

Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Κουτσανδρέας

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ – ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ



2

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ



3

Κεφάλαιο 1ο I. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό – Λάθος»

1. Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού το διάστημα Δ και 21x , x Δ.∈

Αν 21x x= , τότε και f (x1) = f (x2) . Σ Λ

2. Για τη συνάρτηση f (x) = lnx, x > 0, ισχύει

( ) ( )f (x y) f x f y ⋅ = + για κάθε x , y > 0. Σ Λ

3. Για τη συνάρτηση f (x) = ex, x ∈R , ισχύει

f (x + y) = f (x) f (y) για κάθε x , y ∈ R. Σ Λ

4. Για τη συνάρτηση f (x) = ex, x ∈R , ισχύει

f (x + y) = f (x) f (y) για κάθε x , y ∈ R. Σ Λ

5. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ⎢ f ⎢ βρίσκεται

κάτω από τον άξονα x΄x. Σ Λ

6. Δίνεται η συνάρτηση y = f (x). Οι τετμημένες των Σ Λ

σημείων τομής της Cf με τον άξονα x΄x μπορούν να

βρεθούν, αν θέσουμε όπου y = 0 και λύσουμε την εξίσωση. 7. Δυο συναρτήσεις f , g είναι ίσες, αν υπάρχουν κάποια x ∈ R, Σ Λ

ώστε να ισχύει f (x) = g (x). 8. Για να ορίζονται το άθροισμα και το γινόμενο δύο συναρτήσεων Σ Λ

f και g θα πρέπει τα πεδία ορισμού τους να έχουν κοινά στοιχεία. 9. Αν η συνάρτηση f είναι 1- 1, οι συναρτήσεις g, h έχουν πεδίο Σ Λ

ορισμού το R και ισχύει f ( )( ) ( )( )g x f h x= για κάθε x∈R,

τότε οι συναρτήσεις g και h είναι ίσες.

10. Η συνάρτηση f (x) =2x

x, x ≠ 0, είναι σταθερή. Σ Λ

11. Αν το σύνολο τιμών της f είναι το διάστημα (α,β), τότε η f Σ Λ

δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο.



4

12. Μια συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, είναι γνησίως Σ Λ

αύξουσα και έχει σύνολο τιμών το (0, +∞ ). Τότε η

συνάρτηση 1f

είναι γνησίως φθίνουσα στο R.

13. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ. Σ Λ

Αν ο λόγος 1 2

1 2

f(x ) f(x )x x

−

− είναι θετικός για κάθε x1, x2∈Δ,

με x1 ≠ x2, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. 14. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Σ Λ

Δ, τότε η συνάρτηση –f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

15. Η συνάρτηση 1

f(x) = x

είναι γνησίως φθίνουσα στο Σ Λ

σύνολο (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

16. Αν μια περιττή συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο στο Σ Λ

σημείο x0, τότε θα παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο –x0. 17. Αν μια άρτια συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο Σ Λ

x0, τότε παρουσιάζει το ίδιο είδος ακρότατου στο σημείο –x0. 18. Αν μια συνάρτηση f είναι άρτια, τότε είναι 1 - 1. Σ Λ 19. Αν μια συνάρτηση f είναι 1 - 1, τότε είναι πάντοτε περιττή. Σ Λ 20. Η συνάρτηση f (x) = x ν , ν ∈Ν* είναι:

i. Άρτια, αν ο ν είναι άρτιος Σ Λ

ii. Περιττή, αν ο ν είναι περιττός. Σ Λ

21. Αν η συνάρτηση f είναι 1 - 1, τότε ισχύουν:

i. f (f -1 (x)) = x για κάθε x που ανήκει στο σύνολο τιμών της f Σ Λ

ii. f -1 (f (x)) = x για κάθε x ∈ Df.

22. Έστω η συνάρτηση f (x) = x2, x ∈[0, +∞). Τότε κάθε Σ Λ

κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των Cf και Cf -1

ανήκει στην ευθεία y = x.

23. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια, τότε υπάρχει η αντίστροφή της. Σ Λ 24. Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το R τότε ισχύει:

i. fog = f g⋅ Σ Λ

ii. fog = gof Σ Λ



5

25. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R και μια Σ Λ

συνάρτηση h, για την οποία ισχύει h(x) = x, για κάθε x∈R.

Τότε ισχύει: (hof) (x) = (foh) (x) , για κάθε x ∈ R. 26. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι γνησίως μονότονες στο R, τότε

η συνάρτηση gof είναι:

i. γνησίως αύξουσα , αν οι f , g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας Σ Λ

ii. γνησίως φθίνουσα,αν οι f, g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας. Σ Λ

27. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ με

f (x) < 0 για κάθε x∈ Δ,τότε η συνάρτηση 2f είναι Σ Λ

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ. 28. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι 1 - 1 στο R, τότε και η Σ Λ

συνάρτηση gof είναι 1 - 1 στο R.

ΣΧΟΛΙΟ: Αν η σύνθεση της g με την f , δηλαδή η fog είναι 1-1 τότε:

1. Η g είναι απαραιτήτως 1-1.

2. Η f δεν είναι απαραιτήτως 1-1.

Απόδειξη

1. Έστω x1, x2 ∈ Ag με g(x1) = g(x2) . Επειδή η f είναι συνάρτηση και ορίζεται η

fog , έπεται ότι f(g(x1)) = f(g(x2)) και επειδή η fog είναι 1-1 προκύπτει x1=x2.

Άρα η g είναι 1-1.

2. Έστω x1 , x2 ∈ Af με f(x1) = f(x2). Αν υπάρχουν ω1 , ω2 ∈ Αg τέτοια ώστε

g(ω1) = x1 και g(ω2) = x2, προκύπτει f(g(ω1)) = f(g(ω2)) και επειδή η fog

είναι 1-1 προκύπτει ω1 = ω2. Άρα g-1(x1) = g-1(x2) και επειδή η g-1 είναι 1-1

προκύπτει x1 = x2 δηλαδή η f είναι 1-1. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η

συνάρτηση f είναι 1-1 Αν υπάρχουν ω1, ω2 ∈Αg τα έτοια ώστε g(ω1) = x1

και g(ω2) = x2 (δηλαδή εξαρτάται από το σύνολο τιμών της g).

Θεωρείστε ως αντιπαράδειγμα, τις συναρτήσεις f(x) = x2 και g(x) = x 1− κ.λπ.

.



6

Ασκήσεις για λύση 1. Έστω η συνάρτηση f (x) = x2 – 3x + 2. α. Να βρείτε τις τιμές f (1) , f (0) , f (–3) , f (2) β. Να βρείτε τα σημεία τομής της Cf με τους άξονες γ. Να βρείτε τις τιμές f (t) , f (xt) , f (x + h) , x, t, h ∈ R. 2. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από

τις παρακάτω συναρτήσεις:

α. f(x) = 24 x

(x 1) x + 1

−

− ⋅

β. f(x) =

2x 2 1− −

+ 4 x x

3− −

γ. f(x) = 2x x

x 2 1−

− − +

13x 4 x− −

δ. f(x) = lnx1 lnx−

ε. f(x) = 2log(x + x 2)− + log x + 33 x−

στ. f(x) = συνx

2ημx 1− +

1εφx 1−

, x∈ [0, 2π]

ζ. f(x) = xe 1− + 1 lnx−

η. f(x) = x 1x+1−

θ. f(x) = 2συνx 1−

ι. f(x) = ln(1 x)−

κ. f(x) = ln(x 1)− + 2

1x 4−

3. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x + 1. α. Να εξετάσετε ποιες από τις συναρτήσεις του παρακάτω πίνακα είναι ίσες με τη συνάρτηση f.

f1 (x) = 2x 1

x 1−

− f2 (x) =

3

2

x 1x x 1

+

− + f3 (x) = ( )2

x 1+

f4 (x) = x⋅(1x

+ 1) f5 (x) = lnex+1 f6 (x) = eln (x+1)

β. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω συναρτήσεις είναι όλες ίσες.



7

4. Δίνονται οι συναρτήσεις

f1 (x) = x 1x 1−

+

f2 (x) = x 1

x 1

−

+ f3 (x) =

11 x11 + x

−

f4 (x) = 2

2

(x - 1)x - 1

f5 (x) = 2

x 1

x 1

−

− f6 (x) =

x 1

x 1 x 1

−

− +

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού καθεμιάς συνάρτησης.

β. Να εξετάσετε αν υπάρχουν ζεύγη ίσων συναρτήσεων.

γ. Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο οι παραπάνω

συναρτήσεις είναι όλες ίσες.

5. i. Δίνονται οι συναρτήσεις x + 1

f(x) = x 1−

, g (x) = 2

2

2x + 2αx + α2(x 1)−

, α ∈ R .

α. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g.

β. Για ποια τιμή του α ισχύει f = g , στο ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R;

ii. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό α ώστε οι συναρτήσεις

f(x) = 22α x + α

x + 1 α− και g( x ) =

( )3α 1 x + α

x + α

− ⋅ να είναι ίσες .

6. Δίνονται οι συναρτήσεις

f (x) = 2x + 1, x 2

x , x > 2

≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ και g (x) = ln x , 0 x 3

2x 3, x 3< <

− + ≥

Να βρείτε τις συναρτήσεις:

α. f + g β. f g⋅ γ. fg

7. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = log 1 x1 x−

+.

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f .

β. Να αποδείξετε ότι f (x1) + f (x2) = f 1 2

1 2

x x1 x x

+

+

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ για κάθε x1, x2 του πεδίου

ορισμού της.

8. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 1

ln xx .



8

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f.

β. Να αποδείξετε ότι f (x) = e για κάθε x του πεδίου ορισμού της.

γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f.

9. Να βρείτε τις συναρτήσεις gof και fog όταν:

α. f (x) = x 3 − και g(x) = x + 2

β. 2f(x) = 1 x− και g(x) = x 4−

γ. f(x) = 5 x− και g(x) = ln(x 5) −

δ. f(x) = 2x + 4 και x 2 , αν x< 2

g(x)=2x , αν x³ 2

− −

≥

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

10. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, 1]. Ποιο είναι το

πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

α. h1= f (x2) β. h2 = f (x - 4) γ. h3 = f (lnx) δ. h4(x) = f(ημx)

11. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R είναι περιττή. Αν η f είναι γνησίως

αύξουσα στο διάστημα [α, β] με α, β > 0, να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

αύξουσα και στο διάστημα [–β, –α].

12. Έστω f, g δύο συναρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα Δ, οι οποίες πα-

ίρνουν θετικές τιμές για κάθε x ∈Δ και οι οποίες είναι γνησίως αύξουσες

στο Δ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 1 1

+f g

είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

13. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είναι γνησίως

μονότονες και έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας (είναι και οι δύο γνησίως

αύξουσες ή και οι δύο γνησίως φθίνουσες).

α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f o g είναι γνησίως αύξουσα.

β. Να εξετάσετε τη μονοτονία των συναρτήσεων fof και gog.

γ. Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f (x) = ln [ln(x)] , x > 1.

14. Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f (x + y) = f(x) + f(y) , για κάθε

πραγματικό αριθμό x , y. Να αποδείξετε ότι:

α. f(0) = 0

β. Η f είναι περιττή.

γ. f(κx) = κ f(x) , για κάθε φυσικό αριθμό κ ≠ 0.



9

15. Έστω η συνάρτηση h(x) = f(1–x2) με Αf = (–3, 1). Να βρείτε το πεδίο ορισμού

της.

16. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει 2f (2x 1) 4x 2 + = + για κάθε πραγματικό

αριθμό x, να βρείτε τον τύπος της .

17. Αν f(x) = 1 + ex και (gof)(x) = x + e1–x , να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g .

18. Nα βρείτε μια συνάρτηση f, ώστε να ισχύει (gof)(x) = συνx , x∈R

και 2g(x) 1 x= − .

19. Αν f( x ) = 2x2 – 1 και (fog)(x) = συν2x, να αποδείξετε ότι ένας τύπος

της g είναι ο g(x) = συνx .

20. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 10 αx5 2x−

−. Να αποδείξετε ότι αν ισχύει

(fof)(x) = x, για κάθε πραγματικό αριθμό x , τότε είναι α = 5.

21. Αν g(x) = x + 3 και f(g(x)) = 3x + 2 , να αποδείξετε ότι f(x) = 3x 7− .

22. Θεωρούμε τη συνάρτηση f , με πεδίο ορισμού το R για την οποία ισχύουν

f(f(x) = 4x + 3 και f(f(f(x))) = 8x + 7. Να αποδείξετε ότι f(x) = 2x + 1 .

23. Για τη συνάρτηση f : (0, ) R+∞ → ισχύει xf(e ) 2x 1= + . Να αποδείξετε ότι

για κάθε ζεύγος θετικών αριθμών α, β ισχύει f(αβ) = 2lnα + 2lnβ +1.

24. Δίνονται οι συναρτήσεις f( x ) = 4x2 – 4x+1 και g(x) = 1

x2− − . Να

αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της gof είναι σημείο .

25. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x ) = – x2 + x– 4 και g (x) = 3 x – x. Να

αποδείξετε ότι δεν ορίζεται η g o f .

26. Να γράψετε τη συνάρτηση f(x) = xx , x > 0 , ως σύνθεση δύο συναρτήσεων

27. Δίνεται η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [2 , 8]. Να βρείτε το

πεδίο ορισμού της συνάρτησης g (x) = f (x +8) – f (9 – x2) .

28. Έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R , που είναι γνησίως αύξουσα

και f(2) = 3 .

i. Να λύσετε ως προς α την εξίσωση 1

f α + α

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ = 3.



10

ii. Να λύσετε ως προς α την ανίσωση 1

f α + α

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ > 3.

iii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x) = f(x) 3− .

29. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = 2f(x) – (fof)(x) +2006 , x∈R.

i. Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως φθίνουσα .

ii. Να λυθεί η ανίσωση 2[f(x2) – f(1)] > (fof)(x2) –(fof)(1) .

30. Δίνονται οι συναρτήσεις f , g με πεδίο ορισμού το R για τις οποίες είναι

(fog)(x) = x + 1 , για κάθε πραγματικό αριθμό x .

i. Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1 .

ii. Να λύσετε την εξίσωση g(4x – 2x+1 + 4) = g(2x+2 – 4)

31. Να εξετάσετε ως προς το 1-1 και βρείτε την αντίστροφη των συναρτήσεων

i. x

x

ef(x) =

1+ e

ii. g(x) = ln x +1

iii. h(x) = 5 + x 2−

iv. 2x

k(x) = 1 x−

v. x

x

e 1φ(x) = ln

e +1−

vi. 2f(x) = 2 + (x 2)− με x ≥ 2.

vii. 3f(x) = x .

32. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Αν η συνάρτηση δίνεται με πολλαπλό τύπο , χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στη μελέ-

τη του 1-1. Δεν αρκεί να εξετάσουμε μόνον κάθε κλάδο χωριστά. Για να είναι 1-1

πρέπει να αποκλείσουμε ότι για διαφορετικά x προκύπτουν ίδιες τιμές για τη συνάρ-

τηση. Για να συμβαίνει αυτό πρέπει τα επιμέρους σύνολα τιμών των κλάδων της συ-

νάρτησης να είναι ξένα μεταξύ τους.



11

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση 2x 3 , x 0f(x)x 5 , x 0 − ≥

=− + <

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩δεν είναι 1-1.

2. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = x

x +1| |.

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 - 1.

β. Να βρείτε την f -1.

33. Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = 1x

και h (x) = 1

x + 2 με κοινό πεδίο ορισμού το

διάστημα Δ = (0, +∞). Α. α. Να βρείτε μια συνάρτηση g ώστε fog = h.

β. Να βρείτε μια συνάρτηση φ ώστε φof = h.

B. α. Να βρείτε τις f -1, g-1, h-1 (αντίστροφες των f, g, h).

β. Να βρείτε τις f -1og-1 και g-1of -1.

γ. Να εξετάσετε αν g-1of -1 = h-1 (δικαιολογήστε την απάντησή σας).

34. Εστω συνάρτηση f : R→R , για την οποία ισχύει f(f(x)) + f 3(x) = 2x+3,

για κάθε πραγματικό αριθμό x .

Α. Αποδείξτε ότι:

i. Η f είναι συνάρτηση 1-1.

ii. Ισχύει 2f –1(x) = f(x) + x3 -3

Β. Να λυθεί η εξίσωση f(2x3+x) = f(4-x).

35. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 +8x – 8 .

i. Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα .

ii. Να λύσετε την ανίσωση f(f(x)) < 1.

iii. Αποδείξτε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και ότι η αντίστροφή της έχει το ίδιο

μονοτονίας.

iv. Αποδείξτε ότι f –1(–8) = 0.

v. Να λύσετε την ανίσωση f –1(x) < 1 .

36. Δίνεται η συνάρτηση 3f(x) = x + x 1− .

i. Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται.

ii. Να βρείτε τα κοινά σημεία των fC και 1fC − .

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Βλέπε παρατήρηση 12 σελ. 42.



12

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Κεφάλαιο 1ο Ι. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό – Λάθος»

1. Σ 11. Σ 20. i) Σ 2. Σ 12. Σ 20. ii) Σ 3. Σ 13. Σ 21. Σ 4. Λ 14. Λ 22. Λ 5. Σ 15. Σ 23. i) Λ 6. Λ 16. Σ 23. ii) Λ 7. Σ 17. Λ 24. Σ 8. Σ 18. Λ 25. i) Σ 9. Λ 19. i) Σ 25. ii) Σ

10. Σ 19. ii) Σ 26. Σ 27. Σ

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ασκήσεις

2. α. ( 1, 1) (1, 2]− ∪ , β. (2, 3) (3, 4]∪ , γ. [0, 1) , δ. [1, e), ε. ( 3, 2) (1, 3)− − ∪

στ. π π π 5π 5π 3πx , , , , ,

6 4 2 6 4 2≠ , ζ. (0, e] , η. ( , 1) [1, )−∞ − ∪ +∞ ,

θ. 2κπ – π/3 ≤ x ≤ 2κπ + π/3, κ∈ Ζ. ι. (–∞ , 0] , κ. (1, 2) ∪ (2, +∞ ). 3. α. f2, f5

β. ( 1,0) (0,1)− ∪ ∪ (1, +∞ )

4. α. D1 = (–∞ , –1) ∪ [1, +∞ ) D2 = [1, +∞ ) D3 = (–∞ , –1) ∪ [1, +∞ ) D4 = (–∞ , – 1) ∪ (1, +∞ ) D5 = D4 D6 = (1, +∞ )

β. f1 = f3 γ. D = (1,+∞ ).Στοδιάστημααυτό όλες οι συναρτήσεις έχουν τύπο f (x) = f2 (x).

5. i. α. Df = R –1, Dg = R ––1,1 β. Θα πρέπει ο αριθμητής της g να έχει παράγοντα το x + 1, άρα α = 2 , επομένως

αν α = 2 είναι f = g για κάθε x∈ R––1,1.

ii. α = 1/2 6. Πεδίο ορισμού του αθροίσματος είναι το διάστημα (0, + ∞ ) και ο τύπος είναι:

(f + g) (x) =

nx 2x 1, 0 x 2

x nx, 2 x 3

x 2x 3, x 3–

+ + < ≤

+ < <

+ ≥

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩



13

Ομοίως εργαζόμαστε και για τις f⋅g και gf

7. α. Πρέπει (1– x) (1 + x) > 0, άρα Df = (– 1, 1)

β. Καταρχήν αποδεικνύουμε ότι το 1 2

1 2

x + x

1 + x x ∈ (–1, 1) ως εξής:

Αν |x1| < 1 και |x2| < 1 τότε και 1 2

1 2

x + x

1 + x x < 1 ⇔ (x1 + x2)2 < (1 + x1x2)2 ⇔ …

Στη συνέχεια έχουμε: f (x1) + f (x2) = log 1 2

1 2

1 x 1 x

1 + x 1 + x

–⋅

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠–

και

f 1 2

1 2

x + x

1 + x x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ = log

1 2

1 2

1 2

1 2

x + x1

1+ x xx + x

1 + 1 + x x

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

–

= … = log 2

2

1

1

(1 x ) (1 x )

(1 +x ) (1 +x )

– –

8. α. Df = (0, 1) ∪ (1, +∞ ) β. y = x nx1

⇔ ny = 1 nxnx

⋅ = 1 ⇔ y = e

9. α. ( )gof

[3, ), gof (x) = x 3 +2 Α = +∞ – , ( )fog

Α = [1,+ ), fog (x) = x 1∞ −

β. Δεν ορίζεται η συνάρτηση gof , ( )fog

Α [4, 5], fog (x) 5 x= = −

γ. ( )

gofΑ ( , 20), gof (x) = ln( 5 x 5) = −∞ − – – ,

( )fog

5Α (5,5 e ] , fog (x) 5 ln(x 5)= + = − −

δ. 2x , αν x< 2

(fog)(x)= 4x+4 , αν x 2

−

≥−

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,

2x+2 , x< 3(gof)(x)

4x+8 , x 3 −

≥−

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

10. α. [–1, 1] , β. [4, 5] , γ. [1, e] , γ. 2κπ ≤x ≤2κπ + π , κ∈Ζ .

11. Αν – β ≤ x1 < x2 ≤ –α, τότε α ≤ – x2 < – x1 ≤ β με f (– x2) < f (– x1) –f (x2) < – f (x1), άρα f (x2) > f (x1)

12. Αν x1 < x2, τότε f (x1) < f (x2), άρα )(x f

1

1 >

)(x f1

2. Όμοια για την g.

Επομένως )(x f

1

1 +

)(x g1

1 >

)(x f1

2 +

)(x g1

2

13. α. Αν f, g γνησίως αύξουσες στο R, τότε αν x1 < x2 ⇒ g (x1) < g (x2) ⇒ f (g (x1)) < f (g (x2), άρα fog γνησίως αύξουσα. Ομοίως αν f, g γνησίως φθίνουσες

β. Επειδή η f έχει την ίδια μονοτονία με την f από το (α) … κ.λ.π. γ. Η f (x) = lnx είναι γνησίως αύξουσα, άρα από το (β) … κ.λ.π.



14

15. (–2, 0)∪ (0, 2)

16. f(x) = x2-2x+3 , x∈R .

17. g(x) = ln(x-1) + e

x 1− , x∈ (1,+∞ ).

18. Μία συνάρτηση f είναι η f(x) = ημx

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ :

Η παραπάνω συνάρτηση δεν είναι η μοναδική αφού και οι συναρτήσεις

f(x) = –ημx , ή f(x) = ημx , f(x) =ημx, x 0

ημx, x 0

>

≤

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩– κ.λ.π. είναι λύσεις του προβλήματος.

26. f(x) = exlnx

27. [– 7 , –1]

28. i. α = 1, ii. α (0, 1) (1, )∈ ∪ +∞ , iii. [2, +∞ )

30. x = 1 ή x = 2 .

31. i. 1 x- (x) ln1 x

f =−

, με x∈(0, 1) ii. 1 2(x 1)(x) = eg– – , με x∈R

iii. 1 2h (x) = x 10x + 27– – , με x∈(5 ,+∞ ) iv. 1 xk (x)

2 + x− = , με x∈ R––2 .

v. x

1x

e +1φ (x) ln

1 e− =

− , με x <0 . vi. 1f (x) 2 x 2 , − = + − με 2x ≥

vii. 3

1

3

x , x 0f (x)

x , x 0

− ≥=

− − <

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

32. 2. α. Γράφουμε τη συνάρτηση σε πολλαπλό τύπο κ.λ.π. (Σύμφωνα με την παρατήρηση).

β. Είναι f –1 (x) =

x, 1 < x 0

1+xx

, 0 < x < 11 x

≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

–

–

33. Α. α. g (x) = x + 2, Dg = Δ, β. φ (x) = x

1 + 2x , Dφ = Δ

Β. α. f –1 = f, g –1 = x – 2 , x ∈ (2, +∞ ), h –1 = 1 2x

x–

, x ∈ (0, 21 )

β. (f –1og –1) (x) = 1

x 2–, x ∈ (2, +∞ ), (g –1of –1) (x) =

1 2xx

– , x ∈ (0,

21 )

γ. Είναι ίσες, , (γενικά ισχύει (fog) –1 = g –1of –1).

34. Β. x = 1

35. ii x < 1 iv. Bλέπε παρατήρηση 11 του δεύτερου μέρους . v. x < 1.



15

.

II. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

OΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

.



16

II. ΟΡΙ0 – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό – Λάθος» 1. Μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο x0, έναν πραγματικό α-

ριθμό . Αναγκαστικά το x0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της.

Σ Λ

2. Τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f, όταν το x παίρνει τιμές κοντά στο x0, συμπίπτουν πάντοτε.

Σ Λ

3. Το όριο μιας συνάρτησης f στο x0 εξαρτάται από την τιμή της συ-νάρτησης στο σημείο αυτό.

Σ Λ

4. Αν μια συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο x0, τότε αυτό είναι μοναδικό.

Σ Λ

5. Αν 0x x

lim→

f (x) = , τότε υπάρχει συνάρτηση φ

με 0x x

lim→

φ (x) = 0 και f (x) = + φ (x).

Σ Λ

6. Αν 0x x

lim→

(f (x) + g (x)) = , τότε οι συναρτήσεις f, g έχουν πά-

ντοτε όριο στο x0.

Σ Λ

7. Αν για τις συναρτήσεις f, g : A → R υπάρχει το

0x x

lim→

[f (x) .g (x)], τότε πάντοτε

0x x

lim→

[f (x) .g (x)] = 0x x

lim→

f (x) .0

limx x→

g (x)

Σ Λ

8. Έστω η συνάρτηση f (x) = x

x – 1.

Ισχύει x 0lim

+→f (x) = 0 =

x 0lim

−→f (x).

Σ Λ

9. Μια συνάρτηση f έχει στο x0 = 2004 όριο το –2004. Τότε η f παίρνει αρνητικές τιμές για κάποια x κοντά στο 2004.

Σ Λ

10. Αν 0x x

lim→

| f(x) |= , ≠ 0,τότε πάντοτε ισχύει 0x x

lim→

f (x) = . Σ Λ

11. Αν το 0x x

lim→

f (x) είναι θετικός αριθμός , τότε η f

παίρνει θετικές τιμές κοντά στο x0. Σ Λ

12. Έστω f μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διάστημα που πε-

ριέχει το 0. Τότε ισχύει πάντοτε 0

limx→

f (x) = f (0).

Σ Λ



17

13. Αν x αlim→

f(x) = β, x βlim→

g(x) = γ και f (x) ≠ β κοντά

στο α, τότε x αlim→

g (f (x)) = γ.

Σ Λ

14. Ισχύει ότι x 0lim→

ημ (αx)x

= 1 με α ≠ 0 , 1.

Σ Λ

15. Αν x 0lim→

f (x)

x = , τότε

x 0lim→

f (3x)x

= 3 .

Σ Λ

16. Αν 0 ≤ f (x) ≤ 1x

+ e – x , για κάθε x ∈ R , τότε ισχύει:

xlim→+∞

f (x) = 0.

Σ Λ

17. Αν 0x x

lim→

f (x) = +∞ και g (x) < 0 κοντά στο x0,

τότε πάντοτε ισχύει 0x x

lim→

(f (x). g (x)) = – ∞.

Σ Λ

18. Αν 0x x

lim→

f (x) = +∞, τότε 0x x

lim→

1f (x)

= 0.

Σ Λ

19. Αν 0x x

lim→

f (x) = 0 και f (x) > 0 κοντά στο x0, τότε

0x xlim→

1f (x)

= +∞.

Σ Λ

20. Αν 0x x

lim→

f (x) = ≠ 0, τότε 0x x

lim→

1f (x)

= 1

.

Σ Λ

21. Αν η συνάρτηση f : [0, +∞) → R είναι γνησίως αύξουσα, τότε

πάντοτε ισχύει xlim→+∞

f (x) = +∞.

Σ Λ

22. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β], η εξίσωση f (x) = 0 δεν έχει ρίζα στο (α, β) και υπάρχει ξ ∈ (α, β) ώστε f (ξ) < 0, τότε θα ισχύει f (x) < 0 για κάθε x ∈ (α, β).

Σ Λ

23. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β], και πα-ίρνει δύο διαφορετικές τιμές f (x1), f (x2) με x1, x2 ∈ [α, β], τότε παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (x1) και f (x2).

Σ Λ

24. Αν για μια συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f (x1) = 1 και f (x2) = 4, τότε υπάρχει x0 ∈ (x1, x2) τέτοιο ώστε f (x0) = e.

Σ Λ

25. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διά-στημα [α, β], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f (α), f (β)].

Σ Λ



18

26. Aν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο δι-άστημα [α, β], τότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f (β), f (α)].

Σ Λ

27. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [α, β] με f (α) ≠ f (β), παίρνει μόνο τις τιμές μεταξύ των f (α) και f (β).

Σ Λ

28. Aν (1 - x) (1 + 5x) ≤ f (x) ≤ (3x + 1)2, τότε η f είναι συνεχής στο 0.

Σ Λ

29. Aν η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (0, +∞), τότε το σύνολοτιμών της είναι το διάστημα (

x 0lim→

f (x), xlim→+∞

f (x)).

Σ Λ

30. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β]. Αν η f εί-ναι 1-1 στο [α, β], τότε είναι και γνησίως μονότονη στο [α, β].

Σ Λ

31. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 με f (x0) ≠ 0, τότε κο-ντά στο x0 οι τιμές της f είναι ομόσημες του f (x0).

Σ Λ

32. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, τότε η αντίστροφή της είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο f (Δ).

Σ Λ 33. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα διάστημα Δ είναι συ-

νεχής και 1-1 στο Δ, τότε η συνάρτηση f –1 είναι συνεχής στο f (Δ).

Σ Λ

34. Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή.

Σ Λ

35. Έστω η συνάρτηση f(x) = 2

x + 1, x < 1

2 x , x 1≥

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ –.

Ισχύει ότι η f είναι συνεχής στο R - 1.

Σ Λ

36. Η συνάρτηση f, της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο σχήμα, είναι συ-νεχής στο Df.

Σ Λ

37. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g δεν είναι συνεχής στο x0 , τότε και η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο x0 .

Σ Λ

38. Αν οι συναρτήσεις f, g δεν είναι συνεχείς στο σημείο x0 του κο-

ινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είναι συνεχής στο x0.

Σ Λ

39. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε και η f 2 είναι συνεχής στο x0.

Σ Λ

xx΄

y

y΄

O



19

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ:

Ιδιαίτερη προσοχή χρειάζονται οι ερωτήσεις με τις πράξεις των ορίων . π.χ.

i. Αν υπάρχουν στο R τα 0x x

lim (f(x) + g(x))→

και 0x x

lim f(x)→

, τότε υπάρχει και το

0x x

lim g(x)→

Η πρόταση αυτή είναι Σωστή . (Η απόδειξη γίνεται με τις ιδιότητες των ορίων).

ii. Αν υπάρχουν στο R τα 0x x

lim (f(x) g(x))→

⋅ και 0x x

lim f(x)→

, τότε υπάρχει και το

0x x

lim g(x)→

.

Η πρόταση αυτή είναι Λάθος. (Γιατί το0x x

lim f(x)→

μπορεί να είναι ίσο με το μηδέν).

Πρέπει βεβαίως να προσέχουμε αν το όριο είναι το ±∞, γιατί τότε μπορεί να

προκύπτει μία απροσδιόριστη μορφή . (βλέπε σελίδα 179 του σχ. βιβλίου).

Ασκήσεις για λύση

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ x0∈R

1. Αποδείξτε ότι :

α. 3

2x 2

x 8lim

x 5x 6→

−

− + = –12 στ.

x 1

3x 1 2lim

4x 4→

+ −

− =

316

β. 2

2x 2

x 4x 4lim

x x 6→

− +

+ − = 0 ζ.

2x 5

4x 5 5lim

25 x→

+ −

− =

125−

γ. 3

2x 2

x 8lim

x 4→

−

− = 3 η.

2x 3

1 x 2lim

x 9→

− −

− =

112−

δ. ( )( )

3 2

2x 2

x 5x + 8x 4lim

x 2 x 4→

− −

− − =

14

θ. 2

x 4

x 8 xlim

x 2→

−

− = 24

ε. x 3

x 6 3lim

x 3→

+ −

− =

16

ι. 2x 7

2 x 3lim

x 49→

− −

− =

156−



20


α. 2x 1

5x 4 3lim

x 1→

+ −

− =

512

β. 2

x 4

x 6x + 8lim

x + 2 x 8→

−

− =

43

γ. 3

x 1

x x 2lim

x 1→

+ −

−=

56

δ. 2

x 1

x xlim

x 1→

−

− = 3


α. 2x 1

1 2lim

x 1 x 1→−

− −

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ =

12

β. ( )( )

3

2x 3

x 1 8lim

2 x 1 32→−

+ +

− − = –

34

γ. μ

νx 1

x 1lim

x 1→

−

− =

μν

μ,ν ∈ Ν*

δ. ( )ν+1

x 1

νx ν+1 x 1lim

x 1→

− +

− = ν2 – 1


α. 2x 2

x 2 x 3 9lim

x 4→−

− + − −

− =

12

β. 2

2x 3

x 3 3x xlim

x 9−→

− + −

− =

13

−

γ. 7 3 5 2

2x 0

x 5x 2 x 2x 4x 2lim 2

x 2x→

− + − + − −=

−

δ. 3 2

2x 1

x 2x + xlim

3 2xx−→

−

+ − =

23

ε. 2 2

x 2

x 5x 6 x 2xlim

x 3 5+→

− + + −

+ − = 3

5. Αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν τα παρακάτω όρια.

α. 2

x 3

x 3 x 9lim

x 3→

− + −

− β.

2

x 1

x 3x 2lim

x 1 2→

− +

+ −

γ. 2 2

2x 2

x 4 3x 12lim

x 3x 2→

− + −

− + δ. 21

2 1 3limx

x xx x→

+ + − −−



21


α. 2

2x 0

1 συν xlim

x→

− = 1 β.

x 0

ημ3x ημ2xlim

x→

+ = 5

γ. 2x 0

1 συνxlim

x→

− =

12

δ. ( )x 0

1 συνxlim

x 1 x 1→

−

+ −= 1

ε. x 0

ημ4xlim

4x 9 3→ + − = 6 στ.

x 2

ημ(3x 6)lim

5x 10→

−

− =

35

7. Θεωρούμε τη συνάρτηση

2

2

x 4 , 2 x 2

f(x) x 2 2

x 5x 2 , x 2

−− < <

= + −

+ + ≥

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Αποδείξτε ότι x 2limf ( ) 16x→

= .

8. Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

2

x 7 3 , 7 x 2

2f(x)x 3x 2

, x 2x 2x 8

x+ −

− ≤ <−=

− +>

+ −

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Αποδείξτε ότι x 2

1limf(x)

6→= .

9. Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε 2 23x x f(x) x 3x− ≤ ≤ + , για κάθε x∈R.

Αποδείξτε ότι 2x 0

f(x) f(0)lim 3

x x→

−=

+.

10. Έστω συνάρτηση f τέτοια ώστε 2 24x x 3 (x 1)f(x) 8x 5x 3+ ≤ − + ≤ +

για κάθε x∈R. Αποδείξτε ότι 2x 1

(x 1)f(x) ημπxlim π 2

x 3x 2→

− += −

− +.

11. Αν x 0

ημx + ημ2x + ημ3x +...+ ημνxlim 28

x→= , ν∈Ν*, αποδείξτε ότι ν = 7.

12. Έστω συνάρτηση f , ορισμένη στο σύνολο R 1, 1− − και περιττή.

Αν x 1

πx(1 x)f(x) συν

2lim 2π1 x→

− +=

− , να αποδείξετε ότι

x 1

πlim f(x)

2→−=− .

13. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο σύνολο R, για την οποία ισχύει x 1lim f(x) 9→

= .

Αποδείξτε ότι 2

x 1

f(x) f (x) 8f(x)lim 54

f(x) 3→

− −=

− .



22

14. Έστω συνάρτηση f, ορισμένη στο σύνολο R, για την οποία ισχύει x 0

f(x)lim = 2

x→.

Αποδείξτε ότι 2 2x 0

x f(2x) f ( x)ημ3xlim = 10

2x ημ x→

− −

−.

15. Έστω συνάρτηση f , ορισμένη στο σύνολο R , για την οποία ισχύει

2x 0

f(x) ημx ημ2x + συνx 1lim = 3

x +1 1→

⋅ ⋅ −

− . Αποδείξτε ότι

x 0lim f(x) = 1→


2f(x)ημx 2x x− ≤ , για κάθε x∈R. Αποδείξτε ότι:

i. x 0lim f(x) 2→

= , ii. x 0

x f(x) + ημxlim 3

2x ημx→=

−.

17. Έστω συναρτήσεις f , g ,ορισμένες στο σύνολο R,για τις οποίες ισχύουν:

x 3

f(x)lim 2

x + 3→−= και 2

x 3lim g(x)(2x +5x 3) 14→−

− =−⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Αποδείξτε ότι [ ]x 3lim f(x)g(x) = 4→−

.


2

x 2lim f(x)+x x 2 3→

− + =⎡ ⎤⎣ ⎦ . Αποδείξτε ότι 2

2x 2

f (x) 2f(x) 3lim = 2

f (x) 1→

− −

−.


2

x 1lim 2f(x) + x x+2 6→

− =⎡ ⎤⎣ ⎦ . Αποδείξτε ότι :

i. x 1lim f(x) 2→

= , ii. ( )2x 1

2f(x) 2lim

f(x) 4→

−

− =

18

.

20. Αν για τη συνάρτηση f ισχύει 2xf(x) 2ημx x− ≤ , για κάθε x, κοντά στο x0 =0,

αποδείξτε ότι x 0lim f(x) 2→

= .

21. Έστω συναρτήσεις f, g , ορισμένες στο σύνολο R , για τις οποίες ισχύουν :

x 1lim (4f(x) g(x)) 7→

− = και x 1lim (f(x) + 3g(x)) 5→

= . Αποδείξτε ότι:

i. x 1lim f(x) = 2→

, ii. x 1lim g(x) = 1→

,

iii. 2x 1

(x 1)f(x) ημ(πx) 2 + πlim =

(x 1)g(x) + ημ(πx) 2 π→

− −

− −.



23

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x0∈R

22. Να υπολογίσετε (αν υπάρχουν) τα παρακάτω όρια:

α. 2

2x 2

x 1lim

x 4x 4→

+

− + ε.

x 2

x 3 2lim

x 2→

+ −

−

β. 2

3 2x 1

x + x + 1lim

x 3x 3x 1→ − + − στ.

x 0

x 16 4lim

x x→

+ −

γ. 2

2x 2

x 2lim

x 2x+→

+

− ζ.

πx

2

x πlim

1 ημx→

−

−

δ. 2

2x 1

3x 1lim

x 2x 1→

− +

− + η.

2

x 0

3x 2lim

(5x + 3)ημx→

−

23. Έστω συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν: f(x) 3, ≠ κοντά στο x0 =3 και

x 3

f(x) 5lim = +

f(x) 3→

+∞

−. Αποδείξτε ότι

x 3lim f(x) = 3→

.

24. Aν 2

x 2

x αx + βlim 3

x 2→

−=

−, να υπολογιστούν τα α, β∈R.

25. Αν x 3

x α 3lim R

x 3→

+ −∈

−, να υπολογίσετε τον πραγματικό αριθμό α.

26. Έστω η συνάρτηση 2 2(x α)

f(x) = (x 2)( x 7 3)

−

− + −. Να υπολογίσετε την τιμή του

πραγματικού αριθμού α αν x 2lim f(x) = 96→

.

27. Έστω η συνάρτηση 2x λx 6

f(x) = x 2− +

−. Να υπολογίσετε τον πραγματικό

αριθμό λ αν το x 2lim f(x)→

είναι πραγματικός αριθμός .

28. Έστω η συνάρτηση 3 2

3

x x λx 9f(x)

x 9x− + +

=−

. Να υπολογίσετε τον

πραγματικό αριθμό λ αν το x 3lim f(x)→

είναι πραγματικός αριθμός .

29. Έστω η συνάρτηση 2x +(2 3α)x + β 3α 1

f(x) = 2x 2

− − −

−, α, β ∈R. Να υπολογίσετε

τους πραγματικούς αριθμούς α, β, αν είναι γνωστό ότι x 1lim f(x) 4→

=− .



24

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 30. Να αποδείξετε ότι :

α. 2

2 3x

(x 2)(x 5) 1lim =

3x 6x 1 2x 2→+∞

− +−

− + − ε.

2

x

x 5 9 x 2lim

3x 6→+∞

− − − +

− = −∞

β. 15 18

2 15x

(x 1) (x 2)lim = +

(x x 3)→+∞

− +∞

− + στ.

4x

2x 1 3 4 2x 1lim

5x 2→−∞

− − − +

+ = 0

γ. x

3x 6 1 x 2lim = 2

x 5→+∞

− − − +

− ζ.

2x

ημxlim

x + 3x→+∞ = 0

δ. 10x

(x 1)(x 2)...(x 10)lim = 1

(x 2004)→+∞

− − −

− η.

x

x + 3ημx

5x + συνxlim →+∞

= 15


Βλέπε το σχόλιο στη σελίδα 39.

31. Να αποδείξετε ότι :

α. x+1 x+2

x x+3x

3 5lim

3 5→+∞

−

+ =

15

− β. x x x

x x xx

3 5 7lim =

2 3 5→+∞

+ ++∞

+ +

γ. x x

xx

2 3lim = 1

2 3x→−∞

+

− δ.

x x

x xx

3e 2lim 3

e 4.2→+∞

−=

+

ε. x+1 x

x+2 x+1x

2 3 1lim =

2 3 2→−∞

−

+ στ.

x x

x x x

3 3lim 1

3 3

−

−→+∞

−=−

+

ζ. x x+1

x x 1x

5 3lim 9

5 3 −→−∞

−=−

+ η. ( )x+1 x

xlim ln(e 1) ln(e 2) 5 6→+∞

+ − + + =

θ. [ ]xlim ln(5x 2) 3ln(x 1)→+∞

− − + =−∞

32. Θεωρούμε τη συνάρτηση x+1 x+2

x x

α 2f(x) = , α > 0

α + 2−

. Να υπολογίσετε

για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού αριθμού α τοxlim f(x)→+∞


α. 2

xlim ( x 2x x) 1→+∞

− − =− β. 2x

4x 3lim 2

x 7 x→+∞

− +=−

+ +

γ. 2 2

x

3lim ( x 2 x 3x )

2→+∞+ − + =− δ. 2

xlim ( x 2x 3 x) 1→+∞

+ + − =



25

ε. xlim 2x+1 ( 2x+3 2x 5) 1→+∞

− + =−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

στ. ( )2

x

1lim 4x 2x 10 2x

2→−∞+ + + =−

ζ. 2

x

1lim x( x 1 x)

2→+∞+ − =⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦ η.

2

x

x 1 xlim 0

x x 1→+∞

+ −=

− +

θ. x

x 1 xlim 1

x x 1→+∞

− −=

− +


α. ( )2 2

xlim x +x+1 + 4x +2x+1 3x 1→+∞

− =

β. ( )2 2

x

1lim x + x + 3 + x +1+2x

2→−∞=−

γ. ( )x 2

xlim e ημx + x +1 x→−∞

− =+∞

35. Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) = x 3x+2 μx− − . Να υπολογίσετε το xlim f(x)→−∞

,

για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού μ .

36. Δίνεται η συνάρτηση 23x 2x 4

f(x) λx μx 1

− + −= − −

−. Να υπολογίσετε

τους πραγματικούς αριθμούς λ, μ αν xlim f(x) 0→+∞

= .

37. Δίνεται η συνάρτηση 2f(x) = x + x 1 αx− − . Να υπολογίσετε τους

πραγματικούς αριθμούς α, β αν ισχύει x

βlim f(x) =

2→−∞ .

38. Δίνεται η συνάρτηση 22x + 3x + 1

f(x) = αx + β4x + 3

− . Να υπολογίσετε τους

πραγματικούς αριθμούς α , β αν ισχύει x

19lim f(x) =

8→+∞.

39. Δίνεται η συνάρτηση 3

2

x +1f(x) = αx +β

x +1− . Να προσδιορίσετε τους

πραγματικούς αριθμούς α , β αν ισχύει lim ( ) 4x

f x→+∞

= .

40. Δίνεται συνάρτηση f τετοια ώστε xlim f(x)→+∞

=+∞ . Αποδείξτε ότι

2

2x

x f (x) + 2f(x) + xlim = 1

x f (x) + x f(x) + 2f(x) 3→+∞ −



26

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω μια συνάρτηση f και x0 ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η συ-

νάρτηση f είναι συνεχής στο x0 όταν 0

0x xlim f(x) = f (x )→

Για παράδειγμα, η συνάρτηση f(x) = |x| είναι συνεχής στο 0, αφού

x xlim f(x) = lim|x| = 0 = f(0)→ →0 0

.

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο

xo του πεδίου ορισμού της όταν:

α. Δεν υπάρχει το όριο της f στο xo ή

β. Υπάρχει το όριο της f στο xo, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, οf(x ), στο

σημείο xo.

Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ

Μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα

λέγεται, απλά, συνεχής συνάρτηση.

Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρείναι συνεχής, αφού για κάθε xo∈R ισχύει:

ox x olim P(x) = P(x ).→

Κάθε ρητή συνάρτηση PQ

είναι συνεχής, αφού για κάθε xo του πεδίου ορισμού

της ισχύει: o

ox x

o

P(x )P(x)lim = .Q(x) Q(x )→

Οι συναρτήσεις f(x) = ημx και g(x) = συνx είναι συνεχείς, αφού για κάθε xo∈R

ισχύει: ( )ox x olim ημx = ημx→ και ( )

ox x olim συνx = συνx .→

Οι συναρτήσεις xf(x) = α και α

g(x) = log x , ≠0 < α 1 είναι συνεχείς.

Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις

Από τον ορισμό της συνέχειας στο xo και τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει το παρα-

κάτω θεώρημα:

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο xo, τότε είναι συνεχείς στο xo και οι

συναρτήσεις f + g, c·f, όπου c∈R, f g⋅ , fg

, | f | και ν f

με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το xο



27

Για παράδειγμα οι συναρτήσεις f(x) = εφx και g(x) = σφx είναι συνεχείς ως πηλίκα

συνεχών συναρτήσεων.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο xo και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο of(x ) ,

τότε η σύνθεσή τους gof είναι συνεχής στο xo.

Για παράδειγμα,η συνάρτηση

φ(x) = συν(ημx)

Είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου

ορισμού της ως σύνθεση των συνεχών συ-

ναρτήσεων f(x) = ημx και g(x) = συνx .

Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα

Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ

Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα, (α , β)όταν εί-

ναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α , β) . (σχ. 1)

Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α , β] ,

όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α , β) και επιπλέον +χ α

lim f(x) = f(α)→

και

x βlim f(x)

−→= f(β). (σχ. 2)

Προσοχή!!! Η συνέχεια στo κλειστό διάστημα [α,β] ΔΕΝ εξασφαλίζει τη συνέχεια

στα α , β.

.

φ(x) = συνy = συν(ημx)

y=ημx

g gof

f x

y

[ ] O β a x

(σχ . 2 )

y

( ) O

(σχ. 1) β a x



28

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. Να μελετηθούν ως προς τη συνέχεια στο ox =0 οι συναρτήσεις:

α. ⎧ ≠⎪⎨⎪⎩

ημx , x 0f(x) = x

1 , x = 0 β.

⎧ ≠⎪⎨⎪⎩

1-συν2x , x 0f(x) = x

1 , x = 0 γ.

⎧ ⋅⎪⎨⎪ ≤⎩

1ημx ημ , x > 0f(x) = x

συνx , x 0

Λύση

α. Είναι x 0 x 0

ημxlim f(x) = lim = 1= f(0)x→ →

, άρα η f είναι συνεχής στο xo= 0.

β. Είναι2

x 0 x 0 x 0

1 συν2x 2ημ xlim f(x)= lim = limx x→ → →

− =

x 0

ημxlim 2ημx = 2 0 1= 0 f(0)x→

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ≠⎜ ⎟⎝ ⎠

, άρα η f δεν είναι συνεχής στο xo= 0.

γ. Για x > 0 έχουμε 1 1ημx ημ = ημx ημ x 1= x = xx x

⋅ ⋅ ≤ ⋅ , οπότε

1x ημx ημ xx

− ≤ ⋅ ≤

Είναι ( )+ +x 0 x 0

lim x = 0 = lim x ,→ →

− άρα από Κριτήριο Παρεμβολής έχουμε ότι

+x 0

lim f(x) = 0→

Για x < 0 έχουμε x 0 x 0lim f(x) = lim συνx =1.→ →– –

Παρατηρούμε ότι +x 0 x 0

1= lim f(x) lim f(x)=0,→ →

≠–

δηλαδή δεν υπάρχει το όριο

x 0lim f(x),→

άρα η f δεν είναι συνεχής στο o x = 0.

2. Αν ⎧ −⎪⎨

− ≥⎪⎩

2 3

2

α x + x 2β , x < 1f(x) =

lnx β x , x 1 , να βρεθούν τις τιμές των α, β ∈R για τις ο-

ποίες η συνάρτηση f είναι συνεχής. Λύση

♦ Η f είναι συνεχής στο διάστημα (-∞, 1) ως πολυωνυμική.

♦ Η f είναι συνεχής στο διάστημα(1, ∞), ως άθροισμα συνεχών.

♦ Για να είναι η f συνεχής συνάρτηση πρέπει και αρκεί η f να είναι συνεχής και στο o x = 1, δηλαδή

+x 1 x 1lim f(x) = limf(x) = f(1).→ →–

Έχουμε: 2 3 2

x 1 x 1lim f(x) = lim (α x +x 2β) = α +1 2β.→ →

−– –

–

+ +

2 2 2

x 1 x 1limf(x) = lim(lnx β x) = ln1 β = β→ →

− − −

2 2f(1) = ln1 β = β− − .

Επομένως πρέπει και αρκεί



29

2 2α +1 2β = β− − ⇔ ( )22α + β 1 = 0 0 1− ⇔ α = και β = .

3. Έστω η συνεχής συνάρτηση →f : R R , η οποία για κάθε x∈R ικανοποιεί τη

σχέση −xf(x) = 1 + ημx 1 . Να βρεθεί το f(0)

Λύση

Για κάθε x R∗∈ ισχύει 1+ ημx 1f(x) = .

x−

Η f είναι συνεχής στο o x = 0, οπότε

( )( )( )x 0 x 0 x 0

1 + ημx 1 1 + ημx +11+ ημx 1f(0) = lim f(x) = lim = lim =

x x 1+ ημx +1→ → →

−−

( )x 0 x 0

1+ ημx 1 ημx 1 1 1= lim = lim = 1 =x 2 21+ημx +1x 1 + ημx +1→ →

⎛ ⎞−⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

4. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση →f : R R , η οποία για κάθε x R∈ ικανο-

ποιεί τη σχέση ( ) −x + ημx f(x) = x ημx .

Λύση

Για κάθε x R∗∈ ισχύει x ημxf(x) =x + ημx− .

Η f είναι συνεχής στο o x = 0, οπότε

x 0 x 0 x 0 x 0

x ημx ημx1x ημx 1 1x x xf(0) = limf(x) = lim = lim = lim = = 0x ημx ημxx+ημx 1+1+ 1+x x x

→ → → →

− −− −

Επομένως x ημx , x 0x+ ημxf(x) =

0 , x = 0

−⎧ ≠⎪⎨⎪⎩

5. Αν η συνάρτηση →f : R R είναι συνεχής στο o x = 1 και ικανοποιεί τη σχέση

( )− ≤ −2x 1 f(x) x 3x + 2 για κάθε x∈R, να βρεθεί το f (1) .

Λύση Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o x = 1, ισχύει

+x 1 x 1f(1) = limf(x) = lim f(x).

→ → –

Για κάθε x (1, + )∈ ∞ είναι 2x 3x + 2f(x) f(x) x 2,

x-1−

⇔ −≤ ≤ οπότε:

+ + +x 1 x 1 x 1

limf(x lim (x 2) limf(x) 1 f(1) 1→ → →

≤ − ⇔ ≤ − ⇔ ≤ −) (1)

Για κάθε x ( , 1)∈ −∞ είναι 2x 3x + 2f(x) f(x) x 2,

x 1−

≥ ⇔ ≥ −−

οπότε

+ + +x 1 x 1 x 1

limf(x) lim (x-2) limf(x) 1 f(1) 1→ → →

≥ ⇔ ≥ − ⇔ ≥ − (2)

Από (1) και (2) έχουμε ότι f(1) = 1.−



30

6. Έστω συνάρτηση →f : R R , η οποία είναι συνεχής στο xo = 0 και για κάθε

x∈R ικανοποιεί τη σχέση ≤ ≤2 2ημx - x xf(x) ημx + x . Να βρεθεί το f(0)

Λύση Για κάθε x (0 , + )∈ ∞ είναι

2 2ημx x ημx + x ημx ημxf(x) x f(x) + x

x x x x−

≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ .

Είναι

+x 0

ημxlim x =1x→

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

και +x 0

ημxlim + x =1x→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, οπότε από το Κριτήριο Παρεμβολής

έχουμε ότι και +x 0

lim f(x) =1→

.

Επεδή η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o x = 0 , ισχύει +x 0

f(0) = lim f(x)→

οπότε

f(0) =1.

7. Αν η συνάρτηση R ,f : R → ικανοποιεί τη σχέση f (x + y) = f(x) + f(y) για κάθε

x, y R∈ (1). Να αποδειχθεί ότι:

α. f(0) = 0.

β. Αν η f είναι συνεχής στο ox =0, τότε η f είναι συνεχής στο R.

γ. Αν η f είναι συνεχής στο ox =α , α R,∈ τότε η f είναι συνεχής στο R.

Λύση α. Για x = y = 0 έχουμε f(0) = f(0) + f(0) f(0) = 0.⇔ (2)

β. Η f είναι συνεχής στο ox = 0, οπότε x 0 x 0limf(x) = f(0) limf(x) = 0.→ →

⇔(2)

(3)

Έστω τυχαίο ox R∈ . Αρκεί να αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο x0,

δηλαδή o

ox xlim f(x) = f(x ).→

Θέτουμε o x = x + h, οπότε όταν ox x→ το h 0.→

Έχουμε: (3)

o o oh 0 h 0limf(x ) + limf(h) = f(x ) + 0 = f(x )→ →

Επομένως η f είναι συνεχής στο R γ. Η f είναι συνεχής στο ox =α , οπότε

x αlimf(x)=f(α)→

. (4)

Έστω τυχαίο ∈ox R . Αρκεί να αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο ox ,

δηλαδή o

ox xlim f(x) = f(x ).→

Θέτουμε o x = x + h α− , οπότε όταν ox x→ το h α.→

Έχουμε:

[ ]o

(1) (4)

o o ox x h α h α h α h αlim f(x) = limf(x + h α) = lim f(h) + f(x α) = limf(h)+ lim f(x α) =→ → → → →

− − −

(1)

o o of(α)+f(x α) = f(α +x α) = f(x ).− − Επομένως η f είναι συνεχής στο R.



31

Β Α Σ Ι Κ Α Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α Τ Α

Σ Υ Ν Ε Χ Ω Ν Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε ΩΝ Θεώρημα του Bolzano

Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παρά-

σταση μιας συνεχούς συνάρτησης f στο [α , β] .

Επειδή τα σημεία A(α, f(α)) και B(β , f(β))

βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα x x′ , η γρα-

φική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα

τουλάχιστον σημείο.

Ισχύει λοιπόν το παρακάτω θεώρημα.

Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α , β] . Αν:

• η f είναι συνεχής στο [α , β] και • f(α) f(β) < 0⋅

τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον οx (α , β)∈ τέτοιο, ώστε οf(x ) = 0 .

Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης οf(x ) = 0 στο ανοικτό διάστη-

μα (α , β) .

Π Α Ρ Α Τ Η Ρ Η Σ Ε Ι Σ

♦ Για να ισχύει το Θεώρημα Bolzano πρέπει να ισχύουν απαραιτήτως και οι δύο

προϋποθέσεις του.

♦ Αν μια τουλάχιστον από τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzanο δεν ισχύει,

τότε αυτό δε σημαίνει κατ’ ανάγκη ότι δεν υπάρχει οx (α , β)∈ τέτοιο, ώστε

οf(x ) = 0 .

♦ Το Θεώρημα Bolzano εφαρμόζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

♦ Το Θεώρημα Bolzano εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσω-

σης οf(x ) = 0 . Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να υπάρχουν και περισσότερες από μία

ρίζες, όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα.

♦ Δεν ισχύει το αντίστροφο του Θεωρήματος

Bolzano, όπως φαίνεται και στο διπλανό

σχήμα, δηλαδή η ύπαρξη μιας ρίζας δεν

εξασφαλίζει τη συνέχεια της συνάρτησης

f στο [α , β] ούτε ότι οι τιμές f(α) και f(β)

είναι ετερόσημες.

′′οx ′

οx οx

y

B(β,f(β)

Α(α,f(α)) f(a)

f(β)

O β a

x



32

Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ

1. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 2x - ημx = συνx έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο

διάστημα (0 , ).π

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = 2x ημx συνx ,− − x R∈ και παρατηρούμε ότι:

♦ Η f είναι συνεχής στο διάστημα[0 , π]ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

♦ f(0) f(π) = ( 1) (2π + 1) = 2π 1<0.⋅ − ⋅ − −

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση f(x)=0 2x ημx = συνx⇔ − έχει

μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0 , π).

2. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ⋅1x + = x συν xx

π έχει μια τουλάχιστον θετική

ρίζα.

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση 1f(x) = x+ x συνπx,x− ⋅ x (0 , + )∈ ∞ και παρατηρούμε

ότι:

♦ Η f είναι συνεχής στο [1 , 4] , ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρ-

τήσεων.

♦ 7 21f(1) f(4) = 3 < 0 .4 4

⎛ ⎞⋅ ⋅ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση 1f(x) = 0 x+ = x συν xx

π⇔ ⋅

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1, 4), δηλαδή μια τουλάχιστον

θετική ρίζα. 3. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 56 2219x + 3x = 2 έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο-

διάστημα −( 1, 1).

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση 56 22f(x) = 19x + 3x 2,− x R∈ και παρατηρούμε ότι:

• Η f είναι συνεχής στα διαστήματα [ 1 , 0]– και [0, 1] ως πολυωνυμική.

• ( )f( 1) f(0) = 20 2 = 40 < 0⋅ ⋅– – – και ( )f(0) f(1) = 2 20 = 40 < 0 .⋅ ⋅– –

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano σε δύο διαστήματα, επομένως η εξίσωση



33

f(x) = 0 56 2219x + 3x = 2⇔ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( 1 , 0)−

και μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1) δηλαδή δύο τουλάχιστον ρίζες

στο ( 1, 1)− .

4. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ( )2lnx+ x α =0,− με α 1≠ έχει μια τουλάχιστον

ρίζα στο διάστημα (0 ,1).

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )2f(x) = lnx + x α ,− x (0 , + )∈ ∞ .

Είναι x 0lim f(x) =

+→− ∞ , άρα f(x) < 0 κοντά στο o x = 0 από μεγαλύτερες τιμές, δηλαδή

υπάρχει διάστημα της μορφής (0, β) με β < 1 τέτοιο, ώστε f(x) < 0 για κάθε

x (0 , β),∈ οπότε f(κ) 0< για κ (0 , β).∈

Παρατηρούμε ότι: ψωψ

♦ Η f είναι συνεχής στο ( ][κ ,1] 0 , 1⊆ ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

♦ 2f(κ) f(1)= f(κ) (1 α) <0< >

⋅ ⋅ −0 0

(αφού α 1≠ ) Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα

η εξίσωση ( )2f(x) = 0 lnx + x α = 0⇔ − έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα

( ) ( )κ ,1 0,1 ,⊆ άρα μια τουλάχιστον ρίζα στο ( )0 , 1 .

5. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 8 12x +1 x +2+ = 0

x 1 x 2− − έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο

διάστημα (1 , 2) .

Λύση 1ος τρόπος (γενικός τρόπος)

Θεωρούμε τη συνάρτηση 8 12x +1 x +2f(x) = + ,

x 1 x 2− − x (1, 2)∈ .

Είναι x 1limf(x) =

+→+ ∞ , άρα f(x) > 0κοντά στο 1x =1 από μεγαλύτερες τιμές,

δηλαδή υπάρχει διάστημα της μορφής (1, α) τέτοιο, ώστε f(x) > 0 για κάθε

x (1 , α),∈ οπότε f(κ) > 0 για κ (1, α).∈

Είναι -x 2

limf(x) =→

−∞ , άρα f(x) < 0 κοντά στο 2x = 2 από μικρότερες τιμές,

δηλαδή υπάρχει διάστημα της μορφής (β, 2) με β > α τέτοιο, ώστε f(x) < 0

για κάθε x (β , 2),∈ οπότε f(λ) 0< για λ (β , 2)∈ .

Παρατηρούμε ότι:



34

♦ Η f είναι συνεχής στο ( )[κ , λ] 1, 2⊆ ως ρητή συνάρτηση.

♦ 0 0

f(κ) f(λ) <0 .> <

⋅

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση 8 12x +1 x +2f(x)=0 = 0

x 1 x 2⇔

− −+ έχει

μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( )[κ , λ] 1, 2⊆ άρα μια τουλάχιστον ρίζα

στο ( )1, 2 .

2ος τρόπος (ειδικός τρόπος)

Για κάθε x R 1, 2−∈ είναι

( )( ) ( ) ( )8 12

8 12x +1 x + 2+ = 0 x 2 x +1 + x 1 x + 2 = 0.x 1 x 2

⇔ – –– –

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( )( )8 12f(x) = x 2 x +1 + x 1 x +2 ,− − x R∈ και παρατη-

ρούμε ότι:

♦ Η f είναι συνεχής στο διάστημα [1 , 2] ως πολυωνυμική.

♦ 12f(1) f(2) = ( 2) (2 +2) < 0.⋅ − ⋅

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 1, 2∈

τέτοιο, ώστε

( )( ) ( )( )( )

( )( ) 8 128 12 ξ +1 ξ +2f(ξ) = 0 ξ-2 ξ +1 + ξ 1 ξ + 2 = 0 + = 0

ξ 1 ξ 2∈⇔ − ⇔

− −

ii

ξ 1 , 2

ξ-1 ξ-2

. (1)

Από τη σχέση (1) συμπεραίνουμε ότι ο αριθμός ( )ξ 1, 2∈ επαληθεύει την

αρχική εξίσωση 8 12x +1 x +2+ = 0

x 1 x 2– –.

Επομένως η αρχική εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1, 2).

6. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 2x = x + ασυνx, α Rπ ∈ έχει μια τουλάχιστον

ρίζα στο διάστημα [ ]0 , .π

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2f(x) = x πx ασυνx,− − ∈x R και παρατηρούμε ότι:

♦ Η f είναι συνεχής στο [ ]0, ,π ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

♦ 2f(0) f(π)= α 0 .⋅ − ≤

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

i. Αν α 0≠ τότε f(0) f(π) < 0,⋅ οπότε ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα



35

υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 0 , π∈ έτσι, ώστε f(ξ) = 0.

ii. Αν α = 0 τότε η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

( )2x = πx x x π = 0 x = 0 ή x = π .⇔ − ⇔

Επομένως για κάθε α R∈ η εξίσωση 2x = πx + α συνx έχει μια τουλάχιστον

ρίζα στο διάστημα [ ]0 , .π

7. Έστω συνάρτηση →f :[α, β] R , η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τη

σχέση ( ) ( )⋅ ⋅2 2α + 1 f(a) + β + 1 f(β) = 0. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση

f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ ]α , β .

Λύση Είναι

( ) ( )2

2 22

α +1α +1 f(α) + β +1 f(β) = 0 f(β) = f(α)β +1

⇔ − (1)


♦ Η f είναι συνεχής στο [ ]α, ,β από υπόθεση.

♦ 2(1)

22

α +1f(α) f(β) = f (α) 0 .β +1

⋅ − ⋅ ≤


i. Αν f(α) f(β) <0⋅ τότε ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση f(x) = 0

έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( )α , β .

ii. Αν f(α) f(β) = 0⋅ τότε f(α) = 0ή f(β) = 0 , οπότε ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0

είναι το α ή το β.

Επομένως η εξίσωση f(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα

[ ]α, .β

8. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση xe + x - 2 = 0 έχει μια ακριβώς πραγματική ρί-

ζα.

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση xe + x 2 = 0− x R∈ και παρατηρούμε ότι:

♦ Η f είναι συνεχής στο διάστημα [0 ,1]ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.

♦ f(0) f(1) = ( 1) (e 1) = 1 e < 0.⋅ ⋅– – –

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα η εξίσωση xf (x) 0 e + x 2 = 0= ⇔ – έχει μια



36

τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (0, 1), άρα έχει μια τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

Για κάθε x R∈ είναι ( ) >x xf (x) = e + x-2 = e +1 0,΄ ΄ άρα η f είναι γνησίως αύξουσα

στο R, οπότε η εξίσωση xf(x)=0 e + x 2 = 0⇔ − έχει μια ακριβώς πραγματική ρίζα.

9. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση

( )( ) ( )( ) ( )( )α x – β x – γ + β x – γ x – α + γ x – α x – β = 0 με 0 < α < β < γ

έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )( ) ( )( ) ( )( )f(x) = α x β x γ +β x γ x α + γ x α x β ,– – – – – –

x R∈ και παρατηρούμε ότι:

♦ Η f είναι συνεχής στα διαστήματα [α ,β] και [β , γ] ως πολυωνυμική.

♦ ( ) ( )( )2

0 0 0 0

f(α) f(β) = αβ α β β γ α γ 0 < > < <

⋅ − − − − < και

( ) ( )( )0 0 0 0

f(β) f(γ) = βγ β γ β α γ α 0< > > >

⋅ − − − − <2

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano σε δύο διαστήματα, επομένως η εξίσωση

( )( ) ( )( ) ( )( )f(x) = 0 α x β x γ + β x γ x α + γ x α x β = 0⇔ − − − − − − έχει μια τουλά-

χιστον ρίζα στο διάστημα (α , β) και μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (β , γ),

δηλαδή δύο τουλάχιστον πραγματικές ρίζες.

Όμως η εξίσωση ( )( ) ( )( ) ( )( )α x–β x–γ + β x–γ x–α + γ x–α x–β = 0 είναι

πολυωνυμική 2ου βαθμού, οπότε έχει το πολύ δύο πραγματικές ρίζες.

Επομένως η δοθείσα εξίσωση έχει δύο ακριβώς πραγματικές ρίζες, οι οποίες είναι

και άνισες μεταξύ τους αφού ανήκουν σε διαφορετικά διαστήματα.

10. Έστω συνεχής συνάρτηση f :[α , β] R ,→ με .f(α) f(β)≠ Να αποδειχθεί ότι

υπάρχει ένα τουλάχιστον ox (α , β)∈ τέτοιο, ώστε οκf(α) + λf(β)f(x ) =

κ + λ, όπου

κ , λ R∈ με κ λ > 0.⋅

Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )g(x) = κ + λ f(x) κf(α) λf(β) ,− − x [α , β]∈ και παρα-

τηρούμε ότι:

♦ Η g είναι συνεχής στο [α ,β] , ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ συνεχών συναρ-

τήσεων.



37

♦ [ ] 2g(α) g(β) = κλ f(α) f(β) < 0,⋅ − − αφού κλ > 0 και f(α) f(β).≠

Ισχύει το Θεώρημα Bolzano, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ox (α , β)∈ τέτοιο,

ώστε ( )o o οκf(α) + λf(β)g(x ) = 0 κ + λ f(x ) κf(α) λf(β) = 0 f(x ) = .

κ + λ⇒ − − ⇔

Π Ρ Ο Τ Α Σ Η

Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό,

δηλαδή f(x) 0≠ για κάθε x Δ∈ , τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε x Δ∈ ή είναι

αρνητική για κάθε x Δ∈ , δηλαδή διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ.

Απόδειξη

Έστω ότι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ, τότε θα υπάρχουν κ , λ Δ∈ με

κ < λ τέτοια, ώστε f(κ) f(λ) 0.⋅ ≤


♦ Αν f(κ) f(λ) 0⋅ = τότε f(κ) = 0 ή f(λ) = 0 που είναι άτοπο γιατί f(x) 0≠ για κάθε

x Δ.∈

♦ Αν f(κ) f(λ)<0⋅ και επειδή η f είναι συνεχής στο [κ , λ] Δ⊆ ισχύει το Θεώρημα

Bolzano, άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (κ , λ)∈ έτσι, ώστε f(ξ) = 0, που είναι

άτοπο γιατί f(x) 0≠ για κάθε x Δ.∈ Άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Δ.

ΣΧΟΛΙΟ

Από το θεώρημα του Bolzano και την προηγούμενη Πρόταση προκύπτει ότι:

♦ Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα

διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.

x

y

ρ5 ρ4 ρ3 ρ2 ρ1

+

− − +

− + Ο

Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της f για τις διάφορες

τιμές του x. Συγκεκριμένα, ο προσδιορισμός αυτός γίνεται ως εξής:

α. Βρίσκουμε τις ρίζες της f.

β. Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έ-

ναν αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό

είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα.



38

Ε Φ Α Ρ Μ Ο Γ Ε Σ

1. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης −f(x) = ημ2x 2συνx , για τις διάφο-

ρες τιμές του x [0 , π].∈

Λύση ♦ Βρίσκουμε τις ρίζες της f.

Είναι

( )f(x)= 0 ημ2x 2συνx = 0 2ημxσυνx 2συνx = 0 συνx 2ημx 2 = 0⇔ − ⇔ − ⇔ − ⇔

π x = κπ+ συνx = 0 συνx = 0 2 ή ή ή , κ Z

π π 3π2 ημx = ημ x = 2κπ+ ή x = 2κπ+ ημx = 4 4 42

⎧ ⎧⎧⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⇔ ⇔ ∈⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎩⎪⎩

Επειδή x [0 , π]∈ οι ρίζες της εξίσωσης είναι: πx =4

, πx = 2

και 3πx = 4

.

♦ Οι ρίζες της f χωρίζουν το διάστημα [0 , π] στα υποδιαστήματα:

π π π π 3π 3π0 , , , , , , , π .4 4 2 2 4 4

⎡ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎤⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎦

♦ Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες, επιλέγουμε ένα τυχαίο αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της f στον αριθμό αυτό. Το πρόσημο αυτό είναι και το πρόσημο της f στο αντίστοιχο διάστημα.

♦ Στο διάστημα π0 , ,4

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

επιλέγουμε τον αριθμό π6

και έχουμε:

π π π 3 3 3 6f = ημ 2συν = 2 = < 0,6 3 6 2 2 2

−⎛ ⎞ − − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

άρα f(x)< 0 για κάθε πx 0 , .4

⎡ ⎞∈ ⎟⎢⎣ ⎠

♦ Στο διάστημα π π, ,4 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

επιλέγουμε τον αριθμό π3


π 2π π 3 1 3 2f = ημ 2συν = 2 = > 0,3 3 3 2 2 2

−⎛ ⎞ − − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

άρα f(x) > 0 για κάθε π πx , .4 2

⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

♦ Στο διάστημα π 3π, ,2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

επιλέγουμε τον αριθμό 2π3


2π 4π 2π 3 1 3 + 2f = ημ 2συν = 2 = < 0,3 3 3 2 2 2

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠



39

άρα f(x) < 0 για κάθε π 3πx , .2 4

⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠

♦ Στο διάστημα 3π , π ,4

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

επιλέγουμε τον αριθμό 5π6

και έχουμε

5π 5π 5π 3 3 3 + 6f = ημ 2συν = 2 = > 0,6 3 6 2 2 2

⎛ ⎞ −⎛ ⎞ − − − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

άρα f(x) > 0 για κάθε 3πx , π .4

⎛ ⎤∈⎜ ⎥⎝ ⎦

• Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται συγκεντρωτικά τα αποτελέσματα του ελέγχου

του προσήμου της f σε κάθε διάστημα.

2. Δίνεται συνάρτηση →f : R R , η οποία είναι συνεχής και ικανοποιεί τη σχέση

3 2 6f (x) - 3x f(x) + x + 1 = 0 για κάθε x∈R (1).

α. Να αποδειχθεί ότι ≠f(x) 0 για κάθε x∈R

β. Να βρεθεί το f(0).

γ. Να αποδειχθεί ότι f(x) < 0 για κάθε x∈R Λύση

α. Έστω ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ox R∈ τέτοιο, ώστε of(x ) = 0 (2).

Για ox = x από την (1) έχουμε:

(2)

3 2 6 6 6o o o o o of (x ) 3x f(x ) + x +1 = 0 x +1= 0 x = 1− ⇔ ⇔ −

το οποίο είναι άτοπο, άρα f(x) 0≠ για κάθε x R .∈

β. Για x = 0 από την (1) έχουμε:

3 3f (0) + 1= 0 f (0) = 1 f(0) = 1⇔ ⇔– –

γ. Η συνάρτηση f είναι συνεχής και δε μηδενίζεται στο R, οπότε διατηρεί σταθερό

πρόσημο στο R. Επειδή f(0) = 1< 0– συμπεραίνουμε ότι f(x) < 0 για κάθε x∈R

Διάστημα

π0 ,4

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

π π,4 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

π 3π,2 4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3π , π4

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

Επιλεγμένο ς αριθμός ox

π6

π3

2π3

5π6

( )of x 3 62− 3 2

2− 3+ 2

2− 3+ 6

2−

Πρόσημο – + – +



40

3. Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση →f : R R , η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις

f(1) > 1 και 2 xf (x) - 2xf(x) - e = 0 για κάθε ∈x R .

Λύση

Για κάθε x R∈ έχουμε: 2 x 2 xf (x) 2xf(x) e = 0 f (x) 2xf(x) = e⇔ ⇔– – –

( )22 2 x 2 x 2f (x) 2xf(x) + x = e +x f(x) x = e + x⇔– – ⇔

2 x 2g (x) = e + x (1) , όπου g(x) = f(x) x.−

Για κάθε x R∈ είναι x 2 2e +x > 0 g (x) 0 g(x) 0⇔ > ⇔ ≠ και επειδή η συνάρτη-

ση g είναι συνεχής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R.

Για x = 1 έχουμε g(1) = f(1) 1 > 0,– οπότε g(x) > 0 για κάθε x R .∈

Αφού g(x) > 0 για κάθε x R∈ , από (1) ισοδύναμα έχουμε x 2g(x) = e + x ⇔

x 2 x 2f(x) x = e +x f(x) = x + e + x⇔– , x R .∈

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

Το επόμενο θεώρημα αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano και είναι

γνωστό ως θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μια συνάρτηση f , ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α , β] . Αν:

♦ η f είναι συνεχής στο [α , β] και

♦ f(α) f(β)≠

τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον

οx (α , β)∈ τέτοιο, ώστε οf(x ) = η .

Απόδειξη

Υποθέτουμε ότι f(α) < f(β) , τότε θα

ισχύει f(α) < η < f(β). θεωρούμε τη

συνάρτηση g(x) = f(x) –η , x [α , β].∈


♦ Η g είναι συνεχής στο [α , β]

και

♦ ( ) ( )g(α) g(β) = f(α) η f(β) η < 0< 0 > 0

⋅ ⋅– – .

′′οx ′

οx οx

y

B(β , f (β))

Α(α , f (α)) f (a)

f (β)

η

β a

y=η

x O



41

Ισχύει λοιπόν το θεώρημα Bolzano, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

οx (α , β)∈ τέτοιο, ώστε ο ο οg(x ) = 0 f(x ) η = 0 f(x ) = η⇔ − ⇔ .

ΣΧΟΛΙΟ

Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α , β] , τότε δεν παίρνει υπο-

χρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές.

♦ Με τη βοήθεια του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών αποδεικνύεται ότι:

Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτη-

σης f είναι διάστημα.

ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης και ελάχιστης τιμής)

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α , β] , τότε η f παίρνει στο [α , β] μια μέγιστη

τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.

Δηλαδή, υπάρχουν 1 2

x , x [α , β]∈ τέτοια, ώστε,

αν 1

m = f(x ) και 2

M = f(x ) , να ισχύει

m f(x) M≤ ≤ , για κάθε x [α , β].∈

ΣΧΟΛΙΟ

Από το παραπάνω Θεώρημα και το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών προκύπτει ότι το

σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [α , β] είναι το

κλειστό διάστημα [m , M], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της.

Επομένως:

• Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε

το f (Δ) , δηλαδή το σύνολο τιμών της f για το διάστημα αυτό δίνεται στον παρα-

κάτω πίνακα.

y

[ ] O β a x x1 x2

Μ

m m Μ



42

Δ

[α , β]

[ )α , β

( ]α, β

(α , β)

f (Δ) ( ) ( )f α , f β⎡ ⎤⎣ ⎦ x β

f(α) , limf(x)→

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠–

+x αlim f(x) , f(β)→

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

+x α x βlim f(x) , lim f(x)→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠–

Δ

( ], α∞-

( , α)∞–

[ )α , +∞

(α , + )∞

f (Δ) ( xlim f(x), f(α)→ ∞

⎤⎥⎦-

x x αlim f(x), lim f(x)→ ∞ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠–-

)xf(α), lim f(x)

→ ∞

⎡⎢⎣ +

+ xx α

lim f(x), lim f(x)→ ∞→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠+

Δ ( , + )∞ ∞–

f (Δ)

( )lim f(x) , lim f(x)→ ∞ → ∞x - x +

♦ Aν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα διάστημα Δ,

τότε το f (Δ) , δηλαδή το σύνολο τιμών της f για το διάστημα αυτό δίνεται στον

παρακάτω πίνακα.

Δ [α , β] [ )α , β ( ]α, β (α , β)

f (Δ) ( ) ( )f α , f β⎡ ⎤⎣ ⎦ x βlim f(x) , f(α)→

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦–

+x αf(β), limf(x)

→

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

+x β x αlim f(x) , lim f(x)→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠–

Δ ( ], α∞- ( , α)∞– [ )α , +∞ (α , + )∞

f (Δ) )xf(α), lim f(x)

→ ∞

⎡⎢⎣ –

xx αlim f(x) , lim f(x)

→ ∞→

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠– –

( x +lim f(x) , f(α)→ ∞

⎤⎥⎦

+x + x αlim f(x) , lim f(x)→ ∞ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Δ ( , + )∞ ∞–

f (Δ) ( )x + xlim f(x), lim f(x)→ ∞ → ∞–



43

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

1. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R→ με ( )f -1 =1, η οποία ικανοποιεί τη σχέ-

ση 6f (f (x))+ x f (x) = 0 για κάθε ∈x R . Nα βρεθούν οι τιμές ( )f 1 και ( )f 0 .

Λύση

Για x = –1 από τη δοθείσα σχέση έχουμε:

6f (f ( 1))+ ( 1) f ( 1) = 0 f (1) + 1 = 0 f (1) = 1⇔ ⇔– – – –

Είναι ( ) ( )f 1 = 1< 0 <1 = f 1– – και η f είναι συνεχής στο [ ]1 , 1 ,– οπότε από Θεώ-

ρημα Ενδιαμέσων Τιμών θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )οx 1 , 1∈ – τέτοιο, ώστε

οf(x ) = 0.

Για οx = x από τη δοθείσα σχέση έχουμε:

6 6ο ο ο οf (f (x )) + x f (x ) = 0 f (0) + x 0 = 0 f (0)=0.⇔ ⋅ ⇔

2. Υποθέτουμε ότι υπάρχει συνάρτηση [ ]→f : 0 , 1 R με ( )f 0 =1 και ( )f 1 = 3, η

οποία ικανοποιεί τη σχέση −3 2f (x) 4f (x) = x +1 για κάθε [ ]x 0 , 1 .∈ Nα απο-

δειχθεί ότι η f δεν είναι συνεχής.

Λύση

Υποθέτουμε ότι η f είναι συνεχής συνάρτηση.

Είναι ( ) ( )1=f 0 f 1 =3≠ και επειδή η f είναι συνεχής στο [ ]0 , 1 , ισχύει το Θεώ-

ρημα Ενδιαμέσων Τιμών, οπότε η f θα παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των

( )f 0 = 1 και ( )f 1 =3 ,άρα θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )οx 0 , 1∈ τέτοιο, ώστε

οf(x ) = 2.

Για οx = x από τη δοθείσα σχέση έχουμε:

3 2 3 2 2ο ο ο ο οf (x ) 4f (x ) = x +1 2 4 2 = x +1 x +1= 0.− ⇔ − ⋅ ⇔

Η εξίσωση όμως 2οx +1 = 0 είναι αδύνατη στο R, άρα και στο διάστημα ( )0 , 1 ,

οπότε η f δεν είναι συνεχής.

3. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : R R ,→ οι οποίες ικανοποιούν τη

σχέση 2f (x) - 4f (x) - 5 = 0 για κάθε ∈x R .

Λύση

1ος τρόπος



44

Για κάθε x R∈ είναι ( )( )2f (x) 4f (x) 5 = 0 f (x)+1 f (x) 5 = 0,⇔– – – άρα για

οx R∈ ισχύει ( )( )ο οf (x ) +1 f (x ) 5 = 0– , οπότε ή οf (x ) = 1– ή οf (x ) = 5 .

(επειδή μια συνάρτηση σε ένα xo δεν μπορεί να πάρει δύο διαφορετικές τιμές).

Οι τιμές λοιπόν που μπορεί να πάρει η συνάρτηση f στο xo είναι ή το – 1 ή το 5.

Θα αποδείξουμε τώρα ότι για κάθε x R∈ ισχύει ή f (x) = 1− ή f (x) = 5 , δηλαδή

η f είναι σταθερή συνάρτηση.

Αν υποθέσουμε ότι η f δεν είναι σταθερή συνάρτηση τότε θα υπάρχουν x1, x2 ∈ R

με 1 2x x≠ (χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι 1 2x < x ),

τέτοια ώστε 1f (x ) = 1− και 2f (x ) = 5 . Για τη συνάρτηση f έχουμε ότι είναι συνε-

χής στο [ ]1 2 x , x και 1 21= f (x ) f (x ) = 5− ≠ ,

άρα ισχύει το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, οπότε η f θα παίρνει όλες τις τιμές

μεταξύ των 1f (x ) = 1− και 2f (x ) = 5 , οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον

( )ο 1 2x x , x∈ τέτοιο, ώστε οf(x ) = 2 που είναι άτοπο.

Επομένως ή f (x) = 1− για κάθε x R∈ ή f (x) = 5 για κάθε x R .∈

2ος τρόπος

Για κάθε x∈ R είναι

2 2f (x) 4f (x) 5 = 0 f (x) 4f (x) = 5⇔ ⇔– – – 2f (x) 4f (x) + 4 = 9– ⇔

( )2 2f (x) 2 = 9 g (x) = 9⇔– (1), όπου g(x) = f (x) 2−

Για κάθε x∈ R είναι 2g (x) > 0 g(x) 0⇔ ≠ και επειδή η συνάρτηση g είναι συνε-

χής, ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο R.

Άρα για κάθε x∈ R θα είναι ή g(x) < 0 ή g(x) > 0 .


♦ Αν για κάθε x∈ R είναι g(x) < 0 , τότε από (1) έχουμε

g(x) = 3 f (x) 2 = 3 f (x) = 1.⇔ ⇔– – – –

♦ Αν για κάθε x∈ R είναι g(x) > 0 , τότε από (1) έχουμε

g(x) = 3 f (x) 2 = 3 f (x) = 5.⇔ ⇔–

Επομένως ή f (x) = 1− για κάθε x∈ R ή f (x) = 5 για κάθε x∈ R.



45

4. α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης −1f (x) = ημxx

, .⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

πx 0 ,2

∈

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση −xημx = 1 x έχει μια ακριβώς ρίζα στο ⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

π0 , .2

Λύση

α. Η f είναι συνεχής στο διάστημα πΔ = 0, ,2

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

ως διαφορά συνεχών.

Για κάθε 1 2πx , x 0 ,2

⎛ ⎤∈ ⎜ ⎥⎝ ⎦ με 1 2x < x είναι:

1 2 1 2

1 2 1 21 2

1 2 1 2

ημx < ημx ημx < ημx1 1ημx < ημx f (x ) < f (x ),1 1 1 1> < x x

x x x x

+⎧ ⎧⎪ ⎪

⇔ − − ⇔⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩

⇒– –

άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο π0 , .2

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι +x 0

π π 2

2 πf (Δ) = lim f(x), f = , .

→

⎛ ⎤ ⎛ ⎤⎛ ⎞ ∞⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎥ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎦⎝ ⎦

––

β. Για κάθε πx 0 , 2

⎛ ⎤∈ ⎜ ⎥⎝ ⎦ είναι:

1 x 1 1xημx = 1 x ημx = ημx = 1 ημx 1 f(x) = 1.x x x

⇔ ⇔ ⇔ − ⇔ −=–– – –

Ο αριθμός 1 f (Δ)− ∈ , άρα θα υπάρχει ένα πξ Δ= 0, 2

⎛ ⎤∈ ⎜ ⎥⎝ ⎦και μάλιστα μοναδι-

κό, αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τέτοιο, ώστε f(ξ) = 1− ⇔

ξ ημξ = 1 ξ.−

Επομένως η εξίσωση f(x) = 1 xημx = 1 x− ⇔ − έχει μια ακριβώς ρίζα στο

⎛ ⎤⎜ ⎥⎝ ⎦

π0 , .2

5. α. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης 2f (x) = εφx + x , ⎡ ⎞∈ ⎟⎢⎣ ⎠πx 0 , .2

β. Να λύσετε την εξίσωση ( )2x +1 συνx +ημx = 0 στο ⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

π0 , .2

Λύση

α. Η f είναι συνεχής στο διάστημα πΔ = 0, ,2

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

ως άθροισμα συνεχών.



46

Για κάθε 1 2πx , x 0 ,2

⎡ ⎞∈ ⎟⎢⎣ ⎠ με 1 2x < x είναι:

1 2 2 22 2 1 1 2 2 1 2

1 2

εφx < εφxεφx + x < εφx + x f (x ) f (x ),

x < x

+⎧⎪ ⇔ <⎨⎪⎩

⇒

άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο π0, .2

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι ( ) [ )πx 2

f (Δ) = f 0 , lim f(x) = 0 , + −→

⎡ ⎞∞⎟⎢

⎣ ⎠.

β. Για κάθε πx 0 ,2

⎡ ⎞∈ ⎟⎢⎣ ⎠ είναι: ( )2x +1 συνx +ημx = 0 ⇔

( )2x +1 συνx = ημx•

•

− ⇔συνx

2 2x +1= εφx εφx+x = 1 f(x)= 1.− ⇔ − ⇔ −

Ο αριθμός 1 f (Δ)− ∉ , άρα δεν υπάρχει πξ Δ= 0 ,2

⎡ ⎞∈ ⎟⎢⎣ ⎠ τέτοιο, ώστε f(ξ) = 1.−

Επομένως η εξίσωση ( )2f(x) = 1 x +1 συνx +ημx = 0− ⇔ είναι αδύνατη στο

π0 , .2

⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠

6. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ ]α, β και [ ]∈ν1 2x , x , ..., x α , β .

Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [ ]∈ξ α , β τέτοιο, ώστε

ν1 2f(x ) + f(x ) + ... + f(x )

f(ξ) = .ν

Λύση

Η f είναι συνεχής στο διάστημα [ ]α , β , οπότε ισχύει το Θεώρημα Μεγίστης και

Ελαχίστης Τιμής, άρα η f παίρνει στο [ ]α , β μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη

τιμή m και ισχύει m f(x) M≤ ≤ για κάθε x [α , β].∈

Επομένως για [ ]ν1 2x , x ,..., x α , β∈ έχουμε:

1

2

ν

m f(x ) M

m f(x ) M

......................m f(x ) M

+

≤ ≤ ⎫⎪

≤ ≤ ⎪⎬⎪⎪≤ ≤ ⎭

⇒

ν1 2νm f(x ) + f(x )+...+ f(x ) νM≤ ≤ ⇔ ν1 2

f(x )+ f(x ) +...+ f(x )m M

ν≤ ≤




47

♦ Αν m = M , τότε η f είναι σταθερή συνάρτηση. Έστω ότι f(x) = c , c R∈ , τότε

ισχύει ν1 2f(x ) = f(x ) =...= f(x ) = c , οπότε m = c = M.

Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει [ ]ξ α , β∈ τέτοιο, ώστε

c + c +...+ c νcf(ξ) = = = c,ν ν

που ισχύει για οποιοδήποτε [ ]ξ α , β∈ .

♦ Αν m < M , τότε το σύνολο τιμών της f είναι [ ]( ) [ ]f α , β = m , M και επειδή ο

αριθμός ν1 2f(x ) + f(x ) +...+ f(x )

ν ανήκει στο σύνολο τιμών της f θα υπάρχει ένα

τουλάχιστον [ ]ξ α , β∈ τέτοιο, ώστε ν1 2f(x ) + f(x ) +... + f(x )

f(ξ)= .ν

7. Έστω συνάρτηση f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ ]α , β . Να αποδείξετε

ότι υπάρχει μοναδικό ( )∈ξ α , β τέτοιο, ώστε

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠2

α + βf(α) + f(β) + ff(ξ) =

3. ……

Λύση

Είναι α + βα < < β2

και επειδή η f είναι και γνησίως αύξουσα στο [ ]α , β θα

ισχύει α + βf(α) < f < f(β)2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, οπότε έχουμε:

f(α) = f(α) < f(β)α + βf(α) < f < f(β)

2f(α) < f(β) = f(β)

+

⎫⎪⎪⎛ ⎞⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎪⎭

⇒ α + β3f(α) < f(α) + f + f(β) < 3f(β)2

⎛ ⎞ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

α + β f(α) + f + f(β)2f(α)< < f(β)

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Η f είναι συνεχής στο [ ]α , β και f(α) f(β≠ ) , οπότε ισχύει το Θεώρημα Ενδιαμέ-

σων Τιμών. Επειδή ο αριθμός

α + β f(α) + f + f(β)2

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ είναι μεταξύ των f(α) και

f(β) , θα υπάρχει ένα ( )ξ α , β∈ και μάλιστα μοναδικό, αφού η f είναι γνησίως αύ-

ξουσα στο [ ]α, β τέτοιο, ώστε

α+β f(α) + f + f(β)2f(ξ) =

3

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ .



48

8. Δίνεται συνεχής συνάρτηση [ ) →f : 0 , 4 R με ( )f 0 =1 , ( )f 1 = 3 , ( ) −f 3 = 2

και→x 4lim f(x) = 2.

– Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ]0 , 1 , γνησίως φθίνουσα

στο [ ]1 , 3 και γνησίως αύξουσα στο [ )3 , 4 , τότε να βρείτε:

α. Το σύνολο τιμών της f

β. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = 0 στο διάστημα [ )0 , 4 .

Λύση

α. Διακρίνουμε περιπτώσεις: ♦ Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ ]

1Δ = 0 , 1 , οπότε είναι

( ) ( ) ( ) [ ]1

f Δ = f 0 , f 1 = 1 , 3 .⎡ ⎤⎣ ⎦

♦ Η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [ ]2

Δ = 1, 3 , οπότε είναι

( ) ( ) ( ) [ ]2

f Δ = f 3 , f 1 = 2 , 3 .−⎡ ⎤⎣ ⎦

♦ Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [ )3

Δ = 3 , 4 , οπότε είναι

( ) ( ) ) [ )x 43

f Δ = f 3 , lim f(x) = 2 , 2 .→

⎡ −⎣ –

Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f:Δ R→ , όπου [ )Δ= 0 , 4 είναι:

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 2 3

f Δ =f Δ f Δ f Δ = 2 , 3 .−∪ ∪

α. Διακρίνουμε περιπτώσεις: ♦ Το ( ) [ ]

10 f Δ = 1 , 3 ,∉ άρα η εξίσωση f (x) = 0 είναι αδύνατη στο διάστημα

[ ]1

Δ = 0 , 1 .

♦ Το ( ) [ ]2

0 f Δ = 2 , 3∈ ,– άρα η εξίσωση f (x) = 0 έχει μια λύση στο διάστημα

[ ]2

Δ = 1, 3 και μάλιστα μοναδική αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 2

Δ .

♦ Το ( ) [ )3

0 f Δ = 2 , 2∈ − , άρα η εξίσωση f (x) = 0 έχει μια λύση στο διάστημα

[ )3

Δ = 3 , 4 και μάλιστα μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο 3

Δ .

Επομένως η εξίσωση f (x) = 0 έχει δύο ακριβώς λύσεις στο διάστημα [ )0, 4 .



49

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

41. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β , ώστε οι παρακάτω συναρτήσεις να

είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους.

i. 3x + 2x 3 , x < 1f(x) = x 1

αx +11 , x 1

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−−

≥ ii.

αx + β , x < 1 f(x) = 3α 1 , x = 1

2 3αx β , x > 1

−

− −

− −

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

iii. x

ημ3x , x < 0x

f(x) = α , x = 0

2 + 3x + 2 , x > 0

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

iv. 2αx + (β 1)x + 6 , x 3f(x) = x 3

7 , x=3

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

− ≠−

v.

3

2

2

α(x 8) , x < 2

x 2f(x) = 2α + β , x = 2

3x 4x 4 , x > 2

x 4

−

−

− −

−

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

42. Δίνεται η συνάρτηση

ημx + 2α x , x < π

π xf(x) =αx

+ β π , x ππ

−−

− ≥

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της να βρεθεί

ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(α,β).

43. Αν για κάθε x κοντά στο 0 ισχύει ημx + x f(x) 8 x + 4 16≤ ≤ −

αποδείξτε ότι η συνάρτηση f(x)

, x 0g(x) = x 2 , x = 0

≠⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

είναι συνεχής στο 0 .

Όπου f συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R.

44. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο R και ικανοποιεί τις συνθήκες

2

x 2

x + f(x)lim = k R

x 2→∈

− και f(2) = 4− . Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f

είναι συνεχής στο 2.



50

45. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει ( )x 0

f(x)ημxlim = 2

x x+1 1→ −.

Αποδείξτε ότι f(0) = 0 .

46. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R για την οποία ισχύει

2xf(x) f(x) x 1− = − , για κάθε x 1≠ . Αποδείξτε ότι f(1) = 2 .

47. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R για την οποία ισχύει

xf(x) + ημx = 2x . Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.

48. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο R για την οποία ισχύει:

f(x + y) = f(x) + f(y) , για κάθε x, y R∈ . Αν η συνάρτηση f είναι

συνεχής στο 0 , αποδείξτε ότι είναι συνεχής σε όλο το R.

49. Έστω η συνάρτηση

x

x

x

x

2 , x 0

1 + 2f(x) =e

, x > 01 + e

≤⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

α. Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της.

β. Αποδείξτε ότι x xlim f(x) = 0, lim f(x) =1→−∞ →+∞

.

50. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο R, για την οποία ισχύουν:

Είναι συνεχής στο 1, είναι περιττή και x 1

f(x) 5lim 10

x 1→

−=

−.

Αποδείξτε ότι :

α. f(1) = 5 .

β. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο –1.

γ. x 1

f(x) + 5lim 10

x + 1→−= .

51. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ως προς x), π

ημx ημα = x2

− − έχει μία

τουλάχιστον πραγματική ρίζα στο διάστημα π

0, 2

⎛ ⎤⎜ ⎥⎜⎜⎝ ⎥⎦.



51

52. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) x 1x 1 2 1++ = έχει μία τουλάχιστον

πραγματική ρίζα στο διάστημα (–1,0).

53. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2000 2001x 1 x 2

0x 1 x 2

+ ++ =

− − έχει μία τουλάχιστον

πραγματική ρίζα στο διάστημα (1, 2).

54. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3 2x 3x 1 0− + = έχει δύο τουλάχιστον

πραγματικές ρίζες στο διάστημα (–1, 1).

55. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α , β] και ισχύει

( ) ( )2 21+ α f(α) + 1 + β fβ) = 0 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0

έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [α , β].

56. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] και ισχύει

0 f(x) 1≤ ≤ για κάθε x [0, 1]∈ να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

0x [0, 1]∈ τέτοιο ώστε να ισχύει 2 20 0 0 0f (x ) + f(x ) = x + x .

57. Αν α, β θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι η εξίσωση ασυνx + β = x,

έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα , που δεν υπερβαίνει τον α + β .

58. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [1,3] με f(1) ≠ 0, να

αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xo∈(1, 3) τέτοιο ώστε να ισχύει

0

0

f(x ) f(1) + f(3)x 1 2

=−

.

59. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2

2

x 2001 4x 5e

x x 2+ −

=− −

, έχει μία τουλάχιστον

πραγματική ρίζα.

60. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f:[α,β]→ [α,β] , αβ 0> . Να αποδείξετε ότι υ-

πάρχει ξ [α, β]∈ , τέτοιο ώστε f(x) βα ξ

= .

61. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3x x 1 0+ − = , έχει ακριβώς μία λύση στο

διάστημα (0, 2).



52

62. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα

[1, e] με f(e) = e , να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = xlnx + 2 έχει

μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1, e).

63. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [0,π/2] και f(0)= f(2), να απο-

δειχθεί ότι η εξίσωση f(συνx) = f(2 ημx)− , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διά-

στημα [0,π/2].

64. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [1, 2] με f(2) ≠ 6 και ισχύει

f(1) + f(2) = 8, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x (1, 2)∈ , τέτοιο

ώστε να είναι 0 0 02f(x ) = x + x .

65. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο σύνολο R για την οποία ισχύει

2 4 2 2x f(x) 5x x 2ημx− = − , για κάθε x R∈ .

α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.

β. Να υπολογίσετε το lim f(x)x→−∞

.

γ. Αποδείξτε ότι η εξίσωση f(x) 0= έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα.

66. Έστω η συνάρτηση ( )3x

f(x) = 2ημ πx + 5, x [ 2, 2]8

− ∈ − . Να εξετάσετε αν η f

παίρνει την τιμή 112

.

67. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1] και η γραφική της παράσταση

διέρχεται από το σημείο Α(0, 3). Έστω ότι ισχύει x 1

f(x) 1lim 5

x 1→

−=

−. Αποδείξτε

ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία με εξίσωση y = x + 1 σε ένα

τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (0, 1).

68. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [– 4, 4] και υποθέτουμε ότι ισχύει

[ ]20042x f(x) 1 17+ − = . Αποδείξτε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διά-

στημα (– 4, 4).

69. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο R και υποθέτουμε ότι ισχύει:

[ ]5 3f(x) + f(x) = x + x 2− , για κάθε x R∈ . Αποδείξτε ότι:



53

α. Η συνάρτηση f είναι συνάρτηση 1-1.

β. Ισχύει f(x) < 0 , για κάθε x ( 1, 1).∈ −

70. Η συνάρτηση f είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα (1, )+∞ .

Υποθέτουμε ότι ισχύει: 2

f(x) 1 x 1x 1

− − = −+

, για κάθε x (1, )∈ +∞ .

Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (1, )+∞ .

71. Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R για τις οποίες

ισχύει f(x)e g(x) 1 x+ = − για κάθε x R∈ . Αν η γραφική παράσταση της

f τέμνει τον άξονα 'x x σε δύο σημεία Α και Β εκατέρωθεν της αρχής των α-

ξόνων, να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα x΄x

σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των Α , Β .

72. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, για την οποία ισχύουν

f(0) = –1 , και –1, 3 είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0 . Να υπολογί-

σετε το x

3

2

x f (2) 5x 13lim

x 27→+∞

− +

+.

73. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0,2]. Αποδείξτε ότι

υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (0, 2)∈ ώστε να ισχύει f(0) + f(1) + f(2)

f(ξ) = 3

.

74. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [α,β].

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και 1 2 3x < x < x ∈ [α,β], αποδείξτε ότι υπάρ-

χει ξ∈(α, β) , τέτοιο ώστε 1 2 3f(x ) + 2f(x ) + 3f(x ) = 6f(ξ) .

75. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα (0,7) για την

οποία ισχύει 2 2x + f (x) = 7x , για κάθε x (0, 7)∈ .

α. Να αποδείξετε ότι:

i. Η εξίσωση f(x) = 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες στο διάστημα (0,7).

ii. H f έχει σταθερό πρόσημο στο διάστημα (0, 7).

β. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει f(1) = 6− , να βρεθεί ο τύπος της f.

γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της f.



54


Κεφάλαιο 1Ο ΙΙ. ΟΡΙΟ – ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου “Σωστό-Λάθος”

1. Λ 11. Σ 21. Λ 32. Σ 2. Λ 12. Λ 22. Σ 33. Σ 3. Λ 13. Σ 23. Σ 34. Λ 4. Σ 14. Λ 24. Σ 35. Σ 5. Σ 15. Σ 25. Σ 36. Σ 6. Λ 16. Σ 26. Σ 37. Σ 7. Λ 17. Λ 27. Λ 38. Λ 8. Λ 18. Σ 28. Σ 39. Σ 9. Σ 19. Σ 29. Σ

10. Λ 20. Σ 30. Σ 31. Σ

Απαντήσεις - υποδείξεις στις ασκήσεις 22. α. +∞ β. Δεν υπάρχει γ. +∞ δ. −∞ ε. +∞ στ. +∞ ζ. −∞ η. Δεν υπάρχει 24. α = 1 , β = –2 ( Να μη ξεχνάμε την επαλήθευση ). 25. α = 6 ( Να μη ξεχνάμε την επαλήθευση ). 26. α = 4 ( Να μη ξεχνάμε την επαλήθευση ). 27. λ = 5 ( Να μη ξεχνάμε την επαλήθευση ). 28. λ = – 9 ( Να μη ξεχνάμε την επαλήθευση ). 29. α = 4 , β = 22 ( Να μη ξεχνάμε την επαλήθευση ).

32. Αν 0 < α < 2 τότε xlim 4→+∞

=− , αν α = 2 τότεxlim 1→+∞

=− , αν α > 2 τότε xlim α→+∞

=

35. Αν μ > –1 τότεxlim→−∞

= +∞ , αν μ = –1 τότε x

32

lim→−∞

= , αν μ < –1 τότεxlim→−∞

=−∞

36. λ = –3 , μ = –1 37. α = –1 , β = –1 38. α = 1/2 , β=2 39. α = 1 , β = 4 41. i. α = – 6 ii. α = 1/2, β = 1 iii. α = 3 iv. α = 3 , β = –10 v. α = 1/6, β = 5/3 . 42. x y 1 0− + =



55

47. 2x ημx

, x 0f(x) x

1 , x 0

−≠

=

=

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

48. Πρέπει ox x

lim f (x)→

= f(xo) , για κάθε xo∈R.

oo

o ox xx xlim f (x) lim f (x x x )

→→

− += , εφαρμόζουμε τη συναρτησιακή σχέση κ.λ.π.

51 , 52 , 53. Εργαζόμαστε με το θεώρημα Bolzáno . 54. Κάνουμε διάσπαση του διαστήματος και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzáno . 55. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzáno. 56 , 57 , 58 , 59 , 60. Θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bol-záno. 61. Το ακριβώς μία ρίζα το αποδεικνύουμε με την μονοτονία … 62 , 63 , 64. Θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzáno.

65. α.

22

2

2ημx1 +5x , x 0f(x) x

1 , x 0

− ≠=

− =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

β. +∞

66. Αρκεί να υπάρχει xo = ∈ (–2, 2) τέτοιο ώστε f(xo) = 11/2 … εφαρμόζουμε το θεώρημα

Bolzáno. (Μπορούμε να εργαστούμε και με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ). 67. Αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f(x) = x + 1έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα (0, 1).

68. Έστω ότι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο. Τότε θα υπάρχουν x1 x2∈ (–4, 4) τέτοια

ώστε f(x1) f(x2) < 0. (Έργαζόμαστε με το θεώρημα Bolzáno και καταλήγουμε σε άτοπο).

69. α. Έστω f(x1) = f(x2) άρα και [ ] [ ]5 51 2f(x ) f(x )= προσθέτουμε και προκύπτει

3 31 1 2 2x +x 2 x +x 2− = − κ. λ. π.

β. Αποδεικνύουμε ότι η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα (–1, 1) και για x = 0 είναι f(0) < 0. 72. Βρίσκουμε f(2) < 0 . Το όριο είναι −∞ . 73. Εργαζόμαστε με το Θ.Ε.Τ. ( Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ).

75. β. 2f(x) 7x x , x (0,7)=− − ∈ .

ΣΧΟΛΙΟ:

Ως γνωστόν τοx

lim ημx→±∞

δεν ορίζεται . Το x

ημxlim

x→±∞ ορίζεται και είναι ίσο με το μηδέν.

Απόδειξη:

Ισχύει ημx 1

x x≤ άρα

1 ημx 1

x x x− ≤ ≤ και επειδή

x

1lim 0

x→±∞= σύμφωνα με το κριτή-

ριο παρεμβολής προκύπτει 0ημx

limxx→±∞

= .



56

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦ. 1Ο

ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Βασικές προτάσεις και παρατηρήσεις στο

1ο Κεφάλαιο Ανάλυσης του σχολικού βιβλίου.

Βασικές Προτάσεις:

1. Μονοτονία και σύνθεση συναρτήσεων.

Όταν συνθέτουμε δύο συναρτήσεις με το ίδιο είδος μονοτονίας η σύνθεση που προ-

κύπτει είναι γν. αύξουσα ,ενώ αν έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας προκύπτει γν.

φθίνουσα συνάρτηση. Τα συμπεράσματα αυτά φαίνονται στον παρακάτω πίνακα.

f g fog gof

Απόδειξη

Έστω f και f γν. αύξουσες συναρτήσεις των οποίων ορίζεται η σύνθεση.Τότε έχουμε:

Έστω 1 2 fogx , x A∈ με

1 2x < x g⎯⎯→ 1 2g(x ) g(x )< f⎯⎯→ 1 2f(g(x )) < f(g(x )) .Άρα fog .

Ομοίως αποδεικνύονται και τα υπόλοιπα.

2. Οι αντίστροφες συναρτήσεις έχουν γραφικές παραστάσεις που είναι συμμε-

τρικές ως προς την ευθεία y = χ .

Απόδειξη:

Έστω σημείο Μ (α, β) της fC τότε ισχύει: ( ) ( )1f α = β α = f β⇔ – . Δηλαδή το ση-

μείο Μ΄( β , α) ανήκει στη 1fC − τα Μ , Μ΄ είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y = χ

.

3. Αν οι fC , 1fC − έχουν ένα μόνο κοινό σημείο τότε αυτό βρίσκεται στη διχοτό-

μο y =x. Απόδειξη

Aν υπήρχε Μ(α, β) κοινό σημείο των fC , 1fC − και το Μ δεν ανήκε στην ευθεία y = x

τότε θα ήταν α β≠ οπότε οι fC , 1fC − θα είχαν και άλλο κοινό σημείο το Ν(β, α) (το

συμμετρικό του Μ ως προς την y = x) άτοπο αφού οι δύο γραφικές παραστάσεις έ-

χουν μόνον ένα κοινό σημείο.



57

4. Αν ένα σημείο ανήκει στην Cf και στη διχοτόμο y = x τότε το σημείο αυτό

ανήκει και στη 1fC − .

Απόδειξη

Aν Μ(α, β) κοινό σημείο των Cf και y = x τότε είναι β = f(α) και

β = α, οπότε 1

1 1

f

α βf (β) α f (α) β Μ(α,β) C− −

−

== ⇔ = ⇔ ∈ .

5. α. Η αντίστροφη μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι γνησίως μονότο

νη με το ίδιο είδος μονοτονίας.

Απόδειξη

α. Έστω f γν. αύξουσα .

Υποθέτουμε ότι η f –1 δεν είναι γν. αύξουσα, τότε θα υπάρχουν y1, y2 ∈ f(A) με

y1<y2 για τα οποία θα ισχύει ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1

1 2 1 2f (y ) f y f f y f f y− − − −≥ ⇒ ≥ (επειδή η f

γν. αύξουσα) άρα y1 ≥ y2 ΑΤΟΠΟΝ.

β. Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και αντιστρέφεται τότε και η αντίστροφή

της, είναι συνεχής στο f(Δ).

ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν η f είναι συνεχής σε ένωση διαστημάτων και αντιστρέφεται δεν

εξασφαλίζεται η συνέχεια της f –1.

6. Αν η σύνθεση της g με την f , δηλαδή η fog είναι 1-1 τότε:

1. Η g είναι απαραιτήτως 1-1. 2. Η f δεν είναι απαραιτήτως 1-1.

Απόδειξη

1. Έστω x1 , x2 ∈ Ag με g(x1) = g(x2) . Επειδή η f είναι συνάρτηση και ορίζεται η

fog , έπεται ότι f(g(x1)) = f(g(x2)) και επειδή η fog είναι 1-1 προκύπτει x1 = x2.

Άρα η g είναι 1-1.

2. Έστω x1 , x2 ∈ Af με f(x1)=f(x2). Αν υπάρχουν ω1 , ω2 ∈ Αg τέτοια ώστε

g(ω1) = x1 και g(ω2) = x2 , προκύπτει f(g(ω1)) = f(g(ω2)) και επειδή η fog είναι

1-1 προκύπτει ω1 = ω2. Άρα g–1(x1) = g–1(x2) και επειδή η g-1 είναι 1-1 προκύπτει

x1=x2 δηλαδή η f είναι 1-1. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η f είναι 1-1 Αν υπάρ-

χουν ω1 , ω2 ∈ Αg τέτοια ώστε g(ω1) = x1 και g(ω2) = x2 (δηλαδή εξαρτάται από το

σύνολο τιμών της g).

Θεωρείστε ως αντιπαράδειγμα , τις συναρτήσεις f(x) = x2 και g(x) = x 1− κ.λ.π.

7. Αν η f είναι αντιστρέψιμη και περιττή, τότε και η 1f − είναι περιττή.



58

Απόδειξη

Από την υπόθεση η f είναι αντιστρέψιμη οπότε για κάθε y f (A)∈ υπάρχει μοναδικό

x A∈ ώστε f (x) y= (1). Επίσης η f είναι περιττή, τότε για κάθε x A∈ θα είναι και

το – x A∈ , (1)

f ( x) f (x) y− = − =− (2).

Επειδή f ( x) f (A)− ∈ . Από την (2) προκύπτει y f (A)− ∈ .

Έτσι

1 1 1f ( y) f (f ( x)) (f f )( x) x− − −− = − = − = − (3)

Αλλά ισχύει: 1f (x) y x f (y)−= ⇔ = τότε από την (3) προκύπτει ότι

1 1 .f ( y) f (y)− −− = − Πράγματι η 1f − είναι περιττή.

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι:

α. Αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη τότε η f δεν είναι «1-1».

β. Αν η f δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε η f δεν είναι γνησίως μονότονη.

γ. Αν η f είναι «1-1» τότε η f δεν είναι άρτια.

δ. Τα κοινά σημεία των fC , 1fC − εφόσον υπάρχουν έχουν συντεταγμένες που

προσδιορίζονται από τις λύσεις του συστήματος

1

y = f(x)

y = f (x)

⎧⎪⎨⎪⎩

– (Σ). Το σύστημα (Σ) είναι ισοδύναμο με τα συστήματα

y f (x)x f (y)⎧⎨⎩

==

(Σ1) και 1

1

x f (y)y f (x)

−

−

⎧⎪⎨⎪⎩

==

(Σ2)

Αν ξέρουμε τον τύπο της f επιλύουμε το (Σ1) ενώ αν ξέρουμε τον τύπο της 1f − επι-

λύουμε το (Σ2).

ΠΡΟΣΟΧΗ!

Τα κοινά σημεία των fC , 1fC − δεν βρίσκονται πάντοτε στη διχοτόμο y = x. Για

παράδειγμα, η συνάρτηση 1f (x)x

= έχει αντίστροφη την 1 1f (x)x

− = , οπότε όλα τα

σημεία των fC , 1fC − είναι κοινά αλλά μόνο δύο από αυτά τα (1, 1) και (–1, –1)

ανήκουν στην y = x. Επίσης η 1f (x)x−= έχει αντίστροφη την 1 1f (x)

x− −= οπότε οι

fC , 1fC − έχουν όλα τους τα σημεία κοινά αλλά κανένα δεν ανήκει στην y = x.

Αν όμως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα τότε αποδεικνύεται ότι οι fC , 1fC −

εφόσον έχουν κοινά σημεία, θα βρίσκονται στη διχοτόμο y = x. Δηλαδή ισχύει:



59

8. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο Α τότε ισχύει η ισοδυναμία: 1f (x) f (x) f (x) x,−= ⇔ = x B A f(A)∈ = ∩ .

Απόδειξη:

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α θα είναι 1-1 άρα θα υπάρχει η συνάρτηση f–1

η οποία θα είναι και αυτή γνησίως αύξουσα στο f(A).

• Αν x∈B και f(x) = x προκύπτει 1x f (x)−= άρα 1f (x) f (x)−= .

• Αν x∈B και 1f (x) f (x)− = θα δείξουμε ότι f(x) = x .

Έστω f(x) > x τότε ( )1 1f f (x) f (x)− −> ή 1x f (x)−> ή x f (x)> άτοπο.

Έστω f(x) < x τότε ( )1 1f f (x) f (x)− −< ή 1x f (x)−< ή x f (x)< άτοπο. Άρα f(x) = x.

Σχόλιο

Αν μία συνάρτηση f : A → είναι 1-1 τότε ορίζεται η 1f : f (A)− → , αλλά πολλές

φορές ενώ γνωρίζουμε ότι υπάρχει η 1f − δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε τον τύπο

της. Αυτό συμβαίνει γιατί η εξίσωση y = f(x) δεν μπορεί να λυθεί αλγεβρικά πάντα

ως προς x. Για παράδειγμα μπορούμε να αναφέρουμε τη

συνάρτηση 5f (x) x x 1,= + − x∈ η οποία είναι γνήσια αύξουσα άρα είναι και «1-

1» οπότε ορίζεται η αντίστροφη της συνάρτησης 1f : f (A)− → . Όμως δεν μπορού-

με να βρούμε τον τύπο της, αφού η εξίσωση 5y x x 1,= + − δεν λύνεται αλγεβρικά

ως προς x. Επομένως, για να βρούμε τα κοινά σημεία των fC και 1fC − χρησιμοποι-

ούμε την προηγούμενη πρόταση.

Έτσι έχουμε: 1f (x) f (x) f (x) x− = ⇔ = ⇔ 5x x 1 x x 1+ − = ⇔ = .

Παρατηρήσεις

1. Αν f συνάρτηση με π. ορισμού το Α και x1 , x2∈Α με x1 = x2 τότε f(x1) = f(x2)

2. Έστω συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού Α , Β αντιστοίχως. Στις πράξεις με τις

συναρτήσεις f, g πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού και μετά τον τύπο που

προκύπτει. Αν Α∩Β=∅ , δεν ορίζεται πράξη.

Ιδιαίτερη προσοχή στη διαίρεση fgόπου πρέπει g ≠ 0.

3. Γενικά δεν ισχύει: fog = gof .

4. Η ισότητα ( )2 2 f x = ημ x έχει άπειρες λύσεις



60

π.χ ( ) ( ) ( )f x = ημx, f x = ημx, f x = ημx−

( )ημx , x > 0

f x = ημx , x 0

⎧⎪⎪⎨⎪− ≤⎪⎩ κ.τ.λ.

5. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ( φθίνουσα) σε δύο διαστήματα Α και Β του πεδίου ορισμού της , δεν σημαίνει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

(φθίνουσα) και στην ένωση των διαστημάτων. π.χ. ( ) 2f x =x

.

6. Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R. H ισότητα ( ) ( )f x g x 0⋅ = δεν

συνεπάγεται κατ’ ανάγκη ( )f x = 0 ή ( )g x = 0 για κάθε x R∈ .

7. Αν μια συνάρτηση f είναι 1-1 τότε η εξίσωση ( )y = f x έχει ακριβώς μία λύση

για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της f. 8. Κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα x΄x τέμνει τη γραφική παράσταση μιας 1–1 συνάρτησης το πολύ σε ένα σημείο. 9. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση στο π. ορισμού της είναι και 1–1. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα. Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1–1 αλλά όχι γνησίως μονότονες στο πεδίο ορισμού τους .

π .χ η ( ) 1f x =x

.

10. i. Η συνάρτηση ( ) αf x = x , όπου α∉Ζ , ορίζεται για

x ≥ 0 όταν α > 0 και για x > 0 όταν α < 0.

ii. Είναι λάθος η ισότητα 2

3 2 3x x= .

Το σωστό είναι 223 2 3 3x x x= = ή ( )

13 2 2 3x x= .

11. Άρτια συνάρτηση Σε συμμετρικά ως προς το Ο ( αρχή των αξόνων) διαστήματα η f έχει αντίθετο είδος μονοτονίας. Αν η f παρουσιάζει στο α μέγιστο τότε στο – α παρουσιάζει πάλι μέγιστο, το f(α). (αντιστοίχως για το ελάχιστο). Περιττή συνάρτηση: Σε συμμετρικά ως προς το Ο ( αρχή των αξόνων) διαστήματα η f έχει το ίδιο είδος μονοτονίας Αν η f παρουσιάζει στο α μέγιστο τότε στο – α παρουσιάζει ελάχιστο, το –f(α). Δηλαδή η άρτια συνάρτηση διατηρεί τα ακρότατα και η περιττή την μονοτονία. 12. Οι πράξεις στα όρια εφαρμόζονται εφόσον υπάρχουν τα επιμέρους όρια . 13. Μπορεί να υπάρχει το όριο μιας πράξης συναρτήσεων χωρίς να υπάρχουν τα



61

όρια των επιμέρους συναρτήσεων. Π.χ.

Οι συναρτήσεις ( ) 1f x = 2x +

x 1− και ( ) 2 1

g x xx 1

= −−

δεν έχουν όριο στο xo = 1.

Το όριο όμως του αθροίσματός των υπάρχει :

Πράγματι ( ) ( )( ) ( )2

x 1 x 1lim f x +g x lim 2x + x 3→ →

= =

14. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο xo και ισχύει: ( ) ( )f x < g x κοντά στο xo ,

τότε: ( ) ( )0 0x x x x

lim f x lim g x→ →

≤ .

15. Δεν υπάρχουν ταxlim ημx→±∞

και xlim συνx→±∞

.

Απόδειξη Α. Έστω η συνάρτηση f(x)=συνx .

α. Αποδεικνύουμε ότι ισχύει 2f(2x) 2f (x) 1= −

β. Αν υποθέσουμε ότι xlim f(x)→±∞

= l χρησιμοποιώντας το (α) βρίσκουμε

22 1 0− − =l l , από το οποίο προκύπτει 1=l ή 1

2−

=l , που είναι άτοπο ,διότι

αν υπάρχει το όριο είναι μοναδικό. Β. Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση f(x) = ημx , χρησιμοποιούμε τον τύπο

2συν2x = 1 2ημ x− ο οποίος μπορεί να γραφεί και 2πημ( +2x) = 1 2ημ x

2− ,

άρα ισχύει 2πf( + 2x) = 1 2f (x)

2− και θεωρώντας ότι υπάρχει το

xlim f(x)→±∞

κατα-

λήγουμε σε άτοπο. 16. Μια πράξη συναρτήσεων μπορεί να είναι συνεχής στο xo χωρίς να είναι συνεχής στο xo οι επιμέρους συναρτήσεις. 17. Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει. Δηλαδή η ύπαρξη μιας ρίζας της εξίσωσης f(x) = 0 στο [α , β] δεν εξασφαλίζει την

συνέχεια της συνάρτησης f στο [α , β] ούτε ότι οι τιμές ( )f α , ( )f β είναι ετερόσημες.

18. Αν μια τουλάχιστον από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano δεν ισχύει,

αυτό δεν σημαίνει κατ’ ανάγκην ότι δεν υπάρχει xo∈( α , β) ώστε ( )of x = 0 .

19. Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α , β ] δεν παίρνει

απαραίτητα όλες τις τιμές μεταξύ των ( )f α και ( )f β .

20. Μια συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] δεν είναι κατ’ ανάγκη συνεχής στο α ή στο β.



62

ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΟΥ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Θέμα 1ο

Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης και συνεχούς συνάρτησης f: R R→

διέρχεται από τα σημεία Α( 2 , 5 ) και Β ( – 1 , 3 ).

i. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: f(2) = …., f(–1) = ….

ii. Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

iii. Εξετάστε αν η f αντιστρέφεται

iv. Να λύσετε τις εξισώσεις: ( ) ( )f 2x 1 = f 5− και ( )( ) ( )f f x =f 5

v. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: ( ) ( )-1 -1 = ......f 5 =...., f 3

vi. Να λύσετε την εξίσωση: ( )( )1f 3+f x+1 =5–

Θέμα 2ο

Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5f x = x + x + 1

i. Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το ( )1f 3–

ii. Αποδείξτε ότι η 1f – είναι γνησίως αύξουσα στο R.

iii. Να λύσετε τις εξισώσεις: ( ) ( )1f x =35 , f x =2–

iv. Να βρείτε τα κοινά σημεία των fC και f

C 1– με την ευθεία y = x.

v. Να λύσετε την εξίσωση :( )52ημx 1 2ημx 1− + =

vi. Να λύσετε την ανίσωση: ( )( ) ( )1 1 1f f x 1 1 f 1− − −+ − < .

Θέμα 3ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση f: R R→ για την οποία ισχύει:

( ) 2 1x f x ημx x ημx

⋅ + = ⋅ , για κάθε x ≠ 0.

i. Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε x∈R.

ii. Αποδείξτε ότι ( )xlim f x =1→+∞

.

iii. Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) xf x 02x+1

− = έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα.



63

Θέμα 4ο

Αν η συνάρτηση f: R R→ είναι συνεχής και ισχύει:

( )( ) ( )( )f x 1 f x 3 0− ⋅ + = , για κάθε x∈R.,

i. Αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή.

ii. Αποδείξτε ότι : ( )f x 1= , για κάθε x∈R.

ή

( )f x 3=− , για κάθε x∈R.

Θέμα 5ο

Δίνεται η συνάρτηση f , η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [ 1 , 5 ] και για την ο-

ποία ισχύουν : ( )f 5 1= και ( ) ( )( )f x f f x =7⋅ για κάθε x∈[1, 5] .

i. Να υπολογίσετε το ( )( )

3

2x

f 1 x 2x 1f 5 x 3

lim→ −∞

⋅ − +⋅ +

ii. Αν ( )x 1lim f x =7→

αποδείξτε ότι η Cf διέρχεται από σημείο με τεταγμένη 3.

iii. Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) [ ]g x = x f x 13συν πx , x 1, 5⋅ − ∈

Αποδείξτε ότι η Cg τέμνει σε ένα τουλάχιστον σημείο τον άξονα xx με τετμημένη

στο διάστημα ( 4 , 5 ).

Θέμα 6ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [α , β ] και οι μιγαδικοί

αριθμοί ( )2 2αz = α +if , w = β if β− με αβ ≠ 0 και ( ) ( )f α f β 0⋅ ≠ , για τους οποίους

ισχύει: w + z = w z− .

i. Αποδείξτε ότι ο αριθμός w⋅z είναι φανταστικός.

ii. Να υπολογίσετε το όριο ( ) ( )( ) ( )

3

2x

f α x f β x + 5lim

f β x f a x 3→ −∞

−+ −

.

iii. Αποδείξτε ότι η Cf τέμνει τον άξονα χ΄χ τουλάχιστον σε ένα σημείο.

Θέμα 7ο

Έστω μιγαδικός αριθμός z = κ + λi με κ ≠ 0 , λ ≠ 0 .

Δίνεται συνεχής συνάρτηση [ ]f : α, β R→ με ( )f x 0≠ για κάθε [ ]x α, β∈ .

Θεωρούμε ότι ( )1z + = f αz

. Αποδείξτε ότι:



64

i. ⎢z ⎢ = 1.

ii. Ο αριθμός ( )i i + z

w = i z⋅−

είναι πραγματικός .

iii. Η εξίσωση ( ) ( ) ( )2x f α +xf β f β = 0− έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα

(0, 1) .

Θέμα 8ο

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z2 για τους οποίους ισχύει: 1 2z = z =1.

i. Αποδείξτε ότι 1

1

1z =z

.

ii. Να βρεθεί ο γεωμ. τόπος των εικόνων του μιγαδικού 1w = z +2 .

iii. Έστω η συνάρτηση 1x z 1

, x 1 f(x)= x 1

α , x =1

⋅ −≠

−

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

να υπολογίσετε τον α ∈R αν η f είναι συνεχής στο xo= 1.

iv. Έστω η συνάρτηση ( )1 2

1,

, x 0

x = 0

x z z 1g x x

≠⎧ ⋅ + −⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩

Αν η g είναι συνεχής στο xo= 0 αποδείξτε ότι 1 2 z = z .

Αν η g είναι συνεχής στο xo = 0 αποδείξτε ότι 1 2 z = z .

Θέμα 9ο

Θεωρούμε τη συνάρτηση f : R R→ για την οποία ισχύει: ( ) ( )3f x + f x = x + 2 , για

κάθε x∈R.

i. Αποδείξτε ότι η f είναι 1 - 1

ii. Να αποδείξετε ότι η αντίστροφη της f έχει τον τύπο ( )1 3f x x x 2− = + − .

iii. Με απαγωγή σε άτοπο αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. iv. Να βρείτε τα κοινά σημεία της Cf με τους άξονες x΄x και y΄y .

v. Να βρείτε τα κοινά σημεία των Cf και 1fC − .

Θέμα 10ο

Δίνεται η συνάρτηση [ ]f: α, β R→ συνεχής στο [α , β ] με ( )f x 0≠ για κάθε

[ ]x α, β∈ και μιγαδικός αριθμός z με ( ) ( )Re z Im z 0⋅ ≠ και ( ) ( )Re z Im z> .



65

Αν ( )1z + = f α

z και ( )2 2

2

1z f β

z+ = , αποδείξτε ότι:

i. z 1=

ii. ( ) ( )2 2f β f α<

iii. η εξίσωση ( ) ( )3x f α + f β = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (–1 , 1 )

( ΘΕΜΑ Ιούλιος 2004 )

Θέμα 11ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f στο [α , β ] με 0 < α < β και έστω οι μιγαδικοί αριθ-

μοί ( )2z = α + if α και ( )2ω = β if β– . Αν για τους z και ω ισχύει z + ω < z ω−

αποδείξτε ότι:

i. ( )Re z ω 0⋅ <

ii. Υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ∈(α, β) τέτοιος ώστε ( )f ξ =0

Θέμα 12ο

Έστω η συνεχής στο [ α , β ] συνάρτηση f και οι μιγαδικοί αριθμοί ( )z = α + i f α⋅

και ( )ω = β + i f β⋅ για τους οποίους ισχύει: z + ω z ω= −

Αποδείξτε ότι :

i. ( )Re z ω 0⋅ =

ii. Αν β < 0 , υπάρχει ένας τουλάχιστον xo∈( α , β ) ώστε να ισχύει: ( )οf x = 0 .

Θέμα 13ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση [ ]f: α, β R→ και οι μιγαδικοί αριθμοί ( )1αz = e +if α

και ( )2βz = f β + ie . Αν ( ) ( )1 2Im z Re z 0⋅ ≠ και

2 2 22 1 21z + z = z z− αποδείξτε ότι:

i. ( ) ( )

βαe e+ = 0

f α f β ,

ii. Η Cf τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη xo ( )α, β∈ .

(ΘΕΜΑ )

Θέμα 14ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R→ και οι μιγαδικοί αριθμοί ( )xz = x + i f x ,⋅

x∈R.

α. Αν ( )xIm z =1 για κάθε x∈R αποδείξτε ότι:



66

i. ( )[ ]

x2x 0

x

z συνxlim 1

Re z→

−=

ii. ( )xxlim z x 0→+∞

− =

β. Αν [ ]1 1 , 0,2xz x− = ∈ τότε:

i. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x = 0

ii. Να βρείτε τον τύπο της f όταν ( )xIm z > 0 .

iii. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f. ( ΘΕΜΑ )

Θέμα 15ο

Δίνεται η συνεχής και γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστη-μα [ 0 , 1 ] , και τιμές στο R* . Θεωρούμε ότι το σημείο Α ( 1 , 1 ) ανήκει στη Cf

i. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( )( )

1 1

g x = + 2,f x x

− x ∈(0, 1) είναι γνησίως αύ-

ξουσα. ii. Αποδείξτε ότι το σύνολο τιμών της g είναι το διάστημα ( ), 2−∞ .

iii. Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) ( )

f x= 1+ 2f x

x έχει μοναδική λύση στο ( 0 , 1 ).

Θέμα 16ο

Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R→ για την οποία ισχύει: ( ) 2x f x 3ημx x⋅ + = ,

για κάθε x∈R.

i. Να βρείτε τον τύπο της f .

ii. Να αποδείξτε ότι ( )lim f xx→+∞

=+∞

iii. Να αποδείξτε ότι η εξίσωση ( ) xf x =e− έχει τουλάχιστον μια θετική ρίζα. (ΘΕΜΑ)

Θέμα 17ο

Α. Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις f, g : R R→ .

Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις f + g και f g είναι γνησίως αύξουσες.

Β. α. Να εξετάσετε τη συνάρτηση ( )h x = x + lnx + 1 ως προς τη μονοτονία.

β. Αν η συνάρτηση f : R R→ είναι γνησίως αύξουσα και ( )f x > 0 για κάθε

x∈R , αποδείξτε ότι:

i. Η συνάρτηση ( ) ( ) ( )( )Φ x = f x + ln f x +1, x R∈ είναι αντιστρέψιμη.

ii. Αν η Cf τέμνει τον άξονα y΄y στο 1 , να λύσετε την ανίσωση ( ) ( )1 f xf x < e –



67

Θέμα 18ο

Δίνεται η συνάρτηση 1/x

x, x 0

f(x) = 1+eα + 1 x = 0

≠⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

i. Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός α ώστε η f να είναι συνεχής στο 0 0x = .

ii. Να βρεθεί το ( )

limx

f x→ −∞

iii. Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( )( )2005f x = κ , έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα

για κάθε κ R∈ .

Θέμα 19ο

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R→ για την οποία ισχύουν:

( )( ) ( )f f x f x 3− = και ( )f 1 4= .

i. Να υπολογίσετε το όριο: ( )( )

3

2x

f 1 x + 2x 1lim

f 4 x x 2→−∞

⋅ −

⋅ − +

ii. Αν ( )x 5lim f x = 8→

, αποδείξτε ότι η Cf διέρχεται από το σημείο με τεταγμένη 6 .

iii. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )g x x f x 30 συν πx= ⋅ − ⋅ .

Αποδείξτε ότι η Cg τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμη-μένη στο διάστημα ( 4 , 7).

iv. Αποδείξτε ότι υπάρχει xo ∈(1, 7) , τέτοιο ώστε να ισχύει

( ) ( ) ( ) ( )010 f x 2 f 2 3 f 3 5 f 5⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

Θέμα 20ο

Έστω η συνάρτηση ( )

2 2α x + βx 12, x < 1

f x = 5, x =1

αx + β , x > 1

−⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

όπου α , β ∈R

Α) Να βρεθούν οι τιμές των α , β ώστε η f να είναι συνεχής στο 0x = 1.

Β) Με δεδομένο ότι η f είναι συνεχής και ( )limx

f x→+∞

=−∞ ,

i. Να βρεθεί η συνάρτηση ( ) ( ) ( )h x = f x + g x , όπου ( ) ( )g x ln x 1= − .

ii. Αποδείξτε ότι η Ch τέμνει τον άξονα x΄x σε ένα τουλάχιστον σημείο.

iii. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( ) ( )( )2005Φ x = f x και η ευθεία y = κ, κ ∈ R

έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο για κάθε κ ∈ R.



68

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ – ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΟΥ 1ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Θέμα 1Ο

i. f(2) 5, f( 1) 3= − = .

ii. Αφού η συνάρτηση f είναι γν. μονότονη και ισχύει 2 1 f (2) f ( 1)>− ⇒ > − είναι γν.

αύξουσα , άρα και 1-1 επομένως αντιστρέφεται. iv. x = 3, x = 2 .

v. 1 1f (5) 2 , f (3) 1− −= =− .

vi. x = 2 .

Θέμα 2Ο

i. Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Ισχύει 1-f(1) 3 1= f (3)= ⇔ .

ii. Η αντίστροφη μιας γν. μονότονης συνάρτησης είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας. (Βλέπε παρατήρηση 11 σελ. 41 ). iii. f(x) 35 f(x) = f(2)= ⇔ και επειδή η συνάρτηση f είναι 1-1 προκύπτει x = 2 .

1f (x) 2 x = f(2) x 35− = ⇔ ⇔ = .

iv. Λύνουμε το σύστημα 5

y = x

y = x +x+1

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ ... x 1⇔ =− .


Αν η συνάρτηση f είναι γν. αύξουσα ,τα κοινά σημεία της Cf και της 1C -f

βρίσκονται στην ευθεία y = x .

v. Θέτουμε 2ημx 1 ω− = οπότε η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται

f(ω) 1 f(ω) f (0) ω 0= ⇔ = ⇔ = .

Βρίσκουμε π π

x= 2κπ + , x = 2κπ + π , κ6 6

.− ∈ Ζ

vi. Η συνάρτηση 1f − είναι γν. αύξουσα άρα η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται 1-f (x 1) 1 1+ − < ⇔ 1 1 1- - -f (x 1) 2 f (x 1) f (35) x 34+ < ⇔ + < ⇔ < .

Θέμα 3Ο

i)

2 1x ημ ημx

xf(x) = , x 0x

-1 , x = 0

−≠

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

Αφού η f είναι συνεχής ισχύει x 0

f(0) = lim f(x)→

.

iii. Θεωρούμε τη συνάρτηση x

h(x) = f(x)2x 1

−+

. Είναι x

1h(0) 1, lim h(x) =

2→+∞=− .



69

Άρα εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [0,Μ], όπου Μ ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός.

Θέμα 4Ο

Έστω ότι η συνάρτηση f δεν είναι σταθερή.

Για x = x1 από τη δοθείσα σχέση προκύπτει 1f(x ) = 1ή f(x ) 31 =− . Δηλαδή οι αριθμοί –3

και 1 ανήκουν στο σύνολο τιμών της συνάρτησης . Αφού η f είναι συνεχής σύμφωνα με το θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών κάθε αριθμός μεταξύ των –3 και 1 θα είναι εικόνα κάποιου

xo. Έστω οf(x ) 0= . Άρα από τη δοθείσα προκύπτει ( )( )ο οf(x ) 1 f(x ) 3 0− + = δηλαδή

(0 – 1)(0 + 3) = 0 άτοπον. Επομένως η συνάρτηση είναι σταθερή. Άρα f(x) 3=− για κάθε

x ∈ R ή f(x) 1= για κάθε x ∈ R.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Βλέπε παρατήρηση 6 σελ. 40.

Θέμα 5Ο

i. Για x = 5 από τη δοθείσα προκύπτει f(1) = 7 . Άρα το όριο το βρίσκουμε −∞ .

ii. Από το θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών προκύπτει ότι θα υπάρχει x1∈ (1, 5) τέτοιο ώστε

1f(x ) =3, αφού το 3 ανήκει στο διάστημα (1, 7) από το οποίο παίρνει τιμές η συνάρτηση.

iii. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει xo (4,5)∈ τέτοιο ώστε g(xo) = 0. Εφαρμόζουμε το

θεώρημα Bolzano. Για τον υπολογισμό του (4)g εργαζόμαστε ως εξής: Το 4 (1, 7)∈

άρα σύμφωνα με το θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει xo∈ (1, 5) τέτοιο ώστε

οf(x ) 4= και από τη δοθείσα προκύπτει ( )ο ο7

f(x )f f(x ) 7 4f (4) 7 f (4)4

= ⇔ = ⇔ =

κ.λ.π.

Θέμα 6Ο

i. Υψώνουμε στο τετράγωνο την ισότητα w+z = w z− και μετά τις πράξεις προκύπτει

wz wz=− , άρα ο αριθμός wz είναι φανταστικός.

ii. Αν αντικαταστήσουμε τους μιγαδικούς αριθμούς στην ισότητα wz wz=− βρίσκουμε 2 2f(α)f(β) α β 0=− < , άρα το όριο είναι +∞ .

iii. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για την f στο διάστημα [α,β].

Θέμα 7Ο

i. Επειδή το f(α) είναι πραγματικός αριθμός θα είναι 1

z + Rz

∈ άρα

1 1z + = z + ... z 1

zz

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⇔ ⇔ = . (Είναι z z≠ από την υπόθεση).

ii. Αρκεί να δείξουμε ότι w w= ( λαμβάνουμε υπόψη ότι 1z

z 1 z = = ⇔ ).



70

iii. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και f(x) 0≠ για κάθε x [α, β]∈ , διατηρεί το πρό-

σημό της. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [0,1] για τη συνάρτηση 2h(x) x f(α) + xf(β) f(β)= − . κ.λ.π.

Θέμα 8Ο

ii. Κύκλος με κέντρο Κ(2,0) και ακτίνα ρ=1. iii. α = 1

iv) ( )

2

1 2 1 2 1 2 1 2

x 0 x 0 x 01 2

xz z 1 xz z 1 z z z zlim g(x) lim lim ...

x x xz z 1 2→ → →

+ − + − += = = =

+ +.

Πρέπει 1 2 1 2 1 21 2

2 1

z z z z z z1 2 ... z z

2 z z

+= ⇔ + = ⇔ ⇔ = .

Θέμα 9Ο

i. 3 31 2 1 2f(x ) = f(x ) f (x ) f (x )⇒ = , προσθέτουμε κατά μέλη και προκύπτει

2 21 1x 2 x 2 x x+ = + ⇒ = .

ii. Εφαρμόζουμε την ισοδυναμία 1-y = f(x) f (y) = x⇔ .

ii. Έστω ότι η συνάρτηση δεν είναι γν. αύξουσα. Τότε για 22 3 3

2

11

1

f (x ) f (x )x x

f (x ) f (x )

≥< ⇒

≥

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

προσθέτουμε κατά μέλη και προκύπτει 2 21 1x 2 x 2 x x≥+ ≥ + ⇒ Άτοπον.

iv. Α(–2, 0) , Β(0, 1)

v. Βλέπε παρατήρηση 12 σελ. 42. Λύνοντας το σύστημα 3

y = x

y = x + x 2−

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩, βρίσκουμε

Μ( 3 2 , 3 2 ).

Θέμα 10Ο

i. Βλέπε άσκηση 7(i).

ii. 2

2 2 2 2 22

1 1z + = f (α) z + + 2 f (α) f (β) + 2 f (α)

z z⇔ = ⇔ =

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠, άρα 2 2f (β) f (α)< .

iii. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο διάστημα [–1,1] για τη συνάρτηση 3h(x) = x f(α) + f(β) .

Θέμα 11Ο

i. Υψώνουμε τη σχέση z + ω z ω< − στο τετράγωνο και μετά τις πράξεις προκύπτει

zω + zω 0< άρα 2Re(zω) 0< . (Ι).

ii. Αντικαθιστούμε στην (I) τους μιγαδικούς και βρίσκουμε f(α)f(β) 0< . Εφαρμόζουμε το

θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση f στο διάστημα [α, β] κ.λ.π.



71

Θέμα 12Ο

Εργαζόμαστε με τρόπο ανάλογο του θέματος 11.

Θέμα 13Ο

i. Από την υπόθεση προκύπτει

2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2z + z z z z z z z (z z )(z z )= − ⇔ + = − − και μετά τις πράξεις

2 21 1z z z z 0+ = δηλαδή 212 Re(z z ) 0= . Αν αντικαταστήσουμε τους μιγαδικούς αριθ-

μούς προκύπτει α

α ββe e

e f(β) + e f(α) 0 + 0f(a) f(β)

= ⇔ = (Ι).

ii. Από την (Ι) προκύπτει α

β

f(α) e0

f(β) e=− < δηλαδή f(α)f(β) 0< και εφαρμόζουμε το

θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση f στο διάστημα [α, β] κ.λ.π. Θέμα 14Ο

α. Αφού xIm(z ) 1= είναι xz x + i=

i. [ ]

2x

2x 0 x 0x

2

z συνx x +1 συνxlim lim

xRe(z )→ →

− −= πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή

παράσταση και προκύπτει

2

2

2x 0

ημ x1

xlim 1x 1 συνx→

+=

+ +.

ii. ( ) ( )2xx x

lim z lim x 1 xx→+∞ →+∞

− = + − πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή

παράσταση και προκύπτει 2x

1lim ... 0

x + 1+ x→+∞= = .

β. Η σχέση xz 1 1− = μετά την αντικατάσταση και τις πράξεις μας δίνει

2f (x) x(2 x)= − . (Ι)

i. Η εξίσωση λόγω της (Ι) είναι ισοδύναμη με την x(2 x) 0 x 0− = ⇔ = ή x 2= .

ii. Αφού είναι f(x) 0> προκύπτει από την (Ι) x(2 x)f(x) , x [0, 2]−= ∈ .

Θέμα 15Ο

i. Έστω x1, x2 ∈ [0, 1] με x1< x2 τότε αφού η συνάρτηση f είναι γν. φθίνουσα θα ισχύει

21

1 1

f(x ) f(x )< και

21

1 1

x x− <− . Προσθέτουμε κατά μέλη και προκύπτει

21g(x ) < g(x ) δηλαδή η συνάρτηση g είναι γν. αύξουσα.

ii. Το σύνολο τιμών της g είναι το διάστημα ( )x 0 x 1lim g(x) , lim g(x)

+→ → – =( ), 2−∞ .

(Να μην ξεχνάμε ότι η συνάρτηση f είναι γν. φθίνουσα άρα f(0) f (1) 1> = ).

iii. Η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την g(x) 0= . κ.λ.π.



72

Θέμα 16Ο

(Βλέπε και Θέμα 3ο )

i. ημx

x 3 , x 0f(x) x

3 , x 0

− ≠=

− =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

iii. Eφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση

-xh(x) f(x) e= − στο διάστημα [0, Μ] , όπου Μ ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός.

Θέμα 17Ο

Β. β. i. Η συνάρτηση φ είναι γν. αύξουσα ως άθροισμα γν. αυξουσών συναρτήσεων . ii. Iσχύει f (0) 1= .

1 f(x)f(x) e ln (f(x)) 1 f(x) f(x) + ln(f(x)) 1−< ⇔ < − ⇔ < ⇔

f(x) ln(f(x)) 1 2 φ(x) φ(1) x 1+ + < ⇔ < ⇔ <

Θέμα 18Ο

i. x 0 x 0

1x

1lim f(x) lim x 0

1 e+ +→ →

= =

+

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠.

x 0 x 01x

1lim f(x) lim x 0

1 e− −→ →

= =

+

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Άρα α = –1.

ii. x

f(x)lim→−∞

=−∞

ii. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής καιx

f(x)lim→+∞

= +∞ , η f έχει σύνολο τιμών το

διάστημα ( , )−∞ +∞ . Άρα και η συνάρτηση ( )2005h(x) = f(x) κ− , έχει σύνολο τιμών

το διάστημα ( , + )∞ ∞– . Επομένως υπάρχει πραγματικός αριθμός xo τέτοιος ώστε

οh(x ) 0= .

Θέμα 19Ο

Βλέπε Θέμα 5ο . Βρίσκουμε f (4) 7= κ.λ.π.

iv. Εργαζόμαστε με το θεώρημα Μέγιστης – Ελάχιστης τιμής. κ.λ.π.

Θέμα 20Ο

Α. (α = 4 , β = 1) ή (α = –3 , β = 8)

Β. Επειδή x

f(x)lim→+∞

=−∞ , είναι α = -3 , β = 8.

i. h(x) 3x 8 ln(x 1), x 1=− + + − > .

ii. Eφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano για τη συνάρτηση h στο διάστημα [2, e +1] ή σε

οποιοδήποτε άλλο διάστημα επιλέξουμε ,υπό την προυπόθεση ότι ισχύει το θεώρημα.

iii. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )2005k(x) = f(x) κ− . Eφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano

στο διάστημα [μ , Μ], όπου μ ένας πολύ μικρός αρνητικός αριθμός και Μ ένας πολύ μεγάλος θετικός αριθμός. ( Μπορούμε να εργαστούμε και όπως στο θέμα 18(iii) ).



73

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΩΝ ΤΑΞΕΩΝ

Α. Ταυτότητες

i. (α +β)2 = α2 + 2αβ + β2

ii. (α −β)2 = α2 − 2αβ + β2

iii. (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

iv. (α −β)3 = α3 − 3α2β + 3αβ2 − β3

v. (α −β)(α + β) = α2 − β2

vi. α 3 − β 3 = ( α − β )⋅( α2 + αβ + β2)

vii. α 3 + β 3 = ( α + β )⋅( α2 − αβ + β2)

viii. α ν − β ν= ( α − β )⋅( αν–1 + α ν–2β + α ν–3β2 +…αβν –2 + βν –1) (ν∈Ν*) Β. Ιδιότητες απόλυτης τιμής

α2 = ⎢ α2 ⎢, ⎢α⋅β⎢= ⎢α⎢⋅⎢β⎢, αβ

= αβ

| || |

β ≠ 0

⎢α + β ⎢ ≤ ⎢ α ⎢ + ⎢ β ⎢ (το ίσον ισχύει αν α⋅β ≥ 0

⎢x ⎢ ≤ θ ⇔ – θ ≤ x ≤ θ, όπου θ > 0

⎢x ⎢ ≥ θ ⇔ x ≤– θ ή x ≥ θ , όπου θ > 0 Γ. Πρόσημο τριωνύμου

2f(x) = αx + βx + γ, α 0≠

1. Αν Δ > 0 τότε μεταξύ των ριζών είναι ετερόσημο του α, εκτός των ριζών είναι

ομόσημο του α.

2. Αν Δ ≤ 0 το τριώνυμο είναι πάντα ομόσημο του α.

Δ. Βασικοί τύποι τριγωνομετρίας ημ2α + συν2α = 1

συν(α + β) = συνα⋅συνβ – ημα⋅ημβ συν(α – β) = συνα⋅συνβ + ημα⋅ημβ

ημ(α + β) = ημα⋅συνβ + ημβ⋅συνα ημ(α – β) = ημα⋅συνβ – ημβ⋅συνα

εφα + εφβ εφα – εφβεφ(α + β) = , εφ(α – β) =

1 – εφαεφβ 1 + εφαεφβ

σφασφβ – 1 σφασφβ + 1σφ(α + β) = , σφ(α – β) =

σφβ + σφα σφβ – σφα

2 2 2 2ημ2α = 2ημασυνα , συν2α = συν α – ημ α = 2συν α – 1 = 1 – 2ημ α 2

2

2εφα σφ α – 1εφ2α = , σφ2α =

1 - εφ α 2σφα

Νόμος συνημιτόνων: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: 2 2 2α = β + γ - 2βγσυνΑ



74

Τύπος εμβαδού τριγώνου ΑΒΓ: 1

Ε = βγημΑ2

Ε. Αριθμητική - Γεωμετρική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος ν 1α = α + (ν - 1)ω ν 1 ν

νΣ = (α + α )

2

Γεωμετρική πρόοδος ν 1ν 1α = α λ – ≠

ν1

ν

α (λ - 1)Σ = , λ 1

λ - 1

ΣΤ. Εκθετική συνάρτηση f(x) = αx , α > 0 και α ≠ 1 • Αν α >1 για την f αποδεικνύεται ότι: 1) έχει πεδίο ορισμού το R 2) έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, +∞) 3) είναι γνησίως αύξουσα στο R 4) Η Cf έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των x. • Αν 0 < α < 1 για την f αποδεικνύεται ότι: 1) έχει πεδίο ορισμού το R 2) έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, +∞) 3) είναι γνησίως φθίνουσα στο R 4) Η Cf έχει ασύμπτωτο το θετικό ημιάξονα των x. Ζ. Ιδιότητες λογαρίθμων

≠ 1 2Αν α > 0 , με α 1 και θ > 0, θ > 0,θ > 0 τοτε :

1. ⇔xαα = θ x = log θ

2. xαlog α = x

3. αlog θα = θ 4. αlog 1 = 0 5. αlog α = 1 6. 1 2 1 2α α αlog (θ θ ) = log θ + log θ

7. 11 2

2

α α αθ

log = log θ - log θθ

8. ∈κ

α αθ = κ θ , κ Rlog log

9. x xlnαα = e , αφού lnαα = e . Τύπος αλλαγής βάσης:

10. αν α, β > 0 με α, β ≠ 1, τότε για κάθε θ > 0 ισχύει: αβ

α

log θlog θ =

log β

Λογαριθμική συνάρτηση:

*( στην ύλη είναι μόνο η λογαριθμική συνάρτηση με βάση το 10 ή το e , δηλαδή οι συναρτήσεις f(x) = logx , f(x) = lnx , x > 0 ) 1. έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα (0, )+∞ 2. έχουν σύνολο τιμών το R 3. είναι γνησίως αύξουσες στο διάστημα (0, )+∞ 4. οι γραφικές παραστάσεις τους έχουν ασύμπτωτο τον ημιάξονα Οy΄



75

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Θέμα 3ο (ΘΕΤΙΚΗ 2000)

Η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο κλειστό διάστημα [0,1]. Αν

f(0) = 2 και f(1) = 4, να δείξετε ότι:

α. Η ευθεία y = 3 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σ’ ένα ακριβώς σημείο με τε-

τμημένη xο ∈(0, 1).

β. υπάρχει x1∈ (0,1), τέτοιο ώστε: ( )1

1 2 3 4f + f + f + f5 5 5 5f x =4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Θέμα 3ο (ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ 2000)

Δίνεται η συνάρτηση f με:

( ) ( ) ( )

2

2 2 5 x

x 8x 16 , 0 x 5f x

ln x 5 e 2( 1)e x 5,−

− + < <=

α + β ⋅ − + + α + ≥

⎧⎪⎨⎪⎩

A. Να βρεθούν τα x 5 x 5lim f (x), lim f (x)

− +→ →.

Β. Να βρεθούν τα α, β ∈R, ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο xo= 5.

Γ. Για τις τιμές των α,β του ερωτήματος Β να βρείτε το

xlim f (x)→+∞

.2

Θέμα 3ο (ΕΣΠΕΡΙΝΑ 2000)

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο:

2x x, x < 1f(x) = x 1

αx 2α + 3 , x 1≥

⎧⎪⎨⎪⎩

–

–

–

α. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σημείο xo =1.

β. Να υπολογίσετε τα όρια x 2 x 2lim f (x), lim f (x)→ →–

Θέμα 3ο (ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2000)

Δίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, για την ο-

ποία ισχύει: ( ) 2x

x 0

f x e 1lim 5

2x→

− +=

ημ

α. Να βρείτε το f(0).



76

Θέμα 3ο (2003)

Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R . Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύν-

θεσης fog είναι 1-1.

α. Να δείξετε ότι η g είναι 1-1.

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση: g(f(x) + x3

- x) = g(f(x) + 2x -1) έχει ακριβώς δύο θετι-

κές και μία αρνητική ρίζα.

Θέμα 2ο (Επαν.2002)

Δίνεται η συνάρτηση x

x

e 1f (x) , x R

e 1

−= ∈

+.

α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση f −1

.

β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f −1

(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα το μηδέν.

Θέμα 3ο (Επαν.2004)

Δίνεται μια συνάρτηση f: [α, β] → IR συνεχής στο διάστημα [α, β] µε f(x) ≠ 0 για κά-

θε x ∈ [α, β] και μιγαδικός αριθμός z µε Re(z) ≠ 0, Ιm(z) ≠ 0 και R(z) Im(z)>| | | | .

Αν 1

z + = f(α)z

και 2 2

2

1z + = f (β)

z, να αποδείξετε ότι:

α. ⎢ z ⎢ = 1 β. f2(β) < f2(α)

γ. η εξίσωση x3f(α) + f(β) = 0 έχει τουλάχιστον µία ρίζα στο διάστημα (–1, 1).

Θέμα 2ο (2006)

Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = 2 + (x–2)2 με x ≥2.

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1.

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση f –1 της f και να βρείτε τον

τύπο της.

γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και

f -1 με την ευθεία y = x.

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Γ.Λυκείου


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ. Λυκείου

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

2

3( )6 9

xf xx x

−=

− + , 2( )

1x

xg xe−

=−

, 2

2( )1

xh xx

5−=

+ , 1( )

2

xek xx+

=−

2) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

2 2( ) 1 1f x x x= + + − , ( ) 1xg x e= − , 2

2( )9

xh xx

=−

, 1( )2

xek xx−

=−

3) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

2( ) 1 ln( 2)f x x x= + + − , ( ) ln 1g x x= − , 2

ln( 1)( )9

xeh xx−

=−

,

2

2( )ln ln

xk xx x

=−

4) Δίνεται η συνάρτηση ( )1 x

xf xe

συν=

−.

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii) Αποδείξτε ότι ( ) ( )f x f x xσυν+ − = , για κάθε fx A∈ .

5) Δίνεται η συνάρτηση 2 1( )ln

xf xx−

= .

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. ii) Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x′ .


2


6) Δίνεται η συνάρτηση . 2( ) ln 1f x x= − i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f . ii) Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της f , διέρχεται από τα σημεία και

. (1, 1)Α −

( 1, 1)Β − − iii) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x′ . iv) Για ποιες τιμές του x η γραφική παράσταση της f , βρίσκεται κάτω από τον άξονα

των x ; Όριο – συνέχεια συνάρτησης 7) Να αποδείξετε ότι:

2

31

3

22

0

3 2

21

3 5 2 1lim 2

7 6lim 55 6

1lim 11

3 2 7 2lim 6

x

x

x x

xx

x

x xx x

x xx xxe e x

ex x x

x x

→−

→

→

→−

+ += −

−− +

= −− +− − +

= −−

− − −= −

+

1

0

2

21

3

22

lim (2 2ln ) 2

ln( 1) 2lim 12

1lim 2

8lim 13 12

x

x

x

x

x

e x

xx

xx x

x

e

x

→

→

→

→−

− =

+ +=

+−

=−+

= −−

8) Να αποδείξετε ότι:

1

2

2

21

1 1lim 1 2

2 8lim 32 3 2

1 3 2 5lim1 8

x

x

x

xxx x

xx x

x

→

→

→−

−=

−−

= −− −

− += −

−

21

1

2

20

1 2lim 4

1lim 01

1 1 1lim 2

x

x

x

x xx x

xx

x

2

x

→

→−

→

+ −= −

−+

=+

− −=

9) Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 3f x x= − x . Αποδείξτε ότι :


3


23

0

( ) 1lim 9 2

( ) (0)lim 122 4

x

x

f xx

f x fx

→

→

=−

−=

− +

0

( 2) (2)lim 1h

f h fh→

+ −=

10) Δίνεται η συνάρτηση 3 2( ) 1 , ,f x x xα β α β R= + + ∈ .

Θεωρούμε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x x′ στο 012

x = και

διέρχεται από το σημείο . ( 1, 6)Α − − i) Να υπολογίσετε τα , Rα β ∈ .

ii) Αν α = 2 και β = - 5 , να αποδείξετε ότι 212

( ) 7lim 2 1x

f xx x→ 6

= −+ −

.

11) Δίνεται η συνάρτηση

25 3 2 , 1( ) 17 , 1

x x xf x xx

⎧ − −≠⎪= −⎨

⎪ =⎩

Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 1x = .

12) Δίνεται η συνάρτηση 1 3 2 , 1( ) 12α+1 , 1

x xf x xx

⎧ − −>⎪= ⎨ −

⎪ =⎩

, να βρείτε τον πραγματικό

αριθμό α , ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο 0 1x = .


4


13) Δίνεται η συνάρτηση

2

2

ln ln , 0 24( )

1 , 24

x x x xxf x

x

⎧ −< ≠⎪⎪ −= ⎨

⎪ =⎪⎩

i) Να βρείτε το

2lim ( )x

f x→

ii) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 2. 14) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 1 ln( 1)f x x= − − . i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . ii) Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού κ ώστε το σημείο Α(2,κ) να ανήκει στη

γραφική παράσταση της f .

iii) Να αποδείξετε ότι 22

( 2) ( )lim 4 4x

x f xx→

− 1=

−.

iv) Αποδείξτε ότι 22( 1)x x 1f e x− + = − .

15) Έστω συνάρτηση f , συνεχής στο R , της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(1,2).

Αποδείξτε ότι : i) 21

( )( 1)lim 23 2x

f x xx x→

−= −

− +

ii) 2

1

( )( )lim 82 3x

f x x xx→

−= −

− +

iii) 2

21

( ) 2 ( )lim 2( ) 3 ( ) 2x

f x f xf x f x→

−=

− +


5


Παράγωγος συνάρτησης 16) Στη πρώτη στήλη είναι ο τύπος της συνάρτησης f . Με την προϋπόθεση ότι

ορίζεται να βρείτε τη παράγωγό της. (η απάντηση βρίσκεται στη δεύτερη στήλη).

Στήλη Α

Στήλη Β

1) 3( ) 2 4f x x x= − + 2) 3( )f x x−= + x 3) 3( )f x x= + x

4) 2

53( )f x x= + x 5) ( ) 2f x x xημ συν= − 6) 3( )f x x x xσυν= − − 7) ( ) lnxf x xe= + x 8) 2( ) 5f x x xημ= −

9) 3

2( )1

xf xx

=+

10) ( )1

xef xx

=+

11) ln( )1x

xf xe

=+

1) 2( ) 3 2f x x′ = − 2) 4( ) 3 1f x x−′ = − +

3) 23

1 1( )2 3

f xx x

′ = +

4) 3 45

2 1( )3 5

f xx x

′ = +

5) ( ) 2f x x xσυν ημ′ = +

6) 21( ) 32

f x xx

xημ′ = − +

7) 1( ) x xf x e xex

′ = + +

8) 2( ) 2f x x x x xημ συ′ = + ν

9) 4 2

2 2

3( )( 1)x xf xx+′ =+

10) 2( )( 1)

xxef xx

′ =+

11) 2

1 ( 1) ln( )

( 1)

x x

x

e exf x

e

+ −′ =

+

x


6


12) ( ) x

xf xeημ

=

13) ( )ln

xxef xx

=

14) ln( )ln

x xf xx x−

=+

15) 2( ) xf xx xημ

ημ συν=

+

16) 3( ) 2xf x x= 17) ( ) 2 3x xf x = + 18) ( )f x x xεφ σφ= − 19) ( ) (1 )(ln 1)xf x e x= − + 20) ( ) lnxf x xe= x 21) 3( ) xf x x e− −= + 22) 3 5( ) ( 1)f x x= + 23) 2( ) 1f x x= + 24) 4( ) ln( 1)f x x= +

25) 3( ) ( )6

f x x πημ= +

26) 5( )f x xημ= 27) 5( )f x xημ=

12) ( ) x

x xf xe

συν ημ−′ =

13) 2

( ) ln( )ln

x x xe xe x ef xx

+ −′ =

14) 2

2ln 2( )( ln )

xf xx x

−′ =+

15) 2

2( )( )

f xx xημ συν

′ =+

2( ) 2 ( ln 2 3)xf x x x′

16) = +

( ) 2 ln 2 3 ln3x xf x′ = +

17)

18) 2 2

1( )

f xx xσυν ημ

′ =

19) 1( ) (ln 1) (1 )x xx e x ex

′ = − + + −

( ) (ln 1 ln )x

f

20) f x e x x x′ = + +

4( ) 3

21) xf x x e− −′ = − −

2 3 4( ) 15 ( 1)f x x x′

22) = +

23) 2

( )1

xf xx

′ =+

24) 34( ) x

4 1f x′ =

x +

25) 2 3( ) 3 ( )f x x x6πσυν′ = +

26) 4( ) 5f x x xημ συν′ = 27) 4 5( ) 5f x x xσυν′ =


7


28)

2 1( ) xf x e += 29) ( ) ln(ln )f x x= 30) ( ) ln( )f x xσυν= 31) ( ) (ln )f x xημ= 32) ( ) lnf x x= 33) 1( ) xf x e += 34)

2 1( ) xf x e += 35) 2( )f x xημ=

28)

2 1( ) 2 xf x xe +′ =

29) 1( )ln

f xx x

′ =

( )

30) ′f x xεφ= −

31) (ln )( ) xf xx

συν′ =

32) 1( )2 ln

f xx x

′ =

33) 1

( )2

xef x+

′ =x

34) 2 1

2( )

1x xf x e

x+′ =

+

35) x2( )2

f x ημ′ = x

17) Αν θεωρήσουμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη, να βρείτε την παράγωγο

των συναρτήσεων

i) ( ) ( )g x f xημ= ii) ( ) (1 3 )xh x f= + iii) ( )( ) ( ( ))f xx e fφ ημ= + x 18) i) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ( ))h x f g x= , όπου ,f g συναρτήσεις παραγωγίσιμες

στο R. Έστω ότι είναι . Αποδείξτε ότι . (3) 6 , (3) 4 , (6) 8g g f′ ′= = = (3) 32h′ =


8


ii) Δίνεται η συνάρτηση , όπου ( ) ( ( ))h x f g x= ,f g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο R.

Έστω ότι είναι . Αποδείξτε ότι . (2) 3 , (2) 4 , (3) 5g g f′ ′= = = (2) 20h′ = iii) Έστω f μία παραγωγίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο R , για την οποία ισχύει

. Αν , αποδείξτε ότι (2 5f ′ ) = 3( ) ( 3 2)g x f x x= + + (0) 15g′ = . 19) i)Δίνεται η συνάρτηση ( ) , .xf x xe x R−= ∈

0= Αποδείξτε ότι ισχύει

, για κάθε ( ) 2 ( ) ( )f x f x f x′ ′′+ + x R∈ .

ii) Δίνεται η συνάρτηση 2( ) xf x x e= − + . Να αποδείξετε ότι 2( ) ( ) 2f x f x x′′ − + = για κάθε x R∈ .

iii) Δίνεται η συνάρτηση ( ) xf x e xημ=

2

. Να αποδείξετε ότι 2 2( ( )) (2 ( )) 4 xf x f x′′ + = e για κάθε x R∈ .

iv) Δίνεται η συνάρτηση ( ) lnf x x= . Να αποδείξετε ότι για κάθε

( ( )) ( ) 0f f x f x′ + =(0, )x∈ +∞

20) Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 2 , .f x x x x= − ∈

0=R Αποδείξτε ότι ισχύει

για κάθε (1 ) ( ) ( )x f x f x′′ ′− + x R∈ . 21) Δίνεται η συνάρτηση ( ) , .xf x e x x Rημ−=

( ) 0x =∈ Αποδείξτε ότι ισχύει

για κάθε ( ) 2 ( ) 2f x f x f′′ ′+ + x R∈ . 22) Δίνεται η συνάρτηση ( ) (ln ) , 0.f x x x xημ=

( ) 0f x = 0> Αποδείξτε ότι ισχύει

για κάθε 2 ( ) ( ) 2x f x xf x′′ ′− + x > . 23) i) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 , .xf x e x x Rημ−= ∈

0= Αποδείξτε ότι ισχύει

για κάθε ( ) 2 ( ) 5 ( )f x f x f x′′ ′+ + x R∈ .

ii) Δίνεται η συνάρτηση ( ) x xf xx x

ημ συνημ συν

+=

− , x xημ συν≠ . Να αποδείξετε

ότι : α) β) Αν2( ) ( ) 1 0f x f x′ + + = ( ) 0f x′′ = , τότε ( ) 0f x =


9


24) Δίνεται η συνάρτηση ( ) , xf x e x xλ= + ∈

( ) 2 ( ) 2 0f x′− + =R . Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ

ώστε να ισχύει . f x′′ 25) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) , xf x x a e xβ+= + ∈

( ) , ( ) f fR και α, β τυχαίοι πραγματικοί

αριθμοί. Αποδείξτε ότι οι αριθμοί , ( )fκ κ κ′ ′′ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό κ.

Εξίσωση εφαπτομένης 26) i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της

συνάρτησης ( ) 2f x = x στο σημείο (4, (4))A f . ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

3 2( ) 3 1f x x x x= + − + στο σημείο (2, (2))A f . iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

( ) xf x e−= στο σημείο με τεταγμένη e. iv) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

στο σημείο με τετμημένη 3. 2( ) ( 1)f x x x= + v) Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x′ η εφαπτομένη της γραφικής

παράστασης της συνάρτησης 2( ) ( 2)( )f x x x x= + + στο σημείο με τετμημένη 1− .

27) Δίνεται η συνάρτηση 2

( ) 22xf x x= − + . Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

της γραφικής παράστασης της f που i) έχει συντελεστή διεύθυνσης 2. ii) σχηματίζει με τον άξονα x x′ γωνία 45 . o

iii) είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση 3 1 0x y+ − = iv) είναι παράλληλη στον άξονα x x′ .


10


28) i) Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο 2( ) 2f x x ax β= − + , ,a Rβ ∈ . Να υπολογίσετε τα ,a Rβ ∈ , ώστε η ευθεία με εξίσωση 3y 1x= − να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη ίση με 2.

ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση f με τύπο 2( ) 1f x ax xβ= − + − , ,a Rβ ∈ . Να

υπολογίσετε τα ,a Rβ ∈ , ώστε η ευθεία με εξίσωση 2 1xy = − + να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της A( - 1 , 1).

29) i) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο ( ) lnf x x x= . Να βρείτε την εξίσωση της

εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλη στη διχοτόμο

της γωνίας x oy′ .

ii) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 2

( )1

xf xx

=−

. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση 2y x= − 5

iii) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 2 2( ) ( 5)xf x e x−= + . Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει

εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που είναι παράλληλη στον άξονα x x′ .

30) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο 2( )f x x= . Να βρείτε τις εξισώσεις των

εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f που διέρχονται από το σημείο ( 1, 3)A − − .

Μονοτονία συνάρτησης 31) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:

i) 2( ) 2 5f x x x= − + ii) 3( ) 3 12f x x x= − + − iii) 5 31 4( ) 15 3

f x x x= − +

iv) 3 2( ) xf x x e= v) ln( ) xf xx

= vi) 2( ) ( 1)xf x e x= − vii) 2 4 3( ) x xf x e − +=


11


32) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις δεν έχουν ακρότατα.

i) ii) 3( ) 2 5f x x x= + + 3( ) 3 12f x x x= − − − iii) 5 31 4( ) 15 3

f x x x= + +

iv) 5( )f x x= + x , για 0x > v) 21( ) ln2

f x x= + x vi) 3( ) ( 1)xf x e x= + −

vii) 3 4 3( ) x xf x e + += viii) ( ) 2f x x x xημ συν= − , [0, ]

2x π∈

33) Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 2 4ln 2 , 0f x x x x= − − > i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Αποδείξτε ότι 2 1 2lnx x− ≥ , για κάθε (0, )x∈ +∞ . 34) Δίνεται η συνάρτηση 2 2( ) (1 ) (1 ) , f x a x a x a= − + − ∈R i) Αποδείξτε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο για x a= . ii) Να βρείτε την τιμή του , για την οποία η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης γίνεται μέγιστη.

a R∈

35) Δίνεται η συνάρτηση . Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της

5 3( ) 3 2f x x x= + +f η εφαπτομένη έχει την ελάχιστη κλίση;

Ρυθμός Μεταβολής 36) Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με εμβαδόν 100 , να βρείτε εκείνο που

έχει τη μικρότερη περίμετρο. 2m

37) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

3 2( ) 3 2 1f x x x x= + − − , στο οποίο η εφαπτομένη της έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης.


12


38) Έστω τα σημεία (0 , 1)A x + και ( ,0)B x . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής i) της απόστασης των σημείων A και B ως προς x όταν είναι 1x = ii) του εμβαδού του τριγώνου (O η αρχή των αξόνων) ως προς OAB x όταν είναι

1x = . 39) Δίνεται η συνάρτηση ( ) lnf x x= x και το σημείο της γραφικής της παράστασης

( , ( ))M a f a . Να βρείτε: i) Την εξίσωση (ως συνάρτηση του α ) της εφαπτομένης της fC στο Μ. ii) Τα σημεία τομής A , B της εφαπτομένης με τους άξονες x x′ και . y y′ iii) Το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού του τριγώνου (O η αρχή των αξόνων) ως

προς a όταν a eOAB

= Θέματα σε όλο το κεφάλαιο 40) Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x xημ συν= + i) Να αποδειχθεί ότι ( ) ( ) 0f x f x′′+ = ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

Α(0,1). iii) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού λ , για την οποία ισχύει

22 2

f fπ πλ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2= . (Θέμα 2001)

41) Δίνεται η συνάρτηση ( )1

xf xx

ημσυν

=+

.

i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f .


13


ii) Αποδείξτε ότι 1( )1

f xxσυν

′ =+

iii) Αποδείξτε ότι (0) 12

f fπ⎛ ⎞′ ′′+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

iv) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

Α ,12π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

v) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η προηγούμενη εφαπτομένη με

τους άξονες x x′ και . y y′

42) Δίνεται η συνάρτηση 2( ) 1f x x= − . i) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f . ii) Nα εξετάσετε αν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της f ώστε η εφαπτομένη

σ΄ αυτό να είναι παράλληλη στον άξονα x x′ .

iii) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της f για 2x = είναι 2 33

.

iv) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) 3( )2

f xh xx−

=−

. Αποδείξτε ότι 2

2 3lim ( )3x

h x→

= .

43) Δίνεται η συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και η γραφική της

παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(1,2). Θεωρούμε τη συνάρτηση , 2( ) ( 1)g x f x= + x R∈ . i) Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Β(0,2). g ii) Να βρείτε την . ( )g x′

iii) Αποδείξτε ότι 2 2 ( )( ) 4 ( 1) g xg x x f xx′

′′ ′′= + + , 0x ≠ .

iv) Αν η γραφική παράσταση της f , έχει στο σημείο Α εφαπτομένη παράλληλη προς

την ευθεία 2y x 5= + , να βρεθεί το (0)g′′ .


14


44) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5xf x e xα β= − + , x R∈ , , Rα β ∈ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,7).

Α) Αν η εφαπτομένη της fC στο Α είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση 1y x= − , να

βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς ,α β . Β) Αν 2α = και 1β = i) Αποδείξτε ότι ( ) ( ) 1f x f x′′ ′− = ii) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii) Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η

εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα x x′ .

iv) Αποδείξτε ότι 25

( ) 2 1lim 25 10

x

x

f x ex→

−= −

−.

45) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln(1 )xf x e= − i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii) Να αποδείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα.

iii) Να αποδείξετε ότι ( )2( ) ( ) 0xf x e f x′ ′′+ = . 46) Ένα κατάστημα ανοίγει στις 8 π.μ. και παραμένει ανοικτό συνεχώς μέχρι τις 6 μ.μ. Οι εισπράξεις του καταστήματος σε εκατοντάδες ευρώ δίνονται από τις τιμές της

συνάρτησης 2

20( )36tf t

t=

+ , όπου t ο χρόνος ο οποίος μετράτε σε ώρες και η μέτρηση

αρχίζει αμέσως με το άνοιγμα του καταστήματος. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f ii) Αποδείξτε ότι οι εισπράξεις του καταστήματος στις 10 π.μ. είναι 100 ευρώ. iii) Να βρείτε ποια ώρα το κατάστημα πραγματοποιεί τις περισσότερες εισπράξεις και

πόσες είναι αυτές. iv) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής των εισπράξεων του καταστήματος στις 4 μ.μ.


15


47) Η τιμή ενός προϊόντος είναι 10004x⎛ −⎜

⎝ ⎠⎞⎟ ευρώ ανά τόνο. Το κόστος παραγωγής είναι

500 ευρώ ανά τόνο και τα έξοδα ασφάλισης του προϊόντος είναι συνολικά 12000 ευρώ για όλη τη παραγωγή. i) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση που δίνει το κέρδος από τη πώληση x τόνων του προϊόντος

έχει τύπο2

( ) 500 120004xP x x= − + − .

ii) Να βρείτε την παραγωγή που πρέπει να έχουμε ώστε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους

να είναι 200 ευρώ. iii) Να βρείτε την ποσότητα που πρέπει να παραχθεί ώστε να επιτύχουμε το μέγιστο

κέρδος. iv) Να βρεθεί το μέγιστο κέρδος.

48) Δίνεται η συνάρτηση 2 1( ) lnf x xx

= .

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . ii) Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(1,0). iii) Αποδείξτε ότι η εφαπτομένη της fC στο σημείο Α σχηματίζει με τον άξονα x x′ γωνία 135ο . iv) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

v) Αποδείξτε ότι α) 1

( ) lnlim 01x

f x xx→

+=

− , β) 23

( ) 2ln 1lim 9 6x

f x x xx→

′′ + +=

− .

vi) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο ( , ( ))M e f e . 49) Δίνεται η συνάρτηση f , ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R , για την οποία ισχύει

, για κάθε 32 ( ) (2 ) 1f x f x x− − = − x R∈ . i) Αποδείξτε ότι . (1) 1f ′ =


16


ii) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο σημείο (1, (1))A f .

iii) Να υπολογίσετε τα όρια 0

(1 )lim h

f hh→

+ , 0

(1 ) 1lim h

f hh→

′ + −

50) Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 3f x x= − + . 1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της.

2) Αποδείξτε ότι : ( )26

5 1lim36 48x

f xx→

−=

−.

3) Να εξεταστεί η f ως προς την μονοτονία . 4) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της fC στο ( )( )6, 6A f 5) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη με τους άξονες χ΄χ

και y΄y .


17



1) 2) 3) *

3

(2, )

f

g

h

k

A R

A R

A RA

= −

=

== +∞

( , 1] [1,

[0, )

( 3,3)[0,2)

f

g

h

k

A

A

AA

= −∞ − ∪ +∞

= +∞

= −=

)

)e

(2, )

[ , )

(0,3)(0,1) (1, ) ( ,

f

g

h

k

A

A e

AA e

= +∞

= +∞

== ∪ ∪ +∞

∞

4) *

fA R=

5) i) ii) Αποδείξτε ότι , για κάθε (0,1) (1, )fA = ∪ + ( ) 0f x > fx A∈ .

6) i) , iii) *

fD R= ( ,0) , ( ,0)M e N e− , iv) ( ,0) (0, )x e e∈ − ∪

12) α = - 5/4

13) i) ln 24

, ii) οχι

14) i) , ii) κ = 1 . (1, 1]fD e= +

17) i) ( ) ( )g x f x xημ συν′ ′= ii) 3 ln 3( ) (1 3 )2

xxh x f

x′ ′= + iii) ( )( ) ( ) ( ( )) ( )f xx f x e f x f xφ συν′ ′ ′= +

24) λ=0 ή λ=2.

26) i) 1

22

y x= + ii ) iii ) 13 19y x= − y ex= − iv ) 28 54y x= − v) 3

4

π

27) i) 52

2y x= − ii ) iii ) y = x x3y = − iv ) 32

y =

28) i) α = 5 , β = 7. ii ) α = 0 , β = - 2.

29) i) 2

3

ey x= − +

30) 1 : 2y x 1ε = − , 2 : 6y x 9ε = − − 31) i) γν. φθίνουσα στο διάστημα και γν. αύξουσα στο διάστημα [1 , έχει ελάχιστο το

( ,1−∞ ]

]

, )+∞(1) 4f =

ii) γν. φθίνουσα στα διαστήματα και [1( , 1−∞ − , )+∞

(1) 1f , γν. αύξουσα στο διάστημα [ 1 , έχει

ελάχιστο το και μέγιστο το ,1]−

( 1) 14f − = − 0= − .


18


iii) γν. φθίνουσα στo διάστημα [ 2 , γν. αύξουσα στα διαστήματα ,2]− ( , 2]−∞ − και [2, )+∞ , έχει ελάχιστο το (2)f και μέγιστο το ( 2)f − .

vi) ) γν. φθίνουσα στο διάστημα 3( ,2

−∞ − ] και γν. αύξουσα στο διάστημα 3[ ,2

− +∞) , έχει μέγιστο το

3

3 2( )2 8

fe

− = −7

v) γν. φθίνουσα στο διάστημα [ , και γν. αύξουσα στο διάστημα , έχει μέγιστο το )e +∞ (0, ]e 1( )f ee

=

vi) . φθίνουσα στο διάστημα [ 1 και γν. αύξουσα στα διαστήματα ,1]− ( , 1]−∞ − και [1 , έχει

μέγιστο το

, )+∞4( 1)fe

− = και ελάχιστο το (1) 0f = .

vii) γν. φθίνουσα στο διάστημα ( και γν. αύξουσα στο διάστημα [2 , έχει ελάχιστο το ,2−∞ ] , )+∞

1(2)f e−= 32) Η συνάρτηση (ii) είναι γν. φθίνουσα , οι άλλες είναι γν. αύξουσες 33) ελάχιστο στο 1. 34) ii) α= 1/2 35) στο (0,2) 36) Το τετράγωνο 37) Α(-1.3)

38) i) 5(1)2

d ′ = ii) (1) 1E′ =

,0) , (0, )B a− iii) 38e 39) i) ii) (ln 1)y a x= + − a (

ln 1aAa +

40) ii) 1y x= + , iii) 4λ = −

41) i) , 2x κπ π≠ ± κ ∈Ζ . iv) 12

y xπ

= + − , v) 2

11

2 2E

π= −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

42) i) ( , , ii) όχι 1] [1,−∞ − ∪ +∞)

)

43) iv) . (0) 1g′′ = 44) ελάχιστο στο 0 ln 2x = − 45) i) ( ,0−∞


19



20

46) i) , ii) , iii) (0,10)t ∈ (2) 1f = 6t = άρα στις 2 μ.μ. , iv) (8)f ′ 47) ii) x = 600 τόνοι , iii) x = 1000 τόνοι , iv) (1000)P

48) i) (0 , iii) , iv) μέγιστο στο , )+∞ (1) 1f ′ = − 01

xe

= , vi) 23 2y ex= − + e

49) ii) 1y x= − , iii) …= , …=(1) 1f ′ = (1) 6f ′′ =

50) 3) (γνησίως αύξουσα στο [ )2,+∞ ), 4) 1

4 2y x

7= + , 5)

49

2E = τα . μ.

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής κατεύθυνσης

ΑΝΑΛΥΣΗ Κεφ.3ο ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Δημήτρης Αργυράκης Γεράσιμος Θ. Κουτσανδρέας

Μαθηματικά θετικής – τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Κεφ. 2ο Διαφορικός Λογισμός


2

Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ

Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

1. Η συνάρτηση F (x) = xlnx - x είναι μια παράγουσα της συνάρτη-σης f (x) = lnx. Σ Λ

2. Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ, έχει μόνο μια πα-ράγουσα στο Δ.

Σ Λ

3. Αν F1, F2 είναι δυο παράγουσες μιας συνάρτησης f, τότε αυτές διαφέρουν κατά μια σταθερά c.

Σ Λ

4. H συνάρτηση 2lnx + 1f(x) = x + 1

δεν έχει παράγουσα στο διάστημα

[1, + ∞).

Σ Λ

5. Αν f, g δύο φορές παραγωγίσιμες συναρτήσεις, θα ισχύει: f (x) g (x) dx = f (x) g (x) −∫ f ΄ (x) g (x) dx ∫ .

Σ Λ

6. Αν f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, θα ισχύει (f (x) g (x)) dx = f (x) g (x) + c∫ .

Σ Λ

7. Ισχύει: f (x) dx = f (x) + c∫ . Σ Λ 8. Αν η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R, με συνεχή την f ΄΄ ,

τότε θα ισχύει: f ΄ (x) dx = f (x) + c∫ . Σ Λ

9. Οι γραφικές παραστάσεις των παραγουσών F1, F2, F3 μιας συνάρτησης f, που φαί-νονται στο διπλανό σχήμα, έχουν παράλληλες εφαπτό-μενες σε κάθε σημείο τους με τετμημένη x0.

y´

CF1 CF2

x0

y

0x´ x

Σ Λ

10. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων F (x) = ex + c, έχουν εφαπτόμενες παράλληλες σε κάθε σημείο τους με τετμημένη x0.

Σ Λ

11. Ισχύει: f (x) dx∫ ⋅ g (x) dx (f (x) g (x)) dx =∫ ∫ . Σ Λ

12. Για x < 1 το dxx 1−∫ είναι ίσο με ln (1 – x) + c. Σ Λ

13. Αν f (t) = 2tα x x 2x dx −∫ , τότε 2 2t

αx x - 2x dx ∫ = x⋅f (t). Σ Λ

14. Ισχύει ότι 2

3

β α

x 4x dxx + 1

−∫ =

β 2 α

β 3 α

(x 4x) dx(x + 1) dx

−∫∫

. Σ Λ

15. Αν f ΄(x) = 1g (x)

, τότε f (x) g (x) dx = x + c⋅∫ . Σ Λ



3

16. Ισχύει: α

0x f (x) dx = α f (α)∫ – ∫

α

0 dx (x) f . Σ Λ

17. Ισχύει: β

αf (x) dx +∫

α

βf (x) dx 0 =∫ .

Σ Λ


βf (x) g (x) dx f (x) g (x) = −∫

α

βf (x) g (x) dx ∫ . Σ Λ


αf (x) dx 0=∫ . Σ Λ

20. Ισχύει: ( ) x

αf (t) dt

΄

∫ = f (x). Σ Λ

21. Ισχύει: ( ) g (x)

α f (t) dt

΄

∫ = f (g (x)) g ΄ (x). Σ Λ

22. Ισχύει: ( )α

xf (t) dt

΄

∫ = – f (x). Σ Λ

23. Ισχύει: ( )h (x)

g (xf (t) dt

΄∫ = f (h (x)) h΄ (x) + f (g (x)) g΄ (x).

(Οι ερωτήσεις 24, 25, 26, 27, είναι εκτός ύλης) Σ Λ

24. * Η διαφορική εξίσωση y΄ = κy (κ ∈ R) έχει μερική λύση την y = eκx.

Σ Λ

25. * Μια λύση της διαφορικής εξίσωσης y΄ = y είναι η συνάρτηση

y = 12

ex. Σ Λ

26. *Η γραφική παράσταση

του σχήματος είναι μια μερική λύση της διαφορι-κής εξίσωσης y΄ = x.

x´

y

0

y´

x1

y= 12 x +12

Σ Λ

27. * Οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης dydx

= 3 είναι όλες οι ευθεί-

ες με συντελεστή διεύθυνσης λ = 3.

Σ Λ

28. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης που παριστά-

νει το x

1

1dt

t∫ .

y

0x´

y´

x1

y=lnx

Σ Λ

29. Ισχύει 4 8

2 6cdx cdx=∫ ∫ , c σταθερά. Σ Λ



4

30. Το εμβαδόν του σκιασμένου τμήματος είναι ίσο με

β

αf (x) dx c +∫ , c ≠ 0.

y

0x´

y´

x

Cf

α β

Σ Λ

31. Αν f συνεχής στο R και f (10) = 100, τότε ισχύει:

100 = f (0) + 10

0f (x) dx∫ .

Σ Λ

32. Ισχύει: 1

0ημx dx 1 συν1= −∫ . Σ Λ

33. Αν θεωρήσουμε ότι e ≈ 2,7, τότε ισχύει 1 x

0e dx 1,7=∫ . Σ Λ

34. Αν Α =2

0f (x) dx∫ , τότε:

α. 2

0f (ω) dω∫ = Α

β. 0

2f (t) dt ∫ = – Α

γ. 2

0(3 f (z) 4) dz 3A 8− = −∫

Σ Λ Σ Λ Σ Λ

35. Αν η f είναι περιοδική συνάρτηση στο R με περίοδο Τ, τότε θα

ισχύει: T 2T

0 Tf (t) dt f (t) dt=∫ ∫ .

Σ Λ

36. Αν α ≥ β, τότε x β

α(e 1) dx 0+ ≥∫ . Σ Λ

37. Αν f (x) > 0, τότε ισχύει ln2

1f (x) dx 0>∫ . Σ Λ

38. Αν β

αf (x) dx 0≥∫ τότε f (x) ≥ 0 για κάθε x ∈ [α, β]. Σ Λ

39. Αν f (x) ≤ g (x) για κάθε x ∈ [α, β], τότε θα ισχύει ότι β β

α αf (x) dx g (x) dx ≤∫ ∫ .

Σ Λ

40. Αν α < β, τότε ισχύει ότι β

αf (x) dx∫ ≤

β

αf (x) dx∫ . Σ Λ

41. Αν η f είναι συνεχής στο [1, 3], τότε ισχύει ότι : 3 2 3

1 1 2f (x) dx f (x) dx f (x) dx < +∫ ∫ ∫ .

Σ Λ

42. Για τη συνάρτηση του διπλανού

σχήματος ισχύει ότι: 2 3

0 0f (x) dx f (x) dx <∫ ∫ .

y

x0

y´

x´ 2 3Cf

Σ Λ



5

43. Ισχύει: 2π

0ημxdx 0=∫ . Σ Λ

44. Για τη συνάρτηση του σχήμα-

τος, ισχύει ότι α

αf (x) dx 0

−=∫ ,

για κάθε α > 0.

x

y

0

y =x3

x´

y´

Σ Λ

45. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], τότε το α

βf (x) dx∫ εκφράζει το

εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της Cf, του άξονα x΄x και των ευθειών x = α, x = β.

Σ Λ

46. Ισχύει: π 3π2

(1 4συν x) dx 0 − >∫ . Σ Λ

47. Ισχύει: 2x

1

1 dt 2lnx

t=∫ , x > 0. Σ Λ

48. Ανβ β

α αf (x) dx g (x) dx=∫ ∫ , τότε f (x) = g (x) για κάθε x ∈ [α, β]. Σ Λ

49. Η ιδιότητα του ορισμένου ολοκληρώματος

β γ β

α α γf (x) dx f (x) dx f (x) dx = +∫ ∫ ∫ , ισχύει μόνο εφόσον α < γ < β.

Σ Λ

50. Ισχύει ο τύπος ( )α

xf (t) dt

΄

∫ = – ( )x

αf (t) dt

΄

∫ . Σ Λ

51. Ισχύει: xlnβ

lnαe dx β α= −∫ , α, β > 0. Σ Λ

52. Το εμβαδόν του σκιασμένου χω-ρίου του σχήματος δίνεται από τη σχέση:

Ε = 1 3 2

0x x dx ( ) −∫ .

(Οι γραφικές παραστάσεις στο σχήμα είναι των συναρτήσεων f (x) = x2 και g (x) = x3 ).

x

y

0

y´

x´ 1

Σ Λ

53. Για το εμβαδόν του σκιασμένου

χωρίου που φαίνεται στο σχήμα,

ισχύει: Ε = – 2

2f (x) dx

−∫ .

x´

y´

y

0x

-2 2

Σ Λ



6

54. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [0, 1] και f (0) = f (1), τότε 1

0f (x) dx∫ = 0.

Σ Λ

55. Αν 5

0f (x) dx∫ = 10, το ελάχιστο της f στο διάστημα [0, 5] δεν μπο-

ρεί να είναι 3. Σ Λ

56. Στο σχήμα φαίνεται η γραφι-

κή παράσταση μιας συνάρ-

τησης f. Αν Μ μέσον του ΟΑ

και (ε) // x΄x, τότε θα ισχύει: ξ

0f (x) dx (OΓ) ξ=∫ .

x

y

0x´

y´

Γ ΜΑ

(ε)

ξ

Cf

Σ Λ

57. Αν ξ ∈ (α, β) και f (ξ) = μ,

όπου μ η μέση τιμή της συ-

νεχούς συνάρτησης f στο

[α, β], τότε Ε1 = Ε2. x

y

0x´

y´

μ E2

ξ

CfE1

α β

Σ Λ

58. Το εμβαδόν του σκιασμένου

χωρίου είναι ίσο με

Ε =β

αf (x) dx∫ . x

y

0x´

y´

α β

Cf

Σ Λ

59. Το σκιασμένο εμβαδόν του σχήματος 1 είναι μεγαλύτερο από

το σκιασμένο εμβαδόν του σχήματος 2.

Σ Λ

x

y

0

y=1

x´

y´

1

1 2-1

-1

π

Σχήμα 1

x

y

0

y=1+ημ x2

x´

y´

1

1 2-1

-1

y=ημ x2

π

Σχήμα 2



7

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Αρχική συνάρτηση Ορισμός Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παρά-γουσα της f στο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F΄( x ) = f (x ) για κάθε x Δ.∈

Αποδεικνύεται ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό. Θεώρημα

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ τότε: • Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G (x) = F ( x ) + c , c R∈ είναι παράγουσες

της f στο Δ και • Κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G (x) = F ( x ) + c ,

c R.∈

Απόδειξη

• Για κάθε x Δ∈ είναι: ( )G (x) = F ( x ) + c = F ( x ) + 0 = f (x ).΄ ΄ ΄

Άρα κάθε συνάρτηση της μορφής G (x) = F (x ) + c , όπου c R∈ είναι μια παρά-

γουσα της f στο Δ .

• Έστω G μια άλλη παράγουσα της f στο Δ, τότε για κάθε Δx∈ είναι:

G΄(x)=f (x )F΄( x )=f (x )

⎧⎨⎩

, οπότε G (x) = F ( x ).΄ ΄

Άρα θα υπάρχει σταθερά c R∈ τέτοια, ώστε G (x) = F ( x ) + c για κάθε x Δ.∈

Παρατηρήσεις 1. Η έννοια της αρχικής συνάρτησης ( παράγουσας ) έχει νόημα μόνο σε διά-

στημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. 2. Δεν έχουν νόημα εκφράσεις, όπως:

• « η F είναι μια παράγουσα της f », γιατί δεν αναφέρεται το διάστημα. • « η F είναι μια παράγουσα της f στο Α », όταν το Α δεν είναι διάστημα αλλά ένωση διαστημάτων. Για παράδειγμα:

• Αν 1f (x)=x

, )0,(x ∞−∈ , τότε κάθε συνάρτηση της μορφής



8

F( x ) ln x c ln ( x) c= + = − + , c R∈ είναι παράγουσα της f στο διάστη-

μα ( , 0)−∞ .

• Αν 1f (x) = x

, x (0 , + )∈ ∞ , τότε κάθε συνάρτηση της μορφής

F( x ) ln x +c ln x + c= = , Rc∈ είναι παράγουσα της f στο

διάστημα (0, ).+∞

• Αν 1f (x)x

= , x ( , 0) (0 , )∈ −∞ ∪ +∞ , τότε κάθε συνάρτηση της μορφής

F( x ) = ln x + c , c R∈ είναι παράγουσα της f σε καθένα από τα δια-

στήματα ( , 0)−∞ και (0 , ) ,+∞ όπου η σταθερά c δεν είναι υποχρε-

ωτικά η ίδια σε κάθε διάστημα, δηλαδή

1

2

ln ( x) + c , x < 0F( x ) =

ln x + c , x > 0−⎧

⎨⎩

Προσοχή είναι λάθος να ισχυριστούμε ότι « η F είναι παράγουσα της f στo σύνολο ( , 0) (0 , )−∞ ∪ +∞ ».

3. Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν έχουν παράγουσες σε ένα διάστημα Δ. Για παράδειγμα:

Αν 1 , 1 x 0

f ( x )=1 , 0 x 1

− < ≤⎧⎨ − < <⎩

, τότε δεν υπάρχει συνάρτηση F παραγωγίσιμη

στο διάστημα Δ = ( 1 , 1)− τέτοια, ώστε F΄( x ) = f (x ) για κάθε x Δ.∈

4.

Υπάρχουν συναρτήσεις που ενώ δεν είναι συνεχείς έχουν παράγουσες σε ένα διάστημα Δ.

Για παράδειγμα η συνάρτηση 1 12xημ συν , αν x 0

f ( x ) = x x 0 , αν x = 0

⎧ − ≠⎪⎨⎪⎩

,

ενώ δεν είναι συνεχής ( παρουσιάζει ασυνέχεια στο xo = 0 ), εν τούτοις έχει παράγουσα στο R κάθε συνάρτηση της μορφής F ( x ) + c , όπου

2 1x ημ , αν x 0F(x) = x

0 , αν x = 0

⎧ ≠⎪⎨⎪⎩

5. Αν F1 , F2 είναι δυο παράγουσες μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ, τότε:

• Έχουν την ίδια κλίση σε κάθε οx Δ.∈

• Διαφέρουν κατά μια σταθερά c, δηλαδή 1 2F ( x ) F ( x ) + c= για κάθε

x Δ.∈



9

Αόριστο ολοκλήρωμα Ορισμός

Το σύνολο των παραγουσών συναρτήσεων της f σε ένα διάστημα Δ, ονομά-

ζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Δ και συμβολίζεται f (x)dx∫ , δηλαδή

f (x)dx F ( x ) + c= ∫ , c R ,∈

όπου F μια παράγουσα της f στο Δ .

Πρόταση

Για κάθε συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, ισχύει

f x)dx ( x ) + c= f(∫ , c R∈

Παρατηρήσεις

1. • Το σύμβολο f (x)dx∫ έχει νόημα, όταν η συνάρτηση f είναι ορισμένη σε

διάστημα Δ και έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό.

• Δεν είναι αναγκαίο η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο διάστημα Δ.

2. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε:

• f (x)dx F ( x ) + c / c R και x Δ= ∈ ∈∫

• ( ) ( )f (x)dx F ( x ) + 0 f (x )= F (x ) + c = = ΄΄ ΄∫

3. Η διαδικασία εύρεσης του αορίστου ολοκληρώματος είναι η αντίστροφη πορεία

της παραγώγισης και λέγεται ολοκλήρωση. Η σταθερά c λέγεται σταθερά ολο-

κλήρωσης.

Ιδιότητες

Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν παράγουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε:

• [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx∫ ∫ ∫

• λf(x)dx = λ f(x)dx∫ ∫ , αν λ *R∈ και λf(x)dx = c∫ , αν λ = 0

• f(x)dx f(x)dx c− =∫ ∫ (προσοχή δεν απλοποιούμε αόριστα ολοκληρώματα)



10

Ο παρακάτω πίνακας αορίστων ολοκληρωμάτων προκύπτει άμεσα από τον πίνακα

των παραγώγων βασικών συναρτήσεων και την παράγωγο σύνθετης συνάρτησης.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ

1. 0dx = c∫

2. 1dx = x + c∫

3. 1 dx = ln x + cx

∗∫ *1 f (x)d x = l n f (x) +cf (x)

΄∫

4. κ + 1κ xx dx = + c

κ + 1∫ , 1κ −≠ κ + 1

κ f (x)f (x)f (x)dx = + cκ + 1

΄∫

5. συνx dx = ημx + c∫ συν f (x)f (x)dx = ημf (x) + c΄∫

6. ημx dx συνx + c= −∫ ημf (x)f (x)dx = συνf (x) + c΄ −∫

7. *2

1 dx = εφx +cσυν x∫ *

2

1 f (x) dx = εφf (x) + cσυν f (x)

΄∫

8. *2

1 dx = σφx + cημ x

−∫ *2

1 f (x) dx = σφf (x) + cημ f (x)

΄ −∫

9. x xe dx = e + c∫ f (x) f (x)e f (x)dx = e + c΄∫

10. xx αα dx = + c

lnα∫ ,

0 α 1< ≠ −

f (x)f (x ) αα f (x)dx = + c

lnα΄∫ , 0 < α 1≠ −

11. 1 dx = 2 x +cx∫ 1 f (x)dx = 2 f (x) + c

f (x)΄∫

12. [ ]f (x)g(x) + f(x)g΄(x) dx = f (x)g(x) + c΄∫

13.

2

f (x)g(x)-f(x)g΄(x) f (x)dx = + cg(x)g (x)

΄∫

∗ Σε κάθε διάστημα δεν έχουμε υποχρεωτικά την ίδια σταθερά c.

ΣΧΟΛΙΟ: Για τον υπολογισμό του αόριστου ολοκληρώματος χρησιμοποιούμε τις

παρακάτω μεθόδους:



11

Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά παράγοντες Η μέθοδος αυτή εκφράζεται με τον τύπο:

f (x)g΄(x)dx = f (x)g(x) f΄(x)g(x)dx−∫ ∫

όπου f , g παραγωγίσιμες συναρτήσεις σε ένα διάστημα Δ.

Μεθοδολογία

Α΄ ΟΜΑΔΑ:

Όταν έχουμε ολοκλήρωμα της μορφής αx + βP(x)e dx∫ ή P(x)ημ (αx + β)dx∫ ή P(x)συν (αx + β)dx∫ ,

όπου P ( x ) πολυωνυμική συνάρτηση και α 0≠ , τότε εφαρμόζουμε τον κανόνα της

παραγοντικής ολοκλήρωσης, τόσες φορές όσο είναι ο βαθμός της πολυωνυμικής συ-

νάρτησης, ξεκινώντας κάθε φορά από μια παράγουσα της εκθετικής ή της τριγωνο-

μετρικής συνάρτησης.

Παράδειγμα 1

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )∫ 2 3xx +1 e dx

Λύση Έχουμε

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3x 2 3x 2 3x 2 3x1 1x +1 e dx = x + 1 e dx = x +1 e x +1 e dx =3 3

΄ ΄⎡ ⎤−⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )2 3x 3x 2 3x 3x1 2 1 2= x +1 e x e dx = x +1 e x e dx =3 3 3 9

΄− −∫ ∫

( ) ( )2 3x 3x 3x 2 3x 3x 3x1 2 1 2 2= x + 1 e xe x e dx = x +1 e xe + e dx =3 9 3 9 9

΄⎡ ⎤− − −∫⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫

( ) ( )2 3x 3x 3x 2 3x 3x 3x1 2 2 1 2 2= x + 1 e xe + e (3x) dx = x +1 e xe + e + c =3 9 27 3 9 27

΄− −∫

( ) ( )2 3x 2 3x1 1= 9x + 9 6x+2 e + c = 9x 6x + 11 e + c27 27

− −


Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )∫ 2x - 3x συν2xdx



12


( ) ( )( )2 21x 3x συν2x dx = x 3x ημ2x dx =2

΄− −∫ ∫

( ) ( )2 21 x 3x ημ2x x 3x ημ2x dx =2

΄⎡ ⎤− − −⎣ ⎦∫

( ) ( )21 1x 3x ημ2x 2x 3 ημ2x dx =2 2

− − −∫

( ) ( )( )21 1x 3x ημ2x + 2x 3 συν2x dx=2 4

΄− −∫

( ) ( ) ( )21 1x 3x ημ2x + 2x 3 συν2x 2x 3 συν2x dx2 4

΄⎡ ⎤− − − − =⎣ ⎦∫

( ) ( )21 1 1x 3x ημ2x + 2x 3 συν2x 2συν2x dx =2 4 4

− − − ∫

( ) ( ) ( )21 1 1x 3x ημ2x + 2x 3 συν2x συν2x 2x dx =2 4 4

΄− − − ∫

( ) ( )21 1 1x 3x ημ2x + 2x 3 συν2x ημ2x + c =2 4 4

− − −

( ) ( )21 12x 6x 1 ημ2x + 2x 3 συν2x + c4 4

− − −

Β΄ ΟΜΑΔΑ: Όταν έχουμε ολοκλήρωμα της μορφής

P(x) l n (αx + β)dx∫ ,

όπου P ( x ) πολυωνυμική συνάρτηση και α 0≠ , τότε εφαρμόζουμε τον κανόνα της παραγοντικής ολοκλήρωσης μια φορά ξεκινώντας από μια παράγουσα της πολυωνυμικής συνάρτησης.


Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )∫ 23x - 2x +1 ln xdx Λύση

Έχουμε

( ) ( )2 3 23 x 2x + 1 lnx dx = x x + x lnx dx =΄− −∫ ∫( ) ( ) ( )3 2 3 2x x + x ln x x x + x ln x d x =΄− − −∫

( ) ( )3 2 3 2 1x x + x ln x x x + x d x =x

− − −∫

( ) ( )3 2 2x x + x ln x x x + 1 d x =− − −∫



13

( )3 2

3 2 x xx x + x ln x + x + c3 2

− − −


Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ lnxdx

Λύση

Έχουμε

( )lnx dx = x lnx dx = x ln x x ln x d x =΄ ΄−∫ ∫ ∫

1x ln x x d x = x ln x 1d x = x ln x x + cx

− − −∫ ∫

Άρα lnx dx x ln x x + c= −∫


Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )− −∫ 2x 1 ln(x 1)dx

Λύση

Έχουμε

( ) ( )22x 1 ln (x 1)dx = x x ln(x 1)dx =΄− − − −∫ ∫( ) ( ) [ ]2 2x x ln (x 1) x x ln (x 1) d x =΄− − − − −∫

( ) ( )2 x x 1x x ln (x 1) d x =

x 1−

− − −−∫

( ) ( )2

2 2 xx x ln (x 1) x d x = x x ln (x 1) + c2

− − − − − −∫

Γ΄ ΟΜΑΔΑ:

Όταν έχουμε ολοκλήρωμα της μορφής

αx + βe ημ (κx + λ)dx∫ ή αx + βe συν (κx + λ)dx∫ ,

με ακ 0,≠ τότε εφαρμόζουμε τον κανόνα της παραγοντικής ολοκλήρωσης δυο

φορές ξεκινώντας και τις δυο φορές από μια παράγουσα της εκθετικής ή και τις

δυο φορές από μια παράγουσα της τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Παράδειγμα:

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ 3xe ημ2xdx

Λύση

Έχουμε



14

( ) ( )3x 3x 3x 3x1 1I = e ημ2x dx = e ημ2xdx = e ημ2x e ημ2x dx =3 3

΄ ΄⎡ ⎤−⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( )3x 3x 3x 3x1 2 1 2e ημ2x e συν2x dx = e ημ2x e συν2x dx =3 3 3 9

΄− −∫ ∫

( )3x 3x 3x1 2e ημ2x e συν2x e συν2x dx =3 9

΄⎡ ⎤− −⎣ ⎦∫

( )3x 3x 3x1 2 2e ημ2x e συν2x + e συν2x dx =3 9 9

΄− ∫

3x 3x 3x1 2 4e ημ2x e συν2x e ημ2x dx =3 9 9

− − ∫

( )3x 3x 3x1 2 4 1 4e ημ2x e συν2x I = 3ημ2x 2συν2x e I3 9 9 9 9

− − − −

Άρα

( ) 3x1

4 1I + I = 3ημ2x 2συν2x e + c9 9

− ⇔ ( ) 3x1

13 1I = 3ημ2x 2συν2x e + c9 9

− ⇔

( ) 3x1I = 3ημ2x 2συν2x e + c ,13

− όπου 19cc = 13

.

Δ΄ ΟΜΑΔΑ: Όταν έχουμε ολοκλήρωμα της μορφής

2

P(x) dxσυν (αx + β)∫ ή 2

P(x) dxημ (αx + β)∫ ,

όπου P (x) πολυωνυμική συνάρτηση 1ου βαθμού και α 0≠ , τότε εφαρμόζουμε τον κανόνα της παραγοντικής ολοκλήρωσης μια φορά ξεκινώντας κάθε φορά από μια

παράγουσα της συνάρτησης 2

1συν (αx + β)

ή 2

1ημ (αx + β)

.

Παράδειγμα:

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ∫ 2

2x + 3 dxσυν x


( ) ( )( )2 2

2x+3 1dx = 2x+3 dx = 2x+3 εφx x =συν x συν x

΄d∫ ∫ ∫( ) ( ) ( )2x + 3 εφx 2x + 3 εφxdx = 2x + 3 εφx 2 εφx d x =΄− −∫ ∫

( ) ( ) ( )ημx 12x + 3 εφx 2 dx = 2x + 3 εφx + 2 συνx dx =συνx συνx

΄− ∫ ∫( )2x+3 εφx + 2ln συνx + c , όπου η σταθερά c δεν είναι υποχρεωτικά η ίδια σε κάθε διάστημα.



15

Ολοκλήρωση με αντικατάσταση Η μέθοδος αυτή εκφράζεται με τον τύπο:

f (g (x))g΄(x)dx = f (u)du , όπου u = g(x) και du = g΄(x)dx∫ ∫

Παρατηρήσεις 1. Με τη μέθοδο αυτή υπολογίζονται ολοκληρώματα που έχουν ή μπορούν να πά-

ρουν τη μορφή f (g (x))g΄(x)dx .∫

2. Ο παραπάνω τύπος χρησιμοποιείται με την προϋπόθεση ότι το ολοκλήρωμα f (u)du∫ του 2ου μέλους υπολογίζεται ευκολότερα.

3. Η παρουσία της σύνθετης συνάρτησης f (g (x )) και του παράγοντα g ( x)dx΄ στο ολοκλήρωμα του 1ου μέλους αποτελούν σοβαρές ενδείξεις για εφαρμογή της μεθόδου αυτής.

4. Αν η συνάρτηση g έχει συνεχή παράγωγο σε ένα διάστημα Δ, η f είναι συνεχής στο g (Δ) , και F είναι μια αρχική της f στο g (Δ) , τότε μια αρχική της f (g (x))g΄(x) στο Δ είναι η F(g (x )) , δηλαδή

f (g (x))g΄(x)dx = f (u)du = F(u) + c = F(g (x)) + c , c R∈∫ ∫ και x Δ.∈

Μεθοδολογία Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα με τη μέθοδο της αντικατάστασης κάνουμε τα εξής: α. Εντοπίζουμε τη σύνθετη συνάρτηση f (g (x )) . β. Θέτουμε u = g(x) και υπολογίζουμε το διαφορικό du = g΄(x)dx. γ. Δημιουργούμε στο ολοκλήρωμα τον παράγοντα g ( x)dx΄ και στη συνέχεια αντι-

καθιστούμε όλους τους όρους του ολοκληρώματος συναρτήσει της μεταβλητής u, οπότε προκύπτει το ολοκλήρωμα f (u)du .∫

δ. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα f (u)du .∫

ε. Επαναφέρουμε την αρχική μεταβλητή x αντικαθιστώντας, όπου u το g(x). Παράδειγμα 1

Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ( )

.∫ 42

x -1 dxx - 2x + 2

Λύση Θέτουμε 2u = x 2x + 2− , οπότε ( ) ( )2d u x 2x+2 d x d u = 2x 2 d x΄= − ⇔ −

Είναι

( ) ( )( ) 4

4 4 42 2

x-1 1 1 1 1 1d x = 2x 2 d x = d u = u d u =2 2 u 2x 2x+2 x 2x+2

−−− −

∫ ∫ ∫ ∫



16

( )4+1 33 21 u 1 1 + c = u + c = x 2x + 2 + c

2 4+1 6 6

− −−− − −−


Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ( )( ) .∫73x - 2 x +1 dx

Λύση Θέτουμε u = x + 1 x = u 1⇔ − , οπότε ( )d u = x + 1 d x d u = d x΄ ⇔

Είναι

( )( ) ( ) ( ) ( )7 7 7 8 73x 2 x + 1 d x = 3 u 1 2 u d u = 3 u 5 u d u = 3 u 5u d u =⎡ ⎤− − − − −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )8 + 1 7 + 1

9 89 8u u 3 5 1 53 5 + c = u u + c = x + 1 x + 1 + c8 +1 7 + 1 9 8 3 8

− − −

Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων: 1. Ο αριθμητής έχει βαθμό μικρότερο από τον παρονομαστή.

Θεωρούμε το κλάσμα P(x)G(x)

. Αν το πολυώνυμο G(x) έχει απλές πραγματικές ρίζες

1 2 νρ , ρ , ... , ρ και γράφεται 1 2 νG(x) = (x ρ )(x ρ ) ... (x ρ )− − − , τότε υπάρχουν

σταθεροί πραγματικοί αριθμοί 1 2 νΑ , Α , ..., Α τέτοιοι ώστε να είναι

P(x)G(x)

= 1 2 ν

1 2 ν

Α Α Α+ +...+

(x ρ ) (x ρ ) (x ρ )− − −

Παράδειγμα

Το κλάσμα 3 2

3x 2x +x 4x 4

−

− − γράφεται σαν άθροισμα των κλασμάτων

α β γ+ +

x 2 x + 2 (x +1)− κ.λ.π.

Ιδιαιτέρως πρέπει να προσέχουμε όταν ο παρονομαστής έχει ρίζα πολλαπλότητας μεγαλύτερης ή ίσης του 2. Παράδειγμα

Το κλάσμα 2

2x + 3x(x 1)−

γράφεται σαν άθροισμα των κλασμάτων 2

α β γ+ +

x x 1 (x 1)− −

κ.λ.π. 2. Ο αριθμητής έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο από τον παρονομαστή. Στην περίπτωση αυτή κάνουμε τη διαίρεση των πολυωνύμων Παράδειγμα

22x 3x + 5 4

= 2x 1 +x 1 x 1−

−− −

Χρήσιμοι τύποι: 2 1 συν2xημ x

2−

= , 2 1 συν2xσυν x

2+

=



17


Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα:

(Στον παρακάτω πίνακα στη πρώτη στήλη είναι το ολοκλήρωμα και στη δεύτερη εί-

ναι η απάντηση)

Στήλη Α Στήλη Β

1. 3(x +x)dx∫ 4 2x x

+ + c4 2

2. 32x 5x 7

dxx

− +∫

32x5x+7ln x +c

3−

3. 1

( x + )dxx∫

3

22x+ 2 x + c

3

4. 2x 3 x + 1

dx3 x

−∫

3

24 2

x x + x + c9 3

−

5. 2

x dx

2x +3∫

22x + 3+ c

2

6. 2

8x + 3dx

4x + 3x + 5∫ 22 4x + 3x + 5 + c

7. 1

dxx lnx∫ 2 lnx + c

8. ημx

dxσυνx∫ 2 συνx + c−

9. 2

2x + 1 dx

x + x + 1∫ 2ln(x x 1) c+ + +

10. x

x

1 + e dx

x + e∫ xln x + e + c

11. 2

ημ2xdx

1 + ημ x∫ 2ln(1 + ημ x) + c

12. 2x + 32xe dx∫

2x +3e c+

13. 1

dxxlnx∫ ln ln x c+



18

14. 2x +1x 2 dx∫

2x + 12+c

2ln2

15. 2

συνx + xημx dx

συν x∫ x

+ cσυνx

16. (xσυνx + ημx)dx∫ xημx + c

17. x

2

e (x 1)dx

x−

∫ xe

+ cx

18. x1 + lnx e dx

x⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫ xe ln x + c

19. 2x

xdx

e∫ 2x

1+ c

2e−

20. x + 2

dxx + 3∫ x ln x 3 c− + +

21. 1

dx1

1+x

∫ ln 1x x c− + +

22. 3x + 2dx∫ 32( 3x+2) + c

9

23. x + 1xe dx∫ x + 1 x + 1xe e +c−

24. xe συνxdx∫ x1e (συνx + ημx) + c

2

25. xx 3 dx⋅∫ 2

x x1 1x 3 3 + c

ln3 ln 3⋅ −

26. xημxdx∫ ημx xσυνx + c−

27. 2

3 2

x 2dx

(x 6x 1)−

− +∫ 3

1c

3(x 6x 1)+

− +−

28. 2 2

x dx

(1 + x )ln(1 + x )∫ 21 ln(ln(1 ))2

x c+ +

29. x xe συνe dx∫ xημe + c

30. εφx

dxlnσυνx∫ ln lnσυνx +c−



19

31. 2

x + 1dx

x 3x + 2−∫ 3ln x 2 2ln x 1 + c− − −

32. 2

1 dx

x 3x + 2−∫ ln x 2 ln x 1 c− − − +

33. 2

2

x 2x + 2 dx

x 3x + 2−

−∫ x ln x 1 + 2ln x 2 + c− − −

34. 25x + 3x + 1

dxx 1−∫ 25

x + 8x + 9ln x 1 + c2

−

35. 4

5

x dx

1 + x∫ 52

1+ x + c5

36. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ

i. Αν *ννΙ = ln x dx, ν Ν∈∫ , αποδείξτε

ότι νν ν 1Ι = xln x ν Ι , ν 2−− ≥

και στη συνέχεια να υπολογίσετε το ολο-

κλήρωμα 3ln x dx∫ .

ii. Αν ν xν

*x e dx, ν ΝΙ = ∈∫ , αποδείξτε

ότι ν xν ν 1Ι = x e νΙ , ν 2−− ≥

iii. Αν *ννΙ = ημ xdx, ν Ν∈∫ ,

αποδείξτε ότι

ν 1ν ν 2

1 ν 1Ι = συνx ημ x + Ι , ν 2

ν ν−

−

−− ≥

iv. Αν *ννΙ = συν x dx , ν∈Ν∫ ,


νν 1

ν 2 ν, 21 ν 1

Ι = ημx συν x + Ιν ν

−− ≥

−

v. Αν νν

*Ι = εφ x dx, ν Ν∈∫


νν 1

ν 2

1εφ x , ν 3

ν 1−

−Ι = − Ι ≥−

3 2xln x 3xln x 6xlnx 6x c− + − +

Υπόδειξη: το νημ x το γράφουμε

ν 1ημ x ημx− και κάνουμε ολοκλήρω-

ση κατά παράγοντες.

Υπόδειξη: το νσυν x το γράφουμε

ν 1συν x συνx− και κάνουμε ολο-

κλήρωση κατά παράγοντες.

Υπόδειξη: την νεφ x τη γράφουμε

ν 2 2εφ xεφ x =−

2 2ν 2 ν 2

2 2

ημ x 1 συν xεφ x εφ xσυν x συν x

− − −=

και κάνουμε ολοκλήρωση κατά πα-

ράγοντες.



20

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΣΧΟΛΙΟ: Για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιούμε τις

παρακάτω μεθόδους:

• Ολοκλήρωση κατά παράγουσες ( Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιμη σε

ένα διάστημα Δ, ισχύει [ ]ββα α

f ΄(x)dx = f(x) = f(β)f(α)∫ .,

• Ολοκλήρωση κατά παράγοντες ( Η μέθοδος αυτή εκφράζεται από τον τύπο:

ββ βα αα

f(x)g΄(x)dx = f(x)g(x) f ΄(x)g(x)dx⎡ ⎤⎣ ⎦ −∫ ∫ , όπου f ΄, g΄ συναρτήσεις συνεχείς

στο διάστημα [α, β].

• Ολοκλήρωση με αντικατάσταση ( Η μέθοδος αυτή εκφράζεται από τον τύ-

πο: 2

1

uβα u

f(g(x))g΄(x)dx = f(u)du∫ ∫ , όπου f, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις και

u = g(x) , du = g (x)dx , 1u = g(α) και 2u = g(β) .

Ιδιότητες

Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] τότε :

• β α

α β f(x)dx f(x)dx= −∫ ∫

• α

α f(x)dx = 0∫

• Αν f(x) 0≥ , τότε β

α f(x)dx 0≥∫

• β

αc dx = c(β α)−∫ , για κάθε c R∈

• β β

α αλf(x)dx = λ f(x)dx∫ ∫ , για κάθε λ R∈

• β β β

α α α [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx∫ ∫ ∫

• β β β

α α α [λf(x) + μg(x)]dx = λ f(x)dx + μ g(x)dx∫ ∫ ∫ , για κάθε , Rλ μ∈

• Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α, β, γ ∈ R, τότε ισχύει

β γ β

α α γ f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx∫ ∫ ∫



21


Να υπολογίσετε τα παρακάτω ολοκληρώματα:

(Στον παρακάτω πίνακα στη πρώτη στήλη είναι το ολοκλήρωμα και στη δεύτερη

είναι η απάντηση)


1. π

0(συνx xημx)dx−∫

–π

2. 21

0

x +12xe dx∫ 2e e−

3.

21

0 3

3x dx

x +1∫

2 2 2−

4. 1 2 2x

0(x 1)e dx−∫

21 e4−

5.

π x

0e συνx dx∫

πe + 12

−

6. ( )

1

0ln 1 + x dx∫ ln4 1−

7.

1 2 x

0x e dx−∫

52

e−

8.

e

21

lnx dx

x∫ 2

1e

−

9. π

0xσυν2x dx∫

0

10. π

32 0ημ x dx∫ (υπόδειξη. 3 2ημ x = ημ x ημx⋅ , κ.τ.λ)

23

11. e 2

1ln x dx∫

e 2−

12. 4

02x + 1 dx∫

263

13. 3 1 2 x

0x e dx∫

e 13−



22

14. ( )π

συν3x2 0

ημ3x 2 dx⋅∫ 1

3ln2

15. π

2

0συνx ημx dx ∫

23

16. ( )3 e

e

ln lnxdx

xlnx∫ 2ln 32

17. ( )2

1 x x2

02x 1 e dx −− ⋅∫

4

11

e−

18. 3x 2x

1

x 0

e edx

e 2+

+∫

2e 1 e + 2e + + 2ln

2 2 3−

19. 2 e

1

ln xdx

x ∫

13

20. 2

3

2

xdx

x 1

−∫ 7

ln22+

21. π x

0e ημx dx −∫ ( )π1

1 + e2

−

22. e x

1

1+lnx e dx

x ⋅⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ee

23. 2 1 3 x

0x e dx∫

12

24. e

1

lnxdx

x ∫ ( )2 2 e−

25. 2

π 4

0

xdx

συν x ∫

π 2 + ln

4 2

26. 2

3

2

1d

x 1 x

−∫ 1 3

ln2 2

27. 2

0

1

x + 1dx

x 3x + 2

− −∫ 5ln2-3ln3

28. 3

2

1

0

x + x 2dx

x + 2x +1

−∫ 4ln2–

72



23

29. 3 2

1/2

0

3x + 7dx

x x x + 1

− −∫ 5 ln3+

30. 2

3 2 1

x 1dx

2x + x

−∫

13(ln 6 / 5)

2− +

31. 2 2

0x 1 dx−∫ 2

32. x 1

1x e dx

−⋅∫ 2–

2e

33.

2 ν xν 0

*Ι = x e dx , ν Ν∈∫ ν 2ν ν 12 e ν , ν 2−Ι = − Ι ≥

34. 2 e

1ln x 1 dx−∫ 2e–2

35. 2

0 ( x 1 x 1) dx− + +∫ 5

36. 1

1f(x)dx

−∫ , αν είναι

2

x , x 0f(x)

x , x 0

≥=

<

⎧⎨⎩

1

Παρατήρηση: Σε συναρτήσεις που έ-

χουν πολλαπλό τύπο πρέπει να μελετάμε

πρώτα τη συνέχεια στο σημείο αλλαγής

τύπου αν για τον υπολογισμό του ολο-

κληρώματος απαιτούνται και οι δύο κλά-

δοι της συνάρτησης.

37. 1

2f(x)dx

−∫ , αν είναι

2

x

3x , x 0f(x)

e 1 , x 0−

≤=

− >

⎧⎨⎩

8 – 1e

38. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1 x x

0e ln(1+ )dx e−∫

( απ. ln(1 e) ln 4 1 ln(1 e)e+

− + + − + )

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Έχει αποδειχθεί ότι υπάρχουν ολοκληρώματα τα οποία δεν υπολογίζονται. Δηλαδή

δεν μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει των γνωστών στοιχειωδών συναρτήσεων.

π.χ. 1

dxln x∫ , xe lnx dx∫



24

Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

∫x

αF(x) = f(t)dt

ΘΕΩΡΗΜΑ: (σελ. 334)

Αν f είναι μία συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ

, τότε η συνάρτηση x

αF(x) = f(t)dt∫ , x Δ∈ , είναι μία παράγουσα της f στο Δ. Δη-

λαδή ισχύει ( ) x

af(t)dt = f(x)

΄

∫ , για κάθε x Δ∈ .

Από το παραπάνω θεώρημα προκύπτουν (ως συμπληρώσεις ) τα παρακάτω:

i. ( ) g(x)

af(t)dt = f(g(x)) g (x)

΄⋅∫

ii. ( ) ( ) α x

x af(t)dt f(t)dt = f(x)=

΄ ΄−−∫ ∫

iii. ( ) ( )2 2 2

x α x

x x αf(t)dt = f(t)dt+ f(t)dt+ = f(x) + f(x ) 2x

΄− ⋅∫ ∫ ∫

iv. ( ) ( )

. ( ) . ( ) ( ) . ( )

x x x

a a ax f t dt x f t dt f t dt x f x

′ ′= = +∫ ∫ ∫

v. ( ) 1

0f(x t)dt

΄−∫ θέτουμε x t u− = κ.λ.π.

vi. ( ) 2

1f(x t)dt

΄⋅∫ θέτουμε x t = u⋅ κ.λ.π.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο της συνάρτησης :

( ) 2

x

0

tF x = dt

t 1−∫

Λύση

Η συνάρτηση ( )2

tf t =t 1−

είναι συνεχής στο σύνολο

( ) ( ) ( )fA = , 1 1, 1 1, +− − −∞ ∪ ∪ ∞ .



25

Για να ορίζεται η F πρέπει και αρκεί τα άκρα ολοκλήρωσης 0 , x να ανήκουν στο

ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f. Επειδή το ( )0 1, 1∈ − πρέπει το ( )x 1, 1∈ − .

Άρα FA = ( )1, 1− .

Για κάθε ( )x 1, 1∈ − έχουμε F΄(x) =2 2

x

0

t xdt =

t 1 x

1− −∫ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ

• Το πεδίο ορισμού της F(x) = 2

x

2

tdt

t 1− −∫ είναι ( )FA , 1= −∞ − και το

F΄ (x) = 2 2

x

2

t xdt =

t 1 x 1

΄

− −⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠∫ , x ∈ (–∞, –1)

• Το πεδίο ορισμού της F(x) = 2

x

2

tdt

t 1−∫ είναι το ( )FA 1,= +∞ και

F΄ (x) = 2 2

x

2

t xdt =

t 1 x 1

΄

−⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎝ ⎠∫ , x ∈ (1, +∞)

2. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο της συνάρτησης F(x) =2 x

2

1t dt

−

∫

Λύση

(Για τον υπολογισμό του FA )

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )f t = t είναι συνεχής στο ( )FA 0,= +∞ .

Για να ορίζεται η F πρέπει και αρκεί τα άκρα ολοκλήρωσης 2, x2 –1 να ανήκουν στο

ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού Af της συνάρτησης f. Επειδή το [ )2 0,∈ +∞ πρέ-

πει και το (x2 –1) ∈ [0, +∞) δηλαδή x2 –1 ≥ 0 ⇔ x2 ≥ ⇔ ⎢ x ⎢≥1 ⇔ x ≤–1 ή x ≥–1

Άρα AF = ( ] [ ), 1 1,−∞ − ∪ +∞ .

3. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και την παράγωγο της συνάρτησης

F(x) = 2 x x

t

1x 2

edt

t

−

−∫

Λύση

Η συνάρτηση ( )tef t = t είναι συνεχής στο σύνολο AF = ( ] [ ), 1 1,−∞ − ∪ +∞



26

Η συνάρτηση g(x) = x2 –x είναι ορισμένη στο gA R= και ( ) 1h xx 2

=−

είναι ορι-

σμένη στο. Ah = ( ] [ ), 2 2,−∞ ∪ +∞

Είναι ( ) ( )g hA A , 2 2, ∩ = −∞ ∪ +∞

Ένας αριθμός x R∈ ανήκει στο πεδίο ορισμού AF της συνάρτησης F ,

αν και μόνο αν

i. ( ) ( )g hx A A x , 2 2, ∈ ∩ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ και

ii. οι g(x) = x2 –x, ( ) 1h xx 2

=−

ανήκουν στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού

Af της συνάρτησης f.

Πρέπει λοιπόν και αρκεί

2 2

x 2 x 2 x 2 x 2x x 0 ή x x 0 0 x 1 ή x 0 ή x 1

1 1 x 2 x 20 0x 2 x 2

⎛ ⎧ ⎧ ⎞⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎛ ⎧ ⎧ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎝ ⎩ ⎩ ⎠⎪ ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎩ ⎩ ⎠

≠ ≠ ≠ ≠− < − > ⇔ < < < > ⇔

< >< >− −

( )0 < x < 1 ή x > 2

Άρα FA = ( ) ( )0, 1 2, ∪ +∞ .

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΗΣ F

Παράγωγος της F στο ( )1I = 0, 1

Οι συναρτήσεις ( ) 2g x = x x− και ( ) 1h xx 2

=−

είναι παραγωγίσιμες στο I1 και οι

τιμές τους ανήκουν στο ( ),0−∞ για κάθε x∈I1, οπότε και η συνάρτηση F είναι παρα-

γωγίσιμη στο I1.

Θεωρούμε έναν αριθμό ξ ( ),0∈ −∞ , οπότε για κάθε x∈I1έχουμε

F(x) = 2 x x

t

1x 2

edt

t

−

−∫ =

ξ

t

1x 2

edt

t

−∫ +

2 x x

t

ξ

edt

t

−

∫ = 2 x x

t

ξ

edt

t

−

∫ –

ξ

1 tx 2 e

dt t

−∫

Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(x) = x

t

ξ

edt

t ∫ , x∈(– ∞, 0) οπότε

φ΄(x) = xe

x x ∉ (– ∞, 0).



27

Για κάθε x∈I1, έχουμε ( ) ( )2 1F x = φ x x φx 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

− −−

, οπότε

( ) ( ) ( )2 2 1 1F΄ x =φ΄ x x x x ΄ φ΄x 2 x 2

΄⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ⋅ − − ⋅ ⇔− −

( ) ( )( )

( )

121 x x2 x 2x 2

22 2

x x (2x 1)e ee e 1F΄ x = 2x 1 F΄ x = +1x x x 2 x 2x xx 2

− −− ⎛ ⎞⎜ ⎟− − −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

−

−⋅ ⇔

−−−

x ∈ ( 0, 1).

• Παράγωγος της F στο I2 = (2, +∞)

Εργαζόμαστε ομοίως και βρίσκουμε ( )( ) ( )

21

x 2

2

x - x2x 1 e eF΄ x = + , x 2,+

x 2x x

−−∈ ∞

−−

Άρα ( )( ) ( ) ( )

12

x 2

2

x x2x 1 e eF΄ x = + , x 0, 1 2, +

x 2x x

− −−∈ ∪ ∞

−−.

1. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων :

(Στον παρακάτω πίνακα στη πρώτη στήλη είναι η συνάρτηση και στη δεύτερη

είναι η απάντηση)


1. g(x) =

x 2

1(t +1)dt∫ g (x) = 2x +1

2. g(x) =

1 2

x(t +1)dt∫ g (x) = 2(x +1)−

3. g(x) =2 x 2

1(t +1)dt∫ g (x) = 4(x +1) 2x⋅

4. g(x) = 2

2 1

x(t +1)dt∫ g (x) = 4(x +1) 2x⋅−

5. g(x) = 2 x 2

x(t +1)dt∫ g (x) = 2 4(x +1) + (x +1) 2x⋅−

6. g(x) =2 x +1 2

1t +1 dt∫ g (x) = 2 22x (x +1) +1

7. g(x) = x t

x+1(e +1)dt∫ g (x) = x x+1e e−

8. g(x) = x

1ημ(x t)dt−∫ g (x) = ημ(x 1)−



28

9. g(x) = 1

0x ημ(xt) dt ⋅∫ g (x) = ημx

10. 1

0g(x) tf(tx)dt= ∫ g (x) =

x

3 0

2 1uf(u)du + f(x)

x x− ∫

11. g(x) = 1

0

xe x f(xt) dt, x 0.+ ⋅ ≥∫ g (x) = xe f(x)+

12. ( )x1

1 x g(x) 1+ f dt, x 0 x t= ⋅ >∫ g (x) =

2

1f(x)

x

13.

0( ) ( )

x tg x e f x t dt= −∫

0g (x)

( )( ) xx

u

f uf x e due

= + ∫

Παρατήρηση Κάνουμε τις αντικατα-στάσεις α. x t u− = β. xt u=

γ. x

= ut

κ.λ.π.

2. Δίνεται η συνάρτηση 2x

π/6

ημtf(x) dt

t = ∫ , με x 0> .

α. Να βρείτε την f (x) .

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 0

π πx ,

4 3∈⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

ώστε η εφαπτομένη

της Cf στο σημείο ( )0 0x , f(x ) , να είναι παράλληλη στην ευθεία y = x .

3. Δίνεται η συνάρτηση 2x t x

1f(x) e lntdt= −∫ . Αποδείξτε ότι:

α. x(x) + f (x) = 2e ln(2x)f β. xe

f ΄ (x) = f(x) + 2x

* γ. Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 0

1x

2= (κριτήριο 2ης παραγώγου)

4. α. Αποδείξτε ότι xe x 1≥ + , για κάθε x R∈ .

β. Δίνεται η συνάρτηση

x συνt

0f(x) (e συνt 1) dt= − −∫ αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως

αύξουσα.

5. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (0, )+∞

αποδείξτε ότι γνησίως φθίνουσα είναι και η συνάρτηση x+1

xg(x) f(t)= dt∫ .

6. Δίνεται η συνάρτηση x 2(x t) x t

0F(x) e e dt= ( ) − −−∫ . Αποδείξτε ότι F (0) = 0 .

7. Αποδείξτε ότι α.

x 2

0x 0

1 συνt dt = 1

xlim → ∫ . Β.

t x

0x 0

e 1lim dt = 0

x→

−∫



29

γ. +

x

3 2x 2

ln(t 1)lim dt = +

(x 2)

→

−∞

−∫ δ. 2

1 tx

0xlim xe dt = 1→+∞ ∫ ε.

x

1x 1

lntx 1

lim dt = 0→ −∫

8. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :

α. x 1 2

2F(x) = t dt 1

−−∫ β.

2 x 3

e

tG(x) dt

lnt =

−

∫

απ. ( FD = [2, + )→ ∞ , GD ( , 2) (2, )= −∞ − ∪ +∞ )

9. Δίνεται η συνάρτηση t 1 21(t) = x 5x + 6 dxf −−∫ − .

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. β. Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα και στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο πεδίο ορισμού της. γ. Αποδείξτε ότι η εξίσωση f(t) = 0 έχει μοναδική λύση.

δ. Να βρείτε το πρόσημο της f. απ. ( fD ( ,3]= −∞ )

10. Να βρεθεί ο τύπος της συνεχούς συνάρτησης f στις παρακάτω περιπτώσεις.

α. x t f(t)

0f(x) e dt , = −∫ x R∈ . απ. ( f(x) x= )

β. x 2

0x f(t) dt x = + 1, x > 0⋅∫ . απ. ( 2

1f(x) = 1

x− )

γ. x x

0(x t)f(t) dt e 1 x R = , ∈− −∫ . απ. ( xf(x) = e )

δ. x x t 2 x

0e f(t) dt = x e f(x), x R .− ∈−∫ απ. ( xf(x) = 2e (x 1) + 2− )

ε. t

x

0

f(x t)f(x) = 1+2 dt , x R

e .

−∈∫ απ. ( xf(x) = 2e 1− )

στ. x t

0e f(x t) dt = ημx, x R ∈−∫ απ. ( f(x) = συνx ημx− )

ζ. x

0x+ f(t) dt (x+2)f(x) , x 0 = ≥∫ απ. ( f(x) = ln(x + 2) ln 2− )

η. x t x α x

ae f(t) dt e e f(x) , x, α R = e− − − − ∈− −∫ απ. ( f(x) α x= − )

11. Δίνεται η συνάρτηση x

e

tf(x) = dt

lnt∫ .

α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να εξεταστεί η f ως προς την μονοτονία.

γ. Αποδείξτε ότι 5

ef(t) dt 0≥∫ .



30

δ. Αποδείξτε ότι η fC έχει σημείο καμπής το σημείο Μ(e, 0).

απ. ( fD (1, )= +∞ , γν. αύξουσα)

12. α . Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα [0, )+∞ με

f(x) 0> για κάθε x [0, )∈ +∞ . Αποδείξτε ότι x

0(x t)f(t) dt > 0−∫ , για κάθε x > 0 .

β. Να αποδείξετε την ανισότητα 2 2 x t x

0e dt xe ≤∫ , για κάθε x 0≥ .

13. α. Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [1, 2] και ισχύει

f(x) 1< για κάθε x [1, 2]∈ . Αποδείξτε ότι η εξίσωση x 2

1f(t)dt = x 3−∫ έχει μο-

ναδική λύση στο (1, 2)

β. Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1] και ισχύει

0 f(x) 1< < για κάθε x [0, 1]∈ . Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (0, 1)∈ τέτοιο

ώστε ξξ

0e f(x)dx = 2+ ∫ .

γ. Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1] και 1

0f(x)dx = e∫ . Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (0, 1)∈ τέτοιο ώστε ξf(ξ) = e + 2ξ .

δ. Έστω μία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [0,1] και ισχύει

f(x) 1< για κάθε x [0, 1]∈ . Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (0, 1)∈ τέτοιο ώ-

στε ξ

02ξ 1 f(t)dt− = ∫ .

ε. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύει x x

0f(t)dt e 1 xf(x) + ≤ −∫ . Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από

το σημείο 1

(0, )2

Μ − .

α. β. Εργαζόμαστε με Θ.Bolzano

γ. εργαζόμαστε με θ.Rolle )

ε. εργαζόμαστε με θ.Fermat)

14. Η συνάρτηση f : R R→ είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f (x) 0> , για κάθε

x R∈ . Να αποδείξετε ότι :

α. Η συνάρτηση β

αG(x) = f(x t) dt , x R− ∈∫ είναι παραγωγίσιμη.

β. Αν υπάρχει 0x R∈ ώστε 0G (x ) = 0 , τότε είναι G(x) 0= για κάθε x R∈ . (ΘΕΜΑ 1995 )



31

ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παρά-

σταση της συνάρτησης f τον άξονα x x′ και τις ευθείες που δίνονται σε κάθε

περίπτωση.

1. 2f(x) x x 2 = − − και τον άξονα x΄x απ. ( 27/6 τ.μ.)

2. lnx 1

f(x) = , x = , x = e x e

απ. ( 1 τ.μ.)

3. 1 π π

f(x) = ημx, x = , x = 2 2 2− − απ. (

π3

6+ τ.μ.)

4. 2 xf(x) = x e , x 2 , x 0 = − =

απ. ( 22 10e−− τ.μ.)

5. lnx 1

f(x) = , x = , x = e x e

απ. ( 1 τ.μ.)

6. 2f(x) = x +2x , x 2, x 2 − = − =

απ. ( 8 τ.μ.)

7. 3 2f(x) = x 3x +2x , x = 0, x = 2 − απ. ( 1/2 τ.μ.)

8. x + 2

f(x) = , x 1 , x 0 2x + 3

= − =

απ. (1 1

ln 32 4+ τ.μ.)

9. π

f(x) = xημx, x = 0, x = 2

απ. ( 1 τ.μ.)

10. 2x

2f(x) = xe , x 1 , x 1 −

= − =

απ. ( 2

2e

− τ.μ.)

11. 2

x

3x , x 0f(x)

e 1 , x 0−

≤=

− >

⎧⎨⎩

, x 2 , x 1= − =

απ. ( 1

8e

+ τ.μ.)



32

12. Δίνεται η συνάρτηση xf(x) = (x + 4)e , x R− ∈ . Να υπολογιστεί το εμβαδόν του

χωρίου που ορίζεται από τα σημεία (x, y) με 1 x 1 , 0 y f(x)− ≤ ≤ ≤ ≤ .

απ. ( 14e - 6e− τ.μ.)

(ΘΕΜΑ 1992)

13. Δίνεται η συνάρτηση

xe e , x 1f(x) lnx

, x 1x

− <

=≥

⎧⎪⎨⎪⎩

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου , το οποίο περικλείεται από

τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x΄x και τις ευθείες με εξίσωση x = 0 και

x = e

απ. (5

3 τ.μ.)

(ΘΕΜΑ 1991)

14. Δίνεται η συνάρτηση xf(x) = e . Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείε-

ται από τη Cf, τον άξονα x΄x, την εφαπτομένη της Cf που διέρχεται από την αρχή

των αξόνων και την ευθεία x = –1

απ.(e 1

2 e− τ.μ.)

15. Δίνεται η συνάρτηση xf(x) e x 1= + − . Αποδείξτε ότι η f αντιστρέφεται και να

βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της 1f −

τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 0 x = e.

απ. ( 3/2 τ.μ.)

16) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παρα-

στάσεις των συναρτήσεων f και g και τις ευθείες που δίνονται σε κάθε περίπτωση.

α. f(x) ημx, g(x) συνx, x 0, x π= = = =

απ. ( 2 2 τ.μ.) β. 2f(x) x +5x 4, g(x) 2x 6 , x 0, x 6= − − = − + = =

απ. ( 17 τ.μ.)

γ. x 1f(x) = e , g(x) = x 2 , x 1, x 1

2− = − =

απ.( 2e 4e 1

e

+ − τ.μ.)



33

Κεφ. 3ο Ασκήσεις Επανάληψης ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Στις παρακάτω ασκήσεις οι συναρτήσεις που είναι στα ολοκληρώματα θεωρούνται

συνεχείς .

1. i. Αν ( ) ( )( )π

0f x +f ΄ x ημx dx = 5∫ και ( )f π 2= δείξτε ότι ( )f 0 = 3 .

ii. Αν ( ) ( )( )π2

0f ΄ x ημx+f x συνx dx = 3 ∫ δείξτε ότι

πf = 3

2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

iii. Αν ( ) ( )( )π

0f x + f ΄ x συνx dx = 2⋅∫ και ( )f ΄ 0 =1 δείξτε ότι ( )f ΄ π = 3−

iv. Έστω συνάρτηση [ ]f : 0, 1 R→ με ( ) ( )f 0 f 1 0+ = και συνεχή δεύτερη πα-

ράγωγο στο [0 , 1] . Δείξτε ότι ( ) ( ) ( )1 1

0 0x x-1 f ΄ x dx = 2 f x dx∫ ∫ .

2. Έστω η συνάρτηση f που είναι συνεχής στο διάστημα [α, β] και αντιστρέφεται

σ’ αυτό . Αποδείξτε ότι 1 β f(β)

a f(a)f(x)dx f (y)dy β f(β) α f(α) + = − −∫ ∫ .

(Θεωρούμε γνωστό ότι η 1f − είναι συνεχής στο διάστημα [f(a), f(β)] ).

3) Έστω συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [ ]0,π και

( ) ( )π π

0 0f x ημx dx f x ημx dx = 0+′′ ⋅ ⋅∫ ∫ , δείξτε ότι ( ) ( )f π + f 0 0.=

4. Η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο [ ]0, π και ( ) πf π = e− . Αν

( ) ( )( )π

x

0f x +f x e dx = 2 ′∫ , δείξτε ότι ( )f 0 1=− .

5. i. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: ( )e

2 2

aI= x lnx x dx−∫ .

ii. Δείξτε ότι ( )3

α 0

elim I α

9+→=− ( απ.

3 3 3

(α e α

I ln α 1)9 9 3

= − − − )

6. Αν ( ) ( )f x = f α +β x− τότε δείξτε :

( ) ( )β β

α a

α + βx f x dx = f x dx

2 ⋅∫ ∫ .

7. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [–α , α] αποδείξτε ότι :



34

i. Αν η f είναι περιττή ισχύει: ( )α

αf x dx = 0

−∫ .

ii. Αν η f είναι άρτια ισχύει: ( ) ( )α α

α 0f x dx = 2 f x dx

−∫ ∫ .

iii. Αν η f είναι άρτια αποδείξτε ότι :

α. ( )π

πf x ημ3x dx = 0

−⋅∫

β. ( )

( )κxα 0

f xdx = f x dx ,

1+e α > 0

α

−

α

∫ ∫

8. Αν f συνεχής στο [0 , π] αποδείξτε ότι:

i. ( ) ( )π

π2

π0

2

f ημx dx f ημx dx =∫ ∫

ii. ( ) ( )π

π2

0 0f ημx dx = 2 f ημx dx ∫ ∫

iii. ( ) ( ) ( )π

π π2

0 0 0

πx f ημx dx f ημx dx π f ημx dx

2 = = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

iv. ( ) ( )π π2 2

0 0f ημx dx= f συνx dx∫ ∫

v. Εφαρμόζοντας την (iv) να υπολογιστούν τα : π

221 0

ημ x dxΙ =∫ και π

222 0

I συν x dx=∫ .

9. Έστω συνάρτηση [ ]f : 1, 1 R− → , συνεχής στο [-1 , 1] και τέτοια ώστε

( ) ( )f x + f x = π− , για κάθε [ ]x 1, 1−∈ . Δείξτε ότι: ( )π

0f συνx ημx dx = π⋅∫ .

10) Έστω f συνεχής στο R , για την οποία ισχύει:

( ) ( ) ( )f x+y = f x + f y , x, y R∈ .

Αποδείξτε ότι:

i. Η f είναι περιττή

ii. ( ) ( )β β

α αf x dx f α + β x dx = −∫ ∫

iii. ( ) ( )β

α

β αf x dx = f α + β

2−

⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ .

11. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) 2f x = x + lnx , x > 0 . Αποδείξτε ότι:



35

i. Η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0,+∞

ii. ( ) ( )( )1

e 2e 1 f x dx e 1 e +1−− ≤ ≤∫

iii. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )f xe dx∫ .

12. Δίνεται η συνάρτηση ( )1

x ln , x 0xf x =

0 , x 0

⋅ ≠

=

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

i. Αποδείξτε ότι η f είναι συνεχής στο 0x = 0 .

ii. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x = 0

iii. Να βρείτε το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη Cf και τις ευθείες

x = 1 και x = λ , λ > 0 .

iv. Να βρείτε το 0

limλ +→

Ε(λ) .

13. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) 2

2xf x

x +1= .

Έστω συνάρτηση g : R R→ για την οποία ισχύει: ( ) ( )g x + x 2 f x− ≤ .

i. Αποδείξτε ότι η ευθεία 2y x=− + είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cg στο +∞.

ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τη Cf τον άξονα x΄x και την ευ-

θεία x = 1.

iii. Αποδείξτε ότι ( )2

0g x dx ln5 + 2≤∫ .

14. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z = α + βi , και η συνεχής συνάρτηση f : R R→ για

την οποία ισχύει ( )f 0 =2.

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( )0

2

xg x = z 5i x 2x z + 3i f t dt− − − ⋅∫ , για την οποία

ισχύει ( )g x 0≥ για κάθε x R∈ .

i. Αποδείξτε ότι η εικόνα του z στο μιγαδικό επίπεδο , κινείται σε κύκλο με κέντρο

( )K 0, 3− και ακτίνα ρ = 1.

ii. Να βρεθεί ο μιγαδικός z με το μεγαλύτερο και το μικρότερο μέτρο.

iii. Να βρεθεί η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της παράστασης z 2+ .



36

15. Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό z = α + βi , και τη συνεχή συνάρτηση f : R R→

με τύπο ( )2x +1

1f x = t z + z dt 3x + 2−⋅∫ .

Αν η f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο 0x =1 , αποδείξτε ότι :

i. 1

z =2

ii. Οι εικόνες του μιγαδικού αριθμού w = 2z i− , στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται

σε κύκλο με κέντρο Κ(0 , –1 ) και ακτίνα ρ = 1.

iii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf , τον άξονα

x΄x και τις ευθείες x = 0 και x = 1.

απ. ( iii) 53

E =60

τ. μ.)

16. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα ( )0,+∞ , για την

οποία ισχύει: ( ) ( ) ( )x

2

1

1f x = x 1+ f t dt , x 0,+

x+1 − ∈ ∞∫ .

i. Αποδείξτε ότι ( )f 1 = 0

ii. Αποδείξτε ότι ( )f ΄ x = 3x 1− .

iii. Να βρείτε τον τύπο της f.

iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παρά-

σταση της ( )f x , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = 2 και x = 4.

απ.(iv. Ε = 21 τ.μ.)

17. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση ( )f : 0, R+∞ → για την οποία ισχύουν :

( )f 1 = 0 και ( ) ( )x f ΄ x 2 f x = x⋅ − ⋅ , για κάθε ( )x 0,∈ +∞ .

i. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( )( )

2

f xh x =

x είναι γνησίως αύξουσα στο ( )0,+∞ .

ii. Να βρείτε τον τύπο της f .

iii. Να υπολογίσετε το ( )

( )

x

12x 1

f t dtlim

lnx

→

∫ .

( απ. ii) ( ) 2f x x x= − , iii) 1

2 )



37

18. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x = x + 1 x− .

i. Αποδείξτε ότι ( )xlim f x 0→+∞

= .

ii. Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της Cf όταν το x →−∞ .

iii. Αποδείξτε ότι ( ) ( )2f ΄ x x +1+f x = 0⋅ .

iv. Αποδείξτε ότι ( )2

1

0

1dx ln 2+1

x +1 = ∫ .

(ΘΕΜΑ ΙΟΥΛΙΟΣ 2003 ) (απ. ii) y 2x=− )

19. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) ( )xf x = x lnx + e , x 1,+− ∪ ∞

i. Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( )1,+∞ .

ii. Να υπολογίσετε το όριο ( )xlim f x→+∞

.

iii. Αποδείξτε ότι η εξίσωση f(x) = 2005 , έχει μοναδική λύση στο διάστημα

( )1,+∞ .

iv. Έστω 1

f(e)e

2 f(2)

Π= f(x) dx + f (x) dx−∫ ∫ .

Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Π 2ln2− .

απ .( ii) +∞ iv) e +1 2e e e 4− − − )

20. Δίνεται η συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R , για την οποία υποθέτου-

με ότι ισχύει f(0) = 0 και η f ΄ είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( )0,+∞ .

i. Αποδείξτε ότι για κάθε x > 0 υπάρχει ( )ξ 0, x∈ τέτοιο ώστε ( ) ( )f x = x f ΄ ξ⋅ .

iii. Αποδείξτε ότι η συνάρτηση ( )( ) xf x

h x = + ex

, x 0> είναι συνάρτηση 1-1 στο

διάστημα ( )0,+∞ .

iii. Αν ( ) x 5h x = e + x + x , να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα e 1

1

I= f(x+1) dx−

∫ .

( απ. iii. 7 33 e 7 e 440

I = 21

⋅ + ⋅ − )

21. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )xα + e , x 0

f x = , α R. x lnx , x 0

≤∈

⋅ >

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩



38

Α. Να υπολογίσετε τον α R∈ ώστε η f να είναι συνεχής στο x0 = 0.

Β. Αν α 1=−

i. Να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 = 0..

ii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία , τα ακρότατα και να βρείτε το σύ-

νολο τιμών της f.

iii. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης ( )f x = 0 .

iv. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf , τον άξονα

x΄x και τις ευθείες x = 1 και x = e.

( απ . i. όχι i. τ. μεγ. το ( )f 0 , τ. ελ. το 1

fe

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠, συν. τιμών ( )1,− +∞ .

iii. 0,1. iv. 21+ e

E = 4

τ. μ. )

22. Έστω μια πραγματική συνάρτηση f , συνεχής στο σύνολο των πραγματικών α-

ριθμών R, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις:

α. ( )f x 0≠ , για κάθε x R∈

β. ( ) ( )1

2 2

0

f x =1 2 x t f xt dt − ⋅ ∫ , για κάθε x R∈ .

Έστω ακόμη g η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο

( )( )

21g x = x , x R

f x − ∈ .

i. Αποδείξτε ότι ισχύει: ( ) ( )2f ΄ x = 2 x f x− ⋅ ⋅ .

ii. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι σταθερή.

iii. Αποδείξτε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι : ( ) 2

1f x =

1+ x .

iv. Να υπολογίσετε το όριο ( )( )xlim x f x ημ2x→+∞

⋅ ⋅

απ. (iv. 0 ) (ΘΕΜΑ 2001)

23. Έστω μια πραγματική συνάρτηση f , συνεχής στο ( )0,+∞ για την οποία ισχύει:

( )2

x

1

1 t f(t)f x = + dt x > 0.

x x , ∫

i. Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )0,+∞ .



39

ii. Αποδείξτε ότι ο τύπος της f είναι ( ) 1 lnxf x = , x 0.

x+

>

iii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

iv. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της Cf.

v. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf τον άξονα

x΄x και τις ευθείες x = 1 και x =e.

Απ. iii. ( , 1]−∞ iv. y 0= , 0x = iv. 3/2 τ.μ. (ΘΕΜΑ ΙΟΥΛΙΟΣ 2001)

24. Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R.

Δίνεται ότι η συνάρτηση της σύνθεσης f g είναι 1-1.

i. Αποδείξτε ότι η g είναι 1-1.

i. Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( )( ) ( )( )3g f x + x x = g f x + 2x 1− − έχει ακριβώς δύο

θετικές και μία αρνητική ρίζα.

iii. Δίνεται επιπλέον ότι οι f, g είναι παραγωγίσιμες στο R , με ( )f g (0) = 0 και

( )0 0

g(x) x

of(t) dt + (f g) t dt = 1∫ ∫ , για κάθε x R∈ .

Αποδείξτε ότι g(x) + x

0

f(t)dt = 1∫ , για κάθε x R∈ .

25. A. Έστω δυο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [ ]α, β .

Να αποδείξετε ότι αν ( ) ( )h x > g x για κάθε [ ]x α, β∈ τότε ισχύει:

( ) ( )β β

αh x dx g x dx >

α∫ ∫ .

Β. Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f , που ικανοποιεί τις σχέσεις:

( ) ( )f xf x e = x 1, x R−− − ∈ και ( )f 0 = 0 .

i. Να εκφραστεί η f ΄ως συνάρτηση της f.

ii. Αποδείξτε ότι ( ) ( )x < f x < x f ΄ x , x 0

2⋅ > .

iii. Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη Cf, τις ευθείες x = 0 ,

x = 1 και τον άξονα x΄x , αποδείξτε ότι ( )1 1< E < f 1 .

4 2

(ΘΕΜΑ 2002)



40

26. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R→ ώστε ( )f 1 = 1. Αν για κάθε x R∈ , ι-

σχύει: ( ) ( ) ( )3

1

x 1g x = z f t dt 3 z + x 1 0

z− −⋅ ⋅ ≥∫ , όπου z = α + βi C∈ με

*α, β R∈ ,τότε:

i. Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο R και να βρείτε τη g΄.

ii. Να αποδείξετε ότι 1

z = z + z

iii. Με δεδομένη τη σχέση του ερωτήματος (ii) να αποδείξετε ότι ( )2 1Re z =

2− .

iv. Αν επιπλέον ( ) ( )f 2 = α > 0, f 3 = β και α > β , να αποδείξετε ότι υπάρχει

( )0x 2, 3∈ τέτοιο ώστε ( )0f x = 0 .

(ΘΕΜΑ 2004)

27. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ )0, R+∞ → ώστε

( ) ( )2 1

2

0

xf x = + 2 x f 2xt dt

2 ∫ .

i. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )0,+∞ .

ii. Αποδείξτε ότι ( ) ( )xf x = e x 1− + .

iii. Αποδείξτε ότι η εξίσωση ( )f x = 0 έχει μοναδική ρίζα στο [ )0,+∞ .

iv. Να υπολογίσετε το όριο: ( )xlim f x→+∞

.

( ΘΕΜΑ ΙΟΥΛΙΟΣ 2004)

28. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση [ ) ( )f : 0, 0,+∞ → +∞ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )1

0

g x = x f(xt) dt x⋅ −∫ .

i. Αποδείξτε ότι η g είναι παραγωγίσιμη.

ii. Αν η fC διέρχεται από το σημείο Α (0 , 2) , να υπολογίσετε το ( )

0limx

g xx→

.



41

iii. Υποθέτουμε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη Cf , τον άξονα

x΄x και τις ευθείες x= 3 και x = 5 είναι 2 τ. μ . Αποδείξτε ότι υπάρχει ( )0x 3,5∈

τέτοιο ώστε ( )0g ΄ x = 0 .

29. Έστω [ )h : 1, R+∞ → συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση:

( ) ( )1

x h(t)h x =1999 x 1 + dt

t− ∫ για κάθε x 1≥ .

Να αποδείξετε ότι :

α. ( )h x =1999x lnx , x 1⋅ ≥ .

β. Η h είναι γνησίως αύξουσα στο [ )1,+∞ .

(1η ΔΕΣΜΗ 1999)

30. Έστω f μία πραγματική συνάρτηση συνεχής στο R τέτοια ώστε f(x) 2≥ , για κάθε

x R∈ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση 2

2

0

x 5x

g(x) = x 5x + 1 f(t)dt, x R−

− − ∈∫ .

i. Να αποδείξετε ότι g( 3) g(0) 0− ⋅ <

ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g(x) 0= έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα (–3, 0).

(ΘΕΜΑ 1997)

31. Θεωρούμε τη συνάρτηση

1

x lntf(x) = (x 2) dt, x > 0

t− ∫ .

1. Αποδείξτε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί η f ΄.

2. Αποδείξτε ότι εφαρμόζετε το θεώρημα Rolle για την f στο διάστημα [1,2].

3. Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ (1, 2)∈ τέτοιο ώστε 1

ξlnξ lnt(2 ξ) dt

ξ t− = ∫ .

4. Έστω lnx

h(x) = , x > 0x

. Αποδείξτε ότι 3

1

2h(x) dx

e≤∫ .


1f(x) 1

x= + .

1. Να γίνει η μελέτη της f και να παρασταθεί γραφικά.



42

2. Να αποδείξετε ότι 2

1

5 f(x)dx 2

4≤ ≤∫ .

3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf, τον άξονα

x΄x και τις ευθείες x = 2 και x = 4.

4. Να προσδιορίσετε την κάθετη ευθεία στον άξονα x΄x που χωρίζει το προηγούμε-

νο χωρίο σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

( απ. 3) 9

4 τ.μ. 4) πρέπει 2

α 9

8f(x)dx

=∫ κ.λ.π. )

33. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f : R R→ που ικανοποιεί την ισότητα

12 2 2

0

x

0(1 + t )f(t) dt = x + 6x (t + t) dt, x R ∈∫∫ .

α. Αποδείξτε ότι ο τύπος της συνάρτησης είναι 2

2x + 5f(x) =

x +1.

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο της Α(0, f(0)) .

απ. ( β) y 2x 5= + ) (ΘΕΜΑ 2000)


1( ) 4 , 01

f x xx

= + >+

α. Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης f.

β. Αποδείξτε ότι x+1

xxlim f(t) dt = 4→+∞∫ .

(ΘΕΜΑ 1993)

35. Έστω η συνάρτηση 5 3f(x) = x + x + x .

α. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f

έχει αντίστροφη.

β. Να αποδείξετε ότι xf(e ) f(1+x)≥ , για κάθε x R∈ .

γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο

(0,0) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της 1f − .

δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παρά-

σταση της 1f − , τον άξονα x΄x και την ευθεία με εξίσωση x = 3.

απ. α) σ.κ. το (0,0)

(ΘΕΜΑ 2003)

δ) Ε= 25/12 τ.μ.)



43

Κεφάλαιο 3ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ


Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

1 Σ 22 Σ 40 Σ

2 Λ 23 Λ 41 Λ

3 Σ 24 Σ 42 Λ

4 Λ 25 Σ 43 Σ

5 Σ 26 Σ 44 Σ

6 Σ 27 Σ 45 Λ

7 Σ 28 Σ 46 Σ

8 Σ 29 Σ 47 Σ

9 Σ 30 Λ 48 Λ

10 Σ 31 Σ 49 Λ

11 Λ 32 Σ 50 Σ

12 Σ 33 Σ 51 Σ

13 Λ 34 52 Λ

14 Λ α) Σ 53 Σ

15 Σ β) Σ 54 Σ

16 Σ γ) Σ 55 Σ

17 Σ 35 Σ 56 Σ

18 Λ 36 Λ 57 Σ

19 Σ 37 Λ 58 Σ

20 Σ 38 Λ 59 Λ

21 Σ 39 Σ

Αργυράκης - Κουτσανδρέας - Γ Λυκείου - Κατεύθυνση

Documents

Transcript of Αργυράκης - Κουτσανδρέας - Γ Λυκείου - Κατεύθυνση