Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.1 ∆εδομένα,Πληροφορία και Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές

∆εδομένα

Πληροφορία

Τα ∆εδομένα(data) είναι στοιχείαγεγονόταμηνύματα

τα οποία δεν έχουν απαραίτητα κάποια φυσική σημασίαμε την ακατέργαστη μορφή που έχουν συνήθως.

69 47 134 56769

Με κατάλληλη επεξεργασία δεδομένωνΕίτε με συνδρομή είτε χωρίς συνδρομή κάποιου βοηθήματοςΟδηγεί σε μορφές οι οποίες είναι ευκολότερα και καλύτερα αντιληπτές από τον άνθρωπο(πληροφορία).

Η πληροφορία με τη σειρά της, εκτός του ότι αυξάνει τη γνώση, συχνά χρησιμοποιείται από τον άνθρωπο που διαθέτει για τη λήψη αποφάσεων.

Videolearner.com

∆Ε∆ΟΜΕΝΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ

ΑΠΟΦΑΣΗ

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.1 ∆εδομένα,Πληροφορία και Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές

69 47 134 567

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.1 ∆εδομένα,Πληροφορία και Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές

Σημαντικά βοηθήματα για τη μετατροπή δεδομένων σε πληροφορίες ,αποτελούν οι ψηφιακοί Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές.

Κατά την πρώτη περίοδο των ηλεκτρονικών υπολογιστών ,ο ρόλος των υπολογιστών ήταν περιορισμένος ακριβώς στη γρήγορη αλλά στοιχειώδη επεξεργασία δεδομένων για την παραγωγή πληροφοριών ,οι οποίες είχαν στοιχειώδη αναπαράστασηπρος την πλευρά του ανθρώπου –χρήστη.

Σταδιακά κατά τη εξέλιξη τους ,οι υπολογιστές απέκτησαν τη δυνατότητα της χρησιμοποίησης των πληροφοριών ως νέων δεδομένων με αποτέλεσμα την παραγωγή νέων ,πιο σύνθετων πληροφοριών .Επίσης βελτιώθηκε σημαντικά η δυνατότητα `αναπαράστασης με τρόπους ,οι οποίοι είναι ευκολότερα αντιληπτοί και αξιοποιήσιμοι από τον άνθρωπο.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.1 ∆εδομένα,Πληροφορία και Ηλεκτρονικοί ΥπολογιστέςΟι Υπολογιστές αποτελούνται :

ΥλικόHardware

ΛογισμικόSoftware

Μηχανικά(Ηλεκτρικά )Ηλεκτρονικά

Συστήματατου Η/Υ

Συστήματατου Η/Υ

Προγράμματα τα οποία• Ελέγχουν• Κατευθύνουντην λειτουργία του Η/Υώστε να είναι δυνατή η επεξεργασία δεδομένων και πληροφοριών

και η παραγωγή των επιθυμητών αποτελεσμάτων.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.1 ∆εδομένα,Πληροφορία και Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές

ΥλικόHardware

ΛογισμικόSoftware

Οι περισσότερες λειτουργίες είναι δυνατό να εκτελούνταιείτε από το υλικό, είτε από το λογισμικό του υπολογιστή με σημαντική όμως διαφορά ως προς την ταχύτητα επεξεργασίας

υπέρ του υλικού.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.1 ∆εδομένα,Πληροφορία και Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές

Η πιο εντυπωσιακή ιδιότητα ενός υπολογιστή είναι η γενικότητά του.

Μπορεί να εκτελεί μία σειρά εντολών το πρόγραμμα.

Το πρόγραμμα οποίο επενεργεί με ορισμένα δεδομένα.

Ο χρήστης μπορεί να καθορίσει και να αλλάξει το πρόγραμμακαι τα δεδομένα ανάλογα με τις εκάστοτε ανάγκες του.

Ως αποτέλεσμα αυτής της ευελιξίας,οι υπολογιστές μπορούν να επεξεργάζονται τις πληροφορίες.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.1 ∆εδομένα,Πληροφορία και Ηλεκτρονικοί ΥπολογιστέςΣε κάθε περίπτωση,

το υλικό και

το λογισμικό

εκτελούν πιστά μία σειρά εντολώvόπως έχει αυτή καθορισθεί από τον αλγόριθμο.

Κατά τη σχεδίαση ενός αλγορίθμου για υλοποίηση σε λογισμικό υπολογιστή, ένας συνηθισμένος τρόπος περιγραφής είναι σε συμβατική-φυσική γλώσσα (ψευδοκώδικας),

ενώ σε επόμενο στάδιο ο αλγόριθμος γράφεται σε κάποια από τις λεγόμενες γλώσσες προγραμματισμού ,ώστε να είναι κατανοητός και εκτελέσιμος από τον Υπολογιστή.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.2 Αναπαράσταση ∆εδομένων

Στη προηγούμενη παράγραφο αναφέρθηκε ο όρος του Ψηφιακού Ηλεκτρονικού Υπολογιστή, δεν έχει όμως εξηγηθεί η σημασία της λέξης ψηφιακό.

Ψηφιακό λέγεται ένα σύστημα το οποίο έχει τη δυνατότητα αποθήκευσης και

επεξεργασίας δεδομένων

που έχουν διακριτές τιμές.

Το υλικό των υπολογιστών αποτελείται από ένα σύνολο ανάλογων ψηφιακών συστημάτωνκαι επί πλέον έχει ως χαρακτηριστικό το ότι χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία (δυαδικό σύστημα), το 0 και το 1.

Αυτό σημαίνει πως οτιδήποτε βρίσκεται αποθηκευμένο μέσα σε ένα υπολογιστήείναι αποθηκευμένο ως μία σειρά από 0 και 1.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.2 Αναπαράσταση ∆εδομένωνΤο γεγονός αυτό οφείλεται στο ότι όλες οι μονάδες που αποτελούν το υλικό του υπολογιστήείναι δυνατό να βρίσκονται σε δύο, το πολύ, φυσικές καταστάσεις.

Για παράδειγμα τα μαγνητικά υλικά μπορεί να είναι μαγνητισμένα ή όχι,

ενώ ημιαγώγιμα υλικά (transistors) μπορεί να επιτρέπουν να περάσειηλεκτρικό ρεύμα ή όχι.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.2 Αναπαράσταση ∆εδομένωνΗ στοιχειώδης αυτή μορφή πληροφορίας (0 ή 1),

ονομάζεται δυαδικό ψηφίο ή bit (binary digit).

Μία 8-άδα bits ονομάζεται χαρακτήρας ή byteκαι αποτελεί την αμέσως πιο σύνθετη μορφή αποθήκευσηςκαι επεξεργασίας δεδομένων μετά το bit, καθώς επίσης και την πιο συνηθισμένη μονάδα μέτρησης τηςχωρητικότητας όλων των υπολογιστών.Η χωρητικότητα αυτή εκφράζεται σε πολλαπλάσια του byte, δηλ. σε kilobytes (KB), megabytes (MB), gigabytes (GB) και terabytes (TB).

Πραγματικές Τιμές1 B = 1 byte;

1 KB = 1000 B;1 MB = 1000 KB;

1 GB = 1000 MB or 1 000 000 000 bytes.

1 byte = 8 bits1 KiB = 1,024 bytes

1 MiB = 1,048,576 bytes1 GiB = 1,073,741,824 bytes

1 TiB = 1,099,511,627,776 bytes

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

Αμέσως μετά το byte, η οργάνωση των bits μπορεί να γίνεται σε λέξεις(words),

1.2 Αναπαράσταση ∆εδομένων

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.2 Αναπαράσταση ∆εδομένων

μόνο που το μήκος της λέξης αυτής δεν είναι σταθερό,

αλλά εξαρτάται από τον τύπο της κεντρικής μονάδας επεξεργασίας του υπολογιστή. Το μήκος της λέξης (1, 2, 4, 8, ή και 16 bytes) συνήθως δείχνει πόσα bytes μπορεί να διαχειρίζεται ταυτόχρονα η κεντρική μονάδα. Οι πρώτοι υπολογιστές τύπου PC είχαν μήκος λέξης ενός byte (ή 8 bits), ενώ οι σύγχρονοι υπολογιστές τύπου Pentium έχουν μήκος λέξης 8 bytes (ή 64 bits).

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

Ενώ, όπως ειπώθηκε όλα τα δεδομένα σε ένα υπολογιστή μετατρέπονται σε μορφή bits προκειμένου να αποθηκευτούν,

1.2 Αναπαράσταση ∆εδομένων

είναι ωστόσο απαραίτητο να υπάρχουν κοινοί τρόποι αντιστοίχησης της φυσικής πληροφορίας (π.χ. ενός γράμματος της Ελληνικής ή Αγγλικής γλώσσας) σε μία σειρά από bits.

Η μέθοδος αυτή της αντιστοίχησης σειρών από bits σε φυσική πληροφορία,

ονομάζεται κωδικοποίηση.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

Βέβαια αξίζει να τονιστεί εδώ, ότι ο όρος της κωδικοποίησης

έχει τη γενικότερη έννοια της αντιστοίχησης μίας μορφής πληροφορίας σε μία άλλη και χρησιμοποιείται επίσης για την κρυπτογράφηση δεδομένων, τη βελτίωση της δυνατότητας ανίχνευσης και διόρθωσης Σφαλμάτωνκαθώς και τη αποτελεσματικότερη με…..τηλεπικοινωνίες.

1.2 Αναπαράσταση ∆εδομένων

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3 Αριθμητικά ΣυστήματαΈνας αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους

ανάλογα με κάποια βάσηκαι ανάλογα με τα ψηφία του αντίστοιχου αριθμητικού συστήματος.

Το γνωστό σε όλους μας δεκαδικό σύστημα έχει βάση το 10,

ενώ αντίθετα στους υπολογιστές χρησιμοποιείται το δυαδικό σύστημα (με βάση το 2).

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3 Αριθμητικά ΣυστήματαΧρησιμοποιούνται επίσης, το οκταδικό (με βάση το 8)

7654321και το δεκαεξαδικό (με βάση το 16).

FEDCBA987654321Επειδή τα περισσότερα ψηφία των αριθμητικών αυτών συστημάτων είναι κοινά,η βάση του αριθμητικού συστήματος αναπαράστασης ενός αριθμού γράφεται αμέσως μετά τον αριθμό, ο οποίος γράφεται ανάμεσα σε παρενθέσεις, π.χ. (10011)2, (86322 )10Όταν δεν αναγράφεται η βάση ενός αριθμού, εννοείται ότι είναι το 10.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.1 ∆εκαδικό ΣύστημαΌπως αναφέρθηκε, η βάση του δεκαδικού συστήματος είναι το 10, άρα έχει 10 ψηφία, τα 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ένας αριθμός του δεκαδικού συστήματος, όπως π.χ. ο 8694, παριστάνει μία ποσότητα που είναι ίσημε 8 χιλιάδεςσυν 6 εκατοντάδεςσυν 9 δεκάδεςκαι 4 μονάδες. Όπως φαίνεται, οι χιλιάδες, οι εκατοντάδες κλπ. είναι δυνάμεις του 10 που εξαρτώνται από τη θέση του αντίστοιχου ψηφίου. Πιο συγκεκριμένα, ο αριθμός 8694 θα μπορούσε να παρασταθεί αναλυτικά ως εξής:

8694 = 8 6 9 4x 10

3210

3+ x102+ x101 0+ x10

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.1 ∆εκαδικό Σύστημα

8694 = 8 6 9 4x 10

3210

3+ x102+ x101 0+ x10

Είναι προφανές ότι είναι πολύ πιο εύκολο vα γράφει κανείς μόνο τους συντελεστές και από τη θέση τους να συμπεραίνεται η απαιτούμενη δύναμη του 10η οποία θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.1 ∆εκαδικό ΣύστημαΓενικά, ένας αριθμός με υποδιαστολή παριστάνεται στο δεκαδικό σύστημα με μία σειρά από συντελεστές ως εξής :

αααααα α α α,5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3

Κάθε συντελεστήςαj είναι ένα από τα 10 ψηφία (0,1,...,9) και ο δείκτης j δείχνει τη θέση και συνεπώς και τη δύναμη του 10με την οποία πρέπει να πολλαπλασιαστεί ο συντελεστής.

5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΤο δυαδικό σύστημα αντίστοιχα έχει βάση το 2 και οι συντελεστές aj των δυαδικών αριθμών μπορούν να πάρουν δύο μόνο τιμές: το 0 και το 1.

Κάθε συντελεστής α, πολλαπλασιάζεται με 2j, δηλ. αντί για τις δεκάδες, εκατοντάδες, κλπ του δεκαδικού συστήματος, εδώ υπάρχουν δυάδες, τετράδες, οκτάδες, κλπ. Για παράδειγμα, ο δεκαδικός αριθμός που αντιστοιχεί στο δυαδικό 10010 είναι ο 18, όπως φαίνεται από τον πολλαπλασιασμό των συντελεστών με δυνάμεις του 2 :

10010=1 0 1 0x24 + x22+ x21 0+ x20+ x23

43210

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΠρόσθεση ∆υαδικών ΑριθμώνΠροκειμένου να προσθέσει κάποιος δύο δυαδικούς αριθμούς του ενός bit,βασίζεται στους εξής κανόνες:

0+0 = 00+1 = 1

1+0 = 11+1 = 0 1συν κρατούμενο

Προκειμένου για αριθμούς με μήκος μεγαλύτερο από ένα bit ακολουθείται η ίδια διαδικασία που είναι γνωστή από το δεκαδικό συστημα: Προσθέτοντας πρώτα τα ψηφία της τελευταίας (προς τα δεξιά) στήλης γράφουμε το αποτέλεσμα και μεταφέρουμε το κρατούμενο -αν υπάρχει- , στην επόμενη στήλη. Έτσι προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα του αθροίσματος των αριθμών01011010(=90) και 01001011(=75), προχωρούμε ως εξής:

0101101001001011+

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΠρόσθεση ∆υαδικών ΑριθμώνΠροκειμένου να προσθέσει κάποιος δύο δυαδικούς αριθμούς του ενός bit,βασίζεται στους εξής κανόνες:

0+0 = 00+1 = 1

1+0 = 11+1 = 0 1συν κρατούμενο

Προκειμένου για αριθμούς με μήκος μεγαλύτερο από ένα bit ακολουθείται η ίδια διαδικασία που είναι γνωστή από το δεκαδικό συστημα: Προσθέτοντας πρώτα τα ψηφία της τελευταίας (προς τα δεξιά) στήλης γράφουμε το αποτέλεσμα και μεταφέρουμε το κρατούμενο -αν υπάρχει- , στην επόμενη στήλη. Έτσι προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα του αθροίσματος των αριθμών01011010(=90) και 01001011(=75), προχωρούμε ως εξής:

0101101001001011+ 0+1=1

1

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΠρόσθεση ∆υαδικών ΑριθμώνΠροκειμένου να προσθέσει κάποιος δύο δυαδικούς αριθμούς του ενός bit,βασίζεται στους εξής κανόνες:

0+0 = 00+1 = 1

1+0 = 11+1 = 0 1συν κρατούμενο

Προκειμένου για αριθμούς με μήκος μεγαλύτερο από ένα bit ακολουθείται η ίδια διαδικασία που είναι γνωστή από το δεκαδικό συστημα: Προσθέτοντας πρώτα τα ψηφία της τελευταίας (προς τα δεξιά) στήλης γράφουμε το αποτέλεσμα και μεταφέρουμε το κρατούμενο -αν υπάρχει- , στην επόμενη στήλη. Έτσι προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα του αθροίσματος των αριθμών01011010(=90) και 01001011(=75), προχωρούμε ως εξής:

0101101001001011+

1

1+1=01συν κρατούμενο

01

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΠρόσθεση ∆υαδικών ΑριθμώνΠροκειμένου να προσθέσει κάποιος δύο δυαδικούς αριθμούς του ενός bit,βασίζεται στους εξής κανόνες:

0+0 = 00+1 = 1

1+0 = 11+1 = 0 1συν κρατούμενο

Προκειμένου για αριθμούς με μήκος μεγαλύτερο από ένα bit ακολουθείται η ίδια διαδικασία που είναι γνωστή από το δεκαδικό συστημα: Προσθέτοντας πρώτα τα ψηφία της τελευταίας (προς τα δεξιά) στήλης γράφουμε το αποτέλεσμα και μεταφέρουμε το κρατούμενο -αν υπάρχει- , στην επόμενη στήλη. Έτσι προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα του αθροίσματος των αριθμών01011010(=90) και 01001011(=75), προχωρούμε ως εξής:

0101101001001011+

1

0+0=00

11

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΠρόσθεση ∆υαδικών ΑριθμώνΠροκειμένου να προσθέσει κάποιος δύο δυαδικούς αριθμούς του ενός bit,βασίζεται στους εξής κανόνες:

0+0 = 00+1 = 1

1+0 = 11+1 = 0 1συν κρατούμενο

Προκειμένου για αριθμούς με μήκος μεγαλύτερο από ένα bit ακολουθείται η ίδια διαδικασία που είναι γνωστή από το δεκαδικό συστημα: Προσθέτοντας πρώτα τα ψηφία της τελευταίας (προς τα δεξιά) στήλης γράφουμε το αποτέλεσμα και μεταφέρουμε το κρατούμενο -αν υπάρχει- , στην επόμενη στήλη. Έτσι προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα του αθροίσματος των αριθμών01011010(=90) και 01001011(=75), προχωρούμε ως εξής:

0101101001001011+

101

1+1=01συν κρατούμενο

01

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΠρόσθεση ∆υαδικών ΑριθμώνΠροκειμένου να προσθέσει κάποιος δύο δυαδικούς αριθμούς του ενός bit,βασίζεται στους εξής κανόνες:

0+0 = 00+1 = 1

1+0 = 11+1 = 0 1συν κρατούμενο

Προκειμένου για αριθμούς με μήκος μεγαλύτερο από ένα bit ακολουθείται η ίδια διαδικασία που είναι γνωστή από το δεκαδικό συστημα: Προσθέτοντας πρώτα τα ψηφία της τελευταίας (προς τα δεξιά) στήλης γράφουμε το αποτέλεσμα και μεταφέρουμε το κρατούμενο -αν υπάρχει- , στην επόμενη στήλη. Έτσι προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα του αθροίσματος των αριθμών01011010(=90) και 01001011(=75), προχωρούμε ως εξής:

0101101001001011+

101

1+0=10

11+1 = 0

1συν κρατούμενο

0

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΠρόσθεση ∆υαδικών ΑριθμώνΠροκειμένου να προσθέσει κάποιος δύο δυαδικούς αριθμούς του ενός bit,βασίζεται στους εξής κανόνες:

0+0 = 00+1 = 1

1+0 = 11+1 = 0 1συν κρατούμενο

Προκειμένου για αριθμούς με μήκος μεγαλύτερο από ένα bit ακολουθείται η ίδια διαδικασία που είναι γνωστή από το δεκαδικό συστημα: Προσθέτοντας πρώτα τα ψηφία της τελευταίας (προς τα δεξιά) στήλης γράφουμε το αποτέλεσμα και μεταφέρουμε το κρατούμενο -αν υπάρχει- , στην επόμενη στήλη. Έτσι προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα του αθροίσματος των αριθμών01011010(=90) και 01001011(=75), προχωρούμε ως εξής:

0101101001001011+

101

0+0=00

101

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΠρόσθεση ∆υαδικών ΑριθμώνΠροκειμένου να προσθέσει κάποιος δύο δυαδικούς αριθμούς του ενός bit,βασίζεται στους εξής κανόνες:

0+0 = 00+1 = 1

1+0 = 11+1 = 0 1συν κρατούμενο

Προκειμένου για αριθμούς με μήκος μεγαλύτερο από ένα bit ακολουθείται η ίδια διαδικασία που είναι γνωστή από το δεκαδικό συστημα: Προσθέτοντας πρώτα τα ψηφία της τελευταίας (προς τα δεξιά) στήλης γράφουμε το αποτέλεσμα και μεταφέρουμε το κρατούμενο -αν υπάρχει- , στην επόμενη στήλη. Έτσι προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα του αθροίσματος των αριθμών01011010(=90) και 01001011(=75), προχωρούμε ως εξής:

0101101001001011+

101

1+1=00

1010

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΠρόσθεση ∆υαδικών ΑριθμώνΠροκειμένου να προσθέσει κάποιος δύο δυαδικούς αριθμούς του ενός bit,βασίζεται στους εξής κανόνες:

0+0 = 00+1 = 1

1+0 = 11+1 = 0 1συν κρατούμενο

Προκειμένου για αριθμούς με μήκος μεγαλύτερο από ένα bit ακολουθείται η ίδια διαδικασία που είναι γνωστή από το δεκαδικό συστημα: Προσθέτοντας πρώτα τα ψηφία της τελευταίας (προς τα δεξιά) στήλης γράφουμε το αποτέλεσμα και μεταφέρουμε το κρατούμενο -αν υπάρχει- , στην επόμενη στήλη. Έτσι προκειμένου να λύσουμε το πρόβλημα του αθροίσματος των αριθμών01011010(=90) και 01001011(=75), προχωρούμε ως εξής:

0101101001001011+

101

0+1=00

10101

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.2 ∆υαδικό ΣύστημαΠροσθέτοντας τα τελευταία 0 και 1(που ονομάζονται και λιγότερο σημαντικά ψηφία -Least Significant Bits, LSB) και παίρνουμε ως αποτέλεσμα 1,το οποίο γράφουμε κάτω από τα προηγούμενα και στην ίδια στήλη. Μετά προσθέτουμε τα 1 και 1 από την επόμενη στήλη και προκύπτει το 0, συν 1 κρατούμενο. Γράφουμε το 0 στη δεύτερη (από δεξιά) στήλη και μεταφέρουμε το 1 (κρατούμενο) στην κορυφή της επόμενης στήλης. Τώρα, βρισκόμαστε στο εξής στάδιο:

1κρατούμενο

0101101001001011+

101

Προσθέτουμε τα 1, 0 και 0 της 3ης στήλης, προκύπτει 1, το οποίο και γράφουμε στο κάτω μέρος. Συνεχίζοντας κατά τον ίδιο τρόπο, το τελικό αποτέλεσμα (165) διαμορφώνεται ως εξής:

0101101001001011+

10100101

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3 Οκταδικό Σύστημα

Το οκταδικό σύστημα έχει βάση το 8 και ψηφία (συντελεστές) τα 0,1,2,3,4,5,6,7.

Κάθε συντελεστής αj πολλαπλασιάζεται με 8j.Για παράδειγμα ο .δεκαδικός αριθμός που αντιστοιχεί στο οκταδικό (7264)8 βρίσκεται ως εξής:

(7264)8

3210

7= 2x83+ 4x8

2+6x81+ x8

0

Ο οκταδικός (7264)8 αντιστοιχεί στο δεκαδικό αριθμό (3764)10, ή αλλιώς:

=

= (3764)10

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.4 ∆εκαεξαδικό Σύστημα

3

F

Το δεκαεξαδικό σύστημα έχει βάση το 16 και ψηφία (συντελεστές) τα 0123456789 A B C D E F. Κάθε συντελεστής αj πολλαπλασιάζεται με 16j· Για παράδειγμα ο δεκαδικός αριθμός που αντιστοιχεί στο δεκαεξαδικό FA38βρίσκεται ως εξής:

A3 8

2 1 0

F= Ax16+ 8x16+3x16 + x16 =3 2 1 0

15= 10x4096+ 8x256 + 3 x 16 + x 1 =61440= 2560+ 8+ 48 + =64056=( )

10

( )16

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμούΓια τον άνθρωπο οι δυαδικοί αριθμοί είναι άβολοι στο χειρισμό τους, καθώς έχουν τρεις με τέσσερις φορές περισσότερα ψηφία από τους ισοδύναμούς τους δεκαδικούς. Για παράδειγμα ο δυαδικός αριθμός

1111111111111111

16ψηφίαείναι ισοδύναμος με το δεκαδικό

65535

5 ψηφίαΠαρά ταύτα, οι ψηφιακοί υπολογιστές χρησιμοποιούν αποκλειστικά δυαδικούς αριθμούς,

Κι έτσι είναι πολλές φορές απαραίτητη η δυνατότητα χειρισμού δυαδικών αριθμών.Είναι όμως δυνατό να γίνει εκμετάλλευση της απλής σχέσης του δυαδικού συστήματος με το οκταδικό και το δεκαεξαδικό και να μειωθεί το πλήθος των ψηφίων που χρησιμοποιούνται.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμούΓια παράδειγμα, ο προηγούμενος 16-ψηφιος

1111111111111111

177777

αντιστοιχεί στον οκταδικό

6 ψηφία

ή στο δεκαεξαδικόFFFF

4 Ψηφία

Για τον λόγο αυτό, απαιτείται πολύ συχνά η μετατροπή από ένα αριθμητικό σύστημα σε άλλο.

μετατροπή

μετατροπή

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμούΓια παράδειγμα, ο προηγούμενος 16-ψηφιος

1111111111111111

177777

αντιστοιχεί στον οκταδικό

6 ψηφία

ή στο δεκαεξαδικόFFFF

4 Ψηφία

Όπως φάνηκε προηγουμένως ,η μετατροπή ενός δυαδικού ,οκταδικού ή δεκαεξαδικού αριθμού σε δεκαδικό είναι σχετικά απλή. Γενικά ,ένας αριθμός εκφρασμένος σε βάση r μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό ,πολλαπλασιάζοντας κάθε συντελεστή με την αντίστοιχη δύναμη του r και προσθέτοντας τα επιμέρους γινόμενα.

μετατροπή

μετατροπή

21

1* + 20

0* 81

7 * + 80

3 * 161

F * + 160

9 *

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμούΈνα παράδειγμα μετατροπής από οκταδικό σε δεκαδικό έχει ως εξής:

2

52 0

1 0

5= x82

5= x64320= 16+ + 0 =336=( )

10

( )8 +2x8 +0x8 =

1 0

2+ x8 + 0 x 1 =

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμούΑντίστροφα η διαδικασία μετατροπής ενός δεκαδικού αριθμού σε δυαδικό ,οκταδικό ή δεκαεξαδικό, γίνεται ευκολότερα κατανοητή με το επόμενο παράδειγμα μετατροπής του δεκαδικού 37 σε δυαδικό.

37

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμούΠρώτα διαιρείται το 37 με το 2 οπότε προκύπτει ακέραιο πηλίκο 18 και υπόλοιπο 1.Το υπόλοιπο αυτό πάει στη θέση των μονάδων του δυαδικού αριθμού.Στη συνέχεια , το πηλίκο (18) διαιρείται ξανα με 2, δίνοντας ένα νέο πηλίκο (9) και ένα νέο υπόλοιπο (0). Το υπόλοιπο αυτό πάει στη θέση δυάδων του δυαδικού αριθμού. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται ώσπου το ακέραιο πηλίκο να γίνει 0(μηδέν), και να μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής :

37 2: = 18 με υπόλοιπο 118 2: = 9 με υπόλοιπο 09 2: = 4 με υπόλοιπο 14 2: = 2 με υπόλοιπο 02 2: = 1 με υπόλοιπο 01 2 = 0 με υπόλοιπο 1:

μονάδες -LSB

2-άδες

4-άδες

8-άδες

16-αδες

32-αδες

101001

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμούΣύμφωνα με αυτή τη διαδικασία, ο δεκαδικός αριθμός 37αντιστοιχεί στο δυαδικό αριθμό100101.

37 2: = 18 με υπόλοιπο 118 2: = 9 με υπόλοιπο 09 2: = 4 με υπόλοιπο 14 2: = 2 με υπόλοιπο 02 2: = 1 με υπόλοιπο 01 2 = 0 με υπόλοιπο 1:

μονάδες -LSB

2-άδες

4-άδες

8-άδες

16-αδες

32-αδες

101001

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμούΗ μετατροπή ακεραίων από το δεκαδικό σύστημα

σε σύστημα με βάση r είναι παρόμοια με το παραπάνω παράδειγμα, εκτός από το ότι η διαίρεση γίνεται με r αντί με 2. Για παράδειγμα, η μετατροπή του δεκαδικού 236 σε οκταδικό γίνεται ως εξής:

236 8 = 29 με υπόλοιπο 429 8: = 3 με υπόλοιπο 53 8: = 0 με υπόλοιπο 3

μονάδες -LSB

8-άδες

64-άδες

453

:

Ο δεκαδικός 236 αντιστοιχεί λοιπόν στον οκταδικό 354.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

Η μετατροπή ενός οκταδικού σε δυαδικό είναι σχετικά απλή.Αφού

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμού

8=23μετατρέπουμε κάθε κάθε ψηφίο του οκταδικού στο ισοδύναμο στο δυαδικό , με τη χρήση τριών δυαδικών ψηφίων.Για παράδειγμα , ο οκταδικός αριθμός 631

6 3 1( )8

αντιστοιχεί στον

110( )2011( )

2001( )

2

μετατροπή οκταδικού αριθμό σε δυαδικό

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

Η αντίστροφη μετατροπή από το δυαδικό σύστημα στο οκταδικοείναι επίσης απλή και γίνεται αφού χωρίσουμε το δυαδικό αριθμό σε ομαδες τριών ψηφίων, αρχίζοντας από τα λιγότερα σημαντικά ψηφία (απο δεξιά)και προχωρώντας προς τα περισσότερο σημαντικά ψηφία (προς αριστερά), την κάθε τριάδα αντιστοιχίζεται το ισοδύναμο της οκταδικό ψηφίο. Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμού

100 011 110 111

αντιστοιχεί στον οκταδικό αριθμό

7Μετατροπή δυαδικού αριθμού σε οκταδικό

364

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμού

9Α 6

1101( )21010( )

20110( )

2

( )16C

1100( )2

Οι αντίστοιχες μετατροπές ανάμεσα σε δυαδικό και δεκαεξαδικό είναι παρόμοιες, με τη διαφορά ότι ομαδοποιούμε δυαδικά ψηφία σε ομάδες των τεσσάρων (αφού 24 = 16).

16=24Για παράδειγμα:Μετατροπή δεκαεξαδικού αριθμού σε δυαδικό.

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμού

Μετατροπή αριθμού δυαδικού σε δεκαεξαδικού.

1111 0111 0101 1000

857F

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμούΣτο παρακάτω πίνακα δίνεται για διευκόλυνση η αντιστοιχία των δεκαδικών αριθμώναπό 0 έως 15 στα υπόλοιπα τρία αριθμητικά συστήματαπου αναφέρθηκαν(δυαδικό, οκταδικό και δεκαεξαδικό)

Videolearner.com

Κεφάλαιο 1οΒασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας

1.3.5 Μετατροπή βάσης αριθμού

Ερωτήσεις:1. Τι είναι δεδομένα και πληροφορία και ποια η διαφορά τους;2. Πως ορίζεται ενα ένα σύστημα ως ψηφιακό;3. Να μετατραπούν στο δεκαδικό σύστημα οι δυαδικοί αριθμοί:

01000101 11001000 101101110111010111100011 1100010110101111

4. Να μετατραπούν στο δυαδικό σύστημα οι δεκαδικοί αριθμοί:8, 16.49, 127

5. Να γίνει η πρόσθεση των δυαδικών αριθμών:00101001 01001100

6. Να μετατραπούν στο δεκαδικό σύστημα οι αριθμοί:

31 5( )8

2 5Α1( )16

Β7. Να μετατραπούν στο δεκαεξαδικό σύστημα οι δυαδικοί αριθμοί:01011010 11110000 0111110010001010

Videolearner.com