Η ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΩΝ

download Η ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΩΝ

of 322

description

Η ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΩΝ

Transcript of Η ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΩΝ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΩΝ

  • -

  • THOMAS TAYLOR

    1995

  • : The Theoretic Arithmetic of the Pythagoreans

    5-7, 104 33 . 5221744, 5227678, FAX: 01-5226581

    ISBN 960-268-060-1

    : :

  • , . . , , , , .

    , , . , , .

    , . , , , , , .

    , , . , , , - -

  • - , .

    , . (1758-1835) , , . , , , , , , , , .., , .

    , , . , .

    1995

  • .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 7

    I.

    . .....65 II.

    ....................................................................... 67 III.

    70

    IV. 73 V. .

    74 VI.

    77 VII.

    79 VIII.

    83 IX. ............... 83 . 84 XI.

    , ................. 85

    XII. ,

  • , 86

    XIII. 89

    XIV. , 92

    XV. 95

    XVI. 97

    XVII. , 98

    XVIII. , , . 100

    XIX. 103

    XX. , , 107

    XXI. 109

    XXII. 113

    119

    I.

    123 II.

    . ....... 125

    III. 128

    IV. , . 131

  • 1

    V. , . , 133

    VI. , 137

    VII. , 138

    VIII. , . . 139

    IX. . 141

    . . - - 142

    XI. 143 XII. 145 XIII.

    , 146 XIV.

    148 XV.

    - 149

    XVI. . 151

    XVII. 152

    XVIII. . 154

  • XIX. , , 155

    XX. . 158

    XXI. , , ....... 160

    XXII. ........163

    XXIII. 165

    XXIV. . . ............ 166

    XXV. 170

    XXVI. , 173

    XXVII. 175

    XXVIII. . 177

    XXIX. , 181

    XXX. 183

    XXXI. 185

  • XXXII. , 186

    XXIII. 188 XXXIV.

    191 XXXV.

    193 XXXVI.

    196 XXXVII.

    198 XXXVIII.

    199 XXXIX.

    ( . XV, ), 201

    XL. 209

    XLI. 218

    228

    I. 233

    II. 237

    III. 242 IV. 247 V. 251 VI. 254 VII. 262 VIII. 266 IX. 269

  • . 272 XI. 274 XII. 277 XIII. 280 XIV.

    283 XV. ,

    285 XVI. .292 XVII. ,

    305 XVIII.

    309 312 323

  • , ' , .

    (, , 5.)

    . , . , , , , . , - , 800 .

    , - - .

    15

  • 570 580 .. . , , , . .

    , . .

    , , . -- , '. , .

    , , . , 9 . , . , .

    , , ,

    16

  • - . , . , . .

    , . , . . , .

    , 518 .. , . . . , . . , -

    17

  • .

    , . . , , .

    , . ' , , . , , . , , . , , , . . , . , . 75 80 .

    18

  • , . . , , .

    , . , , .

    , - - , .

    . . . , , . , . , , , , .

    . -

    19

  • , , , . , . , , . - :

    , , . . . , . . , , .

    20

  • - - . , , . , , , , ,

    10 , , (1 + 2 + 3 + 4 = 10). , .., , . , , .

    . , , . .

    .

    21

  • . , . , . , - 1 , 2, 3, 4- . . , 1, 2, 3, 4. , , . , , . .

    , . , , , . , . , . .

    , , . ,

    22

  • , , , , . .

    , , . , , .

    23

  • , ,

    ,

    , .

    ,

    .

  • , , ( ) , , , , ( ).

    , , . 7, 525.

  • , , 1. , . .

    , , , . , , , . . , . , , , , , , .

    27

  • , . , ' , , , . , - - , , , .., , . , , , , , - , , , 2.

    , 10 , , 13, 14 15, , , , , (... ), , .

    28

  • , , , , , 3, , , .

    , , . , . 4, , (Des Cartes) 5 .

    , , , , . .

    . , , , , ;

    29

  • . , , . , . , ; , ; , , , .

    ; , . , ; , . .

    , . .

    , , -

    30

  • , , ; ; , , ; .

    , , ' ; , . , , ; ; , 6, , , , . .

    31

  • , ( ) 7, .

    , . , . ' , , ; . , , . , - , . , , , , , ; 8

    , , , , . , .

    32

  • , ( ), , - , . ( ) , , , , . , - , , , . , , , . , .

    , , , , - , , , , , , .

    33

  • 9 . ( ) . , , , . . , , , , . , . , , 1 0.

    , , , , , . . , . , ( )

    34

  • . , .

    , , . , , . , , . , . , , , ; , , . , . , , , . .

    . ,

    35

  • , , . . . , , . 11, , . , . , , , , - , . , . , , , . , , , , , , , , .

    ( )

    36

  • ; , , , , , , , ; , 12 , . , , , . , , , , , . , . . , 1 3 .

    , , , , ,

    37

  • . , , . , , , , .

    , , . , , , , , . , , , - , . , . , , , , , .

    . : , . , , . -

    * (...).

    38

  • , . , , . , , , , . , - , . . , , . . , , . , , . , , , ;

    , . , , , .

    39

  • , , , , , , . , , , . , , , . , . , , , , . , , .

    , , , , , . , , , . , . , , , , -

    40

  • , . , . , . , . , , . . .

    , , , , , . , 1 4 , , , , , . , ( ) , , 1 5, . , , ,

    41

  • . , . - - , . ( ) , , . , . , . , , . , . , , . , . , , , , .

    , -

    42

  • . 1 6 : , . . , . , , . , . . 1 7 . , , , , , . , , . . , . : . , , , . , , . , , . ,

    43

  • . , , , .

    , , , .

    , , , , . , , . , , , , , , . , 1 8 . , (William Day) (William George Meredith), , . ,

    44

  • . , , , , . o , , .

    , , , , , 1 9. . , , , .

    . . , . , .

    , , ,

    45

  • . , .

    , , , , , , , . , , , , .

    , , , . , . , , . , ; ; , , , , .

    , . -

    46

  • , , . , , , , .

    , , . . . , ; , , ; , . , , , . , - , , , , . , ,

    47

  • . , , , . , , . , , , - .

    , , , . , , , . , , . , , , . , , 2 0.

    , , , . , , - , . , . , , -

    48

  • , , . , . , , . , , , - , , , .

    , , , . , , . , , . , , , - , , . , -

    49

  • , 2 1 .

    , , . , , , .

    , , , : : , , . ; ' , , , , . , , . , , , . , , , , , . , 2 2 , , , ( .. .), , , -

    50

  • , , , 2 3. , . : , ; : , , , . , , . . , , , . , 24. , , ; : - . : , , , ( ) , , , , , , . . , , , . , . , ,

    51

  • . , , , - , - ' , , . , , . , , , , , , , , , . , , , . , , , . , , .

    : , , .

    52

  • : , , , , , , , , , , , , . , . , , ( ), . , , - , , , . , , , , . , , , , .

    53

  • 1. , : ' , ' , , (, , .4) : , . . , .

    2. , , , , . , , 7.

    3. , , , , . ( , , , , .) -

    54

  • , , . , - - . , .

    4. (Newton) .

    5. , . (Halley), , . ( ) : Methodus haec cum algebra speciosa facilitate contendit, evidentia vero et demonstrationum elegan-tia earn longe superare videtur: ut abunde constabit, si quis con-ferat hanc Apollonii doctrinam de Sectione Rationis cum ejus-dem Problematis Analysi Algebraica, quam exhibuit clarissimus Wallisius, torn. 2 Operum Math. cap. 54, p. 220 : . , , , . 54, . 220. : Verum perpendendum est, aliud esse problema aliqualiter resolutum dare, quod modis varus plerum-que fieri potest, aliud methodo elegantissima ipsum efficere: analysi brevissima et simul perspicua; synthesi concinna, et minima operosa- :

    55

  • , , , , .

    6. . 7.

    . (Locke) -. , .

    8. , , , 13 : , , . , , , ' . , . . , , , , . , , , , . , , , , . . ,

    56

  • , , . . , , , . , . , , , . , ; , : . , . , . , , . : , .

    57

  • 9. : 1, 2, 4, 8, 3, 9, 27. , 2 .

    10. , , : Ad quod attinet quantitates continuas, omnino adsentior Proclo; etsi oratio fluit ipsi torrentis instar, ripas inun-dans, et caeca dubitationum vada gurgitesque occultans, dum mens plena majestatis tantarum rerum, luctatur in angustiis linguae, et conclusio nunquam sibi ipsi verborum copia satis-faciens, propositionum simplicitatem excedit. : , , , , , . : (1571-1630) .

    11. , , I, . 118 462. , , . 7, 71, 83 108, . . 83 , , , .

    12. 2 , .

    13. 9 : , , , , , -

    58

  • , ; , , . , , . . ( ), . . , ; . ; . ; . ; . , , , , . ' . ; . ; .... , , , , , , -

    59

  • , , ' . ; , , . . , , , . . , . . . , , . . , . . , , , , , , 729 , ; : , 3 9. 3 , - . 9 3, 3 1. 9 , 3 . , , .

    60

  • 3 , , 9 , 3, 9, 27. 27 , 3 . , 27 729, , 6 3 6 . , , , 729 .

    14. , , .

    15. . 16. , . 18. 17. ( ),

    , . , , . . : , . . , , . , . , . , No XV XVI THE PAMPHLETTEER.

    18. Si vis beatus esse, cogita hoc primum contemnere et contemni. 19.

    , . , , . , . -

    61

  • , , . , , , - - , . , . , , . 468, , , . , . 3, : , . . , , . , , , , , . ,

    20. , 10, . 598.

    21. , , , , ,

    62

  • , , (), . . , . .

    22. . , .

    23. , .

    24. , , :

    , ' .

    63

  • I

    .

    , . , . , - , . , , . , , , . , , , . , . . ,

    65

  • , ; . , , , , . , ; , .

    , ' . . , 1 . . . 4 3. 3 2. . , . , . , , , , . , . . -

    66

  • . . , . , , .

    II

    .

    2 . . , , , , . . , . , , , . .

    , , . , - .

    67

  • , , . 3. ' . , . , , ' , , ' , . , , (. ) . ' , .

    4 , , , . , , , . , () , . , . , , , . , 6 3 3, 4 2, 5 1. , , , - .

    68

  • . ( ) , - , , . , , , , 1, 1, 1, 1, 1, 1 , 4 2 4 2 . . , , ' , . , , 5.

    , , , . , . . , , . , , , . , , , .

    69

  • III

    .

    . , . , . . : - , . . , , , , . , 8 4 4, , . , . , , , 6. , , , 7 - , , . , , .

    70

  • , , , : , , , . , , , . , 10 5 5, , , 3 7. , , . , , 10. , 5 5, 3 7, 8. , , , , 8 4 4, , 8 5 3, , . , . , . , . , 7 3 4, 5 2, . . , , . , . , . , -

    71

  • , - , .

    , . . , , . , . , , , , . , , . , , , , , . . . , . , . , , . , , , . , . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2 1 , 3 2 9, 4 3 , 5 4 , 6 5 . , , ,

    72

  • . . , , , 1 0 .

    IV

    .

    - , - , , . , 5 6 4, . , , 10, 5. 6 4, 3 7. 5. , 3 7, 5 8 2. , . , . , , .

    73

  • V

    . .

    , . , , . , . , .

    , . , 64 32, 16, 16 8, 8 4, 4 2 2 1, .

    . , . .

    : , , . , : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 ' . .

    74

  • , , , . , , , 1 128. , , . , , 8 16, . 8 128 16 . , . 32 128 4 . , , 64 128 2 - 128 128, 1 128. , , , . : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, , 8, 64. . , 8, . 4 64 16 . , 32 64 2 . 1 64 64 64. , , .

    , .

    75

  • 3, 1 2 3, 4 1. , , 1, 2 4 7, 8 1. 1 + 2+4+8=15 , 1 16 . , - 2 . , 1 1.

    , 1 2 , .

    , , " , . 128, 8 16, 128, 1 x 128. , , , . 4 x 32 1 x 128. , , . 64, , 8, 1 x 64. , , , , , 4 x 1 6 = 64. , 32 -

    76

  • 2, 1 64, .

    VI

    .

    , . . , , . 6, 10, 14, 18, 22 . .

    . , - . , , , . , 18 9, , , . 18, , 6, . , , 18, , 3, . , , 2, . . .

    77

  • 2, . 2, . , , 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. , 2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38. , , , .

    , 4 . , , , 2 2, .

    , , , , 1 3 . , , , . , , . , , . , , 2, 6, 10, 6 10 + 2. , . ,

    78

  • 2, 6, 10, 14, 6+10 2+14, .

    VII

    .

    . . , , . 24 28. , , . , . , .

    , . , , . , , , . , -

    79

  • , , , . 24 , . 6, 12, 4 2. . 8, 3 1 - 8 , 3 1 . , , , .

    , . , , . , 4, :

    80

    3 5 7 9 11 13 15 17 19 .. 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ..

    , 3 4, , 3 8, , 3 16, -

  • , , , , - , , , . , ' , . 3 x 4 = 12, 5 x 4 = 20, 7 x 4 = 28, . , 3 8 = 24, 5 8 = 40, 7x 8 = 56. , , , .

    , . , , , , . , , , , . , , . 3, . 5, . 7, .

    81

    3 5 7 9 ..

    4 8 16 32 ..

  • 12 24 48 96 20 40 80 160

    28 56 112 224 36 72 144 288

    , , 12, 20 28, 12 + 28 = 40. 20 + 36=56, 28. . 12 + 36=48 = 20 + 28. 24 + 72=96=40 + 56 . , , , . , , , - 12 x 48 = 576 = 24 x 24. , 24 x 96 = 2304 = 48 x 48. , . 12x96= 1152 = 24x48. , . . , , .

    82

  • VIII

    .

    . , , . - , - . , , , .

    IX

    .

    - . 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. , , , , , , . , 3 , , 3, . , 5 , . . , -

    83

  • , . , 1 4. , , , . , . , , . , , .

    .

    , , . . , . , . 9, 15, 21, 25, 27, 33, 39. , . 9 , 1 15 , 1 . . 9 , 3 15 ,

    84

  • 5, , 3. 21 , 7, , 3 (). , , . , , 9 3, 15 3 5, 21 3 7 . , , . , ' .

    XI

    ,

    .

    , , , - - , - . 9 25, , . .

    85

  • 9 25 25 9. , , , , , 9 25 .

    XII

    ,

    , .

    , , , , , . 3 , : 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49. , , 3 . , 3 , 9. , 9 , 15. , 15, , 3 21. ' 3, ,

    86

  • , . 5, , , , 5, , 7, 9, 11, 13, 15, 5 3 15 3. , , , 17, 19, 21, 23, 5 25. , , , 5 35, . .

    , , . , , . , 7, , 21 3 21, , 35 7 . , , 49, 7 , . . , . , . , -

    87

  • , , , , , , . ' . , , . , 3 , . , . , . , 5, , 4 . , 7, , , 6 . , , 8 . . . , , . , , , , . , 3 9 3, 15 5 21 7, 27 9, . 5 15 3, 25 5, 35 7, 45 9, . ,

    88

  • , , , , , . , . , , - , , .

    - , , - . , , ( ). , 3 9 5 25. . 5 25 7 49 . , , .

    XIII

    .

    , , . , -

    89

  • . , , , . , , . , . , , 9 29, . , 20. 11. 9 2. 2 9 7. 7 2 5. , 5 2 3. , 2 3 1. , 1 2, , 9 29. , , .

    , 21 9, . , 21 9, 12. 9 12, 3. 3 9, 6 , 3, 3. , 3 . , , 3.

    , , .

    90

  • XIV

    , .

    . . . . , , , . 12 24 . , 12 6 4 3 2 1. 16, . , 24 12- 8 6 4 3 2 1 36. , . , , , . , 8 14. 8 4, 2 1 7, . , 14 7, 2 1 10, . , -

    92

  • , , , , , , , , , . , , , , , .

    - - . , , , . 6 28. 6 3 2 1, . , 28 14 4 7 2 1 28.

    , , , . , , 3 - 6- , 12 - 6- . 2 - 6- , 18 - - . . . ,

    93

  • 3, 6, 12, 6 3 12 3 6, 6 12. , 28 14 56, .

    , , , . , , . , . , , , , . , . , , . . . , . , , . , , .

    94

  • XV

    .

    , 1 10, 6 10 100, 28 100 1000 , 496 - 1000 10000 8.128. , 6 8 1 5 .

    . . , . , , . , , . , . , 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 1 2, 3, 3 , 2 6. 28, , : 1, 2 4 7, ,

    95

  • 4, , 28. , 6 28, . , , 1, 2, 4 8, 15. , , , . , 16, 15, 31, . , 16, , 496, 28. , , , . , , , , . , , .

    :

    1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096

    -

    -

    -

    1 3 7 15 31 63 127 255 511 1023 2047 4095 8191

    1 6 28 * 496 * 8128 * * * * 33550336

  • , .

    XVI

    .

    , , , . , . , , , . . , . , , . , , . , . , , , , .

    97

  • , , , , . , , , . , . , -, , -.

    XVII

    , .

    , , . , , .

    , . , . , 2 - 3 4 , .

    . , , . , -

    98

  • , , , - , - ' . .

    1 6 - , . , . ' . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. , 2, , . 4, , 2. 6, , 3. , 8, 4. ' .

    , . 3 , , 2. 1 2 , 3 . , 6 4 5 2. 9 7 8 3. ' .

    3 . 1, 2 3 4, 1. , 5, 6 7, 8 -

    99

  • , 2. 8, 9, 10 11, 12 3. ' . , . , , , , . .

    . , . . , 2, 6 8, 8, 12, 10 . . , .

    XVIII

    , , ..

    , -. , , , , , .

    100

  • ' , ' . ' . , , , , . , , .

    , . 1 7 3 2. , :

    . , 3 2, 6 4, 9 6, , . 3 2 1, 2. 6 4 4, 2. 9 6 6, 3. .

    , - . : ,

    101

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

  • . 4, 3. , . . - :

    1 2 3 4 5 6 7 8 4 8 12 16 20 24 28 32 3 6 9 12 15 18 21 24

    , , . 4 3 3, 1. 8 6 , 2. ' . 3, 6, 9, 12 .. 4, 8, 12, 16 .. , .

    . . . . . , . , 4

    102

  • 3, , 4 3. 8 6, , , 7 6 8. , 12 9 , , 10 11. , , ' .

    XIX

    .

    , 10. , , . , . , , .

    , , 1 10, 4 20, , . , , 2 1. 2,

    103

  • , .

    4 2. 3, 6 3. 4, 8 4. . , 9 30, , , . . 2, 3 1. 4, 6 2. 6, 9 3. -

    104

  • . , 16 40, , . , 3, 4 . 6, 8 2, 9, 12 3. . , .

    , , , . , 4, 2. 4, , . , 3 2, 6 4, 9 6, 12 8, . . . 1, 3 2. 2. 3 . , 4 3, 8 6, 12 9, .. .

    , . . , , . , 2 4, 3 -

    105

  • 9, 4 16 . , . . , 2 6 4 2 1 2 2 1 1. 6 2 3 . , 6 12 9 12 3 4, 6 2 3. . , .

    , , . 2 + 6 4 x 2 16. 6 + 12 9 x 2 36. .

    . , 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, , 4 1 2, 9. , 4 + 9 6, 25. , 9 16, 12 x 2, 49. . , . 9, 25, 49, .. 16, 36, 64 .. .

    106

  • , , 1 100 , 10 10. , 1 100, , 10 x 10. . , , .

    XX

    , ,

    .

    , , , , . , , , , , . . , . , . , , , , . , ,

    107

  • . . -. , , , . , , , -, , , , - ' .

    . 3 . 5. , , , , . :

    108

    3 4 5 6 7 8 9 10 5 7 9 11 13 15 17 19

    , 5 3 , , 5 3 , 2. 7 4, , 7 4 . , .

    ' . , . , 3 5, 6 10 . , . ' , .

  • , 7 4 , . - , .

    ' , , 9 5, 4. , . , . , () . , , . , , . , . , . , -. , . ' .

    XXI

    .

    . , . - , -

    109

  • . , , . . , , - , , , , , . , . , , . , . , - . , , , , , . . , - , . . 5 2, 5 2 , , 1. - 9 4. - 11 5.

    , , , 2, ' 5 - , , , :

    110

  • 2 , 5, 5, :

    111

    3, 3, 7, 7, - , ;

    , 1, 2, 3, 4, .., 4, 9 9, , :

    , 2, , 7 7, :

    2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25

    2 4 6 8 10 12 5 10 15 20 25 30

    3 6 9 12 15 18 21 7 14 21 28 35 42 49

    4 8 12 16 20 24 9 18 27 36 45 54

    2 4 6 8 10 12 14 7 14 21 28 35 42 49

  • 3 10 10, :

    3 6 9 12 15 18 21 10 20 30 40 50 60 70

    XIX, . - - . , , . , , . , , . , ' , . , , , , - .

    , , , , , . , , , , - , , . , , . , , , - . , -

    112

  • , , - . 8, 3, . 16 6, 8 8, 3 3. , , . , , , , .

    XXII

    .

    , . , . , . . , . , , . , , ,

    113

  • . , , , , , . , . , , : , , , . , , . , , . . , . , , , , .

    . , , , . , . , . . ' . , 1, 1, 1. , 1. , 2. , -

    114

  • , , 4. , , :

    1 1 1 1 2 4

    . , 1. , 1 2, 3. , , 9. :

    1 2 4 1 3 9

    . , , . , , 1. , 4. , , 16, :

    1 3 9 1 4 16

    .

    , , , , , .. , , :

    4 2 1

    , 4, , 6.

    115

  • , , 9, 3, 1. , 9. , 12. , , 16.

    116

    , , 9.

    (...

    ' , .

    , , :

    ' , .

    , , , . , . , . :

    9 3 1 9 12 16

    16 4 1 16 20 25

    4 4

    2 6

    1 9

  • 9 6 4 ,

    9. , 15. , :

    9 6 4 9 15 25

    . , ,

    . - :

    16 12 9 ,

    16. , 28. , , , 49. , , .

    16 12 9 16 28 49

    , , , :

    25 20 16 25 45 81

    . , . . :

    4 6 9

    117

  • , , 4, , to 10. , , , 25:

    4 6 9 4 10 25

    . ,

    , , :

    9 12 16 9 21 49

    , . , 9, 15, 25, - 9, 24, 64. 16, 28, 49, , 16, 44, 121. . , .

    118

  • 1. () = . () -= . () = .

    2. , . 11.

    3. 7 .

    4. , , . 23.

    5. , , , , . -, , , ., , . , ( ). - . , , . , , . , .

    119

  • 6. :

    , (...).

    7. (...).

    8. 6 4, .

    9. : . 3/2 1+. : . 4/3 1+1/3. : . 5/4 1+1/4. . . Lidell-R. Scott. (...).

    10. , , . 29, ..

    11. , , , , .. , , 1. , 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, , , 2, 6, 18, 54, 162, 486, .. 2+6 = 8, 9 1. 2 + 6+18 = 26, 27 1. 2 + 6+18+54=80, 81 1. . , . ,

    120

  • , . .

    12. , . , a fortiori , , ..

    13. , , , , . , 10 , . , , , , .

    14. , .

    15. 6 8. .

    16. . = ( . Lidell, R. Scott) (...).

    17. , 1, 2, 3, 4, 5 .. , .., , .. .

    121

  • 1

    .

    , . . , , , . . . . , , . , . , , . , , , , , -, , .

    123

  • , . . : . . , , , . , .

    , 8, 32, 128. , 32, 8. 24. 8 24 . 128, 8, , 24, 72. 8, 24, 72 .

    , . , , 8. 16. 72, , to 8, , 16 32, 32. 8, 16, 32 .

    , . , 8. 16 8 8. 32, 8, , 8, 8. , 8, 8, 8.

    124

  • . , .

    II

    .

    , , , , . , - 1. , . , . . : , , , , .

    , , , , , ' .

    125

  • . , , , 2, , 3. 2 3, . 3, , , . 4 . . 6 6, , 9 . , , 4 6 6 9. 9, , . 8. . 12 , 12 18 18 27. 27 . , :

    1 2 3 8 16 32 3 6 12 24 48

    9 18 36 72 27 54 105

    81 162 243

    , , . 9 4 4 1. , 27 8 8 1. . , .

    , . , 3 , -

    126

  • , 4, , , . , 9, 12. 12, , 16, . 27 , , 36, 48 48 , 64 64 , . , :

    1 3 9 27 81 243 4 12 36 108 324

    16 48 144 432 64 192 576

    256 768 1024

    , . .

    1 4 16 64 256 1024 5 20 80 320 1280

    25 100 400 1600 125 500 2000

    625 2500 3125

    , , , , - ..

    127

  • . , , , . , , . , , ' . , . , , , . , ' .

    .

    , , , . . 3 2 4 3 4 2.

    III

    128

  • , . , , , , . 4 6 3, , 3 , 6 .

    129

    , , .

    , , , , . 12 6 18 12 6.

    , , 6 18,

    9 , 6 18 18 6.

  • , . , , , , , .

    , .

    , .

    ,

    .

    130

  • IV

    , , ..

    . , . . , , , , , , . , , , , , . , , .

    , , , . , , . . . , 6, 6, 6, ,

    131

  • , , , 6 6. , , . , . , . , , , . , , . , , , , , . , . . , , . ' , , . , , , , , , , , . , , , . , , . , -

    132

  • , , .

    , , . , . , . . 2 , :

    11. 111. 1111. 11111.

    V

    , . .

    , .

    , 3. . , , , , , , , .

    3, . .

    133

  • . , , , , .., , , . :

    , , , :

    , - , . , , .

    . . , , . 3 - , , .

    134

  • 6 . 10, 4. 15, 5 ' , :

    , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, .. , . 1+2=3 , . 1 + 2 + 3 = 6 . 1 + 2 + 3 + 4 = 10 , . , , . , 3 , 2 1 . , 6 3 , . .

    , . 1 3

    135

  • , 6 10, , . , 15 21 , 28 36 . .

    , - - ' . , , . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. , , , 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45. , 1 2, 3 6. 2 3, 10 15. , 3 4, 21 28 .

    . , , , , , :

    136

    , , .

  • VI

    , .

    , , , . . :

    . , , 1 . , , 4, 2 . , 9, , 3 . .

    , , . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, .., 1 . 1 + 3=4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3+5+7 = 16, . , .

    , -

    137

  • , . , 1, 1. , 4, 1 3, , 2. 9, , 3. .

    VII

    , .

    , , - . . , 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70. . . , 1 , 1 . 5 , 2 . , 12, 3 . 22, 4. , :

    138

  • O , , . , , :

    . , , . , , , . . , 4, 1, 5. , 9, 3, 12. .

    VIII

    , .

    , ..

    . -

    139

  • . , 2, . , , 3. , 4. , . 1, 5, 9, 13, 17, 21, .., , , 1, 6, 15, 28, 45, 66, ..

    , , 5 , , :

    1, 6, 11, 16, 21

    , 1, 7, 18, 34, 55. , ,

    , , , , . . , 1, .

    140

  • IX

    -

    . .

    , . , . , 4 1 3, . , 9 3 6, . 16 6 10 25 10 15. . . 5 4 1. , 12 9 6. 22 16 6. 35, 25 10. .

    , , . 6 5 , 1. , 15 12 3. , 28 22 6. .

    . - 7 6 1.

    141

  • 18 15 3. - 34 28 6. . .

    , , , , , . 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, , . 6 9, 9 12, 12 15, 15 18, , 3. , 10 16, 16 22, 22 28, 28 34, , 6. , . .

    .

    - - .

    . , -

    142

  • . , , , , .

    , , , . . - , , , :

    , , , .

    XI

    .

    , 1, 2, 3, 4, 5, 6, .. ,

    143

  • . , , .

    , . 3 1, , 4. 6, . 10, 20. .

    1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55

    1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220

    . , , , .

    , , .

    1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

    1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385

    144

  • . ' , . , ' , , , , , , .., .

    XII

    .

    , . , , , -. , 16 9 4, , , , , , , . , , . , , , .., . , , . , 16 9 4, . , , .

    145

  • XIII

    , .

    , . , , , , . , 1, 4, 9, 16, 25, .., , . , . 4 2 . 4 2, 8. . 9 3 27. 16 4 64. . , , . , ,

    146

    , .

  • .

    , . . , , , , , .

    , , , , . 2, 5, , . , Gradati, . , . -, - , , , , . , , , , .

    147

  • 148

    XIV

    .

    , , . , . , , , , . , , , , , , :

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 2 x 1 , 2 x 3 , 3 x 4 , 4 x 5 , .., 2, 6, 12, 20, .., , .

    , . , 3 x 7 , 3 x 5 .., , , , . , , , . , . , -

  • . , . , .

    , - , . , , . , , , , .

    XV

    .

    , . , , , , , , , . , -

    149

  • , . 1 2 1, . 2, :

    1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 12 14

    , . , , , , , , . . , , . , . 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7=16, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25, . . , 2, . 2+4=6 , 6 3 2. , 2+4 + 6=12, 12 4 3. .

    150

  • XVI

    - . .

    , . , , ( laterculus). 3 x 3 x 2 = 18 4 x 4 x 2 = 32, . . , 4 x 4 x 9 = 1 4 4 . , , . .

    , , 5 6. 5 x 5 = 25, 5 5. 25 x 5 = 125. 5, 5. , ' . 2 6. , , . , ,

    151

  • , , . , , . .

    XVII

    .

    . , , . , , , , . , . , , . , , -

    152

  • . , , , . , , , , , .

    , , .., , , . , , , , . ' , -. , 6 2 3, 12 4 3. , 3 x 5 3 x 6 4 x 7 . , , , . , , .

    153

  • XVIII

    .

    .

    , , - , . - , . , , , , . , , . , . . , . , . , , - . , , . . , ,

    154

  • , . , , , . , , , , . , , . .

    XIX

    , , .

    , , , . . , , :

    1 4 9 16 25 36 49 2 6 12 20 30 42 56

    155

  • , , , , . , . , . , , , . ' , . , , 1, 2. 3, 4. , , 1. , , , , , .., , . , . ' . . . - , .

    , , .

    , . , , , . , .

    156

  • , .

    , 2 , . 1+4=5 , 5 2 x 2 9. , 4 + 9=13 13 2 x 6 25. . - , - , . , 2 6 4. 16. , , 12 + 6 = 18 9, 36. , 12 + 20 = 32, 16, 64 .

    , -

    157

  • , , . 1+4 2, 9, 3. 25, 4 + 9 6, 5. , 49, 9, 16 12, 7. .

    , , . , 16, 2, 6 9, 6. , 64, 12, 20 16, 8. .

    XX

    .

    .

    . , , . , 1, , 2, , 3. 2 4, , 6. , 4 6 10

    158

  • . , , :

    ,

    , . 4 2, 6, 2 4, 2. 6 2 . , 3 9 3 12 6, . . , , - , . , , , . , 6-2, 2 + 2 4.

    ' , . , , , , , . , , , . ,

    159

  • , .

    XXI

    ,

    , .

    , , , , , , . , : 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30. 1, , 2 . , , , . 2 1 , 4 2 2. , 4 2, , 6 4 . , . 4 2 2, 6 4. , , , . , 4 6, 6 9, , 6 4 2 9 6 3. , , , , ,

    160

  • , . , , , :

    , . 2 1 4 2. 6 4 9 6. 12 9 16 12. . 1 2 1, 2 4 2. 4 6 2,

    , , - , -, :

  • 6 9 3. 9 12 3, 12 16 4. . , . 4 2 6 4. 9 6 12 9. 16 12 20 16. , , , . , , . , 4 2 6. 9 6 12. 16 12 20. . , 2 1 4, 6 4 9, 12 9 16 .

    , , , ' . 1 2 1, 2 4 2. , , 1 2 , , . 1 1 , 2. , 2 2 , 4. , 2 4 6, 3 6 9. , ' . . 2 4, 6. 3 6 9. , 3 9 12, 4 12 16 , ' ,

    162

  • , . . . . . . .

    , , , ' . 2 4, 2, 4 6. . 2 , , . , . , 6 9 9 12 3. , , . , . .

    XXII

    .

    , , , , , -

    163

  • . , .., . , , .. :

    , . , 4 9 3, 16 81 5 64 729 7. . , ( ) 4 64, , , , .. .

    , , , , , . -

    164

  • , : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, . , 1 , , 3 5, , , 8. , , 7, 9, 11, 27 . , 13, 15, 17, 19 , , , 64. .

    XXIII

    .

    . , , , , . , , 3 . , , , . , , . . 4, 2, 1. 4 2, 2 1 , .

    . ,

    165

  • 8, 4, 2, 1, 8 4, 4 2, 2 1 , . 16, 8, 4, 2, 1 32, 16, 8, 4, 2, 1, ' . , , , . , , , . 1, 2, 4, 8, 2 1, 8 4, , 1 2, 4 8. , 4 1, 8 2.

    XXIV

    .

    .

    , , , . , . , . , -

    166

  • , . , , . , ( ) .

    . , , . , . , . , . ; ' , , , . , . , , , . , . .

    , , , . , -

    167

  • , . , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, , . , , , . , , . , . , 1, 2, 3 , . 2 1, 3 2 . .

    , , . , , 2, 1,3,5, 2. 3 1 5 3. , 4 , . , . , , , , .

    , 1, 2, 3, 1+3 = 4 = 2 x 2 . , . 1, 2, 3, 4, 1+4 = 2 + 3.

    , . , , . , , 3, 5, 7 3 x 7 = 21

    168

  • 5 x 5 = 2 5 . 21 25 4, 3 5, 5 7, 2 x 2 . , , , . , 12, 10, 4, 2, 12x2 = 24 10x4 = 40 24 40 16, 12 10, 2, 10 2, 8, 2 x 8 = 16. 12 4, 8, 4 2, 2.

    , , ' . 1, 2, 3, , 2 1, , , 3 2, . . , 12, 10, 8, 6, 8 6 12 10. 12 10 , 8 6 . , , . , , , . .

    169

  • XXV

    .

    . , , , . . 1, 2, 4, 8, 16, 32, .., 1, 3, 9, 27, 81, .., , . 2, 4, 8, 2:4 = 4:8, 8:4=4:2. 2, 4, 8, 16, 2:4 = 8:16, 16:8 = 4:2. .

    , . , , - , . , , :

    170

  • . , . 2 1, 1. 4 2, 2. 8 4, 4. . , . 3 1 2, 1. 9 3 6, 3. 27 9 18, 9. . , . 4 1 3, 1. 16 4 12, 4. 64 16 48, 16. . , , , .., .

    , , . , 2, 4, 8, , 2 x 8 = 4 x 4 = 16.

    171

  • . , 16, 8, 4, 2, 1, , 16 x 1 4. , 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, 64 1 = 8 8. , , 2, 4, 8, 16 2 x 16 = 4 8 32. . 2, 4, 8, 16, 32, 64, : 2 x 64 = 128 = 4 32 = 8 16.

    . 2, 4, 8, 16, 32, 64, . 3, 9, 27, 81, 243, 729, . .

    , , , :

    , , , , . , . , ,

    172

  • 4 .

    XXVI

    , .

    , , . . , . , . , , . , , , . , , 4 9. . 6, 6 4 9 6. , , 6. 4 2, 9 3, 6. , . . , 8 27, , 12

    173

  • 18. 12 8 18 27 .

    . , . , . 8 27. 3 2 3 x 2 x 2 = 12, 3 x 3 x 2 = 18, . 27 64. 4 3 4 x 3 x 3 = 36, 4 x 4 x 3 = 48. . , . 12, 8 27, 8 27, 2 x 2 x 3 = 12. 18, , 27 8, 3 x 3 2 = 18.

    , 5. , , 6. , 7, , , 8. . , 9.

    174

  • , 1 0 . , , 1 1 . , , , .

    XXVII

    .

    , . , , . 3, 4, 6 2, 3, 6, 6 3, 6 4, 2, 4 3, 1. 6 2, 6 3, 3, 3 2, 1. , .

    . . , . , 3, 4, 6, 4 3, , 6 4, .

    175

  • , 1:2 1:3. , , . , - - .

    , , . , . 2, 3, 4, 3 2, , 1, 4 , . 3 2 2, 4 4. 3 2 1, 2, 4 1, 4. . , , , . 2, 3, 6, 3 2 2, 6 3, 6. , , , , . -

    176

  • , . , 4, 6, 9, 6 4 , 9 6 . . , . 3, 4, 6, 3 + 6 = 9 9 x 4 = 36, 3 x 6 . , 2, 3, 6, 2 + 6 = 8 8 x 3 = 24, 2 x 6 = 12.

    . 6 + 3 4 x 2 , 6 + 2 3 x 2 . , , . 3 x 6 = 18, 16, 4, 2. 2 6 4 4 3. 2 x 6 9, 3, 3. 3 6 3 3 2.

    XXVIII

    . .

    , , . -

    177

  • , . , , , , . , . , .

    , . , , , , 4 3, . . ,

    3, 4, 6 2, 3, 6. , 6 3,

    2. , , , . 6 3 3 6 2 4 4 3 .

    , . 6 4, 3 2. . , , , -

    178

  • , 6 3. , , . 2, 3, 6, 3 2 6 3 . , , , . , 3 2 1 6 3 3. , 3, 4, 6, 6 , 2. , , 1. , , , , , . 3, 4, 6, 4 1, . 2, 3, 6, 6 2 . 4 1. 4 1 .

    , , . , , , , , . , , . 12 , , . , 6, 8, 12, . 12 6, 12 8

    179

  • 8 6. , 8 , 6 , . , 1 2 . , , . 12+6=18 18 x 18 = 144. 144 12 x 6 = 72.

    . , , 8 6, . 12 8, , , . , , 12 6. , , . 8 6 2 6 2. , , 8 8 6, 8 2. , .

    180

  • XXIX

    ,

    .

    , , , , , . , , , . , , , . , 10 40, . , 25, 10, 25, 40 . , 10 40 20, , 10 20, 20 40. , 16 10 40, , 10 40, 16 10, 6, 40 16, 24.

    181

  • , 5 45, 25 , 15 9 .

    . , 2. . 10 + 40=50 50:2=25. , . 2 , . 40 10 30. 2, 15, 10, 25, 10 40. . , 10 40 = 400 400 20. , 20 10 40. , 2, . , 40 10 . , , 2, , 20, 20 10. 20 . , , , . . 40 10 30, 30 x 10 = 300 300 40+10 = 50 6 6 + 10=16, 10 40.

    182

  • XXX

    .

    , . , . , . , . . , , , 3, 4, 6. , , , , . , 3, 5, 6. , 6 3, 5 3, 2, 6 5, 1. . , , , , . . 5 x 6 = 30, 3 x 5 = 15. -

    183

  • , , .

    . , , - , 2, 4, 5. , 4 2, 4 2, 2, 5 4, 1. , , , , , 8, 4, 2. 8 4 4 2, 8-4 4-2. , , . , . 2, 4, 5, 5 x 4 = 20 20 5 x 2 .

    , , , , .. 1, 4, 6. 4 1, 3, 6 4, 2. 6:4 = 3:2. , , .

    184

  • XXXI

    .

    , . , . , , . . , , , , 6, 8, 9. 9 6 3. , 8 6, 2, 3 .

    , , , 6, 7, 9. 9 6 3, , 9 7, 2, .

    , , , , 4, 6, 7. 6 4 -

    185

  • . 2. 7 4 3, 2 .

    , , , , 3, 5, 8. 5, , 3 . , 5, 8 5, 3, 1 3.

    XXXII

    ,

    .

    , - - - . , - - . , , . , , , , , , , , , . , , , . , , .

    186

  • 6, 8, 9, 12. , 6 1 x 2 x 3 , 12 2 x 2 x 3 , 8 1 x 2 x 4 9 1 x 3 x 3 . . , 12 8 9 6, 12:8 = 9:6. . , 12 9 9 6, 3 . , . , 12 8 8 6. 12 6 12 8, 4, 8 6, 2. . 8 6 9 12 . 6 9 8 12 . , 12 6 . 8 9 , . , . 1 4 , .

    , , , , , 5, 15, 25, 45. . 5, 15 45, 5:15 = 15:45 -

    187

  • 5, 25 45, 25 to 5 45 25. 40, 25, 16, 10. 40, 16 10 , 40 10 40 16 16 10. 40, 25 10 , 40 25 25 10. , 80, 40, 32, 20, . 80, 40, 20 80, 32 20 . .

    XXXIII

    .

    . 284 220 , , , . , , , . . , , .

    188

  • , (Ozanam), , . 15, : 220 284 , 220 - , 1 + 2+4+71 + 142 = 220. , 284 , 1 + 2 + 4 + 5 + 10+11 + 22+44+55 + 110 = 284.

    , 2, , 1 , 6, , 12, - , 72, , 5, 11 71. 5 11 55 4, 2, 220 . , 284, 71, 4, 2 .

    , 2, , , , 8. , 24, , 48, 1152, - , , 23, 47, 1151. 23, 47, 1081 16, 8, 17296, . , 18416, , 1151 16, 8.

    , 2, 8,

    190

  • 64 .

    64, , 9363584 9437056. 191, 383 73727.

    XXXIV

    15.

    , ( ) ( ), , , . . , , , . , , , , , . , 1 6 .

    , , . , , , , . , 1 2 1.

    191

  • , , . , , . , 2, 4. 3, 9. 9 1 2.

    3 2, 5 . , , 7 . 25, 7 49. 49, , , 25. , 7, 12. 7 5, 17, 289, 144, 1. , , 1 1 . 1 7. 1 , 1 . , , , , , , , . , . :

    1

    1

    2

    1

    192

  • . 29 12 17. . 41 17 12x2, 99 41 2 9 x 2 , 41+58 = 99.

    .

    , . , , .

    1+2 + 3 + 4 + 5, .., , , . 4 , 3 + 2 = 5 5 x 4 = 20, 10, .

    1+2 + 4 + 8+16 + 32, .., ,

    XXXV

    193

    2 3 8 9 5 7 50 49

    12 17 288 289 29 41 1682 1681 70 99 9800 9801

    169 239 57122 57121

  • . 1+2 + 1 2. 1 + 2 + 4 + 1 4. .

    1 + 3 + 9 + 27+81, .., . , 3, 9, 1 + 3, 4, 1. 9, 27, 1 + 3 + 9, 13, 1. .

    1+4 + 16 + 64 + 256, .., .

    1+5 + 25 + 125 + 625, .., .

    1 + 2 + 4 + 8 + 16, .., , . , 2 2 1 1 + 2. 4 4 3 1 + 2+4, .

    1 + 3+9 + 27 + 81, .., 2 , . 3-1=2, 2:2=1, 1 + 3 = 4 . 9-1 = 8 8: 2=4 4 + 9 = 13 = 1 + 3 + 9, ..

    1 + 4 + 16+64+256, .., 3 , .

    1 + 5 + 25 + 125 + 625, .., 4 , .

    194

  • , .

    , .

    , , , , . 8-1 = 7 7 + 8 = 15, . , , 2, , , . , , 3, 4, 5, 6, .

    .., ' 2, , . , ,

    105

    :

  • , , . , 3. , 4 .

    196

    , 3, , 4, , 5, , 6 .

    XXXVI

    .

    27 35, 39 55, 65 77, 51 91, 95 119, 69

  • 133, 115 187, 87 247. 27 = 3 x 9 1, 3, 9, 13 35 = 5 x 7 1, 5, 7, 13.

    39 = 3 x 13 1, 3, 13, 17. 1, 5, 11, 55 = 5 x 11.

    65 = 13 5 1, 5, 13. 77 1, 7, 11 19,

    51 = 17 3 1, 3, 17 21. 91 = 13 7 1, 7, 13 21. .

    , 12, 16, 18, 20, 24, 26, 28, 32, 4, 2. 4, 2, 2 4. , 4, 2, 2, 4, 2, 2, 4, ' .

    . , . , . , () , , -

    197

  • . , , , . , , . 12 144, , , 80 104. 106.

    , , . , , . , , , , , , , .

    XXXVII

    .

    : 12, 20, 24, 28, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92,

    198

  • 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, 124, 132, 136, 140, 144, 148, 152, 156, 160, 164, 168, 172, 176, 180, 184, 188, 192, 196, 200, 204, 208, 212, 216, 220, 224, 228, 232, 236, 240, 244, 248, 252, 260, ..

    ' 8 4. 12 20 8, 20 24 24 28 4. , 28 36 8, 36 40, 40 44, 44 48, 48 52, 52 56, 56 60 4. , 60 68 8, 68 72 4, , 124 132, 8.

    , 12 20 8, 20 36 16, 36 68 32, 68 132 64, , .

    , 8, , , 8. 36 + 24 = 60, 68. , 68 + 56 = 124, 132. 132 + 120= 252. . ' .

    XXXVIII

    .

    2, 4, 8, 16, 32, 64, ..,

    199

  • 1. , 2 1 4 2 1, 3 8 4, 2, 1, 7 16 8, 4, 2, 1, 15. .

    3, 9, 2, 7, 81, 243 .., 1 . , 3 1 3 2 1. 9 3 9 , 8, 1. , 27 13, 9, 3, 1, 1. 243 121, 81, 27, 9, 3, 1, 1. .

    5, 25, 125, 625 .., 1 . 7, 1 . 9, 1.

    , , 1 .

    . . . .

    6....

    . . . .

    ....

    . . . .

  • 8, 10, 14, 22, 38, 7, 8, 10, 14, 22 9, 15, 33, 87, 249, 4, 9, 15, 33, 87. , 134, 262, 70, 134. 262, , . 249.

    XXXIX

    ( . XV, ),

    .

    1, 6, 28, 120, 496, 2016, 8128, 32640, 130816, .. , 1+6 + 28+120 + 496, .., .

    6, 28, 496, 8128, 130816, 2096128, 33550336, 536854528, .., , 28, 6, 2, 4, 16, 64, 256, ., :

    201

    , 3 2, 5 2, 9,

  • 13, 17, 21, 25, 29, . , , 4 .

    6 + 28+496+8128+130816, .. ,

    , 1, 6, 28, 496, 8128, .., 1, 3, 7, 31, 127, 511, 2047, 8191, .. , 1 + 2 + 4 + 24 + 96 + 384, .. 1 = 1, 1 + 2=3, 1+2 + 4=7, 1 + 2+4+24=31 . , , 1, 2, 4, .

    , 24 96, 96 384, 384

    1536 . , ,

    4 3, . 3 1 x 4 = 124 124 + 3 = 127. , 2 7 x 4 = 508 508 + 3 = 511. , 511 x4 = 2044 2044+3 = 2047. .

    2 , 1, . 2 + 1 = 3, 6. 2 + 4+1=7, 28. 2+4 + 8+16 + 1=31, 496. .

    202

  • 203

    ' - 1 + 3 + 7 + 31 + 127, ..

    2 , , , , 6 + 8 + 496 + 8128 + 130816 + 2096128, .., , , .

    , , . .

    3, 2 1, 6. 3 , 2 1 6. , 14, 7, 4, 2 1 28. , 496 , 465 2 . 496 248, 248 2, 496 4. , 124, 248, 2, 496 8. 62, 124, 2, 496 16. , 496 2, 4, 8, 16, 1 465, 496. , 8001 2 . 8128 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1 8001, -

  • 8128. .

  • , . : 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, 2305843008139952128. , . , :

    16 ,

    . , (Ruffus) , .

    6 8. , 6 8, .

    297

  • , , . 2 , 6 8. , 1 + 8 + 32 + 512+8192, ..,

    . 8, 32, 512, .., 4, 16, 256, . 6 + 28 + 496 + 8128 + 130816, .., , . 12, 6, 16- 56, 28, 64 - 992, 496, 1024, 32 16256, 8128, 16384, 128 216632, 130816, 262144, 512. . . , , .

    , 2 28 6, 28, 496, 8128, 130816, .., , 2, 3, 7, 31, 127, 511, .., . , 3 2, 3 1, 4 2,

    208

  • 16, 31, , 496, 6, 28, 496, 8128, .. , 2 4 4 , 6 2, 64, 127, 8128, 6, 28, 496, 8128, .. .

    6, 28, 496, 8128, 130816, .., , : 16 . 3, 7, 31, 127, 511, .., 6, 28, 496, .. , 28 16 - 448 448 12 x 4, 48, 496. , 496 x 16 = 7936, 7936 + (12 x 16) = 8128. .

    , 1, 6, 15, 28, 45, 66, .. ' ,

    XL

    .

    , , 9363584 943705618.

    209

  • , , 8, , 2 , . , 64 8, 512. , 1535, 3071 4718591. 4827120640 4831837184, , 2 , , . , 512 8, 4096. 12287, 24575 301989887. 2473599180800 2473901154304. 2 , , . , 4096 8 32768. , 98303, 196607 19327352831. 1266618067910656 1266637395132416.

    , 32768 8, 262144. , 786431, 1572863 1236950581247. 648517109391294464 648518346340827136.

    , 9363584 9437056. 2 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..,

    210

  • , . : 4681792, 2340896, 1170448, 585224, 292612, 146306, 73153. , 191 383 9363584, , . 9363584 191, 49024 383 24448. , 2 . 49024 2 , 24512, 12256, 6128, 3064, 1532, 766, 383. , 24448 12224, 6112, 3056, 1528, 764, 382 191. :

    4681792 2340896 1170448 585224 292612 146306 73153 49024 24448 24512 12256 6128 3064 1532 766 383

    12224 6112 3056 1528 764 382 191

    211

    9436801

  • 2 , , 1 + 2+4 + 8+16 + 32+64+128= 255, 9437056, .

    , 9437056 2 , :

    255, , 9363584, .

    2 . . , , .

    , 3, 6 18, , , . 3 6 . , , . 18 6 3.

    , . 1 1000 , 284 20.000 ,

    212

  • 18416 .

    , , . , 284 220 1

    1 17296 18416

    1 1

    9437056 9363584

    1 1

    . . , . 4827120640 4831837184, , 4 8. 2473599180800 2473901154304, 2473 . 1266618067910656 1266637395132416, . , 64851710939294464 648518346340827136. , 170005188316757680455680 1700051933833071941 38624, . , . .

    , .

    213

  • :

    5 11 71 23 47 1151

    191 383 73727 1535 3071 4718591

    12287 24575 301989887 98303 196607 19327352831

    , (2x5 ) + l = 11, (2 x 23) + 1=47, (2 x 91) +1 = 383, (2 x 1535) + 1 = 3071, (2 x 12287) + 1 = 24575 (2 x 98303) + 1 = 196607. , , .

    , 4 3, . , 11x4 = 44, 44 + 3=47, . 23 x 8 = 184, 184 + 7 = 191, (47 8) + 7 = 383 , (191 x 8)+ 7 = 1535, (383 x 8)+7=3071, (1535 x8) + 7 = 12287, (3071 x 8) + 7 = 24575, (12287x8) + 7 = 98303, (24575 x 8) + 7=196607.

    , (47 x 4) + 3 = 191, (383 x 4) + 3 = 1535, (3071 x 4) + 3 = 12287 (24575 x 4) + 3 = 98303.

    , =16 15 =64

    63 =64 63 =64, 63. ' , 64 63 .

    , , , , , . =23 + 191 + 1535 + 12287, ..

    214

  • , , . , 5 x 11 = 55, 71-55 = 16. 16 = 5 + 11. , 23 x 47=1081 1151-1081 = 70 = 23 + 47. , 191 x383 = 73153 73727-73153 = 574=191 + 383. . , , . , , . ( , -

    , 17296 18416, , 128, 1024, 8192, . .

    , , , 2 .

    215

  • ' , 4831837184 4827120640, :

    2 .

    2473901154304 2473599180800:

    216

  • .

    , , .

    217

  • . , .

    XLI

    .

    , . .

    : , , , , . . , , . , , 1 9.

    , , , , .

    218

  • , , , , , , . , , , 2 0 , , , . , , , .

    , . , , . , , . , , , , , . , . , -

    219

  • , .

    , . , , . . ,

    , , , , , , , , ( ), , . , . , , - , , - ,

    220

  • , .

    , , .

    , , , , , . , , , . , , . , - , , , , . . , . , , .

    , ,

    221

  • 27, 18, 12, 8, . , .

    , . 95. 25 - 4 3, - 70, 40 30, . 95 25 70, . 5 , 100x 100= 10000 10000 x 100=1000000. , , . , , 10 x 10 x 100 1000 x 10 x 100. . 21, 12 , 8 12, 8, 6 . , , 10000 1000000 .

    222

  • ( ) . 100 10, , 1000 10 100, .

    , 1000000 , , , , : 1000000 ( 10000), . , . XXXIV , . , . , , , , . , 3 9, 4, 3 4. , , . , 10000 . 7 25. 989.

    10000 989 , , ,

    223

  • , , , 2 3. 300 77 , . , , 2700 27, 3. , , 10000, :

    989 , 300 77 3, 2.700.

    , .

    : . - . . , , , , . . ,

    224

  • , , . . , , , , . . , , , . , , , , , , .

    , :

    1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110

    2 1, . 6 4 12 9 . , , , .

    2 1 1, 6 4 2, 12 9 3, . .

    225

  • , , , , 3. 4.

    - . , 6 2 4, 4 1 3, 4 3 . , 12 6 9 4 5, 6 5 . .

    , 4, . 4 4 16, 4 9 36, 4 16 64, . , , , 12 2 6, 72 6 12, . 6 4, 24 2 2.

    :

    1 3