Μέρος Β’

1ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Βασικές Γεωμετρικές ‘Εννοιες

1.1 Σημείο-Ευθύγραμμο Τμήμα-Ευθεία-Ημιευθεία

Επίπεδο –Ημίεπίπεδο

Σημείο: ονομάζουμε μια κουκκίδα στο τετράδιο μας ή στον πίνακα. Το συμβολίζουμε με

ένα κεφαλαίο γράμμα της αλφαβήτου, π.χ. Α, Β κλπ.

Α .

Ευθύγραμμο Τμήμα :Αν τεντώσω μια κλωστή με άκρα δύο σημεία, Α και Β, βλέπω ένα

ευθύγραμμο τμήμα. Αν με τη βοήθεια του χάρακα, χαράξω μια γραμμή ενώνοντας τα

σημεία Α και Β, χαράζω ένα ευθύγραμμο τμήμα.

Παραδείγματα

Α * ------------------------------------------- * Β

Γ

Δ Ζ

Δηλαδή ευθύγραμμο τμήμα είναι ένα σύνολο από σημεία που βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία και έχουν καθορισμένα άκρα.

Ευθεία:Χαράζουμε μια γραμμή η οποία περνά από ένα σημείο Α. Το σχήμα που προκύπτει

αν φανταστούμε ότι αυτή η γραμμή επεκτείνεται απεριόριστα, αριστερά και δεξιά,

ονομάζεται ευθεία.

ε

Α

Κάθε ευθεία συμβολίζεται με ένα μόνο μικρό γράμμα (π.χ. ε, ζ, κλπ, οπότε λέμε «ευθεία ε» ή «ευθεία ζ») ή με δύο μικρά γράμματα, π.χ. x'x ή y'y.

Γνωρίζουμε...

• Κάθε ευθεία ε δεν έχει ούτε αρχή ούτε τέλος. • Από ένα σημείο Α διέρχονται άπειρες ευθείες. • Από δύο σημεία Α και Β διέρχεται μια και μόνο ευθεία.

Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες.

Συνευθειακά Σημεία

Αν τα σημεία Α και Β (και Γ, Δ...) βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, τότε τα λέμε συνευθειακά. Δηλαδή, συνευθειακά είναι τα σημεία που ανήκουν στην ίδια ευθεία ε. Επομένως, δύο οποιαδήποτε σημεία είναι πάντοτε συνευθειακά. Μη συνευθειακά λέγονται τρία ή περισσότερα σημεία, όταν δεν υπάρχει ευθεία που να διέρχεται από όλα ταυτόχρονα.

Ημιευθεία: Εάν προεκτείνουμε απεριόριστα ένα ευθ. τμήμα ΑΒ μόνο προς το ένα άκρο

του, τότε δημιουργείται ένα σχήμα με αρχή το Α, αλλά χωρίς τέλος, που λέγεται

ημιευθεία. Συμβολίζεται με Αx, Βγ, κλπ. Α χ

Αντικείμενες Ημιευθείες Αν Ο ένα σημείο μιας ευθείας ε, τότε με αρχή το Ο ορίζονται

δύο ημιευθείες Ox και Οx' πάνω στην ε, που λέγονται αντικείμενες. Αυτές έχουν

μοναδικό κοινό σημείο το Ο.

x' O x

Άρα, αντικείμενες ονομάζονται δύο ημιευθείες οι οποίες έχουν κοινή αρχή, βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία και δεν ταυτίζονται

Επίπεδο : είναι κάθε επιφάνεια πάνω στην οποία «εφαρμόζει» μια ευθεία γραμμή:

Μαθαίνουμε...

• Κάθε επίπεδο Π είναι άπειρο. Προεκτείνεται δηλαδή όσο θέλουμε... • Από δύο σημεία Α και Β διέρχονται άπειρα επίπεδα. • Από τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β και Γ διέρχεται μόνο ένα επίπεδο. • Κάθε επίπεδο χωρίζει το χώρο σε δύο μέρη, όπως ένα χαρτί χωρίζει τον αέρα. • Κάθε ευθεία χωρίζει το επίπεδο σε δύο «ημιεπίπεδα».

Σκέψου...

• Μπορείς να αναφέρεις μερικά παραδείγματα φράσεων που χρησιμοποιούμε καθημερινά στις οποίες περιέχεται η λέξη «επίπεδο» με την γεωμετρική ή και μεταφορική έννοια;

• Γιατί σχεδιάζουμε ένα επίπεδο στο χαρτί σαν ένα παραλληλόγραμμο;

Ασκήσεις

1. Μπορείς να σχεδιάσεις δύο ευθείες που να τέμνονται έξω από το χαρτί;

2. Δίνονται τρία σημεία, έστω Α, Β και Γ. α)Πόσες ευθείες μπορούν να διέρχονται από το Α;

β)Πόσες ευθείες διέρχονται από το Α και το Β ταυτόχρονα; γ)Μπορεί το σημείο Γ να ανήκει στην ευθεία ΑΒ;

• Γ.

3. Πάνω σε μία ευθεία ε ορίζουμε δύο σημείο Β και Γ. Ονόμασε τις αντικείμενες

ημιευθείες με αρχή το Β και τις αντικείμενες ημιευθείες με αρχή το Γ.

4. Χάραξε τις αντικείμενες ημιευθείες των ημιευθειών ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ.

Α

5. Σχεδίασε 6 σημεία,έτσι ωστε ανά 3 να μην ανήκουν στην ίδια ευθεία κια έπειτα χάραξε όλες τις ευθείες που διέρχονται από αυτά.Πόσες τέτοιες ευθείες υπάρχουν;

6. Να γράψετε τρία σημεία που δεν είναι συνευθειακά και να χαράξετε όλα τα ευθύγραμμα τμήματα που έχουν άκρα τα σημεία αυτά

7. Να γράψετε τα ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από όλα τα σημεία του πενταγώνου.

A B

Ε Γ

Δ

1.2 Γωνία-Γραμμή-Επίπεδα σχήματα-Ευθύγραμμα Σχήματα

Γωνία: Αν σχεδιάσουμε δύο (μη αντικείμενες) ημιευθείες με κοινή αρχή Ο, τότε

αυτές χωρίζουν το επίπεδο σε δύο περιοχές, τις Π1 και IL. Κάθε μία από αυτές

τις περιοχές, μαζί με τις ημιευθείες Οx και Oy λέγεται γωνία.

Η μικρότερη περιοχή-γωνία (Πι) λέγεται κυρτή. Η μεγαλύτερη γωνία (Π2) λέγεται μη κυρτή.

Μαθαίνουμε...

• Το σημείο Ο λέγεται κορυφή και οι ημιευθείες Ox και Oy λέγονται πλευρές της γωνίας. • Οι γωνίες συμβολίζονται με το γράμμα της κορυφής στη μέση: yOx ή xOy . Ή

με ένα μικρό γράμμα, π.χ ω ,φ>, θ.

• Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις γωνίες, που συμβολίζουμε με Α, Β και Γ

Λέμε για κάθε γωνία, π.χ. την Α και κάθε πλευρά, π.χ ΒΓ: ο «Η γωνία Α περιέχεται στις πλευρές ΒΓ και ΑΓ» ο «Οι γωνίες Β και Γ λέγονται προσκείμενες της ΒΓ»

• Όμοια ένα τετράπλευρο έχει 4 γωνίες, ένα πεντάπλευρο 5 κοκ...

Τεθλασμένη Γραμμή:Κάθε γραμμή που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

(πλευρές), που δεν είναι όλα συνευθειακά.

Ευθύγραμμο Σχήμα:Κάθε τεθλασμένη γραμμή της οποίας συμπίπτουν τα άκρα.

Κυρτή Τεθλασμένη Γραμμή:Μια τεθλασμένη γραμμή λέγεται κυρτή αν ο φορέας κάθε

πλευράς της αφήνει όλες τις άλλες πλευρές στο ίδιο ημιεπίπεδο.

Επίπεδο Σχήμα:Αν όλα τα σημεία ενός σχήματος βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο τότε το

σχήμα λέγεται επίπεδο σχήμα.

Ισότητα Σχημάτων: Δύο σχήματα λέγονται ίσα όταν συμπίπτουν, όταν τοποθετηθούν το

ένα πάνω στο άλλο.

Κυρτή Μη κυρτή

Ασκήσεις

1. Na ονομάσετε τα ευθύγραμμα τμηματα και τις γωνίες στο παρακάτω σχήμα:

2. Να γραμμοσκιάσετε και να ονομάσετε την γωνία,μέσα στην οποία βρίσκεται

το σημείο Α:

3. Βρες τη σχέση μεταξύ του πλήθους των κορυφών και των πλευρών σε: (1) μια «ανοικτή» τεθλασμένη γραμμή (2) μια «κλειστή» τεθλασμένη γραμμή 4. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

4-γωνο 5-γωνο 6-γωνο 7-γωνο Πλήθος

διαγωνίων

Ονομασία Διαγωνίων

ΓΒ

Α

Ι

Ζ

Θ

Ε

ΗΔ

x

y

AO

1.3 Μέτρηση-Σύγκριση-Ισότητα Ευθυγράμμων τμημάτων Απόσταση Σημείων-Μέσο Ευθυγράμμου τμήματος

Σύγκριση Και Μονάδες Μέτρησης

• Για να συγκρίνουμε δύο ευθύγραμμα τμήματα χρειαζόμαστε μια κοινή μονάδα

μέτρησης.

• Ως κοινή μονάδα για τη μέτρηση του μήκους χρησιμοποιούμε το ένα μέτρο (μ. ή

m).

• Η σύγκριση ενός ευθύγραμμου τμήματος με αυτή τη μονάδα λέγεται μέτρηση.

• Για να μετρήσουμε πολύ μεγάλα ή πολύ μικρά ευθύγραμμα τμήματα χρησιμοποιούμε πολλαπλάσια (π.χ. χιλιόμετρο) ή υποδιαιρέσεις (π.χ. εκατοστό) του μέτρου.

Απόσταση

Απόσταση δύο σημείων Α και Β ορίζουμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, και συμβολίζεται με (ΑΒ) ή πιο απλά ΑΒ.

Παράδειγμα

Έχουμε δύο σημεία Α και Β. Για να βρούμε την απόσταση τους, χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα και μετράμε το μήκος του με το χάρακα. Αυτό το μήκος είναι η απόσταση των δύο σημείων.

Προσοχή!

Συμβολίζουμε με ΑΒ τόσο το ευθύγραμμο τμήμα όσο και το μήκος του... Για να τα ξεχωρίσουμε γράφουμε το μήκος μέσα σε παρένθεση: (ΑΒ).

Μέσο Ευθύγραμμου Τμήματος

Μέσο ευθύγραμμου τμήματος είναι το σημείο το οποίο χωρίζει το ευθύγραμμο τμήμα σε δύο ίσα τμήματα.

Ονομασία Σύμβολο Σχέση με το 1m

Χιλιόμετρο Km 1000m

Δεκατόμετρο (παλάμη) dm 1/10 m = 0,1 m

Εκατοστόμετρο (εκατοστό) cm 1/100 m = 0,01 m

Χιλιοστόμετρο (χιλιοστό) mm 1/1000 m = 0,001 m

Πολλαπλάσια Και Υποδιαιρέσεις Τοο Μέτρου

Ασκήσεις

1. Έστω το παρακάτω ευθύγραμμο τμήμα ΜΝ. α)Να σχεδιάσεις ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ίσο με το ΜΝ. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό; β)Να σημειώσεις το μέσο Γ του ΑΒ

Μ Ν

2. Έστω τα δύο παρακάτω ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ. α)Πως θα τα συγκρίνουμε; β)Βρες τα μέσα τους.

3. Σε μία ευθεία πάνω να πάρετε τα σημεία Α,Β,Γ,Δ,Ε ώστε ΑΒ=2cm ΒΓ=4 cm ΓΔ=1 cm και ΔΕ=5cm. α)Να συγκρίνεται τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΓ-ΒΔ και ΒΕ-ΑΔ

β)Ποίο είναι το μέσο του ΑΕ;

4. Το μέσο Μ ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ απέχει 4,2 εκ. από το άκρο Β. Πόσο είναι το μήκοςτου ΑΒ;

5. Σχεδίασε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ. Να βρεις ένα σημείο Ν το οποίο να απέχει 2,1 εκατοστά από το Γ και να μην βρίσκεται πάνω στην ΓΔ. Έπειτα να σχεδιάσεις την ευθεία η οποία διέρχεται από το Ν αλλά και από το μέσο Μ του ΑΒ.

6. Σε μια ευθεία ε να πάρεις με τη σειρά τα σημεία Α, Μ και Β ώστε τα μήκη των ευθύγραμμων τμημάτων να είναι (ΑΜ) = 2,6 και (ΜΒ) = 2,6. Από το Μ χάραξε μία κάθετη στην ε και πάνω στην κάθετη να πάρεις ένα σημείο Δ. Να συγκρίνεις τα μήκη των τμημάτων ΔΑ και ΔΒ.

7. Σε μια ευθεία ε να πάρεις με τη σειρά τα σημεία Κ, Μ και Λ ώστε να είναι (ΚΜ )= 2.5εκ. και (ΜΛ)=3εκ. Από το Μ να χαράξεις κάθετη στην ε και πάνω σε αυτή να πάρεις ένα σημείο Δ. Να συγκρίνεις τα μήκη των τμημάτων ΔΚ και ΔΛ.

8. Σε μία ευθεία ε να πάρετε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και ΑΒ=1 cm, ΒΓ=5 cm και ΓΔ=20 cm. Να εξετάσετε αν τα ΑΓ και ΒΔ είναι ίσα.

9. Σε μια ευθεία ε να πάρεις τα σημεία Α,Β και Γ ώστε να είναι (ΑΒ) = (ΒΓ) = 2εκ. Στα σημεία Α, Β και Γ να φέρεις κάθετες στην ε. Έπειτα, να χαράξεις μια άλλη ευθεία ε' που να τέμνει τις κάθετες στα σημεία Δ, Ε και Ζ αντίστοιχα. Να συγκρίνεις τα τμήματα ΔΕ και ΔΖ.

10. Σε μια ευθεία ε να πάρεις δύο σημεία Α και Β, ώστε να είναι (ΑΒ) = 1,5 cm. (1) Να βρεις πάνω στην ε ένα άλλο σημείο Μ, τέτοιο ώστε να είναι (ΜΑ) = 3cm. (2) Πόσα τέτοια σημεία υπάρχουν;

11. Σχεδίασε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB με μήκος (ΑΒ) = 6αη. Να βρεις το μέσο του Μ και στη συνέχεια τα μέσα των τμημάτων ΑΜ και ΜΒ. Τι παρατηρείς;

12. Σχεδίασε σε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB με μήκος (ΑΒ) = 6εκ. Να πάρεις ένα σημείο του Γ ώστε να είναι (ΑΓ)=2εκ. και ένα σημείο Δ ώστε να είναι (ΔΒ)= 1,5εκ . Αν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να συγκρίνεις τα τμήματα ΓΜ και ΜΔ.

1.4 Πρόσθεση-Αφαίρεση Ευθυγράμμων Τμημάτων

Πρόσθεση Τμημάτων

Για να προσθέσουμε δύο τμήματα, τα τοποθετούμε διαδοχικά πάνω σε μία ευθεία. Το συνολικό ευθύγραμμο τμήμα που δημιουργείται είναι το άθροισμά του.

Αφαίρεση Τμημάτων

Για να αφαιρέσουμε δύο τμήματα, τα τοποθετούμε πάνω σε μία ημιευθεία, με κοινή αρχή. Το τμήμα που αρχίζει από το τέλος του μικρότερου και τελειώνει στο τέλος του μεγαλύτερου είναι η διαφορά τους.

Περίμετρος Ευθύγραμμου Σχήματος

Είναι το άθροισμα των πλευρών του ευθύγραμμου σχήματος

Ασκήσεις

1. Σχεδίασε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ μήκους 5 εκατοστών. Πάνω στην ευθεία ΑΒ πάρε ένα σημείοΖ, τέτοιο ώστε ΑΖ=2 εκ., και ένα άλλο σημείο Ψ τέτοιο ώστε ΒΨ=3 εκ. (α) Βρες το μήκος του ΖΨ.

(β) Σε ποια περίπτωση συμβαίνει ΖΨ = 10εκ. ; (γ) Σε ποια περίπτωση συμβαίνει ΖΨ = 4εκ. ;

(δ) Σε ποια περίπτωση συμβαίνει ΖΨ = 1εκ. ;

2. Οι αριθμοί του παρακάτω πίνακα είναι τα μήκη των πλευρών ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, αλλά τα έχουμε γράψει σε διαφορετικές μονάδες.

α)Συμπλήρωσε τον πίνακα β)Υπολόγισε την περίμετρο του τετραπλεύρου σε μέτρα, δεκατόμετρα και εκατοστά.

M Dm Cm Mm

ΑΒ 0,2

ΒΓ 27

ΓΔ 187

ΔΑ 532

Περίμετρος

3.Σχεδίασε μια τεθλασμένη γραμμή ΑΒΓΔ έτσι ώστε ΒΓ=4ΑΒ και ΓΔ=2ΑΒ. Αν είναι ΒΓ=8εκ, να βρεις το μήκος της τεθλασμένης γραμμής.

4. Στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ = 16εκ. πάρε τα σημεία Γ, Δ και Ο, τέτοια ώστε ΑΒ = 4ΑΓ ,ΓΒ = 4ΔΒ και Ο το μέσο του ΓΔ.

Βρες: (α) το μήκος του ΟΔ

(β) το μήκος του ΑΜ αν Μ είναι το μέσο του ΑΟ.

5. Σε μια ημιευθεία Οx να πάρεις τα σημεία Α, και Β έτσι ώστε να είναιΟΑ= 1,6εκ. και ΟΒ = 3εκ. Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ, να βρεις το μήκος του ΟΜ.

6. Στο παρακάτω σχήμα, τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Ε παριστάνουν πόλεις της Ελλάδας.

α) Να βρεις την συντομότερη διαδρομή από την πόλη Α στην πόλη Δ

β) Να βρεις τη διαφορά των διαδρομών γ) Αν στο σχήμα υπήρχε και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΔ, τι παρατηρείς για το μήκος του ΑΔ σε σχέση με το μήκος των ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ και ΑΕ+ΕΔ;

Α

Ε

1.5 Μέτρηση-Σύγκριση-Ισότητα Γωνιών Διχοτόμος Γωνίας

Μέτρηση Γωνιών

• Τις γωνίες τις μετράμε με το μοιρογνωμόνιο, με μονάδα μέτρησης τη μία μοίρα, που συμβολίζεται με 1ο

• Η μοίρα διαιρείται σε υποδιαιρέσεις, τα πρώτα λεπτά και τα δεύτερα λεπτά. Ισχύει η εξής ισότητα:

1 μοίρα ισούται με 60 πρώτα λεπτά και κάθε πρώτο λεπτό σε 60 δεύτερα λεπτά.

1ο = 60' (πρωταλεπτά) και 1' = 60'' (δεύτεραλεπτά)

• Ο αριθμός που προκύπτει από τη μέτρηση μιας γωνίας λέγεται «μέτρο της γωνίας».

• Το μέτρο μιας γωνίας εξαρτάται μόνο από το άνοιγμά της και όχι από το μήκος των πλευρών της. Δηλαδή οι παρακάτω γωνίες είναι ίσες:

• Δύο γωνίες είναι ίσες όταν έχουν ίδια μέτρα, όταν δηλαδή τις μετρήσουμε και βρούμε τον ίδιο αριθμό μοιρών.

• Διχοτόμος μιας γωνίας λέγεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσα μέρη, δηλαδή δύο ίσες γωνίες.

O

Ασκήσεις

1. Σύγκρινε τις προσκείμενες στη βάση γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου.

2. Με κέντρο τη κορυφή μιας γωνίας xOy γράφουμε τυχαίο κύκλο που τέμνει τις πλευρές της γωνίας σε δύο σημεία, έστω Α και Β. Με το ίδιο άνοιγμα του διαβήτη, αλλά με κέντρα τα σημεία Α και Β γράφουμε άλλους δύο, ίσους κύκλους που τέμνονται στα σημεία Ο και Γ. Τι είναι η ημιευθεία ΟΓ για την γωνία;

3. Έστω η γωνία yOx. Να κατασκευάσεις τη διχοτόμο της με τους εξής τρεις τρόπους: (α) με δίπλωση (β) με μοιρογνωμόνιο (γ) με χάρακα και διαβήτη.

4. Σχημάτισε τις γωνίες (α) 46o, (β) 86o, (γ) 100°, και (δ) 90o, και σχεδίασε τις διχοτόμους τους, με κανόνα και διαβήτη.

5. Σύγκρινε τις γωνίες ενός ισόπλευρου τριγώνου και έπειτα σχεδίασε τις διχοτόμους

τους.

6. Σχεδίασε γωνία xOy = 90° και πάρε σημείο Α της πλευράς Οχ, ώστε να είναι ΟΑ = 3,5 εκ. (α) Να βρεις σημείο Β της Oy, τέτοιο ώστε να είναι ΑΒ= 7εκ. (β) Να μετρήσεις τις γωνίες Α και Β του τριγώνου ΟΑΒ.

7. Ένα πλοίο μετά την αναχώρησή του διανύει 100Km προς Βορρά, και μετά στρίβει κατά 60 μοίρες προς τα δεξιά. Μετά από πορεία 60Km, στρίβει ξανά 25 μοίρες προς αριστερά και μετά από 60Km φθάνει στο προορισμό του. (α) Να χαράξεις την πορεία του, με κλίμακα 1cm για κάθε 20Km (β) Να μετρήσεις τη γωνία της τελευταίας πορείας του, με τον άξονα Βορράς-Νότος.

O

1.6 Είδη Γωνιών –Κάθετες Ευθείες

Είδη Γωνιών

Οι γωνίες ταξινομούνται ανάλογα με το μέτρο τους:

♦ Μηδενική γωνία: κάθε γωνία θ με μέτρο ίσο με 0ο δηλαδή θ = 0ο.

♦ Οξεία γωνία: κάθε γωνία θ με μέτρο μικρότερο από 90ο δηλαδή θ<90°.

♦ Ορθή γωνία : κάθε γωνία θ με μέτρο ίσο με 90ο δηλαδή θ = 90ο.

♦ Αμβλεία γωνία: κάθε γωνία θ με μέτρο μεγαλύτερο από 90ο και μικρότερο από

180ο δηλαδή 90ο <θ<180ο.

♦ Ευθεία γωνία: κάθε γωνία θ με μέτρο ίσο με 180ο, δηλαδή θ = 180ο.

♦ Μη κυρτή γωνία: κάθε γωνία θ με μέτρο μεγαλύτερο από 180ο και μικρότερο

από

360ο δηλαδή 180ο<θ <360ο.

♦ Πλήρης γωνία: κάθε γωνία θ με μέτρο ίσο με 360ο δηλαδή θ = 360ο.

Καθετότητα Ευθειών

• Όταν δύο ευθείες ε1 και ε2 είναι κάθετες χρησιμοποιούμε το σύμβολο _Ι_ και γράφουμε ε1 _Ι_ ε2

• Δύο ευθύγραμμα τμήματα (ή ημιευθείες) πάνω σε κάθετες ευθείες είναι και αυτά κάθετα μεταξύ τους και λέγονται κάθετα ευθύγραμμα τμήματα (ή ημιευθείες)

Μηδενική Οξεία Ορθή Αμβλεία

Ασκήσεις

1. Να εκφράσεις σε μοίρες το μέτρο των γωνιών στις οποίες χωρίζονται από τις διχοτόμους τους: (α) μια πλήρης γωνία (β) μια ευθεία γωνία (γ) μια ορθή γωνία

2. Μια γωνία που οι πλευρές της ανήκουν στην ίδια ευθεία, τι είδους μπορεί να είναι; Να διακρίνεις περιπτώσεις.

3. Είναι δυνατόν τρεις ευθείες του επιπέδου να είναι κάθετες ανά δύο μεταξύ τους; 4. Σχεδίασε τη διχοτόμο:

(α) μιας πλήρους γωνίας (β) μιας ευθείας γωνίας (γ) μιας ορθής γωνίας.

5. Σχεδίασε δύο τεμνόμενες ευθείες ε1 και ε2 και έστω Ο το σημείο τομής τους.

Φέρε, από ένα σημείο Α της ε1, μια κάθετη στην ε2, και από ένα σημείο Β της ε2 μια

κάθετη στην ε1. Να συγκρίνεις τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους, αυτές οι δύο, με

τη γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε2. Σε ποια περίπτωση αυτή η γωνία

είναι ορθή;

6. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ με Α =40ο και Β =60ο .

α) Να βρείτε τη γωνία Γ ως προς το μέτρο της

β) Να φέρετε τις διχοτόμους των γωνιών του τριγώνου

7. Να σχεδιάσετε μια ορθή γωνία χΟγ και να πάρετε ένα σημείο Α στην Οχ, έτσι ώστε ΟΑ=2cm. α) Να βρείτε στην Ογ σημείο Β, έτσι ώστε ΑΒ=4 cm β) Να μετρήσετε τις γωνίες του τριγώνου ΟΑΒ

1.7 Εφεξής-Διαδοχικές Γωνίες

Αθροισμα Γωνιών

Εφεξής Και Διαδοχικές Γωνίες

Δύο γωνίες λέγονται εφεξής όταν έχουν την ίδια κορυφή, μία κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο. Δες το διπλανό σχήμα.

Διαδοχικές

Τρεις ή περισσότερες γωνίες λέγονται διαδοχικές, όταν κάθε μία από αυτές είναι εφεξής γωνία με την προηγούμενη ή με την επόμενή της.

Α

Άθροισμα Γωνιών

Άθροισμα δύο γωνιών A και Β είναι η γωνία που προκύπτει αν φέρουμε τις δύο αυτές γωνίες σε τέτοια θέση ώστε να γίνουν εφεξής. Τότε, οι μη κοινές πλευρές τους σχηματίζουν μια νέα γωνία, η οποία είναι το άθροισμα των δύο αρχικών γωνιών, όπως στο σχήμα.

Ασκήσεις

1. Βρες το άθροισμα δύο γωνιών με μέτρα 37° και 56° αφού τις κάνεις εφεξής.

2. Βρες το άθροισμα των γωνιών με μέτρα 45°, 25° και 30° αφού τις κάνεις

διαδοχικές.

3. Δίνονται δύο εφεξής γωνίες xOy = 30o και yOz = 50o και οι διχοτόμοι τους Οδ1 και Οδ2 αντίστοιχα. Να υπολογίσεις τη γωνία χ Ο δ2 και να τη συγκρίνεις με τη χΟζ.

4. Να υπολογίσεις τις τέσσερις γωνίες που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες αν: (α) η μια γωνία από εκείνες είναι το ένα τρίτο μιας άλλης. (β) η μια γωνία από εκείνες είναι το ένα τέταρτο μιας άλλης.

5. Να βρείτε τις εφεξής γωνίες του σχήματος B

A

Γ

Δ

1.8 Παραπληρωματικές-Συμπληρωματικές-Κατακορυφήν Γωνίες

2.

Κατακορυφήν

Κατακορυφήν ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν κοινή κορυφή και τις πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες

ημημημιευθείες.

ημιευθείες.

Παραπληρωματικές

Παραπληρωματικές ονομάζονται δύο γωνίες που κοινή κορυφή, μία κοινή πλευρά και οι μη κοινές πλευρές τους βρίσκονται σε αντικείμενες ημιευθείες. Οι παραπληρωματικές γωνίες έχουν άθροισμα μια ευθεία γωνία ή 180ο

.

Συμπληρωματικές

Συμπληρωματικές ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα μία ορθή ή 90ο.

Ασκήσεις

1. Δίνεται μια γωνία χOy =60°. Να βρεις και να σχεδιάσεις: (α) την συμπληρωματική της. (β) την παραπληρωματική της.

2. Πόσες ορθές γωνίες σχηματίζουν δύο κάθετες ευθείες;

(α)2 ορθές (β)3 ορθές (γ)4 ορθές (δ)8 ορθές

3. Υπολόγισε δύο γωνίες αν ξέρεις ότι είναι συμπληρωματικές και η μία είναι

τριπλάσια της άλλης.

4.Υπολόγισε δύο γωνίες αν ξέρεις ότι είναι παραπληρωματικές και η μία είναι τετραπλάσια της άλλης.

5. Υπολόγισε δύο γωνίες αν ξέρεις ότι είναι συμπληρωματικές και η μία είναι διπλάσια της άλλης.

6. Έστω δύο τεμνόμενες ευθείες. Αν ξέρεις ότι η μία από τις γωνίες που σχηματίζονται είναι ορθή, τότε να υπολογίσεις και τις άλλες.

7. Έστω δύο τεμνόμενες ευθείες ε1 και ε2. Αν ξέρεις ότι η μία από τις γωνίες που

σχηματίζονται είναι διπλάσια μιας άλλης, τότε να υπολογίσεις όλες τις γωνίες.

8. Αν μία γωνία φ είναι μεγαλύτερη κατά 30ο από την παραπληρωματική της θ ,

τότε να υπολογίσεις και τις δύο γωνίες.

9. Σχεδίασε μια γωνία φ = 145ο και την κατακορυφήν της φ'. Φέρε τις διχοτόμους δ1 και δ2 των δύο γωνιών και υπολόγισε τη γωνία που σχηματίζεται μεταξύ τους.

10. Οι γωνίες α και β είναι συμπληρωματικές. Το μέτρο της α δίνεται στον πίνακα. (α) Σχεδίασε την α (β) Υπολόγισε την β

α 15ο 30ο 45ο 60ο 90ο

β

1.9 Σχετικές Θέσεις Ευθειών

Παράλληλες Ευθείες

Δύο ευθείες που δεν τέμνονται όσο και αν προεκταθούν ονομάζονται παράλληλες.

Συμβολισμός ε//ζ

Τεμνόμενες Ευθείες

Δύο ευθείες που έχουν ένα κοινό σημείο ονομάζονται τεμνόμενες και το κοινό

τους σημείο ονομάζεται σημείο τομής.

Αν οι ευθείες ε,ζ τέμνονται κάθετα τότε συμβολίζουμε ε ζ

ζ

ε

ζ

εΑ

Ασκήσεις

1. Σχεδίασε την παράλληλη της παρακάτω ευθείας με δύο τρόπους

2. Έστω μια ευθεία ε και ένα σημείο Α εκτός αυτής. Πόσες ευθείες μπορείς να σχεδιάσεις που να διέρχονται από το Α και να είναι παράλληλες στην ευθεία ε;

3. Από ένα σημείο Α που βρίσκεται εκτός ευθείας ε να φέρετε ευθεία ε1 κάθετη στην ε.

4. Από ένα σημείο Α που βρίσκεται εκτός ευθείας ε να φέρετε ευθεία ε1

παράλληλη στην ε.

ε

1.10 Απόσταση Σημείου από Ευθεία-Απόσταση Παραλλήλων

Απόσταση Σημείου-Ευθείας

Απόσταση ενός σημείου Α από μία ευθεία ε ονομάζεται το μήκος του κάθετου ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ που φέρουμε από το σημείο Α προς την ευθεία ε.

Α

Β ε

Απόσταση Ευθειών Απόσταση δύο παράλληλων ευθειών ονομάζουμε το μήκος οποιουδήποτε κάθετου ευθυγράμμου τμήματος που ενώνει τις δύο παράλληλες.

Ασκήσεις

1. Πάνω σε δύο μη αντικείμενες ημιευθείες Οχ και Ον πάρε τα σημεία Α και Β αντίστοιχα, ώστε ΟΑ=ΟΒ. Από το σημείο Α φέρε Αν'||θν και από το σημείο Β φέρε την Bx'||Ox Ονόμασε Κ το σημείο τομής των Ay' και Βχ'. Φέρε τις διαγώνιες του ΑΟΒΚ και έλεγξε τη σχετική τους θέση.

2.Στο διπλανό σχήμα, φέρε από το σημείο Α ένα κάθετο τμήμα ΑΚ στην ΒΓ. Σύγκρινε τα ΑΒ, ΑΔ, ΑΕ και ΑΓ.

Α

Β Δ

3.Το τρίγωνο ΑΒΓ έχει τις πλευρές του ΑΒ και ΑΓ κάθετες. Να πάρεις ένα σημείο Ε στην προέκταση της πλευράς ΑΓ προς το Γ. Στη συνέχεια να κατασκευάσεις ένα νέο τρίγωνο ΓΕΔ, έτσι ώστε οι πλευρές του ΓΕ και ΕΔ να είναι κάθετες. Τι είναι μεταξύ τους οι ευθείες ΑΒ και ΕΔ;

4. Δίνονται δύο μη αντικείμενες ημιευθείες Ox και Oy. Να βρεθεί το σημείο εκείνο της Oy που να απέχει από την Ox απόσταση 2 εκατοστών.

5. Από τις κορυφές Β και Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ φέρε τις παράλληλες προς τις ΑΓ και ΑΒ αντίστοιχα που τέμνονται σε ένα σημείο Δ. Βρες και σύγκρινε τις αποστάσεις των Β και Δ από την ΑΓ. Κάνε το ίδιο για τις αποστάσεις των Γ και Δ από την ΑΒ. Εξέτασε και δικαιολόγησε τη σχετική θέση των ευθειών ΑΒ και ΓΔ, καθώς επίσης και των ΑΓ και ΒΔ.

6. Να σχεδιάσετε δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε2 που να απέχουν 5 cm. Να βρείτε ένα σημείο Μ, το οποίο να ισαπέχει από τις ε1 και ε2. Στη συνέχεια να φέρετε από το Μ ευθεία παράλληλη στις ε1 και ε2.

1.11 Κύκλος

Κύκλος - Ακτίνα

Κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ είναι το επίπεδο σχήμα που όλα τα σημεία του απέχουν από το Ο απόσταση ίση με το ρ.

Ο κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ρ, συμβολίζεται με (Ο, ρ).

Το ρ ονομάζεται ακτίνα του κύκλου.

Ισότητα Κύκλων

Δυο κύκλοι με την ίδια ακτίνα είναι ίσοι.

Χορδή Κύκλου

Λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δυο σημεία του κύκλου.

Διάμετρος Κύκλου

Διάμετρος δ ενός κύκλου είναι η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου και είναι διπλάσια από την ακτίνα.

Τόξο Κύκλου

Δύο σημεία Α και Β του κύκλου τον χωρίζουν σε δύο μέρη που το καθένα λέγεται τόξο με άκρα Α και Β και διαβάζεται ΑΒ.

Ασκήσεις

1. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο με κέντρο το σημείο Ο και διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ=2,5cm.

2. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (O, 3cm) και να πάρετε σημείο Μ του κύκλου. Να σχεδιάσετε ένα άλλο κύκλο (Μ, 2dm)

3. Να σχεδιάσετε ένα κύκλο (O, 3 cm). Να ορίσετε ένα σημείο Α του κύκλου αυτού και να χαράξετε τις χορδές ΑΒ=1,2 cm και AT=3cm

4. Να σχεδιάσετε τρεις ομόκεντρους κύκλους με κέντρο το σημείο Ο και διαμέτρους 3,2cm, 5 cm, 3,4 cm

1.12-1.13 Επίκεντρη Γωνία

Σχετική Θέση Ευθείας και Κύκλου Επίκεντρη Γωνία

Επίκεντρη γωνία σε κύκλο (Ο, ρ) είναι μια γωνία xΟy που έχει κορυφή το κέντρο Ο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο σε δύο σημεία, π.χ. Β και Γ.

Μαθαίνουμε...

• Ως μέτρο ενός τόξου κύκλου ορίζουμε το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας, δηλαδή το μέτρο του τόξου το μετράμε σε μοίρες.

• Αντίστροφα, κάθε επίκεντρη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου της. • Κάθε επίκεντρη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ευθεία, δηλαδή 180ο • Αν δύο επίκεντρες γωνίες ενός κύκλου είναι ίσες τότε και τα αντίστοιχα τόξα τους είναι ίσα. • Αντίστροφα, δύο ίσα τόξα έχουν και ίσες τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες τους.

Κυκλικός Δίσκος (Ο,ρ)

Είναι ο κύκλος (Ο,ρ) μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει.

Σχετικές Θέσεις Ευθείας-κύκλου

Μετράμε την απόσταση του κέντρου του κύκλου από την ευθεία. Έστω δ αυτή η απόσταση και ρ η ακτίνα του κύκλου.

> Εάν δ= ρ, τότε ο κύκλος και η ευθεία έχουν ένα κοινό σημείο και λέμε ότι η ευθεία είναι εφαπτόμενη του κύκλου.

> Εάν δ< ρ τότε ο κύκλος και η ευθεία έχουν δυο κοινά σημεία τότε λέμε ότι η ευθεία είναι τέμνουσα του κύκλου.

> Εάν δ>ρ, τότε ο κύκλος και η ευθεία δεν έχουν κανένα κοινό σημείο.

Το τόξο ΒΓ του κύκλου που περιέχεται στην επίκεντρη γωνία ΒΟΓ λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας.

Β

Α Δ

Ε

Aσκήσεις

1.Σ' ένα κύκλο (Ο,ρ) να φέρετε δυο διαμέτρους ΑΒ και ΓΔ.

α) Να συγκρίνετε τα τόξα ΑΔ και ΒΓ, καθώς και τα τόξα ΑΓ και ΒΔ

β) Αν ΑΔ =60ο, να βρείτε τις γωνίες που σχηματίζουν οι δύο διάμετροι.

2. Σ' ένα κύκλο (Ο,ρ) φέρνουμε διάμετρο ΑΒ και παίρνουμε στο ίδιο

ημικύκλιο τρία σημεία Κ, Λ, Μ έτσι ώστε ΑΚ = ΚΛ = ΛΜ =20ο. Να βρείτε πόσες

μοίρες είναι το τόξο ΜΒ.

3.Σε κύκλο (Ο, ρ) να σχεδιάσετε δύο διαδοχικές επίκεντρες γωνίες ΑΟΒ=80ο και

ΒΟΓ=115ο. Να υπολογίσετε την κυρτή γωνία ΑΟΓ.

4.Να υπολογίσετε σε μοίρες τα τόξα στα οποία έχει χωριστεί ο κύκλος του

σχήματος.

Β

Γ

ε

2ο Κεφάλαιο Συμμετρία 2.1-2. Συμμετρία ως προς ‘Αξονα-‘Αξονας Συμμετρίας

Δύο σημεία ενός σχήματος είναι συμμετρικά ως προς μια ευθεία (άξονας) αν συμπίπτουν όταν "διπλώσουμε" το σχήμα κατά μήκος της ευθείας.

Ένα σχήμα είναι συμμετρικό ως προς μια ευθεία ε, αν όλα τα σημεία του συμπίπτουν όταν "διπλώσουμε" το σχήμα ως προς την ε, δηλαδή όταν αποτελείται μόνο από συμμετρικά σημεία: Μαθαίνουμε...

• Δύο σχήματα είναι συμμετρικά ως προς μια ευθεία (ε) όταν το καθένα αποτελείται από τα συμμετρικά σημεία του άλλου ως προς την ε.

• Τα συμμετρικά σχήματα είναι ίσα.

30

Πως βρίσκω το συμμετρικό ενός σημείου Α ως προς ευθεία ε;

Αν το σημείο δεν ανήκει στην ε τότε φέρνουμε κάθετο τμήμα ΑΒ από

το Α στην ε και το προεκτείνουμε κατά ίσο τμήμα ΒΑ', ώστε

ΑΒ=ΒΑ'. Τότε το Α' είναι το συμμετρικό του Α ως προς την ε.

Α Β Α’

Άξονας Συμμετρίας

• Άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία που χωρίζει ένα σχήμα σε δύο συμμετρικά μέρη, δηλαδή δύο μέρη που συμπίπτουν όταν το σχήμα διπλωθεί ως προς τον άξονα συμμετρίας.

• Όταν ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας, τότε το συμμετρικό του ως προς τον άξονα αυτόν είναι το ίδιο το σχήμα.

31

Ασκήσεις

1. Αν τα σημεία Α και Β είναι συμμετρικά ως προς μια ευθεία ε, τότε τι είναι αυτή η ευθεία για το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ;

2. Σε τυχαίο τρίγωνο ΑΒΓ, το μέσο της πλευράς ΒΓ είναι το Μ και διάμεσος η ΑΜ. Βρες τα συμμετρικά Β' και Γ' των κορυφών Β και Γ αντίστοιχα, ως προς άξονα την ευθεία ΑΜ, και σχεδίασε το συμμετρικό του τριγώνου ΑΒΓ, ως προς την ΑΜ. Εξέτασε το είδος του τετραπλεύρου

ΒΒ'ΓΓ'.

3. Πάρε ένα σημείο Α στην πλευρά Οχ μιας τυχαίας γωνίας xOy και βρες το συμμετρικό Α' του Α, ως προς άξονα συμμετρίας την ευθεία Oy. Δικαιολόγησε γιατί η Oy είναι διχοτόμος της ΑΟΑ '.

4.Σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ=2εκ πάρε τρία σημεία Α, Β, και Γ. Φέρε μια ευθεία ε που να περνάει από το κέντρο Ο και να μην περιέχει τα σημεία Α, Β και Γ. Να χρησιμοποιήσεις μόνο το διαβήτη και να σχεδιάσεις το συμμετρικό τρίγωνο Α'Β'Γ' του ΑΒΓ ως προς την ε.

5. Κατασκεύασε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με A = 35o και ΑΒ = ΑΓ= 4,5εκ. Μετά κατασκεύασε το συμμετρικό Β' του Β ως προς την ευθεία ΑΓ, καθώς και το συμμετρικό Γ' του Γ ως προς την

ΑΒ.

(α) Τι είδους είναι το τρίγωνο ΑΒ'Γ';

(β) Υπολόγισε τη γωνία Β 'ΑΓ' και τις πλευρές ΑΒ' καιΑΓ'.

6. Σχεδίασε μια ευθεία ε και κατασκεύασε ένα ισοσκελές τρίγωνο

ΑΒΓ με ΑΒ= ΑΓ= 4εκ και A = 50o έτσι ώστε η ευθεία ε να είναι

άξονας συμμετρίας του τριγώνου αυτού.

32

2.3 Μεσοκάθετος Ευθυγράμμου Τμήματος

Μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι η ευθεία που είναι κάθετη σε αυτό και διέρχεται από το μέσον του.

ε

Α Β

Προσοχή

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του

Κάθε σημείο που ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του

Η μεσοκάθετος κάθε χορδής κύκλου διέρχεται από το κέντρο του .Η μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος αποτελεί και άξονα συμμετρίας του

Η μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία τομής των κύκλων (Α, ρ), (Β, ρ), όπου η ακτίνα ρ είναι μεγαλύτερη από

το μισό του μήκους του ΑΒ.

33

Ασκήσεις

1. Κατασκεύασε, με κανόνα και διαβήτη, την κάθετη δ μιας ευθείας ε από σημείο Α εκτός αυτής

2. Κατασκεύασε, με κανόνα και διαβήτη, ένα ισόπλευρο τρίγωνο

πλευράς α.

3. Σχεδίασε ένα τρίγωνο και βρες με ακρίβεια τα μέσα των

πλευρών του.

4. Κατασκεύασε, με κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο πλευράς α.

5. Σχεδίασε τις μεσοκάθετες τριών χορδών ενός κύκλου και εξέτασε αν υπάρχει σημείο στο σχήμα σου από το οποίο να διέρχονται και οι τρεις μεσοκάθετες. 6.Ο Κώστας ο Βασίλης και η Νίκη μένουν στα σπίτια Α, Β, και Γ αντίστοιχα (πάρε τρία τυχαία σημεία στο επίπεδο), ενώ το σχολείο τους απέχει την ίδια απόσταση από καθένα από αυτά. Βρες τη θέση του σχολείου.

7.Με αρχή ένα σημείο Μ μιας ευθείας ε, γράψε μια ημιευθεία Οχ, η οποία δεν περιέχεται και δεν είναι κάθετη στην ευθεία ε. Πάρε δύο σημεία Α και Β της Οχ και βρες ένα σημείο της ε, που να ισαπέχει από τα Α και Β.

8. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, γράψε τους κύκλους που έχουν διαμέτρους τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Φέρε την κοινή χορδή τους και βρες εάν αυτή είναι μεσοκάθετη της πλευράς ΒΓ.

9.Σχεδίασε ένα σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ και την ευθεία ε που διέρχεται από την κορυφή Α και είναι παράλληλη στην ΒΓ. Βρες ένα σημείο Κ της ε, που να ισαπέχει από τις κορυφές Β και Γ.

34

10. Σχεδίασε ένα τετράπλευρο ΚΛΜΝ, στο οποίο να είναι ΚΛ=ΚΝ και ΛΜ=ΜΝ. Δικαιολόγησε γιατί η διαγώνιος ΚΜ είναι μεσοκάθετη της διαγωνίου ΛΝ.

11. Έστω η διάμετρος ΑΒ του κύκλου (Ο,ρ). Φέρε τις διαδοχικές χορδές ΑΓ, ΓΔ και κατασκεύασε τις μεσοκάθετες ε2 και ε2 των χορδών. Βρες το κοινό σημείο των ε1,ε2 και AB.

2.4-2.5 Συμμετρία ως προς σημείο-‘Αξονας Συμμετρίας

Συμμετρικό σημείου Α ως προς κέντρο Ο είναι το σημείο Α' με το οποίο συμπίπτει το Α, αν περιστραφεί κατά 180ο

ΠΡΟΣΟΧΗ

Δυο σημεία Μ και Μ' είναι συμμετρικά ως προς κέντρο Ο, όταν το Ο είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΜΜ'.

Δυο σχήματα είναι συμμετρικά ως προς

σημείο Ο, όταν κάθε σημείο του ενός είναι συμμετρικό ενός σημείου του άλλου

Το συμμετρικό μιας ευθείας ε ως προς

σημείο Ο είναι ευθεία ε' || ε και μιας

ημιευθείας Αχ, είναι μια ημιευθεία Αχ' I I Αχ

Α

Α'

35

Το συμμετρικό τριγώνου ΑΒΓ ως προς

σημείο Ο είναι τρίγωνο Α'Β'Γ', το οποίο

είναι ίσο προς το ΑΒΓ.

Όμοια μια γωνία χΟγ είναι συμμετρική ως προς σημείο Ο με

την γωνία χ Όγ' η οποία είναι ίση με την πρώτη

Το συμμετρικό κύκλου (Ο, ρ) ως προς

σημείο Α είναι κύκλος (Ο', ρ) όπου Ο' το

συμμετρικό του Ο ως προς Α.

Κέντρο Συμμετρίας

Κέντρο συμμετρίας σχήματος ονομάζεται ένα σημείο Ο, γύρω από το οποίο, αν περιστραφεί το σχήμα κατά 180ο, θα συμπέσει με το αρχικό σχήμα.

ΠΡΟΣΟΧΗ

Το κέντρο συμμετρίας Ο ενός σχήματος έχει συμμετρικό ως προς το σημείο Ο το ίδιο το σημείο.

Όταν ένα σχήμα έχει κέντρο συμμετρίας, τότε το συμμετρικό

του ως προς το κέντρο συμμετρίας είναι το ίδιο το σχήμα.

Ένα παραλληλόγραμμο έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων του.

Το κέντρο του κύκλου είναι κέντρο συμμετρίας του.

Ασκήσεις

1.Να κατασκευάσετε το συμμετρικό ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ ως

προς την κορυφή Α ( Α =90ο).

2.Να κατασκευάσετε το συμμετρικό κύκλου (Ο, ρ) ως προς εξωτερικό σημείο.

3.Να κατασκευάσετε το συμμετρικό τετραγώνου ως προς το μέσο Μ της μιας πλευράς του.

4.Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να κατασκευάσετε το συμμετρικό Δ της κορυφής Β ως προς την κορυφή Γ και το συμμετρικό Ε του σημείου Δ ως προς την ημιευθεία ΑΓ.

36

α) Γιατί είναι ΓΕ=ΓΔ; β) Η ημιευθεία ΑΓ τι είναι για το τμήμα ΕΔ;

5.Δίνεται ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ. Να κατασκευάσετε το συμμετρικό Μ της κορυφής Α ως προς τη κορυφή Β.

6.Αν γνωρίζεις ότι ΟΑ=ΟΒ, τότε είναι απαραίτητα το Ο μέσο του τμήματος ΑΒ;

7. Αν υπάρχουν άξονες συμμετρίας σε ένα σχήμα, που περνούν από το ίδιο σημείο, τότε υπάρχει πάντα και κέντρο συμμετρίας στο σχήμα; Εξέτασε τα σχήματα: ορθογώνιο, ρόμβο, τετράγωνο και ισόπλευρο τρίγωνο.

8.Σχεδίασε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, κατασκεύασε το συμμετρικό Δ του Α ως προς το Β και το συμμετρικό Ε του Δ ως προς την ευθεία ΒΓ. Δικαιολόγησε γιατί τα τρίγωνα ΒΔΕ και ΒΕΑ είναι ισοσκελή.

9. Πάρε ένα τρίγωνο ΑΒΓ, μια ευθεία ε και ένα σημείο Ο. Βρες το συμμετρικό Α'Β'Γ' του ΑΒΓ ως προς την ευθεία ε και το συμμετρικό Α"Β"Γ" του ΑΒΓ ως προς κέντρο το Ο. Σύγκρινε τα τρίγωνα Α'Β'Γ' και Α''Β''Γ''.

10.Δίνεται ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΟΒ, με Ο = 90ο και ΟΑ=ΟΒ. Βρες τα συμμετρικά Α' και Β' των Α και Β, αντίστοιχα, ως προς κέντρο συμμετρίας το Ο και εξέτασε το τετράπλευρο ΑΒΑ'Β' τι είδους είναι.

37

2.6 Παράλληλες Ευθείες που Τέμνονται από μια άλλη ευθεία Γωνίες που σχηματίζονται από δύο ευθείες και μία τεμνουσα τους

Οι γωνίες γ,δ,ζ,κ που βρίσκονται μεταξύ των παραλλήλων

ε1,ε2 ονομάζονται εντός.

Οι γωνίες α,β,η,θ που βρίσκονται εξωτερικά των παραλλήλων

ε1,ε2 ονομάζονται εκτός.

Οι γωνίες α,δ,κ,θ που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της

τέμνουσας ε ονομάζονται επί τα αυτά μέρη.

Οι γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της ε ονομάζονται

εναλλάξ.

Ζεύγη Γωνιών

Τα ζεύγη γωνιών γ-κ και δ-ζ λέγονται εντός εναλλάξ.

Τα ζεύγη γωνιών δ-κ και γ-ζ λέγονται εντός και επί τα

αυτά μέρη.

Τα ζεύγη γωνιών α-κ, δ-θ ,β-ζ ,γ-η λέγονται εντός εκτός

και επί τα αυτά μέρη.

ΠΡΟΣΟΧΗ

•Δυο γωνίες εντός εναλλάξ είναι ίσες.

•Δυο γωνίες εντός εκτός και επί ταυτά είναι ίσες.

•Δυο γωνίες εντός και επί ταυτά είναι παραπληρωματικές.

38

Ασκήσεις

39

3ο Κεφάλαιο

Τρίγωνα-Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια

3.1 Στοιχεία Τριγώνου-Είδη Τριγώνων

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ:

πλευρές γωνίες

ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Με κριτήριο τις πλευρές

ΣΚΑΛΗΝΟ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ

ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ

‘Εχει όλες τις πλευρές του ‘Εχει δύο ίσες πλευρές. ‘Εχει

όλες τις πλευρές

άνισες.

του ίσες.

Με κριτήριο τις γωνίες

ΟΞΥΓΩΝΙΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ

ΑΜΒΛΥΓΩΝΙΟ

‘Εχει όλες τις γωνίες ‘Εχει μία ορθη και ‘Εχει

μία αμβλεία και

οξείες. δύο οξείες γωνίες. δύο

οξείες γωνίες.

40

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΥΨΟΣ

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ

Είναι το ευθυγραμμο Είναι το κάθετο ευθύ- μίας

γωνίας τριγώνου

τμήμα που ενώνει μία γραμμο τμήμα που φέρεται λέγεται το

ευθύγραμμο

κορυφή με το μέσο της από μία κορυφή προς την τμήμα

της γωνίας,από

απέναντι πλευράς. απέναντι πλευρά. την

κορυφή της μέχρι

την

απέναντι πλευρά.

Συμβολισμοι

41

Οι πλευρές ΑΒ,ΑΓ,ΒΓ ενός τριγώνου ΑΒΓ μπορούν να

συμβολιστούν αντίστοιχα και με ένα μικρό γράμμα γ,β,α από τις

απέναντι κορυφές.

Η διάμεσος ΑΜ μπορει να συμβολιστεί και με μα.Ομοίως οι

άλλες δύο είναι μβ,μγ.

Το ύψος ΑΕ μπορεί να συμβολιστεί και υα.Ομοίως τα άλλα δύο

ύψη είναι υβ,υγ.

Η διχοτόμος ΑΔ μπορεί να συμβολιστεί και δαΟμοίως οι άλλες

δύο διχοτόμοι είναι δβ,δγ.

Ασκήσεις

1. Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α =90ο) με

ΑΒ=cm, ΑΓ=2 cm, ΒΓ=6 cm και να φέρετε την διάμεσο ΑΜ. Να

βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΜ και να το συγκρίνεται με την

υποτείνουσα ΒΓ.

2. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τα μέσα των πλευρών του και να χαράξετε τις διαμέσους του.

42

3. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να πάρετε το μέσο Μ της ΒΓ. Να σχεδιάσετε τις αποστάσεις του Μ από τις δύο άλλες πλευρές του τριγώνου.

4. Να σχεδιάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και να φέρετε τη διχοτόμο

ΑΔ. Να σχεδιάσετε τις διχοτόμους και τις διαμέσους του

ΑΔΓ.

3.2 ‘Αθροισμα Γωνιών Τριγώνου Ιδιότητες Ισοσκελούς Τριγώνου ‘Αθροισμα Γωνιών Τριγώνου

43

Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι σταθερό και ίσο με 180ο .

Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει Α + Β + Γ=180ο.

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, οι οξείες γωνίες είναι

συμπληρωματικές γιατί Α + Β + Γ =180ο δηλ. 90ο+ Β + Γ =180ο

άρα Β + Γ =90ο.

Η γωνία ΑΓχ που σχηματίζεται από την πλευρά ΑΓ και την

προέκταση της ΒΓ προς το μέρος του Γ σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ,

ονομάζεται εξωτερική. Μια εξωτερική γωνία είναι

παραπληρωματική της αντίστοιχης εσωτερικής.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΣΚΕΛΟΥΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Οι προσκείμες στη βάση γωνίες είναι ίσες(βάση στο ισοσκελές

ονομάζεται η πλευρά που δεν είναι ίδια με τις δύο ίσες).

Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι ύψος και διάμεσοςς.

Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην βάση είναι ύψος και

διχοτόμος.

Το ύψος που αντιστοιχεί στην βάση είναι διάμεσος και

διχοτόμος.

Η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ισοσκελούς τριγώνου

είναι άξονας συμμετρίας του τριγώνου.

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΠΛΕΥΡΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

‘Ολες οι γωνίες του είναι ίσες.

‘Ολες οι διχοτόμοι είναι ύψη και διάμεσοι.

‘Ολες οι διάμεσοι είναι ύψη και διχοτόμοι.

‘Ολα τα ύψη είναι διάμεσοι και διχοτόμοι.

Οι διάμεσοι του ισοπλεύρου τριγώνου είναι άξονες συμμετρίας.

44

Ασκήσεις

1. Σ' ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90ο), να υπολογίσετε τις γωνίες Β και Γ.

2. Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Α είναι διπλάσια από τη Β, ενώ η

γωνία Γ είναι τριπλάσια από τη Β. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου

3. Να βρείτε τη γωνία Α ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με

ΑΒ=ΑΓ, αν Β=60ο

4. Σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Β είναι τριπλάσια από την Α και η Α είναι μικρότερη από τη Γ κατά 50ο. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου.

5. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ, φέρε από το Α την κάθετη στην ΒΓ και σύγκρινε τα τρίγωνα, στα οποία χωρίζεται το ΑΒΓ.

6. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ φέρε την προέκταση Αχ της πλευράς ΑΒ προς το μέρος του Α και από το Α φέρε την Ay || ΒΓ.Δείξε ότι xAy = χΑΓ και βρες τι είναι η Αy της γωνίας χΑΓ.

7. Γράψε έναν κύκλο (Ο, ρ) και μία διάμετρο του ΒΓ. Πάρε ένα άλλο σημείο Α του κύκλου και φέρε τις ΑΒ, ΑΓ και ΑΟ. Μέτρησε τη γωνία ΒΑΓ και δικαιολόγησε την απάντησή σου.

8. Δικαιολόγησε γιατί (α) κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχει μόνο μία ορθή και (β) κάθε αμβλυγώνιο έχει μόνο μία αμβλεία.

9. Υπολόγισε το άθροισμα των γωνιών (α) ενός πενταγώνου και (β)

ενός εξαγώνου.

45

3.3-3.4 Τετράπλευρα-Ιδιότητες Τετραπλεύρων

Τετράπλευρο

Τετράπλευρο είναι το ευθύγραμμο σχήμα που έχει τέσσερις γωνίες

και τέσσερις πλευρές.

‘Ορισμός: Παραλληλόγραμμο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει

τις απέναντι πλευρές του παράλληλες.

Διαγώνιος Παραλληλογράμμου: ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα

που ενώνει δύο απέναντι κορυφές.(Σχήμα 1)

Το σημείο τομής των διαγωνίων ονομάζεται κέντρο του

παραλληλογράμμου.

‘Υψος Παραλληλογράμμου: ονομάζεται κάθε ευθύγραμμο τμήμα που

έχει τα άκρα του στις ευθείες των απέναντι πλευρών και είναι

κάθετο σε αυτές.(Σχήμα 2)

Οι απέναντι πλευρές ονμάζονται βάσεις ως προς το αντίστοιχο ύψος.

π.χ οι ΑΒ,ΓΔ είναι βάσεις για το ύψος ΚΛ και οι ΒΓ,ΑΔ για το ύψος

ΜΝ.

(Σχήμα 1) (Σχήμα 2)

Ιδιότητες Παραλληλογράμμου

Οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες.

Οι απέναντι γωνίες του είναι ίσες.

Οι διαγώνιοι διχοτομούνται.

46

Είδη Παραλληλογράμμων

Ορθογώνιο

Ορισμός: Ορθογώνιο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει μία

ορθή γωνία.

Ιδιότητες Ορθογωνίου

Οι διαγώνιοι είναι ίσες.

Ρομβος Ορισμός: Ρόμβος ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει δύο

διαδοχικές πλευρές ίσες.

Παρατήρηση: Ο ρόμβος έχει όλες τις πλευρές του ίσες.

Ιδιότητες Ρόμβου

Οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα.

Οι διαγώνιοί του διχοτομούν τις γωνίες του.

Τετράγωνο Ορισμός: Τετράγωνο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που είναι

ορθογώνιο και ρόμβος.

Ιδιότητες Τετραγώνου

Οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.

Όλες οι πλευρές του είναι ίσες.

Όλες οι γωνίες του είναι ορθές.

47

Οι διαγώνιές του είναι ίσες,τέμνονται κάθετα,διχοτομούνται

και διχοτομούν τις γωνίες του.

Το τετράγωνο συνδιάζει όλες τις ιδότητες των

παραλληλογράμμων,ορθογωνίων και των ρόμβων.

Τραπέζιο Ορισμός: Τραπέζιο ονομάζεται το τετράπλευρο που έχει μόνο δύο

πλευρές παράλληλες.

‘Εστω ΑΒΓΔ ένα τραπέζιο .

Οι παράλληλες πλευρές ΑΒ και ΓΔ ονομάζονται βάσεις του

τραπεζίου.

Κάθε ευθύγραμμο τμήμα,κάθετο στις βάσεις,με τα άκρα του

στους φορείς των βάσεων λέγεται ύψος του τραπεζίου.(π.χ

ΑΗ)

Το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ,που ενώνει τα μέσα των μη

παράλληλων πλευρών ΑΔ και ΒΓ ονομάζεται διάμεσος του

τραπεζίου.

Ισοσκελές Τραπέζιο Ορισμός: Ισοσκελές ονομάζεται το τραπέζιο του οποίου οι μη

παράλληλες πλευρές του είναι ίσες.

Ιδιότητες Ισοσκελούς Τραπεζίου

Οι γωνίες που πρόσκεινται σε μία βάση του είναι ίσες.

Οι διαγώνιοί του είναι ίσες.

48

Ασκήσεις 1.Προσπάθησε να κατατάξεις όλα τα τετράπλευρα σε κατηγορίες ανάλογα με το αν έχουν παράλληλες πλευρές, κάθετες πλευρές ή και ίσες πλευρές.

2.Χάραξε τα ύψη ενός παραλληλογράμμου από την κορυφή του Α,

όπου Α είναι μία οξεία γωνία.

3.Να δείξεις ότι αν σε ένα τετράπλευρο οι διαγώνιοι διχοτομούνται, τότε αυτό θα είναι παραλληλόγραμμο.

4.Η μία πλευρά ενός παραλληλογράμμου είναι 4 εκ. και η περίμετρος του είναι 20 εκ. Βρες τις άλλες πλευρές. 5.Η μία πλευρά ενός παραλληλογράμμου είναι 6εκ. και η περίμετρός του είναι ίση με την περίμετρο ενός τετραγώνου με πλευρά 7εκ. Βρες τις άλλες πλευρές του παραλληλογράμμου.

6.Να κατασκευάσεις τετράγωνο με περίμετρο 16 εκ.

49

7.Η γωνία Α ενός ρόμβου είναι 32ο. Υπολόγισε όλες τις υπόλοιπες γωνίες του. 8.Η γωνία Α ενός παραλληλογράμμου είναι 60ο. Φέρε τις διχοτόμους των γωνιών του και υπολόγισε όλες τις γωνίες του.

9.Υπολόγισε κάθε μία από τις γωνίες ενός ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ (ΑΒ||ΓΔ) αν γνωρίζεις ότι είναι A = 48o.

10.Να σχεδιάσετε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Β =60ο, ΒΓ=4 cm και ΒΑ= 2 cm. Να σχεδιάσετε τα ύψη του παραλληλογράμμου που άγονται από την κορυφή Α.

11.Να σχεδιάσετε ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ, όπου ΑΒ \\ ΓΔ, με ΑΒ=3 cm και ΓΔ=4 cm. Να πάρετε το μέσο Μ της ΑΔ και το μέσο Ν της ΒΓ. α) Να υπολογίσετε το άθροισμα ΑΒ+ΓΔ β) Να συγκρίνετε το ΜΝ με το άθροισμα ΑΒ+ΓΔ.

12.Να σχεδιάσετε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ \ \ ΓΔ στο οποίο είναι ΑΒ=2 cm, ΓΔ=6 cm και το ύψος του είναι 2 cm.

13.Ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει περίμετρο 24 cm. Αν ΑΒ=3ΒΓ και Α =60ο, να βρείτε: α) τις πλευρές του παραλληλογράμμου β) τις γωνίες Β, Γ και Δ

14.Να υπολογίσετε τη διαγώνιο ΒΔ ενός ρόμβου ΑΒΓΔ, αν Α =60ο

και ΑΒ=4

cm.

15.Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και να πάρετε τα μέσα Κ, Λ, Μ, Ν των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα. Να συγκρίνετε μετρώντας με το υποδεκάμετρο τα τμήματα ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ, ΝΚ

50

16.Να σχεδιάσετε ένα ορθογώνιο και ισοκελές τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90ο) και να φέρετε τη διάμεσο ΑΜ. Στην προέκταση της ΑΜ προς το μέρος του Μ να πάρετε σημείο Δ έτσι ώστε ΑΜ=ΜΔ. Γιατί το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο;

17.Στις πλευρές ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνουμε σημεία Κ, Λ, Μ, Ν αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΚ=ΒΛ=ΓΜ=ΔΝ. α) Να συγκρίνετε τα τμήματα ΚΝ, ΚΛ, ΝΜ και ΛΜ μετρώντας τα με το υποδεκάμετρο β) Να μετρήσετε τη γωνία ΝΜΛ με το μοιρογνωμόνιο γ) Γιατί το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο; 18. Να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ, ΑΒ || ΓΔ και να πάρετε τα μέσα Κ, Λ, Μ, Ν των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντίστοιχα. α) Να συγκρίνετε τα τμήματα ΚΛ, ΛΜ, ΜΝ και ΝΚ β) Γιατί το τετράπλευρο ΚΛΜΝ είναι ρόμβος;

51

52

53

54