Συνδυαστικές Ασκήσεις Μιγαδικών Με Ανάλυση - Νέα...

18
http://lisari.blogspot.com Συνδυαστικές ασκήσεις Μιγαδικών με Ανάλυση Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης ΑΣΚΗΣΗ 1 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z και i f (z) |z 2| |z 1| α. Να βρείτε για ποιους μιγαδικούς z ορίζεται ο f (z) . β. Να δείξετε ότι |f(z)| 1 γ. Αν f (z) i , τότε: i. Nα δείξετε ότι |z 1| Re(z) 1 ii. Να βρείτε το διάστημα στο οποίο παίρνει τιμές το Re(z) . iii. Να βρείτε που κινείται η εικόνα του z , όπου ο z είναι μιγαδικός που επαληθεύει την εξίσωση του ερωτήματος γ.i. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται ο μιγαδικός z C {2i} και η συνάρτηση 3 z 8i f (z) z 2i α. Για z 2i , να δείξετε ότι 2 f (z) z 2iz 4 β. Να βρείτε το f (1 i) γ. Να λύσετε την εξίσωση 2 f (z) z 2iz 4 δ. Να λύσετε την εξίσωση f (z) 2iz z 6 ε. Αν z 1 , να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών f (z) είναι σημεία του κυκλικού δίσκου με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνας ρ 7 ΑΣΚΗΣΗ 3 Έστω ο μιγαδικός z με z 2i και η συνάρτηση 2 z 4 f (z) z 2i (1) α. Να βρείτε το Im(f (1 i)) β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει f (z) R γ. Να δείξετε ότι f (z) z 2i δ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγαδικό επίπεδο, για τους οποίους ισχύει f(z 5i) f(z i) 10 (2)

description

maths

Transcript of Συνδυαστικές Ασκήσεις Μιγαδικών Με Ανάλυση - Νέα...

  • http://lisari.blogspot.com

    :

    1

    z i

    f (z)| z 2 | | z 1|

    . z f (z) .

    . | f (z) | 1

    . f (z) i , :

    i. N | z 1| Re(z) 1

    ii. Re(z) .

    iii. z , z

    .i.

    2

    z C {2i} 3z 8i

    f (z)z 2i

    . z 2i , 2f (z) z 2iz 4

    . f (1 i)

    . 2f (z) z 2iz 4

    . f (z) 2iz z 6

    . z 1 , f (z)

    7

    3

    z z 2i 2z 4

    f (z)z 2i

    (1)

    . Im(f (1 i))

    . z ,

    f (z) R

    . f (z) z 2i

    . z ,

    f (z 5i) f (z i) 10 (2)

  • http://lisari.blogspot.com

    . z (2) ,

    . 1z 2z (2) , 1 2z z 10

    4

    f , a,b , a 0

    a,b .

    : 1 2z a if a z b if b

    . 1 2 1 2z z z z , 1x a,b , 1f x 0

    . A B , A B , : 1 2 1 2Az z Bz z 100 . :

    i. 1 2z z

    ii. f a f ba b

    iii. ox a,b , o

    o

    o

    f xf x

    x

    iv. fC

    5

    f : [,] R f () 0 ,

    if ()z

    if ()

    . :

    . f (x) x (,)

    . 0x (,) 0f (x ) 1

    . f (x) x (,) 1 2x ,x 1 2x x ,

    fC .

    6

    3

    f x z x 23

    , z 0 z .

    . i. z

    f.

    ii.. f

    z .

  • http://lisari.blogspot.com

    .

    Bolzano f [ 3, 3]

    . 2w f 3 2 z i3

    , w .

    7

    f R , f x 0 x R z

    1f (x)dx 0 f(1) = 1 .

    . f (x) 0

    . z .

    .

    3

    2x

    z z 3 x xlim

    z z 3 x x

    . f x 'x x 0 x 1 z 2z ,

    x

    2

    0f (t)dt 3x 6x 6 (0,1)

    8

    , f 2z if

    2w if 0 f f 0 . w z w z f f f .

    . 0x , 0f x 0

    . 1x , 1f x f

    9

    . 1 2z ,z 1 2 1 2z z z z .

    1 2w z z .

    . f x

    1z 1 i 2z 1 f x i

    () f R f 0 0 f 0 0 .

    2 3

    . g 1 2g x Im(z z ) Rolle ,

    f

    f

    1 f e

    1 f e

    , f 1

  • http://lisari.blogspot.com

    10

    z f x f x i , f xz 2 1 e .

    f0, 2 C ,

    ) f x , .

    ) f.

    ) z .

    ) 2w f x f x i , g x Re zw .

    ) 0x 0f x 0 , z 0

    0 0x xz 0 2 1 e 0 e 1 .

    f x 0 ,

    f 0 2 0 , f x 0 x .

    ) ,

    x x

    2 2 x

    22 x

    x

    f x 0x

    z 2 1 e f x f x i 2 1 e

    f x f x 2 1 e

    2f x 2 1 e

    f x 1 e

    f x 1 e , x

    ) z x yi ,

    z f x f x i x yi f x f x i

    x f xy x

    y f x

    , xx f x 1 e 1 , z

    , y = x, x 1.

    11

    f : R R 1

    z C2

    2 2f (x) x 2xf (x) x x 0

    f (x) | z 2 |lli

    x | 2zm

    1|

    .

    . z .

  • http://lisari.blogspot.com

    . 2x 0

    f (x)lim

    x x .

    . g(x) f (x) x

    ( ,0) (0, )

    . f .

    . 3(| z 3 4i | 5)x x 10 1,2

    12

    z 1 3x 3 3x i , x 0,2 .

    . M z C

    .

    . x z .

    z .

    . 1 2x ,x x z

    1 2M ,M z . f : R R

    1 2M ,M . f

    x 'x C .

    13 ( 3 2002)

    f, R. ,

    2 2

    22

    x z x zf x

    x z

    z z = + i, ,R , 0 .

    . x x

    f x , f xlim lim

    . 8

    . f, z 1 z 1 9

    . f. 8

    14 ( 4 2004)

    f: IR IR f(1)=1. x IR,

    3x

    1

    1g x z f t dt 3 z x 1 0

    z

  • http://lisari.blogspot.com

    z = + i C, , IR*, :

    . g IR g.

    . 1

    z zz

    . Re(z2) = 1

    2

    . f(2)= >0, f(3)= > , x0 (2, 3)

    f(x0)=0. 5 + 8 + 6 + 6 =25

    15 ( 3 2004)

    f : , [, ] f(x) 0 x [, ]

    z Re(z) 0, m(z) 0 Re z Im z .

    1

    z f ()z

    2 22

    1z f ()

    z , :

    . z 1 11

    . f2() < f2() 5

    . x3f() + f() = 0 (1, 1). 9

    16

    f : 1, 2f x x ln x .

    i. f

    ii. f (x) = 2012.

    iii. 1 2z ,z 1 2z 1, z 1 1 1 1 2 2 2z z ln z z z ln z ln16 :

    ) 1 2z z 2

    ) 1 2

    1 2

    z z

    4 z z

    iv. z z ln z 1 , z

    > 1.

    17

    z i ,

    f : :

    2x 1

    1

    f (x) t z zdt 3x 2

  • http://lisari.blogspot.com

    f 0x 1 , :

    ) 1

    z2

    ) w 2z i

    ) w .

    )

    f , xx x = 0 x = 1.

    18 ( : 36)

    z i , R f x z xi , x R

    (1, 2).

    . 1 z 3 . z ;

    . , f x 2 z x , (-1, 1).

    19

    f: , z = +i, z1 = +if(),

    z2 = +if(). 2 2 1 23 z z 4izz 4iRe z z , Cf

    xx.

    20 ( )

    ) z . z : 1 i z 1 i z 4 0 ,

    z ().

    ) () () f

    2

    x

    xf x x

    e ,

    , .

    ) f x

    g x , x 0x

    ,

    g.

    21

    f : x x 2 f(x) x , x(-1,1).

  • http://lisari.blogspot.com

    1. , :

    x 0

    1 2 x

    2xlim

    f 0

    2. 0z i, , , (z), :

    20zz Re zz 4Re z Im z z 51

    22

    () ,

    :

    2

    1 1z 2 Re z Re z Im z Im z 0

    1z 1z 1

    () 0x , 0x

    f x , : x x 3e 1 f x e x , x 1

    23

    f [1,e] :

    e e

    1 1

    f xdx 1 f x ln xdx

    x

    ) f x e .

    ) z

    : z 3i z 1 z i z 1 ;

    ) ,

    z : 1z 2i f e Re z , 1z

    ().

    24

    ) xy

    : z 1 2i z 7 2i

    ) , ,

    2x 5x 10

    f x2x

    -, ()

    x = -1.

  • http://lisari.blogspot.com

    25 ( 3/ 2006)

    z, (4z)10 = z10 f f(x)

    = x2+x+, IR .

    . z x=2.

    . () f

    x = 2 o = 3,

    i. ().

    ii.

    f, (), xx x = 3

    5 .

    7 + 9 + 9 = 25

    26

    . 3 5

    f z 2 i z i z2 2

    , z x yi, x,y .

    i. Re f z , Im f z

    ii. M f z f z

    .

    iii. : f z x 2y 5

    iv. z x yi, x,y

    : f z 5

    . z

    2, 1

    w zz

    .

    27

    . z,w

    2 2 2z w z w 2Re zw

    . f :

    11 2z 3 f 2 i z f 2 3i

    2 2 21 2 1z z 2Re z z .

    . z,w

  • http://lisari.blogspot.com

    2 2 2z w z w 2Re zw

    . f :

    11 2z 3 f 2 i z f 2 3i

    2 2 21 2 1z z 2Re z z .

    ) 1 2z z

    ) f ,g g x f 2x f x x, x ,

    ) f , , 12x f x f x

    2,3

    ) 1 2z z

    ) f ,g g x f 2x f x x, x ,

    ) f , , 12x f x f x

    2,3

    -

    . :

    . ) ,

    2 2 21 2 1z z 2Re z z

    ():

    ) ,

    f , 2

  • http://lisari.blogspot.com

    (1) + (2) :

    f : (3)

    , (4)

    (3) (4) :

    g . .

    ) ,

    H h [2, 3]

    h(x)=0 (2, 3) Bolzano.

    , h . . , f ,

    . f,- . , 2. h(x)=0

    (2, 3)

    , h(x)=0 (2, 3).

    28

    z, w : 2 2z w 10i 2w wz 6i .

    z

    w, , :

    ) : z 2w

    ) z, w.

    ) f [1, 2] f x 0 x 1,2

    [1, 2]

    x x

    2011 2011

    2011

    1 2

    f tg x z dt w f t dt , x 1,2

    2 ,

    i. gC

    xx

    ii. g .

    ) z

    p 0 z pww

    . = 2 = - 1/3 .

  • http://lisari.blogspot.com

    ) z 2w w x yi, x,y .

    : z 2 2i w 1 i z 2 2i w 1 i

    .

    ) i. Rolle g [1, 2].

    ii. ,

    x x

    1 2

    f t dt 0 f t dt 0

    29

    1 2z z ,

    2012 2012

    1 2 1 2z z z z .

    1 2f x xz z , x . :

    ) 1

    2

    zRe 0

    z

    ) f

    ) 0x 1,1 2

    0 0f x 3x 1

    ) f 2z

    )

    : 1 11 2 1 22 2

    z zz z z z 0 0

    z z

    .

    ) , 2 2 22

    1 2 1 2 1 2f x xz z xz z ... z x z

    ) Rolle 3g x f x x x [-1, 1]

    ) () x,

    2 2 22

    1 2 1 2 2 2f x xz z z x z 0 z z f 0

    30

    1 2z ,z f

    2x

    1 2

    0

    f x z t z dt x x

    :

    ) 21

    z2

    ) f x 2020 0,

    ) x x

    21

    0

    z xz t dt

    2 4

  • http://lisari.blogspot.com

    ) Fermat 2x

    1 2

    0

    g x z t z dt x 0 g 0

    ) , 1 2f x 2 2z x z 0 f x 0 x.

    , x

    f xlim

    f x x , ,

    ) ,

    tu2x x u t2 x

    21 2 1 2 1

    010 0dt du2

    z xf x z t z dt x z 2u z 2du x z t dt

    2 4

    31(..)

    f : f 0 1 z .

    2012 2010 2007 2009f x i 2x i 2z 2 i z 1 i x , :

    ) 2f x x 1,x z 1 2z 2

    ) z .

    ) f

    O(0, 0) , A( , 0) , ( , 2 +1) (0, 2 +1) , > 0.

    f .

    )

    ) 5

    K ,03

    4

    3 .

    ) k 3

    32 ( 2011)

    . xe x 1 , x . xe x 1 ;

    . f :[0, ) [0, ) . x 0 , z,

    : x 1f t f x xt

    0 0z e dt ix e dt

    xt

    0

    zf t e dt f a 1

    2 , >0 .

    :

    . i. z

    Re z Im z 01 i

    x 0 .

    ii. f x xe f x e x 0 .

  • http://lisari.blogspot.com

    . f .

    . f .

    . f 0, , , , 0,a

    , a f ' 1 .

    .

    . . i) u x xt du xdt ,

    t 0 : u x

    t 1 u 0

    ,

    1 0 x xf x xt f u f u f t

    0 x 0 0x e dt e du e du e dt

    x 0, : x 1 x xf t f x xt f t f t

    0 0 0 0z e dt ix e dt e dt i e dt

    x f t

    0Re z Im z e dt (1)

    ,

    x x xf t f t f t

    0 0 0z e dt i e dt 1 i e dt

    x f t

    0

    ze dt

    1 i

    f te 0 x 0

    x f t

    0e dt 0 , :

    1

    x f t

    0

    z ze dt 0 Re z Im z 0

    1 i 1 i

    ii. x f t

    0

    ze dt 0

    1 i

    , :

    x xf t f t

    0 0

    ze dt e dt

    1 i

    x f t

    0

    ze dt

    2 x 0

    :

    x xf t f t

    0 0e dt f t e dt f 1 2 x 0

    f te ,

    f te

    f tf t e

    ,

    x xf t f t

    0 0e dt, f t e dt

    x f t f x0 e dt e

    x f t f x0 f t e dt f x e

  • http://lisari.blogspot.com

    (2) x : f x xe f x e

    x 0

    . 1 2x ,x 0 :

    1 11 1f x f xx x1 1e f x e e e f x

    2 22 2f x f xx x2 2e f x e e e f x

    1 2x x ,

    1 21 2g:

    f x f xx x

    1 2 1 2 1 2 1 2x x e e e f x e f x g f x g f x f x f x 0

    [0, ] (0, )

    0, , 0,

    f f 0 1 0f f f 1

    0 0

    :

    http://lisari.blogspot.com

    33

    xR x

    t0

    2g(x) dt

    e

    >0

    z g(x) x.i z i z 1 .

    . :

    ) g . ) z 1g .

    . :

    ) Re(z) Im(z) xR.

    ) =1.

    ) 2 1

    2 t t0 0

    1 1 1 1dt dt

    1 e1 e e e

    .

    34

    z , Im z 1 . f :

    xf x x ln e z

    . x

    f xlim

    . f .

    . x , : x 1 x

    z zf x 1 f x

    e z e z

    . z : 1

    2

    0

    x f x 2xf x dx ln 2

    35

    222f x x z x zz x Im z , x ,z .

    f fC x 'x , :

  • http://lisari.blogspot.com

    . z.

    . z 4 z 3 3i 6 .

    . f .

    . z 2i

    g x x 2 f x , x = 4.

    36

    f, f x z x i , x z

    ) . f .

    . f 0x Im z .

    . f f x Re z , x .

    ) Rolle f

    [-1, 3], ,

    . z .

    . 1,3 f

    xx.

    . z,

    23 Re z

    0

    f 1 x dx 126

    .

    37 ( )

    xz e x 1 i, x

    ) : 2

    Re z Im z Re z Im z x

    ) 0x 0,1 2w z z 2i

    ) z, , .

    ) : 1

    0

    Re z Im z dx

    38

    z, w, :

    2

    2x 1

    z 3 4i x w 3 6i x 2 1lim

    2x 1

    ) z.

  • http://lisari.blogspot.com

    ) w.

    ) |z-w|.

    39

    :

    2

    2

    2x 3x 1z 1 , x 1

    x 1

    f (x)

    1z i x , x 1

    2

    z .

    ) z.

    ) z (),

    z w , 0 0 0 0 0 0w x iy , x , y x y 0, .

    ) 0z , (),

    2012z (

    x0, y0)

    ) f x0 = 1, z .

    40

    2z z 0 1 , (1)

    .

    ) 1 2z , z (1) .

    ) : 3 31 1 2 2z 6z 9 z 6z 9

    )

    3 3

    1 2f x x z x z , x