ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩ...

133
Θέματα προαγωγικών και απολυτήριων εξετάσεων Γυμνασίου σχολικού έτους 2013-2014 Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

description

θεματα προαγωγικων εξετασεων γυμνασιων

Transcript of ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩ...

  • 2013-2014

    1

    : 2013-2014

    :

  • 2013-2014

    2

    .

    .

    , , :

    . ,

    . ,

    . ,

    . ,

    . .

    , , ,

    .

    , ,

    .

    2015

    .

  • 2013-2014

    3

    .............................................................5

    ...............................................................56

    ..............................................................97

  • 2013-2014

    4

    :

  • 2013-2014

    5

    1. 3 .

    (2) (3).

    2. (2) (3)

    .

    3. (2) .

    4. 3

    .

  • 2013-2014

    6

    1 .

    1

    . ; .

    . , :

    . ... .

    . ..............

    .

    , ,

    , .

    . 3,

    3 .

    . 59

    43 .

    2

    . =900 .

    .

    .

    . .

    . , :

    . ..........

    . ...........

    .

    , ,

    , .

    .

    . .

  • 2013-2014

    7

    .

    1

    13

    , 25%

    16

    .

    .

    . ;

    . 15

    ;

    2

    .

    1 1 4 2014

    2. 1 2 :3 4 3 2014

    . :

    2 2 32 4 3 3 2 25 4 6

    . 13 30

    3

    // . :

    . .

    . . T ;

    . =; .

  • 2013-2014

    8

    2 .

    1

    . ;

    .

    . , :

    . , .

    . ...

    . ..

    .

    , ,

    , .

    . .

    .

    .

    .

    .

    2

    . ; 65

    ;

    .

    .

    . = 180 1.

    . < 90 2.

    . = 0 3.

    . = 360 4.

    . 90 < < 180 5.

  • 2013-2014

    9

    . , :

    . ,

    .

    .

    1

    :

    3 20132 3 2 2

    2

    2 3 2 3 5 3 2 4

    4 : 2 15 5 : 4 8

    . 33

    . 5

    . ;

    2

    . i) 2 53 3 iii)

    6 35 4

    B. i) 3 1 3 74 2 4 5 ii) 2 1 3 1

    5 2 2

    3

    1 2

    . :

    .

    . .

    .

  • 2013-2014

    10

    3 .

    1

    . .

    . :

    i) ii) x x x iii) 1 1 1 ......1 ( )

    .

    , ,

    , .

    .

    .

    . .

    . .

    2

    . , ;

    .

    .

    .

    , ,

    , .

    . 90

    . .

    . 90

    .

    1

    :

    i ) 5 3x ii) 3 68x

    iii) 3 5 322 4

    x

    2

    :

    i) 13

    25

    ii) 35

    720

    iii) 32

    17

  • 2013-2014

    11

    3

    =90

    . .

    . .

    . .

    . .

    ;

    . .

  • 2013-2014

    12

    4 .

    1

    . ;

    . :

    . , . . ;

    2

    . ;

    . ; ;

    .

    .

    1

    x y 3y x .

    . x y

    x 2 5 y 12 21

    . .

    2

    :

    3 4 7 12 4 5 13 6 20A 3 1 2 2 1 2:4 2 3 3 2 3

    B

    3

    .

    63

    57

    , Q

    ,

    ,

  • 2013-2014

    13

  • 2013-2014

    14

    5 .

    1

    . ;

    .

    . , ;

    .

    , ;

    .

    . ; 23

    .

    2

    . ,

    . .

    . , ;

    .

    . ; ;

    .

    1

    :

    2 5 3

    22

    (4 3 5 7) 2 6 11 5 132 6 12

    21 5 4 63

    A

    B

    2

    x y .

    x 1 3 5 y 4 6

    . .

  • 2013-2014

    15

    . ;

    . x y ,

    12 ;

    3

    1 2 . 60oa 130

    . , .

    .

  • 2013-2014

    16

    6 .

    1

    .

    ;

    .

    , ,

    , .

    . :

    . : 200=1215+20 .

    . (, )=1

    . . :

    ) x x x y y ) x y x y x

    . , :

    3 9,

    .

    2

    . ;

    .

    , ,

    , .

    . 360.

    . 180.

    . , .

    . , :

    .

    . ,

  • 2013-2014

    17

    .

    1

    :

    2 1 32 3 3 2 : 7 2 2

    7 1 1: 3 22 2 3

    . .

    . 4 3 () ,

    :

    712

    .

    . 4 3 2 3 20131 ,

    2 3 .

    2

    , 3

    80.000 . () 58

    .

    () 40% ().

    () .

    . () .

    . () .

    . ()

    .

  • 2013-2014

    18

    3

    1 2 ( 1 2|| ),

    , 90 25 .

    . .x y

    . .

    . ;

    .

  • 2013-2014

    19

    7 .

    1

    . ; .

    . , :

    . 20149 9 2014.

    . ..

    .

    ...

    .

    , ,

    , .

    . 25 10

    . 510 100000

    . 20141 2014

    . 5x x x x x x

    2

    A. Ti ;

    B. , :

    . ...

    . .....

    . ...

    . ...

    .

    , ,

    , .

    . o185 .

    . .

    . .

    . .

  • 2013-2014

    20

    .

    1

    :

    5 3224 18 2 12 4 2 2 3 5 3K

    22 3 913 2 23 13 28 4

    . 24 126

    . () .

    . ,

    , , , () ().

    2

    . , , , .

    (i) 3 4K (ii) 1 32 2

    (iii) -20 14

    . ,, ().

    . :

    2014 2001

    , ().

    3

    21 // , 50o .

    . , ,x .

    .

    .

    . .

  • 2013-2014

    21

  • 2013-2014

    22

    8 .

    1

    . :

    . x x x x

    . x x x

    . 4 2 3x x x

    .

    :5;

    . 46=5 8+6 ; ,

    :

    =, =, =., =.

    2

    . , , , , :

    . . ;

    . =37

    . , :

    .

    .

    1

    :

    32 2 3 2 6 5 1 3:

    4 2 8

    . .

  • 2013-2014

    23

    . .

    . x , 5x

    , =10 =2

    2

    , x , y :

    . .

    . x , y .

    . .

    . 30y , x .

    3 5

    6 8

    3

    1 2 1 2/ /

    .

    1

    2

    45

    x

    135

    A

    B

    :

    .

    .

    . x

    . .

    ( ).

  • 2013-2014

    24

    9 .

    1

    . :

    . , . . ;

    .

    . ;

    .

    . ;

    2

    . ;

    .

    . .

    .

    . .

    .

    1

    . :

    3 3 3 23 (9 - 2 ) - 2 (11- 3 ) .

    . :

    10,44 : (5,2 3,5) .

    . :

    22 4 1: ( )3 3 25 3 3( ) :6 4 4

    .

    2

    . , 50 ,

    19% ;

    . 30% .

    , 75 .

    . 450 .

    360 . % ;

  • 2013-2014

    25

    3

    1 2 .

    :

    . x .

    . .

    . y .

  • 2013-2014

    26

    10 .

    1 .

    , ,

    , .

    . 1, 2A 1 .

    . x y .

    x 2 4 6 y 5 10 20

    . x y .

    x 1 2 3 6 y 6 3 2 1

    . 2y x x , y .

    . 2, 0A 4, 0B Ox

    . ;

    2

    . ;

    . ; ;

    .

    1 :

    . 3 45 5

    . 3- 1 12 3

  • 2013-2014

    27

    63

    145

    '

    70

    . 2 3 15 5 2

    . 3 1 1: 2 :5 2 3

    2 . :

    2 6 12x

    . :

    1 2 2 4 4

    . :

    5 2 3 7 1

    3 . :

    . , .

    .

  • 2013-2014

    28

    11 .

    1 :

    . :

    . 56

    (i) 108 (ii)

    1520 (iii)

    2024

    . 125

    (i) 1 (ii) 1 (iii) 1

    . 423

    (i) 4 + 2

    3 (ii) 4 + 23 (iii) 4

    23

    . 4 =

    912 ,

    (i) 2 (ii) 3 (iii) 8

    . 15 10

    (i) 15 (ii) 50 (iii) 2

    .

    , ,

    , .

    . 234

    411 .

    . 38 >

    310

    . 912

    68 .

    . 213 + 3

    14 = 5

    27

    . 1227 .

  • 2013-2014

    29

    2 :

    .

    , ,

    , .

    . 30 60, .

    . .

    . .

    . , .

    . , .

    . , ,

    :

    . , ...

    . ...

    . .

    . ..

    . .

    .

    1

    . :

    = 32 + 23 5 = 5(42 9) 35:7

    . .

    . .

    . .

    ( () )

    2

    640 . , 34

    20% .

  • 2013-2014

    30

    2 1

    21

    = 130

    , 58 .

    . ;

    . ;

    . ;

    3

    ( = 90)

    , . = 130

    : . . = . .

  • 2013-2014

    31

    12 .

    1

    . ; ;

    ( ).

    . ; ( ).

    ; ( )

    . ; ( ).

    2

    . ;

    . ;

    .

    ; ( ).

    .

    1

    :

    . 1 83 3 , 6 2

    3 3 , 1 1 1

    3 5 15 , 7 3 1

    3 5 4

    . 22 7 7 9 6 , 5 6 5

    7 3 8

    2

    . :

    1004 ,

    21 ,

    5020 ,

    2524 ,

    369

    . :

    10% , 33% , 125%

    . 400 , 52% .

    ;

    . 45% 120.

  • 2013-2014

    32

    ;

    3

    . 035 045

    ; ;

    . 1 2 .

    , . ( ).

    035

    1

    2

  • 2013-2014

    33

    13 .

    1

    . ;

    . :

    i) 3, 2 ii) 1, 10 iii) 3, 1

    . ;

    .

    2

    . , .

    . .

    1. . 0

    2. . 1

    3. . 360

    4. . 180

    . 90

    . ;

    .

    1

    : 3 23 23 5 (9 7) 8

    2 25 2 8 7 4 5

    . 124 56 .

    . 2, 3, 5

    9, ().

    . ... ,4 4

    , ().

  • 2013-2014

    34

    2

    :

    2 (5 3 8) 10 2( 3 5) , 3 1 2 3 2 2 ,

    112

    3 22 3

    . :

    16 , 82

    . , ,

    .

    . () .

    3

    . // , = 28 .

    , , .

    . :

    . ;

    . ;

    . ;

    . .

    .

  • 2013-2014

    35

    14 .

    10

    . ; .

    . ; 5

    23

    . , , 34

    56

    20

    . ;

    . , ;

    ( )

    . 4cm.

    .

    1

    :

    2 1 1 1 1: 23 4 2 6 11

    4 3 2 5 7 3 4 3 15

    2

    800. , 25%.

    :

    . .

    . .

  • 2013-2014

    36

    3

    x

    y

    , , 0 40

    0 60 . x , y , .

  • 2013-2014

    37

    15 .

    1

    . ;

    . x y ;

    . x y ;

    ( ).

    2

    . ;

    ;

    .

    , ,

    , .

    . .

    . .

    . 1 :

    21 28 5 , : , 1 2 12 : 6 6

    6 6

    . , .

    . 3 , 1 2

    5 , :

    =

    23

    56

    2 1 2

    . 30 90 , ,x y . ( .)

  • 2013-2014

    38

    3

    300 ,

    13

    .

    30% .

    . .

    . .

    . ( )

    20% .. ;

  • 2013-2014

    39

    16 .

    1 . ;

    .

    , ,

    , .

    . 0 ( 0 ) .

    1

    . 1 1 ( 0 )

    2

    . :

    . . .

    . , 2

    .

    .

    1

    180 , 70% . 23

    .

    . ;

    . ;

    2

    . :

    2 3 3 57 2 3 2 4 46 1 11

    . : 3 3 34 , ()

  • 2013-2014

    40

    3

    1 2 . : 1. 2. .

    .

  • 2013-2014

    41

    17 .

    1 :

    . 2

    . 5;

    ( ).

    2

    :

    .

    .

    . ;

    .

    1

    x y :

    x 2 3 13

    y 4 10

    A. .

    B. .

    2

    :

    27 8 10 5 10 2 3 4 18= + + +

    3

    1 2 :

    A. (2) (2)

    .

    B.

  • 2013-2014

    42

  • 2013-2014

    43

    18 .

    1

    . ;

    .

    ;

    . ( , ) :

    i)

    : , : , : 1

    ii) 12

    :

    : 0,5 , : 1 , : 2

    iii) 23

    :

    : 46

    , : 64

    , : 1015

    iv) 35

    150 :

    : 50 , : 60 , : 90

    2

    . ,

    ;

    . :

    . , .

    . .

    . ,

    :

  • 2013-2014

    44

    .

    1 . :

    424 2 19 2 13 3 2

    12

    3 45 3

    3 146:2 3

    . :

    2 2014

    201311 1012 3

    , , , ().

    .

    .

    2 25%.

    . 120.

    ;

    . , 60.

    ;

    . 450

    270.

    ;

    ) 1) 90 ) 2) 90

    ) 3) 90 180 ) 4) 180

    5) 180 360

  • 2013-2014

    45

    3

    ,

    .

    .

    ,

    ( )

    . : ,

    ( )

    .

    .

  • 2013-2014

    46

    19 .

    1

    . , ,

    :

    . ..

    .

    .

    ..

    .

    .

    . . x; . :

    4

    -15

    7

    2

    2 . ;

    . , ,

    .

    ( )

    B ( )

    . 1. 360

    .

    2.

    .

    3. .

    .

    4. 90

  • 2013-2014

    47

    . ; .

    . 1

    :

    2 7 3 20 :5 , 3 22 5 7 : 4

    . 12 16 . . . . , . . , , () .

    ,

    () .

    .

    2

    :

    = 23

    + 56

    -1 , = 2 35 10

    37 110 5

    =

    124

    3 14 8

    . = 12

    = 15

    . . . , .

    x 2 3 4 6 y 24 8

  • 2013-2014

    48

    3 1//2 =90. . : , , , . . . 2

    ( =90).

    .

    .

  • 2013-2014

    49

    20 .

    1

    . ,

    :

    . , .. .

    . , ..

    .

    . > , < = ,

    :

    5 4....6 6

    , 7 7....3 5

    , 10 15....8 12

    .

    .

    , ,

    , .

    .

    ,

    .

    .

    . :

    2

    . ; ()

    . ; ()

    . ,

    :

    . .. 180 .

    . .. .

    .

    ..

  • 2013-2014

    50

    . 1

    . :

    2 22 3 40 : 5 2 5 100 : 4 ,

    36 2 26 :

    14 7 4

    . , , ,

    ().

    2

    60 . 14

    . ( ) 40 , 20%.

    :

    . ;

    . ;

    . ;

    3

    1 2

    . 65 85 , , . ( .)

  • 2013-2014

    51

    21 .

    1

    . ;

    . ,

    :

    . ,

    : =... .

  • 2013-2014

    52

    .

    1

    . :

    2 20142 5 4 3 24 : 2 3[( 5) ( 2) : ( 5)] 180

    25

    . 60 36 , , , ,

    .

    2

    = 090

    , ,

    ( ).

    3

    15

    10 4

    35

    . :

    . .

    . .

    . .

    . A 100 2m 2m ;

  • 2013-2014

    53

    22 .

    1 . ;

    .

    , ,

    , .

    . .

    . .

    .

    .

    . .

    .

    .

    .

    , .

    . x y , xy

    - - - - - .

    . x y - - - - .

    . , x y

    - - - - - - - - - - (-, -) .

    2

  • 2013-2014

    54

    . :

    , ,, , .

    . .

    . .

    .

    , ,

    , .

    . .

    . .

    .

    .

    .

    1

    14

    24 , 13

    18

    . , .

    . 1 1 1K4 3 8

    .

    .

    .

    . , ,

    .

  • 2013-2014

    55

    2 :

    5 2

    8 13

    17 14 6

    19 2014 23 2014 0

    . , , ,

    . :

    , , , , , ,

    . x x :

    , , , , , ,

    ;

    3 :

    , 0 63 , 0 100 0 43

    . , ,

    . , ,

    . .

    ( .)

  • 2013-2014

    56

    :

  • 2013-2014

    57

    1. 3 .

    (2) (3).

    2. (2) (3)

    .

    3. .

    4. 3

    .

  • 2013-2014

    58

    1 .

    1

    . .

    . ,

    :

    .. .. .

    , .

    .

    , ,

    , .

    . .

    . , , 2 2 2 ,

    0 90 .

    2

    . .

    . , :

    x a , a ......... , x ..............

    2 ...a

    .

    , ,

    , .

    . , , 0 , 2

    . , ( , 0)

    .

    1

    . . :

    2 3 3 1y y y

    . y

  • 2013-2014

    59

    ;

    . :

    3 1 2 115 3 5 15

    x x x

    2

    0 90 , 0 30 2 3 .

    5 11 ( cm )

    . 2 4

    . .

    ;

    .

    .

    .

    3

    12 L cm

    .

    . 6 cm .

    B. 0 60 .

    . .

  • 2013-2014

    60

    2 .

    1

    . ;

    .

    , ,

    , .

    . y= x , x

    . 4,0 =0,2

    . 2 ,

    . a , 0

    . (1-2)

    .

    1. 5 0x , x :

    . 1 . 0 . 5 . 10

    2. 2x :

    . x . x , 0x a . x a , 0x a .

    .

    2

    . ;

    .

    , ,

    , .

    . ,

    .

    . 720.

    . , .

    .

    .

    . (1-2)

  • 2013-2014

    61

    .

    1. :

    . 030 . 0120 . 060 . 0100

    2. AOB o .

    . . .2

    . 2 . .

    .

    1

    . :

    3 2 2 35 2 10

    x x x

    . :

    3 1 2x x

    .

    2

    =10cm, =17cm =15cm.

    . .

    . .

    .

    3

    .

    .

  • 2013-2014

    62

  • 2013-2014

    63

    3 .

    1 .

    .

    . ;

    .

    2

    . ; .

    ;

    . ;

    . ;

    .

    1 . :

    2 ( 1) 7 3 3 ( 2) 9x x x 1 2 3 12 6 12

    x x

    . :

    3 4 ( 2) 10 2 (1 ) 7x x x

    ()

    (); .

    2

    2y x , .

    (1,0)A , .

    . 1

    . () xx yy .

    . ()

    .

    . (2, 6)B ();

    .

  • 2013-2014

    64

    3

    . 10a 6 ,

    :

    . .

    . .

    . .

    . .

  • 2013-2014

    65

    4 .

    1 . ;

    .

    , ,

    , .

    90 :

    .

    .

    .

    . ,

    .

    . ,

    ,

    .

    .

    . .

    2

    . y x ;

    ; .

  • 2013-2014

    66

    .

    , ,

    , .

    . y x x ay

    0y .

    . 3 5y x

    3y x ,

    yy 5 .

    .

    , .

    ) 3 2y x 1) xx

    ) 2 1y x 2) 3 2y x

    ) 0y 3) 2

    4) (0, 2)

    .

    1

    . :

    3 1 6 42 7x xx

    . :

    . 3a () ,

    :

    25 25

    ().

    2

    (//) :

    4 2 5 45 3

    x x

  • 2013-2014

    67

    =2cm , =5cm, =3cm, =4cm

    0,8 .

    . .

    . .

    . .

    3

    =8cm

    24cm2.

    .

    .

    . .

    . == .

    . (L) (, ) ()

    (, ).

  • 2013-2014

    68

    5 .

    1

    . , x y ;

    .

    . , x y ;

    .

    2

    :

    .

    . 0100

    ,

    .

    . ;

    .

    -

    .

    1

    (1) (2):

    2 2 1 2 12 3 2 2 1 , (2)

    3 2 6x x xx x x

    . (1) . . (2) .

    . .

    100

    B

    A

  • 2013-2014

    69

    2

    = 10cm,

    = 8 cm = 45 .

    .

    x .

    .

    y .

    .

    .

    : 45 = 0,7 , 45 = 0,7 , 45 = 1. 3

    (, )

    = 100 , = 60 = 80

    .

    x , y .

    . = 5 cm ,

    L

    (, )

    .

    45

    y

    x

    8 cm

    10 cm

    y

    100

    60

    80

    x

    A

  • 2013-2014

    70

    6 .

    1

    . ;

    . .

    . , ,

    :

    2

    2

    0 ....

    7 ...

    ( 5) ...

    2 . .

    . =8 , =13 , =9 .

    .

    1 . :

    2 1 4 3

    5 2x xx

    . : 2( 1) 4 1x x .

    2 10 cm.

    60oA . . .

    . .

    . .

  • 2013-2014

    71

    3 , =14 ,

    =13 , =5. :

    .

    .

    . .

    14 cm

    5 cm 13 cm

  • 2013-2014

    72

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

    -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

    7 .

    1 .

    , ,

    , .

    . 3x + x = x .

    . , .

    . 0x = 0 .

    . , .

    . 8x = 0 .

    . (1-

    5)

    (-), .

    1. x > 3

    2. x 2

    3. 0x 2

    4. 3 x

    5. x < 2

    2

    . . ,

    ( = 900) .

  • 2013-2014

    73

    5

    10E

    3

    1 = 35

    2 = 12

    . , ,

    , .

    . .

    . = 5 , = 8 = 3

    .

    . =8 =15

    =17.

    . =50 . ,

    3 = 23

    . 1 :

    = ( 6)2 + (3 5)2 52 = 21 + 14 + 4

    . = 3 = 5

    . y = x + , ,

    ().

    . ;

    . yy ;

    . (2, 1)

    .

    .

  • 2013-2014

    74

    40

    2

    :

    x 12 +

    x + 23 =

    x + 32 (1)

    . (1) x = 4 .

    . = 3x 2 , x

    . = 45 .

    :

    . .

    . .

    . .

    3

    (,) 314 cm2

    . 040

    .

    . .

    . .

    . .

    .

    .

    ( )

  • 2013-2014

    75

    8 .

    1 . .

    . =900

    . , :

    . 2=+.. . 2=- . 2=-

    2

    . ;

    . :

    y ax ( 0)y ax

    . ;

    .

    1

    . (1) (2):

    3 1 6 2 2 3 12 (1)x x x 6 2 1 5 2 (2)x x

    . (1) (2) . 2

    .

    .

    .

    .

    . . =12 cm

  • 2013-2014

    76

    =13 cm. 3

    =6cm, =8cm

    .

    . .

    . .

    . .

  • 2013-2014

    77

    9 .

    1 :

    . ;

    . ,

    .

    . .

    . ...

    . ..

    .

    .

    , ,

    , .

    AOB o .

    . .

    . .2

    . 2.

    2 :

    . ;

    .

    , ,

    , .

    . 1 .

    . 0 .

    . 4 2a a .

    . 5 .

    . 2a a .

    .

    1

  • 2013-2014

    78

    4 3 2 ( 1) 2( 1)x x x x 2 4 3 1 4 1

    6 3 3x x x

    2

    43 7 .

    .

    3 =1cm, = 3 cm,

    .

    . BA .

    .

    . .

    . .

  • 2013-2014

    79

    10 .

    1

    . . .

    , ,

    , ( ).

    . ()2 = ()2 + ()2

    . ()2 = ()2 ()2 . ()2 = ()2 + ()2

    . ()2 = ()2 ()2 2

    . ;

    .

    , ,

    , .

    . 0 0

    . 2a a , a . . , 0a

    . 0

    . 1

    . N :

    5 4 3 3 1 13 5x x x x (1) 3 5 1 21

    6 4 8x x x (2)

    . N (1) (2) 2 () = 10 cm.

  • 2013-2014

    80

    ()=12cm

    . .

    . . 3o

    , 01 30 , () = 8 cm () ()= 16 cm .

    : . . 2 .

    1 2

  • 2013-2014

    81

    11 .

    1 . ,

    .

    .

    .

    . 3, 4, 6

    . 6, 10, 8

    2 .

    , ,

    , .

    . -5 > 15, > -3

    . .

    . 2 2 2x 1x .

    . (+)= + , ,,

    . 1 ;

    . 1 . :

    3 2 2 3 1K x x

    . 4 5K x

    . K 1x

    . . :

    10 02 3

    x x

    . ().

  • 2013-2014

    82

    2

    . :

    3 1 2 10 5x x x 8 0

    3x x

    . . 3 (=90) =12cm B=13cm.

    :

    . .

    . .

    . .

  • 2013-2014

    83

    12 .

    1 . ;

    .

    , ,

    , .

    . 2

    . 5 .

    . 2

    25 5

    . 49 636 7

    . 25 9 5 3

    2

    . ,

    ;

    . :

    30 45 60

    .

    1

    . :

    4(3 1) (5 2 ) 2x x (1) 3( 2) 2 95 10 2

    x x xx (2)

    . (1) (2).

  • 2013-2014

    84

    . , , < < ,

    :

    2( ) 3( ) ( 8 )A

    .

    2

    .

    .

    . ,

    140 13 11 4AB cm

    . = 12 cm = 16 cm,

    .

    . .

    . .

    . .

    3

    () : 2 x 43

    y

    , ( 3,4)

    . = 2

    . , () : 4 83

    y x x x

    y y .

    . (-6, 0) (0,8) , .

    . .

    . .

  • 2013-2014

    85

    13 .

    1

    . ;

    . :

    . ( )2=.

    . 0 =..

    . 2=.

    .

    , , ,

    .

    . 0, 49 0,7 .

    . 5x , 25x .

    . 2 9x 3x .

    . 27 7 .

    2 . , .

    .

    , , ,

    .

    . 2=2+2 . 2=2+2 . 2=2-2 . 2=2-2.

    . , : ... ............................................... , ............................................ .. .

  • 2013-2014

    86

    .

    1 =4 060

    .

    .

    .

    . .

    . .

    : 30 =1/2, 30 =3/2, 30 =3/3. 2 . :

    5 8 34 2

    x xx

    . =x+2, =3x-2 =2x

    , x .

    . (//) , =6 , =10

    .

  • 2013-2014

    87

    3

    . :

    2 4 7 11x x x 2 19 2

    5x x

    . y x , .

    , 1A x , x ,

    1 .

  • 2013-2014

    88

    14 .

    1

    . ;

    . ;

    2 5, 4 9 25, , ,

    2

    . ;

    .

    ; ;

    .

    1

    = 15cm, = 12cm = 9cm.

    . .

    .

    2

    :

    2 3 13x 3 1 2 1

    4 3x+ xx =

    3

    :

    9, 11, 13, 9, 15, 18, 16, 20, 17.

    . (..) .

    . .

  • 2013-2014

    89

    15 .

    1

    .

    , ,

    , .

    . y a x y ax , 0x y a x .

    . y a x

    (0,0) .

    . y x 1. .

    A .

    1 , 2 3 =2x.

    ,

    .

    2 . ;

    . -

    A

    B

    1 2y x

    2

    2 4y x

    3

    2 4y x

  • 2013-2014

    90

    -;

    . , , ,

    , :

    . .. .. .

    . ...

    . . ..

    .

    .

    1

    . :

    3 2 5 14 3 6x x x

    . . :

    10 26 , 94

    , 25 ,

    22 ,

    23

    2

    :

    (, ) ,

    =2cm, 0 30 060

    . . 0 90 =30. . , .

  • 2013-2014

    91

    . L (, )

    (, ).

    3 .

    1 , :

    =4cm =5cm.

    . 1

    ( 2 )

    =3,5cm ,

    . V

    .

  • 2013-2014

    92

    16 .

    1

    . ;

    .

    , ,

    , .

    . y x

    .

    . H 2y x 2 .

    . x x 0y .

    . (2, 5) 5 2.

    2

    . ;

    .

    , ,

    , .

    . : 0 <

  • 2013-2014

    93

    2

    : ==5m, =7m

    =13m.

    . x .

    . .

    3

    ,

    =16cm L=62,8cm.

    .

    .

    .

    .

  • 2013-2014

    94

    16 .

    1 . ; . x, = x.

    , ,

    , .

    . .

    . x

    . x2 =

    .

    i) 64 ii) 25 9 iii) 2( 8)

    iv) 2( 4) v) 4

    ) 2 ) 4 ) 8 ) -8

    2 . ;

    . , .

    =16, =20 =12

  • 2013-2014

    95

    . . .

    , ,

    , .

    . < 1 . 1 . =

    B. 1 . 8-2(3x-1) 4(x-5)

    . 3 (x 1) 2x 1x

    4 3

    . -2, -1, 2, 3, . . 2

    300

    =2cm.

    .

    . OK= 3 cm

    .

    1216

    35

    1620

    1612

    1620 12

    16 16

    12 3

    5

    43 16

    20 3

    5 12

    16

  • 2013-2014

    96

    3

    , 200 m 3 8 m . . 5m . 4 m 2 . . ( =3,14 )

  • 2013-2014

    97

    :

  • 2013-2014

    98

    1. 3 .

    (2) (3).

    2. (2) (3)

    .

    3. .

    4. 3

    .

  • 2013-2014

    99

    1 .

    1

    . : .

    2 .............................

    . 2 .............................

    . ..............

    . :

    3 3 2 2 33 3

    . , .

    :

    . , . . , .

    . , .

    .

    ( )

    .

    1

    . 2 3 4 0x x

    2 3 4x x .

    . 2

    2

    3 41

    x xx

    .

    . :

    2

    2

    3 4 2 1 20111 1

    x x xKx x

    2 . :

    2 22 4 4 2 4 12

  • 2013-2014

    100

    . : 2 23 6 9x x x

    3

    :

    2 2A x x x 2 4B x x .

    . :

    [ ]P x A x B x B x .

    . :

    2 20143

    PK

  • 2013-2014

    101

    2 .

    1

    . x2+x+=0 0 . .

    . (-) (1-5)

    , .

    . > 0 1.

    . < 0 2.

    . 0 3.

    . = 0 4.

    5.

    . x2+x+=0,

    , ,

    1. x(x+2) = - 1 x2+x+=0 = = =

    2. 2x2 = -4x x2+x+=0 = = =

    2

    . (3) .

    .

    , ,

    , .

    . ,

    .

    .

  • 2013-2014

    102

    .

    1

    . : 23 27

    3xx

    . :

    2

    2 2 3 1 , 22 4 2

    x x xx x x

    2

    . :

    2 22 6

    x yx y

    . , x y :

    a x a y axy ,

    , a , a

    3

    . :

    .

    . .

  • 2013-2014

    103

    3 .

    1

    . : 2 2 2( ) 2 .

    . ,

    . ( ) ( )a 1. 2 2

    . 3

    2. 2( )a

    . ( ) ( )a 3. 3 2 2 33 3 4. 2 2a 5. 3 3

    .

    , ,

    , .

    . 2 100(4 3 5) 1

    . 21 1( 1) 12 2

    . 24 1 (4 1) (4 1)a a a

    2

    . (

    ).

    .

    ( )

    .

    , ,

    , .

  • 2013-2014

    104

    . , . . ,

    .

    . , .

    .

    1 . :

    2 1x , 2x x , 2 2 1x x

    . x :

    2 2 2

    1 4 11 2 1x x x x x

    . . 2

    : 18 ( ) a x y 23 4 12 ( )x y

    . (1, 6)A 1( ) , a .

    . 2a

    i. 1 2( ) ( ) ;

    ii. 1 2( ) ( ) .

    iii. 1( ) xx yy .

    3 (=) .

    =.

    :

  • 2013-2014

    105

    . = . . E

  • 2013-2014

    106

    4

    .

    1 . ; .

    .

    : :

    ) 2x x 0, 0 1) 2

    ) 2x x 0, 0 2) 4

    ) 2x 0, 0 3) 2 4

    4) 2 4 .

    , ,

    , .

    . 2x x 0 0 ,

    0 .

    . 1, 2 2x x 0 0 ,

    2x x : 2

    1 2x x x x .

    2 . ; .

    , ,

    , .

    . , .

    . .

    . , .

  • 2013-2014

    107

    . , :

    . ,

    . ,

    . 1 :

    2 2x 3 3x 2x 2x 2 x 4 x 4 x x 6

    2x 1 1 .

    . . .

    . .

    . , ()

    :

    2 19 2

    . . , : 2 22 x y 2 25 x y

    .

    . , : 3 47 x y

    10.

    .

    ( )

    x 2 y 1

    2

    x 3 y 12

  • 2013-2014

    108

    3

    90 =900

    , o 37 =.

    .

    : = =

    . ,

    .

    . =6cm =8cm, AZ AB.... .... ....

    .

  • 2013-2014

    109

    5 .

    1

    . ,

    :

    (i) 2

    (ii) 2

    (iii) 3

    (iv)

    . (ii) ()

    . N ,

    .

    1. v .

    2.

    . v

    3.

    .

    4. .

    2

    .

    :

    (i) 0o (ii) 90o (iii) 180o (iv) 45o (v) 60

    . N

    , .

    1. 5050

    o

    o

    .

    32

    2. 130 . 3. 150o . o50 4. 90 . o50 5. 2 230 30o o . 1

    .

  • 2013-2014

    110

    . 1 . :

    22 9 5 0x x

    . ()

    : 22 9 5x x

    . :

    2 2 2

    1 2 1 01

    xx x x x x

    , , () .

    2 . :

    2 3 62 5

    .

    . :

    8 2 161 24

    ( ).

    . () ()

  • 2013-2014

    111

    ().

    3 90o 90o ,

    ==3, =4, 1 53o .

    .

    =.. =..

    .

    .

    .

    . () ().

  • 2013-2014

    112

    6 .

    1

    . :

    2 ....................

    ...........

    . :

    2 2 22 .

    2

    . 3 .

    .

    , ,

    , .

    . .

    . .

    .

    .

    . .

    .

    .

    . 1

    :

    22 3 2 2 17 11A x x x x x

    . 23 5 2A x x x .

    . 0A x .

    . A x .

  • 2013-2014

    113

    . 23 3A xx

    .

    2 . :

    1

    2 14:

    3 16x yx y

    . () , 6, 2x y , :

    2

    2 3 6: 3 1

    4 3

    x yx y x y

    3

    :

    , , 2 , 3 , 1x 3x

    x+1 x+3

    32

    B

    A

    . .

    .

    x .

    .

    12

    .

    . 25 cm , .

  • 2013-2014

    114

    7 .

    1

    . :

    3 3 2 2 33 3

    . ,

    :

    . 2 ... ..... ....a

    . 2 2... ... ... ...

    . 2 2 2... ... 2

    2

    . (3) .

    .

    , ,

    , .

    . .

    . .

    . .

    .

    1

    . :

    =

    3 2

    3

    3 416

    x x xx x

    . =2.

    2

    :

    . 1 2 1

    2 32 5 3

    x y

    x y

    . 5

    2 1x y

    x y

  • 2013-2014

    115

    3

    34

    x 0 090 180x

    . x x

    . :

    0 0180 , 180x x

    0180 x

    . :

    0 0 04 180 8 180 14 180A x x x

  • 2013-2014

    116

    8 .

    1 : . : ( + )2 = ( )2 = ( + ) ( ) = ( + )3 = ( )3 = .

    , ,

    , .

    . ( 3 2)xy2 (2 3 )xy2

    . 4x2 + 9 + 12x

    . 4x4y2 + 5x3y 7xy3 3 x y

    . 3x-2

    . 2 2

    = +

    2

    . :

    3.

    1. 2.

  • 2013-2014

    117

    .

    , ,

    , . . , .

    . .

    . , .

    . 50 , .

    . , .

    .

    1

    . :

    + 3 = 11 3 4 = 7 ( )

    (, ) = (5, 2)

    . : 2x2 + x + = 0 , (,) . 2

    , 0 180 , = 35

    . .

    . .

    . (180 ) (180 )

    3 :

    = x2 36 , B = x2 12x + 36 = 2x 12

  • 2013-2014

    118

    .

    2 , x = 2

    . ,

    .

  • 2013-2014

    119

    9 .

    1

    . ;

    . : (+)(-)=2-2.

    . :

    i)(+)2= ii)(-)2=... iii) (+)3=..

    2

    . .

    . .

    .

    , ,

    , .

    . , .

    . .

    . , .

    . , .

    .

    1 . :

    23 1 5 4x x x

    .

    , (, )

    .

    2 . :

    3 2 63 4 3 7

  • 2013-2014

    120

    =2 =1. . ,

    :

    25 13 3 0x x a 3 =

    . .

    . .

    . .

  • 2013-2014

    121

    10 .

    1 . ;

    . 2 2 2( ) 2

    . 2x x 0 0 , () ()

    . 0 1. . . 0 2. . . 0 3. . 4.

    2 A. .

    (x,y) .

    2 2 1

    .

    x

    y

    (x,y)

    x

  • 2013-2014

    122

    .

    . 60 1. 120 . 120 2. 135 . 45 3. 120 4. 135 5. 60 6. 60

    . 1

    . 2 7 6 0x x

    . 2 7 6x x

    . ()

    26 1

    7 6 6 1x x

    x x x x

    . ,

    (, )

    2

    . :

    = 8 = 6

    . () =

    ,

    , . . :

    2 2( )A

    3 2 = 36

    + 3 = 10

  • 2013-2014

    123

    2

    = , .

    , :

    . .

    . .

    . .

  • 2013-2014

    124

    11 .

    1

    :

    . (+)2 = ..

    . (+)(-) = .

    . (+)3 = ..

    2

    180 - .

    . (180 - ) =

    . (180 - ) = .

    . (180 - ) = ..

    .

    1

    . 2x2 + x 10 = 0 x2 + x + = 0.

    : = ..., = , = .

    . .

    2

    ,

    .

    3 7 275 2 16

    x yx y

    3

    . = = .

    . .

    .

    .

    = ..

    = ..

    = ..

  • 2013-2014

    125

    12 .

    1

    . ;

    . :

    2 ....................( )

    2 ......................( )

    ( )( ) .......................... .

    , ,

    , .

    . 2 2 2( )

    . 2 2( ) ( )

    . 2 2(x 1) x 1

    . 3 3(x y) (y x)

    . 2 2( 2 ) ( 2 )

    2

    . .

    .

    , ,

    , .

    . .

    . .

    . .

    . .

  • 2013-2014

    126

    .

    1

    : 2 7 6 0x x 2 7 6 0x x

    . : 2 7 6x x 2 7 6x x .

    . : 2

    2x 7x 6

    x 36

    2

    2x 7x 6B

    x 1

    .

    . x .

    . 2 2A B A B x .

    2

    . :

    2 2 2

    1 3 42 2 4

    x xx x x x x

    .

    :

    41

    x yx y

    . 41

    ,

    , .

    3

  • 2013-2014

    127

    = ,

    . .

    :

    . .

    . .

    .

  • 2013-2014

    128

    13 .

    1

    . : 2 2 2( ) 2

    . ,

    :

    .

    . .

    . ..

    .

    .

    , ,

    , .

    . .

    . .

    . .

    2

    . .

    . ,

    :

    . .

    .. .

    .

    , ,

    , .

    . .

    .

    .

    . .

  • 2013-2014

    129

    . 1

    . : 22 5 3 0x x

    . : 22 5 3x x

    . :

    02 3x

    . :

    10 51x

    2

    . :

    2 3 463 4 63

    x yx y

    . (5, 12) .

    = , x . . :

    2 0 0120 180

    , . 3

    35

    .

    A.

    B. : 2 0 2 0 065 ( ) 115 ( (180 ) )

    , (A) .

  • 2013-2014

    130

    14

    A.

    1

    . ;

    . ;

    . ;

    2

    . :

    i. (180 ) ... ii. (180 ) ... iii. (180 ) ...

    . , .

    ,

    .

    .

    1

    15m 10m.

    ,

    100m2.

    .

    2

    :

    2 123 8

    x yx y

    .

    (: ).

    3

    .

    .

  • 2013-2014

    131

    . = .

    . .

  • 2013-2014

    132

    15 .

    1

    . ;

    . ,

    .

    i) ( + )2=..

    ii) ( )3=.

    iii) ( + )( )=..

    .

    , ,

    , .

    .

    .

    . 5

    .

    2

    .

    .

    , ,

    , .

    . .

    . ,

    .

    .

    .

    . .

    .

    1 :

    23 2 3 3 2 1 6P x x x x x x

    . :

  • 2013-2014

    133

    2 10 24P x x x

    . 2 10 24 0x x :

    2 10 24x x 2

    . ,

    :

    2 24 5 1x y

    x y

    ( 4 , 3).

    .

    xOM , ( 4 , 3),

    .

    . (180 ) (180 ),

    ().

    3 // , = 3cm

    = 6cm.

    .

    .

    .

    .

    . x 1 x cm

    3 EB x cm