τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ...

390
Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ Γενικού Λυκείου Ιούνιος 2014 Το παρόν ηλεκτρονικό βιβλίο (e-book) διατίθεται σε CD-ROM και μαζί με το βιβλίο Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου (ISBN 978-960-16-4244-4) των Μαρίας Ευσταθίου και Ελευθέριου Πρωτοπαπά. Copyright© για το παρόν ηλεκτρονικό βιβλίο Σ. Πατάκης ΑΕΕ∆Ε (Εκδόσεις Πατάκη), Μαρία Ευσταθίου και Ελευθέριος Πρωτοπαπάς, Αθήνα, 2004 και 2014. Για να δείτε το βιβλίο, πατήστε εδώ .

Transcript of τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ...

Page 1: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς

Εκφωνήσεις και λύσεις

των ασκήσεων

της Τράπεζας Θεμάτων

στην Άλγεβρα

Α΄ Γενικού Λυκείου

Ιούνιος 2014

Το παρόν ηλεκτρονικό βιβλίο (e-book) διατίθεται σε CD-ROM και µαζί µε το βιβλίο Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου (ISBN 978-960-16-4244-4) των Μαρίας Ευσταθίου και Ελευθέριου Πρωτοπαπά. Copyright© για το παρόν ηλεκτρονικό βιβλίο Σ. Πατάκης ΑΕΕ∆Ε (Εκδόσεις Πατάκη), Μαρία Ευσταθίου και Ελευθέριος Πρωτοπαπάς, Αθήνα, 2004 και 2014. Για να δείτε το βιβλίο, πατήστε εδώ.

Page 2: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Το παρόν έργο πνευµατικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της

ελληνικής νοµοθεσίας (Ν. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήµερα)

και τις διεθνείς συµβάσεις περί πνευµατικής ιδιοκτησίας. Απαγορεύονται

απολύτως οι άνευ γραπτής άδειας του εκδότη κατά οποιονδήποτε τρόπο ή µέσο

(ηλεκτρονικό, µηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει

αναπαραγωγή, εκµίσθωση ή δανεισµός, µετάφραση, διασκευή, αναµετάδοση στο

κοινό σε οποιαδήποτε µορφή και η εν γένει εκµετάλλευση του συνόλου ή µέρους

του έργου.

Page 3: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

3

ΠΠεερριιεεχχόόµµεενναα

2o Θέμα

Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα

474 8 477 9 478 10 480 11

481 12 483 13 484 14 485 15

486 16 487 17 488 18 489 19

490 20 491 21 492 22 493 23

495 24 496 25 497 26 498 27

499 28 503 29 504 30 505 31

506 32 507 33 508 34 509 35

510 36 936 37 938 38 944 39

947 40 950 41 952 42 955 43

991 44 996 45 999 46 1003 47

1005 48 1007 49 1009 50 1015 51

1024 52 1032 53 1039 54 1042 55

1050 56 1055 57 1057 58 1062 59

1064 60 1067 61 1070 62 1074 63

1077 64 1080 65 1082 66 1086 67

1088 68 1089 69 1090 70 1091 71

1092 72 1093 73 1096 74 1097 75

1100 76 1101 77 1102 78 1273 79

1275 80 1276 81 1277 82 1278 83

1281 84 1282 85 1283 86 1287 87

1288 88 1293 89 1297 90 1298 91

1300 92 1301 93 1302 94 1305 95

1506 96 1509 97 1512 98 1513 99

1520 100 1529 101 1532 102 1533 103

1537 104 1541 105 1542 106 1544 107

1553 108 2212 109 2702 110 3378 111

3379 113 3380 115 3381 116 3382 117

3383 118 3384 119 3828 120 3839 121

3847 122 3852 123 3857 124 3863 125

3870 126 3874 127 3878 128 3884 129

4288 130 4290 131 4295 132 4299 133

4300 134 4301 135 4302 136 4303 137

4304 138 4305 139 4306 140 4308 141

4309 142 4310 143 4311 144 4312 145

4313 146 4314 147 4315 148 4316 149

4317 150 4318 151 4319 152 7518 153

7519 154 7520 155 7521 156 8173 157

Page 4: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

4

4o Θέμα

Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα

1868 159 1874 160 1880 162 1890 163

1936 164 1955 166 1963 168 2046 169

2047 171 2052 172 2055 173 2064 174

2073 175 2080 176 2081 177 2083 178

2084 179 2220 180 2226 182 2229 184

2234 186 2238 187 2244 188 2255 189

2273 190 2287 191 2301 192 2302 193

2323 194 2332 195 2336 196 2338 198

2339 199 2340 201 4542 203 4545 204

4548 205 4551 206 4558 207 4575 208

4607 209 4629 211 4647 213 4654 215

4656 216 4657 217 4659 219 4660 220

4663 221 4665 222 4667 223 4671 224

4679 225 4680 226 4681 227 4682 228

4819 229 4833 230 4835 231 4836 232

4853 233 4857 235 4858 236 4859 237

4861 238 4862 240 4886 241 4903 243

4912 244 4925 245 4946 246 4952 247

4957 248 4962 249 4970 250 4975 251

4992 252 5275 254 5285 255 5316 256

5317 257 5322 258 5879 259 5882 261

5884 263 5885 264 6143 265 6144 267

6146 269 6223 271 6224 272 6226 274

6227 276 6228 277 6229 278 6231 280

6678 282 6859 283 7263 284 7502 285

7503 287 7504 288 7506 289 7510 290

7511 292 7512 294 7514 295 7515 296

7516 297 7517 298 7677 299 7684 300

7745 301 7784 302 7791 304 7940 305

7958 306 7974 308 8170 309 8217 311

8443 313 8445 314 8448 315 8451 317

8453 318 8455 319 8458 320 10774 321

10775 323

Page 5: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

5

ΤΤααξξιιννόόµµηησσηη ττωωνν θθεεµµάάττωωνν 2ο Θέμα

Ενότητα

σχολικού βιβλίου

Ενότητα

βοηθήµατος

Αριθµός

2ου θέµατος

497 499 1003 1102 1287 1.2 4

1506 1520 3383 3384 3878

2.1 5 1070 1080 3874

486 487 506 1092 1541 2.2 6

3852 3870 4299 7519 7520

504 509 996 1009 1089 2.3 7

1091 2702 3884

936 938 944 947 950

952 955 1276 1300 4311 2.4 8

4314 4316 8173

3.1 9 485 507 1055 3382 4302

481 483 493 496 1005

1007 1093 1097 1275 1281

1282 1298 1509 1533 3839

3847 3857 3863 4308 4309

3.3 11

4310 4313 4317 7518

489 491 503 505 991

1039 1062 1074 1077 1273

1305 4290 4295 4305 4306 4.1 12

4318 7521

478 484 490 498 1067

1277 1278 1288 1297 1512 4.2 13

1544 3380

474 480 508 1015 1050

1057 1064 1086 1101 1301

1513 4300 4301 4303 4304 5.2 16

4312 4319

495 1032 1088 1100 3828 5.3 17

4288 4315

488 510 999 1042 1082 6.1 19

1302 1532 1537

477 492 1024 1090 1542 6.2 20

1553 3381

1096 1283 1293 1529 2212 6.3 21

3378 3379

Page 6: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

6

4ο Θέμα

Ενότητα

σχολικού βιβλίου

Ενότητα

βοηθήµατος

Αριθµός

4ου θέµατος

1868 1936 2064 2073 2080 1.2 4

6144

2.3 2301

3.1 2302

1955 2332 4551 4558 4654

4659 4665 4667 4857 4903

4957 4962 4970 4975 4992

5317 6223 6224 6231 7510

3.3 11

7515 7516 7940

1890 2081 2238 2287 4833

4835 4946 4952 7263 7791 4.1 12

8443 8453

1874 2055 2244 2255 2273

2336 4542 4548 4607 4663

4680 4681 4682 4819 4834

4836 4853 4859 5285 5322

5884 5885 6226 6227 7677

4.2 13

7684 7958 7974 8445 8455

2047 2083 2323 4671 4858

4925 6143 7503 7504 7514 5.2 16

8458 10775

5.3 17 2340 4629 6678 6859 8170

2052 2084 2220 2226 2229

2234 4545 4575 4861 4862

5879 6228 7506 7511 7512 6.1 19

7517 7745 8217

1963 2338 4656 4660 4679

4886 4912 5275 5882 6146 6.2 20

8448 8451

1880 2046 2339 4647 4657 6.3 21

6229 7502 7784 10774

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα Ενότητα σχολικού βιβλίου Σελίδα Ενότητα σχολικού βιβλίου Σελίδα

1.2 326 2.1 330

2.2 331 2.3 333

2.4 335 3.1 337

3.3 338 4.1 347

4.2 352 5.2 362

5.3 367 6.1 370

6.2 377 6.3 383

Page 7: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Ιούνιος 2014

Τράπεζα θεμάτων στην Άλγεβρα

2ο Θέμα

Page 8: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

8 8

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_474 Θεωρούµε την ακολουθία ν(α ) των θετικών περιττών αριθµών: 1, 3, 5, 7, …

α) Να αιτιολογήσετε γιατί η ν(α ) είναι αριθµητική πρόοδος και να βρείτε τον εκα-

τοστό όρο της. (Μονάδες 15)

β) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθµών είναι

ίσο µε το τετράγωνο του πλήθους τους. (Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού 2 1 3 2 4 3α α α α α α 2− = − = − = , η

*

να , ν ,∈N είναι αριθµητική πρόοδος µε

διαφορά ω = 2 και πρώτο όρο 1α 1= .

Ο νιοστός όρος είναι *

ν 1α α (ν 1)ω 1 (ν 1) 2 1 2ν 2 2ν 1, ν= + − = + − ⋅ = + − = − ∈N .

Συνεπώς 100α 2 100 1 200 1 199= ⋅ − = − = ,

δηλαδή ο εκατοστός όρος της είναι το 199.

β) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου *

να , ν ,∈N είναι:

( ) ( )1 2 *

ν

2α ν 1 ω 2 1 ν 1 2 2 2ν 2S ν ν ν ν , ν

2 2 2

+ − ⋅ + − ⋅ + −= = = = ∈N ,

δηλαδή το άθροισµα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθµών είναι ίσο µε το

τετράγωνο του πλήθους τους.

Page 9: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

9 9

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 19,

20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_477

∆ίνεται η συνάρτηση f, µε 2x 5x 6

f (x)x 3

− +=

−.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. (Μονάδες 7)

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x΄x

και y΄y . (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει x – 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3, άρα fA 3 ( , 3) (3, )= − = −∞ ∪ +∞R .

β) Το τριώνυµο 2x 5x 6− + έχει διακρίνουσα ( )2∆ 5 4 1 6 1= − − ⋅ ⋅ = και ρίζες

( )5 1 6

35 1 5 1 2 2

x5 1 42 2

22 2

+ = =− − ± ± = = =

− = =

, άρα 2x 5x 6 (x 2)(x 3)− + = − − .

Συνεπώς για κάθε x 3∈ −R έχουµε 2x 5x 6 (x 2)(x 3)

f (x) x 2x 3 x 3

− + − −= = = −

− −.

γ) Το σηµείο τοµής της f

C µε τον άξονα y΄y προκύπτει για x = 0, οπότε:

f(0) = 0 – 2 = −2, δηλαδή είναι το σηµείο Α(0, −2).

Το σηµείο τοµής της f

C µε τον άξονα x΄x προκύπτει για y = 0, οπότε για x ≠ 3:

f(x) = 0 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2 (δεκτή), δηλαδή είναι το σηµείο Β(2, 0).

Page 10: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

10 10

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_478

∆ίνεται η εξίσωση: ( )2 2x λx λ λ 1 0− + + − = (1), µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες

πραγµατικές. (Μονάδες 12)

β) Να λύσετε την ανίσωση: 2S P 2 0− − ≥ , όπου S και P είναι αντίστοιχα το άθροι-

σµα και το γινόµενο των ριζών της (1). (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο ( )2 2x λx λ λ 1− + + − έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2 2 2 2∆ λ 4 λ λ 1 λ 4λ 4λ 4 3λ 4λ 4= − − + − = − − + = − − + .

Για να έχει µια δευτεροβάθµια εξίσωση πραγµατικές ρίζες, πρέπει ∆ ≥ 0,

δηλαδή πρέπει 23λ 4λ 4 0− − + ≥ (Ι).

Το τριώνυµο 23λ 4λ 4− − + έχει διακρίνουσα ( ) ( )2

∆΄ 4 4 3 4 64= − − ⋅ − ⋅ = ,

ρίζες ( )

( )

4 8 122

4 64 4 8 6 6λ

4 8 4 22 3 6

6 6 3

+ = = −− − ± ± − −= = = − −⋅ − − = =

− −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞2−

2

23λ 4λ 4− − + +− −

Συνεπώς 2

(Ι) 2 λ3

⇔ − ≤ ≤ .

β) Για 2

λ 2,3

∈ − , από τους τύπους του Vieta και αν 1 2x , x είναι οι πραγµατικές

ρίζες της εξίσωσης (1), έχουµε ότι:

1 2

λS x x λ

1

−= + =− = και

22

1 2

λ λ 1P x x λ λ 1

1

+ −= = = + − .

Τότε: 2S P 2 0− − ≥ ⇔ 2 2λ (λ λ 1) 2 0− + − − ≥ ⇔ 2 2λ λ λ 1 2 0− − + − ≥ ⇔

⇔ λ 2 1− ≥ − ⇔ λ 1− ≥ ⇔ λ 1≤ − .

Συναληθεύοντας τις λ ≤ −1 και 2

λ 2,3

∈ − , βρίσκουµε λ∈[−2, −1].

−∞ +∞2− 1−2

3

Page 11: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

11 11

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_480 Ένα µικρό γήπεδο µπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισµάτων και κάθε σειρά έχει α

καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενη. Η 7η σειρά έχει 36 καθίσµατα και

το πλήθος των καθισµάτων του σταδίου είναι 300.

α) Αποτελούν τα καθίσµατα του γηπέδου όρους αριθµητικής προόδου; Να αιτιολο-

γήσετε τον συλλογισµό σας. (Μονάδες 12)

β) Πόσα καθίσµατα έχει κάθε σειρά; (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το πλήθος καθισµάτων κάθε σειράς διαφέρει από το πλήθος των καθισµάτων της

προηγούµενης κατά τον σταθερό αριθµό α, οπότε το πλήθος των καθισµάτων

είναι όροι αριθµητικής προόδου *

να , ν ,∈N µε ν ≤ 10, διαφορά ω = α και πρώτο

όρο 1α .

β) Ο νιοστός όρος είναι ( ) ( ) *

ν 1 1α α ν 1 ω α ν 1 α, ν ,= + − = + − ∈N µε ν ≤ 10.

Ισχύει ότι α7 = 36, οπότε:

( )1α 7 1 α 36+ − = ⇔ 1α 6α 36+ = (Ι).

Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου *

να , ν ,∈N

µε ν ≤ 10, είναι:

( ) ( )1 1 *

ν

2α ν 1 ω 2α ν 1 αS ν ν, ν ,

2 2

+ − + −= ⋅ = ⋅ ∈N µε ν ≤ 10.

Ισχύει επίσης ότι:

10S 300= ⇔ ( )12α 10 1 α

10 3002

+ −= ⇔ 15(2α 9α) 300+ = ⇔

⇔ 12α 9α 60+ = (ΙΙ).

Οι (Ι), (ΙΙ) δίνουν:

1

1

α 6α 36

2α 9α 60

+ =

+ = ⇔

1

1

2α 12α 72

2α 9α 60

− − = −

+ = ⇔

1

12α 9α 72 60

2α 9α 60

− + = − +

+ = ⇔

⇔ 1

3α 12

2α 60 9α

− = −

= − ⇔

1

α 4

2α 60 9 4

=

= − ⋅ ⇔

1

α 4

2α 24

=

= ⇔

1

α 4

α 12

=

=.

Εποµένως ο αριθµός των καθισµάτων σε καθεµία από τις δέκα σειρές είναι:

12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48.

Page 12: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

12 12

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_481

∆ίνεται η εξίσωση ( )2x 2λx 4 λ 1 0− + − = , µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ .

(Μονάδες 8)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιµή του

λ∈ℝ ισχύει: 1 2 1 2x x x x+ = . (Μονάδες 9)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο ( )2x 2λx 4 λ 1− + − έχει διακρίνουσα

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2∆ 2λ 4 1 4 λ 1 4λ 16λ 16 4 λ 4λ 4 4 λ 2= − − ⋅ ⋅ − = − + = − + = − .

β) Αφού ( )2λ 2 0 ∆ 0− ≥ ⇔ ≥ για κάθε λ∈ℝ ,

η εξίσωση ( )2x 2λx 4 λ 1 0− + − = έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ .

γ) Από τους τύπους του Vieta και αφού 1 2x , x είναι οι πραγµατικές ρίζες της

εξίσωσης ( )2x 2λx 4 λ 1 0− + − = , έχουµε ότι:

1 2

2λS x x 2λ

1

−= + =− = και 1 2

4(λ 1)P x x 4λ 4

1

--= = = .

Συνεπώς:

x x x x1 2 1 2+ =+ =+ =+ = ⇔ 2λ = 4λ – 4 ⇔ 2λ – 4λ = −4 ⇔ −2λ = −4 ⇔ λ = 2.

Page 13: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

13 13

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 9, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_483 α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 3− = . (Μονάδες 12)

β) Αν α, β µε α < β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (α), τότε να λύσετε

την εξίσωση 2αx βx 3 0+ + = . (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) 2x 1 3− = ⇔ 2x – 1 = 3 ή 2x – 1 = −3 ⇔ 2x = 1 + 3 ή 2x = 1 − 3 ⇔

⇔ 2x = 4 ή 2x = −2 ⇔ x = 2 ή x = −1.

β) Αφού α, β είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 1 3− = , αυτές είναι οι 2 και −1.

Επιπλέον, έχουµε α < β, οπότε α = −1 και β = 2.

Συνεπώς η εξίσωση 2αx βx 3 0+ + = γίνεται 2x 2x 3 0− + + = (Ι).

Το τριώνυµο 2x 2x 3− + + έχει διακρίνουσα ( )2∆ 2 4 1 3 16= − ⋅ − ⋅ =

και ρίζες

2 4 21

2 16 2 4 2 2x

2 4 62 ( 1) 23

2 2

− + = = −− ± − ± − −= = = − − −⋅ − − = =

− −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = −1 ή x = 3.

Page 14: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

14 14

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 12, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_484 α) Να λύσετε τις ανισώσεις: 2x 5 3− ≤ και 22x x 1 0− − ≥ . (Μονάδες 16)

β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος α). (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) 2x 5 3− ≤ ⇔ −3 ≤ 2x – 5 ≤ 3 ⇔ 5 – 3 ≤ 2x ≤ 3 + 5 ⇔ 2 ≤ 2x ≤ 8 ⇔

⇔ 1 ≤ x ≤ 4.

Το τριώνυµο 22x x 1− − έχει διακρίνουσα 2∆ ( 1) 4 2 ( 1) 9= − − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

1 3 2 1

( 1) 9 1 3 4 4 2x

1 3 42 2 41

4 4

− − = = −− − ± ± = = =

+⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1

2− 1

x

22x x 1− − + +−

Συνεπώς 22x x 1 0− − ≥ ⇔ [ )1x , 1,

2

∈ −∞ − ∪ +∞ .

β) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων στον ίδιο άξονα:

−∞ +∞1

2− 1 4

Οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι x∈[1, 4].

Page 15: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

15 15

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 9 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_485

∆ίνεται η εξίσωση 2λx x λ 1 = + − , µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναµα:

( )( ) (λ 1 x λ 1 , λ1) λ− = − + ∈ℝ . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς

µία λύση, την οποία και να βρείτε. (Μονάδες 8)

γ) Για ποια τιµή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των

πραγµατικών αριθµών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι: 2λx x λ 1 = + − ⇔ 2λx x λ 1 − = − ⇔ ( )( ) (λ 1 x λ 1 , λ1) λ− = − + ∈ℝ .

• Για λ – 1 ≠ 0 ⇔ λ ≠ 1 η εξίσωση ( )( ) (λ 1 x λ λ 1)1− = − + έχει µοναδική λύση

τη ( )( )λ 1 λ 1

x λ 1λ 1

− += = +

−.

• Για λ = 1 η εξίσωση ( )( ) (λ 1 x λ λ 1)1− = − + γίνεται:

(1 – 1)x = (1 – 1)(1 + 1) ⇔ 0x = 0⋅2 ⇔ 0x = 0, η οποία είναι ταυτότητα.

β) Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η εξίσωση ( )λ 1 x λ 1 λ( ) ( ) λ ,1 ,− = − + ∈ℝ έχει µονα-

δική λύση για λ ≠ 1 τη x λ 1= + .

γ) Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η εξίσωση ( )λ 1 x λ 1 λ( ) ( ) λ ,1 ,− = − + ∈ℝ είναι ταυτό-

τητα στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών για λ = 1.

Page 16: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

16 16

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 6 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_486 Αν 0 < α < 1, τότε:

α) να αποδείξετε ότι: 3α α< . (Μονάδες 13)

β) να διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς:

3 10, α ,1, α,

α. (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού 0 < α < 1, έχουµε ότι α > 0 και

α + 1 > 0 + 1 ⇔ α + 1 > 1, οπότε α + 1 > 0.

Επιπλέον, ισχύει 0 < α < 1 ⇔ 0 – 1 < α – 1 < 1 – 1 ⇔ −1 < α – 1 < 0,

άρα α – 1 < 0.

Συνεπώς 3 2α α α(α 1) α(α 1)(α 1) 0− = − = − + < , δηλαδή 3α α< .

β) Θα αποδείξουµε ότι 3 1

0 α α 1α

< < < < . Πράγµατι:

• 30 α< , αφού α > 0,

• 3α α< , από το (α) ερώτηµα,

• α < 1, από τα δεδοµένα,

• 1

< , αφού α < 1 ⇔ 1 1

α 1> ⇔

11

α> .

Page 17: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

17 17

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 6 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_487 α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς x, y ισχύει:

( ) ( )2 2 2 2x 1 y 3 x y 2x 6y 10− + + = + − + + . (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τους αριθµούς x, y ώστε: 2 2x y 2x 6y 10 0+ − + + = . (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 2.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς x, y έχουµε:

( ) ( )2 2 2 2 2 2x 1 y 3 x 2x 1 y 6y 9 x y 2x 6y 10− + + = − + + + + = + − + + .

β) Λόγω του (α) ερωτήµατος έχουµε ότι: 2 2x y 2x 6y 10 0+ − + + = ⇔ ( ) ( )2 2

x 1 y 3 0− + + = ⇔

⇔ x – 1 = 0 και y + 3 = 0 ⇔ x = 1 και y = −3.

Page 18: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

18 18

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 19

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_488

∆ίνεται η συνάρτηση f, µε 2

2

2x 5x 3f (x)

x 1

− +=

−.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της A. (Μονάδες 5)

β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 22x 5x 3− + . (Μονάδες 10)

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈A ισχύει: ( ) 2x 3f x

x 1

−=

+. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει 2 2x 1 0 x 1 x 1 x 1− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± ⇔ ≠ ± .

Εποµένως A 1,1= − −R .

β) Το τριώνυµο 22x 5x 3− + έχει διακρίνουσα ( )2∆ 5 4 2 3 25 24 1= − − ⋅ ⋅ = − =

και ρίζες ( )

5 1 6 3

5 1 5 1 4 4 2x

5 1 42 2 41

4 4

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς 2 3 32x 5x 3 2 x (x 1) 2 x 2 (x 1) (2x 3)(x 1)

2 2

− + = − − = ⋅ − ⋅ − = − −

.

γ) Για κάθε x A 1,1∈ = − −R έχουµε:

( )( )( )

2

2

(2x 3) x 12x 5x 3 2x 3f (x)

x 1 x 1 x 1 x 1

− −− + −= = =

− − + +.

Page 19: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

19 19

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 12 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_489 α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 2− < . (Μονάδες 8)

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 3x 5− > . (Μονάδες 8)

γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούµενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα

των πραγµατικών αριθµών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το

σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε µε διάστηµα ή

ένωση διαστηµάτων. (Μονάδες 9)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) x 5 2− < ⇔ −2 < x – 5 < 2 ⇔ 5 – 2 < x < 2 + 5 ⇔ 3 < x < 7.

β) 2 3x 5− > ⇔ 2 − 3x < −5 ή 2 – 3x > 5 ⇔ − 3x < −5 – 2 ή – 3x > 5 – 2 ⇔

⇔ −3x < −7 ή –3x > 3 ⇔ 7

x3

> ή x < −1.

γ) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων στον ίδιο άξονα:

−∞ +∞1−

7

33 7

Οι κοινές λύσεις είναι x∈(3, 7) ή 3 < x < 7.

Page 20: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

20 20

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 8, 11,

13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_490 ∆ίνεται το τριώνυµο 22x 3x 1− + .

α) Να βρείτε τις ρίζες του. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις τιµές του x∈ℝ για τις οποίες: 22x 3x 1 0− + < . (Μονάδες 5)

γ) Να εξετάσετε αν οι αριθµοί 3

2 και

1

2 είναι λύσεις της ανίσωσης:

22x 3x 1 0− + < . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.4, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 22x 3x 1− + έχει διακρίνουσα ( )2∆ 3 4 2 1 1= − − ⋅ ⋅ = και ρίζες

( )3 1 4

13 1 3 1 4 4

x3 1 2 12 2 4

4 4 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

β) Κατασκευάζουµε τον πίνακα προσήµου και έχουµε:

−∞ +∞1

2 1x

22x 3x 1− + + +−

Συνεπώς 22x 3x 1 0− + < ⇔ 1

x ,12

.

γ) Έχουµε ότι 1 3

12 2< < ⇔ 1 3 2< < ⇔

22 21 3 2< < ⇔ 1 < 3 < 4,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Επίσης, έχουµε ότι 1 1 2 2

22 2 2

⋅= =

⋅ και

1 11

2 2< < ⇔

1 21

2 2< < ⇔ 1 2 2< < ⇔

22 21 2 2< < ⇔ 1 < 2 < 4,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Συνεπώς οι αριθµοί 3

2 και

1

2 είναι λύσεις της ανίσωσης 22x 3x 1 0− + < .

Page 21: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

21 21

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 12 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_491

∆ίνονται οι ανισώσεις: 3x – 1 < x + 9 και x 1

2 x2 2

− ≤ + .

α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 15)

β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. (Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

3x – 1 < x + 9 ⇔ 3x – x < 1 + 9 ⇔ 2x < 10 x < 5.

Επίσης:

x 12 x

2 2− ≤ + ⇔

x 12 2 2 2 x 2

2 2⋅ − ⋅ ≤ ⋅ + ⋅ ⇔ 4 – x ≤ 2x + 1 ⇔

⇔ −x – 2x ≤ 1 – 4 ⇔−3x ≤ −3 ⇔ x ≥ 1.

β) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων στον ίδιο άξονα:

−∞ +∞1 5

Οι κοινές λύσεις είναι x∈[1, 5) ή 1 ≤ x < 5.

Page 22: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

22 22

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 19, 20

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_492

∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x x 2x 15, x= + − ∈ℝ .

α) Να υπολογίσετε το άθροισµα f(−1) + f(0) + f(1). (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες.

(Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

( ) 2f 1 2 1 15 1 2 15 121 = + ⋅ − = + − = − ,

( ) 2f 0 0 2 0 15 15= + ⋅ − = − και

( ) 2f 1 ( 1) 2 ( 1) 15 1 2 15 16− = − + ⋅ − − = − − = − .

Συνεπώς:

f(−1) + f(0) + f(1) = −16 + (−15) + (−12) = −43.

β) Το σηµείο τοµής της f

C µε τον άξονα y΄y προκύπτει για x = 0, οπότε:

f(0) = −15, δηλαδή είναι το σηµείο Α(0, −15).

Τα σηµεία τοµής της f

C µε τον άξονα x΄x προκύπτουν για y = 0, οπότε:

f(x) = 0 ⇔ 2

x 2x 15 0+ − = (Ι).

Το τριώνυµο 2

x 2x 15+ − έχει διακρίνουσα ( )2∆ = 2 4 1 15 64− ⋅ ⋅ − = και ρίζες

2 8 63

2 64 2 8 2 2x

2 8 102 1 25

2 2

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 3 ή x = −5,

άρα τα σηµεία τοµής της f

C µε τον άξονα x΄x είναι τα Β(3, 0) και Γ(−5, 0).

Page 23: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

23 23

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_493

α) Να λύσετε την εξίσωση | x 2 3|− = . (Μονάδες 10)

β) Να σχηµατίσετε εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες τις ρίζες της εξίσωσης του

α) ερωτήµατος. (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) x 2 3 x 2 3 ή x 2 3 x 2 3 ή x 2 3| |− = ⇔ − = − = − ⇔ = + = − .

β) Έστω 1 2x 2 3, x 2 3= + = − οι ρίζες της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος.

Μια δευτεροβάθµια εξίσωση µε ρίζες τις 1 2x , x έχει τη µορφή 2x Sx P 0− + = ,

όπου:

1 2 2 3S x 2 4x 3+ += −+ == και

( )( )2

221 2 3 2 3 2 3 4 1P 3x x + − = − = −= == .

Εποµένως µια δευτεροβάθµια εξίσωση µε ρίζες τις 1 2x , x είναι η 2x 4x 1 0− + = .

Page 24: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

24 24

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 17 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_495 Σε γεωµετρική πρόοδο ν(α ) µε θετικό λόγο λ, ισχύει: 3α 1= και 5α 4= .

α) Να βρείτε τον λόγο λ της προόδου και τον πρώτο όρο της. (Μονάδες 13)

β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: ν 3

να 2 −= . (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού η *

να , ν ,∈N είναι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ,

ο νιοστός όρος είναι ν 1 *

ν 1α α λ , ν−= ∈N . Τότε:

4

2 1 2

3 1 2

1 2245 1111 2

1

α λ 4 λ 2λ 2α 1 α λ 1 λ 4

α λ 1 1α 4 αα 2 1α λ 1α λ 4

4α λ 1

== = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= =⋅ === =

,

αφού η τιµή λ = −2 απορρίπτεται.

β) Τότε:

ν 1 ν 1 2 ν 1 2 ν 1 ν 3

1

*

ν

1α α λ 2 2 2 2 2

4, ν− − − − − + − −= = ⋅ = ⋅ = = ∈N .

Page 25: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

25 25

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_496

∆ίνεται η εξίσωση ( )2x 2λx 4 λ 1 0+ + − = µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ .

(Μονάδες 8)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιµή

του λ ισχύει: ( )2

1 2 1 2xx x x 5 0+ + =+ . (Μονάδες 9)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο ( )2x 2λx 4 λ 1+ + − έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2 2 2∆ 2λ 4 4 λ 1 4λ 16λ 16 4(λ 4λ 4) 4(λ 2)= − ⋅ − = − + = − + = − .

β) Αφού 2(λ 2) 0 ∆ 0− ≥ ⇔ ≥ για κάθε λ∈ℝ , η εξίσωση ( )2x 2λx 4 λ 1 0+ + − =

έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ .

γ) Αφού 1 2x , x ρίζες της εξίσωσης ( )2x 2λx 4 λ 1 0+ + − = , από τους τύπους του

Vieta έχουµε:

1 2S x x2λ

2λ1

−= =−= + και 1 2

4(λ 1)P x x 4λ 4

1

−= = = − .

Τότε έχουµε ότι:

( )2

1 2 1 2xx x x 5 0+ + =+ ⇔ ( )24λ 42λ 5 0− + − + = ⇔

24λ4λ 1 0+ + = ⇔

⇔ 2

(2λ +1) 0= ⇔ 2λ +1 0= ⇔ 2λ = 1- ⇔ 1

λ =2

- .

Page 26: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

26 26

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_497 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι

συµµετέχουν 3 άντρες: ο ∆ηµήτρης (∆), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ), και 2 γυναί-

κες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται στην τύχη ένας άντρας και µια

γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα ονόµατά τους.

α) Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. (Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων:

Α : Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης.

Β : Να διαγωνίστηκε η Ζωή.

Γ: Να µη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο ∆ηµήτρης. (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Θα βρούµε τον δειγµατικό χώρο Ω µε πίνακα διπλής εισόδου:

Εποµένως Ω = Ε∆, ΕΚ, ΕΜ, Ζ∆, ΖΚ, ΖΜ και Ν(Ω) = 6.

β) Τότε:

Α = ΕΚ, ΕΜ, ΖΚ, ΖΜ, µε Ν(Α) = 4 και N(A) 4 2

P(A)N(Ω) 6 3

= = = ,

Β = Ζ∆, ΖΚ, ΖΜ, µε Ν(Β) = 3 και N(Β) 3 1

P(Β)N(Ω) 6 2

= = = .

Τέλος, όταν δε διαγωνίζεται ούτε ο Κώστας ούτε ο ∆ηµήτρης, σηµαίνει ότι δια-

γωνίζεται ο Μιχάλης, άρα:

Γ = ΕΜ, ΖΜ, µε Ν(Γ) = 2 και N(Γ) 2 1

P(Γ)N(Ω) 6 3

= = = .

Page 27: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

27 27

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_498

α) Να λύσετε την εξίσωση: | x 1| | x 1| 4 2

3 5 3

+ + +− = . (Μονάδες 9)

β) Nα λύσετε την ανίσωση: 2x 2x 3 0− + + ≤ . (Μονάδες 9)

γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος είναι και λύσεις της

ανίσωσης του (β) ερωτήµατος. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | x 1| | x 1| 4 2

3 5 3

+ + +− = ⇔

| x 1| | x 1| 4 215 15 15

3 5 3

+ + +⋅ − ⋅ = ⋅ ⇔

⇔ 5 | x 1| 3(| x 1| 4) 5 2+ − + + = ⋅ ⇔ 5 | x 1| 3 | x 1| 12 10+ − + − = ⇔

⇔ 5 | x 1| 3 | x 1| 12 10+ − + = + ⇔ 2 | x 1| 22+ = | x 1| 11+ = ⇔

⇔ x 1 11+ = ή x 1 11+ = − ⇔ x 11 1= − ή x 11 1= − − ⇔ x 10= ή x 12= − .

β) Το τριώνυµο 2x 2x 3− + + έχει διακρίνουσα 2∆ 2 4 ( 1) 3 16= − ⋅ − ⋅ = ,

ρίζες

2 4 21

2 16 2 4 2 2x

2 4 62( 1) 23

2 2

− + = = −− ± − ± − −= = = − − −− − = =

− −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1− 3x

2x 2x 3− + + +− −

Συνεπώς:

2x 2x 3 0− + + ≤ ⇔ x ( , 1] [3, )∈ −∞ − ∪ +∞ .

γ) Αφού 10 [3, )∈ +∞ και 12 ( , 1]− ∈ −∞ − , προκύπτει ότι και οι δύο λύσεις της εξί-

σωσης του (α) ερωτήµατος είναι και λύσεις της ανίσωσης του (β) ερωτήµατος.

Page 28: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

28 28

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_499 Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα, το 30%

συµµετέχει στην οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών συµµετέχει και στις

δύο οµάδες. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Αν ονοµάσουµε τα ενδεχόµενα:

Α: «ο µαθητής να συµµετέχει στη θεατρική οµάδα» και

Β: «ο µαθητής να συµµετέχει στην οµάδα ποδοσφαίρου»,

α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα:

i) Α Β∪ ii) Α Β∩ iii) B – A iv) Α΄ (Μονάδες 12)

β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων:

i) ο µαθητής που επιλέχθηκε να συµµετέχει µόνο στην οµάδα ποδοσφαίρου

ii) ο µαθητής που επιλέχθηκε να µη συµµετέχει σε καµία οµάδα. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) Α Β∪ = «ο µαθητής συµµετέχει στη θεατρική ή στην ποδοσφαιρική οµάδα».

ii) Α Β∩ = «ο µαθητής συµµετέχει στη θεατρική και στην ποδοσφαιρική οµάδα».

iii) B – A = «ο µαθητής συµµετέχει µόνο στην ποδοσφαιρική οµάδα».

iv) Α΄ = «ο µαθητής δε συµµετέχει στη θεατρική οµάδα».

β) Από τα δεδοµένα της άσκησης έχουµε ότι:

( ) ( ) ( )Ρ A 25% 0, 25, Ρ B 30% 0,3, Ρ A B 15% 0,15= = = = ∩ = = .

i) Τότε ( ) ( ) ( )Ρ B A Ρ B Ρ B A 0,3 0,15 0,15 15%− = − ∩ = − = = .

ii) Επίσης, ( ) ( ) ( ) ( )Ρ Α Β Ρ A Ρ B Ρ A B 0, 25 0,3 0,15 0, 4 40%∪ = + − ∩ = + − = = .

Επιπλέον:

( )Α Β ΄∪ = «ο µαθητής που επιλέχθηκε δε συµµετέχει σε καµία οµάδα»,

άρα ( )( ) ( )Ρ Α Β ΄ 1 Ρ Α Β 1 0,4 0,6 60%∪ = − ∪ = − = = .

Page 29: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

29 29

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 12 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_503

α) Να λύσετε την ανίσωση: 1

x 42

− < . (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση: | x 5 | 3+ ≥ . (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτηµάτων (α) και (β) µε

χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών και να τις γράψετε µε τη µορφή

διαστήµατος. (Μονάδες 7)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) 1 1 1 1 1 8 1 8

x 4 4 x 4 4 x 4 x2 2 2 2 2 2 2 2

− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + ⇔ − < < + ⇔

7 9x

2 2⇔ − < < .

β) | x 5 | 3+ ≥ ⇔ x + 5 ≤ −3 ή x + 5 ≥ 3 ⇔ x ≤ −3 – 5 ή x ≥ 3 – 5 ⇔

⇔ x ≤ −8 ή x ≥ –2.

γ) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων στον ίδιο άξονα:

−∞ +∞8−

7

2− 2−

9

2

Οι κοινές λύσεις είναι 9

x 2,2

∈ − ή

92 x

2− ≤ < .

Page 30: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

30 30

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_504

α) Αν α < 0, να αποδειχθεί ότι: 1

α 2α

+ ≤ − . (Μονάδες 15)

β) Αν α < 0, να αποδειχθεί ότι: 1

α 2α

+ ≥ . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για α < 0 έχουµε ότι: α 0

2 21 1α 2 α α α α ( 2) α 1 2α α 2α 1 0

α α

<

+ ≤ − ⇔ ⋅ + ⋅ ≥ ⋅ − ⇔ + ≥ − ⇔ + + ≥ ⇔

( )2α 1 0⇔ + ≥ , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

β) Για α < 0 έχουµε ότι |α| = −α και |α| α1 |1| 1 1 1

α 2 α 2 α 2 α 2 α 2α | α | α α α

=− + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ −

1α 2

α⇔ + ≤ − ,

η οποία ισχύει [λόγω του (α) ερωτήµατος], άρα ισχύει και η αρχική.

Page 31: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

31 31

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_505 α) Να λύσετε την εξίσωση: 2x 4 3 x 1− = − . (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση: 3x 5 1− > . (Μονάδες 9)

γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος και λύσεις της ανίσωσης του

(β) ερωτήµατος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | 2x 4 | 3 | x 1|− = − ⇔ ( )| 2x 4 | | 3 x 1 |− = − ⇔

⇔ 2x – 4 = 3(x – 1) ή 2x – 4 = −3(x – 1) ⇔

⇔ 2x – 4 = 3x – 3 ή 2x – 4 = −3x + 3 ⇔

⇔ 2x – 3x = 4 – 3 ή 2x + 3x = 4 + 3 ⇔

⇔ –x = 1 ή 5x = 7 ⇔ x = −1 ή 7

x5

= .

β) 3x 5 1− > ⇔ 3x – 5 < −1 ή 3x – 5 > 1 ⇔ 3x < 5 − 1 ή 3x > 5 + 1 ⇔

⇔ 3x < 4 ή 3x > 6 ⇔ 4

x3

< ή x > 2 ⇔ ( )4x , 2,

3

∈ −∞ ∪ +∞

.

γ) Έχουµε ότι:

4 72

3 5< < ⇔

4 715 15 15 2

3 5⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ 5 4 3 7 15 2⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ 20 < 21 < 30,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Συνεπώς ( )7 4, 2,

5 3

∉ −∞ ∪ +∞

, ενώ 4

1 ,3

− ∈ −∞

,

δηλαδή µόνο η λύση x 1= − της εξίσωσης | 2x 4 | 3 | x 1|− = −

είναι και λύση της ανίσωσης 3x 5 1− > .

Page 32: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

32 32

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 6 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_506 Αν 2 x 3≤ ≤ και 1 y 2≤ ≤ , να βρείτε µεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται η τιµή

καθεµιάς από τις παρακάτω παραστάσεις:

α) x + y (Μονάδες 5)

β) 2x – 3y (Μονάδες 10)

γ) x

y (Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Προσθέτοντας κατά µέλη τις ανισότητες 2 x 3≤ ≤ και 1 y 2≤ ≤ , βρίσκουµε ότι:

2 1 x y 3 2+ ≤ + ≤ + ⇔ 3 x y 5≤ + ≤ .

Συνεπώς η παράσταση x + y παίρνει τιµές από 3 µέχρι και 5.

β) Έχουµε τις ανισότητες:

• 2 x 3≤ ≤ ⇔ 2 2 2 x 2 3⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ⇔ 4 2x 6≤ ≤ ,

• 1 y 2≤ ≤ ⇔ ( 3) 1 ( 3) y ( 3) 2− ⋅ ≥ − ⋅ ≥ − ⋅ ⇔ 3 3y 6− ≥ − ≥ − ⇔

⇔ 6 3y 3− ≤ − ≤ − ,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

4 6 2x 3y 6 3− ≤ − ≤ − ⇔ 2 2x 3y 3− ≤ − ≤ .

Συνεπώς η παράσταση 2x – 3y παίρνει τιµές από −2 µέχρι και 3.

γ) Έχουµε τις ανισότητες:

• 2 x 3≤ ≤ και

• 1 y 2≤ ≤ ⇔ 1 1 1

1 y 2≥ ≥ ⇔

1 11

2 y≤ ≤ ,

τις οποίες πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη (που είναι θετικά) και βρίσκουµε

1 12 x 3 1

2 y⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅

x1 3

y≤ ≤ .

Συνεπώς η παράσταση x

y παίρνει τιµές από 1 µέχρι και 3.

Page 33: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

33 33

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 9 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_507

∆ίνεται η εξίσωση: ( )2 2λ 9 x λ 3λ− = − , µε παράµετρο λ∈ℝ (1).

α) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές πραγµατικές τιµές για το λ, να γράψετε τρεις

εξισώσεις. (Μονάδες 6)

β) Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ∈ℝ , ώστε η (1) να έχει µία και µοναδική

λύση. (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την τιµή του λ∈ℝ , ώστε η µοναδική λύση της (1) να ισούται µε 4.

(Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

• Για λ = 0 η εξίσωση (1) γίνεται ( )2 20 9 x 0 3 0− = − ⋅ ⇔ −9x = 0.

• Για λ = 1 η εξίσωση (1) γίνεται ( )2 21 9 x 1 3 1− = − ⋅ ⇔ −8x = −2.

• Για λ = 3 η εξίσωση (1) γίνεται ( )2 23 9 x 3 3 3− = − ⋅ ⇔ 0x = 0.

β) Η εξίσωση ( )2 2λ 9 x λ 3λ− = − έχει µοναδική λύση αν και µόνο αν

( )( )2λ 9 0 λ 3 λ 3 0 λ 3 0 και λ 3 0 λ 3− ≠ ⇔ − + ≠ ⇔ − ≠ + ≠ ⇔ ≠ ± .

γ) Για λ ≠ ±3 η εξίσωση (1) έχει µοναδική λύση, την

( )2 2 λ(λ 3) λλ 9 x λ 3λ (λ 3)(λ 3)x λ(λ 3) x x

(λ 3)(λ 3) λ 3

−− = − ⇔ − + = − ⇔ = ⇔ =

− + +.

Όµως θέλουµε η µοναδική λύση να είναι το 4, οπότε:

λ4 4(λ 3) λ 4λ 12 λ 4λ λ 12 3λ 12 λ 4

λ 3= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = −

+,

η οποία είναι δεκτή.

Page 34: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

34 34

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_508 α) Να βρείτε το άθροισµα των ν πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων

1, 2, 3, …, ν. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει να

χρησιµοποιήσουµε για να πάρουµε άθροισµα τον αριθµό 45. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Οι δοσµένοι αριθµοί είναι όροι αριθµητικής προόδου *

να , ν ,∈N µε διαφορά

ω 1= και 1α = 1, οπότε το άθροισµα των ν πρώτων όρων της είναι:

( ) ( ) 21 *

ν

2α ν 1 ω 2 1 ν 1 1 2 ν 1 (ν 1)ν ν νS ν ν ν , ν

2 2 2 2 2

+ − ⋅ + − ⋅ + − + += ⋅ = ⋅ = ⋅ = = ∈N .

β) Αναζητούµε *

ν∈N έτσι ώστε ν

S 45= , οπότε:

2ν ν= 45

2

+ ⇔

2ν ν = 90+ ⇔

2ν ν 90 = 0+ − (Ι).

Το τριώνυµο 2

ν ν 90+ − έχει διακρίνουσα 2∆ 1 4 1 ( 90) = 361= − ⋅ ⋅ −

και ρίζες

1 19 189

1 361 1 19 2 2ν

1 19 202 1 210

2 2

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ ν = 9 ή ν = −10 (απορρίπτεται),

άρα οι εννέα πρώτοι θετικοί ακέραιοι δίνουν άθροισµα 45.

Page 35: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

35 35

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_509

α) Αν α, β 0∈ −ℝ , να αποδειχθεί ότι: α β

2β α+ ≥ (1). (Μονάδες 15)

β) Πότε ισχύει η ισότητα στην (1); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για α, β 0∈ −ℝ έχουµε ότι:

|α||β| 0α β | α | | β | | α | | β |2 2 | α || β | | α || β | 2 | α || β |

β α | β | | α | | β | | α |

>

+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔

( )22 2 2 2| α | | β | 2 | α || β | | α | | β | 2 | α || β | 0 | α | | β | 0⇔ + ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥ ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

β) Για α, β 0∈ −ℝ έχουµε ότι:

|α||β| 0α β | α | | β | | α | | β |2 2 | α || β | | α || β | 2 | α || β |

β α | β | | α | | β | | α |

>

+ = ⇔ + = ⇔ + = ⇔

( )22 2 2 2| α | | β | 2 | α || β | | α | | β | 2 | α || β | 0 | α | | β | 0⇔ + = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔

| α | | β | 0 | α | | β | α β⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± ,

δηλαδή η ισότητα ισχύει αν και µόνο αν α = ±β.

Page 36: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

36 36

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 10, 19

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_510

∆ίνεται η συνάρτηση f, µε: 2

2x 5, x 3f (x)

x , 3 x 10

− ≤=

< <.

α) Να γράψετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f σε µορφή διαστήµατος.

(Μονάδες 8)

β) Να υπολογίσετε τις τιµές f(−1), f(3) και f(5). (Μονάδες 8)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 25. (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

x 3 x ( , 3]≤ ⇔ ∈ −∞ και 3 x 10 x (3,10)< < ⇔ ∈ ,

οπότε fA ( , 3] (3,10) ( ,10)= −∞ ∪ = −∞ .

β) Επίσης:

f ( 1) 2( 1) 5 2 5 7− = − − = − − = − ,

f (3) 2 3 5 6 5 1= ⋅ − = − = και 2f (5) 5 25= = .

γ) • Για x ≤ 3 έχουµε:

f(x) = 25 ⇔ 2x – 5 = 25 ⇔ 2x = 25 + 5 ⇔ 2x = 30 ⇔

⇔ x = 15 (απορρίπτεται).

• Για 3 < x < 10 έχουµε:

f(x) = 25 ⇔ 2x 25= ⇔ x = 5 (δεκτή) ή x = −5 (απορρίπτεται).

Συνεπώς µοναδική λύση της εξίσωσης f(x) = 25 είναι το x = 5.

Page 37: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

37 37

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_936

∆ίνεται η παράσταση: ( )( )A x 4 x 1 x 4 x 1= − + + − − + .

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας. (Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x.

(Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν x 4 0 x 4

x 4x 1 0 x 1

− ≥ ≥ ⇔ ⇔ ≥

+ ≥ ≥ − ,

δηλαδή ορίζεται για x [4, )∈ +∞ .

β) Για x [4, )∈ +∞ έχουµε ότι:

( )( ) ( ) ( )2 2

A x 4 x 1 x 4 x 1 x 4 x 1= − + + − − + = − − +

(x 4) (x 1) x 4 x 1 5= − − + = − − − = − ,

δηλαδή η παράσταση A είναι σταθερή (ανεξάρτητη του x).

Page 38: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

38 38

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_938

α) Να δείξετε ότι: 33 30 4< < . (Μονάδες 12)

β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς 3 30 και 36 30− . (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι: 3

3 33 33 30 4 3 30 4 27 30 64< < ⇔ < < ⇔ < < ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

β) Έχουµε ότι:

3 36 30 30− < ⇔ 3 36 30 30< + ⇔ 36 2 30< ⇔ ( )33 36 2 30< ⇔

⇔ 3

3 3 36 2 30< ⋅ ⇔ 216 8 30< ⋅ ⇔ 216 < 240,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Συνεπώς 3 36 30 30− < .

Page 39: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

39 39

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_944

∆ίνεται η παράσταση: A x 4 6 x= − + − .

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος.

(Μονάδες 13)

β) Για x = 5, να αποδείξετε ότι: 2A A 6 0+ − = . (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν x 4 0 x 4

4 x 66 x 0 x 6

− ≥ ≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤

− ≥ ≤ ,

δηλαδή ορίζεται για x [4, 6]∈ .

β) Για x = 5 έχουµε ότι:

A 5 4 6 5 1 1 1 1 2= − + − = + = + = ,

οπότε 2 2A A 6 2 2 6 4 2 6 0+ − = + − = + − = .

Page 40: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

40 40

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_947

∆ίνεται η παράσταση: 2A x 4 x 4= + − − .

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος.

(Μονάδες 12)

β) Αν x = 4, να αποδείξετε ότι: ( )2A A 2 10 5− = − . (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν 2 2 xx 4 0 x 4

x 4x 4x 4 0 x 4

∈ + ≥ ≥ − ⇔ ⇔ ⇔ ≥

≥− ≥ ≥

R,

δηλαδή ορίζεται για x [4, )∈ +∞ .

β) Για x = 4 έχουµε ότι: 2A 4 4 4 4 16 4 0 20 4 5 4 5 2 5= + − − = + − = = ⋅ = = ,

οπότε:

( ) ( )2 22 2A A 2 5 2 5 2 5 2 5 4 5 2 5 20 2 5 2 10 5− = − = − = ⋅ − = − = − .

Page 41: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

41 41

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_950

∆ίνεται η παράσταση: 4 4A 1 x x= − − .

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος.

(Μονάδες 13)

β) Αν x = −3, να αποδείξετε ότι: 3 2A A A 1 0+ + + = . (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν 4 4

1 x 0 x 1 x 1x 1

xx 0 x 0

− ≥ ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ≤

∈≥ ≥ R, δηλαδή

ορίζεται για x ( ,1]∈ −∞ .

β) Για x = −3 έχουµε ότι: 44A 1 ( 3) ( 3) 1 3 | 3 | 4 3 2 3 1= − − − − = + − − = − = − = − ,

οπότε 3 2 3 2A A A 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 0+ + + = − + − + − + = − + − + = .

Page 42: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

42 42

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_952

∆ίνεται η παράσταση: ( )55B x 2= − .

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση B; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x υπό µορφή διαστήµα-

τος. (Μονάδες 13)

β) Για x = 4, να αποδείξετε ότι 2 4B + 6B = B . (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η παράσταση Β ορίζεται όταν: 5(x 2) 0 x 2 0 x 2− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ , δηλαδή ορίζεται για x [2, )∈ +∞ .

β) Για x [2, ) x 2 x 2 0∈ +∞ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ισχύει Β = |x – 2| = x – 2.

Συνεπώς για x = 4 έχουµε ότι Β = 4 – 2 = 2,

οπότε 2 2 4 4B + 6B 2 + 6 2 4 12 16 2 B= ⋅ = + = = = .

Page 43: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

43 43

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_955

∆ίνονται οι αριθµοί: ( )6

A 2= και ( )63B 2= .

α) Να δείξετε ότι: Α – Β = 4. (Μονάδες 13)

β) Να διατάξετε από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο τους αριθµούς: 32, 1, 2 .

(Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

( ) ( )36 2

3A 2 2 2 8= = = = και ( ) ( )26 3

23 3B 2 2 2 4= = = = ,

άρα Α – Β = 8 – 4 = 4.

β) Επίσης:

• 3

33 31 < 2 1 < 2 1 2⇔ ⇔ < , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική και

• 6 6

2 33 32 2 2 2 2 2 4 8< ⇔ < ⇔ < ⇔ < , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η

αρχική.

Συνεπώς 31 < 2 2< .

Page 44: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

44 44

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_991 Αν ο πραγµατικός αριθµός x ικανοποιεί τη σχέση: x 1 2+ < ,

α) να δείξετε ότι x∈(−3, 1). (Μονάδες 12)

β) να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης: x 3 x 1

K4

+ + −= είναι αριθµός ανεξάρ-

τητος του x. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) x 1 2+ < ⇔ −2 < x + 1 < 2 ⇔ −2 – 1 < x < 2 – 1 ⇔ −3 < x < 1 ⇔

⇔ x∈(−3, 1).

β) Αφού −3 < x < 1 ⇔ 3 − 3 < x + 3 < 1 + 3 ⇔ 0 < x + 3 < 4,

άρα x + 3 > 0 και |x + 3| = x + 3.

Επίσης, −3 < x < 1 ⇔ −3 – 1 < x – 1 < 1 – 1 ⇔ −4 < x – 1 < 0,

άρα x – 1 < 0 και |x – 1| = −(x – 1) = −x + 1.

Συνεπώς:

x 3 x 1 x 3 ( x 1) x 3 x 1 4K 1

4 4 4 4

+ + − + + − + + − += = = = = ,

δηλαδή η τιµή της παράστασης Κ είναι αριθµός ανεξάρτητος του x.

Page 45: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

45 45

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_996 ∆ίνεται η παράσταση: A = |x – 1| + |y – 3|, µε x, y πραγµατικούς αριθµούς, για τους

οποίους ισχύει: 1 < x < 4 και 2 < y < 3.

Να αποδείξετε ότι:

α) A = x – y + 2 (Μονάδες 12)

β) 0 < A < 4 (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

• 1 < x < 4 ⇔ 1 – 1 < x – 1 < 4 – 1 ⇔ 0 < x – 1 < 3,

άρα x – 1 > 0 και |x – 1| = x – 1.

• 2 < y < 3 ⇔ 2 – 3 < y – 3 < 3 – 3 ⇔ −1 < y – 3 < 0,

άρα y – 3 < 0 και |y – 3| = −(y – 3) = −y + 3.

Συνεπώς Α = x – 1 + (−y + 3) = x – 1 – y + 3 = x – y + 2.

β) Έχουµε τις ανισότητες:

• 1 < x < 4 ⇔ 1 + 2 < x + 2 < 4 + 2 ⇔ 3 < x + 2 < 6,

• 2 < y < 3 ⇔ (−1)⋅2 > (−1)⋅y > (−1)⋅3 ⇔ −2 > −y > −3 ⇔ −3 < −y < −2,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

3 – 3 < x + 2 – y < 6 – 2 ⇔ 0 < x + 2 – y < 4 ⇔ 0 < Α < 4.

Page 46: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

46 46

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 19

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_999

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 2x 5x 6− + . (Μονάδες 12)

β) ∆ίνεται η συνάρτηση ( )2

x 2f x

x 5x 6

−=

− +.

i) Να βρείτε το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης. (Μονάδες 5)

ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈A ισχύει: ( ) 1f x

x 3=

−. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 5x 6− + έχει διακρίνουσα ( )2∆ 5 4 1 6 1= − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες ( )

5 1 63

5 1 5 1 2 2x

5 1 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

,

οπότε 2x 5x 6 (x 2)(x 3)− + = − − .

β) i) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν 2x 5x 6 0− + ≠ ⇔ x ≠ 2 και x ≠ 3,

οπότε A 2, 3 ( , 2) (2, 3) (3, )= − = −∞ ∪ ∪ +∞ℝ .

ii) Για κάθε x A∈ έχουµε ( )( )( )2

x 2 x 2 1f x

x 5x 6 x 2 x 3 x 3

− −= = =

− + − − −.

Page 47: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

47 47

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1003 Ένα κουτί περιέχει άσπρες, µαύρες, κόκκινες και πράσινες µπάλες. Οι άσπρες είναι

5, οι µαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες µαζί είναι 16. Επιλέγουµε µια

µπάλα στην τύχη. ∆ίνονται τα παρακάτω ενδεχόµενα:

Α: η µπάλα που επιλέγουµε είναι ΑΣΠΡΗ

K: η µπάλα που επιλέγουµε είναι KOKKINH

Π: η µπάλα που επιλέγουµε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ

α) Χρησιµοποιώντας τα Α, Κ και Π να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων τα ενδε-

χόµενα:

i) Η µπάλα που επιλέγουµε δεν είναι άσπρη,

ii) Η µπάλα που επιλέγουµε είναι κόκκινη ή πράσινη. (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόµενα του

ερωτήµατος (α). (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) A΄ = «Η µπάλα που επιλέγουµε δεν είναι άσπρη».

ii) K Π∪ = «Η µπάλα που επιλέγουµε είναι κόκκινη ή πράσινη».

β) Έχουµε ότι Ν(Α) = 5, N(K Π) 16∪ = και Ν(Ω) = 5 + 9 + 16 = 30.

Συνεπώς:

( ) ( ) ( )( )

N A 5 30 5 25 5P Α΄ 1 P A 1 1

N Ω 30 30 30 30 6= − = − = − = − = = και

( ) ( )( )

Ν Κ Π 16 8P K Π

Ν Ω 30 15

∪∪ = = = .

Page 48: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

48 48

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1005

∆ίνονται οι παραστάσεις 1 x

Αx 1

+=

− και

2

2B

x x=

−, όπου ο x είναι πραγµατικός

αριθµός.

α) Να αποδείξετε ότι για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α, Β πρέπει:

x ≠ 1 και x ≠ 0. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει A = B. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η παράσταση Α ορίζεται όταν x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1.

Η παράσταση Β ορίζεται όταν:

( )2x x 0 x x 1 0 x 0 και x 1 0 x 0 και x 1− ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ − ≠ ⇔ ≠ ≠ .

Συνεπώς, για να ορίζονται ταυτόχρονα οι παραστάσεις Α και Β, πρέπει:

x ≠ 0 και x ≠ 1.

β) Για x ≠ 0 και x ≠ 1 έχουµε:

( )( ) ( )

( )2

1 x 2 1 x 2 1 x 2A B x x 1 x x 1

x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x x 1

+ + += ⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔

− − − − − −

( ) 2 2x 1 x 2 x x 2 x x 2 0⇔ + = ⇔ + = ⇔ + − = (Ι).

Το τριώνυµο 2x x 2+ − έχει διακρίνουσα 2∆ 1 4 1 ( 2) 9= − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

1 3 21

1 9 1 3 2 2x

1 3 42 1 22

2 2

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

.

Συνεπώς:

(Ι) ⇔ x = 1 (απορρίπτεται) ή x = −2 (δεκτή) ⇔ x = −2.

Page 49: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

49 49

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1007 α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: 22x 10x 12− + = . (Μονάδες 15)

β) Να λύσετε την εξίσωση: 22x 10x 12

= 0x 2

− + −−

. (Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι 22x 10x 12− + = ⇔ 22x 10x 12 = 0− + − ⇔ 2x 5x 6 = 0+- (Ι).

Το τριώνυµο 2x 5x 6+- έχει διακρίνουσα 2∆ ( 5) 4 1 6 25 24 1= − − ⋅ ⋅ = − =

και ρίζες

5 1 63

( 5) 1 5 1 2 2x

5 1 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 2 ή x = 3.

β) Για x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 έχουµε ότι: 22x 10x 12

= 0x 2

− + −−

⇔ 22x 10x 12 = 0− + − ⇔ 2x 5x 6 = 0+- ⇔

⇔ x = 2 (απορρίπτεται) ή x = 3 (δεκτή) ⇔ x = 3.

Page 50: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

50 50

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 7 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1009 ∆ίνεται η παράσταση: Α = |3x – 6| + 2, όπου ο x είναι πραγµατικός αριθµός.

α) Να αποδείξετε ότι:

i) για κάθε x 2, A 3x 4≥ = −

ii) για κάθε x 2, A 8 3x< = − . (Μονάδες 12)

β) Αν για τον x ισχύει ότι x ≥ 2, να αποδείξετε ότι: 29x 16

3x 43x 6 2

−= +

− +.

(Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

3x 6, 3x 6 0 3x 6, 3x 6 3x 6, x 2| 3x 6 |

(3x 6), 3x 6 0 3x 6, 3x 6 3x 6, x 2

− − ≥ − ≥ − ≥ − = = =

− − − < − + < − + < .

i) Για x ≥ 2 έχουµε Α = |3x – 6| + 2 = 3x – 6 + 2 = 3x – 4.

ii) Για x < 2 έχουµε Α = |3x – 6| + 2 = −3x + 6 + 2 = −3x + 8.

β) Για x ≥ 2 έχουµε ότι: 2 29x 16 9x 16 (3x 4)(3x 4)

3x 43x 6 2 A 3x 4

− − − += = = +

− + −.

Page 51: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

51 51

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1015 ∆ίνεται η αριθµητική πρόοδος ν(α ) µε όρους 2 4α 0,α 4= = .

α) Να αποδείξετε ότι ω = 2 και 1α 2= − , όπου ω είναι η διαφορά της προόδου και

1α ο πρώτος όρος της. (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος µε να 2ν 4, ν ∗= − ∈N

και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος µε 98. (Μονάδες 15)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού έχουµε αριθµητική πρόοδο *

να , ν ,∈N µε διαφορά ω και πρώτο όρο 1α , ο

νιοστός όρος είναι ( ) *

ν 1α α ν 1 ω, ν= + − ∈N .

Τότε:

( )( )

12 1 1

14 1

α 2 1 ω 0α 0 α ω 0 α ω

α 4 1 ω 4α 4 α 3ω 4 ω 3ω 4

+ − == + = = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ − == + = − + =

1 1 1α ω α ω α 2

2ω 4 ω 2 ω 2

= − = − = − ⇔ ⇔ ⇔

= = = .

β) Τότε:

( ) ( ) *

ν 1α α ν 1 ω 2 ν 1 2 2 2ν 2 2ν 4, ν= + − = − + − ⋅ = − + − = − ∈N .

Για να βρούµε ποιος όρος της αριθµητικής προόδου ισούται µε 98, αναζητούµε *

ν∈N έτσι ώστε:

να 98 2ν 4 98 2ν 4 98 2ν 102 ν 51= ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = ⇔ = .

Άρα ο πεντηκοστός πρώτος όρος ισούται µε 98, δηλαδή 51α 98= .

Page 52: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

52 52

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 20 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1024 ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = αx + β, όπου α, β πραγµατικοί αριθµοί.

α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σηµεία A(1, 6),

B(−1, 4), να βρείτε τις τιµές των α, β. (Μονάδες 13)

β) Αν α = 1 και β = 5, να προσδιορίσετε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f µε τους άξονες x΄x και y΄y . (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού η fC διέρχεται από το Α(1, 6), ισχύει f(1) = 6, και αφού διέρχεται από το

Β(−1, 4), ισχύει f(−1) = 4. Συνεπώς έχουµε ότι:

α 1 β 6

α ( 1) β 4

⋅ + =

⋅ − + = ⇔

α β 6

α β 4

+ =− + =

⇔ α β α β 6 4

α β 4

+ − + = +

− + = ⇔

2β 10

α β 4

=− + =

⇔ β 5

α β 4

=− + =

⇔ β 5

α 5 4

=− + =

⇔ β 5

α 4 5

=− = −

⇔ β 5

α 1

=− = −

⇔ β 5

α 1

=

=.

β) Για α = 1 και β = 5 έχουµε f(x) = x + 5.

Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα y΄y προκύπτει για x = 0, οπότε:

f(0) = 0 + 5 = 5, δηλαδή είναι το σηµείο Α(0, 5).

Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα x΄x προκύπτει για y = 0, οπότε:

f(x) = 0 ⇔ x + 5 = 0 ⇔ x = −5, δηλαδή είναι το σηµείο Β(−5, 0).

Page 53: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

53 53

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 17 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1032 α) Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό x ώστε οι αριθµοί: x, 2x + 1, 5x + 4, µε τη

σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου.

(Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τον λόγο λ της παραπάνω γεωµετρικής προόδου, όταν:

i) x = 1 ii) x = −1 (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού οι αριθµοί x, 2x + 1, 5x + 4 είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου,

ισχύει:

( ) ( )2 2 2 2 22x 1 x 5x 4 4x 4x 1 5x 4x 4x 4x 1 5x 4x 0+ = + ⇔ + + = + ⇔ + + − − = ⇔

2 2x 1 0 x 1 x 1⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ± .

β) i) Για x = 1 οι αριθµοί είναι οι 1, 3, 9, οπότε ο λόγος της γεωµετρικής προόδου

είναι 3 9

31 3= = .

ii) Για x = −1 οι αριθµοί είναι οι −1, −1, −1, οπότε ο λόγος της γεωµετρικής προ-

όδου είναι 1 1

11 1

− −= =

− −.

Page 54: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

54

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1039

α) Να λύσετε την ανίσωση x 1 5− ≥ . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τους αριθµούς x που απέχουν από το 5 απόσταση µικρότερη του 3.

(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β). (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) x 1 5− ≥ ⇔ x – 1 ≤ −5 ή x – 1 ≥ 5 ⇔ x ≤ 1 − 5 ή x ≥ 1 + 5 ⇔ x ≤ −4 ή x ≥ 6.

β) H απόσταση του x από το 5 εκφράζεται από το d(x, 5) | x 5 |= − .

Εποµένως πρέπει να λύσουµε την ανίσωση:

x 5 3 3 x 5 3 3 5 x 3 5 2 x 8− < ⇔ − < − < ⇔ − + < < + ⇔ < < .

γ) Βάζουµε τις λύσεις των ανισώσεων στον ίδιο άξονα:

−∞ +∞4− 2 6 8

Εποµένως οι κοινές λύσεις είναι 6 x 8≤ < .

Page 55: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

55

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 19 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1042

∆ίνεται η συνάρτηση: 2x 4, x 0

f (x)x 1, x 0

+ <=

− ≥.

α) Να δείξετε ότι f ( 1) f (3)− = . (Μονάδες 13)

β) Να προσδιορίσετε τις τιµές του x∈ℝ , ώστε: ( )f x 0= . (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι f (3) 3 1 2= − = και

f ( 1) 2 ( 1) 4 2 4 2− = ⋅ − + = − + = ,

άρα f ( 1) f (3)− = .

β) • Για x < 0 έχουµε ότι f(x) = 0 ⇔ 2x + 4 = 0 ⇔ 2x = −4 ⇔ x = −2 (δεκτή).

• Για x ≥ 0 έχουµε ότι f(x) = 0 ⇔ x – 1 =0 ⇔ x = 1 (δεκτή).

Συνεπώς f(x) = 0 ⇔ x = −2 ή x = 1.

Page 56: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

56

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 10, 17

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1050

α) Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό x ώστε οι αριθµοί: ( )2x 2, x 1 , 3x 2+ + +

µε

τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου.

(Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τη διαφορά ω της παραπάνω αριθµητικής προόδου, όταν:

i) x 1= ii) x = 1− (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.2, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού οι αριθµοί ( )2x 2, x 1 , 3x 2+ + +

είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής

προόδου, ισχύει:

( )22 x 1 x 2 + 3x 2+ = + + ⇔ ( )22 x 2x 1 4x 4+ + = + ⇔

⇔ 22x + 4x + 2 4x 4 = 0- - ⇔ 22x 2 = 0- ⇔ 22x 2= ⇔ 2x 1= ⇔

⇔ x 1±= ⇔ x 1= ± .

β) i) Αν x = 1, οι δοσµένοι αριθµοί είναι οι 3, 4, 5, οπότε η διαφορά της αριθµη-

τικής προόδου είναι 4 – 3 = 5 – 4 = 1.

ii) Αν x = −1, οι δοσµένοι αριθµοί είναι οι 1, 0, −1, οπότε η διαφορά της αριθµη-

τικής προόδου είναι 0 – 1 = −1 – 0 = −1.

Page 57: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

57

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 9 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1055

∆ίνεται η εξίσωση: ( )( )2( 1)x 1 2λ − = λ + λ + , µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να λύσετε την εξίσωση για λ = 1 και για λ = −1. (Μονάδες 12)

β) Για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει µοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Θέτοντας λ = 1 στην εξίσωση, βρίσκουµε:

( ) ( )2(1 1)x 1 1 1 2 0x 6− = + + ⇔ = , η οποία είναι αδύνατη.

Θέτοντας λ = −1 στην εξίσωση, βρίσκουµε:

( )( )2( 1) 1 x 1 1 1 2 0x 0 − − = − + − + ⇔ = , η οποία είναι αόριστη.

β) Για 2 21 0 1 1 1λ − ≠ ⇔ λ ≠ ⇔ λ ≠ ± ⇔ λ ≠ ± ,

η εξίσωση ( )( )2( 1)x 1 2λ − = λ + λ + έχει µοναδική λύση τη

( )( ) ( ) ( )2

1 2 1 2 2x

1 ( 1)( 1) 1

λ + λ + λ + λ + λ += = =

λ − λ − λ + λ −.

Page 58: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

58

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1057 Σε ένα γυµναστήριο µε 10 σειρές καθισµάτων, η πρώτη σειρά έχει 120 καθίσµατα

και κάθε σειρά έχει 20 καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενή της.

α) Να εκφράσετε µε µια αριθµητική πρόοδο το πλήθος των καθισµάτων της

ν-οστής σειράς. (Μονάδες 9)

β) Πόσα καθίσµατα έχει η τελευταία σειρά; (Μονάδες 8)

γ) Πόσα καθίσµατα έχει το γυµναστήριο; (Μονάδες 8)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού κάθε σειρά έχει 20 καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενη, το

πλήθος των καθισµάτων σε κάθε σειρά αποτελεί όρους αριθµητικής προόδου *,να ν∈N και ν ≤ 10 µε διαφορά ω = 20 και πρώτο όρο 1 120α = .

Συνεπώς το πλήθος των καθισµάτων της νιοστής σειράς είναι: *120 ( 1) 20 120 20 20 20 100,να = + ν − ⋅ = + ν − = ν + ν∈N και ν ≤ 10.

β) Η τελευταία σειρά είναι η 10η, οπότε ψάχνουµε τον 10α , άρα:

10 20 10 100 200 100 300α = ⋅ + = + = .

Συνεπώς η τελευταία σειρά έχει 300 καθίσµατα.

γ) Το σύνολο των καθισµάτων του γυµναστήριου είναι το άθροισµα του πλήθους

των καθισµάτων των 10 σειρών του, άρα:

1 1010

120 300 420S 10 10 10 210 10 2100

2 2 2

α +α += ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = .

Συνεπώς το γυµναστήριο έχει 2100 καθίσµατα.

Page 59: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

59

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1062 α) Να βρείτε για ποιες πραγµατικές τιµές του y ισχύει: y 3 1− < . (Μονάδες 12)

β) Αν x, y είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε

1 x 3< < και 2 y 4< < , τότε να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η

τιµή του εµβαδού E του ορθογωνίου. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) y 3 1 1 y 3 1 3 1 y 3 1 2 y 4− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + ⇔ < < .

β) Πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη (τα οποία είναι θετικά)

τις 1 x 3< < και 2 y 4< < , βρίσκουµε ότι:

1 2 x y 3 4⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ 2 E 12< < ,

δηλαδή το εµβαδόν του ορθογωνίου περιέχεται µεταξύ των τιµών 2 και 12.

Page 60: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

60

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1064 ∆ίνεται αριθµητική πρόοδος ν(α ) για την οποία ισχύει ότι:

1α 19= και 10 6α α 24− = .

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω = 6. (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τον 20α . (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε το άθροισµα των 20 πρώτων όρων της προόδου. (Μονάδες 8)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού έχουµε αριθµητική πρόοδο *, ,να ν∈N ο νιοστός όρος της δίνεται από τον

τύπο *

1 ( 1) 19 ( 1) ,να = α + ν − ω = + ν − ω ν∈N .

Τότε:

10 6α α 24 19 (10 1)ω [19 (6 1)ω] 24 19 9ω (19 5ω) 24− = ⇔ + − − + − = ⇔ + − + = ⇔

19 9ω 19 5ω 24 4ω 24 ω 6⇔ + − − = ⇔ = ⇔ = .

β) Ο νιοστός όρος είναι *19 ( 1) 6 19 6 6 6 13,να = + ν − ⋅ = + ν − = ν + ν∈N .

Συνεπώς 20 6 20 13 120 13 133α = ⋅ + = + = .

γ) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων δίνεται από τον τύπο

( ) ( )1

ν

2α ν 1 ω 2 19 ν 1 6 2 [19 3(ν 1)]S ν ν ν

2 2 2

+ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + −= ⋅ = ⋅ = ⋅

2 *2(19 3ν 3)ν (3ν 16)ν 3ν 16ν, ν

2

+ −= ⋅ = + = + ∈N .

Τότε 2

20S 3 20 16 20 3 400 320 1200 320 1520= ⋅ + ⋅ = ⋅ + = + = .

Page 61: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

61

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1067

∆ίνεται η παράσταση: 2

2

x 4x 4K

2x 3x 2

− +=

− −.

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 22x 3x 2− − . (Μονάδες 10)

β) Για ποιες τιµές του x ∈ℝ ορίζεται η παράσταση Κ; Να αιτιολογήσετε την απά-

ντησή σας. (Μονάδες 7)

γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση Κ. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 22x 3x 2− − έχει ( ) ( )2∆ 3 4 2 2 9 16 25= − − ⋅ ⋅ − = + =

και ρίζες ( )

3 5 82

3 25 3 5 4 4x

3 5 2 12 2 4

4 4 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς:

2 1 12x 3x 2 2 x (x 2) 2 x (x 2) (2x 1)(x 2)

2 2

− − = − − − = + − = + −

.

β) Η παράσταση Κ ορίζεται όταν: 22x 3x 2 0 (2x 1)(x 2) 0 2x 1 0 και x 2 0− − ≠ ⇔ + − ≠ ⇔ + ≠ − ≠ ⇔

12x 1 και x 2 x και x 2

2⇔ ≠ − ≠ ⇔ ≠ − ≠ .

Συνεπώς η παράσταση Κ ορίζεται για κάθε 1

x , 22

∈ − −

ℝ .

γ) Για 1

x και x 22

≠ − ≠ έχουµε ότι:

( )( ) ( )

22

2

x 2x 4x 4 x 2K

2x 3x 2 x 2 2x 1 2x 1

−− + −= = =

− − − + +.

Page 62: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

62

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 5 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1070 ∆ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί α, β, γ, δ µε β ≠ 0 και δ ≠ γ ώστε να ισχύουν:

α + β= 4

β και

γ 1

δ γ 4=

−.

α) Να αποδείξετε ότι α = 3β και δ = 5γ. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την τιµή της παράστασης: αγ βγ

Πβδ βγ

+=

−. (Μονάδες 15)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για β ≠ 0 έχουµε ότι α β

4 α β 4β α 4β β α 3ββ

+= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = .

Επίσης, για γ ≠ δ έχουµε ότι γ 1

4γ δ γ 4γ γ δ δ 5γδ γ 4

= ⇔ = − ⇔ + = ⇔ =−

.

β) Για β ≠ 0 και γ ≠ δ έχουµε ότι:

( )( )

( )( )

γ α β γ 3β βαγ βγ 4βγΠ 1

βδ βγ β δ γ β 5γ γ 4βγ

+ ++= = = = =

− − −.

Page 63: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

63

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1074 α) Να βρείτε για ποιες πραγµατικές τιµές του y ισχύει: | y 3 | 1− < . (Μονάδες 12)

β) Αν x, y είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε

1 x 3< < και 2 y 4< < , τότε να αποδείξετε ότι 6 Π 14< < , όπου Π είναι η

περίµετρος του ορθογωνίου. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) y 3 1 1 y 3 1 3 1 y 3 1 2 y 4− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + ⇔ < < .

β) Η περίµετρος του ορθογωνίου είναι Π = 2x + 2y,

µε x, y > 0.

Έχουµε τις ανισότητες:

• 1 x 3< < ⇔ 2 1 2 x 2 3⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ 2 2x 6< < ,

• 2 y 4< < ⇔ 2 2 2 y 2 4⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ 4 2y 8< < ,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

2 4 2x 2y 6 8+ < + < + ⇔ 6 Π 14< < .

x

y

Page 64: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

64

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1077 α) Να λύσετε την ανίσωση: |x – 5| < 4. (Μονάδες 10)

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι:

1 11

9 α< < . (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) |x – 5| < 4 ⇔ −4 < x – 5 < 4 ⇔ 5 – 4 < x < 5 + 4 ⇔ 1 < x < 9.

β) Αφού ο αριθµός α επαληθεύει την ανίσωση του (α) ερωτήµατος, ισχύει ότι:

1 1 1 1 11 α 9 1

1 α 9 9 α< < ⇔ > > ⇔ < < .

Page 65: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

65

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 5 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1080

Έστω x, y πραγµατικοί αριθµοί ώστε να ισχύει: 4x 5y

2x 4y

+= −

−.

α) Να αποδείξετε ότι: y = 2x. (Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 2 22x 3y xy

Axy

+ += . (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για x – 4y ≠ 0 ⇔ x ≠ 4y έχουµε ότι:

( )4x 5y2 4x 5y 2 x 4y 4x 5y 2x 8y

x 4y

+= − ⇔ + = − − ⇔ + = − + ⇔

4x 2x 8y 5y 6x 3y 2x y y 2x⇔ + = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = .

β) Για x ≠ 4y, x ≠ 0, y ≠ 0 έχουµε ότι: 2 2 2 2 2 2 2

2

2x 3y xy 2x 3 (2x) x (2x) 2x 3 4x 2xA

xy x (2x) 2x

+ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ += = =

⋅ 2 2 2 2

2 2

2x 12x 2x 16x8

2x 2x

+ += = = .

Page 66: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

66

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 19 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1082

∆ίνεται η συνάρτηση 2

x 2f (x)

x x 6

+=

− −.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. (Μονάδες 15)

β) Να δείξετε ότι: f(2) + f(4) = 0. (Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει 2x x 6 0− − ≠ (Ι).

Το τριώνυµο 2x x 6− − έχει διακρίνουσα ( ) ( )2∆ 1 4 1 6 25= − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες ( )

1 5 63

1 25 1 5 2 2x

1 5 42 22

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− − = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x ≠ 3 και x ≠ −2, οπότε fA 2, 3= − −R .

β) Για x ≠ 3 και x ≠ −2 έχουµε ότι

( ) 2

x 2 x 2 1f x

x x 6 (x 3)(x 2) x 3

+ += = =

− − − + −.

Συνεπώς:

1 1 1 1f (2) f (4) 1 1 0

2 3 4 3 1 1+ = + = + = − + =

− − −.

Page 67: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

67

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1086 Οι αριθµοί Α = 1, Β = x + 4, Γ = x + 8 είναι, µε τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί

όροι αριθµητικής προόδου ν(α ) .

α) Να βρείτε την τιµή του x. (Μονάδες 10)

β) Αν x = 1 και ο αριθµός A είναι ο πρώτος όρος της αριθµητικής προόδου ν(α ) ,

i) να υπολογίσετε τη διαφορά ω. (Μονάδες 7)

ii) να υπολογίσετε τον εικοστό όρο της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Οι αριθµοί A, B, Γ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, οπότε:

2Β = Α + Γ ⇔ 2(x + 4) = 1 + x + 8 ⇔ 2x + 8 = x + 9 ⇔ 2x – x = 9 – 8 ⇔

⇔ x = 1.

β) Για x = 1 έχουµε ότι A = 1, B = 5, Γ = 9.

i) Η διαφορά της προόδου είναι ω = Β – Α = Γ – Β = 5 – 1 = 9 – 5 = 4.

ii) Έστω *

να , ν ,∈N η αριθµητική πρόοδος µε ω = 4 και 1 A 1α = = ,

οπότε ο νιοστός όρος της είναι: *

1 ( 1) 1 ( 1) 4 1 4 4 4 3,να = α + ν − ω = + ν − ⋅ = + ν − = ν − ν∈N .

Συνεπώς:

20 4 20 3 80 3 77α = ⋅ − = − = .

Page 68: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

68

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 11,

15, 16 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1088 α) Αν οι αριθµοί 4 x, x, 2− είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, να προσ-

διορίσετε τον αριθµό x. (Μονάδες 9)

β) Αν οι αριθµοί 4 x, x, 2− είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, να προσ-

διορίσετε τον αριθµό x. (Μονάδες 9)

γ) Να βρεθεί ο αριθµός x ώστε οι αριθµοί 4 x, x, 2− να είναι διαδοχικοί όροι αριθ-

µητικής και γεωµετρικής προόδου. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 5.2, 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Οι αριθµοί 4 x, x, 2− είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, άρα ισχύει:

2x = 4 – x + 2 ⇔ 2x + x = 4 + 2 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2.

β) Οι αριθµοί 4 x, x, 2− είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, άρα ισχύει:

( )2 2 2x 4 x 2 x 8 2x x 2x 8 0= − ⋅ ⇔ = − ⇔ + − = (Ι).

Το τριώνυµο 2

x 2x 8+ − έχει διακρίνουσα ( )2

∆ 2 4 1 8 36= − ⋅ ⋅ − = και ρίζες

2 6 42

2 36 2 6 2 2x

2 6 82 1 24

2 2

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 2 ή x = −4.

γ) Ουσιαστικά θέλουµε την κοινή λύση των (α) και (β) ερωτηµάτων, οπότε x = 2.

Page 69: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

69

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 7 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1089 Για κάθε πραγµατικό αριθµό x µε την ιδιότητα 5 < x < 10,

α) να γράψετε τις παραστάσεις |x – 5| και |x – 10| χωρίς απόλυτες τιµές.

(Μονάδες 10)

β) να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: x 5 x 10

A =x 5 x 10

− −+

− −. (Μονάδες 15)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Ισχύει 5 < x < 10 ⇔ 5 – 5 < x – 5 < 10 – 5 ⇔ 0 < x – 5 < 5,

άρα x – 5 > 0 και |x – 5| = x – 5.

Ισχύει 5 < x < 10 ⇔ 5 – 10 < x – 10 < 10 – 10 ⇔ −5 < x – 10 < 0,

άρα x – 10 < 0 και |x – 10| = −(x – 10).

β) Για 5 < x < 10 έχουµε ότι:

x 5 x 10 x 5 (x 10)A = = 1 ( 1) 0

x 5 x 10 x 5 x 10

− − − − −+ + = + − =

− − − −.

Page 70: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

70

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 19, 20

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1090

∆ίνεται η συνάρτηση f, µε τύπο 2

1f (x)

x 1=

−.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του πραγµατικού αριθµού α, ώστε το σηµείο

1M ,

8

α

να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει 2 2x 1 0 x 1 x 1 και x 1− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ≠ − , οπότε fA 1,1= − −ℝ .

β) Αφού το σηµείο 1

M ,8

α

ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f,

έχουµε ότι 1

f ( )8

α = .

Συνεπώς για 1 και 1α ≠ α ≠ − έχουµε ότι:

2 2 2

2

1 1 1f ( ) 1 8 8 1 9 3

8 1 8α = ⇔ = ⇔ α − = ⇔ α = + ⇔ α = ⇔ α = ±

α −.

Page 71: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

71

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 7 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1091 ∆ίνεται η παράσταση: Α = |x – 1| − |x – 2|.

α) Για 1 < x < 2, να δείξετε ότι: A = 2x – 3. (Μονάδες 13)

β) Για x < 1, να δείξετε ότι η παράσταση A έχει σταθερή τιµή (ανεξάρτητη του x),

την οποία και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε 1 < x < 2 ⇔ 1 – 1 < x – 1 < 2 – 1 ⇔ 0 < x – 1 < 1,

άρα x – 1 > 0 και |x – 1| = x – 1.

Επίσης, 1 < x < 2 ⇔ 1 – 2 < x – 2 < 2 – 2 ⇔ −1 < x – 2 < 0,

άρα x – 2 < 0 και |x – 2| = −(x – 2) = −x + 2.

Συνεπώς για 1 < x < 2 έχουµε ότι:

Α = |x – 1| − |x – 2| = x – 1 − (−x + 2) = x – 1 + x – 2 = 2x – 3.

β) Ισχύει x < 1 ⇔ x – 1 < 0, άρα |x – 1| = −(x – 1) = −x + 1.

Επίσης, x < 1 ⇔ x – 2 < 1 – 2 ⇔ x – 2 < −1,

άρα x – 2 < 0 και |x – 2| = −(x – 2) = −x + 2.

Συνεπώς για x < 1 έχουµε ότι:

Α = |x – 1| − |x – 2| = −x + 1 − (−x + 2) = −x + 1 + x – 2 = −1,

δηλαδή η παράσταση Α έχει σταθερή τιµή (ανεξάρτητη του x).

Page 72: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

72

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 6 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1092 Από το ορθογώνιο ΑΒΖΗ αφαιρέθηκε το τετράγωνο Γ∆ΕΗ πλευράς y.

Α Β

Z

x

y

y

EH

α) Να αποδείξετε ότι η περίµετρος του γραµµοσκιασµένου σχήµατος ΕΖΒΑΓ∆ που

απέµεινε δίνεται από τη σχέση: Π = 2x + 4y. (Μονάδες 10)

β) Αν ισχύει 5 < x < 8 και 1 < y < 2, να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η

τιµή της περιµέτρου του παραπάνω γραµµοσκιασµένου σχήµατος. (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 2.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για x > y > 0 έχουµε ότι ΖΒ = ΗΑ = ΗΓ + ΓΑ = Ε∆+ ΓΑ = y + y = 2y και

EZ = HZ – HE = AB – Γ∆ = x – y.

Συνεπώς για x > y > 0 η περίµετρος του ΕΖΒΑΓ∆ είναι ίση µε

Π = ΑΒ + ΒΖ + ΖΕ + Ε∆+ ∆Γ + ΓΑ= x + 2y + x – y + y + y + y = 2x + 4y.

β) Έχουµε τις ανισότητες:

• 5 < x < 8 ⇔ 2⋅5 < 2⋅x < 2⋅8 ⇔ 10 < 2x < 16,

• 1 < y < 2 ⇔ 4⋅1 < 4⋅y < 4⋅2 ⇔ 4 < 4y < 8,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

10 + 4 < 2x + 4y < 16 + 8 ⇔ 14 < Π < 24,

δηλαδή η περίµετρος βρίσκεται ανάµεσα στους αριθµούς 14 και 24.

Page 73: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

73

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 8, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1093

∆ίνονται οι αριθµοί: 1

5 5Α =

+ ,

1

5 5Β =

−.

α) Να δείξετε ότι:

i)

1

2Α+Β = (Μονάδες 8)

ii) 1

20Α⋅Β = (Μονάδες 8)

β) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς Α και Β.

(Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.4, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 5 5 5 5

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

− +Α+Β = + = +

+ − + ⋅ − + ⋅ −

( ) ( ) ( )22

5 5 5 5 10 10 10 1

25 5 20 25 5 5 5 5 5

− + += = = = =

−+ ⋅ − −.

Επίσης:

( ) ( ) ( )22

1 1 1 1 1 1 1

25 5 205 5 5 5 5 5 5 5 5 5

⋅ Α ⋅Β = ⋅ = = = = −+ − + ⋅ − −

.

β) Μια εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες 1 2x , x είναι εκείνη που έχει τη µορφή 2x Sx P 0− + = , όπου 1 2S x x= + και 1 2P x x= ⋅ .

Στην περίπτωσή µας έχουµε ότι:

1S A+B=

2= και

1P A B=

20= ⋅ , άρα µια τέτοια εξίσωση είναι η

2 1 1x x 0

2 20− ⋅ + = ή η ισοδύναµή της 220x 10x 1 0− + = .

Page 74: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

74

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 21 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1096 Η απόσταση y (σε χιλιόµετρα) ενός αυτοκινήτου από µια πόλη Α, µετά από x

λεπτά, δίνεται από τη σχέση: y = 35 + 0,8x.

α) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη Α µετά από 25 λεπτά;

(Μονάδες 12)

β) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει 75 χιλιόµετρα από

την πόλη Α; (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Η συνάρτηση y = 35 + 0,8x ορίζεται για x ≥ 0.

α) Για x = 25 έχουµε ότι y 35 0,8 25 35 20 55= + ⋅ = + = ,

δηλαδή η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη Α µετά από 25 λεπτά είναι

55 χιλιόµετρα .

β) Αναζητούµε x ≥ 0 έτσι ώστε y = 75.

Τότε έχουµε ότι:

75 35 0,8x 75 35 0,8x 40 0,8x x 50= + ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ,

δηλαδή το αυτοκίνητο θα απέχει 75 χιλιόµετρα µετά από 50 λεπτά.

Page 75: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

75

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1097

∆ίνεται το τριώνυµο 22x x 5+ λ − , όπου λ∈ℝ .

α) Αν µια ρίζα του τριωνύµου είναι ο αριθµός 0x 1= , να προσδιορίσετε την τιµή

του λ. (Μονάδες 12)

β) Για λ = 3, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο. (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού ο αριθµός 1 είναι ρίζα του τριωνύµου, θα ισχύει: 22 1 1 5 0 2 5 0 3 0 3⋅ + λ ⋅ − = ⇔ +λ − = ⇔ λ − = ⇔ λ = .

β) Για λ = 3 το τριώνυµο γίνεται 22x 3x 5+ − ,

το οποίο έχει διακρίνουσα ( )23 4 2 5 9 40 49∆ = − ⋅ ⋅ − = + =

και ρίζες

3 7 41

3 49 3 7 4 4x

3 7 10 52 2 4

4 4 2

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

.

Συνεπώς:

( )2 5 52x 3x 5 2 x x 1 2 x (x 1) (2x 5)(x 1)

2 2

+ − = − − − = + − = + −

.

Page 76: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

76

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 17

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1100 ∆ίνεται η εξίσωση: 2 22x 5 x 2 0− β + β = (1), µε παράµετρο β > 0.

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις: 1 2x 2 και x2

β= β = . (Μονάδες 12)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθµοί 1 2x , , x ,β µε τη

σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου και να

αιτιολογήσετε τον συλλογισµό σας. (Μονάδες 13 )

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2 22x 5 x 2 0− β + β =

έχει διακρίνουσα ( )2 2 2 2 25 4 2 2 25 16 9 0∆ = − β − ⋅ ⋅ β = β − β = β >

και ρίζες ( ) 2

5 3 82

5 9 5 3 4 4x

5 3 22 2 4

4 4 2

β+ β β = = β− − β ± β β± β = = =

β− β β β⋅ = =

.

Συνεπώς η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις 1 2x 2 και x2

β= β = .

β) Οι αριθµοί 1 2x , , xβ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου αν και µόνο αν

ισχύει:

2 2 2 2

1 2x x 22

ββ = ⇔β = β⋅ ⇔β =β , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Συνεπώς οι αριθµοί 1 2x , , xβ είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου.

Page 77: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

77

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1101 ∆ίνεται η εξίσωση: 2 2(2 x 0)x 4− β + β − = (1) µε παράµετρο β∈ℝ .

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις: 1 2x 2 και x 2= β− = β+ .

(Μονάδες 12)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθµοί 1 2x , , x ,β

µε τη

σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και να

αιτιολογήσετε τον συλλογισµό σας. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2 2x 2 x 4( )− β + β −

έχει διακρίνουσα ( ) ( )2 2 2 22 4 1 4 4 4 16 16∆ = − β − ⋅ ⋅ β − = β − β + =

και ρίζες ( )2 16 2 4 2( 2)

x 22 1 2 2

− − β ± β± β±= = = = β±

⋅.

Συνεπώς η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις 1 2x 2 και x 2= β− = β+ .

β) Οι αριθµοί 1 2x , , xβ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν και µόνο αν

ισχύει 1 22 x xβ = + 2 2 2β = β− +β+ 2β = 2β, η οποία ισχύει, άρα ισχύει

και η αρχική.

Συνεπώς οι αριθµοί 1 2x , , xβ είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου.

Page 78: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

78

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1102 ∆ίνονται δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω και οι πιθανότητες

3( )

4Ρ Α = ,

5( )

8Ρ Α−Β = και

1( )

4Ρ Β = .

α) Να υπολογίσετε την ( )Ρ Α∩Β . (Μονάδες 9)

β) i) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνό-

λων το ενδεχόµενο: «Α ή Β». (Μονάδες 7)

ii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγµατοποίησης του παραπάνω ενδεχοµέ-

νου. (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι ( ) ( ) ( )Ρ Α−Β = Ρ Α −Ρ Α∩Β ⇔ ( ) ( ) ( )Ρ Α∩Β = Ρ Α −Ρ Α−Β ,

οπότε 3 5 6 5 1

( )4 8 8 8 8

Ρ Α∩Β = − = − = .

β) i) Το ενδεχόµενο «Α ή Β» πραγµατοποιείται

όταν πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον

από τα Α, Β, συµβολίζεται µε Α∪Β και

στο διάγραµµα Venn του διπλανού σχήµα-

τος είναι το σκιασµένο χωρίο.

ii) Έχουµε ότι το ενδεχόµενο να πραγµα-

τοποιείται το Α ή το Β είναι το A B∪ ,

οπότε:

3 1 1 8 1 7( ) ( ) ( ) ( )

4 4 8 8 8 8Ρ Α∪Β = Ρ Α + Ρ Β −Ρ Α∩Β = + − = − = .

Ω

ΑΒ

BΑ∪

Page 79: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

79

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1273 ∆ίνονται δύο τµήµατα µε µήκη x και y, για τα οποία ισχύουν:

|x – 3| ≤ 2 και |y – 6| ≤ 4.

α) Να δείξετε ότι: 1 ≤ x ≤ 5 και 2 ≤ y ≤ 10. (Μονάδες 12)

β) Να βρεθεί η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η περίµετρος

ενός ορθογωνίου µε διαστάσεις 2x και y. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) |x – 3| ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x – 3 ≤ 2 ⇔ 3 – 2 ≤ x ≤ 3 + 2 ⇔ 1 ≤ x ≤ 5.

|y – 6| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ y – 6 ≤ 4 ⇔ 6 – 4 ≤ y ≤ 6 + 4 ⇔ 2 ≤ y ≤ 10.

β) Η περίµετρος του ορθογωνίου είναι:

Π = 2⋅2x + 2y = 4x + 2y µε x, y > 0.

Έχουµε τις ανισότητες:

• 1 ≤ x ≤ 5 ⇔ 4⋅1 ≤ 4x ≤ 4⋅5 ⇔ 4 ≤ 4x ≤ 20,

• 2 ≤ y ≤ 10 ⇔ 2⋅2 ≤ 2y ≤ 2⋅10 ⇔ 4 ≤ 2y ≤ 20,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

4 + 4 ≤ 4x + 2y ≤ 20 + 20 ⇔ 8 ≤ 4x + 2y ≤ 40.

Συνεπώς η µικρότερη τιµή της περιµέτρου είναι

8 και επιτυγχάνεται όταν (x, y) (1, 2)= , ενώ η

µεγαλύτερη τιµή της περιµέτρου είναι 40 και

επιτυγχάνεται όταν (x, y) (5,10)= . 2x

y

Page 80: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

80

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1275

∆ίνεται το τριώνυµο 22x 5x 1+ − .

α) Να δείξετε ότι το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, 1x και 2x .

(Μονάδες 6)

β) Να βρείτε την τιµή των παραστάσεων: 1 2 1 2x x , x x+ και 1 2

1 1

x x+ . (Μονάδες 9)

γ) Να προσδιορίσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς 1

1

x και

2

1

x. (Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 22x 5x 1+ − έχει διακρίνουσα 25 4 2 ( 1) 25 8 33 0∆ = − ⋅ ⋅ − = + = > ,

οπότε το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, τις 1x και 2x .

β) Αφού 1 2x , x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, από τους τύπους του Vieta έχουµε:

1 2

5S x x

2= + = − και 1 2

1 1P x x

2 2

−= = = − .

Επίσης, 2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2

5x x x x1 1 S 2 5

1x x x x x x x x P

2

−++ = + = = = =

−.

γ) Μια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες 1

1

x και

2

1

x έχει τη µορφή 2x S΄x P΄ 0− + = ,

όπου 1 2

1 1S΄ 5

x x= + = και

1 2

1 1 1 1P΄ 2

1x x P

2

= = = = −−

.

Συνεπώς µια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες 1

1

x και

2

1

x είναι η 2x 5x 2 0− − = .

Page 81: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

81

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1276

∆ίνεται η παράσταση 2 2x 4x 4 x 6x 9

Kx 2 x 3

+ + − += −

+ −.

α) Να βρεθούν οι τιµές που πρέπει να πάρει το x, ώστε η παράσταση K να έχει

νόηµα πραγµατικού αριθµού. (Μονάδες 12)

β) Αν −2 < x < 3, να αποδείξετε ότι η παράσταση K είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρ-

τητη του x. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) H παράσταση K έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού όταν: 2 2

2 2

xx 4x 4 0 (x 2) 0

x 2 x 2x 2 0 x 2

x x 3x 6x 9 0 (x 3) 0

x 3x 3 0 x 3

∈ + + ≥ + ≥ ≠ − ≠ −+ ≠ ≠ −

⇔ ⇔ ⇔ ∈ ≠− + ≥ − ≥

≠− ≠ ≠

R

R.

Συνεπώς η παράσταση Κ ορίζεται όταν x 2,3∈ − −R .

β) Ισχύει −2 < x < 3 ⇔ 2 – 2 < x + 2 < 3 + 2 ⇔ 0 < x + 2 < 5,

άρα x + 2 > 0 και |x + 2| = x + 2.

Επίσης, −2 < x < 3 ⇔ −3 – 2 < x – 3 < 3 – 3 ⇔ −5 < x – 3 < 0,

άρα x – 3 < 0 και |x – 3| = −(x – 3).

Για x ( 2, 3)∈ − έχουµε ότι:

2 22 2 (x 2) (x 3)x 4x 4 x 6x 9 | x 2 | | x 3 |K

x 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3

+ −+ + − + + −= − = − = −

+ − + − + −

x 2 (x 3)1 ( 1) 1 1 2

x 2 x 3

+ − −= − = − − = + =

+ −,

δηλαδή η παράσταση K είναι σταθερή (ανεξάρτητη του x).

Page 82: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

82

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 13 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1277

∆ίνονται οι ανισώσεις 2x 5x 6 0− + − < (1) και 2x 16 0− ≤ (2).

α) Να βρεθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και (2). (Μονάδες 12)

β) Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) πάνω στον άξονα των

πραγµατικών αριθµών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω

ανισώσεων. (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 5x 6− + − έχει διακρίνουσα 25 4 ( 1) ( 6) 25 24 1∆ = − ⋅ − ⋅ − = − = ,

ρίζες

5 1 42

5 1 5 1 2 2x

5 1 62 ( 1) 23

2 2

− + − = =− ± − ± − −= = = − − −⋅ − − = =

− −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞2 3x

2x 5x 6− + − +− −

Συνεπώς 2x 5x 6 0− + − < ⇔ x < 2 ή x > 3.

Επίσης 2x 16 0− ≤ ⇔ 2x 16≤ ⇔ |x| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x ≤ 4.

β) Τοποθετούµε τις λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) στον ίδιο άξονα:

−∞ +∞4− 2 3 4

Οι κοινές λύσεις των (1) και (2) είναι x [ 4,2) (3, 4]∈ − ∪ .

Page 83: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

83

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1278 ∆ίνεται πραγµατικός αριθµός x για τον οποίο ισχύει d(x, −2) < 1.

Να δείξετε ότι:

α) −3 < x < −1 (Μονάδες 10)

β) 2x 4x 3 0+ + < (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) d(x, −2) < 1 ⇔ |x – (−2)| < 1 ⇔ |x + 2| < 1 ⇔ −1 < x + 2 < 1 ⇔

⇔ −1 – 2 < x < 1 – 2 ⇔ −3 < x < −1.

β) To τριώνυµο 2x 4x 3+ + έχει διακρίνουσα 24 4 1 3 16 12 4∆ = − ⋅ ⋅ = − = ,

ρίζες

4 2 21

4 4 4 2 2 2x

4 2 62 1 23

2 2

− + − = = −− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞3− 1−x

2x 4x 3+ + + +−

Συνεπώς 2x 4x 3 0+ + < ⇔ −3 < x < −1 ⇔ d(x, −2) < 1 ⇔ |x + 2| < 1.

Page 84: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

84

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1281

∆ίνεται το τριώνυµο ( )2x 3 1 x 3− + − + .

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι ( )2

3 1∆ = + .

(Μονάδες 12)

β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο. (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) ( ) ( )2 22 22 23 1 4 ( 1) 3 3 2 3 1 4 3 3 2 3 1 3 1∆ = − − ⋅ − ⋅ = − + + = + + = + .

β) Έχουµε ότι:

( )2 2x 3 1 x 3 x 3x x 3− + − + = − + − +

( )x(x 1) 3(x 1) (x 1) 3 x= − + + + = + − .

2ος τρόπος για το (β) ερώτηµα.

Οι ρίζες του τριωνύµου ( )2x 3 1 x 3− + − + είναι:

( ) ( ) ( )2

3 1 3 1 3 1 3 1x

2 1 2

− − ± + − + ± += =

( )

( )

3 1 3 1 3 1 3 1 21

2 2 2

3 1 3 1 3 1 3 1 2 33

2 2 2

− + + + − + + + = = =

= − + − + − + − − −

= = = −

.

Συνεπώς ( ) ( ) ( )2x 3 1 x 3 1 (x 1) x 3 (x 1) x 3 − + − + = − ⋅ − ⋅ − − = − − + .

Page 85: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

85

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 11, 19

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1282

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 23x 2x 1− − . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες έχει νόηµα η παράσταση:

2

x 1A(x)

3x 2x 1

−=

− − και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. (Μονάδες 9)

γ) Να λύσετε την εξίσωση: |A(x)| = 1. (Μονάδες 8)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 23x 2x 1− − έχει διακρίνουσα 2( 2) 4 3 ( 1) 4 12 16∆ = − − ⋅ ⋅ − = + =

και ρίζες

2 4 61

( 2) 16 2 4 6 6x

2 4 2 12 3 6

6 6 3

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς 2 1 13x 2x 1 3 x (x 1) 3 x (x 1) (3x 1)(x 1)

3 3

− − = − − − = + − = + − .

β) Πρέπει 2 13x 2x 1 0 x x 1

3− − ≠ ⇔ ≠ − και ≠ ,

άρα η παράσταση A(x) ορίζεται στο 1

,13

− −

R .

γ) Για 1

x 1,3

∈ − −

R έχουµε ότι 2

x 1 x 1 1A(x)

3x 2x 1 (3x 1)(x 1) 3x 1

− −= = =

− − + − +,

οπότε:

1 |1|A(x) 1 1 1 | 3x 1| 1

3x 1 | 3x 1|= ⇔ = ⇔ = ⇔ + = ⇔

+ +

⇔ 3x + 1 = 1 ή 3x + 1 = −1 ⇔ 3x = 1 – 1 ή 3x = −1 − 1 ⇔

⇔ 3x = 0 ή 3x = −2 ⇔ x = 0 ή 2

x3

= − , που είναι δεκτές.

Page 86: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

86

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 19,

20, 21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1283

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 2x 2x 3+ − . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 2x 2x 3

f (x)x 1

+ −=

− και στη συνέχεια

να απλοποιήσετε τον τύπο της. (Μονάδες 9)

γ) Να παραστήσετε γραφικά την παραπάνω συνάρτηση. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 2x 3+ − έχει διακρίνουσα 22 4 1 ( 3) 4 12 16∆ = − ⋅ ⋅ − = + = και

ρίζες

2 4 21

2 16 2 4 2 2x

2 4 62 1 23

2 2

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

.

Συνεπώς [ ]2x 2x 3 (x 1) x ( 3) (x 1)(x 3)+ − = − − − = − + .

β) Πρέπει x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1, οπότε fA 1= −R .

Για x ≠ 1 έχουµε ότι: 2x 2x 3 (x 1)(x 3)

f (x) x 3x 1 x 1

+ − − += = = +

− −.

γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι η ευθεία µε εξίσωση y = x + 3,

από την οποία εξαιρείται το σηµείο Α(1, 4), αφού x ≠ 1.

Για x = −3 έχουµε ότι y = 0, άρα η ευθεία διέρχεται από το B(−3, 0),

ενώ για x = 0 έχουµε ότι y = 3, οπότε η ευθεία διέρχεται από το Γ(0, 3).

Η γραφική παράσταση της f φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα:

A

B

Γ

Page 87: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

87

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1287 ∆ίνεται ο πίνακας:

Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθµούς του παραπάνω πίνακα.

Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης των παρακάτω ενδεχοµένων.

Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος (Μονάδες 7)

Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιος του 3 (Μονάδες 9)

Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιος του 3 (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Ο δειγµατικός χώρος είναι ο Ω = 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, µε Ν(Ω) = 9.

Τότε Α = 12, 22, 32, µε Ν(Α) = 3 και N(A) 3 1

P(A)( ) 9 3

= = =Ν Ω

.

Επίσης, Β = 12, µε Ν(Β) = 1 και N( ) 1

P( )( ) 9

ΒΒ = =

Ν Ω.

Τέλος, Γ = 12, 21, 22, 32, 33, µε Ν(Γ) = 5 και N( ) 5

P( )( ) 9

ΓΓ = =

Ν Ω.

Page 88: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

88

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, 11,

13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1288 α) Να λύσετε την ανίσωση: 2x 10x 21 0− + < . (Mονάδες 12)

β) ∆ίνεται η παράσταση: 2A | x 3 | | x 10x 21|= − + − + .

i) Για 3 x 7< < , να δείξετε ότι: 2A x 11x 24= − + − . (Μονάδες 8)

ii) Να βρείτε τις τιµές του x (3, 7),∈ για τις οποίες ισχύει A 6= . (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 10x 21− + έχει διακρίνουσα 2( 10) 4 1 21 16∆ = − − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

10 4 147

( 10) 16 10 4 2 2x

10 4 62 1 23

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞3 7x

2x 10x 21− + + +−

Συνεπώς 2x 10x 21 0 3 x 7− + < ⇔ < < .

β) i) Αφού 3 x 7< < , έχουµε ότι 2x 10x 21 0− + < ,

οπότε 2 2 2| x 10x 21| (x 10x 21) x 10x 21− + = − − + = − + − .

Επίσης, 3 x 7< < ⇔ 3 3 x 3 7 3− < − < − ⇔ 0 x 3 4< − < ,

οπότε x – 3 > 0 και |x – 3| = x – 3.

Τότε έχουµε: 2 2 2A | x 3 | | x 10x 21| x 3 x 10x 21 x 11x 24= − + − + = − − + − = − + − .

ii) Αναζητούµε x∈(3, 7) έτσι ώστε: 2 2 2A 6 x 11x 24 6 0 x 11x 24 6 x 11x 30 0= ⇔ − + − = ⇔ = − + + ⇔ − + = (Ι).

Το τριώνυµο 2x 11x 30− + έχει διακρίνουσα 2( 11) 4 1 30 1∆ = − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

11 1 126

( 11) 1 11 1 2 2x

11 1 102 1 25

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 6 ή x = 5, που είναι και οι δύο δεκτές.

Page 89: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

89

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 21 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1293

Η θερµοκρασία T σε βαθµούς Κελσίου ( )C , σε βάθος x χιλιοµέτρων κάτω από

την επιφάνεια της Γης, δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση: 15 25xΤ = + , όταν

0 x 200≤ ≤ .

α) Να βρείτε τη θερµοκρασία ενός σηµείου που βρίσκεται 30 χιλιόµετρα κάτω από

την επιφάνεια της Γης. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε το βάθος στο οποίο η θερµοκρασία είναι ίση µε 290 C . Να αιτιολο-

γήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

γ) Σε ποιο βάθος µπορεί να βρίσκεται ένα σηµείο, στο οποίο η θερµοκρασία είναι

µεγαλύτερη από 440 C ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για x = 30 έχουµε:

Τ = 15 + 25⋅30 = 15 + 750 = 765,

άρα η θερµοκρασία ενός σηµείου που βρίσκεται 30 χιλιόµετρα κάτω από την

επιφάνεια της Γης είναι 765 C .

β) Αναζητούµε x∈[0, 200] έτσι ώστε:

290 15 25x 290 25x 290 15 25x 275 x 11Τ = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ,

άρα η θερµοκρασία είναι ίση µε 290 C σε βάθος 11 km.

γ) Αναζητούµε x∈[0, 200] έτσι ώστε:

440 15 25x 440 25x 440 15 25x 425 x 17Τ > ⇔ + > ⇔ > − ⇔ > ⇔ >

και συναληθεύοντας µε τη x∈[0, 200] βρίσκουµε x∈(17, 200].

Συνεπώς η θερµοκρασία είναι ίση µε 440 C σε βάθος µεγαλύτερο των 17 km

και µέχρι τα 200 km.

Page 90: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

90

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1297

α) Να λύσετε την ανίσωση: 23x 4x 1 0− + ≤ . (Μονάδες 12)

β) Αν α, β δύο αριθµοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε

ότι ο αριθµός 3 6

9

α+ β είναι επίσης λύση της ανίσωσης. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 23x 4x 1− + έχει διακρίνουσα 2( 4) 4 3 1 16 12 4∆ = − − ⋅ ⋅ = − = ,

ρίζες

4 2 61

( 4) 4 4 2 6 6x

4 2 2 12 3 6

6 6 3

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1

31

x

23x 4x 1− + + +−

Συνεπώς 2 13x 4x 1 0 x 1

3− + ≤ ⇔ ≤ ≤ .

β) Εφόσον οι α, β είναι λύσεις της ανίσωσης, έχουµε ότι:

1 11 3 3 3 1 1 3 3

3 3≤ α ≤ ⇔ ⋅ ≤ α ≤ ⋅ ⇔ ≤ α ≤ και

1 1

1 6 6 6 1 2 6 63 3≤ β ≤ ⇔ ⋅ ≤ β ≤ ⋅ ⇔ ≤ β ≤ ,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

1 2 3 6 3 6+ ≤ α+ β ≤ + ⇔ 3 3 6 9≤ α+ β ≤ ⇔ 3 3 6 9

9 9 9

α+ β≤ ≤ ⇔

⇔ 1 3 6

13 9

α+ β≤ ≤ , δηλαδή ο

3 6

9

α+ β είναι λύση της ανίσωσης 23x 4x 1 0− + ≤ .

Page 91: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

91

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1298 Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν:

2α+β = και 2 2 30α β+αβ = −

α) Να αποδείξετε ότι: 15αβ = − . (Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β και να

τους βρείτε. (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

2 2

2 2 2 2

30 ( ) 30 2 30 15

α+β = α +β = α +β = α+β = ⇔ ⇔ ⇔

α β+αβ = − αβ α +β = − αβ⋅ = − αβ = − .

β) Μια εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες α και β έχει τη µορφή 2x Sx P 0− + = ,

όπου S 2= α +β = και P 15= αβ = − .

Συνεπώς µια εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες α και β είναι η 2x 2x 15 0− − = .

Το τριώνυµο 2x 2x 15− − έχει διακρίνουσα 2( 2) 4 1 ( 15) 4 60 64∆ = − − ⋅ ⋅ − = + =

και ρίζες

2 8 105

( 2) 64 2 8 2 2x

2 8 62 1 23

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς 2x 2x 15 0− − = x = 5 ή x = −3,

άρα ( , ) (5, 3) ή ( , ) ( 3, 5)α β = − α β = − .

Page 92: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

92

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1300

∆ίνονται οι αριθµητικές παραστάσεις: ( ) ( ) ( )6 6 63 62 , 3 , 6Α = Β = Γ = .

α) Να δείξετε ότι: 23Α +Β + Γ = . (Μονάδες 13)

β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς: 3 63 , 6 . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

( ) ( ) ( )36 2 3 2

32 2 2 2 8⋅

Α = = = = = , ( ) ( ) ( )26 3 2 3

23 3 33 3 3 3 9⋅

Β = = = = =

και

( )66 6 6Γ = = .

Συνεπώς 8 9 6 23Α+ Β + Γ = + + = .

β) Έχουµε ότι:

( )26 6 3

23 6 3 6 33 6 3 6 3 6 3 6 9 6> ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ > ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Συνεπώς ισχύει ότι 3 63 6> .

Page 93: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

93

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1301 ∆ίνεται αριθµητική πρόοδος ( )να

για την οποία ισχύει:

4 210α −α = .

α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω = 5. (Μονάδες 12)

β) Αν το άθροισµα των τριών πρώτων όρων της προόδου είναι 33, να βρείτε τον

πρώτο όρο της προόδου. (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού έχουµε αριθµητική πρόοδο *, ,να ν∈N ο νιοστός όρος της δίνεται από τον

τύπο *

1( 1) ,να = α + ν − ω ν∈N .

Τότε:

4 1 1(4 1) 3α = α + − ω = α + ω ,

2 1 1(2 1)α = α + − ω = α +ω και

4 2 1 1 1 110 3 ( ) 10 3 10α −α = ⇔ α + ω− α +ω = ⇔ α + ω−α −ω = ⇔

2 10 5⇔ ω= ⇔ ω= .

β) Έχουµε ότι:

1 2 3 1 1 1 133 2 33 3 3 33α +α +α = ⇔ α +α +ω+α + ω = ⇔ α + ω = ⇔

1 1 1 1 13 3 5 33 3 15 33 3 33 15 3 18 6⇔ α + ⋅ = ⇔ α + = ⇔ α = − ⇔ α = ⇔ α = .

Page 94: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

94

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 19 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1302

∆ίνεται η συνάρτηση f, µε 8 x αν x 0

f (x)2x 5 αν x 0

− <=

+ ≥.

α) Να δείξετε ότι f ( 5) f (4)− = . (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τις τιµές του x∈R , ώστε f (x) 9= . (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

f(−5) = 8 – (−5) = 8 + 5 = 13 και

f(4) = 2 ⋅ 4 + 5 = 8 + 5 = 13,

οπότε f ( 5) f (4)− = .

β) • Για x 0< έχουµε ότι:

f (x) 9 8 x 9 x 9 8 x 1 x 1= ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ = − , δεκτή.

• Για x 0≥ έχουµε ότι:

f (x) 9 2x 5 9 2x 9 5 2x 4 x 2= ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = , δεκτή.

Συνεπώς f (x) 9 x 1ή x 2= ⇔ = − = .

Page 95: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

95

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1305 α) Να λύσετε την ανίσωση | x 4 | 3+ ≥ . (Μονάδες 12)

β) Αν α 1≥ - , να γράψετε την παράσταση | 4 | 3Α= α+ − χωρίς απόλυτες τιµές.

Να αιτιολογήσετε τον συλλογισµό σας. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | x 4 | 3 x 4 3 ή x +4 3 x 3 4 ή x 3 4 x 7 ή x 1+ ≥ ⇔ + ≤ − ≥ ⇔ ≤ − − ≥ − ⇔ ≤ − ≥ − .

β) Έχουµε ότι:

α 1 4 1 4 4 3≥ ⇔ α + ≥ − + ⇔ α + ≥- , οπότε α + 4 > 0 και |α + 4| = α + 4.

Επίσης, ισχύει ότι:

α 1 1 1 1 1 0≥ ⇔ α + ≥ − + ⇔ α + ≥- , οπότε |α + 1| = α + 1.

Συνεπώς:

| 4 | 3 4 3 1 1Α= α+ − = α+ − = α+ = α+ .

Page 96: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

96

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1506 ∆ίνεται το σύνολο 1,2,3,4,5,6Ω =

και τα υποσύνολά του 1,2,4,5Α = και

2,4,6Β = .

α) Nα παραστήσετε στο ίδιο διάγραµµα Venn , µε βασικό σύνολο το Ω , τα σύνολα

Α και Β. Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα , , ΄ ΄Α∪Β Α∩Β Α και Β .

(Μονάδες 13)

β) Επιλέγουµε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχο-

µένων:

(i) Να µην πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο Α. (Μονάδες 4)

(ii) Να πραγµατοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόµενα Α και Β. (Μονάδες 4)

(iii) Να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα Α, Β. (Μονάδες 4)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

1, 2, 4, 5, 6Α∪Β = ,

2, 4Α∩Β = ,

΄ 3, 6Α = και

΄ 1, 3, 5Β = .

β) (i) ( ΄) 2 1

( )( ) 6 3

Ν ΑΡ Α = = =

Ν Ω.

(ii) ( ) 2 1

( )( ) 6 3

Ν Α∩ΒΡ Α∩Β = = =

Ν Ω.

(iii) ( ) 5

( )( ) 6

Ν Α∪ΒΡ Α∪Β = =

Ν Ω.

Ω

ΑΒ

1

2

4

5

3

6

Page 97: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

97

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1509

∆ίνεται η εξίσωση 2x ( 1)x 6 0− λ − + = (1) µε παράµετρο λ∈R .

α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το λ. (Μονάδες 13)

β) Για λ = 2 να λύσετε την εξίσωση (1). (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού η εξίσωση 2x ( 1)x 6 0− λ − + = έχει λύση το 1, ισχύει ότι: 21 ( 1) 1 6 0 1 1 6 0 1 1 6 8 8− λ − ⋅ + = ⇔ −λ + + = ⇔ −λ = − − − ⇔ −λ = − ⇔ λ = .

β) Για λ = 2 η εξίσωση γίνεται 2 2x (2 1)x 6 0 x x 6 0− − + = ⇔ − + = (Ι).

Το τριώνυµο 2x x 6− + έχει διακρίνουσα 2( 1) 4 1 6 1 24 23 0∆ = − − ⋅ ⋅ = − = − < ,

οπότε η εξίσωση (Ι) είναι αδύνατη.

Page 98: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

98

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1512

α) Να λυθεί η εξίσωση: 2x x 2 0− − = . (Μονάδες 8)

β) Να λυθεί η ανίσωση: 2x x 2 0− − > και να παραστήσετε το σύνολο λύσεών της

στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 12)

γ) Να τοποθετήσετε το 4

3− στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Είναι το

4

3−

λύση της ανίσωσης του ερωτήµατος (β); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) To τριώνυµο 2x x 2− − έχει διακρίνουσα 2( 1) 4 1 ( 2) 9∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

1 3 42

( 1) 9 1 3 2 2x

1 3 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς 2x x 2 0− − = ⇔ x = 2 ή x = −1.

β) Κατασκευάζουµε τον πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1− 2x

2x x 2− − + +−

Συνεπώς 2x x 2 0− − > ⇔ x < −1 ή x > 2.

γ) Το 4

3− είναι λύση της ανίσωσης, αφού

41

3− < − .

−∞ +∞1− 2

4

3−

Page 99: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

99

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 12, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1513 ∆ίνεται η αριθµητική πρόοδος ( )να µε

11α = και

39α = .

α) Να βρείτε τη διαφορά ω της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τον µικρότερο θετικό ακέραιο ν, ώστε να ισχύει 30να > .

(Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 4.1, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η *, ,να ν∈N είναι αριθµητική πρόοδος µε πρώτο όρο 1

1α = , διαφορά ω και

νιοστό όρο *

1( 1) 1 ( 1) ,να = α + ν − ω = + ν − ω ν∈N .

Συνεπώς 3

1 (3 1) 1 2α = + − ω = + ω ,

οπότε 1 + 2ω = 9 ⇔ 2ω = 9 – 1 ⇔ 2ω = 8 ⇔ ω = 4.

β) Ο νιοστός όρος της προόδου είναι *1 ( 1) 4 1 4 4 4 3,να = + ν − ⋅ = + ν − = ν − ν∈N .

Αναζητούµε τον µικρότερο *ν∈N έτσι ώστε

3330 4 3 30 4 3 30 4 33 8,25

4να > ⇔ ν − > ⇔ ν > + ⇔ ν > ⇔ ν > ⇔ ν > ,

άρα ο µικρότερος θετικός ακέραιος ν είναι ο 9.

Page 100: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

100

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1520 Από τους σπουδαστές ενός Ωδείου, το 50% µαθαίνει πιάνο, το 40% µαθαίνει

κιθάρα, ενώ το 10% των σπουδαστών µαθαίνει και τα δύο αυτά όργανα. Επιλέγου-

µε τυχαία έναν σπουδαστή του Ωδείου. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

Α: ο σπουδαστής αυτός µαθαίνει πιάνο

Β: ο σπουδαστής αυτός µαθαίνει κιθάρα

Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου:

α) Ο σπουδαστής αυτός να µαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο παραπάνω

όργανα. (Μονάδες 12)

β) Ο σπουδαστής αυτός να µη µαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω όργανα.

(Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Έχουµε ότι ( ) 50% 0,5Ρ Α = = , ( ) 40% 0,4Ρ Β = = και ( ) 10% 0,1Ρ Α∩Β = = .

α) Έχουµε ότι:

Α∪Β = «ο σπουδαστής µαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο όργανα»,

άρα ( ) ( ) ( ) ( ) 0,5 0,4 0,1 0,8 80%Ρ Α∪Β = Ρ Α + Ρ Β −Ρ Α∩Β = + − = = .

β) Έχουµε ότι:

( )Α∪Β = «ο σπουδαστής δε µαθαίνει κανένα από τα δύο όργανα»,

άρα ( )( ) 1 ( ) 1 0,8 0,2 20%Ρ Α∪Β = −Ρ Α∪Β = − = = .

Page 101: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

101

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 19, 20,

21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1529 ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) x , ,= α +β α β∈R , για την οποία ισχύει:

f (0) 5= και f (1) 3= .

α) Να αποδείξετε ότι α = −2 και β = 5. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες

x΄x y΄yκαι . (Μονάδες 7)

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση α) Έχουµε ότι:

f (0) 5 0 5 5 5 5 5

f (1) 3 1 3 3 5 3 3 5 2

= α ⋅ +β = β = β = β = β = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= α ⋅ +β = α +β = α + = α = − α = − .

β) Για α = −2 και β = 5 έχουµε ότι f (x) 2x 5= − + .

Το σηµείο τοµής της f

C µε τον άξονα y΄y προκύπτει για x = 0, οπότε:

f(0) = −2⋅0 + 5 = 5, δηλαδή είναι το σηµείο Α(0, 5).

Το σηµείο τοµής της f

C µε τον άξονα x΄x προκύπτει για y = 0, οπότε:

5 5f (x) 0 2x 5 0 2x 5 x x

2 2

−= ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =

−,

δηλαδή είναι το σηµείο 5

B , 02

.

γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι η ευθεία ΑΒ του ακόλουθου

σχήµατος:

Page 102: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

102

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 19 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1532

∆ίνεται η συνάρτηση 3x 16x

f (x)x 4

−=

−.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f και να αποδείξετε ότι, για τα x που

ανήκουν στο πεδίο ορισµού της, ισχύει 2f (x) x 4x= + . (Μονάδες 15)

β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει f(x) = 32. (Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει x – 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ 4, οπότε f

A 4= −R .

Επιπλέον, για x ≠ 4 έχουµε ότι: 3 2

2x 16x x(x 16) x(x 4)(x 4)f (x) x(x 4) x 4x

x 4 x 4 x 4

− − − += = = = + = +

− − −.

β) Για x ≠ 4 έχουµε: 2 2f (x) 32 x 4x 32 x 4x 32 0= ⇔ + = ⇔ + − = (Ι).

Το τριώνυµο 2x 4x 32+ − έχει διακρίνουσα 24 4 1 ( 32) 144∆ = − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

4 12 84

4 144 4 12 2 2x

4 12 162 1 28

2 2

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 4 (απορρίπτεται) ή x = −8 ⇔ x = −8.

Page 103: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

103

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1533

Θεωρούµε την εξίσωση 2x 2x 2 0+ + λ − = µε παράµετρο λ∈R .

α) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 10)

β) Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2

x , x να προσδιορίσετε το λ ώστε

να ισχύει: 1 2 1 2

x x 2(x x ) 1− + = . (Μονάδες 15)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) To τριώνυµο 2x 2x 2+ + λ −

έχει διακρίνουσα 22 4 1 ( 2) 4 4 8 12 4∆ = − ⋅ ⋅ λ − = − λ + = − λ .

Το τριώνυµο 2x 2x 2+ + λ − έχει πραγµατικές ρίζες αν και µόνο αν

120 12 4 0 4 12 3

4

−∆ ≥ ⇔ − λ ≥ ⇔ − λ ≥ − ⇔ λ ≤ ⇔ λ ≤

−.

β) Αν λ ≤ 3 και αφού 1 2

x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2x 2 0+ + λ − = , από

τους τύπους του Vieta έχουµε:

1 2

2S x x 2

1= + = − = − και

1 2

2P x x 2

1

λ −= = = λ − .

Συνεπώς για λ ≤ −3 έχουµε:

1 2 1 2x x 2(x x ) 1 2 2 ( 2) 1 2 4 1− + = ⇔ λ − − ⋅ − = ⇔ λ − + = ⇔

λ 2 4 1 λ 1⇔ = − + ⇔ = − , η οποία είναι δεκτή.

Page 104: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

104

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 19

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1537

∆ίνεται η συνάρτηση 1

f (x) x , x 0x

= + ≠ .

α) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 1

A f f (1) f (2)2

= + −

. (Μονάδες 10)

β) Να λύσετε την εξίσωση: 5

f (x)2

= . (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

1 1 1 1 1 4 5f 2

12 2 2 2 2 2

2

= + = + = + =

, 1

f (1) 1 21

= + = , 1 4 1 5

f (2) 22 2 2 2

= + = + = ,

άρα 1 5 5

A f f (1) f (2) 2 22 2 2

= + − = + − =

.

β) Για x ≠ 0 έχουµε:

5

f (x)2

= ⇔ 1 5

xx 2

+ = ⇔ 1 5

2x x 2x 2xx 2

⋅ + ⋅ = ⋅ ⇔ 22x 2 5x+ = ⇔

⇔ 22x 5x 2 0− + = (Ι).

Το τριώνυµο 22x 5x 2− + έχει διακρίνουσα ( )25 4 2 2 9∆ = − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

5 3 82

( 5) 9 5 3 4 4x

5 3 2 12 2 4

4 4 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 2 ή 1

x2

= , που είναι δεκτές.

Page 105: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

105

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 6 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1541 Ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει µήκος x εκατοστά και πλάτος y εκατοστά,

αντίστοιχα. Αν για τα µήκη x και y ισχύει: 4 ≤ x ≤ 7 και 2 ≤ y ≤ 3, τότε:

α) Να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή της περιµέτρου του

ορθογωνίου παραλληλογράµµου. (Μονάδες 10)

β) Αν το x µειωθεί κατά 1 και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια µεταξύ των

οποίων περιέχεται η τιµή της περιµέτρου του νέου ορθογωνίου παραλλη-

λογράµµου. (Μονάδες 15)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε τις ανισότητες:

• 4 ≤ x ≤ 7 ⇔ 2⋅4 ≤ 2⋅x ≤ 2⋅7 ⇔ 8 ≤ 2x ≤ 14,

• 2 ≤ y ≤ 3 ⇔ 2⋅2 ≤ 2⋅y ≤ 2⋅3 ⇔ 4 ≤ 2y ≤ 6,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

8 + 4 ≤ 2x + 2y ≤ 14 + 6 ⇔ 12 ≤ Π ≤ 20,

όπου Π = 2x + 2y είναι η περίµετρος του ορθογωνίου.

Συνεπώς η περίµετρος του ορθογωνίου παίρνει τιµές από 12 έως και 20.

β) Έχουµε τις ανισότητες:

• 4 ≤ x ≤ 7 ⇔ 4 – 1 ≤ x – 1 ≤ 7 – 1 ⇔ 3 ≤ x – 1 ≤ 6 ⇔

⇔ 2⋅3 ≤ 2⋅(x – 1) ≤ 2⋅6 ⇔ 6 ≤ 2(x – 1) ≤ 12,

• 2 ≤ y ≤ 3 ⇔ 3⋅2 ≤ 3⋅y ≤ 3⋅3 ⇔ 6 ≤ 3y ≤ 9 ⇔

⇔ 2⋅6 ≤ 2⋅3y ≤ 2⋅9 ⇔ 12 ≤ 6y ≤ 18,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

6 + 12 ≤ 2(x – 1) + 6y ≤ 12 + 18 ⇔ 18 ≤ Π΄ ≤ 30,

όπου Π΄ η περίµετρος του νέου ορθογωνίου.

Συνεπώς η περίµετρος του νέου ορθογωνίου παίρνει τιµές

από 18 ως και 30.

x

y

x

3y

Page 106: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

106

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 20

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1542

α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: 3 2A x x 3x 3= − + − . (Μονάδες 13)

β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 3

f (x)x

= και

2g(x) x x 3= − + έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, το Α(1, 3). (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) 3 2 2 2A x x 3x 3 x (x 1) 3(x 1) (x 1)(x 3)= − + − = − + − = − + .

β) Έχουµε ότι *

fA = R και gA = R .

Τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g προκύπτουν

από τις λύσεις της εξίσωσης f (x) g(x)= , για x ≠ 0.

Συνεπώς για x ≠ 0 έχουµε ότι:

23x x 3

x= − + ⇔ 3 23 x x 3x= − + ⇔ 3 2x x 3x 3 0− + − = ⇔

⇔ 2(x 1)(x 3) 0− + = ⇔ x 1 0− = ή 2x 3 0+ = (αδύνατη) ⇔ x = 1.

Συνεπώς οι γραφικές παραστάσεις των f, g τέµνονται σε µοναδικό σηµείο µε

τετµηµένη 1, δηλαδή είναι το A(1, f (1)) ή Α(1, 3), αφού f(1) = 3.

Page 107: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

107

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1544

α) Να αποδείξετε ότι 2x 4x 5 0+ + > , για κάθε πραγµατικό αριθµό x. (Μονάδες 10)

β) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιµές την παράσταση: 2 2B x 4x 5 x 4x 4= + + − + + . (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 4x 5+ + έχει διακρίνουσα 24 4 1 5 16 20 4∆ = − ⋅ ⋅ = − = − ,

άρα ισχύει 2x 4x 5 0+ + > για κάθε x∈R.

β) Έχουµε ότι 2x 4x 5 0+ + > για κάθε x∈R, άρα 2 2x 4x 5 x 4x 5+ + = + +

και 2 2x 4x 4 (x 2) 0+ + = + ≥ για κάθε x∈R, οπότε 2 2x 4x 4 x 4x 4+ + = + + .

Συνεπώς:

( )2 2 2 2B x 4x 5 x 4x 4 x 4x 5 x 4x 4= + + − + + = + + − + +

2 2x 4x 5 x 4x 4 1= + + − − − = .

Page 108: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

108

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 20 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_1553

∆ίνονται οι συναρτήσεις 3f (x) x= και g(x) x, x= ∈R .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέµνονται σε τρία

σηµεία, τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13)

β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σηµεία τοµής των παραπάνω γραφικών παραστάσεων, όπου

Ο(0, 0), να αποδείξετε ότι τα Α, Β είναι συµµετρικά ως προς το Ο. (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f, g προκύπτουν

από τις λύσεις της εξίσωσης f (x) g(x)= .

Συνεπώς για x∈R έχουµε ότι: 3x x= ⇔ 3x x 0− = ⇔ 2x(x 1) 0− = ⇔ x(x 1)(x 1) 0− + = ⇔

⇔ x = 0 ή x 1 0− = ή x 1 0+ = ⇔ x = 0 ή x = 1 ή x = −1.

Συνεπώς έχουµε τρία σηµεία τοµής µε τετµηµένες x = 0, x = 1, x = −1

και τεταγµένες f(0) = 0, f(1) = 1, f(−1) = −1,

δηλαδή είναι τα σηµεία Ο(0, 0), A(1, 1), B(−1, −1).

β) Τα σηµεία Α, Β είναι συµµετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0, 0), αφού

έχουν αντίθετες συντεταγµένες.

Page 109: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

109

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 19, 21

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_2212

∆ίνεται η συνάρτηση f µε ( )22x 6 x

f x2 x 6

−=

−.

α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f . (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι ( )f x x=

για κάθε x∈Α . (Μονάδες 10)

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για x 0> . (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 6.1, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει 2 x 6 0 2 x 6 x 3 x 3 x 3− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ και ≠ − ,

οπότε 3, 3 ( , 3) ( 3, 3) (3, )Α = − − = −∞ − ∪ − ∪ +∞ℝ .

β) Για κάθε x∈Α έχουµε ότι:

( )( )( )

22 2 x x 32x 6 x 2 x 6 xf x x

2 x 6 2 x 6 2 x 3

−− −= = = =

− − −.

γ) Για x > 0 έχουµε ότι f(x) = x, η οποία έχει ως γραφική παράσταση την ηµιευθεία

ΟΒ, µε Ο(0, 0), Β(3, 3) χωρίς τα σηµεία αυτά. Η γραφική παράσταση φαίνεται

στο ακόλουθο σχήµα:

B

O

Page 110: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

110

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 7 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_2702 ∆ίνονται οι παραστάσεις 2x 4Α = −

και x 3Β = − , όπου x πραγµατικός αριθµός.

α) Για κάθε 2 x 3≤ < να αποδείξετε ότι x 1Α +Β = − . (Μονάδες 16)

β) Υπάρχει [ )x 2, 3∈

ώστε να ισχύει 2Α+Β = ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας. (Μονάδες 9)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

• 2 ≤ x < 3 ⇔ 2⋅2 ≤ 2⋅x < 2⋅3 ⇔ 4 ≤ 2x < 6 ⇔ 4 – 4 ≤ 2x – 4 < 6 – 4 ⇔

⇔ 0 ≤ 2x – 4 < 2, άρα 2x – 4 ≥ 0 και |2x – 4| = 2x – 4, ενώ

• 2 ≤ x < 3 ⇔ 2 – 3 ≤ x – 3 < 3 – 3 ⇔ −1 ≤ x – 3 < 0,

άρα x – 3 < 0 και |x – 3| = −x + 3.

Συνεπώς:

2x 4 x 3 (2x 4) ( x 3) 2x 4 x 3 x 1Α +Β = − + − = − + − + = − − + = − .

β) Αναζητούµε (αν υπάρχει) [ )x 2, 3∈

έτσι ώστε 2Α+Β = .

Συνεπώς x – 1 = 2 x = 2 + 1 ⇔ x = 3 (απορρίπτεται),

άρα δεν υπάρχει [ )x 2, 3∈

ώστε να ισχύει 2Α+Β = .

Page 111: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

111

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 19, 20,

21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3378 Στο παρακάτω σύστηµα συντεταγµένων δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρ-

τησης f.

α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. (Μονάδες 6)

β) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών:

x −2 −1 1 2

y −1 −3 (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τους άξονες.

(Μονάδες 6)

δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού στα οποία η συνάρτηση

παίρνει αρνητικές τιµές. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το πεδίο ορισµού της f προκύπτει από την προβολή όλων των σηµείων της

γραφικής παράστασής της στον άξονα x΄x , δηλαδή είναι το [ ]fA = 2, 6- .

β) Το σηµείο της f

C µε τετµηµένη −2 είναι το Α(−2, 3).

Το σηµείο της f

C µε τετµηµένη −1 είναι το Β(−1, 0).

Το σηµείο της f

C µε τεταγµένη −1 είναι το Γ(0, −1).

Το σηµείο της f

C µε τετµηµένη 1 είναι το ∆(1, 0).

Το σηµείο της f

C µε τετµηµένη 2 είναι το Ε(2, 3).

Page 112: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

112

Το σηµείο της f

C µε τεταγµένη −3 είναι το Ζ(6, −3).

Α

Β

Γ

Ε

Ζ

Συνεπώς:

x −2 −1 0 1 2 6

y 3 0 −1 0 3 −3

γ) Τα σηµεία τοµής της f

C µε τον άξονα x΄x είναι τα Β(−1, 0), ∆(1, 0), Η(4, 0).

Το σηµείο τοµής της f

C µε τον άξονα y΄y είναι το Γ(0, −1).

δ) Αναζητούµε εκείνα τα [ ]fx A = 2, 6∈ - για τα οποία η

fC βρίσκεται κάτω από

τον άξονα x΄x , οπότε x ( 1,1) (4, 6]∈ − ∪ .

Page 113: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

113

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 19, 20,

21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3379

Στο παραπάνω σύστηµα συντεταγµένων δίνεται η γραφική παράσταση µιας

συνάρτησης f.

α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. (Μονάδες 6)

β) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών:

x −3 −1 0 3

y −2 −4 (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τους άξονες.

(Μονάδες 6)

δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού στα οποία η συνάρτηση

παίρνει θετικές τιµές. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το πεδίο ορισµού της f προκύπτει από την προβολή όλων των σηµείων της

γραφικής παράστασής της στον άξονα x΄x , δηλαδή είναι το [ ]fA = 3, 8- .

β) Το σηµείο της f

C µε τετµηµένη −3 είναι το Α(−3, 0).

Το σηµείο της f

C µε τετµηµένη −1 είναι το Β(−1, 2).

Page 114: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

114

Το σηµείο της f

C µε τετµηµένη 0 είναι το Γ(0, 3).

Το σηµείο της f

C µε τετµηµένη 3 είναι το ∆(3, 6).

Το σηµείο της f

C µε τεταγµένη −2 είναι το Ε(7, −2).

Το σηµείο της f

C µε τεταγµένη −4 είναι το Ζ(8, −4).

Α

Β

Γ

Ε

Ζ

Η

Συνεπώς:

x −3 −1 0 3 7 8

y 0 2 3 6 −2 −4

γ) Τα σηµεία τοµής της f

C µε τον άξονα x΄x είναι τα Α(−3, 0) και Η(6, 0).

Το σηµείο τοµής της f

C µε τον άξονα y΄y είναι το Γ(0, 3).

δ) Αναζητούµε εκείνα τα [ ]fx A = 3, 8∈ - για τα οποία η

fC βρίσκεται πάνω από

τον άξονα x΄x , οπότε x ( 3, 6)∈ − .

Page 115: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

115

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 8, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3380 ∆ίνεται το τριώνυµο ( ) 2f x = 3x + 9x 12, x− ∈ℝ .

α) Να λύσετε την ανίσωση ( )f x 0≤ και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών

της στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 13)

β) Να ελέγξετε αν ο αριθµός 3 2 είναι λύση του ερωτήµατος (α). Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας. (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.4, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι ( ) 2 2f x = 3x + 9x 12 = 3(x + 3x 4), x− − ∈ℝ .

Το τριώνυµο 2x + 3x 4− έχει διακρίνουσα 23 4 1 ( 4) 25∆ = − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

3 5 21

3 25 3 5 2 2x

3 5 82 1 24

2 2

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞4− 1x

2x 3x 4+ − + +−

Για x∈ℝ έχουµε ότι:

( ) 2 2f x 0 3(x + 3x 4) 0 x + 3x 4 0 4 x 1≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ .

β) Έχουµε ότι: 3

33 32 1 2 1 2 1> ⇔ > ⇔ > , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική,

οπότε ο αριθµός 3 2 δεν είναι λύση της ανίσωσης.

Page 116: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

116

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 19,

20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3381

∆ίνεται η συνάρτηση g, µε ( )22x 4x

g xx 1

− +µ=

+. Αν η γραφική παράσταση της

συνάρτησης g διέρχεται από το σηµείο ( )1, 4Α − ,

α) να δείξετε ότι µ 6= − . (Μονάδες 9)

β) να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. (Μονάδες 9)

γ) για µ = 6− να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Σχόλιο: Είναι γνωστό ότι, όταν λύνουµε µια άσκηση µε συναρτήσεις, η πρώτη µας

ενέργεια είναι να βρούµε το πεδίο ορισµού της. Συνεπώς στη συγκεκριµένη άσκηση τα

ερωτήµατα (α), (β) έπρεπε να ήταν δοσµένα µε αντίθετη σειρά.

α) Πρέπει x 1 0+ ≠ ⇔ x 1≠ − , άρα g 1Α = − −ℝ .

Αφού η γραφική παράσταση της συνάρτησης g διέρχεται από το σηµείο

( )A 1, 4− , ισχύει:

( )22 1 4 1 2 4

g 1 4 4 4 2 8 61 1 2

⋅ − ⋅ + µ − +µ= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − +µ = − ⇔ µ = −

+.

β) g 1Α = − −ℝ .

γ) Για µ = −6 έχουµε ότι ( )2 22x 4x 6 2(x 2x 3)

g xx 1 x 1

− − − −= =

+ + (Ι).

Το τριώνυµο 2x 2x 3− − έχει διακρίνουσα ( ) ( )2

2 4 1 3 16∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

2 4 63

( 2) 16 2 4 2 2x

2 4 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς ( )( ) ( )( )2x 2x 3 x ( 1) x 3 x 1 x 3− − = − − − = + − ,

οπότε για x ≠ −1 έχουµε ότι ( ) 2(x 1)(x 3)g x 2(x 3) 2x 6

x 1

+ −= = − = −

+.

Page 117: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

117

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 8, 9 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3382

∆ίνεται η παράσταση 3 5

5 3 5 3Α = +

− +.

α) Να δείξετε ότι Α = 4. (Μονάδες 12)

β) Να λύσετε την εξίσωση x + Α = 1. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.4, 3.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) ( )

( )( )( )

( )( )3 5 3 5 5 33 5

5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3

+ −Α = + = +

− + − + + −

( ) ( )( )( ) 2 2

3 5 3 5 5 3 3 5 3 3 5 5 5 3

5 3 5 3 5 3

+ + − + + −= =

− + −

2 2

3 5 3 5 84

5 3 2 2

+ += = = =

−.

β) x 1 x 4 1 x 4 1 ή x 4 1+ Α = ⇔ + = ⇔ + = + = − ⇔

x 1 4 ή x 1 4 x 3 ή x 5⇔ = − = − − ⇔ = − = − .

Page 118: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

118

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3383 Το 70% των κατοίκων µιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει µηχανάκι και το

20% έχει και αυτοκίνητο και µηχανάκι. Επιλέγουµε τυχαία έναν κάτοικο αυτής της

πόλης. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

A: ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο

Μ: ο κάτοικος να έχει µηχανάκι.

α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα:

i)

Α∪Μ ii)

Μ −Α iii) Μ΄ (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε:

i) Να µην έχει µηχανάκι (Μονάδες 7)

ii) Να µην έχει ούτε µηχανάκι ούτε αυτοκίνητο. (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

i) Α∪Μ = «ο κάτοικος έχει αυτοκίνητο ή µηχανάκι»

ii) Μ −Α= «ο κάτοικος έχει µόνο µηχανάκι».

iii) Μ΄ = «ο κάτοικος δεν έχει µηχανάκι».

β) Από τα δεδοµένα έχουµε ότι ( )P 70% 0,7Α = = ,

( )P 40% 0,4Μ = = και ( )P 20% 0,2Α∩Μ = = .

Συνεπώς ( ) ( ) ( ) ( )P P P P 0,7 0, 4 0,2 0,9Α∪Μ = Α + Μ − Α∩Μ = + − = .

i) ( ) ( )P ΄ 1 P 1 0, 4 0,6Μ = − Μ = − = .

ii) ( )΄Α∪Μ = «ο κάτοικος δεν έχει ούτε µηχανάκι ούτε αυτοκίνητο»,

άρα ( )( ) ( )P ΄ 1 P 1 0,9 0,1Α∪Μ = − Α∪Μ = − = .

Page 119: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

119

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3384 Από τους 180 µαθητές ενός λυκείου, 20 µαθητές συµµετέχουν στη θεατρική οµάδα,

30 συµµετέχουν στην οµάδα στίβου, ενώ 10 µαθητές συµµετέχουν και στις δύο

οµάδες. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή του λυκείου. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

A: ο µαθητής συµµετέχει στη θεατρική οµάδα

Β: ο µαθητής συµµετέχει στην οµάδα στίβου

α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα:

i)

Α∪Β ii)

Β −Α iii) Α΄ (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής που επιλέχθηκε:

i) Να µη συµµετέχει σε καµία οµάδα. (Μονάδες 9)

ii) Να συµµετέχει µόνο στην οµάδα στίβου. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

i)

Α∪Β = «ο µαθητής συµµετέχει στη θεατρική οµάδα ή στην οµάδα στίβου»

ii)

Β −Α = «ο µαθητής συµµετέχει µόνο στην οµάδα στίβου»

iii) Α΄ = «ο µαθητής δε συµµετέχει στη θεατρική οµάδα».

β) Από τα δεδοµένα έχουµε ότι:

( ) ( ) 20 1P Α = =

( ) 180 9

Ν Α=

Ν Ω,

( ) ( ) 30 1P Β = = =

( ) 180 6

Ν ΒΝ Ω

και

( ) ( )Α Β 10 1P Α Β = =

( ) 180 18

Ν ∩∩ =

Ν Ω.

Συνεπώς

20 30 10 40 2( ) ( ) ( ) ( )

180 180 180 180 9Ρ Α∪Β = Ρ Α + Ρ Β −Ρ Α∩Β = + − = = .

i) ( )΄Α∪Β = «ο µαθητής δε συµµετέχει σε καµία οµάδα»,

άρα ( ) 2 7( ) 1 ( ) 1

9 9Ρ Α∪Β = −Ρ Α∪Β = − = .

ii) 30 10 20 1

( ) ( ) ( )180 180 180 9

Ρ Β−Α = Ρ Β −Ρ Α∩Β = − = = .

Page 120: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

120

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 17 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3828 Οι αριθµοί 2, 2κ − κ

και 7 4, ,κ + κ∈ℕ είναι, µε τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί

όροι µιας γεωµετρικής προόδου ( )να .

α) Να αποδείξετε ότι κ = 4 και να βρείτε τον λόγο λ της προόδου. (Μονάδες 12)

β) i) Να εκφράσετε τον 2ο όρο, τον 5ο και τον 4ο όρο της παραπάνω γεωµετρικής

προόδου ως συνάρτηση του 1

α . (Μονάδες 6)

ii) Να αποδείξετε ότι ( )2 5 1 44α + α = α + α . (Μονάδες 7)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού οι αριθµοί 2, 2 , 7 4κ− κ κ+ αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωµετρικής

προόδου, ισχύει ότι:

( ) ( )( )2 2 22 7 4 2 4 7 14 4 8κ = κ + κ − ⇔ κ = κ − κ + κ − ⇔

2 2 27 4 14 4 8 0 3 10 8 0⇔ κ − κ − κ + κ − = ⇔ κ − κ − = (Ι).

Το τριώνυµο 23 10 8κ − κ− έχει διακρίνουσα ( ) ( )2

10 4 3 8 196∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

10 14 244

( 10) 196 10 14 6 6

10 14 4 22 3 6

6 6 3

+ = =− − ± ± κ = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ κ = 4 ή 2

κ3

= − (απορρίπτεται, αφού κ∈ℕ )

και οι όροι της γεωµετρικής προόδου είναι οι 2, 8, 32 µε λόγο 8 32

λ 42 8

= = = .

β) i) Έστω *, ,να ν∈N η γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ = 4, πρώτο όρο 1α και

νιοστό όρο 1 1 *

1 1 4 ,ν− ν−να = α λ = α ⋅ ν∈N .

Συνεπώς 2 14α = α , 4

5 1 14 256α = ⋅α = α και 3

4 1 14 64α = ⋅α = α .

ii) Επίσης, ( ) ( )2 5 1 1 1 1 1 44 256 4 64 4α +α = α + α = α + α = α +α .

Page 121: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

121

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3839

∆ίνεται η εξίσωση: ( )2λx λ 1 x 1 0− − − = , µε παράµετρο λ ≠ 0.

α) Να βρείτε την τιµή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθµό −2.

(Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ ≠ 0.

(Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού ο αριθµός –2 είναι ρίζα της εξίσωσης ( )2λx λ 1 x 1 0− − − = , ισχύει ότι:

( ) ( ) ( )2λ 2 λ 1 2 1 0 4λ 2λ 2 1 0 6λ 3 0⋅ − − − ⋅ − − = ⇔ + − − = ⇔ − = ⇔

3 16λ 3 λ λ

6 2⇔ = ⇔ = ⇔ = .

β) Εφόσον λ ≠ 0, η εξίσωση ( )2λx λ 1 x 1 0− − − = είναι δευτέρου βαθµού.

Το τριώνυµο ( )2λx λ 1 x 1− − − έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2 2 2 2∆ λ 1 4λ( 1) λ 1 4λ λ 2λ 1 4λ λ 2λ 1 (λ 1)= − − − − = − + = − + + = + + = + .

Αφού για κάθε λ ≠ 0 έχουµε 2(λ 1) 0 ∆ 0+ ≥ ⇔ ≥ ,

η εξίσωση έχει πάντα πραγµατικές ρίζες για κάθε λ 0≠ .

Page 122: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

122

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3847

∆ίνεται η εξίσωση ( ) 2λ 2 x 2λx λ 1 0+ + + − = , µε παράµετρο λ 2≠ − .

Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες:

α) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 13)

β) το άθροισµα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο µε 2. (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Ισχύει λ 2 λ 2 0≠ − ⇔ + ≠ , οπότε η εξίσωση ( ) 2λ 2 x 2λx λ 1 0+ + + − = είναι

δευτέρου βαθµού.

Το τριώνυµο ( ) 2λ 2 x 2λx λ 1 0+ + + − = έχει διακρίνουσα

( ) ( )( )2 2 2 2 2∆ 2λ 4 λ 2 λ 1 4λ 4(λ λ 2λ 2) 4λ 4λ 4λ 8λ 8= − + − = − − + − = − + − +

8 4λ 4(2 λ)= − = − .

Η δευτεροβάθµια εξίσωση ( ) 2λ 2 x 2λx λ 1 0+ + + − = έχει δύο πραγµατικές και

άνισες ρίζες αν και µόνο αν ισχύει:

∆ > 0 ⇔ 4(2 – λ) > 0 ⇔ 2 – λ > 0 ⇔ λ < 2.

Αφού λ ≠ −2, έχουµε ότι ( ) ( )λ , 2 2, 2∈ −∞ − ∪ − .

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης ( ) 2λ 2 x 2λx λ 1 0+ + + − = , από τους

τύπους του Vieta έχουµε 1 2

2S x x

2

λ= + = −

λ +.

Πρέπει για ( ) ( )λ , 2 2, 2∈ −∞ − ∪ − :

( )2λS 2 2 2λ 2 λ 2 2λ 2λ 4 2λ 2λ 4

λ 2= ⇔ − = ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔

+ 4 4 1⇔ − λ = ⇔ λ = − , που είναι δεκτή.

Page 123: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

123

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 6 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3852 Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ισχύουν: 2 α 4≤ ≤ και 4 β 3− ≤ ≤ − . Να βρείτε

τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή καθεµιάς από τις παραστάσεις:

α) α 2β− (Μονάδες 12)

β) 2α 2αβ− (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε τις ανισότητες:

• 2 α 4≤ ≤ ,

• ( ) ( )4 β 3 2 4 2 β 2 3 8 2β 6 6 2β 8− ≤ ≤ − ⇔ − ⋅ − ≥ − ⋅ ≥ − ⋅ − ⇔ ≥ − ≥ ⇔ ≤ − ≤ ,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

2 6 α 2β 4 8 8 α 2β 12+ ≤ − ≤ + ⇔ ≤ − ≤ ,

δηλαδή η παράσταση α – 2β παίρνει τιµές από το 8 έως και το 12.

β) Έχουµε ότι οι αριθµοί α και α – 2β είναι θετικοί µε 2 α 4≤ ≤ και 8 α 2β 12≤ − ≤ .

Πολλαπλασιάζουµε τις ανισότητες κατά µέλη (που είναι θετικά) και βρίσκουµε 22 8 α (α 2β) 4 12 16 α 2αβ 48⋅ ≤ ⋅ − ≤ ⋅ ⇔ ≤ − ≤ ,

δηλαδή η παράσταση 2α 2αβ− παίρνει τιµές από το 16 έως και το 48.

Page 124: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

124

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3857 Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν:

α β 4⋅ = και 2 2α β αβ 20+ =

α) Να αποδείξετε ότι: α β 5+ = . (Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β και να τους

βρείτε. (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι: 2 2 ( ) 20 4( ) 20 520

4 4 44

αβ α +β = α +β = α +β = α β+αβ =⇔ ⇔ ⇔

αβ = αβ = αβ =αβ = .

β) Μια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες α και β έχει τη µορφή 2x Sx P 0− + = , όπου

S 5= α +β = και P 4= αβ = .

Συνεπώς µια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες α και β είναι η 2x 5x 4 0− + = (Ι).

Το τριώνυµο 2x 5x 4− + έχει διακρίνουσα 2( 5) 4 1 4 9∆ = − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

5 3 84

( 5) 9 5 3 2 2x

5 3 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 1 ή x = 4, άρα (α, β) = (1, 4) ή (α, β) = (4, 1).

Page 125: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

125

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3863 Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν:

α β 1+ = − και 3 2 2 3α β 2α β αβ 12+ + = −

α) Να αποδείξετε ότι: α β 12⋅ = − . (Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β και να τους

βρείτε. (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

3 2 2 3 2 2 2

α β 1 α β 1 α β 1

α β 2α β αβ 12 αβ(α 2αβ β ) 12 αβ(α β) 12

+ = − + = − + = − ⇔ ⇔ ⇔

+ + = − + + = − + = −

2

α β 1 α β 1

αβ 12αβ( 1) 12

+ = − + = −⇔ ⇔

= −− = − .

β) Μια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες α και β έχει τη µορφή 2x Sx P 0− + = , όπου

S 1= α +β = − και P 12= αβ = − .

Συνεπώς µια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες α και β είναι η 2x x 12 0+ − = (Ι).

Το τριώνυµο 2x x 12+ − έχει διακρίνουσα 21 4 1 ( 12) 49∆ = − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

1 7 63

1 49 1 7 2 2x

1 7 82 1 24

2 2

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 3 ή x = −4, άρα (α, β) = (3, −4) ή (α, β) = (−4, 3).

Page 126: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

126

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 6 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3870

∆ίνονται οι παραστάσεις: 2 2Κ 2α β 9= + + και ( )Λ 2α 3 β= − , όπου α, β∈ℝ .

α) Να δείξετε ότι: Κ Λ− = ( ) ( )2 2 2α 2αβ β α 6α 9+ + + − + . (Μονάδες 3)

β) Να δείξετε ότι: Κ ≥ Λ, για κάθε τιµή των α, β. (Μονάδες 10)

γ) Για ποιες τιµές των α, β ισχύει η ισότητα Κ Λ= ; Να αιτιολογήσετε την απά-

ντησή σας. (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για κάθε α, β∈ℝ έχουµε ότι:

( ) ( )2 2 2 2 2Κ Λ 2α β 9 2α 3 β α α β 9 6α 2αβ− = + + − − = + + + − +

( ) ( )2 2 2α 2αβ β α 6α 9= + + + − + .

β) Από το (α) ερώτηµα, για κάθε α, β∈ℝ έχουµε ότι:

( ) ( )2 2 2 2 2Κ Λ α 2αβ β α 6α 9 (α β) (α 3)− = + + + − + = + + − .

Όµως ( )2α β 0+ ≥ και ( )2α 3 0− ≥

για κάθε α, β∈ℝ , οπότε:

( ) ( )2 2α β α 3 0 Κ Λ 0 Κ Λ+ + − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ .

γ) ( ) ( )2 2 2 2 2Κ Λ 0 α 2αβ β α 6α 9 0 (α β) (α 3) 0− = ⇔ + + + − + = ⇔ + + − = ⇔

α β 0 β α β 3

α 3 0 α 3 α 3

+ = = − = − ⇔ ⇔ ⇔

− = = = .

Page 127: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

127

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 5 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3874 ∆ίνονται οι µη µηδενικοί αριθµοί α, β, µε α β≠ , για τους οποίους ισχύει:

2

2

α 1 α

ββ 1

+=

+

α) Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί α και β είναι αντίστροφοι. (Μονάδες 13)

β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( )( )

822 3

252

α βΚ

α αβ−

⋅=

⋅. (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για α ≠ β, α ≠ 0 και β ≠ 0 έχουµε ότι:

( ) ( )2

2 2 2 2

2

α 1 αα 1 β β 1 α α β β β α α

ββ 1

+= ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔

+

( ) ( )2 2α β β β α α 0 αβ α β α β 0⇔ + − − = ⇔ − − − = ⇔

( ) ( )α β αβ 1 0 αβ 1 0 αβ 1⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = ,

δεδοµένου ότι α ≠ β ⇔ α – β ≠ 0.

Αφού αβ = 1, οι αριθµοί α και β είναι αντίστροφοι.

β) Για α ≠ β, α ≠ 0 και β ≠ 0 έχουµε ότι:

( )( )

822 3

22 3 8 2224 22 ( 2) 24 24 24 24 24

25 2 25 22

α β α β αΚ β α β α β (αβ) 1 1

α 1 αα αβ

⋅− −

− −−= = = ⋅ = = = = =

⋅.

Page 128: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

128

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3878 Ένα Λύκειο έχει 400 µαθητές από τους οποίους οι 200 είναι µαθητές της Α΄ τάξης.

Αν επιλέξουµε τυχαία έναν µαθητή, η πιθανότητα να είναι µαθητής της Γ΄ τάξης

είναι 20%. Να βρείτε:

α) Το πλήθος των µαθητών της Γ΄ τάξης. (Μονάδες 10)

β) Το πλήθος των µαθητών της Β΄ τάξης. (Μονάδες 5)

γ) Την πιθανότητα ο µαθητής που επιλέξαµε να είναι της Β΄ τάξης. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Έστω τα ενδεχόµενα:

Ω = «το σύνολο των µαθητών του Λυκείου»

Α = «ένας µαθητής φοιτά στην Α΄ Λυκείου»,

Β = «ένας µαθητής φοιτά στη Β΄ Λυκείου»,

Γ = «ένας µαθητής φοιτά στην Γ΄ Λυκείου».

Τότε Ν(Ω) = 400, Ν(Α) = 200 και Ρ(Γ) = 20%.

α) Συνεπώς:

( ) ( )( )

( ) ( )Ν Γ Ν Γ20 20

P Γ 20% 100Ν Γ 20 400Ν Ω 100 400 100

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⋅ ⇔

( ) ( ) ( )8000100Ν Γ 8000 Ν Γ Ν Γ 80

100⇔ = ⇔ = ⇔ = ,

δηλαδή η Γ΄ Λυκείου έχει 80 µαθητές.

β) Έχουµε ότι:

( ) ( ) ( ) ( )Ν Β Ν Ω Ν Α Ν Γ 400 200 80 120= − − = − − = ,

δηλαδή η Β΄ Λυκείου έχει 120 µαθητές.

γ) Έχουµε ότι:

( ) ( )( )

Ν Β 120 30P Β 30%

Ν Ω 400 100= = = = ,

δηλαδή η πιθανότητα ο µαθητής που επιλέξαµε να είναι της Β΄ τάξης είναι 30%.

Page 129: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

129

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 7 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_3884

Για τον πραγµατικό αριθµό x ισχύει: ( )d 2x,3 3 2x= − .

α) Να αποδείξετε ότι 3

x2

≤ . (Μονάδες 12)

β) Αν 3

x2

≤ , να αποδείξετε ότι η παράσταση: K 2x 3 2 3 x= − − − είναι ανεξάρ-

τητη του x. (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

( )d 2x,3 3 2x | 2x 3 | 3 2x | 2x 3 | (2x 3)= − ⇔ − = − ⇔ − = − − ⇔

32x 3 0 2x 3 x

2⇔ − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ , αφού από τον ορισµό της απόλυτης τιµής

ισχύει | x | x x 0= − ⇔ ≤ .

β) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι 3

x 2x 3 2x 32

≤ ⇔ − = − + .

Επιπλέον, έχουµε ότι 3 3 3 3

x x 3 x 3 3 x2 2 2 2

≤ ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ ,

άρα 3 – x > 0 και 3 x 3 x− = − .

Συνεπώς:

( )K 2x 3 2 3 x 2x 3 2 3 x 2x 3 6 2x 3= − − − = − + − − = − + − + = − ,

δηλαδή η παράσταση Κ είναι ανεξάρτητη του x.

Page 130: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

130

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 17 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4288 α) Να βρείτε, για ποιες τιµές του x, οι αριθµοί x 4+ , 2 x− , 6 x− µε τη σειρά που

δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. (Μονάδες 13)

β) Αν x 5= και ο 6 x− είναι ο τέταρτος όρος της παραπάνω γεωµετρικής προόδου,

να βρείτε:

i) τον λόγο λ της γεωµετρικής προόδου. (Μονάδες 6)

ii) τον πρώτο όρο 1α της προόδου. (Μονάδες 6)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Οι αριθµοί x 4+ , 2 x− , 6 x− είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου αν

και µόνο αν:

( ) ( )( )2 2 22 x x 4 6 x 4 4x x 6x x 24 4x− = + − ⇔ − + = − + − ⇔

2 2 24 4x x 6x x 24 4x 0 2x 6x 20 0⇔ − + − + − + = ⇔ − − = ⇔

2 22(x 3x 10) 0 x 3x 10 0⇔ − − = ⇔ − − = (Ι).

Το τριώνυµο 2x 3x 10− − έχει διακρίνουσα ( ) ( )2∆ 3 4 1 10 49= − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

3 7 105

( 3) 49 3 7 2 2x

3 7 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = −2 ή x = 5.

β) Έστω *, ,να ν∈N η γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ, πρώτο όρο 1α και νιοστό

όρο 1 *

1 ,ν−να = α λ ν∈N .

Για x = 5 έχουµε ότι ο τέταρτος όρος είναι ο 4α 6 x 6 5 1= − = − = .

Συνεπώς ο τρίτος όρος είναι ο 3α 2 x 2 5 3= − = − = − και ο δεύτερος όρος είναι ο

2α x 4 5 4 9= + = + = .

i) Τότε ο λόγος της προόδου είναι 34

3 2

αα 1λ

α α 3= = = − .

ii) Ο νιοστός όρος είναι

1

*

1

1,

3

ν−

ν α = α − ν∈

N .

Έχουµε ότι: 2 1

12 1 1 1

α1 1α 9 α 9 α 9 9 α 27

3 3 3

− = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = −

.

Page 131: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

131

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4290 ∆ίνεται πραγµατικός αριθµός x για τον οποίο ισχύει: x 2 3− < .

α) Να αποδείξετε ότι: 1 x 5− < < . (Μονάδες 12)

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: x 1 x 5

K3

+ + −= . (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) x 2 3 3 x 2 3 2 3 x 2 3 1 x 5− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + ⇔ − < < .

β) Αφού 1 x 5 1 1 x 1 1 5 0 x 1 6− < < ⇔ − < + < + ⇔ < + < ,

άρα x + 1 > 0 και x 1 x 1+ = + .

Επίσης, έχουµε ότι:

1 x 5 1 5 x 5 5 5 6 x 5 0− < < ⇔ − − < − < − ⇔ − < − < ,

άρα x − 5 < 0 και x 5 (x 5) x 5− = − − = − + .

Συνεπώς:

( )x 1 x 5 x 1 x 5 x 1 x 5 6K 2

3 3 3 3

+ + − + + − + + − += = = = = .

Page 132: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

132

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4295

∆ίνονται πραγµατικοί αριθµοί y , για τους οποίους ισχύει y 2 1− < .

α) Να αποδείξετε ότι ( )y 1,3∈ . (Μονάδες 12)

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση y 1 y 3

K2

− + −= . (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) ( )y 2 1 1 y 2 1 2 1 y 1 2 1 y 3 y 1, 3− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + ⇔ < < ⇔ ∈ .

β) Αφού 1 y 3 1 1 y 1 3 1 0 y 1 2< < ⇔ − < − < − ⇔ < − < ,

άρα y – 1 > 0 και y 1 y 1− = − .

Επίσης, έχουµε ότι:

1 y 3 1 3 y 3 3 3 2 y 3 0< < ⇔ − < − < − ⇔ − < − < ,

άρα y − 3 < 0 και y 3 (y 3) y 3− = − − = − + .

Συνεπώς:

y 1 y 3 y 1 ( y 3) y 1 y 3 2K 1

2 2 2 2

− + − − + − + − − += = = = = .

Page 133: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

133

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 6 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4299 Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ισχύουν: 3 x 5≤ ≤ και 2 y 1− ≤ ≤ − , να

βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων βρίσκονται οι τιµές των παραστάσεων:

α) y x− (Μονάδες 12)

β) 2 2x y+ (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε τις ανισότητες:

• 2 y 1− ≤ ≤ − ,

• 3 x 5 ( 1) 3 ( 1) ( x) ( 1) ( 5) 3 x 5 5 x 3≤ ≤ ⇔ − ⋅ ≥ − ⋅ − ≥ − ⋅ − ⇔ − ≥ − ≥ − ⇔ − ≤ − ≤ − ,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

2 5 y x 3 1 7 y x 4− − ≤ − ≤ − − ⇔ − ≤ − ≤ − ,

άρα η παράσταση y – x παίρνει τιµές από το −7 έως και το −4.

β) Έχουµε τις ανισότητες:

• 2 2 2 23 x 5 3 x 5 9 x 25≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ,

• 2 2 2 2 22 y 1 2 y 1 2 ( y) 1 4 y 1 1 y 4− ≤ ≤ − ⇔ ≥ − ≥ ⇒ ≥ − ≥ ⇔ ≥ ≥ ⇔ ≤ ≤ ,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε 2 2 2 29 1 x y 25 4 10 x y 29+ ≤ + ≤ + ⇔ ≤ + ≤ .

Συνεπώς η παράσταση 2 2x y+ παίρνει τιµές από το 10 έως και το 29.

Page 134: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

134

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4300 Σε µια αριθµητική πρόοδο ν(α ) ισχύουν: 1 2α = και 25 12 39α = α + .

α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω = 3. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος µε 152 . (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού έχουµε αριθµητική πρόοδο *, ,να ν∈N ο νιοστός όρος της δίνεται από τον

τύπο *

1 ( 1) 2 ( 1) ,να = α + ν − ω = + ν − ω ν∈N .

Τότε:

12 2 (12 1) 2 11α = + − ω = + ω , 25 2 (25 1) 2 24α = + − ω = + ω και

25 12 39 2 24 2 11 39 24 11 2 39 2α = α + ⇔ + ω= + ω+ ⇔ ω− ω= + − ⇔

13 39 3⇔ ω= ⇔ ω= .

β) Ο νιοστός όρος της είναι *2 ( 1) 3 2 3 3 3 1,να = + ν − ⋅ = + ν − = ν − ν∈N .

Συνεπώς αναζητούµε *ν∈N έτσι ώστε:

152 3 1 152 3 1 152 3 153 51να = ⇔ ν− = ⇔ ν = + ⇔ ν = ⇔ ν = .

Εποµένως ο 51ος όρος της προόδου είναι ίσος µε 152.

Page 135: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

135

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4301 ∆ίνεται αριθµητική πρόοδος ν(α ) µε διαφορά ω.

α) Να δείξετε ότι: 15 9

10 7

2α −α

=α −α

. (Μονάδες 13)

β) Αν 15 9 18α −α = , να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου. (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού έχουµε αριθµητική πρόοδο *, ,να ν∈N ο νιοστός όρος της δίνεται από τον

τύπο *

1 ( 1) ,να = α + ν − ω ν∈N .

Τότε:

15 1 1(15 1) 14α = α + − ω = α + ω , 9 1 1(9 1) 8α = α + − ω = α + ω ,

10 1 1(10 1) 9α = α + − ω = α + ω , 7 1 1(7 1) 6α = α + − ω = α + ω .

Συνεπώς για 10 7 0α −α ≠ ⇔ ω ≠ 0 έχουµε ότι:

15 9 1 1 1 1

10 7 1 1 1 1

14 ( 8 ) 14 8 62

9 ( 6 ) 9 6 3

α −α α + ω− α + ω α + ω−α − ω ω= = = =

α −α α + ω− α + ω α + ω−α − ω ω.

β) 15 9 1 1 1 118 14 ( 8 ) 18 14 8 18α −α = ⇔ α + ω− α + ω = ⇔ α + ω−α − ω= ⇔

6 18 3⇔ ω= ⇔ ω = .

Εποµένως η διαφορά της αριθµητικής προόδου είναι ω = 3.

Page 136: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

136

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 9 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4302

∆ίνεται η εξίσωση ( ) 23 x 9α+ = α − , µε παράµετρο α∈ℝ .

α) Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις:

i) όταν α 1= (Μονάδες 5)

ii) όταν α 3= − (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιµές του α για τις οποίες η εξίσωση έχει µοναδική λύση και να

προσδιορίσετε τη λύση αυτή. (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) Για α = 1 η εξίσωση ( ) 23 x 9α+ = α − γίνεται:

( ) 21 3 x 1 9 4x 1 9 4x 8 x 2+ = − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = − .

ii) Για α = −3 η εξίσωση ( ) 23 x 9α+ = α − γίνεται:

( ) 23 3 x ( 3) 9 0x 9 9 0x 0− + = − − ⇔ = − ⇔ = , η οποία είναι αόριστη.

β) Η εξίσωση ( ) 23 x 9α+ = α − έχει µοναδική λύση αν και µόνο αν ισχύει:

3 0 3α + ≠ ⇔ α ≠ − .

Για 3α ≠ − έχουµε ότι:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )23 3

3 x 9 3 x 3 3 x x 33

α − α +α + = α − ⇔ α+ = α− α+ ⇔ = ⇔ = α−

α +.

Page 137: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

137

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4303 Σε αριθµητική πρόοδο ( )να ισχύουν: 4 9 15α −α = και 1 41α = .

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι ίση µε 3− . (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο ν, ώστε να = ν . (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού έχουµε αριθµητική πρόοδο *, ,να ν∈N ο νιοστός όρος της δίνεται από τον

τύπο *

1 ( 1) 41 ( 1) ,να = α + ν − ω = + ν − ω ν∈N .

Τότε:

4 41 (4 1) 41 3α = + − ω = + ω , 9 41 (9 1) 41 8α = + − ω = + ω και

4 9 15 41 3 (41 8 ) 15 41 3 41 8 15α −α = ⇔ + ω− + ω = ⇔ + ω− − ω = ⇔

5 15 3⇔ − ω= ⇔ ω= − .

β) Ο νιοστός όρος της *, ,να ν∈N είναι:

*41 ( 1)( 3) 41 3 3 3 44,να = + ν − − = − ν + = − ν + ν∈N .

Συνεπώς αναζητούµε *ν∈N έτσι ώστε:

3 44 3 44 4 44 11να = ν ⇔ − ν + = ν ⇔ − ν −ν = − ⇔ − ν = − ⇔ ν = .

Εποµένως ο 11ος όρος της προόδου είναι ίσος µε 11.

Page 138: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

138

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4304 Σε αριθµητική πρόοδο ( )να µε διαφορά ω = 4, ισχύει: 6 11 40α +α = .

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο 1α της προόδου. (Μονάδες 12)

β) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουµε ώστε το άθροισµά

τους να είναι ίσο µε το µηδέν; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού έχουµε αριθµητική πρόοδο *, ,να ν∈N µε ω = 4, ο νιοστός όρος της

δίνεται από τον τύπο *

1 1 1( 1) ( 1) 4 4 4,να = α + ν − ω = α + ν − ⋅ = α + ν − ν∈N .

Τότε:

6 1 1 14 6 4 24 4 20α = α + ⋅ − = α + − = α + ,

1 1 1 14 11 4 44 4 40α = α + ⋅ − = α + − = α + και

6 11 1 1 1 140 20 40 40 40 40 20α +α = ⇔ α + +α + = ⇔ α +α = − − ⇔

1 12 20 10⇔ α = − ⇔ α = − .

β) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου είναι:

( ) ( )12 1 2 ( 10) 1 4 20 4 4

S2 2 2

ν

α + ν − ω ⋅ − + ν − ⋅ − + ν −= ⋅ν = ⋅ν = ⋅ν

*4 24 4( 6)

2 ( 6),2 2

ν − ν −= ⋅ν = ⋅ν = ν ν − ν∈N .

Συνεπώς αναζητούµε *ν∈N έτσι ώστε:

S 0 2 ( 6) 0 6 0 6ν = ⇔ ν ν − = ⇔ ν− = ⇔ ν = ,

δηλαδή οι έξι πρώτοι όροι έχουν άθροισµα 0.

Page 139: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

139

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4305 α) Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των

πραγµατικών αριθµών:

i) 2x 3 5− ≤ (Μονάδες 9)

ii) 2x 3 1− ≥

(Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις.

(Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) 2x 3 5 5 2x 3 5 3 5 2x 5 3 2 2x 8 1 x 4− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + ⇔ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ,

ενώ η λύση αυτή στον άξονα φαίνεται ακολούθως:

−∞ +∞1− 4

ii) 2x 3 1 2x 3 1 ή 2x 3 1 2x 3 1 ή 2x 1 3− ≥ ⇔ − ≤ − − ≥ ⇔ ≤ − ≥ + ⇔

2x 2 ή 2x 4 x 1 ή x 2⇔ ≤ ≥ ⇔ ≤ ≥ ,

ενώ η λύση αυτή στον άξονα φαίνεται ακολούθως:

−∞ +∞1 2

β) Παριστάνουµε τις κοινές λύσεις πάνω σε έναν άξονα:

−∞ +∞1− 1 2 4

Οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι [ ] [ ]x 1,1 2, 4∈ − ∪ .

Page 140: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

140

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4306

α) Να λύσετε την εξίσωση 22x x 6 0− − = (1). (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση x 1 2− < (2). (Μονάδες 9)

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιµές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις

(1) και (2). (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) To τριώνυµο 22x x 6− − έχει διακρίνουσα ( ) ( )2

1 4 2 6 1 48 49∆ = − − ⋅ ⋅ − = + =

και ρίζες ( )

1 7 82

1 49 1 7 4 4x

1 7 6 32 2 4

4 4 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς 22x x 6 0− − = ⇔ x = 2 ή

3x

2= − .

β) x 1 2 2 x 1 2 1 2 x 2 1 1 x 3 x ( 1, 3)− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + ⇔ − < < ⇔ ∈ − .

γ) Έχουµε ότι ( )1

3x 1, 3

2= − ∉ − , ενώ ( )2x 2 1, 3= ∈ − .

Συνεπώς µόνο η λύση x = 2 της εξίσωσης (1) ικανοποιεί την ανίσωση (2).

Page 141: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

141

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4308

α) Να βρείτε για ποιες τιµές του x η παράσταση 2

2

2x 1 1

x x 1 x

−Π = +

− − έχει νόηµα

πραγµατικού αριθµού. (Μονάδες 10)

β) Για τις τιµές του x που βρήκατε στο α) ερώτηµα, να λύσετε την εξίσωση 2

2

2x 1 10

x x 1 x

−+ =

− −. (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει: 2 x(x 1) 0 x 0 και x 1 0x x 0

x 0 και x 1x 1 x 11 x 0

− ≠ ≠ − ≠ − ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ≠ ≠

− ≠ − ≠− ≠ .

Συνεπώς η παράσταση Π έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού όταν x 0,1∈ −R .

β) Για x 0 x 1≠ και ≠ έχουµε ότι:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

2

2x 1 1 2x 1 1 2x 1 10 0 0

x x 1 x x x 1 x 1 x x 1 x 1

− − −+ = ⇔ + = ⇔ − = ⇔

− − − − − − −

( )( )

( )( )

22 22x 1 1

x x 1 x x 1 0 2x 1 x 0 2x x 1 0x x 1 x 1

−⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ − − =

− −

(Ι).

Το τριώνυµο 22x x 1− −

έχει διακρίνουσα 2( 1) 4 2 ( 1) 9∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες ( )

1 3 41

1 9 1 3 4 4x

1 3 2 12 2 4

4 4 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 1 (απορρίπτεται) ή 1

x2

= − ⇔ 1

x2

= − .

Page 142: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

142

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4309 ∆ίνεται ορθογώνιο µε περίµετρο Π = 20 cm και εµβαδόν E = 24 cm

2 .

α) Να κατασκευάσετε µία εξίσωση 2ου βαθµού που έχει ως ρίζες τα µήκη των

πλευρών αυτού του ορθογωνίου. (Μονάδες 15)

β) Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έστω α, β οι διαστάσεις του ορθογωνίου, µε α, β > 0.

Τότε:

20 2( ) 20 10Π = ⇔ α+β = ⇔ α+β = και

24 24Ε = ⇔ αβ = .

Μια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες α και β

έχει τη µορφή 2x Sx P 0− + = , όπου

S 10= α +β = και P 24= αβ = .

Συνεπώς µια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες α και β είναι η 2x 10x 24 0− + = .

β) Το τριώνυµο 2x 10x 24− + έχει διακρίνουσα 2( 10) 4 1 24 4∆ = − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες ( )

10 2 126

10 4 10 2 2 2x

10 2 82 1 24

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς 2x 10x 24 0− + = ⇔ x = 4 ή x = 6,

άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 4 cm και 6 cm.

α

β

Page 143: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

143

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4310 ∆ίνονται δύο πραγµατικοί αριθµοί α, β, τέτοιοι ώστε:

α + β = 12 και α2 + β

2 = 272

α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας (α + β)2 = α

2 + 2αβ + β

2, να δείξετε ότι:

α · β = −64. (Μονάδες 8)

β) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς α, β.

(Μονάδες 10)

γ) Να προσδιορίσετε τους αριθµούς α, β. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι: 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) 2α +β = α + αβ+β ⇔ α+β − α +β = αβ ,

οπότε: 2 2 2 2( ) ( ) 12 272 144 272 128

642 2 2 2

α +β − α +β − − −αβ = = = = = − .

β) Μια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες α και β έχει τη µορφή 2x Sx P 0− + = , όπου

S 12= α +β = και P 64= αβ = − .

Συνεπώς µια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες α και β είναι η 2x 12x 64 0− − = .

γ) Το τριώνυµο 2x 12x 64− − έχει διακρίνουσα 2( 12) 4 1 ( 64) 400∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες ( )

12 20 3216

12 400 12 20 2 2x

12 20 82 1 24

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς (α, β) = (16, −4) ή (α, β) = (−4, 16).

Page 144: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

144

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4311

∆ίνονται οι παραστάσεις ( )2A x 2= − και ( )33B 2 x= − , όπου x πραγµατικός

αριθµός.

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Α; (Μονάδες 7)

β) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Β; (Μονάδες 8)

γ) Να δείξετε ότι για κάθε x ≤ 2 ισχύει Α = Β. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει 2(x 2) 0− ≥ , η οποία ισχύει για κάθε x∈R , οπότε η παράσταση Α ορί-

ζεται στο R .

β) Πρέπει 3(2 x) 0 2 x 0 2 x x 2− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ , οπότε η παράσταση Β ορί-

ζεται στο ( , 2]−∞ .

γ) Για x 2 x 2 0 2 x 0≤ ⇔ − ≤ ⇔ − ≥ έχουµε ότι:

( )2A x 2 | x 2 | (x 2) x 2 2 x= − = − = − − = − + = − και

( )33B 2 x | 2 x | 2 x= − = − = − ,

οπότε Α = Β για κάθε x ≤ 2.

Page 145: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

145

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4312 Οι αριθµοί x 6+ , 5x + 2 , 11x 6− είναι, µε τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι

αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο 1α και διαφορά ω.

α) Να βρείτε την τιµή του x και να αποδείξετε ότι ω = 4. (Μονάδες 12)

β) Αν ο πρώτος όρος της προόδου είναι 1α = 0 , να υπολογίσετε το άθροισµα 8S των

8 πρώτων όρων. (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού οι αριθµοί x 6+ , 5x + 2 , 11x 6− είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προ-

όδου, έχουµε ότι:

2(5x + 2) = x 6 11x 6 10x + 4 =12x 10x 12x 4+ + − ⇔ ⇔ − = − ⇔

2x 4 x 2⇔ − = − ⇔ = .

Συνεπώς οι ζητούµενοι αριθµοί είναι οι 8, 12, 16

και η διαφορά της προόδου είναι ω = 12 – 8 = 16 – 12 = 4.

β) Η *, ,να ν∈N είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω = 4 και πρώτο όρο

1 0α = , οπότε το άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου είναι:

*12 ( 1) 2 0 ( 1) 4S 2 ( 1),

2 2ν

α + ν − ω ⋅ + ν − ⋅= ⋅ν = ⋅ν = ν ν − ν∈N .

Συνεπώς 8S 2 8 (8 1) 16 7 112= ⋅ ⋅ − = ⋅ = .

Page 146: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

146

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 8, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4313

∆ίνονται οι αριθµοί 1

A3 7

=−

, 1

B3 7

=+

.

α) Να δείξετε ότι: A B 3+ = και 1

A B2

⋅ = . (Μονάδες 12)

β) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς Α, Β.

(Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.4, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Έχουµε ότι:

( )( ) ( ) 2

2

1 3 71 3 7 3 7 3 7A

9 7 23 7 3 7 3 7 3 7

⋅ + + + += = = = =

−− − + − και

( )( )( ) 2

2

1 3 71 3 7 3 7 3 7

9 7 23 7 3 7 3 7 3 7

⋅ − − − −Β = = = = =

−+ + − −.

α) Συνεπώς:

3 7 3 7 3 7 3 7 63

2 2 2 2

+ − + + −Α+Β = + = = = και

223 7 3 7 3 7 9 7 2 1

2 2 4 4 4 2

+ − − −Α⋅Β = ⋅ = = = = .

β) Μια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες Α και Β έχει τη µορφή 2x Sx P 0− + = , όπου

S 3= Α+Β = και 1

2Ρ = Α⋅Β = .

Συνεπώς µια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες Α και Β είναι η 2 1x 3x 0

2− + = ή η

ισοδύναµή της 22x 6x 1 0− + = .

Page 147: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

147

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4314

Αν είναι 3 5Α = , 3Β = , 6 5Γ = , τότε:

α) Να αποδείξετε 15Α ⋅Β ⋅Γ = . (Μονάδες 15)

β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς Α, Β. (Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) 2 2

3 6 3 2 6 6 65 3 5 5 3 5 5 3 5⋅Α⋅Β⋅Γ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 2 1 3

6 65 3 5 3 5 3 15+

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = .

β) 6 6

2 33 3B 5 3 5 3 5 3 25 27Α < ⇔ < ⇔ < ⇔ < ⇔ < ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική, οπότε Α < Β.

Page 148: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

148

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 17 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4315

∆ίνεται η γεωµετρική πρόοδος ( )να , για την οποία ισχύει 5

2

27α=

α.

α) Να δείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι λ = 3. (Μονάδες 10)

β) Αν το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι 200, να βρείτε

τον πρώτο όρο 1α . (Μονάδες 15)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού η *, ,να ν∈N είναι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ και πρώτο όρο 1α , ο

νιοστός όρος είναι 1 *

1 ,ν−να = α λ ν∈N .

Τότε: 5 1 4

4 1 3 35 1

2 1

2 1

27 27 27 27 27 27 3−

−−

α α λ λ= ⇔ = ⇔ = ⇔ λ = ⇔ λ = ⇔ λ = ⇔ λ =

α α λ λ.

β) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της γεωµετρικής προόδου *, ,να ν∈N είναι:

*

1 1 1

1 3 1 3 1,

1 3 1 2

ν ν ν

ν

λ − − −Σ = α = α = α ν∈

λ − −N .

Τότε: 4

4 1 1 1 1

3 1 81 1200 200 200 40 200 5

2 2

− −Σ = ⇔ α = ⇔ α = ⇔ α = ⇔ α = .

Page 149: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

149

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4316

Αν είναι 2 3Α = − , 2 3Β = + , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 1Α ⋅Β = . (Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 2 2Π = Α + Β . (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) ( )( ) 22B 2 3 2 3 2 3 4 3 1Α⋅ = − + = − = − = .

β) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2B 2 3 2 3 2 4 3 3 2 4 3 3Π = Α + = − + + = − + + + +

4 3 4 3 14= + + + = , δηλαδή Π = 14.

Page 150: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

150

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4317

∆ίνεται η εξίσωση 2( 2)x 2 x 1 0λ + + λ + λ − = , µε παράµετρο λ ≠ −2.

α) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και

άνισες. (Μονάδες 12)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε 1 2x x 3= − .

(Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού λ ≠ −2, η εξίσωση 2( 2)x 2 x 1 0λ + + λ + λ − = είναι 2ου βαθµού.

Το τριώνυµο 2( 2)x 2 x 1λ + + λ + λ − έχει διακρίνουσα

2 2 2(2 ) 4( 2)( 1) 4 ( 2 2) 4(2 ) ∆ = λ − λ + λ − = λ − λ −λ + λ − = −λ .

Η εξίσωση 2( 2)x 2 x 1 0λ + + λ + λ − = έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες αν

και µόνο αν για λ ≠ −2 ισχύει:

0 4(2 ) 0 2 0 2 2∆ > ⇔ −λ > ⇔ −λ > ⇔ > λ ⇔ λ < ,

οπότε συναληθεύοντας µε τη λ ≠ −2 έχουµε λ ( , 2) ( 2, 2)∈ −∞ − ∪ − .

β) Για λ < 2 και αφού 1 2x , x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, από τους τύπους του

Vieta βρίσκουµε 1 2

2S x x

2

λ= + = −

λ + και 1 2

1P x x

2

λ −= =

λ +.

Για λ < 2 έχουµε ότι:

1 2

1x x 3 3 1 3( 2) 1 3 6 3 1 6

2

λ −= − ⇔ = − ⇔ λ − = − λ + ⇔ λ − = − λ − ⇔ λ + λ = − ⇔

λ +5

4 54

⇔ λ = − ⇔ λ = − , που είναι δεκτή.

Page 151: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

151

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4318 Αν για τον πραγµατικό αριθµό x ισχύει |2x – 1| < 1, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 0 < x < 1. (Μονάδες 15)

β) Να διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς 1, x, x2. Nα

αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | 2x 1| 1 1 2x 1 1 1 1 2x 1 1 0 2x 2 0 x 1− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + ⇔ < < ⇔ < < .

β) Έχουµε ότι: 20 x 1 0 x x x 1 x 0 x x< < ⇔ ⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ < < ,

άρα 2x x< και, αφού x 1< , έχουµε ότι 2x x 1< < .

Page 152: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

152

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4319 Σε µια αριθµητική πρόοδο ( )να είναι 1 2α = και 5 14α = .

α) Να αποδείξετε ότι ω = 3. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε πόσους αρχικούς (πρώτους) όρους πρέπει να προσθέσουµε, ώστε το

άθροισµά τους να είναι ίσο µε 77. (∆ίνεται: 1849 43= .) (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η *, ,να ν∈N είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω και πρώτο όρο 1 2α = ,

οπότε ο νιοστός όρος είναι *

1 ( 1) 2 ( 1) ,να = α + ν − ω = + ν − ω ν∈N .

Συνεπώς:

5 14 2 (5 1) 14 2 4 14 4 14 2 4 12 3α = ⇔ + − ω = ⇔ + ω= ⇔ ω= − ⇔ ω= ⇔ ω= .

β) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου είναι: 2

*12 ( 1) 2 2 ( 1) 3 (3 1) 3S ,

2 2 2 2ν

α + ν − ω ⋅ + ν − ⋅ ν + ν ν + ν= ⋅ν = ⋅ν = = ν∈N .

Αναζητούµε *ν∈N έτσι ώστε: 2

2 23S 77 77 3 154 3 154 0

ν + ν= ⇔ = ⇔ ν +ν = ⇔ ν + ν − = (Ι).

Το τριώνυµο 23 154ν + ν − έχει διακρίνουσα 21 4 3 ( 154) 1849∆ = − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

1 43 427

1 1849 1 43 6 6x

1 43 44 222 3 6

6 6 3

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ ν = 7 ή 22

3ν = − (απορρίπτεται), δηλαδή άθροισµα 77 έχουµε

παίρνοντας τους 7 πρώτους όρους.

Page 153: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

153

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_7518 ∆ίνεται το τριώνυµο: 2x x 2− κ − , µε κ∈R .

α) Να αποδείξετε ότι 0∆ ≥ για κάθε κ∈R , όπου ∆ η διακρίνουσα του τριωνύµου.

(Μονάδες 13)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης

2x 3x 2 0− − = (1),

i) Να βρείτε το άθροισµα 1 2S = x + x και το γινόµενο 1 2P = x x των ριζών της (1).

ii) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθµού που να έχει ρίζες 1 2ρ , ρ , όπου

1 1ρ = 2x και 2 2ρ = 2x . (Μονάδες 12)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x x 2− κ − έχει διακρίνουσα ( ) ( )2 24 1 2 8∆ = −κ − ⋅ ⋅ − = κ + ,

οπότε ∆ ≥ 0 για κάθε κ∈R .

β) Το τριώνυµο 2x 3x 2− − έχει κ = 3, οπότε από το (α) ερώτηµα ισχύει ∆ ≥ 0,

δηλαδή έχει πραγµατικές ρίζες.

i) Από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι:

1 2

3S x x 3

1

−= + = − =

και 1 2

2P x x 2

1

−= = = − .

ii) Μια εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς 1 2,ρ ρ έχει τη µορφή 2x S΄x P΄ 0− + = , όπου:

( )1 2 1 2 1 2S΄ 2x 2x 2 x x 2S 6= ρ +ρ = + = + = = και

( )1 2 1 2P΄ 2x 2x 4P 4 2 8= ρ ρ = = = ⋅ − = − ,

άρα είναι η 2x 6x 8 0− − = .

Page 154: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

154

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 6 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_7519 ∆ίνονται πραγµατικοί αριθµοί α, β µε α > 0 και β > 0. Να αποδείξετε ότι:

α) 4

4α + ≥α

(Μονάδες 12)

β) 4 4

16 α + β+ ≥ α β

(Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για α > 0 έχουµε ότι:

2 24 44 4 4 4 4 4 0α + ≥ ⇔ α⋅α +α ⋅ ≥ α ⋅ α ⇔ α + ≥ α ⇔ α − α + ≥ ⇔

α α

( )22 0⇔ α− ≥ , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

β) Από το (α) ερώτηµα για α, β > 0 προκύπτει ότι 4

4α + ≥α

, 4

4β+ ≥β

,

τις οποίες πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη (αφού είναι θετικά) και βρίσκουµε 4 4 4 4

4 4 16 α + β+ ≥ ⋅ ⇔ α+ β+ ≥ α β α β

.

Page 155: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

155

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 6 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_7520

∆ίνονται οι παραστάσεις: 2 22Κ = α +β και 2αβΛ = , όπου α, β∈R .

α) Να δείξετε ότι: Κ ≥ Λ , για κάθε τιµή των α, β. (Μονάδες 12)

β) Για ποιες τιµές των α, β ισχύει η ισότητα Κ = Λ ; Να αιτιολογήσετε την απάντη-

σή σας. (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι: 2 2 2 22 2 2 2 0Κ ≥ Λ⇔ α +β ≥ αβ⇔ α +β − αβ ≥ ⇔

( )22 2 2 22 0 0⇔ α +α +β − αβ ≥ ⇔ α + α −β ≥ , η οποία ισχύει για κάθε α, β∈R ,

άρα ισχύει και η αρχική.

β) Αναζητούµε α, β∈R έτσι ώστε: 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 0 2 0Κ = Λ⇔ α +β = αβ⇔ α +β − αβ = ⇔ α +α +β − αβ = ⇔

( )220

0 00

α =⇔ α + α −β = ⇔ ⇔ α = β =

α −β =.

Page 156: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

156

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 12 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_7521 α) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον

άξονα των πραγµατικών αριθµών:

i) |1 2x | 5− < και (Μονάδες 9)

ii) |1 2x | 1− ≥ (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις ακέραιες τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω

ανισώσεις. (Μονάδες 7)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) |1 2x | 5 5 1 2x 5 5 1 2x 5 1− < ⇔ − < − < ⇔ − − < − < − ⇔

6 2x 46 2x 4 3 x 2 2 x 3

2 2 2

− −⇔ − < − < ⇔ > > ⇔ > > − ⇔ − < <

− − −,

ενώ η λύση αυτή στον άξονα φαίνεται ακολούθως:

−∞ +∞2− 3

ii) |1 2x | 1 1 2x 1 ή1 2x 1 2x 1 1 ή 2x 1 1− ≥ ⇔ − ≤ − − ≥ ⇔ − ≤ − − − ≥ − ⇔

2x 2 ή 2x 0 x 1 ή x 0⇔ − ≤ − − ≥ ⇔ ≥ ≤ ,

ενώ η λύση αυτή στον άξονα φαίνεται ακολούθως:

−∞ +∞0 1

β) Παριστάνουµε τις κοινές λύσεις πάνω σε έναν άξονα:

−∞ +∞2− 0 1 3

Οι κοινές λύσεις των ανισώσεων είναι x ( 2, 0] [1, 3)∈ − ∪ , οπότε οι ζητούµενες

ακέραιες τιµές είναι −1, 0, 1, 2.

Page 157: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

157

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 8 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_8173 Στον πίνακα της τάξης σας είναι γραµµένες οι παρακάτω πληροφορίες (προσεγ-

γίσεις): 2 1, 41 3 1,73 5 2,24 7 2,64≅ ≅ ≅ ≅ .

α) Να επιλέξετε έναν τρόπο, ώστε να αξιοποιήσετε τα παραπάνω δεδοµένα (όποια

θεωρείτε κατάλληλα) και να υπολογίσετε µε προσέγγιση εκατοστού τους αριθ-

µούς 20, 45 και 80 . (Μονάδες 12)

β) Αν δεν υπήρχαν στον πίνακα οι προσεγγιστικές τιµές των ριζών, πώς θα µπορού-

σατε να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 3 20 80

45 5

+

−; (Μονάδες 13)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 2.4 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) 20 4 5 4 5 2 5 2 2, 24 4, 48= ⋅ = ⋅ = ≅ ⋅ = .

45 9 5 9 5 3 5 3 2, 24 6,72= ⋅ = ⋅ = ≅ ⋅ = .

80 16 5 16 5 4 5 4 2, 24 8,96= ⋅ = ⋅ = ≅ ⋅ = .

β) 3 20 80 3 4 5 16 5 3 4 5 16 5 3 2 5 4 5

45 5 9 5 5 9 5 5 3 5 5

+ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ += = =

− ⋅ − ⋅ − −

6 5 4 5 10 55

3 5 5 2 5

+= = =

−.

Page 158: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Ιούνιος 2014

Τράπεζα θεμάτων στην Άλγεβρα

4ο Θέμα

Page 159: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

159 159

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_1868 Σε ένα τµήµα της Α΄ Λυκείου κάποιοι µαθητές παρακολουθούν µαθήµατα

Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας µαθητής να µην παρακολουθεί

Γαλλικά είναι 0,8 . Η πιθανότητα ένας µαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι

τετραπλάσια από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά. Τέλος, η πιθανότητα

ένας µαθητής να παρακολουθεί µαθήµατα τουλάχιστον µιας από τις δύο γλώσσες

είναι 0,9 .

α) Επιλέγουµε έναν µαθητή στην τύχη.

i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί µαθήµατα και των δύο

γλωσσών; (Μονάδες 9)

ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί µαθήµατα µόνο µιας από τις

δύο γλώσσες; (Μονάδες 9)

β) Αν 14 µαθητές παρακολουθούν µόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι µαθητές του

τµήµατος; (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έστω τα ενδεχόµενα:

Α = «ο µαθητής παρακολουθεί Αγγλικά»,

Γ = «ο µαθητής παρακολουθεί Γαλλικά»,

οπότε:

A Γ∪ = «ο µαθητής παρακολουθεί τουλάχιστον µία από τις δύο γλώσσες».

Από τα δεδοµένα έχουµε ότι (A Γ) = 0,9Ρ ∪ και

( ΄) 0,8 1 ( ) 0,8 ( ) 0,8 1 ( ) 0, 2 ( ) 0, 2Ρ Γ = ⇔ −Ρ Γ = ⇔ −Ρ Γ = − ⇔ −Ρ Γ = − ⇔ Ρ Γ = ,

άρα ( ) 4 ( ) 4 0, 2 0,8Ρ Α = Ρ Γ = ⋅ = .

i) A Γ∩ = «ο µαθητής παρακολουθεί και τις δύο γλώσσες»

και P(A Γ) = P(A) + P(Γ) Ρ(Α Γ) = 0,8 + 0, 2 0,9 = 0,1∩ ∪- - .

ii) (A Γ) (Γ Α)− ∪ − = «ο µαθητής παρακολουθεί µόνο µία από τις δύο

γλώσσες» και, αφού τα (A Γ), (Γ Α)− − είναι ξένα, έχουµε ότι:

( )(A Γ) (Γ Α) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ − ∪ − = Ρ Α − Γ + Ρ Γ − Α = Ρ Α − Ρ Α∩Γ + Ρ Γ − Ρ Α∩Γ

( ) ( ) 2 ( ) 0,8 0, 2 2 0,1 0,8= Ρ Α + Ρ Γ − Ρ Α ∩Γ = + − ⋅ = .

β) Α – Γ = «ο µαθητής παρακολουθεί µόνο Αγγλικά» µε Ν(Α – Γ) = 14.

Όµως P(A Γ) = P(A) P(Α ) = 0,8 0,1 0,7− − ∩Γ − =

και, αφού Ν(A Γ)

P(A Γ) =( )

−−

Ν Ω, έχουµε ότι:

14 140, 7 = 0,7 ( ) = 14 ( ) ( ) 20

( ) 0, 7⇔ Ν Ω ⇔ Ν Ω = ⇔ Ν Ω =

Ν Ω.

Συνεπώς οι µαθητές του τµήµατος είναι 20.

Page 160: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

160 160

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_1874

∆ίνεται η εξίσωση: 2x 2( 1)x λ + 5 = 0 (1)− λ − + , µε παράµετρο λ ∈R .

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης (1) είναι: 2∆ = 4λ 12 16− λ − .

(Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τις τιµές του λ ∈R , ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγµατικές

και άνισες. (Μονάδες 10)

γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθµούς 1 2x , x και 1 2d(x , x ) είναι η απόσταση

των 1 2x , x στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, να βρείτε για ποιες τιµές του

λ ∈R ισχύει: 1 2d(x , x ) 24= . (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) To τριώνυµο 2x 2( 1)x λ + 5− λ − + έχει διακρίνουσα 2 2∆ =[ 2(λ 1)] 4 1 (λ + 5) = 4[(λ 1) ( 5)]⋅ ⋅ − λ +- - - -

2 2 24( 2 1 5) 4( 3 4) 4 12 16= λ − λ + −λ − = λ − λ − = λ − λ − , λ ∈R .

β) Η εξίσωση 2x 2( 1)x λ + 5 = 0− λ − + έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες αν

και µόνο αν 2 2 2∆ > 0 4 12 16 0 4( 3 4) 0 3 4 0⇔ λ − λ − > ⇔ λ − λ − > ⇔ λ − λ − > .

Το τριώνυµο 2 3 4λ − λ − έχει διακρίνουσα 2΄ ( 3) 4 1 ( 4) 25∆ = − − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

3 5 84

( 3) 25 3 5 2 2

3 5 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± λ = = =

− −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1− 4λ

2λ 3λ 4− − + +−

Συνεπώς 2∆ > 0 3 4 0 1 ή 4⇔ λ − λ − > ⇔ λ < − λ > ,

δηλαδή η εξίσωση 2x 2( 1)x λ + 5 = 0− λ − + έχει δύο ρίζες πραγµατικές και

άνισες όταν 1 ή 4λ < − λ > .

γ) Εφόσον η εξίσωση 2x 2( 1)x λ + 5 = 0− λ − + έχει ρίζες 1 2x , x , έχουµε ότι:

2∆ 0 3 4 0 1 ή 4≥ ⇔ λ − λ − ≥ ⇔ λ ≤ − λ ≥ .

Επιπλέον, από τους τύπους Vieta έχουµε ότι:

1 2

2( 1)S x x 2( 1)

1

− λ −= + = − = λ − και 1 2

5x x 5

1

λ +Ρ = = = λ + .

Για 1 ή 4λ ≤ − λ ≥ έχουµε ότι: 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2d(x , x ) 24 | x x | 24 (x x ) 24 x 2x x x 24= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ 2 2

1 2 2 1 2 1 1 2 2 1(x x ) 2x x 2x x 24 (x x ) 4x x 24⇔ + − − = ⇔ + − = ⇔

Page 161: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

161 161

2 2[2( 1)] 4( 5) 24 4 8 4 4 20 24 0⇔ λ− − λ + = ⇔ λ − λ + − λ − − = ⇔ 2 24 12 40 0 3 10 0⇔ λ − λ − = ⇔ λ − λ − = (Ι).

Το τριώνυµο 2 3 10λ − λ − έχει διακρίνουσα 2΄ ( 3) 4 1 ( 10) 49∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

3 7 105

( 3) 49 3 7 2 2

3 7 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± λ = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ λ = −2 ή λ = 5, που είναι δεκτές.

Page 162: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

162 162

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 19, 20,

21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_1880

∆ίνεται η συνάρτηση f , µε 2

x 2f (x)

9 x

+=

−.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε τους

άξονες. (Μονάδες 7)

γ) Αν A, B είναι τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε

τους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που

ορίζεται από τα Α και Β. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει: 22

2 2 2

22

9 x 09 x 09 x 0 x 9 x 9

9 x 09 x 0

− ≠ − ≠ ⇔ ⇔ − > ⇔ < ⇔ < ⇔ − ≥− ≥

| x | 3 3 x 3⇔ < ⇔ − < < , οπότε fA ( 3, 3)= − .

β) Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα x΄x προκύπτει για y = 0,

οπότε για x∈(−3, 3) έχουµε:

2

x 2f (x) 0 0 x 2 0 x 2

9 x

+= ⇔ = ⇔ + = ⇔ = −

−, άρα είναι το Α(−2, 0).

Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα y΄y προκύπτει για x = 0, οπότε

2

0 2 2 2f (0)

399 0

+= = =

−, άρα είναι το

2B 0,

3

.

γ) Έστω y x= α +β η εξίσωση της ευθείας ΑΒ.

Το 2

B 0,3

ανήκει στην (ε), οπότε 2 2

03 3

= α ⋅ +β ⇔ β = , και

το Α(−2, 0) ανήκει στην (ε), οπότε 0 ( 2) 2 ,= α ⋅ − +β ⇔ β = α

άρα 2 1

23 3

= α ⇔ α = .

Συνεπώς η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι 1 2

y x3 3

= + .

Page 163: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

163 163

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_1890

∆ίνεται η εξίσωση ( ) ( ) ( )22 x 2 3 x 2 0 1λ + + λ + + λ − = , µε παράµετρο 2λ ≠ − .

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης ( )1 είναι: 12λ 25∆ = + . (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε τις τιµές του 2λ ≠ − , ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο ρίζες πραγµα-

τικές και άνισες. (Μονάδες 7)

γ) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του λ το άθροισµα των ριζών 1 2S x x= + και το

γινόµενο των ριζών 1 2x xΡ = ⋅ . (Μονάδες 4)

δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιµή του λ ώστε για τις ρίζες 1 2x , x της εξίσωσης (1)

να ισχύει η σχέση: ( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 2x x 1 x x 3 0 2+ − + + = . (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού 2λ ≠ − , η εξίσωση ( ) ( )22 x 2 3 x 2 0λ + + λ + + λ − = είναι δευτεροβάθµια.

Το τριώνυµο ( ) ( )22 x 2 3 x 2λ + + λ + + λ − έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2 22 3 4 2 ( 2) 4 12 9 4 16 12 25∆ = λ + − λ + λ − = λ + λ + − λ + = λ + , λ ∈R .

β) Η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες όταν 2λ ≠ − και:

250 12 25 0 12 25

12∆ > ⇔ λ + > ⇔ λ > − ⇔ λ > − ,

οπότε ( )25λ , 2 2,

12

∈ − − ∪ − +∞

.

γ) Εφόσον η εξίσωση έχει ρίζες 1 2x , x , έχουµε ότι:

250 12 25 0 12 25

12∆ ≥ ⇔ λ+ ≥ ⇔ λ ≥ − ⇔ λ ≥ −

και, αφού 2λ ≠ − , προκύπτει ( )25λ , 2 2,

12

∈ − − ∪ − +∞ .

Επιπλέον, από τους τύπους Vieta έχουµε ότι:

1 2

2 3S x x

2

λ += + = −

λ + και 1 2

2x x

2

λ −Ρ = =

λ +.

δ) Για ( )25λ , 2 2,

12

∈ − − ∪ − +∞ έχουµε ότι:

( ) ( )2 2 1 2

1 2 1 2

1 2

2 31 0

x x 1 0 2x x 1 x x 3 0

x x 3 0 23 0

2

λ +− − =+ − = λ ++ − + + = ⇔ ⇔ ⇔ + = λ − + =

λ +

52 3 2 2 3 2 3 5

32 3 6 3 2 6 4 4

1

− λ − = λ + − λ −λ = + − λ = λ = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

λ − = − λ − λ + λ = − λ = − λ = −

,

άρα το σύστηµα είναι αδύνατο και δεν υπάρχει λ ώστε να ισχύει η (2).

Page 164: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

164 164

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_1936 Η εξέταση σε έναν διαγωνισµό των Μαθηµατικών περιλάµβανε δύο θέµατα τα

οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόµενοι. Για να βαθµολογηθούν µε άριστα

έπρεπε να απαντήσουν και στα δύο θέµατα, ενώ για να περάσουν την εξέταση

έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέµατα. Στον διαγωνισµό

εξετάσθηκαν 100 µαθητές. Στο πρώτο θέµα απάντησαν σωστά 60 µαθητές. Στο

δεύτερο θέµα απάντησαν σωστά 50 µαθητές, ενώ και στα δύο θέµατα απάντησαν

σωστά 30 µαθητές. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή.

α) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και µε χρήση της γλώσσας των συνόλων

(ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόµενα) τα παραπάνω δεδοµένα. (Μονάδες 13)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής:

i) Να απάντησε σωστά µόνο στο δεύτερο θέµα.

ii) Να βαθµολογηθεί µε άριστα.

iii) Να µην απάντησε σωστά σε κανένα θέµα.

iv) Να πέρασε την εξέταση. (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Σχόλιο: Η άσκηση µε τη δοσµένη εκφώνηση δεν έχει µοναδική λύση. Για την επίλυση

της άσκησης θεωρούµε τη δεύτερη πρόταση της εκφώνησης ως εξής: «Για να

βαθµολογηθούν µε άριστα, έπρεπε να απαντήσουν ΣΩΣΤΑ και στα δύο θέµατα, ενώ,

για να περάσουν την εξέταση, έπρεπε να απαντήσουν ΣΩΣΤΑ σε ένα τουλάχιστον από

τα δύο θέµατα».

α) Έστω τα ενδεχόµενα:

Α = «ο µαθητής απάντησε σωστά στο πρώτο θέµα»,

Β = «ο µαθητής απάντησε σωστά στο δεύτερο θέµα»,

οπότε:

Α∩Β = «ο µαθητής απάντησε σωστά και στα δύο θέµατα»

και ισχύουν ( ) ( ) ( )60, 50, 30Ν Α = Ν Β = Ν Α∩Β = και Ν(Ω) = 100.

Ω

Α

Β

Συνεπώς:

( ) ( )( )

60 3,

100 5

Ν ΑΡ Α = = =

Ν Ω

( ) ( ) 50 1

( ) 100 2

Ν ΒΡ Β = = =

Ν Ω και

Page 165: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

165 165

( ) ( )( )

30 3

100 10

Ν Α∩ΒΡ Α∩Β = = =

Ν Ω.

β) i) B – A = «ο µαθητής απάντησε σωστά µόνο στο δεύτερο θέµα», µε

( ) ( ) ( ) 50 30 20 1

100 100 100 5Ρ Β−Α = Ρ Β −Ρ Α∩Β = − = = .

ii) Α∩Β = «ο µαθητής απάντησε σωστά και στα δύο θέµατα» ή

Α∩Β = «ο µαθητής πήρε άριστα», µε ( ) 3

10Ρ Α∩Β = .

iii) ( )Α∪Β ΄ = «ο µαθητής δεν απάντησε σωστά σε κανένα θέµα».

Τότε:

( ) ( ) ( ) ( ) 60 50 30 80 4

100 100 100 100 5Ρ Α∪Β = Ρ Α +Ρ Β −Ρ Α∩Β = + − = = ,

άρα ( )( ) ( ) 4 5 4 11 1

5 5 5 5Ρ Α∪Β = −Ρ Α∪Β = − = − =΄ .

iv) Α∪Β = «ο µαθητής απάντησε σωστά σε ένα τουλάχιστον θέµα» ή

Α∪Β = «ο µαθητής πέρασε την εξέταση», µε ( ) 4

5Ρ Α∪Β = .

Page 166: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

166 166

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_1955 Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο ∆ηµήτρης, τερµάτισαν

σε έναν αγώνα δρόµου µε αντίστοιχους χρόνους (σε λεπτά) t , t , tΑ Β Γ και t∆ , για

τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: t tΑ Β< , t 2t

t3

Α ΒΓ

+= και t t t tΑ ∆ Β ∆− = − .

α) i) Να δείξετε ότι: t t

t2

Α Β∆

+= . (Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε τη σειρά µε την οποία τερµάτισαν οι αθλητές. Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

β) ∆ίνεται επιπλέον ότι ισχύει: t t 6Α Β+ = και t t 8Α Β⋅ = .

i) Να γράψετε µια εξίσωση 2ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς tΑ και tΒ .

(Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε τους χρόνους τερµατισµού των τεσσάρων αθλητών. (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) t t t tΑ ∆ Β ∆− = − ⇔

⇔ t t t tΑ ∆ Β ∆− = − ή t t t tΑ ∆ Β ∆− = − + ⇔

⇔ t tΑ Β= (απορρίπτεται) ή 2t t t∆ Α Β= + ⇔

⇔ t t

t2

Α Β∆

+= .

Ισχύει ότι t t t 2t

t t2 3

Α Β Α ΒΑ Β

+ +< < < , αφού:

• t t

t2

Α ΒΑ

+< ⇔ 2t t tΑ Α Β< + ⇔ t tΑ Β< ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική και

• t t t 2t

2 3

Α Β Α Β+ +< ⇔ 3t 3t 2t 4tΑ Β Α Β+ < + ⇔ t tΑ Β< ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική και

• t 2t

t3

Α ΒΒ

+< ⇔ t 2t 3tΑ Β Β+ < ⇔ t tΑ Β< ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Συνεπώς t t t tΑ ∆ Γ Β< < < , δηλαδή πρώτος τερµάτισε ο Αργύρης, δεύτερος ο

∆ηµήτρης, τρίτος ο Γιώργος και τέταρτος ο Βασίλης.

β) i) Μια δευτεροβάθµια εξίσωση µε άθροισµα ριζών S και γινόµενο Ρ έχει τη

µορφή 2x Sx P 0− + = . Στην περίπτωσή µας έχουµε A BS t t 6= + = και

A BP t t 8= = , οπότε µια τέτοια εξίσωση είναι η 2x 6x 8 0− + = .

ii) Το τριώνυµο 2x 6x 8− + έχει διακρίνουσα 2( 6) 4 1 8 4∆= − − ⋅ ⋅ = ,

Page 167: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

167 167

ρίζες

6 2 84

( 6) 4 6 2 2 2x

6 2 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = = −⋅ = =

,

οπότε At 2= και Bt 4= .

Επιπλέον, έχουµε ότι:

t t 2 4 6

t 32 2 2

Α Β∆

+ += = = = και

t 2t 2 2 4 2 8 10t

3 3 3 3

Α ΒΓ

+ + ⋅ += = = = .

Page 168: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

168 168

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13,

20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_1963

∆ίνονται οι συναρτήσεις: 2f (x) x= και ( )g(x) x 1 , x= λ + −λ ∈ℝ και λ παράµε-

τρος µε λ 0≠ .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις fC και gC έχουν για κάθε τιµή της

παραµέτρου λ ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο. (Μονάδες 8)

β) Για ποια τιµή της παραµέτρου λ οι fC και gC έχουν ένα κοινό σηµείο; Ποιο

είναι το σηµείο αυτό; (Μονάδες 8)

γ) Αν 2λ ≠ και 1 2x , x είναι οι τετµηµένες των κοινών σηµείων των fC και gC , να

βρεθεί η παράµετρος λ ώστε να ισχύει: ( )2

1 2 1 2x x x x 2+ = + + . (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Τα κοινά σηµεία των fC και gC προσδιορίζονται από τις λύσεις της εξίσωσης:

( ) ( ) ( ) ( )2 2f x g x x x 1 x x 1 0= ⇔ = λ + −λ ⇔ −λ − −λ = (Ι).

Το τριώνυµο ( )2x x 1−λ − −λ έχει διακρίνουσα

( ) ( ) ( ) ( )2 22 24 1 1 4 1 4 4 2∆ = −λ − ⋅ − −λ = λ + −λ = λ + − λ = λ − .

Όµως για κάθε λ∈ℝ ισχύει 2( 2) 0 0λ − ≥ ⇔ ∆ ≥ ,

οπότε η εξίσωση (Ι) έχει πραγµατικές ρίζες,

άρα οι fC , gC έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σηµείο για κάθε λ∈ℝ .

β) Οι fC , gC έχουν ένα κοινό σηµείο, όταν για λ ≠ 0 η εξίσωση (Ι) έχει µία διπλή

λύση, δηλαδή όταν ( )20 2 0 2 0 2∆ = ⇔ λ− = ⇔ λ − = ⇔ λ = .

Για λ = 2 η (Ι) γίνεται 2 2x 2x 1 0 (x 1) 0 x 1− + = ⇔ − = ⇔ = .

Συνεπώς το µοναδικό κοινό σηµείο των fC , gC είναι το ( )1, f (1)Α ή ( )1, 1Α ,

αφού ( ) 2f 1 1 1= = .

γ) Αν λ ≠ 2 και λ ≠ 0, η (Ι) έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, τις 1 2x , x , για τις

οποίες από τους τύπους του Vieta ισχύει 1 2S x x1

−λ= + = − = λ .

Τότε για λ ≠ 2 και λ ≠ 0 έχουµε:

( )0

22 2 2

1 2 1 2x x x x 2 2 2 0 2 0ω= λ >

+ = + + ⇔ λ = λ + ⇔ λ − λ − = ⇔ ω −ω− = (ΙΙ).

Το τριώνυµο 2 2ω −ω− έχει διακρίνουσα 2( 1) 4 1 ( 2) 9∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες ( )

1 3 42

1 9 1 3 2 2

1 3 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± ω = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς (ΙΙ) ⇔ ω = 2 ή ω = −1 (απορρίπτεται) ⇔ |λ| = 2 ⇔

⇔ λ = 2 (απορρίπτεται) ή λ = −2 (δεκτή) ⇔ λ = −2.

Page 169: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

169 169

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 19, 20,

21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2046 Ένας αθλητής κολυµπάει ύπτιο και καίει 9 θερµίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυµπάει

πεταλούδα καίει 12 θερµίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυµπώντας, να κάψει

360 θερµίδες.

α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυµπήσει ύπτιο 32 λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να

κολυµπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά 360 θερµίδες; (Μονάδες 5)

β) Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυµπήσει ύπτιο και στη συνέχεια

υπολογίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυµπήσει πεταλούδα για να κάψει 360

θερµίδες.

i) Αν x είναι ο χρόνος (σε λεπτά) που ο αθλητής κολυµπάει ύπτιο, να αποδείξετε

ότι ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει τον χρόνο που πρέπει να κολυµπή-

σει πεταλούδα για να κάψει 360 θερµίδες είναι: 3

f (x) 30 x4

= − . (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης του ερωτήµατος β(i), στο πλαί-

σιο του συγκεκριµένου προβλήµατος. (Μονάδες 4)

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήµατος (β), να

βρείτε τα σηµεία τοµής της µε τους άξονες και να ερµηνεύσετε τη σηµασία τους

στο πλαίσιο του προβλήµατος. (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Ο αθλητής κάνοντας ύπτιο καίει 9 θερµίδες το λεπτό, οπότε σε 32 λεπτά θα

κάψει 9 32 288⋅ = θερµίδες.

Έστω x τα λεπτά που πρέπει να κολυµπήσει ο αθλητής πεταλούδα ώστε να κάψει

συνολικά 360 θερµίδες, οπότε από την πεταλούδα καίει 12x θερµίδες.

Συνεπώς:

7212x 288 360 12x 360 288 12x 72 x x 6

12+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ,

δηλαδή πρέπει να κολυµπήσει 6 λεπτά πεταλούδα και 32 λεπτά ύπτιο για να

κάψει 360 θερµίδες.

β) i) Αφού ο αθλητής κολυµπάει ύπτιο x λεπτά, καίει 9x θερµίδες.

Έστω ότι ο αθλητής κολυµπάει πεταλούδα y λεπτά, οπότε καίει 12y θερµίδες.

Συνεπώς:

360 9x 360 9x9x 12y 360 12y 360 9x y y

12 12 12

−+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = − ⇔

3y 30 x

4⇔ = − , οπότε

3f (x) 30 x

4= − .

ii) Τα x, y του προηγούµενου ερωτήµατος εκφράζουν χρόνο, οπότε:

x 0 x 0x 0 x 0

3 3y 0 120 3x 030 x 0 4 30 4 x 0

4 4

≥ ≥ ≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

≥ − ≥− ≥ ⋅ − ⋅ ≥

x 0 x 00 x 40

3x 120 x 40

≥ ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤

− ≥ − ≤ , άρα fA [0, 40]= .

Page 170: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

170 170

iii) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε 3

f (x) 30 x4

= − και 0 ≤ x ≤ 40

είναι ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα Α(0, f(0)), B(40, f(40)).

Για x = 0 έχουµε ότι 3

f (0) 30 0 304

= − ⋅ = και Α(0, 30).

Για x = 40 έχουµε ότι 3

f (40) 30 40 30 30 04

= − ⋅ = − = και Β(40, 0).

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα:

A

B

Το σηµείο τοµής µε τον άξονα y΄y είναι το Α(0, 30) και εκφράζει ότι, για να

κάψει ο αθλητής 360 θερµίδες όταν δεν κολυµπά ύπτιο, κολυµπά 30 λεπτά

πεταλούδα.

Το σηµείο τοµής µε τον άξονα x΄x είναι το Β(40, 0) και εκφράζει ότι, για να

κάψει ο αθλητής 360 θερµίδες, κολυµπά 40 λεπτά ύπτιο και δεν κολυµπά

πεταλούδα.

Page 171: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

171 171

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2047 Ένας µελισσοκόµος έχει τοποθετήσει 20 κυψέλες σε µια ευθεία η οποία διέρχεται

από την αποθήκη του Α. Η πρώτη κυψέλη απέχει 1 µέτρο από την αποθήκη Α, η

δεύτερη 4 µέτρα από το Α, η τρίτη 7 µέτρα από το Α και γενικά κάθε επόµενη

κυψέλη απέχει από την αποθήκη Α, 3 επιπλέον µέτρα, σε σχέση µε την προηγού-

µενη κυψέλη.

α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη Α αποτελούν δια-

δοχικούς όρους αριθµητικής προόδου και να βρείτε τον νο όρο αυτής της

προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθµητικής προόδου και τι η διαφορά

της; (Μονάδες 6)

β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη Α είναι η 20ή κυψέλη; (Μονάδες 6)

γ) Ο µελισσοκόµος ξεκινώντας από την αποθήκη Α συλλέγει το µέλι, από µία

κυψέλη κάθε φορά, και το µεταφέρει πάλι πίσω στην αποθήκη Α.

i) Ποια είναι απόσταση που θα διανύσει ο µελισσοκόµος για να συλλέξει το µέλι

από την 3η κυψέλη; (Μονάδες 6)

ii) Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο µελισσοκόµος για να

συλλέξει το µέλι και από τις 20 κυψέλες; (Μονάδες 7)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού κάθε επόµενη κυψέλη απέχει από την αποθήκη Α τρία µέτρα, έχουµε ότι

οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη Α αποτελούν διαδοχικούς όρους

αριθµητικής προόδου, έστω *

να , ν∈N (ν ≤ 20) µε πρώτο όρο 1α = 1, διαφορά

3ω= και νιοστό όρο *

να 1 ( 1) 3 1 3 3 3 2, ν ( 20)= + ν − ⋅ = + ν − = ν − ∈ ν ≤N .

Ο πρώτος όρος εκφράζει την απόσταση της πρώτης κυψέλης από την αποθήκη

Α, ενώ η διαφορά ω εκφράζει την απόσταση ανάµεσα σε δύο διαδοχικές

κυψέλες.

β) 20 3 20 2 60 2 58α = ⋅ − = − = ,

δηλαδή η 20ή κυψέλη απέχει 58 µέτρα από την αποθήκη Α.

γ) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων είναι:

*

ν

2 1 ( 1) 3 2 3 3 (3 1)S , ν ( 20)

2 2 2

⋅ + ν − ⋅ + ν − ν − ν= ⋅ν = ⋅ν = ∈ ν ≤N .

i) Για να συλλέξει το µέλι από την 3η κυψέλη θα έχει διανύσει τις αποστάσεις:

από την αποθήκη Α µέχρι την 1η κυψέλη και επιστροφή,

από την αποθήκη Α µέχρι τη 2η κυψέλη και επιστροφή,

από την αποθήκη Α µέχρι την 3η κυψέλη και επιστροφή, δηλαδή:

1 2 3 1 2 3 3

(3 3 1) 32 2 2 2( ) 2S 2 (9 1) 3 8 3 24

2

⋅ − ⋅α + α + α = α +α +α = = ⋅ = − ⋅ = ⋅ = .

Συνεπώς διανύει συνολικά 24 µέτρα.

ii) Για να συλλέξει το µέλι από τις 20 κυψέλες, θα διανύσει όλες τις αποστάσεις

από δύο φορές, δηλαδή:

20

(3 20 1) 202S 2 (60 1) 20 59 20 1180

2

⋅ − ⋅= ⋅ = − ⋅ = ⋅ = .

Εποµένως διανύει συνολικά 1180 µέτρα.

Page 172: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

172 172

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 19 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2052 ∆ύο φίλοι αποφάσισαν να κάνουν το χόµπι τους δουλειά. Τους άρεσε να

ζωγραφίζουν µπλουζάκια και έστησαν µια µικρή επιχείρηση για να τα πουλήσουν

µέσω διαδικτύου. Τα έξοδα κατασκευής (σε ευρώ) για x µπλουζάκια δίνονται από

τη συνάρτηση Κ(x) = 12,5x +120 και τα έσοδα από την πώλησή τους (σε ευρώ), σε

διάστηµα ενός µηνός, από τη συνάρτηση E(x) 15,5x= .

α) Ποια είναι τα πάγια έξοδα της επιχείρησης; (Μονάδες 6)

β) Τι εκφράζει ο αριθµός 12,5 και τι ο αριθµός 15,5 στο πλαίσιο του προβλήµατος;

(Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε πόσα µπλουζάκια πρέπει να πουλήσουν ώστε να έχουν έσοδα όσα και

έξοδα (δηλαδή να µην «µπαίνει µέσα» η επιχείρηση). (Μονάδες 6)

δ) Αν πουλήσουν 60 µπλουζάκια, θα έχουν κέρδος; Να αιτιολογήσετε την απάντη-

σή σας. (Μονάδες 9)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Οι συναρτήσεις Κ, Ε ορίζονται όταν x∈N .

α) Τα πάγια µηνιαία έξοδα της επιχείρησης βρίσκονται από τα έξοδα κατασκευής

όταν δεν κατασκευάζουν κανένα µπλουζάκι, δηλαδή όταν x = 0,

άρα (0) 12,5 0 120 120Κ = ⋅ + = ,

δηλαδή τα πάγια έξοδα της επιχείρησης είναι 120 ευρώ.

β) Για x = 1 έχουµε ότι Κ(1) = 12,5⋅1 + 120 = 132,5, δηλαδή 132,5 ευρώ είναι τα

έξοδα της επιχείρησης αν πουληθεί ένα µπλουζάκι. ∆εδοµένου ότι 120 ευρώ

είναι τα πάγια έξοδα [(α) ερώτηµα] και 12,5 = 132,5 – 120, τα 12,5 ευρώ είναι τα

έξοδα κατασκευής για το ένα µπλουζάκι.

Για x = 1 έχουµε ότι Ε(1) = 15,5, δηλαδή 15,5 ευρώ είναι τα έσοδα της επιχείρη-

σης αν πουληθεί ένα µπλουζάκι.

γ) Αναζητούµε x∈N έτσι ώστε:

( ) ( )x E x 12,5x 120 15,5x 12,5x 15,5x 120Κ = ⇔ + = ⇔ − = − ⇔

3x 120 x 40⇔ − = − ⇔ = ,

δηλαδή, όταν φτιάχνουν 40 µπλουζάκια, τα έσοδα είναι ίσα µε τα έξοδα.

δ) Έχουµε ότι:

Κ(60) = 12,5 60 +120 = 750 +120 = 870⋅ και E(60) 15,5 60 930= ⋅ = .

Συνεπώς τα 60 µπλουζάκια έχουν έξοδα 870 ευρώ, έσοδα 930 ευρώ, άρα το

κέρδος είναι ίσο µε 930 – 870 = 60 ευρώ.

Page 173: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

173 173

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2055

∆ίνεται η εξίσωση: ( ) ( )2 2 2x 1 x 1 0λ −λ − λ − + λ − = (1), µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρεθούν οι τιµές του λ∈ℝ , για τις οποίες η (1) είναι εξίσωση 2ου βαθµού.

(Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι για τις τιµές του λ∈ℝ που βρήκατε στο (α) ερώτηµα η (1)

παίρνει τη µορφή: ( )2x 1 x 1 0λ − λ + + = . (Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιµές του λ∈ℝ που βρήκατε στο (α) ερώτηµα η (1)

έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 7)

δ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (1), αν αυτή είναι 2ου βαθµού. (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η εξίσωση ( ) ( )2 2 2x 1 x 1 0λ −λ − λ − + λ − = είναι 2ου βαθµού αν και µόνο αν

( ) ( )2 0 1 0 0 1λ −λ ≠ ⇔ λ λ − ≠ ⇔ λ ≠ και λ ≠ .

β) Για 0 1λ ≠ και λ ≠ έχουµε ότι:

( ) ( )2 2 2 2x 1 x 1 0 ( 1)x ( 1)( 1)x ( 1) 0λ −λ − λ − + λ − = ⇔ λ λ − − λ − λ + + λ − = ⇔

2x ( 1)x 1 0⇔ λ − λ + + = , διαιρώντας µε λ – 1 ≠ 0.

γ) Για 0 1λ ≠ και λ ≠ το τριώνυµο 2x ( 1)x 1λ − λ + + έχει διακρίνουσα 2 2 2 2[ ( 1)] 4 1 2 1 4 2 1 ( 1)∆ = − λ + − ⋅λ ⋅ = λ + λ + − λ = λ − λ + = λ − .

Όµως για κάθε λ 0,1∈ -ℝ έχουµε ότι 2( 1) 0 0λ − > ⇔ ∆ > , δηλαδή η

εξίσωση ( ) ( )2 2 2x 1 x 1 0λ −λ − λ − + λ − = έχει δύο πραγµατικές και άνισες ρίζες.

δ) Για 0 1λ ≠ και λ ≠ το τριώνυµο 2x ( 1)x 1λ − λ + + έχει ρίζες

( )21 1 2

1[ ( 1)] 1 1 ( 1) 2 2

x1 1 2 12 2

2 2

λ + + λ − λ = =− − λ + ± λ − λ + ± λ − λ λ= = = λ + −λ +λ λ = =

λ λ λ

.

Page 174: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

174 174

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2064 Σε µια οµάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και 13 γυναίκες, 4 από τους άνδρες και

2 από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουµε τυχαία ένα από τα άτοµα αυτά.

α) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και µε χρήση της γλώσσας των συνόλων το

ενδεχόµενο το άτοµο που επιλέχθηκε:

i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι. (Μονάδες 6)

ii) να µην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι. (Μονάδες 6)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτοµο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και

να παίζει σκάκι. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Έστω τα ενδεχόµενα:

Α = «το άτοµο που επιλέγουµε να είναι άντρας» και

Σ = «το άτοµο που επιλέγουµε να παίζει σκάκι».

α) i) Α∪Σ = «το άτοµο είναι άνδρας ή παίζει σκάκι» και είναι το σκιασµένο χωρίο

στο επόµενο διάγραµµα Venn:

ii) Α ∩Σ = Σ−Α΄ = «το άτοµο δεν είναι άνδρας και παίζει σκάκι» και είναι το

σκιασµένο χωρίο στο επόµενο διάγραµµα Venn:

β) Α ∩Σ = Σ−Α΄ = «το άτοµο που επιλέχθηκε είναι γυναίκα και παίζει σκάκι»,

οπότε ( ) ( ) ( ) 2 1P ΄ P

( ) 20 10

Ν Σ−ΑΑ ∩Σ = Σ−Α = = =

Ν Ω.

Page 175: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

175 175

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2073 Οι δράστες µιας κλοπής διέφυγαν µ’ ένα αυτοκίνητο και µετά από την κατάθεση

διαφόρων µαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθµός της πινακίδας του

αυτοκινήτου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το 2. Το δεύτερο ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9

και το τρίτο ψηφίο του ήταν 4 ή 7.

α) Με χρήση δενδροδιαγράµµατος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών

αριθµών της πινακίδας του αυτοκινήτου. (Μονάδες 13)

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων:

Α: Το τρίτο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας είναι το 7.

Β: Το δεύτερο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας είναι 6 ή 8.

Γ: Το δεύτερο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας δεν είναι ούτε 8 ούτε 9.

(Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το δενδροδιάγραµµα φαίνεται ακολούθως:

2 2

6

8

9

4

7

4

7

4

7

1o ψηφίο 2ο ψηφίο 3ο ψηφίο 4ο ψηφίο

Άρα οι πιθανοί αριθµοί της πινακίδας είναι 2642, 2672, 2842, 2872, 2942, 2972.

β) Έχουµε ότι Ω = 2642, 2672, 2842, 2872, 2942, 2972, µε Ν(Ω) = 6.

Επίσης:

• Α = 2672, 2872, 2972 µε Ν(Α) = 3 και N(A) 3 1

P(A)N( ) 6 2

= = =Ω

.

• Β = 2642, 2672, 2842, 2872, µε Ν(Β) = 4 και N( ) 4 2

P( )N( ) 6 3

ΒΒ = = =

Ω.

• Γ = «Το δεύτερο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας δεν είναι ούτε 8 ούτε 9»

= «Το δεύτερο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας είναι 6»,

άρα Γ = 2642, 2672, µε Ν(Γ) = 2 και N( ) 2 1

P( )N( ) 6 3

ΓΓ = = =

Ω.

Page 176: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

176 176

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2080 Από µια έρευνα µεταξύ µαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότι το 80%

των µαθητών πίνει γάλα ή τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι στο σπίτι το

πρωί. Επιλέγουµε έναν µαθητή στην τύχη και ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

Α: ο µαθητής πίνει γάλα

Β: ο µαθητής τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι

Αν από το σύνολο των µαθητών το 60% πίνει γάλα και το 45% τρώει δύο φέτες

ψωµί µε βούτυρο και µέλι,

α) Να ορίσετε µε χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόµενα:

i) ο µαθητής ούτε να πίνει γάλα ούτε να τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και

µέλι

ii) ο µαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι

iii) ο µαθητής να πίνει µόνο γάλα. (Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων του α)

ερωτήµατος. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) ( )΄Α∪Β = «ο µαθητής δεν πίνει γάλα, ούτε τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο

και µέλι».

ii) Α∩Β = «ο µαθητής πίνει γάλα και τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και

µέλι».

iii) A – B = «ο µαθητής πίνει µόνο γάλα».

β) Έχουµε ότι:

Ρ(Α) = 60% = 0,6, Ρ(Β) = 45% = 0,45 και ( ) 80% 0,8Ρ Α∪Β = = .

Τότε:

( )( ) ( )΄ 1 P 1 0,8 0,2 20%Ρ Α∪Β = − Α∪Β = − = = ,

( ) ( ) ( ) ( ) 0,6 0,45 0,8 0, 25 25%Ρ Α∩Β = Ρ Α +Ρ Β −Ρ Α∪Β = + − = = και

( ) ( ) ( ) 0,6 0, 25 0,35 35%Ρ Α−Β = Ρ Α −Ρ Α∩Β = − = = .

Page 177: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

177 177

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 11, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2081

∆ίνεται η εξίσωση 2λx 2(λ 1)x + λ 2 = 0+ − − (1) µε παράµετρο λ∈R .

α) Να λύσετε την εξίσωση όταν λ = 0. (Μονάδες 5)

β) Έστω λ 0≠ .

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες, τις οποίες

στη συνέχεια να βρείτε. (Μονάδες 10)

ii) Αν 1x 1=− και 2

2x 1

λ=− + είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (1), να προσ-

διορίσετε τις τιµές του λ, για τις οποίες ισχύει 1 2| x x | 1− > . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 3.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για λ = 0 η εξίσωση (1) γίνεται: 20 x 2(0 1)x + 0 2 = 0⋅ + − − ⇔ 2x 2 = 0− − ⇔ −2x = 2 ⇔ x = −1.

β) i) Για λ ≠ 0 τo τριώνυµο 2λx 2(λ 1)x + λ 2+ − − έχει διακρίνουσα

2 2 2 2∆ = [2(λ 1)] 4λ(λ 2) = 4[(λ 1) λ(λ 2)] = 4(λ 2λ 1 λ + 2λ) = 4− − − − − − − + −

και ρίζες

2(λ 1 1) (λ 2) 21

2(λ 1) 4 2(λ 1) 2 2λ λ λx = =

2(λ 1+1) λ2λ 2λ1

2λ λ

− − − − − = =− +− − ± − − ± = − − − = =−

.

ii) Αντικαθιστώντας τις ρίζες 1 2x , x στην 1 2| x x | 1− > και για λ ≠ 0 (Ι),

βρίσκουµε:

21 1 1

λ

− − − + > ⇔

21 1 1

λ− + − > ⇔

21

λ> ⇔

| 2 |1

| λ |> ⇔

⇔ | λ | 2< ⇔ 2 λ 2− < < (ΙΙ).

Συναληθεύοντας τις (Ι) και (ΙΙ), βρίσκουµε λ ( 2,0) (0, 2)∈ ∪− .

Page 178: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

178 178

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση της ενότητας 16 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2083 Ένα κλειστό στάδιο έχει 25 σειρές καθισµάτων. Στην πρώτη σειρά έχει 12

καθίσµατα και καθεµιά από τις επόµενες σειρές έχει δύο καθίσµατα παραπάνω από

την προηγούµενη.

α) Να βρείτε πόσα καθίσµατα έχει η µεσαία και πόσα η τελευταία σειρά.

(Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του σταδίου. (Μονάδες 5)

γ) Οι µαθητές ενός Λυκείου, προκειµένου να παρακολουθήσουν µια εκδήλωση,

κατέλαβαν όλα τα καθίσµατα από την 7η µέχρι και τη 14η σειρά. Να βρείτε το

πλήθος των µαθητών του Λυκείου. (Μονάδες 10)

Ενότητα σχολικού βιβλίου: 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού το πλήθος των καθισµάτων από σειρά σε σειρά αυξάνεται κατά δύο,

έχουµε αριθµητική πρόοδο, έστω *,να ν∈N (ν ≤ 25) µε πρώτο όρο 1 12α = ,

διαφορά 2ω= και νιοστό όρο *

1 ( 1) 12 ( 1) 2 12 2 2 2 10, ( 25)να = α + ν − ω = + ν − ⋅ = + ν − = ν + ν∈ ν ≤N .

Έχουµε ότι:

13 2 13 10 26 10 36α = ⋅ + = + = και 25 2 25 10 50 10 60α = ⋅ + = + = .

Αφού το στάδιο έχει 25 σειρές, η µεσαία είναι η 13η και έχει 36 καθίσµατα, ενώ

η τελευταία είναι η 25η και έχει 60 καθίσµατα.

β) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου είναι

2 *2 12 ( 1) 2S (12 1) 11 , ( 25)

⋅ + ν − ⋅= ⋅ν = + ν − ν = ν + ν ν∈ ν ≤N .

Τότε: 2

25S 25 11 25 625 275 900= + ⋅ = + = ,

οπότε η χωρητικότητα του σταδίου είναι 900 καθίσµατα.

γ) 2 2

7 8 9 14 14 6... S S 14 11 14 (6 11 6)α +α +α + +α = − = + ⋅ − + ⋅

196 154 (36 66) 350 102 248= + − + = − = ,

δηλαδή το πλήθος των µαθητών του σχολείου είναι 248.

Page 179: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

179 179

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 13, 19

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2084 Για την κάλυψη µε τετράγωνα πλακίδια, µέρους ενός τοίχου, µπορούµε να

χρησιµοποιήσουµε πλακάκια τύπου Α µε πλευρά d cm ή πλακάκια τύπου Β µε

πλευρά (d + 1) cm.

α) Να βρείτε, ως συνάρτηση του d, το εµβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου

Α και κάθε πλακάκι τύπου Β. (Μονάδες 6)

β) Αν η επιφάνεια µπορεί να καλυφθεί είτε µε 200 πλακάκια τύπου Α είτε µε 128

πλακάκια τύπου Β, να βρείτε:

i) Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου. (Μονάδες 12)

ii) Το εµβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Κάθε πλακάκι τύπου Α έχει εµβαδόν 2

1E d= , όπου d > 0.

Κάθε πλακάκι τύπου Β έχει εµβαδόν 2

2E (d 1)= + , όπου d > 0.

β) i) Αφού η επιφάνεια µπορεί να καλυφθεί είτε µε 200 πλακάκια τύπου Α είτε µε

128 πλακάκια τύπου Β, έχουµε ότι: 2 2 2 2

1 2200E 128E 200d 128(d 1) 200d 128d 256d 128= ⇔ = + ⇔ = + + ⇔

2 272d 256d 128 0 9d 32d 16 0⇔ − − = ⇔ − − = (Ι).

Το τριώνυµο 29d 32d 16− − έχει διακρίνουσα 2∆ ( 32) 4 9 ( 16) 1600= − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

32 40 724

( 32) 1600 32 40 18 18d

32 40 8 42 9 18

18 18 9

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ 4

d9

= − (απορρίπτεται) ή d = 4 ⇔ d = 4,

δηλαδή η πλευρά από κάθε πλακάκι τύπου Α είναι 4 cm, ενώ η πλευρά από

κάθε πλακάκι τύπου Β είναι 5 cm.

ii) Το εµβαδόν που καλύπτεται ισούται µε 2 2200d ή 128(d 1)+ ,

δηλαδή 2 2200d 200 4 200 16 3200= ⋅ = ⋅ = ,

άρα το εµβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν είναι 23200 cm .

Page 180: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

180 180

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13,

19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2220 Μία µπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει µια

τροχιά, µετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος. Το ύψος h (σε m) από το

έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t (σε sec) κατά την

κίνησή της προσδιορίζεται από τη συνάρτηση 2h(t) 5t 10t 1,05= − + + .

α) Να βρείτε τις τιµές h(0), h(1), h(2) και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο

του προβλήµατος. (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε µετά από πόσο χρόνο η µπάλα θα φτάσει στο έδαφος. (Μονάδες 8)

γ) Να δείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t

µπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο: 2h(t) 5[1, 21 (t 1) ]= − − . (Μονάδες 5)

δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγµή t1 (σε sec) που το ύψος h της µπάλας

από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m. (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

To τριώνυµο 25t 10t 1,05− + + έχει διακρίνουσα 2∆ 10 4 ( 5) 1,05 121= − ⋅ − ⋅ = ,

ρίζες

10 11 1 1

10 121 10 11 10 10 10t

10 11 21 212 ( 5) 10

10 10 10

− + = = −− ± − ± − −= = = − − −⋅ − − = =

− −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1

10−

21

10t

25t 10t 1,05− + + +− −

Όµως πρέπει

t 0t 0 21

0 t1 21h(t) 0 10t

10 10

≥≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤

≥ − ≤ ≤

, δηλαδή h

21A 0,

10

= .

α) Έχουµε ότι h(0) 5 0 10 0 1,05 1,05= − ⋅ + ⋅ + = , που σηµαίνει ότι η µπάλα εκτο-

ξεύεται από ύψος 1,05 m.

Επίσης, 2h(1) 5 1 10 1 1,05 5 10 1,05 6,05= − ⋅ + ⋅ + = − + + = , που σηµαίνει ότι η

µπάλα 1 sec µετά την εκτόξευση βρίσκεται σε ύψος 6,05 m.

Τέλος, 2h(2) 5 2 10 2 1,05 5 4 20 1,05 1,05= − ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + + = , που σηµαίνει ότι η

µπάλα 2 sec µετά την εκτόξευση έχει επιστρέψει στο ύψος 1,05 m.

β) Το ύψος της µπάλας, όταν αυτή φτάσει στο έδαφος, θα είναι 0, οπότε αναζη-

τούµε 21

t 0,10

∈ έτσι ώστε:

2 21 1h(t) 0 5t 10t 1,05 0 t ή t

10 10= ⇔ − + + = ⇔ = = − (απορρίπτεται),

οπότε η µπάλα φτάνει στο έδαφος µετά από 21

t sec10

= .

Page 181: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

181 181

γ) Για 21

t 0,10

∈ έχουµε ότι:

2 2 25 [1,21 (t 1) ] 5 [1, 21 (t 2t 1)] 5 (1,21 t 2t 1)⋅ − − = ⋅ − − + = ⋅ − + − 2 25 (0, 21 t 2t) 1,05 5t 10t h(t)= ⋅ − + = − + = .

δ) Αναζητούµε (αν υπάρχει) 1

21t 0,

10

∈ έτσι ώστε:

2 2

1 1 1h(t ) 6,05 5 [1,21 (t 1) ] 6,05 1, 21 (t 1) 1, 21> ⇔ ⋅ − − > ⇔ − − > ⇔ 2 2

1 11,21 1, 21 (t 1) 0 (t 1)⇔ − > − ⇔ > − , που είναι αδύνατη,

άρα δεν υπάρχει χρονική στιγµή t1 που το ύψος h της µπάλας από το έδαφος θα

είναι πάνω από 6,05 m.

Page 182: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

182 182

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13,

19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2226 Για την τύπωση επαγγελµατικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς

x cm (5 x 10)≤ ≤ στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια 2 cm

στο πάνω και στο κάτω µέρος της και 1 cm δεξιά (όπως στο σχήµα).

x

2

1

α) Να δείξετε ότι το εµβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών

στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση E(x) (x 2)(x 4)= − − . (Μονάδες 8)

β) Να βρεθεί η τιµή του x έτσι ώστε το εµβαδόν της περιοχής τύπωσης των

επαγγελµατικών στοιχείων να είναι 235 cm . (Μονάδες 7)

γ) Να βρεθούν οι τιµές που µπορεί να πάρει η πλευρά x του τετραγώνου, αν η

περιοχή τύπωσης των επαγγελµατικών στοιχείων έχει εµβαδόν τουλάχιστον 224 cm . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

ΑΒ = ΒΓ = Γ∆ = ∆Α = x,

Ε∆ = ΜΝ = ΛΠ = ΚΓ = ΑΖ = ΞΗ = ΟΘ = ΙΒ = 2,

∆Μ = ΕΝ = ΖΞ = ΑΗ = ΘΒ = ΟΙ = ΠΚ = ΛΓ = 1.

Συνεπώς:

ΗΘ = ΑΒ – ΑΗ – ΘΒ = x – 1 – 1 = x – 2 και

ΕΖ = Α∆ – Ε∆ – ΑΖ = x – 2 – 2 = x – 4.

Επιπλέον, προκύπτει:

ΗΘ = ΞΟ = ΝΠ = ΜΛ = x – 2 και

ΕΖ = ΝΞ = ΟΠ = ΚΙ = x – 4.

Το ζητούµενο εµβαδόν είναι το εµβαδόν του

σκιασµένου ορθογωνίου, που έχει διαστάσεις x 2, x 4− −

και εµβαδόν E(x) (x 2)(x 4), x [5,10]= − − ∈ .

β) Αναζητούµε (αν υπάρχει) x∈[5, 10] έτσι ώστε: 2 2E(x) 35 (x 2)(x 4) 35 x 6x 8 35 x 6x 27 0= ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ − − = (Ι).

Το τριώνυµο 2x 6x 27− − έχει διακρίνουσα 2∆ ( 6) 4 1 ( 27) 144= − − ⋅ ⋅ − =

x

2

1

Α Β

Γ∆

Ε

Ζ

Η Θ

Ι

Κ

ΛΜ

Ν

Ξ Ο

Π

Page 183: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

183 183

και ρίζες

6 12 189

( 6) 144 6 12 2 2x

6 12 62 1 23

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = −3 (απορρίπτεται) ή x = 9 ⇔ x = 9.

γ) Αναζητούµε (αν υπάρχουν) x∈[5, 10] έτσι ώστε: 2 2E(x) 24 (x 2)(x 4) 24 x 6x 8 24 x 6x 16 0≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − − ≥ (ΙΙ).

Το τριώνυµο 2x 6x 16− − έχει διακρίνουσα 2∆ ( 6) 4 1 ( 16) 100= − − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

6 10 168

( 6) 100 6 10 2 2x

6 10 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞2− 8x

2x 6x 16− − + +−

Συνεπώς (II) ⇔ x ≤ −2 ή x ≥ 8 και, αφού x∈[5, 10], βρίσκουµε ότι x∈[8, 10],

αφού:

−∞ +∞2− 5 8 10

Page 184: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

184 184

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13,

19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2229 Για την τύπωση επαγγελµατικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς

x cm (5 x 10)≤ ≤ στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια 2 cm

στο πάνω και στο κάτω µέρος της και 1 cm δεξιά (όπως στο σχήµα).

x

2

1

α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών

στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση 2E(x) x 6x 8= − + . (Μονάδες 8)

β) Να βρεθεί η τιµή του x έτσι ώστε το εµβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγ-

γελµατικών στοιχείων να είναι 224 cm . (Μονάδες 7)

γ) Αν το εµβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών στοιχείων είναι το

πολύ 35 cm2, να βρεθούν οι τιµές που µπορεί να πάρει η πλευρά x του τετραγώ-

νου. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

ΑΒ = ΒΓ = Γ∆ = ∆Α = x,

Ε∆ = ΜΝ = ΛΠ = ΚΓ = ΑΖ = ΞΗ = ΟΘ = ΙΒ = 2,

∆Μ = ΕΝ = ΖΞ = ΑΗ = ΘΒ = ΟΙ = ΠΚ = ΛΓ = 1.

Συνεπώς:

ΗΘ = ΑΒ – ΑΗ – ΘΒ = x – 1 – 1 = x – 2 και

ΕΖ = Α∆ – Ε∆ – ΑΖ = x – 2 – 2 = x – 4.

Επιπλέον, προκύπτει:

ΗΘ = ΞΟ = ΝΠ = ΜΛ = x – 2 και

ΕΖ = ΝΞ = ΟΠ = ΚΙ = x – 4.

Το ζητούµενο εµβαδόν είναι το εµβαδόν του

σκιασµένου ορθογωνίου, που έχει διαστάσεις x 2, x 4− −

και εµβαδόν 2 2E(x) (x 2)(x 4) x 2x 4x 8 x 6x 8, x [5,10]= − − = − − + = − + ∈ .

β) Αναζητούµε (αν υπάρχει) x∈[5, 10] έτσι ώστε: 2 2E(x) 24 (x 2)(x 4) 24 x 6x 8 24 x 6x 16 0= ⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ − − = (Ι).

Το τριώνυµο 2x 6x 16− − έχει διακρίνουσα 2∆ ( 6) 4 1 ( 16) 100= − − ⋅ ⋅ − = ,

x

2

1

Α Β

Γ∆

Ε

Ζ

Η Θ

Ι

Κ

ΛΜ

Ν

Ξ Ο

Π

Page 185: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

185 185

ρίζες

6 10 168

( 6) 100 6 10 2 2x

6 10 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = −2 (απορρίπτεται) ή x = 8 ⇔ x = 8.

γ) Αναζητούµε (αν υπάρχουν) x∈[5, 10] έτσι ώστε: 2 2E(x) 35 x 6x 8 35 x 6x 27 0≤ ⇔ − + ≤ ⇔ − − ≤ (ΙΙ).

Το τριώνυµο 2x 6x 27− − έχει διακρίνουσα 2∆ ( 6) 4 1 ( 27) 144= − − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

6 12 189

( 6) 144 6 12 2 2x

6 12 62 1 23

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞3− 9x

2x 6x 27− − + +−

Συνεπώς (II) ⇔ −3 ≤ x ≤ 9 και, αφού x∈[5, 10], βρίσκουµε ότι x∈[5, 9], αφού:

−∞ +∞3− 5 9 10

Page 186: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

186 186

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 12, 19

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2234 Για τη µέτρηση θερµοκρασιών χρησιµοποιούνται οι κλίµακες βαθµών Κελσίου

(Celsius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin). Οι µετατροπές της θερµο-

κρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν περιγράφονται από

τις προτάσεις Π1 και Π2:

Π1: Για να µετατρέψουµε τη θερµοκρασία από βαθµούς Κελσίου ( C ) σε βαθµούς

Φαρενάιτ ( F ), πολλαπλασιάζουµε τους βαθµούς Κελσίου µε 1,8 και προσθέ-

τουµε 32.

Π2: Για να µετατρέψουµε τη θερµοκρασία από βαθµούς Κελσίου ( C ) σε βαθµούς

Κέλβιν ( K ) , προσθέτουµε στους βαθµούς Κελσίου το 273.

α) Να εκφράσετε συµβολικά τη σχέση που περιγράφει η κάθε πρόταση.(Μονάδες 8)

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση που παριστάνει τη σχέση µεταξύ της θερµοκρασίας σε

βαθµούς Κέλβιν ( K ) και της θερµοκρασίας σε βαθµούς Φαρενάιτ ( F ) είναι η:

F 32273

1,8

−Κ = + . (Μονάδες 7)

γ) Στη διάρκεια µιας νύχτας η θερµοκρασία σε µια πόλη κυµάνθηκε από 278 K

µέχρι 283 K . Να βρείτε το διάστηµα µεταβολής της θερµοκρασίας σε F .

(Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 4.1, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Π1: F 1,8C 32= + .

Π2: K C 273= + .

β) Έχουµε ότι 32 F F 32

F 1,8C 32 1,8C 32 F C C1,8 1,8

− −= + ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =

−, οπότε η

K C 273= + γίνεται F 32

2731,8

−Κ = + .

γ) Αφού η θερµοκρασία κυµάνθηκε από 278 K µέχρι 283 K , έχουµε ότι:

F 32 F 32278 K 283 278 273 283 278 273 283 273

1,8 1,8

− −≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − ⇔

F 32 F 325 10 1,8 5 1,8 1,8 10 9 F 32 18

1,8 1,8

− −⇔ ≤ ≤ ⇔ ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ ⇔ ≤ − ≤ ⇔

9 32 F 18 32 41 F 50⇔ + ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ .

Συνεπώς η θερµοκρασία κυµάνθηκε από 41 F µέχρι 50 F .

Page 187: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

187 187

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2238

∆ίνεται η εξίσωση 2 2x 2 x 1 0− λ + λ − = , µε παράµετρο λ∈R .

α) Να δείξετε ότι για κάθε λ∈R η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες. (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, για κάθε λ∈R . (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού λ οι δύο άνισες ρίζες της

εξίσωσης ανήκουν στο διάστηµα (−2, 4). (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2 2x 2 x 1− λ + λ − έχει διακρίνουσα 2 2 2 2( 2 ) 4 1 ( 1) 4 4 4 4∆ = − λ − ⋅ ⋅ λ − = λ − λ + = .

Αφού ∆ = 4 > 0, η εξίσωση 2 2x 2 x 1 0− λ + λ − = έχει δύο άνισες πραγµατικές

ρίζες για κάθε λ∈R .

β) Η εξίσωση 2 2x 2 x 1 0− λ + λ − = έχει ρίζες

( 2 ) 4 2 2 2( 1)x 1

2 1 2 2

− − λ ± λ ± λ ±= = = = λ ±

⋅.

γ) Αναζητούµε λ∈R έτσι ώστε:

λ + 1 ∈ (−2, 4) και λ – 1 ∈ (−2, 4) ⇔

⇔ −2 – 1 < λ < 4 – 1 και 1 − 2 < λ < 1 + 4 ⇔

⇔ −3 < λ < 3 και −1 < λ < 5 ⇔

⇔ −1 < λ < 3, αφού συναληθεύοντας έχουµε:

−∞ +∞3− 1− 3 5

Page 188: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

188 188

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, 11,

12, 13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2244

∆ίνονται οι ανισώσεις: | x 2 | 3− < και 2x 2x 8 0− − ≤ .

α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 10)

β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ( 1, 4]∈ − . (Μονάδες 5)

γ) Αν οι αριθµοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανι-

σώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθµός 1 2

2

ρ +ρ είναι κοινή τους λύση.

(Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3, 3.3, 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | x 2 | 3 3 x 2 3 2 3 x 2 3 1 x 5− < ⇔− < − < ⇔ − < < + ⇔ − < < .

Το τριώνυµο 2x 2x 8− − έχει διακρίνουσα 2( 2) 4 1 ( 8) 36∆ = − − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

2 6 84

( 2) 36 2 6 2 2x

2 6 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞2− 4x

2x 2x 8− − + +−

Συνεπώς 2x 2x 8 0 2 x 4− − ≤ ⇔ − ≤ ≤ .

β) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων πάνω στον ίδιο άξονα:

−∞ +∞2− 1− 4 5

Εποµένως οι κοινές λύσεις είναι x ( 1, 4]∈ − .

γ) Έχουµε ότι:

1 1( 1, 4] 1 4ρ ∈ − ⇔ − < ρ ≤ και

2 2( 1, 4] 1 4ρ ∈ − ⇔ − < ρ ≤ ,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

1 21 2 1 2

2 81 1 4 4 2 8

2 2 2

ρ +ρ− − < ρ +ρ ≤ + ⇔ − < ρ +ρ ≤ ⇔ − < ≤ ⇔

1 2 1 21 4 ( 1, 4]2 2

ρ +ρ ρ +ρ⇔ − < ≤ ⇔ ∈ − ,

δηλαδή ο αριθµός 1 2

2

ρ +ρ είναι κοινή λύση των ανισώσεων.

Page 189: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

189 189

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, 11,

12, 13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2255

∆ίνονται οι ανισώσεις: 2 | x | 3≤ ≤ και 2x 4x 0− < .

α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 10)

β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x [2, 3]∈ . (Μονάδες 5)

γ) Αν οι αριθµοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώ-

σεων, να δείξετε ότι και ο αριθµός 1 2

2

ρ +ρ είναι κοινή τους λύση. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3, 3.3, 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | x | 2 x 2 ή x 2

2 | x | 3 3 x 2ή 2 x 3| x | 3 3 x 3

≥ ≤ − ≥ ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − ≤ ≤

≤ − ≤ ≤ , αφού:

−∞ +∞3− 2− 2 3

Το ελλιπές τριώνυµο 2x 4x− έχει διακρίνουσα 2( 4) 4 1 0 16∆ = − − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

4 4 84

( 4) 16 4 4 2 2x

4 4 02 1 20

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞0 4x

2x 4x− + +−

Συνεπώς 2x 4x 0 0 x 4− < ⇔ < < .

β) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων πάνω στον ίδιο άξονα:

−∞ +∞3− 2− 2 3 40

Εποµένως οι κοινές λύσεις είναι x [2,3]∈ .

γ) Έχουµε ότι:

1 1[2,3] 2 3ρ ∈ ⇔ ≤ ρ ≤ και

2 2[2,3] 2 3ρ ∈ ⇔ ≤ ρ ≤ ,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

1 21 2 1 2

4 62 2 3 3 4 6

2 2 2

ρ +ρ+ ≤ ρ +ρ ≤ + ⇔ ≤ ρ +ρ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔

1 2 1 22 3 [2, 3]2 2

ρ +ρ ρ +ρ⇔ ≤ ≤ ⇔ ∈ ,

δηλαδή ο αριθµός 1 2

2

ρ +ρ είναι κοινή λύση των ανισώσεων.

Page 190: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

190 190

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11,

12, 13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2273

∆ίνονται οι ανισώσεις x 1 2+ ≤ και 2x x 2 0− − > .

α) Να λύσετε τις ανισώσεις. (Μονάδες 10)

β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x [ 3, 1)∈ − − . (Μονάδες 5)

γ) Αν οι αριθµοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώ-

σεων, να δείξετε ότι 1 2 ( 2,2)ρ −ρ ∈ − . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3, 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) x 1 2 2 x 1 2 2 1 x 2 1 3 x 1+ ≤ ⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − − ≤ ≤ − ⇔ − ≤ ≤ .

Το τριώνυµο 2x x 2− − έχει διακρίνουσα 2( 1) 4 1 ( 2) 9∆ = − − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

1 3 42

( 1) 9 1 3 2 2x

1 3 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1− 2x

2x x 2− − + +−

Συνεπώς 2x x 2 0 x 1 ή x 2− − > ⇔ < − > .

β) Παριστάνουµε τις λύσεις των ανισώσεων πάνω στον ίδιο άξονα:

−∞ +∞3− 1− 1 2

Εποµένως οι κοινές λύσεις είναι x [ 3, 1)∈ − − .

γ) Έχουµε ότι 1 1[ 3, 1) 3 1ρ ∈ − − ⇔ − ≤ ρ < − και

2 2 2 2[ 3, 1) 3 1 3 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 3ρ ∈ − − ⇔ − ≤ ρ < − ⇔ − ⋅ − ≥ ρ ⋅ − > − ⋅ − ⇔ < −ρ ≤ ,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

1 2 1 2 1 21 3 3 1 2 2 ( 2, 2)− < ρ −ρ < − ⇔ − < ρ −ρ < ⇔ ρ −ρ ∈ − .

Page 191: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

191 191

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2287 ∆ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός x που ικανοποιεί τη σχέση: d(x,5) 9≤ .

α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά. (Μονάδες 5)

β) Με χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών, να παραστήσετε σε µορφή

διαστήµατος το σύνολο των δυνατών τιµών του x. (Μονάδες 5)

γ) Να γράψετε τη σχέση µε το σύµβολο της απόλυτης τιµής και να επιβεβαιώσετε

µε αλγεβρικό τρόπο το συµπέρασµα του ερωτήµατος (β). (Μονάδες 10)

δ) Να χρησιµοποιήσετε το συµπέρασµα του ερωτήµατος (γ) για να δείξετε ότι:

x 4 x 14 18+ + − = . (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η σχέση d(x, 5) 9≤ εκφράζει στον άξονα των πραγµατικών ότι η απόσταση του

αριθµού x από το 5 είναι το πολύ 9 (δηλαδή µικρότερη ή ίση του 9).

5

9

144−

9 β) Από τον άξονα των πραγµατικών προκύπτει ότι x [ 4,14] 4 x 14∈ − ⇔ − ≤ ≤ .

γ) Έχουµε ότι d(x, 5) | x 5 |= − , οπότε:

d(x,5) 9 | x 5 | 9 9 x 5 9 5 9 x 5 9 4 x 14≤ ⇔ − ≤ ⇔− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + ⇔− ≤ ≤ .

δ) Έχουµε ότι:

4 x 14 4 4 x 4 14 4 0 x 4 18− ≤ ≤ ⇔ − ≤ + ≤ + ⇔ ≤ + ≤ ,

άρα x 4 0+ ≥ και x 4 x 4+ = + .

Επίσης, ισχύει:

4 x 14 4 14 x 14 14 14 18 x 14 0− ≤ ≤ ⇔ − − ≤ − ≤ − ⇔ − ≤ − ≤ ,

άρα x 14 0− ≤ και x 14 (x 14) x 14− = − − = − + .

Τότε:

x 4 x 14 x 4 ( x 14) x 4 x 14 18+ + − = + + − + = + − + = .

Page 192: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

192 192

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2301 ∆ίνονται τα σηµεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγµατικών

αριθµών τους αριθµούς −2, 7 και x αντίστοιχα, µε 2 x 7− < < .

α) Να διατυπώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία των παραστάσεων

i) | x 2 |+ (Μονάδες 4)

ii) | x 7 |− (Μονάδες 4)

β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία του αθροίσµατος:

| x 2 | | x 7 |+ + − . (Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε την τιµή της παράστασης A | x 2 | | x 7 |= + + − γεωµετρικά.

(Μονάδες 5)

δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούµενο συµπέρασµα. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) | x 2 | d(x, 2) (AM)+ = − = , δηλαδή η παράσταση | x 2 |+ εκφράζει την απόστα-

ση των σηµείων Α(−2) και Μ(x) πάνω στον άξονα των πραγµατικών.

ii) | x 7 | d(x,7) (BM)− = = , δηλαδή η παράσταση | x 7 |− εκφράζει την απόστα-

ση των σηµείων Β(7) και Μ(x) πάνω στον άξονα των πραγµατικών.

β) | x 2 | | x 7 | (AM) (BM)+ + − = + , δηλαδή η παράσταση | x 2 | | x 7 |+ + − εκφράζει

το άθροισµα των αποστάσεων ΑΜ και ΒΜ.

γ) Αφού 2 x 7− < < , προκύπτει ότι το σηµείο Μ βρίσκεται ανάµεσα στα Α και Β,

οπότε στον άξονα των πραγµατικών αριθµών έχουµε:

A( 2)− B(7)M(x)

| x 7 |−| x 2 |+ Συνεπώς:

| x 2 | | x 7 | (AM) (BM) (AB) 7 ( 2) 9+ + − = + = = − − = .

δ) Έχουµε ότι:

2 x 7 2 2 x 2 2 7 0 x 2 9− < < ⇔ − < + < + ⇔ < + < ,

άρα x 2 0+ > και x 2 x 2+ = + .

Επίσης, ισχύει:

2 x 7 2 7 x 7 7 7 9 x 7 0− < < ⇔ − − < − < − ⇔ − < − < ,

άρα x 7 0− < και x 7 (x 7) x 7− = − − = − + .

Συνεπώς:

| x 2 | | x 7 | x 2 ( x 7) x 2 x 7 9+ + − = + + − + = + − + = .

Page 193: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

193 193

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 9 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2302 Σε έναν άξονα τα σηµεία Α , Β και Μ αντιστοιχούν στους αριθµούς 5, 9 και x αντί-

στοιχα.

α) Να διατυπώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία των παραστάσεων | x 5 |− και | x 9 |− .

(Μονάδες 10)

β) Αν ισχύει | x 5 | | x 9 |− = − ,

i) Ποια γεωµετρική ιδιότητα του σηµείου Μ αναγνωρίζετε; Nα αιτιολογήσετε

την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό x που

παριστάνει το σηµείο Μ. Να επιβεβαιώσετε µε αλγεβρικό τρόπο την

απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

| x 5 | d(x,5) (AM)− = = , δηλαδή η παράσταση | x 5 |− εκφράζει την απόσταση

των σηµείων Α(5) και Μ(x) πάνω στον άξονα των πραγµατικών, και

| x 9 | d(x, 9) (BM)− = = , δηλαδή η παράσταση | x 9 |− εκφράζει την απόσταση

των σηµείων Β(9) και Μ(x) πάνω στον άξονα των πραγµατικών.

β) | x 5 | | x 9 | (AM) (BM)− = − ⇔ = .

i) Αφού (ΑΜ) = (ΒΜ), το σηµείο Μ ισαπέχει από Α και Β, οπότε το Μ είναι το

µέσο του ΑΒ.

A(5) B(9)M(x)

| x 5 |− | x 9 |− ii) Γεωµετρικά, τo M είναι το µέσο του ΑΒ, όπου Α(5) και Β(9),

οπότε 5 9

M2

+

ή Μ(7), άρα x = 7.

Αλγεβρικά έχουµε ότι:

| x 5 | | x 9 |− = − ⇔ x – 5 = x – 9 ή x – 5 = −x + 9 ⇔

⇔ x – x = 5 – 9 ή x + x = 5 + 9 ⇔ 0x = –4 (αδύνατη) ή 2x = 14 ⇔ x = 7.

Page 194: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

194 194

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 12, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2323 Ο ∆ιονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθµούς 3, 7, 11, 15, … και συνεχίζει

προσθέτοντας κάθε φορά το 4. Σταµατάει όταν έχει γράψει τους 40 πρώτους από

τους αριθµούς αυτούς.

α) Είναι οι παραπάνω αριθµοί διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου; Να αιτιολογή-

σετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4)

β) Να βρείτε το άθροισµα των 40 αυτών αριθµών. (Μονάδες 7)

γ) Είναι ο αριθµός 120 ένας από τους 40 αριθµούς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας. (Μονάδες 7)

δ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του ∆ιονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς

όρους της ίδιας αριθµητικής προόδου, από εκεί που είχε σταµατήσει ο ∆ιονύσης

µέχρι να εµφανιστεί ο αριθµός 235. Να βρείτε το άθροισµα των αριθµών που

έγραψε ο Γιώργος. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 4.1, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού κάθε αριθµός προκύπτει αν στον προηγούµενο προσθέσουµε 4, οι αριθµοί

που γράφει ο ∆ιονύσης είναι όροι αριθµητικής προόδου,

έστω *,να ν∈N (ν ≤ 40), µε διαφορά ω = 4, 1 3α = .

β) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της προόδου είναι:

2α (ν 1)ω 2 3 (ν 1) 4 2 [3 2(ν 1)]S ν ν ν

2 2 2

+ − ⋅ + − ⋅ ⋅ + −= ⋅ = ⋅ = ⋅

2 *(3 2ν 2)ν 2ν ν, ν= + − = + ∈N (ν ≤ 40).

Συνεπώς 2

40S 2 40 40 2 1600 40 3200 40 3240= ⋅ + = ⋅ + = + = .

γ) Ο νιοστός όρος της αριθµητικής προόδου *,να ν∈N (ν ≤ 40), είναι: *

1 ( 1) 3 ( 1) 4 3 4 4 4 1,να = α + ν − ω = + ν − ⋅ = + ν − = ν − ν∈N (ν ≤ 40).

Αναζητούµε (αν υπάρχει) *ν∈N , µε ν ≤ 40, έτσι ώστε: *

να 120 4ν 1 120 4ν 120 1 4ν 121 ν 30, 25= ⇔ − = ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ∉N ,

άρα το 120 δεν είναι ένας από τους αριθµούς που έγραψε ο ∆ιονύσης.

δ) Ο ∆ιονύσης σταµατάει όταν γράψει τον 40ό αριθµό, δηλαδή ο Γιώργος ξεκινά να

γράφει τον αριθµό που είναι κατά 4 µεγαλύτερος.

Αφού 40α 4 40 1 159= ⋅ − = , ο πρώτος αριθµός που γράφει ο Γιώργος είναι 163.

Οι αριθµοί που γράφει ο Γιώργος είναι όροι αριθµητικής προόδου,

έστω *,νβ ν∈N , µε διαφορά ω = 4, 1 163β = ,

νιοστό όρο *

1 ( 1) 163 ( 1) 4 163 4 4 4 159, ,νβ = β + ν − ω = + ν − ⋅ = + ν − = ν + ν∈N

και άθροισµα των ν πρώτων όρων

2 *

ν

2 163 (ν 1) 4Σ ν (163 2ν 2)ν 2ν 161ν, ν

2

⋅ + − ⋅= ⋅ = + − = + ∈N .

Ο Γιώργος συνεχίζει µέχρι τον αριθµό 235, οπότε αναζητούµε *ν∈N έτσι ώστε

235 4 159 235 4 235 159 4 76 19νβ = ⇔ ν + = ⇔ ν = − ⇔ ν = ⇔ ν = .

Συνεπώς το άθροισµα των αριθµών που έγραψε ο Γιώργος είναι: 2

19Σ 2 19 161 19 2 361 161 19 722 3059 3781= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = .

Page 195: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

195 195

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2332

∆ίνεται η εξίσωση 2 2x 4x 2 0− + −λ = (1) µε παράµετρο λ∈R .

α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιµή του λ∈R , η (1) έχει δύο ρίζες άνισες.

(Μονάδες 10)

β) Αν 1x και 2x είναι ρίζες της εξίσωσης (1):

i) Να βρείτε το 1 2S = x + x .

ii) Να βρείτε το 1 2P = x x ως συνάρτηση του πραγµατικού αριθµού λ.

(Μονάδες 5)

γ) Αν η µία ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθµός 2 3+ , τότε:

i) να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθµός 2 3− ,

ii) να βρείτε το λ. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2 2x 4x 2− + −λ έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2 2 24 4 2 16 8 4 4 8∆ = − − −λ = − + λ = λ + .

Για κάθε λ∈R έχουµε ότι 24 8 0∆ = λ + > ,

οπότε η εξίσωση 2 2x 4x 2 0− + −λ = έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες.

β) Για κάθε λ∈R , αφού 1x και 2x είναι ρίζες της εξίσωσης 2 2x 4x 2 0− + −λ = ,

από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι:

i) 1 2

4S x x 4

1

−= + = − = και

ii) 2

2

1 2

2P x x 2

1

−λ= = = −λ .

γ) i) Έστω 1x 2 3= + και από το (β.i) ερώτηµα έχουµε ότι:

2 2 22 3 x 4 x 4 2 3 x 2 3+ + = ⇔ = − − ⇔ = − .

ii) Από το (β.ii) ερώτηµα έχουµε ότι:

( )( ) 22 2 2 22 3 2 3 2 2 3 2 4 3 2+ − = −λ ⇔ − = −λ ⇔ − = −λ ⇔

2 22 4 3 1 1⇔ λ = − + ⇔ λ = ⇔ λ = ± .

Page 196: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

196 196

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2336

α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου 2x 5x 6− + για τις διάφορες τιµές του

x∈R . (Μονάδες 10)

β) ∆ίνεται η εξίσωση ( )21x 2 x 2 0

4+ −λ + λ − = (1) µε παράµετρο λ.

i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε ( ) ( ), 2 3,λ∈ −∞ ∪ +∞ , η εξίσωση (1) έχει δύο

ρίζες άνισες. (Μονάδες 10)

ii) Να βρείτε τις τιµές του λ∈R για τις οποίες οι ρίζες της (1) είναι οµόσηµοι

αριθµοί. (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 5x 6− + έχει διακρίνουσα 2( 5) 4 1 6 1∆ = − − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

5 1 63

( 5) 1 5 1 2 2x

5 1 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞2 3x

2x 5x 6− + + +−

Συνεπώς:

• 2x 5x 6 0 x 2 ή x 3− + > ⇔ < > ,

• 2x 5x 6 0 2 x 3− + > ⇔ < < ,

• 2x 5x 6 0 x 2 ή x 3− + = ⇔ = = .

β) Το τριώνυµο ( )21x 2 x 2

4+ −λ + λ − έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2 212 4 2 4 4 2 5 6

4∆ = −λ − ⋅ ⋅ λ − = − λ + λ −λ + = λ − λ + .

i) Η εξίσωση ( )21x 2 x 2 0

4+ −λ + λ − = έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες αν

και µόνο αν 20 5 6 0 ( , 2) (3, )∆ > ⇔ λ − λ + > ⇔ λ∈ −∞ ∪ +∞ , από το (α)

ερώτηµα.

ii) Η εξίσωση ( )21x 2 x 2 0

4+ −λ + λ − = έχει πραγµατικές ρίζες αν και µόνο αν

20 5 6 0 ( , 2] [3, )∆ ≥ ⇔ λ − λ + ≥ ⇔ λ∈ −∞ ∪ +∞ , από το (α) ερώτηµα.

Page 197: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

197 197

Για ( , 2] [3, )λ∈ −∞ ∪ +∞ η εξίσωση ( )21x 2 x 2 0

4+ −λ + λ − = έχει πραγ-

µατικές ρίζες, έστω τις 1 2x , x , όπου από τους τύπους του Vieta προκύπτει

1 2

2P x x 4( 2)

1

4

λ −= = = λ − .

Για ( , 2] [3, )λ∈ −∞ ∪ +∞ η εξίσωση ( )21x 2 x 2 0

4+ −λ + λ − = έχει οµόση-

µες ρίζες αν και µόνο αν P 0 4( 2) 0 2 0 2> ⇔ λ − > ⇔ λ − > ⇔ λ > , οπότε,

αφού ( , 2] [3, )λ∈ −∞ ∪ +∞ , προκύπτει λ ≥ 3.

Page 198: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

198 198

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13,

19,20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2338

∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) x 2= α −α + και 2g(x) x 3= −α + µε α∈R .

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο (1, 2) για

κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού α. (Μονάδες 7)

β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέµνονται σε σηµείο µε τετµηµένη 1,

τότε:

i) Να βρείτε την τιµή του α. (Μονάδες 4)

ii) Για την τιµή του α που βρήκατε υπάρχει άλλο σηµείο τοµής των γραφικών

παραστάσεων των f και g; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. (Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν δύο

σηµεία τοµής. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι f (1) 1 2 2 2= α ⋅ −α + = α −α + = , άρα η fC διέρχεται από το A(1, 2)

για κάθε α∈R .

β) i) Από το (α) ερώτηµα γνωρίζουµε ότι το σηµείο της fC µε τετµηµένη 1 είναι το

Α(1, 2), οπότε και η gC θα διέρχεται από αυτό, άρα θα ισχύει:

( ) 2g 1 2 1 3 2 2 3 1 2 2= ⇔ −α+ = ⇔ −α = − − ⇔ −α = − ⇔ α = .

ii) Για α = 2 έχουµε ότι f (x) 2x 2 2 2x= − + = και 2 2g(x) x 2 3 x 1= − + = + .

Τα σηµεία τοµής των fC , gC προσδιορίζονται από τη λύση της εξίσωσης

( )22 2f (x) g(x) 2x x 1 0 x 2x 1 0 x 1 x 1= ⇔ = + ⇔ = − + ⇔ = − ⇔ = ,

δηλαδή το σηµείο µε τετµηµένη 1, Α(1, 2), είναι το µοναδικό κοινό σηµείο

των fC , gC .

γ) Τα σηµεία τοµής των fC , gC προσδιορίζονται από τη λύση της εξίσωσης

( ) ( ) 2 2f x g x x 2 x 3 x 2 x 3 0= ⇔ α −α + = −α + ⇔ α −α + − +α − = ⇔

2x x 1 0⇔ − +α − = (Ι).

Αφού θέλουµε οι γραφικές παραστάσεις των f και g να έχουν δύο σηµεία τοµής,

θα πρέπει η εξίσωση (Ι) να έχει δύο άνισες πραγµατικές λύσεις, άρα θα πρέπει 2 2 20 4 ( 1) ( 1) 0 4 0 4 | | 2∆ > ⇔ α − ⋅ − ⋅ − > ⇔ α − > ⇔ α > ⇔ α > ⇔

2 ή 2⇔ α < − α > .

Page 199: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

199 199

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 19, 20,

21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2339 Στο παρακάτω σύστηµα συντεταγµένων το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µε Α(0, 100) και

Β(10, 50) παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης δ(x) των ετήσιων

δαπανών µιας εταιρείας, σε χιλιάδες ευρώ, στα x χρόνια της λειτουργίας της.

Το ευθύγραµµο τµήµα Γ∆ µε Γ(0, 50) και ∆(10, 150) παριστάνει τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης των ετήσιων εσόδων ε(x) της εταιρείας, σε χιλιάδες

ευρώ, στα x χρόνια της λειτουργίας της. Οι γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στα

δέκα πρώτα χρόνια λειτουργίας της εταιρείας.

α) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων να εκτιµήσετε τα έσοδα και τα

έξοδα τον πέµπτο χρόνο λειτουργίας της εταιρείας. (Μονάδες 4)

β) i) Να προσδιορίσετε τους τύπους των συναρτήσεων δ(x), ε(x) και να ελέγξετε αν

οι εκτιµήσεις σας στο α) ερώτηµα ήταν σωστές. (Μονάδες 15)

ii) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των τµηµάτων ΑΒ, Γ∆ και να

τις ερµηνεύσετε στο πλαίσιο του προβλήµατος. (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ε διέρχεται από το σηµείο (5, 100), οπότε

τον πέµπτο χρόνο λειτουργίας τα έσοδα είναι 100 χιλιάδες ευρώ.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δ διέρχεται κατά προσέγγιση από το

σηµείο (5, 75) , οπότε τον πέµπτο χρόνο λειτουργίας τα έξοδα είναι περίπου 75

χιλιάδες ευρώ.

β) i) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δ είναι το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ, άρα

έχει τύπο (x) kx mδ = + , όπου x∈[0, 10].

Αφού η Cδ διέρχεται από το Α(0, 100), έχουµε δ(0) = 100 και, αφού διέρχεται

και από το Β(10, 50), ισχύει δ(10) = 50.

Συνεπώς:

k 0 m 100 m 100 m 100 m 100 m 100

k 10 m 50 10k 50 m 10k 50 100 10k 50 k 5

⋅ + = = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⋅ + = = − = − = − = − άρα (x) 5x 100δ = − + , όπου x∈[0, 10].

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ε είναι το ευθύγραµµο τµήµα Γ∆, άρα

έχει τύπο (x) xε = α +β , όπου x∈[0, 10].

Page 200: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

200 200

Αφού η Cε διέρχεται από το Γ(0, 50), έχουµε ε(0) = 50 και, αφού διέρχεται

και από το ∆(10, 150), ισχύει δ(10) = 150.

Συνεπώς:

0 50 50 50 50 50

10 150 10 150 10 150 50 10 100 10

α ⋅ +β = β = β = β = β = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

α ⋅ +β = α = −β α = − α = α = άρα (x) 10x 50ε = + , όπου x∈[0, 10].

Για x = 5 έχουµε:

(5) 5 5 100 25 100 75δ = − ⋅ + = − + = και (5) 10 5 50 50 50 100ε = ⋅ + = + = ,

οπότε οι εκτιµήσεις του (α) ερωτήµατος είναι σωστές.

ii) Η τετµηµένη του σηµείου τοµής των τµηµάτων ΑΒ και Γ∆ προκύπτει από την

εξίσωση ε(x) = δ(x), µε x∈[0, 10].

Συνεπώς για x∈[0, 10] έχουµε ότι:

105x 100 10x 50 5x 10x 100 50 15x 50 x

3− + = + ⇔ − − = − + ⇔ − = − ⇔ =

και 10 10 100 150 250

E 10 503 2 3 3 3

= ⋅ + = + =

, δηλαδή το σηµείο τοµής των ΑΒ,

Γ∆ είναι το 10 250

,3 3

.

Συνεπώς σε 10

3 χρόνια λειτουργίας τα έσοδα και τα έξοδα της εταιρείας είναι

ισοσκελισµένα και καθένα είναι 250

3 χιλιάδες ευρώ.

Page 201: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

201 201

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 16, 17

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_2340 Μια οικογένεια, προκειµένου να χρηµατοδοτήσει τις σπουδές του παιδιού της, έχει

να επιλέξει µεταξύ δύο προγραµµάτων που της προτείνονται:

Για το πρόγραµµα Α πρέπει να καταθέσει τον 1ο µήνα 1 ευρώ, τον 2ο µήνα 2 ευρώ,

τον 3ο µήνα 4 ευρώ και γενικά, κάθε µήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό

διπλάσιο από αυτό που κατέθεσε τον προηγούµενο µήνα.

Για το πρόγραµµα Β πρέπει να καταθέσει τον 1ο µήνα 100 ευρώ, τον 2ο µήνα 110

ευρώ, τον τρίτο µήνα 120 ευρώ και γενικά, κάθε µήνα που περνάει, πρέπει να

καταθέτει ποσό κατά 10 ευρώ µεγαλύτερο από εκείνο που κατέθεσε τον

προηγούµενο µήνα.

α) i) Να βρείτε το ποσό να που πρέπει να κατατεθεί στον λογαριασµό τον oν µήνα

σύµφωνα µε το πρόγραµµα Α. (Μονάδες 4)

ii) Να βρείτε το ποσό βv που πρέπει να κατατεθεί στον λογαριασµό τον oν µήνα

σύµφωνα µε το πρόγραµµα Β. (Μονάδες 4)

iii) Να βρείτε το ποσό νA που θα υπάρχει στον λογαριασµό µετά από ν µήνες

σύµφωνα µε το πρόγραµµα Α. (Μονάδες 5)

iv) Να βρείτε το ποσό Bν που θα υπάρχει στον λογαριασµό µετά από ν µήνες

σύµφωνα µε το πρόγραµµα Β. (Μονάδες 5)

β) i) Τι ποσό θα υπάρχει στον λογαριασµό µετά τους πρώτους 6 µήνες, σύµφωνα µε

κάθε πρόγραµµα; (Μονάδες 3)

ii) Αν κάθε πρόγραµµα ολοκληρώνεται σε 12 µήνες, µε ποιο από τα δύο προ-

γράµµατα το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί θα είναι µεγαλύτερο;

(Μονάδες 4)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 5.2, 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) Αφού στο πρόγραµµα Α το ποσό κατάθεσης κάθε µήνα διπλασιάζεται, τα ποσά

κατάθεσης κάθε µήνα είναι όροι γεωµετρικής προόδου *, ,να ν∈N µε λόγο

λ 2= , πρώτο όρο 1 1α = και νιοστό όρο 1 1 1 *

1 1 2 2 ,ν− ν− ν−να = α λ = ⋅ = ν∈N .

Άρα το ποσό που πρέπει να καταθέσει τον νιοστό µήνα είναι 1 *2 ,ν−να = ν∈N .

ii) Αφού στο πρόγραµµα Β το ποσό κατάθεσης κάθε µήνα αυξάνεται κατά 10

ευρώ, τα ποσά κατάθεσης κάθε µήνα είναι όροι αριθµητικής προόδου *, ,νβ ν∈N µε διαφορά ω 10= , πρώτο όρο 1 100β = και νιοστό όρο

*

1 ( 1) 100 ( 1) 10 100 10 10 10 90,νβ = β + ν − ω = + ν − ⋅ = + ν − = ν + ν∈N .

Άρα το ποσό που πρέπει να καταθέσει τον νιοστό µήνα είναι: *10 90,νβ = ν + ν∈N .

iii) Το συνολικό ποσό που θα υπάρχει στον λογαριασµό µετά από ν µήνες

συµµετοχής στο πρόγραµµα Α είναι το άθροισµα των ν πρώτων όρων της

γεωµετρικής προόδου *, ,να ν∈N δηλαδή:

*

1

1 2 11 2 1,

1 2 1

ν νν

ν

λ − −Α = α = ⋅ = − ν∈

λ − −N .

Page 202: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

202 202

iv) Το συνολικό ποσό που θα υπάρχει στον λογαριασµό µετά από ν µήνες

συµµετοχής στο πρόγραµµα Β είναι το άθροισµα των ν πρώτων όρων της

αριθµητικής προόδου *,νβ ν∈N , δηλαδή:

2 100 ( 1) 10 2 [100 ( 1) 5]

2 2ν

⋅ + ν − ⋅ ⋅ + ν − ⋅Β = ⋅ν = ⋅ν

2 *[100 5( 1)] (100 5 5) (5 95) 5 95 ,= + ν − ν = + ν − ν = ν + ν = ν + ν ν∈N .

β) i) Για το πρόγραµµα Α: 6

6 2 1 64 1 63Α = − = − = , δηλαδή στον λογαριασµό µετά

τους πρώτους 6 µήνες σύµφωνα µε το πρόγραµµα Α υπάρχουν 63 ευρώ.

Για το πρόγραµµα Β: 2

6 5 6 95 6 5 36 570 180 570 750Β = ⋅ + ⋅ = ⋅ + = + = ,

δηλαδή στον λογαριασµό µετά τους πρώτους 6 µήνες σύµφωνα µε το

πρόγραµµα Β υπάρχουν 570 ευρώ.

ii) Για το πρόγραµµα Α: 12

12 2 1 4096 1 4095Α = − = − = , δηλαδή στον λογαρια-

σµό µετά τους πρώτους 12 µήνες σύµφωνα µε το πρόγραµµα Α υπάρχουν

4095 ευρώ.

Για το πρόγραµµα Β: 2

12 5 12 95 12 720 1140 1860Β = ⋅ + ⋅ = + = , δηλαδή στον

λογαριασµό µετά τους πρώτους 12 µήνες σύµφωνα µε το πρόγραµµα Β

υπάρχουν 1860 ευρώ.

Συνεπώς µε το πρόγραµµα Α θα συγκεντρωθεί µεγαλύτερο ποσό.

Page 203: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

203 203

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 8, 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4542 α) Να λύσετε την ανίσωση: 2x x< στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών.

(Μονάδες 8)

β) ∆ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός α µε 0 < α < 1.

i) Να βάλετε στη σειρά, από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο και να

τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τους αριθµούς: 20,1, , ,α α α . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του

ερωτήµατος α). (Mονάδες 10)

ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα: 1 1+α < + α . (Mονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.4, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε 2 2x x x x 0< ⇔ − < (Ι).

Το ελλιπές τριώνυµο 2x x− έχει διακρίνουσα 2( 1) 4 1 0 1∆ = − − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

1 1 21

( 1) 1 1 1 2 2x

1 1 02 1 20

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞0 1x

2x x− + +−

Συνεπώς (Ι) ⇔ 0 < x < 1.

β) i) Θα αποδείξουµε ότι ισχύει 20 1< α < α < α < .

• Αφού 0 < α < 1, προκύπτει 2 0α > , άρα 20 < α .

• Αφού 0 < α < 1, ισχύει 2α < α [από το (α) ερώτηµα].

• Αφού 0 < α < 1, έχουµε 2

2 2α < α ⇔ α < α ⇔ α < α , η οποία ισχύει,

άρα ισχύει και η αρχική [από το (α) ερώτηµα].

• 2

21 1 1α < ⇔ α < ⇔ α < , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Η παράστασή τους στον άξονα των πραγµατικών φαίνεται ακολούθως:

0 1α2α α

ii) Για 0 < α < 1 έχουµε ότι:

( )22 2

1 1 1 1 1 1 2 0 2+α < + α ⇔ +α < + α ⇔ +α < + α + α ⇔ < α ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Page 204: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

204 204

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 11, 19

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4545

∆ίνεται η συνάρτηση 2x 5 | x | 6

f (x)| x | 3

− +=

−.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης f . (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x A∈ ισχύει: f (x) | x | 2= − . (Μονάδες 9)

γ) Για x A∈ , να λύσετε την εξίσωση: ( )2f (x) 2 4f (x) 5 0+ − − = . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 3.3, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει | x | 3 0 | x | 3 x 3− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ± , οπότε A 3= − ±R .

β) Το τριώνυµο 2 5 6ω − ω+ έχει διακρίνουσα 2( 5) 4 1 6 1∆ = − − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

5 1 63

( 5) 1 5 1 2 2

5 1 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± ω = = =

−⋅ = =

,

οπότε 2 5 6 ( 2)( 3)ω − ω+ = ω− ω−

και κατ’ επέκταση 2| x | 5 | x | 6 (| x | 3)(| x | 2)− + = − − .

Συνεπώς για κάθε x A∈ ισχύει: 2 2x 5 | x | 6 | x | 5 | x | 6 (| x | 3)(| x | 2)

f (x) | x | 2| x | 3 | x | 3 | x | 3

− + − + − −= = = = −

− − −.

γ) Για κάθε x A∈ έχουµε ότι f (x) | x | 2= − , οπότε:

( ) ( ) ( )2 2f (x) 2 4f (x) 5 0 | x | 2 2 4 | x | 2 5 0+ − − = ⇔ − + − − − = ⇔

2 2| x | 4 | x | 8 5 0 | x | 4 | x | 3 0⇔ − + − = ⇔ − + = (Ι).

Θέτουµε t x 0= ≥ , οπότε 2(I) t 4t 3 0⇔ − + = (ΙΙ).

Το τριώνυµο 2t 4t 3− + έχει διακρίνουσα 2΄ ( 4) 4 1 3 4∆ = − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες ( )

4 2 63

4 4 4 2 2 2t

4 2 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς:

(ΙΙ) ⇔ t = 3 ή t = 1 ⇔ |x| = 3 ή |x| = 1 ⇔

⇔ x = ± 3 (απορρίπτονται) ή x = ±1 ⇔ x = ±1.

Page 205: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

205 205

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4548

∆ίνεται η εξίσωση ( )2 2x x 0− + λ −λ = , µε παράµετρο λ∈ℝ (1).

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει

ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση 1

AS P

=−

, όπου S, P το άθροισµα και το

γινόµενο των ριζών της εξίσωσης (1) αντίστοιχα, έχει νόηµα πραγµατικού

αριθµού για κάθε πραγµατικό αριθµό λ. (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο ( )2 2x x− + λ −λ έχει διακρίνουσα

( ) ( ) ( )2 22 21 4 1 4 4 1 2∆ = − − λ −λ = − λ + λ = − λ .

Αφού για κάθε λ∈ℝ ισχύει ( )21 2 0 0− λ ≥ ⇔ ∆ ≥ ,

η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ .

β) Η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες αν και µόνο αν

( )2 10 1 2 0 1 2 0 2 1

2∆ = ⇔ − λ = ⇔ − λ = ⇔ − λ = − ⇔ λ = .

γ) Έστω 1 2x , x οι ρίζες της εξίσωσης (1), οπότε από τους τύπους του Vieta έχουµε

ότι 1 2

1S x x 1

1

−= + = − = και

22

1 2P x x1

λ −λ= = = λ −λ .

Η παράσταση 1

AS P

=−

έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού όταν ισχύει:

( )2 2S P 0 S P 0

S P 0 1 0 1 0S P 0S P 0

− ≥ − ≥⇔ ⇔ − > ⇔ − λ −λ > ⇔ −λ + λ >

− ≠− ≠ (Ι).

Το τριώνυµο 21−λ +λ έχει διακρίνουσα 2΄ ( 1) 4 1 1 3 0∆ = − − ⋅ ⋅ = − < ,

οπότε 21 0−λ + λ > για κάθε λ∈ℝ , δηλαδή η (Ι) ισχύει για κάθε λ∈ℝ και

κατά συνέπεια η παράσταση Α έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού για κάθε λ∈ℝ .

Page 206: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

206

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4551

∆ίνεται το τριώνυµο: 2 2x ( 1)x , 0Rλ − λ + + λ λ∈ − .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει

ρίζες πραγµατικές για κάθε 0Rλ∈ − . (Μονάδες 8)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα 1 2S x x= +

συναρτήσει του λ ≠ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου 1 2P x x= των ριζών.

(Μονάδες 5)

γ) Αν λ < 0, τότε:

i) το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 6)

ii) να αποδείξετε ότι 1 2 1 2x x 2x x+ ≥ , όπου 1 2x , x είναι οι ρίζες του παραπάνω

τριωνύµου. (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο έχει διακρίνουσα 2 2 4 2 2 4 2 2 2∆ = [ (λ +1)] 4λ λ = λ + 2λ +1 4λ = λ 2λ +1 = (λ 1)− − ⋅ − − − .

Για κάθε λ 0∈ -R ισχύει 2 2(λ 1) 0− ≥ ⇔ ∆ ≥ 0,

οπότε το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ 0∈ -R .

β) Αφού 1 2x , x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι:

2 2

1 2

(λ 1) λ 1S x x

λ λ

− + += + =− = και 1 2

λP x x 1

λ= = = .

γ) i) Αφού P = 1 > 0, οι ρίζες 1 2x , x είναι οµόσηµες.

Αφού ισχύει λ < 0, έχουµε ότι S < 0, οπότε οι ρίζες 1 2x , x είναι αρνητικές.

ii) Για κάθε λ 0∈ -R ισχύει:

1 2 1 2x x 2x x+ ≥ ⇔ 2λ 1

+≥ ⇔

2λ 12

| λ |

+≥ ⇔ 2λ 1 2 | λ |+ ≥ ⇔

⇔ 2| λ | 1 2 | λ | 0+ − ≥ ⇔ ( )2

| λ | 1 0− ≥ ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική, οπότε 1 2 1 2x x 2x x+ ≥ .

Page 207: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

207

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4558

∆ίνεται το τριώνυµο: 2 2f (x) x ( 1) x 0= λ − λ + + λ µε λ > .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει

ρίζες θετικές για κάθε λ > 0. (Μονάδες 10)

β) Αν οι ρίζες του τριωνύµου είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλ-

ληλογράµµου, τότε:

i) να βρείτε το εµβαδόν του ορθογωνίου. (Μονάδες 4)

ii) να βρείτε την περίµετρο Π του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ και να αποδεί-

ξετε ότι Π ≥ 4 για κάθε λ > 0. (Μονάδες 8)

iii) για την τιµή του λ που η περίµετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση µε 4, τι συ-

µπεραίνετε για το ορθογώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 3)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο fA =R .

Το τριώνυµο έχει διακρίνουσα 2 2 4 2 2 4 2 2 2∆ = [ (λ +1)] 4λ λ = λ + 2λ +1 4λ = λ 2λ +1 = (λ 1)− − ⋅ − − − .

Για κάθε λ > 0 ισχύει 2 2(λ 1) 0− ≥ ⇔ ∆ ≥ 0,

οπότε το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ > 0 .

Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, από τους τύπους του Vieta έχουµε:

2 2

1 2

(λ 1) λ 1S x x

λ λ

− + += + =− = και 1 2

λP x x 1

λ= = = .

Αφού Ρ > 0, οι ρίζες είναι οµόσηµες και ισχύει S > 0 (δεδοµένου ότι λ > 0),

άρα οι ρίζες είναι θετικές.

β) i) Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι 1 2E = x x = P 1= για λ > 0.

ii) Η περίµετρος του ορθογωνίου είναι: 2

1 2 1 2

2(λ 1)Π = 2x + 2x = 2(x + x ) = 2S =

λ

+ για λ > 0.

Για λ > 0 ισχύει: 22(λ 1)

+≥ ⇔ 22(λ 1) 4λ+ ≥ ⇔ 22λ 2 4λ+ ≥ ⇔ 22λ 4λ 2 0− + ≥ ⇔

⇔ 2λ 2λ +1 0− ≥ ⇔ 2(λ 1) 0− ≥ ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική, οπότε Π ≥ 4 για κάθε λ > 0.

iii) Για λ > 0 ισχύει:

Π = 4 ⇔ 22(λ 1)

+= ⇔ 22(λ 1) 4λ+ = ⇔ 22λ 2 4λ+ = ⇔

⇔ 22λ 4λ 2 0− + ≥ ⇔ 2λ 2λ +1 0− = ⇔ 2(λ 1) 0− = ⇔ λ = 1.

Για λ = 1 έχουµε ότι 2 2 2 2f (x) 1 x (1 1) x 1 x 2 x 1 (x 1)= ⋅ − + + = − + = − ,

οπότε 2f (x) 0 (x 1) 0 x 1 0 x 1= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ,

δηλαδή 1 2x x 1= = , άρα το ορθογώνιο έχει ίσες πλευρές και είναι τετράγωνο.

Page 208: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

208

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 9, 11,

13, 19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4575

∆ίνονται οι συναρτήσεις: 2f (x) x 4x= − + α και g(x) x 5= α − µε ℝα∈ .

α) Αν ισχύει f(2) = g(2), να βρείτε την τιµή του α. (Μονάδες 7)

β) Για α = 1,

i) να λύσετε την εξίσωση: f(x) = g(x) (Μονάδες 8)

ii) να λύσετε την ανίσωση: f (x) g(x)≥ και, µε τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την

εξίσωση f (x) g(x) f (x) g(x)− = − . (Μονάδες 5 + 5 = 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.1, 3.3, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισµένες στο f gA A= =R .

Αφού f(2) = g(2) , έχουµε ότι: 22 4 2 + α = 2α 5⋅- - ⇔ 4 8 + α = 2α 5- - ⇔ α 2α = 4 8 5- - -+ ⇔

⇔ α = 1- - ⇔ α = 1.

β) Για α = 1 έχουµε 2f (x) x 4x +1= - και g(x) = x 5- .

i) Για x∈R έχουµε:

f (x) g(x)= ⇔ 2x 4x +1 = x 5- - ⇔ 2x 4x +1 x + 5 = 0- - ⇔

⇔ 2x 5x + 6 = 0- (Ι).

Το τριώνυµο 2x 5x + 6- έχει διακρίνουσα 2∆ = ( 5) 4 1 6 1− − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

5 13

( 5) 1 5 1 2x

5 12 1 22

2

+ =− − ± ± = = = −⋅ =

,

οπότε (Ι) ⇔ x = 2 ή x = 3.

ii) Επίσης, το τριώνυµο 2x 5x + 6- έχει πίνακα προσήµου:

−∞ +∞2

2x 5x 6− + + +−

3x

Τότε για x∈R έχουµε:

f (x) g(x)≥ ⇔ 2x 4x +1 x 5≥- - ⇔ 2x 4x +1 x 5 0- - + ≥ ⇔

⇔ 2x 5x + 6 0≥- ⇔ x ≤ 2 ή x ≥ 3.

Για x∈R έχουµε:

| f (x) g(x) | f (x) g(x)− = − ⇔ f (x) g(x) 0− ≥ ⇔ f (x) g(x)≥ ⇔

⇔ x ≤ 2 ή x ≥ 3,

αφού από τον ορισµό της απόλυτης τιµής ισχύει | x | x x 0= ⇔ ≥ .

Page 209: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

209

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4607

α) Να λύσετε την ανίσωση: 2x x> στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών.

(Μονάδες 8)

β) ∆ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός α µε α > 1.

i) Να βάλετε στη σειρά, από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο και να τοποθετήσετε

πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τους αριθµούς: 20,1, , ,α α α .

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α).

(Μονάδες 10)

ii) Να κάνετε το ίδιο για τους αριθµούς: 2

2, ,2

α +αα α . (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για x∈R έχουµε 2x x> ⇔ 2x x 0>- .

Το ελλιπές τριώνυµο 2x x- έχει διακρίνουσα 2∆ = ( 1) 4 0 0 1− − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

1 1 21

( 1) 1 1 1 2 2x

1 1 02 1 20

2 2

+ = =− − ± ± = = = −⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞0 1x

2x x− + +−

Συνεπώς 2x x 0>- ⇔ x < 0 ή x > 1.

β) i) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι για x > 1 ισχύει 2x x> (I).

Συνεπώς, όταν α > 1, ισχύει α 1> (ΙΙ),

ενώ:

• από την (Ι), για x = α ισχύει 2α α> (ΙΙΙ),

• από την (Ι), για x = α ισχύει α α> (ΙV).

Εποµένως από τις (II), (III), (IV) προκύπτει 2α α α 1 0> > > > ,

άρα: 20 1 α α α

x΄ x

ii) Έχουµε ότι:

• 2

2 α αα

2

+> ⇔ 2 22α α α> + ⇔ 2α α> , η οποία ισχύει λόγω της (ΙΙΙ), άρα

ισχύει και η αρχική και

• 2α α

α2

+> ⇔ 2α α > 2α+ ⇔ 2α α> , η οποία ισχύει λόγω της (ΙΙΙ), άρα

ισχύει και η αρχική.

Page 210: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

210

Συνεπώς ισχύει ότι 2

2 α αα α

2

+> > , άρα:

22α α

1 α α2

+

x΄ xxx΄α

Μια άλλη προσέγγιση είναι να παρατηρήσουµε ότι το σηµείο του άξονα των

πραγµατικών αριθµών µε τετµηµένη 2α α

2

+ είναι το µέσο των σηµείων µε

τετµηµένες 2α και α .

Page 211: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

211

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 13, 16,

17 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4629 Ένα µυρµήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραµµο κλαδί µήκους 1 m, µε τον

ακόλουθο τρόπο: Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το 1ο λεπτό προχωράει

1 cm, το 2ο λεπτό προχωράει 3 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά

2 cm µεγαλύτερη από αυτήν που διήνυσε το προηγούµενο λεπτό.

α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το µυρµήγκι κάθε λεπτό της κίνησής του

είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο να αυτής

της προόδου. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το µυρµήγκι τα πρώτα 5 λεπτά της

κίνησής του. (Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το µυρµήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού.

(Μονάδες 4)

δ) Υποθέτουµε τώρα ότι, την ίδια στιγµή που το µυρµήγκι ξεκινάει την πορεία του,

από το άλλο άκρο του κλαδιού µία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη

κατεύθυνση και µε τον ακόλουθο τρόπο: Το 1ο λεπτό προχωράει 1 cm, το 2ο

λεπτό προχωράει 2 cm, το 3ο λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό

διανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διήνυσε το προηγούµενο λεπτό.

(i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της κίνησής της

είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο νβ

αυτής της προόδου. (Μονάδες 7)

(ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το µυρµήγκι και η αράχνη θα βρεθούν αντιµέτωπα σε

απόσταση 1 cm. (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 4.2, 5.2, 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού το µυρµήγκι κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά 2 cm µεγαλύτερη, οι από-

στάσεις που διανύει κάθε λεπτό το µυρµήγκι είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής

προόδου *να , ν ,N∈ µε διαφορά ω 2= και πρώτο όρο 1α = 1.

Συνεπώς *ν 1α = α (ν 1)ω = 1 (ν 1) 2 = 2ν 1, ν∈- - -+ + ⋅ N .

β) Αν *νS , ν ,∈N είναι η συνολική απόσταση που διήνυσε το µυρµήγκι,

θα ισχύει 2 *1ν

2α (ν 1)ω 2 1 (ν 1) 2 2 2ν 2S = ν = ν = ν = ν , ν

2 2 2∈

- - -+ ⋅ + ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ N .

Συνεπώς 25S = 5 = 25 , άρα τα πέντε πρώτα λεπτά της κίνησης κάλυψε 25 cm.

γ) Αναζητούµε *ν∈N έτσι ώστε νS = 100 (1 m = 100 cm), άρα

2ν 100= ⇔ ν = −10 (απορρίπτεται, αφού *ν∈N ) ή ν = 10 ⇔ ν = 10,

οπότε σε 10 λεπτά θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού.

δ) (i) Αφού η αράχνη κάθε λεπτό διανύει διπλάσια απόσταση κατά 2 cm µεγαλύτερη,

οι αποστάσεις που διανύει κάθε λεπτό είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής

προόδου *νβ , ν ,∈N µε λόγο λ 2= και πρώτο όρο 1β = 1.

Συνεπώς ν 1 ν 1 ν 1 *ν 1β = β λ = 1 2 = 2 , ν∈- - -⋅ ⋅ N .

(ii) Αν *νΣ , ν ,∈N είναι η συνολική απόσταση που διήνυσε η αράχνη,

Page 212: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

212

θα ισχύει ν ν

ν *ν 1

λ 1 2 1Σ β 1 2 1, ν

λ 1 2 1∈

- -

− −= = ⋅ = − N .

To µυρµήγκι και η αράχνη θα βρεθούν σε απόσταση 1 cm, όταν το άθροισµα

των αποστάσεων που θα έχει διανύσει το καθένα θα είναι 99 cm, δηλαδή:

S 99ν ν+Σ = ⇔ 2 2 1 99νν + − = ⇔ 2 2 100νν + = ⇔ 22 100ν = −ν (Ι).

Επίσης, 2 0ν > , οπότε από την (Ι) βρίσκουµε ότι: 2100 0−ν > ⇔ 2 100ν < ⇔ | | 10ν < ⇔ 10 10− < ν< και, αφού *ν ,∈N

προκύπτει ν∈1, 2, 3, …, 8, 9. ∆οκιµάζοντας τους αριθµούς αυτούς (όπως

φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα), βρίσκουµε ότι στα 6 λεπτά η απόσταση

µυρµηγκιού-αράχνης θα είναι 1 cm.

*ν∈N νS νΣ ν νS + Σ

1 1 1 2

2 4 3 7

3 9 7 16

4 16 15 31

5 25 31 56

6 36 63 99

7 49 127 176

8 64 255 319

9 81 511 582

Page 213: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

213

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13, 19,

20, 21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4647

Για δεδοµένο ℝλ∈ , θεωρούµε τη συνάρτηση 2f (x) ( 1) x ( 1) x 2= λ + − λ + + , µε

x ℝ∈ .

α) Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιµή του λ, η γραφική παράσταση της συνάρτησης

f διέρχεται από το σηµείο A(0, 2). (Μονάδες 3)

β) Για λ = −1, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 4)

γ) Αν η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα x΄x στο σηµείο B(2, 0), να βρείτε

την τιµή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέµνει τον άξονα x΄x

και σε άλλο σηµείο. (Μονάδες 8)

δ) Για λ = 1, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω

από τον άξονα x΄x . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο fA =R .

Ισχύει ότι 2f(0) = (λ +1) 0 (λ +1) 0 2 2⋅ − ⋅ + = ,

οπότε η fC διέρχεται από το σηµείο Α(0, 2) για κάθε ℝλ∈ .

β) Για λ = 1- έχουµε ότι 2f(x) = ( 1+1) x ( 1+1) x 2 2⋅ − ⋅ + =- - ,

οπότε η γραφική παράσταση της f είναι µια ευθεία παράλληλη στον άξονα x΄x

που διέρχεται από το σηµείο Α και είναι:

γ) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο Β(2, 0), ισχύει f(2) = 0,

οπότε: 2(λ +1) 2 (λ +1) 2 2 0⋅ − ⋅ + = ⇔ 4λ + 4 2λ 2 2 0− + =- ⇔ 2λ = 4- ⇔ λ = 2- ,

άρα 2 2f (x) ( 2 1) x ( 2 1) x 2 x x 2= − + − − + + = − + + (Ι).

Το τριώνυµο 2x x 2− + + έχει διακρίνουσα 21 4 ( 1) 2 9∆ = − ⋅ − ⋅ =

Page 214: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

214

και ρίζες

1 3 21

1 9 1 3 2 2x

1 3 1 3 42 ( 1) 22

2 2 2

− + = = −− ± − ± − −= = = − − − − −⋅ − − = = =

− − −

.

Εποµένως το τριώνυµο 2f (x) x x 2= − + + τέµνει τον άξονα x΄x σε δύο σηµεία µε

συντεταγµένες Γ(−1, 0) και Β(2, 0).

δ) Για λ = 1 έχουµε ότι 2 2f(x) = (1+1) x (1+1) x 2 2x 2x 2⋅ − ⋅ + = − + .

Το τριώνυµο 22x 2x + 2- έχει διακρίνουσα 2∆ = ( 2) 4 2 2 4 0− − ⋅ ⋅ =− < ,

οπότε 22x 2x + 2 > 0- για κάθε x∈R ,

δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται ολόκληρη πάνω από

τον άξονα x΄x .

Page 215: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

215

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4654

α) ∆ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση 4 2x 7x 12 0− + = . Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή

έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε.

(Μονάδες 10)

β) Γενικεύοντας το παράδειγµα του προηγούµενου ερωτήµατος, θεωρούµε τη διτε-

τράγωνη εξίσωση: 4 2x x 0+β + γ = (1) µε παραµέτρους ,β γ∈ℝ .

Να δείξετε ότι: Αν β < 0, γ > 0 και 2 4 0β − γ > , τότε η εξίσωση (1) έχει τέσσερις

διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2ω 7ω 12− + έχει διακρίνουσα 2∆ = 7 4 1 12 1− ⋅ ⋅ =

και ρίζες

7 1 84

( 7) 1 7 1 2 2ω

7 1 62 1 23

2 2

+ = =− − ± ± = = = −⋅ = =

.

Συνεπώς: 2x ω 0

4 2 2x 7x 12 0 ω 7ω 12 0⇔= ≥

− + = − + = ⇔ ω = 3 ή ω = 4 ⇔

⇔ 2x 3= ή 2x 4= ⇔ x 3=± ή x 2=± .

Συνεπώς η διτετράγωνη εξίσωση 4 2x 7x 12 0− + = έχει τέσσερις ρίζες, τις

x 3=± ή x 2=± .

β) Θεωρώντας 2x ω 0= ≥ , αρκεί το τριώνυµο 2ω βω γ+ + να έχει δύο θετικές ρίζες.

Το τριώνυµο 2ω βω γ+ + έχει διακρίνουσα 2∆ = β 4γ > 0− ,

οπότε έχει δύο άνισες ρίζες, τις 1 2ω , ω , και από τους τύπους του Vieta έχουµε:

1 2S = ω + ω β=− και 1 2P = ω ω γ= .

Συνεπώς, αφού οι ρίζες έχουν θετικό γινόµενο (Ρ = γ > 0), είναι οµόσηµες και

επιπλέον έχουν θετικό άθροισµα (S = − β > 0), οπότε είναι θετικές.

Page 216: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

216

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13, 20

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4656

∆ίνεται η συνάρτηση 2f (x) x x 1, x= + + ∈ℝ .

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση fC της συνάρτησης f δεν τέµνει τον

άξονα x΄x . (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις τετµηµένες των σηµείων της fC που βρίσκονται κάτω από την

ευθεία y = 2x + 3. (Μονάδες 10)

γ) Έστω M(x, y) σηµείο της fC . Αν για την τετµηµένη x του σηµείου Μ ισχύει:

2x 1 3− < , τότε να δείξετε ότι το σηµείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία

y 2x 3= + . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο fA =R .

Το τριώνυµο 2x + x 1+ έχει διακρίνουσα 2∆ = 1 4 1 1 3 0− ⋅ ⋅ =− < ,

οπότε 2x + x 1 0+ > ⇔ f(x) > 0 για κάθε x∈ℝ ,

δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν τέµνει τον άξονα x΄x .

β) Για x∈R έχουµε:

f(x) < 2x + 3 ⇔ 2x + x 1 2x 3+ < + ⇔ 2x x 2 0<- - (Ι).

Το τριώνυµο 2x x 2- - έχει διακρίνουσα 2∆ = ( 1) 4 1 ( 2) 9− − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

1 3 42

( 1) 9 1 3 2 2x

1 3 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = = − −⋅ = =−

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1− 2x

2x x 2− − + +−

Συνεπώς (Ι) ⇔ 1 x 2− < < ,

δηλαδή οι τετµηµένες των σηµείων της fC που βρίσκονται κάτω από την ευθεία

µε εξίσωση y 2x 3= + ανήκουν στο διάστηµα ( 1, 2)− .

γ) Για x∈R έχουµε:

| 2x 1| < 3- ⇔ 3 < 2x 1 < 3- - ⇔ 1 3 < 2x < 3 +1- ⇔ 2 < 2x < 4- ⇔

⇔ 1 x 2− < < ,

δηλαδή το σηµείο M(x, y) βρίσκεται κάτω από την ευθεία µε εξίσωση y 2x 3= +

[λόγω του (β) ερωτήµατος].

Page 217: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

217

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 20, 21

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4657

∆ίνεται η συνάρτηση f , µε x 2, αν x 0

f (x)x 2, αν x 0

− + <=

+ ≥.

α) Να βρείτε το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης fC µε τον άξονα y΄y .

(Μονάδες 3)

β) i) Nα χαράξετε τη fC και την ευθεία y 3= , και στη συνέχεια να εκτιµήσετε τις

συντεταγµένες των σηµείων τοµής τους. (Μονάδες 5)

ii) Να εξετάσετε αν τα σηµεία αυτά είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα y΄y . Να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4)

γ) i) Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού α, η ευθεία y α= τέµνει τη fC σε δυο

σηµεία; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5)

ii) Για τις τιµές του α που βρήκατε στο ερώτηµα (γi), να προσδιορίσετε αλγεβρικά

τα σηµεία τοµής της fC µε την ευθεία y α= και να εξετάσετε αν ισχύουν τα

συµπεράσµατα του ερωτήµατος (βii), αιτιολογώντας τον ισχυρισµό σας.

(Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι f (0) 0 2 2= + = ,

δηλαδή η fC τέµνει τον άξονα y΄y στο σηµείο Α(0, 2).

β) i) Για x < 0 έχουµε ότι η fC είναι η ηµιευθεία ΑΒ χωρίς την αρχή της Α,

όπου Α(0, 2) και Β(−1, 3).

Για x ≥ 0 έχουµε ότι η fC είναι η ηµιευθεία ΑΓ µε Γ(1, 3).

Η ευθεία µε εξίσωση y = 3 είναι παράλληλη στον άξονα x΄x που διέρχεται από

τα σηµεία Β, Γ.

y=f(x)

y=3

A

B Γ

Page 218: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

218

Τα σηµεία τοµής τους είναι τα Β(−1, 3) και Γ(1, 3).

ii) Τα σηµεία Β και Γ είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα y΄y , αφού έχουν αντί-

θετες τετµηµένες και ίσες τεταγµένες.

γ) i) Η ευθεία µε εξίσωση y = α τέµνει τη fC σε δύο σηµεία για κάθε α > 2, αφού

σύµφωνα µε το σχήµα µόνο τότε προκύπτουν δύο σηµεία τοµής των δύο

γραµµών.

ii) Ισχύει ότι f (x) | x | 2= + , αφού x, αν x 0

| x |x, αν x 0

− <=

≥.

Αναζητούµε τα α∈R έτσι ώστε η εξίσωση f (x) α= να έχει δύο λύσεις.

Συνεπώς:

f (x) α= ⇔ | x | 2 α+ = ⇔ | x | α 2-= (Ι).

• Αν α – 2 < 0 ⇔ α < 2, η εξίσωση (Ι) είναι αδύνατη.

• Αν α – 2 = 0 ⇔ α = 2, η εξίσωση (Ι) έχει µοναδική λύση τη x = 0.

• Αν α – 2 > 0 ⇔ α > 2, η εξίσωση (Ι) έχει δύο λύσεις, τις x = ±(α – 2).

Page 219: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

219

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4659

∆ίνεται η εξίσωση: 2x 5x 0α − +α = , µε παράµετρο α ≠ 0.

α) Να αποδείξετε ότι, αν 5

2α ≤ , τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικούς αριθµούς,

που είναι αντίστροφοι µεταξύ τους. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν α = 2. (Μονάδες 5)

γ) Να λύσετε την εξίσωση:

21 1

2 x 5 x 2 0x x

+ − + + =

. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

5| α |

2≤ ⇔

2

2 5| α |

2

≤ ⇔ 2 25

α4

≤ ⇔ 24α 25≤ ⇔ 225 4α 0− ≥ (Ι).

Το τριώνυµο 2αx 5x α− + (α ≠ 0)

έχει διακρίνουσα 2 2∆ = ( 5) 4α α = 25 4α− − ⋅ − και λόγω της (Ι) ισχύει ∆ ≥ 0,

οπότε η εξίσωση 2αx 5x α = 0− + έχει ρίζες πραγµατικούς αριθµούς.

Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2αx 5x α = 0− + , από τους τύπους του Vieta

έχουµε ότι 1 2

αP x x 1

α= = = , δηλαδή οι ρίζες 1 2x , x είναι αντίστροφες.

β) Αν α = 2, η εξίσωση είναι η 22x 5x 2 = 0− + (ΙΙ).

Το τριώνυµο 22x 5x 2− + έχει διακρίνουσα 2∆ = 25 4 2 9− ⋅ =

και ρίζες

5 3 82

( 5) 9 5 3 4 4x

5 3 2 12 2 4

4 4 2

+ = =− − ± ± = = = −⋅ = =

.

Συνεπώς (ΙΙ) ⇔ 1

x = 2 ή x =2

.

γ) Για x ≠ 0 έχουµε: 1

ω x2x

21 12 x 5 x 2 = 0 2ω 5ω 2 = 0

x x⇔= +

+ − + + − + ⇔ ω = 2 ή

2= ⇔

⇔ 1

x 2x

+ = ή 1 1

xx 2

+ = ⇔ 2x 1 2x+ = ή 22x 2 x+ = ⇔

⇔ 2x 2x 1 0− + = ή 22x x 2 0− + = (αδύνατη) ⇔

⇔ 2(x 1) 0− = ⇔ x = 1,

αφού το τριώνυµο 22x x 2− + έχει διακρίνουσα 2∆ = ( 2) 4 2 2 12 0− ⋅ ⋅ =− <- ,

οπότε η εξίσωση 22x x 2 0− + = είναι αδύνατη.

Page 220: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

220

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13, 19,

20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4660

∆ίνονται οι συναρτήσεις f και g, µε 2f (x) x 2x= − και g(x) 3x 4, x= − ∈ℝ .

α) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g.

(Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από

εκείνη της g. (Μονάδες 10)

γ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της µορφής y = α, α < −1, βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Οι συναρτήσεις f, g έχουν πεδίο ορισµού f gA A= =R .

Για x∈R έχουµε:

f (x) g(x)= ⇔ 2x 2x 3x 4− = − ⇔ 2x 5x 4 0− + = (Ι).

Το τριώνυµο 2x 5x 4− + έχει διακρίνουσα 2∆ ( 5) 4 4 9= − − ⋅ =

και ρίζες

5 3 84

( 5) 9 5 3 2 2x

5 3 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = = −⋅ = =

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 1 ή x = 4,

δηλαδή τα κοινά σηµεία των f gC , C είναι τα Α(1, −1) και Β(4, 8),

αφού f (1) g(1) 1= =− και f (4) g(4) 8= = .

β) Για x∈R έχουµε:

f (x) g(x)< ⇔ 2x 2x 3x 4− < − ⇔ 2x 5x 4 0− + < ⇔ 1 < x < 4,

αφού ο πίνακας προσήµου του τριωνύµου 2x 5x 4− + είναι:

−∞ +∞1 4x

2x 5x 4− + + +−

γ) Αρκεί να ισχύει f(x) > α για κάθε α < −1.

Τότε: 2x 2x α− > ⇔ 2x 2x α > 0− − (ΙΙ).

Το τριώνυµο 2x 2x α− −

έχει διακρίνουσα 2∆΄ ( 2) 4( α) = 4 + 4α = 4(1+ α)= − − − .

Αφού α < −1 ⇔ α + 1 < 0 ⇔ ∆΄ < 0,

ισχύει 2x 2x α > 0− − για κάθε α < −1,

οπότε κάθε ευθεία µε εξίσωση y = α, όπου α < −1, βρίσκεται κάτω από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης f.

Page 221: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

221

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4663

∆ίνεται η εξίσωση 2(x 2) λ(4x 3)− = − , µε παράµετρο λ∈R .

α) Να γράψετε την εξίσωση στη µορφή 2αx + βx + γ = 0 , α ≠ 0. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες.

(Μονάδες 10)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, στην περίπτωση που έχει ρίζες πραγµατικές

και άνισες,

i) να υπολογίσετε τα 1 2S x x= + και 1 2P x x=

ii) να αποδείξετε ότι η παράσταση 1 2A (4x 3)(4x 3)= − − είναι ανεξάρτητη του λ,

δηλαδή σταθερή. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) 2(x 2) λ(4x 3)− = − ⇔ 2x 4x 4 4λx 3λ− + = − ⇔ 2x 4x 4 4λx 3λ = 0− + − + ⇔

⇔ 2x 4(1 λ)x 4 3λ = 0− + + + , οπότε α = 1, β 4(1 λ)=− + , γ 4 3λ= + .

β) Το τριώνυµο 2x 4(1 λ)x 4 3λ− + + + έχει διακρίνουσα

2 2∆ = [ 4(λ +1)] 4 (4 3λ) 4[4(λ + 2λ +1) (4 3λ)]− − ⋅ + = − +

2 2= 4(4λ + 8λ + 4 4 3λ) = 4(4λ + 5λ)− − .

Το ελλιπές τριώνυµο 24λ + 5λ έχει διακρίνουσα 2∆ 5 4 4 0 25= − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

5 5 00

5 25 5 5 8 8λ

5 5 10 52 4 8

8 8 4

− + = =− ± − ± = = =− − −⋅ = =−

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞

5

4−

24(4λ 5λ)+ + +−

Η εξίσωση 2x 4(1 λ)x 4 3λ = 0− + + + έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες, όταν

∆ > 0 ⇔ 24(4λ + 5λ) > 0 ⇔ 5

λ <4

- ή λ > 0.

γ) i) Για 5

λ <4

- ή λ > 0 η εξίσωση έχει δύο άνισες και πραγµατικές ρίζες 1 2x , x και

από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι:

1 2

4(1 λ)S x x 4(1 λ)

1

− += + =− = + και 1 2

4 3λP x x 4 3λ

1

+= = = + .

ii) Για 5

λ <4

- ή λ > 0 η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του λ (σταθερή), αφού:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2A (4x 3)(4x 3) 16x x 12x 12x 9 16x x 12(x x ) 9= − − = − − + = − + +

16(4 3λ) 12 4(1 λ) 9 64 48λ 48 48λ 9 25= + − ⋅ + + = + − − + = .

Page 222: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

222

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4665

∆ίνεται η εξίσωση: 2 2x λx (λ + 5) 0− − = (1) µε παράµετρο λ∈R .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης (1). (Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε

λ∈R . (Μονάδες 10)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (1), να βρεθούν οι τιµές του λ∈R για

τις οποίες ισχύει: 1 2(x 2)(x 2) 4− − =− . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) 2 2 2 2 2∆ ( λ) 4 1 [ (λ 5)] λ 4λ 20 5λ 20= − − ⋅ ⋅ − + = + + = + .

β) Έχουµε ότι για κάθε λ∈R ισχύει 2∆ 5λ 20 0= + > , οπότε η εξίσωση έχει δύο

ρίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε λ∈R .

γ) Από τους τύπους του Vieta και αφού 1 2x , x είναι οι δύο άνισες και πραγµατικές

ρίζες, έχουµε ότι:

1 2

λS x x λ

1

−= + =− = και

22

1 2

(λ 5)P x x (λ 5)

1

− += = =− + .

Συνεπώς:

1 2(x 2)(x 2) 4− − =− ⇔ 1 2 1 2x x 2x 2x 4 4− − + =− ⇔

⇔ 1 2 1 2x x 2(x x ) 4 4− + + =− ⇔ 2(λ 5) 2λ 4 4 0− + − + + = ⇔

⇔ 2λ 2λ 3 0− − + = (Ι).

Το τριώνυµο 2λ 2λ 3− − + έχει διακρίνουσα 2∆΄ ( 2) 4( 1) 3 16= − − − ⋅ =

και ρίζες

2 4 63

( 2) 16 2 4 2 2λ =

2 4 22 ( 1) 21

2 2

+ = =−− − ± ± − −= = − −⋅ − − = = − −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ λ = 1 ή λ = −3.

Page 223: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

223

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4667

α) Να λύσετε την εξίσωση: 2x 3x 4 0− − = (1). (Μονάδες 10)

β) ∆ίνονται οι οµόσηµοι αριθµοί α, β για τους οποίους ισχύει: 2 2α 3αβ 4β 0− − = .

i) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός α

β είναι λύση της εξίσωσης (1). (Μονάδες 7)

ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 3x 4− − έχει διακρίνουσα 2∆ ( 3) 4 ( 4) 1 25= − − ⋅ − ⋅ =

και ρίζες

3 5 84

( 3) 25 3 5 2 2λ =

3 5 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = − −⋅ = =−

.

Συνεπώς 2x 3x 4 0− − = ⇔ x = 4 ή x = −1.

β) i) Για α

= , στο τριώνυµο 2x 3x 4− − έχουµε ότι:

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

α α α αβ 4β α 3αβ 4β 03 4 3 0

β β β β β β β

− − − − = − − = = = ,

άρα ο αριθµός α

β είναι ρίζα της εξίσωσης 2x 3x 4 0− − = .

ii) Αφού ο αριθµός α

β είναι ρίζα της εξίσωσης 2x 3x 4 0− − = ,

από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι α

4β= ή

α1

β=− .

Όµως οι αριθµοί α, β είναι οµόσηµοι, οπότε η περίπτωση α

1β=− απορρίπτεται,

άρα ισχύει α

4β= ⇔ α = 4β, δηλαδή ο α είναι τετραπλάσιος του β.

Page 224: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

224

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 12, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4671 ∆ίνεται η αριθµητική πρόοδος ν(α ) µε διαφορά ω.

α) Να αποδείξετε ότι 20 10α α = 10ω- . (Μονάδες 6)

β) Αν 20 10α α = 30- και 1α = 1, να αποδείξετε ότι να = 3ν 2- . (Μονάδες 6)

γ) Ποιος είναι ο πρώτος όρος της προόδου που ξεπερνάει το 30; (Μονάδες 7)

δ) Πόσοι όροι της παραπάνω προόδου είναι µικρότεροι του 60; (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 4.1, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού η *να , ν ,∈N είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω , έχουµε ότι:

*ν 1α = α (ν 1)ω, ν∈-+ N .

Συνεπώς:

20 1 1α = α (20 1)ω = α 19ω-+ + , 10 1 1α = α (10 1)ω = α 9ω-+ + ,

άρα:

20 10 1 1 1 1α α = (α 19ω) (α 9ω) α 19ω α 9ω = 10ω+ + = + − −- - .

β) Αφού 20 10α α = 30- , από το (α) ερώτηµα έχουµε 10ω = 30 ⇔ ω = 3.

Επιπλέον, 1α = 1, οπότε *να = 1 (ν 1) 3 = 1 3ν 3 = 3ν 2, ν∈- - -+ ⋅ + N .

γ) Αναζητούµε τον µικρότερο *ν∈N έτσι ώστε να > 30 .

Συνεπώς:

3ν 2 > 30- ⇔ 3ν > 30 + 2 ⇔ 3ν > 32 ⇔ 32

ν >3

⇔ 2

ν > 10 +3

,

άρα ο 11ος όρος ξεπερνά το 30.

δ) Αναζητούµε τον µεγαλύτερο *ν∈N έτσι ώστε να 60< .

Συνεπώς:

3ν 2 < 60- ⇔ 3ν < 60 + 2 ⇔ 3ν < 62 ⇔ 62

ν <3

⇔ 2

ν < 20 +3

,

άρα οι 20 πρώτοι όροι είναι µικρότεροι του 60.

Page 225: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

225

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4679

∆ίνεται η συνάρτηση: 2f (x) x x4

α= − + .

α) Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού α, ώστε το πεδίο ορισµού της

συνάρτησης f να είναι το σύνολο R. (Μονάδες 10)

β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το

σηµείο 1

A 0,2

, τότε:

i) Να αποδείξετε ότι α = 1 και να γράψετε τον τύπο της χωρίς το σύµβολο της

τετραγωνικής ρίζας. (Μονάδες 7)

ii) Να λύσετε την εξίσωση 1

f (x)2

= . (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν 2 αx x 0

4− + ≥ .

Για να ορίζεται η συνάρτηση f στο R, πρέπει η ανίσωση 2 αx x 0

4− + ≥ να ισχύει

για κάθε x∈R , δηλαδή πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύµου να είναι µη θετική.

Συνεπώς:

∆ ≤ 0 ⇔ 2 α( 1) 4 1 0

4− − ⋅ ⋅ ≤ ⇔ 1 – α ≤ 0 ⇔ α ≥ 1.

β) i) Αν α ≥ 1, η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο 1

A 0,2

, οπότε

1f (0)

2= ⇔ 2 α 1

0 04 2

− + = ⇔ α 1

4 2= ⇔

2 2α 1

4 2

= ⇔

α 1

4 4= ⇔

⇔ α = 1, που είναι δεκτή.

Για α = 1 έχουµε:

2

2 1 1 1f (x) x x x x

4 2 2

= − + = − = − .

ii) 1

f (x)2

= ⇔ 1 1

x2 2− = ⇔

1 1x

2 2− = ή

1 1x

2 2− =− ⇔

⇔ 1 1

x2 2

= + ή 1 1

x2 2

= − ⇔ x 1= ή x 0= .

Page 226: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

226

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4680

∆ίνεται η εξίσωση: 2 2x x 0− + λ −λ = (1) µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει

ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε για ποιες τιµές

του λ ισχύει 1 20 < d(x , x ) < 2 . (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2 2x x λ λ− + − έχει διακρίνουσα 2 2 2 2∆ ( 1) 4(λ λ ) 1 4λ 4λ (2λ 1)-= − − − = − + = .

Αφού για κάθε λ∈ℝ ισχύει 2∆ (2λ 1) 0-= ≥ ,

η εξίσωση 2 2x x λ λ 0− + − = έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ∈R .

β) Η εξίσωση 2 2x x λ λ 0− + − = έχει δύο ίσες ρίζες, όταν

∆ = 0 ⇔ 2(2λ 1) 0=- ⇔ 2λ 1 0=- ⇔ 2λ = 1 ⇔ 1

λ2

= .

γ) Αφού 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2 2x x λ λ 0− + − = , από τους τύπους του

Vieta έχουµε ότι 1 2

1S x x 1

1

−= + =− = ,

22

1 2

λ λP x x λ λ

1

−= = = − .

Επίσης, 1 2| x x | 2− < ⇔ 21 2| x x | 4− < ⇔ 2 2

1 2 1 2x x 2x x 4+ − < ⇔

⇔ 2S 2P 2P 4− − < ⇔ 2 21 4(λ λ ) 4 0− − − < ⇔ 24λ 4λ 3 0− − < (I).

To τριώνυµο 24λ 4λ 3− − έχει διακρίνουσα 2∆ = ( 4) 4 4 ( 3) 64⋅ ⋅ =- - - ,

ρίζες

4 8 12 3

( 4) 64 4 8 8 8 2λ =

4 8 4 12 4 8

8 8 2

+ = =− − ± ± = = − −⋅ = =−

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞

1

2−

24λ 4λ 3− - + +−

3

Συνεπώς (Ι) ⇔ 1 3

λ2 2− < < .

Τέλος:

1 20 d(x , x ) 2< < ⇔ 1 20 | x x | 2< − < ⇔ 1 20 | x x |< − και 1 2| x x | 2− < ⇔

⇔ 1 2x x≠ και 21 2| x x | 4− < ⇔

2≠ και

1 3λ

2 2− < < ⇔

⇔ 1 1

λ2 2− < < ή

1 3λ

2 2< < ⇔

1 1 1 3λ , ,

2 2 2 2

∈ − ∪

.

Page 227: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

227

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4681

∆ίνεται η εξίσωση: 2 2x x 0− + λ −λ = (1) µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει

ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Αν 1

2λ ≠ και 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε για

ποιες τιµές του λ ισχύει 1 2

1 2

1d(x , x )

d(x , x )= . (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2 2x x λ λ− + − έχει διακρίνουσα 2 2 2 2∆ ( 1) 4(λ λ ) 1 4λ 4λ (2λ 1) 0-= − − − = − + = ≥ ,

οπότε η εξίσωση 2 2x x λ λ 0− + − = έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ∈R .

β) Η εξίσωση 2 2x x λ λ 0− + − = έχει δύο ίσες ρίζες, όταν

∆ = 0 ⇔ 2(2λ 1) 0=- ⇔ 2λ 1 0=- ⇔ 1

λ2

= .

γ) Αφού 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2 2x x λ λ 0− + − = , από τους τύπους του

Vieta έχουµε ότι 1 2

1S x x 1

1

−= + =− = και

22

1 2

λ λP x x λ λ

1

−= = = − .

Τότε για 1

λ2

≠ έχουµε:

1 2

1 2

1d(x , x )

d(x , x )= ⇔ 1 2

1 2

1| x x |

| x x |− =

− ⇔ 2

1 2| x x | 1− = ⇔

⇔ 2 21 2 1 2x x 2x x 1+ − = ⇔ 2S 2P 2P 1− − = ⇔ 2 21 4(λ λ ) 1 0− − − = ⇔

⇔ 24λ 4λ 0− = ⇔ 4λ(λ 1) 0- = ⇔ 4λ = 0 ή λ – 1 = 0 ⇔ λ = 0 ή λ = 1.

Page 228: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

228

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4682

∆ίνεται η εξίσωση: 2 2x x 0− + λ −λ = (1) µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει

ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση 2 2f (x) x x= − + λ −λ να έχει πεδίο ορισµού

το σύνολο ℝ . (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2 2x x λ λ− + − έχει διακρίνουσα 2 2 2 2∆ ( 1) 4(λ λ ) 1 4λ 4λ (2λ 1)-= − − − = − + = .

Για κάθε λ∈ℝ έχουµε ότι 2∆ (2λ 1) 0-= ≥ ,

οπότε η εξίσωση 2 2x x λ λ 0− + − = έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ∈R .

β) Η εξίσωση 2 2x x λ λ 0− + − = έχει δύο ίσες ρίζες, αν και µόνο αν

∆ = 0 ⇔ 2(2λ 1) 0=- ⇔ 2λ 1 0=- ⇔ 2λ = 1 ⇔ 1

λ2

= .

γ) Η συνάρτηση f ορίζεται όταν 2 2x x λ λ 0− + − ≥ .

Για να ορίζεται η συνάρτηση f στο R, πρέπει η ανίσωση 2 2x x λ λ 0− + − ≥ να

ισχύει για κάθε x∈R , δηλαδή θα πρέπει η διακρίνουσα του τριωνύµου να είναι

µη θετική.

Συνεπώς:

∆ ≤ 0 ⇔ 2(2λ 1) 0≤- ⇔ 2(2λ 1) 0- = ⇔ 2λ 1 0=- ⇔ 2λ = 1 ⇔ 1

λ2

= .

Page 229: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

229

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4819

∆ίνεται το τριώνυµο 2 2f (x) x x 0= − + λ −λ = , λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο έχει

ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιµή του λ το τριώνυµο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Αν 1

2λ ≠ και 1 2x , x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου µε 1 2x x< , τότε:

i) Nα δείξετε ότι 1 21 2

x xx x

2

+< < . (Μονάδες 4)

ii) Να διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς 2f (x ) ,

1 22

x xf , f (x 1)

2

+ + . (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2 2x x λ λ− + − έχει διακρίνουσα 2 2 2 2∆ ( 1) 4(λ λ ) 1 4λ 4λ (2λ 1)-= − − − = − + = .

Αφού για κάθε λ∈ℝ ισχύει 2∆ (2λ 1) 0-= ≥ ,

το τριώνυµο 2 2x x λ λ− + − έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ∈R .

β) Το τριώνυµο 2 2x x λ λ− + − έχει δύο ίσες ρίζες, αν και µόνο αν

∆ = 0 ⇔ 2(2λ 1) 0=- ⇔ 2λ 1 0=- ⇔ 1

λ2

= .

γ) i) 1 21 2

x xx x

2

+< < ⇔ 1 2

1 2

x x2 x 2 2 x

2

+⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ 1 1 2 22x x x 2x< + < ⇔

⇔ 1 1 22x x x< + και 1 2 2x x 2x+ < ⇔ 1 1 22x x x− < και 1 2 2x 2x x< − ⇔

⇔ 1 2x x< και 1 2x x< , που ισχύουν, άρα ισχύει και η αρχική.

ii) Για 1 2x x< κατασκευάζουµε τον πίνακα προσήµου του 2 2x x λ λ− + − :

−∞ +∞1x2x

x

2 2f (x) x x= − + λ − λ + +−

• To 2x είναι ρίζα του τριωνύµου f(x), οπότε 2f (x ) 0= .

• Έχουµε 2 2(x 1) (x , )∈ ∞+ + και 2f (x) 0 για x (x , )> ∈ +∞ , άρα 2f (x 1) 0+ > .

• Τέλος, 1 21 2

x x(x , x )

2∈

+ και 1 2f (x) 0 x (x , x )< ⇔ ∈ , άρα 1 2x x

f 02

+ < .

Συνεπώς 1 22 2

x xf f (x ) f (x 1)

2

+ < < + .

Page 230: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

230

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4833 Μία υπολογιστική µηχανή έχει προγραµµατιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε αυτήν

ένας πραγµατικός αριθµός x, να δίνει ως εξαγόµενο τον αριθµό λ που δίνεται από τη

σχέση: ( ) ( )22x 5 8x 1λ = + − .

α) Αν ο εισαγόµενος αριθµός είναι το −5, ποιος είναι ο εξαγόµενος; (Μονάδες 6)

β) Αν ο εξαγόµενος αριθµός είναι το 20, ποιος µπορεί να είναι ο εισαγόµενος;

(Μονάδες 6)

γ) Να γράψετε τη σχέση (1) στη µορφή ( )24x 12x 25 0+ + − λ = και στη συνέχεια:

i) να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιµή και να έχει ο εισαγόµενος αριθµός x, ο εξα-

γόµενος αριθµός λ δεν µπορεί να είναι ίσος µε 5. (Μονάδες 6)

ii) να προσδιορίσετε τις δυνατές τιµές του εξαγόµενου αριθµού λ. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Η αρχική σχέση γίνεται: 2 2 2λ = (2x + 5) 8x 4x 20x 25 8x 4x 12x 25− = + + − = + + .

α) Για x = −5 έχουµε: 2λ = 4 ( 5) 12 ( 5) 25 4 25 60 25 100 60 25 65⋅ − + ⋅ − + = ⋅ − + = − + = .

β) Αναζητούµε x∈R έτσι ώστε:

λ = 20 ⇔ 24x 12x 25 20+ + = ⇔ 24x 12x 25 20 0+ + − = ⇔

⇔ 24x 12x 5 0+ + = .

Το τριώνυµο 24x 12x 5+ + έχει διακρίνουσα 2∆ 12 4 4 5 64= − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

12 8 4 1

12 64 12 8 8 8 2x

12 8 20 52 4 8

8 8 2

− + − = =−− ± − ± = = =− − −⋅ = =−

.

Συνεπώς 24x 12x 5 0+ + = ⇔ 5

x2

=− ή 1

x2

=− ,

δηλαδή ο εισαγόµενος αριθµός µπορεί να είναι το 5

2− ή το

1

2− .

γ) Έχουµε ότι 2λ = 4x 12x 25+ + ⇔ 24x 12x 25 λ 0+ + − = (Ι).

i) Έστω ότι λ = 5, οπότε η εξίσωση (Ι) γίνεται: 2 2 24x 12x 20 0 4(x 3x 5) 0 x 3x 5 0⇔ ⇔+ + = + + = + + = (ΙΙ).

Το τριώνυµο 2x 3x 5+ + έχει διακρίνουσα 2∆΄ 3 4 1 5 9 20 11= − ⋅ ⋅ = − =− ,

δηλαδή ∆΄ < 0, άρα η εξίσωση (ΙΙ) είναι αδύνατη.

Εποµένως για κάθε x∈R ισχύει ότι λ ≠ 5.

ii) Για να έχει η εξίσωση (Ι) πάντα λύση (αφού πάντα υπάρχει εισαγόµενος αριθµός

x), αρκεί ∆΄΄ ≥ 0 ⇔ 212 4 4 (25 λ) 0− ⋅ ⋅ − ≥ ⇔ 144 400 16λ 0− + ≥ ⇔

⇔ 16λ 400 144≥ − ⇔ 16λ 256≥ ⇔ λ 16≥ .

Page 231: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

231

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 12, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4835

∆ίνεται η εξίσωση 2x x 0−β + γ = µε β, γ πραγµατικούς αριθµούς. Αν η παραπάνω

εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 1 2x x 4+ = , τότε:

α) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του β. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι γ < 4. (Μονάδες 7)

γ) ∆ίνεται επιπλέον η εξίσωση 2x β | x | 3 0− + = (1).

Να εξετάσετε για ποια από τις τιµές του β που βρήκατε στο (α) ερώτηµα, η

εξίσωση (1) δεν έχει πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Αφού η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, έχουµε ότι:

∆ > 0 ⇔ 2( β) 4γ > 0− − ⇔ 2β 4γ > 0− (Ι).

Αν 1 2x , x οι δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι:

1 2

βS x x β

1

−= + =− = και 1 2

γP x x γ

1= = = .

α) Τότε:

1 2| x x | 4+ = ⇔ | S | 4= ⇔ |β| = 4 ⇔ β = 4 ή β = −4.

β) Από την (Ι), για β = 4 ή β = −4, έχουµε ότι:

(±4)2 − 4γ > 0 ⇔ 16 − 4γ > 0 ⇔ 4γ < 16 ⇔ γ < 4.

γ) Έχουµε ότι 2x β | x | 3 0− + = ⇔ 2| x | β | x | 3 0− + = (ΙΙ).

• Για β = 4 η εξίσωση (ΙΙ) γίνεται: |x| ω 0

2 2| x | 4 | x | 3 0 ω 4ω 3 0⇔= ≥

− + = − + = ⇔ ω = 1 ή ω = 3 ⇔

⇔ |x| = 1 ή |x| = 3 ⇔ x = ±1 ή x = ±3,

αφού το τριώνυµο 2ω 4ω 3− + έχει διακρίνουσα 2∆΄ = ( 4) 4 3 16 12 4-− ⋅ = − =

και ρίζες

4 2 63

( 4) 4 4 2 2 2

4 2 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± ω= = =

−⋅ = =

.

• Για β = −4 η εξίσωση (ΙΙ) γίνεται: |x| ω 0

2 2| x | 4 | x | 3 0 ω + 4ω 3 0⇔= ≥

+ + = + = ⇔ ω = −1 ή ω = −3

(απορρίπτονται), άρα η εξίσωση είναι αδύνατη,

αφού το τριώνυµο 2ω + 4ω 3+ έχει διακρίνουσα 2∆΄ = 4 4 3 16 12 4- ⋅ = − =

και ρίζες

4 2 21

4 4 4 2 2 2

4 2 62 1 23

2 2

− + − = = −− ± − ± ω= = =

− − −⋅ = = −

.

Εποµένως για β = −4 η εξίσωση δεν έχει πραγµατικές ρίζες, ενώ για β = 4 έχει.

Page 232: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

232

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4836

∆ίνεται η εξίσωση 2x – x 1 0λ + = (1) µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες.

(Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι, αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (1), τότε και ο αριθµός

1

ρ είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. (Μονάδες 5)

γ) Για λ > 2, να αποδείξετε ότι:

i) Οι ρίζες 1 2x , x της εξίσωσης (1) είναι αριθµοί θετικοί.

ii) 1 2x 4x 4+ ≥ . (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x λx 1− + έχει διακρίνουσα 2 2∆ ( λ) 4 1 1 λ 4= − − ⋅ ⋅ = − .

Η εξίσωση 2x λx 1 0− + = έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες, όταν

∆ > 0 ⇔ 2λ 4 0− > ⇔ 2λ 4> ⇔ |λ| > 2 ⇔ λ < −2 ή λ > 2.

β) Ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 2x λx 1 0− + = , οπότε 2ρ λρ 1 0− + = (Ι).

Έχουµε ότι ρ ≠ 0, αφού, αν ρ = 0, από την (Ι) θα ίσχυε 1 = 0, που είναι άτοπο!!!

Αφού οι 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x λx 1 0− + = , από τους τύπους του

Vieta έχουµε ότι 1 2

λS x x λ

1

−= + =− = και 1 2

1P x x 1

1= = = .

∆εδοµένου ότι Ρ = 1, οι ρίζες της εξίσωσης 2x λx 1 0− + = είναι αντίστροφες και,

αφού η µία είναι το ρ, η άλλη είναι το 1

ρ .

γ) i) Αφού Ρ > 0, οι ρίζες 1 2x , x είναι οµόσηµες, ενώ επιπλέον λ > 2, οπότε S > 0,

κάτι που σηµαίνει ότι οι ρίζες 1 2x , x είναι θετικές.

ii) Αφού λ > 2, έχουµε ότι ∆ > 0, οπότε η εξίσωση 2x λx 1 0− + = έχει ρίζες πραγ-

µατικές και άνισες, όπου στο (β) ερώτηµα αποδείξαµε ότι, αν έχει ρίζα το

1x ρ > 0= , θα έχει ρίζα και το 2

1x 0

ρ= > .

Επίσης:

1 2x 4x 4+ ≥ ⇔ 4

ρ 4ρ+ ≥ ⇔ 2ρ 4 4ρ+ ≥ ⇔ 2ρ 4ρ 4 0− + ≥ ⇔

⇔ 2(ρ 2) 0≥- , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Page 233: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

233

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4853

∆ίνεται το τριώνυµο 2αx βx γ, α 0+ + ≠ , µε ρίζες τους αριθµούς 1 και 2.

α) Χρησιµοποιώντας τους τύπους για το άθροισµα S και το γινόµενο P των ριζών του

τριωνύµου, να αποδείξετε ότι: γ = 2α και β = −3α. (Μονάδες 9)

β) Αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο παίρνει θετικές τιµές για κάθε x (1, 2)∈ ,

τότε:

i) Να αποδείξετε ότι α < 0. (Μονάδες 9)

ii) Να λύσετε την ανίσωση 2γx βx α 0+ + < . (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Αφού το τριώνυµο 2αx + βx + γ, α 0,≠ έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, έχουµε

ότι: ∆ > 0 2β 4αγ > 0− (Ι).

Αν 1 2x , x οι δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, έχουµε ότι:

1 2

βS x x

α= + =− (ΙΙ)

και 1 2

γP x x

α= = (ΙΙΙ).

α) Αφού οι ρίζες είναι οι αριθµοί 1 και 2, έχουµε από τις (ΙΙ), (ΙΙΙ) ότι:

β3

α=− ⇔ β = −3α

και γ

= ⇔ γ = 2α.

β) i) Αν α > 0 και αφού οι ρίζες του τριωνύµου είναι οι αριθµοί 1 και 2, έχουµε ότι:

−∞ +∞1 2x

2αx βx γ+ + + +−

Συνεπώς 2αx βx γ > 0+ + ⇔ x < 1 ή x > 2,

δηλαδή η περίπτωση α > 0 απορρίπτεται.

Αν α < 0 και αφού οι ρίζες του τριωνύµου είναι οι αριθµοί 1 και 2, έχουµε ότι:

−∞ +∞1 2x

2αx βx γ+ + − −+

Συνεπώς 2αx βx γ > 0+ + ⇔ 1 < x < 2,

δηλαδή η περίπτωση α < 0 είναι δεκτή.

ii) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι: 2 2 2γx βx α 2αx 3αx α 2αx 3αx α+ + = − + = − + , µε α < 0.

Το τριώνυµο 22αx 3αx α− + έχει διακρίνουσα 2 2∆΄ ( 3α) 4 2α α = α= − − ⋅ ⋅ ,

Page 234: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

234

ρίζες 2

3α + α 4α1

( 3α) α 3α α 4α 4αx

3α α 2α 12 2α 4α

4α 4α 2

-

= =− − ± ± = = =⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞

1

2

22αx 3αx α+- +−

1x

Συνεπώς:

2γx βx α 0+ + < ⇔ 22αx 3αx α < 0− + ⇔ 1

α <2

ή α > 1.

Page 235: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

235

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4857

∆ίνεται η εξίσωση 2 2 2αβx (α β )x αβ 0− + + = , όπου α, β δύο θετικοί αριθµοί.

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης είναι: 2 2 2∆ (α β )= − .

(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τη σχέση µεταξύ των αριθµών α, β, έτσι ώστε η εξίσωση να έχει δύο

ρίζες άνισες, τις οποίες να προσδιορίσετε, ως συνάρτηση των α, β. (Μονάδες 10)

γ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι 1

αx

β= και 2

βx

α= , τότε να αποδείξετε ότι:

1 2(1 x )(1 x ) 4+ + ≥ . (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για α, β > 0 το τριώνυµο 2 2 2αβx (α + β )x + αβ− έχει διακρίνουσα

2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 4 2 2 2∆ = [ (α + β )] 4αβαβ = α + 2α β + β 4α β α 2α β + β = (α β )− =- - - - .

β) Για α, β > 0 η εξίσωση 2 2 2αβx (α + β )x + αβ = 0− έχει δύο πραγµατικές και άνισες

ρίζες, όταν

∆ > 0 ⇔ 2 2 2(α β ) 0>- ⇔ 2 2α β 0≠- ⇔ 2 2α β≠ ⇔ α ≠ β, αφού α, β > 0.

Οι ρίζες της είναι: 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

α + β α β α

2αβ β[ (α + β )] (α β ) α + β (α β )x = =

2αβ 2αβ α + β α β β

2αβ α

+ =−− ± ± = =

-

- -

- +

.

γ) Έχουµε ότι α, β > 0, οπότε:

1 2(1 x )(1 x ) 4+ + ≥ ⇔ 1 2 1 21 x x x x 4+ + + ≥ ⇔ α β α β

1 4β α β α+ + + ≥ ⇔

⇔ α β α β

αβ 1 αβ αβ αβ αβ 4β α β α

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≥ ⋅ ⇔ 2 2αβ α β αβ 4αβ 0+ + + ≥- ⇔

⇔ 2 2α 2αβ β 0+ ≥- ⇔ 2(α β) 0≥- , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Page 236: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

236

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 12, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4858 Μία περιβαλλοντική οργάνωση ξεκινά να καταγράφει τον πληθυσµό των ελαφιών σε

µια δασική περιοχή από το 2000 όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Έτος 2000 2001 2002 2003 2004

Αριθµός ελαφιών 1300 1360 1420 1480 1540

Αν ο πληθυσµός των ελαφιών συνεχίζει να αυξάνεται µε τον ίδιο σταθερό ρυθµό και

µετά το 2004:

α) Να βρείτε µια σχέση που να επιτρέπει τον υπολογισµό του πληθυσµού των ελα-

φιών στο τέλος κάθε έτους από το 2000 και µετά. (Μονάδες 6)

β) Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής:

i) Να προσδιορίσετε τον πληθυσµό των ελαφιών στο τέλος του 2012. (Μονάδες 6)

ii) Να προβλέψετε το έτος στο τέλος του οποίου ο αρχικός πληθυσµός των 1300

ελαφιών θα αυξηθεί κατά 60%. (Μονάδες 6)

iii) Να προβλέψετε το έτος που ο πληθυσµός των ελαφιών δε θα υπερβεί τα

2600 ελάφια. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 4.1, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Από τον δοσµένο πίνακα τιµών παρατηρούµε ότι υπάρχει µια σταθερή ετήσια

αύξηση του πληθυσµού των ελαφιών κατά 60 ελάφια, οπότε ο αριθµός των

ελαφιών στο τέλος του (1999 + ν) έτους αποτελεί όρους αριθµητικής προόδου *

να , ν ,∈N µε διαφορά ω 60= και πρώτο όρο 1α = 1300 .

Συνεπώς *

ν 1α = α (ν 1)ω = 1300 (ν 1) 60 = 60ν 1240, ν∈- - ++ + ⋅ N .

β) i) Στο τέλος του 2012 είµαστε 13 έτη µετά το 1999, οπότε για ν = 13 έχουµε:

13α = 60 13 1240 = 780 1240 = 2020+ +⋅ .

Συνεπώς στο τέλος του 2012 θα υπάρχουν 2020 ελάφια.

ii) Αναζητούµε *ν∈N ώστε:

να 1300 60% 1300= + ⋅ ⇔ 60ν 1240 = 1300 + 780+ ⇔

⇔ 60ν = 1300 + 780 1240- ⇔ 60ν 840= ⇔ ν = 14,

δηλαδή στο τέλος του 2013 θα υπάρχει αύξηση του πληθυσµού των ελαφιών

κατά 60% σε σχέση µε τον πληθυσµό των ελαφιών το 2000.

iii) Αναζητούµε τους *ν∈N ώστε:

να 2600≤ ⇔ 60ν 1240 2600≤+ ⇔ 60ν 2600 1240-≤ ⇔

⇔ 60ν 1360≤ ⇔ 1360

ν60

≤ ⇔ 2

ν 223

≤ + ,

δηλαδή µέχρι το 22ο έτος ο πληθυσµός των ελαφιών είναι µικρότερος των 2600,

άρα µέχρι το τέλος του 2021 ο πληθυσµός των ελαφιών θα είναι µικρότερος των

2600.

Page 237: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

237

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_2_4859

Θεωρούµε το τριώνυµο 2f (x) 3x κx 4= + − µε παράµετρο κ∈R .

α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιµή του κ το τριώνυµο έχει ρίζες πραγµατικές

και άνισες. (Μονάδες 10)

β) Οι ρίζες του τριωνύµου είναι οµόσηµες ή ετερόσηµες; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 5)

γ) Αν 1 2x , x οι ρίζες του τριωνύµου και α, β δύο πραγµατικοί ώστε να ισχύει:

1 2α x x β< < < , να προσδιορίσετε το πρόσηµο του γινοµένου α f (α) β f (β)⋅ ⋅ ⋅ . Να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 23x κx 4+ - έχει διακρίνουσα 2 2∆ = κ 4 3 ( 4) = κ + 48 > 0− ⋅ ⋅ − ,

οπότε το τριώνυµο 23x κx 4+ - έχει δύο πραγµατικές και άνισες ρίζες.

β) Αν 1 2x , x οι ρίζες του τριωνύµου 23x κx 4+ - , από τους τύπους Vieta έχουµε ότι:

1 2

κS x x

3= + =− και 1 2

4x x

3Ρ= =− .

Αφού 1 2

4x x 0

3Ρ= =− < , οι ρίζες 1 2x , x είναι ετερόσηµες.

γ) Κατασκευάζουµε τον πίνακα προσήµου του τριωνύµου 23x κx 4+ - :

−∞ +∞1x

23x + κx 4− −+

2xx

+

Αφού οι ρίζες 1 2x , x είναι ετερόσηµες και δεδοµένου ότι 1 2α x x β< < < ,

βρίσκουµε 1 2α x 0 x β< < < < , άρα αβ < 0.

Επίσης, 1α x< και f (x) 0> για 1x ( , x )∈ −∞ , ισχύει f(α) > 0,

ενώ 2x β< και f (x) 0> για 2x (x , )∈ +∞ , άρα ισχύει f(β) > 0.

Συνεπώς α f(α) β f(β) 0⋅ ⋅ ⋅ < .

Page 238: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

238

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13,

19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4861 Μία µπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει µια

τροχιά, µετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος. Το ύψος h (σε m) από το

έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t (σε sec) κατά την

κίνησή της προσδιορίζεται από τη συνάρτηση 2h(t) 5t 10t 1,05= − + + .

α) Να βρείτε τις τιµές h(0), h(1), h(2) και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο

του προβλήµατος. (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε µετά από πόσο χρόνο η µπάλα θα φτάσει στο έδαφος. (Μονάδες 8)

γ) Να δείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t

µπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο: 2h(t) 5[1, 21 (t 1) ]= − − . (Μονάδες 5)

δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγµή t1 (σε sec) που το ύψος h της µπάλας

από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m. (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Σχόλιο: Η άσκηση αυτή είναι η ίδια µε την GI_A_ALG_4_2220.

To τριώνυµο 25t 10t 1,05− + + έχει διακρίνουσα 2∆ 10 4 ( 5) 1,05 121= − ⋅ − ⋅ = ,

ρίζες

10 11 1 1

10 121 10 11 10 10 10t

10 11 21 212 ( 5) 10

10 10 10

− + = = −− ± − ± − −= = = − − −⋅ − − = =

− −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1

10−

21

10t

25t 10t 1,05− + + +− −

Όµως πρέπει

t 0t 0 21

0 t1 21h(t) 0 10t

10 10

≥≥ ⇔ ⇔ ≤ ≤

≥ − ≤ ≤

, δηλαδή h

21A 0,

10

= .

α) Έχουµε ότι h(0) 5 0 10 0 1,05 1,05= − ⋅ + ⋅ + = , που σηµαίνει ότι η µπάλα εκτο-

ξεύεται από ύψος 1,05 m.

Επίσης, 2h(1) 5 1 10 1 1,05 5 10 1,05 6,05= − ⋅ + ⋅ + = − + + = , που σηµαίνει ότι η

µπάλα 1 sec µετά την εκτόξευση βρίσκεται σε ύψος 6,05 m.

Τέλος, 2h(2) 5 2 10 2 1,05 5 4 20 1,05 1,05= − ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + + = , που σηµαίνει ότι η

µπάλα 2 sec µετά την εκτόξευση έχει επιστρέψει στο ύψος 1,05 m.

β) Το ύψος της µπάλας, όταν αυτή φτάσει στο έδαφος, θα είναι 0, οπότε

αναζητούµε 21

t 0,10

∈ έτσι ώστε:

2 21 1h(t) 0 5t 10t 1,05 0 t ή t

10 10= ⇔ − + + = ⇔ = = − (απορρίπτεται),

Page 239: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

239

άρα η µπάλα φτάνει στο έδαφος µετά από 21

t sec10

= .

γ) Για 21

t 0,10

∈ έχουµε ότι:

2 2 25 [1,21 (t 1) ] 5 [1, 21 (t 2t 1)] 5 (1,21 t 2t 1)⋅ − − = ⋅ − − + = ⋅ − + −2 25 (0, 21 t 2t) 1,05 5t 10t h(t)= ⋅ − + = − + = .

δ) Αναζητούµε (αν υπάρχει) 1

21t 0,

10

∈ έτσι ώστε:

2 2

1 1 1h(t ) 6,05 5 [1,21 (t 1) ] 6,05 1, 21 (t 1) 1, 21> ⇔ ⋅ − − > ⇔ − − > ⇔ 2 2

1 11,21 1, 21 (t 1) 0 (t 1)⇔ − > − ⇔ > − , που είναι αδύνατη,

άρα δεν υπάρχει χρονική στιγµή t1 που το ύψος h της µπάλας από το έδαφος θα

είναι πάνω από 6,05 m.

Page 240: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

240

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 12, 19

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4862 Αν ένας κάτοικος µιας πόλης Α καταναλώσει x κυβικά νερού σε έναν χρόνο, το

ποσό που θα πρέπει να πληρώσει δίνεται (σε ευρώ) από τη συνάρτηση:

12 0,5x, αν 0 x 30f (x)

0,7x 6, αν x 30

+ ≤ ≤=

+ >

α) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει όποιος:

i) έλειπε από το σπίτι του και δεν είχε καταναλώσει νερό. (Μονάδες 2)

ii) έχει καταναλώσει 10 κυβικά µέτρα νερού. (Μονάδες 3)

iii) έχει καταναλώσει 50 κυβικά µέτρα νερού. (Μονάδες 5)

β) Σε µια άλλη πόλη Β το ποσό (σε ευρώ) που αντιστοιχεί σε κατανάλωση x

κυβικών µέτρων δίνεται από τον τύπο g(x) 12 0,6x= + , για x 0≥ . Ένας κάτοι-

κος της πόλης Α και ένας κάτοικος της πόλης Β κατανάλωσαν τα ίδια κυβικά

νερού, για το 2013. Αν ο κάτοικος της πόλης Α πλήρωσε µεγαλύτερο ποσό στον

λογαριασµό από τον κάτοικο της πόλης Β, να αποδείξετε ότι ο καθένας από τους

δύο κατανάλωσε περισσότερα από 60 κυβικά µέτρα νερού. (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 4.1, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) Αφού δεν είχε καταναλώσει νερό, έχουµε x = 0, οπότε:

f (0) 12 0,5 0 12= + ⋅ = , δηλαδή θα πληρώσει 12 ευρώ.

ii) Αφού έχει καταναλώσει 10 κυβικά νερό, έχουµε x = 10, οπότε:

f (10) 12 0,5 10 12 5 17= + ⋅ = + = , δηλαδή θα πληρώσει 17 ευρώ.

iii) Αφού έχει καταναλώσει 50 κυβικά νερό, έχουµε x = 50, οπότε:

f (50) 0,7 50 6 35 6 41= ⋅ + = + = , δηλαδή θα πληρώσει 41 ευρώ.

β) • Αναζητούµε (αν υπάρχει) x∈[0, 30] έτσι ώστε:

f (x) g(x) 12 0,5x 12 0,6x> ⇔ + > + ⇔

0,5x 0,6x 12 12 0,1x 0 x 0⇔ − > − ⇔ − > ⇔ < , απορρίπτεται,

αφού x∈[0, 30].

• Αναζητούµε (αν υπάρχει) x∈(30, +∞) έτσι ώστε:

f (x) g(x) 0,7x 6 12 0,6x> ⇔ + > + ⇔

0,7x 0,6x 12 6 0,1x 6 x 60⇔ − > − ⇔ > ⇔ > ,

όπου συναληθεύοντας µε τη x∈(30, +∞) βρίσκουµε x > 60.

Συνεπώς καθένας από τους κατοίκους των πόλεων Α και Β κατανάλωσε

περισσότερα από 60 κυβικά µέτρα νερού.

Page 241: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

241

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 12, 19,

20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4886 Στο παρακάτω σχήµα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις fC και gC των συναρτή-

σεων f και g αντίστοιχα, µε f (x) x 2= − και 1 2

g(x) x3 3

= + , x∈ℝ .

fC

gC

α) Να εκτιµήσετε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής των fC και gC .

(Μονάδες 6)

β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο ερώτηµα α). (Μονάδες 8)

γ) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, να βρείτε για ποιες τιµές του x η fC

βρίσκεται πάνω από τη gC . (Μονάδες 6)

δ) Με τη βοήθεια του ερωτήµατος γ), να βρείτε για ποιες τιµές του x έχει νόηµα

πραγµατικού αριθµού η παράσταση ( )K 3 2 x x 2= − − + . (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 4.1, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Από το σχήµα φαίνεται ότι τα σηµεία τοµής των fC και gC έχουν συντεταγµέ-

νες (1, 1) και (4, 2).

β) Τα σηµεία τοµής των fC και gC προκύπτουν από την εξίσωση:

1 2f (x) g(x) x 2 x 3 x 2 x 2

3 3= ⇔ − = + ⇔ − = + (Ι).

• Για x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 έχουµε ότι:

Page 242: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

242

( ) 3(x 2) x 2 3x 6 x 2 3x x 6 2 2x 8 x 4Ι ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = ⇔ = ,

η οποία είναι δεκτή, άρα το ένα κοινό σηµείο είναι το (4, f(4)) = (4, 2).

• Για x – 2 < 0 ⇔ x < 2 έχουµε ότι:

( ) 3(x 2) x 2 3x x 6 2 4x 4 x 1Ι ⇔ − − = + ⇔ − − = − + ⇔ − = − ⇔ = ,

η οποία είναι δεκτή, άρα το άλλο κοινό σηµείο είναι το (1, f(1)) = (1, 1).

γ) Από το σχήµα φαίνεται ότι η fC βρίσκεται πάνω από τη gC όταν

( ) ( )x ,1 4,∈ −∞ ∪ +∞ .

δ) Η fC βρίσκεται πάνω από τη gC όταν ισχύει f(x) > g(x), οπότε από το (γ)

ερώτηµα έχουµε ότι ( ) ( )1 2f (x) g(x) x 2 x x ,1 4,

3 3> ⇔ − > + ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ .

Για να ορίζεται η παράσταση Κ, πρέπει:

( ) 1 23 2 x x 2 0 3 x 2 x 2 x 2 x f (x) g(x)

3 3− − + ≥ ⇔ − ≥ + ⇔ − ≥ + ⇔ ≥ ⇔

x ( ,1] [4, )⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ .

Page 243: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

243

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4903

∆ίνεται η εξίσωση ( )2x 2 1 x 1 0λ + λ − + λ − = , µε παράµετρο 0λ∈ −ℝ .

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή

σταθερή. (Μονάδες 8)

β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ. (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα

των πραγµατικών αριθµών είναι ίση µε 2 µονάδες. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για λ ≠ 0 το τριώνυµο ( )2x 2 1 x 1λ + λ − + λ − έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2 22 1 4 1 4 4 1 4 4 1∆ = λ − − ⋅λ ⋅ λ − = λ − λ + − λ + λ = , που είναι σταθερή,

δηλαδή ανεξάρτητη του λ.

β) Για λ ≠ 0 το τριώνυµο ( )2x 2 1 x 1λ + λ − + λ − έχει ρίζες

2 1 1 2 2 2(1 ) 1

(2 1) 1 2 1 1 2 2 2x

2 1 1 22 21

2 2

− λ + + − λ −λ −λ = = =− λ − ± − λ + ± λ λ λ λ= = = − λ + − − λ⋅λ λ = = −

λ λ

.

γ) Για λ ≠ 0 θεωρούµε 1 2

1x , x 1

−λ= = −

λ τις ρίζες της εξίσωσης.

Αφού η απόσταση των ριζών 1 2x , x είναι 2, ισχύει ότι:

1 2

1 1 1x x 2 ( 1) 2 2 2

−λ −λ λ −λ + λ− = ⇔ − − = ⇔ + = ⇔ = ⇔

λ λ λ λ

|1| 1 12 | |

| | 2 2⇔ = ⇔ λ = ⇔ λ= ±

λ, οι οποίες είναι δεκτές.

Page 244: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

244

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 20

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4912

Θεωρούµε τις συναρτήσεις 2f (x) x 1= + και g(x) x= +α , µε x∈ℝ και α∈ℝ .

α) Για 1α = , να προσδιορίσετε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε για ποιες τιµές του α οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και

g τέµνονται σε δύο σηµεία. (Μονάδες 10)

γ) Για 1α > , να εξετάσετε αν οι τετµηµένες των σηµείων τοµής των γραφικών

παραστάσεων των συναρτήσεων f και g είναι οµόσηµες ή ετερόσηµες.

(Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για 1α = έχουµε ότι g(x) x 1= + , x∈ℝ .

Τα σηµεία τοµής των f gC , C προκύπτουν από την εξίσωση:

2 2 2f (x) g(x) x 1 x 1 x 1 x 1 0 x x 0= ⇔ + = + ⇔ + − − = ⇔ − = ⇔

( )x x 1 0 x 0 ή x 1⇔ − = ⇔ = = ,

δηλαδή τα κοινά σηµεία είναι τα (0, g(0)), (1, g(1)) ή (0, 1), (1, 2).

β) Τα κοινά σηµεία των f gC , C προκύπτουν από τις λύσεις της εξίσωσης:

2 2 2f (x) g(x) x 1 x x 1 x 0 x x 1 0= ⇔ + = +α ⇔ + − −α = ⇔ − + −α = (Ι).

Για να τέµνονται οι f gC , C σε δύο σηµεία, θέλουµε η εξίσωση 2x x 1 0− + −α =

να έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, οπότε η διακρίνουσα του τριωνύµου 2x x 1− + −α πρέπει να είναι θετική.

Το τριώνυµο 2x x 1− + −α έχει διακρίνουσα 2( 1) 4 1 (1 ) 1 4 4 4 3∆ = − − ⋅ ⋅ − α = − + α = α − και πρέπει:

30 4 3 0 4 3

4∆ > ⇔ α− > ⇔ α > ⇔ α > .

γ) Αφού 1α > και 3

14> , η δευτεροβάθµια εξίσωση 2x x 1 0− + −α = έχει δύο

άνισες πραγµατικές ρίζες, έστω τις 1 2x , x , οπότε από τους τύπους του Vieta

έχουµε 1 2

1P x x 1

1

−α= = = −α .

Αφού 1 0 1α > ⇔ > −α , έχουµε ότι 1 2P x x 0= < , δηλαδή οι ρίζες 1 2x , x είναι

ετερόσηµες.

Page 245: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

245

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 11, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4925

Σε µια αριθµητική πρόοδο είναι 2

2α = κ και ( )2

3 1α = κ + , κ ακέραιος µε κ > 1.

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι αριθµός περιττός. (Μονάδες 8)

β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι 1 2α = , τότε:

i) Να βρείτε τον αριθµό κ και να αποδείξετε ότι ω = 7. (Μονάδες 8)

ii) Να εξετάσετε αν ο αριθµός 1017 είναι όρος της προόδου. (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 3.3, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για 0,1κ∈ −N έχουµε ότι:

( )2 2 2 2

3 2 1 2 1 2 1ω= α −α = κ + − κ = κ + κ + − κ = κ + ,

δηλαδή η διαφορά ω είναι περιττός αριθµός.

β) i) Η *, ,να ν∈N είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω, οπότε ο νιοστός όρος

είναι *

1 ( 1) ,να = α + ν − ω ν∈N .

Συνεπώς 2 1 1(2 1)α = α + − ω = α +ω , οπότε: 2 22 2 1 2 3 0κ = + κ+ ⇔ κ − κ− = (Ι).

Το τριώνυµο 2 2 3κ − κ − έχει διακρίνουσα 2( 2) 4 1 ( 3) 16∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες ( )

2 4 63

2 16 2 4 2 2

2 4 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± κ = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ κ = −1 (απορρίπτεται) ή κ = 3 ⇔ κ = 3.

Για κ = 3 έχουµε ότι ω = 2⋅3 + 1 = 6 + 1 = 7.

ii) Ο νιοστός όρος της αριθµητικής προόδου είναι: *2 ( 1) 7 2 7 7 7 5,να = + ν − ⋅ = + ν − = ν − ν∈N .

Τότε:

7 5 1017 7 5 1017 7 1022 146ν − = ⇔ ν = + ⇔ ν = ⇔ ν = ,

δηλαδή ο 146ος όρος των προόδου είναι το 1017.

Page 246: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

246

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4946

α) Να λύσετε την ανίσωση x 3 5− ≤ . (Μονάδες 7)

β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα

των πραγµατικών αριθµών και να ερµηνεύσετε το αποτέλεσµα, µε βάση την

γεωµετρική σηµασία της παράστασης x 3− . (Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθµούς x που ικανοποιούν την ανίσωση

x 3 5− ≤ . (Μονάδες 5)

δ) Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθµών x που ικανοποιούν την ανίσωση

x 3 5− ≤ . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) x 3 5 5 x 3 5 5 3 x 5 3 2 x 8− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − + ≤ ≤ + ⇔ − ≤ ≤ .

β) −∞ +∞2− 8

Η παράσταση x 3− εκφράζει γεωµετρικά την απόσταση του αριθµού x από τον

3 πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Η ανίσωση x 3 5− ≤ γεωµετρικά

σηµαίνει ότι η απόσταση του x από τον 3 είναι το πολύ 5, άρα οι αριθµοί που

ικανοποιούν την προϋπόθεση αυτή είναι από το −2 έως και το 8.

3

5

82−

5 γ) Αφού x 3 5 2 x 8− ≤ ⇔ − ≤ ≤ , οι ακέραιοι που είναι λύσεις της ανίσωσης

x 3 5− ≤ είναι οι: 2, 1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8− − .

δ) x 3 5 5 x 3 5 5 3 x 5 3 2 x 8− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − + ≤ ≤ + ⇔ − ≤ ≤ ⇔

2 x x8 x 8

x 8 8 x 8

− ≤ ∈⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤

≤ − ≤ ≤

R.

Οι ακέραιοι που είναι στο διάστηµα [−8, 8] είναι 17, οι εξής:

−8, −7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Page 247: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

247

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4952

α) Θεωρούµε την εξίσωση 2x 2x 3+ + = α , µε παράµετρο α∈ℝ .

i) Να βρείτε για ποιες τιµές του α η εξίσωση 2x 2x 3+ + = α έχει δύο ρίζες πραγ-

µατικές και άνισες. (Μονάδες 6)

ii) Να βρείτε την τιµή του α ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να

προσδιορίσετε. (Μονάδες 6)

β) ∆ίνεται το τριώνυµο 2f (x) x 2x 3= + + , x∈ℝ .

i) Να αποδείξετε ότι f (x) 2≥ , για κάθε x∈ℝ . (Μονάδες 7)

ii) Να λύσετε την ανίσωση f (x) 2 2− ≤ . (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι 2 2x 2x 3 x 2x 3 0+ + = α⇔ + + −α = (Ι).

Το τριώνυµο 2x 2x 3+ + −α έχει διακρίνουσα 22 4 1 (3 ) 4 12 4 4 8∆ = − ⋅ ⋅ −α = − + α = α − .

i) Η εξίσωση 2x 2x 3 0+ + −α = έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες αν και

µόνο αν 0 4 8 0 4 8 2∆ > ⇔ α− > ⇔ α > ⇔ α > .

ii) Η εξίσωση 2x 2x 3 0+ + −α = έχει µία διπλή ρίζα αν και µόνο αν

0 4 8 0 4 8 2∆ = ⇔ α− = ⇔ α = ⇔ α = .

Για α = 2, από την (Ι) έχουµε ότι: 2 2 2x 2x 3 2 0 x 2x 1 0 (x 1) 0 x 1 0 x 1+ + − = ⇔ + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = − .

β) i) Έχουµε ότι: 2 2 2f (x) 2 x 2x 3 2 x 2x 3 2 0 x 2x 1 0≥ ⇔ + + ≥ ⇔ + + − ≥ ⇔ + + ≥ ⇔

2(x 1) 0⇔ + ≥ , η οποία ισχύει για κάθε x∈ℝ , άρα ισχύει και η αρχική.

ii) Η ανίσωση f (x) 2 2− ≤ ορίζεται για f (x) 2 0 f (x) 2 x− ≥ ⇔ ≥ ⇔ ∈R ,

οπότε έχουµε ότι:

( )22 2f (x) 2 2 x 2x 3 2 2 x 2x 1 2 x 1 2− ≤ ⇔ + + − ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ + ≤ ⇔

x 1 2 2 x 1 2 2 1 x 2 1 3 x 1⇔ + ≤ ⇔ − ≤ + ≤ ⇔ − − ≤ ≤ − ⇔ − ≤ ≤ .

Page 248: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

248

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 8, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4957

∆ίνεται το τριώνυµο ( )2 2x 1 xλ − λ + +λ , 0λ∈ −ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο

έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε 0λ∈ −ℝ . (Μονάδες 8)

β) Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα 1 2S x x= +

συναρτήσει του 0λ ≠ και να βρείτε την τιµή του γινοµένου 1 2P x x= των ριζών.

(Μονάδες 5)

γ) Αν 0λ > , το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογή-

σετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6)

δ) Για κάθε 0λ > , αν 1x , 2x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου, να αποδείξε-

τε ότι 1 21 2

x xx x

2

+≤ . (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.4, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για 0λ∈ −ℝ τo τριώνυµο ( )2 2x 1 xλ − λ + +λ έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2

2 4 2 2 4 2 21 4 2 1 4 2 1 1 ∆ = − λ + − ⋅λ ⋅λ = λ + λ + − λ = λ − λ + = λ − .

Αφού για κάθε 0λ∈ −ℝ ισχύει ( )22 1 0∆ = λ − ≥ , το τριώνυµο

( )2 2x 1 xλ − λ + +λ έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε 0λ∈ −ℝ .

β) Για λ ≠ 0 και αφού 1x , 2x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, από τους τύπους του

Vieta έχουµε ότι ( )2 2

1 2

1 1S x x

− λ + λ += + = − =

λ λ και 1 2P x x 1

λ= = =

λ.

γ) Για 0λ > έχουµε ότι P 1 0= > , οπότε οι ρίζες είναι οµόσηµες και επιπλέον 2 1

S 0λ +

= >λ

, οπότε έχει ρίζες θετικές.

δ) Για 0λ > και αφού οι ρίζες 1x , 2x του τριωνύµου είναι θετικές, έχουµε ότι:

( )221 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

x xx x 2 x x x x 2 x x (x x )

2

+≤ ⇔ ≤ + ⇔ ≤ + ⇔

( )2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 24x x x x x 2x x x 4x x⇔ ≤ + ⇔ + + ≥ ⇔

( )22 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2x 2x x x 4x x 0 x 2x x x 0 x x 0⇔ + + − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ − ≥ ,

η οποία ισχύει για κάθε λ > 0, άρα ισχύει και η αρχική.

Page 249: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

249

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4962

∆ίνεται το τριώνυµο ( )2 2x 1 xλ − λ + +λ , 0λ∈ −ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο

έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε 0λ∈ −ℝ . (Μονάδες 8)

β) Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα 1 2S x x= +

συναρτήσει του 0λ ≠ και να βρείτε την τιµή του γινοµένου 1 2P x x= των ριζών.

(Μονάδες 5)

γ) Αν λ > 0, το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογή-

σετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6)

δ) Αν 0 1< λ ≠ και 1 2x , x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου, τότε να συγκρί-

νετε τους αριθµούς 1 2x x

2

+ και 1. (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για 0λ∈ −ℝ τo τριώνυµο ( )2 2x 1 xλ − λ + +λ έχει διακρίνουσα

( ) ( )2 2

2 4 2 2 4 2 21 4 2 1 4 2 1 1 ∆ = − λ + − ⋅λ ⋅λ = λ + λ + − λ = λ − λ + = λ − .

Αφού για κάθε 0λ∈ −ℝ ισχύει ( )22 1 0∆ = λ − ≥ , το τριώνυµο

( )2 2x 1 xλ − λ + +λ , έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε 0λ∈ −ℝ .

β) Για λ ≠ 0 και αφού 1x , 2x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, από τους τύπους του

Vieta έχουµε ότι ( )2 2

1 2

1 1S x x

− λ + λ += + = − =

λ λ και 1 2P x x 1

λ= = =

λ.

γ) Για 0λ > έχουµε ότι P 1 0= > , οπότε οι ρίζες είναι οµόσηµες και επιπλέον 2 1

S 0λ +

= >λ

, οπότε έχει ρίζες θετικές.

δ) Για 0 1< λ ≠ έχουµε ότι: 2

2 21 21 2

x x 11 x x 2 2 1 2 1 2 0

2

+ λ +> ⇔ + > ⇔ > ⇔ λ + > λ ⇔ λ + − λ > ⇔

λ

2( 1) 0⇔ λ− > , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Page 250: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

250

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4970

∆ίνεται η εξίσωση: 22x x 36 0+ λ − = (1) µε παράµετρο λ∈R .

α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή του λ, η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγµατικές και

άνισες. (Μονάδες 8)

β) Υποθέτουµε τώρα ότι µία από τις ρίζες της εξίσωσης (1) είναι ο αριθµός ρ.

(i) Να δείξετε ότι ο αριθµός −ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 22x x 36 0−λ − = .

(Μονάδες 7)

(ii) Να δείξετε ότι:

• ρ ≠ 0 και

• ο αριθµός 1

ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 236x x 2 0− + λ + = . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 22x x 36+ λ − έχει διακρίνουσα 2 24 282 ( 36) 8⋅ ⋅ − = λ∆ = λ − + .

Όµως για κάθε λ∈R ισχύει 2 288 0λ∆ = + > ,

οπότε η εξίσωση 22x x 36 0+ λ − = έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες.

β) (i) Αφού το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 22x x 36 0+ λ − = ,

ισχύει 22 36 0ρ + λρ− = (Ι).

Τότε 2 2( ) 32( ) 26 36 0−λ −ρ − = +λρ−−ρ =ρ ,

οπότε το −ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 22x x 36 0−λ − = .

(ii) Αν ρ = 0, από την (Ι) έχουµε 36 0− = , που είναι άτοπο, άρα ρ ≠ 0.

Επίσης, χρησιµοποιώντας την (Ι), έχουµε: 2 2

2 2 2

1 1 36 36 2 036 2 2 0 − λ − + λρ+ ρ

− +λ + = + + = = = ρ ρ ρ ρ ρ ρ .

Page 251: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

251

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 10, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4975

α) ∆ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: 4 2x 8x 9 0− − = . Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή

έχει δύο µόνο πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 10)

β) Γενικεύοντας το παράδειγµα του προηγούµενου ερωτήµατος, θεωρούµε τη

διτετράγωνη εξίσωση: 4 2x x 0+β + γ = (1) µε παραµέτρους ,β γ∈R .

Να δείξετε ότι: Αν 0γ < , τότε:

i) 2 4 0β − γ > (Μονάδες 3)

ii) η εξίσωση (1) έχει δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Θέτουµε 2x 0= ω≥ και η εξίσωση ισοδύναµα γίνεται

2 8 9 0ω − ω− = (Ι).

Το τριώνυµο 2 8 9ω − ω− έχει διακρίνουσα 2( 8) 4 1 ( 9) 100∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

8 10 189

( 8) 100 8 10 2 2

8 10 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± ω = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς 2( ) 1 (απορρίπτεται) ή 9 x 9 x 9 x 3Ι ⇔ ω = − ω = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± ,

δηλαδή η εξίσωση δέχεται δύο µόνο πραγµατικές ρίζες, τις x = ±3.

β) i) Ισχύει 2 0β ≥ και 0 4 0 4 0γ < ⇔ γ < ⇔ − γ > , τις οποίες προσθέτουµε κατά µέ-

λη και βρίσκουµε 2 > 04γβ − .

ii) Θέτουµε 2x 0= ω≥ και η εξίσωση 4 2x x 0+β + γ = ισοδύναµα γίνεται:

2 0ω +βω+ γ = (ΙΙ).

Το τριώνυµο 2ω +βω+ γ έχει διακρίνουσα 2 4 0−∆ β γ >= ,

οπότε το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, έστω τις 1 2ω , ω µε

1 2ω ω< , οπότε από τους τύπους του Vieta ισχύει ότι 1 2S1

β= ω +ω = − = −β

και 1 21

γΡ = ω ω = = γ .

Αφού γ < 0, έχουµε ότι και Ρ < 0, δηλαδή οι ρίζες της εξίσωσης (ΙΙ) είναι

ετερόσηµες, έστω 1 2ω 0, ω 0> < .

Τότε:

1

2x = ω ή 2

2x = ω (αδύνατη) ⇔ 1x = ± ω ,

δηλαδή η εξίσωση 4 2x x 0+β + γ = έχει δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές

ρίζες.

Page 252: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

252

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_4992 α) ∆ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε περίµετρο 34 cmΠ = και διαγώνιο

13 cmδ = .

i) Να δείξετε ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι 260 cmΕ = . (Μονάδες 5)

ii) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού που να έχει ρίζες τα µήκη των

πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5)

iii) Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5)

β) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε εµβαδόν 240 cm και

διαγώνιο 8 cm . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) Έστω α, β οι διαστάσεις του ορθογώνιου παραλ-

ληλογράµµου µε 0α ≥ β > .

Τότε χρησιµοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρηµα

βρίσκουµε ότι 2 2 2δ = α +β , ενώ η περίµετρος

του ορθογωνίου είναι 2 2Π = α + β , οπότε ισχύουν οι σχέσεις

2 2 2 2 2

2 2 34 17

13 169

α + β = α +β = ⇔

α +β = α +β = .

Όµως: 2 2 2 2 2 2( ) αβ ( ) ( ) 2α2 βα +β = α + β ⇔ α+β − β =+α+

και κατά συνέπεια 2 2 2 2( ) ( ) 17 169 120

602 2 2

α +β − α β −αβ = = = =

+.

Συνεπώς το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι 260 cmΕ = .

ii) Μια εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες α, β έχει τη µορφή 2x Sx P 0− + = ,

όπου S 17= α +β = και 60Ρ = αβ = , άρα είναι η 2x 17x 60 0− + = .

iii) To τριώνυµο 2x 17x 60− + έχει διακρίνουσα 2( 17) 4 1 60 49∆ = − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

17 7 2412

( 17) 49 17 7 2 2x

17 7 102 1 25

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι α = 12 cm και β = 5 cm.

β) Έστω z, w οι διαστάσεις του ορθογώνιου παραλληλογράµµου µε z w 0≥ > .

Τότε χρησιµοποιώντας το πυθαγόρειο θεώρηµα βρίσκουµε ότι 2 2 2z wδ = + ,

ενώ το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι zwΕ = ,

οπότε ισχύουν οι σχέσεις 2 2 2 2 2

zw 40 zw 40

z w 8 z w 64

= = ⇔

+ = + = .

α

βδ

Page 253: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

253

Όµως: 2 2 2(z w) z 64 2 40 64 802zw w 144+ = + = + ⋅ = + =+ ,

άρα z w 12+ = .

Μια εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες z, w έχει τη µορφή 2x S΄x P΄ 0− + = ,

όπου S΄ z w 12= + = και ΄ zw 40Ρ = = , άρα είναι η 2x 12x 40 0− + = .

To τριώνυµο 2x 12x 40− + έχει διακρίνουσα 2΄ ( 12) 4 1 40 16∆ = − − ⋅ ⋅ = − , δηλα-

δή η εξίσωση 2x 12x 40 0− + = είναι αδύνατη, οπότε δεν υπάρχει ορθογώνιο

παραλληλόγραµµο µε εµβαδόν 240 cm και διαγώνιο 8 cm .

Page 254: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

254

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 12,

19, 20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_5275 Για την ενοικίαση ενός συγκεκριµένου τύπου αυτοκινήτου για µία ηµέρα, η

εταιρεία Α χρεώνει τους πελάτες της σύµφωνα µε τον τύπο: y 60 0, 20x= + , όπου

x είναι η απόσταση που διανύθηκε σε km και y είναι το ποσό της χρέωσης σε

ευρώ.

α) Τι ποσό θα πληρώσει ένας πελάτης της εταιρείας A, ο οποίος σε µία ηµέρα

ταξίδεψε 400 km ; (Μονάδες 5)

β) Πόσα χιλιόµετρα οδήγησε ένας πελάτης ο οποίος, για µία ηµέρα, πλήρωσε 150

ευρώ; (Μονάδες 5)

γ) Μία άλλη εταιρεία, η B, χρεώνει τους πελάτες της ανά ηµέρα σύµφωνα µε τον

τύπο y 80 0,10x= + , όπου, όπως προηγουµένως, x είναι η απόσταση που

διανύθηκε σε km και y είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ. Να εξετάσετε ποια

από τις δύο εταιρείες µάς συµφέρει να επιλέξουµε, ανάλογα µε την απόσταση που

σκοπεύουµε να διανύσουµε. (Μονάδες 10)

δ) Αν f (x) 60 0,20x= + και g(x) 80 0,10x= + είναι οι συναρτήσεις που εκφράζουν

τον τρόπο χρέωσης των εταιρειών Α και Β αντίστοιχα, να βρείτε τις

συντεταγµένες του σηµείου τοµής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

f και g και να εξηγήσετε τι εκφράζει η τιµή καθεµιάς από αυτές τις συντεταγµένες

σε σχέση µε το πρόβληµα του ερωτήµατος (γ). (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 4.1, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Η συνάρτηση µε τύπο y 60 0, 20x= + ορίζεται για κάθε x ≥ 0.

α) Για x 400= έχουµε ότι y 60 0, 20 400 140⋅= + = , άρα θα πληρώσει 140 ευρώ.

β) Αναζητούµε x ≥ 0 έτσι ώστε y 150= , δηλαδή πρέπει να ισχύει ότι:

x 150 x 150 60 0,20x 90 x 45060 0,20 0,20= ⇔ = − ⇔ = ⇔ =+ ,

άρα ο πελάτης οδήγησε 450 km .

γ) Αναζητούµε x ≥ 0 έτσι ώστε:

x 80 0,10x 0,20x 0,10x 80 60 0,10x 20 x60 0,2 2000 > + ⇔ − > − ⇔ > ⇔ >+ .

Συνεπώς:

• αν κάποιος θέλει να διανύσει απόσταση πάνω από 200 km, τον συµφέρει να

χρησιµοποιήσει την εταιρεία Β,

• αν κάποιος θέλει να διανύσει απόσταση µέχρι 200 km, τον συµφέρει να

χρησιµοποιήσει την εταιρεία Α και

• αν κάποιος θέλει να διανύσει απόσταση 200 km, όποια από τις εταιρείες και αν

χρησιµοποιήσει, θα πληρώσει τα ίδια χρήµατα.

δ) Το σηµείο τοµής των f gC , C προκύπτει από τη λύση της εξίσωσης:

x 80 0,10xf 0, 20x 0,10x(x) g(x) 60 0,2 00 80 6= + ⇔ − == −⇔ + ⇔

0,10x 20 x 200⇔ = ⇔ = ,

δηλαδή είναι το K(200,100) , αφού f (200) 60 0,20 200 60 40 100= + ⋅ = + = .

Το σηµείο Κ εκφράζει ότι, όταν διανύονται 200 km µε οποιαδήποτε από τις δύο

εταιρείες, το ποσό χρέωσης είναι το ίδιο (100 ευρώ).

Page 255: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

255

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_5285

∆ίνονται οι εξισώσεις 2x 3x 2 0− + = (1) και 4 2x 3x 2 0− + = (2).

α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (1). (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (2). (Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε τριώνυµο της µορφής 2x x+β + γ που οι ρίζες του να είναι κάποιες

από τις ρίζες της εξίσωσης (2) και επιπλέον, για κάθε αρνητικό αριθµό x, να έχει

θετική τιµή. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 3x 2− + έχει διακρίνουσα 2( 3) 1 2 14∆ = − − ⋅ =⋅

και ρίζες

3 1 42

( 3) 1 3 1 2 2x

3 1 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς 2x 3x 2 0− + = ⇔ x = 1 ή x = 2.

β) Θέτουµε 2

x 0= ω≥ και η εξίσωση 4 2x 3x 2 0− + = ισοδύναµα γίνεται: 4 2 2 22x 3x 2 0 3 2 0 1 ή 2 x 1 ή x 2− + = ⇔ ω − ω+ = ⇔ ω= ω = ⇔ = = ⇔

x 1 ή x 2⇔ = ± = ± .

γ) Αφού θέλουµε το τριώνυµο 2x x+β + γ για κάθε αρνητικό αριθµό x να έχει

θετική τιµή, αρκεί η µικρότερη από τις ρίζες του (αν αυτές είναι άνισες) να είναι

θετική. Συνεπώς επιλέγουµε η µικρή ρίζα να είναι το 1x 1= και η µεγάλη το

2x 2= .

Από τους τύπους του Vieta έχουµε 1 2S x x β= + = − και 1 2Ρ x x γ= = , οπότε:

( )1 2 β β 1 2+ = − ⇔ = − + και γ 1 2 2= ⋅ = ,

άρα το τριώνυµο είναι το ( )2x 1 2 x 2− + + .

Αξίζει να αναφέρουµε ότι τριώνυµα (µε µία διπλή ρίζα) που ικανοποιούν τις

προϋποθέσεις της άσκησης είναι και τα:

• 2x 2x 1− + , όταν έχουµε διπλή ρίζα το 1,

• 2x 2 2x 2− + , όταν έχουµε διπλή ρίζα το 2 .

Page 256: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

256

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_5316

∆ίνεται το τριώνυµο: 2 2x x+β +β , όπου β∈ℝ .

α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου. (Μονάδες 4)

β) i) Αν 0β ≠ , τι µπορείτε να πείτε για το πρόσηµο του τριωνύµου; (Μονάδες 7)

ii) Πώς αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτηµα (i), όταν 0β = ; (Μονάδες 6)

γ) Με τη βοήθεια της απάντηση στο ερώτηµα (β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανι-

σότητα 2 2 0α +αβ+β > για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α, β που

δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2 2x x+β +β έχει διακρίνουσα 2 2 234 1− ⋅ ⋅∆ = β β = − β .

β) i) Αν 0β ≠ , τότε 2 0β > , άρα 0∆ < , οπότε 2 2x x 0+β +β > για κάθε x∈R.

ii) Αν 0β = , το τριώνυµο γίνεται 2 2 2

0 xxx 0⋅ ++ = , το οποίο έχει µία διπλή

ρίζα, τη x = 0, και για κάθε x ≠ 0 ισχύει 2

x 0≥ .

γ) Αν β ≠ 0 και αφού από το (β.i) ερώτηµα βρήκαµε ότι 2 2x x 0+β +β > , για κάθε

x∈R, θέτοντας x = α, προκύπτει ότι 2 2 0α +αβ+β > .

Αν β = 0 και αφού οι α, β δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0, έχουµε ότι α ≠ 0,

άρα 2 2 2 2 20 0 0α +αβ+β = α +α ⋅ + = α > .

Συνεπώς σε κάθε περίπτωση που τα α, β δεν είναι ταυτόχρονα ίσα µε µηδέν

ισχύει 2 2 0α +αβ+β > .

Page 257: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

257

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 10, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_5317

α) ∆ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: 4 2x 9x 20 0− + = . Nα δείξετε ότι η εξίσωση

αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να

προσδιορίσετε. (Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε µία διτετράγωνη εξίσωση της µορφής 4 2x x 0+β + γ = , η

οποία να έχει δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. Να αποδείξετε τον

ισχυρισµό σας λύνοντας την εξίσωση που κατασκευάσατε. (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Θέτουµε 2

x 0= ω≥ και η εξίσωση 4 2x 9x 20 0− + = ισοδύναµα γίνεται 2

9 20 0ω − ω+ = (Ι).

Το τριώνυµο 2

9 20ω − ω+ έχει διακρίνουσα 2( 9) 4 1 20 1∆ = − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

9 1 105

( 9) 1 9 1 2 2

9 1 82 1 24

2 2

+ = =− − ± ± ω = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς: 2 2( ) 5 ή 4 x 5 ή x 4 x 5 ή x 2Ι ⇔ ω = ω = ⇔ = = ⇔ = ± = ± ,

δηλαδή η εξίσωση 4 2x 9x 20 0− + = έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές

ρίζες τις 5, 2± ± .

β) Για να έχει η εξίσωση 4 2x x 0+β + γ = δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές ρί-

ζες, αρκεί η εξίσωση 2 0ω +βω+ γ = (θέτοντας 2

x 0= ω≥ ) να έχει ακριβώς µία

θετική ρίζα. Μια τέτοια είναι η εξίσωση 2 3 4 0ω − ω− = , µε αντίστοιχη διτετρά-

γωνη 4 2x 3x 4 0− − = .

Θέτουµε 2

x 0= ω≥ και η εξίσωση 4 2x 3x 4 0− − = ισοδύναµα γίνεται: 2 3 4 0ω − ω− = (ΙΙ).

Το τριώνυµο 2 3 4ω − ω− έχει διακρίνουσα 2( 3) 4 1 ( 4) 25∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

3 5 84

( 3) 25 3 5 2 2

3 5 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± ω = = =

− −⋅ = = −

.

Συνεπώς: 2( ) 1 ( ί ) ή 4 x 4 x 2ΙΙ ⇔ ω= − απορρ πτεται ω = ⇔ = ⇔ = ± .

Page 258: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

258

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_5322

∆ίνεται το τριώνυµο: 2x 2x 8− − .

α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού

αριθµού x. (Μονάδες 10)

β) Αν 8889

4444κ = − , είναι η τιµή της παράστασης: 2 2 8κ − κ − µηδέν, θετικός ή αρνη-

τικός αριθµός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

γ) Αν ισχύει 4 4− < µ < , τι µπορείτε να πείτε για το πρόσηµο της τιµής της

παράστασης: 2 2 | | 8µ − µ − ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 2x 8− − έχει διακρίνουσα 2 4 1 (2) 8) 36( − ⋅ ⋅ −∆ == − ,

ρίζες

2 6 84

( 2) 36 2 6 2 2x

2 6 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞2− 4x

2x 2x 8− − + +−

Συνεπώς:

• 2x 2x 8 0 x 2 ή x 4− − > ⇔ < − > ,

• 2x 2x 8 0 x 2 ή x 4− − = ⇔ = − = και

• 2x 2x 8 0 2 < x 4− − < ⇔ − < .

β) Έχουµε ότι 8889 8888

24444 4444

κ = − < − = − ,

άρα από το (α) ερώτηµα προκύπτει 2

2 8 0κ − κ− > .

γ) Έχουµε ότι 4 4 | | 4− < µ < ⇔ µ < , άρα 0, 4[ ) ( 2,4)⊆ −µ ∈ , οπότε από το (α)

ερώτηµα ισχύει 2 22 8 2 8 0µ − µ − = µ − µ − < .

Page 259: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

259

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11,

13, 19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_5879 Ο αγώνας δρόµου ανάµεσα στη χελώνα και τον λαγό γίνεται σύµφωνα µε τους

ακόλουθους κανόνες:

•••• Η διαδροµή είναι τµήµα ενός ευθύγραµµου δρόµου.

•••• Ο λαγός ξεκινάει τη χρονική στιγµή t 0= από ένα σηµείο Ο.

•••• Το τέρµα βρίσκεται σε σηµείο Μ µε OM 600> µέτρα.

•••• Η χελώνα ξεκινάει τη στιγµή t 0= µε προβάδισµα, δηλαδή από ένα σηµείο Α

που βρίσκεται µεταξύ του Ο και του Μ µε OA 600= µέτρα.

Υποθέτουµε ότι, για t 0≥ , η απόσταση του λαγού από το Ο τη χρονική στιγµή

t min δίνεται από τον τύπο 2

ΛS (t) 10t= µέτρα, ενώ η απόσταση χελώνας από το Ο

τη χρονική στιγµή t min δίνεται από τον τύπο XS (t) 600 40t= + µέτρα.

α) Να βρείτε σε πόση απόσταση από το Ο θα πρέπει να βρίσκεται το σηµείο Μ,

ώστε η χελώνα να κερδίσει τον αγώνα. (Μονάδες 10)

β) Υποθέτουµε τώρα ότι η απόσταση του τέρµατος Μ από το Ο είναι OM 2250=

µέτρα. Να βρείτε:

i) Ποια χρονική στιγµή ο λαγός φτάνει τη χελώνα; (Μονάδες 5)

ii) Ποιος τους δύο δροµείς προηγείται τη χρονική στιγµή t 12= min και ποια εί-

ναι τότε η µεταξύ τους απόσταση; (Μονάδες 5)

iii) Ποια χρονική στιγµή τερµατίζει ο νικητής τον αγώνα; (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για να κερδίσει η χελώνα, θα πρέπει να έχει διανύσει µεγαλύτερη απόσταση από

τον λαγό στον ίδιο χρόνο. Αναζητούµε t ≥ 0 έτσι ώστε: 2 2 2S (t) S (t) 600 40t 10t 0 10t 40t 600 t 4t 60 0Χ Λ> ⇔ + > ⇔ > − − ⇔ − − < (Ι).

Το τριώνυµο 2

t 4t 60− − έχει διακρίνουσα 2 4 1 ( 60) 25( ) 64∆ = − − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

4 16 2010

( 4) 256 4 16 2 2t

4 16 122 1 26

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

Page 260: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

260

−∞ +∞6− 10t

2t 4t 60− − + +−

Συνεπώς (Ι) ⇔ t∈(−6, 10) και αφού t ≥ 0, έχουµε ότι t∈[0, 10).

Τότε:

0 t 10 40 0 40 t 40 40t 40010 0≤ < ⇔ ⋅ ≤ ⋅ < ≤ ≤⋅ ⇔ ⇔

0 600 600 6040t 400 600 600 40t 000 10≤ ≤ ⇔ ≤ + <⇔ + + + ⇔

600 S (t) 1000Λ≤ <⇔ .

Αφού ΟΜ > 600 µέτρα, η χελώνα κερδίζει αν η διαδροµή είναι µεγαλύτερη των

600 µέτρων και µικρότερη των 1000 µέτρων.

β) i) O λαγός φτάνει τη χελώνα για t ≥ 0 έτσι ώστε: 2 2 2S (t) S (t) 600 40t 10t 0 10t 40t 600 t 4t 60 0Χ Λ= ⇔ + = ⇔ = − − ⇔ − − = ⇔

t 6 (απορρίπτεται) ή t 10 t 10⇔ = − = ⇔ = ,

δηλαδή ο λαγός φτάνει τη χελώνα µετά από 10 min.

ii) Για t = 12 έχουµε ότι: 2S (12) 10 12 10 144 1440Λ = ⋅ = ⋅ = και XS (12) 600 40 12 600 480 1080= + ⋅ = + = .

Αφού S (12) S (12) 1440 1080 360Λ Χ− = − = ,

ο λαγός προηγείται της χελώνας κατά 360 µέτρα.

iii) Αφού 2250 1000> από το (α) ερώτηµα, τον αγώνα κερδίζει ο λαγός.

Αναζητούµε t ≥ 0 έτσι ώστε: 2 2S (t) 2250 10t 2250 2 t 15t 2 5Λ =⇔ ⇔⇔ == = ,

δηλαδή ο χρόνος του νικητή λαγού είναι 15 min.

Page 261: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

261

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13,

19, 20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_5882

∆ίνονται οι συναρτήσεις 2f (x) (x 1) 4= − − και g(x) x 1 2= − + µε x∈R .

α) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x . (Μονάδες 9)

β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης g

βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x . (Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και

g. (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αναζητούµε x∈R έτσι ώστε: 2 2 22x 1 4 0 x 2f (x) 0 (x 1) 4 0 x 3 0x − + − > ⇔ −− − > ⇔ −⇔ >> (Ι).

Το τριώνυµο 2

x 2x 3− − έχει διακρίνουσα 2( 2) 4 1 ( 3) 16∆ = − − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

2 4 63

( 2) 16 2 4 2 2x

2 4 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1− 3x

2x 2x 3− − + +−

Συνεπώς (I) x ( , 1) (3, )⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ ,

δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα

x΄x όταν x ( , 1) (3, )∈ −∞ − ∪ +∞ .

β) Για x∈R έχουµε ότι:

g(x) 0 x 1 2 0 x 1 2> ⇔ − + > ⇔ − > − ,

η οποία ισχύει για κάθε x∈R , άρα ισχύει και η αρχική,

αφού | x 1| 0− ≥ , ενώ −2 < 0.

Συνεπώς για κάθε x∈R η gC βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x .

γ) Τα κοινά σηµεία των f gC , C προκύπτουν για εκείνα τα x∈R για τα οποία:

2f (x) g(x) (x 1) 4 x 1 2= ⇔ − − = − + ⇔

2 2(x 1) 4 x 1 2 0 (x 1) x 1 6 0⇔ − − − − − = ⇔ − − − − = ⇔

x 02 2

1

x 1 x 1 6 0 6 0− ≥=ω

⇔ − − − − = ⇔ ω −ω− = (ΙΙ).

Το τριώνυµο 2

6ω −ω− έχει διακρίνουσα 2( 1) 4 1 ( 6) 25∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

1 5 63

( 1) 25 1 5 2 2

1 5 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± ω = = =

− −⋅ = = −

.

Page 262: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

262

Συνεπώς:

( ) 2 ( ί ) ή 3 | x 1| 3Ι ⇔ ω = − απορρ πτεται ω = ⇔ − = ⇔

x 1 3ή x 1 3⇔ − = − = − ⇔

x 3 1ή x 3 1 x 4 ή x 2⇔ = + = − + ⇔ = = − .

Εποµένως τα κοινά σηµεία των f gC ,C είναι τα (4, 5) και (−2, 5),

αφού f (4) g(4) 5= = και f ( 2) g( 2) 5− = − = .

Page 263: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

263

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 12,

13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_5884

∆ίνεται το τριώνυµο 2f (x) x 6x 3= − + λ − , µε λ∈R .

α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές

ρίζες. (Μονάδες 7)

γ) Αν 3 < λ < 12, τότε:

i) Να δείξετε ότι το τριώνυµο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες. (Μονάδες 6)

ii) Αν 1 2x , x µε 1 2x x< είναι οι δύο ρίζες του τριωνύµου και κ, µ είναι δύο

αριθµοί µε κ < 0 και 1 2x x< µ < , να προσδιορίσετε το πρόσηµο του γινοµένου

f ( ) f ( )κ ⋅ κ ⋅µ ⋅ µ . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 6x 3− + λ − έχει διακρίνουσα

( ) ( ) ( )26 4 3 36 4 12 48 4 4 12∆ = − − λ − = − λ + = − λ = −λ .

β) Το τριώνυµο 2x 6x 3− + λ − έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες αν και µόνο αν

( )0 4 12 0 12 0 12 12∆ > ⇔ −λ > ⇔ −λ > ⇔ > λ⇔ λ < .

γ) i) Αφού 3 < λ < 12, έχουµε ότι ∆ > 0, άρα το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµα-

τικές ρίζες, έστω 1 2x , x , όπου από τους τύπους του Vieta έχουµε ότι:

1 2

6S x x 6

1

−= + = − = και 1 2

3P x x 3

1

λ −= = = λ − .

Αφού 3 < λ < 12 ⇔ 3 – 3 < λ – 3 < 12 – 3 ⇔ 0 < λ – 3 < 9,

άρα λ – 3 > 0 ⇔ Ρ > 0, δηλαδή οι ρίζες 1 2x , x είναι οµόσηµες και, αφού

S 0> , οι ρίζες θα είναι θετικές.

ii) Για το τριώνυµο 2x 6x 3− + λ − κατασκευάζουµε πίνακα προσήµου µε ρίζες

1 2x , x ώστε 1 2x x< και έχουµε ότι:

−∞ +∞1x2x

x

2f (x) x 6x 3= − + λ − + +−

Έχουµε αποδείξει ότι οι ρίζες 1 2x , x είναι θετικές, οπότε, αφού επιπλέον

ισχύει 1 2x x< µ < , έχουµε ότι µ > 0.

Επίσης, αφού κ < 0, έχουµε 1xκ < , οπότε από τον πίνακα προσήµου

βρίσκουµε f(κ) > 0.

Τέλος, αφού 1 2x x< µ < , έχουµε ότι f(µ) < 0.

Συνεπώς f ( ) f ( ) 0κ ⋅ κ ⋅µ ⋅ µ > .

Page 264: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

264

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11,

12, 13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_5885

α) i) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύµου: 2x 9x 18+ + . (Μονάδες 4)

ii) Να λύσετε την εξίσωση: 2| x 3 | x 9x 18 0+ + + + = . (Μονάδες 7)

β) i) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου 2x 9x 18+ + , για τις διάφορες τιµές του

πραγµατικού αριθµού x. (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει: 2 2x 9x 18 x 9x 18+ + = − − − .

(Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.3, 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) To τριώνυµο 2x 9x 18+ + έχει διακρίνουσα 29 4 1 18 9∆ = − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

9 3 63

9 9 9 3 2 2x

9 3 122 1 26

2 2

− + − = = −− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

.

ii) Αφού οι ρίζες του τριωνύµου 2x 9x 18+ + είναι οι −6, −3, έχουµε ότι: 2x 9x 18 (x 3)(x 6)+ + = + + .

Συνεπώς: 2| x 3 | x 9x 18 0 | x 3 | (x 3)(x 6) 0+ + + + = ⇔ + + + + = ⇔

( )| x 3 | | x 3 | | x 6 | 0 | x 3 | 1 | x 6 | 0⇔ + + + + = ⇔ + + + = ⇔

| x 3 | 0 ή1 | x 6 | 0 x 3 0 ή | x 6 | 1 ( ύ ) x 3⇔ + = + + = ⇔ + = + = − αδ νατη ⇔ = − .

β) i) Το τριώνυµο 2x 9x 18+ + έχει ρίζες −6, −3 και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞6− 3−x

2x 9x 18+ + + +−

Συνεπώς:

• 2x 9x 18 0 x ( , 6) ( 3, )+ + > ⇔ ∈ −∞ − ∪ − +∞ ,

• 2x 9x 18 0 x 6 ή x 3+ + = ⇔ = − = και

• 2x 9x 18 0 x ( 6, 3)+ + < ⇔ ∈ − − .

ii) Έχουµε ότι:

[ ]2 2 2 2x 9x 18 x 9x 18 x 9x 18 (x 9x 18) x 6, 3+ + = − − − ⇔ + + = − + + ⇔ ∈ − − ,

αφού από τον ορισµό της απόλυτης τιµής έχουµε ότι | x | x x 0= − ⇔ ≤ .

Page 265: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

265

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 12,

16 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6143 Στην Α΄ τάξη ενός Λυκείου της Καρδίτσας η σύµβουλος των µαθηµατικών

πρόκειται να πραγµατοποιήσει µια δραστηριότητα. Επειδή όµως δε γνωρίζει το

πλήθος των µαθητών της τάξης, συµβουλεύεται τον Γυµναστή του σχολείου, που

στοιχίζει τους µαθητές για τις παρελάσεις και εκείνος της απαντά µε ένα πρόβληµα:

«Μπορώ να τοποθετήσω όλους τους µαθητές σε x σειρές µε x – 1 µαθητές σε κάθε

σειρά. Αν όµως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x 3+ σειρές µε x 3− µαθητές σε

κάθε σειρά, θα µου λείπει ένας µαθητής».

α) Να βρείτε την τιµή του x. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι η Α΄ τάξη έχει 90 µαθητές. (Μονάδες 6)

γ) Η σύµβουλος σκοπεύει να µοιράσει τους παραπάνω 90 µαθητές σε ν οµάδες

εργασίας, ώστε στην πρώτη οµάδα να πάνε 2 µαθητές και σε κάθε επόµενη

οµάδα να πηγαίνουν 2 παραπάνω κάθε φορά. Να βρείτε την τιµή του ν, δηλαδή

πόσες οµάδες εργασίας θα δηµιουργηθούν. (Μονάδες 13)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.1, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Σχόλιο: Τα συγκεκριµένα δεδοµένα της άσκησης δεν οδηγούν στην απάντηση του (β)

ερωτήµατος. Θα κάνουµε την εξής αλλαγή στην τελευταία πρόταση, πριν από τα

ερωτήµατα: «Αν όµως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x 3+ σειρές µε x 3− µαθητές

σε κάθε σειρά, θα µου ΠΕΡΙΣΣΕΥΕΙ ένας µαθητής».

α) Πρέπει x∈N , x > 0, x – 1 > 0, x + 3 > 0 και x – 3 > 0, οπότε x 0,1, 2, 3∈ −N .

Αφού οι µαθητές µπορούν να τοποθετηθούν όλοι σε x σειρές µε x – 1 µαθητές σε

κάθε σειρά, το πλήθος των µαθητών είναι 2x(x 1) x x− = − .

Επίσης, οι µαθητές µπορούν να τοποθετηθούν όλοι σε x + 3 σειρές µε x – 3

µαθητές σε κάθε σειρά και θα περισσεύει ένας, οπότε το πλήθος των µαθητών

είναι 2 2(x 3)(x 3) 1 x 9 1 x 10− + − = − − = − .

Εποµένως αναζητούµε x 0,1, 2, 3∈ −N έτσι ώστε: 2 2 2 2x x x 9 1 x x x 9 1 x 10 x 10− = − − ⇔ − − = − − ⇔ − = − ⇔ = ,

η οποία είναι δεκτή.

β) Για x = 10 το πλήθος των µαθητών είναι 210 10 100 10 90− = − = ,

δηλαδή η Α΄ τάξη έχει 90 µαθητές.

γ) Το πλήθος των µαθητών στις οµάδες εργασίας αποτελεί όρους αριθµητικής

προόδου , 0,1, 2, 3να ν∈ −N , αφού σε κάθε επόµενη οµάδα πηγαίνουν 2

παραπάνω κάθε φορά, διαφορά ω = 2, πρώτο όρο 1 2α = και άθροισµα των ν

πρώτων όρων 90. Τότε αναζητούµε x 0,1, 2, 3∈ −N έτσι ώστε:

( ) ( )12 1 2 2 1 2 2 (2 1)S 90 90

2 2 2ν

α + ν − ω ⋅ + ν − ⋅ ⋅ + ν −= ⋅ν ⇔ = ⋅ν ⇔ = ⋅ν ⇔

2 290 ( 1) 90 90 0⇔ = ν+ ν⇔ = ν +ν ⇔ ν +ν − = (Ι).

Το τριώνυµο 2 90ν + ν − έχει διακρίνουσα ( )21 4 1 90 361∆ = − ⋅ ⋅ − =

Page 266: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

266

και ρίζες

1 19 189

1 361 1 19 2 2

1 19 202 1 210

2 2

− + = =− ± − ± ν = = =

− − −⋅ = = −

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ ν = −10 (απορρίπτεται) ή ν = 9 ⇔ ν = 9,

δηλαδή θα δηµιουργηθούν 9 οµάδες εργασίας.

Page 267: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

267

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 3, 4 του

βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6144

Μια ηµέρα, στο τµήµα Α1 ενός Λυκείου, το 1

4 των µαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε

Άλγεβρα ούτε Γεωµετρία, ενώ το 1

3 των µαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά

µαθήµατα. Η καθηγήτρια των µαθηµατικών επιλέγει τυχαία έναν µαθητή για να τον

εξετάσει. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

Α: ο µαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα

Γ: ο µαθητής να έχει διαβάσει Γεωµετρία

α) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και µε χρήση της γλώσσας των συνόλων τα

δεδοµένα του προβλήµατος. (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής:

i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο µαθήµατα

ii) να έχει διαβάσει ένα µόνο από τα δύο µαθήµατα. (Μονάδες 8)

γ) Αν γνωρίζουµε επιπλέον ότι οι µισοί από τους µαθητές έχουν διαβάσει Γεωµε-

τρία, να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής:

i) να έχει διαβάσει Γεωµετρία

ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 1.1, 1.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Έχουµε ότι:

( )Α∪Γ ΄ = «ο µαθητής δεν έχει διαβάσει ούτε Άλγεβρα ούτε Γεωµετρία»,

Α∩Γ = «ο µαθητής έχει διαβάσει Άλγεβρα και Γεωµετρία»,

µε ( ) 1P ( )

4Α∪Γ = και ( ) 1

P3

Α∩Γ =

( )Α∪Γ ΄ Α∩Γ

β) i) Τότε:

Α∪Γ = «ο µαθητής έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο µαθήµατα» µε

( ) 1 4 1 3( ) 1 ( ) 1

4 4 4 4Ρ Α∪Γ = −Ρ Α∪Γ = − = − =΄ .

ii) Επίσης:

( ) ( )Α−Γ ∪ Γ −Α = «ο µαθητής έχει διαβάσει ένα µόνο από τα δύο

µαθήµατα» και, αφού τα Α – Γ και Γ – Α είναι ξένα, έχουµε:

Page 268: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

268

( ) ( ) ( ) ( ) Ρ Α −Γ ∪ Γ −Α = Ρ Α−Γ + Ρ Γ − Α

( ) ( ) ( ) ( )= Ρ Α −Ρ Α∩Γ +Ρ Γ −Ρ Α∩Γ

( ) ( ) 3 1 9 4 5

4 3 12 12 12= Ρ Α∪Γ −Ρ Α∩Γ = − = − = .

γ) i) ( ) 1

2Ρ Γ = .

ii) Έχουµε ότι:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ Α∪Γ = Ρ Α +Ρ Γ −Ρ Α∩Γ ⇔ Ρ Α = Ρ Α∪Γ +Ρ Α∩Γ −Ρ Γ ,

οπότε:

( ) 3 1 1 9 4 6 9 4 6 7

4 3 2 12 12 12 12 12

+ −Ρ Α = + − = + − = = .

Page 269: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

269

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 19, 20

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6146 Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f : →R R

και της συνάρτησης g(x) 2x 2= − + .

Με τη βοήθεια του σχήµατος, να βρείτε:

α) Τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει f (x) 2x 2= − + . (Μονάδες 6)

β) Τις τιµές f(−1), f(0), f(1). (Μονάδες 6)

γ) Τις τιµές του x, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη

γραφική παράσταση της g. (Μονάδες 6)

δ) Τις τιµές του x, για τις οποίες η παράσταση ( )A f x 2x 2= + − έχει νόηµα

πραγµατικού αριθµού. (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Page 270: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

270

Λύση

α) Καταρχήν, έχουµε ότι gA = R .

Οι τιµές του x για τις οποίες ισχύει f (x) 2x 2 f (x) g(x)= − + ⇔ = προκύπτουν

από τα σηµεία τοµής των f gC , C .

Τα σηµεία τοµής των f gC , C είναι τα (1, 0), (0, 2) και (−1, 4), οπότε:

f (x) 2x 2 x 1 ή x 0 ή x 1= − + ⇔ = = = − .

β) Τα σηµεία (−1, 4), (0, 2) και (1, 0) είναι σηµεία της fC , οπότε:

( ) ( ) ( )f 1 4, f 0 2, f 1 0− = = = .

γ) Από το σχήµα βλέπουµε ότι η fC βρίσκεται πάνω από τη gC αν και µόνο αν

( ) ( )f (x) g(x) x 1, 0 1,> ⇔ ∈ − ∪ +∞ .

δ) Για να έχει η παράσταση Α νόηµα πραγµατικού αριθµού, πρέπει:

( ) ( ) ( ) [ ] [ )f x 2x 2 0 f x 2x 2 f x g(x) x 1, 0 1,+ − ≥ ⇔ ≥ − + ⇔ ≥ ⇔ ∈ − ∪ +∞ , αφού

ψάχνουµε τις τετµηµένες των σηµείων τοµής των f gC , C και τις τετµηµένες των

σηµείων στα οποία η fC βρίσκεται πάνω από τη gC .

Page 271: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

271

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6223

∆ίνεται η εξίσωση: 2x 5 x 1 0− λ − = , µε παράµετρο λ∈R .

α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ∈R , η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και

άνισες. (Μονάδες 7)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε:

i) Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ∈R , για τις οποίες ισχύει: 2 24

1 2 1 2(x x ) 18 7(x x ) 0+ − − = . (Μονάδες 9)

ii) Για λ = 1, να βρείτε την τιµή της παράστασης: 2 2

1 2 1 2 1 2A x x 3x + 4 3x + x x= − − . (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) To τριώνυµο 2x 5 x 1− λ − έχει διακρίνουσα 2 2( 5 ) 4 1 ( 1) 25 4∆ = − λ − ⋅ ⋅ − = λ + .

Αφού για κάθε λ∈R ισχύει 225 4 0λ + > , έχουµε ότι 0∆ > ,

άρα η εξίσωση 2x 5 x 1 0− λ − = έχει δύο πραγµατικές και άνισες ρίζες.

β) i) Αφού 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 5 x 1 0− λ − = , από τους τύπους του

Vieta έχουµε ότι 1 2

5S x x 5

1

− λ= + = − = λ και 1 2

1x x 1

1

−Ρ = = = − .

Συνεπώς:

( ) ( )2 242 24

1 2 1 2(x x ) 18 7(x x ) 0 5 18 7 1 0+ − − = ⇔ λ − − − = ⇔

2 2 2 225 18 7 1 0 25 25 0 25 25 1 1⇔ λ − − ⋅ = ⇔ λ − = ⇔ λ = ⇔ λ = ⇔ λ = ± .

ii) Για 1λ = είναι 1 2x x 5+ = και 1 2x x 1= − . Εποµένως: 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2A x x 3x + 4 3x + x x x x (x x ) 3(x x ) 4= − − = + − + +

1 5 3 5 4 5 15 4 16= − ⋅ − ⋅ + = − − + = − .

Page 272: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

272

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6224 Οι πλευρές 1 2x , x ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι οι ρίζες της εξίσωσης:

2 1x 4 x 16 0

− λ + + = λ , µε λ∈(0, 4).

α) Να βρείτε:

i) την περίµετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6)

ii) το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι Π ≥ 16, για κάθε (0,4)λ∈ . (Μονάδες 7)

γ) Για ποια τιµή του λ η περίµετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή

ίση µε 16; Τι µπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

To τριώνυµο 2 1x 4 x 16

− λ + + λ έχει διακρίνουσα

2 2 21 1 1

4 4 1 16 16 64 16 4 ∆ = − λ + − ⋅ ⋅ = λ + − = λ + − λ λ λ

2 2 2

2 2 2

1 1 1 116 2 4 16 2 4 16 2 = λ + λ ⋅ + − = λ + + − = λ − + λ λ λ λ

2

2

2

1 1 116 2 16 = λ − λ ⋅ + = λ − λ λ λ

.

Για κάθε λ∈(0, 4) έχουµε ότι

21

0 λ − ≥ λ

, άρα ∆ ≥ 0, οπότε η εξίσωση

2 1x 4 x 16 0

− λ + + = λ έχει πραγµατικές ρίζες.

Επιπλέον, αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2 1x 4 x 16 0

− λ + + = λ , από τους

τύπους του Vieta θα έχουµε ότι:

1 2

14 λ +

1λS x x 4 λ +

1 λ

− = + =− = και 1 2

16P x x 16

1= = = .

Επίσης, τα 1 2x , x εκφράζουν µήκη, άρα ισχύει ότι 1 2x , x 0> .

α) i) Η περίµετρος του ορθογωνίου είναι:

1 2 1 2

1 12x 2x 2(x x ) 2S 2 4 λ + 8 λ +

λ λ

Π = + = + = = ⋅ =

, όπου λ∈(0, 4).

ii) Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι:

1 2x x 16Ε = = Ρ = , για λ∈(0, 4).

β) Για λ∈(0, 4) έχουµε ότι:

Page 273: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

273

21 1 116 8 λ + 16 λ + 2 λ λ + λ λ 2 λ +1 2λ

λ λ λ

Π ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⋅ ⋅ ≥ ⋅ ⇔ ≥ ⇔

2 2λ +1 2λ 0 ( 1) 0⇔ ≥ ⇔ λ− ≥- , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

γ) Αναζητούµε (αν υπάρχει) λ∈(0, 4) έτσι ώστε:

21 1 116 8 λ + 16 λ + 2 λ λ + λ λ 2 λ +1 2λ

λ λ λ

Π = ⇔ = ⇔ = ⇔ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ = ⇔

2 2λ +1 2λ 0 ( 1) 0 1 0 1⇔ = ⇔ λ− = ⇔ λ− = ⇔ λ =- , η οποία είναι δεκτή.

Τότε για 1λ = η εξίσωση γίνεται:

22 2x 8x 16 0 (x 4) 0 x 4 0 x 41

x 4 1 x 16 01

+ = ⇔ − = ⇔ − − + =+ = ⇔

⇔ =- .

Συνεπώς για λ = 1 η εξίσωση 2 1x 4 x 16 0

− λ + + = λ έχει µία διπλή ρίζα, δηλα-

δή 1 2x x 4= = , οπότε οι πλευρές του ορθογωνίου είναι ίσες, δηλαδή το ορθογώ-

νιο είναι τετράγωνο.

Page 274: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

274

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6226 Οι πλευρές 1 2x , x ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι οι ρίζες της

εξίσωσης: ( )2x 2x 2 – 0− + λ λ = , µε λ∈(0, 2).

α) Να βρείτε:

i) την περίµετρο Π του ορθογωνίου. (Μονάδες 6)

ii) το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι 1Ε ≤ , για κάθε λ∈(0, 2). (Μονάδες 7)

γ) Για ποια τιµή του λ το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται µέγιστο, δηλαδή ίσο µε

1; Τι µπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Το τριώνυµο 2x 2x λ(2 λ)− + − έχει διακρίνουσα

2 2 2 2∆ ( 2) 4λ(2 λ) 4 4(2λ λ ) 4(1 2λ λ ) 4(λ 1)-= − − − = − − = − + = .

Αφού 24(λ 1) 0- ≥ για κάθε λ∈(0, 2), έχουµε ότι ∆ ≥ 0,

οπότε η εξίσωση 2x 2x λ(2 λ) 0− + − = έχει πραγµατικές ρίζες.

Επιπλέον, αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 2x λ(2 λ) 0− + − = , από τους

τύπους του Vieta έχουµε ότι:

1 2

2S x x 2

1

−= + =− = και 2

1 2

λ(2 λ)P x x λ(2 λ) λ 2λ

1

−= = = − =− + .

Επίσης, τα 1 2x , x εκφράζουν µήκη, άρα ισχύει ότι 1 2x , x 0> .

Το ελλιπές τριώνυµο 2λ 2λ− + έχει διακρίνουσα 2∆ 2 4( 1) 0 4= − − ⋅ = ,

ρίζες

2 2 00

2 4 2 2 2 2λ = =

2 2 42 ( 1) 22

2 2

− + = =− ± − ± − −=− − −⋅ − − = = − −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞0 2λ

2λ 2λ− + +− −

Συνεπώς Ρ > 0 ⇔ 2λ 2λ 0− + > ⇔ 0 < λ < 2,

α) i) Για λ∈(0, 2) έχουµε 1 2 1 22x 2x 2(x x ) 2S 2 2 4Π= + = + = = ⋅ = .

ii) Για λ∈(0, 2) έχουµε 2

1 2E x x 2λ λ= = − .

β) Για λ∈(0, 2) έχουµε Ε ≤ 1 ⇔ 22λ λ 1− ≤ ⇔ 2λ 2λ 1 0− + ≥ 2(λ 1) 0≥- ,

η οποία ισχύει για κάθε λ∈(0, 2), άρα ισχύει και η αρχική.

γ) Για λ∈(0, 2) έχουµε:

Ε = 1 ⇔ 22λ λ 1− = ⇔ 2λ 2λ 1 0− + = ⇔ 2(λ 1) 0=- ⇔ λ 1 0=- ⇔

⇔ λ 1= .

Page 275: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

275

Αν λ = 1, η εξίσωση γίνεται: 2x 2x 1 0− + = ⇔ 2(x 1) 0− = ⇔ x 1 0− = ⇔ x 1= ,

δηλαδή η εξίσωση έχει µία διπλή ρίζα (το x = 1), οπότε 1 2x x 1= = ,

εποµένως το ορθογώνιο είναι τετράγωνο πλευράς 1.

Page 276: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

276

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6227

α) Να λύσετε την ανίσωση: 0652 <−− xx . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε το πρόσηµο του αριθµού 647

465

47

462

−⋅+

−=K και να αιτιολογή-

σετε τον συλλογισµό σας. (Μονάδες 7)

γ) Αν ( )66,α −∈ , να βρείτε το πρόσηµο της παράστασης Λ = 652 −− αα . Να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 5x 6− − έχει διακρίνουσα 2∆ ( 5) 4 1 ( 6) 49= − − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

5 76

( 5) 49 2x

5 72 11

2

+ =− − ± = = −⋅ =−

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1−

2x 5x 6− − + +−

6x

Συνεπώς 2x 5x 6 0− − < ⇔ −1 < x < 6.

β) Έχουµε ότι 46

( 1,6)47− ∈ − και 2x 5x 6 0− − < για κάθε x∈(−1, 6),

άρα

246 46

K 5 6 047 47

= − + ⋅ − <

.

γ) Έχουµε ότι α ( 6, 6)∈ − ⇔ −6 < α < 6 ⇔ |α| < 6, άρα 0 ≤ |α| < 6.

Επίσης, 2 2Λ = α 5 | α | 6 = | α | 5 | α | 6 0− − − − < , αφού | α | [0,6) ( 1,6)∈ ⊆ − .

Page 277: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

277

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 6, 11,

19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6228

Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ^

oA 90 =

µε κάθετες πλευρές που έχουν

µήκη x, y τέτοια, ώστε: x + y =10.

α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του x δίνεται από

τον τύπο: 21E(x) ( x 10x)

2= − + , x∈(0, 10). (Μονάδες 9)

β) Να αποδείξετε ότι 2

25≤)x(E για κάθε x∈(0, 10). (Μονάδες 8)

γ) Για ποια τιµή του x∈(0, 10) το εµβαδόν E(x) γίνεται µέγιστο, δηλαδή ίσο µε

2

25; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 2.2, 3.3, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι x y 10+ = ⇔ y 10 x= − και

x 0

y 0

> >

⇔ x 0

10 x 0

> − >

⇔ x 0

x 10

> <

⇔ 0 < x < 10.

Τότε το εµβαδόν του ορθογώνιου τριγώνου είναι xy

E2

= ,

άρα 2

2x(10 x) 10x x 1E(x) ( x 10x)

2 2 2

− −= = = − + , για x∈(0, 10).

β) Για x∈(0, 10) έχουµε:

25E(x)

2≤ ⇔ 21 25

( x 10x)2 2− + ≤ ⇔ 2x 10x 25− + ≤ ⇔

⇔ 2x 10x 25 0− + ≥ ⇔ 2(x 5) 0− ≥ , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

γ) Για x∈(0, 10) έχουµε:

25E(x)

2= ⇔ 21 25

( x 10x)2 2− + = ⇔ 2x 10x 25− + = ⇔

⇔ 2x 10x 25 0− + = ⇔ 2(x 5) 0− = ⇔ x 5 0− = ⇔ x 5= .

Για x 5= έχουµε y 10 5 5= − = , άρα είναι ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο.

A B

Γ

x

y

Page 278: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

278

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 12,

19, 20, 21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού

Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6229 Σε µια πόλη της Ευρώπης µια εταιρεία ΤΑΧΙ µε το όνοµα «RED» χρεώνει 1 ευρώ

µε την είσοδο στο ΤΑΧΙ και 0,6 ευρώ για κάθε χιλιόµετρο που διανύει ο πελάτης.

Μια άλλη εταιρεία ΤΑΧΙ µε το όνοµα «YELLOW» χρεώνει 2 ευρώ µε την είσοδο

στο ΤΑXΙ και 0,4 ευρώ για κάθε χιλιόµετρο που διανύει ο πελάτης. Οι παραπάνω

τιµές ισχύουν για αποστάσεις µικρότερες από 15 χιλιόµετρα.

α) i) Αν f(x) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία «RED» για µια διαδροµή x

χιλιοµέτρων, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

x (km) 0 2 8

f(x) (ευρώ)

(Μονάδες 3)

ii) Αν g(x) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία «YELLOW» για µια διαδροµή

x χιλιοµέτρων, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

x (km)

g(x) (ευρώ) 2 3,2 4,8

(Μονάδες 3)

β) Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f, g και τους τύπους τους f(x),

g(x). (Μονάδες 8)

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και να βρείτε για

ποιες αποστάσεις η επιλογή της εταιρείας «RED» είναι πιο οικονοµική, αιτιολο-

γώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

δ) Αν δυο πελάτες Α και Β µετακινηθούν µε την εταιρεία «RED» και ο πελάτης Α

διανύσει 3 χιλιόµετρα παραπάνω από τον Β, να βρείτε πόσο παραπάνω θα

πληρώσει ο Α σε σχέση µε τον Β. (Μονάδες 3)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 4.1, 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) Για διαδροµή x = 0 km, το ποσό χρέωσης είναι f(0) = 1 + 0,6⋅0 = 1 ευρώ.

Για διαδροµή x = 2 km, το ποσό χρέωσης είναι f(2) = 1 + 0,6⋅2 = 2,2 ευρώ.

Για διαδροµή x = 8 km, το ποσό χρέωσης είναι f(8) = 1 + 0,6⋅8 = 5,8 ευρώ.

Συνεπώς:

x (km) 0 2 8

f(x) (ευρώ) 1 2,2 5,8

ii) Για χρέωση 2 ευρώ, έχουµε:

g(x) = 2 ⇔ 2 + 0,4x = 2 ⇔ 0,4x = 0 ⇔ x = 0.

Για χρέωση 3,2 ευρώ, έχουµε:

g(x) = 3,2 ⇔ 2 + 0,4x = 3,2 ⇔ 0,4x = 1,2 ⇔ x = 3.

Για χρέωση 4,8 ευρώ, έχουµε:

g(x) = 4,8 ⇔ 2 + 0,4x = 4,8 ⇔ 0,4x = 2,8 ⇔ x = 7 km.

Συνεπώς:

x (km) 0 3 7

g(x) (ευρώ) 2 3,2 4,8

Page 279: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

279

β) Αφού οι τιµές ισχύουν για αποστάσεις µικρότερες των 15 χιλιοµέτρων, έχουµε

ότι f gA A [0,15)= = .

Επιπλέον, έχουµε ότι f (x) 1 0,6x= + και g(x) 2 0, 4x= + , για x [0,15)∈ .

γ) Οι γραφικές παραστάσεις των f, g είναι ευθύγραµµα τµήµατα, χωρίς το ένα άκρο.

• Αφού f (5) 1 0,6 5 1 3 4= + ⋅ = + = , η γραφική παράσταση της f διέρχεται από

το Ε(5, 4) , ενώ από το πινακάκι του (α.i) ερωτήµατος διέρχεται και από το

Α(0,1) . Εποµένως µπορούµε να σχεδιάσουµε την ηµιευθεία ΑΕ και να

κρατήσουµε τα x [0,15)∈ .

• Αφού g(5) 2 0, 4 5 2 2 4= + ⋅ = + = , η γραφική παράσταση της g διέρχεται

από το Ε(5, 4), ενώ από το πινακάκι του (α.i) ερωτήµατος διέρχεται και από το

Γ(0, 2). Εποµένως µπορούµε να σχεδιάσουµε την ηµιευθεία ΓΕ και να κρατή-

σουµε τα x [0,15)∈ .

Οι ζητούµενες γραφικές φαίνονται στο ακόλουθο σχήµα:

y=f(x)

y=g(x)

A

Γ

Β

Ε

Από το σχήµα έχουµε ότι η εταιρεία «RED» είναι πιο οικονοµική όταν η fC

βρίσκεται κάτω από τη gC , δηλαδή για x∈[0, 5).

Πράγµατι, για x∈[0, 15) έχουµε:

f(x) < g(x) ⇔ 1 + 0,6x < 2 + 0,4x ⇔ 0,6x − 0,4x < 2 − 1 ⇔ 0,2x < 1 ⇔

⇔ x < 5.

δ) Αν ο πελάτης Β διανύσει x km, ο πελάτης Α θα διανύσει (x + 3) km,

άρα η διαφορά στη χρέωση είναι:

f(x + 3) – f(x) = 1 + 0,6(x + 3) – (1 + 0,6x) = 1 + 0,6x + 1,8 – 1 – 0,6x = 1,8.

Συνεπώς ο Α θα πληρώσει 1,8 ευρώ παραπάνω σε σχέση µε τον Β.

Page 280: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

280

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6231 Στο επόµενο σχήµα το ΑΒΓ∆ είναι τετράγωνο πλευράς ΑΒ = 3 και το Μ είναι ένα

τυχαίο εσωτερικό σηµείο της διαγωνίου ΑΓ. Έστω Ε το συνολικό εµβαδόν των

σκιασµένων τετραγώνων του σχήµατος.

x

AB

Γ∆

ΚΜ

Ζ

Θ

Η

x

3

α) Να αποδείξετε ότι

2E 2x 6x 9= − + µε x∈(0, 3). (Μονάδες 9)

β) Να αποδείξετε ότι 2

9≥E για κάθε x∈(0, 3). (Μονάδες 8)

γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εµβαδόν των σκιασµένων

τετραγώνων του σχήµατος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο µε 2

9; Να αιτιολογή-

σετε την απάντησή σας. (Mονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι:

ΑΘ = ΚΜ = ΑΚ = ΘΜ = ΒΖ = ∆Η = x και

ΘΒ = ΜΖ = ΗΓ = ∆Κ = ΗΜ = ΓΖ = 3 – x.

Πρέπει x 0

3 x 0

> − >

⇔ x 0

x 3

> <

⇔ 0 < x < 3.

Το ζητούµενο εµβαδόν είναι ίσο µε (ΑΚΜΘ) + (ΜΗΓΖ) = ΑΚ2 + ΗΓ

2,

οπότε για x∈(0, 3) έχουµε: 2 2 2 2 2E x (3 x) x 9 6x x 2x 6x 9= + − = + − + = − + .

β) Για x∈(0, 3) έχουµε:

9E

2≥ ⇔ 2 9

2x 6x 92

− + ≥ ⇔ 24x 12x 18 9− + ≥ ⇔ 24x 12x 9 0− + ≥ ⇔

⇔ 2(2x 3) 0− ≥ , η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

γ) Αναζητούµε x∈(0, 3) έτσι ώστε:

Page 281: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

281

9E

2= ⇔ 2 9

2x 6x 92

− + = ⇔ 24x 12x 18 9− + = ⇔

⇔ 24x 12x 9 0− + = ⇔ 2(2x 3) 0− = ⇔ 2x 3 0− = ⇔ 3

x2

= ,

δηλαδή όταν το Θ βρίσκεται στο µέσο της πλευράς ΑΒ και ισχύει:

ΑΘ = ΚΜ = ΑΚ = ΘΜ = ΒΖ = ∆Η = 3

x2

= .

Από το πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΜΘ, έχουµε ότι:

2 2 2

2 2 3 3 3 3 2AM = AΘ + ΘΜ = + 2

2 2 2 2

= ⋅ = .

Page 282: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

282

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 17

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6678 ∆ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε µήκη πλευρών α, β και εµβαδόν Ε, τέτοια

ώστε οι αριθµοί α, Ε, β, µε τη σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωµε-

τρικής προόδου.

α) Να αποδείξετε ότι Ε = 1. (Μονάδες 10)

β) Αν α + β = 10, τότε:

i) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τα µήκη α, β.

(Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε τα µήκη α, β. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού α, β µήκη και Ε εµβαδόν, έχουµε ότι α, β, Ε > 0 (Ι).

Για το εµβαδόν του ορθογωνίου έχουµε ότι Ε = αβ (ΙΙ).

Αφού οι αριθµοί α, Ε, β είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, ισχύει

Ε2 = αβ (ΙΙΙ).

Από τις (ΙΙ), (ΙΙΙ) βρίσκουµε ότι Ε2 = Ε ⇔ Ε

2 − Ε = 0 ⇔ Ε(Ε − 1) = 0 ⇔

⇔ Ε = 0 [απορρίπτεται, λόγω της (Ι)] ή Ε = 1 ⇔ Ε = 1.

β) i) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι Ε = αβ = 1.

Γνωρίζουµε ότι µια δευτεροβάθµια εξίσωση µε ρίζες 1 2x , x είναι η

2x Sx P 0− + = , όπου 1 2S x x= + και 1 2P x x= .

Συνεπώς για 1 2x α, x β= = έχουµε:

1 2S x x α + β 10= + = = και 1 2P x x αβ Ε = 1= = =

και η αντίστοιχη δευτεροβάθµια εξίσωση είναι η 2x 10x 1 0− + = .

ii) Τα µήκη α, β είναι οι ρίζες της εξίσωσης 2x 10x 1 0− + = ,

η οποία έχει διακρίνουσα 2∆ ( 10) 4 1 1 96= − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες ( 10) 96 10 16 6 10 4 6

x 5 2 62 1 2 2

− − ± ± ⋅ ±= = = = ±

⋅,

δηλαδή ( )( , ) 5 2 6, 5 2 6α β = + − ή ( )( , ) 5 2 6, 5 2 6α β = − + .

Page 283: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

283

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 16, 17

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_6859 ∆ίνονται οι αριθµοί 2, x, 8 µε x > 0.

α) Να βρείτε την τιµή του x ώστε οι αριθµοί 2, x, 8, µε τη σειρά που δίνονται, να

αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά ω

αυτής της προόδου; (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τώρα την τιµή του x ώστε οι αριθµοί 2, x, 8, µε τη σειρά που δίνονται,

να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος λ

αυτής της προόδου; (Μονάδες 5)

γ) Αν ( )να είναι η αριθµητική πρόοδος 2, 5, 8, 11, … και ( )νβ είναι η γεωµετρική

πρόοδος 2, 4, 8, 16, …, τότε:

i) Να βρείτε το άθροισµα Sν των ν πρώτων όρων της ( )να . (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε την τιµή του ν, ώστε για το άθροισµα Sν των ν πρώτων όρων της

( )να να ισχύει: ( ) 72 S 24ν + = β . (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 5.2, 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για x > 0 οι αριθµοί 2, x, 8 είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν και

µόνο αν 2 8 10

x 52 2

+= = = .

Η διαφορά της προόδου είναι ω = 8 – 5 = 5 – 2 = 3.

β) Για x > 0 οι αριθµοί 2, x, 8 (αφού x > 0) είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής

προόδου αν και µόνο αν 2 2x 2 8 x 16 x 4⇔ ⇔= ⋅ = = , αφού x > 0.

Επίσης, ο λόγος της προόδου είναι 8 4

λ = 24 2= = .

γ) i) Η *να , ν ,∈N είναι αριθµητική πρόοδος µε ω = 3 και 1α = 2 , οπότε:

2*1

ν

2α + (ν 1)ω 2 2 + (ν 1) 3 (3ν +1)ν 3ν + νS ν = ν = = , ν

2 2 2 2∈

− ⋅ − ⋅= N .

ii) Η *νβ , ν ,∈N είναι γεωµετρική πρόοδος µε λ = 2 και 1β = 2 , οπότε:

ν 1 ν 1 ν *ν 1β = β λ 2 2 2 , ν∈- -= ⋅ = N .

Αναζητούµε *ν∈N έτσι ώστε ( )ν 72 S + 24 = β , οπότε:

273ν + ν

2 + 24 = 22

⇔ 23ν + ν 48 = 128+ ⇔ 23ν + ν 80 = 0- (Ι).

Το τριώνυµο 23ν + ν 80- έχει διακρίνουσα 2∆ = 1 4 3 ( 80) = 961⋅ ⋅- -

και ρίζες

1 31 305

1 961 1 31 6 6ν = =

1 31 32 162 3 6

6 6 3

− + = =− ± − ± =− − −⋅ = =−

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ ν 5= ή 16

ν =3

- (απορρίπτεται) ⇔ ν = 5.

Page 284: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

284

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 8, 11,

12 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7263

∆ίνεται το τριώνυµο: 762 −+− λxx , όπου λ∈R .

α) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες.

(Μονάδες 7)

β) i) Αν x1, x2 είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να βρείτε την τιµή του αθροίσµατος

1 2S x x= + των ριζών και να εκφράσετε συναρτήσει του λ το γινόµενο

1 2P x x= των ριζών. (Μονάδες 2)

ii) Να δείξετε ότι, για κάθε λ µε 7 < λ < 16, το τριώνυµο έχει δύο άνισες οµόση-

µες ρίζες. Ποιο είναι τότε το πρόσηµο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 4)

γ) i) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση 762 =+− λxx (1) έχει

τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 8)

ii) Έχει η εξίσωση (1) για 3 10λ = τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες;

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.4, 3.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 6x λ 7− + − έχει διακρίνουσα 2∆ ( 6) 4 1 (λ 7) 36 4λ 28 64 4λ= − − ⋅ ⋅ − = − + = − .

Το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες αν και µόνο αν

∆ ≥ 0 ⇔ 64 – 4λ ≥ 0 ⇔ 4λ ≤ 64 ⇔ λ ≤ 16.

β) i) Αφού 1 2x , x είναι οι ρίζες του τριωνύµου 2x 6x λ 7− + − , έχουµε ότι:

1 2

6S x x 6

1

−= + =− = και 1 2

λ 7P x x λ 7

1

−= = = − .

ii) Έχουµε ότι 7 < λ < 16, οπότε ∆ > 0 και Ρ > 0, άρα το τριώνυµο έχει δύο

άνισες πραγµατικές ρίζες (∆ > 0), που είναι και οµόσηµες (Ρ > 0).

Επίσης, αφού S > 0, προκύπτει ότι οι ρίζες είναι θετικές.

γ) i) Έχουµε ότι 2x 6 | x | λ = 7− + ⇔ 2| x | 6 | x | λ 7 0− + =- .

Η εξίσωση 2| x | 6 | x | λ 7 0− + =- έχει τέσσερις διαφορετικές και πραγµατικές

ρίζες, όταν η εξίσωση 2ω 6ω λ 7 0-− + = έχει δύο άνισες πραγµατικές και

θετικές ρίζες, οπότε αρκεί να ισχύει:

∆ 0

S 0

P 0

> > >

64 4λ 0

6 0

λ 7 0

− > > − >

λ < 16

6 0

λ 7

> >

⇔ 7 < λ < 16.

ii) Για λ 3 10= η εξίσωση έχει τη µορφή 2x 6x 3 10 7 0− + − = .

Όµως 7 3 10 16< < ( )2

2 27 3 10 16< < 49 9 10 256< ⋅ < ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Συνεπώς για λ 3 10= , χρησιµοποιώντας το (γ.i) ερώτηµα, η εξίσωση

2| x | 6 | x | λ 7 0− + =- έχει τέσσερις διαφορετικές και πραγµατικές ρίζες.

Page 285: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

285

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 19, 21

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7502 Οι ανθρωπολόγοι, για να προσεγγίσουν το ύψος ενός ενήλικα, χρησιµοποιούν τις

παρακάτω εξισώσεις που παριστάνουν τη σχέση µεταξύ του µήκους y (σε cm)

οστού του µηρού και του ύψους x (σε cm) του ενήλικα ανάλογα µε το φύλο του:

Γυναίκα: y = 0,43x – 26

Άνδρας: y = 0,45x – 31

α) Ένας ανθρωπολόγος ανακαλύπτει ένα µηριαίο οστό µήκους 38,5 cm που ανήκει

σε γυναίκα. Να υπολογίσετε το ύψος της γυναίκας. (Μονάδες 8)

β) Ο ανθρωπολόγος βρίσκει µεµονωµένα οστά χεριού, τα οποία εκτιµά ότι ανήκουν

σε άντρα ύψους περίπου 164 cm. Λίγα µέτρα πιο κάτω, ανακαλύπτει ένα µηριαίο

οστό µήκους 42,8 cm που ανήκει σε άντρα. Είναι πιθανόν το µηριαίο οστό και

τα οστά χεριού να προέρχονται από το ίδιο άτοµο; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 8)

γ) Να εξετάσετε αν µπορεί ένας άνδρας και µια γυναίκα ίδιου ύψους να έχουν

µηριαίο οστό ίδιου µήκους. (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 6.1, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Έστω f (x) 0,43x 26= − µε

x 0

0, 43x 26 0

> − >

x 0

2600x

43

> >

⇔ f

2600x A , +

43∈ ∞

= .

Έστω g(x) 0,45x 31= − µε

x 0

0, 45x 31 0

> − >

x 0

3100x

45

> >

⇔ g

3100x A , +

45∈ ∞

= .

α) Αναζητούµε f

2600x A , +

43∈ ∞

= έτσι ώστε:

f (x) 38,5= ⇔ 0,43x 26 38,5− = ⇔ 0,43x 64,5= ⇔ 64,5

x0,43

= ⇔

⇔ x 150= .

Συνεπώς η συγκεκριµένη γυναίκα είχε ύψος 150 cm.

Page 286: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

286

β) Για τον άνδρα ύψους 164 cm έχουµε:

g(164) 0,45 164 31 73,8 31 42,8= ⋅ − = − = ,

οπότε είναι πολύ πιθανό το µηριαίο οστό µήκους 42,8 cm να ανήκει στον άνδρα

µε ύψος περίπου 164 cm.

γ) Αναζητούµε f g

3100x A A , +

45∈ ∩ ∞

= έτσι ώστε:

f (x) g(x)= ⇔ 0, 43x 26 0,45x 31− = − ⇔ 0, 43x 0, 45x 26 31− = − ⇔

⇔ 0,02x 5− =− ⇔ 5

x0,02

−=−

⇔ x 250= .

Συνεπώς, όταν ένας άνδρας και µια γυναίκα έχουν ύψος 250 cm, θα έχουν

µηριαίο οστό ίδιου µήκους.

Page 287: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

287

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 10, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7503 Οι αριθµοί: x

2 + 5, x

2 + x, 2x + 4, µε τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι

αριθµητικής προόδου.

α) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του αριθµού x. (Μονάδες 6)

β) Αν x = 3 και ο αριθµός x2

+ 5 είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε:

i) Τη διαφορά ω της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 5)

ii) Τον πρώτο όρο της προόδου. (Μονάδες 6)

iii) Το άθροισµα S = α15 + α16 + α17 + … + α24. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.2, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Οι αριθµοί 2 2x 5, x x, 2x 4+ + + είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου αν

και µόνο αν ισχύει: 2 22(x x) x 5 2x 4+ = + + + ⇔ 2 22x 2x x 2x 5 4+ − − = + ⇔ 2x 9= ⇔

⇔ x 9=± ⇔ x = ±3.

β) i) Αν x = 3, οι τρεις διαδοχικοί όροι είναι οι 2 23 5 14,3 3 12,2 3 4 10+ = + = ⋅ + = ,

οπότε η διαφορά της προόδου είναι ω = 12 – 14 = 10 – 12 = −2.

ii) Επίσης, αφού x = 3 και αν *να , ν ,∈N είναι η αριθµητική πρόοδος µε ω = −2,

έχουµε *ν 1α = α + (ν 1)ω, ν ,∈- N και 2 2

4α = x + 5 = 3 + 5 = 14 .

Αφού 1 4α + 3ω = α , έχουµε ότι:

1α + 3 ( 2) = 14⋅ - ⇔ 1α 6 = 14- ⇔ 1α 6 +14= ⇔ 1α 20= .

iii) To άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου είναι:

2α (ν 1)ω 2 20 (ν 1) ( 2) 2 (20 (ν 1))S = ν = ν = ν

2 2 2

+ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ − −⋅ ⋅

2 *= (20 ν 1)ν = ν 21ν, ν∈− + − + N .

Συνεπώς: 2 2

15 16 24 24 14S = α + α +...+ α = S S = 24 21 24 ( 14 21 14)− + ⋅ − − + ⋅-

= 576 504 ( 196 294) 576 504 196 294 170− + − − + =− + + − =− .

Page 288: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

288

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7504 Σε µια αριθµητική πρόοδο (αν), ο 3ος όρος είναι α3 = 8 και ο 8ος όρος είναι α8 = 23.

α) Να αποδείξετε ότι ο 1ος όρος της αριθµητικής προόδου είναι α1 = 2 και η

διαφορά της ω = 3. (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε τον 31ο όρο της. (Μονάδες 6)

γ) Να υπολογίσετε το άθροισµα: S = (α1 + 1) + (α2 + 2) + (α3 + 3) + … + (α31 + 31).

(Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αν *να , ν ,∈N είναι η αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω και πρώτο όρο 1α ,

έχουµε ότι *ν 1α = α + (ν 1)ω, ν∈- N .

Συνεπώς:

3

8

α = 8

α = 23

⇔ 1

1

α + 2ω = 8

α + 7ω = 23

⇔ 1α = 8 2ω

5ω = 15

- ⇔

1α = 8 2 3

ω = 3

- ⇔

1α = 2

ω = 3

.

β) 31 1α = α + (31 1)ω = 2 + 30 3 = 2 + 90 = 92- ⋅ .

γ) To άθροισµα των ν πρώτων όρων της αριθµητικής προόδου είναι: 2

*1ν

2α (ν 1)ω 2 2 (ν 1) 3 3ν 1 3ν νS = ν = ν = ν = , ν

2 2 2 2∈

+ − ⋅ + − ⋅ + +N .

Συνεπώς:

1 2 31 1 2 31S = (α +1) + (α + 2) + ...+ (α + 31) = α + α +...+ α +1+ 2 +...+ 31

2

31

1 31 3 31 31 2914= S 31 16 31 16 31 1457 496 1953

2 2 2

+ ⋅ ++ ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + = .

Page 289: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

289

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13,

19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7506 Μια µικρή µεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος y

(σε m) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγµή t (σε sec) µετά την

εκτόξευση δίνεται από τη σχέση: 2y 60t 5t= − .

α) Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος; (Μονάδες …)

β) Ποιες χρονικές στιγµές η σφαίρα θα βρεθεί στο ύψος y 175 m= ; (Μονάδες …)

γ) Να βρεθεί το χρονικό διάστηµα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε

ύψος µεγαλύτερο από 100 m. (Μονάδες …)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

Η συνάρτηση y ορίζεται όταν:

t 0

y 0

≥ ≥

⇔ 2

t 0

60t 5t 0

≥ − ≥

⇔ 2

t 0

60t 5t

≥ ≥

⇔ t 0

t 12

≥ ≤

⇔ 0 ≤ t ≤ 12.

α) Αναζητούµε t∈[0, 12] έτσι ώστε:

y = 0 ⇔ 260t 5t 0− = ⇔ 5t(12 t) 0− = ⇔ t = 0 ή t = 12.

Συνεπώς η µπάλα επανέρχεται στο έδαφος µετά από 12 sec.

β) Αναζητούµε t∈[0, 12] έτσι ώστε:

y = 175 ⇔ 260t 5t 175− = ⇔ 25t 60t 175 0− + = ⇔ 2t 12t 35 0− + = (Ι).

Το τριώνυµο 2t 12t 35− + έχει διακρίνουσα 2∆ ( 12) 4 1 35 4= − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

12 2 147

( 12) 4 12 2 2 2t

12 2 102 1 25

2 2

+ = =− − ± ± = = = −⋅ = =

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ t = 5 ή t = 7,

δηλαδή η µπάλα βρίσκεται σε ύψος 175 m µετά από 5 sec και µετά από 7 sec.

γ) Αναζητούµε t∈[0, 12] έτσι ώστε:

y > 100 ⇔ 260t 5t 100− > ⇔ 25t 60t 100 0− + < ⇔ 2t 12t 20 0− + < (ΙΙ).

Το τριώνυµο 2t 12t 20− + έχει διακρίνουσα 2∆΄ ( 12) 4 1 20 64= − − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

12 8 2010

( 12) 64 12 8 2 2t

12 8 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = = −⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞2 10t

2t 12t 20− + + +−

Συνεπώς:

(ΙΙ) ⇔ 2 < t < 10, ενώ συναληθεύοντας µε την t∈[0, 12] βρίσκουµε 2 < t < 10.

Page 290: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

290

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7510 Τα σπίτια τεσσάρων µαθητών, της Άννας, του Βαγγέλη, του Γιώργου και της

∆ήµητρας, βρίσκονται πάνω σε έναν ευθύγραµµο δρόµο, ο οποίος ξεκινάει από το

σχολείο τους. Οι αποστάσεις των τεσσάρων σπιτιών από το σχολείο, A

s , B

s , Γ

s και

∆s αντίστοιχα, ικανοποιούν τις σχέσεις:

A Β

s s<

A B

Γ

s 3ss

4

+=

∆ Α ∆ Β

s s s s− = −

Στον παρακάτω άξονα, το σχολείο βρίσκεται στο σηµείο Ο και τα σηµεία Α, Β

παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών της Άννας και του Βαγγέλη αντίστοιχα.

α) Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα τα σηµεία Γ και ∆, που παριστάνουν τις

θέσεις των σπιτιών του Γιώργου και της ∆ήµητρας. Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 12)

β) Αν, επιπλέον, οι τιµές των αποστάσεων A

s , B

s σε km ικανοποιούν τις σχέσεις

Α Βs s 1,4+ = και

A Bs s 0,45⋅ = , τότε:

i) Να κατασκευάσετε µία εξίσωση 2ου βαθµού που να έχει ρίζες τους αριθµούς

As ,

Bs . (Μονάδες 6)

ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις A

s , B

s , Γ

s και ∆

s . (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 2.3, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | s s | | s s |∆ Α ∆ Β− = − ⇔ s s s s∆ Α ∆ Β− = − ή s s s s∆ Α ∆ Β− =− + ⇔

⇔ s sΑ Β= (απορρίπτεται) ή 2s s s∆ Α Β= + ⇔ s s

s2

Α Β∆

+= .

Ισχύει ότι s s s 3s

s s2 4

Α Β Α ΒΑ Β

+ +< < < , αφού:

• s s

s2

Α ΒΑ

+< ⇔ 2s s sΑ Α Β< + ⇔ s sΑ Β< ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική,

• s s s 3s

2 4

Α Β Α Β+ +< 4s 4s 2s 6sΑ Β Α Β+ < + 2s 2sΑ Β< ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική και

• s 3s

s4

Α ΒΒ

+< ⇔ s 3s 4sΑ Β Β+ < ⇔ s sΑ Β< ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

Page 291: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

291

Συνεπώς s s s sΑ ∆ Γ Β< < < , άρα έχουµε τον άξονα:

Ο ∆ ΓΑ Β

β) i) Μια δευτεροβάθµια εξίσωση µε άθροισµα ριζών S και γινόµενο Ρ έχει τη

µορφή 2x Sx P 0− + = . Στην περίπτωσή µας έχουµε A BS s s 1, 4= + = και

A BP s s 0,45= = , οπότε µια τέτοια εξίσωση είναι η 2x 1,4x 0,45 0− + = .

ii) Το τριώνυµο 2x 1, 4x 0, 45− +

έχει διακρίνουσα 2∆ ( 1, 4) 4 0, 45 0,16= − − ⋅ =

και ρίζες

1,4 0, 4 1,80,9

( 1, 4) 0,16 1, 4 0, 4 2 2x

1, 4 0, 4 12 1 20,5

2 2

+ = =− − ± ± = = = −⋅ = =

,

οπότε As 0,5= και Bs 0,9= , αφού As sΒ< .

Επιπλέον, s s 1,4

s 0,72 2

Α Β∆

+= = = και

s 3s 0,5 3 0,9 0,5 2,7 3,2s 0,8

4 4 4 4

Α ΒΓ

+ + ⋅ += = = = = .

Page 292: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

292

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 13,

19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7511 Ένα δηµοτικό κολυµβητήριο έχει σχήµα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆, µε

διαστάσεις 15 m και 2 5m. Ο δήµος, για λόγους ασφαλείας, θέλει να κατασκευάσει

γύρω από το κολυµβητήριο µια πλακοστρωµένη ζώνη µε σταθερό πλάτος x m

( x 0> ), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.

α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν της ζώνης δίνεται από τη σχέση: 2E(x) 4x 80x, x 0= + > . (Μονάδες 9)

β) Να βρεθεί το πλάτος x της ζώνης, αν αυτή έχει εµβαδόν 2E 500 m= .

(Μονάδες 7)

γ) Ποιο µπορεί να είναι το πλάτος της ζώνης, αν αυτή έχει εµβαδόν µικρότερο από 2500 m ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Έχουµε ότι Α∆ = ΒΓ = 25 και ΑB = Γ∆ = 15 ,

ενώ το µεγάλο ορθογώνιο έχει διαστάσεις 25 + 2x, 15 + 2x.

Επιπλέον, πρέπει

x 0

25 2x 0

15 2x 0

> + > + >

x 0

25x

2

15x

2

> >− >−

⇔ x 0> .

Έχουµε ότι (AB ) ΑΒ Α∆ 15 25 375Γ∆ = ⋅ = ⋅ = και

2 2ορθογ.Ε (15 2x)(25 2x) 375 30x 50x 4x 4x 80x 375= + + = + + + = + + .

Συνεπώς: 2 2E(x) 4x 80x 375 375 4x 80x= + + − = + , για ( )x∈ 0, +∞ .

Page 293: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

293

β) Αναζητούµε ( )x∈ 0, +∞ έτσι ώστε:

E(x) 500= ⇔ 24x 80x 500+ = ⇔ 24x 80x 500 0+ − = ⇔

⇔ 2x 20x 125 0+ − = (Ι).

Το τριώνυµο 2x 20x 125+ − έχει διακρίνουσα 2∆ 20 4 1 ( 125) 900= − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

20 30 105

20 900 20 30 2 2x

20 30 502 1 225

2 2

− + = =− ± − ± = = =− − −⋅ = =−

.

Συνεπώς (Ι) ⇔ x = 5 ή x = −25 (απορρίπτεται) ⇔ x = 5,

δηλαδή το πλάτος της ζώνης πρέπει να είναι 5 m,

ώστε το εµβαδόν να είναι 2500 m .

γ) Αναζητούµε ( )x∈ 0, +∞ έτσι ώστε:

E(x) 500< ⇔ 24x 80x 500+ < ⇔ 24x 80x 500 0+ − < ⇔

⇔ 2x 20x 125 0+ − < (ΙΙ).

Χρησιµοποιώντας ό,τι βρήκαµε στο (β) ερώτηµα, έχουµε τον ακόλουθο πίνακα

προσήµου:

25−

2x 20x 125+ − + +−

5x −∞ +∞

Συνεπώς (ΙΙ) ⇔ −25 < x < 5 και συναληθεύοντας µε τη ( )x∈ 0, +∞ βρίσκουµε

ότι ( )x 5∈ 0, .

Εποµένως το πλάτος της ζώνης πρέπει να είναι το πολύ 5 m, όταν αυτή έχει

εµβαδόν µικρότερο από 2500 m .

Page 294: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

294

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 11,

13, 19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7512 Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει περίµετρο Π 40cm= . Αν x cm είναι το

µήκος του παραλληλογράµµου, τότε:

α) να αποδείξετε ότι 0 x 20< < . (Μονάδες 4)

β) να αποδείξετε ότι το εµβαδόν E(x) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση:

2E(x) 20x x= − . (Μονάδες 8)

γ) να αποδείξετε ότι ισχύει E(x) 100≤ , για κάθε ( )x 0, 20∈ . (Μονάδες 6)

δ) να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια µε σταθερή περίµετρο 40 cm, εκείνο

που έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 10 cm.

(Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 3.3, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αν y cm είναι το πλάτος του ορθογωνίου, ισχύει ότι Π = 2x + 2y,

οπότε 40 = 2x + 2y ⇔ 40 = 2(x + y) ⇔ x + y = 20 ⇔ y = 20 – x.

Πρέπει x 0

20 x 0

> − >

⇔ x 0

x 20

> <

⇔ 0 < x < 20.

β) Το εµβαδόν του ορθογωνίου δίνεται από το γινόµενο xy, οπότε: 2E(x) x(20 x) x 20x= − =− + , για x∈(0, 20).

γ) Για x∈(0, 20) έχουµε:

E(x) ≤ 100 ⇔ 2x 20x 100− + ≤ ⇔ 2x 20x 100 0− + ≥ ⇔ 2(x 10) 0− ≥ ,

η οποία ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική.

δ) Αναζητούµε x∈(0, 20) έτσι ώστε:

E(x) = 100 ⇔ 2x 20x 100− + = ⇔ 2x 20x 100 0− + = ⇔ 2(x 10) 0− = ⇔

⇔ x – 10 = 0 ⇔ x = 10, οπότε και y = 20 – 10 = 10, δηλαδή το ορθογώνιο µε

το µεγαλύτερο εµβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 10 cm.

Page 295: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

295

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 9, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7514 ∆ίνεται αριθµητική πρόοδος ν(α ) µε 3α 10= και 20α 61= .

α) Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδου. (Μονάδες 8)

β) Να εξετάσετε αν ο αριθµός 333 είναι όρος της προόδου. (Μονάδες 8)

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι x και y της παραπάνω προόδου ν(α ) ,

τέτοιοι ώστε να ισχύει: x y

2 3= . (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.1, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Η *να , ν ,∈N είναι αριθµητική πρόοδος µε διαφορά ω,

οπότε *ν 1α = α + (ν 1)ω, ν∈- N . Συνεπώς:

3

20

α = 10

α = 61

⇔ 1

1

α + 2ω = 10

α +19ω = 61

⇔ 1α + 2ω = 10

17ω = 51

⇔ 1α = 10 2ω

ω = 3

- ⇔

1α = 4

ω = 3

.

β) Έχουµε ότι *ν 1α = α + (ν 1)ω = 4 + (ν 1) 3 = 4 + 3ν 3 = 3ν +1, ν∈- - -⋅ N .

Αναζητούµε (αν υπάρχει) *ν∈N έτσι ώστε:

να = 333 3ν + 1 = 333 3ν = 332 *332ν

3∉N= ,

οπότε δεν υπάρχει όρος της προόδου που να είναι ίσος µε 333.

γ) Αφού οι x, y είναι διαδοχικοί όροι της αριθµητικής προόδου *να , ν ,∈N µε

x y

2 3= , έχουµε y > x, αφού x, y > 0.

Συνεπώς θεωρούµε *ν ν+1x = α = 3ν +1, y = α = 3(ν +1) +1 = 3ν + 4, ν∈N ,

οπότε προκύπτει:

3ν +1 3ν + 4

2 3= ⇔ 9ν + 3 = 6ν + 8 ⇔ 9ν – 6ν = 8 – 3 ⇔ 3ν = 5 ⇔

⇔ *5ν

3∉N= , εποµένως δεν υπάρχουν τέτοιοι όροι της προόδου.

Page 296: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

296

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 9, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7515

∆ίνεται η εξίσωση: 2x 2x λ 0− + = , µε παράµετρο λ 1< .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2x , x διαφορετικές µεταξύ τους.

(Μονάδες 6)

β) Να δείξετε ότι: 1 2x x 2+ = . (Μονάδες 4)

γ) Αν για τις ρίζες 1 2x , x ισχύει επιπλέον 1 2x 2 x 2− = + , τότε:

i) Να δείξετε ότι: 1 2x x 4− = . (Μονάδες 7)

ii) Να προσδιορίσετε τις ρίζες 1 2x ,x και την τιµή του λ. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Για λ < 1 το τριώνυµο 2x 2x λ− + έχει διακρίνουσα 2∆ ( 2) 4λ = 4 4λ = 4(1 λ) > 0= − − − − ,

οπότε η εξίσωση 2x 2x λ = 0− + έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες.

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, για λ < 1 έχουµε ότι:

1 2

2S x x 2

1

−= + =− = και 1 2

λP x x λ

1= = = .

γ) i) Έχουµε ότι:

1 2| x 2 | | x 2 |− = + ⇔ 1 2x 2 x 2− = + ή 1 2x 2 x 2− =− − ⇔

⇔ 1 2x x 4− = ή 1 2x x 0+ = (απορρίπτεται) ⇔ 1 2x x 4− = .

ii) Για λ < 1 έχουµε ότι:

1 2

1 2

x x 2

x x 4

+ = − =

⇔ 1

1 2

2x 6

x x 4

= − =

⇔ 1

2 1

x 3

x x 4

= = −

⇔ 1

2

x 3

x 1

= =−

.

Αφού 1 2P x x λ= = , έχουµε ότι λ = −3.

Page 297: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

297

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7516

∆ίνεται η εξίσωση: ( )2 2αx α 1 x α 0− − − = , µε παράµετρο α 0≠ .

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: ( )22∆ α 1= + .

(Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι: 1ρ α= και 2

α= − .

(Μονάδες 10)

γ) Να βρεθούν οι τιµές του α ώστε: 1 2ρ ρ 2− = . (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2 2αx (α 1)x α− − − (α ≠ 0) έχει διακρίνουσα

2 2 4 2 2 4 2 2 2∆ [ (α 1)] 4α( α) α 2α 1 4α α 2α 1 (α +1)= − − − − = − + + = + + = .

β) Η εξίσωση 2 2αx (α 1)x α = 0− − − (α ≠ 0) έχει ∆ > 0,

οπότε έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, τις

2 2 2 2 2[ (α 1)] (α 1) α 1 (α 1)x = =

2α 2α

−− − ± + − ± +

2 2 2 2 2

2 2 2 2

α 1 (α 1) α 1 α 1 2αα

2α 2α 2α

α 1 (α 1) α 1 α 1 2 1

2α 2α 2α α

− + + − + + = = == − − + − − − − = = =−

.

Συνεπώς οι ρίζες είναι οι 1ρ α= και 2

α= − .

γ) Αναζητούµε α ≠ 0 έτσι ώστε:

1 2| ρ ρ | 2− = 1

α 2α

− − = ⇔

⇔ 1

α 2α+ = ή

1α 2

α+ =− ⇔

⇔ 2α 1 2α+ = ή 2α 1 2α+ =− ⇔

⇔ 2α 2α 1 0− + = ή 2α 2α 1 0+ + = ⇔

⇔ 2(α 1) 0=- ή 2(α +1) 0= ⇔

α = 1 ή α = −1 ⇔ α = ±1.

Page 298: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

298

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 12, 19

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7517 ∆ύο φίλοι αποφασίζουν να συνεταιριστούν και ανοίγουν µια επιχείρηση που γεµίζει

τόνερ (toner) για φωτοτυπικά µηχανήµατα. Τα πάγια µηνιαία έξοδα της εταιρείας

ανέρχονται στο ποσό των 6500 ευρώ (για ενοίκιο, παροχές, µισθούς, φόρους κ.ά.).

Το κόστος γεµίσµατος ενός τόνερ είναι 15 ευρώ, η δε τιµή πώλησης ενός τόνερ

καθορίζεται σε 25 ευρώ.

α) Να γράψετε µια σχέση που να περιγράφει το µηνιαίο κόστος Κ(ν) της επιχείρη-

σης, αν γεµίζει ν τόνερ τον µήνα. (Μονάδες 5)

β) Να γράψετε µία σχέση που να εκφράζει τα µηνιαία έσοδα Ε(ν) της επιχείρησης

από την πώληση ν αριθµού τόνερ τον µήνα. (Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε πόσα τόνερ πρέπει να πωλούνται κάθε µήνα ώστε η επιχείρηση:

i) να µην έχει ζηµιά. (Μονάδες 7)

ii) να έχει µηνιαίο κέρδος τουλάχιστον 500 ευρώ. (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 4.1, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) K(ν) = 6500 +15ν ευρώ, για ν∈N .

β) Ε(ν) = 25ν ευρώ, για ν∈N .

γ) i) Αναζητούµε ν∈N έτσι ώστε:

Ε(ν) = Κ(ν) ⇔ 25ν = 6500 + 15ν ⇔ 25ν – 15ν = 6500 ⇔ 10ν = 6500 ⇔

⇔ ν = 650,

δηλαδή πρέπει να πουλά 650 τόνερ τον µήνα για να µην έχει ζηµιά.

ii) Αναζητούµε ν∈N έτσι ώστε:

Ε(ν) – Κ(ν) ≥ 500 ⇔ 25ν – 6500 – 15ν ≥ 500 ⇔ 25ν – 15ν ≥ 6500 + 500 ⇔

⇔ 10ν ≥ 7000 ⇔ ν ≥ 700,

δηλαδή πρέπει να πουλά 700 τόνερ τον µήνα για να έχει µηνιαίο κέρδος

τουλάχιστον 500 €.

Page 299: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

299

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11,

12, 13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7677 ∆ίνεται η ανίσωση: | x 1| 4+ < (1).

α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της πάνω

στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1). (Μονάδες 3)

γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυµο της µορφής 2x x+β + γ το οποίο να έχει ρίζες

δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1) και να έχει θετική τιµή, για κάθε

x 0≤ . (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.3, 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | x 1| 4 4 x 1 4 4 1 x 4 1 5 x 3+ < ⇔ − < + < ⇔ − − < < − ⇔ − < < .

Η παράσταση της λύσης της | x 1| 4+ < στον άξονα των πραγµατικών αριθµών

φαίνεται ακολούθως:

−∞ +∞5− 3

β) Οι ακέραιοι που βρίσκονται στο διάστηµα (−5, 3) είναι οι 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2− − − − .

γ) Αφού θέλουµε το τριώνυµο 2x x+β + γ να έχει θετική τιµή για κάθε x 0≤ ,

αρκεί η µικρότερη από τις ρίζες του (αν αυτές είναι άνισες) να είναι θετική.

Συνεπώς επιλέγουµε η µικρή ρίζα να είναι το 1x 1= και η µεγάλη το 2x 2= .

Από τους τύπους του Vieta έχουµε 1 2S x x β= + = − και 1 2Ρ x x γ= = , οπότε:

1 2 β β 3+ = − ⇔ = − και γ 1 2 2= ⋅ = ,

άρα το τριώνυµο είναι το 2x 3x 2− + .

Αξίζει να αναφέρουµε ότι τριώνυµα (µε µία διπλή ρίζα) που ικανοποιούν τις

προϋποθέσεις της άσκησης είναι και τα:

• 2x 2x 1− + , όταν έχουµε διπλή ρίζα το 1,

• 2x 4x 4− + , όταν έχουµε διπλή ρίζα το 2.

Page 300: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

300

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11,

12, 13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7684 ∆ίνεται η ανίσωση: | x 1| 3− ≤ (1)

α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της πάνω

στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1). (Μονάδες 3)

γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυµο της µορφής 2x x+β + γ το οποίο να έχει ρίζες

δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1) και να έχει θετική τιµή, για κάθε

x 0≥ . (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.3, 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | x 1| 3 3 x 1 3 1 3 x 1 3 2 x 4− ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + ⇔ − ≤ ≤

Η παράσταση της λύσης της | x 1| 3− ≤ στον άξονα των πραγµατικών αριθµών

φαίνεται ακολούθως:

−∞ +∞2− 4

β) Οι ακέραιοι που βρίσκονται στο διάστηµα [−2, 4] είναι οι 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4− − .

γ) Αφού θέλουµε το τριώνυµο 2x x+β + γ να έχει θετική τιµή για κάθε x 0≥ ,

αρκεί η µεγαλύτερη από τις ρίζες του (αν αυτές είναι άνισες) να είναι αρνητική.

Συνεπώς επιλέγουµε η µικρή ρίζα να είναι το 1x 2= − και η µεγάλη το 2x 1= − .

Από τους τύπους του Vieta έχουµε 1 2S x x β= + = − και 1 2Ρ x x γ= = , οπότε:

1 2 β β 3− − = − ⇔ = και γ ( 1) ( 2) 2= − ⋅ − = ,

άρα το τριώνυµο είναι το 2x 3x 2+ + .

Αξίζει να αναφέρουµε ότι τριώνυµα (µε µία διπλή ρίζα) που ικανοποιούν τις

προϋποθέσεις της άσκησης είναι και τα:

• 2x 2x 1+ + , όταν έχουµε διπλή ρίζα το −1,

• 2x 4x 4+ + , όταν έχουµε διπλή ρίζα το −2.

Page 301: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

301

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 12,

13, 19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7745

∆ίνεται το τριώνυµο 2f (x) x 2x 3= − + + .

α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου f(x) για τις διάφορες τιµές του x.

(Μονάδες 10)

β) Να προσδιορίσετε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσηµο του γινοµένου:

f(2,999) ⋅ f(−1,002). (Μονάδες 7)

γ) Αν 3 3− < α < , να βρείτε το πρόσηµο του αριθµού: 2 2 | | 3−α + α + . (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.1, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 2x 3− + + έχει διακρίνουσα 22 4 ( 1) 3 12∆ = − ⋅ − ⋅ = ,

ρίζες

2 4 21

2 16 2 4 2 2x

2 4 62 ( 1) 23

2 2

− + = = −− ± − ± − −= = = − − −⋅ − − = =

− −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1− 3x

2x 2x 3− + + +− −

Συνεπώς:

• 2f (x) 0 x 2x 3 0 x ( 1, 3)> ⇔ − + + > ⇔ ∈ − ,

• 2f (x) 0 x 2x 3 0 x 1 ή x 3= ⇔ − + + = ⇔ = − = και

• 2f (x) 0 x 2x 3 0 x ( , 1) (3, )< ⇔ − + + < ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ .

β) Έχουµε ότι 2,999 ( 1,3)∈ − , άρα f (2,999) 0> , αφού f (x) 0 x ( 1, 3)> ⇔ ∈ − .

Επίσης, −1,002∈(−∞, −1), άρα f ( 1,002) 0− < , αφού

f (x) 0 x ( , 1) (3, )< ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ .

Συνεπώς f(2,999) ⋅ f(−1,002) < 0.

γ) 3 3 3− < α < ⇔ α < , άρα [0, 3)α ∈ .

Αφού [0,3) ( 1,3)α ∈ ⊆ − και f (x) 0 x ( 1, 3)> ⇔ ∈ − , έχουµε ότι:

( )2 22 | | 3 | | 2 | | 3 f | | 0−α + α + = − α + α + = α > .

Page 302: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

302

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 12,

19, 20, 21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού

Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7784 Στο παρακάτω σχήµα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις fC και gC των

συναρτήσεων f και g αντίστοιχα, µε f(x) = |x – 2| και g(x) = 1, x∈R.

α) i) Να εκτιµήσετε τα σηµεία τοµής των fC και gC .

ii) Να εκτιµήσετε τις τιµές του x, για τις οποίες η fC είναι κάτω από τη gC .

(Μονάδες 10)

β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στο προηγούµενο ερώτηµα.

(Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του x έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού η παράσταση

1 f (x)A

f (x)

−= . (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 4.1, 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) i) Από το σχήµα φαίνεται ότι τα σηµεία τοµής των fC και gC είναι τα (1, 1) και

(3, 1).

ii) Από το σχήµα φαίνεται ότι η fC είναι κάτω από τη gC όταν x∈(1, 3).

β) Αλγεβρικά, τα σηµεία τοµής των fC και gC προκύπτουν από τη λύση της εξίσω-

σης:

f (x) g(x) x 2 1 x 2 1 ή x 2 1 x 2 1 ή x 2 1= ⇔ − = ⇔ − = − − = ⇔ = − = + ⇔

x 1 ή x 3⇔ = = , άρα τα σηµεία τοµής είναι τα (1, 1) και (3, 1),

αφού g(1) = g(3) = 1.

Page 303: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

303

Αλγεβρικά, οι τιµές του x για τις οποίες η fC είναι κάτω από τη gC προκύπτουν

από τις λύσεις της ανίσωσης:

f (x) g(x) x 2 1 1 x 2 2 1 x 2 1 1 x 3< ⇔ − < ⇔ − < − ⇔ − < < + ⇔ < < .

γ) Πρέπει:

1 f (x) 0 f (x) 1 | x 2 | 1 1 x 2 1

f (x) 0 f (x) 0 | x 2 | 0 x 2 0

− ≥ ≤ − ≤ − ≤ − ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

≠ ≠ − ≠ − ≠

2 1 x 2 1 1 x 3x [1, 2) (2, 3]

x 2 x 2

− ≤ ≤ + ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ∈ ∪

≠ ≠ ,

άρα η παράσταση Α ορίζεται στο διάστηµα [1, 2) (2, 3]∪ .

Page 304: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

304

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7791 ∆ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί α και β για τους οποίους ισχύει η ανίσωση:

(α – 1)(1 – β) > 0.

α) Να αποδείξετε ότι το 1 είναι µεταξύ των α, β. (Μονάδες 13)

β) Αν επιπλέον |β – α| = 4, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

Κ = |α – 1| + |1 – β|. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε γεωµετρικά είτε

αλγεβρικά. (Μονάδες 12)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) (α – 1)(1 – β) > 0 ⇔ (α – 1 > 0 και 1 – β > 0) ή (α – 1 < 0 και 1 – β < 0) ⇔

⇔ (α > 1 και –β > −1) ή (α < 1 και –β < −1) ⇔

⇔ (α > 1 και β < 1) ή (α < 1 και β > 1) ⇔

⇔ (1 < α και β < 1) ή (α < 1 και 1 < β) ⇔ β < 1 < α ή α < 1 < β,

άρα το 1 είναι µεταξύ των α, β.

β) • Αν β < 1 < α, έχουµε ότι:

α – 1 > 0, άρα |α – 1| = α – 1,

1 – β > 0, άρα |1 – β| = 1 – β και

α – β > 0, άρα 4 = |β – α| = |α – β| = α – β,

οπότε Κ = α – 1 + 1 – β = α – β = 4.

• Αν α < 1 < β, έχουµε ότι:

α – 1 < 0, άρα |α – 1| = −(α – 1) = − α + 1,

1 – β < 0, άρα |1 – β| = −(1 – β) = −1 + β και

α – β < 0, άρα 4 = |β – α| = |α – β| = −(α – β) = −α + β,

οπότε Κ = − α + 1 + (−1 + β) = − α + 1 − 1 + β = β – α = 4.

Γεωµετρική ερµηνεία

Θεωρούµε στον άξονα των πραγµατικών τα σηµεία Α(α), Β(β) και Γ(1), όπου το

Γ(1) είναι πάντα ανάµεσα στα Α(α) και Β(β).

Τότε |α – 1| = ΑΓ, |1 – β| = ΒΓ, |β – α| = ΑΒ = 4,

οπότε Κ = ΑΓ + ΒΓ = ΑΒ = 4.

Α Γ Β

α 1 β

α < 1 < β

Β Γ Α

β 1 α

β < 1 < α

Page 305: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

305

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 11

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7940

α) Να λύσετε τις εξισώσεις 23x 14x 8 0− + = (1) και 28x 14x 3 0− + = (2).

(Μονάδες 10)

β) Ένας µαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης (2) είναι οι αντίστροφοι

των ριζών της εξίσωσης (1) και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για

οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της µορφής: 2x x 0α +β + γ = (3) και 2x x 0γ +β +α = (4) µε αγ ≠ 0. Αποδείξτε τον ισχυρισµό του µαθητή, δείχνοντας

ότι: Αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (3) και α·γ ≠ 0, τότε:

i) ρ ≠ 0 και (Μονάδες 5)

ii) ο 1

ρ επαληθεύει την εξίσωση (4). (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 3.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 23x 14x 8− + έχει διακρίνουσα 2( 14) 4 3 8 100∆ = − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

14 10 244

( 14) 100 14 10 6 6x

14 10 4 22 3 6

6 6 3

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς 2 23x 14x 8 0 x 4 ή x

3− + = ⇔ = = .

Το τριώνυµο 28x 14x 3− + έχει διακρίνουσα 2( 14) 4 8 3 100∆ = − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

14 10 24 3

( 14) 100 14 10 16 16 2x

14 10 4 12 8 16

16 16 4

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

.

Συνεπώς 2 1 38x 14x 3 0 x ή x

4 2− + = ⇔ = = .

β) Αφού το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 2x x 0α +β + γ = ,

έχουµε ότι 2 0αρ +βρ+ γ = (Ι).

i) Αν ρ = 0, από την (Ι) προκύπτει ότι γ = 0, που είναι άτοπο, αφού αγ ≠ 0,

οπότε ρ ≠ 0.

ii)

22

2 2 2 2

1 1( ) 0 0 0

αρ βρ γ β γΙ ⇔ + + = ⇔ α+ + = ⇔ γ +β⋅ + γ = ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

, οπότε ο

αριθµός 1

ρ επαληθεύει την εξίσωση 2x x 0γ +β +α = .

Page 306: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

306

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11,

12, 13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7958

α) Να λύσετε την ανίσωση: 2 5x 1 x

2+ ≥ . (Μονάδες 10)

β) ∆ίνονται δύο αριθµοί κ, λ οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης (1) και ικανο-

ποιούν επιπλέον τη σχέση: (λ – 1)(κ – 1) < 0.

i) Να δείξετε ότι το 1 είναι µεταξύ των κ, λ. (Μονάδες 8)

ii) Να δείξετε ότι: 3

| |2

κ −λ ≥ . (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.3, 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) 2 2 2 25 5x 1 x 2 x 2 1 2 x 2x 2 5x 2x 5x 2 0

2 2+ ≥ ⇔ ⋅ + ⋅ ≥ ⋅ ⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ (Ι).

Το τριώνυµο 22x 5x 2− + έχει διακρίνουσα 2( 5) 4 2 2 9∆ = − − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

5 3 82

( 5) 9 5 3 4 4x

5 3 2 12 2 4

4 4 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1

22

x

22x 5x 2− + + +−

Συνεπώς 1

(I) x , [2, )2

⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ .

β) i) (λ – 1)(κ – 1) < 0 ⇔

⇔ (λ – 1 > 0 και κ – 1 < 0) ή (λ – 1 < 0 και κ – 1 > 0) ⇔

⇔ (λ > 1 και κ < 1) ή (λ < 1 και κ > 1) ⇔

⇔ (1 < λ και κ < 1) ή (λ < 1 και 1 < κ) ⇔

⇔ κ < 1 < λ ή λ < 1 < κ,

άρα το 1 είναι µεταξύ των κ, λ.

ii) • Αν κ < 1 < λ, έχουµε κ < λ ⇔ κ – λ < 0, οπότε |κ – λ| = −(κ – λ) = −κ + λ.

Επίσης, αφού οι αριθµοί κ, λ είναι λύσεις της ανίσωσης 2 5x 1 x

2+ ≥ , έχουµε

ότι λ ≥ 2 και 1 1

2 2κ ≤ ⇔ −κ ≥ − , τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη, οπότε:

1 3 3 3

22 2 2 2

λ − κ ≥ − ⇔ λ − κ ≥ ⇔ λ− κ ≥ ⇔ κ−λ ≥ .

• Αν λ < 1 < κ, έχουµε κ > λ κ – λ > 0, οπότε |κ – λ| = κ – λ.

Page 307: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

307

Επίσης, αφού οι αριθµοί κ, λ είναι λύσεις της ανίσωσης 2 5x 1 x

2+ ≥ , έχουµε

ότι κ ≥ 2 και 1 1

2 2λ ≤ ⇔ −λ ≥ − , τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη, οπότε:

1 3 3

22 2 2

κ −λ ≥ − ⇔ κ−λ ≥ ⇔ κ−λ ≥ .

Συνεπώς σε κάθε περίπτωση ισχύει 3

| |2

κ −λ ≥ .

Page 308: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

308

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 12,

13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_7974

∆ίνεται πραγµατικός αριθµός α, που ικανοποιεί τη σχέση: 2 1α− < .

α) Να γράψετε σε µορφή διαστήµατος το σύνολο των δυνατών τιµών του α.

(Μονάδες 8)

β) Θεωρούµε στη συνέχεια το τριώνυµο: 2 1x ( 2)x

4− α − + .

i) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να προσδιορίσετε το πρόσηµό

της. (Μονάδες 10)

ii) Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή του x∈R, ισχύει 2 1x ( 2)x 0

4− α − + > .

(Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) ( )2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1, 3α− < ⇔ − < α − < ⇔ − < α < + ⇔ < α < ⇔ α∈ .

β) i) Το τριώνυµο 2 1x ( 2)x

4− α − + έχει διακρίνουσα

2 2 21[ ( 2)] 4 1 4 4 1 4 3

4∆ = − α − − ⋅ ⋅ = α − α + − = α − α + .

Το τριώνυµο 2 4 3α − α + έχει διακρίνουσα 2΄ ( 4) 4 1 3 4∆ = − − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

4 2 63

( 4) 4 4 2 2 2α

4 2 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1 3α

2α 4α 3− + + +−

Αφού α∈(1, 3), έχουµε ότι 2 4 3 0 0α − α + < ⇔ ∆ < .

ii) Αφού η διακρίνουσα του τριωνύµου 2 1x ( 2)x

4− α − + είναι αρνητική, έχουµε

ότι 2 1x ( 2)x 0

4− α − + > , για κάθε x∈R .

Page 309: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

309

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 17

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_8170 ∆ίνεται γεωµετρική πρόοδος ( )να µε λόγο λ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:

3 54, 16α = α = και λ > 0.

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο 1α και τον λόγο λ της προόδου. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία ( )νβ µε 1

νν

β =α

αποτελεί επίσης γεωµετρική

πρόοδο µε λόγο τον αντίστροφο του λόγου της ( )να . (Μονάδες 9)

γ) Αν 10 10S S΄και είναι τα αθροίσµατα των 10 πρώτων όρων των ακολουθιών

( ) ( )ν να και β αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση 10 109

1S΄ S

2= .

(Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 5.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού η *, ,να ν∈N είναι γεωµετρική πρόοδος µε λόγο λ > 0, ο νιοστός όρος της

είναι 1 *

1 ,ν−να = α λ ν∈N .

Τότε 3 1 2

3 1 1

−α = α λ = α λ και 5 1 4

5 1 1

−α = α λ = α λ .

Συνεπώς, αφού λ > 0, έχουµε: 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

4 2 2 2 21 1

4 4 4 4 4

216 16 4 16 4

α λ = α λ = α λ = α λ = α λ = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

λ =α λ = α λ λ = λ = λ =

21 11

4 4 12 4

2 22

α = α = α =⇔ ⇔ ⇔

λ = λ =λ = .

β) Για *ν∈N έχουµε ότι:

1 1

11

1

1 1 1

1 2

ν+ ν+ ν

ν+ν ν+

ν ν

β α α= = = = =

αβ α λα α

, που είναι σταθερός αριθµός,

οπότε η *, ,νβ ν∈N είναι επίσης γεωµετρική πρόοδος µε λόγο 1 1

΄2

λ = =λ

,

δηλαδή ο λόγος της *, ,νβ ν∈N είναι αντίστροφος του λόγου της *,να ν∈N .

γ) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της *, ,να ν∈N είναι:

*1

1 2 1S 1 2 1,

1 2 1

ν νν

νλ − −

= α = ⋅ = − ν∈λ − −

N , ενώ 1010S 2 1 1024 1 1023= − = − = .

Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της *, ,νβ ν∈N είναι:

Page 310: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

310

*1 1

1 1 1 2 1 21 1

΄ 1 1 2 12 2 2 2 2S΄ ,1 1 2 1 1' 1 1 212 2 2 2 2

ν ν ν

ν νν ν ν ν

ν ν−

−− − − λ − − = β = ⋅ = = = = ν∈λ − − − − −

N ,

άρα 10

1010 1010 1 9 9 9 9

S2 1 1024 1 1023 1S΄ S

2 2 2 2 2−

− −= = = = = .

Page 311: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

311

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 12,

13, 19 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_8217

α) Να λύσετε την ανίσωση 2x x 6 0+ − < . (Μονάδες 8)

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

x 12

− > . (Μονάδες 5)

γ) ∆ίνεται το παρακάτω παραλληλόγραµµο µε πλευρές α και α + 1

α + 1

α

όπου ο αριθµός α ικανοποιεί τη σχέση 1

12

α − > . Αν για το εµβαδόν Ε του

ορθογωνίου ισχύει Ε < 6, τότε:

i) Να δείξετε ότι: 3

22

< α < . (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών κυµαίνεται η περίµετρος του ορθογωνίου.

(Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 4.1, 4.2, 6.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x x 6+ − έχει διακρίνουσα 21 4 1 ( 6) 25∆ = − ⋅ ⋅ − = ,

ρίζες

1 5 42

1 25 1 5 2 2x

1 5 62 1 23

2 2

− + = =− ± − ± = = =

− − −⋅ = = −

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞3− 2x

2x x 6+ − + +−

Συνεπώς 2x x 6 0 3 x 2+ − < ⇔ − < < .

β) 1 1 1 1 1 1 3

x 1 x 1 ή x 1 x 1 ή x 1 x ή x2 2 2 2 2 2 2

− > ⇔ − < − − > ⇔ < − > + ⇔ < − > .

γ) Αφού οι αριθµοί α και α + 1 είναι µήκη, έχουµε ότι:

0 00

1 0 1

α > α > ⇔ ⇔ α >

α + > α > − (Ι).

i) Αφού 1

12

α − > , λόγω του (β) ερωτήµατος ισχύει 1 3

ή2 2

α < − α > (ΙΙ).

Page 312: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

312

Το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι 2( 1)Ε = α α + = α +α , για το οποίο ισχύει

2 26 6 6 0 3 2Ε < ⇔ α +α < ⇔ α +α− < ⇔ − < α < (ΙΙΙ),

λόγω του (α) ερωτήµατος.

Συναληθεύοντας τις (Ι), (ΙΙ), (ΙΙΙ), βρίσκουµε ότι 3

22

< α < .

−∞ +∞3−

1

2− 0

3

22

ii) 3 3

2 4 4 4 2 2 3 4 4 2 6 4 82 2

< α < ⇔ ⋅ < ⋅α < ⋅ ⇔ ⋅ < α < ⋅ ⇔ < α < ⇔

6 2 4 2 8 2 8 10⇔ + < α+ < + ⇔ < Π < ,

αφού η περίµετρος είναι 2 2( 1) 4 2Π = α + α + = α + .

Εποµένως η περίµετρος του ορθογωνίου κυµαίνεται ανάµεσα στους αριθµούς

8 και 10.

Page 313: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

313

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_8443 α) Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει | x 4 | 2− < .

(Μονάδες 10)

β) Θεωρούµε πραγµατικό αριθµό x που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των

πραγµατικών αριθµών είναι µικρότερη του 2.

i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλασίου του αριθµού αυτού από το 4

είναι µεγαλύτερη του 2 και µικρότερη του 14. (Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε µεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η τιµή της απόστασης του 3x από

το 19. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | x 4 | 2 2 x 4 2 4 2 x 4 2 2 x 6− < ⇔ − < − < ⇔ − < < + ⇔ < < .

β) Η απόσταση του x από το 4 εκφράζεται µε την παράσταση |x – 4|, η οποία πρέπει

να είναι µικρότερη του 2, οπότε ισχύει | x 4 | 2− < .

i) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι:

| x 4 | 2 2 x 6 3 2 3 x 3 6 6 3x 18− < ⇔ < < ⇔ ⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ < < ⇔

6 4 3x 4 18 4 2 3x 4 14 2 | 3x 4 | 14⇔ − < − < − ⇔ < − < ⇔ < − < ⇔

2 d(3x, 4) 14⇔ < < , δηλαδή η απόσταση του 3x από το 4 είναι µεγαλύτερη

του 2 και µικρότερη του 14.

ii) Από το (α) ερώτηµα έχουµε ότι:

| x 4 | 2 2 x 6 3 2 3 x 3 6 6 3x 18− < ⇔ < < ⇔ ⋅ < ⋅ < ⋅ ⇔ < < ⇔

6 19 3x 19 18 19 13 3x 19 1⇔ − < − < − ⇔ − < − < − ⇔

1 ( 13) 1 (3x 19) 1 ( 1) 13 3x 19 1⇔ − ⋅ − > − ⋅ − > − ⋅ − ⇔ > − + > ⇔

1 19 3x 13 1 |19 3x | 13 1 d(3x,19) 13⇔ < − < ⇔ < − < ⇔ < < ,

δηλαδή η απόσταση του 3x από το 19 είναι µεγαλύτερη του 3 και µικρότερη

του 13.

Page 314: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

314

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11, 13

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_8445

α) ∆ίνεται το τριώνυµο 2x 3x 2, x− + ∈R . Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου.

(Μονάδες 10)

β) Θεωρούµε πραγµατικούς αριθµούς α, β διαφορετικούς από το 0 µε α < β για τους

οποίους ισχύει ( )( )2 23 2 3 2 0α − α + β − β+ < .

Να αποδείξετε ότι ( 1)( 2) ( 1)( 2)α− β− = α − β− . (Μονάδες 15)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.3, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Το τριώνυµο 2x 3x 2− + έχει διακρίνουσα 2( 3) 4 1 2 1∆ = − − ⋅ ⋅ = ,

ρίζες

3 1 42

( 3) 1 3 1 2 2x

3 1 22 1 21

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

και πίνακα προσήµου:

−∞ +∞1 2x

2x 3x 2− + + +−

Συνεπώς:

• 2x 3x 2 0 x (1, 2)− + < ⇔ ∈ ,

• 2x 3x 2 0 x 1 ή x 2− + = ⇔ = = και

• 2x 3x 2 0 x ( ,1) (2, )− + > ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ .

β) ( )( )2 23 2 3 2 0α − α + β − β+ < ⇔

( ) ( )2 2 2 23 2 0 και 3 2 0 ή 3 2 0 και 3 2 0⇔ α − α + > β − β+ < α − α + < β − β+ > ⇔

( ) ( )( ,1) (2, ) και (1, 2) ή (1, 2) και ( ,1) (2, )⇔ α∈ −∞ ∪ +∞ β∈ α∈ β∈ −∞ ∪ +∞ .

• Αν ( ,1) (2, ) και (1, 2)α∈ −∞ ∪ +∞ β∈ και µε δεδοµένο ότι α < β, έχουµε ότι:

( ,1) και (1, 2) 1 και 1 2α∈ −∞ β∈ ⇔ α < < β < ⇔

1 1 1 και 1 2 2 2 2 1 0 και 1 2 0⇔ α − < − − < β− < − ⇔ α− < − < β− < ,

δηλαδή (α – 1)(β – 2) > 0, οπότε ( 1)( 2) ( 1)( 2)α− β− = α − β− .

• Αν (1, 2) και ( ,1) (2, )α∈ β∈ −∞ ∪ +∞ και µε δεδοµένο ότι α < β, έχουµε ότι:

(1, 2) και (2, ) 1 2 και 2α∈ β∈ +∞ ⇔ < α < β > ⇔

1 1 1 2 1 και 2 2 2 0 1 1 και 2 0⇔ − < α − < − β− > − ⇔ < α − < β− > ,

δηλαδή (α – 1)(β – 2) > 0, οπότε ( 1)( 2) ( 1)( 2)α− β− = α − β− .

Συνεπώς σε κάθε περίπτωση ισχύει ( 1)( 2) ( 1)( 2)α− β− = α − β− .

Page 315: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

315

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11,

13, 19, 20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού

Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_8448

∆ίνεται η συνάρτηση 2x 5x 6

f (x)| 2 x |

− +=

−.

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f. (Μονάδες 5)

β) Να αποδειχθεί ότι x 3, x 2

f (x)x 3, x 2

− >=

− + < . (Μονάδες 7)

γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f και να βρεθούν τα σηµεία τοµής της

γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x΄x και y΄y . (Μονάδες 8)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f (x) 0≤ . (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.3, 4.2, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει | 2 x | 0 2 x 0 x 2− ≠ ⇔ − ≠ ⇔ ≠ , άρα fA 2= −R .

β) Το τριώνυµο 2x 5x 6− + έχει διακρίνουσα 2( 5) 4 1 6 1∆ = − − ⋅ ⋅ =

και ρίζες

5 1 63

( 5) 1 5 1 2 2x

5 1 42 1 22

2 2

+ = =− − ± ± = = =

−⋅ = =

,

οπότε 2x 5x 6 (x 3)(x 2)− + = − − .

• Αν x > 2, έχουµε ότι 2 – x < 0 και |2 – x| = −(2 – x) = −2 + x = x – 2,

άρα (x 2)(x 3)

f (x) x 3x 2

− −= = −

−.

• Αν x < 2, έχουµε ότι 2 – x > 0 και |2 – x| = 2 – x = −(x – 2),

άρα (x 2)(x 3)

f (x) (x 3) x 3(x 2)

− −= = − − = − +

− −.

Συνεπώς x 3, x 2

f (x)x 3, x 2

− >=

− + <.

γ) Για x < 2 έχουµε ότι f(x) = −x + 3, δηλαδή η γραφική παράσταση της f είναι η

ηµιευθεία ΑΒ, µε Α(2, 1) και Β(1, 2), χωρίς το σηµείο Α.

Για x > 2 έχουµε ότι f(x) = x – 3, δηλαδή η γραφική παράσταση της f είναι η

ηµιευθεία Γ∆, µε Γ(2, −1) και ∆(3, 0), χωρίς το σηµείο Γ.

Page 316: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

316

Α

Β

Γ

Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα y΄y προκύπτει για x = 0,

οπότε f(0) = −0 + 3 = 3, δηλαδή είναι το σηµείο (0, 3).

Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα x΄x προκύπτει για y = 0.

Για x ≠ 2 έχουµε ότι: 2

2x 5x 6f (x) 0 0 x 5x 6 0 x 2 ( ί ) ή x 3

| 2 x |

− += ⇔ = ⇔ − + = ⇔ = απορρ πτεται =

−,

δηλαδή είναι το σηµείο ∆(3, 0).

δ) Για x ≠ 2 έχουµε ότι |2 – x| > 0, οπότε:

2

2x 5x 6f (x) 0 0 x 5x 6 0 x (2, 3]

| 2 x |

− +≤ ⇔ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ∈

−,

αφού ο πίνακας προσήµου για το τριώνυµο 2x 5x 6− + είναι:

−∞ +∞2 3x

2x 5x 6− + + +−

Page 317: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

317

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 13,

19, 20 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_8451

∆ίνεται η συνάρτηση 24x 2( 3)x 3

f (x)2x 3

− α + + α=

−, όπου α∈R .

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f. (Μονάδες 5)

β) Να αποδειχθεί ότι f (x) 2x= −α για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισµού της f.

(Μονάδες 8)

γ) Να βρεθεί η τιµή του α αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο

(1, −1). (Μονάδες 7)

δ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε

τους άξονες x΄x και y΄y . (Μονάδες 5)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 3.3, 6.1, 6.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Πρέπει 3

2x 3 0 2x 3 x2

− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ , άρα f

3A

2

= −

R .

β) Έχουµε ότι: 2 24x 2( 3)x 3 4x 2 x 6x 3− α + + α = − α − + α

2x(2x ) 3(2x ) (2x 3)(2x )= −α − −α = − −α ,

οπότε για 3

x2

≠ βρίσκουµε (2x 3)(2x )

f (x) 2x2x 3

− −α= = −α

−.

γ) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο (1, −1), αναζητούµε

α∈R έτσι ώστε:

f (1) 1 2 1 1 2 1 1 2 3 3= − ⇔ ⋅ −α = − ⇔ −α = − ⇔ −α = − − ⇔ −α = − ⇔ α = .

δ) Για κάθε 3

x2

≠ έχουµε ότι f (x) 2x= −α .

Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα y΄y προκύπτει για x = 0,

οπότε f(0) = 2⋅0 – α = −α, δηλαδή είναι το σηµείο (0, −α).

Το σηµείο τοµής της fC µε τον άξονα x΄x (αν υπάρχει) προκύπτει για y = 0.

Για 3

x2

≠ έχουµε ότι:

f (x) 0 2x 0 2x x2

α= ⇔ −α = ⇔ = α ⇔ = .

Συνεπώς, αν α = 3, η fC δεν τέµνει τον άξονα x΄x , αφού 3

x2

≠ ,

ενώ, αν α ≠ 3, η fC τέµνει τον άξονα x΄x στο σηµείο , 02

α

.

.

Page 318: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

318

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 12

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_8453 Για τους πραγµατικούς αριθµούς ,α β∈R ισχύει:

• | 2 | 1α − <

• | 3 | 2β − ≤

α) Να αποδειχθεί ότι 1 3< α < . (Μονάδες 4)

β) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται ο β. (Μονάδες 5)

γ) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η παράσταση 2 3α − β . (Μονάδες 7)

δ) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η παράσταση αβ

. (Μονάδες 9)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.2, 4.1 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) | 2 | 1 1 2 1 2 1 2 1 1 3α − < ⇔ − < α − < ⇔ − < α < + ⇔ < α < .

β) | 3 | 2 2 3 2 3 2 3 2 1 5β − ≤ ⇔ − ≤ β− ≤ ⇔ − ≤ β ≤ + ⇔ ≤ β ≤ ,

δηλαδή ο β παίρνει τιµές από 1 έως και 5.

γ) Έχουµε τις ανισότητες:

• 1 3 2 1 2 2 3 2 2 6<α< ⇔ ⋅ < ⋅α< ⋅ ⇔ < α< ,

• 1 5 3 1 3 3 5 3 3 15 15 3 3≤ β ≤ ⇔ − ⋅ ≥ − ⋅β ≥ − ⋅ ⇔ − ≥ − β ≥ − ⇔ − ≤ − β ≤ − ,

τις οποίες προσθέτουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

2 15 2 3 6 3 13 2 3 3− < α − β < − ⇔ − < α − β < ,

δηλαδή η παράσταση 2 3α − β παίρνει τιµές µεταξύ των αριθµών −13 και 3.

δ) Έχουµε τις ανισότητες (µε θετικά µέλη):

• 1 3< α < ,

• 1 1 1 1 1

1 5 11 5 5

≤ β ≤ ⇔ ≥ ≥ ⇔ ≤ ≤β β

,

τις οποίες πολλαπλασιάζουµε κατά µέλη και βρίσκουµε

1 1 11 3 1 3

5 5

α⋅ < α ⋅ < ⋅ ⇔ < <

β β,

δηλαδή η παράσταση αβ

βρίσκεται µεταξύ των τιµών 1

5 και 3.

Page 319: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

319

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 7, 11,

12, 13 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_8455 Για τους πραγµατικούς αριθµούς ,α β∈R ισχύει ότι:

• |1 3 | 2− α <

• Η απόσταση του αριθµού β από τον αριθµό 2 είναι µικρότερη του 1.

α) Να αποδειχθεί ότι 1

13

− < α < . (Μονάδες 5)

β) Να αποδειχθεί ότι | 3 1| 3β− α − < . (Μονάδες 10)

γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 2 2f (x) 4x 4( 2)x= − β− +β έχει πεδίο ορισµού

όλο το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 10)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.3, 3.3, 4.1, 4.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) |1 3 | 2 | 3 1| 2 2 3 1 2 1 2 3 1 2− α < ⇔ α− < ⇔ − < α − < ⇔ − < α < + ⇔

11 3 3 1

3⇔ − < α < ⇔ − < α < .

β) Η απόσταση του αριθµού β από τον αριθµό 2 εκφράζεται µε την ποσότητα

|β – 2|, η οποία είναι µικρότερη του 1, οπότε ισχύει |β – 2| < 1.

Τότε:

| 3 1| | 2 3 1| | ( 2) (1 3 ) | | 2 | |1 3 | 1 2 3β − α − = β− − α + = β − + − α ≤ β− + − α < + = .

γ) Έχουµε ότι:

| 2 | 1 1 2 1 2 1 2 1 1 3β − < ⇔ − < β− < ⇔ − < β < + ⇔ < β < .

Το τριώνυµο 2 24x 4( 2)x− β − +β έχει διακρίνουσα

2 2 2 2 2 2[ 4( 2)] 4 4 16( 4 4) 16 16( 4 4 )∆ = − β− − ⋅ ⋅β = β − β+ − β = β − β + −β

16( 4 4) 64(1 )= − β+ = −β .

Αφού 1 3< β < , έχουµε ότι 1 – β < 0, οπότε ∆ < 0,

άρα το τριώνυµο 2 24x 4( 2)x− β − +β είναι πάντα θετικό,

δηλαδή 2 24x 4( 2)x 0− β− +β > για κάθε x∈R ,

κάτι που σηµαίνει ότι η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το R .

Page 320: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

320

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 9, 11, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_8458

∆ίνεται αριθµητική πρόοδος ( )να όπου *ν∈N που αποτελείται από ακεραίους

αριθµούς, για την οποία ισχύει 2 21 2 3x, 2x 3x 4, x 2α = α = − − α = − , x∈R .

α) Να αποδειχθεί ότι x = 3. (Μονάδες 10)

β) Να βρεθεί ο ν-οστός όρος της προόδου και να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει όρος

που να ισούται µε 2014. (Μονάδες 8)

γ) Να υπολογιστεί το άθροισµα 1 3 5 15S ...= α +α +α + +α . (Μονάδες 7)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.1, 3.3, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Οι αριθµοί 1 2 3, , ,α α α µε 1 2 3, , ,α α α ∈Z είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής

προόδου, άρα ισχύει 2 1 32α = α +α , οπότε έχουµε ότι:

2 2 2 22(2x 3x 4) x x 2 4x 6x 8 x x 2 0− − = + − ⇔ − − − − + = ⇔

23x 7x 6 0⇔ − − = (Ι).

Το τριώνυµο 23x 7x 6− − έχει διακρίνουσα 2( 7) 4 3 ( 6) 121∆ = − − ⋅ ⋅ − =

και ρίζες

7 11 183

( 7) 121 7 11 6 6x

7 11 4 22 3 6

6 6 3

+ = =− − ± ± = = =

− −⋅ = = −

,

οπότε 2

(I) x 3 ή x ( ί ) x 33

⇔ = = − ∉ απορρ πτεται ⇔ =Z .

β) Για x = 3 έχουµε ότι 2 21 2 33, 2 3 3 3 4 5, 3 2 7α = α = ⋅ − ⋅ − = α = − = ,

οπότε η διαφορά της προόδου είναι 2 1 3 2 7 5 2ω= α −α = α −α = − = .

Συνεπώς ο νιοστός όρος της αριθµητικής προόδου είναι: *

1 ( 1) 3 ( 1) 2 3 2 2 2 1,να = α + ν − ω = + ν − ⋅ = + ν − = ν + ν∈N .

Αναζητούµε (αν υπάρχει) *ν∈N έτσι ώστε:

*20132014 2 1 2014 2 2014 1 2 2013

2να = ⇔ ν + = ⇔ ν = − ⇔ ν = ⇔ ν = ∉N ,

οπότε δεν υπάρχει όρος της προόδου που να είναι ίσος µε 2014.

γ) Έχουµε ότι:

1 3 5 7 9 11 13 153, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31α = α = α = α = α = α = α = α = ,

οπότε 1 3 5 15... 3 7 11 15 19 23 27 31 136α +α +α + +α = + + + + + + + = .

Page 321: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

321

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 11, 19,

20, 21 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου

των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_10774

Μια µικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο στο διαδίκτυο. Στο παραπάνω

σχήµα, παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης που περιγράφει τα

έξοδα Κ(x) και τα έσοδα E(x) από την πώληση x λίτρων λαδιού σε έναν µήνα.

α) Να εκτιµήσετε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των δύο ευθειών και να

ερµηνεύσετε τη σηµασία του. (Μονάδες 6)

β) Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας; (Μονάδες 5)

γ) Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να µην έχει ζηµιά;

(Μονάδες 6)

δ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων K(x) και E(x) και να επαληθεύσετε

αλγεβρικά την απάντηση του ερωτήµατος (γ). (Μονάδες 8)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 3.3, 6.1, 6.2, 6.3 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Από το σχήµα εκτιµούµε ότι οι δύο γραµµές τέµνονται κατά προσέγγιση στο

σηµείο (100, 500), δηλαδή, όταν η εταιρεία πουλήσει 100 λίτρα ελαιόλαδο, τότε

τα έσοδα και τα έξοδα είναι περίπου ίσα µε 500 ευρώ, οπότε δεν έχει ούτε κέρ-

δος ούτε ζηµιά.

β) Τα πάγια έξοδα της εταιρείας προκύπτουν όταν οι πωλήσεις ελαιολάδου είναι

µηδέν, οπότε για x = 0 έχουµε ότι K(0) = 200, δηλαδή τα πάγια έξοδα της εται-

ρείας είναι 200 ευρώ.

Page 322: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

322

γ) Για να µην έχει ζηµιά η εταιρεία, πρέπει τα έσοδα να είναι τουλάχιστον ίσα µε τα

έξοδα, δηλαδή θα πρέπει E(x) ≥ K(x) και κατά συνέπεια η γραφική παράσταση Ε

πρέπει να είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της Κ ή να τέµνονται.

Από το σχήµα έχουµε ότι x ≥ 100, δηλαδή η εταιρεία δεν έχει ζηµιά όταν οι

πωλήσεις της είναι τουλάχιστον 100 λίτρα ελαιόλαδου.

δ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης των εσόδων είναι ευθεία που περνά από

το (0, 0), άρα θα έχει µορφή (x) x, x 0Ε = λ ≥ . Η γραφική παράσταση της συνάρ-

τησης Ε διέρχεται από το σηµείο (200, 1000), άρα ισχύει:

Ε(200) = 1000 ⇔ 200λ = 1000 ⇔ λ = 5, οπότε (x) 5x, x 0Ε = ≥ .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης των εξόδων είναι ευθεία που τέµνει τον

άξονα y΄y στο σηµείο (0, 200), άρα θα έχει µορφή K(x) x 200, x 0= α + ≥ .

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης Κ διέρχεται από το σηµείο (200, 800),

άρα ισχύει:

Κ(200) = 800 ⇔ 200α + 200 = 800 ⇔ 200α = 800 – 200 ⇔ 200α = 600 ⇔

⇔ α = 3, οπότε K(x) 3x 200, x 0= + ≥ .

Όπως ήδη αναφέρθηκε, η εταιρεία δεν έχει ζηµιά όταν:

( ) ( )E x K x 5x 3x 200 5x 3x 200 2x 200 x 100≥ ⇔ ≥ + ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ,

δηλαδή πράγµατι η εταιρεία δεν έχει ζηµιά όταν οι πωλήσεις της είναι τουλά-

χιστον 100 λίτρα ελαιόλαδου.

Page 323: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

323

Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 5, 16

του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ Γενικού Λυκείου των

Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ. από τις Εκδόσεις Πατάκη.

GI_A_ALG_4_10775 Σε µια αίθουσα θεάτρου µε 20 σειρές καθισµάτων, το πλήθος των καθισµάτων κάθε

σειράς αυξάνει καθώς ανεβαίνουµε από σειρά σε σειρά, κατά τον ίδιο πάντα αριθµό

καθισµάτων. Η 1η σειρά έχει 16 καθίσµατα και η 7η σειρά έχει 28 καθίσµατα.

α) Να δείξετε ότι οι αριθµοί που εκφράζουν το πλήθος των καθισµάτων κάθε

σειράς είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Να βρείτε τον πρώτο όρο και

τη διαφορά αυτής της προόδου. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τον γενικό όρο της προόδου. (Μονάδες 4)

γ) Πόσα καθίσµατα έχει όλο το θέατρο; (Μονάδες 5)

δ) Αν στην 1η σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχουν 6 κενά καθίσµατα, στη 2η

υπάρχουν 9 κενά καθίσµατα, στην 3η υπάρχουν 12 κενά καθίσµατα και γενικά,

τα κενά καθίσµατα κάθε σειράς, από τη 2η και µετά, είναι κατά 3 περισσότερα

από αυτά της προηγούµενης, τότε:

i) Να βρείτε από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν µόνο κενά καθίσµατα.

(Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε πόσοι είναι οι θεατές. (Μονάδες 6)

Ενότητες σχολικού βιβλίου: 2.1, 5.2 Βαθµός δυσκολίας:

Λύση

α) Αφού ο αριθµός των καθισµάτων καθώς ανεβαίνουµε από σειρά σε σειρά

αυξάνει κατά τον ίδιο αριθµό καθισµάτων (έστω κατά ω > 0), το πλήθος των

καθισµάτων κάθε σειράς αποτελεί όρους αριθµητικής προόδου (έστω *, ,να ν∈N µε ν ≤ 20) µε 1 16α = και νιοστό όρο

*1 ( 1) 16 ( 1) ,να = α + ν − ω = + ν − ω ν∈N , µε ν ≤ 20.

Από τα δεδοµένα έχουµε ότι:

7 28 16 (7 1) 28 16 6 28 6 28 16 6 12α = ⇔ + − ω = ⇔ + ω= ⇔ ω= − ⇔ ω = ⇔

ω 2⇔ = .

β) Ο γενικός όρος της προόδου είναι: *16 ( 1) 2 16 2 2 2 14,να = + ν − ⋅ = + ν − = ν + ν∈N , µε ν ≤ 20.

γ) Το άθροισµα των ν πρώτων όρων της προόδου (ν ≤ 20) είναι:

( )1 2 *ν

2α ν 1 ω 2 16 (ν 1) 2 2(16 ν 1)S ν ν ν 15ν ν , ν

2 2 2

+ − ⋅ + − ⋅ + −= ⋅ = ⋅ = ⋅ = + ∈N .

Το θέατρο έχει 20 σειρές, άρα το σύνολο των καθισµάτων όλου του θεάτρου

είναι το άθροισµα των 20 πρώτων όρων της προόδου, δηλαδή 2

20S 15 20 20 300 400 700= ⋅ + = + = ,

άρα το θέατρο έχει συνολικά 700 καθίσµατα.

δ) Το πλήθος των κενών καθισµάτων ανά σειρά είναι όροι αριθµητικής προόδου *, ,νβ ν∈N µε ν ≤ 20, διαφορά ΄ 3ω = και 1 6β = ,

οπότε ο νιοστός όρος είναι *

1 ( 1) ΄ 6 ( 1) 3 6 3 3 3 3,νβ = β + ν − ω = + ν − ⋅ = + ν − = ν + ν∈N ,

ενώ το άθροισµα των ν πρώτων όρων (ν ≤ 20) είναι

Page 324: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

324

( ) 21 *

ν

2β ν 1 ω΄ 2 6 (ν 1) 3 12 3ν 3 3ν 9νΣ ν ν ν , ν

2 2 2 2

+ − ⋅ + − ⋅ + − += ⋅ = ⋅ = ⋅ = ∈N .

i) Μόνο κενά καθίσµατα θα έχουµε από εκείνη τη σειρά,

για την οποία ισχύει *, ,ν να ≤ β ν∈N µε ν ≤ 20.

Συνεπώς:

2 14 3 3 2 3 3 14 11 11ν + ≤ ν + ⇔ ν − ν ≤ − ⇔ −ν ≤ − ⇔ ν ≥ ,

δηλαδή από την 11η σειρά και µετά έχουµε µόνο άδεια καθίσµατα.

ii) Οι θεατές κάθονται όλοι στις 10 πρώτες σειρές και θα είναι: 2

210 10

3 10 9 10 3 100 90S Σ 15 10 10 150 100

2 2

⋅ + ⋅ ⋅ +− = ⋅ + − = + −

300 90 390250 250 250 195 55

2 2

+= − = − = − = ,

δηλαδή στο θέατρο υπάρχουν 55 θεατές.

Page 325: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Ιούνιος 2014

Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων

της Τράπεζας θεμάτων

στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ

ανά ενότητα

Page 326: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

326 326

1.2 Έννοια της πιθανότητας

GI_A_ALG_2_497

Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται µε ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι

συµµετέχουν 3 άντρες: ο ∆ηµήτρης (∆), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και 2 γυναί-

κες: η Ειρήνη (Ε) και η Ζωή (Ζ). Επιλέγονται στην τύχη ένας άντρας και µια

γυναίκα για να διαγωνιστούν και καταγράφονται τα ονόµατά τους.

α) Να βρεθεί ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος. (Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων

Α: Να διαγωνίστηκαν ο Κώστας ή ο Μιχάλης.

Β: Να διαγωνίστηκε η Ζωή.

Γ: Να µη διαγωνίστηκε ούτε ο Κώστας ούτε ο ∆ηµήτρης. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_499

Από τους µαθητές ενός Λυκείου, το 25% συµµετέχει στη θεατρική οµάδα, το 30%

συµµετέχει στην οµάδα ποδοσφαίρου και το 15% των µαθητών συµµετέχει και στις

δύο οµάδες. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Αν ονοµάσουµε τα ενδεχόµενα:

Α: «ο µαθητής να συµµετέχει στη θεατρική οµάδα» και

Β: «ο µαθητής να συµµετέχει στην οµάδα ποδοσφαίρου»,

α) να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα:

i) Α Β∪ ii) Α Β∩ iii) B – A iv) Α΄ (Μονάδες 12)

β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων

i) ο µαθητής που επιλέχθηκε να συµµετέχει µόνο στην οµάδα ποδοσφαίρου

ii) ο µαθητής που επιλέχθηκε να µη συµµετέχει σε καµία οµάδα. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1003

Ένα κουτί περιέχει άσπρες, µαύρες, κόκκινες και πράσινες µπάλες. Οι άσπρες είναι

5, οι µαύρες είναι 9, ενώ οι κόκκινες και οι πράσινες µαζί είναι 16. Επιλέγουµε µια

µπάλα στην τύχη. ∆ίνονται τα παρακάτω ενδεχόµενα:

Α: η µπάλα που επιλέγουµε είναι ΑΣΠΡΗ

K: η µπάλα που επιλέγουµε είναι KOKKINH

Π: η µπάλα που επιλέγουµε είναι ΠΡΑΣΙΝΗ

α) Χρησιµοποιώντας τα Α, Κ και Π να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων τα ενδε-

χόµενα:

i) Η µπάλα που επιλέγουµε δεν είναι άσπρη,

ii) Η µπάλα που επιλέγουµε είναι κόκκινη ή πράσινη. (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόµενα του

ερωτήµατος (α). (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_1102

∆ίνονται δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω και οι πιθανότητες

3( )

4Ρ Α = ,

5( )

8Ρ Α−Β = και

1( )

4Ρ Β = .

α) Να υπολογίσετε την ( )Ρ Α∩Β . (Μονάδες 9)

β) i) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και να γράψετε στη γλώσσα των συνό-

λων το ενδεχόµενο: «Α ή Β». (Μονάδες 7)

ii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγµατοποίησης του παραπάνω ενδεχοµέ-

νου. (Μονάδες 9)

Page 327: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

327 327

GI_A_ALG_2_1287

∆ίνεται ο πίνακας:

Επιλέγουµε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους

αριθµούς του παραπάνω πίνακα.

Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης των

παρακάτω ενδεχοµένων.

Α: ο διψήφιος να είναι άρτιος (Μονάδες 7)

Β: ο διψήφιος να είναι άρτιος και πολλαπλάσιος του 3 (Μονάδες 9)

Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιος του 3 (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_1506

∆ίνεται το σύνολο 1,2,3,4,5,6Ω =

και τα υποσύνολά του 1,2,4,5Α = και

2,4,6Β = .

α) Nα παραστήσετε στο ίδιο διάγραµµα Venn , µε βασικό σύνολο το Ω , τα σύνολα

Α και Β. Κατόπιν, να προσδιορίσετε τα σύνολα , , ΄ ΄Α∪Β Α∩Β Α και Β .

(Μονάδες 13)

β) Επιλέγουµε τυχαία ένα στοιχείο του Ω. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχο-

µένων:

(i) Να µην πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο Α. (Μονάδες 4)

(ii) Να πραγµατοποιηθούν συγχρόνως τα ενδεχόµενα Α και Β. (Μονάδες 4)

(iii) Να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα Α, Β. (Μονάδες 4)

GI_A_ALG_2_1520

Από τους σπουδαστές ενός Ωδείου, το 50% µαθαίνει πιάνο, το 40% µαθαίνει

κιθάρα, ενώ το 10% των σπουδαστών µαθαίνει και τα δύο αυτά όργανα. Επιλέγου-

µε τυχαία ένα σπουδαστή του Ωδείου. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

Α: ο σπουδαστής αυτός µαθαίνει πιάνο

Β: ο σπουδαστής αυτός µαθαίνει κιθάρα

Να βρείτε την πιθανότητα πραγµατοποίησης του ενδεχοµένου:

α) Ο σπουδαστής αυτός να µαθαίνει ένα τουλάχιστον από τα δύο παραπάνω

όργανα. (Μονάδες 12)

β) Ο σπουδαστής αυτός να µη µαθαίνει κανένα από τα δύο παραπάνω όργανα.

(Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_3383

Το 70% των κατοίκων µιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει µηχανάκι και το

20% έχει και αυτοκίνητο και µηχανάκι. Επιλέγουµε τυχαία έναν κάτοικο αυτής της

πόλης. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

A: ο κάτοικος να έχει αυτοκίνητο

Μ: ο κάτοικος να έχει µηχανάκι.

α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα:

i)

Α∪Μ ii)

Μ −Α iii) Μ΄ (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε:

i) Να µην έχει µηχανάκι (Μονάδες 7)

ii) Να µην έχει ούτε µηχανάκι ούτε αυτοκίνητο. (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_3384

Από τους 180 µαθητές ενός λυκείου, 20 µαθητές συµµετέχουν στη θεατρική οµάδα,

30 συµµετέχουν στην οµάδα στίβου, ενώ 10 µαθητές συµµετέχουν και στις δύο

οµάδες. Επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή του λυκείου. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

A: ο µαθητής συµµετέχει στη θεατρική οµάδα

Page 328: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

328 328

Β: ο µαθητής συµµετέχει στην οµάδα στίβου

α) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόµενα:

i)

Α∪Β ii)

Β−Α iii) Α΄ (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής που επιλέχθηκε:

i) Να µη συµµετέχει σε καµία οµάδα. (Μονάδες 9)

ii) Να συµµετέχει µόνο στην οµάδα στίβου. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_3878

Ένα Λύκειο έχει 400 µαθητές από τους οποίους οι 200 είναι µαθητές της Α΄ τάξης.

Αν επιλέξουµε τυχαία ένα µαθητή, η πιθανότητα να είναι µαθητής της Γ΄ τάξης

είναι 20%. Να βρείτε:

α) Το πλήθος των µαθητών της Γ΄ τάξης. (Μονάδες 10)

β) Το πλήθος των µαθητών της Β΄ τάξης. (Μονάδες 5)

γ) Την πιθανότητα ο µαθητής που επιλέξαµε να είναι της Β΄ τάξης. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_1868

Σε ένα τµήµα της Α΄ Λυκείου κάποιοι µαθητές παρακολουθούν µαθήµατα

Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας µαθητής να µην παρακολουθεί

Γαλλικά είναι 0,8 . Η πιθανότητα ένας µαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι

τετραπλάσια από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά. Τέλος, η πιθανότητα

ένας µαθητής να παρακολουθεί µαθήµατα τουλάχιστον µιας από τις δύο γλώσσες

είναι 0,9 .

α) Επιλέγουµε ένα µαθητή στην τύχη.

i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί µαθήµατα και των δύο

γλωσσών; (Μονάδες 9)

ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί µαθήµατα µόνο µιας από τις

δύο γλώσσες; (Μονάδες 9)

β) Αν 14 µαθητές παρακολουθούν µόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι µαθητές του

τµήµατος; (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_1936

Η εξέταση σε έναν διαγωνισµό των Μαθηµατικών περιλάµβανε δύο θέµατα τα

οποία έπρεπε να απαντήσουν οι εξεταζόµενοι. Για να βαθµολογηθούν µε άριστα

έπρεπε να απαντήσουν και στα δύο θέµατα, ενώ για να περάσουν την εξέταση

έπρεπε να απαντήσουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέµατα. Στο διαγωνισµό

εξετάσθηκαν 100 µαθητές. Στο πρώτο θέµα απάντησαν σωστά 60 µαθητές. Στο

δεύτερο θέµα απάντησαν σωστά 50 µαθητές, ενώ και στα δύο θέµατα απάντησαν

σωστά 30 µαθητές. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή.

α) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και µε χρήση της γλώσσας των συνόλων

(ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόµενα) τα παραπάνω δεδοµένα. (Μονάδες 13)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής:

i) Να απάντησε σωστά µόνο στο δεύτερο θέµα.

ii) Να βαθµολογηθεί µε άριστα.

iii) Να µην απάντησε σωστά σε κανένα θέµα.

iv) Να πέρασε την εξέταση. (Μονάδες 12)

Σχόλιο: Η δεύτερη πρόταση της εκφώνησης να γίνει: «Για να βαθµολογηθούν µε

άριστα, έπρεπε να απαντήσουν ΣΩΣΤΑ και στα δύο θέµατα, ενώ, για να περάσουν την

εξέταση, έπρεπε να απαντήσουν ΣΩΣΤΑ σε ένα τουλάχιστον από τα δύο θέµατα».

GI_A_ALG_4_2064

Σε µια οµάδα που αποτελείται από 7 άνδρες και 13 γυναίκες, 4 από τους άνδρες και

2 από τις γυναίκες παίζουν σκάκι. Επιλέγουµε τυχαία ένα από τα άτοµα αυτά.

α) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και µε χρήση της γλώσσας των συνόλων το

ενδεχόµενο το άτοµο που επιλέχθηκε:

Page 329: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

329 329

i) να είναι άνδρας ή να παίζει σκάκι. (Μονάδες 6)

ii) να µην είναι άνδρας και να παίζει σκάκι. (Μονάδες 6)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτοµο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και

να παίζει σκάκι. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_4_2073

Οι δράστες µιας κλοπής διέφυγαν µ’ ένα αυτοκίνητο και µετά από την κατάθεση

διαφόρων µαρτύρων έγινε γνωστό ότι ο τετραψήφιος αριθµός της πινακίδας του

αυτοκινήτου είχε πρώτο και τέταρτο ψηφίο το 2. Το δεύτερο ψηφίο ήταν 6 ή 8 ή 9

και το τρίτο ψηφίο του ήταν 4 ή 7.

α) Με χρήση δενδροδιαγράµµατος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών

αριθµών της πινακίδας του αυτοκινήτου. (Μονάδες 13)

β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων

Α: Το τρίτο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας είναι το 7.

Β: Το δεύτερο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας είναι 6 ή 8.

Γ: Το δεύτερο ψηφίο του αριθµού της πινακίδας δεν είναι ούτε 8 ούτε 9.

(Μονάδες 12)

GI_A_ALG_4_2080

Από µια έρευνα µεταξύ µαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότι το 80%

των µαθητών πίνει γάλα ή τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι στο σπίτι το

πρωί. Επιλέγουµε ένα µαθητή στην τύχη και ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

Α: ο µαθητής πίνει γάλα

Β: ο µαθητής τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι

Αν από το σύνολο των µαθητών το 60% πίνει γάλα και το 45% τρώει δύο φέτες

ψωµί µε βούτυρο και µέλι,

α) Να ορίσετε µε χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόµενα:

i) ο µαθητής ούτε να πίνει γάλα ούτε να τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και

µέλι

ii) ο µαθητής να πίνει γάλα και να τρώει δύο φέτες ψωµί µε βούτυρο και µέλι

iii) ο µαθητής να πίνει µόνο γάλα. (Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγµατοποίησης των ενδεχοµένων του α)

ερωτήµατος. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_4_6144

Μια ηµέρα, στο τµήµα Α1 ενός Λυκείου, το 1

4 των µαθητών δεν έχει διαβάσει ούτε

Άλγεβρα ούτε Γεωµετρία, ενώ το 1

3 των µαθητών έχει διαβάσει και τα δύο αυτά

µαθήµατα. Η καθηγήτρια των µαθηµατικών επιλέγει τυχαία ένα µαθητή για να τον

εξετάσει. Ορίζουµε τα ενδεχόµενα:

Α: ο µαθητής να έχει διαβάσει Άλγεβρα

Γ: ο µαθητής να έχει διαβάσει Γεωµετρία

α) Να παραστήσετε µε διάγραµµα Venn και µε χρήση της γλώσσας των συνόλων τα

δεδοµένα του προβλήµατος. (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο µαθητής:

i) να έχει διαβάσει ένα τουλάχιστον από τα δύο µαθήµατα

ii) να έχει διαβάσει ένα µόνο από τα δύο µαθήµατα. (Μονάδες 8)

γ) Αν γνωρίζουµε επιπλέον ότι οι µισοί από τους µαθητές έχουν διαβάσει Γεωµε-

τρία, να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής:

i) να έχει διαβάσει Γεωµετρία

ii) να έχει διαβάσει Άλγεβρα (Μονάδες 8)

Page 330: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

330 330

2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

GI_A_ALG_2_1070

∆ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί α, β, γ, δ µε β ≠ 0 και δ ≠ γ ώστε να ισχύουν:

α + β= 4

β και

γ 1

δ γ 4=

−.

α) Να αποδείξετε ότι α = 3β και δ = 5γ. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την τιµή της παράστασης: αγ βγ

Πβδ βγ

+=

−. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_1080

Έστω x, y πραγµατικοί αριθµοί ώστε να ισχύει: 4x 5y

2x 4y

+= −

−.

α) Να αποδείξετε ότι: y = 2x. (Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 2 22x 3y xy

Axy

+ += . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_3874

∆ίνονται οι µη µηδενικοί αριθµοί α, β, µε α β≠ για τους οποίους ισχύει:

2

2

α 1 α

ββ 1

+=

+

α) Να αποδείξετε ότι οι αριθµοί α και β είναι αντίστροφοι. (Μονάδες 13)

β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( )( )

822 3

252

α βΚ

α αβ−

⋅=

⋅. (Μονάδες 12)

Page 331: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

331 331

2.2 ∆ιάταξη πραγµατικών αριθµών

GI_A_ALG_2_486

Αν 0 < α < 1, τότε

α) να αποδείξετε ότι: 3α α< (Μονάδες 13)

β) να διατάξετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς:

3 10, α ,1, α,

α. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_487

α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς x, y ισχύει:

( ) ( )2 2 2 2x 1 y 3 x y 2x 6y 10− + + = + − + + . (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τους αριθµούς x, y ώστε: 2 2x y 2x 6y 10 0+ − + + = . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_506

Αν 2 x 3≤ ≤ και 1 y 2≤ ≤ , να βρείτε µεταξύ ποιων ορίων βρίσκεται η τιµή

καθεµιάς από τις παρακάτω παραστάσεις:

α) x + y (Μονάδες 5)

β) 2x – 3y (Μονάδες 10)

γ) x

y (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_1092

Από το ορθογώνιο ΑΒΖΗ αφαιρέθηκε το τετράγωνο Γ∆ΕΗ πλευράς y.

Α Β

Z

x

y

y

EH

α) Να αποδείξετε ότι η περίµετρος του γραµµοσκιασµένου σχήµατος ΕΖΒΑΓ∆ που

απέµεινε δίνεται από τη σχέση: Π = 2x + 4y. (Μονάδες 10)

β) Αν ισχύει 5 < x < 8 και 1 < y < 2, να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η

τιµή της περιµέτρου του παραπάνω γραµµοσκιασµένου σχήµατος. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_1273

∆ίνονται δύο τµήµατα µε µήκη x και y, για τα οποία ισχύουν:

|x – 3| ≤ 2 και |y – 6| ≤ 4.

α) Να δείξετε ότι: 1 ≤ x ≤ 5 και 2 ≤ y ≤ 10. (Μονάδες 12)

β) Να βρεθεί η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η περίµετρος

ενός ορθογωνίου µε διαστάσεις 2x και y. (Μονάδες 13)

Page 332: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

332 332

GI_A_ALG_2_1541

Ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει µήκος x εκατοστά και πλάτος y εκατοστά,

αντίστοιχα. Αν για τα µήκη x και y ισχύει: 4 ≤ x ≤ 7 και 2 ≤ y ≤ 3 τότε:

α) Να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή της περιµέτρου του

ορθογωνίου παραλληλογράµµου. (Μονάδες 10)

β) Αν το x µειωθεί κατά 1 και το y τριπλασιαστεί, να βρείτε τα όρια µεταξύ των

οποίων περιέχεται η τιµή της περιµέτρου του νέου ορθογωνίου παραλλη-

λογράµµου. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_3852

Για τους πραγµατικούς αριθµούς α, β ισχύουν: 2 α 4≤ ≤ και 4 β 3− ≤ ≤ − . Να βρείτε

τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η τιµή καθεµιάς από τις παραστάσεις:

α) α 2β− (Μονάδες 12)

β) 2α 2αβ− (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_3870

∆ίνονται οι παραστάσεις: 2 2Κ 2α β 9= + + και ( )Λ 2α 3 β= − , όπου α, β∈ℝ .

α) Να δείξετε ότι: Κ Λ− = ( ) ( )2 2 2α 2αβ β α 6α 9+ + + − + . (Μονάδες 3)

β) Να δείξετε ότι: Κ ≥ Λ, για κάθε τιµή των α, β. (Μονάδες 10)

γ) Για ποιες τιµές των α, β ισχύει η ισότητα Κ Λ= ; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_4299

Αν για τους πραγµατικούς αριθµούς x και y ισχύουν: 3 x 5≤ ≤ και 2 y 1− ≤ ≤ − , να

βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων βρίσκονται οι τιµές των παραστάσεων:

α) y x− (Μονάδες 12)

β) 2 2x y+ (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_7519

∆ίνονται πραγµατικοί αριθµοί α, β µε α > 0 και β > 0. Να αποδείξετε ότι:

α) 4

4α + ≥α

(Μονάδες 12)

β) 4 4

16 α + β+ ≥ α β

(Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_7520

∆ίνονται οι παραστάσεις: 2 22Κ = α +β και 2αβΛ = , όπου α, β∈R .

α) Να δείξετε ότι: Κ ≥ Λ , για κάθε τιµή των α, β. (Μονάδες 12)

β) Για ποιες τιµές των α, β ισχύει η ισότητα Κ = Λ ; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 13)

Page 333: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

333 333

2.3 Απόλυτη τιµή πραγµατικών αριθµών

GI_A_ALG_2_504

α) Αν α < 0, να αποδειχθεί ότι: 1

α 2α

+ ≤ − . (Μονάδες 15)

β) Αν α < 0, να αποδειχθεί ότι: 1

α 2α

+ ≥ . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_509

α) Αν α, β 0∈ −ℝ , να αποδειχθεί ότι: α β

2β α+ ≥ (1). (Μονάδες 15)

β) Πότε ισχύει η ισότητα στην (1); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_996

∆ίνεται η παράσταση: A = |x – 1| + |y – 3|, µε x, y πραγµατικούς αριθµούς, για τους

οποίους ισχύει: 1 < x < 4 και 2 < y < 3.

Να αποδείξετε ότι:

α) A = x – y + 2 (Μονάδες 12)

β) 0 < A < 4 (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1009

∆ίνεται η παράσταση: Α = |3x – 6| + 2, όπου ο x είναι πραγµατικός αριθµός.

α) Να αποδείξετε ότι

i) για κάθε x 2, A 3x 4≥ = −

ii) για κάθε x 2, A 8 3x< = − . (Μονάδες 12)

β) Αν για τον x ισχύει ότι x ≥ 2, να αποδείξετε ότι: 29x 16

3x 43x 6 2

−= +

− +.

(Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1089

Για κάθε πραγµατικό αριθµό x µε την ιδιότητα 5 < x < 10,

α) να γράψετε τις παραστάσεις |x – 5| και |x – 10| χωρίς απόλυτες τιµές.

(Μονάδες 10)

β) να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης x 5 x 10

A =x 5 x 10

− −+

− −. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_1091

∆ίνεται η παράσταση: Α = |x – 1| − |x – 2|.

α) Για 1 < x < 2, να δείξετε ότι: A = 2x – 3. (Μονάδες 13)

β) Για x < 1, να δείξετε ότι η παράσταση A έχει σταθερή τιµή (ανεξάρτητη του x),

την οποία και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_2702

∆ίνονται οι παραστάσεις 2x 4Α = −

και x 3Β = − , όπου x πραγµατικός αριθµός.

α) Για κάθε 2 x 3≤ < να αποδείξετε ότι x 1Α +Β = − . (Μονάδες 16)

β) Υπάρχει [ )x 2, 3∈

ώστε να ισχύει 2Α+Β = ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας. (Μονάδες 9)

Page 334: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

334 334

GI_A_ALG_2_3884

Για τον πραγµατικό αριθµό x ισχύει: ( )d 2x,3 3 2x= − .

α) Να αποδείξετε ότι 3

x2

≤ . (Μονάδες 12)

β) Αν 3

x2

≤ , να αποδείξετε ότι η παράσταση: K 2x 3 2 3 x= − − − είναι ανεξάρ-

τητη του x. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_4_2301

∆ίνονται τα σηµεία Α, Β και Μ που παριστάνουν στον άξονα των πραγµατικών

αριθµών τους αριθµούς −2, 7 και x αντίστοιχα, µε 2 x 7− < < .

α) Να διατυπώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία των παραστάσεων

i) | x 2 |+ (Μονάδες 4)

ii) | x 7 |− (Μονάδες 4)

β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία του αθροίσµατος:

| x 2 | | x 7 |+ + − (Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε την τιµή της παράστασης A | x 2 | | x 7 |= + + − γεωµετρικά.

(Μονάδες 5)

δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούµενο συµπέρασµα. (Μονάδες 7)

Page 335: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

335 335

2.4 Ρίζες πραγµατικών αριθµών GI_A_ALG_2_936

∆ίνεται η παράσταση: ( )( )A x 4 x 1 x 4 x 1= − + + − − + .

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας. (Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι η παράσταση A είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του x.

(Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_938

α) Να δείξετε ότι: 33 30 4< < . (Μονάδες 12)

β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς 3 30 και 36 30− . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_944

∆ίνεται η παράσταση: A x 4 6 x= − + − .

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος.

(Μονάδες 13)

β) Για x = 5, να αποδείξετε ότι: 2A A 6 0+ − = . (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_947

∆ίνεται η παράσταση: 2A x 4 x 4= + − − .

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος.

(Μονάδες 12)

β) Αν x = 4, να αποδείξετε ότι: ( )2A A 2 10 5− = − . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_950

∆ίνεται η παράσταση: 4 4A 1 x x= − − .

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση A; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x σε µορφή διαστήµατος.

(Μονάδες 13)

β) Αν x = −3, να αποδείξετε ότι: 3 2A A A 1 0+ + + = . (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_952

∆ίνεται η παράσταση: ( )55B x 2= − .

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση B; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιµών του x υπό µορφή διαστήµατος.

(Μονάδες 13)

β) Για x = 4, να αποδείξετε ότι 2 4B + 6B = B . (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_955

∆ίνονται οι αριθµοί: ( )6A 2= και ( )63B 2= .

α) Να δείξετε ότι: Α – Β = 4. (Μονάδες 13)

β) Να διατάξετε από το µικρότερο στο µεγαλύτερο τους αριθµούς: 32, 1, 2 .

(Μονάδες 12)

Page 336: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

336 336

GI_A_ALG_2_1276

∆ίνεται η παράσταση 2 2x 4x 4 x 6x 9

Kx 2 x 3

+ + − += −

+ −.

α) Να βρεθούν οι τιµές που πρέπει να πάρει το x, ώστε η παράσταση K να έχει

νόηµα πραγµατικού αριθµού. (Μονάδες 12)

β) Αν −2 < x < 3, να αποδείξετε ότι η παράσταση K είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρ-

τητη του x. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1300

∆ίνονται οι αριθµητικές παραστάσεις: ( ) ( ) ( )6 6 63 62 , 3 , 6Α = Β = Γ = .

α) Να δείξετε ότι: 23Α +Β + Γ = . (Μονάδες 13)

β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς: 3 63 , 6 . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_4311

∆ίνονται οι παραστάσεις ( )2A x 2= − και ( )33B 2 x= − , όπου x πραγµατικός

αριθµός.

α) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Α; (Μονάδες 7)

β) Για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Β; (Μονάδες 8)

γ) Να δείξετε ότι για κάθε x ≤ 2, ισχύει Α = Β. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_4314

Αν είναι 3 5Α = , 3Β = , 6 5Γ = , τότε:

α) Να αποδείξετε 15Α ⋅Β ⋅Γ = . (Μονάδες 15)

β) Να συγκρίνετε τους αριθµούς Α, Β. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_4316

Αν είναι 2 3Α = − , 2 3Β = + , τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 1Α ⋅Β = . (Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 2 2Π = Α + Β . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_8173

Στον πίνακα της τάξης σας είναι γραµµένες οι παρακάτω πληροφορίες

(προσεγγίσεις): 2 1, 41 3 1,73 5 2,24 7 2,64≅ ≅ ≅ ≅ .

α) Να επιλέξετε έναν τρόπο, ώστε να αξιοποιήσετε τα παραπάνω δεδοµένα (όποια

θεωρείτε κατάλληλα) και να υπολογίσετε µε προσέγγιση εκατοστού τους

αριθµούς 20, 45 και 80 . (Μονάδες 12)

β) Αν δεν υπήρχαν στον πίνακα οι προσεγγιστικές τιµές των ριζών πώς θα µπορού-

σατε να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης 3 20 80

45 5

+

−; (Μονάδες 13)

Page 337: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

337 337

3.1 Εξισώσεις 1ου βαθµού

GI_A_ALG_2_485

∆ίνεται η εξίσωση 2λx x λ 1 = + − , µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναµα:

( )( ) (λ 1 x λ 1 , λ1) λ− = − + ∈ℝ . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς

µία λύση την οποία και να βρείτε. (Μονάδες 8)

γ) Για ποια τιµή του λ η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των

πραγµατικών αριθµών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_507

∆ίνεται η εξίσωση: ( )2 2λ 9 x λ 3λ− = − , µε παράµετρο λ∈ℝ (1).

α) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές πραγµατικές τιµές για το λ, να γράψετε τρεις

εξισώσεις. (Μονάδες 6)

β) Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ∈ℝ , ώστε η (1) να έχει µία και µοναδική

λύση. (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την τιµή του λ∈ℝ , ώστε η µοναδική λύση της (1) να ισούται µε 4.

(Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_1055

∆ίνεται η εξίσωση: ( )( )2( 1)x 1 2λ − = λ + λ + , µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να λύσετε την εξίσωση για λ = 1 και για λ = −1. (Μονάδες 12)

β) Για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει µοναδική λύση; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_3382

∆ίνεται η παράσταση 3 5

5 3 5 3Α = +

− +.

α) Να δείξετε ότι Α = 4. (Μονάδες 12)

β) Να λύσετε την εξίσωση x + Α = 1. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4302

∆ίνεται η εξίσωση ( ) 23 x 9α+ = α − , µε παράµετρο α∈ℝ .

α) Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις:

i) όταν α 1= (Μονάδες 5)

ii) όταν α 3= − (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιµές του α, για τις οποίες η εξίσωση έχει µοναδική λύση και να

προσδιορίσετε τη λύση αυτή. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_4_2302

Σε έναν άξονα τα σηµεία Α , Β και Μ αντιστοιχούν στους αριθµούς 5, 9 και x αντί-

στοιχα.

α) Να διατυπώσετε τη γεωµετρική ερµηνεία των παραστάσεων | x 5 |− και | x 9 |− .

(Μονάδες 10)

β) Αν ισχύει | x 5 | | x 9 |− = − ,

i) Ποια γεωµετρική ιδιότητα του σηµείου Μ αναγνωρίζετε; Nα αιτιολογήσετε

την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό x που

παριστάνει το σηµείο Μ. Να επιβεβαιώσετε µε αλγεβρικό τρόπο την

απάντησή σας. (Μονάδες 8)

Page 338: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

338 338

3.3 Εξισώσεις 2ου βαθµού

GI_A_ALG_2_481

∆ίνεται η εξίσωση ( )2x 2λx 4 λ 1 0− + − = , µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ .

(Μονάδες 8)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιµή του

λ∈ℝ ισχύει: 1 2 1 2x x x x+ = . (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_483

α) Να λύσετε την εξίσωση 2x 1 3− = . (Μονάδες 12)

β) Αν α, β µε α < β είναι οι ρίζες της εξίσωσης του ερωτήµατος (α), τότε να λύσετε

την εξίσωση 2αx βx 3 0+ + = . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_493

α) Να λύσετε την εξίσωση | x 2 3|− = . (Μονάδες 10)

β) Να σχηµατίσετε εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του

α) ερωτήµατος. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_496

∆ίνεται η εξίσωση ( )2x 2λx 4 λ 1 0+ + − = µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ .

(Μονάδες 8)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για ποια τιµή του

λ ισχύει: ( )21 2 1 2xx x x 5 0+ + =+ . (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_1007

α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: 22x 10x 12− + = . (Μονάδες 15)

β) Να λύσετε την εξίσωση: 22x 10x 12

= 0x 2

− + −−

. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_1093

∆ίνονται οι αριθµοί: 1

5 5Α =

+ ,

1

5 5Β =

−.

α) Να δείξετε ότι:

i)

1

2Α+Β = (Μονάδες 8)

ii) 1

20Α⋅Β = (Μονάδες 8)

β) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς Α και Β.

(Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_1097

∆ίνεται το τριώνυµο 22x x 5+ λ − , όπου λ∈ℝ .

α) Αν µια ρίζα του τριωνύµου είναι ο αριθµός 0x 1= , να προσδιορίσετε την τιµή

του λ. (Μονάδες 12)

β) Για λ = 3, να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο. (Μονάδες 13)

Page 339: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

339 339

GI_A_ALG_2_1275

∆ίνεται το τριώνυµο 22x 5x 1+ − .

α) Να δείξετε ότι το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές ρίζες, 1x και 2x .

(Μονάδες 6)

β) Να βρείτε την τιµή των παραστάσεων: 1 2 1 2x x , x x+ και 1 2

1 1

x x+ . (Μονάδες 9)

γ) Να προσδιορίσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς

1

1

x,

2

1

x. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_1281

∆ίνεται το τριώνυµο ( )2x 3 1 x 3− + − + .

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι ( )2

3 1∆ = + .

(Μονάδες 12)

β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1282

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 23x 2x 1− − . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες έχει νόηµα η παράσταση:

2

x 1A(x)

3x 2x 1

−=

− − και στη συνέχεια να την απλοποιήσετε. (Μονάδες 9)

γ) Να λύσετε την εξίσωση: |A(x)| = 1. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_2_1298

Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν:

2α+β = και 2 2 30α β+αβ = −

α) Να αποδείξετε ότι: 15αβ = − . (Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β και να

τους βρείτε. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_1509

∆ίνεται η εξίσωση 2x ( 1)x 6 0− λ − + = (1) µε παράµετρο λ∈R .

α) Αν η παραπάνω εξίσωση έχει λύση το 1, να βρείτε το λ. (Μονάδες 13)

β) Για λ = 2 να λύσετε την εξίσωση (1). (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_1533

Θεωρούµε την εξίσωση 2x 2x 2 0+ + λ − = µε παράµετρο λ∈R .

α) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 10)

β) Στην περίπτωση που η εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2x , x να προσδιορίσετε το λ ώστε

να ισχύει: 1 2 1 2x x 2(x x ) 1− + = . (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_3839

∆ίνεται η εξίσωση: ( )2λx λ 1 x 1 0− − − = , µε παράµετρο λ ≠ 0.

α) Να βρείτε την τιµή του λ για την οποία η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθµό −2.

(Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγµατικές ρίζες για κάθε λ ≠ 0.

(Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_3847

∆ίνεται η εξίσωση ( ) 2λ 2 x 2λx λ 1 0+ + + − = , µε παράµετρο λ 2≠ − .

Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες:

Page 340: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

340 340

α) η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 13)

β) το άθροισµα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο µε 2. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_3857

Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν:

α β 4⋅ = και 2 2α β αβ 20+ =

α) Να αποδείξετε ότι: α β 5+ = . (Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β και να τους

βρείτε. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_3863

Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν:

α β 1+ = − και 3 2 2 3α β 2α β αβ 12+ + = −

α) Να αποδείξετε ότι: α β 12⋅ = − . (Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β και να τους

βρείτε. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_4309

∆ίνεται ορθογώνιο µε περίµετρο Π = 20 cm και εµβαδό E = 24 cm2 .

α) Να κατασκευάσετε µία εξίσωση 2ου βαθµού που έχει ως ρίζες τα µήκη των

πλευρών αυτού του ορθογωνίου. (Μονάδες 15)

β) Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_4310

∆ίνονται δύο πραγµατικοί αριθµοί α, β, τέτοιοι ώστε:

α + β = 12 και α2 + β

2 = 272

α) Με τη βοήθεια της ταυτότητας (α + β)2 = α

2 + 2αβ + β

2, να δείξετε ότι:

α·β = −64. (Μονάδες 8)

β) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς α, β.

(Μονάδες 10)

γ) Να προσδιορίσετε τους αριθµούς α, β. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_4313

∆ίνονται οι αριθµοί 1

A3 7

=−

, 1

B3 7

=+

.

α) Να δείξετε ότι: A B 3+ = και 1

A B2

⋅ = . (Μονάδες 12)

β) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς Α, Β.

(Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4317

∆ίνεται η εξίσωση 2( 2)x 2 x 1 0λ + + λ + λ − = , µε παράµετρο λ ≠ −2.

α) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και

άνισες. (Μονάδες 12)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης να βρείτε το λ ώστε 1 2x x 3= − .

(Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_7518

∆ίνεται το τριώνυµο: 2x x 2− κ − , µε κ∈R .

α) Να αποδείξετε ότι 0∆ ≥ για κάθε κ∈R , όπου ∆ η διακρίνουσα του τριωνύµου.

(Μονάδες 13)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης

2x 3x 2 0− − = (1),

i) Να βρείτε το άθροισµα 1 2S = x + x και το γινόµενο 1 2P = x x των ριζών της

(1).

Page 341: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

341 341

ii) Να κατασκευάσετε εξίσωση 2ου βαθµού που να έχει ρίζες 1 2ρ , ρ , όπου

1 1ρ = 2x και 2 2ρ = 2x . (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_4_1955

Τέσσερις αθλητές, ο Αργύρης, ο Βασίλης, ο Γιώργος και ο ∆ηµήτρης τερµάτισαν

σε έναν αγώνα δρόµου µε αντίστοιχους χρόνους (σε λεπτά) t , t , tΑ Β Γ και t∆ , για

τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις: t tΑ Β< , t 2t

t3

Α ΒΓ

+= και t t t tΑ ∆ Β ∆− = − .

α) i) Να δείξετε ότι: t t

t2

Α Β∆

+= . (Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε τη σειρά µε την οποία τερµάτισαν οι αθλητές. Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

β) ∆ίνεται επιπλέον ότι ισχύει: t t 6Α Β+ = και t t 8Α Β⋅ = .

i) Να γράψετε µια εξίσωση 2ου βαθµού που έχει ρίζες τους αριθµούς tΑ και tΒ .

(Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε τους χρόνους τερµατισµού των τεσσάρων αθλητών. (Μονάδες 5)

GI_A_ALG_4_2332

∆ίνεται η εξίσωση 2 2x 4x 2 0− + −λ = (1) µε παράµετρο λ∈R .

α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιµή του λ∈R , η (1) έχει δύο ρίζες άνισες.

(Μονάδες 10)

β) Αν 1x και 2x είναι ρίζες της εξίσωσης (1):

i) Να βρείτε το 1 2S = x + x .

ii) Να βρείτε το 1 2P = x x ως συνάρτηση του πραγµατικού αριθµού λ.

(Μονάδες 5)

γ) Αν η µία ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθµός 2 3+ τότε:

i) να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθµός 2 3− ,

ii) να βρείτε το λ. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4551

∆ίνεται το τριώνυµο: 2 2x ( 1)x , 0Rλ − λ + + λ λ∈ − .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο

έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε 0Rλ∈ − . (Μονάδες 8)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα 1 2S x x= +

συναρτήσει του λ ≠ 0 και να βρείτε την τιµή του γινοµένου 1 2P x x= των ριζών.

(Μονάδες 5)

γ) Αν λ < 0, τότε:

i) το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 6)

ii) να αποδείξετε ότι 1 2 1 2x x 2x x+ ≥ , όπου 1 2x , x είναι οι ρίζες του παραπάνω

τριωνύµου. (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_4_4558

∆ίνεται το τριώνυµο: 2 2f (x) x ( 1) x 0= λ − λ + + λ µε λ > .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο

έχει ρίζες θετικές για κάθε λ > 0. (Μονάδες 10)

β) Αν οι ρίζες του τριωνύµου είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλ-

ληλογράµµου, τότε:

Page 342: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

342 342

i) να βρείτε το εµβαδόν του ορθογωνίου. (Μονάδες 4)

ii) να βρείτε την περίµετρο Π του ορθογωνίου ως συνάρτηση του λ και να

αποδείξετε ότι Π ≥ 4 για κάθε λ > 0. (Μονάδες 8)

iii) για την τιµή του λ που η περίµετρος γίνεται ελάχιστη, δηλαδή ίση µε 4, τι συ-

µπεραίνετε για το ορθογώνιο; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 3)

GI_A_ALG_4_4654

α) ∆ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση 4 2x 7x 12 0− + = . Να δείξετε ότι η εξίσωση

αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να

προσδιορίσετε. (Μονάδες 10)

β) Γενικεύοντας το παράδειγµα του προηγούµενου ερωτήµατος, θεωρούµε τη διτε-

τράγωνη εξίσωση: 4 2x x 0+β + γ = (1) µε παραµέτρους ,β γ∈ℝ .

Να δείξετε ότι: Αν β < 0, γ > 0 και 2 4 0β − γ > , τότε η εξίσωση (1) έχει τέσσερις

διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_4_4659

∆ίνεται η εξίσωση: 2x 5x 0α − +α = , µε παράµετρο α ≠ 0.

α) Να αποδείξετε ότι αν 5

2α ≤ , τότε η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικούς αριθµούς,

που είναι αντίστροφοι µεταξύ τους. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης, όταν α = 2. (Μονάδες 5)

γ) Να λύσετε την εξίσωση:

21 1

2 x 5 x 2 0x x

+ − + + =

. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4665

∆ίνεται η εξίσωση: 2 2x λx (λ + 5) 0− − = (1) µε παράµετρο λ∈R .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης (1). (Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες πραγµατικές και άνισες για κάθε

λ∈R . (Μονάδες 10)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (1), να βρεθούν οι τιµές του λ∈R για

τις οποίες ισχύει: 1 2(x 2)(x 2) 4− − =− . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4667

α) Να λύσετε την εξίσωση: 2x 3x 4 0− − = (1). (Μονάδες 10)

β) ∆ίνονται οι οµόσηµοι αριθµοί α, β για τους οποίους ισχύει: 2 2α 3αβ 4β 0− − = .

i) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός α

β είναι λύση της εξίσωσης (1). (Μονάδες 7)

ii) Να αιτιολογήσετε γιατί ο α είναι τετραπλάσιος του β. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_4857

∆ίνεται η εξίσωση 2 2 2αβx (α β )x αβ 0− + + = , όπου α, β δύο θετικοί αριθµοί.

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης είναι: 2 2 2∆ (α β )= − .

(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τη σχέση µεταξύ των αριθµών α, β, έτσι ώστε η εξίσωση να έχει δύο

ρίζες άνισες, τις οποίες να προσδιορίσετε, ως συνάρτηση των α, β. (Μονάδες 10)

γ) Αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι 1

αx

β= και 2

βx

α= , τότε να αποδείξετε ότι:

1 2(1 x )(1 x ) 4+ + ≥ . (Μονάδες 7)

Page 343: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

343 343

GI_A_ALG_4_4903

∆ίνεται η εξίσωση ( )2x 2 1 x 1 0λ + λ − + λ − = , µε παράµετρο 0λ∈ −ℝ .

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του λ, δηλαδή

σταθερή. (Μονάδες 8)

β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ. (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η απόσταση των ριζών της εξίσωσης στον άξονα

των πραγµατικών αριθµών είναι ίση µε 2 µονάδες. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4957

∆ίνεται το τριώνυµο ( )2 2x 1 xλ − λ + +λ , 0λ∈ −ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο

έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε 0λ∈ −ℝ . (Μονάδες 8)

β) Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα 1 2S x x= +

συναρτήσει του 0λ ≠ και να βρείτε την τιµή του γινοµένου 1 2P x x= των ριζών.

(Μονάδες 5)

γ) Αν 0λ > , το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογή-

σετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6)

δ) Για κάθε 0λ > , αν 1x , 2x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου, να αποδείξε-

τε ότι 1 21 2

x xx x

2

+≤ . (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_4_4962

∆ίνεται το τριώνυµο ( )2 2x 1 xλ − λ + +λ , 0λ∈ −ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο

έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε 0λ∈ −ℝ . (Μονάδες 8)

β) Αν 1x , 2x είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να εκφράσετε το άθροισµα 1 2S x x= +

συναρτήσει του 0λ ≠ και να βρείτε την τιµή του γινοµένου 1 2P x x= των ριζών.

(Μονάδες 5)

γ) Αν λ > 0 το παραπάνω τριώνυµο έχει ρίζες θετικές ή αρνητικές; Να αιτιολογή-

σετε την απάντησή σας. (Μονάδες 6)

δ) Αν 0 1< λ ≠ και 1 2x , x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου, τότε να συγκρί-

νετε τους αριθµούς 1 2x x

2

+ και 1. (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_4_4970

∆ίνεται η εξίσωση: 22x x 36 0+ λ − = (1) µε παράµετρο λ∈R .

α) Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή του λ, η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγµατικές και

άνισες. (Μονάδες 8)

β) Υποθέτουµε τώρα ότι µία από τις ρίζες της εξίσωσης (1) είναι ο αριθµός ρ.

(i) Να δείξετε ότι ο αριθµός −ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 22x x 36 0−λ − = .

(Μονάδες 7)

(ii) Να δείξετε ότι:

• ρ ≠ 0 και

• ο αριθµός 1

ρ είναι ρίζα της εξίσωσης 236x x 2 0− + λ + = . (Μονάδες 10)

Page 344: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

344 344

GI_A_ALG_4_4975

α) ∆ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: 4 2x 8x 9 0− − = . Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή

έχει δύο µόνο πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε. (Μονάδες 10)

β) Γενικεύοντας το παράδειγµα του προηγούµενου ερωτήµατος, θεωρούµε τη

διτετράγωνη εξίσωση: 4 2x x 0+β + γ = (1) µε παραµέτρους ,β γ∈R .

Να δείξετε ότι: Αν 0γ < τότε

i) 2 4 0β − γ > (Μονάδες 3)

ii) η εξίσωση (1) έχει δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_4_4992

α) ∆ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε περίµετρο 34 cmΠ = και διαγώνιο

13 cmδ = .

i) Να δείξετε ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι 260 cmΕ = . (Μονάδες 5)

ii) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού που να έχει ρίζες τα µήκη των

πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5)

iii) Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του ορθογωνίου. (Μονάδες 5)

β) Να εξετάσετε αν υπάρχει ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε εµβαδόν 240 cm και

διαγώνιο 8 cm . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_5317

α) ∆ίνεται η διτετράγωνη εξίσωση: 4 2x 9x 20 0− + = . Nα δείξετε ότι η εξίσωση

αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες, τις οποίες και να

προσδιορίσετε. (Μονάδες 10)

β) Να κατασκευάσετε µία διτετράγωνη εξίσωση της µορφής 4 2x x 0+β + γ = , η

οποία να έχει δύο µόνο διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. Να αποδείξετε τον

ισχυρισµό σας λύνοντας την εξίσωση που κατασκευάσατε. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_4_6223

∆ίνεται η εξίσωση: 2x 5 x 1 0− λ − = , µε παράµετρο λ∈R .

α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε λ∈R , η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγµατικές και

άνισες. (Μονάδες 7)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε:

i) Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ∈R , για τις οποίες ισχύει: 2 24

1 2 1 2(x x ) 18 7(x x ) 0+ − − = . (Μονάδες 9)

ii) Για λ = 1, να βρείτε την τιµή της παράστασης: 2 2

1 2 1 2 1 2A x x 3x + 4 3x + x x= − − . (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_6224

Οι πλευρές 1 2x , x ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι οι ρίζες της εξίσωσης:

2 1x 4 x 16 0

− λ + + = λ , µε λ∈(0, 4).

α) Να βρείτε:

i) την περίµετρο Π του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6)

ii) το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι Π ≥ 16, για κάθε (0,4)λ∈ . (Μονάδες 7)

γ) Για ποια τιµή του λ η περίµετρος Π του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη, δηλαδή

ίση µε 16; Τι µπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6)

Page 345: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

345 345

GI_A_ALG_4_6231

Στο επόµενο σχήµα το ΑΒΓ∆ είναι τετράγωνο

πλευράς ΑΒ = 3 και το Μ είναι ένα τυχαίο

εσωτερικό σηµείο της διαγωνίου ΑΓ. Έστω Ε το

συνολικό εµβαδόν των σκιασµένων τετραγώνων

του σχήµατος.

α) Να αποδείξετε ότι 2

E 2x 6x 9= − + µε x∈(0, 3). (Μονάδες 9)

β) Να αποδείξετε ότι 2

9≥E για κάθε x∈(0, 3). (Μονάδες 8)

γ) Για ποια θέση του Μ πάνω στην ΑΓ το συνολικό εµβαδόν των σκιασµένων

τετραγώνων του σχήµατος γίνεται ελάχιστο, δηλαδή ίσο µε 2

9; Να αιτιολογή-

σετε την απάντησή σας. (Mονάδες 8)

GI_A_ALG_4_7510

Τα σπίτια τεσσάρων µαθητών, της Άννας, του Βαγγέλη, του Γιώργου και της

∆ήµητρας βρίσκονται πάνω σε ένα ευθύγραµµο δρόµο, ο οποίος ξεκινάει από το

σχολείο τους. Οι αποστάσεις των τεσσάρων σπιτιών από το σχολείο, As , Bs , Γs και

∆s αντίστοιχα, ικανοποιούν τις σχέσεις:

A Βs s<

A B

Γ

s 3ss

4

+=

∆ Α ∆ Β

s s s s− = −

Στον παρακάτω άξονα, το σχολείο βρίσκεται στο σηµείο Ο και τα σηµεία Α, Β,

παριστάνουν τις θέσεις των σπιτιών της Άννας και του Βαγγέλη αντίστοιχα.

α) Να τοποθετήσετε πάνω στον άξονα τα σηµεία Γ και ∆, που παριστάνουν τις

θέσεις των σπιτιών του Γιώργου και της ∆ήµητρας. Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 12)

β) Αν επιπλέον, οι τιµές των αποστάσεων A

s , B

s σε km ικανοποιούν τις σχέσεις

Α Β

s s 1,4+ = και A B

s s 0,45⋅ = τότε:

i) Να κατασκευάσετε µία εξίσωση 2ου βαθµού που να έχει ρίζες τους αριθµούς

As ,

Bs . (Μονάδες 6)

ii) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις A

s , B

s , Γ

s και ∆

s . (Μονάδες 7)

x

AB

Γ∆

ΚΜ

Ζ

Θ

Η

x

3

Page 346: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

346 346

GI_A_ALG_4_7515

∆ίνεται η εξίσωση: 2x 2x λ 0− + = , µε παράµετρο λ 1< .

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες 1 2x , x διαφορετικές µεταξύ τους.

(Μονάδες 6)

β) Να δείξετε ότι: 1 2x x 2+ = . (Μονάδες 4)

γ) Αν για τις ρίζες 1 2x , x ισχύει επιπλέον 1 2x 2 x 2− = + , τότε:

i) Να δείξετε ότι: 1 2x x 4− = . (Μονάδες 7)

ii) Να προσδιορίσετε τις ρίζες 1 2x , x και την τιµή του λ. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_7516

∆ίνεται η εξίσωση: ( )2 2αx α 1 x α 0− − − = , µε παράµετρο α 0≠ .

α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι: ( )22∆ α 1= + .

(Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι: 1ρ α= και 2

α= − .

(Μονάδες 10)

γ) Να βρεθούν οι τιµές του α ώστε: 1 2ρ ρ 2− = . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_7940

α) Να λύσετε τις εξισώσεις 23x 14x 8 0− + = (1) και 28x 14x 3 0− + = (2).

(Μονάδες 10)

β) Ένας µαθητής παρατήρησε ότι οι ρίζες της εξίσωσης (2) είναι οι αντίστροφοι

των ριζών της εξίσωσης (1) και ισχυρίστηκε ότι το ίδιο θα ισχύει για

οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της µορφής: 2x x 0α +β + γ = (3) και 2x x 0γ +β +α = (4) µε αγ ≠ 0. Αποδείξτε τον ισχυρισµό του µαθητή, δείχνοντας

ότι: Αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (3) και α·γ ≠ 0, τότε

i) ρ ≠ 0 και (Μονάδες 5)

ii) ο 1

ρ επαληθεύει την εξίσωση (4). (Μονάδες 10)

Page 347: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

347 347

4.1 Ανισώσεις 1ου βαθµού

GI_A_ALG_2_489

α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 2− < . (Μονάδες 8)

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 3x 5− > . (Μονάδες 8)

γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούµενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα

των πραγµατικών αριθµών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το

σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε µε διάστηµα ή

ένωση διαστηµάτων. (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_491

∆ίνονται οι ανισώσεις: 3x – 1 < x + 9 και x 1

2 x2 2

− ≤ + .

α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 15)

β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_503

α) Να λύσετε την ανίσωση: 1

x 42

− < . (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση: | x 5 | 3+ ≥ . (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτηµάτων (α) και (β) µε

χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών και να τις γράψετε µε τη µορφή

διαστήµατος. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_505

α) Να λύσετε την εξίσωση: 2x 4 3 x 1− = − . (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση: 3x 5 1− > . (Μονάδες 9)

γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος και λύσεις της ανίσωσης του

(β) ερωτήµατος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_991

Αν ο πραγµατικός αριθµός x ικανοποιεί τη σχέση: x 1 2+ < ,

α) να δείξετε ότι x∈(−3, 1). (Μονάδες 12)

β) να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης: x 3 x 1

K4

+ + −= είναι αριθµός ανεξάρ-

τητος του x. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1039

α) Να λύσετε την ανίσωση x 1 5− ≥ . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τους αριθµούς x που απέχουν από το 5 απόσταση µικρότερη του 3.

(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β). (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_2_1062

α) Να βρείτε για ποιες πραγµατικές τιµές του y ισχύει: y 3 1− < . (Μονάδες 12)

β) Αν x, y είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε

1 x 3< < και 2 y 4< < , τότε να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η

τιµή του εµβαδού E του ορθογωνίου. (Μονάδες 13)

Page 348: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

348 348

GI_A_ALG_2_1074

α) Να βρείτε για ποιες πραγµατικές τιµές του y ισχύει: | y 3 | 1− < . (Μονάδες 12)

β) Αν x, y είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε

1 x 3< < και 2 y 4< < , τότε να αποδείξετε ότι 6 Π 14< < , όπου Π είναι η

περίµετρος του ορθογωνίου. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1077

α) Να λύσετε την ανίσωση: |x – 5| < 4. (Μονάδες 10)

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι:

1 11

9 α< < . (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_1273

∆ίνονται δύο τµήµατα µε µήκη x και y, για τα οποία ισχύουν:

|x – 3| ≤ 2 και |y – 6| ≤ 4.

α) Να δείξετε ότι: 1 ≤ x ≤ 5 και 2 ≤ y ≤ 10. (Μονάδες 12)

β) Να βρεθεί η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η περίµετρος

ενός ορθογωνίου µε διαστάσεις 2x και y. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1305

α) Να λύσετε την ανίσωση | x 4 | 3+ ≥ . (Μονάδες 12)

β) Αν α 1≥ - , να γράψετε την παράσταση | 4 | 3Α= α+ − χωρίς απόλυτες τιµές.

Να αιτιολογήσετε το συλλογισµό σας. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4290

∆ίνεται πραγµατικός αριθµός x για τον οποίο ισχύει: x 2 3− < .

α) Να αποδείξετε ότι: 1 x 5− < < . (Μονάδες 12)

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: x 1 x 5

K3

+ + −= . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4295

∆ίνονται πραγµατικοί αριθµοί y , για τους οποίους ισχύει y 2 1− < .

α) Να αποδείξετε ότι ( )y 1,3∈ . (Μονάδες 12)

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση y 1 y 3

K2

− + −= . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4305

α) Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των

πραγµατικών αριθµών:

i) 2x 3 5− ≤ (Μονάδες 9)

ii) 2x 3 1− ≥

(Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις.

(Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_4306

α) Να λύσετε την εξίσωση 22x x 6 0− − = (1). (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση x 1 2− < (2). (Μονάδες 9)

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιµές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις

(1) και (2). (Μονάδες 7)

Page 349: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

349 349

GI_A_ALG_2_4318

Αν για τον πραγµατικό αριθµό x ισχύει |2x – 1| < 1, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 0 < x < 1. (Μονάδες 15)

β) Να διατάξετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς 1, x, x2. Nα

αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_7521

α) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον

άξονα των πραγµατικών αριθµών:

i) |1 2x | 5− < και (Μονάδες 9)

ii) |1 2x | 1− ≥ (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις ακέραιες τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω

ανισώσεις. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_1890

∆ίνεται η εξίσωση ( ) ( ) ( )22 x 2 3 x 2 0 1λ + + λ + + λ − = , µε παράµετρο 2λ ≠ − .

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης ( )1 είναι: 12λ 25∆ = + . (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε τις τιµές του 2λ ≠ − , ώστε η εξίσωση (1) να έχει δύο ρίζες πραγµα-

τικές και άνισες. (Μονάδες 7)

γ) Να εκφράσετε ως συνάρτηση του λ το άθροισµα των ριζών 1 2S x x= + και το

γινόµενο των ριζών 1 2x xΡ = ⋅ . (Μονάδες 4)

δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιµή του λ ώστε για τις ρίζες 1 2x , x της εξίσωσης (1)

να ισχύει η σχέση: ( ) ( ) ( )2 2

1 2 1 2x x 1 x x 3 0 2+ − + + = . (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_2081

∆ίνεται η εξίσωση 2λx 2(λ 1)x + λ 2 = 0+ − − (1) µε παράµετρο λ∈R .

α) Να λύσετε την εξίσωση όταν λ = 0. (Μονάδες 5)

β) Έστω λ 0≠ .

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες, τις οποίες

στη συνέχεια να βρείτε. (Μονάδες 10)

ii) Αν 1x 1=− και 2

2x 1

λ=− + είναι οι δύο ρίζες της εξίσωσης (1), να προσ-

διορίσετε τις τιµές του λ, για τις οποίες ισχύει 1 2| x x | 1− > . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_2238

∆ίνεται η εξίσωση 2 2x 2 x 1 0− λ + λ − = , µε παράµετρο λ∈R .

α) Να δείξετε ότι για κάθε λ∈R η εξίσωση έχει δύο άνισες ρίζες. (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης, για κάθε λ∈R . (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού λ, οι δύο άνισες ρίζες της

εξίσωσης ανήκουν στο διάστηµα (−2, 4). (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_4_2287

∆ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός x που ικανοποιεί τη σχέση: d(x,5) 9≤ .

α) Να αποδώσετε την παραπάνω σχέση λεκτικά. (Μονάδες 5)

β) Με χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών, να παραστήσετε σε µορφή

διαστήµατος το σύνολο των δυνατών τιµών του x. (Μονάδες 5)

γ) Να γράψετε τη σχέση µε το σύµβολο της απόλυτης τιµής και να επιβεβαιώσετε

µε αλγεβρικό τρόπο το συµπέρασµα του ερωτήµατος (β). (Μονάδες 10)

δ) Να χρησιµοποιήσετε το συµπέρασµα του ερωτήµατος (γ) για να δείξετε ότι:

x 4 x 14 18+ + − = . (Μονάδες 5)

Page 350: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

350 350

GI_A_ALG_4_4833

Μία υπολογιστική µηχανή έχει προγραµµατιστεί έτσι ώστε, όταν εισάγεται σε

αυτήν ένας πραγµατικός αριθµός x, να δίνει ως εξαγόµενο τον αριθµό λ που δίνεται

από τη σχέση: ( ) ( )22x 5 8x 1λ = + − .

α) Αν ο εισαγόµενος αριθµός είναι το −5, ποιος είναι ο εξαγόµενος; (Μονάδες 6)

β) Αν ο εξαγόµενος αριθµός είναι το 20, ποιος µπορεί να είναι ο εισαγόµενος;

(Μονάδες 6)

γ) Να γράψετε τη σχέση (1) στη µορφή ( )24x 12x 25 0+ + − λ = και στη συνέχεια:

i) να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε τιµή και να έχει ο εισαγόµενος αριθµός x, ο

εξαγόµενος αριθµός λ δεν µπορεί να είναι ίσος µε 5. (Μονάδες 6)

ii) να προσδιορίσετε τις δυνατές τιµές του εξαγόµενου αριθµού λ. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_4835

∆ίνεται η εξίσωση 2x x 0−β + γ = µε β, γ πραγµατικούς αριθµούς. Αν η παραπάνω

εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες για τις οποίες ισχύει 1 2x x 4+ = , τότε:

α) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του β. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι γ < 4. (Μονάδες 7)

γ) ∆ίνεται επιπλέον η εξίσωση 2x β | x | 3 0− + = (1).

Να εξετάσετε για ποια από τις τιµές του β που βρήκατε στο (α) ερώτηµα, η

εξίσωση (1) δεν έχει πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_4_4946

α) Να λύσετε την ανίσωση x 3 5− ≤ . (Μονάδες 7)

β) Να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων της ανίσωσης αυτής πάνω στον άξονα

των πραγµατικών αριθµών και να ερµηνεύσετε το αποτέλεσµα, µε βάση την

γεωµετρική σηµασία της παράστασης x 3− . (Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε όλους τους ακέραιους αριθµούς x που ικανοποιούν την ανίσωση

x 3 5− ≤ . (Μονάδες 5)

δ) Να βρείτε το πλήθος των ακέραιων αριθµών x που ικανοποιούν την ανίσωση

x 3 5− ≤ . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_4952

α) Θεωρούµε την εξίσωση 2x 2x 3+ + = α , µε παράµετρο α∈ℝ .

i) Να βρείτε για ποιες τιµές του α η εξίσωση 2x 2x 3+ + = α έχει δύο ρίζες πραγ-

µατικές και άνισες. (Μονάδες 6)

ii) Να βρείτε την τιµή του α ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα, την οποία και να

προσδιορίσετε. (Μονάδες 6)

β) ∆ίνεται το τριώνυµο 2f (x) x 2x 3= + + , x∈ℝ .

i) Να αποδείξετε ότι f (x) 2≥ , για κάθε x∈ℝ . (Μονάδες 7)

ii) Να λύσετε την ανίσωση f (x) 2 2− ≤ . (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_4_7263

∆ίνεται το τριώνυµο: 762 −+− λxx , όπου λ∈R .

α) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο έχει πραγµατικές ρίζες.

(Μονάδες 7)

β) i) Αν x1, x2 είναι οι ρίζες του τριωνύµου, να βρείτε την τιµή του αθροίσµατος

1 2S x x= + των ριζών και να εκφράσετε συναρτήσει του λ το γινόµενο

1 2P x x= των ριζών. (Μονάδες 2)

Page 351: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

351 351

ii) Να δείξετε ότι, για κάθε λ µε 7 < λ < 16, το τριώνυµο έχει δύο άνισες οµόση-

µες ρίζες. Ποιο είναι τότε το πρόσηµο των ριζών; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 4)

γ) i) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες η εξίσωση 762 =+− λxx (1) έχει

τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες. (Μονάδες 8)

ii) Έχει η εξίσωση (1) για 3 10λ = τέσσερις διαφορετικές πραγµατικές ρίζες;

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4)

GI_A_ALG_4_7791

∆ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί α και β για τους οποίους ισχύει η ανίσωση:

(α – 1)(1 – β) > 0.

α) Να αποδείξετε ότι το 1 είναι µεταξύ των α, β. (Μονάδες 13)

β) Αν επιπλέον |β – α| = 4, να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης:

Κ = |α – 1| + |1 – β|. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας είτε γεωµετρικά είτε

αλγεβρικά. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_4_8443

α) Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς για τους οποίους ισχύει | x 4 | 2− < .

(Μονάδες 10)

β) Θεωρούµε πραγµατικό αριθµό x που η απόστασή του από το 4 στον άξονα των

πραγµατικών αριθµών είναι µικρότερη του 2.

i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του τριπλασίου του αριθµού αυτού από το 4

είναι µεγαλύτερη του 2 και µικρότερη του 14. (Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε µεταξύ ποιων ορίων περιέχεται η τιµή της απόστασης του 3x από

το 19. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_8453

Για τους πραγµατικούς αριθµούς ,α β∈R ισχύει:

• | 2 | 1α − <

• | 3 | 2β− ≤

α) Να αποδειχθεί ότι 1 3< α < . (Μονάδες 4)

β) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται ο β. (Μονάδες 5)

γ) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η παράσταση 2 3α − β . (Μονάδες 7)

δ) Να βρεθεί µεταξύ ποιων αριθµών βρίσκεται η παράσταση αβ

. (Μονάδες 9)

Page 352: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

352 352

4.2 Ανισώσεις 2ου βαθµού

GI_A_ALG_2_489

α) Να λύσετε την ανίσωση x 5 2− < . (Μονάδες 8)

β) Να λύσετε την ανίσωση 2 3x 5− > . (Μονάδες 8)

γ) Να παραστήσετε τις λύσεις των δύο προηγούµενων ανισώσεων στον ίδιο άξονα

των πραγµατικών αριθµών. Με τη βοήθεια του άξονα, να προσδιορίσετε το

σύνολο των κοινών τους λύσεων και να το αναπαραστήσετε µε διάστηµα ή

ένωση διαστηµάτων. (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_491

∆ίνονται οι ανισώσεις: 3x – 1 < x + 9 και x 1

2 x2 2

− ≤ + .

α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 15)

β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_503

α) Να λύσετε την ανίσωση: 1

x 42

− < . (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση: | x 5 | 3+ ≥ . (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτηµάτων (α) και (β) µε

χρήση του άξονα των πραγµατικών αριθµών και να τις γράψετε µε τη µορφή

διαστήµατος. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_505

α) Να λύσετε την εξίσωση: 2x 4 3 x 1− = − . (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση: 3x 5 1− > . (Μονάδες 9)

γ) Είναι οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος και λύσεις της ανίσωσης του

(β) ερωτήµατος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_991

Αν ο πραγµατικός αριθµός x ικανοποιεί τη σχέση: x 1 2+ < ,

α) να δείξετε ότι x∈(−3, 1). (Μονάδες 12)

β) να δείξετε ότι η τιµή της παράστασης: x 3 x 1

K4

+ + −= είναι αριθµός ανεξάρ-

τητος του x. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1039

α) Να λύσετε την ανίσωση x 1 5− ≥ . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε τους αριθµούς x που απέχουν από το 5 απόσταση µικρότερη του 3.

(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των (α) και (β). (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_2_1062

α) Να βρείτε για ποιες πραγµατικές τιµές του y ισχύει: y 3 1− < . (Μονάδες 12)

β) Αν x, y είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε

1 x 3< < και 2 y 4< < , τότε να βρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων περιέχεται η

τιµή του εµβαδού E του ορθογωνίου. (Μονάδες 13)

Page 353: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

353 353

GI_A_ALG_2_1074

α) Να βρείτε για ποιες πραγµατικές τιµές του y ισχύει: | y 3 | 1− < . (Μονάδες 12)

β) Αν x, y είναι τα µήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου, µε

1 x 3< < και 2 y 4< < , τότε να αποδείξετε ότι 6 Π 14< < , όπου Π είναι η

περίµετρος του ορθογωνίου. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1077

α) Να λύσετε την ανίσωση: |x – 5| < 4. (Μονάδες 10)

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι:

1 11

9 α< < . (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_1273

∆ίνονται δύο τµήµατα µε µήκη x και y, για τα οποία ισχύουν:

|x – 3| ≤ 2 και |y – 6| ≤ 4.

α) Να δείξετε ότι: 1 ≤ x ≤ 5 και 2 ≤ y ≤ 10. (Μονάδες 12)

β) Να βρεθεί η µικρότερη και η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να πάρει η περίµετρος

ενός ορθογωνίου µε διαστάσεις 2x και y. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1305

α) Να λύσετε την ανίσωση | x 4 | 3+ ≥ . (Μονάδες 12)

β) Αν α 1≥ - , να γράψετε την παράσταση | 4 | 3Α= α+ − χωρίς απόλυτες τιµές.

Να αιτιολογήσετε το συλλογισµό σας. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4290

∆ίνεται πραγµατικός αριθµός x για τον οποίο ισχύει: x 2 3− < .

α) Να αποδείξετε ότι: 1 x 5− < < . (Μονάδες 12)

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση: x 1 x 5

K3

+ + −= . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4295

∆ίνονται πραγµατικοί αριθµοί y , για τους οποίους ισχύει y 2 1− < .

α) Να αποδείξετε ότι ( )y 1,3∈ . (Μονάδες 12)

β) Να απλοποιήσετε την παράσταση y 1 y 3

K2

− + −= . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4305

α) Να λύσετε τις ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον άξονα των

πραγµατικών αριθµών:

i) 2x 3 5− ≤ (Μονάδες 9)

ii) 2x 3 1− ≥

(Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω ανισώσεις.

(Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_4306

α) Να λύσετε την εξίσωση 22x x 6 0− − = (1). (Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση x 1 2− < (2). (Μονάδες 9)

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιµές του x που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις

(1) και (2). (Μονάδες 7)

Page 354: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

354 354

GI_A_ALG_2_4318

Αν για τον πραγµατικό αριθµό x ισχύει |2x – 1| < 1, τότε:

α) Να αποδείξετε ότι 0 < x < 1. (Μονάδες 15)

β) Να διατάξετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς 1, x, x2. Nα

αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_7521

α) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις και να παραστήσετε τις λύσεις τους στον

άξονα των πραγµατικών αριθµών:

i) |1 2x | 5− < και (Μονάδες 9)

ii) |1 2x | 1− ≥ (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις ακέραιες τιµές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι παραπάνω

ανισώσεις. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_478

∆ίνεται η εξίσωση: ( )2 2x λx λ λ 1 0− + + − = (1), µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η εξίσωση (1) να έχει ρίζες

πραγµατικές. (Μονάδες 12)

β) Να λύσετε την ανίσωση: 2S P 2 0− − ≥ , όπου S και P είναι αντίστοιχα το

άθροισµα και το γινόµενο των ριζών της (1). (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_484

α) Να λύσετε τις ανισώσεις: 2x 5 3− ≤ και 22x x 1 0− − ≥ . (Μονάδες 16)

β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος α). (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_490

∆ίνεται το τριώνυµο 22x 3x 1− + .

α) Να βρείτε τις ρίζες του. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις τιµές του x∈ℝ για τις οποίες: 22x 3x 1 0− + < . (Μονάδες 5)

γ) Να εξετάσετε αν οι αριθµοί 3

2 και

1

2 είναι λύσεις της ανίσωσης:

22x 3x 1 0− + < . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_498

α) Να λύσετε την εξίσωση: | x 1| | x 1| 4 2

3 5 3

+ + +− = . (Μονάδες 9)

β) Nα λύσετε την ανίσωση: 2x 2x 3 0− + + ≤ . (Μονάδες 9)

γ) Να εξετάσετε αν οι λύσεις της εξίσωσης του (α) ερωτήµατος είναι και λύσεις της

ανίσωσης του (β) ερωτήµατος. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_1067

∆ίνεται η παράσταση: 2

2

x 4x 4K

2x 3x 2

− +=

− −.

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 22x 3x 2− − . (Μονάδες 10)

β) Για ποιες τιµές του x∈ℝ ορίζεται η παράσταση Κ; Να αιτιολογήσετε την απά-

ντησή σας. (Μονάδες 7)

γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση Κ. (Μονάδες 8)

Page 355: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

355 355

GI_A_ALG_2_1277

∆ίνονται οι ανισώσεις 2x 5x 6 0− + − < (1) και 2x 16 0− ≤ (2).

α) Να βρεθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και (2). (Μονάδες 12)

β) Να παρασταθούν οι λύσεις των ανισώσεων (1) και (2) πάνω στον άξονα των

πραγµατικών αριθµών και να βρεθούν οι κοινές λύσεις των παραπάνω

ανισώσεων. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1278

∆ίνεται πραγµατικός αριθµός x για τον οποίο ισχύει d(x, −2) < 1.

Να δείξετε ότι:

α) −3 < x < −1 (Μονάδες 10)

β) 2x 4x 3 0+ + < (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_1288

α) Να λύσετε την ανίσωση: 2x 10x 21 0− + < . (Mονάδες 12)

β) ∆ίνεται η παράσταση: 2A | x 3 | | x 10x 21|= − + − + .

i) Για 3 x 7< < , να δείξετε ότι: 2A x 11x 24= − + − . (Μονάδες 8)

ii) Να βρείτε τις τιµές του x (3, 7)∈ , για τις οποίες ισχύει A 6= . (Μονάδες 5)

GI_A_ALG_2_1297

α) Να λύσετε την ανίσωση: 23x 4x 1 0− + ≤ . (Μονάδες 12)

β) Αν α, β δύο αριθµοί που είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης, να αποδείξετε

ότι ο αριθµός 3 6

9

α+ β είναι επίσης λύση της ανίσωσης. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1512

α) Να λυθεί η εξίσωση: 2x x 2 0− − = . (Μονάδες 8)

β) Να λυθεί η ανίσωση: 2x x 2 0− − > και να παραστήσετε το σύνολο λύσεών της

στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 12)

γ) Να τοποθετήσετε το 4

3− στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. Είναι το

4

3−

λύση της ανίσωσης του ερωτήµατος (β); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 5)

GI_A_ALG_2_1544

α) Να αποδείξετε ότι 2x 4x 5 0+ + > , για κάθε πραγµατικό αριθµό x. (Μονάδες 10)

β) Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιµές την παράσταση: 2 2B x 4x 5 x 4x 4= + + − + + . (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_3380

∆ίνεται το τριώνυµο ( ) 2f x = 3x + 9x 12, x− ∈ℝ .

α) Να λύσετε την ανίσωση ( )f x 0≤ και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών

της στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 13)

β) Να ελέγξετε αν ο αριθµός 3 2 είναι λύση του ερωτήµατος (α). Να αιτιολογήσετε

την απάντησή σας. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_4_1874

∆ίνεται η εξίσωση: 2x 2( 1)x λ + 5 = 0 (1)− λ − + , µε παράµετρο λ∈R .

α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης (1) είναι: 2∆ = 4λ 12 16− λ − .

(Μονάδες 7)

β) Να βρείτε τις τιµές του λ∈R , ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγµατικές

και άνισες. (Μονάδες 10)

Page 356: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

356 356

γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθµούς 1 2x , x και 1 2d(x , x ) είναι η απόσταση

των 1 2x , x στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, να βρείτε για ποιες τιµές του

λ∈R ισχύει: 1 2d(x , x ) 24= . (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_2055

∆ίνεται η εξίσωση: ( ) ( )2 2 2x 1 x 1 0λ −λ − λ − + λ − = , (1) µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρεθούν οι τιµές του λ∈ℝ , για τις οποίες η (1) είναι εξίσωση 2ου βαθµού.

(Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι για τις τιµές του λ∈ℝ που βρήκατε στο (α) ερώτηµα η (1)

παίρνει τη µορφή: ( )2x 1 x 1 0λ − λ + + = . (Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι για τις τιµές του λ∈ℝ που βρήκατε στο (α) ερώτηµα η (1)

έχει δύο ρίζες πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 7)

δ) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της (1), αν αυτή είναι 2ου βαθµού. (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_4_2244

∆ίνονται οι ανισώσεις: | x 2 | 3− < και 2x 2x 8 0− − ≤ .

α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 10)

β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x ( 1, 4]∈ − . (Μονάδες 5)

γ) Αν οι αριθµοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανι-

σώσεων, να δείξετε ότι και ο αριθµός 1 2

2

ρ +ρ είναι κοινή τους λύση.

(Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_2255

∆ίνονται οι ανισώσεις: 2 | x | 3≤ ≤ και 2x 4x 0− < .

α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 10)

β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x [2, 3]∈ . (Μονάδες 5)

γ) Αν οι αριθµοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώ-

σεων, να δείξετε ότι και ο αριθµός 1 2

2

ρ +ρ είναι κοινή τους λύση. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_2273

∆ίνονται οι ανισώσεις x 1 2+ ≤ και 2x x 2 0− − > .

α) Να λύσετε τις ανισώσεις. (Μονάδες 10)

β) Να δείξετε ότι οι ανισώσεις συναληθεύουν για x [ 3, 1)∈ − − . (Μονάδες 5)

γ) Αν οι αριθµοί ρ1 και ρ2 ανήκουν στο σύνολο των κοινών λύσεων των δύο ανισώ-

σεων, να δείξετε ότι 1 2 ( 2, 2)ρ −ρ ∈ − . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_2336

α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου 2x 5x 6− + για τις διάφορες τιµές του

x∈R . (Μονάδες 10)

β) ∆ίνεται η εξίσωση ( )21x 2 x 2 0

4+ −λ + λ − = (1) µε παράµετρο λ.

i) Να αποδείξετε ότι, για κάθε ( ) ( ), 2 3,λ∈ −∞ ∪ +∞ , η εξίσωση (1) έχει δύο

ρίζες άνισες. (Μονάδες 10)

ii) Να βρείτε τις τιµές του λ∈R για τις οποίες οι ρίζες της (1) είναι οµόσηµοι

αριθµοί. (Μονάδες 5)

Page 357: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

357 357

GI_A_ALG_4_4542

α) Να λύσετε την ανίσωση: 2x x< στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών.

(Μονάδες 8)

β) ∆ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός α µε 0 < α < 1.

i) Να βάλετε στη σειρά, από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο και να

τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τους αριθµούς: 20,1, , ,α α α . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του

ερωτήµατος α). (Mονάδες 10)

ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα: 1 1+α < + α . (Mονάδες 7)

GI_A_ALG_4_4548

∆ίνεται η εξίσωση ( )2 2x x 0− + λ −λ = , µε παράµετρο λ∈ℝ (1).

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει

ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση 1

AS P

=−

, όπου S, P το άθροισµα και το

γινόµενο των ριζών της εξίσωσης (1) αντίστοιχα, έχει νόηµα πραγµατικού

αριθµού για κάθε πραγµατικό αριθµό λ. (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_4607

α) Να λύσετε την ανίσωση: 2x x> στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών.

(Μονάδες 8)

β) ∆ίνεται ένας πραγµατικός αριθµός α µε α > 1.

i) Να βάλετε στη σειρά, από τον µικρότερο στον µεγαλύτερο και να

τοποθετήσετε πάνω στον άξονα των πραγµατικών αριθµών, τους αριθµούς: 20,1, , ,α α α . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του

ερωτήµατος α). (Μονάδες 10)

ii) Να κάνετε το ίδιο για τους αριθµούς: 2

2, ,2

α +αα α . (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_4663

∆ίνεται η εξίσωση 2(x 2) λ(4x 3)− = − , µε παράµετρο λ∈R .

α) Να γράψετε την εξίσωση στη µορφή 2αx + βx + γ = 0 , α ≠ 0. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες.

(Μονάδες 10)

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, στην περίπτωση που έχει ρίζες

πραγµατικές και άνισες,

i) να υπολογίσετε τα 1 2S x x= + και 1 2P x x=

ii) να αποδείξετε ότι η παράσταση 1 2A (4x 3)(4x 3)= − − είναι ανεξάρτητη του

λ, δηλαδή σταθερή. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4680

∆ίνεται η εξίσωση: 2 2x x 0− + λ −λ = (1) µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει

ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

Page 358: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

358 358

γ) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε για ποιες

τιµές του λ ισχύει 1 20 < d(x , x ) < 2 . (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_4681

∆ίνεται η εξίσωση: 2 2x x 0− + λ −λ = (1) µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει

ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Αν 1

2λ ≠ και 1 2x , x είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης (1), τότε να βρείτε

για ποιες τιµές του λ ισχύει 1 2

1 2

1d(x , x )

d(x , x )= . (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_4682

∆ίνεται η εξίσωση: 2 2x x 0− + λ −λ = (1) µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει

ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιµή του λ η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε το λ, ώστε η συνάρτηση 2 2f (x) x x= − + λ −λ να έχει πεδίο ορισµού

το σύνολο ℝ . (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_4819

∆ίνεται το τριώνυµο 2 2f (x) x x 0= − + λ −λ = , λ∈ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο

έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε λ∈ℝ . (Μονάδες 10)

β) Για ποια τιµή του λ το τριώνυµο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Αν 1

2λ ≠ και 1 2x , x είναι οι ρίζες του παραπάνω τριωνύµου µε 1 2x x< , τότε:

i) Nα δείξετε ότι 1 21 2

x xx x

2

+< < . (Μονάδες 4)

ii) Να διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους αριθµούς 2f (x ) ,

1 22

x xf , f (x 1)

2

+ + . (Μονάδες 5)

GI_A_ALG_4_4834

∆ίνεται το τριώνυµο: 2 2x 1 x ,( ) 0λ − λ + +λ λ∈ −ℝ .

α) Να βρείτε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου και να αποδείξετε ότι το τριώνυµο

έχει ρίζες πραγµατικές για κάθε 0 λ∈ −ℝ . (Μονάδες 9)

β) Για ποιες τιµές του λ το παραπάνω τριώνυµο έχει δύο ρίζες ίσες; (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε την τιµή του λ ≠ 0, ώστε f(x) ≤ 0, για κάθε x∈ℝ . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4836

∆ίνεται η εξίσωση 2x – x 1 0λ + = (1) µε παράµετρο λ∈ℝ .

α) Να βρείτε για ποιες τιµές του λ η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγµατικές και άνισες.

(Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι αν ο αριθµός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (1), τότε και ο αριθµός

1

ρ είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. (Μονάδες 5)

Page 359: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

359 359

γ) Για λ > 2, να αποδείξετε ότι:

i) Οι ρίζες 1 2x , x της εξίσωσης (1) είναι αριθµοί θετικοί.

ii) 1 2x 4x 4+ ≥ . (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_4_4853

∆ίνεται το τριώνυµο 2αx βx γ, α 0+ + ≠ , µε ρίζες τους αριθµούς 1 και 2.

α) Χρησιµοποιώντας τους τύπους για το άθροισµα S και το γινόµενο P των ριζών

του τριωνύµου, να αποδείξετε ότι: γ = 2α και β = −3α. (Μονάδες 9)

β) Αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι το τριώνυµο παίρνει θετικές τιµές για κάθε

x (1, 2)∈ , τότε:

i) Να αποδείξετε ότι α < 0. (Μονάδες 9)

ii) Να λύσετε την ανίσωση 2γx βx α 0+ + < . (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_4859

Θεωρούµε το τριώνυµο 2f (x) 3x κx 4= + − µε παράµετρο κ∈R .

α) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιµή του κ, το τριώνυµο έχει ρίζες

πραγµατικές και άνισες. (Μονάδες 10)

β) Οι ρίζες του τριωνύµου είναι οµόσηµες ή ετερόσηµες; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 5)

γ) Αν 1 2x , x οι ρίζες του τριωνύµου και α, β δύο πραγµατικοί ώστε να ισχύει:

1 2α x x β< < < , να προσδιορίσετε το πρόσηµο του γινοµένου α f (α) β f (β)⋅ ⋅ ⋅ .

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_5285

∆ίνονται οι εξισώσεις 2x 3x 2 0− + = (1) και 4 2x 3x 2 0− + = (2).

α) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (1). (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (2). (Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε τριώνυµο της µορφής 2x x+β + γ που οι ρίζες του να είναι κάποιες

από τις ρίζες της εξίσωσης (2) και επιπλέον, για κάθε αρνητικό αριθµό x, να έχει

θετική τιµή. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_5316

∆ίνεται το τριώνυµο: 2 2x x+β +β , όπου β∈ℝ .

α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου. (Μονάδες 4)

β) i) Αν 0β ≠ τι µπορείτε να πείτε για το πρόσηµο του τριωνύµου; (Μονάδες 7)

ii) Πώς αλλάζει η απάντησή σας στο ερώτηµα (i), όταν 0β = ; (Μονάδες 6)

γ) Με τη βοήθεια της απάντησης στο ερώτηµα (β), να αποδείξετε ότι ισχύει η ανι-

σότητα 2 2 0α +αβ+β > για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς α, β που

δεν είναι και οι δύο ταυτόχρονα 0. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_5322

∆ίνεται το τριώνυµο: 2x 2x 8− − .

α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου για τις διάφορες τιµές του πραγµατικού

αριθµού x. (Μονάδες 10)

β) Αν 8889

4444κ = − , είναι η τιµή της παράστασης: 2 2 8κ − κ − µηδέν, θετικός ή αρνη-

τικός αριθµός; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

γ) Αν ισχύει 4 4− < µ < , τι µπορείτε να πείτε για το πρόσηµο της τιµής της

παράστασης: 2 2 | | 8µ − µ − ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

Page 360: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

360 360

GI_A_ALG_4_5884

∆ίνεται το τριώνυµο 2f (x) x 6x 3= − + λ − , µε λ∈R .

α) Να υπολογίσετε τη διακρίνουσα ∆ του τριωνύµου. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις τιµές του λ για τις οποίες το τριώνυµο έχει δύο άνισες πραγµατικές

ρίζες. (Μονάδες 7)

γ) Αν 3 < λ < 12, τότε:

i) Να δείξετε ότι το τριώνυµο έχει δύο άνισες θετικές ρίζες. (Μονάδες 6)

ii) Αν 1 2x , x µε 1 2x x< είναι οι δύο ρίζες του τριωνύµου και κ, µ είναι δύο

αριθµοί µε κ < 0 και 1 2x x< µ < , να προσδιορίσετε το πρόσηµο του γινοµένου

f ( ) f ( )κ ⋅ κ ⋅µ ⋅ µ . Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_5885

α) i) Να βρείτε τις ρίζες του τριωνύµου: 2x 9x 18+ + . (Μονάδες 4)

ii) Να λύσετε την εξίσωση: 2| x 3 | x 9x 18 0+ + + + = . (Μονάδες 7)

β) i) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου 2x 9x 18+ + , για τις διάφορες τιµές του

πραγµατικού αριθµού x. (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει: 2 2x 9x 18 x 9x 18+ + = − − − .

(Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_6226

Οι πλευρές 1 2x , x ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου είναι οι ρίζες της εξίσωσης

( )2x 2x 2 – 0− + λ λ = , µε λ∈(0, 2).

α) Να βρείτε:

i) την περίµετρο Π του ορθογωνίου. (Μονάδες 6)

ii) το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου συναρτήσει του λ. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι 1Ε ≤ , για κάθε λ∈(0, 2) (Μονάδες 7)

γ) Για ποια τιµή του λ το εµβαδόν Ε του ορθογωνίου γίνεται µέγιστο, δηλαδή ίσο µε

1; Τι µπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο; (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_4_6227

α) Να λύσετε την ανίσωση: 0652 <−− xx . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε το πρόσηµο του αριθµού 647

465

47

462

−⋅+

−=K και να αιτιολογή-

σετε το συλλογισµό σας. (Μονάδες 7)

γ) Αν ( )66,α −∈ να βρείτε το πρόσηµο της παράστασης Λ = 652 −− αα . Να αιτιο-

λογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_7677

∆ίνεται η ανίσωση: | x 1| 4+ < (1).

α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της πάνω

στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1). (Μονάδες 3)

γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυµο της µορφής 2x x+β + γ το οποίο να έχει ρίζες

δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1) και να έχει θετική τιµή, για κάθε

x 0≤ . (Μονάδες 15)

Page 361: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

361 361

GI_A_ALG_4_7684

∆ίνεται η ανίσωση: | x 1| 3− ≤ (1)

α) Να λύσετε την ανίσωση και να παραστήσετε το σύνολο των λύσεών της πάνω

στον άξονα των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1). (Μονάδες 3)

γ) Να κατασκευάσετε ένα τριώνυµο της µορφής 2x x+β + γ το οποίο να έχει ρίζες

δύο από τις ακέραιες λύσεις της ανίσωσης (1) και να έχει θετική τιµή, για κάθε

x 0≥ . (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_4_7958

α) Να λύσετε την ανίσωση: 2 5x 1 x

2+ ≥ . (Μονάδες 10)

β) ∆ίνονται δύο αριθµοί κ, λ οι οποίοι είναι λύσεις της ανίσωσης (1) και ικανο-

ποιούν επιπλέον τη σχέση: (λ – 1)(κ – 1) < 0.

i) Να δείξετε ότι το 1 είναι µεταξύ των κ, λ. (Μονάδες 8)

ii) Να δείξετε ότι: 3

| |2

κ −λ ≥ . (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_7974

∆ίνεται πραγµατικός αριθµός α, που ικανοποιεί τη σχέση: 2 1α− < .

α) Να γράψετε σε µορφή διαστήµατος το σύνολο των δυνατών τιµών του α.

(Μονάδες 8)

β) Θεωρούµε στη συνέχεια το τριώνυµο: 2 1x ( 2)x

4− α − + .

i) Να βρείτε τη διακρίνουσα του τριωνύµου και να προσδιορίσετε το πρόσηµό

της. (Μονάδες 10)

ii) Να δείξετε ότι, για κάθε τιµή του x∈R, ισχύει 2 1x ( 2)x 0

4− α − + > .

(Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_8445

α) ∆ίνεται το τριώνυµο 2x 3x 2, x− + ∈R . Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου.

(Μονάδες 10)

β) Θεωρούµε πραγµατικούς αριθµούς α, β διαφορετικούς από το 0 µε α < β για τους

οποίους ισχύει ( )( )2 23 2 3 2 0α − α + β − β+ < .

Να αποδείξετε ότι ( 1)( 2) ( 1)( 2)α− β− = α − β− . (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_4_8455

Για τους πραγµατικούς αριθµούς ,α β∈R ισχύει ότι:

• |1 3 | 2− α <

• Η απόσταση του αριθµού β από τον αριθµό 2 είναι µικρότερη του 1.

α) Να αποδειχθεί ότι 1

13

− < α < . (Μονάδες 5)

β) Να αποδειχθεί ότι | 3 1| 3β− α − < . (Μονάδες 10)

γ) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 2 2f (x) 4x 4( 2)x= − β− +β έχει πεδίο ορισµού

όλο το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών. (Μονάδες 10)

Page 362: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

362 362

5.2 Αριθµητική πρόοδος

GI_A_ALG_2_474

Θεωρούµε την ακολουθία ν(α ) των θετικών περιττών αριθµών: 1, 3, 5, 7, …

α) Να αιτιολογήσετε γιατί η ν(α ) είναι αριθµητική πρόοδος και να βρείτε τον

εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15)

β) Να αποδείξετε ότι το άθροισµα των ν πρώτων περιττών θετικών αριθµών είναι

ίσο µε το τετράγωνο του πλήθους τους. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_480

Ένα µικρό γήπεδο µπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισµάτων και κάθε σειρά έχει α

καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενη. Η 7η σειρά έχει 36 καθίσµατα και

το πλήθος των καθισµάτων του σταδίου είναι 300.

α) Αποτελούν τα καθίσµατα του γηπέδου όρους αριθµητικής προόδου; Να αιτιολο-

γήσετε το συλλογισµό σας. (Μονάδες 12)

β) Πόσα καθίσµατα έχει κάθε σειρά; (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_508

α) Να βρείτε το άθροισµα των ν πρώτων διαδοχικών θετικών ακεραίων

1, 2, 3, …, ν. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους διαδοχικούς θετικούς ακέραιους πρέπει να

χρησιµοποιήσουµε για να πάρουµε άθροισµα τον αριθµό 45. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1015

∆ίνεται η αριθµητική πρόοδος ν(α ) µε όρους 2 4α 0,α 4= = .

α) Να αποδείξετε ότι ω = 2 και 1α 2= − , όπου ω είναι η διαφορά της προόδου και

1α ο πρώτος όρος της. (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι ίσος µε να 2ν 4, ν ∗= − ∈N

και να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος µε 98. (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_1050

α) Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό x ώστε οι αριθµοί: ( )2x 2, x 1 ,3x 2+ + +

µε τη

σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τη διαφορά ω της παραπάνω αριθµητικής προόδου, όταν

i) x 1= ii) x = 1− (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_1057

Σε ένα γυµναστήριο µε 10 σειρές καθισµάτων, η πρώτη σειρά έχει 120 καθίσµατα

και κάθε σειρά έχει 20 καθίσµατα περισσότερα από την προηγούµενή της.

α) Να εκφράσετε µε µια αριθµητική πρόοδο το πλήθος των καθισµάτων της

ν-οστής σειράς. (Μονάδες 9)

β) Πόσα καθίσµατα έχει η τελευταία σειρά; (Μονάδες 8)

γ) Πόσα καθίσµατα έχει το γυµναστήριο; (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_2_1064

∆ίνεται αριθµητική πρόοδος ν(α ) για την οποία ισχύει ότι:

1α 19= και 10 6α α 24− = .

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω = 6. (Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τον 20α . (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε το άθροισµα των 20 πρώτων όρων της προόδου. (Μονάδες 8)

Page 363: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

363 363

GI_A_ALG_2_1086

Οι αριθµοί Α = 1, Β = x + 4, Γ = x + 8 είναι, µε τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί

όροι αριθµητικής προόδου ν(α ) .

α) Να βρείτε την τιµή του x. (Μονάδες 10)

β) Αν x = 1 και ο αριθµός A είναι ο πρώτος όρος της αριθµητικής προόδου ν(α ) ,

i) να υπολογίσετε τη διαφορά ω. (Μονάδες 7)

ii) να υπολογίσετε τον εικοστό όρο της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_2_1101

∆ίνεται η εξίσωση: 2 2(2 x 0)x 4− β + β − = (1) µε παράµετρο β∈ℝ .

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις: 1 2x 2 και x 2= β− = β+ .

(Μονάδες 12)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθµοί 1 2x , , xβ

µε τη σειρά

που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και να αιτιολογήσετε

το συλλογισµό σας. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1301

∆ίνεται αριθµητική πρόοδος ( )να για την οποία ισχύει: 4 2 10α −α = .

α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω = 5. (Μονάδες 12)

β) Αν το άθροισµα των τριών πρώτων όρων της προόδου είναι 33, να βρείτε τον

πρώτο όρο της προόδου. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1513

∆ίνεται η αριθµητική πρόοδος ( )να µε 1 1α = και 3 9α = .

α) Να βρείτε τη διαφορά ω της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε το µικρότερο θετικό ακέραιο ν, ώστε να ισχύει 30να > . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4300

Σε µια αριθµητική πρόοδο ν(α ) ισχύουν: 1 2α = και 25 12 39α = α + .

α) Να δείξετε ότι η διαφορά της προόδου είναι ω = 3. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε ποιος όρος της προόδου είναι ίσος µε 152 . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4301

∆ίνεται αριθµητική πρόοδος ν(α ) µε διαφορά ω.

α) Να δείξετε ότι: 15 9

10 7

2α −α

=α −α

. (Μονάδες 13)

β) Αν 15 9 18α −α = , να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_4303

Σε αριθµητική πρόοδο ( )να ισχύουν: 4 9 15α −α = και 1 41α = .

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι ίση µε 3− . (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τον θετικό ακέραιο ν, ώστε να = ν . (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4304

Σε αριθµητική πρόοδο ( )να µε διαφορά ω = 4, ισχύει: 6 11 40α +α = .

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο 1α της προόδου. (Μονάδες 12)

β) Πόσους πρώτους όρους της προόδου πρέπει να προσθέσουµε ώστε το άθροισµά

τους να είναι ίσο µε το µηδέν; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 13)

Page 364: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

364 364

GI_A_ALG_2_4312

Οι αριθµοί x 6+ , 5x + 2 , 11x 6− είναι, µε τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι

αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο 1α και διαφορά ω.

α) Να βρείτε την τιµή του x και να αποδείξετε ότι ω = 4. (Μονάδες 12)

β) Αν ο πρώτος όρος της προόδου είναι 1α = 0 , να υπολογίσετε το άθροισµα 8S των

8 πρώτων όρων. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_4319

Σε µια αριθµητική πρόοδο ( )να είναι 1 2α = και 5 14α = .

α) Να αποδείξετε ότι ω = 3. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε πόσους αρχικούς (πρώτους) όρους πρέπει να προσθέσουµε, ώστε το

άθροισµά τους να είναι ίσο µε 77. (∆ίνεται: 1849 43= .) (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_4_2047

Ένας µελισσοκόµος έχει τοποθετήσει 20 κυψέλες σε µια ευθεία η οποία διέρχεται

από την αποθήκη του Α. Η πρώτη κυψέλη απέχει 1 µέτρο από την αποθήκη Α, η

δεύτερη 4 µέτρα από το Α, η τρίτη 7 µέτρα από το Α και γενικά κάθε επόµενη

κυψέλη απέχει από την αποθήκη Α, 3 επιπλέον µέτρα, σε σχέση µε την προηγού-

µενη κυψέλη.

α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις των κυψελών από την αποθήκη Α αποτελούν δια-

δοχικούς όρους αριθµητικής προόδου και να βρείτε τον νο όρο αυτής της

προόδου. Τι εκφράζει ο πρώτος όρος της αριθµητικής προόδου και τι η διαφορά

της; (Μονάδες 6)

β) Σε πόση απόσταση από την αποθήκη Α είναι η 20ή κυψέλη; (Μονάδες 6)

γ) Ο µελισσοκόµος ξεκινώντας από την αποθήκη Α συλλέγει το µέλι, από µία

κυψέλη κάθε φορά, και το µεταφέρει πάλι πίσω στην αποθήκη Α.

i) Ποια είναι απόσταση που θα διανύσει ο µελισσοκόµος για να συλλέξει το µέλι

από την 3η κυψέλη; (Μονάδες 6)

ii) Ποια είναι η συνολική απόσταση που θα διανύσει ο µελισσοκόµος για να

συλλέξει το µέλι και από τις 20 κυψέλες; (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_2083

Ένα κλειστό στάδιο έχει 25 σειρές καθισµάτων. Στην πρώτη σειρά έχει 12

καθίσµατα και καθεµιά από τις επόµενες σειρές έχει δύο καθίσµατα παραπάνω από

την προηγούµενη.

α) Να βρείτε πόσα καθίσµατα έχει η µεσαία και πόσα η τελευταία σειρά.

(Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του σταδίου. (Μονάδες 5)

γ) Οι µαθητές ενός Λυκείου προκειµένου να παρακολουθήσουν µια εκδήλωση,

κατέλαβαν όλα τα καθίσµατα από την 7η µέχρι και τη 14η σειρά. Να βρείτε το

πλήθος των µαθητών του Λυκείου. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_2323

Ο ∆ιονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθµούς 3, 7, 11, 15, … και συνεχίζει

προσθέτοντας κάθε φορά το 4. Σταµατάει όταν έχει γράψει τους 40 πρώτους από

τους αριθµούς αυτούς.

α) Είναι οι παραπάνω αριθµοί διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου; Να αιτιολογή-

σετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4)

β) Να βρείτε το άθροισµα των 40 αυτών αριθµών. (Μονάδες 7)

γ) Είναι ο αριθµός 120 ένας από τους 40 αριθµούς; Να αιτιολογήσετε την απάντησή

σας. (Μονάδες 7)

δ) Ο Γιώργος πήρε το τετράδιο του ∆ιονύση και συνέχισε να γράφει διαδοχικούς

όρους της ίδιας αριθµητικής προόδου, από εκεί που είχε σταµατήσει ο ∆ιονύσης

Page 365: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

365 365

µέχρι να εµφανιστεί ο αριθµός 235. Να βρείτε το άθροισµα των αριθµών που

έγραψε ο Γιώργος. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_4671

∆ίνεται η αριθµητική πρόοδος ν(α ) µε διαφορά ω.

α) Να αποδείξετε ότι 20 10α α = 10ω- . (Μονάδες 6)

β) Αν 20 10α α = 30- και 1α = 1, να αποδείξετε ότι να = 3ν 2- . (Μονάδες 6)

γ) Ποιος είναι ο πρώτος όρος της προόδου που ξεπερνάει το 30; (Μονάδες 7)

δ) Πόσοι όροι της παραπάνω προόδου είναι µικρότεροι του 60; (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_4_4858

Μία περιβαλλοντική οργάνωση ξεκινά να καταγράφει τον πληθυσµό των ελαφιών

σε µια δασική περιοχή από το 2000 όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Έτος 2000 2001 2002 2003 2004

Αριθµός ελαφιών 1300 1360 1420 1480 1540

Αν ο πληθυσµός των ελαφιών συνεχίζει να αυξάνεται µε τον ίδιο σταθερό ρυθµό

και µετά το 2004:

α) Να βρείτε µια σχέση που να επιτρέπει τον υπολογισµό του πληθυσµού των ελα-

φιών στο τέλος κάθε έτους από το 2000 και µετά. (Μονάδες 6)

β) Με τη βοήθεια της σχέσης αυτής:

i) Να προσδιορίσετε τον πληθυσµό των ελαφιών στο τέλος του 2012.

(Μονάδες 6)

ii) Να προβλέψετε το έτος στο τέλος του οποίου ο αρχικός πληθυσµός των 1300

ελαφιών θα αυξηθεί κατά 60%. (Μονάδες 6)

iii) Να προβλέψετε το έτος που ο πληθυσµός των ελαφιών δε θα υπερβεί τα

2600 ελάφια. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_4925

Σε µια αριθµητική πρόοδο είναι 2

2α = κ και ( )2

3 1α = κ + , κ ακέραιος µε κ > 1.

α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά ω της προόδου είναι αριθµός περιττός. (Μονάδες 8)

β) Αν επιπλέον ο πρώτος όρος της είναι 1 2α = , τότε:

i) Να βρείτε τον αριθµό κ και να αποδείξετε ότι ω = 7. (Μονάδες 8)

ii) Να εξετάσετε αν ο αριθµός 1017 είναι όρος της προόδου. (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_6143

Στην Α΄ τάξη ενός Λυκείου της Καρδίτσας η σύµβουλος των µαθηµατικών

πρόκειται να πραγµατοποιήσει µια δραστηριότητα. Επειδή όµως δε γνωρίζει το

πλήθος των µαθητών της τάξης, συµβουλεύεται το Γυµναστή του σχολείου, που

στοιχίζει τους µαθητές για τις παρελάσεις και εκείνος της απαντά µε ένα πρόβληµα:

«Μπορώ να τοποθετήσω όλους τους µαθητές σε x σειρές µε x – 1 µαθητές σε κάθε

σειρά. Αν όµως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x 3+ σειρές µε x 3− µαθητές σε

κάθε σειρά, θα µου λείπει ένας µαθητής».

α) Να βρείτε την τιµή του x. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι η Α΄ τάξη έχει 90 µαθητές. (Μονάδες 6)

γ) Η σύµβουλος σκοπεύει να µοιράσει τους παραπάνω 90 µαθητές σε ν οµάδες

εργασίας, ώστε στην πρώτη οµάδα να πάνε 2 µαθητές και σε κάθε επόµενη

οµάδα να πηγαίνουν 2 παραπάνω κάθε φορά. Να βρείτε την τιµή του ν, δηλαδή

πόσες οµάδες εργασίας θα δηµιουργηθούν. (Μονάδες 13)

Σχόλιο: Τα συγκεκριµένα δεδοµένα της άσκησης δεν οδηγούν στην απάντηση του (β)

ερωτήµατος. H άσκηση έχει νόηµα αν κάνουµε την εξής αλλαγή στην τελευταία

πρόταση, πριν από τα ερωτήµατα: «Αν όµως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x 3+

σειρές µε x 3− µαθητές σε κάθε σειρά, θα µου ΠΕΡΙΣΣΕΥΕΙ ένας µαθητής».

Page 366: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

366 366

GI_A_ALG_4_7503

Οι αριθµοί: x2 + 5, x

2 + x, 2x + 4, µε τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι

αριθµητικής προόδου.

α) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του αριθµού x. (Μονάδες 6)

β) Αν x = 3 και ο αριθµός x2

+ 5 είναι ο 4ος όρος της προόδου, να βρείτε:

i) Τη διαφορά ω της αριθµητικής προόδου. (Μονάδες 5)

ii) Τον πρώτο όρο της προόδου. (Μονάδες 6)

iii) Το άθροισµα S = α15 + α16 + α17 + … + α24. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_7504

Σε µια αριθµητική πρόοδο (αν), ο 3ος όρος είναι α3 = 8 και ο 8ος όρος είναι α8 = 23.

α) Να αποδείξετε ότι ο 1ος όρος της αριθµητικής προόδου είναι α1 = 2 και η

διαφορά της ω = 3. (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε τον 31ο όρο της. (Μονάδες 6)

γ) Να υπολογίσετε το άθροισµα: S = (α1 + 1) + (α2 + 2) + (α3 + 3) + … + (α31 + 31).

(Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_7514

∆ίνεται αριθµητική πρόοδος ν(α ) µε 3α 10= και 20α 61= .

α) Να βρεθεί ο πρώτος όρος και η διαφορά της προόδου. (Μονάδες 8)

β) Να εξετάσετε αν ο αριθµός 333 είναι όρος της προόδου. (Μονάδες 8)

γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί όροι x και y της παραπάνω προόδου ν(α ) ,

τέτοιοι ώστε να ισχύει: x y

2 3= . (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_8458

∆ίνεται αριθµητική πρόοδος ( )να όπου *ν∈N που αποτελείται από ακεραίους

αριθµούς, για την οποία ισχύει 2 21 2 3x, 2x 3x 4, x 2α = α = − − α = − , x∈R .

α) Να αποδειχθεί ότι x = 3. (Μονάδες 10)

β) Να βρεθεί ο ν-οστός όρος της προόδου και να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει όρος

που να ισούται µε 2014. (Μονάδες 8)

γ) Να υπολογιστεί το άθροισµα 1 3 5 15S ...= α +α +α + +α . (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_10775

Σε µια αίθουσα θεάτρου µε 20 σειρές καθισµάτων, το πλήθος των καθισµάτων κάθε

σειράς αυξάνει καθώς ανεβαίνουµε από σειρά σε σειρά, κατά τον ίδιο πάντα αριθµό

καθισµάτων. Η 1η σειρά έχει 16 καθίσµατα και η 7η σειρά έχει 28 καθίσµατα.

α) Να δείξετε ότι οι αριθµοί που εκφράζουν το πλήθος των καθισµάτων κάθε

σειράς είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου. Να βρείτε τον πρώτο όρο και

τη διαφορά αυτής της προόδου. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε το γενικό όρο της προόδου. (Μονάδες 4)

γ) Πόσα καθίσµατα έχει όλο το θέατρο; (Μονάδες 5)

δ) Αν στην 1η σειρά της αίθουσας αυτής υπάρχουν 6 κενά καθίσµατα, στη 2η

υπάρχουν 9 κενά καθίσµατα, στην 3η υπάρχουν 12 κενά καθίσµατα και γενικά,

τα κενά καθίσµατα κάθε σειράς, από τη 2η και µετά, είναι κατά 3 περισσότερα

από αυτά της προηγούµενης, τότε:

i) Να βρείτε από ποια σειρά και πέρα θα υπάρχουν µόνο κενά καθίσµατα.

(Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε πόσοι είναι οι θεατές. (Μονάδες 6)

Page 367: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

367 367

5.3 Γεωµετρική πρόοδος

GI_A_ALG_2_495

Σε γεωµετρική πρόοδο ν(α ) µε θετικό λόγο λ, ισχύει: 3α 1= και 5α 4= .

α) Να βρείτε το λόγο λ της προόδου και τον πρώτο όρο της. (Μονάδες 13)

β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: ν 3

να 2 −= . (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_1032

α) Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό x ώστε οι αριθµοί: x, 2x + 1, 5x + 4, µε τη

σειρά που δίνονται, να είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου.(Μονάδες 13)

β) Να βρείτε το λόγο λ της παραπάνω γεωµετρικής προόδου, όταν:

i) x = 1 ii) x = −1 (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_1088

α) Αν οι αριθµοί 4 x, x, 2− είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου, να προσ-

διορίσετε τον αριθµό x. (Μονάδες 9)

β) Αν οι αριθµοί 4 x, x, 2− είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, να προσ-

διορίσετε τον αριθµό x. (Μονάδες 9)

γ) Να βρεθεί ο αριθµός x ώστε οι αριθµοί 4 x, x, 2− να είναι διαδοχικοί όροι αριθ-

µητικής και γεωµετρικής προόδου. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_1100

∆ίνεται η εξίσωση: 2 22x 5 x 2 0− β + β = (1), µε παράµετρο β > 0.

α) Να δείξετε ότι η εξίσωση (1) έχει ρίζες τις: 1 2x 2 και x2

β= β = . (Μονάδες 12)

β) Αν 1 2x , x είναι οι ρίζες της (1), να εξετάσετε αν οι αριθµοί 1 2x , , xβ µε τη σειρά

που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου και να αιτιολογήσετε

το συλλογισµό σας. (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_3828

Οι αριθµοί 2, 2κ − κ

και 7 4,κ + κ∈ℕ είναι, µε τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί

όροι µιας γεωµετρικής προόδου ( )να .

α) Να αποδείξετε ότι κ = 4 και να βρείτε το λόγο λ της προόδου. (Μονάδες 12)

β) i) Να εκφράσετε το 2ο όρο, τον 5ο και τον 4ο όρο της παραπάνω γεωµετρικής

προόδου ως συνάρτηση του 1α . (Μονάδες 6)

ii) Να αποδείξετε ότι ( )2 5 1 44α + α = α + α . (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_2_4288

α) Να βρείτε, για ποιες τιµές του x, οι αριθµοί x 4+ , 2 x− , 6 x− µε τη σειρά που

δίνονται είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. (Μονάδες 13)

β) Αν x 5= και ο 6 x− είναι ο τέταρτος όρος της παραπάνω γεωµετρικής προόδου,

να βρείτε

i) το λόγο λ της γεωµετρικής προόδου. (Μονάδες 6)

ii) τον πρώτο όρο 1α της προόδου. (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_2_4315

∆ίνεται η γεωµετρική πρόοδος ( )να , για την οποία ισχύει 5

2

27α

.

α) Να δείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι λ = 3. (Μονάδες 10)

β) Αν το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι 200, να βρείτε

τον πρώτο όρο 1α . (Μονάδες 15)

Page 368: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

368 368

GI_A_ALG_4_2340

Μια οικογένεια, προκειµένου να χρηµατοδοτήσει τις σπουδές του παιδιού της, έχει

να επιλέξει µεταξύ δύο προγραµµάτων που της προτείνονται:

Για το πρόγραµµα Α πρέπει να καταθέσει τον 1ο µήνα 1 ευρώ, το 2ο µήνα 2 ευρώ,

τον 3ο µήνα 4 ευρώ και γενικά, κάθε µήνα που περνάει, πρέπει να καταθέτει ποσό

διπλάσιο από αυτό που κατέθεσε τον προηγούµενο µήνα.

Για το πρόγραµµα Β πρέπει να καταθέσει τον 1ο µήνα 100 ευρώ, τον 2ο µήνα 110

ευρώ, τον τρίτο µήνα 120 ευρώ και γενικά, κάθε µήνα που περνάει πρέπει να

καταθέτει ποσό κατά 10 ευρώ µεγαλύτερο από εκείνο που κατέθεσε τον

προηγούµενο µήνα.

α) i) Να βρείτε το ποσό να που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασµό το oν µήνα

σύµφωνα µε το πρόγραµµα Α. (Μονάδες 4)

ii) Να βρείτε το ποσό βv που πρέπει να κατατεθεί στο λογαριασµό το oν µήνα

σύµφωνα µε το πρόγραµµα Β. (Μονάδες 4)

iii) Να βρείτε το ποσό νA που θα υπάρχει στο λογαριασµό µετά από ν µήνες

σύµφωνα µε το πρόγραµµα Α. (Μονάδες 5)

iv) Να βρείτε το ποσό Bν που θα υπάρχει στο λογαριασµό µετά από ν µήνες

σύµφωνα µε το πρόγραµµα Β. (Μονάδες 5)

β) i) Τι ποσό θα υπάρχει στο λογαριασµό µετά τους πρώτους 6 µήνες, σύµφωνα µε

κάθε πρόγραµµα; (Μονάδες 3)

ii) Αν κάθε πρόγραµµα ολοκληρώνεται σε 12 µήνες, µε ποιο από τα δύο προ-

γράµµατα το συνολικό ποσό που θα συγκεντρωθεί θα είναι µεγαλύτερο;

(Μονάδες 4)

GI_A_ALG_4_4629

Ένα µυρµήγκι περπατάει πάνω σε ένα ευθύγραµµο κλαδί µήκους 1 m, µε τον

ακόλουθο τρόπο: Ξεκινάει από το ένα άκρο του κλαδιού και το 1ο λεπτό προχωράει

1 cm, το 2ο λεπτό προχωράει 3 cm και, γενικά, κάθε λεπτό διανύει απόσταση κατά

2 cm µεγαλύτερη από αυτήν που διήνυσε το προηγούµενο λεπτό.

α) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει το µυρµήγκι κάθε λεπτό της κίνησής

του, είναι διαδοχικοί όροι αριθµητικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο να

αυτής της προόδου. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τη συνολική απόσταση που κάλυψε το µυρµήγκι τα πρώτα 5 λεπτά της

κίνησής του. (Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το µυρµήγκι θα φτάσει στο άλλο άκρο του κλαδιού.

(Μονάδες 4)

δ) Υποθέτουµε τώρα ότι, την ίδια στιγµή που το µυρµήγκι ξεκινάει την πορεία του,

από το άλλο άκρο του κλαδιού µία αράχνη ξεκινάει και αυτή προς την αντίθετη

κατεύθυνση και µε τον ακόλουθο τρόπο: Το 1ο λεπτό προχωράει 1 cm, το 2ο

λεπτό προχωράει 2 cm, το 3ο λεπτό προχωράει 4 cm και, γενικά, κάθε λεπτό

διανύει απόσταση διπλάσια από αυτήν που διήνυσε το προηγούµενο λεπτό.

(i) Να δείξετε ότι οι αποστάσεις που διανύει η αράχνη κάθε λεπτό της κίνησής

της, είναι διαδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου και να βρείτε τον ν-οστό όρο

νβ αυτής της προόδου. (Μονάδες 7)

(ii) Να βρείτε σε πόσα λεπτά το µυρµήγκι και η αράχνη θα βρεθούν αντιµέτωπα

σε απόσταση 1 cm. (Μονάδες 5)

Page 369: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

369 369

GI_A_ALG_4_6678

∆ίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραµµο µε µήκη πλευρών α, β και εµβαδόν Ε, τέτοια

ώστε οι αριθµοί α, Ε, β, µε τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι γεωµε-

τρικής προόδου.

α) Να αποδείξετε ότι Ε = 1. (Μονάδες 10)

β) Αν α + β = 10 τότε:

i) Να κατασκευάσετε µια εξίσωση 2ου βαθµού µε ρίζες τα µήκη α, β.

(Μονάδες 5)

ii) Να βρείτε τα µήκη α, β. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_6859

∆ίνονται οι αριθµοί 2, x, 8 µε x > 0.

α) Να βρείτε την τιµή του x ώστε οι αριθµοί 2, x, 8, µε τη σειρά που δίνονται, να

αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου. Ποια είναι η διαφορά ω

αυτής της προόδου; (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τώρα την τιµή του x ώστε οι αριθµοί 2, x, 8, µε τη σειρά που δίνονται,

να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου. Ποιος είναι ο λόγος λ

αυτής της προόδου; (Μονάδες 5)

γ) Αν ( )να είναι η αριθµητική πρόοδος 2, 5, 8, 11, … και ( )νβ είναι η γεωµετρική

πρόοδος 2, 4, 8, 16, … τότε:

i) Να βρείτε το άθροισµα Sν των ν πρώτων όρων της ( )να . (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε την τιµή του ν ώστε, για το άθροισµα Sν των ν πρώτων όρων της

( )να να ισχύει: ( ) 72 S 24ν + = β . (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_8170

∆ίνεται γεωµετρική πρόοδος ( )να µε λόγο λ για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:

3 54, 16α = α = και λ > 0.

α) Να βρείτε τον πρώτο όρο 1α και το λόγο λ της προόδου. (Μονάδες 8)

β) Να αποδείξετε ότι η ακολουθία ( )νβ µε 1

νν

β =α

αποτελεί επίσης γεωµετρική

πρόοδο µε λόγο τον αντίστροφο του λόγου της ( )να . (Μονάδες 9)

γ) Αν 10 10S S΄και είναι τα αθροίσµατα των 10 πρώτων όρων των ακολουθιών

( ) ( )ν να και β αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι ισχύει η σχέση 10 109

1S΄ S

2= .

(Μονάδες 8)

Page 370: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

370 370

6.1 Η έννοια της συνάρτησης

GI_A_ALG_2_488

∆ίνεται η συνάρτηση f, µε 2

2

2x 5x 3f (x)

x 1

− +=

−.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της A. (Μονάδες 5)

β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 22x 5x 3− + . (Μονάδες 10)

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈A ισχύει: ( ) 2x 3f x

x 1

−=

+. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_510

∆ίνεται η συνάρτηση f, µε: 2

2x 5, x 3f (x)

x , 3 x 10

− ≤=

< <.

α) Να γράψετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f σε µορφή διαστήµατος.

(Μονάδες 8)

β) Να υπολογίσετε τις τιµές f(−1), f(3) και f(5). (Μονάδες 8)

γ) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 25. (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_999

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 2x 5x 6− + . (Μονάδες 12)

β) ∆ίνεται η συνάρτηση ( )2

x 2f x

x 5x 6

−=

− +.

i) Να βρείτε το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης. (Μονάδες 5)

ii) Να αποδείξετε ότι για κάθε x∈A ισχύει: ( ) 1f x

x 3=

−. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_2_1042

∆ίνεται η συνάρτηση: 2x 4, x 0

f (x)x 1, x 0

+ <=

− ≥.

α) Να δείξετε ότι f ( 1) f (3)− = . (Μονάδες 13)

β) Να προσδιορίσετε τις τιµές του x∈ℝ , ώστε: ( )f x 0= . (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_1082

∆ίνεται η συνάρτηση 2

x 2f (x)

x x 6

+=

− −.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. (Μονάδες 15)

β) Να δείξετε ότι: f(2) + f(4) = 0. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_2_1302

∆ίνεται η συνάρτηση f, µε 8 x αν x 0

f (x)2x 5 αν x 0

− <=

+ ≥.

α) Να δείξετε ότι f ( 5) f (4)− = . (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τις τιµές του x∈R , ώστε f (x) 9= . (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_1532

∆ίνεται η συνάρτηση 3x 16x

f (x)x 4

−=

−.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f και να αποδείξετε ότι, για τα x που

ανήκουν στο πεδίο ορισµού της, ισχύει 2f (x) x 4x= + . (Μονάδες 15)

β) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει f(x) = 32. (Μονάδες 10)

Page 371: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

371 371

GI_A_ALG_2_1537

∆ίνεται η συνάρτηση 1

f (x) x , x 0x

= + ≠ .

α) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: 1

A f f (1) f (2)2

= + −

. (Μονάδες 10)

β) Να λύσετε την εξίσωση: 5

f (x)2

= . (Μονάδες 15)

GI_A_ALG_4_2052

∆ύο φίλοι αποφάσισαν να κάνουν το χόµπι τους δουλειά. Τους άρεσε να

ζωγραφίζουν µπλουζάκια και έστησαν µια µικρή επιχείρηση για να τα πουλήσουν

µέσω διαδικτύου. Τα έξοδα κατασκευής (σε ευρώ) για x µπλουζάκια δίνονται από

τη συνάρτηση Κ(x) = 12,5x +120 και τα έσοδα από την πώλησή τους (σε ευρώ), σε

διάστηµα ενός µηνός, από τη συνάρτηση E(x) 15,5x= .

α) Ποια είναι τα πάγια έξοδα της επιχείρησης; (Μονάδες 6)

β) Τι εκφράζει ο αριθµός 12,5 και τι ο αριθµός 15,5 στο πλαίσιο του προβλήµατος;

(Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε πόσα µπλουζάκια πρέπει να πουλήσουν ώστε να έχουν έσοδα όσα και

έξοδα (δηλαδή να µην «µπαίνει µέσα» η επιχείρηση). (Μονάδες 6)

δ) Αν πουλήσουν 60 µπλουζάκια θα έχουν κέρδος; Να αιτιολογήσετε την απάντη-

σή σας. (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_2084

Για την κάλυψη µε τετράγωνα πλακίδια, µέρους ενός τοίχου, µπορούµε να

χρησιµοποιήσουµε πλακάκια τύπου Α µε πλευρά d cm ή πλακάκια τύπου Β µε

πλευρά (d + 1) cm.

α) Να βρείτε, ως συνάρτηση του d, το εµβαδόν που καλύπτει κάθε πλακάκι τύπου

Α και κάθε πλακάκι τύπου Β. (Μονάδες 6)

β) Αν η επιφάνεια µπορεί να καλυφθεί είτε µε 200 πλακάκια τύπου Α είτε µε 128

πλακάκια τύπου Β, να βρείτε:

i) Τη διάσταση που έχει το πλακάκι κάθε τύπου. (Μονάδες 12)

ii) Το εµβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_2220

Μία µπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει µια

τροχιά, µετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος. Το ύψος h (σε m) από το

έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t (σε sec) κατά την

κίνησή της προσδιορίζεται από τη συνάρτηση 2h(t) 5t 10t 1,05= − + + .

α) Να βρείτε τις τιµές h(0), h(1), h(2) και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο

του προβλήµατος. (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε µετά από πόσο χρόνο η µπάλα θα φτάσει στο έδαφος. (Μονάδες 8)

γ) Να δείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t

µπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο: 2h(t) 5[1, 21 (t 1) ]= − − . (Μονάδες 5)

δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγµή t1 (σε sec) που το ύψος h της µπάλας

από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m. (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_4_2226

Για την τύπωση επαγγελµατικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς

x cm (5 x 10)≤ ≤ στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια 2 cm

στο πάνω και στο κάτω µέρος της και 1 cm δεξιά (όπως στο σχήµα).

Page 372: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

372 372

x

2

1

α) Να δείξετε ότι το εµβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών

στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση E(x) (x 2)(x 4)= − − . (Μονάδες 8)

β) Να βρεθεί η τιµή του x έτσι ώστε το εµβαδόν της περιοχής τύπωσης των

επαγγελµατικών στοιχείων να είναι 235 cm . (Μονάδες 7)

γ) Να βρεθούν οι τιµές που µπορεί να πάρει η πλευρά x του τετραγώνου, αν η

περιοχή τύπωσης των επαγγελµατικών στοιχείων έχει εµβαδόν τουλάχιστον 224 cm . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_2229

Για την τύπωση επαγγελµατικής κάρτας επιλέγεται τετράγωνο χαρτόνι πλευράς

x cm (5 x 10)≤ ≤ στο οποίο η περιοχή τύπωσης περιβάλλεται από περιθώρια 2 cm

στο πάνω και στο κάτω µέρος της και 1 cm δεξιά (όπως στο σχήµα).

x

2

1

α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν Ε της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών

στοιχείων εκφράζεται από τη συνάρτηση 2E(x) x 6x 8= − + . (Μονάδες 8)

β) Να βρεθεί η τιµή του x έτσι ώστε το εµβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγ-

γελµατικών στοιχείων να είναι 224 cm . (Μονάδες 7)

γ) Αν το εµβαδόν της περιοχής τύπωσης των επαγγελµατικών στοιχείων είναι το

πολύ 35 cm2, να βρεθούν οι τιµές που µπορεί να πάρει η πλευρά x του

τετραγώνου. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_2234

Για τη µέτρηση θερµοκρασιών χρησιµοποιούνται οι κλίµακες βαθµών Κελσίου

(Celsius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin). Οι µετατροπές της θερµο-

κρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν, περιγράφονται από

τις προτάσεις Π1 και Π2:

Page 373: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

373 373

Π1: Για να µετατρέψουµε τη θερµοκρασία από βαθµούς Κελσίου ( C ) σε βαθµούς

Φαρενάιτ ( F ), πολλαπλασιάζουµε τους βαθµούς Κελσίου µε 1,8 και προσθέ-

τουµε 32.

Π2: Για να µετατρέψουµε τη θερµοκρασία από βαθµούς Κελσίου ( C ) σε βαθµούς

Κέλβιν ( K ) , προσθέτουµε στους βαθµούς Κελσίου το 273.

α) Να εκφράσετε συµβολικά τη σχέση που περιγράφει η κάθε πρόταση.(Μονάδες 8)

β) Να δείξετε ότι η εξίσωση που παριστάνει τη σχέση µεταξύ της θερµοκρασίας σε

βαθµούς Κέλβιν ( K ) και της θερµοκρασίας σε βαθµούς Φαρενάιτ ( F ) είναι η:

F 32273

1,8

−Κ = + . (Μονάδες 7)

γ) Στη διάρκεια µιας νύχτας η θερµοκρασία σε µια πόλη κυµάνθηκε από 278 K

µέχρι 283 K . Να βρείτε το διάστηµα µεταβολής της θερµοκρασίας σε F .

(Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4545

∆ίνεται η συνάρτηση 2x 5 | x | 6

f (x)| x | 3

− +=

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού A της συνάρτησης f . (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι για κάθε x A∈ ισχύει: f (x) | x | 2= − . (Μονάδες 9)

γ) Για x A∈ , να λύσετε την εξίσωση: ( )2f (x) 2 4f (x) 5 0+ − − = . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4575

∆ίνονται οι συναρτήσεις: 2f (x) x 4x= − + α και g(x) x 5= α − µε ℝα∈ .

α) Αν ισχύει f(2) = g(2), να βρείτε την τιµή του α. (Μονάδες 7)

β) Για α = 1,

i) να λύσετε την εξίσωση: f(x) = g(x) (Μονάδες 8)

ii) να λύσετε την ανίσωση: f (x) g(x)≥ και, µε τη βοήθεια αυτής, να λύσετε την

εξίσωση f (x) g(x) f (x) g(x)− = − . (Μονάδες 5 + 5 = 10)

GI_A_ALG_4_4861

Μία µπάλα που εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, αφού διαγράψει µια

τροχιά, µετά από κάποιο χρόνο θα πέσει στο έδαφος. Το ύψος h (σε m) από το

έδαφος, στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t (σε sec) κατά την

κίνησή της προσδιορίζεται από τη συνάρτηση 2h(t) 5t 10t 1,05= − + + .

α) Να βρείτε τις τιµές h(0), h(1), h(2) και να εξηγήσετε τι παριστάνουν στο πλαίσιο

του προβλήµατος. (Μονάδες 6)

β) Να βρείτε µετά από πόσο χρόνο η µπάλα θα φτάσει στο έδαφος. (Μονάδες 8)

γ) Να δείξετε ότι το ύψος στο οποίο βρίσκεται η µπάλα κάθε χρονική στιγµή t

µπορεί να προσδιοριστεί και από τον τύπο: 2h(t) 5[1, 21 (t 1) ]= − − . (Μονάδες 5)

δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει χρονική στιγµή t1 (σε sec) που το ύψος h της µπάλας

από το έδαφος θα είναι πάνω από 6,05 m. (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_4_4862

Αν ένας κάτοικος µιας πόλης Α καταναλώσει x κυβικά νερού σε ένα χρόνο, το ποσό

που θα πρέπει να πληρώσει δίνεται (σε ευρώ) από τη συνάρτηση:

12 0,5x 0 x 30f (x)

0,7x 6 x 30

+ αν ≤ ≤=

+ αν >

α) Να βρείτε πόσα ευρώ θα πληρώσει όποιος:

i) έλειπε από το σπίτι του και δεν είχε καταναλώσει νερό. (Μονάδες 2)

Page 374: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

374 374

ii) έχει καταναλώσει 10 κυβικά µέτρα νερού. (Μονάδες 3)

iii) έχει καταναλώσει 50 κυβικά µέτρα νερού. (Μονάδες 5)

β) Σε µια άλλη πόλη Β το ποσό (σε ευρώ) που αντιστοιχεί σε κατανάλωση x

κυβικών µέτρων δίνεται από τον τύπο g(x) 12 0,6x= + , για x 0≥ . Ένας

κάτοικος της πόλης Α και ένας κάτοικος της πόλης Β κατανάλωσαν τα ίδια

κυβικά νερού, για το 2013. Αν ο κάτοικος της πόλης Α πλήρωσε µεγαλύτερο

ποσό στο λογαριασµό από τον κάτοικο της πόλης Β, να αποδείξετε ότι ο κάθε

ένας από τους δύο κατανάλωσε περισσότερα από 60 κυβικά µέτρα νερού.

(Μονάδες 15)

GI_A_ALG_4_5879

Ο αγώνας δρόµου ανάµεσα στη χελώνα και το λαγό γίνεται σύµφωνα µε τους

ακόλουθους κανόνες:

•••• Η διαδροµή είναι τµήµα ενός ευθύγραµµου δρόµου.

•••• Ο λαγός ξεκινάει τη χρονική στιγµή t 0= από ένα σηµείο Ο.

•••• Το τέρµα βρίσκεται σε σηµείο Μ µε OM 600> µέτρα.

•••• Η χελώνα ξεκινάει τη στιγµή t 0= µε προβάδισµα, δηλαδή από ένα σηµείο Α

που βρίσκεται µεταξύ του Ο και του Μ µε OA 600= µέτρα.

Υποθέτουµε ότι, για t 0≥ , η απόσταση του λαγού από το Ο τη χρονική στιγµή

t min δίνεται από τον τύπο 2

ΛS (t) 10t= µέτρα, ενώ η απόσταση χελώνας από το Ο

τη χρονική στιγµή t min δίνεται από τον τύπο XS (t) 600 40t= + µέτρα.

α) Να βρείτε σε πόση απόσταση από το Ο θα πρέπει να βρίσκεται το σηµείο Μ,

ώστε η χελώνα να κερδίσει τον αγώνα. (Μονάδες 10)

β) Υποθέτουµε τώρα ότι η απόσταση του τέρµατος Μ από το Ο είναι OM 2250=

µέτρα. Να βρείτε:

i) Ποια χρονική στιγµή ο λαγός φτάνει τη χελώνα; (Μονάδες 5)

ii) Ποιος τους δύο δροµείς προηγείται τη χρονική στιγµή t 12= min και ποια εί-

ναι τότε η µεταξύ τους απόσταση; (Μονάδες 5)

iii) Ποια χρονική στιγµή τερµατίζει ο νικητής τον αγώνα; (Μονάδες 5)

GI_A_ALG_4_6228

Θεωρούµε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ^

oA 90 =

µε κάθετες πλευρές που έχουν

µήκη x, y τέτοια, ώστε: x + y =10.

α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του x δίνεται από

τον τύπο: 21E(x) ( x 10x)

2= − + , x∈(0, 10). (Μονάδες 9)

β) Να αποδείξετε ότι 2

25≤)x(E για κάθε x∈(0, 10). (Μονάδες 8)

Page 375: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

375 375

γ) Για ποια τιµή του x∈(0, 10) το εµβαδόν E(x) γίνεται µέγιστο, δηλαδή ίσο µε

2

25; Τι παρατηρείτε τότε για το τρίγωνο ΑΒΓ; (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_7506

Μια µικρή µεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος y

(σε m) στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγµή t (σε sec) µετά την

εκτόξευση, δίνεται από τη σχέση: 2y 60t 5t= − .

α) Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος; (Μονάδες …)

β) Ποιες χρονικές στιγµές η σφαίρα θα βρεθεί στο ύψος y 175 m= ; (Μονάδες …)

γ) Να βρεθεί το χρονικό διάστηµα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε

ύψος µεγαλύτερο από 100 m. (Μονάδες …)

GI_A_ALG_4_7511

Ένα δηµοτικό κολυµβητήριο έχει σχήµα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆, µε

διαστάσεις 15 m και 2 5m. Ο δήµος, για λόγους ασφαλείας, θέλει να κατασκευάσει

γύρω από το κολυµβητήριο µια πλακοστρωµένη ζώνη µε σταθερό πλάτος x m

( x 0> ), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.

α) Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν της ζώνης δίνεται από τη σχέση:

2E(x) 4x 80x, x 0= + > . (Μονάδες 9)

β) Να βρεθεί το πλάτος x της ζώνης, αν αυτή έχει εµβαδό 2E 500 m= . (Μονάδες 7)

γ) Ποιο µπορεί να είναι το πλάτος της ζώνης, αν αυτή έχει εµβαδόν µικρότερο από 2500 m ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_7512

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο έχει περίµετρο Π 40 cm= . Αν x cm είναι το

µήκος του παραλληλογράµµου, τότε:

α) να αποδείξετε ότι 0 x 20< < . (Μονάδες 4)

β) να αποδείξετε ότι το εµβαδόν E(x) του ορθογωνίου δίνεται από τη σχέση:

2E(x) 20x x= − . (Μονάδες 8)

γ) να αποδείξετε ότι ισχύει E(x) 100≤ , για κάθε ( )x 0, 20∈ . (Μονάδες 6)

δ) να αποδείξετε ότι από όλα τα ορθογώνια µε σταθερή περίµετρο 40 cm, εκείνο

που έχει το µεγαλύτερο εµβαδόν είναι το τετράγωνο πλευράς 10 cm.

(Μονάδες 7)

Page 376: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

376 376

GI_A_ALG_4_7517

∆ύο φίλοι αποφασίζουν να συνεταιριστούν και ανοίγουν µια επιχείρηση που γεµίζει

τόνερ (toner) για φωτοτυπικά µηχανήµατα. Τα πάγια µηνιαία έξοδα της εταιρείας

ανέρχονται στο ποσό των 6500 ευρώ (για ενοίκιο, παροχές, µισθούς, φόρους κ.ά.).

Το κόστος γεµίσµατος ενός τόνερ είναι 15 ευρώ, η δε τιµή πώλησης ενός τόνερ

καθορίζεται σε 25 ευρώ.

α) Να γράψετε µια σχέση που να περιγράφει το µηνιαίο κόστος Κ(ν) της επιχείρη-

σης, αν γεµίζει ν τόνερ το µήνα. (Μονάδες 5)

β) Να γράψετε µία σχέση που να εκφράζει τα µηνιαία έσοδα Ε(ν) της επιχείρησης

από την πώληση ν αριθµού τόνερ το µήνα. (Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε πόσα τόνερ πρέπει να πωλούνται κάθε µήνα ώστε η επιχείρηση

i) να µην έχει ζηµιά. (Μονάδες 7)

ii) να έχει µηνιαίο κέρδος τουλάχιστον 500 ευρώ. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_7745

∆ίνεται το τριώνυµο 2f (x) x 2x 3= − + + .

α) Να βρείτε το πρόσηµο του τριωνύµου f(x) για τις διάφορες τιµές του x.

(Μονάδες 10)

β) Να προσδιορίσετε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσηµο του γινοµένου:

f(2,999)⋅f(−1,002). (Μονάδες 7)

γ) Αν 3 3− < α < , να βρείτε το πρόσηµο του αριθµού: 2 2 | | 3−α + α + . (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_8217

α) Να λύσετε την ανίσωση 2x x 6 0+ − < . (Μονάδες 8)

β) Να λύσετε την ανίσωση 1

x 12

− > . (Μονάδες 5)

γ) ∆ίνεται το παρακάτω παραλληλόγραµµο µε πλευρές α και α + 1

α + 1

α

όπου ο αριθµός α ικανοποιεί τη σχέση 1

12

α − > . Αν για το εµβαδόν Ε του

ορθογωνίου ισχύει Ε < 6, τότε:

i) Να δείξετε ότι: 3

22< α < . (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε µεταξύ ποιων αριθµών κυµαίνεται η περίµετρος του ορθογωνίου.

(Μονάδες 5)

Page 377: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

377 377

6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης

GI_A_ALG_2_477

∆ίνεται η συνάρτηση f, µε 2x 5x 6

f (x)x 3

− +=

−.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f. (Μονάδες 7)

β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης f. (Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x΄x

και y΄y . (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_2_492

∆ίνεται η συνάρτηση ( ) 2f x x 2x 15, x= + − ∈ℝ .

α) Να υπολογίσετε το άθροισµα f(−1) + f(0) + f(1). (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τα κοινά σηµεία της γραφικής της παράστασης της f µε τους άξονες.

(Μονάδες 15)

GI_A_ALG_2_1024

∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = αx + β, όπου α, β πραγµατικοί αριθµοί.

α) Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σηµεία A(1, 6),

B(−1, 4), να βρείτε τις τιµές των α, β. (Μονάδες 13)

β) Αν α = 1 και β = 5, να προσδιορίσετε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης

της συνάρτησης f µε τους άξονες x΄x και y΄y . (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_1090

∆ίνεται η συνάρτηση f, µε τύπο 2

1f (x)

x 1=

−.

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. (Μονάδες 13)

β) Να βρείτε τις δυνατές τιµές του πραγµατικού αριθµού α, ώστε το σηµείο

1M ,

8

α

να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_1542

α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: 3 2A x x 3x 3= − + − . (Μονάδες 13)

β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 3

f (x)x

= και

2g(x) x x 3= − + έχουν ένα µόνο κοινό σηµείο, το Α(1, 3). (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_1553

∆ίνονται οι συναρτήσεις 3f (x) x= και g(x) x, x= ∈R .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g τέµνονται σε τρία

σηµεία τα οποία και να βρείτε. (Μονάδες 13)

β) Αν Α, Ο, Β είναι τα σηµεία τοµής των παραπάνω γραφικών παραστάσεων, όπου

Ο(0, 0), να αποδείξετε ότι τα Α, Β είναι συµµετρικά ως προς το Ο. (Μονάδες 12)

GI_A_ALG_2_3381

∆ίνεται η συνάρτηση g, µε ( )22x 4x

g xx 1

− +µ=

+. Αν η γραφική παράσταση της

συνάρτησης g διέρχεται από το σηµείο ( )1, 4Α − ,

α) να δείξετε ότι µ 6= − . (Μονάδες 9)

β) να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. (Μονάδες 9)

γ) για µ = 6− να απλοποιήσετε τον τύπο της συνάρτησης. (Μονάδες 7)

Page 378: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

378 378

GI_A_ALG_4_1963

∆ίνονται οι συναρτήσεις: 2f (x) x= και ( )g(x) x 1 , x= λ + −λ ∈ℝ και λ παράµε-

τρος µε λ 0≠ .

α) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις fC και gC έχουν για κάθε τιµή της

παραµέτρου λ ένα τουλάχιστον κοινό σηµείο. (Μονάδες 8)

β) Για ποια τιµή της παραµέτρου λ οι fC και gC έχουν ένα κοινό σηµείο; Ποιο

είναι το σηµείο αυτό; (Μονάδες 8)

γ) Αν 2λ ≠ και 1 2x , x είναι οι τετµηµένες των κοινών σηµείων των fC και gC , να

βρεθεί η παράµετρος λ ώστε να ισχύει: ( )2

1 2 1 2x x x x 2+ = + + . (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_2338

∆ίνονται οι συναρτήσεις f (x) x 2= α −α + και 2g(x) x 3= −α + µε α∈R .

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο (1, 2) για

κάθε τιµή του πραγµατικού αριθµού α. (Μονάδες 7)

β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέµνονται σε σηµείο µε τετµηµένη 1,

τότε:

i) Να βρείτε την τιµή του α. (Μονάδες 4)

ii) Για την τιµή του α που βρήκατε υπάρχει άλλο σηµείο τοµής των γραφικών

παραστάσεων των f και g; Αιτιολογήστε την απάντησή σας. (Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του α οι γραφικές παραστάσεις των f και g έχουν δύο

σηµεία τοµής. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4656

∆ίνεται η συνάρτηση 2f (x) x x 1, x= + + ∈ℝ .

α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση fC της συνάρτησης f δεν τέµνει τον

άξονα x΄x . (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τις τετµηµένες των σηµείων της fC που βρίσκονται κάτω από την

ευθεία y = 2x + 3. (Μονάδες 10)

γ) Έστω M(x, y) σηµείο της fC . Αν για την τετµηµένη x του σηµείου Μ ισχύει:

2x 1 3− < , τότε να δείξετε ότι το σηµείο αυτό βρίσκεται κάτω από την ευθεία

y 2x 3= + . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4660

∆ίνονται οι συναρτήσεις f και g, µε 2f (x) x 2x= − και g(x) 3x 4, x= − ∈ℝ .

α) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και

g. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από

εκείνη της g. (Μονάδες 10)

γ) Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία της µορφής y = α, α < −1, βρίσκεται κάτω από τη

γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4679

∆ίνεται η συνάρτηση: 2f (x) x x4

α= − + .

α) Να βρείτε τις τιµές του πραγµατικού αριθµού α, ώστε το πεδίο ορισµού της

συνάρτησης f να είναι το σύνολο R . (Μονάδες 10)

Page 379: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

379 379

β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το

σηµείο 1

A 0,2

, τότε:

i) Να αποδείξετε ότι α = 1 και να γράψετε τον τύπο της χωρίς το σύµβολο της

τετραγωνικής ρίζας. (Μονάδες 7)

ii) Να λύσετε την εξίσωση 1

f (x)2

= . (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_4886

Στο παρακάτω σχήµα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις fC και gC των συναρτή-

σεων f και g αντίστοιχα, µε f (x) x 2= − και 1 2

g(x) x3 3

= + , x∈ℝ .

fC

gC

α) Να εκτιµήσετε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής των fC και gC .

(Μονάδες 6)

β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά την απάντησή σας στο ερώτηµα α). (Μονάδες 8)

γ) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων, να βρείτε για ποιες τιµές του x η fC

βρίσκεται πάνω από τη gC . (Μονάδες 6)

δ) Με τη βοήθεια του ερωτήµατος γ), να βρείτε για ποιες τιµές του x έχει νόηµα

πραγµατικού αριθµού η παράσταση ( )K 3 2 x x 2= − − + . (Μονάδες 5)

Page 380: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

380 380

GI_A_ALG_4_4912

Θεωρούµε τις συναρτήσεις 2f (x) x 1= + και g(x) x= +α , µε x∈ℝ και α∈ℝ .

α) Για 1α = , να προσδιορίσετε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g. (Μονάδες 5)

β) Να βρείτε για ποιες τιµές του α οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και

g τέµνονται σε δύο σηµεία. (Μονάδες 10)

γ) Για 1α > , να εξετάσετε αν οι τετµηµένες των σηµείων τοµής των γραφικών

παραστάσεων των συναρτήσεων f και g είναι οµόσηµες ή ετερόσηµες.

(Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_5275

Για την ενοικίαση ενός συγκεκριµένου τύπου αυτοκινήτου για µία ηµέρα, η

εταιρεία Α χρεώνει τους πελάτες της σύµφωνα µε τον τύπο: y 60 0, 20x= + όπου x

είναι η απόσταση που διανύθηκε σε km και y είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ.

α) Τι ποσό θα πληρώσει ένας πελάτης της εταιρείας A, ο οποίος σε µία ηµέρα

ταξίδεψε 400 km ; (Μονάδες 5)

β) Πόσα χιλιόµετρα οδήγησε ένας πελάτης ο οποίος, για µία ηµέρα, πλήρωσε 150

ευρώ; (Μονάδες 5)

γ) Μία άλλη εταιρεία, η B, χρεώνει τους πελάτες της ανά ηµέρα σύµφωνα µε τον

τύπο y 80 0,10x= + όπου, όπως προηγουµένως, x είναι η απόσταση που

διανύθηκε σε km και y είναι το ποσό της χρέωσης σε ευρώ. Να εξετάσετε ποια

από τις δύο εταιρείες µας συµφέρει να επιλέξουµε, ανάλογα µε την απόσταση

που σκοπεύουµε να διανύσουµε. (Μονάδες 10)

δ) Αν f (x) 60 0,20x= + και g(x) 80 0,10x= + είναι οι συναρτήσεις που εκφράζουν

τον τρόπο χρέωσης των εταιρειών Α και Β αντίστοιχα, να βρείτε τις

συντεταγµένες του σηµείου τοµής των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων f και g και να εξηγήσετε τι εκφράζει η τιµή καθεµιάς από αυτές τις

συντεταγµένες σε σχέση µε το πρόβληµα του ερωτήµατος (γ). (Μονάδες 5)

GI_A_ALG_4_5882

∆ίνονται οι συναρτήσεις 2f (x) (x 1) 4= − − και g(x) x 1 2= − + µε x∈R .

α) Να βρείτε τις τιµές του x για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f

βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x . (Μονάδες 9)

β) Να δείξετε ότι για κάθε τιµή του x η γραφική παράσταση της συνάρτησης g

βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x . (Μονάδες 4)

γ) Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και

g. (Μονάδες 12)

Page 381: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

381 381

GI_A_ALG_4_6146

Στο παρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f : →R R

και της συνάρτησης g(x) 2x 2= − + .

Με τη βοήθεια του σχήµατος, να βρείτε:

α) Τις τιµές του x για τις οποίες ισχύει f (x) 2x 2= − + . (Μονάδες 6)

β) Τις τιµές f(−1), f(0), f(1). (Μονάδες 6)

γ) Τις τιµές του x, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη

γραφική παράσταση της g. (Μονάδες 6)

δ) Τις τιµές του x, για τις οποίες η παράσταση ( )A f x 2x 2= + − έχει νόηµα

πραγµατικού αριθµού. (Μονάδες 7)

Page 382: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

382 382

GI_A_ALG_4_8448

∆ίνεται η συνάρτηση 2x 5x 6

f (x)| 2 x |

− +=

−.

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f. (Μονάδες 5)

β) Να αποδειχθεί ότι x 3, x 2

f (x)x 3, x 2

− >= − + <

. (Μονάδες 7)

γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της f και να βρεθούν τα σηµεία τοµής της

γραφικής παράστασης της f µε τους άξονες x΄x και y΄y . (Μονάδες 8)

δ) Να λύσετε την ανίσωση f (x) 0≤ . (Μονάδες 5)

GI_A_ALG_4_8451

∆ίνεται η συνάρτηση 24x 2( 3)x 3

f (x)2x 3

− α + + α=

−, όπου α∈R .

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f. (Μονάδες 5)

β) Να αποδειχθεί ότι f (x) 2x= −α για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισµού της f.

(Μονάδες 8)

γ) Να βρεθεί η τιµή του α αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σηµείο

(1, −1). (Μονάδες 7)

δ) Να βρεθούν (αν υπάρχουν) τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της f µε

τους άξονες x΄x και y΄y . (Μονάδες 5)

Page 383: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

383 383

6.3 Η συνάρτηση f(x) = αx + β

GI_A_ALG_2_1096

Η απόσταση y (σε χιλιόµετρα) ενός αυτοκινήτου από µια πόλη Α, µετά από x

λεπτά, δίνεται από τη σχέση: y = 35 + 0,8x.

α) Ποια θα είναι η απόσταση του αυτοκινήτου από την πόλη Α µετά από 25 λεπτά;

(Μονάδες 12)

β) Πόσα λεπτά θα έχει κινηθεί το αυτοκίνητο, όταν θα απέχει 75 χιλιόµετρα από

την πόλη Α; (Μονάδες 13)

GI_A_ALG_2_1283

α) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυµο 2x 2x 3+ − . (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης 2x 2x 3

f (x)x 1

+ −=

− και στη συνέχεια

να απλοποιήσετε τον τύπο της. (Μονάδες 9)

γ) Να παραστήσετε γραφικά την παραπάνω συνάρτηση. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_2_1293

Η θερµοκρασία T σε βαθµούς Κελσίου (˚C), σε βάθος x χιλιοµέτρων κάτω από

την επιφάνεια της Γης, δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση: 15 25xΤ = + , όταν

0 x 200≤ ≤ .

α) Να βρείτε τη θερµοκρασία ενός σηµείου που βρίσκεται 30 χιλιόµετρα κάτω από

την επιφάνεια της Γης. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

β) Να βρείτε το βάθος στο οποίο η θερµοκρασία είναι ίση µε 290 C . Να

αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

γ) Σε ποιο βάθος µπορεί να βρίσκεται ένα σηµείο, στο οποίο η θερµοκρασία είναι

µεγαλύτερη από 440 C ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_2_1529

∆ίνεται η συνάρτηση f (x) x , ,= α +β α β∈R , για την οποία ισχύει:

f (0) 5= και f (1) 3= .

α) Να αποδείξετε ότι α = −2 και β = 5. (Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέµνει τους άξονες

x΄x και y΄y . (Μονάδες 7)

γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 8)

Page 384: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

384 384

GI_A_ALG_2_2212

∆ίνεται η συνάρτηση f µε ( )22x 6 x

f x2 x 6

−=

−.

α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού Α της συνάρτησης f . (Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι ( )f x x=

για κάθε x∈Α . (Μονάδες 10)

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f για x 0> . (Μονάδες 5)

GI_A_ALG_2_3378

Στο παρακάτω σύστηµα συντεταγµένων δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρ-

τησης f.

α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. (Μονάδες 6)

β) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών:

x −2 −1 1 2

y −1 −3 (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τους άξονες.

(Μονάδες 6)

δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού στα οποία η συνάρτηση

παίρνει αρνητικές τιµές. (Μονάδες 7)

Page 385: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

385 385

GI_A_ALG_2_3379

Στο παραπάνω σύστηµα συντεταγµένων δίνεται η γραφική παράσταση µιας

συνάρτησης f.

α) Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης. (Μονάδες 6)

β) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα τιµών:

x −3 −1 0 3

y −2 −4 (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης µε τους άξονες.

(Μονάδες 6)

δ) Να προσδιορίσετε τα διαστήµατα του πεδίου ορισµού στα οποία η συνάρτηση

παίρνει θετικές τιµές. (Μονάδες 7)

GI_A_ALG_4_1880

∆ίνεται η συνάρτηση f , µε 2

x 2f (x)

9 x

+=

α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f . (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε τους

άξονες. (Μονάδες 7)

γ) Αν A, B είναι τα σηµεία τοµής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f µε

τους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που

ορίζεται από τα Α και Β. (Μονάδες 8)

Page 386: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

386 386

GI_A_ALG_4_2046

Ένας αθλητής κολυµπάει ύπτιο και καίει 9 θερµίδες το λεπτό, ενώ όταν κολυµπάει

πεταλούδα καίει 12 θερµίδες το λεπτό. Ο αθλητής θέλει, κολυµπώντας, να κάψει

360 θερµίδες.

α) Αν ο αθλητής θέλει να κολυµπήσει ύπτιο 32 λεπτά, πόσα λεπτά πρέπει να

κολυµπήσει πεταλούδα για να κάψει συνολικά 360 θερµίδες. (Μονάδες 5)

β) Ο αθλητής αποφασίζει πόσο χρόνο θα κολυµπήσει ύπτιο και στη συνέχεια

υπολογίζει πόσο χρόνο πρέπει να κολυµπήσει πεταλούδα για να κάψει 360

θερµίδες.

i) Αν x είναι ο χρόνος (σε λεπτά) που ο αθλητής κολυµπάει ύπτιο, να αποδείξετε

ότι ο τύπος της συνάρτησης που εκφράζει το χρόνο που πρέπει να κολυµπήσει

πεταλούδα για να κάψει 360 θερµίδες είναι: 3

f (x) 30 x4

= − . (Μονάδες 7)

ii) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης του ερωτήµατος β(i), στο πλαί-

σιο του συγκεκριµένου προβλήµατος. (Μονάδες 4)

γ) Να χαράξετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης του ερωτήµατος (β), να

βρείτε τα σηµεία τοµής της µε τους άξονες και να ερµηνεύσετε τη σηµασία τους

στο πλαίσιο του προβλήµατος. (Μονάδες 9)

GI_A_ALG_4_2339

Στο παρακάτω σύστηµα συντεταγµένων το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µε Α(0, 100) και

Β(10, 50) παριστάνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης δ(x) των ετήσιων

δαπανών µιας εταιρείας, σε χιλιάδες ευρώ, στα x χρόνια της λειτουργίας της.

Το ευθύγραµµο τµήµα Γ∆ µε Γ(0, 50) και ∆(10, 150) παριστάνει τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης των ετήσιων εσόδων ε(x) της εταιρείας, σε χιλιάδες

ευρώ, στα x χρόνια της λειτουργίας της. Οι γραφικές παραστάσεις αναφέρονται στα

δέκα πρώτα χρόνια λειτουργίας της εταιρείας.

α) Με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων να εκτιµήσετε τα έσοδα και τα

έξοδα τον πέµπτο χρόνο λειτουργίας της εταιρείας. (Μονάδες 4)

β) i) Να προσδιορίσετε τους τύπους των συναρτήσεων δ(x), ε(x) και να ελέγξετε αν

οι εκτιµήσεις σας στο α) ερώτηµα ήταν σωστές. (Μονάδες 15)

ii) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των τµηµάτων ΑΒ, Γ∆ και να

τις ερµηνεύσετε στο πλαίσιο του προβλήµατος. (Μονάδες 6)

GI_A_ALG_4_4647

Για δεδοµένο ℝλ∈ , θεωρούµε τη συνάρτηση 2f (x) ( 1) x ( 1) x 2= λ + − λ + + , µε

x ℝ∈ .

α) Να δείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιµή του λ, η γραφική παράσταση της

συνάρτησης f διέρχεται από το σηµείο A(0, 2). (Μονάδες 3)

Page 387: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

387 387

β) Για λ = −1, να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f. (Μονάδες 4)

γ) Αν η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα x΄x στο σηµείο B(2, 0), να

βρείτε την τιµή του λ και να εξετάσετε αν η γραφική παράσταση τέµνει τον

άξονα x΄x και σε άλλο σηµείο. (Μονάδες 8)

δ) Για λ = 1, να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ολόκληρη πάνω

από τον άξονα x΄x . (Μονάδες 10)

GI_A_ALG_4_4657

∆ίνεται η συνάρτηση f , µε x 2, αν x 0

f (x)x 2, αν x 0

− + <=

+ ≥.

α) Να βρείτε το σηµείο τοµής της γραφικής παράστασης fC µε τον άξονα y΄y .

(Μονάδες 3)

β) i) Nα χαράξετε τη fC και την ευθεία y 3= , και στη συνέχεια να εκτιµήσετε τις

συντεταγµένες των σηµείων τοµής τους. (Μονάδες 5)

ii) Να εξετάσετε αν τα σηµεία αυτά είναι συµµετρικά ως προς τον άξονα y΄y .

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 4)

γ) i) Για ποιες τιµές του πραγµατικού αριθµού α, η ευθεία y α= τέµνει τη fC σε

δυο σηµεία; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 5)

ii) Για τις τιµές του α που βρήκατε στο ερώτηµα (γi), να προσδιορίσετε

αλγεβρικά τα σηµεία τοµής της fC µε την ευθεία y α= και να εξετάσετε αν

ισχύουν τα συµπεράσµατα του ερωτήµατος (βii), αιτιολογώντας τον

ισχυρισµό σας. (Μονάδες 8)

GI_A_ALG_4_6229

Σε µια πόλη της Ευρώπης µια εταιρεία ΤΑΧΙ µε το όνοµα «RED» χρεώνει 1 ευρώ

µε την είσοδο στο ΤΑΧΙ και 0,6 ευρώ για κάθε χιλιόµετρο που διανύει ο πελάτης.

Μια άλλη εταιρεία ΤΑΧΙ µε το όνοµα «YELLOW» χρεώνει 2 ευρώ µε την είσοδο

στο ΤΑXΙ και 0,4 ευρώ για κάθε χιλιόµετρο που διανύει ο πελάτης. Οι παραπάνω

τιµές ισχύουν για αποστάσεις µικρότερες από 15 χιλιόµετρα.

α) i) Αν f(x) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία «RED» για µια διαδροµή x

χιλιοµέτρων, να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

x (km) 0 2 8

f(x) (ευρώ)

(Μονάδες 3)

ii) Αν g(x) είναι το ποσό που χρεώνει η εταιρεία «YELLOW» για µια διαδροµή

x χιλιοµέτρων να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

x (km)

g(x) (ευρώ) 2 3,2 4,8

(Μονάδες 3)

β) Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων f, g και τους τύπους τους f(x),

g(x). (Μονάδες 8)

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και να βρείτε για

ποιες αποστάσεις η επιλογή της εταιρείας «RED» είναι πιο οικονοµική, αιτιολο-

γώντας την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

δ) Αν δυο πελάτες Α και Β µετακινηθούν µε την εταιρεία «RED» και ο πελάτης Α

διανύσει 3 χιλιόµετρα παραπάνω από τον Β, να βρείτε πόσο παραπάνω θα

πληρώσει ο Α σε σχέση µε τον Β. (Μονάδες 3)

Page 388: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

388 388

GI_A_ALG_4_7502

Οι ανθρωπολόγοι για να προσεγγίσουν το ύψος ενός ενήλικα, χρησιµοποιούν τις

παρακάτω εξισώσεις που παριστάνουν τη σχέση µεταξύ του µήκους y (σε cm)

οστού του µηρού και του ύψους x (σε cm) του ενήλικα ανάλογα µε το φύλο του:

Γυναίκα: y = 0,43x – 26

Άνδρας: y = 0,45x – 31

α) Ένας ανθρωπολόγος ανακαλύπτει ένα µηριαίο οστό µήκους 38,5 cm που ανήκει

σε γυναίκα. Να υπολογίσετε το ύψος της γυναίκας. (Μονάδες 8)

β) Ο ανθρωπολόγος βρίσκει µεµονωµένα οστά χεριού, τα οποία εκτιµά ότι ανήκουν

σε άντρα ύψους περίπου 164 cm. Λίγα µέτρα πιο κάτω, ανακαλύπτει ένα µηριαίο

οστό µήκους 42,8 cm που ανήκει σε άντρα. Είναι πιθανόν το µηριαίο οστό και

τα οστά χεριού να προέρχονται από το ίδιο άτοµο; Να αιτιολογήσετε την

απάντησή σας. (Μονάδες 8)

γ) Να εξετάσετε αν µπορεί ένας άνδρας και µια γυναίκα ίδιου ύψους να έχουν

µηριαίο οστό ίδιου µήκους. (Μονάδες 9)

Page 389: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

389 389

GI_A_ALG_4_7784

Στο παρακάτω σχήµα, δίνονται οι γραφικές παραστάσεις fC και gC των

συναρτήσεων f και g αντίστοιχα, µε f(x) = |x – 2| και g(x) = 1, x∈R.

α) i) Να εκτιµήσετε τα σηµεία τοµής των fC και gC .

ii) Να εκτιµήσετε τις τιµές του x, για τις οποίες η fC είναι κάτω από τη gC .

(Μονάδες 10)

β) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά τις απαντήσεις σας στο προηγούµενο ερώτηµα.

(Μονάδες 10)

γ) Να βρείτε για ποιες τιµές του x έχει νόηµα πραγµατικού αριθµού η παράσταση

1 f (x)A

f (x)

−= . (Μονάδες 5)

Page 390: τραπεζα θεματων αλ (λυμενα ταξινομηνεμενα κατ ενοτητες0

Εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α΄ ΓΕΛ ανά ενότητα

Μ. Ευσταθίου, Ε. Πρωτοπαπάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α΄ ΓΕΛ

390 390

GI_A_ALG_4_10774

Μια µικρή εταιρεία πουλάει βιολογικό ελαιόλαδο στο διαδίκτυο. Στο παραπάνω

σχήµα, παρουσιάζεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης που περιγράφει τα

έξοδα Κ(x) και τα έσοδα E(x) από την πώληση x λίτρων λαδιού σε ένα µήνα.

α) Να εκτιµήσετε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των δύο ευθειών και να

ερµηνεύσετε τη σηµασία του. (Μονάδες 6)

β) Ποια είναι τα αρχικά (πάγια) έξοδα της εταιρείας; (Μονάδες 5)

γ) Πόσα λίτρα ελαιόλαδο πρέπει να πουλήσει η εταιρεία για να µην έχει ζηµιά;

(Μονάδες 6)

δ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων K(x) και E(x) και να επαληθεύσετε

αλγεβρικά την απάντηση του ερωτήµατος (γ). (Μονάδες 8)