ΘΕΩΡΙΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΜΤ -ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1

Ανοίξτε το αρχείο: ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1.ggbκαι μεταβάλλοντας κατάλληλα τις παραμέτρους να βρείτε τη συνάρτηση f για την οποία η παράγωγος f΄(χ) = 0 για κάθε τιμή στο διάστημα Δ που ορίζεται η f.Συμπληρώστε το φύλλο εργασίας.

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν• η f είναι συνεχής στο Δ και• f'(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

ΑΠΟΔΕΙΞΗΑρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε ισχύει f(x1) = f(x2 ). Aυτο είναι προφανές όταν x1= x2 ενώ αν x1 ≠ x2 εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στο [x1, x2]. Συνεχίστε στο φύλλο εργασίας.

ΠΟΡΙΣΜΑ

Έστω δυο συναρτήσεις f , g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν• οι f, g είναι συνεχείς στο Δ και• f'(x) = g'(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: f(x)=g(x)+c

ΑΠΟΔΕΙΞΗΘεωρούμε την συνάρτηση f – g που είναι συνεχής στο Δ και εφαρμόζουμε το προηγούμενο θεώρημα.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1

Ανοίξτε το αρχείο: ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1.ggb

Το θεώρημα καθώς και το πόρισμά του ισχύουν σε διάστημα και όχισε ένωση διαστημάτων.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2

Δίνεται μία συνάρτηση f για την οποία ισχύει f '(x) = f(x) για κάθε xεRi) Να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση φ(x) = f(x)/ex είναι σταθερή καιii) Να βρεθεί ο τύπος της f, αν δίνεται επιπλέον ότι f(0) = 1.ΑΠΟΔΕΙΞΗΕφαρμόστε το θεώρημα για την φ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2

τιμές του x f’(x) εφ(ω) εξίσωση εφαπτομένης

1      

2      

3      

-2      

•Ανοίξτε το αρχείο ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ.ggb και πειραματιστείτε μετακινώντας το σημείο Α στη διαδρομή ΤΡ ως προς τις τιμές της παραγώγου και της εφ(ω)ΒΗΜΑ 1Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

τιμές του x πρόσημο της f ’ μονοτονία της fx <0    x > 0    

ΒΗΜΑ 2συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

ΘΕΩΡΗΜΑ

Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ.

 

● Αν  f ʹ(x) > 0  σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.

 ● Αν  f ʹ(x) < 0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΑΝΟΙΞΤΕ: ΑΠΟΔΕΙΞΗ.ggb

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΙΣΧΥΕΙ;

Δηλαδή, αν η f είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο Δ, η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του Δ;

AΠΑΝΤΗΣΗ: Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλ. αν f γν. αύξουσα στο Δ τότε δεν είναι υποχρεωτικά η f΄(χ)>0 στο εσωτερικό του Δ. ΔΕΙΤΕ: ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ;.ggb

ΙΣΧΥΕΙ ΌΜΩΣ ΌΤΙ:• Αν f ↑ Δ τότε f ʹ(x)

≥ 0• Αν f ↓ Δ τότε f ʹ(x)

≤ 0

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

Αν η συνάρτηση f παραγωγισιμη στο διάστημα

(α, β) με εξαίρεση το χ0 του (α, β) στο οποίο όμως είναι συνεχής και η f΄ διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα (α, χ0) και (χ0, β), τότε η f είναι γν. μονότονη στο (α, β) . Το ίδιο ισχύει αν η f παραγωγίζεται στο χ0

με f΄(χ0)=0. Αν η συνάρτηση f παραγωγισιμη σε ένωση

διαστημάτων εξετάζουμε το πρόσημο της f΄ και την μονοτονία της f σε κάθε ένα ξεχωριστά.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3Δίνεται η συνάρτηση g(x) = x lnx – x + c Βρείτε την παράγωγο της και μελετήστε την μονοτονία της. ΛΥΣΗΔΕΙΤΕ: ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.ggb

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4Μελετήστε την μονοτονία των συναρτήσεων

ΛΥΣΗΑΝΟΙΞΤΕ: ΕΦΑΡΜΟΓΗ 4.ggb

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1Να αποδείξετε ότι : i) Η συνάρτηση είναι γνησίως

αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της και να βρείτε το σύνολο των τιμών της f σε καθένα από τα διαστήματα αυτά.

ii) H εξίσωση  x 3 − αx 2 − 9x + α = 0  είναι ισοδύναμη με την f(x) = α  και στη συνέχεια ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες για κάθε α ϵ R. ΛΥΣΗ

ΑΝΟΙΞΕ: ΑΣΚΗΣΗ 1.ggb

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 2i) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = x 3 − 3x +α  είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [−1,1]. ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f στο διάστημα [−1,1]. iii) Αν  −2 < α < 2, να αποδείξετε ότι η εξίσωση   x 3 − 3x + α  έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (−1,1). ΛΥΣΗΔΕΙΤΕ: ΑΣΚΗΣΗ 2.ggb

ΤΕΛΟΣ