Α. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣΒ. ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ

Γ. ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΔ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

Ε. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

ΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ

Τι ορίζουμε εφαπτομένη;Τι ορίζουμε εφαπτομένη;

ΕΕφαπτομένη ενός κύκλου σε ένα σημείο του Α ονομάζουμε την ευθεία η οποία έχει με τον κύκλο ένα μόνο κοινό σημείο, το A.

Ο ορισμός αυτός δεν μπορεί να γενικευτεί για οποιαδήποτε καμπύλη,

Α

Β

Γ

Δίνεται μια συνάρτηση f και ένα σημείο της A(χο,f(χο)). Παίρνουμε και άλλο ένα τυχαίο σημείο της f τo B (χ, f(χ)) και φέρνουμε την ευθεία ΑΒ

χ0 χ

f(χ0)

f(χ)

Α

Β

Α. εφαπτομένη καμπύλης

ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ.ggb

Τελικά:

χ0 χ

f(χ0)

f(χ)

Α

Β

Γ

Όσο το Β πλησιάζει το Α δηλαδή το h = χ-χ0 μικραίνει ( h0) η ΑΒ τείνει να συμπέσει με την ε και η φ με την ω. Η οριακή θέση που παίρνει η ΑΒ είναι η εφαπτομένη της f στο χ0, και έχει συντελεστή διεύθυνσης :

Δ

0

0 )()(lim

0 xx

xfxfxx

ω

Η oποία υποδηλώνει και τον ρυθμό ( το πόσο αργά η γρήγορα) , με τον οποίο μεταβάλλονται οι τιμές της f όταν το χ χ0.

H περίπτωση γωνιακού σημείου

Όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο χ0 αλλά σχηματίζει γωνιακό σημείο όπως στο σχήμα…

ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: ΓΩΝΙΑΚΟ ΣΗΜΕΙΟ.ggb

Β. ταχύτητα κινητού Έστω ένα κινητό το οποίο η τετμημένη του ( η θέση του) την

χρονική στιγμή t εκφράζεται από την συνάρτηση χ=f(t).

Ο A

t=0 t=t0 t=t

B

Η μέση ταχύτητα του κινητού κατά την διάρκεια του χρονικού διαστήματος h = t-t0 είναι

χρόνος

διάστημα διανυθένu

0

0 )()(

tt

tftf

B

t=t

Η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού κατά την χρονική στιγμή t0 θα βρεθεί όταν στηνμέση ταχύτητα κατά την διάρκεια του χρονικού διαστήματος h το h 0 . Άρα

0

00

)()(lim)(

0 tt

tftftu

tt

h

Η οποία υποδηλώνει και τον ρυθμό ( το πόσο αργά η γρήγορα) , με τον οποίο μεταβάλλεται oι τιμές της f ( του διαστήματος) όταν το t t0.

Γ. Ορισμός παραγώγου στο χ0

Και τα δυο προηγούμενα προβλήματα αν και «άσχετα » μεταξύ τους καταλήγουν στον υπολογισμό του ορίου

0

0 )()(lim

0

ff

Αν το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε το ονομάζουμε παράγωγο της f στο χ0 ,λέμε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο χ0 και το όριο αυτό το συμβολίζουμε με f ’(x0) δηλ.

Αν θέσουμε h = x-x0 τότε x = x0 +h και το όριο της παραγωγού εκφράζετε:

Πολλές φορές το h = x-x0 συμβολίζεται με Δx, ενώ το f(x0 + h)- f(x0) = f(x0 + Δ x ) - f(x0) συμβολίζεται με Δf(x0) , οπότε ο παραπάνω τύπος γράφεται:

)(lim)(' 0

0

fxf o

h

fhfxf

ho

)()(lim)(' 00

0

Είναι φανερό ότι, αν το x0 είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της f, τότε:

Η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 , αν και μόνο αν υπάρχουν στο τα όρια

και είναι ίσα.

0

0 )()(lim

0

ff

0

0 )()(lim

0

ff

Έτσι λοιπόν η παράγωγοςΈτσι λοιπόν η παράγωγος f f ΄((χχοο)) εκφράζει εκφράζει

Α) Τον συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο σημείο A(χο,f(χο)).Άρα αν ε η εφαπτομένη στο χ0 της f είναι λε = f ΄(χο)

B) Την ταχύτητα ενός κινητού την χρονική στιγμή χ0 , όπου το κινητό κινείται ευθύγραμμα σε έναν άξονα και η θέση του πάνω στον άξονα την χρονική στιγμή χ δίνεται από την συνάρτηση f(x) . Άρα u(x0) = f ΄(x0)Δηλαδή η ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής του διαστήματος

Γ) Γενικά τώρα η παράγωγος της f στο χ0 εκφράζει τον ρυθμό μεταβολής του y = f (x) ως προς χ όταν χ=χ0

ΠαράδειγμαΠαράδειγμα 1 1Να βρεθεί η παράγωγος της f(x) = 3x2 στο χ0=1

ΛΥΣΗ

h

fhfxf

ho

)()(lim)(' 00

0

Αναζητούμε το f ΄(1) . Από:

Για χ0=1 είναι

h

fhff

h

)1()1(lim)1('

0

h

hh

22

0

13)1(3lim

h

hhh

3)21(3lim

2

0

h

hhh

3633lim

2

0

h

hhh

63lim

2

0

h

hhh

)2(3lim

0

)2(3lim0

hh

3 3)1(' fά

Επομένως και ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο σημείο A(1,f(1)) είναι 3

Παράδειγμα 2Παράδειγμα 2 Η θέση ενός κινητού την χρονική στιγμή t δίνεται

από την σχέση s(t) = t2+t.( σε sec) Να βρεθεί η ταχύτητά του 2 sec μετά την εκκίνηση του

h

shssu

h

)2()2(lim)2(')2(

0

h

hhh

)22()2()2(lim

22

0

h

hhhh

62)44(lim

2

0

h

hhhh

6244lim

2

0

h

hhh

5lim

2

0

h

hhh

)5(lim

0

)5(lim

0

h

h 5

Άρα η ταχύτητά του 2 sec μετά την εκκίνηση του είναι 5 m/sec

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της Cf μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f. στο σημείο A(x0 , f (x 0)) είναι η παράγωγος της f στο x0. Δηλαδή, είναι λ = f΄(x0)οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης ε είναι: y - f (x0) = f΄(x0) (x - x0 )

Την κλίση f΄(x0) της εφαπτομένης ε στο A( x 0 , f (x0)) θα τη λέμε και κλίση της Cf στο Α ή κλίση της f στο x0.

Δ. Εξίσωση εφαπτόμενης

Παράδειγμα 3

Να αποδείξετε ότι ορίζεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης f στο σημείο A(0,1) και σχηματίζει με τον άξονα των χ γωνία π/4ΛΥΣΗ

Υπολογίζουμε τα πλευρικά όρια της παραγώγου στο χ0 = 0 και

διαπιστώνουμε ότι ……

ΑΝΟΙΞΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: παραδειγμα 3.ggb

Ε. Παράγωγος και συνέχειαΑν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα

σημείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

ΑΠΟΔΕΙΞΗΓια x ≠ x0 έχουμε

Οπότε

αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο x0. Επομένως, δηλαδή η f είναι συνεχής στο x0.

)()(lim 00

xfxfxx

ΣΧΟΛΙΑ

•Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σ' ένα σημείο x0, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο x0.

•Μια συνάρτηση f μπορεί να είναι συνεχής στο x0 , αλλά να μην είναι παραγωγίσιμη σ' αυτό.

Παράδειγμα 4

Για την συνάρτηση f να εξετάσετε αν είναι συνεχής και παραγωγισιμη στο χ0 = 0

ΛΥΣΗ

Υπολογίστε τα κατάλληλα πλευρικά όρια στο χ0 και βρείτε την λύση στο φύλλο εργασίας.

ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: παραδειγμα 4.ggb

Παράδειγμα 5

x2 – βx + γ , χ≥2Έστω η συνάρτηση f(x) = αx – 1 χ<2Με f(2)=5Να υπολογίστε τις τιμές των α, β, γ ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής και παραγωγισιμη στο χ0 = 2.

ΛΥΣΗΕφαρμόστε τους ορισμούς της συνέχειας και της παραγωγού στο χ0 = 2 και υπολογίστε τις τιμές των α, β, γ.ΑΝΟΙΞΤΕ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ: παραδειγμα 5.ggb

ΤΕΛΟΣ