Παοξσρίαρη ρςξ μάθημα ςηπ διδακςικήπ

ςχμ μαθημαςικώμ ..

Ιξλξβόπ Ιχμρςαμςίμξπ

Διραγχγή

Πσθαγόοαπ

Fibonacci

Ο αοιθμόπ Υ ρςημ Σέυμη

Αουιςεκςξμική

Εχγοατική

Γλσπςική

Ο αοιθμόπ Υ ρςξμ Άμθοχπξ

Ο αοιθμόπ Υ ρςη Γεχμεςοία

Ο αοιθμόπ Υ ρςη Υύρη

Δπίλξγξπ

Ο υοσρόπ αοιθμόπ Υ(Υειδίαπ) αμιυμεύθηκε για

ποώςη τξοά από ςξσπ αουαίξσπ Έλλημεπ ξι ξπξίξι

παοαςήοηραμ όςι όλα πάμχ ρςημ γη, από ςα τσςά

μέυοι ςξ ίδιξ ςξ αμθοώπιμξ ρώμα, αμαπςύρρξμςαι

βάρει μίαπ αμαλξγίαπ , πξσ ποξρεγγίζει ςξ 1,618:1.

Ασςή η υοσρή/‘θεία’ αμαλξγία ποξρδίδει ρε

ξςιδήπξςε ςημ πεοιέυει, μια αίρθηρη αομξμίαπ και

ξμξοτιάπ , γι ασςό και η μελέςη ςηπ έυει ιδιαίςεοη

ρημαρία.

ήςαμ ξ ποώςξπ πξσ διαςύπχρε ςξμ μαθημαςικό ξοιρμό ςηπ αμαλξγίαπ υοηριμξπξιώμςαπ δύξ εσθύγοαμμα ςμήμαςα

Ποόβλημα «Φοσρήπ ςξμήπ "

Μα διαιοεθεί (ςξ εσθύγοαμμξ ςμήμα) ρε εκείμξ ςξ ρημείξ όπξσ ξ λόγξπ ςξσ "μικοόςεοξσ ςμήμαςξπ" ποξπ "ςξ μεγαλύςεοξ ςμήμα" μα είμαι ίρξπ με ςξμ λόγξ ςξσ "μεγαλύςεοξσ ςμήμαςξπ" ποξπ ςξ "ρσμξλικό μήκξπ ςξσ ςμήμαςξπ "

Ο Υιμπξμάςρι παίομει χπ δεδξμέμξ έμα ιδαμικό πληθσρμό κξσμελιώμ και κάμει ςιπ ενήπ σπξθέρειπ: έυξσμε έμα μεξγέμμηςξ ζεσγάοι κξσμελιώμ (αορεμικό και θηλσκό) ρε έμα υχοάτι, ςα κξσμέλια είμαι ρε θέρη μα ζεσγαοώρξσμ ρε ηλικία εμόπ μήμα από ςη γέμμηρή ςξσπ, έςρι ώρςε ρςξ ςέλξπ ςξσ δεύςεοξσ μήμα ςξ θηλσκό μα μπξοεί μα γεμμήρει έμα ζεσγάοι κξσμελιώμ, ςα κξσμέλια δε πεθαίμξσμ πξςέ και κάθε ζεσγάοι κξσμελιώμ γεμμάει έμα μέξ ζεσγάοι (έμα αορεμικό και έμα θηλσκό) κάθε μήμα από ςξμ δεύςεοξ μήμα και μεςά. Σξ εοώςημα πξσ έθερε ξ Υιμπξμάςρι ήςαμ: πόρα ζεύγη κξσμελιώμ θα έυξσμ γεμμηθεί μέρα ρε έμα έςξπ;

ςξ ςέλξπ ςξσ ποώςξσ μήμα, ζεσγαοώμξσμ, αλλά ακόμη σπάουει μόμξ έμα ζεύγξπ.

ςξ ςέλξπ ςξσ δεύςεοξσ μήμα ςξ θηλσκό γεμμάει έμα μέξ ζεύγξπ, ξπόςε ρςξ υχοάτι σπάουξσμ δύξ ζεύγη κξσμελιώμ.

ςξ ςέλξπ ςξσ ςοίςξσ μήμα, ςξ ποώςξ θηλσκό γεμμάει και δεύςεοξ ζεύγξπ, ξπόςε έυξσμε ςοία ζεύγη κξσμελιώμ.

ςξ ςέλξπ ςξσ ςέςαοςξσ μήμα, ςξ ποώςξ θηλσκό γεμμάει ακόμη έμα ζεύγξπ, ςξ θηλσκό πξσ γεμμήθηκε δύξ μήμεπ ποιμ γεμμάει ςξ ποώςξ ςηπ ζεύγξπ, ξπόςε έυξσμε πέμςε ζεύγη κξσμελιώμ ρςξ υχοάτι.

ακξλξσθία αοιθμώμ ρςημ ξπξία ξ κάθε αοιθμόπ είμαι ίρξπ με ςξ άθοξιρμα ςχμ δύξ ποξηγξύμεμχμ

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

Σξ ρημαμςικό ρε ασςήμ ςημ ακξλξσθία εμςξπίζεςαι ρςημ παοακάςχ ιδιόςηςα :

o λόγξπ κάθε αοιθμξύ ςηπ ακξλξσθίαπ με ςξμ ποξηγξύμεμξ ςξσ, ποξρεγγίζει ςξ Υ όπχπ παοαςηοξύμε παοακάςχ :

1/1=1,0000000 34/21=1,619047619 2/1=2,0000000 55/34=1,617647059 3/2=1,5000000 89/55=1,618181818 5/3=1,6666667 144/89=1,617977528 8/5=1,6000000 233/144=1,618055556 13/8=1,6250000 377/233=1,618025751 21/13=1,61538615 610/377=1,618037135

Απόρπαρμα από ςξ βιβλίξ

ςξσ Dan Brown:

THE DA VINCI CODE (131-135)

186,4/115,2=1,61805

Αουιςέκςξμεπ Θκςίμξπ, Ιαλλικοάςηπ και

πιθαμόμ ξ Υειδίαπ

Ζ αμαλξγία πξσ κσοιαουεί είμαι 4:9. Ασςό

ρημαίμει πχπ αμ πξλλαπλαριάρξσμε ςξ ύφξπ

ςξσ μαξύ με ςξ 9 και ςξ γιμόμεμξ πξσ θα

ποξκύφει ςξ διαιοέρξσμε με ςξ 4, ςόςε θα

έυξσμε βοει ςξ πλάςξπ ςξσ μαξύ.

( Ύφξπ- υχοίπ ςα αεςώμαςα )

13,72*9=125,28:4=30,87 (Πλάςξπ)

Σξ ίδιξ ρσμβαίμει κι αμ πξλλαπλαριάρξσμε ςξ

πλάςξπ με ςξ 9 και διαιοέρξσμε ςξ γιμόμεμξ με

4, ςόςε θα έυξσμε βοει ςξ μήκξπ ςξσ μαξύ .

(Πλάςξπ) 30,87*9=277,92:4=64,48(Λήκξπ)

Αμαλξγίεπ 4:9 εμςξπίζξμςαι ακόμα ρςη διάμεςοξ ςξσ κάθε κίξμα , ρςη μεςανύ ςξσπ απόρςαρη, ρςημ ρυέρη αμάμερα ρςξ ύφξπ ςξσ θοιγκξύ(ςξ μέοξπ πάμχ από ςξσπ κίξμεπ) ρςιπ αμαλξγίεπ ςχμ μεςανξμίχμ, ςημ λέπςσμρη ςξσ κίξμα κ.ά.

• Παοακάςχ βλέπξσμε υοσρό ξοθξγώμιξ ρςημ ποόρξφη ςξσ μαξύ

Σξ «Ηέαςοξμ» (ςξ μέοξπ όπξσ κάθξμςαι ξι

θεαςέπ) είμαι υχοιρμέμξ ρε 2 άμιρα μέοη. Σξ

ποώςξ μέοξπ έυει 34 ρειοέπ θέρεχμ εμώ ςξ

δεύςεοξ 21. Ασςά ςα δύξ μξύμεοα αμήκξσμ

ρςξσπ λεγόμεμξσπ «αοιθμξύπ Fibonacci»

η γχμία αμάμερα ρςξ «θέαςοξμ» και ςη

ρκημή, είμαι πεοίπξσ 0,618

μέρξπ όοξπ ςχμ λόγχμ ςχμ ρκαλιώμ:

34+21:34=1,619 και 34:21=1,617 ,ςείμει ποξπ

ςξ Υ

Ιαλύςεοη ακξσρςική

Βλέπξσμε όςι με κξοστή ςξ κετάλι ςξσ Θηρξύ

ρυημαςίζεςαι έμα υοσρό ςοίγχμξ

μπξοξύμε μα υοηριμξπξιήρξσμε ασςό ςξ

ςοίγχμξ για μα εμςξπίρξσμε έμα υοσρό

πεμςάγοαμμξ

Φάοη ρςημ κσκλική ςξσ μξοτή, ρυημαςίζεςαι

έμα Φοσρό πεμςάγοαμμξ ρςξ ξπξίξ ςξ

ςοίγχμξ ρςημ κξοστή πεοιέυει ςξ ποόρχπξ

ςηπ Λαοίαπ.

Ιάθε ςοίγχμξ ςξσ πεμςαγοάμμξσ είμαι

‘υοσρό’ ατξύ πεοιέυει ςξ Φοσρό Κόγξ.

κάςχ μέοξπ ςξσ δενιξύ υεοιξύ -κξοστή ςξσ μεςώπξσ=1,618 ςηπ απόρςαρηπ από ςξ κάςχ μέοξπ ςξσ δενιξύ υεοιξύ ςηπ -βάρη ςξσ λαιμξύ ςηπ.

Ζ δενιά πλεσοά ςξσ ποξρώπξσ ςηπ είμαι ρε υοσρή αμαλξγία με ςημ αοιρςεοή.

Σξ κάςχ μέοξπ ςξσ πηγξσμιξύ έχπ ςξ κάςχ μέοξπ ςχμ υειλιώμ ποξπ ςξ κάςχ μέοξπ ςξσ πηγξσμιξύ έχπ κάςχ από ςη μύςη

Αμαλξγίεπ αμθοχπίμξσ ρώμαςξπ ρςημ

εμόςηςα : Σξ Υ ρςξμ άμθοχπξ

Ο Πξλύκλειςξπ(450-420) έτςιανε ασςό ςξ

άγαλμα ειδικά για μα σπξρςηοίνει ςημ

θεχοηςική εογαρία ςξσ "Κανών", ρςημ ξπξία

αμέτεοε με μαθημαςικξύπ όοξσπ ςιπ

αμαλξγίεπ ςχμ διατξοεςικώμ μελώμ ςξσ

αμθοχπίμξσ ρώμαςξπ με ςξ ρύμξλξ

Ο Πξλύκλειςξπ είμαι ξ ποώςξπ μεγάλξπ

αιρθηςικόπ και ξ ρςόυξπ ήςαμ, όπχπ ασςόπ

έλεγε, ςξ "ευ" = "καλό, τέλειο"

Για κάθε πλήοη κύκλξ ςηπ διπλήπ έλικαπ ςξσ

DNA, ςξ μήκξπ ςηπ έλικαπ (34 argstroms)

ποξπ ςξ πλάςξπ ςηπ (21 argstroms), δίμει ςξμ

αοιθμό Υ.

(1 argstrom=10^-10 m)

•Ζ επίκεμςοη γχμία ΑΟΒ με μέςοξ 137,5ξ ξμξμάζεςαι

υοσρή . Ο λόγξπ ςηπ μη κσοςήπ γχμίαπ ΑΟΒ ποξπ

ςημ κσοςή γχμία ΑΟΒ είμαι ίρξπ με Υ. 222,5/137,5=Υ

Τπάουξσμ δύξ υοσρά ςοίγχμα, και ςα δύξ

ιρξρκελή, έμα αμβλσγώμιξ και έμα ξνσγώμιξ.

ςξ αμβλσγώμιξ, ξ λόγξπ ςηπ βάρηπ ςξσ ποξπ

ςημ πλεσοά ςξσ είμαι ίρξπ με ςξ λόγξ υοσρήπ

ςξμήπ, εμώ ρςξ ξνσγώμιξ ιρυύει ςξ

αμςίρςοξτξ: ξ λόγξπ ςηπ πλεσοάπ ςξσ ποξπ

ςημ βάρη ςξσ είμαι ίρξπ με ςξ λόγξ ςηπ

υοσρήπ ςξμήπ.

Λιαπ και η γχμία ςηπ κξοστήπ ςξσ ξνσγχμίξσ

υοσρξύ ςοιγώμξσ είμαι 36ξ, είμαι ταμεοό όςι

ςξ καμξμικό δεκάγχμξ θα διαιοείςαι από ςιπ

ακςίμεπ ςξσ ρε δέκα υοσρά ςοίγχμα. Αλλά

και ρςξ καμξμικό πεμςάγχμξ μπξοξύμε μα

αμιυμεύρξσμε ςα δύξ είδη ςχμ υοσρώμ

ςοιγώμχμ .

ή ‘πεμςάγοαμμξ’- έμβλημα ςχμ Πσθαγξοείχμ

Οι επιρςήμξμεπ έυξσμ διαπιρςώρει όςι

αμαλξγίεπ Υ εμταμίζξμςαι ρε ρυήμαςα

τσρικώμ αμςικειμέμχμ (όρςοακα πξλλώμ

θαλάρριχμ ξογαμιρμώμ), ρε τχςξγοατίεπ

μεςεχοξλξγικώμ δξοστόοχμ καθώπ και ρςξ

ρυήμα ρπειοξειδώμ γαλανιώμ .

Αμ µεςοήρξσµε ςιπ µέλιρρεπ ρε ξπξιαδήπξςε κσφέλη, θα παοαςηοήρξσµε όςι η αμαλξγία ςχμ εογαςοιώμ µελιρρώμ ποξπ ςξσπ κητήμεπ καςαλήγει πάμςα ρςξ υοσρό αοιθµό.

Λία άλλη εταοµξγή ςηπ Φοσρήπ Αμαλξγίαπ ρςη ζχή ςχμ µελιρρώμ είμαι όςι καθξοίζει ςξ γεμεαλξγικό δέμςοξ κάθε κητήμα ρε έμα µελίρρι. Δτόρξμ κάθε κητήμαπ γεμμιέςαι από έμα µη γξμιµξπξιηµέμξ ασγό ςηπ βαρίλιρραπ ςξ γεμεαλξγικό ςξσ δέμςοξ έυει χπ ενήπ: έυει 1 µηςέοα, 2 παππξύδεπ (αορεμικό και θηλσκό), 3 ποξπαππξύδεπ (δύξ από ςημ ξικξγέμεια ςηπ γιαγιάπ και µία ςξσ παππξύ), 5 ποξ-ποξπαππξύδεπ, 8 ποξ-ποξ-ποξπαππξύδεπ κ.ξ.κ. Σξ γεμεαλξγικό δέμςοξ ςξσ κητήμα είμαι µια ακξλξσθία Fibonacci πξσ ρυεςίζεςαι µε ςη Φοσρή Σξµή.

ε µια πεςαλξύδα ςα ρηµεία εκείμα πξσ

µξιάζξσμ µε µάςι ρσρυεςίζξμςαι µε ςα

εσθύγοαµµα ςµήµαςα πξσ απεικξμίζξσμ ςξ

µήκξπ και ςξ πλάςξπ ςηπ µε υοσρή ςξµή.

Αμάπςσνη τσςώμ με

υοσρή αμαλξγία

έμα ρσγκεκοιμέμξ κλαδί

ή τύλλξ θα μεγαλώρει

από ςξμ κξομό πεοίπξσ

καςά 137,5 μξίοεπ γύοχ

από ςξμ βλαρςό ρε ρυέρη

με ςξ ποξηγξύμεμξ

κλαδί/τύλλξ

ςα τσςά υοηριμξπξιξύμ ςιπ 137,5 μξίοεπ ώρςε

μα έυξσμ μικοόςεοξ πξρξρςό κάλσφηπ για

κάθε τύλλξ από ςα τύλλα πξσ βοίρκξμςαι

σφηλόςεοα επί ςξσ ρςελέυξσπ κάςι πξσ βξήθα

ρςημ τχςξρύμθερη .

ιρξοοξπία τσςξύ.

Ο υοσρόπ αοιθμόπ Υ θεχοήθηκε από ςξσπ

αουαίξσπ Έλλημεπ χπ η θεψκή αμαλξγία ςηπ ξπξίαπ

η εταομξγή ρε καλλιςευμικά δημιξσογήμαςα και

καςαρκεσέπ (γεμικά) ξδηγξύρε ρε "άοιρςα" και

"χοαία" απξςελέρμαςα. Ζ ύπαονή ςξσ ρςη τύρη

εκςόπ ςξσ όςι ποξρδίδει αομξμία και

ξμξοτιά, ενσπηοεςεί και λειςξσογικξύπ ρκξπξύπ.

ΣΑ ΠΔΘΡΑΛΑΣΑ ΙΑΘ ΣΑ ΟΡΗΟΓΩΜΘΑ ΣΟΤ FECHNER

Σα φσυξλξγικά πειοάμαςα πξσ εκςέλερε ξ Fechner, έμαπ από ςξσπ ρσμςάκςεπ ςχμ κσοιόςεοχμ

μόµχμ ςηπ φσυξλξγίαπ, είυαμ ρςόυξ ςημ απξκάλσφη ςηπ αίρθηρηπ ςξσ χοαίξσ

και ςηπ αοµξμίαπ πξσ διαθέςξσμ ςα εμήλικα άςξµα. ε έμα από ςα πειοάµαςά ςξσ

παοξσριάρςηκαμ ςα παοακάςχ δέκα λεσκά ξοθξγώμια µε διατξοεςικξύπ µεςανύ ςξσπ

λόγξσπ πλεσοώμ ρε 228 άμδοεπ και 119 γσμαίκεπ. Λεςανύ ςχμ ξοθξγχμίχμ σπήουε και

εκείμξ µε λόγξ πλεσοώμ 34:21, πξσ πληριάζει πξλύ ςξ Υ.

Λέρχ ρύγκοιρηπ ςα άςξµα έποεπε μα διαςάνξσμ ςα ρσγκοιμόµεμα ξοθξγώμια

επιλέγξμςαπ έμα χπ ςξ πλέξμ ποξςιµηςέξ από πλεσοάπ αιρθηςικήπ. Σξ απξςέλερµα έδεινε

µεγάλη ποξςίµηρη ρςξ υοσρό ξοθξγώμιξ, µε λόγξ πλεσοώμ 34:21.

Σξ 1958 Άγγλξι επιρςήµξμεπ (Witman, Lalo, Thorndike)3, επαμέλαβαμ ςα

πειοάµαςα ςξσ Fechner. Ιαι πάλι ςα απξςελέρµαςα εσμξξύραμ ςξ υοσρό

ξοθξγώμιξ.

Σα ίδια πειοάµαςα, ρε παιδιά ασςή ςη τξοά, έδχραμ διατξοεςικά απξςελέρµαςα.

Από ςξύςξ ποξέκσφε ςξ ρσµπέοαρµα όςι η αίρθηρη ςξσ χοαίξσ και ςξσ αοµξμικξύ

αμαπςύρρεςαι µόμξ ρςα εμήλικα άςξµα.