ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ Β΄ΤΑΞΗΣ ΔΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ

ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ:

Η ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ / ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ:

ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΑ ΑΡΧΑΙΑ ΚΑΙ ΝΕΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ

ΒΑΣΕΙ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ.

ΥΠΕΥΘΥΝΕΣ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΕΣ: Ζερδελή Σοφία, Φιλόλογος Γυριχίδου Ευθυμία, Μαθηματικός

2

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ : Ζερδελή Σοφία, Γυριχίδου Ευθυμία

ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΕΣ: ΠΕ02, ΠΕ03

ΤΑΞΗ: Β΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ:

{ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ} (σύνδεση και με τη

Νεοελληνική Γλώσσα)

ΤΙΤΛΟΣ: Η διαθεματική /διεπιστημονική προσέγγιση της

γνώσης: Από τα Μαθηματικά στα Αρχαία και Νέα Ελληνικά

βάσει του Πυθαγορείου Θεωρήματος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ: 1. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ (Εγχειρίδιο Μαθηματικών Β΄ Γυμνασίου

- Μέρος Β΄, Κεφάλαιο 1ο ).

2Α) ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΑ Γ΄ ΚΛΙΣΗΣ

2Β) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ (α΄και β΄συνθετικό κλιτή ή άκλιτη λέξη) –

(Εγχειρίδιο Αρχαίας Ελληνικής Γλώσσας Β΄ Γυμνασίου – Ενότητες: 2η – 3η)

ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΗ ΥΛΙΚΟΤΕΧΝΙΚΉ ΥΠΟΔΟΜΗ: Η/Υ, ΒΙΝΤΕΟΠΡΟΒΟΛΕΑΣ , ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ

ΟΡΓΑΝΑ, ΒΙΒΛΙΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ( ΛΕΞΙΚΑ: Α.Ε. ΓΛΩΣΣΑΣ Ο.Ε.Δ.Β., Ν.Ε. ΓΛΩΣΣΑΣ Ο.Ε.Δ.Β. Ή

ΛΕΞΙΚΟ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΩΣ ΞΕΝΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ –ΙΟΡΔΑΝΙΔΟΥ Α. -, ΛΕΞΙΚΟ ΟΡΟΛΟΓΙΑΣ (π.χ.

ΤΡΙΓΛΩΣΣΟ ΟΡΟΛΟΓΙΚΟ ΛΕΞΙΚΟ ΙΕΛ), ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΑΤΕΙΑΣ

Α΄,Β΄, Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΑΝΘΟΛΟΓΙΟ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, ΦΥΛΛΑ

ΕΡΓΑΣΙΑΣ.

ΧΡΟΝΙΚΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 6

ΠΡΟΦΙΛ ΤΑΞΗΣ:

1. ΜΙΚΤΗ ΤΑΞΗ √

2. ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΑΘΗΤΩΝ : 24

3. ΕΠΙΠΕΔA ΓΛΩΣΣΟΜΑΘΕΙΑΣ ΔΙΓΛΩΣΣΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ: Α2-Β1

3

ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ:

1. Σε επίπεδο γνώσεων επιδιώκουμε οι μαθητές μας:

Να γνωρίσουν ότι στην Αρχαία Ελλάδα έγιναν τα πρώτα σημαντικά βήματα για την ανάπτυξη των επιστημών, τα οποία αποτελούν τη βάση για τη μελέτη και την πρόοδο των επόμενων χρόνων.

Να γνωρίσουν σπουδαίες προσωπικότητες της αρχαίας ελληνικής διανόησης και να πληροφορηθούν για την προέλευση του ονόματος του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

Να έρθουν σε επαφή με την Αρχαία Ελληνική Γραμματεία μαθαίνοντας για τον Πυθαγόρα, έναν από τους μεγαλύτερους Έλληνες φιλοσόφους και ιδρυτή της Πυθαγόρειας Σχολής.

Να συνειδητοποιήσουν ότι, για τους Πυθαγόρειους, η ουσία των πραγμάτων βρίσκεται στους αριθμούς και στις μαθηματικές σχέσεις.

Να κατανοήσουν τη σημασία του Πυθαγορείου Θεωρήματος και τη χρησιμότητά του, ώστε να μπορούν να το εφαρμόσουν σε απλές εφαρμογές.

Να αναγνωρίζουν την υποτείνουσα και τις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.

Να διατυπώνουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και τη σχέση που εκφράζει σε οποιοδήποτε δοσμένο ορθογώνιο τρίγωνο.

Να αναγνωρίζουν πότε απαιτείται εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

Να εφαρμόζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα, προκειμένου να υπολογίσουν το μέτρο μιας πλευράς ορθογωνίου τριγώνου με τη βοήθεια των άλλων δύο.

Να εξοικειωθούν με τη γεωμετρική αναπαράσταση – γεωμετρική ερμηνεία του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

Να εκφράσουν συμβολικά το Πυθαγόρειο Θεώρημα με αλγεβρική παράσταση.

2. Σε γλωσσικό επίπεδο επιδιώκουμε οι μαθητές μας:

Να αναπτύξουν όλες τις μορφές γλωσσικής δεξιότητας (ακρόαση, ομιλία,

ανάγνωση, γραφή), μέσα από ποικίλες γλωσσικές δραστηριότητες.

Να εξοικειωθούν με τη χρήση εξειδικευμένης μαθηματικής ορολογίας

(γεωμετρία, θεώρημα, υποτείνουσα, άθροισμα, πλευρά) και να ασκηθούν

στη χρήση του λεξικού, όταν υπάρχει πρόβλημα κατανόησης , προφοράς ή

χρήσης μιας άγνωστης γι΄ αυτούς έννοιας.

Να εμπλουτίσουν το λεξιλόγιό τους, γνωρίζοντας τον μηχανισμό της

σύνθεσης, ως δεύτερης βασικής διαδικασίας λεξιλογικής επέκτασης

(vocabulary expansion), μετά την παραγωγή.

4

Να εξασκηθούν στη διαδικασία της σύνθεσης, αναγνωρίζοντας τα συνθετικά

μιας λέξης και διαπιστώνοντας εάν πρόκειται- το ά ή β΄ συνθετικό- για κλιτή

ή άκλιτη λέξη (υπο-τείνουσα< υπό+ τείνω).

Να εξασκηθούν στην αναζήτηση της ετυμολογικής προέλευσης μιας λέξης,

συνδέοντας την αρχαία ελληνική με τη νέα ελληνική γλώσσα και

διαπιστώνοντας μορφολογικές ή σημασιολογικές ομοιότητες και διαφορές.

Να συνειδητοποιήσουν τις διαφορετικές σημασίες μιας λέξης στο εκάστοτε

επικοινωνιακό πλαίσιο και να εξοικειωθούν με το φαινόμενο της

πολυσημίας.

Να έρθουν σε επαφή με ουσιαστικά της αρχαίας ελληνικής (γ΄κλίσης), που

χρησιμοποιούνται στον ορισμό , στην ερμηνεία ή στην εφαρμογή του

πυθαγορείου θεωρήματος και να τα συνδέσουν/ συγκρίνουν με αντίστοιχα

της νέας ελληνικής.

Να γνωρίσουν το Π.Θ. διατυπωμένο στην αρχαία και τη νέα ελληνική

συγκρίνοντας τις δύο μορφές ορισμού:

«Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τό ἀπό τῆς τήν ὀρθήν γωνίαν

ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστί τοῖς ἀπό τῶν τήν ὀρθήν

γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις».

«Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται

με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών».

Να ασκηθούν στην παραγωγή τεκμηριωμένου και σύνθετου λόγου.

Να μπορούν να επιλέγουν το κατάλληλο ύφος, επίπεδο λόγου και

γλωσσικής έκφρασης, ανάλογα με το είδος και τον επιδιωκόμενο σκοπό

του παραγόμενου κειμένου.

Να διατυπώνουν λεκτικά το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

3. Σε επίπεδο δεξιοτήτων επιδιώκουμε:

Να διευρύνουν τους ορίζοντές τους σε πρακτικές και τρόπους σκέψης και

επίλυσης προβλημάτων.

Να καταλήγουν σε συμπεράσματα βάσει παρατήρησης και επαλήθευσης.

Να υποστηρίζουν τα συμπεράσματά τους διατυπώνοντας επιχειρήματα ή

συντάσσοντας ένα απλό επιχειρηματολογικό κείμενο.

Να απορρίπτουν υποθέσεις μετά από επαλήθευση.

Να αναπτύξουν

τη δεξιότητα χρήσης ποικίλων πηγών πληροφόρησης

τη δεξιότητα της επικοινωνίας (γραπτός και προφορικός λόγος,

5

επιχειρηματολογία, διάλογος κτλ.)

τη δεξιότητα της εφαρμογής μαθηματικών εννοιών στην

καθημερινή ζωή

την ικανότητα της δημιουργικής επινόησης

την ικανότητα της κριτικής επεξεργασίας των πληροφοριών

μια ολιστική αντίληψη της γνώσης, που χαρακτηρίζει τη

διαθεματικότητα/ διεπιστημονικότητα, με τη διασύνδεση των

σχολικών μαθημάτων και τη σύνδεση της σχολικής γνώσης με την

καθημερινή ζωή.

4. Σε επίπεδο στάσεων / συμπεριφορών επιδιώκουμε να:

λειτουργούν ομαδοσυνεργατικά, νιώθοντας ισότιμα μέλη μιας ομάδας

είναι δεκτικοί σε τρόπους σκέψης συμμαθητών τους

εκφράζουν προβληματισμούς και απορίες

αναλαμβάνουν διαφορετικούς ρόλους μέσα στην ομάδα / τάξη

μην απογοητεύονται σε περίπτωση λάθους

ενθαρρύνουν τους συμμαθητές τους που ίσως δυσκολεύονται

νιώθουν τη χαρά της δημιουργίας

οικοδομούν σχέσεις συνεργασίας, εμπιστοσύνης, ομαδικότητας

Βασικές αρχές για την επιτυχημένη διεξαγωγή του σχεδίου μαθήματος:

Η διαμόρφωση στην τάξη του αναγκαίου κλίματος αποδοχής και

φυσικότητας

Η δημιουργία κατάλληλων συνθηκών επικοινωνίας στη σχολική τάξη, που

θα αντιστοιχούν με εκείνες που θα αντιμετωπίσουν οι μαθητές στο

κοινωνικό τους περιβάλλον

Η μετατόπιση από τη δασκαλοκεντρική διδασκαλία στη μαθητοκεντρική

Η διεξαγωγή της διδασκαλίας με βάση το επίπεδο, τις γλωσσικές ανάγκες,

τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά , τα βιώματα και τις εμπειρίες των μαθητών.

Η τήρηση των βασικών στόχων και των αρχών της διαπολιτισμικής

εκπαίδευσης:

η αξιοποίηση των ικανοτήτων όλου του µαθητικού δυναµικού, που θα συµβάλει στην εποικοδοµητική συµβίωση σε ένα πολυπολιτισµικό περιβάλλον

η αποδοχή, ο σεβασµός του διαφορετικού και η αναγνώριση της πολιτισµικής του ταυτότητας

η εξάλειψη των διακρίσεων και του αποκλεισµού και η παρεµπόδιση καλλιέργειας στερεοτύπων και προκατάληψης απέναντι σε πρόσωπα και πολιτισµούς

6

ΜΕΘΟΔΟΣ: PROJECT, Ερμηνευτική, Ομαδοσυνεργατική, Καταιγισμός ιδεών (brain-

storming)

ΠΟΡΕΙΑ: Παρουσίαση όλου – Ανάλυση – Σύνθεση

ΜΟΡΦΗ: Διαλογική

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ:

Η εκπόνηση του σχεδίου εργασίας στηρίζεται κυρίως στην ομαδοσυνεργατική

μέθοδο. Ωστόσο, οι μαθητές, σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορούν να εργασθούν και

ατομικά, επιλύοντας κάποια μαθηματικά προβλήματα που θα τους δοθούν. Το

τμήμα χωρίζεται σε 5 ομάδες εργασίας και η κάθε ομάδα αναλαμβάνει

δραστηριότητες σε σχέση με τη γεωμετρία και τη γλώσσα. Στο τέλος, όλες οι

ομάδες παρουσιάζουν το έργο τους, ώστε να προκύψει η ολική μορφή της

εργασίας.

ΣΚΟΠΟΣ:

Σκοπός του σχεδίου εργασίας είναι, μέσα από τη διαθεματική/διεπιστημονική

προσέγγιση, να γνωρίσουν οι μαθητές το ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ, να μπορούν να

το εφαρμόζουν σε απλές εφαρμογές, αλλά και να ασκηθούν στην εκπόνηση

ομαδικής συνθετικής εργασίας (project), μέσω κατευθυνόμενης διερεύνησης.

Επίσης, να έρθουν σε επαφή με λεξιλογικά και γραμματικά φαινόμενα της αρχαίας

και της νέας ελληνικής γλώσσας, συνειδητοποιώντας τη σχέση της επιστήμης των

Μαθηματικών με τη Γλώσσα.

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ:

Χώρος-- Χρόνος, Μεταβολή -- Εξέλιξη, Σύστημα, Αλληλεπίδραση,

Ομοιότητα--Διαφορά

ΑΡΧΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: Συνεργασίας, Αυτενέργειας, Μαθητοκεντρισμού,

Επικοινωνίας, Ετοιμότητας, Βιωματικότητας, Εποπτικότητας, Επιστημονικότητας

7

ΣΤΑΔΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

1. ΑΦΟΡΜΗΣΗ

Ρωτούμε τους μαθητές ποιους αρχαίους φιλοσόφους γνωρίζουν, οι οποίοι

έζησαν πριν από το Σωκράτη και ασχολήθηκαν με τις επιστήμες και την

ερμηνεία του κόσμου.

Ζητούμε να αναφέρουν με ποιες επιστήμες ασχολήθηκαν οι

Προσωκρατικοί φιλόσοφοι και αν γνωρίζουν κάποιους, που διακρίθηκαν

στη Γεωμετρία και στα Μαθηματικά.

Ρωτούμε αν γνωρίζουν τον όρο «Ευκλείδεια Γεωμετρία» και τον λόγο που

ονομάστηκε έτσι.

Προβάλλουμε (με χρήση προτζέκτορα) την ακόλουθη εικόνα με το

συνοδευτικό κείμενο, ώστε να εισαγάγουμε τους μαθητές στο ευρύτερο

πλαίσιο της διδακτικής μας προσέγγισης:

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Ο ΣΑΜΙΟΣ ( 580 - 490 π.Χ. )

(Xαρακτικό, 16ος αι., Εθνική Βιβλιοθήκη, Παρίσι)

Ο πρώτος που χρησιμοποίησε τον όρο

«φιλόσοφος», µε την έννοια αυτού

που αναζητά την αλήθεια και αγαπά

τη γνώση. Σύμφωνα με το δόγμα των Πυθαγορείων:

{ «Οι αριθμοί είναι η αρχή, η πηγή και η ρίζα των πάντων». }

Μέσα από κατάλληλες δραστηριότητες και φύλλα εργασίας, ελέγχουμε τις προαπαιτούμενες γνώσεις των μαθητών σχετικά με τα στοιχεία ορθής γωνίας, ορθογωνίου τριγώνου, εμβαδό τριγώνου, εμβαδό τετραγώνου κ.τ.λ., έτσι ώστε, αν χρειαστεί, να παρέμβουμε κατάλληλα.

8

Προαπαιτούμενες γνώσεις

Αναγνώριση γεωμετρικών σχημάτων (είδη τριγώνου, τετράγωνο, ορθογώνιο)

Αναγνώριση γωνιών (ορθή, οξεία, αμβλεία)

Τρόπος εύρεσης εμβαδού τριγώνου και τετραγώνου

Τρόπος εύρεσης τετραγωνικής ρίζας Αριθμητικές πράξεις

Παραθέτουμε ενδεικτικά την ακόλουθη δραστηριότητα: (Ανάλογες δραστηριότητες παραθέτουμε και στα ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1 και 2 ).

1. Δείχνουμε στους μαθητές (με το βιντεοπροβολέα) τα παρακάτω μνημεία/αξιοθέατα και ζητούμε να εντοπίσουν τα γεωμετρικά σχήματα που διακρίνουν στο καθένα από αυτά:

2. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟΥ

Κάνουμε μία σύντομη προβολή (σε powerpoint) σημαντικών φιλοσόφων της Αρχαίας Ελλάδας (Θαλής, Αναξίμανδρος, Αναξιμένης, Ηράκλειτος, Πυθαγόρας, Δημόκριτος, Ευκλείδης, Αρχιμήδης κτλ.) και αναφέρουμε σύντομα τις απόψεις του καθενός για τη δημιουργία του κόσμου, τα μαθηματικά, τη γεωμετρία και άλλες επιστήμες.

Διαβάζουμε κατόπιν στους μαθητές το παρακάτω ιστορικό σημείωμα, ώστε να γνωρίσουν τον Πυθαγόρα, την ετυμολογική προέλευση του ονόματός του, την προέλευση του ονόματος του Πυθαγορείου Θεωρήματος και να κατανοήσουν τη σύνδεση της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας και διανόησης με τα μαθηματικά και τη γεωμετρία. (Στη συνέχεια το δείχνουμε σε powerpoint).

9

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ:

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ – ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε στη Σάμο (580 – 490 π.Χ.), αλλά έζησε στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Το όνομα «Πυθαγόρας» τού το έδωσαν οι γονείς του, προς τιμήν της Πυθίας, που προφήτευσε τη γέννησή του. Υπήρξε ένας από τους μεγαλύτερους αρχαίους Έλληνες φιλοσόφους και ιδρυτής της Πυθαγόρειας Σχολής. Διακρίθηκε, επίσης, ως σημαντικός μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Το ενδιαφέρον του για τη μουσική αρμονία ήταν η αιτία να αποδοθεί σ΄αυτόν και η θεωρία της «Αρμονίας των Σφαιρών». Ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη «κόσμος». Δεν άφησε, ωστόσο, κανένα γραπτό έργο και έτσι οι μαθητές του προσπάθησαν να διασώσουν τη διδασκαλία του.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί ένα από τα πιο κομψά, αλλά ταυτόχρονα και πιο σημαντικά θεωρήματα με πολλές εφαρμογές. Η ανακάλυψη του θεωρήματος, αν και παραδοσιακά αποδίδεται στον Πυθαγόρα, δεν είναι βέβαιο ότι έγινε απ΄ αυτόν ή από κάποιον από τους μαθητές του στην Πυθαγόρεια Σχολή που ίδρυσε. Όμως, είναι βέβαιο πως είτε ο ίδιος είτε οι μαθητές του διατύπωσαν την πρώτη απόδειξη. Επιπλέον, οι Πυθαγόρειοι διατύπωσαν και απέδειξαν το αντίστροφο του θεωρήματος.

Θυμίζουμε στους μαθητές τη διαδικασία της παραγωγής των λέξεων. ( γράφω> γράμμα, γραφικός).

Αναφερόμαστε στη σύνθεση των λέξεων, τον δεύτερο βασικό τρόπο εμπλουτισμού του λεξιλογίου.

Εξηγούμε τους όρους σύνθετη λέξη, συνθετικά μέρη, κλιτή λέξη, άκλιτη λέξη και αναφέρουμε παραδείγματα- εφαρμογές πάνω στη σύνθεση των λέξεων (συνθετικά μέρη, α΄ και β΄ συνθετικό, λέξη κλιτή ή άκλιτη, π.χ. ανάλογος, κοσμοθεωρία)

Υπενθυμίζουμε στους μαθητές τον τρόπο κλίσης των ουσιαστικών της αρχαίας ελληνικής, που διδάχτηκαν στην Α΄ τάξη, δίνοντας έμφαση στα ουσιαστικά της γ΄κλίσης.

Εισάγουμε τους μαθητές σε βασικούς όρους που χρησιμοποιούνται στα Μαθηματικά και στη Γεωμετρία και εξηγούμε το φαινόμενο της πολυσημίας, αναφέροντας συγκεκριμένα παραδείγματα λέξεων, που συναντώνται με διαφορετική σημασία στον καθημερινό λόγο και στις διάφορες επιστήμες ( ρίζα των φυτών, τετραγωνική ρίζα).

Διευκρινίζουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων, εξηγώντας την έννοια τετράγωνο ως δύναμη και διαφοροποιώντας την από το γεωμετρικό σχήμα.

Είναι σημαντικό οι μαθητές να εντοπίσουν μόνοι τους, με δοκιμές, τις τετραγωνικές ρίζες που είναι

ρητοί αριθμοί, όπως 25,9 . Η εύρεση της τετραγωνικής ρίζας, καθώς και οι ιδιότητες των

ριζών είναι μάλλον έξω από τις δυνατότητες αρκετών αλλόγλωσσων παιδιών και γι’ αυτό δεν επιμένουμε σ΄ αυτήν τη φάση της διδασκαλίας μας και αφήνουμε τους μαθητές να κάνουν δοκιμές με την αριθμομηχανή.

10

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ:

Δείχνουμε στους μαθητές το παρακάτω σχήμα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ:

Σε powerpoint παρουσιάζουμε στους μαθητές τους ορισμούς βασικών εννοιών της γεωμετρίας και τους εξηγούμε μέσα από τη χρήση παραδειγμάτων. Ενδεικτικά αναφέρουμε:

Γεωμετρία: κλάδος των μαθηματικών που μελετά τον χώρο και μετρά την επιφάνεια και τον όγκο των σωμάτων.

Π.χ. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία είναι το θεμέλιο για την ανάπτυξη της επιστήμης των Μαθηματικών.

Θεώρημα: επιστημονική πρόταση που η αλήθεια της χρειάζεται απόδειξη.

Π.χ. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα βασίζεται στην αρχή ότι «το τετράγωνο της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του».

Υποτείνουσα: η πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου, που είναι απέναντι από την ορθή γωνία.

Άθροισμα: το σύνολο, το αποτέλεσμα της πρόσθεσης. Π.χ. Το άθροισμα των αριθμών 5 και 2 είναι 7.

Στη διπλανή εικόνα φαίνεται το γραμματόσημο της Ελληνικής Δημοκρατίας, που εκδόθηκε στις 20 Αυγούστου

1955 με την ευκαιρία του συνεδρίου, που διεξήχθη για τον Πυθαγόρα. Σ΄ αυτό απεικονίζεται ένα τρίγωνο και τρία τετράγωνα. Ποια σχέση νομίζετε ότι υπάρχει μεταξύ των εμβαδών των τριών τετραγώνων;

11

3.ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ:

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ:

Δραστηριότητα 1: Δίνονται οκτώ ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές β, γ και υποτείνουσα α και τρία τετράγωνα με πλευρές α, β, γ, αντίστοιχα:

ε= εμβαδόν τριγώνου

α) Να υπολογίσετε τα εμβαδά ε, Ε, Ε1, Ε2 των τριγώνων και τετραγώνων που σας δίνονται:

Λύση: …………………………………………………………………………………………………………………

β) Τοποθετούμε κατάλληλα τα τρίγωνα και τα τετράγωνα, ώστε να σχηματιστούν

δύο νέα τετράγωνα, πλευράς (β + γ):

12

Υπολογίζουμε το εμβαδόν των ίσων τετραγώνων με δύο διαφορετικούς τρόπους:

Λύση

1ος Τρόπος:………………………………………………………………………………………………………..

2ος Τρόπος: ………………………………………………………………………………………………………..

Επομένως, θα ισχύει ότι: …………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………….

Η σχέση αυτή, που συνδέει τις κάθετες πλευρές με την υποτείνουσα ενός

τριγώνου, εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα, δηλαδή ισχύει:

ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ:

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των δύο

κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας.

Δραστηριότητα 2η :

1) Κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓΔ (Α = 90ο ), με πλευρές ΑΒ=4 cm, ΑΓ = 3cm

2) Σημειώνουμε το μήκος της πλευράς ΒΓ = …………..cm

3) Κατασκευάζουμε 3 τετράγωνα ΑΒΖΗ, ΑΓΚΛ και ΒΓΜΝ έξω από το τρίγωνο

4) Βρίσκουμε τα εμβαδά των τετραγώνων (ΑΒΖΗ) = ……………..

(ΑΓΚΛ) = ……………..

(ΒΓΜΝ)= …………….

13

5) Υπολογίζουμε το άθροισμα

(ΑΒΖΗ) + (ΑΓΚΛ) = ………………………………………………..

6) Συγκρίνουμε το παραπάνω άθροισμα με το εμβαδόν του τετραγώνου

ΒΓΜΝ:

(ΑΒΖΗ) + (ΑΓΚΛ) …………………(ΒΓΜΝ)

7) Από τη σχέση του προηγούμενου ερωτήματος, βρίσκουμε μια σχέση που

ισχύει για τις πλευρές α, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου.

8) Συζητάμε με τα άλλα μέλη της ομάδας (ή με την τάξη) τα ευρήματά μας και

τον τρόπο που καταλήξαμε σε αυτά.

Δραστηριότητα 3η:

Στα παρακάτω ορθογώνια τρίγωνα να υπολογίσετε τα τετράγωνα του μήκους των

πλευρών τους.

5μ

3μ

4μ

10μ

6μ

8μ

13μ

12μ 5μ

14

Στη συνέχεια να συμπληρώσετε τον πίνακα που ακολουθεί:

Υποτείνουσα: 52= 10

2= 13

2=

Κάθετες πλευρές:

42= 8

2= 12

2=

32= 6

2= 5

2=

32

+ 42 = 6

2 + 8

2 = 5

2 + 12

2 =

Τι παρατηρείτε;

Δραστηριότητα 4η:

1) Συγκρίνουμε τα εμβαδά των παρακάτω τετραγώνων (ΑΒΓΔ)1 και (ΑΒΓΔ)2

και δικαιολογούμε την απάντησή μας

(ΑΒΓΔ)1……….(ΑΒΓΔ)2……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………………….

2) Υπολογίζουμε το εμβαδόν του τετραγώνου πλευράς α και των ίσων

τριγώνων με πλευρές β, γ.

ΣΧΗΜΑ 1

15

………………………………………………………………………………………………………………..

Ε =……………………………………………………………………………………………………………

Εο =………………………………………………………………………………………………………….

3) Γράφουμε το εμβαδόν του τετραγώνου( ΑΒΓΔ)1 ως άθροισμα των

εμβαδών των σχημάτων που το αποτελούν:

(ΑΒΓΔ)1 = …………………………………………………………………………………………………….

4) Υπολογίζουμε το εμβαδόν των τετραγώνων με πλευρά β και γ και των ίσων

τριγώνων με πλευρές β, γ.

ΣΧΗΜΑ 2

…………………………………………………………………………………………………………………………….

Ε1 = ………………………………………………………………………………………………………………………

Ε2 = ………………………………………………………………………………………………………………………

Εο = ………………………………………………………………………………………………………………………

5) Γράφουμε το εμβαδόν του τετραγώνου (ΑΒΓΔ)2 ως άθροισμα των

εμβαδών των σχημάτων που το αποτελούν:

(ΑΒΓΔ)2 =………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………………

16

6) Συζητάμε με τα μέλη της ομάδας μας (ή την τάξη) τα ευρήματά μας και

αξιοποιώντας τη σύγκριση των εμβαδών των τετραγώνων( ΑΒΓΔ)1 και

(ΑΒΓΔ)2 (ερώτημα 1 και τα ευρήματα των ερωτημάτων 3 και 5)

συμπεραίνουμε μια σχέση που ισχύει για τα εμβαδά των τετραγώνων Ε1,

Ε2, και Ε.

7) Από τη σχέση του προηγούμενου ερωτήματος, βρίσκουμε μια σχέση που

ισχύει για τις πλευρές α, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου

……………………………………………………………………………………………………………………

Συζητάμε με τα άλλα μέλη της ομάδας τα ευρήματά μας και τον

τρόπο που καταλήξαμε σ΄ αυτά.

Δραστηριότητα 5η:

Χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα, όταν γνωρίζουμε τα μήκη δύο

πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος

της τρίτης πλευράς.

Αν γνωρίζουμε τις κάθετες πλευρές β, γ και θέλουμε

να βρούμε την υποτείνουσα α, γράφουμε την ισότητα:

α² = β² + γ²

Αν ξέρουμε την υποτείνουσα α και την κάθετη

πλευρά β, τότε, για τον υπολογισμό της κάθετης

πλευράς γ, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

γ² = ………………………

Αν είναι γνωστή η υποτείνουσα α και η κάθετη

πλευρά γ, τότε, για να υπολογίσουμε την κάθετη

πλευρά β, γράφουμε την ισότητα:

β² = ………………………….

17

ΓΛΩΣΣΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ:

Παρακάτω σάς δίνονται δύο ορισμοί του Πυθαγορείου Θεωρήματος

διατυπωμένοι ο πρώτος στα αρχαία ελληνικά και ο δεύτερος στα νέα ελληνικά:

«Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τό ἀπό τῆς τήν ὀρθήν γωνίαν ὑποτεινούσης

πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστί τοῖς ἀπό τῶν τήν ὀρθήν γωνίαν περιεχουσῶν

πλευρῶν τετραγώνοις».

«Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το

άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών».

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ:

1α) Αφού διαβάσετε τους δύο ορισμούς προσεκτικά, να τους συγκρίνετε μεταξύ τους ως προς το περιεχόμενο και τη μορφή. Ποιες ομοιότητες και ποιες διαφορές παρατηρείτε ( χρήση δοτικής πτώσης, κατάληξη αιτιατικής ενικού σε –ν κτλ.);

β) Να εντοπίσετε στον ορισμό της Αρχαίας Ελληνικής λέξεις, που χρησιμοποιούνται (αυτούσιες ή παραλλαγμένες) και στη Νέα Ελληνική.

2α) Να αποδώσετε στην αρχαία ελληνική τις παρακάτω λέξεις της νέας ελληνικής. Ποιες διαφορές παρατηρείτε;

Νέα Ελληνική Αρχαία Ελληνική

το τετράγωνο …………………………………….

την ορθή …………………………………….

τη γωνία …………………………………….

της υποτείνουσας …………………………………….

ισούται ……………………………………..

2β) Στον ορισμό της αρχαίας ελληνικής να υπογραμμίσετε τα ουσιαστικά και να βρείτε σε ποια κλίση ανήκει το καθένα.

3α) Στον πίνακα που ακολουθεί, να συμπληρώσετε τις καταλήξεις που λείπουν και να τονίσετε τους τύπους:

18

ΟΥΔΕΤΕΡΑ ΟΥΣΙΑΣΤΙΚΑ Γ΄ΚΛΙΣΗΣ

Ενικός αριθμός Πληθυντικός αριθμός

Ονομαστική το θεώρημα τα θεωρηματ………

Γενική: του θεωρημα……. των θεωρημα…….

Δοτική: τω θεωρημα…….. τοις θεωρημα

Αιτιατική: το θεωρημα…….. τα θεωρημα………

Κλητική: (ω) θεωρημα (ω) θεωρημα……..

3β) Ποιο άλλο ουδέτερο ουσιαστικό της γ΄κλίσης, που συναντούμε στον ορισμό του Π.Θ., κλίνεται κατά τον ίδιο τρόπο;

3γ) Να κλίνετε το ουσιαστικό και στα ν.ε. Ποιες διαφορές παρατηρείτε;

4) Να βρείτε στους δύο ορισμούς τις σύνθετες λέξεις και να τις χωρίσετε στα συνθετικά τους (π.χ. υποτείνουσα < ὑπό + τείνω). Να αναφέρετε ποιο συνθετικό είναι κλιτή και ποιο άκλιτη λέξη.

(π.χ. ὑπό→άκλιτη, τείνω→κλιτή).

5) Χρησιμοποιώντας το Ορολογικό Λεξικό, το Ερμηνευτικό Λεξικό της Ν.Ε. και το βιβλίο των Αρχαίων Ελληνικών, να συγκεντρώσετε ειδικό λεξιλόγιο (ορολογία), που χρησιμοποιείται στην επιστήμη των μαθηματικών και να βρείτε:

-- Ποιες από τις λέξεις αυτές είναι ουσιαστικά;

-- Ποια ουσιαστικά απ΄αυτά χρησιμοποιούσαν και οι αρχαίοι; Με ποια

μορφή;

--Να συγκεντρώσετε ουσιαστικά της γ΄κλίσης, τα οποία αποτελούν όρους

των μαθηματικών και να μελετήσετε την κλίση τους.

( π.χ. δύναμις, κανών, ἄξων, ἀκτίς, θεώρημα, ἄθροισμα)

19

4.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ – ΕΜΠΕΔΩΣΗ/ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ

1. Να επαληθεύσετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο παρακάτω τρίγωνο:

Λύση:

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………

2. Στο διπλανό σχήμα, το τρίγωνο ΑΒΓ έχει

περίμετρο 150 m.

α) Να βρείτε τον αριθμό Χ.

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.

Λύση:

α)……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

β)……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

20

3. Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 – 4 τα τρίγωνα είναι ορθογώνια στο Α.

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:

Α Β Γ Δ

1. Χ = 7cm 9cm 10cm 12cm

2. X= 2cm 3cm 4cm 5cm

3. X= 14cm 20cm 24cm 30cm

4.

β= 15cm 13cm 12cm 8cm

και και και και και

γ= 8cm 10cm 13cm 9cm

21

4. Η Έλενα και ο Χρίστος εξέτασαν κατά πόσο το τρίγωνο με πλευρές 5, 12, 13 είναι ορθογώνιο και έδωσαν τις παρακάτω απαντήσεις. Ποια απάντηση νομίζετε ότι είναι ορθή; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

΄Ελενα Χρίστος

χ² = α² + β² χ² = α² + β²

12² = 5² + 13² 13² = 5² + 12²

144 = 25 + 169 169 = 25 + 144

144 = 194 169 = 169

άρα δεν είναι ορθογώνιο άρα είναι ορθογώνιο

5. Να βρείτε το ύψος του χαρταετού. Λύση:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. Στην παρακάτω φωτογραφία φαίνεται η γέφυρα που ενώνει το Ρίο με το Αντίρριο και η οποία στηρίζεται σε 4 πυλώνες. Από την κορυφή κάθε πυλώνα ξεκινούν καλώδια που καταλήγουν στο κατάστρωμα της γέφυρας. Το ύψος του πυλώνα ΑΒ είναι 100m και το πιο μεγάλο καλώδιο ΑΓ καταλήγει σε απόσταση 280m από τη βάση του πυλώνα (σημείο Β). Να βρείτε το μήκος ΑΓ του καλωδίου.

22

(Στο σημείο αυτό μπορούμε να κάνουμε επέκταση γνώσης του σχεδίου εργασίας

(επέκταση σεναρίου), εάν φυσικά μάς το επιτρέπει ο χρόνος και το γνωστικό

επίπεδο των μαθητών).

1.Το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Στην Αρχαία Αίγυπτο, για την κατασκευή ορθών γωνιών, χρησιμοποιούσαν το σκοινί

του παρακάτω σχήματος:

Όπως βλέπουμε, το σκοινί έχει 13 κόμπους σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους,

που σχηματίζουν 12 ίσα ευθύγραμμα τμήματα.

Κρατώντας τους ακραίους κόμπους ενωμένους και τεντώνοντας το

σκοινί στους κόκκινους κόμπους, σχηματίζεται το τρίγωνο ΑΒΓ,

το οποίο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι πίστευαν ότι είναι ορθογώνιο

με ορθή γωνία την κορυφή Β. Μεταγενέστερα, οι

αρχαίοι Έλληνες επαλήθευσαν τον ισχυρισμό

αυτόν αποδεικνύοντας την επόμενη γενική

πρόταση, που είναι γνωστή ως το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος:

Αν σε ένα τρίγωνο, το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με

το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία

που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.

ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΔΙΑΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ ( προϋποθέτουν

ενασχόληση των μαθητών και εκτός σχολικής τάξης---- ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΑ!).

Εργασία επέκτασης 2: Να αναζητήσετε πληροφορίες και για άλλους αρχαίους

λαούς, που γνώριζαν και εφάρμοσαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και να

διερευνήσετε τη σχέση τους με τους Πυθαγόρειους, αξιοποιώντας διάφορες πηγές

( εγκυκλοπαίδειες, σχολικά βιβλία, διαδίκτυο, CD κτλ.)

Εργασία επέκτασης 3: α) Υποθέστε ότι ζείτε σε μια παραμυθένια χώρα, τη

Σχηματοχώρα, στην οποία κατοικούν τρεις φυλές: Η φυλή «τρίγωνο», η φυλή

«ορθογώνιο» και η φυλή «κύκλος». Χωριστείτε σε τρεις ομάδες – φυλές και

παρατηρήστε τις παρακάτω σημαίες κρατών. Η κάθε φυλή, με τη σειρά της,

καλείται να αναζητήσει το σχήμα που εκπροσωπεί επάνω στις σημαίες. Νικήτρια

θα είναι η φυλή που θα συλλέξει τις πιο πολλές σημαίες που απεικονίζουν το

23

σχήμα της. Τα αποτελέσματα της κάθε φυλής μπορούν να καταγραφούν σε

μορφή «ραβδογράμματος»- (δυνατότητα άμεσης αντιληπτικής αξιολόγησης των

αποτελεσμάτων των ομάδων).

β) Αν η φυλή - τρίγωνο είναι η νικήτρια, καλείται να ερευνήσει σε ποια τρίγωνα

μπορεί να εφαρμοστεί το Πυθαγόρειο Θεώρημα, να ονομάσει τις γωνίες (Α, Β, Γ)

και να δώσει το μήκος της κάθε πλευράς, ώστε να εφαρμοστεί το Π.Θ.

Ενδεικτικά παραθέτουμε την παρακάτω εικόνα:

24

ΓΛΩΣΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ:

Σε ποια επιστήμη ανήκει καθεμία από τις παρακάτω ομάδες λέξεων; (Αν δυσκολεύεστε, χρησιμοποιήστε το λεξικό σας).

1. __________ 2. __________ 3. __________

Πρόσθεση δισκέτα άνθρακας

Κλάσμα μνήμη ιώδιο

Τρίγωνο ιός αντίδραση

Πλην σκληρός δίσκος ένωση

κύβος εικονίδιο στοιχείο

Παρακάτω σάς δίνονται απόψεις /γνωμικά αρχαίων φιλοσόφων, που

διακρίθηκαν στην επιστήμη των μαθηματικών:

Αρχαία Γνωμικά

Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί γεωμετρίαν.

Ευκλείδης, 4-3ος αιών π.Χ., Αλεξανδρινός μαθηματικός

μτφρ: δεν υπάρχει βασιλικός [σύντομος] δρόμος για να μάθεις γεωμετρία.

Πάντα κατ’ αριθμόν γίγνονται.

Πυθαγόρας, 580-490 π.Χ., Αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος

μτφρ: τα πάντα γίνονται σύμφωνα με αριθμούς

Aεί ο θεός γεωμετρεί

Πλάτων, 427-347 π.Χ., Φιλόσοφος

25

Ξυνόν γαρ αρχή και πέρας επί κύκλου περιφερείας.

Ηράκλειτος, 544-484 π.Χ., Ίων φιλόσοφος

μτφρ: σε έναν κύκλο, κάθε σημείο είναι ταυτόχρονα και αρχή και τέλος.

Μη μου τους κύκλους τάραττε.

Αρχιμήδης, 287-212 π.Χ., Μαθηματικός & πανεπιστήμων

(Στον Ρωμαίο που τον σκότωσε, ενώ έλυνε προβλήματα κάνοντας

σχέδια στην άμμο)

Γραμμή δε μήκος απλατές.

Ευκλείδης, 4-3ος αιών π.Χ., Αλεξανδρινός μαθηματικός

Αριθμός άπειρος πλήθει.

Πλάτων, 427-347 π.Χ., Φιλόσοφος

μτφρ: το πλήθος των αριθμών είναι άπειρο

Στα παραπάνω γνωμικά :

Να εντοπίσετε τα ουσιαστικά της αρχαίας ελληνικής και να τα κατατάξετε

σε τρεις στήλες ανάλογα με την κλίση τους

Να κλίνετε τα ουσιαστικά της γ΄κλίσης

Να βρείτε τις σύνθετες λέξεις και να τις αναλύσετε στα συνθετικά τους

Να συγκεντρώσετε τις λέξεις που συναντούμε στα Μαθηματικά (

Μαθηματική Ορολογία) και να εντοπίσετε τυχόν αλλαγές στη σημασία ή

στη μορφή με την οποία χρησιμοποιούνται σήμερα.

Ζητούμε από τους μαθητές να συγκεντρώσουν σύνθετες λέξεις από το εισαγωγικό σημείωμα που αναφέρεται στον Πυθαγόρα. Στη συνέχεια, επιλέγουμε και γράφουμε στον πίνακα 10 από αυτές, ζητώντας τους να τις χωρίσουν στα συνθετικά τους:

26

Α΄ΣΥΝΘΕΤΙΚΟ Β΄ΣΥΝΘΕΤΙΚΟ

φιλοσόφους

διασώσουν

αποτελεί

ανακάλυψη

αποδίδεται

διατύπωσε

Απέδειξαν

αντίστροφο

υποτείνουσα

ορθογώνιο

Ποιο συνθετικό είναι κλιτή και ποιο άκλιτη λέξη;

Τείνω, γωνία, ορθός:

Να γράψετε 2 παράγωγες και 2 σύνθετες λέξεις για καθεμιά από τις

παραπάνω λέξεις, χρησιμοποιώντας τες ως πρώτο ή δεύτερο συνθετικό.

Δύναμη, ρίζα, ακτίνα, σημείο, κανόνας: Οι λέξεις αυτές αποκτούν

διαφορετικές σημασίες ανάλογα με το γλωσσικό περιβάλλον στο οποίο

χρησιμοποιούνται. Να γράψετε δύο προτάσεις για καθεμιά από τις

παραπάνω λέξεις, στις οποίες να φαίνεται η διαφορετική τους σημασία.

Να μεταφέρετε τα παρακάτω ουσιαστικά στην ίδια πτώση του άλλου

αριθμού:

τῆς δεξιότητος →

τήν ἀκτῖνα →

τούς κανόνας →

τάς δυνάμεις →

τοῖς ἀθροίσμασι(ν) →

τῷ ἄξονι →

27

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1

1.Στα παρακάτω τρίγωνα, να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε τις κάθετες πλευρές και τις

υποτείνουσές τους:

2.Να βρείτε το χ στις ακόλουθες εξισώσεις: χ2 = 4, χ2 = 25, χ2 + 5 = 9, 5 + χ2 = 9

3. Να βρείτε το εμβαδόν των παρακάτω σχημάτων:

4. Εμβαδόν τριγώνου

Στο σχήμα που ακολουθεί, να βρείτε το εμβαδόν του χρωματισμένου τριγώνου:

Κάντε το ίδιο και στο παρακάτω σχήμα. Η βάση β και το

ύψος υ του παραλληλογράμμου και του τριγώνου είναι ίσα.

α

β

3 μ.

3 μ.

ύψος

βάση

28

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2

Να συμπληρώσετε την ακροστιχίδα. Τα πρώτα γράμματα των λέξεων δίνουν τον

τρόπο με τον οποίο τέμνονται οι πλευρές μιας γωνίας 90ο .

1 _ _ _ _ _ _

2 _ _ _ _ _ _ _

3 _ _ _ _ _ _ _

4 _ _ _ _ _ _

5 _ _ _ _ _ _ _

6 _ _ _ _ _ _ _ _

.

1. Ένα τέτοιο σημείο έχει η γωνία

2. Μια γωνία μεγαλύτερη από 90ο λέγεται ……. γωνία.

3. Είναι το Πυθαγόρειο

4. Μια γωνία που έχει μέτρο 180ο λέγεται…….

5. Είναι και το ορθογώνιο

6. Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης

Να κάνετε την αντιστοίχιση:

Ορθή γωνία Μεγαλύτερη από 90ο

Ευθεία Μικρότερη από 90ο

Αμβλεία γωνία 90ο

Οξεία γωνία 180ο

29

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3 Ή ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

1. Τι είδους τρίγωνο είναι το ΑΒΓ;

……………………………………………………………………………

………………………………………………………………………….

2. Την πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία σε ορθογώνιο

τρίγωνο την ονομάζουμε ………………………………, ενώ τις δύο άλλες πλευρές

του ορθογωνίου τριγώνου τις ονομάζουμε ………………………………………………. .

3. Υποτείνουσα στο ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο

του σχήματός μας είναι η πλευρά …………….,

ενώ οι δύο κάθετες είναι η

………………………..

και η ……………….

4. Τι είδους τετράπλευρα είναι

τα ΑΒΖΗ, ΑΓΕΔ και ΒΓΘΙ; …….

…………………………………………...

5. Η υποτείνουσα α του ορθογωνίου

τριγώνου είναι και

……………………………….

του τετραγώνου ΒΓΘΙ.

6. Άρα το εμβαδόν του τετραγώνου ΒΓΘΙ είναι: (ΒΓΘΙ) = …………

7. Όμοια (ΑΒΖΗ) =……………….. και (ΑΓΕΔ) =……………………

8. Με τη βοήθεια των γεωμετρικών οργάνων, να υπολογίσετε τα εμβαδά των

τριών τετραγώνων σε cm² : (ΑΒΖΗ) =…………………………………………………..,

(ΑΓΕΔ) = ……………………………..,(ΒΓΘΙ) =…………………………………………………

30

9. Παρατηρείτε κάποια σχέση μεταξύ των τριών αυτών εμβαδών;

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………….

10. Να σχεδιάστε ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ και να καταγράψετε τη

σχέση που εκφράζει το Πυθαγόρειο Θεώρημα για καθένα από αυτά. Στη

συνέχεια, να συμπληρώσετε τα κενά του Πυθαγορείου Θεωρήματος.

…………………………………………………………………………………………………………………….

Το τετράγωνο της ………………………………………. …………………………………………….

ορθογωνίου τριγώνου είναι ……………….. με το …………………………………………..

των τετραγώνων των δύο ………………………………. πλευρών.

( κάθετες, υποτείνουσας, οποιουδήποτε, ίσο, άθροισμα)

11. Σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε το χ:

……………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………..

12. Μπορούν οι 3, 4, 5 να είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου;

Ισχύει το ίδιο για τους 4, 5, 6 ;

13. Αν α η πλευρά ενός τετραγώνου και δ η διαγώνιός του, να δείξετε ότι

δ = α √2

31

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Ή ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Βάλτε τις ακόλουθες φράσεις στη σωστή σειρά, ώστε να προκύψει

αληθής πρόταση (ΠΡΟΣΟΧΗ: μια από τις φράσεις που δίνονται

περισσεύει!):

ισούται με

το άθροισμα των τετραγώνων

τα τετράγωνα των κάθετων πλευρών

της υποτείνουσας

ορθογωνίου τριγώνου

το τετράγωνο

των κάθετων πλευρών

…………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………….

Ο Πυθαγόρας χρησιμοποίησε πρώτος τη λέξη «κόσμος». Πώς εξελίχθηκε η σημασία της λέξης από τα αρχαία χρόνια μέχρι σήμερα; Ποια σημασία αποκτά η λέξη στους παρακάτω επιστημονικούς κλάδους; Να απαντήσετε χρησιμοποιώντας τη βοήθεια του λεξικού σας.

Γλωσσολογία, Ανθρωπολογία, Κοινωνιολογία, Εθνολογία, Φυσική,

Αστρονομία, Κοινωνική και Πολιτική Αγωγή

Στο παρακάτω κρυπτόλεξο βρείτε τα ονόματα 5 μεγάλων μαθηματικών

της αρχαιότητας:

Ρ Σ Κ Λ Β Γ Ο Ρ Η Γ Ξ Ρ Π Δ Β Ω Ε Ζ Α Ε Δ Θ Α Λ Η Σ Κ Ν Δ Ζ Η Τ Α Β Μ Ο Π

Υ Χ Π Ο Σ Ε Ι Δ Ω Ν Ι Ο Σ Ω Μ Υ Ε Κ Υ Π Υ Β Χ Ζ Γ Ξ Ζ Ω Μ Ι Ε Φ Ο Χ Ν Ε Ζ

Λ Σ Ρ Δ Η Μ Ο Κ Ρ Ι Τ Ο Σ Υ Ε Β Τ Ρ Θ Π Η Ε Υ Κ Λ Ε Ι Δ Η Σ Χ Ρ Λ Ο Π Τ Ο Σ

Ι Φ Χ Υ Π Υ Θ Α Γ Ο Ρ Α Σ Λ Ι Κ Θ Δ Π Γ Ψ Χ Π Ν Η Ο Γ Π Ο Ω Σ Τ Α Κ Δ Ψ

Η Α Ψ Ρ Ο Ν Ρ Ξ Φ Θ Ξ Μ Ο Ο Χ Σ Υ Ξ Ο Δ Γ Α Ρ Χ Ι Μ Η Δ Η Σ Ρ Υ Β Δ Θ Α

32

ΓΙΝΟΜΑΙ ΛΕΞΙΚΟΓΡΑΦΟΣ!!!

Να δώσετε τους ορισμούς των παρακάτω λέξεων, δημιουργώντας το δικό σας

μικρό λεξικό:

Θεώρημα: ………………………………………………………………………………………………………………

Υποτείνουσα: …………………………………………………………………………………………………………

Άθροισμα: ……………………………………………………………………………………………………………..

Εφαρμογή: …………………………………………………………………………………………………………….

Φιλόσοφος: …………………………………………………………………………………………………………..

Να επαληθεύσετε τους ορισμούς που γράψατε με τη βοήθεια του λεξικού σας και

του καθηγητή των μαθηματικών.

ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ:

Σάς δίνεται σε φωτοτυπία το τραγούδι «Τρίγωνο – Τριγωνάκι», από το cd «Τα

Ζουζούνια τραγουδούν για τα σχήματα», από το οποίο λείπουν αρκετές λέξεις.

Αφού ακούσετε το τραγούδι από το cd, που αναφέρεται στα Γεωμετρικά

σχήματα, προσπαθήστε να συμπληρώσετε τα κενά. Στη συνέχεια, να γράψετε

άλλες δύο στροφές που να αναφέρονται στο σχήμα τετράγωνο.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΥΠΟΔΥΣΗΣ ΡΟΛΩΝ: ( ΜΟΝΤΕΛΟ SHAFTER)

Υποθέστε ότι σάς δίνεται η δυνατότητα να συνομιλήσετε με τον αρχαίο φιλόσοφο

Πυθαγόρα. Τι θα του λέγατε ( θα τον ρωτούσατε) για το μάθημα της Γεωμετρίας;

Να γράψετε έναν μικρό διάλογο.

ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΛΟΓΟΥ:

Χωριστείτε σε ομάδες. Υποθέστε ότι κάνετε ένα μακρινό ταξίδι, σε μια

φανταστική πόλη ενός άλλου πλανήτη, που οι κάτοικοί της είναι γεωμετρικά

σχήματα. Να γράψετε μια ιστορία σε μία παράγραφο (80 -100 λέξεις), στην οποία

θα αφηγείστε τη γνωριμία με τους κατοίκους του πλανήτη αυτού και τις

εντυπώσεις σας από όλα τα καινούρια και αξιοπερίεργα πράγματα που

συναντήσατε! Στην ιστορία σας να χρησιμοποιήσετε τους παρακάτω όρους:

Τρίγωνο, εμβαδό, άθροισμα, τετράγωνο, σχήμα, κύκλος, παραλληλόγραμμο.

Θα βραβευθεί η καλύτερη και πιο πρωτότυπη ιστορία!!!

33

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 1η : Αφού οι ομάδες ολοκληρώσουν τις εργασίες τους, γίνεται στην τάξη

συζήτηση με τους μαθητές, οπότε με τη μέθοδο της ανατροφοδότησης επιλύουμε τυχόν

απορίες των μαθητών, δίνοντας έμφαση στα σημεία που τους δυσκόλεψαν περισσότερο.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ 2η :Το παρόν σχέδιο εργασίας περιλαμβάνει αρκετές και ποικίλες

δραστηριότητες. Επισημαίνουμε ότι η υλοποίηση όλων των δραστηριοτήτων δεν είναι

απαραίτητη – ούτε, προφανώς, εφικτή. Κάθε εκπαιδευτικός μπορεί να επιλέξει κάποιες

από αυτές, ανάλογα με την πορεία του μαθήματος και το γνωστικό επίπεδο των

μαθητών. Η υλοποίηση των όποιων εργασιών, επομένως, έγκειται στην ευελιξία και την

πρωτοτυπία κάθε εκπαιδευτικού κατά τη διδακτική διαδικασία.

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

1. Τσεκάκη, Μ. (2008). «Αναλυτικά Προγράμματα Μαθησιακών Δυσκολιών –

Ενημέρωση – Ευαισθητοποίηση». Προσαρμογή Αναλυτικών Προγραμμάτων για τα

Μαθηματικά στο Γυμνάσιο, τεύχος β΄. YΠΕΠΘ / Παιδαγωγικό Ινστιτούτο.

2. ΥΠΕΠΘ – Βλάμος, Π., Π. Δρούτσας, Γ. Πρέσβης & Κ. Ρεκούμης (2009). Μαθηματικά

Β΄ Γυμνασίου. Αθήνα: ΟΕΔΒ.

3. ΥΠΕΠΘ – Γαβριηλίδου, Μ., Π. Λαμπροπούλου & Κ. Αγγελάκος (2007). Ερμηνευτικό

Λεξικό Νέας Ελληνικής Α΄ Β΄ Γ΄ Γυμνασίου. Αθήνα: ΟΕΔΒ.

4. ΥΠΕΠΘ – Γλυκοφρύδη – Λεοντσίνη, Α., Χ. Σακελλίου & Ε. Λεοντσίνη (2010).

Ανθολόγιο Φιλοσοφικών Κειμένων Γ΄ Γυμνασίου. Βιβλίο Μαθητή. Αθήνα: ΟΕΔΒ.

5. ΥΠΕΠΘ – Γλυκοφρύδη – Λεοντσίνη, Α., Χ. Σακελλίου & Ε. Λεοντσίνη (2010).

Ανθολόγιο Φιλοσοφικών Κειμένων Γ΄ Γυμνασίου. Βιβλίο Εκπαιδευτικού. Αθήνα:

ΟΕΔΒ.

6. ΥΠΕΠΘ (2007). Λεξικό της Ελληνικής ως Ξένης Γλώσσας για Μαθητές της

Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, (επιστ. επιμ.) Α. Ιορδανίδου. Αθήνα.

7. YΠΕΠΘ – Παπαθωμάς, Α., Μ. Γαλάνη – Δράκου, Β. Καμπουρέλλη & Ε. Λουτριανάκη

(2007). Αρχαία Ελληνική Γλώσσα. Αθήνα: ΟΕΔΒ.

8. YΠΕΠΘ – Παπαθωμάς, Α., Μ. Γαλάνη – Δράκου, Β. Καμπουρέλλη & Ε. Λουτριανάκη

(2007). Αρχαία Ελληνική Γλώσσα. Βιβλίο Εκπαιδευτικού. Αθήνα: ΟΕΔΒ.

9. ΥΠΕΠΘ – Στέφος, Α., Ε. Στεργιάλης & Γ. Χαριτίδου (2007). Ιστορία της Αρχαίας

Ελληνικής Γραμματείας Α΄ Β΄ Γ΄ Γυμνασίου. Αθήνα: ΟΕΔΒ.

10. ΥΠΕΠΘ – Συμεωνίδης, Χ., Γ. Ξενής & Α. Φλιάτουρας (2007). Λεξικό αρχαίας

ελληνικής γλώσσας Α΄ Β΄ Γ΄ Γυμνασίου. Αθήνα: ΟΕΔΒ.

11. Χατζησαββίδης, Σ., Τ. Κωτόπουλος & Ε. Αναγνωστόπο υλος (2008). «Προσαρμογές

Αναλυτικών Προγραμμάτων για το μάθημα της Γλώσσας στο Γυμνάσιο, τεύχος α΄.

ΥΠΕΠΘ / Παιδαγωγικό Ινστιτούτο.

12. ΙΕΛ, Τρίγλωσσο Ορολογικό Λεξικό σε λογισμική μορφή (CD-ROM), (επιστ.υπεύθ.

Καραγιάννης Γ). Στο πλαίσιο του προγράμματος: «Εκπαίδευση των παιδιών της

μουσουλμανικής μειονότητας στη Θράκη».

34

13. «Διαδρομές από τα Αρχαία στα Νέα Ελληνικά»: Ενότητα 1η: Εκπαιδευτικό υλικό του

Σχολείου Ελληνικών για Ξένους «Μέγας Αλέξανδρος». Στον ιστότοπο

http://alexander-edu.org.

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΙΚΤΥΟΓΡΑΦΙΑ

1. eisatopon.blogspot.com

2. http://www.gnomikologikon.gr

3. http://el.wikipedia.org

4. http://blogs.sch.gr/loumpardia

5. http://edu4u.gr

6. http://www.mathematica.gr

7. schooleasymaths.blogspot.com

8. https://www.google.gr (εικόνες)