'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

35
- 0 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 0 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

description

.

Transcript of 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

Page 1: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 0 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

0

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

Page 2: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 1 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ.

Ονομάζουμε γραμμική εξίσωση

με δύο αγνώστους κάθε εξίσωση

της μορφής x yα β γ+ = .

Η εξίσωση x κ= παριστάνει

γραφικά ευθεία παράλληλη προς

τον άξονα yy΄, δηλαδή ευθεία

κάθετη στον άξονα xx΄ και τέμνει

τον xx΄ στο σημείο (κ,0).

Η εξίσωση y xα β= + είναι η

εξίσωση ευθείας που

περιλαμβάνει όλες τις ευθείες που

δεν είναι παράλληλες στον yy΄.

Η γραμμική εξίσωση της μορφής x yα β γ+ = με 0α ≠ ή 0β ≠ παριστάνει όλες τις

παραπάνω ευθείες γιατί:

Αν α 0≠ και β=0 τότε 0x y x xγ

α γ α γα

+ = ⇔ = ⇔ = (ευθεία κάθετη στον xx΄).

Αν α=0 και β 0≠ τότε 0 y y yγ

χ β γ β γβ

+ = ⇔ = ⇔ = (ευθεία κάθετη στον yy΄).

Αν α 0≠ και β 0≠ τότε ( )y x yα γ

β γ α χβ β

= − ⇔ = − + (είναι της μορφής y xα β= + ,

δηλαδή είναι εξίσωση ευθείας που περιλαμβάνει όλες τις ευθείες που δεν είναι

παράλληλες στον yy΄).

Οπότε: Η γραμμική εξίσωση x yα β γ+ = με α 0≠ ή β 0≠ παριστάνει οποιαδήποτε ευθεία.

Ονομάζουμε σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων δύο γραμμικές εξισώσεις των οποίων ζητάμε

τις κοινές λύσεις και γράφουμε

συμβολικά:

( )

x y

΄x ΄y ΄

α β γα β γ

+ =Σ

+ =

Page 3: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 2 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

2

Λύση ενός συστήματος ονομάζουμε κάθε διατεταγμένο ζεύγος 0 0(χ ,y ) που επαληθεύει τις

εξισώσεις του.

Επίλυση ενός συστήματος ονομάζουμε την εύρεση όλων των λύσεών του.

Μέθοδοι επίλυσης συστημάτων της μορφής:

x y

΄x ΄y ΄

α β γα β γ

+ =

+ =

1) Μέθοδος αντικατάστασης.

Πρώτα λύνουμε την μία από τις δύο εξισώσεις ως προς ένα άγνωστο (π.χ. ως προς x).

Αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση το x με την παράσταση που βρήκαμε και λύνουμε την

εξίσωση που προκύπτει με την αντικατάσταση ως προς τον άλλο άγνωστο y. Αντικαθιστούμε

την τιμή του y στην πρώτη εξίσωση και υπολογίζουμε τον άλλο άγνωστο x.

2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών (ή της απαλοιφής).

Πρώτα πολλαπλασιάζουμε τα μέλη των δύο εξισώσεων με κατάλληλους αριθμούς ώστε οι

συντελεστές του ενός αγνώστου στις εξισώσεις που θα προκύψουν να είναι αντίθετοι.

Προσθέτουμε κατά μέλη τις εξισώσεις που βρήκαμε οπότε προκύπτει εξίσωση με έναν άγνωστο,

την οποία και επιλύουμε. Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μία από τις

αρχικές εξισώσεις και βρίσκουμε την τιμή του άλλου.

Η επίλυση ενός συστήματος γίνεται με την κατάλληλη μετατροπή του σε άλλα συστήματα

που έχουν τις ίδιες ακριβώς με αυτό λύσεις. Τα συστήματα αυτά λέγονται ισοδύναμα.

Η μετατροπή συστήματος σε ισοδύναμο γίνεται συνήθως με έναν από τους παρακάτω

τρόπους:

i. Λύνουμε την μία εξίσωση του συστήματος ως προς έναν άγνωστο και τον

αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση.

ii. Αντικαθιστούμε μία από τις εξισώσεις (ε) ή (ε΄) του συστήματος, π.χ. την (ε) με την

εξίσωση λ (ε) λ΄ (ε )⋅ + ⋅ που προκύπτει, αν στα μέλη της (ε) πολλαπλασιασμένα με

λ 0≠ προσθέσουμε τα μέλη της (ε΄) πολλαπλασιασμένα με λ΄.

Η εξίσωση λ (ε) λ΄ (ε )⋅ + ⋅ λέγεται γραμμικός συνδυασμός των εξισώσεων (ε) και (ε΄). Η

απόδειξη ότι τα συστήματα που προκύπτουν από τις παραπάνω μετατροπές είναι ισοδύναμα,

στηρίζεται στις ιδιότητες της ισότητας και των πράξεων που είδαμε στο πρώτο κεφάλαιο: «αν

γ 0≠ τότε α=β α γ β γ⇔ ⋅ = ⋅ », και «αν α=β και γ=δ τότε α+γ=β+δ».

Page 4: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 3 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

3

1 2 3 4 1 2 -2 -1

3 2 1

-1

-2

B(4,0)

A(0,2)

Γ(0,-1)

Μ(-2,3)

∆(-1/2,0)

0

1. Να λυθεί το σύστηµα:

2 4 (1)

( ) :2 1 (2)

x y

x y

+ =Σ

+ =

Λύση

1) Μέθοδος αντικατάστασης.

2 4 4 2x y x y+ = ⇔ = − οπότε η (2) γράφεται

2 1 2(4 2 ) 1 8 4 1 3 1 8 3 9 3 9

93.

3

x y y y y y y y y

y y

+ = − ⇔ − + = − ⇔ − + = − ⇔ − = − − ⇔ − = − ⇔ = ⇔

= ⇔ =

Αντικαθιστώ την τιμή του y στην x 4 2y= − και έχω: x 4 2 3 x 4 6 x 2.= − ⋅ ⇔ = − ⇔ = −

Άρα η λύση του συστήματος είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3).

2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών.

2 4 2 2 4 8(+ )

2 1 1 2 1

x y x y

x y x y

+ = − − − = −⇔

+ = − + = −

3y 9 3y 9 y 3.− = − ⇔ = ⇔ = Αντικαθιστώ την τιμή του y σε μία από τις δύο πρώτες εξισώσεις

του συστήματος και έχουμε: x 2 3 4 x 4 6 x 2.+ ⋅ = ⇔ = − ⇔ = − Άρα η λύση του συστήματος

είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3).

3) Γραφική επίλυση του συστήματος.

Σχεδιάζουμε τις ευθείες που

παριστάνουν οι εξισώσεις του

συστήματος.

i. X+2y=4. Άρα για x=0 τότε

0+2y=4⇔ 2y=4⇔ y=2 άρα σημείο το

Α(0,2).

Για y=0 τότε x=4 άρα σημείο το Β(4,0).

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης

x+2y=4 είναι η ευθεία ΑΒ.

ii. 2x+y=-1. Άρα για x=0 τότε y=-1, το

σημείο είναι Γ(0,-1).

Για y=0 είναι 1

x2

= − άρα το σημείο

είναι Δ(-1/2,0).

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης

2x+y=-1 είναι η ευθεία ΓΔ.

Page 5: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 4 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

4

Οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο Μ. Οι συντεταγμένες του Μ είναι x=-2 και y=3. Άρα η λύση

του συστήματος είναι το ζεύγος (x,y)=(-2,3).

2. Να λυθεί το σύστημα (Σ):3 3 (1)

2 6 5 (2)

x y

x y

+ =

+ =−

Λύση

1) Μέθοδος αντικατάστασης.

x 3y 3 x 3 3y+ = ⇔ = − . Οπότε η (2) γράφεται:

2(3 3y) 6y 5 6 6y 6y 5 6 5− + = − ⇔ − + = − ⇔ = − δεν ισχύει οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη.

2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών.

+ = − − − = −⇔

+ = − + = −(+) (απαλοιφή του x)

x 3y 3 2 2x 6y 6

2x 6y 5 1 2x 6y 5

0x+0y=-11⇔ 0=-11 δεν ισχύει άρα το σύστημα είναι αδύνατο.(Δηλαδή δεν

υπάρχουν x, y που να επαληθεύουν το σύστημα).

3) Γραφική επίλυση του συστήματος.

Σχεδιάζουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος.

i. X+3y=3. Άρα για x=0 τότε

0 3y 3 3y 3 y 1+ = ⇔ = ⇔ = άρα

σημείο το Α(0,1).

Για y=0 τότε x 3= άρα σημείο το Β(3,0).

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης

x+3y=3 είναι η ευθεία ΑΒ.

ii. 2x+6y=-5. Άρα για x=0 τότε

56y 5 y

6= − ⇔ = − άρα το σημείο

είναι το Γ(0,-5/6).

Για y=0 τότε 5

2x 5 x2

= − ⇔ = − άρα

το σημείο είναι το Δ(-5/2,0).

Η γραφική παράσταση της εξίσωσης 2x+6y=-5 είναι η ευθεία ΓΔ.

Παρατηρούμε ότι οι ευθείες είναι παράλληλες γιατί αν τις λύσουμε ως προς y έχουμε

13 3 1

3y x y x= − ⇔ = − +

Page 6: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 5 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

5

2 5 1 56 5 2

6 6 3 6y x y x y x= − − ⇔ = − − ⇔ = − − .

Έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης το -1/3. Επειδή όμως δεν υπάρχει κοινό σημείο, δεν

υπάρχει λύση του συστήματος.

3. Να λυθεί το σύστημα (Σ):2 2 (1)

2 4 -4 (2)

x y

x y

+ = −

+ =

Λύση

1) Μέθοδος αντικατάστασης.

2 2 2 2x y x y+ = − ⇔ = − − . Άρα η (2) γράφεται

2( 2 2 ) 4 4 4 4 4 4 4 4y y y y− − + = − ⇔ − − + = − ⇔ − = − . Ισχύει για κάθε x, y∈ ℝ . Άρα το σύστημα

έχει άπειρες λύσεις (Α.Λ.).

Έστω x=κ, τότε 2 κ

κ 2y 2 2y 2 κ y2

− −+ = − ⇔ = − − ⇔ = οπότε οι Α.Λ. είναι της μορφής

2 κ(χ, y) (κ, )

2

− −= με κ∈ ℝ .

2) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών.

2 2 2 2 4 4 (+) (απαλοιφή του x)

2 4 4 1 2 4 4

x y x y

x y x y

+ = − − − − =⇔

+ = − + = −

0x+0y=0⇔ 0=0. Ισχύει για κάθε x, y∈ ℝ . Άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις

της μορφής 2

( , ) ( , )2

χ κ− −

= με κ∈ ℝ , τις οποίες υπολογίζουμε όπως στα προηγούμενα.

3) Γραφική επίλυση του συστήματος.

Σχεδιάζουμε τις ευθείες που παριστάνουν οι εξισώσεις του συστήματος.

i. x+2y=-2. Για x=0 τότε y=-1 άρα το σημείο είναι το Α(0,-1).

Για y=0 τότε το x=-2 άρα το σημείο είναι το Β(-2,0).

Η γραφική παράσταση της ευθείας x+2y=-2 είναι η ευθεία ΑΒ.

ii.2x+4y=-4. Για x=0 τότε y=-1 άρα το σημείο είναι το Γ(0, -1).

Για y=0 τότε x=-2 άρα το σημείο είναι το Δ(-2, 0).

Παρατηρούμε ότι τα σημεία Α και Γ συμπίπτουν, όπως και τα Β και Δ. Άρα οι ευθείες ΑΒ και

ΓΔ ταυτίζονται και αυτό σημαίνει ότι παριστάνουν την ίδια ευθεία. Επομένως, κάθε σημείο

της ευθείας αυτής ορίζει και μία λύση του συστήματος, που είναι της μορφής 2

( , )2

κκ

− −

όπου κ ∈ℝ .

Page 7: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 6 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

6

4. Να λυθεί το σύστημα (Σ):5 3

12 3 2

x y x y

x y x y y

+ − =

+ − − = +

Λύση

Η πρώτη εξίσωση του (Σ) γράφεται

15 15 3( ) 5( ) 3 3 5 55 3 5 3

3 5 3 5 0 2 8 0 4 0 4 0

x y x y x y x yx y x y x y x y

x x y y x y x y x y

+ − + −= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ + = − ⇔

− + + = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − =

Η δεύτερη εξίσωση του (Σ) γράφεται

1 6 6 6 6 1 3( ) 2( ) 3 62 3 2 2 3 2

3 3 2 2 3 6 3 3 2 2 3 6 0 2 6

x y x y y x y x y yx y x y y

x y x y y x y x y y x y

+ − + −− = + ⇔ − = + ⋅ ⇔ + − − = + ⇔

+ − + = + ⇔ + − + − − = ⇔ + =

Άρα (Σ)4 0

2 6

x y

x y

− =⇔

+ = και το λύνουμε κατά τα γνωστά.

( )4 04 0 1

+2 62 6 1

x yx y

x yx y

− =− =⇔

− − = −+ = −(απαλοιφή του x)

6 6 1y y− = − ⇔ = άρα 4 0 4 0 4x y x x− = ⇔ − = ⇔ = οπότε η λύση του (Σ)

είναι (x, y) = (4, 1).

5. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(3,2) και Β(4,5).

Λύση

Η εξίσωση της ευθείας θα έχει τη μορφή y=αx+β (1). Αφού η ευθεία με εξίσωση την (1) διέρχεται

από τα σημεία Α, Β οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την (1) άρα

2 3 3 2α β α β= ⋅ + ⇔ + = και 5 4 4 5α β α β= + ⇔ + = .

Λύνουμε με τον γνωστό τρόπο το σύστημα 3 2

4 5

α βα β

+ =

+ = οπότε έχουμε

3α β 2 1 3α β 2

4α β 5 1 4α β 5

+ = + =⇔

+ = − − − = − (+) (απαλοιφή του β)

-α=-3⇔ α=3 άρα 3 2 3 3 2 2 9 7α β β β β+ = ⇔ ⋅ + = ⇔ = − ⇔ = − .

Οπότε αφού υπολογίσαμε τα α, β μπορούμε να προσδιορίσουμε την ζητούμενη ευθεία (1) για

την οποία θα έχουμε: y=3x-7.

Page 8: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 7 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

7

3) Λύση συστήματος με τη μέθοδο των οριζουσών.

Έστω το σύστημα x y

΄x ΄y ΄

α β γα β γ

+ =

+ =.

α β

α΄ β΄D ΄ ΄αβ α β= = − λέγεται ορίζουσα του

συστήματος.

γ β

γ΄ β΄xD ΄ ΄γβ γ β= = − , είναι η ορίζουσα που προκύπτει από την D αν στη θέση των

συντελεστών του x θέσουμε τους σταθερούς όρους.

α γ

α΄ γ΄yD ΄ ΄αγ α γ= = − , είναι η ορίζουσα που προκύπτει από τη D αν στη θέση των

συντελεστών του y θέσουμε τους σταθερούς όρους.

i. Αν D 0≠ τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την , yxDD

x yD D

= = .

ii. Αν D=0 και 0 ή 0x yD D≠ ≠ , τότε το σύστημα είναι αδύνατο.

iii. Αν 0x yD D D= = = τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, εκτός αν α=α΄=β=β΄=0 και

ή γ 0 γ΄ 0≠ ≠ οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.

Κάθε σύστημα της μορφής 0

0

x y

΄x ΄y

α βα β

+ =

+ = ονομάζεται ομογενές και δεν είναι ποτέ

αδύνατο. Έχει λύση πάντα τη μηδενική (x, y)=(0, 0) και εξετάζουμε αν έχει και άλλες λύσεις

εκτός από τη μηδενική.

i. Αν D 0≠ το σύστημα έχει μοναδική λύση την μηδενική.

ii. Αν D=0 το σύστημα έχει άπειρες λύσεις στις οποίες ανήκει και η μηδενική.

1. Να λυθεί με τη μέθοδο των οριζουσών το σύστημα (Σ):2 25 5

3 12

y

x y

χ − =

+ =.

Λύση

2 25 5 2 5 25

3 12 3 12

x y x y

x y x y

− = − = ⇔

+ = + =

Βρίσκουμε την D

2 -52 3( 5) 2 15 17 0

3 1D = = − − = + = ≠ οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση.

Page 9: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 8 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

8

Βρίσκουμε τις Dx και Dy

25 -525 12( 5) 25 60 85

12 1xD = = − − = + =

2 2524 75 51

3 12yD = = − = −

Οπότε η μοναδική λύση του συστήματος είναι 85 51

5, 317 17

yxDD

x yD D

= = = = = − = − .

2. Να λυθεί με τη μέθοδο των οριζουσών το σύστημα (Σ):( 1) 2 2

( 1) 3( 2)

x y

x y

λ λλ λ λ− + = −

− + = −

.

Λύση

Βρίσκουμε την λ-1 2

( 1) 2( 1) ( 1)( 2)λ-1 λ

D λ λ λ λ λ= = − − − = − − . Μετά βρίσκουμε την

λ-2 2( 2) 6( 2) ( 2)( 6)

3(λ-2) λxD λ λ λ λ λ= = − − − = − − και την

λ-1 λ-2( 1) 3( 2) ( 1)( 2) ( 2)[3( 1) ( 1)] 2( 2)( 1)

λ-1 3(λ-2)yD λ λ λ λ λ λ λ λ λ= = − ⋅ − − − − = − − − − = − − .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις\

1. 0 ( 1)( 2) 0 1 0 και - 2 0 1 2D λ λ λ λ λ και λ≠ ⇔ − − ≠ ⇔ − ≠ ≠ ⇔ ≠ ≠ . Τότε το σύστημα έχει

Μοναδική Λύση (Μ.Λ.) την ( 2)( 6) 6

( 1)( 2) 1xD

D

λ λ λχ

λ λ λ− − −

= = =− − −

, 2( 2)( 1)

2( 1)( 2)

yDy

D

λ λλ λ

− −= = =

− −.

2. D=0 ( 1)( 2) 0 1 0 ή 2 0 1 ή 2λ λ λ λ λ λ⇔ − − = ⇔ − = − = ⇔ = = .

i. Για λ=1 έχω (1 2)(1 6) ( 1)( 5) 5 0xD = − − = − − = ≠ οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.

Page 10: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 9 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

9

ii. Για λ=2 έχω 0 και 0x yD D= = . Επειδή ένας τουλάχιστον συντελεστής των αγνώστων είναι

διάφορος του μηδενός (π.χ. του y στην πρώτη εξίσωση), το σύστημα έχει άπειρες λύσεις

δηλαδή είναι αόριστο. Θα βρούμε λοιπόν τις λύσεις του.

Για λ=2 το αρχικό σύστημα γίνεται:

(2 1) 2 0 2 02 0

(2 1) 2 3(2 2) 2 0

x y x yx y

x y x y

− + = + = ⇔ ⇔ + =

− + = − + = . Θέτω x= κ οπότε

2 22

y x y yκ

κ= − ⇔ = − ⇔ = − άρα οι άπειρες λύσεις του συστήματος είναι της μορφής

( , ) ( , )2

x yκ

κ= − με κ ∈ℝ .

3. Να λυθεί το σύστημα (Σ):

2 2

2

x y

x y

λ λλ λ λ

− =

− =.

Λύση

Βρίσκουμε την 2

2 3 2 2λ -λ( ) ( 1)

λ -λD λ λ λ λ λ λ λ λ= = − ⋅ − − = − + = − −

Μετά την 22 -λ2 2 ( ) 2 2 2 ( 1)

2λ -λxD λ λ λ λ λ λ λ= = − − − = − + = −

23 2λ 2

2 2 2 ( 1) 2 ( 1)( 1)λ 2λ

yD λ λ λ λ λ λ λ= = − = − = − + .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις

1. 2 20 ( 1) 0 0 και λ-1 0 λ 0 και 1D λ λ λ λ≠ ⇔ − − ≠ ⇔ − ≠ ≠ ⇔ ≠ ≠ . Τότε το σύστημα έχει Μ.Λ.

την 2

2 ( 1) 2

( 1)xD

xD

λ λλ λ λ

−= = = −

− −,

2

2 ( 1)( 1) 2( 1)

( 1)yD

yD

λ λ λ λλ λ λ− + +

= = = −− −

.

2. 2 20 ( 1) 0 0 ή 1 0 0 ή 1D λ λ λ λ λ λ= ⇔ − − = ⇔ − = − = ⇔ = = .

i. Για λ=0 έχω 2 0(0 1) 0, 2 0(0 1)(0 1) 0x yD D= ⋅ − = = ⋅ − + = . Οπότε το αρχικό σύστημα

παίρνει τη μορφή: 0 0 2

0 0 0

x y

x y

− =

− = που είναι αδύνατο γιατί οι συντελεστές των αγνώστων

Page 11: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 10 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

10

είναι μηδέν ενώ ένας σταθερός όρος είναι διάφορος του μηδενός (η πρώτη εξίσωση

δίνει 0=2).

ii. Για λ=1 έχω D 2 1(1 1) 0 και 2 1(1 1)(1 1) 0x yD D= ⋅ − = = ⋅ − + = . Δηλαδή είναι πάλι D=0,

0x yD D= = . Αλλά τώρα για λ=1 το αρχικό σύστημα παίρνει τη μορφή: x y 2

x y 2

− =

− = που

είναι αόριστο γιατί υπάρχει μη μηδενικός συντελεστής των x, y στις εξισώσεις του

συστήματος. Θα βρούμε λοιπόν τις λύσεις του.

22

2

x yx y

x y

− =⇔ − =

− =. Θέτω x= κ οπότε 2 2 2y x y yκ κ− = − ⇔ − = − ⇔ = − άρα οι

άπειρες λύσεις του συστήματος είναι της μορφής (x, y)= (κ, κ-2) με κ ∈ℝ .

4. Να λυθεί το σύστημα (Σ): ( 1) 0

2 8 0

x y

x y

λ λλ+ + =

+ =

Λύση

Το σύστημα έχει φανερά τη μηδενική λύση (0, 0). Θε εξετάσουμε τώρα αν έχει και άλλες λύσεις

μη μηδενικές.

Βρίσκουμε την

λ λ+18 2 ( 1) 2 (4 ( 1)) 2 (4 1) 2 ( 3) 2 ( 3)

2λ 8D λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ= = − + = − + = − − = − + = − − .

0 λ+18 0 0( 1) 0

0 8xD λ= = ⋅ − + = , λ 0

0 2 0 02λ 0yD λ λ= = ⋅ − ⋅ = .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις

1. 0 2 ( 3) 0 2 0 και 3 0 0 και 3D λ λ λ λ λ λ≠ ⇔ − − ≠ ⇔ − ≠ − ≠ ⇔ ≠ ≠ , τότε το σύστημα έχει

Μ.Λ. την 0 0

0, 02 ( 3) 2 ( 3)

yxDD

yD D

χλ λ λ λ

= = = = = =− − − −

.

2. 0 2 ( 3) 0 2 0 ή 3 0 0 ή 3D λ λ λ λ λ λ= ⇔ − − = ⇔ − = − = ⇔ = = .

i. Για λ=0 το σύστημα γίνεται 0 0 0

0 8 0

y y

x y x

χ + = = ⇔

+ = ∈ ℝ οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις

της μορφής (x, 0) όπου x οποιοσδήποτε αριθμός.

Page 12: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 11 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

11

ii. Για λ=3 το σύστημα γίνεται

3 4 0 3 4 0 3 4 03 4 0

6 8 0 2(3 4 ) 0 3 4 0

x y x y x yx y

x y x y x y

+ = + = + = ⇔ ⇔ ⇔ + =

+ = + = + = . Έστω y= κ τότε

43x 4κ χ κ

3= − ⇔ = − , άρα το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της μορφής κ

4( κ,κ)

3− ∈ℝ .

5. Να λυθεί το σύστημα (Σ): ( 1) 4

( ) 2

y x

y x

µ χµ χ µ

− + =

+ = +

Λύση

(Σ) 2 2

4 ( 1) 4

2 ( 1) 2

y x y

y x y

µχ µ µ χ µ

µχ µ µ χ µ

− + = − + = ⇔ ⇔

+ = + − + = . Βρίσκουμε την D.

2 2

2

µ-1 4( 1) 4( 1) ( 1)( 4) ( 1)( 2)( 2)

µ-1 µD µ µ µ µ µ µ µ µ= = − − − = − − = − − + .

3 2

2

µ 48 ( 2)( 2 4)

2 µxD µ µ µ µ= = − = − + +

µ-1 µ2( 1) ( 1) ( 1)(2 ) ( 1)( 2)

µ-1 2yD µ µ µ µ µ µ µ= = − − − = − − = − − − .

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις

1. ( ) ( )( )0 1 2 2 0 1 0 και 2 0 και µ+2 0D µ µ µ µ µ≠ ⇔ − − + ≠ ⇔ − ≠ − ≠ ≠ ⇔

µ 1 και 2 και 2µ µ≠ ≠ ≠ −

Τότε το σύστημα έχει Μ.Λ. την ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 22 ( 2 4) 2 4

1 2 2 1 2xD

D

µ µ µ µ µχ χ

µ µ µ µ µ− + + + +

= = ⇔ =− − + − +

,

( ) ( )( )( ) ( )

1 2 1

1 2 2 2yD

yD

µ µµ µ µ µ− − −

= = = −− − + +

.

2. ( )( )( )0 1 2 2 0 1 0 ή 2 0 ή 2 0D µ µ µ µ µ µ= ⇔ − − + = ⇔ − = − = + = ⇔

1 ή 2 ή 2µ µ µ= = = − .

Page 13: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 12 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

12

i. Για μ=1 έχω ( )( ) ( ) ( )21 2 1 2 1 4 1 7 7 0xD = − + ⋅ + = − = − ≠ το σύστημα (Σ) είναι αδύνατο.

ii. Για μ=2 έχω 0, 0x yD D= = και επειδή ο συντελεστής του y στην πρώτη εξίσωση είναι

διαφορετικός από το μηδέν το σύστημα έχει άπειρες λύσεις τις οποίες θα προσδιορίσουμε.

Για μ=2 το σύστημα γίνεται 4 2

4 24 2

x yx y

x y

+ =⇔ + =

+ =. Αν y= κ τότε

2 4 2 4x y x κ= − ⇔ = − και επομένως οι άπειρες λύσεις έχουν τη μορφή (x, y)= (2- 4κ, κ)

με κ ∈ℝ .

iii. Για μ=-2 έχω ( ) ( ) ( )( ) ( )( )22 2 2 2 2 4 4 4 4 4 16 0xD = − − − + − + = − + − = − ≠ το σύστημα

είναι αδύνατο.

6. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει 3

x y

x y

D D D

D D D

+ =

− =

Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί αυτή.

Λύση

Αφού το σύστημα έχει μοναδική λύση ισχύει D 0≠ οπότε έχουμε:

( )3 +

x y

x y

D D D

D D D

+ =

− =

42 4 2

2x x x

DD D D D D= ⇔ = ⇔ = . Άρα 2 2y y yD D D D D D D D+ = ⇔ = − ⇔ = − . Η μοναδική

λύση του συστήματος είναι η 2

2xD Dx

D D= = = και 1yD D

yD D

−= = = − . Οπότε (x, y)= (2, -1).

7. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει 2 2 2 και D 0x y x yD D D D+ = ≠ . Αν x+y= 6 να βρεθούν τα x, y.

Λύση

Ισχύει 2 2 2x y x yD D D D+ = (1) και D 0≠ οπότε διαιρώ και τα δύο μέλη της (1) με 2D και έχω:

yx

222 2 2 22 2 Aφού D 0 τότε

2 2 2 2 DDχ= και y=

D D

22 2 x y x y y y y yx x x x

D D D D D D D DD D D D

D D D D D D D D D D

≠ + = ⇔ + = ⋅ ⇔ + = ⋅ ⇔

( )22 2 2 22 2 0 0 0x y xy x y xy x y x y x y+ = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = .

Page 14: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 13 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

13

Άρα έχω ( )x y 6x y 6

x y 0x y

+ =+ = ⇔ − ==

+

2χ 6 χ 3= ⇔ = . Άρα 3 y 6 y 3+ = ⇔ = οπότε (x, y)= (3, 3).

8. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει:

2 2 2 4 2 5x y xD D D D D+ + = + − . Να δείξετε ότι:

i. ( ) ( )2 2 22 1 0x yD D D− + − + =

ii. Να βρεθούν τα x, y.

Λύση

i. ( ) ( )2 2 2 2 2 22 1 4 4 1 2x y x x yD D D D D D D D− + − + = − + + + − +

2 2 2 2 4 5x y xD D D D D= + + − − + = 4 2 5 2 4 5 0xD D D Dχ+ − − − + = .

ii. Από την i. έχω: ( ) ( )2 2 22 1 0 2 0 και 1 0 και 0x y x yD D D D D D− + − + = ⇔ − = − = = ⇔

2 και 1 και 0x yD D D= = = .

Επειδή D 2 0= ≠ το σύστημα έχει λύση την

yxDD 1 0

x y 0D 2 D 2

= = = = = και .

9. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε τα συστήματα 1 2, Σ Σ να είναι συγχρόνως

αδύνατα.

( )1

1 2:

0

y

y

α χ β

αχ

− − =Σ

+ = και 2

3 1:

2

x y

x yα+ =

Σ − + =

Λύση

Δουλεύουμε στο 1Σ και έχουμε:

( )α-1 -β

1 1 α 1

D α α β α αβ= = − − − = − +

( )2 -β

2 0 20 1xD β= = − − =

Page 15: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 14 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

14

α-1 20 2 2

α 0yD α α= = − = − Οπότε για να είναι το 1Σ αδύνατο θα πρέπει D= 0 και

ή x yD D 0≠ άρα α-1+αβ=0 και xD 2 0= ≠ δηλαδή

α-1+αβ=0 (1).

Δουλεύουμε στο 2Σ και έχουμε:

( ) 1 3

1 3 3-1 α

D α α= = − − = +

1 36

2 axD α= = −

( ) 1 1

2 1 1 2 1 3-1 2yD = = − − = + = Οπότε για να είναι το σύστημα αδύνατο θα πρέπει D= 0 και

ή x yD D 0≠ άρα α+ 3= 0 και yD 3 0= ≠ δηλαδή α+

3= 0 (2).

Λύνω το σύστημα

( ) 43 3 1 01 0 3 4 0 3 4

33 0 3 33 3

βα αβ β β βα α αα α

− + − − =+ − = − − = − = = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ = = − = −= − = −

10. Δίνονται τα συστήματα ( )

1

1 1:

1

y

x y

α χ β+ − =Σ

+ = − και

( )( )

2

2 3

2 1:

1

y

y

χ β α

χ α β

+ + = +Σ − − =

.

Να δείξετε ότι εάν το πρώτο έχει άπειρες λύσεις τότε το δεύτερο είναι αδύνατο.

Λύση

Δουλεύουμε στο σύστημα 1Σ και έχουμε:

( )α+1 -β

1 1 1 1 1

D α β α β= = + − − = + +

( ) ( ) 1 -β

1 1 1-1 1xD β β= = − − − = −

Page 16: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 15 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

15

( )α+1 1

1 1 1 1 2 1 -1yD α α α= = − + − = − − − = − − Αφού το 1Σ έχει άπειρες λύσεις τότε το D= 0

και x yD D 0= = οπότε α+ β+ 1=0, 1- β= 0,

-α -2= 0.

Άρα: 1 0 1 1β β β− + = ⇔ − = − ⇔ =

2 0 2 2α α α− − = ⇔ − = ⇔ = −

2 1 1 0− + + = .

Για τις τιμές β= 1, α= -2 που το 1Σ έχει άπειρες λύσεις το 2Σ γράφεται:

( )2

3 53 5 3 5 1: +

3 13 1 3 1 1

x yy x y

x yx y x y

χ + =+ = + = Σ ⇔ ⇔ − − = −+ = + = −

0 0 4 0 4x y+ = ⇔ = άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΩΝ ΑΓΝΩΣΤΩΝ.

1. Να λυθεί το σύστημα ( )2 2

2 2

3 2:

8 3 17

y

x y

χ − =Σ

− =

Λύση

Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι = =2 2x κ, y λ οπότε το σύστημα γίνεται:

( ) ( )3 2 8 24 8 16

+8 3 17 3 24 9 51

κ λ κ λκ λ κ λ− = − =

Σ ⇔ ⇔− = − − + = −

35λ = − . Αντικαθιστώ την τιμή του λ στην

( )3 2 3 35 2 3 35 2 3 33 11κ λ κ κ κ κ− = ⇔ − − = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − .

Επομένως έχουμε = −2x 11 (αδύνατη) και = −2y 35 (αδύνατη). Άρα το σύστημα (Σ) είναι

αδύνατο.

2. Να λυθεί το σύστημα ( )

3 51

2 3:

2 15

2 3

y

x y

χ + = − +

Σ − = − +

Λύση

Page 17: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 16 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

16

Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι 1 1

, 2 3x y

κ λ= =− +

. Θα πρέπει

≠ ≠ −χ 2 και y 3 . Οπότε το σύστημα (Σ) γίνεται:

( ) ( )3 5 1 1 3 5 1

+ 2 5 5 10 5 25

κ λ κ λκ λ κ λ+ = + =

Σ ⇔ ⇔− = − =

13 26 2κ κ= ⇔ = οπότε αντικαθιστώ την τιμή του κ στην

2 5 4 5 5 4 1 1κ λ λ λ λ λ− = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − = ⇔ = − .

Επομένως 1 1 1

2 2 2 2,52 2 2

χ χχ

= ⇔ − = ⇔ = + =−

άρα =χ 2,5 .

11 3 1 4

3y y

y= − ⇔ + = − ⇔ = −

+.

Οπότε το (Σ) έχει λύση την ( ) ( )=x,y 2,5 , -4 .

3. Να λυθεί το σύστημα ( )4 2 11

:6 5 15,5

y

x y

χ − =Σ

− =

Λύση

Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι = =x κ, y λ οπότε το σύστημα γίνεται:

( ) ( )4 2 11 3 12 6 33

+6 5 15,5 2 12 10 31

κ λ κ λκ λ κ λ− = − =

Σ ⇔ ⇔ − = − − + = −

1

4 22

λ λ= ⇔ = . Αντικαθιστούμε την τιμή του λ στην

− =4κ 2λ 11 και έχουμε: 1

4 2 11 4 12 32

κ κ κ− = ⇔ = ⇔ = άρα 3 3 ή 3χ χ χ= ⇔ = = −

1 1 1 ή

2 2 2y y y= ⇔ = = − οπότε το σύστημα (Σ) έχει τις ακόλουθες λύσεις

1 13, , 3,-

2 2

,

1 13, , 3, .

2 2 − − −

Page 18: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 17 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

17

4. Να λυθεί το σύστημα ( )2 3 5

:3 5 7

x y

x y

+ =Σ

+ =

Λύση

Θέτω και x yκ λ= = με χ, y 0≥ και έχω: 2κ+3λ=5 και 3κ+5λ=7.

Λύνω το σύστημα ( ) ( )2 3 5 3 6 9 15

+3 5 7 2 6 10 14

κ λ κ λκ λ κ λ+ = − − − = −

Σ ⇔ ⇔+ = + =

1λ = −

Οπότε για λ=-1 έχω: 2 3 5 2 3( 1) 5 2 3 5 2 8 4κ λ κ κ κ κ+ = ⇔ + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = .

Οπότε 4 16 και 1yχ χ= ⇔ = = − (αδύνατη) άρα το σύστημα είναι αδύνατο.

ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ΕΝΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΥΟ

ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ.

2 2

2 4 8

x y

y

λ λλχ λ

+ = −

+ = −

Βρίσκουμε τις ορίζουσες D, Dx, Dy οπότε:

( )( )22 4 2 2

2D

λλ λ λ

λ= = − = − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2( 2) 4 8 2 2 4 2 2 2 4

4 8 2

2 2 1 2

λ λλ λ λ λ λ λ λ λ

λ

λ λ

−= = − − − = − − − = − − =

= − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2

2 4 8 2 2 4 2 2 2 8 4 8yDλ

λ λ λ λ λ λ λ λλ λ

−= = − − − = ⋅ − − − = − −

Βρίσκουμε τις τιμές του λ για τις οποίες

( )( )0 2 2 0 2 0 ή 2 0 2 ή 2 2 ή 2D λ λ λ λ λ λ λ λ= ⇔ − + = ⇔ − = + = ⇔ − = − = − ⇔ = = −

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις

Page 19: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 18 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

18

1. Αν 2 κ α ι 2λ λ≠ ≠ − τότε 0D ≠ άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την:

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2

2 2 2 2 2xD

xD

λ λ λ λ λλ λ λ λ λ

− − − − − − −= = = =

− + − + +

( )( )( )( )

( )( )( )( )

D λ 2 8 λ 2 λ 8 λ 8 λyy

D 2 λ 2 λ 2 λ 2 λ 2 λ

− − − − − −= = = = −

− + − + +

2. Αν λ=2 το σύστημα γράφεται 2 2 0

2 2 02 2 0

yx y

x y

χ + =⇔ + =

+ =έχει άπειρες λύσεις.

Έστω x=κ τότε 2 2 0 2 2y y yκ κ κ+ = ⇔ = − ⇔ = − άρα το σύστημα έχει

άπειρες λύσεις της μορφής (x, y) = (κ, -κ) με ∈ℝκ .

3. Αν λ=-2 το σύστημα γράφεται ( )2 2 4

+2 2 1 6

x y

x y

− = −− + = −

0 0 20 0 20x y+ = − ⇔ = − δεν ισχύει άρα το σύστημα

είναι αδύνατο.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΔΥΟ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ

1. Να λυθεί το σύστημα:

2 22 6

3

y

x y

χ + =

− =

Λύση

( )22 2 2 2 2 222 6 2 6 9 6 2 63 2 6

3 3 33

x y x y y y yy y

x y x y x yx y

+ = + = + + + =+ + =⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− = = + = += +

( ) ( )222 23 2 1 03 6 3 0 2 1 0 1 0

3 3 33

y yy y y y y

x y x y x yx y

+ + = + + = + + = + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= + = + = += +

Page 20: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 19 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

19

1 0 1 1

3 1 3 2

y y y

x y x x

+ = = − = − ⇔ ⇔

= + = − + = άρα το σύστημα έχει λύση την ( ) ( ), 2, 1x y = − .

2. Να λυθεί το σύστημα:

2 2 5

2

x y

xy

+ =

=

Λύση

( ) ( ) ( )2 2 22 2 5 2 5 4 5 9 9

2 22 2 2

x y x y xy x y x y x y

xy xyxy xy xy

+ = + − = + − = + = + = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= == = =

Και 3 39

και 2 22

x y yx y

xy yxy

χχ

+ = + = − + = −⇔

= ==

Λύση του 3

2

x y

xy

+ =

= κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης 2 3 2 0κ κ− + = ⇔

1 ή 2κ κ= = . Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι: ( ) ( )1 και 2 ή 2 και y=1x y χ= = = .

Λύση του 3

2

x y

xy

+ = −

= κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης ( )2 3 2 0ω ω− − + = ⇔

2 3 2 0 1 ή 2ω ω ω ω+ + = ⇔ = − = − . Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι ( )1 και 2yχ = − = − και

( )2 και 1x y= − = − .

Άρα οι λύσεις του 2 2 5

2

x y

xy

+ =

= είναι (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1).

3. Να λυθεί το σύστημα: ( )2 2 2 2

6

x y xy

x y

+ = +

+ =

Λύση

Page 21: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 20 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

20

Το σύστημα γράφεται ( )22 2 2 4 2 2 4

6 6

x y xy x y xy xy

x y x y

+ = + + − = +⇔ ⇔

+ = + =

36 2 2 4 4 4 36 4 32 4 32 8

6 6 6 6 6

xy xy xy xy xy xy

x y x y x y x y x y

− = + − = − − = − = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ = + = + = + = + =

κατά τα γνωστά οι x, y είναι ρίζες της εξίσωσης 2 6 8 0 4 ή 2ϕ ϕ ϕ ϕ− + = ⇔ = = . Άρα οι λύσεις

του συστήματος είναι ( ) ( )4 και 2 ή 2 και 4y yχ χ= = = = .

4. Να λυθεί το σύστημα

2

2

2 5 0

4 3

xy y y

y x x

− − =

= − +

Λύση

( )( )

2

2 22 2

2 5 0 0 ή 2 5 0 02 5 0 1

4 3 4 34 3 4 3

y x y y x y yxy y y

y x x y x xy x x y x x

− − = = − − = = − − = ⇔ ⇔ ⇔

= − + = − += − + = − +

( )2

2 5 0ή 2

4 3

x y

y x x

− − =

= − +

Λύση του πρώτου συστήματος

( ) ( )( ) ( )2 2

, 1, 00 0

1 ή 34 3 4 3 0 , 3, 0

yy y o y

xy x x x x x y

χ

χ

== = = ⇔ ⇔ ⇔

= == − + − + = =

Λύση του δεύτερου συστήματος

2 2 2 2

2 5 0 2 5 2 5 2 5

4 3 2 5 4 3 4 3 2 5 0 6 8 0

x y y x y x y x

y x x x x x x x x x x

− − = = − = − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

= − + − = − + − + − + = − + =

2 5 1 και 3

2 ή 4 2 και 4

y x y y

x xχ χ= − = − =

⇔ = = = =

άρα οι λύσεις του δεύτερου συστήματος είναι

( ) ( ), 2, 1yχ = − και ( ) ( ), 4, 3x y = − .

Επομένως το δεύτερο σύστημα έχει τέσσερις λύσεις τις (1, 0), (3, 0), (2, -1) και (4, -3).

Page 22: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 21 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

21

5. Να λυθεί το σύστημα:

2 2 29

7

x y

x y

+ =

+ = (1)

Λύση

( )22 2 49 2 29 2 20 2 2029 2 29

7 7 77 7

xy xy xyx y x y xy

x y x y x yx y x y

− = − = − = + = + − =⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ = + = + =+ = + =

=

+ =

xy 1 0

x y 7κατά τα γνωστά οι x, y, είναι ρίζες της εξίσωσης 2 7 10 0 2 ή 5.ω ω ω ω− + = ⇔ = =

Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι (x=2 και y=5) ή (x=5 και y=2). Δηλαδή (x, y)=(2, 5) και (x,

y)=(5,2).

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΟΥΣ ΑΠΟ ΔΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ.

Ονομάζουμε γραμμική εξίσωση με τρεις αγνώστους κάθε εξίσωση της μορφής αx+ βy+ γz= δ.

Ονομάζουμε σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους κάθε έκφραση της

μορφής ( )1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

:

y

y

y

α χ β γ ω δ

α χ β γ ω δ

α χ β γ ω δ

+ + =

Σ + + = + + =

.

Ένα σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζεται κλιμακωτό

όταν είναι ισοδύναμο με ένα σύστημα της μορφής:

1 1 1 1

2 2 2

3 3

y

y

κ χ λ µ ω ν

λ µ ω ν

µ ω ν

+ + =

+ = =

Λύση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζουμε

κάθε διατεταγμένη τριάδα ( )0 0 0χ , y ,ω που επαληθεύει τις εξισώσεις του.

Επίλυση ενός συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους ονομάζουμε

την εύρεση όλων των λύσεών του.

Η λύση ενός κλιμακωτού συστήματος τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους

επιτυγχάνεται ως εξής:

Page 23: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 22 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

22

i. Από την τρίτη εξίσωση υπολογίζουμε το ω.

ii. Αντικαθιστώντας την τιμή του ω που βρήκαμε στην δεύτερη εξίσωση

προσδιορίζουμε το y.

iii. Αντικαθιστώντας τις τιμές ω, y που βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση προσδιορίζουμε

το x.

Για να λύσουμε ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους θα το

μετασχηματίσουμε πρώτα σε ένα ισοδύναμο κλιμακωτό σύστημα. Αρχικά, απαλείφουμε

τον ίδιο άγνωστο μεταξύ πρώτης και δεύτερης εξίσωσης και μεταξύ πρώτης και τρίτης

εξίσωσης. Στη συνέχεια, λύνουμε κατά τα γνωστά το σύστημα των δύο εξισώσεων με τους

ίδιους αγνώστους και αντικαθιστώντας στην εξίσωση με τους τρεις αγνώστους

προσδιορίζουμε και τον τρίτο άγνωστο.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λυθεί το σύστημα ( )

5

3: 2 10

3 22

33 6 2

α β γβ γ

α

α β γ

+ − =

Σ − + =

− + =

Λύση

( )

55

36 2 6 10 12 2 9 60

3 24 3 18

26 6 3

3 6 2

α β γα β γ

β γα α β γ

α β γα β γ

+ − = + − = Σ ⇔ − + = ⋅ ⇔ − + =

− + = − + = ⋅

Απαλείφουμε τον α μεταξύ πρώτης και δεύτερης, και μεταξύ πρώτης και τρίτης εξίσωσης.

( )12 12 12 605 12

+12 2 9 6012 2 9 60 1

α β γα β γα β γα β γ

− − + = −+ − = − ⇔ − + =− + =

14 21 0β γ− + =

Page 24: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 23 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

23

( )4 4 4 205 4

+ 4 3 184 3 18 1

α β γα β γα β γα β γ

− − + = −+ − = − ⇔ − + =− + =

5 7 2β γ− + = −

Άρα ( )5

14 21 0

5 7 2

α β γβ γ

β γ

+ − =

Σ ⇔ − + =− + = −

λύνουμε το σύστημα: ( )70 105 014 21 0 5

+ 70 98 285 7 2 14

β γβ γβ γβ γ

− =− + = − ⇔ − + = −− + = −

7 28 4γ γ− = − ⇔ =

Τότε 14 21 0 14 21 4 0 14 84 6β γ β β β− + = ⇔ − + ⋅ = ⇔ − = − ⇔ = . Αντικαθιστώντας τις τιμές που

βρήκαμε στην πρώτη εξίσωση έχουμε: 6 4 5 3α α+ − = ⇔ = . Οπότε η λύση του (Σ) είναι: (3, 6,

4).

2. Να λυθεί το σύστημα ( )2 3

: 3 8 14 9

2 3 5 7

x y z

x y z

x y z

− = −

Σ + = − + + =

Λύση

( )( )

2 3 0 2 3 2 3

: 3 8 9 14 3(2 3 ) 8 9 14 6 9 8 9 14

2 3 5 7 4 6 3 5 72 2 3 3 5 7

x y z x y z x y z

x y z y z y z y z y z

x y z y z y zy z y z

− + = = − = −

Σ + + = ⇔ − + + = ⇔ − + + = ⇔ + + = − + + =− + + =

2 3 2 3 2 1 3 2

14 14 1 1 1

7 7 7 1 7 0 0

x y z x y z x z x

y y y y

y z z z z

= − = − = ⋅ − =

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = − = ⋅ − = = =

3. Να λυθεί το σύστημα ( )5

: 2 11

3 7 3

y

y

y

χ ωχ ω

χ ω

− + =

Σ − − = − + =

Page 25: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 24 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

24

Λύση

Κάνουμε απαλοιφή του x μεταξύ πρώτης και δεύτερης και στη συνέχεια μεταξύ πρώτης και

τρίτης.

( )2 2 2 105 2

+ 2 112 11 1

yy

yy

χ ωχ ωχ ωχ ω

− + − = −− + = −⇔ − − =− − =

3 1y ω− =

( )55 1

+ 3 7 33 7 3 1

yy

yy

χ ωχ ωχ ωχ ω

− + − = −− + = −⇔ − + =− + =

2 6 2y ω− + = −

οπότε το σύστημα γίνεται:

( )5

: 3 1

2 6 2

y

y

y

χ ωωω

− + =

Σ − = − + = −

Λύνουμε το σύστημα 3 1

2 6 2

y

y

ωω

− =− + = −

ως εξής:

( )2 6 23 1 2

+2 6 22 6 2 1

yy

yy

ωωωω

− =− =⇔ − + = −− + = −

0 0 0y ω+ = άρα 0=0 το οποίο ισχύει για κάθε y,ω ∈ ℝ . Δηλαδή το σύστημα

έχει άπειρες λύσεις της μορφής (y, ω)= (3κ+1, κ) όπου κ ∈ ℝ . Αντικαθιστώντας τις τιμές του y

και του ω στην πρώτη εξίσωση έχουμε:

5 5 5 3 1 6 2y yχ ω χ ω κ κ κ− + = ⇔ = + − = + + − = + . Άρα το σύστημα (Σ) έχει άπειρες λύσεις της

μορφής (x, y, ω)= (2κ+6, 3κ+1, κ) με κ ∈ ℝ .

4. Να λυθεί το σύστημα ( )5 3 4

: 3 2

3 2 2 2

y

y

y

χ ωχ ωχ ω

− + =

Σ − + = − + =

Λύση

Απαλείφουμε τον x μεταξύ πρώτης και δεύτερης, καθώς και πρώτης και τρίτης.

Page 26: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 25 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

25

( ) ( )1 5 3 45 3 4

5 15 5 1053 2

yy

yy

χ ωχ ωχ ωχ ω

− + =− + =⇔ + − + − = −−− + =

14 2 6 7 3y yω ω− = − ⇔ − = −

( ) ( )3 15 3 9 125 3 4

+15 10 10 1053 2 2 2

yy

yx y

χ ωχ ωχ ωω

− + =− + =⇔ − + − = −−− + =

7 2y ω− =

Άρα το σύστημα γίνεται:

( )5 3 4

: 7 3

7 2

x y

y

y

ωωω

− + =

Σ − = − − =

λύνουμε το σύστημα 7 3

7 2

y

y

ωω

− = −

− =

( )7 37 3 1

+7 27 2 1

yy

yy

ωωωω

− = −− = −⇔ − = −− = −

0 0 5 0 5y ω− = − ⇔ = − δεν ισχύει, άρα το σύστημα είναι αδύνατο οπότε

και το (Σ) είναι αδύνατο.

5. Να λυθεί το σύστημα ( )4 3 17 0

: 5 4 22 0

4 2 19 0

y

y

y

χ ωχ ωχ ω

+ + =

Σ + + = + + =

Λύση

Το σύστημα έχει προφανώς τη μηδενική λύση. Θα εξετάσουμε αν έχει και άλλες μη μηδενικές

λύσεις. Κάνουμε απαλοιφή του x μεταξύ πρώτης και δεύτερης και μεταξύ πρώτης και τρίτης

οπότε έχουμε:

( )( )

20 15 85 054 3 17 0 +

20 16 88 05 4 22 04

yx y

x yy

χ ωωωχ ω

− − − =− + + =⇔ + + =+ + =

3 0y ω+ =

( )4 3 17 04 3 17 0 1

+4 2 19 04 2 19 0 1

yy

x yy

χ ωχ ωωχ ω

− − − =+ + = −⇔ + + =+ + =

2 0y ω− + =

Page 27: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 26 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

26

Οπότε το σύστημα (Σ) γίνεται:

( )4 3 17 0

3 0

2 0

y

y

y

χ ωωω

+ + =

Σ ⇔ + = − + =

Λύνουμε το σύστημα ( )3 0

+2 0

y

y

ωω

+ =− + =

5 0 0ω ω= ⇔ =

Επομένως το (Σ) παίρνει τη μορφή

4 3 17 0 4 3 17 0 4 3 0 17 0 0

3 0 0 0

0 0 0

y y

y y y

χ ω χ ω χωω ω ω

+ + = + + = + ⋅ + ⋅ =

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = = =

4 0 0

0 0

0 0

y y

χ χ

ω ω

= =

= ⇔ = = =

άρα το σύστημα (Σ) έχει μοναδική λύση την (x, y, ω)= (0, 0, 0).

6. Να λυθεί το σύστημα ( )5 5 0

: 10 5 2 0

5 15 9 0

y

y

y

χ ωχ ωχ ω

+ − =

Σ + + =− + − =

Λύση

Το σύστημα έχει προφανώς τη μηδενική λύση. Θα εξετάσουμε αν έχει και άλλες μη μηδενικές

λύσεις. Απαλείφουμε τον x μεταξύ πρώτης και δεύτερης, όπως και μεταξύ πρώτης και τρίτης

οπότε έχουμε:

( )10x 10y 2ω 05 5 0 2

+ 10x 5y 2ω 010 5 2 0 1

x y

x y

ωω

− − + =+ − = −⇔ + + =+ + =

5 4 0y ω− + =

( )5 5 05 5 0 1

+ 5 15 9 05 15 9 0 1

yx y

yy

χ ωωχ ωχ ω

− − + =+ − = −⇔ + − =+ − =

10 8 0 5 4 0y yω ω− = ⇔ − = . Έτσι το (Σ) γίνεται:

Page 28: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 27 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

27

( )5 5 0

5 4 0

5 4 0

x y

y

y

ωωω

+ − =

Σ ⇔ − = − =

Λύνουμε το σύστημα 5 4 0

5 4 05 4 0

yy

y

ωω

ω− =

⇔ − =− =

Το σύστημα έχει άπειρες λύσεις της

μορφής ( ) 4, ,

5y ω κ κ =

με ∈ ℝκ .

Αντικαθιστούμε τις τιμές του y, ω στην πρώτη εξίσωση του συστήματος (Σ) και έχουμε:

4 35 5 0 5 3 0 5 3 .

5 5χ κ κ χ κ χ κ χ κ+ − = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − Άρα το (Σ) έχει άπειρες λύσεις της

μορφής 3 4

, ,5 5κ κ κ −

με ∈ ℝκ .

7. Να λυθεί το σύστημα ( ) 2 3 42 2 18

x y

x y

ω

ω

= =Σ =

− + =

Λύση

Θέτουμε 2 και 3 και 4 .2 3 4

x yy

ωλ χ λ λ ω λ= = = ⇔ = = = Αντικαθιστώ τις τιμές των x, y, ω στην

δεύτερη εξίσωση και έχουμε:

( ) ( ) 182 2 3 2 4 18 4 3 8 18 9 18 2

9λ λ λ λ λ λ λ λ− + = ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = =

Άρα 2 2 4, 3 2 6, ω=4 2=8x y= ⋅ = = ⋅ = ⋅ οπότε η λύση του (Σ) είναι (x, y, ω)= (4, 6, 8).

8. i)Να λυθεί το σύστημα

1 14

1 19

1 13

x y

y

x

ω

ω

+ =

+ =

+ =

ii)Να λυθεί το σύστημα 2 3 19

6 2 6

x y

x y

− = −

− =

Λύση

i)Θα χρησιμοποιήσουμε βοηθητικούς αγνώστους. Έτσι έχουμε:

Page 29: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 28 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

28

1 1 1, , , θα πρέπει 0, y 0, 0.

yκ λ µ χ ω

χ ω= = = ≠ ≠ ≠

Οπότε το σύστημα γίνεται ( ) ( )4

9 +

3

κ λλ µµ κ

+ =

Σ ⇔ + = + =

Τις προσθέτουμε κατά μέλη και έχουμε:

2 2 2 16 8κ λ µ κ λ µ+ + = ⇔ + + = οπότε

( ) ( ) 8 4 4 4κ λ µ κ λ κ λ µ κ λ µ+ + − + = − ⇔ + + − − = ⇔ = άρα 1 1

44

ωω

= ⇔ =

( ) ( ) 8 9 1 1κ λ µ λ µ κ λ µ λ µ κ+ + − + = − ⇔ + + − − = − ⇔ = − άρα = − ⇔ = −1

1 χ 1χ

( ) ( ) 8 3 5 5κ λ µ µ κ κ λ µ µ κ λ+ + − + = − ⇔ + + − − = ⇔ = άρα 1 1

55

yy= ⇔ =

Άρα το σύστημα (Σ) έχει λύση την ( ) 1 1, , 1, ,

5 4x y ω = −

.

ii) Θέτω και x yκ λ= = με χ, y 0≥ και έχω: 2κ+3λ=5 και 3κ+5λ=7.

Λύνω το σύστημα ( ) ( )2 3 19 3 6 9 57

+6 2 6 1 6 2 6

κ λ κ λκ λ κ λ− = − − − + =

Σ ⇔ ⇔− = − =

9λ =

Οπότε για λ=9 έχω: 2 3 19 2 3(9) 19 2 27 19 2 8 4κ λ κ κ κ κ− = − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = .

Οπότε 4 16 και 9 81x x y x= ⇔ = = ⇔ =

Page 30: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 29 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

29

Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους

Να χαρακτηρίσετε καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις ως αληθείς ή ψευδείς.

1)Η εξίσωση 3 4x y− = είναι γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους . Σ Λ

2)Η εξίσωση 2( 9) ( 3) 8x yλ λ− + − = είναι γραμμική εξίσωση με δυο αγνώστους για κάθε

τιμή του λ∈ℝ . Σ Λ

3)Το ζεύγος ( , ), 0x

xγ β

αα−

≠ είναι λύση της γραμμικής εξίσωσης x yβ α γ+ = . Σ Λ

4)Η εξίσωση 0 0x y− = έχει λύσεις όλα τα ζεύγη της μορφής ( ,0),λ λ∈ℝ . Σ Λ

5)Η εξίσωση 2 2( 2) 2 0x x y− − + = είναι γραμμική. Σ Λ

6)Η εξίσωση 5x = επαληθεύεται από όλα τα ζεύγη της μορφής (5, ),λ λ∈ℝ Σ Λ

7)Κάθε σημείο της μορφής 7 5

( , ),3

κκ κ

−∈ℝ βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση

7 3 5x y− = . Σ Λ

8) Η ευθεία 2y = − είναι παράλληλη στο άξονα χ’χ . Σ Λ

9) Η ευθεία y xα β γ+ = τέμνει τον άξονα χ’χ στο σημείο (0, )γα

Σ Λ

10)Το σύστημα 2 1

2 2

x y

x y

+ =

+ = έχει άπειρες λύσεις . Σ Λ

11) Αν το σύστημα ax y

x y z

β γδ ε

+ =

+ = είναι αδύνατο τότε οι ευθείες 1 2,ε ε με εξισώσεις

1 2: , :ax y x y zε β γ ε δ ε+ = + = είναι παράλληλες . Σ Λ

12)Οι ευθείες 1 2: 2 , : 4 0y x y xε λ ε λ λ− = − + − = τέμνονται για κάθε λ∈ℝ . Σ Λ

Ασκήσεις Για Λύση

1. Να εξετάσετε ποια από τα ζεύγη (1, 1) , (4 ,-10) , (3,7), 2

22 3( , 2 1)

3

aa

++ είναι λύσεις

της εξίσωσης 3 2x y− =

2. Να λύσετε αλγεβρικά και γραφικά τα συστήματα :

i)2 0

3

x y

x y

− =

+ = ii)

2 1

2 3

x y

x y

− =

− =

3. Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα με την μέθοδο των οριζουσών:

i)3 10

2 3 25

x y

x y

+ =− + = −

ii)

32 1

26 2 8

x y

y x

+ = = −

Page 31: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 30 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

30

4.Να λύσετε τα παρακάτω συστήματα:

i)4 3 4

7 3 26

x y

x y

− = −

+ = ii)

3 1 4 101

8 27 2 6

02 5

x y

x y x

+ − − =

− + − − =

iii)(6 1)( 2) (2 1)(3 1) 3

3 (4 1) (2 4)(6 1) 28

x y x y

x y x y

+ − − − + =

− − + + = −

iv)

3 24

4 37

x y

x y

− = − − = −

v) 2 3 19

6 2 6

x y

x y

− = −

− =

5.Να βρείτε τις τιμές των ,κ λ ∈ ℝ ,ώστε η εξίσωση

( 2 1) (2 5) 1 0x yκ λ κ λ κ− − + − − + − =

Να παριστάνει ευθεία.

6.Να βρεθούν οι τιμές των ,κ λ ∈ℝ έτσι ώστε η εξίσωση (5 3) 2 4 6 0xκ λ κ λ− − + − + = να

έχει 1974 λύσεις.

7. Να λυθεί το σύστημα ( )( 1) ( 2 ) 5

2 4 1 4

x y

x y

λ λ

λ λ λ

+ + + =

+ − = + για τις διάφορες τιμές του λ.

8.Αν το σύστημα 2 2

1

x y

x y

λ + =

+ =, είναι αόριστο , να δείξετε ότι το σύστημα

4 3

x y

x y

λ λλ− =

− =

,είναι αδύνατο.

9. Να βρείτε τους αριθμούς λ,μ , ώστε το σύστημα :

( 3) ( 1) 1

(2 1) 7

x y

x y

λ µµ λ

− − + =

+ + =

Να έχει λύση (x,y)=(2,-3).

10. Δίνονται τα παρακάτω συστήματα:

2 5( 1)

( 1) 7

x yS

x a y

β+ =− + − = −

και ( 1) 2

( 2)2( 2) 2

a x yS

x y

β βα β α

− − = −

− − =

Page 32: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 31 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

31

Γνωρίζουμε ότι το S1 έχει μοναδική λύση .

i) Να αποδείξετε ότι και το S2 έχει μοναδική λύση.

ii) Να βρείτε την μοναδική λύση του S2.

11. Να λυθεί το σύστημα αν ισχύει 2 218 3 6 90x y y xD D D D D+ + − = − + − .

12.

Με την χρήση του παραπάνω σχήματος να λυθούν τα παρακάτω συστήματα

i)5 17

2 1

x y

y x

− =

− = ii)

5 17

3 2 5

x y

x y

− =

+ = iii)

2 1

3 2 5

y x

x y

− =

+ =

(ε1): 5x-y=17

(ε2): 3x+2y=5

(ε2): y-2x=1

Page 33: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 32 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

32

13. Δίνονται οι ευθείες :

1 2: 1 : 1x y x yε ε λ− = − − = −

Να βρείτε τις σχετικές θέσεις των ευθειών 1 2,ε ε για τις διάφορες τιμές του λ.

14. Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει

( ) ( ) ( )22 24 2 4 0x yD D D− + − + + = . Να λυθεί το σύστημα.

15.Να υπολογίσετε τις ορίζουσες :

i) 3 2

1 0 ii)

4 2

4 3 iii)

1 5

2 62

-4 3

16.Να υπολογίσετε τις ορίζουσες :

i) γ δ β δ

α β α γ− ii)

λγ µδ γ δ

λα µβ α βλµ−

iii) γ δ γ δ+κγ

α β α β κα+−

17.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

2 4

2 20

2

1

x y y y

y x x y

y

x

−+

=

είναι αδύνατη για κάθε

τιμή των χ,y.

18.Δινεται η εξίσωση:

(5 6) 2 ( 1) 3 4x x xλ µ− + − = − , ,λ µ ∈ℝ

α) Να την μετασχηματίσετε στην μορφή ΑΧ=Β

β)Να βρείτε τις τιμές των λ,μ ώστε η εξίσωση να είναι ταυτότητα.

Page 34: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 33 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

33

19.Να λύσετε τα συστήματα:

i)

2 11

3 2 2

1

x y z

y z

z

+ + =− + =

=

ii)

2 3 0

3 2 4 1

3 5

x y z

x y z

x y z

+ − =

+ + =− − − = −

iii)

3

4

5

x y

x

y

ωω

+ =

+ = + =

(Υπόδειξη : Προσθέστε και τις τρεις εξισώσεις κατά μέλη )

20. Για τις εξισώσεις , ,x yD D D ενός γραμμικού συστήματος δυο εξισώσεων με δυο

αγνώστους x και y ισχύουν οι σχέσεις :

2

2

8

x

x y

y

D D

D D

D D

+ =

+ = − + = −

Να βρειτε την λυση ( x,y) του γραμμικου συστηματος .

21. Να λύσετε τα μη γραμμικά συστήματα:

i) 2 2

2 5

2 1

x y

x xy y

+ =

− − = − ii)

3 1 0

2

x y

xy

+ + =

= −

iii)

2 2 10

3

x y

xy

+ =

=

iv)2 3 1

2 3

y x

y x

− = −

+ =

22.Συσκευασαμε 3 τόνους αναψυκτικού «Λόλα –κόλα» σε 1050 μπουκάλια

χωρητικότητας 1 και 4 λίτρων .Πόσα μπουκάλια του 1 λίτρου και πόσα μπουκάλια των

4 λίτρων χρησιμοποιήσαμε;

-

Page 35: 'Αλγεβρα Β λυκείου,συστήματα

- 34 – ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :∆ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

34

23. Τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου είναι

6 2

, , 7 32 2

α β βα β α

− ++ − − ,α β ∈ℝ

Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο να δείξετε ότι και το τρίγωνο με μήκη πλευρών :

2 3 5 1

, 2 ,3

α βαβ β

+ −+ ,α β ∈ℝ

Είναι επίσης ισόπλευρο.

24. Το άθροισμα των ψηφιων ενός διψήφιου αριθμού είναι 12. Αν εναλλάξουμε την θέση

των ψηφίων του, παίρνουμε αριθμό μικρότερο του αρχικού κατά 18.Να βρείτε τον αρχικό

αριθμό.