Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

10
  • Upload

    -
  • Category

    Education

  • view

    4.895
  • download

    0

description

Εξαιρετικά θέματα από τους μιγαδικούς αριθμούς και τα όρια από ένα βιβλίο που ξεχωρίζει! Ο φίλος και συνάδελφος, συγγραφέας και εκδότης, Γιώργος Μαυρίδης, προσφέρει μερικά πολύ ωραία θέματα για τις τελικές επαναλήψεις. Περιλαμβάνονται και προτεινόμενα διαγωνίσματα.

Transcript of Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

Page 1: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

ISBN: 978-618-80214-8-8

Page 2: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

138 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

ƲƳƱƵƧƫƯƱƮƧƯƣ ƪƧƮƣƵƣ

126. DzıIJȦ ȠȚ ȝȚȖĮįȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ z, w țĮȚ ȇ, Ȉ ȠȚ ĮȞIJȓıIJȠȚȤİȢ İȚțȩȞİȢ IJȠȣȢ ıIJȠ ȝȚȖĮįȚ-țȩ İʌȓʌİįȠ. ǹȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ zw iw z 2 i� � � ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

i) ȩIJĮȞ IJȠ ıȘȝİȓȠ ȇ țȚȞİȓIJĮȚ ıIJȘ ȝİıȠțȐșİIJȠ İȣșİȓĮ IJȠȣ IJȝȒȝĮIJȠȢ ȝİ ȐțȡĮ IJĮ ıȘȝİȓĮ � �A 0,1 țĮȚ � �B 2,1� , IJȩIJİ:

Į) z i z 2 i� � �

ȕ) IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȉ țȚȞİȓIJĮȚ ıİ țȪțȜȠ

ii) � �� �z i w 1 2� � iii) ȩIJĮȞ IJȠ ıȘȝİȓȠ Ȉ țȚȞİȓIJĮȚ ıIJȠȞ țȪțȜȠ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ıȘȝİȓȠ � �Ȁ 1, 0 țĮȚ ĮțIJȓ-

ȞĮ ȡ 2, IJȩIJİ IJȠ ıȘȝİȓȠ ȇ țȚȞİȓIJĮȚ İʌȓıȘȢ ıİ țȪțȜȠ. 127. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o^ ^ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� � z 2f zz i�

ȖȚĮ țȐșİ z iz � .

i) AȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ � �f z 1, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȖİȦȝİIJȡȚțȩ IJȩʌȠ IJȦȞ İȚțȩȞȦȞ

IJȦȞ ȝȚȖĮįȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ z. ii) AȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ z 2 z i ,� � ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȖİȦȝİIJȡȚțȩ IJȩʌȠ IJȦȞ İȚțȩ-

ȞȦȞ IJȦȞ ȝȚȖĮįȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ � �f z .

iii) ǹȞ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ � � � �f z f z , ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

Į) z i z i� �

ȕ) z .�\

128. DzıIJȦ ȠȚ ȝȚȖĮįȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ z, w ȖȚĮ IJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ 3z 16w , z 3z 3�

z�

NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

i) 7w 3z 3

��

ȖȚĮ țȐșİ z 3.z

ii) ĮȞ Ș İȚțȩȞĮ IJȠȣ z ıIJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ İʌȓʌİįȠ ĮȞȒțİȚ ıIJȠȞ țȪțȜȠ (c) ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ıȘȝİȓȠ � �Ȁ 3,0 țĮȚ ĮțIJȓȞĮ ȡ 7 , IJȩIJİ Ș İȚțȩȞĮ IJȠȣ w ĮȞȒțİȚ ıİ țȪțȜȠ ȠȝȩțİȞIJȡȠ IJȠȣ (c)

iii) ĮȞ Ș İȚțȩȞĮ IJȠȣ w ıIJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ İʌȓʌİįȠ ĮȞȒțİȚ ıIJȠȞ țȪțȜȠ ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ ıȘȝİȓȠ � �O 0, 0 țĮȚ ĮțIJȓȞĮ 4,U IJȠ ȓįȚȠ ȚıȤȪİȚ țĮȚ ȖȚĮ IJȘȞ İȚțȩȞĮ IJȠȣ z.

Page 3: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

ƮNJDŽǂDžNJNjǐǀ ƣǒNJljǍǐǀ 139

129. ǻȓȞİIJĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o^ ^ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ � � � �f z ln z i Re z � ȖȚĮ țȐșİ z *�^ .

i) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Į) � � � �f z f z ȖȚĮ țȐșİ z *�^

ȕ) � � � �f z f z z * � � � . ii) AȞ Ș İȚțȩȞĮ IJȠȣ z ıIJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ İʌȓʌİįȠ țȚȞİȓIJĮȚ ıIJȠȞ țȪțȜȠ � �c ȝİ țȑȞIJȡȠ IJȠ

ıȘȝİȓȠ � �O 0,0 țĮȚ ĮțIJȓȞĮ 1,U ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș İȚțȩȞĮ IJȠȣ � �f z țȚȞİȓ-IJĮȚ ıIJȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ IJȝȒȝĮ ʌȠȣ ȠȡȓȗİȚ Ƞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ țȪțȜȠȢ ȝİ IJȠȞ ȐȟȠȞĮ y y.c

iii) NĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȖİȦȝİIJȡȚțȩ IJȩʌȠ IJȦȞ İȚțȩȞȦȞ IJȦȞ ȝȚȖĮįȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ z ȖȚĮ IJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪİȚ � �f z � � .

130. ǻȓȞȠȞIJĮȚ ȠȚ ȝȚȖĮįȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ z țĮȚ w IJȑIJȠȚȠȚ, ȫıIJİ z 2w2z 1�

��

țĮȚ 1z .2

v

ǹȞ Ș İȚțȩȞĮ IJȠȣ z ıIJȠ İʌȓʌİįȠ įȚĮȖȡȐijİȚ IJȠȞ țȪțȜȠ 2 2c : x y 1,� � IJȩIJİ: i) ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ z 2 2z 1� � � . ii) ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș İȚțȩȞĮ IJȠȣ w ıIJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ İʌȓʌİįȠ ĮȞȒțİȚ ıIJȠȞ țȪțȜȠ c . iii) ȞĮ ȜȪıİIJİ ȦȢ ʌȡȠȢ z IJȘȞ İȟȓıȦıȘ w z. � iv) ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘ ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȠȣ z w .� 131. DzıIJȦ ȝȚȖĮįȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ z ȖȚĮ IJȠȞ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ

2z i 2 2Im z .� � � i) NĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȖİȦȝİIJȡȚțȩ IJȩʌȠ IJȘȢ İȚțȩȞĮȢ IJȠȣ z ıIJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ İʌȓʌİįȠ. ii) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ ĮȡȚșȝȩ z ȖȚĮ IJȠ ȠʌȠȓȠ IJȠ z 4i� ȖȓȞİIJĮȚ:

Į) İȜȐȤȚıIJȠ ȕ) ȝȑȖȚıIJȠ. iii) DzıIJȦ İʌȓıȘȢ, Ƞ ȝȚȖĮįȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ w 3z 8i.� � Į) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș İȚțȩȞĮ IJȠȣ w, ıIJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ İʌȓʌİįȠ, țȚȞİȓIJĮȚ ıİ

țȪțȜȠ. ȆȠȚȠ İȓȞĮȚ IJȠ țȑȞIJȡȠ țĮȚ ʌȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ĮțIJȓȞĮ ĮȣIJȠȪ IJȠȣ țȪțȜȠȣ; ȕ) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȜȐȤȚıIJȘ țĮȚ IJȘ ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȠȣ w z .�

132. DzıIJȦ ȝȚȖĮįȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ z țĮȚ w IJȑIJȠȚȠȚ, ȫıIJİ

2 2z w 0� țĮȚ z 2i 1.� i) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș İȚțȩȞĮ IJȠȣ w ıIJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ İʌȓʌİįȠ ĮȞȒțİȚ ıİ țȐʌȠȚȠȞ

Įʌȩ IJȠȣȢ țȪțȜȠȣȢ � �2 2

1c : x 2 y 1� � Ȓ � �2 22c : x 2 y 1.� �

ii) NĮ ȕȡİȓIJİ IJȠȣȢ z țĮȚ w ȖȚĮ IJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ IJȠ z w� ȖȓȞİIJĮȚ:

Į) ȝȑȖȚıIJȠ ȕ) İȜȐȤȚıIJȠ.

Page 4: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

ƮNJDŽǂDžNJNjǐǀ ƣǒNJljǍǐǀ 149

� ƦƫƣƥƺƯƫƴƮƣ 4 ƪƧƮƣ ƣ

ƣ1. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȖȚĮ ȩȜȠȣȢ IJȠȣȢ ȝȚȖĮįȚțȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ 1 2z , z ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ

1 2 1 2z z z z � .

ƣ2. ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ, ȖȡȐijȠȞIJĮȢ ıIJȠ IJİIJȡȐįȚȩ ıĮȢ, įȓʌȜĮ ıIJȠ ȖȡȐȝȝĮ ʌȠȣ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıİ țȐșİ ʌȡȩIJĮıȘ IJȘ ȜȑȟȘ ȈȦıIJȩ, ĮȞ Ș ʌȡȩ-IJĮıȘ İȓȞĮȚ ıȦıIJȒ, Ȓ ȁȐșȠȢ, ĮȞ Ș ʌȡȩIJĮıȘ İȓȞĮȚ ȜĮȞșĮıȝȑȞȘ.

ǂ) īȚĮ ȩȜȠȣȢ IJȠȣȢ ȝȚȖĮįȚțȠȪȢ 1 2z , z ȚıȤȪİȚ 1 2 1 2z z z z� � .

ǃ) īȚĮ țȐșİ ijȣıȚțȩ ĮȡȚșȝȩ ț ȚıȤȪİȚ 4 3i iN� . DŽ) ǹȞ ȚıȤȪİȚ 1 2z z , IJȩIJİ 1 2z z r .

Dž) īȚĮ țȐșİ ȝȚȖĮįȚțȩ ĮȡȚșȝȩ z ȚıȤȪİȚ 2z zz.

dž) ȉȠ ȝȑIJȡȠ IJȘȢ įȚĮijȠȡȐȢ įȣȠ ȝȚȖĮįȚțȫȞ İȓȞĮȚ ȓıȠ ȝİ IJȘȞ ĮʌȩıIJĮıȘ IJȦȞ İȚțȩ-ȞȦȞ IJȠȣȢ.

ƪƧƮƣ Ƥ

DzıIJȦ ȠȚ ȝȚȖĮįȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ z ȖȚĮ IJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ

8z 4 4iz 4 4i

� � � �

.

Ƥ1. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ȖİȦȝİIJȡȚțȩ IJȩʌȠ IJȦȞ İȚțȩȞȦȞ IJȦȞ ȝȚȖĮįȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ z .

Ƥ2. ȆȠȚȠȢ Įʌȩ IJȠȣȢ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȝȚȖĮįȚțȠȪȢ ȑȤİȚ İȜȐȤȚıIJȠ țĮȚ ʌȠȚȠȢ ȝȑȖȚıIJȠ ȝȑIJȡȠ;

ƪƧƮƣ ƥ

DzıIJȦ șİIJȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ Ȟ ȖȚĮ IJȠȞ ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ � � � �Ȟ Ȟ4 7i 7 4i� � .

ƥ1. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ȟ 4ț , ȝİ ț *�` .

ƥ2. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȘ ȝȚțȡȩIJİȡȘ IJȚȝȒ IJȠȣ Ȟ ȖȚĮ IJȘȞ ȠʌȠȓĮ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ

� � � �1 i 2iQQ� .

Page 5: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

150 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

ƪƧƮƣ Ʀ

ǹȞ ȖȚĮ IJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ ĮȡȚșȝȩ z ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ 2

2

z i11z zz

�� , IJȩIJİ:

Ʀ1. ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ � � � �2 2Re z Im z

Ʀ2. ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ İȜȐȤȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȠȣ 2z 1� .

Page 6: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

388 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

ƲƳƱƵƧƫƯƱƮƧƯƣ ƪƧƮƣƵƣ

193. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ > @f: 0,1 o \ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ � � � � 1f 0 f 1 f

2§ · � ¨ ¸© ¹

țĮȚ

� � � �2f x f x! ȖȚĮ țȐșİ � �x 0,1� .

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

i) IJȠ � �f 0 įİȞ İȓȞĮȚ ȠȜȚțȩ ȝȑȖȚıIJȠ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f

ii) Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f įİȞ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ.

194. DzıIJȦ įȪȠ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ > @f, g: 1, 2 o\ IJȑIJȠȚİȢ, ȫıIJİ

� � � �f x g xd ȖȚĮ țȐșİ > @x 1, 2� .

ǹȞ IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȚȝȫȞ IJȘȢ f İȓȞĮȚ IJȠ įȚȐıIJȘȝĮ > �3, � f , ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

i) ȠȚ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f țĮȚ g įİȞ ȑȤȠȣȞ ȠȜȚțȩ ȝȑȖȚıIJȠ ii) ȠȚ ıȣȞĮȡIJȒıİȚȢ f țĮȚ g įİȞ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤİȓȢ. 195. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f: o\ \ , Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� � � �f 1 f 3 1. i) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ ȝȚȖĮįȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ z IJȠȣ ȠʌȠȓȠȣ Ș İȚțȩȞĮ ıIJȠ

ȝȚȖĮįȚțȩ İʌȓʌİįȠ İȓȞĮȚ ıȘȝİȓȠ IJȘȢ fC țĮȚ İȓȞĮȚ IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ z 1 2� .

ii) AȞ ȖȚĮ IJȠ ȝȚȖĮįȚțȩ ĮȡȚșȝȩ z IJȠȣ İȡȦIJȒȝĮIJȠȢ i) ȚıȤȪİȚ � �Re z 2 țĮȚ Ș

ıȣȞȐȡIJȘıȘ f įİȞ ȝȘįİȞȓȗİIJĮȚ ıIJȠ \ , ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ � �f 2 .

196. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ > @f: Į, ȕ o \ , ȝİ Į ȕ� țĮȚ ȠȚ ȝȚȖĮįȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ

� �z Į f ȕ i � țĮȚ � �w ȕ f Į i �

ȖȚĮ IJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪİȚ Ș ıȤȑıȘ

� �2 2z w 2Im zw� .

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) � �f Į Į țĮȚ � �f ȕ ȕ

ii) 2007z z

w w§ · ¨ ¸© ¹

iii) ĮȞ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ, IJȩIJİ ȣʌȐȡȤİȚ � �0x Į,ȕ� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ

� �0 0f x x Į ȕ.� �

Page 7: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

ƟǒNJǐ-ƴǖǎƾǘdžNJǂ ƴǖǎƽǒǕLjǔLjǓ 389

197. ǻȓȞİIJĮȚ Ƞ ȝȚȖĮįȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ z Į ȕi ȝİ Į, ȕ � �\ țĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� � � �f x xz 1 x i ȖȚĮ țȐșİ � � x�\ .

i) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ

ii) ǹȞ İʌȚʌȜȑȠȞ ȚıȤȪİȚ z 1,z ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș İȟȓıȦıȘ

� � � �f x x 1 x z � � �

ȑȤİȚ ȝȓĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȡȓȗĮ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �0,1 .

198. DzıIJȦ ȠȚ ȝȚȖĮįȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ z, w ȖȚĮ IJȠȣȢ ȠʌȠȓȠȣȢ ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ıȤȑıİȚȢ

2 2z 2i =2 z i +1� � țĮȚ w z4 .

z w§ · ¨ ¸© ¹

i) ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJĮ ȝȑIJȡĮ IJȦȞ ȝȚȖĮįȚțȫȞ ĮȡȚșȝȫȞ z țĮȚ w.

ii) ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș İȟȓıȦıȘ 2xz w e x 4� � �

ȑȤİȚ ȝȓĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȡȓȗĮ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �0,1 . 199. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� �f 0 0. DzıIJȦ, İʌȓıȘȢ, ȝȚȖĮįȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ z x yi 0 � z ȝİ x, y�\ ȖȚĮ IJȠȞ

ȠʌȠȓȠ ȚıȤȪȠȣȞ ȠȚ ıȤȑıİȚȢ

� �f 1 x 2y 0� țĮȚ � �2x f 1 y 0.�

i) NĮ ȕȡİȓIJİ IJȘȞ IJȚȝȒ � �f 1 .

ii) AȞ İʌȚʌȜȑȠȞ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ Ș İȟȓıȦıȘ

� � � �2f x 4f x 3 �

ȑȤİȚ ȝȓĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȒ ȡȓȗĮ.

Page 8: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

390 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

200. DzıIJȦ įȪȠ ȝȚȖĮįȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ 1z țĮȚ 2z IJȑIJȠȚȠȚ, ȫıIJİ

13

z2

țĮȚ 22

z5

DzıIJȦ İʌȓıȘȢ, ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ

� � � �Ȝf 1 f 2 2� � țĮȚ � � � �f 1 Ȝf 2 4Ȝ�

ȠʌȩIJİ Ȝ ıIJĮșİȡȩȢ ʌȡĮȖȝĮIJȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: i) � �f 1 1d țĮȚ � �f 2 2t

ii) ȣʌȐȡȤİȚ � �0x 1, 2� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ � �0 1 2f x z z . �

201. DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ IJȑIJȠȚĮ, ȫıIJİ:

• � � � �f 0 f 1 2� �

• � � � �2 xf x 2f x e 1� � ȖȚĮ țȐșİ x .�\

i) NĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ

� � xf x 1 e � ȖȚĮ țȐșİ x .�\

ii) DzıIJȦ İʌȓıȘȢ, Ƞ ȝȚȖĮįȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ � �z f x xi. � ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ

� �x 0,1� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ

� �Re z ıȣȞʌx țĮȚ z 2.�

Page 9: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

ƟǒNJǐ-ƴǖǎƾǘdžNJǂ ƴǖǎƽǒǕLjǔLjǓ 399

� ƦƫƣƥƺƯƫƴƮƣ 4

ƪƧƮƣ ƣ

ƣ1. ȆȩIJİ Ȝȑȝİ ȩIJȚ ȝȓĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıİ ȑȞĮ ĮȞȠȚțIJȩ įȚȐıIJȘȝĮ � �Į, ȕ

țĮȚ ʌȩIJİ ıİ ȑȞĮ țȜİȚıIJȩ įȚȐıIJȘȝĮ > @Į, ȕ IJȠȣ ʌİįȓȠȣ ȠȡȚıȝȠȪ IJȘȢ;

ƣ2. ȆȩIJİ Ȝȑȝİ ȩIJȚ ȝȓĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ȠȜȚțȩ ȝȑȖȚıIJȠ ıİ țȐʌȠȚȠ ıȘȝİȓȠ

0x IJȠȣ ʌİįȓȠȣ ȠȡȚıȝȠȪ IJȘȢ;

ƣ3. ȃĮ ȤĮȡĮțIJȘȡȓıİIJİ IJȚȢ ʌȡȠIJȐıİȚȢ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ, ȖȡȐijȠȞIJĮȢ ıIJȠ IJİIJȡȐįȚȩ ıĮȢ,

įȓʌȜĮ ıIJȠ ȖȡȐȝȝĮ ʌȠȣ ĮȞIJȚıIJȠȚȤİȓ ıİ țȐșİ ʌȡȩIJĮıȘ IJȘ ȜȑȟȘ ȈȦıIJȩ, ĮȞ Ș

ʌȡȩIJĮıȘ İȓȞĮȚ ıȦıIJȒ, Ȓ ȁȐșȠȢ, ĮȞ Ș ʌȡȩIJĮıȘ İȓȞĮȚ ȜĮȞșĮıȝȑȞȘ.

ǂ) ǹȞ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıIJȠ 0x țĮȚ ȝȚĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ g İȓȞĮȚ

ıȣȞİȤȒȢ ıIJȠ � �0f x , IJȩIJİ Ș ıȪȞșİıȒ IJȠȣȢ gof İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıIJȠ 0x .

ǃ) ȀȐșİ ıȣȞİȤȒȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘ įȚĮIJȘȡİȓ ʌȡȩıȘȝȠ ȝİIJĮȟȪ įȪȠ įȚĮįȠȤȚțȫȞ ȡȚȗȫȞ

IJȘȢ.

DŽ) ȉȠ ıȪȞȠȜȠ IJȚȝȫȞ ȝȚĮȢ ıȣȞİȤȠȪȢ țĮȚ ȝȘ ıIJĮșİȡȒȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f ȝİ ʌİįȓȠ

ȠȡȚıȝȠȪ IJȠ > @Į, ȕ İȓȞĮȚ IJȠ țȜİȚıIJȩ įȚȐıIJȘȝĮ > @m, M , ȩʌȠȣ m Ș İȜȐȤȚıIJȘ

țĮȚ Ȃ Ș ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ IJȘȢ.

Dž) ǹȞ ȝȓĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ĮȪȟȠȣıĮ ıİ ȑȞĮ ĮȞȠȚțIJȩ įȚȐıIJȘȝĮ

� �Į, ȕ , IJȩIJİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȚȝȫȞ IJȘȢ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ ĮȣIJȩ İȓȞĮȚ IJȠ ĮȞȠȚțIJȩ

įȚȐıIJȘȝĮ � � � �� �f Į , f ȕ .

dž) ǹȞ ȝȓĮ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f įİȞ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ ıİ ȑȞĮ įȚȐıIJȘȝĮ > @Į, ȕ , IJȩIJİ Ș f įİȞ

ʌĮȓȡȞİȚ ȠȪIJİ İȜȐȤȚıIJȘ ȠȪIJİ ȝȑȖȚıIJȘ IJȚȝȒ ıǯĮȣIJȩ IJȠ įȚȐıIJȘȝĮ.

Page 10: Γιώργος Μαυρίδης-Προτεινόμενα θέματα Γ Λυκείου (Α)

400 ƮǂljLjǍǂǕNJNjƽ ƥƘ ƭǖNjdžǀǐǖ

ƪƧƮƣ Ƥ

DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ > @f : 0, 2 o \ , Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ țĮȚ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ȠȜȚțȩ

İȜȐȤȚıIJȠ ȝȩȞȠ ȖȚĮ x 1 IJȠ � �f 1 3 țĮȚ ȠȜȚțȩ ȝȑȖȚıIJȠ ȝȩȞȠ ȖȚĮ x 2 IJȠ � �f 2 5 .

Ƥ1. ȃĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ıȪȞȠȜȠ IJȚȝȫȞ IJȘȢ f. Ƥ2. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ ȣʌȐȡȤİȚ � �0x 1, 2� IJȑIJȠȚȠ, ȫıIJİ � � � �0f x f 0 .

Ƥ3. ǹȞ İʌȚʌȜȑȠȞ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ȖȞȘıȓȦȢ ȝȠȞȩIJȠȞȘ ıİ țĮșȑȞĮ Įʌȩ IJĮ įȚĮıIJȒȝĮIJĮ > @0,1 țĮȚ > @1, 2 , IJȩIJİ:

ǂ) ȞĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİIJİ IJȠ İȓįȠȢ IJȘȢ ȝȠȞȠIJȠȞȓĮȢ IJȘȢ ıȣȞȐȡIJȘıȘȢ f ıİ țĮșȑȞĮ Įʌȩ IJĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ įȚĮıIJȒȝĮIJĮ

ǃ) ĮȞ � �f 0 4, ȞĮ ȕȡİȓIJİ IJȠ ʌȜȒșȠȢ IJȦȞ ȡȚȗȫȞ IJȘȢ İȟȓıȦıȘȢ � �f x Į ȖȚĮ IJȚȢ įȚȐijȠȡİȢ IJȚȝȑȢ IJȠȣ Į .�\

ƪƧƮƣ ƥ DzıIJȦ ıȣȞȐȡIJȘıȘ f: [Į, ȕ]o \ , Ș ȠʌȠȓĮ İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ, țĮȚ ȠȚ ȝȚȖĮįȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ

z Į ȕi � , � �1z Į if Į � țĮȚ � �2z ȕ if ȕ �

IJȑIJȠȚȠȚ ȫıIJİ

� � � �2 21 23 z z 4izz 4i Re z z� � .

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ:

ƥ1. � � � �2 22Įȕ Į ȕ f Į f ȕ � �

ƥ2. Ș İȟȓıȦıȘ � �f x 0 ȑȤİȚ ȝȓĮ IJȠȣȜȐȤȚıIJȠȞ ȡȓȗĮ ıIJȠ įȚȐıIJȘȝĮ � �Į, ȕ .

ƪƧƮƣ Ʀ ǻȓȞİIJĮȚ ȝȚȖĮįȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ z IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ z 1 țĮȚ Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f : o\ \ ȝİ IJȪʌȠ

� �f x z xi � ȖȚĮ țȐșİ x�\ .

ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİIJİ ȩIJȚ: Ʀ1. � �1 m z 1� d , d

Ʀ2. � � � �2f x x 2Im z x 1 � � � ȖȚĮ țȐșİ x�\

Ʀ3. Ș ıȣȞȐȡIJȘıȘ f İȓȞĮȚ ıȣȞİȤȒȢ

Ʀ4. ȣʌȐȡȤİȚ � �0x 1, 4� IJȑIJȠȚȠȢ, ȫıIJİ � �05

f x2

.