1

Σάββατο, 17 Νοεμβρίου 2012

Βοηθητικό Κεφάλαιο

Πραγματικοί αριθμοί

1. Πράξεις

Οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα :

Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού γίνονται όπως φαίνεται

στους παρακάτω πίνακες :

Πρόσθεση

Ομόσημοι Αριθμοί Βάζουμε το πρόσημό

τους

Προσθέτουμε

τις τιμές τους

Άθροισμα

7 + 15 + (7+15) = 22

- 7 - 15 - (7+15) = - 22

Ετερόσημοι Αριθμοί Βάζουμε το πρόσημο

του αριθμού με τη

μεγαλύτερη τιμή

Αφαιρούμε τις

τιμές

Άθροισμα

- 7 + 15 + (15 - 7) = + 8

7 - 15 - (15 - 7) = - 8

Πολλαπλασιασμός

Ομόσημοι Αριθμοί Βάζουμε το πρόσημο

+

Πολλαπλασιά-

ζουμε τις

τιμές τους

Γινόμενο

3 5 + 3 5 = 15

- 3 (- 5) + 3 5 = 15

Ετερόσημοι Αριθμοί Βάζουμε το πρόσημο

-

Πολλαπλασιά-

ζουμε τις

τιμές

Γινόμενο

3 (- 5) - 3 5 = - 15

-3 5 - 3 5 = - 15

Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες :

Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός Ονομασία Ιδιότητας

α + β = β + α α β = β α αντιμεταθετική

α + (β + γ) = (α + β) + γ α (βγ) = (αβ) γ προσεταιριστική

0 0,6 1 2 3 4 5 -1/2 -1 -2-2 -3 -4 -5

2

α + 0 = α α 1 = α

α + ( -α) = 0 α 1α

= 1 , α≠0

α (β + γ) = α β + α γ επιμεριστική

α 0 = 0

Για να βρούμε τη διαφορά α β δύο αριθμών προσθέτουμε στον πρώτο

τον αντίθετο του δεύτερου, δηλαδή α β α ( β ) .

Παράδειγμα : αν θέλουμε να βρούμε τη διαφορά του 8 με το 5 , θα κάνουμε

8 5 8 ( 5 ) 3 .

Για να βρούμε το πηλίκο α : β ή α

β δύο αριθμών, πολλαπλασιάζουμε το

α με το 1

β, δηλαδή, αν το β 0 , τότε

α 1α : β α

β β .

Τελειώνοντας με την βασική παρουσίαση των πραγματικών αριθμών και των

πράξεων που τους διέπουν πρέπει να αναφέρουμε και την ύπαρξη ενός

υπερσυνόλου των πραγματικών αριθμών .

Πρόκειται για το σύνολο των μιγαδικών αριθμών, οι οποίοι συμβολίζονται με

το γράμμα . Το σύνολο αυτό περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς

και επιπλέον το στοιχείο i τέτοιο, ώστε 2i 1 .

2. Δυνάμεις

Γνωρίζουμε ότι, η δύναμη vα με βάση τον αριθμό α και εκθέτη τον φυσικό

αριθμό v 1 είναι το γινόμενο από v παράγοντες ίσους με α .

Δηλαδή, v

v παραγοντες

α α α α α α .

Ορίζουμε ακόμη ότι 1α α ,

0α 1 με α 0 και

ν

ν

1α

α

με α 0 και ν 1,2,3, .

Για τις δυνάμεις, με εκθέτες ακέραιους αριθμούς ισχύουν οι ιδιότητες :

3

μ ν μ ν μ ν μ ν

ννν ν ν

ν

ν ν

μ ν μ ν

α α α α : α α

α αα β ( α β )

β β

α β( α ) α

β α

3. Ρίζες

Γνωρίζουμε ότι, η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α είναι ο θετικός

αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α .

Η τετραγωνική ρίζα του α συμβολίζεται με α .

Επομένως, αν α x , τότε 2x α ή

2( α ) α . Ορίζουμε ακόμα ότι 0 0 .

Ιδιότητες ριζών μη αρνητικών αριθμών :

α α α β α β , αν α 0 και β>0

ββ .

4. Διάταξη και Πράξεις

Γνωρίζουμε ότι από δύο αριθμούς, μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται

δεξιότερα πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

Έτσι το 2 1,5 1 0 0,5 1 κτλ.

ή 1 0,5 0 1 1,5 2 κτλ.

Δηλαδή, οι πραγματικοί αριθμοί είναι διατεταγμένοι πάνω στον άξονα των

πραγματικών αριθμών. Εάν πάρουμε δύο αριθμούς, για παράδειγμα τους 5 και

2 , για τους οποίους ισχύει ότι 5 2 , παρατηρούμε ότι είναι και 5 2 3 0 .

Ομοίως, για τους αριθμούς 6 και 8 .

Γενικά, για δύο πραγματικούς αριθμούς α,β ισχύουν τα ακόλουθα :

αν α β , τότε α β 0

αν α β , τότε α β 0 .

4

Ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού :

Αν προσθέσουμε και στα δύο μέλη μιας ανισότητας τον ίδιο αριθμό,

προκύπτει ανισότητα με την ίδια φορά.

Δηλαδή, αν α β , τότε α γ β γ .

Αν προσθέσουμε κατά μέλη δύο ή περισσότερες ανισότητες της ίδιας

φοράς, προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς.

Δηλαδή, αν α β και γ δ , τότε α γ β δ .

Αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με έναν θετικό αριθμό,

τότε προκύπτει ανισότητα της ίδιας φοράς.

Δηλαδή, αν α β και γ 0 , τότε α γ β γ .

Αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη μιας ανισότητας με αρνητικό αριθμό, τότε

προκύπτει ανισότητα αντίθετης φοράς.

Δηλαδή, αν α β και γ 0 , τότε α γ β γ .

Αλγεβρικές Παραστάσεις

1. Μονώνυμα

Οι εκφράσεις 4 α , 2α , 2α 3β , α β που περιέχουν μεταβλητές λέγονται

αλγεβρικές παραστάσεις.

Αν σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς

και εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται, προκύπτει ένας αριθμός που

λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής αυτής παράστασης.

Έτσι, για α 5 η τιμή της αλγεβρικής παράστασης 4 α είναι 4 5 20 και η

τιμή της 2α είναι

25 25 .

Στις αλγεβρικές παραστάσεις 4 α , 2α , α β σημειώνεται μόνο η πράξη του

πολλαπλασιασμού. Τέτοιες παραστάσεις έχει επικρατήσει να τις λέμε μονώνυμα.

Σε ένα μονώνυμο, για παράδειγμα 23αβ

8

, ο αριθμητικός παράγοντας

3

8

που

συνήθως γράφεται πρώτος, λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το

γινόμενο όλων των άλλων μεταβλητών του 2αβ , λέγεται κύριο μέρος του

μονωνύμου.

Δύο ή περισσότερα μονώνυμα που έχουν ίδιο κύριο μέρος, όπως τα

3 2 3 2 3 224x y ,8x y , x y

5 , λέγονται όμοια μονώνυμα.

Ιδιότητες μονωνύμων :

5

Το άθροισμα όμοιων μονωνύμων είναι ένα όμοιο με αυτά μονώνυμο που

έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών.

Δηλαδή, 2 2 2 22x 6x ( 2 6 )x 8x .

Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το

γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές

με εκθέτη σε καθεμία το άθροισμα των εκθετών της.

Δηλαδή, 2 2

2 1 8α β 8 α β8α β 4α

2αβ 2αβ 2 α β

.

Το άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια μεταξύ τους, για

παράδειγμα 22x 6x , λέγεται πολυώνυμο.

2. Αναγωγή Ομοίων Όρων

Σε ένα άθροισμα, για παράδειγμα το 3 5 1 7 , οι προσθετέοι 3,5, 1,7

λέγονται κα όροι του αθροίσματος.

Ομοίως και σε μια αλγεβρική παράσταση, για παράδειγμα την 23α 5β 4α β 2 , τα μονώνυμα 23α , 5β,4α,β, 2 λέγονται επίσης

όροι της αλγεβρικής παράστασης. Στην παράσταση αυτή, αν αντικαταστήσουμε

με τα όμοια μονώνυμα ή όπως λέμε τους όμοιους όρους με το άθροισμά τους,

έχουμε : 2 2 2 23α 5β 4α β 2 3α 4α 5β β 2

2 2( 3 4 )α ( 5 1)β 2 7α 4β 2 .

Όπως βλέπουμε, η αρχική αλγεβρική παράσταση που είχε πέντε όρους, έχει

συμπτυχθεί σε μια άλλη με τρείς όρους.

Γενικά, σε μια αλγεβρική παράσταση αντικαθιστούμε τους όρους με το άθροισμά

τους και η εργασία αυτή λέγεται αναγωγή ομοίων όρων.

3. Πολλαπλασιασμός Πολυωνύμων

Στην αλγεβρική παράσταση 22x( 3x 4 ) , που είναι γινόμενο με παράγοντες το

μονώνυμο 2x και το πολυώνυμο 23x 4 , μπορούμε να εφαρμόσουμε την

επιμεριστική ιδιότητα, οπότε έχουμε : 2 22x( 3x 4 ) 2x 3x 2x 4

36x 8x .

Γενικά, για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε

το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που

προκύπτουν.

6

Το γινόμενο ( α β ) ( γ δ ) γράφεται σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα :

( α β ) ( γ δ ) ( α β ) γ ( α β ) δ α γ β γ α δ β δ .

Δηλαδή, ( α β ) ( γ δ ) α γ β γ α δ β δ .

Γενικά, για να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο

του ενός με κάθε όρο του άλλου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν.

Όταν κάνουμε τον πολλαπλασιασμό μονωνύμου με πολυώνυμο ή δύο

πολυωνύμων, λέμε πολλές φορές ότι αναπτύσσουμε τα γινόμενα αυτά και το

αποτέλεσμα λέγεται ανάπτυγμα του γινομένου.

4. Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

Αν αναπτύξουμε ένα γινόμενο, για παράδειγμα το 2x( x y ) έχουμε :

22x( x y ) 2x 2xy . Η ισότητα αυτή αληθεύει για κάθε τιμή των μεταβλητών

x, y , αφού ο δύο παραστάσεις 2x( x y ) και 22x 2xy αντιπροσωπεύουν τον

ίδιο αριθμό. Για αυτό λέμε ότι η παραπάνω ισότητα είναι μια ταυτότητα.

Γενικά, κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις

τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα.

Οι παρακάτω ταυτότητες είναι πολύ χρήσιμες και πρέπει να τις γνωρίζουμε

καλά.

2 2 2 2 2( α β ) ( α β )( α β ) α αβ βα β α 2αβ β .

Επομένως, 2 2 2( α β ) α 2αβ β .

Αν στην παραπάνω ταυτότητα θέσουμε όπου β το β , έχουμε 2 2 2 2 2 2[α ( β )] ( α β ) α 2α( β ) ( β ) α 2αβ β .

Επομένως, 2 2 2( α β ) α 2αβ β .

Επίσης, 2 2 2 2( α β )( α β ) α αβ βα β α β . Επομένως,

2 2( α β )( α β ) α β .

Επιπλέον, 3 2 2 2( α β ) ( α β )( α β ) ( α β )( α 2αβ β )

3 2 2 2 2 3 3 2 2 3α 2α β αβ βα 2αβ β α 3α β 2αβ β .

Επομένως, 3 3 2 2 3( α β ) α 3α β 2αβ β .

Ισχύει επίσης, 3 2 2 2( α β ) ( α β )( α β ) ( α β )( α 2αβ β )

7

3 2 2 3α 3α β 2αβ β .

Επομένως, 3 3 2 2 3( α β ) α 3α β 2αβ β .

5. Παραγοντοποίηση Πολυωνύμων

Για λόγους συντομίας των υπολογισμών αλλά για άλλους (απλοποίηση

παραστάσεων, επίλυση εξισώσεων κτλ.) είναι χρήσιμο να μετατρέπουμε μια

παράσταση από άθροισμα σε γινόμενο.

Η διαδικασία αυτή, της μετατροπής λέγεται παραγοντοποίηση.

Στη συνέχεια θα δούμε τις πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις παραγοντοποίησης

πολυωνύμων :

Αν όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου έχουν κοινό παράγοντα, το πολυώνυμο

αυτό μετατρέπεται σε γινόμενο, σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα.

Έτσι, για παράδειγμα έχουμε μα μβ μγ μ( α β γ ) και λέμε ότι

“βγάζουμε κοινό παράγοντα” το μ .

Στο πολυώνυμο αx αy βx βy δεν έχουν όλοι οι όροι κοινό

παράγοντα. Αν όμως βγάλουμε, για παράδειγμα κοινό παράγοντα στους

δύο πρώτους το α και στους δύο τελευταίους το β , εμφανίζεται ως

κοινός παράγοντας το ( x y ) , οπότε το πολυώνυμο μπορεί να

παραγοντοποιηθεί.

Πράγματι, αx αy βx βy α( x y ) β( x y ) ( x y )( α β ) .

Όπως είδαμε, είναι 2 2( α β )( α β ) α β . Επομένως, ισχύει ότι 2 2α β ( α β )( α β ) . Παρατηρούμε λοιπόν, ότι με την ταυτότητα

αυτή μετατρέπουμε σε γινόμενο μια διαφορά τετραγώνων, όπως για

παράδειγμα 2 2 2x 36 x 6 ( x 6 )( x 6 ) .

Επειδή, 2 2 2( α β ) α 2αβ β και 2 2 2( α β ) α 2αβ β , ισχύει

ότι 2 2 2α 2αβ β ( α β ) και 2 2 2α 2αβ β ( α β ) αντίστοιχα.

Παρατηρούμε ότι με τις ταυτότητες αυτές μπορούμε να μετατρέψουμε ένα

άθροισμα τριών όρων σε γινόμενο, όταν αυτό είναι ανάπτυγμα

τετραγώνου. Έτσι, για παράδειγμα έχουμε 2 2 2 2 2 2α 10α 25 α 10α 5 α 2 α 5 5 ( α 5 ) .

6. Κλασματικές Αλγεβρικές Παραστάσεις

8

Μια αλγεβρική παράσταση, η οποία περιέχει ένα κλάσμα λέγεται κλασματική

αλγεβρική παράσταση.

Κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις είναι, για παράδειγμα, οι

2 2

1 20 2x 5, ,

x α 7 x y

.

Στην κλασματική αλγεβρική παράσταση 3x

x 2, η μεταβλητή x δεν μπορεί να

πάρει την τιμή 2 , γιατί τότε μηδενίζεται ο παρονομαστής της

παράστασης αυτής.

Ιδιότητες κλασματικών παραστάσεων :

λ α λ α γ α γ α γ α δ α δα :

ν ν β δ β δ β δ β γ β γ

.

7. Πρόσθεση - Αφαίρεση Κλασματικών παραστάσεων

Όταν προσθέτουμε ή αφαιρούμε ομώνυμα κλάσματα ισχύουν τα παρακάτω :

α γ α γ

β β β

και

α γ α γ

β β β

.

Όμως, για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ετερώνυμα κλάσματα, πρέπει

πρώτα να τα κάνουμε ομώνυμα. Έτσι έχουμε τα ακόλουθα :

α γ α δ β γ αδ βγ

β δ β δ β δ βδ

και

α γ α δ β γ αδ βγ

β δ β δ β δ βδ

.

Εξισώσεις

1. Εξισώσεις 1ου

βαθμού

Στο ορθογώνιο ABΓΔ με περίμετρο 18εκ., η μια πλευρά του είναι διπλάσια

από την άλλη. Να βρεθούν οι πλευρές του.

Αν είναι x η μικρότερη πλευρά του ορθογωνίου, τότε η μεγαλύτερη θα είναι 2x

και η περίμετρος του είναι x 2x x 2x . Επειδή η περίμετρος αυτή είναι

18εκ., έχουμε την εξίσωση x 2x x 2x 18 και διαδοχικά

6x 18 x 3 .

9

Άρα, οι πλευρές του ορθογωνίου είναι 3εκ. και 6εκ..

Η εξίσωση 6x 18 έχει έναν άγνωστο, το x , και η μεγαλύτερη δύναμη αυτού

είναι η πρώτη. Επομένως, λέμε ότι έχουμε μια εξίσωση 1ου

βαθμού ή μια

πρωτοβάθμια εξίσωση με έναν άγνωστο.

Τέτοιου είδους εξισώσεις λύνονται όπως φαίνεται στο προηγούμενο παράδειγμα.

2. Εξισώσεις 2ου

βαθμού

Πολλές φορές η επίλυση ενός προβλήματος δεν οδηγεί σε εξίσωση 1ου

βαθμού.

Να βρεθεί ένας αριθμός τέτοιος, ώστε το τετράγωνό του να είναι ίσο με το

επταπλάσιό του.

Αν x είναι ο ζητούμενος αριθμός, τότε πρέπει 2x 7x ή μπορούμε να γράψουμε

ισοδύναμα 2x 7x 0 .

Η ισότητα αυτή περιέχει έναν άγνωστο και μάλιστα η μεγαλύτερη δύναμη του

αγνώστου που εμφανίζεται είναι η 2η δύναμη. Επομένως, λέμε ότι έχουμε μια

εξίσωση 2ου

βαθμού ή μια δευτεροβάθμια εξίσωση.

Για να λύσουμε την εξίσωση αυτή έχουμε διαδοχικά :

2x 7x 0 x( x 7 ) 0 x 0 ή x 7 0

x 0 ή x 7 .

Άρα, οι λύσεις τις εξίσωσης είναι οι αριθμοί 0 και 7 .

3. Τύπος λύσεων εξισώσεων 2ου

βαθμού

Οι εξισώσεις 2ου

βαθμού δεν έχουν όλες την απλή μορφή, που συναντήσαμε

παραπάνω, οπότε πρέπει να έχουμε έναν γενικό τύπο γι’αυτές και για την εύρεση

της λύσης τους .

Η γενική μορφή των δευτεροβάθμιων εξισώσεων είναι

2αx βx γ 0 , με α 0 .

Επομένως, οι λύσεις της εξίσωσης 2αx βx γ 0 , με α 0 δίνονται από τον

γενικό τύπο

2β β 4αγx

2α

.

10

4. Κλασματικές Εξισώσεις

Μια εξίσωση, η οποία περιέχει τον άγνωστο x στον παρονομαστή λέγεται

κλασματική εξίσωση.

Για να ορίζονται οι όροι αυτής της εξίσωσης θα πρέπει ο παρονομαστής κάθε

κλάσματος να είναι διαφορετικός του μηδενός.

Για τη λύση τους κάνουμε κάποιες αλλαγές πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας

με ότι χρειάζεται ώσπου να προκύψει μια απλή εξίσωση 1ου

ή 2ου

βαθμού, την

οποία ξέρουμε πώς να λύσουμε.

Συναρτήσεις

1. Η έννοια της συνάρτησης

Μια ισότητα που συνδέει δύο μεταβλητές, όπως για παράδειγμα η y 2x ,

καθορίζει μια διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή της μεταβλητής x

αντιστοιχίζεται μία μόνο τιμή της μεταβλητής y .

Έτσι, για την παραπάνω ισότητα έχουμε :

για x 1 , το y 2 1 y 2

για x 2 , το y 2 2 y 4

για x 3 , το y 2 3 y 6 κτλ.

Μια τέτοια διαδικασία, όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα ονομάζεται

συνάρτηση. Συνήθως, μια συνάρτηση τη συμβολίζουμε με ένα γράμμα, για

παράδειγμα f .

Με τη βοήθεια ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων μπορούμε να

παραστήσουμε κάθε ζεύγος ( x,y ) αριθμών με ένα σημείο του επιπέδου, που

έχει τετμημένη x και τεταγμένη y .

Αν αυτό γίνει για όλα τα ζεύγη ( x, f ( x )) , μιας συνάρτησης f , τότε το σύνολο

των σημείων που βρίσκουμε λέγεται γραφική παράσταση της συνάρτησης

αυτής. Επειδή αυτό όμως είναι πρακτικά αδύνατο βρίσκουμε μερικά από τα

σημεία αυτά και τα ενώνουμε με μια συνεχή γραμμή.

2. Οι συναρτήσεις y α x και y α x β

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης της μορφής y α x είναι μια ευθεία

που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

11

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y α x β είναι μια ευθεία παράλληλη

στην ευθεία y α x .

Γενικά, κάθε εξίσωση της μορφής α x β y γ παριστάνει μια ευθεία ε .

Η εξίσωση αυτή λέγεται επίσης εξίσωση της ευθείας ε .

3. Οι συναρτήσεις 2y a x και 2y a x β x γ

Ένας αγρότης έχει περιφράξει με 10 μέτρα σύρμα ένα φυτώριο σχήματος

ορθογωνίου, του οποίου η μια πλευρά είναι τοίχος.

Εάν x είναι το πλάτος της μιας πλευράς του ορθογωνίου, τότε το μήκος του θα

είναι 10 2x και επομένως το εμβαδό του θα είναι E x(10 2x ) ή 2E 2x 10x . Η συνάρτηση αυτή λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.

Τετραγωνικές συναρτήσεις είναι για παράδειγμα και οι 2y x , 2y x 3 , 2y x 3x 1 , 2y 6 4x 5x .

Γενικά, τετραγωνική συνάρτηση λέγεται κάθε συνάρτηση της μορφής 2

y α x β x γ , με α 0 .

Η πιο απλή τετραγωνική συνάρτηση είναι η 2y x . Για να σχεδιάσουμε τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής φτιάχνουμε πρώτα ένα πίνακα τιμών

της.

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9

Παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη ( 3,9 ) , ( 2,4 ) , ( 1,1) ,

(0,0 ) , (1,1) , ( 2,4 ) και ( 3,9 ) και σχεδιάζουμε μια συνεχή καμπύλη που

διέρχεται από τα σημεία αυτά, όπως στο παρακάτω σχήμα.

12

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

2

4

6

8

y'

y

x' x(-1,1)

(-2,4)

(-3,9)

(1,1)

(2,4)

(3,9)

Η καμπύλη αυτή λέγεται παραβολή και συνηθίζετε να λέμε ‘η παραβολή 2y x ’.

Από τη γραφική παράσταση βλέπουμε τα εξής :

a) η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα x' x , δηλαδή για όλες τις

τιμές του x είναι y 0 ,

b) η παραβολή έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y' y και

c) η συνάρτηση 2y x έχει ελάχιστο y 0 , όταν το x 0 . Το σημείο

(0,0 ) λέγεται κορυφή της παραβολής 2y x .

Με τον ίδιο όπως και παραπάνω τρόπο, σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 2y x , η οποία είναι επίσης παραβολή.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 2y 2x 4x 6 , για 2 x 4 . Φτιάχνουμε τον πίνακα τιμών :

x -2 -1 0 1 2 3 4 2y 2x 4x 6 10 0 -6 -8 -6 0 10

Παριστάνουμε με σημεία του επιπέδου τα ζεύγη ( 2,10 ) , ( 1,0 ) , (0, 6 ) ,

(1, 8 ) , ( 2, 6 ) , ( 3,0 ) και ( 4,10 ) . Σχεδιάζουμε μια συνεχή καμπύλη που

διέρχεται από τα σημεία αυτά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

13

-2 -1 0 1 2 3 4

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x' x

y'

y

(-2,10)

(-1,0)

(0,-6)

(1,-8)

(2,-6)

(3,0)

(4,10)

Η καμπύλη αυτή είναι επίσης μια παραβολή. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση έχει

ελάχιστη τιμή 8 , για x 1 .

Γενικά, η συνάρτηση 2y αx βx γ , α 0 έχει ελάχιστο αν α 0 και

μέγιστο αν α 0 .

4. Η συνάρτηση α

yx

Ας υποθέσουμε τώρα ότι θέλουμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης 12

yx

.

Κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης.

x -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12 y -1 -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 1

Εάν τώρα τοποθετήσουμε τα ζεύγη του πίνακα σε ένα σύστημα αξόνων, θα

έχουμε τη γραφική παράσταση που φαίνεται παρακάτω και η οποία λέγεται

υπερβολή. Σχεδιάζουμε μια συνεχή καμπύλη που διέρχεται από τα σημεία αυτά,

όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

14

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

y'

y

x' x

(12,1)(6,2)

(4,3)

(3,4)

(2,6)

(1,12)

(-1,-12)

(-2,-6)

(-3,-4)

(-4,-3)(-6,-2)(-12,-1)

Πεδίο Ορισμού και Πεδίο Τιμών Συνάρτησης

Έστω μια συνάρτηση ορισμένη από το σύνολο A στο σύνολο B , το οποίο

συμβολίζεται με f : A B .

Το σύνολο A περιέχει όλες τις τιμές που δίνουμε στο x και ονομάζεται πεδίο

ορισμού της συνάρτησης f .

Το σύνολο B περιέχει όλες τις τιμές που δίνουμε στο f ( x ) και ονομάζεται

πεδίο τιμών της συνάρτησης f .

Πως προσδιορίζουμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης :

1. όταν η συνάρτηση δίνεται σε πολυωνυμική μορφή, δηλαδή 3 2f ( x ) αx βx γx δ , τότε το πεδίο ορισμού είναι πάντα το σύνολο

των πραγματικών αριθμών,

2. όταν η συνάρτηση είναι κλασματική, τότε το πεδίο ορισμού είναι το

σύνολο εκτός από τις τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή της

συνάρτησης,

3. όταν η συνάρτηση περιέχει ρίζες, τότε πρέπει η υπόριζη ποσότητα να

είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός και οι τιμές αυτές είναι που περιέχει

το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και

15

4. όταν η συνάρτηση είναι κλασματική και στον παρονομαστή του

κλάσματος υπάρχει ρίζα, τότε πρέπει η υπόριζη ποσότητα να είναι

καθαρά μεγαλύτερη του μηδενός και οι τιμές αυτές είναι που περιέχει το

πεδίο ορισμού της συγκεκριμένης συνάρτησης.

Απόλυτη Τιμή πραγματικού αριθμού

Θεωρούμε έναν αριθμό α , ο οποίος μπορεί να είναι κάποιος από τους αριθμούς

του άξονα των πραγματικών αριθμών που συναντήσαμε στην αρχή του

κεφαλαίου.

Απόλυτη τιμή αυτού του πραγματικού αριθμού είναι η απόστασή του από την

αρχή των αξόνων, δηλαδή από το σημείο (0,0 ) .

Η απόλυτη τιμή του αριθμού α συμβολίζεται με α .

Προκύπτουν τρείς διαφορετικές περιπτώσεις για την απόλυτη τιμή :

a) αν το α 0 , τότε η απόλυτη τιμή είναι α α , για παράδειγμα 3 3 ,

b) αν το α 0 , τότε η απόλυτη τιμή είναι 0 0 και

c) αν το α 0 , τότε η απόλυτη τιμή είναι α α , για παράδειγμα

3 ( 3 ) 3 .

16

Ασκήσεις -- Βοηθητικό Κεφάλαιο

Οι πραγματικοί αριθμοί

Άσκηση η

1 : Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις

α) 2 1

5 3 153 4

β) 3 5 7 41

( ) ( ) ( )2 4 5 40

γ) 2 4 4 2 5

( 1) ( 2 ) ( 2 )3 5 3 5 3

.

Άσκηση η

2 : Να υπολογίσετε τις παραστάσεις που ακολουθούν

α)

4 12

9 65 1

26 4

β)

31

42 3

( 1)3 4

γ)

83 ( 2 )

311

77 :4

.

Άσκηση η

3 : Αν θ είναι ένας θετικός αριθμός και α ένας αρνητικός αριθμός,

να βρείτε το πρόσημο των αριθμών : θ

3,

θ

4,

α

5,

α

6,

α θ

7

,

α θ

3

.

Άσκηση η

4 : Στην παράσταση 5x ( 2y x ) ( 2x 3y ) να απαλείψετε τις

παρενθέσεις και να βρείτε την αριθμητική τιμή για x 2 και y 3 .

Άσκηση η

5 : Να υπολογίσετε τις παραστάσεις που ακολουθούν

2 3 3 3A ( 9 ) 4 ( 2 ) [( 2 4 ): 2 6 ] , 1 2B (0,5 ) , 4 4Γ 16 : 8 ,

4 42 2

Δ3 3

και 5

5

( 8 )E

2

.

Άσκηση η

6 : Να κάνετε τις πράξεις α) 4 22x 5x β)

vα α γ) 2 23α β 2αβ

δ) 3 23α β ( 4αβ )

4 ε) 3 2 5α β 2αβ .

17

Άσκηση η

7 : Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις α) 3 8

6

2 2

2

β)

5

3

y

y γ)

20

10

x

x

δ) 20

10

x

x ε)

4

2

8ω

2ω στ)

7 4

5 5

6α β

2α β ζ)

2 3

5

3x y

6 x y

.

Άσκηση η

8 : Να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση το x : α) x2 2 16

β) 8 x3 : 3 27 γ) 2x( 3 ) 81 δ) 2x x 1 1

5 525

ε) x x 42 2 1 .

Άσκηση η

9 : Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 5 310 x 10 β)

3 410 x 10

γ) 4 710 x 10 δ)

5 2 410 x 10 10 ε) 4 2 3(10 ) 10 x 1 .

Άσκηση η

10 : Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων : α) 7 7 7

β) 6 7 2 7 γ) 14 5 8 3 11 5 8 3 2 5 δ) 3 12

ε) 3 27 στ) 7 3

3 7 ζ)

11 36

12 11 η) 3 2 5 10 4 45 θ)

3

12

ι) 10 3

6

κ) 8 2 λ) 45 20 μ) 3 ( 2 3 )

ν) 5 (1 10 ) ξ) ( 2 3 )( 2 3 ) .

Άσκηση η

11 : α) Αν α β , να συγκρίνετε τους αριθμούς 3α 4γ και 3β 4γ .

β) Αν x y και x, y θετικοί αριθμοί, να διατάξετε τους αριθμούς x y

1, ,y x

από το

μικρότερο στο μεγαλύτερο.

Άσκηση η

12 : Να λύσετε τις ανισώσεις α) 6 4x 9x 12 β) 5x

x 3 13

.

18

Αλγεβρικές Παραστάσεις

Άσκηση η

1 : Να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων που ακολουθούν

α) 3α γδ , αν α 7 , γ 12 και δ 2

β) λ( 5 2κμ ) μ( 8 λν ) , αν κ 3, λ 7, μ 7 και ν 5 .

Άσκηση η

2 : Να κάνετε τις πράξεις : α) 13α 27α β) 2 214μ 15μ

γ) 3 34β 8 2β δ) 2 2 2 219R R 3R 7R ε) xyω 2xyω 5xyω .

Άσκηση η

3 : Να βρείτε τα γινόμενα : α) 254ω ω

4 β) 2 3( 2ω) 3ω

γ) 2 3 21xx x αxy ( 9xy )

3

δ) 2 31 3x x ( 4x )

2 2

.

Άσκηση η

4 : Να κάνετε τις πράξεις : α) 10α 2( α 3 ) 3( α 4 )

β) 5x 2(6 3x ) 4( 2 x ) γ) 3α( α β 2 ) 5β( β 2α )

δ) 2 2 22x( x 1) 3x ( x 3 ) 2x 5( x 1) ε) 2( x x 1)( x 1) .

Άσκηση η

5 : Να βρείτε τα αναπτύγματα : α) 2( μ ν ) β) 2( λ 1)

γ) 2( 2α 3) δ) 21( α )

α ε) 21

( 2x )2x

στ) 22( x 3y )

3 ζ) 21

( x y )2

.

Άσκηση η

6 : Να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς : α) ( 2α 3β )( 2α 3β )

β) 2 3 2 31 1(7κ λ )(7κ λ )

4 4 γ) 2 2( x 2y ) ( 8x 3y )( 8x 3y ) (7 y x )

δ) 3 3 2 2( α β ) ( α β ) 3( α β ) ( α β ) 3( α β )( α β ) .

19

Άσκηση η

7 : Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες με ότι λείπει

α) 2 2( 3 ) 9α

β) 2 2( 3x ) 25y

γ) 2 4 2( ) 25x 10x y .

Άσκηση η

8 : Αν α 6 5 και β 6 5 , να υπολογίσετε την αριθμητική

τιμή της παράστασης 2 23α 7αβ 3β .

Άσκηση η

9 : Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα : α) 4y 6 β) 18 9κ

γ) 224t 40t δ) 216xy 12y ε) 2 210α β 8αβ στ) 3 23x y 6xy 9xy .

Άσκηση η

10 : Να παραγοντοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις :

α) α( x y ) β( x y ) β) x( α β ) y( α β ) γ) 5κ( x y ) x y

δ) 2( 2x 1)( 3y 2 ) 7x ( 3y 2 ) ε) 2( α 2x )x ( α 2x )( α β ) .

Άσκηση η

11 : Να απλοποιήσετε τις αλγεβρικές παραστάσεις : α) 2α

3α β)

2

6φ

18φ

γ ) 2

3

3( x 1)

6( x 1)

δ)

2

2

x 6 x 9

x 3x

ε)

2

2

ω 8ω 16

ω 16

στ)

2 2

2 2

2x 2y

2x 12xy 18 y

.

Άσκηση η

12 : Να κάνετε τις πράξεις : α) 1 1

α β β)

1 1

2 x γ)

31

t δ)

1 x

5 y

ε) 2 2x 4x 6 x x 9

3x 5 3x 5

στ)

x x

x 5 x 5

ζ)

1 1( x y )

x y

η) μ ν 1 1

:ν μ μ ν

θ)

1 1 1xyω

x y ω

ι)

2 2

2 α

α β α β

.

20

Εξισώσεις

Άσκηση η

1 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 3( x 2 ) 4( x 5 ) 10( x 4 )

β) x 1 4x 2

3 14

και γ)

8x 22 5( x 7 )20 8

4 2

.

Άσκηση η

2 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2(1 3x ) 4 6x 1 β) 4x 3 7x

γ) 4x 6 8x 10

5 43 9

και δ)

2x 32( x 1)

9

.

Άσκηση η

3 : Δίνεται η εξίσωση 3x y 2 .

α) Να συμπληρώσετε τον πίνακα λύσεων της εξίσωσης

x 0 2 y 5 0

β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση των λύσεων αυτής με σημεία του επιπέδου.

γ) Να εξετάσετε εάν τα ζεύγη ( 3, 7 ) και ( 1,5 ) είναι λύσεις της εξίσωσης.

Άσκηση η

4 : Διαθέτουμε 20 ευρώ για την αγορά αναψυκτικών. Πόσες

λεμονάδες και πόσες πορτοκαλάδες μπορούμε να πάρουμε, εάν η κάθε λεμονάδα

κοστίζει 1 ευρώ και η κάθε πορτοκαλάδα 2 ευρώ ;

Άσκηση η

5 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2x 3x 0 β)

2x 5x 0

γ) 23x 12x 0 δ)

27x 8x 0 και ε) 21,5x 18x 0 .

Άσκηση η

6 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2x 9 0 β)

2x 8 0

γ) 25x 30 0 δ)

22x 1 0 ε) 20,3t 2,7 0 και στ) 2 75

12ω 012

.

Άσκηση η

7 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2x 5x 6 0 β)

2x x 12 0

γ) 23x 21x 30 0 δ)

22x 14x 12 0 και ε) 2x 3x 5 0 .

Άσκηση η

8 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2( x 4 )( x 5 ) 0

β) x( x 1)( x 2 ) 0 γ) 23x( x 1)( 2x 8 ) 0 .

Άσκηση η

9 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2ω 6ω 8 0 β)

23x 5x 2 0

γ) 25φ 3φ 9 0 δ) 22s 4s 1 0 και ε)

29x 12x 4 0 .

Άσκηση η

10 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2 29y 3y 64 10y 9y

β) 29( ω 2 ) 8ω 4ω( 2ω 1) 14 γ) ( φ 2 )( φ 1) ( φ 2 )( φ 1) 4

δ) 2( 2κ 3 ) ( κ 1)( κ 4 ) 9κ ε) 2 2( 9s 5s 7 ) ( 5s 7s 9 ) 2

στ) 2 2 2( x 4 ) ( x 2 ) ( x 3 ) και ζ) 2 2 2x 24x 7 ( x 8 ) ( x 8 ) .

21

Άσκηση η

11 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2ω ω 90 0 β) 2 1 x

x3 6

γ) 23 2x 2x

2 3 και δ)

225 6x x 0 .

Άσκηση η

12 : Να λύσετε την εξίσωση 2( x 1)( x 5x 6 ) 0 .

Άσκηση η

13 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 6

2x 1

β) 2

32k 1

γ) 1 7

2 y 4 4

δ)

x 22

2 x ε)

3x 5 3x 2

x 1 x 1

και στ)

x 3 x 1

3x 2 3x 4

.

Άσκηση η

14 : Να εξετάσετε εάν έχουν τις ίδιες λύσεις οι εξισώσεις :

α) 2 x

x 4 4 x

και

x 4 4 x

2 x

, β)

2x 43

x 2

και 2x 4 3( x 2 ) .

Συναρτήσεις

Άσκηση η

1 : Να βρείτε τα f ( 2 ) , f (0 ) και f ( 2 ) για τις παρακάτω

συναρτήσεις : α) 3 2f ( x ) x 5x 6x 7 β) 3x 2

f ( x )x 1

γ)

x 5f ( x )

x 1

.

Άσκηση η

2 : Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) y 3x β) y 5x και γ) y 0,6x .

Άσκηση η

3 : Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y x

και y x .

Άσκηση η

4 : Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή

των αξόνων, αν γνωρίζετε ότι αυτή διέρχεται επίσης και από το σημείο (1,3 ) .

Άσκηση η

5 : Να εξετάσετε εάν τα σημεία A( 15,50 ) , B(1,8,0,4 ) , Γ(0,6 ) ,

Δ( 2,5,5 ), 13

Ε( ,4 ) και Z(1,3 ) ανήκουν στην ευθεία y 3x 5 .

Άσκηση η

6 : Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων, τις ευθείες y 3x 1 ,

2y x 1

3 και y 0,5x 1 .

Άσκηση η

7 : Να σχεδιάσετε τις παραβολές α) 2y 3x και β) 22y x

5 .

22

Άσκηση η

8 : Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις έχουν μέγιστο και

ποιες ελάχιστο α) 2y 0,7x , β) 2y 2x , γ) 23

y x4

και δ) 2y 1,38x .

Άσκηση η

9 : Να σχεδιάσετε τις παραβολές α) 2y 2x 8 και β) 2y x 3 ,

για 3 x 3 .

Σε κάθε περίπτωση να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της κάθε συνάρτησης.

Άσκηση η

10 : Να σχεδιάσετε τις υπερβολές α) 1

yx

, β) 1

yx

και

γ) 15

yx

.

Πεδίο Ορισμού και Πεδίο τιμών μιας Συνάρτησης

Άσκηση η

1 : Ποιο είναι το πεδίο ορισμού για την καθεμία από τις παρακάτω

συναρτήσεις ; α) 3 2f ( x ) 3x 6x 5x 2 , β) 2g( x ) 2x 8x 3 ,

γ) h( x ) 4x 9 και δ) 2p( x ) ( x 2 ) .

Άσκηση η

2 : Ποιο είναι το πεδίο ορισμού για την καθεμία από τις παρακάτω

συναρτήσεις ; α) 2

f ( x )x

, β) 1

g( x )x 2

, γ) 2x

h( x )2x 4

,

δ) 2x 1

p( x )x 3

, ε)

2x 2x 4q( x )

5x 7

και στ)

2

x 5r( x )

x 3x 4

.

Άσκηση η

3 : Ποιο είναι το πεδίο ορισμού για την καθεμία από τις παρακάτω

συναρτήσεις ; α) f ( x ) x , β) g( x ) 2 x 3 , γ) h( x ) 5 2x 6 ,

δ) x 2

p( x )4

, ε)

6 3x 7q( x )

59

και στ)

3xr( x )

9 .

Άσκηση η

4 : Ποιο είναι το πεδίο ορισμού για την καθεμία από τις παρακάτω

συναρτήσεις ; α) 2

f ( x )x

, β) 2x 3

g( x )x 7

, γ)

x 4h( x )

2x 5

,

δ) 2x 5x 6

p( x )x 4

, ε)

5xq( x )

4 x

και στ)

4r( x )

8x 8

.

23

Άσκηση η

5 : Ποιο είναι το πεδίο ορισμού για την καθεμία από τις παρακάτω

συναρτήσεις ; α) 2

1f ( x )

x 5x 6

, β)

2 x 2g( x )

x 4

,

γ) 5

h( x )9x 6

και δ) p( x ) 5x 8 .

Απόλυτη Τιμή πραγματικού αριθμού

Άσκηση η

1 : Ποιες τιμές μπορεί να πάρει ο x , αν α) x 5 και β) x 4 6 .

Άσκηση η

2 : Να λυθούν οι εξισώσεις α) x 4 2 x 1 και β) x 2 x .

Άσκηση η

3 : Να λυθεί η εξίσωση 3 x 1 2x 1 .

Άσκηση η

4 : Να βρείτε ποιες τιμές μπορεί να πάρει το x όταν α) x 1 0 ,

β) x 6 , γ) 2 x 3 , δ) x 1 1 και ε) x 5 .

Άσκηση η

5 : Να λύσετε τις εξισώσεις α) 7 x 4 2 x 5 ,

β) ( 3 x 5 ) ( x 2 ) 2( x 1) 3 και

γ) ( 2 x 1) ( 3 x 7 ) 5 [( x 3 ) 4 x ] .

Καλή Ενασχόληση !!!!