Τετάρτη, 17 Οκτωβρίου 2012

Κεφάλαιο ο

2

Περιγραφική Στατιστική

Βασικές Έννοιες και Ορισμοί

Άσκηση η

1 : Μελετούμε τους κατοίκους μιας πόλης ως προς τις ιδιότητες :

α) ηλικία, β) ανάστημα, γ) εισόδημα, δ) επάγγελμα, ε) μορφωτικό επίπεδο.

Ποιες από τις παραπάνω ιδιότητες είναι ποιοτικές και ποιες είναι ποσοτικές ;

Άσκηση η

2 : Έγινε μια δειγματοληπτική έρευνα για το βάρος εμπορευμάτων

μιας αποθήκης λαχανικών. Βρήκαμε ότι τα βάρη 10 κιβωτίων είναι σε κιλά 17 ,

12, 12, 15, 18, 22, 24, 25, 19, 20 .

Να βρείτε : α) ποιος είναι ο πληθυσμός γ) ποιο είναι το δείγμα

β) ποια είναι τα άτομα δ) ποια είναι η μεταβλητή.

Άσκηση η

3 : Σε ένα Λύκειο θέλουμε να εξετάσουμε την επίδοση 10 μαθητών

στη Στατιστική στο τέλος του β΄ τετραμήνου. Πήραμε τις επόμενες βαθμολογίες :

15, 11, 10, 10, 13, 16, 11, 18, 19, 14 .

Να βρείτε : α) ποιος είναι ο πληθυσμός γ) ποια είναι η μεταβλητή

β) ποια είναι τα άτομα δ) είναι ποιοτική ή ποσοτική

ε) είναι συνεχής ή διακριτή.

Άσκηση η

4 : Ποια από τις παρακάτω μεταβλητές είναι διακριτή ποσοτική :

α) το βάρος των μαθητών

β) η μηνιαία κατανάλωση ρεύματος

γ) ο χαρακτηρισμός της διαγωγής των μαθητών

δ) ο αριθμός των απουσιών

ε) η ποιότητα του περιεχομένου των βιβλίων.

Άσκηση η

5 : Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις :

1

α) Οι τιμές που μπορεί να πάρει μια ποιοτική μεταβλητή δεν είναι αριθμοί.

β) Οι ποιοτικές μεταβλητές διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς.

γ) Όσο πιο μεγάλο είναι το μέγεθος του δείγματος, τόσο πιο μεγάλα είναι τα

σφάλματα δειγματοληψίας.

Άσκηση η

6 : Για να βρούμε ποιες εκπομπές στην τηλεόραση έχουν τη

μεγαλύτερη ακροαματικότητα αποφασίσαμε να πάρουμε δείγμα 500 τηλεθεατών.

Ποιος είναι, κατά τη γνώμη σας, ο καλύτερος από του παρακάτω τρόπους, για να

πάρουμε το δείγμα ; Είναι καλύτερο να πάρουμε :

α) μόνο άνδρες, β) μόνο γυναίκες, γ) άτομα από τις μεγάλες πόλεις

δ) άτομα μόνο από την επαρχία, ε) άτομα από διάφορες περιοχές.

Άσκηση η

7 : Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις :

α) Ένα σύνολο στο οποίο εξετάζουμε τα στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα

χαρακτηριστικά του λέγετε .

β) Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε ένα πληθυσμό λέγονται

.

γ) Τις μεταβλητές τις διακρίνουμε : σε , των οποίων οι τιμές δεν

είναι αριθμοί, σε , των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί και

χωρίζονται σε , που παίρνουν μόνο διακεκριμένες τιμές και σε

, που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος

πραγματικών αριθμών.

δ) Οι αρχές και οι μέθοδοι για τη συλλογή και ανάλυση δεδομένων από κάποιον

πληθυσμό είναι το αντικείμενο της , αποτελεί τη βάση της

Στατιστικής.

Άσκηση η

8 : Ποιες από τις παρακάτω μεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες

ποσοτικές ; Από τις ποσοτικές ποιες είναι διακριτές και ποιες συνεχείς ;

α) βάρος στ) τόπος καταγωγής

2

β) αριθμός τροχαίων ατυχημάτων ζ) επάγγελμα

γ) φύλο η) αριθμός παιδιών στην οικογένεια

δ) οικογενειακή κατάσταση θ) βαθμολογία στο σκάκι

ε) στάθμη που ποταμού Ενιπέα ι) νούμερο γυναικείων παπουτσιών.

Άσκηση η

9 : Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις :

α) Τι ονομάζουμε μεταβλητές και ποια η διάκρισή τους ;

β) Πότε μια μεταβλητή ονομάζεται ποιοτική και πότε ποσοτική ;

γ) Τι λέμε δείγμα και τι μέγεθος δείγματος ;

Άσκηση η

10 : Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις :

α) Για να βρούμε τα ποσοστά των ανδρών κα των γυναικών στην Ελλάδα,

πηγαίνουμε σε μια μεγάλη στρατιωτική μονάδα και ρωτάμε όλους τους

στρατιώτες, πόσοι άνδρες και πόσες γυναίκες υπάρχουν στην οικογένειά τους.

β) Κάποιος θέλει να σχηματίσει μια ιδέα για το αποτέλεσμα των επερχόμενων

βουλευτικών εκλογών. Τηλεφωνεί λοιπόν σε συγγενείς και φίλους του και τους

ρωτάει σχετικά.

γ) Για να εκτιμήσουμε το κατά κεφαλή εισόδημα των Ελλήνων παίρνουμε ένα

δείγμα από το Κολωνάκι των Αθηνών.

δ) Για να δούμε πως διασκεδάζουν οι νέοι της χώρας μας επιλέγουμε κάποιους

μαθητές από διάφορα Λύκεια σε όλη την Ελλάδα και τους ρωτάμε σχετικά.

ε) Ο διευθυντής ενός Λυκείου αποφάσισε να καταγράψει τους λόγους της

απουσίας των μαθητών από το σχολείο κατά τη διάρκεια της σχολικής χρονιάς.

Για το λόγο αυτό πήρε ως δείγμα όσους απουσίασαν το μήνα Νοέμβριο.

Συχνότητα Παρατηρήσεων

Άσκηση η

11 : Χρησιμοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων, που δείχνει

την κατάσταση του αριθμού των ημερών απουσίας από την εργασία λόγω

ασθένειας 60 εργατών.

α) Να βρείτε τον αριθμό των εργατών που απουσίασαν 3 ημέρες και τον αριθμό

3

των εργατών που απουσίασαν λιγότερο από 9 ημέρες.

β) Να βρείτε το ποσοστό των εργατών που απουσίασαν λιγότερες από 6 και το

ποσοστό των εργατών που απουσίασαν ακριβώς 12 ημέρες.

Ο πίνακας είναι

Άσκηση η

12 : Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την κατανομή των εργατών ενός

εργοστασίου ανάλογα με τα χρόνια υπηρεσίας τους.

α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών

και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων.

β) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων.

γ) Ποιο ποσοστό των εργατών έχει τουλάχιστον 10 χρόνια υπηρεσίας ;

Άσκηση η

13 : Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις :

α) Οι ποσότητες i i ix ,v , f για ένα δείγμα συγκεντρώνονται σε ένα πίνακα, που

ονομάζεται ή απλά .

β) Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα iv με το μέγεθος v του δείγματος, προκύπτει η

της τιμής ix .

Ημέρες

Απουσίας

0 1 2 3 4 5 6 8 10 12

Αριθμός

Εργατών

6 12 3 9 3 6 3 12 3 2

Χρόνια

υπηρεσίας

2 4 6 8 10 12 14 15

Αριθμός

Εργατών

4 2 5 3 6 9 8 7

4

Τετάρτη, 17 Οκτωβρίου 2012

Κεφάλαιο o

2

Περιγραφική Στατιστική

Ομαδοποίηση Παρατηρήσεων

Άσκηση η

1 : Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις :

α) Σε ομαδοποιημένα δεδομένα, συχνότητα μιας παρατήρησης είναι η κεντρική

τιμή.

β) Η συχνότητα iv είναι ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται

η τιμή ix της μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων.

γ) Το ιστόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση ενός πίνακα

συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα.

δ) αν διαιρέσουμε τη συχνότητα iv μιας μεταβλητής Χ με το μέγεθος v του

δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα if της τιμής ix .

ε) Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο είναι

απαραίτητο να ταξινομηθούν τα δεδομένα σε κλάσεις.

στ) Οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης ενός δείγματος μπορούν να

αντιπροσωπευθούν από τις κεντρικές τιμές τους.

ζ) Η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων μιας κατανομής με

ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται με το ιστόγραμμα συχνοτήτων.

Άσκηση η

2 : Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις :

α) Τι ονομάζουμε συχνότητα μιας τιμής ix της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ ; Με

τι ισούται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των τιμών μιας μεταβλητής Χ ;

β) Τι λέμε σχετική συχνότητα μιας τιμής ix της εξεταζόμενης μεταβλητής ; Με τι

ισούται το άθροισμα των σχετικών συχνοτήτων των τιμών μιας μεταβλητής Χ ;

γ) Πώς υπολογίζεται η κεντρική τιμή όταν έχουμε δεδομένα ομαδοποιημένα σε

κλάσεις ;

5

Άσκηση η

3 : Η βιβλιοθήκη ενός σχολείου περιέχει 300 λογοτεχνικά βιβλία, 155

επιστημονικά, 90 ιστορικά και 175 εγκυκλοπαιδικά. Να κατασκευαστεί το

κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων.

Άσκηση η

4 : Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την κατανομή των κερδών που

πληρώνονται στους μετόχους μιας εταιρείας σε ένα συγκεκριμένο χρόνο :

Κέρδος

(χιλ. ευρώ)

25 30 40 60 80 110

νi 18 55 140 124 96 20

α) Συμπληρώστε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων με τη στήλη της αθροιστικής

συχνότητας.

β) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα συχνοτήτων .

Άσκηση η

5 : Τα βάρη 30 μαθητών ( σε kg ) μιας τάξης Λυκείου είναι τα

παρακάτω : 45, 50, 58, 48, 60, 63, 54, 70, 62, 64, 48, 53, 57, 62, 72, 48, 65, 50,

70, 69, 74, 61, 48, 63, 49, 52, 46, 59, 66.

α) Να ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε κλάσεις με πλάτος 5 και να

συμπληρώσετε τις στήλες : κεντρική τιμή, συχνότητα, αθροιστική συχνότητα,

σχετική συχνότητα και αθροιστική σχετική συχνότητα.

β) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων.

Άσκηση η

6 : α) Αντιγράψτε τον παρακάτω πίνακα και συμπληρώστε τον πίνακα

με τις στήλες αθροιστικής και σχετικής αθροιστικής συχνότητας.

Κλάσεις [30,36) [36,42) [42,48) [48,54)

xi

vi 6 12 9 3

β) Κατασκευάστε το πολύγωνο σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων.

γ) Να βρείτε την τιμή κάτω από την οποία βρίσκεται το 40% των παρατηρήσεων

και το ποσοστό των τιμών που είναι μικρότερες της τιμής 45.

6

Άσκηση η

7 : Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι ηλικίες ενός αριθμού οδηγών

κούρσας :

α) Να κατασκευάσετε ένα πίνακα συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και

αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

β) Πόσοι οδηγοί πήραν μέρος στην κούρσα ;

γ) Πόσοι από τους οδηγούς είναι μικρότεροι των 28 ;

δ) Ποιο είναι το ποσοστό των οδηγών που είναι μεγαλύτεροι των 27 χρόνων ;

ε) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων.

στ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο των αθροιστικών

συχνοτήτων.

Άσκηση η

8 : Οι παρακάτω αριθμοί δίνουν τις γεννήσεις παιδιών κάθε μέρα του

Ιουνίου σε μια πόλη : 18, 50, 20, 10, 16, 10, 23, 35, 40, 42, 60, 40, 48, 36, 12,

41, 53, 59, 64, 40, 18, 52, 17, 24, 25, 29, 54, 58, 16, 32.

α) Να ομαδοποιήσετε τις παρατηρήσεις σε κλάσεις με πλάτος 10 και να

συμπληρώσετε τις στήλες : κεντρική τιμή, συχνότητα, αθροιστική συχνότητα,

σχετική συχνότητα και σχετική αθροιστική συχνότητα.

β) Να γίνει το ιστόγραμμα και το πολύγωνο συχνοτήτων.

γ) Να γίνει το ιστόγραμμα και το πολύγωνο των αθροιστικών και των σχετικών

αθροιστικών συχνοτήτων.

Άσκηση η

9 : α) Τα παρακάτω είναι ποσά ( σε ευρώ ) που πληρώθηκαν από 25

φοιτητές για τα βιβλία τεστ κατά τη διάρκεια των εξετάσεων : 42, 35, 37, 60, 50,

42, 50, 16, 58, 39, 33, 39, 23, 53, 51, 48, 41, 49, 62, 40, 45, 37, 62, 30, 23.

Να ομαδοποιήσετε τα δεδομένα σε κλάσεις με πλάτος 5, αρχίζοντας από το 15

και να σχεδιάσετε ένα ιστόγραμμα και ένα πολύγωνο συχνοτήτων.

β) Η βαθμολογία 50 φοιτητών στις εξετάσεις ενός μαθήματος είναι : 3, 4, 5, 8,

9, 7, 6, 8, 7, 10, 8, 7, 6, 5, 9, 3, 8, 5, 6, 6, 6, 3, 5, 6, 4, 2, 9, 8, 7, 7, 1, 6, 3, 1, 5,

8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 9, 8, 7, 6, 5.

Ηλικία

σε χρόνια

[16,20) [20,24) [24, 28) [28,32) [32,36) [36,40)

Αριθμός

Ατόμων

2 7 14 8 6 3

7

α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανομής συχνοτήτων και σχετικών

συχνοτήτων .

β) Από τον πίνακα αυτό να εκτιμήσετε το ποσοστό των φοιτητών που πήραν

βαθμό μικρότερο του 5, μεγαλύτερο ή ίσο του 9 και τουλάχιστον 7.

Άσκηση η

10 : Τα παρακάτω δεδομένα αντιπροσωπεύουν την επίδοση 50

υποψηφίων για την πρόσληψή τους σε μια ιδιωτική σχολή : 6, 7, 8, 5, 1, 4, 7, 3,

9, 9, 2, 5, 3, 8, 6, 7, 7, 6, 8, 1, 3, 0, 1, 4, 9, 0, 9, 7, 8, 6, 1, 2, 3, 5, 4, 6, 6, 4, 3, 2,

8, 8, 7, 7, 6, 5, 5, 9, 2, 4.

α) Να παραστήσετε τα δεδομένα σε έναν πίνακα συχνοτήτων.

β) Να κατασκευάσετε το διάγραμμα σχετικών και αθροιστικών σχετικών

συχνοτήτων .

γ) αν η σχολή θελήσει να πάρει όσους είχαν επίδοση μεγαλύτερη ή ίση του 8,

πόσους θα πάρει ;

8

Τετάρτη, 17 Οκτωβρίου 2012

Κεφάλαιο o

2

Περιγραφική Στατιστική

Παράμετροι Θέσης – Παράμετροι Διασποράς – Συντελεστής Μεταβλητότητας

Άσκηση η

1 : Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις :

α) Η επικρατούσα τιμή ορίζεται και σε ποιοτικές και σε ποσοτικές μεταβλητές.

β) Η επικρατούσα τιμή είναι μοναδική.

γ) Η διάμεσος ενός δείγματος είναι μια παράμετρος θέσης, η οποία δεν

επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις.

δ) Η μέση τιμή μιας μεταβλητής Χ δεν επηρεάζεται από τις ακραίες

παρατηρήσεις.

ε) Η διάμεσος ενός δείγματος v τιμών είναι μοναδική.

στ) Σε ομαδοποιημένα δεδομένα δεν ορίζεται η διάμεσος.

ζ) Στο σύνολο των παρατηρήσεων 0, 2, 8, 6, 7, 10, 20 δεν υπάρχει επικρατούσα

τιμή.

Άσκηση η

2 : α) Δίνονται σε kg τα εξής βάρη : 3, 6, 6, 12, 9, 12, 5, 12, 18, 17.

Να υπολογίσετε την μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. Καθώς

επίσης την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής.

β) ) Δίνονται σε kg τα εξής βάρη : 1, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 1. Να

υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο και την επικρατούσα τιμή. Καθώς επίσης

την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή μεταβολής.

Άσκηση η

3 : Ο διπλανός πίνακας δείχνει τη μεσημεριανή θερμοκρασία

μετρημένη στη Λάρισα σε 30 διαδοχικές ημέρες.

Θερμοκρασία oC

12 13 14 15 16 17 19

Αριθμός

Ημερών

1 7 4 3 5 3 7

Να υπολογίσετε : α) τη μέση τιμή, επικρατούσα τιμή και την διάμεσο και

9

β) το εύρος, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.

Άσκηση η

4 : Δίνεται ο πίνακας :

α) Να συμπληρώσετε τις τιμές που

λείπουν και τις στήλες της σχετικής

συχνότητας, αθροιστικής

συχνότητας και σχετικής αθροιστικής συχνότητας.

β) Να βρείτε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλιση.

γ) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα συχνοτήτων.

Άσκηση η

5 : α) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα, στον οποίο

παρουσιάζονται οι απουσίες 80 μαθητών μιας τάξης ενός Λυκείου, αν

γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή είναι x 15 .

β) Να υπολογίσετε τη διακύμανση.

Άσκηση η

6 : Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με τις

αντίστοιχες συχνότητές τους. Η πέμπτη συχνότητα χάθηκε!

Μπορείτε να την “ανακαλύψετε”, εάν γνωρίζετε ότι :

α) η μέση τιμή είναι 4,4

β) η διάμεσος είναι 4,5

γ) υπάρχουν δύο επικρατούσες τιμές ;

Κλάσεις ix iv

[30,36) 5

[36,42) 11

[42,48) 3

[48,54) 3

Απουσίες Μαθητές i iv x

10 x

20 y

20 5

v 80

ix 2 3 4 5 6 7

iv 1 3 1 2 1

10

Περιγραφική Στατιστική

Συχνότητα Παρατήρησης : iv

Σχετική Συχνότητα Παρατήρησης : if

Η σχετική συχνότητα υπολογίζεται από τον τύπο ii

vf

v, όπου v είναι το

πλήθος των παρατηρήσεων.

Σχετική Συχνότητα % : if 100% .

Αθροιστική Συχνότητα Παρατήρησης : η στήλη της προκύπτει ως εξής,

διατηρούμε το iv ίδιο, για την πρώτη γραμμή και στη συνέχεια

προσθέτουμε τα υπόλοιπα ένα-ένα ώσπου να συμπληρωθούν όλες οι

γραμμές και η τελευταία να είναι το πλήθος των παρατηρήσεων v .

Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Παρατήρησης : η στήλη της προκύπτει ως

εξής, διατηρούμε το if ίδιο, για την πρώτη γραμμή και στη συνέχεια

προσθέτουμε τα υπόλοιπα ένα-ένα ώσπου να συμπληρωθούν όλες οι

γραμμές και η τελευταία να είναι ο αριθμός 1 .

Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Παρατήρησης % : η στήλη της προκύπτει

ως εξής, διατηρούμε το if 100% ίδιο, για την πρώτη γραμμή και στη

συνέχεια προσθέτουμε τα υπόλοιπα ένα-ένα ώσπου να συμπληρωθούν

όλες οι γραμμές και το άθροισμά τους να είναι 100 .

Όταν έχουμε ομαδοποιημένες παρατηρήσεις, το ix είναι το μέσο κάθε

κλάσης.

Υπολογίζεται ως εξής, έστω μια κλάση [5,15 ) , τότε το ix που ζητάμε

είναι i

5 15 20x 10

2 2, άρα το ix 10 .

11

Μέση τιμή : i ix vx

v.

Διάμεσος : διάμεσος δ ενός δείγματος v παρατηρήσεων που έχουν

διαταχθεί από το μικρότερο στο μεγαλύτερο ονομάζεται :

a) η μεσαία παρατήρηση αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι

περιττός αριθμός

b) το ημιάθροισμα των μεσαίων παρατηρήσεων αν το πλήθος είναι

άρτιος αριθμός.

Περιττοί αριθμοί είναι : 1,3,5,7,9, και

Άρτιοι Αριθμοί είναι : 2,4,6,8,10, .

Εύρος : εύρος είναι η διαφορά της μικρότερης τιμής από τη μεγαλύτερη.

Διακύμανση : η διακύμανση υπολογίζεται από τον τύπο

2 22 1 1 k kv ( x x ) v ( x x )

sv

.

Τυπική απόκλιση : η τυπική απόκλιση υπολογίζεται από τον τύπο

2 2

1 1 k kv ( x x ) v ( x x )s

v.

Ο συντελεστής μεταβλητότητας ή συντελεστής μεταβολής υπολογίζεται

από τον τύπο τυπικη αποκλιση s

CV 100%μεση τιμη x

.

12