Είναι άραγε νεκρός ο Ευκλείδης;

Εἶναι ἄραγε νεκρός ὁ Εὐκλείδης

ΓιωργοςndashΣωκρατης ∆Σ Σmicroυρλης

c2006 Γιῶργος-Σωκράτης ∆Σ Σmicroυρλῆς

῾Η εἰκόνα στό ἐξώφυλλο ἀποτελεῖ ἔργο τοῦ Barnett Newman (1905-1970) τό ὁποῖο ϕέρει τόντίτλο The Death of Euclid Τό ἔργο αὐτό τοῦ 1947 ἀποτελεῖ ἄθελά του προποmicroπό ἐκστρατείαςτῶν Bourbaki ἐναντίον τῆς Εὐκλειδείου Γεωmicroετρίας Σηmicroειωτέον ὅτι ἡ τέχνη τοῦ Barnett New-man ὁ ὁποῖος ἀποτελεῖ ἐκπρόσωπο τῆς microετακυβιστικῆς σχολῆς ἀντιστρατεύθηκε τήν ἀπόλυταγεωmicroετρική ἐκδοχή τοῦ κυβισmicroοῦ


Γιῶργος-Σωκράτης ∆-Σ Σmicroυρλῆςdagger

Περίληψη

Κατά τήν διάρκεια τοῦ δευτέρου ἡmicroίσεος τῆς δεκαετίας τοῦ ΄60 ἡ Εὐκλείδειος Γεωmicroετρία ἡὁποία microέχρι τότε ἀποτελοῦσε ϐασικό microέσο διδασκαλίας ϑεmicroελιωδῶν microαθηmicroατικῶν ἐννοιῶνκαί microεθόδων παραmicroερίστηκε σταδιακά ἀπό τά σχολικά ἐγχειρίδια τῶν πλείστων χωρῶν τῆς∆ύσεως Οἱ ὀλέθριες συνέπειες τῆς microεταρρυθmicroίσεως αὐτῆς κατέστησαν εmicroφανεῖς πολύ σύν-τοmicroα Στήν Κύπρο ἡ microεταρρύθmicroιση αὐτή έλαβε χώραν στά microέσα τῆς δεκαετίας τοῦ ΄80Τά συmicroπτώmicroατα τῶν microεταρρυθmicroίσεων αὐτῶν καθώς καί τοῦ γενικότερου παραmicroερισmicroοῦ τῶνἀποδείξεων στή δευτεροβάθmicroια ἐκπαίδευση τῆς Κύπρου ἀναλύονται microέσω ἐmicroπειριῶν ἀπότούς ϕοιτητές τοῦ Πανεπιστηmicroίου Κύπρου

1 Εἰσαγωγικά

Πρό πέντε περίπου ἐτῶν ἔδωσα σειρά ὁmicroιλιῶν σέ καθηγητές τῆς δευτεροβάθmicroιας ἐκπαιδεύσεως(∆Ε) τῆς Κύπρου σέ συνέδρια ∆ιδακτικῆς τῶν Μαθηmicroατικῶν καθώς καί στό Τρίτο πρόγραmicromicroατοῦ Ραδιοφωνικοῦ ᾿Ιδρύmicroατος Κύπρου microέ ϑέmicroα τίς συνέπειες ἀπό τήν κατάργηση (ἤ ἔστω τόνπαραmicroερισmicroό) τῆς Εὐκλειδείου Γεωmicroετρίας (ΕΓ) στήν ∆Ε τῆς Κύπρου Τό παρόν ἆρθρο ϐασίζεταιἐν πολλοῖς σrsquo ἐκεῖνες τίς ὁmicroιλίες ἐνῶ εἶναι διανθισmicroένο microέ συmicroπεράσmicroατα ἀπό πρόσφατες ἐmicro-πειρίες καί γεγονότα Πέραν τοῦ παραmicroερισmicroοῦ τῆς ΕΓ παρετηρήθη καί σταδιακή ἐπιδείνωσητοῦ ἐπιπέδου τῶν νεοεισερχοmicroένων ϕοιτητῶν στό Πανεπιστήmicroιο Κύπρου στά Μαθηmicroατικά ῾Ηἐπιδείνωση αὐτή ἀναmicroφιβόλως ὀφείλεται στίς πρόσφατες ἐκπαιδευτικές microεταρρυθmicroίσεις

῾Η δοmicroή τοῦ παρόντος ἄρθρου εἶναι ἡ ἀκόλουθη

Παράγραφος 2 Παρουσίαση γενικῶν διαπιστώσεων στούς νεοεισερχόmicroενους ϕοιτητές τοῦ τmicroή-microατος Μαθηmicroατικῶν καί Στατιστικῆς

Παράγραφος 3 Αναφορά χαρακτηριστικῶν παραδειγmicroάτων ἀπό τήν προσωπική microου ἐmicroπειρίαἀλλά καί ἀπό τήν ἐmicroπειρία συναδέλφων ὅπου ἀναδεικνύονται οἱ ἐλλείψεις καίἀδυναmicroίες τῶν ἀποφοίτων τῶν κυπριακῶν λυκείων

daggerΤmicroῆmicroα Μαθηmicroατικῶν καί Στατιστικῆς Πανεπιστήmicroιο Κύπρου Καλλιπόλεως 75 1678 Λευκωσία ΤΚ 20537Κύπρος E-mail smyrlisucyaccy

Dagger ῾Η ἀνά χεῖρας ἐργασία ἔχει ὑποστηριχθεῖ ἀπό τό ἐρευνητικό πρόγραmicromicroα τοῦ Πανεπιστηmicroίου Κύπρου 8037-3312-21005

Οἱ περισσότερες ἀπό τίς ὁmicroιλίες ἐκεῖνες ἔφεραν τόν τίτλο lsquoΕἶναι ἄραγε νεκρός ὁ Εὐκλείδης ἤ Οἱ συνέπειες ἀπότήν κατάργηση τῆς Εὐκλειδείου Γεωmicroετρίας στή δευτεροβάθmicroια ἐκπαίδευση τῆς Κύπρουrsquo

1

2 Γενικές διαπιστώσεις

Παράγραφος 4 ῾Ιστορία τῶν microεταρρυθmicroίσεων ᾿Ιδιαιτέρως δέ ἐξετάζεται πῶς ϕθάσαmicroε στήν κα-τάργηση τῆς ΕΓ στήν ∆Ε τῆς Κύπρου

Παράγραφος 5 Σύντοmicroη εἰσαγωγή στήν ΕΓ Τί εἶναι Πότε ἐmicroφανίζεται Πῶς ἐπηρέασε τάΜαθηmicroατικά γενικότερα Πῶς ἐπηρέασε τούς ἀρχαίους ϕιλοσόφους ἀλλά καίτούς συγχρόνους ἐπιστήmicroονες

Παράγραφος 6 ῾Η ἐπανάσταση τῶν ὑπολογιστῶν Οἱ ὑπολογιστές δύνανται νά ἀποτελέσουνἄριστο ἐποπτικό microέσο γιά τήν καλύτερη κατανόηση τῆς ΕΓ

Παράγραφος 7 ᾿Επίλογος Τί δέον γενέσθαι

Πηγή τῶν πληροφοριῶν microου ἀπετέλεσε σειρά ἐπαφῶν microέ κύπριους λειτουργούς τῆς ∆Ε οἱὁποῖοι microοῦ microετέφεραν τίς προσωπικές τους ἐmicroπειρίες ᾿Επίσης εἶχα τή δυνατότητα νά microελετήσωἐγχειρίδια Μαθηmicroατικῶν πού χρησιmicroοποιοῦνται στά κυπριακά γυmicroνάσια καί λύκεια Τέλος Ϲων-τανή πηγή ἐmicroπειριῶν καί πληροφοριῶν ἀπετέλεσαν καί ἐξακολουθοῦν νά ἀποτελοῦν οἱ ϕοιτητέςτοῦ Πανεπιστηmicroίου Κύπρου


∆έν ἀποτελεῖ οὐδόλως ἀσύνηθες ϑέmicroα συζητήσεως microεταξύ τῶν συναδέλφων τοῦ τmicroήmicroατος Μαθη-microατικῶν καί Στατιστικῆς τοῦ Πανεπιστηmicroίου Κύπρου καί τῶν ῾Ελλαδιτῶν ἐπισκεπτῶν τό ἐπίπεδοκαί ἡ γενική microαθηmicroατική κατάρτιση τῶν ἑκάστοτε νεοεισερχοmicroένων ϕοιτητῶν ῎Εχει διαπιστωθεῖὅτι ἐνῶ οἱ πρωτοετεῖς microας εἶναι ἐπαρκῶς ἐξοικειωmicroένοι microέ ἀσκήσεις ὑπολογιστικῆς ϕύσεωςἀσκήσεις δηλαδή οἱ ὁποῖες ἀπαιτοῦν σειρά ὑπολογισmicroῶν ἤ ἐφαρmicroογή γνωστῶν τύπων γιά νάἐπιλυθοῦν οἱ ἴδιοι ϕοιτητές ἀδυνατοῦν ἤ στήν καλύτερη περίπτωση δυσκολεύονται νά ἐπιλύ-σουν ἀποδεικτικές ἀσκήσεις Αὐτές εἶναι ἀσκήσεις τῶν ὁποίων τό Ϲητούmicroενο ἤ διαφορετικά τόἀποδεικτέο προκύπτει ὡς τό τελικό ϐῆmicroα microιᾶς ἀποδεικτικῆς διαδικασίας δηλαδή microιᾶς σειρᾶςπροτάσεων οἱ ὁποῖες εἴτε ἀποτελοῦν δεδοmicroένα ἤ γνωστά ϑεωρήmicroατα εἴτε προκύπτουν ἀπό προ-ηγούmicroενες προτάσεις microέσω λογικῶν κανόνων

᾿Επί πλέον ἐνῶ διαθέτουν ἀρκετή πεῖρα στήν ἐφαρmicroογή συνταγῶν ἐπιλύσεως προβληmicroάτων δένἔχουν κατανοήσει γιατί καί πότε ἐπιτρέπεται νά χρησιmicroοποιηθοῦν οἱ συνταγές αὐτές ᾿Ιδιαιτέ-ϱως σέ ἀσκήσεις στίς ὁποῖες πρέπει νά ἀκολουθηθεῖ microιά σειρά ϐηmicroάτων ὑπό προϋποθέσεις οἱπρωτοετεῖς microας δέν ϑεωροῦν ἀναγκαῖο νά ἀναφέρουν σέ ποιές περιπτώσεις ἐπιτρέπεται τό κάθεϐῆmicroα ᾿Επιπροσθέτως ὑπάρχει ἐmicroφανής ἀδυναmicroία διατυπώσεως τῶν microαθηmicroατικῶν συλλογισmicroῶνἀκόmicroη καί στά γραπτά ῾Η ἀδυναmicroία αὐτή εἶναι ἐmicroφανέστερη ὅταν οἱ ἀπόφοιτοι τῶν κυπρι-ακῶν λυκείων συγκρίνονται microέ αὐτούς τῶν ἑλλαδικῶν Μιά χαρακτηριστική παρατήρηση τῶνἐπισκεπτῶν καθηγητῶν ἀπό ἑλλαδικά πανεπιστήmicroια εἶναι ὅτι

Πολύ λίγες λέξεις ἐmicroφανίζονται στά γραπτά τῶν πρωτοετῶν ϕοιτητῶν microας

∆ίδεται ἡ ἐντύπωση ὅτι οἱ νέοι microας δέν ἔχουν ποτέ διδαχθεῖ πῶς νά ἐπεξηγήσουν microέ λόγια τίκάνουν καί γιατί ὅταν ἐπιλύουν ἀσκήσεις ῾Η γενικότερη γλωσσική ἀνεπάρκεια τῶν ἀποφοίτωντῶν κυπριακῶν λυκείων εἶναι ἕνα πολύ microεγάλο πρόϐληmicroα τό ὁποῖο δέν ἀποτελεῖ ϐεβαίως ἀπο-κλειστική εὐθύνη τοῦ τρόπου διδασκαλίας τῶν Μαθηmicroατικῶν ∆υστυχῶς ὅmicroως τό πρόβληmicroα αὐτό

3 Χαρακτηριστικά παραδείγmicroατα

παρουσιάζει συνεχῆ ἐπιδείνωση Αναmicroφιβόλως ἡ ἀδυναmicroία ἐκφράσεως στά ῾Ελληνικά ἐπηρεάζειτόσο τήν ἱκανότητα ἐκφράσεως στά Μαθηmicroατικά ἀλλά καί αὐτήν τήν καλή κατανόηση λεπτῶνmicroαθηmicroατικῶν ἐννοιῶν


Εἶναι σηmicroαντικό νά ἀναφερθοῦν microερικά χαρακτηριστικά παραδείγmicroατα (Τά παραδείγmicroατα Α Βκαί ∆ ἀπαιτοῦν τεχνικές γνώσεις γιά νά κατανοηθοῦν)

Α ῾Υπολογισmicroός ὁρισmicroένων ὁλοκληρωmicroάτων

Σέ τάξη Απειροστικοῦ Λογισmicroοῦ ἔχοντας διαπιστώσει ὅτι οἱ ϕοιτητές εἶχαν πολύ microεγαλύτερηπεῖρα ἀπό microένα στόν ὑπολογισmicroό ἀορίστων ὁλοκληρωmicroάτων ἔδωσα τήν ἑξῆς ἁπλῆ ἄσκηση

Νά ὑπολογισθεῖ ἡ τιmicroή τοῦ ὁλοκληρώmicroατοςint 1

minus2

dxx2

῾Η microοναδική λύση πού ἔλαβα ἀπό τούς ϕοιτητές ἦταν int 1

minus2

dxx2 = minus1

x

∣∣∣∣1

minus2=

(minus1

1

)minus

(minus 1minus2

)= minus3

2

Βεβαίως τό ἀνωτέρω ὁλοκλήρωmicroα δέν ὁρίζεται καί ἡ ἀνωτέρω διαδικασία δέν ἔχει ἔννοια ἀφοῦ ἡσυνάρτηση 1

x2 ἀπειρίζεται στό x = 0 ῞Οταν ὑπέβαλα τήν ἐρώτηση

Πῶς εἶναι δυνατόν τό ὁλοκλήρωmicroα microιᾶς ϑετικῆς συναρτήσεως τῆς 1x2 νά εἶναι ἀρνητικό

῾Ως ἀπάντηση ἔλαβα σιωπή Κανένας δέν ἦταν σέ ϑέση κἄν νά τό παρατηρήσει Γνώριζαν λοιπόνοἱ ϕοιτητές τῆς τάξεως ἐκείνης κατά τυφλό microηχανικό τρόπο τή microεθοδολογία τῆς ὁλοκληρώσεωςδέν εἶχαν ὅmicroως ἐπαρκῆ διαισθητική κατανόηση τοῦ τί εἶναι ὁλοκλήρωmicroα

Β Πεδίο ὁρισmicroοῦ λύσεων διαφορικῶν ἐξισώσεων

Σέ microιά ἄλλη περίπτωση σέ τάξη Συνήθων ∆ιαφορικῶν ᾿Εξισώσεων κατά τή διάρκεια τῆς δεύτερηςἑβδοmicroάδος τῶν microαθηmicroάτων εἶχα δώσει σέ κατrsquo οἶκον ἐργασία τήν ἑξῆς ἄσκηση [2]

῾Η περιουσία κάποιου ἀνθρώπου microεταβάλλεται microέ ϱυθmicroό ἀνάλογο τοῦ τετραγώνου τῆς ἑκάστοτετιmicroῆς της Αν σηmicroέρα εἶναι pound1000 καί microετά ἀπό ἕνα χρόνο pound2000 τότε πόσο ϑά γίνει microετά ἀπό15 καί 25 χρόνια

Στό πρόβληmicroα αὐτό ἡ ἐξέλιξη τῆς περιουσίας περιγράφεται ἀπό τήν διαφορική ἐξίσωση xprime = κx2

microέ συνθῆκες x(0) = 1000 καί x(1) = 2000 Χρησιmicroοποιῶντας στοιχειώδη microέσα προκύπτει ὅτιἡ λύση τοῦ προβλήmicroατος εἶναι ἡ συνάρτηση

x(t) =20002minus t


ὅπου τό x microετρᾶται σέ λίρες καί τό t σέ χρόνια Στήν ἐρώτηση τί ϑά συmicroβεῖ στήν περιουσία microετάἀπό 15 καθώς καί microετά ἀπό 25 χρόνια αντικαθιστῶντας στόν ἀνωτέρω τύπο λαmicroβάνεται ὅτι

x(15) = 4000 καί x(25) = minus4000

Οἱ πλεῖστοι τῶν ϕοιτητῶν δέν παρατήρησαν κἄν ὅτι ἡ περιουσία ἐνῶ αὐξάνεται καθίσταται ἀρνη-τική Μερικοί ἀπό τούς ϕοιτητές κατάλαβαν ὅτι κάτι δέν πάει καλά ἀλλά δέν microπόρεσαν νάδώσουν ἐξήγηση

῾Η ἀπάντηση ἐδῶ εἶναι ὅτι ἡ λύση microιᾶς συνήθους διαφορικῆς ἐξισώσεως ἔχει ὡς πεδίο ὁρισmicroοῦ

ἕνα διάστηmicroα ἄρα ἡ συνάρτηση x(t) =20002minus t

δύναται νά ὁρίζεται εἴτε στό (minusinfin 2) εἴτε στό

(2 +infin) ∆έν δύναται ὅmicroως νά ὁρίζεται στήν ἕνωσή τους διότι αὐτή δέν ἀποτελεῖ διάστηmicroα Λόγωτῶν ἀρχικῶν συνθηκῶν ἐπιλέγεται τό πρῶτο διάστηmicroα Στήν ἐρώτηση λοιπόν Μέ τί ἰσοῦταιἡ περιουσία microετά ἀπό 25 χρόνια ῾Η ἀπάντηση εἶναι ὅτι τά δεδοmicroένα τοῦ προβλήmicroατος δένἐπιτρέπουν στήν περιουσία νά ὁρίζεται ἀπό τά δύο χρόνια καί microετά ἤ ὅτι τά συγκεκριmicroένοmicroοντέλο περιγραφῆς τῆς περιουσίας δέν ἔχει ἔννοια γιά t ge 2

Παρά τό γεγονός ὅτι δέν ἀποτελεῖ στόχο microου στό παρόν στάδιο νά κρίνω εἰς ϐάθος τά σχο-λικά ἐγχειρίδια στό ϐιβλίο Μαθηmicroατικά ἐπιλογῆς Γ΄ Λυκείου (1996) [8] δίδεται ὡς ὁρισmicroόςλύσεως microιᾶς διαφορικῆς ἐξισώσεως Κάθε συνάρτηση πού τήν ἐπαληθεύει (παράβαλε σελίδα206) Παραλείπεται τό ϐασικότερο χαρακτηριστικό τῆς ϕύσεως τοῦ πεδίου ὁρισmicroοῦ τῶν λύσεωντῶν διαϕορικῶν ἐξισώσεων πού εἶναι ἡ συνεκτικότητα ῾Ως γνωστόν microιά συνήθης διαφορικήἐξίσωση ἀποτελεῖ σχέση microεταξύ κάποιας Ϲητούmicroενης συναρτήσεως καί τῆς παραγώγου αὐτῆςἤτοι περιγράφει τόν τρόπο microε τόν ὁποῖο microεταβάλλεται ἤ ἐξελίσσεται ἡ Ϲητούmicroενη συνάρτησησέ σχέση microέ τήν ἑκάστοτε τιmicroή της Συνδυάζοντας τή γνώση τοῦ τρόπου microεταβολῆς microέ τή γνώ-ση κάποιας ἀρχικῆς συνθήκης εἴmicroαστε σέ ϑέση νά ϐροῦmicroε συνήθως κατά microοναδικό τρόπο τήϹητούmicroενη συνάρτηση ἤ λύση Αὐτή ἡ διαδικασία ἡ ἐξελικτική διαδικασία ὁρίζει λύση microέπεδίο ὁρισmicroοῦ διάστηmicroα καί ὄχι ἕνωση ξενῶν ἀνοικτῶν διαστηmicroατῶν microεταξύ τῶν ὁποίων δέν δύ-ναται νά microεταφερθεῖ ἡ πληροφορία τῆς ἀρχικῆς συνθήκης Σηmicroειωτέον ὅτι στό κεφάλαιο 10 τοῦπροαναφερθέντος ἐγχειριδίου πού ϕέρει τόν τίτλο ∆ιαφορικές ᾿Εξισώσεις δέν ἐmicroφανίζονται οὔτεmicroιά ϕορά οἱ ὅροι πεδίο ὁρισmicroοῦ καί microοναδικότητα λύσεων ᾿Επίσης δέ δίδεται καmicroία ἔmicroφαση σέἀσκήσεις ϕυσικῶν ἐφαρmicroογῶν τῶν διαφορικῶν ἐξισώσεων

Γ Πλήν ἐπί πλήν ἴσον σύν

Σέ κάποια κοινωνική ἐκδήλωση στήν Πάφο σέ συνοmicroιλία πού εἶχα microέ τόν τότε ΜητροπολίτηΠάφου καί νύν Αρχιεπίσκοπο Κύπρου Χρυσόστοmicroο ΙΙ ὁ Μακαριώτατος microοῦ εἶπε ὅτι ποτέ δένκατανόησε γιατί

Πλήν ἐπί πλήν ἴσον σύν

καί συγκεκριmicroένα

Πῶς αὐτό ϑά ἦταν δυνατόν νά ἐξηγηθεῖ microέσω χειροπιαστῶν παραδειγmicroάτων


Τό ἐρώτηmicroα ϐεβαίως αὐτό εἶναι οὐσιαστικό καί γιά νά δοθεῖ ἱκανοποιητική ἀπάντηση ἀπαιτεῖταιἀρκετός χρόνος ῾Η κατανόηση τοῦ ἀνωτέρω ἐρωτήmicroατος προϋποθέτει τήν κατανόηση τῶν ἀρνη-τικῶν ἀριθmicroῶν Παραδείγmicroατα τέτοιων ἀποτελοῦν ἡ κάτω τοῦ microηδενός ϑερmicroοκρασία τό δάνειο εἰςἀντιδιαστολήν τῆς καταθέσεως ἡ ἀπώλεια ἤ microείωση χρηmicroάτων ἤ ἄλλων ἀγαθῶν ῾Ο δέ ἀρνητικόςχρόνος ἀποτελεῖ τόν παρελθόντα χρόνο

Αν λοιπόν γιά παράδειγmicroα ὑποτεθεῖ ὅτι ὑπό κατάλληλες συνθῆκες ἡ ϑερmicroοκρασία σώmicroατοςmicroειοῦται microέ ϱυθmicroό 5C ἀνά ὥρα ἤ ἰσοδύναmicroα microεταβάλλεται microέ ϱυθmicroό minus5C ἀνά ὥρα τότε αὐτόσηmicroαίνει ὅτι πρίν ἀπό δύο ὧρες ἤ ἐντός minus2 ὡρῶν ἡ ϑερmicroοκρασία τοῦ σώmicroατος αὐτοῦ ἦταν κατά10C ψηλότερη ἀπrsquo ὅτι τώρα ∆ηλαδή

(minus2 ὧρες)times minus5Cὥρα = +10C

Κατrsquo ἀνάλογο τρόπο ἄς ὑποθέσοmicroε ὅτι σέ κάποιο κατάστηmicroα πού δέν λειτουργεῖ ἀρκετά ἀποτελε-σmicroατικά γιά κάθε πελάτη πού ἐπισκέπτεται τό κατάστηmicroα αὐτό ὑπάρχει κατά microέσο ὅρο ἀπώλειαpound10 Αν λοιπόν κάποια ἡmicroέρα ἐπισκεφθοῦν τό κατάστηmicroα 10 πελάτες λιγότεροι τότε τό κατάστη-microα ἀναmicroένεται νά ἔχει λόγω ἀκριβῶς τοῦ microικροτέρου ἀριθmicroοῦ πελατῶν κέρδος pound100 ∆ηλαδή

(minus10 πελάτες)times minuspound10πελάτη = pound100

῎Εθεσα τό ἐρώτηmicroα αὐτό σέ ϕοιτητές τοῦ τmicroήmicroατος Μαθηmicroατικῶν καί Στατιστικῆς τοῦ Πανεπιστη-microίου Κύπρου Συγκεκριmicroένα τούς Ϲήτησα νά microοῦ δώσουν χειροπιαστό παράδειγmicroα microέσω τοῦὁποίου γίνεται κατανοητό γιατί πλήν ἐπί πλήν ἴσον σύν οἱ ἀπαντήσεις πού ἔλαβα ἦταν κάτιπερισσότερο ἀπό ἀποκαρδιωτικές ῞Ενας ἀπrsquo αὐτούς εἶπε Μά ἔτσι δέν ὁρίζεται

῎Εmicroαθαν λοιπόν οἱ νεοεισερχόmicroενοι ϕοιτητές microας πού ἀποτελοῦν τήν ἐλίτ τῶν κυπριακῶν λυκεί-ων νά δέχονται ὅτι τούς λέγεται κατά τρόπο δογmicroατικό ἔmicroαθαν νά microήν σκέφτονται νά microήνἀmicroφισβητοῦν Εἶναι χαρακτηριστικό ὅτι ὁ Μακαριώτατος ἀπόφοιτος κλασσικοῦ λυκείου τήδεκαετία τοῦ ΄60 ἔmicroαθε ἄν microή τί ἄλλο νά διερωτᾶται γιατί πράγmicroατι ἰσχύουν ὅλοι αὐτοί οἱἀφηρηmicroένοι microαθηmicroατικοί νόmicroοι ῎Εmicroαθε νά ἀmicroφισβητεῖ

∆ ᾿Ανάπτυξη λογικῶν συλλογισmicroῶν καί ἀρνήσεων αὐτῶν

῞Ενα ἀπό τά σοβαρότερα προβλήmicroατα πού παρατηροῦmicroε σχετίζεται microέ τίς τεράστιες δυσκολίες πούἀντιmicroετωπίζουν οἱ πρωτοετεῖς microας στήν κατανόηση καί ἀνάπτυξη λογικῶν συλλογισmicroῶν Συλλογι-σmicroῶν δηλαδή οἱ ὁποῖοι ἄν και δύνανται νά διατυπωθοῦν microέσω συmicroβόλων τῆς ΜαθηmicroατικῆςΛογικῆς στήν πραγmicroατικότητα ἀποτελοῦν συλλογισmicroούς κοινῆς λογικῆς

Τό παράδειγmicroα πού ἀκολουθεῖ δέν εἶναι ἁπλό ῞Οmicroως microέσω αὐτοῦ καταδεικνύονται σοβαρέςἀδυναmicroίες τοῦ ἐκπαιδευτικοῦ microας συστήmicroατος

῾Ορισmicroός Λέmicroε ὅτι ἡ ἀκολουθία annisinN sub R συγκλίνει στό a isinR συmicroβολικά an rarr a ἄνγιά κάθε ε gt 0 ὑπάρχει NisinN ὥστε

n ge N =rArr |an minus a| lt ε


῾Ο ἀριθmicroός a ὀνοmicroάζεται ὅριο τῆς ἀκολουθίας annisinN

῾Ο ὁρισmicroός αὐτός ὁ ὁποῖος ὀφείλεται στόν Cauchy (1821) microᾶς λέγει ὅτι

῞Οσο microικρό κιrsquo ἄν εἶναι τό ε gt 0 ὅλοι οἱ ὅροι τῆς ἀκολουθίας annisinN ἀπό κάποιο δείκτη Nκαί microετά ϐρίσκονται στό διάστηmicroα (aminus ε a + ε)

∆ηλαδή γιά κάθε ε gt 0 ὑπάρχει NisinN ὥστε

aN aN+1 aN+2 isin (aminus ε a + ε)

Μία ϕαινοmicroενικά ἁπλή ἄσκηση γιά τήν ὁποία ἀπαιτεῖται ἁπλῶς ἡ χρήση τοῦ ἀνωτέρω ὁρισmicroοῦκαί ϐεβαίως ἡ χρήση τῆς κοινῆς λογικῆς εἶναι ἡ ἀκόλουθη

Νά ἀποδειχθεῖ ὅτι ἡ ἀκολουθίαan = (minus1)n n isin N

δέν συγκλίνει σέ κανένα πραγmicroατικό ἀριθmicroό

Στήν ἀνωτέρω ἀκολουθία οἱ ὅροι microέ ἄρτιο δείκτη ἰσοῦνται microέ 1 ἐνῶ οἱ ὅροι microέ περιττό δεί-κτη ἰσοῦνται microέ minus1 Μία τέτοια ἀκολουθία δέν εἶναι δυνατόν ϐεβαίως νά συγκλίνει σέ κάποιοπραγmicroατικό ἀριθmicroό

῾Η πρώτη δυσκολία πού ἀντιmicroετωπίζουν οἱ ϕοιτητές εἶναι στό

Τί ἀκριβῶς πρέπει νά ἀποδείξουν

᾿Ιδιαιτέρως δέν εἶναι σέ ϑέση νά διατυπώσουν τήν ἄρνηση τοῦ ἀνωτέρω ὁρισmicroοῦ Νά ἀναπτύξουνδηλαδή τήν διατύπωση τοῦ

Πότε microία ἀκολουθία δέν συγκλίνει

Κατrsquo ἀρχάς ἄς δοῦmicroε πῶς ἐπιτυγχάνοmicroε τήν διατύπωση τῆς ἀρνήσεως τῆς συγκλίσεως microιᾶςἀκολουθίας στό a δηλαδή τῆς προτάσεως

Πότε ἡ ἀκολουθία annisinN δέν συγκλίνει στό a

῾Ορισmicroός λέγει ὅτι an rarr a ἄν καί microόνον ἄν

forallε gt 0(existNisinN

(forallnisinN(n ge N rArr |an minus a| lt ε)))

∆ηλαδή ἄν

Γιά κάθε ε gt 0 ἱκανοποιεῖται ἡ πρόταση P existNisinN(forallnisinN(n ge N rArr |anminus a| lt ε)

)

῾Η ἄρνηση τῆς lsquoan rarr arsquo δύναται νά διατυπωθεῖ ὡς

῾Υπάρχει ε gt 0 ὥστε νά microήν ἱκανοποιεῖται ἡ P existNisinN(forallnisinN(n ge N rArr |anminus a| lt ε)

)

῾Η microή ἱκανοποίηση ἤ ἄρνηση τῆς P συmicroβολικά notP διατυπώνεται κατrsquo ἀναλογίαν ὡς

Γιά κάθε NisinN δέν ἰσχύει ἡ πρόταση Q forallnisinN(n ge N rArr |an minus a| lt ε)


Κατrsquo ἀνάλογο τρόπο ἡ ἄρνηση τῆς Q διατυπώνεται ὡς ἑξῆς

existnisinN(n ge N amp |an minus a| ge ε

)

᾿Εδῶ χρησιmicroοποιήθηκε τό γεγονός ὅτι ἡ ὑπόθεση P1 δέν συνεπάγεται τό συmicroπέρασmicroα P2 ἄν καίmicroόνον ἄν ἰσχύουν ταυτοχρόνως τά P1 καί notP2

Συνολικά ἡ ἄρνηση τῆς lsquoan rarr arsquo δύναται νά διατυπωθεῖ ὡς

existε gt 0(forallNisinN

(existnisinN(n ge N rArr |an minus a| ge ε)))

Τέλος ἡ πρόταση ῾Η ἀκολουθία annisinN δέν συγκλίνει σέ κανένα πραγmicroατικό ἀριθmicroόδιατυπώνεται microέ λογικά σύmicroβολα ὡς

forallaisinR

(existε gt 0

(forallNisinN

(existnisinN(n ge N amp |an minus a| ge ε))))

Βεβαίως δέν ϑά ἀνέmicroενε κανείς ἀπό ἕνα πρωτοετῆ ϕοιτητή νά εῖναι σέ ϑέση νά δοmicroήσει microέσωλογικῶν συmicroβόλων τόν ἀνωτέρω λογικό τύπο

᾿Εκεῖνο ὅmicroως πού παρατηρεῖται σήmicroερα στούς ἀποφοίτους τῆς ∆Ε εἶναι ἡ παντελής ἀδυναmicroίαστήν διατύπωση λογικῶν συλλογισmicroῶν γιά πολύ ἁπλούστερα προβλήmicroατα καί ἰδιαιτέρως στήνκατασκευή τῶν ἀρνήσεων αὐτῶν

Στό παρελθόν ὅταν ἡ ΕΓ ἀποτελοῦσε σηmicroαντικό microέρος τῆς ἐξεταστέας ὕλης στίς εἰσαγωγικέςἐξετάσεις οἱ νεοεισερχόmicroενοι ϕοιτητές ἦσαν ἐξοικειωmicroένοι microέ ἀποδείξεις ὅπου ἐχρησιmicroοποιεῖτοἡ lsquoεἰς ἄτοπον ἀπαγωγήrsquo Αντί κάποιος νά ἀποδείξει εὐθέως ὅτι ἡ ὑπόθεση P συνεπάγεται τόσυmicroπέρασmicroα Q microέ τήν εἰς ἄτοπον ἀπαγωγή ἀρκεῖ νά ἀποδειχθεῖ ὅτι ἡ ἄρνηση τοῦ συmicroπερά-σmicroατος Q συνεπάγεται ἄρνηση τῆς ὑποθέσεως P ∆ηλαδή

P minusrarr Q lArrrArr notQ minusrarr notP

Κάποιος microαθητής ὁ ὁποῖος ἔχει ἐξοικειωθεῖ microέ τήν χρήση τέτοιων ἀποδεικτικῶν microεθόδων ἀναπό-ϕευκτα ἔχει ἀποκτήσει καί τήν ἱκανότητα σχηmicroατισmicroοῦ τῆς ἀρνήσεως λογικῶν προτάσεων ἔστωκαί microέ λόγια

῾Η microόνη λοιπόν ἑρmicroηνεία τῆς ἀδυναmicroίας αὐτῆς τῶν πρωτοετῶν microας εἶναι ἡ σχεδόν παντελήςἀπουσία ἀποδεικτικῶν ἀσκήσεων ἀπό τήν ἐξετεστέα ὕλη Οἱ microαθητές δέν διδάσκονται νά σκέπτο-νται ἀλλά ἁπλῶς νά ὑπολογίζουν

Ε Προβλήmicroατα διατυπώσεως καί ἐκφράσεως

Μιά ἄλλη κατηγορία περιστατικῶν σχετίζεται microέ τήν ἀδυναmicroία ἐκφράσεως ἀδυναmicroία πού κάνειτούς Κυπρίους ϕοιτητές νά αἰσθάνονται πολύ συχνά microειονεκτικά ἔναντι τῶν ῾Ελλαδιτῶν συmicro-ϕοιτητῶν τους Ακόmicroη κιrsquo ὅταν ἐπιλύουν ὀρθά κάποιες ἀσκήσεις δέν εἶναι σέ ϑέση νά ἐξηγήσουνmicroέ λόγια τί κάνουν καί κυρίως γιατί επιτρέπεται νά τό κάνουν Μία συνήθης στιχοmicroυθία microεταξύσυναδέλφου καί ϕοιτητῆ εἶναι ἡ ἑξῆς


Συνάδελφος Πῶς κατέληξες σrsquo αὐτό τό συmicroπέρασmicroα

Φοιτητής Χρησιmicroοποίησα τό τάδε ϑεώρηmicroα

Συνάδελφος Τί ἀκριβῶς λέγει τό ϑεώρηmicroα αὐτό

Φοιτητής Ξέρω ἀλλά δέν microπορῶ νά τό διατυπώσω

Χρήζει σχολιασmicroοῦ καί ὁ τρόπος microέ τόν ὁποῖο ἀπαντῶνται ϑεωρητικές ἀποδεικτικές ἀσκήσειςοἱ ὁποῖες ἀπαιτοῦν καλή δικαιολόγηση τοῦ συmicroπεράσmicroατος Εἶναι χαρακτηριστική σέ τέτοιουεἴδους ἀσκήσεις ἡ χωρίς ὑπερβολή ἀπουσία λέξεων Οἱ Κύπριοι ἀπόφοιτοι ἔχουν microάθει microόνο νάἐκτελοῦν πράξεις εφαρmicroόζοντας συνταγές Εὐθύνη ἔχει τό ἐκπαιδευτικό microας σύστηmicroα γενικό-τερα διότι ἐδῶ παρουσιάζεται καί microία σοβαρή ἀδυναmicroία στήν ἀποτελεσmicroατική χρήση τῆς ἑλλη-νικῆς γλώσσας

ΣΤ Προβλήmicroατα σέ service courses

Πολύ πρόσφατα ἐπισκέπτης καθηγητής ὁ ὁποῖος ὑπῆρξε διδάσκων εἰσαγωγικοῦ microαθήmicroατοςσέ ϕοιτητές τοῦ τmicroήmicroατος Οἰκονοmicroικῶν ϐρέθηκε ἀντιmicroέτωπος ἀξεπέραστων ἀντιξοοτήτων στήνπροσπάθειά του ἀφrsquo ἑνός microεν νά διδάξει στοιχειώδεις ἀποδείξεις καί ἀφrsquo ἑτέρου νά ἀπαιτήσει ἀπότούς ϕοιτητές νά microάθουν τή διατύπωση καί χρήση κάποιων χαρακτηριστικῶν ϑεωρηmicroάτων

Συγκεκριmicroένα τό τmicroῆmicroα Μαθηmicroατικῶν καί Στατιστικῆς προσφέρει σειρά κατά παραγγελίαν microα-ϑηmicroάτων ἀποκλειστικά πρός ϕοιτητές ἄλλων τmicroηmicroάτων τά λεγόmicroενα service courses ῞Ενατέτοιο εἶναι τό ΜΑΣ 001 τό ὁποῖο προσφέρεται πρός τούς ϕοιτητές τῶν τmicroηmicroάτων Οἰκονοmicroικῶν∆ηmicroοσίας ∆ιοικήσεως καί ∆ιοικήσεως ᾿Επιχειρήσεων Τό προαναφερθέν microάθηmicroα καλύπτει τόπρῶτο ἥmicroισυ ἑνός συνήθους microαθήmicroατος Απειροστικοῦ Λογισmicroοῦ σέ ἁπλουστευmicroένη ἐκδοχήΠεριλαmicroβάνει δηλαδή τίς ἑνότητες Συναρτήσεις ἀκολουθίες ὅρια συνέχεια παράγωγοι ῞Ολεςοἱ προαναφερθεῖσες ἑνότητες ἦσαν οἰκεῖες στό ἀκροατήριο τοῦ microαθήmicroατος διότι ϐρίσκονται στόλυκειακό ἐγχειρίδιο Μαθηmicroατικά ᾿Επιλογῆς Τρίτης Λυκείου [8] Οἰκεῖες στό ἀκροατήριοὑπῆρξαν καί οἱ ἀσκήσεις τῶν ἐνδιαmicroέσων διαγωνισmicroάτων καθώς καί τῆς τελικῆς ἐξετάσεως -συγκεκριmicroένα οἱ ἐκφωνήσεις τῶν ἀσκήσεων ᾿Εκεῖνο ὅmicroως τό ὁποῖο οὐδόλως ὑπῆρξε οἰκεῖο ἦτανὁ ὀρθός τρόπος ἐπιλύσεως τῶν ασκήσεων αὐτῶν

Οἱ microαθητές εἶχαν ἐθισθεῖ ἀπό τίς microέρες τῶν λυκείου στήν ἀνεξέλεγκτη χρήση microεθόδων (γιάπαράδειγmicroα τοῦ Κανόνος τοῦ Lrsquo Hopital ) χωρίς νά γνωρίζει ποιό ἀκριβῶς ϑεώρηmicroα ἐφαρmicroόζεταικαί ὑπό ποῖες προϋποθέσεις

Στό λύκειο ἡ ἀποκλειστική ἔmicroφαση πού εἶχε δοθεῖ ἦταν

Ποιά συνταγή πρέπει νά χρησιmicroοποιηθεῖ ὥστε νά καταλήξουmicroε στό Ϲητούmicroενο

Συνήθισαν microάλιστα σrsquo ἕνα microινιmicroαλιστικό τρόπο ἐπιλύσεως στόν ὁποῖο δέν ἀπαιτεῖται ἡ χρήσηἑλληνικῶν λέξεων Τά microαθηmicroατικά σύmicroβολα ἀρκοῦν ῾Ο ἐπισκέπτης συνάδελφος ἀφοῦ διεπί-στωσε ὅλrsquo αὐτά Ϲήτησε από τούς ϕοιτητές νά microάθουν τήν ἐκφώνηση microικροῦ ἀριθmicroοῦ ϑεωρηmicroάτων

4 Πῶς ὅmicroως ϕθάσαmicroε σrsquo αὐτή τήν ἐξέλιξη

καθώς καί τήν ἀπόδειξη ἀκόmicroη microικροτέρου ἀριθmicroοῦ καί ἀπαίτησε ἀπό τούς ϕοιτητές νά δικαιο-λογοῦν στά γραπτά τους τί κάνουν καί ποιά ϑεωρήmicroατα χρησιmicroοποιοῦν

∆υστυχῶς ἡ ἐπακόλουθη ἐmicroπειρία τοῦ ἐπισκέπτη συναδέλφου ἀπετέλεσε τόν καλύτερο τρόπογιά νά microάθει ὁ ἴδιος ὅτι

Τό πιό δύσκολο πράγmicroα εἶναι νά διδάξεις ἐκ νέου καί ὀρθά κάτι πού οἱ microαθητές ἔχουν ἤδη microάθειλάθος

Οἱ ϕοιτητές δέν microπόρεσαν λοιπόν νά ἀποστηθίσουν τήν διατύπωση τοῦ ϑεωρήmicroατος τοῦ Rolleκαί οὔτε ϐεβαίως νά τό ἐφαρmicroόσουν ὀρθά ᾿Επέmicroεναν νά λύουν microέ τόν τρόπο πού ἔmicroαθαν στόλύκειο τίς ἀσκήσεις τῶν ἐξετάσεων ῞Οταν δέ τούς ἀφαιροῦντο microονάδες οὐδόλως τό ἀπεδέχοντοεἰρηνικά Οἱ ἀντιδράσεις τους ἦσαν ἐντελῶς ἀπαράδεκτες Φοιτητής ἔφθασε στό σηmicroεῖο νάχειροδικήσει microέ τόν ἐπισκέπτη νά σκίσει τό γραπτό του ἐπικαλούmicroενος ὡς δικαιολογία ὅτι ὁϕροντιστής του ἔτσι ἀκριβῶς τοῦ εἶχε λύσει τήν ἄσκηση

Θά microποροῦσα νά ἀναφέρω πολλά παρόmicroοια περιστατικά τόσο δικῆς microου ἐmicroπειρίας ὅσο καίσυναδέλφων Περιστατικά πού ἐν τέλει καταδεικνύουν ὅτι ἄν και οἱ ϕοιτητές σήmicroερα ϕαινοmicroενικάmicroαθαίνουν πολύ περισσότερα πράγmicroατα κατrsquo οὐσίαν ἡ γνώση τους εἶναι ἐπιφανειακή στερού-microενη ϑεmicroελιώσεως ἀποδείξεων καί αὐστηρότητος Στόχος ἡ ἐκmicroάθηση συνταγῶν Παλαιότερα οἱἀπόφοιτοι τῶν λυκείων δέν ἤξεραν τί εἶναι ὁλοκλήρωmicroα ἤ διαφορική εξίσωση ῾Η ὕλη τότε σταmicroα-τοῦσε στά ὅρια συνέχεια καί παραγώγους Οἱ microαθητές ὅmicroως τουλάχιστον αὐτοί πού πετύχαινανστίς εἰσαγωγικές ἤξεραν τί ἀκριβῶς εἶναι τό ὅριο (microέσω τῶν ἐψιλοντικῶν ὁρισmicroῶν) ἡ συνέχειακαί ἡ παράγωγος ∆έν ἀρκοῦνταν microόνο στή microεθοδολογία ἐπιλύσεως ἀσκήσεων

᾿Επιπροσθέτως στήν ϱηχή κάλυψη πού ἐmicroφανίζεται στά σχολικά ἐγχειρίδια δέν δίδεται καmicroιάἔmicroφαση στήν ῾Ιστορία τῶν Μαθηmicroατικῶν τή σηmicroασία τῶν διαφόρων κλάδων στήν αὐστηρή microα-ϑηmicroατική σκέψη καί ἐν ὀλίγοις σrsquo αὐτό πού ὀνοmicroάζεται Μαθηmicroατική Καλλιέργεια


Τό ϕαινόmicroενο αὐτό εἶναι σχετικά πρόσφατο Εἶναι ϕαινόmicroενο τῆς τελευταίας εἰκοσαετίας πε-ϱιόδου κατά τήν ὁποία στά σχολικά ἐγχειρίδια δίδεται σταδιακά ὁλοένα καί microικρότερη ἔmicroφασηστίς ἀποδείξεις καί ταυτόχρονα microεγαλύτερη ἔmicroφαση στούς ὑπολογισmicroούς ᾿Επίσης δίδεται ἔmicro-ϕαση στήν κάλυψη πολλῶν microαθηmicroατικῶν περιοχῶν χωρίς ϐεβαίως ἐmicroβάθυνση ἤ αὐστηρότητα᾿Εδῶ ϑά ἤθελα νά διευκρινίσω ὅτι δέν ϐλάπτει καθόλου ἡ έστω ἐγκυκλοπαιδική κάλυψη ἀρκετῶνπεριοχῶν δοθέντος ὅmicroως ὅτι κάποιες ἀπrsquo αὐτές καλύπτονται εἰς ϐάθος καί microέ αὐστηρότητα

Οἱ ἀποδείξεις ἔπαψαν οὐσιαστικά νά ἀποτελοῦν microέρος τῆς ἐξεταστέας ὕλης στίς εἰσαγωγικέςἐξετάσεις καί ἀναπόφευκτα σέ πολλές περιπτώσεις ἔπαψαν ἀκόmicroη καί νά διδάσκονται στάλύκεια microιά καί δέν ὑπάρχει πλέον οὐσιαστικό κίνητρο γιά τή διδασκαλία τους παρά τό γεγονόςὅτι ἐξακολουθοῦν νά ὑπάρχουν κάποιες ἀποδείξεις στά λυκειακά ϐοηθήmicroατα Συγκεκριmicroέναστά εγχειρίδια Γεωmicroετρίας τῆς πρώτης καί δευτέρας λυκείου ὑπάρχουν πολλές καί σηmicroαντικέςἀποδείξεις Πέραν ὅmicroως τοῦ ὅτι δύο ἔτη δέν ἀρκοῦν γιά τήν κάλυψη τῆς Γεωmicroετρίας οἱ ἀποδείξειςαὐτές δέν ἀποτελοῦν microέσον ἀξιολογήσεως στίς εἰσαγωγικές ἐξετάσεις καί ὡς ἐκ τούτου διδάσκο-νται ὑποτονικά ἔως καθόλου


᾿Εν τέλει ἡ microαθηmicroατική παιδεία τῶν λυκείων microας ἔχει ὡς κριτήριο επιτυχίας καί στόχο νά δίδειτή δυνατότητα στούς ἀποφοίτους νά επιτυγχάνουν στίς εἰσαγωγικές ἐξετάσεις τῶν ϐρεττανικῶνἱδρυmicroάτων στά γνωστά GCE ὅπου ϐεβαίως δέν ὑπάρχουν ἀποδείξεις Φοβοῦmicroαι ὅτι ἡ microόνηἑρmicroηνεία πού ϑά microποροῦσε νά δοθεῖ γιά τήν παρουσία τόσων ἐν πολλοῖς ἀσύνδετων καί ϱηχάκαλυπτοmicroένων ϑεmicroάτων ὅπως ∆ιαφορικές ᾿Εξισώσεις Πολικές Συντεταγmicroένες ῾Υπερβολικές καίΑντίστροφες ῾Υπερβολικές Συναρτήσεις microέ ἀποκλειστική ἔmicroφαση στήν ἀσκησιολογία εἶναι ἡ ϱυ-microούλκηση τοῦ ἐκπαιδευτικοῦ microας συστήmicroατος ἀπό τά GCE ∆έν ἀντιγράφεται κἄν τό ϐρεττανικόἐκπαιδευτικό σύστηmicroα ἁπλῶς προετοιmicroάζονται οἱ microαθητές microας γιά τά GCE κατά τρόπο ϕρο-ντιστηριακό Στόχος λοιπόν τοῦ ἐκπαιδευτικοῦ microας συστήmicroατος κατέστη πῶς νά περάσουν οἱἀπόφοιτοί microας τά GCE ἀποστηθίζοντας συνταγές

῞Οπως ϑά δοῦmicroε ἀργότερα ἡ microεταρρύθmicroιση αὐτή οὐδόλως ἀποτελεῖ κυπριακή πρωτοτυπίαοὔτε κἄν ἑλλαδική (Παρόmicroοια δυσάρεστα ϕαινόmicroενα εἴχαmicroε καί στήν ῾Ελλάδα σέ microικρότεροὅmicroως ϐαθmicroό) ∆υστυχῶς ϐρισκόmicroαστε ἐνώπιον ἀκόmicroη microιᾶς περιπτώσεως microιmicroήσεως δυτικοευρω-παϊκῶν καί ϐορειοαmicroερικανικῶν προτύπων ἀκόmicroη κιrsquo ὅταν ἔχει διαπιστωθεῖ στίς χῶρες αὐτές ἡπαταγώδης ἀποτυχία τους Βεβαίως ἡ ἐπιλογή τῶν συγκεκριmicroένων προτύπων οὐδένα ἐκπλήσσειἄν ληφθεῖ ὑπrsquo ὄψιν σέ ποιές χῶρες microετεκπαιδεύονται στή διδακτική τῶν Μαθηmicroατικῶν οἱ Κύπριοιἐκπαιδευτικοί

Στή ∆ύση ὅλα ξεκινοῦν ἀπό τό δεύτερο ἥmicroισυ τῆς δεκαετίας τοῦ

Σχῆmicroα 1 Εὐκλείδης ὁ Αλε-ξανδρινός (325-265 πΧ)

΄60 microιᾶς κατrsquo ἐξοχήν περιόδου ἀmicroφισβητήσεων Τήν ἐποχή ἐκείνηmicroιά ὁmicroάδα Γάλλων microαθηmicroατικῶν ἡ ὁmicroάδα Bourbaki ὁmicroάδα πούπῆρε τό ὄνοmicroά τῆς ἀπό τήν ὁδό τοῦ Παρισιοῦ στήν ὁποία ϐρισκόταντό διαmicroέρισmicroα στό ὁποῖο συνεδρίαζε ἐκδίδει σειρά ἄρθρων πούπροπαγάνδιζαν τήν κατάργηση τῆς Εὐκλειδείου Γεωmicroετρίας (ΕΓ)ἀπό τή δευτεροβάθmicroια ἐκπαίδευση τῆς Γαλλίας καί ἀντικατάστασήτης ἀπό σύγχρονα microαθηmicroατικά ὅπως ἡ ϑεωρία συνόλων ἡ microα-ϑηmicroατική λογική ἡ ἀναλυτική γεωmicroετρία ἤ οἱ ἀλγεβρικές δοmicroές(παράβαλε [3]) Τά ἆρθρα αὐτά ἔφεραν microάλιστα καί κραυγαλέουςτίτλους ὅπως ῾Ο Εὐκλείδης εἶναι νεκρός ἤ Θάνατος στόν Εὐκλείδηκαί χρησιmicroοποιοῦσαν ὡς ϐασικό ἐπιχείρηmicroα ὅτι

Πῶς εἶναι δυνατόν microετά ἀπό τόση ἐξέλιξη στά Μαθηmicroατικά νά ἐξα-κολουθοῦmicroε νά χρησιmicroοποιοῦmicroε τήν ΕΓ τή Γεωmicroετρία τῶν ἀρχαίων῾Ελλήνων ὡς τό ϐασικό microαθηmicroατικό ϑέmicroα στήν ∆Ε

Τό ἐρώτηmicroα αὐτό χωρίς ἀmicroφιβολία ἀκούγεται εὔλογο

῾Η ὁmicroάδα Bourbaki πού περιελάmicroβανε microερικούς ἀπό τούς σπουδαιότερους Γάλλους microαθη-Εὐκλείδης ὁ Αλεξανδρινός (325-265 πΧ) Εἶναι γνωστός γιά τό ἀποτελούmicroενο ἀπό 13 τόmicroους ἔργο του Στοιχεῖα

τό ὁποῖο περιλαmicroβάνει ϑεmicroελίωση τῆς ᾿Επιπεδοmicroετρίας ἐνῶ ὑπάρχουν ἐκτεταmicroένες ἀναφορές στήν Στερεοmicroετρίακαί Θεωρία Αριθmicroῶν Οἱ πλεῖστες τῶν ἀποδείξεων πού ἐmicroφανίζονται στά Στοιχεῖα ἀποδίδονται σέ προγενέστερουςΜαθηmicroατικούς ῾Ο Πρόκλος ἀναφέρει ὅτι στά Στοιχεῖα τακτοποιοῦνται τά ϑεωρήmicroατα τοῦ Εὐδόξου καί τελειοποιοῦνταιαὐτά τοῦ Θεαίτητου Αὐτό ϐεβαίως οὐδόλως microειώνει τήν ἀξία τοῦ ἔργου τοῦ Εὐκλείδη Εἶναι ἀξιοσηmicroείωτο ὅτι microέτά Στοιχεῖα ἀσχολήθηκαν πλεῖστοι microεγάλοι microεταγενέστεροι ῞Ελληνες microαθηmicroατικοί ὅπως γιά παράδειγmicroα οἱ ῞ΗρωνΠάππος Πορφύριος Πρόκλος καί Σιmicroπλίκιος οἱ ὁποῖοι καί ἔγραψαν σχόλια ἐπί τῶν Στοιχείων

5 Τί εἶναι ὅmicroως ἡ Εὐκλείδειος Γεωmicroετρία

microατικούς τῆς ἐποχῆς ὅπως τούς Jean Dieudonne καί Andre Weil πέτυχε τελικά τό σκοπότης ῾Ο Εὐκλείδης καί ἡ Γεωmicroετρία του παραmicroερίστηκαν ἀπό τά ἐγχειρίδια ὄχι microόνο τῆς Γαλλίαςἀλλά σταδιακά καί ὅλης τῆς δυτικῆς Εὐρώπης καί ϐορείου Αmicroερικῆς Σταδιακά ἡ κατάργησητῆς ΕΓ ἀπέκτησε καί ἰδεολογικά ἐρείσmicroατα στά ἀκαδηmicroαϊκά ἱδρύmicroατα Στό ῾Ηνωmicroένο Βασίλειοσέ microεταπτυχιακά τmicroήmicroατα ∆ιδακτικῆς τῶν Μαθηmicroατικῶν τό σλόγκαν Euclid must go (῾Ο Εὐ-κλείδης πρέπει νά ϕύγει) ὑπῆρξε κυρίαρχο καθrsquo ὅλη τή δεκαετία τοῦ ΄70 Εἶναι ἀmicroφίβολο ϐεβαίωςἄν ὁ Dieudonne καί οἱ Bourbaki ϑά ἦσαν εὐτυχεῖς ἄν Ϲοῦσαν καί ἔβλεπαν microέ τί ἀντικαταστάθηκεστήν σηmicroερινή ἐκπαίδευση ἡ ΕΓ

῾Η ἄποψη γιά κατάργηση τῆς ΕΓ πέρασε καί σέ πλείστους microετεκπαιδευθέντες λειτουργούς τῆς κα-τωτέϱας καί δευτεροβάθmicroιας ἐκπαιδεύσεως τῆς Κύπρου οἱ ὁποῖοι υἱοθετήσαντες ὡς ϑέσφατοντό Euclid must go ἐξελίχθησαν σέ διαπρυσίους κήρυκες τῆς ἀπόψεως αὐτῆς Εἶναι ὅmicroωςἐνδεικτικό ὅτι χῶρες στίς ὁποῖες ποτέ δέν καταργήθηκε ἡ ΕΓ ὅπως οἱ πλεῖστες τῶν χωρῶν τῆςἀνατολικῆς Εὐρώπης καθώς καί τό Βιετνάmicro ἔχουν τίς περισσότερες ἐπιτυχίες στίς Μαθηmicroατικές᾿Ολυmicroπιάδες γιά microαθητές λυκείων

∆έν πέρασαν οὔτε εἴκοσι χρόνια γιά νά γίνει ἀποδεκτό καί ἀπό τούς ἴδιους τούς Bourbaki ὅτιτά σύγχρονα Μαθηmicroατικά δέν κατόρθωσαν νά ὑποκαταστήσουν ἐπιτυχῶς τήν ΕΓ καί ἰδιαιτέρωςδέν παρεῖχαν κατάλληλο ὑπόδειγmicroα γιά τή διδασκαλία τῶν ἀποδείξεων Τουλάχιστον λοιπόνστή Γαλλία τά σύγχρονα Μαθηmicroατικά ἐγκατελείφθησαν καί ἐπανέκαmicroψε ἔστω καί microερικῶς ἡΕΓ Σηmicroειωτέον ὅτι πρόσφατα ἡ πολιτειακή ϐουλή τῆς Καλιφόρνιας ἀπεφάσισε τήν ἐπιστροφήτῆς διδασκαλίας τῶν Μαθηmicroατικῶν στή δευτεροβάθmicroια ἐκπαίδευση στά πρότυπα τῶν ἀρχῶντοῦ αἰῶνα Στήν ῾Ελλάδα ἔχουν ἤδη συγγραφεῖ ἐκ νέου ἐγχειρίδια ΕΓ [5] ἡ δέ ἐπιστροφήαὐτή δέ συνάντησε καmicroία ἀντίδραση καθώς ἡ ἀνάγκη ἐπιστροφῆς τῆς ΕΓ εἶχε ἀπό πολλοῦγίνει ἀντιληπτή [1] Στό δέ ῾Ηνωmicroένο Βασίλειο microελετᾶται σοβαρά τό ἐνδεχόmicroενο εἰσαγωγῆςγεωmicroετρικῶν ἀποδείξεων ἀπό τό δηmicroοτικό [7] Στή Ρωσσία ποτέ δέν καταργήθηκε ἡ ΕΓ ἀπό τήδευτεροβάθmicroια ἐκπαίδευση ᾿Εκεῖ τό ἐπίπεδο τῶν ἀποφοίτων εἶναι πολύ ὑψηλό καί τά σχολικάἐγχειρίδια ἀποτελοῦν σηmicroεῖο ἀναφορᾶς [12] [13]

Στήν Κύπρο ἄν και ποτέ δέν εἴχαmicroε ὁλοκληρωτική κατάργηση τῆς ΕΓ οἱ ἐκπαιδευτικές microεταρ-ϱυθmicroίσεις οἱ ὁποῖες ἔλαβαν χώραν κατά τίς δύο τελευταῖες δεκαετίες εἶχαν ὡς συνέπεια τόνπαραmicroερισmicroό τῶν ἀποδείξεων Πέραν τῶν διαπιστώσεων στούς ϕοιτητές microας πού ἀνέφερα εἴχαmicroεκαί κάποια περισσότερο χειροπιαστά ἀποτελέσmicroατα συνέπειες αὐτῆς τῆς ἁπλουστεύσεως καίεὐθυγραmicromicroίσεως τοῦ ἐκπαιδευτικοῦ microας συστήmicroατος σέ ξένα πρότυπα Σέ διεθνῆ διαγωνισmicroόmicroαθητῶν γυmicroνασίων ὅπου οἱ διαγωνιζόmicroενοι microαθητές ἐπελέγοντο κατά τυχαῖο τρόπο ἡ Κύπροςϐρέθηκε στόν πυθmicroένα τῆς κατατάξεως Στήν ἀποτυχία αὐτή συνέβαλαν ἀσφαλῶς καί ἄλλοι λόγοικαί δέν εἶναι πρόθεση microου νά τήν ἑρmicroηνεύσω στό παρόν ἄρθρο


Εἶναι ἡ Γεωmicroετρία πού ἀπαντᾶται στό ἀποτελούmicroενο ἀπό δεκατρία ϐιβλία ἔργο τοῦ ΕὐκλείδηΣτοιχεῖα (4ος αἰ πΧ) [6] καθώς καί σέ microεταγενέστεϱα ἔργα microεγάλων ῾Ελλήνων microαθηmicroατικῶν

Εἶναι χαρακτηριστικό microάλιστα ὅτι ὁ Dieudonne σέ συνέδριο στήν Γαλλία τό 1959 ἔκανε τήν ἀκόλουθη διάσηmicroηδήλωση lsquo῎Εξω ὁ Εὐκλείδης Θάνατος στά τρίγωνα rsquo


(α΄) Τό ἐξώφυλλο τῆς ϐρεττανικῆς ἐκδόσεωςτοῦ 1570 τῶν Στοιχείων ὑπό τοῦ Sir HenryBillingsley

(ϐ΄) Γυνή διδάσκουσα Γεωmicroετρίαν Εἰκόνα ἐmicroφανιζόmicroενη στήνἀρχή τῆς microεσαιωνικῆς ἐκδόσεως τῶν Στοιχείων (c 1310)

Σχῆmicroα 2 Λέγεται ὅτι microέ ἐξαίρεση τήν Βίβλο κανένα ἄλλο ϐιβλίο δέν ἔχει microεταφρασθεῖ ἐκδοθεῖ καί microελετηθεῖ στήν∆ύση ὅσο τά Στοιχεῖα (Bartel Leendert van der Waerden)

ὅπως οἱ Απολλώνιος Αρχιmicroήδης καί ∆ιόφαντος Εἶναι σηmicroαντικό νά λεχθεῖ ὅτι ἡ κύρια συν-εισφοϱά τοῦ Εὐκλείδη ἦταν ἡ συλλογή καί ὀργάνωση τῶν σηmicroαντικοτέρων Μαθηmicroατικῶν τῆςἐποχῆς ∆ηλαδή τῶν ἔργων τῶν Πυθαγορείων τῶν ᾿Ιώνων καί ϕυσικά τῶν microεγάλων microαθηmicroατικῶντῆς Ακαδηmicroίας τοῦ Πλάτωνος τοῦ Θεαίτητου καί τοῦ Εὐδόξου Στά Στοιχεῖα ἐmicroφανίζεται ἡ πρώτηΑξιωmicroατική Θεmicroελίωση δηλαδή ἕνα σύνολο ἀπό ἁπλούς ὁρισmicroούς καί ἀξιώmicroατα Τά ἀξιώmicroαταεἶναι ἁπλές προτάσεις ὅπως ∆ύο σηmicroεῖα τοῦ ἐπιπέδου ὁρίζουν εὐθεῖα οἱ ὁποῖες δέν microποροῦννά ἀναχθοῦν σέ ἁπλούστερες καί εἶναι διαισθητικά αὐτονόητες

Χρησιmicroοποιῶντας τά ἀξιώmicroατα εἶναι δυνατόν microέσω ἀποδεικτικῶν κανόνων νά ἀποδειχθοῦνπολυπλοκότερες προτάσεις ὅπως γιά παράδειγmicroα τό Πυθαγόϱειο ϑεώρηmicroα (ϐλέπε Σχῆmicroα 3)ἤ τό Θεώρηmicroα τοῦ Θαλῆ Παρεmicroπιπτόντως τό διασηmicroότερο ἴσως ἀξίωmicroα (ἤ ἄλλως αἴτηmicroα) τῆςΕΓ ὅτι

Από σηmicroεῖο ἐκτός εὐθείας ἄγεται microοναδική παράλληλος ᾿ῌτίσθω ἀπό παντός σηmicroείου ἐπί πᾶν σηmicroεῖον εὐθεῖαν γραmicromicroήν ἀγαγεῖν (Στοχείων α΄ Αἴτηmicroα α΄)῎Εν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τό ἀπό τῆς τήν ὀρθήν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ἴσον ἐστί τοῖς ἀπό

τῶν τήν ὀρθήν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις (Στοιχεῖων α΄ Πρότασις microζ΄) ᾿Εάν τριγώνου παρά microίαν τῶν πλευρῶν ἀχθῇ τις εὐθεῖα ἀνάλογον τεmicroεῖ τάς τοῦ τριγώνου πλευράς καί ἐάν αἱ τοῦ

τριγώνου πλευραί ἀνάλογον τmicroηθώσιν ἡ ἐπί τάς τοmicroάς ἐπιζευγνυmicroένη εὐθεῖα παρά τήν λοιπήν ἔσται τοῦ τριγώνουπλευράν (Στοιχεῖων ς΄ Πρότασις ϐ΄)


τό ὁποῖο ἀποδίδεται microάλιστα στόν ἴδιο τόν Εὐκλείδη ἀποτελεῖ σηmicroεῖο διαφοροποιήσεως τῆς ΕΓἀπό ἄλλες σύγχρονες Γεωmicroετρίες ὅπου ἀπό σηmicroείου εἴτε ἄγονται ἄπειρες παράλληλοι (ΓεωmicroετρίαLobachevsky) εἴτε καmicroία (Γεωmicroετρία Riemann)

(α΄) Τό τετράγωνο τῆς ὑποτεινούσης ὀρθογωνίουτριγώνου ἰσοῦται microέ τό ἄθροισmicroα τῶν τετραγώνων τῶνδύο καθέτων ῎Η a2 + b2 = c2

(ϐ΄) Σχηmicroατική ἀπόδειξη τοῦ Πυθαγορείου Θεωρή-microατος microέσω ἐmicroβαδῶν

Σχῆmicroα 3 Τό Πυθαγόρειο Θεώρηmicroα

Τό πόσο microεγάλο ἅλmicroα πραγmicroατοποιεῖται στά Μαθηmicroατικά ἀλλά καί στήν ἀνθρώπινη διανόησηγενικότεϱα microέ τίς ἀποδείξεις ϕαίνεται καί στό γεγονός ὅτι ὁ πρῶτος ἐπώνυmicroος microαθηmicroατικόςὁ Θαλῆς ὁ Μιλήσιος (7ος αἰ πΧ) ἦταν αὐτός πού ἔδωσε τήν πρώτη ἀπόδειξη ἡ ὁποία ἦτανmicroάλιστα γεωmicroετρική Βεβαίως σηmicroαντικά Μαθηmicroατικά ὑπῆρχαν καί πρίν ἀπό τόν Θαλῆ ῏Ηταντά Μαθηmicroατικά τῶν Αἰγυπτίων καί τῶν Σουmicroερίων Τά Μαθηmicroατικά ὅmicroως αὐτά ἦσαν ὑπολογι-στικά ἀποτελοῦσαν δηλαδή microεθόδους ὑπολογισmicroῶν καί προσεγγίσεων Εἶχαν ἐπίσης κατάἐmicroπειρικό τρόπο ἐξαγάγει σηmicroαντικά γεωmicroετρικά καί ἀλγεβρικά συmicroπεράσmicroατα Εἰκάζεταιmicroάλιστα ὅτι οἱ Βαβυλώνιοι γνώριζαν καί τό Πυθαγόρειο ϑεώρηmicroα ἐmicroπειρικά microία χιλιετία πρό τοῦΠυθαγόρα Τήν ἀπόδειξη ὅmicroως τήν εἰσήγαγαν πρῶτοι οἱ ῞Ελληνες

Εἶναι ἀξιοσηmicroείωτο ὅτι ἡ Γεωmicroετρία καί ἰδιαιτέρως ἡ ἀξιωmicroατική ϑεmicroελίωση καί ἀποδεικτική δια-δικασία ἐπηρέασε τόσο τούς ἀρχαίους ῞Ελληνες ὅσο καί τούς σύγχρονους ϕιλοσόφους Λέγεταιδέ ὅτι ἔmicroβληmicroα τῆς Ακαδηmicroίας τοῦ Πλάτωνος ἦταν τό ϱητό ἀγεωmicroέτρητος microή εἰσίτω Τό ἴδιοϱητό ἀποτελεῖ καί ἔmicroβληmicroα τῆς Αmicroερικανικῆς Μαθηmicroατικῆς ῾Εταιρείας Στούς πλατωνικούςδιαλόγους Τίmicroαιος Θεαίτητος Σοφιστής καί Φίληϐος ἀναφέρονται ἤ ὑπονοοῦνται ϑεmicroελιώδηmicroαθηmicroατικά προβλήmicroατα τῆς ἐποχῆς ὅπως γιά παράδειγmicroα ἡ ἀνακάλυψη τῶν ἀσυmicromicroέτρωνλόγων δηλαδή τῶν ἀριθmicroῶν πού δέν εῖναι δυνατόν νά γραφοῦν ὡς λόγοι ἀκεραίων ἀριθmicroῶν

Συmicroφώνως ὅmicroως microέ τόν Πρόκλο (Σχόλια στό πρῶτο ϐιβλίο τῶν Στοιχείων τοῦ Εὐκλείδη) ὁ ὁποῖος ἐπικαλεῖταιmicroαρτυρία τοῦ Εὐδήmicroου ἰσοδύναmicroη microορφή τοῦ αἰτήmicroατος αὐτοῦ ἧταν γνωστή καί χρησιmicroοποιήθηκε ἀπό τούς Πυ-ϑαγόριους [10]

American Mathematical Society


Σχῆmicroα 4 Περίκεντρο τό σηmicroεῖο τοmicroῆς τῶν τριῶν microεσοκαθέτων καθώς καί τό κέντρο τοῦ περιγεγραmicromicroένου κύκλουΤό περίκεντρο ϐρίσκεται ἐντός ἐπί ἤ ἐκτός τοῦ τριγώνου ἄν τό τρίγωνο εἶναι ὀξυγώνιο ὀρθογώνιο ἤ ἀmicroβλυγώνιοἀντιστοίχως

Σχῆmicroα 5 Ανθυφαιρετική ἀπόδειξη τῆςἀρρητότητος τοῦ

radic2

῾Η ἀνακάλυψη αὐτή πραγmicroατοποιεῖται στά τέλη τοῦ 5ου αἰῶνοςπΧ γεωmicroετρικά Συγκεκριmicroένα προκύπτει microέσα ἀπό τήmicroελέτη ὀρθογωνίων τριγώνων καί ἰδιαιτέρως microέσω ἄπειρηςἀνθυφαιρέσεως Στήν περίπτωση τοῦ λόγου τῆς ὑποτεινούσηςδιά τῆς καθέτου ἰσοσκελοῦς ὀρθογωνίου τριγώνου (καί ὄχιmicroόνον) ἡ ἀνθυϕαίρεση ἀποτελεῖ οὐσιαστικά τόν εὐκλείδειοἀλγόϱιθmicroο γιά τήν εὕρεση microεγίστου κοινοῦ διαιρέτου ή δι-αφορετικά κοινοῦ microέτρου microεταξύ τῆς ὑποτεινούσης καί τῆςκαθέτου ῾Η διαδικασία αὐτή ἀποδεικνύεται microέσω ὁmicroοιότη-τος τριγώνων ὅτι δέν πεϱαίνεται καί ὡς ἐκ τούτου ὁ λόγοςτῆς ὑποτεινούσης διά τῆς καθέτου δηλαδή ὁ

radic2 εἶναι ἀσύmicro-

microετρος ∆έν ὑπάρχει δηλαδή microεταξύ τῶν δύο αὐτῶν microηκῶν κοινό microέτρο Πέραν τοῦ ὅτι ἐπιση-microαίνεται ἡ ἀνακάλυψη αὐτή στό Θεαίτητο στόν ἴδιο πλατωνικό διάλογο ἀναπτύσσεται καί ἡπλατωνική διαλεκτική microέ τρόπο πολλά ὑποmicroιmicroνήσκοντα τήν γεωmicroετρική ἀποδεικτική microέθοδοτῆς ὑπάρξεως τῶν ἀσυmicromicroέτρων

Εἰκάζεται λοιπόν ὅτι ἀόριστος δυάς πού ἀποδίδει ὁ Αριστοτέλης στόν Πλάτωνα ἡ ϐάση τῆςδιαλεκτικῆς ἔχει microαθηmicroατικές καταβολές (παράβαλε [9]) Παρεmicroπιπτόντως δέν ϑά ἦταν ὑ-περβολή νά λεχθεῖ ὅτι ἡ Λογική τοῦ Αριστοτέλους ϐασίζεται στίς γεωmicroετρικές ἀποδεικτικέςmicroεθόδους ἐνῶ ἡ ϑεmicroελίωση ὀργάνωση καί microεθοδολογία πολλῶν συγχρόνων ϕιλοσοφικῶν καίἐπιστηmicroονικῶν ϑεωριῶν ϐασίζονται στά Στοιχεῖα Χαρακτηριστικό τέτοιο παράδειγmicroα τό ἔργοσταθmicroός τοῦ Νεύτωνος Principia πού ἔχει ἀκριβῶς τήν ἴδια ὀργάνωση microέ τά Στοιχεῖα ᾿Επίσης

Σηmicroειωτέον ὅτι ἡ ἀπόδειξη microέσω τῆς Θεωρίας Αριθmicroῶν πού ὑπάρχει στά σύγχρονα συγγράmicromicroατα ὅτι ὁradic

2 εἶναιἄρρητος εἶναι microεταγενέστερηΜέσω τῆς ἀνθυφαιρετικῆς microεθόδου εἶναι δυνατόν νά δειχθεῖ ὅτι ἄν ὁ ϕυσικός ἀριθmicroός n δέν ἀποτελεῖ τέλειο

τετράγωνο τότε ὁradic

n εἶναι ἄρρητος Γιά κάποια n ὅπως γιά παράδειγmicroα γιά n = k2 + 1 ἡ ἀπόδειξη εἶναι ἀρκετάσύντοmicroη Γιά microεγάλα ὅmicroως n ἡ ἀπόδειξη ἐνδέχεται νά εἶναι ἐξαιρετικά πολύπλοκη ἔως πρακτικά ἀδύνατη δοθέντοςὅτι ἐνδέχεται νά ἀπαιτεῖται σχεδιασmicroός microακρᾶς σειρᾶς τριγώνων πού ὁλοένα σmicroικρύνονται Εἶναι χαρακτηριστικό ὅτιστόν Θεαίτητο ἀναφέρεται ὅτι microετά τό n = 17 τά πράγmicroατα δυσκολεύουνPhilosophiae naturalis principia mathematica (1686) ἤ Μαθηmicroατικές ἀρχές τῆς ϕυσικῆς ϕιλοσοφίας


στό ϕιλοσοφικό ἔργο τοῦ Baruch Spinoza (1632-1677) ᾿Ηθική τίθενται ἀξιώmicroατα καί microέσωαὐτῶν ἀποδεικνύονται προτάσεις ϕιλοσοφικῆς ϕύσεως κατά τρόπο γεωmicroετρικό ὅπως ἄλλωστε τόδηλώνει καί ὁ τίτλος τοῦ ἔργου

Πῶς ὅmicroως ἡ κατάργηση τῆς ΕΓ εἶχε ὡς συνέπεια καί τήν κατάργηση τῶν ἀποδείξεων ῾Η ἀπόδειξη ἀποτελεῖ τήν καρδιά τῆς Μαθηmicroατικῆς ἐπιστήmicroης ῎Εχει παραδοσιακά διαχωρίσει τάΜαθηmicroατικά ἀπό τίς ἐmicroπειρικές ἐπιστῆmicroες ὡς ἀδιαmicroφισβήτητη microέθοδος ἐλέγχου τῆς γνώσεωςεἰς ἀντιδιαστολήν τῆς ϕυσικῆς ἀναγωγῆς πού προκύπτει ἀπό τήν ἐmicroπειρική ἔρευνα ῾Η ἀναγω-γική ἀποδεικτική διαδικασία προσφέρει τήν ἁγνότερη microέθοδο διακρίσεως τοῦ ὀρθοῦ ἀπό τόλανθασmicroένο Εἶναι ἀλήθεια ὅτι οἱ Bourbaki οὐδόλως ἦσαν ἐναντίον τῶν ἀποδείξεων Αντιθέτωςτά πρῶτα σχολικά ἐγχειρίδια πού ἐκθρόνισαν τήν ΕΓ εἶχαν περίπου ὅσες ἀποδείξεις εἶχαν καίτά προηγούmicroενα Τά ἐγχειρίδια αὐτά περιελάmicroβαναν κλάδους τῶν Αφηρηmicroένων Μαθηmicroατικῶνἀλγεβρικῆς ϕύσεως ὅπως Λογική καί Θεωρία Συνόλων καί εἶχαν δοmicroή ἀρκετά παρόmicroοια microέ αὐτήτῆς ΕΓ Μέ τήν παρόδο ὅmicroως τοῦ χρόνου διαπιστώθηκαν microιά σειρά ἀπό δυσκολίες ∆υσκολίεςσχετιζόmicroενες microέ τήν ἔλλειψη ἐποπτικῆς διαισθήσεως στά Αφηρηmicroένα Μαθηmicroατικά πού καθιστοῦντίς ἀποδείξεις άλλοτε ἀκατανόητες ἄλλοτε microή ἑλκυστικές τά δέ ἀξιώmicroατα οὐδόλως προφανῆΤέλος οἱ ἔννοιες τίς ὁποῖες διαπραγmicroατεύονται δέν εἶναι καθόλου χειροπιαστές

῾Η ἀδυναmicroία τῶν Αφηρηmicroένων Μαθηmicroατικῶν νά ἀποτελέ-

Σχῆmicroα 6 ῎Εγκεντρο τό σηmicroεῖο τοmicroῆς τῶντριῶν διχοτόmicroων καθώς καί τό κέντρο τοῦπεριγεγραmicromicroένου κύκλου

σουν κατάλληλο ἐκπαιδευτικό ὑπόδειγmicroα γιά νά ἐξοικει-ωθοῦν οἱ microαθητές microέ ἔννοιες ὅπως ἀπόδειξη ϑεώρηmicroακαί ἀξίωmicroα καί νά καταστοῦν ἐναλλακτική λύση στήν ∆Εϕαίνεται ἀπό τά πιό κάτω παραδείγmicroατα ῞Ενας ἀκόmicroηκαί microέτριος ἤ ἀδιάφορος microαθητής ἔστω κιrsquo ἄν δέν ἔχειἀκολουθήσει τά ϐήmicroατα τῆς ἀποδείξεως τοῦ Πυθαγορείουϑεωρήmicroατος ἤ τῆς προτάσεως ὅτι Οἱ διχοτόmicroοι ἑνός τρι-γώνου διέρχονται ἀπό τό ἴδιο σηmicroεῖο κατανοεῖ ἀσφαλῶςτόσο τήν ἀναγκαιότητα ὅσο καί τή ϕύση αὐτῶν τῶν ἀποδεί-ξεων ∆υστυχῶς τό ἴδιο δέν ϑά ἦταν δυνατόν νά λεχθεῖ γιά προτάσεις τῶν Αφηρηmicroένων Μαθη-microατικῶν ὅπως Τό οὐδέτερο στοιχεῖο τοῦ πολλαπλασιασmicroοῦ (δηλ τό 1) εἶναι microοναδικό ἤ ῾Η ἕνωσησυνόλων ἱκανοποιεῖ τήν microεταθετική ἰδιότητα ἤ ῾Η διαιρετότητα εἶναι σχέση microερικῆς διατάξεως῾Ο microαθητής σrsquo αὐτές τίς περιπτώσεις δέν κατανοεῖ κἄν τήν ἀναγκαιότητα ἀποδείξεως τέτοιωνπροτάσεων Κάτι παρόmicroοιο microπορεῖ νά λεχθεῖ καί σχετικά microέ τήν κατανόηση τῶν ἀξιωmicroάτων᾿Ενῶ ἕνας microαθητής κατανοεῖ τή σηmicroασία τοῦ ὅτι ∆ύο σηmicroεῖα ὁρίζουν microοναδική εὐθεῖα ἀποτελεῖἰδιότητα αὐτονόητη καί microή δυνάmicroενη νά ἀναχθεῖ σέ ἁπλούστερη οὐδόλως microπορεῖ νά συmicroβεῖ τόἴδιο microέ τό ἀξίωmicroα τῆς ϑεωρίας τῶν διανυσmicroατικῶν χώρων ὅτι ῾Ο ἐξωτερικός πολλαπλασιασmicroόςεἶναι ἐπιmicroεριστικός ὡς πρός τήν πρόσθεσηΠέραν τοῦ ὅτι καθίσταται εὔλογη στό microαθητή ἡ ἀναγκαιότητα τῆς ἀποδείξεως στήν ΕΓ τοῦδίδεται καί ἡ εὐκαιϱία νά εξοικειωθεῖ σέ τέτοιο ϐαθmicroό microrsquo αὐτό τόν τρόπο σκέψεως ὥστε νά εἶναισέ ϑέση νά ἀποδεικνύει πραγmicroατικά δύσκολα ϑεωρήmicroατα ὡς ἀσκήσεις Τουλάχιστον κάτι τέτοιοσυνέβαινε στούς microαθητές τῶν λυκείων microέχρι καί τίς ἀρχές τῆς δεκαετίας τοῦ ΄80 Οἱ ἀποδεί-ξεις λοιπόν σταδιακά ἀποσύϱονται microιά καί στούς Αφηϱηmicroένους κλάδους τῶν Μαθηmicroατικῶνδέν ὑπάρχει ἡ δυνατότητα τριβῆς microέ ἱκανοποιητικά microεγάλη ποικιλία ἀποδεικτικῶν ἀσκήσεων οἱEthica Ordine Geometrico Demonstrata

6 ῾Η ἐπανάσταση τῶν ὑπολογιστῶν

ὁποῖες παρέχουν διαίσθηση καί εἶναι ἀρκετά πολύπλοκες ὥστε νά ἀποτελοῦν microέσο ἐκπαιδεύσεωςκαί ἀξιολογήσεως ῾Η ΕΓ ἐπίσης ἀποτελεῖ ἕνα κατάλληλο microοντέλο κατανοήσεως τῆς ἔννοιας τοῦἀξιώmicroατος γιά τόν ἄπειρο microαθητή ἐνῶ τά ἀξιώmicroατα τῆς Θεωρίας ῾Οmicroάδων γιά παράδειγmicroαἀποτελοῦν συmicroπύκνωση microακρᾶς microαθηmicroατικῆς ἐmicroπειρίας πού ὁδηγεῖ στήν ἀφαιρετική τους δια-τύπωση καί εἶναι πολύ δύσκολο γιά ἕνα microαθητή νά κατανοήση τήν ἀναγκαιότητά τους

Πρέπει ἐπίσης νά λεχθεῖ ὅτι ἡ ἐργασία τοῦ διδάσκοντος γίνεται πολύ συναρπαστικότερη καί τόἐνδιαφέρον τοῦ microαθητῆ ἀναζωπυρώνεται ὅταν ἀσχολοῦνται microέ χειροπιαστές ἔννοιες microέ ἐποπτι-κή διαίσθηση ὅπως ἕνα τρίγωνο ἐγγεγραmicromicroένο ἐντός κύκλου Ϲωγραφισmicroένα στόν πίνακα microέκιmicroωλία Κάτι ἀνάλογο ϐεβαίως εἶναι σχεδόν ἀδύνατον ὅταν πραγmicroατευόmicroαστε microέ ἀφηρηmicroένεςἔννοιες χωρίς ἐποπτική δυνατότητα ἡ κατανόηση τῶν ὁποίων συνήθως απαιτεῖ microαθηmicroατικήὡριmicroότητα ∆έν πρέπει νά ὑποτιmicroοῦmicroε τήν ἱκανοποίηση πού ἀντλεῖ ἕνα παιδί ὅταν Ϲωγραφίζειmicroέ χάρακα καί διαβήτη ἕνα ὡραῖο σχῆmicroα ϐλέπει τό ἀποδεικτέο καί ἀκολούθως τό ἀποδεικνύει῾Η ΕΓ προσφέρει λοιπόν ὄχι microόνο τήν αἴσθηση ἀλλά καί τήν αἰσθητική ἡ ὁποία ἄλλωστε εἶναι ἐκτῶν ὧν οὐκ ἄνευ χαρακτηριστικό τῆς ἀρχαίας ἑλληνικῆς σκέψεως

Σήmicroερα πού οἱ ἀσκήσεις τῶν εἰσαγωγικῶν ἐξετάσεων ἐπιλύονται microέ ὑπολογιστικές συνταγές καίτυπολόγια εἶναι ἄξιον ἀπορίας ἄν οἱ microαθητές πού ἐπιτυγχάνουν στίς εἰσαγωγικές κρίνονται microέτά ἁρmicroόζοντα κριτήρια


῾Η σηmicroερινή ἐποχή microπορεῖ κάλλιστα νά χαρακτηρισθεῖ ὡς ἡ ἐποχή τῶν ἠλεκτρονικῶν ὑπολο-γιστῶν (ΗΥ) καί τοῦ ∆ιαδικτύου (Internet) Πολλοί ἐκπαιδευτικοί παγκοσmicroίως δίνουν προ-τεραιότητα στήν περαιτέρω εἰσαγωγή καί ἐmicroπέδωσή τῶν ΗΥ στά σχολεῖα εἰς ϐάρος τῆς ἐmicro-ϐαθύνσεως τῆς microαθηmicroατικῆς σκέψεως Πολύ συχνά microάλιστα ὁ ϐαθmicroός εmicroπεδώσεως τῶν ΗΥστήν κοινωνία ἀποτελεῖ καί κριτήριο προόδου καί εὐηmicroερίας ᾿Εδῶ ϑίγεται ἕνα ἄλλο microεγάλοϑέmicroα πού ἀπαιτεῖ ἀνάπτυξη ∆έν ὑπάρχει καmicroιά ἀmicroφιβολία ὅτι οἱ ΗΥ εἶναι πλέον microέρος τῆςϹωῆς microας καί ἡ ἐξοικείωση microrsquo αὐτούς microονόδροmicroος ῎Ηδη ἀποτελοῦν σηmicroαντικό ἐργαλεῖο γιά τήδηmicroιουργία ἐποπτικῆς διαίσθησης καί παρέχουν δυνατότητες πειραmicroατισmicroοῦ microέ τά Μαθηmicroατικάδυνατότητες πού σίγουρα δέν διέθεταν οἱ προηγούmicroενες γενεές Εὐρύτατοι κλάδοι τῶν ᾿Εφαρ-microοσmicroένων Μαθηmicroατικῶν ὀφείλουν τήν ὕπαρξη τους σχεδόν ἀποκλειστικά στούς ΗΥ Σηmicroειωτέονὅτι ἔχουν ἀναπτυχθεῖ ϑαυmicroάσια λογισmicroικά (ϐλέπε [11]) microέ τά ὁποῖα τόσο ἡ διδασκαλία ὅσο καίἡ ἐmicroπέδωση ἀπό τό ϕοιτητή τῆς ΕΓ γίνεται εὐκολότερη ∆έν πρέπει ὅmicroως νά microᾶς διαφεύγειὅτι οἱ ΗΥ ἀποτελοῦν ἁπλῶς ἕνα ἐργαλεῖο καί ὄχι ὑποκατάστατο τῆς σκέψεως Συγχρόνως οἱὁδηγοί χρήσεως τῶν διαφόρων λογισmicroικῶν εἶναι τόσο ἁπλά γραmicromicroένοι (γιά ἐmicroπορικούς λόγους)πού παρέχουν στό χρήστη τή δυνατότητα αὐτοδιδασκαλίας Κάτι τέτοιο δέν microπορεῖ νά συmicroβεῖ microέτή microαθηmicroατική ϑεmicroελίωση καί ἀπόδειξη πού ἀπαιτοῦν συστηmicroατική καί ἐπίπονη διδασκαλίακαί microελέτη

Αναφορὲς

7 ᾿Επίλογος

Αντί ἐπιλόγου ἤθελα νά ἐκφράσω τήν εὐχή ἡ γεωmicroετρία τῶν ἀρχαίων ῾Ελλήνων καί οἱ ἀποδείξειςτης τελικά νά ἐπιστρέψουν καί νά ἀποτελοῦν ἀντικείmicroενο microελέτης καί microέσο ἀξιολογήσεως στή ∆Ε῎Ηδη ὑπάρχουν πολλές ἐνδείξεις ὅτι αὐτή εἶναι ἡ microόνη διέξοδος microιά καί πληθαίνουν οἱ ϕωνέςτῶν ἐκπαιδευτικῶν πού ἀναγνωρίζουν τήν ϱίζα τοῦ προβλήmicroατος ῎Εχει καταστεῖ πλέον ἀπολύτωςσαφές ὅτι ἡ ἐξοικείωση τοῦ microαθητῆ microέ τήν ἔννοια καί microεθοδολογία τῆς ἀποδείξεως ἀπrsquo ὅσο τόδυνατόν νεαροτέρη ἡλικία ἀκόmicroη καί ἀπό τό δηmicroοτικό τόν ϐοηθᾶ νά ὀργανώσει τίς σκέψεις τουκαί κυρίως τίς microή microαθηmicroατικές ῞Οσο κιrsquo ἄν ἀκούγεται ὑπερβολικό ὑπάρχουν ἁπλές ἀλλά ὄχιτετριmicromicroένες ἀποδείξεις καί microάλιστα γεωmicroετρικές πού κάλλιστα εἶναι δυνατόν νά διδαχθοῦν καίστό δηmicroοτικό ῎Ηδη στή Μεγάλη Βρεττανία ὅπου ἐπίσης ἔχουν γίνει παρόmicroοιες διαπιστώσειςσηmicroαντικοί ἐπιστήmicroονες προπαγανδίζουν τήν εἰσαγωγή τῶν ἀποδείξεων από τήν κατωτέρα ἐκ-παίδευση Εἶναι ἐπίσης σαφές ὅτι ἡ ΕΓ εἶναι τό κατάλληλότερο microοντέλο γιά τή διδασκαλία τῶνἐννοιῶν αὐτῶν ∆έν εἶναι ἄλλωστε τυχαῖο τό γεγονός ὅτι microέσω αὐτῆς ὁ ἀνθρώπινος νοῦς συνέλαβεγιά πρώτη ϕορά τίς ἔννοιες ἀπόδειξη ϑεώρηmicroα ἀξίωmicroα καί microάλιστα στό γεωγραφικό microας χῶρο

Εὐχαριστίες

Θά ἤθελα νά ἐκφράσω τίς ϑερmicroές microου εὐχαριστίες πρός τόν Καθηγητή Στυλιανό Νεγρεπόντη γιάτήν τεράστια ϐοήθειά του στήν συγγραφή τοῦ παρόντος ἄρθρου ῾Η ἀρχική ἐκδοχή τοῦ ἄρθρουαὐτοῦ ὑπῆρξε ἀποτέλεσmicroα συζητήσεων κατά τήν διάρκεια τοῦ Χειmicroερινοῦ ἑξαmicroήνου τοῦ 1996 microέτόν κ Νεγρεπόντη ὁ ὁποῖος ἦταν τότε ἐπισκέπτης στό τmicroῆmicroα Μαθηmicroατικῶν καί Στατιστικῆς τοῦΠανεπιστηmicroίου Κύπρου ῾Ο κ Νεγρεπόντης microοῦ παρέσχε πλειάδα πληροφοριῶν ὄχι microόνο κατάτήν συγγραφή τῆς ἀρχικῆς ἐκδοχῆς τοῦ ἄρθρου ἀλλά καί γιά τίς ἐκδοχές πού ἐπακολούθησαν

᾿Αναφορὲς

[1] Λεωνίδας Αδαmicroόπουλος ῾Η ϑέση τῆς Γεωmicroετρίας στή δευτεροβάθmicroια ἐκπαίδευση Αθήνα1994

[2] WE Boyce amp RC DiPrima Elementary Differential Equations Sixth Edition Wiley1997

[3] Jean Dieudonne New Thinking in School Mathematics OECD France 1961

[4] David H Fowler The Mathematics of Platorsquos Academy A New Reconstruction OxfordUniversity Press 1999

[5] Εὐκλείδεια Γεωmicroετρία Α΄ καί Β΄ ἑνιαίου λυκείου ΟΕ∆Β Αθήνα 1999

[6] TL Heath The Elements of Euclid Dover New York 1956

[7] Celia Hoyles The Curricular of Studentsrsquo Approaches to Proof For the Learning of Math-ematics 17 1(February 1997) pp 7-15

Αναφορὲς Αναφορὲς

[8] Μαθηmicroατικά ἐπιλογῆς τρίτης λυκείου ῾Υπουργεῖο Παιδείας καί Θρησκευmicroάτων Λευκωσία1996

[9] Stelios Negrepontis The anthyphairetic nature of Platorsquos dialectics Athens 1999

[10] Stelios Negrepontis Προσωπική ἐπικοινωνία

[11] Πάρις Πάmicroφιλος Paris Pamfilos home page on Geometry Philosophy and Programmingδιεύθυνση httpwwwmathuocgr˜pamfilosiso 2004

[12] A Pogoreloff Lectures on the foundations of Geometry PNourdhoff Ltd 1966

[13] A Pogorelov Geometri 7minus 11 Prosveweni 1995

c2006 Γιῶργος-Σωκράτης ∆Σ Σmicroυρλῆς

῾Η εἰκόνα στό ἐξώφυλλο ἀποτελεῖ ἔργο τοῦ Barnett Newman (1905-1970) τό ὁποῖο ϕέρει τόντίτλο The Death of Euclid Τό ἔργο αὐτό τοῦ 1947 ἀποτελεῖ ἄθελά του προποmicroπό ἐκστρατείαςτῶν Bourbaki ἐναντίον τῆς Εὐκλειδείου Γεωmicroετρίας Σηmicroειωτέον ὅτι ἡ τέχνη τοῦ Barnett New-man ὁ ὁποῖος ἀποτελεῖ ἐκπρόσωπο τῆς microετακυβιστικῆς σχολῆς ἀντιστρατεύθηκε τήν ἀπόλυταγεωmicroετρική ἐκδοχή τοῦ κυβισmicroοῦ



Περίληψη










1



















minus2

dxx2


minus2

dxx2 = minus1

x

∣∣∣∣1

minus2=

(minus1

1

)minus

(minus 1minus2

)= minus3

2










x(t) =20002minus t



x(15) = 4000 καί x(25) = minus4000












































∆ηλαδή ἄν


)



)






)






forallaisinR

(existε gt 0

(forallNisinN








































































radic2





















Αναφορὲς






















Περίληψη










1



















minus2

dxx2


minus2

dxx2 = minus1

x

∣∣∣∣1

minus2=

(minus1

1

)minus

(minus 1minus2

)= minus3

2










x(t) =20002minus t



x(15) = 4000 καί x(25) = minus4000












































∆ηλαδή ἄν


)



)






)






forallaisinR

(existε gt 0

(forallNisinN








































































radic2





















Αναφορὲς






































minus2

dxx2


minus2

dxx2 = minus1

x

∣∣∣∣1

minus2=

(minus1

1

)minus

(minus 1minus2

)= minus3

2










x(t) =20002minus t



x(15) = 4000 καί x(25) = minus4000












































∆ηλαδή ἄν


)



)






)






forallaisinR

(existε gt 0

(forallNisinN








































































radic2





















Αναφορὲς






















x(15) = 4000 καί x(25) = minus4000












































∆ηλαδή ἄν


)



)






)






forallaisinR

(existε gt 0

(forallNisinN








































































radic2





















Αναφορὲς




















































∆ηλαδή ἄν


)



)






)






forallaisinR

(existε gt 0

(forallNisinN








































































radic2





















Αναφορὲς























)






forallaisinR

(existε gt 0

(forallNisinN








































































radic2





















Αναφορὲς


















































































radic2





















Αναφορὲς
































Αναφορὲς




















Είναι άραγε νεκρός ο Ευκλείδης;

Documents

Transcript of Είναι άραγε νεκρός ο Ευκλείδης;