Owner

Sticky Note

Ελληνική ∆ηµοκρατία ( C / CCC / CCC )

Τελευταία Ενηµέρωση: Παρ, 23-Νοε-12, 10:30

Οµόλογα Ελληνικού ∆ηµοσίου Σταθερού Επιτοκίου Ηµεροµηνία: Παρασκευή, 23 Νοεµβρίου 2012

Ηµεροµηνία Τρέχον Ποσό Καθαρή Απόδοση Περιθώρια ∆ιάρκεια ∆είκτες Μεταβλητότητας

Σύντοµη Περιγραφή ISIN Λήξης Τοκόµερ. (€ εκ.) Τιµή ∆ (YTM) ∆ Bmk ∆ Swap ∆ σε έτη Dur PV01 Conv

1 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-42 GR0138014809 24-Φεβ-42 2.00 3,139 25.71 +29 13.34% -11 +1104 -13 +475 -2 29.7 9.4 2.5 +1.52 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-41 GR0138013793 24-Φεβ-41 2.00 3,139 25.68 +23 13.44% -9 +1114 -10 +482 -2 28.7 9.3 2.5 +1.53 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-40 GR0138012787 24-Φεβ-40 2.00 3,139 25.64 +21 13.55% -9 +1126 -10 +490 -2 27.6 9.3 2.4 +1.54 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-39 GR0138011771 24-Φεβ-39 2.00 3,139 25.63 +16 13.67% -6 +1139 -8 +498 -1 26.6 9.3 2.4 +1.45 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-38 GR0138010765 24-Φεβ-38 2.00 3,139 25.71 +23 13.77% -9 +1148 -11 +506 -2 25.6 9.2 2.4 +1.46 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-37 GR0138009759 24-Φεβ-37 2.00 3,139 25.71 +19 13.91% -7 +1163 -9 +516 -2 24.6 9.2 2.4 +1.47 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-36 GR0138008744 24-Φεβ-36 2.00 3,139 25.92 +24 13.98% -10 +1170 -11 +525 -2 23.6 9.2 2.4 +1.48 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-35 GR0138007738 24-Φεβ-35 2.00 3,139 26.00 +21 14.14% -8 +1190 -10 +536 -2 22.6 9.1 2.4 +1.49 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-34 GR0138006722 24-Φεβ-34 2.00 3,139 26.13 +13 14.29% -5 +1205 -7 +548 -1 21.6 9.0 2.4 +1.3

10 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-33 GR0138005716 24-Φεβ-33 2.00 3,139 26.49 +20 14.38% -7 +1214 -9 +559 -2 20.5 9.0 2.4 +1.311 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-32 GR0133010232 24-Φεβ-32 2.00 3,139 26.68 +18 14.56% -7 +1242 -8 +574 -1 19.5 8.9 2.4 +1.312 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-31 GR0133009226 24-Φεβ-31 2.00 3,139 27.08 +15 14.70% -6 +1255 -7 +589 -1 18.5 8.8 2.4 +1.213 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-30 GR0133008210 24-Φεβ-30 2.00 3,139 27.54 +9 14.85% -3 +1276 -4 +606 -1 17.5 8.6 2.4 +1.214 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-29 GR0133007204 24-Φεβ-29 2.00 3,139 28.22 +20 14.96% -8 +1296 -8 +624 -2 16.5 8.5 2.5 +1.115 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-28 GR0133006198 24-Φεβ-28 2.00 3,139 30.28 +11 14.60% -4 +1264 -4 +633 -1 15.5 8.5 2.6 +1.116 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-27 GR0128014710 24-Φεβ-27 2.00 2,941 31.85 +45 14.44% -19 +1255 -20 +651 -3 14.5 8.3 2.7 +1.017 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-26 GR0128013704 24-Φεβ-26 2.00 2,941 31.74 +29 15.02% -17 +1313 -18 +686 -2 13.4 8.0 2.6 +0.918 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-25 GR0128012698 24-Φεβ-25 2.00 2,941 31.83 +18 15.69% -7 +1417 -6 +724 -1 12.4 7.5 2.5 +0.819 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-24 GR0128011682 24-Φεβ-24 2.00 2,941 32.44 +26 16.19% -11 +1467 -10 +766 -2 11.4 7.2 2.4 +0.7

10

Y+

20 ΟΕ∆ 2.00%, Φεβ-23 GR0128010676 24-Φεβ-23 2.00 2,941 34.92 -1 16.08% +2 +1465 +2 +796 +1 10.4 6.8 2.4 +0.72.00 € 62 δις

Ισοσταθµισµένο: 28.06 +20 14.48% -8 +1241 -9 +589 -2 20.0 8.6 2.5 1.2

PSI Σταθµισµένο: 27.99 +20 14.46% -8 +1239 -9 +587 -2 20.2 8.7 2.5 1.2

Σύνοψη Ελληνικών Swap Spreads

∆ιάρκειαΠεριθώριο

SwapΜεταβολές

YOY YTD Q430YR +475 -71 -113 -40

15YR +651 -194 -481 -73

10YR +796 -258 -681 -69

Επεξηγήσεις

YTM: Yield to Maturity - Απόδοση υπολογισµένη µε την προϋπόθεση διακράτησης µέχρι την λήξη.Bmk: Benchmark Spread - Περιθώριο µεταξύ Ελληνικών και Γερµανικών οµολόγων αντίστοιχης διάρκειας, εκφρασµένο σε µονάδες βάσης.Swap: Περιθώριο µεταξύ Ελληνικών οµολόγων και Ευρωπαϊκής καµπύλης Ανταλλαγής Επιτοκίων (Euro Interest Rate Swap vs. 6 Month €uribor ).Dur: Duration - Μεταβλητότητα τιµής. Ποσοστιαία µεταβολή (%) της τιµής του οµολόγου για κάθε µεταβολή της απόδοσης κατά 100 µονάδες βάσης.PV01: Price Value of a Basis Point . Μεταβολή της τιµής του οµολόγου για µεταβολή της απόδοσης του (YTM) κατά µία µονάδα βάσης.Conv: Convexity. Μέτρο της καµπυλότητας µε την οποία η τιµή ενός οµολόγου µεταβάλλεται σε διάφορες τιµές της απόδοσης.ISIN: International Securities Identification Number . ∆ωδεκαψήφιος µοναδικός αριθµός που προσδιορίζει κάθε οµόλογο.ΟΕ∆: Οµόλογα Ελληνικού ∆ηµοσίου.∆: Μεταβολή από Πέµπτη, 22-Νοε-12, 10:30.Καλάθι ΟΕ∆: Το σύνολο των 20 οµολόγων που έχουν προκύψει από το PSI, σταθµισµένοι Ισοµερώς ή µε τις αναλογίες του PSI. ∆εν περιλαµβάνονται οι αντίστοιχοι Τίτλοι ΑΕΠΤίτλοι ΑΕΠ: Τίτλοι που οι αποδόσεις τους βασίζονται στην πορεία του Ελληνικού ΑΕΠ. Πρώτο δυνητικό έτος πληρωµής το 2015 / Αναλυτικοί όροι περιγράφονται στο PSI.Τοκοµερίδιο: Σταδιακά Αυξανόµενο τοκοµερίδιο µε τα ακόλουθα επιτόκια: 2012-2015: 2.00%, 2015-2020: 3.00%, 2020-2021: 3.65%, 2021 και µετά: 4.30%.

Bund: 142.22, Bobl: 126.22, Schatz: 110.82, German 10-Year: 1.44%, German 10Y-2Y Spread: +143, US 10-Year: 1.70%, €/$: 1.2892, Greek 10-Year CDS: +87, €uribor: 1m 0.11% / 12m 0.58%.

Καλάθι ΟΕ∆

+475

+651

+796

30YR

15YR

10YR

This report is intended for clients of Piraeus Bank and is not to be used for any other purpose. Any opinions presented constitute our judgement as of the date indicated and are subject to change and may only be relied upon subject thereto. The document is not intended as an offer or solicitation to buy and sell. For additional information please contact Fixed Income Desk or see our Bloomberg & Reuters pages PBGR.

H:\FID\14 Reports\Sovereign_Eurozone\[FID - Panorama NG.xlsm]blg © 2012 - Piraeus Bank, Fixed Income Desk, Fri, 23-Nov-12.

intended as an offer or solicitation to buy and sell. For additional information please contact Fixed Income Desk or see our Bloomberg & Reuters pages PBGR.

1

Ασκήσεις

Αγορά Χρήµατος και Οµολόγων

1. Να βρεθεί ο τόκος ενός πιστοποιητικού κατάθεσης 500.000€ µε επιτόκιο 3,5%

που εκδίδεται από µία τράπεζα την 5/5/2008 και λήγει την 10/8/2008.

Χρησιµοποιείστε τη σύµβαση ηµερών Actual / 360.

Λύση

Ξέρουµε ότι:

Όπου Υ είναι η απόδοση του πιστοποιητικού κατάθεσης (3,5%)

P είναι η τιµή του κατά την έκδοση (δηλαδή το ποσό κατάθεσης 500.000€)

F είναι η τιµή του κατά τη λήξη (δηλαδή ποσό κατάθεσης + τόκοι)

t είναι η διάρκειά του σε ηµέρες

Αφού η διάρκεια του πιστοποιητικού είναι:

26 ηµέρες Μαΐου + 30 ηµέρες Ιουνίου + 31 ηµέρες Ιουλίου + 10 ηµέρες

Αυγούστου = 97 ηµέρες

Εποµένως ο τόκος του D = F-P θα είναι:

2. Έστω ότι σήµερα η προεξοφλητική απόδοση διαπραγµάτευσης για το έντοκο

γραµµάτιο 6 µηνών είναι 2,5%, για το έντοκο γραµµάτιο 12 µηνών 3% ενώ για το

οµόλογο µηδενικού κουπονιού διάρκειας στη λήξη 18 µηνών η ΥΤΜ είναι 3,5%.

Η ονοµαστική αξία όλων είναι 1.000€.

Ένας επενδυτής έχει επενδυτικό ορίζοντα 6 µηνών και τις εξής επιλογές:

Α) να αγοράσει το έντοκο γραµµάτιο διάρκειας στη λήξη 6 µηνών και να το κρατήσει

µέχρι τη λήξη του

Β) να αγοράσει το έντοκο γραµµάτιο διάρκειας στη λήξη 12 µηνών και να το

πωλήσει 6 µήνες µετά

Γ) να αγοράσει το οµόλογο µηδενικού κουπονιού διάρκειας στη λήξη 18 µηνών και

να το πωλήσει 6 µήνες µετά

1. Να υπολογίσετε την απόδοση που θα επιτύχει µε τις τρείς αυτές επιλογές εάν τα

επιτόκια παραµείνουν αµετάβλητα στη διάρκεια του επενδυτικού του ορίζοντα

tP

PFY

360×

−=

€28,715.4360

97€000.500035,0

360

360=⇒××=⇒××=⇒×

−= DD

tPYD

tP

PFY

2

2. Εάν όλα τα επιτόκια αυξηθούν κατά 1,5% µέσα στον επόµενο µήνα για όλες τις

διάρκειες ποιά θα είναι η απόδοσή του από την καλύτερη επιλογή του ερωτήµατος 1.;

Λύση

1. Α) Στην περίπτωση αυτή ο επενδυτής αγοράζει το έντοκο γραµµάτιο 6 µηνών και

το διακρατά µέχρι τη λήξη του. Εποµένως, η απόδοσή του (µε τη σύµβαση ηµερών

της αγοράς χρήµατος) δίνεται από τη σχέση:

tP

DMMY

360×=

όπου:

ενώ:

€5,987€5,12€000.1 =−=−= DFP

Συνεπώς θα είναι:

0253,0180

360

€5,987

€5,12360=×=×=

tP

DMMY ή 2,53%

Μετατρέποντάς την σε ισοδύναµη οµολογιακή απόδοση προκύπτει:

%56,2360

365=×= MMYBEY

Β) Αντίστοιχα µε προηγουµένως:

ενώ:

€970€30€000.1 =−=−= DFP

Μετά από 6 µήνες που θα πωληθεί το έντοκο 1 έτους, θα είναι:

€5,12360

180000.1025,0

360=

××=

××=

tFYD

d

€30360

360000.103,0

360=

××=

××=

tFYD

d

€5,12360

180000.1025,0

360' =

××=

××=

tFYD

d

3

(Μετά από 6 µήνες, το έντοκο 1 έτος θα είναι έντοκο 6 µηνών και θα

διαπραγµατεύεται µε την απόδοση του εντόκου 6 µηνών, δηλαδή µε 2,5%)

Και άρα η τιµή πώλησής του:

€5,987€5,12€000.1'' =−=−= DFP

Εποµένως, η απόδοση του επενδυτή από αυτήν την επενδυτική επιλογή θα είναι:

[(P’ – P)/P] x 360 / 180 = [(987,5 – 970)/970] x 2 = 0,036 ή 3,6%

Η ισοδύναµη οµολογιακή απόδοση σε αυτήν την περίπτωση:

%65,3360

365%6,3 =×=BEY

Γ) Αντίστοιχα, για το οµόλογο µηδενικού κουπονιού 18 µηνών:

€70,949)035,01(

€000.15,1=

+=αγP

Και:

€87,97003,01

€000.1=

+=πωλP

(Μετά από 6 µήνες, το zero coupon 18 µηνών θα διαπραγµατεύεται όσο και το έντοκο

1 έτους, δηλαδή µε 3%)

Άρα:

[(Pπωλ – Pαγ) / Pαγ ] x (12 / 6) = 0,0445 ή 4,45%

Εδώ, την ετησιοποίηση της απόδοσης του οµολόγου µηδενικού κουπονιού την

κάναµε ακολουθώντας τη σύµβαση της αγοράς χρήµατος (µε απλό επιτόκιο, δηλαδή

χωρίς να υποθέσουµε ανατοκισµό).

Η λύση ποιοτικά θα ήταν η ίδια εάν κάποιος χρησιµοποιούσε εξάµηνο ανατοκισµό:

Η εξάµηνη απόδοση είναι:

[(Pπωλ – Pαγ) / Pαγ ] = 0,0223 ή 2,23%

Άρα η ετήσια:

4,51% ή 0451,01)0223,01()1()1( 22 =−+=⇒+=+ YiY

Σε κάθε περίπτωση, η καλύτερη επιλογή για τον επενδυτή είναι η αγορά του

οµολόγου µηδενικού κουπονιού µε διάρκεια 18 µηνών.

4

2. Εάν η καµπύλη επιτοκίων αυξηθεί κατά 1,5% σε όλες τις διάρκειες, τότε τιµή

πώλησης του οµολόγου µηδενικού κουπονιού θα είναι:

€38,95205,01

€000.1=

+=πωλP

Και η απόδοση του επενδυτή (ετησιοποίηση χωρίς εξάµηνο ανατοκισµό) θα

διαµορφωθεί σε:

(Pπωλ – Pαγ) / Pαγ x (12 / 6) = 0,0056 ή 0,56%

Υποθέτοντας εξάµηνο ανατοκισµό η ετήσια απόδοση γίνεται:

0,56% ή 0056,01)0028,01()1()1( 22 =−+=⇒+=+ YiY

3. Έστω δύο οµόλογα που διαπραγµατεύονται στη δευτερογενή αγορά και έχουν

τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: Και τα δύο έχουν ονοµαστική αξία 1.000€ και

διάρκεια µέχρι τη λήξη 7 έτη. Το 1ο πληρώνει ετήσιο κουπόνι 9% και έχει

απαιτούµενη απόδοση στη λήξη 6,3%. Το 2ο πληρώνει ετήσιο κουπόνι 6% και

έχει απαιτούµενη απόδοση στη λήξη 6,5%. Ένας επενδυτής αγοράζει τα δύο

οµόλογα και τα διακρατεί µέχρι τη λήξη τους. Υπολογίστε την ετήσια

απόδοση που θα έχει ο επενδυτής από κάθε οµόλογο, αν υποθέσουµε ότι

επανεπενδύει τα κουπόνια και από τα δύο οµόλογα µε επιτόκιο 6,4%.

Λύση

Τα κουπόνια των δύο οµολόγων θα είναι:

C1 = ic1 x F = 0,09 x 1.000€ = 90€

και

C2 = ic2 x F = 0,06 x 1.000€ = 60€

Η µελλοντική αξία απο την είσπραξη και επανεπένδυση των κουπονιών απο

το 1ο οµόλογο Κ1 είναι:

Η τιµή αγοράς του 1ου

οµολόγου στη δευτερογενή αγορά είναι:

€72,764064,0

1)064,01(€90

1)1(1

7

11 =⇒

−+×=⇒

−+×=

∆

KKi

iCK

€13,149.1€03,652€1,497

)063,01(

€000.1

063,0

)063,01(

11

€90)1(

)1(

11

1

7

7

11

=+=

⇒+

+

+

−

×=⇒+

+

+

−

×=

P

PYTM

F

YTM

YTMCP ν

ν

5

Εποµένως, η ετήσια απόδοση διακράτησης του 1ου

οµολόγου, αφού η τιµή

«πώλησης» είναι η ονοµαστική αξία του οµολόγου, είναι:

ή

6,32%

Ανάλογα, για το 2ο οµόλογο έχουµε:

Ενώ η τιµή αγοράς του στη δευτερογενή αγορά:

Άρα:

ή

6,48%

4. Ένα οµόλογο µηδενικού κουπονιού έχει ονοµαστική αξία 1.000€, διάρκεια

στη λήξη 12,75 έτη και ΥΤΜ 8%, ενώ η τροποποιηµένη του διάρκεια είναι

MD = 11,81. Ένα άλλο οµόλογο µε την ίδια ονοµαστική αξία πληρώνει

ετήσιο κουπόνι 6%, έχει διάρκεια στη λήξη 30 έτη και ΥΤΜ = 8% επίσης.

Α) Έστω ότι η απόδοση στη λήξη και των δύο οµολόγων αυξάνεται στο

8,2%. Ποιά θα είναι η ποσοστιαία µεταβολή της τιµής των δύο οµολόγων;

Β) Επαναλάβατε τους υπολογισµούς του Α) ερωτήµατος όταν η απόδοση

στη λήξη µειώνεται στο 7,7%.

Λύση

Α) Για να βρούµε την ποσοστιαία µεταβολή της τιµής των οµολόγων µπορούµε, είτε

να υπολογίσουµε την τιµή του κάθε οµολόγου πριν και µετά τη µεταβολή της

απόδοσης στη λήξη και να υπολογίσουµε την ποσοστιαία µεταβολή τους, είτε να

εφαρµόσουµε τον τύπο της τροποποιηµένης διάρκειας.

Για το οµόλογο µηδενικού κουπονιού είναι, πριν τη µεταβολή της ΥΤΜ:

0632,01€13,149.1

€000.1€72,7641HPY 7

11 =−+

=⇒−

+= ∆ HPY

P

PK

αγ

πωλ

€81,509064,0

1)064,01(€60

1)1(2

7

22 =⇒

−+×=⇒

−+×=

∆

KKi

iCK

€57,972€5,643€07,329

)065,01(

€000.1

065,0

)065,01(

11

€60)1(

)1(

11

2

7

7

22

=+=

⇒+

+

+

−

×=⇒+

+

+

−

×=

P

PYTM

F

YTM

YTMCP ν

ν

0648,01€57,972

€000.1€81,5091HPY 7

22 =−+

=⇒−

+= ∆ HPY

P

PK

αγ

πωλ

€84,374)08,01(

€000.175,12=

+=

zcP

6

Μετά τη µεταβολή της ΥΤΜ:

Αρα η ποσοστιαία µεταβολή της τιµής του οµολόγου µηδενικού κουπονιού µε αυτόν

τον τρόπο υπολογισµού είναι:

Σύµφωνα µε τον τύπο της τροποποιηµένης διάρκειας:

Αντίστοιχα για το οµόλογο µε κουπόνι:

C = ic x F = 0,06 x 1.000€ = 60€

Και µετά την αύξηση της ΥΤΜ:

Εποµένως:

Β) Με µείωση της ΥΤΜ στο 7,7% θα είναι για το οµόλογο µηδενικού κουπονιού:

€1,366)082,01(

€000.175,12=

+=

zcP

2,33%- ή 0233,0€84,374

€84,374€1,366−=

−=∆

zcP

2,3%- ή 023,0002,081,11 −=×−=zcP

dP

€83,774€37,99€46,675)08,01(

€000.1

08,0

)08,01(

11

6030

30

=+=+

+

+

−×=P

€93,756€01,94€92,662)082,01(

€000.1

082,0

)082,01(

11

€6030

30

=+=+

+

+

−×=P

2,31%- ή 0231,0€83,774

€83,774€93,756−=

−=∆P

€37,388)077,01(

€000.175,12=

+=

zcP

7

Άρα η ποσοστιαία µεταβολή της τιµής του:

Αντίστοιχα, για το άλλο οµόλογο:

5. Να υπολογιστούν οι τιµές τριών οµολόγων µε την ίδια ονοµαστική αξία

1.500€ και υπολοιπόµενη διάρκεια µέχρι τη λήξη 7 έτη, που το πρώτο

πληρώνει ετήσιο κουπόνι 6%, το δεύτερο πληρώνει εξαµηνιαίο κουπόνι 6,8%,

ενώ το τρίτο είναι οµόλογο µηδενικού κουπονιού. Η απαιτούµενη απόδοση

στη λήξη και για τα τρία οµόλογα είναι 8%.

Λύση:

Για το 1ο οµόλογο, το κουπόνι του θα είναι:

C = ic x F = 0,06 x 1.500€ = 90€

Εποµένως:

Για το 2ο οµόλογο, το κουπόνι του θα είναι:

C = ic x F /2 = 0,068 x 1.500€ / 2 = 51€

Εποµένως:

3,6% ή 036,0€84,374

€84,374€37,388=

−=∆

zcP

€06,803€02,108€04,695)077,01(

€000.1

077,0

)077,01(

11

€6030

30

=+=+

+

+

−×=P

3,6% ή 036,0€83,774

€83,774€06,803=

−=∆P

€8,343.1€23,875€57,468

)08,01(

€500.1

08,0

)08,01(

11

€90)1(

)1(

11

7

7

=+=

⇒+

+

+

−

×=⇒+

+

+

−

×=

P

PYTM

F

YTM

YTMCP ν

ν

€93,404.1€21,866€72,538

)2

08,01(

€500.1

2

08,0

)2

08,01(

11

€51

)2

1(2

)2

1(

11

2 14

14

2

2

=+=

⇒+

+

+−

×=⇒+

+

+−

×=

P

PYTM

F

YTM

YTM

CP

ν

ν

8

Τέλος, για το οµόλογο µηδενικού κουπονιού θα είναι:

6. Ο επενδυτής Ζ αγοράζει 5 έτη µετά την έκδοση του στην πρωτογενή αγορά,

οµόλογο µηδενικού κουπονιού 10 ετούς διάρκειας στη τιµή των 15,39€ και το

πουλάει 3 έτη πριν τη λήξη του στην τιµή των 16,75€. Η τιµή έκδοσης του

οµολόγου στην πρωτογενή αγορά ανέρχεται σε 10€ ενώ η τιµή εξόφλησης σε

19,2€. Με βάση τα παραπάνω ζητούνται τα εξής:

Α) Να υπολογίσετε την απόδοση του επενδυτή Ζ.

Β) Να υπολογίσετε το επιτόκιο της αγοράς την στιγµή έκδοσης του οµολόγου.

Γ) Να υπολογίσετε την απόδοση στη λήξη του οµολόγου στο τέλος του 5ου

έτους.

Λύση

Α) Η συνολική απόδοση του επενδυτή Ζ για τα δύο έτη διακράτησης είναι:

[ (Τιµή πώλησης – Τιµή αγοράς) / Τιµή αγοράς ] x 100

Εποµένως είναι:

[ (16,75€ - 15,39€) / 15,39€ ] x 100 = 8,837%

Σε ετήσια βάση, η απόδοση Υ του επενδυτή είναι:

043,0108837,01111)1( 2 =−+=−+=⇒+=Υ+ iYi ή 4,3%

Β)Από τον τύπο της τιµής του οµολόγου µηδενικού κουπονιού είναι:

ή 6,7%

Γ) Στο τέλος του 5ου

έτους που η τιµή του οµολόγου είναι 15,39€, η απόδοση

στη λήξη θα είναι:

ή

4,5%

7. Έστω επενδυτής ο οποίος αγοράζει στην πρωτογενή αγορά οµόλογο

ονοµαστικής αξίας 1.500€, διάρκειας µέχρι τη λήξη 8 έτη που πληρώνει

ετήσιο κουπόνι 6,5%. Να υπολογιστεί η απόδοση που θα έχει ο επενδυτής αν

€23,875)08,01(

€500.1

)1( 7=

+=⇒

+= P

YTM

FP ν

067,01€10

€2,191

)1(10 =⇒−=⇒−=⇒

+= YTMYTM

P

FYTM

YTM

FP ν

ν

045,01€39,15

€2,191 5 =⇒−=⇒−= YTMYTM

P

FYTM ν

9

το διακρατήσει µέχρι τη λήξη του ενώ το επιτόκιο επανεπένδυσης των

κουπονιών είναι 5,8%.

Λύση

Η απόδοση στη λήξη είδαµε ότι υποθέτει πως τα κουπόνια που εισπράττονται

επανεπενδύονται µε την απόδοση στη λήξη που ισχύει κατά την αγορά του

οµολόγου. Εδώ, το επιτόκιο επανεπένδυσης των κουπονιών είναι 5,8%,

χαµηλότερο από την απόδοση στη λήξη κατά την έκδοση του οµολόγου που

ισούται µε το ονοµαστικό επιτόκιο του οµολόγου 6,5%. Εποµένως, για να

υπολογίσουµε τη (ετήσια) απόδοση διακράτησης του οµολόγου θα

εφαρµόσουµε τη σχέση:

όπου Κ είναι η µελλοντική αξία των επανεπενδεδυµένων κουπονιών και

δίνεται από τη σχέση:

Ετσι, αφού το κουπόνι του οµολόγου είναι:

C = ic x F = 0,065 x 1.500€ = 97,5€

θα έχουµε, για διάστηµα ∆ ίσο µε τη διάρκεια διακράτησης µέχρι τη λήξη του

οµολόγου (8 έτη):

Η τιµή «πώλησης» είναι ίση µε την ονοµαστική του αξία, αφού ο επενδυτής

διακρατεί το οµόλογο µέχρι τη λήξη του, και όπως γνωρίζουµε η τιµή του

οµολόγου στη λήξη του είναι ίση µε την ονοµαστική του αξία. Η τιµή αγοράς

θα είναι επίσης ίση µε την ονοµαστική αξία αφού το οµόλογο αγοράζεται

στην πρωτογενή αγορά και εποµένως τιµολογείται στο άρτιο.

Εποµένως, η συνολική ετήσια απόδοση διακράτησης θα είναι:

ή

6,37%

1HPY −

+= ∆

αγ

πωλ

P

PK

−+×=

∆

i

iCK

1)1(

€1,958058,0

1)058,01(€5,97

1)1( 8

=⇒

−+×=⇒

−+×=

∆

KKi

iCK

0637,01€500.1

€500.1€1,9581HPY 8 =−

+=⇒−

+= ∆ HPY

P

PK

αγ

πωλ

1

Επαναληπτικές Ασκήσεις 1. Εστω οµόλογο που πληρώνει εξαµηνιαίο κουπόνι 5% και πωλείται στο άρτιο. Πόσο

πρέπει να είναι το ονοµαστικό του επιτόκιο του εάν πλήρωνε ετήσιο κουπόνι για να εξακολουθεί να πωλείται στο άρτιο;

2. Εστω οµόλογο µε ετήσιο κουπόνι 6% ενώ τα επιτόκια στη αγορά είναι στο 4,5%. Εάν

το οµόλογο σήµερα, την 4/5/2008, έχει 5 έτη υπολοιπόµενη διάρκεια στη λήξη, να υπολογιστούν: Α) Η σηµερινή τιµή του και η καθαρή τιµή του 3 µήνες µετά (χρησιµοποιήστε τη σύµβαση ηµερών actual / 365). Β) Ποιά είναι η απόδοση ενός επενδυτή που αγοράζει το οµόλογο 3 µήνες από σήµερα και το πωλεί αµέσως µετά την είσπραξη του δεύτερου κουπονιού;

3. Ενα οµόλογo µηδενικού κουπονιού έχει διάρκεια στη λήξη 12,75 έτη και ΥΤΜ 8%,

ενώ η κυρτότητά του είναι CV = 150,3 και η τροποποιηµένη του διάρκεια MD = 11,81. Ενα άλλο οµόλογο πληρώνει ετήσιο κουπόνι 6%, έχει διάρκεια στη λήξη 30 έτη και ΥΤΜ = 8% επίσης, ενώ η τροποποιηµένη διάρκειά του είναι 11,79, σχεδόν ίδια µε εκείνη του οµολόγου µηδενικού κουπονιού, η κυρτότητά του όµως είναι αρκετά µεγαλύτερη: CV = 231,2. Α) Εστω ότι η απόδοση στη λήξη και των δύο οµολόγων αυξάνεται στο 9%. Ποιά θα είναι η πσοστιαία µεταβολή της τιµής των δύο οµολόγων; Ποιά είναι η ποσοστιαία µεταβολή της τιµής των οµολόγων που προκύπτει απο τον τύπο της τροποποιηµένης διάρκειας και κυρτότητας; Β) Επαναλάβατε τους υπολογισµούς του Α) ερωτήµατος όταν η απόδοση στη λήξη µειώνεται στο 7%. Γ) Συγκρίνετε την απόδοση των δύο οµολόγων στα δύο ενδεχόµενα (αύξηση και µείωση επιτοκίων) και εξηγείστε βάση αυτής της σύγκρισης το πλεονέκτηµα της κυρτότητας

4. Σήµερα, η καµπύλη αποδόσεων έχει τις εξής τιµές: διάρκεια 1 έτος – απόδοση 7%,

διάρκεια 2 έτη – απόδοση 8%, διάρκειες απο 3 έτη και πάνω – απόδοση 9%. Εχετε να επιλέξετε µεταξύ οµολόγων µε διάρκειες στη λήξη 1, 2 και 3 έτη, όλα µε ετήσιο κουπόνι 8%. Ποιό οµόλογο σας συµφέρει να αγοράσετε εάν πιστεύετε ότι στο τέλος του έτους η καµπύλη αποδόσεων θα είναι επίπεδη στο 9%; (ο επενδυτικός ορίζοντάς σας είναι 1 έτος)

5. Ενα οµόλογο διάρκειας στη λήξη 30 ετών πληρώνει ετήσιο κουπόνι 7% και έχει τιµή

867,42€. Ενα 20ετές οµόλογο πληρώνει ετήσιο κουπόνι 6,5% και η τιµή του είναι 879,5€. Ενας αναλυτής προβλέπει ότι σε 5 έτη τα 25ετή και τα 15ετή οµόλογα θα

2

πωλούνται µε απόδοση στη λήξη 8% και 7,5% αντίστοιχα. Επειδή η καµπύλη αποδόσεων έχει ανοδική κλίση, ο αναλυτής πιστεύει ότι τα κουπόνια θα επανεπενδύονται σε βραχυπρόθεσµα χρεώγραφα µε επιτόκιο 6%. Ποιό απο τα δύο οµόλογα θα προσφέρει τη µεγαλύτερη απόδοση στον επενδυτικό ορίζοντα των 5 ετών, εάν επαληθευτεί η πρόβλεψη του αναλυτή;

6. Εστω ένα οµόλογο σήµερα 13/9/2008 µε τα εξής χαρακτηριστικά: εξαµηνιαίο

κουπόνι 7%, ηµεροµηνία λήξης 15/11/2010, ηµεροµηνία τελευταίας πληρωµής κουπονιού 15/5/2008, απόδοση στη λήξη 6,5% και ονοµαστική αξία 1.000€. Α) Να υπολογιστούν οι δεδουλευµένοι τόκοι, η καθαρή και η βρώµικη τιµή του οµολόγου και η τροποποιηµένη του διάρκεια Β) Αν η απόδοση στη λήξη µεταβληθεί κατά 20 b.p. πόση θα είναι η ποσοστιαία µεταβολή της τιµής του;

7. Εστω ότι η καµπύλη επιτοκίων σήµερα περιγράφεται από τις τιµές του παρακάτω

πίνακα:

∆ιάρκεια Επιτόκιο (%) 6 µήνες 2,5 1 έτος 3

18 µήνες 3,5 Ενας επενδυτής έχει επενδυτικό ορίζοντα 6 µηνών και τις εξής επιλογές: Α) να αγοράσει ένα έντοκο γραµµάτιο διάρκειας στη λήξη 6 µηνών και να το κρατήσει µέχρι τη λήξη του Β) να αγοράσει ένα έντοκο γραµµάτιο διάρκειας στη λήξη 1 έτους και να το πωλήσει 6 µήνες µετά Γ) να αγοράσει ένα οµόλογο µηδενικού κουπονιού διάρκειας στη λήξη 18 µηνών και να το πωλήσει 6 µήνες µετά 1. Να υπολογίσετε την απόδοση που θα επιτύχει µε τις τρείς αυτές επιλογές εάν η καµπύλη επιτοκίων παραµείνει αµετάβλητη. 2. Εάν η καµπύλη επιτοκίων αυξηθεί κατά 1,5% µέσα στον επόµενο µήνα σε όλες τις διάρκειες ποιά θα είναι η απόδοσή του από την καλύτερη επιλογή του ερωτήµατος 1.;

3

Λύσεις – Επαναληπτικές Ασκήσεις

1. Εάν υποθέσουµε ότι η απόδοση στη λήξη του οµολόγου µε ετήσιο κουπόνι είναι ίση µε

την απόδοση στη λήξη του οµολόγου µε εξαµηνιαίο κουπόνι, τότε θα πρέπει το ονοµαστικό επιτόκιο για το οµόλογο µε ετήσιο κουπόνι να είναι επίσης 5% για να εξακολουθεί να πωλείται στο άρτιο. Εάν, πιο ρεαλιστικά, οι επενδυτές ζητούν αυξηµένη απόδοση στη λήξη για να αποζηµιωθούν για την πληρωµή ετήσιων αντί εξαµηνιαίων κουπονιών, τότε το ονοµαστικό επιτόκιο θα είναι ίσο µε το ετήσιο ισοδύναµο επιτόκιο (EAR) για εξάµηνο ανατοκισµό: Τόση θα πρέπει να είναι και η απόδοση στη λήξη του οµολόγου µε ετήσιο κουπόνι, µεγαλύτερη από την απόδοση στη λήξη του οµολόγου µε εξαµηνιαίο κουπόνι και ίση διάρκεια στη λήξη.

2. Α) Ο τύπος της τιµής του οµολόγου είναι:

Το κουπόνι του οµολόγου είναι 6%, εποµένως:

C = ic x F = 0,06xF Την 4/5/2008 ισχύει: ν = 5 έτη και ΥΤΜ = 4,5%. Συνεπώς: 3 µήνες µετά, δηλαδή την 4/8/2008, η τιµή του οµολόγου (βρώµικη τιµή) θα δίνεται από τον τύπο της τιµής του για ενδιάµεση των κουπονιών ηµεροµηνία:

ν

ν

)1()1(

11

YTMF

YTMYTMCP

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×=

%57,1060657,18024,0389,406,0

)045,01(045,0)045,01(

1106,0

)1()1(

11

5

5

==+=

=+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×=

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×=

xFxFxFx

FxFYTMF

YTMYTMCP ν

ν

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−××

++×

+= ν

ν

)1()1(

11

)1(1

)1(1

YTMF

YTMYTMC

YTMC

YTMP ww

5,06% ή 0506,01205,011

m1

2Ονοµαστικό =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

miEAR

4

όπου w = αριθµός ηµερών από 4/8/2008 έως 4/5/2009 / 365 = 273 / 365 = 0,748 ν = 4 έτη και ΥΤΜ = 4,5%. Αρα: Η καθαρή τιµή του δίνεται από τη σχέση:

καθαρή τιµή = βρώµικη τιµή – ∆εδουλευµένοι τόκοι Είναι:

Αριθµός ηµερών από την τελευταία πριν την πώληση πληρωµή κουπονιού

ΑΙ = C x Αριθµός ηµερών µεταξύ των δύο διαδοχικών πληρωµών

κουπονιού (πριν και µετά την πώληση) Συνεπώς:

ΑΙ = 0,06 x F x 92 ηµέρες / 365 = 0,015 x F = 1,5% Εποµένως:

καθαρή τιµή = 107,6% - 1,5% = 106,1% ή 1,061xF Β) Ο επενδυτής αγοράζει το οµόλογο στη βρώµικη τιµή του. Θα εισπράξει τα δύο κουπόνια της 4/5/2009 και της 4/5/2010 και θα πωλήσει το οµόλογο. Η τιµή πώλησης θα είναι: Αφού όταν θα το πωλήσει θα αποµένουν τρία χρόνια µέχρι τη λήξη του οµολόγου. Το κεφάλαιο Κ που θα έχει σχηµατιστεί τη στιγµή της πώλησης του οµολόγου από την επανεπένδυση των δύο εισπραχθέντων κουπονιών µε επιτόκιο 4,5% θα είναι:

%6,107076,1810,0208,0058,0

)045,01(045,0)045,01(

1106,0

)045,01(106,0

)045,01(1

4

4

748,0748,0

==++=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−××

++×

+=

xFxFxFxF

FxFxFP

%1,104)045,01(045,0

)045,01(11

06,0 3

3

=+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×=

FxFPπωλ

5

Τελικά, η ετήσια απόδοση του επενδυτή για την περίοδο διακράτησης του οµολόγου θα είναι:

3. Α) Για να βρούµε την ποσοστιαία µεταβολή της τιµής των οµολόγων µπορούµε, είτε να υπολογίσουµε την τιµή του κάθε οµολόγου πριν και µετά τη µεταβολή της απόδοσης στη λήξη, είτε να εφαρµόσουµε τον τύπο της τροποποιηµένης διάρκειας και κυρτότητας. Στο ερώτηµα αυτό καλούµαστε να εφαρµόσουµε και τους δύο τρόπους. Για το οµόλογο µηδενικού κουπονιού είναι, πριν τη µεταβολή της ΥΤΜ:

Μετά τη µεταβολή της ΥΤΜ:

Αρα η ποοσοστιαία µεταβολή της τιµής του οµολόγου µηδενικού κουπονιού µε αυτόν τον τρόπο υπολογισµού είναι: Σύµφωνα µε τον τύπο της τροποποιηµένης διάρκειας και κυρτότητας: Αντίστοιχα για το οµόλογο µε κουπόνι:

F

FFiiCCK

×=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+××++××=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+×++×=

∆

1227,0

045,01)045,01(06,0)045,01(06,01)1()045,01(

1

4,58% ή 0458,01076,1

041,11227,01HPY 748,1 =−+

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ += ∆

xFxFxF

PPK

αγ

πωλ

%4,37374,0)08,01( 75,12 ==

+= xFFPzc

%3,33333,0)09,01( 75,12 ==

+= xFFPzc

10,9%- ή 109,0374,0

374,0333,0−=

−=∆

xFxFxFPzc

11,05%- ή 1105,0)01,0(3,1502101,081,11 2 −=××+×−=

zcPdP

%4,77774,0)08,01(08,0

)08,01(11

06,0 30

30

==+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×= xFFxFP

6

Και: Εποµένως: Με τον τύπο της τροποποιηµένης διάρκειας και κυρτότητας: Β) Με µείωση της ΥΤΜ στο 7% θα είναι για το οµόλογο µηδενικού κουπονιού: Αρα η ποσοστιαία µεταβολή της τιµής του: Με τον τύπο της διάρκειας και κυρτότητας: Αντίστοιχα, για το άλλο οµόλογο:

%1,69691,0)09,01(09,0

)09,01(11

06,0 30

30

==+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×= xFFxFP

10,7%- ή 107,0774,0

774,0691,0−=

−=∆

xFxFxFP

10,63%- ή 1063,0)01,0(2,2312101,079,11 2 −=××+×−=

PdP

%2,42422,0)07,01( 75,12 ==

+= xFFPzc

12,8% ή 128,0374,0

374,0422,0=

−=∆

xFxFxFPzc

12,56% ή 1256,0)01,0(3,15021)01,0(81,11 2 =−××+−×−=

zcPdP

%5,87875,0)07,01(07,0

)07,01(11

06,0 30

30

==+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×= xFFxFP

13,05% ή 1305,0774,0

774,0875,0=

−=∆

xFxFxFP

7

Ενώ µε τον τύπο της τροποποιηµένης διάρκειας και κυρτότητας:

4. Για να βρούµε ποιό οµόλογο θα δώσει τη µεγαλύτερη απόδοση για τον επενδυτικό ορίζοντα του ενός έτους (όπως υπονοείται από την άσκηση), θα πρέπει να υπολογίσουµε τις αποδόσεις των τριών οµολόγων σε ένα έτος από σήµερα. Θα είναι: Οµόλογο διάρκειας 1 έτους: Τιµή σήµερα: Σε ένα έτος η τιµή του οµολόγου θα είναι ίση µε F, αφού το οµόλογο λήγει, και ο επενδυτής θα εισπράξει την ονοµαστική αξία και το κουπόνι 0,08xF, δηλαδή συνολικά 1,08xF = 108%. Εποµένως η ετήσια απόδοση του οµολόγου αυτού θα είναι: Οµόλογο διάρκειας 2 ετών: Τιµή σήµερα ίση µε την ονοµαστική του αξία (στο άρτιο) αφού το κουπόνι του (8%) ισούται µε την απόδοσή του στη λήξη, δηλαδή P2ετών = 100% Μετά από ένα έτος θα είναι: Αρα, ο επενδυτής θα εισπράξει 0,08xF + 0,99xF = 1,07xF:

12,94% ή 1294,0)01,0(2,23121)01,0(79,11 2 =−××+−×−=

PdP

%9,100009,1 0,934xF 0747,007,0107,0

07,0111

08,0ετους 1 ==+=+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×= xFxFFxFP

7,03% ή 0703,01009,108,1HPY 11έέτους =−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

xFxF

%999,90 0,917xF 073,009,0109,0

09,0111

08,02 ==+=+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−××= xFxFFFP ώνετ

7% ή 07,0107,1HPY 12εετώ =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

FxF

8

Και για το οµόλογο διάρκειας 3 ετών: Τιµή σήµερα: Μετά από 1 έτος: όπου ο επενδυτής θα εισπράξει 0,08xF + 0,981xF = 1,061xF = 106,1%. Εποµένως η ετήσια απόδοσή του από το 3ετές οµόλογο θα είναι: Συνεπώς ο επενδυτής πρέπει να επιλέξει το οµόλογο 3ετούς διάρκειας που του δίνει τη µεγαλύτερη απόδοση.

5. Για να υπολογίσουµε ποιο οµόλογο θα προσφέρει τη µεγαλύτερη απόδοση, πρέπει να υπολογίσουµε την τιµή πώλησής τους σε 5 χρόνια και την ποσότητα Κ από την είσπραξη και επανεπένδυση των κουπονιών τους. Η ονοµαστική αξία των οµολόγων είναι F=1.000€. Ετσι: Τιµή πώλησης 30ετούς οµολόγου 5 χρόνια µετά: Ποσότητα Κ από την είσπραξη και την επανεπένδυση 5 κουπονιών ύψους 7% µε επιτόκιο 6:

%4,97974,0 0,772xF 202,0)09,01(09,0

)09,01(11

08,0 3

3

3 ==+=+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×= xFxFFxFP ώνετ

%1,98981,0 0,841xF 140,0)09,01(09,0

)09,01(11

08,0 2

2

3 ==+=+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×= xFxFFxFP ώνετ

8,93% ή 0893,01974,0061,1HPY 13εετώ =−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

xFxF

%3,89893,0 0,146xF 747,0)08,01(08,0

)08,01(11

07,0 25

25

30 ==+=+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×= xFxFFxFP ώνετ

%4,39394,006,0

1)06,01(07,01)1( 5

=×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+×=

∆

FxFxiiCK

9

Αρα, η ετήσια απόδοση του οµολόγου αυτού θα είναι: Τιµή πώλησης 20ετούς οµολόγου 5 χρόνια µετά: Ποσότητα Κ από την είσπραξη και την επανεπένδυση 5 κουπονιών ύψους 6,5% µε επιτόκιο 6: Αρα, η ετήσια απόδοσή του 20ετούς οµολόγου θα είναι:

6. Α) Θα είναι:

Αριθµός ηµερών από την τελευταία πριν την πώληση πληρωµή κουπονιού

ΑΙ = C x Αριθµός ηµερών µεταξύ των δύο διαδοχικών πληρωµών

κουπονιού (πριν και µετά την πώληση) Αρα:

ΑΙ = (0,07x1.000 / 2) x 121 / 184 = 23,01€ αφου µεσολαβούν 121 ηµέρες από την τελευταία πληρωµή κουπονιού την 15/5/2008 έως την 13/9/2008, ενώ το συνολικό διάστηµα µεταξύ των δύο διαδοχικών πληρωµών (15/5/2008 – 15/11/2008) περιλαµβάνει 184 ηµέρες.

8,21% ή 0821,01€42,867893,0394,0HPY 530ε0ετ =−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

xFxF

%1,91911,0 0,338xF 573,0)075,01(075,0

)075,01(11

065,0 15

15

20 ==+=+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−×= xFxFFxFP ώνετ

%6,36366,006,0

1)06,01(065,01)1( 5

=×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+×=

∆

FxFxiiCK

7,74% ή 0774,01€5,879911,0366,0HPY 520ε0ετ =−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=

xFxF

10

H βρώµικη τιµή του οµολόγου θα είναι: όπου w = αριθµός ηµερών από 13/9/2008 έως 15/11/2008 / 184 = 63 / 184 = 0,342 ν = 4 και ΥΤΜ /2 = 3,25%. Αρα: Συνεπώς, η καθαρή τιµή του οµολόγου:

Καθαρή τιµή = 1.032,87€ - 23,01€ = 1.009,86€ Για τον υπολογισµό της τροποποιηµένης διάρκειας του οµολόγου δεν µπορούµε να εφαρµόσουµε τον τύπο που έχουµε µάθει, αφού αυτός ισχύει για τις ηµεροµηνίες πληρωµής των κουπονιών και όχι για ενδιάµεσες ηµεροµηνίες. Μπορούµε φυσικά να παραγωγίσουµε ως προς ΥΤΜ τον τύπο της τιµής για ενδιάµεση ηµεροµηνία και να διαιρέσουµε µε P. Είναι πιο εύκολο όµως να υπολογίσουµε τη νέα τιµή του οµολόγου για µεταβολή της ΥΤΜ κατά 1% και κατόπιν να υπολογίσουµε την ποσοστιαία µεταβολή της τιµής, που όπως ξέρουµε ισούται µε την τροποποιηµένη διάρκεια. Ετσι, για π.χ. αύξηση της ΥΤΜ κατά 1%:

Συνεπώς, αφού:

MD = - ((1.013,02€ - 1.032,87€) / 1.032,87€) / 0,01 = 1,92

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−××

++×

+= ν

ν

)1()1(

11

)1(1

)1(1

YTMF

YTMYTMC

YTMC

YTMP ww

€87,032.1€25,998€62,34

)0325,01(000.1

0325,0)0325,01(

11€35

)0325,01(1€35

)0325,01(1

4

4

342,0342,0

=+=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−××

++×

+=P

€02,013.1€46,978€56,34

)0375,01(000.1

0375,0)0375,01(

11€35

)0375,01(1€35

)0375,01(1

4

4

342,0342,0'

=+=

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+

−××

++×

+=P

dYTMMDPdP

×−=

11

(Κανονικά, επειδή η µεταβολή της ΥΤΜ είναι µεγάλη (1% - 100b.p.) θα έπρεπε να συµπεριλάβουµε στον προηγούµενο τύπο και τον όρο για την κυρτότητα. Εδώ χρησιµοποιείται απλουστευτικά. Πρόκειται για τον ορισµό της τροποποιηµένης διάρκειας «η τροποποιηµένη διάρκεια µπορούµε να πούµε ότι εκφράζει την ποσοστιαία µεταβολή της τιµής του οµολόγου για µια µεταβολή της απόδοσης στη λήξη κατά 1%» - διαφάνεια 19 – αρχείο Lect 6-7_Bonds II, πριν την εισαγωγή της έννοιας της κυτρότητας). Ετσι βρήκαµε την τροποποιηµένη διάρκεια του οµολόγου µε εξαµηνιαίο κουπόνι ίση µε 1,92. Εποµένως η ισοδύναµη τροποποιηµένη διάρκεια οµολόγου ετήσιου κουπονιού θα είναι: Β) Αν η απόδοση στη λήξη µεταβληθεί (π.χ. αυξηθεί) κατά 20 b.p., η τιµή του οµολόγου θα µεταβληθεί κατά:

7. 1. Α) Στην περίπτωση αυτή ο επενδυτής αγοράζει το έντοκο γραµµµάτιο 6 µηνών και το διακρατά µέχρι τη λήξη του. Εποµένως, η απόδοσή του (µε τη σύµβαση ηµερών της αγοράς χρήµατος) δίνεται από τη σχέση:

tPDMMY 360×=

όπου: ενώ:

€5,987€5,12€000.1 =−=−= DFP Συνεπώς θα είναι:

0253,0180360

€5,987€5,12360

=×=×=tP

DMMY ή 2,53%

Μετατρέποντάς την σε ισοδύναµη οµολόγιακή απόδοση προκύπτει:

0,192%- ή 00192,0002,096,0 −=×−=PdP

€5,12360

180000.1025,0360

=××

=××

=tFY

D d

96,0292,1

2 κκουπεξαµην. ===

MDMD

12

%56,2360365

=×= MMYBEY

Β) Αντίστοιχα µε προηγουµένως: ενώ:

€970€30€000.1 =−=−= DFP Μετά από 6 µήνες που θα πωληθεί το έντοκο 1 έτους θα είναι:

Και άρα η τιµή πώλησής του:

€5,987€5,12€000.1'' =−=−= DFP Εποµένως, η απόδοση του επενδυτή από αυτήν την επενδυτική επιλογή θα είναι:

[(P’ – P)/P] x 360 / 180 = [(987,5 – 970)/970] x 2 = 0,0361 ή 3,61% Η ισοδύναµη οµολογιακή απόδοση σε αυτήν την περίπτωση:

%66,3360365%61,3 =×=BEY

Γ) Αντίστοιχα, για το οµόλογο µηδενικού κουπονιού 18 µηνών:

€70,949)035,01(

€000.15,1 =

+=αγP

Και:

€87,97003,01€000.1=

+=πωλP

Αρα:

€30360

360000.103,0360

=××

=××

=tFY

D d

€5,12360

180000.1025,0360

' =××

=××

=tFY

D d

13

(Pπωλ – Pαγ) / Pαγ x (12 / 6) = 0,0445 ή 4,45% Συνεπώς, η καλύτερη επιλογή για τον επενδυτή είναι η αγορά το οµολόγου µηδενικού κουπονιού µε διάρκεια 18 µηνών. 2. Το οµόλογο µηδενικού κουπονιού διάρκειας 18 µηνών (καλύτερη επιλογή του

ερωτήµατος 1) που αγοράζει ο επενδυτής, όταν µετά απο 6 µήνες φθάσει η ώρα να πωληθεί (αφού ο επενδυτής έχει επενδυτικό ορίζοντα 6 µηνών) θα έχει υπολοιπόµενη διάρκεια 1 έτους. Εάν η καµπύλη επιτοκίων αυξηθεί κατά 1,5% σε όλες τις διάρκειες, τότε η τιµή πώλησης του οµολόγου µηδενικού κουπονιού θα είναι:

€94,956045,01

€000.1=

+=πωλP

Και η απόδοση του επενδυτή θα διαµορφωθεί σε:

(Pπωλ – Pαγ) / Pαγ x (12 / 6) = 0,0076 ή 0,76%