Θέματα κ λύσεις στην Επιχειρησιακή Έρευνα- Τσάντας

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012

ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

Ε Π Ι Χ Ε Ι Ρ Η Σ Ι Α Κ Η Ε Ρ Ε Υ Ν Α

ΘΕΜΑ 1ο

Μία εταιρεία παροχής ολοκληρωμένων ευρυζωνικών υπηρεσιών μελετά την επέκταση του ιδιόκτητου δικτύου της, αναμένοντας

να αποκτήσει σημαντικό πλεονέκτημα έναντι των ανταγωνιστών της. Ειδικότερα, στόχος της εταιρίας είναι η επέκταση του

ιδιόκτητου δικτύου της οπτικών ινών, προκειμένου να συνδέσει το τηλεπικοινωνιακό κέντρο της πόλης 1 με εκείνο της

πόλης 10. Στο παρακάτω σχήμα, απεικονίζεται το υπό ανάπτυξη δίκτυο οπτικών ινών της εταιρείας – οι κόμβοι αποτελούν

τα τηλεπικοινωνιακά κέντρα των πόλεων 1 έως 10 και οι ακμές παριστάνουν τις πιθανές διαδρομές οπτικών ινών που μπορούν

να συνδέουν τα κέντρα μεταξύ τους. Οι αριθμοί σε κάθε ακμή εκφράζουν το μήκος σε χιλιόμετρα της οπτικής ίνας που συνδέει

τα αντίστοιχα κέντρα. Το κόστος εγκατάστασης ανέρχεται σε 2.000 ευρώ ανά χιλιόμετρο. Στόχος της εταιρίας είναι να πραγ-

ματοποιήσει την επέκταση από την πόλη 1 προς την πόλη 10 (μέσω των κατάλληλων ενδιάμεσων κέντρων) με τη μικρότερη

δυνατή συνολική οικονομική επιβάρυνση.

1

2

3

4

10

5

6

7

9

100

80

100

400

20

120

60

200

20

60

20

8

40

100

200 10

40

20

10 30

2040

Χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης για να βοηθήσετε τη διοίκηση της εταιρείας να πραγ-

ματοποιήσει την επέκταση του δικτύου της από την πόλη 1 προς την πόλη 10 με το μικρότερο δυνατό κόστος. Να δώσετε

την κατηγορία προβλημάτων στην οποία ανήκει το προς επίλυση πρόβλημα, καθώς και τον αλγόριθμο (όνομα) με τον

οποίο επιτυγχάνεται η λύση. Η επίλυση που θα παρουσιάσετε να είναι σαφής και να δείχνει ότι εφαρμόζετε με ακρίβεια το

σχετικό αλγόριθμο.

ΘΕΜΑ 2ο

Δύο μεγάλες εταιρείες εμφιάλωσης Α και Β, εμπορεύονται δύο αναψυκτικά τύπου cola, τα οποία καλύπτουν το σύνολο της

αγοράς των αναψυκτικών αυτού του τύπου. Για να αυξήσουν το μερίδιο αγοράς τους, οι δύο εταιρείες πρόκειται να κάνουν

συγκεκριμένες προωθητικές ενέργειες σε έναν μεγάλο Δήμο της χώρας, στον οποίο η συνολική αξία των εβδομαδιαίων

πωλήσεων των αναψυκτικών τύπου cola ανέρχεται σε 520 χιλιάδες ευρώ. Οι προωθητικές αυτές ενέργειες περιλαμβάνουν

διαγωνισμούς και προσφορές σε τρία συγκεκριμένα κατάλληλα σημεία πωλήσεων, Σ1, Σ2 και Σ3 που έχουν εντοπίσει τα

τμήματα Μάρκετινγκ των δύο εταιρειών. Λόγω περιορισμένου προϋπολογισμού, κάθε εταιρεία μπορεί να επιλέξει ένα

σημείο για τις προωθητικές της ενέργειες, χωρίς να γνωρίζει ποιο σημείο θα επιλέξει η ανταγωνίστριά της. Η αποτελεσμα-

τικότητα των προωθητικών ενεργειών κάθε εταιρείας εξαρτάται από το σημείο πώλησης που θα επιλέξει τόσο η ίδια όσο

και η ανταγωνίστριά της. Η εκτιμώμενη αξία (σε χιλιάδες ευρώ) των εβδομαδιαίων πωλήσεων της εταιρείας Α, για κάθε

συνδυασμό σημείων πωλήσεων που επιλέγουν οι δύο εταιρείες, δίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Εταιρεία Β

Εταιρεία Α

Β-Σ1 Β-Σ2 Β-Σ3

Α-Σ1 190 270 270

Α-Σ2 330 200 220

Α-Σ3 310 230 280

1. Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να

διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας.

2. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε επιχείρηση

καθώς και την αναμενόμενη αξία πωλήσεων της εταιρείας Α. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, απο-

δίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα. Ποια εταιρεία φαίνεται να είναι μακροπρόθεσμα πιο ωφελημένη;

ΘΕΜΑ 3ο

Δίνεται το ακόλουθο δίκτυο αναπαράστασης ενός έργου:

Start

A

5

B

4

C

8

D

4

E

12

F

10

G

3

H

0

I

5

Finish

1. Παραθέστε πίνακα του οποίου γραμμές θα είναι οι εννέα (9) δραστηριότητες του έργου και στήλες ο ενωρίτερος χρόνος

έναρξης, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης, ο βραδύτερος χρόνος έναρξης και ο βραδύτερος χρόνος λήξης εκάστης εξ αυτών.

Υποδείξτε την/τις κρίσιμη/μες διαδρομή/μές και υπολογίστε τον (ελάχιστο) χρόνο ολοκλήρωσης του έργου.

2. Στη συνέχεια υποθέστε ότι ο χρόνος που υπολογίσατε στο ερώτημα (1) είναι ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης

του έργου. Σε μια τέτοια περίπτωση, η πιθανότητα να τελειώσει το έργο σε χρόνο περισσότερο από 29 εβδομάδες είναι

μεγαλύτερη ή μικρότερη του 0.5;

ΘΕΜΑ 4ο

Η George Rent-A-Car είναι μια εταιρεία ενοικιάσεως αυτοκινήτων με στόλο 250 αυτοκινήτων ίδιου κυβισμού και παρουσία

σε επτά διαφορετικές πόλεις. Κάθε δύο εβδομάδες, ο Γιώργος αναλύει τη θέση που βρίσκονται τα αυτοκίνητα που είναι

ανοίκιαστα με απώτερο σκοπό να διατηρεί τουλάχιστον 12 εξ αυτών σε κάθε πόλη. Δηλαδή, αυτοκίνητα που βρίσκονται σε

πόλεις με περισσότερα από 12 αυτοκίνητα μετακινούνται στις πόλεις που έχουν λιγότερα από 12. Ο χρόνος μετακίνησης ενός

αυτοκινήτου είναι μόλις μια ημέρα και το κόστος (αμοιβή οδηγού + βενζίνη + εισιτήρια επιστροφής οδηγού) δίνονται στον

πίνακα που ακολουθεί. Σημειώστε ότι, λόγω απόστασης, μετακινήσεις μεταξύ πόλεων που βρίσκονται στο βορειότερο μέρος

της χώρας προς το νοτιότερο, κι ανάποδα, δεν προγραμματίζονται.

ΠΡΟΣ

ΑΠΟ Πόλη2 Πόλη3 Πόλη4 Πόλη5 Πόλη6 Πόλη7

Πόλη1 €175 €250 €400 €480 --- ---

Πόλη2 €220 €380 €420 --- ---

Πόλη3 €300 €300 €350 €650

Πόλη4 €110 €200 €300

Πόλη5 €150 €275

Πόλη6 €350

Στις 14 Ιουλίου, 160 αυτοκίνητα ήταν νοικιασμένα ενώ, από τα υπόλοιπα 90, 11 βρισκόταν στην Πόλη1, 7 στην Πόλη2, 6

στην Πόλη3, 25 στην Πόλη4, 18 στην Πόλη5, 7 στην Πόλη6 και 16 στην Πόλη7. Υποδείξτε τη βέλτιστη στρατηγική μετακίνησης

που πρέπει να προγραμματιστεί για τις 15 Ιουλίου.

ΘΕΜΑ 1ο

Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής όπου πρέπει να εντοπιστεί η συντομότερη διαδρομή

από τον κόμβο 1, που είναι η αφετηρία, προς ένα συγκεκριμένο κόμβο (τον κόμβο 10), οπότε το κριτήριο

τερματισμού θα είναι «ο προορισμός να γίνει μόνιμος». Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο της συντομότερης διαδρομής.

Πρώτος λυμένος κόμβος καθίσταται η αφετηρία 1 με απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Το αρχικό σύνολο των

λυμένων κόμβων είναι το Λ=1.

Πίνακας 1 – 1η επανάληψη

Ακμή άμεσα

συνδεδεμένου κόμβου

Προσωρινό

μήκος διαδρομής

Λυμένος κόμβος

Συνολικό μήκος

ελάχιστης διαδρομής

1-2 400

1-3 80 31 80

1-4 100

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ=1+31

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 3 με ελάχιστη απόσταση 80 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ=1, 31 (ο δείκτης 1 στον αριθμό 3, δηλώνει τον κόμβο προέλευσης, δηλ. ο άμεσα

προηγούμενος κόμβος από τον οποίο προσεγγίζεται ο κόμβος 3 είναι ο κόμβος 1).


Ακμή άμεσα συνδεδεμένου

κόμβου

Προσωρινό μήκος

διαδρομής


Συνολικό μήκος ελάχιστης διαδρομής

1-2 400

1-4 100 41 100

3-2 120

3-4 200

3-6 100 63 100

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ=1, 31+41

Δηλαδή, στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ένας εκ των κόμβων 4 ή 6, δηλαδή ένας από αυτούς τους

δύο που έχουν την ίδια μικρότερη προσωρινή απόσταση από την αφετηρία (ίση με 100 Km). Ας επιλέξουμε

(αυθαίρετα) τον κόμβο 4, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ=1, 31, 41. Εναλλακτικά, αν επιλέγαμε τον κόμβο 6, το σύνολο των μονίμων κόμβων θα γινόταν Λ=1, 31, 63 (κάτι, που ούτως ή άλλως θα

γίνει στο επόμενο στάδιο).


Ακμή άμεσα

συνδεδεμένου

κόμβου

Προσωρινό

μήκος

διαδρομής

Λυμένος

κόμβος



1-2 400

3-2 120

3-6 100 63 100

4-6 110

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ=1, 31, 41 + 63

Οπότε, στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 6 με απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη

μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 100 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ=1, 31, 41, 63.


Ακμή άμεσα


Προσωρινό


Λυμένος

κόμβος



1-2 400

3-2 120 23 120

6-8 140

6-9 130

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ=1, 31, 41, 63 + 23

Άρα, στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 2 με απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη

μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 120 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ=1,

31, 41, 63, 23.

Πίνακας 5 - 5η επανάληψη

Ακμή άμεσα


Προσωρινό


Λυμένος

κόμβος



2-5 180

2-7 220

6-8 140

6-9 130 96 130

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ=1, 31, 41, 63, 23 + 96

Οπότε, στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 9 με απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη

μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 130 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ=1,

31, 41, 63, 23, 96.


Ακμή άμεσα


Προσωρινό


Λυμένος

κόμβος



2-5 180

2-7 220

6-8 140 86 140

9-8 230

9-10 150

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ=1, 31, 41, 63, 23, 96 + 86

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 8 με απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 140 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ=1, 31, 41,

63, 23, 96, 86.


Ακμή άμεσα συνδεδεμένου

κόμβου

Προσωρινό μήκος

διαδρομής


Συνολικό μήκος ελάχιστης διαδρομής

2-5 180

2-7 220

8-5 160

8-10 340

9-10 150 109 150

Νέο σύνολο μονίμων κόμβων: Λ=1, 31, 41, 63, 23, 96, 86 + 109

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο προορισμός μας, δηλαδή ο κόμβος 10, με απόσταση από την

αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 150 Km, οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται Λ=1, 31, 41, 63, 23, 96, 86, 109.

Επειδή έγινε μόνιμος ο προορισμός μας, η διαδικασία ολοκληρώνεται.

Σημειώνεται, ότι αν είχαμε επιλέξει τον κόμβο 6 για να γίνει μόνιμος στη 2η επανάληψη τότε η σειρά

θα ήταν η ακόλουθη:

Στη 2η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 31, 63.

Στην 3η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 31, 63, 41.

Στην 4η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 31, 63, 41, 23.

Στην 5η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 31, 63, 41, 23, 96.

Στην 6η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 31, 63, 41, 23, 96, 86.

Στην 7η επανάληψη το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 31, 63, 41, 23, 96, 86, 109.

Και πάλι έγινε μόνιμος ο προορισμός μας οπότε η διαδικασία ολοκληρώνεται.

Στο επόμενο σχήμα, δίνουμε τη διαδικασία γραφικά. Το σύνολο Λ γεμίζει εξελικτικά καθώς τρέχει ο αλγόριθμος και οι

παρενθέσεις σε κάθε κόμβο υποδηλώνουν προσωρινή απόσταση μετάβασης, ενώ οι αγκύλες ότι βρέθηκε η ελάχιστη

απόσταση από την αφετηρία. Οι αριθμοί μέσα στις παρενθέσεις ή στις αγκύλες υποδηλώνουν την ελάχιστη απόσταση από

την αφετηρία, τον προηγούμενο κόμβο από τον οποίο γίνεται η μετάβαση και στις αγκύλες τη σειρά εισόδου στο σύνολο των

μονίμων. Στους υπολογισμούς, δεν καταγράφονται προσωρινά μήκη διαδρομών που είναι χειρότερα από άλλα που έχουν ήδη

βρεθεί. Για παράδειγμα, απόσταση μετάβασης από τον μόνιμο κόμβο 3 προς τον κόμβο 4 ίση με 120 δεν έχει νόημα να

καταγραφεί, καθώς η ελάχιστη απόσταση μετάβασης στον 4 από τον 1 ισούται με 100.

Τελικό αποτέλεσμα:

Για να εντοπίσουμε την άριστη διαδρομή για τον προορισμό (κόμβο 10) εργαζόμαστε οπισθοδρομικά. Δηλαδή,

για να βρούμε το βέλτιστο μονοπάτι ελέγχουμε οπισθοδρομικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόμβο 10 ο

οποίος μας παραπέμπει στον κόμβο 9. Από τον κόμβο 9 οδηγούμαστε στον κόμβο 6, στον κόμβο 3, και από εκεί

στην αφετηρία 1. Κατά συνέπεια, υπάρχει μία άριστη (συντομότερη) διαδρομή, με μήκος 150 Km, και είναι η

136910.

Συνεπώς, το συνολικό κόστος επέκτασης του δικτύου από την πόλη 1 προς την πόλη 10 ανέρχεται σε 150 Km

*2.000 €/ Km =300.000 €

Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζεται το άριστο μονοπάτι μετάβασης από την αφετηρία προς τον κόμβο 10.

1 3 10

6

9

80

20

20

30

ΘΕΜΑ 2ο

Ερώτημα 1

Εφόσον η συνολική αξία των πωλήσεων είναι σταθερή, πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών σταθερού

αθροίσματος. Όπως βλέπουμε στον παρακάτω πίνακα, η maximin τιμή της εταιρείας Α είναι ίση με 230 (τομή

των στρατηγικών Σ3 της Α και Σ2 της Β) και η minimax τιμή της Β είναι ίση με 270 (τομή των στρατηγικών Σ1

της Α και Σ2 της Β). Επομένως, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών της

εταιρείας Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, δεν προσδιορίζει αμιγείς στρατηγικές, γεγονός που

σημαίνει ότι δεν υπάρχει σημείο ισορροπίας.

Β-Σ1 Β-Σ2 Β-Σ3 Row Min Maximin

Α-Σ1 190 270 270 190 Α-Σ2 330 200 220 200 Α-Σ3 310 230 280 230 230

Col Max 330 270 280 Minimax 270 230≠270

230<V<270

Ερώτημα 2

Αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα

μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Αρχικά,

παρατηρούμε ότι η στρατηγική Σ3 του παίκτη Β (Β-Σ3) διαγράφεται ως υποδεέστερη της στρατηγικής Β-Σ2,

οπότε ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 3×2, όπου δεν υπάρχουν άλλες

υποδεέστερες στρατηγικές.

Β-Σ1

y

Β-Σ2

1-y

Α-Σ1 x1 190 270 Α-Σ2 x2 330 200

Α-Σ3 x3 310 230

Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Έστω y η πιθανότητα η εταιρεία Β να ακολουθήσει τη

στρατηγική της Β-Σ1, οπότε (1-y) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει τη Β-Σ2. Για την εταιρεία Α έστω x1 η πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική Α-Σ1, x2 να εφαρμόσει την Α-Σ2 και x3 να εφαρμόσει την Α-Σ3.

Προφανώς ισχύει x1+x2+x3 =1. Για την εταιρεία με δύο στρατηγικές (δηλαδή τη Β) έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις για τις αναμενόμενες πληρωμές:

V(Β, Α-Σ1) = 190y + 270(1-y) = 270 – 80y, V(B, Α-Σ2) = 330y + 200(1-y) = 200 + 130y και

V(B, A-Σ3) = 310y + 230(1-y) = 230 + 80y.

Σύρουμε δύο κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι

αντιπροσωπεύουν την αξία για την εταιρεία Β (το κόστος για τη Β μια και ο πίνακας αναφέρεται στον παίκτη Α). Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που

παριστάνουν τις «πληρωμές» στην εταιρεία Β (δηλαδή τα V(Β, Α-Σi), i=1,2,3)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει η Α και την πιθανότητα εφαρμογής από την εταιρεία Β είτε της Β-Σ1 είτε της Β-Σ2. Για να χαράξουμε

τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(Β, Α-Σ1) συνδέουμε το 270 με το 190,

για το V(Β, Α-Σ2) συνδέουμε το 200 με το 330 και για την ευθεία V(Β, Α-Σ3) συνδέουμε το 230 με το 310.

Η εταιρεία Β επιλέγει minmax στρατηγική, δηλαδή επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα (τα χειρότερα για τη Β είναι τα μέγιστα οπότε επιλέγει το καλύτερο από τα χειρότερα). Επομένως, θα ακολουθήσει την τεθλασμένη

γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ’ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο σημείο Κ. Ως εκ τούτου, η στρατηγική Α-Σ2 από την

πλευρά της εταιρείας Α απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του minmax σημείου Κ και το

πρόβλημα γίνεται πρόβλημα διάστασης 2×2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών, στον οποίο αντικαταστήσαμε τις πιθανότητες x1 και x3 με x και 1-x αντίστοιχα:

Β-Σ1 y

Β-Σ2 1-y

Α-Σ1 x 190 270

Α-Σ3 1-x 310 230

Στη συνέχεια επιλύουμε το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2×2: Εξισώνουμε τις V(Β, Α-Σ1) και V(Β, Α-Σ3) και έχουμε 270 – 80y = 230 + 80y που δίνει y=1/4 και 1-y=3/4

Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα

V(Β, Α-Σ1) ή V(Β, Α-Σ3), δηλαδή είναι V = 270 – 80(1/4) = 230 + 80(1/4)=250 (αξία του παιγνίου δηλαδή πληρωμή για τον Α).

Για την εταιρεία Α έχουμε ότι V(Α,Β-Σ1) = V(Α,Β-Σ2) δηλαδή 190x + 310(1-x) = 270x +230(1-x) απ’ όπου

προκύπτει ότι x = 1/2 και 1-x = 1/2. Αν αντικαταστήσουμε τις πιθανότητες αυτές είτε στο V(Α,Β-Σ1) είτε στο

V(Α,Β-Σ2) προκύπτει ότι V(Α,Β-Σ1) = V(Α,Β-Σ2)=250, δηλαδή η αξία του παιγνίου που υπολογίσαμε νωρίτερα.

Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής: Μεικτή στρατηγική για την εταιρεία Α: (1/2, 0, 1/2)

Μεικτή στρατηγική για την εταιρεία Β: (1/4, 3/4, 0) Τιμή του παιγνίου V = 250

Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές φορές η διαδικασία με τους ίδιους όρους, η αναμενόμενη αξία των πωλήσεων της εταιρείας Α ανέρχεται σε 250 χιλιάδες ευρώ, ενώ για την

εταιρεία Β θα είναι 520 – 250 = 270 χιλιάδες ευρώ (αφού είναι παιγνίδι σταθερού αθροίσματος με συνολικό άθροισμα 520 χιλιάδες ευρώ). Επομένως, από την όλη διαδικασία φαίνεται να είναι κερδισμένη η εταιρεία Β.

ΘΕΜΑ 3ο

Ερώτημα 1

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ

A -- 0 5 0 5 0

B -- 0 4 1 5 1

C -- 0 8 2 10 2

D Α, Β 5 9 5 9 0

E Β, C 8 20 10 22 2

F B, D 9 19 9 19 0

G A, F 19 22 19 22 0

H E, F 20 20 22 22 2

I F, G, H 22 27 22 27 0

Κρίσιμη διαδρομή: A – D – F – G – I, ή A – D – F – I, ή A – G – I

Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 27 εβδομάδες.

Ερώτημα 2

Στην περίπτωση που οι χρόνοι υλοποίησης κάθε δραστηριότητας ήταν αναμενόμενοι, η πιθανότητα να τελειώσει το έργο σε περισσότερο από 29

εβδομάδες είναι μεγαλύτερη του 0.5, τιμή στην οποία αντιστοιχεί η μέση τιμή των 27 εβδομάδων.

ΘΕΜΑ 2ο

Στο σχέδιο μεταφοράς που περιγράφεται, σταθμοί προέλευσης είναι οι πόλεις με περισσότερα από 12

αυτοκίνητα και σταθμοί προορισμού οι πόλεις με λιγότερα από 12 αυτοκίνητα:

ΠΡΟΣΦΟΡΑ (>12 αυτοκίνητα): Πόλη4 (13), Πόλη5 (6) και Πόλη7 (4)

ΖΗΤΗΣΗ (<12 αυτοκίνητα): Πόλη1 (1), Πόλη2 (5), Πόλη3 (6) και Πόλη6 (5)

Συνεπώς, η συνολική ζήτηση διαμορφώνεται στα 1+5+6+5 = 17 αυτοκίνητα και είναι μικρότερη της

συνολικής προσφοράς των 13+6+4 = 23 αυτοκινήτων. Κατόπιν αυτού, εισάγουμε στο σχέδιο μεταφοράς

την ΠόληΧ με ζήτηση 23 – 17 = 6 αυτοκινήτων και διαμορφώνουμε το ακόλουθο tableau:

Πλ1 Πλ2 Πλ3 Πλ6 Χ

Πλ4

400

380

300

200

0

13

Πλ5

480

420

300

150

0

6

Πλ7

Μ

Μ

650

350

0

4

1 5 6 5 6 23

Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη μέθοδο του Vogel προκειμένου να εντοπίσουμε μια αρχική εφικτή λύση

του προβλήματός μας:


Πλ4

400

1

380

5

300

5

200

0

2

13

Πλ5

480

420

300

1

150

5

0

6

Πλ7

Μ

Μ

650

350

0

4

4

1 5 6 5 6 23

Η λύση αυτή έχει 7 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά

ui, vj και σχηματίζοντας τις διαφορές δij = ui + vj - cij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές

διαπιστώνουμε ότι η λύση αυτή είναι η βέλτιστη (δij 0 i, j) και συνεπάγεται συνολικό κόστος της

τάξης των €4850.

v

u

400 380 300 150 0

0

400

1

380

5

300

5

-50 200

0

2

13

0

-80 480

-40 420

300

1

150

5

0 0

6

0

400-Μ Μ

380-Μ Μ

-350 650

-200 350

0

4

4

1 5 6 5 6

Παρατηρήστε ότι, επειδή δ25 = 0, το πρόβλημα έχει και εναλλακτική βέλτιστη λύση

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2008 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΠ ΙΧΕ Ι ΡΗΣ ΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΜΑ 1ο Σε μία γειτονιά, η ζήτηση ψωμιού η οποία ανέρχεται σε 1400 φραντζόλες ημερησίως, καλύπτεται αποκλειστικά από τα δύο αρτοποιεία “Φρέσκο Ψωμί” και “Αρτοσκευάσματα”. Κάθε αρτοποιείο έχει τη δυνατότητα να παράγει ένα είδος ψωμιού ημερησίως: Πολυτελείας, Χωριάτικο, ή Διατίμησης. Οι πωλήσεις του κάθε αρτοποιείου εξαρτώνται από τον τύπο του ψωμιού που παράγει (και άρα θα πωλήσει) τόσο αυτό όσο και ο ανταγωνιστής του. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις ημερήσιες πωλήσεις (σε φραντζόλες ψωμί) για το αρτοποιείο “Φρέσκο Ψωμί”.

“Αρτοσκευάσματα”

“Φρέσκο Ψωμί”

Πολυτελείας Χωριάτικο Διατίμησης

Πολυτελείας 500 700 1300 Χωριάτικο 1200 1000 600 Διατίμησης 400 700 600

1. Να εντοπίσετε και να διαγράψετε τυχόν υποδεέστερες στρατηγικές στο παίγνιο αυτό και να εξετάσετε την ύπαρξη ή μη, σημείου ισορροπίας αν εφαρμοστούν αμιγείς στρατηγικές.

2. Να προσδιορίσετε τις άριστες στρατηγικές για κάθε αρτοποιείο, να υπολογίσετε την «αξία» του παιγνίου και να την ερμηνεύσετε.

3. Έστω ότι κάθε φραντζόλα Πολυτελείας, Χωριάτικο ή Διατίμησης τιμολογείται 3€, 2€, 1€ αντίστοιχα. Αν εφαρμοστούν οι άριστες στρατηγικές να υπολογισθεί η μέση τιμή της φρατζόλας (ανεξαρτήτως τύπου) στη συγκεκριμένη γειτονιά.

ΘΕΜΑ 2ο Η George Rent-A-Car είναι μια εταιρεία ενοικιάσεως αυτοκινήτων με στόλο 250 αυτοκινήτων ίδιου κυβισμού και παρουσία σε επτά διαφορετικές πόλεις. Κάθε δύο εβδομάδες, ο Γιώργος αναλύει τη θέση που βρίσκονται τα αυτοκίνητα που είναι ανοίκιαστα με απώτερο σκοπό να διατηρεί τουλάχιστον 12 εξ αυτών σε κάθε πόλη. Δηλαδή, αυτοκίνητα που βρίσκονται σε πόλεις με περισσότερα από 12 αυτοκίνητα μετακινούνται στις πόλεις που έχουν λιγότερα από 12. Ο χρόνος μετακίνησης ενός αυτοκινήτου είναι μόλις μια ημέρα και το κόστος (αμοιβή οδηγού + βενζίνη + εισιτήρια επιστροφής οδηγού) δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Σημειώστε ότι, λόγω απόστασης, μετακινήσεις μεταξύ πόλεων που βρίσκονται στο βορειότερο μέρος της χώρας προς το νοτιότερο, κι ανάποδα, δεν προγραμματίζονται.

ΠΡΟΣ ΑΠΟ Πόλη2 Πόλη3 Πόλη4 Πόλη5 Πόλη6 Πόλη7

Πόλη1 €175 €250 €400 €480 --- --- Πόλη2 €220 €380 €420 --- --- Πόλη3 €300 €300 €350 €650 Πόλη4 €110 €200 €300 Πόλη5 €150 €275 Πόλη6 €350

Στις 14 Ιουλίου, 160 αυτοκίνητα ήταν νοικιασμένα ενώ, από τα υπόλοιπα 90, 11 βρισκόταν στην Πόλη1, 7 στην Πόλη2, 6 στην Πόλη3, 25 στην Πόλη4, 18 στην Πόλη5, 7 στην Πόλη6 και 16 στην Πόλη7. Υποδείξτε τη βέλτιστη στρατηγική μετακίνησης που πρέπει να προγραμματιστεί για τις 15 Ιουλίου.

ΘΕΜΑ 3ο Πρόσφατα κατέβαλα το ποσό των €12,000 προκειμένου να αγοράσω ένα καινούριο αυτοκίνητο. Σύμφωνα με τον κατασκευαστή, το κόστος συντήρησης του αυτοκινήτου για μια χρονιά εξαρτάται από την ηλικία του στην αρχή της συγκεκριμένης χρονιάς και δίνεται στον πίνακα 1. Προκειμένου να αποφύγω τα υψηλά κόστη συντήρησης που συνδέονται με τη (μεγάλη) ηλικία του αυτοκινήτου, σκέφτομαι την πιθανότητα να το πουλήσω και στη συνέχεια να αγοράσω ένα καινούριο αυτοκίνητο. Στον πίνακα 2 δίνονται τα χρήματα που θα εξασφαλίσω εάν πουλήσω το αυτοκίνητό μου, ως συνάρτηση της ηλικίας του. Σκοπός μου είναι να ελαχιστοποιήσω τα καθαρά έξοδα (κόστος αγοράς + έξοδα συντήρησης – έσοδα από μεταπώληση) με τα οποία θα επιβαρυνθώ κατά τη διάρκεια των επόμενων πέντε ετών.

Διατυπώστε το ανωτέρω πρόβλημα ως μοντέλο δικτυωτής ανάλυσης και χρησιμοποιήστε την κατάλληλη τεχνική προκειμένου να το επιλύσετε. (Για χάρη ευκολίας των υπολογισμών δεχτείτε ότι η τιμή αγοράς ενός καινούριου αυτοκινήτου ανέρχεται πάντοτε στις €12,000).

Πίνακας 1. Κόστος Συντήρησης Πίνακας 2. Τιμή μεταπώλησης ηλικία

στην αρχή του έτους κόστος συντήρησης επόμενου έτους (€)

ηλικία αυτοκινήτου τιμή πώλησης (€)

0 2,000 1 7,000 1 4,000 2 6,000 2 5,000 3 2,000 3 9,000 4 1,000 4 12,000 5 0

ΘΕΜΑ 4ο Ο διοργανωτής μιας rock συναυλίας πρέπει να υλοποιήσει πριν τη διεξαγωγή της τις δραστηριότητες του κατωτέρω πίνακα (όλοι οι χρόνοι είναι σε εβδομάδες).

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

ΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣΧΡΟΝΟΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟΣΧΡΟΝΟΣ

ΑΠΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣΧΡΟΝΟΣ

ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ

ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ

A -- 2 3 4 3 0.11 B A 1 2 3 2 0.11 C A 2 6 10 6 1.78 D C 1 2 3 2 0.11 E A 1 3 5 3 0.44 F B 2 3 4 3 0.11 G C 3 5 7 5 0.44 H C 0.5 1 1.5 1 0.03 I F, H 1 1.5 2 1.5 0.03 J I 1 2 3 2 0.11

1. Να διαμορφωθεί το δίκτυο του έργου. 2. Να βρεθούν οι νωρίτεροι και βραδύτεροι χρόνοι των δραστηριοτήτων και τα αντίστοιχα χρονικά τους περιθώρια. 3. Να υπολογιστεί ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσής του έργου και να καταγραφούν όλες οι κρίσιμες διαδρομές. 4. Υποθέστε ότι βρισκόμαστε 14 εβδομάδες πριν τα Χριστούγεννα. Ποια είναι η πιθανότητα να προλάβει ο διοργανωτής

την ολοκλήρωση των προετοιμασιών μέχρι τα Χριστούγεννα;

ΘΕΜΑ 1ο

1. Από τον πίνακα πωλήσεων βλέπουμε ότι η στρατηγική παραγωγής (πώλησης) για το αρτοποιείο «Φρέσκο Ψωμί» του ψωμιού Διατίμησης σε κάθε περίπτωση οδηγεί σε μικρότερο μερίδιο αγοράς. Άρα αυτή η στρατηγική μπορεί να διαγραφεί. Ο πίνακας πωλήσεων του αρτοποιείου «Φρέσκο Ψωμί» γίνεται:

«Αρτοσκευάσματα»

Πολυτελείας Χωριάτικο Διατίμησης Ελάχιστα Γραμμών

Πολυτελείας 500 700 1300 500

Χωριάτικο 1200 1000 600 600 *

«Φρέσκο Ψωμί»

Μέγιστα Στηλών 1200 1000* 1300

Εφαρμόζοντας, το κριτήριο Minimax/Maximin βλέπουμε ότι οι αμιγείς στρατηγικές δεν οδηγούν σε σημείο ισορροπίας αφού η τιμή Maximin (600) είναι διαφορετική από τη Minimax τιμή (1000).

2. Επειδή οι αμιγείς στρατηγικές δεν οδηγούν το παίγνιο σε ισορροπία (όπως είδαμε και με την

εφαρμογή του κριτηρίου Minimax/Maximin) πρέπει να προσδιοριστούν οι μεικτές στρατηγικές. Αυτό γίνεται με τη βοήθεια του γραφήματος του παιγνίου που ακολουθεί.

Το Αρτοποιείο «Φρέσκο Ψωμί» «κινείται» στην επιφάνεια που ορίζεται από την έντονη γραμμοσκίαση. Άρα θα επιλέξει με τέτοιο τρόπο τη στρατηγική του (τιμή της μεταβλητής x ) ώστε να επιτύχει το σημείο Ν (σημείο Maximin). Ως εκ τούτου η στρατηγική Π (Πολυτελείας) του παίκτη

Δ

Χ

Π

«Αρτοσκευάσματα» αποκλείεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του σημείου Ν. Η διάσταση του παιγνίου γίνεται 2 2× και αυτό απεικονίζεται στον παρακάτω πίνακα

y 1 y− Χ Δ x Π 700 1300

1 x− Χ 1000 600

Άρα θα πρέπει να υπολογίζουμε το σημείο ισορροπίας με τη βοήθεια των μικτών στρατηγικών. Ο πίνακας του παιγνίου είναι:

y 1 y−

x 700 1300 1 x− 1000 600

Αρτοποιείο «Φρέσκο Ψωμί»

V(«Φρέσκο Ψωμί», Πολυτελείας) = 700* 1000*(1 )x x+ − V(«Φρέσκο Ψωμί», Χωριάτικο) = 1300* 600*(1 )x x+ −

Θέτοντας V(«Φρέσκο Ψωμί», Πολυτελείας) = V(«Φρέσκο Ψωμί», Χωριάτικο) έχουμε

700* 1000*(1 )x x+ − =1300* 600*(1 )x x+ − ⇒

0.41 0.6x

x=− =

Η αξία του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση της τιμής 0.4x = , είτε στη V(«Φρέσκο Ψωμί», Πολυτελείας), είτε στη V(«Φρέσκο Ψωμί», Χωριάτικο) και είναι 880V = .

Αρτοποιείο «Αρτοσκευάσματα» V(«Αρτοσκευάσματα», Χωριάτικο)= 700* 1300*(1 )y y+ − V(«Αρτοσκευάσματα», Διατίμησης)=1000* 600*(1 )y y+ −

Θέτοντας V(«Αρτοσκευάσματα», Χωριάτικο)= V(«Αρτοσκευάσματα», Διατίμησης) έχουμε:

700* 1300*(1 )y y+ − =1000* 600*(1 )y y+ − ⇒

0.71 0.3y

y=− =

Η αξία του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση της τιμής 0.7y = είτε στον τύπο V(«Αρτοσκευάσματα», Χωριάτικο), ή στο V(«Αρτοσκευάσματα», Διατίμησης) και είναι 880V = .

Ανακεφαλαιώνοντας Μεικτή στρατηγική για αρτοποιείο «Φρέσκο ψωμί»: (0.4, 0.6, 0) Μεικτή στρατηγική για αρτοποιείο «Αρτοσκευάσματα»: (0, 0.7, 0.3) Αξία παιγνίου 880V =

Αν εφαρμοστούν οι άριστες στρατηγικές, το αρτοποιείο «Φρέσκο ψωμί» θα πωλεί κατά μέσο όρο 880 φραντζόλες ημερησίως (αξία του παραπάνω παιγνίου) ενώ το «Αρτοσκευάσματα» τις υπόλοιπες 1400-880=520 φραντζόλες. Άρα το αρτοποιείο «Φρέσκο ψωμί» έχει μεγαλύτερο μερίδιο αγοράς.

3. Το αρτοποιείο «Φρέσκο ψωμί» πουλάει με πιθανότητα 0.4 ψωμί τύπου Πολυτελείας και με

πιθανότητα 0.6 ψωμί Χωριάτικο. Άρα τα έσοδα του είναι:

3*(0.4)*880+2*(0.6)*880=2112

Αντίστοιχα, τα έσοδα για το αρτοποιείο «Αρτοσκευάσματα» είναι

2*(0.7)*520+1*(0.3)*520=884

Τα συνολικά έσοδα από τα δύο αρτοποιεία για τις 1400 φραντζόλες είναι 2112+884=2996

Άρα η φραντζόλα στη γειτονιά αυτή πωλείται με μέση τιμή 2996/1400=2.14€.

ΘΕΜΑ 2ο Στο σχέδιο μεταφοράς που περιγράφεται, σταθμοί προέλευσης είναι οι πόλεις με περισσότερα από 12 αυτοκίνητα και σταθμοί προορισμού οι πόλεις με λιγότερα από 12 αυτοκίνητα:

ΠΡΟΣΦΟΡΑ (>12 αυτοκίνητα): Πόλη4 (13), Πόλη5 (6) και Πόλη7 (4) ΖΗΤΗΣΗ (<12 αυτοκίνητα): Πόλη1 (1), Πόλη2 (5), Πόλη3 (6) και Πόλη6 (5)

Συνεπώς, η συνολική ζήτηση διαμορφώνεται στα 1+5+6+5 = 17 αυτοκίνητα και είναι μικρότερη της συνολικής προσφοράς των 13+6+4 = 23 αυτοκινήτων. Κατόπιν αυτού, εισάγουμε στο σχέδιο μεταφοράς την ΠόληΧ με ζήτηση 23 – 17 = 6 αυτοκινήτων και διαμορφώνουμε το ακόλουθο tableau:


Πλ4

400

380

300

200

0

13

Πλ5

480

420

300

150

0

6

Πλ7

Μ

Μ

650

350

0

4

1 5 6 5 6 23 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη μέθοδο του Vogel προκειμένου να εντοπίσουμε μια αρχική εφικτή λύση του προβλήματός μας:


Πλ4

400

1

380

5

300

5

200

0

2

13

Πλ5

480

420

300

1

150

5

0

6

Πλ7

Μ

Μ

650

350

0

4

4

1 5 6 5 6 23

Η λύση αυτή έχει 7 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά ui, vj και σχηματίζοντας τις διαφορές δij = ui + vj - cij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές διαπιστώνουμε ότι η λύση αυτή είναι η βέλτιστη (δij ≤ 0 ∀ i, j) και συνεπάγεται συνολικό κόστος της τάξης των €4850.

v

u 400 380 300 150 0

0

400

1

380

5

300

5

-50 200

0

2

13

0

-80 480

-40 420

300

1

150

5

0 0

6

0

400-Μ Μ

380-Μ Μ

-350 650

-200 350

0

4

4

1 5 6 5 6 Παρατηρήστε ότι, επειδή δ25 = 0, το πρόβλημα έχει και εναλλακτική βέλτιστη λύση

ΘΕΜΑ 3ο Κατασκευάζουμε ένα δίκτυο με έξι κόμβους: ο i-κόμβος παριστά την αρχή του i-έτους. Για i < j, η ακμή (i, j) δείχνει την αγορά ενός καινούριου αυτοκινήτου στην αρχή του i-έτους και τη διατήρησή του έως την αρχή του j-έτους. Η τιμή πάνω στην (i, j)-ακμή, έστω cij, αναπαριστά τα καθαρά έξοδα με τα οποία θα επιβαρυνθώ όταν έχω στην κατοχή μου και συντηρώ το αυτοκίνητο από την αρχή του i-έτους, οπότε και το αγόρασα, μέχρι την αρχή του j-έτους, οπότε το μεταπούλησα κι αγόρασα καινούριο. Δηλαδή cij = κόστος συντήρησης κατά τη διάρκεια των ετών i, i+1, …, j-1 + κόστος αγοράς στην αρχή του i-έτους - τιμή πώλησης στην αρχή του j-έτους. Εφαρμόζοντας τα ανωτέρω στις πληροφορίες του προβλήματος έχουμε (οι αριθμοί είναι σε χιλιάδες €)

c12 = 2 + 12 – 7 = 7 c23 = 2 + 12 – 7 = 7

c13 = 2 + 4 + 12 – 6 = 12 c24 = 2 + 4 + 12 – 6 = 12

c14 = 2 + 4 + 5 + 12 – 2 = 21 c25 = 2 + 4 + 5 + 12 – 2 = 21

c15 = 2 + 4 + 5 + 9 + 12 – 1 = 31 c26 = 2 + 4 + 5 + 9 + 12 – 1 = 31

c16 = 2 + 4 + 5 + 9 + 12 + 12 – 0 = 44 c45 = 2 + 12 – 7 = 7

c34 = 2 + 12– 7 = 7 c46 = 2 + 4 + 12 – 6 = 12

c35 = 2 + 4 + 12 – 6 = 12 c56 = 2 + 12 – 7 = 7

c36 = 2 + 4 + 5 + 12 – 2 = 21

Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί πάνω σε οποιοδήποτε μονοπάτι από τον κόμβο 1 μέχρι τον κόμβο 6, δίνουν τα καθαρά έξοδα με τα οποία θα επιβαρυνθώ τα επόμενα πέντε χρόνια ανάλογα με τη στρατηγική που θα ακολουθήσω. Για παράδειγμα, θεωρήστε ότι θα πουλήσω το αυτοκίνητο στην αρχή του 3ου έτους και στην αρχή του 6ου. Η στρατηγική αυτή αντιστοιχεί στο μονοπάτι 1 – 3 – 6 κι έχει καθαρά έξοδα c13 + c36. Κατά συνέπεια, έχω ένα πρόβλημα ελάχιστης διαδρομής από τον κόμβο 1 μέχρι τον κόμβο 6.

Επανάληψη Ακμή άμεσα συνδεδεμένου

κόμβου

Προσωρινό μήκος διαδρομής


Τελικό (συνολικό) μήκος


Σύνολο μόνιμων κόμβων

Αρχή - - 1 0 Λ=1

1-2 7 2 7 Λ=1+2

1-3 12

1-4 21

1-5 31

1η

1-6 44

1-3 12 3 12 Λ=1,2+3

2-3 14 (όχι)

1-4 21

2-4 19 (βελτίωση)

1-5 31


2η

1-6 44


2-4 19 4 19 Λ=1,2,3+4

3-4 19 (ισοπαλία)

2-5 28


2-6 38

3η


3-5 24 5 24 Λ=1,2,3,4+5

4-5 26 (όχι)

3-6 33

4η


4-6 31 6 31 Λ=1,2,3,4,5+6 5η

5-6 31 (ισοπαλία)

Συντομότερη διαδρομή με μήκος 31 είναι η 1-2-4-6 (κι εναλλακτικά οι 1-3-4-6 και 1-3-5-6).

ΘΕΜΑ 4ο B 3 5 F 5 8

2 5.5 7.5 3 7.5 10.5

START A 0 3 E 3 6 I 10 11.5 J 11.5 13.5

3 0 3 3 11 14 1.5 10.5 12 2 12 14

C 3 9 H 9 10 FINISH

6 3 9 1 9.5 10.5

G 9 14

5 9 14

D 9 11

2 12 14

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ

A 0 3 0 3 0 B 3 5 5.5 7.5 2.5 C 3 9 3 9 0 D 9 11 12 14 3 E 3 6 11 14 8 F 5 8 7.5 10.5 2.5 G 9 14 9 14 0 H 9 10 9.5 10.5 0.5 I 10 11.5 10.5 12 0.5 J 11.5 13.5 12 14 0.5

Κρίσιμη διαδρομή: A – C –G Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 14 εβδομάδες.

Η χρόνος ολοκλήρωσης του έργου ακολουθεί κατά προσέγγιση την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ = 14 (= μA + μC + μG) και διασπορά σ2 = 2.33 (=σ2

A + σ2C + σ2

G). Συνεπώς, υπάρχει πιθανότητα 0.50 να προλάβει τα Χριστούγεννα.

ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΔΠΣΔΜΒΡΙΟ 2010

ΣΟΜΔΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ, ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ & ΔΠΙΥΔΙΡΗΙΑΚΗ ΔΡΔΤΝΑ

Δ Π Ι Χ Δ Ι Ρ Η Ι Α Κ Η Δ Ρ Δ Υ Ν Α

ΘΔΜΑ 1ο

Μηα βηνκεραληθή επηρείξεζε ρξεζηκνπνηεί έλα εξγνζηάζην (Δ) γηα ηελ παξαγσγή ησλ πξντόλησλ ηεο. Σα παξαγόκελα

πξντόληα ζηε ζπλέρεηα απνζεθεύνληαη ζε δύν ηδηόθηεηνπο απνζεθεπηηθνύο ρώξνπο (Α1, θαη Α2 αληίζηνηρα). Καηόπηλ, ε

δήηεζε ηεο αγνξάο θαιύπηεηαη κέζσ ηεζζάξσλ ζπλεξγαδόκελσλ εκπόξσλ ρνλδξηθήο πνπ απνηεινύλ ηα θέληξα δηαλνκήο

ησλ πξντόλησλ ηεο (Γ1, Γ2, Γ3, θαη Γ4 αληίζηνηρα). Η επηρείξεζε ρξεζηκνπνηεί ηδηόθηεην ζηόιν νρεκάησλ γηα ηε

κεηαθνξά ησλ πξντόλησλ ηεο από ην εξγνζηάζην ζηνπο απνζεθεπηηθνύο ρώξνπο, θαη ζηε ζπλέρεηα γηα ηε κεηαθνξά ηνπο

από ηηο απνζήθεο ζηα θέληξα δηαλνκήο. ηνπο παξαθάησ πίλαθεο, θαηαγξάθνληαη ε κέγηζηε πνζόηεηα πνπ κπνξεί λα

κεηαθεξζεί κεληαία από ην εξγνζηάζην ζηηο απνζήθεο, θαη ε κέγηζηε πνζόηεηα πνπ κπνξεί λα κεηαθεξζεί κεληαία από ηηο

απνζήθεο ζηα θέληξα δηαλνκήο. Οη ηηκέο αθνξνύλ πιήξε θνξηία (ην πιήξεο θνξηίν απνηειεί ηε κνλάδα κέηξεζεο) ησλ

δηαζέζηκσλ κεηαθνξηθώλ κέζσλ ηεο επηρείξεζεο. Ο κέγηζηνο ζπλνιηθόο αξηζκόο κεληαίσλ θνξηίσλ πνπ είλαη δπλαηό λα

απνζηαινύλ από ην εξγνζηάζην ζηα θέληξα δηαλνκήο, όπσο θαίλεηαη θαη ζηνλ πίλαθα, αλέξρεηαη ζε 54 θνξηία. Οη δπλακηθόηεηεο

ξνήο από ηα θέληξα δηαλνκήο πξνο ηελ αγνξά πξνθύπηνπλ από ην άζξνηζκα ησλ εηζξνώλ από ηηο απνζήθεο πξνο θάζε

θέληξν δηαλνκήο.

Δργοζηάζιο Αποθήκη

Α1 Α2

Δ 31 23

Αποθήκη Κένηρο Γιανομής

Γ1 Γ2 Γ3 Γ4

Α1 5 9 6 4

Α2 8 7 9 5

Υξεζηκνπνηείζηε θαηάιιειε ηερληθή ηεο δηθηπσηήο αλάιπζεο πξνθεηκέλνπ λα βνεζήζεηε ηε δηνίθεζε ηεο επηρείξεζεο λα

θαηαξηίζεη ην κεληαίν πξόγξακκα δηαλνκήο ησλ πξντόλησλ ηεο, γηα ηνλ ππνινγηζκό ηνπ κέγηζηνπ αξηζκνύ θνξηίσλ πνπ

είλαη δπλαηό λα κεηαθεξζνύλ από ηνπο ρώξνπο παξαγσγήο δηα κέζσ ησλ απνζεθεπηηθώλ ρώξσλ ζηα θέληξα δηαλνκήο, κε

ζθνπό ηελ πξνώζεζή ηνπο ζηελ αγνξά.

ΘΔΜΑ 2ο

Μεηαθνξηθή εηαηξεία έρεη ππνγξάςεη ζπκβόιαην πνπ πξνβιέπεη ηελ θαζεκεξηλή κεηαθνξά ελόο αλαςπθηηθνύ (ζε ζπζθεπαζίεο

ησλ 24 ηεκαρίσλ) από ηηο απνζήθεο Α θαη Β ηεο εηαηξείαο εκθηαιώζεώο ηνπ ζηα θαηαζηήκαηα J, K, L, M θαη N. ηνλ

πίλαθα πνπ αθνινπζεί tableau ηνπ αληίζηνηρνπ πξνβιήκαηνο κεηαθνξάο , θαηαγξάθνληαη νη εκεξήζηεο πνζόηεηεο/ζπζθεπαζίεο

πξνο κεηαθνξά από ηελ θάζε απνζήθε, ε εκεξήζηα δήηεζε εθάζηνπ θαηαζηήκαηνο, θαζώο επίζεο θαη ην θόζηνο κεηαθνξάο

(ζε €) κηαο ζπζθεπαζίαο από ηελ θάζε απνζήθε πξνο ην θάζε θαηάζηεκα:

J K L M N

Α

5

8 8

6

13

1,000

Β

6

9 4

5

6

500

400 300 200 300 300

Λακβάλνληαο ππόςε ην γεγνλόο όηη ε απόζηαζε ηνπ θαηαζηήκαηνο Ν από ηελ απνζήθε Α είλαη ηέηνηα ώζηε κόλνλ έλα

δξνκνιόγην, θη απηό ρσξεηηθόηεηαο ην πνιύ 100 ζπζθεπαζηώλ κπνξεί λα πξαγκαηνπνηεζεί εκεξήζηα, βξείηε ην βέιηηζην ζρέδην

κεηαθνξάο.

ΘΔΜΑ 3ο

Η RTT, γλσζηή θαηαζθεπαζηηθή εηαηξεία, εμεηάδεη ην ελδερόκελν λα πξνρσξήζεη ζε πξνζθνξά γηα ηελ θαηαζθεπή ηνπ

λένπ νδηθνύ άμνλα Δ42. Βαζηθό θξηηήξην γηα ηελ αλάδεημε ηεο αλαδόρνπ εηαηξείαο, εθηόο θπζηθά από ην θόζηνο, είλαη θαη

ν ρξόλνο πινπνίεζεο ηνπ έξγνπ: ε εηαηξεία πνπ ζα θεξδίζεη ην ζπκβόιαην είλαη ππνρξεσκέλε λα νινθιεξώζεη ην έξγν

ζύκθσλα κε ην ρξόλν πνπ έρεη δώζεη ζηελ πξνζθνξά, δηαθνξεηηθά επηβαξύλεηαη κε βαξύηαην πξόζηηκν. Η RTT

πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζεη ην ρξόλν πνπ ζα θαηαγξάςεη ζηελ πξνζθνξά ηεο, πξνρώξεζε ζηελ παξαθάησ αλάιπζε ηνπ

έξγνπ ζε επηκέξνπο δξαζηεξηόηεηεο (ν ρξόλνο είλαη ζε εβδνκάδεο).

ΓΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΑΜΔΩ ΠΡΟΗΓ. ΓΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ

ΑΙΙΟΓΟΞΟ

ΥΡΟΝΟ

ΠΙΘΑΝΟΣΔΡΟ

ΥΡΟΝΟ

ΑΠΑΙΙΟΓΟΞΟ

ΥΡΟΝΟ

ΑΝΑΜΔΝΟΜΔΝΗ ΓΙΑΡΚΔΙΑ

ΣΤΠΙΚΗ

ΑΠΟΚΛΙΗ

A -- 3 5 9 5.3333 1

B Α 2 5 8 5 1

C Α 1 4 6 3.8333 0.8333

D Α 4 6 10 6.3333 1

E Β 2 8 11 7.5 1.5

F Β 5 9 16 9.5 1.8333

G C 4 12 20 12 2.6667

H C 6 9 13 9.1667 1.1667

Ι D 3 7 14 7.5 1.8333

J D 8 14 22 14.3333 2.3333

K F, G 9 12 20 12.8333 1.8333

L H, I 6 11 15 10.8333 1.5

M E 4 7 12 7.3333 1.3333

N J 3 8 16 8.5 2.1667

O N 5 10 18 10.5 2.1667

Δάλ ε RTT ζέιεη λα είλαη 90% βέβαηε όηη ην έξγν ζα νινθιεξσζεί ρσξίο λα ππνρξεσζεί ζηελ θαηαβνιή πξνζηίκνπ, πνην

ρξόλν πξέπεη λα πξνζδηνξίζεη γηα ηελ πινπνίεζή ηνπ ζηελ πξνζθνξά ηεο;

Γίλεηαη: P(0 ≤ Z ≤ 1.29) = 0.4015, P(0 ≤ Z ≤ 2.24) = 0.4875, P(0 ≤ Z ≤ 1.65) = 0.4505, P(0 ≤ Z ≤ 0.91) = 0.3186.

ΘΔΜΑ 4ο

Σα επηηειεία δύν πνιηηηθώλ, Α θαη Β, νη νπνίνη είλαη νη βαζηθνί δηεθδηθεηέο ηεο ζέζεο ηνπ αηξεηνύ πεξηθεξεηάξρε ζηηο

επηθείκελεο εθινγέο, ζπζθέπηνληαη πξνθεηκέλνπ λα απνθαζίζνπλ ηε ζηξαηεγηθή ησλ δύν ηειεπηαίσλ εκεξώλ. Δπεηδή

πξόζθαηεο δεκνζθνπήζεηο έδεημαλ όηη ε κάρε ζα είλαη ηδηαίηεξα ακθίξξνπε, νη δύν ππνςήθηνη επηζπκνύλ λα πεξάζνπλ ηηο

δύν ηειεπηαίεο εκέξεο ηεο εθζηξαηείαο ηνπο ζηηο δύν κεγάιεο πόιεηο ηεο πεξηθέξεηαο πνπ είλαη ε Μαθξπρώξα θαη ε

Μεγαιόπνιε. Πξνθεηκέλνπ λα εμνηθνλνκήζνπλ όζν ην δπλαηόλ πεξηζζόηεξν ρξόλν γηα λα ηνλ πεξάζνπλ κε ηνπο ςεθνθόξνπο, νη

ζηξαηεγηθέο πνπ πξνηείλνληαη είλαη λα ηαμηδεύνπλ ηε λύρηα θαη λα έρνπλ κηα πιήξε εκέξα ζηε δηάζεζή ηνπο ζε θάζε κία εθ

ησλ δύν πόιεσλ, ή λα επηιέμνπλ κία εμ’ απηώλ γηα παξακνλή δύν εκεξώλ. Οη επηηειείο ηνπ πνιηηηθνύ Α θαηέιεμαλ ζηνλ

αθόινπζν πίλαθα, ν νπνίνο δίλεη ην πιήζνο ησλ ςήθσλ πνπ εθηηκάηαη όηη ζα θεξδεζνύλ ή ζα απνιεζζνύλ αλάινγα κε ηνλ

πηζαλό ζπλδπαζκό ζηξαηεγηθώλ ηνπ ηδίνπ θαη ηνπ αληηπάινπ ηνπ.

Πλήθος υήθφν ποσ κερδίζει ο Πολιηικός Α

(κεηξεκέλεο ζε κνλάδεο ησλ 10.000 ςήθσλ)

Β

ηραηηγική 1 εκέξα ζε θάζε πόιε 2 εκέξεο ζηε

Μαθξπρώξα

2 εκέξεο ζηε

Μεγαιόπνιε

1 εκέξα ζε θάζε πόιε 0 -2 2

Α 2 εκέξεο ζηε Μαθξπρώξα 3 4 -3

2 εκέξεο ζηε Μεγαιόπνιε 2 3 -4

1. Υσξίο λα δηαγξάςεηε ηηο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο, εθαξκόζηε ην θξηηήξην minimax ζηνλ πίλαθα πιεξσκώλ, γηα λα

δηαπηζηώζεηε ηελ ύπαξμε ή όρη ζεκείνπ ηζνξξνπίαο.

2. Να εθαξκόζεηε ηελ θαηάιιειε κεζνδνινγία πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζεηε ηελ άξηζηε ζηξαηεγηθή γηα θάζε πνιηηηθό.

Να δηαηππώζεηε ηα απνηειέζκαηά ζαο κε ζαθήλεηα, απνδίδνληαο θαη ην θαηάιιειν θπζηθό λόεκα.

ΘΔΜΑ 1ο

Σν δίθηπν δηαλνκήο θνξηίσλ απεηθνλίδεηαη ζην ζρήκα 1. Όπνπ δελ αλαθέξνληαη ξνέο ζεσξείηαη όηη είλαη

κεδεληθέο. Καζώο ν αληηθεηκεληθόο ζηόρνο αθνξά ηε κεγηζηνπνίεζε ηεο ξνήο θνξηίσλ κε αθεηεξία έλαλ θόκβν

πεγή (εξγνζηάζην - Δ) θαη πξννξηζκό έλαλ θόκβν δέθηε (αγνξά - θαηαλαισηέο), πξόθεηηαη γηα πξόβιεκα

εύξεζεο ηεο κέγηζηεο ξνήο.

Σρήκα 1- Αξρηθό δίθηπν

Ξεθηλάκε επηιέγνληαο απζαίξεηα έλα κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο

ην δέθηε. Έλα ηέηνην κνλνπάηη είλαη γηα παξάδεηγκα ην κνλνπάηη Δ-Α1-Γ2-ΑΓΟΡΑ. Η κέγηζηε δπλακηθόηεηα

ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε 9 κνλάδεο όπσο θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή κε ηελ κηθξόηεξε

δπλακηθόηεηα ξνήο, δειαδή ηελ αθκή Α1-Γ2 (min31, 9, 16 = 9). Έηζη, ζηέιλνπκε 9 κνλάδεο κέζσ ηνπ

κνλνπαηηνύ απηνύ από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη αλαπξνζαξκόδνπκε θαηάιιεια ηηο ξνέο ησλ αληίζηνηρσλ

αθκώλ πνπ ζπκκεηέρνπλ. ην ζρήκα 2 απεηθνλίδεηαη ε πξώηε επαλάιεςε. Μεηά ηνλ θόκβν Δ ζεκεηώλνπκε

κνλνπάηη θαη ξνή.

πλνιηθή ξνή: 9 κνλάδεο.

Σρήκα 2 – 1ε επαλάιεςε

πλερίδνπκε (απζαίξεηα) κε ην κνλνπάηη Δ – Α2 – Γ3 – ΑΓΟΡΑ, πνπ έρεη ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα

ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε 9 κνλάδεο (min23,

9, 15 = 9). Έηζη, ζηέιλνπκε 9 κνλάδεο από ην κνλνπάηη απηό θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην

ζρήκα 3 απεηθνλίδεηαη ε δεύηεξε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη θαη ηελ πξώηε επαλάιεςε ρσξίο ηα βέιε

αιιά κε έληνλεο αθκέο κόλν.

πλνιηθή ξνή: 9 + 9 = 18 κνλάδεο.


ηε ζπλέρεηα, επηιέγνπκε ην κνλνπάηη Δ – Α1 – Γ3 – ΑΓΟΡΑ. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε

κε 6 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή Α1 – Γ3 ή ηελ αθκή Γ3 – ΑΓΟΡΑ πνπ έρνπλ ηελ ειάρηζηε

δπλακηθόηεηα ξνήο κέζα ζην κνλνπάηη. Έηζη, απνζηέιινληαη 6 κνλάδεο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη

αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 4 απεηθνλίδεηαη ε ηξίηε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη

ηηο πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο.

πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 9 + 9 + 6 = 24.

τήμα 4 – 3η επανάληυη

πλερίδνπκε, επηιέγνληαο ην κνλνπάηη Δ – Α1 – Γ1 – ΑΓΟΡΑ. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε

κε 5 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή Α1 – Γ1 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο

αθκέο ηνπ κνλνπαηηνύ. Έηζη, απνζηέιινληαη 5 κνλάδεο από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη

αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 5 απεηθνλίδεηαη ε ηέηαξηε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε

δηαηεξήζεη ηηο πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο.

πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 9 + 9 + 6 + 5 = 29.


ηε ζπλέρεηα, επηιέγνπκε ην κνλνπάηη Δ – Α1 – Γ4 – ΑΓΟΡΑ. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε

κε 4 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή Α1 – Γ4 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο


αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 6 απεηθνλίδεηαη ε πέκπηε επαλάιεςε, ελώ έρνπλ δηαηεξεζεί

νη πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο.

πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 9 + 9 + 6 + 5 + 4 = 33.


Ε

Α1

Α2

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

ΑΓΟΡΑ

9 E – A1 – Δ2 - ΑΓΟΡΑ

9 E – A2 – Δ3 - ΑΓΟΡΑ

6 E – A1 – Δ3 - ΑΓΟΡΑ

5 E – A1 – Δ1 - ΑΓΟΡΑ

4 E – A1 – Δ4 - ΑΓΟΡΑ

9

6

54

24

14

9

9

5

5

9

4

9

9

6

59

15

4

5

4

87

0

5

7

0

0

00

5

9

9

6 0

7

8

96

4


κε 8 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηηο αθκέο Α2 – Γ1 θαη Γ1 – ΑΓΟΡΑ πνπ έρνπλ ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα

ξνήο αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ κνλνπαηηνύ. Έηζη, απνζηέιινληαη 8 κνλάδεο από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή

πξνο ην δέθηε θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 7 απεηθνλίδεηαη ε έθηε επαλάιεςε, ελώ

έρνπλ δηαηεξεζεί νη πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο.

πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 9 + 9 + 6 + 5 + 4 + 8 = 41.


Ε

Α1

Α2

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

ΑΓΟΡΑ

9 E – A1 – Δ2 - ΑΓΟΡΑ

9 E – A2 – Δ3 - ΑΓΟΡΑ

6 E – A1 – Δ3 - ΑΓΟΡΑ

5 E – A1 – Δ1 - ΑΓΟΡΑ

4 E – A1 – Δ4 - ΑΓΟΡΑ

9

6

54

24

6

17

9

55

9

4

9

9

6

139

15

4

5

4

07

0

5

7

0

0

00

5

9

9

6 0

7

0

8 E – A2 – Δ1 - ΑΓΟΡΑ

8

8

8

8

96

4


κε 6 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή Δ – Α2 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο


αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 8 απεηθνλίδεηαη ε έβδνκε επαλάιεςε, ελώ έρνπλ

δηαηεξεζεί νη πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο.

πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 9 + 9 + 6 + 5 + 4 + 8 + 6 = 47.


ην ζρήκα 8, παξαηεξνύκε όηη ελώ ππάξρεη ζεηηθή δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή, ίζε κε 7 κνλάδεο ζηελ

αθκή Δ – Α1, ε ξνή απηή δελ κπνξεί λα δηνρεηεπζεί πξνο ην δέθηε αθνύ δελ ππάξρεη κνλνπάηη από ην νπνίν λα

κπνξεί λα πεξάζεη κέρξη ηέινπο. Οινθιεξώλνληαο, δηαπηζηώλνπκε ινηπόλ όηη δελ ππάξρεη άιιν κνλνπάηη κε

ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε, νπόηε είλαη θαλεξό όηη ε κέγηζηε ξνή

είλαη ίζε κε 47 πιήξε θνξηία αλά κήλα. ην ζρήκα 9 παξνπζηάδεηαη ε άξηζηε ιύζε, δηαηεξώληαο ηηο ξνέο πνπ

είλαη απαξαίηεηεο πάλσ ζε θάζε αθκή πνπ ελεξγνπνηείηαη.

τήμα 9 – άριζηη λύζη

Ε

Α1

Α2

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

ΑΓΟΡΑ

9

6

54

9

5 5

9

4

9

9

6

8

8

8

6

6 6

Μέγιστη ροή = 47

9 E – A1 – Δ2 - ΑΓΟΡΑ

9 E – A2 – Δ3 - ΑΓΟΡΑ

6 E – A1 – Δ3 - ΑΓΟΡΑ

5 E – A1 – Δ1 - ΑΓΟΡΑ8 E – A2 – Δ1 - ΑΓΟΡΑ

6 E – A2 – Δ2 - ΑΓΟΡΑ

4 E – A1 – Δ4 - ΑΓΟΡΑ

96

4

Σεκείσζε

Από ηε θύζε ηνπ αιγνξίζκνπ ηεο κέγηζηεο ξνήο, είλαη πνιύ πηζαλόλ λα κελ ππάξρεη κόλν κία ζπγθεθξηκέλε

θαη κνλαδηθή ζεηξά ζηε ξνή ησλ επαλαιήςεσλ θαη ζηε ζπιινγή ησλ κνλνπαηηώλ, αθνύ ζε θάζε επαλάιεςε,

ην κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε, πξνζδηνξίδεηαη

απζαίξεηα. Μάιηζηα, ππάξρνπλ ελαιιαθηηθά κνλνπάηηα ηα νπνία επίζεο επηηπγράλνπλ ηε κέγηζηε ξνή θαη

απηό ζπκβαίλεη ζρεδόλ πάληα ζηα πξνβιήκαηα απηνύ ηνπ ηύπνπ.

Γηα παξάδεηγκα, κεηά ηελ 6ε επαλάιεςε (ζρήκα 7), ζα κπνξνύζακε λα επηιέμνπκε δηαδνρηθά ηα κνλνπάηηα Ε

– Α2 – Δ4 – ΑΓΟΡΑ κε ξνή 5 κνλάδεο, θαη Ε – Α2 – Δ2 – ΑΓΟΡΑ κε ξνή 1 κνλάδα, από ηελ πεγή πξνο ην

δέθηε αληίζηνηρα, κε απνηέιεζκα λα νδεγεζνύκε ζε ελαιιαθηηθή άξηζηε ιύζε κε ηελ ίδηα κέγηζηε ξνή. Σε

θάζε πεξίπησζε, ζηελ άξηζηε ιύζε ε κέγηζηε ξνή πξέπεη λα είλαη ίζε κε 47 κνλάδεο (πιήξε θνξηία) θαη

απηή πξέπεη λα εληνπηζηεί, ηαπηόρξνλα κε ηηο θαηάιιειεο ξνέο επάλσ ζηηο αθκέο.

ΘΔΜΑ 2ο

Αξρηθά, ζα πξέπεη λα δηακνξθώζνπκε ην tableau πνπ δόζεθε ζε ηξόπν ώζηε λα ελζσκαησζεί ν πεξηνξηζκόο ηεο

κεηαθνξάο ην πνιύ 100 ζπζθεπαζηώλ από ηελ απνζήθε Α ζην θαηάζηεκα Ν. Γηα ην ζθνπό απηό, ρσξίδνπκε ζηα

δύν ηε ζηήιε πνπ αληηζηνηρεί ζην θαηάζηεκα Ν: κία ζηήιε πνπ εμαθνινπζεί λα επηγξάθεηαη Ν θαη κία δεύηεξε

ζηήιε κε ηελ επηγξαθή (έζησ) Ν2. H δήηεζε ηεο θαηλνύξηαο ζηήιεο είλαη 100. Οπνηαδήπνηε κεηαθνξά από ηελ

απνζήθε Α ζην θαηάζηεκα Ν ζα εκθαλίδεηαη ζ’ απηή ηε ζηήιε Ν2. Δμαθνινπζώληαο λα επηηξέπνπκε κεηαθνξά

θαη από ηηο ππόινηπεο απνζήθεο (εδώ ππάξρεη κόλνλ κία αθόκε, ε Β), θάζε πνζόηεηα πνπ εκθαλίδεηαη ζ’ απηή

ηε ζηήιε πξννξίδεηαη ζηελ πξαγκαηηθόηεηα γηα ην θαηάζηεκα Ν. Φπζηθά, ε αξρηθή δήηεζε ηεο ζηήιεο Ν έρεη

ειαηησζεί θαηά 100 κνλάδεο, νπόηε ε ζπλνιηθή δήηεζε ησλ Ν θαη Ν2 λα αζξνίδεη ζηελ αξρηθή. ηε ζπλέρεηα,

πξνθεηκέλνπ λα εμαζθαιίζνπκε όηη ην θαηάζηεκα Ν ζα πάξεη ην πνιύ 100 ζπζθεπαζίεο από ηελ απνζήθε Α,

απαγνξεύνπκε ηελ απνζηνιή πξντόλησλ ζην θειί ΑΝ. Έηζη, ζέηνπκε ην ζπγθεθξηκέλν θόζηνο κεηαθνξάο ίζν κε

Μ (Μ ). Η ππόινηπε δήηεζε ηνπ θαηαζηήκαηνο Ν ζα πξέπεη λα ηθαλνπνηεζεί από ηελ απνζήθε Β.

J K L M N N2

Α 5

8 8

6

Μ

13

1,000

Β 6

9 4

5

6

6

500

400 300 200 300 200 100

Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Vogel γηα ηελ εύξεζε κηαο αξρηθήο βαζηθήο εθηθηήο ιύζεο ηνπ

πξνβιήκαηνο, παίξλνπκε σο ηέηνηα ηελ:

1 1 4 1 1 1 4 1 7 1 1 4 1 Μ-6 7 Προσυορά

1

1

1 5

400

8

300

8

0*

6

300

Μ

13

1,000

1,000

1,000

1,000

1

1

1 6

9 4

200

5

6

200

6

100

500

300

200

0

Ζήτηση 400

400

400

400

0

300

300

300

300

0

200

200

200

0

0

300

300

300

300

0

200

0

100

100

0

Σν θειί (1, 3) αλ θαη κε κεδεληθή εθρώξεζε, είλαη έλα βαζηθό θειί. Βξίζθνληαο ηα δπλακηθά ui, vj θαη

ζρεκαηίδνληαο ηηο δηαθνξέο δij = ui + vj - cij πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο κε βαζηθέο κεηαβιεηέο δηαπηζηώλνπκε όηη ε

ιύζε απηή είλαη ε βέιηηζηε (δij 0 i, j) θαη ζπλεπάγεηαη ζπλνιηθό θόζηνο κεηαθνξάο ηεο ηάμεο ησλ 8,200 €.

v

u

5

8 8 6 10 10

0 5

400

8

300

8

0*

6

300

5-M Μ

-3 13

1,000

-4 -5 6

-5 9 4

200

-3 5

6

200

6

100

500

400 300 200 300 200 100

Οπόηε, επαλαθέξνληαο ζην tableau ηε δνζείζα πξαγκαηηθή κνξθή έρνπκε σο βέιηηζην ζρέδην κεηαθνξάο ην:

J K L M N

Α 5

400

8

300

8

6

300

13

1,000

Β 6

9 4

200

5

6

300

500

400 300 200 300 300

κε ζπλνιηθό θόζηνο 8800€.

ΘΔΜΑ 3ο

ΓΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΑΜΔΩ ΠΡΟΗΓ. ΑΝΑΜΔΝΟΜΔΝΗ ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΔΝΩΡΙΣΔΡΟ ΥΡΟΝΟ ΒΡΑΓΤΣΔΡΟ ΥΡΟΝΟ ΥΡΟΝΙΚΟ ΠΔΡΙΘΩΡΙΟ

ΓΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΔΝΑΡΞΗ ΛΗΞΗ ΔΝΑΡΞΗ ΛΗΞΗ

A -- 5.3333 0 5.3333 0 5.3333 0

B Α 5 5.3333 10.3333 17.6667 22.6667 12.3334

C Α 3.8333 5.3333 9.1666 16.3334 20.1667 11

D Α 6.3333 5.3333 11.6666 5.3333 11.6666 0

E Β 7.5 10.3333 17.8333 30.1667 37.6667 19.8334

F Β 9.5 10.3333 19.8333 22.6667 32.1667 12.3334

G C 12 9.1666 21.1666 20.1667 32.1667 11

H C 9.1667 9.1666 18.3333 25 34.1667 15.8334

I D 7.5 11.6666 19.1666 26.6667 34.1667 15

J D 14.3333 11.6666 26 11.6666 26 0

K F, G 12.8333 21.1666 34 32.1667 45 11

L H, I 10.8333 19.1666 30 34.1667 45 15

M E 7.3333 17.8333 25.1666 37.6667 45 19.8334

N J 8.5 26 34.5 26 34.5 0

O N 10.5 34.5 45 34.5 45 0

Αναμενόμενη Κρίζιμη διαδρομή: A – D – J – N – 0

Αναμενόμενος τρόνος ολοκλήρωζης ηοσ έργοσ: 45 εβδομάδες

Η η.μ. Υ = “Υρόνος Ολοκλήρωζης ηοσ Έργοσ” ακολοσθεί ηην κανονική καηανομή με μέζη ηιμή μ = μA + μD + μJ + μN + μO = 5.3333 + 6.3333 + 14.3333

+ 8.5 + 10.5 = 45 και διακύμανζη ζ2 = ζ2A + ζ2

D + ζ2J + ζ2

N + ζ2O = 1 + 1 + 2.33332 + 2.16672 + 2.16672 = 16.83346667 = 4.102.

X-45 a-45 a-45Prob X a 0.90 Prob 0.90 1.29 a =50.29

4.10 4.10 4.10 εβδομάδες

ΘΔΜΑ 4ο

Δρώηημα 1

Πξόθεηηαη γηα έλα παίγλην δύν παηθηώλ μηδενικού αθροίζμαηος. Όπσο βιέπνπκε ζηoλ παξαθάησ πίλαθα, ε

εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ minimax απεπζείαο ζηνλ πίλαθα πιεξσκώλ ηνπ παίθηε Α ρσξίο δηαγξαθή ησλ

ππνδεέζηεξσλ ζηξαηεγηθώλ, αδπλαηεί λα καο δώζεη ακηγείο ζηξαηεγηθέο θαη ππνδεηθλύεη ηελ αλππαξμία

ζεκείνπ ηζνξξνπίαο. Πξάγκαηη, ε Maximin ηηκή ηνπ παίθηε - πνιηηηθνύ Α είλαη ίζε κε -2 (ηνκή ησλ

ζηξαηεγηθώλ Α1 θαη Β2) θαη ε Minimax ηηκή ηνπ παίθηε -πνιηηηθνύ Β είλαη ίζε κε 2 (ηνκή ησλ ζηξαηεγηθώλ Α1

θαη Β3).

Β1 Β2 Β3 Row Min Maximin

Α1 0 -2 2 -2 -2

Α2 3 4 -3 -3

Α3 2 3 -4 -4

Col Max 3 4 2

Minimax 2 -2≠2

Δρώηημα 2

Αθνύ δελ ππάξρεη θνηλό ζεκείν ηζνξξνπίαο (δειαδή δελ ππάξρνπλ αληίζηνηρεο ακηγείο ζηξαηεγηθέο πνπ ζα

κπνξνύζαλ λα ηζνξξνπήζνπλ νη δύν παίθηεο) ζα πξνρσξήζνπκε ζηνλ εληνπηζκό κεηθηώλ ζηξαηεγηθώλ.

πλερίδνπκε κε ηε δηαγξαθή ησλ ππνδεέζηεξσλ ζηξαηεγηθώλ. Η ζηξαηεγηθή Α3 δηαγξάθεηαη σο ππνδεέζηεξε

ηεο Α2, νπόηε ν πίλαθαο πιεξσκώλ κεηώλεηαη ζηνλ αθόινπζν πίλαθα δηάζηαζεο 2 3, όπνπ δελ ππάξρνπλ άιιεο

ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο.

Β1

y1 Β2

y2 Β3

y3

Α1 x 0 -2 2

Α2 1-x 3 4 -3

ηε ζπλέρεηα, εθαξκόδνπκε ηε γξαθηθή κέζνδν επίιπζεο. Ολνκάδνπκε x ηελ πηζαλόηεηα ν παίθηεο Α λα

αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή ηνπ Α1, νπόηε (1-x) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηελ Α2. Γηα ηνλ παίθηε Β

νλνκάδνπκε y1 ηελ πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή ηνπ Β1, y2 λα εθαξκόζεη ηελ Β2 θαη y3 λα

εθαξκόζεη ηελ Β3. Πξνθαλώο y1+y2+y3 =1. Γηα ηνλ παίθηε κε δύν ζηξαηεγηθέο (δειαδή ηνλ Α) έρνπκε ηηο

αθόινπζεο ζρέζεηο:

V(A, B1) = 0x +3(1-x) = 3 – 3x,

V(A, B2) = -2x+4(1-x) = 4 – 6x θαη

V(A, B3) = 2x - 3(1-x) = -3 + 5x.

ύξνπκε δύν παξάιιεινπο θαηαθόξπθνπο άμνλεο κε ίδηα θιίκαθα κέηξεζεο πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο κία

κνλάδα θαη νη νπνίνη αληηπξνζσπεύνπλ ηελ αμία γηα ηνλ παίθηε Α. Ο νξηδόληηνο άμνλαο παξηζηάλεη ηηο ηηκέο ηεο

πηζαλόηεηαο x. Μεηά θέξνπκε ηα επζύγξακκα ηκήκαηα πνπ παξηζηάλνπλ ηηο πιεξσκέο ζηνλ παίθηε Α (δειαδή

ηα V(A, Bi), i=1,2,3)) αλάινγα κε ηε ζηξαηεγηθή πνπ εθαξκόδεη ν Β θαη ηελ πηζαλόηεηα εθαξκνγήο από ηνλ

παίθηε Α είηε ηεο Α1 είηε ηεο Α2. Γηα λα ραξάμνπκε ηα ηξία απηά επζύγξακκα ηκήκαηα αξθεί λα ζπλδέζνπκε

ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ησλ δύν αμόλσλ από ηνλ πίλαθα πιεξσκώλ δειαδή γηα λα ραξάμνπκε ηελ επζεία πνπ

αληηζηνηρεί ζην V(A, B1) ζπλδένπκε ην 3 κε ην 0, γηα ην V(A, B2) ζπλδένπκε ην 4 κε ην -2 θαη γηα ηελ επζεία

V(A, B3) ζπλδένπκε ην -3 κε ην 2.

Δπεηδή ν παίθηεο Α επηιέγεη maximin ζηξαηεγηθή, απηό ζπλεπάγεηαη όηη επηιέγεη ην κέγηζην από ηα

ειάρηζηα. Γειαδή ζα αθνινπζήζεη ηελ ηεζιαζκέλε γξακκή πνπ βξίζθεηαη ζηελ θαηώηεξε πεξηνρή ηνπ

ζρήκαηνο θαη ε νπνία παξνπζηάδεηαη κε έληνλεο θόθθηλεο γξακκέο. Δπάλσ ζ’ απηήλ, ζα επηιέμεη ην πςειόηεξν

ζεκείν Κ. Ωο εθ ηνύηνπ, ε ζηξαηεγηθή Β1 από ηελ πιεπξά ηνπ παίθηε Β απνξξίπηεηαη αθνύ δελ ζπκκεηέρεη

ζηνλ θαζνξηζκό ηνπ maximin ζεκείνπ Κ θαη ην πξόβιεκα γίλεηαη πξόβιεκα δηάζηαζεο 2 2 κε ηνλ αθόινπζν

πίλαθα πιεξσκώλ ζηνλ νπνίν αληηθαηαζηήζακε ηηο πηζαλόηεηεο y2 θαη y3 κε y θαη 1-y αληίζηνηρα:

Β2

y

Β3

1-y

Α1 x -2 2

Α2 1-x 4 -3

ην ζρήκα, κε ηα πξάζηλα βέιε ζεκεηώλεηαη ην ζεκείν ζην νπνίν βξίζθεηαη ε βέιηηζηε ηηκή ηεο πηζαλόηεηαο x1

πνπ είλαη πεξίπνπ 0,64 θαη ε αληίζηνηρε ηηκή ηνπ παηγλίνπ ζηνλ θαηαθόξπθν άμνλα (V ≈ 0,18). Γηα λα

εληνπίζνπκε όκσο κε αθξίβεηα ηηο ηηκέο ζπλερίδνπκε αιγεβξηθά.

Δπηιύνπκε ινηπόλ ην παίγλην σο πξόβιεκα δηάζηαζεο 2 2: εμηζώλνπκε ηηο V(A, B2) θαη V(A, B3) θαη έρνπκε 4

– 6x = -3 + 5x πνπ δίλεη 11x = 7. Άξα x = 7/11 (≈ 0,64) θαη 1-x = 4/11 (ζην ζρήκα ππνδεηθλύεηαη κε βέινο ην

ζεκείν ζην νπνίν ε πηζαλόηεηα x ≈ 0,64). Η ηηκή ηνπ παηγλίνπ βξίζθεηαη κε αληηθαηάζηαζε ησλ πηζαλνηήησλ ζε

νπνηνδήπνηε από ηα V(A, B2) ή V(A, B3) δειαδή είλαη V = 4 – 6(7/11) = 2/11 (≈ 0,18) (πξάγκαηη ζην ζρήκα

θαηαδεηθλύεηαη κε βέινο ε ηηκή ηνπ παηγλίνπ ε νπνία είλαη ζην 0,18 πεξίπνπ).

Γηα ηνλ παίθηε B έρνπκε όηη V(B, A1) = V(B, A2) δειαδή -2y + 2(1-y) = 4y - 3(1-y) πνπ δίλεη y = 5/11 θαη 1-y

= 6/11. Αλ αληηθαηαζηήζνπκε ηηο πηζαλόηεηεο απηέο είηε ζην V(B, A1) είηε ζην V(B, A2) ζα πξέπεη λα πάξνπκε

ηηκή ηνπ παηγλίνπ ίζε κε V =2/11 πνπ βξήθακε πξηλ θαη πξάγκαηη έηζη είλαη.

πλνςίδνληαο, ην απνηέιεζκα είλαη ην εμήο:

Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηνλ παίθηε Α: (7/11, 4/11, 0)

Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηνλ παίθηε Β: ( 0, 5/11, 6/11)

Σηκή ηνπ παηγλίνπ V = 2/11

Σν θπζηθό λόεκα ηεο ηηκήο ηνπ παηγλίνπ είλαη όηη, εθόζνλ επαλαιεθζεί πνιιέο θνξέο ε αλακέηξεζε κε ηνπο

ίδηνπο όξνπο, ην αλακελόκελν θέξδνο ηνπ πνιηηηθνύ Α ζε βάξνο ηνπ Β αλέξρεηαη ζηηο 1818 ςήθνπο πεξίπνπ

(10.000 ςήθνη x 2/11 πνπ είλαη ε ηηκή ηνπ παηγλίνπ).

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2011



ΘΕΜΑ 1ο

Σε ένα διαγωνισμό για την κατασκευή μίας καινούργιας γραμμής του Μετρό της Αθήνας πρόκειται να υποβάλουν προσφορές

οι κοινοπραξίες «Μετροπόντικας Α.Ε.» (παίκτης Ι) και «Στοά Α.Ε.» (παίκτης ΙΙ). Ανάλογα με τις προδιαγραφές του

τεύχους δημοπράτησης του έργου αλλά και του κόστους, μία προσφορά μπορεί να «χαρακτηριστεί» τύπου Α (υπερκαλύπτει

τις προδιαγραφές αλλά έχει σχετικά μεγάλο κόστος υλοποίησης), τύπου Β (συμμορφώνεται ακριβώς με τις προδιαγραφές

με μέτριο σχετικά κόστος), ή τύπου Γ (υπολείπεται οριακά των προδιαγραφών αλλά έχει χαμηλό κόστος υλοποίησης). Οι

πιθανότητες να αναλάβει η εταιρεία «Μετροπόντικας Α.Ε.» το έργο είναι συνάρτηση του τύπου της προσφοράς που θα

υποβάλει τόσο αυτή όσο και η ανταγωνίστρια κοινοπραξία και αποτυπώνονται στον παρακάτω πίνακα:

«Μετροπόντικας Α.Ε.»

Παίκτης Ι

«Στοά Α.Ε.» - Παίκτης ΙΙ

Α Β Γ

Α 0,7 0,6 0,4

Β 0,3 0,4 0,7

Γ 0,8 0,6 0,5

1. Προσδιορίστε αν για κάποια από τις δύο εταιρείες υπάρχει τύπος προσφοράς η οποία δεν συμφέρει να υποβληθεί σε

καμία περίπτωση.

2. Εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα του προηγούμενου αποτελέσματος και διατυπώστε τα συμπεράσματά

σας. Στη συνέχεια να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική

για κάθε εταιρεία στο παίγνιο αυτό.

3. Ποια εταιρεία έχει την μεγαλύτερη (αναμενόμενη) πιθανότητα να κερδίσει το έργο; Αν το μέσο κόστος για την

εκπόνηση μίας προσφοράς (σε χιλιάδες ευρώ) για κάθε τύπο προσφοράς δίνεται στον παρακάτω πίνακα:

Α Β Γ

90 50 30

Υπολογίστε το αναμενόμενο κόστος της άριστης στρατηγικής της εταιρείας αυτής.

ΘΕΜΑ 2ο

Βρείτε τη βέλτιστη λύση προβλήματος μεταφοράς με αρχικό tableau το ακόλουθο (οι τιμές στα κελιά εκφράζουν το κόστος

μεταφοράς μιας μονάδος κάποιου προϊόντος σε €):

D1 D2 D3

S1

4

2 4

15

S2

12

8 4

15

10 10 10

Στη συνέχεια υποθέστε ότι το s1 αυξάνεται και γίνεται 16 κι ότι το d3 (αυξάνεται και) γίνεται 11. Αποδείξτε ότι, αν και

μεταφέρονται περισσότερα προϊόντα (31 αντί 30), το συνολικό κόστος μεταφοράς θα μειωθεί κατά 2€.

ΘΕΜΑ 3ο

Ένας επαρχιακός δρόμος θα πρέπει να περάσει αναγκαστικά μέσα από το Εθνικό Πάρκο. Η νομοθεσία επιβάλλει αυστηρούς

περιορισμούς ως προς την όχληση και ομαλή διαβίωση των ζώων που φιλοξενούνται στο πάρκο. Στο δίκτυο διαδρομών που

απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα, ο κόμβος 1 απεικονίζει την είσοδο του πάρκου και ο κόμβος 9 την έξοδο ενώ οι αριθμοί

κάθε ακμής παριστάνουν την απόσταση (σε χιλιόμετρα) των ενδιάμεσων σημείων απ’ όπου μπορεί να περάσει ο δρόμος.

1

2

3

9

6

5

4

7

8

4

2

4

3

5

3

8

6

5

6

4

5

2

4

3

3

Το υπουργείο Χωροταξίας και Περιβάλλοντος επιθυμεί να σχεδιάσει και να κατασκευάσει τη διαδρομή που θα οδηγεί από

την είσοδο στην έξοδο του πάρκου, με τέτοιο τρόπο ώστε να εξασφαλιστεί η μικρότερη όχληση για τα ζώα που φιλοξενούνται

στο πάρκο. Να εφαρμόσετε τον κατάλληλο αλγόριθμο της θεωρίας δικτύων για να λύσετε το πρόβλημα. Η παρουσίαση της

διαδικασίας επίλυσης του προβλήματος πρέπει να είναι αναλυτική ώστε να είναι διακριτά τα βήματα του αλγορίθμου που

οδηγούν στη λύση.

ΘΕΜΑ 4ο

Το έργο κατασκευής μιας μικρής γέφυρας αποτελείται από 8 κύριες δραστηριότητες, με τον χρόνος υλοποίησης εκάστης

(σε εβδομάδες) να έχει ως ακολούθως.


ΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣ

ΧΡΟΝΟΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟΣ

ΧΡΟΝΟΣ

ΑΠΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣ

ΧΡΟΝΟΣ


ΔΙΑΣΠΟΡΑ

A -- 2 5 8 ? 1

B Α 4 7 10 ? 1

C Α 4 9 14 ? 2.78

D B 6 10 20 ? 5.44

E C 1 3 5 ? 0.44

F C 3 6 9 ? 1

G D 4 5 12 ? 1.78

H E 6 8 10 ? 0.44

1. Να διαμορφωθεί το δίκτυο του έργου.

2. Να υπολογιστούν οι ενωρίτεροι και βραδύτεροι χρόνοι των δραστηριοτήτων, τα αντίστοιχα χρονικά τους περιθώρια, και

ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσής του έργου.

3. Ποια είναι η κρίσιμη διαδρομή;

4. Ποια είναι η κατανομή του χρόνου ολοκλήρωσης του έργου;

5. Ποια είναι η πιθανότητα το έργο αυτό να ολοκληρωθεί σε 36 εβδομάδες;

6. Ποια είναι η αναμενόμενη διάρκεια του έργου με πιθανότητα 95%;

Δίνεται: P(0 ≤ Z ≤ 1.29) = 0.4015, P(0 ≤ Z ≤ 2.30) = 0.4893, P(0 ≤ Z ≤ 1.65) = 0.4505, P(0 ≤ Z ≤ 0.95) = 0.3289.

ΘΕΜΑ 1ο

ερώτημα 1

Πρόκειται για παίγνιο σταθερού αθροίσματος όπου το άθροισμα είναι η μονάδα (πιθανότητα 100%).

Έστω Α1, Β1, Γ1 οι στρατηγικές της εταιρείας «Μετροπόντικας Α.Ε.» να καταθέσει προσφορά τύπου

Α, Β, Γ αντίστοιχα. Επίσης έστω Α2, Β2, Γ2 οι στρατηγικές της εταιρείας «Στοά Α.Ε.» να καταθέσει

προσφορά τύπου Α, Β, Γ αντίστοιχα. Ονομάζουμε για ευκολία τις δύο εταιρείες Ι και ΙΙ αντίστοιχα.

Παρατηρούμε ότι, για την εταιρεία Ι, η στρατηγική Γ1 επιφέρει υψηλότερες πιθανότητες επιτυχίας από

την Α1, οποιαδήποτε και αν είναι προσφορά του ανταγωνιστή. Άρα σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να

γίνει προσφορά τύπου Α από την εταιρεία Ι. Συνεπώς διαγράφουμε την γραμμή που αντιστοιχεί στην

στρατηγική Α1 (αφού η στρατηγική αυτή είναι υποδεέστερη από την Γ1) και ο Πίνακας γίνεται

Παίκτης Ι

Παίκτης ΙΙ

Α2 Β2 Γ2

Β1 0,3 0,4 0,7

Γ1 0,8 0,6 0,5

Από τον παραπάνω πίνακα, καμία άλλη στρατηγική δεν φαίνεται να είναι υποδεέστερη από κάποια

άλλη. Αυτό ισχύει για αμφότερες τις εταιρείες.

ερώτημα 2

Για να ελέγξουμε αν οι αμιγείς στρατηγικές οδηγούν σε σημείο ισορροπίας εφαρμόζουμε το κριτήριο

Maximin/Minimax στον προηγούμενο πίνακα:

Παίκτης Ι

Παίκτης ΙΙ

Α2 Β2 Γ2 Ελάχιστο γραμμής

Β1 0,3 0,4 0,7 0,3

Γ1 0,8 0,6 0,5 0,5

Μέγιστο Στήλης 0,8 0,6 0,7 0,5 ≠ 0,6

Επειδή το μέγιστο του ελάχιστου των γραμμών (0,5) είναι διαφορετικό από το ελάχιστο του μέγιστου

των στηλών (0,6), το παίγνιο δεν έχει σημείο ισορροπίας που να προσδιορίζεται από την εφαρμογή των

αμιγών στρατηγικών. Άρα θα πρέπει να υπολογίσουμε το σημείο ισορροπίας με τη βοήθεια μικτών

στρατηγικών. Το παίγνιο είναι διάστασης 2 3. Άρα πρέπει αρχικά να οδηγηθεί στη γραφική επίλυση

που ακολουθεί.

Επειδή η εταιρεία Ι επιλέγει το μέγιστο από τα ελάχιστα, θα καθορίσει τη στρατηγική της κατά τρόπο

ώστε να βρεθεί στο σημείο Κ (σημείο Maximin) το οποίο είναι το υψηλότερο σημείο του χαμηλότερου

τεθλασμένου ευθύγραμμου τμήματος που φαίνεται με έντονη γραμμή. Στον καθορισμό του σημείου Κ

δεν παίζει ρόλο η στρατηγική Α2 η οποία απορρίπτεται για τη συνέχεια. Έτσι, προκύπτει ένα παίγνιο

διάστασης 2 2 το οποίο απεικονίζεται στον παρακάτω Πίνακα.

y 1-y

Β2 Γ2

x Β1 0,4 0,7

1-x Γ1 0,6 0,5

Η άριστη στρατηγική της εταιρείας Ι προσδιορίζεται ως εξής:

Έστω V(Ι, B2) και V(Ι, Γ2) η αναμενόμενη πιθανότητα κατακύρωσης του διαγωνισμού στην εταιρεία

Ι, αν η εταιρεία ΙΙ αποφασίσει να καταθέσει προσφορά τύπου Β ή τύπου Γ αντίστοιχα. Οι πιθανότητες

αυτές πρέπει να είναι ίσες. Άρα:

V(Ι, B2)=V(Ι, Γ2). (1)

Επίσης, έστω x η πιθανότητα να επιλεγεί η στρατηγική Β1 από την εταιρεία Ι. Άρα 1-x είναι η

πιθανότητα να επιλεγεί η στρατηγική Γ1. Επομένως,

V(Ι, B2)=0,4x+0,6(1-x) (2)

V(Ι, Γ2)= 0,7x+0,5(1-x) (3)

Από την (1) και τις παραπάνω δύο εξισώσεις έχουμε

0,4x+0,6(1-x)=0,7x+0,5(1-x) που δίνει 0,1(1-x)=0,3x x=0,25 οπότε 1-x=0,75

Για την εταιρεία ΙΙ η άριστη στρατηγική καθορίζεται με αντίστοιχο τρόπο. Δηλαδή

V(ΙΙ, B1)=0,4y+0,7(1-y), (4)

V(ΙΙ, Γ1)=0,6y+0,5(1-y), (5)

όπου y η πιθανότητα να επιλεγεί η στρατηγική Β2 από την εταιρεία ΙΙ.

Επειδή V(ΙΙ, B1) = V(ΙΙ, Γ1) έχουμε ότι 0,4y+0,7(1-y) = 0,6y+0,5(1-y) που δίνει

0,2(1-y)=0,2y y =0,5 οπότε 1-y=0,5.

Συνοψίζοντας:

Άριστη μεικτή στρατηγική της «Μετροπόντικας Α.Ε.»: (0, 1/4, 3/4)

Άριστη μεικτή στρατηγική της «Στοά Α.Ε.»: (0, 1/2, 1/2)

ερώτημα 3

Η αξία του παιγνίου V, είναι η ζητούμενη αναμενόμενη πιθανότητα και μπορεί να βρεθεί αν σε

οποιαδήποτε από τις (2) και (3) ή (4) και (5) αντίστοιχα, αντικαταστήσουμε την τιμή του x ή του y που

βρήκαμε προηγουμένως. Για παράδειγμα, αντικαθιστώντας στην (2) το x = 1/4 έχουμε

V = 0,4*(0,25)+0,6*(0,75)=0,55

Επομένως, μακροπρόθεσμα το παίγνιο ευνοεί ελαφρώς την εταιρεία «Μετροπόντικας Α.Ε.» αφού της

δίνει μεγαλύτερη πιθανότητα, ίση με 55%, να ανακηρυχθεί ανάδοχος του έργου, σε αντίθεση με την

εταιρεία «Στοά Α.Ε.» που θα έχει πιθανότητα 45% να κερδίσει το έργο.

Το ζητούμενο αναμενόμενο κόστος της άριστης στρατηγικής της είναι 0,9*0+0,25*50+0,75*30=35

(χιλιάδες ευρώ)

ΘΕΜΑ 2ο

ερώτημα 1

Η συνολική προσφορά είναι ίση με τη συνολική ζήτηση. Η μέθοδος Vogel για την εύρεση μιας αρχικής βασικής

εφικτής λύσης του προβλήματος δίνει ως τέτοια την:

6 0 8 6 0 Προσφορά

2

2

4

10

2

5

4

15

5

4

4

12

8

5

4

10

15

15

Ζήτηση 10 0

10 10

10 10

Η λύση αυτή έχει 4 θετικές συνιστώσες και συνεπώς είναι μη εκφυλισμένη. Βρίσκοντας τα δυναμικά ui, vj και

σχηματίζοντας τις διαφορές δij = ui + vj - cij που αντιστοιχούν στις μη βασικές μεταβλητές διαπιστώνουμε ότι η

λύση αυτή είναι η βέλτιστη (δij 0 i, j) και συνεπάγεται κόστος μεταφοράς της τάξης των 130 €.

v

u

4 2 -2

0

4

10

2

5

-6 4

15

6

-2 12

8

5

4

10

15

10 10 10

ερώτημα 2

Οι ποσότητες s1 και d3 έχουν αυξηθεί κατά Δ = 1. Ξεκινάμε να αναπροσαρμόζουμε κατά +Δ την εκχώρηση στο

(βασικό) κελί (1, 2) της πρώτης γραμμής, συνεχίζουμε με –Δ την εκχώρηση στο (βασικό) κελί (2, 2) της

δεύτερης στήλης και τερματίζουμε με αναπροσαρμογή κατά +Δ την εκχώρηση στο (βασικό) κελί (2, 3) της

δεύτερης γραμμής:

4

10

2

5+Δ

4

15+Δ

12

8

5-Δ

4

10+Δ

15

10 10 10+Δ

Συνεπώς νέα βέλτιστη λύση είναι η

4

10

2

6

4

16

12

8

4

4

11

15

10 10 11

η οποία έχει κόστος μεταφοράς της τάξης των (4×10) + (2×6) + (8×4) + (4×11) = 128 €, μειωμένο δηλαδή

κατά Δ×(u1+v3) = 1×(0-2) = 2 μονάδες.

ΘΕΜΑ 3ο

Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής όπου πρέπει να εντοπιστεί η

συντομότερη διαδρομή από τον κόμβο 1, που είναι η αφετηρία, προς τον κόμβο 9, οπότε το κριτήριο

τερματισμού θα είναι «η έξοδος, κόμβος 9 να γίνει μόνιμος». Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο της

συντομότερης διαδρομής.

Πρώτος λυμένος κόμβος καθίσταται η αφετηρία 1 με απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Το σύνολο των

λυμένων κόμβων είναι το 1.

Πίνακας 1

Σύνολο

μονίμων

κόμβων

Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

μήκος

διαδρομής

Λυμένος

κόμβος


ελάχιστης

διαδρομής

Λ=1 (+21) 1-2 2 21 2

1-3 4

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 2 με ελάχιστη απόσταση 2 Km οπότε το σύνολο

των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 21 (ο δείκτης 1 δηλώνει τον κόμβο προέλευσης, δηλ. ο κόμβος 2

προσεγγίζεται από τον κόμβο 1)

Πίνακας 2

Σύνολο μονίμων

κόμβων

Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

μήκος

διαδρομής

Λυμένος

κόμβος


ελάχιστης

διαδρομής

Λ=1,2+ (31) 1-3 4 31 4

2-3 5

2-5 5

2-6 6


των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 21, 31 (ο δείκτης 1 δηλώνει τον κόμβο προέλευσης δηλ. ο κόμβος 3

προσεγγίζεται από τον κόμβο 1).

Πίνακας 3


κόμβων

Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

μήκος

διαδρομής

Λυμένος

κόμβος


ελάχιστης

διαδρομής

Λ=1,2,3+(52) 2-5 5 52 5

2-6 6

3-5 9

3-4 7

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 5 με ελάχιστη απόσταση 5 Km, οπότε το

σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 21, 31, 52 (ο δείκτης 2 δηλώνει τον κόμβο προέλευσης δηλ. ο

κόμβος 5 προσεγγίζεται από τον κόμβο 2).

Πίνακας 4


κόμβων

Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

μήκος

διαδρομής

Λυμένος

κόμβος


ελάχιστης

διαδρομής

Λ=1,2,3,5+(62 2-6 6 62 6

5-6 7

5-7 11

5-8 10

5-4 9

3-4 7


των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 21, 31, 52, 62.

Πίνακας 5


κόμβων

Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

μήκος

διαδρομής

Λυμένος

κόμβος


ελάχιστης

διαδρομής

Λ=1,2,3,5,6+(43) 5-7 11

5-8 10

6-7 11

5-4 9

3-4 7 43 7

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 4 με ελάχιστη απόσταση 7 Km χιλιόμετρα

οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 21, 31, 52, 62, 43

Πίνακας 6


κόμβων

Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

μήκος

διαδρομής

Λυμένος

κόμβος


ελάχιστης

διαδρομής

Λ=1,2,3,5,6,4+(85) 5-7 11

5-8 10 85 10

6-7 11

4-8 11

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 8 με ελάχιστη απόσταση 10 Km οπότε το

σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 21, 31, 52, 62, 43, 85

Πίνακας 7

Σύνολο μονίμων κόμβων Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

μήκος

διαδρομής

Λυμένος

κόμβος

Συνολικό

μήκος

ελάχιστης

διαδρομής

Λ=1,2,3,5,6,4,8+(75) 5-7 11 75 11

6-7 11

8-7 13

8-9 16

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 7 με ελάχιστη απόσταση 11 Km οπότε το

σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 21, 31, 52, 62, 43, 85, 75. Εναλλακτικά το σύνολο των μονίμων

κόμβων γίνεται 1, 21, 31, 52, 62, 43, 85, 76 (δηλ. ο κόμβος 7 προσεγγίζεται από τον κόμβο 6).

Πίνακας 8

Σύνολο μονίμων κόμβων Ακμή άμεσα


κόμβου

Προσωρινό

μήκος

διαδρομής

Λυμένος

κόμβος

Συνολικό

μήκος

ελάχιστης

διαδρομής

Λ=1,2,3,5,6,4,8,7+(98) 7-9 19

8-9 16 98 16

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 9 με ελάχιστη απόσταση 16Km οπότε το

σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 21, 31, 52, 62, 43, 85, 75, 98

Έγινε μόνιμος και ο τελευταίος κόμβος (9) οπότε η διαδικασία ολοκληρώνεται.

Συμπέρασμα:

Το ελάχιστο μήκος διαδρομής είναι 16 χιλιόμετρα. Για να βρούμε το βέλτιστο μονοπάτι ελέγχουμε

οπισθοδρομικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόμβο 9 ο οποίος μας παραπέμπει στον κόμβο 8. Από

τον κόμβο 8 οδηγούμαστε στον κόμβο 5, στον κόμβο 2, και από εκεί στην αφετηρία 1. Κατά συνέπεια

υπάρχει μία άριστη (συντομότερη) διαδρομή, με μήκος 16 χιλιόμετρα, και είναι η 1 2 5 8 9

ΘΕΜΑ 4ο

Απαιτείται ο υπολογισμός της αναμενόμενης διάρκειας εκάστης δραστηριότητας:

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ

A 5

B 7

C 9

D 11

E 3

F 6

G 6

H 8

ερώτημα 1, 2, 3

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΕΝΩΡΙΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΒΡΑΔΥΤΕΡΟΣ ΧΡΟΝΟΣ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ

ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ ΕΝΑΡΞΗΣ ΛΗΞΗΣ

A 0 5 0 5 0

B 5 12 5 12 0

C 5 14 9 18 4

D 12 23 12 23 0

E 14 17 18 21 4

F 14 20 23 29 9

G 23 29 23 29 0

H 17 25 21 29 4

B 5 12 D 12 23 G 23 29

7 5 12 11 12 23 6 23 29

START Α 0 5 E 14 17 H 17 25

FINISH 5 0 5 3 18 21 8 21 29

C 5 14 F 14 20

9 9 18 6 23 29

Κρίσιμη διαδρομή: A – B – D – G

Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 29 εβδομάδες

ερώτημα 4

Η τ.μ. Χ = “Χρόνος Ολοκλήρωσης του Έργου” ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ =

μA + μB + μD + μG = 5 + 7 + 11 + 6 = 29 και διακύμανση σ2 = σ

2A + σ

2B + σ

2D + σ

2G = 1 + 1 + 5.44 +

1.78= 9.22 = 3.0362.

ερώτημα 5

X-29 36-29Prob X 36 Prob Prob Z 2.30567 0.9892

3.036 3.036

ερώτημα 6

X-29 a-29 a-29Prob X a 0.95 Prob 0.95 1.65 a =34

3.036 3.036 3.036

ΣΜΖΜΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ ΦΔΒΡΟΤΑΡΗΟ 2008

ΣΟΜΔΑ ΣΑΣΗΣΗΚΖ, ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΩΝ & ΔΠΗΥΔΗΡΖΗΑΚΖ ΔΡΔΤΝΑ


ΘΔΜΑ 1ο

Ζ βηνηερλία πιαζηηθώλ εηδώλ “Plastic, Inc.” πξέπεη λα δηεθπεξαηώζεη ηελ επόκελε εβδνκάδα παξαγγειίεο 2000, 500 θαη

1200 ηεκαρίσλ γηα ηα ηξία κεγέζε πιαζηηθώλ ιεθαλώλ A, B θαη C (αληίζηνηρα) πνπ θαηαζθεπάδεη. Ζ Plastic δηαζέηεη ηξεηο

κεραλέο, ε θάζε κία εθ ησλ νπνίσλ έρεη ηε δπλαηόηεηα λα παξάγεη νπνηνδήπνηε από ηα ηξία πξντόληα κε ηνλ ίδην ξπζκό.

Δπεηδή όκσο παξαηεξείηαη δηαθνξά ζηνλ αξηζκό ησλ ειαηησκαηηθώλ ηεκαρίσλ αλά πξντόλ ζηελ θάζε κεραλή, ην ηειηθό

κνλαδηαίν θόζηνο ηνπ θάζε πξντόληνο πνηθίιεη αλάινγα κε ηε κεραλή πνπ θαηαζθεπάδεηαη:

ΠΡΟΪΟΝ

Α Β C

Μεραλή 1 €1.00 €1.20 €0.90

Μεραλή 2 €1.30 €1.40 €1.20

Μεραλή 3 €1.10 €1.00 €1.20

Λακβάλνληαο ππόςε όηη ε εβδνκαδηαία παξαγσγηθή δπλαηόηεηα ησλ ηξηώλ κεραλώλ είλαη αληίζηνηρα 1500, 1500 θαη 1000

ηεκάρηα, βξείηε ηελ παξαγσγηθή δηαδηθαζία κε ην κηθξόηεξν θόζηνο.

ΘΔΜΑ 2ο

Σα πεδνδξόκηα ζην θέληξν κηαο πόιεο πξόθεηηαη λα αλαθαηαζθεπαζηνύλ, πξνθεηκέλνπ πνιίηεο κε θηλεηηθά πξνβιήκαηα λα

έρνπλ εύθνιε πξόζβαζε ζε ζεκεία όπσο, ζηάζεηο ιεσθνξείσλ, δεκνηηθέο/θξαηηθέο ππεξεζίεο, εκπνξηθά θαηαζηήκαηα, θιπ.

ην θαησηέξσ δίθηπν θαίλεηαη ηα ζεκεία πνπ επηιέρηεθαλ (θόκβνη 1, 2, …, 14) λα ζπλδένπλ ηα ππό θαηαζθεπή πεδνδξόκηα

(αθκέο ηνπ δηθηύνπ), θαζώο επίζεο θαη ην κήθνο ηνπ θάζε πεδνδξνκίνπ (ζε κέηξα). Ζ δηαδηθαζία είλαη ηδηαίηεξα δαπαλεξή,

θη έηζη δεηείηε λα ππνινγίζεηε ην ειάρηζην ζπλνιηθό κήθνο ησλ πεδνδξνκίσλ πνπ πξέπεη λα αλαθαηαζθεπαζηνύλ, ζε ηξόπν ώζηε

όια ηα ππνδεηθλπόκελα ζεκεία λα επηθνηλσλνύλ κεηαμύ ηνπο.

ΘΔΜΑ 3ο

Γύν αεξνπνξηθέο εηαηξείεο, ε United θαη ε Alaska εμππεξεηνύλ ην πξσηλό δξνκνιόγην από Αζήλα πξνο Λνλδίλν. Ζ πηήζε

ηεο United αλαρσξεί ζηηο 8:00 πκ. θαη ηεο Alaska ζηηο 8:30 πκ. ηελ παξνύζα ρξνληθή ζηηγκή, ε United κεηαθέξεη ην 60%

ησλ επηβαηώλ θαη ε Alaska ην ππόινηπν 40%. Πξόζθαηα, ε ΤΠΑ έδσζε ην δηθαίσκα θαη ζηηο δύν εηαηξείεο λα επαλα-

πξνζδηνξίζνπλ ηελ ώξα αλαρώξεζεο ησλ δξνκνινγίσλ ηνπο. Δληνύηνηο, ιόγσ ηεο ελ γέλεη ελαέξηαο θπθινθνξίαο, ε United

κπνξεί λα αλαρσξεί κόλνλ αθξηβώο ζηελ όπνηα ώξα απνθαζίζεη, ελώ ε Alaska κόλνλ θαη 30. Ζ νκάδα ζρεδηαζκνύ

δξνκνινγίσλ ηεο United πηζηεύεη όηη, κόλνλ αλαρσξήζεηο ζηηο 7:00, 8:00, 9:00 ή 10:00 πκ. έρνπλ πξαθηηθό λόεκα, θη όηη ε

Alaska ζα δξνκνινγήζεη αλαρώξεζε ζηηο 7:30, 8:30, 9:30 ή 10:30 πκ. Ζ ίδηα νκάδα πξνβιέπεη ηηο θαησηέξσ κεηαβνιέο

ζην κεξίδην αγνξάο εθάζηεο εθ ησλ δύν εηαηξεηώλ, αλάινγα κε ην δξνκνιόγην πνπ ηειηθά πινπνηεζεί:

United Alaska (αλαρώξεζε)

(αλαρώξεζε) 7:30 πκ 8:30 πκ. 9:30 πκ. 10:30 πκ.

7:00 πκ. +1% -2% -4% +4%

8:00 πκ. -5% 0 -3% +3%

9:00 πκ. +4% +4% -3% +6%

10:00 πκ. -3% -2% +5% +3%

Πξνζδηνξίζηε ηε βέιηηζηε ζηξαηεγηθή γηα ηελ United. Πνην είλαη ην αλακελόκελν καθξνπξόζεζκν θέξδνο ηεο ζηελ κεηαθνξά

ησλ επηβαηώλ κεηά ηνλ θαζνξηζκό ηεο λέαο ώξαο αλαρώξεζεο ησλ πηήζεσλ;

ΘΔΜΑ 4ο

Μηα εηαηξεία κεηαθνξάο πεηξειαηνεηδώλ μεθίλεζε πξόζθαηα ηηο επαγγεικαηηθέο ηεο δξαζηεξηόηεηεο κε ηελ αγνξά/δηάζεζε

30 θνξηεγώλ/βπηηνθόξσλ ζε θάζε κία από ηηο ηξεηο πόιεηο Γ1, Γ2, Γ3 πνπ βξίζθνληαη νη απνζήθεο ηεο (ηα δηπιηζηήξηα). Ζ

εηαηξεία ζα ρξεζηκνπνηήζεη ηα θνξηεγά απηά γηα ηηο κεηαθνξέο πεηξειαηνεηδώλ πνπ πξόθεηηαη λα πξαγκαηνπνηήζεη πξνο

ηηο πόιεηο Ε1, Ε2 θαη Ε3 κε θέξδνο ζε ρξεκαηηθέο κνλάδεο σο αθνινύζσο:

ΠΡΟΟΡΗΜΟ

ΑΠΟΘΖΚΔ Ε1 Ε2 Ε3

Γ1 1,800 2,100 1,600

Γ2 1,100 700 900

Γ3 1,400 800 2,200

(είλαη δηαθνξεηηθό ιόγσ ηεο απόζηαζεο, ηνπ θόζηνπο κεηαθνξάο, ησλ δηνδίσλ θιπ.). Λακβάλνληαο ππόςε όηη νη δπλαηόηεηεο

θηινμελίαο ζε αξηζκό θνξηίσλ/θνξηεγώλ πνπ ππάξρνπλ ζηηο πόιεηο Ε1, Ε2, Ε3 είλαη αληίζηνηρα 40, 60 θαη 50, πξνζδηνξίζηε

ην πιήζνο ησλ θνξηεγώλ πνπ πξέπεη λα δξνκνινγεζνύλ ζηελ θάζε δηαδξνκή ώζηε λα κεγηζηνπνηείηαη ην ζπλνιηθό θέξδνο

ηεο εηαηξείαο.

ΘΔΜΑ 5ο

Γύν εηαηξείεο θαξκαθεπηηθώλ θαη παξαθαξκαθεπηηθώλ εηδώλ, ε Upjohn θαη ε Merck, εηνηκάδνληαη λα ιαλζάξνπλ ζηελ

αγνξά έλα λέν πξντόλ γηα ηελ θαηαπνιέκεζε ηεο απώιεηαο ησλ καιιηώλ ζηνπο άληξεο. ηελ παξνύζα ζηηγκή, ε Upjohn

πνπ είλαη πην παιηά εηαηξεία θαηέρεη ην 70% ηεο αγνξάο γηα ηέηνηνπ είδνπο πξντόληα θαη ε Merck ην ππόινηπν 30%. Οη δύν

εηαηξείεο εηνηκάδνπλ ηε πνιηηηθή πξνώζεζεο ηνπ λένπ πξντόληνο ε νπνία ζα βαζίδεηαη ζε επηζθέςεηο θαξκαθεπηηθώλ αληη-

πξνζώπσλ ζε γηαηξνύο, δηαθεκίζεηο ζε ηαηξηθά πεξηνδηθά, δηαθεκίζεηο ζε αληξηθά πεξηνδηθά θαη αζιεηηθέο εθεκεξίδεο, θαη

πξνζθνξέο ζηα ζεκεία πώιεζεο. ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί παξνπζηάδεηαη ε εθηίκεζε ησλ νηθνλνκηθώλ ζπκβνύισλ ηεο

Merck γηα ηε κεηαβνιή ηνπ κεξηδίνπ αγνξάο, αλάινγα κε ηε ζηξαηεγηθή πνπ ζα αθνινπζήζνπλ νη δύν αληαγσληζηηθέο εηαηξείεο:

Upjohn

Merck

επηζθέςεηο

αληηπξνζώπσλ ζε γηαηξνύο

δηαθεκίζεηο

ζε ηαηξηθά πεξηνδηθά


ζε εκπνξηθά έληππα

πξνζθνξέο

επηζθέςεηο

αληηπξνζώπσλ ζε γηαηξνύο +1% -2% +3% -1%


ζε ηαηξηθά πεξηνδηθά -3% +2% +4% +3%


ζε εκπνξηθά έληππα +0.5% -1% +5% -1%

Πξνζδηνξίζηε ηε βέιηηζηε ζηξαηεγηθή γηα ηελ Merck. Πνην είλαη ην αλακελόκελν καθξνπξόζεζκν θέξδνο ηεο ζηελ αγνξά

κεηά ηελ εκθάληζε ησλ λέσλ πξντόλησλ;

ΘΔΜΑ 6ο

Ζ Arnoff Enterprises, κηα εηαηξεία πνπ εηδηθεύεηαη ζηελ θαηαζθεπή ειεθηξνληθώλ θπθισκάησλ ζηαζεξνπνίεζεο, θέξδηζε

έλα ζπκβόιαην γηα ςεθηαθέο θσηνγξαθηθέο κεραλέο. Σα θπθιώκαηα πνπ θαηαζθεπάδνληαη ζε Seattle, Columbus θαη New

York πξέπεη λα κεηαθεξζνύλ ζε απνζήθεο ζε Pittsburgh, Mobile, Denver, Los Angeles θαη Washington γηα πεξαηηέξσ

δηαλνκή. Ο πίλαθαο πνπ αθνινπζεί εκθαλίδεη ην πιήζνο ησλ δηαζέζηκσλ θπθισκάησλ ζε θάζε εξγνζηάζην, ηνλ αξηζκό ησλ

δεηνύκελσλ θπθισκάησλ από ηελ θάζε απνζήθε, θαζώο επίζεο θαη ην κνλαδηαίν θόζηνο κεηαθνξάο ($ αλά ηεκάρην).

Αποθήκη διαθέζιμος αριθμός

Δργοζηάζιο Pittsburgh Mobile Denver Los Angeles Washington κσκλωμάηων

Seattle 10 20 5 9 10 9000

Columbus 2 10 8 30 6 4000

New York 1 20 7 10 4 8000

αιηούμενος αριθμός

κσκλωμάηων 3000 5000 4000 6000 3000

1. Τπνδείμηε ηνλ νηθνλνκηθόηεξν ηξόπν κεηαθνξάο ησλ θπθισκάησλ από ηα εξγνζηάζηα πξνο ηηο απνζήθεο. ε πνην

πνζό αλέξρεηαη ην ζπλνιηθό θόζηνο κεηαθνξάο;

2. Τπνζέζηε όηη ε απνζήθε ζην Pittsburgh αύμεζε ηελ παξαγγειία θαηά 1000 θπθιώκαηα. Ζ Arnoff δήηεζε από ην

εξγνζηάζην ζην Columbus λα απμήζεη αλάινγα ηελ παξαγσγή. ε απηή ηελ πεξίπησζε, ην ζπλνιηθό θόζηνο κεηαθνξάο

απμάλεηαη ή ειαηηώλεηαη θαη θαηά πόζν; Τπνδείμηε ην λέν βέιηηζην ηξόπν κεηαθνξάο ησλ θπθισκάησλ (ρσξίο λα ιύζεηε ην

πξόβιεκα εμ’ αξρήο).

ΘΔΜΑ 7ο

Θεσξήζηε ην PERT δηάγξακκα ηεο επόκελεο ζειίδαο. Τπνζέζηε όηη θάζε δξαζηεξηόηεηα απαηηεί γηα ηελ νινθιήξσζή ηεο

ρξόλν ζύκθσλα κε ηηο πην θάησ πηζαλόηεηεο:

ΓΡΑΣΖΡΗΟΣΖΣΑ ΥΡΟΝΟ (εκέξεο) ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ

A 8 1

B 5 0.5

6 0.5

C 2 0.5

3 0.5

D 5 0.25

6 0.75

E 8 0.75

9 0.25

1. Τπνινγίζηε ηνλ αλακελόκελν ρξόλν πινπνίεζεο εθάζηεο δξαζηεξηόηεηαο. ηε ζπλέρεηα, ρξεζηκνπνηήζηε απηέο ηηο ηηκέο

πξνθεηκέλνπ λα ππνδείμηε ηελ θξίζηκε δηαδξνκή θαη λα ππνινγίζεηε ηνλ αλακελόκελν ρξόλν πινπνίεζεο νιόθιεξνπ

ηνπ έξγνπ.

2. Πνηεο ηηκέο κπνξεί λα πάξεη ν ρξόλνο πινπνίεζεο ηεο θξίζηκεο δηαδξνκήο ηνπ εξσηήκαηνο (1); Τπνινγίζηε ηελ πηζαλόηεηα

γηα θάζε κηα από απηέο ηηο ηηκέο (ζεσξήζηε όηη νη ρξόλνη πινπνίεζεο ησλ δηάθνξσλ δξαζηεξηνηήησλ πνπ ζρεκαηίδνπλ

ην θξίζηκν κνλνπάηη είλαη αλεμάξηεηα κεηαμύ ηνπο γεγνλόηα).

3. Δπαλαιάβαηε γηα ην κνλνπάηη ησλ κε θξίζηκσλ δξαζηεξηνηήησλ.

4. Υξεζηκνπνηήζηε ηηο απαληήζεηο ζηα εξσηήκαηα (2) θαη (3) πξνθεηκέλνπ λα βξείηε ηελ θαηαλνκή πηζαλνηήησλ ηνπ ρξόλνπ

πινπνίεζεο νιόθιεξνπ ηνπ έξγνπ. Πνηα είλαη ε αλακελόκελε ηηκή ηεο θαηαλνκήο; Γηαηί δελ είλαη ίδηα κε απηή πνπ

ππνινγίζαηε ζην εξώηεκα (1);

B D

START A

FINISH

C E

ΘΔΜΑ 8ο

ηνλ πίλαθα πνπ αθνινπζεί, δίλνληαη νη εθηηκήζεηο απνζηάζεσλ ππό θαηαζθεπή δαζηθώλ δξόκσλ ζύλδεζεο 10 δηαζπαξκέλσλ

ζηαζκώλ παξαηήξεζεο θαη πξόιεςεο ππξθαγηώλ ζε ππθλή δαζώδε έθηαζε. Όινη νη δξόκνη είλαη δηπιήο θαηεύζπλζεο, θάηη

πνπ θαίλεηαη άιισζηε θαη από ηα δεδνκέλα. Λακβάλνληαο ππόςε ην γεγνλόο όηη ε ππθλόηεηα ηνπ δάζνπο είλαη νκνηόκνξθε,

βξείηε έλα ηξόπν λα επηθνηλσλνύλ κεηαμύ ηνπο κε ρεξζαία κέζα όινη νη ζηαζκνί, ειαρηζηνπνηώληαο ην ζπλνιηθό πιήζνο

δέληξσλ πνπ ζα πξέπεη λα θνπνύλ.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 18 12 41

2 18 32

3 32 14 13

4 14 15 19

5 15 9 12

6 9 8 11

7 8 14

8 11 14 30 16

9 12 30

10 41 13 19 12 16

ΘΔΜΑ 9ο

Ζ νκάδα κπάζθεη ησλ Άλσ Μνπξηώλ αληηκεησπίδεη ηελ νκάδα ησλ Κάησ Μνπξηώλ. Οη Άλσ Μνπξηέο επηηίζεληαη κε δύν

ηξόπνπο (shuffle θαη overload), ελώ νη Κάησ Μνπξηέο ακύλνληαη κε ηξεηο (zone, man-to-man θαη combination). ηνλ

πίλαθα πνπ αθνινπζεί δίλνληαη νη πόληνη ηνπο νπνίνπο νη ηζύλνληεο ησλ Άλσ Μνπξηώλ εθηηκνύλ όηη ζα ζθνξάξεη ε νκάδα

ηνπο, αλάινγα κε ηνλ ηξόπν πνπ νη ίδηνη ζα επηηίζεληαη ζηελ θάζε άκπλα ησλ Κάησ Μνπξηώλ:

ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ (άκπλα)

(επίζεζε) Zone Man-to-Man Combination

Shuffle 72 60 83

Overload 58 91 72

Υσξίο λα δηαγξάςεηε ηηο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο, λα εθαξκόζεηε ηελ θαηάιιειε κεζνδνινγία ώζηε λα πξνζδηνξίζεηε

ηνλ άξηζην ηξόπν κε ηνλ νπνίν πξέπεη λα παίμνπλ νη δύν νκάδεο. Πόζνπο πόληνπο αλακέλεηαη λα πεηύρεη ε νκάδα ησλ Άλσ

Μνπξηώλ;

ΘΔΜΑ 1ο

Σν ζύζηεκα παξαγσγήο ηεο Plastic κπνξεί λα εηδσζεί σο έλα πξόβιεκα κεηαθνξάο κε ζηαζκνύο παξαγσγήο ηεο

κεραλέο (i = 1, 2, 3), ζηαζκνύο πξννξηζκνύ ηα πξντόληα (j = A, B, C), κεηαβιεηέο xij ην πιήζνο ησλ πξντόλησλ

ηύπνπ j πνπ θαηαζθεπάδνληαη ζηελ i-κεραλή θαη θόζηνο κεηαθνξάο ην αληίζηνηρν θόζηνο θαηαζθεπήο:

min x1A + 1.2x1B + 0.9x1C + 1.3x2A + 1.4x2B + 1.2x2C + 1.1x3A + x3B + 1.2x3C

θάησ από ηνπο πεξηνξηζκνύο:

x1A + x1B + x1C 1500

x2A + x2B + x2C 1500

x3A + x3B + x3C 1000

x1A + x2A + x3A = 2000

x1B + x2B + x3B = 500

x1C + x2C + x3C = 1200

xij ≥ 0

Όκσο, ε δπλακηθόηεηα ηεο παξαγσγήο αλέξρεηαη ζε 4000 ηεκάρηα ελώ ε ζπλνιηθή παξαγγειία είλαη γηα 3700

ηεκάρηα. Δπνκέλσο, πξνθεηκέλνπ λα εθαξκνζηεί ε δηαδηθαζία επίιπζεο, ζα πξέπεη λα πξνζζέζνπκε έλα αθόκε

πξντόλ D κε δήηεζε 4000 – 3700 = 300 ηεκαρίσλ θαη θόζηνο Μ>>>0. Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Vogel γηα ηελ

εύξεζε κηαο αξρηθήο βαζηθήο εθηθηήο ιύζεο ηνπ πξνβιήκαηνο, παίξλνπκε σο ηέηνηα ηελ:

0.20 0 0.10 0.20 0 0.10 0.20 0 0.10 0.20 0.30 0 Προσυορά

0.20

0.10

1.00

300

1.20 0.90

1200

M

1500

300

0

(M-1.30)

0.10

0.10

0.10

1.30

1200

1.40 1.20

M

300

1500

1500

1500

1500

(M-1.10)

0.10

0.10

0.20

1.10

500

1.00

500

1.20

M

0

1000

1000

1000

500

Ζήτηση 2000 2000 1700 1700

500 500 500

0

1200 0

300 300 300 300

Ζ ιύζε απηή έρεη 6 ζεηηθέο ζπληζηώζεο θαη ζπλεπώο είλαη κε εθθπιηζκέλε. Βξίζθνληαο ηα δπλακηθά ui, vj θαη


ιύζε απηή είλαη ε βέιηηζηε (δij 0 i, j) θαη ζπλεπάγεηαη θόζηνο παξαγσγήο ηεο ηάμεο ησλ €3990. εκεηώζηε

ηέινο ηελ ύπαξμε ελαιιαθηηθώλ βέιηηζησλ ιύζεσλ (δ23 = 0).

v

u

1.00 0.90 0.90 -0.30

0

1.00

300

-0.30 1.20 0.90

1200

-0.30 Μ

1500

0.30

1.30

1200

-0.20 1.40 0 1.20

Μ

300

1500

0.10

1.10

500

1.00

500

-0.20 1.20

-0.20 Μ

1000

2000 500 1200 300

Καηά ζπλέπεηα ε βέιηηζηε παξαγσγηθή δηαδηθαζία έρεη σο εμήο:

Βέιηηζηε Λύζε Σεκάρηα Κόζηνο

1 - A 300 300

1 - C 1200 1080

2 - A 1200 1560

3 - A 500 550

3 - B 500 500

ΤΝΟΛΟ: €3990

(ελώ παξακέλεη αλεθκεηάιιεπηε δπλαηόηεηα παξαγσγήο 300 ηεκαρίσλ ζηε κεραλή 2).

ΘΔΜΑ 2ο

Πξόθεηηαη γηα πξόβιεκα εύξεζεο ηνπ ειάρηζηνπ δεπγλύνληνο δέληξνπ.

Ξεθηλάκε απζαίξεηα από νπνηνδήπνηε θόκβν, έζησ ηνλ θόκβν 1. πλδένπκε ηνλ πιένλ θνληηλό ηνπ,

πνπ είλαη ν θόκβνο 4, κέζσ ηεο αθκήο 1-4 κε κήθνο 107. Οη θόκβνη 1, 4 είλαη ζπλδεδεκέλνη. Ο

πιεζηέζηεξνο κε ζπλδεδεκέλνο θόκβνο ζηνπο 1, 4 είλαη ν θόκβνο 6 κε ηελ αθκή 4-6 κήθνπο 76.

Έηζη, ζπλδεδεκέλνη είλαη ηώξα νη θόκβνη 1, 4, 6. Ο επόκελνο πιεζηέζηεξνο θόκβνο είλαη ν θόκβνο 3

κε ηελ αθκή 6-3 κήθνπο 63, νπόηε ζπλδεδεκέλνη είλαη ηώξα νη θόκβνη 1, 4, 6, 3. Ο πιεζηέζηεξνο

ζηνπο ζπλδεδεκέλνπο είλαη ν θόκβνο 9 κε ηελ αθκή 6-9 κήθνπο 67. Σν ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ

θόκβσλ είλαη ηώξα 1, 4, 6, 3, 9. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 11 κε ηνλ θόκβν 9 κέζσ ηεο αθκήο 9-

11 κήθνπο 73, νπόηε ην ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ην 1, 4, 6, 3, 9, 11. Ο επόκελνο

θόκβνο πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 10 κε ηνλ θόκβν 9 κέζσ ηεο αθκήο 9-10 κε κήθνο 84. Σν ζύλνιν

ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ γίλεηαη 1, 4, 6, 3, 9, 11, 10. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 12 κε ηνλ

θόκβν 10 κε ηελ αθκή 10-11 κήθνπο 61, νπόηε ην ζύλνιν γίλεηαη 1, 4, 6, 3, 9, 11, 10, 12. Ο επόκελνο

θόκβνο πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 14 κε ηνλ θόκβν 12 κέζσ ηεο αθκήο 12-14 κε κήθνο 82. Σν

ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ γίλεηαη 1, 4, 6, 3, 9, 11, 10, 12, 14. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο

13 κε ηνλ θόκβν 10 κέζσ ηεο αθκήο 10-13 κήθνπο 88, νπόηε ην ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ

είλαη ην 1, 4, 6, 3, 9, 11, 10, 12, 14, 13. Ο επόκελνο θόκβνο πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 7 κε ηνλ

θόκβν 10 κέζσ ηεο αθκήο 10-7 κε κήθνο 92. Σν ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ γίλεηαη 1, 4, 6, 3,

9, 11, 10, 12, 14, 13, 7. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 8 κε ηνλ θόκβν 9 κέζσ ηεο αθκήο 9-8 κήθνπο

95, νπόηε ην ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ην 1, 4, 6, 3, 9, 11, 10, 12, 14, 13, 7, 8. Ο

επόκελνο θόκβνο πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 5 κε ηνλ θόκβν 8 κέζσ ηεο αθκήο 8-5 κε κήθνο 86,

νπόηε ην ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ην 1, 4, 6, 3, 9, 11, 10, 12, 14, 13, 7, 8, 5. Σειεπηαίνο

ζπλδέεηαη ν θόκβνο 2 κε ηελ αθκή 1-2 κήθνπο 112. Σν άζξνηζκα ησλ αθκώλ πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ

είλαη 1086 θαη είλαη ην ειάρηζην ζπλνιηθό.

ΘΔΜΑ 3ο

Έρνπκε έλα παίγλην δύν παηθηώλ ζηαζεξνύ αζξνίζκαηνο όπνπ ην άζξνηζκα είλαη ην πνζνζηό 100% ην

νπνίν νη παίθηεο κνηξάδνληαη. Ζ ζηξαηεγηθή Β4 είλαη ππνδεέζηεξε (ηεο Β1 θαη Β2) θαη δηαγξάθεηαη.

Οκνίσο, ππνδεέζηεξεο είλαη θαη νη ζηξαηεγηθέο Α1, Α2 (ηεο Α3) νπόηε δηαγξάθνληαη θη απηέο. Γηα ηελ

εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ minmax/maximin ππνινγίδνπκε ηα ειάρηζηα ησλ γξακκώλ θαη ηα κέγηζηα

ησλ ζηειώλ ζηνλ αθόινπζν πίλαθα δηάζηαζεο 23, όπνπ δελ ππάξρνπλ άιιεο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο:


Α3 4 4 -3 -3 -3

Α4 -3 -2 5 -3

Col Max 4 4 5

Minimax 4 4≠-3

Όπσο βιέπνπκε, νη ακηγείο ζηξαηεγηθέο δελ νδεγνύλ ζε ζεκείν ηζνξξνπίαο αθνύ ε ηηκή Maximin (-3)

είλαη δηαθνξεηηθή από ηε Minimax ηηκή (4).Άξα ζα πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ην ζεκείν ηζνξξνπίαο κε ηε

βνήζεηα κηθηώλ ζηξαηεγηθώλ. Σν παίγλην είλαη δηάζηαζεο 23 νπόηε εθαξκόδνπκε γξαθηθή δηαδηθαζία

επίιπζεο.

Δπεηδή ε United επηιέγεη ην κέγηζην από ηα ειάρηζηα πξνζδνθώκελα θέξδε, ζα θαζνξίζεη ηε ζηξαηεγηθή

ηεο ζε ηξόπν ώζηε λα βξεζεί ζην ζεκείν Κ (ζεκείν maximin) ην νπνίν είλαη ην πςειόηεξν ζεκείν ηνπ

ρακειόηεξνπ ηεζιαζκέλνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο. ηνλ θαζνξηζκό ηνπ ζεκείνπ Κ δελ ζπκκεηέρεη ε

ζηξαηεγηθή Β2 ε νπνία θαη απνξξίπηεηαη. Έηζη πξνθύπηεη ην εμήο παίγλην δηάζηαζεο 22:

y 1 y

Β1 Β3

x Α3 4 -3

1 x Α4 -3 5

Αο νλνκάζνπκε x ηελ πηζαλόηεηα ν παίθηεο Α (ε United) λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Α3, νπόηε (1-x)

είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηελ Α4. Οκνίσο, έζησ y ε πηζαλόηεηα ν Β (ε Alaska) λα αθνινπζήζεη

ηε ζηξαηεγηθή Β1, νπόηε (1-y) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Β3. Έηζη, έρνπκε

Δηαηξεία United

V(United, B1) = 4 3(1 ) 7 3x x x

V(United, B3) = 3 5(1 ) 8 5x x x

Θέηνληαο V(United, B1) = V(United, B3) έρνπκε

7 3x = 8 5x

80.53

15

71

15

x

x

Ζ αμία ηνπ παηγλίνπ βξίζθεηαη κε αληηθαηάζηαζε ηεο ηηκήο 8

15x , είηε ζηε V(United, B1), είηε ζηε

V(United, B3) θαη είλαη ίζε κε 11

0.73.15

V

Δηαηξεία Alaska

V(Alaska, A3) = 4 3*(1 ) 7 3y y y

V(Alaska, A4) = 3 5(1 ) 8 5y y y

Θέηνληαο V(Alaska, A3) = V(Alaska, A4) βξίζθνπκε:

8

15

71

15

y

y

κε ηηκή παηγλίνπ 11

.15

V

σνοψίζονηας, ην απνηέιεζκα είλαη ην εμήο :

Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηελ United: 8 7

0 015 15

Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηελ Alaska: 8 7

0 015 15

Σηκή ηνπ παηγλίνπ 11

0.73.15

V Ζ United καθξνπξόζεζκα αλακέλεηαη λα απμήζεη ην κεξίδην

αγνξάο ηεο θαηά 0.73%.

ΘΔΜΑ 4ο

Οξίδνληαο σο xij ην πιήζνο ησλ θνξηεγώλ πνπ ζα δξνκνινγεζνύλ από ηελ απνζήθε Γi πξνο ηελ πόιε Εj έρνπκε

πξνο επίιπζε έλα πξόβιεκα κεηαθνξάο ζην νπνίν ε αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε είλαη ζπλάξηεζε κεγηζηνπνίεζεο

θη όρη ειαρηζηνπνίεζεο. Γηα ην ιόγν απηό ζεσξνύκε ζηα tableau όηη είλαη ijij cc . Δπηπιένλ, επεηδή

j

j

i

i ds 15090 ζα πξέπεη λα πξνζηεζεί έλαο ππνζεηηθόο ζηαζκόο πξνέιεπζεο κε πξνζθνξά ίζε κε

150 90 = 60 θνξηεγά. Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Vogel γηα ηελ εύξεζε κηαο αξρηθήο βαζηθήο εθηθηήο

ιύζεο ηνπ πξνβιήκαηνο, παίξλνπκε σο ηέηνηα ηελ:

1000 700 900 400 100 1,300 400 1,300 600 Προσυορά

300

-1,800

-2,100

30

-1,600

30

0

200

200

200

-1,100

30

-700

-900

30

30

30

0

800

800

-1,400

-800

-2,200

30

30

30

0

0

0

0

0

10

0

30

0

20

60

60

60

60

Ζήτηση 40 40 40 10

60 30 30 30

50 50 20 20



ιύζε απηή είλαη ε βέιηηζηε (δij 0 i, j) θαη ζπλεπάγεηαη ζπλνιηθό θέξδνο ηεο ηάμεο ησλ -(-162,000) =

162,000 ρξεκαηηθώλ κνλάδσλ.

εκεηώζηε ηέινο ην γεγνλόο όηη ην πξόβιεκα ζα κπνξνύζε λα ιπζεί θαη απεπζείαο σο πξόβιεκα κεγηζηνπνίεζεο

(ρσξίο ην κεηαζρεκαηηζκό ijij cc ) αιιάδνληαο απιά ηνλ ηξόπν ππνινγηζκνύ ησλ πνζνηήησλ δij ζε δij = cij -

ui - vj.

v

u

-2,100 -2,100 -2,100

0

-300 -1,800

-2,100

30

-500 -1,600

30

1,000

-1,100

30

-400 -700

-200 -900

30

-100

-800 -1,400

-1,400 -800

-2,200

30

30

2,100

0

10

0

30

0

20

60

40 60 50

ΘΔΜΑ 5ο

Έρνπκε έλα παίγλην δύν παηθηώλ ζηαζεξνύ αζξνίζκαηνο όπνπ ην άζξνηζκα είλαη ην πνζνζηό 100% ην

νπνίν νη παίθηεο κνηξάδνληαη. Οη ζηξαηεγηθέο Β3 θαη Β4 είλαη ππνδεέζηεξεο ησλ Β1 θαη Β2 αληίζηνηρα

θαη δηαγξάθνληαη. Δθαξκόδνληαο ην θξηηήξην minmax/maximin ππνινγίδνπκε ηα ειάρηζηα ησλ γξακκώλ

θαη ηα κέγηζηα ησλ ζηειώλ ζηνλ αθόινπζν πίλαθα δηάζηαζεο 32, όπνπ δελ ππάξρνπλ άιιεο ππνδεέζηεξεο

ζηξαηεγηθέο:

Β1 Β2 Row Min Maximin

Α1 1 -2 -2

Α2 -3 2 -3

Α3 0.5 -1 -1 -1

Col Max 1 2

Minimax 1 1≠-1

Όπσο βιέπνπκε, νη ακηγείο ζηξαηεγηθέο δελ νδεγνύλ ζε ζεκείν ηζνξξνπίαο αθνύ ε ηηκή Maximin (-1)

είλαη δηαθνξεηηθή από ηε Minimax ηηκή (1).Άξα ζα πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ην ζεκείν ηζνξξνπίαο κε ηε

βνήζεηα κηθηώλ ζηξαηεγηθώλ. Σν παίγλην είλαη δηάζηαζεο 32 νπόηε εθαξκόδνπκε γξαθηθή δηαδηθαζία

επίιπζεο.

Δπεηδή ν παίθηεο Β (ε εηαηξεία Upjohn) επηιέγεη minimax ζηξαηεγηθή, απηό ζεκαίλεη όηη επηιέγεη ην

ειάρηζην από ηα κέγηζηα. Άξα ζα αθνινπζήζεη ηελ ηεζιαζκέλε γξακκή πνπ βξίζθεηαη ζηελ αλώηεξε

πεξηνρή ηνπ ζρήκαηνο θαη ε νπνία παξνπζηάδεηαη κε έληνλεο γξακκέο. Δπάλσ ζ’ απηήλ, ζα επηιέμεη ην

ρακειόηεξν (minimax) ζεκείν δειαδή ην ζεκείν Κ, όπσο ζεκεηώλεηαη. Ωο εθ ηνύηνπ, ε ζηξαηεγηθή

A1 από ηελ πιεπξά ηνπ παίθηε A (εηαηξεία Merck) απνξξίπηεηαη αθνύ δελ ζπκκεηέρεη ζηνλ θαζνξηζκό

ηνπ minimax ζεκείνπ Κ θαη ε δηάζηαζε ηνπ πξνβιήκαηνο γίλεηαη 2x2 κε ηνλ αθόινπζν πίλαθα

πιεξσκώλ

y 1 y

Β1 Β2

x Α2 -3 2

1 x Α3 0.5 -1

Αο νλνκάζνπκε x ηελ πηζαλόηεηα ν παίθηεο Α (ε Merck) λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Α2, νπόηε (1-x)

είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηελ Α3. Οκνίσο, έζησ y ε πηζαλόηεηα ν Β (ε Upjohn) λα αθνινπζήζεη

ηε ζηξαηεγηθή Β1, νπόηε (1-y) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Β2. Έηζη, έρνπκε

Δηαηξεία Merck

V(Merck, B1) = 3 0.5(1 )x x

V(Merck, B2) = 2 1(1 )x x

Θέηνληαο V(Merck, B1) = V(Merck, B2) έρνπκε

3 0.5(1 )x x = 2 1(1 )x x 6.5 1.5x

150.2307

65

501 0.7693

65

x

x


65x , είηε ζηε V(Merck, B1), είηε ζηε

V(Merck, B2) θαη είλαη ίζε κε 20

0.30745.65

V

Δηαηξεία Upjohn

V(Upjohn, A2) = 3 2(1 )y y

V(Upjohn, A3) = 0.5 1(1 )y y

Θέηνληαο V(Upjohn, A2) = V(Upjohn, A3) βξίζθνπκε:

300.4615

65

351 0.5385

65

y

y

κε ηηκή παηγλίνπ 0.30745.V


Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηελ Merck: 15 50

065 65

Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηελ Upjohn: 30 35

0 065 65


0.30745.65

V Ζ Merck καθξνπξόζεζκα αλακέλεηαη λα κεηώζεη ην

κεξίδην αγνξάο ηεο θαηά 0.30745%.

ΘΔΜΑ 6ο

1. Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Vogel γηα ηελ εύξεζε κηαο αξρηθήο βαζηθήο εθηθηήο ιύζεο ηνπ πξνβιήκαηνο,

παίξλνπκε σο ηέηνηα ηελ:

0 1 0 2 1 0 2 1 6 9 0 2 1 6 1 10 2 1 2 Προσυορά

11

4

4

4

4

10

20 5

4000

9

5000

10

9000

9000

9000

9000

5000

4

2

10

4000

8 30

6

4000

0

10

3

3

3

3

1

3000

20

1000

7 10

1000

4

3000

8000

8000

5000

2000

2000

Ζήτηση 3000 3000

0

5000 1000 1000 1000 1000

4000 4000 4000 4000

0

6000 6000 6000 6000 6000

3000 3000 3000

0



ιύζε απηή είλαη ε βέιηηζηε (δij 0 i, j) θαη ζπλεπάγεηαη θόζηνο κεηαθνξάο ηεο ηάμεο ησλ €150,000.

v

u

0 19 5 9 3

0

-10 10

-1 20 5

4000

9

5000

-7 10

9000

-9

-11 2

10

4000

-12 8

-30 30

-12 6

4000

1

1

3000

20

1000

-1 7

10

1000

4

3000

8000

3000 5000 4000 6000 3000

2. Σν θειί (2, 1) δελ είλαη βαζηθό. Δπνκέλσο ζα πξέπεη λα μεθηλήζνπκε κηα αλαπξνζαξκνγή +1000 ζε έλα

από ηα βαζηθά θειηά ηεο 2εο

γξακκήο θαη λα ηειεηώζνπκε κε +1000 ζε έλα από ηα βαζηθά θειηά ηεο 1εο

ζηήιεο.

10

20 5

4000

9

5000

10

9000

2

10

4000+1000

8

30

6

4000+1000

1

3000+1000

20

1000-1000

7

10

1000

4

3000

8000

3000+1000 5000 4000 6000 3000

Ζ λέα ιύζε είλαη εθηθηή, επνκέλσο ζα είλαη θαη άξηζηε. Σν λέν θόζηνο κεηαθνξάο αλέξρεηαη ζε €141,000, είλαη

δειαδή κηθξόηεξν ηνπ αξρηθνύ.

ΘΔΜΑ 7ο

1.

ΓΡΑΣΖΡΗΟΣΖΣΑ ΥΡΟΝΟ (εκέξεο) ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ ΑΝΑΜΔΝΟΜΔΝΖ ΣΗΜΖ

A 8 1 8

B 5 0.5 5×0.5 + 6×0.5 = 5.50

6 0.5

C 2 0.5 2×0.5 + 3×0.5 = 2.50

3 0.5

D 5 0.25 5×0.25 + 6×0.75 = 5.75

6 0.75

E 8 0.75 8×0.75 + 9×0.25 = 8.25

9 0.25

Δπνκέλσο

B 8 13.5 D 13.5 19.25

5.5 8 13.5 5.75 13.5 19.25

START A 0 8

FINISH 8 0 8

C 8 10.5 E 10.5 18.75

2.5 8.5 11 8.25 11 19.25

Κξίζηκν κνλνπάηη ην A – B – D κε αλακελόκελε δηάξθεηα 19.25 εκέξεο.

2. Κρίζιμο Μονοπάηι A – B – D

ΥΡΟΝΟΗ ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ

a-8, b-5, d-5 18 0.5×0.25 = 0.125 0.125

a-8, b-5, d-6 19

0.5×0.75 = 0.375 0.500

a-8, b-6, d-5 0.5×0.25 = 0.125

a-8, b-6, d-6 20 0.5×0.75 = 0.375 0.375

1.000

3. Μη Κρίζιμες Γιαδρομές C – E

ΥΡΟΝΟΗ ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ

c-2, e-8 18 0.5×0.75 = 0.375 0.375

c-2, e-9 19

0.5×0.25 = 0.125 0.500

c-3, e-8 0.5×0.75 = 0.375

c-3, e-9 20 0.5×0.25 = 0.125 0.125

1.000

4. Έρνπκε βξεη ηηο πεξηζώξηεο θαηαλνκέο θαη αλαδεηνύκε ηελ από θνηλνύ ζπλάξηεζε πηζαλόηεηαο

ησλ (δηαθξηηώλ) η.κ. διαδρομή A – B – D θαη διαδρομή C – E. Οη ρξόλνη θάζε δξαζηεξηόηεηαο

είλαη αλεμάξηεηνη κεηαμύ ηνπο θη άξα θαη νη ρξόλνη πινπνίεζεο ησλ δύν δηαδξνκώλ (κνλνπαηηώλ)

ζα είλαη επίζεο αλεμάξηεηνη. Δπνκέλσο κπνξνύκε λα ηηο πνιιαπιαζηάζνπκε πξνθεηκέλνπ λα βξνύκε

ηελ από θνηλνύ πηζαλόηεηα:

A-B-D

18 19 20

18 0.046875 0.187500 0.140625 0.375

C-E 19 0.062500 0.250000 0.187500 0.500

20 0.015625 0.062500 0.046875 0.125

0.125 0.500 0.375 1.000

Οπόηε

ΥΡΟΝΟ ΤΛΟΠΟΗΖΖ ΔΡΓΟΤ ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ ΥΡΟΝΟ × ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΑ

18 0.046875 0.84375

19 0.0625 + 0.1875 + 0.25 = 0.5 9.50000

20 0.015625 + 0.0625 +

0.140625 + 0.1875 + 0.046875 = 0.453125 9.06250

19.40625

Ζ αλακελόκελε ηηκή 19.40625 ηνπ ρξόλνπ πινπνίεζεο ηνπ έξγνπ είλαη κεγαιύηεξε ηεο ηηκήο πνπ

έδσζε ε κεζνδνινγία PERT (ε νπνία γεληθόηεξα ππνεθηηκά ηνλ πξαγκαηηθό αλακελόκελν ρξόλν).

ΘΔΜΑ 8ο

Πξόθεηηαη γηα πξόβιεκα εύξεζεο ηνπ ειάρηζηνπ δεπγλύνληνο δέληξνπ.

Ξεθηλάκε απζαίξεηα από νπνηνδήπνηε θόκβν, έζησ ηνλ θόκβν 1. πλδένπκε ηνλ πιένλ θνληηλό ηνπ,

πνπ είλαη ν θόκβνο 9, κέζσ ηεο αθκήο 1-9 κε κήθνο 12. Οη θόκβνη 1, 9 είλαη ζπλδεδεκέλνη. Ο

πιεζηέζηεξνο κε ζπλδεδεκέλνο θόκβνο ζηνπο 1, 9 είλαη ν θόκβνο 2 κε ηελ αθκή 1-2 κήθνπο 18.

Έηζη, ζπλδεδεκέλνη είλαη ηώξα νη θόκβνη 1, 9, 2. Ο επόκελνο πιεζηέζηεξνο θόκβνο είλαη ν θόκβνο 8

κε ηελ αθκή 9-8 κήθνπο 30, νπόηε ζπλδεδεκέλνη είλαη ηώξα νη θόκβνη 1, 9, 2, 8. Ο πιεζηέζηεξνο

ζηνπο ζπλδεδεκέλνπο είλαη ν θόκβνο 6 κε ηελ αθκή 8-6 κήθνπο 11. Σν ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ

θόκβσλ είλαη ηώξα 1, 9, 2, 8, 6. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 7 κε ηνλ θόκβν 6 κέζσ ηεο αθκήο 6-7

κήθνπο 8, νπόηε ην ζύλνιν ησλ ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ είλαη ην 1, 9, 2, 8, 6, 7. Ο επόκελνο θόκβνο

πνπ ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 5 κε ηνλ θόκβν 6 κέζσ ηεο αθκήο 6-5 κε κήθνο 9. Σν ζύλνιν ησλ

ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ γίλεηαη 1, 9, 2, 8, 6, 7, 5. Δπόκελνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 10 κε ηνλ θόκβν 5 κε

ηελ αθκή 5-10 κήθνπο 12, νπόηε ην ζύλνιν γίλεηαη 1, 9, 2, 8, 6, 7, 5, 10. Ο επόκελνο θόκβνο πνπ

ζπλδέεηαη είλαη ν θόκβνο 3 κε ηνλ θόκβν 10 κέζσ ηεο αθκήο 10-3 κε κήθνο 13. Σν ζύλνιν ησλ

ζπλδεδεκέλσλ θόκβσλ γίλεηαη , 9, 2, 8, 6, 7, 5, 10, 3. Σειεπηαίνο ζπλδέεηαη ν θόκβνο 4 κε ηελ αθκή

4-3 κήθνπο 14. Σν άζξνηζκα ησλ αθκώλ πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ είλαη 127 θαη είλαη ην ειάρηζην

ζπλνιηθό.

ΘΔΜΑ 9ο

Έρνπκε έλα παίγλην δύν παηθηώλ κεδεληθνύ αζξνίζκαηνο. Γηα ηελ εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ minmax

ππνινγίδνπκε ηα ειάρηζηα ησλ γξακκώλ θαη ηα κέγηζηα ησλ ζηειώλ ζηνλ πίλαθα ακνηβώλ, όπσο απηόο

δόζεθε:


Α1 72 60 84 60 60

Α2 58 91 72 58

Col Max 72 91 84

Minimax 72 72≠60

Οη ακηγείο ζηξαηεγηθέο δελ νδεγνύλ ζε ζεκείν ηζνξξνπίαο αθνύ ε ηηκή Maximin (60) είλαη δηαθνξεηηθή

από ηε Minimax ηηκή (72).Άξα ζα πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ην ζεκείν ηζνξξνπίαο κε ηε βνήζεηα κηθηώλ

ζηξαηεγηθώλ. Σν παίγλην είλαη δηάζηαζεο 23 νπόηε εθαξκόδνπκε γξαθηθή δηαδηθαζία επίιπζεο.

Δπεηδή νη ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ επηιέγνπλ ην κέγηζην από ηα ειάρηζηα πξνζδνθώκελα θέξδε, ζα θαζνξίζνπλ

ηε ζηξαηεγηθή ηεο ζε ηξόπν ώζηε λα βξεζεί ζην ζεκείν Κ (ζεκείν maximin) ην νπνίν είλαη ην

πςειόηεξν ζεκείν ηνπ ρακειόηεξνπ ηεζιαζκέλνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο. ηνλ θαζνξηζκό ηνπ

ζεκείνπ Κ δελ ζπκκεηέρεη ε ζηξαηεγηθή Β3 ε νπνία θαη απνξξίπηεηαη. Έηζη πξνθύπηεη ην εμήο παίγλην

δηάζηαζεο 22:

y 1 y

Β1 Β2

x Α1 72 60

1 x Α2 58 91

Αο νλνκάζνπκε x ηελ πηζαλόηεηα ν παίθηεο Α (ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ) λα αθνινπζήζνπλ ηε ζηξαηεγηθή Α1,

νπόηε (1-x) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζνπλ ηελ Α2. Οκνίσο, έζησ y ε πηζαλόηεηα ν Β (ΚΑΣΩ

ΜΟΤΡΗΔ) λα αθνινπζήζνπλ ηε ζηξαηεγηθή Β1, νπόηε (1-y) είλαη ε πηζαλόηεηα λα αθνινπζήζνπλ ηε

ζηξαηεγηθή Β2. Έηζη, έρνπκε

ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ

V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B1) = 72 58(1 ) 14 58x x x

V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B2) = 60 91(1 ) 31 91x x x

Κ

Θέηνληαο V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B1) = V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B2) έρνπκε

14 58x = 31 91x

110.73

15

41

15

x

x


15x , είηε ζηε V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B1),

είηε ζηε V(ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ, B2) θαη είλαη ίζε κε 1024

68.27.15

V

ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ

V(ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ, A1) = 72 60*(1 ) 12 60y y y

V(ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ, A2) =58 91(1 ) 33 91y y y

Θέηνληαο V(ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ, A1) = V(ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ, A2) βξίζθνπκε:

310.689

45

141

45

y

y


Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηηο ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ: 11 4

15 15

Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηελ ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ: 31 14

045 45


68.27.15

V Οη ΑΝΩ ΜΟΤΡΗΔ καθξνπξόζεζκα αλακέλεηαη λα

πεηπραίλνπλ 68.27 πόληνπο ζε θάζε αλακέηξεζε κε ηηο ΚΑΣΩ ΜΟΤΡΗΔ.

1

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΠ ΙΧΕ Ι ΡΗΣ ΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΜΑ 1ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων για τη σύνδεση των πόλεων που βλέπετε στο ακόλουθο δίκτυο (οι αριθμοί στις ακμές είναι αποστάσεις σε μίλια). Υπάρχουν δύο προτάσεις υπό μελέτη οι οποίες στηρίζονται στο σχέδιο του κατωτέρω σχήματος στο οποίο φαίνονται όλες οι δυνατές χαράξεις: a. Να κατασκευαστούν αυτοκινητόδρομοι ταχείας κυκλοφορίας που να διασύνδεουνε με βέλτιστο τρόπο όλες τις πόλεις

της περιοχής (κόμβοι 1 – 10), και b. Να κατασκευαστεί κλειστός αυτοκινητόδρομος υπερταχείας κυκλοφορίας που να συνδέει με βέλτιστο τρόπο την πόλη

1 με την πόλη 10 (χωρίς απαραίτητα να περνάει απ’ όλες τις άλλες πόλεις).

Σημειώστε, ότι κάθε μίλι αυτοκινητόδρομου ταχείας κυκλοφορίας κοστίζει 5 (εκατομμύρια ευρώ), ενώ κάθε μίλι κλειστού αυτοκινητόδρομου υπερταχείας κυκλοφορίας κοστίζει 7 (εκατομμύρια ευρώ). Αν και πρέπει να ληφθούν υπόψη και άλλοι παράγοντες, ας υποθέσουμε ότι το κόστος είναι το σημαντικότερο στοιχείο για τη λήψη της τελικής απόφασης, ποια πρόταση θα υιοθετούσατε από τις δύο προτεινόμενες; ΘΕΜΑ 2ο Μια βιομηχανία χημικών προϊόντων παράγει, στα δύο εργοστάσιά της, ένα εξειδικευμένο διάλυμα το οποίο χρησιμοποιείται για την εμφάνιση φωτογραφιών. Λόγω όμως εσφαλμένου προγραμματισμού, η επιχείρηση αναμένεται να αντιμετωπίσει ένα αρκετά σοβαρό πρόβλημα έλλειψης προϊόντος κατά το τρέχον τρίμηνο, επειδή έχει ήδη δεχτεί, από τέσσερις βασικούς της πελάτες, παραγγελίες που ξεπερνούν τη συνολική παραγωγική της δυναμικότητα. Έτσι, θέλει κατ' αρχή να αντιμετωπίσει το πρόβλημα «πόση ποσότητα θα αποστείλει σε κάθε πελάτη» και ταυτόχρονα να αποφασίσει «ποιον ή ποιους θα αφήσει ανικανοποίητους και σε πιο βαθμό». Στον πίνακα που ακολουθεί, βλέπετε το μοναδιαίο κόστος παραγωγής-συσκευασίας-μεταφοράς (συνολικά), ανά τόνο προϊόντος που παράγεται κι αποστέλλεται από κάθε εργοστάσιο σε κάθε πελάτη (σε χρηματικές μονάδες). Βλέπετε επίσης τις μέγιστες παραγόμενες ποσότητες που μπορεί να διαθέσει μέσα στο τρίμηνο κάθε εργοστάσιο, καθώς και τις απαιτήσεις των πελατών, σύμφωνα με τις παραγγελίες.

Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4 Προσφορά

Εργοστάσιο 1 32 34 32 40 5000 Εργοστάσιο 2 34 30 28 38 3000

Ζήτηση 2000 5000 3000 2000 Για κάθε τόνο που δεν αποστέλλεται λόγω αδυναμίας ικανοποίησης της ζήτησης, η επιχείρηση καταβάλλει ένα πρόστιμο σύμφωνα με κάποια ρήτρα που έχει διακανονιστεί με τον πελάτη. Τα πρόστιμα αυτά για κάθε πελάτη (σε χρηματικές μονάδες ανά τόνο ζήτησης που δεν ικανοποιείται) τα βλέπετε στον ακόλουθο πίνακα.

Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4

Πρόστιμο ανικανοποίητης ζήτησης ανά τόνο 2 3 3 2

2

1. Να διαμορφωθεί ο κατάλληλος πίνακας μεταφοράς του προβλήματος και να βρεθεί μια αρχική βασική εφικτή λύση. 2. Συνεχίζοντας από το προηγούμενο ερώτημα, βρείτε το άριστο σχέδιο ικανοποίησης των παραγγελιών με τη χρήση της

μεθόδου μεταφοράς. Όταν ολοκληρώσετε την επίλυση, να διατυπώσετε με ακρίβεια το τελικό άριστο σχέδιο που βρήκατε καθώς επίσης και το συνολικό του κόστος.

3. Αν υπάρχει εναλλακτική άριστη λύση εντοπίστε την.

ΘΕΜΑ 3ο Πριν την κυκλοφορία ενός νέου προϊόντος στην αγορά, πρέπει να υλοποιηθούν οι δραστηριότητες του κατωτέρω πίνακα (όλοι οι χρόνοι είναι σε εβδομάδες).


ΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣΧΡΟΝΟΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟΣΧΡΟΝΟΣ

ΑΠΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣΧΡΟΝΟΣ


ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ

A -- 2 6 10 6 1.78 B -- 4 5 6 5 0.11 C A 2 3 4 3 0.11 D C 1 2 3 2 0.11 E A, D 1 3 5 3 0.44 F B 3 4 5 4 0.11 G E 2 4 6 4 0.44 H G, F 0 2 4 2 0.44

1. Να διαμορφωθεί το δίκτυο του έργου. 2. Να βρεθούν οι ενωρίτεροι και βραδύτεροι χρόνοι των δραστηριοτήτων και τα αντίστοιχα χρονικά τους περιθώρια. 3. Να υπολογιστεί ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσής του έργου και να καταγραφούν όλες οι κρίσιμες διαδρομές. 4. Υποθέστε ότι βρισκόμαστε 12 εβδομάδες πριν τα Χριστούγεννα. Ποια είναι η πιθανότητα το προϊόν να βρίσκεται στα

καταστήματα τα Χριστούγεννα;

ΘΕΜΑ 4ο

Δύο επιχειρήσεις A και B που δραστηριοποιούνται στην αγορά της ψηφιακής και καλωδιακής τηλεόρασης μοιράζονται τον τζίρο ο οποίος ανέρχεται σε 440 (εκατομμύρια ευρώ). Οι δύο επιχειρήσεις σχεδιάζουν την στρατηγική τους για την νέα περίοδο προκειμένου να αποσπάσουν μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς. Οι πιθανές στρατηγικές είναι οι ακόλουθες: (1) αύξηση διαφημιστικής δαπάνης σε τηλεοπτικά μέσα, (2) πακέτα προσφορών και μείωση τιμής, (3) ενσωμάτωση της προσφοράς ψηφιακής πλατφόρμας σε πακέτα τηλεφωνίας και Internet και (4) ανάπτυξη εναλλακτικών ηλεκτρονικών καναλιών προώθησης του προϊόντος (η τέταρτη στρατηγική μπορεί να εφαρμοστεί µόνο στην επιχείρηση Β). Ο ετήσιος τζίρος που αναμένεται να προκύψει για την επιχείρηση Α, για κάθε συνδυασμό στρατηγικών, δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί.

Επιχείρηση Β Β1 Β2 Β3 Β4

Α1 200 250 300 300 Α2 250 400 200 100

Επιχείρηση Α

Α3 225 300 150 150

1. Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας.

2. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε επιχείρηση καθώς και τον ετήσιο τζίρο της επιχείρησης Α.

3. Μακροπρόθεσμα ποια επιχείρηση φαίνεται να ευνοείται από το αποτέλεσμα, αν ο συνολικός ετήσιος τζίρος παραμείνει σταθερός;

3

ΘΕΜΑ 1ο

1η Πρόταση

Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου. Ξεκινάμε αυθαίρετα από οποιοδήποτε κόμβο, έστω τον κόμβο 1. Συνδέουμε τον πλέον κοντινό του, που είναι ο κόμβος 2, μέσω της ακμής 1-2 με μήκος 8. Οι κόμβοι 1, 2 είναι συνδεδεμένοι. Ο πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στους 1, 2 είναι ο κόμβος 4 με την ακμή 2-4 μήκους 2. Έτσι, συνδεδεμένοι είναι τώρα οι κόμβοι 1, 2, 4. Ο επόμενος πλησιέστερος κόμβος είναι ο κόμβος 3 με την ακμή 4-3 μήκους 1, οπότε συνδεδεμένοι είναι τώρα οι κόμβοι 1, 2, 4, 3. Ο πλησιέστερος στους συνδεδεμένους είναι ο κόμβος 6 με την ακμή 3-6 μήκους 3. Το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων είναι τώρα 1, 2, 4, 3, 6. Επόμενος συνδέεται ο κόμβος 7 με τον κόμβο 6 μέσω της ακμής 6-7 μήκους 2, οπότε το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων είναι το 1, 2, 4, 3, 6, 7. Ο επόμενος κόμβος που συνδέεται είναι ο κόμβος 8 με τον κόμβο 7 μέσω της ακμής 7-8 με μήκος 4. Το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων γίνεται 1, 2, 4, 3, 6, 7, 8. Επόμενος συνδέεται ο κόμβος 5 με τον κόμβο 2 με την ακμή 2-5 μήκους 5, οπότε το σύνολο γίνεται 1, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 5. Ο επόμενος κόμβος που συνδέεται είναι ο κόμβος 9 με τον κόμβο 8 μέσω της ακμής 8-9 με μήκος 6. Το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων γίνεται 1, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 5, 9. Τελευταίος συνδέεται ο κόμβος 10 με την ακμή 9-10 μήκους 9. Το άθροισμα των ακμών που χρησιμοποιήθηκαν είναι 40 και είναι το ελάχιστο συνολικό.

2η Πρόταση

Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής. Πρώτος λυμένος κόμβος καθίσταται η αφετηρία με απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Κόμβοι με προσωρινές διαδρομές:

• κόμβος 2, με απόσταση 8 μίλια από την αφετηρία και • κόμβος 3, με απόσταση 12 μίλια ομοίως.

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 2 με ελάχιστη απόσταση 8 μονάδες οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 2. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 2 στους μόνιμους.

• κόμβος 3, με απόσταση 12 μίλια, απευθείας από την αφετηρία • κόμβος 4, με απόσταση 10 μίλια, μέσω του 2,

4

• κόμβος 5, με απόσταση 13 μίλια, μέσω του 2, και • κόμβος 7, με απόσταση 17 μίλια, μέσω του 2.

Μόνιμος καθίσταται ο κόμβος 4 που έχει προσωρινή απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 10 μίλια μέσω του κόμβου 2, οπότε το σύνολο των μονίμων είναι τώρα το 1, 2, 4. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 4 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 3, με απόσταση 11 μίλια, μέσω του κόμβου 4, • κόμβος 5, με απόσταση 13 μίλια, μέσω του 2, • κόμβος 6, με απόσταση 15 μίλια, μέσω του 4, και • κόμβος 7, με απόσταση 17 μίλια, μέσω του 2 (ή μέσω του κόμβου 4).

Από τους κόμβους με προσωρινό μήκος διαδρομής μόνιμος γίνεται ο κόμβος 3 με ελάχιστη απόσταση 11 μίλια μέσω του κόμβου 4, οπότε το σύνολο μονίμων είναι τώρα 1, 2, 4, 3. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 3 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 5, απόσταση 13 μίλια, μέσω του 2, • κόμβος 6, με απόσταση 14 μίλια, μέσω του 3, και • κόμβος 7, με απόσταση 17 μίλια, μέσω του 2 (ή μέσω του κόμβου 4).

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 5 με απόσταση από την αφετηρία 13 μίλια μέσω του κόμβου 2 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 3, 5. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 5 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 6, με απόσταση 14 μίλια, μέσω του 3, • κόμβος 7, με απόσταση 17 μίλια, μέσω του 2 (ή μέσω του κόμβου 4), και • κόμβος 8, με απόσταση 13+8 = 21 μίλια, μέσω του κόμβου 5.

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 6 με απόσταση από την αφετηρία 14 μίλια μέσω του 3 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 3, 5, 6. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 6 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 7, με απόσταση 14+2 = 16 μίλια, μέσω του 6, • κόμβος 8, με απόσταση 14+5 = 19 μίλια, μέσω του κόμβου 6, και • κόμβος 9, με απόσταση 22 μίλια μέσω του 6.

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 7 με απόσταση από την αφετηρία 16 μίλια μέσω του 6 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 7 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 8, με απόσταση 19 μίλια, μέσω του κόμβου 6, και • κόμβος 9, με απόσταση 22 μίλια μέσω του 6.

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 8 με απόσταση από την αφετηρία 19 μίλια μέσω του 6 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 8 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 9, με απόσταση 22 μίλια μέσω του 6, και • κόμβος 10, με απόσταση 30 μίλια μέσω του 8.

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 9 με απόσταση από την αφετηρία 22 μίλια μέσω του 6 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 9. Τέλος, αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 9 στο σύνολο των μονίμων. Ο κόμβος 10 εισέρχεται στους μονίμους με ελάχιστη απόσταση 30 χιλιόμετρα, μέσω του κόμβου 8.

5

Επομένως το ελάχιστο μήκος διαδρομής είναι 30 μίλια. Για να βρούμε το βέλτιστο μονοπάτι ελέγχουμε οπισθοδρομικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόμβο 10 ο οποίος μας παραπέμπει στον κόμβο 8 και αυτός στη συνέχεια στον κόμβο 6. Στον κόμβο 6 ερχόμαστε μέσω του κόμβου 3, όπου φτάνουμε μέσω του κόμβου 4. Ο κόμβος 4 μας παραπέμπει στον κόμβο 2 και από εκεί στην αφετηρία. Κατά συνέπεια άριστη διαδρομή, με μήκος 30 μίλια, είναι το μονοπάτι 1 2 4 3 6 8 10.

Συνοψίζοντας για την πρώτη περίπτωση έχουμε έναν αυτοκινητόδρομο μήκους 40 μιλίων και κόστους 40x5 = 200 εκατομμυρίων ευρώ, ενώ στη δεύτερη έναν αυτοκινητόδρομο μήκους 30 μιλίων και κόστους 30x7 = 210 εκατομμυρίων ευρώ. Συνεπώς, εάν το κόστος είναι το σημαντικότερο στοιχείο για τη λήψη της τελικής απόφασης, πρέπει να υιοθετηθεί η 1η πρόταση.

6

ΘΕΜΑ 2ο

1.

4 4 30 27 25 30 27 25 36 Προσφορά

2

0

0 32

0*

34

2,000

32

3,000

40

5,000

5,000

5,000

5,000

2

2

2

34

30

3,000

28

38

3,000

3,000

3,000

0

1

0

2

2,000

3

3

2

2,000

4,000

2,000

0

Ζήτηση 2,000 2,000

0 0

5,000 5,000 5,000 2,000

3,000 3,000 3,000 3,000

2,000 0

Ορίζουμε να είναι xij, οι τόνοι του διαλύματος που θα αποσταλούν από το i-εργοστάσιο στον j-πελάτη (i = 1, 2 και j = 1, 2, 3, 4). Επιπλέον, επειδή ∑∑ =<=

jj

ii ds 120008000 θα πρέπει να προστεθεί ένας

υποθετικός σταθμός προέλευσης (Εργοστάσιο 3) με προσφορά ίση με 12,000 − 8,000 = 4,000 τόνους. Το κόστος μεταφοράς c3j (j = 1, 2, 3, 4) προσδιορίζεται από τον πίνακα με τα πρόστιμα. Η εφαρμογή της μεθόδου Vogel για τον εντοπισμό μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος οδηγεί διαδοχικά: στην εκχώρηση 2,000 μονάδων στο κελί (3, 4) με παράλληλη διαγραφή της 4ης στήλης, στην εκχώρηση 2,000 μονάδων στο κελί (3, 1) με διαγραφή μόνον της 3ης γραμμής, στην εκχώρηση 3,000 μονάδων στο κελί (2, 2) με διαγραφή της 2ης γραμμής και τέλος, στη εκχώρηση 2,000 και 3,000 μονάδων στα κελιά (1, 2), (1, 3) αντίστοιχα. Το κελί (1, 1) αν και με μηδενική εκχώρηση, θεωρείται ως βασικό κελί. Το κόστος μεταφοράς ανέρχεται στις 262,000 χρηματικές μονάδες.

2. Βρίσκοντας τα δυναμικά ui και vj και σχηματίζοντας τις διαφορές δij = ui + vj – cij που αντιστοιχούν στις μη

βασικές μεταβλητές βλέπουμε ότι υπάρχουν θετικές τιμές μεταξύ τους και συνεπώς η λύση που περιλαμβάνεται στο tableau δεν είναι η βέλτιστη.

v u

32 34 32 32

0

32

0*

34

2,000

32

3,000

-8 40

5,000

-4

-6 34

30

3,000

0 28

-10 38

3,000

-30

2

2,000

1 3

-1 3

2

2,000

4,000

2,000 5,000 3,000 2,000

7

Στη συνέχεια με εισερχόμενο κελί το (3, 2), κατασκευάζουμε το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων :

32 ⊕

0*

34

2,000

32

3,000

-8 40

5,000

-6 34

30

3,000

0 28

-10 38

3,000

2

2,000

1 3 ⊕

-1 3

2

2,000

4,000

2,000 5,000 3,000 2,000

Επειδή υπάρχουν ισοβαθμήσεις στο κριτήριο για την επιλογή του εξερχόμενου κελιού, διαλέγουμε αυθαίρετα το (3, 1).

Η νέα λύση, στην οποία το κελί (3, 2) είναι βασικό και το (3, 1) μη βασικό, δίνεται στο tableau που ακολουθεί. Λόγω των ισοβαθμήσεων που παρατηρήθηκαν είναι εκφυλισμένη και για τη συνέχεια της διαδικασίας MODI, το κελί (1, 2) θεωρείται βασικό. Το νέο συνολικό κόστος ανέρχεται σε 260,000 χρηματικές μονάδες. Ο έλεγχος αριστότητας αποδεικνύει ότι αυτή η λύση είναι η ζητούμενη βέλτιστη λύση του προβλήματος: δij ≤ 0 ∀ (i, j).

vu

32 34 32 33

0

32

2,000

-1 34

0*

32

3,000

-7 40

5,000

-4

-6 34

30

3,000

0 28

-9 38

3,000

-31

-1 2

3

2,000

-2 3

2

2,000

4,000

2,000 5,000 3,000 2,000

8

3. Επειδή στο βέλτιστο tableau του προβλήματος μεταφοράς είναι δ23 = 0, το πρόβλημα έχει εναλλακτική βέλτιστη λύση. Για να τον εντοπισμό της αρκεί να γίνει βασικό το κελί (2, 3).

32

2,000

34 ⊕

0*

32

3,000

5,000

-6 34

30

3,000

0 28 ⊕

-10 38

3,000

2

1 3

2,000

-1 3

2

2,000

4,000

2,000 5,000 3,000 2,000

Το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων υποδεικνύει ισοβαθμίσεις στο κριτήριο για την επιλογή του εξερχόμενου κελιού. Επιλέγοντας -αυθαίρετα- το (1, 3), καταλήγουμε στην κατωτέρω (εναλλακτική) βέλτιστη λύση :

vu

32 34 32 33

0

32

2,000

-1 34

3,000

32

-7 40

5,000

-4

-6 34

30

0*

0 28

3,000

-9 38

3,000

-31

-1 2

3

2,000

-2 3

2

2,000

4,000

2,000 5,000 3,000 2,000

9

ΘΕΜΑ 3ο

A 0 6 C 6 9 D 9 11 6 0 6 3 6 9 2 9 11

E 11 14 G 14 18 START

3 11 14 4 14 18 FINISH

B 0 5 F 5 9 H 18 20 5 9 14 4 14 18 2 18 20

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ A 0 B 9 C 0 D 0 E 0 F 9 G 0 H 0

Κρίσιμη διαδρομή: A – C – D – E – G – H και A – E – G – H Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 20 εβδομάδες. Η πρώτη κρίσιμη διαδρομή έχει μέση τιμή μ = 20 και διασπορά σ2 = (1.822)2 ενώ η δεύτερη μ = 20 και διασπορά σ2 = (1.761)2. Συνεπώς δεν υπάρχει καμία πιθανότητα να είναι έτοιμο το προϊόν πριν τα Χριστούγεννα.

10

ΘΕΜΑ 4ο

Ερώτημα 1 Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών σταθερού αθροίσματος (ίσου με 440 εκατομμύρια ευρώ). Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, όπως βλέπουμε στoν παρακάτω πίνακα, δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η Maximin τιμή του παίκτη Α (επιχείρηση Α) είναι ίση με 200 (τομή των στρατηγικών Α1 – Β1) και η Minimax τιμή του παίκτη Β (επιχείρηση Β) είναι ίση με 250 (τομή των στρατηγικών Α2 – Β1).

Β1 Β2 Β3 Β4 Row Min Maximin Α1 200 250 300 300 200 200 Α2 250 400 200 100 100 Α3 225 300 150 150 150

Col Max 250 400 300 300 Minimax 250 250≠200

Ερώτημα 2 Επομένως, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική από την πλευρά του παίκτη Α. Βλέπουμε όμως ότι από την πλευρά του παίκτη Β η στρατηγική Β2 είναι υποδεέστερη της Β1 και η στρατηγική Β3 είναι υποδεέστερη της Β4. Οπότε, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 3×2, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές.

Β1 y1

Β4 Y4

Α1 200 300 Α2 250 100 Α3 225 150

Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γραφική διαδικασία επίλυσης. Ονομάζουμε y1 την πιθανότητα ο παίκτης Β να ακολουθήσει τη στρατηγική Β1 και y4 την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β4. Προφανώς y1 + y4 = 1. Για τον παίκτη Β με τις δύο στρατηγικές έχουμε τις παρακάτω σχέσεις:

V(B, A1) = 200y1 + 300y4 V(B, A2) = 250y1 + 100y4 V(B, A3) = 225y1 + 150y4

Σύρουμε δύο κατακόρυφους (παράλληλους) άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του παίκτη B. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(B, Ai), i=1,2,3)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο A και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη B είτε της B1 είτε της B4. Για να χαράξουμε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(B, A1) συνδέουμε το 200 με το 300, για το V(B, A2) συνδέουμε το 250 με το 100 και για την ευθεία V(B, A3)

11

συνδέουμε το 225 με το 150. Δεν έχει σημασία αν χρησιμοποιήσουμε πρώτα τον αριστερό ή το δεξιό κατακόρυφο άξονα για τη διαδικασία της χάραξης. Στο σχήμα μας, οι τιμές της στήλης της Β4 είναι στον αριστερό κατακόρυφο άξονα και της Β1 στον δεξιό αλλά αυτό δεν έχει καμία σημασία, θα μπορούσε να ήταν και αντίστροφα. Απλώς το σχήμα θα έβγαινε συμμετρικό.

Επειδή ο παίκτης Β επιλέγει minimax στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ’ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο (minimax) σημείο, δηλαδή όπως σημειώνεται, το σημείο Κ. Συνεπώς, η στρατηγική A3 του παίκτη A απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του minimax σημείου (Κ) και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών:

Β1 y1

Β4 Y4

Α1 x1 200 300 Α2 x2 250 100

Στο σχήμα, με τα πράσινα βέλη σημειώνεται το σημείο στο οποίο βρίσκεται τόσο η βέλτιστη τιμή της πιθανότητας y1 (0,8), όσο και η αντίστοιχη τιμή του παιγνίου στον κάθετο άξονα (V=220). Για να εντοπίσουμε όμως με ακρίβεια τις τιμές συνεχίζουμε αλγεβρικά. Επιλύουμε λοιπόν το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2×2. Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A1)=V(B,A2) από όπου προκύπτει ότι: 200y1 + 300y4 = 250y1 +100y4 που δίνει 50y1 = 200y4

12

Επειδή y1 + y4 =1 έχουμε ότι 50y1 = 200(1-y1), δηλαδή 250y1 = 200. Άρα y1 = 4/5 και y4 = 1/5 (στο σχήμα υποδεικνύεται με βέλος το στο οποίο η πιθανότητα y1 = 0,8 και η y4 είναι φυσικά 0,2). Για τον παίκτη Α, ονομάζοντας x1 την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική Α1 και x2 την πιθανότητα να ακολουθήσει την Α2 έχουμε ότι: V(A, B1) = 200x1 + 250x2 V(A, B4) = 300x1 + 100x2 Θέτοντας V(A, B1) = V(A, B4) έχουμε ότι: 200x1 + 250x2 = 300x1 + 100x2 που δίνει 100x1 = 150x2 Επειδή x1 + x2 = 1 έχουμε ότι 100x1 = 150(1-x1), δηλαδή 250x1=150, άρα x1 = 3/5 και x2 = 2/5. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε από τα V(A, B1) ή V(A, B4) δηλαδή είναι V = 200⋅(3/5) + 250⋅(2/5) = 220 (όπως φαίνεται και στο σχήμα). Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής : Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0.6, 0.4, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0.8, 0, 0, 0.2) Τιμή του παιγνίου V = 220. Επομένως, ο ετήσιος τζίρος της επιχείρησης Α είναι 220 εκατομμύρια ευρώ. Ερώτημα 3 Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές φορές το παίγνιο με τους ίδιους όρους ο αναμενόμενος τζίρος της επιχείρησης Α είναι 220 εκατομμύρια ευρώ και της επιχείρησης Β θα είναι 440 – 220 = 220 εκατομμύρια ευρώ επίσης. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα το παιγνίδι είναι δίκαιο και καμία επιχείρηση δεν είναι ευνοημένη. Βέβαια, το αποτέλεσμα που δίνει η τιμή του παιγνίου είναι η μέση τιμή.

ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΦΔΒΡΟΤΑΡΙΟ 2010

ΣΟΜΔΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ, ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΩΝ & ΔΠΙΥΔΙΡΗΙΑΚΗ ΔΡΔΤΝΑ


ΘΔΜΑ 1ο

Ο Γηώξγνο θαη ν Κώζηαο ζπκπαίθηεο ζε κία ζπλνηθηαθή πνδνζθαηξηθή νκάδα πξνπνλνύληαη γηα ηνλ επόκελν αγώλα.

πγθεθξηκέλα, ν Γηώξγνο πνπ είλαη επηζεηηθόο εθηειεί πέλαιηη θαη ν Κώζηαο πνπ είλαη ηεξκαηνθύιαθαο πξνζπαζεί λα ηα

απνθξνύζεη. Ο Γηώξγνο κπνξεί λα ζηείιεη ηε κπάια αξηζηεξά (Α) ή δεμηά (Γ) θαη ν Κώζηαο λα θηλεζεί αξηζηεξά (Α), δεμηά

(Γ) ή λα παξακείλεη ζην θέληξν ηνπ ηέξκαηνο (Κ). Οη πηζαλόηεηεο λα κελ απνθξνύζεη ηελ κπάια ν Κώζηαο πεξηέρνληαη

ζηνλ παξαθάησ πίλαθα.

Κώζηαο

Γηώξγνο

Α Γ Κ

Α 1/3 1 1/2

Γ 1 1/3 2/3

1. Να εμεηαζζεί εάλ ζην παίγλην απηό ππάξρεη ζεκείν ηζνξξνπίαο, πνπ λα πξνζδηνξίδεηαη από ακηγείο ζηξαηεγηθέο.

2. Να εθαξκνζζεί ε θαηάιιειε κεζνδνινγία πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξηζζεί ε άξηζηε ζηξαηεγηθή γηα θάζε παίθηε.

3. Να ππνινγηζζεί ε «αμία» ηνπ παηγλίνπ θαη λα εξκελεπζεί.

ΘΔΜΑ 2ο

Σξία εξγνζηάζηα παξαγσγήο ειεθηξηθνύ ξεύκαηνο κε εηήζηεο δπλαηόηεηεο 25, 40 θαη 30 εθαηνκκύξηα kWh πξνκεζεύνπλ κε

ειεθηξηθό ξεύκα ηξεηο πόιεηο, ε κέγηζηε δήηεζε ησλ νπνίσλ εθηηκάηαη ζηα 30, 35 θαη 25 εθαηνκκύξηα kWh αληίζηνηρα, ζε

ηηκέο ($/εθαηνκκύξην kWh) πνπ δηακνξθώλνληαη σο αθνινύζσο:

Πόλη 1 Πόλη 2 Πόλη 3

Δργοζηάζιο 1 600 700 400



Καηά ηε δηάξθεηα ηνπ Απγνύζηνπ, παξαηεξείηαη αύμεζε ζηε δήηεζε γηα ειεθηξηθό ξεύκα ηεο θάζε πόιεο θαηά 20%, ε

νπνία κπνξεί λα θαιπθζεί, ζηελ ηηκή ησλ $1000 γηα θάζε εθαηνκκύξην kWh, από έλα αλεμάξηεην ζπλεξγαδόκελν δίθηπν,

ην νπνίν όκσο δελ έρεη δπλαηόηεηα ζύλδεζεο κε ηελ πόιε 3.

Αθνύ δηακνξθώζεηε ην πξόβιεκα σο κνληέιν ελόο πξνβιήκαηνο κεηαθνξάο βξείηε ην άξηζην ζρέδην ηθαλνπνίεζεο ηεο

δήηεζεο ηνπ ξεύκαηνο. Όηαλ νινθιεξώζεηε ηελ επίιπζε, λα δηαηππώζεηε κε αθξίβεηα ην ηειηθό άξηζην ζρέδην πνπ βξήθαηε

θαζώο επίζεο θαη ην ζπλνιηθό ηνπ θόζηνο.

ΘΔΜΑ 3ο

Έλα θαηλνύξην γήπεδν πνδνζθαίξνπ πξόθεηηαη λα θηηζηεί ζηα πεξίρσξα κηαο κεγαινύπνιεο θαη ν ππεύζπλνο κεραληθόο ηνπ

δήκνπ πξνζπαζεί λα πξνζδηνξίζεη εάλ νη νδνί γύξσ από ην γήπεδν θαη κέρξη ηνλ παξαθείκελν πεξηθεξεηαθό δξόκν κπνξνύλ

λα απνξξνθήζνπλ ην θόξην ησλ 21,000 απηνθηλήησλ πνπ αλακέλεηαη λα ππάξρεη κεηά ην θάζε καηο. ην δίθηπν πνπ αθνινπζεί

θαίλνληαη νη νδνί επηθνηλσλίαο κεηαμύ ηνπ γεπέδνπ (θόκβνο 1) θαη ηεο εηζόδνπ ζηνλ πεξηθεξεηαθό (θόκβνο 8). Η ξνή ζε

θάζε νδό θαζνξίδεηαη από πνηθίινπο παξάγνληεο, όπσο ν αξηζκόο ησλ δηαζέζηκσλ ισξίδσλ, ε δπλαηόηεηα αζηπλόκεπζεο,

ηα θαλάξηα θπθινθνξίαο, θ.ιπ. θαηαγξάθεηαη ζην ίδην δηάγξακκα. Δθαξκόζηε θαηάιιειε ηερληθή δηθηπσηήο αλάιπζεο

πξνθεηκέλνπ λα απνδείμεηε εάλ νη δξόκνη επαξθνύλ ή όρη γηα ην θόξην ησλ 21,000 απηνθηλήησλ. Η ηερληθή πνπ ζα επηιεγεί

ζα πξέπεη λα αλαθεξζεί κε ζαθήλεηα θαη ε δηαδηθαζία επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηνο λα πεξηγξαθεί επαξθώο.

ΘΔΜΑ 4ο

Σα ζηνηρεία ηνπ θαησηέξσ πίλαθα απνδόζεσλ είλαη ζηνηρεία θέξδνπο γηα έλα πξόβιεκα απνθάζεσλ κε ηξεηο ελαιιαθηηθέο

απνθάζεηο θαη δύν θαηαζηάζεηο ηεο θύζεηο.

Καηαζηάζεηο Φύζεο

Δλαιιαθηηθέο Απνθάζεηο s1 s2

d1 10 60

d2 70 20

d3 80 0

Να ππνδεηρζνύλ νη ηηκέο πηζαλνηήησλ γηα ηελ θαηάζηαζε s1 γηα ηηο νπνίεο, ε θάζε κία εθ ησλ ελαιιαθηηθώλ απνθάζεσλ

αληηζηνηρεί ζε εθείλε κε ηε κεγαιύηεξε αλακελόκελε αμία.

ΘΔΜΑ 5ο

Η FAA ρνξήγεζε πξόζθαηα άδεηα ιεηηνπξγίαο ζε κηα θαηλνύξηα αεξνπνξηθή εηαηξεία πνπ θαηάθεξε ελ ησ κεηαμύ λα ηηο

παξαρσξεζνύλ δηάθνξεο δηαδξνκέο ζηε γξακκή Λνο Άληδειεο - ηθάγν. Σν δίθηπν πνπ αθνινπζεί θαηαγξάθεη ζρεκαηηθά

όιεο απηέο ηηο δηαδξνκέο θαζώο επίζεο θαη ην εκεξήζην πιήζνο ησλ πηήζεσλ γηα θάζε κία εμ’ απηώλ. Να ρξεζηκνπνηήζεηε

θαηάιιειε ηερληθή ηεο δηθηπσηήο αλάιπζεο πξνθεηκέλνπ λα εληνπίζεηε ηνλ κέγηζην αξηζκό πηήζεσλ ηηο νπνίεο ε εηαηξεία

κπνξεί λα πξνγξακκαηίζεη θαζεκεξηλά κεηαμύ Λνο Άληδειεο – ηθάγν θαζώο επίζεο θαη ηηο αθξηβείο δηαδξνκέο. Η ηερληθή

πνπ ζα επηιεγεί ζα πξέπεη λα αλαθεξζεί κε ζαθήλεηα θαη ε δηαδηθαζία επίιπζεο ηνπ πξνβιήκαηνο λα πεξηγξαθεί επαξθώο.

ΘΔΜΑ 6ο

Έλαο πεηπρεκέλνο ζπγγξαθέαο δηαπξαγκαηεύεηαη κε ηνλ εθδόηε ηνπ ην ζπκβόιαην γηα έλα θαηλνύξγην κπζηζηόξεκα. Οη

ζηξαηεγηθέο ηόζν ηνπ ζπγγξαθέα όζν θαη ηνπ εθδόηε πεξηιακβάλνπλ πνηθίιεο πξνηάζεηο πνπ ζρεηίδνληαη κε ηα

δηθαηώκαηα, κε ηα πνζνζηά από ηελ πηζαλή κεηαθνξά ηνπ κπζηζηνξήκαηνο ζηνλ θηλεκαηνγξάθν, πξνθαηαβνιέο πιεξσκώλ

θιπ. ηνλ αθόινπζν πίλαθα, νη αξηζκνί παξηζηάλνπλ ηηο αλακελόκελεο ρξεκαηηθέο εηζξνέο (ακνηβή), ζε ρηιηάδεο επξώ, ηνπ

ζπγγξαθέα (παίθηεο Α) από θάζε ζπλδπαζκό ζηξαηεγηθώλ κε εθείλεο ηνπ εθδόηε (παίθηεο Β).

Δκδόηης (Β)

σγγραθέας

(Α)

Β1 Β2 Β3

Α1 80 120 120

Α2 160 90 80

Α3 140 140 100

1. Υσξίο λα δηαγξάςεηε ηηο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο, εθαξκόζηε ην θξηηήξην minimax ζηνλ πίλαθα πιεξσκώλ, γηα λα

δηαπηζηώζεηε ηελ ύπαξμε ή όρη ζεκείνπ ηζνξξνπίαο.

2. Να εθαξκόζεηε ηελ θαηάιιειε κεζνδνινγία πξνθεηκέλνπ λα πξνζδηνξίζεηε ηελ άξηζηε ζηξαηεγηθή γηα θάζε παίθηε

θαζώο θαη ηελ αλακελόκελε ακνηβή ηνπ ζπγγξαθέα. Να δηαηππώζεηε ηα απνηειέζκαηά ζαο κε ζαθήλεηα, απνδίδνληαο

θαη ην θαηάιιειν θπζηθό λόεκα.

ΘΔΜΑ 7ο

Φαξκαθνβηνκεραλία παξάγεη γλσζηό παπζίπνλν ζηα ηξία εξγνζηάζηα πνπ έρεη ζε πεξηνρέο ησλ Chicago, Memphis θαη

New Orleans. Σν θάξκαθν ζπζθεπάδεηαη ζε θνύηεο θαη κε ηνλ ηξόπν απηό δηαθηλείηαη ζηε ζπλέρεηα πξνο ηηο ηέζζεξηο

θεληξηθέο απνζήθεο ηεο βηνκεραλίαο πνπ βξίζθνληαη ζηα πεξίρσξα ησλ Boston, Denver, Houston θαη Phoenix. ηνλ πίλαθα

πνπ αθνινπζεί tableau ηνπ αληίζηνηρνπ πξνβιήκαηνο κεηαθνξάο , θαηαγξάθνληαη νη εκεξήζηεο παξαγσγηθέο δπλαηόηεηεο

ηνπ θάζε εξγνζηαζίνπ (ζε θνύηεο), ε εκεξήζηα δήηεζε εθάζηεο απνζήθεο, θαζώο επίζεο θαη ην θόζηνο κεηαθνξάο κηαο

θνύηαο από ην θάζε εξγνζηάζην πξνο ηελ θάζε απνζήθε :

Boston Denver Houston Phoenix

Chicago

13

4

6

11

1,000

Memphis

10

5

3

9

800

New Orleans

12

7

2

8

700

500 750 800 450

Λακβάλνληαο ππόςε όηη πξέπεη λα απνζηέιινληαη ηνπιάρηζηνλ 100 θνύηεο θαξκάθνπ από ην Chicago ζηε Boston, βξείηε

ην βέιηηζην ζρέδην κεηαθνξάο.

ΘΔΜΑ 8ο

Οη Mr. and Mrs. Smith πξνεηνηκάδνπλ έλα πξόγξακκα κεηεθπαίδεπζεο ηνπ πξνζσπηθνύ ηεο εηαηξείαο παξνρήο ππεξεζηώλ

αζθάιεηαο πνπ έρνπλ. Γηα ην ζθνπό απηό ζπληάζζνπλ ηνλ πην θάησ πίλαθα δξαζηεξηνηήησλ (ν ρξόλνο είλαη ζε εβδνκάδεο):

ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΑΜΕΩ ΠΡΟΗΓ. ΔΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ

ΑΙΙΟΔΟΞΟ

ΥΡΟΝΟ

ΠΙΘΑΝΟΣΕΡΟ

ΥΡΟΝΟ

ΑΠΑΙΙΟΔΟΞΟ

ΥΡΟΝΟ


ΣΤΠΙΚΗ

ΑΠΟΚΛΙΗ

A -- 1.5 2.0 2.5 2.0 0.1667

B A 2.0 2.5 6.0 3.0 0.6667

C -- 1.0 2.0 3.0 2.0 0.3333

D C 1.5 2.0 2.5 2.0 0.1667

E B, D 0.5 1.0 1.5 1.0 0.1667

F E 1.0 2.0 3.0 2.0 0.3333

G B, D 3.0 3.5 7.0 4.0 0.6667

H G 3.0 4.0 5.0 4.0 0.3333

Ι F, H 1.5 2.0 2.5 2.0 0.1667

Δάλ νη Mr. and Mrs. Smith ζέινπλ λα είλαη 99% βέβαηνη όηη ν ζρεδηαζκόο ηεο κεηεθπαίδεπζε ζα νινθιεξσζεί εγθαίξσο,

πξηλ πόζν ρξόλν από ηελ εκεξνκελία έλαξμήο ηεο πξέπεη λα μεθηλήζνπλ λα εξγάδνληαη; (Γίλεηαη P(0 ≤ Z ≤ 2.33) = 0.4901).

ΘΔΜΑ 1ο

1. Πξόθεηηαη γηα παίγλην κεδεληθνύ αζξνίζκαηνο. Γηα ηελ εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ Maximin/Minimax

ππνινγίδνπκε ηα ειάρηζηα ησλ γξακκώλ θαη ηα κέγηζηα ησλ ζηειώλ ηνπ πίλαθα.

Α Γ Κ Δλάτιζηα

γραμμών

Α 1/3 1 1/2 1/3 *

Γ 1 1/3 2/3 1/3 *

Μέγιζηα

ζηηλών

1 1 2/3 *

Δπεηδή ην κέγηζην ηνπ ειάρηζηνπ (Maximin) ησλ γξακκώλ (1/3) είλαη δηαθνξεηηθό ηνπ ειάρηζηνπ ηνπ

κέγηζηνπ (Minimax) ησλ ζηειώλ (2/3), ην παίγλην δελ έρεη ζεκείν ηζνξξνπίαο πνπ λα πξνζδηνξίδεηαη

από ηελ εθαξκνγή ακηγώλ ζηξαηεγηθώλ.

ii. Δπεηδή νη ακηγείο ζηξαηεγηθέο δελ νδεγνύλ ην παίγλην ζε ηζνξξνπία (όπσο είδακε θαη κε ηελ

εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ Minimax/Maximin) πξέπεη λα πξνζδηνξηζηνύλ νη κεηθηέο ζηξαηεγηθέο. Απηό

γίλεηαη κε ηε βνήζεηα ηνπ γξαθήκαηνο ηνπ παηγλίνπ πνπ αθνινπζεί.

Ο Γηώξγνο «θηλείηαη» ζηελ επηθάλεηα πνπ νξίδεηαη από ηελ έληνλε γξακκνζθίαζε. Άξα ζα επηιέμεη κε

ηέηνην ηξόπν ηε ζηξαηεγηθή ηνπ (ηηκή ηεο κεηαβιεηήο x ) ώζηε λα επηηύρεη ην ζεκείν Ν (ζεκείν

Maximin). Ωο εθ’ ηνύηνπ ε ζηξαηεγηθή Α (ηνπ παίθηε Κώζηα) απνθιείεηαη αθνύ δελ ζπκκεηέρεη ζηνλ

θαζνξηζκό ηνπ ζεκείνπ Ν. Η δηάζηαζε ηνπ παηγλίνπ γίλεηαη 22 θαη απηό απεηθνλίδεηαη ζηνλ

παξαθάησ πίλαθα

1/3

1 1

1/3

1/2

2/3

0 0

A Γ

A Γ

Κ

Ν

1-x x

y y1

Γ Κ

x Α 1 1/2

x1 Γ 1/3 2/3

Γηα ηνλ παίθηε Γηώξγν έρνπκε

V(Γηώξγνο,Γ)=1* (1/3)*(1 )x x (1)

V(Γηώξγνο,K)= (1/ 2)* (2/3)*(1 )x x (2)

Θέηνληαο V(Γηώξγνο,Γ)= V(Γηώξγνο,K), έρνπκε

1* (1/3)*(1 )x x = (1/ 2)* (2/3)*(1 )x x

2 / 5,

1 3/ 5.

x

x

Γηα ηνλ Κώζηα έρνπκε

V(Κώζηα,Α)=1* (1/ 2)*(1 )y y (3)

V(Κώζηα,Γ)= (1/3)* (2 /3)*(1 )y y (4)

Θέηνληαο V(Κώζηα,Α)= V(Κώζηα,Γ), έρνπκε

1* (1/ 2)*(1 )y y = (1/3)* (2 /3)*(1 )y y

1/ 5,

1 4 / 5.

y

y

Αλαθεθαιαηώλνληαο:

Μεηθηή ζηξαηεγηθή Γηώξγνπ: (2/5,3/5)

Μεηθηή ζηξαηεγηθή Κώζηα: (0,1/5,4/5)

iii. Η «αμία» ηνπ παηγλίνπ δίλεηαη κε απιή αληηθαηάζηαζε ηνπ 2 / 5x είηε ζηελ (1) είηε ζηε (2)

από όπνπ πξνθύπηεη όηη V(Γηώξγνο,Γ)= V(Γηώξγνο,K)=V=3/5. Η ίδηα ηηκή πξνθύπηεη αλ

αληηθαηαζηήζνπκε ην 1/5y είηε ζηελ (3) είηε ζηε (4)

Άξα, ζηελ πξνπόλεζε, αλ ηα 2/5 ησλ θνξώλ πνπ ρηππάεη πέλαιηπ ν Γηώξγνο, ξίμεη ηε κπάια Αξηζηεξά

ελώ ζηα ππόινηπα 3/5 Γεμηά, ηόηε ε πιθανόηηηα ηνπ λα κελ απνθξνύζεη ν Κώζηαο (δεδνκέλνπ όηη ν

Κώζηαο ζα αθνινπζήζεη ηελ άξηζηε ζηξαηεγηθή ηνπ), είλαη ίζε κε ηελ αμία ηνπ παηγλίνπ δειαδή 3/5.

ΘΔΜΑ 2ο

Η απμεκέλε δήηεζε ηνπ Απγνύζηνπ έρεη σο απνηέιεζκα ε εηήζηα δήηεζε ησλ ηξηώλ πόιεσλ λα

δηακνξθώλεηαη ηειηθά ζηηο 36, 42 θαη 30 εθαηνκκύξηα kWh αληίζηνηρα. Δπνκέλσο ε ζπλνιηθή δήηεζε

είλαη ύςνπο 108 εθαηνκκπξίσλ kWh, ελώ ε ζπλνιηθή πξνζθνξά ησλ ηξηώλ εξγνζηαζίσλ αλέξρεηαη ζε

95 εθαηνκκύξηα kWh. Η δηαθνξά ησλ 13 εθαηνκκπξίσλ kWh ζα δεηεζεί από ην αλεμάξηεην ειεθηξηθό

δίθηπν. Γηακνξθώλεηαη ηόηε ην εμήο tableau ελόο πξνβιήκαηνο κεηαθνξάο (όπνπ Μ>>>0, πξνθεηκέλνπ

λα απαγνξεπηεί ε απνζηνιή ξεύκαηνο από ην αλεμάξηεην δίθηπν ζηελ Πόιε 3):

Πι1 Πι2 Πι3

Δξγ1

600

700

400

25

Δξγ2

320

300

350

40

Δξγ3

500

480

450

30

ΑλμΓ

1000

1000

Μ

13

36 42 30 108

ηε ζπλέρεηα εθαξκόδνπκε ηε κέζνδν ηνπ Vogel πξνθεηκέλνπ λα εληνπίζνπκε κηα αξρηθή εθηθηή ιύζε

ηνπ πξνβιήκαηόο καο:

Πι1 Πι2 Πι3

Δξγ1

600

700

400

25

25

Δξγ2

320

36

300

4

350

40

Δξγ3

500

480

25

450

5

30

ΑλμΓ

1000

1000

13

Μ

13

36 42 30 108

Η ιύζε απηή έρεη 6 ζεηηθέο ζπληζηώζεο θαη ζπλεπώο είλαη κε εθθπιηζκέλε. Βξίζθνληαο ηα δπλακηθά ui θαη vj

θαη ζρεκαηίδνληαο ηηο δηαθνξέο δij = ui + vj – cij πνπ αληηζηνηρνύλ ζηηο κε βαζηθέο κεηαβιεηέο βιέπνπκε όηη

ππάξρνπλ ζεηηθέο ηηκέο κεηαμύ ηνπο θαη ζπλεπώο ε ιύζε πνπ πεξηιακβάλεηαη ζην tableau δελ είλαη ε βέιηηζηε.

Σν ζπλνιηθό θόζηνο κεηαθνξάο αλέξρεηαη ζε 49970.

v

u

450 430 400

0

-150 600

-270 700

400

25

25

-130

320

36

300

4

-80 350

40

50

0 500

480

25

450

5

30

570

20 1000

1000

13

970-Μ Μ

13

36 42 30

ηε ζπλέρεηα, κε εηζεξρόκελν θειί ην (4, 1), θαηαζθεπάδνπκε ην κνλνπάηη αλαθαηαλνκήο ησλ εθρσξήζεσλ

-150 600

-270 700

400

25

25

320

36

300

4

-80 350

40

0 500

480

25

450

5

30

20 1000

1000

13

970-Μ Μ

13

36 42 30

Η λέα ιύζε, ζηελ νπνία ην θειί (4, 1) είλαη βαζηθό θαη ην (4, 2) κε βαζηθό κηα θαη ζ = min13, 36 = 13, δίλεηαη

ζην tableau πνπ αθνινπζεί. Ο έιεγρνο αξηζηόηεηαο απνδεηθλύεη όηη απηή ε ιύζε είλαη ε δεηνύκελε βέιηηζηε

ιύζε ηνπ πξνβιήκαηνο (δij 0 (i, j)), κε θόζηνο κεηαθνξάο 49710.

v

u

450 430 400

0

-150 600

-270 700

400

25

25

-130

320

23

300

17

-80 350

40

50

0 500

480

25

450

5

30

550

1000

13

-20 1000

950-Μ Μ

13

36 42 30

πλεπώο

ε Πόιε 1 πξέπεη λα πξνκεζεύεηαη 24 εθαηνκκύξηα kWh από ην 2ν Δξγνζηάζην θαη 13

εθαηνκκύξηα από ην Αλεμάξηεην Γίθηπν,


εθαηνκκύξηα από ην 3ν Δξγνζηάζην,


εθαηνκκύξηα από ην 3ν Δξγνζηάζην.

εκεηώζηε ηέινο ηελ ύπαξμε ελαιιαθηηθήο βέιηηζηεο ιύζεο (δ31 = 0):

Πι1 Πι2 Πι3

Δξγ1

600

700

400

25

25

Δξγ2

320

300

40

350

40

Δξγ3

500

23

480

2

450

5

30

ΑλμΓ

1000

13

1000

Μ

13

36 42 30 108

ΘΔΜΑ 3ο

Καζώο ε αλάιπζε επηθεληξώλεηαη ζηνλ αξηζκό ησλ δξνκνινγίσλ κε αθεηεξία ην γήπεδν θαη

πξννξηζκό ηελ είζνδν ηνπ πεξηθεξεηαθνύ, πξόθεηηαη γηα πξόβιεκα εύξεζεο ηεο κέγηζηεο ξνήο από έλα

θόκβν πεγή (1), πξνο έλα θόκβν δέθηε (8).

Ξεθηλάκε ινηπόλ επηιέγνληαο απζαίξεηα έλα κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από

ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Έλα ηέηνην κνλνπάηη είλαη γηα παξάδεηγκα ην κνλνπάηη 1-2-5-8. Η κέγηζηε

δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε 6 κνλάδεο όπσο θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή ηνπ

κε ηελ κηθξόηεξε δπλακηθόηεηα ξνήο, δειαδή ηελ αθκή 2-5 (min10, 6, 8 = 6). Έηζη, ζηέιλνπκε 6

ρηιηάδεο απηνθίλεηα κέζσ ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ από ηελ πεγή 1 πξνο ην δέθηε 8 θαη αλαπξνζαξκόδνπκε

θαηάιιεια ηηο ξνέο ησλ αθκώλ πνπ ζπκκεηέρνπλ. ην ζρήκα 1 απεηθνλίδεηαη ε πξώηε επαλάιεςε.

Μεηά ηνλ θόκβν 1 ζεκεηώλνπκε κνλνπάηη θαη ξνή. πλνιηθή ξνή: 6 κνλάδεο.


πλερίδνπκε κε ην κνλνπάηη (απζαίξεηα) 1 – 3 – 6 – 7 – 8, πνπ έρεη ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα

ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε 5 κνλάδεο

πνπ θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή 3–6 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ

κνλνπαηηνύ. Έηζη, ζηέιλνπκε 5 ρηιηάδεο απηνθίλεηα από ην κνλνπάηη απηό θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο

ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 2 απεηθνλίδεηαη ε δεύηεξε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη θαη ηελ

πξώηε επαλάιεςε ρσξίο ηα βέιε αιιά κε έληνλεο αθκέο κόλν.

πλνιηθή ξνή: 6 + 5 = 11 ρηιηάδεο απηνθίλεηα.


ηε ζπλέρεηα, επηιέγνπκε ην κνλνπάηη 1 – 4 – 6 – 8. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε

4 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από δύν αθκέο ειάρηζηεο δπλακηθόηεηαο ξνήο κέζα ζην κνλνπάηη, ηηο 4–6

θαη 6–8. Έηζη, απνζηέιινπκε 4 ρηιηάδεο απηνθίλεηα από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε

θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 3 απεηθνλίδεηαη ε ηξίηε επαλάιεςε, ελώ

έρνπκε δηαηεξήζεη ηηο πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο.

πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 6 + 5 + 4 = 15 ρηιηάδεο απηνθίλεηα.


4

πλερίδνπκε, επηιέγνληαο ηώξα ην κνλνπάηη 1 – 4 – 7 – 8. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη

ίζε κε 4 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηηο δύν αθκέο ειάρηζηεο δπλακηθόηεηαο ξνήο κέζα ζην κνλνπάηη

1–4 θαη 7–8. Έηζη, κεηά ηελ απνζηνιή 4 ρηιηάδσλ απηνθηλήησλ κέζσ απηνύ ηνπ κνλνπαηηνύ από ηελ

πεγή πξνο ην δέθηε, αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 4 απεηθνλίδεηαη ε ηέηαξηε

επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη ηηο πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο.

πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 6 + 5 + 4 + 4 = 19. τήμα 4 – 4

η επανάληυη

πλερίδνπκε, επηιέγνληαο ηώξα ην κνλνπάηη 1 – 2 – 3 – 5 – 8. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ

είλαη ίζε κε 2 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή 5–8 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο

αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ κνλνπαηηνύ. Έηζη, απνζηέιινληαη 2 ρηιηάδεο απηνθίλεηα από ην κνλνπάηη

απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη ζηε ζπλέρεηα γίλεηαη αλαπξνζαξκνγή ζηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην

ζρήκα 5 απεηθνλίδεηαη ε πέκπηε επαλάιεςε, ελώ έρνπλ δηαηεξεζεί νη πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο.

πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 6 + 5 + 4 + 4 + 2 = 21 ρηιηάδεο απηνθίλεηα τήμα 5 – 5


Η άριζηη λύζη

Από ην ζρήκα 5 δηαπηζηώλνπκε όηη δελ ππάξρεη άιιν κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα

ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε, νπόηε ε κέγηζηε ξνή ηζνύηαη κε 21 κνλάδεο. Γειαδή, νη δξόκνη

επαξθνύλ γηα ηνλ θπθινθνξηαθό θόξην ησλ 21000 απηνθηλήησλ. Σα δξνκνιόγηα απεηθνλίδνληαη κε ηηο

έληνλεο γξακκέο ζην ζρήκα 5.

Σεκείφζε

Από ηε θύζε ηοσ αιγορίζκοσ ηες κέγηζηες ροής, είλαη ποιύ πηζαλόλ λα κελ σπάρτεη κόλο κία

ζσγθεθρηκέλε θαη κολαδηθή ζεηρά ζηε ροή ηφλ επαλαιήυεφλ θαη ζηε ζσιιογή ηφλ κολοπαηηώλ,

αθού ζε θάζε επαλάιευε, ηο κολοπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δσλακηθόηεηα ροής από ηελ πεγή

προς ηο δέθηε, προζδηορίδεηαη ασζαίρεηα. Μάιηζηα, σπάρτοσλ ελαιιαθηηθά κολοπάηηα ηα οποία

επίζες επηησγτάλοσλ ηε κέγηζηε ροή θαη ασηό ζσκβαίλεη ζτεδόλ πάληα ζηα προβιήκαηα ασηού ηοσ

ηύποσ. Σε θάζε περίπηφζε όκφς, ζηελ άρηζηε ιύζε ε κέγηζηε ροή πρέπεη λα είλαη 21 κολάδες θαη

ασηή έπρεπε λα εληοπηζηεί, ηασηότρολα κε ηης θαηάιιειες ροές επάλφ ζηης αθκές.

ΘΔΜΑ 4ο

Έζησ p ε πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο ζπλζήθεο S1. Σόηε ε πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο S2 ζα είλαη (1 –

p), νπόηε:

EV(d1) = 10p + 60(1 – p) = 60 – 50p

EV(d2) = 70p + 20(1 – p) = 20 + 50p

EV(d3) = 80p + (0)(1 – p) = 80p

ην ζεκείν B είλαη EV(d1) = EV(d2), νπόηε 60 – 50p = 20 + 50p p = 0.40. Αλάινγα ζην ζεκείν Γ

είλαη EV(d2) = EV(d3), νπόηε 20 + 50p = 80p p = 0.67.

Κηλνύκελνη επνκέλσο πάλσ ζην ηεζιαζκέλν επζύγξακκν ηκήκα ΑΒΓΓ έρνπκε

γηα p < 0.40, βέιηηζηε απόθαζε είλαη ε d1,

γηα p = 0.40, ηόζν ε d1 όζν θαη ε d2 είλαη βέιηηζηεο απνθάζεηο,

γηα 0.40 < p < 0.67, βέιηηζηε απόθαζε είλαη ε d2,

γηα p = 0.67, ηόζν ε d2 όζν θαη ε d3 είλαη βέιηηζηεο απνθάζεηο,

γηα p > 0.67, βέιηηζηε απόθαζε είλαη ε d3.

EV(d1)

EV(d2)

EV(d3)

ΘΔΜΑ 5ο

Καζώο ε αλάιπζε επηθεληξώλεηαη ζηνλ αξηζκό ησλ πηήζεσλ κε αθεηεξία ην Los Angeles θαη

πξννξηζκό ην Chicago, πξόθεηηαη γηα πξόβιεκα εύξεζεο ηεο κέγηζηεο ξνήο από έλα θόκβν πεγή (1),

πξνο έλα θόκβν δέθηε (8).

Ξεθηλάκε ινηπόλ επηιέγνληαο απζαίξεηα έλα κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα ξνήο από

ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Έλα ηέηνην κνλνπάηη είλαη γηα παξάδεηγκα ην κνλνπάηη 1-2-4-7-8. Η κέγηζηε

δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε 7 κνλάδεο όπσο θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή ηνπ

κε ηελ κηθξόηεξε δπλακηθόηεηα ξνήο, δειαδή ηηο αθκέο 2-4 θαη 4-7 (min10, 7, 7, 8 = 7). Έηζη,

ζηέιλνπκε 7 πηήζεηο κέζσ ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ από ηελ πεγή 1 πξνο ην δέθηε 8 θαη αλαπξνζαξκόδνπκε

θαηάιιεια ηηο ξνέο ησλ αθκώλ πνπ ζπκκεηέρνπλ. ην ζρήκα 1 απεηθνλίδεηαη ε πξώηε επαλάιεςε.

Μεηά ηνλ θόκβν 1 ζεκεηώλνπκε κνλνπάηη θαη ξνή. πλνιηθή ξνή: 7 κνλάδεο.


πλερίδνπκε κε ην κνλνπάηη (απζαίξεηα) 1 – 4 – 2 – 6 – 8, πνπ έρεη ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα

ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ απηνύ είλαη ίζε κε 6 κνλάδεο

πνπ θαζνξίδεηαη από ηελ αθκή 6–8 πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε δπλακηθόηεηα ξνήο αλάκεζα ζηηο αθκέο ηνπ

κνλνπαηηνύ. Έηζη, ζηέιλνπκε 6 πηήζεηο από ην κνλνπάηη απηό θαη αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ

αθκώλ. ην ζρήκα 2 απεηθνλίδεηαη ε δεύηεξε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε δηαηεξήζεη θαη ηελ πξώηε

επαλάιεςε ρσξίο ηα βέιε αιιά κε έληνλεο αθκέο κόλν.

πλνιηθή ξνή: 7 + 6 = 13 πηήζεηο.


ηε ζπλέρεηα, επηιέγνπκε ην κνλνπάηη 1 – 3 – 4 – 8. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ είλαη ίζε κε

4 κνλάδεο θαη θαζνξίδεηαη από δύν αθκέο ειάρηζηεο δπλακηθόηεηαο ξνήο κέζα ζην κνλνπάηη, ηηο 3–4

θαη 4–8. Έηζη, απνζηέιινπκε 4 πηήζεηο από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη

αλαπξνζαξκόδνπκε ηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 3 απεηθνλίδεηαη ε ηξίηε επαλάιεςε, ελώ έρνπκε

δηαηεξήζεη ηηο πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο.

πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 7 + 6 + 4 = 17 πηήζεηο.


πλερίδνπκε, επηιέγνληαο ηώξα ην κνλνπάηη 1 – 3 – 5 – 7 – 8. Η δπλακηθόηεηα ξνήο ηνπ κνλνπαηηνύ

είλαη ίζε κε 1 κνλάδα θαη θαζνξίδεηαη δύν αθκέο ειάρηζηεο δπλακηθόηεηαο ξνήο κέζα ζην κνλνπάηη,

ηηο 1–3 θαη 7–8. Έηζη, απνζηέιιεηαη 1 πηήζε από ην κνλνπάηη απηό από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε θαη

ζηε ζπλέρεηα γίλεηαη αλαπξνζαξκνγή ζηηο ξνέο ησλ αθκώλ. ην ζρήκα 4 απεηθνλίδεηαη ε ηέηαξηε

επαλάιεςε, ελώ έρνπλ δηαηεξεζεί νη πξνεγνύκελεο επαλαιήςεηο.

πλνιηθή ξνή κέρξη ηώξα: 7 + 6 + 4 + 1 = 18 πηήζεηο. τήμα 4 – 4


Η άριζηη λύζη

Από ην ζρήκα 4 δηαπηζηώλνπκε όηη δελ ππάξρεη άιιν κνλνπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δπλακηθόηεηα

ξνήο από ηελ πεγή πξνο ην δέθηε, νπόηε ε κέγηζηε ξνή ηζνύηαη κε 18 κνλάδεο. Γειαδή:

7 πηήζεηο ζηε γξακκή Los Angeles – Salt Lake City – Denver – St. Louis – Chicago,

6 πηήζεηο ζηε γξακκή Los Angeles – Denver – Salt Lake City – Kansas City – Chicago,

4 πηήζεηο ζηε γξακκή Los Angeles – Phoenix – Denver – Chicago, θαη

1 πηήζε ζηε γξακκή Los Angeles – Phoenix – Dallas - St. Louis – Chicago.

Σα δξνκνιόγηα απεηθνλίδνληαη κε ηηο έληνλεο γξακκέο ζην ζρήκα 4.

Από ηε θύζε ηοσ αιγορίζκοσ ηες κέγηζηες ροής, είλαη ποιύ πηζαλόλ λα κελ σπάρτεη κόλο κία

ζσγθεθρηκέλε θαη κολαδηθή ζεηρά ζηε ροή ηφλ επαλαιήυεφλ θαη ζηε ζσιιογή ηφλ κολοπαηηώλ,

αθού ζε θάζε επαλάιευε, ηο κολοπάηη κε ζεηηθή (κε κεδεληθή) δσλακηθόηεηα ροής από ηελ πεγή

προς ηο δέθηε, προζδηορίδεηαη ασζαίρεηα. Μάιηζηα, σπάρτοσλ ελαιιαθηηθά κολοπάηηα ηα οποία

επίζες επηησγτάλοσλ ηε κέγηζηε ροή θαη ασηό ζσκβαίλεη ζτεδόλ πάληα ζηα προβιήκαηα ασηού ηοσ

ηύποσ. Σε θάζε περίπηφζε όκφς, ζηελ άρηζηε ιύζε ε κέγηζηε ροή πρέπεη λα είλαη 18 κολάδες θαη

ασηή έπρεπε λα εληοπηζηεί, ηασηότρολα κε ηης θαηάιιειες ροές επάλφ ζηης αθκές.

ΘΔΜΑ 6ο

Δρώηημα 1

Πξόθεηηαη γηα έλα παίγλην δύν παηθηώλ μηδενικού αθροίζμαηος. Όπσο βιέπνπκε ζηoλ παξαθάησ

πίλαθα, ε εθαξκνγή ηνπ θξηηεξίνπ minimax απεπζείαο ζηνλ πίλαθα πιεξσκώλ ηνπ παίθηε Α ρσξίο

δηαγξαθή ησλ ππνδεέζηεξσλ ζηξαηεγηθώλ, αδπλαηεί λα καο δώζεη ακηγείο ζηξαηεγηθέο θαη

ππνδεηθλύεη ηελ αλππαξμία ζεκείνπ ηζνξξνπίαο. Πξάγκαηη, ε Maximin ηηκή ηνπ παίθηε Α

(πγγξαθέαο) είλαη ίζε κε 100 (ηνκή ησλ ζηξαηεγηθώλ Α3 θαη Β3) θαη ε Minimax ηηκή ηνπ παίθηε Β

(Δθδόηεο) είλαη ίζε κε 120 (ηνκή ησλ ζηξαηεγηθώλ Α1 θαη Β3).


Α1 80 120 120 80

Α2 160 90 80 80

Α3 140 140 100 100 100

Col Max 160 140 120

Minimax 120 120≠100

Δρώηημα 2

Αθνύ δελ ππάξρεη θνηλό ζεκείν ηζνξξνπίαο (δειαδή δελ ππάξρνπλ αληίζηνηρεο ακηγείο ζηξαηεγηθέο

πνπ ζα κπνξνύζαλ λα ηζνξξνπήζνπλ νη δύν παίθηεο) ζα πξνρσξήζνπκε ζηνλ εληνπηζκό κεηθηώλ

ζηξαηεγηθώλ. πλερίδνπκε κε ηε δηαγξαθή ησλ ππνδεέζηεξσλ ζηξαηεγηθώλ. Γελ ππάξρεη ππνδεέζηεξε

ζηξαηεγηθή από ηελ πιεπξά ηνπ παίθηε Α. Από ηελ πιεπξά ηνπ παίθηε Β ε ζηξαηεγηθή Β2 είλαη

ππνδεέζηεξε ηεο Β3. Έηζη, κεηώλεηαη ε δηάζηαζε ηνπ πίλαθα πιεξσκώλ ν νπνίνο δίλεη ηνλ αθόινπζν

πίλαθα δηάζηαζεο 3 2, όπνπ δελ ππάξρνπλ άιιεο ππνδεέζηεξεο ζηξαηεγηθέο.

Β1

y1

Β3

y3

Α1 80 120

Α2 160 80

Α3 140 100

ηε ζπλέρεηα εθαξκόδνπκε ηε γξαθηθή δηαδηθαζία επίιπζεο. Ολνκάδνπκε y1 ηελ πηζαλόηεηα ν παίθηεο

Β λα αθνινπζήζεη ηε ζηξαηεγηθή Β1 θαη y3 ηελ πηζαλόηεηα λα εθαξκόζεη ηε ζηξαηεγηθή Β3 κε y1 + y3

= 1. Γηα ηνλ παίθηε Β πνπ έρεη δύν ζηξαηεγηθέο δηαηππώλνπκε ηηο αθόινπζεο ζρέζεηο:

V(B, A1) = 80y1 + 120y3

V(B, A2) = 160y1 + 80y3

V(B, A3) = 140y1 + 100y3

Φέξνπκε δύν παξάιιεινπο θαηαθόξπθνπο άμνλεο κε ίδηα θιίκαθα κέηξεζεο πνπ απέρνπλ κεηαμύ ηνπο

κία κνλάδα θαη νη νπνίνη αληηπξνζσπεύνπλ ηηο δύν ζηξαηεγηθέο ηνπ παίθηε B. Ο νξηδόληηνο άμνλαο

παξηζηάλεη ηηο ηηκέο ηεο πηζαλόηεηαο y. ηε ζπλέρεηα θέξνπκε ηα επζύγξακκα ηκήκαηα πνπ

παξηζηάλνπλ ηηο πιεξσκέο ζηνλ παίθηε Α, δειαδή ηα V(B, Ai), i=1,2,3 πνπ βξήθακε παξαπάλσ.

Γηα λα ραξάμνπκε ηα ηξία απηά επζύγξακκα ηκήκαηα αξθεί λα ζπλδέζνπκε ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο από

ηνλ πίλαθα πιεξσκώλ ζηνπο δύν άμνλεο θαη πην ζπγθεθξηκέλα, γηα λα ραξάμνπκε ηελ επζεία πνπ

αληηζηνηρεί ζην V(B, A1) ζπλδένπκε ην 80 κε ην 120, γηα ην V(B, A2) ζπλδένπκε ην 160 κε ην 80 θαη

γηα ηελ επζεία V(B, A3) ζπλδένπκε ην 140 κε ην 100. Γελ έρεη ζεκαζία αλ ρξεζηκνπνηήζνπκε πξώηα

ηνλ αξηζηεξό ή ην δεμηό θαηαθόξπθν άμνλα γηα ηε δηαδηθαζία ηεο ράξαμεο. ην ζρήκα καο, νη ηηκέο

ηεο ζηήιεο ηεο Β3 είλαη ζηνλ δεμηό θαηαθόξπθν άμνλα θαη ηεο Β1 ζηνλ αξηζηεξό αιιά απηό ζα

κπνξνύζε λα ήηαλ θαη αληίζηξνθα ρσξίο πξόβιεκα. Απιώο, ζηελ πεξίπησζε απηή ζα είρακε έλα

ζπκκεηξηθό (σο πξνο απηό πνπ απεηθνλίδεηαη εδώ) ζρήκα, κε ηα ίδηα απνηειέζκαηα.

Δπεηδή ν παίθηεο Β επηιέγεη minimax ζηξαηεγηθή, απηό ζεκαίλεη όηη επηιέγεη ην ειάρηζην από ηα

κέγηζηα. Άξα ζα αθνινπζήζεη ηελ ηεζιαζκέλε γξακκή πνπ βξίζθεηαη ζηελ αλώηεξε πεξηνρή ηνπ

ζρήκαηνο θαη ε νπνία παξνπζηάδεηαη κε έληνλε θόθθηλε γξακκή. Δπάλσ ζ’ απηήλ, ζα επηιέμεη ην

ρακειόηεξν (minimax) ζεκείν, δειαδή όπσο ζεκεηώλεηαη, ην ζεκείν Κ. πλεπώο, ε ζηξαηεγηθή A2

ηνπ παίθηε A απνξξίπηεηαη αθνύ δελ ζπκκεηέρεη ζηνλ θαζνξηζκό ηνπ minimax ζεκείνπ (Κ) θαη ε

δηάζηαζε ηνπ πξνβιήκαηνο γίλεηαη 2x2 κε ηνλ αθόινπζν πίλαθα πιεξσκώλ ζηνλ νπνίν

αληηθαηαζηήζακε ηηο πηζαλόηεηεο y1 θαη y3 κε y θαη 1-y. Δπίζεο πξνζζέζακε ηηο πηζαλόηεηεο x θαη 1-x

γηα ηνλ παίθηε Α.

Β1

y

Β3

1-y

Α1 x 80 120

Α3 1-x 140 100

ην ζρήκα, κε ηα πξάζηλα βέιε ζεκεηώλεηαη ην ζεκείν ζην νπνίν βξίζθεηαη ε βέιηηζηε ηηκή ηεο

πηζαλόηεηαο y3 πνπ είλαη 0,75 θαη ε αληίζηνηρε ηηκή ηνπ παηγλίνπ ζηνλ θάζεην άμνλα (V=110). Γηα λα

εληνπίζνπκε όκσο κε αθξίβεηα ηηο ηηκέο ζπλερίδνπκε αιγεβξηθά.

Δπηιύνπκε ινηπόλ ην παίγλην σο πξόβιεκα δηάζηαζεο 2 2.

Γηα ηνλ παίθηε B έρνπκε όηη V(B, A1)=V(B, A3) από όπνπ πξνθύπηεη όηη:

80y + 120(1-y) = 140y +100(1-y) πνπ δίλεη -40y + 120 = 40y + 100 πνπ δίλεη 80y = 20. Άξα y = 1/4

θαη 1-y = 3/4. ην ζρήκα, ππνδεηθλύεηαη κε βέινο, ην ζεκείν ηεο πηζαλόηεηαο 1-y = 0,75 (ηεο

ζηξαηεγηθήο Β3) θαη ε y είλαη θπζηθά ίζε κε 0,25.

Η ηηκή ηνπ παηγλίνπ βξίζθεηαη κε αληηθαηάζηαζε ησλ πηζαλνηήησλ απηώλ ζε νπνηνδήπνηε από ηα V(Β,

Α1) ή V(Β, Α3) δειαδή είλαη V = 80 (1/4) + 120 (3/4) = 110 (όπσο θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα).

Γηα ηνλ παίθηε Α, έρνπκε όηη:

V(A, B1) = 80x + 140(1-x) = -60x + 140

V(A, B3) = 120x + 100(1-x) = 20x + 100

Θέηνληαο V(A, B1) = V(A, B3) παίξλνπκε 80x = 40, άξα x = 1/2 νπόηε 1-x = 1/2.

Η ηηκή ηνπ παηγλίνπ επαιεζεύεηαη μαλά κε αληηθαηάζηαζε ησλ πηζαλνηήησλ απηώλ ζε νπνηνδήπνηε

από ηα V(A, B1) ή V(A, B4) δειαδή είλαη γηα παξάδεηγκα:

V = V(A, B1) = -60 (1/2) + 140 = 110 (ε ηηκή απηή θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα).

πλνςίδνληαο, ην απνηέιεζκα είλαη ην εμήο :

Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηνλ παίθηε Α: (1/2, 0, 1/2)

Μεηθηή ζηξαηεγηθή γηα ηνλ παίθηε Β: (1/4, 0, 3/4)

Σηκή ηνπ παηγλίνπ V = 110.

Δπνκέλσο, καθξνπξόζεζκα, αλακέλεηαη όηη ε ακνηβή ηνπ ζπγγξαθέα αλέξρεηαη θαηά κέζν όξν ζηα

110.000 επξώ. Απηό ζεκαίλεη όηη εάλ πνιιά ηέηνηα ζπκβόιαηα ππνγξαθνύλ θαζώο εμειίζζεηαη ν

ρξόλνο, ην παξαπάλσ κνληέιν δίλεη ηελ κέζε απόδνζε θαη ηε βέιηηζηε ζηξαηεγηθή γηα ηνπο δύν

παίθηεο.

ΘΔΜΑ 7ο

Αξρηθά, ζα πξέπεη λα δηακνξθώζνπκε ην tableau πνπ δόζεθε ζε ηξόπν ώζηε λα ελζσκαηώλεηαη ε απαίηεζε

απνζηνιήο γηα ηνπιάρηζηνλ 100 θνύηεο θαξκάθνπ από Chicago ζε Boston. Γηα ην ζθνπό απηό ρσξίδνπκε ζηα

δύν ηε γξακκή πνπ αληηζηνηρεί ζην Chicago : κία γξακκή πνπ εμαθνινπζεί λα επηγξάθεηαη Chicago θαη κία

δεύηεξε γξακκή κε ηελ επηγξαθή (έζησ) C2. H δηαζεζηκόηεηα ηεο θαηλνύξηαο γξακκήο είλαη 100, θαη ην κόλν

θειί ζην νπνίν κπνξεί λα ζηείιεη πξντόληα είλαη ην Boston. ε όια ηα άιια θειηά απαγνξεύνπκε ηελ απνζηνιή

πξντόλησλ ζέηνληαο απιά ην θόζηνο κεηαθνξάο ίζν κε Μ (Μ ). Φπζηθά, από ηε δηαζεζηκόηεηα ησλ 1,000

ηεκαρίσλ ηεο γξακκήο Chicago, πξέπεη λα αθαηξεζνύλ 100 κνλάδεο.


Chicago 13

4

6

11

900

C2 13

Μ

Μ

Μ

100

Memphis 10

5

3

9

800

New Orleans 12

7

2

8

700

500 750 800 450

Υξεζηκνπνηώληαο ηε κέζνδν Vogel γηα ηελ εύξεζε κηαο αξρηθήο βαζηθήο εθηθηήο ιύζεο ηνπ

πξνβιήκαηνο, παίξλνπκε σο ηέηνηα ηελ :

1 2 1 3 2 3 1 3 2 2 1 1 1 2 1 1 1

Προσφορά

7

2

2

2

2

13

4

750

6

11

150

900

900

900

900

900

150

Μ-13

13

100

Μ

Μ

Μ

100

0

4

2

2

2

2

10

400

5

3

100

9

300

800

800

800

400

300

300

5

5

12

7

2

700

8

700

700

0

Ζήτηση 500 400 400

0

750 750 750 750 750 0

800 800 100 100 0

450 450 450 450 450 450

Η ιύζε απηή έρεη 7 ζεηηθέο ζπληζηώζεο θαη ζπλεπώο είλαη κε εθθπιηζκέλε. Βξίζθνληαο ηα δπλακηθά ui, vj θαη


ιύζε απηή είλαη ε βέιηηζηε (δij 0 i, j) θαη ζπλεπάγεηαη ζπλνιηθό θέξδνο ηεο ηάμεο ησλ 14,350 ρξεκαηηθώλ

κνλάδσλ.

v

u

12 4 5 11

0

-1 13

4

750

-1 6

11

150

900

1

13

100

5-Μ Μ

6-Μ Μ

12-Μ Μ

100

-2

10

400

-2 5

3

100

9

300

800

-3

-3 12

-6 7

2

700

-6 8

700

500 750 800 450

Οπόηε, επαλαθέξνληαο ζην tableau ηε δνζείζα πξαγκαηηθή κνξθή έρνπκε σο βέιηηζην ζρέδην κεηαθνξάο ην :


Chicago 13

100

4

750

6

11

150

1,000

Memphis 10

400

5

3

100

9

300

800

New Orleans 12

7

2

700

8

700

500 750 800 450 2500

ΘΔΜΑ 8ο

A 0 2 B 2 5

2 0 2 3 2 5

E 5 6 F 6 8

START 1 10 11 2 11 13 I 13 15

FINISH 2 13 15

G 5 9 H 9 13

4 5 9 4 9 13

C 0 2 D 2 4

2 1 3 2 3 5

ΓΡΑΣΗΡΙΟΣΗΣΑ ΥΡΟΝΙΚΟ ΠΔΡΙΘΩΡΙΟ

A 0

B 0

C 1

D 1

E 5

F 5

G 0

H 0

I 0

Αλακελόκελε Κξίζηκε Γηαδξνκή: A – B – G – H – I

Αλακελόκελνο ρξόλνο νινθιήξσζεο ηνπ έξγνπ: 15 εβδομάδες.

Η αλακελόκελε θξίζηκε δηαδξνκή έρεη κέζε ηηκή κ = 15 θαη δηαζπνξά ζ2 ≈ (1.028)

2. Σόηε

15 15

Prob 0.99 2.33 17.391.028 1.028

Z

θη άξα ζα πξέπεη λα μεθηλήζνπλ λα εξγάδνληαη 17.4 εβδνκάδεο πξηλ ηελ εκεξνκελία έλαξμεο ηεο

κεηεθπαίδεπζεο

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2012



ΘΕΜΑ 1ο

Η UCC είναι μια μικρή εταιρεία παραγωγής εντομοκτόνων. Σε κάποιο σημείο του εργοστασίου της έχει κατασκευάσει ένα

τεράστιο βαρέλι χωρητικότητας 100,000 λίτρων στο οποίο αποθηκεύει κάποιο δηλητηριώδες χημικό συστατικό το οποίο

χρησιμοποιεί στην παραγωγή των εντομοκτόνων. Συνήθως το βαρέλι γεμίζει μέχρι του επιπέδου των 80,000 έως 90,000 λίτρων

και στη συνέχεια το περιεχόμενό του κατευθύνεται μέσω μιας σειράς σωλήνων προς άλλα σημεία του εργοστασίου, όπου

και αναμιγνύεται με άλλα συστατικά προκειμένου να δημιουργηθούν τα εντομοκτόνα. Στο σχήμα, ο κόμβος 1 παριστά το βαρέλι,

οι κόμβοι 2 έως 6 τα σημεία μίξης (παραγωγής των εντομοκτόνων), και ο κόμβος 7 την περιοχή όπου καταλήγουν τα απόβλητα

της παραγωγικής διαδικασίας, σ’ ένα μεγάλο ασφαλή σημείο ταφής τους.

Η ροή του χημικού μέσα στις σωλήνες είναι σχετικά αργή και σε καμία περίπτωση δεν φτάνει τη δυναμικότητα των σωλήνων.

Εν τούτοις, το πλάνο ασφάλειας της UCC απαιτεί την ύπαρξη μιας διαδικασίας έκτακτης εκκένωσης του βαρελιού προς το

σημείο ασφαλούς ταφής. Στην περίπτωση αυτή, η εταιρεία πρέπει να κλίσει τις βαλβίδες στα σημεία μίξης σε τρόπο ώστε

το δηλητηριώδες περιεχόμενο του βαρελιού να αδειάσει το δυνατόν συντομότερα. Ο πίνακας που ακολουθεί, δίνει τη ροή

του κάθε σωλήνα σε χιλιάδες λίτρα το λεπτό.

Προς

1 2 3 4 5 6 7

Απ

ό

1 10 10

2 1 8 6

3 1 12 4

4 3 7

5 2 8

6 4 3 2 2

7

Χρησιμοποιείστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης προκειμένου να βρείτε ποιες βαλβίδες πρέπει να ανοίξουν

και ποιες να κλίσουν, καθώς επίσης και μια εκτίμηση του χρόνου που απαιτείται προκειμένου να αδειάσει πλήρως το περιεχόμενο

του βαρελιού στο σημείο ασφαλούς ταφής.

ΘΕΜΑ 2ο

Εταιρείες πετρελαιοειδών και φυσικού αερίου σχεδιάζουν τη δημιουργία μίας κοινοπραξίας με σκοπό την κατασκευή ενός

αγωγού φυσικού αερίου ο οποίος θα διατρέχει αρκετές ευρωπαϊκές χώρες διανέμοντας αέριο που προέρχεται από διάφορες

πηγές. Στο δίκτυο του σχήματος κάθε χώρα παριστάνεται από έναν κόμβο ενώ οι ακμές παριστάνουν κόστος διασύνδεσης

μεταξύ χωρών σε εκατομμύρια ευρώ.

1. Το αρχικό σχέδιο περιλαμβάνει την κατασκευή ενός αγωγού με όσο γίνεται μικρότερο κόστος, που θα ξεκινά από τον

κόμβο 1 (που είναι το κύριο σημείο εισόδου φυσικού αερίου στην Ευρώπη) και θα καταλήγει στον κόμβο 10 (που είναι

ο κύριος καταναλωτής – χώρα φυσικού αερίου στην Ευρώπη). Χρησιμοποιείστε την κατάλληλη μέθοδο δικτυωτής ανάλυσης

για να απαντήσετε στο ερώτημα αυτό. Ποιες άλλες χώρες επωφελούνται από τη υλοποίηση του σχεδίου αυτού;

2. Μετά την υλοποίηση του αρχικού σχεδίου που περιγράφτηκε στο πιο πάνω ερώτημα, η ΕΕ προχωρά στην εκπόνηση νέου

σχεδίου, συνολικής διασύνδεσης και των 10 χωρών του «χάρτη» ώστε όλες να έχουν πρόσβαση σε φυσικό αέριο. Βρείτε

στην περίπτωση αυτή τον κατάλληλο τρόπο σύνδεσης και των υπολοίπων στο υπάρχον δίκτυο, ώστε να έχετε συνολική

διασύνδεση με το μικρότερο συνολικό κόστος. (Το αρχικό σχέδιο σύνδεσης της χώρας 10 με τη χώρα εισόδου του φυσικού

αερίου, 1, έχει βέβαια ήδη υλοποιηθεί και υπάρχει, οπότε τις ήδη υλοποιημένες ακμές του αρχικού σχεδίου αναγκαστικά θα

πρέπει να τις κρατήσετε στη λύση σας).

ΘΕΜΑ 3ο

Εταιρεία παραγωγής όπλων επιθυμεί να προγραμματίσει την παραγωγή της καραμπίνας κυνηγίου GEXT965 για τους τρεις

πρώτους μήνες του επόμενου έτους. Σύμφωνα με τις προβλέψεις του τμήματος marketing, η ζήτηση αναμένεται να φτάσει

τα 200, 300 και 100 τεμάχια αντίστοιχα, με την παραγωγική της δυναμικότητα να είναι ίση με 240 καραμπίνες τον μήνα.

(Υποθέτουμε ότι η παραγόμενη ποσότητα ενός μήνα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καλύψει μέρος ή και ολόκληρη τη

ζήτηση του συγκεκριμένου μήνα ή να αποθηκευτεί για να πουληθεί αργότερα). Το κόστος παραγωγής εκάστης καραμπίνας

εκτιμάται σε €200 για τον μήνα Ιανουάριο, €180 για τον Φεβρουάριο και €240 για τον Μάρτιο. Επιπλέον, λόγω του έντονου

ανταγωνισμού, η εταιρεία θεωρεί αδιανόητο να μην ικανοποιήσει, έστω και αργοπορημένα, το σύνολο των παραγγελιών που

έλαβε, γεγονός το οποίο την επιβαρύνει με €60/καραμπίνα/μήνα καθυστέρησης. Από την άλλη μεριά, μια καραμπίνα η οποία

παραμένει στην αποθήκη ως απόθεμα, έχει κόστος διατήρησης €10 τον μήνα. Υποδείξτε ένα πρόβλημα μεταφοράς προκειμένου

να βρεθεί η παραγωγική διαδικασία της GEXT965 με το μικρότερο δυνατό συνολικό (: και των τριών μηνών δηλαδή) κόστος.

ΘΕΜΑ 4ο

Εταιρεία παραγωγής air-conditioners επιθυμεί να προγραμματίσει την παραγωγή του μοντέλου LIV323 για τους τρεις μήνες

του καλοκαιριού. Σύμφωνα με τις προβλέψεις του τμήματος marketing, η ζήτηση αναμένεται να φτάσει τα 2000, 3000 και

1000 τεμάχια αντίστοιχα, με την παραγωγική της δυναμικότητα να είναι ίση με 2400 air-conditioner τον μήνα. (Υποθέ-

τουμε ότι η παραγόμενη ποσότητα ενός μήνα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καλύψει μέρος ή και ολόκληρη τη ζήτηση

του συγκεκριμένου μήνα ή να αποθηκευτεί για να πουληθεί αργότερα). Το κόστος παραγωγής εκάστου air-conditioner

εκτιμάται σε €300 για τον μήνα Ιούνιο, €270 για τον Ιούλιο και €360 για τον Αύγουστο. Επιπλέον, λόγω του έντονου

ανταγωνισμού, η εταιρεία θεωρεί αδιανόητο να μην ικανοποιήσει, έστω και αργοπορημένα, το σύνολο των παραγγελιών

που έλαβε, γεγονός το οποίο την επιβαρύνει με €60/air-conditioner/μήνα καθυστέρησης. Από την άλλη μεριά, ένα air-conditioner

το οποία παραμένει στην αποθήκη ως απόθεμα, έχει κόστος διατήρησης €100 τον μήνα. Υποδείξτε ένα πρόβλημα μεταφοράς

προκειμένου να βρεθεί η παραγωγική διαδικασία του LIV323 με το μικρότερο δυνατό συνολικό (: και των τριών μηνών

δηλαδή) κόστος.

ΘΕΜΑ 5ο

Ένας πετυχημένος συγγραφέας διαπραγματεύεται με τον εκδότη του το συμβόλαιο για ένα καινούργιο μυθιστόρημα. Οι

στρατηγικές τόσο του συγγραφέα όσο και του εκδότη περιλαμβάνουν ποικίλες προτάσεις που σχετίζονται με τα δικαιώματα,

με τα ποσοστά από την πιθανή μεταφορά του μυθιστορήματος στον κινηματογράφο, προκαταβολές πληρωμών κλπ. Στους

πίνακες που ακολουθούν μελετούνται δύο διαφορετικά σενάρια (οι αριθμοί παριστάνουν τις αναμενόμενες χρηματικές εισροές

(αμοιβή), σε χιλιάδες ευρώ, του συγγραφέα (παίκτης Α) από κάθε συνδυασμό στρατηγικών με εκείνες του εκδότη (παίκτης

Β)).

Σενάριο Α

Εκδότης (Β)

Συγγραφέας

(Α)

Β1 Β2 Β3 Β4

Α1 200 300 100 500

Α2 400 100 600 0

Α3 140 200 80 400

Σενάριο Β

Εκδότης (Β)

Συγγραφέας

(Α)

Β1 Β2 Β3

Α1 100 -100 300

Α2 0 400 100

Α3 300 -200 500

Α4 -300 600 -200

1. Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να

διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας.

2. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε παίκτη

καθώς και την αναμενόμενη αμοιβή του συγγραφέα. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας

και το κατάλληλο φυσικό νόημα.

ΘΕΜΑ 6ο

Ο Γεώργιος Παπαδόπουλος, νέος επικεφαλής της γραμματείας πληροφοριακών συστημάτων του υπουργείου Οικονομικών,

υποσχέθηκε ότι το έργο της εγκατάστασης του νέου υπολογιστικού συστήματος στο υπουργείο θα ολοκληρωθεί σε 18

εβδομάδες, διαφορετικά θα παραιτηθεί. Η όλη διαδικασία εμπλέκει 14 δραστηριότητες (με την κωδική ονομασία A, B, …, Ν)

των οποίων οι χρονικές αλληλεξαρτήσεις μαζί με το χρόνο υλοποίησης της κάθε μίας εξ’ αυτών (σε εβδομάδες) δίνονται στο

κατωτέρω διάγραμμα.

1. Παραθέστε πίνακα του οποίου γραμμές θα είναι οι δέκα τέσσερις (14) δραστηριότητες του έργου και στήλες ο ενωρίτερος

χρόνος έναρξης, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης, ο βραδύτερος χρόνος έναρξης και ο βραδύτερος χρόνος λήξης εκάστης

εξ αυτών. Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή και υπολογίστε τον (ελάχιστο) χρόνο ολοκλήρωσης του έργου.

2. Στη συνέχεια, υποθέστε ότι ο χρόνος που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, είναι ο αναμενόμενος χρόνος

ολοκλήρωσης του έργου του οποίου η τυπική απόκλιση εκτιμήθηκε στις 2 εβδομάδες. Ποια είναι η πιθανότητα το έργο

αυτό να ολοκληρωθεί σε 18 εβδομάδες; Εάν ο κ. Παπαδόπουλος ήθελε να είναι 99% βέβαιος ότι το έργο θα ολοκληρωθεί

χωρίς τον κίνδυνο της παραίτησής του, ποιο χρόνο έπρεπε να είχε προσδιορίσει για την υλοποίησή του;

Δίνεται: P(0 ≤ Z ≤ 1.21) = 0.3869, P(0 ≤ Z ≤ 2.24) = 0.4875, P(0 ≤ Z ≤ 1.65) = 0.4505, P(0 ≤ Z ≤ 1.00) = 0.3413

ΘΕΜΑ 7ο

Η Lockhead Aircraft Co προετοιμάζεται για την ανάπτυξη ενός νέου μαχητικού αεροπλάνου για λογαριασμό της αεροπορίας

των ΗΠΑ. Στο συμβόλαιο που έχει υπογράψει με το Υπουργείο Άμυνας έχει δεσμευτεί για την υλοποίηση του εγχειρήματος

εντός 92 εβδομάδων, αλλιώς υποχρεώνεται στην καταβολή προστίμων. Η όλη διαδικασία εμπλέκει 10 δραστηριότητες (με

την κωδική ονομασία A, B, …, J) των οποίων οι χρονικές αλληλεξαρτήσεις δίνονται στο κατωτέρω διάγραμμα. Δίνεται

ακόμα πίνακας με το χρόνο υλοποίησης της κάθε μίας εξ’ αυτών (σε εβδομάδες).

Απαιτούμενος χρόνος υλοποίησης των δραστηριοτήτων (εβδομάδες)

A B C D E F G H I J

32 28 36 16 32 54 17 20 34 18

1. Παραθέστε πίνακα του οποίου γραμμές θα είναι οι δέκα (10) δραστηριότητες του έργου και στήλες ο ενωρίτερος

χρόνος έναρξης, ο ενωρίτερος χρόνος λήξης, ο βραδύτερος χρόνος έναρξης και ο βραδύτερος χρόνος λήξης εκάστης

εξ αυτών. Υποδείξτε την κρίσιμη διαδρομή και υπολογίστε τον (ελάχιστο) χρόνο ολοκλήρωσης του έργου.

2. Στη συνέχεια, υποθέστε ότι ο χρόνος που υπολογίσατε στο προηγούμενο ερώτημα, είναι ο αναμενόμενος χρόνος

ολοκλήρωσης του έργου του οποίου η τυπική απόκλιση εκτιμήθηκε στις 6.6 εβδομάδες. Ποια είναι η πιθανότητα το

έργο αυτό να ολοκληρωθεί σε 92 εβδομάδες; Εάν η Lockhead θέλει να είναι 95% βέβαιη ότι το έργο θα ολοκληρωθεί

χωρίς να υποχρεωθεί στην καταβολή προστίμου, ποιο χρόνο έπρεπε να είχε προσδιορίσει για την υλοποίησή του στην

προσφορά της;

Δίνεται: P(0 ≤ Z ≤ 1.21) = 0.3869, P(0 ≤ Z ≤ 2.24) = 0.4875, P(0 ≤ Z ≤ 1.65) = 0.4505, P(0 ≤ Z ≤ 1.00) = 0.3413

ΘΕΜΑ 1ο

Καθώς η ανάλυση επικεντρώνεται στη μεταφορά ολόκληρου του περιεχομένου του βαρελιού προς το

σημείο ασφαλούς ταφής, πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της μέγιστης ροής από ένα κόμβο-πηγή (1)

προς ένα κόμβο-δέκτη (7):

Ξεκινάμε λοιπόν επιλέγοντας αυθαίρετα ένα μονοπάτι με θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα ροής από

την πηγή προς το δέκτη. Ένα τέτοιο μονοπάτι είναι για παράδειγμα το μονοπάτι 1-2-4-7. Η μέγιστη

δυναμικότητα ροής του μονοπατιού αυτού είναι ίση με 7 μονάδες όπως καθορίζεται από την ακμή του

με την μικρότερη δυναμικότητα ροής, δηλαδή την ακμή 4-7 (min10, 8, 7 = 7). Έτσι, στέλνουμε 7

χιλιάδες λίτρα μέσω του μονοπατιού αυτού από την πηγή 1 προς το δέκτη 7 και αναπροσαρμόζουμε

κατάλληλα τις ροές των ακμών που συμμετέχουν. Στο σχήμα 1 απεικονίζεται η πρώτη επανάληψη.

Μετά τον κόμβο 1 σημειώνουμε μονοπάτι και ροή. Συνολική ροή: 7 μονάδες (χιλιάδες λίτρα χημικού

συστατικού).

Σχήμα 1 – 1η επανάληψη

Συνεχίζουμε με το μονοπάτι (αυθαίρετα) 1 – 3 – 5 – 7, που έχει θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα

ροής από την πηγή προς το δέκτη. Η δυναμικότητα ροής του μονοπατιού αυτού είναι ίση με 8 μονάδες

που καθορίζεται από την ακμή 5–7 που έχει την ελάχιστη δυναμικότητα ροής ανάμεσα στις ακμές του

μονοπατιού. Έτσι, μπορούμε να στείλουμε 5 χιλιάδες λίτρα του δηλητηριώδους χημικού συστατικού

από το μονοπάτι αυτό. Αναπροσαρμόζουμε τις ροές των ακμών. Στο σχήμα 2 απεικονίζεται η δεύτερη

επανάληψη, ενώ έχουμε διατηρήσει και την πρώτη επανάληψη (χωρίς βέλη).

Συνολική ροή: 7 + 8 = 15 χιλιάδες λίτρα χημικού συστατικού.


Συνεχίζουμε, επιλέγοντας τώρα το μονοπάτι 1 – 3 – 6 – 7. Η δυναμικότητα ροής του μονοπατιού είναι

ίση με 2 μονάδες και καθορίζεται από την ακμή 6–7 που έχει την ελάχιστη δυναμικότητα ροής

ανάμεσα στις ακμές του μονοπατιού. Έτσι, αποστέλλονται 2 χιλιάδες λίτρα από το μονοπάτι αυτό από

την πηγή προς το δέκτη και στη συνέχεια γίνεται αναπροσαρμογή στις ροές των ακμών. Στο σχήμα 3

απεικονίζεται η τρίτη επανάληψη, ενώ έχουν διατηρηθεί οι προηγούμενες επαναλήψεις.

Συνολική ροή μέχρι τώρα: 7 + 8 + 2 = 17 χιλιάδες λίτρα χημικού συστατικού.


Η άριστη λύση

Από το σχήμα 3 διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει άλλο μονοπάτι με θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα

ροής από την πηγή προς το δέκτη, οπότε η μέγιστη ροή ισούται με 17 χιλιάδες λίτρα. Συνεπώς, σε

περίπτωση έκτακτης ανάγκης, θα πρέπει να ανοίξουν οι βαλβίδες οι οποίες συνδέουν τα σημεία

(κόμβους) 1-2, 1-3, 2-4, 3-5, 3-6, 4-7, 5-7 και 6-7. Εάν το βαρέλι ήταν γεμάτο με 100,000 λίτρα θα

χρειαζόταν περί τα 100,000/17,000 = 5.88 λεπτά για να αδειάσει όλο το περιεχόμενό του στο ασφαλές

σημείο ταφής.

Σημείωση

Από τη φύση του αλγορίθμου της μέγιστης ροής, είναι πολύ πιθανόν να μην υπάρχει μόνο μία

συγκεκριμένη και μοναδική σειρά στη ροή των επαναλήψεων και στη συλλογή των μονοπατιών,

αφού σε κάθε επανάληψη, το μονοπάτι με θετική (μη μηδενική) δυναμικότητα ροής από την πηγή

προς το δέκτη, προσδιορίζεται αυθαίρετα. Μάλιστα, υπάρχουν εναλλακτικά μονοπάτια τα οποία

επίσης επιτυγχάνουν τη μέγιστη ροή και αυτό συμβαίνει σχεδόν πάντα στα προβλήματα αυτού του

τύπου. Σε κάθε περίπτωση όμως, στην άριστη λύση η μέγιστη ροή πρέπει να είναι 17 μονάδες και

αυτή έπρεπε να εντοπιστεί, ταυτόχρονα με τις κατάλληλες ροές επάνω στις ακμές.

ΘΕΜΑ 2ο

ερώτημα 1: Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής.

Πρώτος λυμένος κόμβος καθίσταται η αφετηρία με απόσταση 0 (από τον εαυτό της).

Κόμβοι με προσωρινές διαδρομές:

κόμβος 2, με «απόσταση» 400 εκατομμύρια ευρώ από την αφετηρία,

κόμβος 4, με «απόσταση» 520 εκατομμύρια ευρώ από την αφετηρία και

κόμβος 8, με «απόσταση» 750 εκατομμύρια ευρώ ομοίως.

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 2 με ελάχιστη «απόσταση» 400 μονάδες οπότε

το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 2.

Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 2 στους μόνιμους:

κόμβος 4, με «απόσταση» 520 μονάδες, απευθείας από την αφετηρία,


κόμβος 3, με «απόσταση» 850 μονάδες, μέσω του 2, και

κόμβος 4, με «απόσταση» 890 μονάδες, μέσω του 2.

Η είσοδος του κόμβου 2 δεν βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο 4 (ήταν 520 έγινε 890).

Μόνιμος καθίσταται ο κόμβος 4 που έχει προσωρινή «απόσταση» από την αφετηρία τη μικρότερη

μεταξύ αυτών με προσωρινή «απόσταση», δηλαδή 520 εκατομμύρια ευρώ απευθείας από την

αφετηρία, οπότε το σύνολο των μονίμων είναι τώρα το 1, 2, 4.

Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 4 στο σύνολο των μονίμων:


κόμβος 3, με «απόσταση» 850 μονάδες, μέσω του 2,



κόμβος 8, με «απόσταση» 760 μονάδες, μέσω του κόμβου 4.

Η είσοδος του κόμβου 4 δεν βελτίωσε την προσέγγιση ούτε προς τον κόμβο 3 (ήταν 850 έγινε 1100),

αλλά ούτε προς τον κόμβο 8 (ήταν 750 έγινε 760).

Από τους κόμβους με προσωρινό «μήκος» διαδρομής μόνιμος γίνεται ο κόμβος 8 με ελάχιστη

«απόσταση» 750 εκατομμύρια ευρώ απευθείας από την αφετηρία, οπότε το σύνολο μονίμων είναι

τώρα 1, 2, 4, 8.








Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 5 με «απόσταση» από την αφετηρία 830 εκατομμύρια ευρώ μέσω του

κόμβου 4 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 8, 5.










Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 3 με «απόσταση» από την αφετηρία 850 εκατομμύρια ευρώ μέσω του

κόμβου 2 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 8, 5, 3.






Η είσοδος του κόμβου 3 βελτίωσε την προσέγγιση προς τον κόμβο 6 (ήταν 1005 έγινε 970).

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 6 με «απόσταση» από την αφετηρία 970 εκατομμύρια ευρώ μέσω του 3 και το

σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 8, 5, 3, 6.





κόμβος 9, με «απόσταση» 1220 μονάδες μέσω του 6.


Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 7 με «απόσταση» από την αφετηρία 1020 εκατομμύρια ευρώ μέσω του 8 και

το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 8, 5, 3, 6, 7.



κόμβος 9, με «απόσταση» 1220 μονάδες μέσω του 6,

κόμβος 9, με «απόσταση» 1255 μονάδες, μέσω του κόμβου 7, και

κόμβος 10, με «απόσταση» 1340 μονάδες μέσω του 7.



Ο κόμβος 10 εισέρχεται στους μονίμους με ελάχιστη «απόσταση» 1090 εκατομμύρια ευρώ, μέσω του

κόμβου 8.

Επομένως το ελάχιστο κόστος κατασκευής είναι 1090 εκατομμύρια ευρώ. Για να βρούμε το βέλτιστο

μονοπάτι ελέγχουμε οπισθοδρομικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόμβο 10 ο οποίος μας

παραπέμπει στον κόμβο 8 και αυτός στη συνέχεια στην αφετηρία. Κατά συνέπεια, από την υλοποίηση

του σχεδίου επωφελείται και η χώρα την οποία παριστά ο κόμβος 8.

ερώτημα 2: Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου, στο οποίο όμως οι

κόμβοι 1, 8, 10 είναι συνδεδεμένοι.

Ο πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στους 1, 8, 10 είναι ο κόμβος 4 με την ακμή 8-4 μήκους

240. Έτσι, συνδεδεμένοι είναι τώρα οι κόμβοι 1, 8, 10, 4. Ο επόμενος πλησιέστερος κόμβος είναι ο

κόμβος 9, με την ακμή 10-9 μήκους 260, οπότε συνδεδεμένοι είναι τώρα οι κόμβοι 1, 8, 10, 4, 9. Ο

πλησιέστερος στους συνδεδεμένους είναι ο κόμβος 7, με την ακμή 9-7, μήκους 235. Το σύνολο των

συνδεδεμένων κόμβων είναι τώρα 1, 8, 10, 4, 9, 7. Επόμενος συνδέεται ο κόμβος 6 με τον κόμβο 7,

μέσω της ακμής 7-6 μήκους 250, οπότε το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων είναι το 1, 8, 10, 4, 9,

7, 6. (Η σύνδεση θα μπορούσε να γίνει και μέσω του ιδίου μήκους ακμής 9-6). Ο επόμενος κόμβος

που συνδέεται είναι ο κόμβος 3, με τον κόμβο 6, μέσω της ακμής 6-3 με μήκος 120. Το σύνολο των

συνδεδεμένων κόμβων γίνεται 1, 8, 10, 4, 9, 7, 6, 3. Επόμενος συνδέεται ο κόμβος 5 με τον κόμβο 6

με την ακμή 6-5 μήκους 175, οπότε το σύνολο γίνεται 1, 8, 10, 4, 9, 7, 6, 3, 5. Τελευταίος συνδέεται

ο κόμβος 2 με την ακμή 1-2 μήκους 400. Το άθροισμα των ακμών που χρησιμοποιήθηκαν είναι 2770

και είναι το ελάχιστο συνολικό, κάτω από τις προϋποθέσεις που τέθηκαν:

ΘΕΜΑ 3ο

Ξεκινάμε ορίζοντας τους σταθμούς προέλευσης και προορισμού. Συγκεκριμένα έχουμε:

Σταθμοί προέλευσης

Σημείο 1: παραγωγή μηνός Ιανουαρίου (s1 = 240)

Σημείο 2: παραγωγή μηνός Φεβρουαρίου (s2 = 240)

Σημείο 3: παραγωγή μηνός Μαρτίου (s3 = 240)

Σταθμοί προορισμού

Σημείο 1: ζήτηση μηνός Ιανουαρίου (d1 = 200)

Σημείο 2: παραγωγή μηνός Φεβρουαρίου (d2 = 300)

Σημείο 3: παραγωγή μηνός Μαρτίου (d3 = 100)

Σημείο 4: εικονική ζήτηση (d4 = 120)

Σχετικά με το κόστος μεταφοράς, έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

a) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Ιανουαρίου και της ζήτησης του ίδιου μήνα μεταφράζεται

σε κατασκευή του προϊόντος τον Ιανουάριο και πώληση τον ίδιο μήνα. Η ζήτηση του Ιανουαρίου

η οποία καλύπτεται από την παραγωγή του Ιανουαρίου έχει κόστος €200 (c11). Ανάλογα, για

τους μήνες Φεβρουάριο και Μάρτιο, οι τιμές είναι c22 = 180 και c33 = 240.

b) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Ιανουαρίου και της ζήτησης του Μαρτίου για παράδειγμα,

σημαίνει κατασκευή του προϊόντος τον Ιανουάριο και πώληση τον Μάρτιο. Συνεπώς το κόστος

c13 δημιουργείται από το άθροισμα του κόστους παραγωγής ενός όπλου τον Ιανουάριο με το

κόστος αποθήκευσης για δύο μήνες (= 200 + 10 + 10). Ανάλογα προκύπτουν οι τιμές c12 και

c23.

c) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Μαρτίου και της ζήτησης του Ιανουαρίου για παράδειγμα,

σημαίνει κατασκευή του προϊόντος τον Μάρτιο και πώληση τον Ιανουάριο προκειμένου να

καλύψει όμως ζήτηση του Ιανουαρίου. Συνεπώς το κόστος c31 δημιουργείται από το άθροισμα

του κόστους παραγωγής ενός όπλου τον Μάρτιο με την ποινή μη έγκαιρης παράδοσης για δύο

μήνες (= 240 + 60 + 60). Ανάλογα προκύπτουν οι τιμές c32 και c21.

d) Το κόστος προς τον εικονικό σταθμό ζήτησης είναι φυσικά μηδενικό, αφορά προϊόντα τα οποία

δεν πρόκειται να κατασκευαστούν.

Με αυτή τη συλλογιστική διαμορφώνεται η ακόλουθη δομή (tableau) προβλήματος μεταφοράς.

Ιανουάριος Φεβρουάριος Μάρτιος Εικονικός

Ιανουάριος 200

210 2200 0

240

Φεβρουάριος 240

180 190 0

240

Μάρτιος 360

300 240 0

240

200 300 100 120 720

Από τη βέλτιστη λύση (δεν ζητείται) προκύπτει ότι:

τον Ιανουάριο πρέπει να κατασκευαστούν 240 όπλα, 200 εκ των οποίων θα καλύψουν τη

ζήτηση του Ιανουαρίου και 40 θα αποθηκευτούν για ένα μήνα προκειμένου να καλύψουν μέρος

της ζήτησης του Φεβρουαρίου (x11 = 200, x12 = 40).

Εδώ η συνολική προσφορά για τους τρεις μήνες είναι 720 όπλα ενώ η συνολική ζήτηση 600, και συνεπώς θα πρέπει να

προσθέσουμε έναν εικονικό σταθμό προορισμού με ζήτηση 720 - 600 = 120 όπλα.

τον Φεβρουάριο πρέπει να κατασκευαστούν 240 όπλα τα οποία θα καλύψουν ένα άλλο μέρος

της ζήτησης του Φεβρουαρίου (x22 = 240).

τον Μάρτιο πρέπει να κατασκευαστούν 120 όπλα, 100 εκ των οποίων θα καλύψουν τη ζήτηση

του Μαρτίου και 20 θα καλύψουν (αναδρομικά) την υπόλοιπη ζήτηση του Φεβρουαρίου (x32 =

20, x33 = 100, x34 = 120).

ΘΕΜΑ 4ο

Ξεκινάμε ορίζοντας τους σταθμούς προέλευσης και προορισμού. Συγκεκριμένα έχουμε:

Σταθμοί προέλευσης

Σημείο 1: παραγωγή μηνός Ιουνίου (s1 = 2400)

Σημείο 2: παραγωγή μηνός Ιουλίου (s2 = 2400)

Σημείο 3: παραγωγή μηνός Αυγούστου (s3 = 2400)

Σταθμοί προορισμού

Σημείο 1: ζήτηση μηνός Ιουνίου (d1 = 2000)

Σημείο 2: παραγωγή μηνός Ιουλίου (d2 = 3000)

Σημείο 3: παραγωγή μηνός Αυγούστου (d3 = 1000)

Σημείο 4: εικονική ζήτηση (d4 = 1200)

Σχετικά με το κόστος μεταφοράς, έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

e) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Ιουνίου και της ζήτησης του ίδιου μήνα μεταφράζεται σε

κατασκευή του προϊόντος τον Ιούνιο και πώληση τον ίδιο μήνα. Η ζήτηση του Ιουνίου η οποία

καλύπτεται από την παραγωγή του Ιουνίου έχει κόστος €300 (c11). Ανάλογα, για τους μήνες

Ιούλιο και Αύγουστο, οι τιμές είναι c22 = 270 και c33 = 360.

f) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Ιουνίου και της ζήτησης του Αυγούστου για παράδειγμα,

σημαίνει κατασκευή του προϊόντος τον Ιούνιο και πώληση τον Αύγουστο. Συνεπώς το κόστος

c13 δημιουργείται από το άθροισμα του κόστους παραγωγής ενός air-conditioner τον Ιούνιο με

το κόστος αποθήκευσης για δύο μήνες (= 300 + 100 + 100). Ανάλογα προκύπτουν οι τιμές c12

και c23.

g) "Μεταφορά" μεταξύ της παραγωγής του Αυγούστου και της ζήτησης του Ιουνίου για παράδειγμα,

σημαίνει κατασκευή του προϊόντος τον Αύγουστο και πώληση τον Αύγουστο προκειμένου να

καλύψει όμως ζήτηση του Ιουνίου. Συνεπώς το κόστος c31 δημιουργείται από το άθροισμα του

κόστους παραγωγής ενός air-conditioner τον Αύγουστο με την ποινή μη έγκαιρης παράδοσης

για δύο μήνες (= 360 + 60 + 60). Ανάλογα προκύπτουν οι τιμές c32 και c21.

h) Το κόστος προς τον εικονικό σταθμό ζήτησης είναι φυσικά μηδενικό, αφορά προϊόντα τα οποία

δεν πρόκειται να κατασκευαστούν.

Με αυτή τη συλλογιστική διαμορφώνεται η ακόλουθη δομή (tableau) προβλήματος μεταφοράς.

Ιούνιος Ιούλιος Αύγουστος Εικονικός

Ιούνιος 300

400 500 0

2400

Ιούλιος 330

270 370 0

2400

Αύγουστος 480

420 360 0

2400

2000 3000 1000 1200 7200

Από τη βέλτιστη λύση (δεν ζητείται) προκύπτει ότι:

τον Ιούνιο πρέπει να κατασκευαστούν 2400 air-conditioners, 2000 εκ των οποίων θα καλύψουν

τη ζήτηση του Ιουνίου και 400 θα αποθηκευτούν για ένα μήνα προκειμένου να καλύψουν

μέρος της ζήτησης του Ιουλίου (x11 = 2000, x12 = 400).

Εδώ η συνολική προσφορά για τους τρεις μήνες είναι 7200 air-conditioners ενώ η συνολική ζήτηση 6000, και συνεπώς θα

πρέπει να προσθέσουμε έναν εικονικό σταθμό προορισμού με ζήτηση 7200 - 6000 = 1200 air-conditioners.

τον Ιούλιο πρέπει να κατασκευαστούν 2400 air-conditioners τα οποία θα καλύψουν ένα άλλο

μέρος της ζήτησης του Ιουλίου (x22 = 2400).

τον Αύγουστο πρέπει να κατασκευαστούν 1200 air-conditioners, 1000 εκ των οποίων θα

καλύψουν τη ζήτηση του Αυγούστου και 200 θα καλύψουν (αναδρομικά) την υπόλοιπη ζήτηση

του Ιουλίου (x32 = 200, x33 = 1000, x34 = 1200).

ΘΕΜΑ 5ο (Α΄ σενάριο)

Ερώτημα 1

Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Όπως βλέπουμε στoν παρακάτω

πίνακα, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς

διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, αδυνατεί να μας δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει

την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η Maximin τιμή του παίκτη Α (Συγγραφέας) είναι ίση

με 100 (τομή των στρατηγικών Α1 και Β3) και η Minimax τιμή του παίκτη Β (Εκδότης) είναι ίση με

300 (τομή των στρατηγικών Α1 και Β2).

Β1 Β2 Β3 Β4 Row Min Maximin

Α1 200 300 100 500 100 100

Α2 400 100 600 0 0

Α3 140 200 80 400 80

Col Max 400 300 600 500

Minimax 300 100≠300

Ερώτημα 2

Αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές

που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών

στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Η στρατηγική Α3

διαγράφεται ως υποδεέστερη της Α1, οπότε ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα

διάστασης 23, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές.

Β1

y1 Β2

y2 Β3

y3

Β4

Y4

Α1 x 200 300 100 500

Α2 1-x 400 100 600 0

Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε τη γραφική μέθοδο επίλυσης. Ονομάζουμε x την πιθανότητα ο παίκτης Α

να ακολουθήσει τη στρατηγική του Α1, οπότε (1-x) είναι η πιθανότητα να ακολουθήσει την Α2. Για

τον παίκτη Β ονομάζουμε y1 την πιθανότητα να ακολουθήσει τη στρατηγική του Β1, y2 να εφαρμόσει

την Β2, y3 να εφαρμόσει την Β3, και y4 να εφαρμόσει την Β4. Προφανώς y1+y2+y3+y4 =1. Για τον

παίκτη με δύο στρατηγικές (δηλαδή τον Α) έχουμε τις ακόλουθες σχέσεις:

V(A, B1) = 200x + 400(1-x) = 400 - 200x,

V(A, B2) = 300x + 100(1-x) = 100 + 200x,

V(A, B3) = 100x + 600(1-x) = 600 - 500x και

V(A, B4) = 500x + 0(1-x) = 500x.

Σύρουμε δύο παράλληλους κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους

μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν την αξία για τον παίκτη Α. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει

τις τιμές της πιθανότητας x. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές

στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(A, Bi), i=1,2,3,4)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο Β και την

πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη Α είτε της Α1 είτε της Α2. Για να χαράξουμε τα τέσσερα αυτά

ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα

πληρωμών. Δηλαδή, για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(A, B1) συνδέουμε το 400 με

το 200, για το V(A, B2) συνδέουμε το 100 με το 300, για το V(A, B3) συνδέουμε το 600 με το 100 και

για την ευθεία V(A, B4) συνδέουμε το 0 με το 500.

Επειδή ο παίκτης Α επιλέγει maximin στρατηγική, αυτό συνεπάγεται ότι επιλέγει το μέγιστο από τα

ελάχιστα. Δηλαδή θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην κατώτερη περιοχή του

σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ’ αυτήν, θα επιλέξει το

υψηλότερο σημείο. Ως εκ τούτου, οι στρατηγικές Β1 και Β4 από την πλευρά του παίκτη Β

απορρίπτονται αφού δεν συμμετέχουν στον καθορισμό του maximin σημείου και το πρόβλημα γίνεται

πρόβλημα διάστασης 22 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών στον οποίο αντικαταστήσαμε τις

πιθανότητες y2 και y3 με y και 1-y αντίστοιχα:

Β2

y

Β3

1-y

Α1 x 300 100

Α2 1-x 100 600

Στο σχήμα, με διακεκομμένη γραμμή σημειώνεται το σημείο στο οποίο βρίσκεται η βέλτιστη τιμή της

πιθανότητας x1 και η αντίστοιχη τιμή του παιγνίου στον κατακόρυφο άξονα (V). Για να εντοπίσουμε

όμως με ακρίβεια τις τιμές συνεχίζουμε αλγεβρικά.

Επιλύουμε λοιπόν το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 22: εξισώνουμε τις V(A, B2) και V(A, B3) και

έχουμε 100 + 200x = 600 - 500x που δίνει 700x = 500. Άρα x = 5/7 και 1-x = 2/7. Η τιμή του παιγνίου

βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων σε οποιοδήποτε από τα V(A, B2) ή V(A, B3) δηλαδή

είναι V = 100 + 200(5/7) = 1700/7 ≈ 242.86.

Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A1) = V(B, A2) δηλαδή 100 + 200y = 600 - 500y, που δίνει y = 5/7

και 1-y = 2/7. Αν αντικαταστήσουμε τις πιθανότητες αυτές είτε στο V(B, A1) είτε στο V(B, A2) θα

πρέπει να πάρουμε τιμή του παιγνίου ίση με V =1700/7 που βρήκαμε πριν και πράγματι έτσι είναι.

Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής:

Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α (Συγγραφέας): (5/7, 2/7, 0)

Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β (Εκδότης): (0, 5/7, 2/7, 0)

Τιμή του παιγνίου V = 1700/7

Επομένως, μακροπρόθεσμα, αναμένεται ότι η αμοιβή του συγγραφέα ανέρχεται κατά μέσο όρο περί τα

242.860 ευρώ. Αυτό σημαίνει ότι εάν πολλά τέτοια συμβόλαια υπογραφούν καθώς εξελίσσεται ο

χρόνος, το παραπάνω μοντέλο δίνει την μέση απόδοση και τη βέλτιστη στρατηγική για τους δύο

παίκτες.

ΘΕΜΑ 5ο (Β΄ σενάριο)

Ερώτημα 1

Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών μηδενικού αθροίσματος. Όπως βλέπουμε στoν παρακάτω

πίνακα, η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς

διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, αδυνατεί να μας δώσει αμιγείς στρατηγικές και

υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η Maximin τιμή του παίκτη Α

(Συγγραφέας) είναι ίση με 100 (τομή των στρατηγικών Α3 και Β3) και η Minimax τιμή του παίκτη Β

(Εκδότης) είναι ίση με 120 (τομή των στρατηγικών Α1 και Β3).


Α1 100 -100 300 -100

Α2 0 400 100 0 0

Α3 300 -200 500 -200

Α4 -300 600 -200 -300

Col Max 300 600 500

Minimax 300 0 ≠ 300

Ερώτημα 2

Αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές

που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών

στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Δεν υπάρχει υποδεέστερη

στρατηγική από την πλευρά του παίκτη Α. Από την πλευρά του παίκτη Β η στρατηγική Β3 είναι

υποδεέστερη της Β1. Έτσι, μειώνεται η διάσταση του πίνακα πληρωμών ο οποίος δίνει τον ακόλουθο

πίνακα διάστασης 42, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές.

Β1

y1

Β2

y2

Α1 100 -100

Α2 0 400

Α3 300 -200

Α4 -300 600

Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γραφική διαδικασία επίλυσης. Ονομάζουμε y1 την πιθανότητα ο παίκτης

Β να ακολουθήσει τη στρατηγική Β1 και y2 την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β2 με y1 + y2

= 1. Για τον παίκτη Β που έχει δύο στρατηγικές διατυπώνουμε τις ακόλουθες σχέσεις:

V(B, A1) = 100y1 - 100y2 = 200y1 - 100

V(B, A2) = 0y1 + 400y2 = -400y1 + 400

V(B, A3) = 300y1 - 200y2 = 500y1 - 200

V(B, A4) = -300y1 + 600y2 = -900y1 + 600

Φέρουμε δύο παράλληλους κατακόρυφους άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους

μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του παίκτη B. Ο οριζόντιος άξονας

παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Στη συνέχεια φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που

παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α, δηλαδή τα V(B, Ai), i=1,2,3,4 που βρήκαμε παραπάνω.

Για να χαράξουμε τα τέσσερα αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές

από τον πίνακα πληρωμών στους δύο άξονες και πιο συγκεκριμένα, για να χαράξουμε την ευθεία που

αντιστοιχεί στο V(B, A1) συνδέουμε το -100 με το 100, για το V(B, A2) συνδέουμε το 400 με το 0, για

το V(B, A3) συνδέουμε το -200 με το 300 και για την ευθεία V(B, A4) συνδέουμε το 600 με το -300.

Επειδή ο παίκτης Β επιλέγει minimax στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το ελάχιστο από τα

μέγιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του

σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονη κόκκινη γραμμή. Επάνω σ’ αυτήν, θα επιλέξει το

χαμηλότερο (minimax) σημείο, δηλαδή όπως σημειώνεται, το σημείο Κ. Συνεπώς, οι στρατηγικές A1

και Α4 του παίκτη A απορρίπτονται αφού δεν συμμετέχουν στον καθορισμό του minimax σημείου (Κ)

και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών στον οποίο

αντικαταστήσαμε τις πιθανότητες y1 και y2 με y και 1-y αντιστοίχως. Επίσης προσθέσαμε τις

πιθανότητες x και 1-x για τις υποδεικνυόμενες στρατηγικές, Α2 και Α3 (αντιστοίχως) του παίκτη Α.

Β1

y

Β2

1-y

Α2 x 0 400

Α3 1-x 300 -200

Στο σχήμα, με τα πράσινα βέλη σημειώνεται το σημείο στο οποίο βρίσκεται η βέλτιστη τιμή της

πιθανότητας y που είναι 0.67 και η αντίστοιχη τιμή του παιγνίου στον κάθετο άξονα (V=133.33). Για

να εντοπίσουμε όμως με ακρίβεια τις τιμές συνεχίζουμε αλγεβρικά.

Επιλύουμε λοιπόν το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 22.

Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A2)=V(B, A3) από όπου προκύπτει ότι:

0y + 400(1-y) = 300y - 200(1-y) που δίνει 900y = 600. Άρα y = 2/3 (όπως φαίνεται και στο σχήμα) και

1-y = 1/3.

Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε από τα V(Β,

Α2) ή V(Β, Α3) δηλαδή είναι V = 400(1/3) = 400/3 (όπως φαίνεται και στο σχήμα).

Για τον παίκτη Α, έχουμε ότι:

V(A, B1) = 0x + 300(1-x) = 300 - 300x

V(A, B2) = 400x - 200(1-x) = 600x - 200

Θέτοντας V(A, B1) = V(A, B2) παίρνουμε 900x = 500, άρα x = 5/9 οπότε 1-x = 4/9.

Η τιμή του παιγνίου επαληθεύεται ξανά με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε

από τα V(A, B1) ή V(A, B2) δηλαδή είναι για παράδειγμα:

V = V(A, B1) = 300 - 300(5/9) = 400/3 (η τιμή αυτή φαίνεται και στο σχήμα).

Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής :

Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0, 5/9, 4/9, 0)

Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (2/3, 1/3, 0)

Τιμή του παιγνίου V = 400/3.

Επομένως, μακροπρόθεσμα, αναμένεται ότι η αμοιβή του συγγραφέα ανέρχεται κατά μέσο όρο στα

400/3 χιλιάδες ευρώ. Αυτό σημαίνει ότι εάν πολλά τέτοια συμβόλαια υπογραφούν καθώς εξελίσσεται ο

χρόνος, το παραπάνω μοντέλο δίνει την μέση απόδοση και τη βέλτιστη στρατηγική για τους δύο παίκτες.

ΘΕΜΑ 6ο

Ερώτημα 1



A 0 6 1 7 1

B 0 3 0 3 0

C 0 4 0 4 0

D 6 10 7 11 1

E 3 10 3 10 0

F 4 8 8 12 4

G 4 10 4 10 0

H 10 13 11 14 1

I 6 11 9 14 3

J 10 14 10 14 0

K 8 11 12 15 4

L 10 15 10 15 0

M 14 20 14 20 0

N 15 20 15 20 0

Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 20 εβδομάδες

Κρίσιμες διαδρομές: B – E – J – M και C – G – L – N (δείτε και το διάγραμμα Gantt του έργου)

Ερώτημα 2


20 και διακύμανση σ2 = 4.

Άρα:

X-20 18-20

Prob X 18 Prob Prob Z 1.00 0.5 Prob 0 Z 1.00 0.5 0.3413 0.15872 2

δηλαδή, η πιθανότητα το έργο αυτό να ολοκληρωθεί σε 18 εβδομάδες είναι περίπου 16%.

Επιπλέον, επειδή:

X-20 a-20 a-20

Prob X a 0.99 Prob 0.99 2.24 a 24.482 2 2

προκειμένου ο κ. Παπαδόπουλος να είναι 99% βέβαιος ότι το έργο θα ολοκληρωθεί χωρίς να υποχρεωθεί

σε παραίτηση, θα έπρεπε να είχε προσδιορίσει για την υλοποίησή του χρόνο περί των 24.5 εβδομάδων.

ΘΕΜΑ 7ο

Ερώτημα 1



A 0 32 14 46 14

B 0 28 0 28 0

C 32 68 46 82 14

D 28 44 33 49 5

E 28 60 34 66 6

F 28 82 28 82 0

G 44 61 49 66 5

H 61 81 80 100 19

I 61 95 66 100 5

J 82 100 82 100 0

Κρίσιμη διαδρομή: B – F – J

Χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 100 εβδομάδες

Ερώτημα 2


100 και διακύμανση σ2 = 6.6

2.

Άρα:

X-100 92-100

Prob X 92 Prob Prob Z 1.21 0.5 Prob 0 Z 1.21 0.5 0.3869 0.11316.6 6.6

δηλαδή, η πιθανότητα το έργο αυτό να ολοκληρωθεί σε 92 εβδομάδες είναι περίπου 11.3%.

Επιπλέον, επειδή:

X-100 a-100 a-100

Prob X a 0.95 Prob 0.95 1.65 a 110.896.6 6.6 6.6

προκειμένου η Lockhead να είναι 95% βέβαιη ότι το έργο θα ολοκληρωθεί χωρίς να υποχρεωθεί στην

καταβολή προστίμου, θα έπρεπε να είχε προσδιορίσει για την υλοποίησή του στην προσφορά της χρόνο

περί των 111 εβδομάδων.

Θέματα κ λύσεις στην Επιχειρησιακή Έρευνα- Τσάντας

Documents

Transcript of Θέματα κ λύσεις στην Επιχειρησιακή Έρευνα- Τσάντας