Γεωμετρία Β Γυμνασίου Εκπαιδευτήρια Καίσαρη

61
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄γυμνασίου Γεωμετρία ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1 ο , 2 ο , 3 ο Περιέχει : Θεωρία – Εφαρμογές Ασκήσεις – Επαναληπτικές ασκήσεις Ερωτήσεις Θεωρίας ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ Σχολικό έτος: 2011-12

Transcript of Γεωμετρία Β Γυμνασίου Εκπαιδευτήρια Καίσαρη

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄γυμνασίου

Γεωμετρία ΚΕΦΑΛΑΙΑ

1ο , 2ο , 3ο

Περιέχει : Θεωρία – Εφαρμογές

Ασκήσεις – Επαναληπτικές ασκήσεις Ερωτήσεις Θεωρίας

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗΣχολικό έτος: 2011-12

Αντί προλόγου

Το βιβλιοτεράδιο των Μαθηματικών απευθύνεται στους μαθητές των «Εκπαιδευτηρίων Καίσαρη» και χρησιμοποιείται αποκλειστικά μέσα στην σχολική αίθουσα. Σκοποί της συγγραφής του είναι:

Να παρουσιάσει στους μαθητές την θεωρία κάθε μαθήματος χωρίς να χάνουν χρόνοαντιγράφωντας από τον πίνακα σε κάθε παράδοση.

Να λύσουν στην τάξη αρκετές εφαρμογές ώστε να κατανοήσουν την έννοια(ες) του κάθε μαθήματος.

Να έχουν υποδείγματα ασκήσεων που θα τους διευκολύνουν στην καθημερινήτους μελέτη και στις εργασίες τους στο σπίτι.

Να βρούν πιο οργανωμένη την θεωρία για να την διαβάσουν καθώς και να κατανοήσουν τον τρόπο που θα ερωτηθούν στην τάξη ή στις προαγωγικές εξετάσεις.

Για το σκοπό αυτό στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν ερωτήσεις θεωρίας.

Οι μαθητές πρέπει: Να το φέρνουν όποτε έχουν μαθηματικά. Να μην σημειώνουν από το σπίτι τις ασκήσεις επόμενων μαθημάτων που δεν έχουν διδαχθεί. Να σημειώνουν τις απορίες τους (βάζοντας ένα ερωτηματικό και αφήνωντας χώρο για την εξήγηση ή ένα παράδειγμα).

Για την δική σας διευκόλυνση κρατάτε συγκεντρωμένα όλα τα βιβλιοτετράδια για να έχετε την ύλη, ώστε εύκολα να κάνετε την γενική επανάληψη στο τέλος του έτους.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑKEΦΑΛΑΙΟ 1ο

Περιεχόμενα

Β.1.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας ..........................................................................Σελ:4

Β.1.2 Μονάδες μέτρησης επιφανειών..........................................................................Σελ:6

Β.1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων ............................................................................Σελ:7

Β.1.4 Πυθαγόρειο Θεώρημα ........................................................................................Σελ:12

Επανάληψη ................................................................................................................Σελ:17

Ερωτήσεις θεωρίας......................................................................................................Σελ:23

Επιμέλεια: Μακρής Σταμάτης

Μάθημα Β-1.1 ΕΜΒΑΔΟ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Δραστηριότητα Με βάση τα παρακάτω σχήματα να συμπληρώσετε τα κενά:

1.Mετρήστε πόση επιφάνεια καταλαμβάνειτο τετράγωνο ΑΒΓΔ με μονάδα μέτρησης

το 1 τετραγωνάκι τ

Το τετράγωνο ΑΒΓΔ καταλαμβάνει έκταση . . . . . . Το καθένα απο τα ορθογώνια τρίγωνακαταλαμβάνει έκταση . . . . . .

2.Με αλλαγή της θέσης των ορθογωνίων τριγώνων προέκυψε το . . . . . . . . . . . . . . . . .του διπλανού σχήματος.

Το . . . . . . . . . . . . . . . . . καταλαμβάνειέκταση. . . . . . 3.Με αλλαγή της θέσης των ορθογωνίων τριγώνων προέκυψε το . . . . . . . . . . . . του διπλανού σχήματος.

Το . . . . . . . . . . . . . καταλαμβάνει έκταση . . . . . .

4.Με αλλαγή της θέσης των ορθογωνίων τριγώνων προέκυψε το . . . . . . . . . . . . . . . . . . .του διπλανού σχήματος.

Το . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . καταλαμβάνει έκταση . . . . . .

5.Με αλλαγή της θέσης των ορθογωνίων τριγώνων προέκυψε το . . . . . . . . . . . . . . . .του διπλανού σχήματος.

Το . . . . . . . . . . . . . . καταλαμβάνει έκταση . . . . . .

Διαπιστώνουμε λοιπόν ότι όλα τα παραπάνω σχήματα καταλαμβάνουν την .............. ...................... , οπότε λέμε ότι έχουν το ίδιο εμβαδό .

Γενικά Το εμβαδό μιας επίπεδης επιφάνειας είναι ενας θετικός αριθμός , που εκφράζει την έκταση που καταλαμβάνει η επιφάνεια αυτή στο επίπεδο.Ο αριθμός αυτός εξαρτάται απο την μονάδα εμβαδού που χρησιμοποιούμε.

Εφαρμογή

Βάσει του παραπάνω σχήματος να απαντήσετε στα ερωτήματα:

Ι) Ποιο είναι το εμβαδό της επιφάνειας Α με μονάδα μέτρησης το Τ και ποιό με τ; Α = ........... , Α = ..........

ΙΙ) Ποιο είναι το εμβαδό της επιφάνειας Β με μονάδα μέτρησης το Τ και ποιό με τ; Β = ........... , Β = ..........

ΙΙΙ) Ποιο είναι το εμβαδό της επιφάνειας Γ με μονάδα μέτρησης το Τ και ποιό με τ; Γ = ........... , Γ = ..........

ΙV) Ποιο είναι το εμβαδό της επιφάνειας Δ με μονάδα μέτρησης το Τ και ποιό με τ; Δ = ........... , Δ = ..........

V) Ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή και ποια λάθος;

Σωστό ΛάθοςΑ + Β = ΓΓ – Α = Β

Α + Β + Γ = Δ

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα B-1.2 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Δραστηριότητα

Σύμφωνα με την διπλανή σκάλα να συμπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες με δυνάμεις του 10:

1 m2 . . . . . . . . dm2 . . . . . . . . . . . cm2 . . . . . . . . . . . mm2

1 dm2 . . . . . . . . . . . cm2 . . . . . . . . . . . mm2

1 cm2 . . . . . . . . . . . mm2

1 mm2 . . . . . . . . cm2 . . . . . . . . . . . dm2 . . . . . . . . . . . m2

1 cm2 . . . . . . . . . . . dm2 . . . . . . . . . . . m2

1 dm2 . . . . . . . . . . . m2

Εφαρμογή 1η

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα με τις μετατροπές των μονάδων:

m2 dm2 cm2 mm2

2,543

752340

0,34512500

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

6

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 2η

Να βάλετε σε αύξουσα σειρά τα παρακάτω εμβαδά: 1235 mm2 , 12,3 cm2 , 1,3 dm2 , 1,4 m2 Λύση

1. Διαδραστικό TEST Μετατροπές μονάδων

http://www.kesaris.edu.gr → Γυμνάσιο → e-learning → Β΄γυμνασίου → Μαθηματικά →

Διαδραστικές ασκήσεις 1ο Κεφάλαιο Γεωμετρίας

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

7

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα B-1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ

Διατύπωση Τύπος Σχήμα1. Το εμβαδόν ενός τεραγώνου

πλευράς α ισούται με α2

Ε = α2

2. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με

πλευρές α , β ισούται με α⋅β Ε = α⋅β

3. Το εμβαδόν ενός παραλληλόγραμμου

είναι ίσο με το γινόμενο μιας βάσης

του με το αντίστοιχο ύψος.

Ε = β1 ⋅υ1

= β2 ⋅υ2

4. Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο

με το μισό του γινομένου μιας βάσης

του με το αντίστοιχο ύψος.

Ε = 2υβ ⋅

5. Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου

είναι ίσο με το μισό του γινομένου

των δυο κάθετων πλευρών του.

Ε = 2γβ ⋅

6. Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο

με το γινομένου του ημιαθροίσματος

των βάσεών του με το ύψος του.

Ε = 2υβ)(B ⋅+

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

8

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 1η

Το τετράγωνο και το ορθογώνιο του διπλανού σχήματος έχουν την ίδια περίμετρο. Να βρείτε Ι) το εμβαδό του ορθογωνίου ΙΙ) το εμβαδό του τετραγώνου

Λύση

Εφαρμογή 2η

Στο διπλανό παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχουμε τα ύψη ΒΕ = 4 cm και ΒΖ. Οι πλευρές του παραλληλόγραμμου είναι ΑΔ = 5,5 cm και ΓΔ = 4,4 cm .Ι) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του παραλληλόγραμμουΙΙ) το ύψος ΒΖ

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

9

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 3η

Ο διπλανός ρόμβος έχει περίμετρο 32 cm και εμβαδό (ΑΒΓΔ) = 0,56 dm2. I) Nα βρείτε την πλευρά του α ΙΙ) Να βρείτε την απόσταση ΔΚ των απέναντι πλευρών του.

Λύση

Εφαρμογή 4η

Βάσει του διπλανού σχήματος να βρείτε Ι) το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ ΙΙ) το εμβαδό (ΑΒΔ) του τριγώνου ΑΒΔ ΙΙΙ) το εμβαδό (ΔΒΓ) του τριγώνου ΔΒΓ

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

10

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 5η

Στο διπλανό σχήμα έχουμε ισοσκελές τρίγωνο με πλευρές ΑΒ = ΑΓ = 5,5 cm και ΒΓ = 4 cm. Aν το ύψος ΑΔ = 5 cm να βρείτε:

Ι) το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ , ΙΙ) το ύψος ΒΕ

Εφαρμογή 6η

Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα ορθογώνιο με πλευρές 4 και 5,5 και ενα τραπέζιο ίσου εμβαδού και ίσου ύψους. Να βρείτε την τιμή του x.

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

11

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Βασική εφαρμογή

Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα τρίγωνο ΑΒΓ τη διάμεσό του ΑΜ και το ύψος του ΑΔ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΜΑΒ και ΜΑΓ έχουν το ίδιο εμβαδό συμπληρώνοντας τα κενά.ΛύσηΤο τρίγωνο ΜΑΒ έχει βάση ΒΜ και ύψος ΑΔ άρα (ΜΑΒ) = . . . . . . .

Το τρίγωνο ΜΑΓ έχει βάση ΜΓ και ύψος ΑΔ άρα (ΜΑΓ) = . . . . . . . .

Επειδή όμως το Μ μέσο της ΒΓ, έχουμε ΒΜ = . . . οπότε . . . . . . . . . . . . . . .

Συμπέρασμα: Η διάμεσος ενός τριγώνου το χωρίζει σε δυο τρίγωνα ίσου εμβαδού.

Εφαρμογή 7η

Στο διπλανό σχήμα έχουμε ενα τρίγωνο ΑΒΓ με εμβαδό (ΑΒΓ) = 24cm2 και Μ , Ν μέσα. I) Nα βρείτε τα εμβαδά (ΑΒΜ) , (ΑΜΓ) ΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΝΜ) .

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

12

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Aσκήσεις

2. Διαδραστικό TEST Εμβαδά αντιστοίχιση 3. Διαδραστικό TEST Εμβαδά ερωτήσεις

http://www.kesaris.edu.gr → Γυμνάσιο → e-learning → Β΄γυμνασίου → Μαθηματικά →

Διαδραστικές ασκήσεις 1ο Κεφάλαιο Γεωμετρίας

1. Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ δίνονται οι πλευρές ΑΒ = 4 cm , ΑΓ = 4,5 cm , ΓΒ = 7,2 cm και το ύψος ΓΔ = 4 cm . Ι) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΙΙ) Να βρείτε το μήκος του ύψους ΒΕ

ΙΙΙ) Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΖ

2. Στο διπλανό παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ δίνονται οι

πλευρές ΑΒ = 4 cm , ΑΔ = 7 cm και το ύψος

ΑΖ = 3 cm . Ι) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓΔ) ΙΙ) Να βρείτε το μήκος του ύψους ΑΕ

3. Στο τραπέζιο του διπλανού σχήματος έχουμε ΘΗ = 12cm και ύψος υ=3cm. Το εμβαδό του (ΕΖΗΘ) = 31,5 cm2

I) Nα υπολογίσετε την βάση EZ = β, ΙΙ) Να βρείτε το εμβαδόν (ΘΖΗ) του τριγώνου ΘΖΗ και αν Μ το μέσο της ΖΗ να βρείτε το εμβαδόν (ΘΖΜ)

4. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ εμβαδό (ΑΒΓ)=5cm2 προεκτείνουμε την βάση ΒΓ κατά ΒΓ=ΓΕ=ΕΖ. Nα υπολογίσετε τα εμβαδά (ΑΓΕ) , (ΑΒΕ) , (ΑΕΖ) , (ΑΒΖ).

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

13

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα B-1.4 (α’ μέρος) ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Δραστηριότητα 1η

Σε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3 , 4 και 5cmκατασκευάζουμε στοεξωτερικό μέρος τουτρια τετράγωνα με πλευρέςτις πλευρές του τριγώνου.

Αν το κάθε τετραγωνάκι είναι1cm2 τότε να συμπληρώσετε:

Το εμβαδό του τετραγώνου ΑΒΚΖ είναι (ΑΒΚΖ) = . . . . .

Το εμβαδό του τετραγώνουΑΓΘΗ είναι (ΑΓΘΗ) = . . . . .

Το εμβαδό του τετραγώνουΒΓΔΕ είναι (ΒΓΔΕ) = . . . . ..

Παρατηρούμε ότι: (ΑΒΚΖ) + (ΑΓΘΗ) = ........+ ......... = ....... επομένως ΑΒ2 + ΑΓ2 = .....

Γενικά ισχύει το Π.ΘΣε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με τοάθροισμα των τετραγωνων των δυο καθέτων πλευρών.

Δραστηριότητα 2η Να γράψετε και να μάθετε τα τετράγωνα των παρακάτω αριθμών:

12 = 122 = 232 =22 = 132 = 242 =32 = 142 = 252 =42 = 152 = 302 =52 = 162 = 402 =62 = 172 = 502 =72 = 182 =82 = 192 =92 = 202 =102 = 212 =112 = 222 =

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

14

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 1η

Ι. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να εκφράζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ με °= 90A

α2 = . . . + . . . ή ΒΓ2 = . . . + . . .

β2 = . . . − . . . ή ΑΓ2 = . . . − . . .

γ2 = . . . − . . . ή ΑΒ2 = . . . − . . .

ΙΙ. Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες ώστε να εκφράζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ με °= 90A

κ2 = . . . . . . ή . . .2 = . . . . . .

λ2 = . . . . . . ή . . . 2 = . . . . . .

μ2 = . . . . . . ή . . .2 = . . . . . .

Εφαρμογή 2η

Ι. Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο: Απο Π.Θ έχουμε:

α 2 =

ΙΙ. Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο: Απο Π.Θ έχουμε:

γ 2 =

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

15

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

ΙΙΙ. Να υπολογίσετε την άγνωστη πλευρά στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο: Απο Π.Θ έχουμε:

ΑΓ2 =

Εφαρμογή 3η

Στο διπλανό σχήμα έχουμε δυο ορθογώνια τρίγωνα και ένα τετράγωνο με πλευρά την υποτείνουσα του δεύτερου. Να βρείτε Ι) το μήκος x II) το μήκος y ΙΙΙ) τo εμβαδόν Ε του τετραγώνου.

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

16

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα 1.4 (β’ μέρος) ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

Δραστηριότητα

Σε τρίγωνο με πλευρές α =10 , β =6 και γ = 8 έχουμε:

Το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι: α2 = . . . = . . . Το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών είναι: β2 + γ2 = . . .+ . . . = . . . + . . . = Παρατηρούμε ότι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Επομένως συμπεραίνουμε ότι η γωνία. . . . . . είναι ορθή.

Γενικά ισχύει το αντίστροφο του Π.ΘΑν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς του είναι ίσο με τοάθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών , τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή.

Εφαρμογή 1η

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες που αφορούν στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ

=+=+=+==

...................γβ..............α

22

2

Άρα . . . = . . . + . . .

Επομένως απο αντίστροφο Π.Θ το τρίγωνο ΑΒΓ

είναι . . . . . . . . . . . . . με . . . . = 90°.

Εφαρμογή 2η

Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει α=2 cm , β = 3

10 cm και γ =

38

cm .

Να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

=+=+=+

==

.........................

.................

22

2

Άρα . . . = . . . + . . .

Επομένως απο . . . . . . . . . . . . . .το τρίγωνο ΑΒΓ είναι . . . . . . . . . . . . . με . . . . = 90°.

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

17

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 3η

Να εξετάσετε αν το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ορθογώνιο. Αν είναι ορθογώνιο να προσδιορίσετε ποια γωνία του είναι η ορθή.

Λύση

Εφαρμογή 4η

Στο διπλανό τρίγωνο ΕΖΘ δίνονται οι πλευρές του ΕΘ=3(x+1) , ΖΘ = 4x+1 και ΕΖ = x+4 . Αν η περίμετρος του τριγώνου είναι 40cm , τότε: Ι) να δείξετε ότι x = 4 II) να εξετάσετε αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Αν είναι ορθογώνιο να προσδιορίσετε ποια γωνία του είναι η ορθή.

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

18

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Επανάληψη εμβαδά και Πυθαγόρειο Θεώρημα

Εφαρμογή 1η

Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) έχει βάση ΒΓ = 3m και περίμετρο 8m. Να υπολογίσετε το ύψος του AΔ καιτο εμβαδό του (ΑΒΓ).

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

19

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 2η

Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΔA = = 90°. Αν ΑΒ = 6 cm , BΓ = 13 cm και ΓΔ = 18 cm , τότε να υπολογίσετε Ι) το ύψος υ = ΒΖ και ΙΙ) το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του τραπεζίου.

Λύση:

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

20

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 3η

Στο διπλανό σχήμα έχουμε τα ορθογώνιατρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 4m και ΒΓ = 3mκαι ΑΓΔ με ΓΔ = 12m . Να βρείτε I) τα μήκη x και y , II) τα εμβαδά (ΑΒΓ) , (ΑΓΔ) και το εμβαδόν (ΑΒΓΔ) του τεραπλεύρου ΑΒΓΔ.

Λύση:

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

21

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 4η

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A =90°) τουδιπλανού σχήματος έχουμε την κάθετη ΑΓ = 8m και την υποτείνουσα BΓ=10m. I) Nα υπολογίσετε την κάθετη πλευρά ΑΒ , ΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ABΓ) του τριγώνου ΑΒΓ ,ΙΙΙ) Να βρείτε το ύψος ΑΔ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ΒΓ.Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

22

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Aσκήσεις

5. 6. 7. Διαδραστικά TEST Πυθαγόρειο Θεώρημα

http://www.kesaris.edu.gr → Γυμνάσιο → e-learning → Β΄γυμνασίου → Μαθηματικά →

Διαδραστικές ασκήσεις 1ο Κεφάλαιο Γεωμετρίας

1. Στο ορθογώνιο του διπλανού σχήματος έχουμε ΒΓ = 12cm και διαγώνιο BΔ=13cm. I) Nα υπολογίσετε την πλευρά ΔΓ , ΙΙ) Να βρείτε την περίμετρο και το εμβαδόν του (ΑΒΓΔ) του ορθογωνίου

2. Σε ένα ρόμβο ΑΒΓΔ οι διαγώνιοί του έχουν μήκη ΑΓ = 12 m και ΒΔ = 0,016Km. Nα υπολογίσετε Ι) την πλευρά του ΙΙ) το εμβαδό του (ΑΒΓΔ) του ρόμβου.

3. Σε ισοσκελές τραπέζιο με ΑΔ//ΒΓ και ΑΒ=ΓΔ δίνονται ΑΔ=24cm , ΒΓ=8cm και ΓΔ=10cm. Να υπολογίσετε το ύψος και το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του τραπεζίου.

4. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A = 90° δίνονται ΒΓ= 0,17m και ΑΒ=1,5dm. Nα βρείτε: Ι) το μήκος της κάθετης πλευράς ΑΓ ΙΙ) το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου σε cm2 , dm2 και m2

ΙΙ) το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα

5. Ένα τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΔA = = 90° δίνονται AB=AΔ=x και ΒΓ = 15cm. Aν η βάση ΓΔ είναι κατά 9cm μεγαλύτερη απο την ΑΒ να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓΔ) και την περίμετρο του τραπεζίου.

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

23

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

6. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A =90°) του διπλανού σχήματος έχουμε τις κάθετες πλευρές ΑΒ = 15m και την ΑΓ=20m. I) Nα υπολογίσετε την υποτείνουσα ΒΓ ΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ABΓ) του τριγώνου ΑΒΓ , και το ύψος ΑΔ = υ , ΙΙΙ) Να βρείτε τα μήκη των ΒΔ και ΔΓ

7. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με ύψος ΑΔ γνωρίζουμε ότι ΑΒ = 15cm , ΔΒ = 9cm και ΔΓ = 16cm. I) Nα βρείτε το ύψος ΑΔ , ΙΙ) Να βρείτε την πλευρά ΑΓ , ΙΙΙ) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι oρθογώνιο τρίγωνο.

8. Παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ έχει βάση ΒΓ = 10dm και περίμετρο 36dm. Aν γνωρίζουμε ότι η διαγώνιος ΑΓ είναι κάθετη στην πλευρά ΑΒ , τότε: I) Nα βρείτε την πλευρά ΑΒ ΙΙ) Να βρείτε τη διαγώνιο ΑΓ ΙΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του παραλ/γράμμου.

9. Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ = 2x+1

έχει περίμετρο 48 cm και βάση ΒΓ = 2

15x +

I) Nα βρείτε το x και τις πλευρές του τριγώνου. ΙΙ) Να βρείτε τo ύψος ΑΔ ΙΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ

10. Στο διπλανό τραπέζιο έχουμε με ΔA = = 90° δίνονται AB= 16 , ΒΓ = 15 και ΑΔ = 12. Να υπολογίσετε: Ι) το μήκος ΒΔ ΙΙ) το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του τραπεζίου ΑΒΓΔ ΙΙΙ) τη γωνία ΓΒΔ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

24

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

11. Στο διπλανό τρίγωνο έχουμε με A = 90° δίνονται AB= 6 και ΒΓ = 10. Να υπολογίσετε: Ι) το μήκος της κάθετης ΑΓ ΙΙ) το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ ΙΙΙ) Αν Μ το μέσο της υποτείνουσας ΒΓ και Ν το μέσο του ΒΜ να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΝ) του τριγώνου ΑΒΝ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

25

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΣΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Γεωμετρίας ΕΜΒΑΔΑ - ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ

1 α) Τι ονομάζουμε εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας; Απάντηση:

β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

1 m2 . . . . . . . . dm2 . . . . . . . . . . . cm2 . . . . . . . . . . . mm2

1 dm2 . . . . . . . . . . . cm2 . . . . . . . . . . . mm2

1 cm2 . . . . . . . . . . . mm2

2 Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

α) Το εμβαδόν ενός τεραγώνου πλευράς α ισούται με . . . β) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές α , β ισούται με . . . γ) Το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . δ) Το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ίσο με . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ε) Το εμβαδόν ενός ορθγωνίου τριγώνου είναι ίσο με . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ζ) Το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο με . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 A) Να διατυπώσετε το πυθαγόρειο θεώρημα Απάντηση:

Β) Για το διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A = 90° να συμπληρώσετε τις σχέσεις:

1. ΑΒ2 + ΑΓ2 = . . . ή γ2 + β2 = . . . 2. ΒΓ2 − ΑΓ2 = . . . ή α2 − β2 = . . . 3. ΒΓ2 − ΑΒ2 = . . . ή α2 − γ2 = . . .

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

26

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

4 Να χαρακτηρίσετε Σωστές ή Λάθος τις προτάσεις που αναφαίρονται στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A = 90° με ύψος ΑΔ .

Σωστό Λάθος

1. ΑΒ2 + ΒΔ2 = ΑΔ2

2. ΑΔ2 + ΓΔ2 = ΑΓ2

3. ΑΒ2 + ΑΔ2 = ΒΔ2

4. ΑΒ2 − ΑΔ2 = ΒΓ2

5. ΒΓ2 + ΑΓ2 = ΒΑ2

5 Α. Να διατυπώσετε το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος Απάντηση:

Β. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει 222 αβγ −= , τότε ποιά είναι η ορθή γωνία;

Απάντηση:

Γ. Αν σε τρίγωνο ΔΕΖ ισχύει ΔΕ2 > ΔΖ2 + ΕΖ2 , τότε τι συμεραίνετε για το τρίγωνο; Απάντηση:

Δ. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε α=4cm , β=5cm και γ=3cm τότε ποιά είναι η ορθή γωνία και ποιά πλευρά είναι η υποτείνουσα; Απάντηση:

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

27

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

6 Να χαρακτηρίσετε ως Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις:Σωστό Λάθος

1. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με A =90° ισχύει β2 = α2 + γ2 2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με A =90° ισχύει β2 = α2 − γ2 3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με A =90° ισχύει α2= γ2 + γ2 4. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει γ2= α2 − β2 τότε A =90°5. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει β2= α2 + γ2 τότε B =90°6. Το εμβαδό ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο μιας βάσης του επί το αντίστοιχο ύψος.7. Το εμβαδό ενός τριγώνου είναι ίσο με το γινόμενο μιας βάσης του με το αντίστοιχο ύψος.8. Το εμβαδό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των δυο καθέτων πλευρών του.9. Το εμβαδό ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της υποτείνουσα με το αντίστοιχο ύψος.10. Το εμβαδό ενός τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του με το ύψος του.

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

28

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑKEΦΑΛΑΙΟ 2ο

Περιεχόμενα

Β.2.1 Εφαπτομένη οξείας γωνίας ...............................................................................Σελ:27

Β.2.2 Ημίτονο και συνημίτονο οξείας γωνίας ..............................................................Σελ:31

Β.2.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 30° , 45° , 60° ................................................Σελ:35

Ερωτήσεις θεωρίας....................................................................................................Σελ:38

Επιμέλεια: Μακρής Σταμάτης

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

29

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα Β-2.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

Δραστηριότητa

Στα διπλανό σχήμα να βρείτε τους λόγους:

ΑΒΒΓ

= . . . . = . . . .

ΑΛKΛ

= . . . . = . . . .

ΑΕΔΕ

= . . . . = . . . .

Παρατηρούμε ότι ΑΒΒΓ

.... ΑΛKΛ

... ΑΕΔΕ

Ορίζουμε :Ο λόγος που σχηματίζεται , αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά με την προσκείμενηκάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου , είναι πάντοτε σταθερός καιλέγεται εφαπτομένη της γωνίας ω . (Συμβολίζεται με εφω)

εφω = .................................................................................................

Εφαρμογή 1η

Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Ι) Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο δίνονται οι κάθετες πλευρές μήκους 5 και 7 και οι οξείες γωνίες ω , θ.

• Η γωνία θ έχει απέναντι την κάθετη πλευρά μήκους ...... και προσκείμενη κάθετη πλευρά μήκους ......, οπότε εφθ = . . .

• Η γωνία ω έχει απέναντι την κάθετη πλευρά μήκους ...... και προσκείμενη κάθετη πλευρά μήκους ......, οπότε εφω = . . .

ΙΙ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ∧Α =90°) έχουμε:

• Η πλευρά ΑΒ = γ είναι προσκείμενη πλευρά της γωνίας . . . και απέναντι της γωνίας . . .

• Η πλευρά ΑΓ = β είναι προσκείμενη πλευρά της γωνίας . . . και απέναντι της γωνίας . . .

• εφΒ = . . . εφΓ = . . .

• Παρατηρούμε ότι εφΒ⋅εφΓ = άρα οι αριθμοί εφΒ και εφΓ είναι αριθμοί ...........................

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

30

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 2η

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογίσετε την κάθετη πλευρά ΒΓ = α και τις εφαπτομένες των οξειών γωνιών του.

Λύση:

ΣΧΟΛΙΟΓια τις τιμές των εφαπτομένων των γωνιών απο 0° εως 90° χρησιμοποιούμε ⋅ τον τριγωνομετρικό πίνακα στην τελευταία σελίδα του σχολικού μας βιβλίου ⋅ ή επιστημονικό κομπιουτεράκι εφx → tanx

Εφαρμογή 3η

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΔΕΖ να υπολογίσετε την άγνωστη κάθετη πλευρά x κάνοντας χρήση της εφαπτομένης της οξείας γωνίας των 36°.

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

31

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 4η:

Στο διπλανό τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε εμβαδό

Ε= 180cm2 , βάση ΒΓ=30cm και εφΓ=74

.

Να βρείτε Ι) το ύψος ΑΔ=υ ΙΙ) τα τμήματα ΔΓ και ΒΔ ΙΙΙ) την εφΒ και την πλευρά ΑΒ

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

32

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 5η

Να κατασκευάσετε μια γωνία ω , ώστε η εφαπτομένη της να είναι 2,4.

Λύση

Aσκήσεις

1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ∧Α =90°) έχουμε εφΒ =

125

και ΑΓ = 10dm.

I) Nα βρείτε την κάθετη πλευρά ΑΒ IΙ) Nα βρείτε την υποτείνουσα ΒΓ

2. Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( ∧Α =90°) έχει εμβαδό 28cm2 και κάθετη πλευρά ΑΒ = 7cm.

Nα βρείτε την πλευρά ΑΓ και τις εφαπτομένες των οξειών γωνιών του τριγώνου.

3. Να κατασκευάσετε οξεία γωνία ω ώστε εφω = 1,2.

4. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τα ορθογώνια ΑΒΓ ( ∧

Α =90°) και ΒΔΓ( ∧Β =90°) έχουν ΑΓ = 4cm,

ΑΒ = 3cm και ΔΓ = 6cm, Aν ∧

ΑΓΒ = φ και ∧ΒΓΔ = ω , τότε:

I) Nα βρείτε πλευρά ΓΒ και την εφφ , ΙΙ) Nα βρείτε πλευρά ΔΒ και την εφω ΙΙΙ) Να βρείτε το εμβαδό (ΑΒΔΓ)

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

33

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα Β-2.2 ΗMITONO - ΣYNHMITONO OΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ

Ορίζουμε :♦ Ο λόγος που σχηματίζεται , αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά με την υποτείνουσα μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου , είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται ημίτονο της γωνίας ω . (Συμβολίζεται με ημω)

ημω = .............................................................................

♦ Ο λόγος που σχηματίζεται , αν διαιρέσουμε την προσκείμενη κάθετη πλευρά με την υποτείνουσα μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου τριγώνου , είναι πάντοτε σταθερός και λέγεται συνημίτονο της γωνίας ω . (Συμβολίζεται με συνω)

συνω = .............................................................................

Εφαρμογή 1η

Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

Ι) Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο δίνονται οι κάθετες πλευρές μήκους 4 , 3 και η υποτείνουσα 5 και οι οξείες γωνίες ω , θ.

• Η γωνία θ έχει απέναντι την κάθετη πλευρά μήκους ...... προσκείμενη κάθετη πλευρά μήκους ...... και η υποτεί- νουσα είναι μήκους . . .

Άρα ημθ = . . . , συνθ = . . .

• Η γωνία ω έχει απέναντι την κάθετη πλευρά μήκους ...... προσκείμενη κάθετη πλευρά μήκους ...... και η υποτεί- νουσα είναι μήκους . . .

Άρα ημω = . . . , συνω = . . .

ΙΙ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(∧Α =90°) έχουμε:

• Η πλευρά ΑΒ = γ είναι προσκείμενη πλευρά της γωνίας . . . και απέναντι της γωνίας . . .

• Η πλευρά ΑΓ = β είναι προσκείμενη πλευρά της γωνίας . . . και απέναντι της γωνίας . . .

• ημΒ = . . . , συνΒ = . . .

• ημΓ = . . . , συνΓ = . . .

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

34

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 2η

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ να υπολογίσετε την κάθετη πλευρά ΓΒ = α και τα ημίτονα και τα συνημίτονα των οξειών γωνιών του.

Λύση

ΣΧΟΛΙΟ Για τις τιμές των ημιτόνων και των συνημιτόνων οξειών γωνιών ισχύει ότι:

0 < ημω < 1 και 0 < συνω < 1

Εφαρμογή 3η

Για μια οξεία γωνία θ να αποδείξετε ότι 3 + 2ημθ < 5 και 3 – 2συνθ > 1

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

35

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 4η

Στο διπλανό ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε την ΒΓ=15cm και ημΓ = 0,6. Να βρείτεα) την πλευρά ΑΒ β) την πλευρά ΑΓ γ) τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ∧

Β .

Λύση

Εφαρμογή 5η

Να κατασκευάσετε γωνία ω, για την οποία ημω = 0,8. Κατόπιν να υπολογίσετε τα συνω και εφω. Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

36

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Aσκήσεις

1. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A =90°) έχουμε AB = 12cm και ΒΓ = 13cm. I) Nα βρείτε την κάθετη πλευρά ΑΓ , ΙΙ) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημΒ , συνΒ , εφΒ της γωνίας B , ΙΙΙ) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημΓ , συνΓ , εφΓ της γωνίας Γ .

2. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A =90°) έχουμε

ημΒ=54

και ΒΓ = 10cm.

I) Nα βρείτε τις κάθετες πλευρές ΑΓ και ΑΒ , ΙΙ)Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Γ .

3. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ( A =90°) έχουμε συνΓ = 0,6 και ΑΒ = 9dm. I) Nα βρείτε τις πλευρές BΓ και ΑΓ , ΙΙ) Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας B .

4. Ι) Να κατασκευάσετε γωνία ω με συνω = 135

.

ΙΙ) Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημω , εφω της γωνίας ω.

5. Ι) Να κατασκευάσετε γωνία φ με ημφ = 178

.

ΙΙ) Να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς συνφ , εφφ της γωνίας φ.

6. Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ημΒ = 0,8. Αν το ύψος ΑΔ = 8cm και ΒΓ = 21cm, τότε να υπολογίσετε: Ι) την πλευρά ΑΒ και το τμήμα ΒΔ ΙΙ) την πλευρά ΑΓ ΙΙΙ) την περίμετρο Π και το εμβαδό (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ.

7. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τα τρίγωνα ΑΒΓ( A =90°) και ΑΒΔ(B =90°). Δίνεται ότι ΒΓ = 20cm , ΔΒ = 5cm και ημφ = 0,6. Ι) Nα βρεθούν οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ και οι αριθμοί συνφ , εφφ. ΙΙ) Να βρείτε την ΑΔ και τους αριθμούς ημω , συνω , εφω.

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

37

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα Β-2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ 30° , 45° , 60°

Δραστηριότητα 1η Στο διπλανό ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε ΑΒ=ΑΓ=1cm και οι γωνίες Β , Γ είναι 45° Υπολογίζουμε την υποτείνουσα ΒΓ: Απο Π.Θ στο ΑΒΓ: ΒΓ2 =

Οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 45° είναι

ημ45° = ..........

συν45° = ..........

εφ45° = ..........

Δραστηριότητα 2η Στο διπλανό ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς 2cm έχουμε ΑΔ ύψος , διάμεσος και διχοτόμος. Τότε οι οξείες γωνίες του τριγώνου ΑΔΓ είναι 30° , 60°. Υπολογίζουμε το ύψος ΑΔ Απο Π.Θ στο ΑΒΔ: ΑΔ2 =

Οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 30° είναι

ημ30° = ..........

συν30° = ..........

εφ30° = ..........

Οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των 60° είναι

ημ60° = ..........

συν60° = ..........

εφ60° = ..........

Έτσι έχουμε τον παρακάτω πίνακα:

30° 45° 60°Ημίτονοημω

Συνημίτονοσυνω

Εφαπτομένηεφω

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

38

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 1η

Να αποδείξετε ότι το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου

πλευράς α είναι υ =2

3α και το εμβαδό (ΑΒΓ) =4

3α2

Λύση

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣε ασκήσεις μπορούμε να χρησιμοιούμε τον τύπο της παραπάνω εφαρμογής για

το ύψος υ =2

3α και το εμβαδό Ε =

4

3α2 ισόπλευρου τριγώνου πλευράς α.

Εφαρμογή 3η

Σε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ πλευράς α = 4 cm προεκτείνουμετην βάση του ΒΓ κατά ΓΔ = ΒΓ. Ι) Να υπολογίσετε το ύψος και το εμβαδό του ΑΒΓΙΙ) Να υπολογίσετε το εμβαδό του ΑΒΔ

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

39

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 4η

Στο διπλανό σχήμα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ είναι ορθογώνια.Ι) Να βρείτε τις πλευρές του ΑΒΓΙΙ) Να βρείτε τις πλευρές του ΑΔΓΙΙΙ) Το εμβαδό του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

40

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Aσκήσεις

1. Ένας παρατηρητής βρίσκεται στο σημείο Π και βλέπει την κολόνα ΚΛ υπό γωνία 60°. Αν η απόστασή του απο τη βάση της κολόνας είναι ΚΠ=10m , να υπολογίσετε το ύψος της κολόνας ΚΛ. (Δίνεται: 3 = 1,7 )

2. Στο τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε B = 45° και Γ = 30°. Αν ΑΔ το ύψος και ΒΔ = 2cm, τότε I) Nα βρείτε τις πλευρές ΑB , ΑΓ και ΒΓ , ΙΙ)Να υπολογίσετε το εμβαδόν (ΑΒΓ) του τριγώνου ΑΒΓ. (Δίνεται: 3 = 1,7 και 2 = 1,4 )

3. Στο παραληλλόγραμμο του διπλανού σχήματος γνωρίζουμε τις πλευρές ΑΔ=ΒΓ=6cm , την γωνία °=∆ 60ˆ και το εμβαδό (ΑΒΓΔ) του παραληλλόγραμμου είναι 330 cm2. Ι) Να βρείτε το ύψος υ1 που αντιστοιχεί στην βάση ΔΓ ΙΙ) Να βρείτε την βάση ΔΓ ΙΙΙ) Να βρείτε το ύψος υ2 που αντιστοιχεί στην βάση ΒΓ

4. Δύο φίλοι, ο Παναγιώτης και ο Βασίλης, στέκονται στα σημεία Π και Β αντίστοιχα και βλέπουν τo διπλανό Κάστρο υπό γωνίες 30° και 60°. Αν έχουν μετρήσει τη μεταξύ τους απόσταση ΠΒ ίση με 10m μπορείτε να τους βοηθήσετε να βρούνε το ύψος του κάστρου ΑΚ;

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

41

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΣΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Γεωμετρίας ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

1 α) Για οξεία γωνία ω ορθογωνίου τριγώνου τι ονομάζουμε εφαπτομένη της ω ; Απάντηση:

β) Να συμπληρώσετε την παρακάτω πρόταση:

Αν α είναι η . . . . . . . της ευθείας με εξίσωση y = αx , τότε αυτή είναι ίση με την εφαπτομένη της οξείας γωνίας ω που σχηματίζει η ευθεία με τον . . . . . . . . . . . .

γ) Με βάση το διπλανό σχήμα να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

Στο τρίγωνο ΑΒΓ με ∧Β = 90° έχουμε:

εφΑ = .....BΓ

= .....α

εφΓ = ..........

= .........

2 α) Για οξεία γωνία ω ορθογωνίου τριγώνου τι ονομάζουμε ημίτονο και τι συνημίτονο της ω ; Απάντηση:

β) Να συμπληρώσετε την παρακάτω πρόταση:

Γνωρίζουμε ότι σε κάθε τρίγωνο η υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη απο τις δυο κάθετες πλευρές, οπότε ισχύουν οι ανισώσεις ... < ημω < ... και ... < συνω < ...

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

42

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

γ) Με βάση το διπλανό σχήμα να συμπληρώσετε τις παρακάτω ισότητες:

Στο τρίγωνο ΑΒΓ με ∧Α = 90° έχουμε:

ημΒ = .........

= ..........

ημΓ = ..........

= .........

συνΒ = .........

= ..........

συνΓ = ..........

= .........

3 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

30° 45° 60°Ημίτονο

Συνημίτονο

Εφαπτομένη

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

43

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑKEΦΑΛΑΙΟ 3ο

Περιεχόμενα

Β.3.1 Εγγεγραμένες γωνίες .......................................................................................Σελ:42

Β.3.2 Κανονικά πολύγωνα .......................................................................................Σελ:49

Β.3.3 Μήκος κύκλου .................................................................................................Σελ:53

Β.3.5 Εμβαδό κυκλικού δίσκου ................................................................................Σελ:55

Ερωτήσεις θεωρίας....................................................................................................Σελ:57

Επιμέλεια: Μακρής Σταμάτης

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

44

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα Β-3.1 ΕΠΙΚΕΝΤΡΕΣ – ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ

ΕΠΙΚΕΝΤΡΗ ΓΩΝΙΑ

Κάθε γωνία της οποίας η κορυφή συμπίπτει με το κέντρο Ο ενός κύκλου (Ο,ρ) λέγεται επίκεντρη γωνία.

Το τόξο ΒΓΑ

που βρίσκεται στο εσωτερικό της κυρτής γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης γωνίας.

Ως μέτρο ενός τόξου ορίζεται το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας.

Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους , σε ίσες επίκεντρες γωνίεςαντιστοιχούν ίσα τόξα και αντίστροφα.

Εφαρμογή 1ηΣτον διπλανό κύκλο αν οι ΑΒ, ΓΔ είναι δυο κάθετες διάμετροι ,να βρείτε τα τόξα:

∩AΓ = . . . . . , ∩

ΒΓ = . . . . . , ∩AΔ = . . . . . , ∩

ΔΒ = . . . . . και τα ∩

B ΓA = . . . . . . , ∩B A Δ = . . . . . .

Εφαρμογή 2ηΣτο διπλανό κύκλο οι ΑΒ, ΓΔ είναι δυο διάμετροι που σχηματίζουνγωνία ∧

BOΓ = 56°. Να βρείτε τα παρακάτω:

Οι επίκεντρες γωνίες ∧

AOΔ =

∧ΑOΓ =

∧BOΔ =

Τα τόξα: ∩

AΓ =

∩ΒΓ =

∩AΔ =

∩ΔΒ =

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

45

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 3ηΣτο διπλανό κύκλο το σημείο Μ είναι το μέσο του τόξου ∩

AΓ .

Να βρείτε το x και τα τόξα ∩AM , ∩

ΓM , ∩AΓ , ∩

ΒΓ και ∩AΒ .

Λύση:

Εφαρμογή 4ηΣε κύκλο (Ο , ρ) φέρουμε διάμετρο ΑΒ και παίρνουμε ένα σημείο Γ του κύκλου ώστε ∩

BΓ = 5 ∩AΓ .

Ι) Να υπλογίσετε σε μοίρες τα τόξα ∩AΓ και ∩

BΓ ,

ΙΙ) Να υπολογίσετε τις γωνίες ∧ΑOΓ , ∧

ΑOB και τη γωνία A του τριγώνου ΑΒΓ.

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

46

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Η εγγεγραμμένη γωνία και η σχέση της με την επίκεντρη

Εγγεγραμμένη λέγεται κάθε γωνία που η κορυφή της είναι σημείοτου κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο.

Στο διπλανό σχήμα η γωνία ∧ΓΔΒ= ω είναι εγγεγραμμένη στον

κύκλο(Ο, ρ) και βαίνει στο τόξο ∩BΓ .

Κάθε εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που έχει ίσο αντίστοιχο τόξο.

Συνέπειες:

• Κάθε εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο είναι ορθή

• Οι εγγεγραμμένες γωνίες σε ίσα τόξα ή στο ίδιο τόξο ενός κύκλου είναι ίσες.

• Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με το μισό του αντιστοίχου τόξου της.

Εφαρμογή 5ηΣτον διπλανό κύκλο γνωρίζουμε την επίκεντρη ∧

ΑOB =110°

και το τόξο τόξου ∩BΓ =80°

Να βρείτε τις εγγεγραμμένες γωνίες ω , φ. Λύση

Εφαρμογή 6ηΣτον διπλανό κύκλο να βρείτε τις εγγεγραμμένες γωνίες x , ω , φ.

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

47

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 7ηΣτο διπλανό κύκλο να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. Λύση

Εφαρμογή 8ηΣτο διπλανό κύκλο να βρείτε τις γωνίες χ, φ και ω , αν γνωρίζουμεότι το τρίγωνο είναι ΑΟΒ ισόπλευρο. Λύση

Εφαρμογή 9ηΣτο διπλανό κύκλο έχουμε τα τόξα ∩

BΓ =32° και ∩EΔ =56°

Να βρείτε τις γωνίες x , ω , φ , θ. Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

48

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 10ηΣτο διπλανό κύκλο έχουμε τα τόξα

∩BΓ =2x , ∩

AB =x , ∩ΓΔ = x - 20°

και ∩AΔ = 3x – 40°

Να βρείτε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ. Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

49

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 11ηΣτο διπλανό κύκλο έχουμε τα τόξα ∩

AΓ =2x , ∩AB =x +69°

και η πλευρά ΒΓ είναι διάμετρος του κύκλου.Ι) Να βρείτε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.ΙΙ) Αν ρ = 5cm η ακτίνα του κύκλου και ημ37° = 0,6 να βρείτε το μήκος των πλευρών του τριγώνου και το εμβαδόν του (ΑΒΓ). Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

50

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Aσκήσεις

1. Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο και είναι ισοσκελές με ΑΒ = ΑΓ. Αν ∩

BΓ = 140° , τότε να υπολογίσετε τις γωνίες A , B του τριγώνου και την ω.

2. Σε κύκλο (Ο , ρ) φέρουμε διάμετρο ΒΓ και Α σημείο του κύκλου ώστε ∩AB = 0,8 ∩

AΓ .

Να υπολογίσετε τις γωνίες ∧Α , ∧

Β και ∧Γ του τριγώνου ΑΒΓ.

3. Στο διπλανό σχήμα να

βρείτε τις γωνίες x , y και ω

4. Στο διπλανό σχήμα στον κύκλο (Ο, ρ)

φέρουμε ακτίνα ΟΑ = ρ και στο σημείο Α την

εφαπτομένη του κύκλου. Αν η χορδή ΑΒ = ρ,

να υπολογίσετε τις γωνίες x και y.

5. Σε κύκλο (Ο , ρ) να πάρετε διαδοχικά τόξα ∩AB = 80° , ∩

BΓ = 110° και ∩ΓΔ = 140°.

Ι) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ ΙΙ) Αν οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Ε να υπολογίσετε τις γωνίες ∧

ΑΕΒ και ∧ΒΕΓ .

6. Στο διπλανό σχήμα στον κύκλο (Ο, ρ)

έχουμε δυο χορδές του κύκλου που τέμνονται

σε σημείο εξωτερικό αυτού.

Να υπολογίσετε την γωνία ω.

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

51

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα Β-3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ

Ως ν – γωνο ορίζεται το πολύγωνο με ν κορυφές.

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, αν όλες του οι πλευρές είναι μεταξύ τους ίσες και όλες του οι γωνίες είναι μεταξύ τους ίσες.

• Το κανονικό τρίγωνο είναι το ……………………. τρίγωνο, αφού έχει όλες του τις ………. ίσες και όλες του τις γωνίες ίσες με …… • Το κανονικό τετράπλευρο είναι το ……………………. , αφού έχει όλες του τις ………. ίσες και όλες του τις γωνίες ίσες με ……

• Αν χωρίσουμε τον κύκλο σε ν ίσα τόξα , τότε σχηματίζονται ν ίσες επίκεντρες γωνίες και κάθε μια απο αυτές λέγεται κεντρική γωνία του κανονικού ν-γώνου.

• Η κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με ω=ν

360°.

• Η οποιαδήποτε απο τις ν ίσες γωνίες ενός κανονικού ν – γώνου λέγεται γωνία φ του κανονικού ν – γώνου. • Η γωνία φ του κανονικού ν-γώνου είναι παραπληρωματική της κεντρικής γωνίας του ν-γώνου ( φ + ω = 180° )

Εφαρμογή 1η

Να κατασκευάσετε κανονικό τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο , 4cm) αφού υπολογίσετε την κεντρική γωνία ω και την γωνία φ.

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

52

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 2η

Να κατασκευάσετε κανονικό πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο , 3cm) αφού υπολογίσετε την κεντρική γωνία ω και την γωνία φ.

Λύση

Εφαρμογή 3ηΝα συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Αριθμός πλευρώνν

Κεντρική γωνίαω

Γωνία πολυγώνουφ

1224°

162°

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

53

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Κανονικά πολύγωνα εγγεγραμμένα σε κύκλο

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

54

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Aσκήσεις

1. Να βρείτε πόσες πλευρές έχει το κανονικό πολύγωνο που έχει κεντρική γωνία: Ι) 24° , ΙΙ) 36°

2. Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών κανονικού ν-γώνου , όταν η κάθε γωνία του είναι: Ι) 140° , ΙΙ) 160° .

3. Υπάρχει κανονικό πολύγωνο που να έχει όλες τις γωνίες του ίσες με 25° ;

4. Αφού υπολογίσετε την κεντρική γωνία ενός κανονικού δωδεκαγώνου , να το κατασκευάσετε εγγεγραμμένο στον κύκλο (Ο , 5cm).

5. Η γωνία φ κανονικού πολυγώνου είναι 4-πλάσια της κεντικής του γωνίας ω . Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών του κανονικού πολυγώνου.

6. Το άθροισμα των γωνιών ενός κανονικού πολυγώνου είναι 1260°. Να βρείτε τον αριθμό των πλευρών του κανονικού πολυγώνου.

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

55

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα Β- 3.3 ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ

Το μήκος ενός κύκλου ακτίνας ρ ή διαμέτρου δ = 2ρ υπολογίζεται απο τον τύπο:L = 2πρ ή L = πδ

• Ο αριθμός π είναι άρρητος αριθμός , δηλαδή δεκαδικός με άπειρα δεκαδικά μη περιοδικά ψηφία και σε εφαρμογές τον αντικαθιστούμε με την προσεγγιστική τιμή 3,14

Εφαρμογή 1ηΝα συμληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Ακτίνα ρ ή διάμετρος δ Μήκος LI) ρ =3 cm IΙ) 37,68IΙΙ) δ = 8IV) 18π

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

56

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 2ηΣτον κύκλο (Ο, ρ) του διπλανού σχήματος έχουμετην εγγεγραμμένη γωνία ΓΜΒ = 30° .Ι) Να υπολογίσετε την επίκεντρη ΓΟΒΙΙ) Να υπολογίσετε την ακτίνα και το μήκος του κύκλου Λύση

Aσκήσεις

1. Να βρείτε το μήκος ενός κύκλου Ι) με ακτίνα ρ = 12dm , II) με διάμετρο δ = 8m

2. To μήκος κύκλου είναι L = 31,4cm. Nα βρείτε την ακτίνα και τη διάμετρό του.

3. To μήκος κύκλου είναι L = 16π. Nα βρείτε την ακτίνα και τη διάμετρό του.

4. Ο ωροδείκτης ενός ρολογιού έχει μήκος 10mm. Να βρείτε σε πόσες ώρες η άκρη του ωροδείκτη θα δυανύσει διάστημα 1256mm.

5. Ο λόγος των ακτίνων δυο κύκλων είναι 2

ρ=

32

.

Να υπολογίσετε το λόγο των διαμέτρων και το λόγο των μηκών των κύκλων αυτών.

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

57

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Μάθημα Β-3.5 ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ

Το εμβαδό ενός κυκλικού δίσκουακτίνας ρ δίνεται απο τον τύπο

E = πρ2

Εφαρμογή 1ηΝα υπολογίσετε το εμβαδό ενός κυκλικού δίσκου με μήκος κύκλου L = 8π cm.

Λύση

Εφαρμογή 2ηΝα υπολογίσετε την ακτίνα ρ κυκλικού δίσκου με εμβαδό Ε = 628 cm2.

Λύση

Εφαρμογή 3η Στο διπλανό σχήμα έχουμε κύκλο (Ο, 10cm) εγγεγραμμένο σε τετράγωνο πλευράς α. Ι) Να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου α και το εμβαδόν του. ΙΙ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επιπέδου τμήματος έξω απο τον κύκλο και μέσα στο τετράγωνο.(Εχ)

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

58

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Εφαρμογή 4ηΣτο διπλανό σχήμα έχουμε τον κύκλο (Ο, 10cm)περιγεγραμμένο του τετράγωνου πλευράς α. Ι) Να βρείτε την πλευρά του τετραγώνου α και το εμβαδό του ΙΙ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επιπέδου τμήματος έξω απο το τετράγωνο και μέσα στον κύκλο.(Εχ)

Λύση

Εφαρμογή 5η Στο διπλανό σχήμα έχουμε τον κύκλο (Ο, ρ) και τη διάμετρό του ΒΓ. Απο σημείο Α του κύκλου φέρουμε ΑΒ = 16cm και ΑΓ = 12cm. I) Nα βρείτε τη γωνία A του τριγώνου ΑΒΓ , ΙΙ) Να υπολογίσετε την ακτίνα ρ του κύκλου και το εμβαδόν Εκ

του κυκλικού δίσκου (Ο, ρ). ΙΙΙ) Να υπολογίσετε το χρωματισμένο εμβαδόν του επιπέδου που βρίσκεται μέσα στον κύκλο και έξω απ’ το τρίγωνο.

Λύση

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

59

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α ΣΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο Γεωμετρίας ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ

1 α) Ποιά γωνία ονομάζεται επίκεντρη; Απάντηση:

β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

• Ως μέτρο ενός τόξου ορίζεται το μέτρο της αντίστοιχης . . . . . . . . . . . . . . γωνίας. • Στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους , σε ίσες επίκεντρες γωνίες αντιστοιχούν . . . . . . τόξα και αντίστροφα.

2 α) Ποιά γωνία ονομάζεται εγγεγραμμένη; Απάντηση:

β) Ποιά σχέση έχουν η εγγεγραμμένη και η επίκεντρη που έχουν το ίδιο αντίστοιχο τόξο; Απάντηση:

γ) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

• Κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι . . . . . . . . • Οι εγγεγραμμένες γωνίες ενος κύκλου που βαίνουν στο ίδιο ή σε ίσα τόξα είναι μεταξύ τους . . . . . . . . • Κάθε εγγεγραμμένη γωνία έχει μέτρο ίσο με . . . . . . . . . . . . του αντιστοίχου τόξου της.

3 α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Απάντηση:

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

60

http://www.kesaris.edu.gr/ Γεωμετρία Β΄ γυμνασίου

β) Να συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις:

Το κανονικό τρίγωνο είναι το ……………………. τρίγωνο, αφού έχει όλες του τις ………. ίσες και όλες του τις γωνίες ίσες με …… Το κανονικό τετράπλευρο είναι το ……………………. , αφού έχει όλες του τις ………. ίσες και όλες του τις γωνίες ίσες με …… 4 α) Ποιά γωνία ονομάζεται κεντρική γωνία του κανονικού ν-γώνου; Απάντηση:

β) Ποιός τύπος δίνει την κεντρική γωνία ω του κανονικού ν-γώνου.; Απάντηση:

γ) Ποιά γωνία ονομάζεται γωνία φ του κανονικού ν-γώνου και ποιά σχέση έχει με την κεντρική γωνία του κανονικού ν-γώνου.; Απάντηση:

5 Ποιός τύπος δίνει το μήκος L ενός κύκλου ακτίνας ρ και ποιός το εμβαδό Ε ενός κυκλικού δίσκου; Απάντηση:

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΚΑΙΣΑΡΗ

61