Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. 1). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στην επιφάνειά της. i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες. ii) Eάν τα πιθηκάκια κινούνται ως προς το σχοινί µε σταθερές ταχύτητες

�

! v !"

(1) και

�

! v !"

(2) προς τα πάνω, να βρεθεί ο αριθµός περιστροφών της τροχαλίας

σε χρόνο t*. ΛΥΣΗ: i) Κατά την αναρρίχηση των δύο πιθήκων η στροφορµή του συστήµα τος πίθηκοι-τροχαλία, περί τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας, παραµένει σταθερή, διότι οι ροπές των βαρών των πιθήκων και της τροχαλίας περί τον άξονα αυτόν έχουν µηδενική συνισταµένη. Έτσι θα ισχύει η σχέση:

�

! L

1+! L

2+! L !" =

! L #"$

�

!

�

! L

1+! L

2+! 0 =! 0

�

!

�

! L

1= -! L

2 (1)

διότι η αρχική στροφορµή

�

! L !"# του συστήµατος και η στροφορµή

�

! L !" της τρο

χαλίας είναι µηδενικές. Η σχέση (1) δηλώνει ότι, κάθε στιγµή οι στροφορµές

Σχήµα 1

�

! L

1 και

�

! L

2 των δύο πιθήκων περί τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας είναι

αντίθετες, δηλαδή έχουν ίσα µέτρα, οπότε ισχύει:

�

L1=L

2

�

!

�

mV1R = mV

2R

�

!

�

V1

= V2 (2)

όπου R η ακτίνα της τροχαλίας, m η κοινή µάζα των πιθήκων και

�

! V

1,

�

! V

2 οι

ταχύτητές τους στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. ii) Aς δεχθούµε ότι το αριστερό τµήµα του σχοινιού κατέρχεται µε ταχύτητα

�

! v ! ως προς το ακίνητο έδαφος, οπότε η αντίστοιχη ταχύτητα του δεξιού

τµήµατος θα είναι

�

-

! v !. Για τις σχετικές ταχύτητες

�

! v !"

(1),

�

! v !"

(2) των πιθήκων ως

προς το σχοινί θα έχουµε τις σχέσεις:

�

! v !"

(1)=! V 1 + (-

! v ! )

! v !"

(2)=! V 2 + (-

! v ! )

#

$ %

& %

�

!

�

v!"(1)

= V1 + v!

v!"(2)

= V2 - v!

#

$ %

& %

(3)

διότι

�

! V

1!! -! v " και

�

! V

2!"! v # . Αφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) παίρνουµε:

�

v!"

(1)- v!"

(2)= V1 + v! - V2 + v!

�

!

(2)

�

v!"

(1)- v!"

(2)= 2v!

�

!

�

v! = [v!"

(1) - v!"

(2)]/2 (4)

Εξάλλου σε χρόνο t* το µήκος του αριστερού τµήµατος του σχοινιού θα έχει αυξηθεί κατά vσt* και η τροχαλία θα έχει περιστραφεί κατά γωνία vσt*/R, οπότε ο αντίστοιχος αριθµός περιστροφών n της τροχαλίας θα είναι:

�

n =v!t* /R

2"

�

!

(4)

�

n =[v!"

(1)- v!"

(2)]t*

4#R

P.M. fysikos

Στην διάταξη του σχήµατος (2) το σώµα Σ έχει µάζα m και είναι δεµένο στο ένα άκρο αβαρούς και µη εκτατού νήµα τος, το οποίο διέρχεται από το αυλάκι µιας ελεύθερης τροχαλίας µάζας Μ και ακτίνας R, ενώ το άλλο του άκρο είναι στερεωµένο στο έδαφος. Εφαρµόζοντας στον άξονα της τροχαλίας κατακόρυφη προς τα πάνω δύναµη αναγκάζουµε το σώµα να ανέρχεται µε σταθερή επι τάχυνση

�

! a = -

! g /2.

i) Nα βρεθεί η δύναµη που θέτει σε κίνηση το σύστηµα. ii) Ποιο κλάσµα του έργου που παράγει η δύναµη σε ορισµένο χρόνο, κατά τον οποίο το σύστηµα κινείται εκ της ηρεµίας, απορροφάται από την τροχαλία; Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας, η ροπή αδρά

νειας Ι=ΜR2/2 της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της.

ΛΥΣΗ: i) Το σώµα κινείται υπό την επίδραση του βάρους του

�

m! g και της τά

σεως

�

! T του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο κίνη

σης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση:

�

T - mg = mg/2

�

!

�

T = 3mg/2 (1) Eξάλλου η τροχαλία δέχεται το βάρος της

�

M! g , την ζητούµενη δύναµη

�

! F , την

τάση

�

! Q του νήµατος που είναι στερεωµένο στο έδαφος και την τάση

�

-

! T του

Σχήµα 2

νήµατος που συνδέεται µε το σώµα Σ. Υπό την επίδραση των δυνάµεων αυτών η τροχαλία εκτελεί επίπεδη κίνηση, που αναλύεται σε µια κατακόρυφη προς τα πάνω µεταφορική κίνηση και σε µια περιστροφική κίνηση περί τον άξονά της. Για την µεταφορική κίνηση της τροχαλίας, συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνη σης του Νεύτωνα θα έχουµε την σχέση:

�

F - T - Q - Mg = MaC

�

!

(1)

�

F - 3mg/2 - Q - Mg = MaC

�

!

�

F - Q = MaC + Mg + 3mg/2 (2) όπου

�

! a

C η επιτάχυνση του κέντρου C της τροχαλίας. To γεγονός ότι, κατά την

κίνηση της τροχαλίας το σηµείο επαφής της Β µε το νήµα παραµένει ακίνητο, µας αναγκάζει να δεχθούµε ότι η περιστροφή της είναι αριστερόστροφη, διότι τότε µόνο είναι δυνατόν η µεταφορική ταχύτητα του σηµείου Β να είναι αντί θετη της ταχύτητάς του λόγω περιστροφής. Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση:

�

QR - TR = MR2! '/2

�

!

�

Q - T = MR! '/2 (3) όπου

�

! ! ' η γωνιακή της επιτάχυνση. Όµως η εφαπτοµενική επιτάχυνση του

σηµείου Β της τροχαλίας είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι η επιτάχυνση του σηµείου αυτού λόγω της µεταφορικής κίνησης της τροχαλίας είναι αντίθετη

της επιτρόχιας επιτάχυνσής του, λόγω περιστροφής της τροχαλίας, δηλαδη ισχύει η σχέση:

�

0 = aC

-!'R

�

!

�

aC

= !'R οπότε η (3) γράφεται:

�

Q - T = MaC/2

�

!

(1)

�

Q - 3mg/2 = MaC/2

�

!

�

Q = MaC/2 + 3mg/2 (4) Εστιάζοντας την προσοχή µας στο σηµείο Α επαφής της τροχαλίας µε το νήµα που συγκρατεί το σώµα, παρατηρούµε ότι η εφαπτοµενική επιτάχυνση του σηµείου αυτού είναι

�

-! g /2 και εποµένως για το σηµείο αυτό ισχύει:

�

g/2 = aC +! 'R

�

!

�

g/2 = 2aC

�

!

�

aC = g/4 οπότε η (4) γράφεται:

�

Q = Mg/8 + 3mg/2 (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (5) παίρνουµε:

�

F - Mg/8 - 3mg/2 = MaC + Mg + 3mg/2

�

!

�

F = Mg/4 + 9Mg/8 + 6mg/2

�

!

�

F = (11M + 24m)g/8 (6) Παρατήρηση: Mπορούµε να υπολογίσουµε την δύναµη

�

! F εφαρµόζοντας στο σύστηµα το θεώ

ρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρόνο t που το σώµα Σ µετατοπίζε ται προς τα πάνω κατά h, ξεκινώντας από την ηρεµία. Στον χρόνο αυτόν το κέν τρο C της τροχαλίας µετατοπίζεται προς τα πάνω κατά hC και θα ισχύει:

�

hC = aCt2/2 = gt2/8 = h/2

Εξάλλου το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου δίνει:

�

MvC

2

2+

1

2

MR2!

2

2+

mv"

2

2= W!

F + WM

! g + Wm

! g

�

!

�

MvC

2

2+

1

2

MvC

2

2+

mv!

2

2= FhC - MghC - mgh

�

!

�

3MvC

2

4+

mv!

2

2= Fh/2 - Mgh/2 - mgh (7)

όπου

�

! v

C

�

! v

! οι ταχύτητες του κέντρου C της τροχαλίας και του σώµατος Σ αντι

στοίχως την χρονική στιγµή t και

�

! ! η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της τρο

χαλίας. Όµως για τα µέτρα των ταχυτήτων

�

! v

C και

�

! v

! ισχύουν οι σχέσεις:

�

vC

2 = 2aChC = 2(g/4)(h /2) = gh/4 και

�

v!

2 = 2(g/2)h = gh οπότε η (7) γράφεται:

�

3M(gh/4)

4+

mgh

2= Fh/2 - Mgh/2 - mgh

�

!

�

3Mg

16+

mg

2=

F

2-Mg

2- mg

�

!

�

11Mg

16+

3mg

2=

F

2

�

!

�

11Mg + 24mg = 8F

�

!

�

F = (11M + 24m)g/8 ii) Eάν σε χρόνο t το σώµα Σ µετατοπίζεται εκ της ηρεµίας κατά h τότε η αντί στοιχη αύξηση ΔΕµηχ της µηχανικής ενέργειας της τροχαλίας είναι;

�

!Eµ"# =MvC

2

2+

1

2

MR2$ 2

2+ MghC =

MvC

2

2+

MvC

2

4+

Mgh

2

�

!

�

!Eµ"# =3MvC

2

4+

Mgh

2=

3M(gh/4)

4+

Mgh

2=

11Mgh

16 (8)

To έργο

�

W!

F που παράγει η δύναµη

�

! F στον χρόνο t δίνεται από την σχέση:

�

W!

F = Fh

C= Fh/2

�

!

(6)

�

W!

F = (11M + 24m)gh/16 (9)

Διαιρώντας κατά µέλη τις (8) και (9) παίρνουµε:

�

!Eµ"#

W!

F

=11Mgh/16

(11M + 24m)gh/16

�

!

�

!Eµ"#

W!

F

=11M

11M + 24m< 1

P.M. fysikos

Από τροχό ακτίνας R, ο οποίος κυλίεται ισοταχώς σε οριζόντιο έδαφος µε ταχύτητα

�

! v

0, εκτοξεύεται ένα µικρό σωµα

τίδιο. Να δείξετε ότι εάν v02 ≥Rg, το µέγιστο ύψος hmax από το έδαφος

στο οποίο µπορεί να φθάσει το σωµατίδιο, δίνεται από την σχέση:

�

hmax= R +gR2

2v02

+v0

2

2g

όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι το σωµατίδιο αποσπάται στο σηµείο Μ του κυλιόµε νου τροχού, του οποίου η επιβατική ακτίνα CM ως προς το κέντρο C σχηµατί

ζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση CE. (σχ. 3). Για φ=0 η θέση του Μ είναι το σηµείο επαφής Ο του τροχού µε το έδαφος. Για π/2<φ<π οι συντεταγ µένες του Μ ως προς το ορθογώνιο σύστηµα Οxy είναι:

�

xM = OE - OMx = R! - R"#$(! - %/2)

yM = OMy = R + R&µ (! - %/2)

' ( )

�

!

�

xM = R(! - "µ!)

yM = R(1 - #$%!)

& ' ( (1)

H ταχύτητα απoσπάσεως

�

! v του σωµατιδίου Μ προκύπτει ως συνισταµένη της

µεταφορικής του ταχύτητας

�

! v

0 και της ταχύτητάς του

�

! v

!, λόγω περιστροφής

του τροχού. Η κατακόρυφη συνιστώσα της

�

! v έχει µέτρο που δίνεται από την

σχέση:

�

vy = v!y = v!"#$% = v0"#$(& - !/2)

�

!

�

vy = v0!µ" (2)

Σχήµα 3 Το σωµατίδιο εκτελεί πλάγια βολή µέσα στο πεδίο βαρύτητας της Γης και την στιγµή που βρίσκεται στο ανώτατο σηµείο της παραβολικής του τροχιας η y- συντεταγµένη του δίνεται από την σχέση:

�

yA = yM + vy

2/2g

�

!

(1),(2)

�

yA = R(1- !"#$) + v0

2%µ

2$ /2g

�

!

�

2gyA = 2Rg(1- !"#$) + v0

2(1 - !"#2$)

�

!

�

v0

2!"#

2$ + 2Rg!"#$ + 2gyA - 2Rg - v0

2 = 0 (3) H (3) αποτελεί µια εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς συνφ και έχει φυσικό νόη µα εφ’ όσον η διακρίνουσά της είναι µη αρνητική, δηλαδή πρέπει να ισχύει:

�

4R2g2 - 4v0

2(2gyA - 2Rg - v0

2) ! 0

�

!

�

R2g2 - 2v0

2gyA + 2Rgv0

2 + v0

4! 0

�

!

�

R2g2 + 2Rgv0

2 + v0

4! 2v0

2gyA

�

!

�

yA !R2g

2v0

2+ R +

v0

2

2g

�

!

�

ymax =R2g

2v0

2+ R +

v0

2

2g (4)

Όταν όµως το σωµατίδιο βρίσκεται στην µεγαλύρερη απόσταση hmax από το έδαφος η εξίσωση (3) θα έχει διπλή ρίζα, που δίνεται από τηn σχέση:

�

!"#$ = -2Rg

2v0

2= -

Rg

v0

2 (5)

Όµως π/2<φ<π, δηλαδη -1<συνφ<0, η οποία συνδυαζόµενη µε την (5) δίνει:

�

- 1 < -Rg

v0

2< 0

�

!

�

1 >Rg

v0

2

�

!

�

v0

2 > Rg

P.M. fysikos

Tρεις απολύτως όµοιες οµογενείς σφαίρες κρατούνται ακίνητες, ώστε ανά δύο να εφάπτονται µεταξύ τους και οι δύο από αυτές να εφάπτονται σε οριζόντιο έδαφος. Κάποια στιγµή οι σφαίρες αφήνονται ελεύθερες και αρχίζουν να κινούνται. Εάν µεταξύ των σφαιρών δεν υπάρχει τριβή, ενώ η τριβή των σφαιρών µε το έδα φος επαρκεί ώστε να επιτρέπει σ΄ αυτές να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση, να βρείτε τις επιταχύνσεις των κέντρων των σφαιρών σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει η διάκεντρος δύο εφαπτόµενων σφαι ρών µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύ

τητας και η ροπή αδράνειας Ι=2mR2/5 µιας οµογενούς σφαίρας µάζας m και ακτίνας R, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σύστηµα όταν οι διάκενροι CC1 και CC2 σχηµατίζουν µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Την στιγµή αυτή η υπερκείµενη σφαίρα κέντρου C δέχεται το βάρος της

�

m! g και τις δυνάµεις επαφής

�

! N

1,

�

! N

2 από τις

σφαίρες που εφάπτονται του οριζόντιου εδάφους, των οποίων οι φορείς διέρχον ται από το κέντρο C (σχ. 5), διότι µεταξύ των σφαιρών δεν υπάρχει τριβή. Επειδή οι ροπές των τριών αυτών δυνάµεων περί το κέντρο C είναι µηδενικές,

Σχήµα 4 Σχήµα 5 η υπερκείµενη σφαίρα δεν στρέφεται περί το C. Eξάλλου κατά την οριζόνια διεύθυνση η σφαίρα αυτή δεν κινείται, διότι οι οριζόντιες συνιστώσες

�

! N

1x,

�

! N

2x

των

�

! N

1 και

�

! N

2 αλληλοαναιρούνται για λόγους συµµετρίας. Μπορεί όµως η

σφαίρα να κινείται κατα την κατακόρυφη διευθυνση Cy και συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει:

�

mg - N1y - N2y = ma

�

!

�

mg - N1!"#$ - N2!"#$ = ma

�

!

�

mg - 2N!"#$ = ma

�

!

�

N = (mg - ma)/2!"#$ (2) όπου Ν το κοινό µέτρο των δυνάµεων

�

! N

1 και

�

! N

2 και

�

! a η επιτάχυνση της υπερ

κείµενης σφαίρας. Εξετάζοντας την σφαίρα κέντρου C1 διαπιστώνουµε ότι, αυτή δέχεται το βάρος της

�

m! g , την δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος που

αναλύεται στην τριβή

�

! T και στην κάθετη αντίδραση

�

! N και τέλος την δύναµη

επαφής

�

! N '

1 από την υπερκείµενη σφαίρα, η οποία σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο

του Νεύτωνα είναι αντίθετη της

�

! N

1 (σχ. 4). Η τριβή

�

! T έχει ροπή περί το

κέντρο C1 της σφαίρας αυτής που της προσδίνει αριστερόστροφη περιστροφική κίνηση και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της περιστροφικής κίνησης θα ισχυει:

�

TR = 2mR2! '

1/5

�

!

�

T = 2mR!'1/5 (2)

όπου

�

! ! '

1 η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως η σφαίρα αυτή επιταχύνε

ται κατά την οριζόντια διεύθυνση και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύ τωνα θα ισχύει:

�

N'1x

- T = ma1

�

!

�

N'1!µ" - T = ma

1

�

!

(2)

�

N1!µ" - 2mR#'

1/5 = ma

1 (3)

όπου

�

! a

1 η επιτάχυνση του κέντρου C1 της σφαίρας. Eπειδή η σφαίρα κυλίεται

χωρίς ολίσθηση ισχύει a1=ω’1R, οπότε η (3) γράφεται:

�

N1!µ" - 2ma

1/5 = ma

1

�

!

�

N1!µ" = 7ma

1/5

�

!

�

N = 7ma1/5!µ" (4)

Συνδυάζοντας τις (2) και (4) παίρνουµε την σχέση:

�

7ma1

5!µ"=

mg - ma

2#$%"

�

!

�

a1=5(g - a)!µ"

14#$%" (5)

Όµως το µήκος της διακέντρου C1C παραµένει σταθερό στην διάρκεια που η υπερκείµενη σφαίρα διατηρεί την επαφή της µε τις άλλες δύο σφαίρες και αυτό µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι οι συνιστώσες των

�

! a και

�

! a

1 κατά την διεύ

θυνση της C1C είναι ίσες, δηλαδή ισχύει:

�

a!"#$ = a1!"#(% /2 - $)

�

!

�

a1= a!"#$ /%µ$ (6)

Συνδυάζοντας τις (5) και (6) έχουµε:

�

a!"#$

%µ$=

5(g - a)%µ$

14!"#$

�

!

�

a(14!"#2$ + 5%µ

2$) = 5g%µ

2$

�

!

�

a =5g!µ

2"

9#$%2" + 5

(7)

Συνδυάζοντας τέλος τις (6) και (7) παίρνουµε:

�

a1 =5g!µ

2"9#$%2" + 5

#$%"!µ"

&

' (

)

* +

�

!

�

a1 =5g!µ"#$%"9#$%2" + 5

=!µ 2"

9#$%2" + 5

5g

2

&

' (

)

* +

P.M. fysikos

Θεωρούµε τις τρεις σφαίρες του προηγούµενου προβλήµατος, όπου η τριβή µεταξύ των σφαιρών και του οριζοντίου εδάφους είναι ασήµαντη, ενώ η τριβή µεταξύ των σφαιρών που εφάπ τονται επαρκεί ώστε η µια να µη ολισθαίνει επί της άλλης. Αρχικά οι σφαίρες κρατούνται ακίνητες, ώστε ανά δύο να εφάπτονται µεταξύ τους και κάποια στιγµή αφήνονται ελεύθερες. Να βρείτε τις επιταχύν σεις των κέντρων των σφαιρών σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει η διάκεντρος δύο εφαπτόµενων σφαιρών µε την κατα κόρυφη διεύθυνση. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: Εξετάζοντας την υπερκείµενη σφαίρα κατά την στιγµή t=0 που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο, παρατηρούµε ότι αυτή δέχεται το βάρος της

�

m! g

και τις δυνάµεις επαφής από τις δύο άλλες σφαίρες, οι οποίες αναλύονται στις τριβές

�

! T

1,

�

! T

2 και στις κάθετες αντιδράσεις

�

! N

1,

�

! N

2 (σχ. 7). Για λόγους συµµετ

ρίας µπορούµε να ισχυριστούµε ότι οι ροπές των

�

! T

1,

�

! T

2 περί το κέντρο C είναι

αντίθετες, που σηµαίνει ότι η σφαίρα δεν µπορεί να περιστρέφεται περί το κέν τρο της, αφού και οι αντίστοιχες ροπές των

�

! N

1,

�

! N

2 και

�

m! g είναι µηδενικές.

Σχήµα 6 Σχήµα 7 Επί πλέον οι οριζόντιες συνιστώσες των δυνάµεων

�

! T

1,

�

! T

2 καθώς και των δυνά

µεων

�

! N

1,

�

! N

2 είναι αντίθετες, που σηµαίνει ότι η σφαίρα δεν µπορεί να κινηθεί

κατα την οριζόντια διεύθυνση. Άρα η µόνη δυνατή κίνηση της σφαίρας είναι η προς τα κάτω κατακόρυφη µετατόπισή της. Εφαρµόζοντας για την σφαίρα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

mg - T1y - T2y - N1y - N2y = ma

�

!

�

mg - T1!µ" - T2!µ" - N1#$%" - N2#$%" = ma

�

!

�

mg - 2T!µ" - 2N#$%" = ma (1) όπου

�

! a η επιτάχυνση της σφαίρας κατά την στιγµή που την εξετάζουµε, φ η

αντίστοιχη γωνία των διακέντρων CC1, CC2 µε την κατακόρυφη διεύθυνση, Τ το κοινό µέτρο των δυνάµεων

�

! T

1,

�

! T

2 και Ν το κοινό µέτρο των δυνάµεων

�

! N

1,

�

! N

2. Εξετάζοντας την ίδια στιγµή την σφαίρα κέντρου C1, παρατηρούµε ότι

αυτή δέχεται το βάρος της

�

m! g , την κατακόρυφη δύναµη επαφής

�

! N από το ορι

ζόντιο έδαφος και την δύναµη επαφής από την υπερκείµενη σφαίρα, η οποία αναλύεται στην τριβή

�

! T '

1 αντίθετη της

�

! T

1 και την κάθετη αντίδραση

�

! N '

1

αντίθετη της

�

! N

1 (αξίωµα δράσης-αντίδρασης). Η ροπή της

�

! T '

1 περι το κέντρο C1

προσδίδει στην σφαίρα δεξιόστροφη περιστροφική κίνηση και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει:

�

T'1R = 2mR

2! '

1/5

�

!

�

T'1= 2mR!'

1/5

�

!

�

T= 2mR!'1/5 (2)

όπου

�

! ! '

1 η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας. Όµως η σφαίρα αυτή έχει µετα

φορική κίνηση κατά την οριζόντια διεύθυνση και σύµφωνα µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση:

�

N'1x

-T'1x

= ma1

�

!

�

N'1!µ" -T'

1#$%" = ma

1

�

!

�

N!µ" -T#$%" = ma1

�

!

(2)

�

N!µ" -2mR#'1$%&"/5= ma

1 (3)

όπου

�

! a

1 η επιτάχυνση της σφαίρας την στιγµή που την εξετάζουµε. Επειδή η

σφαίρα αυτή κυλίεται χωρίς ολίσθηση ισχύει a1=ω’1R, οπότε η (3) γράφεται:

�

N!µ" -2ma1#$%"/5= ma

1

�

!

�

5N!µ" = 5ma1+2ma

1#$%"

�

!

�

N = ma1(5 +2!"#$)/5%µ$ (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (4) παίρνουµε:

�

mg - 4ma1

!µ"

5- 2ma1

(5 +2#$%")#$%"

5!µ"= ma

�

!

�

5mg!µ" - 4ma1!µ2" - 2ma1(5 +2#$%")#$%" = 5ma!µ"

�

!

�

5g!µ" - 2a1(2!µ2" + 2#$%2

" +5#$%") = 5a!µ"

�

!

�

5g!µ" - 2a1(2 +5#$%") = 5a!µ" (5) Όµως το µήκος της διακέντρου C1C παραµένει σταθερό στην διάρκεια που η υπερκείµενη σφαίρα διατηρεί την επαφή της µε τις άλλες δύο σφαίρες και αυτό µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι οι συνιστώσες των

�

! a και

�

! a

1 κατά την διεύ

θυνση της C1C είναι ίσες, δηλαδή ισχύει:

�

a!"#$ = a1!"#(% /2 - $)

�

!

�

a1= a!"#$ /%µ$ (6)

Συνδυάζοντας τις (5) και (6) έχουµε:

�

5g!µ" - 2a#$%"

!µ"(2 +5#$%") = 5a!µ"

�

!

�

5g!µ2" - 2a#$%"(2 +5#$%") = 5a!µ

2"

�

!

�

5g!µ2" = a(5!µ

2" + 4#$%" +10#$%2

")

�

!

�

a = g5!µ

2"5 + 4#$%" +5#$%2"

&

' (

)

* + (7)

Συνδυάζοντας τις (6) και (7) παίρνουµε:

�

a1 = g5!µ

2"5 + 4#$%" +5#$%2"

&

' (

)

* + #$%"!µ"

�

!

�

a1= g5!µ"#$%"

5 + 4#$%" +5#$%2"

&

' (

)

* + =

g

2

5!µ2"5 + 4#$%" +5#$%2"

&

' (

)

* +

P.M. fysikos

Αβαρής ράβδος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ που είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Το άκρο Ο της ράβδου είναι αρθρωµένο σε οριζόντιο έδαφος το δε τµήµα της ΟΑ είναι κατακόρυφο και εφάπτεται µιας ακίνητης σταθερής τροχαλίας µάζας Μ και ακτίνας R, η οποία µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της (σχ. 8). Στο αυλάκι της τροχαλίας έχει περιτυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα στο ελευθερο άκρο του οποίου έχει δεθεί µικρό σώµα Σ, µάζας m. Η ράβδος ισορροπεί όταν πάνω στο οριζόντιο τµήµα της ΑΒ κυλίεται ισοταχώς µικρή σφαίρα µάζας m, µε ταχύτητα

�

! v

0 που

κατευθύνεται προς το άκρο Β. Εάν την χρονική στιγµή t=0 η σφαίρα βρίσκεται στο άκρο Α να εκφράσετε την ταχύτητα του σώµατος Σ σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας, o

συντελεστής τριβής ολίσθησης n µεταξύ της τροχαλίας και του τµή µατος ΟΑ της ράβδου, η απόσταση ΟΑ=L, η ροπή αδράνειας Ι=ΜR2/2

της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σύστηµα την χρονική στιγµή t που το κέντρο της µικ ρής σφαίρας βρίσκεται σε απόσταση x από το άκρο Β. Η σφαίρα δέχεται το βά ρος της

�

m! g και την δύναµη επαφής

�

! N

1 από το οριζόντιο τµήµα της ράβδου της

οποίας ο φορέας είναι κάθετος στο τµήµα αυτό, διότι η σφαίρα κυλίεται ισοτα χώς. Εξάλλου το σώµα Σ κατέρχεται υπό την επίδραση του βάρους του

�

m! g και

της τάσεως

�

! Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό

µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση:

�

mg - Q = ma

�

!

�

Q = mg - ma (1)

Σχήµα 8 όπου

�

! a η επιτάχυνση του σώµατος. Εστιάζοντας στην τροχαλία παρατηρούµε

ότι αυτή περιστρέφεται υπό την επίδραση δύο ροπών, της ροπής περί τον άξονα της της τριβής ολίσθήσεως

�

! T που δέχεται από το κατακόρυφο τµήµα ΟΒ της

ράβδου και της αντίστοιχης ροπής της τάσεως

�

! Q ' του νήµατος που περιβάλλει

το αυλάκι της. Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στρο φικής κίνησης παίρνουµε την σχέση:

�

Q'R - TR = I! '

�

!

�

QR - TR = MR2! '/2

�

!

�

Q - T = MR! '/2

�

!

�

Q - nN = MR! '/2 (2) όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας και

�

! N η κάθετη αντίδραση που

δέχεται από το κατακόρυφο τµήµα της ράβδου. Τέλος αναφερόµενοι στην ράβδο παρατηρούµε ότι αυτή ισορροπεί υπό την επίδραση της δύναµης

�

! N '

1 που δέχε

ται από την σφαίρα, η οποία είναι αντίθετη της

�

! N

1, δηλαδή ίση µε

�

m! g , την δύ

ναµη επαφής από την τροχαλία που αναλύεται στην

�

! T ' (αντίδραση της τριβής

Σχήµα 9

�

! T ) και στην

�

! N ' (αντίδραση της κάθετης δύναµης

�

! N ) και την δύναµη

�

! P από

την άρθρωση Ο (σχ. 9). Λόγω της ισορροπίας της ράβδου η συνολική ροπή των δυνάµεων αυτών περί την άρθρωση Ο, είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

N'1x - N'L = 0

�

!

�

N1x = NL

�

!

�

mgv0t = NL

�

!

�

N = mgv0t /L (3) Η σχέση (2), λόγω των (1) και (3), γράφεται:

�

mg-ma-nmgv0t /L=MR! '/2

�

!

�

mg-ma-nmgv0t /L=Ma/2

�

!

�

mg(1 - nv0t /L) = (m + M/2)a

�

!

�

a = 2mg(L-nv0t)/L(2m + M) (4) Εάν

�

d! v είναι η µεταβολή της ταχύτητας του σώµατος Σ µεταξύ των χρονικών

στιγµών t και t+dt, η (4) γράφεται:

�

dv

dt=

2mg(L-nv0t)

L(2m + M)

�

!

�

dv =2mg(L-nv0t)dt

L(2m + M) (4)

Ολοκληρώνοντας την (4) παίρνουµε:

�

v =2mg

L(2m + M)Lt-

nv0t2

2

!

" #

$

% & + C (5)

Αν δέχθούµε ότι την χρονική στιγµή t=0 το σώµα είναι σε ηρεµία (v=0), τότε η

σταθερά ολοκλήρωσης C είναι µηδενική και η (5) γράφεται:

�

v =mg

L(2m + M)2L-nv0t( )t

P.M. fysikos

Λεπτή οµογενής ράβδος ΑΒ, µήκους L και µάζας m, µπορεί να στρέ φεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στην ράβδο. Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου ένα “έξυπνο έντοµο’’ µάζας m/10 πέφτει κάθετα πάνω στην ράβδο στο µέσον Γ του τµήµατος ΟΑ µε ταχύτητα

�

! v

0. Αµέσως

µετά το έντοµο αρχίζει να κινείται πάνω στην ράβδο µε κατεύθυνση προς το άκρο της Α και µε τέτοιο τρόπο, ώστε η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου να διατηρείται σταθερή και ίση µε την γωνιακή της ταχύ τητα αµέσως µετά την πρόσκρουση του εντόµου. Nα βρείτε σε συνάρ τηση µε τον χρόνο την απόσταση του εντόµου από το κέντρο Ο της ράβδου. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mL2/12 ως προς άξονα που διέρ χεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: Θα δεχθούµε ότι η κρούση του “έξυπνου εντόµου” µε την ράβδο είναι πλαστική, που σηµαίνει ότι αµέσως µετά την κρούση η ταχύτητα του εντόµου είναι ίδια µε την ταχύτητα του σηµείου Γ της ράβδου. Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt→0) που διαρκεί η κρούση, η ώθηση της ροπής του βάρους

�

m! g /10

του εντόµου περί το Ο είναι ασήµαντη (τείνει στο µηδέν) η δε αντίστοιχη ώθη ση της ροπής του βάρους

�

m! g της ράβδου είναι µηδενική και σύµφωνα µε το

Σχήµα 10 θεώρηµα ώθησης-στροφορµής η στροφορµή του συστήµατος ράβδος-έντοµο δεν µεταβάλλεται κατά τον χρόνο Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

!

L !"#$ %&'((O) =

!

L )µ*+,- µ./0

(O)

�

!

�

L!"#$ %&'(

(O) = L )µ*+,- µ./0

(O)

�

!

�

mv0

10

L

4=

mL2

12+

m

10

L

4

!

" #

$

% &

2'

(

)

)

*

+

,

,

-

�

!

�

v0

40=

L

12+

L

160

!

" #

$

% & '

�

!

�

12v0

= 43L!

�

!

�

! = 12v0/43L (1)

όπου

�

! ! η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβδου περί το Ο, αµέσως µετά

την κρούση της µε το έντοµο. Εξετάζοντας το σύστηµα ράβδος-έντοµο την χρο νική στιγµή t που αυτό βρίσκεται σε απόσταση r από το Ο (r>L/4) θα έχουµε για την στροφορµή του

�

! L περί το Ο, την σχέση:

�

! L =

mL2

12+

mr2

10

!

" #

$

% &

! ' =

mL2! '

12+

mr2! '

10 (2)

Παραγωγίζοντας την (2) ως προς τον χρόνο t και λαµβάνοντας υπ’ όψη ότι η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή και ίση µε

�

! ! , παίρνουµε την σχέση:

�

d! L

dt=

mL2

12

d! !

dt+

mr2

10

d! !

dt+

2mr

10

dr

dt

! !

�

!

�

d! L

dt=

mr

5

dr

dt

! !

�

!

�

d! L

dt=

mr

5

dr

dt!

! k (3)

Σχήµα 11

όπου

�

! k το µοναδιαίο διάνυσµα του άξονα περιστροφής της ράβδου, το οποίο

συµβατικά ελήφθη οµόρροπο της

�

! ! . Εφαρµόζοντας εξάλλου την στιγµή t τον

γενικευµένο νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση:

�

d! L

dt=! ! (O)

�

!

�

d! L

dt=

mg

10r!"#$

! k =

mg

10r!"#(%t)

! k (4)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:

�

mr

5

dr

dt!

! k =

mg

10r"#$(!t)

! k

�

!

�

dr

dt=

g

2!"#$!t

�

!

�

dr =g

2!"#$!tdt (5)

Ολοκληρώνοντας την (5) παίρνουµε:

�

r = g!µ"t /2" 2 + C (6)

H σταθερά ολοκλήρωσης C θα βρεθεί µε βάση την αρχική συνθήκη ότι για t=0 είναι r=L/4, οπότε από την (6) προκύπτει:

�

L/4 = 0 + C

�

!

�

C = L/4 Έτσι η σχέση (6) παίρνει την µορφή:

�

r =g

2! 2"µ!t +

L

4

�

!

(1)

�

r =43

12

!

" #

$

% &

2

L2g

v0

2'µ(t +

L

4

�

!

�

r =L

41+

43

12

!

" #

$

% &

2

Lg

v0

2'µ(t

)

*

+ +

,

-

.

.

P.M. fysikos

Λεπτή ράβδος ΟΑ µήκους L, είναι αρθωµένη στο άκρο της Ο όπως φαίνεται στο σχήµα (12). Στο άκρο της Α έχει στερεωθεί µικρό σφαιρίδιο ενώ ένα δεύτερο σφαιρίδιο της ίδιας µάζας µε το προηγούµενο µπορεί να µετατοπίζεται κατά µήκος της ράβδου. Να βρεθεί σε ποια θέση πρέπει να στερεωθείο το δεύτερο σφαιρίδιο, ώστε όταν η ράβδος αφεθεί ελεύθερη στην οριζόντια θέση να φθάσει στην κατακόρυφη θέση στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. ΛΥΣΗ: Εξετάζουµε το σύστηµα της ράβδου και των δύο σφαιριδίων, όταν η ράβδος σχηµατίζει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση (0≤φ≤π/2). Στην θέση αυτή επί του συστήµατος ενεργούν τα βάρη

�

m! g των δύο σφαιριδίων και η

δύναµη από την άρθρωση Ο. Εφαρµόζοντας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση:

�

!" (O)= I(O)#'

�

!

�

mg(OM') + mg(AA') = [m(OM)2 + m(OA)2]!'

�

!

�

gx!"#$ + gL!"#$ = (x2 + L2)% '

�

!

�

!'= g"#$%(x + L)/(x2 + L2) (1)

Σχήµα 12 όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου στην θεωρούµενη θέση και x η από

σταση ΟΜ. Για να βρεθεί η ράβδος από την οριζόντια στην κατακόρυφη θέση στον ελάχιστο χρόνο, πρέπει για κάθε φ µε 0≤φ≤π/2 το µέτρο της

�

! ! ' να παρου

σιάζει την µέγιστη αντίστοιχη τιµή του. Αυτό θα συµβεί αν η µερική παράγω

γος

�

!"'/!x της (1) ως προς την µεταβλητή x είναι µηδενική σε κάθε θέση του

συστήµατος που ορίζει η σχέση 0≤φ≤π/2. Έτσι θα πρέπει να ισχύει:

�

!"'

!x= 0

�

!

�

g!"#$(x2 + L2) - (x + L)2x

(x2 + L2)2

%

&

'

(

)

* = 0

�

!

�

(x2+ L

2) - (x + L)2x = 0

�

!

�

x2+ 2Lx - L

2= 0 (2)

H (2) αποτελεί εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς x και έχει δύο ρίζες ετερόση µες από τις οποίες δεκτή είναι η θετική ρίζα:

�

x = L( 2 - 1) (3) Θεωρώντας την δεύτερη µερική παραγωγο

�

!2"'/!

2x της (1) ως προς x έχουµε:

�

!2"'

!2x=!!x

g#$%& (-x2 - 2Lx + L2)

(x2 + L2)2

'

(

)

*

+

,

�

!

�

!2"'

!2x=g#$%&

(-2x - 2L)(x2 + L2)2 - (-x2 - 2Lx + L2)2(x2 + L2)2x

(x2 + L2)4

'

(

)

*

+

, (4)

Για

�

x = L( 2 - 1) και 0≤φ≤π/2 από την (4) προκύπτει:

�

!2"'/!

2x < 0

που σηµαίνει ότι όταν η απόσταση ΟΜ λάβει την τιµή

�

L( 2 - 1), τότε το µέτρο της

�

! ! ' παρουσιάζει στις θέσεις 0≤φ≤π/2 µέγιστη αντίστοιχη τιµή.

P.M. fysikos

Mια οµογενής σφαίρα ακτίνας R, κυλίεται ισοτα χώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο, το δε κέντρο της έχει ταχύτητα

�

! v

0.

Kάποια στιγµή η σφαίρα προσκρούει σε σταθερό εµπόδιο, ύψους h. Nα υποθέσετε ότι µεταξύ της σφαίρας και του εµποδίου υπάρχει κατάλληλη τριβή, ώστε όσο χρόνο η σφαίρα είναι σ’ επαφή µε το εµπόδιο να αποφεύγεται η ολίσθησή της πάνω σ’ αυτό. i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας αµέσως µετά την κρούση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας. ii) Nα δείξετε ότι η αναγκαία συνθήκη, ώστε η σφαίρα να υπερπηδή σει το εµπόδιο, εκφράζεται µε την σχέση:

�

v0 !10gh

71-

5h

R

"

# $

%

& '

-1

όπου

�

! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. H ροπή αδράνειας της σφαίρας

ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C, δίνεται από την σχέση ΙC=2mR2/5, όπου m η µάζα της. ΛYΣH: i) Eάν Δt είναι ο χρόνος κρούσεως της σφαίρας µε το εµπόδιο Α, τότε επειδή Δt→0 η ώθηση της ροπής του βάρους

�

! w της σφαίρας περί το σηµείο Α

θα τείνει στο µηδέν. Eξάλλου κατά τον χρόνο Δt η ροπή της δύναµης που δέχε ται η σφαίρα από το εµπόδιο (αντίδραση του εµποδίου), περί το σηµείο Α είναι µηδενική, οπότε η στροφορµή της στεφάνης περί το Α παραµένει σταθερή στην διάρκεια του χρόνου Δt, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

!

L !"#$ %&'( =

!

L )µ*+,- µ./0

�

!

�

L !"#$ %&'( = L )µ*+,- µ./0 (1)

Όµως το µέτρο της στροφορµής της στεφάνης περί το ακίνητο σηµείο Α, λίγο πριν την κρούση της µε το εµπόδιο, είναι:

�

L !"#$ %&'( = mv0R!µ" + I

C#

0 (2)

Σχήµα 13 Σχήµα 14 όπου

�

! !

0 η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της στεφάνης περί το Α.

Όµως ισχύει IC=2mR2/5 και ω0=v0/R, οπότε η (2) γράφεται:

�

L !"#$ %&'( = mv0R!µ" + 2mR2(v0/R)/5 = mv0R(2/5 + !µ") (3)

Eξάλλου, το µέτρο της στροφορµής της σφαίρας περί το M, αµέσως µετά την κρούση της µε το εµπόδιο είναι:

�

L !µ"#$% µ&'( = IA!'0 (4)

όπου IΑ η ροπή αδράνειας της σφαίρας περί άξονα κάθετο στο επίπεδό της και διερχόµενο από το σηµείο Α και

�

! ! '

0η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της σφαί

ρας περί το Α αµέσως µετά την κρούση της µε το εµπόδιο. Όµως για την IΑ ισχύει η σχέση:

�

IA= I

C+ mR

2= 2mR

2/5 + mR

2= 7mR

2/5

οπότε η (4) γράφεται:

�

L !µ"#$% µ&'( = 7mR2! '0 /5 (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), (3) και (5) παίρνουµε:

�

mv0R(2/5 + !µ")= 7mR2# '0 /5

�

!

�

v0R(2 + 5!µ")= 7R2v'0 /R

�

!

�

v'0 =v0

7(2 + 5!µ")

�

!

�

v'0 =v0

72 +

5(R - h)

R

!

" #

$

% & =

v0

77 -

5h

R

'

( )

*

+ , (6)

όπου

�

! v '

0 η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας. αµέσως µετά την κρούση της µε

το εµπόδιο ii) Για να υπερπηδήσει η σφαίρα το εµπόδιο χωρίς να ολισθήσει πάνω σ’ αυτό, πρέπει τη στιγµή που η επιβατική ακτίνα του κέντρου µάζας της (ως προς ση µείο περιστροφής Α) είναι κατακόρυφη, η κινητική της ενέργεια να είναι µεγαλύτερη ή οριακά ίση µε µηδέν, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση:

�

KAC'

! 0 (7)

Σχήµα 15 Eφαρµόζοντας για την σφαίρα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργει ας, µεταξύ των θέσεων ΑC και AC΄ της επιβατικής ακτίνας του κέντρου µάζας της (σχ. 15), παίρνουµε την σχέση:

�

KAC

+ UAC

=KAC'

+ UAC'

�

!

�

7mR2

5

v'02

2R2+ mgR!µ" = KAC' + mgR

�

!

�

KAC' =7mv'0

2

10- mg(1 - !µ")=

7mv'02

10- mg 1-

R - h

R

#

$ %

&

' (

�

!

(7)

�

7mv'02

10- mg 1-

R - h

R

!

" #

$

% & ' 0

�

!

�

7v'02

10!

gh

R

�

!

(6)

�

7

10

v0

2

727 -

5h

R

!

" #

$

% &

2

'gh

R

�

!

�

v0 1 -5h

7R

!

" #

$

% & '

10gh

R

�

!

�

v0 !10gh

R1-

5h

7R

"

# $

%

& '

-1

P.M. fysikos

Μια οµογενής λεπτή ράβδος µήκους L και µάζας m, στέκεται κατακόρυφα µε το ένα της άκρο Ο να ακουµπάει σε τραχύ οριζόντιο έδαφος. Την χρονική στιγµή t=0 διαταράσσουµε ελαφ ρά την ράβδο µε αποτέλεσµα αυτή να πέσει στο έδαφος. Να βρείτε: i) την οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης που δέχεται η ράβδος από το έδαφος, σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατί ζει κάθε στιγµή µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ii) την τιµή της γωνίας φ, για την οποία επίκειται η ολίσθηση της ράβ δου. Προς ποια κατεύθυνση θα ολισθήσει η ράβδος; Δίνεται η επιτά χυνση

�

! g της βαρύτητας, ο συντελεστής οριακής τριβής n µεταξύ του

άκρου της ράβδου και του εδάφους και η ροπή αδράνειας Ι=mL2/3 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε την ράβδο στην τυχαία θέση, όπου αυτή σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Στην θέση αυτή η ράβδος δέχεται το βάρος της

�

m! g και την δύναµη επαφής από το έδαφος, η οποία αναλύεται στην

οριζόντια συνιστώσα

�

! R

x και στην κατακόρυφη συνιστώσα

�

! R y. Εφαρµόζοντας

για την ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, παίρνουµε την σχέση:

�

mgL

2+ 0 =

mgL

2!"#$ +

1

2

mL2

3%

2

�

!

�

!2 =

3g

L(1 - "#$%) (1)

Σχήµα 16 όπου

�

! ! η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στην θεωρούµενη θέση. Εξάλλου, εαν

�

! ! ' είναι η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, συµφωνα µε τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση:

�

mgL

2!µ" =

mL2

3# '

�

!

�

!'=3g

2L"µ# (2)

Για το κέντρο µάζας C της ράβδου ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της ακτίνας της τροχιάς που διαγράφει, δίνει την σχέση:

�

mg!"#$ - Rx%µ$ - Ry!"#$ =mvC

2

L/2

�

!

�

Rx!µ" + Ry#$%" = mg#$%" -2mvC

2

L (3)

Όµως το µέτρο της ταχύτητας

�

! v

C του κέντρου µάζας C είναι ίσο µε ωL/2, οπό

τε η σχέση (3) γράφεται:

�

Rx!µ" + Ry#$%" = mg#$%" -2m

L

&2L2

4

�

!

(1)

�

Rx!µ" + Ry#$%" = mg#$%" -3mg(1 - #$%")

2

�

!

�

Rx!µ" + Ry#$%" =mg

2(5#$%" - 3) (4)

Eξάλλου για το κέντρο µάζας C της ράβδου ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύ τωνα κατά την κάθετη προς την ακτίνα της τροχιάς του διεύθυνση, δίνει:

�

mg!µ" + Rx#$%" - Ry!µ" = mdvC

dt

�

!

�

Rx!"#$ - Ry%µ$ = mL& '

2- mg%µ$

�

!

(2)

�

Rx!"#$ - Ry%µ$ =3mg

4%µ$ - mg%µ$ (5)

Οι σχέσεις (4) και (5) θεωρούµενες ως σύστηµα πρώτου βαθµού µε αγνώστους τις ποσότητες Rx και Ry µας επιτρέπουν να εκφράσουµε τις ποσότητες αυτές σε συνάρτηση µε την γωνία φ. Από την λύση του συστήµατος αυτού παίρνουµε τε λικά τις σχέσεις:

�

Rx =3mg

4!µ"(3#$%" - 2) και

�

Ry =mg

4(3!"#$ - 1)2 (6)

ii) Η ράβδος αρχίζει να ολισθαίνει όταν η γωνία φ λάβει την τιµή φ0 για την οποία ισχύει η σχέση:

�

|Rx | = n |Ry |

�

!

(6)

�

| 3!µ"0(3#$%" 0 - 2)| = n(3#$%" 0 - 1)2

�

!

�

|!µ" 0(3#$%"0 - 2)|

(3#$%"0 - 1)2=

n

3 (7)

Eάν η γωνία φ0 που θα προκύψει από την τριγωνοµετρική εξίσωση (7) ικανο ποιεί την σχέση συνφ0>2/3, τότε Rx>0 και αυτό σηµαίνει ότι η ράβδος θα γλυσ τρίσει προς τα πίσω. Αν όµως είναι συνφ0<2/3, τότε Rx<0 και η ράβδος θα γλυσ τρίσει προς τα εµπρός.

P.M. fysikos