Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες m1 και m2. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση ισορροπίας τους, ώστε τα νήµατα να σχηµατίζουν µε την κατακόρυφη διεύθυνση την ίδια γωνία φ και τα αφήνουµε ελεύθερα, οπότε τα σφαιρίδια συγκρούονται στην θέση ισορροπίας τους. Eάν η κρούση των δύο σφαιριδίων είναι ελαστική, να βρείτε: i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και ii) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε το σφαιρίδιο µάζας m2 να ακινητοποιείται αµέσως µετά την κρούση. Ποια είναι στην περί πτωση αυτή η µέγιστη εκτροπή από την κατακόρυφη διεύθυνση του νήµατος που συγκρατεί το σφαιρίδιο µάζας m1, µετά την κρούση; ΛΥΣΗ: i) Κατά το πρόβληµα στις αρχικές θέσεις των σφαιριδίων τα νήµατα σχηµατίζουν την ίδια γωνία φ µε την κατακόρυφο διεύθυνση, οπότε οι ταχύτη τες µε τις οποίες φθάνουν ταυτόχρονα στο κατώτατο σηµείο Κ των τροχιών τους είναι αντίθετες, το δε κοινό τους µέτρο v θα βρεθεί εάν εφαρµόσουµε για το καθένα από αυτά το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας, Έτσι θα έχουµε την σχέση:

Σχήµα 1

�

0 + 0 = mv2/2 - mg(L - L!"#$)

�

!

�

v2= 2gL(1 - !"#$)

�

!

�

v2= 4gL!µ2(" /2)

�

!

�

v= 2 gL!µ (" /2) (1) Επειδή µετά την κρούση τα σφαιρίδια φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις, οι ταχύτητές τους αµέσως µετά την κρούση αντιστρέφονται (σχήµα 1) και συµφω να µε την αρχή διατήρησης της ορµής θα ισχύει η σχέση:

�

m1v - m

2v = -m

1v+ m

2v

�

!

�

2m1v = 2m

2v

�

!

�

m1/m

2= 1 (2)

ii) Aς δεχθουµε ότι οι µάζες m1, m2 των δύο σφαιριδίων έχουν τιµές που εξασ φαλίζουν ότι το σφαιριδιο µάζας m2 αµέσως µετά την κρούση ακινητοποιείται. Eάν

�

! v

1 είναι η ταχύτητα του σφαιριδίου µάζας m1 αµέσως µετά την κρούση

(σχήµα 2), τότε σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής για το σύστηµα των δύο σφαιριδίων θα έχουµε την σχέση:

�

m1v - m

2v = 0 -m

1v

1

�

!

�

v1 = (m2- m1)v /m1 (3)

Σχήµα 2

Εξάλλου επειδή η κρούση των δύο σφαιριδίων είναι ελαστική, η συνολική κινητική τους ενεργειά δεν µεταβάλλεται και αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση:

�

m1v

2

2+

m2v

2

2=

m1v

1

2

2+ 0

�

!

�

m1v

2+ m

2v

2= m

1v

1

2

�

!

(3)

�

m1v2 + m2v

2 = m1(m2- m1)2v2 /m1

2

�

!

�

m1 + m2 = (m2- m1)2/m1

�

!

�

m1

2+ m

1m

2= m

1

2- 2m

1m

2+ m

2

2

�

!

�

3m1m

2= m

2

2

�

!

�

m2/m

1=3 (4)

Eάν φ1 είναι η µέγιστη εκτροπή του νήµατος που συγκρατεί το σφαιρίδιο µάζας m1 µετά την κρούση, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέση:

�

m1v1

2

2- m1g(L - L!"#$1) = 0 + 0

�

!

�

v1

2 = 2gL(1 - !"#$1)

�

!

(3)

�

(m2- m1)2v2 /m1

2 = 4gL!µ2("1 /2)

�

!

(1).(4)

�

(3m1- m1)24gL!µ

2(" /2)/m1

2 = 4gL!µ2("1 /2)

�

!

�

!µ ("1 /2) = 2!µ (" /2) P.M. fysikos

Δύο δίσκοι Δ1 και Δ2 µε αντίστοιχες µάζες m1 και m2 είναι στερεωµένοι στις άκρες ενός κατακόρυφου ιδανικού ελα τηρίου σταθεράς k. Το σύστηµα ισορροπεί ώστε ο δίσκος Δ2 να εφά πτεται σε οριζόντιο έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήµα (3). Εφαρµό ζουµε στο κέντρο του δίσκου Δ1 κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω, της οποίας το µέτρο έχει επιλεγεί, ώστε αν το σύστηµα αφε θεί ελεύθερο ο δίσκος Δ2 µόλις να χάνει την επαφή του µε το οριζόν τιο έδαφος. i) Nα βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο τον ρυθµό µεταβολής της ορ µής και της κινητικής ενέργειας του δίσκου Δ1. ii) Nα βρείτε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την δύναµη που δέχεται ο δίσκος Δ2 από το έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: i) i) Πριν την εφαρµογή της δύναµης

�

! F ο δίσκος Δ1 ισορροπούσε στην

θέση Ο (στάθµη ε0) και το ελατήριο ήταν συµπιεσµένο κατά α από την φυσική του κατάσταση και ισχύει η σχέση: m1g = kα ! α = m1g/k (1)

Σχήµα 3 Σχήµα 4 Όταν επί του δίσκου Δ1 εφαρµόζεται η δύναµη

�

! F αυτός ισορροπεί σε νέα θέση

που βρίσκεται κάτω από την Ο (στάθµη ε1) σε απόσταση x0 από αυτήν (σχήµα 3)

και ισχύει η σχέση: F = kx0 ! x0 = F/k (2) Aς δεχθούµε ότι το µέτρο της δύναµης

�

! F είναι τέτοιο, ώστε όταν αυτή αποσυρ

θεί ο δίσκος Δ2 οριακά να χάνει την επαφή του µε το οριζόντιο έδαφος. Αυτό σηµαίνει ότι ο µεν δίσκος Δ1 εκτελεί κατακόρυφη απλή αρµονική ταλάντωση µε κέντρο ταλάντωσης το Ο και σταθερά ταλάντωσης k, ο δε δίσκος Δ2 ισορροπεί επί του εδάφους και την στιγµή που ο Δ1 βρίσκεται στην ανώτατη θέση του (στάθµη ε2 στο σχήµα 4) η δύναµη επαφής του δίσκου Δ2 µε το έδαφος µηδενίζε ται. Εποµένως την στιγµή αυτή ο δίσκος Δ2 ισορροπεί οριακά υπό την επίδραση του βάρους του

�

m2

! g και της δύναµης

�

! F !"

από το ελατήριο, δηλαδή η

�

! F !"

την στιγµή αυτή είναι αντίθετη του βάρους

�

m2

! g , δηλαδή έχει φορά προς τα πάνω,

οπότε το ελατήριο είναι τεντωµένο κατά β από την φυσική του κατάσταση (σχήµα 4) και θα ισχύει η σχέση: m2g = kβ ! β = m2g/k (3) Όµως από το σχήµα (4) προκύπτει ότι α+β= x0, η οποία µε βάση τις σχέσεις (1), (2) και (3) γράφεται:

�

m1g

k+

m1g

k=

F

k !

�

F = (m1 + m2)g (4)

Aν λάβουµε ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που το σύστηµα αφήνε ται ελευθερο, δηλαδη την στιγµή που αποσύρεται η δύναµη

�

! F και ως θετική

φόρα στην κατακόρυφη διεύθυνση την προς τα κάτω, τότε η εξίσωση κίνησης του δίσκου Δ1 θα έχει την µορφή:

�

x = x0!µ ("t + #/2)

�

!

(2)

�

x =F

k!"#

k

m1

t

$

% &

'

( )

�

!

(4)

�

x =(m1 + m2)g

k!"#

k

m1

t$

% &

'

( ) (5)

Eξάλλου κάθε στιγµή ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του δίσκου Δ1 είναι ίσος µε την συνισταµένη δύναµη που δέχεται, δηλαδή µπορουµε για τις αλγεβρικές τιµές των δύο αυτών διανυσµάτων να γράψουµε την σχέση:

�

dP

dt= F(x) = -kx

�

!

(5)

�

dP

dt= -g(m1 + m2)!"#

k

m1

t$

% &

'

( ) (6)

Ας δεχθούµε ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η κινητική ενέργεια του δίσκου Δ1 µεταβάλλεται κατά dK. Εφαρµόζοντας κατά τον χρόνο dt για τον δίσκο Δ1 το θεώρηµα έργου-ενέργειας παίρνουµε την σχέση:

�

dK = dWF(x)= F(x)dx !

�

dK = -kxdx !

�

dK

dt= -kx

dx

dt= -kxv (7)

όπου dx η µεταβολή του µεγέθους x κατά τον χρόνο dt, v η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας του δίσκου την στιγµή t και dK/dt o αντίστοιχος ρυθµός µεταβολής της κινητικής ενέργειας του δίσκου. Όµως για την αλγεβρική τιµή της ταχύτη τας του δίσκου Δ1 ισχύει η σχέση:

�

v = x0!"µ (!t + #) = -x0!"µ!t

�

!

(2)

�

v = -F

k

k

m1

!µk

m1

t

"

# $

%

& '

�

!

(4)

�

v = -g(m1 + m2)

k

k

m1

!µk

m1

t"

# $

%

& ' (8)

H (7) µε βάση την (6) και (8) γράφεται:

�

dK

dt=

g2(m1 + m2)2

k

k

m1

!µk

m1

t"

# $

%

& ' ()*

k

m1

t"

# $

%

& ' (9)

ii) Eπειδή στην διάρκεια της ταλάντωσης του δίσκου Δ1 ο δίσκος Δ2 ισορροπεί, µπορουµε να γράψουµε για τον Δ2 την σχέση:

�

F!"

- N + m2g = 0 !

�

N = F!"

+ m2g (10)

Σχήµα 5 όπου

�

! N η δύναµη επαφής του δίσκου Δ2 µε το έδαφος και Fελ η αλγεβρική τιµή

της δύναµης

�

! F !"

που δέχεται ο δίσκος αυτός από το ελατήριο (η δύναµη

�

! F !"

αλ λάζει φορά στην διάρκεια που ο δίσκος Δ1 ταλαντεύεται). Όµως ισχύει:

�

F!"

= m1g + kx

�

!

(5)

�

F!" = m1g + g(m1 + m2)#$%k

m1

t&

' (

)

* +

oπότε η σχέση (10) γράφεται:

�

N= m2g + m1g + g(m1 + m2)!"#k

m1

t$

% &

'

( ) !

�

N= (m1 + m2)g 1+!"#k

m1

t$

% &

'

( )

*

+

,

,

-

.

/

/

P.M. fysikos

Oµογενής σφαίρα µάζας m εφάπτεται σε οριζόντιο έδαφος και σε κατακόρυφο τοίχο, ενώ στο ανώτατο σηµείο Α αυτής ενεργεί οριζόντια δύναµη

�

! F η οποία κατευθύνεται κάθετα προς τον

τοίχο, οπώς φαίνεται στο σχήµα (6). Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ σφαίρας-εδάφους και µεταξύ σφαίρας-τοίχου είναι n, να βρεθεί η µέγιστη τιµή του µέτρου της

�

! F , ώστε η σφαίρα να ισορ

ροπεί. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g της βαρύτητας.

ΛYΣH: Ας δεχθούµε ότι το µέτρο της δύναµης

�

! F έχει τιµή που εξασφαλίζει

την ισορροπία της. Επί της σφαίρας εκτός από την

�

! F ενεργεί το βάρος της

�

! w ,

η αντίδραση του κατακόρυφου τοίχου, η οποία αναλύεται στην τριβή

�

!

T 1 και

στην κάθετη αντίδραση

�

!

N 1 και η αντίδραση του οριζοντίου επιπέδου, η οποία

Σχήµα 6 αναλύεται στην κάθετη αντίδραση

�

!

N 2 και στην τριβή

�

!

T 2. Η µεγαλύτερη τιµή

που µπορεί να λάβει το µέτρο της

�

! F αντιστοιχεί στην περίπτωση που επίκειται

η ολίσθηση της σφαίρας επί του τοίχου και του εδάφους, που σηµαίνει ότι στην περίπτωση αυτή οι τριβές είναι οριακές, δηλαδή τα µέτρα τους ικανοποιούν τις σχέσεις Τ1=nN1 και Τ2=nN2. Στην οριακή αυτή κατάσταση ισορροπίας της σφαί ρας η συνισταµένη των οριζόντιων και των κατακόρυφων δυνάµεων που δέχε ται είναι µηδενική, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις:

�

-Fmax

- T2+ N

1= 0

N2+ T

1- w = 0

!

"

#

�

!

�

Fmax

= -T2+ N

1

w = N2+ T

1nn

!

"

#

�

!

�

Fmax

= -nN2+ N

1

w = N2+ nN

1

!

"

#

(1)

Θεωρώντας τις σχέσεις (1) ως σύστηµα µε αγνώστους τα Ν1 και Ν2, παίρνουµε από την λύση του το τις σχέσεις:

�

N1

=F

max+ nw

1+ n2

και

�

N2

=w - nF

max

1+ n2

(2)

Εξάλλου η συνισταµένη ροπή όλων των δυνάµεων που δέχεται η σφαίρα, περί το κέντρο µάζας της C, είναι µηδενική λόγω της οριακής της ισορροπίας, δηλα δή ισχύει η σχέση:

�

-Fmax

R + T2R + T

1R = 0

�

!

�

Fmax

- T1- T

2= 0

�

!

�

Fmax

- nN1- nN

2= 0

�

!

(2)

�

Fmax -n(Fmax + nw)

1+ n2

-n(w - nFmax)

1+ n2

= 0

�

!

�

Fmax(1+ n2) - nFmax - n

2w - nw + n

2Fmax= 0

�

!

�

Fmax(1+ 2n2- n) = n

2w + nw

�

!

�

Fmax =n2w + nw

2n2 - n +1=

n(n +1)

2n2 - n +1mg

P.M. fysikos

Βαρύ σχοινί αιωρείται ελεύθερα στερεωµένο στις άκρες του Α και Β λαµβάνοντας το σχήµα µιας καµπύλης που βρίσκε ται σε κατακόρυφο επίπεδο και ονοµάζεται αλυσοειδής καµπύλη (σχήµα 7). Εάν η τάση του σχοινιού στα σηµεία στηρίξεως Α, Β και στο κατώτατο σηµείο του Κ είναι ΤΑ, ΤΒ και ΤΚ αντιστοίχως, µε ΤΑ>ΤΚ και ΤΒ>ΤΚ, να βρεθεί η µάζα του σχοινιού. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g

της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Εξετάζοντας την ισορροπία του τµήµατος ΑΚ του σχοινιού παρατηρού µε ότι το τµήµα αυτό δέχεται το βάρος του

�

! w

1, το οποίο θεωρείται ότι ενεργεί

στο κέντρο µάζας C1 του τµήµατος ΑΚ, την δύναµη

�

! T

A από το σηµείο στήριξης

Α, της οποίας ο φορέας εφάπτεται του σχοινιού στο σηµείο αυτό και τέλος την δύναµη

�

! T

K από το τµήµα ΒΚ του σχοινιού, της οποίας ο φορέας εφάπτεται του

σχοινιού στο κατώτερο σηµείο του Κ, δηλαδή ο φορέας αυτός είναι οριζόντιος. Πρέπει οι φορείς των τριών αυτών δυνάµεων να τέµνονται στο ίδιο σηµείο Ο1 το οποίο βρίσκεται επί του οριζόντιου άξονα Κx, η δε συνισταµένη των

�

! T

K και

�

! w

1 να είναι αντίθετη της

�

! T

A. Έτσι τα µέτρα των τριών αυτών δυνάµεων, λόγω

της ορθογωνιότητας των

�

! T

K και

�

! w

1 θα ικανοποιούν την σχέση:

�

TA

2= T

K

2+ w

1

2

�

!

�

w1

2= T

A

2- T

K

2

�

!

�

m1

2g2 = TA

2 - TK

2

�

!

�

m1g = TA

2 - TK

2

�

!

�

m1 = TA

2 - TK

2 /g (1)

Σχήµα 7

όπου m1 η µάζα του τµήµατος ΑΚ του σχοινιού. Εάν εργασθούµε µε τον ίδιο τρόπο για το τµήµα ΒΚ θα καταλήξουµε στην σχέση:

�

m2 = TB

2 - TK

2 /g (2) όπου m2 η µάζα του τµήµατος ΒΚ. Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

m1 + m2 = TB

2 - TK

2 /g + TB

2 - TK

2 /g

�

!

�

m!" . = TB

2 - TK

2 + TB

2 - TK

2( ) /g (3)

όπου mσχ. η η ζητούµενη µάζα του σχοινιού.

P.M. fysikos

Λεπτός δακτύλιος ακτίνας R, κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω σε οριζόντιο έδαφος, ώστε η ταχύτητα του κέντρου του να είναι σταθερή και ίση µε

�

! v

C.

i) Nα βρείτε την ταχύτητα ενός σηµείου M της περιφέρειας του δακ τυλίου, την στιγµή που η επιβατική του ακτίνα ως προς το κέντρο του O σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση και να δείξετε ότι ο φορέας της είναι κάθετος στην ευθεία που συνδέεει το σηµείο M µε το σηµείο επαφής του δακτυλίου και οριζόντιου επιπέδου. ii) Nα δείξετε ότι, η κύλιση του δακτυλίου είναι ισοδύναµη µε µια γνήσια περιστροφή αυτού περί άξονα που διέρχεται από το σηµείο επαφής του µε το οριζόντιο έδαφος και είναι κάθετος στο επίπεδό του, η δε γωνιακή της ταχύτητα είναι ίση µε τη γωνιακή ταχύτητα της κύλισης, δηλαδή ίση µε vC/R.

ΛYΣH: i) H ταχύτητα

�

! v

M ενός τυχαίου σηµείου M της περιφέρειας του κυλιό

µενου δακτυλίου, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της ταχύτητας

�

! v

C της

µεταφορικής του κίνησης (δηλαδή της ταχύτητας του κέντρου µάζας του C) και της ταχύτητας

�

! v

!, που οφείλεται στην περιστροφική κίνηση του δακτυλίου,

περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του C και είναι κάθετος στο επί πεδό του. Δηλαδή ισχύει η διανυσµατική σχέση:

�

! v

M=! v

C+! v

! (1)

Σχήµα 8 Όµως η ταχύτητα

�

! v

! είναι κάθετη στην CM και το µέτρο της είναι ίσο µε ωR,

όπου

�

! ! η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δακτυλίου και επειδή η ταχύ

τητα

�

! v

C είναι οριζόντια, η γωνία των διανυσµάτων

�

! v

C και

�

! v

! είναι ίση µε φ.

Eξάλλου, λόγω της κύλισης του δακτυλίου ισχύει vC=ωR, δηλαδή το µέτρο της

�

! v ! είναι ίσο µε το µέτρο της

�

! v

C. Σύµφωνα µε τον κανόνα του παραλληλογ

ράµµου, για τα µέτρα των ταχυτήτων της σχέσεως (1) ισχύει:

�

vM= v

C

2+ v!

2+ 2v

Cv"#$%& = v

C

2+ v

C

2+ 2v

Cv

C#$%& !

�

vM = vC 2(1+!"#$) = vC 4!"#2($ /2) = 2vC!"#($ /2) (2) ii) Aπό την Γεωµετρία του σχήµατος (8) προκύπτει ότι, το διάνυσµα της ταχύ τητας vM είναι κάθετο στην ευθεία AM και ότι:

�

AM = 2(AK) = 2R!"#($ /2) !

�

2!"#($ /2) = AM/R (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

�

vM = vC(AM)/R =(AM)! (4) H σχέση (4) σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι η AM είναι κάθετη στην

�

! v

M, µας

πείθει ότι η κύλιση του δακτυλίου στο οριζόντιο επίπεδο µπορεί κάθε στιγµή να θεωρηθεί ως γνήσια περιστροφική κίνηση περί άξονα που διέρχεται από το εκάστοτε στιγµιαίο σηµείο επαφής A και είναι κάθετος στο επίπεδό του, µε γω νιακή ταχύτητα

�

! ! .

P.M. fysikos

H διπλή τροχαλία του σχήµατος (9) έχει µάζα m και ισορροπεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Tην χρονική στιγµή t=0 εφαρ

µόζεται σταθερή οριζόντια δύναµη

�

! F στο ελεύθερο άκρο Β αβαρούς

και µη εκτατού νήµατος που έχει περιτυλιχθεί στο αυλάκι της εξωτε ρικής τροχαλίας. Αν τα νήµατα δεν ολισθαίνουν στα αντίστοιχα αυλά κια να βρείτε: i) την επιτάχυνση του άξονα της τροχαλίας, ii) την επιτάχυνση του σηµείου Β και iii) την τάση του στερεωµένου νήµατος A’B’. Δίνονται οι ακτίνες R και r των λαιµών της τροχαλίας (R>r) και η ροπή αδράνειας I αυτής, ως προς τον γεωµετρικό της άξονα.

ΛΥΣΗ: i) Eπί της διπλής τροχαλίας ενεργεί το βάρος της

�

! w , η µέσω του νή

µατος οριζόντια δύναµη

�

! F , η τάση

�

! Q του νήµατος Α’Β’ και η αντίδραση

�

! N του

λείου οριζόντιου δαπέδου, της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυφος. Η τροχαλία δεν µπορεί να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δάπεδο, διότι τότε θα έπρεπε τα σηµεία επαφής της Α µε αυτό να έχουν µηδενική ταχύτητα, αλλά µηδενική ταχύτητα έχει και το σηµείο Α’ της τροχαλίας, που σηµαίνει ότι η τροχαλία θα ήταν ακίνητη. Η κίνηση της τροχαλίας είναι σύνθετη και µπορεί να αναλυθεί

Σχήµα 9 σε µια ευθύγραµµη µεταφορική κίνηση και µια περιστροφική περί τον γεωµετρι κό της άξονα. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση της τροχαλίας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση:

�

F - Q = maC (1) όπου

�

! a

C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας C της τροχαλίας. Εξάλλου o θεµελι

ώδης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει για την τροχαλία την σχέση:

�

FR + Qr = I! ' (2) όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Επειδή το σηµείο Α’ είναι

συνεχώς ακίνητο, µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

aC

-!'r = 0

�

!

�

!'= aC/r

οπότε η (2) γράφεται:

�

FR + Qr =IaC

r

�

!

�

Q =IaC

r2-FR

r (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε:

�

F -Ia

C

r2

+FR

r= ma

C

�

!

�

1+R

r

!

" #

$

% & F = m +

I

r2

!

" #

$

% & aC

�

!

�

r+ R( )F =mr

2+ I

r

!

" #

$

% & aC

�

!

�

aC

=r r+ R( )Fmr

2+ I

(4)

ii) H επιτάχυνση

�

! a

B του σηµείου Β είναι ίση µε την εφαπτοµενική επιτάχυνση

του ανώτατου σηµείου της τροχαλίας, δηλαδή το µέτρο της επιτάχυνσης αυτής είναι:

�

aB

= aC

+!'R = aC

+a

CR

r= a

C1+

R

r

"

# $

%

& '

�

!

(4)

�

aB

=r r+ R( )Fmr

2+ I

1+R

r

!

" #

$

% &

�

!

�

aB

=r+ R( )

2

F

mr2+ I

(5)

iii) Θέτοντας στο δεύτερο µέλος της (3) όπου aC το ίσο του εκ της (5) παίρνου µε για το µέτρο της τάσεως

�

! Q την σχέση::

�

Q =F

r

Ir+ IR

mr2 + I- R

!

" #

$

% & =

F

r

Ir+ IR - mr2R - IR( )mr2 + I

�

!

�

Q =F

r

r I- mrR( )mr2 + I

�

!

�

Q =F I- mrR( )

mr2 + I

P.M. fysikos

Ένας οµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R, αφήνεται να κυλιθεί εκ της ηρεµίας κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, υπό την επίδραση δύναµής

�

! F , η οποία κατευθύνεται προς τα πάνω και παράλληλα προς το κεκλι µένο επίπεδο, ο φορέας της διέρχεται από τον γεωµετρικό άξονα του κυλίνδρου και ανήκει στο κατακόρυφο επίπεδο που τέµνει κάθετα τον άξονα στο µέσον του. Εάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ κυλίνδρου και κεκλιµένου επίπεδου είναι n, να βρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή του µέτρου της δύναµης

�

! F , ώστε να διατηρεί

ται η χωρίς ολίσθηση κύλιση του κυλίνδρου. Δίνεται η επιτάχυνση

�

! g

της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mR2/2 του κυλίνδρου, ως προς τον γεωµετρικό του άξονα. ΛΥΣΗ: Διακρίνουµε τις εξής δύο περιπτώσεις:

α) O κύλινδρος ανέρχεται κυλιόµενος χωρίς ολίσθηση κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου (σχήµα 10). Ο κύλινδρος δέχεται το βάρος του

�

! w που αναλύεται στην παράλληλη προς το

κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα

�

! w

1 και την κάθετη προς αυτό συνιστώσα

�

! w

2,

την δύναµη

�

! F και την αντίδραση του κεκλιµένου επιπέδου που αναλύεται

στην στατική τριβή

�

! T και την κάθετη αντίδραση

�

! N . Η η φορά της τριβής πρέ

πει να είναι αντίρροπη της ταχύτητας του άξονα του κυλίνδρου, ώστε να εξασφαλίζει δεξιόστροφη περιστροφική κίνηση περί τον άξονά του, που είναι αναγκαία για τον µηδενισµό της ταχύτητας των σηµείων επαφής του κυλίν δρου µε το κεκλιµένο επίπεδο (σχήµα 10). Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

F- w1- T = ma

C

�

!

�

F - mg!µ" - T = maC (1)

Σχήµα 10 όπου

�

! a

C η επιτάχυνση του άξονα. Εφαρµόζοντας εξάλλου για την περιστροφική

κίνηση του κυλίνδρου περί τον γεωµετρικό του άξονα, τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση:

�

TR = I!'

�

!

�

TR = mR2!'/2

�

!

�

T = mR! '/2 (2) όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου. Όµως λόγω της κύλισης του

κυλίνδρου ισχύει η σχέση Rω’=aC, οπότε η (2) γράφεται

�

T = maC/2 (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:

�

F - mg!µ" - maC/2 = maC

�

!

�

F - mg!µ" = 3maC /2

�

!

�

aC= 2(F - mg!µ")/3m (4) Με βάση την (4) η (3) γράφεται:

�

T= (F - mg!µ")/3 (5) Eπειδή η τριβή είναι στατική πρέπει το µέτρο της να ικανοποιεί την σχέση:

�

T ! nN

�

!

(5)

�

(F - mg!µ")/3 # nmg$%&'

�

!

�

F - mg!µ" # 3nmg$%&'

�

!

�

F ! mg(3n"#$% + &µ') (6) Aπό την (6) προκύπτει ότι η µεγαλύτερη τιµή Fmax που επιτρέπεται να λάβει το µέτρο της

�

! F , ώστε να εξασφαλίζεται η ανοδική κύλιση του κυλίνδρου, χωρίς

ολίσθηση, είναι:

�

Fmax = mg(3n!"#$ + %µ&) (7) β) O κύλινδρος κατέρχεται κυλιόµενος χωρίς ολίσθηση κατά µήκος του κεκλιµένου επιπέδου (σχήµα 11). Στην περίπτωση αυτή η τριβή θα είναι πάλι στατική τριβή αλλά θα κατευθύ νεται αντίρροπα προς την ταχύτητα του άξονα του κυλίνδρου, ώστε τώρα να εξασφαλίζει αριστερόστροφη περιστροφική κίνηση περί τον άξονά του, που είναι ανάγκαία για τον µηδενισµό της ταχύτητας των σηµείων επαφής του κυλίν δρου µε το κεκλιµένο επίπεδο (σχήµα 11). Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

Σχήµα 11

�

-F+ w1- T ! ma

C

�

!

�

-F + mg!µ" - T = maC (8) όπου

�

! a

C η επιτάχυνση καθόδου του άξονα του κυλίνδρου. Εφαρµόζοντας εξάλ

λου για την περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου τον θεµελιώδη νόµο της στρο φικής κίνησης, παίρνουµε την σχέση:

�

TR = I!'

�

!

�

TR = mR2!'/2

�

!

�

T = mR! '/2 (9) όπου

�

! ! ' η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου κατά την κάθοδό του. Όµως

λόγω της κύλισης ισχύει Rω’=aC, οπότε η (9) γράφεται

�

T = maC/2 (10)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (8) και (10) παίρνουµε:

�

-F + mg!µ" - maC/2 = maC

�

!

�

-F + mg!µ" = 3maC /2

�

!

�

aC= 2(-F + mg!µ")/3m (11)

Με βάση την (11) η (10) γράφεται:

�

T = (-F + mg!µ")/3 (12) Eπειδή η τριβή είναι στατική πρέπει το µέτρο της να ικανοποιεί την σχέση:

�

T ! nN

�

!

(12)

�

(-F + mg!µ")/3 # nmg$%&'

�

!

�

-F + mg!µ" # 3nmg$%&'

�

!

�

F ! mg(3n"#$% - &µ') (13) Aπό την (6) προκύπτει ότι η µικρότερη τιµή Fmin που επιτρέπεται να λάβει το µέτρο της

�

! F , ώστε να εξασφαλίζεται η καθοδική κύλιση του κυλίνδρου, χωρίς

ολίσθηση, είναι:

�

Fmin = mg(3n!"#$ - %µ&) (14) H (14) έχει νόηµα εφ’ όσον ισχύει:

�

3n!"#$ - %µ& > 0

�

!

�

n > !"" /3 P.M. fysikos