1

Το φυλλάδιο των υπολογισμών χωρίς μολύβι και χαρτί!!!!

Από το ιστολόγιο Μαθη..µαγικα

Αστραπιαίοι υπολογισµοί για αρχαρίους!!

2

Η ικανότητα ενός ατόμου να εκτελεί αριθμητικές πράξεις με το μυαλό, είναι ανεξάρτητη

από την γενική του νοημοσύνη , την μαθηματική του ενορατικότητα και την

δημιουργικότητα του. Μερικοί από τους πιο διακεκριμένους μαθηματικούς αντιμετώπιζαν

δυσκολίες στο να κάνουν πράξεις με απλούς αριθμούς .(Διαβάστε σχετικό περιστατικό με

τον Κούμερ). Αντίθετα πολλοί επαγγελματίες αριθμομνήμονες είχαν ελαττωμένη απόδοση,

(ιδιοφυείς μικρόνοες) στις άλλες νοητικές ικανότητες τους. Παρόλα αυτά σαν διαδικασία

είναι θεαματική και συνάμα αποτελεί μέρος της ιστορίας των ψυχαγωγικών μαθηματικών

αγαπημένο θέμα του ιστολογίου. Τίποτα βέβαια δεν αποτελεί κανόνα. Σταχυολογώ λοιπόν

τα πιο γνωστά τρικ αστραπιαίων υπολογισμών διανθισμένα με ιστορικές αναφορές.

1)Προσθέτοντας τμηματικά.

Εκτελούμε την πρόσθεση σταδιακά, «σπάζοντας» τα βήματα. Αρχίζουμε με τα μεγαλύτερης

τάξης ψηφία .

Για παράδειγμα η πρόσθεση :1325+2594.Έτσι:

1. 1325 + 2000 = 3325

2. 3325 + 500 = 3825

3. 3825 + 90 = 3915

4. 3915+ 4 = 3919.

Εμπειρικά όλοι το έχετε κάνει, η πρόκληση είναι χωρίς μολύβι και χαρτί.

2)Πρόσθεση με στρογγυλοποίηση του ενός προσθετέου.

Στρογγυλοποιούµε είτε τον ένα είτε τον άλλο προσθετέο, εκτελούµε ευκολότερα την πρόσθεση και δεν παραλείπουµε να «διορθώσουµε» το αποτέλεσµα.

Για παράδειγμα η πρόσθεση 5492+8739

Στρογγυλοποιούμε το 5492 και το κάνουμε 5500, η πρόσθεση γίνεται

5500+8739=14239

Αφαιρούμε και το 8 και έχουμε 14239-8=14231.

3

3)Πολλαπλασιάζοντας τμηματικά

Χωρίζουμε τους μεγάλους αριθμούς που αποτελούν τους όρους του γινομένου σε

μικρότερα κομμάτια και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε από αριστερά προς τα δεξιά

«σταυρωτά». Για παράδειγμα το γινόμενο 326Χ28 μετατρέπεται σε (300+20+6)Χ(20+8)και

συνεχίζουμε όπως στο σχήμα

Φαίνεται πολύπλοκο ,όμως μετά από κάθε βήμα μόνο ένας παράγοντας πρέπει να

κρατηθεί στην μνήμη για την συνέχεια .Σύμφωνα με τον Μάρτιν Γκαρντνερ στο Πανηγύρι

των μαθηματικών του ,την παραπάνω μέθοδο χρησιμοποιούσε επί σκηνής ο

αριθμομνήμονας G.P.Bidder.Είναι εντυπωσιακό το γεγονός ,ότι ο Bidder άρχισε τις

εμφανίσεις του επί σκηνής από την ηλικία των 9 ετών με την συνοδεία του πάτερα του. Ο

Γκαρντνερ αναφέρει χαρακτηριστικά ότι των ρωτούσαν ερωτήσεις του τύπου: Αν το

φεγγάρι απείχε 123256 μίλια και ο ήχος ταξιδεύει με ταχύτητα 4 μιλίων το λεπτό , σε πόσο

χρόνο θα ακούγαμε στην γη-αν ήταν δυνατόν- έναν ήχο από το φεγγάρι; Ο Bidder σε

λιγότερο από ένα λεπτό απαντουσε:21 ημέρες , 9 ώρες ,34 λεπτά!

326Χ28

326=300+20+6

28=20+8

300 + 20 + 6

20 + 8

1. 20Χ300=6000

2.6000+(20Χ20)=6400

3.6400+(20Χ6)=6520

4.6520+(8Χ300)=8920

5.8920+(20Χ8)=9080

6.9080+(6Χ8)=9128

4

4)Πως διαιρουμε ένα αριθμό με το 5.

Διπλασιάζουμε τον αριθμό και μεταφέρουμε την υποδιαστολή μια θέση αριστερά

Π.χ 348

5.Διπλασιάζουμε το 348 ( 2x348=796 ) μεταφέρουμε την υποδιαστολή μια θέση

αριστερά 79,6 άρα τελικά 348

79,65

=

5)Για να πολ/σουμε με το 5

Αρκεί να διαιρέσουμε τον αριθμό με το 2 και μετά να πολλαπλασιάσουμε με το 10 .

5x13

13/2=6.5

6.5Χ10=65

6)Για να πολ/σουμε με το 9

Αρκεί να πολ/σουμε με το 10 και κατόπιν από το αποτέλεσμα να αφαιρέσουμε τον ίδιο

τον αριθμό.

9Χ453

10 Χ453=4530

4530-453=4077

7)Ποσοστά…

● Για να βρούμε το 15% ενός αριθμού , τον διαιρούμε με το 10 και στο αποτέλεσμα

προσθέτουμε το μισό του πηλίκου. Παράδειγμα: 15% του 20 , 20/10=2 ,2+2/2=2+1=3

● Για να βρούμε το 20% ενός αριθμού , τον διαιρούμε με το 10 και διπλασιάζουμε το

αποτέλεσμα. Παράδειγμα: 20% του 400 , 400/10=40 , 2Χ40=80

● Για να βρούμε το 5% ενός αριθμού , τον διαιρούμε με το 10 και στην συνέχεια

διαιρούμε το αποτέλεσμα με το 2. Παράδειγμα: 5% του 500 , 500/10=50 , 50 /2=25

8)Πως διαιρούμε με αριθμούς που έχουν πολλαπλάσιο το 100 .

Πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με το πηλίκο του 100 με τον αριθμό και μετατοπίζουμε την

υποδιαστολή δυο θέσεις αριστερά:

Π.χ

54

20 ( 100/20=5) πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με το 5 (54x5=270) μεταφέρουμε την

υποδιαστολή δυο θέσεις αριστερά 2,7.Αρα 54

2,720

= .

5

490

25 ( 100/25=4) πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με το 4 (490x4=1960) μεταφέρουμε την

υποδιαστολή δυο θέσεις αριστερά 19,60.Αρα 490

19,6025

= .

9)Πολ/σμος κάθε διψήφιου αριθμού με το 11

Έστω ένας διψήφιος π.χ το 54

Χωρίζουμε τον αριθμό νοερά αφήνοντας κενό ανάμεσα στο 5 και στο 4.

(5___4 )

Προσθέτουμε τους δυο αριθμούς: 5+4=9

Τοποθετούμε το αποτέλεσμα ανάμεσα στο 5 και στο 4 (5_9_4)

Τελικά: 54 Χ 11=594

● Αν το άθροισμα των δυο αριθμών είναι μεγαλύτερο του 10 προσθέτουμε το κρατούμενο

στον πρώτο αριθμό για παράδειγμα ο αριθμός 67.

(6___7 )

6+7=13

(7_3__7 )

67Χ 11=737

10)Πως θα υψώσουμε στο τετράγωνο κάθε διψήφιο αριθμό που τελειώνει σε 5.

● Για παράδειγμα το 35

● Πάρτε το ψηφίο της δεκάδας και αυξήστε το κατά 1 . ( 3+1=4)

● Πολλαπλασιάστε τον αριθμό που βρήκες (4) με το ψηφίο της δεκάδας

3Χ4=12

● Γράψτε το αποτέλεσμα και δίπλα το 25 (1225 )

35^2=1225

http://www.massey.ac.nz/~wwifs/mathnews/centrefolds/63/Apr1995.shtml

6

11)Πως θα υψώσουμε στο τετράγωνο κάθε διψήφιο αριθμό.

Συμφώνα με τον Martin Gardner το παρακάτω τρικ το

χρησιμοποιούσε ο μαθηματικός A.C.Aitken.

Ο Aitken χρησιμοποίησε την ταυτότητα

2 2( d)( d) dα = α − α + +α = α − α + +α = α − α + +α = α − α + +

Επιλέγουμε το d έτσι ώστε να προκύπτει πολλαπλάσιο του 10

Για παράδειγμα το 36, επιλέγουμε ως d =4 γιατί προκύπτει

ως ένας όρος του γινομένου το 40:

362=(36-4)(36+4)+4

2=32x40+16=1296

Για παράδειγμα το 48, επιλέγουμε ως d =2 γιατί προκύπτει

ως ένας όρος του γινομένου το 50:

482=(48-2)( 48+2)+2

2=50x46+4=2304

Με εξάσκηση γίνεται νοερά , χωρίς μολυβί και χαρτί.

12)Υπολογισμος τετραγώνου από τον φυσικό Hans Bethe

Αντιγράφω από το ιστολόγιο physicsgg

Ο Richard Feynman στο κεφάλαιο «Τυχεροί αριθμοί», του βιβλίου του

«Σίγουρα θα αστειεύεστε , κύριε Φάινμαν» αναφέρει μεταξύ άλλων και το

εξής περιστατικό:

….. Όταν βρισκόμουν το Λος Άλαμος, είχα διαπιστώσει ότι ο Hans Bethe

έκανε πράξεις με το νου του σαν υπολογιστής. Για παράδειγμα, μια φορά

αντικαθιστούσαμε τις αριθμητικές τιμές των μεγεθών σε έναν τύπο, και έφτασα στο

τετράγωνο του 48. Πήγα λοιπόν στη μηχανή Marchant για να το βρω, αλλά αυτός με έκοψε:

«Άστο, είναι 2300».

Άρχισα να πατώ τα κουμπιά, και αυτός συμπλήρωσε:

«Αν το θέλεις ακριβώς είναι 2304».

Η μηχανή έγραψε 2304. «Μπράβο! Πως έτσι;» απόρησα.

«Δεν ξέρεις πώς να βρίσκεις το τετράγωνο αριθμών κοντά στο 50;

Βρίσκεις το τετράγωνο του 50 και αφαιρείς το εκατονταπλάσιο της διαφοράς του αριθμού

σου από το 50 (στην προκειμένη περίπτωση το 2), οπότε

2500 – 200 = 2300

Hans A. Bethe (1906 –2005)

Alexander Aitken.

Ο ανθρωπινός υπολογιστής

O Alexander Aitken

γεννήθηκε

στο Dunedin το 1895.

Διακεκριμένος

μαθηματικός, υπήρξε

καθηγητής στο πανεπιστήμιο του

Εδιμβούργου.

Το μοναδικό ταλέντο στους από μνήμης

υπολογισμούς τον κατατάσσει στις πρώτες

θέσεις των αριθμομνημόνων καθώς τα

κατορθώματα του είναι καταγεγραμμένα με

μαρτυρίες. Το 1920 κατά την διάρκεια ενός

ψυχομετρικού τεστ εκτέλεσε τον

πολλαπλασιασμό 987,654,321 x123,456,789

σε μόλις 30 δευτερόλεπτα .Στο ίδιο τεστ του

ζητήθηκε να μετατρέψει το κλάσμα 4/47 σε

δεκαδικό και σε 4 δευτερόλεπτα απάντησε

0.8510638297872340425531914 .Ο Aitken

ήταν σε θέση να παραθέσει από μνήμης 100

ψηφία του π. Πέθανε το 1967 σε ηλικία 72

ετών.

7

Αν θέλεις ακριβώς τον αριθμό, βρίσκεις το τετράγωνο της διαφοράς και το προσθέτεις

(2300+4=2304)»…..

Πράγματι έτσι είναι. Για παράδειγμα

412 = 2500 -100•9 + 9

2=1681

ή αν θέλουμε το τετράγωνο αριθμού μεγαλύτερου του 50

542 = 2500 +100•4 + 4

2=2916

Μόνο που τώρα, το εκατονταπλάσιο της διαφοράς του αριθμού από το πενήντα,

προστίθεται στο 2500 αντί να αφαιρείται.

Μπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι ο παραπάνω τυφλοσούρτης ισχύει και για αριθμούς που

απέχουν πολύ από το 50, με τη μόνη διαφορά ότι τότε οι πράξεις γίνονται όλο και

δυσκολότερες με το μυαλό.

Πως σκέφτηκε ο μεγάλος φυσικός Hans Bethe τον παραπάνω τυφλοσούρτη;

Βασίστηκε στην γνωστή από το γυμνάσιο ταυτότητα του τέλειου τετραγώνου:

2 2 2( ) 2α ± β = α ± αβ + βα ± β = α ± αβ + βα ± β = α ± αβ + βα ± β = α ± αβ + β

για α=50 προκύπτει:

2 2 2 2(50 ) 50 2 50 2500 100± β = ± ⋅ ⋅β + β = ± β + β± β = ± ⋅ ⋅β + β = ± β + β± β = ± ⋅ ⋅β + β = ± β + β± β = ± ⋅ ⋅β + β = ± β + β

Έτσι για να υπολογίσουμε το τετράγωνο οποιουδήποτε αριθμού που διαφέρει κατά β από

το 50 αρκεί: να αφαιρέσουμε από το 502=2500, το εκατονταπλάσιο της διαφοράς του

αριθμού μας από το 50 και αν θέλουμε περισσότερη ακρίβεια να προσθέσουμε το

τετράγωνο της διαφοράς!

13)Πώς να πολλαπλασιάσετε νοερά δυο διψήφιους μικρότερους του 20.

Έστω το γινόμενο 19x13

● Αρχικά προσθέτουμε στον πρώτο αριθμό τις μονάδες του δευτέρου: 19+3=22

● Βάζουμε ένα μηδενικό στο τέλος του αθροίσματος: 22->220

● Πολλαπλασιάζουμε τα ψηφία των μονάδων: 9x3=27

● Προσθέτουμε τα δυο αποτελέσματα : 220+27=247

14)Πώς να πολλαπλασιάσετε νοερά δυο διψήφιους αριθμούς που βρίσκονται σε

απόσταση μέχρι 9 μονάδων από το 100.

Θα σας φανεί πολύπλοκο στην αρχή, αλλά με λίγη εξάσκηση μπορεί να γίνει νοερά πολύ

γρήγορα.

Έστω το γινόμενο 95x97

● Αρχικά προσθέτουμε αριθμούς : 95+97=192

● Σβήνουμε το ψηφίο της εκατοντάδας : 92

● Βάζουμε δυο μηδενικά στο τέλος: 9200

8

● Αφαιρούμε από το 100 τον καθένα από τους αρχικούς αριθμούς και πολλαπλασιάζουμε:

(100-95)(100-97)=5*3=15

● Προσθέτουμε τα δυο υπογραμμισμένα αποτελέσματα:9200+15=9215

15)Πώς να πολλαπλασιάσετε διαδοχικούς αριθμούς

Έστω ο πολλαπλασιασμός 13x14

Υψώνουμε τον πρώτο αριθμό στο τετράγωνο και στην συνέχεια προσθέτουμε τον ίδιο τον

αριθμό.

13x14 =13x(13+1) =132 + 1x13 = 169 + 13 = 182

16) Πολ/σμος κάθε αριθμού με το 11

Για παράδειγμα , 51236 Χ 11

-Στην αρχή γράφουμε τον αριθμό με ένα μηδενικό στην αρχή σαν πρώτο ψηφίο

051236

-Τραβάμε μια γραμμή κάτω από τον αριθμό

0 5 1 2 3 6

.

Αφήνουμε το τελευταίο ψηφίο το 6 ως έχει ,και κινούμαστε από τα αριστερά προς τα

δεξιά προσθέτοντας ανά δυο διαδοχικούς αριθμούς, κάθε αριθμό με το γείτονα του. Τα

αποτελέσματα τοποθετούνται διαδοχικά . Δηλαδή:

0 5 1 2 3 6

.

(0+5)( (5+1)(1+2)(2+3) (3+6) 6

5 6 3 5 9 6

-Τελικά 51236 Χ 11=563596 .

9

17)Πως να υψώσεις ένα οποιοδήποτε αριθμό στο τετράγωνο .

Παράδειγμα το 999 .

-Βρίσκεις πόσες μονάδες απέχει ο αριθμός από την πλησιέστερη δύναμη του 10 .Η

διαφορά του 999 από το 1000 είναι: (1000-999=1).

-Προσθέτεις και αφαιρείς στον αρχικό αριθμό την διαφορά , βρίσκεις το γινόμενο τους

(999-1)Χ(999+1)=998Χ1000=998000

-Προσθέτεις το τετράγωνο της διαφοράς 998000+12=998001

Τελικά: 9992=998001

(χρησιμοποιούμε την γνωστή ταυτότητα του γυμνάσιου 2 2α β (α β)(α β)− = − + )

Shakuntala Devi

Η Shakuntala Devi γεννήθηκε το 1939 στο Bangalore της Ινδίας .

Παρ ότι οι γονείς της δεν διέθεταν μόρφωση εκδήλωσε

έντονο ενδιαφέρον για τους αριθμούς από την ηλικία των 3 ετών.

Δυο χρόνια αργότερα έδειξε τα ταλέντο της σε μια συγκέντρωση των

σπουδαστών και των καθηγητών του Πανεπιστημίου του Mysore στην

Ινδία. Κάτοχος ρεκόρ γκίνες για τα υπολογιστικά επιτεύγματα της.

Ενδεικτικά αναφέρουμε:

Το 1977 στο πανεπιστήμιο Southern Methodist των Η.Π.Α εξήγαγε την 23η ρίζα ενός ακέραιου με 201

ψηφία σε μόλις 50 δευτερόλεπτα.

Το 1980 στο Imperial College στην μεγάλη Βρετανία πολλαπλασίασε τους αριθμούς

7686369774870,2465099745779 υπολογίζοντας το εικοσαεξαψήφιο γινόμενο τους σε μόλις 28

δευτερόλεπτα.Οι αριθμοί που της δόθηκαν επελέγησαν τυχαία από πρόγραμμα υπολογιστή στο τμήμα

υπολογιστών του πανεπιστήμιου.

Το 1988 στο πανεπιστήμιο Stanford των Η.Π.Α :

-εξήγαγε την κυβική ρίζα του 95443993,το 457 σε 2 δευτερόλεπτα.

-υπολόγισε την κυβική ρίζα του 2373927704,το 1334 σε 10 δευτερόλεπτα.

-υπολόγισε την 8η ρίζα του 20047612231936 ,το 46 σε 10 δευτερόλεπτα.

Μπορούσε σε λίγα δευτερόλεπτα για οποιαδήποτε ημερομηνία του προηγουμένου αιώνα να πει σε λίγα

δεύτερα ποια μέρα έπεφτε. Αντιπαθούσε τον χαρακτηρισμό που της απέδιδαν "ανθρώπινος υπολογιστής"

και ισχυριζόταν ότι όφειλε την εξαιρετική ταχύτητα στις αριθμητικές πράξεις στα Βεδικά μαθηματικά (Vedic

Maths) ένα σύστημα εκτέλεσης αριθμητικών υπολογισμών το όποιο κατά την ίδια είναι 10 με 15 φόρες

ταχύτερο από συμβατικό που χρησιμοποιούμε. Επινοήθηκε από έναν ινδό μοναχό τον Swami Sri Bharati

Krishna Tirthaji Maharaja .

10

18)Μεζεδάκια γρήγορων πολλαπλασιασμών

Πολλαπλασιασμός με το 5:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και διαιρούμε με το 2.

Πολλαπλασιασμός με το 6:Πολλαπλασιαζουμε με το 3 και κατόπιν με το 2.

Πολλαπλασιασμός με το 9:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και από το αποτέλεσμα

αφαιρούμε τον αρχικό αριθμό.

Πολλαπλασιασμός με το 12:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και στο αποτέλεσμα

προσθέτουμε τα διπλάσιο του αρχικού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός με το 13:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και προσθέτουμε το τριπλάσιο

του αρχικού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός με το 14:Πολλαπλασιαζουμε με το 7 και κατόπιν πολλαπλασιάζουμε με

το 2.

Πολλαπλασιασμός με το 15:Πολλαπλασιαζουμε με το 10 και κατόπιν προσθέτουμε το

πενταπλάσιο του αρχικού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός με το 16:Διπλασιαζουμε τον αριθμό τέσσερεις φορές.

Πολλαπλασιασμός με το 17:Πολλαπλασιαζουμε με το 7 και προσθέτουμε στο αποτέλεσμα

το δεκαπλάσιο του αρχικού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός με το 18:Πολλαπλασιαζουμε με το 20 και αφαιρούμε το διπλάσιο του

αρχικού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός με το 19:Πολλαπλασιαζουμε με το 20 και αφαιρούμε το αρχικό αριθμό.

Πολλαπλασιασμός με το 24:Πολλαπλασιαζουμε με το 8 και στην συνέχεια

πολλαπλασιάζουμε με το 3.

Πολλαπλασιασμός με το 27:Πολλαπλασιαζουμε με το 30 και αφαιρούμε το τριπλάσιο του

αρχικού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός με το 45:Πολλαπλασιαζουμε με το 50 και αφαιρούμε το πενταπλάσιο

του αρχικού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός με το 98:Πολλαπλασιαζουμε με το 100 και αφαιρούμε το διπλάσιο του

αρχικού αριθμού.

Πολλαπλασιασμός με το 99:Πολλαπλασιαζουμε με το 100 και αφαιρούμε τον αρχικό

αριθμό.

11

19)Διαίρεση

Έστω ότι δίνεται η διαίρεση 432/18.Πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη με πολλαπλάσια του

10 μέχρι να ξεπεράσουμε το διαιρετέο.

10X18=180

20X18=360

30X18=540

Γυρίζουμε ένα βήμα πίσω, θυμόμαστε το 20, και αφαιρούμε από το 432 το 360 :

432-360=72

Τώρα σκεπτόμαστε πόσες φορές «χωράει» το 18 στο 72 72/18=4.Αρα το αποτέλεσμα είναι

20+4=24.(Αποτελει βασική τεχνική του Arthur Benjamin, γνωστού και μη εξαιρετέου

μαθημάγου)

20)Αριθμητικο τρικ-εξαγωγή κυβικής ρίζας

Πως θα σας φαινόταν να υπολογίζατε την κυβική ρίζα ενός αριθμού σε λίγα δευτερόλεπτα.

Αν μη τι άλλο θα ήταν εξαιρετικά εντυπωσιακό. Παρ ότι μοιάζει εξαιρετικά δύσκολο, δεν

είναι. Αν το κάνετε μπροστά σε φίλους ,σίγουρα θα κλέψετε την παράσταση.

Ζητείστε από έναν φίλο σας να επιλέξει οποιονδήποτε αριθμό από το 1 μέχρι το 100 χωρίς

να σας τον αποκαλύψει , στην συνέχεια να χρησιμοποιήσει την αριθμομηχανή του κινητού

του και να τον υψώσει στην τρίτη δύναμη. Να σας ανακοινώσει το αποτέλεσμα και εσείς

αμέσως να βρείτε τον αριθμό. Την κυβική ρίζα του αποτελέσματος.

Δείτε πως θα το κάνετε , αρχικά θα πρέπει να μπορείτε να απομνημονεύσετε όλους τους

κύβους από το 1 μέχρι το 10.

13 1

23

8

33 27

43 64

53 125

63 216

73

343

83 512

93 729

103 1000

Παρατηρώντας τον παραπάνω πινάκα διαπιστώνουμε ότι όλα τα τελικά ψηφία των κύβων

είναι διαφορετικά άρα σίγουρα γνωρίζουμε το τελευταίο ψηφίο της κυβικής ρίζας.

Παρατηρούμε επίσης ότι εξαιρώντας τα 2,3,7και 8 το τελευταίο ψηφίο του κύβου και του

αριθμού που ψάχνουμε είναι το ίδιο.

Ας δούμε συγκεκριμένα παραδείγματα , παρακαλείτε ένα φίλο σας να σκεφτεί έναν

αριθμό από το 1 μέχρι το 100 , το κάνει , στην συνέχεια τον υψώνει με το κομπιουτεράκι

στην τρίτη δύναμη και σας ανακοινώνει το αποτέλεσμα π.χ ο αριθμός 250047 , το τελευταίο

ψηφίο του αριθμού είναι το 7 , κοιτάμε τον παραπάνω πίνακα και διαπιστώνουμε τότε το

τελευταίο ψηφίο της κυβικής του ρίζας είναι το 3. Στην συνέχεια αγνοούμε από τον αριθμό

τα τρία τελευταία ψηφία , ο 250047 γίνεται 250 , κοιτάμε ξανά τον παραπάνω πινάκα το

250 βρίσκεται ανάμεσα στο 216 και το 343 άρα το ψηφίο που μας ενδιαφέρει βρίσκεται

12

ανάμεσα στο 6 και το 7 .Πάντα επιλέγουμε το μικρότερο αριθμό εν προκειμένω το 6. Άρα ο

ζητούμενος αριθμός είναι το 63.

Ένα παράδειγμα ακόμη . Να βρεθεί η κυβική ρίζα του 704969.Από το τελευταίο ψηφίο

καταλαβαίνουμε ότι το τελευταίο ψηφίο της κυβικής ρίζας είναι το 9. Αγνοούμε τα τρία

τελευταία ψηφία του 704969 άρα μένει 704 . Από τον παραπάνω πίνακα το 704 βρίσκεται

ανάμερα στο 8 και στο 9 , παίρνουμε το μικρότερο , άρα κυβική ρίζα είναι το 89.

21)Εύρεση του τελευταίου ψηφίου ενός πολύ μεγάλου αριθμού

Ένα πολύ γνωστό αριθμητικό τρικ αστραπιαίου υπολογισμού από αυτά που έκαναν επί

σκηνής αριθμομνήμονες του παρελθόντος είναι η εύρεση του τελευταίου ψηφίου ενός

πολύ μεγάλου αριθμού, χωρίς υπολογιστή τσέπης και σε μερικά δευτερόλεπτα.

Για παράδειγμα, ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού της μορφής:

234543626774808946836537836488

Ζητάτε από ένα φίλο ή φίλη σας να σας πει ένα μεγάλο αριθμό της παραπάνω μορφής

αβ όπου α,β θετικοί ακέραιοι.

▪ Αν ο αριθμός α έχει τελευταίο ψηφίο 0,1,5 και 6 τότε απαντάτε άμεσα ότι το τελευταίο

ψηφίο είναι το ίδιο με του αριθμού αβ ανεξάρτητα από το β.

Για παράδειγμα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 89754687476476457604937067654466464

είναι το

6.

(http://www.wolframalpha.com/input/?i=89754687476476^457604937067654466464)

▪ Αν το τελευταίο ψηφίο του α δεν είναι 0,1,5 και 6 τότε από τον αριθμό αβ αποκόπτουμε

νοερά το τελευταίο ψηφίο (το ψηφίο των μονάδων) του α και τα δυο τελευταία ψηφία (

μονάδων, δεκάδων) του β.

Για τον αριθμό που τέθηκε στην αρχή θα είχαμε:

234543626774808946836537836488

->988

Το επόμενο βήμα είναι να εξετάσουμε τον έκθετη (88) ,αν είναι πολλαπλάσιο του 4 αρκεί

να υψώσουμε τον αριθμό 9 στην τέταρτη δύναμη, το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος

είναι το ζητούμενο.

988

->94

Το να υψώσουμε ένα αριθμό στην τετάρτη όταν μας αφορά μόνο το τελευταίο ψηφίο του

αποτελέσματος δεν είναι τόσο δύσκολο όσο ακούγεται,υψώνουμε στο τετράγωνο και

κατόπιν υψώνουμε πάλι στο τετράγωνο μόνο το τελευταίο ψηφίο του αποτελέσματος και

καταλήγουμε το αποτέλεσμα .

92 =81 1

2 =1

άρα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 234543626774808946836537836488

είναι το 1.

( http://www.wolframalpha.com/input/?i=2345436267748089^46836537836488 )

▪ Αν ο έκθετης δεν είναι πολλαπλάσιο του 4 απλά αφαιρούμε από αυτόν το πλησιέστερο

πολλαπλάσιο του 4 και υψώνουμε στον αριθμό που προκύπτει .Για παράδειγμα ο αριθμός

76786654635489636593357839742347235920848473875007527

->327

27-24=3 (24 το πλησιέστερο πολλαπλάσιο του 4) 327

->33=27

άρα το τελευταίο ψηφίο του αριθμού

76786654635489636593357839742347235920848473875007527

είναι το 7.

(http://www.wolframalpha.com/input/?i=767866546354896365933578397423^472359208

48473875007527)

Μερικά παραδείγματα

▪ 789437890976347897367639076097837897563760789037

->837

37-36=1 άρα 81=8 άρα τελευταίο ψηφίο το 8

▪90867589406476539076307895607073774573747

->447

47-44=3 43=64 άρα τελευταίο ψηφίο το 4

13

Η διαδικασία με εξάσκηση μπορεί να ολοκληρωθεί νοερά σε λίγα δευτερόλεπτα.

Μπορείτε να επαληθεύετε τα αποτελέσματα σας στον ιστότοπο

http://www.wolframalpha.com/

Περισσότερα τρικ υπολογισμών στον ιστότοπο:

http://mathforum.org/k12/mathtips/beatcalc.html

Για όσους κάνουν πρωταθλητισμό η ηλεκτρονική διεύθυνση του παγκοσμίου

πρωταθλήματος αστραπιαίων υπολογισμών .

http://www.recordholders.org/en/events/worldcup/index.html

Σχετικά βιβλία

▪ «Το πανηγύρι των μαθηματικών», Μάρτιν Γκάρντνερ

▪ «Secrets of Mental Math: The Mathemagician's Guide to Lightning Calculation and Amazing

Math Tricks», Arthur Benjamin

▪«Arithmetricks: 50 Easy Ways to Add, Subtract, Multiply, and Divide Without a Calculator»,

Edward H. Julius