1 2 . Ταλαντώσεις Βήμα 1ο

1. Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση

ΘΕΩΡΙΑ 1 Όταν ένα σύστημα κάνει γ.α.τ. να αποδείξετε τη σχέση:⋅F = D x−

ΑπόδειξηΑντικαθιστώντας τη σχέση της επιτάχυνσης α=-ω2.xστο Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής F=m.απαίρνουμε: F=-m.ω2.xΗ ποσότητα m . ω2 είναι σταθερή, χαρακτηριστική για κάθε ταλαντωτή συμβολίζε-ται δε D και λέγεται σταθερά της ταλάντωσης ή σταθερά επαναφοράς.Άρα η παραπάνω εξίσωση γράφεται: F=-D.xΤο πρόσημο (–) δείχνει ότι η φορά της συνισταμένης δύναμης είναι αντίθετη απότη φορά της απομάκρυνσης, δηλαδή έχει φορά προς τη θέση ισορροπίας γι΄ αυτόλέγεται και δύναμη επαναφοράς.

ΘΕΩΡΙΑ 2 Σε σύστημα που κάνει γ.α.τ. να αποδείξετε τη σχέση που δίνειτην περίοδο ταλάντωσής του.

Απόδειξη

Από τις σχέσεις D=m.ω2 και ω=2π / Τ παίρνουμε 2πD = m

T

2

η οποία λύνεται ως

προς Τ που είναι η περίοδος του απλού ταλαντωτή. mT = 2π

D

ΘΕΩΡΙΑ 3 Σε σύστημα που κάνει γ.α.τ. να αποδείξετε τη σχέση 21

U = Dx2

που δίνει την δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του.

1 3 .Βήμα 1ο Ταλαντώσεις

ΑπόδειξηΓια να εκτρέψουμε ένα ταλαντωτή από τη Θ.Ι. του πρέ-πει να ασκήσουμε δύναμη Fεξωτ αντίθετη της δύναμηςεπαναφοράς, δηλαδή της μορφής: Fεξωτ=D.x

Η δύναμη αυτή είναι μεταβλητού μέτρου άρα το έργοτης υπολογίζεται γραφικά από το εμβαδό του γραμμο-σκιασμένου τμήματος του διαγράμματος Fεξωτ=f(x), όπωςφαίνεται στο σχήμα.

21 1

W = (OAB) = Dx x Dx2 2

⋅ =

Μέσω του έργου W της δύναμης Fεξωτ μεταφέρεται ενέργεια από τον εξωτερικόπαράγοντα στο σύστημα η οποία αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια.

ΘΕΩΡΙΑ 4 Σε σύστημα που κάνει γ.α.τ. να δικαιολογήσετε ότι:=K + U σταθ .

ΑπόδειξηAν λάβουμε υπόψη μας ότι:

x=A·ημ(ωt+φ0) και υ=ω·Α·συν(ωt+φ0)

οι σχέσεις Κ= 21m υ

2⋅ και U=

1

2D·x2 γράφονται:

Κ= 2 21m ω Α

2⋅ ⋅ ·συν2(ωt+φ0) και U=

1

2D·A2·ημ2(ωt+φ0)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις και λαμβάνοντας υπ’ όψη ότι:D=m·ω2 και συν2(ωt+φ0)+ημ2(ωt+φ0) =1 προκύπτει ότι:

Κ+U = 1

2D·x2 = Εολ

ΘΕΩΡΙΑ 5 Να αποδείξετε ότι η ταχύτητα του ταλαντωτή σε συνάρτησημε την απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του, έχειαλγεβρική τιμή που δίνεται από την εξίσωση:

2 2= ± ⋅ −υ ω Α xΑπόδειξηi. Η σχέση αυτή αποδεικνύεται με Α.Δ.Ε.Τ. U+K=Εολ ⇔

1

2D·x2 +

1

2m·υ2=

1

2D·A2 ⇔ m·ω2·x2+m·υ2=m·ω2·A2 ή

1 4 . Ταλαντώσεις Βήμα 1ο

ω2·x2+υ2=ω2·A2 ⇔ υ2=ω2·(A2-x2)ii. Επίσης η σχέση αποδεικνύεται με τις εξισώσεις:

x=A·ημ(ωt+φ0) και υ=ω·A·συν(ωt+φ0)Υψώνουμε τις σχέσεις στο τετράγωνο και προσθέτουμε κατά μέλη.

Τελικά παίρνουμε:2 2

2 2 2

x υA ω Α

+ =⋅

ημ2(ωt+φ0)+συν2(ωt+φ0) ⇔

2 2

2 2 2

x υ1

A ω Α+ =

⋅ ⇔ υ2=ω2 . (A2 - x2)

ΘΕΩΡΙΑ 6 Η περίοδος μιας φθίνουσας ταλάντωσης είναι Τ και το πλά-τος της ακολουθεί τον νόμο: Αn=Α0e-Λt , t=NT.α. Να δείξετε ότι ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών του πλάτους

της ταλάντωσης είναι σταθερός: ΛTn

n+1

A=e = σταθ.

A

β. Να δείξετε ότι ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών της ενέργειας

της ταλάντωσης είναι σταθερός: 2ΛTn

n+1

E=e = σταθ.

E

Απόδειξη

α. ( )( )

ΛnΤΛnΤ Λ n+1 Τ ΛΤ0n n n

Λ n+1 Τn+1 n+1 n+10

A eA A A= =e = e

A A AA e

−− +

−⇔ ⇔

β. ( )2 2n 2ΛΤ 2ΛΤn n n n

2n+1 n+1 n+1 n+1n+1

1DAE E A E2 e e

1E E A EDA2

= ⇔ = ⇔ = =

ΘΕΩΡΙΑ 7 Να βρείτε την εξίσωση της σύνθετης κίνησης που κάνει ένασώμα, το οποίο εκτελεί ταυτόχρονα δύο γ.α.τ. με εξισώσεις:

x1=A·ημω1t και x2=A·ημω1tΠοια είναι η συχνότητα της σύνθετης κίνησης;

ΑπόδειξηΗ απομάκρυνση x της συνισταμένης κίνησης είναι:

x = x1+ x2 ⇔ x = Α · ( ημω1t+ημω2t) (1)

Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι: α β α +βημα ημβ 2συν ημ

2 2

−+ = ⋅

1 5 .Βήμα 1ο Ταλαντώσεις

Άρα: 1 2 1 21 2

ω ω ω + ωημω t + ημω t = 2συν t ημ t2 2

− ⋅ (2)

Επομένως η σχέση (1) λόγω της (2) γράφεται:

1 2 1 2ω ω ω + ωx = 2A συν t ημ t

2 2

− ⋅ ⋅ (3)

Τον παράγοντα 1 2ω ω2A συν t

2

− ⋅ μπορούμε να τον επιλέξουμε ως πλάτος της

συνισταμένης ταλάντωσης και η εξίσωση (3) να γραφεί:

1 2ω + ωx = A΄ ημ t

2 ⋅

(4)

Η εξίσωση (4) περιγράφει περιοδική κίνηση, όχι γραμμική αρμονική, που έχεισυχνότητα που είναι σχεδόν ίση με τις συχνότητες των συνιστωσών ταλα-ντώσεων.Συγκεκριμένα είναι ο μέσος όρος των συνιστωσών ταλαντώσεων.

Δηλαδή: 1 2ω + ωω =2

ω1 ω2

ΘΕΩΡΙΑ 8 Τι ονομάζουμε περίοδο διακροτήματος; Να αποδείξετε τη σχέσηπου δίνει την περίοδο του διακροτήματος.

ΑπόδειξηΟ χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δυο διαδοχικών μηδενισμών (ή μεγίστων τιμών)του πλάτους, λέγεται περίοδος του διακροτήματος και συμβολίζουμε με Τδ.Από τη σχέση (4) γίνεται τo πλάτος Α΄=0 όταν:

1 2ω ωσυν t = 02

− ⇔ 1 2ω ω t π= (2k +1)

2 2

−

Οι δύο πρώτες λύσεις για κ 0 και κ 1= = είναι:

1 2 1 21 2

ω ω ω ωπ 3πt και t

2 2 2 2

− −= =

Η περίοδος Τδ του διακροτήματος είναι:

Τδ= Δt = t2 – t1 = δ1 2 1 2

2π 1T

ω ω f f⇔ =

− −

4 8 . Κύματα Βήμα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ 1 Να αποδείξετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος.ΑπόδειξηΣε ελαστικό μέσο (π.χ. σε μία χορδή) διαδίδεται αρμονικό κύμα και θεωρούμε ένανάξονα x΄Οx στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Το σημείο Ο, αρχή του άξονα,κάνει γ.α.τ. με εξίσωση: y =A·ημ ωt (1)

Ένα τυχαίο σημείο Κ που βρίσκεται στη θέση x δεξιά του Ο θα αρχίσει να ταλαντώ-

νεται μετά από χρόνο t1= xυ από τη στιγμή t=0. Η εξίσωση της απομάκρυνσης

του σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας του είναι:y =A·ημ ωt΄ (2)

Όπου: t΄ = t-t1=t- xυ (γιατί το Κ θα ξεκινήσει την κίνησή του μετά από χρόνο x

υ ).

Άρα η εξίσωση (2) για το σημείο Μ γράφεται:

y =A.ημ ( )xω t υ −

⇔ y =A.ημ ( )2π xt υΤ −

⇔

y =A.ημt x

2πΤ υ Τ

− ⋅ ⇔ y=A.ημ t x

2π -Τ λ

(3)

ΣημείωσηΑν το αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά την αρνητική φορά του άξονα x΄Οx. Τότε η

εξίσωση του αρμονικού κύματος γράφεται: y=A.ημ + t x

2πΤ λ

ΘΕΩΡΙΑ 2 Να αποδείξετε την εξίσωση της σύνθετης κίνησης που κάνεισημείο του μέσου, όταν συμβάλλουν δύο αρμονικά κύματα πουπαράγονται από σύγχρονες πηγές.

ΑπόδειξηΘεωρούμε τις δύο πηγές των αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2, όπως στο σχήμα, που

4 9 .Βήμα 1ο Κύματα

ταλαντώνονται βάσει της εξίσωσης:

y1=A.ημωt

Τα δύο κύματα που παράγονται έχουν την ίδιαταχύτητα διάδοσης υ και έχουν το ίδιο μήκοςκύματος λ. Ένα υλικό σημείο Κ της επιφάνειαςτου υγρού, στο οποίο συμβάλλουν (συναντώνται)τα δύο αρμονικά κύματα, εκτελεί συνισταμένηταλάντωση. Η απομάκρυνση y του σημείου Καπό τη Θ.Ι. του θα είναι κάθε στιγμή, η συνι-σταμένη των δύο επιμέρους απομακρύνσεων y1 και y2, λόγω της αρχής της επαλλη-λίας. Δηλαδή:

y=y1+y2 (1)

Όπου: y1=A.ημ 1rt2π

Τ λ −

και y2=A.ημ 2rt2π

Τ λ −

Τότε η σχέση (1) γράφεται:

y=A.ημ 1rt2π

Τ λ −

+A.ημ 2rt2π

Τ λ −

(*)

Από την τελευταία παίρνουμε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης:

y=2A.συν 1 2r - rπλ

.ημ2π 1 2r - rt-

T 2λ

(2)

όπου: Α΄=2A. 1 2r - rσυν πλ

είναι το πλάτος, το οποίο είναι σταθερό για ένα

συγκεκριμένο σημείο.Τα σημεία του μέσου κάνουν γ.α.τ. με ίδια συχνότητα, αλλά δεν έχουν το ίδιοπλάτος Α΄.

(*) Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι:α β α + β

ημα + ημβ = 2συν ημ2 2

−⋅

ΘΕΩΡΙΑ 3 Να βρείτε τη συνθήκη ώστε σ’ ένα σημείο του μέσου να έχου-με απόσβεση και τη συνθήκη ώστε σ’ ένα σημείο του μέσου ναέχουμε ενίσχυση των κυμάτων.

Απόδειξη

α. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν 1 2r rπλ−

=0

5 0 . Κύματα Βήμα 1ο

ηρεμούν (Α΄=0) και τότε λέμε ότι στα σημεία αυτά έχουμε απόσβεση.

Είναι: ( )1 2r ππ = 2k +1λ 2r− ⋅ ⇔ 1 2r - r = ( ) λ

2k +12

όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

β. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν 1 2r rπλ−

= 1±

ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α΄=2Α και τότε λέμε ότι στα σημεία αυτάέχουμε ενίσχυση.

Είναι: 1 2rπ = k πλr− ⋅ ⇔ 1 2r - r =k.λ όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

ΘΕΩΡΙΑ 4 Να αποδείξετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.ΑπόδειξηΣε μία χορδή διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα. Τα δύο αυτά κύματα έχουν: ίδιο πλάτοςΑ, ίδια συχνότητα f, ίδια ταχύτητα διάδοσης υ και αντίθετες φορές διάδοσης.

Θεωρούμε άξονα x΄Οx . Έστω ένα σημείο Β, που είναι στη θέση με τετμημένη (x).Το κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά, εξαναγκάζει σε ταλάντωση το σημείο Β με ηεξίσωση κίνησης, λόγω του κύματος αυτού, που είναι:

y1=A.ημ t x2π

Τ λ −

(1)

Λόγω του κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά,το σημείο Β αρχίζει ναταλαντώνεται με εξίσωση κίνηση, που είναι:

y2=A.ημ t x2π +

Τ λ

(2)

Η απομάκρυνση y του σημείου Β από τη Θ.Ι. του θα είναι κάθε στιγμή, η συνιστα-μένη των δύο απομακρύνσεων y1 και y2.

Δηλαδή: y=y1+y2 ⇔ y=A.ημ t x2π

Τ λ −

+A.ημ t x2π +

Τ λ

(3)

Η τελευταία με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας(*) γράφεται:

5 1 .Βήμα 1ο Κύματα

y=2A.συν x2π

λ

.ημ t2π

T

(4)

Το πλάτος της κίνησης είναι: Α΄=2A. xσυν 2πλ

(5)

που είναι σταθερό για ένα συγκεκριμένο σημείο.

Τα σημεία του μέσου κάνουν γ.α.τ. με ίδια συχνότητα, αλλά δεν έχουν το ίδιο πλάτοςΑ΄ το οποίο εξαρτάται από τη θέση του σημείου αυτού.

(*) Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι:α β α + β

ημα + ημβ = 2συν ημ2 2

−⋅

ΘΕΩΡΙΑ 5 Να βρείτε τη σχέση που δίνει τις θέσεις των δεσμών και τησχέση που δίνει τις θέσεις των κοιλιών.

Απόδειξη

α. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν 2πxλ

=0

ηρεμούν (Α΄=0) και τα σημεία αυτά τα ονομάζουμε δεσμούς.

Είναι: ( )2πx π= 2k +1

λ 2⋅ ⇔ ( ) λ

x = 2k +14

όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

β. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν 1 2r rπλ−

= 1±

ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α΄=2Α και τα σημεία αυτά τα ονομάζουμεκοιλίες.

Είναι: 2πx= k π

λ⋅ ⇔ λ

x = k2

όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν με την προϋπόθεση ότι στη θέση x=0 είναι κοιλία

ΘΕΩΡΙΑ 6 Να βρείτε τη σχέση που δίνει την κρίσιμη γωνία για να γίνει τοφαινόμενο της ολικής ανάκλασης.

ΑπόδειξηΈστω μια φωτεινή πηγή Π σε υλικό μέσο 1. Ακτίνες φωτός μεταβαίνουν από τομέσο 1 στο αραιότερο μέσο 2 (δες σχήμα). Ο νόμος του Snell είναι:

5 2 . Κύματα Βήμα 1ο

π2

1 π 2 δ δ1

nn ημθ = n ημθ ημθ = ημθ

n⇔

Τότε:

• Αν θπ=0ο δηλαδή η ακτίνα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια τωνδύο μέσων, τότε αυτή δεν διαθλάται, γιατί από το νόμο του Snell έχουμε:

θδ=0ο

• Επειδή n2<n1 από το νόμο του Snell θα έχουμε:

θπ<θδ

• Αν θδ=90ο από το νόμο του Snell έχουμε:

π2

1

nημθ =n

• Αυτή η γωνία πρόσπτωσης (θπ) λέγεται κρίσιμη ή οριακή γωνία και συμβολίζεται

με θcrit ή θορ. Άρα: 2ορ

1

nημθ =n

• Αν θπ>θορ τότε η ακτίνα δεν διαθλάται και έχουμε μόνο φαινόμενο ανάκλασηςπου λέγεται ολική ανάκλαση.

8 3 .Βήμα 1ο Μηχανική στερεού σώματος

ΘΕΩΡΙΑ 1 Να αποδείξετε ότι σε κύλιση τροχού, ισχύουν:υcm=ω.R και αcm=αγων.R

Απόδειξη

Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του υcm , είναι ίση κατά μέτρο με την γραμμικήταχύτητα των σημείων της περιφέρειάς του. Αν ο τροχός μετατοπίστηκε κατά dx σε

χρόνο dt τότε: cm

dx

dtυ =

Στον ίδιο χρόνο κάθε σημείο της περιφέρειας του τροχού διέγραψε τόξο ds ώστε:

ds

dtυ =

Επειδή όμως ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα είναι dx = ds. Άρα: υ = υcmκαι επειδή υ = ω R θα είναι: υcm = υ = ω R .

Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση έχουμε:

cmcm

dυ dωυ ω R Rdt dt

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ αcm=αγων.R

ΘΕΩΡΙΑ 2 Να αποδείξετε ότι η ροπή ζεύγους δυνάμεων ως προς οποιο-δήποτε σημείο (Ο) του επιπέδου των δυνάμεων, είναι ανε-ξάρτητη από την θέση του σημείου (Ο).

8 4 . Μηχανική στερεού σώματος Βήμα 1ο

ΑπόδειξηΈστω το ζεύγος δυνάμεων του σχήματος και ένα σημείο (Ο) του επιπέδου τους.Τότε:

( )

1 2

1 2 1 1

2 2

1 2 1 2

F d

F d

F d F d F d d F d

τ = τ + τ τ = τ + τ ⇒ τ = ⋅ ⇒ τ = ⋅

τ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ τ = ⋅

ΘΕΩΡΙΑ 3 Να αποδείξετε ότι η στροφορμή στερεού δίνεται από τη σχέση:L=Ι ·ω

ΑπόδειξηΘεωρούμε ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα y’y μεσταθερή γωνιακή ταχύτητα ω . Οι διάφορες στοιχειώδ-εις μάζες από τις οποίες αποτελείται το σώμα διαγρά-φουν κυκλικές τροχιές σε επίπεδα κάθετα στον άξοναπεριστροφής με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω αλλά μεδιαφορετική γραμμική ταχύτητα υ (υ=ω.r), καθώς δια-γράφουν τροχιές με διαφορετικές ακτίνες. Θεωρούμεότι το σώμα αποτελείται από ένα τεράστιο πλήθος ν στοι-χειωδών μαζών, των οποίων οι στροφορμές, 2

1 1 1L m r= ω ,2

2 2 2L m r= ω ,..., 2L m rν ν ν= ω είναι συγγραμμικές και ο-μόρροπες επομένως η στροφορμή του στερεού σώματοςείναι το άθροισμα των στροφορμών των υλικών σημείωνπου αποτελούν το σώμα:

1 2L L L ... Lν= + + + ⇒ 2 2 21 1 2 2L m r m r ... m rν ν= ω + ω + + ω ⇒

( )2 2 21 1 2 2L m r m r ... m rν ν= + + + ω

Aλλά είναι: 2 2 21 1 2 2I m r m r ... m rν ν= + + + . Επομένως: L I= ⋅ω

ΘΕΩΡΙΑ 4 Να αποδείξετε τη γενικευμένη μορφή του θεμελιώδη νόμουτης στροφικής κίνησης.

8 5 .Βήμα 1ο Μηχανική στερεού σώματος

ΑπόδειξηΌταν ο άξονας περιστροφής του στερεού σώματος είναι σταθερός, τότε και η ροπήαδράνειας του σώματος είναι σταθερή, επομένως από τη σχέση L=Ι·ω έχουμε:

( )d IωdL dωI

dt dt dt= = ⇒ γων

dLI α

dt= ⋅

Είναι όμως γωνΙα = Στ , άρα η προηγούμενη σχέση γίνεται: dL

dtΣτ =

ΘΕΩΡΙΑ 5 Να αποδείξετε τη σχέση με την οποία υπολογίζεται η κινητικήενέργεια λόγω περιστροφής.

ΑπόδειξηΤο σώμα μάζας m, του σχήματος, αποτελείται από τις στοι-χειώδεις μάζες (υλικά σημεία) m1, m2, …, που διαγρά-φουν κυκλικές τροχιές με ακτίνες r1, r2, …, αντίστοιχακαι οι οποίες έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα μέτρου ωκαι γραμμικές ταχύτητες 1 2, ,...υ υ , τα μέτρα των οποίων

είναι: ( )1 1 2 2r , r ,.... 1υ = ω⋅ υ = ω⋅

Η κινητική ενέργεια του σώματος θα είναι ίση με το ά-θροισμα των κινητικών ενεργειών των στοιχειωδών μα-ζών:

( )( ) ( )

12 22 2

στρ 1 1 2 2 στρ 1 1 2 21 1 1 1

K m υ m υ ... Κ m ωr m ωr ...2 2 2 2

= + + ⇒ = + + ⇒

2 2 2 2στρ 1 1 2 2

1 1K m ω r m ω r ...

2 2= + + ⇒ ( ) ( )2 2 2

στρ 1 1 2 21

K m r m r ... ω 22

= + +

Όμως: 2 21 1 2 2m r m r ... I+ + =

Επομένως, η (2) γράφεται: 2στρ

1K Ιω

2=

ΘΕΩΡΙΑ 6 Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει το έργο σταθερής ροπής:W = τ · θ

8 6 . Μηχανική στερεού σώματος Βήμα 1ο

Απόδειξη

Ας θεωρήσουμε τη δύναμη F η οποία ασκείται πάνωστο σώμα (διπλανό σχήμα) και έστω r η ακτίνα πε-ριστροφής του σημείου εφαρμογής της. Θεωρούμεεπίσης ότι η διεύθυνση της δύναμης, βρίσκεται στοεπίπεδο περιστροφής του σημείου εφαρμογής της καιεφάπτεται στην τροχιά.Για μία απειροστή στροφή του σώματος, κατά γωνίαdθ, η δύναμη παράγει έργο:

dW F ds= ⋅ (1)όπου ds είναι το μήκος του τόξου που διαγράφει τοσημείο εφαρμογής της δύναμης.Όμως: ds r d= ⋅ θ (η γωνία dθ μετριέται σε rad)

Άρα η εξίσωση (1) γράφεται: dW F r d= ⋅ ⋅ θ (2)

Όμως: F r⋅ = τ

Άρα η (2) γράφεται: dW d= τ ⋅ θ (3)Για στροφή του σώματος κατά γωνία θ, μπορούμε να χωρίσουμε τη γωνία θ σεστοιχειώδεις γωνίες 1 2d ,d ,...,θ θ και να αθροίσουμε τα επιμέρους έργα:

( )3

1 2 1 1 2 2W dW dW ... W d d ...= + + ⇒ = τ ⋅ θ + τ θ + (4)

Αν η ροπή της δύναμης είναι σταθερή, τότε η σχέση (4) γράφεται:

( )1 2W d d ... W= τ ⋅ θ + θ + ⇒ = τ ⋅θ

ΘΕΩΡΙΑ 7 Να αποδείξετε ôç ó÷Ýóç ðïõ äßíåé ôçí éó÷ý ñïðÞò:Ñ=ô · ù

Απόδειξη

Από την σχέση dW d= τ ⋅ θ παίρνουμε:dW d

dt dt

θ= τ ⋅

Όμως ο ρυθμός παραγωγής του έργου εκφράζει την ισχύ της δύναμης dWP

dt= και

d

dt

θ = ω . Οπότε η τελευταία σχέση γράφεται: P = τ ⋅ω

123.Βήμα 1ο Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

1. Κρούσεις

ΘΕΩΡΙΑ 1 Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 καιm2 να υπολογίσετε τις ταχύτητες '

1u και '2u των σφαιρών μετά

την σύγκρουση, αν γνωρίζετε τις αρχικές τους ταχύτητες καιτις μάζες τους.

Απόδειξη

Ας ορίσουμε σαν θετική τη φορά προς τα δεξιά, όπως δείχνει το σχήμα.Για την κρούση επειδή είναι ελαστική, θα ισχύουν η ΑΔΟ και η αρχή διατήρησηςτης ενέργειας (ΑΔΚΕ) πριν και μετά την κρούση.Α.Δ.Ο.

' ' ' '1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2p p p p p p m u m u m u m uπριν µετα= ⇒ + = + ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2m u m u m u m u m u u m u u′ ′ ′ ′⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ − = − (1)

Α.Δ.Κ.Ε.

2 2 '2 '21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1m u m u m u m u

2 2 2 2πριν µεταΚ = Κ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2m u m u m u m u m u u m u u′ ′ ′ ′⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ − = − ⇒

( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 2m u u u u m u u u u′ ′ ′ ′− + = − + (2)

m1

ðñéí ôç êñïýóç ìåôÜ ôç êñïýóçêñïýóç

m1m2m2

u´1u1

F1

(+)

F2

u2 u´2

124. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler Βήμα 1ο

Αν είναι: '1 1u u≠ και '

2 2u u≠από (1) και (2) διαιρώντας κατά μέλη ( 2 ):( 1 ) παίρνουμε:

1 1 2 2u u u u′ ′+ = + (3)

Οι σχέσεις (1) και (3) δίνουν:2 1 2

1 2 11 2 1 2

2m m mu u u

m m m m

−′ = ++ + (4)

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m mu u u

m m m m

−′ = ++ + (5)

ΘΕΩΡΙΑ 2 Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 =m2να δείξετε ότι οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες μετά τηνκρούση.

Απόδειξη

m mmm

u´1u1 u2 u´2

Εάν m1 = m2 = m τότε οι σχέσεις (4) και (5) γίνονται:

2 2 1 2 1

2m m mu u u u u

2m 2m

−′ ′= + ⇒ = και

2 1 2 2 1

2m m mu u u u u

2m 2m

−′ ′= + ⇒ =

ΘΕΩΡΙΑ 3 Σε κεντρική ελαστικήκρούση δύο σφαιρώνμε μάζες m1 και m2, μεu2=0, να βρείτε τις τα-χύτητες των σφαιρώνμετά την κρούση.

ΑπόδειξηΑν u2=0 από τις γενικές σχέσεις (4) και (5) έχουμε:

2 1 2 1 21 1 1 1

1 2 1 2 1 2

2m m m m mu 0 u u u

m m m m m m

− −′ ′= ⋅ + ⇒ =+ + + (6)

m1 m1

m2

m2

u1 u´2u´1

125.Βήμα 1ο Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

1 2 1 12 1 2 1

1 2 1 2 1 2

2m m m 2mu u 0 u u

m m m m m m

−′ ′= + ⋅ ⇒ =+ + + (7)

ΘΕΩΡΙΑ 4 Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 καιm2, u2=0 να βρείτε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρού-ση, στις περιπτώσεις:

ι. m1 = m2 ιι. m1 >> m2 ιιι. m1 << m2

Απόδειξηi. Αν m1 = m2 από τις σχέσεις (6) και (7)

έχουμε:1 2 1u 0 u u′ ′= =

ii. Αν m1 >> m2 από τις σχέσεις (6)και (7) λαμβάνοντας υπόψην ότι

2

1

m0

m→ έχουμε:

1 2 2

1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1

1 2 21 2

1 1 1

m m m1

m m m m m 1 0u u u u u u u

m m mm m 1 01m m m

− −− −′ ′= = = = ⇒ =+ ++ +

1

1 12 1 1 1 1 2 1

1 2 21 2

1 1 1

m2

2m m 2 2u u u u u u 2u

m m mm m 1 01m m m

′ ′= = = = ⇒ =+ ++ +

iii. Αν m1 << m2 από τις σχέσεις (6) και (7) λαμβάνοντας υπόψην ότι 1

2

m0

m→ έχ-

ουμε:

m1

m1

m2

u =02 u´ =02

m2u1 u1

m1 m1

m2

m2

u1 u1

m1 m1m2 m2

u1 u´1=u1

u´2=2u1

126. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler Βήμα 1ο

1 2 2

1 2 2 2 11 1 1 1 1 1 1

1 2 21 2

2 2 1

m m m1

m m m m m 0 1u u u u u u u

m m mm m 0 11m m m

− −− −′ ′= = = = ⇒ = −+ ++ +

1

1 22 1 1 1 1 2

1 21 2

2 2

m2

2m m 2 0u u u u 0 u u 0

m mm m 0 1m m

⋅′ ′= = = = ⋅ ⇒ =+ ++

ΘΕΩΡΙΑ 5 Στην περίπτωση που η σφαίραπροσκρούει ελαστικά και πλάγια σετοίχο με γωνία πρόσπτωσης θπτότε θα ανακλαστεί με γωνία θαόπου θα ισχύει ότι θπ=θα.

ΑπόδειξηΑπό αναλύσεις των ταχυτήτων θα έχουμε:

yy

uu u

uπ πηµθ = ⇒ = ⋅ηµθ

xx

uu u

uπ πσυνθ = ⇒ = ⋅συνθ

'y ' '

y

uu u

uα αηµθ = ⇒ = ⋅ηµθ

'' 'xx

uu u

uα ασυνθ = ⇒ = ⋅συνθ

Από Αρχή Διατήρησης της κινητικής ενέργειας θα πρέπει :

ð

á

u

y´

Ï

yu´

m

è

è

m

ð

u

ux

uy

è á

u´x

uyu´

è

127.Βήμα 1ο Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

2 '2 2 '2 '1 1K mu mu u u u u

2 2πριν µετα= Κ ⇒ = ⇒ = ⇒ = (1)

Α.Δ.Ο στον άξονα y΄Ο y, επειδή δεν γίνεται κρούση, θα πρέπει:( )1

' ' 'y y y yp p mu mu u uπ α= ⇒ = ⇒ ηµθ = ηµθ →

π α π αηµθ = ηµθ ⇒ θ = θ

ΘΕΩΡΙΑ 6 Nα γράψετε τη γενική σχέση στο φαινόμενο Doppler. Να εξη-γήσετε πως βάζουμε τα πρόσημα.

A ss

f fΑυ ± υ=υ± υ

Τα πρόσημα στον αριθμητή και στον παρανομαστή μπαίνουν ως εξής:

� Όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή παίρνουμε (-) στον παρανομαστή.� Όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή παίρνουμε (+) στον παρανο-

μαστή.� Όταν ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή παίρνουμε (+) στον αριθμητή.� Όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή παίρνουμε (-) στον αριθμητή.

ΠαρατήρησηΟι ταχύτητες στην παραπάνω σχέση έχουν τη διεύθυνση της ευθείας που συνδέειτην πηγή με τον παρατηρητή. Αν η κίνηση της πηγής ή του παρατηρητή γίνεται σεάλλη διεύθυνση, ως ταχύτητα θα θεωρήσουμε τη συνιστώσα της στη διεύθυνσηπηγή-παρατηρητής.