τραπεζα θεματων αλγεβρας α λυκειου

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    1 2014

  • , http://www.mathematica.gr, , ,

    http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=141&t=44438

    , , . , . .

    !

    http://www.mathematica.gr

    KA

    K

    1 ( 2014)

  • .

    1

    :

    1. GI_A_ALG_2_474

    : 1,3,5,7, ...

    .

    . ( 15)

    .

    . ( 10)

    . 1,3,5,7, ...

    2 1

    1

    2 1 3 1 2 .

    :

    1 1 .

    , 100 1 100 1 1 99 2 199 .

    . , :

    1

    S 2 1 S 2 1 22 2

    2

    2 2 2 2 S 2 2

    2. GI_A_ALG_2_477

    f , 2

    x 5x 6f x

    x 3

    . f . ( 7)

    . f . ( 9)

    . f

    x x y y ( 9)

    . x 3 0 x 3 . f

    fA 3 .

    . 2x 5x 6 x 2 x 3 , :

    22 4 5 4 1 6 1

    12

    x 35 1 5 1x

    2 2 x 2

    .

  • :

    2

    , 2x 5x 6 x 2 x 3 .

    , 2 x 2 x 3x 5x 6

    f x x 2x 3 x 3

    x 3 .

    . f x x y 0 ,

    f x 0 x 2 0 x 2 . A 2,0 .

    f y y x 0 ,

    f 0 0 2 2 . B 0, 2 .

    3. GI_A_ALG_2_478

    : 2 2x x 1 0 1 , .

    . , 1

    . ( 12)

    . : 2S P 2 0 , S P

    1 .( 13)

    . 1 0 .

    , 22 2 2 2 4 4 1 4 4 4 2 3 4 4 .

    23 4 4 2 2

    3

    . (

    3 0 )

    :

    64

    1

    2

    24 8 4 8

    262 3

    3

    , 2

    0 2,3

    .

    . Vieta :

    S

    2

    S 1

    .

    , 2 2 2S P 2 0 1 2 0 1 2 0 1 .

    2

    2,3

    , 2S P 2 0 2, 1 .

  • .

    3

    4. GI_A_ALG_2_480

    . 7 36

    300 .

    . ;

    . ( 12)

    . ; ( 13)

    .

    .

    1

    .

    . 7 36 , 1 1 7

    :

    7 1 1 1 7 1 36 6 36 6 1

    10 360

    1

    S 2 1 2 10 :

    10 1 1 110

    S 2 9 300 5 2 9 2 9 602

    2

    :

    11 1

    1

    36 6 36 6 36 6

    2 9 60 2 36 6 9 60 72 12 9 60

    1 1 1 36 6 36 6 12

    3 12 4 4

    :

    12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48

    5. GI_A_ALG_2_481

    2x 2x 4 1 0 , .

    . . ( 8)

    .

    ( 8)

    . 1 2

    x ,x ,

    : 1 2 1 2x x x x . ( 9)

  • :

    4

    .

    2 22 2 2 4 1 4 1 4 16 16 4 4 4 4 2

    . 2

    4 2 0

    .

    . Vieta : 1 2

    1 2

    1 2

    1 2

    x x

    x x 2

    x x 4 4x x

    .

    ,

    1 2 1 2x x x x 2 4 4 2 .

    6. GI_A_ALG_2_483

    . 2x 1 3 . ( 12)

    . , (),

    2x x 3 0 . ( 13)

    . 2x 1 3 2x 1 3 2x 1 3 x 2 x 1

    . () , 1 2 .

    2x x 3 0 2x 2x 3 0 :

    2 2 4 1 3 16 11,22

    x 12 4x

    2 x 3

    .

    7. GI_A_ALG_2_484

    . 2x 5 3 22x x 1 0 ( 16)

    . ). (

    9)

    . , 2x 5 3 3 2x 5 3

    3 5 2x 5 5 3 5 2 2x 8 1 x 4

    22x x 1 0 ,

    .

    9 1

    1,2

    2

    x 11 3

    x 14 x

    2

    .

  • .

    5

    -1/2 1

    + - +

    :

    1

    x , 1,2

    . x 1,4 .

    8. GI_A_ALG_2_485

    2 x x 1 , .

    . :

    ( ) ( 1 x 1 ,1) . ( 8)

    .

    . ( 8)

    .

    ; . ( 9)

    . , 2 x x 1 2 x x 1

    1 x 1 1 , : 1

    . 1 :

    1 0 1

    , : 1( ) 1 1 x

    x 1 1 1

    ( )

    .

    . 1

    : 1 1 0 1 1

    1 0 1 1

    9. GI_A_ALG_2_486

    0 1 , :

    . : 3 . ( 13)

    . :

    3 10, ,1,,

    ( 12)

  • :

    6

    . 0

    20 1 1 1

    :

    2

    2 3

    1

    1

    . 0 30 3 , 30 .

    1 , 1

    1 .

    : 31

    0 1

    .

    10. GI_A_ALG_2_487

    . x,y :

    2 2 2 2

    x 1 y 3 x y 2x 6y 10 . ( 12)

    . x,y : 2 2x y 2x 6y 10 0 . (

    13)

    . x,y :

    2 2

    2 2 2 2

    2 2

    x 1 y 3

    x 2 x 1 1 y 2 y 3 3

    x y 2x 6y 10

    . ,

    2 2

    2 2

    x y 2x 6y 10 0

    x 1 y 3 0

    x 1 0 y 3 0

    x 1 y 3

    11. GI_A_ALG_2_488

    f , 2

    2

    2x 5x 3f x

    x 1

    . . ( 5)

    . 22x 5x 3 . ( 10)

    . x A : 2x 3

    f xx 1

    . ( 10)

    . 2

    2

    2x 5x 3

    x 1

    : 2 2x 1 0 x 1 x 1 .

  • .

    7

    f A R 1,1 .

    . 22x 5x 3

    22 4 5 4 2 3 1 0 ,

    , 1,2

    x

    2

    1

    5 1 5 1x 1

    2 2 4

    2

    5 1 5 1 3x

    2 2 4 2

    2 1 23

    2x 5x 3 x x x x 2 x 1 x2

    .

    . x A :

    2

    2

    3 32 x 1 x 2 x

    2x 5x 3 2x 32 2f x

    x 1 x 1x 1 x 1x 1

    12. GI_A_ALG_2_489

    . x 5 2 . ( 8)

    . 2 3x 5 . ( 8)

    .

    . ,

    . ( 9)

    . ,

    x 5 2 2 x 5 2 2 5 x 5 5 2 5 3 x 7 .

    . , 7

    2 3x 5 2 3x 5 2 3x 5 x 1 x3

    .

    .

    :

    3,7 .

    13. GI_A_ALG_2_490

    22x 3x 1 .

  • :

    8

    . . ( 10)

    . x : 22x 3x 1 0 ( 5)

    . 3

    2

    1

    2 :

    22x 3x 1 0 ( 10)

    . 22 4 3 4 2 1 1 0 ,

    , 1,2

    x

    2

    .

    1

    3 1 3 1 1x

    2 2 4 2

    2

    3 1 3 1x 1

    2 2 4

    .

    . 2 12x 3x 1 0 x ,1

    2

    .

    . 1 3

    1 3 4 1 3 2 12 2

    3 1

    ,12 2

    :1 1 2 2

    22 2 2 .

    1 2 1 1

    1 2 4 1 2 2 1 12 2 2 2

    , 1 1

    ,122

    .

    3

    2

    1

    2

    1,1

    2

    () 22x 3x 1 0 .

    14. GI_A_ALG_2_491

    : 3x 1 x 9 x 1

    2 x2 2

    . . ( 15)

    . . ( 10)

    .

    3x 1 x 9 3x x 9 1 2x 10 x 5 ,

    x 1 x 12 x 2 2 2 2 x 2 4 x 2x 1

    2 2 2 2

    4 1 2x x 3 3x x 1 .

    . O 1 x 5 x 1,5 . .

  • .

    9

    15. GI_A_ALG_2_492

    2f x x 2 x 15, x .

    . f 1 f 0 f 1 . ( 10)

    . f

    . ( 15)

    . f 1 f 0 f 1

    2 2 2

    1 2 1 15 0 2 0 15 1 2 1 15

    1 2 1 15 15 1 2 1 15

    1 2 15 15 1 2 15 16 15 12 43

    . f

    y y x 0 :

    20 2 0 150 5f 1

    0, 15

    f x x

    y f x 0 : 2x 2 x 15 0 x 5 x 3 ,

    2 = 2 4 1 15 64 :

    2 83

    2 64 2 8 2x

    2 1 2 2 85

    2

    ,

    3,0 5,0 .

    16. GI_A_ALG_2_493

    . x 2 3 . ( 10)

    . ,

    ) . ( 15)

    . ,

    x 2 3 x 2 3 x 2 3 x 2 3 x 2 3 .

    . ,

  • :

    10

    2x Sx P 0

    1 2S x x 2 3 2 3 4

    2

    2

    1 2P x x 2 3 2 3 2 3 4 3 1

    2 2x Sx P 0 x 4x 1 0 .

    17. GI_A_ALG_2_495

    , : 3 1 5 4

    . . ( 13)

    . - : 3 2

    . (

    12)

    . ,

    422 11

    13 2

    145 1 2

    1

    1 1 4 1

    4 4 2

    1

    2

    2 2

    1 1

    2 0 4

    1 2 1

    1

    2

    1

    4

    .

    1 1 3

    1 3

    1 1 2 2 2 2 2

    4 4 2 8 2

    3 2

    18. GI_A_ALG_2_496

    2x 2x 4 1 0 .

    . . ( 8)

    .

    . ( 8)

    . 1 2

    x ,x ,

    : 2

    1 2 1 2xx x x 5 0 . ( 9)

    . 22 2 4 2 4 4 1 4 16 16

    . 22 4 2 1 4 1 0 .

  • .

    11

    . Vieta :

    1 2

    x x 2

    1 2

    x x 4 1

    2

    1 2 1 2

    2x x x 5 0 4 1 5x 02

    2 24 4 5 04 4 4 1 0

    2 1

    2 1 0 2 1 0 2

    19. GI_A_ALG_2_497 .

    3 : (), (), () 2

    : () ().

    .

    . .

    .

    : .

    : .

    : .

    . :

    : = ,,,,, () 6

    . :

    : , , () 2

    : , , () 2

    : , , () 2

    : , ,, () 3

    :

    ,,, ( ) 4 ,

    ,,, ( ) 4

    :

  • :

    12

    ( ) 4 2

    () ( )() 6 3

    ,

    () 3 1

    ()() 6 2

    ( ) 2 1

    () ( ) 1 ( ) 1 1() 3 3

    20. GI_A_ALG_2_498

    . : | x 1 | | x 1 | 4 2

    3 5 3

    . ( 9)

    . N : 2x 2x 3 0 . ( 9)

    . ()

    () . ( 7)

    . :

    | x 1 | | x 1 | 4 2

    3 5 3

    x 1 x 1 4 215 15 15

    3 5 3

    5 x 1 3 x 1 4 5 2

    5 | x 1 | 3 | x 1 | 12 10

    | x 1 | 11

    x 1 11 x 1 11

    x 10 x 12

    . 2x 2x 3 1 2 16, x 1, x 3, 1 0 ,

    x (- ,-1) (3,+ )

    . 10 [3, ) 12 ( , 1]

    () ()

    21. GI_A_ALG_2_499

    , 25% , 30%

    15%

    . . :

    :

  • .

    13

    : ,

    . :

    i.

    ii.

    iii.

    iv. ( 12)

    .

    i.

    ii. . ( 13)

    .

    i. .

    ii.

    .

    iii.

    .

    iv. .

    . :

    A 25%, B 30%, A B 15% .

    i. B A .

    B A B B A 30% 15% 15%

    ii.

    1 1 A B A B

    1 0,25 0,30 0,15 0,60 60%

    22. GI_A_ALG_2_503

    . :1

    x 42

    ( 9)

    . : | x 5 | 3 . ( 9)

    . () ()

    . ( 7)

    . .

    1 1 7 9x 4 4 x 4 x

    2 2 2 2

    . .

    x 5 3 x 5 3 x 5 3 x 2 x 8

  • :

    14

    .

    .

    ,

    9

    x 2,2

    .

    23. GI_A_ALG_2_504

    . 0 , : 1

    2

    . ( 15)

    . 0 , :1

    2

    . ( 10)

    . 0

    22 21 2 1 2 2 1 0 1 0

    ,

    0 .

    . 0 , :

    01 1 1 2 2 2

    .

    24. GI_A_ALG_2_505

    . : 2x 4 3 x 1 . ( 9)

    . : 3x 5 1 . ( 9)

    . ()

    () ; . ( 7)

    . .

    2x 4 3 x 1 2x 4 3 x 1 2x 4 3 x 1 2x 4 3 x 1

    7

    2x 4 3x 3 2x 4 3x 3 x 1 x5

    . .

  • .

    15

    4 4

    3x 5 1 3x 5 1 3x 5 1 x 2 x x , 2,3 3

    . : 4 4

    1 , 1 , 2,3 3

    4 20 21 7 10

    23 15 15 5 5 ,

    7x

    5 )

    ).

    , x 1 ()

    ..

    25. GI_A_ALG_2_506

    2 x 3 1 y 2 ,

    :

    . x y ( 5)

    . 2x 3y ( 10)

    . y

    x ( 10)

    . 2 x 3

    3 x y 51 y 2

    .

    2 2 2x 2 32 x 3 4 2x 62 2x 3y 3

    1 3 3y 2 31 y 2 6 3y 3

    .

    1 y 22 x 3 1 y

    11 1 11 y 2 3 x

    3 x 2

    26. GI_A_ALG_2_507

    : 2 2 9 x 3 , 1

    . ,

    . ( 6)

    . , 1

    . ( 9)

    . , 1

    4 ( 10)

    . 0,1,2 :

  • :

    16

    9x 0

    8x 2

    5x 2

    . 1 ,

    2 9 0 3 3 0 3 0 3 0 3 3

    . (1), 4, ,

    3 3

    2 2 2 2 2

    32

    9 4 3 4 36 3 3 3 36 0

    1 7 12 0 4

    2

    27. GI_A_ALG_2_508

    . v

    1,2,3, , v . ( 12)

    .

    45 . (

    13)

    . , 1 1

    1 . :

    v 1v v v

    1 2 ... v S 2 v 1 2 v 1 v 12 2 2 .

    .

    . v

    S 45 (1)

    1 * :

    *v N

    2v 1 361(1) v 1 45 v v 1 90 v v 90 0 v v 9

    2 2

    28. GI_A_ALG_2_509

    . , 0 , : 2 1 . ( 15)

    . 1 ; .

    ( 10)

    . , 0

  • .

    17

    2 22 2

    22 2

    | | | | | | | |2 2 2 | | | | 2 | || |

    | | | | | || |

    | | | | 2 | || | 0 | | | | 0

    .

    . 1 :

    2 22 2

    22 2

    | | | | | | | |2 2 2 | | | | 2 | || |

    | | | | | || |

    | | | | 2 | || | 0 | | | | 0

    29. GI_A_ALG_2_510

    f , : 2

    2x 5, x 3f (x)

    x , 3 x 10

    . f .

    ( 8)

    . f 1 ,f 3 f 5 .( 8)

    . f x 25 . ( 9)

    , : ,3 3,10 ,10 .

    A ,10 .

    . :

    2

    f 1 2 1 5 2 5 7

    f 3 2 3 5 6 5 1

    f 5 5 25

    . 2

    2x 5 25,x 3 x 15,x 3f(x) 25 x 5

    x 25,3 x 10 x 5 x 5,3 x 10

    30. GI_A_ALG_2_936

    : A x 4 x 1 x 4 x 1

    . x A ;

    . ( 12)

    . A , x .

    ( 13)

  • :

    18

    . :

    4 1x 4 0 x 4x 4

    x 1 0 x 1

    ,

    x 4, .

    . x 4, :

    2 2

    A x 4 x 1 x 4 x 1 x 4 x 1 x 4 x 1 5

    31. GI_A_ALG_2_938

    . : 33 30 4 . ( 12)

    . 3 30 36 30 . ( 13)

    . : 3

    3 33 33 30 4 3 30 4 27 30 64 .

    . : 3 3 3 33 30 4 4 30 3 6 4 6 30 6 3 2 6 30 3

    33 30 4 , 3 3 3 32 6 30 3 30 4 6 30 30

    32. GI_A_ALG_2_944

    : A x 4 6 x .

    . x A ;

    x

    . ( 13)

    . x 5 , : 2A A 6 0 ( 12)

    . A x :

    x 4 0 6 x 0

    ,

    x 4 x 6 .

    , x 4,6 .

    . x 5 , A 5 4 6 5 1 1 2 : 2 2

    A A 6 2 2 6 0

  • .

    19

    33. GI_A_ALG_2_947

    : 2A x 4 x 4 .

    . x A ;

    x

    . ( 12)

    . x 4 , : 2A A 2 10 5 ( 13)

    . A x 2

    x 4 0 x 4 0

    x 4, .

    . x 4 , 2

    A x 4 x 4 20 2 5

    : 2

    2A A 2 5 2 5 20 2 5 2 10 5

    34. GI_A_ALG_2_950

    : 4 4A 1 x x

    . x A ;

    x

    . ( 13)

    . x 3 , : 3 2A A A 1 0 ( 12)

    . A x

    1 x 0 4x 0

    x 1 x

    , x ,1 .

    . x 3 :

    4

    4A 1 3 3 4 3 2 3 1

    :

    3 23 2

    A A A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

  • :

    20

    35. GI_A_ALG_2_952

    : 5

    5B x 2

    . x B ;

    x

    . ( 13)

    . x 4 , 2 4B 6B B ( 12)

    . B x 5

    x 2 0 .

    : 5

    x 2 0 x 2 0 x 2

    . x 4 :

    5 5 55B 4 2 2 2

    :

    2 2 4 4B 6B 2 6 2 4 12 16 2 B

    36. GI_A_ALG_2_955

    : 6

    A 2 6

    3B 2 .

    . : A B 4 . ( 13)

    . : 32 , 1 , 2 . ( 12)

    . : 6

    1 6

    32 2A 2 2 2 8

    6

    1 66

    23 3 3B 2 2 2 2 4

    , A B 8 4 4

    . ) A B 4 0

    ,

    3

    2 06 6 6 63 3 3

    2 0

    2 2 0 2 2 2 2

    , 3 3 31 2 1 2 1 2 .

    , 31 2 2

  • .

    21

    37. GI_A_ALG_2_991

    x : x 1 2

    . x 3,1 . ( 12)

    . : x 3 x 1

    K4

    x . ( 13)

    . ,

    x 1 2 2 x 1 2 2 1 x 1 1 2 1 3 x 1 ,

    x 3,1 .

    . x 3,1 . :

    x 3 x 3x 3 x 3 0

    x 3,1x 1 x 1 0 x 1 x 1

    x 3 x 1 x 3 x 1

    K 14 4

    , K

    x .

    38. GI_A_ALG_2_996

    : A x 1 y 3 , x,y ,

    : 1 x 4 2 y 3 .

    :

    . A x y 2 . ( 12)

    . 0 A 4 . ( 13)

    . , x 1 x 11 x 4 x 1 0

    2 y 3 y 3 0 y 3 y 3

    :

    A x 1 y 3 x 1 y 3 x y 2

    . ,

    1 x 4 1 x 4 1 x 42 x y 2

    2 y 3 2 y 3 3 y 2

    0 x y 2 4 0 A 4

  • :

    22

    39. GI_A_ALG_2_999

    . 2x 5x 6 . ( 12)

    . 2

    x 2f x

    x 5x 6

    .

    i. A . ( 5)

    ii. N x A : 1

    f xx 3

    . ( 8)

    . 2

    5 4 1 6 1 . ,

    , :

    11,2

    2

    x 25 1 5 1x

    2 2 x 3

    , 2x 5x 6 x 2 x 3 .

    .

    i. f x : 2

    x 5x 6 0

    , , x 2 x 3 .

    A 2,3 .

    ii. x A , 2

    x 2 x 2 1f x

    x 3x 2 x 3x 5x 6

    .

    40. GI_A_ALG_2_1003

    , , . 5,

    9, 16.

    . :

    :

    K: KOKKINH

    :

    . ,

    :

    i. ,

    ii. . ( 13)

    .

    (). ( 12)

  • .

    23

    .

    i. A :

    ii. K :

    .

    N A 5 25 5P 1 P A 1 1

    30 30 6N

    16 8P K

    30 15

    .

    41. GI_A_ALG_2_1005

    1 x

    x 1

    2

    2B

    x x

    x

    .

    . A,B :

    x 1 x 0 . ( 12)

    . x A B . ( 13)

    . A x x 1 0 x 1 .

    B x

    2x x 0 x x 1 0 x 0 x 1 .

    , A B :

    x 0 x 1

    . x 0 x 1 :

    2

    2 2

    1 x 2 1 x 2A B

    x 1 x 1 x x 1x x

    1 x 2x 1 x 2 x x 2 x x 2 0

    1 x

    1, 1, 2 . , 2 1 4 1 2 9 0 .

    (1)

    1

    1,2

    2

    x 21 9x

    x 12

    (1) x 1 x 2 x 1 ,

    x 2 .

  • :

    24

    42. GI_A_ALG_2_1007

    . : 22x 10x 12. 1 . ( 15)

    . : 2

    2x 10x 12=0

    x 2

    . ( 10)

    .

    2

    2

    2

    2

    2x 10x 12

    0 2x 10x 12

    2 x 5x 6 0

    x 5x 6 0

    1, 5, 6 . 2

    5 4 1 6 1 0 .

    (1)

    1

    1,2

    2

    x 35 1x

    x 22

    .

    . x 2 : 2

    2

    2

    2x 10x 120 2x 10x 12 0

    x 2

    x 5x 6 0

    () 1 2

    x 3 x 2

    x 3 , x 2 .

    43. GI_A_ALG_2_1009

    : 3x 6 2 , x .

    .

    i. x 2,A 3x 4

    ii. x 2,A 8 3x . ( 12)

    . x x 2 :2

    9x 163x 4

    3x 6 2

    .

    ( 13)

    .

    i. x 2 3x 6 3x 6 0 . 3x 6 3x 6

    A :

    3x 6 2=3x 6 2 3x 4

  • .

    25

    ii. x 2 3x 6 3x 6 0 .

    3x 6 3x 6 3x 6 A :

    3x 6 2=-3x 6 2 3x 8

    . x 2 3x 6 3x 6 0 . 3x 6 3x 6

    2 22 3x 43x 49x 16

    3x 6 2 3x 6 2

    3x 4

    3x 4

    3x 4 .

    44. GI_A_ALG_2_1015

    ( ) 2 4 0, 4 .

    . 2 1

    2 ,

    1

    . ( 10)

    .

    2 4, 98 .

    ( 15)

    .

    2 1 11

    4 1 11

    1 1 1

    0 0 0 2 1 0

    4 3 4 2 4 4 1 4

    0 2 0 2

    0 2 4 2 2

    . 1 1 2 2 1 2 2 2 2 4,

    98

    98 .

    98 2 4 98 51 . 51 .

    45. GI_A_ALG_2_1024

    f x x , , .

    . f

    1, 6 , 1, 4 , , . ( 13)

    . 1 5 ,

    f xx yy . ( 12)

  • :

    26

    . f

    1, 6 , 1, 4 , , :

    6 (1) 4 (2)

    (1) (2) , :

    6 4 10 2 5

    5 (1) 6 5 1

    . 1 5 : f x x 5

    f

    xx f(x) 0 x 5 0 x 5 .

    A 5,0 .

    f

    yy x 0 y f(x) . y f(0) 0 5 5

    B 0,5 .

    46. GI_A_ALG_2_1032

    . x : x, 2x 1, 5x 4 ,

    , . (

    13)

    . , :

    i. x 1

    ii. x 1 . ( 12)

    . : x, 2x 1, 5x 4 , ,

    :

    2

    2 2 2

    2x 1 x 5x 4

    4x 4x 1 5x 4x x 1

    x 1 x 1 x 1

    .

    i. x 1 1, 3,9 3

    31

    .

    ii. x 1 1, -1, 1 1

    11

    .

    47. GI_A_ALG_2_1039

    . x 1 5 . ( 8)

  • .

    27

    . x 5

    3 . ( 9)

    . () (). ( 8)

    . :

    x 1 5 x 1 5 x 1 5 x 6 x 4 1

    . x 5 3 :

    d x,5 3 x 5 3 3 x 5 3 3 5 x 3 5 2 x 8 2

    . 1 2 : 6 x 8 .

    48. GI_A_ALG_2_1042

    :2x 4,x 0

    f (x)x 1,x 0

    . f 1 f 3 ( 13)

    . x , : f x 0 ( 12)

    . f 3 3 1 2 f 1 2 1 4 2 . :

    f 1 f 3 2 .

    . f x 0 . :

    2x 4 0, x 0 x 2, x 0

    f x 0

    x 1 0, x 0 x 1, x 0

    , .

    49. GI_A_ALG_2_1050

    . x

    2

    : x 2, x 1 , 3x 2

    . ( 13)

  • :

    28

    . , :

    i) x 1

    ii) x 1 . ( 12)

    . 2

    : x 2, = x 1 , =3x 2 , ,

    :

    2

    2 2

    2

    2

    2

    x 2+ 3x 2x 1

    2

    2 2x 2x 2 x 1 1

    2

    x +2x+1 2x 2

    x 1

    1 2x 1, x 1

    .

    i) x 1 3, 4, 5 , 4 3 1 .

    ii) x 1 1, 0, 1 , 0 1 1 .

    50. GI_A_ALG_2_1055

    : 2( 1)x 1 2 1 , .

    . 1 1 . ( 12)

    . ;

    . ( 13)

    .

    1 1 , 2(1 1)x 1 1 1 2 0x 6 ,

    .

    1 1 ,

    2

    1 1 x 1 1 1 2 1 1 x 1 1 1 2 0x 0 .

    . 1 2 2 1 0 1 ,

    1 1 . 1

  • .

    29

    1 1

    2

    1 2 1 2 2x

    ( 1)( 1) 1 1

    51. GI_A_ALG_2_1057

    10 , 120

    20 .

    . -

    . ( 9)

    . ; ( 8)

    . ; ( 8)

    .

    1 120 20

    - , - , :

    1 ( 1)

    120 ( 1)20

    20 100

    . 10 10

    :

    10 20 10 100

    200 100 300

    .

    , 10

    S .

    1 10

    10

    120 300S 10 10 210 10 2100

    2 2

    52. GI_A_ALG_2_1062

    . y : y 3 1 . (

    12)

    . x,y ,

  • :

    30

    1 x 3 2 y 4 ,

    E . ( 13)

    .

    y 3 1 1 y 3 1 1 3 y 3 3 1 3 2 y 4

    . .

    E xy . 1 x 3 2 y 4 ,

    :

    1 2 xy 3 4 2 E 12 .

    53. GI_A_ALG_2_1064

    : 1 19

    10 6 24 .

    . 6 . ( 9)

    . 20

    . ( 8)

    . 20 . ( 8)

    . 1 1

    10 6 .

    10 : 10 1 10 10 1 19 9

    6 : 6 1 6 6 1 19 5

    10 6

    24 :

    10 6 24 19 9 19 5 24 19 9 19 5 24 4 24 6

    . 1

    19 6 :

    1 1 19 1 6 . 20 :

    20 20 19 20 1 6 19 19 6 19 1 6 19 7 133 .

    . 1

    S 2 1 2

    20 :

    20 2020

    S 2 19 20 1 6 10 2 19 19 6 10 8 19 S 15202

  • .

    31

    54. GI_A_ALG_2_1067

    : 2

    2

    x 4x 4K

    2x 3x 2

    . 22x 3x 2 . ( 10)

    . x K ; ( 7)

    . K . ( 8)

    . 22x 3x 2 :

    2

    3 4 2 2 9 16 25 0

    , :

    11,2

    2

    3 5x 2

    3 25 3 5 4x

    2 2 2 4 3 5 1x

    4 2

    .

    :

    1 21

    2 x x x x 2 x 2 x x 2 2x 12

    . K x

    .

    , ,

    1

    x 2 2

    1x

    2 . K

    1

    x ,22

    .

    . ,

    . , :

    22

    2

    x 2x 4x 4 x 2K

    2x 1x 2 2x 12x 3x 2

    55. GI_A_ALG_2_1070

    ,, , 0 :

    4

    1

    4

    .

    . 3 5 . ( 10)

    . :

    . ( 15)

  • :

    32

    . :

    4 4 3

    14 5

    4

    .

    .

    3 4 1

    4 5

    .

    56. GI_A_ALG_2_1074

    . y : y 3 1 . (

    12)

    . x,y ,

    1 x 3 2 y 4 , 6 14 ,

    . ( 13)

    .

    y 3 1 1 y 3 1 1 3 y 3 3 1 3 2 y 4

    . x,y

    2x 2y 2 x y . ,

    : 1 x 3

    3 x y 7 2 3 2 x y 2 7 6 142 y 4

    57. GI_A_ALG_2_1077

    . : x 5 4 . ( 10)

    . ,

    : 1 1

    19 . ( 15)

    . :

  • .

    33

    x 5 4

    4 x 5 4

    4 5 x 5 5 4 5

    1 x 9

    . : 1 9 .

    ,

    : 1 1 1 1

    1 9 1 1 9 9

    .

    58. GI_A_ALG_2_1080

    x,y : 4x 5y

    2x 4y

    .

    . : y 2x . ( 12)

    . :2 22x 3y xy

    Axy

    . (

    13)

    . x 4y 0 x 4y . :

    4x 5y

    2 4x 5y 2 x 4yx 4y

    4x 5y 2x 8y 4x 2x 8y 5y

    6x 3y y 2x

    . :

    222 2 y 2x

    2 2 2 2

    2 2

    2x 3 2x x 2x2x 3y xyA

    xy x 2x

    2x 12x 2x 16x8

    2x 2x

    59. GI_A_ALG_2_1082

    2

    x 2f x

    x x 6

    .

    . f . ( 15)

    . : f 2 f 4 0 . ( 10)

  • :

    34

    . f

    2

    x 2

    x x 6

    .

    .

    x .

    2x x 6 0 2

    1 4 1 6 25 0

    , :

    11,2

    2

    1 5x 3

    1 25 1 5 2x

    2 2 2 1 5x 2

    2

    .

    f 2,3 .

    . x 2,3 : 2

    x 2 x 2 1f x

    x 3x 3 x 2x x 6

    .

    : 1 1

    f 2 f 4 1 1 02 3 4 3

    .

    60. GI_A_ALG_2_1086

    A 1 , B x 4 , x 8 , ,

    .

    . x . ( 10)

    . x 1 A

    ,

    i) . ( 7)

    ii) . ( 8)

    . ,,

    . :

    2

    2

    2 x 4 1 x 8

    2x 8 x 9 x 1

    . x 1 A 1 , B 5 9 .

  • .

    35

    i) 5 1 4 .

    ii) 1

    1 4 ,

    1 1 1 1 4 1 4 4 4 3 .

    20 : 20

    4 20 3 77 .

    iii)

    61. GI_A_ALG_2_1088

    . 4 x , x , 2 ,

    x . ( 9)

    . 4 x , x , 2 ,

    x . ( 9)

    . x 4 x , x , 2

    . ( 7)

    . 4 x , x , 2 ,

    x 4 x 2 . :

    4 x 2x 2x 6 x 3x 6 x 2

    2

    .

    . 4 x , x , 2

    : 2 2 2x 4 x 2 x 2x 8 x 2x 8 0 .

    2 2 4 1 8 36 0

    , :

    1

    1,2

    2

    2 6x 2

    2 36 2 6 2x

    2 2 2 6x 4

    2

    . :

    4 x , x , 2 x 2 ,

    x 2 x 4 .

    :

    x 2 2,2,2

    0 1 .

  • :

    36

    62. GI_A_ALG_2_1089

    x 5 x 10 ,

    . x 5 x 10 .

    ( 10)

    . x 5 x 10

    A=x 5 x 10

    (

    15)

    . 5 x 10 , 5 x x 5 0 x 5 x 5

    x 10 x 10 0 x 10 x 10 .

    . x 5 x 10

    A=x 5 x 10

    x 5 0 x 5 x 10 0 x 10 .

    5 x 10 :

    x 10x 5 x 10 x 5 x 10 x 5A= 1 1 0

    x 5 x 10 x 5 x 10 x 5 x 10

    .

    63. GI_A_ALG_2_1090

    f , 2

    1f (x)

    x 1

    . . ( 13)

    . ,

    1M ,

    8

    f . (

    12)

    . 2 2x 1 0 x 1 x 1 x 1 .

    f fA 1,1

    fA , 1 1,1 1, .

  • .

    37

    . 1

    M ,8

    f 1

    f 8

    1 1 .

    2 2 22

    1 1 1f 1 8 1 8 9 3

    8 8 1

    .

    64. GI_A_ALG_2_1091

    : A x 1 x 2 .

    . 1 x 2 , : 2x 3 ( 13)

    . x 1 , (

    x ), . ( 12)

    . 1 x 2 , 1 x x 1 0 x 1 x 1

    x 2 x 2 0 x 2 x 2 . :

    A x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 2x 3 . . x 1 x 2 .

    x 1 x 1 0 x 1 x 1

    x 2 x 2 0 x 2 x 2

    A x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 1 .

    65. GI_A_ALG_2_1092

    ABZH

    y .

    .

    : 2x 4 . ( 10)

    . 5 x 8 1 y 2 ,

    . ( 15)

  • :

    38

    . y y 2y x y .

    x 2y x y y y y 2x 4y

    . :

    2

    5 x 8 2 5 2 x 2 8 10 2 x 16 (1)

    4

    1 y 2 4 1 4 y 4 2 4 2 y 8 (2)

    (1) (2) :

    10 4 2x 4y 16 8 14 24

    66. GI_A_ALG_2_1093

    : 1

    5 5

    , 1

    5 5

    . :

    i) 1

    2

    ( 8)

    ii) 1

    20

    ( 8)

    . 2

    . ( 9)

    . :

    i)

    1 5 5 1 5 51 1

    5 5 5 5 5 5 5 5

    2

    2

    5 5 5 5 10 10 1

    25 5 20 25 5

    ii)

    2

    2

    1 1 1 1 1 1 1

    25 5 205 5 5 5 5 5 5 5 5 5

    . 1 2

    x x 2x Sx P 0 , 1 2S x x

    1 2P x x ( Vieta ).

  • .

    39

    1

    S A+B=2

    1

    P A B=20

    .

    2 21 1

    x x 0 20x 10x 1 02 20

    67. GI_A_ALG_2_1096

    y ( ) A , x

    , : y 35 0,8x .

    . A 25

    ; ( 12)

    . , 75

    A ; ( 13)

    . x 25 y 35 0,8 25 35 20 55 .

    . y 75 :

    40 75 35 0,8 x 75 35 0,8 x 40 0,8 x x 50

    0,8 .

    68. GI_A_ALG_2_1097

    22x x 5 , .

    . 0

    x 1 ,

    . ( 12)

    . 3 , . ( 13)

    . 0

    x 1 2

    0 02x x 5 0 :

    22 1 1 5 0 3 0 3

    . 3 22x 3x 5

    2 2 4 3 4 2 5 9 40 49

    1,2

    3 49 3 7x

    2 2 2 4

    , :

    1

    3 7 4x 1

    4 4

    2

    3 7 10 5x

    4 4 2

    .

    25 5

    2x 3x 5 2 x 1 x 2 x 1 x2 2

  • :

    40

    5

    x 1 2 x 2 x 1 2 x 52

    69. GI_A_ALG_2_1100

    : 2 22x 5x 2 0 (1), 0 .

    . (1) : 1 2

    x 2 x

    2 (

    12)

    . 1 2

    x , x (1), 1 2

    x , , x ,

    ,

    . ( 13 )

    . 2 1, 5, 2 .

    22 2 2 2 2 4 5 4 2 2 25 16 9 0 0

    2

    1,2

    5 9 5 3x

    2 2 2 4

    ,

    1

    5 3 8x 2

    4 4

    2

    5 3 2 x

    4 4 2

    .

    . ,,

    2 .

    1 2

    x , , x :

    2 2 2 2

    1 2

    x x 2

    2 , .

    70. GI_A_ALG_2_1101

    : 2 2(x 2x )4 0 (1) .

    . (1) : 1 2

    x 2 x 2

    ( 12)

    . 1 2

    x , x (1), 1 2

    x , , x

    ,

    . ( 13)

  • .

    41

    . 2 1, 2, 4 .

    22 2 2 2 4 2 4 1 4 4 4 16 16 0 0

    1,2

    2 16 2 4x

    2 2 1 2

    ,

    1

    2 4x 2

    2

    2

    2 4x 2

    2

    .

    . ,,

    2

    .

    1 2

    x , , x :

    1 2x x 2 2 2

    2 2 2

    , .

    71. GI_A_ALG_2_1102

    ,

    3

    P A4

    , 5

    P A B8

    1

    P B4

    . P A B ( 9)

    .

    i) Venn

    : A ( 7)

    ii)

    . ( 9)

    . :

    5 3 1

    P A B P A P A B P A B P A B8 4 8

    . :

    i) A

    A,B , A B Venn

    .

  • :

    42

    ii) :

    3 1 1 7

    P A B P A P B P A B P A B4 4 8 8

    .

    72. GI_A_ALG_2_1273

    x y , :

    x 3 2 y 6 4 .

    . 1 x 5 2 y 10 ( 12)

    .

    2x y . ( 13)

    . :

    x 3 2 2 x 3 2 2 3 x 3 3 2 3 1 x 5 .

    y 6 4 4 y 6 4 4 6 y 6 6 4 6 2 y 10 .

    .

    2x y :

    2x y 2x y 4x 2y

    4 1 x 5 1 x 5 4 4x 20 .

    2 2 y 10 2 y 10 4 2y 20 .

    :

    8 4x 2y 40

    8

    x,y , x 1 y 2 ,

  • .

    43

    40 ,

    x 5 y 10 .

    73. GI_A_ALG_2_1275

    22x 5x 1

    . 1

    x 2

    x

    ( 6)

    . : 1 2 1 2

    x x , x x 1 2

    1 1

    x x

    ( 9)

    . 2 1

    1

    x

    2

    1

    x. ( 10)

    . .

    :

    2 2 4 5 4 2 1 33 0

    . Vieta : 1 2

    5S x x

    2

    1 2

    1P x x

    2

    1 2

    1 1

    x x :

    2 1 2 1

    1 2 1 2 1 2 1 2

    5

    x x x x1 1 2 51x x x x x x x x

    2

    . 2 1

    1

    x

    2

    1

    x

    :

    1 2

    1 1S 5

    x x

    1 2 1 2

    1 1 1 1P 2

    1x x x x

    2

    . :

    2 2x S x P 0 x 5x 2 0 .

  • :

    44

    74. GI_A_ALG_2_1276

    2 2x 4x 4 x 6x 9

    Kx 2 x 3

    .

    . x , K

    . ( 12)

    . 2 x 3 , K ,

    x . ( 13)

    . K

    :

    x 2 0 x 2

    x 3 0 x 3

    22

    x 4x 4 0 x 2 0 x

    22

    x 6x 9 0 x 3 0 x

    x 2 3 .

    . K :

    2 2

    2 2 x 2 x 3x 4x 4 x 6x 9K

    x 2 x 3 x 2 x 3

    x 2 x 3

    x 2 x 3

    :

    2 x 3 0 x 2 5 x 2 x 2

    2 x 3 5 x 3 0 x 3 x 3

    K :

    x 3x 2 x 3 x 2K 1 1 2

    x 2 x 3 x 2 x 3

    75. GI_A_ALG_2_1277

    2x 5x 6 0 1 2x 16 0 2 .

    . 1 2 . ( 12)

  • .

    45

    . 1 2

    . ( 13)

    . 2x 5x 6 2 5 4 1 6 1

    1

    1,2

    2

    x 35 1x

    2 x 2

    .

    x ,2 3,

    2 3

    - + -

    2 :

    2 2x 16 0 x 16 x 4 4 x 4

    .

    :

    x 4,2 3,4

    76. GI_A_ALG_2_1278

    x d x, 2 1

    :

    . 3 x 1 ( 10)

    . 2x 4x 3 0 ( 15)

  • :

    46

    . :

    d x, 2 1 x 2 1 1 x 2 1 1 2 x 2 2 1 2 3 x 1

    . x 3 x 1

    2x 4x 3 , :

    0 x 3 , x 1 :

    -3 -1

    2x 4x 3 + - +

    x 3 x 1 , 2x 4x 3 0 .

    2

    :

    22 2

    x 4x 3 x 4x 4 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 3

    x 1 x 1 0

    x 3 x 3 0

    2x 4x 3 x 1 x 3 0

    3

    12

    2

    2

    2

    2

    x 4x 3 0

    x 4x 1 3 1

    x 4x 4 1

    x 2 1

    x 2 1

    x 2 1

    1 x 2 1 1 2 x 1 2 3 x 1

    77. GI_A_ALG_2_1281

    2x 3 1 x 3

  • .

    47

    . 2

    3 1 .

    ( 12)

    . . ( 13)

    . 1, 3 1, 3 ,

    2 2

    2 4 3 1 4 3 3 2 3 1 4 3

    = 2 2

    3 2 3 1 3 1

    . 2x 3 1 x 3 :

    11,2

    2

    3 1 3 1 2x 13 1 3 1

    2 2x

    2 3 1 3 1 2 3x 3

    2 2

    :

    2x 3 1 x 3 x 1 x 3 .

    78. GI_A_ALG_2_1282

    . 23x 2x 1 ( 8)

    . x

    2

    x 1A x

    3x 2x 1

    . ( 9)

    . : A x 1 . ( 8)

    . 2

    2 4 3 1 16

    11,2

    2

    2 4x 1

    2 4 6x

    6 2 4 1x

    6 3

    : 21

    3x 2x 1 3 x x 1 3x 1 x 13

    . x

  • :

    48

    .

    . A

    1

    x ,13

    2

    x 1 x 1 1A x

    3x 13x 1 x 13x 2x 1

    . 1 1

    A x 1 1 1 3x 1 13x 1 3x 1

    3x 1 1 3x 1 1

    3x 0 3x 2

    2x 0 x

    3

    79. GI_A_ALG_2_1283

    . 2x 2x 3 ( 8)

    . 2

    x 2x 3f x

    x 1

    . ( 9)

    . . ( 8)

    . 4 12 16 :

    1

    1,2

    2

    2 4x 1

    2 4 2x

    2 2 4x 3

    2

    : 2x 2x 3 x 1 x 3

    . x 1 0 x 1 .

    A ,1 1, .

    2 x 1 x 3x 2x 3

    f x x 3x 1 x 1

    x ,1 1, .

  • .

    49

    .

    y x 3

    1,4 .

    80. GI_A_ALG_2_1287

    .

    .

    : . ( 7)

    : 3 . ( 9)

    : 3 . ( 9)

    11 , 12 , 13 , 21 , 22 , 23 , 31 , 32 , 33

    12 , 22 , 32

    12 , 22 , 32

    N A 3 1P A

    9 3N

  • :

    50

    12 3 ,

    12 :

    N 1P

    9N

    3 12,21,33

    12,22,32

    12,21,22,32,33 :

    N 5P

    9N

    81. GI_A_ALG_2_1288

    . : 2x 10x 21 0 . ( 12)

    . : 2A | x 3 | | x 10x 21 |

    i) 3 x 7 , : 2A x 11x 24 . ( 8)

    ii) x (3,7) , A 6 . ( 5)

    . 2x 10x 21 =100-84=16> 0 :

    1

    1,2

    2

    x 710 16 10 4x

    x 32 1 2

    2x 1 0 , :

    x 3 7 2x 10x 21 + 0 0 +

    : 2x 10x 21 0 3 x 7

    .

    i) 3 x 7 , 2x 10x 21 0 , :2 2 2| x 10x 21 | (x 10x 21) x 10x 21 .

    x 3 x 3 0 | x 3 | x 3 . :

    2 2 2A | x 3 | | x 10x 21 | x 3 x 10x 21 x 11x 24

  • .

    51

    ii) 3 x 7 :

    2 2A 6 x 11x 24 6 x 11x 18 0

    2x 11x 18 =121-72=49> 0 :

    1

    1,2

    2

    x 911 49 11 7x

    x 22 1 2

    82. GI_A_ALG_2_1293

    C , x

    , : 15 25x ,

    0 x 200

    . 30

    . . (

    7)

    . 0290 C .

    . ( 10)

    . ,

    0440 C ; .

    ( 8)

    . x , :

    0(x) 15 25x T(30) 15 25 30 765 C

    . (x) 290 15 25x 290 25x 275 x 11 Km

    . 425

    (x) 440 15 25x 440 25x 425 x x 17 Km25

    83. GI_A_ALG_2_1297

    . : 23x 4x 1 0 ( 12)

    . , ,

    3 6

    9

    .

    ( 13)

  • :

    52

    . 23x 4x 1 =16-12= 4 > 0 :

    1

    1,2

    2

    x 14 4 4 2

    x 12 3 6 x

    3

    2x 3 0 , :

    x

    1

    3 1

    23x 4x 1 + 0 0 +

    : 21

    3x 4x 1 0 x 13

    . , , :

    1 1

    1 3 33

    1 2 6 6 1

    3

    3 3 6 9 , 1 3 6

    13 9

    ,

    3 6

    9

    , .

    84. GI_A_ALG_2_1298

    , :

    2 2 2 30

    . : 15 ( 10)

    . ,

    . ( 15)

    .

    2 2

    2 2 2 2

    ( ) 30 2 30 15 30

    ,

    15 .

  • .

    53

    . : 2x Sx P 0 ,

    S +=2 , P==-15 , :

    2x 2x 15 0 .

    =4+60=64 > 0 : 1

    1,2

    2

    x 52 64 2 8x

    x 32 1 2

    (,) (5, 3) (,) ( 3,5) .

    85. GI_A_ALG_2_1300

    : 6 6 6

    3 6 2 , 3 , 6

    . : 23 ( 13)

    . : 3 63 , 6 .

    . ( 12)

    . 6 66

    6 6 63 23 6 3 62 2 3 6 2 3 6 2 3 6 8 9 6 23

    . 3 2 23 6 63 3 9 6 , 9 6

    86. GI_A_ALG_2_1301

    ( ) : 4 2 10

    . 5 . ( 12)

    . 33 ,

    . ( 13)

    . 4 2 1 1

    10 3 ( ) 10 2 10 5

    . 1 2 3 1 1 1 1 1

    33 2 33 3 3 33 11 5 6

    : 3 1 1 1

    3S 33 2 2 33 11 11 11 5 6

    2

  • :

    54

    87. GI_A_ALG_2_1302

    f , 8 x x 0

    f x2x 5 x 0

    . f 5 f 4 . ( 13)

    . x , f x 9 . ( 12)

    .

    f 5 8 5 13f 5 f 4

    f 4 2 4 5 13

    . x 0 , f x 9 8 x 9 x 1 , .

    x 0 , f x 9 2x 5 9 x 2 , .

    88. GI_A_ALG_2_1305

    . | x 4 | 3 . ( 12)

    . -1 , A 4 3

    . . ( 13)

    . | x 4 | 3 x 4 3 x+4 3 x 7 x 1

    . 1 4 3 0

    | 4 | 4

    | 4 | 3 0 || 4 | 3 | | 4 | 3 4 3 1

    89. GI_A_ALG_2_1506

    1,2,3,4,5,6 1,2,4,5

    2,4,6

    . N Venn , ,

    A B . ,

    , , , . ( 13)

    . .

    :

    i) . ( 4)

  • .

    55

    ii) . ( 4)

    iii) , . ( 4)

    . ,

    1,2,4,5,6

    2,4

    IV 3,6

    IV 3,5

    .

    i)

    , : N(A ) 2 1

    P(A )N() 6 3

    .

    ii)

    ( ) 2 1P( )

    () 6 3

    iii) ,

    ( ) 5P( )

    () 6

    90. GI_A_ALG_2_1509

    2x ( 1)x 6 0 , (1) .

    . 1 , . ( 13)

    . 2 (1). ( 12)

  • :

    56

    . 1 , 1 , :

    21 ( 1) 1 6 0 1 1 6 0 8

    . 2 :

    2 2x (2 1)x 6 0 x x 6 0

    1 4 1 6 23 0 .

    91. GI_A_ALG_2_1512

    . : 2x x 2 0 . ( 8)

    . : 2x x 2 0

    . ( 12)

    . 4

    3 .

    4

    3 ();

    . ( 5)

    . 2

    1 4 1 2 9 0 .

    , :

    11,2

    2

    x 21 9 1 3x

    2 2 x 1

    . x , 2x x 2

    , 1 0 .

    .

    x , 1 2,

    :

    x - -1 2

    2x x 2 + - +

  • .

    57

    . 4

    3

    () ,

    4

    , 13

    .

    92. GI_A_ALG_2_1513

    1 1 3 9

    . . ( 12)

    . , 30 .

    ( 13)

    . 1 .

    1 1 :

    1 1 3 1 2 9 1 2 4 .

    . 1 30 1 30 1 1 4 30

    33 321 4 4 30 4 33 8

    4 4

    9 .

    93. GI_A_ALG_2_1520

    , 50% , 40% ,

    10% .

    . :

    :

    :

    :

    .

    . ( 12)

    . .

    ( 13)

  • :

    58

    ,

    : .

    : .

    :

    A B : .

    P A 0,50 , P B 0,40 P A B 0,10 .

    .

    .

    :

    P A B P A P B P A B 0,50 0,40 0,10 0,80 .

    A B

    P A B 1 P A B 1 0,80 0,20

    .

    94. GI_A_ALG_2_1529

    f x x , , : f 0 5

    f 1 3 .

    . 2 5 . ( 10)

    . f

    x x y y . ( 7)

    . f ( 8)

    . : f 0 5 0 5 5 .

    5

    f 1 3 3 3 5 2

    .

    . x x

    5

    y 0 f x 0 2x 5 0 x2

    .

    5

    A ,02

    .

    y y x 0 ,

  • .

    59

    f 0 5 , B 0,5 .

    . f :

    x

    y

    A

    B

    95. GI_A_ALG_2_1532

    3

    x 16xf x

    x 4

    . f ,

    x , 2f x x 4x . (

    15)

    . x f x 32 . ( 10)

    .

    , : x 4 0 x 4 , f

    A 4 .

    23

    2x x 16 x x 4 x 4x 16x

    f x x x 4 x 4xx 4 x 4 x 4

    .

    . x 4 2 2f x 32 x 4x 32 x 4x 32 0 .

    : 2 4 4 32 144

    1

    1,2

    2

    x 84 12x

    2 x 4

    ,

    96. GI_A_ALG_2_1533 2x 2x 2 0 .

    . .

    ( 10)

    . 1 2

    x ,x

    : 1 2 1 2x x 2 x x 1 . ( 15)

    . 0 . :

  • :

    60

    2 0 2 4 2 0 4 4 8 0 4 12 3 . Vieta ,

    1 2

    P x x 2

    1 2

    S x x 2

    .

    1 2 1 2x x 2 x x 1 2 2 2 1 2 4 1 1 , 3 .

    97. GI_A_ALG_2_1537

    1

    f x x , x 0x

    .

    . : 1

    A f f 1 f 22

    .

    ( 10)

    . : 5

    f x2

    . ( 15)

    . :

    1 1 1 1 1 1 1

    A f f 1 f 2 1 2 2 2 2 212 2 1 2 2 2

    2

    A 2

    . 2 25 1 5

    f x x 2x 2 5x 2x 5x 2 02 x 2

    :

    2

    5 4 2 2 25 16 9 0 , , :

    1

    1,2

    2

    x 25 3

    x 14 x

    2

    98. GI_A_ALG_2_1541 x y ,

    . x y : 4 x 7 2 y 3 , :

    .

    . ( 10)

    . x 1 y ,

    . ( 15)

  • .

    61

    . 2x 2y

    :

    4 x 7 1 2 y 3 2

    2

    4 x 7 8 2x 14

    2

    2 y 3 4 2y 6

    .

    : 12 2 2 20 x y

    , 12 20 .

    . x 1 3y :

    2 x 1 2 3y 2x 6y 2 8 2 14 x

    6

    2 y 3 12 6y 18

    :

    20 2x 6y 32 20 2 2x 6y 2 32 2 18 2x 6y 2 30

    , 18 30 .

    99. GI_A_ALG_2_1542 . : 3 2A x x 3x 3 . (

    13)

    . 3

    f xx

    2g x x x 3 , A 1,3 . ( 12)

    . 2 2 x x 1 3 x 1 x 1 x 3

    .

    :

    x

    2 3 2 23f x g x x x 3 3 x x 3x x 1 x 3 0 x 1

    x

    2 2x 3 0 x 3 .

    1,f 1 A 1,3 .

    100. GI_A_ALG_2_1544

    . 2x 4x 5 0 x . ( 10)

    . :

  • :

    62

    2 2B x 4x 5 x 4x 4 . ( 15)

    . 2x 4x 5 2 4 4 5 4 0 ,

    x ,

    2x , x .

    . 2x 4x 5 0 , x 22

    x 4x 4 x 2 0

    :

    2 2 2 2B x 4x 5 x 4x 4 x 4x 5 x 4x 4 5 4 1

    101. GI_A_ALG_2_1553

    3f x x g x x .

    . f ,g

    . ( 13)

    . A,O,B ,

    O 0,0 , A,B O .

    ( 12)

    . f ,g

    :

    3 3 2f x g x x x x x 0 x x 1 0 x x 1 x 1 0 x 0 x 1 x 1 .

    x 0 y g 0 0 O 0,0 .

    x 1 y g 1 1 A 1,1 .

    x 1 y g 1 1 B 1, 1 .

    A 1,1 , B 1, 1 O 0,0 .

    . A,O,B ,

    y x (

    ).

  • .

    63

    A , B O ,

    AO BO .

    2 2 2 2O A O A x x (y y ) 0 1 0 1 1 1 2

    2 2 2 2O B O BB x x (y y ) 0 1 0 1 1 1 2

    O AO 2 BO , A B

    O .

    102. GI_A_ALG_2_2212

    f 2

    2x 6 xf x

    2 x 6

    . A f . ( 10)

    . f x x

    x . ( 10)

    . f x 0 . (

    5)

    . .

    2 x 6 0 2 x 6 x 3 , x 3 x 3 .

    3,3 .

    .

    22 2 x x 32x 6 x 2 x 6 x

    f x x , x 3,32 x 6 2 x 6 2 x 3

    . x 0 x 0

    f x x f x x

    ,

    f x 0 ,

    y x x 0 , 3,3

    .

  • :

    64

    103. GI_A_ALG_2_2702

    2x 4

    x 3 , x .

    . 2 x 3 x 1 . ( 16)

    . x 2,3

    2 ;

    . ( 9)

    . 2 x 3 x 3 0 x 2 0 . :

    2x 4 2 x 2 2 x 2 2x 4 x 3 3 x .

    2x 4 3 x x 1, x 2,3

    2x 4 2 x 2 2 x 2 2x 4 x 3 3 x .

    . x 2,3 2 .

    ) , x 1 2 x 3

    2,3 . . x 2,3 2 .

    104. GI_A_ALG_2_3378

    f .

    . . ( 6)

    .

    x -2 -1 1 2

    y -1 -3

    ( 6)

    . .

    ( 6)

    .

    . ( 7)

  • .

    65

    f .

    . f

    x x .

    2,6 .

    . f

    .

    x -2 -1 0 1 2 6

    y 3 0 -1 0 3 -3

    . f

    x x .

    1,0 1,0 .

    f y y

    . 0, 1 .

    .

    x x ,

    1,1 4,6 .

  • :

    66

    105. GI_A_ALG_2_3379

    f .

    . . ( 6)

    .

    x -3 -1 0 3

    y -2 -4

    ( 6)

    . .

    ( 6)

    .

    . ( 7)

    f .

    . f

    x x .

    3,8 . .

    X -3 -1 0 3 7 8

    Y 0 2 3 6 -2 -4

    . f

    x x .

    3,0 6,0 .

  • .

    67

    f y y

    . 0,3 .

    .

    x x , 3,6 .

    106. GI_A_ALG_2_3380

    2f x 3x 9x 12, x

    . f x 0

    . ( 13)

    . 3 2 ().

    . ( 12)

    . 2f x 0 3x 9x 12 0 .

    2 2 23x 9x 12 0 3 x 3x 4 0 x 3x 4 0 .

    2 4 9 4 1 4 25 0

    1,2 3 5

    x2 2

    1

    2

    3 5x 1

    2

    3 5x 4

    2

    ,

    1x 1 2x 4 . 0

    3 0 x

    x . f x 0 x , 4 1, .

    . 3 2 2 1

    3 32 1 1 . 3 2 , 4 1,

    .

    107. GI_A_ALG_2_3381

    g , 2

    2x 4x g x

    x 1

    .

    g 1, 4 .

    . 6 . ( 9)

    . . ( 9)

    . 6 . ( 7)

  • :

    68

    . g

    1, 4 2 4

    g 1 4 4 2 8 62

    .

    . x 1 0 x 1 ,

    g 1 .

    . 6 22 2 x 2x 32x 4x 6

    g xx 1 x 1

    .

    2x 2x 3 :

    22 4 2 4 1 3 16 0

    1,2 2 4

    x2 2

    ,

    1

    2

    2 4x 3

    2

    2 4x 1

    2

    . 2x 2x 3

    : 2x 2x 3 x 1 x 3 .

    :

    22 2 x 2x 3 2 x 1 x 32x 4x 6

    g x 2 x 3 , x 1x 1 x 1 x 1

    108. GI_A_ALG_2_3382

    3 5

    5 3 5 3

    .

    . A 4 . ( 12)

    . x 1 . ( 13)

    . . ,

    3 5 3 3 5 33 3

    5 3 5 3 5 3 5 3

    2 2

    3 5 3 3 5 5 5 3 84

    25 3

    .

    x 1 x 4 1 x 4 1 x 4 1 x 3 x 5

    109. GI_A_ALG_2_3383

    70% , 40%

    20% .

  • .

    69

    . :

    A :

    :

    . :

    i)

    ii)

    iii) . ( 9)

    . :

    i) . ( 7(

    ii) . ( 9)

    70 40 20

    P 0,7 P 0,4 P 0,2100 100 100

    . :

    i) A M : .

    ii) : .

    iii) : .

    . :

    i) P 1 P 1 0,4 0,6

    ii) :

    P 1 P 1 P P P

    P 1 P P P

    P 1 0,7 0,4 0,2 0,1 110. GI_A_ALG_2_3384

    180 , 20 ,

    30 , 10 .

    . :

    :

    :

    . :

    i)

    ii)

    iii) ( 9)

    . :

    i) . ( 7)

  • :

    70

    ii) . ( 9)

    180 ,

    20 ,

    30

    .

    N AP A

    N 3 .

    20 1 30 1 10 1

    P P P 180 9 180 6 180 18

    .

    i) : ..

    ii) : . iii) : .

    . i) :

    P A B 1 P A B 1 P A P B P A B

    1 1 1 1 1 1 18 2 3 1 141 1

    9 6 18 9 6 18 18 18 18 18 18

    7 7P

    9 9

    ii) :

    1 1 3 1 2 1 1

    P P P P 9 18 18 18 18 9 9

    111. GI_A_ALG_2_3828 k 2 , 2k

    7k 4, k , ,

    . . k 4 . (

    12)

    . i) 2 , 5 4

    1 . ( 6)

    ii) 2 5 1 4 4 . ( 7)

    . 2,2,7 4

    :

    2 2 2 2

    2 7 4 2 4 7 14 4 8 3 10 8 0

    22 4 10 4 3 8 100 96 196 0

  • .

    71

    1,2 10 14

    2 6

    , 1 4 24 2

    6 3

    . 4 2 4 2 2 , 2 2 4 8 7 4 7 2 4 18

    8 4

    2 .

    .

    i) 1 1 2 1

    2 1 1 4 4 ,

    5 1 4

    5 1 1 1 4 4 256 4 1 3

    4 1 1 1 4 4 64

    ii) 4 32 5 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 .

    112. GI_A_ALG_2_3839

    : 2x 1 x 1 0 , 0 .

    . 2 .

    ( 12)

    . 0 .

    ( 13)

    . 2 2x 1 x 1 0 , x 2 , :

    2

    2 1 2 1 0 4 2 2 1 0 6 3 0 6 3

    3

    6

    1

    2 .

    2 1

    2

    .

    . 2x

    0 , x . 0 0 .

    :

    2

    1 4 1 2

    1 4 2 2 1 4 2 2 1

    2

    1 0 0 ,

    0 .

    113. GI_A_ALG_2_3847

    2 2 x 2x 1 0 , 2 .

  • :

    72

    :

    . . ( 13)

    . 2 . ( 12)

    . 2 2 0

    2 2 x . x :

    0 2

    2 4 2 1 0 2 24 4 2 0

    24 24 4 8 0 4 8

    4 8

    4 4

    2 .

    2 0 2

    , 2 2,2 .

    . Vieta ,

    S

    ,

    2 :

    22

    2

    2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 4

    1 .

    2 1 .

    114. GI_A_ALG_2_3852

    , :

    2 4 4 3

    :

    . 2 ( 12)

    . 2 2 ( 13)

    . 4 3 2 4 2 2 3 6 2 8 2 4 :

    2 6 2 4 8 8 2 12 . 2

    8,12 , 8 12 .

    . 0 2 4 2 2 22 4 24 16 (1). :

  • .

    73

    4 3 2 4 2 2 3 6 2 8 ,

    2 4 (

    ) :

    2 6 2 4 8 12 2 32 (2).

    (1) (2) :

    24 12 2 16 32 216 2 48 . 2 2

    16,48 , 16 48 .

    115. GI_A_ALG_2_3857

    , :

    4 2 2 20

    . : 5 .( 10)

    . 2 ,

    . ( 15)

    . : 2 2 20 20

    4 , :

    4 20 5 .

    . S 5 ( () )

    P 4 ( )

    : 2

    x Sx P 0 2x 5x 4 0 .

    2

    5 4 1 4 25 16 9 0

    , :

    1,2

    5 9x

    2 1

    5 3

    2

    1

    5 3 8x 4

    2 2

    2

    5 3 2x 1

    2 2

    . , 4,1 , 1,4 .

    116. GI_A_ALG_2_3863

    , :

    1 3 2 2 3 2 12

    . : 12 . ( 10)

    . 2 ,

  • :

    74

    . ( 15)

    . : 3 2 2 3 2 12 2 2 2 12 2 12

    1 , :

    2

    1 12 12 .

    . S 1 (

    ) P 12 ( () )

    : 2

    x Sx P 0 2x 1 x 12 0 2x x 12 0 .

    2 1 4 1 12 1 48 49 0

    , : 1,21 49

    x2 1

    1 7

    2

    1

    1 7 6x 3

    2 2

    2

    1 7 8x 4

    2 2

    . , 3, 4

    , 4,3 .

    117. GI_A_ALG_2_3870

    : 2 2 2 9 2 3 , , .

    . : 2 2 2 2 6 9 ( 3)

    . , , . ( 10)

    . , ;

    . ( 12)

    . :

    2 22 9 2 3 2 2 2 9 6 2 = 2 2 2 2 6 9 .

    . , :

    2 2 2 2 6 9 2 2 3 0 ,

    2

    0 2

    3 0 , , , .

    .

    0 2 2

    3 0 (1).

    2

    0 2

    3 0 , (1) :

    0

    3 0

    3

    3

    3

    118. GI_A_ALG_2_3874 , , :

  • .

    75

    2

    2

    1

    1

    . . ( 13)

    . :

    822 3

    252

    ( 12)

    . : 2

    2

    1

    1

    2 2 1 1

    2 2

    2 2 0

    0

    1 0

    0 , 1 0 1

    .

    .

    822 3

    252

    22 3 8

    2 25 25

    22 24

    2 25 25

    22 24

    23 25

    22 23 24 25

    1 1 1 1

    1

    11

    1 , () 1 .

    1 .

    119. GI_A_ALG_2_3878

    400 200 .

    ,

    20%. :

    . ( 10)

    . . ( 5)

    . . (

    10)

    . ,

    ,

    . 400 , 200

    P 20%

    20

    100

    20400 100

    100 20 400

  • :

    76

    20 400

    100

    80 , 80

    .

    . 400 200 80 120 .

    . :

    P

    120P

    400

    30P 30%

    100 .

    , 30%.

    120. GI_A_ALG_2_3884

    x : d 2x,3 3 2x

    . 3

    x2

    . ( 12)

    . 3

    x2

    , : K 2x 3 2 3 x

    x . ( 13)

    . d 2x,3 2x 3 d 2x,3 3 2x

    2x 3 3 2x 2x 3 , (

    ) : 2x 3 0 2x 3 3

    x2

    .

    . () 3

    x2

    2x 3 0 , 2x 3 2x 3 .

    3

    x 32

    3 x 0 3 x 3 x .

    : K 2x 3 2 3 x 2x 3 2 3 x

    2x 3 6 2x 3 ,

    K x .

    121. GI_A_ALG_2_4288

    . , x , x 4 , 2 x , 6 x

    . ( 13)

    . x 5 6 x

    , :

    i) . ( 6)

    ii) 1 . ( 6)

    . x 4 , 2 x , 6 x :

  • .

    77

    2

    2 x x 4 6 x

    4 4x 2 2x 6x x 24 4x 2 2

    4 x 6x x 24 0 2

    2x 6x 20 0 2

    x 3x 10 0 .

    x

    2

    3 4 1 10 9 40 49 0 ,

    , :

    11,2

    2

    3 7x 5

    3 49 3 7 2x

    2 1 2 3 7x 2

    2

    .

    x 5 x 2 .

    . x 5

    6 x : 4 6 x 6 5 1 . , (),

    3 2 x 2 5 3

    2 x 4 5 4 9 .

    i) :

    4

    3

    1 1

    3 3

    .

    ii) 1 : 2

    1

    2

    1

    1

    9 27

    1

    3

    .

    2

    : 1

    1 4 34 1

    3

    1

    11

    3

    1

    11

    27

    1

    1 27

    1

    27

    .

    ( 1 3 2

    - 3 2 ).

    122. GI_A_ALG_2_4290

    x : x 2 3 .

    . : 1 x 5 . ( 12)

    . : x 1 x 5

    K2

    . ( 13)

    . : x 2 3 3 x 2 3 3 2 x 2 2 3 2

    1 x 5 . . : 1 x 5 x 1 x 5 x 1 0 x 5 0 ,

    x 1 x 1 x 5 x 5 x 5 . :

  • :

    78

    x 1 x 5K

    2

    x 1 x 52

    x 1 x 5 63

    2 2

    , K 3 .

    123. GI_A_ALG_2_4295

    y , y 2 1 .

    . y 1,3 . ( 12)

    . y 1 y 3

    K2

    . ( 13)

    . y 2 1 1 y 2 1 1 2 y 2 2 1 2 1 y 3 ,

    y 1,3 .

    . y 1,3 :

    1 y 3 1 1 y 1 3 1 0 y 1 2 , y 1 y 1

    1 y 3 1 3 y 3 3 3 2 y 3 0 , y 3 3 y .

    :

    y 1 y 3 y 1 3 y 2K 1

    2 2 2

    .

    124. GI_A_ALG_2_4299

    x y : 3 x 5 2 y 1 ,

    :

    . y x . ( 12)

    . 2 2

    x y . ( 13)

    . 2 y 1 (1) 3 x 5 3 x 5 5 x 3 (2).

    (1) (2) : 7 y x 4 ,

    y x 7, 4 . .

    22 2 2

    2 y 1 2 y 1 1 y 2 1 y 2 1 y 4

    (1) 2 2 2 23 x 5 3 x 5 9 x 25 (2).

    (1) (2) : 2 210 x y 29 ,

    2 2x y 10,29 .

    125. GI_A_ALG_2_4300

    v : 1 2 25 12 39 .

    . 3 . ( 12)

  • .

    79

    . 152 . ( 13)

    .

    v 1 v 1 , .

    v 25 25 1 24 (1) v 12 12 1 11 (2)

    (1),(2) 25 12 39 :

    25 12 1 1 39 24 11 39 24 11 39

    13 39 3 .

    . 152

    v v 152 .

    :

    v 1 v 1 152 2 3 v 1 3 v 1 150 v 1 50 v 51 .

    152 , 51, 51

    152 ..

    126. GI_A_ALG_2_4301

    v .

    . : 15 9

    10 7

    2

    . ( 13)

    . 15 9 18 , . ( 12)

    .

    v 1 v 1 .

    1 115 9 1 1

    10 7 1 11 1

    14 8 14 8 62

    9 6 3 9 6

    .

    .

    15 9 1 1 1 1 18 14 8 18 14 8 18 6 18 3 .

    127. GI_A_ALG_2_4302

    2 3 x 9 , .

    . :

    i) 1 . ( 5)

    ii) 3 . ( 8)

    . ,

    . ( 12)

    . .

    i) 1 4x 8 x 2 .

  • :

    80

    ii) 3 0x 0 . . 3 0 3 .

    3 3 3

    3 x 3 3 x x 3 3

    ,

    .

    128. GI_A_ALG_2_4303

    v : 4 9 15 1 41 .

    . 3 . ( 12)

    . v , v v . ( 13)

    .

    v 1 v 1 .

    4 9 1 1 15 3 8 15

    1 1 3 8 15 5 15 3

    .

    v 1 v 1 41 v 1 3 v 41 3v 3 v 4v 44 v 11 .

    129. GI_A_ALG_2_4304

    v 4 , : 6 11 40 .

    . 1 . ( 12)

    .

    ;

    . ( 13)

    .

    v 1 v 1 . :

    6 11 1 1 1 1 40 5 10 40 2 15 40 2 15 4 40

    1 1 1 12 60 40 2 40 60 2 20 10 .

    . v

    v 1 v v 1v v

    S S 2 v 1 2 2

    .

    v vS 0 .

    ,

  • .

    81

    v 1v

    S 0 2 v 1 02

    v v

    2 10 4 v 1 0 20 4v 4 02 2

    v

    24 4v 0 v 24 4v 02

    v 0

    4v 24 0 4v 24 v 6 .

    v 0 *v , v 6 .

    130. GI_A_ALG_2_4305

    .

    :

    i) 2x 3 5 . ( 9)

    ii) 2x 3 1 . ( 9)

    . x

    . ( 7)

    .

    i) 2x 3 5 5 2x 3 5 5 3 2x 3 3 5 3

    2 2x 8 1 x 4 , x 1,4 .

    ii) 2x 3 1 2x 3 1 2x 3 1

    2x 3 3 1 3 2x 3 3 1 3

    2x 4 2x 2 x 2 x 1 , x ,1 2, .

    . .

    x 1,1 2,4 .

  • :

    82

    131. GI_A_ALG_2_4306

    . 22x x 6 0 1 . ( 9)

    . x 1 2 2 . ( 9) . x

    1 2 . ( 7)

    . 22x x 6 0

    22 4 1 4 2 6 1 48 49 0 ,

    1 , :

    1,2 1,2 1,2

    1 49 1 7x x x

    2 2 2 4

    , 1

    1 7 3x

    4 2

    2

    1 7 8x 2

    4 4

    . x 1 2 2 x 1 2 2 1 x 1 1 2 1 1 x 3 ,

    x 1,3 .

    . 13

    x 1,32

    2x 2 1,3 , x 2

    x 1

    2 . 132. GI_A_ALG_2_4308

    . x 2

    2

    2x 1 1

    1 xx x

    . ( 10)

    . x ) ,

    2

    2

    2x 1 10

    1 xx x

    . ( 15)

    . 2

    2

    2x 1 1

    1 xx x

    .

    2x x 0 1 x 0 x x 1 0 x 1 x 0 x 1 .

    . x 0 x 1

    2 2 2

    2

    2x 1 1 2x 1 1 2x 1 10 0 0

    1 x x x 1 x 1 x x 1 x 1x x

    2

    22x 1 1x x 1 x x 1 0 x x 1 2x x 1 0

    x x 1 x 1

    .

  • .

    83

    22 4 1 4 2 1 1 8 9 0 ,

    , :

    1,2 1,2 1,2

    1 9 1 3x x x

    2a 2 2 4

    1

    1 3 2 1x

    4 4 2

    21 3 4

    x 14 4

    .

    x 1 , 1

    x2

    .

    133. GI_A_ALG_2_4309

    20 cm 2

    E 24 cm .

    . 2

    . ( 15)

    . . ( 10)

    . 1 2x ,x . 1 2S x x

    1 2

    P x x : :2

    1 2 1 2 20 2x 2x 20 x x 10 S 10 .

    1 2 24 x x 24 P 24 .

    2 : 2

    x 10x 24 0

    . 2

    x 10x 24 0 , 100 96 4 , :

    1,2

    10 26

    10 2 2x

    2 10 24

    2

    6 4 .

    134. GI_A_ALG_2_4310 , , :

    12 2 2 272.

    . 2 2 2( ) 2 ,

    : 64 . ( 8)

    . 2

    , . ( 10)

    . , . ( 7)

  • :

    84

    . 2 2 272

    2 2 2 12 144 2 144

    2 272 144 2 144 272 2 128 64

    . 2 : 2

    x 12x 64 0

    . 144 256 400 :

    1,2

    12 2016

    12 20 2x

    2 12 204

    2

    , 16 4 .

    135. GI_A_ALG_2_4311

    2

    A x 2 3

    3B 2 x , x

    .

    . x A ; ( 7)

    . x B ; ( 8)

    . , x 2 , A B . ( 10)

    . : 2

    x 2 0 , x .

    . : 3

    2 x 0 2 x 0 x 2 .

    . 2 x 2, x 2

    x 2 x 22 x, x 2

    3

    3B 2 x 2 x x 2 .

    x 2 .

    136. GI_A_ALG_2_4312

    x 6 , 5x 2 , 11x 6 , ,

    1 .

    . x 4 . ( 12)

    . 1a 0 ,

    8S 8 . ( 13)

    . , x 6 11x 6

    5x 2 2 5x 2 x 6 11x 6 10x 4 12x2

    4 12x 10x 2x 4 x 2 .

    :

    2 6 8

    5 2 2 10 2 12

    11 2 6 22 6 16

  • .

    85

    16 12 4 .

    . , 88

    S 2 0 8 1 4 4 0 7 4 4 28 1122 .

    137. GI_A_ALG_2_4313

    1

    A3 7

    , 1

    B3 7

    .

    . : A B 3 1

    A B2

    . ( 12)

    . 2 A ,

    B . ( 13)

    . :

    221 3 71 3 7 3 7 3 7

    9 7 23 7 3 7 3 7 3 7

    221 3 71 3 7 3 7 3 7

    9 7 23 7 3 7 3 7 3 7B

    3 7 3 7 3 7 3 7 6

    32 2 2 2

    223 7 3 73 7 3 7 3 7 9 7 2 1

    2 2 4 4 4 4 2

    . 2 , :

    22 21

    x 3x 0 2x 6x 1 02

    .

    138. GI_A_ALG_2_4314

    3 5 , 3 , 6 5 , :

    . 15 . ( 15)

    . , . ( 10)

    . ,

    36 6 6 62 3 2 3 3 33 6 6 6 5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5 3

    6 315 15

    . 6 23 6 5 5 25

    6 3 6 3 3 27 . . .

    139. GI_A_ALG_2_4315

    v , 52

    27

    .

  • :

    86

    . 3. ( 10)

    . 200 ,

    1 . ( 15)

    . 5 1 4

    35 1 3

    2 1

    2 1

    27 27 27 27 27 3

    .

    . 4

    4 1 1 1

    3 1 81 1 80S 200 200 200 200

    3 1 2 2

    1 1 1

    20040 200 5

    40

    140. GI_A_ALG_2_4316

    2 3 , 2 3 , :

    . 1 . ( 12)

    . 2 2 . ( 13)

    . 2

    2 2 3 2 3 2 3 4 3 1

    . 222 2 2 2 2 3 2 3 2 1 4 2 14

    141. GI_A_ALG_2_4317

    2 2 x 2x 1 0 , 2 .

    .

    . ( 12)

    . 1 2x ,x ,

    1 2x x 3 . ( 13)

    . 2 :

    2 2 2 2 4 2 1 4 4 2 2 2 2

    4 4 4 8 8 8 4 2 , :

    0 8 4 0 4 8 2 . 2 .

    , 2 2,2 . .

    1 2x ,x ,

    1 2 1

    x x 3 3 1 3 2 1 3 6 2

    P

  • .

    87

    5 3 6 1 4 5

    4

    5, 2 2,2

    4

    142. GI_A_ALG_2_4318

    x 2x 1 1 , :

    . 0 x 1 . ( 15)

    .

    21 , x , x .

    . ( 10)

    . :2

    2x 1 1 1 2x 1 1 0 2x 2 0 x 1 .

    . x 0

    2x 1 x x

    x 1 , 2x x 1 .

    143. GI_A_ALG_2_4319

    1 2 5 14 .

    . 3 . ( 12)

    . () ,

    77 . ( 13)

    ( 1849 43 )

    . - 1 1 ,

    , 5 1 5 1 2 4 .

    5 14 2 4 14 4 14 2

    124 12 3

    4 .

    .

    1

    S 2 1 2 .

    2

    v

    vS 77 2 2 v 1 3 77 v 4 3v 3 154

    2

    2 2v 3v 1 154 3v v 154 3v v 154 0 . 1 1848 1849 0 . ,

    1,2

    1 43 427,

    6 61 43

    v 6

    1 43 44,

    6 6

    .

  • :

    88

    44

    6

    . 77 , 7 .

    144. GI_A_ALG_2_7519

    , , 0 0 . :

    . 4

    4

    ( 12)

    . 4 4

    16

    ( 13)

    . 0

    22 24 4 4 4 4 4 4 4 0 2 0

    , . . :

    4 4

    4 4 4 4 4 4 16

    4 4

    .

    145. GI_A_ALG_2_7521

    .

    :

    i) | 1 2x | 5 ( 9)

    ii) | 1 2x | 1 ( 9)

    . x

    . ( 7)

    .

    i) | 1 2x | 5 5 1 2x 5 5 1 2x 5 1

    2 0 6 2x 46 2x 4 2 x 3

    2 2 2

  • .

    89

    ii) 2 0

    0 2x

    1 2x 1 1 1 2x 0 2x x 02 2

    | 1 2x | 1

    1 2x 1 1 1 2x 2 2x 2 2x 1 x

    2 2

    . ,

    .

    ,

    2,0 1,3 .

    , x 1,0,1,2,3 .

    146. GI_A_ALG_2_8173

    ():

    2 1,41

    3 1,73

    5 2, 24

    7 2,64

    . ,

    ( )

    20. 45 80 . ( 12)

    .

    3 20 80

    45 5

    ;

    ( 13)

    . :

  • :

    90

    20 4 5 2 5 2 2,24 4,48

    45 9 5 3 5 3 2,24 6,72

    80 16 5 4 5 4 2,24 8,96

    . 3 20 80 3 4 5 16 5 3 4 5 16 5 6 5 4 5 10 5 10

    5245 5 9 5 5 9 5 5 3 5 5 2 5

    147. GI_A_ALG_4_1868

    .

    0,8 .

    . ,

    0,9 .

    . . ( 9)

    i)

    ; ( 9)

    ii)

    ;

    . 14 ,

    ; ( 7)

    . :

    :

    : ,

    , : A

    .

    ( ) 0,8 , :

    ( ) 0,8 () 1 ( ) 1 0,8 0,2 () 4() 4 0,2 0,8 .

    (A )=0,9 .

    i)

    ( ) () () ( ) 0,8 0,2 0,9 0,1

    ii) ( ) ( )

  • .

    91

    , , :

    ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ( )0,2 0,8 2 0,1 0,8

    . : ( ) () ( ) 0,8 0,1 0,7

    ( ) 14 14

    ( ) 0,7 () 20() () 0,7

    .

    148. GI_A_ALG_4_1874

    : 2x 2( 1)x +5=0 (1) , .

    . (1) : 2=4 12 16 .

    ( 7)

    . ,

    . ( 10)

    . 1 2x ,x 1 2d(x ,x )

    1 2x ,x ,

    : 1 2d x ,x 24 . ( 8)

    . :

    2 2 2 2 1 4 5 4 1 4 5 4 8 4 4 20

    2 4 12 16 .

    . :

    2 2 2 0 4 12 16 0 4 3 4 0 3 4 0 .

    2 3 4 1 0 9 4 4 25 0 ,

    2 3 4 0

    1

    1,2

    2

    43 25 3 5

    2 2

    1

    . :

  • :

    92

    , 2 0 3 4 0 1 4

    . , : 1 4 3 . :

    2 2 2

    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

    2 2

    1 2 2 1 2 1 1 2 2 1

    d(x ,x ) 24 | x x | 24 (x x ) 24 x 2x x x 24

    (x x ) 2x x 2x x 24 (x x ) 4x x 24 (2)

    Vieta (1) :

    1 2 1 2x x S 2( 1) , x x P 5 , (2) :

    2 2 2

    2

    4( 1) 4( 5) 24 4 8 4 4 20 24 4 12 40 0

    3 10 0 2 5

    , 3

    149. GI_A_ALG_4_1880

    f , 2

    x 2f (x)

    9 x

    .

    . f . ( 10)

    . f

    . ( 7)

    . A,B f

    x x,y y ,

    A,B . ( 8)

    . f :2 2 2

    9 x 0 x 9 x 9 | x | 3 3 x 3 ,

    : f

    A ( 3,3)

    . x 0 , 0 2 2

    f(0)39 0

    , y y

    2B 0,

    3

    y 0 , 2

    x 20 x 2 0 x 2

    9 x

    , x x

    A 2,0 .

    . y kx m (). A,B ,

  • .

    93

    , :

    2 10 k( 2) m 2k k

    3 32

    2 2k 0 mm m3

    3 3

    .

    1 2

    () : y x3 3

    150. GI_A_ALG_4_1890

    2 2 x 2 3 x 2 0 1 , 2 .

    . 1 : 12 25 . ( 6)

    . 2 , 1 . ( 7)

    . 1 2

    S x x

    1 2

    x x . ( 4)

    . 1 2

    x , x

    1 : 2 2

    1 2 1 2x x 1 x x 3 0 2 . (

    8)

    . 2 22 2 2 4 2 3 4 2 2 2 2 2 3 3 4 4

    2 24 12 9 4 16 12 25

    . 1 : 25

    0 12 25 0 12 25 12

    .

    2 25

    , 2 2,12

    .

    . 1 2

    2 3S x x

    2

    1 2

    2 x x

    2

    , 2

    . 2 2

    1 2 1 2x x 1 x x 3 0 1 2x x 1 0

    1 2x x 3 0

    : 2 2 0 0 .

  • :

    94

    1 2x x 1

    2 31

    2

    2 3 2

    2 3 2

    3 5

    5

    3

    1 2x x 3

    23

    2

    2 3 2

    2 3 6

    3 6 2

    4 4

    1

    2 .

    151. GI_A_ALG_4_1936

    .

    ,

    .

    100 . 60 .

    50 , 30

    . .

    . Venn

    ( ) .

    ( 13)

    . :

    i) .

    ii) .

    iii) .

    iv) . ( 12)

    . , , A :

    : . :

  • .

    95

    60, 50, 30 .

    .

    60 3 50 1

    , ,100 5 100 100 2

    30 3

    100 10

    .

    i) -

    1 3 5 3 2 1

    2 10 10 10 5

    .

    ii) 3

    10

    .

    iii) .

    1 1

    3 1 3 10 6 5 3 2 1

    1 15 2 10 10 10 5

    iv) .

    .

    3 1 3 6 5 6 5 1

    2 25 2 10 10 10 2

    152. GI_A_ALG_4_1955 , , ,

    ( ) t , t , t t ,

    :

    t t

  • :

    96

    t 2tt

    3

    t t t t

    .

    i) :

    t tt

    2

    . ( 5)

    ii) .

    . ( 10)

    . :

    t t 6 t t 8

    i) 2 t

    t . ( 5)

    ii) .

    ( 5)

    .

    i) t t t t

    t t t t t t 0 . t t ,

    t t t t

    t t t t

    t t 2t

    t tt

    2

    ii)

    t t .

    2 t tt 2t t 2t 3t 2t 2tt t t 0

    3 3 3 3

    t t .

    t t 0 t t .

    t t .

    t 2t t 2t 3t t tt t t 0

    3 3 3

    t t .

    t t 0 t t .

    t t ( )

    t t t t 2t t tt t t 0

    2 2 2

    t t .

  • .

    97

    t t 0 t t .

    t t .

    t t t 2t 3t 3t 2t 4t t tt t 0

    2 3 6 6

    t t .

    t t 0 t t .

    t t .

    t t t t 2t t tt t t 0

    2 2 2

    t t .

    t t 0 t t .

    t t t t

    .

    i) : 1 2

    x ,x 2x Sx P 0

    1 2S x x

    1 2P x x .

    2 t

    t

    S t t 6 P t t 8 2

    t 6t 8 0 t 0 .

    ii) t 4 t 2 t t

    t 2 t 4 .

    2 2 4 10t

    3 3

    t t 2 4t 3

    2 2

    153. GI_A_ALG_4_1963

    : 2f x x g x x 1 , x

    0 .

    . f

    C gC

    . ( 8)

    . f

    C gC ;

    ; ( 8)

    . 2 1 2

    x , x f

    C gC ,

    : 2

    1 2 1 2x x x x 2 .

    ( 9)

    . f x g x .

    2 2f x g x x x 1 x x 1 0 1

    2 22 2 2 4 4 1 1 4 1 4 4 2 0

    f

    C gC 0 .

  • :

    98

    . 1 0 .

    2

    0 2 0 2 0 2

    2 0 1 2x 2x 1 0

    0

    2x 1

    2 2 1

    2x 1 f 1 1 1

    f

    C gC 1, 1 .

    2 0 .

    .

    1 2

    x x S

    1

    2

    1 2 1 2x x x x 2

    22 2 2 0

    , 0 ( 0 ) 2 2 0 9

    1 3 4

    21 9 1 3 2 2

    2 1 2 1 3 2

    1 .2 2

    2 . 2

    2 2

    2

    154. GI_A_ALG_4_2046

    9 ,

    12 . , ,

    360 .

    . 32 ,

    360 . ( 5)

    .

    360

    .

    i) x ( ) ,

    360 :

    3

    f x 30 x4

    .( 7)

    ii) (i),

    . ( 4)

  • .

    99

    . (),

    . ( 9)

    . 9 , 32

    9 32 288 . 12 . x

    360 . x 12x . :

    360 28812 x 288 360 x 6

    12

    .

    .

    i) x ( ) y

    ( ) .

    , 360 9x 3

    9x 12y 360 y 30 x12 4

    .

    3

    y f x f x 30 x4

    .

    ii) x 0 . , 40 .

    0 x 40 . . x 0 y 30 .

    y y B 0,30 y 0 x 40 .

    x x 40,0 . 40

    360

    30 360 .

    155. GI_A_ALG_4_2047

    20

  • :

    100

    . 1 ,

    4 , 7

    , 3 ,

    .

    .

    .

    ; ( 6)

    . 20 ; ( 6)

    . ,

    , .

    i)

    3 ; ( 6)

    ii)

    20 ; ( 7)

    . ,

    1 1 3 . , , .

    . 20 1

    19 1 19 3 58 .

    .

    i) 1 . . .

    4 4

    7 7 . 1 1 4 4 7 7 24 .

    ii) 20 . 20

    20 1 2020

    S 10 59 5902

    .

    20

    2 S 2 590 1180 .

    156. GI_A_ALG_4_2055

    : 2 2 2 x 1 x 1 0 , 1

    . , 1 2

    / ( 6)

  • .

    101

    . ()

    1 : 2x 1 x 1 0 . ( 6)

    . ()

    1 . ( 7)

    . 1 , 2 . ( 6)

    . 1 , 2

    2 0 1 0 . 0 1 . . 0 1 1 ,

    2 2 2 2

    2

    x 1 x 1 0 1 x 1 1 x 1 0

    1 x 1 x 1 0

    1 , 2x 1 x 1 0 2

    . 2 :

    2 2 22 2 1 4 1 4 2 1 4 2 1 1 0

    . 1 , 2

    1 0 .

    2 , 1 .

    . (1)

    2

    1,2

    1 1 1 1x

    2 2

    .

    1

    1 1 2x 1

    2 2

    2

    1 1 2 1x

    2 2

    .

    157. GI_A_ALG_4_2064

    7 13 , 4

    2 . .

    . Venn

    :

    i) . ( 6)

    ii) . ( 6)

    .

    . ( 13)

    : :

    .

    i) .

  • :

    102

    ,

    ii)

    . ,

    . :

    . 20 , . :

    2 1

    P P 20 10

    .

    158. GI_A_ALG_4_2073

    2 . 6 8

    9 4 7 .

    . ,

    ( 13)

    .

    : 7 .

    : 6 8 .

    : 8 9 . (

    12)

  • .

    103

    . :

    2642 , 2672 , 2842 , 2872 , 2942 , 2972

    6 . . : > 2672 , 2872 , 2972 ,

    3 . 6 () . , :

    3 1P A

    6 2 .

    :

    :

    : 2642 , 2672 , 2842 , 2872 ,

    4 . 6 () . ,

    :

    4 2P

    6 3 .

    :

    : >

    6 2642 , 2672 ,

    2 . 6 () . ,

    :

    2 1P

    6 3 .

    159. GI_A_ALG_4_2080

    , 80%

  • :

    104

    .

    :

    :

    :

    60% 45%

    ,

    . :

    i)

    ii)

    iii) . ( 12)

    . )

    . ( 13)

    .

    i) : > A B .

    ii) : > .

    iii) : > .

  • .

    105

    . :

    80%

    : P A B 0,8 .

    60% : P A 0,6

    45% , : P B 0,45 . :

    P P A B 1 P A B 1 0,8 0,2

    P P A B P A P B P A B 0,6 0,45 0,8 0,25

    P E P A B P A P A B 0,6 0,25 0,35

    160. GI_A_ALG_4_2081

    2x 2 1 x 2 0 1 .

    . 0 . ( 5)

    . 0 .

    i) 1 ,

    . ( 10)

    ii) 1

    x 1 2

    2x 1

    (1),

    , 1 2x x 1 .

    ( 10)

    . 0 (1) : 2 0 x 2 0 1 x 0 2 0 2x 2 0 2x 2 x 1 .

    .

    i) 2x 2 1 x 2 0 , 2 1 2 . :

    2

    2 2 2 4 2 1 4 2 4( 1) 4 8

    2 24 8 4 4 8 4 4 0

    1 , :

    1,2

    2 1 2 2 2 2

    2 2 2x

    1

    2

    2 22 2 2 2 x

    2 2

    2 2 2 2x 1

    2 2

    ii) :

    1 22

    x x 1 1 1

  • :

    106

    2 2 1 1 1

    2 2 21 1 1

    2 2 2

    0 , 1 2x x 1 2,0 0,2 .

    161. GI_A_ALG_4_2083

    25 . 12

    .

    . .

    ( 10)

    . . ( 5)

    . ,

    7 14 .

    . ( 10)

    . ,

    1

    12 2 .

    25 () 13.

    13 (13

    ) , 25 (25

    ).

    - :

    1

    13

    2

    12

    1 13 1 12 13 1 2 12 12 2 36

    13

    36

    36 . :

    1

    25

    2

    12

    1 25 25 1 12 25 1 2 12 2 2 64 60 0

    60 . .

    25 , 1 2 25 25

    ... S .

    :

    1 1 25

    25 25

    12 60 72S S 25 25 25 36 25 900 S 900

    2 2 2 2

    . . 7 14

    :

    7 8 9 14 14 6 S S (1)

  • .

    107

    :

    141 1 14

    2 1 2 (14 1) 2 2 12 13 2S S 14 14

    2 2 2

    1425 14 350 5S 3 0 14 .

    :

    61 1 6 6

    2 1 2 6 1 2 2 12 5 2S S 6 6 17 6 S 102

    2 2 2

    6 .

    14 6

    S S 350 102 248

    .

    162. GI_A_ALG_4_2084 , ,

    d cm B

    d 1 m .

    . , d ,

    A B . ( 6)

    . 200 A

    128 B , :

    i) . ( 12)

    ii) . ( 7)

    . .

    A 2 2d cm , B

    2 2d 1 cm .

    .

    i) 200 A 128 B , :

    2 2 2 2

    2 2 2

    200d 128(d 1) 25d 16(d 1)

    25d 16d 32d 16 9d 32d 16 0

    1

    1 2 2 32 4 9 16 1024 576 1600 40

    32 40 72 6 1d d d d 4 d d 4

    18 18 18 3

    .

    1

    d3

    , d ,

    . A 4 cm ,

    B 5 cm .

    ii) : 2 2200d 128(d 1) .

    , , 2 2 2200d 200 4 3200cm .

  • :

    108

    163. GI_A_ALG_4_2220

    ,

    , . h ( m )

    , t ( sec )

    2h(t) 5t 10t 1,05 .

    . h(0),h(1) h(2)

    . ( 6)

    . . ( 8)

    .

    t : 2h(t) 5[1,21 (t 1) ] .

    ( 5)

    . 1

    t ( sec ) h

    6,65 m . ( 6)

    . h(0) 5 0 10 0 1,05 1,05m ,h(1) 5 1 10 1 1,05 6,05m

    h(2) 5 4 10 2 1,05 1,05m

    0 sec 1,05 m ,

    1,05 m .

    T 1 sec 6,05 m ,

    2 sec ,

    1,05 m .

    . 0 m . 2h(t) 0 5t 10t 1,05 0 1

    1 2 121 11 :

    1,2 1 2 1

    10 11 1t t 2,1sec t sec t 2,1sec

    10 10

    . 2 2 2h(t) 5t 10t 1,05 5( t 2t 0,21) 5[0,21 (t 2t)] 2 25[1 0,21 (t 2t 1)] 5[1,21 (t 1) ] .

    . 1

    t , h

    6,65 m , : 2 2

    1h(t ) 6,65 5[1,21 (t 1) ] 6,65 1,21 (t 1) 1,33

    2 21,21 1,33 (t 1) (t 1) 0,12 , .

    1

    t , h

    6,65 m .

  • .

    109

    164. GI_A_ALG_4_2226

    x cm (5 x 10)

    2 cm 1 cm (

    ).

    . E

    E(x) (x 2)(x 4) . ( 8)

    . x

    235 cm . ( 7)

    . x ,

    224 cm . ( 10)

    .

    , x 2,x 4 ,

    (x 2)(x 4) .

    :

    E(x) (x 2)(x 4) .

    . x , : E(x) 35 1 2 2(1) (x 2)(x 4) 35 x 6x 8 35 x 6x 27 0 (2)

    2 : 2 36 4 27 144 12 .

    5 x 106 12

    (2) x x 9 x 3 x 92

    .

    . x , : E(x) 24 3 2 2(3) (x 2)(x 4) 24 x 6x 8 24 x 6x 16 0 (4)

    4 , : 2 36 64 100 10 .

    : 6 10

    x x 8 x 22

  • :

    110

    :

    , 5 x 10

    (4) x 2 x 8 8 x 10

    .

    165. GI_A_ALG_4_2229

    x cm (5 x 10)

    2 cm 1 cm (

    . E

    2E(x) x 6x 8 . ( 8)

    . x

    224 cm . ( 7)

    .

    235 cm , x

    .

    ( 10)

    .

    , x 2,x 4 ,

    (x 2)(x 4) .

    : 2 2E(x) (x 2)(x 4) x 4x 2x 8 x 6x 8 .

  • .

    111

    . x , : E(x) 24 1 2 2(1) x 6x 8 24 x 6x 16 0 (2)

    2 : 2 36 4 16 100 10 .

    5 x 106 10

    (2) x x 8 x 2 x 82

    .

    . x , : E(x) 35 3 2 2(3)x 6x 8 35 x 6x 27 0 (4)

    4 , : 2 36 108 144 12 .

    : 6 12

    x x 9 x 32

    :

    , 5 x 10

    (4) 3 x 9 5 x 9

    .

    166. GI_A_ALG_4_2234