Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική...

22
www.mathschool-online.com www.mathschool-online.com Μαθηµατικά Β΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Επαναληπτικά Θέµατα Απαντήσεις Θέµα 1 0 1. A) Τι ονοµάζουµε διάνυσµα θέσεως; Έστω Ο ένα σταθερό σηµείο του χώρου. Τότε για κάθε σηµείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσµα ΟΜ , το οποίο λέγεται διάνυσµα θέσεως του Μ ή διανυσµατική ακτίνα του Μ. Το σηµείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσµατικών ακτίνων των σηµείων του χώρου, λέγεται σηµείο αναφοράς στο χώρο. Β) Έστω Ο ένα σηµείο αναφοράς στο χώρο και ένα τυχαίο διάνυσµα. Να εκφράσετε το συναρτήση των διανυσµατικών ακτίνων και . Έχουµε : ΑΒ =ΟΒ -ΟΑ Α Β O

description

Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της Β΄ Λυκείου

Transcript of Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική...

Page 1: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Μαθηµατικά Β΄ Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέµατα

Απαντήσεις

Θέµα 10

1. A) Τι ονοµάζουµε διάνυσµα θέσεως; Έστω Ο ένα σταθερό σηµείο του χώρου. Τότε για κάθε σηµείο Μ του χώρου ορίζεται το διάνυσµα →

ΟΜ , το οποίο λέγεται διάνυσµα θέσεως του Μ ή διανυσµατική ακτίνα του Μ. Το σηµείο Ο, που είναι η κοινή αρχή όλων των διανυσµατικών

ακτίνων των σηµείων του χώρου, λέγεται σηµείο αναφοράς στο χώρο.

Β) Έστω Ο ένα σηµείο αναφοράς στο χώρο και

�������� ένα τυχαίο διάνυσµα. Να εκφράσετε το �������� συναρτήση των διανυσµατικών ακτίνων ��������� και

���������. Έχουµε : ΑΒ������=ΟΒ������-ΟΑ������

Α

Β

O

Page 2: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool

www.mathschool

2.Να εκφράσετεπαρακάτω σχήµατα

3.Να

α) Αν

β) Αν

γ) Αν

δ) αr

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Να εκφράσετε το διάνυσµα �� σε καθέναπαρακάτω σχήµατα ως συνάρτηση των άλλων

διανυσµάτων.

α) x = α +β + γr ur r r

β) x = α +β − γr ur r r

3.Να συµπληρώσετε τα κενά:

Αν βαrr

↑↑ , τότε … α = κβrr

Αν βαrr

↑↓ , τότε … α = −κβrr

Αν 0rr

=α , τότε … 0α = ⋅βrr

βαrr

// ⇔ α = λβrr

, R∈λ

σε καθένα από τα συνάρτηση των άλλων

α = κβr

α = −κβr

α = ⋅βr

Page 3: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

4. Να δειχτεί ότι :

OA OBOM

2

+=

uuur uuuruuuur

Όπου Ο είναι ένα σηµείο αναφοράς , �������� ένα τυχαίο διάνυσµα και Μ το µέσο του τµήµατος ΑΒ.

Φέρνω τη διανυσµατική ακτίνα →

OM του µέσου Μ του τµήµατος ΑΒ και έχω:

OM OA AM→ → →

= + (1)

και

OM OB BM→ → →

= + (2)

Από (1)+(2) έχω

2OM OA AM OB BM OA OB→ → → → → → →

= + + + = +

Άρα

OA OBOM

2

+=

uuur uuuruuuur

mathschool-online.com Α

Ο

Μ

Β

Page 4: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool

www.mathschool

1α) Έστω το παραλληλόγραµµο

Και �������� =���� να βρείτε

β) Στο τρίγωνο

ισούται

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Θέµα 2ο

Έστω το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Αν

να βρείτε το διάνυσµα � ������ καθώς

διάνυσµα �������� .

Έχουµε:

� ������=���� +����

�������� �-����+����

Στο τρίγωνο ΑΒΓ η ΒΕ είναι διάµεσος.Με

ισούται το άθροισµα �������� +� ������;

ΑΒΓ∆ Αν �������� =����

καθώς και το

διάµεσος.Με τι

Page 5: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Γνωρίζω ότι η διανυσµατική ακτίνα του µέσου Ε του τµήµατος ΑΓ ισούται µε:

A

2

Β +ΒΓΒΕ =

uuur uuuruuur

2α) Έστω ���� =(1,-1) και ����=(1,2).Να υπολογίσετε το διάνυσµα ���� -2����=����

Έχω :

2�=2(1,2)=(2,4)

Eποµένως:

�� -2�=(1,-1)-(2,4) = (-1, + 3)

β) Έστω Α(1,2) και Β(2,0).Να υπολογισθούν οι συντεταγµένες του µέσου του ευθυγράµµου τµήµατος

ΑΒ.

Έστω Μ(x,y)

Έχω:

1 2x xx

2

+=

και

1 2y yy

2

+=

Όπου:

Α(1,2)=Α(x1, y1)

Β(2,0)=B(x2,y2)

Page 6: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Eποµένως:

1 2 3x

2 2

+= =

2 0 2y 1

2 2

+= = =

Άρα

Μ(x,y)=Μ(3/2 ,1)

γ) Έστω Α(-2,-1) και Β(2,0).Να υπολογισθούν οι συντεταγµένες του διανύσµατος �������� και το µέτρο του.

Έστω x , y οι συντεταγµένες του διανύσµατος ΑΒ������

∆ηλαδή ΑΒ������(x,y)

Έχω:

2 2 1 1 2 1 2 1(x, y) (x , y ) (x , y ) (x x , y y )= − = − −

Όπου:

Α(-2,-1)= Α(x1, y1)

Β(2,0)= B(x2,y2)

Eποµένως:

2 2 1 1 2 1 2 1(x, y) (x , y ) (x , y ) (x x , y y )

(x, y) (2 ( 2),0 ( 1)) (2 2, 1) (4,1)

= − = − −

= − − − − = + + =

Page 7: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Mέτρο του �������� :

�ΑΒ������� =2 2x y+ →

�ΑΒ�������= 2 24 1+ →

�ΑΒ�������= 16 1 17+ =

Θέµα 3ο

1.α) Με βάση την εξής συνθήκη παραλληλίας :

1 1

2 2

x y/ / 0

x yα β⇔ =

rr

να εξετάσετε εάν τα διανύσµατα ����(1,3)= ���� (x1, y1) και ����(2,6)= ���� (x2,y2) είναι παράλληλα.

Έχω:

1 31.6 2.3 6 6 0

2 6= − = − =

Εποµένως τα ���� και ���� είναι παράλληλα.

β) Να συµπληρώσετε τα κενά :

i) Αν α���//xx΄ τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α��� είναι ... λ=0

Page 8: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

ii) Αν α���//yy΄ τότε …δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος α���

iii) α��� // β���� αν και µόνο αν ... λ1=λ2 , όπου λ1,λ2 οι συντελεστές διεύθυνσης των α��� , β���� αντίστοιχα.

2.α) ∆ίνεται το διάνυσµα ���� =(λ-2 , λ2-4) , λ ∈R.

Για ποια τιµή του λ είναι i) ����//xx΄ ii) ����= ����.

i) Θέλω α���//xx΄ , αυτό σηµαίνει ότι πρέπει συντελεστής διεύθυνσηςτου α��� να είναι µηδέν.

∆ηλαδή:

λ =ur

2

2 2

0

40

2

20

2

( 2)( 2)0

2 0

2 0 2

2

α

α

α

α

α

λ = →

λ −λ = = →

λ −

λ −λ = = →

λ −

λ − λ +λ = = →

λ −λ = λ + = →

λ λ −+ = → =

ur

ur

ur

ur

ur

Page 9: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

ii) Θέλω

����= ���� Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει oι συντεταγµένες του α��� να

είναι µηδέν.

∆ηλαδή:

λ-2=0 και λ2-4=0 Τα παραπάνω πρέπει να συµβαίνουν

ταυτόχρονα.Εποµένως πρέπει να επαληθεύονται και οι δύο εξισώσεις.

Έχω:

(1) λ-2= 0→λ=2

και

(2) λ-2=0→(λ-2)(λ+2)=0→λ=2 ή λ=-2 Η τιµή λ=-2 δεν επαληθεύει τη πρώτη (1)

εξίσωση. Εποµένως δεκτή λύση είναι η λ=2.

β) ∆ίνονται τα διανύσµατα ����(1,µ) και ����(3,2).Για ποιά τιµή του µ είναι ���� // ����.

Υπόδειξη : Θα χρησιµοποιήσεις τη συνθήκη

1 1

2 2

x y/ / 0

x yα β⇔ =

rr

Page 10: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Θέλω α��� // β�� Αυτό σηµαίνει ότι πρέπει :

1

0 1.2 3. 03 2

2 3

2

3

0 3 2

3 2

3 3

µ= → − µ = →

− µ = → − µ = − →

− µ −= →

− −µ =

3.α) Τί ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη

µηδενικών διανυσµάτων ���� και ���� ;

Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών

διανυσµάτων αr

και r

β και το συµβολίζουµε µε

α ⋅βrr

τον πραγµατικό αριθµό

| | | |συνα ⋅β = α ⋅ β ⋅ ϕr rr r

,

όπου ϕ η γωνία των διανυσµάτων rα και

r

β .

β) Να συµπληρώσετε τα κενά:

α) Αν r rα = 0 ή

r

β = 0 , τότε …. 0=⋅ βαrr

Page 11: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

β) Αν α ⊥ βrr

, τότε … 0α ⋅β =rr

και αντιστρόφως.

γ) Αν α ↑↑ βrr

, τότε ... | | | |α ⋅β = α ⋅ βr rr r

και αντιστρόφως.

∆) Αν α ↑↓ βrr

, τότε ... | | | |α ⋅β = − α ⋅ βr rr r

και αντιστρόφως.

ε)

2 2| |α = αr r

στ) Aν α��� (x1, y1) και β��(x2,y2) τότε ... r r

α β⋅ = +x x y y1 2 1 2

ζ) 1 2 , ό ... . 1λΑν α ⊥β τ τε λ = −rr

όπου λ1 , λ2 οι συντελεστές διεύθυνσης των

α��� και β�� ; γ) Αν ���� (1,2)= ���� (x1,y1) και ���� (3,1)= ���� (x2,y2) να υπολογισθεί η γωνία θ των διανυσµάτων ���� και ���� .

Έχω:

1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2

x x y yσυν

x y x y

+θ =

+ ⋅ +

Page 12: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Eποµένως :

2 2 2 2

1 3 2 1συν

1 2 3 1

5 1 2συν

25 10 2

⋅ + ⋅θ = →

+ ⋅ +

θ = = =⋅

συνθ=συν π/4→θ=2κπ+π/4 (1)

ή θ=2κπ- π/4 (2)

Επειδή όµως η γωνία θ είναι η γωνία των

διανυσµάτων α��� και β�� ,δηλαδή : 0 ≤ θ ≤ 1800

Η (2) απορίπτεται

Εποµένως έχω ότι :

(1) θ=2κπ+π/4 → θ=π/4 , κ=0 4. Αν ���� (1,0)= ���� (x1,y1) και ���� (1,1)= ���� (x2,y2) να βρείτε το λ Ώστε τα διανύσµατα

και + λα α βur uur r

να είναι κάθετα.

Γνωρίζω ότι : α ⊥ βrr

↔ 0α ⋅β =rr

Εποµένως :

Page 13: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

( ) 0α α + λβ =

ur ur r

2

2

( ) 0

. 0

0

0 (1)

α α + λβ = →

αα + λαβ = →

α + λαβ = →

α + λαβ =

ur ur r

ur ur urr

ur urr

ur urr

Yπολογίζω το µέτρο του α��� και το εσωτερικό γινόµενο

α ⋅βrr

2 21 0 1

. 1.1 0.1 1

α = + =

αβ = + =

ur

ur r

Εποµένως :

2

2

(1) : 0

1 .1 0

1 10

α +λαβ = →

+λ = →

+λ = →λ = −

ur urr

Θέµα 4ο

1.α) Με τι ισούται ο συντελεστής διεύθυνσης λ µιας ευθείας που διέρχεται από τα σηµείαΑ(x1, y1) και B(x2,y2), µε x1≠x2

Ο συντελεστής διεύθυνσης λ

Page 14: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

µιας ευθείας που διέρχεται από τα σηµείαΑ(x1, y1) και B(x2,y2) µε x1≠x2 ισούται µε :

2 1

2 1

y y

x x

−λ =

β) Να υπολογισθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α(4,2) και Β(6,4)

4 2

6 42

21

−λ = →

λ = → λ =

γ) Να συµπληρώσετε τα κενά: i) ε1//ε2 αν και µόνο αν ... λ1= λ2

ii) 1 2 1 2 ... λ .. 1λ⊥ ε ⇔ = −ε δ) Τι παριστάνει η εξίσωση y-y0 = λ(x-x0) ; H εξίσωση y-y0=λ(x-x0) παριστάνει ευθεία µε συντελεστή διεύθυνσης το λ ,η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0). ε) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας

Page 15: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=-1 και η οποία διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(2,0) Έχω : y-y0=λ(x-x0)→y-0=-1(x-2)→ y = -x+2 στ) Τι εκφράζει η ευθεία x=x0; Ποια είναι η εξίσωση της κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(5,4) Η ευθεία x=x0 εκφράζει τη κάθετη(κατακόρυφη) στον άξονα xx΄ευθεία. Η εξίσωση της κατακόρυφης ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(5,4) είναι : x = 5 ζ) Τι εκφράζει η ευθεία y=y0; Ποια είναι η εξίσωση της παράλληλης στον άξονα xx΄ ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(-2,6)

Η ευθεία y=y0 εκφράζει τη

Page 16: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

παράλληλη στον άξονα xx΄ ευθεία. Η εξίσωση της παράλληλης στον xx΄ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(x0,y0)=Α(-2,6) είναι : y = 5 2. ∆ίνεται τρίγωνο µε κορυφές Τα σηµεία Α(2,0),Β(-6,4) και Γ(-4,2). Να βρεθούν οι εξισώσεις: i) Του ύψους που άγεται από

την κορυφή Α. ii) Tης διαµέσου που άγεται

από την κορυφή Β. iii) Της µεσοκαθέτου της πλευράς

ΑΓ. i) Έχω:

B

B B

2 4 2

4 ( 6) 4

1

6

2

2Γ Γ

Γ

− −λ = =

− − − −

−→ λλ = = −

+

Όµως: λυ. λΒΓ = -1 → λυ.(-1) = -1→ -λυ=-1→λυ = 1

Εποµένως, η εξίσωση του ύψους που άγεται από το Α είναι:

Page 17: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

y 0 1(x 2)− = − →

y x 2= −

ii)

To µέσο Μ(x,y) του τµήµατος ΑΓ έχει συντεταγµένες:

1 2x xx

22 4

x22

x 12

+= →

−= →

−= = −

και

1 2y yy

20 2

y 12

+= →

+= =

Άρα Μ(x,y)=M(-1,1)

Εποµένως, ο συντελεστής διεύθυνσης της διαµέσου ΒΜ είναι :

2 1

2 1

y y

x x

−λ =

Όπου :

Μ(x,y)=M(-1,1)=Μ(x2,y2)

Page 18: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Β(-6,4)=B(x1,y1)

Eποµένως:

2 1

2 1

y y

x x

1 4

1 ( 6)

−λ = →

−λ = →

− − −

1 4

1 ( 6)

3 3

1 6 5

−λ = →

− − −

− −λ = → λ =

− +

Άρα η εξίσωση της διαµέσου ΒΜ είναι:

y - y0 = λ(x - x0) → y-1=-3/5(x-(-1))→ y-1=-3/5(x+1)→

3y 1 (x 1)

53 3

y x 15 53 2

y x5 5

− = − + →

= − − + →

= − +

iii)

Η ευθεία ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης

Page 19: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

2 1

2 1

y y

x x

−λ =

Όπου:

Α(2,0)=Α(x1, y1) και Γ(-4,2)=Γ(x2, y2) Εποµένως:

2 1

2 1

y y

x x

2 0

4 ( 2)

2

4 2

21

2

−λ = →

−λ = →

− − −

λ = →− +

λ = →λ = −−

H κάθετος σε αυτήν έχει συντελεστή διεύθυνσης λκαθ. και ισχύει : λκαθ..λΑΓ = -1→ λκαθ.(-1) = - 1→ - λκαθ..= -1→ λκαθ..=1

To µέσο Μ(x,y) του τµήµατος ΑΓ έχει συντεταγµένες : Μ(x,y)=M(-1,1)

Page 20: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Εποµένως η εξίσωση της

µεσοκαθέτου της ΑΓ είναι: y-y0=λ(x-x0)→y-1=1(x-(-1)) →y-1=x+1→y=x+2 3.α)Nα γράψετε την εξίσωση κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ. Έχω: x2+y2=ρ2

3.β)Nα γράψετε την εξίσωση κύκλου κέντρου Κ(x0,y0) και ακτίνας ρ. Έχω: (x-x0)

2+(y-y0) 2=ρ2

γ)Να βρείτε την εξίσωση κύκλου κέντρου Ο(0,0) και ακτίνας ρ σε καθεµια από τις περιπτώσεις:

i)Οταν διέρχεται από το σηµείο

( )1, 3Α −

ii) Οταν διέρχεται από το σηµείο

B(0,-4)

Page 21: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

Έχω:

i) x2+y2=ρ2→

(-1)2+(√3)2=ρ2→

1+3=ρ2→ρ2=4→ρ=2

Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι:

x2+y2=4

ii) x2+y2=ρ2→

0+(-4)2= ρ2→

16= ρ2→

ρ=√16→

ρ=4

Άρα η εξίσωση του κύκλου είναι:

x2+y2=16

δ)Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το Κ(2,3),

όταν διέρχεται από το σηµείο Α(0,1).

Έχω:

(x-x0)2+(y-y0)

2=ρ2→

(x-2)2+(y-3)2= ρ2

Όµως διέρχεται από το σηµείο Α(0,1)

Εποµένως:

(0-2)2+(1-3)2=ρ2→

4+(-2)2= ρ2→

4+4= ρ2→

Page 22: Επαναληπτικά Θέματα και Απαντήσεις στη Τεχνολογική και Θετική Κατεύθυνση της  Β΄ Λυκείου

www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com

8= ρ2→

ρ=√8

Εποµένως:

H εξίσωση του κύκλου µε κέντρο το Κ(2,3),

που διέρχεται από το σηµείο Α(0,1) είναι:

(x-2)2+(y-3)2= 8

Kαλή Ανάγνωση!

http://mathschool-online.pblogs.gr/