Μαθηματικά Ε΄ 5.35. ΄΄Στρατηγικές επίλυσης...

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής

Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 5 - Κεφάλαιο 35

΄΄Στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων΄΄

http://e-taksh.blogspot.gr

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

eva-edu

Να λύσεις τα παρακάτω προβλήματα

1. Η τάξη της Εύας έχει 20 παιδιά. Η κυρία Βάλια τους έφερε 80

σοκολατάκια και τους ζήτησε να τα μοιραστούν. Πόσο σοκολατάκια θα

πάρει το κάθε παιδί;

Σκέφτομαι τι πράξη θα κάνω: + - x :

2. Η Εύα θέλει να πάρει 4 κουτιά μαρκαδόρους. Το ένα κουτί κάνει 3,4

ευρώ. Πόσο κάνουν και τα 4 κουτιά;



eva-edu

3. Η Εύα με τη Νέλλη πήγανε στο σούπερ μάρκετ και ψωνίσανε 6 κιλά μήλα.

Πληρώσανε για όλα 18 ευρώ. Πόσο έκανε το ένα κιλό μήλο;


4. Η Εύα έχει 4 κουτιά μαρκαδόρους. Το ένα κουτί έχει μέσα 8

μαρκαδόρους. Πόσους μαρκαδόρους έχουνε και τα 4 κουτιά;



Στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων

Γιάννης Φερεντίνος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.4

Πολλαπλασιασμός – διαίρεση αντίστροφες πράξεις

• Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση είναι αντίστροφες πράξεις, δηλαδή καθεμιά ακυρώνει την άλλη.

• Αν για παράδειγμα διαιρέσουμε τον αριθμό 18 με το 6, το πηλίκο θα είναι 3. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντας το 3 με το 6 θα ξαναγυρίσουμε στο 18, απ’ όπου ξεκινήσαμε.


Πολλαπλασιασμός – διαίρεση αντίστροφες πράξεις

• Το ίδιο θα συμβεί αν πάρουμε έναν αριθμό, τον πολλαπλασιάσουμε επί 5 και στη συνέχεια διαιρέσουμε το γινόμενο δια 5. Το αποτέλεσμα θα είναι ο αρχικός αριθμός.


Δεδομένα - ζητούμενα

• Σε κάθε πρόβλημα εξαρτάται αν θα κάνουμε διαίρεση ή πολλαπλασιασμό από τις πληροφορίες που δίνει (δεδομένα) και από αυτά που ζητάει (ζητούμενα).


Παράδειγμα

• Αν ξέρουμε την τιμή του ενός (1) κιλού και ψάχνουμε την τιμή των 9 κιλών, θα κάνουμε πολλαπλασιασμό επί 9.

• Αν ξέρουμε την τιμή των 9 κιλών και ψάχνουμε την τιμή του ενός κιλού, θα κάνουμε διαίρεση δια 9.

Γιάννης Φερεντίνος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.8

Εγκύκλιος Παιδεία

ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Ολα είναι θέμα στρατηγικής!!

Δηλαδή ακολουθούμε κάποια συγκεκριμένα βήματα:

Διαβάζουμε πολλές φορές τι λέει το πρόβλημα και με τη φαντασία μας προσπαθούμε να "μπούμε" σε αυτό.(π.χ. αν λέει για έμπορο γινόμαστε κι εμείς έμποροι κλπ)

Προσέχουμε πάρα πολύ τους αριθμούς του προβλήματος και τι αντιπροσωπεύει ο καθένας

Βρίσκουμε αν έχει κάποια λέξη "κλειδί" στο πρόβλημα που να με βοηθήσει τι πράξη να κάνω

Χωρίζω γνωστά από τα άγνωστα.

Προχωρώ έπειτα βήμα βήμα(πορεία με πράξεις) χωρίζοντας το πρόβλημα σε μικρότερα προβληματάκια έως ότου φτάσω στη λύση του

Εκτιμούμε το αποτέλεσμα και το βρίσκουμε με ακρίβεια

Επαληθεύουμε τη λύση και με άλλη επίλυση (αν υπάρχει)

Απαντούμε στα ερωτήματα

Υπάρχουν και πολλά προβλήματα που απλά πρέπει να τα παρατηρήσεις καλά, να βρεις τη στρατηγική που θα ακολουθήσεις και με λογική να φτάσεις στη λύση.

Παρατήρησε προσεκτικά και σχεδίασε το τελευταίο σχήμα:

Αναρτήθηκε από ΝΙΚΟΣ


http://egpaid.blogspot.com/

http://www.blogger.com/profile/14801585743634627041

http://3.bp.blogspot.com/_QMD3uDrxxgM/TJ9EU69q6kI/AAAAAAAAJT0/yUhgeZCnZEs/s1600/3D+Characters_050.jpg

http://2.bp.blogspot.com/_QMD3uDrxxgM/TJ8-cb0x12I/AAAAAAAAJTw/0gtNPb465e8/s1600/%CF%87%CF%89%CF%81%CE%AF%CF%82+%CF%84%CE%AF%CF%84%CE%BB%CE%BF.JPG

1ο Δ/Σ ΝΙΚΑΙΑΣ Γ’ ΤΑΞΗ

Β.Γ

Πώς λύνουμε ένα πρόβλημα;

Με 4 απλά βήματα

1ο βήμα:

Διαβάζουμε καλά το πρόβλημα για να το κατανοήσουμε και υπογραμμίζουμε τα

γνωστά στοιχεία (δεδομένα) του προβλήματος, δηλαδή τις πληροφορίες που μας

είναι απαραίτητες για να το λύσουμε, και τα άγνωστα στοιχεία (ζητούμενα) του

προβλήματος, δηλαδή τις ερωτήσεις στις οποίες πρέπει να απαντήσουμε.

2ο βήμα:

Σχεδιάζουμε το πώς θα λύσουμε το πρόβλημα. Αποφασίζουμε ποιες πράξεις θα

κάνουμε για να λύσουμε το πρόβλημα. Λέξεις-φράσεις κλειδιά που μας οδηγούν

στην επιλογή των σωστών πράξεων είναι:

ΠΡΟΣΘΕΣΗ: παίρνω ακόμα, αυξάνω κατά, καταθέτω και, βάζω, θέλω ακόμη,

ενώνω, συγκεντρώνω, εισπράττω κ.α.

ΑΦΑΙΡΕΣΗ: δίνω, ξοδεύω, μου έμειναν, λιγοστεύω, μειώνω, ελαττώνω, διαφέρω

κατά, συμπληρώνω, αδειάζω, αδυνατίζω, βγάζω, διαγράφω, καταναλώνω, έχω

έκπτωση, υπόλοιπο κ.α.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ: πενταπλό, πέντε φορές μεγαλύτερο…, αν το 1 πράγμα

έχει… πόσα έχουν 5 ίδια πράγματα;

ΔΙΑΙΡΕΣΗ: μοιράζω, χωρίζω, τέμνω, κόβω σε… ίσα μέρη, κατανέμω ισότιμα, πόσες

φορές χωράει…, πόσες συσκευασίες χρειάζονται…, πόσες ομάδες θα σχηματίσω…

κ.α.

3ο βήμα:

Εκτελούμε τις πράξεις με προσοχή και καταγράφουμε σε κάθε αποτέλεσμα τι είναι

αυτό που βρήκαμε. Αν οι τιμές του προβλήματος μας περιγράφονται με

διαφορετικές μονάδες μέτρησης, μετατρέπουμε αυτές σε μία μονάδα μέτρησης

(αυτή που μας συμφέρει).

4ο βήμα:

Απαντούμε στο πρόβλημα και εκτιμούμε αν η απάντησή μας φαίνεται λογική. Αν

δεν φαίνεται, ελέγχουμε τη διαδικασία επίλυσης, κάνοντας τις επαληθεύσεις των

πράξεων μας...


Παλάνης Αθανάσιος

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Ε΄

35. Στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων

ΟΝΟΜΑ:…………………………………………………………………………………………..

Πότε κάνουμε πολλαπλασιασμό

Ένα μπουκάλι αναψυκτικό κοστίζει 0,60 €. Πόσα € πληρώσαμε για την αγορά 8 μπουκαλιών;

Γνωρίζουμε πόσο κάνει το ένα μπουκάλι, δηλαδή την τιμή της μιας μονάδας και ζητάμε πόσο

κάνουν τα 8, δηλ. την τιμή των πολλών μονάδων.

ΛΥΣΗ: 0,60 Χ 8 = 4,80 €

Ο Γιάννης είχε 300 € και ξόδεψε τα 5

2 των χρημάτων του για να αγοράσει ένα μπουφάν και

ένα παντελόνι. Πόσα χρήματα ξόδεψε;

Γνωρίζουμε πόσα χρήματα είχε συνολικά, δηλαδή την τιμή του συνόλου και ζητάμε πόσα

είναι τα 5

2 των χρημάτων, δηλαδή την τιμή μέρους του συνόλου.

ΛΥΣΗ: 300 Χ 5

2 =

5

600 = 120 €

Πότε κάνουμε διαίρεση

Τα 5 κιλά αρνί κοστίζουν 37,5 €. Πόσα € κοστίζει το 1 κιλό;

Γνωρίζουμε πόσο κάνουν τα 5 κιλά, δηλαδή την τιμή των πολλών μονάδων και ζητάμε πόσο

κάνει το 1 κιλό, δηλ. την τιμή της μιας μονάδας.

ΛΥΣΗ: 37,5 : 5 = 7,5 €

Για κάθε παντελόνι χρειάζονται 1,8 μ. ύφασμα. Πόσα ίδια παντελόνια θα φτιάξουμε με 27 μ.

υφάσματος;

Γνωρίζουμε πόσο ύφασμα χρειαζόμαστε για ένα παντελόνι, δηλ. την τιμή της μια μονάδας

και πόσο για πολλά παντελόνια, δηλ. την τιμή πολλών μονάδων και ζητάμε πόσα είναι τα

παντελόνια, δηλ. το πλήθος των μονάδων.

ΛΥΣΗ: 27 : 1,8 = 15 παντελόνια

Σε ένα διαγωνισμό Μαθηματικών αρίστευσαν τα 15

2 των μαθητών που έλαβαν μέρος. Αν οι

μαθητές που αρίστευσαν ήταν 1.700, πόσοι ήταν συνολικά οι μαθητές που συμμετείχαν;

Γνωρίζουμε πόσοι είναι τα 15

2 των μαθητών, δηλ. την τιμή μέρους του συνόλου και ζητάμε

πόσοι είναι όλοι οι μαθητές, δηλ. την τιμή του συνόλου.

ΛΥΣΗ: 1.700 : 15

2= 1.700 Χ

2

15 =

2

500.25 = 12.750 μαθητές.


Παλάνης Αθανάσιος

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Ένας παραγωγός αχλαδιών συσκευάζει τα αχλάδια του σε τελάρα. Σε κάθε τελάρο βάζει 40

αχλάδια. Πόσα αχλάδια έβαλε σε 120 τελάρα;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ………………………………………………………………………………………………………………………………………

Η Νάντια είχε 250 €. Ξόδεψε τα 5

4 των χρημάτων της για να αγοράσει μία τσάντα και ένα ζευγάρι

παπούτσια. Πόσα € ξόδεψε;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ένα σχολείο έχει 180 μαθητές. Τα 6

5 των μαθητών του σχολείου παρακολούθησαν μία θεατρική

παράσταση. Αν το ένα εισιτήριο κόστιζε 6,8 €, πόσα χρήματα πλήρωσαν οι μαθητές

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ο Άκης ξόδεψε τα 7

2 των χρημάτων του για να αγοράσει ένα παντελόνι που έκανε 64 €. Πόσα

ήταν όλα τα χρήματα που είχε;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ………………………………………………………………………………………………………………………………………

Ένα βιβλιοπώλης αγόρασε 15 πακέτα μολυβιών που το καθένα περιείχε 12 μολύβια. Πούλησε τα

5

2 των μολυβιών προς 0,9 € το ένα και τα υπόλοιπα προς 1,10 € το ένα. Πόσα χρήματα εισέπραξε

από την πώληση των μολυβιών;

ΛΥΣΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: ………………………………………………………………………………………………………………………………………


gkatsao

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Τάξη: Ε2΄ Όνομα: ………………………

ΜΕΘΟΔΟΣ ΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

1. Διαβάζω το πρόβλημα τουλάχιστο 2 φορές

2. Το διαβάζω χωρίς αριθμούς

3. Σκέφτομαι ξανά την ερώτηση

Σκέφτομαι τι ξέρω και τι ζητώ

4. Σκέφτομαι τι θα βρω πρώτα και τι στη συνέχεια

(και με ποια πράξη)

5. Κάνω τις πράξεις και τις επαληθεύσεις

6. Ελέγχω αν το αποτέλεσμά μου είναι ΛΟΓΙΚΟ.

7. Γράφω την απάντηση

Συμπλήρωσε ό,τι λείπει και λύσε το πρόβλημα:

Ένας κτηνοτρόφος έχει 50 κατσίκες και 12 αγελάδες. Η κάθε

κατσίκα τού δίνει (κατά μέσο όρο) 2 λίτρα γάλα την ημέρα, ενώ η

κάθε αγελάδα 10 λίτρα. Πόσο γάλα παίρνει από τα ζώα του ο

κτηνοτρόφος σε ένα μήνα (30 ημέρες);

1. Διαβάζω το πρόβλημα 2 φορές.

2. Διαβάζω το πρόβλημα χωρίς αριθμούς: « Ένας κτηνοτρόφος έχει μερικές

κατσίκες και μερικές αγελάδες. Η κάθε …………………………………………………….................

…………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………

3. Σκέφτομαι την ερώτηση: «Πόσο γάλα ………………………………………………………… ……………

………………………………………………………………

4. Σκέφτομαι τι ξέρω:

Ξέρω πόσες κατσίκες και πόσες …………………… έχει ο κτηνοτρόφος.

Ξέρω πόσο γάλα δίνει η κάθε ……………………… και πόσο η κάθε ………………………

Σκέφτομαι τι ζητώ:

Ζητώ πόσο ………………………………………………………… ……………………………………… …………………

5. Σκέφτομαι ότι πρώτα θα βρω πόσο γάλα δίνουν οι κατσίκες κάθε ημέρα

(πολλαπλασιασμός), στη συνέχεια θα βρω πόσο γάλα δίνουν οι

………………….………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………… ……………………..

……………………………………………………………………………………………………… …………..………………………

….………………………………………………………………………………………………………………………………………..

ΧΩ

ΡΙΣ

ΑΡ

ΙΘΜ

ΟΥ

Σ


gkatsao

6. Κάνω τις πράξεις και τις επαληθεύσεις τους:

7. Είναι το αποτέλεσμά μου ΛΟΓΙΚΟ; ΝΑΙ ΟΧΙ

8. Απάντηση:

Σε ένα μήνα ο κτηνοτρόφος παίρνει από τα ζώα του ……… λίτρα γάλα.

Λύσε τώρα ακριβώς (μα ακριβώς) με τον ίδιο τρόπο και γράφοντας παρόμοια, το

επόμενο πρόβλημα στο τετράδιο των Μαθηματικών σου!

Ένας ελαιοπαραγωγός έβγαλε από τα

περιβόλια του 5.450 κιλά ελιές βρώσιμες και

2.142 λίτρα λάδι. Πούλησε τις ελιές προς 2 €

το κιλό και το λάδι προς 3 € το λίτρο. Πόσα

χρήματα εισέπραξε συνολικά;


179

32. ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò åðéöÜíåéáò - ÌåôáôñïðÝò

Åìâáäüí ôïõ ïéêïðÝäïõ (10ì + 10ì.) ÷ 14ì. = 280ô.ì.

Ôï óðéôÜêé êáëýðôåé ôï 1

160 ôïõ ïéêïðÝäïõ =

1 28χ280 τ.µ.

160 16

= =

1,75ô.ì.

Ìðïñåß íá Ý÷åé âÜóç äéÜóôáóåéò 2,5ì. ÷ 0,7ì. äéüôé 2,5ì. ÷ 0,7ì. = 1,75ô.ì.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 10

¢óêçóç á

Ï ðáôÝñáò ôïõ Ãéþñãïõ Ý÷åé ôïðïèåôÞóåé 200 ðëáêÜêéá óôçí êïõæßíá ôïõ

óðéôéïý ôïõò.

Ôï êÜèå ðëáêÜêé Ý÷åé 9 ô.äåê. åðéöÜíåéá. Ðüóá ô.ì. åßíáé ç êïõæßíá;

ÌåôáôñÝðù ôá 9 äåê. óå ô.ì.

9ô.äåê. = 9 : 100 = 0,09ô.ì.

¢ñá ç åðéöÜíåéá ôçò êïõæßíáò åßíáé:

0,09ô.ì. ÷ 200ðëáêÜêéá = 18ô.ì.

ëýóç

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 10 • ÊÜèå êïñíßæá ÷ñåéÜæåôáé 6 ô.äåê. ôæÜìé, äçëáäÞ 0,06 ô.ì. ôæÜìé.

Ãéá ôéò 25 ßäéåò êïñíßæåò èá ÷ñåéáóôåß: 25 ÷ 0,06 = 1,5 ô.ì. ôæÜìé

• Ôï ãõáëß èá êïóôßóåé 4 ÷ 1,5 = 6

• Ãéá ôéò 25 êïñíßæåò èá ðëçñþóåé ôåëéêÜ 6


180

ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò åðéöÜíåéáò - ÌåôáôñïðÝò

¢óêçóç â

ÓõìðëÞñùóå ôá êåíÜ:

1569 ô.åê. = .............. ô.ì.

1569 ô.äåê. = .............. ô.ì.

1569 ô.ì. = .............. ô.÷ì.

ëýóç

1569 ô.åê. = .............. ô.ì.

1569 ô.äåê. = .............. ô.ì.

1569 ô.ì. = .............. ô.÷ì.

0,1569

15,69

0,001569

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 11

• Åßíáé ëÜèïò äéüôé 13003ô.åê. = 1,3003ô.ì.

• Åßíáé ëÜèïò äéüôé 13003ô.äåê. = 130,03ô.ì.

• Åßíáé ëÜèïò äéüôé 13006ô.ì. = 0,013006ô.÷ì.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 11

• ×ñåéÜæåôáé ýöáóìá 1,80 + 1,95 = 3,75ô.ì.

ïðüôå èá êïóôßóåé 3,75 ÷ 32 = 120

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò åôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 11

•Ï êÞðïò åßíáé 3,5 ÷ 4,7 = 16,45 ô.ì.

Èá ÷ñåéáóôïýí 16,45 ÷ 15 = 246,75 öõôÜ áêñéâþò

Èá ÷ñåéáóôïýí 247 öõôÜ

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 11

•Åêôéìþ:

ðåñßðïõ 7 ô.åê.


181

33. ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 12 Åêôéìþ: ç ðñþôç åðéöÜíåéá Ý÷åé ìåãáëýôåñï åìâáäüí.

• á 10 ô.åê. • â 6 ô.åê. • ã 2 ô.åê.

¢óêçóç á

Áí ôüôå ôï åìâáäüí ôïõ êÜèå ó÷Þìáôïò åßíáé:

ëýóç

Èá õðïëïãßóù ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ðïõ ìïõ äßíåôáé:

Åìâáäüí ôñéãþíïõ = 2,5χ2

2= 2,5 ô.åê.

Èá âñþ áðü ðüóá ôÝôïéá ôñßãùíá áðïôåëåßôáé ôï êÜèå ó÷Þìá êáé èá õðïëïãßóù ìå

ôïí ðïëëáðëáóéáóìü (áñéèìüò ôñéãþíùí) ÷ (åìâáäüí ôñéãþíïõ) ôá åìâáäÜ ôùí

ó÷çìÜôùí ðïõ ìïõ äßíïíôáé.


182

ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 12 • á 12 ô.åê. • â 18 ô.åê.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 12 • Ôï ðéï êáôÜëëçëï ôñáðÝæé åßíáé ôï 2ï

¢óêçóç â

¸íá êÜäñï Ý÷åé ìÞêïò 90 åê. êáé ýøïò 1,10 åê.

¸íá äåýôåñï êÜäñï Ý÷åé ìÞêïò 75 åê. êáé ýøïò 1,25 åê.

Ðïéü êÜäñï êáëýðôåé ìåãáëýôåñç åðéöÜíåéá;


183


• 1 ô.ì.

Ôá 80 åê. åßíáé 0,8 ì. ïðüôå 0,8 ÷ 1,05 = 0,84 ô.ì.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 13

• 6 ôåôñÜãùíá

• 600 ô.åê. äéüôé êÜèå Ýäñá åßíáé 10 ÷ 10 = 10 ô.åê. ïðüôå 10 ÷ 6 = 600ô.åê.

• 6 ô.åê. äéüôé êÜèå Ýäñá åßíáé 1 ÷ 1 = 1 ô.åê. ïðüôå 6 ÷ 1 = 6 ô.åê.

ëýóç

Ãéá ôï 1ï êÜäñï Ý÷ù: 90 ÷ 1,10 = 99 ô.åê.

Ãéá ôï 2ï êÜäñï Ý÷ù: 75 ÷ 1,25 = 93,75 ô.åê.

Ôï 1ï êÜäñï êáëýðôåé ìåãáëýôåñç åðéöÜíåéá áðü åêåßíç ôïõ 2ïõ êÜäñïõ.

ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò


184

34. Äéáßñåóç áêåñáßïõ êáé êëÜóìáôïò ìå êëÜóìá


• Èá ÷ñåéáóôåß 17 ðëÜêåò, äéüôé 8,5: 1

2 = 17 äçëáäÞ ôï

1

2 ÷ùñÜåé 17 öïñÝò óôï 8,5 áöïõ

1x17 8,5

2=

• Ç ìéêñÞ ðëÜêá åßíáé ôï 1

4 ôçò ìåãÜëçò, äçëáäÞ

1

4 ôïõ

1

2 äçëáäÞ

1

8 ô.ì.

áöïý ôï 1

8 ÷ùñÜåé 68 öïñÝò óôï 8,5 äçëáäÞ 8,5 :

1

8 = 68 äéüôé

1x68 8,5

8=

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 14

• Óå êÜèå ôáøß (åßíáé 4 ) ÷ñçóéìïðïéÞèçêáí ôï 1

4 ôïõ

33

4 äçëáäÞ ôï

1

4 ôïõ

15

4

¢ñá ôá 15 15

: 416 4

= ôùí ðëáêþí ôçò óïêïëÜôáò.

¢óêçóç á

Óõìðëçñþíù ôá êåíÜ. ×ñçóéìïðïéþ ãéá íá åðáëçèåýóù.

• 4 6 4

: = x ...5 10 5

• 3 18

... = x = ...9 2

• 2 3

... = x =...4 5

• 9 4

: = ...2 3

ëýóç

• 104 6 4

: x5

40 4

1 6 30 5 30= = = •

3 183 2 54: 3

9 18 2 8x

9 1== =


185

Äéáßñåóç áêåñáßïõ êáé êëÜóìáôïò ìå êëÜóìá

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 15

• 8 öïñÝò Þ = 8

• 1125 äéüôé 3 3 9.000x3 χµ. χ3.000 µ. µ. 1.125µ.8 8 8

= = =

• 2 3

x4 5

2 5 6 3:

4 3 20 10= = = •

9 3 27x

2 4

9 4

2 3 8: = =

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 15

• 3 5 3

: x4 8 4 5

8 241,2

20= = = •

3

4:6

4=

3 4x

4 6= 12 1

24 2= Þ 0,5 Þ 50 %

• 8 3 8 16

: x27

2

3929= = Þ 0,59 Þ 59 % •

1 1 4

4 1

1: x4 4

= Þ 1,0 Þ 100 %

¢óêçóç â

Âñßóêù ðüóåò öïñÝò ÷ùñÜåé:

• Ôï 1

3 óôá

5

8 Þ ...

• Ôá 6

7 óôá

30

52 Þ ...

• Ôá 4

12 óôá

9

20 Þ ...

Âñßóêù ðüóï åßíáé Ýíá ìÝñïò ìéáò ðïóüôçôáò

• Ôï 1

5 ôùí

60

100 Þ ...

• Ôá 4

6 ôùí

20

44 Þ ...

• Ôá 2

8 ôùí

5

15 Þ ...


186

Äéáßñåóç áêåñáßïõ êáé êëÜóìáôïò ìå êëÜóìá

ëýóç

• Ôï 1

3 óôá

5

8 Þ

5 1 5 3 15: χ

8 3 8 1 8= =

• Ôá 6

7 óôá

30

52 Þ

30 6 30 7 210: χ

32 7 32 6 192= =

• Ôá 4

12 óôá

9

20 Þ

9 4 9 12 108: χ

20 12 20 4 80= =

• Ôï 1

5 ôùí

60

100 Þ 1 60 60 6 3χ5 100 500 50 25

= = =

• Ôá 4

6 ôùí

20

44 Þ

4 20 80 10χ

6 44 264 33= =

• Ôá 2

8 ôùí

5

15 Þ 2 5 10 1χ8 15 120 12

= =


Ðüóï åßíáé Ýíá ìÝñïò ìéáò ðïóüôçôáò

• 4

256

• 300

294

•32

169

Ðüóåò öïñÝò ÷ùñÜåé:

• = 2

• = 2

• = 2


187

35. ÓôñáôçãéêÝò åðßëõóçò ðñïâëçìÜôùí


ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 16

12,50 ÷ 12 = 150

Ìðïñþ íá ðÜñù 12

åéóéôÞñéá ôùí 12,50

êáé äåí èá ðÜñù

êáèüëïõ ñÝóôá.

6 ÷ 22,50 = 135

¢ñá èá ðÜñù 6

åéóéôÞñéá ôùí 22,50

êáé èá ðÜñù ñÝóôá

150 - 135 = 15

3 ÷ 40 = 120

Èá ðÜñù 3 åéóéôÞñéá

ôùí 40 êáé ôá ñÝóôá

ôá ïðïßá èá ðÜñù

åßíáé: 150 - 120 = 30

• ÄçëáäÞ 12.500 åâäïìÜäåò • Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá:

25 ÷ 52 = ( 25 ÷ 50 ) + ( 25 ÷ 2 ) =

12.500 + 50 = 12.550 åâäïìÜäåò

• ÄçëáäÞ 70 åôþí • Õðïëïãßæù:

Áöïý êÜèå Ýôïò Ý÷åé 52 åâäïìÜäåò

Ý÷ïõìå 67 ÷ 52 = 3.484 åâäïìÜäåò êáé

3.530 – 3.484 = 46 åâäïìÜäåò.

¢ñá Ý÷åé æÞóåé 67 ÷ñüíéá êáé 46 åâäïìÜäåò.

70 åôþí = (70 ÷ 52) åâäïìÜäåò = 3.640 åâäïìÜäåò.

¢ñá èá åßíáé 70 åôþí óå 3.640 – 3.530 = 110 åâäïìÜäåò.

¢óêçóç á

ÔÝóóåñéò ößëïé áãüñáóáí äýï ðßôóåò ðïõ ç

êÜèå ìßá Ý÷åé 8 êïììÜôéá. Ðüóá êïììÜôéá

ðßôóá Ýöáãáí ï êáèÝíáò, üôáí ãíùñßæù ïôé

üëïé Ýöáãáí ôçí ßäéá ðïóüôçôá;


188

ÓôñáôçãéêÝò åðßëõóçò ðñïâëçìÜôùí

ëýóç

ÊÜèå ðßôóá Ý÷åé 8 êïììÜôéá, ïðüôå óõíïëéêÜ Ý÷ïõí

8 ÷ 2 = 16 êïììÜôéá ðßôóá.

¢ñá ï êáèÝíáò Ýöáãå 16 : 4 = 4 êïììÜôéá ðßôóá.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 17 • 5 ðáéäéÜ

• Ëéãüôåñï áðü 4 êïõôéÜ

• ¸íá êïõôß ìðéóêüôá Ý÷åé 10 êïììÜôéá.

10 : 5 = 2 ìðéóêüôá. Ï êáèÝíáò ìðïñåß íá ðÜñåé áðü 2 ìðéóêüôá.

¢óêçóç â

Ç ìçôÝñá ôçò ÉùÜííáò ðÞãå íá ÷áëÜóåé 100 óôï ðåñßð-

ôåñï êáé ôçò Ýäùóå ìüíï ÷áñôïíïìßóìáôá 5 . Ðüóá

ôÝôïéá ÷áñôïíïìßóìáôá ðÞñå;

ëýóç

¸÷ïõìå:

100 : 5 = 20 ÷áñôïíïìßóìáôá ôùí 5

1

2

3

45

6

7

8


189

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 17 • 20 , 50 , 100

• Èá äþóåé 25 ÷áñôïíïìßóìáôá ôùí 20 Þ 10 ÷áñôïíïìßóìáôá ôùí 50

Þ 5 ÷áñôïíïìßóìáôá ôùí 100

• Ç ìßá ðåñßðôùóç åßíáé íá äßíåé ÷áñôïíïìßóìáôá ôùí 10 êáé 50 :

êáé → 40 êáé 2

• H äåýôåñç ðåñßðôùóç äßíåé ÷áñôïíïìßóìáôá ôùí 20 êáé 50 :

êáé → 5 êáé 4

ÓôñáôçãéêÝò åðßëõóçò ðñïâëçìÜôùí


190

Κριτήριο Αξιολόγησης

1. Ìéá ôÜîç Ý÷åé 32 ìáèçôÝò. Ôï 40% åßíáé êïñßôóéá êáé ôá õðüëïéðá åßíáé áãüñéá. Ðüóá

åßíáé ôá êïñßôóéá êáé ðüóá ôá áãüñéá;

2. Íá õðïëïãßóåéò ôéò ðåñéìÝôñïõò ôùí ó÷çìÜôùí:

3. Íá õðïëïãßóåéò ôá åìâáäÜ ôùí ðáñáêÜôù ó÷çìÜôùí.

4. Ìéá âñýóç ãåìßæåé ìéá äåîáìåíÞ ýøïõò 20ì. ìå ôïí åîÞò ôñüðï:

Óôï ôÝëïò ôçò 1çò þñáò ç óôÜèìç ôïõ íåñïý Ý÷åé öôÜóåé óôá 2

3 ôïõ ìéóïý ýøïõò ôçò

äåîáìåíÞò. Óôï ôÝëïò ôçò 2çò þñáò Ý÷åé áíÝâåé åðéðëÝïí 1

4 ôïõ ýøïõò ðïõ âñéóêüíôáí

óôï ôÝëïò ôçò 1çò þñáò.Ðïý âñßóêåôáé ç óôÜèìç ôïõ íåñïý óôç äåîáìåíÞ óôï ôÝëïò ôçò 2çò þñáò;


191

5. ÐïéÜ áðüóôáóç åßíáé ìåãáëýôåñç ôçò êÜèå öïñÜ;

• 3,15 ì. 3,15 ÷ì. • 7,5 åê. 0,75 ì.

• 8,2 äåê. 3,15 ÷ì.

6. Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò:

• 3 2

: =4 6

• 5 2

: =9 4

• 6 2

: =10 12

• 5 3

: =9 8

7. ÓõìðëÞñùóå ôá êåíÜ.

• 7813 ô.÷éë. = ............ ô.ì. • 5435 ô. äåê. = ............ ô.ì. • 4321 ô.åê. = ............ ô.ì.

8. ÊÜíå ôéò ðñÜîåéò.

• 4,5ì + 1,4ì. = • 0,3ì. + 4,1ì. =

• 3,3ì. + 15 åê. = • 153 äåê. + 42ì. =

9. Ìå Ýíá êéëü ðáóáôÝìðïõò ãåìßæïõìå 60 óáêïõëÜêéá. Ðüóá óáêïõëÜêéá ãåìßæïõìå ìå 1,2

êéëÜ ðáóáôÝìðïõò;

10. Âñßóêù ôïõò áñéèìïýò ðïõ ëåßðïõí.

• 0,567 ÷éë. ÷ ............... = 56,7 åê. • 0,567 ÷éë. ÷ ............... = 5,67 äåê.

• 0,567 ÷éë. ÷ ............... = 0,567 ì.

Κριτήριο Αξιολόγησης


Επιμέλεια: Πήλιουρας Παναγιώτης, Σχολικός Σύμβουλος 10ης Περιφ. Δημοτικής Εκπ/σης

Αθηνών, [email protected], http://users.sch.gr/ppiliour/

1

Επίλυση Προβλήματος: Φάσεις και Στρατηγικές

Επίλυση προβλήματος ΑΠΣ και ΔΕΠΠΣ Τα νέα Α.Π.Σ. των Μαθηματικών στο Δημοτικό σχολείο έχουν ως στόχους μεταξύ άλλων:

• Την οικοδόμηση βασικών μαθηματικών εννοιών, γνώσεων και διαδικασιών.

• Τη μάθηση του τρόπου επαναδόμησης και επαναδιατύπωσης ενός προβλήματος από μια

εξωμαθηματική περιοχή, σε μαθηματικό πρόβλημα

• Τη χρήση μαθηματικών εργαλείων (π.χ. μαθηματικών μοντέλων και μεθόδων) για την επίλυση

προβλημάτων.

Στο πλαίσιο του Α.Π.Σ. για τα Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση (ΥΠΕΠΘ-ΠΙ, 2003), η

επίλυση προβλήματος, όπως αποτυπώνεται και στους παραπάνω στόχους αποτελεί κεντρικό στόχο

της μαθηματικής εκπαίδευσης. Όπως αναφέρεται (Βαμβακούση, 2005) «…το μαθηματικό

πρόβλημα πάντα κατείχε σημαντική θέση στη διδασκαλία των μαθηματικών. Ωστόσο, η αντίληψη

για το τι συνιστά μαθηματικό πρόβλημα, με ποιο τρόπο προσεγγίζεται και ποιοι είναι οι

επιδιωκόμενοι διδακτικοί στόχοι, είναι πολύ διαφορετική στα καινούργια βιβλία των

Μαθηματικών…». Θα μπορούσαμε βέβαια να προσθέσουμε ότι το παραπάνω θα ήταν πιο ξεκάθαρο

σε όλους μας αν οι εκπαιδευτικοί της πράξης χρόνο με το χρόνο ενημερωνόμαστε (αν είναι δυνατό

μέσα από βιωματικές διαδικασίες) για αυτές τις «καινοτόμες» προσεγγίσεις.

Η επίλυση προβλήματος είναι ένας από τους επτά άξονες περιεχομένου πάνω στους οποίους

δομείται και αναπτύσσεται η διδασκαλία των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο. Απ’ αυτούς, η

«Επίλυση προβλήματος», οι «Αριθμοί και πράξεις», οι «Μετρήσεις» και η «Γεωμετρία» εισάγονται

από τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού, η «Συλλογή και επεξεργασία δεδομένων» εισάγεται στην

Τετάρτη τάξη, ενώ οι «Λόγοι και αναλογίες» και οι «Εξισώσεις» εισάγονται στην Έκτη τάξη

(Τύπας, 2005).

Όπως υποστηρίζεται επίσης, από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, η νέα προσέγγιση της διδασκαλίας

των Μαθηματικών (έτσι όπως εκφράζεται από τα ΑΠΣ και ΔΕΠΠΣ και τα νέα σχολικά εγχειρίδια

απομακρύνεται από τη θεωρία συνόλων και την (αποκλειστική – λέξη που προστέθηκε) εκμάθηση

αλγορίθμων, και προσανατολίζεται στην κατανόηση και την κατασκευή λογικών συλλογισμών.

Στην ανάπτυξη λογικών συλλογισμών η επίλυση ποικιλίας και διαβαθμισμένης δυσκολίας

προβλημάτων (αν είναι δυνατό στην πλειονότητά τους κατάλληλων για όλους τους μαθητές/τριες –

ζήτημα που είναι προς εξέταση) μπορεί να συνεισφέρει σημαντικά, όταν η μαθησιακή διαδικασία

λαμβάνει χώρα μέσω κατάλληλων διδακτικών χειρισμών.

Η επίλυση προβλήματος είναι στην καρδιά των μεθοδολογικών προσεγγίσεων που ακολουθούνται

στη Μαθηματική εκπαίδευση. Άλλες βασικές παραδοχές ή/και προσεγγίσεις που έχουν υιοθετηθεί

με διαφοροποιήσεις πάντως από τις διαφορετικές συγγραφικές ομάδες των διδακτικών εγχειριδίων

και των συνοδευτικών λογισμικών είναι

Η μάθηση ως κατασκευαστική δραστηριότητα

Η κατανόηση των μαθηματικών εννοιών ως βασικό στοιχείο της μαθηματικοποίησης




2

Η δόμηση των μαθηματικών εννοιών και σχέσεων μέσω της χρήσης και αξιοποίησης πολλαπλών αναπαραστάσεων

Η ομαδοσυνεργατική διδασκαλία κατάλληλο πλαίσιο για την επιδίωξη γνωστικών,

συναισθηματικών και ψυχοκινητικών στόχων

Η αρχή της διαθεματικότητας

Η αξιοποίηση των Τεχνολογιών Πληροφορίας και Επικοινωνίας.

Τι είναι πρόβλημα -Επίλυση προβλήματος

[Η επίλύση προβλήματος βρίσκεται στο επίκεντρο της μαθηματικής εκπαίδευσης, όχι

απαραίτητα ως ανεξάρτητη θεματική περιοχή αλλά ως βασικός άξονας γύρω από τον οποίο

οργανώνεται η διδασκαλία βασικών μαθηματικών εννοιών.

Η διδακτική μέθοδος που προβάλλεται διεθνώς, αλλά και τονίζεται με έμφαση στη σύγχρονη

εκπαιδευτική μεταρρύθμιση, ξεκινά με μια προβληματική κατάσταση στην οποία εμπλέκονται οι

μαθηματικές έννοιες που πρέπει να διδαχτούν.

Η επίλυση προβλήματος εισάγεται από την Πρώτη τάξη του Δημοτικού, όμως τα πρώτα χρόνια η

θεματολογία των προβλημάτων προκύπτει από τις άμεσες εμπειρίες των μαθητών ενώ σταδιακά τα

προβλήματα γίνονται πιο σύνθετα και προέρχονται τόσο από την καθημερινή πραγματικότητα όσο

και από καθαρά μαθηματικές περιοχές.

Η κατανόηση ενός προβλήματος και η αναζήτηση της λύσης του γίνεται κατ’ αρχήν σε διαισθητικό

και εμπειρικό επίπεδο αλλά είναι επιθυμητό στη συνέχεια να μετασχηματίζεται σταδιακά σε μια

αποδεικτική διαδικασία που στηρίζεται σε μια σειρά λογικών ισχυρισμών.

Πέρα από το περιεχόμενο του προβλήματος, σημασία έχει και ο τρόπος παρουσίασης των

δεδομένων. Ανάλογα με την ηλικία τους, οι μαθητές καλούνται να συλλέγουν και να

επεξεργάζονται δεδομένα που δίνονται όχι μόνο μέσα από ένα κείμενο αλλά και μέσα από μια

εικόνα, ένα πίνακα ή μια γραφική παράσταση.

Καλούνται επίσης να σκεφτούν διάφορες στρατηγικές για τη λύση ενός προβλήματος.

Ενθαρρύνονται οι νοεροί και οι κατ’ εκτίμηση υπολογισμοί - που επίσης γίνονται νοερά - ως

πρόβλεψη, αλλά και ως έλεγχος του αποτελέσματος.] (Τύπας Γ., 2005 - κείμενο αυτούσιο, τα

έντονα γράμματα αποτελούν προσωπικές επισημάνσεις).

[Το «παραδοσιακό» μαθηματικό πρόβλημα περιγράφεται λεκτικά, περιέχει αριθμητικά

δεδομένα και έχει οπωσδήποτε μία μοναδική λύση, η οποία επιτυγχάνεται με την επιλογή και

το συνδυασμό κατάλληλων πράξεων. Συνήθως δίνεται προς λύση ως εφαρμογή της χρήσης

μαθηματικών εργαλείων (π.χ. πράξεις). Πολύ συχνά, η διδασκαλία της επίλυσης προβλημάτων

στοχεύει στην επίλυση συγκεκριμένου τύπου προβλημάτων (π.χ. «προβλήματα διαίρεσης

μέτρησης»). Μια διδακτική πρακτική που φαίνεται να πετυχαίνει αυτόν τον στόχο είναι η

κατηγοριοποίηση των προβλημάτων και η εξάσκηση των παιδιών στο να αναγνωρίζουν σε ποια

κατηγορία ανήκει ένα δεδομένο πρόβλημα. Προς αυτή την κατεύθυνση, στρατηγικές όπως ο

εντοπισμός «λέξεων-κλειδιών» που παραπέμπουν σε κατάλληλες πράξεις φαίνονται πρόσφορες. Η

«παραδοσιακή» προσέγγιση στην επίλυση προβλήματος έχει ορισμένα πλεονεκτήματα που

απορρέουν κυρίως από τον τρόπο αξιολόγησης, ο οποίος συνίσταται στην αποτίμηση της

ικανότητας των παιδιών να επιλύουν προβλήματα παρόμοια με αυτά που έχουν διδαχτεί. Ωστόσο,

στη διεθνή βιβλιογραφία έχουν καταγραφεί οι «παρενέργειες» της στενής θεώρησης του

μαθηματικού προβλήματος (π.χ., Greer, 1997; Mayer, 2003; Reusser, 1997). Φαίνεται ότι τα παιδιά

α) δυσκολεύονται να διαχειριστούν προβλήματα με τα οποία δεν είναι εξοικειωμένα, β)

αντιμετωπίζουν τα προβλήματα ως τεχνητά κατασκευάσματα που έχουν νόημα μόνο στα στενά

πλαίσια του μαθήματος των μαθηματικών –έτσι, δεν λαμβάνουν υπόψη τους περιορισμούς που

τίθενται από την πραγματικότητα και την κοινή λογική, γ) αναπτύσσουν ισχυρές πεποιθήσεις

σχετικά με τα προβλήματα, όπως ότι «δεν ωφελεί να προσπαθεί κανείς για περισσότερο από λίγα

λεπτά για να επιλύσει ένα πρόβλημα», «ένα πρόβλημα έχει οπωσδήποτε λύση» κ.λπ. Τέλος, είναι

γνωστό ότι, για πολλά παιδιά, η επίλυση προβλήματος είναι συνδεδεμένη με αρνητικά

συναισθήματα, όπως άγχος και φόβο αποτυχίας.




3

Στα νέα βιβλία των Μαθηματικών της Δ΄ Δημοτικού, τα παιδιά και μαζί τους κι εμείς, ως

εκπαιδευτικοί, θα προσεγγίσουμε το μαθηματικό πρόβλημα με ένα διαφορετικό τρόπο. Τα παιδιά

θα κληθούν:

Να επεξεργαστούν μη τυπικά προβλήματα, όπως προβλήματα με περισσότερες από μία

λύσεις ή προβλήματα χωρίς αριθμούς.

Να αποκωδικοποιήσουν, να αξιολογήσουν και να αξιοποιήσουν πληροφορίες που δίνονται

από διαφορετικές πηγές (εικόνα, κείμενο, πίνακα, διάγραμμα).

Να εφαρμόσουν στρατηγικές επίλυσης προβλήματος, όπως

- η οργάνωση των δεδομένων (σε πρόχειρο σχεδιάγραμμα, σε πίνακα),

- η διατύπωση ενδιάμεσων ερωτημάτων,

- η συστηματική διερεύνηση περιπτώσεων,

- η ανάλυση ενός προβλήματος σε επιμέρους απλούστερα προβλήματα,

- η επίλυση μιας πιο απλής περίπτωσης,

- η επίλυση προβλήματος από το τέλος προς την αρχή.

Να κατασκευάσουν δικά τους προβλήματα, είτε με δεδομένους αριθμούς, είτε με

δεδομένη απάντηση, είτε συμπληρώνοντας ερωτήματα σε ένα κείμενο.

Να χρησιμοποιήσουν την εκτίμηση για να προβλέψουν τα αποτελέσματα.

Να χρησιμοποιήσουν εναλλακτικές στρατηγικές υπολογισμού. Συγχρόνως, τα μαθηματικά προβλήματα τίθενται σε πλαίσια καταστάσεων που είναι οικείες στα

παιδιά και έχουν νόημα για αυτά, συνδεόμενα με την πραγματικότητα και τους περιορισμούς της.

Συνοπτικά θα λέγαμε ότι η προσέγγιση στο μαθηματικό πρόβλημα γίνεται με απώτερο σκοπό την

αναβάθμιση της ικανότητας των παιδιών στη διαχείριση καταστάσεων που έχουν μαθηματικό

περιεχόμενο.] (Βαμβακούση Ξ., 2005 - κείμενο αυτούσιο, τα έντονα γράμματα αποτελούν

προσωπικές επισημάνσεις)

Ένα ιδιαίτερο στοιχείο που πρέπει να επισημανθεί είναι ότι στα διδακτικά εγχειρίδια θα

συναντήσουμε προβληματικές ή διδακτικές καταστάσεις της καθημερινής ζωής, ακόμη και

πριν τη διδασκαλία του μαθήματος μιας συγκεκριμένης έννοιας η διαδικασίας και επιζητείται

από τους μαθητές να αντεπεξέλθουν αξιοποιώντας τις άτυπες και προϋπάρχουσες γνώσεις τους

(π.χ. Την χρησιμοποιήσουν την επαναλαμβανόμενη πρόσθεση και μοιρασιά πριν την

αντιμετώπιση καταστάσεων πολλαπλασιασμού και διαίρεσης στις μικρές τάξεις).

Οι Θεοδούλου & Γαγάτσης(2003) με βάση τους Carney και Levin (2002) για τη λειτουργία των

εικόνων στα λογοτεχνικά κείμενα, προτείνουν μια αντίστοιχη ταξινόμηση για τη λειτουργία των

εικόνων στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Συγκεκριμένα, εισηγούνται τις εξής τέσσερις

λειτουργίες των εικόνων στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος: (α) διακοσμητικές, (β)

βοηθητικές-αναπαραστατικές, (γ) βοηθητικές-οργανωτικές και (δ) πληροφοριακές.

• Διακοσμητικές: Δεν παρέχουν πληροφορίες στους μαθητές για την επίλυση του προβλήματος. Για

παράδειγμα, μια εικόνα ενός λεωφορείου σε ένα πρόβλημα που αφορά στον αριθμό των επιβατών

που ανέβηκαν ή κατέβηκαν από το λεωφορείο σε διάφορες στάσεις έχει διακοσμητική λειτουργία,

καθώς δε σχετίζεται με την επίλυση του προβλήματος.

• Βοηθητικές-αναπαραστατικές: Αναπαριστούν ολόκληρο ή μέρος του περιεχομένου του

προβλήµατος, αλλά δεν είναι απαραίτητες για την επίλυσή του. Οι μαθητές μπορούν να βοηθηθούν

από την εικόνα για να αντιληφθούν τη δομή του προβλήματος, αλλά μπορούν και να την αγνοήσουν

και να λύσουν το πρόβλημα με δική τους στρατηγική.

• Βοηθητικές-οργανωτικές: Βοηθούν τους μαθητές να λύσουν το πρόβληµα καθοδηγώντας τους να

σχεδιάσουν ή να γράψουν κάτι- δεν είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν για να λυθεί το

πρόβλημα. Οι βοηθητικές-οργανωτικές εικόνες βοηθούν τους μαθητές να λύσουν το πρόβλημα

καθοδηγώντας τους να σχεδιάσουν ή να γράψουν κάτι. Όπως και στην περίπτωση των βοηθητικών-

αναπαραστατικών εικόνων, έτσι και οι βοηθητικές-οργανωτικές εικόνες δεν είναι απαραίτητο να

χρησιμοποιηθούν για να λυθεί το πρόβλημα. Ένα παράδειγμα βοηθητικής-οργανωτικής εικόνας που

συνοδεύει το πρόβλημα «Έχω 12 μήλα και θέλω να τα μοιράσω εξίσου σε 4 πιάτα. Πόσα μήλα θα




4

βάλω σε κάθε πιάτο;» είναι μια εικόνα με πιάτα που καθοδηγεί τους μαθητές να σχεδιάσουν τα μήλα

στα πιάτα αυτά.

• Πληροφοριακές: Δίνουν πληροφορίες που είναι απαραίτητες για να λυθεί το πρόβλημα. Με άλλα

λόγια, το πρόβλημα στηρίζεται στην εικόνα. Οι πληροφοριακές εικόνες δίνουν πληροφορίες που

είναι απαραίτητες για να λυθεί ένα πρόβλημα. Το πρόβλημα δηλαδή στηρίζεται στην εικόνα η οποία

είναι αναγκαίο στοιχείο για την επίλυσή του. Για παράδειγμα, η εικόνα της βιτρίνας ενός

καταστήματος που παρουσιάζει τις τιμές των προϊόντων είναι απαραίτητη για να λυθεί ένα

πρόβλημα σχετικά με την αγορά προϊόντων από το συγκεκριμένο κατάστημα.

Βήματα επίλυσης ενός προβλήματος Παρότι, όπως διαπιστώνουμε από τα παραπάνω τα προβλήματα είναι πολλών κατηγοριών πλέον

(π.χ. απλά προβλήματα, σύνθετα προβλήματα, προβλήματα διαδικασιών, ανοικτά προβλήματα,

εφαρμοσμένα προβλήματα ή προβλήματα της καθημερινής ζωής, προβλήματα με υπόθεση,

προβλήματα κατασκευών, προβλήματα πολλαπλών επιλογών, προβλήματα – γρίφοι …), και δεν

χωρούν στα στενά περιθώρια αυτών που ονομάζουμε «παραδοσιακά» προβλήματα που κυρίως

διατυπώνονται λεκτικά, σταδιακά από τις μικρότερες ακόμη τάξεις μπορούμε να εισαγάγουμε τους

μαθητές μας σε έναν δομημένο μοντέλο βημάτων επίλυσης προβλημάτων. Ένα από τα πιο γνωστά

μοντέλα φάσεων ή βημάτων επίλυσης προβλημάτων που μπορούμε να προσαρμόσουμε στις

ανάγκες της τάξης μας και των μαθητών μας είναι αυτό του Polya (1998) που περιγράφεται στο

βιβλίο του «Πώς να το λύσω». Έτσι, για να λύσουμε ένα πρόβλημα πάντοτε πραγματοποιούμε

κάποια βήματα, όπως τα παρακάτω:

Α. Κατανόηση του προβλήματος

o Μελετούμε με προσοχή το πρόβλημα.

o Έχουμε λύσει ένα παρόμοιο πρόβλημα;

o Εάν ναι πόσο ίδιο είναι με κάποιο που ήδη έχουμε λύσει. Τι είναι διαφορετικό;

o Τι άλλα γνωρίζουμε που μπορεί να μας βοηθήσουν αλλά δεν αναφέρεται στο πρόβλημα.

o Ποια είναι τα δεδομένα του προβλήματος;

o Ποια είναι τα γνωστά και ποια τα άγνωστα;

Β. Επιλέγουμε στρατηγική ή στρατηγικές

o Πώς λύσαμε παρόμοια προβλήματα στο παρελθόν;

o Ποια στρατηγική θα μπορούσαμε να ακολουθήσουμε;

o Σκεφτόμαστε νοερά -με το μυαλό μας- αν αυτή στρατηγική οδηγεί σε μια λύση του

προβλήματος.

o Εάν δεν οδηγεί δοκιμάζουμε νοερά και άλλες στρατηγικές.

Γ. Επιλύουμε το πρόβλημα

o Εφαρμόζουμε τη στρατηγική που επιλέξαμε και εργαζόμαστε για να λύσουμε το πρόβλημα.

Δ. Ελέγχουμε τη λύση μας ή τις λύσεις μας

o Ξαναδιαβάζουμε το ερώτημα (ζητούμενο) ή τα ερωτήματα (ζητούμενα) του προβλήματος.

o Απαντήσαμε στο ερώτημα ή στα ερωτήματα;

o Κάνουμε αναφορά στις σωστές μονάδες (μήκους - π.χ. 15 εκ., χρηματικής αξίας – π.χ. 4 ευρώ,

χρονικής περιόδου-π.χ. 6 ημέρες, κ.λπ.)

o Είναι η απάντηση στο/α ερώτημα/τα λογική/ές;


Γνωρίζουμε: Αναζητούμε:




5

Η επιλογή της κατάλληλης στρατηγικής είναι μέρος της επίλυσης ενός προβλήματος. Η σταδιακή

εξοικείωση των μαθητών και η χρήση διαφορετικών στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων βοηθά με

το πέρασμα του χρόνου σε βαθύτερη και αποτελεσματικότερη κατανόηση. Βοηθά επίσης τους

μαθητές να διευρύνουν τις δεξιότητες τους στην επίλυση προβλημάτων. Την επόμενη φορά, όντας

ενήμεροι για μια συγκεκριμένη στρατηγική (ρητή διδασκαλία-overt instruction) θα είναι

(πιθανόν) πιο έτοιμοι να επιλύσουν ένα παρόμοιο ή λίγο πιο απαιτητικό μαθηματικό έργο.

Μερικές από τις στρατηγικές που συναντάμε στη διεθνή βιβλιογραφία είναι οι ακόλουθες:

Επιλέγουμε πράξη ή πράξεις.

Υπολογίζουμε ή/και απλοποιούμε Χρησιμοποιούμε έναν τύπο.

Κατασκευάζουμε ένα μοντέλο ή χρησιμοποιούμε αντικείμενα.

Κατασκευάζουμε έναν πίνακα, ένα γράφημα.

Δημιουργούμε μια λίστα.

Κάνουμε μια υπόθεση/μαντεψιά (εικασία)- ελέγχουμε - προχωράμε σε βελτιώσεις.

Λύνουμε μια πιο απλή περίπτωση του προβλήματος ή εργαζόμαστε αντίστροφα.

Αναζητούμε μοτίβα.

Αποκλείουμε πιθανές λύσεις και/ή περιττές πληροφορίες.

Δημιουργούμε ένα σχέδιο.

Χωρίζουμε ένα πρόβλημα σε περισσότερα μέρη/σε βήματα.

Ενδεικτικά να αναφερθούμε σε κάποιες στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων πιο αναλυτικά:

Σχεδιάζουμε μια ζωγραφιά

Για κάποιους μαθητές, μπορεί να είναι χρήσιμο να χρησιμοποιηθεί μια διαθέσιμη εικόνα ή να

δημιουργήσουν μια εικόνα ή ένα διάγραμμα όταν προσπαθούν να λύσουν ένα πρόβλημα. Η

αναπαράσταση δεν είναι αναγκαίο να είναι καλά σχεδιασμένη. Είναι όμως σημαντικό να βοηθάει

τους μαθητές να κατανοήσουν και να διαχειριστούν τα δεδομένα στο πρόβλημα.

«Βιώνουμε» το πρόβλημα ή χρησιμοποιούμε αντικείμενα

Μερικοί μαθητές μπορεί να διευκολυνθούν με τη δραματοποίηση του προβλήματος ή με το να

μετακινούν αντικείμενα ενώ προσπαθούν να επιλύσουν ένα πρόβλημα. Αυτό τους επιτρέπει να

αναπτύξουν οπτικά τόσο τα δεδομένα του προβλήματος όσο και τη διαδικασία της επίλυσης. Με το

να παίρνουν έναν ενεργό ρόλο στην εύρεση της λύσης, οι μαθητές είναι πιο πιθανό να θυμούνται τη

διαδικασία που ακολούθησαν και να είναι ικανοί να τη χρησιμοποιήσουν πάλι για να επιλύσουν

παρόμοια προβλήματα.

Δημιουργούμε μια λίστα, έναν πίνακα, ένα διάγραμμα ή μια γραφική παράσταση Φτιάχνοντας μια λίστα, έναν πίνακα, ένα διάγραμμα ή ένα γράφημα βοηθιούνται οι μαθητές να

οργανώσουν τη σκέψη τους γύρω από το πρόβλημα. Οι μαθητές καταγράφουν τα δεδομένα,

αντιλαμβάνονται (πιθανόν) πιο εύκολα τις πληροφορίες που λείπουν και αναγνωρίζουν σημαντικά

βήματα που πρέπει να ολοκληρωθούν. Παρέχεται έτσι ένας συστηματικότερος τρόπος για την

καταγραφή των ζητούμενων υπολογισμών. Για παράδειγμα, αν πρόκειται για μοτίβα αυτά συχνά

γίνονται εμφανή όταν τα δεδομένα οργανώνονται. Η συγκεκριμένη στρατηγική συχνά

χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με άλλες στρατηγικές.

Ανακαλύπτουμε ένα μοτίβο

Το μοτίβο είναι μια κανονική, συστηματική επανάληψη. Το μοτίβο μπορεί να είναι αριθμητικό ή

σχηματικό. Με την αναγνώριση του μοτίβου, οι μαθητές μπορούν να προβλέψουν τι θα

«ακολουθήσει» και τι θα συμβεί ξανά και ξανά κατά τον ίδιο τρόπο. Μερικές φορές οι μαθητές

μπορούν να επιλύσουν ένα πρόβλημα αναγνωρίζοντας ένα μοτίβο, αλλά συχνά θα πρέπει να

επεκτείνουν το μοτίβο για να βρουν μια λύση. Η δημιουργία ενός πίνακα με αριθμούς συχνά

αποκαλύπτει μοτίβα και γι’ αυτό το λόγο χρησιμοποιείται συχνά σε συνδυασμό με την αναζήτηση

μοτίβων.

Χρησιμοποιούμε λογική αιτιολόγηση

Εικονικός

Συμβολικός

Αριθμητικός




6

Η λογική αιτιολόγηση χρησιμοποιείται για όλες τις λύσεις προβλημάτων. Ωστόσο, υπάρχουν τύποι

προβλημάτων που εμπεριέχουν ή υπονοούν ποικίλες υποθετικές δηλώσεις όπως, «εάν… τότε…», ή

«εάν… τότε… αλλιώς» ή «εάν κάτι δεν είναι αλήθεια, τότε…» Οι παρεχόμενες πληροφορίες των

προβλημάτων αυτής της κατηγορίας μπορούν να παρουσιαστούν σε μια λίστα ή σε έναν πίνακα.

Αυτού του τύπου τα προβλήματα απαιτούν λογική αιτιολόγηση, κατά τη διάρκεια της προσπάθειας

του μαθητή για την επίλυση του προβλήματος μέσω των δηλώσεων που έχουν δοθεί σε αυτό.

Εργαζόμαστε από το τέλος προς την αρχή

Για να λυθούν συγκεκριμένα προβλήματα, οι μαθητές θα πρέπει να κάνουν μια σειρά από

υπολογισμούς, ξεκινώντας από τα δεδομένα που παρουσιάζονται στο τέλος του προβλήματος και

καταλήγοντας με τα δεδομένα που παρουσιάζονται στην αρχή του προβλήματος.

Λύνουμε ένα απλούστερο ή παρόμοιο πρόβλημα

Κάνοντας ένα πρόβλημα ευκολότερο μπορεί να σημαίνει μείωση μεγάλων αριθμών σε μικρότερους

αριθμούς ή μείωση του αριθμού των αντικειμένων που δίνονται από ένα πρόβλημα. Η απλούστερη

παρουσίαση του προβλήματος μπορεί να παρέχει πληροφορίες για τις διαδικασίες ή τις λειτουργίες

που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να επιλυθεί ένα πιο πολύπλοκο πρόβλημα.

Ενδεικτική βιβλιογραφία

Βαμβακούση Ξ. «Μια νέα ματιά στο μαθηματικό πρόβλημα: Σχέδιο μαθήματος από το βιβλίο των

Μαθηματικών της Δ΄ Δημοτικού». Στο Τύπας Γ. επιμ.: Τα μαθηματικά του Δημοτικού μέσα απο τα

νέα διδακτικά εγχειρίδια.

http://www.pi-schools.gr/epimorfosi/epimorfotiko_yliko/dimotiko/mathimatika.pdf

Θεοδούλου Ρ. & Γαγάτσης Α. (2003). Μια εικόνα αξίζει χίλιες λέξεις...ποιο είδος εικόνας όμως

βοήθα στην επίλυση μαθηματικού προβλήματος; 2ο Συνέδριο Για τα Μαθηματικά στη

Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση : «Τα μαθηματικά στο γυμνάσιο», 11 - 13 Απριλίου, Τμήμα Επιστημών

της Αγωγής.

http://www.math.uoa.gr/me/conf2/papers/theodgag.pdf

Καραγεώργος Δημήτρης (2000). Το πρόβλημα και η επίλυσή του: μια διδακτική προσέγγιση,

Εκδόσεις Σαββάλας.

Κολέζα Ευγενία (2006), Μαθηματικά και σχολικά Μαθηματικά, Ελληνικά Γράμματα, Αθήνα.

Κολέζα,Ε. (2000). Γνωσιολογική και διδακτική προσέγγιση των στοιχειωδών μαθηματικών εννοιών.

Αθήνα: Leader Bocks.

Κόσυβας Γ. (1996) Η πρακτική του ανοικτού προβλήματος στο Δημοτικό Σχολείο. Αθήνα:

Gutenberg.

Λεμονίδης, Χ. (2003). Μια Νέα Πρόταση Διδασκαλίας των Μαθηματικών στις Πρώτες Τάξεις του

Δημοτικού Σχολείου. Αθήνα: Πατάκης.

Σόνια Καφούση και Χρυσάνθη Σκουμπουρδή (2008). Τα μαθηματικά των παιδιών 4-6 ετών. Αριθμοί

και χώρος. Εκδόσεις Πατάκη.

Τζεκάκη,M.(2002). Μαθηματικές δραστηριότητες για την Προσχολική Ηλικία. Αθήνα :Gutenberg.

Τύπας Γ. (επιμ.) (2005;) Τα μαθηματικά του Δημοτικού μέσα από τα νέα διδακτικά εγχειρίδια.

http://www.pi-schools.gr/epimorfosi/epimorfotiko_yliko/dimotiko/mathimatika.pdf Υπουργείο Εθνικής Παιδείας και Θρησκευμάτων (Παιδαγωγικό Ινστιτούτο) (2003). Διαθεματικό Ενιαίο

Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών - Αναλυτικά Προγράμματα Υποχρεωτικής Εκπαίδευσης. Αθήνα.

Polya, G. (1998). Πώς να το λύσω. (Τ. Πατρώνης, Επιμέλεια ελληνικής έκδοσης). Αθήνα: Εκδόσεις

Καρδαμίτσα.

Streefland, L. (2000). Ρεαλιστικά Μαθηματικά στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση. Εκδόσεις Leader

Books.

Van de Walle John (2005). Μαθηματικά για το Δημοτικό και το Γυμνάσιο. Μια εξελικτική διαδικασία.

Αθήνα. Τυπωθήτω-Γιώργος Δαρδανός.

Van de Walle, J. (2007). Διδάσκοντας μαθηματικά. Θεσ/νίκη: Επίκεντρο.



http://www.math.uoa.gr/me/conf2/papers/theodgag.pdf


ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Ένας από τους βασικούς στόχους του Α.Π. είναι να αναπτυχθεί η ικανότητα των μαθητών ώστε ν’ αντιμετωπίζουν αποτελεσματικά τα προβλήματα και τις καταστάσεις που προκύπτουν από την καθημερινή κοινωνική δραστηριότητα (συναλλαγές, μετρήσεις, υπολογισμοί, εκτιμήσεις, προβλέψεις) Η ικανότητα αυτή συνδέεται με τη -Χρήση των μαθηματικών γνώσεων -Χρήση γενικών μεθόδων επεξεργασίας και στρατηγικών Η βελτίωση της ικανότητας σ’ αυτό τον τομέα των μαθητών με δυσκολίες στα Μαθηματικά μπορεί να συμβάλλει στη βελτίωση των κοινωνικών τους δεξιοτήτων. Στο διδακτικό σχεδιασμό των βημάτων της διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων είναι χρήσιμο να αξιοποιηθούν οι ερευνητικές διαπιστώσεις σύμφωνα με τις οποίες η επεξεργασία των στοιχείων και της αρχικής αναπαράστασης τους προβλήματος καθώς και η επεξεργασία για την αναγνώριση των σχέσεων του προβλήματος αποτελούν βασικούς παράγοντες για την επιτυχή έκβαση της διαδικασίας επίλυσης (Μπάρμπας, Τζουριάδου,1999) Για την επιτυχή έκβαση της διαδικασίας επίλυσης επισημαίνεται η ιδιαίτερη σημασία που έχουν δύο τομείς: -Ο τρόπος επεξεργασίας για την αναγνώριση των στοιχείων του προβλήματος -Ο τρόπος επεξεργασίας για την αναγνώριση των σχέσεων του προβλήματος Στη βιβλιογραφία (Riding, Rayner, 1999) διακρίνονται η ολιστική και η αναλυτική διάσταση στον τρόπο επεξεργασίας των πληροφοριών. Ο ολιστικός τρόπος επεξεργασίας αναφέρεται στην αντίληψη του έργου ή του αντικειμένου ως όλου, δίχως διάκριση των επιμέρους στοιχείων ή χαρακτηριστικών. Γρήγορη και βιαστική ανάγνωση του προβλήματος, ο εντοπισμός μερικών μόνο στοιχείων, η επικέντρωση στα αριθμητικά μόνο δεδομένα, η αυθαίρετη προσθήκη ή η τροποποίηση των στοιχείων, Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.34

η επικέντρωση στα αριθμητικά μόνο δεδομένα, η αυθαίρετη προσθήκη ή η τροποποίηση στοιχείων, η ταξινόμηση των στοιχείων με κριτήριο ένα μόνο χαρακτηριστικό και η επικέντρωση στα εννοιολογικά εμπόδια που συναντούν οι μαθητές (πιθανές άγνωστες λέξεις με αποτέλεσμα να χάνουν άλλα στοιχεία και κυρίως το ζητούμενο. Ο αναλυτικός τρόπος επεξεργασίας αναφέρεται στην παρατήρηση των λεπτομερειών και στην τελική σύνθεσή τους για τη συγκρότηση μια συνολικής αναπαράστασης του έργου ή του αντικειμένου. Εντοπισμός ένα προς ένα όλων των στοιχείων, την επεξεργασία τους και τη σύνθεσή τους στη συνολική αναπαράσταση του προβλήματος. Μία προς μία επεξεργασία των σχέσεων μεταξύ των δεδομένων έτσι ώστε να συσχετιστούν με το ζητούμενο του προβλήματος. Τα περισσότερα άτομα τοποθετούνται ανάμεσα στους δύο πόλους και εμφανίζουν αναλυτικά και ολιστικά χαρακτηριστικά σε διαφορετικές διαβαθμίσεις (Morgan,1997) Στο σχολικό πλαίσιο, όταν το περιεχόμενο του μαθήματος γίνεται πιο επιτηδευμένο, απαιτείται συνδυασμό αναλυτικού τρόπου σκέψης και επάρκειας γνώσεων. Αυτό συμβαίνει περισσότερο σε μαθήματα όπως μαθηματικά, φυσική, χημεία, γλώσσα. Οι μαθητές που υπολείπονται στις αναλυτικές μεθόδους επεξεργασίας αποδίδουν λιγότερο στα μαθήματα αυτά, ιδιαίτερα στις ανώτερες βαθμίδες της εκπαίδευσης. Η εμπειρική έρευνα υποδεικνύει ότι όλα τα παιδιά, ανεξάρτητα από χαρακτηριστικά γνωστικού ύφους (ολιστικός ή αναλυτικός τύπος) και προσωπικότητας, μπορεί να εκπαιδευτούν στη χρήση αναλυτικών μεθόδων για την επεξεργασία των σχολικών έργων. Αυτός ο προσανατολισμός της διδασκαλίας δεν στοχεύει στην αλλαγή του γνωστικού ύφους του μαθητή. Επιδίωξη είναι όλοι οι μαθητές να μπορούν να χειρίζονται αποτελεσματικά αναλυτικές και ολιστικές διαδικασίες ανάλογα με τις απαιτήσεις των καταστάσεων που αντιμετωπίζουν (Saracho, 1997) Σχεδιασμός της διδασκαλίας των μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων Σύμφωνα με την ανάλυση που εκτέθηκε διαμορφώθηκαν πέντε βήματα τα οποία αφορούσαν την επεξεργασία των στοιχείων του προβλήματος 1.Επεξεργασία της αρχικής αναπαράστασης-


Διδασκαλία αναλυτικών μεθόδων για την αναγνώριση των στοιχείων του προβλήματος. Διδασκαλία μεθόδων ελέγχου και αυτοδιόρθωσης της αρχικής αναπαράστασης Ο εκπαιδευτικός παρουσιάζει και αναλύει τη μέθοδο σχετικά με τον αναλυτικό εντοπισμό όλων των στοιχείων, και των χαρακτηριστικών τους ( προσεκτική ανάγνωση του προβλήματος, επιλογή των αναγκαίων πληροφοριών, κατασκευή σχεδίου-όπου αυτό είναι εφικτό- η καταγραφή των δεδομένων, ώστε να μπορούν οι μαθητές να αναπαράγουν το πρόβλημα μόνο από το σχέδιο ή τα στοιχεία καταγραφής, σύγκριση του σχεδίου ή της καταγραφής με το κείμενο του προβλήματος) Συζήτηση μέσα στην ομάδα για το περιεχόμενο του προβλήματος. Μέσα από τις διαφορές στην παρουσίαση του προβλήματος, τις εκατέρωθεν εξηγήσεις και τα επιχειρήματα του καθενός, οι μαθητές οδηγούνται στον έλεγχο και την αυτοδιόρθωση της ερμηνείας των στοιχείων και της αναπαράστασης του προβλήματος. 2.Επεξεργασία των σχέσεων Διδασκαλία αναλυτικών μεθόδων για την αναγνώριση του συνόλου των λογικο-μαθηματικών σχέσεων μεταξύ των στοιχείων του προβλήματος. Συζήτηση μέσα στην ομάδα για τα κοινά και τα διαφορετικά σημεία στις σχέσεις που έχει εντοπίσει κάθε μαθητής. Μέσα από τις εξηγήσεις και τα επιχειρήματα που προβάλλουν οι μαθητές, οδηγούνται στον έλεγχο και στην αυτοδιόρθωση της ερμηνείας των στοιχείων καθώς και στην κατανόηση των σχέσεων. Εφόσον η κατανόηση του συνόλου των σχέσεων δεν είναι εφικτή με άμεσο τρόπο, ο εκπαιδευτικός ζητά από τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν μια εμπειρική μέθοδο ή στρατηγική (προσεγγιστικό υπολογισμό, δοκιμή και αποτυχία, αναλογία) για να επιλύσουν το πρόβλημα. Μέσα από τη σύγκριση των διαφορετικών απαντήσεων οι μαθητές οδηγούνται στον έλεγχο των σχέσεων που αναγνώρισαν και στην κατανόηση των πραγματικών σχέσεων μεταξύ των στοιχείων. 3.Ελεγχος του νοήματος των επιλεγόμενων πράξεων- Διδασκαλία μεθόδων ελέγχου του νοήματος των πράξεων που επιλέγουν οι μαθητές Ο εκπαιδευτικός υποδεικνύει στους μαθητές, όταν επιλέγουν μια πράξη, να είναι σε θέση να απαντούν με σαφήνεια στα ερωτήματα: γιατί επιλέγουν αυτή την πράξη, ποια είναι τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες του αριθμού που προκύπτει ως αποτέλεσμα, αν έχει λογικό νόημα αυτή η πράξη με τους αριθμούς που επιλέχθηκαν. Ο εκπαιδευτικός ζητά από τους μαθητές να παρουσιάσουν και να εξηγήσουν τις ενέργειες που έκαναν για να λύσουν το πρόβλημα, να


σχολιάσουν ο ένας τα αποτελέσματα του άλλου, να κρίνουν αν θεωρούν λογικά και αναμενόμενα τα αποτελέσματα και να αιτιολογήσουν την άποψή τους. Μέσα απ’ αυτή τη διαδικασία οι μαθητές αναστοχάζονται την επεξεργασία που πραγματοποίησαν, ελέγχουν το νόημα των πράξεων, επαληθεύουν τα αποτελέσματα και οδηγούνται στην αυτοδιόρθωση. 4.Εφαρμογή των αλγορίθμων 5.Έλεγχος του τελικού αποτελέσματος- Διδασκαλία των αλγορίθμων, των πράξεων και των κανόνων (όπου χρειάζεται) καθώς και διδασκαλία μεθόδων για την επαλήθευση του τελικού αποτελέσματος Τέλος η αποτελεσματική έκβαση μια σχολικής δραστηριότητας όπως είναι η μαθηματική επίλυση προβλήματος προϋποθέτει τη συνέργεια παραγόντων τριών κατηγοριών : -επαρκής προϋπάρχουσα γνώση, -αποτελεσματικές γενικές μέθοδοι επεξεργασίας και -σύγκλιση των νοημάτων που διαμορφώνουν οι μαθητές με τα αντίστοιχα του δασκάλου. Οι μαθητές με σχολικές δυσκολίες στα μαθηματικά υστερούν και στους τρεις αυτούς τομείς. Άρα μια παιδαγωγική παρέμβαση θα μπορούσε να είναι αποτελεσματική αν περιέχει και τους τρεις αυτούς τομείς. ΠΡΟΤΑΣΗ: ΤΡΟΠΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΣΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΕΝΙΣΧΥΤΙΚΉΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Βιβλιογραφία Μπάρμπας Γ., 2000, Σχολική υποεπίδοση στα Μαθηματικά και Ενισχυτική Διδασκαλία, Διδακτορική Διατριβή, Ιωάννινα


elena


Μία ανθοδέσμη έχει άσπρα και χρωματιστά τριαντάφυλλα. Τα άσπρα

τριαντάφυλλα είναι 24 και αποτελούν τα 2 του

3

συνόλου των τριαντάφυλλων. α) Πόσα είναι όλα τα τριαντάφυλλα της ανθοδέσμης ;

β) Τι μέρος των τριαντάφυλλων της ανθοδέσμης είναι χρωματιστά;

γ) Πόσα είναι τα χρωματιστά τριαντάφυλλα;

Τον προηγούμενο μήνα γράφτηκαν σε μια σχολή χορού 42 καινούρια παιδιά,

τα οποία αποτελούντα 2 του συνόλου των παιδιών της σχολής.

7

α) Πόσα είναι όλα μαζί τα μέλη της σχολής;

β) Αν τα 2 των παιδιών είναι κορίτσια, πόσα είναι τα αγόρια; 3

Σε ένα βιβλιοπωλείο τα 4 τετράδια κοστίζουν 12 .

α) Πόσο κοστίζει το 1 τετράδιο;

β) Πόσο κοστίζουν τα 15 τετράδια;

γ) Πόσα τετράδια μπορούμε να αγοράσουμε με 27 ;

Σε ένα κουτί υπάρχουν 40 τρουφάκια που το καθένα έχει 45 θερμίδες. Η

Δανάη έφαγε το 35% από τα τρουφάκια που υπάρχουν στο κουτί. Πόσες

θερμίδες κατανάλωσε συνολικά;

Η Μαργαρίτα αγόρασε 4 σακουλάκια με 18 μπαλόνια το καθένα. Αν μοίρασε τα

μπαλόνια σε 6 φίλες της, πόσα μπαλόνια έδωσε σε κάθε φίλη;

Ο κύριος Χαράλαμπος έδωσε 6 χαρτονομίσματα των 20 στα 2 εγγόνια του

και τους είπε να τα μοιραστούν. Πόσα χρήματα πήρε το κάθε εγγόνι;

Ένα άλμπουμ έχει 24 σελίδες που η καθεμιά χωράει 4 γραμματόσημα. Η Έλλη

γέμισε με γραμματόσημα τα 2 των σελίδων. Πόσα γραμματόσημα έβαλε

στο

3

άλμπουμ;


elena

Σε ένα κιβώτιο υπάρχουν 24 κουτάκια πορτοκαλάδας, τα οποία κοστίζουν

1,2 το ένα. Ο Νικόλας αγόρασε τα 3 των αναψυκτικών που υπάρχουν

στο κιβώτιο.

8

Πόσα χρήματα πλήρωσε;

--


Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων στα μαθηματικά Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Η στρατηγική επίλυσης προβλημάτων “problem solving” παρουσιάστηκε κι έγινε ευρύτερα γνωστή στη διδακτική των

μαθηματικών. Θεωρητικά υποστηρίζεται από τις κοινωνικοπολιτισμικές θεωρίες του Vygotsky Στην Ελλάδα μια πρώτη εφαρμογή είναι η διδασκαλία των φυσικών επιστημών στη Ε’ και Στ’ τάξη και το νέο βιβλίο της ιστορίας της Στ’ τάξης έχει

πολλά στοιχεία Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με τη διδακτική των μαθηματικών.

Τι είναι ένα πρόβλημα

Πρόβλημα θεωρείται μια ερώτηση η οποία σε κινητοποιεί να αναζητήσεις την επίλυση της. Αυτό προϋποθέτει ότι θέλεις ή είσαι υποχρεωμένος να λύσεις το πρόβλημα και δεύτερο ότι θα αναζητήσεις τρόπους επίλυσης. Η μορφή του προβλήματος εξαρτάται από την προϋπάρχουσα γνώση του λύτη.

Τι είναι η στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Στη στρατηγική επίλυσης προβλημάτων η προσοχή εστιάζεται στη μέθοδο επίλυσης ενός προβλήματος. Αν θέλαμε να το σχηματοποιήσουμε με μια εξίσωση θα γράφαμε

Μέθοδος + απάντηση = επίλυση Υπάρχουν τέσσερα βήματα που πρέπει να ακολουθήσουμε: 1. Κατανόηση και διερεύνηση του προβλήματος;


http://www.eduportal.gr/epilysh-problhmatos/

2. Επιλογή στρατηγικής 3. Λύση του προβλήματος, σύμφωνα με τη στρατηγική που επιλέξαμε 4. Επαλήθευση του προβλήματος

Στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων Η επιλογή της κατάλληλης στρατηγικής είναι μέρος της επίλυσης ενός προβλήματος. Η βαθύτερη κατανόηση και χρήσης διαφορετικών στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων βοηθά να

απλοποιούνται, να γίνονται κατανοητά. Βοηθά επίσης τους μαθητές να διευρύνουν τις δεξιότητες τους στην επίλυση προβλημάτων. Οι πιο απλές δεξιότητες είναι • Υπόθεση (υποθέτω κι ελέγχω, υποθέτω και βελτιώνω τη στρατηγική μου)

• Δραματοποίηση (χρησιμοποιώντας αντικείμενα) • Φτιάχνοντας λίστες (συμπληρώνοντας πίνακες) • Σκέψη (χρησιμοποιώντας δεξιότητες που ήδη έχει αποκτήσει ο μαθητής)

Σίγουρα υπάρχουν πολλές περισσότερες στρατηγικές, οι οποίες αναπτύσσονται με τη επιλύοντας προβλήματα. Η συστηματική προσέγγιση, η καταγραφή δεδομένων, η αναζήτηση μοτίβων αλλά και η αντίστροφη πορεία είναι μερικές από αυτές.

Γιατί είναι ενδιαφέρουσα η στρατηγική επίλυσης προβλήματος Πέρα από την πιθανή απάντηση ότι είναι μέρος του Α. Π. θα μπορούσαμε να αναφέρουμε μερικούς ακόμα λόγους: • Η ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης βασίζεται στην

«προϋπάρχουσα» γνώση. • Είναι ένας ευχάριστος κι ενδιαφέρον τρόπος για να προσεγγίσει κάποιος τα μαθηματικά • Είναι ένας τρόπος για να μάθει ο μαθητής κατανοώντας βαθύτερα

τα μαθηματικά. • Δημιουργεί θετική στάση των μαθητών στη διδασκαλία των μαθηματικών • Δημιουργεί μικρούς μαθηματικούς. • Διδάσκει σκέψη, δημιουργικότητα και προσαρμοστικότητα

• Ενισχύει τη συνεργασία. • Χρησιμοποιεί τις προϋπάρχουσες μαθηματικές γνώσεις που κατέκτησαν οι μαθητές μέσα από άτυπες μορφές εκπαίδευσης • Παρόμοια προσέγγιση χρησιμοποιούνται και σε άλλα γνωστικά

αντικείμενα.


Η οργάνωση της διδασκαλίας Η ενσωμάτωση της στρατηγικής επίλυσης προβλημάτων στα μαθηματικά απαιτεί: Δομή μαθήματος

Συνήθως η δομή είναι η παρουσίαση του προβλήματος, εργασία σε ομάδες και ανακοίνωση Ο ρόλος του δασκάλου Ο ρόλος του δασκάλου απαιτεί να χρησιμοποιηθούν ερωτήσεις με

συγκεκριμένο «ύφος» και περιεχόμενο, κατά τη διάρκεια των διαφορετικών σταδίων του μαθήματος Το Αναλυτικό Πρόγραμμα. Αφήνει ψήγματα εισαγωγής των προβλημάτων στην μαθηματική εκπαίδευση. Η αξιοποίησή τους έγκειται στη ομάδα συγγραφής του

βιβλίου αλλά και στα περιθώρια που παρέχει το ΑΠ


Μοντελοποίηση και Λύση Προβλήµατος στα Μαθηµατικά

9ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου

259

Η ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΗN ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Νίκος Μουσουλίδης, Μαρία Κάττου, Μάριος Πιττάλης, Κωνσταντίνος Χρίστου

Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της εργασίας ήταν να διερευνήσει τις διαδικασίες µοντελοποίησης που χρησιµοποιούν οι µαθητές κατά την επίλυση προβληµάτων από την καθηµερινή ζωή στα µαθηµατικά και να συγκρίνει την επίδοση µαθητών δηµοτικού και γυµνασίου στην επίλυση των πιο πάνω προβληµάτων µε τη χρήση των αντίστοιχων διαδικασιών µοντελοποίησης. Για το σκοπό αυτό αναλύθηκαν οι διαδικασίες µοντελοποίησης που εφαρµόζονται στις τρεις κατηγορίες προβληµάτων: λήψης απόφασης, ανάλυσης και σχεδιασµού συστηµάτων και επίλυσης δυσλειτουργιών σε συστήµατα και προτάθηκε ένα δοµικό µοντέλο για την ικανότητα µοντελοποίησης στη λύση προβλήµατος. Η σύγκριση της ικανότητας µοντελοποίησης στην επίλυση προβλήµατος µαθητών δηµοτικού και γυµνασίου έδειξε υπεροχή των µαθητών γυµνασίου και στις τρεις κατηγορίες προβληµάτων µοντελοποίησης.

1. Εισαγωγή

Σε αντίθεση µε τις ανάγκες της σύγχρονης κοινωνίας, οι απόφοιτοι των σχολείων δεν είναι ικανοί λύτες προβληµάτων και δεν µπορούν να χρησιµοποιούν µε άνεση µαθηµατικές εφαρµογές. Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα της PISA (2003), µόνο το 20% των 15χρονών µαθητών µπορεί να θεωρηθούν ως ικανοί λύτες προβληµάτων (Organization for Economic Co-Operation and Development [OECD], 2004), δηλαδή, να µπορούν να αναλύουν ένα πρόβληµα σε επιµέρους στοιχεία, να λαµβάνουν αποφάσεις, να αναπτύσσουν και να δοκιµάζουν µοντέλα στην προσπάθεια επίλυσης του προβλήµατος και να επικοινωνούν αποτελεσµατικά µε τους συµµαθητές τους (OECD, 2004). Τα αναλυτικά προγράµµατα των µαθηµατικών σε αρκετές χώρες περιορίζουν την επίλυση προβλήµατος στις βασικές δεξιότητες, όπου οι µαθητές καλούνται να επιλύσουν απλά λεκτικά προβλήµατα που περιλαµβάνουν αποσπασµατικά στοιχεία από πραγµατικά προβλήµατα της καθηµερινής ζωής (OECD, 2004). Με τον τρόπο αυτό, δεν δίνεται η ευκαιρία στους µαθητές να ασχοληθούν µε πραγµατικά προβλήµατα και να αξιοποιήσουν τις µαθηµατικές έννοιες και διαδικασίες στην επίλυσή τους (Greer, 1997: Lesh & Doerr, 2003).

Σύµφωνα µε τους Blum & Niss (1991), η µαθηµατική µοντελοποίηση οδηγεί στην ανάπτυξη της ικανότητας λύσης προβλήµατος, καθώς «καλλιεργεί τις δεξιότητες διερεύνησης και δηµιουργικότητας και τις στρατηγικές επίλυσης προβλήµατος». Στις


Μουσουλίδης κ.á.


260

δραστηριότητες µοντελοποίησης οι µαθητές εργάζονται µε σύνθετα προβλήµατα βασισµένα σε πραγµατικές προβληµατικές καταστάσεις, τις οποίες καλούνται να αναλύσουν και να ερµηνεύσουν, προτείνοντας, ελέγχοντας και βελτιώνοντας διάφορες λύσεις. Η αξιοποίηση της µοντελοποίησης σε πραγµατικά προβλήµατα (Gravemeijer, Cobb, Bowers, & Whitenack, 2000: Mousoulides, Pittalis, & Christou, 2006), εµπλέκει σηµαντικές µαθηµατικές διαδικασίες που υποτιµούνται στα παραδοσιακά αναλυτικά προγράµµατα (English, 2003), ενώ µπορούν να αποτελέσουν αποτελεσµατικό µέσο για τους µαθητές στην ενεργητική κατάκτηση της µαθηµατικής γνώσης (Blum & Niss, 1991).

Οι δυνατότητες αξιοποίησης της µαθηµατικής µοντελοποίησης στην επίλυση προβλήµατος (Lesh & Doerr, 2003: Doerr & English, 2003) έχει αποτελέσει τη θεωρητική βάση για την παρούσα εργασία. Η παρούσα εργασία στηρίζεται παράλληλα στις τρεις κατηγορίες προβληµάτων που παρουσιάζονται στην έρευνα PISA: λήψης απόφασης (decision making), ανάλυσης συστήµατος και σχεδιασµού (system analysis and design) και επίλυσης δυσλειτουργιών (trouble shooting) (OECD, 2004). Επιπλέον, παρουσιάζονται οι διαδικασίες µοντελοποίησης που εµπλέκονται στη λύση προβλήµατος στα µαθηµατικά, λαµβάνοντας υπόψη την κατηγοριοποίηση που παρουσιάζεται στην έρευνα PISA 2003 και τα αποτελέσµατα των ερευνών του Lesh και των συνεργατών του (2003) και των Blum και Kaiser (1997). Συγκεκριµένα, ο σκοπός της εργασίας εστιάζεται στις ακόλουθες δύο διαστάσεις: (α) Στη διερεύνηση των διαδικασιών µοντελοποίησης που χρησιµοποιούν οι µαθητές στη λύση προβλήµατος και (β) στη σύγκριση της επίδοσης µαθητών δηµοτικού και γυµνασίου στην επίλυση προβληµάτων µοντελοποίησης.

2. Θεωρητικό Πλαίσιο

Σύγχρονες έρευνες στη διδακτική των µαθηµατικών έχουν αναδείξει σηµαντικά ερωτήµατα για την ικανότητα των µαθητών να λύνουν σύνθετα µαθηµατικά προβλήµατα (Doerr & English, 2003: Schoenfeld, 1992). Οι Zawojewski και Lesh (2003) διερωτούνται πότε ένα πρόβληµα είναι «πρόβληµα», δηµιουργώντας την ανάγκη διάκρισης των δραστηριοτήτων λύσης προβλήµατος από τις δραστηριότητες λύσης παραδοσιακών λεκτικών προβληµάτων (English, 2003). Τα παραδοσιακά λεκτικά προβλήµατα αφορούν απλοποιηµένες µορφές προβληµάτων που δεν σχετίζονται µε την πραγµατικότητα και που εξυπηρετούν την εξάσκηση µιας συγκεκριµένης µορφής µάθησης των µαθηµατικών, δευτερευούσης σηµασίας, όπως η πρόσθεση ή η αφαίρεση (Wyndhamm & Saljö, 1997). Έτσι, η επίλυση αντίστοιχων προβληµάτων δεν προάγει τη µαθηµατική µοντελοποίηση, τις γνωστικές και µεταγνωστικές δεξιότητες και τη µαθηµατικοποίηση, που θεωρούνται ως η οικοδόµηση της πραγµατικότητας µε µαθηµατικές έννοιες (Freudenthal, 1991).

Σε ένα ενδιαφέρον ορισµό της λύσης προβλήµατος, οι Lesh και Doerr (1998) τοποθετούν τη µοντελοποίηση ως λύση προβλήµατος, όπου «οι µαθητές βελτιώνουν, µεταφέρουν και επεκτείνουν εννοιολογικά µοντέλα, για να επιλύσουν ένα σύνθετο πρόβληµα». Οι δραστηριότητες µοντελοποίησης προσφέρουν τη δυνατότητα στους




261

µαθητές να αντιµετωπίσουν προβλήµατα βασισµένα σε πραγµατικές καταστάσεις, κατανοώντας τις πληροφορίες του προβλήµατος, αναγνωρίζοντας χαρακτηριστικά και σχέσεις µεταξύ των µεταβλητών, οικοδοµώντας και εφαρµόζοντας αναπαραστάσεις και τέλος αξιολογώντας και επικοινωνώντας τα αποτελέσµατά τους (Zawojewski & Lesh, 2003).

Αξιοποιώντας τα αποτελέσµατα προηγούµενων ερευνών (OECD, 2004: Lesh et al., 2003: Blum & Niss, 1991), η παρούσα εργασία παρουσιάζει τις διαδικασίες που καλούνται να αναπτύξουν οι µαθητές κατά τη διαδικασία της µοντελοποίησης στην επίλυση προβλήµατος (∆ιάγραµµα 1). Για αυτό το σκοπό, έχει σχεδιαστεί ένα δοκίµιο για τον έλεγχο των διαδικασιών µοντελοποίησης κατά την επίλυση προβλήµατος, έτσι ώστε τα αποτελέσµατα να περιγράφουν το βαθµό στον οποίο οι µαθητές είναι ικανοί να αντιµετωπίσουν, οικοδοµήσουν, αναπαραστήσουν και να επιλύσουν προβλήµατα, εφαρµόζοντας αποτελεσµατικά τις απαραίτητες διαδικασίες µοντελοποίησης.

Περιγραφή, µέσα από την κατανόηση και απλοποίηση του προβλήµατος.

∆ιαχείριση, µέσα από τη µαθηµατικοποίηση (αναγνώριση µεταβλητών και σχέσεων, κατασκευή και επιλογή των καταλληλότερων µοντέλων).

Πρόβλεψη, µέσα από την ερµηνεία της λύσης και την πρόβλεψη της συµπεριφοράς του συστήµατος.

Επαλήθευση, µέσα από τον έλεγχο και την αξιολόγηση της λύσης, την επικύρωση και την επικοινωνία των αποτελεσµάτων.

Πραγµατικό Πρόβληµα

Περιγραφή

∆ιαχείριση Επαλήθευση

Πρόβλεψη

Περιβάλλον Μοντελοποίησης




262

∆ιάγραµµα 1: Η µοντελοποίηση κατά την επίλυση προβλήµατος και οι σχετικές διαδικασίες που περιλαµβάνονται. Οι τρεις διαφορετικοί τύποι προβληµάτων που χρησιµοποιήθηκαν και οι αντίστοιχες διαδικασίες µοντελοποίησης που περιλαµβάνονται σε αυτά, παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.

Λήψη Απόφασης Ανάλυση Συστήµατος και Σχεδιασµός

Επίλυση ∆υσλειτουργιών σε Συστήµατα

Κατανόηση της κατάστασης και των εναλλακτικών επιλογών

Κατανόηση των πληροφοριών και των απαιτήσεων του δοσµένου συστήµατος

Κατανόηση των κύριων χαρακτηριστικών και των απαιτήσεων ενός συστήµατος ή µηχανισµού

Αναγνώριση σχετικών περιορισµών

Αναγνώριση σχετικών µερών του συστήµατος

Αναγνώριση σχετικών µεταβλητών και σχέσεων

Αναπαράσταση των πιθανών εναλλακτικών επιλογών

Αναπαράσταση των σχέσεων µεταξύ των µερών του συστήµατος

Αναπαράσταση των δοµικών χαρακτηριστικών του συστήµατος

Απόφαση µεταξύ εναλλακτικών επιλογών

Ανάλυση και σχεδιασµός συστήµατος που αναφέρεται στις σχέσεις µεταξύ των µερών

∆ιάγνωση των δυσλειτουργιών του συστήµατος και/ ή πρόταση λύσης

Έλεγχος και αξιολόγηση της επιλογής λύσης

Έλεγχος και αξιολόγηση της ανάλυσης ή του σχεδιασµού του συστήµατος

Έλεγχος και αξιολόγηση της διάγνωσης/ λύσης

Επικοινωνία ή αιτιολόγηση της επιλογής

Επικοινωνία της ανάλυσης ή της αιτιολόγησης του προτεινόµενου σχεδιασµού

Επικοινωνία ή αιτιολόγηση της διάγνωσης και της λύσης

Πίνακας 1: ∆ιαδικασίες µοντελοποίησης στις τρεις κατηγορίες προβληµάτων. 3. Μεθοδολογία

Υποκείµενα και Έργα

Η συλλογή των δεδοµένων της έρευνας έγινε µε τη χορήγηση ενός δοκιµίου που µετρούσε την ικανότητα των µαθητών να χειρίζονται τις διαδικασίες µοντελοποίησης στην επίλυση προβλήµατος. Το δοκίµιο χορηγήθηκε σε 120 µαθητές 6ης τάξης




263

δηµοτικού σχολείου και 78 µαθητές 2ας τάξης γυµνασίου. Το δοκίµιο περιελάµβανε επτά προβλήµατα, τα οποία αποτελούνταν από δέκα ερωτήµατα. ∆ύο προβλήµατα αφορούσαν προβλήµατα λήψης απόφασης, τρία προβλήµατα αναφέρονταν σε ανάλυση συστήµατος και σχεδιασµού και δύο προβλήµατα σε επίλυση δυσλειτουργιών σε συστήµατα. Στον πίνακα 2 παρουσιάζεται ένα πρόβληµα από κάθε κατηγορία.

Προβλήµατα

Λήψη Απόφασης

Η εικόνα παρουσιάζει ένα χάρτη µε τις πόλεις µιας περιοχής και ο πίνακας παρουσιάζει τις αποστάσεις µεταξύ των πόλεων.

Να υπολογίσετε τη συντοµότερη απόσταση µεταξύ των πόλεων Ζήτα και Βήτα.

Άλφα Βήτα 55 Γάµµα 50 30 ∆έλτα 30 85 55 Ζήτα 55 100 45 Θήτα 30 85 80 60 25 Άλφα Βήτα Γάµµα ∆έλτα Ζήτα Θήτα

Επίλυση ∆υσλειτουργιών σε Συστήµατα

Το καρδιολογικό τµήµα ενός νοσοκοµείου έχει 4 καρδιολόγους. Kάθε καρδιολόγος εργάζεται από τη ∆ευτέρα µέχρι την Παρασκευή εξετάζοντας κατά µέσο όρο 10 ασθενείς τη µέρα. Σε ένα χρόνο (365 µέρες), κάθε καρδιολόγος εκτός από τα 52 Σαββατοκύριακα, έχει 25 µέρες διακοπές και 26 µέρες άδεια για επιστηµονικά συνέδρια. Υπάρχουν αρκετοί καρδιολόγοι για να δουν τους 10 000 ασθενείς που αναµένεται να εξεταστούν στo νοσοκοµείο τον επόµενο χρόνο; Αν όχι, πώς µπορεί το νοσοκοµείο να

Βήτα

Γάµµα

∆έλτα

Άλφα

Θήτα

Ζήτα




264

διευθετήσει το πρόβληµα;

Ανάλυση Συστήµατος

Ένα κολέγιο τριετούς φοίτησης, προσφέρει τα ακόλουθα 9 µαθήµατα. Η χρονική διάρκεια των µαθηµάτων είναι ένας χρόνος. Α/Α Κωδικός µαθήµατος Όνοµα µαθήµατος και Επίπεδο 1 Μ1 Μηχανολογία Επίπεδο 1 2 Μ2 Μηχανολογία Επίπεδο 2 3 Η1 Ηλεκτρολογία Επίπεδο 1 4 Η2 Ηλεκτρολογία Επίπεδο 2 5 ∆1 ∆ιοίκηση Επιχειρήσεων Επίπεδο 1 6 ∆2 ∆ιοίκηση Επιχειρήσεων Επίπεδο 2 7 ∆3 ∆ιοίκηση Επιχειρήσεων Επίπεδο 3 8 T1 Πληροφορική Επίπεδο 1 9 T2 Πληροφορική Επίπεδο 2

Κάθε φοιτητής θα παίρνει τρία µαθήµατα κάθε χρόνο, έτσι ώστε σε 3 χρόνια να συµπληρώσει τα εννιά µαθήµατα. Κανονισµοί: (α) Ένας µπορεί να πάρει ένα µάθηµα επιπέδου 2 ή 3, όταν έχει συµπληρώσει το προηγούµενο επίπεδο του ιδίου µαθήµατος σε προηγούµενο χρόνο. (β) Ένας µπορεί να πάρει την Ηλεκτρολογία επίπεδο 1 µόνο όταν έχει ήδη παρακολουθήσει τη Μηχανολογία επίπεδο 1 και για την Ηλεκτρολογία επίπεδο 2 εάν έχει ήδη παρακολουθήσει τη Μηχανολογία επίπεδο 2. Ποια µαθήµατα πρέπει να προσφέρει το κολέγιο κάθε έτος, για να µπορέσουν οι φοιτητές να αποφοιτήσουν; Πίνακας 2: Παράδειγµα έργου από κάθε κατηγορία προβληµάτων.

Ανάλυση

Η αξιολόγηση της εγκυρότητας του προτεινόµενου µοντέλου στηρίχτηκε σε επιβεβαιωτική παραγοντική ανάλυση (CFA). Αυτή ελέγχει την προσαρµογής των δεδοµένων της έρευνας στο θεωρητικό µοντέλο της κατηγοριοποίησης των διαδικασιών µοντελοποίησης στα τρία είδη προβληµάτων. Για την ανάλυση των δεδοµένων χρησιµοποιήθηκε το λογισµικό δοµικής ανάλυσης MPlus. Για τον έλεγχο της εγκυρότητας του µοντέλου λήφθηκαν υπόψη τρεις δείκτες: ο λόγος x2 προς τους βαθµούς ελευθερίας του µοντέλου (x2/df), ο δείκτης comparative fit index (CFI), και ο δείκτης RMSEA. Για να είναι αποδεκτό το µοντέλο, η τιµή του λόγου x2/df πρέπει να είναι µικρότερη του 2, η τιµή του δείκτη CFI πρέπει να είναι µεγαλύτερη από .9 και η τιµή του RMSEA πρέπει να είναι µικρότερη του .08 (Marcoulides & Schumacker,




265

1996). Για τη σύγκριση της ικανότητας µοντελοποίησης µεταξύ µαθητών δηµοτικού και γυµνασίου χρησιµοποιήθηκε πολλαπλή ανάλυση διασποράς (MANOVA).

4. Αποτελέσµατα Το προτεινόµενο µοντέλο για την ικανότητα µοντελοποίησης

Στην παρούσα εργασία προτείνεται ένα µοντέλο, το οποίο είναι ικανό να περιγράψει τις διαδικασίες µοντελοποίησης που καλούνται να εφαρµόσουν οι µαθητές στην επίλυση προβληµάτων των τριών κατηγοριών: λήψης απόφασης, ανάλυσης και σχεδιασµού συστηµάτων και επίλυσης δυσλειτουργιών σε συστήµατα. Όπως παρουσιάζεται στο ∆ιάγραµµα 2, το προτεινόµενο µοντέλο αποτελείται από τρεις παράγοντες 1ης τάξης και ένα παράγοντα δεύτερης τάξης. Οι παράγοντες 1ης τάξης αναφέρονται στις διαδικασίες µοντελοποίησης στις τρεις κατηγορίες προβληµάτων. Μια από τις υποθέσεις της έρευνας είναι ότι οι παράγοντες αυτοί συνθέτουν ένα γενικό παράγοντα που επεξηγεί την ικανότητα εφαρµογής των διαδικασιών µοντελοποίησης στην επίλυση προβλήµατος.

ε6

ε9

ε8

ε1

ε2

ε3

ε4

ε5

ε7

Λήψη Απόφασης

Επίλυση ∆υσλειτουργιών

∆ιαδικασίες Μοντελοποίησης

Ανάλυση Συστηµάτων

.42 (.27)*

.42 (.27)

.58 (.30)

.72 (.51)

.54 (.30)

.41 (.25)

.52 (.27)

.44 (.26)

.90 (.82)

.55 (.32)

.89 (.80)

.58 (.33)




266

∆ιάγραµµα 2: Το προτεινόµενο µοντέλο * Ο πρώτος αριθµός δείχνει το συντελεστή φόρτισης και ο αριθµός στην παρένθεση την αντίστοιχη ερµηνευόµενη διασπορά (r2). Τα αποτελέσµατα της επιβεβαιωτικής παραγοντικής ανάλυσης έδειξαν ότι όλα τα έργα είχαν στατιστικά σηµαντικές φορτίσεις στους αντίστοιχους παράγοντες, όπως παρουσιάζονται στο ∆ιάγραµµα 2. Τα αποτελέσµατα της ανάλυσης έδειξαν ότι η προσαρµογή του µοντέλου στα δεδοµένα ήταν ικανοποιητική, επιβεβαιώνοντας την εγκυρότητα της δοµής του µοντέλου (CFI=0.967, x2= 29.39, df= 23, x2/df=1.27, p>0.16, RMSEA=0.044) και αποδεικνύοντας ότι οι διαδικασίες µοντελοποίησης στις τρεις κατηγορίες προβληµάτων µπορούν να αναπαραστήσουν τρεις διακριτές κατηγορίες διαδικασιών µοντελοποίησης στην επίλυση µαθηµατικού προβλήµατος. Όπως φαίνεται στο ∆ιάγραµµα 2, η ερµηνευόµενη διασπορά των έργων ήταν ικανοποιητική, δείχνοντας ότι η διασπορά των έργων του δοκιµίου µπορεί να ερµηνεύσει τη διασπορά των τριών παραγόντων του µοντέλου. Παρουσιάζεται, επίσης, ότι οι ερµηνευόµενες διασπορές των τριών παραγόντων στο γενικό παράγοντα διαδικασιών µοντελοποίησης είναι πολύ ψηλές. Ειδικότερα, οι παράγοντες που αναφέρονται στα προβλήµατα λήψης απόφασης και επίλυσης συστηµάτων, ερµηνεύουν ένα πολύ µεγάλο ποσοστό της διασποράς του γενικού παράγοντα διαδικασιών µοντελοποίησης στην επίλυση προβλήµατος. ∆ιαφορές µεταξύ µαθητών δηµοτικού και γυµνασίου

Ο δεύτερος στόχος της έρευνας ήταν η διερεύνηση των διαφορών της ικανότητας µοντελοποίησης µαθητών δηµοτικού και γυµνασίου. Πραγµατοποιήθηκε πολλαπλή ανάλυση διασποράς (MANOVA) µε εξαρτηµένες µεταβλητές την ικανότητα µοντελοποίησης στις τρεις κατηγορίες προβληµάτων του δοκιµίου που δόθηκε και ανεξάρτητη µεταβλητή την τάξη που ανήκε ο κάθε µαθητής. Τα αποτελέσµατα της πολλαπλής ανάλυσης διασποράς έδειξαν ότι υπήρχαν στατιστικά σηµαντικές διαφορές µεταξύ των µαθητών δηµοτικού και γυµνασίου (Pillai’s F(3,198) = 9.099, p<0.01).

Μαθητές ∆ηµοτικού Μαθητές Γυµνασίου

Ικανότητα Εφαρµογής ∆ιαδικασιών Μοντελοποίησης:

- Λήψης Απόφασης - Ανάλυσης Συστήµατος - ∆υσλειτουργίας Συστήµατος

Μ.Ο

0,52 0,22 0,07

Τ.Α.

0,32 0,25 0,18

Μ.Ο.

0,66 0,44 0,14

Τ.Α.

0,23 0,34 0,23

Πίνακας 3: Μέσοι Όροι και Τυπικές Αποκλίσεις των ∆ύο Οµάδων στις Τρεις Κατηγορίες Προβληµάτων




267

Υπήρχαν στατιστικά σηµαντικές διαφορές µεταξύ των µαθητών δηµοτικού και γυµνασίου και στις τρεις κατηγορίες προβληµάτων: λήψης απόφασης (F(1,198) = 618, p<0,01), ανάλυσης συστήµατος (F(1,198) = 229, p<0,01) και δυσλειτουργίας συστήµατος (F(1,198) = 55, p<0,01). Όπως φαίνεται στον Πίνακα 3, οι µαθητές του γυµνασίου είχαν σηµαντικά υψηλότερο µέσο όρο από τους µαθητές του δηµοτικού και στις τρεις κατηγορίες προβληµάτων. Συγκεκριµένα ο µέσος όρος των µαθητών του γυµνασίου στα προβλήµατα λήψης ήταν 0,66 ενώ ο µέσος όρος των µαθητών του δηµοτικού ήταν 0,52. Στην κατηγορία προβληµάτων ανάλυσης συστήµατος, ο µέσος όρος των µαθητών του γυµνασίου ήταν διπλάσιος από το µέσο όρο των µαθητών του δηµοτικού ( x γυµνασίου=0,44 και x δηµοτικού=0,22). Το ίδιο φαινόµενο παρουσιάστηκε και στην κατηγορία προβληµάτων δυσλειτουργίας συστήµατος, όπου ο µέσος όρος των µαθητών του γυµνασίου ήταν 0,14 και του δηµοτικού 0,07. Όπως φαίνεται στον Πίνακα 3, όλοι οι µαθητές είχαν τις περισσότερες δυσκολίες στα προβλήµατα ανάλυσης συστήµατος και δυσλειτουργίας συστήµατος. Η επίδοση των µαθητών και του γυµνασίου και του δηµοτικού ήταν ιδιαίτερα χαµηλή στα προβλήµατα δυσλειτουργίας συστήµατος, δείχνοντας ότι ουσιαστικά δεν µπορούν να λύσουν τέτοιου είδους προβλήµατα. 5. Συµπεράσµατα - Συζήτηση Σύµφωνα µε τα αποτελέσµατα της παρούσας εργασίας, οι µαθητές εφαρµόζουν τις διαδικασίες µοντελοποίησης µε µεγαλύτερη ευκολία κατά την επίλυση προβληµάτων λήψης απόφασης, στη συνέχεια σε έργα ανάλυσης και σχεδιασµού συστηµάτων και τέλος κατά την επίλυση προβληµάτων που περιλαµβάνουν δυσλειτουργίες συστηµάτων. Το αποτέλεσµα αυτό, δείχνει ότι θα πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη έµφαση στην επίλυση προβληµάτων που περιλαµβάνουν δυσλειτουργίες συστηµάτων. Σε αυτά οι µαθητές χρειάζεται όχι µόνο να κατανοήσουν τα κύρια χαρακτηριστικά ενός συστήµατος και τις απαιτήσεις για την επίτευξη ενός συγκεκριµένου σκοπού, αλλά και να αναγνωρίσουν τις σχέσεις εξάρτησης µεταξύ µεταβλητών, ώστε να µπορούν να διορθώνουν δοµές και λειτουργίες στα συστήµατα που παρουσιάζονται στα αντίστοιχα προβλήµατα (Christou, Mousoulides, Pittalis, Pitta & Sriraman, 2005: English, 2003).

Το µοντέλο που αναπτύχθηκε, θα µπορούσε να αξιοποιηθεί τόσο από ερευνητές της διδακτικής των µαθηµατικών, όσο και από εκπαιδευτικούς, για την κατανόηση των διαδικασιών µοντελοποίησης που ακολουθούνται κατά την επίλυση προβλήµατος. Το µοντέλο παρουσιάζει ότι υπάρχουν συγκεκριµένες διαδικασίες που αναπτύσσουν την ικανότητα λύσης προβλήµατος και διαφέρουν ανάλογα µε τον τύπο προβλήµατος. Οι εκπαιδευτικοί, λαµβάνοντας υπόψη τα παραπάνω σηµεία, θα µπορούσαν να καλλιεργήσουν τις προτεινόµενες δεξιότητες, εφαρµόζοντας αρχικά προβλήµατα λήψης απόφασης. Ακολούθως, κατά την επίλυση προβληµάτων ανάλυσης συστήµατος και σχεδιασµού ή προβληµάτων επίλυσης δυσλειτουργιών, οι µαθητές θα έχουν τη δυνατότητα να εφαρµόσουν τις δεξιότητες που ανέπτυξαν κατά την επίλυση προβληµάτων λήψης απόφασης, σε πιο σύνθετα έργα (Roth & McGinn, 1997).




268

Τα αποτελέσµατα της έρευνας έδειξαν ότι οι µαθητές γυµνασίου είχαν υψηλότερη επίδοση στο δοκίµιο µέτρησης της ικανότητας µοντελοποίησης από τους µαθητές δηµοτικού. Συγκεκριµένα, η επίδοση των δύο οµάδων µαθητών στα προβλήµατα λήψης απόφασης ήταν παρόµοια, ενώ στα προβλήµατα ανάλυσης και σχεδιασµού συστηµάτων και στα προβλήµατα επίλυσης δυσλειτουργιών σε συστήµατα, οι µαθητές γυµνασίου είχαν διπλάσια επίδοση σε σχέση µε τους µαθητές δηµοτικού. Αυτό από τη µια, δείχνει ότι οι µεγαλύτεροι σε ηλικία µαθητές µπορούν να εφαρµόζουν τις µαθηµατικές δεξιότητες και γνώσεις που κατέχουν για τις διαδικασίες µοντελοποίησης σε πιο σύνθετα δοµικά συστήµατα. Από την άλλη, φαίνεται ότι η εξάσκηση των µαθητών γυµνασίου σε πιο σύνθετα προβλήµατα έχει καταλυτική επίδραση στην ικανότητα τους να χειρίζονται σύνθετα προβλήµατα µοντελοποίησης. Η διαδικαστική γνώση και η έλλειψη πολλές φορές εννοιολογικής κατανόησης, φαίνεται να δυσκολεύει όλους τους µαθητές, αλλά περισσότερο τους µαθητές δηµοτικού, για την επέκταση των µοντέλων που αναπτύσσουν σε διαφορετικές καταστάσεις από αυτές που δίνονται στα διάφορα προβλήµατα (Lesh & Doerr, 2003). Το σηµείο αυτό έχει ιδιαίτερη σηµασία για τους δασκάλους, αφού προτείνεται η κατασκευή προβληµάτων που να ενθαρρύνουν τους µαθητές να εφαρµόσουν τις γνώσεις τους, εµπλέκοντας προϋπάρχουσες έννοιες και διαδικασίες. Οι εκπαιδευτικοί οι οποίοι έχουν συνήθως στη διάθεσή τους περιορισµένο χρόνο, µπορούν να αξιοποιήσουν προβλήµατα από όλες τις κατηγορίες µοντελοποίησης, για να ενισχύσουν τις δεξιότητες των µαθητών τους στην επίλυση σύνθετων προβληµάτων µοντελοποίησης. Ταυτόχρονα, οι συγγραφείς αναλυτικών προγραµµάτων µπορούν να εµπνευστούν νέες δραστηριότητες επίλυσης µαθηµατικού προβλήµατος που θα βοηθήσουν τους µαθητές να ανταποκριθούν στις ανάγκες των σύγχρονων κοινωνιών.

Αναφορές

Blum, W., & Kaiser, G. (1997). Vergleichende empirische Untersuchungen zu mathematischen Anwendungsfähigkeiten von englischen und deutschen Lernenden. Unpublished application to Deutsche Forschungsgesellschaft.

Blum, W., & Niss, M. (1991). Applied mathematical problem solving, modeling, applications, and links to other subjects – state, trends, and issues in mathematics instruction. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 37-68.

Christou, C., Mousoulides, N., Pittalis, M., Pitta-Pantazi, D, Sriraman, B. (2005). An empirical taxonomy of problem posing processes. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik (International Reviews in Mathematics Education), 37(3), 149-158.

Doerr, H., & English, L. (2003). A Modeling perspective on students’ mathematical reasoning about data. Journal of Research in Mathematics Education, 34(2), 110-136.

English, L.D. (2003). Reconciling theory, research, and practice: A models and modelling perspective. Educational Studies in Mathematics, 54, 225–248.

Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education. China Lectures. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.




269

Gravemeijer, K., Cobb, P., Bowers, J., & Whitenack, J. (2000). Symbolizing, modeling and instructional design. In P. Cobb, E. Yackel, & K. McClain (Eds.), Symbolizing and communicating in mathematics classrooms (pp. 225-274). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Greer, B. (1997). Modelling reality in mathematics classrooms: The case of word problems. Learning & Instruction, 7, 293–307.

Lesh, R., & Doerr, H. (1998). Symbolizing, communicating, and mathematizing: Key components of models and modeling. In P. Cobb & E. Yackel (Eds.), Symbolizing, communicating, and mathematizing. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.

Lesh, R., & Doerr, H.M. (2003). Beyond Constructivism: A Models and Modeling Perspective on Mathematics Problem Solving, Learning and Teaching, Lawrence Erlbaum, Hillsdale, NJ.

Lesh, R., Cramer, K., Doerr, H. M., Post, T., & Zawojewski, J. (2003). Model development sequences. In H. M. Doerr & R. Lesh (Eds.), Beyond constructivism: A models&modeling perspective on mathematics problem solving, learning & teaching (pp. 35–58). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.

Marcoulides, G. A., & Schumacker, R. E. (1996). Advanced structural equation modelling: Issues and techniques. NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Mousoulides, N., Pittalis, M., & Christou, C. (2006). Improving Mathematical Knowledge through Modeling in Elementary School. Paper accepted for publication in the 30th Conf. of the Int. Group for the Psychology of Mathematics Education. Prague.

Organization for Economic Co-Operation and Development [OECD] (2004). Problem Solving for Tomorrow's World – First Measures of Cross Curricular Competencies from PISA 2003, http://www.pisa.oecd.org/dataoecd/25/12/34009000.pdf. Retrieved 29.09.2005.

Roth, W., & McGinn, M. (1997). Toward a new perspective on problem solving. Canadian Journal of Education, 22(1), 18-32.

Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 340-370). New York: Macmillan.

Wyndhamn, J., & Säljö, R. (1997). Word problems and mathematical reasoning – A study of children’s mastery of reference and meaning in textual realities. Learning and Instruction, 7(4), 361-382.

Zawojewski, J. S., & Lesh, R. (2003). A models and modeling perspective on problem solving. In R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond constructivism: Models and




270

modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.


Μαθηματικά Ε΄ 5.35. ΄΄Στρατηγικές επίλυσης...

Education

Transcript of Μαθηματικά Ε΄ 5.35. ΄΄Στρατηγικές επίλυσης...