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1.はじめに  これまで,多くの地図投影法が提案され,また実際 に使用されているが(野村,1983;Snyder, 1993;政 春,2011),微小な範囲の地図を除き,角の歪と面積 の歪をともになくすことはできない。このため,利用 目的に応じ,正角図法,正積図法,あるいは,「正角 でも正積でもないが,両極付近を除き,全般的に歪が 少ない図法(例えばワグネル第 4 図法)」などが使用 されている。 地図投影法の多くは,コンピューターを用いた数値 計算が発達する以前に開発された。そのため,これら の地図投影法は,パラメーター数が比較的少ない数 式,あるいは平易な幾何学的条件を用いて定義されて いる。 これに対して,Snyder(1985)は,数値計算により, 誤差の2乗和が最小となる図法を求めた。Snyder (1985)における誤差の 2 乗和は,指定された複数の 点における緯度方向の距離の誤差(距離の誤差は,線 拡大率−1)と,経度方向の距離の誤差の 2 乗和であ る。Snyder(1985)が開発した図法は,正角図法と 正積図法がある。Snyder(1985)の正角図法は,い くつか提案されているが,いずれも,既知の正角図法 に多項式の等角変換を施した図法の中から,誤差の 2 乗和が最小となる係数を決定したものである(例えば, 正角円錐図法を基に米国国土を代表する 44 点にお ける誤差の 2 乗和を最小にする GS50 図法)。Snyder (1985)の正積図法は,全球の地図投影法であり,図 上の y 座標が緯度の多項式で表現される擬円筒図法 で,かつ正積条件を満たす図法において,全球にわた る「経度緯度 5 度ごとの経緯度座標の格子点」上で誤 差の 2 乗和を最小にする係数を決定したものである。 Snyder(1985)の方法は,数値計算により最適な パラメーターを求めるものであったが,正角図法,あ るいは正積図法の範囲内での最適な地図投影法の検索 であった。このような条件下での検索であったため, 地図投影法の評価方法は,面積の歪と角の歪の一方の みを考慮したものであった。また,正積図法に関して は,擬円筒図法の中から選択しているが,擬円筒図法 の緯線は直線である。緯線の湾曲を認める図法と比較 すると,緯線が直線である擬円筒図法は,角の誤差が 大きくなるため,最適な地図投影法を求めることを目 指すのであれば,検索範囲が狭すぎると考えられる。 これに対し,神谷(2012)は,面積の歪と角の歪の 双方を考慮した評価方法を提案した。本稿では,この 評価方法を用い,実際に全球の最適な地図投影法(た だし,経度± 180 度の子午線においてのみ断裂がある もの)を検索する。なお,最終成果となる地図投影法 を計算する場合は,地球を長半径 1 の楕円体(扁平率 は,GRS80 の値= 1/298.257 222 101)とし,それ以 外の場合は,半径 1 の球とした。 2.地図投影法の評価 神谷(2012)における地図投影法の評価方法は,下 に示す L(神谷(2012)の表記では L 2 )が小さい図 法が優れていると評価するものである。 ϕ ϕ λ π π π π cos 1 2 A A 2 S S 2 2 M N e w e w d d A L 1 1 , max 1 1 , max 2 1 2 1 S p p m m m m e p I I I m m e 2 1 2 1 2 2 1 A 2 2 2 2 2 1 c b d a I c b d a I (function to be minimized) (2-1) bc ad p ϕ λ ϕ ϕ λ ϕ y M y N x M x N d c b a 1 cos 1 1 cos 1 ϕ λ , longitude and latitude 面積と角の歪のバランスを考慮した「最適全球図法」の開発 神谷  泉 キーワード:地図投影法,歪,評価,最小化 【論 説】 35 「地図」Vol.52 No.2 2014  * 国土地理院

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1.はじめに これまで,多くの地図投影法が提案され,また実際

に使用されているが(野村,1983;Snyder, 1993;政春,2011),微小な範囲の地図を除き,角の歪と面積の歪をともになくすことはできない。このため,利用目的に応じ,正角図法,正積図法,あるいは,「正角でも正積でもないが,両極付近を除き,全般的に歪が少ない図法(例えばワグネル第 4 図法)」などが使用されている。

地図投影法の多くは,コンピューターを用いた数値計算が発達する以前に開発された。そのため,これらの地図投影法は,パラメーター数が比較的少ない数式,あるいは平易な幾何学的条件を用いて定義されている。

これに対して,Snyder(1985)は,数値計算により,誤差の 2 乗和が最小となる図法を求めた。Snyder

(1985)における誤差の 2 乗和は,指定された複数の点における緯度方向の距離の誤差(距離の誤差は,線拡大率−1)と,経度方向の距離の誤差の 2 乗和である。Snyder(1985)が開発した図法は,正角図法と正積図法がある。Snyder(1985)の正角図法は,いくつか提案されているが,いずれも,既知の正角図法に多項式の等角変換を施した図法の中から,誤差の 2乗和が最小となる係数を決定したものである(例えば,正角円錐図法を基に米国国土を代表する 44 点における誤差の 2 乗和を最小にする GS50 図法)。Snyder

(1985)の正積図法は,全球の地図投影法であり,図上の y 座標が緯度の多項式で表現される擬円筒図法で,かつ正積条件を満たす図法において,全球にわたる「経度緯度 5 度ごとの経緯度座標の格子点」上で誤差の 2 乗和を最小にする係数を決定したものである。

Snyder(1985)の方法は,数値計算により最適なパラメーターを求めるものであったが,正角図法,あるいは正積図法の範囲内での最適な地図投影法の検索であった。このような条件下での検索であったため,地図投影法の評価方法は,面積の歪と角の歪の一方の

みを考慮したものであった。また,正積図法に関しては,擬円筒図法の中から選択しているが,擬円筒図法の緯線は直線である。緯線の湾曲を認める図法と比較すると,緯線が直線である擬円筒図法は,角の誤差が大きくなるため,最適な地図投影法を求めることを目指すのであれば,検索範囲が狭すぎると考えられる。

これに対し,神谷(2012)は,面積の歪と角の歪の双方を考慮した評価方法を提案した。本稿では,この評価方法を用い,実際に全球の最適な地図投影法(ただし,経度± 180 度の子午線においてのみ断裂があるもの)を検索する。なお,最終成果となる地図投影法を計算する場合は,地球を長半径 1 の楕円体(扁平率は,GRS80 の値= 1/298.257 222 101)とし,それ以外の場合は,半径 1 の球とした。

2.地図投影法の評価神谷(2012)における地図投影法の評価方法は,下

に示す L(神谷(2012)の表記では L2)が小さい図法が優れていると評価するものである。

ϕϕλπ

π

π

πcos1 2

AA2

SS

2

2MNewewdd

AL ∫∫ −−

11,max11,max 2121S −− ppmmmme

pIIImme 21 21221A −

22

2

221

cbdaI

cbdaI

(function to be minimized) (2-1)

bcadp −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ϕλϕ

ϕλϕy

My

N

xM

xN

dcba

1cos1

1cos1

ϕλ, longitude and latitude

yx, map coordinates

m1,m2 semi-major/minor axis of Tissot's indicatrix

N, M parallel/meridian radius of curvature

wS ≥ 0,wA ≥ 0 weight for area/angle error (wS+wA=1)

πϕϕλπ

π

π

π4cos

2

2≒MNddA ∫∫ −−

surface area of the ellipsoid

ϕλϕλ ,, xx −−

ϕλϕλ ,, xx −

ϕλϕλ ,, yy −

ϕλϕλ ,, yy −−

02, πλx

02, ∂∂ πλλy

02, ∂∂ ππϕx

02, ≤∂∂ ππϕy

02, ≤∂∂ ππϕx

02, ∂∂ ππϕy

(3-1)

(3-2)

(3-3)

(3-4)

面積と角の歪のバランスを考慮した「最適全球図法」の開発

神谷  泉*

キーワード: 地図投影法,歪,評価,最小化

【論 説】

35

「地図」Vol.52 No.2 2014 *国土地理院

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bcadp −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ϕλϕ

ϕλϕy

My

N

xM

xN

dcba

1cos1

1cos1

ϕλ, longitude and latitude

yx, map coordinates

m1,m2 semi-major/minor axis of Tissot's indicatrix

N, M parallel/meridian radius of curvature

wS ≥ 0,wA ≥ 0 weight for area/angle error (wS+wA=1)

πϕϕλπ

π

π

π4cos

2

2≒MNddA ∫∫ −−

surface area of the ellipsoid

ϕλϕλ ,, xx −−

ϕλϕλ ,, xx −

ϕλϕλ ,, yy −

ϕλϕλ ,, yy −−

02, πλx

02, ∂∂ πλλy

02, ∂∂ ππϕx

02, ≤∂∂ ππϕy

02, ≤∂∂ ππϕx

02, ∂∂ ππϕy

(3-1)

(3-2)

(3-3)

(3-4)

ここで,wS と wA は,面積の歪と角の歪のバランスをとるためのパラメーターであり,wS=1 の場合は面積の歪のみで,wA=1 の場合は角の歪のみで地図投影法を評価することになる。

本稿では,全球を経度と緯度の間隔が一定のグリッドに区切り,被積分関数の値を,グリッドの中心の被積分関数の値であると近似した。

3.関数形の選択1)経度緯度の多項式

地図投影法は,通例,地図座標 (x, y) を経度緯度(λ ,ϕ ) の関数として表現する。従って,x と y を λ とϕ の n 次多項式で表現し,最適な係数を検索することが考えられる。本稿では,全球の地図投影法を対象としているため,赤道及び中央子午線に対する対称性

bcadp −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ϕλϕ

ϕλϕy

My

N

xM

xN

dcba

1cos1

1cos1

ϕλ, longitude and latitude

yx, map coordinates

m1,m2 semi-major/minor axis of Tissot's indicatrix

N, M parallel/meridian radius of curvature

wS ≥ 0,wA ≥ 0 weight for area/angle error (wS+wA=1)

πϕϕλπ

π

π

π4cos

2

2≒MNddA ∫∫ −−

surface area of the ellipsoid

ϕλϕλ ,, xx −−

ϕλϕλ ,, xx −

ϕλϕλ ,, yy −

ϕλϕλ ,, yy −−

02, πλx

02, ∂∂ πλλy

02, ∂∂ ππϕx

02, ≤∂∂ ππϕy

02, ≤∂∂ ππϕx

02, ∂∂ ππϕy

(3-1)

(3-2)

(3-3)

(3-4)

(3-1)

を要求する。この対称性を考慮すると,x は λ の奇数次かつϕ の偶数次の項のみ,y は λ の偶数次かつϕ の奇数次の項のみで構成される。よって,x と y は λ とϕ の奇数次となるため,n は奇数とする。

次に,極について考察する。本稿では,極においても適切な地図投影法を追究するが,極を含む全球において適切な地図投影法は,特異点(経度緯度の多項式の場合は極)の性質をあらわす「歪のオーダー評価」が最善となる図法を選択すべきである(神谷,2010)。この条件は,図上で極が 1 点となることを要求しており,対称性を考慮すると,任意の λ に対して

bcadp −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ϕλϕ

ϕλϕy

My

N

xM

xN

dcba

1cos1

1cos1

ϕλ, longitude and latitude

yx, map coordinates

m1,m2 semi-major/minor axis of Tissot's indicatrix

N, M parallel/meridian radius of curvature

wS ≥ 0,wA ≥ 0 weight for area/angle error (wS+wA=1)

πϕϕλπ

π

π

π4cos

2

2≒MNddA ∫∫ −−

surface area of the ellipsoid

ϕλϕλ ,, xx −−

ϕλϕλ ,, xx −

ϕλϕλ ,, yy −

ϕλϕλ ,, yy −−

02, πλx

02, ∂∂ πλλy

02, ∂∂ ππϕx

02, ≤∂∂ ππϕy

02, ≤∂∂ ππϕx

02, ∂∂ ππϕy

(3-1)

(3-2)

(3-3)

(3-4)

(3-2)

となる。本稿では,常にこの条件を要求するものとする。球面上の 360 度の角に対応する図上の角をθ度とす

るとき,本稿では,360−θを,「極の角欠損」と呼ぶ。極の角欠損が 0 度となるためには,対称性を考慮すると,180 度の経線が図上で上方向から北極に向かう,すなわち

bcadp −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ϕλϕ

ϕλϕy

My

N

xM

xN

dcba

1cos1

1cos1

ϕλ, longitude and latitude

yx, map coordinates

m1,m2 semi-major/minor axis of Tissot's indicatrix

N, M parallel/meridian radius of curvature

wS ≥ 0,wA ≥ 0 weight for area/angle error (wS+wA=1)

πϕϕλπ

π

π

π4cos

2

2≒MNddA ∫∫ −−

surface area of the ellipsoid

ϕλϕλ ,, xx −−

ϕλϕλ ,, xx −

ϕλϕλ ,, yy −

ϕλϕλ ,, yy −−

02, πλx

02, ∂∂ πλλy

02, ∂∂ ππϕx

02, ≤∂∂ ππϕy

02, ≤∂∂ ππϕx

02, ∂∂ ππϕy

(3-1)

(3-2)

(3-3)

(3-4)

(3-3)

を満たす必要がある。一方,エイトフ図法のように,極において,球面上の 360 度の角が図上で 180 度となる(極の角欠損が 180 度となる)ためには,対称性を考慮すると(そして,暗黙裡に,地図が裏返らないことを要求すると),180 度の経線が図上での右方向から北極に向かう,すなわち

bcadp −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ϕλϕ

ϕλϕy

My

N

xM

xN

dcba

1cos1

1cos1

ϕλ, longitude and latitude

yx, map coordinates

m1,m2 semi-major/minor axis of Tissot's indicatrix

N, M parallel/meridian radius of curvature

wS ≥ 0,wA ≥ 0 weight for area/angle error (wS+wA=1)

πϕϕλπ

π

π

π4cos

2

2≒MNddA ∫∫ −−

surface area of the ellipsoid

ϕλϕλ ,, xx −−

ϕλϕλ ,, xx −

ϕλϕλ ,, yy −

ϕλϕλ ,, yy −−

02, πλx

02, ∂∂ πλλy

02, ∂∂ ππϕx

02, ≤∂∂ ππϕy

02, ≤∂∂ ππϕx

02, ∂∂ ππϕy

(3-1)

(3-2)

(3-3)

(3-4) (3-4)

を満たす必要がある。本稿では,極の角欠損が 0 度であることを要求する場合を whole pole,180 度であることを要求する場合を half pole,極の角欠損に関する制約がない場合を free pole と呼ぶ。なお,式(3-3),

(3-4)の等号付き不等号が等号となる場合は,面積の歪の評価 eS が有限とならない。2)既存の地図投影法の多項式

一方,Snyder(1985)の GS50 図法のように,地図座標を,別の地図投影法の地図座標の多項式で表現することも考えられる。この場合,もとの地図投影法が適切であれば,経度緯度の多項式より優れた地図投影法が得られる可能性がある。

そこで,グリッド間隔を 2 度,wS=0.5 として,エイトフ図法の地図座標を n 次多項式で変形する方法と,経度緯度の n 次多項式を用いる方法(ただし,極の形状がエイトフ図法と同じ half pole)の双方において,最適な係数を求めた。結果として,n が大きくなると,両者の違いはほとんどなかった。図 1 に n=13 の場合の結果(λ ≥ 0,ϕ ≥ 0 の範囲の 10 度ごとの経緯線網)を示す。

36

<「地図」Vol.52 No.2 2014 >

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この結果を踏まえ,以降は,数式が単純な経度緯度の多項式の中から最適な地図投影を検索するものとする。なお,極の形状は使用目的及び審美的観点に応じて選択する余地があるため,free pole,whole pole,half pole の各々において最適な図法を検索するものとした。3)多項式の次数

次に,適切な多項式の次数を検討するため,グリッド間隔を 2 度,wS=0.5 として,free pole の多項式の次数を変えながら,最適な係数を求めた。その結果

(λ ≥ 0,ϕ ≥ 0 の範囲の 10 度ごとの経緯線網)を図 2

に示す。図 2 をみると,9 次と 13 次の違いは小さいこと,11 次と 13 次の違いがほとんどないことがわかる。

図 3 に,3 次から 9 次の結果を示す。図 3 を見ると,n を多項式の次数として,3 次の場合の両極を除き,図の外周上に,n-1 個の突起があることがわかる(ただし,9 次の場合は,やや不明瞭)。図示しないが,n-1 個の突起は,half pole でも見られ,また,whole pole,エイトフ図法の地図座標の多項式においては,この傾向がより顕著であった。予備実験の結果,whole pole では,11 次の多項式では明瞭な突起が確認されたが,13 次では認められなかった。一方,free pole,half pole では,11 次の多項式で突起が認められなかった。

図1 最適な地図投影法の検索結果の比較(wS=0.5)  黒:経度緯度の13 次多項式(half pole)   赤:エイトフ図法を13 次多項式で変換

Fig.1  Comparison between 2 results of finding the optimal map projection with wS=0.5

    Black: 13th polynomial of longitude and    latitude(half pole)    Red: 13th polynomial of Aitoff projection

図 2 異なる次数の経度緯度の多項式(free pole)から選択された最適な投影法の比較(wS=0.5)  左は,13 次(黒)と 9 次(赤)。右は,13 次(黒)と 11 次(赤)。

Fig.2  Comparison between 2 results of finding the optimal map projection with wS=0.5, polynomial of longitude and latitude (free pole condition) Left:13th (black) and 9th (red). Right:13th (black) and 11th (red).

図 3  多項式の次数 n の比較(wS=0.5,free pole)図の外周に,n-1個の突出部がある。

Fig.3  Comparison of order of polynomial n (free pole) There are n-1 protrusions on circumference of the maps.

<「地図」Vol.52 No.2 2014 >

面積と角の歪のバランスを考慮した「最適全球図法」の開発(神谷  泉) 37

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以上の結果と計算の容易さを考慮し,多項式の次数は whole pole では 13 次,free pole,half pole では 11次とした。4)制約条件

対称性を考慮すると,x と y の具体的な形式は,

∑≤

nji

njni

jijiex

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

∑≤

nji

ninj

jijihy

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

022

,1,,4,2,0

,,5,3,1

nji

njni

ji

jiex πλπλ

022

,1,4,2,,5,3,1

1

∂∂ ∑

−nji

ninj

ji

jihiy πλπλλ

02,,4,2,0

∑− inj

jij eπ ni ,,5,3,1

02,,5,3,1

∑− inj

jij hi π 1,,4,2 − ni

022

1,,4,2,,5,3,1

1 ∑≤

−ji

njni

jiji ej ππ

021,,4,2,0

,,5,3,1

1 ∑≤

−nji

ninj

jiji hj ππ

(3-6)

(3-7)

(3-8)

(3-5)

(3-5)

となる。式 3-2 は,

∑≤

nji

njni

jijiex

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

∑≤

nji

ninj

jijihy

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

022

,1,,4,2,0

,,5,3,1

nji

njni

ji

jiex πλπλ

022

,1,4,2,,5,3,1

1

∂∂ ∑

−nji

ninj

ji

jihiy πλπλλ

02,,4,2,0

∑− inj

jij eπ ni ,,5,3,1

02,,5,3,1

∑− inj

jij hi π 1,,4,2 − ni

022

1,,4,2,,5,3,1

1 ∑≤

−ji

njni

jiji ej ππ

021,,4,2,0

,,5,3,1

1 ∑≤

−nji

ninj

jiji hj ππ

(3-6)

(3-7)

(3-8)

(3-5)

∑≤

nji

njni

jijiex

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

∑≤

nji

ninj

jijihy

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

022

,1,,4,2,0

,,5,3,1

nji

njni

ji

jiex πλπλ

022

,1,4,2,,5,3,1

1

∂∂ ∑

−nji

ninj

ji

jihiy πλπλλ

02,,4,2,0

∑− inj

jij eπ ni ,,5,3,1

02,,5,3,1

∑− inj

jij hi π 1,,4,2 − ni

022

1,,4,2,,5,3,1

1 ∑≤

−ji

njni

jiji ej ππ

021,,4,2,0

,,5,3,1

1 ∑≤

−nji

ninj

jiji hj ππ

(3-6)

(3-7)

(3-8)

(3-5)

となるが,上記の等式が任意の λ に対して成り立つためには,λ iの係数がすべて 0 である必要があるため,

∑≤

nji

njni

jijiex

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

∑≤

nji

ninj

jijihy

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

022

,1,,4,2,0

,,5,3,1

nji

njni

ji

jiex πλπλ

022

,1,4,2,,5,3,1

1

∂∂ ∑

−nji

ninj

ji

jihiy πλπλλ

02,,4,2,0

∑− inj

jij eπ ni ,,5,3,1

02,,5,3,1

∑− inj

jij hi π 1,,4,2 − ni

022

1,,4,2,,5,3,1

1 ∑≤

−ji

njni

jiji ej ππ

021,,4,2,0

,,5,3,1

1 ∑≤

−nji

ninj

jiji hj ππ

(3-6)

(3-7)

(3-8)

(3-5)

(3-6)

∑≤

nji

njni

jijiex

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

∑≤

nji

ninj

jijihy

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

022

,1,,4,2,0

,,5,3,1

nji

njni

ji

jiex πλπλ

022

,1,4,2,,5,3,1

1

∂∂ ∑

−nji

ninj

ji

jihiy πλπλλ

02,,4,2,0

∑− inj

jij eπ ni ,,5,3,1

02,,5,3,1

∑− inj

jij hi π 1,,4,2 − ni

022

1,,4,2,,5,3,1

1 ∑≤

−ji

njni

jiji ej ππ

021,,4,2,0

,,5,3,1

1 ∑≤

−nji

ninj

jiji hj ππ

(3-6)

(3-7)

(3-8)

(3-5)

となる。また,式 3-3 の等式は,

∑≤

nji

njni

jijiex

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

∑≤

nji

ninj

jijihy

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

022

,1,,4,2,0

,,5,3,1

nji

njni

ji

jiex πλπλ

022

,1,4,2,,5,3,1

1

∂∂ ∑

−nji

ninj

ji

jihiy πλπλλ

02,,4,2,0

∑− inj

jij eπ ni ,,5,3,1

02,,5,3,1

∑− inj

jij hi π 1,,4,2 − ni

021,,4,2

,,5,3,1

1 ∑≤

−ji

njni

jiji ej ππ

021,,4,2,0

,,5,3,1

1 ∑≤

−nji

ninj

jiji hj ππ

(3-6)

(3-7)

(3-8)

(3-5)

n

(3-7)

式 3-4 の等式は,

∑≤

nji

njni

jijiex

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

∑≤

nji

ninj

jijihy

1,,4,2,0,,5,3,1

ϕλ

022

,1,,4,2,0

,,5,3,1

nji

njni

ji

jiex πλπλ

022

,1,4,2,,5,3,1

1

∂∂ ∑

−nji

ninj

ji

jihiy πλπλλ

02,,4,2,0

∑− inj

jij eπ ni ,,5,3,1

02,,5,3,1

∑− inj

jij hi π 1,,4,2 − ni

022

1,,4,2,,5,3,1

1 ∑≤

−ji

njni

jiji ej ππ

021,,4,2,0

,,5,3,1

1 ∑≤

−nji

ninj

jiji hj ππ

(3-6)

(3-7)

(3-8)

(3-5)

(3-8)

となる。

4.最適全球図法1)数値計算の方法

Mathematica を使用し,3 章で示した最適な図法

の検索を行った。この検索は,制約条件(free poleでは式(3-6),whole pole では式(3-6),(3-7),half pole では式(3-6),(3-8))付きの最小値問題(目的関数は,式(2-1)の L)である。不等式の条件を無視すると,制約条件を特定の係数について解けば,条件付きの最小値問題を,条件なしの最小値問題に変換することができる。数値計算上は,条件なしが望ましいため,Mathematica の機能も使用しながら,独立でない係数を消去した。

式(3-1)は,経度と緯度の非線形式であるため,最小値(実際には極小値)の検索には,初期値を必要とする。Free pole と half pole の場合は,n=3 の場合の初期値をマニュアルで与え,以後,n を増加させながら,問題を解いたところ(直前の次数に存在しない係数の初期値は 0 とした),すべての制約条件を満たす解が得られた。

一方,whole pole の場合は,式(3-3)の不等式を満たす解がすぐには得られなかった(極の角欠損が360 度となる解ばかりが得られた)。試行錯誤の結果,wS=0,n=11 の free pole の結果を初期値にして wS=0.00001,n=11 の whole pole の解が得られ,これを初期値として,まず wS を順次増加させ,次に n を 13として,解を求めた。

最終的な解は,whole pole,free pole,half pole のいずれの場合も,長半径 1 の地球楕円体に対するものであり,数値計算における格子間隔は 1 度とした。

経度緯度の多項式では,厳密な正積図法,正角図法が得られないため,wS=0 と 1 の検索は省くことにした。また,wS が 0.2 違う検索結果(図 4 ~ 8 参照)が大きく異ならないことから,0.1 刻みの検索は省略した。以上,検索を試みる wS の値は,0.1,0.3,0.5,0.7,0.9 とした。2)計算結果

図 4 に whole pole の計算結果を,図 5 に free poleの計算結果を,図 6 に half pole の計算結果を示す。これらの図法を「最適全球図法 SX」「global optimal projection SX」と命名する。ここで,S は wS の値を示す文字列から「0.」を省いたもの,X は whole poleの場合「W」,free pole の場合「F」,half pole の場合

「H」とする。Appendix に,これらの図法の地図座標の計算式を示す。なお,free pole の場合の極の角欠損は,147 度(1F),150 度(3F),156 度(5F),158度(7F),162 度(9F)であった。

図 7 に,最適全球図法 1F,5F,9F 及び 5W のティ

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ソーの指示楕円を示す。同図には,比較のため,既存図法のうち,「広範な wS に対して,極を含めた全球の歪の評価が最善となった」平射図法のエイトフ変換(神谷,2012;仮称「エイトフ変換平射図法」)も掲載している。なお,歪の状況をより正確に表現するため,図 7 は,球面上での有限の大きさの小円の地図投影を示した。このため,図示された指示楕円は厳密な楕円となっていない。

図 8 に,各最適全球図法と,既存の地図投影法に対する神谷(2012)による歪の評価を示す。図 8 では,図法名の「図法」を省略して記載している。

図 8 では,異なる wS に対する評価 L がプロットされている。ある wS の値に対しては,L の値が小さいほど優れた地図投影法である。従って,いずれの wS

においても L が最小とならない図法は,神谷(2012)の歪の評価の観点からは,採用すべき図法でないと判断される。一方,いずれかの wS において L が最小となる図法のグラフを重ね合わせると,上に凸となる包絡線のような折れ線(以下,包絡線と呼ぶ)を形成する。図 8 に掲載したアイゼンロール図法,エイトフ変換平射図法(仮称),エイトフ図法,ハンメル図法は,神谷(2012)がとりあげた既存図法の中から,この包絡線(図 8 の 1 点鎖線)を形成する地図投影法を選択した結果である。3)最適全球図法の優位性

図 7 の指示楕円のみをみると,最適全球図法と,エイトフ変換平射図法の優劣をにわかに判断することはできない。一方,図 8 を見ると,最適全球図法が作る包絡線は,正角条件付近及び正積条件付近を除き,既存図法の作る包絡線(図 8 の 1 点鎖線)を大きく下回っており,最適全球図法が歪に関して優れた地図投影法であることがわかる。4)最適全球図法の比較と選択基準

次に,最適全球図法の whole pole,free pole,half pole の間の比較を行う。この中で,free pole の L が最も小さく,half pole は,free pole とほとんど同じ値であるが,whole pole の L の値はやや大きい(悪い)。結果論であるが,free pole における極の角欠損の値が whole pole の値(0 度)より half pole の値(180度)に近いことが,free pole と half pole の性質が類似した原因と考えられる。なお,制約条件が追加されていない free pole が最善となることは,当然である。

極付近の性質は,極の角欠損が 0 度となる whole pole が最善である。従って,極付近の正確さを求め

るのであれば whole pole を採用することが妥当である。それ以外の場合は,free pole と half pole の歪の評価(L)がほとんど同じであるため,この 2 つの中から,歪以外の観点に基づいて選択することが妥当であると考えられる。

図 7 の最適全球図法 5W と 5F の指示楕円を比較すると,極においては,角欠損がなく(図 7 に示す指示楕円は,点としての極ではなく極の周辺の状況を示しているが,それでも,5W のほうが指示楕円の欠損が少ない。),拡大率も抑えられている 5W(whole pole)の方が優れている。一方,緯度 80 度の指示楕円を見ただけでは,この緯度における歪が 5W と 5F のどちらで大きいか即断できない。従って,前段落の「極付近」は,おおざっぱに言えば,緯度 80 以上と解釈するのが妥当である。5)最適全球図法の性質

図 4 ~ 6 を見ると,以下のことがわかる。(1) 最適全球図法のアスペクト比(図の外周に外接

する長方形の長辺÷短辺)は,概ね 1.5~1.6 である。また,エイトフ図法,エイトフ変換平射図法

(仮称)の縦横比を変更して L(ただし,wS=0.5)が最小となる投影法を検索すると,アスペクト比はそれぞれ約 1.4,約 1.5 となった。多くの地図投影法は,アスペクト比として,赤道と子午線の長さの比である 2.0 を採用しているが,歪の低減の面からは,アスペクト比は 1.5 前後が妥当であることがわかる。

(2) 最適全球図法では,whole pole の場合のみならず,free pole,half pole の場合においても,図の外周が,両極でくびれた形状となっている。この傾向は,正角側(wS が小さい場合)ほど大きい。最善の正角図法の一つであるアイゼンロール図法でも,大きなくびれがあることと合わせると,両極でのくびれは,角の歪を低減するために重要な要素であると考えられる。

(3) 原点付近は,正角側では,縦横比を保ちながら縮小される傾向にある。一方,正積側(wS が大きい場合)では,面積を保ちながら南北方向に引き伸ばされる傾向にある。正角側のこの性質は,アイゼンロール図法と類似している。正積側のこの性質は,モルワイデ図法,エケルト第 2,第 4,第 6 図法でも見られる。

(4) 緯線は,極が凹となるよう湾曲している。このような湾曲は,アイゼンロール図法,エイトフ図

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図 4 最適全球図法(whole pole)Fig.4 Global optimal projections (whole pole)

図 5 最適全球図法(free pole)Fig.5 Global optimal projections (free pole)

Global optimal projection 9W最適全球図法 9W

Global optimal projection 7W 最適全球図法 7W

Global optimal projection 3W 最適全球図法 3W

Global optimal projection 1W最適全球図法 1W

Global optimal projection 5W 最適全球図法 5W

Global optimal projection 9F 最適全球図法 9F

Global optimal Projection 7F 最適全球図法 7F

Global optimal projection 3F 最適全球図法 3F

Global optimal projection 1F最適全球図法 1F

Global optimal projection 5F 最適全球図法 5F

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図 6 最適全球図法(half pole)Fig.6 Global optimal projections (half pole)

図 7 Tissot の指示楕円Fig.7 Tissot’s indicatrices

Global optimal projection 9H 最適全球図法 9H

Global optimal projection 7H 最適全球図法 7H

Global optimal projection 3H 最適全球図法 3H

Global optimal projection 1H最適全球図法 1H

Global optimal projection 5H 最適全球図法 5H

エイトフ変換平射図法(仮称)Aitoff transformation of stereographic projection

最適全球図法 5W Global optimal projection 5W

最適全球図法 5F Global optimal projection 5F

最適全球図法 1F Global optimal projection 1F

最適全球図法 9F Global optimal projection 9F

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法,正規多円錐図法等でも見られる。しかし,最適全球図法における湾曲は,中央子午線付近でほとんど見られず,図の外周付近で特に大きくなるという特徴を有している。さらに,中央子午線付近で,緯線が極に凸となる場合もある(最適全球図法 9H の南緯 40 度,50 度の緯線が,最も視認しやすい。)。この場合,緯線上に変曲点が存在することになるが,このような性質を持つ図法はまれである。最適全球図法と同じ断裂と同じ対称性を有し,かつ緯線上に変曲点が存在する地図投影法としては,Adams projection on the world in a square I(Snyder and Voxland,1989)が挙げられるが,実用性は乏しい(Snyder and Voxland

(1989)は,novel(新しい,奇抜な)と記載している。)。これに対して,最適全球図法は,複雑な緯線の性質を,歪を低減させるために有効に活用していると考えられる。

5.結論神谷(2012)で提案された「面積の歪と角の歪のバ

ランスを考慮し,極を他の場所と同様に評価する地図投影法の評価指標 L」を使用し,経度± 180 度の子午線においてのみ断裂がある地図投影法において,L が

最小となる図法を検索した。L は,面積の歪の重みを示す wS の値(0 ≤ wS ≤ 1)をパラメーターとするため,検索も,異なる wS の値を使用して行った。

検索対象の地図投影法は,経度緯度の多項式であり,赤道と中央子午線に対する対称性と,極が 1 点となることを条件とした。検索は,上記の条件のみを要求する場合(free pole),上記の条件に加えて極の角欠損が 0 度であることを要求した場合(whole pole),極の角欠損が 180 度であることを要求した場合(half pole)について行った。多項式の次数は,whole poleの場合は 13 次,その他の場合 11 次とした。

上記の検索の結果得られた地図投影法を,「最適全球図法 SX」と命名した。ここで,S は「0.」を除いた wS の値,X は W(whole pole),F(free pole),H

(half pole)のいずれかである。最適全球図法の L の値は,wS=0 の近傍と,wS=1

の近傍を除き,既存図法の L の最小値を大きく下回り,正積条件,正角条件が要求されない限り,歪に関して優れた地図投影法である。神谷(2012)の歪の観点から言えば,最適全球図法と異なる断裂を採用する場合,あるいは,正角条件または正積条件が要求される場合を除き,全球の地図投影法には最適全球図法を採用すべきである。

free pole と half pole の最適全球図法の L の値はほぼ同じである。一方,whole pole の最適全球図法は,free pole,half pole と比較して,L の値はやや劣るが,極付近の歪が少ない。このため,(1)極付近(おおざっぱに言えば緯度 80 度以上)の性質を重視する場合には whole pole の最適全球図法中で,(2)それ以外の場合は free pole あるいは half pole の最適全球図法中で,適切なものを選択するのが妥当である。

最適全球図法の分析等から,以下のことがわかった。歪の低減の面からは,図のアスペクト比は 1.5 前後が妥当である。両極のくびれは,角の歪を低減するために重要である。

また,最適全球図法は,以下の性質を有する。原点付近は,正角側では縦横比を保って縮小,正積側では南北に引き伸ばされる傾向にある。緯線は,極に対して凹であるが,中央子午線付近では直線に近く,逆に極に対して凸となる場合もある。

なお,最適全球図法に関する技術情報は,http://www.gsi.go.jp/cais/geoinfo-index.html で公開される予定である。

図 8 最適全球図法と他の地図投影法の歪の評価Fig.8  Evaluation of distortion for global optimal

projections and other projections.

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文献神谷 泉 2012.面積と角のバランスを考慮した地図

投影法の評価手法と極の性質.地図 50(3):1-15.野村正七 1983.『地図投影法』.日本地図センター.政春尋志 2011.『地図投影法』.朝倉書店.Snyder, J. P. 1985. Computer-Assisted Map Projection

Research, U.S. Geological Survey Bulletin, 1629,

United States Government Printing Office.Snyder, J. P. 1993. Flattening the Earth. The University

of Chicago Press.Snyder, J. P. and Voxland, P. M. 1989. An Album

of Map Projections. U.S. Geological Survey Professional Paper 1453. United State Government Printing Office.

This paper proposes 3 series of map projections for world map with interruption over ±180° of longitude. Root-mean-square error of area and angle, which is L2 of Kamiya (2012), or simply noted L in this paper, is minimized in the proposed projections. The objective function L depends on one parameter wS (0 ≤ wS ≤ 1), which is a weight for area error.

Proposed projections are polynomials of longitude and latitude under the condition that poles shall be a point. If 360° of angle at pole corresponds to θ° on a map, angle defect of pole is defined as 360−θ. This paper proposes 3 series of global optimal projections:with 0° of angle defect of pole, named whole pole;without constraint condition for angle defect of pole, named free pole;with 180° of angle defect of pole, named half pole. Order of the polynomials is 13 for whole pole and 11 for others.

Proposed projection by wS=0.S are named “Global optimal projection SW” for whole pole, i.e. “Global optimal projection 5W” for wS=0.5, “Global optimal projection SF” for free pole, and “Global optimal projection SH” for half pole.

Value of L, weighted root-mean-square-error, is much smaller in proposed projections than in conventional projections except almost conformal condition or almost equal area condition. Therefore,

the global optimal projections are excellent projection as mean of minimizing both area and angle error.

Though value of L is slightly larger in whole pole than in free/half pole, distortion around the poles is smaller in whole pole than in free/half pole. If distortions of Arctic/Antarctic area (for example 80° or higher latitude) are important, whole pole shall be selected. Otherwise, free pole or half pole shall be selected.

Global optimal projections reduce near origin region almost isotropically under the conformal-like condition. They also stretch the region in the north-south direction almost equivalently under equal-area-like condition. Parallel lines are concave to the pole, but less concave or sometimes convex to the pole near central meridian.

Aspect ratio of map shall be around 1.5 for minimizing distortion, though many map projections adopt 2.0. Necking at poles like Eisenlohr projection is important to decrease angular distortion.

Technical information about global optimal projections will be disclosed at http://www.gsi.go.jp/cais/geoinfo-index.html.

(受付け 2013 年 10 月 9 日 受理 2014 年 6 月 5 日)

Development of “Global Optimal Projections” by minimizing Area and Angular Distortion

by Izumi KAMIYA

Keywords:Map Projection, World Map, Distortion, Minimization, Global Optimal Projection

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Appendix: Formulas of Proposed Projections

nji

njni

jijiex

1,,4,2,0,,5,3,1

nji

ninj

jijihy

1,,4,2,0,,5,3,1

Coordinates x and y shall be multiplied by semi-major axis and scale. Suffixes in the following formulas are in hexadecimal, above 101e corre-sponds to following e1A.

1. Whole pole (n=13)

1-1. Global Optimum Projection 1W e10= 0.6228264558386403 e12=-0.1696413853403095 e14=-0.0022442191999617225 e16= 0.13464775043284938 e18=-0.10889998807366562 e1A= 0.01914080873938964 e1C= 0.0003218010483635693 e30=-0.003337603263767829 e32= 0.01928425861041077 e34=-0.017678018588063966 e36= 0.0023162983046279735 e38= 0.00006787099698075589 e3A= 0.0002850663622411816 e50= 0.005768596195054032 e52=-0.006173651764483343 e54= 0.0002738049296873539 e56= 0.00027134725335115946 e58= 0.00010039875667065445 e70=-0.0010200753536500778 e72= 0.0008907794097926539 e74=-0.00003187080437796999 e76=-0.00006549210203304696 e90= 0.00009912834935327315 e92=-0.00007466294768126968 e94= 0.000013977354926819104 eB0=-3.4445379573470008e-6 eB2= 1.396018651757434e-6 eD0= 0. h01= 0.666598246632365 h03= 0.08632087380177071 h05=-0.09872045000471966 h07= 0.07488911506484948 h09=-0.020618054829455914 h0B= 0.0023303499659513495 h0D= 0.00003536777216571679 h21= 0.05231976314593295 h23=-0.04997798432241211 h25= 0.03951836070040382 h27=-0.001196402606039717 h29=-0.0036854386961166284 h2B=-0.00016427292137530347 h41=-0.0028941159577235546 h43= 0.013420525916955424 h45=-0.005881760209985892 h47=-0.0020046141551904994 h49= 0.0009632264298752777 h61= 0.0017925112712603092 h63=-0.0018805080842560367 h65= 0.0007615215402593546 h67=-0.00011907692789671633 h81=-0.00013760154789039383 h83= 0.0000605038701115918 h85=-1.9194541568368996e-6 hA1= 5.336882856029129e-6 hA3=-2.162957151733486e-6 hC1= 0. 1-2. Global Optimum Projection 3W e10= 0.6707864665078629 e12=-0.07615629308194467 e14=-0.3020347056083301 e16= 0.35876256428046416 e18=-0.16524281393986512

e1A= 0.0200623933260662 e1C= 0.0011371012383206089 e30=-0.006932161180581272 e32= 0.022806635335826 e34=-0.0031928632893446557 e36=-0.0006485505474800818 e38=-0.004533724949689743 e3A= 0.0016170060829796171 e50= 0.0035963391828549617 e52=-0.0093450633526383 e54= 0.001350381717126592 e56= 0.0006089719425731334 e58= 0.00005646002700803892 e70=-0.0002946060214692201 e72= 0.0009811056283479977 e74=-0.00016397788475398567 e76=-0.00007508245269837248 e90= 0.000012215250351151003 e92=-0.000049498162898958977 e94= 0.000018054425118712006 eB0=-1.0841933189763701e-7 eB2= 4.39407001503202e-8 eD0= 0. h01= 0.805740330153575 h03=-0.02577370732786276 h05= 0.03677128117297011 h07=-0.02491530295115373 h09= 0.018488497166116388 h0B=-0.0068308283185171586 h0D= 0.001009467110600368 h21= 0.021212199687998104 h23= 0.0363618416228826 h25=-0.09113946122240019 h27= 0.07803815204874368 h29=-0.024757641490493282 h2B= 0.0020698796736524456 h41= 0.0018476337962785895 h43= 0.00929754419351518 h45= 0.00004763952932283107 h47=-0.005123969609031086 h49= 0.0014000519234361071 h61= 0.0005991401494334982 h63=-0.0021391359739286976 h65= 0.0011484775040013248 h67=-0.0001539800492236138 h81= 0.000018832042418656673 h83= 0.00002389858109410288 h85=-0.000012779000707937873 hA1=-1.3480059527132494e-6 hA3= 5.463262347432945e-7 hC1= 0. 1-3. Global Optimum Projection 5W e10= 0.6879192773620365 e12=-0.0455581931788342 e14=-0.39309990952457197 e16= 0.3990478058231623 e18=-0.14985678141836475 e1A= 0.007739688881994368 e1C= 0.0029686905923310253 e30= 0.0014929018101194336 e32= 0.016525954085448 e34=-0.004545599813073012 e36= 0.0025726774482336115 e38=-0.006385268126352948 e3A= 0.0020056833450193302 e50=-0.00026111938589716885 e52=-0.0074620895529797825 e54= 0.0022233255110298113 e56= 0.00003568484285296084 e58= 0.0001241423355381326 e70= 0.0003308182557841332 e72= 0.0006582665549629224 e74=-0.00016403520512406046 e76=-0.00006366576166198452 e90=-0.000038978702604611324 e92=-0.00002522124763959365 e94= 0.000016624261363113513 eB0= 1.4978565840016802e-6 eB2=-6.07058408070076e-7 eD0= 0. h01= 0.8887407820372362 h03=-0.08601043778249014

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44

<「地図」Vol.52 No.2 2014 >

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hC1= 0. 1-5. Global Optimum Projection 9W e10= 0.7537759177758422 e12=-0.10474290105294275 e14=-0.38967092818531457 e16= 0.38509231418005735 e18=-0.13364360311917933 e1A= 0.003501466584373561 e1C= 0.003215085921571495 e30=-0.004952151950744396 e32= 0.015179210737264194 e34=-0.0012168159073605589 e36= 0.002451549397248303 e38=-0.006702296120676122 e3A= 0.002039276537698647 e50= 0.0006545223618101644 e52=-0.007339924353759744 e54= 0.0023667667586578433 e56=-0.00015314309191058673 e58= 0.00014427383230771035 e70= 0.000027155400645513503 e72= 0.0007435388172626647 e74=-0.0001805079631350276 e76=-0.000050781123030942124 e90=-0.00001065539168178565 e92=-0.00003164940584399328 e94= 0.000014577230037511247 eB0= 5.285655486635304e-7 eB2=-2.1421954809260235e-7 eD0= 0. h01= 1.0984938492553127 h03=-0.1504715116415672 h05= 0.2049058616393801 h07=-0.1504632712892335 h09= 0.03455669305500165 h0B= 0.0035276550321714597 h0D=-0.0016176453422851356 h21= 0.026634646257907423 h23= 0.020193380398988596 h25=-0.09820849376052947 h27= 0.09516294432402642 h29=-0.0344094011985352 h2B= 0.004016265448257036 h41=-0.0012693834460533004 h43= 0.010021229250664392 h45=-0.004214062624132279 h47=-0.0014978666475517761 h49= 0.0006663776689077456 h61= 0.0008265127723777453 h63=-0.0014294102492944751 h65= 0.0007808264530804577 h67=-0.0001366894692716189 h81=-0.00005839683500353612 h83= 0.00002424146128236974 h85=-2.3268025138192769e-7 hA1= 3.097347212668401e-6 hA3=-1.2553075429554323e-6 hC1= 0.

2. Free pole (n=11)

2-1. Global Optimum Projection 1F e10= 0.6273024355116783 e12=-0.07827149548417985 e14=-0.03449127169732944 e16=-0.03213461535500876 e18= 0.046125861029016724 e1A=-0.015867232148175255 e30= 0.004470844629033582 e32= 0.005373884155784835 e34=-0.0030603402651850882 e36=-0.0075712528725734455 e38= 0.0030928272068001927 e50= 0.0006993061165346302 e52=-0.002780658220262734 e54= 0.001798804433952677 e56=-0.00031884201237713855 e70= 0.00013714627817158295 e72=-0.00008017606656168056 e74= 9.967075727177777e-6 e90=-7.697746754570919e-6 e92= 3.1197792502083588e-6 eB0= 0. h01= 0.7085884174284707

h03=-0.014671916451834442 h05= 0.031258705786971375 h07= 0.019439196699591793 h09=-0.01372191745138486 h0B= 0.0030212373253932145 h21= 0.01262134790521347 h23= 0.02520779529885135 h25=-0.014697132616104669 h27= 0.009941746761793656 h29=-0.0036337647277093783 h41= 0.0071880473057094035 h43= 0.0002720273444777028 h45=-0.002939148208617676 h47= 0.0006679991432903204 h61= 0.00013222146192245484 h63=-0.00040841801936480047 h65= 0.0001438074576630538 h81= 8.70669570224429e-6 h83=-3.5286908566601873e-6 hA1= 0. 2-2. Global Optimum Projection 3F e10= 0.6518068830652018 e12=-0.07234365336913244 e14=-0.09264621812883582 e16= 0.040122065835988666 e18= 0.008889992644951555 e1A=-0.009201159926719308 e30= 0.008145440976790987 e32= 0.0018280552845810639 e34=-0.007495376184354872 e36=-0.0037648692765509463 e38= 0.0024155446654787046 e50=-0.0002759398882549873 e52=-0.0020613635727417244 e54= 0.001886245447644635 e56=-0.0004075063252444573 e70= 0.00014354171684090476 e72=-0.0000818753574393589 e74= 9.605285021250883e-6 e90=-6.821772760642135e-6 e92= 2.764760362589277e-6 eB0= 0. h01= 0.8360982940337973 h03=-0.025105587174105222 h05= 0.00040242205086195304 h07= 0.014569658406400045 h09=-0.0009504797659368479 h0B=-0.0005435891753713757 h21=-0.021297446330077508 h23= 0.04679408699552072 h25=-0.018630352368096594 h27= 0.008244357763737739 h29=-0.002821664663405561 h41= 0.015074145239948867 h43=-0.006498696263290169 h45=-0.0011622661784815981 h47= 0.0005350058601516773 h61=-0.0007251975765661824 h63= 0.00016543257089961756 h65= 0.00005207055164851935 h81= 0.00003145922428419748 h83=-0.00001274994336377866 hA1= 0. 2-3. Global Optimum Projection 5F e10= 0.6954788682468771 e12=-0.09005414998043301 e14=-0.06986345919861485 e16=-0.01953365515507945 e18= 0.046451019736718245 e1A=-0.016141639241664472 e30= 0.0011384960931224268 e32=-0.003450991133948564 e34= 0.0013487239230037988 e36=-0.006866762072320007 e38= 0.002760475306910267 e50= 0.0007357713448450721 e52=-0.001589879094588097 e54= 0.001350475761644898 e56=-0.00033516102583446174 e70= 0.00001520087746111194 e72=-0.000056871253557246154 e74= 0.00002055221989023227 e90=-2.02288976919757e-6

e92= 8.198463431722931e-7 eB0= 0. h01= 0.9118980362631725 h03=-0.05223797351406811 h05= 0.02460842317571259 h07=-0.003033313151202893 h09= 0.0017584672639898975 h0B=-0.00041458568861104 h21=-0.006825870910489833 h23= 0.02949701997147621 h25=-0.01098441122490374 h27= 0.005346787419973447 h29=-0.0021421838795719775 h41= 0.009631197561090085 h43=-0.0035408005311873916 h45=-0.001412412651701555 h47= 0.0005128739721122037 h61=-0.00018263325546641053 h63=-0.00006746409706710239 h65= 0.00005734072482853596 h81= 8.61131754545959e-6 h83=-3.490035545703986e-6 hA1= 0. 2-4. Global Optimum Projection 7F e10= 0.7329752951979399 e12=-0.14033651905019573 e14=-0.06891636998873392 e16= 0.014731326918104352 e18= 0.022908971603041405 e1A=-0.011345065263421364 e30=-0.002407731099295532 e32=-0.0005938608809945147 e34=-0.0036080759403252635 e36=-0.0034853227560286792 e38= 0.002109689163895708 e50= 0.0006268590432145859 e52=-0.0006749999435388594 e54= 0.0009979922395734436 e56=-0.00033532863690136 e70= 7.031034640058692e-6 e72=-0.00009978580676867713 e74= 0.00003928677658048126 e90=-1.304897559097112e-6 e92= 5.288550608788672e-7 eB0= 0. h01= 0.9874969756210039 h03=-0.037469898884221794 h05=-0.010229842135412193 h07= 0.0067163405727973385 h09= 0.0012386129717666431 h0B=-0.0006064761367974556 h21=-0.014441518893933613 h23= 0.024738287529043966 h25=-0.004815528682063169 h27= 0.003144902742945249 h29=-0.0017408077149933937 h41= 0.013284810358980308 h43=-0.005804697459642479 h45=-0.0011055779784240425 h47= 0.0005171543487743334 h61=-0.0007567391612819264 h63= 0.0002635224616766341 h65= 0.000017497101884642774 h81= 0.00002932366165307993 h83=-0.00001188443242966996 hA1= 0. 2-5. Global Optimum Projection 9F e10= 0.7589249601018353 e12=-0.15745676750560997 e14=-0.10904523031430456 e16= 0.046094563516668095 e18= 0.015031990970613831 e1A=-0.010454689331429668 e30=-0.004272989896916452 e32= 0.002988578956511861 e34= 0.0013908713205465159 e36=-0.0075206432397039325 e38= 0.0027358776464443332 e50= 0.0010105253748647022 e52=-0.002102664266120072 e54= 0.0014368336159617165 e56=-0.0003042231179828202

<「地図」Vol.52 No.2 2014 >

面積と角の歪のバランスを考慮した「最適全球図法」の開発(神谷  泉) 45

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e70=-0.00010698463509663563 e72= 0.000037348782572436834 e74= 2.435946415456579e-6 e90= 4.209512720013134e-6 e92=-1.7060512453968302e-6 eB0= 0. h01= 1.107087687513399 h03=-0.04542681151389675 h05=-0.02035940936729438 h07= 0.007184180002243986 h09=-0.0003901922545334944 h0B=-0.00009069295059787364 h21=-0.009037891530623612 h23= 0.009115035346093136 h25= 0.0005706331585194842 h27= 0.003148003462225681 h29=-0.0017325166821410064 h41= 0.010953821038793018 h43=-0.004017238602471107 h45=-0.0015762499120897844 h47= 0.0005694849022135687 h61=-0.0006177718794173195 h63= 0.00023719904825442598 h65= 5.339409112761353e-6 h81= 0.00002102200771195747 h83=-8.519898815655534e-6 hA1= 0.

3. Half pole (n=11)

3-1. Global Optimum Projection 1H e10= 0.6240218374504264 e12=-0.08509226275389493 e14= 0.005641388758487889 e16=-0.04535034705710768 e18= 0.0370635949099833 e1A=-0.012475423394844637 e30= 0.0037339222227385257 e32= 0.0028536419527331685 e34=-0.019795573748074093 e36= 0.006771319428765527 e38= 0.0002165148464754982 e50= 0.0013581015609486805 e52=-0.000774002312881314 e54= 0.0008539347240232065 e56=-0.0003093616787327038 e70= 7.973523640436369e-6 e72=-0.00014645398269880273 e74= 0.00005804586666950819 e90=-9.211197353116846e-7 e92= 3.7331576743238703e-7 eB0= 0. h01= 0.7027630896336056 h03= 0.017793343293751415 h05=-0.05865680076947649 h07= 0.12590712893864317 h09=-0.06731201833900989 h0B= 0.012944361537653621 h21= 0.01689526053971292 h23= 0.02097933971217887 h25=-0.010750593743345324 h27= 0.0005726267083592656 h29=-0.0003186651678977251 h41= 0.005689559494363927 h43= 0.0026656477763602753 h45=-0.002617552773591617 h47= 0.0002442504192487266 h61= 0.0002040250555740083 h63=-0.0006151003218871927 h65= 0.0002157784890890333 h81= 0.000011647497044079352 h83=-4.720552747907002e-6 hA1= 0. 3-2. Global Optimum Projection 3H e10= 0.6639914371114568 e12=-0.08338565221734902 e14=-0.007954067796297537 e16=-0.05761942078991174 e18= 0.04808245620533314 e1A=-0.014503974244132432 e30=-0.0007973076624116627 e32=-0.009136602315188487 e34=-0.005639142202369554 e36= 0.0015453140743447473

e38= 0.0009297071195603426 e50= 0.0028335881367453613 e52=-0.00037274698083830844 e54= 0.0002265019762508002 e56=-0.00021920488057783236 e70=-0.00027630793454550603 e72=-0.000034412609028048765 e74= 0.000059332062761733934 e90= 0.00001175313013042523 e92=-4.7633642252684325e-6 eB0= 0. h01= 0.8267281301484881 h03= 0.0423286488276306 h05=-0.15757243142278832 h07= 0.1851910360178154 h09=-0.08139956964711306 h0B= 0.013250064081443576 h21=-0.02050176197384285 h23= 0.017600101588302466 h25= 0.01707664687101098 h27=-0.014136319277173461 h29= 0.0023057892131387505 h41= 0.018348975095488333 h43=-0.005356999513936291 h45=-0.0013830935336006588 h47= 0.00021896708082199903 h61=-0.0013765903701712305 h63= 0.0002647180980274718 h65= 0.00011882663289958771 h81= 0.00006489324886920728 h83=-0.000026300243143299516 hA1= 0. 3-3. Global Optimum Projection 5H e10= 0.6808733653457916 e12=-0.06919558283684138 e14=-0.10455983638954176 e16= 0.006365908563890113 e18= 0.038424639329874714 e1A=-0.015236129923296067 e30= 0.009902998000645341 e32=-0.008844895655668678 e34= 0.006918746058568195 e36=-0.009964429888337546 e38= 0.0032236131003203017 e50=-0.001637031858627487 e52=-0.0009542741024192654 e54= 0.0013164375730160272 e56=-0.0002678093182585236 e70= 0.0002924823526031369 e72=-0.00013565870651774335 e74= 6.9385045969510264e-6 e90=-0.000013479752186407662 e92= 5.46313778692886e-6 eB0= 0. h01= 0.9176236923793628 h03=-0.016207989090793046 h05=-0.0767539854648725 h07= 0.11070779565372452 h09=-0.052024938492196485 h0B= 0.008765023479056399 h21=-0.02604994606745937 h23= 0.020188307349379073 h25= 0.014583848678714999 h27=-0.014410040087194041 h29= 0.002803572383766906 h41= 0.01854005149866658 h43=-0.006169588266122157 h45=-0.000363756163560826 h47=-0.00007340246730116135 h61=-0.0014518314329089864 h63= 0.0002610525336838492 h65= 0.00013267100480987 h81= 0.00006911338341592972 h83=-0.000028010599252914866 hA1= 0. 3-4. Global Optimum Projection 7H e10= 0.7240493481333307 e12=-0.17055412231637554 e14= 0.04446091574922617 e16=-0.08544347038614777 e18= 0.05651483493058992 e1A=-0.015145418994538301 e30= 0.00010436486178339782

e32= 0.003256669764030782 e34=-0.017562667375816795 e36= 0.00580367720969631 e38= 0.0003130133759397678 e50= 0.0006180158480593838 e52=-0.000793224591876703 e54= 0.0011602791974095247 e56=-0.00038109329480390025 e70=-0.000042806477494234754 e72=-0.00007054883100146098 e74= 0.00003562357286006686 e90= 1.8756190631368624e-6 e92=-7.601597741566382e-7 eB0= 0. h01= 1.0273519957588866 h03=-0.09178763242907123 h05=-0.0071065011653009495 h07= 0.04969499418164099 h09=-0.026452209992200142 h0B= 0.004720454129655416 h21=-0.05573022978678475 h23= 0.07057213489075528 h25=-0.019261151846347496 h27=-0.0037572642382716673 h29= 0.001492103787669605 h41= 0.02210294867369805 h43=-0.012694979034725872 h45= 0.00221411861733535 h47=-0.00028352628624989627 h61=-0.0015185169640654988 h63= 0.0005326819027095594 h65= 0.00003353724775499601 h81= 0.000057278141553130196 h83=-0.00002321395639598609 hA1= 0. 3-5. Global Optimum Projection 9H e10= 0.7346303564837592 e12=-0.17406407650758782 e14=-0.010036150998597183 e16=-0.07369841840453752 e18= 0.07123254782208611 e1A=-0.01943258762387702 e30= 0.012916564801872393 e32=-0.00025615000615134996 e34= 0.0003143801281276449 e36=-0.006854050970367296 e38= 0.002394767339961404 e50=-0.0035926096340970284 e52=-0.0011771723701463977 e54= 0.0016583358231057204 e56=-0.0002395796789735352 e70= 0.0004074710480533422 e72=-0.00010982614523978107 e74=-0.00002241858865553215 e90=-0.00001606284985576891 e92= 6.5100278402226415e-6 eB0= 0. h01= 1.1317459582154998 h03=-0.05929627837074199 h05=-0.06713472016148041 h07= 0.09085885596692803 h09=-0.044245292724926374 h0B= 0.007450474812861094 h21=-0.03411449670105865 h23= 0.031054522873282298 h25=-0.012614076170442114 h27= 0.003235593187914992 h29=-0.00038630529815156353 h41= 0.01726127287391674 h43=-0.006397782636217733 h45=-0.0004769031603989591 h47= 0.00009506523347772008 h61=-0.0013337290628056945 h63= 0.00041118292700685714 h65= 0.00005242645882969754 h81= 0.000051295967208863716 h83=-0.00002078947245472247 hA1= 0.

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<「地図」Vol.52 No.2 2014 >