Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα...

93
http://e-taksh.blogspot.gr Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 4 - Κεφάλαια 22-23 ΄΄ Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1
  • Upload

    -
  • Category

    Education

  • view

    899
  • download

    16

Transcript of Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα...

Page 1: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

http://e-taksh.blogspot.gr

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής

Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 4 - Κεφάλαια 22-23

΄΄ Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

Page 2: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Έννοια του ποσοστού

Τι είναι το ποσοστό Ποσοστό ενός ποσού είναι ένα μέρος(κλάσμα) του ποσού αυτού. Όταν αναφερόμαστε στο ποσοστό συνήθως εννοούμε ποσοστό " στα 100". Υποθέστε ότι έχουμε ένα δεκαδικό κλάσμα με παρονομαστή 100.

Έτσι, το 50% σημαίνει 50 στα 100 (50 ) 100 30% σημαίνει 30 στα 100 (30 ) 100 25% σημαίνει 25 στα 100 (25 ) 100

Χρωματίζω το 25% της επιφάνειας του σχήματος .

Για να γίνεται εύκολη η σύγκριση ανάμεσα σε διαφορετικά ποσά

χρησιμοποιούμε την κλίμακα του 100 (το ποσοστό στα %)

Παράδειγμα

Μετατρέπω κλάσματα σε ποσοστά:

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.2

Page 3: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1ος τρόπος

Τι κάνω Παράδειγμα

1. Βρίσκω έναν αριθμό με τον οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω τον παρονομαστή για να φτάσει στο 100

12 20 Ο αριθμός είναι το 5 γιατί 20Χ5=100

2. Πολλαπλασιάζω τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό

12 Χ5 = 60 20Χ 5 100

3. Γράφω τον αριθμητή με το σύμβολο %

60%

2ος τρόπος

Τι κάνω Παράδειγμα Διαιρώ τον αριθμητή με τον παρονομαστή του κλάσματος .Μετατρέπω δηλαδή το κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό

4 = 4: 20 = 0,20 20

Γράφω το δεκαδικό αριθμό με μορφή δεκαδικού κλάσματος με παρονομαστή το 100

0,20 = 20 100

Γράφω τον αριθμητή του κλάσματος και δίπλα %

20%

Διαιρώ τον αριθμητή με τον παρονομαστή του κλάσματος .Μετατρέπω δηλαδή το κλάσμα σε δεκαδικό αριθμό

4 = 4: 20 = 0,20 20

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: με τρεις τρόπους μπορούμε να εκφράσουμε το ποσοστό (δηλαδή το μέρος ενός όλου)

* Με το σύμβολο του ποσοστού(%) * Με δεκαδικό αριθμό και * Με δεκαδικό κλάσμα

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.3

Page 4: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

 

27

Μάθημα 26ο Έννοια του ποσοστού

Ένα εκατοστιαίο κλάσμα ( κλάσμα με παρονομαστή 100 ), μπορεί να γραφεί με συμβολικό τρόπο ως ποσοστό στα εκατό. Το σύμβολό του είναι % (π.χ. αντί να

πούμε ότι το ενοίκιο του σπιτιού αυξήθηκε κατά 100

4 είναι προτιμότερο να πούμε ότι

αυξήθηκε κατά 4 %). Αντίστοιχα, ένα κλάσμα με παρονομαστή 1000, μπορεί να γραφεί με συμβολικό τρόπο ως ποσοστό στα χίλια. Το σύμβολό του είναι ‰.

Το ποσοστό στα εκατό ( %), αφού είναι εκατοστιαίο κλάσμα, μπορεί να γραφεί και ως δεκαδικός αριθμός, αρκεί να γράψουμε μόνο τον αριθμητή του κλάσματος και να χωρίσουμε με υποδιαστολή δύο δεκαδικά ψηφία (π.χ. 4% ή γίνεται 0,04).

Αντίστροφα, ένα κλάσμα, το οποίο δεν είναι εκατοστιαίο, μετατρέπεται σε δεκαδικό, άρα και σε ποσοστό, διαιρώντας τον αριθμητή δια του παρονομαστή ( π.χ. επιτυχία 18

στα 25 καλάθια σημαίνει κλάσμα 2518

, άρα 18 : 25 = 0,72 ή 72%).

Για να υπολογίσουμε το ποσοστό ενός αριθμού, γράφουμε το ποσοστό σε δεκαδική ή κλασματική μορφή και το πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμό (π.χ. το 25% του αριθμού

60 είναι 0,25 • 60 = 15 ή 10025

• 60 = 15).

ΠΡΟΣΟΧΗ: Το 3% είναι 100

3 άρα 0,03 και όχι 0,3.

Επίσης, το 0,6 σημαίνει 0,60, άρα 60% και όχι 6%.

Εφαρμογές

1. Να υπολογίσεις το 30% του 80.

α΄ τρόπος

Το 30% του 80 είναι τα 10030

του 80 , δηλαδή 10030

· 80 = 100

8030 =

1002400

= 24

β΄ τρόπος

Το 30% του 80 είναι τα 10030

= 0,3 του 80, δηλαδή 0,3 · 80 = 24

2. Να μετατρέψεις το κλάσμα 51

σε ποσοστό στα εκατό ( % ).

Για να γίνει εκατοστιαίο κλάσμα πρέπει ο παρονομαστής του να γίνει 100. Άρα πρέπει να πολλαπλασιάσω τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με τον αριθμό 20, δημιουργώντας το ισοδύναμο κλάσμα του αρχικού.

51

= 205201

= 10020

ή 20%

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.4

Page 5: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

 

28

Ασκήσεις 1. Να γράψεις τα παρακάτω κλάσματα με μορφή δεκαδικού αριθμού και με ποσοστά στα

εκατό ( % ) ή στα χίλια ( ‰ ).

10020

= ………… ή ……….10060

= ………… ή ……….100

2 = ………… ή ……

10025

= ………… ή ……….100

5 = ………… ή ……….

10010

= ………… ή …...

100020

= ……… ή ………. 1000

3 = ………. ή ……….

10001

= ………... ή ……

2. Να μετατρέψεις σε δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς τα ποσοστά:

10% ή ………. = ……….

30% ή ………. = ………. 50% ή ………… = ……

70% ή ………. = ……….

5% ή ………. = ……… 100% ή ………. = …..

10‰ ή ………. = ……….

100 ‰ ή ………. = ………. 1000 ‰ ή ………. = …..

3. Να υπολογίσεις στο τετράδιό σου τα παρακάτω ποσοστά :

10% του 20 20% του 50 30% του 90

20% του 80 5% του 40 15% του 60

25% του 50 8% του 80 15% του 90

4. Να συμπληρώσεις τον παρακάτω πίνακα :

5% 10% 20% 50%

10 €

20 €

50 €

100 €

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.5

Page 6: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

 

29

5. Να μετατρέψεις τα παρακάτω κλάσματα σε ποσοστά στα εκατό ( % ) :

101

= ……… 205

= ……… 2510

= ………

21

= ………. 42

= ………. 5015

= ……….

6. Μια αίθουσα κινηματογράφου είναι γεμάτη κόσμο. Το 35% του κόσμου είναι γυναίκες, το

45% άντρες και οι υπόλοιποι παιδιά. Αν όλοι οι θεατές είναι 360, να βρείτε : α) Ποιο ποσοστό % από τους θεατές είναι τα παιδιά ; β) Πόσοι είναι οι άντρες, πόσες οι γυναίκες και πόσα τα παιδιά ; 7. Στα 1ο και 5ο Δημοτικά Σχολεία Αλεξάνδρειας υπάρχουν 430 μαθητές. Απ’ αυτούς το

40% επέλεξαν για δεύτερη ξένη γλώσσα τα Γερμανικά και το 30% τα Γαλλικά. Πόσοι μαθητές επέλεξαν τα Γερμανικά και πόσοι τα Γαλλικά ;

8. Ένα ψυγείο που αρχικά στοίχιζε 560 € πουλήθηκε με έκπτωση 25%. Πόσα € είναι το

κέρδος του αγοραστή από την έκπτωση και ποια είναι η τελική τιμή πώλησης του ψυγείου ;

9. Ένας έμπορος αγόρασε 80 κιλά ντομάτες και έδωσε 100 €. Τις μισές τις πούλησε με

κέρδος 30% και τις άλλες μισές με ζημία 10%. Πόσα χρήματα πήρε ; 10. Το θαλασσινό νερό περιέχει 3% αλάτι. Πόσα κιλά αλάτι περιέχεται σε 7,5 τόνους

θαλασσινού νερού ; 11. Όταν αλέθεται το σιτάρι χάνει 5% από το βάρος του. Κατά πόσα κιλά θα μειωθεί το

βάρος 2 τόνων σιταριού, όταν αλεστεί και γίνει σιτάρι ; 12. Τα παιδιά της Ε΄ τάξης, έπαιζαν μπάσκετ. Ποιο παιδί από τα ακόλουθα έχει το

μεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας στα εκατό ;

Ο Νίκος στις 20 βολές πέτυχε τις 18.

Η Γεωργία στις 25 βολές πέτυχε τις 22.

Ο Παντελής στις 20 βολές πέτυχε τις 15.

Η Ελένη στις 10 βολές πέτυχε τις 10.

Ο Απόστολος στις 50 βολές πέτυχε τις 34.

Η Κατερίνα στις 25 βολές πέτυχε τις 21.

Ο Κώστας στις 50 βολές πέτυχε τις 22.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.6

Page 7: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

 

30

13. Ένα γιαούρτι περιέχει 2% λιπαρά και έχει βάρος 200 γραμμάρια. Πόσα γραμμάρια λιπαρών περιέχει ;

14. Ένα σχολείο έχει 450 μαθητές. Κάθε μέρα απουσιάζει το 6% των παιδιών. Πόσα παιδιά

απουσιάζουν κάθε μέρα ; 15. Σε μια βιβλιοθήκη υπάρχουν 2.500 βιβλία. Το 25% είναι βιβλία ξένων συγγραφέων.

Πόσα βιβλία είναι ξένων συγγραφέων ; 16. Για το πάρτι του σχολείου αγοράστηκαν 300 χυμοί. Απ’ αυτούς οι 36 είναι χυμοί

ροδάκινου. Τι ποσοστό είναι οι χυμοί ροδάκινου ; 17. Μια τάξη έχει 25 μαθητές. Στις εκλογές του συμβουλίου οι μαθητές που εκλέχτηκαν

πήραν τους πιο κάτω ψήφους: Αντρέας 9, Μαρία 7, Έλενα 4, Παύλος 3 και Αλεξία 2. Κάθε μαθητής ψήφιζε μόνο ένα συμμαθητή του. Τι ποσοστό ψήφων πήρε κάθε μαθητής ;

18. Να συμπληρωθούν οι ασκήσεις : …. % του 12 είναι 6 …. % του 12 είναι 3

…. % του 20 είναι 5 …. % του 20 είναι 15

…. % του 300 είναι 150 …. % του 200 είναι 25

19. Βρείτε τις τιμές των προϊόντων με έκπτωση 20% :

ψυγείο 400 € : …………………………………………………………………………………

βραστήρας 30 € : ………………………………………………………………………………

ηλεκτρική σκούπα 75 € : ………………………………………………………………………

πλυντήριο 300 € : ……………………………………………………………………………..

τηλεόραση 250 € : ……………………………………………………………………………..

20. Ένα σχολείο έχει 300 μαθητές. Ποσοστό 3% δεν πήγαν εκδρομή. Πόσα παιδιά δεν

πήγαν εκδρομή ; 21. Σε μια βιβλιοθήκη υπάρχουν 3.700 βιβλία. Το 14% είναι ιστορικά βιβλία και 21%

λογοτεχνικά. Πόσα βιβλία είναι ιστορικά και πόσα λογοτεχνικά ; 22. Για το πάρτι του σχολείου αγοράστηκαν 550 χυμοί. Απ’ αυτούς οι 110 είναι χυμοί μήλου.

Τι ποσοστό είναι οι χυμοί μήλου ; 23. Ένα χωριό έχει 500 ψηφοφόρους. Στις εκλογές του κοινοτικού συμβουλίου οι 3

υποψήφιοι πήραν τους πιο κάτω ψήφους: Α : 50, Β : 150, και Γ : τους υπόλοιπους. Κάθε ψηφοφόρος ψήφιζε μόνο έναν υποψήφιο. Τι ποσοστό ψήφων πήρε κάθε υποψήφιος ;

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.7

Page 8: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.8

Page 9: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.9

Page 10: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1o ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ 1dimnikaias.blogspot.com

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ΄ΤΑΞΗΣ :

Οδηγός με θεωρία και λυμένα προβλήματα για να κατανοήσω τον τρόπο λύσης προβλημάτων με ποσοστά. Α) Πρώτα απ’ όλα πρέπει να γίνει κατανοητή η έννοια του ποσοστού. Όταν λέμε ποσοστό ενός ποσού εννοούμε ένα μέρος από το ποσό αυτό, π.χ. Από τους 25 μαθητές της ΣΤ ΄τάξης οι 9 μαθητές φορούν γυαλιά. Άρα το ποσοστό των μαθητών που φορούν γυαλιά είναι 9 στους 25. Αν θέλω να μετατρέψω το παραπάνω ποσοστό σε ποσοστό στα

100, δηλαδή να το εκφράσω ως μέρος ενός ποσού που έχει τιμή 100,

πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή με τον κατάλληλο

αριθμό, ώστε να έχω το ισοδύναμο του κλάσμα με παρονομαστή το

100.

Έτσι έχω: 9 x 4 = 36 . 25 x 4 100 Το ποσοστό των μαθητών της ΣΤ΄τάξης που φορούν γυαλιά στα 100 είναι 36/100. Β) Για να βρω το ποσοστό ενός ποσού κάνω πολλαπλασιασμό,

π.χ για να βρω τα του 300 πολλαπλασιάζω Χ 300= = 180

1)Λύνω προβλήματα με ποσοστά : βρίσκω την τελική τιμή Σε αυτήν την περίπτωση: ΞΕΡΩ: ΔΕΝ ΞΕΡΩ: Την αρχική τιμή Την τελική τιμή Το ποσοστό αύξησης ή μείωσης στα %

9 25

6 10

6 10

1800 10

ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 1

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.10

Page 11: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1o ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ 1dimnikaias.blogspot.com

Λύνω ως εξής: Α) Με πολλαπλασιασμό: Υπολογίζουμε το ποσό αύξησης ή μείωσης και το προσθέτουμε ή το αφαιρούμε απ’ την αρχική τιμή. Β) Με αναλογία( πινακάκι),αφού βρούμε με το νου την τελική τιμή στα 100. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Ένας ελαιοπαραγωγός έβγαλε πέρυσι 3.500 κιλά λάδι. Φέτος η παραγωγή του μειώθηκε 20%. Πόσα κιλά λάδι είναι η φετινή παραγωγή του; ΞΕΡΩ: ΔΕΝ ΞΕΡΩ:

• Την αρχική τιμή: Την τελική τιμή: (έβγαλε πέρυσι 3.500 κιλά λάδι) ( φετινή παραγωγή)

• Το ποσοστό μείωσης στα%: (η παραγωγή του μειώθηκε 20%) Λύνω: Α) Με πολλαπλασιασμό: x 3.500 = 20 x = =700 Περσινή παραγωγή- Μείωση παραγωγής= Φετινή παραγωγή Αρχική τιμή - Ποσοστό μείωσης = Τελική τιμή 3.500 - 700 = 2.800 κιλά λάδι Β) Με αναλογία: Πράξη με το νου: 100- 20= 80

ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ

ΤΕΛΙΚΗ ΤΙΜΗ

80

Χ;

ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ

100

3.500

Τελική τιμή = 80 = Χ . Αρχική τιμή 100 3.500

-20%

20 100

3.500 100

70.000 100

100* Χ=80* 3.500, 100*Χ=280.000, Χ= 280.000:100, Χ= 2.800 κιλά λάδι η φετινή παραγωγή.

ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 2

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.11

Page 12: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1o ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ 1dimnikaias.blogspot.com

2) Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω την αρχική τιμή Σε αυτή την περίπτωση ΞΕΡΩ: ΔΕΝ ΞΕΡΩ:

• Την Τελική τιμή Την αρχική τιμή • Το ποσοστό αύξησης ή μείωσης στα %

ή

ΞΕΡΩ: ΔΕΝ ΞΕΡΩ: • Το ποσοστό επί της αρχικής τιμής Την αρχική τιμή

(δηλαδή ένα μέρος της αρχικής τιμής)

• Το ποσοστό αύξησης ή μείωσης στα % Σε αυτή την περίπτωση λύνω με τους εξής τρόπους: Α) Αν το ποσοστό εκφράζει αύξηση ή μείωση σχηματίζω αναλογία, αφού πρώτα βρω την τελική τιμή στα 100 με το νου. Τελική τιμή Αρχική τιμή Β) Αν το ποσοστό εκφράζει μέρος ενός συνόλου, σχηματίζουμε αναλογία στην οποία δεν υπάρχει τελική τιμή Ποσοστό Αρχική τιμή αλλά αρχική τιμή και ποσοστό επί της αρχικής τιμής. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ – ΠΡΟΒΛΗΜΑ Ο μισθός ενός υπαλλήλου αυξήθηκε κατά 5% και έγινε 1.260 ευρώ.

Να υπολογίσετε το μισθό του υπαλλήλου πριν την αύξηση.

ΞΕΡΩ: ΔΕΝ ΞΕΡΩ:

• Την τελική τιμή Την αρχική τιμή

( ο μισθός είναι 1.260 ευρώ) ( ο μισθός πριν την αύξηση)

• Το ποσοστό αύξησης στα %

( η αύξηση είναι 5 % )

ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 3

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.12

Page 13: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1o ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ 1dimnikaias.blogspot.com

ΛΥΝΩ:

Παρατηρώ ότι το ποσοστό στα % του προβλήματος αυτού

εκφράζει αύξηση. Το λύνω λοιπόν με αναλογία, αφού πρώτα βρω την

τελική τιμή στα 100 με το νου.

ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ

Τελική

τιμή

105

1260

Αρχική

τιμή

100

Χ;

Τελική τιμή = 105 = 1260 . Αρχική τιμή 100 Χ

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ- ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε μια έρευνα δέχτηκαν να απαντήσουν 370 άτομα, ποσοστό 74% από

όσους ρωτήθηκαν. Να βρείτε τον αριθμό των ατόμων που ρωτήθηκαν.

ΞΕΡΩ: ΔΕΝ ΞΕΡΩ:

• Το ποσοστό στα % την αρχική τιμή

( απάντησε το 74% απ’ όσους ρωτήθηκαν) ( πόσα ήταν όλα

τα άτομα που

ρωτήθηκαν)

• Το ποσοστό επί της αρχικής τιμής

(δηλαδή ένα μέρος της αρχικής τιμής)

( απάντησαν 370 άτομα)

ΛΥΝΩ:

Παρατηρώ ότι το ποσοστό 74% του προβλήματος αυτού, εκφράζει

μέρος του συνόλου. Σχηματίζω αναλογία ως εξής:

105*Χ= 100*1.260,

105*Χ=126.000,

Χ= 126.000 : 105,

Χ=1.200 ευρώ ήταν ο μισθός

πριν την αύξηση.

ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 4

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.13

Page 14: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1o ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ 1dimnikaias.blogspot.com

ΠΟΣΑ

ΤΙΜΕΣ

ΠΟΣΟΣΤΟ

74

370

ΑΡΧΙΚΗ

ΤΙΜΗ

100

Χ;

ΠΟΣΟΣΤΟ = 74 = 370

ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ 100 Χ

3) Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω το ποσοστό στα % Σε αυτήν την περίπτωση

ΞΕΡΩ: ΔΕΝ ΞΕΡΩ:

• Την αρχική τιμή Το ποσοστό στα %

• Την αύξηση ή μείωση στην αρχική τιμή

ή

ΞΕΡΩ: ΔΕΝ ΞΕΡΩ:

• Την αρχική τιμή Το ποσοστό %

• Την τελική τιμή

Λύνω με τους εξής τρόπους:

Α) Όταν γνωρίζουμε την αρχική τιμή και τη συνολική μείωση ή αύξηση

στην αρχική τιμή, σχηματίζουμε αναλογία: ΠΟΣΟΣΤΟ

ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ

Β) Όταν γνωρίζουμε την αρχική τιμή και την τελική τιμή, σχηματίζουμε

αναλογία, αφού πρώτα βρούμε το ποσοστό αύξησης ή μείωσης με

αφαίρεση. συνολική αύξηση ή συνολική μείωση

Αρχική τιμή αρχική τιμή

74*Χ=100* 370,

74*Χ=37.000,

Χ=37.000 : 74,

Χ= 500 άτομα ρωτήθηκαν

ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 5

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.14

Page 15: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1o ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ 1dimnikaias.blogspot.com

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ- 1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Ο Χάρης θέλει να αγοράσει ένα παιχνίδι αξίας 45 ευρώ. Ο

καταστηματάρχης του έκανε έκπτωση 9 ευρώ. Υπολόγισε το ποσοστό

έκπτωσης.

ΞΕΡΩ: ΔΕΝ ΞΕΡΩ:

Την αρχική τιμή Το ποσοστό% έκπτωσης

( το παιχνίδι κοστίζει 45 €)

Τη μείωση στην αρχική τιμή

(η έκπτωση είναι 9 €)

ΛΥΝΩ:

ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ

ΠΟΣΟΣΤΟ

Μείωσης στην

αρχική τιμή

9

Χ;

Αρχική τιμή 45 100

Ποσοστό = 9 . = Χ

Αρχική τιμή 45 100

ΠΡΟΒΛΗΜΑ- 2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Ένας έμπορος αγοράζει ένα φουστάνι στην τιμή των 68€. Στο

κατάστημά του θα το πουλήσει στην τιμή των 85 €. Να υπολογίσετε

το ποσοστό ( % ) του κέρδους του.

45*Χ=9* 100,

45*Χ=900,

Χ= 900 : 45,

Χ=20 Η έκπτωση είναι 20%

ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 6

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.15

Page 16: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1o ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ 1dimnikaias.blogspot.com

ΞΕΡΩ: ΔΕΝ ΞΕΡΩ:

Την αρχική τιμή Το ποσοστό (%) κέρδους

(αγοράζει το φουστάνι 68€)

Την τελική τιμή

( πουλά το φουστάνι 85€ )

ΛΥΝΩ:

Αφού γνωρίζω την αρχική και την τελική τιμή σχηματίζω αναλογία,

αφού πρώτα βρω με αφαίρεση το ποσοστό αύξησης.

Η συνολική αύξηση είναι:85-68=17 € ΠΟΣΑ

ΤΙΜΕΣ

Συνολική αύξηση στην αρχική τιμή (κέρδος) 17

Χ;

Αρχική τιμή 68 100

Κέρδος = 17 = Χ

Αρχική τιμή 68 100

`

Η τιμή στην οποία υπολογίζεται το ποσοστό είναι η αρχική τιμή

68* Χ=17*100,

68*Χ=1.700,

Χ=1.700 : 68,

Χ=25

Απάντηση: Το ποσοστό

κέρδους του είναι 25%.

ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 7

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.16

Page 17: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1o ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΙΚΑΙΑΣ 1dimnikaias.blogspot.com

ΠΗΓΗ: selides.gr

Μπορούμε να λύνουμε τα προβλήματα των ποσοστών με τις μεθόδους που λύνουμε τα προβλήματα ανάλογων ποσών: Αναγωγή στη μονάδα Αναλογία Απλή μέθοδο των τριών

Στα προβλήματα με ποσοστά τα ποσά είναι πάντα ανάλογα.

Στα προβλήματα ποσοστών έχουμε: Αρχική τιμή Τελική τιμή Ποσοστό

ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ 8

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.17

Page 18: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Η έννοια του ποσοστού και πως λύνονται

προβλήματα με ποσοστά

Γ.Φ. Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.18

Page 19: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Τι είναι το ποσοστό στα %; • Ένα εκατοστιαίο κλάσμα (κλάσμα με

παρονομαστή το 100) μπορεί να γραφεί με συμβολικό τρόπο ως ποσοστό στα εκατό.

• Το σύμβολό του είναι % π.χ. Αντί να πούμε το ενοίκιο του σπιτιού

αυξήθηκε κατά 6/100, είναι προτιμότερο να πούμε ότι αυξήθηκε κατά 6%.

• Αντίστοιχα ένα κλάσμα με παρονομαστή το 1.000 μπορεί να γραφεί με συμβολικό τρόπο σαν ποσοστό στα χίλια. Το σύμβολό του είναι ‰

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.19

Page 20: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Μετατροπή του % σε δεκαδικό αριθμό

• Το ποσοστό στα εκατό (%), αφού είναιεκατοστιαίο κλάσμα, μπορεί να γραφεί καισαν δεκαδικός αριθμός, αρκεί να γράψουμεμόνο τον αριθμητή του κλάσματος και ναχωρίσουμε με υποδιαστολή δύο δεκαδικάψηφία (προς τ’ αριστερά)

Π.χ. το 16% γίνεται 0,16 , το 6% γίνεται 0,06 ή το 116% γίνεται 1,16

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.20

Page 21: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Μετατροπή μη εκατοστιαίου κλάσματος σε δεκαδικό αριθμό και ποσοστό %

• Ένα κλάσμα που δεν είναι εκατοστιαίο μετατρέπεται σε δεκαδικό, άρα και σε ποσοστό %, διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή του κλάσματος.

Π.χ. επιτυχία 12 στις 15 κορύνες σημαίνει κλάσμα 12 άρα 12:15 = 0,8 0,80 ή 80%

15

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.21

Page 22: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Υπολογισμός του ποσοστού ενός αριθμού

• Για να υπολογίσουμε το ποσοστό ενός αριθμού, γράφουμε το ποσοστό σε δεκαδική ή κλασματική μορφή και το πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμό.

Π.χ. το 25% του αριθμού 60 είναι: 0,25 * 60 = 15 ή 25 * 60 = 15 100

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.22

Page 23: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΠΡΟΣΟΧΗ!!!

• Το 3% είναι 3 άρα 0,03 και όχι 0,3 100 • Το 0,6 σημαίνει 0,60, άρα 60% και όχι 6%

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.23

Page 24: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Προβλήματα με ποσοστά • Όταν γνωρίζω το ποσοστό το οποίο περιέχεται

σε ένα σύνολο, και θέλω να υπολογίσω τοναριθμό τον οποίο αντιπροσωπεύει αυτό τοποσοστό στο σύνολο, παίρνω το ποσοστό στηδεκαδική μορφή του και πολλαπλασιάζω με τοσύνολο

Π.χ. αν μια σοκολάτα 500 γραμμ..(σύνολο) περιέχει 15% ζάχαρη (ποσοστό) τότε περιέχει

0,15 * 500 = 75 γραμμ. ζάχαρης

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.24

Page 25: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Προβλήματα με ποσοστά • Όταν γνωρίζω το ποσό που περιέχεται σ’ ένα

σύνολο(μέρος), και θέλω να υπολογίσω τοποσοστό που αντιπροσωπεύει αυτό το ποσό στοσύνολο, διαιρώ το ποσό που γνωρίζω δια τοσύνολο, οπότε προκύπτει το ποσοστό στηδεκαδική μορφή του

Π.χ. αν μια σοκολάτα 200 γραμμ. (σύνολο) περιέχει 130 γραμμ. κακάο (μέρος), τότε η περιεκτικότητα της σε κακάο είναι :

130 : 200 = 0,65 δηλαδή 65% Γιάννης Φερεντίνος

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.25

Page 26: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Λύνω προβλήματα με ποσοστά: Βρίσκω το ποσοστό στα εκατό (%)

Γιάννης Φερεντίνος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.26

Page 27: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Βρίσκω το ποσοστό στα εκατό (%)

• Το ποσοστό υπολογίζεται πάντα στην αρχική τιμή και ποτέ στην τελική.

• Όταν το ζητούμενο σε ένα πρόβλημα είναι το ποσοστό %, δηλαδή το ποσοστό σε αρχική τιμή 100, για να το λύσουμε πρέπει να ξέρουμε την αρχική τιμή και την αύξηση ή μείωση στην αρχική τιμή.

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.27

Page 28: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Γνωρίζω την αρχική τιμή και το ποσοστό στην αρχική τιμή

• Σχηματίζω αναλογία Παράδειγμα

Ένα φόρεμα των 120 €, πουλήθηκε με έκπτωση 18 €. Πόσο ήταν το ποσοστό % της έκπτωσης;

Έκπτωση = 18 = χ Αρχική τιμή 120 100 Η εξίσωση είναι: 120 * χ = 18 * 100 120 * χ = 1.800 Χ = 1.800 : 120 χ = 15 Το ποσοστό έκπτωσης ήταν 15%

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.28

Page 29: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Γνωρίζω την αρχική τιμή και την τελική τιμή

• Αφαιρώ πρώτα την αρχική με την τελική τιμή, υπολογίζοντας τη μεταβολή, η οποία αντιστοιχεί στο ποσοστό, και στη συνέχεια κατασκευάζω πίνακα ή σχηματίζω αναλογία με την αρχική τιμή και το ποσοστό.

• Από τον πίνακα σχηματίζω εξίσωση «χιαστί» και τη λύνω.

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.29

Page 30: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Παράδειγμα • Ένας έμπορος αύξησε την τιμή ενός

προϊόντος από 140 € σε 147 €. Πόσο % ήταν η αύξηση που έκανε;

147 – 140 = 7 € ήταν η αύξηση του προϊόντος Οπότε: αρχική τιμή = 140 = 100 αύξηση 7 χ Η εξίσωση είναι: 140 * χ = 7 * 100 140 * χ = 700 χ = 700 : 140 χ = 5 Η αύξηση που έκανε ήταν 5%.

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.30

Page 31: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Γνωρίζω την τελική τιμή

• Αν γνωρίζω την τελική τιμή και δεν μου είναι γνωστή η αρχική τιμή ή το ποσοστό αύξησης ή μείωσης στην αρχική τιμή, τότε υπολογίζω πρώτα αυτό που δεν γνωρίζω και μετά συνεχίζω για να βρω το ποσοστό στα εκατό (%).

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.31

Page 32: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Παράδειγμα • Σε μια ορεινή κοινότητα ο πληθυσμός στο

τέλος της χρονιάς ήταν 829 κάτοικοι. Κατά τη διάρκεια της χρονιάς είχαν 8 γεννήσεις και 19 θανάτους. Ποιο είναι το ποσοστό % μείωσης του πληθυσμού της κοινότητας;

19-8= 11 θάνατοι , 829+11= 840 (αρχική τιμή) Οπότε: αρχική τιμή = 840 = 100 ποσοστό 11 χ Συνεπώς: 840*χ = 11*100 840*χ = 1.100 χ = 1.100 : 840 χ = 1,31 Το ποσοστό μείωσης είναι 1,31%

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.32

Page 33: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Χρυσοί κανόνες • Η τιμή ενός ποσού στην οποία υπολογίζεται το

ποσοστό, για ένα πρόβλημα ποσοστών, λέγεται αρχική τιμή (ακόμη κι αν είναι η τιμή πώλησης του προϊόντος)

• Τα ποσά στα ποσοστά είναι πάντα ανάλογα. • Τα προβλήματα ποσοστών λύνονται με τις μεθόδους

λύσεις των ανάλογων ποσών (αναγωγή στη μονάδα, αναλογία, απλή μέθοδο των τριών)

• Επειδή υπάρχει πάντα η τιμή 100, γνωρίζοντας δύο τιμές, μπορούμε να βρούμε τις άλλες δυο, αρκεί να προσέξουμε στην κατάταξη

• Μπορεί να χρειάζεται νοερή πράξη στα 100.

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.33

Page 34: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Ποσοστά Εκτιμώ – Βρίσκω το ποσοστό

Γιάννης Φερεντίνος Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.34

Page 35: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Τι είναι το ποσοστό;

• Ποσοστό ενός ποσού ονομάζεται ο λόγος του μέρους προς το συνολικό ποσό

Ποσοστό = μέρος σύνολο Ο Αντρέας είχε ποσοστό επιτυχίας:

6 στις 8 βολές (6/8) Ο δήμαρχος πήρε 1.234 ψήφους από τις

2.345 ψήφους (ποσοστό 1.234/2.345)

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.35

Page 36: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Ποσοστό στα 100 (%)

• Όταν το συνολικό ποσό έχει τιμή 100, τότε το μέρος του ονομάζεται ποσοστό στα εκατό και γράφεται με κλάσμα που έχει παρονομαστή το 100 ή με το σύμβολο %.

Πχ Η Άννα έλυσε 4 από τις 5 ασκήσεις, άρα είχε ποσοστό επιτυχίας 80% ή 80

4 = χ χ = 4*100 χ = 80 100 5 100 5

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.36

Page 37: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Ποσοστό στα 1.000 (‰)

• Για μικρά μέρη μεγάλων ποσών χρησιμοποιούμε το ποσοστό στα χίλια, (τοις χιλίοις) δηλαδή κλάσμα με παρονομαστή το 1.000 ή το σύμβολο ‰

• Ο δείκτης γεννήσεων είναι 5 ‰, δηλαδή γεννιούνται 5 βρέφη σε κάθε 1.000 άτομα.

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.37

Page 38: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Βρίσκω το ποσοστό Μετατροπή από ποσοστό σε δεκαδικό

• Το ποσοστό στα εκατό (%), αφού είναι εκατοστιαίο κλάσμα, μπορεί να γραφεί και ως δεκαδικός αριθμός, αρκεί να γράψουμε μόνο τον αριθμητή του κλάσματος και να χωρίσουμε με υποδιαστολή δυο δεκαδικά ψηφία.

Πχ 67% = 0,67 ,,, 5% = 0,05 ,,, 234%= 2,34

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.38

Page 39: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Βρίσκω το ποσοστό Μετατροπή από κλάσμα σε ποσοστό • Αντίστροφα, ένα κλάσμα που δεν έχει

παρονομαστή το 100, μπορεί να γραφτεί και ως δεκαδικός αριθμός, διαιρώντας τον αριθμητή δια τον παρονομαστή του.

Πχ 14 = 14:27 = 0,51 ή 51% 27

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.39

Page 40: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Βρίσκω το ποσοστό

• Για να υπολογίσουμε το ποσοστό ενός αριθμού, γράφουμε το ποσοστό σε δεκαδική ή κλασματική μορφή και το πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμό.

Πχ το 25% του αριθμού 80 είναι 0,25 * 80 = 20 ή 25 * 80 = 2.000 = 20 100 100

Γιάννης ΦερεντίνοςΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.40

Page 41: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Δήμητρα Λογγίνου

Παρατηρώ ότι ανά …….gr…………. έχω

………..kcal ενέργειας …….. gr πρωτεΐνες,

………. gr λιπαρά. Μπορείς να φτιάξεις τους

λόγους;

𝐾𝑐𝑎𝑙

𝛴𝜐𝜎𝜏𝛼𝜏𝜄𝜅ά 𝛼𝜈ά 𝛾𝜌𝛼𝜇𝜇ά𝜌𝜄𝛼 =

383

100

__________________ = ____

__________________ = ____

Παρατηρώ ότι ανά …….gr ………….

έχω ………..kcal ενέργειας …….. gr

πρωτεΐνες, ………. gr λιπαρά. Μπορείς

να φτιάξεις τους λόγους;

____________________ = _______

____________________ = _______

____________________ = _______

Παρατήρησε τα συστατικά

των προϊόντων και

συμπλήρωσε…

Η έννοια του Ποσοστού

Φύλλο Εργασίας

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.41

Page 42: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Δήμητρα Λογγίνου

Παρατηρώ ότι ανά …….ml1 …………. έχω

………..kcal ενέργειας …….. gr πρωτεΐνες,

………. gr λιπαρά. Μπορείς να φτιάξεις τους

λόγους;

_____________ = _______

_____________ = _______

_____________ = _______

1 Μονάδα μέτρησης της ποσότητας των υγρών. Τα υγρά μετριούνται σε λίτρα ( L ) κι όχι σε κιλά . To ml είναι υποδιαίρεση του λίτρου αντίστοιχη με τα γραμμάρια.

Σοκολάτα Γάλα

Πιστεύεις πως η σοκολάτα και τα δημητριακά

ζυγίζουν μόνο 100 gr ή μόνο 100 ml το γάλα;

Ποιο το καθαρό βάρος της σοκολάτας; ……….

Ποιο το καθαρό βάρος του γάλατος; …………..

Κάνε υπολογισμούς και βρες το σύνολο της

ενέργειας (Kcal) για τη σοκολάτα και το γάλα

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.42

Page 43: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Δήμητρα Λογγίνου

Εύλογο τώρα να ρωτήσεις: «Γιατί να εκφραζόμαστε με ποσοστά, σε

τι μας χρησιμεύουν;»

,

Οι λόγοι που έχουν

παρονομαστή 100

γράφονται και με το

σύμβολο % που

διαβάζεται «τοις 100» ή

«στα 100» Οι λόγοι που έχουν

παρονομαστή 1000

γράφονται και με το

σύμβολο %0 που

διαβάζεται «τοις

χιλίοις» ή «στα 1.000»

Ένα Σάββατο εσύ και ο διπλανός σου / διπλανή σου αποφασίσατε να πάτε να παίξετε μπάσκετ στο γήπεδο της

γειτονιάς σου.

Εσύ σούταρες 25 βολές και οι 19 ήταν εύστοχες. Ο διπλανός σου / διπλανή σου σούταρε 20 βολές και οι 15 ήταν εύστοχες.

Μπορείς έτσι όπως είναι διατυπωμένη η προβληματική κατάσταση πεις ποιος / ποια τα πήγε

καλύτερα;

Ναι γιατί,………………………………………………………………………………………………………

Όχι γιατί, ………………………………………………………………………………………………………

Συζητήστε την απάντησή σας με τον δάσκαλό σας. Μόλις ολοκληρώσετε τα συμπεράσματά σας συνεχίστε τη

συμπλήρωση του φύλλου εργασίας

Ας προσπαθήσουμε να δώσουμε απάντηση στο

παραπάνω ερώτημα…

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.43

Page 44: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Δήμητρα Λογγίνου

_______________ = _____ = ____ =

________________= _____= ____ =

Αυτό το ήξερες;

Το σύμβολο % είναι ο αριθμός 100

που έχει στη μέση το 1

πάνω το ένα 0

κάτω το άλλο .

Το ίδιο γίνεται και με το σύμβολο ‰

Είναι ο αριθμός 1000. Στη μέση ο αριθμός 1 πάνω το ένα 0

Και κάτω τα άλλα δύο!

Πρώτα, βρες τα

ποσά κι ύστερα

φτιάξτε τους

λόγους. (πρώτο &

δεύτερο κλάσμα) Διαίρεσε το 100 με τον

Παρονομαστή.

Με τον αριθμό που βρήκες,

πολλαπλασίασε και τον

Αριθμητή και τον

Παρονομαστή . Γράψε τον νέο

αριθμητή και τον νέο

παρονομαστή κάτω από την

καρτέλα ΝΕΟ ΚΛΑΣΜΑ.

Τέλος,

γράψε κάτω από την καρτέλα

ποσοστό τον αριθμητή του

νέου κλάσματος ,βάλε δίπλα

του το σύμβολο % κι έχεις

καταφέρει να εκφράσεις με

επιτυχία το αρχικό κλάσμα ως

ποσοστό!

ΝΕΟ ΚΛΑΣΜΑ

ΠΟΣΟΣΤΟ

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.44

Page 45: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Δήμητρα Λογγίνου

Ας επανέλθουμε στο αρχικό μας ερώτημα….

Μπορείς τώρα να πεις ποιος /ποια τα έχει πάει καλύτερα στις βολές; Ναι ή όχι ; Συζήτησε με την ομάδα σου

και αιτιολόγησε την άποψή σου.

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Επιβεβαιώνεται ή απορρίπτεται η αρχική σου γνώμη; ..................................................

Συμπλήρωσε το τελικό συμπέρασμα με την ομάδα σου και τη βοήθεια του δασκάλου σου.

Μετατρέπω τους λόγους σε ποσοστά για να μπορώ να

………………………………………………………………………

Έφτασες στο τέλος.

Τώρα σειρά έχει να

εξασκηθείς πάνω σε όσα

έμαθες , για να τα

εμπεδώσεις και να μην

ξεχάσεις ποτέ τα όσα έμαθες!

Καλή συνέχεια….

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.45

Page 46: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Εγκύκλιος Παιδεία

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΣΟΣΤΟΥ Ποσοστό ενός ποσού είναι ένα μέρος του ποσού αυτού. Ποσοστό στα 100 είναι κάθε κλάσμα με παρονομαστή 100 και συμβολικά γράφεται % Παράδειγμα: Το κλάσμα 10/100 γράφεται και 10% και διαβάζεται "10 τοις εκατό"

Δες και διαδραστικά την έννοια του ποσοστού ΚΛΙΚ (πάτησε το click here to start) Ένα ποσοστό μπορεί να εκφραστεί και με μορφή δεκαδικού αριθμού Παράδειγμα:

10%=10/100=0,1

Όμοια και ποσοστό στα 1000 γράφεται:

100/1000=100‰=0,1 Τα κλάσματα μπορούμε να τα μετατρέψουμε σε ποσοστά % ή ‰

αν τα μετατρέψουμε στα ισοδύναμά τους εκατοστιαία(ή χιλιοστιαία)

αν κάνουμε διαίρεση ανάμεσα στους όρους τους.

Παράδειγμα:

1/4=25/100=25%

1/4=1:4=0,25=25% Πάτα start και προσπάθησε να μετατρέψεις τα κλάσματα σε δεκαδικούς και ποσοστά ΚΛΙΚ

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.46

Page 47: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Το ποσοστό ενός ποσού μπορεί

• να δηλώνει μέρος του ποσού που αναφέρεται Π. χ. το 1/4 του 100=25%

• να προστίθεται στο ποσό όταν δηλώνει τυχόν αύξηση Π. χ. 100%+25%=125%

• να αφαιρείται από το ποσό όταν δηλώνει τυχόν μείωση του ποσού. Π. χ. 100%-25%=75%

Αρχική Τιμή είναι η τιμή του αρχικού ποσού πάνω στην οποία υπολογίζεται το ποσοστό

Τελική τιμή είναι η τιμή που προκύπτει όταν το συνολικό ποσοστό το προσθέσουμε ή το αφαιρέσουμε(αύξηση ή μείωση)από την αρχική τιμή Ας δούμε ένα παράδειγμα και να υπολογίσουμε τα παραπάνω:

Ο Χαράλαμπος είδε ένα playstation που ενώ είχε 250 Ευρώ,το μαγαζί το πωλούσε με έκπτωση 10%. Πόση είναι η έκπτωση και ποια η τελική τιμή πλέον του playstation; Κατ' αρχήν πρέπει να πούμε ότι η αρχική τιμή ήταν 250 Ευρώ. Για να βρούμε την έκπτωση σκεφτόμαστε

στα 100 Ευρώ η έκπτωση είναι 10. Άρα στα 250 θα είναι 25 Ευρώ(δηλ.250Χ0,1=25) ή να χτυπήσουμε στο κομπιουτεράκι 250Χ10% Τα 25 Ευρώ είναι δηλαδή η έκπτωση που έκανε το μαγαζί Η Τελική τιμή πώλησης του playstation θα είναι 250-25=225 Ευρώ(Αρχικήτιμή-Έκπτωση=Τελική τιμή) Μπορούμε ακόμα να βρούμε απευθείας την Τελική τιμή χωρίς δηλαδή να βρούμε την έκπτωση αν σκεφτούμε ότι θα πληρώσουμε το 90% της αρχικής τιμής, αφού το 10% είναι η έκπτωση και να πολλαπλασιάσουμε το 250Χ90% ή 250Χ0,90=225

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Πόσα Ευρώ θα δώσεις για να αγοράσεις στην περίοδο των εκπτώσεων για:

α) παπούτσια των 60 Ευρώ με έκπτωση 15%........... β) μπλούζα των 25 Ευρώ με έκπτωση 20%.............. γ) παντελόνι των 20 Ευρώ με έκπτωση 25%............

2. Πόσο % είναι το βαμμένο μέρος; Προσπάθησε να βρεις ακριβώς το ποσοστό

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.47

Page 48: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΠΟΣΟΣΤΑ Στην καθημερινή μας ζωή συνέχεια ακούμε την έννοια του ποσοστού λίγο διαφορετικά π.χ. αγόρασα μια μπλούζα με έκπτωση 20% ή πήρα αύξηση στο μισθό μου 10 % και άλλα πολλά παραδείγματα. Ποσοστό ενός ποσού ονομάζουμε ένα μέρος ουσιαστικά του ποσού αυτού. Όταν π.χ. λέω ότι αγόρασα μια μπλούζα με έκπτωση 20%, εννοώ ότι η μπλούζα είχε μια τιμή και ο πωλητής μου έκανε "καλή τιμή" μου έκοψε δσηλαδή κάποια χρήματα, με βάση όμως το ποσοστό που είχε ορίσει. Στα προβλήματα ποσοστών βρίσκουμε κάποιες έννοιες: τιμή αγοράς, τιμή κόστους, έκπτωση, αύξηση, αρχική τιμή, τελική τιμήκέρδο, ζημία κ.α. Ένα ποσοστό μπορώ να το μετατρέψω σε δεκαδικό κλάσμα ή και σε δεκαδικό και το αντίστροφο

π.χ. 25% = 25/100 ή 0,25 8% = 8/100 ή 0,08 17/100 = 0,17 ή 17%

Πως βρίσκω όμως το ποσοστό; Μπορούμε να βρούμε το συνολικό ποσοστό ενός ποσού, όταν ξέρουμε

το ποσοστό στα 100 (%) με διάφορους τρόπους: ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Ένα κατάστημα αγοράζει το παλτό 200 € και το πουλάει με κέρδος 80 %.Πόσα € κερδίζει;

ΛΥΣΕΙΣ

α) με πολλαπλασιασμό: 80% = 80/100 άρα 200 *80/100 = 16.000/100 = 160 € ή το 80% γίνεται 0,80 άρα 0,80 * 200 = 160 €

β) με αναγωγή στη μονάδα: τα 100/100 είναι τα 200 €. Άρα το 1/100 είναι 200 : 100 = 2. Αφού το 1/100 είναι 2 € άρα τα 80/100 θα είναι 80 * 2 = 160 €

γ) όπως έλυνα τα προβλήματα με ανάλογα ποσά: τα 200 € είναι το 100 %

Χ ; είναι το 80 %

Λύνω χιαστί: 100 * Χ = 200 * 80

100 * Χ = 16.000

Χ = 16.000 : 100

Χ = 160 €

Πρέπει να προσέχω όμως κάθε φορά τι μας ζητά το πρόβλημα π.χ. αν ένας κύριος αγόρασε μια τηλεόραση αξίας 250 € με έκπτωση 15 %. Πόσο αγόρασε τελικά την τηλεόραση; τότε αφού βρω πόσα € είναι το 15 %, αυτό που θα βρω θα το αφαιρέσω από την αρχική τιμή. Αν το πρόβλημα μιλούσε για αύξηση τότε αυτό που θα έβρισκα θα το πρόσθετα στην αρχική τιμή.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.48

Page 49: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Πριν λύσεις τα προβλήματα σκέψου: Βρες ποια είναι τα ποσά (σε βοηθά η ερώτηση) Ξεκίνησε πάντοτε απότο ποσοστό % Τέλος να θυμάσαι ότι τα ποσά στα προβλήματα με ποσοστά είναι πάντα ανάλογα.

Αρχιμήδης ο Συρακόσιος

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1) Ο αρχικός πληθυσμός μιας κοινότητας ήταν 1500 κάτοικοι και αυξήθηκε τα τελευταία χρόνια κατά 12%.Πόσους κατοίκους περισσότερο έχει τώρα η κοινότητα; 2) 4. Οι μαθητές του σχολείου μας ρωτήθηκαν για το αγαπημένο τους είδος ταινιών. Τα αποτελέσματα ήταν τα πιο κάτω: Είδος ταινίας Ποσοστό Κωμωδία 45% Περιπέτεια 25% Αστυνομικά 8% Μυστηρίου 7% Τρόμου 15% Αν όλα τα παιδιά είναι 400, γράψε δίπλα από το ποσοστό τον αριθμό των παιδιών που αγαπούν το κάθε είδος ταινίας.

3) Στη βιβλιοθήκη του Δήμου υπάρχουν 2500 βιβλία. Το 25% είναι βιβλία ξένων συγγραφέων. Πόσα βιβλία είναι ξένων συγγραφέων;

Αναρτήθηκε από ΑΓΓΕΛΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.49

Page 50: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 22 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΠΟΣΟΣΤΟΥ

Ονοματεπώνυμο: ………………………………………………… 1. Να υπολογίσετε τα:

• 20% του 50: 10020 χ 50 =

1005020x =

1001000 = 10

• 8% του 60: ……………………………………………………………

• 25% του 70: ……………………………………………………………

• 38% του 90: ……………………………………………………………

• 74% του 150: ……………………………………………………………

• 45% του 50: ……………………………………………………………

2. Να γράψεις τα επόμενα δεκαδικά κλάσματα με μορφή δεκαδικών αριθμών και με ποσοστά στα εκατό(%), όπως στο παράδειγμα:

• 100

2 = 0,02 ή 2%

• 100

9 = ………… ή ……………

• 10015 = ………… ή ……………

• 10063 = ………… ή ……………

• 10080 = ………… ή ……………

• 10074 = ………… ή ……………

3. Να μετατρέψεις σε δεκαδικά κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς τα παρακάτω ποσοστά:

7% = 100

7 ή 0,07 67% = ………… ή …………… 83% = ………… ή ……………

1% = ………… ή …………… 28% = ………… ή …………… 100% = ………… ή ……………

10% = ………… ή …………… 208% = ………… ή …………… 67% = ………… ή ……………

Ειρήνη Ξαγοράρη Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.50

Page 51: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 22

4. Να μετατρέψεις τα επόμενα κλάσματα σε ποσοστά στα εκατό (%):

• 21 =

502501

xx =

10050 = 50%

• 102 = ………………………………………………………………………………………………

• 54 = ………………………………………………………………………………………………

• 108 = ………………………………………………………………………………………………

• 2025 = ………………………………………………………………………………………………

6. Μια αίθουσα κινηματογράφου είναι γεμάτη κόσμο. Το 35% του κόσμου είναι γυναίκες, το 45% άντρες και οι υπόλοιποι είναι

παιδιά. Αν όλοι οι θεατές είναι 360, να βρείτε:

α) Ποιο ποσοστό % από τους θεατές είναι τα παιδιά;

β) Πόσοι είναι οι άντρες, πόσες οι γυναίκες και πόσα τα παιδιά;

Λύση: Απάντηση:………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. Να βρεις το μισό της αρχικής ποσότητας κάθε φορά, με τον άλλο τρόπο, όπως το παράδειγμα:

74 :2=

274x

=144

41 :__=………………

118 :__=………………

38 :__=………………

155 :__=………………

2421 :__=………………

69 :__=………………

5045 :__=………………

75 :__=………………

Ειρήνη Ξαγοράρη

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.51

Page 52: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Ασκήσεις και προβλήματα στα ποσοστά

Όνομα: …………………………………………………………………………… Ημερομηνία: ………………………

Συμπληρώνω τα κενά:

Έκπτωση: 15%

Όφελος: …………€

Τελική τιμή: …………€

Έκπτωση: 20%

Όφελος: …………€

Τελική τιμή: …………€

Έκπτωση: 10%

Όφελος: …………€

Τελική τιμή: …………€

Έκπτωση: 12%

Όφελος: …………€

Τελική τιμή: …………€

Έκπτωση: 30%

Όφελος: …………€

Τελική τιμή: …………€

Έκπτωση: 40%

Όφελος: …………€

Τελική τιμή: …………€

25€ 340€ 185€

600€ 380€ 52€

Συννεφάκης Χρήστος

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.52

Page 53: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Συμπληρώνω όπως στο παράδειγμα:

18% = 10018 ή 0,18

19% = ..............................

62% = ..............................

9% = ................................

Στην Κρήτη το ποσοστό ανεργίας είναι 4%. Υπολογίστε πόσοι άνεργοι υπάρχουν στην Κρήτη, αν ο πληθυσμός της είναι 601.100 κάτοικοι.

Λύση

Απάντηση: ....................................................................................................

Το ποσοστό αναλφαβητισμού στην Ελλάδα είναι 36‰. Υπολογίζω πόσοι είναι οι αναλφάβητοι στην Ελλάδα, αν ο συνολικός πληθυσμός της είναι 11.000.000.

Λύση

Συννεφάκης Χρήστος

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.53

Page 54: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Απάντηση: ....................................................................................................

Ένα αναψυκτικό περιέχει 12% ζάχαρη. Υπολογίζω πόση ζάχαρη περιέχει ένα μπουκάλι αναψυκτικό των 250ml.

Λύση

Απάντηση: ....................................................................................................

Στην Ε’ τάξη του σχολείου μας έγινε δημοψήφισμα για το πού θέλουμε να πάμε

επίσκεψη αυτό το μήνα. Τα αποτελέσματα του δημοψηφίσματος ήταν τα εξής:

Μουσείο Φυσ. Ιστορίας Λαογραφικό Μουσείο Παιδική Βιβλιοθήκη

45% 30% 25%

Αν το σύνολο των παιδιών της Ε’ τάξης είναι 40, υπολογίζω πόσα παιδιά επέλεξαν το

Μουσείο Φυσ. Ιστορίας, πόσα το Λαογρ. Μουσείο και πόσα την Παιδική Βιβλιοθήκη.

Λύση

Απάντηση: ....................................................................................................

Το έτος 2006 ανακυκλώθηκε το 20% των απορριμμάτων που παράχθηκαν στη χώρα

μας. Αν η συνολική παραγωγή απορριμμάτων στην Ελλάδα το 2006 ήταν 4.430.000

τόνοι, να υπολογίσετε πόσοι τόνοι ανακυκλώθηκαν.

Λύση

Απάντηση: ....................................................................................................

Συννεφάκης Χρήστος

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.54

Page 55: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Ονοματεπώνυμο : _________________________________

Ημερομηνία : ____________________________________

Για να λύσουμε ένα πρόβλημα με ποσοστά (%) μετατρέπουμε το ποσοστό ή σε δεκαδικό

κλάσμα, με παρονομαστή το 100, ή σε δεκαδικό αριθμό.

Π.χ. : 25% = 25 ή 25% = 0,25 100

ΤΥΠΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ :

1. Ξέρω : α. Α.Τ. (αρχική τιμή) β. Ποσοστό (%)

Ζητώ : Τελ.Τ. (τελική τιμή )

Παράδειγμα :

Μία τηλεόραση πριν τις εκπτώσεις στοίχιζε 1345€ και το κατάστημα την πουλά με

έκπτωση 25%. Πόσα € είναι το όφελος από την έκπτωση και ποια είναι η τελική τιμή της

τηλεόρασης ;

Λύση :

Ξέρω : Α.Τ. = 1345 € ποσοστό έκπτωσης 25% = 25 100 Ζητώ : Όφελος = ; Τελ.Τ = ;

1345*25 = 33625 = 336,25€ όφελος. 100 100

Α.Τ. – όφελος = Τελ.Τ

1345 – 336,25 = 1008,75€ στοίχισε η τηλεόραση μετά την έκπτωση.

Ιωάννα Νίκου Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.55

Page 56: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

2. Ξέρω : α. το σύνολο β. μέρος του συνόλου.

Ζητώ : το ποσοστό (%) που αντιστοιχεί στο μέρος του συνόλου.

• Για να βρώ το ποσοστό που αντιστοιχεί στο μέρος του συνόλου σχηματίζω κλάσμα

με αριθμητή τον αριθμό που αντιστοιχεί στο μέρος του συνόλου και παρονομαστή τον

αριθμό που αντιστοιχεί στο σύνολο.

Ποσοστό (%) = μέρος του συνόλου σύνολο

Παράδειγμα :

Ένα σχολείο έχει 420 μαθητές. Από αυτούς οι 189 είναι κορίτσια. Ποιο είναι το ποσοστό

των κοριτσιών στο σχλείο αυτό ;

Λύση :

Ξέρω : σύνολο = 420 μαθητές μέρος του συνόλου = 189 κορίτσια

Ζητώ : ποσοστό (%) των κοριτσιών

Ποσοστό (%) κοριτσιών = αριθμός κοριτσιών σύνολο μαθητών

189 = 189 : 420 = 0,45 = 45 = 45% των μαθητών είναι κορίτσια. 420 100

3. Ξέρω : α. μέρος του συνόλου β. ποσοστό(%) που αντιστοιχεί στο μέρος του συνόλου

Ζητώ : το σύνολο.

• Συνήθως τα προβλήματα αυτά λύνονται με αναγωγή στη δεκαδική κλασματική

μονάδα.

Παράδειγμα :

Στο διάλειμμα μιας θεατρικής παράστασης που παρακολούθησαν οι μαθητές ενός σχολείου,

πήγαν στο κυλικείο του θεάτρου 54 μαθητές . Αν αυτοί οι μαθητές αποτελούσαν το 18%

του συνόλου των μαθητών πόσοι μαθητές παρακολούθησαν την παράσταση ;

Ιωάννα Νίκου Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.56

Page 57: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Λύση :

Ξέρω : α. μέρος συνόλου = 54 μαθητές β. ποσοστό (%) = 18% = 18 100 Ζητώ : σύνολο μαθητών

Το 18% ή 18 = 54 μαθητές. 100 Το 1% ή 1 = 54 : 18 = 3 μαθητές. 100 Το 100% ή 100 = 100 * 3 = 300 μαθητές παρακολούθησαν την παράσταση. 100

Ιωάννα Νίκου Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.57

Page 58: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Όνομα:…………………………………………………Tάξη: …....................………….. Ημερ: ………………………….....................……………

Σ’ έναν αγώνα καλαθόσφαιρας η Γιωργία πέτυχε 7 δίποντες καλαθιές σε 20 προσπάθειες. Ο Κυριάκος πέτυχε 8 δίποντες καλαθιές σε 25 προσπάθειες. Ποιος είχε το καλύτερο ποσοστό επιτυχίας και πόσο;

Αγόρασα ένα ζευγάρι παπούτσια με έκπτωση 25% και πλήρωσα 50 ευρώ . Ποια ήταν η κανονική τιμή;

Το 30% των παιδιών ενός σχολείου με 250 μαθητές μένουν και το απόγεμα στο σχολείο. Πόσα παιδιά είναι;

Από 500 καρύδια τα 10% ήταν χαλασμένα. Πόσα καρύδια ήταν γερά;

Ένα σχολείο έχει 160 μαθητές. Κάθε μέρα απουσιάζει το 5%. Πόσα παιδιά απουσιάζουν κάθε μέρα ;

Στη βιβλιοθήκη του Δήμου υπάρχουν 2500 βιβλία. Το 25% είναι βιβλία ξένων συγγραφέων. Πόσα βιβλία είναι ξένων συγγραφέων;

Για το πάρτι του σχολείου αγοράστηκαν 300 χυμοί. Απ’ αυτούς οι 36 είναι χυμοί ροδάκινου. Τι ποσοστό είναι οι χυμοί ροδάκινου;

Η Νίκη ψώνισε την περίοδο των ξεπουλημάτων διάφορα είδη ρουχισμού. Βρες το ποσοστό της

έκπτωσης που της έγινε για το καθένα.

eleni_prof Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.58

Page 59: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Είδο

ς

Αρχική Τιμή Τιμή Αγοράς Ποσοστό

έκπτωσης

Φόρεμα £50 £28

Παπούτσια £30 £15

Παντελόνι £25 £17

'

Συμπληρώστε τον πίνακα.

Ποσοστό Δεκαδικός αριθμός Κλασματικός αριθμός

30% 0,30

5%

0,67

Συμπληρώστε τις ασκήσεις:

- 50% του 12 είναι …… - το ……% του 10 είναι το 5 - 25% του 20 είναι …… - το ……% του 15 είναι το 3 - 10% του 80 είναι …… - το ……% του 20 είναι το 2

Γράψε τους δεκαδικούς σε ποσοστά:

0,50 = ….% 0,1 = …… 1,20 = 120% 0,25 = …… 0,05 = …… 1,08 = ……

eleni_prof Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.59

Page 60: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

0,95 = …… 0,88 = …… 1,50 = ……

0,45 =…….. 1,75 = ……. 0,009 = ……

2,0 =……. 3,5 = ……. 0, 145 = …….

Μετάτρεψε τον κλασματικό αριθμό σε ποσοστό:

3 12 15 13

5 20 60 25

eleni_prof Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.60

Page 61: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΟΝΟΜΑ: ΤΑΞΗ ΣΤ΄

1. Ο Γιώργος διέθεσε το 40% των χρημάτων του για μία μπάλα, το 25% για ένα βιβλίο και του έμειναν 10,5 €. Πόσα χρήματα είχε αρχικά ο Γιώργος;

2. Ένα σχολείο είχε πριν δύο χρόνια 250 μαθητές. Πέρυσι είχε αύξηση 4% και φέτος αύξηση 5%. Πόσους μαθητές έχει φέτος το σχολείο;

3. Η μητέρα της Νάντιας αγόρασε στις εκπτώσεις 5,6 μ. κουρτίνα που πουλιόταν 15 € το μέτρο. Της έκαναν όμως έκπτωση και πλήρωσε τελικά 67,2 €. Πόσο % έκπτωση της έκαναν;

4. Ένας μανάβης αγόρασε 120 κιλά αχλάδια με 0,6 € το κιλό. Τα πούλησε όλα και εισέπραξε 97,2 €. Πόσο % κέρδισε;

5. Ο πληθυσμός μιας πόλης τον περασμένο χρόνο ήταν 725.000 κάτοικοι. Στη διάρκεια του χρόνου οι γεννήσεις ήταν το 25%, οι θάνατοι το 8% και το 7% ήταν οι κάτοικοι που έφυγαν για άλλες πόλεις. Πόσος ήταν ο πληθυσμός της πόλης στο τέλος του χρόνου;

6. Το αργό πετρέλαιο στα διυλιστήρια μας δίνει 65% καθαρό πετρέλαιο. Από το καθαρό πετρέλαιο, όταν το διυλίσουμε, παίρνουμε 60% βενζίνη. Πόσους τόνους βενζίνη θα πάρουμε αν διυλίσουμε 8 τόνους αργό πετρέλαιο;

Παλάνης Αθανάσιος

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.61

Page 62: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΝΑΤΟΛΗΣ

ΤΑΞΗ ΣΤ’ ΤΜΗΜΑ 1ο ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: …………………………………… ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: …

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΣΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ

1. Ένα κατάστημα ηλεκτρικών ειδών πούλησε ένα ψυγείο, που το είχε αγοράσει 530 € με κέρδος 15%. Πόσο πούλησε το κατάστημα το ψυγείο; ΛΥΣΗ: ΑΠΑΝΤΗΣΗ: _____________________________________________________

2. Ένας έμπορος πούλησε εμπορεύματα αξίας 102,7 € και κέρδισε 20,5 €. Πόσο στα % κέρδισε;

ΛΥΣΗ: ΑΠΑΝΤΗΣΗ: _____________________________________________________ 3. Ο μισθός ενός υπαλλήλου μειώθηκε κατά 12%. Πόσος είναι τώρα ο μισθός του αν

πριν τη μείωση ήταν 1.650 €; ΛΥΣΗ:

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: _____________________________________________________

ΘΥΜΑΜΑΙ: • Ποσοστό : μέρος κάποιου ποσού που δηλώνει τη σχέση μέρος προς ποσό • Ποσοστό % : ένα μέρος του 100 που εκφράζεται ως λόγος, ως δεκαδικός ή με σύμβολο % • Αρχική τιμή : η τιμή του αρχικού ποσού πάνω στην οποία υπολογίζεται το ποσοστό • Τελική τιμή : η τιμή που προκύπτει όταν το ποσοστό αφαιρεθεί ή προστεθεί στην αρχική

τιμή

ΧΡΗΣΤΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.62

Page 63: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

1ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΑΝΑΤΟΛΗΣ 4. Στην περίοδο των εκπτώσεων ένα κατάστημα κάνει έκπτωση 25% σε όλα τα

εμπορεύματά του. Από τις πωλήσεις μιας ημέρας εισέπραξε 1.910 €. Πόσο άξιζαν τα εμπορεύματα, που πουλήθηκαν την ημέρα αυτή, πριν τις εκπτώσεις;

ΛΥΣΗ: ΑΠΑΝΤΗΣΗ: _____________________________________________________

5. Τα ασφάλιστρα των αυτοκινήτων αυξήθηκαν φέτος κατά 8%. Μετά την αύξηση

για την ετήσια ασφάλεια του αυτοκινήτου μας πληρώνουμε 480,6 €. Πόσο πληρώναμε πριν την αύξηση;

ΛΥΣΗ: ΑΠΑΝΤΗΣΗ: _____________________________________________________

ΧΡΗΣΤΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.63

Page 64: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Ονοματεπώνυμο: ……………………………………………………………………………………………………… 21/2/2013

ΠΟΣΟΣΤΑ% – ΑΡΧΙΚΗ ΤΙΜΗ – ΤΕΛΙΚΗ ΤΙΜΗ

Το ποσοστό % είναι ένα κλάσμα με παρονομαστή το 100, είναι δηλαδή ένας αριθμός που δηλώνει το

μέρος από ένα σύνολο και εκφράζεται ως λόγος, ως δεκαδικός ή με σύμβολο %.

Έτσι το κλάσμα 10015 γράφεται αλλιώς 0,15, συμβολίζεται 15% και διαβάζεται «δεκαπέντε (επί) τοις

εκατό».

Αρχική τιμή είναι η τιμή του αρχικού ποσού πάνω στην οποία υπολογίζεται το ποσοστό

Τελική τιμή είναι η τιμή που προκύπτει όταν το ποσοστό αφαιρεθεί ή προστεθεί στην αρχική τιμή

Βρίσκω τη ζημία (μείωση, έκπτωση) ή το κέρδος (αύξηση, φόρο) όταν ξέρω την αρχική τιμή και το ποσοστό στα %.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Α. Πωλείται με έκπτωση 20%, παντελόνι αξίας 60€. Πόσα Ευρώ θα πληρώσω λιγότερα;

Β. Το ενοίκιο αυξήθηκε 15%. Αν πλήρωνα 300€ το μήνα, πόσο θα πληρώσω επιπλέον;

• Αφού το ποσοστό είναι κλάσμα, μπορώ να βρω το ποσό της μείωσης (ή της αύξησης)

πολλαπλασιάζοντας την αρχική τιμή με το κλάσμα αυτό:

Α. ==•1001200

1002060 12€

Β. ==•1004500

10015300 45€

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Βρίσκω το ποσοστό:

α) το 5% των 300 € β) το 25% του κιλού

2. Το γάλα δίνει 15% του βάρους του σε κρέμα. Από 460 κιλά γάλα πόσα κιλά κρέμα θα πάρω;

3. Ένας ελαιοπαραγωγός μάζεψε 900 κιλά ελιές, που του έδωσαν 20% λάδι. Πόσα κιλά λάδι έβγαλε;

4. Το σχολείο μας είχε πέρυσι 320 μαθητές. Φέτος είχε αύξηση 5%. Πόσους περισσότερους μαθητές έχει φέτος το σχολείο;

5. Κατέθεσα στην τράπεζα 18.000€ για ένα χρόνο με επιτόκιο 3,5%. Πόσο τόκο θα εισπράξω στο τέλος της χρονιάς;

Αράπογλου Δημήτριος 1

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.64

Page 65: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Βρίσκω την Τελική τιμή όταν ξέρω την Αρχική τιμή και το ποσοστό % της μείωσης ή της αύξησης.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Α. Πωλείται με έκπτωση 20%, παντελόνι αξίας 60€. Πόσα Ευρώ θα πληρώσω τελικά;

Β. Το ενοίκιο αυξήθηκε 15%. Αν πλήρωνα 300€ το μήνα, πόσο θα πληρώνω τώρα;

• Βρίσκω το ποσοστό της μείωσης (ή της αύξησης) και το αφαιρώ (ή το προσθέτω) απ’ την Αρχική

τιμή:

Α. ==•1001200

1002060 12€

60 – 12 = 48€

Β. ==•1004500

10015300 45€

300 + 45 = 345€

Ή βρίσκω κατευθείαν την Τελική τιμή:

Α. Αφού η έκπτωση είναι 20%, θα πληρώσω το

80% της αξίας. Άρα:

==•1004800

1008060 48€

Β. Αφού το ενοίκιο αυξήθηκε 15%, θα πληρώσω

το 115% του αρχικού ενοικίου. Άρα:

==•100

34500100115300 345€

• Μπορώ να χρησιμοποιήσω, επίσης, πίνακα τιμών και να εργαστώ όπως στα Ανάλογα ποσά:

Έκπτωση 20 Χ;

Αρχική τιμή 100 60

€121001200

1006020

602010060100

20

==•

=

⇔•=•

⇔=

X

X

X

60 – 12 = 48€

Αύξηση 15 Χ;

Αρχικό ενοίκιο 100 300

€451004500

10030015

30015100300100

15

==•

=

⇔•=•

⇔=

X

X

X

300 + 45 = 345€

Ή βρίσκω κατευθείαν την Τελική τιμή:

Α. 100 – 20 = 80

Τελική τιμή 80 Χ;

Αρχική τιμή 100 60

€481004800

1006080

608010060100

80

==•

=

⇔•=•

⇔=

X

X

X

Β. 100 + 15 = 115

Τελική τιμή 115 Χ;

Αρχικό ενοίκιο 100 300

€345100

34500100

300115300115100

300100115

==•

=

⇔•=•

⇔=

X

X

X

Α. Β.

Αράπογλου Δημήτριος 2

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.65

Page 66: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

• Εναλλακτικά μπορώ να χρησιμοποιήσω την Απλή Μέθοδο των Τριών:

Α. Στα 100€ έχουμε έκπτωση 20€

Στα 60€ » » Χ;

=•=1006020X 12€

Αφαιρώ την έκπτωση απ’ την Αρχική τιμή:

60 – 12 = 48€

Β. Στα 100€ έχουμε αύξηση 15€

Στα 300€ » » Χ;

=•=10030015X 45€

Προσθέτω την αύξηση στην Αρχική τιμή:

300 + 45 = 345€

Ή βρίσκω κατευθείαν την Τελική τιμή:

Α. 100 – 20 = 80

Τα 100€ γίνονται με την έκπτωση 80€

Τα 60€ » » Χ;

€481006080 =•=X

Β. 100 + 15 = 115

Τα 100€ γίνονται με την αύξηση 115€

Τα 300€ » » Χ;

€345100300115 =•=X

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Ένα κατάστημα με ηλεκτρονικούς υπολογιστές έχει έκπτωση

σε όλα τα προϊόντα του 15%. Πόσο θα πληρώσουμε τον υπολογιστή

που βλέπουμε;

2. Ένα χωριό είχε 850 κατοίκους. Τα τελευταία χρόνια μειώθηκε ο πληθυσμός του κατά 8% . Πόσους κατοίκους έχει τώρα;

3. Το αργό πετρέλαιο στα διυλιστήρια μας δίνει 65% καθαρό πετρέλαιο. Από το καθαρό πετρέλαιο, όταν το διυλίσουμε, παίρνουμε 60% βενζίνη. Πόσους τόνους βενζίνη θα πάρουμε αν διυλίσουμε 8 τόνους αργό πετρέλαιο;

4. Η Ασπασία είχε 600 €. Με το 20% των χρημάτων της αγόρασε ένα γραφείο. Πόσα χρήματα της έμειναν;

5. Ο μισθός ενός υπαλλήλου μειώθηκε κατά 35%. Πόσος είναι τώρα ο μισθός του αν πριν τη μείωση ήταν 1.350 €;

6. Ένα κατάστημα αγόρασε εμπορεύματα αξίας 15.000 € και τα πούλησε με κέρδος 23 %. Πόσα ευρώ εισέπραξε;

650€

Αράπογλου Δημήτριος 3

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.66

Page 67: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Βρίσκω την Αρχική τιμή όταν ξέρω την Τελική τιμή και το ποσοστό % της μείωσης ή της αύξησης.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Α. Πωλείται με έκπτωση 20%, παντελόνι το οποίο πληρώνεται τελικά 48€. Πόσο

κόστιζε πριν την έκπτωση;

Β. Το ενοίκιο αυξήθηκε 15% και διαμορφώθηκε στα 345€. Πόσο ήταν το ποσό πριν την

αύξηση;

• Μπορώ να χρησιμοποιήσω, πίνακα τιμών και να εργαστώ όπως στα Ανάλογα ποσά:

Α. 100 – 20 = 80

Τελική τιμή 80 48

Αρχική τιμή 100 Χ;

€6080

481004810080

4810080

=•

=

⇔•=•

⇔=

X

XX

Β. 100 + 15 = 115

Τελική τιμή 115 345

Αρχικό ενοίκιο 100 Χ;

€300115

345100345100115

345100115

=•

=

⇔•=•

⇔=

X

XX

• Εναλλακτικά μπορώ να χρησιμοποιήσω την Απλή Μέθοδο των Τριών:

Α. Πριν 100€ με την έκπτωση 80€

Πριν Χ; » 48€

€608048100X =•=

Β. Πριν 100€ με την αύξηση 115€

Πριν Χ; » 345€

€300115345100 =•=X

• Μπορώ επίσης να βρω γρήγορα τη Αρχική τιμή χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των κλασμάτων

όπου «Αν γνωρίζω το μέρος ενός συνόλου και το κλασματικό του μέρος αρκεί να διαιρέσω το μέρος

με το κλασματικό μέρος για να βρω το σύνολο»:

Α. Τα 48€ είναι το 80% της Αρχικής τιμής

€6080

1004810080:48 =•=

Β. Τα 345€ είναι το 115% της Αρχικής τιμής

€300115100345

100115:345 =•=

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Ο αριθμός των εργατών ενός εργοστασίου μειώθηκε κατά 8,5% και τώρα έχει 183 εργάτες. Πόσους εργάτες είχε πριν το εργοστάσιο

2. Φέτος σε μια κατασκήνωση υπάρχουν 192 παιδιά. Ο ιδιοκτήτης της κατασκήνωσης ήταν πολύ ευχαριστημένος, γιατί ο αριθμός αυτός είναι κατά 20% αυξημένος σε σχέση με πέρυσι. Πόσα παι-διά είχε πέρυσι η κατασκήνωση;

3. Ο Κώστας αγόρασε από ένα κατάστημα αθλητικών ειδών μια μπάλα ποδοσφαίρου με έκπτωση 22% και πλήρωσε τελικά 39 €. Ποια ήταν η αξία της μπάλας πριν την έκπτωση;

4. Στην περίοδο των εκπτώσεων ένα κατάστημα κάνει έκπτωση 25% σε όλα τα εμπορεύματά του. Από τις πωλήσεις μιας ημέρας εισέπραξε 1.910 €. Πόσο άξιζαν τα εμπορεύματα, που πουλήθηκαν την ημέρα αυτή, πριν τις εκπτώσεις;

5. Ο πληθυσμός ενός χωριού παρουσίασε σε ένα έτος μείωση 1,5 %, με αποτέλεσμα στο τέλος του έτους το χωριό να έχει 788 κατοίκους. Ποιος ήταν ο αρχικός πληθυσμός του χωριού;

Αράπογλου Δημήτριος 4

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.67

Page 68: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΠΡΟΣΟΧΗ: Αν γνωρίζω την Αρχική και την Τελική τιμή, πρέπει πρώτα να κάνω αφαίρεση για να βρω τη

ζημία (μείωση, έκπτωση) ή το κέρδος (αύξηση, φόρο).

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Α. Πωλείται λόγω εκπτώσεων48€, παντελόνι αξίας 60€. Πόσο% έκπτωση κάνει το

κατάστημα;

Β. Το ενοίκιο αυξήθηκε από 300€ σε 345€ το μήνα. Πόσο% αυξήθηκε;

• Μπορώ να χρησιμοποιήσω, πίνακα τιμών και να εργαστώ όπως στα Ανάλογα ποσά:

Α. 60 – 48 = 12€

Αρχική τιμή 60 100

Έκπτωση 12 Χ;

%2060

100121001260

1001260

=•

=

⇔•=•

⇔=

X

XX

Β. 345 – 300 = 45€

Αρχικό ενοίκιο 300 100

Αύξηση 45 Χ;

%15300

1004510045300

10045

300

=•

=

⇔•=•

⇔=

X

XX

• Εναλλακτικά μπορώ να χρησιμοποιήσω την Απλή Μέθοδο των Τριών:

Α. Στα 60€ έχω έκπτωση 12€

Στα 100€ » Χ;

%2060

10012 =•=X

Β. Στα 300€ έχω αύξηση 45€

Στα 100€ » Χ;

%1530010045 =•=X

• Μπορώ να βρω εύκολα και γρήγορα το ποσοστό αν βρω το λόγο της μεταβολής προς την Αρχική

τιμή, αν δηλαδή διαιρέσω το ποσό της αύξησης ή της μείωσης με την Αρχική τιμή:

Α. %201002020,060:12

6012

==== Β. %151001515,0300:45

30045

====

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Ένας μανάβης αγόρασε 120 κιλά αχλάδια με 0,6 € το κιλό. Τα πούλησε όλα και εισέπραξε 97,2 €. Πόσο % κέρδισε;

2. Ένας έμπορος πούλησε εμπορεύματα αξίας 102,7 € και κέρδισε 20,5 €. Πόσο στα % κέρδισε; 3. Οι κάτοικοι της Κερασιάς ήταν την προηγούμενη δεκαετία 420. Την τελευταία δεκαετία οι κάτοικοι

είναι 525. Πόσο τοις % είναι η αύξηση; 4. Ένας βιβλιοπώλης αγοράζει ένα βιβλίο 12 ευρώ και το πουλάει 18 ευρώ. Πόσο είναι το ποσοστό %

που κερδίζει; 5. Η μητέρα του Νίκου αγόρασε στις εκπτώσεις 5,6 μ. ύφασμα που άξιζε 15 € το μέτρο. Της έγινε

όμως έκπτωση και πλήρωσε τελικά 67,2 €. Πόσο % ήταν η έκπτωση που της έγινε;

Βρίσκω το ποσοστό % της μείωσης ή της αύξησης όταν ξέρω την Αρχική τιμή και τη ζημία

(μείωση, έκπτωση) ή το κέρδος (αύξηση, φόρο).

Αράπογλου Δημήτριος 5

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.68

Page 69: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Κριτήριο αξιολόγησης στα ποσοστά

2 Φεβ.

Όνομα : __________________________________________

1. Να γραφούν τα παρακάτω κλάσματα ως ποσοστά ( μονάδες 10)

= ……... = ……… = …….. = ……… = ………….

2. Να γραφούν τα παρακάτω ποσοστά σαν εκατοστιαία κλάσματα. (μονάδες 10)

48 % = 89 % = 9 % = 90 % =

3. Να μετατραπούν τα παρακάτω απλά κλάσματα σε ποσοστά .(μονάδες 10)

Α. = Β. =

Γ. = Δ. =

4. Πρόβλημα : Σε μια τάξη υπάρχουν 25 μαθητές . Από αυτούς οι 12 είναι κορίτσια . Ποιο είναι το ποσοστό των κοριτσιών στην τάξη ; (μονάδες 15)

Λύση :

5. Ο μισθός μιας υπαλλήλου στον ιδιωτικό τομέα είναι 1800 €. Ο διευθυντής της έκανε αύξηση 25 % . Πόσα ευρώ θα παίρνει τώρα η υπάλληλος ; (μονάδες 15)

Λύση :

Παγκαλάκης Γεώργιος

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.69

Page 70: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Κριτήριο αξιολόγησης στα ποσοστά

2 Φεβ.

6. Σε μια θεατρική παράσταση ενός σχολικού συγκροτήματος παραβρέθηκαν 90 μαθητές που ήταν το 20 % του συνόλου των μαθητών . Πόσους μαθητές έχει το σχολικό συγκρότημα ; ( 20 μονάδες ) Λύση :

7. Να γραφούν οι παρακάτω δεκαδικοί αριθμοί ως ποσοστά . (μονάδες 5)

0, 06 = …………. 0,23 = …………… 0, 3 = ………… 0,230 = ………………

0,67 = …………. 0,02 = …………… 0,94 = ………… 0, 82 = ……………….

8. Ένα κεσεδάκι γιαούρτι έχει βάρος 250 γραμμάρια και περιέχει 5 γραμμάρια λιπαρά . Πόσο % λιπαρά περιέχει ; (μονάδες 15)

Λύση :

Παγκαλάκης Γεώργιος

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.70

Page 71: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

138

¢óêçóç áÓå Ýíá äéáãùíéóìü ç âáèìïëïãßá áðü 10 - 13 ÷áñáêôçñßæåôáé Ä

ç âáèìïëïãßá áðü 14 - 16 ÷áñáêôçñßæåôáé Ã

ç âáèìïëïãßá áðü 17 - 19 ÷áñáêôçñßæåôáé Â

ç âáèìïëïãßá 20 ÷áñáêôçñßæåôáé Á

Ïé äéáãùíéæüìåíïé åßíáé 2.000. Ôá áðïôåëÝóìáôá Ý÷ïõí ùò åîÞò:

22. ¸ííïéá ôïõ ðïóïóôïý

• Ôé âáèìïëïãßá Ýöåñáí (÷áñáêôçñéóìüò) ïé ðåñéóóüôåñïé äéáãùíéæüìåíïé êáé ðüóïé åßíáé áõôïß;

ëýóç

- To 5% ôùí äéáãùíéæüìåíùí Ýöåñå âáèìïëïãßá Á(20) ïðüôå óôïõò 100 äéáãùíéæüìåíïõò ïé 5 Ýöåñáí

áõôÞí ôçí âáèìïëïãßá.

- Áí ïé äéáãùíéæüìåíïé Þôáí 1.000 äçëáäÞ äåêáðëÜóéïé ôùí 100 ïé äåêáðëÜóéïé ôùí 5 äéáãùíéæüìå-

íùí ðïõ Ýöåñáí âáèìü Á èá åßíáé 10 x 5 = 50.

- Ïé äéáãùíéæüìåíïé üìùò åßíáé 2.000 = 2 ÷1.000 ïðüôå áõôïß ðïõ Ýöåñáí âáèìïëïãßá Á åßíáé 100 = 2 ÷ 50.

Ìå áíÜëïãï ôñüðï óêåðôüìáóôå êáé ãéá ôéò õðüëïéðåò âáèìïëïãßåò êáé óõìðëçñþíïõìå ôïí ðßíáêá.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.71

Page 72: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

139

¸ííïéá ôïõ ðïóïóôïý

ÁðÜíôçóç: Ïé ðåñéóóüôåñïé äéáãùíéæüìåíïé Ýöåñáí âáèìïëïãßá à (14 - 16) êáé åßíáé 840.

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò áôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 24

• Óôï ðáéäéêü óôÝêé ãëõðôéêÞò êáé æùãñáöéêÞò.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.72

Page 73: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

140

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò âôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 24

• 18ή ή % ή

20 100

9090 0,9

• 30

ή ή % ή100

330 0,3

10

• οή ή 1251 125

8ή 0,125

οο1.000

• ή ή 21 20

0,25

0% ή100

• 45ή 45% ή 0,45

100

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò ãôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 25

ÆåõãÜñé ðáðïýôóéá: Ýêðôùóç: 15%üöåëïò: 6

ôåëéêÞ ôéìÞ: 34

Áõôïêßíçôï: Ýêðôùóç: 3%üöåëïò: 270

ôåëéêÞ ôéìÞ: 8.730

Âéâëßï: Ýêðôùóç: 12%üöåëïò: 6

ôåëéêÞ ôéìÞ: 44

¸ííïéá ôïõ ðïóïóôïý

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.73

Page 74: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

141

¢óêçóç âÏ áíôáãùíéóìüò áíáãêÜæåé ôá êáôáóôÞìáôá íá ÷ñçóéìïðïéïýí äéÜöïñïõò

ôñüðïõò ãéá íá ðáñáðëáíÞóïõí ôïõò êáôáíáëùôÝò. Äéáðéóôþóáìå ãéá

ôï ßäéï ðñïúüí óôçí áãïñÜ 3 äéáöïñåôéêÝò ðñïóöïñÝò.

Á êáôÜóôçìá: ôéìÞ: 130

Ýêðôùóç: 8%

 êáôÜóôçìá: ôéìÞ: 150

Ýêðôùóç: 20%

à êáôÜóôçìá: ôéìÞ: 170

Ýêðôùóç: 30%

• Áðü ðïéï êáôÜóôçìá ðñÝðåé íá áãïñÜóïõìå ôï ðñïúüí áí ôï êáôÜóôçìá à äåí äéáèÝôåé ðëÝïí áõôü ôï ðñïéüí;

• Óå ðïéï áðü ôá êáôáóôÞìáôá ôï ðñïúüí Þôáí öèçíüôåñï;

ëýóç

Õðïëïãßæïõìå ôçí Ýêðôùóç êáé ôçí ôéìÞ ôïõ ðñïúüíôïò óôï êáôÜóôçìá Á.

Ôá 130 åßíáé ôá 100

100 ôçò áñ÷éêÞò ôéìÞò. Ç Ýêðôùóç åßíáé ôá

8

100 ôçò áñ÷éêÞò ôéìÞò, äçëáäÞ

8

100 ôïõ

130 = 130χ8 1.040

10,4100 100

= = êáé ç ôåëéêÞ ôéìÞ åßíáé 130 – 10,4 = 119,6 .

Ìå áíÜëïãï ôñüðï õðïëïãßæïõìå ôçí Ýêðôùóç êáé ôçí ôéìÞ ôïõ ðñïúüíôïò óôá êáôáóôÞìáôá Â, Ã.

Åßíáé óôï êáôÜóôçìá Â: Ýêðôùóç: 30

ôåëéêÞ ôéìÞ: 120

óôï êáôÜóôçìá Ã: Ýêðôùóç: 51

ôåëéêÞ ôéìÞ: 119

• ÅðéëÝãïõìå ôï ðñïúüí áðü ôï êáôÜóôçìá Á.

• Ôï ðñïúüí üìùò Þôáí öèçíüôåñï óôï êáôÜóôçìá Ã.

¸ííïéá ôïõ ðïóïóôïý

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.74

Page 75: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

142

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò äôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 25 Óõìöùíïýìå äéüôé ç ôéìÞ óôï 1ï êáôÜóôçìá åßíáé 36

2ï êáôÜóôçìá åßíáé 40

3ï êáôÜóôçìá åßíáé 35

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò åôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 25

Åßíáé [100 – (76 + 1)]% = 23%

ÁðÜíôçóçÜóêçóçò óôôåôñ. åñãáóéþí â, óåë. 25

¸ííïéá ôïõ ðïóïóôïý

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.75

Page 76: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

143

Κριτήριο Αξιολόγησης1. Áí 1 êéëü íôïìÜôåò êïóôßæåé 1,8 ðüóï êïóôßæåé:

• 100 ãñáììÜñéá íôïìÜôåò; • 10 êéëÜ íôïìÜôåò;

• 100 êéëÜ íôïìÜôåò; • 1 ôüíïò íôïìÜôåò;

2. Ôá 3

5 ôïõ âÜñïõò åíüò áõôïêéíÞôïõ åßíáé 912 êéëÜ. Ðüóï æõãßæåé ôï áõôïêßíçôï;

3. Óõìðëçñþóôå ôá êåíÜ:

• 7

33+ = •

52

3+ = •

71

12+ =

4. ÖôéÜîå éóïäýíáìá êëÜóìáôá ôùí áñ÷éêþí.

• • •

5. Âñßóêù ìå äéáßñåóç ôá äåêáäéêÜ êëÜóìáôá ðïõ åßíáé éóïäýíáìá ìå ôá ðáñáêÜôù

êëÜóìáôá.

• 3

25= •

5

8= •

22

4= •

7

3=

6. Óõìðëçñþíù ôá êåíÜ.

• 7 3

5 10+ = + = •

9 2

7 21+ = + =

7. Óôï ó÷ïëåßï ôçò Áëßêçò Ý÷ïõìå:

• 24 ðáéäéÜ óôçí á ôÜîç • 26 ðáéäéÜ óôçí â ôÜîç • 28 ðáéäéÜ óôçí ã ôÜîç

• 23 ðáéäéÜ óôçí ä ôÜîç • 25 ðáéäéÜ óôçí å ôÜîç • 24 ðáéäéÜ óôçí óô ôÜîç

Ðüóá ðáéäéÜ êáôÜ ìÝóï üñï åßíáé óå êÜèå ôÜîç;

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.76

Page 77: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

óôï åðüìåíï ôåý÷ïò:

• ÐñïâëÞìáôá ìå ðïóïóôÜ

• ÃåùìåôñéêÜ ó÷Þìáôá - ðåñßìåôñïò

• ÉóïåìâáäéêÜ ó÷Þìáôá

• Åìâáäüí ôåôñáãþíïõ, ïñè. ðáñáë/ìïõ, ïñè. ôñéãþíïõ

• Ðïëëáðëáóéáóìüò êëáóìÜôùí - Áíôßóôñïöïé áñéèìïß

• Äéáßñåóç ìÝôñçóçò óå ïìþíõìá êëÜóìáôá

• Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá - ÅðáëÞèåõóç

• 4ï Åðáíáëçðôéêü

• ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (á)

• ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò ìÞêïõò: ìåôáôñïðÝò (â)

• ÌïíÜäåò ìÝôñçóçò åðéöÜíåéáò: ìåôáôñïðÝò

• ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò (á)

• Äéáßñåóç áêåñáßïõ êáé êëÜóìáôïò ìå êëÜóìá

• ÓôñáôéãéêÝò åðéëýóçò ðñïâëçìÜôù

• 5ï Åðáíáëçðôéêü

• ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.77

Page 78: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΑ ΠΟΣΟΣΤΑ ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου (Παράγραφοι Α5.1 - Α5.2, Ποσοστά) ΧΡΟΝΟΣ: 3 διδακτικές ώρες (τόσες προβλέπονται και από το αναλυτικό πρόγραμμα). ΥΛΙΚΑ: Φύλλα εργασίας και ενδεχόμενη χρήση, κατά την άποψη του εκπαιδευτικού, και άλλων μέσων όπως, φύλλων με κουκίδες, συρραπτικών εργαλείων και Νέων Τεχνολογιών. ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ: Κλάσματα, δεκαδικοί αριθμοί. ΜΕΘΟΔΟΣ: Ανακαλυπτική ή διερευνητική (περισσότερο ή λιγότερο καθοδηγούμενη, ανάλογα με τους μαθητές), ομαδοσυνεργατική και διάλογος. ΣΤΟΧΟΙ: Οι μαθητές μετά την ολοκλήρωση του μαθήματος πρέπει: 1. Να γνωρίζουν την έννοια του ποσοστού καθώς και τη χρησιμότητα του στην καθημερινή ζωή. 2. Να κατανοήσουν ότι τα ποσοστά αποτελούν συγκεκριμένη κατηγορία ομωνύμων κλασμάτων (κοινός παρανομαστής το 100 ή 1000 κλπ). 3. Να μετατρέπουν ένα κλάσμα ή ένα δεκαδικό αριθμό σε ποσοστό και αντίστροφα (σύνδεση του ποσοστού με τα κλάσματα και τους δεκαδικούς αριθμούς). 4. Να υπολογίζουν το ποσοστό ενός συγκεκριμένου αριθμού, κατανοώντας ότι εύρεση του ποσοστού σημαίνει εύρεση του μέρους ενός όλου. 5. Να λύνουν προβλήματα με ποσοστά που αντιστοιχούν σε διάφορες καταστάσεις της καθημερινής ζωής. ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: 1. Ανάκληση προηγούμενων γνώσεων μέσα από ερωτήσεις ή κατάλληλη δραστηριότητα. 2. 1η Δραστηριότητα με στόχο την κατανόηση της έννοιας του ποσοστού καθώς και της διατύπωσης (γραπτά και προφορικά) των διαφόρων εκφράσεων που συνδέονται με ποσοστά μέσα από παραδείγματα της καθημερινής ζωής (ΦΠΑ, επιτόκιο, εκπτώσεις, εκλογικά αποτελέσματα, σύνδεση με πιθανότητες κλπ). 3. 2η Δραστηριότητα με στόχο με στόχο την κατανόηση της χρήσης του ποσοστού και της σχέσης του με τα ομώνυμα κλάσματα μέσα από πραγματικά προβλήματα που αφορούν κυρίως συγκρίσεις μεγεθών. Στη συνέχεια οι μαθητές είτε μόνοι τους είτε με τη βοήθεια του εκπαιδευτικού διαπραγματεύονται το θεωρητικό μέρος (συμβολισμοί, έννοιες, ορισμοί κλπ). 4. 3η Δραστηριότητα με στόχο με στόχο τη μετατροπή κλάσματος ή δεκαδικού αριθμού σε ποσοστά και αντίστροφα ή δυνατόν μέσα από πραγματικά προβλήματα (κατανόηση της σχέσης του ποσοστού με τα κλάσματα και τους δεκαδικούς αριθμούς). Δίνεται έμφαση στις πολλαπλές αναπαραστάσεις του ποσοστού (συμβολισμός%, κλάσμα, δεκαδικός). 5. 5η Δραστηριότητα με στόχο τον υπολογισμό του ποσοστού ενός αριθμού (εύρεση του μέρους ενός όλου).

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.78

Page 79: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

6. Επίλυση προβλημάτων με ποσοστά που συνδέονται με διάφορες καταστάσεις της καθημερινής ζωής. Παρατήρηση: Είναι χρήσιμο οι δραστηριότητες να σχετίζονται με τα βιώματα των μαθητών και να τους προκαλούν το ενδιαφέρον, να είναι κατανοητές από όλους, να είναι σε κάποιο βαθμό ανοικτές σε διάφορες προσεγγίσεις και να επιτρέπουν την κατασκευή, όπου είναι δυνατό, της νέας γνώσης. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ: Η αξιολόγηση είναι απαραίτητη προκειμένου να διαγνωσθεί το μαθησιακό αποτέλεσμα και μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους πχ με αυτοαξιολόγηση του μαθητή και στη συνέχεια συζήτηση με τον εκπαιδευτικό και τους συμμαθητές, ή με αξιολόγηση των μαθητών μεταξύ τους, ή με κριτήριο αξιολόγησης υπό μορφή σύντομου τεστ (μη βαθμολογούμενου) ή δραστηριότητας που θα δοθεί στους μαθητές ενδιάμεσα ή στο τέλος της διδακτικής ώρας ή στο τέλος της ενότητας. ΣΥΝΔΕΣΗ ΣΤ΄ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΚΑΙ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: Στην ΣΤ΄ Δημοτικού τα ποσοστά διδάσκονται μετά τους λόγους και τις αναλογίες, ενώ στην Α΄ Γυμνασίου συμβαίνει το αντίστροφο. Είναι χρήσιμο να γίνει συζήτηση για τον πλέον πρόσφορο τρόπο. Να συζητηθούν ερωτήματα, όπως "είναι προσφορότερος ο τρόπος του Δημοτικού, εφόσον δίνει τη δυνατότητα ασκήσεις ποσοστών να αντιμετωπισθούν με μεθόδους επίλυσης προβλημάτων αναλόγων ποσών;". Αν ναι να προταθεί στους καθηγητές του Γυμνασίου να ακολουθήσουν, εάν το επιθυμούν, την ίδια σειρά παρουσίασης των εννοιών με το Δημοτικό. Επίσης μπορούν να γίνουν συζητήσεις για τον τρόπο ανάπτυξης των εννοιών και το είδος των ασκήσεων. Για παράδειγμα υπάρχει η εντύπωση ότι στην ΣΤ΄ Δημοτικού η ανάπτυξη των ποσοστών γίνεται με πολύ πιο αναλυτικό τρόπο από ότι στην Α΄ Γυμνασίου και με πολύ περισσότερες δραστηριότητες-προβλήματα, αλλά οι ασκήσεις που περιέχονται στο βιβλίο της Α΄ Γυμνασίου είναι αρκετά δυσκολότερες. Επομένως, βάση του παραπάνω σκεπτικού, χρειάζεται οι εκπαιδευτικοί στο Δημοτικό να ρίξουν ιδιαίτερο βάρος στα ποσοστά προκειμένου οι μαθητές να μπορέσουν να ανταποκριθούν στις αυξημένες σε δυσκολία ασκήσεις της Α΄ Γυμνασίου. Είναι σωστή η παραπάνω άποψη; Θα μπορούσε να γίνει αντίστοιχο σχέδιο μαθήματος για την ΣΤ΄ Δημοτικού και να συγκριθούν τα 2 σχέδια.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.79

Page 80: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΑΞΗ: Στ΄

ΘΕΜΑ: ΠΟΣΟΣΤΑ

Βιβλίο Μαθητή Μέρος Α΄ σ.90 – 93

Χρόνος: 80 λεπτά

Πηγή: www.akida.info

ΣΤΟΧΟΙ

Με την ολοκλήρωση του μαθήματος οι μαθητές:

♦ Να κατανοήσουν την έννοια του ποσοστού και να διαπιστώσουν τη χρησιμότητα

στις εφαρμογές του.

♦ Να αναφέρουν την έννοια του ποσοστού ως λόγου, πηλίκου και δεκαδικού

αριθμού.

♦ Να υπολογίζουν το ποσοστό ενός αριθμού.

♦ Να αντιληφθούν τη σημασία και εφαρμογή των ποσοστών στη ζωή μας.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ

♦ Οι μαθητές έχουν μπροστά τους τα φύλλα εργασίας 1 , 2 και καλούνται να

μεταγράφουν το σκιασμένο μέρος ως κλάσμα, δεκαδικό και ποσοστό.

♦ Οι μαθητές εργάζονται στις αριθμητικές γραμμές και μετατρέπουν τα κλάσματα

σε δεκαδικούς και ποσοστά.

♦ Γίνεται συζήτηση για τα διάφορα ποσοστά που αναφέρονται στο φυλλάδιο 3 και

επεξηγούν τη χρήση των ποσοστών στη ζωή μας.

♦ Τα παιδιά αντλούν πληροφορίες από μια γραφική παράσταση και τις

καταγράφουν σε ποσοστά και στη συνέχεια τις μεταφέρουν σε μια κυκλική

γραφική παράσταση.

♦ Οι μαθητές έχουν στις ομάδες τους τα σχήματα ιδιοτήτων. Χρησιμοποιώντας τα

αναπαραστούν δεδομένες σχέσεις.

♦ Η κάθε ομάδα στον υπολογιστή της προσπαθεί να λύσει ασκήσεις μετατρέποντας

τα κλάσματα σε ποσοστά και βρίσκοντας το ποσοστό ενός αριθμού σε στυλ

διαγωνισμού. Νικήτρια είναι η ομάδα με τα περισσότερα σωστά στο πιο σύντομο

χρονικό διάστημα.

♦ Τα παιδιά ανά ζευγάρι παίζουν το παιχνίδι με τις αριθμοκάρτες.

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.80

Page 81: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Τάξη:  Ε’  Δημοτικού    ΠΟΣΟΣΤΑ        

ENOTHTA  4:  Έννοια  του  ποσοστού  

Στάδιο  1-­‐Επιθυμητά  Αποτελέσματα  

Στόχοι  μαθήματος(οι  μαθητές  θα  είναι  ικανοί):  1. Να   κατανοήσουν   την   έννοια   του   ποσοστού   καθώς   και   να   τα   χρησιμοποιούν   όπως   τις   άλλεςμορφές  αριθμών  (δεκαδικούς,  κλάσματα)

2. Να  χρησιμοποιούν  διαφορετικούς  τρόπους  γραφής  του  ίδιου  αριθμού  (από  ποσοστό  σε  κλάσμαή  δεκαδικό  και  το  αντίστροφο).

3. Να   αντιληφθούν   ότι   τα   ποσοστά   μπορούν   να   εφαρμοστούν   σε   μια   ποσότητα   οποιουδήποτεμεγέθους.

4. Να   υπολογίζουν   το   τελικό   ποσό   μετά   από   ποσοστιαία   μείωση   καθώς   και   το   ποσοστό   τηςμείωσης.

5. Να  χρησιμοποιούν  την  αριθμογραμμή  για  τη  σύγκριση  ποσοστών.

Σημαντικά  Μαθηματικά:  Το   ποσοστό   είναι   εναλλακτική   μορφή   γραφής  των   κλασμάτων,   και   εφαρμόζονται   σε   μια  ποσότητα  οποιουδήποτε  μεγέθους.    

Σημαντικές  ερωτήσεις:  -­‐Που  μπορούμε  να  χρησιμοποιήσουμε  τα  ποσοστά  στη  καθημερινή  μας  ζωή;  -­‐Με  τι  άλλους  τρόπους  μπορούμε  να  εκφράσουμε  ένα  ποσοστό;  -­‐Πότε   είναι   καλύτερα   να   χρησιμοποιούμε  ποσοστά  αντί  για  κλάσματα;      

Πηγή: www.mathlab.upatras.gr

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.81

Page 82: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Οι  μαθητές  θα  ξέρουν…  Τα  ποσοστά  είναι  εναλλακτικός  τρόπος  γραφής  των  κλασμάτων    Οι  μαθητές  θα  μπορούν  να  κάνουν…  Να  μετατρέπουν  το  ποσοστό  σε  κλάσμα  ή  δεκαδικό  και  το  αντίστροφο  Να  λύνουν  προβλήματα  με  ποσοστά.  Να  χρησιμοποιούν  την  αριθμογραμμή  για  τη  σύγκριση  ποσοστών.    Προαπαιτούμενες  Γνώσεις(οι  μαθητές  θα  πρέπει  να  γνωρίζουν):  

• Να  εκτελούν  τις  τέσσερις  αριθμητικές  πράξεις.  

• Να  αναγνωρίζουν  και  να  δημιουργούν  ισοδύναμα  κλάσματα.  

• Να  εκτελούν  πράξεις  μεταξύ  των  κλασμάτων.  

• Να  μετατρέπουν  το  κλάσμα  σε  δεκαδικό  αριθμό  και  το  αντίστροφο.  

• Να  γνωρίζουν  τα  κριτήρια  διαιρετότητας.  

• Να   γνωρίζουν   πότε   πρέπει   να   χρησιμοποιούν   την   αναγωγή   στη   μονάδα  ως   τρόπο   επίλυσης  προβλήματος.  

 

Πιθανές  Παρανοήσεις  

Στην  ρόσθεση  ποσοστών  

Στάδιο  2-­‐Αξιολόγηση    Παιχνίδι:   To   Μαθηματικό   Ντόμινο   (Φύλλο   Εργασίας   8)   χρησιμεύει     ως   τελική   αξιολόγηση   των  μαθητών  για  τη  θεωρία  των  ποσοστών  που  διδάχτηκαν,  ενώ  τα  άλλα  φύλλα  εργασίας  χρησιμεύουν  για  τη  διαμορφωτική  αξιολόγηση  των  μαθητών.  

 Στάδιο  3-­‐Μαθησιακό  Σχέδιο  

Μαθησιακές  Δραστηριότητες    ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ   1:  Σε  αυτό   το  φύλλο   εργασίας  παρουσιάζονται   εικόνες   από  βιτρίνες   μαγαζιών  

την  περίοδο  των  εκπτώσεων  στις  οποίες  απεικονίζονται  ποσοστά.  Αυτές  οι  εικόνες  είναι  οικείες  γιατί  σχετίζονται  με  την  καθημερινή  ζωή  των  μαθητών.  Αποτελούν  τη  βάση  για  τη  διατύπωση  ερωτήσεων  μέσω  των  οποίων  οι  μαθητές  θα  μιλήσουν  για  τα  ποσοστά  και  τις  εμπειρίες  που  έχουν  με  αυτά,  χωρίς  ακόμα   να   το   ξέρουν.   Έτσι,   πάνω   σε   αυτή   τη   γνώση   του   γνωστού   οι   μαθητές   θα   μπορέσουν   στη  συνέχεια  να  οικοδομήσουν  τη  νέα  γνώση  τους  που  αφορούν  τα  ποσοστά.    

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.82

Page 83: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΦΥΛΛΟ   ΕΡΓΑΣΙΑΣ   2:     Σε   αυτό   το   φύλλο   εργασίας   δίνεται   στους   μαθητές   μια   δραστηριότητα  

χαμηλού  επιπέδου  (η  οποία  παρόλα  αυτά  έχει  κάποια  δυσκολία  που  οφείλεται  σε  προαπαιτούμενες  γνώσεις,  τη  χρήση  της  αναγωγής  της  μονάδας  ως  τρόπου  επίλυσης  προβλημάτων  )  η  οποία  θα  τους  φανεί   χρήσιμη   για   να   τους   εισάγει   στη   καινούρια   θεωρία.   Η   δραστηριότητα   αυτή   συνδέεται   με   το  δεύτερο  στόχο  καθώς  τα  παιδιά  θα  εκφράσουν  με  κλάσμα  τα  μεγέθη  που  τους  ζητούνται  παρόλο  που  δεν  γνωρίζουν  ακόμα  ότι  το  κλάσμα  αυτό  ισοδυναμεί  με  ένα  ποσοστό.  Ωστόσο  αυτή  η  δραστηριότητα  αποτελεί  αφορμή  για  να  μεταβούμε  στη  θεωρία  στην  οποία  εξηγούμε  ότι  τα  κλάσματα  που  γράψανε  στην  άσκηση  αυτή  μπορούν  να  γραφούν  και  ως  ποσοστό.  

 

ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΗΣΗ   ΜΕ   ΟΝΟΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ:   Μπορείς   να   δεις   ότι   στην   παραπάνω   άσκηση  

εκφράσαμε  με   λόγο   το  μέρος   του  ποσού     προς   όλο   το  ποσό.  Ο   λόγος  αυτός   ονομάζεται  ποσοστό.  Όπως  είδαμε  κάποιοι  από  τους  λόγους  έχουν  παρανομαστή  το   100.  Ένας  τέτοιος  λόγος  ονομάζεται  ποσοστό  στα  100  και  είναι  ένα  μέρος  του  ποσού  που  έχει  τιμή  100  και  γράφεται  με  κλάσμα  που  έχει  αριθμητή   το  μέρος  και  παρανομαστή   το   100  ή  με  το  σύμβολο   %.   Το  ποσοστό  μπορεί   να   εκφραστεί  επίσης  ως  δεκαδικός  αριθμός,  που  προκύπτει  από  το  δεκαδικό  κλάσμα.  Τέλος,  το  ποσοστό  είναι  μια  συμβολική   γραφή   που   μας   επιτρέπει   εύκολα   να   συγκρίνουμε   ποσότητες   και   η   ποσότητα   που  εκφράζει  ένα  ποσοστό  εξαρτάται  από  την  τιμή  στην  οποία  αναφέρεται  (π.  χ.  10%  των  60  €  είναι  6  €).  

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  3:    Σε  αυτό  το  φύλλο  εργασίας  παρουσιάζεται  στους  μαθητές  μια  δραστηριότητα  

μετρίου  επιπέδου,  η  οποία  χρησιμεύει  ως  άμεση  εφαρμογή  της  θεωρίας  που  παρουσιάστηκε    πριν  από  αυτήν.  Στη  συγκεκριμένη  άσκηση  γίνεται  προσπάθεια  οι  μαθητές  να  ανακαλύψουν  πώς  μπορούν  να  χρησιμοποιήσουν   τα   ποσοστά   στη   καθημερινή   τους   ζωή   κάνοντας   κάποιες   από   τις   τέσσερις  αριθμητικές   πράξεις   που   ήδη   γνωρίζουν.   Επομένως,   τα   παιδιά   εφαρμόζοντας   τη   θεωρία   που   τους  δόθηκε  εξάγουν  από  μόνοι  τους  ένα  νέο  στοιχείο  με  βάση  το  οποίο  θα  λύνουν  παρόμοιες  ασκήσεις  (εξάγουν   ένα   γενικό   μοτίβο).   Η   δραστηριότητα   αυτή   συνδέεται   με   το   πρώτο,   δεύτερο,   τρίτο   και  τέταρτο  στόχο.  

 

ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΗΣΗ  ΜΕ  ΟΝΟΜΑΤΟΠΟΙΗΣΗ:  Όπως  θα  διαπιστώσατε  η  πράξη  που  χρησιμοποιούμε  

για  να  υπολογίσουμε  τη  ποσότητα  μιας  τιμής  που  εκφράζεται  με  ποσοστό  είναι  ο  πολλαπλασιασμός  

της  ποσότητας  αυτής  με  το  ποσοστό.  

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  4:  Σε  αυτό  το  φύλλο  εργασίας  παρουσιάζεται  μια  δραστηριότητα  υψηλότερου  

επιπέδου  από  της  προηγούμενες  και  βασισμένη  στο  Πρόγραμμα  Σπουδών.  Η  εργασία  αυτή  βοηθά  στο  να   χρησιμοποιήσουν   οι   μαθητές   ό,   τι   μάθανε   στη   θεωρία,     όχι   όμως   μηχανιστικά   εφαρμόζοντας  απλούς  τύπους   ,  αλλά  σκεφτόμενοι  κριτικά  για  τον  τρόπο  επίλυσης  της  άσκησης.  Η  δραστηριότητα  αυτή  συνδέεται  με  το  πρώτο,  δεύτερο  και  τρίτο  στόχο.  

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.83

Page 84: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ   5:   Σε   αυτό   το  φύλλο   εργασίας   το   παιχνίδι   που   παρουσιάζεται   στους   μαθητές  

τους   δίνει   κίνητρο   να   εξοικειωθούν   ακόμα   περισσότερο   με   τα   ποσοστά   με   ένα   πιο   διασκεδαστικό  τρόπο.   Πρόκειται   για   μια   δραστηριότητα   που   είναι   υψηλού   επιπέδου,   η   οποία   ταυτόχρονα  αναπτύσσει   και   την   κριτική   ικανότητα   των   μαθητών   καθώς   τους   ζητά   να  φτιάξουν   ένα   παρόμοιο  πρόβλημα   με   αυτό   που   τους   δίνεται.   Η   δραστηριότητα   αυτή   συνδέεται   με   το   πρώτο,   δεύτερο   και  τρίτο  στόχο.  

ΦΥΛΛΟ   ΕΡΓΑΣΙΑΣ   6:     Σε   αυτό   το   φύλλο   εργασίας   δίνεται   στους   μαθητές   μια   δραστηριότητα  υψηλού  επιπέδου  η  οποία  τους  παρακινεί  να  σκεφτούν  τη  λύση  της  με  κριτικό  τρόπο  τοποθετώντας  τους  σε  ένα  περιβάλλον  και  μια  κατάσταση  της  καθημερινής  ζωής.  Η  δραστηριότητα  αυτή  συνδέεται  με  το  πρώτο,  δεύτερο  και  τρίτο  στόχο.  

ΦΥΛΛΟ   ΕΡΓΑΣΙΑΣ   7:     Σε   αυτό   το   φύλλο   εργασίας   παρουσιάζεται   μια   δραστηριότητα   υψηλού  

επιπέδου   μέσα   από   την   οποία   οι   μαθητές   συνειδητοποιούν   τη   χρήση   των   ποσοστών   σε   μια  δημοσκόπηση.  Το  θέμα  της  δημοσκόπησης  είναι  γνώριμο  και  οικείο  στους  μαθητές  καθώς  αφορά  δύο  αγαπημένα  τους  αθλήματα.  Με  τον  τρόπο  αυτό  παρακινούνται  να  εργαστούν  και  να  βρουν  τη  λύση  της   άσκησης   χρησιμοποιώντας   παράλληλα   και   την   αριθμογραμμή   η   οποία   τους   διευκολύνει  περισσότερο   στην   επίλυση   της.   Τέλος,   μέσω   αυτής   της   δραστηριότητας   αναπτύσσεται   και   η  δημιουργική   ικανότητα   των  μαθητών  καθώς  καλούνται   να   λύσουν   το  πρόβλημα  με   εναλλακτικούς  τρόπους   και   να   δημιουργήσουν   ένα   παρόμοιο   δικό   τους.   Η   δραστηριότητα   αυτή   συνδέεται   με   το  πρώτο,  δεύτερο,  τρίτο,  πέμπτο  και  έκτο  στόχο.  

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  8:  Σε  αυτό  το  φύλλο  δίνεται  στους  μαθητές   ένα  παιχνίδι  μέσω  του  οποίου  θα  

αξιολογήσουμε   αυτά   που   μάθανε   οι   μαθητές   σχετικά   με   τα   ποσοστά.   Δημιουργώντας   έτσι   ένα  ευχάριστο   κλίμα   για   τους   μαθητές   και   ξεφεύγοντας   από   τις   παραδοσιακές   μορφές   αξιολόγησης  διαπιστώνουμε   αν   έχουν   επιτευχθεί   οι   στόχοι   που   θέσαμε   στην   αρχή   της   διδασκαλίας.   Η  δραστηριότητα  αυτή  συνδέεται  με  το  πρώτο,  δεύτερο  και  τρίτο  στόχο.  

ΔΙΑΡΚΕΙΑ  ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ:  4  ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ  ΩΡΕΣ    

   

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.84

Page 85: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

 

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  1:  

   

 

                                                                             

                                                                               

1)Έχετε  συναντήσει  ποτέ  σε  μαγαζιά   τέτοιες   επιγραφές  ή   έχετε  ακούσει   τους  γονείς   σας   να   λένε   ότι   ‹‹η   περίοδος   των   εκπτώσεων   είναι   η   κατάλληλη   για  ψώνια››  ;  

2)Πού  αλλού  έχετε  δει  παρόμοιες  επιγραφές  στη  καθημερινή  σας  ζωή;  

 

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.85

Page 86: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

 

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  2      

Στο     τεστ   της   ιστορίας   που   έγραψε   η   τάξη   ο   Γιάννης   απάντησε   10   ερωτήσεις  από  τις  20  συνολικά  που  είχε  το  τεστ.  Η  Μαρία    απάντησε  τις  17  και  ο  Παύλος  τις  19.  

Α)  Μπορείτε   να   εκφράσετε  με  κλάσμα  πόσες   ερωτήσεις  απάντησαν  σωστά  ο  Γιάννης,  η  Μαρία  και  ο  Παύλος  από  τις  συνολικές  ερωτήσεις  του  τεστ;      

 

 Γιάννης:  ……….……….  

 

Μαρία:    .……….………..  

 

Παύλος:    ……….……….  

 

Β)  Αν  ήταν  100  οι  ερωτήσεις  πόσες  σωστές  ερωτήσεις  θα  είχαν  τα  παιδιά;  

 

Γιάννης:    ……….………..  

 

Μαρία:    .……….…………  

 

Παύλος:  ……….………..  

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.86

Page 87: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  3    

H  Άννα  και  η  Κατερίνα  πηγαίνουν  για  ψώνια  σε  ένα  πολυκατάστημα.  Βρίσκουν  ένα  φόρεμα  το  οποίο  κοστίζει  400€.  Επειδή  όμως,  τους  φαίνεται  ακριβό  αποφασίζουν  να  ψάξουν  και  σε  άλλα  μαγαζιά  μήπως  το  βρουν  κάπου  που  θα  κοστίζει  λιγότερο.  Πράγματι  βρίσκουν  το  αγαπημένο  τους  φόρεμα  σε  τρία  γειτονικά  μαγαζιά  τα  οποία  για  να  ανταγωνιστούν  αυτό  το  πολυκατάστημα  έχουν  κάνει  εκπτώσεις  σε  όλα  τα  είδη  τους.  Και  στα  τρία  μαγαζιά  το  φόρεμα  κόστιζε  400  ευρώ  αρχικά.  Στο  πρώτο  μαγαζί  το  φόρεμα  μετά  την  έκπτωση  που  δέχτηκε  κόστιζε  τελικά  100  ευρώ.  Στο  δεύτερο  μαγαζί  έγινε  έκπτωση    50/100        στο  φόρεμα  και  στο  τρίτο  μαγαζί  η  αρχική  τιμή  του  φορέματος  μειώθηκε  κατά  0,8.  

Α)    Σε  ποιο  μαγαζί  θα  πληρώσουν  τα  λιγότερα  χρήματα  τα  δύο  κορίτσια  προκειμένου  να  αγοράσουν  το  φόρεμα  και  σε  ποιο  μαγαζί  πιστεύετε  επομένως  ότι  έγινε  η  μεγαλύτερη  έκπτωση  και  γιατί;    

Β)    Πώς  σκεφτήκατε  και  ποιες  πράξεις  χρησιμοποιήσατε  προκειμένου  να  οδηγηθείτε  στη  λύση;  

Γ)  Μπορείτε  να  σκεφτείτε  κάποιον  γενικό  κανόνα  με  τον  οποίο  μπορούμε  να  υπολογίσουμε  τη  ποσότητα  μιας  τιμής  που  εκφράζεται  με  ποσοστό;  

 

 

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.87

Page 88: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

 

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  4    

Λιγότερα  λιπαρά  

 

   

 

Αυτό  είναι  ένα  κουτί  με  ελαφρύ  γάλα.  

•   Τι  ποσοστό  λιπαρών  περιέχει  το  πλήρες  γάλα;  

•   Αιτιολογείστε  την  απάντησή  σας.  

 

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.88

Page 89: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  5  Α)Φανταστείτε   ότι   βρίσκεστε   μπροστά   από   ένα   θησαυροφυλάκιο   το   οποίο  περιέχει   έναν   θησαυρό   ανεκτίμητης   αξίας   με   κοσμήματα   και   άλλα   πολύτιμα  υλικά,   ο   οποίος   όμως   είναι   κλειδωμένος.   Αφού   χωριστείτε   σε   3   ομάδες   θα  πρέπει   να   σπάσετε   τον   κωδικό   του   θησαυρού   προκειμένου   να   τον   ανοίξετε.  Όποια  ομάδα  καταφέρει  να  λύσει  πρώτη  το  γρίφο  του  θησαυρού,  σπάζοντας  τον  κωδικό,  είναι  η  νικήτρια.  Παρακάτω  σας  δίνεται  η  λίστα  με  τους  αριθμούς  που   πρέπει   να   βρείτε   για   να   οδηγηθείτε   στη   λύση.   Για   να   σας   βοηθήσω   να  θυμάστε  ότι  όλοι  οι  αριθμοί  αυξήθηκαν  κατά  ένα  ποσοστό  που  είναι  το  ίδιο  για  όλες  τις  περιπτώσεις.  Επίσης,  να  θυμάστε  ότι  όλοι  οι  αριθμοί  που  προκύπτουν  μετά   την   αύξηση   είναι   διψήφιοι   και   ακέραιοι   (δηλαδή,   όχι   δεκαδικοί   και  κλάσματα)  και  ότι  κάθε  γράμμα  αντιπροσωπεύει  έναν  συγκεκριμένο  αριθμό  σε  κάθε  περίπτωση.      

 

 

20   ΓΔ  

15   ΙΖ  

45   ΑΔ  

35   ΔΓ  

70   ΖΔ  

80   ΗΦ  

25   ΕΒ  

60   ΚΓ  

 

     

Β)Πώς  σκεφτήκατε  για  να  λύσετε  τον  κωδικό;  Από  που  ξεκινήσατε;  

Γ)Μπορείτε   να  φτιάξετε   και   εσείς   έναν   κωδικό   με   πιο   λίγες   σειρές   και   να   το  δώσετε  σε  έναν  φίλο  σας  να  τον  σπάσει;  

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.89

Page 90: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  6  

 

Φανταστείτε  ότι  ένας  συμμαθητής  σας  έχει  γενέθλια  και  εσείς  αποφασίζετε  να  οργανώσετε  στην  τάξη  ένα  πάρτι  έκπληξη  γι  αυτόν.  Προκειμένου  να  στολίσετε  την  τάξη  κρεμάτε  στους  τοίχους  δύο  σειρές  από  χρωματιστές  σημαίες.  Η  κάθε  σειρά  αποτελείται  από  κόκκινες  σημαίες,  μπλε,  κίτρινες  και  μωβ  σημαίες  με  ένα  αστεράκι  στο  κέντρο.  Η  μία  σειρά  έχει  50%  μπλε  σημαίες,  35%  κόκκινες  σημαίες,  10%  κίτρινες  και  5%  μωβ  σημαίες  με  το  αστεράκι.  Η  άλλη  σειρά  έχει  40%  μπλε,  32%  κόκκινες,  20%  κίτρινες    και  8%  μωβ.  Και  οι  δύο  σειρές  έχουν  τόσες  σημαίες  όσες  δείχνουν   τα   ποσοστά   της   εκφώνησης.   Επίσης,   οι   σημαίες   έχουν   τοποθετηθεί  όπως   φαίνεται   στο   παραπάνω   σχήμα(δηλαδή,   ανάμεσα   σε   κάθε   τριχρωμία  κόκκινης  μπλε  και  κίτρινης  σημαίας  υπάρχει  ένας  συγκεκριμένος  αριθμός  από  μωβ  σημαίες).  

Α)  Ποια  σειρά  έχει  τις  περισσότερες  σημαίες;  

Β)  Ποια  σειρά  έχει  τις  περισσότερες  κόκκινες  σημαίες;  

Γ)  Ποια  σειρά  έχει  τις  περισσότερες  μπλε  σημαίες;  

Δ)  Πόσες  μωβ  σημαίες  υπάρχουν  ανάμεσα;  

Ε)  Αν  ξέρατε  ότι  κάθε  μία  από  τις  2  σειρές  είχε  10  μωβ  σημαίες  ανάμεσα  σε  κάθε  τριχρωμία  πόσες  σημαίες  όλων  των  χρωμάτων  θα  είχαμε  συνολικά  και  στις  2  σειρές;  

 

 

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.90

Page 91: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

 

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  7    

                                                                                 

 

Α)   Σε  μια  δημοσκόπηση  που  γίνεται  μέσα  σε  μια   τάξη  οι  μαθητές  απάντησαν  ποιο   είναι   το   αγαπημένο   τους   άθλημα   μεταξύ   του   μπάσκετ   και   του  ποδοσφαίρου.  Το  70%  των  μαθητών  απάντησε  ότι  προτιμά  το  μπάσκετ  ενώ  το  60%   απάντησε   το   ποδόσφαιρο.   Κάθε   μαθητής   δήλωσε   ότι   του   αρέσει  τουλάχιστον  ένα  από  τα  δύο  αθλήματα.  9  μαθητές  απάντησαν  πως  προτιμούν  εξίσου   το   μπάσκετ   και   το   ποδόσφαιρο.  Μπορείτε   να   βρείτε   πόσους   μαθητές  είχε  η  τάξη;  

 Β)   Σε   δημοσκόπηση  που   έγινε   σε   μια   άλλη   τάξη   σχετικά   με   το   ίδιο   θέμα,   το  κάθε   άθλημα     επιλέχτηκε   ως   αγαπημένο   από   το   72%   των   μαθητών.   Ο   κάθε  μαθητής  επέλεξε  και  πάλι  ένα  από  τα  δύο  αθλήματα.    

Τι   νομίζετε   για   τον   αριθμό   των   μαθητών   αυτής   της   τάξης;   Μπορείτε   να  σκεφτείτε  παραπάνω  από  έναν  τρόπους  για  να  λύσετε  το  πρόβλημα;  

Γ)  Μπορείτε   να   χρησιμοποιήσετε   την     αριθμογραμμής   για   να   δικαιολογήσετε  τις  απαντήσεις  σας;  

Δ)    Μπορείτε  να  φτιάξετε  μόνοι  σας  ένα  παρόμοιο  πρόβλημα;    

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.91

Page 92: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

 

ΦΥΛΛΟ  ΕΡΓΑΣΙΑΣ  8    

ΠΑΙΧΝΙΔΙ:  

ΤΟ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ  ΝΤΟΜΙΝΟ  

Κανόνες  του  παιχνιδιού:  

1)  Οι  μαθητές  χωρίζονται  σε  4  ομάδες  των  4  ατόμων.  Εάν,  κάποια  ομάδα  έχει  και  πέμπτο  άτομο  το  ορίζει  ως  καθοδηγητή  της  ομάδας.  

2)  Δίνονται  από  το  δάσκαλο  σε  κάθε  ομάδα  16  πλακίδια  από  ντόμινο  όπου  κάθε  πλακίδιο   απεικονίζει   δύο   ποσότητες   με   μαθηματικά   σύμβολα   όπως  φαίνεται  και  στο  παρακάτω  σχήμα  (ο  δεκαδικός  αριθμός  συμβολίζεται  με  μια  τελεία  που  υπάρχει  ανάμεσα  σε  2  ψηφία):    

 

 

 

   

3)Για   να   κερδίσει   κάθε   ομάδα   πρέπει   να   συνεργαστεί   ομαδικά   και   χωρίς  ζαβολιές,   αλλιώς   θα   διακοπεί   το   παιχνίδι.   Σκοπός,   λοιπόν,   της   κάθε   ομάδας  είναι  να  φτιάξει  4  τετράγωνα  από  τέσσερα  πλακίδια  ντόμινο  χρησιμοποιώντας  όλα  τα  πλακίδια  που  τους  δόθηκαν.  Όμως,  τίποτα  δεν  είναι  τόσο  εύκολο  όσο  ακούγεται!   Κάθε   πλακίδιο   περιλαμβάνει   όπως   μπορείτε   να   δείτε   2   αριθμούς.  

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.92

Page 93: Μαθηματικά Ε΄ 4.22 - 23. ΄΄Έννοια του ποσοστού - Προβλήματα με ποσοστά΄΄

Κατά  την  κατασκευή  του  τετραγώνου  θα  πρέπει  ο  αριθμός  που  εκφράζει  κάθε  πλακίδιο  να  ισούται  με    τον  αριθμό  του  άλλου  πλακιδίου  που  το  ενώνουμε.  Για  να  βοηθηθείτε  δείτε  το  παρακάτω  σχήμα  :  

 

Από   το   παραπάνω   σχήμα   μπορείτε   να   δείτε   ότι   το   πλακίδιο   που   έχει   τους  αριθμούς   0,8   και   40%   ενώνεται   από   την   κάτω   μεριά   με   το   πλακίδιο   που   έχει  τους  αριθμούς  80%  και  0,3  και  από  πάνω  με  το  πλακίδιο  που  έχει  τους  αριθμούς  2/5  και   1/4.  ΠΡΟΣΟΧΗ  ΟΜΩΣ!  Παρατηρείτε  ότι  το  0,8   ισούται  με  το  80%  και  το  40%   με   το   2/5;   Παρατηρείστε   πώς   έχει   φτιαχτεί   και   όλο   το   τετράγωνο.   Έτσι  πρέπει  να  είναι  και  τα  τετράγωνα  των  ομάδων.  

4)Αξίζει   να   σημειωθεί   ότι   κατά   τη   διανομή   των   ντόμινο   θα   μοιραστούν   4  ντόμινο   σε   κάθε   παιδί   κάθε   ομάδας.   Νικήτρια   ομάδα   ανακηρύσσεται,   όπως  είπαμε   επομένως,   αυτή   που   θα   μπορέσει   να   φτιάξει   4   τέτοια   μαθηματικά  ντόμινο(ένα   ντόμινο   από   κάθε   παίκτη   κάθε   ομάδας)   πιο   γρήγορα.   Για   να  τελειώσετε   πιο   γρήγορα   μπορούν   να   βοηθιούνται   οι   παίκτες   κάθε   ομάδας  μεταξύ  τους  και  στις  πράξεις  αλλά  και  στο  σχηματισμό  των  τετραγώνων  τους  σιωπηλά.   Το   έπαθλο   για   τη   νικήτρια   ομάδα   είναι   να   αποφασίσει   που   θα  πραγματοποιηθεί  η  επόμενη  εκδρομή  της  τάξης!  

 

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.93