3ο ΓΕΛ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ

Πως η φύση παίρνει μορφή με χρυσές αναλογίες.

Ομαδα1 Νικολόπουλος Βασίλης Παχής Θοδωρής Τσιάμης Θάνος Φλέγκας Κωνσταντίνος Ομαδα2 Μαγουλά Ολίνα Μακρή Άννα Πάλλη Ευσταρτία Ντίας Στέφανος

Ομαδα3 Ζήβα Κατερίνα Πάλλας Ηλίας Παπαγιανόπουλος Ηλίας Μάρη Ιωάννα

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ

Δημητρίου Ελένη (ΠΕ03)

Ομαδα4 Βουσούρα Ουρανία Γαλιατσάτου Χρύσα Μακροπούλου Ολίνα Μονιώδης Μιχαήλ-Άγγελος Ομαδα5 Λαζαράτος Δημήτρης Μαραγκός Δημήτρης Μαντζώρος Στάθης Μάρκου Θάνος

Έχετε αναρωτηθεί ποτέ γιατί

στο ξεφύλλισμα

<<Μ’ΑΓΑΠΑ- ΔΕΝ Μ’ΑΓΑΠΑ>>

μία κίτρινης μαργαρίτας το ότι ΣΕ ΑΓΑΠΑ

έχει σχεδόν εξασφαλιστεί ή τουλάχιστον παίζει με μεγάλες πιθανότητες;

Αυτό συμβαίνει γιατί οι κίτρινες μαργαρίτες έχουν 21 φύλλα.

Το να έχει ένα άνθος 21 φύλλα δεν είναι ασυνήθιστο .

Δεν είναι τυχαία τα όμορφα σχέδια των λουλουδιών.

Οι αρχαίοι Έλληνες βρήκαν ότι τα σχέδια των λουλουδιών βασίζονται σε γεωμετρική αναλογία.

Το πρόβλημα της τομής σε μέσο και άκρο λόγο

Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό αυτής της αναλογίας.

Δηλαδή , χώρισε μια γραμμή σε δύο άνισα τμήματα, έτσι ώστε ο αριθμός που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος του μεγάλου τμήματος με το μήκος του μικρού να ισούται με τον αριθμό που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος ολόκληρης της γραμμής με το μήκος του μεγάλου.

1,618033988749......

Την αναλογία αυτή ο Ευκλείδης στo βιβλίο του Στοιχεία την ονομάζει

«Τομή σε μέσο και άκρο λόγο»

και μεταγενέστερα ονομάστηκε «Θεία Αναλογία» και

«Χρυσή Τομή»

Απόσπασμα από το βιβλίο …των Στοιχείων του Ευκλείδη που αναφέρεται στην χρυσή τομή

Όπως είδαμε ,από τη διαίρεση ενός τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο είδαμε ότι προκύπτει ο ΑΡΡΗΤΟΣ αριθμός

𝟏, 𝟔𝟏𝟖𝟎𝟑𝟑𝟗𝟖𝟖𝟕𝟒𝟗. . . . . .

Ο οποίος ονομάστηκε

«Θεία αναλογία» «Χρυσός Αριθμός»

και

Φ

προς τιμήν του γλύπτη Φειδία.

Στην πραγματικότητα υπάρχουν δύο χρυσοί αριθμοί, ένας θετικός και ένας αρνητικός αλλά ο πρώτος, δηλαδή ο Φ έχει κλέψει όλη τη δόξα.

Μια ιδιότητα του Φ είναι ότι αντίστροφός του και το τετράγωνό του έχουν το ίδιο δεκαδικό μέρος

Ακόμα, μπορούμε να τον εκφράσουμε το ως άπειρα διαδοχικά κλάσματα

11

και 2 1

Τι το ιδιαίτερο έχει, λοιπόν, αυτός ο αριθμός;

Σε τι διαφέρει από τους άλλους;

Όπως ο π εκφράζει το πιο τέλειο γεωμετρικό σχήμα, τη σφαίρα, έτσι και ο Φ είναι ο αριθμός της ομορφιάς, μέγεθος ή αριθμός εν δυνάμει και κατά τον Πλάτωνα βρίσκεται στον υπερουράνιο τόπο.

Η ακολουθία Fibonacci.

Ο Ιταλός μαθηματικός Fibonacci αφού μελέτησε ένα πρόβλημα αναπαραγωγής κουνελιών κατέληξε σε μια ακολουθία αριθμών όπου κάθε όρος της ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων

1

1

2=1+1,

3=2+1,

5=3+2,

8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597

Leonardo Pisano Bigollo (1170 -1250)

Η ακολουθία αυτή ονομάστηκε ακολουθία Fibonacci.

και συνεχίζει επ’ άπειρον.

Ο λόγος δύο διαδοχικών αριθμών της ακολουθίας Fibonacci προσεγγίζει την αποκαλούμενη Χρυσή αναλογία με μεγάλη ακρίβεια καθώς προχωράμε σε μεγαλύτερους όρους της ακολουθίας,

Τι σχέση έχει όμως η ακολουθία Fibonacci με τον αριθμό Φ;

Χρυσά τρίγωνα, χρυσό ορθογώνιο και κανονικά πεντάγωνα, δεκάγωνα, δωδεκάεδρα και εικοσάεδρα

Χρυσό Τρίγωνο λέγεται κάθε ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο ο λόγος της μεγάλης πλευράς προς τη μικρότερη είναι ίσος με Φ.

Υπάρχουν δύο ειδών χρυσά τρίγωνα και τα δύο ισοσκελή, ένα αμβλυγώνιο και ένα οξυγώνιο.

Τα δύο τρίγωνα συνδέονται μεταξύ τους γιατί διαιρώντας σε μέσο και άκρο λόγο μια από τις ίσες πλευρές στο οξυγώνιο ή την βάση στο αμβλυγώνιο προκύπτουν δύο μικρότερα χρυσά τρίγωνα ένα αμβλυγώνιο ή ένα οξυγώνιο αντίστοιχα.

Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου ο λόγος των πλευρών είναι ίσος με 1/φ ονομάζεται «Χρυσό» ορθογώνιο.

Κάθε «Χρυσό» ορθογώνιο έχει μία ξεχωριστή ιδιότητα:

Αν αφαιρέσουμε από την μία πλευρά το μεγαλύτερο δυνατό τετράγωνο απομένει ένα καινούργιο ορθογώνιο που είναι επίσης «Χρυσό» κοκ …

Μια και η γωνιά της κορυφής του οξυγωνίου χρυσού τριγώνου είναι 36ο, είναι φανερό ότι το κανονικό δεκάγωνο θα διαιρείται από τις ακτίνες του σε δέκα χρυσά τρίγωνα.

Αλλά και το κανονικό πεντάγωνο χωρίζεται σε 10 χρυσά τρίγωνα

κανονικό δεκάγωνο

κανονικό πεντάγωνο

Ανάμεσα στα πέντε Πλατωνικά στερεά, υπάρχουν και δύο που συνδέονται με την χρυσή τομή.

Είναι το κανονικό δωδεκάεδρο που οι έδρες του είναι κανονικά πεντάγωνα ,

και το δυϊκό του, το κανονικό εικοσάεδρο που ανά πέντε ισόπλευρα τρίγωνα ενώνονται για να σχηματίσουν ένα σχεδόν σφαιρικό πολύεδρο.

κανονικά πεντάγωνα

κανονικό εικοσάεδρο

Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές του Φ ξεκινούν από την κατασκευή ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα ή Χρυσή Σπείρα.

Υπάρχουν δύο είδη χρυσών σπειρών. Η μία βασίζεται σε διαδοχικά χρυσά ορθογώνια, που το ένα περιέχει το άλλο.

και η άλλη σε διαδοχικά χρυσά οξυγώνια τρίγωνα, που και εδώ, το ένα περιέχει το άλλο.

στα λουλούδια, στα φρούτα και στα λαχανικά

Στα φυτά έχει βρεθεί ότι η χρυσή αναλογία εμφανίζεται κυρίως στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου καθώς και στον αριθμό των πετάλων και στην διάταξή τους.

Σε όλα σχεδόν τα άνθη το πλήθος των πετάλων είναι ίσο με κάποιον από τους αριθμούς της ακολουθίας

3,5,8,13,21,34,55,89...

Υπάρχουν λουλούδια με:

1 ΠΕΤΑΛΟ (white calla lily )

2 ΠΕΤΑΛΑ (Euphorbia )

3 ΠΕΤΑΛΑ (Trillium )

5 ΠΕΤΑΛΑ (Columbine)

8 ΠΕΤΑΛΑ (Bloodroot)

13 ΠΕΤΑΛΑ (black-eyed susan)

21 ΠΕΤΑΛΑ (Μαργαρίτα shasta)

34 ΠΕΤΑΛΑ (Μαργαρίτες αγρού )

1

2

3

5

8

13

… ΧΡΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ

‘Όμως υπάρχουν και άνθη που δεν ακολουθούν τον παραπάνω κανόνα . Όπως το εκατόφυλλο τριαντάφυλλο ή το τετράφυλλο τριφύλλι.

Αυτά τα λουλούδια αποτελούν εξαίρεση του κανόνα ; Για να απαντήσετε σε αυτό το ερώτημα αρκεί να σκεφτείτε γιατί τα τετράφυλλα τριφύλλια είναι πολύ σπάνια, μπορεί γιατί το 4 δεν είναι όρος της ακολουθίας Fibonacci.

Με τον όρο φυλλοταξία εννοούμε στην βοτανική την διάταξη των φύλλων και των κλώνων στην ανάπτυξη ενός φυτού.

Αν επρόκειτο να συνδέσετε τις άκρες των φύλλων ή των κλαδιών που έχουν αναπτυχθεί από τον κορμό, θα διαπιστώνατε ότι δημιουργούν ένα πολύ συγκεκριμένο σπειροειδές σχήμα γύρω

από τον κεντρικό κορμό.

Η γωνία αυτή συνδέεται με τον αριθμό Φ αφού

360 (2 ) 137,5o

Στον μεγαλύτερο αριθμό των φυτών, ένα συγκεκριμένο κλαδί ή φύλλο θα μεγαλώσει από τον κορμό περίπου κατά 137,5 μοίρες γύρω από τον βλαστό σε σχέση με το προηγούμενο κλαδί.

Αν κατανείμουμε τα φύλλα στο μίσχο σύμφωνα με το χρυσό αριθμό, όλα θα επωφελούνται στο μέγιστο βαθμό από το φως του ήλιου, χωρίς να κρύβει το ένα το άλλο. Τα λουλούδια, χάρη στο χρυσό αριθμό, προσελκύουν όσο το δυνατόν καλύτερα τα έντομα που μεταφέρουν τη γύρη.

στην ανάπτυξη των κλαδιών

στη διάταξη των φύλλων

Η ακολουθία Fibonacci

Ανακαλύπτουμε τους αριθμούς Fibonacci με την μορφή σπειρών πάνω στον μίσχο, τα πέταλα ή ακόμα και στα κλαδιά.

34 σπείρες αριστερόστροφα

21 και 34 ..συνεχόμενοι όροι της ακολουθίας Fibonacci

34

21

Για παράδειγμα στο μίσχο της μαργαρίτας παρατηρούμε ότι εμφανίζονται:

και… 21 σπείρες δεξιόστροφα

Η χρυσή τομή εμφανίζεται σε πολλά είδη φρούτων είτε μέσω των αριθμών Fibonacci είτε με την μορφή σπειρών. Για παράδειγμα

Αλλά και η οριζόντια διατομή μιας μπανάνας τη χωρίζει σε 3 μέρη.

Αν κόψουμε ένα αστερόφρουτο στη μέση θα παρατηρήσουμε ότι η οριζόντια διατομή του σχηματίζει ένα κανονικό πεντάγωνο.

Το ίδιο συμβαίνει και σε ένα μήλο

Ακόμα, οι κλίμακες του ανανά είναι διαμορφωμένες σε σπείρες

Η χρυσή αναλογία εκτός από τα φρούτα εμφανίζεται και στα λαχανικά. Για παράδειγμα

Στο κουνουπίδι εμφανίζονται

5 σπείρες δεξιόστροφα 13 σπείρες

αριστερόστροφα

Στο Romanesque Broccoli εμφανίζονται (μια διασταύρωση μπρόκολου και κουνουπιδιού)

13 σπείρες δεξιόστροφα και 21 σπείρες αριστερόστροφα

στα οστρακοειδή, στα έντομα, στα ψάρια, στα πτηνά και στα θηλαστικά

Η «Ακολουθία Fibonacci» διέπει και το ζωικό βασίλειο.

Εμφανίζεται στα οστρακοειδή, στα έντομα, στα θηλαστικά και στα πτηνά.

στο σώμα αλλά και στην κίνηση των μυρμηγκιών

στα φτερά της πεταλούδας

στο σώμα και στον ιστό της αράχνης

Στα έντομα εντοπίζουμε λόγους χρυσής τομής, για παράδειγμα

Το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα σ’ ένα μελίσσι είναι μια ακολουθία Fibonacci!

Επίσης στα μελίσσια, ο πληθυσμός των εργατριών μελισσών

σε σχέση με τους κηφήνες, αναπτύσσεται με βάση την Ακολουθία Fibonacci, και ο λόγος τους τείνει στη « χρυσή αναλογία».

στους παπαγάλους

και στα φτερά του Blue Heron

O αριθμός Φ εντοπίζεται και στο Βασίλειο των πτηνών όπως για παράδειγμα με τη μορφή χρυσών αναλογιών

στο σώμα του πιγκουίνου

Αυτό, όμως, που προκαλεί ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι ότι ο αριθμός Φ εμφανίζεται και στον τρόπο που πετάνε ορισμένα ήδη γερανών , όπως για παράδειγμα οι πετρίτες.

Τα γεράκια εκμεταλλεύονται την ισογώνια ιδιότητα της χρυσής σπείρας και διατηρούν το στόχο τους στο οπτικό τους πεδίο ενώ μεγιστοποιούν την

ταχύτητά τους.

στους χαυλιόδοντες των ελεφάντων και των εξαφανισμένων μαμούθ

σε ζώα όπως οι κατσίκες , οι αντιλόπες και τα κριάρια που έχουν κέρατα σε σπειροειδή μορφή

Παραδείγματα καμπυλών με βάση λογαριθμική σπείρα μπορεί να δει κανείς

της τίγρης

του κοάλα

Ο αριθμός Φ εμφανίζεται και με τη μορφή χρυσών αναλογιών σε ορισμένα ζώα όπως στα χαρακτηριστικά του προσώπου

και στο σώμα του δελφινιού

Τα λεγόμενα χρυσά σπειροειδή, που βασίζονται στο φ, απαντώνται στις σπείρες οστρακοειδών όπως στο κέλυφος του Ναυτίλου.

Αλλά και το κέλυφος των σαλιγκαριών ακολουθεί και αυτό την ακολουθία Fibonacci.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα μορφής θαλάσσιας ζωής, πέρα του ναυτίλου , του οποίου η ανατομία διέπεται από την χρυσή τομή είναι ο αστερίας το σώμα του οποίου σχηματίζει ένα κανονικό πεντάγωνο.

ενώ μπορούμε να διακρίνουμε την χρυσή αναλογία και στον ιππόκαμπο και συγκεκριμένα στις ραβδώσεις του

Χρυσοί λόγοι εμφανίζονται και στο χελιδονόψαρο

στο πρόσωπο, το χέρι, το σώμα

και στο ανθρώπινο DNA

Υπάρχουν πολλές εφαρμογές της Χρυσής Αναλογίας στο ανθρώπινο σώμα. Σχεδόν όλα τα μέρη του σώματός μας είναι κατασκευασμένα σύμφωνα με αυτήν. Από το κεφάλι μέχρι και τις πατούσες εμφανίζεται ο αριθμός φ.

Το ύψος ενός ανθρώπου προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και την άκρη του μεσαίου δαχτύλου του αποτελεί ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Το ίδιο και η απόσταση από το κεφάλι μέχρι και την άκρη του μεσαίου δαχτύλου προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους αγκώνες. Η απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους αγκώνες προς την απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους ώμους, αποτελεί και αυτή ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα. Όμοια και η απόσταση από το κεφάλι μέχρι και τους ώμους προς την απόσταση από την κορυφή του κεφαλιού μέχρι την άκρη του πιγουνιού, αποτελεί εξίσου ένα χρυσό ευθύγραμμο τμήμα.

Τα εκατοστά των οστών του χεριού μας αντιστοιχούν στους όρους της ακολουθίας.

Έχοντας αυτό σαν δεδομένο το νύχι του μεσαίου δαχτύλου μας ισούται με ένα. Επιπροσθέτως, η παλάμη δημιουργεί τη χρυσή αναλογία σε σχέση με το υπόλοιπο χέρι.

Στα δόντια μας, παρατηρείται ότι τα δύο μπροστινά δόντια είναι εγγεγραμμένα σε ένα χρυσό ορθογώνιο, με μία χρυσή αναλογία του ύψους προς το πλάτος τους.

Επιπλέον, η αναλογία του

πλάτους από το πρώτο δόντι

προς το πλάτος του δευτέρου

είναι επίσης χρυσή.

Τέλος, αν χαμογελάσουμε, θα παρατηρήσουμε πως το πλάτος του χαμόγελου προς το πλάτος που υπάρχει μέχρι το τρίτο δόντι, είναι ίση με Φ.

Το κεφάλι αποτελεί ένα χρυσό

ορθογώνιο με την ευθεία που

ορίζουν τα μάτια να το χωρίζει

στη μέση.

Το στόμα και η μύτη είναι το

καθένα τοποθετημένο στη χρυσή

τομή του ευθύγραμμου τμήματος

Που ορίζεται ανάμεσα στα μάτια

και στην άκρη του πιγουνιού.

Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA, φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο το οποίο είναι υπόδειγμα της χρυσής αναλογίας.

Κλείνοντας θα θέλαμε να τονίσουμε πως είναι καθήκον μας και δικαίωμα μας να μελετάμε και να καταλαβαίνουμε τον κόσμο και ο αριθμός Φ αποτελεί αναμφισβήτητα ένα χρήσιμο εργαλείο.

Ο μεγάλος γάλλος μαθηματικός Henri Poincare κάποτε είπε:

« Ο επιστήμονας δεν μελετά τη φύση επειδή είναι χρήσιμο, αλλά επειδή αυτό τον ευχαριστεί. Και τον

ευχαριστεί επειδή η φύση είναι όμορφη. Εάν η φύση δεν ήταν όμορφη, τότε δεν θα άξιζε τον κόπο

να την γνωρίσουμε.

Και εάν δεν άξιζε τον κόπο να την γνωρίσουμε, τότε δεν θα άξιζε να ζούμε»