3. Resolucio de...PDF file
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Pgina 74
Determinants dordre 2
Resol cada un dels segents sistemes dequacions i calcula el determinant de lamatriu dels coeficients:
a) b) c)
d) e) f )
a) = 11 0Solucin: x = 4, y = 7
b) = 0. Solucin: x = + , y =
c) = 3 0Solucin: x = 5, y = 3
d) = 0. Incompatible
e) = 0
Solucin: x = , y =
f) = 109 0. Solucin: x = , y = 8861091 4021093 118 7
3x + 11y = 1288x 7y = 46
43
13
18 2415 20
18x + 24y = 615x + 20y = 5
9 66 4
9x 6y = 76x + 4y = 11
4 15 2
4x + y = 175x + 2y = 19
35
85
5 310 6
5x 3y = 810x + 6y = 16
2 33 1
2x + 3y = 293x y = 5
3x + 11y = 1288x 7y = 46
18x + 24y = 615x + 20y = 5
9x 6y = 76x + 4y = 11
4x + y = 175x + 2y = 19
5x 3y = 810x + 6y = 16
2x + 3y = 293x y = 5
Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 1
RESOLUCI DE SISTEMESMITJANANT DETERMINANT
3
Pgina 75
Resoluci de sistemes 2 2 mitjanant determinants
Resol, aplicant-hi x = i y = , els segents sistemes dequacions:
a) b) c) d)
Comprova, en cada cas, la soluci.
a) |A|= = 26; |Ax|= = 156;
|Ay|= = 286; Por tanto: x = = 6; y = = 11
b) |A|= = 83; |Ax|= = 415;
|Ay|= = 166;Por tanto: x = = 5; y = = 2
c) |A|= = 64; |Ax|= = 192;
|Ay|= = 320;Por tanto: x = = 3; y = = 5
d) |A|= = 10; |Ax|= = 30;
|Ay|= = 50;Por tanto: x = = 3; y = = 5
Pgina 77
1. Calcula el valor daquests determinants:
5010
3010
2 16 28
1 128 2
2 16 2
2x + y = 16x 2y = 28
32064
19264
6 85 60
8 2 60 9
6 25 9
6x + 2y = 85x + 9y = 60
16683
41583
5 337 13
33 413 11
5 47 11
5x + 4y = 337x 11y = 13
28626
15626
3 734 2
73 52 2
3 54 2
3x 5y = 734x + 2y = 2
2x + y = 16x 2y = 28
6x + 2y = 85x + 9y = 60
5x + 4y = 337x 11y = 13
3x 5y = 734x + 2y = 2
Ay
A
Ax
A
Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 2
a) b) c) d) a) 3 7 4 1 = 17
b) 0, porque la segunda fila es proporcional a la primera.
c) 0, porque la segunda fila solo tiene ceros.
d) 7 (2) = 14
2. Calcula:
a) b) c) d) a) a d b c
b) a2 b3 a3 b2 = a2 b2(b a)
c) 0, porque la segunda fila solo tiene ceros.
d) a b c b a c = 0, o tambin obsrvese que la segunda fila es proporcional a laprimera.
Pgina 781. Calcula els determinants segents:
a) b) a) = 114 b) = 3
2. Troba el valor daquests determinants:
a) b) a) = 14 b) = 1 000
Pgina 80
3. Justifica, sense desenvolupar, aquestes igualtats:
a) = 0 b) = 04 1 72 9 1
8 2 14
3 1 70 0 01 11 4
10 47 590 10 910 0 10
0 4 11 2 13 0 1
10 47 590 10 910 0 10
0 4 11 2 13 0 1
9 0 31 1 00 2 1
5 1 40 3 69 6 8
9 0 31 1 00 2 1
5 1 40 3 69 6 8
a bac bc
a b0 0
a2 b2
a3 b3a bc d
7 00 2
373 1410 0
1 113 33
3 14 7
Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 3
c) = 0 d) = 0a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).
b) La 3- fila es proporcional a la 1- (3- = (2) 1-) (propiedad 6).
c) La 3- fila es combinacin lineal de las dos primeras (3- = 1- + 10 2-) (propiedad 9).
d) La 1- fila es combinacin lineal de las otras dos (1- = 10 2- + 3-) (propiedad 9).
4. Tenint en compte el resultat del determinant que shi dna, calcula la resta sen-se desenvolupar:
= 1 a) b) c) a) = 3 = 3 1 = 3b) = 5 = 1 1 = 1c) = = 1
Pgina 811. Troba dos menors dordre dos i uns altres dos menors dordre tres de la ma-
triu
M = ( )Menores de orden dos; por ejemplo:
M = ( ) = 0, = 4Menores de orden tres; por ejemplo:
M = ( ) = 68, = 211 2 61 1 50 3 42 3 14 6 25 1 22 3 1 54 6 2 75 1 2 64 1 1 50 0 3 4
2 61 5
2 34 6
2 3 1 54 6 2 75 1 2 64 1 1 50 0 3 4
2 3 1 54 6 2 75 1 2 64 1 1 50 0 3 4
x y z5 0 31 1 1
x y z2x + 5 2y 2z + 3x + 1 y + 1 z + 1
x y z5 0 31 1 1
15
5x 5y 5z1 0 3/51 1 1
x y z5 0 31 1 1
3x 3y 3z5 0 31 1 1
x y z2x + 5 2y 2z + 3x + 1 y + 1 z + 1
5x 5y 5z1 0 3/51 1 1
3x 3y 3z5 0 31 1 1
x y z5 0 31 1 1
45 11 104 1 15 1 0
7 4 12 9 727 94 71
Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 4
2. Troba el menor complementari i ladjunt dels elements a12, a33 i a43 de la ma-triz:
A = ( )12 = = 2; A12 = (1)1 + 2 12 = 1 (2) = 233 = = 108; A33 = (1)3 + 3 33 = 1 108 = 10843 = = 16; A43 = (1)4 + 3 43 = 1 16 = 16
Pgina 83
1. Calcula el determinant segent aplicant-hi la regla de Sarrus i desenvolupant-loper cada una de les seues files i cada una de les seues columnes:
Comprova que sobt el mateix resultat en els set casos.
Aplicando la regla de Sarrus:
= 3 2 4 + (5) 8 (1) + 7 6 9 (1) 2 9 6 8 3 7 (5) 4 = 456Desarrollando por la 1- fila:
= 3 7 1 = 3 (40) 7 (74) 1 (58) == 120 + 518 + 58 = 456
Desarrollando por la 2- fila:
= 5 + 2 6 = 5 36 + 2 21 6 (39) == 180 + 42 + 234 = 456
3 79 8
3 19 4
7 18 4
3 7 15 2 69 8 4
5 29 8
5 69 4
2 68 4
3 7 15 2 69 8 4
3 7 15 2 69 8 4
3 7 15 2 69 8 4
0 2 62 1 51 1 3
0 2 62 1 54 6 7
2 3 51 2 34 5 7
0 2 4 62 1 3 51 1 2 34 6 5 7
Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 5
Desarrollando por la 3- fila:
= 9 8 + 4 = 9 44 8 13 + 4 41 == 396 104 + 164 = 456
Desarrollando por la 1- columna:
= 3 + 5 + 9 = 3 (40) + 5 36 + 9 44 == 120 + 180 + 396 = 456
Desarrollando por la 2- columna:
= 7 + 2 8 = 7 (74) + 2 21 8 13 == 518 + 42 104 = 456
Desarrollando por la 3- columna:
= 1 6 + 4 = 1 (58) 6 (39) + 4 41 == 58 + 234 + 164 = 456
3. Calcula el rang de les matrius segents:
a) b) a) =(1) 7 = 7 290 = 2 030
(1) Desarrollando por la 2- columna.
b) =(1) 2 + 2 = 2 28 + 2 28 = 0(1) Desarrollando por la 4- fila.
Tambin podramos haber observado que la 4- columna es igual a la suma de lasotras tres; y, por tanto, el determinante vale cero.
3 1 11 4 10 3 2
1 1 34 1 43 2 5
3 1 1 31 4 1 40 3 2 52 0 0 2
7 3 44 4 71 1 9
7 0 3 44 0 4 73 7 6 91 0 1 9
3 1 1 31 4 1 40 3 2 52 0 0 2
7 0 3 44 0 4 73 7 6 91 0 1 9
3 75 2
3 79 8
5 29 8
3 7 15 2 69 8 4
3 15 6
3 19 4
5 69 4
3 7 15 2 69 8 4
7 12 6
7 18 4
2 68 4
3 7 15 2 69 8 4
3 75 2
3 15 6
7 12 6
3 7 15 2 69 8 4
Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 6
Pgina 83
1. Calcula el rang de les matrius segents:
A = ( ) B = ( )C = ( ) D = ( )A = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 7 0Luego, las dos primeras filas son linealmente independientes.
Observamos que la 3- fila es la suma de las dos primeras, y que la 4- fila es la suma dela 2- y la 3-. Por tanto, ran (A) = 2.
B = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 8 0. Luego, las dos pri-meras filas son linealmente independientes.
Veamos si la tercera fila depende linealmente de las anteriores:
= 8 0 Las 3 primeras filas son linealmente independientes.Veamos si la 4- fila depende linealmente de las anteriores:
= 0 y = 0Por tanto, ran (B) = 3.
4 2 5 32 3 6 56 5 12 812 10 23 16
4 2 1 52 3 2 66 5 3 1212 10 6 23
4 2 52 3 66 5 12
4 22 3
4 2 1 5 32 3 2 6 56 5 3 12 812 10 6 23 16
1 23 1
1 2 3 0 1 43 1 0 1 1 24 1 3 1 0 67 0 3 2 1 8
2 1 0 15 1 3 77 2 3 81 0 2 2
1 0 0 1 11 1 2 1 00 0 0 0 11 1 0 0 0
4 2 1 5 32 3 2 6 56 5 3 12 812 10 6 23 16
1 2 3 0 1 43 1 0 1 1 24 1 3 1 0 67 0 3 2 1 8
Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 7
C = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 1 0. Luego, las dos pri-meras filas son linealmente independientes.
Como = = 2 0, las tres primeras filas son linealmente independientes.
Como = = 2 0, entonces ran (C ) = 4D = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 3 0. Luego, las dos pri-meras filas son linealmente independientes.
Como = 9 0, la primera, segunda y cuarta fila son linealmente independientes.La tercera fila es la suma de las dos primeras. Luego, ran (D) = 3.
Pgina 85
1. Aplica el teorema de Rouch per a esbrinar si els sistemes segents sn com-patibles o incompatibles:
a) b) c)
a)A = ( ) A' = ( )
= 11 0 ran (A) = 2|A'|= 0 ran (A' ) = 2
El sistema es compatible.
3 21 3
3 2 51 3 22 1 3
3 21 32 1
3x 2y = 5x + 3y = 2
2x y = 3
x + y + 2z = 73x y + 4t = 1
x 3y 4z + 4t = 6
4x + 5y = 72x y = 07x + 11y = 4
3x 2y = 5x + 3y = 2
2x y = 3
2 1 05 1 31 0 2
2 15 1
2 1 0 15 1 3 77 2 3 81
