3. Resolucio de...PDF file

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Pgina 74

Determinants dordre 2

Resol cada un dels segents sistemes dequacions i calcula el determinant de lamatriu dels coeficients:

a) b) c)

d) e) f )

a) = 11 0Solucin: x = 4, y = 7

b) = 0. Solucin: x = + , y =

c) = 3 0Solucin: x = 5, y = 3

d) = 0. Incompatible

e) = 0

Solucin: x = , y =

f) = 109 0. Solucin: x = , y = 8861091 4021093 118 7

3x + 11y = 1288x 7y = 46

43

13

18 2415 20

18x + 24y = 615x + 20y = 5

9 66 4

9x 6y = 76x + 4y = 11

4 15 2

4x + y = 175x + 2y = 19

35

85

5 310 6

5x 3y = 810x + 6y = 16

2 33 1

2x + 3y = 293x y = 5

3x + 11y = 1288x 7y = 46

18x + 24y = 615x + 20y = 5

9x 6y = 76x + 4y = 11

4x + y = 175x + 2y = 19

5x 3y = 810x + 6y = 16

2x + 3y = 293x y = 5

Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 1

RESOLUCI DE SISTEMESMITJANANT DETERMINANT

3

Pgina 75

Resoluci de sistemes 2 2 mitjanant determinants

Resol, aplicant-hi x = i y = , els segents sistemes dequacions:

a) b) c) d)

Comprova, en cada cas, la soluci.

a) |A|= = 26; |Ax|= = 156;

|Ay|= = 286; Por tanto: x = = 6; y = = 11

b) |A|= = 83; |Ax|= = 415;

|Ay|= = 166;Por tanto: x = = 5; y = = 2

c) |A|= = 64; |Ax|= = 192;

|Ay|= = 320;Por tanto: x = = 3; y = = 5

d) |A|= = 10; |Ax|= = 30;

|Ay|= = 50;Por tanto: x = = 3; y = = 5

Pgina 77

1. Calcula el valor daquests determinants:

5010

3010

2 16 28

1 128 2

2 16 2

2x + y = 16x 2y = 28

32064

19264

6 85 60

8 2 60 9

6 25 9

6x + 2y = 85x + 9y = 60

16683

41583

5 337 13

33 413 11

5 47 11

5x + 4y = 337x 11y = 13

28626

15626

3 734 2

73 52 2

3 54 2

3x 5y = 734x + 2y = 2

2x + y = 16x 2y = 28

6x + 2y = 85x + 9y = 60

5x + 4y = 337x 11y = 13

3x 5y = 734x + 2y = 2

Ay

A

Ax

A

Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 2

a) b) c) d) a) 3 7 4 1 = 17

b) 0, porque la segunda fila es proporcional a la primera.

c) 0, porque la segunda fila solo tiene ceros.

d) 7 (2) = 14

2. Calcula:

a) b) c) d) a) a d b c

b) a2 b3 a3 b2 = a2 b2(b a)

c) 0, porque la segunda fila solo tiene ceros.

d) a b c b a c = 0, o tambin obsrvese que la segunda fila es proporcional a laprimera.

Pgina 781. Calcula els determinants segents:

a) b) a) = 114 b) = 3

2. Troba el valor daquests determinants:

a) b) a) = 14 b) = 1 000

Pgina 80

3. Justifica, sense desenvolupar, aquestes igualtats:

a) = 0 b) = 04 1 72 9 1

8 2 14

3 1 70 0 01 11 4

10 47 590 10 910 0 10

0 4 11 2 13 0 1

10 47 590 10 910 0 10

0 4 11 2 13 0 1

9 0 31 1 00 2 1

5 1 40 3 69 6 8

9 0 31 1 00 2 1

5 1 40 3 69 6 8

a bac bc

a b0 0

a2 b2

a3 b3a bc d

7 00 2

373 1410 0

1 113 33

3 14 7

Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 3

c) = 0 d) = 0a) Tiene una fila de ceros (propiedad 2).

b) La 3- fila es proporcional a la 1- (3- = (2) 1-) (propiedad 6).

c) La 3- fila es combinacin lineal de las dos primeras (3- = 1- + 10 2-) (propiedad 9).

d) La 1- fila es combinacin lineal de las otras dos (1- = 10 2- + 3-) (propiedad 9).

4. Tenint en compte el resultat del determinant que shi dna, calcula la resta sen-se desenvolupar:

= 1 a) b) c) a) = 3 = 3 1 = 3b) = 5 = 1 1 = 1c) = = 1

Pgina 811. Troba dos menors dordre dos i uns altres dos menors dordre tres de la ma-

triu

M = ( )Menores de orden dos; por ejemplo:

M = ( ) = 0, = 4Menores de orden tres; por ejemplo:

M = ( ) = 68, = 211 2 61 1 50 3 42 3 14 6 25 1 22 3 1 54 6 2 75 1 2 64 1 1 50 0 3 4

2 61 5

2 34 6

2 3 1 54 6 2 75 1 2 64 1 1 50 0 3 4

2 3 1 54 6 2 75 1 2 64 1 1 50 0 3 4

x y z5 0 31 1 1

x y z2x + 5 2y 2z + 3x + 1 y + 1 z + 1

x y z5 0 31 1 1

15

5x 5y 5z1 0 3/51 1 1

x y z5 0 31 1 1

3x 3y 3z5 0 31 1 1

x y z2x + 5 2y 2z + 3x + 1 y + 1 z + 1

5x 5y 5z1 0 3/51 1 1

3x 3y 3z5 0 31 1 1

x y z5 0 31 1 1

45 11 104 1 15 1 0

7 4 12 9 727 94 71

Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 4

2. Troba el menor complementari i ladjunt dels elements a12, a33 i a43 de la ma-triz:

A = ( )12 = = 2; A12 = (1)1 + 2 12 = 1 (2) = 233 = = 108; A33 = (1)3 + 3 33 = 1 108 = 10843 = = 16; A43 = (1)4 + 3 43 = 1 16 = 16

Pgina 83

1. Calcula el determinant segent aplicant-hi la regla de Sarrus i desenvolupant-loper cada una de les seues files i cada una de les seues columnes:

Comprova que sobt el mateix resultat en els set casos.

Aplicando la regla de Sarrus:

= 3 2 4 + (5) 8 (1) + 7 6 9 (1) 2 9 6 8 3 7 (5) 4 = 456Desarrollando por la 1- fila:

= 3 7 1 = 3 (40) 7 (74) 1 (58) == 120 + 518 + 58 = 456

Desarrollando por la 2- fila:

= 5 + 2 6 = 5 36 + 2 21 6 (39) == 180 + 42 + 234 = 456

3 79 8

3 19 4

7 18 4

3 7 15 2 69 8 4

5 29 8

5 69 4

2 68 4

3 7 15 2 69 8 4

3 7 15 2 69 8 4

3 7 15 2 69 8 4

0 2 62 1 51 1 3

0 2 62 1 54 6 7

2 3 51 2 34 5 7

0 2 4 62 1 3 51 1 2 34 6 5 7

Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 5

Desarrollando por la 3- fila:

= 9 8 + 4 = 9 44 8 13 + 4 41 == 396 104 + 164 = 456

Desarrollando por la 1- columna:

= 3 + 5 + 9 = 3 (40) + 5 36 + 9 44 == 120 + 180 + 396 = 456

Desarrollando por la 2- columna:

= 7 + 2 8 = 7 (74) + 2 21 8 13 == 518 + 42 104 = 456

Desarrollando por la 3- columna:

= 1 6 + 4 = 1 (58) 6 (39) + 4 41 == 58 + 234 + 164 = 456

3. Calcula el rang de les matrius segents:

a) b) a) =(1) 7 = 7 290 = 2 030

(1) Desarrollando por la 2- columna.

b) =(1) 2 + 2 = 2 28 + 2 28 = 0(1) Desarrollando por la 4- fila.

Tambin podramos haber observado que la 4- columna es igual a la suma de lasotras tres; y, por tanto, el determinante vale cero.

3 1 11 4 10 3 2

1 1 34 1 43 2 5

3 1 1 31 4 1 40 3 2 52 0 0 2

7 3 44 4 71 1 9

7 0 3 44 0 4 73 7 6 91 0 1 9

3 1 1 31 4 1 40 3 2 52 0 0 2

7 0 3 44 0 4 73 7 6 91 0 1 9

3 75 2

3 79 8

5 29 8

3 7 15 2 69 8 4

3 15 6

3 19 4

5 69 4

3 7 15 2 69 8 4

7 12 6

7 18 4

2 68 4

3 7 15 2 69 8 4

3 75 2

3 15 6

7 12 6

3 7 15 2 69 8 4

Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 6

Pgina 83

1. Calcula el rang de les matrius segents:

A = ( ) B = ( )C = ( ) D = ( )A = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 7 0Luego, las dos primeras filas son linealmente independientes.

Observamos que la 3- fila es la suma de las dos primeras, y que la 4- fila es la suma dela 2- y la 3-. Por tanto, ran (A) = 2.

B = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 8 0. Luego, las dos pri-meras filas son linealmente independientes.

Veamos si la tercera fila depende linealmente de las anteriores:

= 8 0 Las 3 primeras filas son linealmente independientes.Veamos si la 4- fila depende linealmente de las anteriores:

= 0 y = 0Por tanto, ran (B) = 3.

4 2 5 32 3 6 56 5 12 812 10 23 16

4 2 1 52 3 2 66 5 3 1212 10 6 23

4 2 52 3 66 5 12

4 22 3

4 2 1 5 32 3 2 6 56 5 3 12 812 10 6 23 16

1 23 1

1 2 3 0 1 43 1 0 1 1 24 1 3 1 0 67 0 3 2 1 8

2 1 0 15 1 3 77 2 3 81 0 2 2

1 0 0 1 11 1 2 1 00 0 0 0 11 1 0 0 0

4 2 1 5 32 3 2 6 56 5 3 12 812 10 6 23 16

1 2 3 0 1 43 1 0 1 1 24 1 3 1 0 67 0 3 2 1 8

Unitat 3. Resoluci de sistemes mitjanant determinants 7

C = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 1 0. Luego, las dos pri-meras filas son linealmente independientes.

Como = = 2 0, las tres primeras filas son linealmente independientes.

Como = = 2 0, entonces ran (C ) = 4D = ( )Tomamos un menor de orden 2 distinto de cero: = 3 0. Luego, las dos pri-meras filas son linealmente independientes.

Como = 9 0, la primera, segunda y cuarta fila son linealmente independientes.La tercera fila es la suma de las dos primeras. Luego, ran (D) = 3.

Pgina 85

1. Aplica el teorema de Rouch per a esbrinar si els sistemes segents sn com-patibles o incompatibles:

a) b) c)

a)A = ( ) A' = ( )

= 11 0 ran (A) = 2|A'|= 0 ran (A' ) = 2

El sistema es compatible.

3 21 3

3 2 51 3 22 1 3

3 21 32 1

3x 2y = 5x + 3y = 2

2x y = 3

x + y + 2z = 73x y + 4t = 1

x 3y 4z + 4t = 6

4x + 5y = 72x y = 07x + 11y = 4

3x 2y = 5x + 3y = 2

2x y = 3

2 1 05 1 31 0 2

2 15 1

2 1 0 15 1 3 77 2 3 81