ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 2

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ

Κεφάλαιο 2ο

Αριθμητικά Συστήματα Και Κώδικες

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑo 2.1 Αρχές ανάπτυξης αριθμητικών συστημάτων.o 2.2 Δεκαδικό σύστημα.o 2.3 Δυαδικό σύστημα.

n 2.3.1 Ορισμοί.n 2.3.2 Αρίθμηση στο δυαδικό σύστημα.n 2.3.3 Μετατροπή δυαδικού στο δεκαδικό.n 2.3.4 Μετατροπή δεκαδικού στο δυαδικό.

o 2.4 Οκταδικό σύστημα.n 2.4.1 Ορισμοί.n 2.4.2 Αρίθμηση στο οκταδικό σύστημα.n 2.4.3 Μετατροπή οκταδικού σε δεκαδικό.n 2.4.4 Μετατροπή δεκαδικού σε οκταδικό.n 2.4.5 Μετατροπή οκταδικού σε δυαδικό.n 2.4.6 Μετατροπή δυαδικού σε οκταδικό.

o 2.5 Δεκαεξαδικό σύστημα.n 2.5.1 Ορισμοί.n 2.5.2 Αρίθμηση στο δεκαεξαδικό σύστημα.n 2.5.3 Μετατροπή δεκαεξαδικού σε δεκαδικό.n 2.5.4 Μετατροπή δεκαδικού σε δεκαεξαδικό.n 2.5.5 Μετατροπή δεκαεξαδικού σε δυαδικό.n 2.5.6 Μετατροπή δυαδικού σε δεκαεξαδικό.n 2.5.7 Μετατροπή δεκαεξαδικού σε οκταδικό.n 2.5.8 Μετατροπή οκταδικού σε δεκαεξαδικό.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑo 2.6 Αριθμητικές πράξεις.

n 2.6.1 Αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα.o 2.6.1.1 Πρόσθεση δυαδικών αριθμών.o 2.6.1.2 Αφαίρεση δυαδικών αριθμών.

n 2.6.2 Αριθμητικές πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.o 2.6.2.1 Πρόσθεση δεκαεξαδικών αριθμών.o 2.6.2.2 Αφαίρεση δεκαεξαδικών αριθμών.

o 2.7 Κώδικες.n 2.7.1 Δυαδικοί κώδικες.n 2.7.2 Δυαδικοί κώδικές με βάρη.

o 2.7.2.1 Ο κώδικας BCD.o 2.7.2.2 Μετατροπή από BCD σε δεκαδικό.o 2.7.2.3 Μετατροπή από δεκαδικό σε BCD.o 2.7.2.4 Αριθμοί του κώδικα BCD και δυαδικοί αριθμοί.

n 2.7.3 Δυαδικοί κώδικες χωρίς βάρη.o 2.7.3.1 Ορισμοί.o 2.7.3.2 Ο κώδικας GRAY.

n 2.7.4 Αλφαριθμητικοί κώδικες.o 2.7.4.1 Ορισμοί.o 2.7.4.2 Ο κώδικας ASCII.

5/29/2013 ΛΕΥΘΕΡΟΥΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΕ1708

4

2.1 Αρχές ανάπτυξης αριθμητικώνσυστημάτων

o Ένα αριθμητικό σύστημα είναι ένα σύνολο από ψηφία(αριθμοί και χαρακτήρες) που χρησιμοποιούνται γιααρίθμηση και υπολογισμούς (πρόσθεση, αφαίρεση,πολλαπλασιασμό, διαίρεση).

o Η ανάπτυξη των αριθμητικών συστημάτων βασίζεταισε δύο αρχές :1. Την ύπαρξη βάσης (base, radix) του συστήματος.2. Την ύπαρξη αξίας – βάρους (weight) των θέσεων τωνσυμβόλων.

o Το περισσότερο χρησιμοποιούμενο αριθμητικόσύστημα είναι το δεκαδικό. Αλλά συστήματα με ταοποία θα ασχοληθούμε είναι το δυαδικό, το οκταδικόκαι το δεκαεξαδικό.


5

2.2 Δεκαδικό σύστημαo Το δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιεί δέκα ψηφία (τουςαριθμούς 0-9).

o Έχει βάση το 10.o Η αξία των ψηφίων εξαρτάται από τις θέσεις τους (τοβάρος των θέσεων υπολογίζεται από την αντίστοιχηδύναμη του 10).

o ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : ο αριθμός 5832 παριστάνει μίαποσότητα που είναι ίση με :

o 5 χιλιάδες + 8 εκατοντάδες + 3 δεκάδες +2 μονάδες.0123

10 10*210*310*810*5)5832( +++=


6

2.2 Δεκαδικό σύστημα

o Το πρώτο ψηφίο του αριθμού είναι τοπερισσότερο σημαντικό ψηφίο (MostSignificant Digit – MSD), γιατί έχει τηνμεγαλύτερη αξία.

o Ενώ το τελευταίο ψηφίο είναι το λιγότεροσημαντικό ψηφίο (Least Significant Digit –LSD) γιατί έχει την μικρότερη αξία.

012310 10*210*310*810*5)5832( +++=


7


2*100=23*101=308*102=8005*103=5000Αξία

100101102103Βάρος

0123Θέση

2385Ψηφία

LSDMSD


8


o ΑΡΑ κάθε αριθμός εκφρασμένος σε αριθμητικόσύστημα με βάση (radix) το r παριστάνεται μεμία σειρά από ψηφία οι τιμές των οποίωνκυμαίνονται από 0 έως r-1 δηλαδή :

o Ο αντίστοιχος δεκαδικός αριθμός (με βάση το10) είναι :

0121...)( aaaaaA nnr -=

00

11

22

1110 10*10*10*...10*10*)( aaaaaA n

nn

n +++++= --


9

2.2 Δεκαδικό σύστημα0

01

12

21

110 10*10*10*...10*10*)( aaaaaA nn

nn +++++= -

-

012310 10*210*310*810*5)5832( +++=


10

2.3 Δυαδικό σύστημα2.3.1 Ορισμοί

o Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιεί 2 ψηφία, ταψηφία «0» και «1».

o Δηλαδή έχει βάση τον αριθμό 2.o Κάθε δυαδικός αριθμός παριστάνεται από μια σειράαπό τέτοια ψηφία που ονομάζονται δυαδικά ψηφία(bits).

o Από τις θέσεις των ψηφίων προκύπτουν τα βάρη τους(οι αντίστοιχες δυνάμεις του 2).

o ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : έχουμε τον αριθμό (1011)2

01232 2*12*12*02*1)1011( +++=

http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%94%CF%85%CE%B1%CE%B4%CE%B9%CE%BA%CF%8C_%CF%83%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1


11


o Το πρώτο ψηφίο του αριθμού είναι τοπερισσότερο σημαντικό δυαδικό ψηφίο(Most Significant Bit – MSB), γιατί έχει τηνμεγαλύτερη αξία.

o Ενώ το τελευταίο ψηφίο είναι το λιγότεροσημαντικό δυαδικό ψηφίο (Least SignificantBit – LSB) γιατί έχει την μικρότερη αξία.

100123

2 )11(2*12*12*02*1)1011( =+++=


12


1*20=11*21=20*22=01*23=8Αξία

20212223Βάρος

0123Θέση

1101Ψηφία

LSBMSB


13

2.3.2 Αρίθμηση στο δυαδικόσύστημα

o Στο δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας n ψηφία μπορούμε ναμετρήσουμε 10n αριθμούς (από το 0 μέχρι και το 10n-1).n Για παράδειγμα με 1 ψηφίο μπορούμε να μετρήσουμε τουςαριθμούς 0-9.

n Με δύο ψηφία τους αριθμούς 0-99.n Με τρία ψηφία τους αριθμούς 0-999.

o Αντίστοιχα στο δυαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας n ψηφία (bits)μπορούμε να μετρήσουμε 2n αριθμούς (από το 0 μέχρι και το 2n-1).n Με 1 ψηφίο μπορούμε να μετρήσουμε τους αριθμούς 0-1.n Με δύο ψηφία τους αριθμούς 0-3.n Με τρία ψηφία τους αριθμούς 0-7.n Με τέσσερα ψηφία τους αριθμούς 0-15.

011141111151

101131001121110111010101100190000180111070011060101050001040110030010020100010000000

LSBMSBLSDMSDΔυαδικό βάση 2Δεκαδικός βάση 10


15

2.3.3 Μετατροπή δυαδικού σεδεκαδικό

o Για την μετατροπή του δυαδικού αριθμού σεδεκαδικό χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος :

o Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός (1110)2αντιστοιχεί στον δεκαδικό αριθμό (14)10

100123

2 )14(2*02*12*12*1)1110( =+++=

00

11

22

1110 2*2*2*...2*2*)( aaaaaA n

nn

n +++++= --

http://www.postokano.gr/metatropi-dyadikon-arithmon-se-dekadikoys


16


o Ένας άλλος πρόχειρος τρόπος για να μετατρέψουμεέναν δυαδικό αριθμό σε δεκαδικό είναι να γράψουμεπάνω από τους άσσους (τα bit του δυαδικού που είναι«1») την αξία σε δεκαδικό και να προσθέσουμε τιςτιμές αυτές.

0

1

=1424+8+σύνολο

111Ψηφία

248Αξία


17


25628

σύνολο

ψηφία

Αξία120

221

422

823

1624

3225

6426

12827


18

2.3.4 Μετατροπή δεκαδικού σεδυαδικό

o Για την μετατροπή δεκαδικού αριθμού σε δυαδικό αριθμόχρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία :

o Ο δεκαδικός αριθμός διαιρείται δια του 2, όποτε προκύπτειακέραιο πηλίκο και υπόλοιπο (που είναι 0 ή 1).

o Το πηλίκο της προηγούμενης διαίρεσης διαιρείται εκ νέου δια του2, οπότε προκύπτει νέο ακέραιο πηλίκο και νέο υπόλοιπο.

o Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να προκύψει πηλίκο ίσο με 0.o Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων αποτελούν τα ψηφία τουακέραιου μέρους του δυαδικού αριθμού με LSB, το υπόλοιποτης πρώτης διαίρεσης και MSB το υπόλοιπο της τελευταίαςδιαίρεσης.


19


MSB

LSB


20


σύνολο

ψηφία

Αξία

18+32+

100101

1248163264128


21

2.4 Οκταδικό σύστημα2.4.1 Ορισμοί

o Το οκταδικό σύστημα χρησιμοποιεί οκτώψηφία (τους αριθμούς 0-7).

o Έχει βάση το 8.o Η αξία των ψηφίων εξαρτάται από τις θέσειςτους (το βάρος των θέσεων υπολογίζεται απότην αντίστοιχη δύναμη του 8).

o ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : ο αριθμός 452 παριστάνει μίαποσότητα που είναι ίση με :

10012

8 )298(8*28*58*4)452( =++=

http://en.wikipedia.org/wiki/Octal


22




10012

8 )298(8*28*58*4)452( =++=


23


2*80=2*1=25*81=5*8=404*82=4*64=256Αξία

808182Βάρος

012Θέση

254Ψηφία

LSDMSD


24

2.4.2 Αρίθμηση στο οκταδικόσύστημα

o Στο οκταδικό σύστημα χρησιμοποιώντας nψηφία ) μπορούμε να μετρήσουμε 8n

αριθμούς (από το 0 μέχρι και το 8n-1).n Με 1 ψηφίο μπορούμε να μετρήσουμετους αριθμούς 0-7.

n Με δύο ψηφία τους αριθμούς 0-63.n Με τρία ψηφία τους αριθμούς 0-511.n Με τέσσερα ψηφία τους αριθμούς 0-4095.

61417151

51314121311121011190018070706060505040403030202010100000

LSDMSDLSDMSDΟκταδικό βάση 8Δεκαδικός βάση 10


26

2.4.3 Μετατροπή οκταδικού σεδεκαδικό

o Για την μετατροπή ενός οκταδικού αριθμού σεδεκαδικό χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος :

o Για παράδειγμα, ο οκταδικός αριθμός 372 :

00

11

22

1110 8*8*8*...8*8*)( aaaaaA n

nn

n +++++= --

10012

8 )250(1*28*764*38*28*78*3)372( =++=++=


27

2.4.3 Μετατροπή οκταδικού σεδεκαδικό

4096

84

32768

85

2621445126481

8683828180

83=8*8*8=512 8

8Χ

648Χ

2

3

4*8=32 γράφουμε 2 καικρατάμε 3.

8*6=48+3 τακρατούμενα = 51

51


28

2.4.4 Μετατροπή δεκαδικού σεοκταδικό

o Για την μετατροπή δεκαδικού αριθμού σε οκταδικό αριθμόχρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία :

o Ο δεκαδικός αριθμός διαιρείται δια του 8, όποτε προκύπτειακέραιο πηλίκο και υπόλοιπο.

o Το πηλίκο της προηγούμενης διαίρεσης διαιρείται εκ νέου δια του8, οπότε προκύπτει νέο ακέραιο πηλίκο και νέο υπόλοιπο.

o Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να προκύψει πηλίκο ίσο με 0.o Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων αποτελούν τα ψηφία τουακέραιου μέρους του οκταδικού αριθμού με LSD, το υπόλοιποτης πρώτης διαίρεσης και MSD το υπόλοιπο της τελευταίαςδιαίρεσης.


29

2.4.4 Μετατροπή δεκαδικού σεοκταδικό

MSD

LSD


30

2.4.5 Μετατροπή οκταδικού σεδυαδικό

o Για την μετατροπή ενός οκταδικού αριθμού σεδυαδικό αριθμό μετατρέπεται κάθε ψηφίο τουοκταδικού αριθμού σε μία ομάδα τριών (3)δυαδικών ψηφίων.

o Επειδή με τρία δυαδικά ψηφία μπορούν νααναπαρασταθούν όλα τα ψηφία του οκταδικούσυστήματος.

000001010011100101110111Δυαδικό

01234567Οκταδικό


31

2.4.5 Μετατροπή οκταδικού σεδυαδικό

o Για παράδειγμα, ο οκταδικός αριθμός :

28 )000111111101()3764( =

100110111011Δυαδικό

4673Οκταδικό


32

2.4.6 Μετατροπή δυαδικού σεοκταδικό

o Για τη μετατροπή ενός δυαδικού αριθμού σε οκταδικόαριθμό, χωρίζεται ο δυαδικός αριθμός σε ομάδεςτριών (3) bits και κάθε ομάδα μετατρέπεται στοισοδύναμο οκταδικό ψηφίο.

o Αν ο δυαδικός αριθμός δεν χωρίζεται ακριβώς σετριάδες bits, τότε προστίθενται όσα «0» απαιτούνταιστα αριστερά του MSB του δυαδικού αριθμού γιατίαυτό δεν επηρεάζει τον αριθμό, ώστε να δημιουργηθείη τελευταία τριάδα bits.


33

2.4.6 Μετατροπή δυαδικού σεοκταδικό

82 )251()10101001( =

152

001101010


34

2.5 Δεκαεξαδικό σύστημα2.5.1 Ορισμοί

o Το δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιεί 16 ψηφία (τουςαριθμούς 0-9 και τα γράμματα A,B,C,D,E,F).

o Έχει βάση το 16.o Η αξία των ψηφίων εξαρτάται από τις θέσεις τους (τοβάρος των θέσεων υπολογίζεται από την αντίστοιχηδύναμη του 16).

o ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : ο αριθμός 8F9 παριστάνει μίαποσότητα που είναι ίση με :

10012

16 )2297(16*916*1516*8)98( =++=F

http://en.wikipedia.org/wiki/Hexadecimal


35




10012

16 )2297(16*916*1516*8)98( =++=F


36


9*160=9*1=915*161=15*16=2408*162=8*256=2048Αξία

160161162Βάρος

012Θέση

9F=158Ψηφία

LSDMSD


37

2.5.2 Αρίθμηση στο δεκαεξαδικόσύστημα

o Στο δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιώνταςn ψηφία ) μπορούμε να μετρήσουμε 16n

αριθμούς (από το 0 μέχρι και το 16n-1).n Με 1 ψηφίο μπορούμε να μετρήσουμετους αριθμούς 0-15.

n Με δύο ψηφία τους αριθμούς 0-255.n Με τρία ψηφία τους αριθμούς 0-4095.n Με τέσσερα ψηφία τους αριθμούς 0-

65535.

E41F51

D31C21B11A01990880770660550440330220110000

LSDMSDΔεκαεξαδικό βάση 16

Δεκαδικός βάση 10


39

2.5.3 Μετατροπή δεκαεξαδικού σεδεκαδικό

o Για την μετατροπή ενός δεκαεξαδικού αριθμούσε δεκαδικό χρησιμοποιείται ο ακόλουθοςτύπος :

o Για παράδειγμα, ο δεκαεξαδικός αριθμός B5D :

00

11

22

1110 16*16*16*...16*16*)( aaaaaA n

nn

n +++++= --

10

01216

)2909(1*1316*5256*1116*1316*516*11)5(

=++==++=DB


40

2.5.3 Μετατροπή δεκαεξαδικού σεδεκαδικό

65536

164

4096256161

163162161160

163=16*16*16=4096 16

16Χ6

16Χ

6

3

6*6=36 γράφουμε 6και κρατάμε 3.

1*6=6+3 τακρατούμενα=9

1*16=16+9=25

6*6=36 γράφουμε τα6 και κρατάμε τα 3

6*25=150+3=153

1*256=256+153=409409

3

25


41

2.5.4 Μετατροπή δεκαδικού σεδεκαεξαδικό

o Για την μετατροπή δεκαδικού αριθμού σε δεκαεξαδικό αριθμόχρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία :

o Ο δεκαδικός αριθμός διαιρείται δια του 16, όποτε προκύπτειακέραιο πηλίκο και υπόλοιπο.

o Το πηλίκο της προηγούμενης διαίρεσης διαιρείται εκ νέου δια του 16,οπότε προκύπτει νέο ακέραιο πηλίκο και νέο υπόλοιπο.

o Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να προκύψει πηλίκο ίσο με 0.o Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων αποτελούν τα ψηφία του ακέραιουμέρους του δεκαεξαδικού αριθμού με LSD, το υπόλοιπο τηςπρώτης διαίρεσης και MSD το υπόλοιπο της τελευταίαςδιαίρεσης.

o ΠΡΟΣΟΧΗ ! Θα πρέπει στο τέλος να μετατρέπουμε τουςαριθμούς των υπολοίπων σε γράμματα σύμφωνα με τον πίνακααρίθμησης.


42

2.5.4 Μετατροπή δεκαδικού σεδεκαεξαδικό

MSD

LSD


43

2.5.5 Μετατροπή δεκαεξαδικού σεδυαδικό

o Για την μετατροπή ενός δεκαεξαδικού αριθμού σεδυαδικό αριθμό μετατρέπεται κάθε ψηφίο τουδεκαεξαδικού αριθμού σε μία ομάδα τεσσάρων (4)δυαδικών ψηφίων.

o Επειδή με τέσσερα δυαδικά ψηφία μπορούν νααναπαρασταθούν όλα τα ψηφία του δεκαεξαδικούσυστήματος.

FEDCBA98Δεκαεξαδικό

01110110010101000011001000010000Δυαδικό

11111110110111001011101010011000Δυαδικό

76543210Δεκαεξαδικό


44

2.5.5 Μετατροπή δεκαεξαδικού σεδυαδικό

o Για παράδειγμα, ο δεκαεξαδικός αριθμός :

216 )1001001001111001()649( =E

0100011011101001Δυαδικό

46E9Δεκαεξαδικό


45

2.5.6 Μετατροπή δυαδικού σεδεκαεξαδικό

o Για τη μετατροπή ενός δυαδικού αριθμού σεδεκαεξαδικό αριθμό, χωρίζεται ο δυαδικός αριθμός σεομάδες τεσσάρων (4) bits και κάθε ομάδαμετατρέπεται στο ισοδύναμο δεκαεξαδικό ψηφίο.

o Αν ο δυαδικός αριθμός δεν χωρίζεται ακριβώς σετετράδες bits, τότε προστίθενται όσα «0» απαιτούνταιστα αριστερά του MSB του δυαδικού αριθμού γιατίαυτό δεν επηρεάζει τον αριθμό, ώστε να δημιουργηθείη τελευταία τετράδα bits.


46

2.5.6 Μετατροπή δυαδικού σεδεκαεξαδικό

162 )512()0100010010111101( F=

5

0101

1F2

000111110010


47

2.5.7 Μετατροπή δεκαεξαδικού σεοκταδικό

o Για την μετατροπή ενός δεκαεξαδικού αριθμούσε οκταδικό, μετατρέπεται ο δεκαεξαδικόςαριθμός σε δυαδικό αριθμό που με την σειρά τουμετατρέπεται σε οκταδικό αριθμό.

216 )011010001101()35( =A

5605

82 )5065()011010001101( =


48

2.5.8 Μετατροπή οκταδικό σεδεκαεξαδικού

o Για την μετατροπή ενός οκταδικού αριθμού σεδεκαεξαδικό, μετατρέπεται ο οκταδικός αριθμόςσε δυαδικό αριθμό που με την σειρά τουμετατρέπεται σε δεκαεξαδικό αριθμό.

28 )011111010000()7501( =

14F

162 )41()011111010000( F=


49

2.6 Αριθμητικές πράξεις2.6.1 Στο δυαδικό2.6.1.1 Πρόσθεση

o Το άθροισμα δύο δυαδικών αριθμών υπολογίζεται μεανάλογη διαδικασία όπως το άθροισμα δύο δεκαδικώναριθμών :

o Η πρόσθεση ξεκινάει από τα LSB προς τα MSB τωνπροσθετέων, κάθε bit του αθροίσματος είναι «0» ή «1»και το κρατούμενο κάθε θέσης προστίθεται στα bits τωνπροσθετέων της επόμενης θέσης.

o Οι μνημονικοί κανόνες της δυαδικής πρόσθεσης είναι :n 0+0=0n 0+1=1n 1+0=1n 1+1=0 και κρατούμενο 1

o Το σύμβολο + ΔΕΝ αντιστοιχεί στην πράξη OR.


50

2.6 Αριθμητικές πράξεις2.6.1 Στο δυαδικό2.6.1.1 Πρόσθεση

222 )10101()1100()1001( =+

1 0 0 11 1 0 0+

1

10101

101010 )21()12()9( =+

Αριθμητικέςπράξεις στοδυαδικόσύστημα.

http://ph150.edu.physics.uoc.gr/view.php?s=4&b=1&p=5


51

2.6.1.2 Αφαίρεση δυαδικώναριθμών

o Η διαφορά δύο δυαδικών αριθμών υπολογίζεται μεανάλογη διαδικασία όπως η διαφορά δύο δεκαδικώναριθμών :

o Η αφαίρεση ξεκινάει από τα LSB προς τα MSB τουμειωτέου και του αφαιρετέου

o Οι μνημονικοί κανόνες της δυαδικής αφαίρεσης είναι :n 0-0=0n 0-1=1 και δανεικό 1n 1-0=1n 1-1=0


52

2.6.1.2 Αφαίρεση δυαδικώναριθμών

222 )0101()0100()1001( =-

101010 )5()4()9( =-

1 0 0 1

0 1 0 0-

1

1010

0-

Αφαιρετέος

Μειωτέος

Αριθμητικέςπράξεις στοδυαδικόσύστημα.

http://ph150.edu.physics.uoc.gr/view.php?s=4&b=1&p=5


53

2.6.2 Αριθμητικές πράξεις στοδεκαεξαδικό σύστημα

o Οι δεκαεξαδικοί αριθμοί χρησιμοποιούνταιευρύτατα στους Η/Υ, όπως για παράδειγμα στηναρίθμηση των διευθύνσεων μνήμης ή στονπρογραμματισμό μικροϋπολογιστών σε γλώσσαμηχανής.

o Επομένως, είναι χρήσιμη η γνώση εκτέλεσης τωνπράξεων της πρόσθεσης και της αφαίρεσηςδεκαεξαδικών αριθμών.


54

2.6.2.1 Πρόσθεση δεκαεξαδικώναριθμών

o Η πρόσθεση ξεκινάει από τα LSD προς τα MSD τωνπροσθετέων. Τα ψηφία των δεκαεξαδικών αριθμώνπροστίθενται σε κάθε θέση, όπως προστίθενται οιδεκαδικοί αριθμοί.

o Αν το αποτέλεσμα είναι μικρότερο από 15 ή ίσο με 15,τότε το άθροισμα είναι το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο.

o Αν το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από 15, τότε τοάθροισμα είναι το δεκαεξαδικό ψηφίο που αντιστοιχείστην διαφορά του αποτελέσματος μείον 16 καιμεταφέρεται κρατούμενο 1 στην επόμενη θέση.


55

2.6.2.1 Πρόσθεση δεκαεξαδικώναριθμών

161616 )913()314()98( ACFEB =+

101010 )80585()20273()60312( =+

Ε Β 9 84 F 3 1+

912C

F=15 , B=11

15+11=26-16=10

E=14

14+4+1=19-16=310A

1

31


56

2.6.2.2 Αφαίρεση δεκαεξαδικώναριθμών

o Η αφαίρεση ξεκινάει από τα LSD προς τα MSD του μειωτέου και τουαφαιρετέου.

o Αν σε κάθε θέση το ψηφίο του μειωτέου είναι μεγαλύτερο από ήίσο με το ψηφίο του αφαιρετέου, τότε τα ψηφία αφαιρούνται όπωςαφαιρούνται οι δεκαδικοί. Η διαφορά είναι το αντίστοιχο δεκαεξαδικόψηφίο.

o Αν σε κάθε θέση το ψηφίο του μειωτέου είναι μικρότερο από τοψηφίο του αφαιρετέου, τότε μεταφέρεται δανεικό 1 από την επόμενηθέση (το δεκαεξαδικό ψηφίο της επόμενης θέσης μειώνεται κατά 1).

o Στο ψηφίο του μειωτέου προστίθεται το 16 και από αυτό το άθροισμααφαιρείται το ψηφίο του αφαιρετέου.

o Η διαφορά είναι το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο του αποτελέσματοςαυτής της αφαίρεσης.


57

2.6.2.2 Αφαίρεση δεκαεξαδικώναριθμών

161616 )534()132()862( BEC =-

101010 )13493()11795()25288( =-

6 2 C 82 E 1 3-

5

18

11B

Αφαιρετέος

Μειωτέος

C=12 12-1=11

E=14

2+16=18

4

5

3


58

2.7 Κώδικες 2.7.1 Δυαδικοί κώδικες

o Ο άνθρωπος χρησιμοποιεί την δεκαδική λογική, ο Η/Υχρησιμοποιεί την δυαδική λογική, άρα είναι προφανές ότιυπάρχει πρόβλημα επικοινωνίας του χρήστη με τον Η/Υ.

o Επομένως, απαιτείται η κατάλληλη μετατροπή τωνπληροφοριών που ονομάζεται κωδικοποίηση.

o Κώδικας είναι ένας συστηματικός τρόπος παράστασηςπληροφοριών.

o Τα ηλεκτρονικά ψηφιακά συστήματα χρησιμοποιούνσήματα που έχουν δύο διακριτές τιμές.

o Όμως, τα ψηφιακά συστήματα αναπαριστούν καιχειρίζονται πολλά διακριτά στοιχεία πληροφορίας και όχιμόνο δυαδικές πληροφορίες.


59


o Κάθε διακριτό στοιχείο πληροφορίας μπορεί ναπαρασταθεί με έναν δυαδικό κώδικα.

o Δυαδικός κώδικας είναι ένας συστηματικός τρόποςπαράστασης πληροφοριών σε δυαδική μορφή.

o Οι δυαδικοί κώδικες χρησιμοποιούν το δυαδικό ψηφίο(binary digit – bit) με δύο πιθανές τιμές «0» και «1».

o Με έναν δυαδικό κώδικα που χρησιμοποιεί n bitsμπορούν να παρασταθούν το πολύ 2n διακεκριμέναστοιχεία πληροφορίας, αφού τα n bits μπορούν νατοποθετηθούν στη σειρά με 2n διαφορετικούς τρόπους(συνδυασμοί).


60


o Π.Χ. τέσσερα στοιχεία μπορούν να παρασταθούν μεέναν δυαδικό κώδικα των 2 bits.

o Κάθε στοιχείο παριστάνεται με έναν από τους τέσσεριςτρόπους που μπορούν να τοποθετηθούν στη σειρά αυτάτα δύο bits : 00, 01, 10, 11.

o Για παράδειγμα, οι τέσσερις εποχές του χρόνου θαμπορούσαν να παρασταθούν ως εξής:n Άνοιξη <> 00n Καλοκαίρι <> 01n Φθινόπωρο <> 10n Χειμώνας <> 11

o Η παραπάνω αντιστοιχία των εποχών με δυαδικούςαριθμούς είναι ένας δυαδικός κώδικας.


61


o Αν το πλήθος των στοιχείων που πρόκειται νακωδικοποιηθούν δεν είναι δύναμη του 2, τότε μερικοίαπό τους συνδυασμούς των bits δε χρησιμοποιούνται.

o Για παράδειγμα, τα 10 ψηφία του δεκαδικού συστήματοςμπορούν να παρασταθούν με έναν δυαδικό κώδικα των4 bits.

o Με 4 bits, όμως, μπορούν να αναπτυχθούν 16συνδυασμοί. Επομένως, δε χρησιμοποιούνται 6συνδυασμοί.

o Οι δυαδικοί κώδικες ανήκουν σε δύο κατηγορίεςανάλογα με τον τρόπο κατασκευής τους :n Δυαδικοί κώδικες με βάρη.n Δυαδικοί κώδικες χωρίς βάρη.


62

2.7.2 Δυαδικοί κώδικες με βάρηo Οι δυαδικοί κώδικες με βάρη κατασκευάζονται με τέτοιοντρόπο ώστε στη θέση κάθε bit του κώδικα να αντιστοιχείένα βάρος (κάθε θέση έχει μία αξία).

o Οι ακόλουθοι δυαδικοί κώδικες με βάρη στα bitsανάλογα με τη θέση τους, χρησιμοποιούνται για τηνκωδικοποίηση των 10 ψηφίων του δεκαδικούσυστήματος :n Ο BCD κώδικας που χρησιμοποιεί 4 bits με βάρη 8 4 2 1.n Ο κώδικας με βάρη 7421 που χρησιμοποιεί 4 bits με βάρη 7 4

2 1.n Ο Biquinary κώδικας που χρησιμοποιεί 7 Bits με βάρη 5 0 4 3

2 1 0.

http://en.wikipedia.org/wiki/Bi-quinary_coded_decimal


63

2.7.2.1 Ο κώδικας BCD

o Ο κώδικας BCD (Binary Coded Decimal –δυαδικά κωδικοποιημένο δεκαδικό), είναι έναςδυαδικός κώδικας με βάρη, που χρησιμοποιείταιγια την κωδικοποίηση των 10 ψηφίων τουδεκαδικού συστήματος, το καθένα από τα οποίααντιστοιχεί σε μία τετράδα bits.

o Ο κώδικας χρησιμοποιεί 4 bits με βάρη 8 4 2 1.o Που χρησιμοποιείται ;

http://en.wikipedia.org/wiki/Binary-coded_decimal

http://wiki.answers.com/Q/What_are_the_applications_of_BCD_Code

2.7.2.1 Ο κώδικας BCDo Για παράδειγμα, ο δεκαδικόςαριθμός 5 αντιστοιχεί στηντετράδα 0 1 0 1.

o (0*8+1*4+0*2+1*1=5).o Ο κώδικας BCD χρησιμοποιείτους 10 από τους 16δυνατούς συνδυασμούς των5 Bits.

o Οι 6 συνδυασμοί 1010, 1011,1100, 1101, 1110, 1111 δεχρησιμοποιούνται.

1 0 0 191 0 0 080 1 1 170 1 1 060 1 0 150 1 0 040 0 1 130 0 1 020 0 0 110 0 0 00

BCD8 4 2 1

Δεκαδικόψηφίο


65

2.7.2.2 Μετατροπή από BCD σεδεκαδικό

o Για τη μετατροπή ενός BCD αριθμού σε δεκαδικόαριθμό χωρίζεται ο BCD αριθμός σε ομάδεςτεσσάρων (4) bits και κάθε ομάδα μετατρέπεταιστο ισοδύναμο δεκαδικό ψηφίο.

o Π.Χ (1000011000101001)=8629

9268

1001001001101000


66

2.7.2.3 Μετατροπή από δεκαδικό σεBCD

o Για την μετατροπή ενός δεκαδικού αριθμού σε BCDαριθμό, μετατρέπεται κάθε ψηφίο του δεκαδικού σεμία ομάδα τεσσάρων (4) bits που αποτελούν τονισοδύναμο BCD αριθμό του κάθε δεκαδικού ψηφίου.

1000001101100100

8364

210 )1110000100011000()4638( =


67

2.7.2.4 Αριθμοί του κώδικα BCD καιδυαδικοί αριθμοί

o Ο κώδικας BCD δεν είναι ένα άλλο αριθμητικόσύστημα (όπως το δεκαδικό, το δυαδικό, τοοκταδικό, το δεκαεξαδικό), αλλά ένας τρόποςπαράστασης των 10 ψηφίων του δεκαδικούσυστήματος, το κάθε ένα από τα οποίααντιστοιχεί σε μία τετράδα bits.

o Επομένως, είναι σημαντική η διαφορά ανάμεσαστη δυαδική κωδικοποίηση ενός δεκαδικούαριθμού και στη μετατροπή ενός δεκαδικούαριθμού στο δυαδικό σύστημα.


68

2.7.2.4 Αριθμοί του κώδικα BCD καιδυαδικοί αριθμοί

o Ο κώδικας BCD είναι ένας άμεσος δυαδικόςμετατροπέας μόνο για τους αριθμούς 0-9.

o Για παράδειγμα ο δεκαδικός αριθμός 253αντιστοιχεί :n Στον BCD αριθμό 001001010011n Και στον δυαδικό αριθμό 11111101


69

2.7.3 Δυαδικοί κώδικες χωρίς βάρη2.7.3.1 Ορισμοί

o Στους δυαδικούς κώδικες χωρίς βάρη η θέσηκάθε bit του κώδικα δεν αντιστοιχεί κάποιοβάρος.

o Αυτοί οι κώδικες προκύπτουν από κάποιονκανόνα.

o Τέτοιοι είναι οι ακόλουθοι :n Ο κώδικας Gray.n Ο κώδικας υπερβολής κατά 3 (excess-3).

http://verticalhorizons.in/excess-3-code-in-digital-electronics/

http://en.wikipedia.org/wiki/Excess-3


70

2.7.3.2 Ο κώδικας GRAY

o Ο κώδικας Gray είναι δυαδικός κώδικας χωρίςβάρη που χρησιμοποιείται για την κωδικοποίησητων δεκαδικών αριθμών (ΌΧΙ μόνο των 10ψηφίων του δεκαδικού συστήματος, όπως γίνεταιστον κώδικα BCD).

o Ο κώδικας Gray χρησιμοποιεί 4 bits(κωδικοποίηση των 16 πρώτων δεκαδικώναριθμών 0-15).

o Ο κώδικας Gray ονομάζεται κατοπτρικόςκώδικας.


o Η πρώτη στήλη από δεξιά(LSB) ξεκινάει πρώτα μεένα «0» και μετά με ένα«1».

o Αυτά είναι τα δύοκατακόρυφα bits είναικατοπτρικά των 2επόμενων κατακόρυφωνbits (υπάρχει συμμετρίαως προς τη μέση τους).

o Έτσι, δημιουργούνται 4bits.

1 0 0 0151 0 0 1141 0 1 1131 0 1 0121 1 1 0111 1 1 1101 1 0 191 1 0 080 1 0 070 1 0 160 1 1 150 1 1 040 0 1 030 0 1 120 0 0 110 0 0 00GrayΔεκαδικός Αριθμός


o Τα επόμενα 4κατακόρυφα bits είναικατοπτρικά των 4προηγουμένων bits.

o Έτσι, δημιουργούνται8 bits.

o Τα επόμενα 8 bitsείναι κατοπτρικά των8 προηγουμένων.



o Η δεύτερη στήλη απόδεξιά ξεκινάει πρώταμε δύο «0» και μετάμε δύο «1».

o Τα επόμενα 4 bitsείναι κατοπτρικά των4 προηγουμένων.

o Έτσι, δημιουργούνται8 bits.

o Τα επόμενα 8 bitsείναι κατοπτρικά των8 προηγουμένων.1 0 0 015

1 0 0 1141 0 1 1131 0 1 0121 1 1 0111 1 1 1101 1 0 191 1 0 080 1 0 070 1 0 160 1 1 150 1 1 040 0 1 030 0 1 120 0 0 110 0 0 00GrayΔεκαδικός Αριθμός


o Η διαδικασίαεπαναλαμβάνεται καιστις επόμενες στήλες.

o Η Τρίτη στήλη απόδεξιά ξεκινάει πρώταμε τέσσερα «0» καιμετά τέσσερα «1».

o Και είναι κατοπτρικήως προς το μέσον της



o Και τέλος η τέταρτηστήλη από δεξιάξεκινάει πρώτα μεοκτώ «0» και μετά μεοκτώ «1».



76


o Ο κώδικας Gray έχει το εξής σημαντικόχαρακτηριστικό :

o Στον κώδικα Gray αλλάζει ένα μόνο bit μεταξύδύο διαδοχικών αριθμών.

o Αυτό δεν συμβαίνει στο δυαδικό σύστημα.

0 1 1 00 1 0 1Δυαδικό0 1 0 10 1 1 1Gray

65


77

2.7.3.2 Ο κώδικας GRAYo Αν χρησιμοποιούνται δυαδικοί αριθμοί για την μετάβασηαπό έναν αριθμό στον επόμενο, τότε υπάρχει ηπιθανότητα σφάλματος.

o Η μετάβαση από το (7) (0111) στο (8) (1000) μπορεί ναοδηγήσει (για μικρό χρονικό διάστημα) στο (4) (0110) αντο LSB αλλάζει γρηγορότερα από τα άλλα bits, μεαποτέλεσμα να γίνει λάθος στην μετατροπή.

o Αν χρησιμοποιείται ο κώδικας Gray για την μετάβασηαπό έναν αριθμό στον επόμενο, τότε η πιθανότητασφάλματος εξαλείφεται :

o Η μετάβαση από το (7) (0100) στο (8) (1100)επιτυγχάνεται με την αλλαγή ενός μόνο bit.

http://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code


78

2.7.4 Αλφαριθμητικοί κώδικες2.7.4.1 Ορισμοί

o Πολλές εφαρμογές των Η/Υ απαιτούν τη χρήσηδεδομένων που αποτελούνται από αριθμούς αλλά καιαπό γράμματα και από ειδικούς χαρακτήρες.

o Για να παρασταθούν και τα γράμματα και τα ειδικάσύμβολα πρέπει να υπάρχει ένας δυαδικός κώδικας.

o Οι αλφαριθμητικοί χαρακτήρες περιλαμβάνουν :Ø Τα 26 κεφαλαία γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου Α-Ζ.Ø Τα 26 μικρά γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου a-z.Ø Τα 10 δεκαδικά ψηφία 0-9.Ø Του ειδικούς χαρακτήρες (!@#$%^&*><?/»΄¨][\).


79

2.7.4 Αλφαριθμητικοί κώδικες2.7.4.1 Ορισμοί

o Ένας αλφαριθμητικός κώδικας είναι έναςσυστηματικός τρόπος παράστασης τωναλφαριθμητικών χαρακτήρων σε δυαδική μορφή.

o Κάθε αλφαριθμητικός χαρακτήρας παριστάνεται με μίαομάδα bits, το μέγεθος της οποίας εξαρτάται από τοπλήθος των αλφαριθμητικών χαρακτήρων πουπαριστάνει ο κώδικας.

o Τέτοιοι δυαδικοί αλφαριθμητικοί κώδικες είναι οι :n Ο κώδικας ASCII που χρησιμοποιεί 7 bits.n Ο κώδικας Baudot που χρησιμοποιεί 5 bits.

http://en.wikipedia.org/wiki/Baudot_code


80

2.7.4.2 Ο κώδικας ASCII

o Ο πλέον συχνά χρησιμοποιούμενος δυαδικόςαλφαριθμητικός κώδικας είναι ο κώδικας ASCII(American Standard Code for InformationInterchange) ο οποίος χρησιμοποιεί 7 bits για τηνκωδικοποίηση 128 χαρακτήρων.

o Ο κώδικας ASCII περιλαμβάνει 94 εκτυπώσιμουςγραφικούς χαρακτήρες και 34 μη εκτυπώσιμουςχαρακτήρες ελέγχου (control characters), δηλαδήσυνολικά 128 χαρακτήρες.

http://el.wikipedia.org/wiki/ASCII

DELo-O?/USSI1111~n^N>.RSSO1110}m]M=-GSCR1101|l\L<'FSFF1100{k[K;+ESCVT1011zjZJ:*SUBLF1010yiYI9)EMHT1001xhXH8(CANBS1000wgWG7'ETBBEL0111vfVF6&SYNACK0110ueUE5%NAKENQ0101tdTD4$DC4EOT0100scSC3#DC3ETX0011rbRB2"DC2STX0010qaQA1!DC1SOH0001p`P@0SPDLENUL0000

111110101100011010001000b7b6b5b4b3b2b1


82

2.7.4.2 Ο κώδικας ASCIIo Οι εκτυπώσιμοι χαρακτήρες είναι :n Τα 26 κεφαλαία γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου A-Z.n Τα 26 μικρά γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου a-z.n Οι 10 αριθμοί 0-9.n Οι 32 ειδικοί χαρακτήρες.

o Οι χαρακτήρες ελέγχου χωρίζονται σε :n Διαμορφωτές μορφής.n Διαχωριστές πληροφορίας.n Χαρακτήρες ελέγχου – επικοινωνίας.


83

2.7.4.2 Ο κώδικας ASCIIo Οι Η/Υ συνήθως χρησιμοποιούν δυαδικές λέξειςτων 8 bits (1 byte), ενώ ο κώδικας ASCIIχρησιμοποιεί 7 bits.

o Έτσι, κάθε χαρακτήρας του κώδικα συνήθωςαναπαρίσταται με 1byte, οπότε μπορεί να γίνεικωδικοποίηση 256 χαρακτήρων.

o Για την κωδικοποίηση των 128 χαρακτήρων τουκώδικα ASCII χρησιμοποιείται το MSB με τιμή«0» (και τα υπόλοιπα 7 bits είναι του κώδικαASCII)


84

2.7.4.2 Ο κώδικας ASCII

o Για την κωδικοποίηση άλλων χαρακτήρων (γιαπαράδειγμα τα γράμματα του ελληνικούαλφαβήτου) χρησιμοποιείται το MSB με τιμή «1».

o Με τον τρόπο αυτόν έχει προκύψει το πρότυποΕΛΟΤ-928 του Ελληνικού ΟργανισμούΤυποποίησης που είναι εγκεκριμένο από τηνISO.

http://el.wikipedia.org/wiki/ISO_8859-7

ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 2

Education

Transcript of ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 2