Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις 2
99
description
Σημειώσεις από το μάθημα "Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις 2", Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών όπως διδάχθηκε το έτος 2011 από την κ. Ζαφειροπούλου. Οι σημειώσεις ανήκουν στο χρήστη indigo του in.math.upatras.gr
Transcript of Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις 2
Sticky Note
λείπει το P
Sticky Note
λειπει το Q
Sun jeic Diaforikèc Exis¸seic II
24 IounÐou 2010
1. (3m.) DÐnetai h sun jhc diaforik exÐswsh (1− x2)y′′(x)− 6xy′(x)− 4y(x) = 0
(aþ) Na brejoÔn ìla ta an¸mala shmeÐa kai na qarakthristoÔn. Aitiolog ste
(bþ) Na brejeÐ h genik lÔsh me th mèjodo twn seir¸n se perioq tou apeÐrou
(gþ) Na diereunhjeÐ h sÔgklish twn seir¸n-lÔsewn
2. (1.5m) DÐnetai to sÔsthma Sun jwn Diaforik¸n Exis¸sewn:
(D − 1)x(t) + (D + 1)y(t) = t2 , D2x(t) +Dy(t) = t , ìpou D = d/dt
Na lujeÐ me th mèjodo thc apaloif c
3. (2m.) JewreÐste thn exÐswsh tou mh grammikoÔ talantwt :
x′′(t) + βx′(t) + x(t)− [x(t)]2 = 0 ,ìpou β ≥ 0 suntelest c trib¸n.
(aþ) Metatrèyte thn parap�nw exÐswsh se sÔsthma sun jwn diaforik¸n exis¸sewn pr¸th-c t�xhc kai breÐte tic sunj kec isorropÐac autoÔ
(bþ) Melet ste thn eust�jeia aut¸n kaj¸c h par�metroc β metab�lletai. JewreÐstearqik� β = 0, met� 0 < β < 2 kai tèloc 2 < β
4. (2m.) DÐnetai to prìblhma sunoriak¸n tim¸n
y′′(x) + (1− λ)y(x) = 0, y(π) = 0, y′(0) = 0, 0 ≤ x ≤ π
(aþ) Na brejoÔn oi idiotimèc kai oi antÐstoiqec idiosunart seic tou parap�nw P.S.T.
(bþ) Na exetasteÐ an eÐnai P.S.T. tÔpou Sturm-Liouville. EÐnai oi idiosunart seic touorjog¸niec sto di�sthma [0, p] wc proc th sun�rthsh b�rouc ρ(x) pou up�rqei sthnexÐswsh;
5. (2m.)
(aþ) Na upologisteÐ o metasqhmatismìc Laplace thc sun�rthshc f(x) = 1 kai na dojeÐto di�sthma Ôparxhc autoÔ. Me autì wc dedomèno, na dojeÐ o metasqhmatismìcLaplace kai to antÐstoiqo di�sthma Ôparxhc gia th sun�rthsh g(x) = eax
(bþ) Na lujeÐ me qr sh metasqhmatismoÔ Laplace to Prìblhma Arqik¸n Tim¸n:
y′′(x)− 3y′(x) + 2y(x) = e3x, y(0) = 1, y′(0) = 0
