ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ...

74
ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ (DRAFT) Δημήτριος Α. Καρράς Δρ.Ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ 22

Transcript of ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ...

Page 1: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΟ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΣΤΙΣ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

(DRAFT)

Δημήτριος Α. Καρράς Δρ.Ηλεκτρολόγος Μηχανικός

ΣΕΠ, ΘΕ ΠΛΗ 22

Page 2: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

2 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ι. ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ Ι.1 DSB, AM, SSB

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΦΑΣΜΑΤΟΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΥΡΟΥΣ ΖΩΝΗΣ ΚΑΙ ΙΣΧΥΟΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΑΠΟΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Ι.2. ΓΩΝΙΑΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ (PM – FM) ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΜΕΝΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΥΡΟΥΣ ΖΩΝΗΣ ΜΕΤΑΔΙΔΟΜΕΝΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΙI. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΜΗ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΟΛΥΠΛΕΞΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΙΙΙ. ΚΒΑΝΤΙΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ, ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ PCM ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΕΛΤΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΖΩΝΩΝ ΚΒΑΝΤΙΣΗΣ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ

Page 3: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

3 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΗΣ PCM (ΠΑΛΜΟΚΩΔΙΚΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ)

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΔΙΜΑΟΡΦΩΣΗΣ ΔΕΛΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΙV. ΨΗΦΙΑΚΗ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΗΣ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΝΑΛΙΟΥ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ (Τυπος Shannon)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Page 4: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

4 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΥΠΟΙ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

1.ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ

Α) Στην κατηγορία αυτή ανήκουν ασκήσεις διαμόρφωσης DSB, AM, SSB με έμφαση στις ασκήσεις υπολογισμού διαμορφωμενόυ σήματος και φάσματος του διαμορφωμένου σήματος, καθώς και υπολογισμού του αντίστοιχου εύρους ζώνης και της ισχύος. Επιπλέον ανήκουν ασκήσεις υπολογισμού του αποδιαμορφωμένου σήματος και του κατάλληλου αποδιαμορφωτή.

Β) Στην κατηγορία αυτή ανήκουν ασκήσεις διαμόρφωσης γωνίας (PM-FM) και σύνθετες ασκήσεις διαμορφώσεων με έμφαση στις ασκήσεις υπολογισμού του σήματος πληροφορίας και του διαμορφωμένου σήματος καθώς και στις ασκήσεις υπολογισμού του εύρους ζώμης του μεταδιδόμενου σήματος

ΙI. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ

Στην κατηγορία αυτή ανήκουν ασκήσεις υπολογισμού της συχνότητας δειγματοληψίας τόσο ημιτονειδών όσο και μη ημιτονοειδών σημάτων είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο συχνοτήτων του σήματος. Επιπλεον αντιμετωπίζονται ασκήσεις διακριτοποίησης αναλογτικών σημάτων καθώς και δειγματοληψία πολυπλεγμένων σημάτων.

ΙΙΙ. ΚΒΑΝΤΙΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ, ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ PCM ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΕΛΤΑ

Στην κατηγορία αυτή ανήκουν ασκήσεις υπολογισμού των ζωνών κβάντισης διακριτοποιημένων αναλογικών σημάτων καθώς και η κωδικοποίησή τους. Επιπλέον ασκήσεις υπολογισμού του εύρους ζώνης παλμοκωδικής διαμόρφωσης (PCM) καθώς και ασκήσεις υπολογισμού διαμορφωμένων κατά ΔΕΛΤΑ σημάτων

ΙV. ΨΗΦΙΑΚΗ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

Στην κατηγορία αυτή ανήκουν ασκήσεις κωδικοποίησης δυαδικών ακολουθιών με τεχνικές κωδικοποίησης bits κατά AMI, Manchester, Bipolar κλπ. καθώς και ασκήσεις υπολογισμού της απαιτούμενης χωρητικότητας καναλιού μετάδοσης (Τυπος Shannon).

Page 5: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

5 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Ι. ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ Ι. 1. DSB-ΑΜ-SSB

Ι. 1 Μεθοδολογία

• Βήμα 1. Ανάλυση στο πεδίο του χρόνου του σήματος και του φέροντος για να υπολογισθούν οι συχνότητες τους. Εάν δίδεται σύνθετο σήμα πρέπει με εφαρμογή τριγωνομετρικών ιδιοτήτων να απλοποιηθεί σε άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων εάν είναι δυνατόν. Εάν δίδεται σύστημα πρέπει με βάση το block διάγραμμα και τις προκύπτουσες αναλυτικές σχέσεις να υπολογιστεί το ζητούμενο σήμα. • Βήμα 2. Υπολογισμός του διαμορφωμένου σήματος στην περίπτωση DSB, AM. Στην περίπτωση SSB υπολογίζουμε το αντίστοιχο DSB σήμα κατ’ αρχήν. • Βήμα 3 Υπολογισμός μέσω μ/σ Fourier του φάσματος (αμφίπλευρου η μονόπλευρου) του μεταδιδόμενου σήματος. Στην περίπτωση SSB αναγνωρίζουμε άνω/ κάτω πλευρική ζώνη. Στην περίπτωση που το σήμα ειέρχεται σε δεδομένο φίλτρο, υπολογίζονται οι συχνότητες του αρχικού σήματος που θα εξέλθουν από το φίλτρο με βάση το φάσμα του αρχικού σήματος που έχει ευρεθεί ανωτέρω καθώς και τις ιδιότητες του δεδομένου φίλτρου. • Βήμα 4. Υπολογισμός του εύρους ζώνης του μεταδιδόμενου σήματος από το φάσμα του και της ισχύος του μέσω θεωρήματος Parseval είτε απλούστερα από τους τύπους του διδακτικού υλικού.

[ΘΕΜΑ 1 2002-2003 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ]

Θεωρείστε την απο-διαμόρφωση συστήματος διπλο-πλευρικής ζώνης (DSB).

1. (a) Αξιολογείστε την επίδραση του σφάλματος φάσης στο τοπικό ταλαντωτή (σήμα cos(2πfct) ) κατά

τη σύγχρονη αποδιαμόρφωση DSB (b) Να αξιολογηθεί η επίδραση μικρού σφάλματος συχνότητας στον τοπικό ταλαντωτή κατά τη

σύγχρονη αποδιαμόρφωση DSB 4. Να υπολογισθεί το εύρος ζώνης συχνοτήτων και η απαιτούμενης ισχύς πομπού των συστημάτων DSB,

SSB και ΑΜ για την μετάδοση σήματος με εύρος ζώνης 20 ΚΗz και SNR εξόδου 40 dΒ. Θεωρούμε ότι το κανάλι προκαλεί απώλεια ισχύος 40 dB και οτι ο θόρυβος είναι λευκός με φασματική πυκνότητα ισχύος n/2=10-9 W/Hz. Θεωρούμε οτι μ=0,5 για την ΑΜ διαμόρφωση.

ΛΥΣΗ 1. (a) Βήμα 2 Έστω οτι το σφάλμα φάσης του τοπικού ταλαντωτή είναι φ. Τότε η φέρουσα στον

αποδιαμορφωτή είναι cos(ωct+φ). Θεωρούμε οτι το σήμα xDSB (t) στην έξοδο του διαμορφωτή θα είναι:

xDSB (t)= x(t) cos(ωct+φ)

To σήμα d(t) στον αποδιαμορφωτή θα είναι:

d(t) = xDSB (t) cos(ωct+φ)=[ x(t) cos(ωct)] cos(ωct+φ)=1/2 x(t)[cosφ+ cos(2ωct+φ)]=

½ x(t)cosφ + ½ x(t) cos(2ωct+φ)

Βήμα 3 O δεύτερος όρος αποκόπτεται από το βαθυπερατό φίλτρο οπότε το σήμα y(t) θα είναι y(t) = ½ x(t)cosφ

Page 6: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

6 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Όταν το φ είναι σταθερή, η έξοδος είναι ανάλογη του x(t). H έξοδος που λαμβάνουμε είναι 0 οταν φ= ± π/2. Αν το φάσμα πλάτου φ μεταβάλεται τυχαία με το χρόνο, τότε και η έξοδος θα μεταβάλεται τυχαλια με το χρόνο. (b) Βήμα 2 Έστω οτι το σφάλμα συχνότητας του τοπικού ταλαντωτή είναι Δω. Τότε η τοπική φέρουσα εκφράζεται σαν cos(ωct+Δω). Ετσι στην έξοδο του αποδιαμορφωτή θα έχουμε : d(t) = xDSB (t)cos(ωct+φ)=[ x(t) cos(ωct)] cos(ωct+Δω)= ½ x(t)cos(Δω) + ½ x(t) cos(2ωct+Δω)

Βήμα 3 Αν χρησιμοποιηθεί βαθυπερατό φίλτρο τότε το σήμα y(t) θα είναι: y(t)= ½ x(t)cos(Δω) Oπως βλέπουμε το φάσμα συχνότητας προκαλεί σημαντική παραμόρφωση στην έξοδο του αποδιαμορφωτή.

4. Βήμα 4 Από το κεφάλαιο 3 του βιβλίου οι απαιτήσεις για το εύρος ζώνης συχνοτήτων για τις

διάφορες διαμορφώσεις είναι:

⎩⎨⎧

=SSBKHzAMDSBKHz

Bγια

για20

,40

Για την ισχύ του πομπού στα συστήματα DSB και SSB έχουμε

WSnfS

NS

ix

i

o

4,0)10*2)(10*2)(10( 494 ===>=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

Επειδή η απώλεια ισχύος είναι 40 dB, η απαιτούμενη ισχύς εκπομπής είναι kWST 4)10(*4,0 4 ==

Για σύστημα ΑΜ με ανίχνευση περιβάλουσας έχουμε

WAnf

SA

NS

cx

xc

o

2,35,0*5,0

)10*2)(10*2)(10(*22494

2

22

===>=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −μ

Χρησιμοποιούμε την σχέση από την Άσκηση Αυτοαξιολόγησης 3.9 Σελίδας 191

WSAS xcx 2)5,0*5,01(*2,321)1(

21 22 =+=+= μ

kWST 20)10(*2 4 ==

Page 7: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

7 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

[ΘΕΜΑ 2 2003-2004 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ]

Θεωρούμε το σήμα x(t) = 2cos(2π 2000t) + 5cos (2π 3000t) το οποίο υφίσταται διαμόρφωση διπλο-πλευρικής ζώνης (DSB) από το σήμα c(t) = 100 cos(2π fc t). Να ευρεθεί το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος και η ισχύς του

ΛΥΣΗ Βήμα 2 Στην DSB το διαμορφωμένο σήμα u(t) = x(t) c(t). Συνεπώς, έχουμε u(t) = x(t) c(t) = 100 (2 cos(2π 2000 t) + 5 cos(2π 3000 t) ) cos(2π fc t) = 100 (cos(2π [2000 + fc] t) + cos(2π [2000 - fc] t) + 5/2 cos(2π [3000 + fc] t) + 5/2 cos(2π [3000 - fc] t)) . Για να προκύψει το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος θα πρέπει να υπολογισθεί ο μετασχηματισμός Fourier του u(t). Βήμα 3 Είναι, βάσει των πινάκων Fourier, (π.χ πίνακας Α.2 στο βιβλίο Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Hwei P. Hsu, σειρά Schaum, εκδόσεις Τζιόλα, που έχει συσταθεί για το μάθημα ως επιπλέον βοήθημα), U(f) = 100 π [δ(f-2000- fc)+ δ(f+2000+ fc)] + 100π [δ(f-2000+ fc)+ δ(f+2000- fc)] + 250π [δ(f-3000- fc)+ δ(f+3000+ fc)] + 250π [δ(f-3000+ fc)+ δ(f+3000- fc)]. Επομένως οι συχνότητες του φάσματος είναι: 2000 + fc, -2000- fc, 2000- fc, -2000+ fc, 3000+ fc, -3000- fc, 3000- fc, -3000 + fc με αντίστοιχα πλάτη: 100 π, 100 π, 100 π, 100 π, 250 π, 250 π, 250 π και 250 π. Βήμα 4 Για την εύρεση της ισχύος μπορούμε να βασιστούμε στο θεώρημα Parseval του μετασχηματισμού Fourier (π.χ παράρτημα Α στο βιβλίο Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Hwei P. Hsu, σειρά Schaum, εκδόσεις Τζιόλα, που έχει συσταθεί για το μάθημα ως επιπλέον βοήθημα). Κατ’αρχήν η ισχύς ενός σήματος όπως του συνημιτόνου είναι:

P = ½ dttx∫+∞

∞−

2|)(| = (βάσει θεωρήματος Parseval) = 1/(4π) dwwX∫+∞

∞−

2|)(| . Σημειωτέον ότι θα

μπορούσαμε να ορίσουμε την ισχύ P και χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τον συντελεστή ½ απλά σαν P =

dttx∫+∞

∞−

2|)(| . Είναι θέμα ορισμού και μόνο. Για το βιβλίο μας του ΕΑΠ «Ψηφιακές Επικοινωνίες» είναι

(σχέση 2.16): P = E[x2(t)]. Δεδομένου όμως ότι σε ένα ντετερμινιστικό σήμα όπως τα συνημίτονα η pdf της σχέσης 2.16 είναι ιση με την μονάδα (βέβαιο γεγονός η κάθε τιμή του σήματος), για το βιβλίο μας η ισχύς

θα είναι P = dttx∫+∞

∞−

2|)(| .

Με βάση δηλ. το θεώρημα Parseval μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ στο πεδίο των συχνοτήτων που διευκολύνει βέβαια πολύ τους υπολογισμούς. Στην περίπτωσή μας απλά θεωρούμε το άθροισμα των τετραγώνων των πλατών του φάσματος του σήματος Αυτό δεν σημαίνει ότι κάποιος δεν μπορεί να υπολογίσει στο πεδίο του χρόνου την ισχύ. Αλλά είναι αρκετά πιο πολύπλοκο. Κατά συνέπεια αφού έχουμε βρεί το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος έχουμε: P = 1/(4π) [4 1002 π2 + 4 2502 π2 ] = π [1002 + 2502 ], όταν θεωρήσουμε και το συντελεστή ½ στον ορισμό της ισχύος. Σύμφωνα με την σχέση 2.16 του βιβλίου μας θα είναι P = 2 π [1002 + 2502 ].

Page 8: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

8 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Θεωρούμε το σήμα x(t) = 2cos(2π 2000t) + 5cos (2π 3000t) το οποίο υφίσταται διαμόρφωση AM από το σήμα c(t) = 100 cos(2π 8000 t). Να ευρεθεί το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος και η ισχύς του

ΛΥΣΗ Βήμα 2 Το διαμορφωμένο σήμα είναι: u(t) = 100 (1+x(t)) cos (2π 8 103 t) = 100 cos (2π 8 103 t) + 100 cos(2π [10 103 ] t) +100 cos(2π [6 103 ] t) + 250 cos(2π [11 103 ] t) + 250 cos(2π [5 103 ] t) . Βήμα 3 Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Fourier της ανωτέρω παράστασης όπως και στην προηγούμενη άσκηση έχουμε: U(f) = 100 π [δ(f-8 103 ) + δ(f +8 103 )] + 100 π [δ(f-10 103 ) + δ(f +10 103 )] +100 π [δ(f-6 103 ) + δ(f +6 103 )] + 250 π [δ(f-11 103 ) + δ(f +11 103 )] + 250 π [δ(f-5 103 ) + δ(f +5 103 )]. Βήμα 4 Είναι φανερό λοιπόν το φάσμα όπως και ανωτέρω. Όσο για τη ισχύ P = (1/(4π)) π2 [6 * 1002 + 4 * 2502] = (π/4) [6 * 1002 + 4 * 2502], με τον ίδιο τρόπο που είδαμε και στην άσκηση 2.1 ανωτέρω. Αν θεωρήσουμε σαν ορισμό της ισχύος την σχέση 2.16 του βιβλίου μας τότε θα είναι P = (π/2) [6 * 1002 + 4 * 2502]

Ένα διαμορφωμένο κατά DSB σήμα u(t) = A m(t) cos(2π fc t) πολλαπλασιάζεται με τον τοπικό ταλαντωτή XL = cos(2π fc t + θ) και η έξοδος περνάει από ένα βαθυπερατό φίλτρο με εύρος ζώνης ίσο με το εύρος ζώνης του σήματος m(t). Να μελετήσετε την σχέση του λόγου της ισχύος του σήματος εξόδου του βαθυπερατού φίλτρου προς την ισχύ του διαμορφωμένου σήματος σαν συνάρτηση της παραμέτρου θ για 0<θ<π.

ΛΥΣΗ Βήμα 2 Το σήμα y(t) = u(t) XL(t) = A m(t) cos(2π fc t) cos(2π fc t + θ) = A/2 m(t) [cos(2π 2 fc t + θ) + cos θ. Βήμα 3 Το βαθυπερατό φίλτρο θα κόψει τις συχνότητες πέραν του W, όπου W το εύρος ζώνης του σήματος m(t). Επομένως το σήμα εξόδου από το βαθυπερατό φίλτρο είναι: z(t) = A/2 m(t) cosθ. Βήμα 4 Αν λοιπόν Pm η ισχύς του σήματος m(t) τότε Pout = Pm A2/4 cos2(θ) η ισχύς του σήματος εξόδου. Η ισχύς του διαμορφωμένου σήματος u(t) = A m(t) cos(2π fc t) είναι: Pu = A2/2 Pm => Pout / Pu = ½ cos2(θ) είναι η ζητούμενη σχέση. Θα πρέπει να ληφθεί υπόψην ότι η σχέση Pu = A2/2 Pm ισχύει όπως φαίνεται στο βιβλίο μας και είναι απλά η σχέση 3.20 σελ. 80. Το ότι Pout = Pm A2/4 cos2(θ) είναι προφανές καθόσον A/2 cosθ είναι σταθερά.

Page 9: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

9 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Μη γραμμικό σύστημα

Φίλτρο

x(t) y(t) AM signal u(t)

m(t)

c(t)

+

Το σύστημα που παρουσιάζεται στο κατωτέρω σκαρίφημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή σήματος διαμορφωμένου κατά AM. Το φέρον σήμα είναι c(t) = cos(2π f0 t) και m(t) , to υπό διαμόρφωση σήμα, έχει μηδενική μέση τιμή και Am = max |m(t)|. Επιπλέον, το μη γραμμικό σύστημα διέπεται από την σχέση y(t) = a x(t) + b x(t)2 . Να ευρεθούν: η σχέση του y(t) συναρτήσει των m(t), c(t) , ο δείκτης διαμόρφωσης και τα χαρακτηριστικά του φίλτρου ώστε να έχουμε έξοδο το AM σήμα.

ΛΥΣΗ Α) όταν το block πριν το x(t) είναι + έχουμε: Βήμα 1 y(t) = a x(t) + b x(t)2 = a (m(t) + cos(2 π f0 t)) + b (m(t) + cos(2 π f0 t))2 = a m(t) + b m2(t) + a cos(2 π f0 t) + b cos2(2 π f0 t) + 2b m(t) cos(2 π f0 t). Βήμα 3 To φίλτρο βέβαια πρέπει να απορρίψει τις χαμηλές συχνότητες, τους όρους διπλασιασμού της συχνότητας και να αφήσει μόνο το σήμα με φάσμα κεντραρισμένο στην συχνότητα f0 . Δηλ. πρόκειται για BPF φίλτρο με κεντρική συχνότητα f0 και εύρος ζώνης W έτσι ώστε f0 –Wm > f0 – W/2 > 2 Wm, όπου Wm το εύρος ζώνης του m(t). Με βάση τα ανωτέρω το AM σήμα εξόδου είναι : u(t) = a (1 + 2b/a m(t) ) cos(2 π f0 t) B) όταν το block πριν το x(t) είναι X (πολλαπλασιασμός δηλ.) έχουμε: Βήμα 1 y(t) = a x(t) + b x(t)2 = a (m(t) cos(2 π f0 t)) + b (m(t) cos(2 π f0 t))2 = a m(t) cos(2 π f0 t) + b m2(t) cos2(2 π f0 t). Βήμα 3 To φίλτρο βέβαια πρέπει να απορρίψει τις χαμηλές συχνότητες, τους όρους διπλασιασμού της συχνότητας και να αφήσει μόνο το σήμα με φάσμα κεντραρισμένο στην συχνότητα f0. Σε αυτή όμως την περίπτωση εφόσον πρέπει να ληφθεί σήμα ΑΜ στην έξοδο του φίλτρου θα πρέπει το φίλτρο να έχει αφενός χαρακτηριστικά BPF φίλτρου με κεντρική συχνότητα f0 και εύρος ζώνης W έτσι ώστε f0 –Wm > f0 – W/2 > 2 Wm, όπου Wm το εύρος ζώνης του m(t) αλλά επιπλέον να παράγει σήμα C cos(2 π f0 t), όπου C είναι σταθερά του φίλτρου στην έξοδό του και όχι απλά να αποκόπτει όρους από το άθροισμα σημάτων που αποτελούν την είσοδό του y(t). Ο σχεδιασμός ενός τέτοιου φίλτρου ξεφεύγει βέβαια από την λύση της άσκησης αλλά είναι εφικτός με frequency response analysis και ανάλυση συναρτήσεων μεταφοράς (για τους ενδιαφερόμενους υπάρχουν πολλά βιβλία και sites για σχεδιασμό φίλτρων με βάση frequency response και ένα καλό introduction βρίσκεται στο site http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/FilterBkgrnd/Filters.html) Με βάση τα ανωτέρω το AM σήμα εξόδου είναι :

Page 10: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

10 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

u(t) = a m(t) cos(2 π f0 t) + C cos(2 π f0 t) = C (1+ a/C m(t)) cos(2 π f0 t) Επομένως έχουμε αντίστοιχα με τις δυο λύσεις, δύο περιπτώσεις AM σημάτων 1) u(t) = a (1 + 2b/a m(t) ) cos(2 π f0 t) 2) u(t) = C (1+ a/C m(t)) cos(2 π f0 t) Σε ότι αφορά τον δείκτη διαμόρφωσης αυτών των δυο ΑΜ σημάτων πρέπει να λάβουμε υπόψην ότι με βάση το βιβλίο μας (σχέση 3.24, σελ. 83) έχουμε: μ = (maxA(t) – minA(t)) / (maxA(t) + minA(t)), όπου A(t) = Ac (1+x(t)) σύμφωνα με την σελ. 80 του βιβλίου. Στην δική μας περίπτωση έχουμε Όταν u(t) = a (1 + 2b/a m(t) ) cos(2 π f0 t) το A(t) = a (1 + 2b/a m(t) ).

Αφού Αm = max |m(t)| => -Am ≤ m(t) ≤ Am => -2|b| Am ≤ 2b m(t) ≤ 2|b| Am => a -2|b| Am ≤ a + 2b m(t) ≤ a+ 2|b| Am => a -2|b| Am ≤ A(t) ≤ a+ 2|b| Am => max A(t) ≤ a+ 2|b| Am και minA(t) >= a -2|b| Am. Επομένως maxA(t) – minA(t) ≤ 4|b| Am. Επιπλέον όμως γνωρίζουμε (σελ. 83 του βιβλίου μας) ότι A(t) > 0 για κάθε t => a + 2b m(t) > 0 για κάθε t. Αν θεωρήσουμε την μέση τιμή του a + 2b m(t) θα είναι προφανώς μεγαλύτερη του μηδενός και δεδομένου ότι η μέση τιμή του m(t) είναι μηδενική αυτό σημαίνει ότι a > 0. Αλλά τότε a + 2b m(t) > 0 για κάθε t και οποιοδήποτε δεδομένο b => a > 2|b| m(t) και επομένως a > 2|b|Am => maxA(t) + minA(t) ≥ 2 minA(t) ≥ 2 (a -2|b| Am). Tότε όμως μ = (maxA(t) – minA(t)) / (maxA(t) + minA(t)) ≤ 4|b| Am / 2 (a -2|b| Am) = 2|b| Am / (a -2|b| Am). Επομένως μ ≤ 2|b| Am / (a -2|b| Am) είναι η ζητούμενη σχέση για το δείκτη διαμόρφωσης μ. Αφού όμως μ <1 για μη υπερδιαμορφωμένο σήμα AM είναι αναγκαίο να ισχύει η σχέση 2|b| Am / (a -2|b| Am) <1 προκειμένου να είμαστε βέβαιοι ότι το ΑΜ σήμα που προκύπτει στην έξοδο του συστήματος δεν θα είναι υπερδιαμορφωμένο. Τελικά βέβαια 2|b| Am / (a -2|b| Am) <1 => 2|b| Am < (a -2|b| Am) => a >4|b| Am είναι ικανή συνθήκη για να μην υπάρχει υπερδιαμόρφωση. Για την περίπτωση u(t) = C (1+ a/C m(t)) cos(2 π f0 t) ισχύουν προφανώς κατ’αναλογία η ίδια διερεύνηση και τα ίδια αποτελέσματα αν αντικαταστήσουμε τα a,b με τα a, C.

[ΘΕΜΑ 4-2η ΕΡΓΑΣΙΑ 2004-2005]

Δίνεται το σήμα ( ) ( ) ( ) ( )tftftftx 3212 2cos2cos2sin

21 πππ ⋅+−= . Το σήμα αυτό πρόκειται να

διαμορφώσει κατά πλάτος φέρον σήμα ( ) ( )tftx cc π2cos= [f1=30kHz, f2=40kHz, f3=20kHz, fc=1MHz].

(A) Να υπολογιστούν τα σήματα ΑΜ και DSB στο χρόνο, να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός Fourier τους και να παρασταθεί γραφικά το αμφίπλευρο φάσμα πλάτους τους. (B) Να παρασταθεί γραφικά το αμφίπλευρο φάσμα του αντίστοιχου σήματος SSB κάτω πλευρικής ζώνης και να προταθεί ένας τρόπος δημιουργίας του. (Γ) Σήμα με εύρος ζώνης 60 KHz θα διαμορφώσει κατά πλάτος ημιτονικό φέρον ( ) ( )tftx cc π2cos=

[fc=1 MHz] με τις μεθόδους DSB, AM, SSB. Να υπολογιστεί το απαιτούμενο εύρος ζώνης για καθένα από τα σήματα.

Page 11: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

11 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

(Δ) Τα τρία σήματα του ερωτήματος (Γ) μεταδίδονται από ένα ασύρματο κανάλι που παρουσιάζει εξασθένηση 30dB και με προσθετικό λευκό θόρυβο φασματικής πυκνότητας ισχύος n/2=10-9 W/Hz. Να υπολογιστεί η απαιτούμενη ισχύς μετάδοσης για κάθε σήμα (DSB, SSB, AM με σύγχρονη αποδιαμόρφωση) ώστε ο σηματοθορυβικός λόγος στην έξοδο του συστήματος να είναι μεγαλύτερος των 45 dB. Απάντηση (Α) Βήμα 1 Το σήμα γράφεται

( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]tftf

tfftfftf

tftftftx

LH ππ

πππ

πππ

2cos212cos

2cos2cos22cos21

2cos2cos2sin21

32321

3212

+=

=−+++=

=⋅+−=

(fΗ=60kHz, fL=20kHz) Βήμα 2 Για τη διαμόρφωση ΑΜ έχουμε:

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )tfftfftfftfftf

tftftf

txtxtx

LcLcHcHcc

LHc

cAM

−+++−+++=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ++⋅=

=⋅+=

πππππ

πππ

2cos412cos

412cos

212cos

212cos

2cos212cos12cos

1

Για τη διαμόρφωση DSB έχουμε

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )tfftfftfftff

tftftf

txtxtx

LcLcHcHc

LHc

cDSB

−+++−++=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +⋅=

=⋅=

ππππ

πππ

2cos412cos

412cos

212cos

21

2cos212cos2cos

Βήμα 3 Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος ΑΜ είναι

( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )LcLcLcLc

HcHcHcHccc

AM

ffffffffffff

ffffffffffffffff

fX

−++−−+++++−+

+−++−−+++++−+++−=

=

δδδδ

δδδδδδ

81

81

41

41

21

Page 12: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

12 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος DSB είναι

( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )LcLcLcLc

HcHcHcHc

DSB

ffffffffffff

ffffffffffff

fX

−++−−+++++−+

+−++−−+++++−=

=

δδδδ

δδδδ

41

41

41

41

Το φάσμα του σήματος ΑΜ είναι

1000 1020 1060940 980-1000 -980 -940-1060 -1020 0

1/8

1/4

1/2

f(kHz)

1000 1020 1060940 980-1000 -980 -940-1060 -1020 0

1/8

1/4

1/2

f(kHz)

Το αντίστοιχο φάσμα για το DSB είναι:

1000 1020 1060940 980-1000 -980 -940-1060 -1020 0

1/8

1/4

f(kHz)

1000 1020 1060940 980-1000 -980 -940-1060 -1020 0

1/8

1/4

f(kHz)

(Β) Βήμα 3 Το φάσμα του σήματος SSB κάτω πλευρικής είναι:

Page 13: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

13 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

1000940 980-1000 -980 -940 0

1/8

1/4

f(kHz)

1000940 980-1000 -980 -940 0

1/8

1/4

f(kHz)

Μπορεί να δημιουργηθεί από το αντίστοιχο DSB σήμα με διαβίβασή του:

• από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής μεγαλύτερη των 980 kHz και μικρότερη των 1020 KHz.

• Από ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο με ζώνη διέλευσης την περιοχή [940kHz, 980kHz] (Γ) Βήμα 4 Το εύρος ζώνης ΑΜ και DSB σημάτων είναι ισο με W=2fx=120kHz. Το εύρος ζώνης του SSB είναι ίσο με W=fx=60kHz (Δ) Βήμα 4 Για το σήμα ΑΜ έχουμε:

min

22

22 SNRnf

ALS

nf

ASSNR

x

ct

x

ci

≥−

=−

=

kHzfHzWn

ALSNR

x

c

60/102

110

10

9

3

5,4min

=⋅=

==

=

οπότε kWSt 29,4≥

Για τα σήματα DSB και SSB έχουμε:

minSNRnfLS

nfSSNR

x

t

x

i ≥==

Page 14: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

14 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

kHzfHzWn

LSNR

x 60/102

1010

9

3

5.4min

=⋅=

=

=

οπότε kWSt 79.3≥

[ΘΕΜΑ 2-2Η ΕΡΓΑΣΙΑ 2005-2006] Θεωρείστε τον αποδιαμορφωτή ΑΜ του παρακάτω σχήματος με είσοδο το ( ) [1 ( )]cosc c cx t A x t tω= + ,

όπου x(t) το σήμα μηνύματος, Αc το πλάτος του φέροντος και ωc η συχνότητα του φέροντος σήματος. Η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου είναι ωc (υψηλότερες συχνότητες «κόβονται»).

(α) Αν το φάσμα του x(t) είναι της μορφής 1, |0, |

xx

x

Sω ωω ω

| ≤=

| > , όπου ωχ <<ωc, σχεδιάστε πρόχειρα το

φάσμα πλάτους της εξόδου y(t) (β) Δείξτε ότι αν |x(t)| << 1, τότε η έξοδος είναι της μορφής z(t) = A + K x(t) , όπου Α, Κ σταθερές ΛΥΣΗ: (α) Βήμα 1,2

2 2 2 2( ) ( ) [1 ( )] cosc c cy t ax t aA x t tω= = + = 2 2

2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2

1 1[1 ( )] ( cos2 ) [1 ( )] [1 ( )] cos22 2 2 2

cos2 ( ) ( ) ( )cos2 ( )cos22 2 2 2

c cc c c

c c c cc c c c c

aA aAaA x t t x t x t t

aA aA aA aAt aA x t x t aA x t t x t t

ω ω

ω ω ω

+ + = + + + =

+ + + + +

Βήμα 3 Για την εύρεση της Y(f) ισχύουν τα ακόλουθα:

z(t) xc(t) y = α x2(t) ΒΑΘΥΠΕΡΑΤΟ

ΦΙΛΤΡΟ

y(t)

Page 15: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

15 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

[ ]

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2

2 22 2

22 2

( )2 2

cos2 ( 2 ) ( 2 )2 4

( ) ( )2

( ) ( )2 2

2 , 222

2 2 40, 2

Fc c

Fc cc c c

Fc c c

x

Fc c

cx xc c

xx

x

aA aA f

aA aAt f f f f

faA x t aA X f aA rectf

aA aAx t F x t

aA f f f faA aA fX f X f f f rectff f

δ

ω δ δ

←⎯→

←⎯→ − + +

⎛ ⎞←⎯→ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

←⎯→ =

⎧ ⎫− ≤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎣ ⎦= ∗ = = − ⋅⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠⎪ ⎪>⎩ ⎭

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

2 22

2 2 22 2

2

2 2( )cos2 ( 2 ) ( 2 )2 2 2 2

( )cos2 ( )cos2 2 2 2 22 2 4

22 24 4

F c c c cc c c c

x x

Fc c cc c c c c c

c cx c

x

aA aA f f f faA x t t X f f X f f rect rectf f

aA aA aAx t t F x t t X f f X f f X f f X f f

aA f ff f f rectf

ω

ω ω

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +←⎯→ − + + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

←⎯→ = − ∗ − + + ∗ + =⎡ ⎤⎣ ⎦

⎛ −= − − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

22 24

cx c

x

f ff f f rectf

⎧ ⎫⎞ ⎛ ⎞+⎪ ⎪+ − + ⋅⎡ ⎤⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Σημείωση για την εύρεση του φάσματος της ( )2x t :

Δίνεται ότι ( )2 x

fX f rectf

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Εφόσον από πίνακες ΜΣ Fourier έχουμε ότι ( ) ( )sin Fc t rect f←⎯→ , (και με χρήση της ιδιότητας

αλλαγής κλίμακας στο ΜΣ Fourier) θα ισχύει ότι η έκφραση του σήματος στο χρόνο θα είναι ( ) ( )2 sin (2 )x xx t f c f t=

Για την εύρεση του φάσματος της ( ) ( )22 22 sin (2 )x xx t f c f t= ισχύουν τα εξής:

Γνωρίζουμε από την 5η άσκηση της 1ης γραπτής εργασίας (2005) ότι

( ) ( )F

| |1 , | | 2( ) G ƒ = sin ƒ0 , | |

t t aag t a c at a

⎧⎪

←⎯→⎨⎪⎩

− ≤=

Page 16: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

16 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Άρα μέσω της ιδιότητας δυϊσμού θα ισχύουν και τα παρακάτω:

( )

( )

F

F

2

2

| |1 , | |2( ) sin t ( ) = 0 , | |

| |1 , | |2( ) sin t ( ) = 0 , | |

1 frecta

g

f f aag t a c a G ff a

f f aat a c a G ff a

fa

f

και

αα

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎛ ⎞⎢ ⎥←⎯→ = ⋅⎨ ⎬ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎡←⎯→ =⎝ ⎠⎨ ⎬ ⎣⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

− ≤=

− ≤=

( ) ( ) ( ) ( )F

2

Αντικαθιστώντας 2 , καταλήγουμε στην έκφραση:

22 2( ) sin 2 t ( ) 42 = 2

x

frecta

a f

rectx xx

x t c f G f fff X f X f f fx

⎛ ⎞⎤ ⋅ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎦ ⎝ ⎠

=

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎜ ⎟←⎯→ ⋅⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠= ∗ = −

Με βάση τα παραπάνω, το φάσμα των όρων που αποτελούν το σήμα θα είναι το ακόλουθο: Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το φάσμα του y(t) (που προκύπτει από την άθροιση των φασμάτων των επιμέρους όρων).

( ) ( )( )2

2 24

cc c

aA X f f X f f− ∗ −

2

( )2

caA fδ

2

( 2 )4

cc

aA f fδ −2

( 2 )4

cc

aA f fδ +

2 cf2 cf−

2 ( )caA X f

xf− xf

[ ]2

( ) ( )2

caA X f X f∗

2 xf2 xf−

2

( 2 )2

cc

aA X f f−2

( 2 )2

cc

aA X f f+

( ) ( )( )2

2 24

cc c

aA X f f X f f+ ∗ +

2 c xf f+ 2 2c xf f+2 c xf f−2 2c xf f−2 c xf f− + 2 2c xf f− +2 c xf f− −2 2c xf f− −

( ) ( )( )2

2 24

cc c

aA X f f X f f− ∗ −

2

( )2

caA fδ

2

( 2 )4

cc

aA f fδ −2

( 2 )4

cc

aA f fδ +

2 cf2 cf−

2 ( )caA X f

xf− xf

[ ]2

( ) ( )2

caA X f X f∗

2 xf2 xf−

2

( 2 )2

cc

aA X f f−2

( 2 )2

cc

aA X f f+

( ) ( )( )2

2 24

cc c

aA X f f X f f+ ∗ +

2 c xf f+ 2 2c xf f+2 c xf f−2 2c xf f−2 c xf f− + 2 2c xf f− +2 c xf f− −2 2c xf f− −

Page 17: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

17 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

(β) Βήμα 3 Το σήμα

2 2 2 22 2 2 2( ) cos2 ( ) ( ) ( )cos2 ( )cos2

2 2 2 2c c c c

c c c c caA aA aA aAy t t aA x t x t aA x t t x t tω ω ω= + + + + +

διέρχεται από το βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής ωc (οι υψηλότερες συχνότητες «κόβονται»), οπότε το τελικό σήμα z(t) στην έξοδο του φίλτρου θα είναι το ακόλουθο:

2 22 2( ) ( ) ( )

2 2c c

caA aAz t aA x t x t= + +

Αν ( ) 1x t , τότε ( )2 0x t ≈ ,οπότε η έξοδος γράφεται 2 2 2

2 2 2

22

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

όπου ,2

c c cc c

cc

A aA aAz t a aA x t x t aA x t A Kx t

aA aA

= + + ≈ + = +

Α = Κ =

[ΘΕΜΑ 7-2Η ΕΡΓΑΣΙΑ 2005-2006] Θεωρούμε το σήμα x(t) = 6cos(4000πt) + 10cos (1000πt) το οποίο υφίσταται διαμόρφωση μονής άνω πλευρικής ζώνης (SSB-Upper Side Band) από το σήμα c(t) = 100 cos(2π fc t). (α). Να βρεθεί το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος για fc=4 MHz. (β). Να βρεθεί η ισχύς του διαμορφωμένου σήματος.

ΛΥΣΗ

(α). Βήμα 2 Το SSB-Upper Side band προκύπτει από τη διαμόρφωση DSB-SC όπου το διαμορφωμένο σήμα δίνεται ως u(t) = x(t) c(t).

-2fx -fx 0 fx 2fx 2fc -2fx2fc -fx

2fc 2fc+ fx2fc+2fx

-2fc -2fx

-2fc-fx -2fc-2fc+fx

-2fc+ 2fx

-2fx -fx 0 fx 2fx 2fc -2fx2fc -fx

2fc 2fc+ fx2fc+2fx

-2fc -2fx

-2fc-fx -2fc-2fc+fx

-2fc+ 2fx

Page 18: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

18 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )[ ]tftf

tftftu

tftf

tftftu

ttfttftutttftu

cc

cc

cc

cc

cc

c

5002cos5005002cos50020002cos30020002cos300)(

5002cos5002cos211000

20002cos20002cos21600)(

1000cos2cos10004000cos2cos600)(1000cos104000cos62cos100)(

−+++−++=

⇔−+++

−++=

⇔+=⇔+=

ππππ

ππ

ππ

πππππππ

Βήμα 3 Αρχικά θα υπολογίσουμε το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος για DSB-SC και έπειτα θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο του φιλτραρίσματος για να προκύψει το ζητούμενο. Επομένως, αρχικά θα πρέπει να υπολογισθεί ο μετασχηματισμός Fourier του u(t). Γνωρίζω ότι βάσει των πινάκων Fourier (π.χ. πίνακας Α.2 στο βιβλίο Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Hwei P. Hsu, σειρά Schaum, εκδόσεις Τζιόλα) θα έχουμε

( ) ( ) ( )[ ]ccc fffftf ++−= δδπ212cos , οπότε εφαρμόζοντας το μετ/σμό Fourier θα έχουμε

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 50050021500500500

21500

200020002130020002000

21300)(

−++−−+++++−+

−++−−+++++−=

cccc

cccc

ffffffff

fffffffffU

δδδδ

δδδδ

Με βάση το αποτέλεσμα U(f), οι συχνότητες του φάσματος που προκύπτουν είναι: fc+2000, -fc-2000, -fc+2000, fc-2000 καθώς fc+500, -fc-500, -fc+500, fc-500 με αντίστοιχα πλάτη τα 150 και 250.

Οπως τονίσαμε και προηγουμένως, για να προκύψει το φάσμα της μονής άνω πλευρικής ζώνης θα εφαρμόσουμε φίλτρο στις άνω πλευρικές ζώνες, οπότε

-fC-2000 -fC+2000 fC-2000 fC-500-fC+500 fC+500 fC+2000-fC-500

150

250

πλάτος

f-fC+2000 fC-2000 fC-500-fC+500 fC+500 fC+2000-fC-500

150

250

πλάτος

f

Η μαθηματική έκφραση που προκύπτει μετά από το φιλτράρισμα είναι

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]50025050025020001502000150)( ++++−++−+++= cccc fffffffffU δδδδ

Page 19: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

19 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

και το αντίστοιχο φάσμα είναι :

fC+500 fC+2000-fC-500

150

250

πλάτος

f

(β). Βήμα 4 Η μέση ισχύς ενός σήματος, βάσει του θεωρήματος Parseval, P = dttx∫

+∞

∞−

2|)(| = (βάσει ταυτότητας

Parseval κεφ.3 σελ.83 βοηθ.υλικού Σημάτων&Συστημάτων ) = 2| ( ) |X f df+∞

−∞∫ =2

ka∑ .

Με βάση δηλ. το θεώρημα Parseval μπορούμε να υπολογίσουμε την ισχύ στο πεδίο των συχνοτήτων που διευκολύνει βέβαια πολύ τους υπολογισμούς. Στην περίπτωσή μας, η τελική έκφραση απλά θεωρούμε το άθροισμα των τετραγώνων των πλατών του φάσματος του σήματος όταν αυτά εκφράζονται συναρτήσει της συχνότητας. Αυτό δεν σημαίνει ότι κάποιος δεν μπορεί να υπολογίσει στο πεδίο του χρόνου την ισχύ. Αλλά είναι αρκετά πιο πολύπλοκο. Κατά συνέπεια αφού έχει βρεθεί το φάσμα, η μέση ισχύς του σήματος στη λήψη είναι:

[ ] kWP fU 17025021502 22)( =⋅+⋅=

Η ισχύς του σήματος είναι η μισή του αντίστοιχου DSB αφού μετά το φίλτρο BPF μεταδίδεται μόνο η μια πλευρική ζώνη.

[ΘΕΜΑ 3-2006-2007 2η εργασια] (α) Ένα σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης m(t) με μέγιστη συχνότητα ωm διαμορφώνεται κατά ΑΜ με φέρον σήμα cos(ωct) . Να βρείτε τη φέρουσα συχνότητα ωc ώστε το εύρος ζώνης του εκπεμπόμενου AM σήματος να ισούται με το 1% της φέρουσας συχνότητας. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Α) Βήμα 3,4

∆ιαμόρφωση ΑΜ

Page 20: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

20 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Το εύρος του εκπεμπόμενου σήματος ισούται με 2ωm, συνεπώς πρέπει 0.01 ωc =2ωm => ωc =200 ωm.

[ΘΕΜΑ 6-2006-2007 5Η ΕΡΓΑΣΙΑ] Έστω σήμα πληροφορίας x(t) μέσης τιμής μηδέν και μέσης ισχύος 1/ 3xS = (W). Το x(t) έχει μέγιστη τιμή

0,8 (V) και ελάχιστη τιμή -0,8 (V) και εισάγεται σε σύστημα διαμόρφωσης πλάτους AΜ. Το εκπεμπόμενο σήμα είναι ( ) [1 ( )]cos 2AM c cx t A x t f tμ π= + .

(α) Ποια η μέγιστη τιμή του δείκτη διαμόρφωσης μ, ώστε να είναι δυνατή η λήψη με αποδιαμορφωτή περιβάλλουσας; Ποια είναι η ελάχιστη και μέγιστη τιμή του εκπεμπόμενου σήματος για το μ αυτό; (β) Χρησιμοποιώντας την τιμή του δείκτη διαμόρφωσης που προκύπτει από το (α) να βρείτε τη σχέση μεταξύ μέσης εκπεμπόμενης ισχύος και μέγιστης εκπεμπόμενης ισχύος 2

max maxS A= , όπου

max max[ ( )]AMtA x t= είναι η μέγιστη τιμή του εκπεμπόμενου σήματος.

(γ) Να υπολογίσετε το λόγο της ισχύος του φέροντος προς την ισχύ που περιέχεται σε μία πλευρική ζώνη του εκπεμπόμενου σήματος. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Βήμα 2 Για να είναι δυνατή η χρήση αποδιαμορφωτή περιβάλλουσας, θα πρέπει το σήμα [1 ( )]cA x tμ+ να είναι

πάντα θετικό (σελ. 83, Τόμος Β). Άρα min( [1 ( )]) 0ctA x tμ+ ≥ . Άρα,

min(1 ( )) 0 1 min ( ) 0 1 0,8 0t t

x t x tμ μ μ+ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ − ≥ . Συνεπώς, 1, 25μ ≤ . H μέγιστη και

ελάχιστη τιμή του εκπεμπόμενου σήματος είναι αντίστοιχα:

max max[ ( )] (1 1,25 0,8) 1 2AM c ctA x t A A= = + × ⋅ = (V)

min min[ ( )] (1 1,25 0,8) 1 0AM ctA x t A= = − × ⋅ = (V)

Β) Βήμα 4

Η μέση εκπεμπόμενη ισχύς είναι 2 2(1 )

2c x

T iA SS S μ+

= = (W) (πίνακας 3.1, σελ. 188, Τόμος Β).

Συνεπώς 2 2

2(1 1,25 (1/ 3)) 0,760422

cT i c

AS S A+= = = . Η μέγιστη τιμή του εκπεμπόμενου σήματος

είναι max max[ ( )] (1 max[ ( )]) 1AM ct tA x t A x tμ= = + ⋅ , δηλαδή

max (1 max[ ( )]) (1 1,25 0,8) 2c c ctA A x t A Aμ= + = + × = . Άρα, 2 2

max max 4 cS A A= = και τελικά

max0,1901TS S=

Γ) Βήμα 4

Page 21: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

21 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Η ισχύς του φέροντος είναι 2

2c

cAP = και η ισχύς της μίας πλευρικής είναι

2 212 2

c xSB

A SS μ= . Άρα,

2 2

2 2 3,841,25 (1/ 3)

c

SB x

PS Sμ

= = =×

[ΘΕΜΑ 1--ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007Α] Σε ένα σύστημα διπλοπλευρικής διαμόρφωσης (DSB) το φέρον είναι )2cos()( tfAtc cπ= και το μήνυμα

πληροφορίας είναι 2( ) sinc( ) sinc ( )m t t t= + . Να υπολογίσετε:

(α) Tο διαμορφωμένο σήμα στο πεδίο των συχνοτήτων (β) Tο εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος αν θεωρηθεί ότι fc >>1 Hz. (Σημείωση: Όπου χρειάζεστε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χωρίς απόδειξη τις ιδιότητες των μετασχηματισμών Fourier και τους μετασχηματισμούς Fourier χαρακτηριστικών σημάτων από πίνακες

Επίσης υπενθυμίζεται ότι ( )sin

sinc( )t

ttπ

π= .)

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(α) Βήμα 2

( ) )2cos()(sin)(sin)()()( 2 tftctcAtctmtu cπ+==

Βήμα 3 Από πίνακες ΜΣ Fourier βασικών σημάτων:

[ ] [ ]

[ ])()()()(2

)()()()(2

)(

cccc

cc

ffffffffA

ffffffAfU

+Λ++Π+−Λ+−Π

=++−∗Λ+Π= δδ

(ή αλλιώς σύμφωνα με το σχήμα 2.9 του βιβλίου ΨΕ, ο πολλαπλασιασμός με ένα ημίτονο συχνότητας fc μετατοπίζει το βασικό σήμα στα ±fc) Παρακάτω απεικονίζονται αντίστοιχα τα φάσματα των m(t) και u(t).

1

2

1/20

M(f)

1-1/2-1f(Hz)

1

2

1/20

M(f)

1-1/2-1f(Hz)

Page 22: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

22 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

(β)

,1 για,0)(ενώ

,21 για,0)(

<−≠−Λ

<−≠−Π

cc

cc

ffff

ffff

(βλ. πίνακες ή βιβλίο Θεοδωρίδη) Επομένως το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος DSB είναι 2 Hz.

A/2

A

f(H0

U(f)

fc fc+1fc-1-fc -fc+1-fc-1

Page 23: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

23 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Ι. 2. ΓΩΝΙΑΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ (PM – FM) ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

Ι. 2 Μεθοδολογία

• Βήμα 1. Συνήθως δίδεται η αναλυτική έκφραση του μεταδιδόμενου σήματος. Εάν δεν δίδεται και αντ’αυτής δίδεται ένα σύστημα (block διάγραμμα) πρέπει να ευρεθεί η αναλυτική σχέση του μεταδιδόμενου σήματος με βάση τις πράξεις και μετασχηματισμούς που λαμβάνουν χώρα στο σύστημα. Στην συνέχεια αφού ευρεθεί η αναλυτική έκφραση στο πεδίο του χρόνου του μεταδιδόμενου σήματος, πρέπει να διεξαχθεί ανάλυση στο πεδίο του χρόνου του μεταδιδόμενου σήματος ώστε να αναγνωρισθούν τα μεγέθη του φέροντος και του σήματος πληροφορίας (πλάτη και συχνότητες). Εάν προκύπτουν σύνθετα σήματα πρέπει με εφαρμογή τριγωνομετρικών ιδιοτήτων να απλοποιηθούν σε άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων εάν είναι δυνατόν. • Βήμα 2. Σε περίπτωση που η έκφραση στον χρόνο του μεταδιδόμενου σήματος δεν μας δίδεται θα πρέπει να μελετήσουμε υποχρεωτικά το σήμα πληροφορίας και πιθανόν να χρειάζεται να διερευνηθεί το αντίστοιχο φάσμα του. Μία τέτοια περίπτωση θα φαίνεται από την εκφώνηση. Με λίγα λόγια δεν πρέπει πάντα να προσπαθείτε να γράψετε την κλειστή σχέση διαμόρφωσης γωνίας PM είτε FM εξ’αρχής. Αυτό θα συμβαίνει ιδιαίτερα όταν το σήμα πληροφορίας δεν είναι τόνος, δηλ. ημιτονοειδές σήμα, αλλά ένα πιο πολύπλοκο σήμα όπως το sinc(), rect(), η άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων κλπ. Αφού μελετηθεί το σήμα πληροφορίας μπορεί κανείς να γράψει και την κλειστή σχέση της εν λόγω διαμόρφωσης γωνίας στο πεδίο του χρόνου. Στην περίπτωση που δεν μας δίδεται το σήμα πληροφορίας στο πεδίο του χρόνου σαν κλειστή έκφραση υπάρχουν δύο περιπτώσεις. Είτε μας δίδεται το σήμα σαν γραφική παράσταση στον χρόνο οπότε εύκολα με βάση τους τύπους των βασικών σημάτων υπολογίζουμε μια κλειστή έκφραση του σήματός μας και προχωρούμε. Είτε μας δίδεται μόνο το φάσμα του Προφανώς όταν έχουμε μελετήσει το φάσμα του σήματος μπορούμε να πάμε στο πεδίο του χρόνου με αντίστροφο μ/σ Fourier και στην συνέχεια προχωράμε κανονικά στην ανάλυσή μας. • Βήμα 3. Από την προηγούμενη ανάλυση των βημάτων 1,2 μπορούν να προκύψουν οι στιγμιαίες φάσεις, στιγμιαίες συχνότητες, συντελεστές διαμόρφωσης και μπορεί να διερευνηθεί αν χρειάζεται η αποκλιση συχνότητας. Προσοχή στο ότι οι απλοί τύποι για τους συντελεστές διαμόρφωσης του διδακτικού υλικού, που δεν περιλαμβάνουν απόκλιση συχνότητας, ισχύουν μόνο για σήματα πληροφορίας ημιτονοειδή (απλό τόνο) ενώ για τα υπόλοιπα πρέπει να δουλέψουμε με βάση τον γενικό τύπο που περιλαμβάνει την απόκλιση συχνότητας. • Βήμα 4 Κατάλληλη χρήση του κανόνα Carson για υπολογισμό ευρών ζώνης των μεταδιδόμενων σημάτων με βάση τα μεγέθη που υπολογίσθηκαν στα προηγούμενα βήματα (συντελεστές διαμόρφωσης, εύρος ζώνης σήματος πληροφορίας, απόκλιση συχνότητας).

[Θ.3-Εξετάσεις 2003Β]

1. Ένα σήμα είναι διαμορφωμένο κατά γωνία και περιγράφεται από την σχέση ( )[ ])800sin()200cos()800cos()200sin(3008sin2)( ttttttxc πππππ ++=

(α) Να βρεθεί το σήμα x(t) αν το )(txc είναι σήμα PM με Κρ=40

(β) Να βρεθεί το σήμα x(t) αν το )(txc είναι σήμα FM με Κf=40π

Απάντηση

1. ( )[ ])1000sin(3008sin2)( tttxc ππ +=

(α) Βήμα 1

Page 24: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

24 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

φ(t)=sin(1000πt)=>φ(t)=Κ*x(t)=>x(t)=sin(1000πt)/40 (β) Βήμα 1

( )[ ])1000cos(25)(

)1000cos(40

1000)()(*1000sin)(* '

ttx

ttxtxkttxKdtd

π

ππππφ

=

=>==>==>=

[ΘΕΜΑ 3 2003-2004 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ]

1. Έστω ότι δίδεται ένα σήμα FM XFM = A cos(2π fc t + kf ldlmt

∫∞−

)( ), όπου A, fc, kf θεωρούνται

δεδομένα. Εστω επίσης ότι t1, t2 ,… tN-1, tN (tN >…t2>t1) είναι όλοι οι διαδοχικοί χρόνοι όπου το σήμα XFM λαμβάνει μέγιστη τιμή εντός δεδομένου χρονικού διαστήματος T θεωρούμενου από την αρχή των αξόνων. Εάν θεωρήσουμε ότι m(t) = c + c * t τότε να υπολογισθεί η παράμετρος c του σήματος μηνύματος m(t). Επιπλέον, να ευρεθεί το απαιτούμενο εύρος ζώνης μετάδοσης του σήματος XFM στην περίπτωση m(t) = c * cos(2π fm t) όπου fm θεωρείται δεδομένη.

ΛΥΣΗ Βήμα 1

XFM(t) = A cos(2π fc t + kf ldlmt

∫∞−

)( ), και θ(t) = 2π fc t + kf ldlmt

∫∞−

)( . Mας δίνεται επίσης το Ν πλήθος

των σημείων μεγίστου του XFM (t) εντός χρόνου Τ. Ο χρόνος Τ, ο οποίος επίσης δίνεται θεωρείται, όπως στην draft λύση είχε εξηγηθεί, ότι ξεκινά από την στιγμή t1 και σταματά στην χρονική στιγμή tN που και οι δύο είναι στιγμές μεγίστου. Άρα Τ= tΝ - t1 = tΝ - tN-1 + tΝ-1 - tN-2 + tΝ-2 - tN-3 +….+ t2 - t1 (1) Επιπλέον όμως υπάρχει η πληροφορία ότι το Τ θεωρείται, δηλ. μετριέται, από την αρχή των αξόνων πράγμα που σημαίνει ότι t1 = 0 (2) Προσοχή! Είναι σαφές ότι οτιδήποτε δεν αναφέρεται ρητά ως δεδομένο δεν είναι γνωστό! Άρα οι διαδοχικοί χρόνοι t1, t2 ,… tN-1, tN (tN >…t2>t1) δεν είναι γνωστοί. Από τις (1) και (2) ανωτέρω μόνο οι t1 και tN είναι γνωστοί. Έστω τώρα t1, t2 οι δύο πρώτες χρονικές στιγμές μεγίστου του σήματος XFM(t) τότε

XFM (t1)/A = XFM (t2)/A = max cos(2π fc t + kf ldlmt

∫∞−

)( )) = 1 => θ(t2) - θ(t1) = 2π (3)

και βεβαίως θ(tk) =2kπ. . Τα αποτελέσματα αυτά (1)-(3) μας επιτρέπουν τους ζητούμενους υπολογισμούς με τον ακόλουθο τρόπο. Είναι προφανές ότι ισχύουν οι κάτωθι σχέσεις κατ’ αναλογία με την (3) ανωτέρω όπως και ότι αθροίζοντάς αυτές λαμβάνουμε την σχέση (4) κατωτέρω θ(t2) - θ(t1) = 2π θ(t3) - θ(t2) = 2π θ(t4) - θ(t3) = 2π …. ….

Page 25: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

25 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

θ(tΝ-1) - θ(tΝ-2) = 2π θ(tΝ) - θ(tΝ-1) = 2π => θ(tΝ) - θ(t1) = 2π (Ν-1) (4)

αλλά θ(tΝ) = 2π fc tΝ + kf ldlm∫∞−

Nt

)( και θ(t1) = 2π fc t1 + kf ldlm∫∞−

1t

)( =>

θ(tΝ) - θ(t1) = 2π (Ν-1) = 2π fc (tΝ - t1)+ kf ldlmt∫N

1

t

)( = 2π fc T + kf ldlmt∫N

1

t

)( . (5)

A) Περίπτωση 1: m(t) = c + c * t.

Είναι σαφές ότι η (5) γίνεται 2π (Ν-1) = 2π fc T + kf ldlcct∫ +N

1

t

)*( = = 2π fc T

+kf c T + kf c (t2Ν- t2

1)/2 = (λόγω (1), (2)) = 2π fc T +kf c T + kf c T2/2 => c (kf T + kf T2/2) = 2π (Ν-1) - 2π fc T => c = (2π (Ν-1) - 2π fc T)/ (kf T + kf T2/2) είναι η ζητούμενη σχέση. Β) Περίπτωση 2: m(t) = c * cos(2π fm t).

Είναι σαφές ότι τότε η (5) γίνεται 2π (Ν-1) = 2π fc T + kf ldlfmct∫ N

1

t

) cos(2π* =

= 2π fc T + kf c (sin(2π fm tΝ)-sin(2π fm t1))/(2π fm) = (λόγω (2)) = 2π fc T + kf c (sin(2π fm T)-sin(0))/(2π fm) = 2π fc T + kf c sin(2π fm T)/(2π fm) => c = (2π (Ν-1) - 2π fc T)/[ kf sin(2π fm T)/(2π fm)] => c = (2π fm) (2π (Ν-1) - 2π fc T)/[ kf sin(2π fm T) ] (6) Βήμα 4 Σε ότι αφορά τώρα το απαιτούμενο εύρος ζώνης μετάδοσης του σήματος XFM έχουμε - βάσει της ανωτέρω σχέσης (6) για το c και του ότι το σήμα μας m(t) είναι ημιτονικό (δηλ. τόνος) -ότι ισχύουν οι τύποι 3.47 και 3.49 του βιβλίου μας (σελ. 98 και 99 αντίστοιχα) και επομένως, W = 2 (β + 1) ωx = 2 (kf c /(2π fm) +1) (2π fm) (7) Τελικά αν αντικαταστήσουμε την (6) στην (7) ευρίσκεται το ζητούμενο W δηλ. το απαιτούμενο εύρος ζώνης μετάδοσης του σήματος XFM

[ΘΕΜΑ 5-2η ΕΡΓΑΣΙΑ 2004-2005] Εστω το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα

( ) ( ) ( )( )tttxm ππ 500sin2.0102cos7 5 +=

Να βρεθεί το σήμα βασικής ζώνης και το εύρος ζώνης αν θεωρηθεί το x(t) ως σήμα: (Α) PM με σταθερά απόκλισης φάσης kp=2. (Β) FM με σταθερά απόκλισης συχνότητας kf=30.

ΛΥΣΗ

(Α) Βήμα 1

Page 26: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

26 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Για την περίπτωση PM η γενική σχέση του σήματος είναι

( ) ( )( )θωω ++= tAktAtx xxpcPM coscos

Βήμα 3 Οπότε, 1.02.0 =⇒== xxp AAkβ

Και το ζητούμενο σήμα είναι:

( ) ( )ttx π500sin1.0=

Βήμα 4 Το εύρος ζώνης θα ισούται με ( ) xfW 12 += β

για fx=250Hz, W=600 Hz (Β) Βήμα 1 Για την περίπτωση FM η γενική σχέση του σήματος είναι

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∫

∞−

τθτωωθωω

ω dAktAtAk

tAtxt

xxfcxx

xfcFM coscossincos

Βήμα 3

O δείκτης διαμόρφωσης θα είναι x

xf Akω

β = =0.2

Για kf=30, ωx=500π έχουμε Ax=10.47 Και το ζητούμενο σήμα είναι:

( ) ( )ttx π500cos47.10=

Βήμα 4 Το εύρος ζώνης θα ισούται με ( ) xfW 12 += β

για fx=250Hz W=600Ηz

[ΘΕΜΑ 6-2η ΕΡΓΑΣΙΑ 2004-2005] Έστω ότι έχουμε σήμα διαμορφωμένο κατά γωνία:

( ) ( )( )tttx mcm ωω sin5.0cos5.0 +=

με kHzfm 6=

Να βρεθεί ο δείκτης διαμόρφωσης και το εύρος ζώνης συχνοτήτων όταν το σήμα βασικής ζώνης έχει συχνότητες fm, 2fm , 0.5fm και θεωρώντας το σήμα (Α) PM (Β) FM

Page 27: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

27 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

ΛΥΣΗ (Α) Βήμα 1 Για την περίπτωση PM η γενική σχέση του σήματος είναι

( ) ( )( )θωω ++= tAktAtx xxpcPM coscos

Βήμα 3 Άρα ο δείκτης διαμόρφωσης θα είναι 5.0== xp Akβ , και είναι ανεξάρτητος της συχνότητας του

σήματος βασικής ζώνης. Βήμα 4 Το εύρος ζώνης θα ισούται με ( ) xfW 12 += β

για fx=6kHz, W=18 kHz για fx=12kHz, W=36kHz για fx=3kHz, W=9 kHz (Β) Βήμα 1 Για την περίπτωση FM η γενική σχέση του σήματος είναι

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= θω

ωω t

AktAtx x

x

xfcPM sincos

Βήμα 3

Άρα ο δείκτης διαμόρφωσης θα είναι x

xf Akω

β = , εξαρτάται από τη συχνότητα του σήματος βασικής

ζώνης και θα ισούται με: για fx=6kHz, β=0.5 για fx=12kHz, β=0.25 για fx=3kHz, β=1 Βήμα 4 Το εύρος ζώνης θα ισούται με ( ) xfW 12 += β

Οπότε για fx=6kHz, W=18 kHz για fx=12kHz, W=30kHz για fx=3kHz, W=12 kHz

[ΘΕΜΑ 7-2η ΕΡΓΑΣΙΑ 2004-2005] (Α) Έστω ότι το σήμα Acos(20πt) [cos(10πt)]2 – A/2 [sin(20πt)]2 – Asin(30πt)sin(10πt) διαμορφώνει ταυτόχρονα δύο διαμορφωτές FM των οποίων τα φέροντα είναι συχνοτήτων 6.0 και 6.06 MHz αντίστοιχα. Οι διαμορφωτές είναι εντελώς ίδιοι ως προς τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά τους, ενώ οι μέγιστες αποκλίσεις συχνότητας των γωνιακά διαμορφωμένων σημάτων είναι 40 KHz και 80 KHz αντιστοίχως. Να εκτιμηθεί το εύρος ζώνης που απαιτείται για την μετάδοση του σύνθετου σήματος.

Page 28: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

28 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

ΛΥΣΗ (Α) Βήμα 1 Το διαμορφώνον σήμα είναι A cos(20 π t) [cos(10 π t)]2 – A/2 [sin(20 π t)]2 – A sin(30 π t) sin(10 π t) = A cos(10 π t) [cos(20 π t) cos(10 π t) - sin(20 π t) sin(10 π t)] - A sin(30 π t) sin(10 π t) = A cos(30 π t) cos(10 π t) - A sin(30 π t) sin(10 π t) = A cos(40 π t). Επομένως είναι fx = 20 Hz η συχνότητα του διαμορφώνοντος σήματος. Βήμα 3 Κατά συνέπεια, β1 = Δω / ωx = Δf / fx = 40 KHz/ 20 Hz = 2000 και παρόμοια β2 = Δω / ωx = Δf / fx = 80 KHz/ 20 Hz = 4000 Βήμα 4 Το εύρος ζώνης που απαιτείται για την μετάδοση του πρώτου γωνιακά διαμορφωμένου σήματος είναι W1 = 2 (1+2000) fx = 80.04 KHz. (σχέση 3.49 του βιβλίου σε KHz). Παρόμοια είναι W2 = 2 (1+4000) fx = 160.04 KHz Xρειάζεται προσοχή για την εύρεση του κοινού εύρους ζώνης, δεδομένης της επικάλυψης που θα συμβεί των φασμάτων των δύο γωνιακά διαμορφωμένων σημάτων. Το πρώτο σήμα θα μεταδίδεται στην περιοχή των συχνοτήτων (6000-40.02, 6000+ 40.02) KHz = (5959.98, 6040.02) KHz ενώ το δεύτερο στην περιοχή συχνοτήτων (6060-80.02, 6060 + 80.02) KHz = (5979.98, 6140.02) KHz. Επομένως το συνολικό εύρος ζώνης που απαιτείται είναι (5959.98, 6140.02) KHz = 180.04 KHz

Παρατήρηση: η σχέση 3.49, τύπος του Carson, ισχύει τόσο για μικρά όσο και για πολύ μεγάλα β. Προβλήματα στην ακρίβεια υπάρχουν μόνο για β περίπου ίσο με την μονάδα. Επίσης θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε την σχέση στην σελίδα 100 του βιβλίου στον υπολογισμό του εύρους ζώνης. Δηλ. W = 2 Δf για D>>1, οπότε W1= 80 KHz και W2=160 KHz που επιβεβαιώνει τις πολύ μικρές διαφορές των δύο προσεγγίσεων. Και οι δύο απαντήσεις λοιπόν είναι ισοδύναμες. Με χρήση του τύπου της σελ. 100 το αποτέλεσμα είναι 180 KHz αντί για 180.04 KHz που προκύπτει ακολουθώντας την σχέση 3.49 του Carson. [Θέμα 2- ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005Α] Έστω το σήμα βασικής ζώνης ( ) sin(4000 )x t tπ= το οποίο διαμορφώνεται γωνιακά με διαμόρφωση

φάσης και συχνότητας και φέρουσα συχνότητα ωc. Οι αντίστοιχες σταθερές απόκλισης είναι 20pk = και

400.000fk π= .

(Α) Υπολογίστε το εύρος ζώνης των διαμορφωμένων σημάτων κατά φάση ( )PMx t και κατά συχνότητα ( )FMx t σε kHz.

(Β) Επαναλάβετε το (Α) όταν το σήμα έχει διπλάσιο πλάτος ( ( ) 2sin(4000 )x t tπ= ). (Γ) Επαναλάβετε το (Α) όταν το σήμα έχει διπλάσια συχνότητα ( ( ) sin(8000 )x t tπ= ). ΛΥΣΗ (Α) Βήμα 1 Το σήμα διαμόρφωσης φάσης είναι ( ) cos[ 20sin(4000 )]PM c cx t A t tω π= + .

Βήμα 4

Page 29: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

29 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Το εύρος ζώνης είναι 2( 1) 2( 1) 2( )PM x x xx

W ωβ ω ω ω ωωΔ

≈ + = + = Δ + .

Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι

(20sin(4000 )( ) 80.000 cos(4000 )c cd tt t

dtπω ω ω π π= + = + . Η

μέγιστη απόκλιση συχνότητας max | ( ) | 80.000c tω ω ω πΔ = − = , και

Βήμα 4 2*(80 4 ) 84

2*PMW π ππ+

= = kHz.

Βήμα 1

Το σήμα ( ) cos[ 400.000 sin(4000 )t

FM c cx t A t dω π πτ τ−∞

= + ∫ .

Βήμα 4 Το εύρος ζώνης είναι 2( 1) 2( 1) 2( )FM x x x

x

fW D f f f ff

Δ≈ + = + = Δ + .

Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι ( ) 400.000 sin(4000 )ct tω ω π π= + . Συνεπώς η μέγιστη απόκλιση

συχνότητας είναι max | ( ) | 400.000c tω ω ω πΔ = − = , και 400.000 200

2*f π

πΔ = = kHz.

Βήμα 4 Το εύρος ζώνης είναι 2(200 2) 404FMW = + = kHz.

(Β) Βήμα 1 Το σήμα είναι ( ) cos[ 40sin(4000 )]PM c cx t A t tω π= + .

Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι ( ) 160.000 cos(4000 )ct tω ω π π= + και

max | ( ) | 160.000c tω ω ω πΔ = − = .

Βήμα 4 Το εύρος ζώνης

2*(160 4 ) 1642*PMW π π

π+

= = kHz.

Βήμα 1

Το σήμα ( ) cos[ 800.000 sin(4000 )t

FM c cx t A t dω π πτ τ−∞

= + ∫ .

Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι ( ) 800.000 sin(4000 )ct tω ω π π= + και

max | ( ) | 800.000c tω ω ω πΔ = − = , 800 4002*

f ππ

Δ = = kHz.

Βήμα 4 Το εύρος ζώνης είναι 2(400 2) 804FMW = + = kHz.

Page 30: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

30 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

(Γ) Διαμόρφωση φάσης. Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι ( ) 160.000 cos(8000 )ct tω ω π π= + . Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας

είναι max | ( ) | 160.000c tω ω ω πΔ = − = .

Βήμα 4 Το εύρος ζώνης

2*(160 8 ) 1682*PMW π π

π+

= = kHz.

Διαμόρφωση συχνότητας. Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα είναι ( ) 400.000 sin(8000 )ct tω ω π π= + . Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας

είναι max | ( ) | 400.000c tω ω ω πΔ = − = και η μέγιστη απόκλιση συχνότητας

400 2002*

f ππ

Δ = = kHz.

Βήμα 4 Το εύρος ζώνης είναι 2(200 4) 408FMW = + = kHz.

ΘΕΜΑ 4-2005 5Η ΕΡΓΑΣΙΑ Δίνεται το σήμα μηνύματος )400(sinc10)( ttm = , που διαμορφώνει κατά συχνότητα (FM) το φέρον

)2cos(100)( tftc cπ= (και τα 2 σήματα σε mVolt) με μέγιστη απόκλιση συχνότητας Δfmax=1.2kHz.

Ζητούνται τα ακόλουθα: 1. Με χρήση μετασχηματισμού Fourier, να παρασταθεί φάσμα του σήματος m(t) και να βρεθεί το εύρος

ζώνης του. 2. Να βρεθεί o δείκτης διαμόρφωσης (D) του διαμορφωμένου σήματος και η σταθερά απόκλισης

συχνότητας kf. 3. Να γραφεί μια έκφραση για το διαμορφωμένο σήμα. 4. Να βρεθεί το εύρος ζώνης και η ισχύς του διαμορφωμένου σήματος. Διευκρινήσεις: (Α)

xxx

ππ )sin()(sinc =

(Β) Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας για διαμόρφωση FM τυχαίου σήματος πληροφορίας x(t) δίνεται από τη σχέση: ( ))(maxmax txkf f=Δ

ΛΥΣΗ Βήμα 2

1. Ισχύει ότι (ΑΑ2.4 σελ.179) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==−−+

πωα

ππ cafa

faaatuatuF sin22

)2sin(2))()((

Με βάση την ιδιότητα του δυϊσμού, έχουμε ότι

αωωπ

αωωπ

πα ))()((

2))()((2)(sin auauauautcF −−+

=−−−+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Άρα, ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος m(t) θα είναι:

Page 31: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

31 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

( ) ( )( ) ( ) ( )( )π

πωπωπα

αωαωπ400

4004001010)]([ −−+=

−−+=

uuuutmF

και το φάσμα του σήματος μπορεί να απεικoνιστεί ως εξής: Το εύρος ζώνης του σήματος είναι W=400π rad/sec ή fx=200 Hz. Βήμα 3

2. Ο δείκτης διαμόρφωσης του σήματος FM μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο (σελ.99) :

6200

1200max, ==Δ

=HzHz

ff

Dx

FM

Η σταθερά απόκλισης συχνότητας υπολογίζεται ως εξής:

[ ] 12010

1200)(maxmax, ==⇒=Δ ffFM ktmkf Hz/mV

Βήμα 1

3. To διαμορφωμένο σήμα μπορεί να γραφεί (με βάση και τη σχ.3.43 σελ.95)

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∫∫

∞−∞−

tt

fc dcfctdcktfts ττππττππ )400(sin120022cos100)400(sin1022cos100

Βήμα 4 4. To εύρος ζώνης με βάση τον κανόνα του Carson θα είναι ίσο με

kHzfD x 8.2)1(2 =+=Β

H ισχύς θα ισούται με WattAP c m 521 2 ==

[ΘΕΜΑ 4-2Η ΕΡΓΑΣΙΑ 2005-2006] H διαμόρφωση FM ευρείας ζώνης μπορεί να δημιουργηθεί από ένα σήμα FM βασικής ζώνης και στη συνέχεια χρησιμοποιείται πολλαπλασιασμός συχνότητας για την αύξηση της απόκλισης της συχνότητας

1/40

F(m(t))

400π -400π ω (rad/sec)

Page 32: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

32 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

στο επιθυμητό επίπεδο (Σχήμα 1). Εάν ένα σήμα πληροφορίας έχει εύρος ζώνης 25 ΚΗz, και το φέρον σήμα του διαμορφωτή FM βασικής ζώνης έχει fο=100KΗz, να υπολογιστούν οι συντελεστές πολλαπλασιασμού συχνότητας n1 και n2 που απαιτούνται για να παράγουμε ένα FM σήμα ευρείας ζώνης στα fc=104ΜΗz με απόκλιση συχνοτήτων τα 75 ΚΗz. Να θεωρήσετε οτι το bf=0.1 για την διαμόρφωσης FM της βασικής ζώνης.

∆ιαμόρφωση FM βασικής ζώνης

ΠολλαπλασιαστήςΣυχνοτήτων

n1

~Πολλαπλασιαστής

Συχνοτήτωνn2

Χ ∆ιαμόρφωση FMΕυρείας Ζώνης

s1(t) s2(t)

x2(t)

fo=100KHz Σχήμα 1

ΛΥΣΗ Βήμα 1 Η έξοδος του σήματος από τον διαμορφωτή της βασικής ζώνης δίνεται από τη σχέση

( )( )tfotAts ϕπ += 2cos)(1 .

O πολλαπλασιαστής συχνότητας πολλαπλασιάζει το όρισμα (και την απόκλιση συχνοτήτων) του διαμορφωμένου FM σήματος επί ένα δεδομένο συντελεστή . To σήμα s2 που προκύπτει από τον πολλαπλασιαστή συχνοτήτων θα είναι το ακόλουθο:

( )( )tnfotnAts ϕπ 112cos)(2 += .

To σήμα x2(t) θα έχει την ακόλουθη μορφή: ( )fotnAtx 22cos)(2 π=

H μίξη των σημάτων s2 και x2 θα μας δώσει το ακόλουθο σήμα:

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

21 1 2

2

1 2 1 1 2 1

( ) 2( ) 2( ) cos 2 cos 2

cos 2 cos 22

o o

o o

y t s t x t A n f t n t n f t

A n n f t n t n n f t n t

π ϕ π

π φ π ϕ

= = + =

+ + + − +

Βήμα 3 Tο bf ισούται με το λόγο απόκλισης Δf/fx (βλ σελ.99 του βιβλίου «Ψηφιακές Επικοινωνίες») όπου Δf η απόκλιση συχνοτήτων και fx το εύρος ζώνης του σήματος πληροφορίας. Βήμα 4 Άρα, τo εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος δίνεται από τη σχέση

11 0.1 25 2.5x

f

ff f kHzbΔ

= => Δ = ⋅ =

Βήμα 3 Για να πετύχουμε στην έξοδο του διαμορφωτή FM ευρείας ζώνης απόκλιση συχνοτήτων Δf2= 75KHz θα πρέπει να ισχύει το ακόλουθο:

Page 33: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

33 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

2 1 1f n fΔ = Δ άρα 21

1

75 302.5

f kHznf kHz

Δ= = =

Δ

Επίσης, η συχνότητα του φέροντος σήματος FM ευρείας ζώνης προκύπει ως εξής: ( ) ( )1 2 1 2104 100c of n n f MHz n n KHz= + ⇒ = + =>n2=1040-30=1010

[ΘΕΜΑ 6-2Η ΕΡΓΑΣΙΑ 2005-2006] Έστω το διαμορφωμένο κατά γωνία σήμα )sin5cos(3)( tttx mc ωω += και fm=5KHz. (α) Να βρεθεί το

εύρος ζώνης θεωρώντας το σήμα x(t): 1/ PM 2/ FM όταν i) το fm τετραπλασιαστεί και ii) υπο-τετραπλασιαστεί. (β) Κατόπιν να βρεθεί το σήμα πληροφορίας m(t) θεωρώντας fm=10Hz και 1/ θεωρώντας το σήμα x(t) PM με kp=10 2/ θεωρώντας το σήμα x(t) FM με kf=10π ΛΥΣΗ (α) Βήμα 1 1/ PM

)sin5cos(3)sincos())(cos()( tttaktAtmktAtx mcmmpcpcPM ωωωωω +=+=+=

Βήμα 3 Επομένως

5== mp akβ

Βήμα 4 και άρα

KHzf

w

KHzfw

KHzfw

mf

mf

mf

m

m

m

154

)1(2

2404)1(2

60)1(2

25.0

4

=+=

=+=

=+=

β

β

β

2/ FM Βήμα 1

)sin5cos(3)sincos())(cos()( tttka

tAdmktAtx mcmm

fmc

t

fcFM ωωωω

ωλλω +=+=+= ∫∞−

Βήμα 3

Page 34: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

34 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Επομένως

52

===m

fm

m

fm

fkaka

πωβ

Βήμα 4 και άρα

KHzfw mfm60)1(2 =+= β

όταν έχουμε 4fm τότε

45

241

42===

m

fm

m

fm

fka

fka

ππβ και KHzfw mfm

904)1(24 =+= β

όταν έχουμε 1/4fm τότε

202

4

42

===m

fm

m

fm

fka

fka

ππβ και KHz

fw m

fm5.52

4)1(24 =+= β

(β)

1/ PM Βήμα 1

)sin5cos(3)sin10cos())(cos()( ttttAtmktAtx mcmcpcPM ωωωωω +=+=+=

άρα

ttttm

atta

m

mmmm

ππω

ωω

20sin5.0102sin5.0sin5.0)(21sin5sin10

===

=⇒=

2/ FM Βήμα 1

)sin5cos(3))(cos()( ttdmktAtx mc

t

fcFM ωωλλω +=+= ∫∞−

Βλέπουμε ότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι tatm mm ωcos)( = γιατί το αποτέλεσμα του

ολοκληρώματος πρέπει να έχει ημιτονική μορφή, δηλαδή

10

sin5sin2

sin102

10cos10)(

=⇒

⇒==⋅

==∞−

∞−∞−∫∫

m

mmmt

mm

t

mm

t

f

a

ttaa

dadmk ωωλωππ

λλωπλλ

Επομένως

ttm π20cos10)( =

Page 35: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

35 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

ΘΕΜΑ 3-Εξετάσεις 2006Α] -Ενα σήμα είναι διαμορφωμένο κατά φάση (PM) και περιγράφεται από τη σχέση:

( )( ) 20sin 4 2000 sin(6000 )cos(4000 ) cos(6000 )sin(4000 )PMx t t t t t tπ β π π β π π= + +⎡ ⎤⎣ ⎦

και έχει εύρος ζώνης W=15 KHz. (Α). Να βρεθεί το σήμα πληροφορίας x(t) αν η σταθερά απόκλισης φάσης 50pk = .

(Β). Δεδομένου του x(t), να δοθεί η έκφραση του διαμορφωμένου σήματος στην περίπτωση της διαμόρφωσης κατά συχνότητα (FM) με σταθερά απόκλισης συχνότητας kf=10π.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(α). Βήμα 1 Απλοποιώντας την έκφραση της εκφώνησης θα έχουμε

( )[ ])10000sin(20004sin20)( tttxPM πβπ +=

όπου Hzf x 5000=

Βήμα 4 Γνωρίζουμε επίσης ότι ισχύει για το εύρος ζώνης

( ) 5.0150002

1500012 =⇔−⋅

=⇔+= βββ xfW

(Α). Βήμα 1 Για την περίπτωση της PM θα ισχύει

01.050

5.0=⇔=

Κ=⇔Κ= x

pxxp AAA ββ

Επομένως το σήμα μηνύματος θα είναι ( ) ( )ttx π10000sin01.0=

(Β). Βήμα 1 Στην περίπτωση της διαμόρφωσης κατά συχνότητα το διαμορφωμένο σήμα θα είναι:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) 20sin 4 2000 ( )

( ) 20sin 4 2000 0.01sin(10000 )

0.01( ) 20sin 4 2000 ( cos 1000010000

( ) 20sin 4 2000 cos 10000

t

FM f

t

FM f

tFM f

FM

x t t K x d

x t t K d

x t t K

x t t t

π λ λ

π πλ λ

π πλπ

π β π

−∞

−∞

−∞

⎡ ⎤= + ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= + ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤= + − ⇔⎢ ⎥⎣ ⎦

= −⎡ ⎤⎣ ⎦

όπου 10 0.0110000

πβπ

⋅=

Page 36: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

36 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

[ΘΕΜΑ 3-2006-2007 2η εργασια]

(β) Έστω το διαμορφωμένο κατά FM σήμα ( ) 100cos 200 60 ( )t

FMx t t x dπ π λ λ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ το οποίο

μεταδίδει το σήμα πληροφορίας ( ) 8 ( 1)x t t= Λ − . Να υπολογίσετε αναλυτικά για το σήμα ( )FMx t τη

στιγμιαία φάση, και τη στιγμιαία συχνότητά του. Υπόδειξη:

Ισχύει ότι 1 ,

, όπου 00,

xx ax

aa x a

α⎧

− <⎪⎛ ⎞Λ = >⎨⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ >⎩

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Β) Βήμα 1

Το σήμα είναι της μορφής ( ) cos 2 ( )t

FM c fx t A f t k x dπ λ λ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ .

Βήμα 3

Η στιγμιαία φάση είναι ( ) ( ) 480 ( 1)t t

ft k x d dφ λ λ π λ λ= = Λ −∫ ∫ .

• Για t 0≤ , φ(t)=0 μια και Λ(t)=0.

• Για 0 t 1≤ ≤ , Λ(t-1)=t, άρα 2( ) 480 240t

t d tφ π λ λ π= =∫

• Για 1 t 2≤ ≤ , Λ(t-1)=2-t, άρα 11 2 2 2 2

10 1 0 1

1 1( ) (2 ) 2 2( 1) 2 12 2 2 2 2 2

tt tt t td d d t tλ λλ λ λ λ λ λ λ

−∞

Λ = + − = + − = + − − + = − + −∫ ∫ ∫και 2( ) 240 960 480t t tφ π π π= − + −

• Για t 2≥ , Λ(t-1)=0, άρα 1 2

0 1

( ) (2 ) 1t

d d dλ λ λ λ λ λ−∞

Λ = + − =∫ ∫ ∫ και ( ) 480tφ π=

Η στιγμιαία συχνότητα είναι:

• Για t 0≤ , c cddtφω ω ω= + =

• Για 0 t 1≤ ≤ ,2(240 ) 480c c

d t tdt

πω ω ω π= + = +

• Για 1 t 2≤ ≤ , 2( 240 960 480 ) 960 480c c

d t t tdt

π π πω ω ω π π− + −= + = + −

• Για t 2≥ , c cddtφω ω ω= + =

[ΘΕΜΑ 6-2006-2007 2η εργασια] Δίνεται το σήμα γωνιακής διαμόρφωσης FM ( )( ) cos sinFM C Mx t A t tω β ω= + με β<<1, και ζητούνται

Page 37: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

37 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

(α). Το υπολογίσετε και να σχεδιάσετε το φάσμα πλάτους του διαμορφωμένου σήματος. (β). Να υπολογίσετε το φάσμα πλάτους σήματος διαμορφωμένου κατά πλάτος

( )0( ) 1 cos cosAM cx t A A t tμ ω ωΜ= + όπου Α0=1 και να σχολιάσετε τη σχέση του με το ζητούμενο

φάσμα πλάτους του ερωτήματος (α). Υπόδειξη: Επειδή β<<1 μπορείτε να θεωρήσετε ότι:

• ( ) 1sincos ≈tMωβ

( ) tt MM ωβωβ sinsinsin ≈

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(α). Βήμα 1 Αναλυτικά η έκφραση του διαμορφωμένου σήματος FM είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) cos sin cos cos sin sin sin sinC M C M C Mx t A t t A t t A t tω β ω ω β ω ω β ω= + = −

Oπότε θεωρώντας β<<1 θα έχουμε ( ) 1sincos ≈tMωβ ( ) tt MM ωβωβ sinsinsin ≈

Επομένως το σήμα μπορεί να προσεγγισθεί με ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) cos sin sin

( ) cos cos cos2

c c M

c c M c M

x t A t A t t

x t A t t t

ω ω β ωβω ω ω ω ω

= − ⇔

Α= − − − +⎡ ⎤⎣ ⎦

Επομένως το φάσμα πλάτους με τη χρήση του μετ/σμού Fourier θα είναι

[ ] ( ) ( )( ) ( ) [ ] [ ]

[ ]

1( ) ( ) ( ) ( (2 2 2

( (

1( ) ( ) ( ) ( ) (2 2 2

( ) ( )

c c C M C M

C M C M

c c C M C M

C M C M

AX f f f f f f f f f f f

f f f f f f

AX f f f f f f f f f f f

f f f f f f

βδ δ δ δ

δ δ

βδ δ δ δ

δ δ

Α= − + + − − − + + − −⎡ ⎤⎣ ⎦

− − + + + + ⇔⎡ ⎤⎣ ⎦Α

= − + + − − + + + − −

− − − + + +

-fc -fc+fM-fc-fM fc fc+fMfc-fM

A/2

βA/4

(β). Για τη διαμόρφωση πλάτους θα έχουμε

Page 38: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

38 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

( )

( ) ( ) ( )[ ]tttAtx

ttAAtx

McMcc

c

ωωωωμω

ωωμ

++−Α

+=

⇔+= Μ

coscos2

cos)(

coscos1)( 0

Όπως παρατηρούμε το φάσμα πλάτους είναι ακριβώς το ίδιο αλλά η φάση είναι αντίθετη στη χαμηλή συνιστώσα Mc ωω −

Τα διαμορφωμένα σήματα FM με β<<1 ονομάζονται σήματα στενής ζώνης και ομοιάζουν τα σήματα AM με εξαίρεση την φάση στη χαμηλή συνιστώσα.

[ΘΕΜΑ 7-2006-2007 2η εργασια] Δίνεται το σήμα ( ) ( )2sincx t A Bt= , όπου Α,Β>0.

(α) Να προσδιοριστεί η τιμή του Β ώστε το σήμα να έχει περίοδο δειγματοληψίας Nyquist ίση με 500μsec. (β) To σήμα x(t) διαμορφώνει συνημιτονικό φέρον ( )c t μοναδιαίου πλάτους και συχνότητας

10cf kHz= με διαμόρφωση DSB και στη συνέχεια με χρήση κατάλληλου ιδανικού βαθυπερατού φίλτρου

δημιουργείται σήμα SSB κάτω πλευρικής ζώνης. Να γραφούν οι εκφράσεις του φίλτρου στο πεδίο του χρόνου (κρουστική απόκριση) και των συχνοτήτων(συνάρτηση μεταφοράς) και να υπολογιστεί η συχνότητα αποκοπής του. (γ) Το σήμα x(t) διαμορφώνει κατά συχνότητα το ίδιο συνημιτονικό φέρον του ερωτήματος (β) ( )c t με

μέγιστη απόκλιση συχνότητας max 2f kHzΔ = και σταθερά απόκλισης συχνότητας fk = 100π. Να

προσδιοριστεί η παράμετρος Α του σήματος x(t) και το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος. Υπoδείξεις:

1. Ισχύει ότι ( ) sin( )sinc xxxπ

π=

2. Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας συνδέεται με το μέγιστο πλάτος του σήματος πληροφορίας x(t) με την ακόλουθη σχέση:

( )( )max max2

fkf x t

πΔ =

ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) Βήμα 2 Πρέπει να προσδιοριστεί το φάσμα του σήματος. Με βάση γνωστούς ΜΣ Fourier και από πίνακες έχουμε:

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

sinc (ιδιοτητα αλλαγης κλίμακας)

1sinc sinc

F

F F

t tri f

f A fBt tri A Bt triB B B B

←⎯→ ⇒

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ ←⎯→ ⇒ ←⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Συνεπώς το φάσμα απεικονίζεται ως εξής:

Page 39: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

39 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Βήμα 2 (θεωρίας δειγματοληψίας επόμενη ενότητα) Η μέγιστη συχνότητα που περιέχει το σήμα είναι ίση με Β, οπότε η συχνότητα δειγματοληψίας Nyquist

είναι 2sf B= και η περίοδος δειγματοληψίας Nyquist είναι 1 1 500 1000

2ss

T s B Hzf B

μ= = = ⇒ =

(β) Βήμα 3 (διαμορφώσεις DSB,AM,SSB πλάτους προηγούμενη ενότητα) Στο πρώτο ερώτημα δείξαμε ότι:

( ) A fX f triB B

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

To φέρον σήμα ισούται με ( ) cos(2 )cc t f tπ=

Με βάση την ιδιότητα μετατόπισης φάσματος θα έχουμε ότι :

( ) ( ) ( ) ( )1cos 22

12

Fc c c

c c

x t f t X f f X f f

A f f A f ftri triB B B B

π⋅ ←⎯→ − + + =⎡ ⎤⎣ ⎦

− +⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος απεικονίζεται παρακάτω:

A/B

B-B

X(f)

f0

A/2B

X(f)

f-fc-B 0-fc+B fc-B fc+B-fc fc

Page 40: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

40 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Για να ληφθεί το SSB-LSB (κατω πλευρική ζώνη) πρέπει να διέλθει το διαμορφωμένο σήμα από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο που να αποκόπτει την άνω πλευρική ζώνη. Αυτό απεικονίζεται παρακάτω:

Η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου είναι ίση με 10cf kHz= , οπότε η έκφραση του στο χώρο των

συχνοτήτων (συνάρτηση μεταφοράς) θα είναι:

( )2 c

fH f rectf

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Γνωρίζουμε ότι ( ) ( )

( ) ( )

sinc (ιδιοτητα αλλαγης κλίμακας)

1sinc 2 2 sinc 22 2 2

F

F Fc c c

c c c

t rect f

f ff t tri f f t rectf f f

←⎯→ ⇒

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ ←⎯→ ⇒ ←⎯→⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Άρα η έκφραση του φίλτρου στο χρόνο (κρουστική απόκριση) θα είναι: ( )( ) 2 sinc 2c cx t f f t=

(γ) Βήμα 3 Ισχύει ότι

( )( ) maxmax max 2

2 2

20002 40100

f f

f

k k ff x t A Ak

Volt

ππ π

ππ

ΔΔ = = ⇒ = =

= =

Επίσης, έχουμε ότι ο λόγος απόκλισης θα είναι :

max 2000 21000x

fDf

Δ= = = ,

Βήμα 4 οπότε το ζητούμενο εύρος ζώνης θα ισούται με βάση τον κανόνα Carson με:

A/2B

X(f)

f-fc-B 0-fc+B fc-B fc+B-fc fc

LPF

Page 41: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

41 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

( )2 1 1000 6FMW D kHz≈ + =

[ΘΕΜΑ 3-Εξετασεις 2006 Β] Ένας διαμορφωτής FM διαχειρίζεται σήματα στην περιοχή των ακουστικών συχνοτήτων, με μέγιστη μεταδιδόμενη συχνότητα fx = 4KHz, ως εξής: πρώτα δημιουργεί σήμα FM με λόγο απόκλισης D=0.2 και φέρουσα συχνότητα 200 KHz. Το τελικό FM σήμα που εκπέμπεται πρέπει να έχει φέρουσα συχνότητα 40 MHz και μέγιστη απόκλιση συχνότητας 12 KHz. Χρησιμοποιώντας ένα πολλαπλασιαστή συχνότητας και ένα τοπικό ταλαντωτή μαζί με τα απαιτούμενα φίλτρα σχεδιάστε ένα σύστημα που παράγει το επιθυμητό τελικό σήμα, ορίζοντας τις χαρακτηριστικές παραμέτρους του τοπικού ταλαντωτή, του πολλαπλασιαστή, και του/των φίλτρων. Διευκρινήσεις: 1. O πολλαπλασιαστής συχνότητας πολλαπλασιάζει το όρισμα του διαμορφωμένου σήματος επί ένα δεδομένο συντελεστή. 2. Η μέγιστη απόκλιση συχνότητας ενός σήματος διαμορφωμένου κατά FM από σήμα πληροφορίας x(t) δίνεται από τη σχέση ( )[ ]txkf f max⋅=Δ , όπου kf η σταθερά απόκλισης συχνότητας.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Βήμα 1 Η έξοδος του σήματος από τον διαμορφωτή της βασικής ζώνης δίνεται από τη σχέση

( )( )1 1( ) cos 2s t A fot tπ ϕ= + .

O πολλαπλασιαστής συχνότητας πολλαπλασιάζει το όρισμα (και την απόκλιση συχνοτήτων) του διαμορφωμένου FM σήματος επί ένα δεδομένο συντελεστή . To σήμα s2 που προκύπτει από τον πολλαπλασιαστή συχνοτήτων θα είναι το ακόλουθο:

( )( )2 1 1 1( ) cos 2s t A n fot n tπ ϕ= + .

To σήμα x2(t) θα έχει την ακόλουθη μορφή: ( )2 2 2( ) cos 2x t A f tπ=

H μίξη των σημάτων s2 και x2 θα μας δώσει το ακόλουθο σήμα:

∆ ό FMβ ή ζώ

Π λλ λ ήΣ ή

1

~

ΧS1(t)

fo = 200KHz

~

f2

X2(t)

S2(t) y(t) Φίλ

Page 42: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

42 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )2

2

1 1 1 2

11 2 1 1 2 1

( ) 2( ) 2( ) cos 2 cos 2

cos 2 cos 22

o

o o

y t s t x t A A n f t n t f t

A An f f t n t n f f t n t

π ϕ π

π φ π ϕ

= = + =

+ + + − +

Βήμα 3 Tο D ισούται με το λόγο απόκλισης Δf/fx (βλ σελ.99 του βιβλίου «Ψηφιακές Επικοινωνίες») όπου Δf η απόκλιση συχνοτήτων και fx το εύρος ζώνης του σήματος πληροφορίας. Άρα, τo εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος δίνεται από τη σχέση

11 0.2 4 0.8x

ff f kHzDΔ

= => Δ = ⋅ =

Για να πετύχουμε στην έξοδο του διαμορφωτή FM ευρείας ζώνης απόκλιση συχνοτήτων Δf2= 12KHz θα πρέπει να ισχύει το ακόλουθο:

2 1 1f n fΔ = Δ άρα 21

1

12 150.8

f kHznf kHz

Δ= = =

Δ

Επίσης, η συχνότητα του φέροντος σήματος FM ευρείας ζώνης προκύπει ως εξής: ( ) ( )1 2 1 2

2

4040 3 37 43

c o of n f f MHz n f ff MHz MHz MHz ή MHz

= ± ⇒ = ± ⇒

⇒ = ± =

Το φίλτρο που απαιτείται είναι ένα ζωνοπερατό φίλτρο περί την συχνότητα 40 MHz και ακολουθεί τον μείκτη που αναφέραμε με εύρος ίσο προς το εύρος ζώνης του ζητούμενου σήματος δηλ. Βήμα 4 B = 2 (1 +15 X 0.2) 4 KHz = 32 KHz βάσει του γνωστού τύπου του Carson. B! Λύση) Αν τώρα προηγηθεί ο μείκτης με τον τοπικό ταλαντωτή που αναφέρθηκε του πολλαπλασιαστή συχνότητας, δηλ. όταν ο πολλαπλασιαστής συχνότητας τοποθετηθεί στο τέλος της αλυσίδας του διαμορφωτή FM, τότε βέβαια το σήμα εισόδου του θα είναι Βήμα 1

6

0

( ) cos(2π (40/15) 10 (τ)dτ)t

c t A t k f= + ∫ και επομένως ο τοπικός ταλαντωτής που θα δημιουργήσει

το φέρον σήμα με συχνότητα 40/15 MHz = 2.666 MHz, ταλαντώνεται στην συχνότητα fLO = (2.666 ±0.2 ) MHz

[ΘΕΜΑ 7-2006-2007 5Η ΕΡΓΑΣΙΑ] Έστω το σήμα m(t) του παρακάτω σχήματος το οποίο χρησιμοποιείται είτε για διαμόρφωση συχνότητας είτε για διαμόρφωση φάσης, του ίδιου φέροντος fc. Να βρεθούν: (α) Η σχέση μεταξύ kp και kf έτσι ώστε και στις δύο περιπτώσεις η μέγιστη φάση των διαμορφωμένων σημάτων να έχει την ίδια τιμή. (β) Αν kp = kf =1 πόση είναι η μέγιστη στιγμιαία συχνότητα σε κάθε περίπτωση; (Να θεωρήσετε ότι στα σημεία ασυνέχειας η παράγωγος του m(t) είναι μηδέν).

Page 43: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

43 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

1

0

-1

1 2 3 t

m(t)

1

0

-1

1 2 3 t

m(t)

(γ) Θεωρείστε ένα σήμα που έχει το ακόλουθο φάσμα πλάτους:

( ) ( ) ( ) ( )1 1.5S f m f f rect f= + − ⋅ − , όπου η συνάρτηση m(f) έχει την ίδια απεικόνιση (στο πεδίο

της συχνότητας) όπως το σήμα m(t) στο πεδίο του χρόνου. Να σχεδιαστεί το φάσμα S(f) και να εκφραστεί ως συνάρτηση στοιχειωδών παλμών (π.χ. τετραγωνικών, τριγωνικών παλμών). (δ) Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του φάσματος S(f) (δηλ. το σήμα s(t) στο πεδίο του χρονου). (ε) Να υπολογιστούν οι εκφράσεις στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας ενός φέροντος μοναδιαίου πλάτους και συχνότητας fc= 100Hz που διαμορφώνεται με διπλο-πλευρική διαμόρφωση πλάτους (DSB) από το σήμα s(t). Υπόδειξη: Ισχύουν τα παρακάτω:

00 0

0

1, 2 ,όπου 0

0, 2

ax xx x x xrect aaa a x x

⎧ − <⎪− − ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Π = >⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ − >

⎪⎩

• 0

00 0

0

1 , , όπου 0

0,

x xx x ax x x xtri a

a a x x aα

−⎧− − <− − ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Λ = >⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ − >⎩

ΛΥΣΗ α) Βήμα 3 Η μέγιστη απόκλιση φάσης για το σήμα PM είναι:

Page 44: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

44 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

pp ktmk ==Δ )(maxmaxφ

H φάση του διαμορφωμένου FM σήματος είναι:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

<≤−−=−+

<≤−+=+

<≤=

===

∫∫∞−

tk

ttkkdkkk

ttkkdkk

ttkdk

dmkdmkt

f

t

fffff

t

ffff

f

t

f

t

f

t

f

3,

32,)2(2322

21,)1(22

10,2

)(2)(2)(

2

1

2

0

0

π

ππτπππ

ππτππ

πττπ

ττπττπφ

H max τιμή του φ(t) είναι 3πkf για t=2 και επομένως η σχέση μεταξύ kp, kf είναι:

fp kk π3=

β) Βήμα 3 Η στιγμιαία συχνότητα για το διαμορφωμένο PM σήμα είναι:

dttdmkf

dttdftf pcci

)(21)(

21)(

πφ

π+=+=

Από το σχήμα η μέγιστη τιμή του dt

tdm )( είναι 1 για t μεταξύ [0, 1]. Επομένως:

( )π21)(max += ci ftf

Για το FM σήμα )()( tmkftf fci += επομένως η μέγιστη στιγμιαία συχνότητα είναι:

( ) 1)(max +=+= cfci fkftf

γ) Βήμα 2 Με βάση το σχήμα του ερωτήματος β) έχουμε ότι:

, 0 1( ) 1, 1 2

1, 2 3

f fm f f

f

< <⎧⎪= < <⎨⎪− < <⎩

οπότε το σήμα S(f) γράφεται:

Page 45: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

45 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

1 ,1 21 1.5

, 1 2

, 0 1 , 0 11 1 , 1 2 2 , 1 2

1, 2 31, 2 3

m f f fS f m f f rect f

m f f ή f

f f f fS f f f S f f f

ff

⎧ + − < <⎪= + − ⋅ − = ⇔⎨< − >⎪⎩

< <⎧ < <⎧⎪ ⎪⇔ = + − < < ⇔ = − < <⎨ ⎨⎪ ⎪− < <− < < ⎩⎩

Το φάσμα αυτό γραφικά μπορεί να παρασταθεί ως εξής: Με βάση το παραπάνω σχήμα, το φάσμα S(f) μπορεί να εκφραστεί κατ’απόλυτη τιμή ως:

( ) ( ) ( )1 2.5S f tri f rect f= − + −

δ) Βήμα 2 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του φάσματος S(f) (δηλ. το σήμα s(t)) υπολογίζεται ως εξής (για κάθε όρο του αθροίσματος ξεχωριστά: Γνωρίζουμε ότι:

( ) ( )2sin Fc t tri f←⎯→

Με χρήση της ιδιότητας χρονικής μετατόπισης έχουμε: ( ) ( )2 1 2sin 1Fj te c t tri fπ ⋅ ⋅ ⋅ ←⎯→ −

Γνωρίζουμε ότι: ( ) ( )sin Fc t rect f←⎯→

Με χρήση της ιδιότητας χρονικής μετατόπισης έχουμε: ( ) ( )2 2.5 sin 2.5Fj te c t rect fπ ⋅ ⋅ ⋅ ←⎯→ −

Άρα, το σήμα s(t) γράφεται: ( ) ( ) ( )2 2 5sin sinj t j ts t e c t e c tπ π= ⋅ + ⋅

0 1 2 3

1

-1

S(f)

f

Page 46: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

46 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

ε) Βήμα 3 (διαμορφώσεις DSB,AM,SSB πλάτους προηγούμενη ενότητα) Το δεδομένο φέρον γράφεται ( ) ( ) ( )cos 2 cos 2 100c c cx t A f t tπ π= = .

Η έκφραση στο πεδίο του χρόνου του φέροντος που διαμορφώνεται με διπλοπλευρική διαμόρφωση πλάτους (DSB) από το σήμα s(t) είναι η ακόλουθη:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5sin sin cos 2 100j t j ts cx t s t x t e c t e c t tπ π π⎡ ⎤= = ⋅ + ⋅ ⋅⎣ ⎦

Η έκφραση στο πεδίο της συχνότητας του φέροντος που διαμορφώνεται με διπλοπλευρική διαμόρφωση πλάτους (DSB) από το σήμα s(t) είναι η ακόλουθη:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

12

1 1 100 2.5 100 1 100 2.5 10021 101 102.5 99 97.52

S c cX f S f f S f f

tri f rect f tri f rect f

tri f rect f tri f rect f

⎡ ⎤= − + + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − + − − + − + + − + =⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − + + + +⎣ ⎦

Page 47: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

47 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

ΙI. ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ

ΙΙ. Μεθοδολογία • Βήμα 1. Έάν το σήμα δίδεται στο πεδίο του χρόνου και είναι άθροισμα ημιτονοειδών σημάτων είτε μπορεί να μετατραπεί σε τέτοιο μέσω τριγωνοιμετρικών ιδιοτήτων, τότε απαιτείται να υπολογισθεί η μέγιστη συχνότητα από όλα τα πεπερασμένα ημίτονα που είναι παρόντα στο σήμα. • Βήμα 2. Εάν το σήμα δίδεται στο πεδίο συχνοτήτων πρέπει να διαπιστωθεί το εύρος ζώνης του, το κατά πόσο είναι πεπερασμένο η άπειρο και να εκτιμηθεί η μέγιστη πεπερασμένη συχνότητα που είναι παρούσα στο φάσμα. • Βήμα 3. Εάν το σήμα δίδεται στον χρόνο με κλειστή έκφραση αλλά δεν προκύπτει άθροισμα ημιτόνων τότε πρέπει να χρησιμοποιηθεί μ/σ Fourier για να υπολογισθεί το φάσμα του οπότε προχωράμε όπως στο βήμα 2 ανωτέρω. • Βήμα 4. Χρήση του τύπου Nyquist, καθώς και των τύπων εύρεσης φάσματος δειγματοληπτημένου σήματος αν απαιτείται.

[Θ.6-Εξετάσεις 2003 Α] Δίνεται το σήμα

tttx ππ 600cos100cos)( 2⋅= 1. Να βρεθεί ο ρυθμός δειγματοληψίας Nyquist για το σήμα.

2. To σήμα x(t) πρόκειται να κωδικοποιηθεί ψηφιακά χρησιμοποιώντας την PCM κωδικοποίηση και να μεταδοθεί από δυαδικό κανάλι με ρυθμό R=24000 bit/sec. Να βρεθούν οι κατάλληλες τιμές του ρυθμού δειγματοληψίας, η στάθμη κβαντοποίησης και ο αριθμός των δυαδικών ψηφίων που πρέπει να χρησιμοποιηθούν

Απαντήσεις

Βήμα 1 1.Ο ρυθμός δειγματοληψίας Nyquist για το σήμα.

( )

)1100cos1300(cos25,0100cos5,0)(1200cos100cos5,0100cos5,0)(

1200cos121100cos)(600cos100cos)( 2

ttttxttttx

tttxtttx

ππππππ

ππππ

++==>+=

=>+==>⋅=

Fm=650 Hz. Eπομένως ο ρυθμός Nyquist ισούται με Fs=1300 Hz

Βήμα 5 (διαμόρφωση PCM επόμενη ενότητα) 2.O ρυθμός δειγματοληψίας θα πρέπει να είναι μεγαλύτερος από 2*Fm=1300Hz

Θα πρέπει να ισχύει 46,18130024000

==>≤=>≤ nnRnf s

Οι στάθμες κβαντοποίησης ισούνται με 262144218 ==L και τα bits που απαιτούνται είναι 18.

[ΘΕΜΑ 2 2002-2003 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ] 1. Να βρεθούν ο ρυθμός Nyquist για το καθένα από τα παρακάτω σήματα:

(a) x(t)=5cos[100πt]*cos[4000πt] (b) x(t)=sin(200πt)/πt

2. Δυαδικό κανάλι με ρυθμό δεδομένων R=36000 bit ανά δευτερόλεπτο διατίθεται για μετάδοση PCM φωνής. Να βρεθούν κατάλληλες τιμές του ρυθμού δειγματοληψίας, το πλήθος των σταθμών κβάντισης

Page 48: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

48 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

και το πλήθος των δυαδικών ψηφίων (n) κάθε κωδικής λέξης, αν θεωρήσουμε μέγιστη συχνότητα σήματος fm=3,2 KHz.

ΛΥΣΗ 1. Βήμα 1 (α) )3900cos(5,5)4100cos(5,5)4000cos(*)100cos(5)( tttttx ππππ +==

fm=2050 Αρα fs=2fm=4100 KHz Βήμα 2

(β) t

ttxπ

π )200sin()( = Με βάση τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier ισχύει

⎩⎨⎧

><

=⇔αωαω

ωπ 0

1)()sin( X

tat

Άρα το σήμα x(t) είναι σήμα οριοθετιμένης ζώνης όπου fm=100 Hz. Άρα fs=2fm=200 Hz.

Βήμα 5 (διαμόρφωση PCM επόμενη ενότητα) 2. Επειδή θέλουμε Ms ff ≥ =6400 και 36000=≤ Rnfs

Άρα ισχύει 6,56400

36000==≤

sfRn

Το πλήθος των δυαδικών ψηφίων κάθε κωδικής λέξης είναι 5 και ο συνολικός αριθμός των σταθμών που θα χρησιμοποιηθούν είναι 3222 5 === nL

[ΘΕΜΑ 1 2003-2004 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ]

1. Θεωρούμε το σήμα διακριτού χρόνου x(n) = cos(n π/16) * cos (n π /16)

Να βρεθούν δύο διαφορετικά σήματα συνεχούς χρόνου τα οποία θα μπορούσαν να παράγουν αυτό το διακριτό σήμα όταν υποστούν δειγματοληψία στη συχνότητα fs = 10 Hz ΛΥΣΗ Βήμα 1 x(n) = cos2(n π/16) = 1/2 (cos(n π /8) +1) . Το σήμα xa(t) = cos(2π f t) που υφίσταται δειγματοληψία fs καταλήγει προφανώς στην διακριτή ακολουθία: x(n) = xa(n Ts) = cos(2π f/fs n) = cos(2π [f + k fs ]/fs n) για οποιοδήποτε ακέραιο k. Επομένως οποιοδήποτε ημιτονοειδές σήμα με συχνότητα ff = f + k fs θα παράγει την ίδια ακολουθία όταν υφίσταται δειγματοληψία με συχνότητα fs, Για το σήμα μας cos (nπ /8) είναι 2 π f / fs = π/8 => f = fs / 16 = 0.625 Hz Δυο σήματα που ζητούνται είναι επομένως τα x1(t) = cos (1.250 πt) και x2(t) = cos (21.250 πt) για k=0 και k=1. Προφανώς οποιαδήποτε άλλα ακέραια k δίνουν αποδεκτές λύσεις.

Page 49: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

49 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

2. Αν ο ρυθμός Nyquist για το σήμα Xa(t) είναι fs, ποιος είναι ο ρυθμός Nyquist για κάθε ένα από τα παρακάτω σήματα που σχηματίζονται από το Xa(t)

(c) dXa(t) / dt (d) Xa(2t) (e) Xa2(t) (f) Xa(t) cos(2πf0t) ΛΥΣΗ

Βήματα 2,3 a) Ya(t) = dXa(t) / dt => Ya_Fourier (j w) = jw Xa_Fourier(j w). Κατά συνέπεια εφόσον Xa_Fourier (j w) = 0 για |w| > w0 ως σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης (θεώρημα Nyquist) θα είναι και Ya_Fourier (j w) = 0 για |w| > w0 .Αρα η συχνότητα Nyquist >= διπλάσιου της μέγιστης συχνότητας του σήματος, παραμένει αμετάβλητη κατά την παραγώγιση.

Βήματα 2,3 b) To σήμα Xa(2t) παράγεται από το Xa(t) με συμπίεση του άξονα του χρόνου κατά ένα συντελεστή 2. Αυτό έχει αποτέλεσμα την επέκταση του άξονα συχνοτήτων κατά ένα συντελεστή πάλι 2. Αυτό γίνεται εντελώς φανερό αν θεωρήσετε το σήμα z(t) = cos(2π f t) => z(2t) = cos (2π [2f] t). Επιπλέον είναι Ya(t) = Xa(2t) => Ya_Fourier (j w) = (1/2) Xa_Fourier (j w /2). Κατά συνέπεια εφόσον Xa_Fourier (j w/2) = 0 για |w/2| > w0 ως σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης (θεώρημα Nyquist) θα είναι και Ya_Fourier (j w) = 0 για |w| > 2w0 . Αρα η συχνότητα Nyquist για το Ya(t) είναι διπλάσια αυτής του Xa(t)

Βήματα 2,3 c) Αν Ya(t) = Xa2(t) = Xa(t) Xa(t) τότε Ya_Fourier (j w) = 1/(2π) Xa_Fourier(j w) * Xa_Fourier(j w) , όπου * η πράξη της συνέλιξης γνωστή από τα τυπολόγια Fourier (π.χ πίνακας Α.1 Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier στο βιβλίο Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Hwei P. Hsu, σειρά Schaum, εκδόσεις Τζιόλα, που έχει συσταθεί για το μάθημα ως επιπλέον βοήθημα).

Δηλ. Ya_Fourier(jw) = 1/(2π) dzzwjFourierXajzFourierXaz∫+∞

−∞=− ))((_)(_ Δεδομένου

τώρα ότι ισχύει Xa_Fourier (j w) = 0 για |w| > w0 ως σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης (θεώρημα Nyquist) θα είναι : Xa_Fourier (jz) =0 για |z| > w0 και Xa_Fourier (j(w-z)) =0 για |w-z| > w0. Κατά συνέπεια πρέπει Ya_Fourier (jw)=0 με |z| > w0 και |w-z| > w0. Δεδομένου ότι |w-z| >= |w|-|z| => Αν |w|-|z| >= w0 τότε ξασφαλίζεται ότι |w-z| > w0 και επομένως το αρχικό σύστημα ανισώσεων θα ικανοποιείται πλήρως αν αντικατασταθεί από το |w|-|z| >= w0 και |z| > w0. Από το νέο σύστημα ανισώσεων προκύπτει: |w|>=|z|+ w0 => |w| > 2 w0. To αποτέλεσμα είναι σαφές: Ya_Fourier (jw)=0 με |w| > 2 w0. Αρα η μέγιστη συχνότητα του σήματος διπλασιάζεται και άρα και η αντίστοιχη συχνότητα Nyquist

Βήματα 2,3 d) H διαμόρφωση σήματος με τον όρο cos(2π f0 t) σημαίνει μετατόπιση του φάσματος του σήματος κατά f0 προς τα δεξιά και τα αριστερά. Συνεπώς η συχνότητα Nyquist θα είναι fs + 2 f0

Page 50: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

50 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

3. Υποθέτουμε ότι το σήμα Xa(t) έχει περιορισμένο εύρος ζώνης στους 8 KHz (δηλ. Xa(f)=0 για |f|>8000). Ποιος είναι ο ρυθμός δειγματοληψίας Nyquist για το Xa(t) και ποιος για το σήμα Xa(t) cos(2π 1000 t) ;

ΛΥΣΗ

Βήματα 2,3 Η άσκηση αυτή τίθεται μόνο για εμπέδωση του θ. δειγματοληψίας. Με βάση και το 2.d ανωτέρω έχουμε: fs Nyquist για το Xa(t) είναι = 2*8 KHz, ενώ για το Xa(t) cos(2π 1000 t) fs = 16 KHz+ 2 *1 KHz = 18 KHz [ΘΕΜΑ 1-2η ΕΡΓΑΣΙΑ 2004-2005] (A) Δίνεται το συνεχές σήμα xa(t) = 3cos100πt

(i) Να βρεθεί η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας ώστε να αποφευχθεί το φαινόμενο της επικάλυψης (aliasing)

(ii) Υποθέστε ότι το σήμα δειγματοληπτείται με συχνότητα fs=200Hz. Ποιο είναι το διακριτό σήμα που παίρνουμε μετά τη δειγματοληψία;

(iii) Υποθέστε ότι το σήμα δειγματοληπτείται με συχνότητα fs=75Hz. Ποιο είναι το διακριτό σήμα που παίρνουμε μετά τη δειγματοληψία; (B) Δίνεται το συνεχές σήμα xa(t) = 3cos2000πt + 5sin6000πt + 10cos12000πt (i) Ποια είναι η συχνότητα δειγματοληψίας Nyquist για αυτό το σήμα; (ii) Υποθέστε ότι δειγματοληπτούμε το σήμα χρησιμοποιώντας συχνότητα δειγματοληψίας fs=5000Hz. Ποιο είναι το διακριτό σήμα που παίρνουμε μετά τη δειγματοληψία; ΛΥΣΗ (Α)

Βήμα 1 (i)Η συχνότητα του συνεχούς σήματος είναι 2πf=100π f=50Hz, οπότε η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας βάσει του θεωρήματος του Nyquist, για να αποφευχθεί το φαινόμενο της επικάλυψης, θα είναι fs=2f=100Hz

Βήμα 1 (ii) Αν το σήμα δειγματοληπτείται σε συχνότητα fs=200Hz, τότε το διακριτό σήμα θα είναι

100( ) 3cos 3cos200 2

x n n nπ π= =

μια που η περίοδος δειγματοληψίας θα είναι Ts=1/ fs =1/200 sec και παίρνονται δείγματα σε χρονικές στιγμές t=nTs=n/200.

Βήμα 1 (iii) Αντίστοιχα με το (β) ερώτημα, αν το σήμα δειγματοληπτείται σε συχνότητα fs=75Hz, τότε το διακριτό σήμα θα είναι

100 4 2 2( ) 3cos 3cos 3cos(2 ) 3cos75 3 3 3

x n n n n nπ π π ππ= = = − =

Page 51: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

51 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

(Β) Βήμα 1 (i) Οι συχνότητες που υπάρχουν στο συνεχές σήμα είναι f1=1000Hz, f2=3000Hz, f3=6000Hz. Επομένως η μέγιστη συχνότητα του σήματος είναι fmax=6000Hz. Βάσει του θεωρήματος δειγματοληψίας του Nyquist, η συχνότητα δειγματοληψίας θα πρέπει να είναι fs >= 2 fmax = 12000Hz. Η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας Nyquist είναι fs = 12000Hz. (ii) Μια που επιλέγεται fs = 5000Hz, η μέγιστη συχνότητα που μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά από το δειγματοληπτημένο σήμα είναι η f = fs /2 = 2500Hz. Λαμβάνοντας υπόψη ότι τα δείγματα παίρνονται σε χρονικά διαστήματα t=nTs=n/ fs = n/5000, το διακριτό σήμα που παίρνουμε είναι:

1 3 6( ) ( ) 3cos 2 ( ) 5sin 2 ( ) 10cos 2 ( )5 5 5

1 2 1 = 3cos 2 ( ) 5sin 2 (1 ) 10cos 2 (1 )5 5 51 2 1 = 3cos 2 ( ) 5sin 2 ( ) 10cos 2 ( )5 5 51 2 = 13cos 2 ( ) 5sin 2 ( )5 5

a sx n x nT n n n

n n n

n n n

n n

π π π

π π π

π π π

π π

= = + + =

+ − + + =

+ − + =

[ΘΕΜΑ 3-2η ΕΡΓΑΣΙΑ 2004-2005] Να προσδιοριστεί η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας καθώς και η συχνότητα δειγματοληψίας του Nyquist για κάθε ένα από τα παρακάτω ζωνοδιαβατά σήματα: (Α) το )(tx είναι πραγματικό με μετασχηματισμό Fourier )( fX μη μηδενικό μόνο για

KHzfKHz 12||9 << (B) το )(tx είναι πραγματικό με μετασχηματισμό Fourier )( fX μη μηδενικό μόνο για

KHzfKHz 22||18 <<

Υπόδειξη Aν το εύρος ζώνης του ζωνοδιαβατού σήματος είναι 12 ffB −= , η κεντρική συχνότητα είναι

1 2

2cf ff +

= , ισχύει ότι 2Bfc > και η τιμή της συχνότητας 2f είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του

εύρους ζώνης Β, τότε η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας μπορεί να είναι Bf s 2= . Ακόμη και σε περιπτώσεις που ισχύουν όλες οι άλλες συνθήκες αλλά η τιμή της συχνότητας 2f δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του εύρους ζώνης Β, η συχνότητα δειγματοληψίας μπορεί να είναι μικρότερη της συχνότητας δειγματοληψίας του Nyquist. ΛΥΣΗ (Α) Βήμα 2 Το εύρος ζώνης του σήματος είναι KHzKHzKHzffB 391212 =−=−= και BKHzf 4122 == ,

άρα ακέραιο πολλαπλάσιο του B, οπότε η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας θα είναι KHzBf s 62 ==

Η συχνότητα δειγματοληψίας του Nyquist είναι , 22 24s Nyquistf f KHz= =

Page 52: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

52 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

(Β) Βήμα 2 Το εύρος ζώνης εδώ είναι KHzKHzKHzffB 4182212 =−=−= , ενώ KHzf 222 = , δηλαδή

δεν αποτελεί ακέραιο πολλαπλάσιο του B. Παίρνουμε ⎣ ⎦ 5/2 =Bf και ορίζουμε

KHzKHzfB 4.45/225/' 2 === , έτσι ώστε η τιμή της 2f να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του νέου

εύρους ζώνης Β’. Έτσι η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι KHzBf s 8.8'2 ==

Η συχνότητα δειγματοληψίας του Nyquist είναι , 22 44s Nyquistf f KHz= =

[ΘΕΜΑ 1-2Η ΕΡΓΑΣΙΑ 2005-2006] α) Έστω το σήμα x(t) με μετασχηματισμό Fourier X(f) ο οποίος είναι:

8 0,01 0 400

( )400

f f HzX f

f Hz− ≤ ≤⎧

= ⎨ 4 >⎩

και X(-f)=X(f). Σχεδιάστε το φάσμα του σήματος. Μπορεί το x(t) να ανακτηθεί πλήρως μετά από δειγματοληψία, και αν ναι, ποια είναι η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας; β) Επαναλάβετε το ερώτημα (α) αν το x(t) έχει μετασχηματισμό Χ(f)

4 0,01 0 400( )

400f f Hz

X ff Hz

− ≤ ≤⎧= ⎨ 0 >⎩

και X(-f)=X(f). ΛΥΣΗ α)

Βήμα 2

Όχι, διότι δεν είναι σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης. β)

Βήμα 2

4

8

-400 Hz 400 Hz

Page 53: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

53 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Ναι, διότι είναι σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης. Η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι 800 Hz.

[ΘΕΜΑ 5-2Η ΕΡΓΑΣΙΑ 2005-2006] Να υπολογίσετε τη συχνότητα Nyquist για τα παρακάτω σήματα (α) ( )2( ) sin 100y t c tπ=

(β) ( ) ( )( ) sin 100 sin 50f t c t c tπ π= +

(γ) ( ) ( )2( ) sin 70 sin 50z t c t c tπ π= +

ΛΥΣΗ

Βήματα 2,3 (α) Με βάση την Άσκηση Αυτοαξιολόγησης του Βιβλίου 2.4 και της ιδιότητα της συμμετρίας θα

έχουμε (εφόσον sin( )sinc( ) xx

π= )

1sin ( )

2c Wt rect

W Wωπ

⎛ ⎞↔ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Επομένως η μέγιστη συχνότητα ενός τέτοιου σήματος δίνεται από την ακόλουθη σχέση

max 2 max max2

WW f W fω π π π= ⇒ = ⇒ = .

Στην περίπτωση που πολλαπλασιάζουμε δύο σήματα στο πεδίο της συχνότητας τότε ισχύουν τα ακόλουθα

(Εργασία 2 ΠΛΗ22 Έτος 2003-2004) Αν Ya(t) = Xa2(t) = Xa(t) Xa(t) τότε Ya_Fourier (j w) = 1/(2π) Xa_Fourier(j w) * Xa_Fourier(j w) , όπου * η πράξη της συνέλιξης γνωστή από τα τυπολόγια Fourier (π.χ πίνακας Α.1 Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier στο βιβλίο Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Hwei P. Hsu, σειρά Schaum, εκδόσεις Τζιόλα, που έχει συσταθεί για το μάθημα ως επιπλέον βοήθημα).

Δηλ. Ya_Fourier(jw) = 1/(2π) dzzwjFourierXajzFourierXaz∫+∞

−∞=− ))((_)(_ Δεδομένου τώρα

ότι ισχύει Xa_Fourier (j w) = 0 για |w| > w0 ως σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης (θεώρημα Nyquist) θα είναι : Xa_Fourier (jz) =0 για |z| > w0 και Xa_Fourier (j(w-z)) =0 για |w-z| > w0. Κατά συνέπεια πρέπει Ya_Fourier (jw)=0 με |z| > w0 και |w-z| > w0. Δεδομένου ότι |w-z| >= |w|-|z| => Αν |w|-|z| >= w0 τότε ξασφαλίζεται ότι |w-z| > w0 και επομένως το αρχικό σύστημα ανισώσεων θα ικανοποιείται πλήρως αν αντικατασταθεί από το |w|-|z| >= w0 και |z| > w0. Από το νέο σύστημα ανισώσεων προκύπτει: |w|>=|z|+ w0 => |w| > 2 w0. To αποτέλεσμα είναι σαφές: Ya_Fourier (jw)=0 με |w| > 2 w0. Αρα η μέγιστη συχνότητα του σήματος διπλασιάζεται και άρα και η αντίστοιχη συχνότητα Nyquist

4

400 Hz -400 Hz

Page 54: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

54 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Με βάση τα παραπάνω θα ισχύει 100 100max 100

2 2f Hzπ π π= + =

Αρα η συχνότητα Nyquist ισούται με 200π Hz Εναλλακτική Λύση: Βήματα 2,3 Γνωρίζουμε από την 5η άσκηση της 1ης γραπτής εργασίας (2005) ότι

( ) ( )| |1 , | | MF 2( ) ƒ = sin ƒ

0 , | |

⎧⎪⎪ ⎯⎯⎯⎯→⎨⎪⎪⎩

− ≤=

t t aax t X a c at a

Άρα μέσω της ιδιότητας δυϊσμού θα ισχύει και το παρακάτω:

( ) ( )| |1 , | |2 MF( ) sin t ƒ =

0 , | |

⎧⎪⎪⎯⎯⎯⎯→ ⎨⎪⎪⎩

− ≤=

f f aax t a c a Xf a

Εδώ α=100π, συνεπώς fmax = 100πHz και η συχνότητα Nyquist ισούται με 200π Hz. (β)

( ) sinc(100 ) sinc(50 )

( ) sinc(100 ) sinc(50 )f t t t

F j t tπ π

ω π π= +

⇒ = ℑ + ℑ

Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το άθροισμα δύο σημάτων στο πεδίο του χρόνου. Η μέγιστη συχνότητα προκύπτει από τη μέγιστη συχνότητα των δύο σημάτων

100 50max max , 50

2 2f zπ π π⎧ ⎫= = Η⎨ ⎬

⎩ ⎭

Άρα η συχνότητα Nyquist ισούται με 100πHz (γ) Συνδυάζοντας τις λύσεις από τις λύσεις των προβλημάτων 1 και 2 έχουμε

70 50 50max max , 502 2 2

f zπ π π π⎧ ⎫= + = Η⎨ ⎬⎩ ⎭

Άρα η συχνότητα Nyquist ισούται με 100π Hz

Σημείωση: Αν εναλλακτικά θέσουμε sin( )sinc( ) xx

x= (ορισμός που εξίσου υπάρχει στη

βιβλιογραφία), τότε ισχύει sin ( )2

c Wt rectW Wπ ω⎛ ⎞↔ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Page 55: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

55 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Επομένως η μέγιστη συχνότητα ενός τέτοιου σήματος δίνεται από τη σχέση

max 2 max max2WW f W fω ππ

= ⇒ = ⇒ =

οπότε οι απαντήσεις θα είναι οι ακόλουθες

(α)100 100max 100 200

2 2 sf Hz f Hzπ ππ π

= + = ⇒ =

(β) 100 50max max , 50 100

2 2 sf z f Hzπ ππ π

⎧ ⎫= = Η ⇒ =⎨ ⎬⎩ ⎭

(γ) 70 50 50max max , 50 1002 2 2 sf z f Hzπ π ππ π π

⎧ ⎫= + = Η ⇒ =⎨ ⎬⎩ ⎭

[ΘΕΜΑ 5-2006-2007 2η εργασια] Πραγματοποιείται ιδανική δειγματοληψία του σήματος x(t) = 2 cos(200πt) + 3 cos(360πt) με

συχνότητες δειγματοληψίας fs = 100 Hz, 200Hz και 300 Hz. Αν το δειγματοληφθέν σήμα σε κάθε περίπτωση περάσει από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής 300 Hz να υπολογισθούν οι συνιστώσες συχνότητας που θα εμφανιστούν στην έξοδο για κάθε συχνότητα δειγματοληψίας αφού υπολογισθούν και σχεδιαστούν προηγουμένως τα αντίστοιχα φάσματα. Υποδείξεις:

1. Θεωρείστε ότι η δειγματοληψία με συχνότητα ωs και περίοδο Ts ενός σήματος x(t) εκφράζεται ως

∑∞

−∞=

=n

s txtx Ts)n -δ(t)()( όπου δ(t) η γνωστή κρουστική συνάρτηση, δηλ. η δειγματοληψία

εκφράζεται σαν ακολουθία κρουστικών παλμών. 2. Να λάβετε υπόψη τον ακόλουθο μετασχηματισμό Fourier:

s s1δ(t-n Ts) δ( -n ) δ( - )F

sn n ns

f nfT

ω ω ω∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

←⎯→ =∑ ∑ ∑ , όπου 22s s

s

fTπω π= =

3. Να λάβετε υπόψη την ιδιότητα της συνέλιξης της κρουστικής συνάρτησης

0 0( )* ( - ) ( - )f x x x f x xδ = και του μετασχηματισμού Fourier

1 ( ) ( ) ( ) * ( )2

Fx t y t X Yω ωπ

←⎯→

ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βήματα 2,3 Κατ’ αρχή πρέπει να υπολογισθεί, όπως είναι φανερό ο Μ.Σ Fourier του σήματος δειγματοληφθέντος σήματος με βάση τις παρατηρήσεις της υπόδειξης,

∑∞

−∞=

=n

s txtx Ts)n -δ(t)()( => Μ.Σ Fourier )(txs = Μ.Σ Fourier Ts)n -δ(t)( ∑∞

−∞=ntx = λόγω

ιδιότητας συνέλιξης του μετασχηματισμού (υπόδειξη 3) και υπόδειξης 2 =

=Χ ∑∞

−∞=

)n-δ(*)()2/1( ssn

ωωωωπ =Χ ∑∞

−∞=

)n-δ(*)()2/1( ssn

ωωωωπ λόγω υπόδειξης 3

της ιδιότητας της συνέλιξης της κρουστικής συνάρτησης =

)n-Χ()/1()n-δ(*)Χ()/1( ssss ∑∑∞

−∞=

−∞=

=nn

TT ωωωωω . Επομένως το συμπέρασμα είναι ότι το

Page 56: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

56 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

φάσμα του δειγματοληφθέντος σήματος προκύπτει απλά σαν το άθροισμα των επικαλυπτόμενων φασμάτων )n-Χ( sωω για όλους τους ακέραιους n. Κατά συνέπεια λαμβάνοντας υπόψη το αρχικό σήμα έχουμε,

x(t) = 2 cos(200 π t) + 3 cos(360 π t) => Μ.Σ Fourier x(t) = 2π δ(ω-200π)+δ(ω+200π)+ 3π δ(ω-360π)+δ(ω+360π) ή Μ.Σ Fourier x(t)=½ 2 δ(f-100)+δ(f+100)+ ½ 3δ(f-180)+δ(f+180) αν αναφερόμαστε όχι σε γωνιακή συχνότητα αλλά σε απλή συχνότητα. Επομένως για αυτό το φάσμα αρχικού σήματος το ζητούμενο δειγματοληφθέν ζητούμενο φάσμα είναι

))nf-180(f)nf-180-(f3/2 )nf-100δ(f)nf-100-(f

)n-Χ()n-Χ()/1(

ssss

sss

∑∑∞

−∞=

−∞=

−∞=

+++++

==

ns

ns

n

f

fffT

δδδ

ωω

Χρησιμοποιώντας τον ανωτέρω εξαχθέντα τύπο μπορούμε πλέον να υπολογίσουμε τις ζητούμενες συχνότητες : Άρα για fs =300 Hz και με συχνότητα αποκοπής του βαθυπερατού φίλτρου 300 Hz, με

• n=0 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι -100,100,-180, 180 Hz .

• n=1 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι 200, 120 Hz (οι 400,480 Hz αποκόπτονται)

• n=-1 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι -200, -120 Hz (οι -400,-480 Hz αποκόπτονται)

Συχνότητες δηλ. που περνούν είναι οι 100, 120, 180, 200 Hz και η έκφραση του φάσματος θα είναι:

( ) 3 3( 100) ( 180) ( 220) ( 300)2 2

3 3( 100) ( 180) ( 220) ( 300)2 2

s s s s

s s s s

X f f f f f f f f f

f f f f f f f f

δ δ δ δ δ

δ δ δ δ

= + + + + + + + +

+ − + − + − + −

Άρα για fs =200 Hz και με συχνότητα αποκοπής του βαθυπερατού φίλτρου 300 Hz, με

20 100 120 180 200 280 300220-20-100-120-180-200-280-300 -220 -20-100-120-180-200-280-300 -220

3fs /2

fs

Page 57: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

57 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

• n=0 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι -100,100,-180, 180 Hz ,

• n=1 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι 100, 300, 20 Hz (η 380 Ηz αποκόπτεται)

• n=-1 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι -100, -300, -20 Hz (η -380 Ηz αποκόπτεται)

• n=2 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι 300, 220 Hz (οι 500 ,580 αποκόπτονται)

• n=-2 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι -300, -220 Hz (οι -500 ,-580 αποκόπτονται)

Συχνότητες δηλ. που περνούν είναι οι 20, 100, 180, 220, 300 Hz και η έκφραση του φάσματος θα είναι:

( ) 3 3 3( 20) 2 ( 100) ( 180) ( 220) 2 ( 300)2 2 2

3 3 3( 20) 2 ( 100) ( 180) ( 220) 2 ( 300)2 2 2

s s s s s

s s s s s

X f f f f f f f f f f f

f f f f f f f f f f

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ

= + + + + + + + + + +

− + − + − + − + −

Άρα για fs =100 Hz και με συχνότητα αποκοπής του βαθυπερατού φίλτρου 300 Hz, με

• n=0 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι -100,100,-180, 180 Hz ,

• n=1 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι 0, 200, 280, -80 Hz • n=-1 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι 0, -200, -280, 80

Hz • n=2 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι 100, 300, 20 Hz

(η 380 Ηz αποκόπτεται) • n=-2 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι -100, -300, -20 Hz

(η -380 Ηz αποκόπτεται) • n=3 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι 200, 120 Hz (οι

400,480 Hz αποκόπτονται) • n=-3 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι -200, -120 Hz (οι

-400,-480 Hz αποκόπτονται) • n=4 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι 300, 220 Hz (οι

500 ,580 αποκόπτονται) • n=-4 οι συνιστώσες του φάσματος συχνοτήτων που δεν αποκόπτονται είναι οι -300, -220 Hz (οι

-500 ,-580 αποκόπτονται)

20 100 120 180 200 280 300220-20-100-120-180-200-280-300 -220 -20-100-120-180-200-280-300 -220

3fs /2

2fs

Page 58: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

58 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Συχνότητες δηλ. που περνούν είναι οι 0, 20,80,100, 120, 180,200, 220, 280, 300 Hz και η έκφραση του φάσματος θα είναι:

( ) 3 3 32 ( ) ( 20) ( 80) 2 ( 100) ( 120)2 2 2

3 3 3( 180) 2 ( 200) ( 220) ( 280)2 2 22 ( 300)

3 3 3( 20) ( 80) 2 ( 100) ( 120)2 2 2

3 3( 180) 2 ( 200)2

s s s s s

s s s s

s

s s s s

s s

X f f f f f f f f f f f

f f f f f f f f

f f

f f f f f f f f

f f f f

δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ

δ

δ δ δ δ

δ δ

= + + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ +

+ − + − + − + − +

− + − +3( 220) ( 280)

2 22 ( 300)

s s

s

f f f f

f f

δ δ

δ

− + − +

[ΘΕΜΑ 2-Εξετασεις 2006 Β] -Α) Έστω ένα σήμα xα(t) με μετασχηματισμό Fourier:

( ) 2 8800

fX f triα⎛ ⎞= + ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

, όπου

1 ,

0,

xx ax xtri a

a a x a

⎧− <⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Λ = ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ >⎩

Μπορεί το xα(t) να ανακτηθεί πλήρως μετά από δειγματοληψία, και αν ναι, ποια είναι η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας; Β) Να επαναλάβετε το ερώτημα (α) για ένα σήμα xβ(t) με μετασχηματισμό Fourier:

( ) 2 81600 800

f fX f rect triβ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, όπου

20 100 120 180 200 280 300220-20-100-120-180-200-280-300 -220 -20-100-120-180-200-280-300 -220

3fs /2

2fs

80-80

Page 59: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

59 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

1, 2

0, 2

axx xrectaa a x

⎧ <⎪⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= Π = ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ >

⎪⎩

Γ) Να υπολογίσετε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier του Xβ(f) (Σημείωση: Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χωρίς απόδειξη τις ιδιότητες των μετασχηματισμών Fourier και τους μετασχηματισμούς Fourier χαρακτηριστικών σημάτων από πίνακες.) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Βήμα 2

Όχι, διότι δεν είναι σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης. Β) Βήμα 2

10

2

0-800 800 f(Hz)

10

2

0-800 800 f(Hz)

Ναι, διότι είναι σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης. Η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι 1600 Hz. Γ) Βήμα 3 Είναι

( ) 2 81600 800

f fX f rect triβ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Γνωρίζουμε από ιδιότητες ΜΣ Fourier ότι

2

10

-800 Hz 800 Hz

Page 60: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

60 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

( ) ( )

( )

( )

( )

sinc

1sinc 16001600 1600

1600 sinc 16001600

2 1600 sinc 1600 21600

F

F

F

F

t rect f

ft rect

ft rect

ft rect

←⎯→ ⇒

⎛ ⎞←⎯→ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ ←⎯→ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ ⋅ ←⎯→ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

και

( ) ( )

( )

( )

( )

2

2

2

2

sinc

1sinc 800800 800

800 sinc 800800

8 800 sinc 800 8800

F

F

F

F

t tri f

ft tri

ft tri

ft tri

←⎯→ ⇒

⎛ ⎞←⎯→ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⋅ ←⎯→ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ ⋅ ←⎯→ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα, ( ) ( ) ( )22 1600 sinc 1600 8 800 sinc 800x t t tβ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

[ΘΕΜΑ 2- ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007Α] Δίνεται το σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης ( ) ( ) ( )sinc , όπου 1x t a at a= ⋅ > . Το σήμα δειγματίζεται

με συχνότητα δειγματοληψίας 10πλάσια της ελάχιστης συχνότητας δειγματοληψίας Nyquist. Στη συνέχεια το δειγματισμένο σήμα διέρχεται από κατάλληλο φίλτρο με κρουστική απόκριση

( ) ( ) ( )sinc , όπου 1h t b bt b= ⋅ > , προκειμένου να ληφθεί το αρχικό σήμα . Ζητούνται τα εξής:

(α) Ο μετασχηματισμός Fourier του σήματος ( )x t , η μέγιστη συχνότητά του και η ελάχιστη συχνότητα

δειγματοληψίας Nyquist. (β) Η έκφραση στο πεδίο του χρόνου του δειγματισμένου σήματος ( ) , 1,2,3,...x n n = .

(γ) Η έκφραση στο πεδίο των συχνοτήτων του φάσματος του δειγματισμένου σήματος ( )X fδ

(δ) Να βρεθεί το πεδίο τιμών του b (συναρτήσει του α) για τις οποίες δεν υπάρχει παραμόρφωση του ανακτώμενου σήματος στην έξοδο του φίλτρου. (Σημείωση: Δίδεται ο μετασχηματισμός Fourier ( ) ( )si nc Ft rect f←⎯→ και υπενθυμίζεται ότι ο

μετασχηματισμός Fourier ενός σήματος με φάσμα X(f) που δειγματίζεται με συχνότητα δειγματοληψίας fs

ισούται με ( ) ( )Χ -s sm

X f f f mfδ

=−∞

= ⎡ ⎤⎣ ⎦∑ .

Επίσης, όπου χρειάζεστε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χωρίς απόδειξη τις ιδιότητες των μετασχηματισμών Fourier και τους μετασχηματισμούς Fourier χαρακτηριστικών σημάτων από πίνακες) ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(α) Βήμα 3

Page 61: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

61 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Από πίνακες ΜΣ Fourier, ( ) ( )

( )

( )

sin

1sin

sin

F

F

F

c t rect f

fc at recta a

fa c at recta

←⎯→ ⇔

⎛ ⎞⇔ ←⎯→ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⇔ ←⎯→ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Μέγιστη συχνότητα του σήματος: max 2af = Hz.

Άρα η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι ,minsf a= Hz.

και η συχνότητα δειγματοληψίας της άσκησης είναι ,min10 10s sf f a= ⋅ = Hz.

(β) Βήμα 1

Η περίοδος δειγματοληψίας της άσκησης είναι 1 1

10ss

Tf a

= = sec.

Άρα, το δειγματισμένο σήμα στο πεδίο του χρόνου θα γράφεται:

( ) ( ) 1sinc sinc sinc , 0,1,2,...10 10

st nT

snx n a a nT a a n a n

a

→ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(γ) Βήμα 3 Τo ζητούμενο φάσμα του δειγματισμένου σήματος θα ισούται με:

( ) ( ) -Χ -

- 1010

ss s s

m m

m

f mfX f f f mf f recta

f m aa recta

δ

∞ ∞

=−∞ =−∞

=−∞

⎡ ⎤⎛ ⎞= = =⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⋅⎡ ⎤⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∑ ∑

(δ) Βήμα 3 Ο ΜΣ Fourier της κρουστικής απόκρισης του φίλτρου είναι:

( ) ( )

( )

( )

( )

sinc

1sinc

sinc

F

F

F

t rect f

fbt rectb b

fb bt rectb

fH f rectb

←⎯→ ⇔

⎛ ⎞⇔ ←⎯→ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⇔ ←⎯→ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

δηλ. το φίλτρο έχει συχνότητα αποκοπής 2cutoffbf = Hz.

Για να μην έχουμε παραμόρφωση (δηλ. το αρχικό σήμα να ανακτάται πλήρως) θα πρέπει η συχνότητα αποκοπής του φίλτρου να βρίσκεται μεταξύ της μέγιστης συχνότητας του σήματος και της ελάχιστης συχνότητας των όρων για 1m = ± , δηλαδή:

max max

10 20 192 2 2

cutoff sf f f f

a b aa a b a a a b a

≤ ≤ − ⇔

⇔ ≤ ≤ − ⇔ ≤ ≤ − ⇔ ≤ ≤

Page 62: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

62 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

[ΘΕΜΑ 3- ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007Β] Έστω το σήμα x(t) με μετασχηματισμό Fourier X(f):

)(2)(8)(10)( ααα +−+−−+= fufufufX , όπου α >0, (Hz).

(α) Μπορεί το x(t) να ανακτηθεί πλήρως μετά από δειγματοληψία, και αν ναι, ποια είναι η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας? (β) Το X(f) περνά από ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με συχνότητα αποκοπής α Hz. Μπορεί το x(t) να ανακτηθεί πλήρως μετά από δειγματοληψία, και αν ναι, ποια είναι η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας? Υπόδειξη:

( ) 00

0

1, όταν 00, όταν 0

x xu x x

x x− >⎧

− = ⎨ − <⎩

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

(α) Βήμα 2

Όχι, διότι δεν είναι σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης. (β) Βήμα 2 Το ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο κόβει ο,τιδήποτε έξω από τα ±α Hz, οπότε το αποτέλεσμα θα είναι ένα σήμα περιορισμένο στα ±α Hz.

Επομένως το x(t) θα μπορεί να ανακτηθεί πλήρως μετά από δειγματοληψία και η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας είναι 2α Hz.

α 0 α f(Hz)

10

2

X(f)Η(f)

α 0 α f(Hz)

10

2

X(f)Η(f)

12

α 0 α f(Hz)

10

2

X(f)Η(f)

α 0 α f(Hz)

10

2

X(f)Η(f)

12

-α 0 α f(Hz)

10

2

X(f)

-α 0 α f(Hz)

10

2

X(f)

12

Page 63: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

63 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

ΙΙΙ. ΚΒΑΝΤΙΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ, ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ PCM ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΕΛΤΑ

ΙΙΙ. Μεθοδολογία

• Βήμα 1. Ανάλυση του σήματος στο πεδίο χρόνου η πεδίο συχνοτήτων, ώστε να υπολογισθούν βασικά μεγέθη του όπως πλάτη, συχνότητες, συχνότητα διεγματοληψίας Nyquist. Εκτίμηση του εύρους του πεδίου των τιμών του σήματος. • Βήμα 2. Ανάλυση των σημείων, ζωνών και διαστημάτων κβάντισης, είτε στο πεδίο του χρόνου είτε στο πεδίο συχνοτήτων, όπου ζητείται. Αναλυτικός υπολογισμός βήματος κβάντισης, αριθμού σταθμών κβάντισης. Υπολογισμών σφαλμάτων κβάντισης βάσει των τύπων η μέσω ολοκλήρωσης συγκεκριμένων συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας. • Βήμα 3. Υπολογισμός θορύβου κβάντισης και απαιτούμενων bits κωδικοποίησης βάσει κλειστών τύπων του διδακτικού υλικού • Βήμα 4. Κωδικοποίηση εξόδου κβαντιστή • Βημα 5. Με βάση τα ανωτέρω ευρεθέντα μεγέθη υπολογισμός εύρους ζώνης, είτε ρυθμός μετάδοσης κατά PCM του μεταδιδόμενου σήματος, όταν η άσκηση αφορά PCM διαμόρφωση. • Βημα 6. Στην περίπτωση διαμόρφωσης ΔΕΛΤΑ με βάση τα ανωτέρω ευρεθέντα μεγέθη υπολογισμός της ταχύτητας μεταβολής του σήματος ως προς το διάστημα κβάντισης και την δειγματοληψία προκειμένου να αναγνωρισθεί υπερφόρτωση κλίσης η άλλα μεγέθη που ζητούνται [Θέμα 5b –Εξετάσεις 2003Β]. (b) Το εύρος ζώνης ενός σήματος είναι 4.5 ΜHz. Αν αυτό το σήμα μετατραπεί σε PCM ψηφιακό σήμα με

1024 στάθμες κβαντοποίησης, να προσδιορισθεί ο ρυθμός των bit του σήματος PCM. Να θεωρήσετε οτι πραγματοποιείται δειγματοληψία του σήματος με ρυθμό 20% μεγαλύτερο από το ρυθμό Nyquist

Απάντηση: (b) Βήμα 5 x(t)=cos(8000πt)+cos(8000πt)cos(9000πt)=cos(8000πt)+0,5cos(17000πt)+0,5cos(1000πt) Fmax=8,5 MHz O ρυθμός Nyquist ισούται με fn=2*Fmax=17,0 ΜHz L=1024=>n=log1024=10 bits fs=fn*1,2=17,0*1,2=20,4 MHz R=n*fs=10*20,4 =204 Mbits

[Θέμα 7-Εξετάσεις 2003Β]: Ενα αναλογικό σήμα m(t) έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

f(x)=1-|x|, -1≤x≤1 το σήμα αυτό κβαντίζεται από ένα κβαντιστή που έχει 4 στάθμες κβαντισμού. Καθορίστε τις τάσεις στις οποίες θα πρέπει να τοποθετηθούν οι στάθμες κβαντισμού ώστε να είναι ίσες οι πιθανότητες το m(t) να είναι μεταξύ 2 οποιωνδήποτε παρακείμενων σταθμών ή μεταξύ των ακραίων σταθμών και των ακραίων τάσεων +1 και –1.

Page 64: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

64 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Απάντηση:

Βήμα 1 Σχεδιάζουμε την PDF:

1

-1 1

a bc d

A B

Πρέπει να προσδιορισθούν οι αποστάσεις a, b, c και d. Λόγω της συμμετρίας της PDF, ισχύει a=d και b=c. Βήμα 2 Η πιθανότητα το σήμα να εντοπίζεται στην στάθμη a ισούται με το εμβαδό της PDF από –1 έως –b (δηλαδή το εμβαδόν του χωρίου Α που είναι τρίγωνο). Αντίστοιχα η πιθανότητα το σήμα να εντοπίζεται στην στάθμη b ισούται με το εμβαδόν της PDF από –b έως 0 (δηλαδή με το εμβαδόν του χωρίου Β που είναι τραπέζιο). Το αθροιστικό εμβαδόν των Α και Β ισούται με ½. Ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: a ba f b

b f b

+ =−

=

− +=

1

2141

214

* ( )

* ( ( ) )

Απ’όπου προκύπτει ότι a=0.707 και b=0.292.

[ΘΕΜΑ 3 2002-2003 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ] 1. Έστω ένα ακουστικό σήμα με φσματικές συνιστώσες που οριοθετούνται στην ζώνη συχνοτήτων από

300 μέχρι 3300 Ηz. Παράγεται σήμα PCM με ρυθμό δειγματοληψίας 8000 δειγμάτων/sec. Ο απαιτούμενος λόγος σήματος πρός θόρυβο κβαντοποίησης είναι 30 dB. (a) Ποιος είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός σταθμών ομοιόμορφης κβαντοποίησης και ποιος

είναι ο ελάχιστος απαιτούμενος αριθμός bit ανά δείγμα (b) Να υπολογισθεί το ελάχιστο απαιτούμενο εύρος ζώνης συχνοτήτων του συστήματος (c) Να επαναληφθούν τα (a), (b) όταν χρησιμοποιηθεί compander με συντελεστή μ=255

2. Σύστημα διαμόρφωσης δέλτα είναι σχεδιασμένο να λειτουργεί με ρυθμό τριπλάσιο του ρυθμού Nyquist για σήμα με εύρος ζώνης συχνοτήτων 3 kHz. Το βήμα κβαντοποίησης είναι 250 mV. (a) Να αποδειχθεί οτι για ημιτονοειδούς σήματος εισόδου x(t)=Acos(ωt) θα έχουμε παραμόρφωση

κλίσης αν Α>(Δ/ωΤs) όπου fs=1/Ts είναι η συχνότητα δειγματοληψίας και Δ το βήμα κβαντοποίησης.

(b) Να προσδιορισθεί το μέγιστο πλάτος ημιτονοειδούς σήματος εισόδου με ω=1kHz για το οποίο ο διαμορφωτής δέλτα δεν παρουσιάζει υπερφόρτωση κλίσης

ΛΥΣΗ ΠΡΩΤΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ (α) Βήμα 2

Page 65: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

65 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Το βήμα Δ ισούται με LΑ

=Δ2

Βήμα 3

Αντικαθιστώντας στην σχέση της σελίδας 122 έχουμε 2

22

312 LEq

Α=

Δ=

Από την άσκηση αυτοαξιολόγηση 4.7 έχουμε

[ ]( )

2

22

22

23

3

2 L

LA

A

ExSNRq

==Ε

=

[ ]2

22 AxE = Άσκηση αυτοαξιολόγησης 3.4 σελίδας 186

Αν αυτό εκφρασθεί σε dB έχουμε: LNSSNR log2076,1log10 +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Mε βάση τα δεδομένα έχουμε 1,76+20logL>=30=>logL>=1,412=>L>=25,82 Έτσι ο ελάχιστος αριθμός απαιτούμενων σταθμών ομοιόμορφης κβαντοποίησης είναι 26. Ο ελάχιστος αριθμός bit ανα δείγμα είναι 57,426loglog 22 ==== Ln

ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΤΡΟΠΟΣ ΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Βήμα 2

Το βήμα Δ ισούται με LΑ

=Δ2

. Αντικαθιστώντας στην σχέση της σελίδας 122 έχουμε 2

22

312 LEq

Α=

Δ=

Βήμα 3 Από την άσκηση αυτοαξιολόγηση 4.7 έχουμε

[ ]( )

2

22

22

3

3 L

LA

A

ExSNRq

==Ε

=

[ ]3

22 AxE = Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4.7 σελίδας 198

Αν αυτό εκφρασθεί σε dB έχουμε: LNSSNR log20log10 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Mε βάση τα δεδομένα έχουμε 20logL>=30=>logL>=1,5=>L>=31,15 Έτσι ο ελάχιστος αριθμός απαιτούμενων σταθμών ομοιόμορφης κβαντοποίησης είναι 32. Ο ελάχιστος αριθμός bit ανα δείγμα είναι 532loglog 22 === Ln

Βήμα 5

(β) Το ελάχιστο απαιτούμενο εύρος ζώνης συχνοτήτων είναι

Page 66: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

66 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

KHzfsnf PCM 20800025

2===

Βήμα 3 (γ) Θεωρούμε οτι ισχύει οτι

2,101005.2log301,10log20

1,10log20)256(ln

3log10)]1[ln(

3log10 2

2

2

2

>==>≥=>≥−

=>−==+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

LLL

LLLNS

μ

Έτσι πρέπει να θεωρήσουμε οτι ο ελάχιστος αριθμός σταθμών κβαντοποίησης είναι 102. Άρα θα χρειασθούν n=[logL]=[6.67]=7 στάθμες

KHzfsnf PCM 28800027

2===

2. Βήμα 1 & Βήμα 6 (α) tA

dtdxtAtx ωωω coscos)( −==>=

Για να αναπαραχθεί με ακρίβεια η κυματομορφή εισόδου πρέπει να έχουμε μικρό μέγεθος βήματος, το οποίο πρέπει να συνοδεύεται από μεγάλο ρυθμό δειγματοληψίας. Αυτό μπορεί να εκφρασθεί ως εξής: H κλίση της συνάρτησης x να είναι ίση η μεγαλύτερη από την προσέγγιση της κυματομορφής DM (Δ/Τs). Δηλαδή θα πρέπει να ισχύει:

sdtdx

ΤΔ

≤max

(β) Το μέγιστο πλάτος του ημιτονοειδούς σήματος δίνεται από την παρακάτω σχέση

( ) mVatAdtdx

sss

2,716)10)(3)(2(3102

250 33

max

==ΤΔ

≤=>ΤΔ

≤=>ΤΔ

≤πω

ω

[ΘΕΜΑ 5 2002-2003 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ]

Ας υποθέσουμε οτι το σήμα x1(t) είναι οριοθετημένο σε ζώνη 3,6 kHz και τρία άλλα σήματα x2, x3 και x4 είναι οριοθετημένα σε ζώνη 1,2 kHz. Αυτά τα σήματα πρόκειται να μεταδοθούν με πολύπλεξη διαίρεσης χρόνου. (a) Να δημιουργηθεί ένας τρόπος για να πετύχουμε αυτή την απαίτηση πολύπλεξης όπου η δειγματοληψία

κάθε σήματος πραγματοποιείται με το ρυθμό του Nyquist (b) Ποια θα είναι η ταχύτητα του μεταγωγού (δείγματα ανα sec) (c) Αν η έξοδος του μεταγωγού κβαντοποιείται σε L=1024 στάθμες, ποιος θα είναι ο ρυθμός εξόδου των

bit του κβαντιστή. (d) Να προσδιορισθεί το ελάχιστο εύρος ζώνης συχνοτήτων μετάδοσης του καναλιού

ΛΥΣΗ

Βήμα 1 (α)

Μηνύματα Εύρος ζώνης συχνοτήτων Ρυθμός Nyquist X1 (t) 3,6 KHz 7,2 KHz X2 (t) 1,2 KHz 2,4 KHz

Page 67: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

67 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

X3 (t) 1,2 KHz 2,4 KHz X4 (t) 1,2 KHz 2,4 KHz

O μεταγωγέας θα πρέπει να περιστρέφεται με την ταχύτητα των 2400 περιστροφών ανα sec που αντιστοιχεί στο μικρότερο ρυθμό Nyquist από τα 4 σήματα. Σε μια πλήρη περίοδο, το κάθε πλαίσιο περιλαμβάνει τρία δείγματα από το σήμα x1 (t) και ένα δείγμα από τα σήματα x2 (t), x3 (t) και x4 (t). Βήμα 1 (β) Σε μια πλήρη περίοδο έχουμε Από το σήμα x1 (t)-> 7200 δείγματα / sec Από το σήμα x2 (t)-> 2400 δείγματα / sec Από το σήμα x3 (t)-> 2400 δείγματα / sec Από το σήμα x4 (t)-> 2400 δείγματα / sec Eπομένως ηταχύτητα της εξόδου του μεταγωγού είναι 7200+2400+2400+2400= 14400 δείγματα /sec Βήμα 2

(γ) Έχουμε L=1024 bits= 2n => n=10 bits=> Ταχύτητα εξόδου 10*14400=144 Kbits

Βήμα 5 (δ) Το ελάχιστο εύρος ζώνης προκύπτει από το άθροισμα του εύρους ζώνης συχνοτήτων όλων των σημάτων x1(t), x2(t), x3(t) και x4(t) 3,6ΚHz+1,2KHz+1,2KHz+1,2KHz=7,2 KHz

[ΘΕΜΑ 3 2003-2004 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ] 1. Ένα CD εγγράφει σήματα ήχου ψηφιακά χρησιμοποιώντας PCM. Υποθέστε ότι το εύρος χώνης

είναι 15 KHz. Αν θεωρήσουμε ότι το σήμα είναι το τετράγωνο ημιτόνου μέγιστου πλάτους 1 Volt, οτι τα δείγματα της δειγματοληψίας υφίστανται κβάντιση L=65536 επιπέδων και μετά κωδικοποιούνται σε δυαδική μορφή και ότι τέλος η συχνότητα δειγματοληψίας υπερβαίνει κατά 14 KHz την ελάχιστη απαιτούμενη, τότε να ευρεθεί το ελάχιστο απαιτούμενο εύρος ζώνης για την μετάδοση του κωδικοποιουμένου σήματος.

2. Ένα ημιτονοειδές σήμα m(t) = 2 sin (300π t + π/5) δειγματοληπτείται με ρυθμό 1500 δείγματα / sec. Να ευρεθεί το ελάχιστο βήμα Δ που απαιτείται σε διαμόρφωση Δέλτα για να αποφευχθεί υπερφόρτωση κλίσης.

ΛΥΣΗ 1. Βήμα 1

Nyquist fs = 30000 samples /sec Δ= 1/ 216 = 2-16 Volt αφού, λόγω τετράγωνου ημιτόνου το πλάτος του προκύπτοντος συνημιτόνου είναι

½, άρα το διάστημα είναι ½ - (-1/2) = 1. Δεν είναι απαραίτητο βέβαια να υπολογιστεί το Δ και επομένως η πληροφορία για το πλάτος του σήματος είναι περιττή.

Βήμα 2 Εδώ μας δίνεται καθαρά το L=65536 = 216. Βήμα 5 Προφανώς, πραγματική fs = 44 KHz => Bandwidth = 16 x 44000 /2 = 704000/2 =352 KHz

2. Βήμα 1

fs= 1500 δείγματα / sec => Ts =1/1500

Page 68: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

68 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Βήμα 6 |d m(t) /dt| = 2(300π) cos(300πt + π/5) => |d m(t) /dt|max = 2(300π) Για να αποφευχθεί overload, Δmin = Ts |d m(t) /dt |max = 2π/5

[ΘΕΜΑ 4 2003-2004 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ]

3. Δίδεται σύστημα Δέλτα διαμόρφωσης που λειτουργεί με δειγματοληψία fs και βήμα Δ. Αν η είσοδος του συστήματος είναι m(t) = cos(α) t u(t) τότε να ευρεθεί η τιμή του α για την οποία εμφανίζεται υπερφόρτωση κλίσης.

ΛΥΣΗ Βήμα 1 Γενικά πρέπει να έχουμε υπόψην μας ότι ο συμβολισμός u(t) αναφέρεται στην βηματική συνάρτηση όταν δεν αναφέρεται τίποτε άλλο γι’ αυτήν την συνάρτηση στην εκφώνηση όπως και ότι δ(t) είναι η γνωστή κρουστική συνάρτηση. Παρόλο ότι είναι αυτό γνωστό (δείτε π.χ πίνακας Α.1 Ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier στο βιβλίο Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Hwei P. Hsu, σειρά Schaum, εκδόσεις Τζιόλα, που έχει συσταθεί για το μάθημα ως επιπλέον βοήθημα) θα θεωρήσουμε σωστή και την λύση που θα αναφέρεται σε μία απλά γνωστή συνάρτηση u(t) Βήμα 6 Για να αποφευχθεί υπερφόρτωση κλίσης πρέπει: Δ >= Ts |d m(t) /dt |max => => Δ fs >= |d m(t) /dt |max (1) Α) Βήμα 1 Περίπτωση 1: u(t) είναι η γνωστή βηματική συνάρτηση u(t) = 1, t>0 και u(t) =0, t<0 και ασυνεχής στο t=0 Τότε η (1) ανωτέρω δίδει: Δ fs >= |d m(t) /dt |max => |d (cos(α) t ) /dt |max <= Δ fs => |cos(α) | <= Δ fs . Άρα για |cos(α) | = Δ fs θα αρχίζει να εμφανίζεται φαινόμενο υπερφόρτωσης κλίσης. Αυτό σημαίνει ότι για α = 2kπ ± cos-1 (Δ fs) και α = 2kπ + π ± cos-1 (Δ fs) θα αρχίζει να εμφανίζεται φαινόμενο υπερφόρτωσης κλίσης. Τελικά οι δύο αυτές περιπτώσεις για το α συγχωνεύονται προφανώς στην α = λπ ± cos-1 (Δ fs), όπου λ ακέραιος αριθμός, που αποτελεί και την ζητούμενη τιμή του α. Β) Βήμα 1 Περίπτωση 2: u(t) είναι απλά μία γνωστή συνάρτηση. Τότε η (1) ανωτέρω δίδει: Δ fs >= |d m(t) /dt |max => |d (cos(α) t u(t)) /dt |max <= Δ fs => => |cos(α) | |u(t)+t du(t)/dt|max <= Δ fs . Προυπόθεση για να υπάρχει λύση σε αυτή την περίπτωση είναι να υπάρχει max |u(t)+t du(t)/dt|. Αυτό συμβαίνει όταν υπάρχει M ώστε |t du(t)/dt| <= M για κάθε t. Συναρτήσεις που ικανοποιούν μία τέτοια σχέση είναι οι u(t) = constant γιατί τότε du(t)/dt =0, αλλά και όλες οι du(t)/dt = M/t, du(t)/dt = Πολυώνυμο (t) [βαθμού του t <=n-3] / Πολυώνυμο (t) [βαθμού του t <=n] etc. Με την προυπόθεση ύπαρξης max |u(t)+t du(t)/dt| δουλεύουμε όπως προηγουμένως δηλ. |cos(α) | |u(t)+t du(t)/dt|max <= Δ fs => |cos(α)| <= Δ fs / |u(t)+t du(t)/dt|max. Άρα για |cos(α) | = Δ fs / |u(t)+t du(t)/dt|max θα αρχίζει να εμφανίζεται φαινόμενο υπερφόρτωσης κλίσης. Όπως και στην περίπτωση 1 ανωτέρω βρίσκουμε τελικά την τιμή του α με τους ίδιους προφανείς συλλογισμούς.

Page 69: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

69 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

[ΘΕΜΑ 5 2003-2004 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ] 1. Πέντε σήματα που το καθένα έχει εύρος ζώνης συχνοτήτων 1 Khz πρόκειται να μεταδοθούν μέσω

δυαδικού PCM με TDM. Το μέγιστο ανεκτό σφάλμα του πλάτους δειγματοληψίας είναι το 0.5% του μέγιστου πλάτους του σήματος. Η δειγματοληψία των σημάτων πραγματοποείται με ρυθμό κατά 20% τουλάχιστον μεγαλύτερο από αυτόν του Nyquist. Λόγοι συγχρονισμού κλπ. απαιτούν την προσθήκη 0.5% επιπρόσθετα bits. Να προσδιοριστεί η ελάχιστη ταχύτητα μετάδοσης δεδομένων και το ελάχιστο εύρος ζώνης για την μετάδοση TDM

2. Σε κάποιο σύστημα υπάρχουν 4 αναλογικά σήματα m1(t)…m4(t). Το εύρος ζώνης συχνοτήτων του m1(t) είναι 3.6 Khz και των υπολοίπων 1.5 KHz. Να βρεθεί κατάλληλος τρόπος για την πραγματοποίηση της TDM σε αυτή την περιπτωση

ΛΥΣΗ 1. Βήματα 1,2 Υποθέτοντας ομοιόμορφη κβάντιση στην PCM και ακολουθώντας τους συλλογισμούς της σελ. 121 του βιβλίου μας έχουμε: Έστω L το πλήθος των σταθμών κβάντισης, mp το μέγιστο πλάτος ενός σήματος (ανάλογα και για τα υπόλοιπα 4 σήματα από τα 5), qe το σφάλμα κβάντισης και Δ το εύρος της ζώνης της ομοιόμορφης κβάντισης. Τότε αφού τα όρια του σήματος είναι -mp <= x(t) <= mp => Δ = 2 mp/L (1) (όπως σελ. 121 βιβλίου). Δεδομένου ότι η τιμή του σήματος x(t) όταν ευρίσκεται εντός μίας συγκεκριμένης στάθμης κβάντισης κβαντίζεται στην τιμή xq(t) που αντιστοιχεί στο μέσο του αντίστοιχου διαστήματος Δ, αυτό σημαίνει ότι το σφάλμα κβάντισης qe μεταβάλλεται τυχαία εντός του διαστήματος –Δ/2 <= qe <=Δ/2. Άρα το μέγιστο ανεκτό σφάλμα του πλάτους δειγματοληψίας που δεν είναι τίποτε άλλο από το μέγιστο σφάλμα κβάντισης είναι (qe)max = Δ/2 = mp/L (λόγω της (1) ) και λόγω της εκφώνησης πρέπει (qe)max = Δ/2 = mp/L <= 0.005 πλάτος mp => L >= 200 και άρα L = 256 = 28. Αριθμός απαιτούμενων bits λοιπόν κανονικά = 8. Τώρα για την Δειγματοληψία ισχύουν: f_Nyquist = 2 x 1000 Hz = 2000 Hz. Αλλά αφού fs =120% x f_Nyquist => fs= 1.2 x 2000 =2400 δείγματα /sec => Συνολικός αριθμός δειγματων για TDM = 5 X (2400) = 12000 δείγματα /sec. Αφού όμως απαιτούνται 0.5% πρόσθετα bits από τα 8 που απαιτούνται κανονικά => (8 + 0.005 x 8) x 12000 bits/sec = 96.48 kbits/sec είναι η ελάχιστη ταχύτητα μετάδοσης που απαιτείται, ενώ το εύρος ζώνης που απαιτείται = (8 + 0.5% 8) x 12000 /2 = 48.29 KHz 2. Βήμα 1

Καταστρώνουμε τον κατωτέρω πίνακα

Αναλογικό Σήμα Εύρος ζώνης συχνοτήτων Συχνότητα Nyquist m1(t) 3.6 KHz 7.2 KHz m2(t) 1.5 KHz 3 KHz m3(t) 1.5 KHz 3 KHz m4(t) 1.5 KHz 3 KHz

Είναι κατανοητό από αυτό τον πίνακα ότι αν ο μεταγωγέας δειγματοληψίας περιστρέφεται με ταχύτητα 3000 περιστροφών ανα sec, τότε σε μία περιστροφή λαμβάνουμε 1 δείγμα από καθένα από τα m2(t), m3(t), m4(t) και θα πρέπει να λαμβάνουμε τουλάχιστον 3 δείγματα από το m1(t) [πράγμα που σημαίνει ότι το δειγματοληπτούμε με συχνότητα μεγαλύτερη εκείνη της Nyquist, που είναι σαφώς επιτρεπτό]

Page 70: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

70 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

γιατί αλλιώς το m1(t) θα εδειγματοληπτείτο με συχνότητα μικρότερη εκείνη της Nyquist πράγμα ανεπίτρεπτο. Τελικά ο μεταγωγέας δειγματοληψίας πρέπει να έχει τουλάχιστον 6 πόλους συνδεδεμένους με τα σήματα.

[ΘΕΜΑ 2-2η ΕΡΓΑΣΙΑ 2004-2005] Πόσα δυαδικά ψηφία (bits) χρειάζονται σε ένα μετατροπέα A/D (αναλογικού σήματος σε ψηφιακό) αν ζητείται ένας λόγος σήματος προς θόρυβο κβαντισμού τουλάχιστο 90 dB; Θεωρούμε ότι το σήμα )(tx έχει

κανονική κατανομή (Gaussian) με διασπορά 2xσ , και ότι η περιοχή λειτουργίας του κβαντιστή εκτείνεται

από xσ3− εώς xσ3 (δηλαδή xX σ3max = , οπότε μόνο ένα δείγμα στα 1000 περίπου υπερβαίνει την

περιοχή λειτουργίας του κβαντιστή).

Υπόδειξη

Για έναν ομοιόμορφο κβαντιστή των (L+1) επιπέδων ή (B+1) bits ( 12BL += ) με σφάλμα κβαντισμού (θόρυβο) ομοιόμορφης κατανομής στο διάστημα [-Δ/2, Δ/2], ο λόγος σήματος προς θόρυβο υπολογίζεται από τη σχέση:

x

XBSNRσ

maxlog2081.1002.6 −+=

Απάντηση Βήμα 3 Για xX σ3max = , η πιο πάνω σχέση γίνεται

27.102.654.981.106.023log2081.1002.6 +=−+=−+= BBBSNR

Για να είναι dBSNR 90= θα πρέπει

74.1402.6

27.190=

−=B

Οπότε ο αριθμός των bits θα πρέπει να είναι B+1=16

Page 71: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

71 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

[ΘΕΜΑ 3 - ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 0 0 5Α ] Έστω το σήμα βασικής ζώνης ( ) 1 cos(100 ) sin(100 )x t t tπ π= + + το οποίο θέλουμε να μεταδώσουμε

ψηφιακά με PCM. Υποθέστε ότι κάνουμε δειγματοληψία με ρυθμό 5 φορές το ρυθμό Nyquist και ότι χρησιμοποιούμε ομοιόμορφη κβάντιση με 4 ζώνες κβάντισης. (Α) Υπολογίστε το απαιτούμενο εύρος ζώνης για τη μετάδοση του PCM σήματος. (Β) Υπολογίστε τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή του σήματος ( )x t και υπολογίστε τις 4 τιμές των σταθμών του κβαντιστή. ΛΥΣΗ (Α) Βήμα 1 Η μέγιστη συχνότητα είναι 50Hz και ρυθμός Nyquist είναι 100 Hz. Συνεπώς η συχνότητα δειγματοληψίας

sf είναι 500 Hz. Το εύρος είναι 21 log 4 5002PCM sB f≥ = Hz.

(B) Βήμα 1 Για να υπολογίσω τα μέγιστα και ελάχιστα πρέπει να βρω που μηδενίζεται η παράγωγος.

100 sin(100 ) 100 cos(100 ) 0 cos(100 ) sin(100 )ddtx t t t tπ π π π π π= − + = ⇒ =

Αφού όμως 2 2sin (100 ) cos (100 ) 1t tπ π+ = προκύπτει ότι στα ακρότατα ισχύει:

22

cos(100 ) sin(100 )t tπ π= = ±

Άρα max 2( ) 1x t = + και min 2( ) 1x t = − .

Βήμα 2 Σύμφωνα με τους τύπους της σελίδας 121, Τόμος Β, τα ix είναι:

2) ( 2) 24 2

(1 1−= =

+ −Δ και

0 1 2x = −

12 2(1 2) 1 2 1

2 2x = − + Δ = − + = −

22 2(1 2) 2 1 2 1

2x = − + Δ = − + =

33 2 2(1 2) 3 1 2 1

2 2x = − + Δ = − + = +

4 1 2x = +

και οι στάθμες είναι:

0 11

31 22 4

x xm

+= = − , 1 2

121

2 4x x

m+

= = − , 2 31

212 4

x xm

+= = + , 3 4

131 2

2 4x x

m+

= = +

[Θεμα 4- ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005 Β] [Δίνεται το σήμα βασικής ζώνης ( ) ( )tttx 332 105sin106cos2)( πππ −−= .

(i) Να σχεδιαστεί το αμφίπλευρο φάσμα πλάτους του x(t). (ii) Να βρεθεί η συχνότητα του x(t) και η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας του.

Page 72: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

72 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

(iii) Το σήμα x(t) πρόκειται να μεταδοθεί ψηφιακά με δυαδικό σύστημα με παλμοκωδική διαμόρφωση PCM και με ρυθμό μετάδοσης στο κανάλι R=36 kbps. Να βρεθεί ο απαιτούμενος αριθμός των σταθμών κβάντισης. (iv) Να βρεθεί η μέση ισχύς του σήματος x(t). Λύση (i) Βήμα 1

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )tt

tttttx33

33332

105sin1012cos1105sin21012cos1105sin106cos2)(

ππ

ππππππ

−+=

=−−+=−−=

Το αμφίπλευρο φάσμα πλάτους είναι το ακόλουθο: (ii) Βήμα 1 Το σήμα αποτελείται από ένα σταθερό όρο και το άθροισμα 2 περιοδικών. Ο λόγος των περιόδων τους

είναι 125

2

1 =TT

, άρα το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο Τ=12T1=5T2=2ms και συχνότητα f=1/T=500 Hz.

Η μέγιστη συχνότητα του σήματος είναι 6kHz, οπότε η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας θα είναι fs,min=12kHz (iii) Βήμα 5

Ισχύει ότι 3

2 2 336 10log log 3 812 10PCM sR f L L L⋅

= ⇒ ≤ = ⇒ =⋅

(iv) Από το φάσμα πλάτους έχουμε WaP k 225.025.0125.025.02 =++++== ∑

[ΘΕΜΑ 4-2006-2007 2η εργασια] (α) Πόσα bits απαιτούνται για κωδικοποίηση PCM (με ομοιόμορφη κβάντιση), για την μετάδοση αναλογικού σήματος με μέγιστο σφάλμα κβάντισης 1% του εύρους peak-to-peak του σήματος; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Βήματα 1, 2 Αν το εύρος peak-to-peak του σήματος είναι Vpp, και ο κβαντιστής έχει L στάθμες και εύρος ζώνης κβάντισης Δ, τότε το μέγιστο σφάλμα ισούται με Δ/2. Από την εκφώνηση όμως, θα πρέπει να ισχύει 0.01 Vpp = Δ/2, ενώ επίσης ισχύει Vpp = LΔ. Από τις δύο σχέσεις προκύπτει 0.01 LΔ=Δ/2 =>L=1/0.02 => L=50. Επειδή 32 < L=50 < 64 (26), χρειάζονται 6 bits.

0 2.5 6-6 -2.5 kHz

1

0.5

Volt

0 2.5 6-6 -2.5 kHz

1

0.5

Volt

0 2.5 6-6 -2.5 kHz

1

0.5

Volt

0 2.5 6-6 -2.5 kHz

1

0.5

Volt

Page 73: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

73 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

ΙV. ΨΗΦΙΑΚΗ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ

ΙV. Μεθοδολογία

• Βήμα 1. Ανάλυση σε bits της δυαδικής ακολουθίας • Βήμα 2. Κωδικοποίηση του κάθε τέτοιου bit με βάση τον ζητούμενο τύπο κωδικοποήσης • Βήμα 3. Σχεδιασμός του γραφήματος και εξαγωγή παρατηρήσεων βάσει του τύπου της κωδικοποίησης και του τύπου της δυαδικής ακολουθίας • Βήμα 4. Αν ζητείται η μετάδοση στην συνέχεια του σήματος, αναγνώριση όλων των ποσοτήτων που υπεισέρχονται στον τύπο του Shannon για την χωρητικότητα του καναλιού. • Βήμα 5. Εφαρμογή του τύπου του Shannon με προσοχή στο πως υπολογίζεται το SNR σε dB. Εύρεση της χωρητικότητα του καναλιού σε bps.

[ΘΕΜΑ 4 2002-2003 -2η ΕΡΓΑΣΙΑ]

4. Έστω οτι έχουμε τη δυαδική ακολουθία 0100101. Να σχεδιασθούν οι κυματομορφές για τις παρακάτω μορφοποιήσεις κωδικοποίησης

(a) Μονοπολική μη επαναφορά στο μηδέν-NRZ (b) Διπολική επαναφορά στο μηδέν-RZ (c) Αντιστροφή εναλλασσόμενου σημείου με επαναφορά στο μηδέν

2. Να εξετάσετε τα πλεονεκτήματα και τα μειονεκτήματα των τριών παραπάνω τρόπων κωδικοποίησης 3. Έστω οτι έχουμε δυαδική ακολουθία από σύμβολα ‘1’ (5 το πλήθος) που ακολουθούνται από ένα ‘0’

και ύστερα από μια ακολουθία από ‘1’ (5 το πλήθος). Δηλαδή η ακολουθία είναι της μορφής ‘11111011111’. Να σχεδιασθούν οι κυματομορφής αυτής της ακολουθίας με χρήση των παρακάτω τρόπων κωδικοποίησης (a) Διπολικής μη επαναφοράς στο μηδέν-NRZ (b) Κωδικοποίησης Manchester (c) Κωδικοποίησης ΑΜΙ

ΛΥΣΗ

1. Βήματα 1,2,3 Οι ζητούμενες κυματομορφές δίνονατι στο παρακάτω σχήμα

0 1 0 0 1 0 1 Δυαδική Ακολουθία

Unipolar NRZ

Bipolar RZ

AMI RZ

2. Βήμα 3.

Page 74: ΕΑΠ 22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ …p-comp.di.uoa.gr/eap/EDY-DIGICOMMS-2-281008.pdf · ΕΑΠ / ΘΕ ΠΛΗ22 ΒΑΣΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ

ΕΑΠ/ΠΛΗ22

Εναλλακτικό Διδακτικό Υλικό Ψηφιακές Επικοινωνίες (DRAFT)

74 από 74

© Δημήτριος Α. Καρράς 28-05-2008

Η κωδικοποίηση Unipolar ΝRZ είναι απλή στην υλοποίηση. Έχει τα παρακάτω μειονεκτήματα: Δεν υπάρχουν μεταβάσεις για μεγάλες σε διάρλεια ακολουθιών 0 ή 1. Ετσι είναι δύσκολο να ανακτήσουμε πληροφορίες συγχρονισμού. Επιπλέον δεν υπάρχει τρόπος ανίχνευσης σφάλματος στην ακολουθία παλμών. Η κωδικοποίηση Bipolar RZ εγγυάται την διαθεσιμότητα πληροφοριών συγχρονισμού, αλλά δεν έχει την δυνατότητα ανίχνευσης φασμάλτων. Η κωδικοποίηση ΑΜΙ έχει την δυνατότητα ανίχνευσης σφαλμάτων σε περίπτωση λήψης δύο διαδοχικών παλμών με την ίδια πολικότητα

3. Βήματα 1,2,3 Η κυματομοργή που ζητείται δίνεται στο παρακάτω σχήμα

1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Δυαδική Ακολουθία

Unipolar NRZ

Manchester

AMI RZ

ΘΕΜΑ 2-2004 5Η ΕΡΓΑΣΙΑ Υποθέστε ότι μεταφέρεται ψηφιοποιημένη τηλεοπτική εικόνα από μία πηγή η οποία χρησιμοποιεί ανάλυση 480 x 500 pixels και για κάθε pixel η χρωματική πληροφορία μπορεί να πάρει 32 διαφορετικές τιμές έντασης. Στη διάρκεια του δευτερολέπτου μεταδίδονται 30 πλαίσια.

1. Βρείτε το ρυθμό, R, μετάδοσης της πηγής. 2. Αν η τηλεοπτική εικόνα μεταδοθεί σε κανάλι εύρους ζώνης 4.5 MHz με signal-to-noise ratio 35

dB, να βρείτε την χωρητικότητα του καναλιού σε bps. Απάντηση

1. Βήμα 5 προηγούμενης ενόητας κβάντισης/PCM Το συνολικό πλήθος των pixels ανά πλαίσιο είναι 480*500 =240000. Λαμβάνοντας υπόψη και τις 32 διαφορετικές τιμές χρωματικής πληροφορίας έχουμε 5*240000 bits/frame =1200000 bits/frame. Έτσι, σε 1 sec μεταδίδονται 30 πλαίσια και επομένως R=30*1200000 bits =36000000bits = 36Mbps .

2. Βήμα 5

Έχουμε

27,316210NS5,3)

NS(log35)

NS(log10SNR 5,3

1010 ≈=⇒=⇒==

Επομένως,

.32,52627,11*10*5,4sec/ )27,31621(log5,4 62 MbpsbitsC ≈=+=