Μαθηματικά Ε΄.2.13. ΄΄Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο με...

eva-edu

Κεφάλαιο 13 Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό

Διάβασε πως κάνουμε τη διαίρεση ακέραιου με ακέραιο αριθμό και μετά κάνε τη διαίρεση 6 : 5

1. Tο 4 χωράει στο 5 μία (1) φορά

και μένει υπόλοιπο 1.

2. Eπειδή το 4 δε χωράει στο 1,

βάζω πίσω από το 1 ένα μηδενικό

και μετά βάζω υποδιαστολή στο

πηλίκο.

3. Tο 4 στα 10 δέκατα χωράει 2

φορές και μένει υπόλοιπο 2 δέκατα.

4. Eπειδή το 4 δε χωράει στο 2, μετατρέπω τα 2 δέκατα σε 20

εκατοστά.

5. Tο 4 στο 20 χωράει 5 φορές

ακριβώς.

Διαιρετέος διαιρέτης

30 5

- 30 0, 6 πηλίκο

00

Κάνε τη διαίρεση

Διαιρετέος διαιρέτης

4 5

πηλίκο

Όταν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από τον διαιρετέο τότε

βάζω 0 στο πηλίκο και υποδιαστολή ( , ). Μετά βάζω και 0

στον διαιρετέο και συνεχίζω τη διαίρεση

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής σελ. 1

Xristos

Πλαίσιο κειμένου

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής

eva-edu

289,5 : 10 = 28,95 751,8 : 10 = .....................................

289,5 : 100 = 2,895 751,8 : 100 = ....................................

289,5 : 1.000 =0,2895 751,8 : 1.000 =...................................

Λύσε το πρόβλημα

Η γιαγιά μου έβαλε 30 λίτρα λάδι σε 4 μπουκάλια. Πόσα λίτρα λάδι έχει κάθε ένα δοχείο;

Σκέψου τι πράξη πρέπει να κάνεις + - x :

Τι θα κάνω για να βρώ από τα πολλά το ένα; Θα κάνω ......................................................

Κάνε την πράξη

Για να διαιρέσω έναν δεκαδικό αριθμό με το 10, το 100 ή το 1.000 μετράω πόσα μηδενικά έχει το 10, το 100, το 1.000 και βάζω την

υποδιαστολή προς τα του αριθμού τόσες φορές όσα

είναι τα μηδενικά

Αν δεν έχω άλλο αριθμό να βάλω την υποδιαστολή βάζω μηδενικά

στην αρχή


Δημιουργία υλικού: Παύλος Κώτσης (Δάσκαλος)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕ ΠΗΛΙΚΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ

Πέρσι μάθαμε να κάνουμε

διαιρέσεις που αφήνουν ή δεν

αφήνουν υπόλοιπο και

σταματούσαμε εκεί. Άκουσα όμως

ότι μπορούμε και να συνεχίζουμε

μια διαίρεση που αφήνει

υπόλοιπο. Πώς γίνεται αυτό;

Πέρσι κάναμε τη διαίρεση 14 : 8 ως εξής

Τώρα όμως μαθαίνουμε ότι μπορούμε να συνεχίσουμε. Δες δίπλα πώς γίνεται…

Θυμάσαι που λέγαμε στη Δ’ τάξη ότι η διαίρεση που δεν αφήνει υπόλοιπο λέγεται τέλεια ενώ εκείνη που αφήνει υπόλοιπο λέγεται ατελής;

Ε, λοιπόν, όταν μια διαίρεση είναι ατελής μπορούμε να τη συνεχίσουμε ως εξής:

Προσθέτουμε το ψηφίο μηδέν στο υπόλοιπο.

Βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο Συνεχίζουμε τη διαίρεση

Εάν προκύψει πάλι νέο υπόλοιπο

ξαναβάζουμε ένα μηδενικό και συνεχίζουμε τη διαίρεση, χωρίς φυσικά να βάλουμε και δεύτερη υποδιαστολή! Τη διαδικασία αυτή την επαναλαμβάνουμε όσες φορές χρειαστεί.

Παραδείγματα κάθετων πράξεων

1 4 8

- 8 1 , 7 5

6 0

- 5 6

4 0

- 4 0

= =

1 2 6 2 4

- 1 2 0 5 , 2 5

6 0

- 4 8

1 2 0

- 1 2 0

= = =

1 4 8

- 8 1

6

Και για να μη ξεχνιόμαστε…

Στη διαίρεση 14 : 8 ο αριθμός 14 (που διαιρείται) λέγεται διαιρετέος, ο αριθμός 8 (που διαιρεί) λέγεται διαιρέτης και ο αριθμός 1,75 (το αποτέλεσμα) λέγεται πηλίκο. Αυτό που περισσεύει (αν περισσεύει) λέγεται υπόλοιπο.



Τι γίνεται αν ο διαιρετέος

είναι μικρότερος του

διαιρέτη; Μπορούμε να

μοιράσουμε, για

παράδειγμα, 2 σοκολάτες σε

8 παιδιά;

Και βέβαια μπορούμε! Σε αυτή την περίπτωση εργαζόμαστε ως εξής:

Βάζουμε ένα μηδενικό στον διαιρετέο

Βάζουμε στο πηλίκο επίσης ένα μηδενικό και υποδιαστολή

Συνεχίζουμε τη διαίρεση


2 8

2 0 8

- 1 6 0 , 2 5

4 0

- 4 0

= =

Υπάρχουν περιπτώσεις όπου, ακολουθώντας τους παραπάνω τρόπους διαίρεσης, βρίσκουμε πηλίκο με πάρα πολλά ψηφία που δεν έχουν τελειωμό.

Για παράδειγμα,

δοκίμασε να κάνεις κάθετα τη διαίρεση 15 : 7 ή τη διαίρεση 11 : 9

Στην πρώτη περίπτωση θα βρεις πηλίκο 2,142857143…………. (με ατέλειωτα ψηφία)

Ενώ στη δεύτερη περίπτωση θα βρεις πηλίκο 1,22222222……… (με ατέλειωτα επίσης ψηφία)

Εάν λοιπόν καταλάβουμε ότι έχουμε να κάνουμε με μια τέτοια διαίρεση, φυσικά σταματάμε σε κάποιο σημείο (συνήθως στα τρία δεκαδικά ψηφία), εκτός αν μας ζητηθεί κάτι διαφορετικό.



Και βέβαια υπάρχει.

Για να διαιρέσουμε έναν αριθμό (φυσικό ή και δεκαδικό) με 10 ή 100 ή 1000 κ.τ.λ. ξαναγράφουμε τον αριθμό και μετακινούμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά τόσες θέσεις όσα είναι και τα μηδενικά του 10 ή του 100 ή του 1000 κ.τ.λ.

Έχουμε μάθει να

πολλαπλασιάζουμε εύκολα

φυσικούς ή δεκαδικούς

αριθμούς με 10 ή 100 ή

1000 κ.τ.λ.

Υπάρχει αντίστοιχα και για

τη διαίρεση κάποιος

παρόμοιος εύκολος τρόπος;

Πρόσεχε! Αν τα δεκαδικά ψηφία είναι λιγότερα από όσα χρειάζεσαι για να μετακινήσεις την υποδιαστολή, τότε πρέπει να συμπληρώσεις με μηδενικά

Παράδειγμα: 6,2 : 100 = 0,062 (σκέφτομαι ότι πρέπει να μεταφέρω την υποδιαστολή του 6,2 δύο θέσεις αριστερά, αφού το 100 έχει δύο μηδενικά. Έχω όμως μία μόνο θέση. Συμπληρώνω, λοιπόν, την άλλη μία με μηδενικό και φυσικά επειδή δεν υπάρχει ακέραιο μέρος, βάζω ακόμα ένα μηδενικό)

Δες παραδείγματα:

964,72 : 10 = 96,472

(αφού το δέκα έχει ένα μηδενικό, μετακινούμε την υποδιαστολή μία θέση αριστερά)

7235 : 100 = 72,35

(εδώ έχουμε να διαιρέσουμε φυσικό με το 100. Ξέρουμε όμως ότι και οι φυσικοί μπορούν να γραφούν ως δεκαδικοί με υποδιαστολή και μηδενικό στο τέλος. Επομένως, ο αριθμός 7235 μπορεί να γραφεί και 7235,0. Στη συνέχεια σκέφτομαι πως, αφού το εκατό έχει δύο μηδενικά, μετακινούμε την υποδιαστολή δύο θέσεις αριστερά)

Νομίζω ότι εδώ δυσκολέψανε λιγάκι τα μαθηματικά, ε; Τι λέτε κι εσείς παιδιά;

Βέβαια, πολύ πιο δύσκολο είναι να κυνηγάει κανείς τους Ντάλτον. Σκαρφίζονται συνέχεια καινούρια κόλπα για να τη γλιτώνουν.

Αν, πάντως, τους δείτε κάπου τριγύρω σφυρίξτε μου και θα έρθω πιο γρήγορα κι από τον ίσκιο μου ακόμα. Χε, χε, χε !!!



ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 – ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΘΕΜΑ

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΕΚΑΔΙΚΟ

ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ Ή ΔΕΚΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΕΚΑΔΙΚΟ

Ωραία! Μάθαμε να κάνουμε

διαίρεση ενός φυσικού αριθμού

με έναν άλλον φυσικό αριθμό.

Τι γίνεται όμως αν ο διαιρετέος

είναι δεκαδικός αριθμός και ο

διαιρέτης φυσικός; Πώς κάνουμε

σε αυτή την περίπτωση διαίρεση;

Πρόσεχε :

Αν σε μια διαίρεση θα πρέπει από την αρχή να χωρίσεις το πρώτο δεκαδικό ψηφίο, τότε θα πρέπει και να βάλεις από την αρχή στο πηλίκο υποδιαστολή (μαζί με το μηδέν φυσικά για ακέραιο μέρος).

Δες δίπλα το παράδειγμα με τη διαίρεση 8,4 : 42

Σε αυτή την περίπτωση ξεκινάμε τη διαίρεση κανονικά, σαν να πρόκειται για φυσικούς αριθμούς.

Μόλις όμως φτάσουμε στο σημείο να κατεβάσουμε το πρώτο δεκαδικό ψηφίο τότε βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο και συνεχίζουμε κανονικά τη διαίρεση


1 2 4 , 5 5

- 1 0 2 4 , 9

2 4

- 2 0

4 5

- 4 5

= =

8 , 4 4 2

- 8 4 0 , 2

= =



Έχουμε μάθει ως εδώ

διαιρέσεις φυσικών και

δεκαδικών μόνο στην

περίπτωση που ο διαιρέτης

είναι φυσικός.

Τι γίνεται όμως αν έχουμε

για διαιρέτη δεκαδικό

αριθμό;

Σε αυτή την περίπτωση η διαδικασία διαφέρει λίγο στην αρχή, πριν ξεκινήσουμε τη διαίρεση.

Καταρχήν θα πρέπει να έχεις υπόψη σου ότι

όταν έχουμε δεκαδικό διαιρέτη δε διαιρούμε

αμέσως.

Πριν ξεκινήσουμε, λοιπόν, τη διαίρεση,

παρατηρούμε το διαιρέτη και μετράμε

πόσα δεκαδικά ψηφία έχει.

πολλαπλασιάζουμε με τον αντίστοιχο

αριθμό (10 ή 100 ή 1000 κ.τ.λ) και το

διαιρέτη και το διαιρετέο έτσι ώστε να

μετατραπεί ο δεκαδικός αριθμός του

διαιρέτη σε φυσικό (δε μας απασχολεί

καθόλου αν ο διαιρετέος προκύψει να

είναι φυσικός ή δεκαδικός).

Από κει κι έπειτα προχωράμε κανονικά

τη διαίρεση, όπως ξέρουμε.


5 4 , 2 5 3 , 5

5 4 2 , 5 3 5

- 3 5 1 5 , 5

1 9 2

- 1 7 5

1 7 5

- 1 7 5

= = =

Πριν ξεκινήσουμε παρατηρούμε το διαιρέτη (3,5) και διαπιστώνουμε πως έχει 1 δεκαδικό ψηφίο. Άρα πολλαπλασιάζουμε και το διαιρετέο και το διαιρέτη με το 10 και έχουμε

54,25 • 10 = 542,5

3,5 • 10 = 35

Η διαίρεσή μας λοιπόν γίνεται 542,5 : 35



Συνηθίζουμε σε αυτές τις διαιρέσεις με δεκαδικό διαιρέτη να βάζουμε τους νέους αριθμούς όχι σε νέα διαίρεση αλλά ακριβώς κάτω από τους προηγούμενους. Δες και το επόμενο παράδειγμα κι έπειτα χρησιμοποίησε όποιον τρόπο σου είναι πιο εύκολος.

Άντε πάλι με τούτη τη φυσική και τα επίθετα. Είναι λίγο δύσκολα

αλλά δε θα σταθούν εμπόδιο στο να είμαι ο καλύτερος μαθητής.

Άλλωστε είναι γνωστό ότι εγώ είμαι πανέξυπνος κι έτσι μπορώ

και ξεπερνάω όλα τα εμπόδια. Ουπς !!!

Πρόσεχε :

Μας ενδιαφέρει να μετατρέψουμε το διαιρέτη από δεκαδικό σε φυσικό. Όσον αφορά το διαιρετέο δε μας απασχολεί το είδος του αριθμού που θα προκύψει έπειτα από τον πολλαπλασιασμό με το 10 ή το 100 ή το 1000 κ.τ.λ.

Παράδειγμα κάθετης πράξης

5 4 4 , 5

5 4 0 4 5

- 4 5 1 , 2

9 0

- 9 0

= =

Ο διαιρέτης (4,5) έχει 1 δεκαδικό ψηφίο. Άρα πολλαπλασιάζουμε και το διαιρετέο και το διαιρέτη με το 10 και έχουμε

54 • 10 = 540

4,5 • 10 = 45

Η διαίρεσή μας λοιπόν γίνεται 540 : 45


Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄

49

Μάθημα 11ο Πολλαπλασιασμός Δεκαδικών Αριθμών

π.χ. 2,55 • 4,22 =

παράγοντες 2,55 ( δύο δεκαδικά ψηφία ) x 4,22 + ( δύο δεκαδικά ψηφία )

510 510

+1020 γινόμενο 10,7610 ( τέσσερα δεκαδικά ψηφία )

Διαίρεση Δεκαδικού αριθμού με Ακέραιο

π.χ. 225,5 : 5 =

Φτάνοντας στην υποδιαστολή, πριν κατεβάσω το ψηφίο πίσω από αυτή ( 5 ), μετακινώ

την υποδιαστολή στο πηλίκο της διαίρεσής μου.

Διαίρεση Δεκαδικού αριθμού με Δεκαδικό

π.χ. 225,5 : 0,5 =

225,5 - 20

025 -25

00 5 - 5 0

5 45,1

Γίνεται όπως και ο πολλαπλασιασμός των φυσικών αριθμών, τοποθετώντας στο γινόμενο την υποδιαστολή τόσες θέσεις από τα δεξιά προς τα αριστερά, όσα είναι συνολικά τα ψηφία στα δεκαδικά μέρη των παραγόντων.

Για να διαιρέσω δεκαδικό αριθμό με ακέραιο, κάνω κανονικά τη διαίρεση και όταν φτάσω στην υποδιαστολή συνεχίζω κανονικά τη διαίρεση βάζοντας την υποδιαστολή στο πηλίκο της διαίρεσής μου.

Για να κάνω διαίρεση μεταξύ δύο δεκαδικών αριθμών πρέπει ο διαιρέτης μου να γίνει ακέραιος αριθμός. Γι’ αυτό πολλαπλασιάζω το Διαιρετέο και το Διαιρέτη με το 10, 100, 1.000 κλπ. μέχρι ο Διαιρέτης μου να γίνει ακέραιος αριθμός.



50

Ο Διαιρέτης μου έχει ένα δεκαδικό ψηφίο, άρα πολλαπλασιάζω και τους δύο με το 10, έτσι η διαίρεση μου μετατρέπεται σε :

2.255 : 5 = 451

π.χ. 450 : 0,005 = Ο Διαιρέτης μου έχει τρία δεκαδικά ψηφία, άρα πολλαπλασιάζω και τους δύο με το

1.000, έτσι η διαίρεσή μου μετατρέπεται σε : 450.000 : 5 = 90.000

Ασκήσεις

1. Να κάνεις στο τετράδιό σου τους παρακάτω πολλαπλασιασμούς και διαιρέσεις :

12,3 • 5 = ........ 1,50 • 10 = …….. 3,98 • 100 = …….. 4,56 • 2 = …… 3,45 • 20 = …….. 7,98 • 200 = ……..

7,89 • 3 = …… 5,52 • 50 = …….. 1,00 • 100 = …….. 98,7 • 4 = …… 7,65 • 15 = …….. 4,32 • 432 = …….. 6,54 • 7 = …… 87,6 • 22 = …….. 5,55 • 155 = ……..

12,3 : 5 = ........ 1,50 : 10 = …….. 39,8 : 100 = …….. 45,6 : 2 = …… 34,5 : 20 = …….. 79,8 : 200 = ……..

78,9 : 3 = …… 55,2 : 50 = …….. 10,0 : 100 = …….. 98,7 : 4 = …… 76,5 : 15 = …….. 43,2 : 432 = …….. 65,4 : 4 = …… 87,6 : 50 = …….. 450,0 : 150 = ……..

2. Να κάνεις τις παρακάτω πράξεις :

725,085 + 3.500,5 + 1,234 = ……………………………..

1.876,4 + 44,050 + 12,345 = ……………………………...

2.345,678 + 1,234 + 456,789 = ………………………….

8,5 – 2,34 – 2,4 = …………………………………………...

45,005 – 23,5 – 1,55 – 0,5 = ………………………………

( 25,8 + 0,5 ) • 5 = ………………………………………….

( 45,5 – 5,5 ) • 8 = ………………………………………….

( 30,3 • 10 ) : 3 = …………………………………………..

( 5,5 • 6,5 ) : 10 = …………………………………………..

( 10,5 : 5 ) • 2 = ……………………………………………..

3. Υπολόγισε με κάθετες πράξεις : α ) 43,4 · 1,3 = ………………… β ) 34 - 2,25 = …………………. γ ) 28,34 + 2 , 7 = ………………… δ ) 7,45 · 0,2 = ………………… ε ) 3 : 6 = …………………………… στ ) 23 , 2 : 0,2 = …………………



51

4. Συμπλήρωσε του παρακάτω πίνακες :

5. Τα 10 δοχεία λάδι χωράνε 175 κιλά. Πόσα κιλά λάδι χωράνε τα 100 και πόσα τα 1.000 όμοια δοχεία ;

6. Ένα κατάστημα αγόρασε 84 ποτήρια προς 1,80 € το ένα. Κατά τη μεταφορά έσπασαν 4 ποτήρια και τα υπόλοιπα τα πούλησε προς 2,25 € το ένα. Πόσα χρήματα κέρδισε ο καταστηματάρχης ;

7. Τα 45 μέτρα ύφασμα στοιχίζουν 1.458 €. Πόσο στοιχίζει το ένα μέτρο ;

8. Τα 12 δοχεία χωράνε 210 κιλά φέτα. Πόσα κιλά χωράει το ένα δοχείο ;

9. Ένας φρουτέμπορος πούλησε μια μέρα 68 κιλά μανταρίνια και εισέπραξε 102 €. Πόσο πούλησε το κιλό ;

10. Ένας έμπορος φρούτων, αγόρασε 4.250 κιλά μήλα προς 1,75 ευρώ το κιλό. Τα πούλησε

όλα, κερδίζοντας 3.187,50 ευρώ. Πόσο πούλησε το κιλό τα μήλα και πόσο κέρδισε σε κάθε κιλό ;

11. Ένας μανάβης, αγόρασε 140,5 κιλά πατάτες προς 0,65 ευρώ το κιλό. Τις πούλησε, παίρνοντας συνολικά, 118,02 ευρώ. Πόσα χρήματα κέρδισε συνολικά σε κάθε κιλό πατάτες που αγόρασε ;

• 10 100 1.000 5,321

• 10 100 1.000 23,456

: 10 100 1.000 55

: 10 100 1.000 5,5



52

12. Οι 15 μαθητές της 6ης τάξης, για να πάνε μια εκδρομή στο αρχαιολογικό μουσείο, πρέπει να πληρώσουν για εισιτήριο και έξοδα μετακίνησης, 125,25 ευρώ. Αν στην εκδρομή συμμετάσχουν και οι 18 μαθητές της 5ης τάξης, πόσα χρήματα πρέπει να πληρώσουν συνολικά, για να πάνε όλοι μαζί ;

13. Το δωδεκαπλάσιο ενός αριθμού, αυξημένο κατά 0,735, είναι ο αριθμός 9,519. Ποιος είναι ο αριθμός αυτός ;

14. Οι 24 μαθητές της 5ης τάξης του σχολείου μας, θέλουν να πάνε στη Βέροια, να παρακολουθήσουν μια θεατρική παράσταση. Το πούλμαν για να τους μεταφέρει, ανεξάρτητα με το πόσοι θα είναι οι μαθητές, θέλει 315 ευρώ. Το εισιτήριο για να μπουν στο θέατρο, είναι 4,5 ευρώ. Πόσο θα στοιχίσει η επίσκεψη στο θέατρο σε κάθε μαθητή, αν πάνε μόνοι τους, και πόσο αν πάνε μαζί με τους 18 μαθητές της 6ης τάξης ;

15. Ένας αγρότης μάζεψε φέτος 12.578 κιλά μήλα, 7.850 κιλά αχλάδια, 3.254 κιλά κεράσια και 8.548 κιλά ελιές. Πούλησε τα μήλα προς 0,25 € το κιλό, τα αχλάδια προς 0,40 € το κιλό, τα κεράσια προς 0,60 € το κιλό και τις ελιές προς 1,20 € το κιλό. α) Πόσα χρήματα πήρε από τα μήλα, πόσα από τα αχλάδια , πόσα από τα κεράσια και πόσα από τις ελιές ; β) πόσα χρήματα εισέπραξε συνολικά φέτος ο αγρότης αυτός πουλώντας όλα τα φρούτα ;

16. Ένας μανάβης πούλησε 145 κιλά ντομάτες, προς 1,45 € το κιλό, 235 κιλά πατάτες προς 1,20 € το κιλό, 27 κιλά καρότα προς 0,85 € το κιλό, 65 κιλά πιπεριές προς 2,45 € το κιλό και 239 κιλά μήλα προς 3,50 € το κιλό. Πόσα χρήματα πήρε ο μανάβης πουλώντας όλα αυτά τα λαχανικά ;

17. Συμπλήρωσε τα παρακάτω κενά στις ισότητες :

24,85 · …… = 248,5 2,4 · …… = 24

4,85 · …… = 48,5 0,9 · …… = 900

0,85 · …… = 85 0,85 · …… = 8,5

14,55 · …… = 1.455,0 100 · …… = 1



Xristos


Γιάννης Σουδίας

Φύλλο εργασίας για το Κεφάλαιο 13 Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο και πηλίκο δεκαδικό αριθμό

Ενότητα 2-Κεφάλαιο 13-Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό.i

11 Νοε.

1

ΟΝΟΜΑ;…………………………………………………………………………………………..

Για να υπολογίσω με ακρίβεια το

αποτέλεσμα(πηλίκο) μιας διαίρεσης

πρέπει…

Το πηλίκο μιας διαίρεσης ακέραιου με ακέραιο είναι δεκαδικός αριθμός σε δύο

περιπτώσεις:

α)όταν συνεχίζουμε μια ατελή διαίρεση, για να βρούμε το πηλίκο με μεγαλύτερη

ακρίβεια.

β) όταν στη διαίρεσή μας, ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από το διαιρετέο.

Συνεχίζουμε μια ατελής διαίρεση ως εξής:

Βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο.

Προσθέτουμε το ψηφίο 0 στο υπόλοιπο και συνεχίζουμε τη διαίρεση όπως

έχουμε μάθει .

Εάν προκύψει πάλι υπόλοιπο( δηλαδή αριθμός μικρότερος του διαιρέτη)

προσθέτουμε σε αυτό ένα μηδενικό κ.τ.λ.

Π.χ. 8 5 Για να κάνουμε τη διαίρεση 8: 5 σκεφτόμαστε:

-5 1, 6 Το 8 χωράει μία φορά στο 5 και μένει υπόλοιπο 3.

3 0 Το 5 δε χωράει στο 3. Βάζουμε ένα μηδενικό στο υπόλοιπο

-3 0 και το 3 γίνεται 30.Συγχρόνως βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο.

0 0 Το 5 χωράει ακριβώς 6 φορές στο 30.

Όταν σε μια διαίρεση ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από το

διαιρετέο, βάζουμε μηδέν στο πηλίκο και υποδιαστολή , καθώς και ένα μηδενικό στο

διαιρετέο .Συνεχίζουμε τη διαίρεση όπως έχουμε μάθει.

Π.χ. Για να κάνουμε τη διαίρεση 2: 8 σκεφτόμαστε τα εξής:

Το 8 δε χωράει στο 2. Βάζουμε 0 στο πηλίκο και υ- 2 0 8

ποδιατολή, καθώς και ένα 0 στον διαιρετέο. - 1 6 0, 25

Το 8 χωράει 2 φορές στο 20 και μένει υπόλοιπο 4. 0

4 0

Το 8 δεν χωράει στο 4. Βάζουμε ένα 0 στο υπόλοιπο -

4 0

Και το 4 γίνεται 40. 0

Το 8 χωράει ακριβώς 5 φορές στο 40.




11 Νοε.

2

Ασκήσεις:

1.Εκτελώ κάθετα τις παρακάτω διαιρέσεις:

2.Να γίνουν οι διαιρέσεις κάθετα με τις δοκιμές τους:

14 : 8=………… 5 : 4=………… 3 : 5=………… 7 : 8=…………

15 : 7=………… 11 : 2=………… 4 : 50=………… 5 : 8=…………

18 : 5=………… Δοκιμή 3 : 8=………… Δοκιμή

235 : 8=………… Δοκιμή 1 : 12=………… Δοκιμή




11 Νοε.

3

Διαιρέσεις με το 10,100, 1.000

Για να διαιρέσω έναν ακέραιο αριθμό με το 10,100, 1000… για συντομία,

μετακινώ την υποδιαστολή αριστερά τόσα δεκαδικά ψηφία, όσα μηδενικά έχω.

Π.χ. 2.450: 10 = 245, 0 ή 245

2.450 : 100 = 24,50

2.450 : 1.000= 2,450

3.. Υπολογίζω τα αποτελέσματα:

123,4 : 10= ……… 1,6 : 10 = ……… 678 :10 = ………

123,4 : 100 = ……… 1,6 : 100 = ……… 678 : 100 = ………

123,4 : 1.000 = ……… 1,6 : 1.000 = ……… 678 : 1.000 = ………

4. Συμπληρώνω τον παρακάτω πίνακα:

: 2 : 10 : 20 :100 : 200 : 1.000

60e

300e

24e

84 : 16=………… Δοκιμή 957 : 12=………… Δοκιμή

1,024 : 5=………… Δοκιμή 455 :125=………… Δοκιμή




11 Νοε.

4

62e

400e

Προβλήματα:

5. Ένα κατάστημα προσφέρει το ίδιο κρασί σε διαφορετικές συσκευασίας, Α και Β. Ποια

συσκευασία μας συμφέρει να αγοράσουμε;

Α. Β.

Λύση:

Απάντηση: …………………………………………………………………………………………………………………………………..

6. Ο παππούς θέλει να μοιράσει 121 ευρώ, εξίσου στα 4 εγγόνια του. Πόσα χρήματα πρέπει

να δώσει στο καθένα;

Απάντηση:……………………………………………………………………………………………………………………………………..

7. Η κυρία Αμαλία αγόρασε για τα παιδιά της 3 παραμύθια και πλήρωσε συνολικά 20,1 ευρώ.

Αν και τα τρία παραμύθια είχαν την ίδια τιμή , να υπολογίσεις την αξία του καθενός.

Απάντηση:………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………… stefaki

2λίτρα

5Eυρώ

5λίτρα

11 Ευρώ

Σκέφτομαι: Τι ξέρω;

Τι ζητάω ;Τι θα κάνω;

Λύση:

Λύση:


Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό

(17/10)

Εμφανίσεις: 1101

Προβλήματα - Παραδείγματα

Πρόβλημα :

Πήγα στο βιβλιοπωλείο για να αγοράσω 4 τετράδια και πλήρωσα 5€. Πόσο κόστισε το

καθένα ;

ΔΕΔΟΜΕΝΑ

Ξέρω πόσα τετράδια αγόρασα : 4 τετράδια

Ξέρω πόσα χρήματα πλήρωσα και για τα 4 τετράδια : 5€

ΖΗΤΟΥΜΕΝΑ Πόσο κοστίζει το 1 τετράδιο ;

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗΣ

Αφού ξέρω την τιμή των πολλών μονάδων (5€) και γνωρίζω πόσες είναι οι μονάδες, για

να βρω την τιμή της μιας μονάδας θα κάνω διαίρεση το 5 με το 4.

ΛΥΣΗ


http://sainia.gr/2012-09-10-12-05-21/ta-mathimata-mou/mathimatika-e/778-diairesi-akeraiou-me-akeraio-me-piliko-dekadiko-arithmo

http://sainia.gr/2012-09-10-12-05-21/ta-mathimata-mou/mathimatika-e/778-diairesi-akeraiou-me-akeraio-me-piliko-dekadiko-arithmo

Μάθαμε από πέρυσι ότι κάθε αριθμός διαιρεί ακριβώς τα πολλαπλάσιά του. Το 5 δεν

είναι πολλαπλάσιο του 4, μπορούμε όμως να κάνουμε τη διαίρεση και να βρούμε με

ακρίβεια το αποτέλεσμα :

Το 4 χωράει στο 5 1 φορά. Γράφουμε 1 στο πηλίκο.

Πολλαπλασιάζουμε το 1 του πηλίκου με το 4 και λέμε : 1 φορά το 4, 4. Γράφουμε το 4

κάτω από το 5 που είναι Διαιρετέος και κάνουμε την αφαίρεση : 4 από 5 1. Αυτή τη 1

μονάδα που έμεινε τη γράφουμε από κάτω.

Βλέπουμε εδώ ότι ο Διαιρετέος δεν έχει άλλα ψηφία για να συνεχίσουμε τη διαίρεση.

Για να συνεχίσουμε τη διαίρεση, θα βάλουμε δίπλα στο 1, που βρήκαμε από την

αφαίρεση, 0 και στο πηλίκο υποδιαστολή και θα πούμε :

Το 4 στο 10 χωράει 2 φορές. Γράφουμε το 2 στο πηλίκο. Πολλαπλασιάζουμε το 2 με το 4

του διαιρέτη και λέμε 2 φορές το 4, 8. Γράφουμε το 8 κάτω από το 10 και κάνουμε την

αφαίρεση. Βρίσκουμε υπόλοπο 2.

Για να συνεχίσουμε τη διαίρεση, θα βάλουμε δίπλα στο 2, που βρήκαμε από την

αφαίρεση, 0 και θα πούμε :

Το 4 στο 20 χωράει 5 φορές. Γράφουμε το 5 στο πηλίκο. Πολλαπλασιάζουμε το 5 με τον

διαιρέτη λέγοντας 5 φορές το 4, 20. Γράφουμε το 20 κάτω από το 20 αριστερά και

κάνουμε την αφαίρεση : 0 από 0, 0. 2 από 2, 0. Επειδή δεν υπάρχει άλλο ψηφίο να

αφαιρέσουμε αντί για 0 βάζουμε = .

Η διαίρεσή μας έχει ολοκληρωθεί.

ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ


Πριν δώσουμε την απάντηση, πρέπει να κάνουμε επαλήθευση (δοκιμή). Η δοκιμή

της διαίρεσης είναι η αντίστροφή πράξη της, δηλαδή ο πολλαπλασιασμός. Θα

πολλαπλασιάσουμε τον διαιρέτη με το πηλίκο και για να είναι σωστή η διαίρεσή μας

θα πρέπει να βρούμε ως γινόμενο τον Διαιρετέο.

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμό είναι 5 και άρα η διάιρεσή μας είναι σωστή.

Μπορούμε τώρα να προχωρήσουμε στην απάντηση.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Το κάθε τετράδιο κόστιζε 1,25€

Όταν η διαίρεση αφήνει υπόλοιπο

Στη διπλανή διαίρεση βλέπουμε ότι υπάρχει υπόλοιπο

(5). Τότε η διαίρεση λέγεται ατελής.

Για να κάνουμε τη δοκιμή πολλαπλασιάζουμε το πηλίκο με τον διαιρέτη και στο γινόμενο

προσθέτουμε το υπόλοιπο.

1,25

Χ 4

5,00


http://sainia.gr/images/1E/Donald_Duck2.jpg

3,85 Χ 7 = 26,95

Επειδή χρειάστηκε να προσθέσουμε 2 μηδνικά για να προχωρήσουμε τη διαίρεση, αυτό

σημαίνει ότι το υπόλοιπο που βρήκαμε είναι εκατοστά και γράφεται 0,05.

Συνεχίζουμε λοιπόν και λέμε :

26, 95 + 0,05 = 27

Άρα η διαίρεση λύθηκε σωστά.

Όταν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από τον διαιρετέο

Όταν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από τον διαιρετέο, όπως στο παράδειγμα δίπλα

κάνουμε τη διαίρεση ως εξής :

Δύο ψηφία έχει ο διαιρέτης δύο τονίζουμε και στον διαιρετέο και λέμε το 29 στο 27 δεν

χωράει.

Γράφουμε 0 στο πηλίκο, βάζουμε υποδιαστολή και συμπληρώνουμε με ένα 0 τον

διαιρετέο.

Από εδώ και πέρα κάνουμε τη διαίρεση όπως μάθαμε και παραπάνω.

Κάνουμε και τη δοκιμή : 29 Χ 0,931 = 26,999


Επειδή έχουμε προσθέσει στον διαιρετέο 3 μηδενικά, το 1 που έμεινε ως υπόλοιπο είναι

χιλιοστά. Άρα :

26,999 + 0,001 = 27

ΝΑ ΜΗΝ ΞΕΧΑΣΩ

Όταν, τελειώνοντας μία διαίρεση, μένει υπόλοιπο, αν θέλουμε να τη

συνεχίσουμε, βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο, προσθέτουμε ένα μηδενικό στο

υπόλοιπο, μετατρέποντάς το σε δέκατα, και συνεχίζουμε τη διαίρεση. Αν μένει ξανά

υπόλοιπο, βάζουμε πάλι σ' αυτό ένα ακόμη μηδενικό (μετατρέποντάς το σε εκατοστά) και

συνεχίζουμε.

Αν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος απ' τον διαιρετέο, δηλαδή δε χωράει, βάζουμε 0 στο

πηλίκο και υ π ο δ ι α σ τ ο λ ή και μετατρέπουμε τον διαιρετέο σε δέκατα, βάζοντάς

του στο τέλος ένα μηδενικό (0). Μετά συνεχίζουμε τη διαίρεση.

Αν ο διαιρέτης είναι το 10, το 100 ή το 1.000, η διαίρεση γίνεται σύντομα. Γράφουμε

τον διαιρετέο και χωρίζουμε από το τέλος του ένα, δύο ή τρία ψηφία ανάλογα με τα

μηδενικά που έχει το 10, το 100 ή το 1.000. Αν δεν έχει τόσα ψηφία που πρέπει να

χωρίσουμε, συμπληρώνουμε τις θέσεις που λείπουν με μηδενικά αριστερά του

αριθμού.

Στη διαίρεση ο αριθμός που διαιρείται λέγεται Διαιρετέος, αυτός που

διαιρεί Διαιρέτης και το αποτέλεσμα της διαίρεσης λέγεται πηλίκο.

Αν η διαίρεση δεν ολοκληρώνεται, λέγεται ατελής και ο αριθμός που μένει

λέγεται υπόλοιπο.

Παραδείγματα: 8 : 10 = 0,8 46:100 = 0,46 75:1.000 = 0,075

Τα Σαΐνια 11ου Δημοτικού Σχολείου Παλαιού Φαλήρου


Όνομα: ………………………. 7 / 11 / 2007

Με το 10, το 100 και το 1.000

234,6 : 10 = 23,46 234,6 : 100 = 2,346

234,6 : 1.000 = 0,2346

Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό αριθμό

Έχουμε τη διπλανή ατελή διαίρεση. 20 : 7 π.χ. 20 7 (δηλαδή διαίρεση που αφήνει υπόλοιπο, το 6). – 14 2

Αυτή, αν θέλουμε μεγαλύτερη ακρίβεια, μπορούμε να τη = 6

συνεχίσουμε με τα εξής βήματα: υπόλοιπο

o Βάζουμε υποδιαστολή στο πηλίκο και ένα μηδενικό στο 20 7

υπόλοιπο και συνεχίζουμε κανονικά. – 14 2, = 60

o Το 7 στο 60 χωράει 8 φορές και περισσεύουν 4. 20 7

Το 7 στο 40 χωράει 5 φορές και περισσεύουν 5. – 14 2,85

= 60 - 56

= 40

- 35 = 5 πηλίκο

o Μπορώ μετά το υπόλοιπο 5 να συνεχίσω αν θέλω μεγαλύτερη ακρίβεια στο αποτέλεσμα. Αν συνεχίσω θα βάλω πάλι μηδενικό

στο υπόλοιπο και ακολουθώ την ίδια διαδικασία όσο θέλω, ή

μέχρι η διαίρεση να βγει τέλεια (αν βγαίνει). Υπόλοιπο

Μεταφέρουμε την υποδιαστολή προς τα αριστερά, τόσες θέσεις όσα τα

μηδενικά του 10,100,1000…..Αν δεν

υπάρχουν ψηφία συμπληρώνουμε

τις θέσεις με μηδενικά.


Όταν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από το διαιρετέο

Έχουμε τη διαίρεση 2 : 8 όπου ο διαιρέτης (2) είναι μικρότερος από το διαιρετέο (8).

o Βάζουμε κατευθείαν μηδέν στο διαιρετέο και μηδέν με 20 8 υποδιαστολή στο πηλίκο. 0,

o Συνεχίζω τη διαίρεση όπως ξέρω. 20 8

- 16 0,25 = 40

- 40 τέλεια διαίρεση,

0 υπόλοιπο 0.

προσθέτω μηδέν στο υπόλοιπο 4 και συνεχίζω

1. Υπολογίζω τα αποτελέσματα:

123,4 : 10= ……… 1,6 : 10 = ……… 678 :10 = ………

123,4 : 100 = ……… 1,6 : 100 = ……… 678 : 100 = ………

123,4 : 1.000 = ……… 1,6 : 1.000 = ……… 678 : 1.000 = ………

2. Λύνω κάθετα τις παρακάτω διαιρέσεις:

3 : 2 7 : 5 25 : 2 50 : 16 3 : 16 32 : 80 17 : 25 54 : 75

Σκουλλή Νατάσα


Όνομα : ________________________________________ Ε1 Ημερομηνία: _______________________________

1. Κάνω τις παρακάτω διαιρέσεις :

1.565 : 10 = ………………........ 1.565 : 20 = ………………......... 1.565 : 100 = ………………........ 1.565 : 200 = ………………........ 1.565 : 1.000 = ………………........ 1.565 : 2.000 = ………………........

2. Βρίσκω το λάθος και κάνω την πράξη σωστά :

α) 185 4 β) 605 8

- 16 46, 22 - 54 98, 1025

025 065

- 24 - 064

0010 010 8 20

- 8 - 16

0 40

- 40 00

3. Η κ. Αγαθή αγόρασε 6 καρέκλες 4. Πόσο ζυγίζει το ένα πακέτο βούτυρο , αν τα 1.000 πακέτα

και πλήρωσε 165 €. ζυγίζουν 250 κιλά ;

Πόσο κόστιζε η μία καρέκλα ;

Εκτιμώ : ______________________________ Εκτιμώ : ______________________________

Υπολογίζω με ακρίβεια : Υπολογίζω με ακρίβεια :

Απαντώ :________________________________ Απαντώ :________________________________

Μαλαματίδου Μαρίνα

Εεεεεεεεεέι …..Ψιιιιτ !!! Μην ξεχάσεις να διαβάσεις το συμπέρασμα απ’ το βιβλίο μαθητή σελ. 38


ΔΙΑΙΡΕΣΕΙΣ ΜΕ ΠΗΛΙΚΟ ΔΕΚΑΔΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ

1η περίπτωση: Διαίρεση ακέραιου με ακέραιο με πηλίκο δεκαδικό

8 5

-5 1, 6

3 0

-3 0

0 0

2η περίπτωση: διαίρεση που ο διαιρέτης δεν χωράει στο διαιρετέο

4 0 5

-4 0 0, 8

0 0

3η περίπτωση: διαίρεση δεκαδικού με ακέραιο

3, 5 2

-2 1, 75

1 5

-1 4

1 0

-1 0

0 0

4η περίπτωση: ο διαιρέτης δεν χωράει στο ακέραιο μέρος του διαιρετέου

1, 5 2

-1 4 0, 75

1 0

-1 0

0 0

5η περίπτωση: διαίρεση με διαιρετέο και διαιρέτη δεκαδικούς αριθμούς

1, 5 5 2, 5

15,5 2 5

-150 0, 62

5 0

-5 0

0 0 eirini papa

Αν η διαίρεση αφήνει υπόλοιπο ακέραιες μονάδες, βάζουμε δίπλα στο υπόλοιπο το ψηφίο 0 μετατρέποντάς το σε δέκατα και συνεχίζουμε τη διαίρεση. Δεν ξεχνάμε όμως ταυτόχρονα να βάλουμε και υποδιαστολή στο πηλίκο!!

Αν ο διαιρέτης είναι μεγαλύτερος από τον διαιρετέο, τότε θα βάλουμε στο πηλίκο 0 και υποδιαστολή, ενώ ταυτόχρονα θα μετατρέψουμε το διαιρετέο σε δέκατα προσθέτοντάς του ένα 0.

Όταν έχουμε να διαιρέσουμε δεκαδικό με ακέραιο ξεκινάμε τη διαίρεση κανονικά και μόλις συναντήσουμε την υποδιαστολή, την βάζουμε και στο πηλίκο της διαίρεσης. ΠΡΟΣΟΧΗ! Υποδιαστολή μπαίνει μόνο 1 φορά. Αν χρειαστεί να συνεχίσω τη διαίρεση δεν θα ξαναβάλω!

Όταν έχουμε να διαιρέσουμε δεκαδικό με ακέραιο και ο διαιρέτης δεν χωράει στο ακέραιο μέρος του διαιρετέου βάζουμε 0 στο πηλίκο και υποδιαστολή. Στη συνέχεια χωρίζουμε ένα δεκαδικό ψηφίο στο διαιρετέο και συνεχίζουμε τη διαίρεση.

Όταν ο διαιρέτης είναι δεκαδικός, τότε θα τον πολλαπλασιάσουμε με τον κατάλληλο αριθμό (10, 100 ή 1.000) έτσι ώστε να φύγει η υποδιαστολή και να γίνει ακέραιος! Με τον ίδιο αριθμό θα πολλαπλασιάσουμε και το διαιρετέο.


Μαθηματικά Ε΄.2.13. ΄΄Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο με...

Education

Transcript of Μαθηματικά Ε΄.2.13. ΄΄Διαίρεση ακεραίου με ακέραιο με...