ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΑΣΗΣ˜έματα... · 2019-09-05 · - Ο χρωματικός...

ΑΣΚΗΣΗ 1

ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΤΟΜΕΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ & ΦΥΣΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΟΝΤΟΣ

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ

Επικοινωνία Αν. Καθηγητής Δρ. Ιωάννης Κυπριανίδης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Χρήστος Βόλος ΕΔΙΠ Δρ. Κωνσταντίνος Μπαλτζής Τομέας Εφαρμογών Φυσικής & Φυσικής Περιβάλοντος,

4ος όροφος, Γ’ Εργαστήριο Φυσικής http://elearning.auth.gr (moodle) [email protected] [email protected] [email protected]

ΑΣΚΗΣΗ 1 2 ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΑΣΗΣ

https://mail.google.com/mail/?shva=1















mailto:[email protected]@physics.auth.gr





ΑΣΚΗΣΗ 1

ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΑΣΗΣ 3

Κανονισμός Εργαστηρίου 1. H χρονική διάρκεια των μαθημάτων, μαζί με τις εξετάσεις, καλύπτει όλο το διδακτικό εξάμηνο με ένα τρίωρο μάθημα

ανά εβδομάδα. Στα επόμενα η λέξη "μάθημα" θα αναφέρεται σε ένα τρίωρο.

2. O μέγιστος επιτρεπόμενος αριθμός απουσιών είναι ένα (1) μάθημα. Oι απουσίες δεν έχουν διακρίσεις (δικαιολογημένες ή αδικαιολόγητες). Φυσικά, η περίπτωση κωλύματος ολοκλήρου τμήματος δεν νοείται ως απουσία. Φοιτητής που απουσιάζει για δεύτερη φορά διακόπτει την παρακολούθηση και θα πρέπει να επανεγγραφεί σε κάποιο επόμενο εξάμηνο.

3. Σ' εκείνα τα μαθήματα που πραγματοποιούνται πειραματικές μετρήσεις, οι τελευταίες υποβάλλονται σε ένα χαρτί στον υπεύθυνο του τμήματος προς υπογραφή. Kατά την παράδοση της γραπτής εργασίας επισυνάπτεται και το παραπάνω χαρτί.

4. Oι γραπτές εργασίες παραδίδονται στον υπεύθυνο του τμήματος σε επτά (7) ημέρες το αργότερο από την ολοκλήρωση της πειραματικής ενότητας. Eίναι αυτονόητο ότι, εάν η λήξη της προθεσμίας αυτής συμπέσει με περίοδο διακοπών, η υποχρέωση παράδοσης της εργασίας μετατίθεται στο πρώτο μετά τις διακοπές μάθημα. Mη παράδοση της γραπτής εργασίας μέσα στο παραπάνω χρονικό όριο συνεπάγεται μηδενισμό της, χωρίς να αίρεται η υποχρέωση του φοιτητή να την παραδώσει. (Bλ. παραγρ. 6)

5. Oι εργασίες βαθμολογούνται από ένα ως δέκα (1-10). Eργασίες που παίρνουν βαθμό κάτω του πέντε (5) επιστρέφονται προς βελτίωση.

6. Έλλειψη εργασιών (πλην ίσως της τελευταίας, αν δεν υπάρχουν επαρκή χρονικά περιθώρια) συνεπάγεται αποκλεισμό από τις τελικές εξετάσεις.

7. Oι τελικές εξετάσεις είναι τρίωρες και διεξάγονται στο Εργαστήριο.

8. Οι εξεταζόμενοι θα πρέπει να αναλύσουν πειραματικά ένα κύκλωμα (~ 2 ώρες) και να λύσουν δύο θεωρητικές ασκήσεις (~ 1 ώρα).

9. Το πειραματικό και το θεωρητικό μέρος βαθμολογούνται ξεχωριστά. Στον τελικό βαθμό, το πειραματικό μέρος συμμετέχει κατά 50%, το θεωρητικό μέρος κατά 30%, ενώ οι εργασίες κατά 20%. Τελικός βαθμός με δεκαδικό μέρος μεγαλύτερο ή ίσο του 0.5 ολοκληρώνεται στον αμέσως επόμενο ακέραιο.

10. Για την επανάληψη απαιτείται και πάλι εγγραφή στα Eργαστήρια. Όσοι κατά την πρώτη παρακολούθηση είχαν μέσο όρο γραπτών εργασιών από 7 και άνω δεν υποχρεούνται να παραδίδουν εργασίες κατά την επανάληψη της παρακολούθησης.

4

Εργαστήριο 1 Ηλεκτρικό Κύκλωμα και Στοιχεία Κυκλώματος

- Πηγές Τάσης και Έντασης - Παθητικά Στοιχεία * Πυκνωτές * Πηνία * Αντιστάσεις - Χρωματικός Κώδικας Αντιστάσεων - Αντιστάσεις σε σειρά - παράλληλα

Νόμοι του Κirchhoff

Πολύμετρο

Ράστερ - Breadboard

Διαιρέτης Τάσης – Διαιρέτης Ρεύματος

ΑΣΚΗΣΗ 1 ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1 5

Ηλεκτρικό Κύκλωμα

Ηλεκτρικό κύκλωμα ονομάζουμε μια διάταξη στην οποία κυκλοφορεί το ηλεκτρικό ρεύμα.

Γενικά, τα ηλεκτρικά κυκλώματα μπορεί να περιλαμβάνουν:

1. Πηγές ενέργειας.

2. Αγωγούς.

3. Ένα φορτίο.

4. Παθητικά στοιχεία (καταναλίσκουν ή αποθηκεύουν ενέργεια).

5. Μια συσκευή ελέγχου, π.χ. ένας διακόπτης (προαιρετικά).


ΑΣΚΗΣΗ 1 6

Πηγές Τάσης - Ρεύματος Με το όρο “πηγή” (source) εννοούμε μια συσκευή, που είναι ικανή να προσφέρει στο κύκλωμα ηλεκτρική ενέργεια.

Πρακτικά οι πηγές μπορούν να περιγραφούν ως συσκευές, που προσφέρουν στο κύκλωμα τάση ή ρεύμα σταθερό (ή χρονικά μεταβαλλόμενο με σταθερό πλάτος).

Ανεξάρτητες Πηγές Τάσης Ρεύματος


Παθητικά Στοιχεία

ΑΣΚΗΣΗ 1 7

Πυκνωτής C Η ενέργεια αποθηκεύεται ως ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου. Μονάδα: 1 F Πηνίο L Η ενέργεια αποθηκεύεται ως ενέργεια μαγνητικού πεδίου. Μονάδα: 1 H

diu(t) Ldt

=

dui(t) Cdt

=


Παθητικά Στοιχεία

ΑΣΚΗΣΗ 1 8

Αντιστάτης R Η ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα. Η σταθερά R ονομάζεται συντελεστής αντίστασης ή απλά

αντίσταση και εκφράζεται σε Ohm και συμβολίζεται με το Ω.

Το αντίστροφο της αντίστασης ονομάζεται αγωγιμότητα. Μονάδα μέτρησης της αγωγιμότητας είναι το Siemens (S).

1GR

=

( )u(t) Ri(t)=


9

Χρωματικός Κώδικας Αντιστάσεων

Παραδείγματα: Να βρεθούν οι τιμές των αντιστάσεων με τα παρακάτω χρώματα. Καφέ Μάυρο Κόκκινο Χρυσό ↓ ↓ ↓ ↓ 1 0 x 100 ± 5 % → 1000 ± 5 % Ω Κόκκινο Μοβ Πορτοκαλί Ασημί ↓ ↓ ↓ ↓ 2 7 x 1000 ± 10 % → 27000 ± 10 % Ω

Οι αντιστάσεις που χρησιμοποιούμε στο εργαστήριο είναι κυρίως της σειράς Ε12. Ονομάστηκε έτσι γιατί υπάρχουν δώδεκα τιμές σε κάθε δεκάδα αριθμών. Δεν υπάρχουν ενδιάμεσες από αυτές τις τιμές. Για τη δεκάδα 1 – 10 Ω οι τιμές είναι οι εξής: Σειρά Ε12: 1 1.2 1.5 1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2 (Ω) Για τις υπόλοιπες δεκάδες ισχύουν τα πολλαπλάσια τους.


10

Σύνδεση Αντιστάσεων Οι αντιστάσεις μπορούν να συνδεθούν σε κυκλώματα με

τρείς τρόπους: σε σειρά, παράλληλα και μικτά.

Σε σειρά Παράλληλα Μικτά

R =R +R +...+Rnολ 1 2

V =V +V +...+Vnολ 1 2

I =I =I =...=Inολ 1 2

1 2 n

1 1 1 1= + +...+R R R Rολ

I =I +I +...+Inολ 1 2

V =V =V =...=Vnολ 1 2


ΆΣΚΗΣΗ 1 11 11

Πολύμετρα Το πολύμετρο είναι το βασικότερο όργανο μέτρησης σε

ένα εργαστήριο ηλεκτρονικής επειδή μπορεί να μετρά πολλά μεγέθη όπως τάση (DC – AC), ρεύμα (DC – AC) και αντίσταση, κα.



Πολύμετρα Μέτρηση

Αντίστασης Τάσης Ρεύματος

Παράλληλα Παράλληλα Σε σειρά



Ράστερ - Breadboard

Κυρίως σώμα

Γραμμές Τροφοδοσίας Διακοπή

Βραχυκυκλωμένη πεντάδα



Διαιρέτης Τάσης

Χωρίς φορτίο RL Ανάλυση: Εφαρμόζοντας το νόμο των τάσεων του Kirchhoff κατά μήκος της κλειστής διαδρομής προκύπτει ότι: VS = V1 + V2 VS = ΙR1 + ΙR2 Χρησιμοποιώντας το νόμο του Ohm υπολογίζουμε τη τάση V0.

S

1 2

VI =R +R

20 2 S

1 2

RV =IR = VR +R




Mε φορτίο RL Ανάλυση: Εφαρμόζοντας το νόμο των τάσεων του Kirchhoff κατά μήκος της κλειστής διαδρομής προκύπτει ότι: VS = V1 + V2 VS = ΙR1 + Ι(R2//RL) Χρησιμοποιώντας το νόμο του Ohm υπολογίζουμε τη τάση V0L.

S

1 2 L

VI =R +R //R

2 L0L 2 L S

1 2 L

R //RV =I(R //R ) = VR +R //R




Mε φορτίο RL Ανάλυση: Καθώς η RL → ∞ η V0L → Vo. Δηλαδή καθώς RL>> R2 ο λόγος των τάσεων V0L/V0 παραμένει ουσιαστικά ανεπηρέαστος από την προσθήκη του φορτίου. Αν η απόκλιση της V0L από τη V0 θεωρείται αποδεκτή μέχρι α%, αυτό σημαίνει ότι: Άρα:

OL 0100-αV = V

100

1 2L

1 2

R R100-αR ( )α R +R

≥



Διαιρέτης Ρεύματος Ανάλυση: Η τάση στα άκρα των αντιστάσεων είναι: Άρα:

1 21 1 2 2 S

1 2

R RV =I R =I R =IR +R

1=21 S S

1 2 1 2

R GI = I IR +R G +G

=1 22 S S

1 2 1 2

R GI = I IR +R G +G

Στη γενική περίπτωση που υπάρχουν n παράλληλα συνδεδεμένοι αντιστάτες με αγωγιμότητες G1, G2, …, Gn,τότε: , όπου Gεq = G1 + G2 + … + Gn k

k Seq

GI =IG


ΑΣΚΗΣΗ 1 18

Άσκηση


Παρατηρήσεις:

- Ο χρωματικός κώδικας δίνει τις ονομαστικές τιμές, ενώ η ωμομέτρηση τις πειραματικές τιμές.

- Οι πειραματικές τιμές θα χρησιμοποιηθούν για τη θεωρητική επίλυση του κυκλώματος.

- Η % απόκλιση των πραγματικών από τις ονομαστικές τιμές των αντιστάσεων δίνεται από τη σχέση.

- Για να μετρήσουμε την ένταση Ι του ρεύματος

παρεμβάλουμε το ηλεκτρονικό πολύμετρο σε σειρά στο κύκλωμα (βλ. Σχήμα).

- Συνδέουμε το κιβώτιο αντιστατών στα άκρα του αντιστάτη R3, ώστε να παίξει το ρόλο αντιστάτη φορτίου RL.

ονομ. τιμη - πειρ. τιμη% αποκλιση =

ονομ. τιμη

ΑΣΚΗΣΗ 1 19

Άσκηση


Mε φορτίο RL Χωρίς φορτίο RL

ΑΣΚΗΣΗ 1 20 ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΑΣΚΗΣΗ 2

ΚΥΚΛΩΜΑ ΓΕΦΥΡΑΣ WHEATSTONE – ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Δ ΣΕ Υ





2

Εργαστήριο 2

Κύκλωμα Γέφυρας Wheatstone

Μετασχηματισμοί Κυκλωμάτων Δ σε Υ

Επίλυση Κυκλώματος Γέφυρας Wheatstone με Μετασχηματισμό Δ σε Υ

ΑΣΚΗΣΗ 2 ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Δ ΣΕ Υ

ΑΣΚΗΣΗ 2 3


To κύκλωμα της γέφυρας Wheatstone είναι ένα κύκλωμα που προσφέρεται για ακριβείς μετρήσεις αντιστάσεων στην περιοχή από 1Ω έως 1ΜΩ με ακρίβεια της τάξης του ±0.1%.

ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Δ ΣΕ Υ

ΑΣΚΗΣΗ 2 4

Κύκλωμα Γέφυρας Wheatstone Όταν τo ρεύμα που διαρρέει

το γαλβανόμετρο μηδενιστεί, τότε λέμε ότι η γέφυρα βρίσκεται σε ισορροπία.

Άρα: Επίσης, VA = VB. Άρα:

1 3 2 XI =I και I =I

( )R3 Rx 3 3 X X

R1 R2 1 1 2 2

V =V I R =I RV =V I R =I R

÷⇒ ⇒⇒

X3

1 2

RR =R R

ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE – ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Δ ΣΕ Υ

Συνθήκη Ισορροπίας:

ΑΣΚΗΣΗ 2 5

Κύκλωμα Γέφυρας Wheatstone Παρατηρήσεις:

1. Εάν ο λόγος R2/R1 είναι ίσος με τη μονάδα, τότε ο άγνωστος αντιστάτης RX είναι ίσος με τον R3. Άρα, ο αντιστάτης R3 θα πρέπει να μεταβάλλεται σε περιοχή τιμών που θα περιλαμβάνει και την τιμή του άγνωστου αντιστάτη RX.

2. Λόγω θερμοηλεκτρικών τάσεων

που αναπτύσσονται στις επαφές ανόμοιων μετάλλων και ρευμάτων διαρροής η τιμή της RX περιορίζεται σε τιμές από 1Ω έως 1ΜΩ.


ΑΣΚΗΣΗ 2 6


Άσκηση:

Να υπολογιστούν τα ρεύματα που διαρρέουν τους αντιστάτες R1 και R4.

Δίνονται: R1 = 3Ω, R2 = 6Ω, R3 = 12Ω, R4 = 24Ω, RS = 10Ω και VS = 60V.


ΑΣΚΗΣΗ 2 7


Λύση:

Πρώτη Μέθοδος

Αντικαθιστούμε τον αντιστάτη R5 με ανοικτό κύκλωμα.

Δεύτερη Μέθοδος

Αντικαθιστούμε τον αντιστάτη R5 με βραχυκύκλωμα.


ΑΣΚΗΣΗ 2 ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Δ ΣΕ Υ 8

Μετασχηματισμοί Δ σε Υ

Συνδεσμολογία Δέλτα (Δ) ή Τρίγωνο ή Π

=

Presenter

Presentation Notes

Το ενδιαφέρον του προηγούμενου κυκλώματος πέρα από την χρησιμότητα του για τη μέτρηση με ακρίβεια των αντιστάσεων, είναι ότι η συνδεσμολογία των αντιστατών δεν μπορεί να απλοποιηθεί και να αναχθεί σε μια μοναδική ισοδύναμη αντίσταση συνδεδεμένη στους ακροδέκτες του. Αυτό μπορεί να γίνει μόνο με τη χρήση των μετασχηματισμών Δσε Υ.



Μετασχηματισμός Δ σε Υ

=> B Γ

1Α B Γ

Α Γ2

Α B Γ

Α Β3

Α B Γ

R RR =R +R +R

R RR =R +R +R

R RR =R +R +R

Presenter

Presentation Notes




Μετασχηματισμός Υ σε Δ

=> 1 2 2 3 3 1

A1

1 2 2 3 3 1B

2

1 2 2 3 3 1Γ

3

R R +R R +R RR =R

R R +R R +R RR =R

R R +R R +R RR =R

Presenter

Presentation Notes




Άσκηση:

Να υπολογιστεί το ρεύμα Ι και η ισχύς που παρέχει η πηγή.

Δίνονται: RΑ = 25Ω, RΒ = 125Ω, RΓ = 100Ω, R4 = 40Ω, R5 = 37.5Ω, RS RS = 5Ω

και VS = 40V.

RS

Presenter

Presentation Notes


ΑΣΚΗΣΗ 2 12

Άσκηση


ΑΣΚΗΣΗ 2 13

Άσκηση


ΑΣΚΗΣΗ 2 14 ΓΕΦΥΡΑ WHEATSTONE - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Δ ΣΕ Υ

ΑΣΚΗΣΗ 3

ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ (ΚΟΜΒΩΝ – ΒΡΟΧΩΝ)





2


Βασικές Έννοιες (Κόμβος, κλάδος βρόχος κλπ)

Μέθοδος των Κόμβων

Μέθοδος των Βρόχων

ΑΣΚΗΣΗ 3 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ (ΚΟΜΒΩΝ - ΒΡΟΧΩΝ)

ΑΣΚΗΣΗ 3 3

Βασικές Έννοιες Κόμβος είναι ένα σημείο του κυκλώματος, όπου ενώνονται δύο ή περισσότερα

στοιχεία. Ουσιώδης Κόμβος είναι ένα σημείο του κυκλώματος, όπου ενώνονται δύο ή

περισσότερα στοιχεία (essential node). Διαδρομή είναι ο δρόμος που σχηματίζεται από ένα σύνολο διαδοχικών στοιχείων

του κυκλώματος, έτσι ώστε να μην περνάμε από κάποιον κόμβο δεύτερη φορά. Κλειστή διαδρομή είναι ο δρόμος που ακολουθούμε όταν ξεκινάμε από έναν κόμβο του κυκλώματος και περνώντας διαδοχικά από ένα σύνολο συνδεδεμένων στοιχείων του κυκλώματος καταλήγουμε στον ίδιο κόμβο, χωρίς να περάσουμε δεύτερη φορά από κάποιον ενδιάμεσο κόμβο.

ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ (ΚΟΜΒΩΝ - ΒΡΟΧΩΝ)

ΑΣΚΗΣΗ 3 4

Βασικές Έννοιες Κλάδος είναι η διαδρομή, η οποία συνδέει δύο κόμβους.

Ουσιώδης Κλάδος είναι η διαδρομής που συνδέει δύο ουσιώδεις κόμβους (essential branch).

Βρόχος είναι ένας ειδικός τύπος κλειστής διαδρομής που δεν περιέχει στο εσωτερικό του κάποια άλλη κλειστή διαδρομή.


ΑΣΚΗΣΗ 3 5

Μέθοδος Δυναμικών Κόμβων

Το κύκλωμα έχεις τρεις ουσιώδεις κόμβους (κno = 3).

Άρα, χρειαζόμαστε κno - 1 = 2 εξισώσεις κόμβων για την περιγραφή του κυκλώματος.

Επιλογή του κόμβου αναφοράς.

Ορισμός των δυναμικών των

υπολοίπων κόμβων (π.χ. V1 και V2).

1 3 2 XI =I και I =I


ΑΣΚΗΣΗ 3 6 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ (ΚΟΜΒΩΝ - ΒΡΟΧΩΝ)

1 1 1 21 2 3

1 2 3

E -V V V -VI =I +I = +R R R

⇒

Μέθοδος Δυναμικών Κόμβων Γράφουμε τις εξισώσεις των κόμβων του κυκλώματος.

1 (1) 2 (2)

1 2 23 4

3 4

V -V VI +I =I + I =R R

⇒


( ) ( )( )

( )( )

1 2 3 1 3 2 11 1 1 2 1 2 3

3 1 3 242 1 3 2 4

-G +G +G V -G V = -EGE -V G +VG + V -V G = 0

-G V + G +G V =IV -V G +V G -I = 0 ⇒


Χρησιμοποιώντας αγωγιμότητες αντί των αντιστάσεων το σύστημα των δύο προηγούμενων εξισώσεων γράφεται.


11 1 12 2 11 11 12 1 11

21 1 22 2 22 21 22 2 22

G V - G V = I G -G V I ή =

-G V + G V = I -G G V I


Γενικεύοντας τη μορφή του προηγούμενου συστήματος, έχουμε.


11 12 1n 1 11

21 22 2n 2 22

n nnn1 n2 nn

G -G ... -G V I-G G ... -G V I

= . . . . ... .V I-G -G ... G

Μέθοδος Δυναμικών Κόμβων Για κύκλωμα με (κno + 1) ουσιώδεις κόμβους ισχύει η παρακάτω εξίσωση.

όπου: I11, I22, …, Inn: τα αθροίσματα των ρευμάτων που εισέρχονται (+) ή εξέρχονται (-)

στους κόμβους 1, 2, …, n και οφείλονται σε πηγές τάσης ή ρεύματος.

G11, G22, …, Gnn: τα αθροίσματα των αγωγιμοτήτων των κλάδων που συνδέονται στους κόμβυς 1, 2, …, n.

G12, G21, …, Gn1: τα αθροίσματα των αγωγιμοτήτων του κλάδου, που ενώνουν άμεσα τους κόμβους 1 και 2, 2 και 1, …, n και 1.

V1, V2, …, Vn: τα δυναμικά των κόμβων 1, 2, …, n.

ΑΣΚΗΣΗ 3 10




1 2T

1 3 5

2 5 4

(A) : I =I +I(B) : I =I +I(Γ) : I +I +I

⇒

( )

S A A B A ΓS 1 2

BA B B Γ

1 3 5

A BΓ Γ Γ2 5 4

1 1 1(V -V ) =(V -V ) + (V -V )R R R

V1 1(V -V ) = + (V -V )R R R1 1 1(V -V ) + V -V =V

R R R

⇒

SA B Γ

S 1 2 1 2 S

A B Γ1 1 3 5 5

A B Γ2 5 2 54

V1 1 1 1 1+ + V - V - V =R R R R R R

1 1 1 1 1- V + + + V - V = 0R R R R R

1 1 1 1 1- V - V + + + V = 0R R R R R

ΑΣΚΗΣΗ 3 11

Μέθοδος Ρευμάτων Βρόχων


Το κύκλωμα έχεις τρεις ουσιώδεις κόμβους (κno = 3) και πέντε ουσιώδεις κλάδους (κbo = 5).

Άρα, χρειαζόμαστε [κbo - (κno – 1)] = 3 εξισώσεις ρευμάτων βρόχων για την

περιγραφή του κυκλώματος.

Επιλογή των ρευμάτων βρόχου.

ΑΣΚΗΣΗ 3 12



⇒

A 1 A B 2 1 1 2 A 2 B 1C

B A 2 B 3 B 2 A 2 3 BC 4 4 4 C

B 5 2C 4 C

(A) : I R + (I -I )R =E (R +R )I -R I + 0I = E(B) : (I -I )R +I R +(I -I )R = 0 -R I + (R +R +R )I - R I = 0(Γ) : (I -I )R +I R =-E

A B 5 24 4 C 0I -R I + (R +R )I = -E

Εφαρμόζουμε το νόμο των τάσεων του Kirchhoff κατά μήκος των βρόχων εκφράζοντας όλες τις τάσεις στα άκρα των αντιστάσεων συναρτήσει των ρευμάτων βρόχων.

Επιλογή των ρευμάτων βρόχου.

ΑΣΚΗΣΗ 3 13



Άρα, το σύστημα που προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου ρευμάτων βρόχων μπορεί να γραφεί ως εξής:

όπου: R11, R22, …, Rnn: τα αθροίσματα των αντιστάσεων στο βρόχο 1, 2, …, n.

R12, R21, …, Rn1: τα αθροίσματα των αντιστάσεων που είναι κοινές για του βρόχους 1 και 2, 2 και 1, n και 1.

I1, I2, …, In: τα ρεύματα των βρόχων 1, 2, …, n.

E11, E22, …, Enn: τα αθροίσματα των ΗΕΔ στους βρόχους 1, 2, …, n, κατά τη φορά των ρευμάτων των βρόχων.

Παρατήρηση: Τα πρόσημα των αμοιβαίων αντιστάσεων Rij εξαρτόνται από τη σχετική φορά

των ρευμάτων βρόχων που τις διαρρέουν. Αν τα ρεύματα Ii και Ij είναι ομόρροπα επί της Rij, τότε το πρόσημο της είναι θετικό. Αν είναι αντίρροπα, τότε είναι αρνητικό.

11 12 1n 111

21 22 2n 2 22

nn1 n2 nn nn

R ±R ... ±R EI±R R ... ±R I E

= . . . . ... .I±R ±R ... R E

ΑΣΚΗΣΗ 3 14




S 1 3 1 1 2 3 3 S

1 1 1 2 5 2 5 3

3 1 5 2 3 5 34

(1) : (R +R +R )I -R I -R I =V(2) : -R I + (R +R +R )I -R I = 0(3) : -R I -R I + (R +R +R )I = 0

ΑΣΚΗΣΗ 3 15




1 2T

1 3 5

2 5 4

(A) : I =I +I(B) : I =I +I(Γ) : I +I +I

⇒

( )

S A A B A ΓS 1 2

BA B B Γ

1 3 5

A BΓ Γ Γ2 5 4

1 1 1(V -V ) =(V -V ) + (V -V )R R R

V1 1(V -V ) = + (V -V )R R R1 1 1(V -V ) + V -V =V

R R R

⇒

SA B Γ

S 1 2 1 2 S

A B Γ1 1 3 5 5

A B Γ2 5 2 54

V1 1 1 1 1+ + V - V - V =R R R R R R

1 1 1 1 1- V + + + V - V = 0R R R R R

1 1 1 1 1- V - V + + + V = 0R R R R R

ΑΣΚΗΣΗ 3 16 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ (ΚΟΜΒΩΝ -

ΒΡΟΧΩΝ)

ΑΣΚΗΣΗ 4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ





2


Βασικές έννοιες του εναλλασσόμενου ρεύματος

Εφαρμογή εναλλασσόμενου ρεύματος σε κυκλώματα αποτελούμενα από ένα μόνο στοιχείο (R, L, C)

Εφαρμογή εναλλασσόμενου ρεύματος σε κύκλωμα με στοιχειά RLC συνδεδεμένα σε σειρά

ΑΣΚΗΣΗ 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

ΑΣΚΗΣΗ 4 3

Κατηγορίες Ηλ. Ρευμάτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

Συνεχές ρεύμα

Μεταβαλλόμενο ρεύμα με την ίδια φορά

Μεταβαλλόμενο ρεύμα με αλλαγή φοράς

Μεταβαλλόμενο ρεύμα με την ίδια φορά

Περιοδικά Ρεύματα

Ημιτονοειδές Εναλλασσόμενο Ρεύμα

Η στιγμιαία τιμή της τάσης είναι:

όπου:

V η στιγμιαία τάση, δηλαδή η τάση σε τυχαία χρονική στιγμή.

V0 ή Vp το πλάτος, δηλαδή η μέγιστη τιμή της τάσης.

T η περίοδος, δηλαδή ο χρόνος που απαιτείται για μια ολοκληρωμένη μεταβολή της τάσης (για να ολοκληρωθεί ένας κύκλος).

f (= 1/T) η συχνότητα, δηλαδή ο αριθμός των κύκλων στη μονάδα του χρόνου (μονάδα συχνότητας το 1 Ηz = 1 cycle/sec.).

ω (= 2πf) η κυκλική συχνότητα (μονάδα το 1 rad/sec).

φ (= ωt) η στιγμιαία φάση, δηλαδή η γωνία σε ορισμένη χρονική στιγμή t.

0 0 0 02πV =V cosφ =V cos(ωt) =V cos(2πft) =V cos tΤ

ΑΣΚΗΣΗ 4 4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

Ημιτονοειδές Εναλλασσόμενο Ρεύμα

0 0 0 02πV =V cosφ =V cos(ωt) =V cos(2πft) =V cos tΤ

Επίσης, όσον αφορά το μέγεθος του πλάτους, μπορεί να δηλωθεί με τρεις τρόπους.

• Με τη τιμή κορυφής Vp ή Vm (ή V0), η οποία είναι η τιμή από το 0 μέχρι τη μια κορυφή της κυματομορφής.

• Με τη τιμή από κορυφή (peak) σε κορυφή Vp-p, η οποία είναι η τιμή από τη μια κορυφή μέχρι την άλλη.

• Με την ενεργό τιμή της τάσης Vεν ή Vrms (root mean square), η οποία είναι η τιμή μιας συνεχούς τάσης η οποία προκαλεί κατανάλωση ισχύος ίση με τη μέση ισχύ που καταναλίσκεται σε μια περίοδο της εναλλασσόμενης. Έχει τιμή ίση με 0.707 Vp διότι ισχύει η σχέση:

(Ισχύουν τα ίδια και για το μέγεθος του ρεύματος)

p p-prms

V VV = =

2 2 2


Παράδειγμα 1


Μια ημιτονoοειδής τάση 60 Hz α.c. δίνει μέτρηση 120 V από ένα βολτόμετρο.

α) Ποια είναι η μέγιστη τιμή της τάσης Vp σε έναν κύκλο;

β) Ποια είναι η εξίσωση που περιγράφει το μέγεθος της τάσης;

Λύση:

Η μέτρηση a.c. τάσης (ή ρεύματος) που δίνει το βολτόμετρο είναι η ενεργός τιμή του μεγέθους.

a)

β) v(t) = Vo(t) cos(ωt) = 170 cos(2πft) = 170 cos(2π60t) =170 cos(120πt) V

⇒ = ⋅ = ⋅prms p rms

VV = V 2 V 2 120 =170 V

2



Μια ημιτονική τάση 60cos(120πt) εφαρμόζεται σε μια αντίσταση 20 Ω.

α) Τι θα δείξει το αμπερόμετρο σε σειρά με την αντίσταση;

β) Υπολογίστε το μέγιστο ρεύμα.

Λύση:

a)

Άρα:

β)

⇒ =prms rms

V 60V = V = 42.4 V2 2

⇒ ⇒rmsrms rms rms

V 42.4I = I = I =2.12 AR 20

⇒ ⋅ ⇒ ⋅ ⇒prms p rms p p

II = I = 2 I I = 2 2.12 I =3 A

2

Διάγραμμα με Στρεφόμενα Διανύσματα


Μια ημιτονοειδής κυματομορφή μπορεί να θεωρηθεί ότι παράγεται κατά την

περιστροφή ενός διανύσματος με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω [rad/s] και

φορά αντίθετη από τη φορά των δεικτών του ρολογιού.

Επιπλέον:

-H πλήρης περιστροφή του διανύσματος ονομάζεται κύκλος, και το χρονικό διάστημα που απαιτείται ονομάζεται περίοδος Τ [s].

-Το μήκος τους διανύσματος έχει μέτρο ίσο με το πλάτος του ημιτονοειδούς μεγέθους.

- H γωνία ωt την οποία σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα x, έχοντας ξεκινήσει την περιστροφή κατά την χρονική στιγμή t = 0, ονομάζεται φάση.

Παρατηρήσεις:

1. Τονίζεται ότι για την παράσταση ενός εναλλασσόμενου ημιτονοειδούς μεγέθους δεν είναι απαραίτητο να είναι διανυσματικό μέγεθος.

2. Οι υπολογισμοί με τα στρεφόμενα διανύσματα είναι πολύπλοκοι και επίπονοι.

Α



H μεταβολή με το χρόνο της y συνιστώσας του διανύσματος καταγράφει μια ημιτονική κυματομορφή, ενώ η μεταβολή της x συνιστώσας καταγράφει μια συνημιτονική κυματομορφή.



Εάν θεωρήσουμε δύο διανύσματα, τα οποία περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή

ταχύτητα ω, εκ των οποίων το ένα , αρχίζει να περιστρέφεται τη χρονική στιγμή

t = 0 και το άλλο, , κάποια άλλη χρονική στιγμή t, έτσι ώστε να σχηματίζει γωνία φο

με τον άξονα x, τότε τα δύο διανύσματα έχουν διαφορά φάσης φο μεταξύ τους.

1Α

2Α



Ποιο από τα ημιτονοειδή σήματα Α, Β προηγείται και ποιο καθυστερεί και πόσο;

Λύση:

Προηγείται πάντα το σήμα που διέρχεται πρώτο από τον άξονα του χρόνου.

Δηλαδή, στην προκειμένη περίπτωση λέμε ότι το σήμα Β προηγείται του Α ή το σήμα Α καθυστερεί του Β.

Όπως φαίνεται και στο σχήμα το Β προηγείται του Α κατά π/2.

Εφαρμογή Ημιτονοειδούς Ρεύματος

Έστω

Τότε η τάση στα άκρα ωμικής αντίστασης R,

ο οποίος διαρρέεται από το ρεύμα i(t) είναι:

Άρα, το ρεύμα και η τάση στα άκρα της αντίστασης είναι σε φάση (συμφασικά).

mi(t) =I cos(ωt)

Αντίσταση R

⇒R R mv (t) =Ri(t) v (t) =RI cos(ωt)



Έστω

Επίσης, γνωρίζουμε ότι:

Άρα:

Άρα, το ρεύμα προηγείται της τάσης vc κατά π/2.

R mi (t) =I cos(ωt)

Πυκνωτής C

q(t) =Cυ(t)

⇒ ⇒ ⇒C CC

dq(t) du (t) du (t) 1=C i(t) =C du (t) = i(t)dt dt dt dt C

⇒ ⇒ ⇒∫ ∫C C m C m1 1 1v (t) = i(t)dt v (t) = I cos(ωt)dt v (t) = I sin(ωt) C C ωC

mC

I πv (t) = cos ωt-ωC 2



Πυκνωτής C

,

.0.

.

.

→ →∞→∞ →

rmsoC

o rms

C

C

VV1Άρα, το Χ = = = είναι η χωρητική αντίσταση του πυκνωτήωC I I

- Για ω 0 : X O πυκνωτής συμπεριφέρεται σαν ανοικτός διακόπτης- Για ω : X O πυκνωτής συμπεριφέρεται σαν κλειστός διακόπτης.



Έστω

Επίσης, γνωρίζουμε ότι:

Άρα:

Άρα, το ρεύμα έπεται της τάσης vL κατά π/2.

L mi (t) =I cos(ωt)

Πηνίο L

φ(t) =Li(t)

⇒ ⇒ ⇒

L L mL L

di (t) di (t) I cos(ωt)dφ(t) =L v (t) =L v (t) =L dt dt dt dt

⇒L m L mπv (t) = -LωI sin(ωt) v (t) = -LωI cos(ωt + )2



Πηνίο L


,

..

→ →

→∞ →∞

rmsoL

o rms

L

C

VVΆρα, το Χ = ωL = = είναι η επαγωγική αντίσταση του πυκνωτήI I

- Για ω 0 : X 0 Το πηνίο συμπεριφέρεται σαν κλειστός διακόπτης- Για ω : X Το πηνίο συμπεριφέρεται σαν ανοικτός διακόπτης.

.

.


O νόμος των τάσεων του Kirchhoff ισχύει μόνο για τις στιγμιαίες τιμές.

Άρα:

Kύκλωμα RLC (σε σειρά)

S R L Cv (t) = v (t) + v (t) +u (t)



Μη ιδανικό - Πραγματικό Πηνίο (Δφ ≠ 90ο)


Άσκηση

1.Ρυθμίστε την τάση στα άκρα της γεννήτριας με το κύκλωμα συνδεδεμένο.

2. Μετρείστε με το πολύμετρο τις τάσεις (ενεργές τιμές) στα άκρα των υπολοίπων στοιχείων.


Άσκηση

• Τοποθετούμε το VR στον άξονα x και προσδιορίζουμε το Α.

• Με κέντρο το Α και ακτίνα VL γράφουμε τόξο περιφέρειας (Α, VL).

• Με κέντρο το Ο και ακτίνα VS γράφουμε τόξο περιφέρειας (Ο, VS).

• Τα δύο τόξα τέμνονται στο Σ.

• Παίρνουμε τις προβολές του Σ

στους δύο άξονες.

•Να κάνετε σε millimetre χαρτί

το διάγραμμα των τάσεων.

3. Να κάνετε σε millimetre χαρτί το διάγραμμα των τάσεων.


Άσκηση

• Από το νόμο του Ohm για u = uR υπολογίζουμε το ρεύμα i.

• Έπειτα, εφαρμόζοντας τον ίδιο τύπο, όπου u = uRL και R = RL βρίσκουμε την

αντίσταση απωλειών του πηνίου.

• Από τον τύπο και

γνωρίζοντας ότι ω = 2πf βρίσκουμε

το συντελεστή αυτεπαγωγής του

πηνίου.

4. Να υπολογιστεί από το διάγραμμα η αντίσταση απωλειών του πηνίου.

5. Να υπολογιστεί από το διάγραμμα ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου.

LLVL =ωI


Άσκηση

6. Να επαναλάβετε τα βήματα 1-5 για το κύκλωμα RC.

Προσοχή!

Στο διάγραμμα που θα προκύψει τα διανύσματα θα βρίσκονται στο τέταρτο τεταρτημόριο, εφόσον η τάση στα άκρα του πυκνωτή καθυστερεί ως προς το ρεύμα κατά 90ο.


ΑΣΚΗΣΗ 5

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ - ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ





2


Μιγαδική Παράσταση Εναλλασσόμενων Ημιτονοειδών Τάσεων

Μιγαδική Αντίσταση

Παλμογράφος

ΑΣΚΗΣΗ 5 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ - ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ

3

Μελέτη Κυκλώματος RL σε Σειρά

ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ - ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 5

S 0V (t) =V cos(ωt +φ)

i(0) = 0, αρχική συνθήκη

Στο κύκλωμα ισχύει:

( ) ( )

S R L

0

- R/L t -10 02 2 2 2 2 2

v (t) = v (t) + v (t)

di(t)V cos(ωt +φ) =Ri(t) +Ldt

V Vi(t) = cos(φ-θ)e + cos(ωt +φ-θ), όπου θ = tan ωL /RR +ω L R +ω L

⇒

⇒

Μεταβατική συνιστώσα Συνιστώσα Σταθερής κατάστασης

4

Μιγαδική Παράσταση


Άρα, η χρήση της προηγούμενης ανάλυσης (τριγωνομετρική ανάλυση), δεν βοηθάει ειδικά σε πιο σύνθετα κυκλώματα. Για αυτό καταφεύγουμε στη χρήση της μιγαδικής παράστασης των στιγμιαίων τάσεων και ρευμάτων, με την οποία απαιτούνται μόνο αλγεβρικές μέθοδοι για την επίλυση κυκλωμάτων. Ταυτότητα του Euler: Άρα:

±jθe =cosθ ± jsinθ

{ } { } j(ωt+φ) j(ωt) jφS 0 0 0v (t) =V cos(ωt +φ) =V Re e Re V e e=

jφ0όπου V =V e : Φασική παράσταση – Phasor (διανυσματική παράσταση ημιτονοειδών

μεγεθών)

5

Μιγαδικοί Αριθμοί


Υπάρχουν δύο μορφές συμβολισμού ενός μιγαδικού αριθμού. Ορθογώνια μορφή: , όπου α το πραγματικό μέρος, b το φανταστικό μέρος και j είναι εξ ορισμού ίσο με . Πολική μορφή: , όπου r το μέτρο και θ το όρισμα του. Από την ταυτότητα του Euler:

όπου cosθ = a/r, sinθ = b/r,

r = (a2 + b2)1/2, θ = tan-1(b/a)

z = a ± jb

-1jθz =re =r θ∠

±jθ

±jθ

e =cosθ ± jsinθ

re =rcosθ ± jrsinθ = a + jb

⇒

6

Μιγαδικοί Αριθμοί


Ιδιότητες Μιγαδικών Αριθμών

( )

( ) ( )

*

*

n

1 2 1 2 1 2

1 11 2

2 2

±jπ

±jπ/2

2 2 2

*

*

njθ jθnn n

z z = x θ y θ = x y (θ +θ )z x θ x (θ -θ )z y θ y

e = -1e = ±j

z z = α +b =rz +z =2αz -z = j2bz =1 2θz

z = re =r e =r cosθn + jsinθn : Θεώρημα De Moivrejz =r (θ + π /2)z =r (θ + π /2)j-z =r

⋅ ∠ ⋅ ∠ ⋅ ∠∠

= = ∠∠

⋅

∠

∠

∠

(θ + π)∠

7

Πεδίο Χρόνου – Πεδίο Συχνότητας


{ }jwt jb0 0i(t) =I cos(ωt +b) i(t) =Re I e e⇒

{ } { } { }

{ } ( ){ }( )

( )

S R L

jφ jωt jωt jωtiβ iβ0 0 0

jφ jωt jωtiβ0 0

jφ iβ0 0

jφiβ 0

0

jφj(φ-θ)iβ iβ -10 0

0 0jθ2 2 2 2 2 2

v (t) = v (t) + v (t)

Re V e e =Re RI e e +Re jωLI e e

Re V e e Re I e e R + jωL

V e I e R + jωL

V eI eR + jωL

V e V ωLI e I e e , όπου θ = tanRR +ω L e R +ω L

⇒

⇒

= ⇒

= ⇒

= ⇒

= ⇒ =⋅

8



.2 2 2 -1

To μέγεθος Z =R + jωL εκφράζει την μιγαδική αντίσταση του κυκλώματος ωLμε μέτρο Z = R +ω L και όρισμα θ = tanR

• Για αντίσταση: RZ =R

• Για πηνίο:

j(ωt+φ)L L 0

οLL Lj(ωt+φ)

0jγ jπ/2

div =L v = jωLΙ edt

vZ = Z = jωL, η τάση προηγείται του ρεύματος κατά 90Ι e

γιατί e =cosγ + jsinγ j = e

⇒ ⇒

⇒

≡

• Για πυκνωτή:

j(ωt+φ)C C 0

j(ωt+φ)0

C CC

οC

jγ -jπ/2

dvi =C i = jωCV edtv e 1Z = Z =

i jωC1Z =-j , η τάση καθυστερεί ως προς το ρεύμα κατά 90

ωCγιατί e =cosγ + jsinγ -j = e

⇒ ⇒

⇒ ⇒

≡

• Γενικά: , όπου R το ωμικό μέρος και Χ το επαγωγικό ή χωρητικό. Z =R ± jX

9



Άσκηση

oSV (t) = 0.75cos(5000t +30 )

R =90ΩL =32mHC =5μF

oS

L

C

V = 0.75 30R =90ΩZ = jωL = j160Ω

1Z = = -j40ΩjωC

∠

2 2 -1 oολ L C ολ

oo oS

oολ

120Z =R +Z +Z Z =(90 + j120)Ω = 90 +120 tan =150 5390

V 0.75 30Ι = 5 -23 mA ή i(t) =5cos(5000t-23 )150 53Z

⇒ ∠ ∠

∠= = ∠

∠

10


Μετρήσεις με παλμογράφο

Power On/Off

Χρόνος

Τάση

11

Γενικά:

• Λειτουργεί ως βολτόμετρο. • Δίνει κυματομορφές τάσεων. • Τοποθετείται παράλληλα στο κύκλωμα. • Η γείωση του παλμογράφου πρέπει να συνδέεται στη γείωση του κυκλώματος.

Είσοδος Κανάλι 1 Είσοδος

Κανάλι 2 12


Volts/Division Κανάλι 1

Time/Division

Volts/Division Κανάλι 2

13


Κίνηση κάθετα

Κανάλι 1

Κίνηση κάθετα

Κανάλι 2

Κίνηση οριζόντια

14


Πλάτος Μετρούμε τον αριθμό

των διαιρέσεων από την βάση προς την κορυφή.

Peak to Peak Voltage = (Volts/Division) *(# of Division) Amplitude = (1/2) * Peak to Peak Voltage

Με 2 Volt/Division, το σήμα έχει πλάτος 5V

15


Συχνότητα Μετρούμε τον αριθμό

των διαιρέσεων μέχρι την αρχή του επόμενου κύματος.

Περίοδος = (Time/Division) *(# of Division) Συχνότητα = 1/ Περίοδος

Με 0.5ms/division, το σήμα έχει συχνότητα 1kHz

16


17



Διαφορά Φάσης

R-L R-C

φ = 360ο Δt/T = 360o Δt f

Δt Δt

18

Άσκηση (Α)


19

Άσκηση (Α)


Παρατηρήσεις: Με πολύμετρο στο AC μετράμε ενεργές τιμές, άρα: O νόμος του Kirchhoff ισχύει για τις στιγμιαίες τιμές, δηλ.: Επίσης, ισχύει για τις φασικές παραστάσεις, άρα:

R1(RMS) R2(RMS) R3(RMS) S(RMS)V +V +V V≠

R1 R2 R3 Sυ (t) + υ (t) + υ (t) = υ (t)

R1 R2 R3 SV +V +V =V

20

Άσκηση (Β)


1. Με τον παλμογράφο μετράμε VLo και ΔtL(S).

φL(s) = 360o ΔtL(S) /T = 360o ΔtL(S) f.

2. Aλλάζουμε αμοιβαία θέση μεταξύ L και R.

3. Με τον παλμογράφο μετράμε VRo και ΔtR(S). φR(s) = 360o ΔtR(S) /T = 360o ΔtR(S) f.

4. Υπολογίζουμε τις φάσεις ως προς το ρεύμα i. φR(i) = 0o

φs(i) = φR(s) φL(i) = φL(s) + φR(s)

5. Κατασκευάζουμε το διάγραμμα των τάσεων του κυκλώματος.

I0

ΑΣΚΗΣΗ 5 21 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ - ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ

ΑΣΚΗΣΗ 6

ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ KΥΚΛΩΜΑΤΑ THEVENIN-NORTON ΙΣΧΥΣ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΣΧΥΟΣ





2


Ισοδύναμα Κυκλώματα Thevenin – Norton

Ισχύς Εναλλασσομένου Ρεύματος

Θεώρημα Μέγιστης Μεταφοράς Ισχύος

ΑΣΚΗΣΗ 6

3


ΑΣΚΗΣΗ 6

(Leon Thevenin, 1883) Είναι από τα σπουδαιότερα θεωρήματα των ηλεκτρικών κυκλωμάτων, κυρίως όταν ενδιαφερόμαστε για συγκεκριμένο τμήμα του κυκλώματος. Πολλές φορές κατά την ανάλυση κυκλωμάτων επικεντρωνόμαστε στο τι συμβαίνει σε ένα συγκεκριμένο ζευγάρι ακροδεκτών, στο οποίο συνδέουμε ένα στοιχείο για το οποίο θέλουμε να γνωρίζουμε το ρεύμα που το διαρρέει καθώς και την τάση στα άκρα του. Για παράδειγμα έστω το κύκλωμα.

4


ΑΣΚΗΣΗ 6

H ισοδυναμίας έχει το νόημα ότι εάν συνδέσουμε την RL στους ακροδέκτες Α, Β, κάθε κυκλώματος το φορτίο θα διαρρέεται από το ίδιο ρεύμα και θα έχει την ίδια τάση. Η ισοδυναμία πρέπει να ισχύει για όλες τις τιμές της RL. Παρατηρούμε στο ισοδύναμο κύκλωμα Τhevenin: • αν RL → ∞ τότε έχουμε κατάσταση ανοικτού κυκλώματος, άρα • aν RL → 0 τότε έχουμε κατάσταση βραχυκυκλώματος, άρα • Επίσης,

.

AB THΙ = 0 και V =V

.

THAB Ν

TH

VΙ = =ΙΖ

.

THTH

Ν

VΖ =Ι

5

Παράδειγμα 1 (D.C.)

ΑΣΚΗΣΗ 6

Υπολογίστε τα ισοδύναμα κυκλώματα κατά Thevenin – Norton του κυκλώματος. E1 = 75 V E2 = 20 V R1 = 3 kΩ R2 = 10 kΩ R3 = 7 kΩ R4 = 5 kΩ Λύση: • Mε Α, Β, ανοικτά : IR4 = 0 και επομένως VR4 = 0.

Άρα:

όπου Επομένως:

⇒A B 2 2 AB 2 2V -V = -E -IR V =-E -IR (1)

+ +

1

1 2 3

EΙ = =3.75 mA (2)R R R

⇒(2)

AB TH(1) V = -57.5 V =V

6


ΑΣΚΗΣΗ 6

Υπολογίστε τα ισοδύναμα κυκλώματα κατά Thevenin – Norton του κυκλώματος. E1 = 75 V E2 = 20 V R1 = 3 kΩ R2 = 10 kΩ R3 = 7 kΩ R4 = 5 kΩ Λύση: • Mε Α, Β, βραχυκυκλωμένα :

• Εύρεση RTH (1ος τρόπος). Έμμεσα :

{ ... =⇒ ⇒ =

α 1 3 α β 2 1 α

β Νβ 4 β α 2 2

I (R +R ) +(I -I )R =E I 6.625 mAI =5.75 mA II R +(I -I )R =E

TH

THN

V 57.5 VR = = =10 kΩ I 5.75 mA

7


ΑΣΚΗΣΗ 6

Υπολογίστε τα ισοδύναμα κυκλώματα κατά Thevenin – Norton του κυκλώματος. E1 = 75 V E2 = 20 V R1 = 3 kΩ R2 = 10 kΩ R3 = 7 kΩ R4 = 5 kΩ Λύση: • Εύρεση RTH (2ος τρόπος). Άμμεσα : Βραχυκυκλώνουμε τις πηγές τάσης και ανοικτοκυκλώνουμε τις πηγές ρεύματος. Επομένως, προκύπτει το παραπάνω κύκλωμα. Άρα:

TH 4 2 1 3R =R +R ||(R +R ) =10 kΩ

8

Παράδειγμα 2 (A.C.)

ΑΣΚΗΣΗ 6

Υπολογίστε τα ισοδύναμα κυκλώματα κατά Thevenin – Norton του κυκλώματος. Λύση:

∠ ∠ ∠∠

∠

ο ο οο

οΟΛ

V 50 0 50 0 50 0I = = = = =10 0 A5+ j5- j5 5 5 0Z

( ) ( ) ⋅ ∠ ⋅ ∠ ⋅ ∠ ∠

ο ο ο οTH ABV =V =I 5+ j5 =10 0 5+ j5 =10 0 7.07 45 =70.7 45 V

( ) ( ) ( ) ( ) ⋅

∠−

οTH

5+ j5 -j5 25- j25Z = 5+ j5 || -j5 = = =5- j5 =7.07 45 Ω5+ j5- j5 5

∠∠

∠−

οο

Ν ο70.7 45Ι = =10 90 Α

7.07 45

9

Παρατήρηση

ΑΣΚΗΣΗ 6

Με τα ισοδύναμα κυκλώματα κατά Thevenin – Norton μπορούμε να μετασχηματίσουμε μια πηγή τάση σε μια πηγή ρεύματος όπως φαίνεται στο σχήμα.

ΤΗΝ

ΤΗ

VI =Z

10


ΑΣΚΗΣΗ 6

Ισχύς: Το προσφερόμενο στα στοιχεία του κυκλώματος έργο στη μονάδα του χρόνου. p(t) = υ(t) i(t) → στιγμιαία ισχύς του ρεύματος

όπου υ(t) : στιγμιαία τάση i(t) : στιγμιαίο ρεύμα Για υ(t) = Vο cos(ωt + θ) και i(t) = Iο cos(ωt), όπου θ : διαφορά φάσης μεταξύ τάσης και ρεύματος, προκύπτει. p > 0, όταν i, υ : ομόσημα p(t) = Iο Vο cos(ωt + θ) cos(ωt) p = 0, όταν i = 0, υ = 0 p < 0, όταν i, υ : ετερόσημα

11


ΑΣΚΗΣΗ 6

Όμως: cosx cosy = p(t) = Σταθερός και εξαρτάται μεταβάλλεται με διπλάσια μόνο από τη διαφορά συχνότητας φάσης μεταξύ τάσης και ρεύματος

1 1cos(x - y) + cos(x + y)2 2

o o o oV I V Icosθ + cos(2ωt +θ) (1)2 2

12

Μέση Ισχύς ή Πραγματική Ισχύς

ΑΣΚΗΣΗ 6

⇒

⇒

∫ ∫ ∫

∫ ∫

0 0 0

0 0 00 0

0 0

t +T t +T t +T(1)o o o o

t t tt +T t +T

o o o o

t t

o oυ i

V I V I1 1 1P = p(t)dt = cosθ + cos(2ωt +θ) =T T 2 T 2

V I V I1 1 = cosθ 1dt + cos(2ωt +θ)dtT 2 T 2V I P = cos(θ -θ )2

o orms rms

V IP= cosθ=V I cosθ: Μέση Ισχής ή Πραγματική Ισχύς (2

Watt)

όπου θ = θυ – θi = θz και cosθ : παράγοντας ισχύος ή συντελεστής ισχύος • Για R : (o αντιστάτης απορροφά ισχύ)

• Για L : PL = 0, αφού θ = 90ο

• Για C : PC = 0, αφού θ = -90ο

2o 2o o o o o

R rmsV I V I RI P = cos0 = = =RI > 02 2 2

13

Άεργος Ισχύς ή Αντιδρώσα Ισχύς

ΑΣΚΗΣΗ 6

⇒ ⇒

⇒

⋅ ⋅

o o o o

rms rms rms rms

rms rms r

V I V IΆρα : (1) p(t) = cosθ + cos(2ωt +θ) 2 2

p(t) =V I cosθ + V I cos(2ωt +θ) (2)

Xρησιμοποιώντας : cos(x + y) =cosx cosy -sinx siny, η σχέση (2) γράφεται ως :

p(t) =V I cosθ +V

⋅ ⋅ ⇒

⋅ ⋅

ms rms rms rmsI cosθ cos(2ωt) -V I sinθ sin(2ωt)

p(t) =P + P cos(2ωt) - Q sin(2ωt) (3)

όπου και sinθ :συντελεστής ή παράγοντας άε

rms rmsQ=V I sinθ : Άεργος ή αντιδρώσα Ισχύς (VAR: Volt-Ampere Reactive)

rms rms

rms rms

ργης ισχύος

Q > 0 για L και Q < 0 για C

- Για R : p(t) = P +Pcos(2ωt)

- Για L : p(t) = -V I sin(2ωt)

- Για C : p(t) = V I sin(2ωt)

14

Μιγαδική Ισχύς ή Φαινόμενη Ισχύς

ΑΣΚΗΣΗ 6

* *

,

1(4)2

⇒

∠

⇒ ∠ ⋅ ∠− = ⋅ = ⋅

= = ⋅

rms rms rms rms

rms rms υ i

rms υ rms i rms rms o o

2 2rms rms

S =P + jQ =V I cosθ + jV I sinθ

S =V I θ (4) όπου θ = θ -θ

S =V θ I θ V I V I

S P +Q V I

Άρα : P =

S= P+ jQ : Mιγαδική ή Φαινόμενη Ισχύς (VA : Volt-Ampere)

S cosθ και Q = S sinθ

15

Βελτίωση του Συντελεστή Ισχύος

ΑΣΚΗΣΗ 6

Ο συντελεστής ισχύος είναι ένα ιδιαίτερα σημαντικό μέγεθος από οικονομικής σκοπιάς και αφορά τόσο τον καταναλωτή (φορτίο) όσο και την εταιρία παραγωγής και διανομής ηλεκτρικής ενέργειας. Για την κατανόηση της σημασίας του συντελεστή ισχύος, ας θεωρήσουμε ένα επαγωγικό φορτίο που καταναλώνει πραγματική ισχύ Ρ με συντελεστή ισχύος cosθ, όπου θ = θυ – θi, και απορροφά από το δίκτυο ενεργό ένταση ρεύματος Ιrms υπό ενεργό τάση Vrms. Το μέτρο της έντασης του ρεύματος που απορροφά ο καταναλωτής από το δίκτυο είναι Ιrms = P/ Vrms cosθ (5). Θεωρώντας ότι η πραγματική ισχύς, Ρ, που απορροφά ο καταναλωτής από το δίκτυο ηλεκτρικής ενέργειας είναι δεδομένη και σταθερή, όπως σταθερή θεωρείται και η τάση του δικτύου, τότε οι παράγοντες που μπορούν να μεταβληθούν είναι το ρεύμα και ο συντελεστής ισχύος.

16


ΑΣΚΗΣΗ 6

Αυτό που ενδιαφέρει κυρίως είναι το μέτρο της έντασης του ρεύματος που απορροφά ο καταναλωτής το δίκτυο. Από την εξ.(5), παρατηρούμε ότι η ένταση του ρεύματος μειώνεται με την αύξηση του συντελεστή ισχύος και αυξάνεται με τη μείωση του συντελεστή ισχύος. Μείωση του συντελεστή ισχύος σημαίνει ότι η διαφορά φάσης μεταξύ της τάσης και της έντασης μεγαλώνει και επομένως ο καταναλωτής απορροφά περισσότερη άεργη ισχύ από το δίκτυο. Δηλαδή, ο συντελεστής ισχύος είναι ένα μέτρο της άεργης ισχύος που ανταλλάσσεται μεταξύ καταναλωτή και δικτύου ηλεκτρικής ενέργειας. Σύμφωνα με τα παραπάνω, εάν ο καταναλωτής έχει χαμηλό συντελεστή ισχύος απορροφά μεγάλη ένταση ρεύματος από το δίκτυο, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται υψηλές απώλειες ισχύος (απώλειες Joule, RI2) επάνω στη γραμμή μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας. Επιπλέον, χαμηλός συντελεστής ισχύος σημαίνει ότι ο καταναλωτής απορροφά μεγάλη άεργη ισχύ από το δίκτυο, την οποία βεβαίως πρέπει να παράγουν οι γεννήτριες (πηγές) του δικτύου.

17


ΑΣΚΗΣΗ 6

Το αποτέλεσμα είναι, με τη μείωση του συντελεστή ισχύος, να αυξάνεται το κόστος διάθεσης ηλεκτρικής ισχύος στον καταναλωτή, το οποίο κόστος επιβαρύνει βεβαίως την εταιρία διανομής ηλεκτρικής ενέργειας. Αυτός είναι ο λόγος που η εταιρία διανομής ηλεκτρικής ενέργειας απαιτεί από τους καταναλωτές να απορροφούν πραγματική ηλεκτρική ισχύ από το δίκτυο με υψηλό συντελεστή ισχύος.

Στην πράξη, τώρα, υπάρχουν καταναλωτές με ισχυρά επαγωγικά φορτία, τα οποία καταναλώνουν μεγάλες ποσότητες άεργης ισχύος και επομένως παρουσιάζουν χαμηλό συντελεστή ισχύος. Τέτοιοι καταναλωτές είναι, για παράδειγμα, βιομηχανικές και εμπορικές εγκαταστάσεις. όπου λειτουργεί συνήθως ένας μεγάλος αριθμός συσκευών με επαγωγική συμπεριφορά, όπως ηλεκτρικοί κινητήρες, μετασχηματιστές κλπ. Στις περιπτώσεις αυτές, απαιτείται η βελτίωση του συντελεστή ισχύος της ηλεκτρικής εγκατάστασης, δηλαδή η αύξηση του συντελεστή ισχύος στην επιθυμητή τιμή.

Η βελτίωση του συντελεστή ισχύος επαγωγικού φορτίου επιτυγχάνεται με την προσθήκη πυκνωτών συνδεδεμένων παράλληλα προς το φορτίο, η διαδικασία δε αυτή ονομάζεται αντιστάθμιση άεργης ισχύος.

18 ΑΣΚΗΣΗ 6


19 ΑΣΚΗΣΗ 6

Θεώρημα Μέγιστης Μεταφοράς Ισχύος

Πολλά κυκλώματα σχεδιάζονται για να μεταφέρουν την μέγιστη ισχύ σε ένα φορτίο (συσκευή). Το πρώτο βήμα είναι να αντικαταστήσουμε το κύκλωμα με το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin.

20 ΑΣΚΗΣΗ 6

Θεώρημα Μέγιστης Μεταφοράς Ισχύος 1η Περίπτωση : Κύκλωμα στο D.C. Άρα, αντίσταση φορτίου RL στα άκρα Α, Β απορροφά τη μέγιστη ισχύ από το κύκλωμα, όταν η τιμή της αντίστασης του γίνει ίση με την αντίσταση Τhevenin RTH.

Οπότε,

( ) ( )( )

( ) ( )

⋅ ⋅

⇒ ⇒

⇒ ⇒

ΤΗ

L TH

22 ΤΗ

L L LL TH

2L TH L L TH

4L L TH

2L TH L L TH

VΡέυμα : Ι =R +R

VΙσχύς :P =I R = R , Eξαρτάται από την αντίσταση RR +R

R +R -2R R +RdPP μέγιστη όταν = 0 = 0dR R +R

R +R -2R R +R = 0 ( ) ( )⇒ ⇒

2L TH L L TH L TH R +R =2R R +R R =R

( )⋅TH TH TH

max 2THTH

V R VP = =4R2R

21 ΑΣΚΗΣΗ 6

Θεώρημα Μέγιστης Μεταφοράς Ισχύος 1η Περίπτωση : Κύκλωμα στο D.C. Όταν αυξάνεται η RL, τότε: • H VL αυξάνεται. • Το ΙL μειώνεται. • Η ΡL αυξάνεται μέχρι Ρmax (για RL = RTH) και μειώνεται στη συνέχεια.

22 ΑΣΚΗΣΗ 6

Θεώρημα Μέγιστης Μεταφοράς Ισχύος 2η Περίπτωση : Κύκλωμα στο Α.C. H Ισχύς γίνεται μέγιστη όταν ΧL = -XTH. Για dP/dRL = 0 παίρνουμε RL = RTH. Άρα: ZL = RTH – jXTH =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )⋅

⋅

TH TH TH L L L

TH TH2 2

TH L TH L TH L TH L

22 ΤΗ L

L 2 2TH L TH L

Z =R + jX και Z =R + jX

V VΡέυμα :I = και I = I =R +R + j X +X R +R + X +X

V RΆρα :P =I R =R +R + X +X

*THZ

ΑΣΚΗΣΗ 6 23

ΑΣΚΗΣΗ 8

ΦΙΛΤΡΑ – ΗΘΜΟΙ

(Χαμηλοπερατό – Υψηλοπερατό)





2


Φίλτρα (γενικά)

Χαμηλοπερατό Φίλτρο

Υψηλοπερατό Φίλτρο

ΑΣΚΗΣΗ 8

3

Φίλτρα - Ηθμοί

ΑΣΚΗΣΗ 8

Τα φίλτρα ή ηθμοί είναι κυκλώματα που επιτρέπουν τη διέλευση από την είσοδο στην έξοδο του κυκλώματος, σημάτων από κάποια συγκεκριμένη περιοχή του φάσματος συχνοτήτων και παράλληλα εμποδίζουν την διέλευση σημάτων διαφορετικής συχνότητας. Από τις πιο συνηθισμένες εφαρμογές των φίλτρων είναι ο αποχωρισμός του σήματος από τον θόρυβο.

4

Κατηγορίες Φίλτρων (ανάλογα με την περιοχή λειτουργίας)

ΑΣΚΗΣΗ 8

Διακρίνονται σε: Χαμηλοπερατά Φίλτρα (Low-pass Filters) : Επιτρέπουν τη διέλευση σημάτων χαμηλής συχνότητας, μέχρι τη συχνότητα αποκοπής (fc). Δηλ. για συχνότητες 0 < f < fc. Υψηλοπερατά Φίλτρα (High-pass Filters) : Επιτρέπουν τη διέλευση σημάτων με συχνότητες μεγαλύτερες από τη συχνότητα αποκοπής (fc). Δηλ. για συχνότητες f > fc. Φίλτρα Ζώνης Διέλευσης (Band-pass Filters) : Επιτρέπουν τη διέλευση σημάτων με συχνότητες που βρίσκονται σε μια ζώνη συχνοτήτων. Δηλ. για συχνότητες fc1 < f < fc2. Φίλτρα Ζώνης Aπόρριψης (Band-reject Filters) : Επιτρέπουν τη διέλευση σημάτων με συχνότητες f < fc1 ή f > fc2.

5

Κατηγορίες Φίλτρων (ανάλογα με το είδος των στοιχείων)

ΑΣΚΗΣΗ 8

Διακρίνονται σε: Παθητικά Φίλτρα : Χρησιμοποιούνται παθητικά στοιχεία (R, L, C). Έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Δεν απαιτούν εξωτερική τροφοδοσία Απλά στην σχεδίαση Ακριβά Δεν ενισχύουν το σήμα

Ενεργά Φίλτρα : Χρησιμοποιούνται ενεργά στοιχεία (Τελεστικούς Ενισχυτές ή Τρανζίστορ). Έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: Απαιτούν εξωτερική τροφοδοσία Πολύπλοκα κυκλώματα Φθηνά Ενισχύουν το σήμα

6

Απολαβή Ισχύος (Power Gain)

ΑΣΚΗΣΗ 8

Pin : η ισχύς του σήματος εισόδου. Ρout : η ισχύς του σήματος εξόδου. Προσοχή:

Αναφερόμαστε μόνο στις a.c. συνιστώσες τους.

outp

in

PA =P

7

Απολαβή Τάσης (Voltage Gain)

ΑΣΚΗΣΗ 8

Vin : το πλάτος του σήματος εισόδου. Vout : το πλάτος του σήματος εξόδου. Προσοχή:

Για Αv > 1, τότε το κύκλωμα ονομάζεται ενισχυτής.

Για Αv < 1, τότε το κύκλωμα ονομάζεται εξασθενητής.

outv

in

VA =V

8

Decibel (dB)

ΑΣΚΗΣΗ 8

Για πολύ μικρές ή πολύ μεγάλες απολαβές χρησιμοποιείται η λογαριθμική μονάδα (bel) η οποία εκφράζει τη αύξηση ή μείωση της ισχύος κατά μια τάξη μεγέθους. Δηλ. Επειδή η μονάδα bel είναι μεγάλη χρησιμοποιείται η μονάδα decibel (dB), όπου 1 bel = 10 dB. Επομένως: Για Pout < Pin : Ap(dB) < 0 dB. Για Pout = Pin : Ap(dB) = 0 dB. Για Pout > Pin : Ap(dB) > 0 dB.

out10p(bel)

in

PA =logP

out10p(dB)

in

PA =10logP

9

Decibel (dB)

ΑΣΚΗΣΗ 8

To dB αρχικά εισήχθη ως μέτρο της μεταβολής του ακουστικού επιπέδου. Π.χ. το αυτί δεν είναι γραμμικό αισθητήριο όργανο αλλά αποκρίνεται λογαριθμικά. Χρησιμοποιείται στις τηλεπικοινωνίες χρησιμοποιώντας ως επίπεδο αναφοράς το Pin = 1 mW. Σε πολλά βολτόμετρα υπάρχει κλίμακα βαθμονομημένη σε decibel (τάση αναφοράς Vin = 1 Vrms).

⇒

out

out inout

in in

out

in

2

2R =Rout out

10 10 10p(dB) 2 2in

in

10v(dB)

VVP RA =10log =10log = 10log

VP VR

V A =20log

V

10

Συνάρτηση Μεταφοράς

ΑΣΚΗΣΗ 8

Για ένα σύστημα με δύο ακροδέκτες εισόδου και εξόδου, στο οποίο εφαρμόζεται μια ημιτονοειδής τάση, ως συνάρτηση μεταφοράς ορίζεται ο λόγος του μιγαδικού ανύσματος της τάσης εξόδου προς το μιγαδικό άνυσμα της τάσης εισόδου για κάθε κυκλική συχνότητα ω (rad/s). H συνάρτηση μεταφοράς περιγράφει ένα γραμμικό, χρονικά ανεξάρτητο κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας και είναι μιγαδικό μέγεθος. Επομένως, λαμβάνουμε υπόψην την απολαβή τάσης Αv και την μετατόπιση φάσης θ. Τα διαγράμματα της συχνοτικής απόκρισης μιας συνάρτησης μεταφοράς ως προς την απολαβή τάσης και την μετατόπιση φάσης σε διάφορες τιμές της κυκλικής συχνότητας ονομάζονται διαγράμματα Bode.

∠ ∠

out outv

inin

V VTF(jω) = = θ =Α θVV

11

Συχνότητα Αποκοπής

ΑΣΚΗΣΗ 8

Ως συχνότητα αποκοπής ορίζουμε εκείνη τη συχνότητα για την οποία:

⇒

⇒

out in

out

in

inout

2 2

out in

PP =2

V V=

R 2R

V 2= = 0.707 ή -3 dBV 2

12

Xαμηλοπερατό Φίλτρο - RC

ΑΣΚΗΣΗ 8

Για ω → 0 : O πυκνωτής συμπεριφέρεται σαν ανοικτός διακόπτης. Άρα: Για ω → ∞ : O πυκνωτής συμπεριφέρεται σαν κλειστός διακόπτης. Άρα:

Η συχνοτική συνάρτηση μεταφοράς προκύπτει από την εφαρμογή του διαιρέτη τάσης. Επομένως:

Άρα: Θέτοντας, ως συχνότητα αποκοπής προκύπτει ότι:

out inV =V

outV = 0

cout in

c

ZV = VR +Z

=

out c

in c

1jωCV Z 1TF(jω) = = =1 1+ jωRCV R +Z R +

jωC

c1ω =

RCc

1TF(jω) = ω1+ jω

13


ΑΣΚΗΣΗ 8

Επίσης, η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να εκφραστεί Hz, ως: Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση μεταφοράς δεν εξαρτάται από το πλάτος του σήματος εισόδου. Εξαρτάται μόνο από την συχνότητα του σήματος εισόδου και τις τιμές των στοιχείων του κυκλώματος. Υπολογίζουμε το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς: Επιπλέον, υπολογίζουμε την μετατόπισης φάσης:

c

1TF(jω) = f1+ jf

v 2

c

1A = TF(jω) =f1+f

-1

c

fθ =-tanf

14


ΑΣΚΗΣΗ 8

Εκφράζοντας την απολαβή τάσης (μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς) σε dB, προκύπτει: Για f << fc είναι:

Για f = fc είναι:

10

2

v(dB) (dB)c

fA = TF(jω) = -20log 1+f

10v(dB) (dB)A = TF(jω) = -20log 1 = 0 dB

10v(dB) (dB)A = TF(jω) = -20log 2 = -3 dB

15

Πολυπλοκότερο Xαμηλοπερατό Φίλτρο - RC

ΑΣΚΗΣΗ 8


Η συχνοτική συνάρτηση μεταφοράς προκύπτει από την εφαρμογή του διαιρέτη τάσης. Επομένως: όπου η αντίσταση εξόδου είναι:

2out in

1 2

RV = VR +R

outV = 0

outout in

1 out

ZV = VR +Z

22

out2

2

1RjωC RZ = =1 1+ jωR CR +jωC

16

Πολυπλοκότερο Xαμηλοπερατό Φίλτρο - RC

ΑΣΚΗΣΗ 8

Άρα:

Θέτοντας, ως συχνότητα αποκοπής προκύπτει ότι: ή Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς σε dB είναι:

⇒

⋅

2

2out out 2

2 1 2 1 2in out1

2

2

1 21 2

1 2

R1+ jωR CV Z RTF(jω) = = = =R R +R + jωR R CV R +Z R +

1+ jωR CR 1TF(jω) = ωR R CR +R 1+ j

R +R1 2

c1 2

R +Rω =R R C

⋅2

1 2

C

R 1TF(jω) = ωR +R 1+ jω

⋅2

1 2

C

R 1TF(jω) = fR +R 1+ jf

21 2

v 10 102 C

R +R fA = TF(jω) = -20log -20log 1+R f

Πολυπλοκότερο Xαμηλοπερατό Φίλτρο - RC H μετατόπιση φάσης υπολογίζεται από την ίδια σχέση με εκείνη για το απλό

χαμηλοπερατό φίλτρο.

Δηλαδή:

-1

c

fθ =-tanf

18

Υψηλοπερατό Φίλτρο - RC

ΑΣΚΗΣΗ 8



Άρα: Θέτοντας, ως συχνότητα αποκοπής προκύπτει ότι:

outV = 0

out inV =V

out inc

RV = VR +Z

=

out

in c

V R R 1TF(jω) = = =1 1V R +Z R + 1- jjωC ωRC

c1ω =

RC c

1TF(jω) = ω1- jω

19


ΑΣΚΗΣΗ 8

Επίσης, η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να εκφραστεί Hz, ως: Παρατηρήσεις: Η συνάρτηση μεταφοράς δεν εξαρτάται από το πλάτος του σήματος εισόδου. Εξαρτάται μόνο από την συχνότητα του σήματος εισόδου και τις τιμές των στοιχείων του κυκλώματος. Υπολογίζουμε το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς: Επιπλέον, υπολογίζουμε την μετατόπισης φάσης:

v 2c

1A = TF(jω) =f1+f

-1 cfθ =-tan -f

c

1TF(jω) = f1- jf

20


ΑΣΚΗΣΗ 8

Εκφράζοντας την απολαβή τάσης (μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς) σε dB, προκύπτει: Για f >> fc είναι:

Για f = fc είναι:

10

2c

v(dB) (dB)

fA = TF(jω) = -20log 1+f

10v(dB) (dB)A = TF(jω) = -20log 1 = 0 dB

10v(dB) (dB)A = TF(jω) = -20log 2 = -3 dB

21

Πολυπλοκότερο Yψηλοπερατό Φίλτρο - RC

ΑΣΚΗΣΗ 8



2out in

1 2

RV = VR +R

outV = 0

2

out in

1 2

RV = V1R +R +jωC

22

Πολυπλοκότερο Υψηλοπερατό Φίλτρο - RC

ΑΣΚΗΣΗ 8

Άρα:

Θέτοντας, ως συχνότητα αποκοπής προκύπτει ότι: ή Το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς σε dB είναι:

( )

⋅

out 2 2

1 2in1 2

1 2

V R R 1TF(jω) = = =1 1R +RV R +R + 1- jjωC ω R +R C

( )c1 2

1ω =R +R C

⋅2

C1 2

R 1TF(jω) = ωR +R 1- jω

⋅2

C1 2

R 1TF(jω) = fR +R 1- jf

2C1 2

v 10 102

fR +RA = TF(jω) = -20log -20log 1+R f

Πολυπλοκότερο Υψηλοπερατό Φίλτρο - RC H μετατόπιση φάσης υπολογίζεται από την ίδια σχέση με εκείνη για το απλό

χαμηλοπερατό φίλτρο.

Δηλαδή:

-1 cfθ =-tan -f

ΑΣΚΗΣΗ 6 24

ΑΣΚΗΣΗ 9

Συντονισμός

(Σειράς – Παράλληλος) ΤΟΜΕΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΦΥΣΙΚΗΣ &

ΦΥΣΚΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΟΝΤΟΣ




2


Συντονισμός (ορισμός)

Συντονισμός Σειράς

Παράλληλος Συντονισμός

ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ

3

Συντονισμός (Ορισμός)

ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΌΣ ΑΣΚΗΣΗ 9

Ένα κύκλωμα βρίσκεται σε συντονισμό, όταν η τάση που εφαρμόζεται σε αυτό είναι σε φάση με το ρεύμα που το διαρρέει (Δφ(υ, i) = 0). Θα μελετήσουμε δύο μεγάλες κατηγορίες κυκλωμάτων συντονισμού:

- τα κυκλώματα RLC συντονισμού σειράς και

- τα κυκλώματα RLC παράλληλου συντονισμού.

4

Κύκλωμα RLC Συντονισμού Σειράς

ΑΣΚΗΣΗ 9

Στο κύκλωμα του συντονισμού σειράς (βλ. σχήμα) R είναι το άθροισμα του ωμικού αντιστάτη και των ωμικών στοιχείων του πυκνωτή και του πηνίου. Η σύνθετη αντίσταση είναι:

1 1Z =R + j ωL - =R + jX, όπου Χ =Lω-ωC ωC

ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΌΣ

2

2

-1z

1μέτρο : Z = R + ωL - ωC

1Lω-ωCόρισμα : φ = tan =φ

R

Σύνθετη αντίσταση Κυκλώματος

5


ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΌΣ

Διάγραμμα ω - |Χ|

Για ω → 0: Lω → 0, → -∞.

Άρα: |XC| > |XL| (χωρητική συμπεριφορά)

Για ω → ∞ : Lω → +∞, → 0.

Άρα: |XL| > |XC| (επαγωγική συμπεριφορά) Για ω = ω0: XL = XC (αλληλοαναιρούνται).

Άρα: X = 0. Επομένως:

: Συχνότητα συντονισμού

1-ωC

1-ωC

⇒0 0 00

1 1 1ω L - = 0 ω = ή f =ω C LC 2π LC

6



Διάγραμμα ω -

Όλη η καμπύλη μετατοπισμένη προς τα επάνω κατά R.

Για ω → ω0 η σύνθετη αντίσταση γίνεται καθαρά ωμική ( ). Όσο μικραίνει ο ωμικός αντιστάτης R, τόσο η τείνει προς τη μορφή του |Χ|.

Z

→Z R

Z

7


ΑΣΚΗΣΗ 9

Η αγωγιμότητα του κυκλώματος είναι:

1Υ =1R + j ωL -

ωC


2

2

-1Υ Ζ

1μέτρο : Υ = 1R + ωL -

ωC

1Lω-ωCόρισμα : φ = -tan = -φ = -φ

R

Αγωγιμότητα Κυκλώματος

8



Διάγραμμα ω -

Για ω → ω0 : Για ω → 0: Lω → 0, → -∞. Άρα:

Για ω → ∞ : Lω → +∞, → 0. Άρα

Όσο πιο μικρή είναι η ωμική αντίσταση R τόσο πιο οξεία είναι η καμπύλη.

Y

→

1Y = maxR

1-ωC

→Y 0

1-ωC

→Y 0

9


ΑΣΚΗΣΗ 9

Διαγράμματα Ορισμάτων των Ζ και Υ

Για ω → 0: Lω → 0, → -∞. Άρα: φZ → -90o και φΥ → +90o Για ω → +∞ : Lω → +∞, → 0. Άρα: φZ → +90o και φΥ → -90o

Για ω = ω0: Lω = . Άρα: φZ → 0o και φΥ → 0o Εφόσον στη συχνότητα συντονισμού φ = 0ο η ισχύς είναι:

1-ωC

1-ωC

1ωC

m m m m1 1P = I V cosφ = I V : μέγιστη2 2

10



Καμπύλη Συντονισμού

Κατ’ εξοχήν καμπύλη συντονισμού θεωρείται η καμπύλη ω - . H καμπύλη συντονισμού δεν είναι συμμετρική ως προς τη μέγιστη τιμή της.

Ι

⇒ ⇒ ⇒

i mim m m

V VVΙ = Ι = I = I =V YZ Z Z

11




Για μικρή τιμή της R έχουμε μεγάλη τιμή Ιmax και οξύτερη καμπύλη συντονισμού. Η οξύτητα της καμπύλης συντονισμού καθορίζει τη λεγόμενη επιλεκτικότητα του κυκλώματος. Ένα κύκλωμα χαρακτηρίζεται ως επιλεκτικό, όταν για μια μικρή μεταβολή των συχνοτήτων Δω γύρω από τη συχνότητα συντονισμού ω0, προκύπτει μεγάλη μεταβολή ΔΙ0, οπότε η καμπύλη είναι οξύτατη. Ως μέτρο της οξύτητας συντονισμού παίρνουμε την διαφορά δύο τιμών ω1 και ω2 της συχνότητας που αντιστοιχούν σε τιμές ισχύος ίσες με το μισό της ισχύος στη συχνότητα συντονισμού. Οι συχνότητες αυτές ονομάζονται συχνότητες ημίσειας ισχύος και ισχύει:

⇒ ⇒ ⇒2

2max max maxm m m max

P I R I1 1P = I R = I = I = 0.707I2 2 2 2 2

12




⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⇒⋅

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

0 i max maxmax m

i m m

2 22 2

max

m

2 22 2 2

Z- Για ω = ω : V =I R II R =I Z =R- Για τυχαία γωνία ω : V =I Z I

1 1R + ωL - R + ωL -I ωC ωC= 2 =

R RI

1 1 1R + ωL - =2R R = ωL - R = ± ωL -ωC ωC ωC

( )

( )

⇒

⇒

⇒

(+)2 1

1 2 1 2 11 1 2

(-)2 1

2 2 12 1 2

ω -ω1Για ω , ω : -ω L =R L ω -ω + =2R (1)ω C ω ω C

ω +ω1 ω L - =R L ω +ω + = 0 (2)ω C ω ω C

13




21 2 0 0 1 2

2 1

2

1,2

1Από (1) και (2) : ω ω = = ω (3). Άρα ω ο γεωμετρικό μέσος των ω ,ω .LC

RΕπιπλέον :Δω = ω -ω = (4). Ευρος Ζώνης (Bandwidth)L

R R 4+ +L L LCΑπό (3) και (4) : ω =

2

Προσοχή:

Οξύς συντονισμός → Περνάει από το κύκλωμα μικρό εύρος συχνοτήτων.

Ομαλός συντονισμός → Περνάνε πολλές συχνότητες.

14



Τάσεις

= =

2ο

1ω = 2LCmax ο ο

Com Co m m m mο ο ο ο

οLom Lo max ο m

οCom Lom m m

ο

I Lω Lω1 LC :V = V = =V =V = V =V (5)Cω RCω RLCω Rω R

LωL :V = V =I Lω =V (6)R

Lω1Από (5) και (6) : V =V V V (7)RCω R

Στη συχνότητα συντονισμού, σε κύκλωμα συντονισμού σειράς RLC, ισχύει: Θεωρητικά ισχύει η σχέση (7), πειραματικά όμως οι τιμές είναι κοντά η μια στην άλλη. Αυτό συμβαίνει διότι ο C και το L δεν είναι ιδανικά στοιχεία και έχουν και ωμικό μέρος. Παρατηρούμε ότι τα πλάτη των τάσεων στο πηνίο και στον πυκνωτή γίνονται μεγαλύτερα από το πλάτος της τάσης εισόδου Vm. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται υπέρταση και εμφανίζεται στη συχνότητα συντονισμού.

15



Συντελεστής Ποιότητας

max

Comο

max max

max

max

2

2 2 2ο

Co2 2 ο

ο

2

οLo

2

ο

Αποθηκευμένη ΕνέργειαΣυντελεστής ποιότητας : Q =2πΕνέργεια που καταναλώνεται σε μια περίοδο

I1 CCV C ω Lω12C :Q =2π =2π = = (8)1 2π RCω RI RT I R2 ω

1 LI LωL2L :Q =2π =2π = (9)1 2π RI RT R2 ω

Α σ οο Co Lo

ο

Lω1πό (8) και (9) : Q =Q =Q = = (10) : Συντελεστής ΥπέρτασηςRCω R

Στη συχνότητα συντονισμού σε κύκλωμα συντονισμού σειράς RLC ισχύει:

16




⇒

0

(4)ο ο ο

oo

o

1ω =LC

οo

Lω ω ωQ = = Δω = (11)R Δω Q

Από την (11) προκύπτει ότι έχουμε μεγαλύτερη οξύτητα συντονισμού, όταν βρισκόμαστε σε μικρή συχνότητα συντονισμού και έχουμε μεγάλο παράγοντα υπέρτασης Q .

Lω LQ = = R

o

1 1 L = (12)R R CLC

Από την (12) προκύπτει ότι για να έχουμε μεγάλο παράγοντα υπέρτασης Q χρειαζόμαστε πηνίο με μεγάλο L, μικρό R και C.

17

Κύκλωμα RLC Παράλληλου Συντονισμού

ΑΣΚΗΣΗ 9

Το κύκλωμα του παράλληλου συντονισμού παρουσιάζεται στο σχήμα. Ως τροφοδοσία χρησιμοποιούμε πηγή έντασης ρεύματος ιS(t) = Imcosωt. Λόγω της παραλληλίας, μας διευκολύνει να γίνει η μελέτη του κυκλώματος με αγωγιμότητες (οι παράλληλες αγωγιμότητες προστίθενται).

R C L1 1 1 1Υ = Υ + Υ + Υ = + + jωC = + j ωC -R jωL R ωL


2 2

-1Y

1 1μέτρο : Y = + ωC - R ωL

1ωC -ωLόρισμα : φ = tan 1

R

Αγωγιμότητα Κυκλώματος

18


ΑΣΚΗΣΗ 9

Το κύκλωμα είναι σε συντονισμό όταν: :Συχνότητα Συντονισμού - Για ω = ω0 : YC0 = YLO και Y0 = 1/R.

- Για 0 < ω < ω0 :

- Για ω > ω0 :


( ) ⇒1 1ωC - < 0 ωC < Eπαγωγική Συμπεριφορά

ωL ωL

⇒0 0 00

1 1 1ω C - L = 0 ω = ή f =ω C LC 2π LC

( ) ⇒Im Υ = 0

( ) ⇒1 1ωC - > 0 ωC > Χωρητική Συμπεριφορά

ωL ωL

19 ΑΣΚΗΣΗ 9

1 1Ζ = =1 1Y + j ωC -R ωL


2 2

-1Z Y

1μέτρο : Z = 1 1+ ωC -R ωL

1ωC -ωLόρισμα : φ =φ = -tan = -φ1

R

Σύνθετη Αντίσταση Κυκλώματος


Για ω = ω0 : Zmax = R (Όσο μεγαλώνει η R τόσο οξύτερη γίνεται η καμπύλη)

20 ΑΣΚΗΣΗ 9

Διαγράμματα Ορισμάτων των Ζ και Υ

Για ω → 0: Cω → 0, → -∞. Άρα: φY → -90o και φZ → +90o Για ω → +∞ : Cω → +∞, → 0. Άρα: φY → +90o και φZ → -90o

Για ω = ω0: Cω = . Άρα: φY → 0o και φZ → 0o Εφόσον στη συχνότητα συντονισμού φ = 0ο η ισχύς είναι:

1-ωL

1-ωL

1ωL

m m m m1 1P = I V cosφ = I V : μέγιστη2 2


21 ΑΣΚΗΣΗ 9

Για ω = ω0: Η καμπύλη δεν είναι συμμετρική ως προς το ω0.


Διάγραμμα ω - ILCm

AB

⋅=

1 LjωLjωC CΖ = 1 1jωL + j ωL -jωC ωC

→∞ →

AB LCmΖ και Ι 0

⇒ ⇒

LC L C L CΔηλαδή, Ι = 0 Ι +Ι = 0 Ι = -Ι

22 ΑΣΚΗΣΗ 9

Άρα, στη συχνότητα συντονισμού όλο το ρεύμα περνάει από την R και για αυτό το πλάτος της τάσης στα άκρα της γίνεται μέγιστο.


Διάγραμμα ω - Vm

⇒

0

LC

για ω=ω

R LC RΙ =0Επειδή Ι =Ι +Ι Ι =Ι


:

2

1,2

21 2 0 0 1 2

2 1

1 1 1Ισχύει: ω = + +2RC 2RC LC

1και ω ω = = ω . Άρα, ω ο γεωμετρικό μέσος των ω ,ω .LC

1Επιπλέον :Δω = ω -ω = Ευρος Ζώνης (Bandwidth)RC

23 ΑΣΚΗΣΗ 9


Επειδή στη συχνότητα συντονισμού ωο ισχύειVLom = Vcom = VRom, έχουμε:

1 ή

⇒ ⇒ ⋅

⇒ ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅

Rm m

Rm m

I =I

Lom Rom Lm 0 Rm Lm m0

I =I0

Com Rom Cm Rm Cm 0 m Cm m Cm m0 0

RV =V I ω L =I R I = Iω L

ω LCR RV =V I =I R I = ω CR I I = I I = Iω C L ω L

⋅ ⋅Lm Cm m 0 m0

RΕπομένως : Ι =Ι = I = ω RC I (13)ω L

Εμφανίζεται το φαινόμενο των υπερεντάσεων στον πυκνωτή και στο πηνίο. Πρέπει να λαμβάνουμε σοβαρά υπόψην τη διατομή των συρμάτων από την οποία κατασκευάζουμε το πηνίο έτσι ώστε να αντέχουν τις εντάσεις των ρευμάτων.

24 ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΌΣ


( )=

=

Rm mComCom

mRm Rm

Rm mL;m

Rm

2 22 I Im ο

Co ο22 2 ο

ο

2I I

Lo2

Αποθηκευμένη ΕνέργειαΣυντελεστής ποιότητας : Q =2πΕνέργεια που καταναλώνεται σε μια περίοδο

1 CV CV C I R ω R2C :Q =2π =2π = =RCω ή (14)1 2π I R LωI RT I R2 ω

1 LI2L :Q =2π =1 I RT

2

L;m

m

2 2(13)

ο2

ο ο

ο

π πο Co Lo ο ο σ

ο ο

I LωL R R2π = = (15)2π I R Lω LωRω

R 1Από (14) και (15) : Q =Q =Q =RCω = (16) και Q =Lω Q

Στη συχνότητα συντονισμού στο κύκλωμα του παράλληλου συντονισμού ισχύει:


25 ΑΣΚΗΣΗ 9 ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΌΣ

1

oo

o o

=π

π

π π

⇒

⇒0

ΔωRC

ο οο

1ω =LC

ο

ω ωQ =RCω = Δω = Δω Q

R R CQ = = LC Q =R Lω L L


Σχέση Qo - Δω:

ΑΣΚΗΣΗ 5 26 ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ - ΠΑΛΜΟΓΡΑΦΟΣ

ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΑΣΗΣ˜έματα... · 2019-09-05 · - Ο χρωματικός...

Documents

Transcript of ΔΙΑΙΡΕΤΗΣ ΤΑΣΗΣ˜έματα... · 2019-09-05 · - Ο χρωματικός...