τα βιβλία των επιτυχιών · 2017-06-29 · 10. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ......

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώ-νουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγ-γραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντι-στηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίη-ση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδό-σεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών.

τα βιβλία των επιτυχιών

Νίκος Τάσος

ΜαθηΜαΤικα &σΤοιχεια σΤαΤισΤικησ

Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΠρόλογοςΤο βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός να βοηθήσει τους μαθητές της Γ΄ Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη των Μαθηματικών, αφετέρου να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συνάδελφους εκπαιδευτικούς.

Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες, καθεμία από τις οποίες περιέχει:

Ι. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑΠλήρης θεωρία, η οποία συνοδεύεται από παραδείγματα και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της.

ΙΙ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έγινε προσπάθεια, ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις, αλλά μόνο ασκήσεις που μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε κατηγορίες (για πρώτη φορά στα ελληνικά βιβλιογραφικά δεδομένα), οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας.

Στον Αποστόλη, στον Κυριάκο και στη Γωγώ, που υλοποιούν τα οράματά μου

ΙΙΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ ΚΑΙ ΕΜΒΑΘΥΝΣΗΣΚάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνε-ται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να απο-κτήσει μεγαλύτερη εμπειρία.

ΙV. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣΕρωτήσεις του τύπου «σωστό-λάθος», οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής.

V. ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣΣτο τέλος των περισσότερων ενοτήτων υπάρχουν φύλλα αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν.

VI. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣΣτο τέλος κάθε κεφαλαίου, καθώς και στο τέλος του βιβλίου, υπάρχουν επαναληπτικά θέματα και φύλλα αξιολόγησης δομημένα με τέτοιον τρόπο, ώστε ο μαθητής να κάνει μία ολοκληρωμένη επανάληψη λίγο πριν από τις Πανελλήνιες Εξετάσεις και ο συνάδελ-φος εκπαιδευτικός να έχει μία σημαντική τράπεζα θεμάτων.

Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των φύλλων αξιολόγησης.

Ελπίζοντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει τον στόχο της, παραδίδουμε το παρόν πόνη-μα στην αυστηρή κρίση των μαθητών και των συνάδελφων εκπαιδευτικών.

Νίκος ΤάσοςΜαθηματικός M.Sc., Μ.Α., Ph.D.

1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ – ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 19Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 25Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 40Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 44

2. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ –ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 45Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 55Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 74Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 81

3. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 82Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 85Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 105Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 109

4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 110Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 112Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 118Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 120Φύλλο αξιολόγησης ............................... 121

5. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 123Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 127Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 134Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 136

6. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 137Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 148Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 161Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 166Φύλλο αξιολόγησης ............................... 167

7. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 169Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 172Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 189Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 198

8. ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 199Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 200Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 215Φύλλο αξιολόγησης ............................... 220

9. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 222Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 224Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 243Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 249

10. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝΜεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 250Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 257Φύλλο αξιολόγησης ............................... 261

11. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑΕπαναληπτικά θέματα στον διαφορικό λογισμό 263Φύλλο αξιολόγησης ............................... 267

ΠεριεχόμεναΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ .................................................................................... 9

12. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 271Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 274Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 277Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 279

13. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (Ι) – ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 280Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 287

Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 300Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 305

14. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (ΙΙ) – ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 306Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 311Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 322Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 328Φύλλο αξιολόγησης ............................... 329

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

15. ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 331Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 336Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 355Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 363Φύλλο αξιολόγησης ............................... 364

16. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 366Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 371Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 398Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 409Φύλλο αξιολόγησης ............................... 410

17. ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ – ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 412

Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 418Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 438Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 448Φύλλο αξιολόγησης ............................... 449

18. ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 451Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 451Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 458Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 462Φύλλο αξιολόγησης ............................... 463

19. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑΕπαναληπτικά θέματα στη στατιστική ............ 466Φύλλο αξιολόγησης ............................... 473

20. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ – ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 479Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 484Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 494Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 499

21. ΚΛΑΣΙΚΟΣ & ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣΘεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 500Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 503Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 515Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 523Φύλλο αξιολόγησης ............................... 524

22. ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (Ι)Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 526Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 528Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 542

23. ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ΙΙ) –ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων – απαντήσεων ... 550Μεθοδολογίες – Εφαρμογές ...................... 551Εφαρμογές εμπέδωσης και εμβάθυνσης ...... 562Ερωτήσεις κατανόησης ............................ 566Φύλλο αξιολόγησης ............................... 567

24. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑΕπαναληπτικά θέματα στις πιθανότητες .......... 569Φύλλο αξιολόγησης ............................... 575

25. ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΘΕΩΡΙΑΣ .................... 579

26. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ .................................. 584

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ... 600

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ................................................................................. 609

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ........................................................................................................ 693

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ

i) αν = α · α · ... · α ν ≥ 2, α1 = α, α0 = 1 (α ≠ 0) ν-παράγοντες

{

ii) α–ν = 1αν

(α ≠ 0)

iii) αμ · αν = αμ+ν και αμ

αν = αμ–ν

iv) (α · β)ν = αν · βν και ( αβ )ν

= αν

βν

v) (αμ)ν = αμ·ν

ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

i) (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2

ii) (α – β)2 = α2 – 2αβ + β2

iii) α2 – β2 = (α – β)(α + β) (διαφορά τετραγώνων)iv) (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β3

v) (α – β)3 = α3 – 3α2β + 3αβ2 – β3

vi) α3 – β3 = (α – β)(α2 + αβ + β2) (διαφορά κύβων)vii) α3 + β3 = (α + β)(α2 – αβ + β2)

ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

i) |α| = { α, α ≥ 0–α, α < 0

ii) |α| = |–α| και |α| ≥ 0, για κάθε α ∈ ℝ

iii) |α|2 = |α2| = α2

iv) –|α| ≤ α ≤ |α|, για κάθε α ∈ ℝ

v) |x| = α > 0 ⇔ x = ±αvi) |x| = |α| ⇔ x = ±α

vii) |α · β| = |α| · |β| και | αβ | = |α|

|β|, β ≠ 0

viii) |α + β| ≤ |α| + |β| και |α – β| ≤ |α| + |β|ix) |x| < θ ⇔ –θ < x < θx) |x| > θ ⇔ x < –θ ή x > θ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

10 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΡΙΖΕΣ

i) √α = β ⇔ α = β2 (α, β ≥ 0)

ii) √α · √β = √

α · β (α, β ≥ 0)

iii) √ αβ

= √α

√β (α ≥ 0, β > 0)

Προσοχή: √α + √β ≠ √

α + β και √α – √β ≠ √

α – β

iv) α > β ⇔ √α > √β (α, β ≥ 0)

v) √α2 = α, α ≥ 0

vi) √α2 = |α|, α ∈ ℝ

vii) ν√

μ√α =

νμ√α, ν, μ ∈ ℕ με ν, μ > 2 και α ≥ 0

viii) νμ√

αμκ =

ν√ ακ, ν, μ, κ ∈ ℕ με ν, μ > 2, κ άρτιος και α ≥ 0

ix) ν√

ανβ = α

ν√β, ν ∈ ℕ με ν > 2 και α, β ≥ 0

x) ν√

αμ = α

μν , ν, μ ∈ ℕ με ν, μ > 2 και α > 0

ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟ ℝ

i) α2 ≥ 0 για κάθε α ∈ ℝ ii) Αν α > β και β > γ, τότε: α > γiii) Αν α > β, τότε: α ± γ ≥ β ± γ iv) Αν α > β και γ > δ, τότε: α + γ > β + δv) Αν γ > 0, τότε: vi) Αν γ < 0, τότε:

• α > β ⇔ α · γ > β · γ • α > β ⇔ α · γ < β · γ

• α > β ⇔ αγ

> βγ

• α > β ⇔ αγ

< βγ

vii) Αν α, β ομόσημοι, τότε: α > β ⇔ 1α

< 1β

viii) Αν α > 0, β > 0, τότε: α > β ⇔ α2 > β2

ix) Αν α < 0, β < 0, τότε: α < β ⇔ α2 > β2

x) Αν α, β, γ, δ θετικοί, με α > β και γ > δ, τότε: α · γ > β · δΠροσοχή: Δεν αφαιρούμε, ούτε διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ A΄ ΒΑΘΜΟΥ

Έχουν τη μορφή:αx + β = 0 ⇔ αx = –β (1)

• Αν α ≠ 0, τότε η (1) έχει μοναδική λύση τη x = – βα

.

• Αν α = 0 και β ≠ 0, τότε η (1) είναι αδύνατη.• Αν α = 0 και β = 0, τότε η (1) είναι αόριστη.

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ 11

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ

Έχουν τη μορφή: αx2 + βx + γ = 0 (α ≠ 0)

Δ = β2 – 4αγ Η εξίσωση: αx2 + βx + γ = 0, α ≠ 0

Δ > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες: x1,2 =

–β ± √Δ2α

Δ = 0 Έχει μία διπλή ρίζα: x0 = –β2α

Δ < 0 Δεν έχει πραγματικές ρίζες.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ ≥ 3

i) Λύνονται με:• παραγοντοποίηση,• το σχήμα Hörner.

ii) Για εξισώσεις της μορφής xν = α διακρίνουμε τις περιπτώσεις:• Αν ν θετικός άρτιος ακέραιος και α > 0, τότε:

xν = α ⇔ x = ± ν√α

• Αν ν θετικός άρτιος ακέραιος και α < 0, τότε η εξίσωση xν = α είναι αδύνατη.• Αν ν θετικός περιττός ακέραιος και α > 0, τότε:

xν = α ⇔ x = ν√α

• Αν ν θετικός περιττός ακέραιος και α < 0, τότε:

xν = α ⇔ x = –ν√|α|

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ A΄ ΒΑΘΜΟΥ

Έχουν τη μορφή:αx > β, α ≠ 0 (1)

Ομοίως αν αx < β.• Η (1) δίνει:

x > βα

, α > 0 ή x < βα

, α < 0

• Αν α = 0 και β > 0, τότε η (1) είναι αδύνατη.• Αν α = 0 και β < 0, τότε η (1) είναι αόριστη.• Αν α = 0 και β = 0, τότε η (1) είναι αδύνατη.


ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ

Έχουν τη μορφή: αx2 + βx + γ > 0 ή αx2 + βx + γ < 0 (α ≠ 0)

Λύνονται με τη χρήση των πινάκων που προκύπτουν από το πρόσημο τριωνύμου, όπως φαίνεται παρακάτω.

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

i) Αν Δ > 0 και x1, x2 οι ρίζες του τριωνύμου, τότε:

χ –∞ x1 x2 +∞

αx2 + βx + γ Ομόσημο

του αΕτερόσημο

του αΟμόσημο

του α

ii) Αν Δ = 0 και x0 η ρίζα του τριωνύμου, τότε:

χ –∞ x0 +∞


του αΟμόσημο

του α

iii) Αν Δ < 0, τότε:

χ –∞ +∞


του α

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΒΑΘΜΟΥ ≥ 3

• Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος.• Αναλύουμε σε γινόμενο το 1ο μέλος.• Κάνουμε πίνακα, όπου βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα του γινομένου.

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

• Μια ανίσωση της μορφής f(x)g(x)

≥ 0 είναι ισοδύναμη με την f(x) · g(x) ≥ 0, για g(x) ≠ 0.

• Μια ανίσωση της μορφής f(x)g(x)

≥ h(x) γράφεται:

f(x)g(x)

– h(x) ≥ 0 ⇔ f(x) – h(x)g(x)g(x)

≥ 0 ⇔ [f(x) – h(x)g(x)]g(x) ≥ 0, g(x) ≠ 0


ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f1(x) · f2(x) · … · fν(x) ≥ 0

Κάνουμε πίνακα, όπου βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα f1(x), f2(x), …, fν(x) και, τελικά, βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία το γινόμενο είναι μη αρνητικό.Ομοίως αν θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση f1(x) · f2(x) · … · fν(x) ≤ 0.

ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Β΄ ΒΑΘΜΟΥ

Το πολυώνυμο f(x) = αx2 + βx + γ, α ≠ 0 μετασχηματίζεται ως εξής:

• Αν Δ > 0, τότε f(x) = α(x – x1)(x – x2), όπου x1,2 = –β ± √Δ2α

.

• Αν Δ = 0, τότε f(x) = α(x – x0)2, όπου x0 = – β2α

.

• Αν Δ < 0, τότε το f(x) δεν παραγοντοποιείται στο ℝ.

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑ

α ≤ x ≤ β [α, β]

α < x ≤ β (α, β]

α ≤ x < β [α, β)

α < x < β (α, β)

α ≤ x [α, +∞)

α < x (α, +∞)

x ≤ α (–∞, α]

x < α (–∞, α)

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 2 x 2

Το σύστημα:

{ α1χ + β1y = γ1

α2χ + β2y = γ2

α

α

α

α

β

β

β

β

–∞

–∞

–∞

–∞

+∞

+∞

+∞

+∞

α–∞ +∞

α–∞ +∞

α–∞ +∞

α–∞ +∞


έχει ορίζουσες:

D = |α1 β1

α2 β2|, Dx = |γ1 β1

γ2 β2|, Dy = |α1 γ1

α2 γ2|

• Αν D ≠ 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση τη x = Dx

D, y = Dy

D.

• Αν D = 0 και Dx ≠ 0 ή Dy ≠ 0, το σύστημα είναι αδύνατο.• Αν D = Dx = Dy = 0, το σύστημα είναι αόριστο. (Εκτός από την περίπτωση όπου όλοι οι

συντελεστές των αγνώστων είναι μηδέν και ένας τουλάχιστον από τους σταθερούς όρους είναι διάφορος του μηδενός, οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.)

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

f(x) = αx, α > 0 και α ≠ 1Πεδίο ορισμού: ℝ

Σύνολο τιμών: (0, +∞)

αχ1 = αχ2 ⇔ χ1 = χ2 αχ1 = αχ2 ⇔ χ1 = χ2

αχ1 < αχ2 ⇔ χ1 < χ2 αχ1 < αχ2 ⇔ χ1 > χ2

Ειδική περίπτωση f(x) = ex, e ≅ 2,71

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

f(x) = ℓnxΠεδίο ορισμού: (0, +∞)

Σύνολο τιμών: ℝ

y

x

1

α > 1

O

y

x

1

0 < α < 1

O

y

x

1

e > 1

O

y

x1O


ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ

i) 10x = α ⇔ x = ℓogα (α > 0) ii) ex = α ⇔ x = ℓnα (α > 0)iii) ℓog10α = α, 10ℓοgα = α (α > 0) iv) ℓneα = α, eℓnα = α (α > 0)v) ℓog1 = 0, ℓog10 = 1 vi) ℓn1 = 0, ℓne = 1vii) ℓog(α1 · α2) = ℓogα1 + ℓogα2 (α1, α2 > 0) viii) ℓn(α1 · α2) = ℓnα1 + ℓnα2 (α1, α2 > 0)

ix) ℓog α1

α2 = ℓogα1 – ℓogα2 (α1, α2 > 0) x) ℓn α1

α2 = ℓnα1 – ℓnα2 (α1, α2 > 0)

xi) ℓogακ = κℓogα (α > 0, κ ∈ ℤ) xii) ℓnακ = κℓnα (α > 0, κ ∈ ℤ)Παρατήρηση: Δεν υπάρχουν λογάριθμοι αρνητικών αριθμών καθώς και λογάριθμος του 0.

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

• Βασικοί τύποι

ημθ = βα

, συνθ = γα

εφθ = βγ

, σφθ = γβ

• Βασικές τριγωνομετρικές σχέσεις i) ημ2α + συν2α = 1

ii) εφα = ημασυνα

σφα = συναημα

εφα · σφα = 1

iii) ημ(α + β) = ημα · συνβ + ημβ · συναiv) ημ(α – β) = ημα · συνβ – ημβ · συναv) συν(α + β) = συνα · συνβ – ημα · ημβvi) συν(α – β) = συνα · συνβ + ημα · ημβvii) ημ2α = 2 · ημα · συναviii) συν2α = συν2α – ημ2α = 1 – 2 · ημ2α = 2 · συν2α – 1

• Πίνακας τριγωνομετρικών αριθμών

Γωνίες 0° ή 0 rad 30° ή

𝛑

6 rad 45° ή

𝛑

4 rad 60° ή

𝛑

3 rad 90° ή

𝛑

2 rad

ημθ 012

√22

√32

1

συνθ 1√32

√22

12

0

εφθ 0√33

1 √3 –

σφθ – √3 1√33

0

Γ

Α

β α

γθ Β


• Μνημονικός κανόνας

ημ(0°, 30°, 45°, 60°, 90°) = √

0,1,2,3,42

συν(0°, 30°, 45°, 60°, 90°) = √

4,3,2,1,02

• Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο Γωνίες αντίθετες:

i) συν(–θ) = συνθ ii) ημ(–θ) = –ημθ iii) εφ(–θ) = –εφθ iv) σφ(–θ) = –σφθ

Γωνίες με άθροισμα 180°:i) ημ(180° – θ) = ημθ ii) συν(180° – θ) = –συνθ iii) εφ(180° – θ) = –εφθ iv) σφ(180° – θ) = –σφθv) ημ(180° + θ) = –ημθ vi) συν(180° + θ) = –συνθ vii) εφ(180° + θ) = εφθ viii) σφ(180° + θ) = σφθ

Γωνίες με άθροισμα ή διαφορά 90°:i) ημ(90° – θ) = συνθ ii) συν(90° – θ) = ημθ iii) εφ(90° – θ) = σφθ iv) σφ(90° – θ) = εφθv) ημ(90° + θ) = συνθ vi) συν(90° + θ) = –ημθ vii) εφ(90° + θ) = –σφθ viii) σφ(90° + θ) = –εφθ

• Τριγωνομετρικές εξισώσεις

ημx = ημθ ⇔ { χ = 2κπ + θχ = 2κπ + π – θ

, κ ∈ ℤ συνx = συνθ ⇔ { χ = 2κπ + θχ = 2κπ – θ

, κ ∈ ℤ

εφx = εφθ ⇔ x = κπ + θ, κ ∈ ℤ σφx = σφθ ⇔ x = κπ + θ, κ ∈ ℤ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

• αν+1 = αν + ω• αν = α1 + (ν – 1)ω

• α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ⇔ β = α + γ2

• Sν = ν2

(α1 + αν) και Sν = ν2

[2α1 + (ν – 1)ω]

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

• αν+1 = αν · λ, λ ≠ 0• αν = α1 · λν–1

• α, β, γ διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ⇔ β2 = α · γ

• Sν = α1(λν – 1)λ – 1

, λ ≠ 1 και Sν = ν · α1, λ = 1

ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1

Δ Ι Ά Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ – ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ

1 Τι ονομάζουμε συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β;

ΑπάντησηΣυνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β είναι μία διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχεί σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.

Συμβολικά:f: A → B ή x →

f y = f(x)

Παραδείγματα

i) Σε κάθε αυτοκίνητο αντιστοιχεί ένας αριθμός κυκλοφορίας. Άρα η διαδικασία αυτή είναι συνάρτηση.

ii) Σε κάθε μαθητή αντιστοιχεί ένας μόνο βαθμός για τα Μαθηματικά. Άρα και η διαδικασία αυτή είναι συνάρτηση.

iii) Kάθε άνθρωπος οδηγεί μόνο ένα αυτοκίνητο. H διαδικασία αυτή δεν είναι συ-νάρτηση.

iv) H διπλανή διαδικασία δεν είναι συνάρτηση, διότι ένα στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχεί σε δύο στοιχεία του συνόλου Β.

H διπλανή διαδικασία είναι συνάρτηση.

A Bf

A B

A B

OΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ – ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ1


H διπλανή διαδικασία δεν είναι συνάρτηση, διότι ένα στοιχείο του συνόλου Α δεν αντιστοιχεί σε κάποιο στοιχείο του συνόλου Β.

ΣχόλιοΤα γράμματα που χρησιμοποιούμε για να συμβολίσουμε μια συνάρτηση είναι συνήθως τα:

f, g, h, φ κ.λπ.

2 Έστω μια συνάρτηση f: A → B. Πότε η f ονομάζεται πραγματική συνάρτη-ση πραγματικής μεταβλητής;

ΑπάντησηΑν το σύνολο Α είναι υποσύνολο του ℝ (A ⊆ ℝ) και Β = ℝ, τότε η f ονομάζεται πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής.

3 Έστω μια συνάρτηση f: A → ℝ. i) Αν η f αντιστοιχίζει το x ∈ A στο y ∈ ℝ, τότε πώς αλλιώς γράφεται το

y και πώς ονομάζεται;ii) Πώς ονομάζονται οι μεταβλητές x και y;

Απάντησηi) Αν έχουμε τη συνάρτηση f: A → ℝ,

x ∈ A, όπου το x αντιστοιχεί στο y, τότε γράφουμε:

y = f(x) Το f(x) ονομάζεται τιμή της f στο x.ii) Αν y = f(x), όπου x ∈ A, είναι συνάρτηση, τότε το x ονομάζεται ανεξάρτητη

μεταβλητή και το y εξαρτημένη μεταβλητή.

Σχόλιαi) Το y = f(x) ονομάζεται τύπος της συνάρτησης ή εικόνα του x ή τιμή της f

στο x. Στην πράξη, ο τύπος μιας συνάρτησης αποτελεί το «μονοπάτι» για να μεταβούμε από το σύνολο Α στο σύνολο Β. Υπάρχουν άπειροι τρόποι μετάβασης (τύποι) από το Α στο Β. Για παράδειγμα:

f(x) = x + 2, g(x) = ℓnx, h(x) = √

x – 2 + 1ex + 4

κ.λπ.

A B

A B

f(x)x

f

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 21

ii) Για την ανεξάρτητη μεταβλητή μπορούμε να χρησιμοποιούμε και άλλα γράμματα εκτός από το x χωρίς να δημιουργούμε προβλήματα στον ορισμό της. Για παράδειγμα, ο τύπος f(x) = 2x3 – x2 + 7 και ο τύπος g(t) = 2t3 – t2 + 7 εκφράζουν την ίδια συνάρτηση.

iii) Η αντιστοίχιση από το σύνολο Α στο σύνολο Β μπορεί να γίνεται με περισσότερες από μία διαδικασίες. Τότε η συνάρτηση περιγράφεται με περισσότερους από έναν τρόπους.

Για παράδειγμα:

Η παραπάνω αντιστοίχιση περιγράφεται από τη συνάρτηση με τύπο:

f(x) = { x2, x < 03x + 1, x ≥ 0

Οι συναρτήσεις αυτές ονομάζονται πολλαπλού τύπου ή κλαδωτές.

4 i) Τι ονομάζουμε πεδίο ορισμού μιας πραγματικής συνάρτησης f της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος της y = f(x);

ii) Τι ονομάζουμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f: A → ℝ με τύπο y = f(x);

Απάντησηi) Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος y = f(x)

ονομάζεται το «ευρύτερο» υποσύνολο του ℝ, στο οποίο η παράσταση f(x) έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

Συμβολικά:A = {x ∈ ℝ / f(x) ∈ ℝ}

ii) Σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού Α ονομάζουμε το σύνολο όλων των στοιχείων του ℝ, που το καθένα είναι αντίστοιχο ενός τουλάχιστον στοιχείου του Α, και (συνήθως) συμβολίζουμε με f(A).

Συμβολικά:f(A) = {y ∈ ℝ / υπάρχει ένα τουλάχιστον x ∈ A, τέτοιο ώστε: y = f(x)}

Με τη βοήθεια βελοδιαγράμματος έχουμε τα παρακάτω:

Είναι φανερό ότι ένα στοιχείο y του ℝ δεν είναι υποχρεωτικά η εικόνα κάποιου στοιχείου x του Α.

A ℝ–2

f(x) = x2

x < 0f(x) = 3x + 1

x ≥ 0

4–1 12 73 10

A

f(A)

ℝ


Σχόλιαi) Το f(A) γενικά είναι υποσύνολο του ℝ.ii) Το πεδίο ορισμού Α της f συμβολίζεται και με Df.iii) Αξίζει να προσέξουμε ότι: • Η έκφραση «Δίνεται συνάρτηση f: A→ ℝ» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της

f είναι το Α. • Η έκφραση «Δίνεται η συνάρτηση f: A → Β» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού

της f είναι το Α και το σύνολο τιμών της f(A) είναι υποσύνολο του Β. Δηλαδή f(A) ⊆ B.

• Η έκφραση «Δίνεται η συνάρτηση y = f(x), x ∈ A» δηλώνει ότι το πεδίο ορισμού της f είναι το Α.

5 Ποιους περιορισμούς χρειαζόμαστε για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f αν γνωρίζουμε τον τύπο της;

ΑπάντησηΓια να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης με γνωστό τύπο θέτουμε τους εξής περιορισμούς:• Οι παρονομαστές πρέπει να είναι διάφοροι του μηδενός.• Οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός.• Αν έχουμε παραστάσεις της μορφής ℓn[f(x)], τότε πρέπει f(x) > 0.

• Αν έχουμε παράσταση της μορφής εφ[f(x)], τότε πρέπει f(x) ≠ κπ + π

2, κ ∈ ℤ.

• Αν έχουμε παράσταση της μορφής σφ[f(x)], τότε πρέπει f(x) ≠ κπ, κ ∈ ℤ.Τονίζουμε ότι:• Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το ℝ.• Η συνάρτηση f(x) = ex έχει πεδίο ορισμού το ℝ.Συνοπτικά, έχουμε τον παρακάτω πίνακα:

Τύπος Περιορισμός

f(x) =

h(x)g(x)

g(x) ≠ 0

f(x) = ν√

g(x), ν ∈ ℕ, ν > 1 g(x) ≥ 0

f(x) = ℓn[g(x)] g(x) > 0

f(x) = εφ[g(x)] g(x) ≠ κπ +

π

2, κ ∈ ℤ

f(x) = σφ[g(x)] g(x) ≠ κπ, κ ∈ ℤ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 23


i) Αν f(x) = χ – 1χ + 2

, τότε πρέπει x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ –2.

ii) Αν f(x) = √

x – 1, τότε πρέπει x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.iii) Αν f(x) = ℓn(x + 4), τότε πρέπει x + 4 > 0 ⇔ x > –4.

iv) Αν f(x) = εφ(x – π

4 ), τότε πρέπει x – π

4 ≠ κπ + π

2 ⇔ x ≠ κπ + 3π

4, κ ∈ ℤ.

v) Αν f(x) = σφ(x + π

8 ), τότε πρέπει x + π

8 ≠ κπ ⇔ x ≠ κπ – π

8, κ ∈ ℤ.

6 Έστω οι συναρτήσεις f και g με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α. Πώς ορίζονται οι συναρτήσεις:

Ρ = f + g, Q = f – g, R = f · g και S = fg

Απάντηση• Το άθροισμα Ρ των συναρτήσεων f, g, δηλαδή η συνάρτηση f + g, έχει πεδίο

ορισμού το κοινό πεδίο ορισμού Α των συναρτήσεων f, g και τύπο που δίνεται από τη σχέση:

P(x) = (f + g)(x) = f(x) + g(x)• Η διαφορά Q των συναρτήσεων f, g, δηλαδή η συνάρτηση f – g, έχει πεδίο ορι

σμού το κοινό πεδίο ορισμού Α των συναρτήσεων f, g και τύπο που δίνεται από τη σχέση:

Q(x) = (f – g)(x) = f(x) – g(x)• Το γινόμενο R των συναρτήσεων f, g, δηλαδή η συνάρτηση f · g, έχει πεδίο

ορισμού το κοινό πεδίο ορισμού Α των συναρτήσεων f, g και τύπο που δίνεται από τη σχέση:

R(x) = (f · g)(x) = f(x) · g(x)

• Το πηλίκο S των συναρτήσεων f, g, δηλαδή η συνάρτηση fg, έχει πεδίο ορισμού

το κοινό πεδίο ορισμού Α των συναρτήσεων f, g, αν εξαιρέσουμε τις τιμές του x για τις οποίες είναι g(x) = 0, και τύπο που δίνεται από τη σχέση:

S(x) = ( fg)(x) = f(χ)

g(χ)


i) Έστω οι συναρτήσεις f(x) = 3x2 + 2x και g(x) = (x – 1)2.

τα βιβλία των επιτυχιών · 2017-06-29 · 10. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ......

Documents

Transcript of τα βιβλία των επιτυχιών · 2017-06-29 · 10. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ......