Επανάληψη στη θεωρία 2016 για τα Μαθηματικά...

ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ – ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ 2016


Β΄ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ - ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2016

ΣΤΑΣΙΝΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΟΣ



1 . ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ



1) Έστω Μ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και Ο σημείο αναφοράς . Δείξτε ότι :

Απόδειξη

2) Κάθε διάνυσμα �⃗⃗� του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων 𝐢 και 𝐣 .

Απόδειξη



3) Αν �⃗⃗� = (𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και �⃗⃗� = (𝐱𝟐, 𝐲𝟐) τότε :

i) �⃗⃗� + �⃗⃗� = (𝐱𝟏 + 𝐱𝟐, 𝐲𝟏 + 𝐲𝟐) ii) 𝛌�⃗⃗� = (𝛌𝐱𝟏, 𝛌𝐲𝟏)

iii) 𝛌�⃗⃗� + 𝛍�⃗⃗� = (𝛌𝐱𝟏 + 𝛍𝐱𝟐, 𝛌𝐲𝟏 + 𝛍𝐲𝟐) Απόδειξη

i) ii) iii) 4) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του μέσου Μ(x,y) του ΑΒ όπου είναι 𝚨(𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και 𝚩(𝐱𝟐, 𝐲𝟐).

Απόδειξη



5) Οι συντεταγμένες (x,y) του διανύσματος με άκρα τα σημεία 𝚨(𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και 𝚩(𝐱𝟐, 𝐲𝟐) δίνονται από τις σχέσεις :

𝐱 = 𝐱𝟐 − 𝐱𝟏 𝛋𝛂𝛊 𝐲 = 𝐲𝟐 − 𝐲𝟏 Απόδειξη

6)Αν �⃗⃗� = (𝒙, 𝐲) τότε |�⃗⃗� | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Απόδειξη



7) Αν τα διανύσματα �⃗⃗� , 𝛃 ⃗⃗ ⃗έ𝛘𝛐𝛖𝛎 𝛔𝛖𝛎𝛕𝛆𝛌𝛆𝛔𝛕έ𝛓 𝛅𝛊𝛆ύ𝛉𝛖𝛎𝛔𝛈𝛓 𝛌𝟏 𝛋𝛂𝛊 𝛌𝟐

𝛂𝛎𝛕ί𝛔𝛕𝛐𝛊𝛘𝛂 τότε : �⃗⃗� ∥ �⃗⃗� ⇔ 𝛌𝟏 = 𝛌𝟐. Απόδειξη

8) Αν �⃗⃗� = (𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και �⃗⃗� = (𝐱𝟐, 𝐲𝟐) τότε �⃗⃗� · �⃗⃗� = 𝐱𝟏 · 𝐱𝟐 + 𝒚𝟏 · 𝒚𝟐 Απόδειξη



9) Δείξτε ότι :

i) (𝛌�⃗⃗� ) · �⃗⃗� = �⃗⃗� · (𝛌�⃗⃗� ) = 𝛌 · (�⃗⃗� �⃗⃗� ) , λ𝝐ℝ

ii) �⃗⃗� (�⃗⃗� + �⃗⃗� ) = �⃗⃗� �⃗⃗� + �⃗⃗� �⃗⃗�

iii) �⃗⃗� ⊥ �⃗⃗� ⇔ 𝛌𝟏 · 𝛌𝟐 = −𝟏 όπου 𝛌𝟏 = 𝝀�⃗⃗� , 𝛌𝟐 = 𝝀�⃗⃗� (�⃗⃗� , �⃗⃗� ∦ 𝒚′𝒚)

Απόδειξη

10) Αν �⃗⃗� , �⃗⃗� είναι δύο διανύσματα και θ η γωνία των δύο αυτών διανυσμάτων , τότε να αποδείξετε ότι

Απόδειξη



2. Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ



11) Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία 𝚨(𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και 𝚩(𝐱𝟐, 𝐲𝟐) με 𝐱𝟏 ≠ 𝐱𝟐 είναι :

Απόδειξη

12) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από ένα σημείο 𝚨(𝐱𝟎, 𝐲𝟎) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

Απόδειξη



13) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία 𝚨(𝐱𝟏, 𝐲𝟏) και 𝚩(𝐱𝟐, 𝐲𝟐) με 𝐱𝟏 ≠ 𝐱𝟐 έχει εξίσωση :

Απόδειξη

14) Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Αx+Βy+Γ=0 (1) με Α≠𝟎 ή Β ≠ 0 και αντιστρόφως , κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.

Απόδειξη



15) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση Αx+Βy+Γ=0 είναι παράλληλη στο

διάνυσμα �⃗⃗� = (𝚩,−𝚨). Απόδειξη



16) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση Αx+Βy+Γ=0 είναι κάθετη στο διάνυσμα �⃗⃗� = (𝚨, 𝚩).

Απόδειξη

Επανάληψη στη θεωρία 2016 για τα Μαθηματικά...

Education

Transcript of Επανάληψη στη θεωρία 2016 για τα Μαθηματικά...